Lezioni di Scienza delle Costruzioni [1 ed.]

Table of contents :
0.1 Notazioni e definizioni minimali di algebra lineare
0.2 Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale
0.3 Geometria delle aree
Parte I — Meccanica dei corpi continui deformabili
1 Cinematica
1.1 Trasporto e spostamento
1.2 Trasporti rigidi e deformazione
2 Energia e tensione
2.1 Forze o energia?
2.2 Energia e principio di minimo
2.3 Assunzioni costitutive
2.4 Condizioni necessarie per un minimo locale
2.5 La deduzione di Cauchy del tensore della tensione
2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive
2.7 Il problema elastico per un corpo tridimensionale deformabile
Parte II — Il problema del cilindro di de Saint Venant
3 Il cilindro di de Saint Venant
3.1 Ipotesi definitorie
3.2 Soluzione
4 Problemi semplici
4.1 Pressoflessione
4.2 Taglio e torsione
4.3 Torsione
5 Applicazione alla teoria della trave
5.1 Equazioni di bilancio per un modello di trave
5.2 Energia elastica
Referenze
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Lezioni di Scienza delle Costruzioni Stefano Vidoli

c 2017 Stefano Vidoli Copyright http://stefanovidoli.site.uniroma1.it/ Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the “License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may obtain a copy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Unless required by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License is distributed on an “as is” basis, without warranties or conditions of any kind, either express or implied. See the License for the specific language governing permissions and limitations under the License. First printing, October 2016

Indice

0.1

Notazioni e definizioni minimali di algebra lineare

5

0.2

Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale

7

0.3

Geometria delle aree

I 1

10

Meccanica dei corpi continui deformabili Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1

Trasporto e spostamento

1.1.1

Trasporto di elementi d’area e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

19

1.2

Trasporti rigidi e deformazione

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Definizioni di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Significato delle componenti del tensore di deformazione infinitesima Una decomposizione notevole del tensore di deformazione . . . . . . . Cambiamento del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direzioni principali di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dalla deformazione allo spostamento: le equazioni di compatibilità .

2

Energia e tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1

Forze o energia?

35

2.2

Energia e principio di minimo

36

2.3

Assunzioni costitutive

36

2.3.1

Differenziabilità della densità di energia elastica: tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4

Condizioni necessarie per un minimo locale

2.4.1

Equazioni di bilancio di forze e momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

22 . . . . . .

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24 26 27 28 28 30

38

2.5

La deduzione di Cauchy del tensore della tensione

2.5.1

Direzioni principali di tensione e cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

41

2.6

Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

2.6.1 2.6.2 2.6.3

Classi di simmetria materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Deformazioni indotte da altre forme di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 I criteri di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

45

2.7

Il problema elastico per un corpo tridimensionale deformabile

54

Il problema del cilindro di de Saint Venant

II 3

Il cilindro di de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1

Ipotesi definitorie

60

3.2

Soluzione

3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8

Principali assunzioni e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il metodo semi-inverso e l’ipotesi sulla tensione . . . . . . . . . . . Forma semplificata del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . Una nota sulle sezioni multiconnesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzione in termini di tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcolo esplicito della rigidezza torsionale . . . . . . . . . . . . . . Calcolo esplicito delle condizioni di compatibilità sulle lacune Calcolo di deformazioni e spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Problemi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1

Pressoflessione

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5

Riduzione di sistemi di molteplici forze . . . . . . . . Asse neutro e diagramma delle tensioni normali Costruzione grafica dell’asse neutro . . . . . . . . . Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nocciolo d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 . . . . . . . .

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60 61 62 63 64 70 71 72

77 . . . . .

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4.2

Taglio e torsione

4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6

Riduzione di sistemi di molteplici forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La tensione normale nei problemi di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formula di Jourawsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applicazione alle sezioni sottili per il calcolo della tensione tangenziale Il calcolo della curvatura torsionale e il concetto di centro di taglio . . Costruzione grafica della tensione di Jourawsky . . . . . . . . . . . . . . . .

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77 78 79 81 82

84 84 85 86 87 89 90

4.3

Torsione

4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7

Analogia della membrana . . . . . . . . . . . . . . . Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La sezione rettangolare e le sezioni aperte sottili Le sezioni sottili aperte di forma generica . . . . . Le sezioni sottili multiconnesse . . . . . . . . . . . . . Sezioni alla Bredt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correzione per sezioni “meno” sottili . . . . . . . . .

92

5

Applicazione alla teoria della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1

Equazioni di bilancio per un modello di trave

101

5.2

Energia elastica

102

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92 92 93 95 96 97 98

Referenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Prerequisiti

0.1

Notazioni e definizioni minimali di algebra lineare Useremo, tranne espliciti avvertimenti, sistemi di riferimento orto-normali; in tali sistemi, detto ai il generico vettore della base, si ha  1, se i = j ai · aj = δij := 0, se i 6= j Ci riserveremo di usare simboli in grassetto per indicare vettori e tensori, mentre per le quantità scalari useremo caratteri normali. Così ad esempio: X X= Xi ai , i

nella medesima equazione X indica il vettore posizione di un punto, mentre Xi indicano le sue componenti scalari sulla base {a1 , a2 , ...}. Useremo la convezione di somma sugli indici ripetuti: X ui ai := ui ai . i

Useremo spesso il prodotto tensore; questa operazione associa a due vettori, u e v, un unico tensore, u ⊗ v, secondo la seguente definizione: (u ⊗ v) w = (v · w) u,

∀w

Tale operazione risulta particolarmente utile allorchè si noti che ogni tensore può espresso come combinazione lineare A = Aij ai ⊗ aj dei tensori base {a1 ⊗ a1 , ..., ai ⊗ aj , ...}i,j=1,2,... . I coefficienti di tale combinazione lineare, o componenti di A in tale base, sono univocamente determinati dalle: Aij = Aaj · ai . Così, ad esempio, le componenti del tensore u ⊗ v sono (u ⊗ v)ij = (u ⊗ v)aj · ai = (v · aj )(u · ai ) = ui vj .

6 Spesso si è soliti raggruppare tali componenti in una matrice; nel caso la indicheremo con [A]. Sebbene questa matrice diviene rappresentativa del tensore A nella base ai ⊗ aj , il medesimo tensore potrebbe essere rappresentato da un’altra matrice in un’altra base: ˆh ⊗ a ˆk. A = Aij ai ⊗ aj = Aˆhk a È bene dunque non confondere le matrici rappresentative di un tensore con il tensore stesso. Per vettori v ∈ IR2 , indicheremo con v il vettore ruotato di 90◦ in senso antiorario; se v = v1 a1 + v2 a2 ,

v = −v2 a1 + v1 a2 .

allora

Ricordiamo che il trasposto A> di un tensore A è l’unico tensore per cui vale A u · v = u · A> v,

∀u, v.

Scegliendo u = aj e v = ai si ottiene facilmente la relazione tra le rispettive matrici: Aij = (A> )ji . Un tensore si dice simmetrico (A ∈ Sym) se A = A> e antisimmetrico (A ∈ Skw) se A = −A> . È facile osservare che ogni tensore ammette la seguente decomposizione: A=

A + A> A − A> + = symA + skwA, 2 2

in una parte simmetrica e in una antisimmetrica. La traccia è una funzione che associa ad ogni tensore un numero scalare in modo lineare. In particolare, essa viene definita come: tr(u ⊗ v) = u · v. Essendo un’operazione lineare ne segue facilmente:   X X X Aij (ai · aj ) = Aii trA = tr  Aij ai ⊗ aj  = i,j

i,j

i

La traccia permette inoltre di definire un’operazione di prodotto scalare tra tensori : X A · B := tr(B > A) = Bij Aij i,j

e dunque la norma di un tensore: kAk :=

√

A·A=

sX

A2ij .

i,j

Un’altra decomposizione notevole dei tensori è la seguente A = sphA + devA, in parte sferica, sphA := (1/3) (trA) 1, e parte deviatorica, devA := A − sphA. Evidentemente la parte deviatorica ha traccia nulla. Notiamo, e sarà utile nel seguito, che i tensori simmetrici ed antisimmetrici sono tra loro ortogonali, così come lo sono i tensori sferici e quelli deviatorici. In altri termini: ∀A ∈ Sym, ∀B ∈ Skw, A · B = 0, ∀C ∈ Sph, ∀D ∈ Dev,

C · D = 0.

Siano u, v, w tre vettori linearmente indipendenti e siano Au, Av, Aw le loro immagini dopo l’applicazione del tensore A. Il determinante di A è il rapporto tra i volumi dei parallelepipedi: det A =

vol (Au, Av, Aw) , vol (u, v, w)

0.2 Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale

7

Si dimostra che questa definizione è in realtà indipendente dai vettori scelti. Se u = a1 ,v = a2 ,w = a3 , si ha la definizione standard det A = (Aa1 × Aa2 ) · Aa3 . Dalla definizione geometrica del determinante è facile far discendere le note proprietà: det R = 1, ∀R ∈ Orth+ ,

det(AB) = (det A) (det B),

det A−1 =

1 . det A

Infine definiamo i tensori ortogonali come la classe di tensori che preserva il prodotto scalare tra vettori. Diremo che Q ∈ Orth Qu · Qv = u · v, ∀u, v ovvero, usando la nozione di trasposto e l’arbitrarietà dei vettori, Q> Q = 1. Da quest’ultima segue che detQ = ±1. Dunque i tensori ortogonali sono partizionati in due classi: • le rotazioni, R ∈ Orth+ , il cui determinante è positivo e dunque pari a 1, • le riflessioni o i tensori ortogonali il cui determinante è pari a −1. Decomposizione polare. Ogni applicazione lineare F con det F > 0 si decompone in maniera univoca come prodotto di una matrice ortogonale ed una matrice simmetrica e definita positiva:

F = R U,

R ∈ Orth+ ,

U ∈ PSym

(1)

Dimostrazione. Data F siano C := F >F e U 2 := C. Chiaramente C è simmetrico e definito positivo C ∈ PSym, ma una semplice decomposizione spettrale mostra che se: C=

3 X

ci vi ⊗ vi ,

ci > 0,

i=1

allora U=

3 X √

ci vi ⊗ vi ,

i=1

e dunque anche U ∈ PSym. Rimane da dimostrare che F U −1 è ortogonale; ma (F U −1 )> (F U −1 ) = U −> F > F U −1 = U −1 CU −1 = 1. 

0.2

Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale Un campo scalare ϕ : B ⊂ IRn 7→ IR definito su un dominio si dice differenziale in X se esiste un vettore (Grad ϕ) tale che ϕ(X + v) = ϕ(X) + (Grad ϕ) · v + o(kvk),

∀v

Se si prende v = ε aj , dalla precedente si ottiene (Grad ϕ) · aj =

ϕ(X + εaj ) − ϕ(X) o(kεk) + , ε ε

e, passando al limite per ε → 0, la definizione usuale della derivata direzionale (Grad ϕ) · aj = lim

ε→0

ϕ(X + εaj ) − ϕ(X) ≡ ϕ,j , ε

dove abbiamo indicato la derivata parziale ∂ϕ/∂Xj con il simbolo ϕ,j . Dunque   n X Grad ϕ =  ϕ,j aj . j=1

8

Figura 1: Il campo vettoriale (grad ϕ) misura la pendenza di una funzione ϕ : IR2 7→ IR. Ci riserveremo di usare il simbolo “Grad ” per indicare il gradiente in IR3 , mentre useremo il simbolo “grad ” per indicare il gradiente in IR2 . Nella Figura mostriamo le curve isolivello di una funzione ϕ : IR2 7→ IR; si noti come il campo vettoriale (grad ϕ), è in ogni punto ortogonale alle curve isolivello, vedi Fig. 1. In effetti, se si sceglie l’incremento v sufficientemente piccolo e in direzione tangente alla curva isolivello ϕ(X + v) ' ϕ(X)

⇒

grad ϕ · v ' 0.

Un campo vettoriale u : B ⊂ IRm 7→ IRn si dice differenziale in X se esiste un’applicazione lineare (Grad u) tale che u(X + v) = u(X) + (Grad u)v + o(kvk),

∀v.

In effetti, quando kvk → 0 il tensore (Grad u) mappa linearmente l’incremento v nel dominio nella risultante variazione [u(X + v) − u(X)] nel codominio. Se si prende v = ε aj , dalla precedente si ottiene u(X + εaj ) − u(X) o(kεk) (Grad u)aj = + , ε ε ovvero, passando al limite per ε → 0 e proiettando nella direzione ai , ui (X + εaj ) − ui (X) ≡ ui,j ε→0 ε   n m X X ui,j ai ⊗ aj . Grad u = 

(Grad u)aj · ai = lim ovvero

i=1 j=1

Dato un campo vettoriale u definito su un dominio B ⊂ IR2 e considerato un sottoinsieme aperto D ⊂ B ha senso considerare le due seguenti operazioni Z I F(u) := u · n, C(u) := u · t, ∂D

∂D

che definiscono rispettivamente il flusso sulla frontiera ∂D e la circolazione sulla curva ∂D del campo vettoriale. Qui n e t indicano rispettivamente la normale e la tangente al bordo ∂D. Sia ora X ∈ D un punto interno a D e d la massima distanza da X dei punti di D. Definiamo la divergenza e il rotore del campo vettoriale u in X come Z I 1 1 div u := lim u · n, rot u := lim u · t. d→0 AD ∂D d→0 AD ∂D essendo AD l’area del dominio D. Divergenza e rotore significano dunque il flusso medio e la circolazione media di un campo vettoriale negli intorni infinitesimi di un punto. Si dimostra che, nel limite d → 0, tali definizioni non dipendono dalla forma degli intorni D usati per definirli.

0.2 Notazioni e definizioni minimali di calcolo differenziale

9

Figura 2: Gli ingredienti fondamentali per il calcolo di flusso e circolazione di un campo vettoriale. Se si utilizza l’intorno di un punto dettato dalle coordinate cartesiane, vedi Fig. 2, usando le definizioni facilmente si ottiene div u = .... = u1,1 + u2,2 ,

rot u = ... = u2,1 − u1,2 .

Essendo t = n è facile verificare che, in IR2 , rot u ≡ −div ( u) e div u ≡ rot ( u). Questa corripondenza, a volte utile, è tuttavia un caso speciale della dimensione n = 2; in IRn la dimensione di una una curva (essenziale per calcolare la circolazione) non coincide con la dimensione del bordo di un dominio (essenziale per il flusso): 1 6= n − 1. In effetti, passando al caso tridimensionale le definizioni di flusso e divergenza rimangono sotanzialmente immutate a parte il considerare intorni tridimensionali del punto: Z 1 Div u := lim u · n = ... = u1,1 + u2,2 + u3,3 = uj,j , d→0 VD ∂D dove VD è ora il volume del dominio D. L’informazione relativa alla circolazione del campo vettoriale è invece più ricca avendo a disposizione diverse curve su cui calcolarla. In particolare si dimostra che è sufficiente calcolare la circolazione in tre piani ortogonali passanti per il punto X per poterla conoscere in un qualunque piano per lo stesso punto, vedi Fig. 3.

Figura 3: Tre curve “linearmente indipendenti” su cui calcolare la circolazione. Si definisce, allora, il rotore di un campo vettoriale u in IR3 Rot u := (u3,2 − u2,3 ) a1 + (u1,3 − u3,1 ) a2 + (u2,1 − u1,2 ) a3 . ovvero per componenti (Rot u)i = −ijh uj,h Con questa definizione il rotore in ciascuno dei piani coordinati è semplicemente la proiezione di Rot u sull’asse ortogonale al piano in questione.

10 Per campi vettoriali sufficientemente regolari useremo spesso nel seguito il teorema della divergenza Z Z Div u = u · n, u in IRn D

∂D

e il teorema del rotore Z

I u · t,

rot u = D

u in IR2 .

∂D

Useremo infine le nozioni di divergenza e rotore anche per campi tensoriali. In tal caso, appoggiandoci sulle definizioni precedenti, definiamo (Div T ) · ak := Div (T > ak ),

(Rot T ) · ak := Rot (T > ak ),

ovvero per componenti (Rot T )ik = −ijh Tkj,h .

(Div T )k = Tkj,j ,

Con tale assunzione il teorema della divergenza per un campo tensoriale si scrive semplicemente Z Z Div T = T n. D

0.3

∂D

Geometria delle aree Sia B un dominio sufficientemente regolare in IR2 . Fissato un sistema di riferimento ortonormale (o, a1 , a2 ), sia r = X1 a1 + X2 a2 il vettore posizione del generico punto in B. Si definiscono area, momento statico e momento d’inerzia le seguenti grandezze: Z Z Z A := 1, S := r, J := r ⊗ r, B

B

B

Si definisce inoltre il baricentro come il punto individuato dal vettore rG := S/A. Dimensionalmente abbiamo [A] ≡ m2 , [S] ≡ m3 , [J ] ≡ m4 . Inoltre il tensore d’inerzia è definito positivo e simmetrico J ∈ PSym. In effetti la simmetria segue immediatamente dalla definizione. essendo (u ⊗ v)> = v ⊗ u, mentre per la positività basta considerare che Z Z J n · n = (r ⊗ r)n · n = (r · n)2 > 0. B

B

Evidentemente sia le componenti del vettore momento statico S che quelle del tensore momento d’inerzia J dipendono dal sistema di riferimento scelto. Vediamo nel seguito come cambiano se si sceglie un differente sistema di riferimento. Cambiamento per translazione Il nuovo sistema di riferimento (o0 , a1 , a2 ) sia ottenuto dal precedente (o, a1 , a2 ) tramite una pura traslazione dell’origine: o0 = o + u. Allora si ha evidentemente r = r 0 + u, da cui integrando sul dominio segue facilmente (Teorema di Huygens): S 0 = S − A u,

J 0 = J − S ⊗ u − u ⊗ S + A u ⊗ u.

Nel caso in cui la traslazione porti la nuova origine o0 nel baricentro G del dominio, ovvero se u ≡ rG , dalle precedenti si ottiene: S 0 = 0,

J 0 = J − A rG ⊗ rG .

Il tensore JG := J − A rG ⊗ rG si chiama tensore di inerzia baricentrico.

0.3 Geometria delle aree

11

Cambiamento per rotazione ˆ 1, a ˆ 2 ) sia ottenuto da quello iniziale (o, a1 , a2 ) tramite una Il nuovo sistema di riferimento (o, a pura rotazione degli assi, ovvero: ˆ 1 = Q a1 , a

ˆ 2 = Q a2 , a

+

con Q ∈ Orth un tensore ortogonale con determinante pari a 1. ˆha ˆ h ne segue: Per il vettore posizione r = Xi ai = X ˆh = r · a ˆ h = (Xi ai ) · (Q ah ) = Qih Xi X Integrando sul dominio, otteniamo le componenti del momento statico e del momento di inerzia Sˆh = Qih Si , Jˆhk = Qih Jij Qjk . ˆ = [Q]> [S] e [J] ˆ = [Q]> [J][Q]. Si noti che ovvero, in forma compatta, la relazione tra le matrici [S] il vettore S ed il tensore J sono gli stessi, ma le loro componenti sono diverse a seconda dei due sistemi di riferimento: ˆ h, ˆh ⊗ a ˆk. S = Si ai = Sˆh a J = Jij ai ⊗ aj = Jˆhk a Per una rotazione di un angolo φ (positiva in senso antiorario) si ha   cos φ − sin φ [Q] = sin φ cos φ da cui:

Jˆ11 (φ) = J22 sin2 φ + J12 sin(2φ) + J11 cos2 φ, Jˆ22 (φ) = J11 sin2 φ − J12 sin(2φ) + J22 cos2 φ,

Jˆ12 (φ) = J12 cos(2φ) + (J22 − J11 ) sin φ cos φ. Se si sceglie l’angolo φ in modo tale da annullare la componente mista del momento d’inerzia Jˆ12 (φ), ovvero se: 2J12 tan(2φ∗ ) = J11 − J22 ˆ che rappresenta l’inerzia nel riferimento (ˆ ˆ 2 ) e: allora si diagonalizza la matrice [J] a1 , a ˆ 1 = j1 a ˆ 1, Ja

ˆ 2 = j2 a ˆ 2. Ja

Un tale sistema di riferimento si chiama principale d’inerzia, gli autovalori j1 := Jˆ11 (φ∗ ), j2 := Jˆ22 (φ∗ ), ˆ 2 ) definiscono le direzioni a1 , a si chiamano momenti principali d’inerzia, mentre i due autovettori (ˆ principali d’inerzia. Sistemi centrali d’inerzia ˆ 1, a ˆ 2 ) centrato nel baricentro e con assi principali d’inerzia si dice Un sistema di riferimento (G, a anche centrale d’inerzia. In un sistema di riferimento centrale, essendo il momento statico nullo e la matrice rappresentativa dell’inerzia diagonale, le caratteristiche geometriche di un dominio sono univocamente definite dall’area A e dai momenti principali d’inerzia j1 e j2 . Se conosciamo la geometria delle aree, in particolare S e J , in un sistema di riferimento generico (o, a1 , a2 ) per ottenere un sistema centrale d’inerzia sarà sufficiente applicare in sequenza le trasformazioni appena viste (translazione u = rG e rotazione di un angolo opportuno). In particolare si otterrà dapprima JG = J − A rG ⊗ rG , e quindi j1 = JG22 sin2 φ∗ + JG12 sin(2φ∗ ) + JG11 cos2 φ∗ j2 = JG11 sin2 φ∗ − JG12 sin(2φ∗ ) + JG22 cos2 φ∗ essendo

  1 2JG12 tan−1 , 2 JG11 − JG22 ˆ 2 ). l’angolo (positivo antioriario) che porta la base (a1 , a2 ) nella base principale (ˆ a1 , a φ∗ =

12 Ellisse d’inerzia Una costruzione molto utile dal punto di vista grafico è quella dell’ellisse d’inerzia perché compendia in sè le informazioni relative a A, S e J . Si definisce ellisse d’inerzia di un dominio B l’ellisse con: • centro nel baricentro, • assi le direzioni principali d’inerzia, p • lunghezza dei semi-assi i giratori d’inerzia ρh := jh /A. L’equazione dell’ellisse d’inerzia in un sistema di riferimento generico è: −1 AJG (r − rG ) · (r − rG ) = 1.

Per convincersene, basta prendere l’origine nel baricentro o ≡ G per ottenere rG = 0: −1 AJG r · r = 1,

ˆha ˆ h , secondo gli assi centrali d’inerzia per ottenere: ed esprimere il vettore posizione, r = X   X X ˆ2 ˆ2 X X δhk −1 ˆ ˆ ˆ ˆ = 21 + 22 = 1, A Xh Xk JG a ˆh · a ˆk = A Xh Xk jh ρ1 ρ2 h,k

h,k

ovvero l’equazione canonica di un ellisse che verifica le proprietà sopra enunciate. Costruzione approssimata dell’ellisse d’inerzia Come vedremo in seguito molte costruzioni grafiche sono basate sul preventivo tracciamento dell’ellisse di inerzia di un dominio piano (=la sezione del cilindro nel seguito). È allora molto importante saper tracciare l’ellisse d’inerzia con buona approssimazione. Di seguito riportiamo alcune considerazioni importanti a tal fine. Per quanto riguarda il baricentro si tenga presente che questo rappresenta il punto medio della sezione. In effetti: Z 1 rG := r A B

Figura 4: Il baricentro di un dominio composito; visto che A2 = 2A1 allora d1 = 2d2 . Inoltre, se un dominio é costituito dall’unione di due parti B = B1 ∪ B2 allora, dal teorema di attitività degli integrali facilmente si ha: rG =

A1 A2 rG1 + rG2 , A A

e dunque il baricentro di B si trova sulla retta congiungente i baricentri dei singoli domini a distanze inversamente proporzionali alle aree: krG − rG1 k A2 = . krG − rG2 k A1 Un esempio è riportato nella Fig. 4. Per un dominio composto da più di due parti, questo processo di costruzione può essere evidentemente iterato.

0.3 Geometria delle aree

13

Figura 5: Gli assi per il baricentro rispetto ai quali l’inerzia è minima e massima. Per quanto riguarda le direzioni principali d’inerzia del tensore d’inerzia baricentrico si tenga presente che rispetto a queste due direzioni l’inerzia della sezione risulta minima e massima. In effetti, se si prende una direzione generica n = {cos φ, sin φ}, l’inerzia rispetto all’asse per G ortogonale a n vale: jn (φ) = JG n · n = JG11 cos2 φ + JG22 sin2 φ + JG12 sin(2φ), e la condizione perchè questa sia massima (o minima) si scrive: 0 = jn0 (φ) = 2JG12 cos(2φ) + (JG22 − JG11 ) sin(2φ), che coincide con la definizione trovata prima per assi centrali d’inerzia. Una volta fissato il baricentro si esamini allora il fascio di rette passante per questo e si individuino le rette rispetto alle quali le aree che compongono il dominio abbiano maggiore e minore inerzia. Infine, per quanto riguarda i giratori d’inerzia e dunque le effettive lunghezze dei semiassi si consideri che Z 1 jn = d2 , ρ2n = A A B n essendo dn = |r · n| la distanza dall’asse ortogonale a n. Dunque il quadrato del giratore coincide con il valore medio della distanza al quadrato. Visto che Z d2n < A d2nmax , B

certamente si ha ρn < dnmax , essendo dnmax la massima distanza dall’asse. Ad esempio, per la sezione rettangolare in Figura si ha ρ1 ' 0.58H < H.

Figura 6: Il giratore d’inerzia di un dominio rettangolare.

I

Meccanica dei corpi continui deformabili

1

Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1 1.2

Trasporto e spostamento Trasporti rigidi e deformazione

2

Energia e tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Forze o energia? Energia e principio di minimo Assunzioni costitutive Condizioni necessarie per un minimo locale La deduzione di Cauchy del tensore della tensione Più dettaglio sulle assunzioni costitutive Il problema elastico per un corpo tridimensionale deformabile

17 Questa parte è un compendio minimale delle nozioni relative alla meccanica dei corpi continui deformabili che un ingegnere dovrebbe conoscere. In particolare essa è limitata all’analisi di piccole deformazioni e di relazioni costitutive lineari. Ci limitiamo inoltre ad esaminare il limite quasi-statico dei processi di spostamento e deformazione dei corpi deformabili. Consideremo ovvero solo processi lentamente variabili nel tempo. Per trattazioni esaustive sulla meccanica dei corpi deformabili rimandiamo a [Ciarlet] o a [Ogden].

1. Cinematica

La cinematica studia il movimento dei corpi e prescrive modi e regole matematiche con cui descrivere in modo non ambiguo tale movimento.

1.1

Trasporto e spostamento Il movimento di un corpo è naturalmente percepito come un confronto tra due configurazioni o stati differenti del corpo. Diciamo che un corpo si è mosso o deformato se notiamo visivamente differenze tra la configurazione “attuale” e quella precedente o “iniziale”. In questa sezione cercheremo di rendere preciso questo processo mentale arrivando a definire il concetto di spostamento. La configurazione di riferimento del corpo sia un sottoinsieme dello spazio ambiente tridimensionale Ω ⊂ IR3 sufficientemente regolare, compatto e monoconnesso. In particolare, richiediamo che in ogni punto del suo bordo ∂Ω sia definito il vettore normale n. 

La richiesta di avere definita in tutti i punti del bordo di Ω il vettore normale non permette di considerare configurazioni di riferimento con spigoli. Sono possibili teorie più raffinate dove tale limitazione viene rimossa, vedi ad esempio [], ma non ce ne occuperemo qui.

Si dice trasporto una mappa che associa a ciascun punto X della configurazione di riferimento una posizione nello spazio ambiente. In particolare, definiamo Definizione 1.1.1 — Trasporto. Una mappa

χ:

Ω → X 7→

IR3 x := χ(X)

(1.1)

1. biettiva, 2. differenziabile ovvero tale che ∀v,

χ(X + v) = χ(X) + F (X) v + o(kvk),

F := Grad χ,

(1.2)

3. e il cui gradiente ha determinante positivo: det F (X) > 0 in ogni punto X ∈ Ω. Sotto queste ipotesi il trasporto mappa punti distinti in punti distinti e mappa gli intorni di ogni punto X in intorni del punto χ(X) senza schiacciarne il volume.

