Lezioni di Meccanica Quantistica [2 ed.] 9788846743107, 8846743105

Citation preview

Luigi E. Picasso

Lezioni di

Meccanica Quantistica

Luigi E. Picasso

Lezioni di

Meccanica Quantistica

Edizioni ETS

www.edizioniets.com

© Copyright 2000 Nuova edizione 2015 EDIZIONI ETS

Piazza Carrara, 16-19, 156126 Pisa [email protected]

www.edizioniers.com Distribuzione

Messaggerie Libri SPA

Sedelegale: via G. Verdi8 - 20090 Assago (MI) Promozione PDE PROMOZIONE SRL

via Zago 2/2 - 40128 Bologna ISBN 978-884674310-7

Indice

1

La Crisi della Fisica Classica

1.1 Modelli Atomici ...........L 0 1

1.2 Il Problema delle Dimensioni Atomiche e del Collasso per Irraggiamento 4 1.3 Difficoltà Connesse con i Calori Specifici ............... 0 7 1.4 L’Effetto Fotoelettrico LL... 11 2

Da Einstein a de Broglie 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

3

14 16 17 19 23 25 31 35

Introduzione ai Postulati della Meccanica Quantistica 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

4

IFotoni ..........L’Effetto Compton ...... Li Generalità sugli Spettri. Le Ipotesi di Bohr ................ I Livelli Energetici dell’Idrogeno Secondo Bohr ....................... Livelli dell’Oscillatore e di una Particella su un Segmento ............. Teorie di Einstein e di Debye dei Calori Specifici dei Solidi ............ I Calori Specifici dei Gas ....... 002 Comportamento ondulatorio delle particelle: esperimenti di Bragg e di Davisson e Germer ........... Introduzione ............L 000 L’Interferometro di Mach e Zehnder ......... 00 Esperimenti di Interferenza con Singoli Fotoni .......... LL Descrizione degli Stati di Polarizzazione di un Fotone ................. Discussione degli Esperimenti con il Polaroid ..............-0 000. Misure Compatibili e Misure Incompatibili. Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg .............

39 40 41 45 4T 52

I Postulati della Meccanica Quantistica 4.1 4.2 4.3 44 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Il Principio di Sovrapposizione ..........OSservabili Liu... REA REESE RESTARE AE ai ii Probabilità di Transizione ........ LL Conseguenze e Postulato di von Neumann ........... 00 Operatori Associati alle Osservabili .........i.0 00 Proprietà degli Operatori Associati alle Osservabili ................... Digressione sulla Notazione di Dirac ..........-L LL Valori Medi ............. Li Stati Puri e Miscele Statistiche .........0 00 Osservabili Compatibili ........0 020

56 58 61 62 66 68 70 72 T4 18

IV

Indice 4.11 Relazioni di Indeterminazione i... iii 82

4.12 Postulato di Quantizzazione ..................... Dili 83 5

L’Oscillatore Armonico

5.1 Positività degli Autovalori dell'Energia... 87 5.2 I Livelli Energetici dell’Oscillatore Armonico Li... 89

6

Teoria delle Rappresentazioni 6.1 Rappresentazioni Li... 93 6.2 La Rappresentazione di Heisenberg per l’Oscillatore Armonico ........ 96 6.3 Trasformazioni Unitarie e il Teorema di von Neumann ................ 97 6.4 La Rappresentazione di Schròdinger: Considerazioni Preliminari ..... 101

6.5 La Rappresentazione di Schrédinger ...............0.0ei 103 6.6 Interpretazione Fisica delle Rappresentazioni di SchrSdinger e degli Impulsi Li... 109 6.7 Gli Autovettori Impropri delle g; e delle pi LL... 112 6.8 Relazione fra le Rappresentazioni delle Coordinate e degli Impulsi ... 115

6.9 Le qg e le p come Osservabili LL... 118 7.

L’Equazione di Schròdinger per Sistemi Unidimensionali 7.4 La Hamiltoniana della Particella Libera ...........0. 0 7.2 Il teorema di Degenerazione. Inversioni Spaziali .............000.. 7.3 Caratteristiche Generali delle Soluzioni dell’Equazione di Schrédinger nel Caso Unidimensionale ...........0 0 T.4 Le Soluzioni dell’Equazione di Schròdinger: Autovalori Discreti ...... 7.5 Le Soluzioni dell’Equazione di Schròdinger: Autovalori Continui .....

122 124 127 130 133

8.

Sistemi Unidimensionali 8.1 L’oscillatore armonico unidimensionale in Rappresentazione di Schréòdinger ......... i 137 8.2 Buca di Potenziale .......0. 00 140 8.3 L’Effetto Tunnel ........ bi 144

9

Evoluzione Temporale 9.1 L’Evoluzione Temporale nello Schema di Schròdinger ................ 149 9.2 L'Evoluzione Temporale nello Schema di Heisenberg ................. 155 9.3 Il Limite Classico della Meccanica Quantistica Li... 158

10

Il Momento Angolare 10.1 Il Momento Angolare: Regole di Commutazione .................,. 162 10.2 Il Momento Angolare: Autovalori LL... 000 165

10.3 Operatori di Rotazione ........... 168 10.4 Il Momento Angolare Orbitale iL... 169

11

Particella in Campo Centrale 111 L’Equazione di Schrédinger in Campo Centrale ..................0... 173 11.2 Sistemi di Due Particelle: Separazione delle Variabili ................. 176

11.3 Livelli Energetici degli Idrogenoidi ..........-0. Li 179

11.4 L’Oscillatore Armonico Tridimensionale Isotropo .................... 184

Indice

12

Perturbazioni ai Livelli Energetici

12.1 Teoria delle Perturbazioni: Trattazione Euristica ............---.0.0.- 187 12.2 L’Effetto Stark nell’Idrogeno i... 190 12.3 Teoria delle Perturbazioni al Primo Ordine: Trattazione Formale ..... 195 12.4 Teoria delle Perturbazioni al Secondo Ordine e il Caso dei Livelli Quasi Degeneri ..........0.L 197

13

Transizioni Elettromagnetiche 13.1 Introduzione .......... Li 13.2 La Teoria delle Perturbazioni per l’Evoluzione Temporale ............ 13.3 La Teoria Semiclassica dell’Irraggiamento LL... 13.4 L’Emissione Spontanea ............. 13.5 Transizioni di Dipolo Elettrico ............0 00 13.6 Regole di Selezione I ...........L 13.7 Atomo in Campo Magnetico: l’Effetto Zeeman Normale .............. 13.8 Polarizzazione e Distribuzione Angolare della Radiazione Emessa .... 13.9 La Vita Media del Livello n = 2 dell’Atomodi Idrogeno .............

14

Introduzione alla Fisica Atomica 14.1 L’Approssimazione di Campo Centrale .............00 00 228 14.2 Il Metodo Variazionale ...........- 0 14.3 Il Livello Fondamentale dell’Elio .............-- 000 14.4 Gli Atomi Alcalini ......... 00 14.5 Trattazione Quantistica degli Atomi Alcalini LL... 00/00

15

Sistemi Composti. Il Principio di Pauli 15.1 Lo Spazio degli Stati per un Sistema di più Particelle: Prodotto Tensoriale di Spazi di Hilbert ...........-.0 0 15.2 Lo Spin dell’Elettrone .......... 000 15.3 Composizione di Momenti Angolari ............- 00 15.4 Il Principio di Esclusione di Pauli ........--0

16

Atomi con più Elettroni

201 202 205 208 211 213 217 221 224

16.1 I Livelli dell’Atomo di Elio .......0 02/0

16.2 Classificazione dei Livelli Atomici LL... 16.3 Relazione fra Configurazione Elettronica e Termini Spettroscopici:

l’Atomo di Carbonio .......... 0000

16.4 Interazione Spin-Orbita. Struttura Fine dei Livelli ................... 16.5 Gerarchia dei Numeri Quantici. Regole di Selezione II ............... 16.6 Atomo in Campo Magnetico: l’Effetto Zeeman Anomalo ............. 17

Teoria Elementare dello Scattering 17.1 Introduzione ......... LL 17.2 La Sezione d’Urto Li... 17.3 Il Caso Unidimensionale ......... 000 17.4 Il Caso Tridimensionale ..........- 0 17.5 Il Teorema Ottico ......0. 00 300 17.6 Potenziale Centrale Li... 302

VI

Indice

17.7 Applicazioni ........ RETTE ETRO OTO RTOTOGTOTEINUTTTTTTTTTE 305

17.8 Urto fra Particelle Identiche ....................... die 308

17.9 Il Teorema di Reciprocità e il Bilancio Dettagliato ...l........-.0.... 310

18

I Paradossi della Meccanica Quantistica | 18.1 Introduzione ............. 0 Lie 18.2 La Scatola di de Broglie ............... Lili 18.3 Il Gatto di Schròdinger i... 18.4 Cos'è una Misura? i... 18.5 Il Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen ..........- 00 18.6 Il Teorema di Bell ...........0L0

312 313 315 316 317 320

Appendice - Valori Numerici delle Costanti ................. VT 323 Indice Analitico ......... Lib 325

Prefazione

Questo libro è una riedizione, anche se con titolo diverso e con alcune integrazioni, delle Lezioni di Istituzioni di Fisica Teorica stampate nel lontano 1974. La qualità delle successive ristampe andava progressivamente peggiorando fino a diventare in alcuni punti quasi illeggibile: si deve alla cortese ma ferma insistenza dell'amico e collega Emilio d’Emilio se finalmente mi sono deciso (sarebbe più giusto dire: sono stato costretto) a rimettere le mani sulla vecchia dispensae a riproporla in una veste tipograficamente più accettabile. Questo compito mi è stato enormemente facilitato e reso gradevole dalla costante e validissima collaborazione di d’Emilio che mi ha aiutato e seguito passo passo in questo lavoro con suggerimenti e consigli, frutto della sua lunga esperienza con gli studenti impegnati nello studio di questa materia. I (non molti) cambiamenti e le aggiunte rispetto all’edizione del 1974 erano quasi d’obbligo e tengono conto del fatto che i tempi sono cambiati e i programmidi ora non sono i programmi di allora: per questo motivo abbiamo ritenuto (questo non è un “pluralis modestiae: i suggerimenti di d’Emilio hanno avuto un ruolo essenziale) di dare una veste più completa alla nuova edizione; ciò nonostante diversi argomenti importanti non sono stati inseriti neppure in questa edizione (per esempio: la teoria del corpo nero, l’approssimazione WKB, l’esperimento di Stern e Gerlach, le disuguaglianze di Bell ...), purtuttavia riteniamo che il contenuto di questo libro vada un po’ oltre quello che dovrebbe essere il programma di un normale corso annuale del terzo anno di Fisica. Esistono tanti ottimilibri di Meccanica Quantistica molto più completi di questo testo che è stato scritto esclusivamente con l’obiettivo di aiutare lo studente nel suo primo approccio con questa bellissima, anche se non facile, materia: fino ad ora sembra che questa impostazione abbia raccolto il favore degli studenti e mi auguro che ciò continui ad essere vero anche per questa edizione. Quando negli anni fra il 1970 e il 1974 scrissi la prima edizione di questo libro ero molto più giovane di ora e molto di quello che sapevo lo avevo imparato da coloro che mi avevano preceduto nell’insegnamento di questa materia e che furono, e ancora, oggi considero, i miei maestri: L.A. Radicati, E. Fabri e F. Bassani; a loro un sentito ringraziamento per tutto quello che mi hanno insegnato. Pisa, Ottobre 2000

Prefazione alla seconda edizione

A rigor di termini questa dovrebbeesserela terza edizione, se consideriamo come prima edizione quella, che solo pochi avranno conosciuto, ciclostilata su fogli più grandi degli AA e conle formule scritte a mano, successivamente fotocopiata in formato ridotto. Comunquesia, questa nuova edizione è un ampliamento della precedente, quella del 2000. Alcune parti sono state riscritte: per esempio, la relazione fra le trasformazioni canoniche e quelle unitarie, con un accenno all'importante teorema di von Neumann sull’equivalenza delle rappresentazioni irriducibili dell’algebra delle osservabili; un ri ferimento al teorema di no-crossing di Wigner e von Neumannalla fine del capitolo

16.

i

i

Oltre alle cose citate sopra e a poche altre minori, è stato aggiunto un capitolo di introduzione alla teoria dello scattering: è un argomento molto importante e molto vasto, ma mi sono limitato agli aspetti di base. Un'altra aggiunta è l’ultimo paragrafo del libro, dedicato, anche se un po’ troppo sbrigativamente, al lavoro di J. Bell e agli esperimenti del gruppo di Orsay (A. Aspect et al.) sull’impossibilità di un completamento causale e locale della meccanica quantistica. La conclusione del libro ha carattere provocatorio e scioccante, ma non è farina del mio sacco! Pisa, Agosto 2015

Capitolo 1 La Crisi della Fisica Classica

1.1 Modelli Atomici Riassumiamo brevemente alcune fasi dello sviluppo delle nostre conoscenze sulla struttura dell'atomo, presentando quelle che erano nozioni acquisite alla fine del XIX secolo. e

e

L'’ipotesi dell’esistenza degli atomi fu introdotta per spiegare le due leggi fondamentali della chimica: quella delle proporzioni fisse e quella delle proporzioni multiple. i Ad ogni elemento chimico corrisponde dunque un tipo di atomo. Il fenomeno dell’elettrolisi, l’effetto termoionico, l’effetto fotoelettrico, la conduzione elettrica nei gas e nei metalli, il fatto che gli atomi sono in grado di assorbire ed emettere luce, cioè onde elettromagnetiche, ecc. mostrano la necessità di ammettere che gli atomi, di per se stessi neutri, contengono cariche positive e negative. Le cariche negative contenute negli atomi sono dovute a corpuscoli tutti uguali fra loro, detti elettroni. Ciò è provato dal fatto che le misure di massa e di carica eseguite sulle cariche negative estratte con diversi metodi (effetto termoionico, fotoelettrico ecc.) e dagli atomi più disparati, forniscono sempre lo stesso risultato.

Il rapporto e/ms (carica/massa dell’elettrone) è stato misurato da J.J. Thomson (spettrometro a campoelettrico e magnetico); successivamente Millikan misurava e. Riportiamo i valori di mx e di e:

me = 0.9 x 10727 g © 10727 g e=1.6x 10719 C=4.8 x 107!" ues (unità elettrostatiche) (con e indicheremo sempreil valore assoluto della carica dell’elettrone).

Approfittiamo per richiamare la definizione di una unità di energia estremamente significativa in fisica atomica, l’elettronvolt (eV): 1eV è uguale all’energia cinetica che guadagna un elettrone quando passa da un punto ad un altro fra i quali vi sia una differenza di potenziale di un volt. Ne segue che

L1eV= 1.6 x 1079 Cx 1V= 1.6 x 10719 J= 1.6 x 107!°erg.

2

1 La Crisi della Fisica Classica

Siccome in un grammo-atomo di qualunque elemento sono contenuti Na = 6.02 x 1023 atomi (N è il numero di Avogadro), si può ricavare la massa di un'atomo. Perl’idrogeno H, ad esempio, di peso atomico A = 1, si ha chiaramente ‘

Mg=N;!g=1.7x107g,

My=1836m.

Questo insegna che in un atomo gli elettroni contribuiscono in maniera trascurabile alla massa totale. Possiamo anche farci un’idea delle dimensioni di un atomo: prendiamo un solido di una sostanza monoatomica, per esempio l’oro. Sappiamo che il suo peso atomico è A = 197 e questoci dice che in 197 g di Au ci sono N atomi; la densità dell’oro è circa 19g/cm3, per cui un grammo-atomo occupa 10 cm}: ne segue che il volume a

disposizione per ogni atomo è circa 10/Na = 17 x 10724 cm8. Trattandosi di un solido

gli atomi sono molto vicini fra loro per cui questo è, con buona approssimazione, proprio il volume di un atomo. Quindi le dimensioni lineari di un atomo sono circa 10758 cm. Questa grandezza, molto usata in fisica atomica, viene indicata con il nome di A.J.

Angstrém (A):

1À=1078cm.

Riassumendo, l'atomo è composto da una carica positiva cui è associata praticamente

tutta la massa (1072410723 g): tale carica è equilibrata da un certo numerodielettroni,

ciascuno con carica —4.8 x 107!° nes e massa 0.9 x 107?” g. Le dimensioni atomiche sono

dell’ordine di 1 À.

A questo puntosi tratta di stabilire in che modo sonodisposti nell’atomogli elettroni e la carica positiva — si tratta cioè di costruire un ‘modello’. Il primo modello di atomo che ha avuto un certo successo è stato propostoall’inizio del secolo XX da J.J. Thomson ed ha tenuto banco per quasi 10 anni. Thomson suggerì che l’atomo fosse costituito da una sfera di carica positiva uniformemente distribuita, di dimensionidi circa 1 À, entro cui si dovevano trovare gli elettroni (corpuscoli ‘puntifor-

mi’) in numero tale da dare luogo a carica totale zero (il numerodi elettroni, o numero

atomico, viene indicato con Z). Quando il sistema — cioè l'atomo — è in equilibrio, i singoli elettroni occuperebbero una posizione in cui la forza attrattiva verso il centro è compensata dalla forza di repulsione fra di essi. Con questo modello Thomson spiegava diversi fenomeni: ad esempio l’assorbimento o emissione di radiazione elettromagnetica viene attribuito al moto degli elettroni attorno alle loro posizioni di equilibrio, e parimenti altri fenomeni erano spiegati quali tativamente da questo modello: per esempio, era già stato dimostrato che le condizioni di equilibrio elettrostatico per il sistema comportano che gli elettroni si dispongono in configurazioni regolari concentriche: questo fatto suggeriva la possibilità di spiegare le regolarità della tavola periodica degli elementi. Consideriamo ad esempio l'atomo di idrogeno (Z = 1). Il potenziale dovuto alla distribuzione di carica positiva, se a è il raggio della sfera entro cui è distribuita, è

Ze

ler

PO) =3a da

ci)

La posizione di equilibrio dell’elettrone è nel centro della sfera e l’energia di ionizzazione dell’atomo, cioè la minima energia necessaria per portare l’elettrone all’infinito, è

21%

E, = —e (4(00) — £(0)) =

| w

1.1 Modelli Atomici

30°

(1.2)

Siccome è noto sperimentalmente che E; = 13.6 eV, ne segue che a = 1.6 x 10-38 cm. Il moto dell’elettrone all’interno della distribuzione è un moto armonico con frequenza

=D 2

212 10888

(1.3) °

mea

quindi l’atomo di idrogeno dovrebbe emettere radiazione di lunghezza d’onda A = c/v =

2400 À.

Unaltro modello atomico che, come il precedente, permetteva di rendere conto di un gran numerodifatti sperimentali, si deve a Rutherford (1911) (in effetti Rutherford nonfu il primo a proporre il modello atomico che oggi porta il suo nome). Rutherford suggerì che la carica fosse concentrata in un ‘nocciolo’ o nucleo, di dimensioni molto piccole rispetto a quelle degli atomi. Il nucleo avrebbe una carica uguale in grandezza, ma di segno opposto, alla sommadelle cariche di tutti gli elettroni, e una massa praticamente uguale alla massa totale dell'atomo. Secondo questo modello gli elettroni ‘orbitano’ attorno al nucleo fino ad una distanza di circa 107 cm. L’atomo è visto dunque come unpiccolo sistema planetario, da cui tuttavia si differenzia in maniera sostanziale dato che le forze fra elettroni sono repulsive, mentre quelle fra i pianeti sono attrattive, ed inoltre tali forze sono dello stesso ordine di grandezza della forza di attrazione da parte del nucleo, mentre nel caso planetario il Sole esercita una forza notevolmente superiore a quelle che si esercitano fra i pianeti. Riprendiamo in considerazione l’atomo di idrogeno, ora secondo il modello di Rutherford, e supponiamo che l’elettrone descriva un’orbita circolare di raggio a. In questo

caso l’energia (cinetica + potenziale) è

1 e quindi:

Ex=-E=13.6eV

o

e

>

le?

a=0.53À.

(1.5)

>

(1.6)

La frequenza di rotazione dell’elettrone è 1 v=— 2x7

e? me a3

= 16.6 x 1015 15=1 s

\=455À.

Si trattava allora di decidere quale dei due modelli fosse ‘giusto’. È importante notare che il termine ‘giusto’ non ha, in fisica, un significato assoluto: ci possiamo soltanto chiedere quale dei due modelli è più idoneo a spiegarei fatti sperimentali. Questo ci fa capire che, se vogliamo decidere fra i due modelli, occorre “interrogare la natura” con un esperimento il cui risultato può essere interpretato in termini di uno solo dei due modelli. Uno dei meriti di Rutherford fu di capire che in questo senso erano cruciali gli esperimenti che Geiger e Marsdeneffettuavano già dal 1909. Geiger e Marsden inviavano delle

4

1 La Crisi della Fisica Classica

particelle o. prodotte da una qualche sostanza radioattiva (le particelle o. sono particelle

con carica positiva 2e e massa 4 volte quella dell’idrogeno: oggi sappiamo che sono nuclei di He! con Z = 2 e A= 4) contro una lamina d’oro (Z = 79) molto sottile (spessore

24 x 107° cm) ed osservava come le particelle venivano deviate dalla traiettoria originaria. Ora, mentre è logico che le particelle a, risentendo di forze elettrostatiche dovute alla presenza di cariche negli atomi, fossero deviate in qualche modo, ciò che colpì sia Geiger che Rutherford fu il fatto che in media una particella a su 104 veniva deviata di un angolo superiore a 90°: questo fatto era in contrasto con il modello di Thomson. Vediamo qualitativamente perché. Nell’atomo di Thomsonil campo elettrico raggiunge il suo massimo e/a? alla periferia dell’atomo, poi all’interno decresce linearmente fino a zero. Nel modello di Rutherford invece, essendo la carica positiva considerata praticamente puntiforme (cioè molto più piccola delle dimensioni atomiche), il campo va come 1/7? e nonci sonolimitialla forza che agisce sulla particella a, purché passi abbastanza

vicina al nucleo. Le particelle a avevano una velocità elevata v = 10°cm/s (energia

E; = 104+ 10” eV = 1-- 10 MeV), per cui per produrre una deviazione notevole occorre una forza notevole e quindi un campo elettrico molto intenso. In particolare notiamo che, per una particella sparata con sufficiente energia proprio in direzione del centro dell’atomo, non si ha deviazione secondo il modello di Thomson (purché l’energia della

particella o. sia maggiore di 2 x 3(Z e°/a) © 3.2 x 103 eV = 3.2keV), mentre questa viene addirittura respinta indietro (deflessione di 180°) nel modello di Rutherford.

Naturalmente l’analisi degli esperimenti di Geiger e Marsden è abbastanza complessa: per esempio occorre dimostrare che le grandi deviazioni osservate non possono essere attribuite agli urti multipli, cosa che Rutherford ha fatto, introducendo — forse per la prima volta — metodi statistici nell’interpretazione dei risultati degli esperimenti. Perriassumere, la situazione era la seguente: sperimentalmente si osservavano particelle o. deviate a grandi angoli con frequenza non trascurabile; tali grandi deviazioni dovevano inoltre essere necessariamente prodotte in un urto singolo e solo il modello di Rutherford poteva spiegare ragionevolmente questo fenomeno. A questo punto si poteva quindi decidere di assumere il modello atomico di Rutherford comeil più ‘giusto’. 1.2 Il Problema delle Dimensioni Atomiche e del Collasso per Îrraggiamento Nel momento stesso in cui il modello di Thomson veniva abbandonato e la comunità scientifica accettava quello di Rutherford, sorgevano da questo numerosedifficoltà che la fisica classica, quella che si era ormai consolidata all’inizio del XX secolo, non riusciva a superare. Îl primo problema è quello relativo alla stabilità delle dimensioni degli atomi. Già fin dal 1910 era noto che tutti gli atomi, anche di elementi diversi, avevano dimensioni dell’ordine di 1078 cm. Classicamente sappiamo che le dimensioni dell’orbita di unelettrone (si pensi al caso più semplice dell'atomo di idrogeno) dipendono dall’energia e che quindi non sono determinate senza conoscerne il valore: non si vede alcun motivo per sostenere che tutti gli atomi di idrogeno ìn condizioni diverse ed ottenuti con i metodi più diversi (ad esempio dissociando molecole di Ho, oppure molecole di H30, ecc.) debbano avereall’incirca la stessa energia; e poi, se così fosse, quale energia,

1.2 Dimensioni Atomiche e Collasso per Irraggiamento

5

dovrebbero avere? Lo stesso discorso si può ripetere per le molecole e peri passi reticolari nei cristalli: è evidente che deve esistere una grandezza fondamentale avente le dimensioni di una lunghezza e un valore dell’ordine dell’àngstròm. Da un punto di vista formale, nelle equazioni (F = md) che regolano il moto degli elettroni attorno al nucleo (in approssimazione non relativistica) entrano come parametri solo la carica e e la massa mx degli elettroni: la soluzione del problema sarà complicata, ma se, indipendentemente dalle condizioni iniziali, ci devono essere delle dimensioni privilegiate per il sistema, queste devono essere funzioni solo di e e di me. Il fatto è che in termini di e e di my soltanto non si può costruire nessuna grandezza che abbia le dimensioni di una lunghezza. Se prendiamo in considerazione le correzioni relativistiche (ma negli atomi più leggeri la velocità degli elettroni è solo dell’ordine di 1/100 della velocità della luce c), allora nelle equazioni del moto interviene anche c, ed ora è possibile costruire una grandezza con le dimensioni di una lunghezza, il cosiddetto raggio classico dell’elettrone:

Te =

2

e° _ 3 = 2.8x 10m Me C°

ma questa lunghezza è troppo piccola per poter essere di qualche utilità per spiegare dimensioni di ben 5 ordini di grandezza maggiori. Va detto che da questo punto di vista l’atomo di Thomson non poneva problemi, in quanto le dimensioni degli atomi sono quelle della distribuzione di carica positiva e questa, per ipotesi è dell’ordine di 1073 cm, praticamente la stessa per tutti gli atomi. Si può anzi dire che il modello di Thomsonera fatto apposta per spiegare la stabilità delle dimensioni atomiche. Un altro problema è quello del collasso per irraggiamento: esso si manifesta quando si voglia trattare l'emissione di radiazione elettromagnetica da parte dell'atomo di Rutherford secondole leggi dell’elettrodinamica classica. È noto che una carica accelerata irraggia, emette cioè onde elettromagnetiche, perdendoin tal modo energia. Questo dovrebbe accadere anche agli elettroni di un atomo, i quali perderebbero energia fino a fermarsi; ma siccomenell’atomo di Rutherford l’unica configurazione di equilibrio è quella in cui gli elettroni sono appiccicati al nucleo, ne segue che tutti gli elettroni finirebbero per cadere sul nucleo, e quindi le dimensioni

stabili dell’atomo sarebbero quelle nucleari, cioè circa 10713 cm.

Questo fatto non costituirebbe una reale difficoltà se, per raggiungere questa condizione, l’atomo impiegasse un tempo molto lungo, per esempio milioni di anni: ciò significherebbe che la maggior parte degli atomi che osserviamo non avrebbero ancora subito questo ‘collasso’ e le loro dimensioni sarebbero praticamente stabili. Cerchiamo allora di stimare il tempo di collasso nel caso semplice dell’atomo di idrogeno. Per rendere più semplice il calcolo, che in fin dei conti ci deve fornire solo un ordine di grandezza, faremo due ipotesi semplificative: 1. le condizioni iniziali siano tali per cui l’elettrone in assenza di irraggiamento descriverebbe un’orbita circolare, anziché ellittica; 2. a causa dell’irraggiamento l’elettrone descriverà una spirale; agli effetti del calcolo

noi confonderemo in ogni punto la spirale con il cerchio che passa per quel punto.

6

1 La Crisi della Fisica Classica

Questa seconda approssimazioneè lecita se l’energia persa dall’elettrone in un giro è molto minore dell’energia che l’elettrone possiede. La potenza irraggiata da una carica accelerata è

2.

dE

WV=-4|if=-— ! 3 ad la di dove E è l’energia dell’atomoe, siccome abbiamo supposto l’orbita circolare 1 e? E= 125, 2r

dE e dr I. dt 2r? di

L (1.7)

1.8 (1.8)

Poiché | | = e°/mer?, dalle (1.7) e (1.8) si ha: 2e

e

e? dr

3 meri 22 di da cui:

(19)

3

mt Me CC 2A dt =

3

U=3RT,

3

Cv=gR.

Gas biatomico. Schematizziamo la molecola come due atomi a distanza fissa; allora f = v = 5 (3 di traslazione, 2 di

rotazione),

1

1

9

È

2

Py

23M (p? + pi +p3) + 2I (pi +45)

22

(1.22)

dove 9 e $ sono gli angoli polari di figura 1.2 ed / è il

momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro

|

Fig. 12

di massa ed ortogonale all’asse della molecola (p3 + pi / sin° 9 = I?, il quadrato del momento angolare). Si noti che in questo caso il coefficiente di Di, dipende dalle q. Quindi: 5 Ò

U=3RT,

Cv=3R.

Solidi. La maggior parte dei solidi consiste in piccoli cristallini orientati a caso. In un cristallo gli ioni, a causa delle interazioni reciproche, sono disposti in maniera regolare e

10

1 La Crisi della Fisica Classica

attorno a queste posizioni di equilibrio compiono, se gli spostamenti sono piccoli, oscil-

lazioni armoniche. Secondo questo modello (modello di Einstein) ogni ione del reticolo

cristallino è visto come um oscillatore armonico tridimensionale ed i vari ioni oscillano

indipendentemente l’uno dall’altro: il solido è quindi un ‘gas di oscillatori armonici’. Quindi per ogni atomo:

boflH

1 E=— (pf +p3 + p3) + (kr gf + k2.93 + k3 gf) 2m

(1.23)

dove k; sono le costanti elastiche. Se il solido non è monoatomico, come per esempioil cloruro di sodio NaCl, prenderemo in considerazione sia Ewa che Eci, che però hanno la stessa forma, anche se con valori diversi di me k;. Quindi per un solido f = 3n, dove n è il numero di atomi che costituiscono la molecola e U=3nRT,

Cv=3nR.

Si noti che questa volta ad 2/ contribuisce anche l’energia potenziale, nella stessa misura comel'energia cinetica. Per i metalli n = 1 e Cv = 3; per NaCl n=2,Cyv=6R ecc. Abbiamo già visto qual è la situazione sperimentale, vogliamo ora aggiungere alcuni commenti di carattere generale.

i.

La dipendenza di Cy da T' (eccetto per i gas monoatomici) avviene come se al

diminuire di T° diminuisse il numero di gradi di libertà che contribuiscono al calcolo di ZU, 0 altrimenti, come se a bassa temperatura un numero (non intero!) di gradi di libertà fosse ‘congelato’ (cioè non contribuisse ad 7). Così, per esempio, siccome per un gas biatomico Cv + 3R per 7 — 0, è comese si avesse un graduale congelamento dei gradi di libertà di rotazione della molecola. Sia chiaro che, a questo punto, parlare di congelamento dei gradi di libertà è solo un modoespressivo per visualizzare la situazione sperimentale, non un tentativo di spiegazione del meccanismo che produce la dipendenza di Cv da T.

2. Abbiamo visto che per certe temperature c’è buon accordofra valori teorici e risultati sperimentali. Tuttavia, anche in questo caso, abbiamo ottime ragioni per stupirci di questo accordo. Infatti si pensi ad un gas biatomico: abbiamo schematizzato la molecola come due atomi a. distanza fissa, cioè rigidamente connessi. Ora, in natura, queste connessioni rigide non esistono, è più realistico affermare che fra i due atomi di una Fig. 1.3 molecola c'è un potenziale di interazione del tipo in figura 1.3 con un minimo quando gli atomi sono ad una certa distanza d, dell’ordine di pochi àngstròm, fra di loro. Attorno a questa configurazione di equilibrio la molecola può compiere oscillazioni che, se di piccola ampiezza, si potranno considerare armoniche. Sembra quindi più appropriato schematizzare la molecola biatomica come due atomi tenuti insieme da una molla: la connessione rigida della schematizzazione prece-

dente sarebbe ora sostituita da una molla molto ‘dura’. Ma allora sorge una difficoltà:

per ‘dura’ che sia la molla (purché non rigorosamente rigida) la hamiltoniana della molecola è del tipo:

1.4 L’Effetto Fotoelettrico

1 E = ++ 3h d?

11

(1.24)

dove pi e P2 sono gli impulsi dei due atomi, r la distanza relativa e & la costante elastica . della molla fra i due atomi. Si noti che ora f = 6 e che in più c’è un termine quadratico di potenziale per cui, qualunque sia il valore di È, cioè per qualunque durezza della molla, dovrebbe aversi 7 = IRT e Cv = IR. Il problema è quindi questo: il modello con la molla è certo più corretto della schematizzazione precedente; e allora perché mai per un vasto intervallo di temperature si ha sperimentalmente Cy = 3 R ? In effetti sappiamo anche che per T' grandi Cy > 3 R, per cui ancora sembra che questo grado di libertà di vibrazione sia congelato fino a T = 500K che poi al crescere di T' cominci a scongelarsi. Un'altra difficoltà del tipo della precedente è questa: abbiamo schematizzato gli atomi come dei punti materiali, cosa che in realtà non è. Per questa ragione, per esempio nella discussione del gas biatomico, avremmo. dovuto tener conto anche del grado di libertà rotazionale della molecola attorno al suo asse, quello che congiunge gli atomi. Questo grado di libertà porta un ulteriore contributo 3R al calore molare, di cui non c’è traccia in natura. Ancora: nei metalli, oltre agli ioni che costituiscono il reticolo cristallino, ci sono degli elettroni completamente liberi (elettroni di conduzione), ed in numero confrontabile col numero di ioni. Ogni elettrone libero dovrebbe portare un contributo 3 kn al calore specifico, e quindi in un grammo-atomo di metallo gli elettroni dovrebbero aggiungere un contributo dell’ordine di 3R al Cv: complessivamente Cy © 3R+3R = 3h, mentre abbiamogià visto cheil più delle volte nonsi raggiunge nemmeno il valore 3R! 3. La sostanza della discussione precedente è questa: secondolafisica classica il calcolo di Cy è basato sul conteggio del numero di gradi di libertà; ora il concetto di numero di gradi di libertà è un concetto molto relativo, se si vuole è un’astrazione matematica, comeil concetto di punto materiale. Così, per esempio, se ci chiediamo quanti gradi di libertà ha un pallino da caccia, possiamo a buondiritto rispondere 3, se ci occupiamo di un problema balistico; ma se invece vogliamo studiare il moto di un pallino su un piano inclinato, diremo che i gradi di libertà sono 6. Se poi invece vogliamo calcolarne la capacità termica, allora i gradi di libertà diventano = 1024! E si potrebbe ancora andare avanti, contando quanti elettroni ci sono nell’atomo di Pb, quanti nucleoni nel nucleo, quanti quarks nel nucleone ... La teoria classica dei calori specifici è quindi in una situazione estremamente insoddisfacente: è fondata su un concetto che non è fisicamente bendefinito, e ciò nonostante pretende di tirare fuori dei numeri da confrontare con i dati sperimentali! 1.4 L’Effetto Fotoelettrico Fra i molti altri fenomeni che non trovavano spiegazione nell’ambito della fisica classica, prendiamo infine in considerazione l’effetto fotoelettrico, dal quale inizieremo, grazie alle idee di Einstein, a vedere quali profonde modifiche occorra apportare alla fisica classica per poter superarele difficoltà in cui si imbatteva. Vediamo innanzi tutto in cosa consiste l’effetto fotoelettrico: se si fa incidere su di

una superficie (ad esempio metallica) un fascio di luce di breve lunghezza d’onda, si

12

1 La Crisi della Fisica Classica

osserva che vengono espulsi elettroni. Da un punto di vista quantitativo gli esperimenti mostrano che valgono le seguenti tre leggi.

bo

1. Per ogni sostanza esiste una frequenza minima n (soglia fotoelettrica) tale che l’effetto si osserva solo con radiazione di frequenza v > uo. L’energia cinetica massima degli elettroni estratti è indipendente dall’intensità della radiazione incidente, ma dipende in modo lineare dalla frequenza v:

EL= h(v— to),

h>0.

(1.25)

3. Fissata la frequenza v, il numero di elettroni emessi nell’unità di tempo è proporzionale all’intensità della radiazione incidente. Il dispositivo per ricavare sperimentalmente le suddette leggi è schematizzato in figura 1.4: esso rappresenta una fotocella; sul fotocatodo, che è polarizzato positivamente rispetto all’anodo, si fa incidere luce di una data frequenza v; gli elettroni emessi incontrano quindi un controcampo che li frena: passeranno solo quelli dotati di energia cinetica Es > exV dove V è la differenza di potenziale fra ‘catodo

Za

\uce

G

e anodo. Mediante il potenziometro si varia V fino a cheil

]

galvanometro G cessa di registrare passaggio di corrente. In Fig. 14 questo modo siamo sicuri che tutti gli elettroni hanno energia cinetica E. < exV, e quindi l’energia cinetica massima è proprio ex V. Si ripete la misura cambiando la frequenza della luce e si

ottiene la dipendenza lineare espressa dalla (1.25) (v. figura

1.5). Per verificare la terza legge si varia l’intensità della luce -e si misura l’intensità della corrente attraverso G, che è proporzionale al mumero di elettroni estratti dal Fig. 1.5 fotocatodo. Vediamo ora perché la fisica classica non è in grado di spiegare le leggi dell’effetto fotoelettrico. Consideriamo il caso di un metallo. Già sappiamo che in un metallo ci sono gli ioni positivi in posizioni pressoché fisse; in tale reticolo si muovono quasi liberamente gli elettroni di conduzione. È noto, per esempio dall’effetto termoionico, che per estrarre un elettrone dal metallo è necessario fornirgli

una certa energia W (energia di estrazione) dell’ordine dell’eV: WNa =2.7 eV,

Wre = 3.2 eV,

Wu =3.4 eV,

WPb = GeV.

Nell’effetto fotoelettrico questa energia è, evidentemente, fornita dalla radiazione incidente. Ora quello che ci si aspetta è che l’energia assorbita dagli elettronisia, fissata la frequenza, proporzionale all’intensità della radiazione incidente, per cui, qualunque sia la frequenza della radiazione e purché l’intensità sia opportunamente elevata, dovrebbe manifestarsi l'emissione di elettroni. Inoltre l’energia cinetica degli elettroni dovendo essere uguale all’energia assorbita meno l’energia di estrazione W, dovrebbe essere una funzione lineare dell’intensità. In questo modo nonsi spiega né l’esistenza della soglia v) né la secondalegge.

1.4 L’Effetto Fotoelettiico

13

Consideriamo ora un altro aspetto del problema: supponiamo di disporre di una lampadina da 2W e poniamo la fotocella a distanza di 1m dalla lampadina. Facciamo l'ipotesi, molto ottimistica, che tutta la luce che incide sul fotocatodo venga assorbita dagli elettroni di conduzione vicini alla superficie della fotocella; siccome c’è circa un elettrone di conduzione per atomo e ogni atomo ha a disposizione un volume di circa 10-24 cm3, ogni elettrone assorbe (al massimo) tutta l’energia che arriva su un’area di = 10-!5cm?. Siccome la lampadina irraggia uniformemente in tutte le direzioni, l’energia assorbita da un elettrone in un secondo è

10-15 7 = 1.6 x 107! erg st! = 107?eVs!. Ax 10) x —— 70

E=(2x10°)x

(1.26)

Poiché sappiamo che l’energia di estrazione è dell’ordine dell’eV, si ha il risultato che occorrerebbe aspettare un tempo dell’ordine di 10? s prima di vedere l’effetto fotoelettrico (e nel frattempo gli elettroni perderebbero per urti l'energia ricevuta!), mentre

l’effetto è praticamente istantaneo (1078 + 1079s).

Dunquela fisica classica, oltre a non spiegare l’effetto fotoelettrico, porta a conclusioni in aperta contraddizione con l’esperienza.

Capitolo 2

1

Da Einstein a de Broglie

2.1 I Fotoni Secondola fisica classica l’energia associata ad un’onda elettromagnetica monocromatica è proporzionale all’intensità; l'intensità può avere qualunque valore da zero in su, e quindi l'energia associata all’onda può variare con continuità da zero in su. Inoltre questa energia è distribuita in modo continuo nello spazio Einstein, nel 1905, per spiegare le leggi dell’effetto fotoelettrico formulò un’ipotesi in evidente contraddizione con quanto sopra: un’onda elettromagnetica di frequenza » trasporta energia in ‘pacchetti’ di energia E proporzionale alla frequenza:

E=hv.

(2.1)

In altri termini l’energia associata ad un’onda elettromagnetica può assumere solo i valori 0, Av, 2hv, 2 al primo livello eccitato (n = 2) (figura 2.3). La struttura di questa serie è ancora del

tipo di quella riportata in figura 2.4, però rispetto alla serie di Lyman è tutta spostata verso frequenze minori. Infatti: °

Ai =

12400

= 6500 À,

2

Aeg = 12100 3700 À 3.4

cioè Ai è nell’arancione, Acc nel vicino ultravioletto, quindi quasi tutta la serie di Balmer

è nel visibile. La terza serie (serie di Paschen) è invece tutta nell’infrarosso. Consideriamoorail caso degli

Idrogenoidi: Z > 1

Gli effetti più appariscenti sono:

(i) le dimensioni delle orbite, che decrescono al crescere di Z, a causa del fattore 1/Z

nella (2.10); (ii) le energie che crescono, in modulo, come Z?.

Così, per esempio, l'energia di ionizzazione dell’He* (detta anche energia di seconda

ionizzazione dell’He) è di 4x 13.6 = 54eV. Conseguentemente anche tutti i salti

energetici aumentano di un fattore Z? rispetto all’H e tutte le righe spettrali sono spostate verso frequenze più elevate. Si noti che il fattore Z? nelle energie ha una

duplice origine: un fattore Z nell’energia potenziale (e quindi, per la (2.6), nell’energia)

e un fattore Z7! neì raggi permessi. Unaltro effetto, meno appariscente ma importante, è dovuto al fatto che i nuclei degli idrogenoidi hanno masse diverse: questo comporta differenze, sia pure piccole, fra le masse ridotte dei sistemi, dalle quali dipende la costante di Rydberg (2.12) e, di

conseguenza, i livelli energetici (2.13).

Poiché my « M, si puòscrivere 4, = me/(1+ me/M) = me (1- me/M).Il termine me/M che per l'idrogeno è circa 1/2000, per il deuterio è la metà e per l’He è quattro volte più piccolo (il deuterio D è un isotopo dell’idrogeno: il nucleo del deuterio consiste

di un protone e di un neutrone).

Vediamo così che la costante di Rydberg varia leggermente per i diversi atomi considerati:

Ra

=

109677cm"!

Ryet =

109722cm!

Ro

=

Rr;++ = Bo

=

109707cm!

109728 cm!

109737!

condifferenze inferiori allo 0.5 %o rispetto a Ro (caso limite di nucleo di massainfinita),

comeci si doveva attendere. Per quanto piccola, la variazione della costante di Rydberg è ben apprezzabile, data la precisione con cui si fanno le misure spettroscopiche. Ma l’aspetto più importante è che la dipendenza di R, e quindi dello spettro, dalla massa del nucleo, ci permette di distinguere fra loro i diversi isotopi di uno stesso elemento. Come noto, si dicono isotopi quegli elementi che hanno uguale numero atomico

2.5 Livelli dell’Oscillatore e di una Particella su un Segniento

23

Z, ma diverso peso atomico A, a causa del diverso numero di neutroni nel nucleo, come l’idrogeno e il deuterio.

Così ad esempio una miscela di idrogeno H (Z =

1, A=1)edi deuterio D(Z = 1, A = 2), oppure di He? e di He' (Z=2, A=3e4rispettivamente), analizzata allo

spettroscopio presenta uno spettro fatto di righe sdoppiate, come in figura 2.5; nel caso di una miscela di H e D,

la risoluzione Av/v = AX/A necessaria per distinguere le

Fig. 2.5

righe dei doppietti è Ayu/u = 2.8 x 1074.

Dall’intensità relativa delle righe dei doppietti si può risalire alla composizione del miscuglio (e quindi, per esempio, alla percentuale di acqua pesante D20 in un campione di acqua). Tale effetto è detto effetto isotopico e permette, quindi, di stabilire la presenza o menodiisotopi in una data sostanza. Il fatto che i livelli di ordine pari nello spettro dell’He* coincidono, a meno delle correzioni di massa ridotta, coni livelli dell’H, aveva fatto interpretare lo spettro di certe radiazioni stellari come dovuto all’H: solo dopo la teoria di Bohr esso fu correttamente

attribuito all’Het .

Dunque la teoria di Bohr aveva reso conto di diverse questioni lasciate insolute dal modello atomico di Rutherford: stabilità delle dimensioni atomiche, emissione di spettri a righe, mancanza di collasso per radiazione. T'utto ciò aveva fatto sì che tale teoria fosse accolta molto favorevolmente in quanto postulando qualcosa di nuovo era riuscita ad interpretare moltifatti. Vedremo nei prossimi paragrafi che la soluzione di altri problemi ed altre verifiche sperimentali rafforzano ancora di più la validità di questa teoria, anche se, almeno da. un punto di vista concettuale (ma non solo), restano ancora molti problemiaperti.

