Leichtbau-Konstruktion: Dimensionierung, Strukturen, Werkstoffe und Gestaltung [11. Aufl. 2019] 978-3-658-26845-9, 978-3-658-26846-6

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XXIII
Zielsetzung des Leichtbaus (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 1-3
Problemstruktur des Leichtbaus (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 5-13
Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 15-24
Leichtbau-Methoden und -Strategien (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 25-40
Kriterien für die Werkstoffauswahl (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 41-56
Leichtbauwerkstoffe (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 57-91
Gestaltungsprinzipien im Leichtbau (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 93-102
Elastizitätstheoretische Grundlagen (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 103-134
Dünnwandige Profilstäbe (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 135-153
Torsion von Profilstäben (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 155-176
Biegung offener Profilstäbe (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 177-185
Schubwandträger-Profile (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 187-194
Schubfeld-Konstruktionen (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 195-203
Ausgesteifte Kastenprofile (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 205-215
Energie- und Arbeitsprinzip (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 217-224
Statisch unbestimmte Strukturen (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 225-233
Sandwichelemente (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 235-259
Stabilität von Stäben und Balken (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 261-278
Beulen von Blechfeldern und Rohren (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 279-305
Konstruktive Versteifungen (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 307-322
Krafteinleitung (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 323-331
Fügetechniken (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 333-367
Strukturoptimierung (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 369-386
Schwingbeanspruchte Strukturen (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 387-424
Strukturzuverlässigkeit (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 425-435
Strukturakustik (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 437-451
Praxisbeispiele (Bernd Klein, Thomas Gänsicke)....Pages 453-572
Back Matter ....Pages 573-578

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Bernd Klein Thomas Gänsicke

Leichtbau-Konstruktion Dimensionierung, Strukturen, Werkstoffe und Gestaltung 11. Auflage

Leichtbau-Konstruktion

Bernd Klein • Thomas Gänsicke

Leichtbau-Konstruktion Dimensionierung, Strukturen, Werkstoffe und Gestaltung 11., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 325 Abbildungen, 70 Tabellen und umfangreichen Übungsauf-gaben zu allen Kapiteln des Lehrbuchs

Bernd Klein Universität Kassel Calden, Deutschland

Thomas Gänsicke Fakultät Fahrzeugtechnik Ostfalia Hochschule Wolfsburg, Deutschland

ISBN 978-3-658-26845-9 ISBN 978-3-658-26846-6 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 1989, 1994, 1997, 2000, 2001, 2005, 2007, 2009, 2011, 2013, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort zur 1. Auflage

Das vorliegende Manuskript umfasst den Umfang der Vorlesung „Leichtbau-Konstruktion“, die ich seit 1985 an der Universität Kassel als zweisemestrige Veranstaltung für Studenten des Maschinenbaus anbiete. Bei der Aufbereitung des Stoffes habe ich die bekannten Standardwerke des Leichtbaus (Czerwenka/Schnell, Hertel, Schapitz und Wiedemann) sowie Vorlesungsmitschriften von anderen Hochschulen zurate gezogen. Intention war hierbei, die allgemein als schwierig bezeichneten Grundlagen des Leichtbaus so zu vereinfachen und zu verkürzen, dass diese in besonderem Maße den Vorstellungen einer praxisorientierten Ingenieurausbildung gerecht werden. Als Zielgruppe sollten daher auch primär Studierende an Fachhochschulen und Gesamthochschulen sowie in der Praxis stehende Ingenieure angesprochen werden. Die inhaltlichen Darstellungen spiegeln im Wesentlichen die Anforderungen wider, die nach meinen Erfahrungen heute der Maschinen- und Fahrzeugbau an den Leichtbau stellen. Insofern habe ich thematisch einen großen Kreis geschlagen, ohne letztlich vollständig sein zu können. Mein Bemühen war dabei aber immer, besondere Prinzipien und Analogien herauszustellen, um den Lernenden letztlich Problemlösungsansätze zu vermitteln. Falls sich hieraus weitere Anregungen ergeben sollten, wäre ich um konstruktive Rückmeldungen dankbar. Des Weiteren möchte ich nicht unerwähnt lassen, dass ich bei der Erstellung des Manuskriptes in den Mitarbeitern des Fachgebietes für Leichtbau-Konstruktionen Helfer hatte. So hat Herr Dipl.-Ing. D. Eulenbach einige Kapitel maßgeblich mitgestaltet sowie einige andere Herren vielfältige Detailarbeit geleistet. Die mühevolle Schreibarbeit hat ausschließlich Frau M. Winter übernommen. Ihnen allen sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Kassel, Deutschland August 1988

Bernd Klein

V

Vorwort zur 11. Auflage

Zunächst danke ich Prof. Klein für die Überlassung der Überarbeitung des Leichtbaubuchs. Da er auch mein Doktorvater war, kenne ich das Buch aus den Anfangszeiten und ich weiß, wieviel Arbeit in diesem Projekt steckt. Da dieses Buch inzwischen ein sehr bekanntes Werk ist, will ich versuchen, es behutsam zu überarbeiten. Neben einigen kleineren Überarbeitungen sind in dieser Auflage zwei Neuerungen eingearbeitet: einmal die Systematisierung des Leichtbaus und die Erweiterung des Themas Faserverbundkunststoffe um Auslegung und Berechnung. Beim letzteren Thema wurde ein Überblick mit entsprechenden Literaturhinweisen gegeben. An einigen Stellen habe ich eigene Erfahrungen aus meiner Industrietätigkeit einfließen lassen, so z. B. bei der Vergleichbarkeit von Konstruktionsvarianten. Hier sei noch eine Weisheit erwähnt, die oft in der Praxis vergessen wird: am wenigsten wiegen die Teile, die man durch eine geschickte Konstruktion weglassen kann. Weiterhin habe ich alle E-Mails von Leserinnen und Lesern, die mir vorlagen, bei der Überarbeitung berücksichtigt. Diesen Leserinnen und Lesern möchte ich danken. Über Rückmeldungen zu dieser Auflage freue ich mich. Ich danke dem Verlag Springer Vieweg, insbesondere Herrn Zipsner und Frau Zander, sowie Frau Strathausen aus unserem Institut IFBW für die tatkräftige Unterstützung. Wolfsburg, Deustchland Dezember 2018