Capitolo 1. Cinematica

20

Mentre il trasporto trasforma le posizioni dei punti dalla configurazione di riferimento Ω alla configurazione deformata χ(Ω), il suo gradiente F trasforma i vettori infinitesimi nella configurazione di riferimento nelle loro immagini "deformate". Un modo equivalente di descrivere il passaggio dalla configurazione di riferimento a quella deformata è basato sul concetto di spostamento. Il campo di spostamento u è definito come differenza tra la posizione dopo e prima del trasporto: Definizione 1.1.2

u(X) := χ(X) − X,

da cui segue

χ(X) = X + u(X).

(1.3)

Chiaramente il campo di spostamento u “eredita” dal trasporto in termini del quale è definito il fatto di essere differenziabile. Differenziando entrambi i membri della (1.3)1 otteniamo Proposizione 1.1.1

G := Grad u = F − 1,

F = 1 + G,

da cui segue

(1.4)

dove 1 indica il tensore identità. Problema. Scelta una base ortonormale (a1 , a2 , a3 ) in IR3 calcolare le matrici rappresentative

dei gradienti di trasporto e spostamento.



Usando (1.2) con v = ε aj si ha χ(X + εaj ) − χ(X) = F (ε aj ) + o(kεk) Da questa, proiettando nella direzione ai , si ha Fij := ai · F aj =

χi (X + εaj ) − χi (X) o(kεk) + , ε ε

e infine passando al limite per ε → 0 Fij = lim

ε→0

∂χi χi (X + εaj ) − χi (X) ≡ . ε ∂Xj

Analogamente per il gradiente di spostamento si ha Gij ≡

∂ui , ∂Xj

con Gij = Fij − δij .

1.1 Trasporto e spostamento

21

Esercizio. Scelta un sistema di riferimento ortonormale di origine il punto o, descrivere l’azione del trasporto χ(X) = α X,

su un corpo la cui configurazione di riferimento è Ω = {X · X ≤ 1}.



La configurazione di riferimento è una palla di raggio unitario. Il trasporto considerato dilata o comprime tale palla portandola in una di raggio α. Usando la (1.2) per ogni v sufficientemente piccolo, abbiamo χ(X + v) − χ(X) = α(X + v) − αX ' F v da cui F = α 1 e det F = α3 . Il trasporto considerato è allora ammissibile solo se α > 0. Esercizio. Scelta un sistema di riferimento ortonormale, si descriva l’effetto del campo di spostamento di componenti

u1 = 2δX1 X2 ,

u2 = δ (X22 − X12 ),

u3 = 0

(1.5)

sulla configurazione di riferimento Ω = {X1 a1 + X2 a2 , |X1 | ≤ `, |X2 | ≤ `}.



La configurazione di riferimento è un quadrato di lato 2` centrato nell’origine. Calcolando lo spostamento di diversi punti notevoli del bordo otteniamo i vettori rossi indicati a sinistra nella Figura sottostante. Interpolando i punti di arrivo e tenendo conto che le curve X2 = cost. sono

mappate in parabole, disegnamo la configurazione deformata. Per il la (1.4)2 , si ottiene    1 1 0 X2 X1 [F ] =  0 1 0  + 2 δ  −X1 X2 0 0 1 0 0

gradiente del trasporto, usando  0 0 , 0

da cui det F = 1+4δ 2 (X12 +X22 )+4δX2 quantità sempre positiva su Ω. Tuttavia perchè la mappa sia biettiva deve essere |δ| ≤ 1/2`. Ad esempio, appena δ = 1/2`, si ha χ(−`, −`) = (0, −`) ≡ χ(`, −`) e i due spigoli vengono mappati nel medesimo punto, vedi disegno a destra nella Figura precedente. 1.1.1

Trasporto di elementi d’area e volume Abbiamo già notato che il trasporto χ trasforma le posizioni dei punti dalla configurazione di riferimento alla configurazione deformata, mentre il suo gradiente F trasforma i vettori infinitesimi. Vogliamo studiare come vengono trasformate aree e volumi sotto l’azione del trasporto. A tal fine prendiamo tre vettori infinitesimi (v, w, z) linearmente indipendenti centrati in un generico punto X ∈ Ω. Questi individuano un intorno di X ed in particolare un pararallelepipedo di volume non nullo con vertice in X. La seguente proposizione chiarisce come vengono trasformate le lunghezze degli spigoli, gli angoli tra gli spigoli, le aree delle facce e il volume di tale parallelepipedo.

Capitolo 1. Cinematica

22

Proposizione 1.1.2 Comunque presi i vettori infinitesimi linearmente indipendenti (v, w, z) si ha:

kvk

lunghezza: angolo: cos−1



v·w kvkkwk

√

F >F v · v

7→ cos−1



F >F v · w kF vkkF wk

 (1.6)

(v × w) 7→ (det F ) F −> (v × w)

area: volume:



7→

(v × w) · z

7→ (det F ) (v × w) · z

Dimostrazione. Per le prime due affermazioni basta considerare che v 7→ F v, w 7→ F w e che kF vk2 = F v · F v = F >F v · v, così come, sempre per la definizione di trasposta, F v · F w = F >F v · w. L’ultima affermazione segue dalla definizione di determinante di un’applicazione lineare ovvero: det F := vol(F v, F w, F z)/vol(v, w, z). Infine per quanto riguarda la variazione d’area (Nanson Formula) si consideri (F v × F w) · F z = F >(F v × F w) · z = (det F )(v × w) · z, e da quest’ultima, vista l’arbitrarietà di z, F v × F w = (det F )F −> (v × w)  Esercizio. Con riferimento al campo di spostamento dell’esercizio precedente si calcoli la variazione percentuale d’area dell’intero dominio Ω e la variazione d’angolo tra direzioni 1 e 2 nel generico punto. 

Visto che lo spostamento in direzione 3 è nullo la variazione d’area nel piano (1, 2) è uguale alla variazione di volume. Il volume dopo il trasporto è ottenuto integrando su Ω 0

Z

V =

Z

`

det F = Ω

−`

`

  32δ 2 `4 1 + 4δ 2 (X12 + X22 ) + 4δX2 dX1 dX2 = 4`2 + 3 −`

Z

Ne segue V0−V 8 δ 2 `2 A0 − A = = . A V 3 Con semplici calcoli si deduce che il tensore F >F che interviene nel determinare la variazione d’angolo è diagonale. In altri termini a2 · (F >F )a1 = 0,

∀X ∈ Ω,

e, dunque, le direzioni 1 e 2 rimangono in ogni punto ortogonali.

1.2

Trasporti rigidi e deformazione Nella sezione precedente abbiamo studiato come cambiano lunghezze, angoli, aree e volumi sotto l’azione di un trasporto. Intuitivamente noi definiamo come rigida una trasformazione (o trasporto) che lasci inalterate in ogni punto tutte queste caratteristiche geometriche. Più precisamente:

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

23

Definizione 1.2.1 Un trasporto si dice rigido se

kχ(Y ) − χ(X)k = kY − Xk,

∀X, Y ∈ Ω

Vista l’arbitrarietà dei punti X e Y è evidente che la precedente definizione è sufficiente ad assicurare che le variazioni di lunghezze, angoli, aree e volumi siano ovunque nulle. Il seguente importante teorema riformula la precedente definizione di trasporto rigido con una condizione equivalente più facile da verificare. Trasporto rigido. Un trasporto è rigido se e solo se il suo gradiente uguaglia in ogni punto una medesima rotazione (tensore ortogonale a determinante positivo):

¯ ∈ Orth+ F (X) = R

(1.7)

¯ allora, in ogni punto X, si ha Dimostrazione. (⇐): Se F (X) = R ¯ >R ¯ = 1, F >F = R

¯ = 1. det F = det R

Ne segue dalle (1.6) che in ogni punto volumi, aree, lunghezze ed angoli non cambiano per effetto del trasporto. Questo è dunque rigido. (⇒): Se il trasporto è rigido allora, in ogni punto, perchè lunghezze e angoli non varino, deve essere F >(X)F (X) = 1. Dal teorema di decomposizione polare si ha U (X) = 1 in tutti i punti. Rimane da dimostrare che R(X) = F (X)U −1 ≡ F (X) è indipendente da X. Per questo è essenziale il fatto che il campo tensoriale F sia il gradiente di un’applicazione. Infatti per la simmetria delle derivate seconde miste: (Rot F )ij = −εiαβ Fjα,β = −εiαβ χj,αβ = 0, ma anche, usando la decomposizione polare con Ulα = δlα , (Rot F )ij = −εiαβ Fjα,β = −εiαβ (Rjl,β Ulα + Rjl Ulα,β ) = −εiαβ Rjα,β . Uguagliando queste ultime due relazioni e premoltiplicando per Rjh si ottiene εiαβ Rjh Rjα,β = 0. Se per parametrizzare R si prendono i tre angoli di Eulero il precedente è un sistema lineare omogeneo di rango massimo di 9 equazioni in 9 incognite (le derivate dei tre angoli nelle tre direzioni ¯ coordinate). Le variazioni spaziali del campo di rotazione sono dunque nulle e dunque R(X) = R indipendentemente dal punto considerato.  Il codice seguente è una simulazione istruttiva: anche se il gradiente del trasporto è una rotazione in ogni punto, tale rotazione non deve dipendere da X perchè il trasporto sia rigido. Nella simulazione vedrete l’azione di una rotazione affine nelle coordinate   cos ϕ − sin ϕ R(ϕ) := , ϕ(X) = c + aX1 + bX2 , sin ϕ cos ϕ al variare dei parametri. Appena a 6= 0 oppure b 6= 0, e dunque l’angolo varia spazialmente, noterete che il trasporto non è rigido. c cut and paste in Wolfram Mathematica (version ≥ 6)

pts = {{1, 1}, {-1, 1}, {-1, -1}, {1, -1}}; Manipulate[chi[{X1_,X2_}] = RotationMatrix[c + a X1 + b X2].{X1, X2}; Graphics[{{LightGray, EdgeForm[Gray], Polygon[pts]}, {Orange, Opacity[0.5], EdgeForm[Gray], Polygon[chi/@pts]}}, PlotRange -> 1] ,{{a, 0}, -1, 1, .1}, {{b, 0}, -1, 1, .1}, {{c, 0}, -Pi, Pi, .1}]

Capitolo 1. Cinematica

24

Esercizio. Il campo di spostamento (1.5) analizzato in precedenza è rigido?



La risposta è particolarmente semplice visto che per tale campo di spostamento avevamo calcolato det F = 1 + 4δ 2 (X12 + X22 ) + 4δX2 . Essendo det F = 6 1, F non può essere una rotazione e dunque il trasporto non è rigido. In effetti il seguente teorema di rappresentazione ci dice come sono costituiti tutti i trasporti rigidi. Proposizione 1.2.2 Un trasporto rigido (o congruenza) è caratterizzato univocamente dalla scelta di

¯ ∈ Orth+ : ¯ ∈ IR3 e di una rotazione R una translazione u ¯ (X − X0 ) = X + u ¯ − 1) (X − X0 ) . ¯+R ¯ + (R χ(X) = X0 + u

(1.8)

X+u X

X0

X0 +u

o

Come mostrato in Figura, la configurazione di riferimento del corpo Ω è in generale prima translata ¯ e quindi ruotata intorno al punto X0 + u. 1.2.1

Definizioni di deformazione La parola deformazione vuole significare una variazione di forma del corpo. Poichè, come abbiamo appena visto, in un trasporto rigido la forma del corpo non varia, risulta naturale pensare alla deformazione come un difetto di rigidità. In particolare, noi definiamo deformazione il seguente campo tensoriale Definizione 1.2.2 — Deformazione di Green-Lagrange.

E=


1 F >F − 1 2

(1.9)

che risulta ovunque nullo se il trasporto è rigido. Si noti che il fattore 1/2 non è strettamente necessario ma tornerà utile nel seguito. La (1.9) può essere scritta in maniera equivalente in termini del gradiente di spostamento. Ricordando la (1.4), si ha F = 1 + G, F > = 1 + G> e, dunque, E=

 1 1  1 (1 + G> )(1 + G) − 1 = (G + G> ) + G>G, 2 2 2

(1.10)

ovvero, in termini di componenti sulla base canonica Eij =

ui,j + uj,i uh,i uh,j + . 2 2

Queste ultime espressioni del campo di deformazione sono particolarmente espressive perché ci fanno notare una cosa importante: vista la presenza del termine quadratico G>G, la deformazione non è una funzione lineare del campo di spostamento! Immaginiamo di avere due campi di spostamento uA e uB e calcoliamo le relative deformazioni EA e EB indotte sul corpo. Quindi consideriamo il campo di spostamento uA+B = uA + uB ottenuto applicando in sequenza i precedenti e calcoliamo la deformazione EA+B . In generale EA+B 6= EA + EB ,

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

25

ovvero non vale la sovrapposizione degli effetti. Tuttavia, se la norma del gradiente del campo di spostamento fosse molto piccola, allora tutte le sue componenti Gij sarebbero piccole ed i termini quadratici in (1.10) sarebbero trascurabili rispetto ai termini lineari. In altri termini

se

kGk  1

allora

E :=

1 (G + G> ) ' E 2

(1.11)

Al tensore E appena definito e di componenti Eij =

ui,j + uj,i , 2

si dà il nome di deformazione infinitesima per alludere al fatto che esso rappresenta una buona misura della deformazione quando le componenti del gradiente di spostamento sono quantità infinitesime. Nell’esempio precedente si avrebbe EA+B = EA + EB e, quindi, per il tensore di deformazione infinitesima vale la sovrapposizione degli effetti. Perchè quest’ultimo sia una buona misura della deformazione non dobbiamo dimenticare che deve essere kGk  1. Si consideri il campo di spostamento di componenti u1 = βX2 ,

u2 = −βX1 ,

u3 = 0,

(1.12)

Descrivere l’azione di tale campo di spostamento sul dominio Ω = {0 ≤ X1 ≤ `, 0 ≤ X2 ≤ `} e calcolare le misure di deformazione finita E e infinitesima E.  L’azione del campo si spostamento sul dominio in questione è mostrata nella Figura sottostante. Mentre, ad una prima impressione questa potrebbe psembrare una rotazione, a ben vedere i lati della configurazione deformata sono più lunghi ` 7→ ` 1 + β 2 ' `(1 + β 2 /2). L’allungamento dei lati (`0 − `)/` ' β 2 /2 è una funzione quadratica del parametro β allorchè β  1.

In effetti, se si calcola il gradiente del campo  0 β [G] =  −β 0 0 0

di spostamento si ottiene  0 √ 0 , kGk = 2 β. 0

Essendo il gradiente antisimmetrico, G ∈ Skw, il tensore di deformazione infinitesima, che rappresenta la parte simmetrica del gradiente di spostamento, è nullo, E = 0. Tuttavia la deformazione

Capitolo 1. Cinematica

26 di Green-Lagrange vale β 2 /2  0 [E] = 0 

 0 0 β 2 /2 0  . 0 0

Da questo desumiano che il campo di spostamento considerato implica una deformazione (E 6= 0), ma se la norma del gradiente è piccola (ovvero se β  1) allora tale deformazione può essere considerata nulla (E ' E = 0), cfr. (1.11). 1.2.2

Significato delle componenti del tensore di deformazione infinitesima Se il gradiente di spostamento é sufficientemente piccolo, il gradiente del trasporto non è troppo dissimile dal tensore identità. Più precisamente, definite η := kGk  1,

ˆ := G/kGk, G

(1.13)

ne risulta ˆ F = 1+G = 1+ηG

(1.14)

ˆ = η  1 è piccola. Sotto queste ipotesi le variazioni di e dunque la distanza kF − 1k = kη Gk lunghezze, angoli, aree e volumi viste in precedenza risultano avere espressioni particolarmente semplici in termini del solo tensore di deformazione infinitesima E. In particolare, la lunghezza dopo il trasporto di un vettore infinitesimo risulta q √ > ˆ +G ˆ > ) + O(η 2 ))v · v ' kvk + Ev · v , kF vk = F F v · v ' (1 + η(G (1.15) kvk √ √ √ dove abbiamo usato la serie di Taylor della funzione a + η b + ... ' a+η b/(2 a). L’allungamento di un generico vettore infinitesimo v vale allora kF vk − kvk Ev · v ' . kvk kvk2

(1.16)

Se si sceglie v = ε ai , l’allungamento risulta pari a Eai · ai = Eii . Dunque i termini sulla diagonale della matrice che rappresenta E misurano gli allungamenti dei vettori infinitesimi nelle direzioni scelte come base. Analogamente si scelgano nella configurazione di riferimento due vettori infinitesimi v e w inizialmente ortogonali. L’angolo tra i vettori dopo il trasporto è allora   Fv · Fw φ = cos−1 . kF vk kF wk ˆ la precedente relazione diviene una funzione di η. Espandendo in serie di Taylor Per F = 1 + η G, per η  1 otteniamo che: l’angolo tra due generici vettori infinitesimi ed ortogonali dopo il trasporto vale   v·w ˆ > + G)v ˆ · w = π − 2 Ev · w. φ ' cos−1 − η (G kvk kwk 2

(1.17)

Se si scelgono v = ε ai e w = εaj , la variazione d’angolo risulta pari a 2Eai · aj = 2Eij . Dunque i termini fuori diagonale della matrice che rappresenta E misurano metà delle variazioni d’angolo tra le direzioni scelte come base. Infine, ricordando la regola di derivazione del determinante: ∂detF (η) ∂detF ∂F (η) ∂F (η) = · = detF F −> · , ∂η ∂F ∂η ∂η ˆ otteniamo che per F (η) = 1 + η G,

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

27

il rapporto tra volume deformato e volume indeformato vale ˆ = 1 + trE. det F ' 1 + η 1−> · G

(1.18)

Dunque la traccia di E misura la variazione percentuale di volume. Si considerino i campi di spostamento (A) u1 = αX1 , (B) u1 = γX2 /2,

u2 = 0,

u3 = 0.

u2 = γX1 /2,

(1.19) u3 = 0.

(1.20)

Si calcolino variazioni di lunghezze, angoli e volume (=area) nell’ipotesi α  1 e γ  1.



Nel primo caso (A), visto che kGk = α  1, possiamo approssimare la deformazione con la deformazione infinitesima. Si ha:   α 0 0 [EA ] =  0 0 0  . 0 0 0 Dunque solo i vettori in direzione a1 subiscono un allungamento non nullo e pari a α, le variazioni d’angolo tra tutte le direzioni coordinate sono nulle e la variazione di volume vale trE = α, cfr. Figura.

(A)

(B)

√ Anche nel secondo caso (B), poichè kGk = γ/ 2  1 è sufficiente calcolare   0 γ/2 0 0 0 . [EB ] =  γ/2 0 0 0 Nessuna direzione coordinata subisce allungamento, l’unica variazione d’angolo tra direzioni coordinate avviene tra le direzioni a1 e a2 e vale γ, mentre non vi sono variazioni di volume, cfr Figura. 1.2.3

Una decomposizione notevole del tensore di deformazione La decomposizione di ogni tensore V → V in parte sferica e deviatorica (vedi Sezione 0.1) è particolarmente utile nel caso del tensore di deformazione infinitesima E. In effetti, pensare decomposto il tensore nel modo seguente 1 (trE) 1 + dev E, (1.21) 3 corrisponde a separare la generica deformazione nella somma di due effetti distinti: • una variazione di volume del corpo (di cui è responsabile la parte sferica) e ... • ... una variazione di forma del corpo senza ulteriori variazioni di volume (di cui è responsabile la parte deviatorica). La Figura 1.1 illustra tale decomposizione in un caso specifico: E=

Capitolo 1. Cinematica

28

Figura 1.1: Una medesima deformazione può essere pensata come (destra) somma di una variazione di forma (dalla conf. grigia alla conf. tratteggiata) e di una variazione di volume (dalla conf. tratteggiata alla conf. nera) o (sinistra) viceversa. 1.2.4

Cambiamento del sistema di riferimento Come ogni tensore, la deformazione infinitesima può essere espressa attraverso una matrice solo dopo aver scelto il sistema di riferimento. ˆ 1, a ˆ 2 ) si ha: Se si considerano i due sistemi di riferimento (o, a1 , a2 ) e (o, a ˆhk ah ⊗ ak . E = Eij ai ⊗ aj = E

(1.22)

ˆhk in termini delle componenti Eij è sufficiente ricordare che: Per calcolare le componenti E ˆhk = E a ˆk · a ˆ h = (Eij ai ⊗ aj )ˆ ˆ h = (aj · a ˆ k ) (ai · a ˆ h ) Eij . E ak · a

(1.23)

ˆ 2 ) è ottenuta tramite una rotazione Q della base (a1 , a2 ) Se, come spesso avviene, la base (ˆ a1 , a ˆ h = Qah allora aj · a ˆ k = aj · Qak = Qjk e, dunque, la precedente si riscrive ovvero se a ˆhk = Qih Eij Qjk , E

(1.24)

ˆ = [Q]> [E][Q]. o in termini di prodotti tra matrici [E] 1.2.5

Direzioni principali di deformazione Data il tensore di deformazione E ha senso porsi il seguente problema di autovalori: Enk = εk nk ,

knk k = 1.

(1.25)

Un noto teorema ci assicura del fatto che essendo E ∈ Sym gli autovalori εk sono numeri reali e che gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono direzioni ortogonali: (εk − εh ) nk · nh = 0. Visto che εk = Enk · nk ciascun autovalore fisicamente indica l’allungamento nella direzione del corrispondente autovettore. Per questo motivi gli autovalori di E vengono spesso designati come allungamenti principali. Si nota inoltre che in ogni piano che contenga un autovettore lo scorrimento angolare è nullo: se infatti m⊥nk risulta Enk · m = εk nk · m = 0. Il problema di autovalori equivale dunque a cercare un sistema di riferimento ortonormale in cui il tensore di deformazione sia rappresentato da una matrice diagonale (diagonalizzazione di E). Cerchio di Mohr

Un caso particolarmente importante e ricorrente è quello delle deformazioni piane ovvero delle deformazioni a determinante nullo det E = 0. Ricordando che det E = ε1 ε2 ε3 , la condizione di avere determinante nullo impone almeno un autovalore (=allungamento principale) nullo. Nella direzione dell’autovettore associato la deformazione ha allora tutte le componenti nulle.

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

29

In generale, previa una opportuna scelta del sistema di riferimento principale, una deformazione piana è rappresentata dalla matrice   E11 E12 0 [E]piana =  E12 E22 0  , (1.26) 0 0 0 avendo scelto la direzione a3 come la direzione principale corrispondente all’allungamento nullo. Per uno stato di deformazione piana esiste una rappresentazione grafica particolarmente efficace dello stato di tensione. A questo scopo, e con riferimento alla scelta (1.26), si scelgono nel piano 12 le direzioni mutuamente ortogonali n = cos ϕa1 + sin ϕa2 e m = − n = sin ϕa1 − cos ϕa2 , vedi Figura 1.2.5. L’allungamento εn nella direzione n vale: εn (ϕ) = En · n = E22 sin2 ϕ + E12 sin(2ϕ) + E11 cos2 ϕ,

(1.27)

mentre metà dello scorrimento angolare γmn tra le direzioni n e m vale: γnm (ϕ) E11 − E22 = En · m = sin(2ϕ) − E12 cos(2ϕ). 2 2

(1.28)

Le (1.27) e (1.28) rappresentano le equazioni parametriche di una curva nel piano (εn , γnm /2) (Piano di Mohr). In particolare tale curva è una circonferenza con centro sull’asse εn ; in effetti, eliminando ϕ dalla combinazione delle (1.27) e (1.28), si ottiene:  2  γ 2 E11 + E22 E11 − E22 mn 2 2 2 2 =R con εc := (εn − εc ) + e R := + E12 . 2 2 2 I parametri εc e R sono evidentemente sufficienti a costruire la circonferenza di Mohr nel piano (εn , γnm /2). Resterebbe tuttavia interminata la sua parametrizzazione; in altri termini non sapremmo a quale punto del cerchio corrisponda una definita direzione ϕ e viceversa. Per individuare univocamente tale parametrizzazione, espressa nelle (1.27) e (1.28), si correda il cerchio di un punto speciale che si chiama polo delle direzioni. Si procede alla costruzione come segue: 1. Si individuano i due punti del cerchio relativi alle scelte O: ϕ=0

⇒ n ≡ a1 , m ≡ −a2

⇒ (εn , γnm /2) = (E11 , −E12 )

V : ϕ = π/2

⇒ n ≡ a2 , m ≡ a1

⇒ (εn , γnm /2) = (E22 , E12 )

2. Si congiungono i punti O e V individuando, all’intersezione con l’asse εn , il centro C del cerchio e dunque il suo raggio R = kCV k = kCOk 3. Portando l’orizzontale per O e la verticale per V si individua un punto del cerchio che si chiama polo delle direzioni; esso ha coordinate H = (E22 , −E12 )

Figura 1.2: Scelta di Mohr delle direzioni n e m. Costruzione di cerchio e polo delle direzioni H. Fatta questa costruzione abbiamo corredato il cerchio di Mohr di un punto (polo delle direzioni) che permette di parametrizzarlo in termini dell’angolo ϕ. In effetti si dimostra che il punto

Capitolo 1. Cinematica

30

(εn (ϕ), γnm (ϕ)/2) si determina come intersezione tra il cerchio e la retta per il punto H inclinata di un angolo ϕ rispetto all’orizzontale. In particolare, frecce rosse nella Figura 1.2.5, abbiamo individuato le direzioni corrispondenti agli allungamenti massimo e minimo ovvero le direzioni principali di deformazione. 1.2.6

Dalla deformazione allo spostamento: le equazioni di compatibilità Ci poniamo ora il problema di determinare il campo di spostamento corrispondente ad una certa deformazione data. In altre parole vogliamo risolvere in u le equazioni di congruenza   Grad u + Grad u> ui,j + uj,i = E, = Eij (1.29) 2 2 una volto noto il tensore E(X) in ogni punto X ∈ Ω. Partiamo esaminando un problema più semplice perchè di ordine tensoriale più basso: noto il campo vettoriale v su un certo dominio bidimensionale Ω, si determini la funzione ϕ tale che grad ϕ(X) = v(X),

∀X ∈ Ω.

(1.30)

In altri termini ci viene richiesto di determinare una funzione dalla conoscenza delle sue derivate parziali in ogni punto di un dominio. Un problema simile non ha sempre soluzione perchè esistono molti campi vettoriali che non sono il gradiente di alcuna funzione scalare. Per convincersi di questo basta prendere un qualunque circuito chiuso Γ ∈ Ω; la variazione totale della funzione ϕ su un tale percorso deve essere evidentemente nulla I I I 0= dϕ = grad ϕ · t = v · t, ∀Γ ∈ Ω Γ

Γ

Γ

Ne deduciamo che una condizione necessaria perchè v sia il gradiente di una qualche funzione è che esso abbia circolazione nulla su qualunque percorso chiuso del dominio. Se il dominio Ω è semplicemente connesso questa condizione può essere “localizzata” nel senso che possiamo far tendere in maniera continua ogni percorso chiuso Γ ad un percorso infinitesimo intorno al generico punto X. Se prendiamo infatti un intorno D del punto X possiamo scegliere nella precedente Γ = ∂D per ottenere I I Z 0= dϕ = v·t= rot v. ∂D

∂D

D

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato il teorema del rotore. Vista l’arbitrarietà dell’intorno nel limite otteniamo che deve essere rot v = 0 in ogni punto X del dominio 1 . Si dimostra il seguente importante teorema Integrabilità dei campi vettoriali. Se il dominio Ω è semplicemente connessoa condizione

necessaria e sufficiente perchè esista ϕ tale che (1.30) è che Rot v = 0, a per

(per componenti: εijh vj,h = 0) ∀X ∈ Ω.

(1.31)

i nostri fini questa condizione è equivalente a richiedere che il dominio Ω non abbia buchi.

Esercizio. Determinare la funzioni scalare ϕ(X1 , X2 ) il cui gradiente sia pari a

(A) vA (X) = X = X1 a1 + X2 a2 , (B) vB (X) = X = −X2 a1 + X1 a2 , nel dominio Ω ≡ IR2 . 1 Analogamente



se si scrive il sistema (1.30) per componenti (ϕ,i = vi ) e si deriva in direzione j si ottiene ϕ,ij = vi,j

da cui

vi,j − vj,i = ϕ,ij − ϕ,ji = 0

visto che le derivate seconde miste di una funzione sono uguali.