2.5 Livelli dell’Oscillatore e di una Particella su un Segmento Dopo aver applicato con successo la condizione di quantizzazione di Bohr all’atomo di idrogeno ci sentiamo invogliati ad applicarla anche ad altri sistemi e a studiarne le conseguenze. Sia per la sua semplicità, ma soprattutto per l’interesse che ha in quasi tutti i rami della fisica, applicheremo ora la condizione di quantizzazione all’oscillatore armonico. Per evidenziare l’importanza in fisica di questo sistema si ricordi che abbiamo già avuto occasione di considerareoscillatori armonici a proposito dei calori specifici dei solidi e del calore specifico dei gas biatomici. Per determinarei livelli energetici di un oscillatore armonico faremo uso della con-

dizione di Bohr-Sommerfeld (2.7). Ricordando che p = mg e dq = gdi, la (2.7) diventa:

J ma°dt=nh p eriodo

(2.16)

l’integrale essendo esteso ad un periodo 7 = 27/w. È noto (ed è immediatamente verifi-

cabile) che per un oscillatore armonico l'energia cinetica media (su un periodo) è uguale a metà dell’energia totale E (teoremadelviriale), quindi dalla (2.16) si ha

24

2 Da Einstein a de Broglie J

n

o 2r mg? dt = — E

periodo

E,=nhw,

x

n>0°

w

>

(oscillatore armonico)

(2.17)

quindi i livelli energetici di un oscillatore armonico sono equidistanti, e la distanza è hw. Cisi può chiedere perché in questo caso n può anche essere zero, mentre per l’atomo di idrogeno no: in effetti questo è un punto su cui la teoria di Bohr non sa dare risposta; in questo caso particolare partire da n = 0 0 da n = 1 nonfa nessuna differenza, perché essendo i livelli equidistanti, equivale a spostarli tutti della costante fw (comunque

anticipiamo che la meccanica quantistica darà comerisultato E, = (n +1/2) hw).

Se l’oscillatore è carico può emettere o assorbire radiazione. Perla 2* ipotesi di Bohr la frequenza della radiazione assorbita o emessa è uguale alla frequenza vg dell’oscillatore, se la transizione avviene fra duelivelli adiacenti, altrimenti sarà un multiplo intero di 10, cioè corrisponderà ad un’armonica superiore. Anche secondo la fisica classica un oscillatore emette su tutte le frequenze multiple della fondamentale, però quando vale

l’approssimazione di dipolo (oscillatore con velocità v(t) « c), le armoniche sono molto

meno intense. Un difetto della teoria di Bohr è proprio quello di non saper prevedere l’intensità della radiazione emessa nelle varie transizioni.

Vediamo ancora un esempio di applicazione della regola di quantizzazione (2.7). Con-

sideriamo una particella vincolata a muoversi su un segmento di lunghezza a (intre dimensioni è il problema di una particella in una scatola parallelepipeda: noi consideriamo adesso solo il moto nella direzione parallela a uno spigolo). Fisicamente si incontra un problema di questo tipo Via) quando si considera il moto di una particella sog-

getta ad un potenziale V (x) che può essere conside-

rato costante în una regione di ampiezza a, e cresce rapidamente ad un altro valore costante all’esterno La/a a/3 di detta regione: in questi casi il potenziale viene Fig. 2.6 schematizzato come una buca di potenziale, come illustrato nella figura 2.6. Gli esempi sono molti: le molecole di un gas (ideale) dentro un contenitore; un elettrone libero dentro un metallo: per energie dell’elettrone inferiori al lavoro di estrazione l’elettrone non può uscire dal metallo; un elettrone libero

all’interno di una cella cristallina (dimensioni di pochi àngstròm) che costituisce una impurità in un dato materiale (centri di colore), ... La (2.7) fornisce in questo caso nh= fpda=20p

}

=>

pen 2a

e siccome E = p°/2m, si ottengonoi livelli energetici:

h?n?

En = Ga ma?

n>0(?)

.

.

(buca di potenziale)

(in questo caso secondo la meccanica quantistica n > 1). Completiamo questo paragrafo con alcune osservazioni.

(2.18)

2.6 Teorie di Einstein e di Debye dei Calori Specifici dei Solidi

25

1. La dipendenza da ndeilivelli energetici è diversa da sistema a sistema (proporzionale a n? per l’H, a n per l’oscillatore e a n? per la particella nella buca); 2. la condizione di quantizzazione (2.7) è stata applicata, e può essere applicata, solo nei casi in cui l’orbita è finita; si consideri per esempio il caso della particella sul segmento: se a + 00, l'integrale f p dg diverge e quindi, in questo caso, non esiste una condizione di quantizzazione. Un altro modo di vedere la stessa cosa è questo: le distanze fra i livelli energetici dati dalla (2.18) sono proporzionali ad a7?; se a + 00 le distanze tendono a zero, cioè si ritrova il continuo di energie da 0 a 00 delia fisica classica. Quindi, per esempio, nel caso di un potenziale del tipo di quello

in figura 2.6 il risultato espresso dalla(2.18) è valido solo per E, < Va, mentre per

energie maggiori di V; tutti i valori sono ammessi (come pergli stati di ionizzazione

dell’atomodi idrogeno). 3. Grazie al teorema di Stokes, l’integrale nella (2.7) è uguale all’area racchiusa dall’orbita di energia E,,, perciò dalla (2.7) segue che il numerodi stati (cioè di livelli energetici) nel volume (bidimensionale) (2 dello spazio delle fasi è dato da £2/h. In generale, se 2f è la dimensione dello spazio delle fasi, la condizione di quantizzazione comporta che si ha uno stato per ognicella dello spazio delle fasi di volume hf.

2.6 Teorie di Einstein e di Debye dei Calori Specifici dei Solidi Se accettiamo l’ipotesi di Bohr dell’esistenza dilivelli energetici discreti, ci sono parecchie cose che vanno riesaminate sotto questo punto di vista: prima fra tutte la teoria dei calori specifici. Difatti la teoria dei calori specifici era basata sul calcolo dell’energia

media (teorema di equipartizione) che si ottiene da E(p,q)dn(p,g) integrando su

tutto lo spazio delle fasi, cioè su tutti gli stati classicamente permessi. Ora, secondola prima ipotesi di Bohr, sono possibili solo determinati stati di energie £,,. Quindi, in

primo luogo, la stessa distribuzione di Boltamann (1.13)

dr(g,p) = Be7f E(4P)dq dp non ha senso e va riformulata. Anziché chiederci qual è il numero (più probabile) di sottosistemi con coordinate e momenti compresi fra q e q9+ dg, pe p+dp, ora dobbiamo chiederci qual è il numero (più probabile) n; di sottosistemi con energia E;, dove E; sono le energie permesse. Questo problema si risolve con lo stesso procedimento che porta alla (1.18)), per cui si otterrà un risultato formalmente analogo: n = B e BE:

dove B si ottiene ancora imponendo >} n; = N, per cui, in definitiva: Ti

= 10 eV): questo è provato dal fatto che normalmente lo spettro di assorbimento cade nella regione visibile (1.5-- 4eV). Ebbene, per queste differenze di energia si vede che a temperatura ambiente il livello eccitato è praticamente spopolato. Infatti per Tp = 300K si ha

(1.38 x 10715) x 300 1 cenlh = _—__—__—

Foto

1.6 x 10-12

10°"

.

2.22

(2.22)

Questa relazione, come pure quella equivalente kgT =1eV

>

T = 12000K

(2.23)

sono molto utili, in quanto permettono di ricavare rapidamente il valore di &gT° per qualsiasi temperatura. Dunque per E = 1eV e T = 300Ksi ha che il rapporto fra le popolazioni vale e A4E/k3T _ e 10 n 10716

(e* n 10°42) ,

Per avere invece una popolazione apprezzabile anche ai livelli eccitati occorrerà kgT =

AE. Poiché per T + 00°

exp(-AE/kgT) + 1, si può dire che solo a temperature

molto elevate i livelli tendono a diventare tutti ugualmente (s)popolati. Il fatto che a temperatura ambiente praticamente tutti gli atomi si trovano nello stato fondamentale spiega come mai gli atomi di uno stesso tipo hanno tutti le stesse dimensioni, qualunquesia il trattamento subito (stabilità delle dimensioni atomiche), e il fatto che nello spettro di assorbimento di una sostanza (in condizioni normali) si osserva solo la 1* serie, cioè solo le transizioni che partono dallo stato fondamentale.

In effetti la (2.19) si applica a sistemi che possiedono solo livelli discreti; se un

sistema possiede un continuo di energie (per esempio dovute, come nel caso degli atomi

2.6 Teorie di Einstein e di Debye dei Calori Specifici dei Solidi

27°

e delle molecole, al moto del centro di massa), considerando il continuo comeil limite deilivelli discreti quando il volume del sistema tende all’infinito si ottiene

dove

ni = BeFE:

(livelli discreti)

dr(g, p) = Be EP) dgdp/h'

(continuo)

B= N(YD e#5 + fePE0MAgAp/N)

Li

3

doveil fattore 7 è presente, non tanto per ragioni dimensionali, quanto per il fatto che, come discusso alla fine del paragrafo 2.5, dg dp/h/ è il numero di stati nella cella di volume dg dp. Per esempio, è necessario prendere in considerazionesiai livelli discreti degli atomi(0

delle molecole) che il continuo per calcolare il grado di ionizzazione (o di dissociazione)

di un gas all'equilibrio termico: si osservi infatti che, anche se è vero che la popolazione decresce rapidamente al crescere dell’energia £, a causa del grande numero di stati del continuo il grado di ionizzazione può essere apprezzabile anche a temperature non troppo elevate. Ritorniamo ora al problema dei calori specifici. Avendo ricavato la (2.19), l’espres-

sione dell’energia media di un sottosistema(conlivelli discreti) è —-

Eni

dI

dove

i Ei ef Ei

Ò

ij

Z(B) = DI eFEi,

Non sempre le serie che definisce la funzione di partizione Z si riesce a sommare. Nel caso dell’oscillatore armonico, siccome E, = nfiw, la cosa è semplice in quanto è unaserie geometrica: DO

00

1

Z(6)= > eff= >) (e08°) = 1 e-Fhw n=0

n=0

quindi dalla (2.25) si ottiene per l’energia media di un oscillatore quantistico: hw E= glw/ksT _ 1° Nella figura 2.7 è riportata sia E in funzione di 7° data dalla

(2.26) sia (linea tratteggiata) il grafico dell’espressione clas-

sica (Ea = kgT'); abbiamo posto T. = liw/ks (T. è detta

temperatura caratteristica). Notiamo che, contrariamente al risultato classico, l'energia media E dipende dalla frequenza dell’oscillatore: ora la teoria

quantistica è in grado di distinguere gli oscillatori più ‘duri’

Fig. 2.7

da quelli meno ‘duri’; a temperature alte la (2.26)) viene approssimata bene dal valore

28

2 Da Einstein a de Broglie

classico, a meno di una costante (irrilevante). Questo si ha quando kgT > lìiw: infatti,

in tal caso, sviluppandoinserie la (2.26) si ha E=a=

:

hu

xi T ST T+Fhofks

(T1>T)

(se si prende anche il termine successivo nello sviluppo dell’esponenziale si trova anche il termine costante: E = kgT — hw).

E. T+00:

E

T-+0: kpTAE

condizione classica

condizione quantistica

(energie continue)

(livelli energetici)

Tn

AE

kpT

I4E

kprialo__

Fig. 2.8a

Fig. 2.8b

Il risultato eraprevedibile, infatti fw è il salto tra duelivelli energetici dell’oscillatore: dire che kgT > fw significa dire che i livelli sono molto vicini (rispetto all’energia termica kgT) e nonci si accorge della quantizzazione; il risultato è pertanto lo stesso

che si aveva classicamente (si può anche dire che per fiw « kpT le serie nella (2.25) si

approssimano bene con integrali e si torna così al caso classico). Per T + 0 la (2.26) diventa E = hw exp(-hw/kgT) che tende a zero molto rapidamente, come si vede nella figura 2.7. I due casi limite sono illustrati nelle figure 2.8a e 2.8b. Vediamo ora quali sono le conseguenze di quanto sopra per quanto riguardail problema dei calori specifici dei solidi. Come abbiamo già visto nel paragrafo 1.3, secondo il modello di Einstein un solido

(considereremo per semplicità un solido monoatomico) è costituito da tanti oscillatori

uguali (con uguale frequenzav) ed indipendenti (‘gas di oscillatori’). Siccome gli oscillatori sono tridimensionali, l'energia interna di un grammo-atomo di sostanza è data

da U=3N,E, con E data dalla (2.26). Il calore atomico è quindi dato da: 2

hw/kgT

Cv = du _ 3Naksr (Pe) et . OT

kg T

(eli /keT TT 1)?

Si verifica facilmente che per T + 0, Cy + 0, mentre per T + c0, Cy + 3R. Infigura 2.9 riportiamo l’andamento di Cy in funzione della temperatura: la figura mostra che Cy raggiunge il valore classico a meno del

10% già per T=7,= hw/ks, mentre a temperature

di un ordine di grandezza inferiori T = 10-!7., Cy è

praticamente zero.

To

T

Inoltre possiamo vedere come vanno le cose se consiFig. 2.9 deriamo solidi diversi, cioè costituiti da oscillatori con frequenze diverse. Intanto notiamo che Cy dato dalla (2.27) è una funzione universale del rapporto 7°/7., dove solo

T., = hw/kg dipende dal solido considerato (tramite w = 277), per cui per i diversi solidi la curva Cv(7) è la stessa, a parte la scala delle ascisse.

2.6 Teorie di Einstein e di Debye dei Calori Specifici dei Solidi

290

Confrontiamo ad esempio piombo e diamante; le loro caratteristiche fisiche (ad esempio i punti di fusione) ci inducono a supporre che gli oscillatori costituentiil diamante siano più rigidi (cioè con una costante elastica maggiore) di quelli del Pb: ne segue che

vb < ve e quindi TPh < TE. Ma abbiamo visto che per T = 7, il calore specifico

è ormai praticamente uguale al valore classico di Dulong e Petit, dunque la curva del piombo dovrà raggiungereil valore 3R a temperatura minore che nonil diamante: è ciò

che si vede sperimentalmente (v. figura 1.1).

Dunque il modello di Einstein, unitamente alla quantizzazione dei livelli dell’oscillatore armonico, spiega abbastanza bene i calori specifici dei solidi. Abbastanza bene,

ma nondel tutto, perché mentre la (2.27) prevede che per T — 0

Ccv= 3R( koT hy )eteltor

2.2 (2.28)

(ricordiamo che fw = hv), e cioè Cv + 0 contuttele sue derivate, le curve sperimenta-

li indicano che Cy + 0 solo come 7°. Questo dipende dal fatto che la schematizzazione

di solido (il modello di Einstein) è troppo grossolana. Infatti, come si è detto, Einstein

schematizza il solido come un insieme di oscillatori uguali e indipendenti, mentre è da ritenere che le interazioni fra gli oscillatori non siano trascurabili: basta pensare al fatto che un metallo percosso emette un suono, ciò che prova la propagazione della perturbazione lungo tutto il metallo, cioè l’esistenza di onde elastiche, e quindi l’esistenza di un'interazione fra gli oscillatori. Fu P. Debye a proporre un modello più complicato, ma più verosimile, supponendo gli osciliatori legati fra di loro elasticamente: ciò corrisponde a considerare piccoli spostamenti degli ioni del reticolo attorno alle loro posizioni di equilibrio. Sia infatti V(x1, --- | 23) l'energia potenziale del sistema degli N ioni (3N gradi di libertà). Sviluppando in serie di Taylor V attorno alle posizioni di equilibrio x? e considerando solo il primo termine significativo dello sviluppo (cioè considerando solo

piccoli spostamenti) si ha

V(w1,---.t3N)

_1 5; a 3 v

3

n

St

08)

che è l’energia potenziale di un sistema di N oscillatori accoppiati. Siccome il secon-

do membro della (2.29) è una forma quadratica, mediante un cambiamento di va-

riabili si può sempre ricondurre il sistema suddetto ad un sistema di 3N oscillatori unidimensionali indipendenti di frequenze v; (i= 1, --:,3N). Si pensi per esempioal caso di duesoli oscillatori accoppiati

da una molla (figura 2.10a): è facile vedere che i moti pos-

Fig. 2.102

fondamentali in cui gli oscillatori oscillano in fase (figura 2.10b) e in controfase (figura 2.10c) con frequenze v1 e v2

Fig. 2.10b

sibili del sistema sono combinazioni di due moti armonici

diverse. Si può dire allora che un sistema di due oscillatori

uguali legati elasticamente è equivalente ad un sistema di Fig. 2.10c due oscillatori indipendenti, ma diversi (cioè con frequenze diverse).

Nel nostro caso si ha a che fare con molti oscillatori interagenti che, analogamente, sono equivalenti ad altrettanti oscillatori indipendenti con frequenze diverse comprese

30

2 Da Einsteinade Broglie

fra una certa Umin e un certa UZmax. Le frequenze rv; non sono più frequenze di oscillazione dei singoli ioni: esse sono frequenze di oscillazioni collettive (come nel caso di figura

2.10), cioè sono frequenze di vibrazione delcristallo (frequenze propriedel cristallo).

Si capisce quindi che Umin deve esseredell’ordine di grandezza delle vibrazioni acustiche, cioè > 103871. Dal punto di vista della teoria classica, poiché È non dipende da r, nonc’è differenza tra i modelli di Einstein e Debye, ma applicando invece la condizione di quantizzazione agli oscillatori il modello di Debye porta ad un risultato diverso.

Infatti, l’energia media, dell’oscillatore i-esimo è data dalla (2.26) + hv; E;= EEE elvi/kaT 1

3N _ e l'energia totale diventa U = )o. 1 E; (sommasu tutti gli oscillatori). 1

Fissata una temperatura 7 si ponga up = kgT/h e si supponga che Umin < Up < Umax! gli oscillatori di frequenza v < Ur, dato che per essi hv < kpT, contribuiscono all’energia totale con il valore E; = kgT

Umin

L vr

Uma

scongelati congelati Fig. 2.11

(valore classico). Per questo motivo questi oscillatori si dicono scongelati (figura 2.11).

Al contrario gli oscillatori con v > v7, avendo hiv > kgT danno contributo tendente a

zero (aumentando r) all’energia e dunque al calore specifico (saranno detti congelati).

Ne segue che aumentando 7°, e quindi vu, tutti gli oscillatori tendono a scongelarsi fino ad ottenere per il calore specifico il valore classico 3; invece, diminuendo T°, gli oscillatori tendono a congelarsi e Cv + 0. La temperatura per cui tutti gli oscillatori risultano scongelati, detta temperatura caratteristica di Debye e indicata con ©, è definita come def

O =

h Umax

(

kn

2.30)

e dà una indicazione della temperatura alla quale il calore specifico del solido raggiunge il valore classico previsto dalla legge di Dulong e Petit. Allora ad una certa temperatura 7° i solidi per cui T > © seguiranno senz'altro la legge di Dulong e Petit, mentre quelli per cui 7 « © saranno ancora lontani dal comportamento classico. Sperimentalmente si ha: Ore = 450K,

Oc = 315 K,

Op, = 90K,

Oc = 2000 K

(l’ultimo dato si riferisce al carbonio sotto forma di diamante).

Dai valori sopra riportati per 0, usando la (2.30) si ricava che Ymax è dell’ordine di

1014g71.

È interessante notare che YUmax è legato alla velocità v del suono nel solido dalla relazione seguente sf N Umax DU

7

(2.31)

dove N è il numero di atomi contenuti nel volume V. L'origine della (2.31) sta nel fatto

che, siccomeil solido non è un mezzo continuo, la minima lunghezza d’onda ammessa per

2.7 I Calori Specifici dei Gas

31

le vibrazioni del solido è dell’ordine della distanza fra gli atomi, cioè (V/N)!/3, e Umax = v/Amin. Anche dalla (2.31) si ricavano per vnax valori dell’ordine di 1013 + 1014871,

La differenza fra il modello di Einstein e quello di Debye sta quindi nel fatto che, mentre nel primo gli oscillatori sono tutti uguali e quindi si congelano o si scongelano

tutti insieme (e da ciò che segue Cy + 0 troppo rapidamente per 7 + 0), nel secondo gli oscillatori si congelano gradualmente quando 7° + 0, e ciò comporta che si ha un annullamento di Cy meno rapido (cx 7°) che nel caso precedente.

2.7 I Calori Specifici dei Gas In questo paragrafo esamineremo in che modo l’ipotesi dei livelli energetici discreti permetta di superare le difficoltà connesse con i calori specifici dei gas discusse nel

paragrafo 1.3.

Gas Monoatomici In questo caso non avevamo rilevato discrepanze fra teoria ed esperimenti. In effetti gli atomi del gas (schematizzati come punti materiali) sono particelle libere e quindi ad essi non si applica la condizione di quantizzazione di Bohr. Quindi la trattazione classica nonnecessita modifiche. Si potrebbe obiettare che il gas è racchiuso in unrecipiente e quindi gli atomi sono vincolati a muoversi entro precisi limiti, per cui anche in questo caso si avranno livelli energetici. Per rispondere a questa obiezione è opportuno vedere come stanno le cose da un punto di vista quantitativo. Prendiamo, per semplicità, i livelli di una particella in un

segmento, dati dalla (2.18). Scegliendo a (lato del recipiente) = 1em ed m = 10724 g, si ha

En=n? E;

E, =

sila

1°

h? 8ma?

210 !ev.

(2.32)

Dobbiamo ora chiederci in che relazione stanno fra loro kg7' e la distanza fra i livelli. Però questa volta, contrariamente al caso degli oscillatori armonici, la distanza fra i livelli non è costante, ma cresce con n: per n > 1 En41 _ En = 2n Ei .

(2.33)

Chiaramente a noi interessa confrontare kg7° con le distanze fra i livelli che sono apprezzabilmente popolati, cioè i livelli per cui E, < ksgT. Dalla (2.32) si vede che questo

accade per n S VksT/Ei. Grazie alla (2.33), le distanze fra i livelli che ci interessano

sono quindi dell'ordine di

AE S ksgT .

Le condizioni AE « ksT o AE > kgT si traducono quindi nelle condizioni VEIL «

vkgT

or

VEL >

VkgT.

(2.34)

Ricordando ora che, per esempio, per T = 1K, kgT' = (1/12000) eV, dalla (2.32) si

vede che per qualsiasi temperatura /kgT/E, > 1 (p.es. l’He diventa liquido a circa

4K), e quindi noncisi accorge della quantizzazione e il Cy molare è sempre 3R.

32

2 Da Einstein a de Broglie

Gas Biatomici Ì Nella discussione del paragrafo 1.3 avevamo, in un primo tempo, schematizzato la molecola biatomica come costituita da due atomi (punti materiali), a distanza fissa d. La

hamiltoniana è data dalla (1.22): essa ha la forma

H = Hx+Ho

cioè la somma di un termine che rappresenta l’energia associata al moto di traslazione del centro di massa, e di un altro termine che rappresenta l’energia di rotazione. La discussione fatta a proposito dei gas monoatomici ci insegna che per la parte relativa ai gradi di libertà di traslazione non si vede la quantizzazione, e quindi Hi,

porta un contributo 3R a Cv. Vediamo ora come contribuisce al Cy il termine Ho. Per determinarei livelli energetici associati ai gradi di libertà di rotazione è opportuno richiamare il significato fisico di H,;. Considerando per semplicità uguali i due atomi della molecola si ha

Hr, = 3muf + imvi.

Nel sistema del centro di massa è però v) = va, per cui

H.=

mo = (muvd)?'_ L?

rt SIMO

md

dI

dove L è il modulo del momento angolare del sistema ed I è il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa. Grazie alla condizione di quantizzazione di Bohr L = nà che abbiamo usato per l’atomo di idrogeno, si trova: hén 2.2

E, = SI

(rotatore rigido)

(in realtà i livelli che otterremo con la meccanica quantistica sono dati da

(2.35) E, =

(h2/21) n(n + 1); la differenza coni livelli (2.35) ottenuti applicando la condizione di Bohr diminuisce al crescere del numero quantico n).

Per vedere in quali condizioni l’effetto della quantizzazione si fa sentire oppure no, in base alla discussione fatta a proposito dei gas monoatomici (si noti che anche in

quel caso E «x n°), e che ha condotto alla (2.34), dobbiamo confrontare kg7° con

h2/2I. Possiamo cioè, per ogni gas biatomico, definire una temperatura caratteristica

T:° = h2/(2I kg): per T > T/° ci aspettiamo di ritrovare il valore classico R come contributo al Cy da parte dei due gradi di libertà rotazionali, mentre per T « T7

ci aspettiamo che l’effetto della quantizzazione si manifesti con un C{o0) che tende a zero per T + 0. Difatti a basse temperature, per calcolare l'energia 2/ (e quindi il Cy) di un sistema qualsiasi con livelli energetici discreti, possiamo limitarci a considerare soltanto i primi duelivelli (se il terzo livello non è troppo vicino al secondo): più è bassa la temperatura e meno contribuiscono all’energia i livelli eccitati. Perciò, posto AF = E5 — Fi, si ha

U=N

E,e7BE1 + EgeBF?

AR perg

ePAE

PAE — NATNAET

2.7 I Calori Specifici dei Gas per cul:

AE \? e _AE/kgT Cv=R(£3) A2/aT, kn T

T < AE/ks

33

(2.36)

(a conferma della generalità di questo risultato si noti che la (2.36) coincide con la

(2.27), ricavata direttamente dalla (2.26).

Vediamoi valori di 75° per alcuni gas: Ho: 85K,

N2:3K,

O, : 2K,

e da questi dati si vede che l’effetto della quantizzazione, in pratica, si manifesta solo per la molecola diidro-

geno Ho: in questo caso AE = h?/(2I) = 1072 eV,

NaCl: 15K

RR

cfr) ll

tori, non è possibile calcolare analiticamente Z/(T°) e quindi Cy(T); si può tuttavia effettuare il calcolo nu-

3J

mentre per gli altri gas AF è più piccolo per un fattore 10 + 100. In questo caso, contrariamente al caso degli oscillaquot

Fig. 2.12

merico. La curva a tratto pieno di figura 2.12 è stata ottenuta utilizzando la corretta espressione quantistica dei livelli energetici, inclusi i fattori di degenerazione gr che in questo caso sono dati da g, = 2n + 1; sono stati

presi in considerazione solo 5 livelli (il fondamentale e i primi 4 livelli eccitati) ed è

stato verificato che, almeno per TY < 271°, entro l’1%o la curva non viene modificata dall’aggiunta di altri 20 livelli: come si vede, per T > 0.57.59, Cyv= R. La curva tratteggiata è quella che si ottiene se si prendono in considerazione solo

i primi duelivelli: in accordo con la (2.36) la curva riproduce molto bene il compor-

tamento a basse temperature, mentre per alte temperature tende a zero, dato che per un sistema con un numerofinito di livelli l’energia interna tende ad un valore costante, corrispondente all’equipopolazione deilivelli. Consideriamo ora il problema degli altri gradi di libertà della molecola biatomica: in primo luogo consideriamoil grado di libertà di rotazione attorno alla retta passante per i due nuclei. Anche per questo grado di libertà rotazionale avremo livelli energetici del tipo

h°2

2

En=gp

dove, rispetto alla (2.35), è cambiato solo il momento di inerzia. Una molecola biatomica ha la struttura riportata in figu-

ra 2.13: i nuclei sono pesanti, ma sono piccoli (1071? + 10-!3 cm), per cui il contributo principale ad I’ viene dagli elettroni, i quali sono leggeri, ma ruotano a distanza di

circa 10-38 cm dai nuclei. Così per esempio nell’Ha, siccome

il rapporto fra la massa dei nuclei e quella degli elettroni è circa 2000, ne segue che I’ = 7/2000.

2220

-->

E ee vin Sa |! ti . pui . i) 1 yz RZ

>

10 cu Fig. 2.13

Di conseguenza, in questo caso, i AE e la temperatura caratteristica sono circa 2000 volte maggiori che nel caso precedente: AE = 10eV > 7. = 10°K. Quindi questo

s4

2 Da Einstein a de Broglie

i

i

!

gradodi libertà non dà contributo al Cv, in quanto sempre congelato, anche a tempe-

ratura di qualche migliaio di gradi. Infine, per concludere, prendiamo in considerazione il grado dilibertà di vibrazione della molecola biatomica. i Ormaisi è capito che per sapere se questo grado di libertà contribuisce o no al Cv ad una data temperatura, occorre confrontare il &37° alla temperatura che ci interessa con il AE che, trattandosi di unoscillatore armonico, vale fiv. Chiaramente fw dipende dalla ‘durezza’, cioè dalla costante elastica della ‘molla’ che tiene uniti i due atomi. Cerchiamoallora di farci un’idea di quanto vale w

per una molecola. Sappiamocheil potenziale V(7)

Fig. 2.14

fra i due atomi è del tipo riportato nella figura 1.3. Nell’approssimazione delle oscillazioni armoniche attorno al punto di equilibrio, ci interessa approssimare V(r) attorno al punto di minimo r = d come(figura 2.14)

ysem(n) = Lk(r-dP- Vo.

(2.37)

Cerchiamo di stimare k utilizzando le seguenti informazioni: î) per dissociare una molecola occorre un'energia dell'ordine dell’eV, quindi W = 1eV; i) la distanza fra gli atomi è dell'ordine dell’À; quindi anche la distanza fra i punti in cui V®""(r) = 0 sarà dello stesso ordine di grandezza. Questi dati sono sufficienti a determinare & nella (2.37) e, a parte fattori numerici, risulta (A è la massa dei nuclei, o meglio è la massa ridotta):

=

>

we [ta cio.

(2.38)

Il risultato è ragionevole, dato che si sa che una molecola irraggia nell’infrarosso.

Quindi AE = fiw = 107 eV. Si vede perciò che a temperatura ambiente (XgT = 1/40eV) questo grado di libertà

è praticamente congelato, ma a temperature anche non molto superiori (7 = 103 K) può portare un apprezzabile contributo al Cy. Riportiamo a titolo di esempio le tempe-

rature caratteristiche TV? = hw/kg relative al gradodi libertà di vibrazione per alcune molecole:

Ha: 6100K,

Na: 3340K,

Og: 2230K.

Riassumiamo in una tabella (nella pagina seguente) i risultati trovati, riportando per i vari gradi di libertà di una molecola biatomica i valori tipici per i AF e le relative temperature caratteristiche 7, . Ecco dunque comel’ipotesi deilivelli energetici risolve il problema della ambiguità nel conteggio dei gradi di libertà: attribuiamo pure al nostro sistema tutti i gradi di libertà che vogliamo (gli elettroni degli atomi, i nucieoni dei nuclei, i quarks dei nucleoni...), ma poi, per decidere se contribuiscono al Cy, dobbiamo andare a vedere quant'è la distanza tra i livelli energetici associati ai vari gradidi libertà; pergli elettroni troveremo dei AE dell'ordine dell’eV, per i nucleoni dell'ordine del MeV . ein tutti questi casi scopriamo che questi gradi di libertà possono essere ignorati a tutte le temperature ragionevoli.

2.8 Comportamento ondulatorio delle particelle

traslazioni

rotazioni

e,

vibrazioni

|

(elettroni (rotazioni

e--—.

AE=O0,

Te 20

AE: 1074107? eV,

T.: 1-+100K

AE = 107. ev,

T, = 10° K

AEZIevV,

T,2104K)

AE = 10ev,

T,2105K)

35

2.8 Comportamento ondulatorio delle particelle: esperimenti di Bragg e di Davisson e Germer Nei paragrafi precedenti di questo capitolo abbiamo introdotto un certo numero di ipotesi: 1. l’esistenza dei fotoni; 2. l'ipotesi di quantizzazione di Bohr; 3. l’ipotesi di Bohr che lega frequenza irraggiata in una transizione e salti di energia. Queste ipotesi sono poi state utilizzate con notevole successo per spiegare numerosi fatti sperimentali. A questo punto è naturale chiedersi che ne è della fisica classica: le suddette ipotesi costituiscono una sorta di ‘emendamenti’ alle leggi della fisica classica, la quale, però, mantiene praticamente intatta la sua struttura, o piuttosto il successo delle suddette ipotesi costituisce un indizio che le concezionidella fisica classica debbano subire una profonda modifica? Alla fine di questo paragrafo non avremo più dubbi su quale debba essere la risposta. Nel 1923, dieci anni dopo che Bohr aveva proposto la sua teoria, de Broglie si poseil seguente problema: la radiazione elettromagnetica, cui a buondiritto abbiamo sempre attribuito una natura ondulatoria, si presenta anche sotto un aspetto completamente diverso, cioè sotto l’aspetto corpuscolare (fotoni). Il legame fra i due aspetti, ondulatorio + corpuscolare, è dato dalla costante di Planck &. Ma & interviene, tramite la condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, anche in problemi in cui si ha a che fare con particelle. Inoltre nella condizione di quantizzazione intervengono i numeriinteri n; ogni fisico sa per esperienza che la presenza dei numeriinteri è spesso un indizio chesi ha a che fare con fenomeni ondulatori (ad esempio, frange di interferenza, onde stazionarie di una corda ...). E allora, non potrebbe darsi che tramite f si debba fare anche il passaggio inverso, cioè cercare un aspetto ondulatorio in ciò che abbiamo sempre considerato da un punto di vista esclusivamente corpuscolare (particelle)? Consideriamo ad esempio una particella su una certa orbita (per esempio un elettrone su un'orbita circolare nell’idrogeno, oppure una particella su un segmento): allora la condizione di Bohr-Sommerfeld $ pdg = nh comporta

pL=nh

(L=lunghezza dell’orbita)

(2.39)

Se riscriviamo la (2.39) nella forma

Leni

(2.40)

36

2 Da Einstein a de Broglie

e ricordiamo che per un fotone R/p = A, la (2.40) suggerisce la seguente suggestiva interpretazione

:

Ipotesi di de Broglie: ad ogni particella è associata un’onda.'La relazione fra lunghezza d’onda A e impulso p è data, come peri fotoni, da A = h/p. Le orbite permesse sono quelle che contengono un numero intero di lunghezze d’onda. La condizione di quantizzazione di Bohr viene quindi vista sotto una luce completamente nuova.

Ma fino a qui siamo nel campo delle ipotesi: quella di de Broglie è solo una nuova terminologia o c’è qualcosa di più? Di che tipo di ondasi tratta? Di onde ne conosciamo due tipi: onde elastiche e onde elettromagnetiche. Certamente non si ha a che fare con onde elastiche e, presumibilmente, neppure con onde elettromagnetiche, dato che l’ipotesi di de Broglie non necessariamente si riferisce a particelle cariche. È probabile che avremoa che fare con un terzo tipo di onde. Alloral’intuizione ci aiuta poco, per cui è bene chiedersi quali siano le caratteristiche generali delle onde. Le onde sono entità che si possono sommarefra di loro o, detto in termini spiccioli, le onde sono cose che interferiscono. Quindi, se veramente queste onde di de Broglie esistono, devono essere messe in evidenza tramite fenomenidi interferenza. ” Prima di pensare ad un esperimento che metta in evidenza l’aspetto ondulatorio delle particelle, è opportuno rendersi conto con che lunghezze d’onda abbiamo a che fare. Consideriamo particelle libere: dalle relazioni A = h/p e p= v2m. E si ottiene la lunghezza d’onda dì de Broglie:

\a_h_

(2.41)

vV2mE

Se, comeal solito, esprimiamo A in À e E in eV, per un elettrone si ha:

MA] = TR

(2.42)

(per elettroni)

cioè per un elettrone di energia 1eV, \= 12.4 À. Si noti che mentre per i fotoni À è inversamente proporzionale ad £, per particelle (non relativistiche) di massa non nulla A è inversamente proporzionale a VE. Inoltre maggiore è la massa, minoreè, a parità di energia, la lunghezza d’onda A. In definitiva, per elettroni di energia dell’ordine di 100eV, A è dell’ordine dell’àngstrém, cioè dello stesso ordine di grandezza delle lunghezze d'onda dei raggi X. Un modo per mettere in evidenza che i raggi X sono onde elettromagnetiche è quello di analizzare la riflessione di raggi X da parte di uncristallo (riflessione di 0 9 Bragg): consideriamo uncristallo; la regolarità della diTa

sposizione degli atomi (o ioni) determina molte famiglie

di piani reticolari: nella figura 2.15 è rappresentata una di queste famiglie, per esempio quella parallela ad una faccia del cristallo. La distanza d fra i pianireticolari(di

n—e—o—e—e—c—s—s—e—

Fig. 2.15

una famiglia) è detta passo reticolare: d è normalmente dell’ordine dell’angstròm.

2.8 Comportamento ondulatorio delle particelle

-

37

Se facciamo incidere sul cristallo dei raggi X monocromatici, con un’inclinazione 0

rispetto alla superficie del cristallo, e osserviamo la radiazione riflessa specularmente, cioè emergente conla stessa inclinazione @, si nota che la radiazione viene riflessa solo per particolari valori di 0: 81, 0a, Più precisamente, si osservano dei massimi molto marcati nell’intensità della radiazione riflessa in corrispondenza agli angoli #1, 02, --- , intercalati con dei minimiin cui l'intensità è praticamente zero. La spiegazione di questo fatto è la seguente: i raggi X sonoriflessi dai vari pianireticolari (figura 2.15);

le onderiflesse da due piani reticolari adiacenti(figura 2.16) sono fra loro sfasate in quanto compio-

0

/IN

9

| d

no cammini ottici che differiscono per la quantità 2dsin@ (i due tratti più scuri nella figura 2.16). Fig. 2.16 Quando 2dsin@ è un multiplo intero della lunghezza d’onda À, tutte le onderiflesse sono in fase e si ha quindi interferenza costruttiva, cioè un massimo nell’intensità. Se al contrario 2dsin@ è un multiplo dispari di A/2, le onde riflesse da due piani reticolari adiacenti sono in opposizione di fase e si ha interferenza distruttiva, cioè non si osserva radiazioneriflessa. Nei casi intermedi si ha interferenza

distruttiva fra le onde riflesse da più piani reticolari, il che ha per risultato un’intensità quasi nulla. In definitiva i massimi nell’intensità della radiazione riflessa si hanno per quegli angoli ? che soddisfano alla condizione di Bragg

2dsin@=nA.

(2.43)

Il numero di massimiosservati quando @ varia da 0 a ir è il massimointero contenuto in 2d/A: questo spiega perché per osservare agevolmente il fenomeno con raggi X (A 21 À) è necessario che d sia dello stesso ordine di grandezza di À, e quindi perché si usano cristalli per questo tipo di esperimenti. È inoltre chiaro che la conoscenza degli angoli

6 soddisfacenti la (2.43) permette di determinare A noto d, o viceversa d noto À.

Lo stesso esperimento è stato effettuato da C. Davisson e L. Germer nel 1927 sostituendo i raggi X con unfascio di elettroni ben collimatie il più possibile monoenergetici. Fu osservato che anche in questo caso gli elettroni venivano riflessi specularmente solo per determinati valori di @, in accordo conla (2.43), e questo prova che anche gli elettroni manifestano un comportamento ondulatorio. Inoltre l'esperimento di Davisson e Germer permette di determinare la lunghezza d’onda A dalla (2.43) e verificare la

relazione (2.41) fra A ed E.

Aggiungiamo che con lo sviluppo delle tecniche sperimentali l'esperimento di Davisson e Germer è stato ripetuto anche con particelle diverse: protoni, neutroni, atomi di He, ioni, ed in tutti questi casi si è avuta conferma della condizione di Bragg per particelle materiali. Gli esperimenti di Davisson prima e di Davisson e Germer poi hanno avuto un’origine accidentale: in seguito all’esplosione di una bottiglia di aria liquida nel laboratorio dove Davisson faceva esperimenti con fasci di elettroni, si ruppe un tubo a vuoto con un elettrodo di nichel policristallino; in seguito al trattamento termico per ripristinare l’elettrodo, il nichel cristallizzò in grossi grani e ciò portò a risultati completamente

38

2 Da Einstein ade Broglie

diversi dai precedenti per quanto riguardava la distribuzione angolare degli elettroni

riflessi dall’elettrodo. i i Dunquel’idea di de Broglie di associare un’onda alle particelle non fu semplicemente un'elegante speculazione teorica, ma ad essa corrispondeva una ben precisa realtà fisica.

Capitolo 3 Introduzione ai Postulati della Meccanica Quantistica

3.1 Introduzione Nel capitolo precedente abbiamo esposto alcune delle tappe fondamentali di quella che

oggi chiamiamo la “vecchia meccanica quantistica” (“Old Quantum Mechanics”) e che

negli anni fra il 1905 e il 1925 aveva ottenuto diversi risultati importanti specialmente nell’ambito della fisica atomica, oltre a quelli sui quali ci siamo già soffermati: per esempio Sommerfeld, perfezionando l’ipotesi di quantizzazione di Bohr, era persino stato in grado di calcolare le correzioni relativistiche ai livelli dell'idrogeno. Tuttavia, l'insieme delle ipotesi e delle regole che permettevano di ottenere questi risultati non potevano considerarsi una Teoria: a troppe domande non era possibile dare risposte convincenti; una per tutte: quel dualismo onda-corpuscolo introdotto sia dal concetto di fotone, sia dall’ipotesi di de Broglie, restava ancora un concetto molto nebuloso; mancava soprattutto l’inquadramento di tutte queste idee in un coerente schema teorico. Era comunque chiaro che molti paradigmi della fisica classica dovevano essere abbandonati, ma i nuovi paradigmi non erano ancorain vista. In questo capitolo analizzeremo criticamente alcuni semplici esperimenti (molti dei quali realmente effettuati), i cosiddetti ‘esperimenti con singolo fotone’ (o con singolo neutrone), per mettere a nudo le contraddizioni fra le concezioni della fisica classica— secondo la quale una particella è una particella e un’onda è un’onda - e i fatti sperimentali, al fine di capire in che modo dobbiamo modificare i nostri schemi di ragionamento per riuscire a conciliare l’esistenza dell'aspetto corpuscolare e di quello ondulatorio per uno stesso ente: la discussione che faremo ha quindi lo scopo di introdurre in maniera induttiva i postulati della meccanica quantistica e, anche, di ‘preparazione psicologica’ alla sua formulazione astratta. La chiave di lettura dei prossimi paragrafi è questa: esporremo dei fatti e cercheremo di trarne delle conclusioni; queste vanno intese come i primi passi per giungereall’interpretazione dei fatti, cioè per costruire una teoria; le conclusioni che proponiamo (forse

non sempre le uniche possibili, ma senza dubbio le più semplici e in un certo senso le più ‘naturali’) sono quelle che portano alla cosiddetta interpretazione di Copenhagen della meccanica quantistica, tuttora in discussione ma non ancorasuperata:l’istituto di

fisica di Copenhagen, diretto dal 1921 da Niels Bohr, era insieme a quello di Gòttingen

40

3 Introduzione ai Postulati della Meccanica Quantistica

(dove lavorava Max Born), il ceritro delle discussioni sulla nascenteteoria quantistica; molti fra i più grandi fisici, come P.A.M. Dirac, Heisenberg e Schrédinger, vi trascorsero periodi più o meno lunghi.

|

‘

Il prossimo paragrafo fa storia a sé: contiene una breve descrizione dell’interferometro di Mach e Zehnder al quale faremo riferimento in seguito; per non interrompere la discussione del paragrafo 3.3 preferiamo illustrarlo a parte.

3.2 L’Interferometro di Mach e Zehnder E

L’interferometro di Mach e Zehnder, rappresentato in figura 3.1, consiste di quattro specchi fra loro paralleli, disposti ai vertici di un rettangolo e formanti con s2 Sa [ri i lati di questo rettangolo angoli di 45°. Due di questi specchi (ss ed s3) sono normali specchi, mentre gli SI S3 altri due (s1 ed s4) sono specchi semi-trasparenti: un fascio di luce incidente su di essi viene parzialmente Fig. 3.1 riflesso e parzialmente trasmesso (“beam-splitters”}; supporremoche il 50% dell'intensità venga riflessa e il 50% trasmessa. Unfascio di luce, provenendo da sinistra, incide su s1: il fascio trasmessosiriflette su s3 e incide su s4, dal quale viene parzialmenteriflesso verso il rivelatore R1 e parzialmente trasmessoversoil rivelatore Ra; il fascio riflesso da sj si riflette su so ed infine viene da s4 parzialmente trasmesso verso Ri, e parzialmente riflesso verso Ra. Quindi, su ciascuno dei due rivelatori giunge sia parte del fascio proveniente dal ramo s2 — s4, sia parte del fascio proveniente dal ramo sg — 84, e questi due fasci interferiscono fra di loro: le intensità I, e Ia registrate dai due rivelatori R ed Rs sonoil risultato dell’interferenza fra i due fasci che giungono su ciascuno di essi: se uno (qualsiasi) dei due fasci venisse intercettato, per esempio mediante l’interposizione di un materiale assorbente in uno dei due cammini, i due rivelatori Rj ed Ro registrerebbero la stessa intensità, il 25% dell’intensità del fascio incidente. Prendiamo l’asse x nella direzione del fascio incidente; supponiamo che la luce incidente sia un’onda piana, che per semplicità supponiamo linearmente polarizzata (ma questa ipotesi non è affatto necessaria), in modo che possiamo scrivere l’onda come

E(x,t) = Eo cos(kxa-wt)

(3.1)

dove E è l’unica componente del campoelettrico diversa da zero. Siccome l’intensità dell’onda è quadratica nell’ampiezza E); l'ampiezza dell’onda trasmessa da uno specchio semi-trasparente e quella dell’onda riflessa sono entrambe ridotte di un fattore V/2 rispetto all’ampiezza dell’onda incidente. Quindi l’onda che arriva su R; lungo il percorso s1 + sa + s4, avendo incontrato entrambi gli specchi

semi-trasparenti, è

1

3 Eo cos(wt+ 1) e quella che arriva su Rj lungo il percorso s1 + 83 + s4 è

(3.2)

3.3 Esperimenti di Interferenza con Singoli Fotoni

1 5 Eo cos(wt + 2) .

41

(3.3)

Se i cammini ottici sj > 82 -+ sq € S1 + S3 + S4 fossero rigorosamente identici si avrebbe 41 = 42, ma da un lato è impossibile calibrare l’interferometro in modo che la differenza fra i due cammini ottici sia molto minore della lunghezza d’onda, e d’altro lato può essere utile introdurre deliberatamente uno sfasamento fra le due onde, quindi

nelle (3.2) e (3.3) manteniamo 41 # 42 e poniamo 4 = 41 — pa.

Quindi, siccome l’intensità dell’onda incidente su s; è la media su un periodo di

(c/4m)E"(x,t), cioè

c

_

€

2

I= Do cos?(ka-wt)= mei l’intensità su R1 è Cc

1

9

2

1

h= veri E (coslut+%1)+cos(ut+%2)) = 5I(1+cosg).