Thomas Gänsicke

VII

Inhaltsverzeichnis

1

Zielsetzung des Leichtbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3

2

Problemstruktur des Leichtbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Eigengewichtsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kostenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Konstruktive Rahmen- und Einsatzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Wertigkeit des Leichtbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

5 5 7 10 12 13

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Konstruktive Techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Berechnungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Versuchstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Versuchstechnik versus Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Vergleichbarkeit von Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

15 15 18 20 20 21 23 24

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Einordnung der Leichtbaubegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Leichtbauweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Differenzialbauweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Integralbauweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Integrierende Bauweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Verbundbauweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Vollwand- und Schalensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Leichtbaustrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Stoffleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Fertigungsleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Formleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Konzeptleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

25 25 31 32 33 34 34 36 37 38 38 38 39 IX

X

Inhaltsverzeichnis

4.3.5 Bedingungsleichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 40

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Eigenschaftsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Linear elastische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Nichtlinear elastische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Belastungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Bezogene Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Spezifisches Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Spezifische Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Stabilitätswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Reißlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Werkstoffwertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Gütekennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Leichtbaukennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Gesichtspunkte für die Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 45 47 48 48 48 49 49 49 50 51 55 56

6

Leichtbauwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Eigenschaftsmodifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Sorten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Physikalisch-mechanische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Eisen-Gusswerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Eigenschaftsmodifizierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Al-Knetlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Al-Gusslegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Physikalisch-mechanische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Sinteraluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.6 Schaumaluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Magnesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Mg-Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Physikalisch-mechanische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Titan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Reintitan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Ti-Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Physikalisch-mechanische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Superleichtlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Faserverstärkte Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 58 59 62 62 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 73 75 75 76 77

Inhaltsverzeichnis

XI

6.8.1 Faser-Kunststoff-Verbunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Faserverstärkte Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 89 91

7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Strukturmerkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Konstruktive Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 93 . 93 . 95 . 102

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Geometrische Beschreibungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Flächenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Steiner’scher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Profile . . . . . 8.2.4 Transformierte Flächenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Hauptflächenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Elastizitätsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Verschiebungen und Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Verzerrungen und Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Ebene Elastizitätsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Formänderungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Elastizitätsgesetz der stabartigen Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Elastizitätsgesetze der Flächenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Scheibenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Plattenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3 Schalenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 103 105 105 107 107 108 110 111 111 113 114 115 117 118 121 121 124 132 134

9

Dünnwandige Profilstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Kraftflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Kraftflüsse und Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Querkraftbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Schubflussverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Geschlossene, symmetrische Konstruktionsprofile . . . . . . . 9.3.4 Geschlossene, unsymmetrische Profile . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

135 135 139 141 141 142 146 149 153

10

Torsion von Profilstäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.1 Grundbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2 Voll- und Rohrquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

XII

Inhaltsverzeichnis

10.3 Geschlossene, dünnwandige Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Offene, dünnwandige Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Hohlquerschnitte mit Stegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Verwölbung von Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Wölbwiderstand einfacher Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

160 162 165 168 172 176

11

Biegung offener Profilstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Allgemeines Normalspannungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Geometrische Beschreibungsgrößen beliebiger Querschnitte . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

177 177 182 185

12

Schubwandträger-Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Beanspruchungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Kräfte und Momente zufolge des Schubflusses . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Schubmittelpunkt von Schubwandträger-Profilen . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Zusammengesetzte Schubwandträger-Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

187 187 190 191 192 194

13

Schubfeld-Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Schubfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Ideales Zugfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 195 197 203

14

Ausgesteifte Kastenprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Viergurtmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Ausschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205 205 207 211 215

15

Energie- und Arbeitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Energieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Arbeitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Grundbeziehungen der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217 217 220 224 224

16

Statisch unbestimmte Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1 Äußere Unbestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Innere Unbestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Rahmenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.3 Raumfachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Elastizitätsgleichungen für statisch unbestimmte Strukturen . . . . . . . . 16.4 Geschlossener Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 225 226 226 227 228 229 230 233

Inhaltsverzeichnis

XIII

17

Sandwichelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1 Aufbauprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Homogener Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1 Grundlastfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Kritische Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Methode der Partialdurchsenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Stab-Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Strukturierte Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1 Schubsteifigkeit des Honeycomb-Kerns . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2 Tubuskern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Instabilitätsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

235 235 237 239 239 244 246 247 250 250 255 256 259

18

Stabilität von Stäben und Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1 Grundeffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Knicken von Profilstäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Euler’sche Biegeknickfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Knickung von doppelt- und punktsymmetrischen Profilstäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Knickung von einfach symmetrischen Profilstäben . . . . . . . 18.2.4 Knickung unsymmetrischer Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Elastisch-plastisches Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Kippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

261 261 262 263

. . . . . .

267 268 270 271 275 278

19

Beulen von Blechfeldern und Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Beulgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Lösung der Beulgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Einfache Beulfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Zusammenstellung von Beulfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Rohrbeulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 Versteifte Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7 Beulung von Profilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.8 Bördelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279 279 281 283 288 290 294 298 301 305

20

Konstruktive Versteifungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 Versteifende Formgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Sicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Versteifungswirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Konstruktive Ausführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Rippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307 307 308 308 313 316

. . . . . .

XIV

Inhaltsverzeichnis

20.4 Randversteifungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 20.5 Durchzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 21

Krafteinleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Versteifte Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Einleitungsgurt konstanter Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323 323 328 331

22

Fügetechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Einsatzbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Nietung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1 Nietfügungen mit überstehenden Köpfen . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2 Nietfügungen mit Senkkopfniete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.3 Überlagerte Scher- und Zugbeanspruchung auf Nietfügungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Schweißung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.1 Punktschweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.2 Reibrührschweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.1 Klebstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.2 Grundwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.3 Belastungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.4 Spannungsverteilung in schubbeanspruchten Klebefügungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.5 Gegenüberstellung verschiedener Lösungsansätze . . . . . . . 22.4.6 Abschätzung des Normalspannungseinflusses . . . . . . . . . . 22.4.7 Gestaltungsregeln für Fügen durch Kleben . . . . . . . . . . . . 22.4.8 Schwingfestigkeit von Klebefügungen . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Sonderfügeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

333 333 334 335 338

. . . . . . . .