1.2 Trasporti rigidi e deformazione

31

Il dominio IR2 è semplicemente connesso e, dunque, vale il teorema precedente. Nel caso (A) il rotore del campo vettoriale è nullo (rot vA = X2,1 − X1,2 = 0) mentre nel secondo caso (B) il rotore non è nullo (rot vB = X1,1 + X2,2 = 2). Dunque solo nel primo caso possiamo trovare una soluzione. Dal sistema ( ( ϕ,1 = vA1 = X1 , ϕ(X1 , X2 ) = X12 /2 + g(X2 ), X 2 + X22 . si ottiene ⇒ ϕ(X1 , X2 ) = 1 2 ϕ,2 = vA2 = X2 , ϕ,2 = ∂g(X2 )/∂X2 = X2 , Le curve isolivello di tale funzione e il campo gradiente che l’ha generata sono mostrate a sinistra nella Figura 1.2.6. La medesima Figura mostra anche perchè non può esistere una funzione che

Figura 1.3: Rappresentazione dei campi vettoriali vA (X) (a sinistra) e vB (X) (al centro). Non esiste una funzione ad un sol valore con curve isolivello ortogonali al campo vB (a destra). abbia il campo vB come gradiente. Se, infatti esistesse le sue curve isolivello sarebbero in ogni punto ortogonali al campo vettoriale. Ma allora se integrassimo la funzione su un qualunque percorso chiuso Γ si avrebbe I dϕ 6= 0! Γ

Alziamo ora l’ordine tensoriale del problema esaminando il problema della determinazione del campo di spostamento u a partire dalla conoscenza del suo gradiente G: Grad u(X) = G(X),

∀X ∈ Ω.

(1.32)

Se scriviamo queste equazioni per componenti ui,j = Gij ,

⇒

   u1,j = G1j , u2,j = G2j ,   u3,j = G3j ,

ci rendiamo conto che queste rappresentano tre problemi simili al precedente per le determinare le funzioni u1 , u2 e u3 una volta note le righe della matrice [G]. Condizione necessaria per l’esistenza di una soluzione è che siano nulli i rotori delle tre righe di [G]. Integrabilità dei campi tensoriali. Se il dominio Ω è semplicemente connesso condizione necessaria e sufficiente perchè esista u tale che (1.32) è che

Rot G = 0 (per componenti: εijh Gmj,h = 0) ∀X ∈ Ω.

(1.33)

Finalmente torniamo al nostro problema di partenza (1.29). Esso non è nella forma (1.32) come potrebbe sembrare a prima vista: il sistema (1.32) è infatti costitutito da 9 equazioni nelle tre incognite u1 ,u2 e u3 , mentre le equazioni di congruenza vanno rsiolte nelle medesime incognite ma sono solo 6 equazioni vista la simmetria del tensore E. Le condizioni per l’integrabilità di (1.29) sono allora differenti. In particolare si dimostra il seguente importante teorema:

Capitolo 1. Cinematica

32

Integrabilità del campo di deformazione infinitesima. Se il dominio Ω è semplicemente connesso condizione necessaria e sufficiente perchè esista u tale che (1.29) è che

Rot Rot E = 0 (per componenti: εnik εmjh Eij,hk = 0) ∀X ∈ Ω.

(1.34)

Il campo u è determinato a meno di uno spostamento infinitesimo rigido. Dimostrazione. (⇒) Sia 2Eij = ui,j + uj,i . Operando il rotore di entrambi i membri otteniamo 2(Rot E)mi = −2εmjh Eij,h = −εmjh ui,jh − εmjh uj,ih = −εmjh uj,ih essendo εmjh = −εmhj mentre ui,jh = ui,hj . Se operiamo nuovamente il rotore della precedente otteniamo 2(Rot Rot E)nm = 2εnik εmjh Eij,hk = εnik εmjh uj,ihk = 0 essendo εnik = −εnki mentre uj,ihk = uj,khi . (⇐) Si suppone Rot Rot E = 0 in tutto il dominio. Per ogni percorso Γ ⊂ Ω che connette due punti X e Y il campo di spostamento è Z

Γ(Y )

u(X) − u(Y ) =

Z

Γ(Y )

Grad u · t = Γ(X)

(E + W ) · t Γ(X)

essendo W = (Grad u − Grad u> )/2 la parte antisimmetrica del gradiente di spostamento. Il campo vettoriale u così definito è univocamente determinato se per Γ ≡ ∂D I Z Z 0= (E + W ) · t = (Rot E + Rot W ) · n = (Rot E − Grad w) · n, (1.35) ∂D

D

D

poichè, indicando con w il vettore assiale di W , si ha (Rot W )im = −εijh Wmj,h = −εijh um,jh + εijh uj,mh = εijh uj,mh = (εijh uj,h ),m = −(Grad w)im . Ma la (1.35) é certamente verificata. Infatti, applicando la condizione di integrabilità (1.33) al tensore Rot E, esiste certamente un campo vettoriale w tale che Grad w = Rot E. Il campo w è determinato univocamente dalla Z

Γ(Y )

w(X) − w(Y ) =

Z

Γ(Y )

Grad w · t = Γ(X)

Rot E · t Γ(X)

Evidentemente le scelte di u(Y ) e di w(Y ) sono arbitrarie e rappresentano un arbitrario campo di spostamento rigido.  È facile rendersi conto che il tensore che esprime il doppio rotore del campo di deformazione è simmetrico. Dunque le equazioni di compatibilità linearmente indipendenti sono in generale solo 6; per problemi di deformazione piana solo una di queste componenti rimane non nulla. Ad esempio, con riferimento al caso di una deformazione piana nel piano 12 (Ea3 · ai = 0 per i = 1, 2, 3), la condizione di integrabilità si riduce alla sola (Rot Rot E)33 = E11,22 + E22,11 − 2E12,12 = 0, le altre essendo banalmente verificate. Esercizio. Data la deformazione infinitesima:

E11 = 2δX2 , E12 = 0, E22 = 2δX2 , E3i = 0, per i = 1, 2, 3 calcolare il campo di spostamento associato.



1.2 Trasporti rigidi e deformazione

33

Si tratta di un problema di deformazione piana; le equazioni da integrare sono solo tre: E11 = u1,1 ,

E12 = (u1,2 + u2,1 )/2,

E22 = u2,2 ,

(1.36)

nelle funzioni incognite u1 (X1 , X2 ) e u2 (X1 , X2 ). La condizione di compatibilità E11,22 + E22,11 − 2E12,12 = 0 è facilmente verificata e, dunque, esiste una soluzione. Integrando in X1 la prima e integrando in X2 la terza delle (1.36), otteniamo u2 (X1 , X2 ) = δX22 + h(X1 ).

u1 (X1 , X2 ) = 2δX1 X2 + g(X2 ), Sostituendo questi risultati nella seconda delle (1.36)

0 = 2δX1 + ∂g(X2 )/∂X2 + ∂h(X1 )/∂X1 verificata se g(X2 ) = c1 + c3 X2 e h(X1 ) = −δX12 + c2 − c3 X1 . In definitiva la soluzione è u1 = 2δX1 X2 +c1 + c3 X2 ,

u2 = δ(X22 − X12 )+c2 − c3 X1 ,

ovvero a meno delle costanti (spostamento infinitesimo rigido) il campo di spostamento studiato in precedenza e descritto in Figura 1.1.

2. Energia e tensione

Finora abbiamo studiato come descrivere lo stato di un corpo deformabile tramite spostamenti e deformazioni. Deduciamo ora le equazioni che ne governano la meccanica a partire da un principio di minimizzazione dell’energia.

2.1

Forze o energia? In qualunque teoria fisica il concetto di energia (o lavoro) gioca un ruolo fondamentale. Usiamo e parliamo comunemente di moltissime forme di energia (chimica, elettrica, cinetica, ...) e assistiamo ogni istante al fluire dell’energia da una forma all’altra1 . In particolare, in meccanica si definisce energia (o lavoro) la quantità scalare L = F u,

(2.1)

definita dal prodotto della forza F per lo spostamento u di un dato corpo. L’energia sembrerebbe dunque un concetto derivato dal concetto di “forza”. A ben vedere nella relazione (2.1) le uniche due quantità che possiamo fisicamente misurare sono u e L. Pensiamo ad un piccolo esperimento ideale in cui prendiamo un oggetto e lo solleviamo: certamente possiamo misurare la variazione d’altezza (u) dell’oggetto in questione e certamente proviamo personalmente la fatica fatta (L) nel sollevarlo. È solo a partire da queste due informazioni che pensiamo: • ho sollevato di un metro questo oggetto e ho fatto poca fatica: l’oggetto “pesa” poco o ... • ... ho sollevato di un metro questo oggetto e ho fatto molta fatica: l’oggetto “pesa” molto. In altri termini nei nostri processi mentali usiamo naturalmente la relazione inversa F = L/u esprimendo la forza come l’energia che dobbiamo spendere per ottenere un dato spostamento. E non potremmo fare altrimenti perchè nessuno ha mai direttamente misurato una forza. Per questa ragione, e per diverse altre che sarà più facile chiarire in seguito, dedurremo le equazioni che governano la meccanica dei corpi deformabili da un principio che coinvolge esclusivamente spostamenti ed energia. Il concetto di forza e di tensione (o di forza interna tra gli elementi di un corpo) saranno per noi concetti derivati, strumentali per definire le diverse forme di energia. 1 In

un sistema chiuso l’energia si conserva ma passando da forme “piú ordinate” a forme “meno ordinate” [8].

Capitolo 2. Energia e tensione

36

2.2

Energia e principio di minimo Vi sono essenzialmente solo due forme di energia nello studio delle trasformazioni reversibili2 quasi-statiche3 di un corpo deformabile: il lavoro applicato al corpo dall’esterno Lext e l’energia elastica interna Ee . La prima è il lavoro o la fatica che sperimentiamo nello spostamento dei punti materiali di un qualunque corpo. In prima approssimazione, l’esperienza ci dice che questo lavoro è proporzionale allo spostamento: maggiore lo spostamento, maggiore la fatica! Sembra dunque naturale assumere Lext = Lext (u),

˜ = α Lext (u) + β Lext (u), ˜ con Lext (αu + β u)

∀α, β ∈ IR

(2.2)

ovvero Lext lineare nello spostamento. Evidenza della seconda forma di energia si ha nell’imprimere una deformazione ad un oggetto deformabile. In tal caso, l’esperienza ci dice che la fatica fatta i) dipende dal livello di deformazione che cerchiamo di imprimere al corpo, ii) diviene nulla se la deformazione che imponiamo è evanescente ma iii) resta comunque positiva per qualunque scelta di deformazione non nulla4 . Sembra dunque naturale assumere Ee = Ee (E),

con Ee (E = 0) = 0

e

Ee (E 6= 0) > 0.

(2.3)

Inoltre, in molti materiali si nota che imporre una deformazione o la sua opposta comporta, almeno per livelli sufficientemente bassi di deformazione, la medesima spesa energetica Ee (E) = Ee (−E),

se kEk  1.

(2.4)

Nel caso di un corpo deformabile tridimensionale spostamento e deformazione sono descritti rispettivamente da un campo vettoriale u e da un campo tensoriale E. Indicando con U := {u : IR3 7→ IR3 , ui (Xj ) sufficientemente regolare} lo spazio funzionale dei possibili campi di spostamento si ha: Lext (·) : U 7→ IR,

Ee (E(·)) : U 7→ IR.

ovvero lavoro esterno e energia elastica devono essere dei funzionali (ovvero funzioni di funzioni) che associano ad ogni scelta del campo di spostamento un valore reale. Assumeremo come valido il seguente principio e ce ne serviremo per risolvere ogni problema relativo alla meccanica dei corpi deformabili. Principio di minimo. Il campo di spostamento u di un corpo deformabile caratterizzato dall’energia elastica Ee e soggetto al lavoro esterno Lext minimizza l’energia totale:

min Etot (u), u∈U

2.3

Etot (u) := Ee (E(u)) − Lext (u).

(2.5)



Il segno negativo del lavoro esterno nella definizione dell’energia totale in (2.5) evidenzia il fatto che il contributo energetico Lext proviene dall’esterno del sistema “corpo”.



Ci riserviamo di specificare più tardi il requisito di “sufficiente regolarità” usato nella definizione di U. Certamente sappiamo che, al fine di definire E(u), le componenti dello spostamento ui (Xj ) devono essere almeno differenziabili.

Assunzioni costitutive Le scelte dei funzionali Lext e Ee sono scelte dal modellista per riflettere le proprietà costitutive di un dato problema. Ci troviamo difronte un dato corpo deformabile reale che presumiamo avere, o 2 Tale

termine allude al fatto che trascuremo nella trattazione ogni forma di dissipazione. termine allude al fatto che trascuremo nella trattazione ogni forma di energia cinetica. 4 si veda la sezione ?? per un esame più approfondito. 3 Tale

2.3 Assunzioni costitutive

37

di cui testiamo, certe proprietà; queste ci guidano nella scelta di un funzionale di energia che le rispecchi dal punto di vista matematico. Mentre per Lext la condizione di linearitá (2.2) richiesta risulta estremamente vincolante, la scelta del funzionale Ee sarà più complessa. Ee caratterizza il materiale di cui è costitutito il corpo specificando l’energia elastica immagazinata per ogni scelta del livello di deformazione. In particolare, il teorema di rappresentazione di Riesz impone che ogni funzionale lineare Lext : U 7→ IR si scriva nella forma Z Z Lext (u) = b(X) · u(X) dV + t(X) · u(X) dA. (2.6) Ω

∂Ω

Al variare dei “coefficienti” b e t descriviamo tutti i possibili funzionali lineari che soddisfano (2.2). Per il problema in esame b e t sono in realtà dei campi vettoriali che specificano in ogni punto X del corpo il valore dei coefficienti con cui pesare ogni componente dello spostamento in quel punto; ad esempio b(X) · u(X) = bi (X)ui (X). In particolare il campo b : Ω 7→ IR3 si chiama campo delle forze di volume e serve ad esprimere il lavoro compiuto dalla gravità, dalle azioni elettromagnetiche a distanza o da tutte le possibili azioni esterne che agiscono in proporzione al volume. Ogni componente delle forze di volume ha dimensioni fisiche [bi ] = J/m4 = N/m3 . Il campo t : Ω 7→ IR3 si chiama campo delle forze di contatto e serve ad esprimere il lavoro compiuto da azioni agenti sulla superficie del corpo che agiscono in proporzione all’area. Ogni componente delle forze di contatto ha dimensioni fisiche [ti ] = J/m3 = N/m2 . Per quanto riguarda l’energia elastica, le condizioni (2.3) e (2.4) non sono sufficienti a caratterizzarne la forma come nel caso del lavoro esterno. Possiamo tuttavia pensare che ogni elemento del corpo contribuisca in ragione del suo volume all’energia elastica totale e, quindi, scrivere quest’ultima sotto forma di integrale: Z Ee (E) = ψ(E) dV, (2.7) Ω

La funzione ψ : Sym 7→ IR rappresenta la densità volumica di energia elastica del corpo; perchè siano senz’altro realizzate le condizioni (2.3) assumiano ψ(0) = 0 e ψ(E) > 0, ∀E 6= 0 ∈ Sym ,

(2.8)

Se inoltre vogliamo garantire le (2.4) assumiamo ψ(E) = ψ(−E),

∀E ∈ Sym , kEk  1.

(2.9)

Notiamo che la scelta più semplice per garantire (2.8) e (2.9) è scegliere la densità di energia elastica come una funzione quadratica delle componenti di deformazione infinitesima. Se ψ(E) =

1 Cijhk Eij Ehk , 2

(2.10)

le (2.8)1 e (2.9) sarebbero evidentemente soddisfatte, mentre la condizione (2.8)2 imporebbe delle disequazioni sui coefficienti Cijhk della forma quadratica. Torneremo ad approfondire questa scelta nella sezione 2.6. 2.3.1

Differenziabilità della densità di energia elastica: tensione Per semplificare la trattazione assumiamo che la densità di energia elastica sia una funzione almeno due volte differenziabile nelle componenti di deformazione. In altri termini, se passiamo dalla ˜ la variazione di energia elastica si scrive deformazione E alla deformazione E + E 2 ˜ − ψ(E) = ∂ψ · E ˜+1 ∂ ψ E ˜ ·E ˜ + o(kEk ˜ 2 ), ψ(E + E) ∂E 2 ∂E∂E

(2.11)

Capitolo 2. Energia e tensione

38

Notiamo che la precedente espansione definisce implicitamente due tensori: il tensore doppio simmetrico della tensione T (E) :=

∂ψ(E) ∈ Sym , ∂E

di componenti: Tij (Emn ) =

∂ψ(Emn ) , ∂Eij

(2.12)

e il tensore quadruplo della rigidezza tangente C(E) :=

∂ 2 ψ(E) , ∂E∂E

di componenti: Cijhk (Emn ) =

∂ψ(Emn ) . ∂Eij ∂Ehk

(2.13)

Anche il tensore C possiede naturalmente delle simmetrie; in particolare, dalla simmetria della deformazione seguono le Cijhk = Cjihk = Cijkh ,

(2.14)

e, dal teorema di Schwarz sulla simmetria delle derivate seconde, le Cijhk = Chkij .

(2.15)

Notiamo che la scelta (2.10) di una densità di energia elastica quadratica nella deformazione corrisponde ad una rigidezza C costante e indipendente dal livello di deformazione e a una tensione lineare nella deformazione T (E) = CE,

2.4

ovvero per componenti: Tij (Emn ) = Cijmn Emn .

(2.16)

Condizioni necessarie per un minimo locale Sia ora assegnato un corpo caratterizzato dall’energia elastica Ee e soggetto al lavoro esterno Lext . Un campo di spostamento u∗ fornisce un minimo locale dell’energia totale allorchè Etot (u∗ +  v) ≥ Etot (u∗ ),

∀v,

0 <   1.

(2.17)

In altri termini, qualunque passo sufficientemente piccolo a partire dal minimo fa incrementare il valore dell’energia totale. Nel nostro caso, usando le (2.6) e (2.7) e valutando l’energia totale nei punti u = u∗ e u = u∗ +v, otteniamo Z  Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ Etot (u +  v) − Etot (u ) = ψ(E(u +  v)) − ψ(E(u )) −  b·v− t·v . Ω

Ω

∂Ω

˜ = E(v), la condizione di minimo (2.17) Usando la differenziabilità (2.11) con E = E(u∗ ) e E diviene allora  Z   Z Z Z ∂ψ 2 ∂2ψ  · E(v) − b·v− t·v + E(v) · E(v) + o(2 ) ≥ 0, ∀v. 2 Ω ∂E∂E Ω ∂E Ω ∂Ω Se si divide per  e si passa al limite per  → 0 deve necessariamente essere Z  Z Z T · E(v) − b·v− t · v ≥ 0, ∀v, Ω

Ω

(2.18)

∂Ω

dove abbiamo usato la definizione di tensione (2.12). L’espressione a primo membro è lineare in v e, dunque, cambia segno cambiando il segno dell’incremento v; dovendo questa condizione essere vera comunque si scelga l’incremento otteniamo allora la Condizione necessaria per minimo locale in u = u∗ .

Z

∗

Z

T (E(u )) · E(v) = Ω

Z b·v+

Ω

t · v, ∂Ω

∀v,

(2.19)

2.4 Condizioni necessarie per un minimo locale

39

Notiamo che la condizione (2.19) è equivalente ad imporre che la derivata direzionale dell’energia totale Z Z Z ∂Etot Etot (u∗ +  v) − Etot (u∗ ) ∗ (v) := lim = T (E(u )) · E(v) − b·v− t·v →0 ∂u u∗  Ω Ω ∂Ω sia nulla per ogni possibile incremento a partire dal punto u = u∗ . Tale punto potrebbe un minimo ma anche un massimo, un punto di sella o un punto di stazionarietà dell’energia. Tuttavia una volta soddisfatta la condizione (2.19) lo sviluppo dell’energia totale fornisce Z 2 ∗ ∗ Etot (u +  v) − Etot (u ) = C(E(u∗ )) E(v) · E(v) + o(2 ) 2 Ω È dunque la definita positività del tensore di rigidezza tangente a decidere se la condizione di minimo locale (2.17) è verificata: Condizioni necessarie e sufficienti per minimo locale in u = u∗ . Se

C(E(u∗ ))A · A > 0,

∀ (A 6= 0) ∈ Sym

allora la condizione (2.19) è anche sufficiente ad assicurare che u = u∗ sia un punto di minimo.



2.4.1

La condizione (2.19) è anche nota con il nome di “Principio dei Lavori Virtuali”. In effetti, l’incremento v del campo di spostamento e la deformazione che ne risulta E(v) sono, a parte i vincoli cinematici cui anche u deve sottostare, completamente arbitrari. Ne segue che i termini in (2.19) possono essere riguardati come lavori compiuti su campi di spostamento non effettivamente realizzati (' virtuali).

Equazioni di bilancio di forze e momenti Dalla condizione (2.19) ricaviamo una serie di condizioni che devono essere necessariamente verificate attraverso scelte differenti del campo v che incrementa lo spostamento. ¯ Poichè E(v) = 0, Si scelga dapprima come incremento una semplice translazione: v(X) = w. la (2.19) si riscrive Z  Z Z Z ¯+ ¯= ¯ ¯ 0= b·w t·w b+ t · w, ∀w. Ω

∂Ω

Ω

∂Ω

¯ ne segue Vista l’arbitrarietà della translazione w, Equazione di bilancio globale delle forze.

Z

Z b+

Ω

t=0

(2.20)

∂Ω

¯ X con W ¯ ∈ Skw . Quindi si scelga come incremento una rotazione rigida infinitesima: v(X) = W ¯ +W ¯ > = 0, la (2.19) si riscrive5 Poichè E(v) = W Z  Z Z Z ¯X+ ¯ X = −1 ¯, ¯ ∈ Skw . 0= b·W t·W X ∧b+ X ∧t ·W ∀W 2 Ω ∂Ω Ω ∂Ω ¯ , ne segue Vista l’arbitrarietà della rotazione infinitesima W

5 Per

¯ antisimmetrico W ¯ X = bi W ¯ /2 ¯ ij Xj = W ¯ ij (Xj bi ) = W ¯ ij (Xj bi − Xi bj )/2 = −(X ∧ b) · W b·W

Capitolo 2. Energia e tensione

40 Equazione di bilancio globale dei momenti.

Z

Z X ∧b+

Ω

X ∧t=0

(2.21)

∂Ω

Infine consideriamo un incremento di spostamento che dia luogo ad un incremento di deformazione non nullo E(v) 6= 0. Da (2.19) otteniamo 6 Z Z Z Z Z Z   b·v+ t·v = T · E(v) = Div (T > v) − (Div T ) · v = T > v · n − (Div T ) · v, Ω

∂Ω

Ω

Ω

∂Ω

Ω

avendo usato nell’ultimo passaggio il teorema della divergenza. Usando la nozione di trasposta e accorpando i termini otteniamo Z Z (Div T + b) · v + (t − T n) · v = 0, ∀v. Ω

∂Ω

L’arbitrarietà del campo v e il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni ci permettono di desumere, come ulteriore conseguenza di (2.19) le Equazioni di bilancio locale.

Div T + b = 0, in Ω



t = T n, in ∂Ω

(2.22)

L’equazione (2.22)2 è anche nota con il nome di teorema di Cauchy. Ne vedremo nella sezione 2.5 la deduzione classica dovuta a Cauchy. Ci preme qui rimarcare che una relazione simile tra la forza di contatto t agente su un punto di una superficie (in questo caso ∂Ω) e alcune componenti del tensore della tensione T n nel medesimo punto può essere ottenuta non solo sulla superficie esterna del corpo ma su ogni ideale superficie interna. In particolare, se usiamo un opportuno campo di incremento di spostamento v localizzato in un sottoinsieme P ⊂ Ω, vedi la figura qui a lato, dal medesimo processo di integrazione per parti mostrato prima, otterremo t = T n, in ∂P ovvero la relazione tra forza di contatto e tensore della tensione su una generica superficie interna ∂P.

Esercizio. Sia Ω = {kX − ok ≤ R2 }, un cerchio di raggio R, la configurazione di riferimento di

un corpo deformabile. Siano b = 0 in Ω e t = p n su ∂Ω. Calcolare la componente media della tensione T11 in Ω.  Si chiede di determinare Z Z Z 1 1 1 T11 := T11 = (T a1 · a1 ) = T · (a1 ⊗ a1 ), A Ω A Ω A Ω

A := area(Ω).

Se si prende v(X) = X1 a1 ne segue E(v) = sym Grad v ≡ a1 ⊗ a1 . Dunque la media cercata, T11 , si può riguardare come proporzionale all’energia interna associata ad un campo di allungamento unitario in direzione a1 ! Se usiamo (2.19) con il campo v scelto otteniamo allora: Z  Z Z 2π 1 1 (p n · (X1 a1 )) dθ. T11 = b · (X1 a1 ) + t · (X1 a1 ) = A πR2 0 Ω ∂Ω Poichè X1 = R cos θ e n · a1 = cos θ, svolgendo l’integrale, si ottiene T11 = p/R. 6 La

regola di integrazione per parti usata è: (Tij vi ),j = Tij,j vi + Tij vi,j

ovvero

Div (T > v) = Div T · v + T · Grad v

. Inoltre essendo T ∈ Sym , T · Grad v = T · sym Grad v = T · E(v).

2.5 La deduzione di Cauchy del tensore della tensione

2.5

41

La deduzione di Cauchy del tensore della tensione Nelle sezioni precedenti abbiamo derivato il concetto di tensione e le equazioni di bilancio che ne regolano la distribuzione a partire dal concetto di energia e dal problema di minimizzazione (2.5). Vogliamo ora illustrare il percorso con cui Cauchy arrivò a dimostrare l’esistenza del campo di tensione partendo dall’equilibrio ovvero dall’assunto che la somma di tutte le forze agenti su ogni porzione del corpo fosse nulla. Indicando con P ⊂ Ω un sottoinsieme regolare della configurazione del corpo che ne identifichi una (sotto-)parte, Cauchy postulò che le forze agenti sul bordo interno ∂P fossero delle forze superficiali del medesimo tipo di quelle agenti sul bordo esterno t : ∂Ω 7→ IR3 . Assunse, inoltre, che tale sistema di forze interne dipendesse in ogni punto X dalla superficie ∂P per il solo tramite della normale n∂P alla superficie7 t(X, ∂P) = t(X, n∂P ).

(2.23)

Dal postulato (2.23) deduciamo che se due sottoparti Pa e Pb condividono la stessa normale esterna in un punto X, allora le forze di contatto agenti sulle due superfici nell’intorno del punto considerato sono uguali:

⇒

t(X, ∂Pa ) ≡ t(X, ∂Pb ).

Il seguente celebre teorema, che prende il nome di Cauchy, afferma che la forza di contatto t dipende in modo lineare dalla normale n∂P . Teorema del tetraedro di Cauchy. Se vale il bilancio delle forze e dei momenti per ogni sottoparte regolare P ⊂ Ω, allora esiste un campo tensoriale simmetrico T : Ω 7→ Sym tale che

∀X ∈ Ω

t(X, n∂P ) = T (X)n∂P ,

(2.24)

Dimostrazione. Si consideri un generico punto X ∈ Ω e una sottoparte P ⊂ Ω tale che X ∈ ∂P. In particolare, Cauchy considerò come sottoparte P un tetraedro per avere il minor numero di facce di cui considerare le forze di contatto. Con riferimento alla figura 2.5 a sinistra, possiamo costruire un tale tetraedro dapprima selezionando un intorno triangolare A di X e quindi tagliando secondo tre piani tra loro ortogonali una piramide di materiale che abbia A come base. Denoteremo con n la direzione normale alla faccia A e con t(·, n) la forza di contatto per unità di superficie applicata su A. Denoteremo, inoltre, con Ai=1,2,3 le ulteriori tre facce del tetraedro; esse sono per costruzioni ortogonali e dunque individuano un punto, o, √ e tre assi, ai=1,2,3 , tra loro ortogonali. Indicando con A > 0 l’area della faccia A definiamo ε := A; evidentemente la profondità della piramide è proporzionale a tale valore: kX − ok ∝ ε. Sul tetraedro oltre alle forze di volume b(·) e alla forza di contatto t(·, n) agiscono le forze di contatto applicate attraverso le facce Ai dal resto del corpo. Il bilancio delle forze si scrive allora Z

Z b(Z) dV +

P

t(P , n) dA + A

3 Z X i=1

t(Yi , −ai ) dA = 0,

Ai

7 I punti di ∂P “lontani” da X non hanno dunque alcuna influenza nel determinare la forza di contatto. Teorie più sofisticate si possono ottenere scegliendo una dipendenza meno “locale” di t da P. La più semplice di queste teorie “nonlocali” prevede una dipendenza della forza di contatto non solo dalla normale, ma anche dalla curvatura della superficie t(X, ∂P) = t(X, n∂P , ∇n∂P ).