(3.4)

Di conseguenza, dato che /j + Is = /, deve essere 1

L= 5 I(1- cosg).

(3.5)

dî

L'intensità su ciascuno dei rivelatori può quindi variare da 0 a /, al variare dello sfasamento w: lo sfasamento può essere variato con continuità inserendo in uno dei rami dell’interferometro una sottile lastrina di vetro, e variandonel'inclinazione, in modo da cambiare lo spessore del vetro attraversato dal fascio: se n è l'indice di rifrazione del

vetro, lo sfasamento introdotto è dato da dp = k(n — 1)d = 2r(n — 1)d/A, dove d è lo spessore attraversato.

3.3 Esperimenti di Interferenza con Singoli Fotoni Un fascio di luce monocromatica incide su uno scher-

mo opaco sul quale sono praticati due fori A e B (o

due fenditure) piccoli e molto vicini. La luce nell’at-

traversare i fori subisce diffrazione e su una lastra fo-

tografica posta ad una certa distanza dallo schermo sì osservano delle frange di interferenza nella zona in cui si sovrappongonole figure di diffrazione prodotte

22

_-

= \al 7 So }

10

D
1h.

(3.19)

Il segnodi disuguaglianza e il fatto che il secondo membrononè A, bensì th sono dettagli che non alterano il significato concettuale della (3.18), che noi abbiamo ricavato senza preoccuparci troppo dei fattori numerici. ” A questo punto abbiamo gli strumenti per capire, ‘almeno qualitativamente, perché nell’esperimento di Young con gli specchietti mobili (figura 3.6) la formazione delle frange di interferenza è incompatibile con l'osservazione del rinculo degli specchi mobili. Infatti, devono essere soddisfatte due condizioni: in primo luogo la formazione delle frange di interferenza richiede che l’indeterminazione sulla lunghezza del camminoottico dei fotoni non superi À, e ciò pone unlimite superiore all’indeterminazione As sulla posizione degli specchi mobili; in secondo luogo, la possibilità di osservare il rinculo degli specchi (cioè l’impulso trasferito da parte dei fotoni la cui quantità di moto è k/A), pone un limite superiore all’indeterminazione Ap; sulla quantità di moto degli specchi. Queste due condizioni risultano incompatibili con la relazione di indeterminazione (3.18)

(o (3.19)) applicata agli specchi.

In effetti la (3.19) ha unsignificato più preciso (e più generale) di quello che emer-

ge dal modo in cui abbiamo ricavato la (3.18) (che è quello di Heisenberg), e che può dar luogo a fraintendimenti (come dimostrano le discussioni a cui abbiamo accennato sopra): infatti, gli argomenti che abbiamoutilizzato per ricavare la (3.18) possono far

ritenere che sia l’indeterminazione sulla posizione che quella sull’impulso derivino dall'impossibilità strumentale di sapere da dove è partito il fotone e che direzione ha preso, ma che queste, anche se non possiamo conoscerle, siano ben determinate. È quindi comprensibile che qualcuno potrebbe essere indotto a sostenere il seguente punto di vista: ‘il fatto che nessun esperimento permetterà mai di determinare esattamente posizione e velocità di una particella non mi impedisce di pensare che la particella abbia, istante per istante, una ben determinata posizione e una ben determinata velocità’. Uno è libero di pensare quello che vuole, però questo atteggiamento è criticabile per due motivi: il primo è che in questo modo si finisce per considerare la realtà come un qualcosa di distinto da quello che può essere misurato, ma questo è un problema che lasciamoaifilosofi; il secondo, per noi più importante, è questo: è come se, a proposito dell’esperimento con le due fenditure (figura 3.2), volessimo sostenere che certamente il fotone passa o da A o da B, anche se nessuna misura ci metterà mai in grado di

3.6 Principio di Indeterminazione di Heisenberg

55

controllare se questo è vero. Così facendo, però, sappiamo che non riusciamo a spiegare come mai si vedono le frange di interferenza, e nonil sovrapporsi delle figure di diffrazione. Similmente: se l’elettrone ‘ha’ istante per istante una ben determinata posizione e velocità, allora nell’esperimento di Davisson e Germer l’elettrone necessariamente si riflette su un ben determinato piano reticolare: noi non sappiamosu quale, malui sì. Ma allora, come nel caso appena discusso dell’esperimento di Young, non sappiamo spiegare perché si ha riflessione solo per quegli angoli che soddisfano la condizione (2.43) di Bragg. Anche in questo caso dobbiamo ammettere che l’elettrone si riflette contemporaneamente su molti piani reticolari, e ciò è chiaramente incompatibile con l’idea dell’elettrone come corpuscolo, cioè con posizione e velocità ben determinate. Ancora, se il neutrone nell’interferometro di figura 3.4 ......

Capitolo 4 I Postulati della Meccanica Quantistica

4.1 Il Principio di Sovrapposizione La maggior parte dei concetti fondamentali che stanno alla base della meccanica quantistica sono già emersinella discussione del capitolo precedente; ora il problema è quello di formalizzare questi concetti in una forma coerente, cioè di passare ‘dalle parole ai fatti°. Cercheremo di procedere in questo processo di formalizzazione sia facendo buon uso degli esempi già discussi, sia approdandoagli aspetti formali della teoria il più possibile da un punto di vista fisico (per esempio questo è il modo in cui arriveremo a stabilire che le grandezze osservabili sono rappresentate da operatori sullo spazio degli stati). Nel paragrafo 3.4 abbiamo già riconosciuto la necessità di descrivere gli stati di un sistema come elementi di uno spazio vettoriale complesso: questo è il primo principio fondamentale che sta alla base della meccanica quantistica, noto come Principio di sovrapposizione: gli stati di un sistema sono rappresentati dagli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale H sul corpo complesso. Vettori proporzionali (con un fattore complesso) rappresentano lo stesso stato. Gli stati sono quindi in corrispondenza con i raggi di H. Inoltre nel paragrafo 3.5 abbiamo visto che — al fine di dare un carattere predittivo alla teoria — è necessario che lo spazio H sia dotato di un prodotto scalare hermitiano. La dimensione di # dipende dal sistema che si considera: normalmente è infinita. H, che supponiamo sia completo, è quindi uno spazio di Hilbert; assumiamo che H

sia separabile (cioè ammetta una base numerabile).

Per quanto riguarda la dimensione(infinita) di # e la sua separabilità, queste, nel caso di un sistema di una o più particelle, verranno dedotte dal postulato di quantizzazione che introdurremo più avanti. Ci si può chiedere se la corrispondenza fra stati del sistema e raggi di # sia una corrispondenza biunivoca, cioè se ad ogni vettore (o raggio) di 7 corrisponde sempre uno stato del sistema: questa ipotesi probabilmente non è vera e forse neppure necessaria; su questo problema, che a questo punto è abbastanza marginale, torneremo più avanti e vedremo che probabilmente basta assumere che gli stati fisici di un sistema siano in corrispondenza con un sottoinsieme denso di #, algebricamente chiuso (cioè chiuso per combinazioni lineari finite). Tuttavia non c'è dubbio che l’ipotesi che H sia uno spazio

4.1 Il Principio di Sovrapposizione

57

completo è estremamente utile dal punto di vista matematico, anzi irrinunciabile, per

cui la assumeremo soddisfatta: ciò significa che (probabilmente) i vettori rappresentativi degli stati fisici “alloggiano” in un ambiente (chiuso) più ampio. Abbiamo usato la formula dubitativa perché di solito si dà per scontato che la corrispondenza fra stati e

raggi di # è biunivoca. I vettori di #/ verrannoindicati conil simbolo| - +), detto “ket” (notazionedi Dirac). Il prodotto scalare fra due vettori | 4) e | B) è indicato conil ‘bra’-‘ket’ (bracket = parentesi)

(B|A)=(A]|B)

(4.1)

ed è lineare in | A) ed antilineare in | B): il prodotto scalare fra a| A) e 8|B) (ae f numeri complessi) è 8*a(B | A): è comedire chesi fa il prodotto scalare fra il “ket” a| A) e il “bra” 8*(B| (per inciso insistiamo sul fatto che | A) e a| A) rappresentano lo stesso stato). L’aspetto fisico importante del principio di sovrapposizione è che esso esprime il

fatto che gli stati, essendo rappresentati da vettori, possono ‘interferire’: se | A) e | B) rappresentano due stati, allora

a|A)+]|B)

per ogni

a, BEC

(4.2)

rappresenta ancora uno stato, diverso sia da | A) che da | B). E questo esattamente

come per gli stati di polarizzazione della luce (rappresentati dai vettori (3.12) e, in generale, per le onde. Si noti che gli stati (4.2), al variare di a e 8, sono 00? 2 e non 004 (a e 8 sono mumeri complessi!) perché a e 8 possono essere moltiplicati per uno stesso fattore complesso, e

lo stato non cambia: a|A4)+8[B) e a/|A)+8/|B) rappresentano lo stesso stato se e solo se a:a/= 0: '. Nell’esempio discusso nel paragrafo 3.3, | A) e | B) rappresentano due stati del fotone: | 4) (| B)) rappresenta lo stato che si ha quando solo il foro A (B) è aperto; quando entrambi i fori sono aperti lo stato del fotone è rappresentato da

|C)=|A)+]|B).

(4.3)

L'espressione vaga usata nel paragrafo 3.3 per lo stato C che ‘ha a che fare’ congli stati

A eBèoratradottain una forma matematica precisa: Îl vettore |C ) che rappresenta lo stato C del fotone è una combinazionelineare dei vettori | 4) e | B) che rappresentano gli stati del fotone quando soloil foro A o solo il foro B è aperto. (Talvolta, per non appesantire troppo il discorso, diremo semplicemente ed impro-

priamente ‘lo stato | A)” anziché ‘lo stato rappresentato dal vettore | A)”. L’abbreviazione è impropria per due motivi: (i) non c’è corrispondenza fra stati e vettori, ma solo fra stati e raggi; (ii) una cosa è lo stato di un sistema, un’altra cosa è il modo in cui lo descriviamo o rappresentiamo.) Sempre nel caso dell’esperimento di Young (o dell’analogo con i neutroni), ci domandiamo come si possono realizzare fisicamente gli 00? stati a| A)+|B): possiamo

alterare a piacere il rapporto |a/8]| variando, mediante diaframmi, le dimensioni dei

due fori (oppure — nell’esperimento con i neutroni della figura 3.4 — utilizzando come specchio semitrasparente s1 un cristallo con coefficienti di trasmissione e di riflessione

58

4 I Postulati della Meccanica Quantistica

opportuni); la fase relativa fra a‘e 4 può essere variata mettendo davanti a uno dei due forì (nell’esperimento di Young) un vetrino di spessore opportumo, che ha la stessa. funzione del vetrino nell’interferometro di Mach e Zehndero del cuneo di alluminio nel-

l’interferometro per neutroni (figura 3.4): se mandiamo tanti fotoni e poi sviluppiamo la lastra, vediamo che a seconda del valore di |a/8]| cambia il contrasto fra le frange

chiare e le frange scure della figura di interferenza e se a + 0 oppure 8 + 0 questa diventa la figura di diffrazione del foro non tappato, mentre nel secondo caso (cioè con lo

sfasatore) vediamo che tutta la fisura di interferenza ha subito una traslazione: esistono

quindi effettivamente 00? figure di interferenza. Nel caso degli stati di polarizzazione della luce, gli co? stati che corrispondono ai vettori (3.12) sappiamo che sono gli oo? stati di polarizzazioneellittica dei fotoni. Nel paragrafo 3.3 abbiamo detto che lo stato di un sistema è definito dal modo in cui il sistema viene preparato: sarà grazie ai postulati che introdurremo nei prossimi paragrafi che impareremo come queste informazioni vengono codificate nel vettore | A) che rappresenta lo stato.

4.2 Le Osservabili

l

Chiamiamo osservabili le grandezze che possono essere misurate su un sistema: per lo più si tratta delle stesse grandezze che possono essere misurate secondo la. fisica classica (fa eccezione lo spin che non ha analogo classico). Per esempio, nel caso che il sistema sia una particella, sono osservabili l’energia, il momento angolare, le componenti Gi, i= 1---3, della posizione della particella, le componenti della sua quantità di moto (con qualche riserva per queste ultime due), ecc.: in generale le funzioni f(9, P). Già sappiamo quale ruolo fondamentale giochi in meccanica quantistica il processo di misura; perciò noi pensiamo di associare ad ogni osservabile uno o più strumenti atti a misurarla: per esempio all’osservabile ‘posizione’ q, un microscopio di Heisenberg, all’osservabile ‘impulso |7}|, uno spettrometro a campo magnetico ecc. D'ora in poi conil termine ‘osservabile’ intenderemo sia la grandezza che può essere misurata che uno strumento atto a misurarla.

Sia € un’osservabile, e £1, £a --- £&; - -- i possibili risultati delle misure di $ sul sistema. Inumeri reali é; si chiamano autovalori di € (vedremo più avanti che la numerabilità dell'insieme degli autovalori segue dalla separabilità di H). Per esempio, i possibili risultati delle misure che abbiamo citato nel capitolo precedente con gli specchietti mobili nella variante dell’esperimento di Young (paragrafo 3.3), oppure nell’esperimento conil cristallo birifrangente (paragrafo 3.5), erano due (0 veniva urtato uno specchietto o veniva urtato l’altro), e possiamo accoppiare al nostro apparato uno strumento che esibisce sul display, per esempio, i numeri +1 o —1 a seconda, del risultato. In questo caso, quindi, gli autovalori sono due: £] = +1, fg = —1. Ancora, le energie possibili per un sistema, cioè i livelli energetici, sono gli autovalori dell’osservabile energia. Sarà compito della teoria specificare per ogni osservabile i relativi autovalori: in effetti uno dei problemi principali della meccanica quantistica è proprio quello della determinazione degli autovalori delle diverse osservabili, e fra queste l’energia ha un

ruolo privilegiato.

4.2 Le Osservabili

59

In generale, se si misura l’osservabile £ sul sistema in uno stato | A), il risultato

della misura non è determinato a priori (vedi esperimenti con il polaroid), masi potrà trovare uno qualsiasi dei numeri é; comerisultato, con probabilità p; che dipendono

dallo stato | A). Cioè, se si effettua molte volte la misura di É sul sistema ogni volta

nello stato | A) (e quindi disponiamo di tante copie del sistema preparato sempre con le stesse modalità), si otterranno diversi risultati £; con frequenze proporzionalia p;. Chiamiamo autostati di £ quei particolari stati sui qualiil risultato di misure di É è determinato a priori, e quindi è sempre lo stesso (esempio: gli stati di polarizzazione lineare di un fotone rispettivamente parallela e ortogonale all’asse ottico di un cristallo birifrangente sono autostati dell’osservabile associata al cristallo birifrangente), e chiamiamo autovettoridi £ i vettori di H che rappresentano gli autostati di £ (l’abuso che consiste nell’utilizzare i termini ‘autovalori’ e ‘autovettori’ che hanno già un significato ben preciso nella teoria degli spazi vettoriali, verrà giustificato più avanti). Un autostato di £ corrispondente all’autovalore £; è uno stato per il quale il risultato delle misure di £ è sempre é; (quindi ad ogni autostato corrisponde uno degli autovalori; vedremo tra poco che vale anche il viceversa): per esso quindi P; = 1, mentre se j # i, P; = 0; un suo vettore rappresentativo viene indicato con |É;): esso è detto autovettore di £ corrispondente all’autovalore É; (spesso diremo, impropriamente,

“Pautostato | é})” anziché “l’autostato di £ rappresentato dall’autovettore |É;)”"). Postuliamo che:

Se si misura é sul sistema edil risultato della misura è &;, subito dopo la misura il sistema è in un autostato di £ corrispondente all’autovalore £;. Quindi, se il sistema è in uno stato | A) e si effettua una misura di £, non possiamo sapere a priori quale risultato otterremo e in quale stato si troverà il sistema dopo la misura, ma quando la misura è stata effettuata e ha dato il risultato £;, sappiamo che il sistema si trovain un autostato di £ corrispondente all’autovalore £;: se quindi subito dopo la prima misura di £ ne effettuiamo una seconda,si riottiene certamente lo stesso risultato (e quindi ad ogni autovalore corrisponde almeno un autostato).

In generale, quindi, una misura perturba lo stato del sistema: | A) + |&) (fa eccezione il caso in cui | A) sia esso stesso un autostato di £). Si noti che questo postulato

esprime in generale ciò che abbiamo visto a proposito del cristallo birifrangente nel capitolo precedente. È facile rendersi conto che in molti processi di misura questo postulato viene contraddetto; esso va quindi inteso in questo senso: da un lato definisce quali sono gli strumenti ‘ideali’ di misura che corrispondono alle grandezze osservabili, fissandoneil comportamento (e quindi, in questo senso, più che di un postulato, si tratta di una definizione); inoltre postula che per ogni osservabile esista almeno uno strumento ‘ideale’ atto a misurarla. In corrispondenza di un dato autovalore &; di un’osservabile £ possono esistere uno o più autostati: nel primo caso diciamo che l’autovalore É; è non degenere, mentre nel secondo caso diciamo che l’autovalore £; è degenere. L'importanza fisica di questa distinzione è la seguente: se una misura di £ fornisce comerisultato l’autovalore &;, e se questo è non degenere, allora sappiamoin che stato si trova il sistema dopo la misura. In caso contrario, se cioè £, è un autovalore degenere, sappiamo solo che il sistema dopo la

60

4 I Postulati della Meccanica Quantistica

misura si trova in un autostato di £ corrispondente all’autovalore Si ma non sappiamo in quale.

Una osservabile non degenere è una osservabile tale che ad ogni suo autovalore

corrisponde un solo autostato; il più delle volte le osservabili sono degeneri. Per quanto sopra, una misura di un’osservabile non degenere determina sempre completamente lo stato del sistema dopo la misura; se invece in corrispondenza del-

l’autovalore trovato in seguito alla misura esistono più autostati (autovalore degenere),

l’informazione sullo stato del sistema dopo la misura è parziale. Vedremo più avanti che un postulato, detto postulato di von Neumann, ci permetterà di determinare lo stato dopo la misura anche nel caso in cui il risultato sia un autovalore degenere. Intanto, conformemente a detto postulato (che potremo enunciare solo dopo che avremo dimostrato che l’insieme degli autovettori di un’osservabile corrispondenti ad uno stesso autovalore costituisce una varietà lineare), possiamo assumere che

se si effettua una misura di un’osservabile È sul sistema nello stato | A), lo stato dopo la misura è univocamente determinato dallo stato di partenza | A) e dall’autovalore é; trovato.

Vedremo che il postulato di von Neumann ci permetterà di asserire che nell’insieme di tutti i possibili autostati corrispondenti all’autovalore degenere trovato, lo stato di arrivo è quello percui lo stato di partenza è stato perturbato il meno possibile. Esempio: il cristallo birifrangente è un’osservabile non degenere se il sistema è il fotone a prescindere dal suo stato di moto (e quindi lo spazio degli stati è Ha); ma se invece il sistema è ‘tutto’ il fotone, allora è un’osservabile degenere: infatti ci consente di determinare lo stato di polarizzazione dei fotoni ma non il loro stato di moto. In ogni modo, il postulato di von Neumann ci permette di asserire che se prendiamo un fotone in un ben determinato stato (per esempio si propaga in una certa direzione con energia E = hv) ed è polarizzato linearmente ad un angolo @ rispetto all’asse ottico di uncristallo birifrangente, dopo che la misura ha stabilito se il fotone emerge nel raggio ordinario o in quello straordinario, il fotone si trova in un ben determinato stato che dipende solo dallo stato iniziale e dal risultato della misura: lo stato di polarizzazione è parallelo o ortogonale all’asse ottico del cristallo, a seconda che il fotone sia emerso nel raggio straordinario o in quello ordinario e, se il nostro strumento è uno strumento

‘ideale’ (nel senso detto sopra), lo stato di moto è rimasto inalterato.

Un dispositivo che ci permetta di determinaresia lo stato di polarizzazione che quello di moto dei fotoni (cristallo + prisma + ecc.) è invece un’osservabile non degenere. Per ora prendiamo la seguente affermazione come un ulteriore postulato, anche se in effetti risulta essere una conseguenza di altri postulati che enunceremoin seguito: Ogni stato è autostato di qualche osservabile non degenere. Fisicamente ciò significa che ogni stato può essere ‘preparato’ mediante la misura di un’opportuna osservabile: si usa cioè l’osservabile comefiltro (proprio comeil polaroid o il cristallo birifrangente per preparare fotoni polarizzati linearmente) effettuando misure sul sistema ed accettandosolo lo stato che si ottiene quando la misura fornisceil risultato desiderato.

4.3 Probabilità di Transizione

61

Si vede quindi che un tipo di informazione sufficiente a caratterizzare lo stato di un sistema consiste nel sapere quale osservabile non degenere è stata misurata sul sistema e

quale è stato il risultato: non è necessario conoscere tutta la storia passata del sistema.

4.3 Probabilità di Transizione Sia £ un’osservabile. Sappiamo che una misura di £ su uno stato | A) darà comerisultato uno degli autovalori £;, e che per effetto della misura il sistema compie una transizione ad un autostato | £&;). Quindi la probabilità p; di trovare comerisultato un determinato

autovalore é; è detta anche probabilità di transizione da | A) a |&;). In generale, siano

| A) e | B) i vettori rappresentativi di due stati; la probabilità che per effetto di una

misura sul sistema nello stato | A) si ottenga lo stato | B) si chiama probabilità di transizione da | A) a | B). Si postula che detta probabilità di transizione P(| A) + |B)) non dipenda dallo strumento (ideale) usato per la misura, e sia data da

P(14) SB).

(44)

La (4.4) è una ‘buona definizione’; infatti: e

P non dipende dal fattore arbitrario nella corrispondenza stati + vettori: dipende cioè, come è giusto che sia, dagli stati e non dai vettori scelti per rappresentarli.

Infatti, se a e f sono numeri complessi, a| A) e 68] B) rappresentanogli stessi stati rappresentati da | 4) e da | B) e si ha

al? |81? |(B | A) P(a|A)8|B)) = |o]?(A|A) I p(|4)+]B)). |BP(B|B) e

O0

(9°|g7)=0.

Sembra quindi che gli operatori autoaggiunti abbiano i requisiti per poter essere considerati come gli operatori associati alle osservabili. Occorre però tenere presente che in uno spazio di Hilbert a dimensioneinfinita (separabile) possono accadere cose piuttosto spiacevoli da questo punto di vista. Può succedere che un operatore autoaggiunto non abbia abbastanza autovettori da costituire una base, mentre sappiamo che l’insieme de-

gli autovettori di un’osservabile costituisce una base (esempio: nello spazio La(a, 6) delle funzioni f(x) a quadrato sommabile nell’intervallo a < x < è, l'operatore f(x) + f(x) è autoaggiunto e non ha autovettori, infatti l'equazione agli autovalori xf(x) = Af(2) ha solo come soluzione f(x) > 0).

Gli operatori autoaggiunti i cui autovettori costituiscono una base sono gli operatori con spettro puramente discreto, mentre gli altri sono gli operatori con spettro continuo, più eventualmente una componente discreta (v. figura 2.3). Allora postuliamo che ogni operatore autoaggiunto con spettro puramente discreto è associato ad una osservabile.

70

4 I Postulati della Meccanica Quantistica

Ogni operatore associato ad una osservabile verrà chiamato esso stesso ‘osservabile’, identificando quindi, non solo nelle notazioni ma anche nel nome, strumenti di misura e operatori. ‘ i Vedremo però in seguito che è non solo opportuno ma anche giusto attribuire il nomedi ‘osservabili’ anche agli operatori autoaggiunti che non hanno spettro puramente

discreto (come per esempio l’energia dell’atomo di idrogeno: ci sonoi livelli energetici,

che costituiscono la componente discreta dello spettro, e c'è il continuo degli stati di

ionizzazione): vedremo che essi possono essere considerati come ‘limiti’ (in un senso da

specificarsi) di operatori con spettro discreto, e quindi corrispondono a casi limite di

osservabili bona fide (si ha anche qui a che fare con uno di quei concetti ‘limite’ così

frequenti nellafisica: punto materiale, velocità istantanea ...). Anche in questo caso (come a proposito della corrispondenza biunivoca fra stati e raggi) forse non è né vero né necessario assumere che proprio tutti gli operatori autoaggiunti rappresentino osservabili. Dall’ultimo postulato enunciato segue quanto a suo tempo assunto, cioè che per

ogni stato | A) esiste almeno un’osservabile di cui |A) è autostato, corrispondente ad un autovalore non degenere: difatti basta prendere l’osservabile corrispondente al

proiettore sulla varietà lineare (unidimensionale) generata dal vettore | A) (la definizione di operatore di proiezione verrà richiamata nel prossimo paragrafo). Resta ancora un problema: data una grandezza osservabile (p.es. l’energia, il momento angolare, ...), chi ci dice qual è l'operatore che dobbiamo associare a detta osservabile? A questo problema risponderà il postulato di quantizzazione che enunceremo nel paragrafo 4.12.

4.7 Digressione sulla Notazione di Dirac In questo paragrafo ci proponiamo solo di mettere a confronto le notazioni usate dai matematici con quella di Dirac, dato che quest’ultima è quella utilizzata in quasi tutti i testi di meccanica quantistica. Quindi nelle formule che seguono verranno omesse tutte le specificazioni e le problematiche riguardanti i domini degli operatori, ecc. Le differenze fra i due tipi di notazione derivano 1. dal fatto che i matematici rappresentano i vettori semplicemente conle lettere dell'alfabeto: u, v, ... mentre noi usiamo le lettere dell'alfabeto (o qualunque altro

simbolo) dentro il “ket” |): |u), |v); 1+), 1); 11) 14); 1®), [®);

bo

(faremo uso anche di questi ultimi simboli fantasiosi); . dalla diversa notazione per il prodotto scalare: (u,v) peri matematici, (u |) per noi.

In effetti, per Dirac il “bra” (u|è un elemento di un altro spazio vettoriale: lo spazio duale di H, cioè lo spazio dei funzionali lineari e continui su #. Ciò è pienamente legittimo grazie al teorema di Riesz secondo il quale il duale di H è isomorfo ad 7 stesso. Vediamo ora le principali differenze notazionali che ne conseguono: sia Éé un operatore lineare (non necessariamente autoaggiunto); il vettore che risulta dall’applicazione dell’operatore £ ad un vettore è £u per i matematici, e É|u) (ma non

4.7 Digressione sulla Notazione di Dirac

71

\gu)) per noi. Quindi noi scriveremo (v | £ | «) che ha lo stesso significato che

(v, éu)

ha per î matematici. Inoltre, l’aggiunto € di un operatore £ è definito per

mezzo della equazione (&'v, u) = (v, Éu), che noi possiamo scrivere con le nostre notazioni solo dopo che abbiamo preso il complesso coniugato di ambo i membri:

(u, £'v) = (v, gu) © (u|e' |v)=(v|E|u)".

Quest'ultima equazione equivale a dire che il “bra” che corrisponde al “ket” £|u)

è (ulé',ese &|u)=]|v), allora (u|€' = (v|; in particolare, se |&) è “autoket” di e= e, (&| è “autobra” di £ corrispondente sempreall’autovalore &: (&;|E = &; (4;|Elenchiamo alcune proprietà della coniugazione hermitiana (é + £') che sono immediata conseguenza della definizione di operatore aggiunto:

a

ae

=

(eni

=

= att

;

(C+mî = + ne.

(4.23)

Le notazioni di Dirac non sono molto ben viste dai matematici, mentre invece per il fisico che ne deve fare un uso intensivo sono piuttosto comode, in quanto seguono regole di facile applicazione: per esempio, fare il prodotto scalare di |u) con |v) significa ‘incollare’ il bra (v| al ket |); inoltre, così comeil coniugato di un numero a è a* e il coniugato di un operatore £ è &T, il coniugato di un bra o di un ketè il corrispondente

ket o bra; questa regola, che nasce dalla (4.21) e dalle (4.23), permette di scrivere in modo quasi automatico un'espressione come (v | £ n € --- | w)*: basta coniugare tutto e invertire l’ordine dei vari elementi:

(u|En6--]u)t=(u]-- toe |). Concludiamo questo paragrafo richiamando la definizione degli operatori di proiezione, e mostrando come anche questi possono essere agevolmente espressi nella notazione di Dirac. °

Sia |u) € H, (v | v) = 1. L’operatore di proiezione 7, sulla varietà lineare (unidimensionale) generata da |v) è definito da per ogni

ue H:

P.|u)=|v)}(v|u)

quindi, siccome applicare P, a |u) equivale ad ‘incollare’ |v)(v| a |u), possiamo scrivere

Py =|v)(v].

Sia ora V una varietà lineare (chiusa) di dimensione arbitraria C H. Se |vu;) € V, i =1,2,-:-, è un qualunque insieme di vettori ortonormali che

generano Y, l’operatore di proiezione Py su V è definito da

per ogni

|u)€eH:

Pyju)=)lu)|u)

e perciò possiamo scrivere:

Py=).lu)vil :

(4.24)

72

41 Postulati della Meccanica Quantistica

In particolare, se |f;) è una base ortonormale in #H, l'operatore identità 1 — cioè il

proiettore su tutto H: 1|u)=|u) - può essere scritto come

1= YIGG].

|

(4.25)

La (4.25) è nota come relazione di completezza in’ quanto esprime il fatto che i vettori |) costituiscono un insieme ortonormale completo.

Così, per esempio, applicando ambo i membridella (4.25) al vettore | u), si (ri)ottiene la (4.9). Ancora:

(ulu)=(u|1|u)=Y(ul|&)(&|u)=)_|(u|&)]

2

cioé la (4.10).

Se P è un operatore di proiezione è immediato verificare che

Pp=pi,

pie P.

(4.26)

Se € è (l’operatore associato ad) una osservabile e indichiamo con P; il proiettore

sulla varietà degli autovettori di £ corrispondenti all’autovalore &; (l’autospazio di £

corrispondente a &;), per la (4.25) e la (4.24) si ha

D,Pi=1 » Eafa=e)Pi, &Pi=Yl6)&(Gl

(427)

dove la somma che compare nell’ultima espressione viene fatta su tutti i vettori di una base ortonormale di autovettori di É, quindi se un certo autovalore è degenere n. volte (n < cc), nella somma sono presenti n autovettori corrispondenti a quell’autovalore (nell’ultimo termine della (4.27) l’autovalore €; viene scritto fra il ket e il bra solo per

motivi estetici).

4.8 Valori Medi

Se sul sistema nello stato | A) effettuiamo N misure dell’osservabile £ (e, lo ricordiamo,

ciò significa che disponiamo di N copie del sistema, tutte nello stato | A), e che ogni misura viene effettuata su una di queste copie), troviamo comerisultati gli autovalori

€;, ciascuno N; volte (Y} N; = N). Possiamo definire il valor medio € dell’osservabile é sullo stato | A) comeil valor medio deirisultati ottenuti; se N è molto grande si ha

= det 1

ES)6=) ri

Ni DPi=FT:

(4.28)

Preso (A | A) = 1, per la (4.15) (postulato di von Neumann), se P; è (come nel paragrafo precedente) il proiettore sull’autospazio di £ corrispondente all’autovalore &;, si ha:

(A|P;| A){° pi=P(1A) + |6))=P(14) +Pil4)) = AT EI

4.8 Valori Medi

il denomiriatore è (£;| &; )), e siccome (v. (4.26))

(A|P?|A)20,siha

73

P? = Pi, e inoltre (A|P;|A)=

(4.29)

pi= (A|Pi| A)

(abbiamoriscritto la (4.15) utilizzandoi proiettori). Quindi, per la (4.27),

E=)G(AIP.|A)=(A|),&P:14)=(A]|E|A).

(4.30)

Salvo contrario avviso assumeremo sempre (A|A)= 1.

La quantità (/A | £ | A) viene di solito più correttamente chiamata “valore di aspettazione dell’osservabile £ sullo stato | A)” in quanto, essendo le p; le probabilità U

fornite dalla teoria, cioè probabilità teoriche, É è ciò che secondo la teoria ci si deve aspettare come valor medio dei risultati delle misure di £ su | A). Consideriamo ora l’operatore £ e vediamonele proprietà: tutti gli autovettori| &) di € sono anche autovettori di €? corrispondenti agli autovalori &?:

E |&) = ExE|&)= € &|&)=&€|&)=&°|&) e siccomegli | €) sono un insieme completo allora anche £? è un’osservabile: se l’applicazione &; + €? è iniettiva (cioè se é non ha autovalori opposti), allora £ e € hanno tutti e soli gli stessi autovettori e l’osservabile corrispondente a €? si ottiene semplicemente cambiando la scala dello strumento che misura &; in caso contrario gli strumenti che misurano rispettivamente £ e € sono diversi, perché ci sono autovettori di £* che non sono autovettori di £. Incidentalmente, nello stesso modo possiamo definire f(É) come quell’operatore che

ha come autovettori gli autovettori di £ e autovalori f(£;): se & + f(é) è iniettiva allora l’osservabile f(É) non differisce, se non per la scala, dall’osservabile £. Il valore di aspettazione di £2:

E=(A||A4)=).6pi è il valore quadratico medio dei risultati delle misure di € su | A). Lo scarto quadratico medio Ag =

£ — È è quindi dato da

o equivalentemente da

(AG)? =(A|E|A)-(A|E|A)°

(4.31)

(A? =(A|(E-8?|A).

(4.32)

Infatti: (€ ©= (e2-26€+0)= ©.

Il significato di Aé è ben noto: esso rappresenta una misura della dispersione dei risultati attorno alla media; nell’attuale contesto si ha inoltre il seguente

Teorema: AÉ = 0 se e solo se | A) è autovettore di £. Difatti, se {| A)= €| A) si ha

(A|E|A)=E&(A|A)=&

e

(A/8|A4)=@%A|A)=@?

74

4 I Postulati della Meccanica Quantistica i

da cui segue A£ = 0. Viceversa sia ora Aé = 0, allora

o=(A40°=(A](E-&)x(6-E)| A) e siccome quest’ultima espressione è il quadrato della norma del vettore (€ — E) A)

(dato che (£ — £) = (é — £)T ), deve essere

(-E)|A)=0

>

&JA)=€]A).

Per questo motivo A£ viene anche detto îindeterminazione di € su |) A): se AÉ = 0

il valore di £ su | A) è completamente determinato. Quindi tramite la sola conoscenza di valori di aspettazione è possibile stabilire se un certo stato è autostato di un’osservabile, ed in caso positivo conoscere l’autovalore corrispondente. Ma c’è di più: come espresso dalla, (4.29), anche le probabilità di transizione sono esprimibili come valori di aspettazione. i Quindi tutte le informazioni fisiche che caratterizzano lo stato del sistema — probabilità di transizione, valori medi delle varie osservabili, osservabili di cui lo statoè

autostato e i corrispondenti autovalori — sono riconducibili a valori di aspettazione di os-

servabili, perciò la conoscenza di uno stato è equivalente alla conoscenza di tutti i valori di aspettazione sullo stato stesso: è anche possibile riformulare la meccanica quantistica definendo lo stato di un sistema, anziché come un vettore dello spazio di Hilbert, come

la collezione dei valori medi di tutte le osservabili (funzionali lineari positivi sull’algebra delle osservabili); questa formulazione è stata proposta da von Neumann, Segal, Haag-Kastler, ed è equivalente alla formulazione ‘hilbertiana’ di Dirac. 4.9 Stati Puri e Miscele Statistiche

Abbiamogià insistito sul fatto che, siccomel’interpretazione della meccanica quantistica è una interpretazione statistica, dire ‘è dato lo stato (rappresentato dal vettore) | A)”, presupponela possibilità di poter preparare tante copie identiche del sistema tutte nello stesso stato | 4): in questo caso si dice che il sistema è in uno stato puro.

Supponiamo ora di avere N > 1 copie del sistema nello stato | A) e Na > 1 copie nello stato | B) e di misurare su ciascuno di questi N = N + Na sistemi

una osservabile É: la teoria prevede che, se pifi e Toi ? sono le probabilità di trovare l’autovalore €; rispettivamente quandoil sistema è nello stato ia) e quando è nello stato | B), troveremo l’autovalore £; un numero Nip ) 4 Naop 5) con una probabilità pari a

ay Na N28) Di_l = 7 (Napi(A + Nap) = a+ ri”.

di volte, e quindi

(4.33)

Perciò il valor medio deirisultati delle misure è Na

= V.&p= TI (A|E|A)+7(B|E|B).

(4.34)

Per esempio, gli N = N1+N2 sistemi potrebbero esserestati ottenuti inviando N fotoni tutti nello stesso stato di polarizzazione su un cristallo birifrangente con l’asse ottico ad

4.9 Stati Puri e Miscele Statistiche

75

angolo 9 rispetto alla direzione di polarizzazione: in questo caso p1 = N1/N = cos? 9 e pa Na/N = sin° 9 non sono ‘numericerti’, ma sono a loro volta probabilitàche, è vero (in questo caso) hanno origine nella natura probabilistica della meccanica quantistica, ma sono tali perché — per esempio — non abbiamo osservato il rinculo degli specchietti mobili posti a valle del cristallo, e quindi non sappiamo quanti fotoni sono emersi nel raggio straordinario e quanti nel raggio ordinario: proprio come se lanciamo dei dadi e

non guardiamoi risultati. Per questo motivo abbiamo preferito usare nella (4.34) una notazione diversa da quella usata nella (4.28) per il valor medio di £: ((£)) è una ‘media classica.di medie quantistiche’. In generale, se un insieme di sistemi quantistici consiste di sistemi negli stati (non

necessariamente ortogonali)

|uz),{u2)---|lun)--:

rispettivamente in percentuali

pr, Pa + Pn (D)pn = 1), si dice che l'insieme dei nostri sistemi è una miscela statistica: i p,, possono essere ‘percentuali certe’ o anche probabilità dovute alla nostra

ignoranza, cioè al fatto che abbiamo solo informazioni parziali sul modoin cuii sistemi

sono stati preparati: sono, per esempio, miscele statistiche l’insieme degli stati di un

sistema dopo che su di essì è stata misurata una osservabile (v. l'esempio dei fotoni

fatto sopra), oppure qualunque sistema termodinamico (p.es. un gas): è una miscela,

statistica dei suoi sottosistemi (le molecole).

Una miscela statistica è quindi individuata dall’insieme delle coppie

{|u1), pi; |u2), pa; ; | Un), Pas |) D&,m)=|e). Solo a titolo di esercizio proponiamo anche la dimostrazione dell’equivalenza senza l’ipotesi che le due osservabili siano non degeneri. Supponiamo che É ed 7 abbiano un insieme completo di autovettori simultanei. Si ha

14) + @) DM),

M=al&n)+LZal&m), &£E

ma siccome (per ipotesi) la probabilità di transizione | €) + |") è non nulla, e vale |a]? x |(& | £'7')|?, deve essere a # 0, ed inoltre (postulato di von Neumann) deve essere massima, perciò |a| = 1, c = 0, e quindi |[77)=|& 7"). Viceversa, supponiamo che per ogni | É')

|) > 16). Consideriamo la varietà lineare (chiusa) V generata da tutti gli autovettori simultanei, e

supponiamo (per assurdo) che V 4 H. Sia allora |&') € V. (esiste!). Ma allora, siccome

|&n)eV, P(|E)3|&))=0, assurdo. Quindi V = H.

Si ha ora una importante caratterizzazione di tipo algebrico delle osservabili compatibili, espressa dal seguente Teorema: Due osservabili sono compatibili se e solo se pergli operatori ad esse associati si ha:

.

En=nE.

In tal caso si dice che € ed 7 commutano. Se chiamiamo

[&, n)=&n-né commutatore di £ ed n, la (4.41) si scrive

[&, n]=0.

(4.41)

80

4 I Postulati della Meccanica Quantistica’

La dimostrazione che diamo non ha la dignità di una vera dimostrazione, in quanto

(come al solito) ignoriamo i problemi legati ai domini di definizione dei due operatori:

ha più che altro la funzione di mettere in evidenza gli aspetti intuitivi del problema. Se £ ed n sono compatibili, l'insieme degli àutovettori simultanei| é' 1") è completo. Si ha

En|e,m)= €|&,0)n =|E,m) € né|&,n)=n|t,y)E=|&,7)npE. Si vede quindi che sui vettori | £,17) gli operatori £ n e 7 £ dannolo stessorisultato; ma poiché i vettori del tipo |&/,17) sono un insieme completo, lo stesso succede per tutti i vettori dello spazio, e quindi segue la (4.41). i Occorre dimostrare il viceversa, cioè se [£, 7] = 0 allora £ ed n hanno un insieme completo di autovettori simultanei. Premettiamo un lemma che per la sua importanza e l’uso ripetuto che ne faremo in seguito merita di essere isolato dal resto della dimostrazione.

Lemma:

se [£, n) = 0 e se €|&) = €|€'), allora n|é') è ancora autovettore di È

corrispondente all’autovalore £':

}

EE) = EME). Infatti:

(4.42)

Enjg)=nglf)=ng|)=&n]e)

(si noti che non è stato neppure necessario supporre n autoaggiunto). Completiamo ora la dimostrazione del teorema. Consideriamo prima il caso in cui una delle due osservabili, per esempio £, sia non degenere. In questo caso, siccome per

ipotesi é ed n commutano, il lemma ci porta subito al risultato: difatti 7 |É"), essendo autovettore di £ relativo all’autovalore non degenere &, deve essere multiplo di |&'), cioè

nle)= me)

e quindi ogni autovettore | £') di £ deve essere anche autovettore di 7.

Consideriamo ora il caso degenere. Sia H; l’autospazio di £ relativo all’autovalore &;; Per il lemma, n applicato ad ogni vettore di 7; dà sempre un vettore di H;, quindi ogni autospazio di £ è invariante per n: n agisce in maniera indipendente in ogni H;. È quindi già intuitivo a questo punto che n avrà in ogni H; un insieme di autovettori completo per H;. Ma tutti i vettori di H; sono autovettori di £ e quindi in ogni #; abbiamo un insieme completo di autovettori simultanei: |£;,7;). In questo modo si ottiene un sistema completo, per tutto H, di autovettori simultanei di É ed n. Dimostriamo ora ciò che abbiamo lasciato all’intuizione, e cioè che 7 ha in ogni Hi

(autospazio di € relativo all’autovalore é;) un insieme completo di autovettori.

Sia |m:), k= 1, 2,--- un insieme di autovettori di 7 completo in H. È noto che è possibile, ed in modo unico, la decomposizione i i L L). Im) A) MO RR ROL) _=D

4.10 Osservabili Compatibili

81

Ma da n|m:) = mm) si ha

min?) + nin) = mn?) + la”) i

L

i

L

e siccome nin) E Hi e nn”) E HD), per l'unicità della decomposizione del vettore n|m:), deve essere i

i

nin) =mn?),

L

L

nin) = men).

Sia ora | A) € #,; ed ortogonale a tutti gli nd ). Poiché | A) € H;, esso è ortogonale a tutti gli \n ) e quindi a tutti gli | n). Quindi | A) è il vettore nullo e perciò gli| ni) ) sono un insieme completo per H,;. Peril lettore che ha capito il teorema le seguenti osservazioni dovrebbero risultare superflue.

1. Il teorema non dice che se [É, n] = 0 allora ogni autovettore di un’osservabile è

(N°)

anche autovettore dell’altra, ma dice che esiste, cioè si può trovare, un insieme completo di autovettori simultanei: per esempio, l'operatore identità 1 commuta con qualsiasi operatore e ogni vettore è autovettore di 1, ma certamente non è vero che ogni vettore è anche autovettore di qualsiasi altra osservabile. È però vero che se una delle osservabili, per esempio £, è non degenere, ogni autovettore di £ è anche autovettore di 7. 3. Se [£, n] 4 0 può accadere che £ ed n abbiano qualche autovettore simultaneo, certo non tanti da formare un insieme completo.

I risultati ottenuti si possono generalizzare al caso di più di due osservabili: le osservabili €, n, C, 5 (4° p°P + p°? g°P) 1

0

che è hermitiano. D’ora in poi nonci serviremo più del simbolo °P perdistinguere gli operatori: con g, p, f(9,p) intenderemo senz'altro gli operatori associati alle corrispondenti osservabili. Per quanto detto, occorre conoscere il commutatore per ogni coppia di osservabili f(4,p) e g(g,p). Si può vedere che questi commutatori sono noti se sono noti i commutatori [gi ’ gi] ’

[gi ’ Di] ’

[pi 4 P;] .

(4.47)

Per questo scopo sono essenziali le seguenti Proprietà dei commutatori: Siano £, 7, € operatori. Si ha allora:

2.

3.

[É,n1=-[m, €]. {f,n}=-[n, €]

se E£=é& n=n,

|, n+ }hiw. Infatti, se (Eo0 | E) = 1, siha

(5.6)

5.2 I Livelli Energetici dell’Oscillatore Armotico .

89

1

Eo = (Eo|H|Eo)= 3 ((Eo |? | Eo) +m°w? (Eo|d° | Eo)) 1

_

= (PP +mw° q). Ma abbiamo visto che P e 7 sono zero, per cui

L((Ap} + m?w? (Ag?) .

Eo = — 0

2m

Grazie alla disuguaglianza a? +0? > 2ab con a= Ap, b= mwAqe alla (4.52), si ha 1

1

En > — 2mwAqAp > hw. d 2m 2 Nel prossimo paragrafo dimostreremo che Eo = 1hw: ciò comporta che nelle disugua-

glianze usate col segno > ((4.52) e a? +52 > 2ab) vale sempreil segno di uguaglianza: quindi sullo stato | Eo ) si ha (la seconda uguaglianza segue da a2+5?° = 2ab & a=b): ApAg= th,

Ap=mwAq.

Quindi lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico è uno stato di minima indeter-

minazione ed inoltre (siccome p° = (Ap)? e d° = (Ag)?) mw°qg = — p? = 2 Eo

(5.7)

cioè il valor medio dell’energia cinetica è uguale al valor medio dell'energia potenziale:

lo stesso risultato che si ha perl’oscillatore classico (teorema del viriale), con un diverso

significato del termine ‘valor medio’: per l’oscillatore classico la media viene effettuata su un periodo, e quindi rispetto al tempo, mentre per l’oscillatore quantistico (nello stato fondamentale, ma vedremo cheil risultato vale anche pergli altri autostati della hamiltoniana), si tratta della media delle misure rispettivamente dell’energia cinetica e dell’energia potenziale.