338 340 342 345 345 346 347 348

. . . . . . .

349 355 357 360 362 364 367

Strukturoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1 Mathematischer Optimierungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Extrema über Strukturkennwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Einfache Minimalauslegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.1 Gewichtsminimaler Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.2 Gewichtsminimaler Knickstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4 Bionische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5 Kerbformoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

369 369 373 373 373 376 381 385 386

23

Inhaltsverzeichnis

XV

24

Schwingbeanspruchte Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1 Konstruktionsphilosophien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Problematik des rechnerischen Nachweises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Auswertung des Beanspruchungsverlaufs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4 Versagensverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Arbeitsmechanische Schadensakkumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6 Verbesserung der Aussagegenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7 Restfestigkeitsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.8 Allgemeines Rissfortschrittsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.9 Bruchmechanische Akkumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.10 Nichtlineare Schädigungshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

387 387 388 389 394 397 404 407 412 418 420 424

25

Strukturzuverlässigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1 Zuverlässigkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Boole’sche Grundanordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3 Statistische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4 Zufallsversagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5 Früh- und Spätversagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

425 425 426 429 431 432 435

26

Strukturakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1 Ursachen von Geräuschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Akustisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Körperschallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Wellenbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5 Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6 Impedanz einer idealisierten Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.7 Quantifizierung von Versteifungsmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.8 Einfluss von Werkstoff und Verbindungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

437 437 438 440 443 444 445 447 450 451

27

Praxisbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1 Praxisbeispiele zu Abschn. 2.2 „Kostenmodell“ . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Praxisbeispiele zu Kap. 5/6 „Werkstoffverhalten/ Leichtbauwerkstoffe“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.1 Vorteile der geringeren Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Einfluss des Elastizitätsmoduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.1 Dimensionierung auf gleiche Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . 27.3.2 Dimensionierung auf gleiche Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.3 Dimensionierung auf gleiche Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.4 Einfluss des Formänderungsvermögens . . . . . . . . . . . . . . .

. 453 . 453 . . . . . . .

457 457 460 460 464 466 467

XVI

Inhaltsverzeichnis

27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13 27.14 27.15 27.16 27.17 27.18 27.19 27.20 27.21 27.22 27.23 27.24 27.25 27.26 27.27 27.28 27.29 27.30 27.31 27.32 27.33 27.34

Praxisbeispiele zu Kap. 6 „Leichtbauwerkstoffe“ . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Kap. 7 „Gestaltungsprinzipien“ . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 8.5 „Stabartige Bauelemente“ . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 8.6.1 „Scheibenelement“ . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 9.1/9.2 „Kraftflüsse in dünnwandigen Profilen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 9.3.2 „Schubmittelpunkt“ . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 10.4 „Offene, dünnwandige Querschnitte“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 10.5 „Hohlquerschnitt mit Steg“ . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6 „Verwölbung von Querschnitten“ . . Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6 „Verwölbung von Querschnitten“ . . Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6/10.7 „Wölbkrafttorsion“ . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Kap. 13 „Schubfeld-Konstruktionen“ . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Kap. 14 „Ausgesteifte Kastenprofile“ . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 15.1 „Energieprinzip“ . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Passive Formänderungsarbeit“ . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Arbeitsprinzip“ . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 16.4 „Geschlossener Rahmen“ . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 17.1 „SandwichelementeAufbauprinzip“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 17.4 „Sandwichelemente/ Partialdurchsenkung“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“ . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.2 „Knickung doppeltsymmetrischer Profilstäbe“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“ . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.4 „Knickung unsymmetrischer Pro-file“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Kap. 19 „Beulen von Blechfeldern“ . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 20.1 „Versteifende Formgebung“ (Konzeptleichtbau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 20.2 „Sicken“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 20.5 „Durchzüge“ . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 22.4 „Kleben“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Kap. 23 „Strukturoptimierung“ . . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Kap. 24 „Schwingbeanspruchte Strukturen“ . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 24.8 „Allgemeines Rissfortschrittsproblem“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

469 473 474 477

. 481 . 484 . . . . . . . . . . .

486 489 492 493 495 499 502 505 508 510 515

. 516 . 520 . 525 . 528 . 531 . 534 . 538 . . . . . .

543 545 547 549 552 555

. 558

Inhaltsverzeichnis

Praxisbeispiele zu Kap. 25 „Strukturzuverlässigkeit“ . . . . . . . . . . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Bestimmung von Impedanzen“ . . . . Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Impedanz bei Schwingungsisolierung“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.35 27.36 27.37

XVII

560 562 569 572

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

Formelzeichensammlung

a

A_ AK Aij b B Bij c C C cB cDeW cDiW Cij cT cTrW cQ CW d D Dij E ET F f

Belastungsabschnitte Risslänge Abwicklung umschriebene Fläche Kreisfläche Scheibensteifigkeitsmatrix Breite Biegesteifigkeit, Plattensteifigkeit Koppelsteifigkeitematrix Flanschabkantung Konstante Forman-Konstante Paris-Konstante Biegewellengeschwindigkeit Dehnwellengeschwindigkeit Dichtewellengeschwindigkeit Steifigkeitskoeffizienten Torsionswellengeschwindigkeit Transversalwellengeschwindigkeit Schubwellengeschwindigkeit Wölbwiderstand Durchmesser Drillsteifigkeit, Dehnsteifigkeit Plattensteifigkeitsmatrix Elastizitätsmodul Tangentenmodul äußere Kraft Eigenfrequenz