Capitolo 2. Energia e tensione

42

Figura 2.1: Un corpo ed una sottoparte a forma di tetraedro. Il tetraedro è il solido a volume non nullo con il numero minimo di facce. essendo Z il generico punto nel tetraedro, P il generico punto sulla faccia A, Yi i generici punti sulle facce Ai e −ai le normale alla medesima faccia. Nel limite per ε → 0 il contributo delle forze di volume diviene evanescente; infatti

Z



b(Z) dV ≤ kbkmax VP = C ε3

P

mentre gli altri contributi scalano con l’area A = ε2 . Inoltre, per ε → 0, tutti i punti tendono ad X. Dunque, dividendo per l’area A e operando il limite ε → 0 si ottiene t(X, n) = −

3 X Ai

A

i=1

t(X, −ai ),

essendo Ai l’area della faccia Ai . I rapporti di aree Ai /A si possono valutare calcolando il flusso, attraverso il bordo del tetraedro, dei campi vettoriali costanti ai=1,2,3 ; si ha Z Z XZ ai · n = ai · n + ai · (−ah ) = A ai · n − Ai A

∂P

h

Ah

Ma usando il teorma della divergenza scopriamo che tale flusso è nullo Z Z ai · n = Div ai = 0. P

∂P

Ne segue allora Ai /A = ai · n e t(X, n) = −

3 X (ai · n) t(X, −ai ). i=1

Questa formula mostra già la dipendenza lineare tra forza di contatto t(X, n) e normale n. In particolare, la funzione t(X, ·) essendo lineare è anche continua e dunque: t(X, ah ) = lim t(X, n) = − n→ah

3 X

(ai · ah ) t(X, −ai ) = −t(X, −ah ),

h = 1, 2, 3.

i=1

Sostituendo ottieniamo infine " 3 # 3 X X t(X, n) = (ai · n) t(X, ai ) = t(X, ai ) ⊗ ai n =: T (X) n. i=1

i=1

La simmetria del tensore della tensione T (X) appena definito discende dal bilancio dei momenti. 

2.5 La deduzione di Cauchy del tensore della tensione

43

La dimostrazione del tetraedro è costruttiva nel senso che non solo dimostra l’esistenza del tensore della tensione ma ne fornisce anche l’espressione esplicita T :=

3 X

t(ai ) ⊗ ai .

(2.25)

i=1

dove abbiamo tralasciato di indicare la dipendenza dal punto X. Come per ogni altro tensore, la generica componente della tensione si ottiene ! 3 X Thk = ah · (T ak ) = ah · t(ai ) ⊗ ai ak = ah · t(ak ) = th (ak ); (2.26) i=1

Thk misura allora la componente in direzione h della forza di contatto agente sulla giacitura di normale ak . Questa medesima informazione viene, a volte, parafrasata dicendo che le tre colonne della matrice che rappresenta la tensione sono rispettivamente le forze di contatto t(a1 ), t(a2 ), e t(a3 ) sulle facce coordinate. 2.5.1

Direzioni principali di tensione e cerchio di Mohr Possiamo ripetere le considerazioni fatte sul tensore della deformazione anche per l’analisi del tensore della tensione. In particolare dato un tensore di T ha senso porsi il seguente problema di autovalori: T nk = σk nk ,

knk k = 1.

(2.27)

Essendo T ∈ Sym gli autovalori σk sono numeri reali e che gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono direzioni ortogonali: (σk − σh ) nk · nh = 0. Visto che σk = T nk · nk ciascun autovalore fisicamente indica la trazione nella direzione del corrispondente autovettore. Per questo motivi gli autovalori di T vengono spesso designati come tensioni principali. Si nota inoltre che in ogni piano che contenga un autovettore lo sforzo di taglio è nullo: se infatti m⊥nk risulta T nk · m = σk nk · m = 0. Il problema di autovalori equivale dunque a cercare un sistema di riferimento ortonormale in cui il tensore di deformazione sia rappresentato da una matrice diagonale (diagonalizzazione di T ). Cerchio di Mohr

Un caso particolarmente importante e ricorrente è quello delle tensioni piane ovvero delle tensione a determinante nullo det T = 0. Ricordando che det T = σ1 σ2 σ3 , la condizione di avere determinante nullo impone almeno un autovalore (=trazione principale) nullo. Nella direzione dell’autovettore associato la tensione ha allora tutte le componenti nulle e, dunque, la faccetta ortogonale a tale direzione è completamente scarica. In generale, previa una opportuna scelta del sistema di riferimento principale, una tensione piana è rappresentata dalla matrice   T11 T12 0 [T ]piana =  T12 T22 0  , (2.28) 0 0 0 avendo scelto come faccetta scarica la giacitura ortogonale ad a3 . Per uno stato di tensione piana esiste una rappresentazione grafica particolarmente efficace dello stato di tensione. A questo scopo, e con riferimento alla scelta (2.28), si scelgono nel piano 12 le direzioni mutuamente ortogonali n = cos ϕa1 + sin ϕa2 e m = − n = sin ϕa1 − cos ϕa2 , vedi Figura 1.2.5. La trazione σn nella direzione n vale: σn (ϕ) = T n · n = T22 sin2 ϕ + T12 sin(2ϕ) + T11 cos2 ϕ,

(2.29)

mentre la tensione tangenziale τmn vale: τnm (ϕ) = T n · m =

T11 − T22 sin(2ϕ) − T12 cos(2ϕ). 2

(2.30)

Capitolo 2. Energia e tensione

44

Le (2.29) e (2.30) rappresentano le equazioni parametriche di una curva nel piano (σn , τnm ) (Piano di Mohr). In particolare tale curva è una circonferenza con centro sull’asse σn ; in effetti, eliminando ϕ dalla combinazione delle (2.29) e (2.30), si ottiene: 2

2

(σn − σc ) + (τmn ) = R2

con σc :=

T11 + T22 e R2 := 2



T11 − T22 2

2

2 + T12 .

I parametri σc e R sono evidentemente sufficienti a costruire la circonferenza di Mohr nel piano (σn , τnm ). Resterebbe tuttavia interminata la sua parametrizzazione; in altri termini non sapremmo a quale punto del cerchio corrisponda una definita direzione ϕ e viceversa. Per individuare univocamente tale parametrizzazione, espressa nelle (2.29) e (2.30), si correda il cerchio di un punto speciale che si chiama polo delle giaciture. Si procede alla costruzione come segue: 1. Si individuano i due punti del cerchio relativi alle scelte V : ϕ=0

⇒ n ≡ a1 , m ≡ −a2

⇒ (σn , τnm ) = (T11 , −T12 )

O : ϕ = π/2

⇒ n ≡ a2 , m ≡ a1

⇒ (σn , τnm ) = (T22 , T12 )

2. Si congiungono i punti O e V individuando, all’intersezione con l’asse σn , il centro C del cerchio e dunque il suo raggio R = kCV k = kCOk 3. Portando l’orizzontale per O e la verticale per V si individua un punto del cerchio che si chiama polo delle giaciture; esso ha coordinate K = (T11 , T12 )

Figura 2.2: Scelta di Mohr delle direzioni n e m. Costruzione di cerchio e polo delle giaciture K. Fatta questa costruzione abbiamo corredato il cerchio di Mohr di un punto (polo delle giaciture) che permette di parametrizzarlo in termini dell’angolo ϕ. In effetti si dimostra che il punto (σn (ϕ), τnm (ϕ)) si determina come intersezione tra il cerchio e la giacitura per il punto K inclinata di un angolo ϕ rispetto all’orizzontale. In particolare, frecce rosse nella Figura 1.2.5, abbiamo individuato le direzioni corrispondenti alle trazioni massime e minime ovvero le direzioni principali di tensione. Notiamo che la costruzione è del tutto speculare a quella di sezione Sez. 1.2.5. Nel caso di deformazioni abbiamo tuttavia ritenuto preferibile fare riferimento alle direzioni piuttosto che alle giaciture. Esercizio. La figura seguente mostra un cubetto infinitesimo di materiale soggetto a delle forze per unità di superficie.

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

45

Con riferimento a tale figura, si considerino pari a 5 KN/cm2 e 10 KN/cm2 le intensità di tali forze di contatto. Si usino le equazioni (2.26) per scrivere il tensore della tensione. Si determini, inoltre, se lo stato di tensione esaminato è piano e, in caso positivo, lo si rappresenti sul piano di Mohr. Con riferimento alle (2.26) abbiamo facilmente  0 8  0 [T ] = 10 −1



 0 −1 0 0  0 0.5

dove abbiamo espresso le tensioni nel sistema MKS (1 KN/cm2 = 107 N/m2 ). Si noti il segno negativo delle componenti T13 = T31 ; la forza tangenziale sulla faccia di normale a3 è infatti rivolta in direzione opposta a a1 . Poichè la faccetta di normale a2 è scarica, lo stato di tensione mostrato è piano e lo possiamo rappresentare con un cerchio di Mohr nel piano (a1 , a3 ). Ripetendo la costruzione del cerchio e del suo polo delle giaciture illustrata prima otteniamo: 1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Si nota che le giaciture O e V , così come le giaciture di trazione massima e minima individuate in Figura si riferiscono al piano (a1 , a3 ) e come tali vanno interpretate per poterle visualizzare nello spazio ambiente tridimensionale: a titolo di esempio, nella figura a destra, riportiamo in 3D la giacitura relativa alla trazione massima σ = σ1 .

2.6 2.6.1

Più dettaglio sulle assunzioni costitutive Classi di simmetria materiale Sappiamo dall’esperienza comune che alcuni materiali manifestano minore o maggiore rigidezza in funzione della direzione in cui sono testati. Rendiamo precisa questa idea per arrivare alla definizione di materiali isotropi e anisotropi. Si chiama classe di simmetria materiale l’insieme H delle trasformazioni lineari sotto cui l’energia elastica resta invariante ψ(P >EP ) = ψ(E),

per P ∈ H.

(2.31)

L’idea dietro a questa equazione è quella di fare diverse misure sperimentali su un provino di materiale saggiandone la risposta al variare della trasformazione P (rotazione, riflessione, ...) preventivamente imposta al provino. In base alla classe di simmetria che i materiali possiedono li possiamo catalogare come segue: • Isotropi se H = {Q ∈ Orth}

Capitolo 2. Energia e tensione

46

• Trasversalmente isotropi se H = {Q ∈ Orth+ , Qa = a} e a è una direzione in IR3 • Ortotropi se H = { Riflessioni rispetto a tre piani mutuamente ortogonali} • Anisotropi se H = ∅ Esistono molte altre classi di simmetria materiale, ma qui ci soffermeremo solamente su quelle elencate. Un metodo efficiente per procedere nella costruzione di funzionali energia ψ che verifichino (2.31), e dunque descrivano un materiale con certe caretteristiche di isotropia, è quello di individuare tutti gli invarianti ηi (E) della deformazione sotto l’azione della classe di simmetria H in questione e quindi postulare l’energia come funzione della deformazione per il tramite di tali invarianti ηi (P >EP ) = ηi (E),

ψ = ψ(η1 (E), η2 (E), ...),

P ∈ H.

(2.32)

Materiali isotropi

Per esempio per un materiale isotropo possiamo far dipendere l’energia elastica dai soli invarianti del tensore di deformazione E sotto Orth. A questo scopo possiamo scegliere come invarianti i coefficienti del polinomio caratteristico p(x) = det(E − x1) ovvero (trE)2 − trE 2 , η3 = det E, 2 Sappiamo che tutte queste quantità scalari non dipendono dalla matrice usata per rappresentare il tensore E ma sono proprietà intrinseche del tensore. Se, allora, per un materiale isotropo postuliamo η1 = trE,

η2 =

ˆ 1 (E), η2 (E), η3 (E)), ψ(E) = ψ(η siamo garantiti del rispetto della condizione di isotropia (2.31) con H = Orth. Per il tensore della tensione si avrà di conseguenza T =

∂ψ(E) X ∂ ψˆ ∂ηi = . ∂E ∂ηi ∂E i

A partire da questa espressione, poichè ∂η1 ∂η2 ∂η3 = 1, = η1 1 − E, = η3 E −1 , ∂E ∂E ∂E il tensore della tensione per un materiale isotropo si esprime come T = g1 (ηi ) 1 + g2 (ηi ) E + g3 (ηi ) E −1 , con gj funzioni degli invarianti ηi . Se richiediamo che la relazione tra T e E sia lineare (o che ψ sia quadratica) ne segue necessariamente: ∂ψ = 2µ E + λ (trE) 1, ∂E per µ e λ due costanti. A questa corrisponde la densità di energia elastica g3 (ηi ) = 0, g2 (ηi ) = 2µ, g1 (ηi ) = λ trE,

ψ(E) = µkEk2 +

⇒

T =

λ (trE)2 . 2

Infine, perchè una tale densità di energia sia positiva per ogni scelta della deformazione8 , deve essere per un campo di deformazione sferico E = α 1: λ 3 α2 (3α)2 = (2µ + 3λ) > 0, 2 2 e per un campo di deformazione deviatorico E = A con trA = 0 ψ(α1) = µ kα 1k2 +

ψ(A) = µ kAk2 > 0,

∀α 6= 0

∀A 6= 0 ∈ Dev.

Possiamo riassumere i risultati trovati con il seguente teorema 8 Questa richiesta per quanto naturale ha diversi difetti, vedi (Ball, Convexity Conditions and Existence Theorems in Nonlinear Elasticity, ARMA 1977)

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

47

Densità di energia elastica per un materiale isotropo lineare. La più generale forma quadratica

per la densità di energia elastica di un materiale isotropo è ψ(E) = µkEk2 +

λ (trE)2 , 2

µ > 0,

2µ + 3λ > 0

(2.33)

caratterizzata dalle due costanti di Lamè λ e µ. A questa corrisponde una tensione lineare nella deformazione nella forma T =



∂ψ = 2µ E + λ (trE) 1. ∂E

(2.34)

Il legame costitutivo (2.34) è facilmente invertibile: calcolando la traccia di entrambi i membri si ottiene trT = (2µ + 3λ) trE; Sostituendo in (2.34) abbiamo il legame costitutivo inverso: E=

λ trT T − 1 2µ 2µ(2µ + 3λ)

(2.35)

utile per calcolare lo stato di deformazione una volta noto lo stato di tensione. Trazione monoassiale, taglio e pura pressione. Calcolare le deformazioni di un materiale

isotropo soggetto agli stati di tensione: A)

T = σa⊗a

trazione monoassiale

B) T = τ (a ⊗ b + b ⊗ a) puro taglio C)

T = p1

(2.36)

pura pressione

dove a e b sono due direzioni ortonormali.



Per uno stato di pura trazione in direzione a, visto che tr T = σ, si ottiene: E=

νσˆ σ a⊗a− 1, Y Y

Y :=

µ(2µ + 3λ) (µ + λ)

ν :=

λ , 2(λ + µ)

ˆ = 1 − a ⊗ a e abbiamo definito i moduli di Young Y e di Poisson ν. Il modulo di Young dove 1 misura il rapporto tra la tensione σ imposta e l’allungamento ottenuto nella medesima direzione a, mentre il modulo di Poisson misura la frazione di contrazione che si ottiene nelle direzioni trasversali. Se a ≡ a1 in componenti otteniamo     σ 0 0 1 0 0 σ  0 −ν 0  [T ] =  0 0 0  ⇒ [E] = Y 0 0 0 0 0 −ν Per uno stato di puro taglio, visto che tr T = 0, si ottiene invece: E=

T τ = (a ⊗ b + b ⊗ a), 2µ G

G := µ

dove il modulo di taglio G misura il rapporto tra il taglio τ imposto e lo scorrimento angolare ottenuto (γ = 2Ea · b). Se a ≡ a1 e b ≡ a2 in componenti otteniamo     0 τ 0 0 γ/2 0 0 0  , γ = τ /G. [T ] =  τ 0 0  ⇒ [E] =  γ/2 0 0 0 0 0 0 Infine, per uno stato di pura pressione T = p 1, si ottiene E=

p 1, 3K

K :=

2µ + 3λ Y = , 3 3 (1 − 2ν)

Capitolo 2. Energia e tensione

48

dove il modulo di compressione K misura il rapporto tra la pressione p imposta e la variazione di volume (trE) ottenuta. 

I vincoli richiesti (µ > 0 e 2µ + 3λ > 0) alle costanti di Lamè per un’energia definita positiva si traducono nelle seguenti richieste sui moduli elastici introdotti9 Y > 0,



−1 ≤ ν ≤ 0.5,

G > 0,

K > 0.

Mentre le richieste di positività per i moduli di Young, di taglio e di compressione sono abbastanza naturali, le disuguaglianze imposte al modulo di Poisson richiedono qualche spiegazione ulteriore. In particolare, notiamo che esistono dei materiali caratterizzati da un modulo di Poisson negativo: questi, qualora sottoposti a trazione, si dilatano in tutte le direzioni. Si chiamano materiali auxetici e un esempio, che può essere ottenuto tramite una semplice stampa 3D, è mostrato qui a lato. Il valore massimo del modulo di Poisson, ν → 0.5, corrisponde invece a materiali in cui K → ∞ ovvero a materiali che tendono ad essere incomprimibili.

I legami elastici isotropi (2.34) o (2.35) possono essere espressi in maniera equivalente in termini di moduli di Young e di Poisson. In particolare, se si elencano nella forma vettoriale di Voigt le componenti dei tensori di deformazione e tensione, per la sovrapposizione degli effetti dei casi semplici appena studiati, si ottiene      E11 1/Y −ν/Y −ν/Y 0 0 0 T11  E22   −ν/Y   T22  1/Y −ν/Y 0 0 0       E33   −ν/Y −ν/Y   T33  1/Y 0 0 0  =   (2.37)  E12     T12  , 0 0 0 1/(2µ) 0 0       E13     T13  0 0 0 0 1/(2µ) 0 E23 0 0 0 0 0 1/(2µ) T23 o la relazione inversa (2µ = Y /(1 + ν))    ν − 1 −ν T11  T22   −ν ν−1     T33   −ν Y −ν     T12  = 2ν 2 + ν − 1  0 0     0  T13  0 0 0 T23

−ν −ν ν−1 0 0 0

0 0 0 2ν − 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2ν − 1 0 0 2ν − 1

       

      

E11 E22 E33 E12 E13 E23

     (2.38)   

Questa versione “ingegneristica” del legame elastico isotropo è anche nota come legge di Hooke. 

Una parola di cautela sulla notazione di Voigt Sappiamo che, per ogni scelta della base, ogni tensore è rappresentabile in maniera univoca attraverso le sue componenti ˆh ⊗ a ˆk. T = Tij ai ⊗ aj = Tˆhk a La notazione di Voigt consiste nell’organizzare queste componenti in una lista Tij T˜m per una qualche scelta della corrispondenza biunivoca m ←→ (i, j). In questo modo la relazione (2.34) che fa intervenire un tensore quadruplo tra le componenti di T ed E: Tij = Cijhk Ehk , Cijhk = µ (δih δjk + δjh δik ) + λ δij δhk

9 Tutti i mutui legami tra i moduli elastici (µ, λ, Y, ν, G, K) li trovate qui: http://en.wikipedia.org/wiki/ Elastic_modulus

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive

49

si riscrive in forma matriciale come in (2.38) ˜ mn E ˜n . T˜m = C Questa idea ha modesti vantaggi (la facilità di scrittura o di implementazione della legge costitutiva?) e alcuni pericoli. Il principale di questi ultimi è quello di trattare le liste di ˜ mn come le componenti ˜n come le componenti di vettori e la lista di numeri C numeri T˜m e E di un tensore doppio: non è vero! Queste sono e rimangono solo liste. In particolare, le leggi sotto cambiamento di base o di osservatore delle quantità elencate in tali liste rimangono quelle proprie del loro ordine tensoriale, vedi (1.23) ˆ k ) (ai · a ˆ h ) Tij , Tˆhk = (aj · a

ˆ ijhk = (ak · a ˆ t ) (ah · a ˆ s ) (aj · a ˆ r ) (ai · a ˆ q ) Cqrst . C

Materiali trasversalmente isotropi

Questo tipo di materiali hanno un asse privilegiato tipicamente indotto dalla presenza di fibre, vedi Figura 2.3.

Figura 2.3: Due esempi di materiali fibrosi: nella testa di un femore, a sinistra, la direzione delle fibre varia da punto a punto per una precisa funzione di sostegno. In un calcestruzzo fibro-rinforzato, a destra, la direzione delle fibre è dettata dal progettista. Nei materiali trasversalmente isotropi la classe di simmetria materiale H è più piccola del caso isotropo: le sole rotazioni che lasciano invariata la risposta del materiale sono le rotazioni intorno ad un asse privilegiato detto asse di trasversa isotropia. Essendoci dunque meno vincoli (ovvero equazioni del tipo (2.31)) da soddisfare, il numero di invarianti sotto H è maggiore. In effetti un materiale trasversalmente isotropo possiede, oltre agli invarianti η1 , η2 e η3 , i due ulteriori invarianti: η4 = Ea · a,

η5 = kEak2 = Ea · Ea = E 2 a · a.

essendo a la direzione di trasversa isotropia. Determinare la forma più generale della densità di energia elastica quadratica e del legame costitutivo lineare per un materiale trasversalmente isotropo.  Poichè

∂η5 ∂η4 = a ⊗ a, = Ea ⊗ a + a ⊗ Ea, ∂E ∂E la forma generale del legame costitutivo elastico è la seguente T = g1 (ηi ) 1 + g2 (ηi ) E + g3 (ηi ) E −1 + g4 (ηi ) a ⊗ a + g5 (ηi )(Ea ⊗ a + a ⊗ Ea), ma, richiedendo la linearità e notando che gli invarianti η1 e η4 sono gli unici lineari in E, si ottiene T = (c1 trE + c2 Ea · a) 1 + 2c3 E + (¯ c2 trE + c4 Ea · a) a ⊗ a + c5 (Ea ⊗ a + a ⊗ Ea), per un totale di 5 costanti indipendenti, appena si noti che le costanti c2 e c¯2 devono essere uguali essendo i pesi del medesimo contributo nell’energia c1 ψ(E) = c3 kEk2 + (trE)2 + c2 (trE) Ea · a + c4 (Ea · a)2 + c5 kEak2 . (2.39) 2 Questa è la più generale forma di densità di energia quadratica per un materiale trasversalmente c1 isotropo e corrisponde alla scelta ψ = c3 (η12 − 2η2 ) + η12 + c2 η1 η4 + c4 η42 + c5 η5 . 2

Capitolo 2. Energia e tensione

50

Figura 2.4: Gli effetti delle deformazioni termiche su rotaie e l’espediente tecnico usato per contrastarle nei ponti. 2.6.2

Deformazioni indotte da altre forme di energia Finora abbiamo considerato solo due forme di energia: il lavoro esterno Lext (u) e l’energia elastica Ee (E). Sebbene queste siano sufficienti a descrivere moltissime applicazioni dell’ingegneria civile, alcune volte ha interesse considerare altre forme di energia e di interazioni tra le strutture e l’ambiente esterno. Un esempio di particolare interesse è costituito dall’energia termica e dal fatto che le proprietà costitutive dei materiali possano dipendere dalla temperatura. Lungi dal volerci cimentare in uno studio approfondito della termo-dinamica dei corpi deformabili qui considereremo il campo di temperatura di un corpo, T = T(X), come un dato imposto dall’esterno. Le evidenze sperimentali ci dicono che la temperatura, oltre ad alterare la rigidezza del materiale (2.13), effetto che qui trascureremo, altera la configurazione a riposo del materiale. In particolare , l’ipotesi che non risulta più veritiera quando ci sono rilevanti sbalzi termici è la (2.8). Sappiamo infatti che scaldando un materiale ne alteriamo il volume e, in generale, lo deformiamo. La deformazione ottenuta in un dato elemento di materiale alterandone la temperatura dal valore T0 della configurazione di riferimento al valore T è una proprietà costitutiva del materiale e come tale va misurata. La più semplice assunzione per un materiale isotropo potrebbe essere E T−T0 = α (T − T0 ) 1, dove è sufficiente stabilire come unico parametro materiale α (coefficiente di dilatazione termica). In tal caso, le deformazioni termiche sono uguali in tutte le direzioni, ma, evidentemente, leggi costitutive più complesse potrebbero essere necessarie per riflettere più complesse evidenze sperimentali. Di queste deformazioni imposte tramite campi di temperatura possiamo tener conto sostituendo la richiesta (2.8) con la Ee (E = E T−T0 ) = 0

e

Ee (E 6= E T−T0 ) > 0

(2.40)

dove abbiamo “shiftato” il valore della deformazione corrispondente al valore nullo dell’energia elastica. Una densità di energia elastica quadratica che verifichi (2.40), e non (2.8), è 1 T−T0 T−T0 Cijhk (Eij − Eij )(Ehk − Ehk ), 2 cui corrisponde il legame costitutivo ψ(E, T − T0 ) =

Tij =

∂ψ(E, T − T0 ) T−T0 = Cijhk (Ehk − Ehk ), ∂Eij

ovvero

(2.41)

T−T0 Ehk = Ehk + C−1 hkij Tij .

(2.42)

Da queste due ultime relazioni è evidente come adottando la densità di energia (2.41), la deformazione di un elemento materiale risulti costitutivamente dalla somma del contributo termico e del contributo di origine meccanica proporzionale alla tensione imposta ed inversamente proporzionale alla rigidezza. Le deformazioni imposte dovute ad altre forme di energia (si pensi alla crescita, all’interazione del materiale con campi elettrici o magnetici etc...) si possono trattare in modo simile, ma non ci dilungheremo su questi argomenti.

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive 2.6.3

51

I criteri di resistenza Abbiamo già notato che la scelta di una densitá di energia elastica quadratica, ovvero di un legame lineare tra tensione e deformazione, risulta valida purchè le deformazioni non siano troppo grandi. I criteri di resistenza sono un modo di definire il limite di validitá di tali assunzioni. Per fissare le idee, pensiamo a una ipotetica prova di trazione monoassiale: applichamo a un provino di materiale una trazione per unità di superficie pari a σ in direzione a e misuriamo l’allungamento ε nella medesima direzione. Le tre figure seguenti esemplificano tre possibili comportamenti materiali.

0

0

0

Figura 2.5: Tre comportamenti materiali differenti: da sinistra verso destra una frattura (materiali fragili: e.g. gesso), una plasticizzazione (materiali duttili, e.g. metalli ) e un irrigidimento (materiali con fibre polimeriche, e.g gomme vulcanizzate). Raggiunto il valore critico di tensione e deformazione il materiale nel primo caso cede improvvisamente ( frattura fragile), nel secondo inizia diminuire progressivamente la sua rigidezza (plasticizzazione, softening) mentre nel terzo caso la aumenta (hardening). Per gli scopi di questo corso, lungi dal volerci addentrare in una analisi approfondita delle possibili risposte materiali, ci è sufficiente individuare i valori limite di tensione o deformazione oltre i quali la risposta del materiale non è più lineare e l’ipotesi di energia quadratica perde la sua validità. I criteri di resistenza assolvono a tale scopo e sono solitamente formulati, in termini di tensioni, come una collezione di disequazioni del tipo gα (T ) ≤ hα ,

α = 1, 2, ...