5.2 I Livelli Energetici dell’Oscillatore Armonico Per determinare gli autovalori della hamiltoniana dell’oscillatore armonico unidimensionale, anziché lavorare con gli operatori p e g, faremo uso dei seguenti operatori non hermitiani:

1 n= = ——==-(p-imwq), er (p a)

= n t_

1

————t— 0

(p (p+imwq). q)

5.8 (5.8)

In termini di n e nÎ, p e q sono dati da

P

muwh

Il

h i_ q=-i mal).

3 (+.

(5.9)

90

5 L’Oscillatore Armonico

Si ha,

to_

2

1 _L

2.22:

fw _liw

n= rio madgtimola = (0-7) 1

1

tin=> —H-;. mn==> 5

Analogamente

5.10 (5.10)

1 H+:1 = —

no' — hw

+ 2

e quindi, o anche direttamente dalle (4.51),

[ni ni] =1.

.

(5.11)

Calcoliamo ora i commutatori [H, 7] e [H, nÎ]. Dalle (5.10) e (5.11) si ha

(5.12)

[H,n]=hw[nîn.n}=-hwn la cui aggiunta è

[H,n']}=hw[nîn,n']=+hw7gy! .

.

(5.13)

Sia ora | E) un autovettore di H corrispondente all’autovalore E: H|E)= E|E). Consideriamoil vettore n| E): se n) E) # 0, esso è ancora autovettore di H corrispondente all’autovalore E — fiw. Infatti, usando la (5.12) Hno|E)=nH|E)-hwn|E)=(E-hw)n|E}).

(5.14)

Per questa sua proprietà n viene detto operatore di discesa, in quanto applicato ad un autovettore di H7, se non lo manda nel vettore nullo, lo trasforma in un altro autovettore con autovalore diminuito della quantità fw.

Allora partiamo dal vettore | E), applichiamogli n e, se il risultato è diverso da

zero, gli applichiamo nuovamente n ... e così via, fintanto che eventualmente questa catena nonsi interrompa conil vettore nullo. In questo modosi ottengonogli autovalori E E- hw E-2hu,..-. Ma questa catena deve per forza interrompersi ad un certo punto, perché altrimenti finiremmo per trovare autovalori minori di zero, mentre sappiamo che devono essere tutti > ih w. Deve quindi esistere un autovalore minimo Eo tale che n|Eo)=0. (5.15) Allora

= (Bo | în | Ea) = (Eo| = H-3|Eo)= (Bo -3)1 (Ev |M) e dunque Ep = ihw.

È facile ora vedere che n' è un operatore di salita, cioè se | E) è autovettore di H

corrispondenteall’autovalore E, nî| E) è autovettore di H corrispondente all’autovalore

E+huw. Infatti, usando questa volta la (5.13), si ha:

Hn' |E)=n' H|E)+hwn'|E)=(E+hw)n'|E).

5.2 I Livelli Energetici dell’Oscillatore Armotiico

91

Allora al vettore | E0) possiamo applicare ripetutamente n° ed otteniamo una catena di autovettori di H corrispondenti agli autovalori E0, Eo + fw, Eo+2fw,.... Questa catenaascendente può interrompersi? Può cioè accadereche esista un vettore | E) per cui nî| E) = 0? Vediamo: seesistesse, si avrebbe ; 1 1 1 1 0=(E|no' |E)=(E|_H+5|B)=(-E+5)(E]E)

il che è assurdo in quanto E + } iw non è mai zero. Quindi la catena ascendente non si interrompe maie tutti gli

1

E=(n+5) hw

n=0,1,2,-

(5.16)

sono autovalori di H. E chiaramente nonesistono altri autovalori diversi da quelli dati dalla (5.16): se ne esistesse uno, la catena discendente che parte da esso, non passando per il valore th w, ma scavalcandolo, non potrebbe mai interrompersi e si finirebbe

così col trovare autovalori negativi. Quindi gli &,, dati dalla (5.16) sono tutti e soli gli

autovalori di H. Resterebbe da vedere se questi autovalori sono o no degeneri: essi non sono degeneri, ma questo lo dimostreremo più avanti, in un contesto più generale. Sarebbe anche essenziale a questo punto dimostrare che gli | E, ) costituiscono un insieme completo: ciò costituirebbe una verifica della coerenza interna della teoria, in quanto, poiché H è l'operatore associato ad una osservabile, deve avere delle ben precise proprietà, fra cui la completezza dei suoi autovettori. Se venisse fuori che H non ha queste proprietà, ciò vorrebbe dire che il postulato di quantizzazione (4.51), cioè quello che determina le proprietà dell’operatore H, non è compatibile con i precedenti postulati, e in particolare conl’ipotesi che H è una osservabile, cioè un operatore autoaggiunto. Ma, anche se non lo dimostriamo e nemmenoci soffermiamo a dire di preciso cosa si dovrebbe dimostrare, gli | E, ) costituiscono un insieme completo e quindi, almeno per ora, tutto va liscio.

Semplifichiamo ora le notazioni e indichiamo con |n) (n = 0, 1, 2, ---) gli auto-

vettori di H: |0) rappresenta lo stato fondamentale, |1}) il primo livello eccitato e così via. Essi si ottengono tutti applicando ripetutamente l'operatore n° al vettore |0): ad

esempio |n) = (nî)"|0). Mai vettori così ottenuti non sono normalizzati. Se vogliamo normalizzarli dobbiamo calcolare

(n|]n)=(0]|n"(n)"|0) e per fare questo ci serve la seguente espressione:

[n (MM)]=n (Mt

(5.17)

che dimostriamo per induzione. Essa vale per n = 1. Vediamo allora che se la (5.17) vale con n sostituito da n — 1, cioè se [n, (n°)"-!] = (n 1) (nÎ)"-?, allora vale anche la (5.17). Infatti [m, (pî)! [m, (m)”] = n, ni (n°)"73] = nÎ

+ Im, ni] (ni)!

= (n-1) n (MY + (Man.

92

5 L’Oscillatore Armonico

Allora

(0 | n" (@mÎ)" |0) = (0|n°tn 99)" |0) = (0]w"{m, (n1)"110) (l’ultimo passaggio grazie alla (5.15): n10)= 0); quindi utilizzando la (5.17):

(019° (n°)? |0)=n(0|m"*(n))"|0). Ripetendo n volte questo calcolo che ha portato da n ad n — 1 gli esponenti di n ed nî sì ottiene:

(0|m"(n")" |0)=n!(0]0).

Allora ridefiniamo i vettori |n) come

(n)= = (1710) mi

(5.18)

per cui se (0|]0)=1, anche (n|n)=1 (Operatori come pî e n che soddisfano la regola di commutazione (5.11), hanno un ruolo importante nella teoria quantistica dei campi, dove vengono chiamati operatoridi creazione e di distruzione).

Capitolo 6 Teoria delle Rappresentazioni

6.1 Rappresentazioni Sia | en),

n= 1, 2, ---, una base ortonormale di vettori: (Em | Cn) = mn

(ortonormalità)

Vn|en)(en|=1

(completezza).

Allora per ogni vettore | A) di H si ha

14)= YO anlen), an=(en|4), (414) =),ln

ut=u

(6.10)

e in tal caso si dice che l’operatore U è unitario. In uno spazio a dimensioneinfinita non basta U V = 1 per concludere che U = V71,

ma occorre anche VU = 1: per esempio, l'operatore V definito da V|e,) = |é,) = |€n+1) soddisfa VÎV = 1 (manda vettori ortonormali in vettori ortonormali), ma non VVÎ=1 (non manda un insieme completo in un insieme completo). Viceversa, se U è un operatore unitario ed | en) (n = 1,---) è una base ortonormale, allora anche

|én)=U|en),

n=1,2,-

è unabase ortonormale: la dimostrazione è immediata. Siccome gli operatori unitari conservano la norma dei vettori:

(A|UTU|A)={A|A) sono definiti su tutto #, e quindi per essi i problemi di dominio non si pongono. Se U è un operatore unitario, gli operatori

i=UgU,

d= Upi UT!

(6.11)

grazie a U—-! = UT sono autoaggiunti ed inoltre soddisfano le regole di commutazione (4.51):

[di db; ]} = Ugg UT!U pjU!-Up;U!UgU!=U[g, p;)U!=ih di; e analogamente per le altre. In meccanica classica le trasformazioni che conservanole parentesi di Poisson sono le trasformazioni canoniche: vediamo quindi che le trasformazioni

unitarie (6.11) corrispondonoalle trasformazioni canoniche.

Latrasformazione g + gd, p + d induce su ogni osservabile (o più in generale su

ogni operatore) f(g,p) la trasformazione f(9,p) + f(4,D) e si ha

f(d,d) = f(UgU7!,UpU!)=U f(q,p)U! e se E|&)= e|&) e É=UEU-, posto |f')=U]|&) si ha

(6.12)

6.3 Trasformazioni Unitarie e il Teorema di von Neumann

99

(6.13)

ElE)=e |).

La (6.13) è immediata; per giustificare l’ultimo passaggio della (6.12) cominciamo con il caso in cui f(g,p) è un polinomio:

p)=) nmg'p”

>

I(,D)=), Gnmd"p"=

n. volte

m. volte

= YO anm (UgU).-(UgU7*)(UpU)..-(UpU) = =U()O anma'p")U!=U f(4,p)U!

Inoltre le trasformazioni unitarie conservano le relazioni algebriche per cui, per esempio,

se f(g,p) è un polinomio e g(g,p) = 1/f(4,p), grazie al fatto che (£ DE = nE, si

ha

g(4,D) = [f(4.D)I = IU f(g,p) UT! =U[f(g,p))!U! = U g(a,p)U! e in questo modosi riesce a dimostrare la (6.12) almeno per ogni funzione definita da

relazioni algebriche. Viceversa, peri sistemi con un numerofinito di gradidi libertà (cioè sistemi con un numero finito di particelle), se la trasformazione:

did di,

Pi d Pi;

d=a,

d=p;

(6.14)

conserva le regole di commutazione (4.51) ([G;, dj] =ifd;; etc.) allora esiste un ope-

ratore unitario U tale che valgono le (6.11): si dice che l’operatore U implementa la

trasformazione (6.14). (Poiché gli operatori unitari non cambiano le dimensioni fisiche

di una variabile, si sottintende che q e G hannole stesse dimensioni, lo stesso perp e pd). Quello che abbiamo enunciato è un risultato molto importante ed è noto come teorema di von Neumann. L’idea che sta alla base della dimostrazione, se si ignorano i problemi di dominio (che però sono importanti per una dimostrazione rigorosa), è molto semplice: siano |n})gp e

n )aa (n, è = 0, 1, ---) rispettivamente gli autovettori degli operatori p? + m?w?g? e 2? + m?w24 (m e w arbitrari); l'operatore U definito come

U|n)gep = |N)ap implementa la trasformazione (6.14): ovviamente basta verificare che (n e 7 definiti

comenella (5.8))

UnU|n)ga=fln)a, Un'U'|[n)g=î'In)x

perogni [n)g.

Infatti (e analogamente per la seconda delle equazioni qui sopra):

UNU|n)z3=Un|n)m = vGiU|n-1)p=vfin-1)p= dn): Ovviamente U e eiPU sono equivalenti; vale il viceversa: due operatori U; e Ua che implementano la stessa trasformazione differiscono per un fattore di fase: infatti, l’operatore (unitario) V = U7!U; implementa la trasformazione identica q + q,p + p, quindi V commuta con ogni f(g,p):

100

6 Teoria delle Rappresentazioni

V f(a,p)V=f(VaVv_,VpV')=f(o2) > Vf(q,p)=f(a,p)V. .

9

9

.

è

«

.

In particolare V commutacon l'operatore p"+m?w2g? i cui autovalori sono nondegeneri, quindi i suoi autovettori |n) sono anche autovettori di V. Quindi, se P,, è l'operatore

di proiezione su |n.), si ha

Va DO. In Pa

Da VEÉ=€&V, PuPm=0 sengm e P?= Pn, siha Pa V É P = Pné V Pon

>

Yan Pné Pin = Ym Pné Pon

quindi (Yn — Im)Pnf Pm = 0 e siccome £ è arbitrario, Ya = Ym = 7, € perciò V = q1. Del resto, se V non fosse equivalente all’identità: V # ei? 1, l'affermazione fatta. alla fine del paragrafo 4.8 secondo la quale l’insieme di tutti i valori medi determinano

univocamente lo stato, non sarebbe vera: se |]B)= V] A),

(Alfa, p)|A)=(B]|f(g,p)|B). Il fatto che ogni operatore che commuta con tutte le osservabili è un multiplo dell’identità implica che non esiste alcun sottospazio (proprio) di 7 invariante per tutte le osservabili: in questo caso si dice che la rappresentazione delle osservabili in H è érriducibile (non sarà sfuggita la connessione fra quanto appena affermato e il lemma di Schur); grazie al teorema di von Neumanntutte le rappresentazioni irriducibili sono (unitariamente) equivalenti. Vale la pena di notare che l’irriducibilità della rappresentazione delle osservabili è già implicita nel principio di sovrapposizione: se 71 e #5 sono sottospazi invarianti di

#H (cioè nessuna osservabile ha elementi di matrice fra i vettori di Hj e Hz) allora, con |A.) E H1e|A2) E Ha), tutti i vettori 1] 41) + 22] A2) con dati |a] e |a2| rappresentano lo stesso stato, che quindi è la miscela statistica {| 41), |a1]?; | 42), [aa]? } dato che ( A1|EÉ| A2)=(A0|É|A:)=0. Una istruttiva applicazione del teorema di von Neumann è data dall’esempio

seguente: la trasformazione _ p >g= 2, pif=-mw q+d==7, D+d q

6.15 (6.15)

è una trasformazione canonica ([6, 9] = il), quindi esiste un operatore unitario U che la implementa. La hamiltoniana (5.1) dell’oscillatore armonico è invariante per la trasformazione (6.15): H(4,9) = H(q,p), quindi

U H(q,p)U— = H(q,p)

>

UH=HU.

Siccome U commuta con H e H è non degenere, grazie al lemma di pag. 80, i suoi autovettori sono anche autovettori di U:

U|E)=X|E);

(E|E)=(E|UTU|E) > DP=1

(gli autovalori degli operatori unitari sono numeri di modulo 1).

Quindi, siccome (E|UT-.-U|E)=|MXE|[---|E)=(E|--.|E), .

2

2

D |E)={E||E)=(E|5mw?@ eZ e)=(E| lm? | E) (E| 2 che generalizza la (5.7) ad ogni autostato della hamiltoniana.

6.4 La Rappresentazione di Schròdinger: Considerazioni Preliminari

101

6.4 La Rappresentazione di Schrédinger: Considerazioni Preliminari Uno dei problemi della meccanica quantistica è quello della determinazione degli autovalori ed autovettori delle osservabili: sarebbe quindi desiderabile avere a disposizione una tecnica abbastanza generale per la risoluzione di questo problema. In questo senso può esserci utile la teoria delle rappresentazioni che abbiamo discusso nel paragrafo 6.1: infatti se conosciamo una rappresentazione degli operatori p e q, come per esempio quella data dalle (6.6) e (6.7), allora conosciamo la rappresentazione di ogni osservabile

F(p, q) della teoria.

Il problema è quindi quello di determinare gli autovalori ed autovettori di una matrice ad infinite dimensioni. Per esempio, se l’osservabile che ci interessa è la hamiltoniana, dovremo risolvere le equazioni

YO Hunt= Ecf,

n=1,2,---

(6.16)

che traducono in termini di rappresentativi l'equazione H|E)= E|E). Le incognite nelle (6.16) sono gli autovalori E e, in corrispondenza di ciascuno diessi,

i rappresentativi {cF} dell’autovettore | E). Per quanto riguarda i {cf}, le soluzioni accettabili sono quelle per cui Yy,, |cE|} < 00 cioè {cF} € la (ritorneremo su questo punto, anche se in un contesto un po’ diverso, nel prossimo paragrafo).

Quindi per mezzo delle (6.16) (o analoghe per altre osservabili) in linea di princi-

pio si può risolvere il problemadella determinazione degli autovalori e autovettori di un’osservabile. In pratica le cose vanno diversamente perché le (6.16) sono un sistema

di infinite equazionilineari ed omogeneenelle {cÉ} e nonsi dispone di metodi sufficientemente generali per risolverle. C'è poi un altro problema:le (6.6) e (6.7) sono solo una

delle tante possibili rappresentazioni di g e di p; sorge quindi il problema di quale sia caso per caso la rappresentazione più conveniente. Si è portati a pensare che forse, dato il ruolo fondamentale che le qg e le p hanno in tutta la teoria, una rappresentazione in cui le qg o le p sono diagonali sia particolarmente significativa. Supponiamo allora di voler determinare una rappresentazione in cui le q sono diagonali: in primo luogo occorre determinarne autovalori ed autovettori. E qui nasce una difficoltà perché le q non hanno autovettori. Questa affermazione può essere dimostrata in diversi modi più o menorigorosi: per esempio, se |x) è un autovettore di g corrispondente all’autovalore x, da if = [g, p]

e qî=gqg si ha

ih(x|x)=(x|(gp-p9g|x)=x(e|p|x)-{a|p|e)a=0 cioè un assurdo. La dimostrazione non è rigorosa perché presuppone cheil vettore | 2) sia nel dominio di definizione dell’operatore p: l'abbiamo proposta perché con ‘dimostrazioni’ di questo tipo si possono inventare diversi paradossi. Vediamo allora una dimostrazione rigorosa e anche più istruttiva. Consideriamo la trasformazione qg + f=09— @G, p+ D= p, cona reale. Poichéla trasformazione conserva le regole di commutazione e gi = g, pî = p, grazie al teorema.

di von Neumannesiste un operatore unitario U(a) che la implementa:

U(a)gU(aY!=q-a,

U(a)pU(al!=p.

(6.17)

102

6 Teoria delle Rappresentazioni

Se moltiplichiamo la prima delle (6.17) da destra per U(a) otteniamo: ‘

(6.18).

n

[a, U(a)]= aU(a).

Supponiamo ora (per assurdo) che |) sia un autovettore di g corrispondenteall’autovalore x: siccome la (6.18) ha la stessa struttura delle (5.12) e (5.13), anche in questo caso si ottiene che U(a)|x) è autovettore di g corrispondenteall’autovalore 7 + a:

qU(a)|x)=(c+aU(a)|x) + U(ala)=|r+a).

(6.19)

Ma a è un numero reale arbitrario, quindi si ottiene un insieme continuo di autovalori di g, e questo è assurdo perché in uno spazio 7. separabile gli autovalori di ogni operatore hermitiano costituiscono un insieme numerabile (finito o infinito), altrimenti esisterebbero basi ortonormali con la potenza del continuo. Quindi g non ha autovettori (e neppure autovalori) in H. Lo stesso discorso si può ripetere per p : basta considerare la trasformazione canonica:

V(b)av(o)=qg,

i

V(O)pV(b) =p-d

1

(6.20)

e procedere come sopra. Perciò neppure p ha autovettori ed autovalori (in HH). Questo risultato è molto spiacevole: infatti se g e p sono operatori associati a delle osservabili devono possedere autovettori ed autovalori. Ma siccome questo non succede, segue che q e p non sono osservabili, contrariamente a tutto quanto abbiamo detto finora!

Si noti che tutto ciò è conseguenza delle regole di commutazione (4.51): sembra

quindi che il postulato di quantizzazione sia incompatibile col postulato che g e p siano osservabili. Ma la situazione non è poi così drammatica. Si capisce anche fisicamente che ad esempiola q non è un’osservabile nel senso stretto della parola: si pensi infatti al microscopio di Heisenberg, quale strumento atto a misurare la posizione di una particella. È chiaro dalla discussione del paragrafo 3.6 che pereffettuare una misura precisa di posizione (cioè per trovare un autovalore della posizione g) occorrerebbe impiegare radiazione di frequenza infinita, il che è impossibile: in altri termini si può misurare la posizione di una particella con la precisione desiderata, ma noninfinita; cioè Ar piccolo a piacere, ma mai nullo. È comedire che nessuno strumento può misurare esattamente la posizione, ma esistono strumenti che la misurano con precisione sempre maggiore (microscopi di Heisenberg che utilizzano A sempre più piccole). Si vede quindi che q non è un’osservabile, ma può essere considerata comeil limite di osservabili: guidati da queste considerazioni di carattere fisico, nel paragrafo 6.9 estenderemo anche ad operatori come gq e p il nomedi osservabili, traducendo in forma matematica precisa l’idea di ‘limite di osservabili’. Concludiamo questo paragrafo dapprima mostrando l’espressione dell’operatore U(a) in termini delle g e delle p, ed infine discutendoneil significato fisico. Poiché U(a) commuta con p, deve essere funzione esclusivamente di p, quindi dalle

(6.18) e (4.54) si ha

[qg,U(a)]=aU(a)=ih

due)

>

dU(a) Fi i =

U(a)

(6.21)

6.5 La Rappresentazione di Schrédinger

103

e l’ultima equazione è proprio la definizione dell’esponenziale quindi, a meno di un fattore di fase inessenziale:

U(a) = eiPo/f.

(6.22)

In mododeltutto analogo si trova che V(6) = eti??/# : il +i all’esponente è dovuto al fatto che scambiandoil ruolo di q e p il commutatore [g,p]=i cambia segno.

Per quanto riguarda il significato fisico, la trasformazione (6.17) rappresenta una traslazione: se adottiamo il punto di vista attivo corrisponde ad una traslazione di

+a degli strumenti associati alle osservabili: se in un qualche senso (che chiariremo nel

paragrafo 9) q rappresenta un microscopio di Heisenberg, gj rappresenta un microscopio traslato di +a (se adottassimo il punto di vista passivo la (6.17) corrisponderebbe ad

una traslazione di —a degli assi cartesiani).

Evidentemente, siccome d = p, se esistesse uno strumento che misura l’impulso, questo dovrebbe essere invariante per traslazioni, e quindi infinitamente esteso, e ciò ci fa capire che dal punto di vista fisico è giusto che neppure p (come abbiamo già visto per g) possa essere considerata una osservabile nel senso stretto della parola.

Sia ora | A) il vettore (normalizzato ad 1) rappresentativo di uno stato del sistema.

Il vettore

i

|An) =U(a)| A)

rappresenta lo stato traslato, cioè lo stato che è stato preparato come lo stato | A), ma con gli strumenti traslati di a: infatti per ogni osservabile f(g,p) si ha

(Aa | f(9,5) | Aa) = (A|U! (Uf(a,p)U!) U|A)=(A]f(g,p)| A) e questa è proprio la relazione che definisce lo stato traslato: i valori di aspettazione non cambiano se stati e osservabili vengono traslati nello stesso modo.

6.5 La Rappresentazione di Schròdinger Eravamo partiti con l’idea di trovare una rappresentazione in cui le g; sono diagonali e ci siamo subito imbattuti nella difficoltà che le g; non hanno autovettori. Quindi una

tale rappresentazione non esiste, almeno nel senso che a questo termine abbiamo dato nel paragrafo 6.1. Per capire a questo punto come dobbiamo procedere, e affinché il nostro discorso nonrisulti troppo astratto e deduttivo, iniziamo con delle considerazioni euristiche in cui il rigore matematico è temporaneamente ignorato, ma che hanno lo scopo di farci intuire qual è la strada da seguire. A noi interessa una rappresentazione in cui le g; siano ‘diagonali’: consideriamo per semplicità il caso di un sistema con una sola g e una sola p (un grado dilibertà) e ragioniamo come se gq avesse una base di autovettori. Anzi, ammettiamo senza batter ciglio che ogni numero reale x è un autovalore di g e che per ognuno di essi q ha un

autovettore | x). Quindi qg ha un insieme continuo di autovalori ed autovettori (una volta

commesso l’errore di ammettere che g ha un autovalore, la (6.19) ci forza a considerare come autovalori tutti i numerireali). Se ora procediamo formalmente comenel paragrafo

104

6 Teoria delle Rappresentazioni

6.1, si ha che i rappresentativi di ogni vettore | A) nella ‘base’ |x), —00 < x < +00,

sono (x | A), cioè sono delle funzioni della x. Quindi:

:

|A) > (e|A)=%a(2). La funzione 44(x) prende il nome di funzione d’ondadello stato rappresentato dal

vettore | A). Come si esprimeil prodotto scalare ( B | A) in termini delle funzioni d’onda bale) e Wp(x)? Dato che qui x è una variabile continua (che prendeil posto dell'indice

discreto n. del paragrafo 6.1), viene naturale scrivere la relazione di completezza (4.25) come / le)de(x (il da lo mettiamofra il ket e il bra solo per motivi estetici) per cui

(B|A)= f(B|2}(2|A)dr= / w5(A VW(Ade che è il prodotto scalare nello spazio La delle funzioni a quadrato sommabile. Abbiamo quindi ottenuto una rappresentazione di H7 su Lo. Vediamo come è rappresentato l'operatore q in questa rappresentazione. Si ha

glA)-(c]|a|A) ma poiché g= 9", (x|g=x(x] e dunque

qlA)>(c|a| A)=xva(x) cioè q è rappresentato nello spazio Lo delle funzioni d'onda dalla moltiplicazione per x, così come in una rappresentazione su £, un operatore diagonale agisce moltiplicativamente sui rappresentativi di ogni vettore (v. (6.4)). In questo senso possiamo dire che nella nostra rappresentazione q è diagonale. Siamo quindi arrivati ad un risultato interessante, anche se per una strada tutt’altro che rigorosa: quella che a buondiritto possiamo considerare una rappresentazione in cui q è diagonale è una rappresentazione su La in cui qg è rappresentato dalla moltiplicazione per 2. Quello che c’è di non rigoroso in tutto questo discorso è l’uso della base | x), per cui ora cercheremo di ottenere gli stessi risultati facendone a meno. In effetti nel paragrafo 6.1 una rappresentazione altro non era che un isomorfismo dello spazio astratto 7 sullo spazio ‘concreto’ £3: l’uso della base |e,) era solo un espediente per realizzare un particolare isomorfismo. Da questo punto di vista possiamo chiamare ‘rappresentazione’ una qualunque identificazione (o isomorfismo) dello spazio H con uno spazio di Hilbert ‘concreto’, come ad esempio lo spazio Lo (tutti gli spazi di Hilbert separabili sono isomorfi), sia che questo isomorfismo venga realizzato mediante il ricorso ad una base ortonormale (come nel paragrafo 6.1), sia in modo diverso, come faremoora. Se il sistema ha n gradi di libertà, consideriamo lo spazio LS delle funzioni di n variabili a quadrato sommabile, Si tratta di stabilire un isomorfismo fra lo spazio # dei vettori di stato e lo spazio 16WE mentre nel paragrafo 6.1 prima stabilivamo l’isomor-

fismo fra H e 2 (cioè la rappresentazione dei vettori di stato) e poi determinavamola

6.5 La Rappresentazione di Schrédinger

105

rappresentazione degli operatori, ora invece procediamo a rovescio, cioè primastabiliamo la rappresentazione degli operatori, e da questa si determina la rappresentazione dei vettori. Naturalmente è sufficiente dire come rappresentiamo le g e le p per dedurne la rappresentazione di ogni f(g, p). Esistono infinite maniere di rappresentare le q e le p e quindi infinite rappresentazioni di H mediante LS), ma noi ne considereremo solo due.

La prima è la

Rappresentazione di Schròdinger o delle Coordinate In questa rappresentazione ad ogni vettore | A) dello spazio # corrisponde una

funzione d’onda > Wale, >, ®n) e siccome questa, corrispondenza è un isomorfismo, si ha: (B Î A) = Just v ; Tn) UFACATELE En) dx, war(&1, 0, &n) = di Wale, En) -

(6.24)

La(6.24) ancora nonfissa completamente l’isomorfismo (6.23). Questo si capisce, per

esempio, facendo riferimento alla presentazione euristica all’inizio del paragrafo: infatti

resta ancora la possibilità di cambiare ogni vettore della ‘base’ |x) per un fattore di

fase arbitrario ei (©).

L’equivalente nella presentazione attuale è una certa arbitrarietà nel modo di rappresentare le p;: abbiamo detto ‘una certa arbitrarietà’ perché per le rappresentazioni delle g; e delle p; devono essere soddisfatte le relazioni di commutazione (4.51). La rappresentazione di Schròdingersi ottiene prendendo per le p; la rappresentazione —iho / Or il

d alc, Cn) |A")=pi|A) >> war(21, ---; €n) = RO

(6.25)

La rappresentazione di Schròdinger è dunque definita da. |A) > Wale, --- sen) e LO,

QI Li,

0 pi Fil

(6.26)

A questo punto dobbiamo chiederci due cose: 1. se gli operatori x, e —if 0/0x; sono operatori autoaggiunti su LS, 2. sela rappresentazione delle g; e delle p; è compatibile con le regole di commutazione (4.51).

106

6 Teoria delle Rappresentazioni

Cominciamo dal primo problema, e come al solito dimostreremo solo che sono hermi-

tiani. Per quanto riguarda le x;, occorre verificare che l’equazione

(Bla | A)=(A4]|q| B) vale anche per i rappresentativi, cioè vu ;Tn) dr» den Just, °° ;En) Ti wa(c1 .

*

7 (fui vo ;En) Ti vp(21, O ;€n) da, a dan)

il che è ovviamente vero. Analogamente, per dimostrare che —ià 0/07; è hermitiano occorre verificare che , % ih fwa(are0n) FTO Vale sd+ da

= (-infvi 1%n) pa Vele en) de>> don). . Infatti, integrando per parti al secondo passaggio si ha:

.

+

0

*

2.

f

d

(-infuiztusd) -ihfunzindo

la 9

=-ih

DO

VB pr Vado +ih

Da, (VB Va) de.

Ma l’ultimo termine è nullo per le funzioni di Zo che si annullano all’infinito, e queste sono dense in Lo. Ciò dimostra che anche le p; sono rappresentate da operatori hermitiani. Per quanto riguarda il secondo problema dobbiamo dimostrare che, così come in H valgono le equazioni

[di gGl\A)=0,

[pi p;]|A)=0,

[&, p;j]|A)=ihd;;|A)

(6.27)

in LSsi ha (ci Lj un dj Zi) dali, ve’ En) — 0,

.(9

9.

9

9

h (Ga dr; gu Da) Valma,

ee ;%m) 0,

(6.28)

sue _ 35”) Wale: sn) =ih di; dale, Tn) .

Le prime due equazioni sono ovviamente soddisfatte. Per quanto riguarda la terza si ha:

0

9

x. 9

0

DIR (M ag deg Pi) vatit pg (4) 0 = cina; SPA Lino ga tim SLA = ino; va. Lj

dx;

6.5 La Rappresentazione di Schrédinger

107

È opportuno notare che le (6.28) non possono essere scritte per qualsiasi funzione

dA E LO). affinché, ad esempio, la prima delle (6.28) abbia senso in LS è necessario

che x;xj04(£1,::- tn) sia ancora a quadrato sommabile, mentre per la seconda delle

(6.28) è necessario che wa(x1,::- ,€n) sia derivabile due volte almeno e 02w,/0x;0x;

sia ancora a quadrato sommabile. Analogamente per la terza delle (6.28).

Le funzioni %4 che soddisfano a queste condizioni non sono tutte le funzionidi LS, ma solo un sottoinsieme denso. In effetti sappiamo che gli operatori non limitati non sono definibili su tutti i vettori di #, ma solo su un insieme deriso di vettori: questo è proprio il caso delle g; e délle p;, per cui già le equazioni (6.27) avevano senso non

per tutti i vettori | A) € #, ma solo per i vettori | A) appartenenti ad un opportuno insieme denso di 7. Quindi tanto le (6.27) che le (6.28) per i rappresentativi valgono su un insieme denso rispettivamente in 7 e in Ly”.

Siamo ritornati sul problema del dominio degli operatori non limitati, come q; e pj in H e x, e —ih0/0x;in LO, non soltanto per una questione di correttezza: si tratta in effetti di un problema importante, ma è al di là dei nostri scopi approfondire ulteriormente la questione. In ogni modo, tanto per metterci a posto la coscienza (ma non solo), ritorneremo brevemente su questo problemaalla fine del paragrafo.

Essendo ora notala rappresentazione delle g e delle p data dalla (6.26), ogni osservabile f(q;, p;) viene rappresentata da f(x;, —-1%40/0z;). In particolare un’osservabile F(q1, --: Gn) è rappresentata da f(x, --- |) che agisce moltiplicativamente sulle funzioni d’onda:

F(a1: Gn) |A) 3 fn, En) dae En) è L’idea di cercare una rappresentazione in cui le g sono diagonali era sorta dalla necessità di risolvere il problema della determinazione degli autovalori ed autovettori delle varie osservabili del sistema: vediamo allora cosa abbiamo guadagnato in questo senso con

l’introduzione della rappresentazione di Schròdinger (RS).

Consideriamo per esempio il problema di determinare autovalori e autovettori del-

l'energia per un sistema di particelle (n gradi di libertà). La hamiltoniana (se nonci sono campi magnetici) è della forma:

n

2

H=) gta, vo” ;0n) i=1

e siccome

o

o (cit)

(e non p°| A) + (04/0)? 1!), l'equazione agli autovalori per H in rappresentazione

di Schròdingersi scrive: n

h

8?

(Dar a Mn in)) Vele san) = Pelose tin)

(6.20)

che per motivi storici prende il nome di equazione di Schrbòdinger (ciò è dovuto alla particolare importanza che ha sempre avuto il problema della determinazionedeilivelli

108

6 Teoria delle Rappresentazioni

energetici di un sistema, per cui l’equazione (6.29) è stata scritta da Schrédinger prima ancora che la meccanica quantistica assumesse la forma in cui la stiamo presentando). La (6.29) è un’equazione differenziale lineare ed omogenea del secondo ordine (contiene cioè derivate, al massimo, del secondo ortine): è vero che non sempre questa

equazione si sa risolvere (tutto dipende dal potenziale V(x1, -:-,2n) ), tuttavia per

le equazioni differenziali esistono diverse tecniche per la loro-soluzione esatta, appros-

simata o numerica, molto più di quanto non accada per le equazioni del tipo (6.16).

Da questo punto di vista, quindi, l’introduzione della rappresentazione di Schròdinger rappresenta un notevole passo avanti.

Nell’equazione H| E) = E|E) le incognite sono gli autovalori £ e gli autovettori corrispondenti | E). Di conseguenza nell’equazione (6.29) le incognite sono gli autovalori

E e le be(x1, --- tn): vale la pena di soffermarsi un momento a capire in che senso E

sia un’incognita nella equazione (6.29). In effetti teoremi di esistenza per le equazioni differenziali assicurano che l'equazione (6.29) ammette soluzioni per qualsiasi valore di E; ma ricordiamoci che a noi interessano soltanto quelle soluzioni We(1, -:- , n) che sono a quadrato sommabile (e quindi, in particolare, si annullano abbastanza rapida-

mente all’infinito). Ora, non solo la (6.29) ha soluzioni per ogni valore di E, ma ne ha tante (si tratta di un’equazione alle derivate parziali); tuttavia quello che succede

è che esistono soluzioni a quadrato sommabile solo per particolari valori di E, i quali costituiscono un insieme discreto, finito o infinito. La determinazione di questi valori di E per cui la (6.29) ammette soluzioni in LS è quindi parte integrante del problema.

della risoluzione della (6.29) stessa.

Così come abbiamo introdotto la rappresentazione di Schrédinger in cui le q; ‘sono diagonali’, possiamo introdurre una seconda rappresentazione in cui, nello stesso senso (cioè nel senso di essere rappresentate da operatori che agiscono moltiplicativamente) sono le p; ad essere diagonali: questa è la Rappresentazione degli Impulsi La rappresentazione degli impulsi si ottiene scambiandoil ruolo delle q e delle p nella (6.26): ogni vettore | A) viene rappresentato da una funzione ga(ki, --- fn) € 19) (usiamo & anziché x per le variabili indipendenti solo per distinguerla dalla rappresentazione di Schròdinger), le p; vengono rappresentate dalla moltiplicazione per &; e le

gi da ih0/0k; (il cambiamento di segno in quest’ultima rispetto alla rappresentazio-

ne di Schròdinger di p; è dovuto al fatto che scambiando il ruolo delle q e delle p il commutatore cambia segno: [pi, gs] = —ifidi; ). Tutto ciò che abbiamo detto per la rappresentazione di Schròdinger può essere ripetuto perla rappresentazione degli impulsi. Agli effetti del problema della determinazione degli autovalori ed autovettori di una osservabile f(9, p) si utilizzerà l’una o l’altra delle due rappresentazioni, a seconda di quale delle due fornisce l'equazione più semplice. Se per esempio l’osservabile è la hamiltoniana, normalmente è più comodala rappresenta zione di Schrédinger, poiché di solito il potenziale è una funzione complicata delle g, ed è quindi preferibile che sia rappresentato da un operatore moltiplicativo V(x1, --- n), piuttosto che da un complicato operatore differenziale V(-ih0/0x1, --- ,-ih0/0zn). Nel seguito useremo la seguente terminologia: se | A) è autovettore di una certa osservabile f(g,p), la funzione d’onda wa(x1, --- 3€n) (o palki, > 6(kn kn) cioè fina Jara) TR) dda

= S(k1- K1) (0: Sn An). Dobbiamo quindi avere

ef eni (#11)+ +(nrnl/N dg» dien = d(k1-K1) S(kn-kt). L’integrale al primo membro è il prodotto di n integrali del tipo feti®&-#)e/har e dalla teoria della trasformata di Fouriersi sa che vale 27 fi d(k— 4/). Perciò deve essere

6.8 Relazione fra Ie Rappresentazioni delle Coordinate e degli Impulsi

117

le}? (2r A)" =1. Come ci si doveva aspettare c è determinato a meno di un fattore di fase (perché i

vettori |E) sono determinati a meno di un fattore di fase comune, e idem per i vettori

|1)); se scegliamo arbitrariamente c reale positivo si ha c= 1/(27h)"/? e quindi 1

i

(k1t14ko vot +kn

i

lin tn)/h

(&1; tn |kn, fn) = Grappe e 1th2 024

(6.45)

per cui in definitiva a)

—

1

palk) = Cry fe

;

-—ika/h

,

da(x) dr

vaa fa. i)

—

+ike/h

L\

AL

(6.46)

Abbiamo quindi due risultati:

1. in rappresentazione di Schròdingerle autofunzionidell'impulso sono del tipo ei*®/", Così le autofunzioni dell'impulso di una particella (tre gradi di libertà) sono ei*7/*,

i.e. cioè sono onde piane con lunghezza d’onda (periodicità spaziale) A = 27 fi/ E] = h/ EI ,che è proprio la lunghezza d’onda di de Broglie per una particella di impulso

k.

Finalmente ora si capisce che le onde di de Broglie associate ad una particella sono le funzioni d’onda della particella stessa. Esse sono di natura ben diversa dalle onde note in fisica classica, come quelle elettromagnetiche o le onde elastiche. Queste ultime hanno unsignificato fisico diretto e possono essere misurate punto per punto, mentre le funzioni d'onda sono un modo di rappresentare gli stati del sistema (e, per intenderci, la rappresentazione degli impulsi è un modo altrettanto valido di

o

rappresentare gli stati del sistema), e punto per punto solo ||? ha un significato

fisico diretto (anche se, come sappiamo, [y|? non esaurisce tutte le informazioni contenute nella Vv). Le funzioni d’onda nelle rappresentazioni di Schròdinger e degli impulsi corrispondenti ad uno stesso stato sono, essenzialmente (cioè a parte la presenza di fi in

eiF®/f ) Ja trasformata di Fourier l’una dell’altra: più precisamente se indichiamo con Ù la trasformata di Fourier di 4, si ha che, a parte un fattore A"/?,

g(k) = b(k/h) .

(6.47)

Nota. D'ora in poi, per adeguarci alle notazioni di uso corrente, anche se queste potrebbero talvolta generare qualche confusione, indicheremo con g(p) le funzioni d’onda in rappresentazione degli impulsi: useremo quindi lo stesso simbolo p sia per l’operatore

impulso che per l'argomento di p. Di conseguenza con p (o eventualmente p', pl", ---)

indicheremo anche gli autovalori dell'operatore impulso. La lettera k verrà riservata per

indicare la quantità p/f, cioè 27/A; quindi k = p/R è il vettore d’onda. Così per esempio per l’autofunzione dell'impulso (x | p) si ha

118

6 Teoria delle Rappresentazioni

(2 |p) =

elp ®/fi

elia

1

i = VE

")= dp-p)= (p|p')= 6p-p')= 3 30(k-W), d( )

(si è fatto uso della relazione 5(ax) = |a|716(x)) e la prima delle (6.46) si scrive ora

= Lug fa feel = fe fer 4()d ca 1

;

mentre la (6.47) diventa

1

ikea

_

g(P) = W(p/h) = Uk) .

6.48 (648) (6.49)

La relazione trovata fra le rappresentazioni di Schròdinger e degli impulsi, espressa per esempio dalla (6.49), ci permette di vedere da un nuovo punto di vista la relazione di indeterminazione Ap Aq > z hi. Essa è una conseguenza di un teorema sulle trasformate di Fourier, secondo cui se una funzione %(x) ha una larghezza Ax definita da

(Ax)? =

Se? — 7°) |b(0)]} de J ld(2)]? da

Ar Ak>

miH

allora la trasformata di Fourier (k) ha una larghezza Ak tale che

=.

(6.50)

Questo è un teorema generale, che trova quindi applicazione non solo in meccanica quantistica, ma in tutti i casi in cui si ha a che fare con fenomeni ondulatori: ottica, acustica ecc. Il significato fisico delle relazioni di indeterminazione che ne derivano nei vari casi dipende dal significato fisico delle variabili 7 e £, cioè dal significato fisico

della trasformata di Fourier: in meccanica quantistica & = p/fi e quindi dalla (6.50)

segue la relazione di indeterminazione fra impulso e posizione della particella; in ottica

k=27r/A=2nv/c per cui dalla (6.50) segue la relazione

Ax Av > 2

(6.51)

che lega la larghezza spaziale Ax dell’onda elettromagnetica con la sualarghezza spettrale Av: la (6.51) stabilisce quindi che tanto più il treno d’onde è limitato spazialmente, tanto meno esso è monocromatico 0, con la terminologia corrente, tanto maggiore è la larghezza di banda, e viceversa.

Dalla (6.51) si ricava anche At Av > 1/(47) dove At = Ax/c è la “durata tempora-

le” del pacchetto (o treno) d’onde: l’analoga per una particella in meccanica quantistica, chesi ottiene da questa ponendo v = E/h dove E è l’energia, cioè At AE > 1 h, anche se è sovente citata, non è ovvia (t non è un’osservabile) e non ha una interpretazione

immediata (cosa significa At?).

6.9 Le g e le p come Osservabili Abbiamo visto che le qg e le p sono osservabili ‘patologiche’ nel senso che non hanno autovalori e autovettori. Esse hanno invece un insieme continuo di autovalori impropri, e corrispondentemente una base di autovettori impropri.

6.9 Le q e le p come Osservabili

119

Questo tipo di patologia si manifesta per molte osservabili f(g,p) (si pensi per esempio all’atomo di idrogeno peril quale l’energia ha autovalori discreti, che sono i livelli energetici dell'atomo, ma anche un continuo di energie che corrispondonoaglistati di scattering elettrone-protone), per cui vale la pena di approfondire il problema per capire in che senso possiamo considerare anche queste come osservabili. Per semplicità limiteremola discussione al caso di una g (un solo gradodi libertà), ma ciò che diremo in questo caso particolare può essere generalizzato anche a tutte le altre osservabili (come le po la hamiltoniana dell’atomodi idrogeno) che manifestano lo stesso tipo di patologie. Abbiamo già introdotto nel paragrafo 6.6 l'operatore EA x(g) i cui autovalori sono 0 e

1; gli autovalori dell’operatore 2’ Ea +(9) sono allora ovviamente 0 e x’. Dividiamo ora

tutto l’asse delle x in intervallini A,,, per esempio tutti uguali e di ampiezza A, centrati attorno ai punti 2, (n intero) e consideriamo l’operatore q, che in rappresentazione di

Schròdinger è rappresentato dalla funzione (figura, 6.3) qa(t) =

) Tn EA ,xn (€) -

È facile rendersi conto (ragionando come nel paragrafo 6.6

per l’operatore Ea,x(g)) che gli autovalori di gy sonogli En (-00 < €n < +00), e chegli autovettori di g, formano un insieme completo. Quindi g,y è un’osservabile. Il significato fisico di questa osservabile si deduce dalla discussione che abbiamo fatto nel paragrafo 6.6 sul significato fisico di Ea. (9) : n è quell’osservabile che vale 7, quan-

do la particella si trova nell’intervallo A,, attorno ad xn:

Fig. 6.3

essa è cioè un’osservabile che misura la posizione della particella con incertezza (sperimentale) tA/2: si pensi ad un regolo graduato in cui si può apprezzare il decimo di mm; con esso si misurerà la posizione della particella con incertezza +0.05 mm. In termini meno macroscopici potremmo dire che g, è l’osservabile che corrisponde ad un microscopio di Heisenberg che sia in grado di misurare la posizione con indeterminazione Ax = A. Dal significato fisico di ga e dal confronto fra la figura 6.3 e la figura 6.4 in cui è riportata la rappresentazione di Schrédinger di g, si vede che tanto più A è piccolo, tanto meglio gn approssima g. Questa osservazione si può rendere

a(x)

precisa notando che [|gy — g|| = A, cioè che

fim (aa -9)=0 Fig. 6.4

nel senso della convergenza in norma (detta anche convergenza uniforme: è una convergenza molto forte). Quindi le g, sono osservabili che, pur di scegliere A opportunamente piccolo, approssimano q quanto ci pare. Per questo in tutte le espressioni che riguardano le osservabili (nel vero senso della parola) gy, a meno di un errore dell'ordine di A, possiamo sostituire l’operatore q all'operatore g,. Per esempio:

120

6 Teoria delle Rappresentazioni da (Algan|A)=q=(A]|a]|A),

Aqn = Aq

se A è più piccolo della precisione desiderata.