XIX

XX

fG f(t) fN F0 F0T FT F(x, y) g G h HÜ i iL j J k

kτ K KI KIc ΔK ΔKo ℓ€u L LBK LT m

m, n M M n

Formelzeichensammlung

Gewichtsfunktion Ausfalldichte Korrekturfaktor Oberflächenfaktor resultierender Oberflächen-Technologiefaktor Technologiefaktor Spannungsfunktion Erdbeschleunigung Gewichtskraft Gleitmodul Höhe Häufigkeit Trägheitshalbmesser Sicherheitszahl Risikofaktor Flächenträgheitsmoment Abminderungsfaktor Beulwert spezifische Kosten Verhältnisgröße Wöhlerlinienexponent Spannungsüberhöhung Kosten Spannungsintensität Bruchzähigkeit zyklische Spannungsintensität Schwellenwert Überlappungslänge Länge Körperschallpegel Leichtbaukennzahl Leichtbaugüte bezogene Momente Forman-Exponent Masse Paris-Exponent Halbwellenlänge Schnittgröße Moment Momentenfluss Anzahl aufgebrachte Lastspielzahl

Formelzeichensammlung

nx, n y N N NB NG NR p Pa, A Pü, Ü q Q Qij r rj R RF RS RZ S

t tE tL tN T

u, v, w v, w V vc wB Wt

Bauweisenexponent bezogene Normalkräfte Normalkraftfluss Schnittgröße Normalkraft Kraftfluss Bruchlebensdauer Grenzlastspielzahl Rissbruchlastwechselzahl äußere bezogene Kraft Ausfallwahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeit bezogene Querkräfte Querkraftfluss Schnittgröße Querkraft Querkrümmungssteifigkeit Steifigkeitsmatrix Radius Restriktionen Grenzspannungen Spannungsverhältnis Reservefaktor Schubreservefaktor Zugreservefaktor Schubsteifigkeit Sicherheit statisches Flächenmoment Strukturkennwert Materialdicke Messschritt Laminatdicke Nutzungszeit Knickmodul Streumaß Temperatur Verschiebungen Schweißfaktor Volumen Crashgeschwindigkeit Kollektivwiederholungsfaktor Drillwiderstandsmoment

XXI

XXII

x, y, z Y(a) zR Z Zd ZE Zk Zm α

αK β βK γ δ δu φ ε ε^ ζ θ κ κ^ λ

λB λ(t) μ ν π ρ σ σa σA σm σo

Formelzeichensammlung

Koordinaten Korrekturfunktion Randfaserabstand Zielfunktion Dämpfungsimpedanz Eingangsimpedanz Steifigkeitsimpedanz Massenimpedanz linearer Wärmeausdehnungs- koeffizient Seitenverhältnis Vergrößerungsfaktor Formzahl Bezugsgröße, Drehwinkel, Winkel Kerbwirkungszahl Schiebungen Exzentrizitätsverhalten Variation der Verschiebung Verschiebungsfaktor Dehnung globale Dehnungen Durchbiegefaktor Steifigkeitsparameter Krümmung Spannungsverhältnis globale Krümmungen Schlankheitsgrad Faktor Verlustfaktor Biegewellenlänge Ausfallrate Eigenwert Massenbelegung Querkontraktion Formänderungsenergie Dichte Faktor Normalspannungen Ausschlagspannung Dauerfestigkeit Mittelspannung Oberspannung

Formelzeichensammlung

σu τ τB τSV ϕ ϕ0 ψ ω ω

Unterspannung Schubspannungen Bredt’scher Schubspannungsanteil St.-Venant’sche Schubspannungsanteil Verdrehung Bezugsgröße Verwindung Querschnittsdrehung Bezugsgröße Eigenkreisfrequenz Wölbfunktion

XXIII

1

Zielsetzung des Leichtbaus

Mit der Höherentwicklung der Technik steht verstärkt die bessere Effizienz mechanischer Systeme im Vordergrund. Leichtbau gewinnt daher als Entwicklungsstrategie immer mehr an Bedeutung. Ziel ist es, unter gegebenen Randbedingungen, eine Struktur mit minimalem Eigengewicht sowie bestimmter Lebensdauer und Zuverlässigkeit zu realisieren. Die damit verbundenen Probleme betreffen die Wahl einer zweckgerechten Bauweise, leichter Werkstoffe und deren Fügetechnik, einer möglichst exakten Auslegung sowie letztlich die Realisierung in einer fortschrittlichen Herstelltechnologie. Dies alles ist noch überlagert durch den Kostenaspekt, so dass eine Extremlösung oft nicht verwirklichbar ist und insofern zwischen technischen und wirtschaftlichen Gesichtspunkten ein Kompromiss anzustreben ist. Vor diesem Hintergrund kann sodann nur ein optimierter Leichtbau [KUR 11] realisiert werden. Auch dieser ist gewöhnlich mit Mehrkosten gegenüber „normalen“ Konstruktionen verbunden. Die Erfahrung zeigt nämlich, dass Leichtbaukonstruktionen meist in der Konzeption, im Werkstoffeinsatz, in der Herstellung und der Erprobung sehr aufwändig sind, weshalb mit einer Kostensteigerung gerechnet werden muss. Wenn bei einer Neuentwicklung trotzdem dieser aufwändigere Weg eingeschlagen wird, so sollte dies unter den herrschenden Kosten-Nutzen-Zwängen wohl begründet sein, wobei die Vorteile die Nachteile deutlich kompensieren müssen. In der Verkehrstechnik ist dies relativ unproblematisch, weil durch Leichtbaumaßnahmen handfeste wirtschaftliche Vorteile (Werkstoffkosten) [HEN 11] ausweisbar sind. Eine Gewichtsreduzierung kann beispielsweise • zu einer Nutzlaststeigerung oder verbesserten Fahrdynamik führen, • eine geringere Masse bewirkt weiter einen geringeren Rollwiderstand, Beschleunigungswiderstand und Steigungswiderstand,