(2.43)

Sebbene possa apparire più naturale formulare i criteri di resistenza in termini di deformazioni, finchè vi è una relazione costitutiva lineare tra T e E, fornire delle disequazioni in termini di tensioni piuttosto che di deformazioni è del tutto equivalente. Noi esamineremo solamente tre dei principali criteri di resistenza: questi si differenziano tra loro nella scelta delle funzioni gα : Sym 7→ IR in (2.43) ovvero nella scelta della combinazione di componenti della tensione che non deve superare il valore di soglia. In particolare, nel criterio di von Mises si sceglie gvM (T ) = kdev T k;

(2.44)

questo criterio trova spesso applicazione per caratterizzare materiali duttili, prevalentemente metallici. Il criterio di Rankine, o della trazione normale massima, utilizza invece la funzione gR (T ) = max{T n · n, knk = 1},

(2.45)

n

per caratterizzare i limiti di materiali tipicamente fragili. Infine, il criterio di Tresca o della tensione tangenziale massima, usa la funzione gT (T ) = max{|T n · m|, knk = kmk = 1, n · m = 0}, n,m

(2.46)

e è generalmente usato per materiali duttili. Scelto un materiale per determinare i valori critici hα delle quantità indicate dai criteri di resistenza si procede come segue: 1. Si testa un provino di materiale con uno stato di tensione monoassiale T m (σ) = σ a ⊗ a

Capitolo 2. Energia e tensione

52

2. Si determina il valore critico della tensione σ a cui la risposta del materiale smette di essere lineare σ = σ ¯ 3. Si suppone che tale valore soglia sia lo stesso per tutti gli stati di deformazione (non solo per la trazione monoassiale!) scrivendo il criterio di resistenza gα (T ) ≤ gα (T m (¯ σ )).

gvM (T )

Tensione monoassiale √ √ 2 |σ|/ 3

Tensione generica tramite autovalori √ √ p 2 2 σ1 + σ22 + σ32 − σ2 σ1 + σ3 σ1 − σ2 σ3 / 3

gR (T )

|σ|

max{|σ1 |, |σ2 |, |σ3 |}

gT (T )

|σ|/2

max{|σ1 − σ2 |, |σ1 − σ3 |, |σ2 − σ3 |}/2

Tabella 2.1: Valutazione delle funzioni gvM , gR e gT sugli stati di tensione monoassiali e generici. È inoltre opportuno formulare le disuguaglianze (2.43) che limitano in campo di applicazione del legame lineare, in termini di invarianti del tensore della tensione (ad esempio in termini di autovalori) e non di componenti. Infatti, le componenti Tij dipendono dal sistema di riferimento scelto per rappresentare il tensore, mentre ci aspetteremmo che i criteri di resistenza ne prescindano. ˆ i: A tale scopo consideriamo uno stato di tensione generico espresso su una base di autovettori a X ˆi ⊗ a ˆ i. T = σi a i

adottando la procedura delineata sopra e, usando i risultati di tabella 2.6.3, possiamo riscrivere i criteri di resistenza come segue: q vonMises: σ12 + σ22 + σ32 − σ2 σ1 + σ3 σ1 − σ2 σ3 ≤ |¯ σ| (2.47) Rankine: Tresca:

max{|σ1 |, |σ2 |, |σ3 |} ≤ |¯ σ|

(2.48)

max{|σ1 − σ2 |, |σ1 − σ3 |, |σ2 − σ3 |} ≤ |¯ σ|

(2.49)

Se lo stato di tensione è piano, come accadrà nel risolvere il problema di Saint Venant nel capitolo successivo, basta considerare nelle precedenti σ3 = 0. I criteri di resistenza appena elencati sono graficati nella figure seguenti.

0

0

Figura 2.6: Confronto dei criteri di resistenza per stati di tensioni generici (sinistra) e piani (destra): verde (von Mises), arancione (Rankine), blu (Tresca).

2.6 Più dettaglio sulle assunzioni costitutive 

Adottando il criterio di von Mises si tiene conto della sola componente deviatorica della tensione. Ma anche il criterio di Tresca non è limitato in direzione σ1 = σ2 = σ3 come si evince dalla Figura 2.6.3. In altri termini, se si adottano i criteri di von Mises o Tresca, un campo di tensione sferica T = p 1 non manderà mai in crisi il materiale per nessun valore di p. Nei materiali metallici questo asserto corrisponde con buona approssimazione all’evidenza sperimentale, nel senso che le pressioni necessarie a mandare in crisi il materiale sono molto maggiori dei valori di soglia ottenuti per tensioni deviatoriche.

53

Capitolo 2. Energia e tensione

54

2.7

Il problema elastico per un corpo tridimensionale deformabile In questa sezione riassumiamo le equazioni che abbiamo fin qui stabilito impostiamo il cosidetto problema elastico per un solido tridimensionale deformabile. Seppure sommariamente, ne discutiamo i possibili metodi di risoluzione. Ipotesi principali

Le principali ipotesi usate sono state: • kGk  1 e dunque la deformazione è ben approssimata dalla deformazione infinitesima E ' E • la densità di energia elastica ψ(·) è quadratica in E ovvero un legame costitutivo lineare tra tensioni e deformazioni T = CE. Dati del problema elastico

Il bordo del corpo è decomposto in due parti disgiunte ∂Ω = ∂Ωu + ∂Ωt ,

∂Ωu ∩ ∂Ωt = ∅,

essendo ∂Ωu la parte del bordo in cui sono vincolati gli spostamenti e ∂Ωt la parte libera su cui sono applicate eventuali forze di contatto. Nella formulazione di un problema elastico dobbiamo allora assegnare: • la forma del corpo tramite l’assegnazione del dominio Ω ¯ cui assoggettiamo parte del suo bordo ∂Ωu • i vincoli cinematici (e.g. u = u) • le forze di volume b : Ω 7→ IR3 e le forze di contatto t : ∂Ωt 7→ IR3 applicate • il materiale di cui è costituito il corpo tramite la scelta della densità di energia elastica ψ(·) ovvero dei suoi coefficienti Cijhk . Forma debole del problema elastico

Definito lo spazio di funzioni ¯ su ∂Ωu }, U = {u = ui (Xj )ai con ui (Xj ) “sufficientemente regolari” e tali che u = u risolvere il problema di minimizzazione Z  Z Z min ψ(E(u)) − b·u− t·u u∈U

Ω

Ω

con E(u) = sym Grad u.

(2.50)

∂Ωt

Tale forma del problema elastico prende il nome di forma “debole” perchè i requisiti di regolarità richiesti al campo di spostamento u sono appunto deboli. In effetti, se ψ(·) è una forma quadratica, le componenti del campo di spostamento ui (Xj ) devono essere differenziabili (per poter dar senso alla deformazione) e le loro derivate prime ∂ui /∂Xj devono essere a quadrato integrabile (per poter dar senso all’energia elastica). Tale forma del problema elastico si presta molto bene alla ricerca di soluzioni approssimate (leggi numeriche) del problema elastico. Infatti, molti metodi numerici di soluzione del problema elastico (Galerkin, Elementi Finiti, ...) consistono essenzialmente nel cercare il minimo (2.50) in un opportuno sotto-spazio finito dimensionale UN ⊂ U e si differenziano nella scelta di quest’ultimo. Forma forte del problema elastico

Si deve risolvere in termini di spostamento, deformazioni e tensioni il sistema di 15 equazioni di campo corredate dalle opportune condizioni al contorno: E(u) = sym Grad u, in Ω, T =

¯ in ∂Ωu u = u,

∂ψ(E) = C E, in Ω, ∂E

Div T + b = 0, in Ω,

T n = t, in ∂Ωt

(2.51) (2.52) (2.53)

Vista la simmetria di E e T , le incognite scalari nella tripletta (u, E, T ) ammontano ad un totale di 15 funzioni Ω 7→ IR. Tale forma del problema elastico prende il nome di forma “forte” perchè i requisiti di regolarità richiesti sono più forti del caso precedente. In effetti se si vuole dar senso al concetto di tensione

2.7 Il problema elastico per un corpo tridimensionale deformabile

55

la densitá di energia elastica deve essere una funzione differenziabile (richiesta non necessaria in (2.50)) e se si vuole dar senso alle equazioni di bilancio il campo di spostamento deve essere almeno due volte differenziabile. Quest’ultima affermazione risulta evidente allorchè si cerchi di risolvere (2.51)-(2.52)-(2.53) con il metodo degli spostamenti. In tal caso si sostituisce (2.51) in (2.52) per ottenere la tensione in termini di spostamento T = C (sym Grad u),

ovvero

Tij = (Cijhk uh,k + Cijhk uk,h )/2.

Sostituendo quindi nelle equazioni di bilancio si ottengono le equazioni di Navier Div [C (sym Grad u)] + b = 0,

ovvero

Cijhk uh,kj + Cijhk uk,hj + 2bi = 0,

un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine nelle incognite ui=1,2,3 . Di qui la richiesta per le funzioni ui (Xj ) di essere almeno due volte differenziabili. Un altro metodo possibile per risolvere il problema forte prende il nome di metodo delle forze. In tal caso si individua dapprima la forma dei campi di tensione Tˆ che soddisfano le equazioni di bilancio (2.53); essendo queste solo 3 equazioni nelle 6 incognite scalari Tij , la tensione Tˆ non è univocamente determinata. Si calcolano quindi le deformazioni associate per il tramite del legame ˆ = C−1 Tˆ . I campi tensoriali E ˆ così ottenuti sono solo dei “presunti” campi di costitutivo (2.52) E deformazione perchè non è detto che siano integrabili. Si usano allora le equazioni di compatibilità ˆ = Rot Rot (C−1 Tˆ ) = 0, Rot Rot E

(2.54)

per verificarne l’integrabilità. Queste ultime equazioni filtrano, tra tutti i campi di tensione bilanciati ˆ integrabili. Verificate queste è allora possibile risolvere le Tˆ , i soli associati a deformazioni E equazioni di congruenza (2.51) in termini di spostamento u. Non ci dilungheremo oltre sulle sottigliezze del metodo delle forze anche perchè lo utilizzeremo per risolvere il problema di de Saint Venant nel capitolo successivo. Ci basta notare che le equazioni (2.54), anche dette di Beltrami-Mitchell, impongono anche alle componenti della tensione di essere due volte differenziabili.

II

Il problema del cilindro di de Saint Venant

3

Il cilindro di de Saint Venant . . . . . . . . . . 59

3.1 3.2

Ipotesi definitorie Soluzione

4

Problemi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1 4.2 4.3

Pressoflessione Taglio e torsione Torsione

5

Applicazione alla teoria della trave . . 101

5.1 5.2

Equazioni di bilancio per un modello di trave Energia elastica

Referenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3. Il cilindro di de Saint Venant

Il problema del cilindro di de Saint Venant è uno dei pochi problemi della teoria dell’elasticità tridimensionale di cui si conosce la soluzione. Il problema fu risolto negli anni 1855-56 da Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, un ingegnere-matematico francese, con un metodo ingegnoso: questi dapprima caratterizzò alcuni aspetti della soluzione lasciando incogniti i carichi applicati, quindi usò le equazioni del problema e le condizioni al contorno per determinare i carichi cui questa corrispondesse. Tale metodo, detto semi-inverso, è fondato su un assunto (vedi Ipotesi 3.2.13) che fu dimostrato rigorosamente solo un secolo dopo da Gaetano Fichera [6] sotto il nome di Teorema del Principio di de Saint Venant. Le memorie originali, [9]-[10], sono molto istruttive. Sono testimoni di un epoca in cui il confine tra ingegnere e matematico era, se presente, molto labile. Esse si possono scaricare gratuitamente ai seguenti indirizzi: • Torsione http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99739z • Flessione http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1856_2_1_A10_0.pdf

Figura 3.1: Due figure originali tratte da [9] relative alla torsione di cilindri di sezione ellittica.

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

60

3.1

Ipotesi definitorie Si tratta di studiare tensioni e deformazioni di un corpo di forma cilindrica caricato sulle sole basi. In dettaglio le ipotesi che definiscono il problema di dSV sono le seguenti: 1. Forma del Corpo. La configurazione di riferimento del corpo C è un cilindro retto di lunghezza L e di base B B ⊂ IR2 .

C := B × [0, L],

(3.1)

La forma della base può essere qualsiasi purchè sufficientemente regolare e connessa. Il contorno di tale cilindro è costituito dunque da tre parti: le due basi B0 e BL ed il mantello laterale M: ∂C = B0 ∪ M ∪ BL ,

M := ∂B × [0, L].

(3.2)

2. Materiale. Il materiale di cui è costitutito il cilindro è supposto omogeneo, elastico lineare e isotropo. In altri termini in ogni punto del cilindro il materiale è identificato dai valori, costanti, di due moduli elastici: in maniera equivalente si possono usare o le costanti di Lamè (λ, µ) o il modulo di Young e il modulo di Poisson (Y, ν):

E=

1+ν ν T − trT 1 Y Y

(3.3)

3. Forze applicate. Le forze di volume sono supposte ovunque nulle, così come le forze di contatto sul mantello laterale: b = 0, in C,

t = 0, su M.

(3.4)

Le uniche forze applicate sono dunque due distribuzioni di forze di contatto sulle basi: t = t¯0 , su B0 ,

t = t¯L , su BL .

(3.5)

Ipotesi 3.1.1 Le due distribuzioni di forze t¯0 e t¯L possono essere scelte in modo arbitrario purchè

sull’intero solido C siano soddisfatte le equazioni di bilancio globali in termini di forze e momenti. In altri termini deve risultare necessariamente: Z Z Z Z t¯0 + t¯L = 0, (X − o) × t¯0 + (X − o) × t¯L = 0. (3.6) B0



3.2 3.2.1

BL

B0

BL

Le ipotesi enunciate possono essere rilassate per comprendere casi più generali. In particolare, sono state considerate in letteratura: 1. forme diverse come i cilindri elicoidali, vedi [3]; 2. legami costitutivi di materiali trasversalmente isotropi, porosi [4], piezoelettrici [2], o elastici nonlineari [5]; 3. distribuzioni di forze di volume e di forze sul mantello non nulle [1] (problema di Almansi-Mitchell).

Soluzione Principali assunzioni e nomenclatura La forma del corpo in esame suggerisce di scegliere un sistema di riferimento adattato alla geometria cilindrica. In particolare noi scegliamo l’origine del sistema di riferimento o nel piano della base B0 e il versore a3 collineare all’asse del cilindro. Il vettore posizione del generico punto materiale viene decomposto nella somma: X = r + z a3 ,

r = X1 a1 + X2 a2 ,

di un vettore nel piano della sezione r e di una componente assiale X3 ≡ z (vedi Fig. 3.2).

(3.7)

3.2 Soluzione

61

Figura 3.2: Sistema di riferimento adattato al cilindro e decomposizione del vettore posizione. 

Si noti che, con le scelte fatte finora, non ci compromettiamo scegliendo e la posizione dell’origine nel piano della sezione e le direzioni degli assi a1 e a2 . Al contrario, in molti testi di Scienza delle Costruzioni, si assume a priori l’origine o coincidente con il baricentro della base B e gli assi a1 e a2 coincidenti con gli assi principali d’inerzia di B. Questa scelta non risulta naturale e limita di molto nella soluzione e nella comprensione di molti problemi, (vedi Es.??).

Analogamente il campo di spostamento e le forze di contatto sulle basi si decompongono: u = v + w a3 ,

t¯0 = τ¯0 + σ ¯0 a3

t¯L = τ¯L + σ ¯L a3 .

(3.8)

Anche gli operatori Grad e Div in IR3 possono essere decomposti come segue Grad u = grad v + v 0 ⊗ a3 + a3 ⊗ grad w + w0 a3 ⊗ a3 ,

Div u = div v + w0 ,

(3.9)

dove con grad e div abbiamo indicato le rispettive restrizioni al piano nella sezione e f 0 := ∂f /∂z. 3.2.2

Il metodo semi-inverso e l’ipotesi sulla tensione Come accennato, nel ricercare la soluzione del problema, de Saint Venant adottò un metodo semi-inverso iniziando con il postulare la seguente ipotesi sul campo di tensione: Ipotesi 3.2.1 — Clebsch-Saint Venant. Su ogni piano che contenga la direzione dell’asse del

cilindro la tensione normale è identicamente nulla.

Figura 3.3: Un esempio di piano contenente l’asse del cilindro. In altri termini comunque si scelgano un versore ν ⊥ a3 ed un punto X nel cilndro, si ha T ν · ν = 0,

∀ ν = ν1 a1 + ν2 a2 ,

∀ X ∈ C.

(3.10)

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

62

Tale condizione (3.10) implica che T11 ν12 + T22 ν22 + 2 T12 ν1 ν2 = 0 per qualunque scelta di ν1 e ν2 . Ne segue che il tensore della tensione ha necessariamente la forma T = τ ⊗ a3 + a3 ⊗ τ + σ a3 ⊗ a3 ,

(3.11)

con τ = τ1 a1 + τ2 a2 ovvero   0 0 τ1 [T ] =  0 0 τ2  . τ1 τ2 σ

(3.12)

L’ipotesi 3.2.1 certamente semplifica la soluzione del problema perchè riduce da sei a tre, le funzioni scalari τ1 (X1 , X2 , z), τ2 (X1 , X2 , z), σ(X1 , X2 , z), le componenti incognite della tensione. Tuttavia, come vedremo, cercando soluzioni per la tensione nella forma (3.11), non potremo descrivere in maniera esatta alcuni tipi di distribuzioni di forze (le distribuzioni di forze sulle basi aventi risultanti nulle). 3.2.3

Forma semplificata del problema elastico Le ipotesi definitorie del problema in sez.3.1 e l’ipotesi (3.10) permettono di semplificare le equazioni del problema elastico per il solido di DSV. In particolare la ricerca di stati di tensione nella forma (3.12) e l’ipotesi sulle forze applicate implicano le seguenti equazioni di bilancio sul corpo:   τ1,3 = 0, τ2,3 = 0, Div T + b = 0 ⇒  τ1,1 + τ2,2 + σ,3 = 0,

 ⇒

τ 0 = 0, div τ + σ 0 = 0,

in C

(3.13)

equazioni di bilancio sul mantello: ∀n ⊥ a3 , T n = 0

⇒

τ · n = 0 su M

(3.14)

equazioni di bilancio sulle basi: T (−a3 ) = t¯0

⇒

−τ − σ a3 = t¯0 ,

T a3 = t¯L

⇒

τ + σ a3 = t¯L ,

su B0

(3.15)

su BL

Inoltre l’ipotesi sul materiale ci permette di ricavare la forma semplicata della deformazione. Usando (3.12) e (3.3) si ottiene facilmente il seguente legame costitutivo inverso: E=−

ν ˆ (1 + ν) σ σ1+ (τ ⊗ a3 + a3 ⊗ τ ) + a3 ⊗ a3 , Y Y Y

in C

(3.16)

Volendo risolvere il problema in termini di tensioni (metodo delle forze) è infine fondamentale richiedere che valgano nell’intero solido le seguenti equazioni di compatibilità: Rot Rot E = 0,

in C

(3.17)

Come noto, queste equazioni sono sufficienti ad assicurare che il campo di deformazione E sia integrabile se il dominio è semplicemente connesso, ovvero che le seguenti

3.2 Soluzione

63

equazioni di congruenza: E = sym grad v +

v 0 + grad w v 0 + grad w ⊗ a3 + a3 ⊗ + w0 a3 ⊗ a3 , 2 2

in C

(3.18)

siano risolubili in termini dei campi di spostamento assiale w e trasversale v. 3.2.4

Una nota sulle sezioni multiconnesse Una sezione si dice multiconnessa se è caratterizzata dalla presenza di almeno una lacuna. Tali sezioni hanno un rilevante interesse ingegneristico essendo molto efficaci nell’assorbimento di carichi di torsione, vedi Sez. 4.3. Il bordo di una sezione multiconnessa è costituito da più parti ∂B = ∂B0 ∪ ∂B1 ... ∪ ∂Bα ... dove con ∂B0 indichiamo il bordo esterno e con ∂Bα=1,2,..m i bordi interni delle m lacune, vedi Fig. 3.4.

Figura 3.4: Una sezione multiconnessa e due cicli topologicamente diversi. La presenza di lacune implica che non tutti i percorsi chiusi scelti sulla sezione siano riducibili ad un punto in maniera continua, vedi percorsi ∂Da,b in Fig. 3.4. Le condizioni di compatibilità (3.17) (Rot Rot E = 0, in Ω) sono in effetti sufficienti ad assicurare l’integrabilità del campo di deformazione E in termini di spostamenti u solo se il dominio del corpo è semplicemente connesso ovvero se la sezione del cilindro non presenta lacune. Notiamo che, per un qualunque curva riducibile in maniera continua ad un punto (vedi ad esempio il percorso ∂Da ⊂ B in Fig. 3.4), l’integrale Z Z Z ∂w = grad w · t = rot (grad w) = 0, (3.19) ∂Da ∂t ∂Da Da risulta nullo poichè rot (grad w) = w,21 − w,12 = 0. Tuttavia se scegliamo un percorso chiuso ∂Db ⊂ B che circonda una lacuna non tutti i punti del dominio Db appartengono alla sezione B. Ne consegue che non è più possibile applicare come in (3.19), il teorema del rotore semplicemente perchè il campo w non è definito in tutti i punti del dominio Db . Si dimostra che le ulteriori condizioni che, congiuntamente a (3.17), ci garantiscono la continuità degli spostamenti su un qualunque percorso chiuso nella sezione, sono le seguenti

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

64 equazioni di compatibilità intorno alle lacune: Z ∂w = 0, α = 1, 2, ...m ∂Bα ∂t 3.2.5

(3.20)

Soluzione in termini di tensioni Mostriamo che il sistema di equazioni (3.13)-(3.17) permette di identificare, a meno della scelta di 6 costanti, lo stato di tensione normale σ e di tensione tangenziale τ . A tal fine, dopo aver definito l’allungamento nella direzione dell’asse del cilindro ε := σ/Y e il vettore di scorrimenti angolari γ := τ /µ con 2µ = Y /(1 + ν), riscriviamo equivalentemente (3.16) in termini di componenti:   −νε 0 γ1 /2 −νε γ2 /2  . [E] =  0 (3.21) γ1 /2 γ2 /2 ε Le equazioni di compatibilità (3.17) in termini di componenti sono mjl ihk Ejh,kl = 0. Usando le componenti della deformazione (3.21) si ottiene: 0 = 0, (m = 1, i = 1) ε,22 − νε00 − γ2,2 0 0 /2 − ε,12 = 0, /2 + γ1,2 (m = 1, i = 2) γ2,1 0 = 0, (m = 2, i = 2) ε,11 − νε00 − γ1,1

(3.22)

(m = 3, i = 3) ε,11 + ε,22 = 0, (m = 1, i = 3) γ2,12 /2 − γ1,22 /2 + νε0,1 = 0, (m = 2, i = 3) γ1,12 /2 − γ2,11 /2 + νε0,2 = 0, Determinazione a meno di costanti di σ

Dalle equazioni di bilancio (3.13) ricaviamo che τ 0 = 0 ovvero che il vettore della tensione tangenziale non dipende dalla coordinata z. Ne segue immediatamente che anche il vettore di scorrimenti angolari γ = τ /µ è indipendente da z e dunque γ10 = γ20 = 0. Sostituendo le prime quattro equazioni di compatibilità (3.22) si semplificano nelle ε,22 − νε00 = 0,

ε,12 = 0,

ε,11 − νε00 = 0,

ε,11 + ε,22 = 0.

(3.23)

Con semplici sostituzioni queste sono equivalenti a ε,11 = 0,

ε,22 = 0,

ε,12 = 0,

ε00 = 0.

(3.24)

Queste condizioni implicano che il campo di allungamento assiale ε sia una funzione al più affine delle coordinate nel piano e al più bilineare delle coordinate del piano e della coordinata assiale. 

Le equazioni (3.24) sono spesso postulate in diversi testi classici di Scienza delle Costruzioni sotto il nome di Ipotesi delle sezioni piane. Qui le abbiamo ricavate come una diretta conseguenza dell’ipotesi di Clebsch-Saint Venant e della compatibilità.

Le equazioni (3.24) dettano anche la forma del campo di tensione normale σ. In effetti, usando il legame costitutivo ε = σ/Y si ha σ,11 = 0,

σ,22 = 0,

σ,12 = 0,

σ 00 = 0,

e dunque, necessariamente, σ(X1 , X2 , z) = a + b1 X1 + b2 X2 + c(z − L) + d1 X1 (z − L) + d2 X2 (z − L),

(3.25)

3.2 Soluzione

65

dove a, b1 , b2 , c, d1 e d2 sono delle costanti. Mostriamo che la costante c è in effetti esprimibile in termini delle costanti d1 e d2 . In effetti, integrando l’ultima delle equazioni di bilancio sul cilindro, si ha Z Z Z Z 0= (div τ + σ 0 ) = div τ + (c + d · r) = L (A c + d · S) + div τ , (3.26) C

C

C

C

essendo d = d1 a1 + d2 a2 , L la lunghezza del cilindro, A l’area della sezione e S il momento statico della sezione. Per il teorema della divergenza l’ultimo integrale in (3.26) si scrive Z Z Z Z Z div τ = τ ·n= τ ·n+ τ · (−a3 ) + τ · a3 = 0 C

∂C

∂M

∂B0

∂BL

in forza delle condizioni (3.14) e del fatto che τ ⊥ a3 . Dalla (3.26) ricaviamo infine c = −d · S/A = −d · rG , e sostituendo nella (3.25) la forma generale della tensione normale: σ(r, z) = a + b · r + (z − L) d · (r − rG ).

(3.27)

Determinazione a meno di costanti di τ

Le ultime due equazioni di compatibilità (3.22) determinano invece il rotore del campo di tensione tangenziale. In effetti, usando il legame costitutivo γ = τ /µ e ε = σ/Y , queste si riscrivono in termini di tensioni come ν ν σ0 , τ2,11 − τ1,12 = σ0 . (3.28) τ1,22 − τ2,12 = 1 + ν ,1 1 + ν ,2 visto che 2µ = Y /(1 + ν). 0 0 Dalla (3.27) si ottiene σ,1 = d1 e σ,2 = d2 . Inoltre, dalla definizione di rotore (rot τ = τ2,1 − τ1,2 ) ne segue     τ2,11 − τ1,21 τ1,22 − τ2,12 grad (rot τ ) = ⇒ grad (rot τ ) = . τ2,12 − τ1,22 τ2,11 − τ1,12 Otteniamo infine la forma vettoriale compatta delle due equazioni di compatibilità (3.28) grad (rot τ ) =

ν d 1+ν

(3.29)

Ruotando entrambi i membri ed integrando si ottiene rot τ = 2 e −

ν d · r, 1+ν

(3.30)

avendo indicato con 2e una costante di integrazione. Ricordando l’ultima delle equazioni di bilancio (3.13) e usando (3.27) otteniamo inoltre la divergenza del campo di tensione tangenziale: div τ = −σ 0 = d · (rG − r), Il problema differenziale che definisce il campo di tensione tangenziale è allora: ( div τ = d · (rG − r), ν su B, τ · n = 0, su ∂B. rot τ = 2 e − d · r, 1+ν

(3.31)

(3.32)

Per il teorema di Helmotz l’assegnazione della divergenza e del rotore di un campo vettoriale identifica in maniera univoca quel campo. Dunque il problema (3.32) è ben posto e identifica univocamente il campo di tensione τ .

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

66

In particolare, essendo il problema (3.32) lineare, il campo di tensione tangenziale può essere utilmente decomposto nella somma τ = τd + τe ,

(3.33)

dove si sono considerati separatamente gli effetti della costante d ( div τd = d · (rG − r), ν su B, τd · n = 0, su ∂B. d · r, rot τd = − 1+ν e della costante e  div τe = 0, rot τe = 2 e,

su B,

(3.34)

τe · n = 0, su ∂B.

(3.35)

Semplificazione di Prandtl

Il sistema di equazioni (3.35) può essere ulteriormente semplificato. In particolare, se si assume la tensione τe nella forma suggerita da Prandtl τe = −e grad ψ,

(per componenti: τe1 = eψ,2 , τe2 = −eψ,1 , )

(3.36)

con ψ = ψ(X1 , X2 ) una funzione ψ : B ⊂ IR2 7→ IR, si verifica facilmente che l’equazione di bilancio (3.35)1 è identicamente verificata. Infatti div τe = τe1,1 + τe2,2 = e ψ,21 − eψ,12 = 0,

∀ψ.