Fissato un certo grado di approssimazione 4, con cui vogliamo misurare la posizione

di una particella, diremo che un vettore |, ) è approssimativamente autovettore di q corrispondente all’autovalore x’ se sullo stato rappresentato da |xh) si ha Aq < A e g = a’. (il segno = significa ‘a meno di un errore dell’ordine di A’). Il grado di approssimazione è quindi misurato dallo scarto quadratico medio Ag: in effetti quanto più Ag è piccolo tanto più ci si avvicina alla situazione che si avrebbe se qg avesse autovettori, in quanto peressi (se esistessero!) Ag = 0. Gli autovettori di g, (ma nonsolo loro) sono approssimativamente autovettori di g nel senso della definizione data sopra: difatti le autofunzioni di gy sono funzioni con

supporto (cioè diverse da zero) entro uno degli intervalli A,, e quindi per esse Aq < A. Si noti che un autovettore improprio di g, |x'), ha come funzione d’onda (| x) = 6(e — 2’): si ha quindi che in un certo senso la funzione d’onda di | x) approssima

quella del vettore improprio | x/): in un certo senso, perché mentre le funzioni che approssimano la é di Dirac hanno una norma Lo che diverge (come A) al tendere a zero di A, le norme La delle funzioni d’onda corrispondenti ai vettori | xh ) restano finite (per esempio uguali ad 1) qualunquesia, A. In conclusione: anche se q non ha autovalori e autovettori (in senso proprio), siamo riusciti a dare un significato fisico ed un significato matematico ben precisi ai concetti di autovalori e autovettori approssimati per l’operatore g. Da questo punto di vista g, i suoi autovalori ed i suoi autovettori impropri si sono guadagnatiil diritto di cittadinanza nella teoria, in quanto possono essere considerati come limiti di entità. fisicamente

significative: g come limite delle osservabili gy; |) come ‘limite’ (nel senso specificato sopra) dei vettori |A ) che corrispondono a stati fisicamente realizzabili.

Come abbiamo detto all’inizio di questa discussione, queste conclusioni valgono anche per tutte quelle osservabili che hanno uno spettro continuo di autovalori (oltre, eventualmente, ad uno spettro discreto) e quindi, in particolare, per l’osservabile impulso p. Vediamo allora quali sono per questa osservabile le funzioni d’onda in rappresentazione di Schrédinger corrispondenti ai suoi autostati approssimati. Le autofunzioni improprie sono ei? ®/F : per ottenere un’autofunzione approssimata (sempre corrispondente all’autovalore p) basterà per esempio prendere una funzione che vale ei? ®/" |e| < L, tende a

zero in modo continuo e derivabile nei tratti L < |x|] < L' ed è zero per |e| > L/. Questa

funzione è La ed ha un Ap = Èi/(2L) per cui tanto più grande è L, con tanta migliore approssimazione possiamo considerarla autofunzione di p. Se poi la vogliamo normalizzata dovremo dividerla per un numero dell'ordine di V2L {il valore esatto di questo fattore

di normalizzazione dipende dall'andamento della funzione nei tratti L < |e| < Di): si

noti che al crescere di L questa funzione tende a zero punto per punto, e quindi non esiste una autofunzione esatta di p. Oppuresi puòmoltiplicare l’autofunzione impropria

eiP®/f per una gaussiana molto larga: ei? ®/f e7®°/4L* e si applicano a questa funzione

tutte Ie considerazioni fatte sopra. La discussione precedente ha messo in evidenza che anche gli autovalori impropri di una osservabile sono significativi dal punto di vista fisico: è chiaro quindi che, data

un’osservabile, è importante determinarne non solo gli autovalori propri (o autovalori discreti), ma anche quelli impropri (o autovalori continui), cioè l’intero spettro.

6.9 Le q e le p come Osservabili

121

Ora, in linea di principio, per i primi sappiamo come procedere: si tratta di risolvere un'equazione agli autovalori in 7 (o in Lo se siamo in rappresentazione di Schròdinger); ma se vogliamo determinare gli autovalori impropri, certamente non è in H (0 in Lo) che dobbiamorisolvere l’equazione agli autovalori, e quindi si pone il problema di stabilire dove detta equazione debba essere risolta. Così se, per esempio, siamo in rappresentazione di Schrédinger, il problema è quello di saperefra quali funzioni si debbano cercare le autofunzioni improprie dell’osservabile che ci interessa. Questo che abbiamo enunciato non è un problemadi facile soluzione ed è anche un problema molto tecnico, per cui non lo discuteremo in generale: lo affronteremo in un caso particolare nel prossimo capitolo e ne trarremo delle indicazioni generali sufficienti per i nostri scopi.

Capitolo 7 L’Equazione di Schròdinger per Sistemi Unidimensionali

7.1 La Hamiltoniana della Particella Libera

In questo paragrafo ci occupiamo del problema relativamente semplice della determi-

nazione degli autovalori della hamiltoniana della particellalibera. Discuteremoil caso

unidimensionale. Il nostro sistema è quindi una particella vincolata a muoversi su una

retta. La hamiltoniana è

,

pî H= —

7.1

2m

(7.1)

cioè l’energia è solo cinetica. Chiaramente H e p commutano: [H, p] = 0; esse hanno

quindi un insieme completo di autovettori (impropri) simultanei. Inoltre, poiché p è non degenere (cioè ad ogni autovalore p' corrisponde, a meno di un fattore, un solo autovettore improprio |p' )), ogni autovettore di p è autovettore di H. Quindii vettori

|p') costituiscono una base di autovettori di H ed i corrispondenti autovalori E si

ottengono da

E\v\=H|v

|p')

IP)

2

_ P.

/

al)

e quindi: _ P

72

_P_

1

=)

12

2m. È

Poiché —c0 < p' < +00, gli autovalori di H sono continui e sono tutti i numeri reali E 20. In questo caso H ha quindi solo autovalori impropri. Quant'è il grado di degenerazione degli autovalori E di H? Fissato E > 0 esistono due e solo due vettori della base che corrispondono allo stesso autovalore dell’energia:

essi sono i vettori |+p') e|-p') con p = v2m E. Quindi, tutti gli autovalori £ > 0 di

H sono doppiamente degeneri (per quanto riguarda l’autovalore E = 0 preferiamo non

dire nulla); ciò significa che tutti e soli i vettori del tipo

al+p)+B|-p'),

a, B EC

(7.2)

sono autovettori di H. Si noti che, poiché H è degenere, i vettori |p') sono un insieme

completo, ma non sono tutti gli autovettori di H; i vettori della forma (7.2) sono tutti

gli autovettori di H.

7.1 La Hamiltoniana della Particella Libera

123

Il significato fisico della doppia degenerazione degli autovalori di H è evidente: poiché l'energia è solamente cinetica, sia che la particella si muova da sinistra verso destra, sia che si muova da destraa sinistra, purché conla stessa velocità, l’energia è la stessa. Si osservi tuttavia la differenza fra la situazione classica e quella quantistica: mentre classicamente, fissata l'energia E, sono possibili solo stati di moto in cui l’impulso (o la velocità) è positivo oppurein cui l'impulso è negativo, quantisticamente, a causa del

principio di sovrapposizione, esistono stati di moto (quelli descritti dai vettori (7.2) con

a e 8 entrambi diversi da zero) in cui la particella non ha una direzione di moto definita: essa viaggia contemporaneamente da sinistra a destra e viceversa. Comesi realizza una tale situazione? Siccome abbiamo a che fare con vettori impropri, possiamo solo cercare situazioni fisiche che sono descritte da vettori che appros-

simano quelli dati dalla (7.2) in una regione (dell’asse x) grande quanto si vuole, ma

finita. Si pensi di avere uno specchio molto lontano (p.es. uncristallo, oppure un opportuno campo elettrico), e di inviare su questo specchio particelle in uno stato di im-

pulso quasi definito: Ap « È/L, dove L è la distanza

dello specchio dalla regione di osservazione, e quindi deFig. 7.1 scritte da una funzione d’onda che in rappresentazione di Schròdinger è data da e!i** in una regione di dimensione > L. Questo “pacchetto d'onde” (o “treno d'onda”) si riflette sullo specchio e torna indietro nella regione di osservazione nella quale, siccomeil pacchetto d’onde è molto lungo, per un certo intervallo di tempo è presente sia l’ondaincidente ei*® che quella riflessa e7!** (figura 7.1). In

questo esempio, però, |a] = |8| perché lo specchio è totalmente riflettente.

Ora che abbiamorisolto completamente il problema di determinare autovalori e au-

tovettori (impropri) e degenerazione della hamiltoniana (7.1), riesaminiamo dacapo lo

stesso problema in rappresentazione di Schròdinger: il motivo di questa ripetizione è quello enunciato alla fine del capitolo precedente, cioè, avvalendoci del fatto che già conosciamola soluzione del problema, ci proponiamo di capire fra quali soluzioni dell’equazione di Schròdinger si debbano cercare le autofunzioni improprie della hamiltoniana. Peril nostro sistema, descritto dalla hamiltoniana (7.1), equazione di Schrédinger si scrive: h2

2 v'(2) = Ewa), 2m

d?

v" (x) = ci

(7.3)

e le incognite sono sia E che w(x). Poiché l'equazione (7.3) è del secondo ordine, la soluzione generale dipende da due costanti arbitrarie: per ogni valore di E (reale o complesso) essa è della forma (x) _ quei V2amEa/h | BerivamEc/h,

a, b e C

(7.4)

dove V2m.E è un numero complesso. Comesi vede, la (7.3) ammette soluzioni per ogni valore di E, anche complesso, mentre dalla discussione precedente abbiamo trovato che E deve essere reale e positivo. Cosa differenzia le soluzioni (7.4) con E > 0 da tutte le altre? Se E > 0, gli esponenti nella (7.4) sono immaginari puri ed in questo caso le

soluzioni (7.4) si mantengono limitate in modulo quando 2 + +00. Se E < 0 o se E è

124

7 L’Equazione di Schrédinger per Sistemi Unidimensionali

complesso gli esponentinella (7.4) contengono una parte reale, per cui ciascuno dei due

esponenziali diverge o per x + +00 0 per r + —00. Sembra quindi che la regola sia questa:

Se vogliamo determinare autovalori e autovettori impropri di una osservabile dobbiamo accettare soltanto quelle soluzioni dell’equazione agli autovalori in rappresentazione di Schròdinger che si mantengono limitate per x + +00, e scartare quelle che divergono.

Anche se questa non è proprio la regola generale, nei casi che ci interessano in cui l’osservabile è una hamiltoniana, questa regola funziona. Si noti infine che la (7.4) con E > 0 non è altro che la rappresentazione di Schròdinger della (7.2) e che la doppia degenerazione di H è venuta fuori come conseguenza del fatto che la (7.3) è un’equazione differenziale del secondo ordine. 7.2 Il teorema di Degenerazione. Inversioni Spaziali In molti casi non è possibile determinare gli autovalori di un’osservabile; ciò nonostante esistono argomenti generali che permettono di ottenere informazioni sul grado di degenerazione degli autovalori dell’osservabile in questione. Avremo più volte l'occasione di apprezzare l’importanza di queste informazioni quando applicheremola teoria svolta allo studio della struttura atomica e alla spettroscopia atomica. Il punto di partenza degli argomenti generali cui abbiamo accennato è il seguente Teorema di degenerazione: se due osservabili n e $ commutano entrambe con un’osservabile €, ma non commutanofra di loro:

[£&,n]}=0,

[£, 6]}=0,

[m, 6]#0

allora È è degenere. La dimostrazione è immediata: se É non fosse degenere ogni suo autovettore sarebbe anche autovettore di n e di €, quindi 7 e € avrebbero un insieme completo di autovettori simultanei e perciò commuterebbero, contro l’ipotesi. Questo teorema da solo non dice qual è il grado di degenerazione degli autovalori di €: a questo risultato si può arrivare caso per caso dalla conoscenza dettagliata di quante e quali osservabili commutano con é e di quali sono le relazioni di commutazione fra di loro. Avremo occasione di discutere anche questo aspetto del problema. Come prima applicazione del teorema di degenerazione, e per capire il meccanismo per cui É deve essere degenere, riprendiamo il problema discusso nel paragrafo prece-

dente, in cui sì è visto che tutti gli autovalori E > 0 della hamiltoniana (7.1) sono

doppiamente degeneri, e cerchiamo di ritrovare questa degenerazione come conseguenza del teorema dimostrato. Siccome H commuta con p, è necessario trovare una terza osservabile che commuti con H e che non commuti con p. L'operatore I di inversione spaziale che ora definiremo fa al caso nostro: basterà porre, nel teorema di degenerazione, é= H, n=pe C=1I. Operatore di inversione spaziale I L’operatore di inversione spaziale può essere definiti in due modi equivalenti. Siccome la trasformazione g + —g, p —> —p è canonica, esiste un operatore unitario / tale

7.2 Il teorema di Degenerazione. Inversioni Spaziali

125

che IqgI7! = —q, IpI-! = —p; l’alternativa è quella di definire l’operatore I tramite

la sua azione sugli stati del sistema; seguiremo questa seconda possibilità.

In rappresentazione di Schròdinger l’operatore I è definito su ogni %a(x) nel modo seguente:

Iwa(c) = Wa(—2).

(7.5)

Proprietà di /:

1. I2=1, cioè 12 a(x) = Wa(x) . È evidente.

2.

I=1I! cioè (A|I|B)={(B|I|A)*. Infatti +00

+

(ALIB)=f viorveoa

+00

= | vivai

0

®) (-da)) 7° (f_YRC9 Va (0) de) _ ( RO da(A) = (f _Vi(AIV4(2) da) =(B|I| (nella seconda linea dell’equazione abbiamo effettuato il cambiamento di variabile TL+ tr). 3. Segue da 1 e 2 che / nonsolo è autoaggiunto, ma è anche unitario: IÎ = IT!.

4. Gli autovalori w di 7 sono w= +1 e w=-1. Infatti sia yy (x) un’autofunzione di I corrispondente all’autovalore w:

IWw(£) =wWw(£). Applicando I ad ambo i membri di questa equazione e ricordando che I? = 1 si ha

Ur

Vuo(2) = wI Ww(e) = w° Ww(2) quindi w° = 1, ie. w= +1. Le autofunzioni di / sono quindi quelle funzioni tali che

V-2) = 0). Quelle corrispondenti all’autovalore +1 sono le funzioni pari rispetto all’inversione x + tr: v(x) = %(-x); quelle corrispondenti all’autovalore —1 sono le funzioni

dispari: (x) = —w(—x). L’autovalore w ci dà quindi la parità della corrispondente

autofunzione. 6. Le autofunzionidi / costituiscono un insieme completo. Infatti ogni (x) può essere espressa come combinazione lineare di una funzione pari e di una funzione dispari, grazie all’identità:

Wa) = 3 (Y(2) +0(-2)) +3 (V(2) - 4-2) in cui 0 un grado di degenerazione almeno uguale a due. Si può fare lo stesso discorso partendo da un autovettore simultaneo di H e di JI, e applicando aquesto il ‘terzo’ operatore, questa volta p. Vediamo che effettivamente si arriva allo stesso risultato. Quali sono in rappresentazione di Schrédinger le autofunzioni

simultanee di H e di /? Siccome le (7.4) sono tutte le autofunzioni di H, è fra quelle che dobbiamo cercare le autofunzioni simultanee di H e di I. Si vede subito (o magari

mediante il procedimento di simmetrizzazione e antisimmetrizzazione usato sopra al

punto 6) che le autofunzioni simultanee di H e di / sono

cos(p'a/h),

w=+1;

sin(p'e/h),

w=-1.

Prendiamone una, per esempio la prima, e a questa applichiamo p, cioè —ifd/dr. A parte fattori si ottiene la seconda, e quindi, sempre per il lemma di pagina 78, queste funzioni corrispondono allo stesso autovalore di H. Così ritroviamo anche in questo modo la doppia degenerazione.

7.3 Caratteristiche Generali delle Soluzioni dell’Equazione di Schréòdinger nel Caso Unidimensionale Lo studio dei problemi unidimensionali non ha solo carattere accademico perché, come vedremo, in molti casi la risoluzione di un problema in più dimensioni viene ricondotta a quella di un problema unidimensionale (ad esempio particella in campo centrale, o

128

7 L'Equazione di Schròdinger per Sistemi Uniidimensionali

più in generale quando sia possibile risolvere l'equazione di Schròdinger per separazione delle variabili). Per questo motivo dedicheremo ampio spazio alla discussione delle

caratteristiche generali degli autovalori e delle autofunzioni della hamiltoniana di una particella vincolata a muoversi su una retta, soggetta a un potenziale V(g). La hamiltoniana è

2

_P_ +V(g) H=%%

e la relativa equazione agli autovalori in rappresentazione di Schròdinger è (equazione

di Schròdinger):

PLyA+ VA YE) = 24) i

o

o anche

(211)

(x) = 7 (V(2) - E) Va).

(7.12)

Come abbiamo già avuto occasione di sottolineare, la (7.11) è una equazione differenziale lineare ed omogenea del secondo ordine e come tale ammette soluzioni (anzi: due

soluzioni indipendenti) qualunquesia il valore di E, reale o complesso: a noi interessano

solo quelle soluzioni (che normalmente indicheremo con w,(1) o ve(£)) che o: (i) appartengono a La e, in particolare, tendono a 0 per x + +00;

Queste sono le autofunzioni proprie di H e corrispondonoagli stati legati del sistema: infatti la probabilità di trovare la particella per |x| > L tende a zero per L + 00; i corrispondenti autovalori sono autovalori propri cioè livelli energetici discreti del sistema; oppure, se non sono La,

(ii) si mantengono limitate per x + +00. Queste sono le autofunzioni improprie di H ed i corrispondenti autovalori sono autovalori impropri e, vedremo, formano uno spettro continuo. Notiamo innanzi tutto che possiamo limitarci a considerare soltanto soluzioni reali

dell'equazione (7.11): infatti, qualunquesia il valore di £ nella (7.11)), purché reale (e

non v'è motivo di prendere in considerazione valori complessi di £, dato che gli autova-

lori di H devonoessere reali), se y(x) è una soluzione anche 4*(x) lo è perché l’equa-

zione (7.11) è un'equazione a coefficienti reali; quindi possiamo studiare separatamente

Rey(x) e Sm(x) che sono ancora soluzioni della (7.11) e sono reali. Fissato arbitrariamente un valore reale di E nella (7.11) o nella (7.12) (non necessariamente un autovalore), l’asse delle x resta suddiviso in intervalli o regioni in cui:

I.

II.

V(a) - E0

(E>V),

(E 0 la concavità è rivolta verso il basso e dove 4 < 0 la concavità è rivolta verso l’alto. Nelle regioni di tipo II (figura 7.2b) accadeil contrario: se 4 > 0 la concavità è rivolta verso l’alto, se w < 0 la concavitàè rivolta verso il basso. Nei punti di inversione #” = 0, quindi il grafico di 4% presenta un flesso; si hanno pure flessi in tutti i punti in cui 4 = 0: infatti dalla (7.12) si vede che 4 = 0 comporta anche 4” = 0. I flessi nei punti di inversione e nei punti in cui % = 0 si capiscono facilmente: infatti in questi punti o si passa da una regione di un tipo ad una dell’altro tipo, o si attraversa l’asse delle-x e in entrambii casi la curvatura di 4% cambia segno e quindi deve essere presente un flesso.

W(7)

(2)

Fig. 7.3b

Fig. 7.4a

Fig. 7.4b

Fig. 7.4c

In definitiva: nelle regioni di tipo I la 4 ha un comportamento oscillante intorno al valore 4 = 0, cioè, come esemplificato in figura 7.3, può attraversare l’asse delle x zero

130

7 L’Equazione di Schrédinger per Sistemi Unidimensionali

o più volte, mantenendo sempre la concavità rivolta verso l’asse x (nella figura 7.3a la parte tratteggiata è in regioni di tipo II); i comportamenti tipici di 4 nelle regioni di tipo II sono esemplificati in figura 7.4 (delle linee tratteggiate ne parleremo più avanti).

7.4 Le Soluzioni dell’Equazione di Schrédinger: Autovalori Discreti Sfruttiamo ora i risultati ottenuti per determinare, per diversi tipi di potenziali V(x), le caratteristiche generali dello spettro di H, la forma delle sue autofunzioni e la relativa degenerazione. Consideriamo innanzi tutto il caso in cui

V(r) + 00,

x + +00.

Vediamo per quali valori di E si hanno soluzioni accettabili dell'equazione di Schrédinger. Distinguiamoi due casi: x

1. E minore del minimo di V(x): E < Vnin. In questo caso tutto l’asse delle x è regione di tipo II; è facile vedere allora che non esistono soluzioni accettabili. Infatti:

prendiamo un punto xo in cui w # 0 e supponiamo pure che 4(x0) > 0 (se Y(x0) < 0,

basta moltiplicare (x) per —1, il che è lecito perché l’equazione (7.11) è omogenea);

prendiamo la tangente al grafico di (x) nel punto xq (le linee tratteggiate nelle figure 7.4): si vede allora che, siccome siamo sempre in una regione di tipo II, se (xo) > 0 (figura 7.4a e 7.4c) a destra di xo il grafico di y(x) è sempreal di sopradella tangente in o (siccome w” > 0, %' aumenta), quindi w(r) + 00 per x + +00; mentre se (0) < 0 (figura 7.4b), a sinistra di xo W(x) si mantiene al di sopra della tangente, e quindi #(r) + 00 per ® + —co: in nessun caso W(7) è accettabile. Oppure, come abbiamo già visto nel caso dell’oscillatore armonico (paragrafo 5.1),

per ogni stato | A), e in particolare pergli autostati della hamiltoniana, H=(A|H|A)= P_+V(q > Vinin 2

poiché De >0, à

e

V(g= fra lb)? da > Vnin . V(r)

V(x)

I Ì I

© Fig. 7.5a

II

I I I

1

I

Hu

DO)

I

Fig. 7.5b

2. E > Vin. In questo caso, qualunquesia £, esistono un x; e un 2 tali che le regioni —00 < T < T] € To < £ < +00 sonoditipo II. Fra x e x3 esiste certamente almeno

una regione di tipo I (figura 7.5). Nelle due regioni esterne di tipo II la (x) o diverge o

7.4 Le Soluzioni dell’Equazione di Schròdinger: Autovalori Discréti

131

tende a zero (figura 7.4), in altri termini non può oscillare o, più in generale, mantenersi

limitata senza tendere a zero. Ciò significa che sono possibili solo autovalori discreti, cioè propri: essi corrispondono a quelle soluzioni #,(1) che tendono a zero tanto nella regione

II di destra (2 + +00) quanto nella regione II di sinistra (x + —00). È interessante cercare di capire il meccanismo per cui si hanno soluzioni accettabili (in questo caso Lo) solo per particolari valori di E, che formano un insieme discreto. Supponiamoinfatti, fissato un valore di E, di partire da un punto xo della regione II di sinistra (xo < 21) e fissiamo a piacereil valore di 4 in xo (ciò è lecito sempre per l’omogeneità dell’equazione

di Schrédinger (7.11)) e sia per esempio (xo) > 0. Siccome l’equazione è del secondo

ordine, la soluzione è completamente determinata se noi assegnamo anche 4"(xo).

Chiaramente il comportamento di w(x) a sinistradi z0 (cioè per x + —00) dipende dal valore di 4/(x0): se 4/(x0) è ne-

gativo, o positivo ma non troppo grande, allora (rx) + +00

per x + —co senza maiattraversare l’asse delle x (curve 1 e 2 di figura 7.6); se invece (xo) è positivo e grande, il grafico di (x) attraverserà l’asse x e tenderà a —00 per x + —0c0 (curva 3 di figura 7.6). Esisterà quindi un valore intermedio (positivo) di #/(x0) per cui %(x) tende asintoticamente a zero per x ++ —c0 (curva 4 di figura 7.6).

Fig. 7.6

Studiamo ora la soluzione (x) determinata da questo valore di 4(x0) e vediamo quale sarà il suo comportamento per 2 + +00. Supponiamo per semplicità che l’intervallo xi < x < x2 sia tutto una regione di tipo I (come accade se V(x) è quello di figura 7.5b).

Fig. 7.7b

Fig. 7.7c

Quindifra x; e 22 la Y(x) ha un comportamento oscillante: se abbiamo scelto un valore di E poco maggiore di Vinin, fra #1 e 72 la w(x) non si annulla mai e si verificherà una delle tre situazioni descritte in figura 7.7: se si verifica il caso della figura 7.7b, (x) è una funzione d’onda accettabile ed E è proprio un autovalore E = Eo. Se si verifica il caso della figura 7.7a, E non è un autovalore e possiamo dire che £ è minore dell’autovalore EG per il quale si verifica il caso b: infatti per passare dalla situazione a alla b occorre aumentare - in valore assoluto — il valore di y/(x2) e quindi aumentare

la curvatura di (x) nel tratto x1 < x < xo. Per la (7.12) ciò si ottiene aumentando

E: si noti che fra x] e x2 la curvatura è negativa, per cui aumentando E diventa più negativa. Analogamente: se si verifica il caso della figura 7.7c allora E > Eq. Comesi vede, partendo da E = Vin e considerando valori di E via via maggiori, si passerà con continuità da situazioni tipo quella descritta nella figura 7.7a a quella della figura 7.7c: tra le une e le altre c'è sempre un valore di £ per cui (x) è una soluzione accettabile. Questi valori di E - gli autovalori — chiaramente formano un insieme discreto. Da questa discussione si capisce anche che l’autofunzione di H corrispondente al-

132

7 L’Equazione di Schrédinger per Sistemi Unidimensionali

l’autovalore più basso (cioè al livello fondamentale) non si annulla mai al finito, cioè non ha nodi. lare i punti di inversione x) e r2 si spostano rispettivamente

a sinistra e a destra), ma soprattutto aumenta la curvatura di W(x) nella regione fra 71 e 2, per cui (x) in questa

regione può compiere più oscillazioni, cioè attraversare una o più volte l’asse x. Quindi le autofunzioni di H corrispondenti ai livelli eccitati possono avere andamenti come, ad esempio, quelli riportati in figura 7.8, dove ci si aspetta che la y(x) di figura 7.8b corrisponda ad un autovalore maggiore di quella della figura 7.8a.

. 1 (8)

NI

/

\

>»

Fig. 7.8a ra (1) BI

Aumentandol’energia cambianole regioniI e II (in partico-

In effetti, se l’autofunzione wo(x) di H, corrispondente al-

Fig. 7.8b l’autovalore minimo Éo, non si annulla mai, allora certamente le autofunzioni di H corrispondenti ai livelli eccitati devono avere nodi: ciò è conseguenza del fatto che le autofunzioni di H corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali:

fata) v: (adr = 0

(non abbiamoscritto vj(x) perché sappiamo che possiamo considerare funzioni d'onda reali), e siccome %o(x) ha un segno definito, l’integrale può essere nullo solo se 41(r) non ha un segno definito. Queste conclusioni, alle quali siamo arrivati con una discussione di carattere qualitativo, sono confermate e rese precise dal seguente

Teorema di oscillazione: si consideri un sistema con un solo gradodi libertà. Siano Eo < Er < --- < En... gli autovalori discreti della hamiltoniana ordinati in senso

crescente e Wo(x), Wi(x), --- , &n(x),--- le corrispondenti autofunzioni. Allora wo(x) non ha nodi (cioè non si annulla mai all’interno del suo dominio di definizione), W() ha un nodo, ---, ©n(x) han nodi.

(È is implicito nella formulazione di questo teorema che gli autovalori propri della hamiltoniana sono non degeneri, come dimostreremo fra poco.) La validità di questo teorema, che non dimostriamo, è generale, cioè non è ristretta al caso in cui V(x) abbia un solo minimo, né al caso — come quello considerato — che H abbia solo autovalori discreti: se H possiede sia autovalori discreti che continuiil teorema di oscillazione si applica però soltanto alle autofunzioni corrispondenti agli

autovalori discreti. Chiaramente nel caso che stiamo considerando in cui V(x) + +00

per x + +00, in cui si hanno solo autovalori discreti, il numero di autovalori deve essere infinito, perché lo spazio # dei vettori di stato ha dimensione infinita e, come abbiamo anticipato, gli autovalori sono non degeneri. In effetti, il problema della degenerazione degli autovalori è risolto dal seguente Teorema di non degenerazione: per ogni sistema unidimensionale gli autovalori discreti della hamiltoniana sono non degeneri. Dimostrazione:.siano (x) e W2(x) due autofunzioni di H corrispondenti allo stesso autovalore E: 2m

1(0) = Fe (V(2) _ E) vi(£),

”

2m

2(2) = FE (V(2) _ E) tba(c) .

7.5 Le Soluzioni dell’Equazione di Schrédinger: Autovalori Contimii

133

Moltiplicando la prima di queste equazioni per y2(x), la secondaper 41(x) e sottraendo

membro a membro si ha:

d

’

1 (0) (1) — Wi (2) VE (2) =0 cioè (Wi (2) da(1) — di (1) 02 (2)) =0. Integrando questa ‘equazione si arriva a

di (1) Wa (£) — (1) 45(x) = costante .

(7.13)

Siccome peripotesi E è un autovalore discreto, tanto #1 che 2 si annullano per x + +00 e dunque la costante al secondo membro è zero (si noti, e questo ci sarà utile in seguito: affinché la costante al secondo membro della (7.13) sia nulla, è sufficiente che 4) e 42

si annullino 0 per x + +00 0 pet x + —c0). Quindi dalla (7.13) si ha f

I

dv

Vo

di = va

cioè

a log 1 = a log wa

dr

de

che integrata dà vi(x) = Cwa(x) cioè 41 e W2 non sono indipendenti, quindi E è non degenere. Consideriamo infine un caso particolarmente significativo, il caso cioè in cui V(x)

è una funzione pari della coordinata: V(x) = V(-) (lasciamo cadere l’ipotesi che V() + 00 per x + too).

Allora la hamiltoniana commuta con l’operatore di inversione spaziale: [H,I]=0. I ed H hanno quindi un insieme completo di autofunzioni simultanee; ma siccome gli autovalori discreti di H sono non degeneri, ogni autofunzione di H corrispondente ad un autovalore discreto deve essere anche autofunzione di /, cioè deve avere parità definita. Si noti ora che le funzioni pari hanno un numero pari di nodi o si annullano un numero infinito di volte, mentre le funzioni dispari hanno un numero dispari (o infinito) di zeri. Infatti se una funzione a parità definita (+1 oppure —1) si annulla in un punto x #0 si annulla anche nel punto —; in più le funzioni dispari devono anche annullarsi

nell'origine (f(0) = —f(0) = 0), mentre le funzioni pari, se si annullano nell’origine,

la derivata — che è una funzione dispari — deve annullarsi anch’essa, ma le soluzioni dell'equazione dì Schrédinger non possono avere zeri di ordine superiore al primo: se in un punto si annullano sia 4 che v' allora, siccome questi dati determinano univocamente la soluzione, +) è la soluzione identicamente nulla. Combinando questo risultato con il teorema di oscillazione si ricava subito che se Ea, Ex, 00%, En, sono gli autovalori di H ordinati in senso crescente, le corrispon-

denti autofunzioni wo(x), vi(x),---; Wn(x),--- sono alternativamente pari e dispari, e in particolare la funzione d’onda dello stato fondamentale è sempre pari.

7.5 Le Soluzioni dell’Equazione di Schròdinger: Autovalori Continui Continuiamo la discussione sulle proprietà generali dell’equazione di Schròdinger, esaminandoora il caso di un potenziale (tipo quello di figura 7.9) che diverge da una parte, per esempio per x + —00, e tende per 7 + +00 ad un valore finito che possiamo prendere uguale a zero (pur di scegliere opportunamente la costante arbitraria a meno della quale ogni potenziale è definito) ed ha il minimo negativo:

134

7 L’Equazione di Schròdinger per Sistemi Unidimensionali

V(r) + +00 Via)a> 0

|.

L4 -00 T + +00

Vin < 0.

Distinguiamo tre casi: 1. E < Vamin: tutto l’asse delle x è regione di tipo II e, come già discusso nel paragrafo precedente, non si hanno autovalori. 2. Voin < E < 0: esistono un x e un 2 tali che le regioni x < x] e x > x2 sono ditipo Il e fra z1 e xo c'è almeno una regione di tipo I. Anche questo caso lo abbiamo incontrato nel paragrafo precedente e abbiamo Fig. 7.9 visto che sono possibili soltanto autovalori discreti. Si noti che poiché V(x) + 0 per 2 + +00, asintoticamente, dove V(x) « E, la soluzione

generale dell'equazione (7.11) ha la forma:

a eV?mlElz/h | ge-v2mEle/h

a, BeC,

x + +00

(7.14)

cioè è una combinazione di esponenziali reali, di cui il primo diverge ed il secondo tende a zero. Preso un generico valore di E compreso fra Vin e 0, e scelta quella soluzione che si annulla per x + —00, normalmente accadrà che per x + +00 la (x) è del tipo

(7.14) con sia a che £ diversi da zero; solo se accade che per x + +00 la (x) è del tipo (7.14) con a = 0 (per cui Y(x) — 0) allora Y(x) è una soluzione accettabile ed E è un

autovalore di H. Il numero di autovalori discreti dipende in questo caso dal potenziale: si può dimostrare che se V(x) è limitato inferiormente e, per x + +00, V(x) + 0 più rapidamente di x, allora si ha un numero finito (eventualmente anche nullo) di autovalori discreti. 3. E > 0: in questo caso per x grandie negativi l’asse x è regione di tipo II, mentre per x grandi e positivi è regione di tipo I. Scelto allora comunque un valore £ > 0, è possibile, come discusso nel paragrafo precedente, trovare una soluzione (x) dell'equazione di Schrédinger che si annulla per 2 + —00; il comportamento di w%(x) per x + +00, cioè nella regione di tipo I, sarà oscillante e W(x) si mantiene limitata: infatti, poiché

V(2) + 0 per £ + +00, in questo caso la soluzione generale dell’equazione (7.11)

asintoticamente ha la forma:

a ei VemEa/h | g gi v2mEa/h

x > +00

e quindi è sempre accettabile. Come si vede, contrariamente ai casi precedentemente discussi, non c’è più il problemadi trovare una soluzione che si comporti ‘bene’ anche per X + +00: nessuna w(x) tende a zero per x + +00, ma tutte le soluzioni restano limitate. Quindi ogni E > 0 è un autovalore improprio di 5, perciò gli autovalori impropri formano uno spettro continuo. Anche in questo caso gli autovalori impropri sono non degeneri: infatti, poiché tutte le soluzioni accettabili tendono a zero per 2 — —00, è ancora applicabile il teorema di non degenerazione dimostrato nel paragrafo precedente. Del resto si capisce che è possibile per ogni E' trovare una soluzione della (7.11) che tende a zero per t ++ — 00, ma non più di una, a meno di un fattore.

7.5 Le Soluzioni dell’Equazione di Schrédinger: Autovalori Continui

135

Consideriamo infine un terzo tipo di potenziale V(x) (figura 7.10):

act VIT V(a)+ Vi r+ +00

Wuin E significa che se su questo statosi fanno misure di energia, talvolta si troveranno comerisultati degli autovalori maggiori di E, e quindi c’è stato veramente un aumento di energia e la questione si ripropone.

8.1 L’Oscillatore Armonico in Rappresentazione di Schròdinger

139

La spiegazione del paradosso è questa: la misura di posizione (cioè di una g,) che ci permette di trovare qualche volta la particella nella zona proibita perturba lo stato del sistema: ci fa passare da un autostato dell’energia ad un autostato di g4 Questa perturbazione è dovuta all’interazione fra il sistema (particella) e lo strumento che misura gay, e durante questa interazione lo strumento ha ceduto al sistema una quantità incontrollabile di energia. Si pensi che lo strumento di misura può essere ad esempio un microscopio di Heisenberg; la luce di cui fa uso questo microscopio interagisce con la particella e le cede energia. Non si ha quindi nessuna violazione del principio di conservazione dell’energia: la particella non è un sistema isolato perché interagisce con lo strumento di misura e quindi la sua energia può non conservarsi a spese dell’energia dello strumento; l’energia del sistema isolato ‘particella più strumento’ si conserva. Ha senso chiedersi se la particella c’era già nella regione proibita prima di fare la misura di posizione? O forse bisogna dire che, fintanto che non si fa la misura, la particella sicuramente si trova in una regione permessa? Assumere l’uno o l’altro di questi due punti di vista è una questione di gusti: dal punto di vista delfisico si tratta di domande irrilevanti, in quanto l’obbiettivo del fisico è quello di sapere prevedere i risultati di determinate misure, non quello di fare affermazioni che non ammettono verifica (tipo ‘se non faccio la misura la particella è sicuramente in una regione permessa’).

Torniamo al problema di determinare le yn(r). Essendo nota la wo(x), l'equazione (8.1) permette di determinare tutte le altre: per determinare %n(r) basta applicare n volte l'operatore —fd/dr + mwar a vo(x). Data la forma (gaussiana) di wo(x), il risultato di questa operazione è, a parte un fattore (mw)"/?, un polinomio H,(€) di

grado n nella variabile adimensionale £ = /m.w/fx, moltiplicato per wo(x).

Quindi, dalla (8.1) e dalla definizione di H,, che daremo nella (8.4), le 4, normaliz-

zate sono

n Yn(€)

=

i

muwy1/4

n ( __ ne)

a

H,(ymw/hax) e —(mw/2li)c .

(8.3)

I polinomi H,(é) prendono il nome di polinomi di Hermite ed è facile vedere, dal modoin cui si ottengono, che hanno parità (--1)”, cioè sono polinomi pari quelli con n pari e dispari quelli con n dispari. Siccome e(/2h) © è una funzione pari si ritrova,

quello che già sapevamo, e cioè che le %,(x) date dalla (8.3) hanno parità (-1)". Così Hi(é), dovendo essere di primo grado e dispari, è proporzionale a É; H2(É) è del tipo

€ + a edinoltre, siccome per il teoremadi oscillazione w5(x) deve avere due nodi, a è negativo:

Ho(6)=1, H(€)=26, H)=4@-2,

(8.4)

Riportiamo in figura 8.1 le prime tre autofunzioni della hamiltoniana H (ugualmente

normalizzate) e le corrispondenti densità di probabilità |yn(x)|?.

140

8 Sistemi Unidimensionali

to

di

È

/\

x

Va

ANN

2

Fig. 8.1

8.2 Buca di Potenziale In diverse situazioni fisicamente interessanti (v. paragrafo 2.5) può capitare di avere a

che fare con potenziali V(x) che in un intervallo molto piccolo (di ampiezza e) passano

da un valore Vj ad un altro valore Va, come indicato in figura 8.2. Si pensi ad esempio ad unelettrone vicino alla superficie di un metallo: il potenziale passa in un intervallo di pochi àngstròmdal valore che ha dentro il metallo al valore che assume fuori, con un salto Vo pari all'energia di estrazione. In situazioni di questo tipo, sia per la scarsa conoscenzache abbiamo sull’effettivo andamento del potenziale nella zona in cui cresce dal valore Vi al valore Va, sia

per comodità di calcolo, si suole sostituire il potenziale “fisico” con un potenziale a gradino, del tipo di quello riportato in figura 8.3, che presenta una discontinuità. Si noti che si passa dai potenziali tipo figura 8.2 a Fig. 8.2 quelli tipo figura 8.3 prendendoil limite e + 0. In altri casi, poi, le energie in gioco sono così piccole rispetto a Vo da indurre alla schematizzazione in cui si prende VW = 00. Perrisolvere l’equazione di Schròdinger in tutti questi Via) casi in cui il potenziale V(x) presenta una discontinuità (finita o infinita) è necessario sapere quali conVo dizioni di continuità è necessario richiedere alle autofunzioni della hamiltoniana H nei punti di disconti-

nuità di V(x). Questo problema può essere affrontato

x

da un punto di vista matematico andando a studiare il Fig. 8.3 dominio (cioè l'insieme di funzioni) che permette una definizione di H come operatore autoaggiunto. Noi invece affronteremo questo problema ricordando che dal punto di vista fisico un potenziale discontinuo è una schematizzazione, cioè un limite di potenziali continui, e quindi analizzeremo quali proprietà di continuità sopravvivono per le autofunzioni di H in questo passaggio al limite. Supponiamo che V(x) sia comein figura 8.2; l'equazione di Schrédinger è

v'(@) =

2m DI

(V(a) - E) Ve).

8.2 Buca di Potenziale

141

Integrando ambo i membri fra 2 =0 e x=e si ha

vO-v0 =" J (V(®) - E) v(a) de.

(8.5)

€

Siccome sia V(x) che (x) sono finiti nell’intervallo (0, e), il secondo membro della (8.5) tende a zero per e + 0. Quindi 4"(e) + v'(0). Si vede così che w'(x) resta continua nel limite di potenziale a gradino. Im modo analogo si dimostra che anche (x) resta continua. Quindi per un potenziale a gradino, cioè con una discontinuità finita, dobbiamorichiedere che tanto + che y' siano funzioni continue. Si noti invece che l’equazione di Schròdinger comporta,

Lin, 0 (e) # lim 4 (2) Hi

HH

li

st

Come applicazione studiamo il problema unidimensionale di una particella soggetta ad un potenziale ‘a

buca” (figura 8.4): V() =

0

[e]

Vo


a.

2m(Vi La

DT

|

ll a.

(8.6)

Se vogliamo trovare gli stati legati, allora 0 < E < % e in questo caso la. soluzione

generale della (8.6) è

W(x) = A coskx+B sinka, dove e

dove

p=

v2m

-a 0) è quindi quella combinazione lineare avg +8%5:

Ts =

ET

(a +B A*)eiF" + (a A+ B)etiF®

a Ceil® + BCteik®

ca

(8.31)

8.3 L’Effetto Tunnel

147

tale che 8C* = 1 e a +A4* = 0: da queste condizioni si ricava 8 = 1/C*,

a = —A*/C* e quindi il coefficiente di riflessione è |Aj? = |a C|? = |A{P_ e quello di trasmissione |C] =1-|AP =|Cf.

Calcoliamo ora esplicitamente i coefficienti di trasmissione e di riflessione per la ‘barriera rettangolare”: 0

c

Wa(a,t+T/2)=-iwa(-a,t)

cioè dopo mezzo periodo, a parte il fattore di fase —i, troviamo la funzione d’onda riflessa rispetto all'origine. Nell'intervallo %, t + 3T la funzione d’onda non conserva la sua forma, anzi, se per esempio all’istante £ la wa è reale, fra l’istante £ e £ + 3T la funzione d’onda è complessa (e non solo per un fattore di fase costante), per cui l’evoluzione della 44 non è semplicemente uno spostamento del suo profilo. Come sottoprodotto scopriamo che, indipendentemente da qual è la hamiltoniana della particella, un modo di rappresentare l’operatore di inversione spaziale è dato da

I= jerdim(r?/ (mhu)+mwa?/ n)

con m e w arbitrari .

(9.17)

Noto come si evolve nel tempo uncerto stato, possiamo stabilire come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile £ sullo stato del nostro sistema: il valor medio di £ sullo stato al tempo t, che indicheremocon£,, è dato da

E,=(A,t|E|A,t)=(A,0|U('EU(t) | A,0).

(9.18)

Si noti che se | A, t) rappresenta uno stato stazionario (se, cioè, è autostato di H),

il valor medio di qualunque osservabile non dipende dal tempo: infatti se lo stato non cambia, nessun valor medio può cambiare. La (9.18) fornisce lo stesso risultato: se

|A,t)=eiFh|A,0), allora

(A,t|E|A,t)=eiFY"(A,0|E| A,0)e'F!"=(A4,0|é]A,0).

9.2 L’Evoluzione Temporale nello Schema di Heisenberg

155

Ci chiediamo ora se esistono osservabili tali che per ogni stato del sistema e per ogni t E, = €g (cioè £, sia indipendente da #). Dalla (9.18) segue che deve essere

(A,0|U(M΀U() | A,0)=(A4,0|€|A,0).

(0.19)

Dal fatto che la (9.19) deve valere per ogni | A, 0), segue che

U('EU(t)= €.

(9.20)

Poiché questa deve valere per ogni #, deriviamo rispetto a t ambo i membri: ricordando

che U(t) = ei! t/h,

3 Hel Hi/negiHe/n _ 2 MUNE e! H HM 20 %

e ponendo t = 0) si ottiene

}

[H,€]=0.

(9.21)

Viceversa, se £é commuta con H commuta anche con U(t) e quindi la (9.20) è soddisfatta.

Quindi tutte e sole le osservabili che commutano con la hamiltoniana hanno valori medi che, su ogni stato, non dipendono dal tempo. Queste osservabili vengono chiamate costanti del moto.

Infatti, se [H, £]=0, anche [H, £]pg = 0 e dunqueperla (4.50) £ è un’osservabile

quantistica che corrisponde ad una costante del moto classica. Come in meccanica classica, anche in meccanica quantistica la conoscenza delle costanti del moto permette di semplificare il problemadell’evoluzione temporale, grazie al seguente: Teorema: se € è una costante del moto e se | A, 0) è autovettore di £ corrispondente

all’autovalore £', tale è anche | A, t).

Infatti, se £ è una costante del moto, é e U(t) commutano e dal solito lemma di pagina 80 seguela tesi. Si vede così che il vettore | A, t) resta, per ogni #, nel sottospazio di 7. costituito dagli autovettori di £ corrispondenti all’autovalore &/.

9.2 L’Evoluzione Temporale nello Schema di Heisenberg Come sappiamo, gli stati di un sistema sono ‘descritti’ o rappresentati dai vettori di uno spazio di Hilbert H; è chiaro comunque che un vettore di # descrive completamente uno stato solo in quanto, per mezzo delle regole ormai familiari, dalla conoscenza del vettore possiamo determinare tutto quel bagaglio di informazioni che caratterizzano lo stato del sistema: probabilità di transizione, valori medi delle varie osservabili, osservabili di cui lo stato è autostato ed i corrispondenti autovalori, eccetera. Abbiamo visto nel paragrafo 4.8 che tutte queste informazioni sono riconducibili a valori medi di osservabili, quindi la conoscenza di uno stato è equivalente alla conoscenzadi tutti i valori medi sullo stato stesso.