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_1

1

2

1

Zielsetzung des Leichtbaus

was insgesamt einen geringeren Energieeinsatz und weniger Emissionen zur Folge hat. So lässt sich abschätzen, dass einer Massenersparnis1 von 100 kg bei einem Pkw eine Verbrauchsminderung von durchschnittlich 0,5 l Kraftstoff/100 km und 12 g/km CO2Reduktion gegenüberstehen. Würde man dies durch eine Werkstoffsubstitution erreichen wollen, so können 2 kg Stahl etwa durch 1 kg Aluminium belastungsneutral ersetzt werden. Insgesamt weisen heutige Pkws noch ein Gewichtsreduzierungspotenzial von ca. 35 % auf. Über den konventionellen Fahrzeugbau hinaus eröffnen sich neue Anwendungsgebiete in der Elektromobilität, bei Hochleistungswerkzeugmaschinen und großen Windkraftanlagen. Die wesentlichen Problemstellungen des Leichtbaus wurden zuerst im Luftfahrzeugbau systematisch bearbeitet. Da hier die Kosten nicht im Vordergrund standen, ist der Leichtbau gerade durch die Freiheiten der Luftfahrtforschung entscheidend geprägt worden. Neben einer generellen Erweiterung der theoretischen Grundlagen bezieht sich dies auch auf die erprobten konstruktiven Prinzipien (s. insb. [ZIN 67, KIR 56]). Ein markanter Entwicklungsschritt war sicherlich die Ablösung der Fachwerkbauweise durch die freitragende Bauweise unter Ausnutzung des Eigentragvermögens der Häute. Die hierauf beruhenden Prinzipien der Vollwand- und Schalensysteme haben sich dann über den Luftfahrzeugbau hinaus ausgedehnt in den Eisenbahnwagonbau, den Schiffbau und den Fahrzeugkarosseriebau und auch den Bau von Verarbeitungsmaschinen. Als einen weiteren Meilenstein für den Leichtbau ist die Nutzbarkeit der Schweißtechnik anzusehen. Die Materialdopplungen, die vorher bei Nietverbindungen entstanden, ließen sich nun durch Stumpfnähte vermeiden. Durch die hohe Festigkeit der Schweißverbindungen und die sich ergebenden gestalterischen Möglichkeiten konnten so völlig neue Strukturkonzepte verwirklicht werden. Die konsequente Weiterentwicklung findet man heute in laserstrahlgeschweißten Rümpfen bei Großraumflugzeugen (Airbus A 318, A 380) und im modernen Karosseriebau von Pkws, welche sektionsweise auch schon geklebt werden. Neuen Auftrieb erhielt zudem der Leichtbau durch die immer leistungsfähiger werdende EDV-Technik und die darauf abgestimmten Rechenverfahren. So sind heute mittels der Finite-Element- (FEM) oder Boundary-Element-Methode (BEM) sehr tief greifende Analysen des Beanspruchungs- und Verformungsverhaltens möglich, woraus sich meist Optimierungsmöglichkeiten hinsichtlich einer besseren Leichtbaueignung ergeben. Darüber hinaus werden neue rechnerunterstützte Rechen- und Bildverarbeitungstechniken sicherlich auch dazu beitragen, erweiterte Fragestellungen wie die Ermüdungsfestigkeit, Rissphänomene oder die Strukturzuverlässigkeit im Leichtbau wissenschaftlich zu klären. Der moderne Leichtbau ist letztlich auch geprägt durch den Fortschritt in den Materialwissenschaften, welcher zu hybriden Lösungen (Multi-Material-Design) und neuen

Anmerkung: In der Automobilindustrie darf sich ein Serienbauteil um 5–7,- € verteuern, wenn durch Werkstoffsubstitution 1 kg an Gewicht eingespart werden kann. Bei E-Fahrzeugen verringern sich je eingespartem Kilo die Batteriesystemkosten um durchschnittlich 13,- bis 18,- €/Fhzg.

1

Literatur

3

Herstelltechnologien geführt hat. So stehen mit metallischen und polymeren Verbundwerkstoffen erstmals Hochleistungswerkstoffe zur Verfügung, die eine hohe funktionale Integration bei extremer Steifigkeit und minimalem Gewicht ermöglichen. Mittels „aktiver Elemente“ (Transduktoren) werden diese Werkstoffsysteme zukünftig besser anpassbar sein an jede Art von äußerer Belastung. Neue Forschungsgebiete tun sich daher mit der Adaptronik bzw. Struktronik auf. Gehemmt wird diese dynamische Entwicklung jedoch zunehmend durch die Recyclingforderungen und die Zielsetzungen einer Kreislaufwirtschaft (EU-Altauto-VO), weshalb hier Kompromisse zu suchen sind. Aus der Auflistung dieser Tendenzen wird mehreres deutlich. Erstens: Der Leichtbau ist eine interdisziplinäre Ingenieurwissenschaft, welche auf Erkenntnissen der Festigkeitslehre, Rechentechnik, Werkstoffkunde und Fertigungstechnik begründet ist. Mit den Jahren haben sich zudem bestimmte Prinzipien durchgesetzt, sodass neben der Beherrschung der Theorie auch hinreichende konstruktive Erfahrung kommen muss. Zweitens: Die Forderungen werden immer extremer, sodass der Leichtbauer sich mit allen technologischen Strömungen auseinandersetzen muss und immer bestrebt sein sollte, diese problemspezifisch in einem Systemsystemleichtbau zu adaptieren. Mit den nachfolgenden Ausführungen, werden einige typische Fragestellungen aufgegriffen und deren Behandlung im Gesamtumfeld zwischen Theorie und Praxis gezeigt. Der Schwerpunkt soll hierbei im konstruktiven Umsetzen liegen, was zu der Formulierung von Konstruktionsregeln natürlich auch die Vermittlung von Grundwissen zum Werkstoffeinsatz, zu den elastomechanischen Grundlagen und zu den typischen Leichtbauelementen bedarf. Dazu wurde ein aufbauendes didaktisches Grundkonzept gewählt, das sich in vielerlei Hinsicht an ältere Leichtbauwerke [CRE 67, SCH 63, HER 80, WIE 96a] orientiert.