Le restanti equazioni (3.35)2,3 sono verificate rispettivamente se 2e = rot τe = τe2,1 − τe1,2 = −e ψ,11 − e ψ,22 = −e∆ψ,

su B,

avendo indicato con ∆ il laplaciano, e 0 = τe · n = 0 = −(e grad ψ) · n = e grad ψ · ( n) = e

∂ψ , ∂t

su ∂B,

dove abbiamo definito t := n il campo di vettori tangenti al bordo ∂B. Dunque ∂ψ/∂t = 0 impone che la funzione ψ sia costante su ogni pezzo del bordo della sezione. In definitiva otteniamo la forma generale per la tensione tangenziale τ τ = τd − e grad ψ,

(3.37)

con τd soluzione di (

div τd = d · (rG − r), ν rot τd = − d · r, 1+ν

su B,

τd · n = 0, su ∂B.

(3.38)

e ψ soluzione del problema differenziale di Prandtl ∆ψ = −2, su B,

∂ψ = 0, su ∂B. ∂t

(3.39)

Determinazione delle costanti di integrazione

Nelle sezioni precedenti abbiamo determinato i campi di tensione σ e τ a meno delle costanti di integrazione: a ∈ IR,

b ∈ IR2 ,

d ∈ IR2 ,

e ∈ IR.

(= 6 numeri scalari)

(3.40)

3.2 Soluzione

67

Le uniche equazioni non ancora utilizzate sono le equazioni di bilancio sulle basi (3.15): −τ − σ a3 = t¯0 su B0 ,

τ + σ a3 = t¯L su BL .

(3.41)

Queste assegnano il valore di tutte le tre componenti del tensore della tensione T in (3.12) in tutti i punti delle due basi. Noi rinunceremo a soddisfare puntualmente queste equazioni basandoci sulla seguente ipotesi. Ipotesi 3.2.13 (Principio di de Saint Venant) La soluzione del problema lontano dalle basi

dipende dai dati t¯0 e t¯L solamente per il tramite delle loro risultanti in termini di forze e momenti. Ne consegue che, ai fini della determinazione della soluzione lontano dalle basi, non ha interesse il dettaglio delle distribuzioni di forze di contatto t¯0 e t¯L ma solo i valori delle loro risultanti: ovvero le tre componenti della forza risultante e le tre componenti del momento risultante. Tale principio è esemplificato nella Figura 3.5 dove abbiamo disegnato due diverse distribuzioni di forze di contatto su una base aventi le medesime risultanti: come si vede, esaminando la deformazione delle sezioni inizialmente piane, la differenza tra i due casi è localizzata vicino alla base, mentre diventa evanescente lontano dalla base.

Figura 3.5: Gli effetti di due distribuzioni di forze equivalenti (=aventi le medesime risultanti). Il principio di Saint Venant può essere equivalentemente formulato dicendo che: “qualunque distribuzione di forze di contatto sulle basi avente risultanti nulle ha effetti evanescenti lontano dalle basi ”. In effetti, se disegnamo gli effetti della differenza tra le due distribuzioni di carico di Fig. 3.5 (dunque una distribuzione di carico avente risultanti nulle) otteniamo la deformazione mostrata in Fig. 3.6. In questo caso la soluzione lontano dalla base diventa evanescente essendo differenza di due campi di deformazione e tensione uguali. L’ipotesi 3.2.13 fu rigorosamente dimostrata più di un secolo dopo da Gaetano Fighera in questa seconda forma. Fighera, infatti, dimostrò che ad ogni distribuzione di tensione sulle basi avente risultanti nulle corrispondono dei campi di deformazione e di tensione che decadono esponenzialmente all’allontanarsi dalla base.

Figura 3.6: Distribuzioni di forze aventi risultanti nulle hanno effetti evanescenti lontano dalle basi. Evidentemente la validità dell’ipotesi 3.2.13 riduce drasticamente la complessità dei diversi casi di carico nel problema di dSV. Gli infiniti carichi t¯0 e t¯L applicabili sono infatti raggruppati in solo sei classi di equivalenza (la relazione di equivalenza tra carichi essendo l’affermazione "hanno le medesime risultanti"). Nel seguito, dunque, esamineremo queste sole sei classi di euivalenza imponendo le equazioni (3.15) solo in termini di risultanti. D’altronde, viste le condizioni necessarie per la soluzione (3.6), le risultanti su una base sono determinate dalle risultanti sulla base opposta. È allora sufficiente imporre le equazioni (3.15) su una sola base. In particolare noi imponiamo le risultanti sulla base

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

68 BL chiedendo che: Z Z (τ + σa3 ) = BL

t¯L ,

(3.42)

BL

e Z

Z r × (τ + σa3 ) =

BL

r × t¯L ,

(3.43)

BL

Queste costituiscono sei condizioni scalari sufficienti a determinare le sei costanti di integrazione. Risultante delle forze in direzione assiale. Proiettando in direzione dell’asse del cilindro l’equazione (3.42) e ricordando la decomposizione delle forze di contatto t¯L = τ¯L + σ ¯L a3 , otteniamo Z Z σ= σ ¯L := N (3.44) BL

BL

Alla forza N così definita di dà il nome di forza di trazione. Se in (3.44), usiamo la forma generale (3.27) per il campo di tensione σ, otteniamo: Z Z Z N= σ= σ|z=L = (a + b · r) = a A + b · S, (3.45) BL

B

B

dove abbiamo definito rispettivamente l’area ed il momento statico della sezione Z Z A := 1, S := r. B

B

Risultante dei momenti in direzione trasversale all’asse. Consideriamo ora l’equazione dei momenti (3.43). È evidente che i momenti infinitesimi (r × τ¯L dA) forniscono dei contributi collineari all’asse del cilindro essendo r ⊥ a3 e τ¯L ⊥ a3 . Per considerare solo le componenti di momento trasversali all’asse imponiamo Z Z r × σa3 = r×σ ¯L a3 := Mf . (3.46) BL

BL

Al momento Mf così definito si dà il nome di momento flettente. Si noti che il momento flettente è un vettore nel piano della sezione; come tale ha due componenti Mf = M1 a1 + M2 a2 . Con semplici calcoli1 si vede che (3.46) è equivalente a Z σ r = Mf (3.47) BL

Se in (3.47), usiamo la forma generale (3.27) per il campo di tensione σ, otteniamo: Z Z Z Mf = σ r = (σ|z=L ) r = (a + b · r) r = a S + J b, BL

B

(3.48)

B

dove abbiamo definito il momento d’inerzia della sezione Z J := r ⊗ r. B

Con semplici sostituzioni dalla (3.45) si ottiene a=

N − b · rG A

che sostituita nella (3.48) fornisce   N Mf = − b · rG ArG + J b = (J − ArG ⊗ rG ) b + N rG . A Definito il momento d’inerzia baricentrico JG := J − ArG ⊗ rG , da quest’ultima e da (3.45) con semplici sostituzioni si ottengono infine 1r

× σa3 = σ (r × a3 ) = −σ r

3.2 Soluzione

69

−1 b = JG ( Mf − N rG ),

a=

N − b · rG . A

(3.49)

Risultante delle forze in direzione trasversale all’asse. Ricordando la decomposizione delle forze di contatto t¯L = τ¯L + σ ¯L a3 nell’equazione (3.42) resta da considerare la componente trasversale all’asse ovvero Z Z τ = τ¯L := Q, (3.50) BL

BL

Alla forza Q così definita si dà il nome di forza di taglio. Si noti che questa è un vettore nel piano della sezione; come tale ha due componenti Q = Q1 a1 + Q2 a2 . Si consideri che2 div (r ⊗ τ ) = (grad r) τ + (div τ ) r = τ + (div τ ) r,

(ri τj ),j = ri,j τj + ri τj,j = τi + (τj,j )ri

Usiamo questo “trucchetto” per esprimere τ , la cui forma esplicita non è nota, tramite la sua divergenza, la cui forma esplicita è nota da (3.32). Ricordando che il campo di tensione tangenziale non dipende dall’ascissa z, dalla (3.50) abbiamo infatti Z Z Z Z Z Z Q= τ = τ = div (r ⊗ τ ) − (div τ ) r = (τ · n)r − (div τ ) r, (3.51) BL

B

B

B

B

∂B

avendo usanto nell’ultimo passaggio il teorema della divergenza. Se ora usiamo le equazioni (3.32) abbiamo facilmente Z  Z Q = d · (r − rG )r = r ⊗ (r − rG ) d = (3.52) B Z Z  B  = r⊗r− r ⊗ rG ) d = (J − ArG ⊗ rG ) d, (3.53) B

B

da cui −1 d = JG Q.

(3.54)

Risultante dei momenti in direzione assiale. Per l’equazione dei momenti (3.43) resta da considerare la componente assiale ovvero Z a3 ·

Z r × τ = a3 ·

BL

r × τ¯L := Mt .

(3.55)

BL

Al momento Mt così definito si dà il nome di momento torcente. Se si considera la forma generale (3.37) del campo di tensione tangenziale, la (3.55) diviene   Z Z Z Mt = a3 · r × τ = a3 · r × τd − e a3 · r× grad ψ , (3.56) BL

B

B

Poichè r× grad ψ = X1 ψ,1 a1 × a2 − X2 ψ,2 a2 × a1 = (r · grad ψ) a3 , L’equazione (3.56) si allora può scrivere 2 In

effetti essendo r = X1 a1 + X2 a2 si ha 

1 grad r = 1 − a3 ⊗ a3 , o per componenti: [grad r] =  0 0

0 1 0

 0 0  0

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

70

R Mt − a3 · B r × τd e= , j

(3.57)

dove abbiamo defnito l’inerzia torsionale j come Z Z j := −a3 · r× grad ψ = − r · grad ψ. B

B

In effetti, la funzione di Prandtl ha le dimensioni di un’area [ψ] = m2 e dunque [j] = m4 . Dimostreremo in Sez. 4.3 che l’inerzia torsionale è uno scalare positivo funzione della sola sezione B. 3.2.6

Calcolo esplicito della rigidezza torsionale Diamo un’espressione semplificata della rigidezza torsionale, valida nel caso generale di sezioni multiconnesse. Come evidenziato in Fig. 3.7 e discusso in precedenza, il bordo di una sezione multiconnessa è costituito da più parti ∂B = ∂B0 ∪ ∂B1 ... ∪ ∂Bα ...

(3.58)

dove con ∂B0 indichiamo il bordo esterno e con ∂Bα=1,2,..m i bordi interni delle m lacune. È opportuno rimarchare che la normale n a B sul ogni punto del bordo è sempre la normale esterna. Inoltre ciascuna parte del bordo ha una orientazione definita dal orientazione del vettore tangente t = − n.

Figura 3.7: I bordi di una sezione multiconnessa con i versi positivi di percorrenza (sinistra) e il calcolo dell’area di un buco (destra). Integrando per parti nella definizione di inerzia torsionale (4.28) si ha Z Z Z Z j = − r · grad ψ = (2ψ − div (ψr)) = 2 ψ − ψr · n B

B

B

(3.59)

∂B

dove si è usata la div (ψr) = r · (grad ψ) + ψdiv r = r · (grad ψ) + 2ψ, ed il teorema della divergenza. Inoltre, dalla (3.39)2 sappiamo che ψ è costante su ogni pezzo connesso del bordo di B; dunque, se indichiamo con ψ¯0 il valore costante della funzione di Prandtl sul bordo esterno e con ψ¯α i valori costanti sui bordi interni ∂Bα , l’ultimo integrale in (3.59) si riscrive  Z Z X Z − ψr · n = −ψ¯0 r·n− ψ¯α r·n (3.60) ∂B

∂B0

α

∂Bα

3.2 Soluzione

71

Ora, definendo t = − n il vettore tangente al bordo, notiamo che −r · n = a3 · r × t è l’area con segno del parallelogrammo costruito su r e t, vedi Fig 3.7. Quindi abbiamo Z Z − r · n = −2Ω0 , − r · n = 2Ωα ∂B0

∂Bα

dove Ω0 > 0 è l’area inscritta in B0 (lacune comprese) e Ωα > 0 è l’area della lacuna Bα . La differenza di segno è dovuta al verso di percorrenza opposto. Sostituendo in (3.60) e (3.59) abbiamo: Z X j = 2 ψ − 2ψ¯0 Ω0 + 2 ψ¯α Ωα (3.61) B

α

Notiamo che possiamo sempre aggiungere una costante alla funzione di Prandtl senza alterare il problema, ψ ! ψ + C. Infatti la tensione tangenziale, che dipende solo dal gradiente di ψ, non varia aggiungendo la costante C, mentre la rigidezza torsionale non varia perchè Z X X 2 C − 2 CΩ0 + 2 CΩα = 2 C (A + Ωα − Ω0 ) = 0. B

α

α

Siamo allora liberi di scegliere nulla la costante sul bordo esterno ψ¯0 = 0 (a tal fine basta considerare ψ ! ψ + C con C = −ψ¯0 ). Con questa assunzione l’espressione della rigidezza torsionale diviene Z X j =2 ψ+2 ψ¯α Ωα , (3.62) B

α

mentre la condizione (3.39)2 (∂ψ/∂t = 0 su ∂B) puó essere equivalemente scritta    ψ = 0, su ∂B0  ... ψ = ψ¯α , su ∂Bα    ...

(3.63)

ovvero in termini dei valori costanti ψ¯α=1,2,...m sui bordi delle lacune. 3.2.7

Calcolo esplicito delle condizioni di compatibilità sulle lacune Nel caso di sezione multiconnessa, come discusso in precedenza, le equazioni di compatibilitá (Rot Rot E = 0) non sono sufficienti a garantire che lo spostamento sia continuo per qualunque percorso chiuso nella sezione. Perchè ciò avvenga devono essere aggiunte le condizioni (3.20) di integrabilità intorno alle lacune. Nel caso di torsione, queste ulteriori equazioni forniscono delle condizioni ulteriori cui la funzione di Prandtl deve ottemperare. Infatti,   Z Z Z ∂w τe 0= = grad w · t = − v0 · t (3.64) µ ∂Bα ∂t ∂Bα ∂Bα ma ricordando che τe = −e grad ψ e v 0 = (e/µ) r si ha Z  Z Z ∂w e 0= =− grad ψ · t + r · t . µ ∂Bα ∂t ∂Bα ∂Bα

(3.65)

Poichè nei bordi interni t = − n (Fig. 3.4) e r · t = a3 · r × t è l’area con segno del parallelogramma costruito su r e t (Fig. 3.4), (3.20) sono equivalenti alle equazioni di compatibilità sulle lacune in termini della funzione di Prandtl Z ∂ψ = 2Ωα , α = 1, 2...m. ∂Bα ∂n

(3.66)

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

72

dove ricordiamo che Ωα > 0 rappresenta l’area inscritta nella α-esima lacuna. 3.2.8

Calcolo di deformazioni e spostamenti Confrontando (3.18) con (3.21) e usando le relazioni costitutive, otteniamo w0 =

σ , Y

v 0 + grad w =

τ , µ

sym grad v = −

ν ˆ σ 1. Y

(3.67)

dove σ verifica (3.27) e τ verifica (3.37). Queste equazioni sono senz’altro integrabili in temini di spostamenti perchè le espressioni delle tensioni (3.27) e (3.37) sono state ottenute verificando le condizioni di compatibilità Rot Rot E = 0. Il campo di spostamento v(r, z) e w(r, z) soluzione del problema differenziale (3.67) è evidentemente determinato a meno di moti rigidi. Per determinarlo in modo univoco incastriamo un intorno infinitesimo dell’origine r = o nella base B0 : w(o, 0) = 0,



grad w|r=o,z=0 = 0,

v(o, 0) = 0,

skw grad v|r=o,z=0 = 0.

(3.68)

Le sei condizioni al contorno (3.68) sono strumentali per eliminare i moti rigidi dalla soluzione in termini di spostamenti. Avremmo potuto fare scelte diverse come ad esempio: • incastrare l’intorno infinitesimo di un qualunque altro punto della base; • chiedere che spostamenti e rotazioni calcolati sulla base fossero nulli in media. La soluzione che presentiamo di seguito riflette dunque la scelta fatta in (3.68). Per ottenere condizioni di incastro differenti basterà aggiungere un moto rigido: w(r, z) = w ¯ + θ¯ · r,

v(r, z) = v¯ + β¯ r,

¯ v¯ ∈ IR2 . calcolandone opportunamente le sei costanti w, ¯ β¯ ∈ IR e θ,

Nelle seguenti sottosezioni determiniamo il significato cinematico delle costanti a, b, d, e esaminandone separatamente il contributo al campo di spostamento. Significato cinematico della costante a

Nelle equazioni (3.67) si supponga b = 0, d = 0, e = 0. Dunque σ = a, τ = 0, e w0 =

a , Y

v 0 + grad w = 0,

sym grad v = −

Integrando la prima otteniamo w(r, z) =

νaˆ 1. Y

(3.69)

a z + w(r); ˜ Y

sostituendo nella seconda v 0 = −grad w = −grad w(r), ˜ da cui, integrando in z v(r, z) = −z grad w(r) ˜ +v ¯(r). Sostituendo questa ultima espressione nella (3.69)3 abbiamo infine −z grad grad w(r) ˜ + sym grad v ¯=−

νaˆ 1. Y

Quest’ultima equazione deve valere ∀z ∈ [0, L]; dunque otteniamo separatamente sym grad v ¯=−

νaˆ 1 Y

⇒

v ¯(r) = −

νa r + v¯ + β¯ r, Y

e grad grad w(r) ˜ = 0,

⇒

w(r) ˜ =w ¯ + θ¯ · r.

La soluzione è dunque w(r, z) =

a z+w ¯ + θ¯ · r, Y

νa v(r, z) = −z θ¯ − r + v¯ + β¯ r, Y

3.2 Soluzione

73

fornita a meno delle costanti w, ¯ θ¯ e v¯ che rappresentano un arbitrario moto rigido. In effetti se usiamo (3.68) deve essere w ¯ = 0, θ¯ = 0, v¯ = 0 e β¯ = 0. Una volta filtrato il moto rigido otteniamo la parte del campo di spostamento responsabile della deformazione del cilindro come: a w(r, z) = ε0 z, v(r, z) = −ν ε0 r, ε0 = . (3.70) Y Si noti che l’allungamento della fibra baricentrale è sempre εG := w0 (rG ) =

σ(rG ) a + b · rG N = = , Y Y YA

(3.71)

indipendentemente dalle costanti b, d, e. Se scegliamo di incastrare il punto baricentrale ε0 ≡ εG e la relativa deformazione è visualizzata in Fig. 3.8.

Figura 3.8: Deformazioni associate alla costante a, vedi Eq.(3.70) Significato cinematico della costante b

Nelle equazioni (3.67) si supponga a = 0, d = 0, e = 0. Dunque σ = b · r, τ = 0 e le (3.67) divengono w0 =

b·r , Y

v 0 + grad w = 0,

sym grad v = −

ν (b · r) ˆ 1. Y

(3.72)

Integrando la prima otteniamo w(r, z) =

b·r z + w(r); ˜ Y

sostituendo nella seconda si ottiene v 0 = −grad w = −

b z − grad w(r), ˜ Y

da cui, integrando in z, b 2 z − z grad w(r) ˜ +v ¯(r). 2Y Sostituendo questa ultima espressione nella (3.72)3 abbiamo infine v(r, z) = −

−z grad grad w(r) ˜ + sym grad v ¯=−

ν (b · r) ˆ 1 Y

Quest’ultima equazione deve valere ∀z ∈ [0, L]; dunque otteniamo separatamente   ν ν r ⊗ r− r⊗ r ˆ ¯(r) = − b + v¯ + β¯ r, sym grad v ¯ = − (b · r) 1 ⇒ v Y Y 2 e, come nel caso precedente, grad grad w(r) ˜ = 0 ovvero w(r) ˜ =w ¯ + θ¯ · r. Se si impongono le condizioni d’incastro (3.68), una volta determinate le costanti, la soluzione si scrive w(r, z) = z

b·r , Y

v(r, z) = −

z2 ν b− (r ⊗ r− r⊗ r) b, 2Y 2Y

(3.73)

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

74

Figura 3.9: Deformazioni associate alla costante b, vedi Eq.(3.73) Tale deformazione è visualizzata in Fig. 3.9 per un cilindro di sezione rettangolare in cui abbiamo incastrato un intorno del punto baricentrale o ≡ G. Dalla (3.73) si calcola b −v 00 = . Y Questa equazione fornisce il significato cinematico di b/Y come opposto del vettore di incurvamento delle fibre del cilindro; il cilindro si inflette, infatti, nel piano (a3 , −b) con una curvatura che in modulo vale kbk/Y . Significato cinematico della costante d

Nelle equazioni (3.67) si supponga a = 0, b = 0, e = 0. Dunque σ = (z − L)d · (r − rG ), τ = τd e le (3.67) divengono w0 = (z −L)

d · (r − rG ) , Y

v 0 +grad w =

τd (r) , µ

sym grad v =

ν(L − z) (d·(r −rG )) ˆ 1. (3.74) Y

Integrando la prima otteniamo w(r, z) =

d · (r − rG ) Y



z2 − Lz 2

 + w(r); ˜

sostituendo nella seconda si ottiene τd (r) d v = − grad w = µ Y 0



z2 Lz − 2

 − grad w(r) ˜ +

τd (r) , µ

da cui, integrando in z, d v(r, z) = 2Y

  z3 2 Lz − + (z − L) v ˜(r), 3

dove la funzione v ˜(r) descrive una deformazione delle sezioni del cilindro. Questa dipende dalla distribuzione effettiva delle tensioni tangenziali τd ed è determinabile tramite (3.74)3 e le condizioni di incastro della base B0 . Si nota che la curvatura di ciascuna fibra del cilindro è indipendente dalla sua posizione r nel piano della sezione e vale: v 00 =

d (L − z) , Y

⇒

−v 000 =

d . Y

(3.75)

Questa equazione fornisce il significato cinematico di d/Y come opposto della variazione assiale dell’incurvamento; il cilindro si inflette infatti nel piano (a3 , d) con una curvatura che in modulo vale (L − z)kdk/Y . Tale deformazione è visualizzata in Fig. 3.10 per un cilindro di sezione rettangolare in cui sia incastrato un intorno del baricentro G in B0 .

3.2 Soluzione

75

Figura 3.10: Deformazioni associate alla costante d, vedi Eq.(3.75) Significato cinematico della costante e

Nelle equazioni (3.67) si supponga a = 0, b = 0, d = 0. Dunque σ = 0, τ = τe e le (3.67) divengono w0 = 0,

v 0 + grad w =

τe (r) , µ

sym grad v = 0.

(3.76)

Integrando la prima otteniamo w(r, z) = w(r); ˜ sostituendo nella seconda si ottiene v0 =

τe (r) τe (r) − grad w = − grad w(r). ˜ µ µ

Se sostituiamo (3.35) in quest’ultima equazione otteniamo: div v 0 =

div τe − div grad w ˜ = −∆w, ˜ µ

rot v 0 =

rot τe e − rot grad w ˜=2 , µ µ

(3.77)

nel dominio B, e 0 = τe · n = µ(v 0 + grad w) ˜ · n,

⇒

∂w ˜ = −v 0 · n, ∂n

(3.78)

sul bordo ∂B. Tenendo conto che rot ( r) = X1,1 − (−X2,2 ) = 2, integrando il rotore si ottiene v0 =

e r + grad g(r), µ

(3.79)

per una qualche funzione g : B 7→ IR. Usando (3.76)3 si deduce g(r) = A + B · r, da cui sostituendo in (3.77)1   e 0 ∆w ˜ = −div v = −div r + B = 0, in B µ Integrando in z l’equazione (3.79) e usando le condizioni di incastro (3.68) si ottiene infine: w(r, z) = w(r), ˜

v(r, z) =

e z r, µ

(3.80)

con w ˜ soluzione di ∆w ˜ = 0, in B,

∂w ˜ e = − ( r · n), su ∂B, ∂n µ

e w(o) ˜ = 0.

(3.81)

Il campo di spostamento trasversale v in Eq.(3.80) descrive una rotazione infinitesima rigida di ciascuna sezione del cilindro; l’angolo di rotazione θ(z) non è evidentemente uguale ma varia linearmente con z. Si ha infatti e e θ(z) = z , ⇒ θ0 = , µ µ

76

Capitolo 3. Il cilindro di de Saint Venant

Figura 3.11: La deformazione del cilindro associata alla costante e, vedi Eq.(3.80).

Figura 3.12: Lo spostamento v in Eq.(3.80) descrive una rotazione infinitesima rigida di ciascuna sezione (sinistra); lo spostamento w ˜ in (3.81) descrive un ingobbamento della sezione (destra). che attribuisce il significato a e/µ di curvatura torsionale. Il campo di spostamento w(r) ˜ descrive l’ingobbamento della sezione; esso è soluzione del problema differenziale ellittico (3.81) e, come tale, dipende dalla forma della sezione. Notiamo che per sezioni sul cui bordo r · n = 0 l’ingobbamento è evidentemente nullo. Questo impone alla normale n di essere parallela al vettore posizione r in ogni punto del bordo: una tale condizione è verificata sull’intero bordo solo per le sezioni a simmetria circolare. Dunque solo la sezione circolare o la sezione circolare cava non presentano ingobbamento qualora sollecitate a torsione. Per la sezione ellittica, come quella studiata e disegnata da dSV in Figura 3.1, si ha facilmente w(X ˜ 1 , X2 ) ∝ X1 X2 .

4. Problemi semplici

In questo capitolo esaminiamo i casi semplici delle possibili distribuzioni di carico. Vista la linearità del sistema di equazioni del problema elastico, una distribuzione di carico arbitraria potrà essere esaminata attraverso la sovrapposizione degli effetti ottenuti nei casi semplici in cui questa si decompone.

4.1

Pressoflessione Si parla di presso-flessione allorchè la distribuzione di tensioni t¯L sulla base BL è tale da fornire Q = 0,

Mt = 0.

(4.1)

Utilizzando (3.54) abbiamo d = 0 e dunque τd = 0. Utilizzando la (3.57) e le precedenti abbiamo e = 0 e dunque τe = 0. Dunque il campo di tensione tangenziale τ è nullo (τ = 0), mentre la tensione normale vale σ(r) = a + b · r =

N −1 + JG [ Mf − N rG ] · (r − rG ), A

(4.2)

in tutte le sezioni del cilindro indipendentemente dall’ascissa z. Dalla precedente è evidente il significato statico delle costanti a e b essendo a = σ(0), il valore della tensione normale nell’origine del sistema di riferimento e b = grad σ, il gradiente della tensione normale. Dunque b/kbk è la direzione direzione in cui la tensione normale cresce, mentre kbk prescrive la variazione di tensione per unità di lunghezza in tale direzione. 4.1.1

Riduzione di sistemi di molteplici forze In generale possiamo ottenere un problema di presso-flessione (4.1) applicando sulla base BL un insieme di n forze tutte collineari all’asse del cilindro. Poichè, per il Principio di Saint Venant la soluzione lontana dalle basi dipende solo dalle risultanti, si può facilmente dimostrare che un tale sistema di n forze assiali Fi applicate nei punti

Capitolo 4. Problemi semplici

78

Pi può essere sempre ridotto ad una sola forza equivalente F applicata in un punto specifico P detto centro di pressione. Dobbiamo solo verificare che entrambi i sistemi abbiano le medesime risultanti ovvero che: N =F =

n X

Fi ,

Mf = F rP =

i=1

n X

Fi rPi .

(4.3)

i=1

La seconda condizione esprime l’uguaglianza tra il momento flettente generato dalla sola forza equivalente F ed il momento flettente generato dalle n forze assiali Fi . Se in (4.3) F 6= 0, l’equazione (4.3)2 permette di ricavare il centro di pressione Pn i=1 Fi rPi rP = P , n i=1 Fi

(4.4)

come media pesata dei punti di applicazione delle forze. La tensione normale (4.2) si riduce in tal caso alla σ(r) =

 N  −1 1 + A JG (rP − rG ) · (r − rG ) , A

(4.5)

Se in (4.3) F = 0, il sistema di n forze è in realtà equivalente ad una pura flessione N = 0,

Mf =

n X

Fi rPi .

i=1

La tensione normale (4.2) si riduce in tal caso alla −1 σ(r) = JG ( Mf ) · (r − rG ).