Possiamoconsiderare da questo punto di vista anche il problema dell’evoluzione temporale: conoscere come si evolvono nel tempo gli stati è equivalente a conoscere come

156

9 Evoluzione Temporale

evolvono nel tempo i valori medi delle osservabili sugli stati. Ciò si può ricavare, come abbiamo fatto nel paragrafo precedente, dalla conoscenza di | A, t), noto | A, 0), tramite la (9.18): si determina cioè comesi evolvono nel tempo i vettori che rappresentano gli stati; questo modo di procedere va sotto il nome di schema di Schr6dinger per

l’evoluzione temporale. Ma qualsiasi altro modo di arrivare a determinare come variano

nel tempo i valori medi delle osservabili è altrettanto accettabile, anzi equivalente. Si consideri l'equazione (9.18): è chiaro da questa equazione che, se è noto lo stato del sistema ad un certo istante, per esempio t = 0, e sia | A, 0) un vettore rappresentativo

di tale stato, allora per ogni osservabile £ conosciamo £, se conosciamo

EUeun).

(9.22)

In altri termini, siccome tutto ciò che ci interessa sapere è

€&,=(A,0|U(t)' EU(t) | 4,0) abbiamo le due possibilità equivalenti di ‘scaricare’ l’operatore di evoluzione temporale

U(t) sui vettori di stato, e quindi

i

& a (A,t | E | A,t)

oppure di ‘scaricare’ U(t) e U(t)Î sulle osservabili, comenella (9.22), e quindi

E&=(A,0|€()| 4,0). Questa seconda possibilità prende il nome di schema di Heisenberg per l'evoluzione temporale. Quindi nello schema di Heisenberg sono le osservabili che dipendono dal tempo: €

dopo un tempo £

_—_—_—_—

6(t)

mentre i vettori di stato restanofissi. L'equazione (9.22) per l'evoluzione delle osservabili

nello schema di Heisenberg prende quindi il posto dell’equazione (9.1) per l'evoluzione dei vettori di stato nello schema di Schròdinger. L’evoluzione temporale nello schema di Heisenberg si presenta quindi in maniera analoga a come si presenta in meccanica classica: in meccanica classica sono infatti le g e le p, ed in generale le f(g,p), che dipendono dal tempo secondo una legge che è determinata dalle equazioni del moto, cioè le equazioni (4.50). Le equazioni classiche (4.50) sono equazioni in forma differenziale: vediamo allora qual è la forma differenziale delle equazioni quantistiche (9.22).

Prendendo U(t) = e-i4*/e derivando rispetto a # ambo i membri della (9.22)

(attenzione all’ordine degli operatori!) si ha

SORESINAONZANO e quindi

€) == U()'[H, €]U(6)

(9.23)

!

9.2 L’Evoluzione Temporale nello Schema di Heisenberg

157

o anche, tenendo presente che H commuta sia con U(t) che con U(),

é= 14,60).

(0.24)

Le (9.24) sono note come equazioni di Heisenberg. Se teniamo presente il postulato

di quantizzazione nella forma (4.53), si vede che la (9.24) è identica alla (4.50): in altri termini

le equazioni di Heisenberg sono formalmente identiche alle equazioni del moto classiche. Naturalmente le equazioni classiche sono equazioni per le funzioni numeriche g(t), p(t), f (a(t), p(É)), mentre le equazioni quantistiche (9.24) sono equazioni per operatori; ma a parte questa — sostanziale — differenza e a parte la - meno sostanziale — questione dell’ordinamento dei fattori (vedi la discussione successiva alla (4.53), esse sono identiche. Questa identità che, come vedremo nel prossimo paragrafo, gioca un ruolo fondamentale per ritrovare la meccanica classica come limite della meccanica quantistica, è conseguenza del postulato di quantizzazione e dei postulati introdotti per risolvere il problemadell’evoluzione temporale: si veda in particolare la postulata proporzionalità

fra K e H espressa dalla (9.5).

A titolo di esercizio scriviamo le equazioni di Heisenberg per gq e p per una particella con hamiltoniana

H= Si ha

2

p 2m

+V(qg). .

i) == [4 g(0)],

D) == [H, p(0)].

(9.25)

Comesi fa a calcolare i commutatori fra g(t), p(t) ed H se ancora non sappiamo come g(t) e p(t) si esprimonoin termini di g e p (cioè se ancora non abbiamorisolto le equazioni

del moto)? Per fare questosi ricorre alla forma (9.23) delle equazioni di Heisenberg, cioè

[A g(0]}= UOA, gu) =[Lg] U( = -ihU(6) È U(t) = il n) ;

(9.26)

[A p(t)] = UG)" A, p]U(?) =U(b)' [V(9), p]U(M) =

0) .

(9.27)

Inserendoi risultati (9.26) e (9.27) nelle (9.25) si ottiene finalmente

gt) = PO

OV(g(6))

DI) = a che sono formalmente uguali alle equazioni classiche di Hamilton.

028)

158

9 Evoluzione Temporale

Per esempio, nel caso dell’oscillatore armonico, siccome le equazioni del moto sono lineari, l'integrazione si effettua come nel caso classico:

g(t) = A coswt+:B sinwt dove ora A e B sono operatori e si determinano dalle condizioni iniziali g(0) = g, g(0) = p/m,, quindi

a(t) = q coswt + P_ sinwt, muw

p(t)=pcoswt-mwqsinwt

da cuisi ritrova il risultato espresso dalla (9.17): g(x/w)=-9, p(r/7) = -p.

Nel paragrafo precedente abbiamo definito costanti del moto quelle osservabili che commutano con H: vediamo allora dalla (9.23) o dalla (9.22) che nello schema di Heisenberg le costanti del moto sono quelle osservabili che non dipendono dal tempo: se

[É, H]=0 allora &(t) = £; si ritrova così il risultato che i valori medi (e più in generale gli elementi di matrice) delle costanti del moto non dipendono dal tempo. i

9.3 Il Limite Classico della Meccanica Quantistica : Lo scopo di questo paragrafo è quello di stabilire in quali condizioni i risultati della meccanica classica per un sistema costituito da una particella costituiscono una buona approssimazione dei risultati forniti dalla meccanica quantistica. I problemi che dobbiamo affrontare sono sostanzialmente due. 1. Quali stati quantistici del sistema ammettono, con buona approssimazione, una descrizione classica. 2. In quali condizioni lo schema classico e quello quantistico forniscono, con buona approssimazione, gli stessi risultati per l’evoluzione temporale del sistema. Per quanto riguarda il punto 1, secondo la meccanica classica lo stato della particella è determinato assegnando la posizione e l’impulso della particella; secondo la meccanica quantistica, invece, lo stato della particella è determinato assegnando, per esempio, la funzione d’onda (x) in rappresentazione di Schròdinger. Il passaggio dalla descrizione quantistica a quella classica si effettua attribuendo alla particella una posizione gqcj e un impulso pe uguali ai valori medi di g e di p sullo stato quantistico della particella: Qa=9I,

Da =D.

Perché ciò abbia senso è necessario che siano trascurabili le fluttuazioni dei valori che q e p possono assumere sullo stato della particella attorno ai loro valori medi: occorre cioè che Aq e Ap siano opportunamente piccoli. Ciò che determina se Aq e Ap sono piccoli o grandi è sostanzialmenteil potere risolutivo degli strumenti usati per misurare qep, e le dimensioni intrinseche al problema (p.es. le dimensioni dei fori di una griglia acceleratrice in un tubo a raggi catodici, ...). Si vede quindi che una descrizione classica è possibile solo per particolari stati quan-

tistici: quegli stati, cioè, che non si discostano molto dall’essere stati di minima indeterminazione. In particolare, (x) deve essere sostanzialmente diversa da zero in una

9.3 Il Limite Classico della Meccanica Quantistica,

159

piccola regione dello spazio e la sua trasformatadi Fourier y(k) deve essere a sua volta apprezzabilmente diversa da zero solo in un piccolo intervallo attorno al valore & = p/h:

la (x) deve essere cioè quello che si chiama un ‘pacchetto d’onde’ (infatti 4(x) si ottie-

ne sovrapponendo, o ‘impacchettando’, onde piane e'”® con & in un piccolo intervallo attorno a k; per esempio: k+A

va) = ;

2

el® G(k) dk.

Stabilito così in che modoe per quali stati quantistici è possibile una descrizione classica, si pone ora il problema dell’evoluzione temporale: lo stato del sistema si evolve nel tempo, per cui è necessario assicurarsi, da un lato, che le condizioni perché lo stato del sistema ammetta una descrizione classica continuino a restare verificate al passare

del tempo (cioè Aq e Ap restino piccoli) e, d’altro canto, che ga(t) e pa(t), ottenuti

risolvendo le equazioni classiche del moto, nonsi discostino troppo da g(t) e P() ottenuti risolvendo le equazioni quantistiche del moto: in altri termini il baricentro g(t) del pacchetto d'onde deve evolvere in accordo conle leggi classiche del moto.

L’equazione che determina ge(t) è

m Ga(t) = F(ga) .

(9.29)

(F(q) è la forza), mentre l’equazione per g(t) si ottiene dall’equazione operatoriale

md(t) = F(9) che segue delle equazioni di Heisenberg (9.25) o (9.28). Prendendo il valor medio di ambo i membri sullo stato del sistema

m G(t) = F(q) -

(9.30)

Dal confronto fra la (9.29) e la (9.30) si vede che se vogliamo che ad ogniistante ga = 9, siccome F(ga) = F(9), occorre che

F(q) = F(g) -

(9.31)

La (9.31) è soddisfatta solo se F è una funzione lineare di g: F(g) = a + bg, per cuiil

baricentro si muove come una particella classica se la particella è:

i) libera;

ii) soggetta ad una forza costante; iii) soggetta ad una forza armonica. Eccezionfatta per questi casi particolari, vediamo in quali condizioni la (9.31) è almeno approssimativamente soddisfatta.

Sviluppiamo F(g) in serie di potenze di q— g:

F(q) = F(A)+F'(7) (1-9) + R(g) con R(q) comprendente tutte le potenze di q — 7 superiori alla prima.

(9.32)

160

9 Evoluzione Temporale

Prendendoil valor medio di ambo i membri della (9.32) si ottiene

F(a) — F(7) = R(q). La (9.31) sarà quindi tanto meglio verificata quanto più R(g) è piccolo rispetto a F(7). Poiché

Rd) = / lb] R(1) de

si vede che R(x) deve essere piccolo (cioè F(g) deve discostarsi poco da una funzione lineare) nella regione in cui |(x)|? è sensibilmente diversa da zero. In altri terminila forza deve essere ‘buona’ ed il pacchetto deve essere piccolo. Considerando per esempio

il primo termine di R(g), cioè 3 F”(9) (d— 7)? si vedeche, affinché il suo valor medio 3 F"(g) (Ag)? sia piccolo rispetto a F(g), devonoessere piccoli sia F”(7) che Ag; o

più precisamente deve essere piccola la variazione di F'(x) in un intervallo dell’ordine di Aq attorno al punto 7. Si può essere tentati di concludere che tanto più Ag è piccolo, tanto meglio vale l’approssimazioneclassica: in effetti le cose non stanno così perché un Ag troppo piccolo implica un Ap troppo grande e quindilo stato non ammette una descrizione classica. Ma c’è di più: generalmente un Ap grande comporta uno sparpagliamento (o allargamento) del pacchetto d’onde al passare del tempo, per cui l'eguaglianza (9.31) è sempre meno soddisfatta. Appare quindi chiaro che le condizioni per la validità dell’approssimazione classica sono realizzate da una situazione di compromesso: Aq deve essere abbastanza piccolo perché: i) il pacchetto d’ondesia ben descritto dalla conoscenza della posizione del baricentro; ii) la (9.31) sia verificata con buona approssimazione; d’altronde Ag non deve essere troppo piccolo perché altrimenti Ap è grande, con la conseguenza che lo stato non ammette descrizione classica ed inoltre il pacchetto si allarga. La discussione che segue metterà tuttavia in evidenza che per sistemi macroscopici (anche un granello di dimensioni = 1074 cm e massa 10-12 g può essere considerato un sistema macroscopico da questo punto di vista) sussistono larghissimi margini entro cui la discussa situazione di compromesso può essere realizzata. A tale scopo vediamo esplicitamente come cambia nel tempo la larghezza di un pacchetto d’onde nel caso di una particella libera. Ciò equivale a determinare come dipende dal tempo Ag: risolveremo questo problema nello schema di Heisenberg per

l’evoluzione temporale. par Integrando le (9.28) nel caso V(g) = 0 si ha:

p(t)=p,

a)=a+tt

e quindi dj

(&9(1))? = 10? - 0° = (An + + opta rap + Ae 9

Cioè (Ag(t))” è una funzione quadratica di t, definita positiva (vedi figura 9.1).

(9.33)

9.3 Il Limite Classico della Meccanica Quantistica Si vede così che il pacchetto d’onde fino a un certo istante £o si stringe e poi si allarga. Quindi, inevitabilmente, per tempi grandi il pacchetto si allarga sempre: questo è un fatto importante perché pone unlimite al periodo di tempo durante il quale il pacchetto d’onde può essere assimilato a una particella classica. Per tempi abbastanza grandi, assumendo che per t = 0 il pacchetto corrisponda approssimativamente ad uno stato di minima indeterminazione

ta

Da

(491)

(Aq Ap = h), dalla (9.33) si ha

n Ag) = Pia m m Aq

161

Fig. 9.1 .

(

9.34

)

La (9.34) mette bene in evidenza quali sono i parametri caratteristici da cui dipende la velocità di sparpagliamento: li, m e Aq. Vale la penavalutare questa velocità di sparpagliamento in alcuni casitipici.

1. Un elettrone libero con Ag = 1À: h/(mAg) = 10° cm s?. Questo risultato si commenta. da, solo. mo

. Unelettrone con Aq = 107? cm (per esempio unelettrone che sia stato focalizzato in un tubo a raggi catodici o in un microscopio elettronico): h/(m Ag) = 10% cm s7. Questa velocità di sparpagliamento può sembrare grande; si noti tuttavia che un

elettrone di energia > 10%eV dovrebbe percorrere una distanza di circa 104cm affinché lo sparpagliamento risulti dell’ordine del Ag iniziale.

3. Un granello di polvere di massa 107!?g e con Ag = 107%cm: h/(mAg) = 1079 em ss. Il fenomeno dello sparpagliamento dei pacchetti d’onde, che abbiamo appena discusso, nonè altro che il ben noto fenomeno della diffrazione che si manifesta in ogni problema di natura ondulatoria. Possiamo meglio metter in evidenza questo fatto considerando un fascio di elettroni di impulso = p che attraversano una fenditura di larghezza d e vengono raccolti su di uno schermo a distanza D dalla fenditura: inizialmente la dimensione trasversale del pacchetto d’onde associato ad ogni elettrone è Aq = d; gli elettroni impiegano poi un tempo 7 =“ m D/p a raggiungere lo schermo, per cui dalla

(9.34) si ricava che la dimensione trasversale del pacchetto d’onde sullo schermo (cioè la, dimensione della figura di diffrazione prodotta dal fascio di elettroni) è hD A Ag(7) = pd = aP che è una formula ben nota nella teoria della diffrazione.

Capitolo 10 Il Momento Angolare

10.1 Il Momento Angolare: Regole di Commutazione Data l’importanza che il momento angolare ha nei problemi di fisica classica, nonci stupirà constatare il ruolo fondamentale che il momento angolare gioca anche in meccanica quantistica. Ciò è dovuto principalmente al fatto che in molti casi di interesse fisico (sistemiisolati, particelle in un campo centrale, ecc.) le componenti del momento angolare sono costanti del moto. Vedremo inoltre che le diverse componenti del momento angolare non commutano fra di loro, per cui sono verificate le ipotesi del teorema di degenerazione discusso nel paragrafo 7.2, e questo ci permetterà di ricavare informazioni estremamente significative sul grado di degenerazione dei livelli energetici. Il momento angolare è definito come in meccanica classica: per una particella di coordinate g = (91, 92,03) e momenti coniugati 9 = (p1, 2,23), il momento angolare M è definito da _ Mz=gNP (10.1) ed è immediato verificare che M = Mt. Il momento angolare totale di un sistema di n particelle è n

n

a=l

a=1

M=Y da NDa=Y Ma.

(10.2)

Nel seguito useremo diversi simboli per rappresentare momenti angolari: L, 5, s ) JT , «i ognuno di essi indica un particolare tipo di momento angolare. Per la discussione generale di questo e del prossimo paragrafo indicheremo il momento angolare conil simbolo M. Vogliamo ora ricavare le regole di commutazione delle componenti del momento angolare dato dalla (10.1) con le componenti di g e 7, e fra le componenti stesse di M.

Cominciamo conil calcolo di [M;, g;]. Si possono seguire diverse strade per arrivare al risultato:

1. il calcolo diretto;

2. calcolare le parentesi di Poisson e quindi i commutatori grazie alle (4.53);

10.1 Il Momento Angolare: Regole di Commutazione

163

3. sfruttare la connessione fra momento angolare e rotazioni. Seguiremoil terzo metodo (ma anchele (4.53)), che è senza dubbioil più significativo. È noto dalla meccanica analitica classica che se (g,p) + (9',p') è una trasforma-

zione canonica infinitesima di coordinate, allora esiste uma funzione G(g,p), detta funzione generatrice della trasformazione, tale che di =qj+e[G, 9; ]pr Dj= Pj +e[G, Dj pg

(10.3)

dove e è il parametro infinitesimo della trasformazione. Se la trasformazione di coordinate è una rotazione attorno ad un certo asse, G coincide con la componente di M secondol’asse di rotazione. Così per esempio, per una

rotazione di angolo $ attorno all’asse 3 (o asse z) si ha

q=

c0s$9+ 92 sing

gh= —-01 sing + go cos$ q=

e se $ + € (infinitesimo):

(10.4)

43

di =9 +69 q=q- €

(10.5)

q3 = 93 -

Per la trasformazione (10.5) G = M3, per cui confrontando le (10.3) con le (10.5) si ottiene:

[M3,0]}pp =,

[M3, qolpg #4;

[M3, a3]pg = 0

e quindi [Ma, qgil=ifigo,

[Mf3,qa]=-iha1,

[M3,93]=0.

(10.6)

Analogamente si trovano le regole di commutazione fra Mi, 442 e le componenti di g: [Mi,q,]=0,

[M, go]=ifg3,

[M,,qg]=-ihqo

[Mo,qg.]=-ifgg,

[M2,q2]=0,

[Ma,g3]}=

if.

(10 7)

°

Le (10.6) e (10.7) si riassumononella formula: [Mi, gi] =ih €ijr dk

(10.8)

dove a secondo membro, come è consuetudine, è sottintesa la somma sull’indice ripetuto k; €ijk è il simbolo di Ricci che è diverso da zero solo se gli indici i j & sonotutti diversi, vale 1 se ij si ottengono permutando ciclicamente 1, 2, 3, altrimenti vale —1.

Siamoarrivati alla (10.8) per una via certamente più lunga che mediante il calcolo diretto: adesso però sappiamoche le (10.8) sono esclusivamente conseguenza del fatto

che le g; sono le componenti di un vettore, cioè si trasformano per rotazioni secondo

164

10 Il Momento Angolare

le formule (10.4), e analoghe per rotazioni attorno ad assi diversi dall’asse z. Perciò possiamo concludere che avremo le stesse regole di commutazione fra le componenti di

M e le componenti di un qualunque vettore V, cioè

[M; ’ V;| =il Eijk Vi, .

(10.9)

In particolare, per V= D:

[M;, p;]=i €ja Di

(10.10)

[Mi, Mil =ih Eiji Mx .

(10.11)

e per V=M: Queste sono le regole di commutazione che ci eravamo proposti di determinare. ‘

I vantaggi del metodo seguito per determinare le (10.8), (10.10) e (10.11) si ma-

nifestano anche in un altro aspetto del problema della determinazione delle regole di commutazione fra le componenti di Me le osservabili F(q,p) della teoria. Infatti, per

effetto della trasformazione infinitesima (4, p) + (g’, p') dalle (10.3) si ha (al primo ordine in €): H(a,p) > Hd', p') 7 fatelo, dlbg ’ p+elG, Pps)

DESDDI (3 [G, diem + (6. Pilo) of 0G. df 0G ne (-2126, 21.00) = (0,9) + 610, flop

cioè, in generale, e[G, f]pg è proprio uguale alla variazione df = f(g'.p') — f(9,p)

di f(g,p) per la trasformazione generata da G. Nel caso delle rotazioni si ha così, in particolare, che sono nulle le parentesi di Poisson, e quindi i commutatori, fra le componenti di M e tutte quelle grandezze f(g, p) che restano invariate per rotazioni. Queste grandezze vengono chiamate scalari: ad esempio, nel caso di una sola particella, sono scalari g?, 7, g- pe le loro funzioni. Abbiamo così il risultato generale, analogo alle (10.9), che le componenti di M commutano con tutti gli operatori scalari S':

[M4;, 5]=0.

(10.12)

In particolare, per S = M?= MP + MP + M#:

[M;, M?]=0.

(10.13)

La (10.11) esprimeil fatto che le diverse componenti di M non sonoosservabili compatibili, mentre la (10.13) ci assicura che M? è una osservabile compatibile separatamente con ciascuna delle M;: quindi, eccetto un caso particolare che discuteremo, non esistono autostati simultanei di M;, 5 ed M3, stati cioè di momento angolare M definito; esiste tuttavia un insieme completo di stati su cui M? e unasola componente MM; hanno entrambe un valore definito.

10.2 Il Momento Angolare: Autovalori

165

Come conseguenza della (10.12) ritroviamo il ben noto risultato che per una particella in un campo centrale tutte le M; sono costanti del moto: difatti il potenziale di

un campodi forze centrali è una funzionesolo della distanza r = (9g? +93 +g3)!/? della ls

tm

particella dal centro, per cui

=

H= —+V(r) è uno scalare, e quindi commuta con ogni M;.

A proposito delle (10.9) e (10.12) si noti che esse sono valide solo se V e S sono rispettivamente vettori e scalari costruiti con le variabili dinamiche del sistema (in

questo caso le g e le 7°): per esempio l'energia potenziale di un elettrone (carica —e) in un campoelettrico esterno uniforme È si scrive e E- g e questa, nonostante le apparenze,

non è uno scalare perché E, nonostante le apparenze, non è un vettore: difatti Eèun campo esterno, cioè non dipende dalle variabili dinamiche del sistema (le g e le p),

e quindi commuta con le M4;: si dice (v. paragrafo 4.11) che È è un ‘c-numero’ (per

distinguerlo dai ‘q-numeri’, cioè gli operatori). Unaltro modo di vedere che È - g non è unoscalare è il seguente: eÈ. j resta invariato, cioè è uno scalare, se si ruota sia l’elettrone che il condensatore che generail campo, quindi commuta con il momento angolare dell’intero sistema che è l’elettrone più il condensatore, ma se, come nell’esempio che stiamo discutendo, il sistema è l’elettrone e nonil condensatore, pereffetto di una rotazione del sistema (l’elettrone) le g cambiano, 3 ma È no, e quindi E - g nonresta invariato, cioè non è uno scalare.

10.2 Il Momento Angolare: Autovalori In questo paragrafo ci proponiamo di determinare gli autovalori delle componenti M; del momento angolare, e di M 2. È chiaro innanzitutto che tutte le M; avranno gli stessi autovalori (ma nongli stessi autovettori!) per cui è sufficiente determinare gli autovalori di unasola componente di M: per tradizione si sceglie M3, ma sia chiaro che gli stessi risultati si ottengono anche per Mj e Mo. Indichiamo con 4°%? gli autovalori di M? e con mf quelli di M3: in questo modo uè ed m sono numeri puri. Sovente, anzi, chiameremo (impropriamente) u? ed m gli autovalori di 17? e di M3: si consideri questa una terminologia di comodo, oppure si pensi di misurare i momenti angolari in unità È. Gli operatori M? e M3 commutano (v. (10.13), per cui hanno un insieme completo di autovettori simultanei, che indicheremo con| y?, m). Tuttavia c’è da aspettarsi che M? e M3 noncostituiscano da sole un insieme completo di osservabili compatibili, per cui lo stato non è completamente determinato dalla conoscenza degli autovalori pu? ed m. Aggiungiamo quindi ad M? e M3 un certo numero di osservabili 01, 02, 7. Quindi m=—-j,-j+1,-j+2,-:,3-1,3

e di conseguenza 2j deve essere un numerointero positivo o nullo. Concludendo:

1. i possibili autovalori u?%? di M? sono j(j+1)f? con j=0,3,1,3,2 1 Grida |

. i possibili autovalori di ogni componente M; di M are mh con mintero o semidispari a seconda che 7 sia intero o semidispari;

3. dato Le u? (cioè j), m può assumeresolo i valori —j,—-j+1,-3+2,---,j-1,3,

cioè 27 +1 valori: esistono quindi 27 +1 stati indipendenti in corrispondenza ad

ognicoppia di autovalori di 2 e di MM 2.

168

10 Il Momento Angolare

Ciò significa che sia M? che L (cioè ogni operatore scalare) sono osservabili degeneri. Notare che questa degenerazione è proprio una conseguenza del teorema di degenerazione del paragrafo 7.2: ha la sua origine nel fatto che My, M_ e M3, cioè tutte le M;,

commutano con YZ (come pure con M?), ma non commutano fra di loro.

Per un sistema atomico (isolato), se 2 è la hamiltoniana H, normalmente succede (l’atomo di idrogeno è una eccezione a questa regola) che per un dato autovalore £ di H, cioèper ognilivello energetico, sono possibili stati corrispondenti ad un solo autovalore di2: in tal caso la conoscenza di u?, cioè la conoscenza del momento angolare del livello, automaticamente comporta la conoscenza della degenerazione dellivello. Il più delle volte, invece, si risale a 4? dalla misura in laboratorio (e vedremo come) della degenerazione dellivello. Siccome abbiamo visto che dare 4° equivale a dare j, d’ora in poi anziché scrivere |2, p?, m) scriveremo | X/, j, m) e diremo brevemente che questo è uno stato ‘di momento angolare 7’, intendendo che è un autostato di 17 2 con autovalore j(j+1)h2. I risultati che abbiamo trovato in questo paragrafo sono generali in quanto dipen-

dono solo dalle regole di commutazione (10.15) e (10.16) (cioè dalle (10.11) e (10.12), ma non dal fatto che M is sia definito come nelle (10.1) o (10.2) o in altro modo: per questo motivo non è detto che per un particolare sistema, cioè per un particolare momento angolare, j possa effettivamente assumeretutti i valori che abbiamo trovato come possibili: 0, 5, 1 1, -:* ; vedremoinfatti nel prossimo paragrafo che per ogni sistema assumeo solo i valori interi 0, 1, 2, ---, o solo i valori semidispari 3, 3, 3, E

Nel paragrafo 10.4 mostreremo che la prima possibilità (j intero) si realizza se Mè

definito come nella (10.1) o (10.2) (momento angolare orbitale), mentre vedremo più

avanti che la seconda, possibilità (7 semidispari) si realizza per esempio per l’elettrone, quando sì tenga conto che oltre al momento angolare orbitale g A 7 esso, come molte altre particelle, possiede anche un momento angolare intrinseco o di spin.

10.3 Operatori di Rotazione Consideriamo una rotazione di angolo @ attorno ad un asse arbitrario, che chiamiamo

asse 3 (o asse 2). La rotazione induce sulle g; e p; la trasformazione (10.4) (e la analoga

per le p;), che è una trasformazione canonica. Allora, per il teorema di von Neumann

enunciato nel paragrafo 6.3, esiste un operatore unitario U(@) (unico a meno di un fattore di fase) che implementa la trasformazione. Siccome la composizione di due ro-

tazioni di angoli $1 e do è una rotazione di angolo @1 + @2, si ha che gli operatori

U(d1)U(d2) e U(d1+ 2) possono al più differire per un fattore di fase, eventualmente

funzione di @, e @3. Non è ovvio a priori che sia possibile scegliere i fattori di fase a.

meno dei quali gli operatori U($) sono definiti, in modo tale che

U($1) U(d2) = U($1+ 2)

per ogni @1, @2

(1 0.27) (2) ciò SU(2)

ma per il gruppo delle rotazioni (più precisamente: per il suo ricoprimento è possibile, grazie ad un teorema di V. Bargmann (teorema di Bargmann).

a (10.27) è simile alla (9.3) e anche in questo caso (teorema di Stone) si può

dimostrare che

10.4 Il Momento Angolare Orbitale

169

U($) = e!0°

dove G (= GT) è il generatore delle rotazioni attorno all’asse considerato (asse 3). Il

termine ‘generatore’ ci preannuncia che G è proporzionale a M3: infatti per rotazioni

infinitesime si ha (dg + e) si ha

U(e) gi; Ue) (1-ieG)gi(1+ieG)2q-ie[G, gi e grazie alle (10.5) e (10.6) (e le analoghe per le p;) si ha che G = M3/h:

U(d) = eiM8 2/h

(10.28)

e in generale, per una rotazione attorno ad un asse individuato dal vettore unitario #:

U(ri, g) = eiMro/n,

(10.29)

Supponiamo che per un dato sistema siano possibili sia valori interi j' che valori

semidispari j” di j e sia | A) il generico stato. Si ha

A)=Y}|\:g'm)+Y|---g"m")=]|A')+|A")

(10.30)

dove la prima somma è fatta sugli stati con j interi e la seconda su quelli con semidispari. Consideriamo una rotazione di 27 attorno all’asse 2. Si ha U(2r) |A') = Ye 2ri Ma/h||\-j'm') = Yler2rim | ...j'm') _ |A) .

dato che per m/ intero 977, " e sT1m

-

ian!

e7?7i"

.

MET

(10.31) .

.

= 1. Invece, siccome per m” semidispari si ha

— -1 ,

U (27) |A") _ Ye 27i Ma/h| cu. j! m' ) _ —| A") .

(10.32)

Naturalmente | A”) e —| A”) rappresentano lo stesso stato, come deve essere, dato che

una rotazione di 27 è la trasformazione identica sulle q; e sulle p; e più in generale su

tutte le osservabili (e quindi U(27) è un multiplo dell’identità), però

U(n)|A)=U(2) (14°) +|A")) =|4)-|4") #14).

(10.33)

Perciò per un sistema non sono simultaneamente possibili momenti angolari interi e semidispari: le rotazioni di 27 non sarebbero equivalenti alla trasformazione identica.

10.4 Il Momento Angolare Orbitale Il momento angolare orbitale per una particella è definito dalla (10.1) e per essosi usa la lettera L: L=gND. (10.34) Gli autovalori di ogni componente L; di L vengono ancora indicati con m È, mentre quelli di L? vengono indicati con / (141) &?: anzichéla lettera j del paragrafo precedente qui si usa lalettera |.

170

10 Il Momento Angolare Per un sistema di più particelle la.(10.2) definisce il momento angolare totale, che

viene ancora indicato con L; in questo caso però pergli autovalori di Li e di L? s usano lettere maiuscole: autovalori di Li > M h; autovalori di DL? + L (L+1)h?. Vogliamo mostrare che m, M, e quindi { ed L,'sono numeri interi, e vedere qual è la

rappresentazione di Schrédinger degli stati | 2", , m).

Prendiamo dapprima in considerazioneil caso di una particella. La rappresentazione

di Schrédinger di L. (cioè di L3) è

La: 3 23 -in(e$-

2).

Conviene usare coordinate polari con l’asse 2 come asse polare (se stessimo prendendo in considerazione L, o Ly prenderemmol’asse x o l’asse y come asse polare): e = sin@ cosg =r sin siné z="7Tcosì per cui

RS

Or

or\

LD 23 nf(e7 15)

9

_00

00)

0

dd

Od

+@a,Vpx) at dy da 2°) pil

ma 0r/0y = y/r e 0r/0x = x/r, per cui il coefficiente di 0/0r è nullo. Lo stesso succede peril coefficiente di 0/00. Resta solo il coefficiente di 0/09 che il calcolo diretto mostra essere uguale a 1, per cui in definitiva

1. 35 int

dp

(10.35)

La (10.35) è analoga alla p + —if0/0x ed è comprensibile che sia così, perché clas-

sicamente $ e L; sono variabili canonicamente coniugate, così come lo sono x e p (la regola di commutazione | L:, @]= —if presenta qualche delicato problema di dominio perché, siccome @ varia fra 0 e 27, la moltiplicazione per @ introduce una discontinuità). L’equazione agli autovalori per L: in rappresentazione di Schrédinger (usando però

coordinate polari) è quindi:

-ih 5a Um(7, 0,9) = mM Wn(1,0,9) .

(10.36)

Questa equazione è simile alla (6.42) e la soluzione generale è Um(1, 9, È) = Fr, 0) ein 9

(10.37)

dove f(r,0) è un’arbitraria funzione di r e @. Siccome l’angolo azimutale @ è definito modulo 27, r, 0, @ e r, 0,94 +27 rappresentano lo stesso punto. Quindi deve essere anche Wm(1,9, d)= Wm(7,0,6+ 27)

10.4 Il Momento Angolare Orbitale cioè

171

ei mo _ el m($+27)

che vale solo se m è un numerointero. Abbiamo così dimostrato che il momento angolare orbitale di una particella ha solo autovalori interi: ‘mn, e quindi /, sono numeriinteri.

La (10.37) specifica qual è la dipendenza da @ delle autofunzioni di L.; se ora

vogliamo le autofunzioni di L?, occorre l’espressione di L? in rappresentazione di Schrédinger; in coordinate polari si ha (ma non lo dimostriamo):

> 19 0 1 è Do 33 rl (sini)+t za). 3 |smo 06 \8°" 39) * sg dp

10.38 (10.38)

Per determinare le autofunzioni simultanee di L? e di L., bisogna risolvereil sistema

di equazioni:

1

0

d

CA 2

00 ( (sin50) — 0= 0—)+t—_-| sin sin° 0 Z| 0$ Wim (7,09) =1(1+1) Wim(1,0, 6)(10.39) —ji 55 vi m(r, 9, È) =m Vim(1 9, d) °

Noi non faremo questo calcolo; si può notare tuttavia che gli operatori L? e L. non contengonola variabile r, per cui le %m(r,0, ) devono essere della forma: di m(7, 9, d) = Fr) vi m(0, d)

(10.40)

dove f(r) è un’arbitraria funzione di r e le Yi m(9, $) sono soluzioni delle (10.39). Esse prendonoil nome di armoniche sferiche. A causa delle (10.36) e (10.37), le Y}m(0, @)

devono dipendere da @ tramiteil fattore ei? . Riportiamo le armoniche sferiche con / = 0 e / = l:i fattori numerici sono scelti in modo che siano normalizzate:

/ Virme(0,0) Vim(0,6) AA = drv Imm

VAT

N

YVi1(0,9)

=

87 sin dei”

Vio(0,6)

=

3 cos @

k

Yi -1(0,9) =

4T

i

(10.42)

3 singeti®.

co 9

Voo(0, 6) = L

3

(10.41)

Per quanto riguarda la Yoo era prevedibile che non dovesse dipendere né da @ né da @: difatti se { = 0, ogni componente di L (non solo la componente 2) può solo avere l’autovalore 0 (I! < m < I): gli stati di momento angolare / = 0 sono autostati simultanei di tutte le componenti di L , con autovalore zero. Ciò significa che comunque sia orientato l’asse polare, Y» o non deve dipendere dal corrispondente angolo azimutale,

172

10 Il Momento Angolare

quindi Yoo è a simmetria sferica, cioè assume lo stesso valorein tutte le direzioni, e quindi non dipende né da @ né da è. Il fatto che le componenti del momento angolare abbiano autostati simultanei (quelli di momento angolare zero) non è contraddittorio conil fatto che le componenti del momento angolare non commutano fra di loro: gli stati di momento angolare 0 non formano un insieme completo di stati. Lasciamoal lettore verificare che le Yi 1, Y1o; Y1-1 soddisfano le (10.39) con {= 1 e mrispettivamente uguali a 1, 0, —1. Se riscriviamo le armoniche sferiche con { = 1 in coordinate cartesiane, a parte un fattore di normalizzazione comune, si ha

v2 r

voi, sla

va= TE

nas o. v2 T

(10.43)

In generale le armoniche sferiche di ordine / sono il prodotto di — per un polinomio omogeneo di grado | nelle x, y, 2. ”

Dalle (7.9) si vede subito che l’operatore di inversione spaziale I commuta conle

componenti di I:

ILI!=L.

I è quindi uno scalare. Gli operatori /, L? e L: hanno perciò un insieme completo di autovettori simultanei, le cui funzioni d'onda, come tutte le autofunzioni di I? e L. , sono della forma (10.40): siccome f(r) è pari per a + —-x,y + —-y,z+ —=, la loro parità è quella di Y} m, cioè è determinata da / e da m. Ma I è uno scalare, quinditutti gli stati con lo stesso / ed m compreso fra —! e +/ hanno la stessa parità. Questo risultato è in accordo con quanto affermato precedentemente che le Y},m sono, a parte il fattore r_!, polinomi omogeneidi grado /, e questo ci dice anche che laparità di ogni

stato |", l, m) coincidecon la parità di 1, cioè è (-1)!..

Consideriamoora il caso di n particelle: il momento angolare orbitale totale è

I=YVL,. a=l

Si vede subito che anche in questo caso gli autovalori L e MM sonointeri. Infatti, siccome tutti gli La: commutanofra di loro (perchési riferiscono a gradi di libertà diversi), hanno un insieme completo di autovettori simultanei: | mn, ma ---); questi sono anche un insieme completo di autovettori di L. corrispondenti agli autovalori M = mj+ma2+ --- + mn, e siccomei singoli na sono interi, anche M è intero.

Per motivi storici, di cui vedremo l’origine, si indicano con la lettera s gli stati di una particella con { = 0, con la lettera p gli stati con { = 1, d quelli con] = 2, f quelli con = 3. Se invece si tratta di un sistema di più particelle, si usano le lettere maiuscole S, P, D, £' per indicare gli autostati del momento angolare totale del sistema, rispettivamente con L= 0, 1, 2, 3.

Capitolo 11 Particella in Campo Centrale

11.1 L’Equazione di Schrédinger in Campo Centrale Se una particella è soggetta ad un campo di forza centrale, il potenziale è funzione solo della distanza r della particella dal centro di forza, che prendiamo come origine delle

coordinate: V = V(r). In queste condizioni tutte le componenti del momento angolare Î commutano con la hamiltoniana e vedremo che questo fatto permette di semplificare notevolmente l’equazione di Schrédinger. Ci sarà utile l’espressione di Î? in termini di q e p: non faremo questo conto, che lasciamo al lettore raccomandandogli di non invertire l’ordine di operatori che non commutano fra di loro, e di utilizzare i commutatori (4.54). Il risultato è L°=r2p?-rp?r dove

r°=3?,

(11.1)

pr=r! (1-9).

(11.2)

L’espressione a secondo membro della (11.1) differisce (come è giusto che sia) solo per

ue]

= 320? sin?9= 3°? (1 cos°0)=a°p° |1- aL 2 2,2

ra

wi

di

d

p°-

Il

A

to

L?

1

l'ordine dei fattori dall'espressione classica, cioè quella calcolata senza preoccuparsi dell’ordine dei fattori: difatti il calcolo ‘classico’ dà

Pr -

q

L’operatore p, definito nella (11.2) ha il nomee il significato di impulso radiale: è cioè la proiezione di p' nella direzione radiale G. Si osservi però che p, non è un operatore hermitiano: pî = (p9- g)r! # p,, esso quindi non è un'osservabile, tuttavia a noi farà comodoproprio il pr definito nella (11.2). Vediamo infatti qual è la rappresentazione di Schr6dinger dell'operatore p,. Si ha 3 3 Co 21/3 x RS. x, 0 . Or; 0 . 0 r=T -p) > — ya =-ih —— —— =-ih_. P rd P) IR 27 dai ni Or dx; 109

174

11’ Particella in Campo Centrale

Quindi

pr 3 ih 2 Or

l

(11.3)

perciò pr, anche se non è hermitiano, ha il vantaggio di avere una rappresentazione di Schrédinger semplice.

La ragione per cui l'operatore —10/0x è hermitiano (paragrafo 6.5), mentre invece

DS

r

w

DI

1

[0]

tu

l’operatore r7? si ha

sw

—10/0r no, è nel fattore r? presente nell’elemento di volume in coordinate polari, che interviene nell’integrale che definisce il prodotto scalare fra due funzioni d’onda. Torniamo all’espressione (11.1). Se moltiplichiamo ambo i membri da sinistra per

+= pir

. (11.4)

(abbiamo scritto L2/r? e non r-2 L? perché ZL? commuta con r2 che è unoscalare, e quindi l’espressione L? /r? non è ambigua). Se ora dividiamo ambo i membridella (11.4) per 2m si ottiene la seguente espressione per l’energia cinetica: 2 1 1 L?

1,24 È 22m r p 7 2. r2

P

2

(11.5)

il cui significato fisico (come nel problema classico corrispondente) è evidente: il primo termine a secondo membro della (11.5) è il contributo all’energia cinetica dovuto alla componente radiale del moto della particella, mentre il secondo termine è il contributo dovuto alla rotazione della particella: esso viene chiamato potenziale centrifugo a momento angolare costante. Difatti, la forza centrifuga è 2

mi wr

2,,2

L°

72

mr3

mr3

De

Il

+

2m




°C,

ee=i

(13.65)

cioè € è proporzionale alla proiezione di d sul piano ortogonale ad #. Vediamo qualche esempio. Consideriamo una transizione 7 (AM = 0):allora perle

(13.46) d= (0, 0, d) è unvettorereale (a menodi un fattore di fase) e quindi anche &,

dato dalla (13.65), è reale, cioè la radiazione è polarizzata linearmente qualunquesia #. Se scegliamo 7 nel piano ry allora d'i=0 e #= d/ d, cioè la direzione di polarizzazione

è quella dell’asse 2. Se # || d'allora la (13.63) si annulla ed & è indeterminato: nonsi ha emissione di radiazione in direzione z (cioè in direzione del campo B). Consideriamo ora una transizione o per esempiocon AM = +1. In questo caso

dalle (13.44) si ha che d-=0 e d, -idy=0 cioè d = (d/V72)(1, i, 0). Se scegliamo ti || B, cioè î = (0, 0, 1) allora dalla (13.65) €= (1, i, 0)/v2 e quindi la radiazione è polarizzata circolarmente nel piano ry in senso antiorario. Se # è ortogonale a B, per

esempio #î = (1,0, 0), allora € = (0, i, 0) cioè la radiazione è polarizzata linearmente nella direzione dell’asse y. Se fî non è né ortogonale né parallelo a B allora la radiazione

è polarizzata ellitticamente. In generale il contenuto della (13.65) può essere riassunto in una semplice regola: la polarizzazione della radiazione emessa in una generica direzione ti è la stessa che si ha, secondo la teoria classica della radiazione, per un dipolo che

13.8 Polarizzazione e Distribuzione Angolare della Radiazione Emessa

223

- oscilla parallelamente all’asse 2, nel caso di transizioni con AM = 0; — ruota nel piano ry in senso antiorario o in senso orario nei casi, rispettivamente, di transizioni con AM =+1 e AM =-1. Infatti secondo la teoria classica il campo elettrico dell’onda emessa è proporzionale in ogni punto alla componente trasversa alla direzione # di osservazione dell’accelerazione della carica oscillante: detto un po’ grossolanamente, il campo elettrico ‘segue’ la proiezione del moto della carica nel piano ortogonale ad ©. Applichiamo ora questa regola per determinare la polarizzazione della radiazione

emessa nelle transizioni n = 2 + n= 1 dell'idrogeno in campoelettrico (effetto Stark).

I livelli con n = 2 sono riportati in figura 12.2: notiamo innanzi tutto che tutte e tre le transizioni dai livelli con n = 2 al livello con n = 1 sono permesse dalle regole

di selezione (13.51) Al = +1: si osservi però che gli stati (12.17) (quelli con energie ES +3eEag) non sono autostati di I? ed è solo la loro componente con . = 1 che

contribuisce alla probabilità di transizione. Per quanto riguarda la polarizzazione, le due righe laterali corrispondono a Am = 0, sono cioè righe 7 e possono essere osservate in qualunque direzione eccetto che in direzione dell’asse 2 (la direzione del campo elettrico) e si presentano sempre linearmente polarizzate. La riga centrale proviene da un livello degenere con m = +1 e m = —1: poiché normalmente gli atomi sono distribuiti a caso in tutti gli stati del

tipo a|m = +1)+|m = -1), ciascuno dei quali classicamente corrisponde ad un

dipolo che effettua un moto armonico nel piano xy, essa si presenta completamente non polarizzata se osservata nella direzione del campo elettrico; se invece viene osservata in una direzione ortogonale al campo, per esempio in direzione dell’asse x, si presenta linearmente polarizzata in direzione dell’asse y. Anche in questo caso, come nelle condizioni dell’effetto Zeeman, per osservare tutte e tre le righe basta non mettersi nella direzione del campo elettrico. Per ricavare la distribuzione angolare della radiazione emessa in una transizione, cioè la dipendenza della probabilità di transizione dalla direzione di osservazione, inseriamo

nella (13.38) il versore e dato dalla (13.65): 3 Wii

che coincide (come dev'essere: v. (4.15)) con la somma delle probabilità di transizione a due qualsiasi stati di polarizzazione €, €, ortogonali fra loro e al versore #:

dal +|d-al=ld-aP+|d-&P+]d-ai-|d-aip=|dP dip (di solito si dice che ‘si fa la somma suglistati finali’).