Literatur [CRE 67]

[DEG 09] [HEN 11] [HER 80] [KIR 56] [KUR 11] [SCH 63] [WIE 96a] [ZIN 67]

Czerwenka, G., Schnell, W.: Einführung in die Rechenmethoden des Leichtbaus. Bd. 1 (Nr. 124/124a) und Bd. 2 (Nr. 125/125a), BI Hochschultaschenbücher, Mannheim (1967) Degischer, P., Lüftle, S. (Hrsg.): Leichtbau – Prinzipien, Werkstoffauswahl und Fertigungsvarianten. Wiley-VCH, Weinheim (2009) Henning, F., Modler, E.: Handbuch Leichtbau. Hanser, München (2011) Hertel, H.: Leichtbau. Springer, Berlin (1980) Kirst, L.: Konstruktive Grundlagen des Leichtbaus: Werkstoff – Berechnung – Gestaltung. VDI-Z. 98(23), 1373–1380 (1956) Kurek, R.: Karosserie-Leichtbau in der Automobilindustrie. Vogel-Buch, Würzburg (2011) Schapitz, E.: Festigkeitslehre für den Leichtbau. VDI, Düsseldorf (1963) Wiedemann, J.: Leichtbau, Bd. 1. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1996) Zindel, E.: Die Probleme und Möglichkeiten des Leichtbaues und seine Entwicklung vom Luftfahrzeugbau zur allgemeinen Technik. 1. Teil. Blech. 10, 458–462 (1967)

2

Problemstruktur des Leichtbaus

Wie bereits herausgestellt, kann Leichtbau kein Selbstzweck nur des Fortschritts halber sein. Aufwand und Nutzen müssen stets in einem wirtschaftlichen Verhältnis zueinanderstehen, sodass Leichtbaumaßnahmen lohnend erscheinen, wie der heutige Trend zur Elektromobilität zeigt. Diesbezüglich gilt es, alle Leichtbaumaßnahmen auch unter Wirtschaftlichkeitsgesichtspunkten zu bewerten. Hilfreich ist hier vielfach die Erstellung eines Gewichts- und Kostenmodells, welches parameterielle Abhängigkeiten zwischen dem Strukturgewicht, den Herstellkosten und dem Nutzwert darzustellen vermag. Optimallösungen können erfahrungsgemäß jedoch nur mit einem holistischen Ansatz erreicht werden.

2.1

Eigengewichtsaufgabe

Alle Bemühungen des Leichtbaus sind primär darauf gerichtet, das Eigengewicht einer Struktur zu minimieren. Als Einschränkung ist dabei zu berücksichtigen, dass hierdurch weder die Funktion noch die Sicherheit und Langlebigkeit [s. DIN EN 1993] beeinträchtigt werden dürfen. Maßnahmen, mit denen man dies heute zu erreichen versucht, sind: • Umsetzung des Integrationsprinzips, • Wahl leichter und hochfester Werkstoffe, • neue Herstelltechnologien und • analytische Beherrschung der Beanspruchungs- bzw. Instabilitätsfälle durch hochwertige Analysemethoden (FEM, BEM). # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_2

5

6

2

Problemstruktur des Leichtbaus

Im Zuge der Umsetzung dieser Prinzipien kommen bestimmte Entwurfsstrategien [BLE 74] zum Tragen, deren Merkmale sich verkürzt klassifizieren lassen in • einen Form- oder Funktionsleichtbau, bei dem integrative Konstruktionslösungen, dünnwandige Querschnittsgeometrien und eindeutige Kraftleitungspfade umgesetzt werden; • einen Stoffleichtbau, bei dem spezifisch schwere Werkstoffe durch leichtere Werkstoffe mit möglichst hohen Gütekennzahlen substituiert werden; • einen Fertigungsleichtbau, in dem alle technologischen Möglichkeiten ausgeschöpft werden, um das Ziel der Funktionsintegration (Einstückigkeit) bei geringstem Materialeinsatz und minimalem Fügeaufwand zu realisieren und • einen Sparleichtbau, mit dem Ziel hohe Kosten zu vermeiden durch eine gerade noch ausreichende Werkstoffqualität, minimalem Werkstoffeinsatz und vereinfachte Herstellung. Hinter jeder Strategie verbirgt sich stets ein ganz individueller konstruktiver und technologischer Aufwand. Dem somit praktisch realisierbaren Leichtbaugrad (~ 1/G) sind jedoch im Maschinen- und Fahrzeugbau oft enge Grenzen durch die Kostengesetzmäßigkeiten und zunehmender Nachhaltigkeitsforderungen auferlegt, welche meist den Spielraum einengen. Einige Grundtendenzen mit ihren Hauptkostenbestandteilen zeigt Abb. 2.1 in schematisierter Darstellung. Die meisten Kosten zeigen hiernach einen exponentiellen Verlauf mit einem theoretischen Minimum als wirtschaftliche Vernunftlösung. Danach gibt es einen direkten Zusammenhang zwischen dem angestrebten Gewicht und der Kostenentwicklung.1 In der Regel nehmen die Herstellkosten einer Struktur mit höherem Leichtbaugrad überproportional [DEG 09] zu. Als Ursachen dafür lassen sich anführen: • Die Ingenieurkosten aus Design, Berechnung und Erprobung (E + K) können bei Leichtbaukonstruktionen um den Faktor 5–10fach höher liegen. • Mit sinkendem spezifischen Gewicht werden gewöhnlich die Werkstoffe teurer, etwa gemäß der Relation St : Al : Mg : Ti : GFK : AFK : CFK ¼ 1 : 3 : 4 : 20 : 10 : 20 : 30 ðEuro=kgÞ:

1

Anmerkung: Geht man bei einem Vergleich Stahl ./. CFK-UD-Verbund von einem ähnlichen Festigkeits- und Steifigkeitsverhalten aus, so gilt etwa mCFK  0, 33  mSt und für die Werkstoffkosten KW, St  mSt  1 € und KW, CFK  0, 33  mSt  30 €  10  mSt.