4.1.2

(4.6)

Asse neutro e diagramma delle tensioni normali Nella pressoflessione la tensione normale è una funzione affine (costante + parte lineare) delle coordinate nel piano della sezione. Le curve isolivello σ(r) = a + b · r = cost. sono dunque delle rette: in particolare la curva isolivello σ(r) = a + b · r = 0, si chiama asse neutro. Semplici calcoli mostrano che l’asse neutro è la retta a distanza −a/kbk dall’origine e ortogonale al vettore b, o che le sue intersezioni con gli assi sono i punti (X1 = 0, X2 = −a/b2 ) e (X1 = −a/b1 , X2 = 0). Evidentemente, tutte le curve isolivello della tensione normale sono ortogonali a b e dunque parallele all’asse neutro. Per diagrammare la tensione è allora consuetudine procedere come mostrato in Fig. 4.1: 1. si riporta sul piano della sezione l’asse neutro σ = 0; 2. si riporta la retta parallela all’asse neutro per il baricentro; utilizzando la (3.49)2 su tale retta σ = σ(rG ) = a + b · rG = N/A; 3. si disegna un asse (AB) collineare a b: all’intersezione C con l’asse neutro la tensione è nulla mentre all’intersezione D con l’asse baricentrico la tensione vale N/A; 4. essendo la tensione lineare questi due valori ne determinano univocamente il diagramma che si traccia avendo cura di indicare opportunamente la zona in trazione e la zona in compressione (abbiamo usato rispettivamente i simboli ⊕ e nella Figura). Notiamo che una volta costruito il diagramma di Figura 4.1 la similutine dei triangoli CDE, CBF e CAH permette di stimare i valori massimi e minimi della tensione essendo: N/A |σmax | |σmin | = = . DE BF AH

4.1 Pressoflessione

79

Figura 4.1: Diagramma della tensione normale e relative curve iso-tensione (asse neutro in verde). 4.1.3

Costruzione grafica dell’asse neutro La costruzione grafica dell’asse neutro è basata sulle seguenti nozioni di polarità ed antipolarità 

Dato S : IR2 7→ IR2 un tensore simmetrico (S = S > ) e definito positivo (Sn·n > 0, ∀n ∈ IR2 ) e dato un punto rP ∈ IR2 ha spesso interesse considerare le seguenti equazioni: Sr · r = 1,

ellissoide in IR2

SrP · r = 1, retta POLARE di P SrP · r = −1, retta ANTIPOLARE di P Il tensore S, ovvero l’ellissoide che lo rappresenta geometricamente, crea in questo modo due corrispondenze, dette di polarità e antipolarità, tra punti e rette del piano. Nel caso in cui il punto P vada all’infinito nella direzione n (ovvero rP = ρn con knk = 1 e ρ → ∞) si ha Sn · r = ± lim 1/ρ = 0, ρ→∞

POLARE=ANTIPOLARE di n

e resta dunque definita una relazione tra direzioni all’infinito e rette.

In effetti se si esamina l’equazione dell’ellissoide d’inerzia1 −1 AJG (r − rG ) · (r − rG ) = 1,

e l’equazione dell’asse neutro (4.5) di seguito riportata: −1 AJG (rP − rG ) · (r − rG ) = −1,

si nota che l’asse neutro è la retta antipolare del centro di pressione. Tale antipolarità è costruita −1 tramite il tensore simmetrico e definito positivo S = AJG ovvero tramite l’ellisse d’inerzia che ne è il rappresentante geometrico. Nel caso in cui il centro di pressione sia esterno all’ellisse d’inerzia per costruire l’asse neutro procediamo come indicato in Fig. 4.2: 1 Per convincersi che questa sia effetti l’equazione dell’ellissoide d’inerzia è sufficiente porsi in un sistema baricentrico (rG = 0) e principale d’inerzia JG12 = 0 dove  −1     X2 X2 j1 0 X1 X1 −1 −1 · = 21 + 22 = 1. AJG (r − rG ) · (r − rG ) = AJG r·r =A −1 X2 X2 0 j2 %1 %2

80

Capitolo 4. Problemi semplici 1. tracciamo le tangenti all’ellisse uscenti dal centro di pressione P (rette grigie trattegiate); 2. congiungendo i punti di tangenza otteniamo la retta polare del punto P (retta marrone trattegiata); 3. tracciamo la retta antipolare come la retta parallela alla polare, alla medesima distanza dal baricentro ma dalla parte opposta (retta verde continua).

Figura 4.2: Costruzione grafica dell’asse neutro tramite la relazione di antipolarità. Nel caso in cui il centro di pressione sia interno all’ellisse d’inerzia per costruire l’asse neutro procediamo come segue: 1. facciamo uscire dal centro di pressione P due direzioni linearmente indipendenti (rette arancioni tratteggiate in Fig. 4.3) e consideriamo le intersezioni di tali rette con l’ellisse; 2. da ciascuna coppia di queste intersezioni tracciamo le tangenti all’ellisse per individuare i due punti Q1 e Q2 ; 3. congiungiamo i punti Q1 e Q2 per ottenere la polare del punto P (retta verde tratteggiata); 4. tracciamo infine la retta antipolare come la retta parallela alla polare, alla medesima distanza dal baricentro ma dalla parte opposta (retta verde spessa).

Figura 4.3: Costruzione grafica dell’asse neutro per un centro di pressione interno all’ellisse di inerzia. Usando le costruzioni precedenti è semplice convincersi dei risultati mostrati in Fig.4.5 dove è stata graficato il vettore b (vettori rossi) al variare della direzione del centro di pressione (punti

4.1 Pressoflessione

81

Figura 4.4: Costruzione grafica dell’asse neutro per un problema di flessione pura.

−1 Figura 4.5: Variazioni del vettore di inflessione b ∝ JG (rP − rG ) (frecce marroni) in funzione del centro di pressione rP (punti rossi) per tre diverse ellissi d’inerzia.

grigi) per tre diversi ellissi d’inerzia. Quando il tensore d’inerzia è circa sferico (sinistra) il vettore di inflessione b è allineato all’asse di sollecitazione ovvero alla direzione rP − rG ; quando invece i valori principali dell’inerzia sono sensibilmente differenti (destra) il vettore di inflessione tende ad essere ortogonale all’asse rispetto al quale vi è maggiore inerzia. 4.1.4

Casi particolari Trazione semplice

Nel caso N = F 6= 0, allorchè il centro di pressione si avvicina al baricentro il vettore rP − rG diviene in modulo sempre più piccolo e con esso il vettore di inflessione. Questo vuol dire che il cilindro tende a flettersi in misura sempre minore (vedi Fig. 4.6). Al limite se rP → rG dalle formule (3.49) e (4.6) si ottiene: b → 0,

a→

N , A

σ(r) →

N . A

(4.7)

Dunque il cilindro non si inflette ma si allunga (o contrae se N < 0) e la tensione tende ad essere uniforme su tutta la sezione. A tale stato di sollecitazione si dà il nome di trazione semplice. Flessione e flessione retta

Nel caso N = F → 0, come abbiamo visto si parla di pura flessione; da (3.49) e (4.6) si ha: −1 b → JG ( Mf ),

a → −b · rG ,

−1 σ(r) → JG ( Mf ) · (r − rG ).

(4.8)

Capitolo 4. Problemi semplici

82

Figura 4.6: Se il centro di pressione si allontana in una data direzione (rP = rG + ρn) la distanza tra baricentro ed asse neutro scala come −a/kbk ∝ 1/ρ. Dunque, se ρ → ∞ l’asse neutro passa per il baricentro, mentre se ρ → 0 l’asse neutro si allontana all’infinito. Si deduce immediatamente che il cilindro si inflette, mentre la fibra per il baricentro della sezione non subisce allungamenti (3.71) con σ(rG ) = 0. Inoltre la media della tensione sulla sezione è nulla Z Z 1 1 σ= (a + b · r) = a + b · rG = 0, A B A B ovvero la porzione d’area in trazione uguaglia la porzione d’area in compressione. Il vettore di inflessione b (o l’asse di inflessione) non è in generale collineare al vettore Mf (o asse di sollecitazione). Si parla di flessione retta se Mf giace in una direzione principale d’inerzia; in tal caso il vettore di inflessione −1 b = JG ( Mf ) = (1/ji ) Mf ,

è collineare all’asse di sollecitazione e, dunque, il cilindro si inflette nel medesimo piano in cui applichiamo la coppia flettente. Qualora il tensore d’inerzia baricentrica fosse sferico (JG = η1), ogni direzione sarebbe principale d’inerzia e avremmo flessione retta qualunque sia la direzione del momento flettente. 4.1.5

Nocciolo d’inerzia Si consideri un cilindro soggetto ad uno stato di pressoflessione composto da n forze tutte di compressione. In diverse applicazioni di interesse ingegneristico ha interesse chiedersi se: • vi sono dei punti, nella sezione di un tale cilindro, che non vanno in trazione a prescindere dall’entità e dei punti di applicazione delle forze? Si dimostra che un tale insieme, N , esiste, è un intorno del baricentro e si chiama nocciolo d’inerzia. La sua definizione è particolarmente importante allorchè il materiale di cui è composto il cilindro sia poco resistente a trazione; in tal caso il nocciolo d’inerzia individuerebbe i punti meno a rischio, dal punto di vista della resistenza del materiale, e dove non ha rilevanza rinforzare la sezione. Per rispondere alla domanda precedente, e individuare il nocciolo, notiamo che il centro di pressione, definito dalla (4.4), non deve necessariamente essere un punto interno alla base (P ∈ B), neanche nel caso in cui tutti i punti di applicazione delle n forze siano interni (Pi ∈ B ∀i). Tuttavia se tutte le forze sono concordi, diciamo ad esempio di compressione Fi < 0, allora P appartiene all’inviluppo convesso2 IcP (B) della sezione, ovvero al più piccolo insieme convesso che contiene B. Inoltre visto che F = i Fi < 0, i punti che creano stati di trazione più estesi e gravosi sono i punti più distanti dal baricentro. Il nocciolo si costruisce allora facendo variare il centro di pressione sul bordo dell’inviluppo convesso della sezione P ∈ ∂Ic (B) e costruendo per ciascuno di questi punti il corrispondente asse neutro (vedi Fig. 4.7). Tramite la relazione di antipolarità si dimostra 2 Per

convincersi di questo è sufficiente calcolare la risultante delle forze due alla volta.

4.1 Pressoflessione

83

Figura 4.7: Il nocciolo d’inerzia emerge dall’inviluppo degli assi neutri al variare di P ∈ ∂Ic (B). facilmente che l’inviluppo di un tale insieme di rette definisce un insieme convesso, appunto il nocciolo d’inerzia N . Evidentemente il baricentro vi appartiene visto che σ(rG ) = N/A < 0. Si noti che il nocciolo N è una caratteristica geometrica della sezione B e come tale non dipende che dalla forma e dalle dimensioni della sezione. Formule in sistemi baricentrici e principali d’inerzia

Le formule risolutive della pressoflessione (3.49) sono valide in un qualunque sistema di riferimento ortonormale scelto nel piano della sezione B. Per un sistema baricentrico (o ≡ G) si ha rG = 0, JG ≡ J e dunque: b = J −1 ( Mf ),

a=

N , A

Per un sistema al contempo baricentrico e principale d’inerzia si ha rG = 0 e J12 = 0 e dunque:  −1     N j1 0 −Mf 2 −Mf 2 /j1 b= = , a= , Mf 1 Mf 1 /j2 0 j2−1 A da cui la formula trinomia σ=

N Mf 2 X1 Mf 1 X2 − + , A j1 j2

ovvero nel caso di pressoflessione essendo Mf = N rP = N (X1P , X2P )   X1P X1 X2P X2 1 + + . σ=N A j1 j2

Capitolo 4. Problemi semplici

84

4.2

Taglio e torsione Si parla di taglio e torsione allorchè la distribuzione di tensioni t¯L sulla base BL è tale da fornire N = 0,

Mf = 0.

(4.9)

Utilizzando (3.49) risulta a = 0 e b = 0, mentre (3.54) e (3.57) forniscono R Mt − a3 · B r × τd −1 d = JG Q, . e= j

(4.10)

La tensione normale (3.27) vale allora −1 σ(r, z) = (z − L) JG Q · (r − rG ).

(4.11)

La tensione tangenziale è data dai due contributi τ = τd + τe ,

τe = −e grad ψ.

(4.12)

Per calcolare il contributo τd occorre risolvere il “problema di taglio” ( −1 div τd = JG Q · (rG − r), ν su B, τd · n = 0, su ∂B. −1 (JG Q) · r, rot τd = − 1+ν

(4.13)

Il contributo τe è ottenuto da un problema di torsione, vedi Sez. 4.3. Si nota che non è possibile calcolare τe senza aver prima risolto il problema differenziale (4.13) per τd . Nelle seguenti sezioni, ci riferiremo spesso al caso di sezioni sottili: se da un lato il problema differenziale (4.13) non ci permette di ottenere soluzioni semplici in forma chiusa per sezioni generiche, è altresì vero che le sezioni sottili rappresentano un importante esempio applicativo nella pratica ingegneristica. 4.2.1

Riduzione di sistemi di molteplici forze Analogamente al caso della pressoflessione possiamo ottenere un problema di taglio e torsione (4.9) applicando sulla base BL un insieme di n forze che giacciono nel piano della sezione e dunque ortogonali all’asse del cilindro. Poichè, per il Principio di Saint Venant la soluzione lontana dalle basi dipende solo dalle risultanti, si può facilmente dimostrare che un tale sistema di n forze assiali Qi applicate nei punti Ci può essere sempre ridotto ad una sola forza equivalente Q applicata in un punto specifico C. Dobbiamo solo verificare che entrambi i sistemi abbiano le medesime risultanti ovvero che: Q=

n X i=1

Qi ,

Mt = a3 · (rC × Q) =

n X

a3 · (rCi × Qi ).

(4.14)

i=1

La seconda condizione esprime l’uguaglianza tra il momento torcente generato dalla sola forza equivalente Q ed il momento torcente generato dalle n forze di taglio Qi . Se in (4.14) Q 6= 0, l’equazione (4.14)2 permette di ricavare il punto di applicazione C. In particolare il braccio b (rispetto al polo usato per calcolare Mt ) della forza equivalente vale P rCi · Qi b= i , rC = b e1 + λe2 , ∀λ ∈ IR. (4.15) kQk Qui si sono usati i vettori unitari e1 = − Q/kQk e e2 = Q/kQk. Evidentemente il punto di applicazione rC è determinato a meno di scelte arbitrarie della coordinata λ perchè, come noto, possiamo spostare la forza Q lungo la sua retta di applicazione senza alterare le risultanti. La tensione tangenziale è la somma dei due contributi τd e τe definiti in (4.12), (4.13) e (4.26). Se in (4.14) Q = 0, siamo di fronte a un problema di torsione pura. Evidentemente in tal caso d = 0 e il solo contributo alle tensioni tangenziali viene è fornito dal campo τ ≡ τe = −e grad ψ con Mt e= , j e la funzione di Prandtl definita in (4.26).

4.2 Taglio e torsione 4.2.2

85

La tensione normale nei problemi di taglio Ricordando (4.6), l’espressione (4.11) della tensione normale è dunque equivalente alla tensione normale generata da un momento flettente Mf (z) = (L − z) Q variabile linearmente lungo il cilindro. In effetti, sebbene per la (4.9) il momento flettente sia nullo sulla base BL , il bilancio dei momenti (3.6)2 impone sulla base B0 un momento pari a3 −Mf (0) = −L Q ed in generale una distribuzione di momento flettente linearmente variabile sul cilindro e pari a: Mf (z) = (L − z) Q,

ovvero

Mf (z) = (z − L) Q.

Per questo motivo i problemi di taglio si definiscono anche come problemi di flessione non uniforme.

Figura 4.8: La distribuzione di momento flettente dovuta ad una forza di taglio. Per quanto detto nella precedente sezione la tensione vale σ(r, z) = (z − L) d · (r − rG ),

−1 d = JG Q,

ed è caratterizzata da un asse neutro passante per il baricentro G ed ortogonale al vettore d. Tale asse neutro risulta particolarmente importante nell’esame del problema di taglio, perchè in

Figura 4.9: L’asse neutro per una sezione soggetta a taglio. corrispondenza dei punti della sezione che lo intersecano avremo dei punti di stazionarietà (massimi o minimi locali) della tensione tangenziale τd , vedi Sez. 4.2.6. In particolare, la costruzione grafica del vettore d a partire dlla conoscenza della forza di taglio, è assolutamente analoga alla costruzione di b a partire dalla conoscenza di Mf discussa in Fig. 4.5. Tale costruzione è mostrata in Fig. 4.9. 3 il

segno − tiene conto qui dell’orientazione della normale −a3 alla base B0 .

Capitolo 4. Problemi semplici

86 4.2.3

Formula di Jourawsky L’idea di Jourawsky consiste nell’imporre il bilancio delle forze in direzione assiale, espresso dall’Eq. (4.13)1 , su un generico sottoinsieme B ∗ ⊂ B della sezione: Z

Z div τd =

B∗

B∗

 −1  JG Q · (rG − r) .

(4.16)

Figura 4.10: Scelta di un sottoinsieme B ∗ ⊂ B in una sezione soggetta a taglio. Applicando il teorema della divergenza a primo membro e svolgendo l’integrale a secondo membro in (4.16), otteniamo: Z ∂B∗

−1 τd · n = JG Q·

Z B∗

−1 −1 ∗ (rG − r) = JG Q · (A∗ rG − S ∗ ) = JG Q · (rG − rG ) A∗ ,

(4.17)

∗ dove A∗ , S ∗ e rG sono rispettivamente l’area, il momento statico e il vettore posizione del baricentro del sottoinsieme B ∗ . Si nota che il bordo del sottoinsieme B ∗ è in generale composto da una parte in comune con il bordo della sezione, ∂Be∗ rappresentata dalla curva inspessita verde in Fig. 4.10, e da una parte interna, ∂Bi∗ rappresentata dalla curva inspessita rossa in Fig. 4.10. Usando (4.13)3 , il flusso di tensione tangenziale attraverso la parte ∂Be∗ è evidentemente nullo e il dominio dell’integrale a primo membro in (4.17) si può limitare alla sola parte interna ∂Bi∗ . Applicando il teorema della media possiamo scrivere finalmente la formula di Jourawsky

τJ := τd · n =

1 c∗

Z ∂Bi∗

−1 ∗ τd · n = JG Q · (rG − rG )

A∗ . c∗

(4.18)

dove c∗ è la lunghezza del bordo interno ∂Bi∗ . Per concludere, la formula di Jourawsky fornisce il flusso medio della tensione tangenziale attraverso il bordo interno di un qualunque sottoinsieme B ∗ ⊂ B. Notiamo che, lontano dalle basi, la formula (4.18) è esatta perchè non è stata fatta alcuna approssimazione a partire dal sistema di equazioni (4.13). Notiamo infine che la formula di Jourawsky vale anche se Q = 0. In tal caso impone che il flusso netto sul bordo interno di qualunque sottoinsieme sia nullo Z Q=0

⇒

τd · n = 0. ∂Bi∗

(4.19)

4.2 Taglio e torsione

87

Figura 4.11: Una scelta efficace del sottoinsieme B ∗ per poter usare la formula di Jourawsky: B ∗ ha una sola corda interna di lunghezza minimale. 4.2.4

Applicazione alle sezioni sottili per il calcolo della tensione tangenziale La formula (4.18) è spesso usata per calcolare in modo approssimato il campo di tensione tangenziale τd di sezioni sottili. In tal caso si rinuncia a risolvere (4.13) e ci si accontenta di valutare la tensione tangenziale attraverso il flusso medio fornito dalla formula di Jourawsky. In particolare, considerando dei sottoinsiemi B ∗ aventi una sola corda interna lungo lo spessore della sezione (vedi Fig. 4.11), si valuta la tensione come: τd ' (τd · n) n.

(4.20)

L’approssimazione in (4.20) è legata al fatto che da un lato confondiamo il valore puntuale con il valore medio e dall’altro che trascuriamo una possibile componente del vettore della tensione in direzione tangente alla corda. Tuttavia si può dimostrare che l’errore commesso in (4.20) diviene evanescente nel limite di sezione sottile allorchè s/D → 0. In tal caso, infatti, la corda ∂Bi∗ su cui viene fatta la media si riduce a un punto, mentre la condizione (4.13)3 esclude che il vettore τd possa avere una componente tangente alla corda dovendo essere parallelo al bordo ∂B della sezione.

Figura 4.12: Una scelta dubbia (sinistra) ed una errata (destra) del sottoinsieme B ∗ in rapporto alla correttezza dell’approssimazione (4.20). Si nota che sono possibili scelte del sottoinsieme B ∗ in cui la corda interna non sia di lunghezza minimale o in cui vi siano molteplici corde interne (vedi Fig. 4.12); tuttavia l’approssimazione (4.20) diventa i) nel primo caso più imprecisa perché cresce la misura del dominio su cui si fa la media, ii) nel secondo caso errata perchè si attribuisce la media fatta tra regioni differenti della sezione alla tensione in un punto. Un discorso a parte meritano le sezioni sottili chiuse; in tal caso la presenza di una o più lacune impedisce la scelta di sottoinsiemi B ∗ aventi un’unica corda interna. Per ricondursi al caso di sezione aperta ed applicare (4.18), si procede come segue: 1. si opera una disconnessione del ciclo che rende multiconnessa la sezione, sostituendo alle azioni di contatto tra le facce un sistema di due forze incognite ad esse staticamente equivalente: la forza (Xa3 ) sulla faccia T+ e la forza (−Xa3 ) sulla faccia T− (vedi Fig. 4.14); 2. si calcola la tensione tangenziale sulla sezione aperta così ottenuta come τd = τQ + τX , somma della tensione τQ dovuta alla forza di taglio Q sulla sezione aperta e della tensione τX dovuta alle forze X sulle facce della disconnessione.

Capitolo 4. Problemi semplici

88

Figura 4.13: Per sezioni chiuse non è possibile scegliere sottoinsiemi B ∗ con una sola corda interna.

⊙ ⊙ ⊗

⊗

Figura 4.14: La sezione chiusa di Fig. 4.13 viene pensata come aperta sostituendo alle azioni di contatto sulle facce delle forze incognite X.

3. si ripristina la continuità della sezione imponendo che lo spostamento relativo tra le facce della disconnessione sia nullo: w(T+ ) = w(T− ). Questa equazione chiude il problema permettendo di determinare le forze incognite.

Figura 4.15: La tensione sulla sezione aperta è decomposta nella somma ... In particolare, le quantità introdotte possono essere calcolate come segue. • τQ può essere calcolata tramite la formula di Jourawsky sulla sezione resa aperta; • τX può essere calcolata dalla formula di Jourawsky (4.19) riscritta per Q = 0. Scegliendo un dominio con due corde (vedi ad esempio dominio marrone in Fig. 4.15) si ottiene s(ξ)τX · n(ξ) − sT + τX · n|T + = 0.

4.2 Taglio e torsione

89

Inoltre, per la reciprocità delle tensioni sulla faccia T+ si ha: T23 =

X = T32 = τX · n|T + , LsT +

da cui τX · n(ξ) =

X . L s(ξ)

• Per imporre nullo lo spostamento relativo tra le facce si può usare il principio dei lavori virtuali: Z Z 0 = 1 · w(T+ ) + (−1) · w(T− ) = TX=1 · E = L τX=1 · γ. C

B

Sostituendo nella precedente la relazione costitutiva γ=

τ τQ + τX τQ + X τX=1 = = µ µ µ

otteniamo infine il valore della forza incognita sulle facce della disconnessione Z  Z  X=− (τX=1 · τQ ) / (τX=1 · τX=1 ) B

B

Una volta calcolata la forza incognita X la tensione tangenziale è calcolata come τd = τQ + X τX=1 . La procedura delineata può essere facilmente generalizzata a sezioni con un numero arbitrario di lacune. In generale se m indica il numero delle lacune, si dovranno praticare m disconnessioni introducendo m incognite iperstatiche che saranno determinate imponendo m condizioni di continuità dello spostamento assiale. Si noti inoltre che la procedura delineata permette di calcolare il contributo τd alla tensione, ma non l’eventuale contributo “torsionale” τe . Per il calcolo di quest’ultimo in sezioni con lacune si rimanda alla sezione 4.3.5. 4.2.5

Il calcolo della curvatura torsionale e il concetto di centro di taglio Per determinare se una sezione si torce sotto l’azione di una o più forze di taglio, si calcola la costante Z Mt − a3 · r × τd B e= . (4.21) j Ricordiamo infatti che κt = e/µ è la curvatura torsionale della sezione, vedi Sez. 3.2.8. È evidente che la curvatura torsionale è nulla allorchè il numeratore in (4.21) è nullo. Definiamo il centro di taglio come l’unico punto della sezione per cui Z rCT × Q := r × τd=J −1 Q , ∀Q. (4.22) B

G

ovvero come l’unico punto della sezione in cui qualunque forza di taglio vi sia applicata questa non provoca curvatura torsionale. Dovendo quest’ultima definizione valere per qualunque forza di taglio, scegliendo prima Q = a1 e poi Q = a2 si ottengono le coordinate del centro di taglio come segue: Z Z X1CT = a3 · r × τd=J −1 a2 , X2CT = −a3 · r × τd=J −1 a1 (4.23) B

G

B

G

dove τd=J −1 a2 e τd=J −1 a1 sono le soluzioni in termini di tensioni tangenziali di due problemi G G ausiliari di taglio4 . In (4.21) Mt è il momento torcente delle forze t¯L applicate alla sezione; se il sistema è stato ridotto, come indicato in Sez. 4.2.1, ad un’unica forza di taglio Q applicata nel punto C allora Mt = a3 · rC × Q, 4 Nel

caso di sezioni sottili per la loro stima si può usare l’approssimazione di Jourawsky.

Capitolo 4. Problemi semplici

90

coincide con il momento della forza risultante di taglio. In tal caso usando la definizione (4.23) per la curvatura torsionale si ottiene a3 · (rC − rCT ) × Q e , κt = = µ µj che dimostra come la curvatura torsionale sia proporzionale al braccio della forza di taglio equivalente rispetto al centro di taglio. 4.2.6

Costruzione grafica della tensione di Jourawsky Basandoci sulla formula di Jourawsky (4.18) di seguito riportata A∗ −1 , d = JG Q. c∗ vogliamo delineare alcune proprietà del campo di tensione τJ . Queste proprietà si riveleranno molto utili nella determinazione grafica e qualitativa della tensione in sezioni sottili soggette a taglio. τJ := τd · n = d · (rG − rG∗ )

Proprietà della soluzione di Jourawsky. Per una sezione B aperta e sottile ed un sottoinsieme B ∗ ⊂ B avente un’unica corda interna di lunghezza minimale, detto n l’asse neutro della tensione σ: d · (r − rG ) = 0,

retta passante per G e ortogonale a d,

si ha: 1. valore nullo negli estremi: per ogni sottoinsieme B ∗ di area evanescente (A∗ → 0) la tensione è evanescente τJ → 0. 2. valore nullo negli estremi: per ogni sottoinsieme B ∗ il cui complemento ha area evanescente (A∗ → A) la tensione è evanescente τJ → 0; in tal caso infatti rG∗ → rG . 3. punti di inversione: per ogni sottoinsieme B ∗ il cui baricentro cade sull’asse neutro la tensione normale è evanescente τJ → 0; in tal caso infatti d · (rG∗ − rG ) → 0. 4. linearità del modulo: lungo ogni ramo rettilineo di spessore costante ortogonale a d la tensione τJ varia linearmente in modulo; in questo caso solo l’area A∗ dipende dall’ascissa ξ sul ramo. 5. punti di stazionarietà: in ogni corda che interseca l’asse neutro n la tensione τJ ha un minimo o un massimo locale; in tal caso, infatti, detta ξ l’ascissa sul ramo in esame 0 = −d · (r − rG ) = −σ 0 = div τd '

∂τJ (ξ) , ∂ξ

essendo la variazione ∂τη /∂η della tensione lungo lo spessore evanescente. 6. equivalenza statica: l’integrale sull’area della sezione delle tensioni tangenziali τJ deve essere staticamente equivalente alla forza di taglio applicata Q.