La (13.66) riproduceil risultato classico, secondo la stessa regola data più sopra per la corrispondenza fra tipo di transizione e moto del dipolo classico. Così, per esempio, nel caso di una transizione 7, preso l’asse z nella direzione del

vettore (reale) d: d=|d|(0,0,1), si ha |d-#|? = |d|? cos? 8, quindi dalla (13.66) 3

]g {2

rho sin°0dQ, wi(1) do = w(0,6)an= SUL

AM=0

(13.67)

224

13 Transizioni Elettromagnetiche

e la probabilità di transizione integrata. sull'angolo solido è +1

443. d 2

dr hei 2r ] | sin° 9d cos0 = tenlet. +

Nel caso di una transizione o (AM = +1),

d = (|d|/v2) (1,+i,0),

1 |d|?(nî + n3)= 1|d'P(1- cos? 0), quindi dalla (13.66), |d'|P_1+ cos? 9

Sp _ i wr(0,9)d= er — da,

_ AM=sl

(13.68)

|d- fi =

(13.69)

e anche in questo caso l’integrazione sugli angoli porta alla (13.68): vedremo fra poco

che |d|? che compare nella (13.69) è uguale a quello nella (13.68). 13.9 La Vita Media del Livello n = 2 dell’Atomodi Idrogeno Possiamo utilizzare la (13.68) per calcolare la vita media del livello n = 2 dell’atomo

di idrogeno: lo stato n = 2, 1 = 0 non può decadere allo stato n = 1 (transizione rigorosamente proibita 0 + 0); la probabilità di transizione per unità di tempo dallo stato |210) allo stato |100) è data dalla (13.68) con d= (0, 0, d), dove

d=-e(1,0,0|2|2,1,0) = e fa! d)) cos? Yso(0, d) daf” R10((r)r Rei(r )r2 dr

dove le armoniche sferiche sono date dalle (10.42) e le funzioni radiali dalle (11.41). L’integrazione sugli angoli dà 1/v3 e quella radiale dà (ag/v6) x (4/3), pertanto

d=-0.74eag, da cui (A = 1216 À) 3273

tot wi a

(

/0.74ag\? €

)

)

x

=

6.2 6.2 x 10° 871 8

>

T= (wi) 1=16x 10798.

(13.70)

Si ottiene lo stesso risultato, cioè la stessa vita media, per qualsiasi stato conn = 2, {= 1: infatti l'integrazione sull’angolo solido della (13.66) si effettua notando che

fida Pan = (finan) = di (adi;)d;

= di (T 6;;)d, =T dp

(13.71)

infatti l'integrale sugli angoli del tensore n; n; dà luogo ad un tensore isotropo, cioè invariante per rotazioni, e quindi proporzionale a dij; siccome la traccia del tensore n; n; è invariante per rotazioni, la costante di proporzionalità è 47/3.

Quindi l’integrale sull’angolo solido di |d? — |d- |? dà sempre (87/3) |d|?, perciò

in ogni caso si ottiene la (13.68).

13.9 La Vita Media del Livello n = 2 dell’Atomodi Idrogeno

225

Resta da dimostrare che |d'|? è indipendente dallo stato di partenza

|2,1,---)=a|m=0)+6|m=1)+7y|m=-1). Si potrebbe fare la verifica diretta, ma preferiamo presentare un argomento generale che ci sarà utile anche in seguito; a tal fine premettiamoil seguente Teorema: il valor medio di un operatore scalare S su stati di dato momento angolare L è indipendente dallo stato. Per ‘stati di dato momento angolare L’ intendiamo gli stati della varietà Vr di

dimensione (2L + 1) generata dai vettori | 2”, L, M) dove, secondo la notazione del paragrafo 10.2, 2” (= 0j, 03, : la.

ma < M+l1 f

e la af

(16.8)

Tuttavia la (16.8) è corretta solo se si ignora che gli elettroni hanno un momento ma-

gnetico intrinseco; è chiaro infatti che il momento magnetico di spin di ogni elettrone interagisce con il campo magnetico generato dal moto di tutte le cariche di cui è costituito l’atomo, come pure con i momenti magnetici di tutti gli altri elettroni. Tutto ciò si riflette nell'esistenza di altri termini da aggiungerealla (16.8).

266

16 Atomi con più Elettroni Questi altri termini, tuttavia, in quanto correzioni relativistiche alla (16.8), almeno

nei casi di atomi abbastanza leggeri, portano solo piccole correzioniailivelli della (16.8)

(se Z è piccolo le velocità degli elettroni sono molto minori di c) per cui è giustificato trattarli come una perturbazione. Per fare un calcolo perturbativo è necessario conoscere preliminarmente come si classificano gli autostati della hamiltoniana imperturbata Ho e qual è la degenerazione dei suoi autovalori. Questo problema è già stato affrontato nel paragrafo 13.6 (v.

(13.42)): tuttavia la classificazionedeilivelli di Hp discussa in quella circostanza aveva

carattere provvisorio in quanto non teneva conto né dello spin degli elettroni né del principio di Pauli. Per questo motivo in questo paragrafo ritorniamo sul problema della, classificazione deilivelli di Ho. Dobbiamo determinare il maggior numero possibile di costanti del moto (cioè di osservabili che commutano con Ho): questo ci permetterà sia di estrarre da tutte queste

uninsieme (eventualmente anche sovrabbondante) di osservabili compatibili per mezzo

delle quali classificheremogli autostati di Ho, sia di ottenere, come conseguenza del teorema di degenerazione (paragrafo 7.2), informazioni precisesul grado di degenerazione degli autovalori di Ho. Sono costanti del moto tutte le componenti del momento angolare orbitale totale

[Z, Ho}=0,

£

L=Y La

(16.9)

a=l

mentre invece non sono costanti del moto i singoli La: infatti la hamiltoniana (16.8) è uno scalare se si ruotano simultaneamente le coordinate da e Pa di futti gli elettroni, ma Ho nonresta invariata se si ruotano le coordinate di un solo elettrone (è il

termine Y e2/rag che nonresta invariato, per cui gli Za sono costanti del motosolo nell’approssimazione ad elettroni indipendenti).

Siccome poi in Ho non compaiono le variabili di spin, ogni 5a commuta con Hg e

quindi, in particolare,

[S, Ho]=0,

Z

S=Y Fa.

(16.10)

azl

Inoltre anche l’operatore di inversioni spaziali I commuta con Ho. Quindi un insieme di osservabili compatibili è costituito da

Ho I L? L., 5? S.

(16.11)

e possiamoclassificare gli autostati di H tramite gli autovalori di queste osservabili:

|\E° w L M S 5).

(16.12)

Siccome tutte le componenti di I e di 5 commutano con Ho (e con I) ognilivello

energetico è degenere sia su M (—L < M < +L) che su 5! (-S < 5! < +5) ed hacioè

un grado di degenerazione pari a

16.2 Classificazione dei Livelli Atomici

Igo = (2L+1)x(25+1).

267

(16.13)

Quest'ultima affermazione merita un particolare commento. Nel dedurre che la degene-

razione di ogni livello è proprio quella data dalla (16.13) abbiamo escluso chei livelli

possano essere degeneri rispetto a L e/o .S: in effetti sappiamo che il teorema di degenerazione non è in grado di stabilire che la degenerazione è tanto, ma solo che la degenerazione è almeno tanto. Quindi non siamo in grado di dimostrare che gli autovalori di Ho non sono degeneri su L e/o su S: possiamo solo portare argomenti di plausibilità. Per quanto riguarda Z non abbiamo nessun motivo di sospettare dell’esistenza di una degenerazione: come vedremo nel prossimo paragrafo, quando discuteremo come esempio l’atomo di carbonio, si può avere una degenerazione rispetto ad L solo nell’approssimazione ad elettroni indipendenti, ma questa degenerazione viene rimossa dalla repulsione fra gli elettroni (si potrebbe dire che in Fisica vale il principio del ‘compulsory government’: tutto ciò che non è obbligatorio è proibito; in questo caso la degenerazione su ZL non è imposta da ragioni di simmetria, come invece la degenerazione su M, e quindi è proibita: la base fisica di questo ‘principio’ è che la Natura è sufficientemente complicata per cui c'è sempre qualche interazione che rimuove le degenerazioni che possono essere rimosse). Per quanto riguarda 5 il discorso è più complesso: infatti, come già osservato, non solo sono costanti del moto le componenti di s, ma anche tutte le 3, .e ciò comporterebbe una degenerazione di spin pari a 2 per ogni elettrone, quindi 24 per ciascun livello anziché 25 + 1. Abbiamo già visto nel caso dell’He qual è il meccanismo per cui il principio di Pauli fa sì che in natura nonsi abbia tuttaquesta degenerazione: il numero di stati di spin permessi è minore di 27 ed inoltre a valori diversi di S corrispondono stati orbitali diversi, quindi con energie diverse.

In conclusione le energie degli stati (16.12) dipendono sia da ZL che da S': E° = Es

ed il loro grado di degenerazione è dato dalla (16.13). Al variare di L e/o di S si ottengonolivelli diversi, con differenze di energia dell’ordine dell’eV. La classificazione in termini delle (16.11) è l’analogo della classificazione in termini

delle (15.18) del paragrafo 15.3. È chiaro allora che, siccome dalle (16.9) e (16.10) segue che

[J, Ho]=0,

T=L+5S

(16.14)

è possibile anche classificare gli autostati di Ho in termini degli autovalori di

analoga alla (15.19):

Ho I L° 5° I° I

(16.15)

|E°

(16.16)

wLSJ

I).

Secondo questa classificazione la degenerazione dei livelli energetici, che ovviamente è

sempre (22 + 1))x(25+ 1), è vista come una degenerazione su J, che assume valori compresi fra |L— S| e L+ Se, per ogni J, su JI che assume valori compresi fra —J e+J.

268

16 Atomi con più Elettroni

In seguito adotteremo sovente, per indicare i numeri quantici di uri livello, la notazione spettroscopica: una lettera maiuscola 5, P, D, --- per indicare il valore di L

(= 0, 1,2, ---) con in alto a sinistra la molteplicità di spin 25 +1 (talvolta si mette

anche un piccolo o in alto a destra seil livello ha parità —1: o sta per odd = dispari); questo simbolo è chiamato termine spettroscopico (da non confondere con i termini spettroscopici introdotti nel paragrafo 2.4). Per esempio peril livelli dell’He discussi nel paragrafo precedente abbiamo i seguenti termini spettroscopici:

(18)? 15,

1828 19

1525 55

1s2p !P°,

182p *P° .

In questo caso, avendo indicato a fianco di ogni termine spettroscopico la configurazione da cui proviene, l’uso dello ° per indicare cheil livello ha parità —1 è superfluo in quanto la parità del livello si legge direttamente dalla configurazione elettronica:

w= (1) eta

(#11).

(16.17)

i

16.3 Relazione fra Configurazione Elettronica e Termini Spettroscopici: l’Atomo di Carbonio

Nel paragrafo precedente abbiamo visto come si classificano i livelli di un atomo: le classificazioni che abbiamo discusso, sebbene rigorose nell’approssimazione in cui si trascurano le interazioni che coinvolgono i momenti magnetici di spin degli elettroni, sono troppo generali e come tali forniscono poche informazioni: in particolare non forniscono alcuna informazione sulla disposizione deilivelli di un atomo edi relativi numeri quantici. Dall’altro lato nel paragrafo14.1 abbiamointrodotto la classificazione ad elettroni indipendenti: questa dà tutte le informazioni che si voglionosui livelli di un atomo e non solo informazioni riguardanti le energie e i numeri quantici, ma permette addirittura di scrivere la funzione d’onda di un qualunque stato dell’atomo in termini delle funzioni d’onda degli idrogenoidi. Purtroppo, però, l’approssimazione ad elettroni indipendenti è troppo grossolana per cui non è a priori evidente quanto questa messe di informazioni sia attendibile. Vogliamo mostrare che è possibile estrarre dall’approssimazionea elettroni indipendenti sia delle informazionidi carattere qualitativo sulla posizione deilivelli di un atomo, sia informazioni rigorose sui numeri quantici di detti livelli. Anziché discutere il problema in generale preferiamo illustrare i concetti e la. metodologia in un caso particolare: il carbonio. Il problema che ci poniamo è questo: quali sono i primi livelli del carbonio? Il carbonio ha sei elettroni; la configurazione di minima energia è quindi

(15)? (25)? 2p? . Cerchiamo innanzi tutto di stimare l'energia di prima ionizzazione del carbonio: per questo problema possiamo considerare i quattro elettroni dei gusci completi 1s e 25 come un resto atomico; il concetto di resto atomico in questo caso è però molto meno significativo che nel caso degli alcalini, a causa del fatto che gli elettroni ‘esterni’ 2p hannolo stesso n di due degli elettroni del resto atomico, per cui gli elettroni 2p sono

16.3 Configurazione Elettronica e Termini Spettroscopici

269

esterni solo per mododidire: a differenza degli alcalini qui succede che la primaconfigu-

razione eccitata è (18)? 28 2p3 (v. figura 14.1), cioè è proprio un elettrone del cosiddetto

resto atomico a cambiare stato. Se trascuriamola repulsione fra i due elettroni 2p, l'energia di ionizzazione sarebbe 4x13.6/4 = 13.6eV (la carica del nucleo più resto atomico è 2), ma questo è probabilmente un limite superiore; se invece uno dei due elettroni 2p lo consideriamo parte del resto atomico (ed in questo modo sopravvalutiamo la repulsione fra i due elettroni esterni) allora l’energia necessaria per estrarre l’altro sarebbe. 1x13.6/4 = 3.4eV che è certamente un limite inferiore. Sembra lecito aspettarsi un valore più prossimo a 13.6eV che a 3.4eV, anche in considerazione di una possibile penetrazione nel resto

atomico (15)? (2s)?: in effetti il valore sperimentale per l’energia di prima ionizzazione

del carbonio è 11.3 eV. Quali sono i numeri quantici L ed 5 del ‘resto atomico’? Siccomesi tratta di quattro elettroni, tutti con / = 0, ovviamente anche L = 0. Per quanto riguarda 5, sappiamo che per il principio di Pauli due elettroni nello stesso orbitale hanno sempre S = 0. Allora

combinandolo spindei due elettroni (15)?, che è zero, con quello dei due elettroni (25)?,

che pure è zero, si ottiene S = 0. Quindiil resto atomico (18)? (25)? ha L=0e S=0,

cioè non contribuisce al valore di L e di S' dell'atomo. È vero in generale — sempre in conseguenza del principio di Pauli — che ogni guscio

completo (per esempio il guscio (2p)S del Na) ha L = 0 e S = 0: ciò è ovvio per

miH

quanto riguarda S, perché ogni coppia di elettroni nello stesso orbitale è in uno stato di singoletto; per quel che riguarda ZL consideriamo come esempio proprio un guscio pS: è chiaro che M = 0 dato che ci sono dueelettroni con m = +1, due con m = 0 e due con m = —1; ma questo discorso resta vero anche se decidiamo di classificare gli stati dei singoli elettroni con gli autovalori delle componenti x o y degli La: quindi un guscio completo ha nulli gli autovalori di tutte le componenti di L, quindi ha L= 0. Se uno volesse scrivere esplicitamente lo stato dei 6 elettroni nell’approssimazione a elettroni indipendenti, dato che deve essere antisimmetrico rispetto allo scambio dei numeri quantici di una qualunque coppia di elettroni, può ricorrere al determinante di Slater: detti (per brevità) a, è, c --- f i 6 stati indipendenti

|n,I=l1,m=+1,0, s=4-) si ha (gli indici 1 -- - 6 si riferisconoai 6 elettroni): ar bi cr... fi n°)

der

p),=dé

0 È

. d6 be Ce... Ta

e utilizzando le proprietà del determinante si può verificare esplicitamente che il risul tato, che è una combinazione lineare antisimmetrica di 6! = 720 vettori del tipo (14.3), è indipendente dalla base scelta (p.es., appunto, gli stati potrebbero essere classificati con la componente x o y del momento angolare).

270

16 Atomicon più Elettroni

Il fatto che un guscio completo ha L = 0 giustifica l’affermazione fatta nel paragrafo

14.5 che la funzione d’onda (7a, --- ,z) del resto atomicodi un alcalino ha simmetria sferica.

Quindi, per quanto riguarda gli stati della tonfigurazione fondamentale, i numeri

quantici ZL ed S del carbonio sono determinati solo dai due elettroni 2p: essi hanno

l1=1,%2= 1, quindii valori possibili per L sono L=0 (5); L=1 (P)e L=2 (D). Ignorando per ora lo spin dei due elettroni si hanno nove stati indipendenti: |ni1=2, 4=1, mi; no =2, ly=1, ma),

mi, ma = 0, +1

(16.18)

|ni=ny=2,h=b=15LM), L=0,1,2;-L 5) 25+1 è proprio il numerodi valori che J può assumere, fissati L e S, e quindi è proprio il numerodi livelli che compongono un multipletto di struttura fine. Consideriamo ora alcuni esempidi livelli di struttura fine.

Atomi Alcalini Il livello fondamentale di tutti gli alcalini è un livello 25: L=0,5= + e quindi / ha solo il valore 1: 252. Nonsi ha quindi struttura fine, cioè si ha unsingolo livello 2 volte degenere. Lo Stesso vale per tutti gli stati eccitati con L = 0. Se L > 0 sonopossibili due valori di J/J=L+ z eJ=L- 3. Si hanno quindi doppietti di struttura fine, per esempio 2P, e ?Pa; Da e 2Ds ecc. La separazione fra questi doppietti decresce al crescere del numero Guantizo principale n ed è più marcata per atomi con alto Z: nel

Li la separazionefra il 2°P, e il 2°P4 (il primo2 il valoredi n) è di soli 0.4x1074 eV, mentre nel Na la separazione fra il 3°P1 e il 3 °Ps è circa 2x 1073 eV (vedi la discussione alla fine del paragrafo 14.4).

Ù

x

Elio Peri livelli di singoletto (paraelio) S = 0 e quindi J = L e nonsi ha struttura fine. Per

i livelli di tripletto (ortoelio) S = 1 per cui in tutti i casi, eccettuato quello dilivelli con

L= 0, si hanno tripletti di struttura fine: J= L-1,J=L,J=L+1.I livelli con L=0 hanno J= le non hanno struttura fine. Tuttavia le separazionifra i livelli di un

tripletto sono molto piccole (= 1074 eV) a causa del basso valore di Z (Z = 2) e del fatto che solo i livelli eccitati (15) (n.1) (n > 2, => 1) possono dare luogoa tripletti di struttura fine.

Carbonio Dei tre livelli considerati nel paragrafo precedente provenienti dalla configurazione di minima energia, solo il fondamentale 8P dà luogo a un tripletto di struttura fine 59,

3P,, Pa: l'energia cresce al crescere di J e le separazioni sono di circa 2 x 1073 eV fra il 5P; e il 3P, e dicirca 5.4 x 1073 eV fra il 82 e il 52.

276

16 Atomiconpiù Elettroni

Riportiamo nella figura 16.2 il diagramma dei livelli del carbonio corrispondenti alla

configurazione (15)? (28)? 2p?.

Da sinistra verso destra: nell’approssimazione ad elettroni indipendenti, in presenza della sola re- ‘

pulsione coulombiana e, infine, in presenza del-

!

!

38

l

|, C_

19

°

le correzioni relativistiche. La figura 16.2, che

«dp

;

sa della grande differenza, di circa tre ordini di grandezza, fra le separazioni dei livelli dentro il

i i ; E

, ©2

ripropone la figura 14.1, non è in scala a caumultipletto *P e la distanza dai livelli 2D, 15.

Come abbiamo già detto all’inizio del paragrafo, fra tutte le correzioni relativistiche che sono

1!

2p?_;0°

Da

———_

Fig. 16.2

inglobate in H”, l'interazione spin-orbita (16.22) è di solito la più importante. Se pren-

diamoin considerazione al primo ordine solo le interazioni spin-orbita e spin-altre-orbite e trascuriamo in H' l’interazione spin-spin, si possono ottenere informazioni più dettagliate sulla struttura dei multipletti grazie alla seguente identità (le notazioni sono quelle del paragrafo 10.2):

LVDj) (2 jm" |V|D'jm)=(5"jm"| M.V M2

(16.27)

dove I è un generico momento angolare (orbitale, di spin, totale ... ) e V un operatore vettoriale, cioè un operatore per il quale valgono le regole di commutazione (10.9): diremo che V è un vettore per il momento angolare IDE j e msi riferiscono al momento angolare M.

La dimostrazione della (16.27) si basa sull’identità (13.48) che riscriviamo:

[A42, [M7?, vi]] = 2%° (142% +v14?)- 46° (MV) M;. Se prendiamo gli elementi di matrice di ambo i membri fra stati con lo stesso j il primo membro dà contributo nullo:

(je | (472, (972, vi]] |i--)=

(i+ (ge | DIT?, Vi) AE?, Vi] Li )jG +1) =0 quindi

i(+1)(Sim|v|D'jm')=(D"jm'|(d.V)M;|L'jm') da cui seguela (16.27). La (16.27) è nota come teorema di Wigner-Eckart, anche se il modo in cuiil teorema viene normalmente formulato è leggermente diverso ed inoltre ha una maggiore generalità, in quanto si applica non solo agli operatori vettoriali, ma agli operatori tensoriali di ogni rango. Applichiamo la (16.27) al calcolo dell’effetto al primo ordine dei termini di tipo spin-orbita. Per non appesantire troppo le notazioni ci riferiamo solo all’interazione

16.4 Interazione Spin-Orbita. Struttura Fine dei Livelli

277

spin-orbita, data dalla (16.22); utilizziamo ora peril calcolo perturbativo la base (16.12),

anziché la (16.16): abbiamo quindi gli elementi di matrice

YO (ErsLM"SS"|&(ra)La Fa |ErsLM'SS').

(16.28)

Nella (16.28) É(ra) La è un operatorevettoriale rispetto al momento angolareorbitale totale L (£ (ra) commuta con L) e di esso si prendono elementi di matrice fra gli stati |ErsLM" SS") e sa|ErsLM'SS') che sono autostati di L? con lo stesso

autovalore L (5 commuta con Z) quindi, perla (16.27), nella (16.28) possiamofarela sostituzione

L?

L

bw

-, to)L'La\ + + )L La\ + Era) La > (fallL a) È => &(ra)La 5a + (Efalt La) Dx. A questo punto si fa lo stesso discorso per l’operatore 5, che è un operatore vettoriale per lo spin totale 5 e del quale si prendono elementi di matrice fra stati con lo stesso

S, quindi nella (16.28)

Là

a

YO &(00)Za Fa 3 AL:S,

(ra))L. LaX\(5 8a

143), (Stalla©) (0) .

(16.29)

Quindi nello spazio di dimensione (2L+1)x(25 + 1) in cui i vettori | Erg LM' SS!) sono una base, la (16.22) può essere sostituita da ALS.

fl

NIH

>

I

2

J=L+5.

tu

A questo punto ritorniamonella base (16.16) nella quale la matrice che rappresenta AL-S è diagonale e siccome

si ha,

(ErsLSJJ:|AL:S|ErsLSJJ)=

= LL ELsLsJZ.|A| ELsLSJJ)(XJ+1)-L(L+1)-S(S+1)). 2

L’operatore A commuta con tutte le componenti di Ledi s, quindi nello spazio di

dimensione (2L + 1) x (25 + 1) che stiamo considerando è un multiplo della matrice identità (proprio come Ho; vedi anche il teorema dimostrato nel paragrafo 13.9 p. 225)),

quindi

h?

,

h2

(ErsLSJJ|A|ErsL8JJ})= 5 Ars con Ars che dipende solo da L e da S (oltre che da Erg), ma non da J. In definitiva, se prendiamo in considerazione solo le interazioni di tipo spin-orbita al primo ordine si ha

AErgy = n Ars (II +1)- L(L+1)-S(S+ 1)

(16.30)

278

16 Atomi con più Elettroni

La (16.30) non permette di calcolare le separazionifra i livelli di struttura fine in quanto Ars non è noto: si sa però che il contributo a Arg dovuto alla sola interazione spin-

orbita (cioè senza i termini spin-altre-orbite) è positivo nel caso in cui tutti i gusci

sono completi salvo uno occupato meno di metà, come ad esempio nel carbonio: questo già basta per garantire che in questi casi l’energia dei livelli di struttura fine cresce al crescere di J (multipletti normali, come appunto nel carbonio), mentre se Arg < 0 si dice che i multipletti sono invertiti: i livelli con J maggiore hanno energia minore, come ad esempio nel caso del tripletto *P,1,2 dell’ossigeno proveniente dalla configurazione

di minima energia (18)? (28)? 2pf: E(SP.) < E(P:) < EP).

Dalla (16.30) si ricava la regola degli intervalli di Landé :

Erss- Ersi-1=h° Ars J

(16.31)

e dalla (16.31), siccomeil solo parametro non noto è Arg, quandoil numerodilivelli in un multipletto è maggiore di due è possibile ricavare relazioni fra le distanze dei livelli di un multipletto: per esempio nelcaso del tripletto #Py,1,2 del carbonio dell’ossigeno

la (16.31) prevede che

E(*P.) — E(°Po) = 3(E(P.) — E(°Po)) . Nel caso del carbonio, con i valori sperimentali che abbiamo dato per le distanze fra i livelli di struttura fine, il primo membro della (16.31) vale circa 5.4 x 1073 eV mentre il secondo vale 6.3 x 1073 eV con una differenza di circa il 15%. Unaltro risultato che si può ricavare dalla (16.30) è la seguente regola di somma: L4S

YO

J=|L-S|

(2J+1)AE,sy=0

(16.32)

che esprimeil fatto che il baricentro deilivelli di struttura fine (pesati con la degenerazione 27 +1 di ognilivello) non viene spostato. Per dimostrare la (16.32) si può procedere conil calcolo diretto con i AE,sy dati

dalla (16.30), ma più semplicemente basta osservare che il primo membro della (16.32) è la somma degli autovalori, cioè la traccia, della matrice

(ErsLSJ"I'|AL-S|ErsLSJ I) e che la traccia è indipendente dalla rappresentazione, quindi possiamo calcolarla nella

base (16.12):

dive (ErsLMSS.|AL-S|ErsLMSS!).

(16.33)

Siccome sia per Ly che per Ly si hanno le regole di selezione AM= +1 (identiche alle

(13.46) per D, e Dy), la (16.33) si riduce a

he

Domet M S| ALS: |: M S1)= 5 Ars Vus MxsS,=0. La (16.32) è utile per ricavare dai dati sperimentali sui livelli di un multipletto di struttura fine la posizione del livello imperturbato E7s.

16.5 Gerarchia dei Numeri Quantici. Regole di Selezione II

279

16.5 Gerarchia dei Numeri Quantici. Regole di Selezione II La discussione che abbiamo condotto sulla struttura dei livelli atomici ha proceduto per tappe successive: dapprima abbiamo considerato l’approssimazione ad elettroni indipendenti, poi abbiamo aggiunto la repulsione elettrostatica fra gli elettroni ed infine abbiamo tenuto conto delle interazioni di natura relativistica. Ciascuna di queste tappe è caratterizzata dall’esistenza di numeri quantici “buoni” nell’approssimazione considerata; nella tappa successiva alcuni di questi numeri quantici restano “buoni”, altri solo “approssimativamente buoni” (nel senso che al primo ordine nell’interazione aggiunta gli autostati della hamiltoniana sono ancora classificati in termini di questi numeri quantici) ed altri ancora, infine, perdono completamente valore: questa è una situazione che si presenta in molti rami della fisica, dalla fisica nucleare a quella delle particelle elementari. Ciò significa che nella classificazione finale deilivelli atomici, quella cioè la cui hamiltoniana è quella completa, esiste una gerarchia di numeri quantici: da quelli “buoni” a quelli “meno buoni” e così via. Va detto tuttavia che quella che noi abbiamo chiamato “hamiltoniana completa”, cioè la (16.23), è pur sempre una hamiltoniana approssimata in cui si trascura, per esempio, l'interazione fra gli elettroni e il momento magnetico

nucleare, che è circa 1073 volte il magnetone di Bohr (13.54), e che dà luogo ad una

struttura iperfine dei livelli: ignorare queste ulteriori strutture è lecito solo nel campo della spettroscopia a potere risolutivo non troppo spinto. Chiariti i limiti della nostra discussione vediamo come si presenta la gerarchia dei numeri quantici per un atomoisolato: al vertice abbiamo J, Ji e la parità w; sotto

a questi, cioè un po’ meno “buoni”, sono L ed S': infatti Z? ed 5? non sono più

costanti del moto in presenza di interazioni spin-orbita (ad eccezione del caso di atomi con un solo elettrone come gli idrogenoidie gli alcalini), in quanto non commutano con i singoli La e 5, nella (16.23); tuttavia fino al primo ordine nell'interazione spin-orbita gli autostati approssimati della hamiltoniana sono ancora classificabili in termini di L e di S. Ciò significa che gli autostati “esatti” della hamiltoniana saranno combinazioni

lineari di stati con lo stesso J, J: (e parità) ma convalori diversi di L e/o di S:

a|LSITY+B|LSIT)+Y|L"SIT)+

(16.34)

in cui, se la trattazione perturbativa al primo ordine dell’interazione spin-orbita è attendibile, deve aversi

lal > |BP ++.

(16.35)

Si noti che M ed 5, che in assenza di interazione spin-orbita sono buoni numeri quantici, perdono significato non appena si “accende” l’interazione spin-orbita: ciò è dovuto al fatto che in presenza delle sole interazioni elettrostatiche si ha degenerazione su questi numeri quantici e l’introduzione di una seppur piccola interazione spin-orbita fa sì chei nuovi autostati della hamiltoniana, in quanto autostati di /, sono combinazioni lineari di stati con diversi valori di M ed Sl: queste combinazioni lineari, contrariamente a quelle del tipo (16.34), sono indipendenti dalla grandezza dell’interazione spin-orbita e

sono determinate unicamente dalla regola “geometrica” della composizione dei momenti angolari.

280

16 ‘Atomi con più Elettroni

Scendendo nella gerarchia abbiamoinfine gli na e gli la dei singoli elettroni, cioè la configurazione elettronica: anche per questi numeri quantici si può ripetere quanto già detto per L e per 5, salvoil fatto che gli na e gli la sono solo “approssimativamente buoni” per colpa della repulsione fra gli elettroni che è un’interazione piuttosto forte. Qual è l'utilità di questa gerarchia di numeri quantici? In altri termini: qual è ’utilità dei numeri quantici “approssimativamente buoni”? . Abbiamo già visto qual è l’utilità di assegnare la configurazione elettronica: da un lato la configurazione elettronica ci dà un’idea qualitativa della posizione dei livelli, come ad esempio il fatto che — almeno nei casi più semplici - una configurazione più eccitata dia luogo a livelli mediamente di energia superiore a quelli provenienti da una, configurazione menoeccitata; dall’altro lato abbiamo già visto nel paragrafo 16.3 come dalla configurazione elettronica si possano ottenere informazioni rigorose sui numeri quantici dei livelli. La conoscenza, poi, dei numeri quantici approssimati L ed 5 permette di determinare il numero di sottolivelli di struttura fine in un multipletto ed il valore di J per ciascuno di questi sottolivelli. Ma c'è un’altra ragione per cui i numeri quantici, sia quelli buoni che quelli meno buoni, sono importanti: è il fatto che su ciascuno di essi abbiamo una regola di selezione perle transizioni elettromagnetiche: chiarito il significato del termine “numero quanti-

co approssimato”, come espresso dalla (16.34) e (16.35), è evidente che una regola di

selezione sarà tanto meglio verificata quanto più “buono” è il numero quantico a cui si riferisce e viceversa. . Completiamo questo paragrafo con una elencazione delle regole di selezione sui vari numeri quantici con cui abbiamo già avuto a che fare, ricapitolando per completezza anche le regole di selezione già discusse e discutendo per ciascuna di esse il campo di applicazione e validità. Salvo avviso contrario intenderemo sempre regole di selezione per transizioni di dipolo elettrico. 1. Regole di Selezione su w, J, Jz:

wxw'=-1

(16.36)

AJ=+1,0

J=044J=)0

(rigorosamente proibita)

AJ,=4+1,-1,0

(rispettivamente per D., D_, D.)

(16.38)

J=04J;=00

se

(16.39)

J=J".

(16.37)

La (16.36) è stata discussa nel paragrafo 13.6. Le (16.37) e(16.38) sono formalmente

identiche alle (13.47)e (13.44): infatti tanto queste quanto quelle sono conseguenza del fatto che l’operatore dipolo elettrico D ha, tanto con L quanto con J, le regole di

commutazione (10.9) dei vettori. Le (16.38) sono anche un’immediata conseguenza delle (13.44) e della regola di selezione su 5; che daremo tra poco. La (16.39) è stata aggiunta

per completezza ma non verrà né dimostrata né utilizzata. Tutte queste regole di selezione, a causa della bontà dei numeri quantici a cui si riferiscono, sono ben verificate: le violazioni sono imputabili a transizioni di dipolo magnetico o multipoli elettrici e magnetici superiori. 2. Regole di Selezione su L e S:

AL=4#1,0

AS=0.

L=04L=0

(rigorosamente proibita)

(16.40)

(16.41)

16.5 Gerarchia dei Numeri Quantici. Regole di Selezione II

281

La (16.40) è stata discussa nel paragrafo 13.6. La (16.41) è stata introdotta nel paragrafo 16.1 per spiegare la non esistenza di transizioni fra ortoelio e paraelio. La validità di queste due regole di selezione è limitata non tanto dalla validità dell’approssimazionedi dipolo elettrico quanto dal fatto che L ed 5 sono numeri quantici approssimati: tipico è il caso degli alcalino-terrosi (come ad esempio Mg, Ca, Hg, Ba, ..) e in particolare del mercurio Hg che ha Z = 80; la configurazione fondamentale è

(gusci completi) (65) 2 e quindi, come nell’He, lo stato fondamentale è uno stato 15. La prima configurazione eccitata è

(gusci completi) 65 6p

e dà luogo, comenell’He, a stati !P e P. A causa dell’alto valore di Z l’interazione spin-

orbita ha elementi di matrice non trascurabili fra stati con energie diverse (ma con lo

stesso J), in particolare fra gli stati !P, e Pi; ciò ha come conseguenzail fatto che, oltre a rimuovere la degenerazione su J, l’interazione spin-orbita mescola apprezzabilmente fra loro gli stati !P, e *Pi: quindi i due livelli dell’Hg con J = 1 provenienti dalla configurazione 6s 6p, non hanno più uno spin definito e neppure, di conseguenza, una simmetria orbitale definita, ma sono combinazioni lineari di stati con S=0 ed S=1

del tipo (16.34):

SZ1J

1 -)= a |1P.)+ 8 |3Pi) 1J:)= a o*|®P)-B*|!P). a

1S=0J

È chiaro quindi che da entrambii livelli sono possibili transizioni al fondamentale !Sp

con probabilità di transizione proporzionali rispettivamente a |a|? e a |B}?. Il più basso dei due livelli Pj (quello che abbiamo indicato come | S = 1)) viene di

solito dagli spettroscopisti classificato — impropriamente — comelivello di tripletto 5P; (conformemente alla regola di Hund), per cui si dice che in questo caso viene violata la regola, di selezione (16.41). La corrispondente riga di transizione al fondamentale (A =

2357 À) è detta riga di intercombinazione (transizione fra stati di spin ‘diverso’).

Lo stesso meccanismo spiega le debolissime transizioni fra ortoelio e paraelio. 3. Regole di Selezione su L., e Sy:

AM=4+1,-1,0

AS.=0.

(rispettivamente per Di, D_, Di)

(16.42)

(16.43)

La (16.42) è già nota dal paragrafo 13.6; la (16.43)), come già detto nel paragrafo 16.1, discende dal fatto che l’operatore di dipolo elettrico D commuta con le componenti di Se quindi, in particolare, con $,. Queste regole di selezione sono significative solo quandogli stati stazionari dell’ato-

mo sonoclassificabili in termini degli autovalori di L; e di 5. ed in presenza di campi esterni che rimuovano la degenerazione su questi numeri quantici: come vedremo nel prossimo paragrafo entrambe queste condizioni si verificano per un atomo in campo

magnetico tanto intenso da poter trascurare l’interazione spin-orbita.

282

16 Atomi con più Elettroni

4. Regola di Selezione sulla Configurazione Elettronica: sono possibili transizioni elettromagnetiche soltanto fra stati che provengono da configurazioni elettroniche che differiscono per i numeri quantici n, | di un solo elettrone. Questa regola di selezione nonfa riferimento all’approssimazione di dipolo elettrico.

In approssimazione di dipolo si ha inoltre la limitazione (13. 51) (Al = +1) sulla

variazione di / per l’elettrone che cambia stato.

I limiti di validità di questa regola di selezione sono gli stessi della classificazione

in termini di configurazione elettronica, cioè il primo ordine nella repulsione fra gli elettroni. Tuttavia la regola di selezione sulla configurazione elettronica è verificata meglio di quanto ci si possa aspettare sulla base del fatto che l’interazionefra gli elettroni è una interazione piuttosto forte: in effetti il mescolamento (analogo al (16.34)) fra configurazioni diverse prodotto dalla repulsione fra gli elettroni normalmente non è molto apprezzabile (nonostanteil termine )7, 8 e?/ Tag possa avere elementi di matrice fra stati di configurazioni diverse) in quanto le differenze fra le energie imperturbate di configurazioni diverse sono di solito — per configurazioni non molto eccitate — molto grandi. La dimostrazione della regola di selezione 4 è basata sul fatto che la probabilità di transizione elettromagnetica (13.24) è determinata dall’elemento di matrice di un operatore che è la somma di operatori £x = Pa -A(Èa) ciascuno dei quali è un operatore di singola particella, cioè contiene soltanto variabili dinamiche che si riferiscono ad un

solo elettrone. È chiaro allora che se gli stati | £°) ed | E?) differiscono per i numeri quantici di due o più elettroni ogni elemento di matrice (E? | £a | E0) è nullo ed è quindi nulla la probabilità di transizione fra gli stati | E°) ed | E0). È proprio a causa di questa regola di selezione che, come già detto nel paragrafo 16.1, abbiamo discusso soltanto i livelli dell’He che provengono da configurazioni in cui un solo elettrone viene eccitato.

16.6 Atomo in Campo Magnetico: l’Effetto Zeeman Anomalo

MnC

[9]

Il CS)

tai

2

I mn

I

L'introduzione dello spin dell’elettrone ha permesso la formulazione del principio di Pauli come pure, per il fatto che allo spin è associato un momento magnetico, di spiegare la struttura fine deilivelli. È chiaro che lo spin degli elettroni deve avere un ruolo fondamentale anche nel caso di un atomo in campo magnetico esterno, grazie all’interazione fra il momento magnetico ad esso associato e il campo. In questo paragrafo vogliamo appunto esaminare quali differenze si hanno sia nella trattazione di questo problema che nei risultati, rispetto alla trattazione del paragrafo 13.7 in cui l’esistenza dello spin era ignorata. La discussione del paragrafo 13.7 aveva come punto di partenza la hamiltoniana (13.56); le modifiche che ora dobbiamo apportare alla (13.56) dovute allo spin del l’elettrone sono due. In primo luogo dobbiamo aggiungere l’interazione fra i momenti magnetici di tutti gli elettroni con il campo magnetico B; questa interazione è data da

3.B.

16.6 Atomo in Campo Magnetico: l’Effetto Zeeman Anomalo

283

In secondo luogo, mentre nella (13.56) Ho era la hamiltoniana dell’atomo isolato comprensiva solo delle interazioni di natura elettrostatica, ora dobbiamo prendere per l’a-

tomo isolato la hamiltoniana (16.23) che comprende anche l’interazione spin-orbita e le

altre interazioni relativistiche. La hamiltoniana dell'atomo in campo magnetico è quindi ora, sempre trascurandoi termini in B?, €

+

4,

4

H=Hux+ me (L+g 5). B o, scegliendo l’asse 2 nella direzione di B: eB

.

H=Hax+ Ime (La +9 82)

(16.44)

dove H,; è la hamiltoniana completa dell’atomo isolato, data dalla (16.28).

In primo luogo facciamo vedere che necessariamente deve essere g # 1: se nella

(16.44) poniamo g = 1

B H=Ha+ O ti

{nel caso g = 1)

2m ce

e poiché J, commuta con H; si ha, analogamente alla situazione del paragrafo 13.7, che gli autovalori esatti sono

E°4 ugB IL

(nel caso g = 1)

E° essendogli autovalori di H,;. Anche in questo caso, come nel paragrafo 13.7, in virtù

delle regole di selezione (16.38) AJ! = +1, 0 si ha che ogniriga dello spettro si scinde,

per effetto del campo magnetico, in tre righe: si ritrova così l’effetto Zeeman normale e resta inspiegato l’effetto Zeeman anomalo. Prendiamo perciò definitivamente g = 2; la (16.44) può allora essere scritta nelle forme equivalenti

H

°

eB

Hat t5a7e Lat 5.)

(16.45)

e B H= Hate et S).

(16.46)

=

a

L.

2

-

1

4

Nel paragrafo 13.7, come pure nel caso g = 1 appena discusso, è stato possibile calcolare esattamente l’effetto del campo magnetico suilivelli dell'atomo. Ora con la hamiltoniana

(16.45) oppure (16.46) ciò non è più possibile in quanto il termine di interazione conil

campo magnetico

u'= 4 (1.4.5) 2mc

(16.47)

non commuta con H,: in effetti è 5. che non commuta con l’interazione spin-orbita contenuta in Ha. È chiaro allora che se potessimo trascurare le correzioni relativistiche sarebbe ancora possibile calcolare esattamente l’effetto del campo magnetico sui livelli dell'atomo: fisicamente ciò è possibile pur di disporre di un campo magnetico molto intenso, in

284

16 Atomi con più Elettroni

modo tale che le separazionifra i sottolivelli Zeemanrisultino molto grandi rispetto alle

separazionifra i livelli di struttura fine, al punto che queste ultime possano addirittura essere trascurate: poiché le separazioni Zeeman sono dell’ordine di 4g B, la condizione

per poter trascurare in H_; le correzioni relativistiche è che unB > AErsy .

.

(16.48)

Per esempio nel caso del Li, dove la separazione fra il 22°P. ed il 22°Pa è di circa

0.4x 10-4eV, la (16.48) è soddisfatta con un campo magnetico B diintensità molto

maggiore di 104 gauss.

La situazione è ancora meno favorevole in atomi con Z maggiore. Iniziamo comunque la discussione da questo caso che, in quanto esattamente risolubile, è il più semplice: Campo Forte Come detto, campo forte significa che la (16.48) è soddisfatta. Conviene prendere la hamiltoniana nella forma (16.45) e — in prima istanza — trascurare in Ha tutte le

correzioni relativistiche. Allora L, e 5, commutano con Ha e gli autovettori (16.12) di Hx sono anche autovettori di H:

B

.

(Ha +5 +3 n (La +25: ) Ezs L S 5.)=(Ers+pusB(M+25))|ErsL SS). Gli autovalori di H sono dunque

Ers + ugB(M +28),

L 0, manelle stesse appros-

simazioni cambia solo il segno dp, non og. Si noti, comunque, la relazione fra il segno dello sfasamento e quello del potenziale. Come ultima applicazione calcoliamo la lunghezza di scattering per il potenziale

308

17 Teoria Elementare dello Scattering

V(r)=vod(r — a).

(guscio sferico) .

(17.54)

e confrontiamoil risultato con quello che si ottiene in approssimazionedi Born. L'effetto

del potenziale a d è quello di dare luogo ad una discontinuità nella derivata prima della

funzione radiale ridotta uog(r) nel punto r = a, data da

Auo(a) =

2m vo

__ 2M vo

7 wo(a) =govo(d),

9053

[che può essere dimostrata integrando l’equazione

ug (7) + k?uo(r) = go (re — a) uo(r)

(17.55)

fra a—e e a+e e poi prendendoil limite e + 0].

per & #0 la soluzione della (17.55) per r < a è uo(r) = A sinkr = Akr, mentre

per r > a è sin(kr +do)

kr+ do. Le condizioni per r = a sono Aka= ka+ do Ak

= k- gox(ka+ do)

per cui

so LE hi 07

ag lim ÎO — 90

149°

°

e dalla (17.42) otteniamo

k40k

14 900

(17.56)

l;sslk

Fr = = ei90) sindo(k) e quindi anche

asg=-— lim 3

fx.

k+0 fi

Nell’approssimazione di Born, dalla (17.37) abbiamo Fr(0, È) 7

2 v00 SIN KA k-0 ke

E

=

2

Born

900 = — 0g

che coincide con as data nella (17.56) solo al primo ordine in 99, cioè vo.

17.8 Urto fra Particelle Identiche Quando l’urto avviene fra due particelle identiche non è più possibile distinguere la particella del fascio da quella del bersaglio. Infatti lo stato (non necessariamente il

vettore che lo descrive) non cambia se le due particelle vengono scambiate.

È più semplice discutere il problema nel riferimento del centro di massa: questa scelta corrisponde alle molte situazioni reali in cui l’urto avviene fra due fasci di particelle identiche aventi la stessa energia ma versi opposti, come le collisioni protone-protone negli anelli di accumulazione ISR (Intersecting Storage Rings) che hanno funzionato al CERN fino a qualche decina di anni fà, o nel Large Hadron Collider (LHC) tuttora in funzione. In questi casi i riferimenti del centro di massa e del laboratorio coincidono.

17.8 Urto fra Particelle Identiche

309

Cominciamo conla discussione dell’effetto che la simmetria o l’antisimmetria della parte spaziale della funzione d’onda ha sull’ampiezza di scattering. Le autofunzioni

dell’energia Y(71, 72) possono essere scritte come il prodotto della funzione d'onda P(7+72) del centro di massa, e di W(7), 7 = #; — ra, la funzione d’onda nel riferimento del centro di massa, cioè la funzione d’onda del moto relativo: poiché ®(7 + Fo) è

simmetrica rispetto allo scambio di 7 con ra, è solo W(F) che deve essere simmetrizzata

o antisimmetrizzata. Quindi invece della (17.17) dobbiamo scrivere

Wre(1,0, 6) "ZF (672 e) + [K(0,9) + fr(1-0,6+")]

ikr

(17.57)

dato che 7 + —r è equivalentea r+r, 037-090, d+d+7. La sezione d’urto differenziale è quindi data da

0(0,6) = |fx(0,9)+fr(n-0,0+7)|? = |f(0,)|1° + {fra -0,6+7)[ + 2Re[fx(0,9) fi(tT - 0,6+7)].