Kostenmodell

extremer Leichtbau

Entwicklung Konstruktion Werkstoff Werkzeuge Produktion Recycling

optimierte Leichtbau-Konstruktion

Kosten für

7

Gesamtoptimum Konstruktion und Werkstoff

2.2

Form- und Funktionsleichtbau Stoffleichtbau Fertigungsleichtbau bezahlbarer Leichtbau nachhaltiger Leichtbau

Ak (kg zepti Ge erte wic Ko hts ste B red n je A uzi eru kg ng) Optimierung durch

Schwerbau

Optimierung - Form/Gestalt - Konstruktion - Belastung - Ziel

- Leichtbau-Werkstoff - Leichtbau-Konstruktion Leichtbaugrad

Gewicht

Abb. 2.1 Wirkung der Strategie auf die Kosten und das Gewicht eines Systems

• Des Weiteren können die Fertigungskosten infolge höherer Werkzeug- und Prozesskosten bis zu 3fach höher liegen. In der Praxis des Maschinen- und Fahrzeugbaus kann prognostiziert werden, dass 1 kg Gewichtsreduktion mit etwa 15 % Mehrkosten verbunden ist. Deshalb sollte ein sinnvoller Kompromiss angestrebt werden. Insofern besteht als Zielsetzung der optimierte Leichtbau, bei dem sich Aufwand und Nutzen schnell amortisieren. Bei Luft- und Raumfahrtprojekten ist es demgegenüber oft so, dass die Kosten hinter der Mission zurückstehen und daher ein extremer Leichtbau betrieben wird.

2.2

Kostenmodell

Unter der Maßgabe, alle Leichtbaumaßnahmen wirtschaftlich bewertbar zu machen, sollen im Folgenden einige Abhängigkeiten diskutiert werden. Zu Grunde gelegt werden soll hier das übersichtliche Modell eines Nutzfahrzeuges (LKW), bei dem die Nutzlast bzw. die Einnahmen zur Amortisation des Mehraufwandes [BRE 83] herangezogen werden können. Demgemäß gilt es, vereinfachend die folgende Gegenüberstellung zu wichten:

8

2

Problemstruktur des Leichtbaus

2. Kostenansatz/Periode KE ðEinnahmenÞ

1. Gewichtsrelation GS ðStrukturgewichtÞ þGN ðNutzlast  5  GS Þ ¼ G ðzul: GesamtgewichtÞ

KS ðSystemkostenÞ KB ðBetriebskostenÞ ¼ K ðKostenüber‐oder‐unterdeckungÞ

ð2:1Þ

ð2:2Þ

• In den Systemkosten KS (zu amortisierende Herstellkosten) sind wesentliche Anteile die Design-(KD) und die Leichtbauzusatzkosten (KL) der Entwicklung sowie die Werkstoffkosten (KW), die Werkzeugkosten (KWzg) und die Fertigungskosten (KF):
 KS ¼ KW þ KWzg þ KF þ ðKD þ KL Þ:

ð2:3Þ

• Die Leichtbauzusatzkosten (KL) ergeben sich als Mehraufwand bei den Ingenieurleistungen (ΔKI), der Erprobung (ΔKV) und den Herstellmitteln (ΔKWzg). • Die Werkstoffkosten werden hierbei einen dominierenden Einfluss (ca. 35–40 % von KS) haben. Sie bestimmen sich als KW ¼

n X

kWi  GSi

ð2:4Þ

i¼1

mit kWi als Werkstoff-Kilopreis für jede Strukturkomponente. • Die Betriebskosten sind weitestgehend proportional zum Gesamtgewicht und mit dem Betriebskostenfaktor kB anzusetzen als KB  kB  G:

ð2:5Þ

• Die Einnahmen sind hingegen proportional zur Nutzlast und mit dem Einnahmefaktor kE anzusetzen als K E  kE  G N :

ð2:6Þ

Da ein Betreiber eines Leichtbau-Nutzfahrzeuges nur in begrenztem Maße die Einnahmenund Betriebskostenseite beeinflussen kann, sind alle Anstrengungen darauf zu richten, die Leichtbauzusatzkosten sinnvoll zu begrenzen. Ziel ist es, eine leichte Struktur bei möglichst geringen Systemkosten [WIE 84] zu erstellen: • Die Leichtbauzusatzkosten werden im Allgemeinen kleiner, wenn die Strukturgewichtsminimierung durch eine bessere Ausdimensionierung und eine Strukturentfeinerung erfolgt.

2.2

Kostenmodell

9

• Die Leichtbauzusatzkostenwerden dagegen größer, wenn die Strukturgewichtsminimierung durch Bauweisenverfeinerung und den Einsatz höherwertiger Werkstoffe erfolgt. Unter Wirtschaftlichkeitsgesichtspunkten ist es für ein Nutzfahrzeug zwingend, dass die Nutzlast deutlich größer als das Strukturgewicht (GN  GS) ist, weil sich nur so der Zusatzaufwand schnell amortisieren lässt. Generell kommt bei Verkehrsfahrzeugen der Erreichung einer bestimmten Gewichtsrelation eine hohe Wertigkeit zu, wie in Fahrzeuglastenheften immer wieder herausgestellt wird. Gelingt es bei einer Entwicklung nicht, das projektierte Gesamtgewicht Go – das auch Basis aller Annahmen war – zu erreichen, so sind Folgemaßnahmen nötig, welche durch den Zusammenhang [HER 80] G1  Go þ α  ΔGS

ð2:7Þ

ausgedrückt werden können. Das heißt, im Konzept wird ein Vergrößerungsfaktor α wirksam, der berücksichtigt, dass weitere Zusatzmaßnahmen an der Struktur bzw. den Aggregaten erforderlich sind, um dennoch eine gleiche Nutzlast über die vorgegebene Reichweite befördern zu können. Der Vergrößerungsfaktor kann demgemäß wie folgt definiert werden: α¼


 Gesamtgew ichts€a ander ung ΔG : ¼ ΔGS ðFolgemassnahmenan der StrukturÞ

ð2:8Þ

Nach Erfahrung bewegt sich der Vergrößerungsfaktor etwa im Bereich • α  1,5–2,0 • α  5–10 •α5

im Fahrzeugbau, im Flugzeugbau, in der Raumfahrt.