Inoltre, scegliendo un sottoinsieme B ∗ come mostrato in Fig. 4.2.6, si ottiene: 7. flusso nullo nei nodi: In ogni nodo della sezione il flusso netto della tensione è nullo. In effetti, l’area di un tale sottoinsieme B ∗ è dell’ordine dello spessore al quadrato e dunque evanescente nel limite di sezione sottile. Dalla formula di Jourawsky ne segue: X ±si τi = 0 i

avendo indicato con si gli spessori dei rami concorrenti nel nodo (positivi = flussi entranti, negativi = flussi uscenti).

4.2 Taglio e torsione

91

Si invita a tracciare la tensione di Jourawsky nei due casi della Figura seguente senza avvalersi del calcolo, ma a partire dalle proprietà appena enunciate.

Figura 4.16: La tensione di Jourawsky per due forze di taglio differenti sulla medesima sezione.

Capitolo 4. Problemi semplici

92

4.3

Torsione Si parla di torsione allorchè la costante (3.57) Z Ct e= , Ct := Mt − a3 · r × τd j B

(4.24)

risulta non nulla. Come discusso nella Sezione 4.2.5 la coppia torcente Ct a numeratore può essere dovuta: • o all’applicazione di carichi t¯L aventi forza risultante di taglio nulla Q = 0; in tal caso τd = 0 e Ct ≡ Mt . • o all’eccentricità rispetto al centro di taglio della forza risultante Q; in tal caso τd 6= 0 e Ct = a3 · (rC − rCT ) × Q In entrambi i casi, la tensione tangenziale ha il contributo torsionale dato da τe = −e grad ψ,

(4.25)

dove ψ è la funzione di Prandtl soluzione del problema ellittico ∆ψ = −2, su B,

ψ = 0, su ∂B0 ,

ψ = ψ¯α , su ∂Bα ,

(4.26)

e delle condizioni di compatibilità sulle lacune Z ∂ψ = 2Ωα , α = 1, 2...m. ∂Bα ∂n

(4.27)

In (4.24) j rappresenta l’inerzia torsionale Z X j=2 ψ+2 ψ¯α Ωα , B

(4.28)

α

esplicitamente calcolata in (3.62). La sequenza logica per risolvere il problema è quella di determinare ψ come soluzione di (4.26) e (4.27), quindi di calcolare la rigidezza torsionale (4.28) e la costante e (4.24) e finalmente di calcolare la tensione τe (4.25) B 4.3.1

−→

ψ

−→

j

−→

e

−→

τe .

Analogia della membrana Il problema ellittico (4.26) per calcolare la funzione di Prandtl è analogo ad un altro importante problema fisico. In particolare, se si considera una membrana bidimensionale • con configurazione iniziale B ˆ • membranalmente tesa (tensione H 1) • caricata da un carico trasversale uniforme (forza per unità di area p) • incastrata al bordo esterno • incastrata a dei setti rigidi liberi di translare sui bordi di eventiuali lacune interne le equazioni che ne determinano lo spostamento trasversale w sono ∆w = −p/H, su B,

w = 0, su ∂B0 ,

w=w ¯α , su ∂Bα .

(4.29)

Se, allora, riusciamo ad immaginare la soluzione del problema della membrana tale soluzione deve valere anche per l’analogo problema della funzione di Prandtl. 4.3.2

Sezione circolare Si consideri un cilindro di sezione circolare B = {r · r ≤ R2 } soggetto ad una coppia torcente Ct . In tal caso la simmetria del problema (invarianza rispetto a rotazioni con asse a3 e centro il centro della sezione) permette di trovare una soluzione in forma chiusa del problema di Prandtl. Se esprimiamo la funzione di Prandtl in coordinate polari, questa dipende solo dalla coordinata radiale ψ = ψ(ρ, θ) = ψ(ρ).

4.3 Torsione

93

Figura 4.17: La funzione di Prandtl ψ per una sezione circolare (sinistra) e la relativa tensione (destra). Per il problema (4.26) si ottiene allora ∆ψ =

1 1 1 ψ,ρ + ψ,ρρ + 2 ψ,θθ = ψ,ρ + ψ,ρρ = −2, ρ ρ ρ

ψ(R) = 0,

È facile verificare che la soluzione è ψ(ρ) = (R2 − ρ2 )/2. L’inerzia torsionale, vista l’assenza di lacune, vale allora Z Z R π j = 2 ψ = 2π ρ (R2 − ρ2 ) dρ = R4 . 2 B 0 Da quest’ultima ricaviamo la costante e = Ct /j = 2Ct /(πR4 ) e, infine, la tensione tangenziale τe = −e grad ψ =

2Ct ρ aθ . πR4

In effetti, vedi Fig. 4.17, in ogni punto il campo grad ψ punta in direzione del centro della sezione e ha modulo |ψ,ρ | = ρ; dunque in ogni punto la tensione τe ha la direzione circonferenziale aθ e varia linearmente con la distanza dall’origine ρ. La tensione massima è attinta in tutti i punti del bordo esterno e vale kτemax k = 2Ct /(πR3 ). 4.3.3

La sezione rettangolare e le sezioni aperte sottili Consideriamo la torsione di una sezione rettangolare sottile: sia ` la sua larghezza e sia s  ` il suo spessore. Parametrizziamo la larghezza con l’ascissa ξ ∈ [−`/2, `/2] e lo spessore con l’ascissa η ∈ [−s/2, s/2]. Applicando l’analogia della membrana ad una tale sezione ne deduciamo un andamendo della funzione di Prandtl in cui, vedi Fig. 4.19: • il valore massimo della deflessione avviene al centro della sezione η = 0; • la deflessione è nulla ai bordi η = ±s/2; • almeno nella zona centrale, lontana dai bordi ξ = ±`/2, la deflessione è sostanzialmente indipendente dall’ascissa ξ. Ipotizziamo allora una soluzione del tipo  2  s ψ(ξ, η) = c − η2 (4.30) 4 che rispetta le caratteristiche elencate e calcoliamo la costante c incognita soddisfacendo l’equazione (4.26). Facilmente si ha −2 = ∆ψ = ψ,ξξ + ψ,ηη = −2c da cui si deduce c = 1.

Capitolo 4. Problemi semplici

94

Figura 4.18: La funzione di Prandtl ψ per una sezione rettangolare e l’analoga membrana.

Figura 4.19: Gli andamenti della funzione di Prandtl ψ(ξ, η) nei piani ξ = cost.

Calcoliamo quindi l’inerzia torsionale Z j=2

Z

`/2

Z

s/2

ψ=2 B

−`/2

−s/2



  2 s/2 s2 s η η3 ` s3 2 − η dηdξ = 2` − = , 4 4 3 −s/2 3

(4.31)

da cui e = 3Ct /(`s3 ). Da ultimo possiamo calcolare la tensione tangenziale come grad ψ = −2ηa2 ,

⇒

τe = −e grad ψ =

3Ct 2η a1 , `s3

(4.32)

una distribuzione a media nulla sullo spessore (vedi Fig. 4.20), il cui valore massimo è attinto ai bordi η = ±s/2 e vale kτe kmax = 3Ct /(`s2 ).

Figura 4.20: Curve isolivello della funzione di Prandtl per una sezione rettangolare. Notiamo che la soluzione (4.30) non tiene conto delle due zone vicino agli estremi ξ = ±`/2 dove la funzione di Prandtl deve necessariamente andare a zero per rispettare la condizione sul bordo esterno. In questo senso tale soluzione è approssimata e diviene asintoticamente corretta solo nel limite `/s → ∞. In tal caso, infatti, il peso delle zone dove commettiamo l’errore diventa asintoticamente evanescente rispetto alla sezione tutta.

4.3 Torsione

95

Se si considerano tali strati limite si ottiene un valore dell’inerzia torsionale minore ed un valore della tensione massima maggiore. In particolare si ha j=

` s3 , β(`/s)

kτe kmax = α(`/s)

Ct . ` s2

La Figura 4.21 mostra il grafico delle funzioni β(`/s) (curva nera) e α(`/s) (curva grigia): sostanzialmente per sezioni in cui ` > 5 s un valore α ' β = 3.5 è conservativo. 7

6

5

4

3 0

5

10

15

20

Figura 4.21: Le correzioni α (curva grigia) e β (curva nera) per sezioni rettangolari con rapporto d’aspetto `/s finito. . 4.3.4

Le sezioni sottili aperte di forma generica Tutte le sezioni sottili ottenute attraverso l’inspessimento costante di curve (anche spezzate) sono assimilabili ai risultati ottenuti per la sezione rettangolare. In effetti, se si usa l’analogia della membrana su una sezione come quella mostrata in Fig. 4.22, ci si rende facilmente conto che in ogni sezione trasversale alla linea media la dfelssione della membrana ha il medesimo profilo ottenuto in Fig. 4.19.

Figura 4.22: Una sezione sottile aperta assimilabile ad una sezione rettangolare . Dunque, purchè ` sia lo sviluppo dell’intera linea media, possiamo usare per calcolare inerzia torsionale e tensioni tangenziali le espressioni (4.31) e (4.32). Una maggiore attenzione richiedono le sezioni in cui lo spessore vari lungo la linea media. In tal caso, conviene pensare la sezione come unione di più parti B = ∪i Bk ciascuna con spessore costante sk . Imponendo che la curvatura torsionale sia la medesima per tutte le parti Ct Ct1 Ctk e= = ... = = ... j j1 jk ne deduciamo che la percentuale di momento torcente assorbita dalla generica parte Bk varia in ragione delrapporto tra la sua rigidezza torsionale jk e la rigidezza torsionale totale: X jk Ctk = Ct , j= jk . j k

Capitolo 4. Problemi semplici

96 4.3.5

Le sezioni sottili multiconnesse Il problema per la funzione di Prandtl si scrive ∆ψ = −2 su B,

ψ = 0 su ∂B0 ,

ψ = ψ¯α su ∂Bα ,

Z ∂Bα

∂ψ = 2Ωα , ∂n

α = 1, 2...m. (4.33)

L’equazioni sui bordi impongono che la funzione di Prandtl vari dal valore nullo sul bordo esterno al valore ψ¯α sul bordo ∂Bα della lacuna α-esima. Nel limite di sezioni sottili s  D facciamo l’ipotesi le variazioni della funzione di Prandtl sia approssimabile linearmente sugli spessori. Sotto tale ipotesi la conoscenza della funzione di Prandtl sull’intera sezione è ricondotta alla conoscenza dei valori costanti sui bordi delle lacune e dunque ad un problema discreto con m incognite. In effetti, noti ψ¯α=1,...m , possiamo conoscere ψ(x) per x ∈ B semplicemente riconoscendo a quale ramo della sezione il punto x appartiene e quindi interpolando linearmente tra i valori delle lacune che tale ramo divide, vedi linee grigie nella Fig. 4.23.

Figura 4.23: Una sezione con due lacune: nel limite di sezione sottile l’interpolazione sullo spessore è supposta lineare (linee grigie) . Una tale interpolazione permette inoltre di stimare l’integrando ∂ψ/∂n in (4.33)4 sui bordi delle lacune. In effetti, con riferimento ai versi delle normali in Fig. 4.23, abbiamo: • nel punto A1 ∈ ∂B1 e in ogni punto del medesimo ramo, ∂ψ/∂n ' (ψ¯1 − 0)/s • nel punto B1 ∈ ∂B1 e in ogni punto del medesimo ramo, ∂ψ/∂n ' (ψ¯1 − ψ¯2 )/s • nel punto B2 ∈ ∂B2 e in ogni punto del medesimo ramo, ∂ψ/∂n ' (ψ¯2 − ψ¯1 )/s • nel punto C2 ∈ ∂B2 e in ogni punto del medesimo ramo, ∂ψ/∂n ' (ψ¯2 − 0)/s Le equazioni di compatibilità (4.33)4 si riscrivono allora:      2Ω1

Z = ∂B1

Z

    2Ω2

= ∂B2

∂ψ ψ¯1 − 0 ψ¯1 − ψ¯2 ' · 3H + ·H ∂n s s ∂ψ ψ¯2 − ψ¯1 ψ¯2 − 0 ' ·H + · 7H ∂n s s

(4.34)

Tali equazioni costituiscono un sistema lineare nelle due incognite ψ¯1 e ψ¯2 . Nel caso specifico          H 4 −1 ψ¯1 1 ψ¯1 0.71 2 = 2H ⇒ = Hs −1 8 ψ¯2 3 ψ¯2 0.84 s Una volta ottenute le costanti ψ¯α=1,...m l’inerzia torsionale si calcola come segue Z X X j =2 ψ+2 ψ¯α Ωα ' 2 ψ¯α Ωα , B

α

(4.35)

α

ovvero trascurando l’integrazione della funzione di Prandtl sul domino della sezione. In effetti nel limite di sezione sottile tale constributo è proporzionale all’area della sezione B e dunque allo

4.3 Torsione

97

spessore, mentre il secondo contributo è proporzionale all’area delle lacune. In altri termini il rapporto Z 2 ψ s P B ∝ D 2 α ψ¯α Ωα è evanescente nel limite s/D → 0. Una volta calcolata la costante e = Ct /j, è possibile valutare la tensione valutando i gradienti della funzione di Prandtl τ = −e grad ψ. In effetti, con riferimento alla Fig. 4.24: • nel punto A e in ogni punto della medesima corda, si ha (grad ψ) ' (ψ¯1 /s) a1 da cui segue τA ' −(eψ¯1 /s)a2 • nel punto B e in ogni punto della medesima corda, si ha (grad ψ) ' ((ψ¯2 − ψ¯1 )/s) a1 da cui segue τB ' −(e(ψ¯2 − ψ¯1 )/s))a2 • nel punto C e in ogni punto della medesima corda, si ha (grad ψ) ' −(ψ¯2 /s) a1 da cui segue τC ' (eψ¯2 /s)a2

Figura 4.24: Calcolo della tensione tangenziale a partire dalla conoscenza dei gradienti di ψ. Si noti che, con il metodo di soluzione qui proposto, il bilancio del flussi di tensione nei nodi risulta banalmente verificato. Ad esempio, il flusso netto nel nodo superiore, evidenziato in Fig. 4.24, è:   +τC s − τB s − τA s = e ψ¯2 − (ψ¯2 − ψ¯1 ) − ψ¯1 . 4.3.6

Sezioni alla Bredt Con l’appellativo di sezione alla Bredt si intende indicare una sezione sottile con una sola lacuna. In tal caso l’equazione di compatibilità (4.33)4 si risolve facilmente per ottenere il valore della funzione di Prandtl sul bordo interno della lacuna5 2Ω ψ¯ = I , 1 dξ s(ξ)

(4.36)

Per l’inerzia torsionale si ha allora j ' 2 ψ¯ Ω = I

4 Ω2 . 1 dξ s(ξ)

(4.37)

anche nota come “seconda formula di Bredt”. Per le tensioni tangenziali, notando che e = Ct /j = ¯ Ct /(2ψΩ), si ottiene τ (ξ) = −e grad ψ ' e

Ct ψ¯ c(ξ) = c(ξ) s(ξ) 2 Ω s(ξ)

(4.38)

espressione nota come “prima formula di Bredt”. Nella formula precedente c(ξ) è il vettore tangente alla linea media della sezione all’ascissa ξ; in effetti il campo vettoriale (grad ψ) in ogni punto della sezione ha la direzione dello spessore ed è dunque ortogonale alla linea media, vedi Fig. 4.25. 5 Qui

e nel seguito omettiamo il pedice 1 visto che facciamo riferimento ad un’unica lacuna.

Capitolo 4. Problemi semplici

98

Figura 4.25: Il flusso della tensione in una sezione alla Bredt. Si nota che la formula di Bredt implica un flusso della tensione costante lungo la linea media: Ct ; τ (ξ1 )s(ξ1 ) = τ (ξ2 )s(ξ2 ) = e ψ¯ = 2Ω Le corde maggiormente sollecitate sono dunque quelle dove lo spessore è minore. 4.3.7

Correzione per sezioni “meno” sottili L’approssimazione lineare sullo spessore   1 η 2Ω ¯ ψl (η) = ψ + , , ψ¯ = I 1 2 s dξ s(ξ)

(4.39)

usata nelle precedenti sezioni per approssimare la funzione di Prandtl è valida asintoticamente nel limite s/D → 0. Essendo il laplaciano di una funzione lineare nullo, tale approssimazione viola l’equazione di compatibilità nel dominio della sezione ∆ψ = 0 6= −2. Introduciamo di seguito una approssimazione migliore della soluzione che verifica tutte le equazioni di compatibilità. Per semplicità discutiamo del caso di una sezione alla Bredt, ma il medesimo ragionamento può essere esteso al caso di sezioni multiconnesse. L’approssimazione quadratica sullo spessore   1 η s2 η2 2Ω , (4.40) ψq (η) = ψ¯ + + ¯− ¯ , ψ¯ = I 1 2 s 4ψ ψ dξ s(ξ) verifica tutte le condizioni (4.33) compresa l’equazione di compatibilità visto che ψ,ηη = −2. Il grafico della funzione ψq (η) in (4.40) è mostrato in Fig. 4.26 per diversi valori del rapporto di ¯ aree s2 /ψ. Possiamo stimare l’errore commesso con l’approssimazione lineare al centro dello spessore ovvero per η ' 0. Per una sezione alla Bredt si ottiene I ψq (0) − ψl (0) s2 s2 1 = ¯= dξ, ψl (0) 4Ω s(ξ) 2ψ e se lo spessore è costante ψq (0) s` =1+ , ψl (0) 4Ω essendo ` il perimetro della lacuna. La formula precedente fornisce una stima dell’errore connesso all’uso dell’approssimazione lineare e ci conferma che tale errore tende a zero linearmente con lo spessore.

4.3 Torsione

99

Figura 4.26: Correzione quadratica (4.40) sullo spessore della funzione di Prandtl in una sezione alla Bredt. Implementazione per sezioni con numero di lacune arbitrario

Notiamo infine che il metodo di soluzione proposto in Sez. 4.3.5 si presta ad una semplice implementazione computazionale per sezioni con un numero di lacune arbitrario. È facile verificare che condizioni per la congruenza nelle lacune si possono infatti scrivere I X Z Cαi Cβi ∂ψ X = Mαβ ψ¯β = 2Ωα , Mαβ := dξ Γi si (ξ) ∂Bα ∂n i β

dove Γi indica il ramo   +1 0 Cαi =  −1

i-esimo e i coefficienti Cαi sono definiti se il ramo i appartiene al ciclo α ed è percorso in senso positivo se il ramo i non appartiene al ciclo α se il ramo i appartiene al ciclo α ed è percorso in senso negativo

Tali coefficienti vengono solitamente utilizzati nella teoria dei grafi per indicare quali rami concorrono a formare ciascun ciclo nel grafo e costituiscono la matrice di connettività del grafo. Un tale approccio permette di risolvere sezioni con un numero arbitrariamente grande di lacune in modo efficiente. Inoltre permette di non limitare la scelta dei percorsi su si impone la congruenza ai bordi delle lacune; una qualunque base di cicli sul grafo che definisce la connessione della sezione è infatti equivalente, vedi [7]. Ad esempio, nella sezione con 11 lacune di Fig. 4.27, la soluzione ci

Figura 4.27: I valori della fuzione di Prandtl in una sezione con 11 lacune (sinistra) e i relativi flussi normalizzati delle tensioni tangenziali (destra). . suggerisce una base di soli tre cicli sufficiente al calcolo della congruenza: i bordi delle tre zone dove ψ attinge un valore costante.

5. Applicazione alla teoria della trave

Visto che la soluzione del problema di dSV è fissata univocamente una volta scelte le risultati di forze e momenti sulle basi, viene naturale formulare una teoria più semplice in cui la descrizione dello stato di sforzo nel corpo sia affidata alle sole risultanti della tensione. In particolare, le grandezze Z Z Z Z N (z) := σ, Q(z) := τ , Mf (z) := r × σ a3 Mt (z) := a3 · r × τ (5.1) B(z)

B(z)

B(z)

B(z)

che descrivono le risultanti di forze e momenti sulla generica sezione B(z) del cilindro, assumono il ruolo di protagoniste nel descrivere la sollecitazione del modello di trave. A partire dalla soluzione di dSV, ricaviamo nel seguito, le equazioni di bilancio, l’energia elastica e il legame costitutivo per tali caratteristiche della sollecitazione. Questi ingredienti sono essenziali per formulare un modello di trave che sia in accordo con la soluzione tridimensionale del problema di de Saint Venant.

5.1

Equazioni di bilancio per un modello di trave Dalle equazioni di bilancio (3.13)  0 τ =0 su C div τ + σ 0 = 0

(5.2)

si evince facilmente che (essendo τ indipendente da z): 0

Q =

!0

Z τ

Z =

B(z)

0

τ = 0,

Mt0

B(z)

!0

Z r · τ

=

B(z)

Z =

r · τ0 = 0

(5.3)

B(z)

ovvero, in assenza di forze di volume, la forza di taglio Q ed il momento torcente Mt rimangono costanti lungo la trave. Inoltre, usando l’ultima equazione di bilancio, il teorema della divergenza e la condizione di mantello scarico otteniamo: !0 Z Z Z Z N0 =

σ B(z)

=

σ0 = −

B(z)

div τ = − B(z)

τ · n = 0. ∂B(z)

(5.4)

Capitolo 5. Applicazione alla teoria della trave

102 Infine per il momento flettente si ottiene: Mf0

!0

Z =

−

Z

σ0 r =

=−

σr B(z)

B(z)

Z (div τ ) r.

(5.5)

B(z)

Integrando la precedente per parti, div (r ⊗ τ ) = (div τ ) r + τ , si ottiene ancora: Z Z Z 0 Mf = div (r ⊗ τ )− τ = r (τ · n) − Q = − Q. B(z)

B(z)

(5.6)

∂B(z)

Riassumendo, nella soluzione di Saint Venant le equazioni di equilibrio per le caratteristiche della sollecitazione sono:  0 N = 0,      Q0 = 0, ⇒ Q01 = 0 e Q02 = 0, (5.7) 0 Mt = 0,      M0f + Q = 0, ⇒ Mf0 1 − Q2 = 0 e Mf0 2 + Q1 = 0, da cui integrando a partire dalla base BL otteniamo: N (z) = NL , Mt (z) = MtL ,

Q1 (z) = QL1 ,

Q2 (z) = QL2 ,

Mf 1 (z) = Mf L1 − Q2 (L − z),

(5.8)

Mf 2 (z) = Mf L2 + Q1 (L − z).

(5.9)

***************************************************PAOLONE εo = (a − b · rG )/Y,

κ0 = d/Y,

κ = b/Y,

m = Mf ,

t = Q,

κt = e/µ

y=r

***************************************************

5.2

Energia elastica L’energia elastica per unità di linea immagazzinata nel solido di dSV è  Z Z  2 1 1 σ τ ·τ Ee = T ·E = + 2 B 2 B Y µ Poichè σ e τ sono funzioni lineari delle risultati sulle basi è evidente che Ee è una forma quadratica delle 6 risultanti N , Q, Mf e Mt . E’ possibile scegliere un riferimento sul solido di dSV che diagonalizzi la forma quadratica Ee = Ee (N, Mf , Q, Mt )?    1  Ee =  2   

c−1 N 0 0 0 0 0

0 c−1 M1 0 0 0 0

0 0 c−1 M2 0 0 0

0 0 0 c−1 Q1 0 0

0 0 0 0 c−1 Q2 0

0 0 0 0 0 c−1 Mt

       

N Mf 1 Mf 2 Q1 Q2 Mt

        ·      

N Mf 1 Mf 2 Q1 Q2 Mt

       

Supponiamo, senza scapito di generalità, le forze N e Q applicate nel punto o scelto come origine del riferiminento. I momenti flettenti Mf ed il momento torcente Mt saranno evidentemente calcolati con polo in o. L’espressione completa della tensione normale è σ(r, z) =

N −1 + JG [ Mf − N rG ] · (r − rG ), A

5.2 Energia elastica

103

da cui con semplici calcoli 1 2

Z B

1

σ2 = Y

1 2



J −1 ( Mf − N rG ) · ( Mf − N rG ) N2 + G YA Y



Dalla precedente equazione facilmente desumiamo che la densità di energia elastica si scrive: Z 2 1 1 σ Eeσ = = (N ¯o + Mf · κ ¯B ) 2 B Y z'L 2 dove abbiamo definito   −1 JG rG N 1 −1 ¯o := + JG rG · rG + · Mf , Y A Y

κ ¯ B := N

−1 JG J −1 rG + G Mf . Y Y

Si noti che queste espressioni "energetiche" coincidono con le espressioni calcolate in precedenza, integrando le equazioni di congruenza, dell’allungamento della fibra in o, o = a/Y , e della curvatura, κB = b/Y . Se solo se o ≡ G e gli assi sono principali di inerzia, allora o ≡ G =

N , YA

κB1 =

Mf 1 , Y J22

κB2 =

Mf 2 , Y J11

e dunque l’energia relativa alla pressoflessione è diagonale: Eeσ

1 = 2

Mf21 Mf22 N2 + + Y A Y J22 Y J11

! .

Per quanto riguarda invece il taglio Q ed il momento torcente Mt , scegliamo per semplicità una sezione sottile aperta2 . Osserviamo che: • τ = τQ + τt e dunque τ · τ = τQ · τQ + τt · τt + 2 τQ · τt • in media su ogni corda τQ ·Rτt = 0 essendo τt a media R R nulla e τQ indipendente dalla coordinata lungo lo spessore; dunque B τ · τ = B τQ · τQ + B τt · τt • τQ è proporzionale a Q ma indipendente da Mt • τt è proporzionale ad e e dunque proporzionale a Z Mt − a3 · r × τQ = Mt − rCT · Q B

dove CT è il centro di taglio. Dunque, poichè il taglio è supposto applicato in o, il termine misto, bilineare in Q e Mt , è nullo se e solo se CT ≡ o. Inoltre, assumendo per una sezione sottile valida l’approssimazione di Jourawsky, τQ ≡ τJ =

1 [J − A rG ⊗ rG ]−1 Q · (rG − rG∗ ) A∗ . c∗

Allora, con semplici calcoli si ottiene Z 1 τQ · τQ 1 F−1 = ... = Q · Q. 2 B µ 2 µ 1 Si

noti che:

Z B

Z h B 2 In

−1 −1 N JG u · (r − rG ) = N JG u·

i2 −1 −1 JG u · (r − rG ) = JG

Z B

Z (r − rG ) = 0, B

 −1 −1 (r − rG ) ⊗ (r − rG ) JG u · u = JG u · u,

questo modo sappiamo dare un’espressione esplicita a τQ tramite la formula di Jourawsky.

Capitolo 5. Applicazione alla teoria della trave

104

dove, posto JG = J − A rG ⊗ rG , il tensore F è definito Z  F := JG Γ

 −1 A∗ (ξ)2 ∗ ∗ JG . (r − r (ξ)) ⊗ (r − r (ξ)) dξ G G G G c∗ (ξ)

Si dimostra facilmente che F ∈ P Sym e dunque è diagonalizzabile e ha autovalori positivi, diciamo η1 e η2 . Le direzioni che diagonalizzano F si chiamano direzioni principali di taglio: evidentemente se, e solo se, gli assi del sistema di riferimento coincidono con gli assi principali di taglio il termine misto, Q1 Q2 , non appare nell’energia. In definitiva scegliendo un riferimento centrato nel centro di taglio e con gli assi principali di taglio diagonalizziamo i contributi di taglio e torsione all’energia:   Z 1 τ ·τ 1 Mt2 Q2 Q2 Eeτ = = ... = + 1 + 2 2 B µ 2 µj µ η2 µ η1  Z  P con j := 2 ψ la rigidezza torsionale. i ψi Ωi + B

Dalla soluzione del problema e dalla precedente discussione si evince che: • Il baricentro G è un punto speciale per i problemi di presso-flessione, mentre il centro di taglio CT é un punto speciale per i problemi di taglio e torsione. • Ai fini della soluzione del problema non è necessario scegliere o ≡ G oppure o ≡ CT . • La condizione o ≡ G ≡ CT è necessaria, ma non sufficiente per diagonalizzare l’energia come forma quadratica costruita sulle risultanti. Anche in sezioni relativamente semplici l’energia non è diagonalizzabile (spesso G 6= CT ).

Sì

No

No

No

Referenze

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