(17.58)

Solo l’ultimo termine nella (17.58) è conseguenza della simmetrizzazone richiesta dal-

l’indistinguibilità delle due particelle: se le due particelle fossero distinguibili in linea di principio, ma non dal rivelatore, come per esempio due protoni (spin 1/2) in stati di spin ortogonali, o come nella fisica classica dove particelle identiche sono sempre distingui-

bili, in questi casiil termine di interferenza nella (17.58) sarebbe assente e il rivelatore

posto agli angoli 9, risponderebbe sia quando la particella 1 emerge nella direzione 8,d, e anche quandola particella 1 emerge nella direzione opposta 7 — 0, d+7, perché in questo caso è la particella 2 che arriva al rivelatore. In questo caso: 2 odîst(0, $) _ |fz(0,6)° + |fr(a — 9,6+7)|

(17.59)

Se l’interazione fra le due particelle è indipendente dallo spin, allora V = V(r) e l’ampiezza di scattering non dipende da @, inoltre 0(0) è simmetrica rispetto a 0 = 7/2 nel riferimento del centro di massa. Siccome non abbiamo preso in considerazione lo spin, la discussione fatta sopra si applica solo a particelle senza spin (e in questo caso nella (17.57) bisogna prendereil segno + ovunque è presente il segno +). Supponiamo ora che l’urto avvenga fra due particelle (identiche) di spin 1/2. Se, per esempio, esse si trovano nello stesso stato di spin (stato di tripletto), allora la parte spaziale della funzione d’onda deve essere antisimmetrica e il termine di interferenza, (17.58) deve essere preso con il segno —. Se invece lo stato di spin di ogni coppia di particelle in collisione è lo stato di singoletto, allora il termine di interferenza deve essere preso conil segno +. Di solito i due fasci non sono polarizzati, cioè sono una miscela statistica uniforme di stati di spin. Quindi, in media, ogni quattro collisioni 3 avvengono nello stato di tripletto, 1 in quello di singoletto e il termine di interferenza nella (17.58) deve essere preso 3 volte conil segno — e solo una volta conil segno +. Ciò significa che ogni quattro collisioni il termine di interferenza contribuisce solo 3 — 1 = 2 volte, con il segno —. Quindi, per fasci non polarizzati di particelle di spin 1/2, la (17.58) diventa:

310

17 Teoria Elementare dello Scattering

on: (0,6) = |fz(0,9)}+|fr(#-0,0+n)|? 2

2

n.p. spin

mo

Hi

x 2Re[fr(0,6)f(m-0,6+7)].

.

(17.60)

Per particelle (o atomi) di spin 1 ci sono 3x3 = 9 stati di spin, 6 simmetrici (S = 2, 0)

e 3 antisimmetrici (.S = 1) e in questo caso la parte spaziale della funzione d’onda ha

la stessa simmetria della parte di spin, così ogni 9 collisioni il termine di interferenza contribuisce 6—3=3 volte, con il segno +. Quindiil fattore che moltiplica il termine di interferenza in questo caso è +3/9 = 1/3. In generale, per particelle di spin s detto

fattore è (-1)?5/(25+ 1).

17.9 Il Teoremadi Reciprocità e il Bilancio Dettagliato Introduciamo una notazione diversa per l'ampiezza di scattering: invece di f;(0,9) scriviamo f (ke, È ;). Le due notazioni, con k= k; , sono ovviamente equivalenti. Teorema di reciprocità:

F(ke,ki) = f(-k, Ep).

(17.61)

Questo teorema è una conseguenza dell’unitarietà dell’evoluzione temporale e del fatto che se la transizione ki > kr è possibile, allora è possibile anche la transizione inversa —k; > -k; : ciò è vero se il potenziale in rappresentazione di Schròdinger è reale, quindi cessa di essere vero in presenza di una interazione magnetica come L.B ) dato che il momento angolare in rappresentazione di Schròdinger è immaginario (in effetti, anche nella fisica classica il moto di una particella carica in campo magnetico non può essere invertito). Il teorema di reciprocità è la generalizzazione al caso tridimensionale del risultato riportato nel paragrafo 8.3 che i coefficienti di trasmissione e di riflessione nell’urto contro una barriera sono indipendenti dalla direzione di provenienza della particella. La dimostrazione che diamo della (17.61) non è quella che fa uso dell’invarianza per

inversione del tempo, ma mostriamo che la (17.61) è soddisfatta dai termini della

serie di Born. Il primo termine della (17.25) è ovviamente invariante per k fi k i

—k; , —k;. Il secondo termine è (Gr è la funzione di Green (17.21) 2

:P_ I

(7) J/e —ikpe” V(1") Ga(|#” _P "))V (# )eiiT

dr! dre!

e soddisfa la (17.61) grazie a G,(|f” — #/|) = Gx(|î/— #”|). Similmente per i termini di ordine superiore che simbolicamente scriviamo come (kr | VGyVGkV »-- V \È), a parte fattori. _ Se il potenziale è invariante per riflessioni spaziali allora f(Kr, k i) = f(-È sk i). Combinando questo risultato con il teorema di reciprocità si ha, il Bilancio dettagliato:

_

a

F(ke,ki) = f(Ki;kr).

(17.62)

17.9 Il Teorema di Reciprocità e il Bilancio Dettagliato

311

Tanto il teorema di reciprocità quanto il bilancio dettagliato trovano applicazioni importanti nella fisica statistica: teoria cinetica dei gas, cinetica chimica, ... e sono legati a nomi come J. C. Maxwell e L. Boltzmann.

Capitolo 18 I Paradossi della Meccanica Quantistica

18.1 Introduzione Abbiamo già detto in più occasioni che l’interpretazione probabilistica della meccanica

quantistica, la cosiddetta interpretazione di Géttingen (Born) — Copenhagen (Bohr),

nonfu accettata dall’intera comunità deifisici, e annoverò fra i suoi maggiori oppositori personaggi del calibro di Einstein, Schrédinger e de Broglie. Diciamo subito che nessuno ha mai contestato i risultati della meccanica quanti stica: quelle che abbiamoillustrato negli ultimi capitoli sono solo una piccola parte delle innumerevoli applicazioni che furono sviluppate intorno agli anni ’30 del ventesimo secolo, e che vanno dalla fisica molecolare, alla fisica dello stato solido, alla fisica nucleare, ...; inutile citare tutti i campi della fisica in cui sono stati ottenuti risultati importanti, dato che il conseguimentodi risultati in ogni ramo della fisica sembra ormai essere condizionato soltanto dallo sviluppo delle tecniche di calcolo, sia analitiche che computazionali. La materiadel contendere è un’altra: la meccanica quantistica, o meglio, i paradigmi che essa propone, è /a teoria (definitiva) di tutti i fenomeni naturali, o piuttosto — e questa era la ferma convinzione di Einstein — è soltanto una versione provvisoria e incompleta di quella che sarà la vera teoria?’ Il problema cruciale che ha diviso, e ancora divide, i fisici è la natura probabilistica della meccanica quantistica che nega in generale la possibilità di prevedere con certezza il comportamento del singolo sistema: difatti Einstein paragonava la meccanica quantistica alla termodinamica, che è una teoria incompleta in quanto determina esclusivamente il comportamento dell’insieme, rinunciando alla descrizione del singolo atomo.

Il problema è rimasto per molto tempo (fino ai lavori di J. Bell degli anni ’60), un problema di natura esclusivamente filosofica, ed è noto che su questo tipo di problemi è impossibile mettere d’accordo tutti: il problema se la teoria definitiva debba essere causale o no si lega conil concetto filosofico dell’esistenza o meno di una realtà oggettiva indipendente dalle osservazioni (tipo: l’elettrone ha o no istante per istante una posizione e unavelocità ben determinate, indipendentemente da ciò che noi possiamo

18.2 La Scatola di de Broglie

313

misurare?), ed è chiaro che realismo e positivismo sono posizioni filosofiche che non solo hanno ripercussioni sul credo politico, ma anche ne sono influenzate. Fiumi di inchiostro sono stati versati e molte migliaia di pagine sono state scritte su questi problemi e non è certo in poche paginette che possiamo dare una idea precisa della problematica e delle ragioni degli uni e degli altri: ci limitiamo a presentare alcuni dei cosiddetti “paradossi della meccanica quantistica”, cioè la punta dell’iceberg delle discussioni fra i grandifisici dagli anni ’30 in poi. Per sgombrare il terreno da possibili equivoci, ricordiamo che il termine “paradosso” nonsignifica “contraddizione” (se così fosse avrebbero già dimostrato che la meccanica quantistica non è una teoria coerente, mentre questo punto sembra essere fuori

discussione), bensì (Zingarelli) fenomeno “contrario alla comune opinione”.

18.2 La Scatola di de Broglie Un elettrone si trova in uno stato stazionario dentro a una scatola (ideale) a pareti

perfettamenteriflettenti. Con tutte le precauzioni del caso la scatola viene divisa in due scatole uguali mediante un diaframma scorrevole, poi le due scatole, diciamo quella di destra e quella di sinistra, vengono allontanate: una viene portata a Roma e l’altra a Parigi.

Secondo la meccanica quantistica l’elettrone si trova in uno stato | A) che è una sovrapposizione dello stato | d} in cui è nella scatola di destra, e di quello | s) in cui è nella scatola di sinistra:

|A)=]d)+]s).

(18.1)

Quindi la probabilità di trovare l’elettrone nell’una o nell’altra scatola è 1/2. Supponiamoche la scatola di destra (quella a Roma) venga aperta, e l’elettrone viene trovato. Problema:l’elettrone c’era già prima di aprire la scatola (e quindilascatola di sinistra era già vuota), oppure la presenza dell’elettrone a Roma e la sua assenzaa Parigi è solo una conseguenza dell’atto di misura che consiste nell’aprire la scatola e nel guardare (p.es. con un microscopio di Heisenberg) se l’elettrone è al suo interno? Gli uni obbiettano che questo è un problema nonscientifico; gli altri, cioè i sostenitori della, filosofia realistica, ritengono valida la prima ipotesi, e pertanto concludono che la meccanica quantistica non è una teoria completa, in quanto la descrizione data dalla (18.1) non rappresenta la realtà: non ci dice in quale scatola si trova l’elettrone; inoltre replicano a chi sostiene che il problema non è scientifico dicendo che sono proprio affermazioni di questo tipo che chiudono la strada alla ricerca di una teoria “completa”. Gli aspetti paradossali, cioè contrari al “comune buon senso”, di questo esempio sono sostanzialmente due: il principio di sovrapposizione applicato a stati ‘troppo ortogonali’ (l’elettrone a Roma e l’elettrone a Parigi), e l’effetto della misura che produce istantaneamenteil collasso della funzione d’onda (o “riduzione del pacchetto d'onda”), inizialmente non nulla sia a Roma che a Parigi, e dopo diversa da zero o a Roma o a Parigi. Molti classici paradossi sono variazioni su questi temie si differenziano in quanto mettono l’accento sulla paradossalità di uno o di un altro aspetto del problema, per cui vale la pena analizzare un po’ più a fondo il paradosso della scatola di de Broglie.

314

18 I Paradossi della Meccanica Quantistica

Innanzi tutto ci domandiamose necessariamente, secondo i dettami della.meccanica quantistica, bisogna affermare che l’elettrone si trova nello stato (18.1), cioè in una sovrapposizione coerente degli stati |d) e |s): se vogliamo parlare di sovrapposizione dobbiamo essere in grado di distinguere mediante ‘esperimenti, cioè misure, se lo stato

dell’elettrone è |d) +|s) oppure |d) — |s), |d) +i|s) ---, e ciò è possibile solo se misuriamo osservabili che abbiano elementi di matrice fra gli stati |d) e [s).

Ma esistonotali osservabili? Certamente sulla carta è possibile scrivere molte f(g,p) che fanno al caso nostro, e quindi, forse, in linea di principio tali osservabili esistono. Intanto abbiamo detto “forse”, perché se tali osservabili esistessero sarebbe possibile con un paio di misure far passare l’elettrone da dentro la scatola di Roma a dentro quella

di Parigi: infatti una tale osservabile potrebbe avere come autostati |d) + |s) per cui,

con probabilità non nulla, con due misure (la prima di detta osservabile, la seconda

l'apertura di una scatola) sarebbero possibili le transizioni |d) + |]d)x]|s) +|s), e

ciò sembra essere in contraddizione con l'affermazione che le scatole sono impenetrabili, quindi conle ipotesi stesse del paradosso. Ma, a parte questa difficoltà (basta inventare un paradosso più flessibile), c'è sempre il problema che le due scatole sono macroscopicamente separate: possiamo accontentarci dell’affermazione che in linea di principio le osservabili di cui abbiamo bisogno esistono? Sarebbe forse troppo scandaloso (dal punto di vista filosofico) affermare che fra i paradigmi della meccanica quantistica c'è anche quello che le osservabili sono solo quelle delle quali possiamo disporre in almeno uno dei tanti laboratori esistenti al mondo, o che comunque siamo in grado di costruire? Accettiamo per il momento questa idea, e vediamone le conseguenze. Se non disponiamo di osservabili in grado di rilevare un eventuale fattore di fase

nella sovrapposizione degli stati |d) e |s), a tutti gli effetti l’elettrone, dopo che le due

scatole sono state separate, si trova non in uno stato puro, ma nella miscela statistica

{1d),3;|s),3}. A questo punto bisogna fare un altro passo e affermare che in unatale

miscela statistica ogni singolo sistema componente dell’insieme è in un ben determinato stato, come una moneta che sia stata lanciata e che non sia ancorastata osservata: la moneta è in un ben determinato stato, ma noi sappiamo solo qual è la probabilità che sia uscita testa o croce. Quindi, prima di aprire le scatole di de Broglie, l’elettrone è o a Roma o a Parigi: la conclusione è quella che sostengonoi realisti, ma ad essa si perviene senza negare i concetti fondamentali della meccanica quantistica, cioè, se si accettano i paradigmi proposti, dall’interno della meccanica quantistica. È evidente che questo è il punto di vista di chi scrive, e pertanto è solo uno deitanti punti di vista e come tale può benissimo essere rifiutato da chi legge, tanto più che se analizzato a fondo presenta aspetti tutt'altro che indolori: la prima obiezione che si può muovere è che se anche oggi non disponiamo delle suddette osservabili che hanno elementi di matrice non nulli fra l’elettrone a Roma e l’elettrone a Parigi, non si può certo escludere che domani qualcuno le costruisca, e allora quella che oggi diciamo che è una miscela statistica, domani diremo che è uno stato puro. L’obiezione è legittima, anzi è d’obbligo, e la risposta, coerente con quanto sopra, è che ciò che definisce un sistema fisico è l'insieme delle osservabili, e le proprietà degli stati dipendono da quali sono le osservabili: in altri termini, l’ente primario sono le

osservabili (e questo è anche il punto di partenza della formulazione della meccanica quantistica di Haag e Kastler alla quale abbiamo accennato alla fine del paragrafo

18.3 Il Gatto di Schròdinger

315

4.8)), e gli attributi (“puro” oppure “non puro”) di uno stato non sono intrinseci, ma dipendono dalle osservabili che definisconoil sistema, e quindi possono cambiare conil progresso tecnologico che ci mette a disposizione nuovi strumenti, cioè che ci permette di “arricchire” l’algebra delle osservabili: chiaramente secondo questo punto di vista il concetto di stato perde buona parte del suo significato ontologico (nel senso di ente dalle proprietà indipendenti dalla situazione contingente), e forse questo, oggi, non molti sono disposti ad accettarlo. Unaltro grosso problema della meccanica quantistica è quello della misura, e di questo ne parleremo nel paragrafo 18.4 e lo analizzeremo anche alla luce delle idee esposte sopra; ora preferiamo illustrare un altro classico paradosso.

18.3 Il Gatto di Schròdinger I problemi sollevati dal paradosso della scatola di de Broglie vengono ulteriormente drammatizzati nel paradosso proposto da Schrédinger, in quanto coinvolgono un povero gatto, ignaro di ciò che gli può capitare. Dentro a uno scatolone c'è un gatto, una fiala di cianuro e un dispositivo che a un certo istante emette un fotone. Il fotone incontra uno specchio semitrasparentee se lo attraversa non succede nulla, mentre se viene riflesso aziona un processo di amplificazione che ha come stadio finale la rottura della fiala di cianuro. Dopo l’emissione del fotone che ne è del gatto?

Secondo la meccanica quantistica lo stato del sistema (schematizzato al massimo) è

una sovrapposizione di | gatto vivo, fialetta intera) e di | gatto morto, fialetta rotta), quindi il gatto non è né vivo né morto. Ma quando apriamolo scatolone il gatto viene trovato o vivo o morto: è quindil’osservazione, cioè la misura, che produceil collasso della funzione d’onda che in questo caso può avere conseguenze drammatiche per il malcapitato gatto. Ovviamente per i realisti il gatto dentro la scatola è o vivo o morto, indipendentemente dal fatto che ciò venga constatato mediante l’apertura della scatola, quindi la meccanica quantistica non è una teoria completa in quanto non è in grado di prevedere la sorte del gatto. È chiaro che questo paradosso ripropone gli stessi problemi di quello di de Broglie: sovrapposizione di stati, qui macroscopici, là macroscopicamente separati, e il ruolo determinante, ma casuale, della misura. Unaspetto del paradosso di Schrédinger che di solito non viene sottolineato è che in effetti la meccanica quantistica non permette di parlare di stato del gatto dopo

l’emissione del fotone: il sistema è un sistema composto (noi abbiamo schematizzato il sistema come gatto + fialetta) e lo stato è uno stato “entangled” (v. paragrafo 15.1):

|A)=[®,t)+]®,L)

(18.2)

(1 e | indicano rispettivamente la fialetta intera e la fialetta rotta), e in questo caso il gatto non è in uno stato puro: non è corretto affermare che il gatto (o un altro essere vivente, come in un altro paradosso meno cruento, quello dell'amico di Wigner) è in uno stato sovrapposizione di gatto vivo e di gatto morto: se anche lo stato del sistema fosse dato dalla (18.2), cioè se il sistema fosse in uno stato puro (ma avanziamo le stesse

316

18 I Paradossi della Meccanica Quantistica

riserve che abbiamo espresso per la (18.1)), il singolo sottosistema è descritto da una miscela statistica. Consideriamo pure l’intero sistema; e non soltanto il gatto: oggi non esistono os-

servabili con elementi di matrice fra i due stati |W,1) e |&,J) quindise si accetta (almeno per amore di discussione) il punto di vista espresso nel paragrafo precedente,

bisogna concludere (come per l’elettrone di de Broglie) che dopo l'emissione del fotone

il gatto o è vivo o è morto, e quindi in assenza di osservabili in grado di evidenziare la natura quantistica del sistema espressa dal principio di sovrapposizione, il sistema è classico (come la moneta lanciata per aria). Domani, quando le osservabili che oggi non esistono verranno costruite, saremo in grado con un paio di misure di resuscitare i gatti morti e ricostruire le fialette di cianuro: domani, quindi, il sistema gatto + fialetta sarà

un sistema quantistico con stati puri del tipo (18.2) 18.4 Cos'è una Misura?

La domanda è troppo imbarazzante: anche qui fiumi di inchiostro, migliaia di pagine scritte ... l Ridotto all’essenziale il problema è questo: una misura è l'interazione fra il sistema

(un elettrone, un fotone, ... : chiamiamolo “microsistema”) e umo strumento, che è

un oggetto macroscopico. Uno strumento che misuri sul microsistema l’osservabile £ dovrebbe (secondo la meccanica quantistica) funzionare più o meno nel modo seguente: all’inizio, prima della misura, il microsistema e lo strumento sono separati e il ‘gransistema’ costituito da microsistema + strumento di misura è nello stato fattorizzato

|A, £0)=|A)| So),

|A)=) &l&)

(18.3)

dove | 50) è lo stato iniziale dello strumento, | A) quello del microsistema e |&) gli

autostati dell’osservabile £ che viene misurata dallo strumento; alla fine il gran-sistema

dovrebbe trovarsi nella miscela statistica

{|&,Z;), |ail?}

(18.4)

dove| &; ) sonoi possibili stati dello strumento dopol’interazione(la lancetta del display

su É,, oppure su fa, ecc.). A questo punto la misura è avvenuta, sia che prendiamo coscienza del risultato mediante l’osservazione, oppure no. Abbiamousato il condizionale perché se è vero che la meccanica quantistica si applica a tutti i sistemi, microscopici o no (e se così non fosse sarebbe possibile dimostrare che la meccanica quantistica non è una teoria coerente), si applica anche al gran-sistema costituito da microsistema + strumento di misura. Il gran-sistema ha una hamiltoniana e quindi un operatore unitario di evoluzione temporale; quindi lo stato dopo l’interazione fra il microsistemae lo strumento è ben determinato, in netto contrasto con il postulato secondocuiil risultato della misura è solo statisticamente determinato: in altri termini un operatore unitario non può mandare stati puri (lo stato (18.3)) in miscele statistiche. Ora, mentre i sostenitori dell’interpretazione di Copenhagen possono ignorare i paradossi di de Broglie e di Schrédingere dire che se vanno contro il senso comune, pazienza,

18.5 Il Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen

317

(cioè tanto peggio per il senso comune), difficilmente possono ignorare il problema della misura, in quanto qui sembra proprio emergere una contraddizione interna alla teoria. Immaginiamodi analizzare una misura nelle sue diverse fasi: per esempio, un fotone arriva su un fotomoltiplicatore, interagisce con un atomo e viene emesso un elettrone — e questo processo è certamente descritto dalla meccanica quantistica — poi l’elettrone ionizza alcuni atomi e vengono quindi emessi alcuni elettroni ... continua il processo di amplificazione fino ad arrivare all’attivazione del display che esibisce il risultato; è chiaro che per salvare il postulato della meccanica quantistica relativo alla misura, ad un certo punto di questa catena di eventi l'evoluzione deve cessare di essere determinata. da un operatore unitario, e deve diventare probabilistica, cioè lo stato del gran-sistema, puro fino a quel momento, deve diventare una miscela statistica. Ma in quale punto della catena? Finché abbiamo a che fare con interazioni fra elettroni e atomi o anche fenomeni di stato solido (nell’elettronica del display), non si può sostenere che l’evoluzione nonsia retta da una hamiltoniana, complicatissima, ma pur sempre una hamiltoniana. E allora

è stato addirittura proposto (Wigner) che è l’atto di presa di coscienza del risultato

il punto della catena in cui viene meno l’evoluzione causale: il cervello umano non obbedisce alla legge dell’evoluzione unitaria! Un'altra possibile via di uscita è quella di dire che in effetti il gran-sistema interagisce con l’ambiente esterno, e quindi abbiamo a che fare con un super-gran-sistema e lo stato di questo super-sistema è uno stato “entangled” (puro) del gran sistema e dell'ambiente esterno: in questo caso il gran-sistema nonè in uno stato puro (comeil gatto del sistema gatto + fialetta), ma in una miscela statistica. Se la soluzione che consiste nell’attribuire il collasso della funzione d’onda all’intervento umano oppure quella che fa intervenire l’ambiente esterno (o altre simili) non sono considerate soddisfacenti, allora il problema è ancora aperto, almeno nell’ambito dell’interpretazione “ortodossa” (quella di Copenhagen) della meccanica quantistica. Se accettiamo i paradigmi proposti nel paragrafo 2, dobbiamo dire che l’evoluzione dello stato del gran-sistema è formalmente determinata dall’operatore unitario di evoluzione temporale, ma siccome questo stato evolve verso uno stato ‘entangled’ di microsistema e strumento, quando si è giunti ad uno stadio in cui nonesistono osservabili con elementi di matrice fragli stati componenti la sovrapposizione, questo è una miscela statistica: non importa sapere esattamente a che punto ciò avviene, la cosa importante è che alla fine avremo formalmente lo stato

Vo, il&, Z:)=U(t)| A, So) ma in realtà la miscela statistica (18.4). 18.5 Il Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen Del paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen(“paradosso EPR”) esistono diverse versioni; cominciamoconquella originale, anche se poco elegante in quanto utilizza stati impropri, pubblicata nel 1935. Nellavoro di questi Autori non c’è posto peril folklore (scatole, gatti, amici compiacenti, ... ); più che di un paradossosi tratta di un teorema: se accettate certe premesse

318

18 I Paradossi della Meccanica Quantistica

(che enunceremo) allora dimostriamo che la meccanica quantistica non è una teoria

completa; se siete convinti che la meccanica quantistica è una teoria completa, allora necessariamente dovete rifiutare dette premesse. Le premesse degli Autori sono le seguenti: Principio di realtà: esiste qualcosa come “lo stato reale” di un sistema fisico, che esiste obbiettivamente e indipendentemente da qualsiasi osservazione o misura, e che può in linea di principio essere descritto con i mezzi della fisica. In effetti questo principio non viene esplicitamente enunciato dagli Autori, esso tuttavia è alla base del pensiero di Einstein che lo ha espresso in più di una occasione. I prossimi due punti sono riportati proprio come enunciati dagli Autori. Whatever the meaning assigned to the term complete, the following requirement for a complete theory seems to be a necessary one: every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory. We shall call this the condition of completeness. A comprehensive definition of reality isf, however,] unnecessary for our purpose. We shall be satisfied with the following criterion, which we regard as reasonable. If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there erists an element of physical reality corresponding lo this physical quantity. (Criterion for the physical reality) A questo punto la logica di EPR è questa: vi dimostriamo che, anche se p e q non li possiamo conoscere simultaneamente (con precisione), essi sono elementi della realtà fisica, e quindi in una teoria completa i loro valori devono entrambi entrare nella descrizione del sistema. Poiché in meccanica quantistica questo non accade, la meccanica quantistica non è completa. Dimostrazione (per assurdo): consideriamoil sistema di due particelle 1 e 2 su una retta. Supponiamo che sul sistema sia noto il valore di gi — go (per esempio x1 — 22 = 10km). Se accettiamo la meccanica quantistica (cioè se la meccanica quantistica è una teoria completa), allora non possono essere noti né p1 né po, ma P= pi + pe sì (q1 — 92

e p1 + pa sono osservabili compatibili), e sia (per esempio) P' = 0 (P’ è il valore di P).

Se misurassi pi (sia p{ il risultato), potrei predire il valore di po (= —p{) senza

interagire con la particella 2. Allora per il criterio di completezza devo concludere che il valore di po è un elemento della realtà fisica della particella 2 e quindi (definizione di

teoria completa) deve avere un corrispettivo nella teoria.

Se invece misurassi gi potrei predire il valore di g2, sempre senza interagire con la particella 2. Allora devo concludere che anche il valore x2 di go è un elemento della realtà fisica della particella 2 e deve avere un corrispettivo nella teoria. Quindi x2 e pj, anche se non posso conoscerli simultaneamente, sono entrambi elementi della realtà fisica per la particella 2, e quindi devono entrare entrambi simultaneamente nella descrizione del sistema, cioè nella funzione d’onda, e ciò è falso, quindi la descrizione della realtà data dalla funzione d'onda non è completa. Gli Autori concludono dicendo che qualcuno potrebbe obbiettare che il loro criterio di realtà non è sufficientemente restrittivo:

18.5 Il Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen

319

Indeed, ‘one would not arrive at our conclusion if one insisted that two or more physical quantities can be regarded as simultaneous elements of reality only when they can be simultaneously measured or predicted. On this point of view, since either one or the other, but not both simultaneously, of the quantities pa and qo can be predicted, they are not simultaneously real. This makes the reality of po and qa depend upon the process of measurement carried out on the first system, which does not disturb the second system in any way. No reasonable definition of reality could be expected to permit this. Nel passo che abbiamo appena riportato gli Autori implicitamente fanno uso del Principio di località di Einstein: se al momento della misurazione [sul primo sistema] i due sistemi non interagiscono più, nessun cambiamento reale può avere luogo nel secondo sistema. ° Come abbiamo detto all’inizio del paragrafo, esistono diverse versioni del paradosso

EPR: concludiamo presentando la versione di Bohm-Aharonov (1957).

Ad uncerto istante fo una particella decade in due particelle di spin 1/2 noninteragenti. Supponiamo che il sistema delle due particelle sia in uno stato di singoletto: questa ipotesi è del tutto compatibile con la meccanica quantistica; difatti, per esempio, la particella che decade ha momento angolare zero e, per come è fatta l’interazione responsabile del decadimento, le due particelle vengono prodotte in uno stato di momento angolare orbitale zero e quindi, per la conservazione del momento angolare, ancheil loro spin totale deve essere zero.

All’istante t1 si misura s1: e supponiamo di trovare il valore +1/2 (in unità h).

Siccome 5! = 0 e s1; commuta con S.;, ne segue che s5, = —1/2.

Allora peril criterio di realtà e il principio di località s$. = —1/2 fin dall’istante to,

cioè da prima che venisse effettuata la misurasulla particella 1 e (siccome 5/ = 0) anche per la particella 1 dobbiamo concludere che fin dall’istante to sj. = +1/2. Quindi lo stato del sistema sul quale abbiamo fatto la misura era, prima della misura,

|A)=]s1.=+1/2, 89; =-1/2) e la misura effettuata all’istante f1 è, comeinfisica classica, solo una ‘presa d’atto’. Se invece la misura di s1; all’istante #1 fornisceil risultato —1/2, allora concludiamo (sempre grazie al criterio di realtà e al principio di località) che questo particolare sistema era, già all’istante to, nello stato

|B)=]|st-=-1/2, 89,=+1/2). E così arriviamo ad un assurdo: il sistema (prima della misura) non è in uno stato di singoletto, ma è una miscela statistica degli stati | A) e | B). Inoltre, neppure si conserva il momento angolare: tanto lo stato | A) quanto lo stato | B) sono sovrapposizioni di stati di singoletto e di tripletto, quindi una misura dello spin totale delle due particelle può anche fornire come risultato S' = 1. In conclusione, criterio di realtà, principio di località e (completezza della) meccanica quantistica non possono convivere.

320

18 I Paradossi della Meccanica Quantistica

18.6 Il Teorema di Bell L'affermazione con la quale abbiamo chiuso il paragrafo precedente lascia aperta la speranza che sia possibile completare la meccanica'quantistica in modo tale tutte le sue predizioni (che sono di tipo statistico), siano corrette, senza che venga menola località. Con “completare la meccanica quantistica” intendiamo quella che è sempre stata la ferma convinzione di Einstein: lo stato del sistema non è descritto completamente dalla funzione d'onda (nel senso di vettore dello spazio di Hilbert), ma sono necessarie altre variabili (le cosiddette ‘variabili nascoste’ già citate nel paragrafo 3.6), la cui funzione è quella di rendere deterministica la teoria. Così, per esempio, quandounfascio di fotoni, tutti nello stesso stato di polarzazione ey, viene inviato su un cristallo birifrangente, alcuni di essi emergeranno nel raggio straordinario e gli altri in quello ordinario, a seconda del valore della variabile nascosta e, che può essere diverso per i vari fotoni. Quindi deve esistere una funzione A(e) che determinail risultato di ogni singola misura: per esempio, A = +1 in corrispondenza di quei valori di e che determinanocheil fotone emergerà nel raggio straordinario, A = 0 negli altri casi. Il valore della variabile e associato ad ogni singolo fotone al momento non è noto ma, nella teoria ‘finale’ del tipo auspicato da Einstein, la variabile nascosta dovrebbe avere un significato dinamico e equazioni che ne determinano il valore. Attualmente, nella “meccanica quantistica non ancora completa”, negli esperimenti conil cristallo birifrangente con un gran numero di fotoni, ci sarà una distribuzione dei valori di e con

densità (incognita) p(e): se p(£) è normalizzata a 1, il valor medio dei risultati sarà foga de

e p(e) dovrebbe essere tale da riprodurre il risultato (statisticamente) previsto dalla

meccanica quantistica (cos? 9 , cioè la legge di Malus). In questo caso, come pure in altri casi ‘semplici’, è possibile trovare una densità o che abbia i requisiti richiesti (J. Bell 1964) e ciò renderebbe ragione dei successi della meccanica quantistica. Ma non così in situazioni, tipo la versione di Bohm-Aharonov del paradosso EPR, nelle quali sì hanno correlazioni fra particelle lontane, e nelle quali è presente il problema della località. In una teoria di variabili nascoste “località” significa che i risultati delle misure sul

sistema 1 (una particella) sono dati da una funzione A;(£1) e quelli sul sistema 2 da Aa(e2), dove A; dipende solo dallo stato del sistema 1 e dall’osservabile misurata, ma non da quelli (stato e osservabile) relativi al sistema 2, e viceversa. Così, per esempio, dovrebbe esistere una opportuna funzione densità p(€1, 2) tale che

fo, €2) A1(e1) Aa (2) dedeo riproduca il valor medio, dato dalla meccanica quantistica, del prodotto dei risultati delle misure delle due osservabili sui due sistemi. A questo punto interviene il teorema di Bell: Nessuna teoria locale di variabili nascoste è in grado di riprodurre tutte le previsioni della meccanica quantistica.

18.6 Il Teorema di Bell

321

Omettiamo la dimostrazione, anche se è abbastanza semplice. Il punto importante nel teorema di Bell è che non sempre è possibile trovare una densità o che riproduce i risultati della meccanica quantistica, se non si rinuncia alla richiesta di località. È chiaro, quindi, che non c’è speranza di completare la meccanica quantistica mediante variabili addizionali locali in modo tale che tutte le sue predizioni siano

riprodotte.

i

La dimostrazione del teorema di Bell consiste nel ricavare delle diseguaglianze, dette diseguaglianze di Bell, concernenti finzioni di correlazione, che devono essere soddisfatte da qualunque teoria locale, e che invece sono violate dalla meccanica quantistica: il grande merito di Bell è quello che ora il problema se la meccanica quantistica o una teoria deterministica locale è quella giusta, è stato demandato agli esperimenti. Tuttavia, come abbiamo già detto, il disaccordo fra la meccanica quantistica e una teoria deterministica locale si manifesta in situazioni, come la versione di BohmAharonov del paradosso EPR, che sono molto delicate dal punto di vista sperimentale. Per questo motivo molti esperimenti sono stati effettuati, all’inizio con risultati discordanti, fino a quelli di A. Aspect et al. negli anni 1980-82. In questi esperimenti, anziché particelle di spin 1/2 (come nella versione di Bohm-Aharonov del paradosso EPR), venivano usate coppie di fotoni in uno stato di polarizzazione non fattorizzato per verificare la validità o meno delle diseguaglianze di Clauser-Horn-Shimony-Holt, una generalizzazione delle diseguaglianze di Bell. Questi esperimenti a tutt’oggi considerati i più affidabili dalla comunità scientifica, confermano — con ‘quasi assoluta certezza’ la validità della meccanica quantistica rispetto a qualsiasi teoria locale a variabili nascoste. .A questo punto resta ancora aperta la possibilità di completare la meccanica quantistica in maniera deterministica mediante variabili (nascoste) non locali; in ogni caso, sia nella meccanica quantistica nella sua forma attuale, sia in un suo eventuale completamento, bisogna rinunciare alla località; a questo proposito riportiamo tal quale la conclusione del lavoro di Bell: In a theory in which parameters are added to quantum mechanics to determine the results of individual measurements, without changing the statistical predictions, there must be a mechanism whereby the setting of one measuring device can influence the reading of another instrument, however remote. Moreover, the signal involved must propagate instantaneously, so that a theory could not be Lorentz invarianti. Inutile dire che questa situazione ha attirato l’attenzione dei filosofi: non ci addentriamo in questo campo, tuttavia, giusto per il suo contenuto provocatorio, riportiamo la

proposta di J. Bell (riferita da P. Davies): l’universo è superdeterministico. Ciò significa

che(anche) i nostri pensieri, le nostre azioni e le nostre decisioni sono predeterminate, e tutto questo si applica anche a quali esperimenti verrannoeffettuati e ai loro risultati. Quindi:

“tIhere is no need for a faster-than-lighi signal to tell particle A what measurement has been, carried out on particle B, because the universe, including particle A, already knows what that measurement, and its outcome, will be.”

Appendice Valori Numerici delle Costanti

Àngstrom Elettronvolt

10-38 em

1.6 x 107? erg

eV

Velocità della luce

c

3 x 102° cim/s

Carica elementare

e

Massa dell’elettrone

Me

4.8 x 10710 ues = 1.6 x 10719 C 0.91 x 107°” g= 0.51 MeV/c?

Massa dell’idrogeno

TIH

Costante di Planck

h

Costante di Planck ridotta

h=—

1.05 x 107?” ergs = 0.66 x 107!5 eVs

Costante di Boltzmann

kn

1.38 x 107! erg/K

Numero di Avogadro

NA

6.03 x 1023 mol"!

1.7 x 10724 g = 939 MeV/c?

6.6 x 107°” ergs = 4.1 x 1071 eV s h

27

Costante di struttura fine

e2 a=—

Raggio di Bohr

ag =

Magnetone di Bohr

HB 3

hic

4g

he

mMee eh 2mec

2aghe h

0.53 À = 0.53 x 1078 cm 0.93 x 10720 erg/G= 5.8x 107° eV/G

109737 cm! 0.024 À

Lunghezza d’onda Compton

Àe =

Raggio classico dell'elettrone

Te

Unità di energia atomica

2 € 2 2 — = a°MeC

27.2eV

È utile sapere che

hc

12400 eV À

aB

1

7.297 x 1075 © En,

e2

Costante di Rydberg

1 eV/K 12000

Mel e2 Mel

2.8 x 10715 em

Indice analitico

ÀnesTROM(A: unità) Approssimazione di Born 299

2

magnetone 218 raggio 20, 21, 184

-SOMMERFELD

20

di campo centrale (o a elettroni indipendenti) 229

BOLTZMANN costante 8

di RUSSELL-SAUNDERS

BORN 40, 111, 312 approssimazione 299 Bosoni 258

di dipolo elettrico

212

perturbativa al 1° ordine Armoniche sferiche 171 con /=0,1 171 in coordinate cartesiane Asse ottico 47 Assorbimento di radiazione

Atomo/i

”

274

189, 195, 205

idrogenoidi

207

21, 200 (v. anche Effetto Stark) 19, 22, 178

Atomico (v. Calore) numero

2

raggio 3 Autofunzione 109 Autospazio 65 Autostato 59 Autovalore 58, 68 imperturbato 188 Autovettore 59, 68

AVOGADRO (numero) BALMER(serie) Barn (b: unità) BELL 312 diseguaglianze teorema 320

condizione 37 riflessione 36, 42 Bremsstrahlung (radiazione di) Buca di potenziale 24, 141 Calore atomico dei solidi

2

321

BESSEL (funzioni) 303 BoHM-AHARONOV (v. Paradosso)

16

7,9, 28

molare dei gas ideali 7,9, 31 Centro di massa (variabili) 176

Coefficiente di riflessione da una barriera 145 di trasmissione attraverso una b. 145 Coefficienti di CLEBSCH-GORDAN 254 Commutatore 79

Completezza (relazione di) ComPTON (v. Effetto)

22 292

BoHR 39, 312 ipotesi 18, 18, 20

8

BRAGG

172

alcalini 236, 275 doppietti 240, 275 carbonio 268, 272, 275, 278 elio 230, 230, 233-236, 261--265, 275

idrogeno

MAxWELL-B. (distribuzione)

72

lunghezza d'onda 17 Configurazione elettronica 230 Copenhagen interpretazione 39, 51, 312, Corpo nero 14, 209 Costante del moto 155 dei gas 7 di BOLTZMANN 8 di PLANCK 14 di RyDBERG 20, 22 di struttura fine 213 c-numero 83 DAVISSON-GERMER

37

326

Indice analitico

DE BROGLIE ipotesi 36 lunghezza d’onda 36, 117 paradosso 313 DEBYE modello 29 temperatura 30 Degenerazione accidentale 186, 290 di scambio 231, 262, 270 grado di — 26, 65

di continuità

Fase (Fattore di) Fermioni

tunnel

leggi

Fotone/i

Funzione/i delta

spontanea Equazione

209, 221

207

;

di GREEN 298 di partizione 8 generalizzata 114 Funzione d’onda di SCHRODINGER 104, 105 radiale 175 radiale ridotta 175 HEISENBERG equazioni del moto 157 microscopio 52 principio di indeterminazione rappresentazione 96 HERMITE polinomi 139 HILBERT spazio 56 prodotto tensore 247

HUND (regole di)

17

massa

54

263, 272

Idrogeno energia di ionizzazione livelli energetici 21

Elettrone(i) 1

indotta (stimolata)

14

di Bessel 303

ZEEMAN anomalo 221, 286 campo debole 284 campo forte 284 campo intermedio 287 normale 221

1

209

stati di polarizzazione 46 FOURIER serie 62 traasformata 116,117

7

equivalenti 270 lunghezza d'onda COMPTON ottico 236 raggio classico 5

12,15

relazione energia/frequenza

145

Emissione

46

258

quanto del campo e.m..

284

Elettronvolt (eV: unità):

22

Fotoelettrico (v. Effetto)

Deuterio 22 Dipolo elettrico approssimazione 212 operatore 212 transizioni 212 Dirac 40 funzione delta 114 notazione ‘70 Distribuzione funzione generalizzata 114 di MAXWELL-BOLTZMANN 8 di PLANCK 210

Effetto CoMPTON 16 fotoelettrico 11 isotopico 23 PASCHEN-BACK STARK 195

.

Energia ì di estrazione 12 di ionizzazione 2 di seconda ionizzazione

Densità (v. Probabilità)

DuLonG-PETIT (Legge di)

146.

di HEISENBERG (v. HEISENBERG) di SCHRODINGER(v. SCHRÒDINGER)

3

2

modello di THoMSON raggio 3 spettro 21 Impulso radiale 173

2

Indeterminazione (v. HEISENBERG, ROBERTSON) stati di minima i. Integrale di scambio

86 259, 263

Indice analitico

Isotopo

22

LAGUERRE polinomi 183 LANDÉ fattore 285 regola degli intervalli 278

Lavoro (o energia) di estrazione Legge di DULONG-PETIT di MALUS

LENZ (vettore)

LYMAN(serie)

unidimensionale livelli 24, 91 autofunzioni 139

Osservabile/i 12

Pacchetto d’onda Paradosso di DE BROGLIE

186

EPR) Particella a

21

Miscela statistica 75 Molecola biatomica 9, 32, 179 Momento angolare 162, 251

intrinseco (v. spin)

orbitale 169 spin 248 totale 249, 251, 267 Momento magnetico intrinseco 248 orbitale 219 Momentotrasferito 300 Multipletti 199, 275 di struttura fine 275 invertiti 278 normali 278 3

Ondeparziali (sviluppo)

303 Operatore 66 di creazione; di distruzione 92 di discesa 90 di inversione spaziale 124 di rotazione di salita 90 di scambio 256 di translazione 103 Hermitiano 68 unitario 98 Oscillatore armonico tridimensionale isotropo 184

81

159 313

EPR (EInsTEIN-PODOLSKI-ROSEN) 317 BoHM-AHARONOV (versione del paradosso

298

MALUS (Legge di) 48, 62 MAXWELL-BOLTZMANN(distribuzione)

Nucleo

compatibili 78 insieme completo degenere 60 scalare 164

7

LIPPMANN-SCHWINGER equazione 297 soluzione al 1° ordine Luminosità 292

327°

319 4

PASCHEN-BACK(v. Effetto) PLANCK

8

distribuzione

PASCHEN(serie)

14

210

22

PAULI matrici 250 principio 229, 257 rappresentazione 250 Perturbazioni dipendenti dal tempo

PLANCK(distribuzione)

210

203

Polinomi di HERMITE 139 di LAGUERRE 183 Potenziale centrifugo 174 Probabilità conservazione 151 densità 111 densità di corrente 146 di transizione 61, 202 per unità di tempo 207, 209 Punti di inversione 129 Radiazione di corpo nero 14, 209, 210 di frenamento (bremsstrahlung) Raggio 47 ordinario 50 straordinario 50 Rappresentazione di HEISENBERG 96

degli impulsi

108

di interazione 204 di PAULI 250

di SCHRODINGER irriducibile

100

105

16

328

Indice ‘analitico

Regola di somma 278 Regole di selezione 191, 192, 214, 216, 265, 280-282 Resto atomico 236 Righe spettrali 6 ROBERTSON relazioni di indeterminazione 82

RYDBERG (costante)

20

Scattering

ampiezza 297 lunnghezza dis. stati dis. 145

equazione 107 dipendente dal tempo 151 funzione d’onda 104, 105 paradosso rappresentazione 105 Serie BALMER 22 diffusa 240 fondamentale 240 LYMAN 21 PASCHEN 22 principale 239 sharp (o netta) 240 Sezione d’urto differenziale 292 totale 292 Sfasamenti 303

Temperatura caratteristica 27 di DEBYE 30 THOMSON modello 2

Transizione/i

230

Ta,0 217 probabilità di t. 61, 202 per unità di tempo 207, 209 Trasformazione canonica 98, 163 unitaria 98

SLATER determinante 269 Spettro 6 alcalini 238 + 240 assorbimento 17 bremsstrahlung 16 continuo 113 elio 265-265 emissione 17 idrogeno 21-22 idrogenoidi 22 visibile 14

Variabili nascoste 51, 320 Vita media 205 VON NEUMANN postulato 60, 65 teorema di no-crossing 289 teorema 99 WIGNER

STARK(v. Effetto)

Stati antisimmetrici 255, 257 di scattering 145 di minima indeterminazione di singoletto 254 di tripletto 254

STONE(v. Teorema)

Struttura fine 199, 240 costante 213 iperfine 279

Teorema adiabatico 271 del viriale 233 di BARGMANN 168 di BELL 320 di degenerazione 124 di equipartizione dell’energia di oscillazione 132 di no-crossing 289 di non degenerazione 132 di reciprocità 310 di STONE 150, 168 di von NEUMANN 99 di WIGNER-ECKART 276 ottico 302

305

SCHROÒDINGER

Shell (guscio)

entangled 247 fattorizzati 247 simmetrici 254, 257 stationari 152

—ECKART (teorema)

86

teorema di no-crossing

ZEEMAN(v. Effetto) sottolivelli.

220

276

289

8