Treten nun Gewichtsüberschreitungen auf, so sind zwei Handlungsalternativen denkbar, und zwar • Alternative I: Die Nutzlast GN wird auch weiter konstant gehalten, weshalb die Struktur (+ΔGS) nachgerüstet werden muss. Hierdurch entsteht ein Mehraufwand, der etwa proportional ist zu Δ K  CðKS þ KB Þ  α  ΔGS :

ð2:9Þ

oder • Alternative II: Die Nutzlast (ΔGN) wird reduziert, weshalb die Struktur konstant gehalten werden kann. Hierdurch verändert sich die Wirtschaftlichkeit etwa proportional zu

10

2

Problemstruktur des Leichtbaus

ΔK  C ðKS  KE Þ  α  ΔGN :

ð2:10Þ

Je nach Einsatzgebiet und Restriktionen ist dann der ökonomisch sinnvollste Weg zu wählen. Mit dem Gewichtsproblem wird auch zukünftig die Elektromobilität zu kämpfen haben. Der Leistungsbedarf eines Batteriesystems ist proportional zum Eigengewicht eines E-Fahrzeugs. Nach heutigen Kostenrelationen impliziert 1 kg Fahrzeuggewicht etwa 13 € Batteriekosten bzw. 16 €/kg Antriebssystemkosten bei einer Reichweitenbeschränkung auf 120 km. Hingegen sind bei einem verbrennungsmotorischen Antrieb nur 5 €/kg aufzuwenden. Gewichtsreduzierung ist damit eine bleibende Aufgabe.

2.3

Konstruktive Rahmen- und Einsatzbedingungen

Da ein typisches Einsatzgebiet von Leichtbaukonstruktionen die Verkehrstechnik (Automobilbau, Schienen- und Luftfahrzeuge) ist, dürfen Leichtbaukonstruktionen nicht „unsicherer“ als vergleichbare Massivkonstruktionen sein. Dies bedingt eine sorgfältige Auslegung auf Steifigkeit (Instabilitäten), Bruchfestigkeit sowie Zuverlässigkeit und Nutzungsdauer. In der Luftfahrtindustrie bzw. im Stahlleichtbau sind dies geläufige Forderungen, die schon seit langem in Regelwerken (LTH bzw. DIN EN 1993, Teil 1–9) festgeschrieben sind. Zunehmend greifen diese Nachweise (s. Abb. 2.2) auch im sogenannten ungeregelten Bereich wie der Fahrzeugindustrie. Die Ausrichtung der folgenden Kapitel ist darauf abgestellt. Innerhalb eines Steifigkeitsnachweises geht es regelmäßig um die Begrenzung von Verformungen und beim Tragfähigkeitsnachweise um die Sicherheit gegen Fließen, Bruch

LEICHTBAU-STRUKTUR

• statische oder • dynamische Krafteinleitung

• Steifigkeitsnachweis • Tragfähigkeitsnachweis • Restfestigkeitsnachweis

Gestalt: • Geometrie • Steifigkeit Werkstoff: • Festigkeit • Bruchzähigkeit

• Lebensdauernachweis • Rissfortschrittsverhalten

Technologie: • Herstellung • Oberfläche

• Strukturzuverlässigkeit

Umfeld: • Klima • Temperatur

Abb. 2.2 Nachweisarten für Leichtbaustrukturen nach [AUT 92]

2.3

Konstruktive Rahmen- und Einsatzbedingungen

11

oder Instabilität. Hierbei lässt der Leichtbau immer geringere Sicherheitsreserven zu, was eine aufwändige Berechnung erforderlich macht. In der Verkehrstechnik (s. DIN EN 12663) wird beispielsweise nur noch gefordert: • Sicherheit gegen Fließen Rel bzw:Rp0, 2  S1 ¼ 1, 15, σxberechnet

ð2:11Þ

Rm  S2 ¼ 1, 5 ðbis 1, 3Þ, σxberechnet

ð2:12Þ

• Sicherheit gegen Bruch

• Sicherheit gegen Instabilität σknicken=beulenkrit  S3 ¼ 1, 5 ðoder kleiner bei kontrolliertem VersagenÞ: σberechnet

ð2:13Þ

Für dynamische Beanspruchungen ist ergänzend ein Zuverlässigkeitsnachweis (Überlebenswahrscheinlichkeit aller Komponenten PA  95%) und ein Nutzungsnachweis (bzw. Dauer- oder Betriebsfestigkeitsnachweis) durchzuführen. Verlangt wird vielfach • eine Mindestanzahl von 2  106 Zyklen bei Stahlwerkstoffen mit konstanter Amplitude in Höhe der Dauerschwingfestigkeit bzw. • eine Mindestanzahl von 1  107 Zyklen bei Aluminiumwerkstoffen. Hieran ist gegebenenfalls ein statischer oder dynamischer Rissbruch- oder Rissfortschrittsnachweis anzuschließen: • Sicherheit gegen statischen Rissbruch KIcrit  S4 ¼ 1, 7 ðbis 2, 0Þ, Kyberechnet

ð2:14Þ

• Sicherheit gegen dynamischen Rissfortschrittsbruch KIc ð1  RÞ σ  S5 ¼ 2, 0 ðbis 2, 5Þ mit R ¼ u : ΔK max berechnet σo

ð2:15Þ

12

2

Problemstruktur des Leichtbaus

In Abhängigkeit vom Anwendungsfall haben sich dabei zwei Grundhaltungen hervorgetan: Die Philosophie des „safe-life-quality“, die absolute Schadensfreiheit für das ganze Leben verlangt, und die Philosophie des „fail-safe-quality“, die Schadenstoleranz und hinreichende Resttragfähigkeit voraussetzt. Dem Ziel nach sollten alle erforderlichen Leichtbaumaßnahmen begründbar sein.

2.4

Wertigkeit des Leichtbaus

Die bisherigen Ausführungen haben transparent gemacht, dass Leichtbau oft mit hohen Kosten verbunden ist. Dennoch hat Leichtbau in vielen Anwendungen nachhaltige Vorteile, so dass sich im Hochleistungsmaschinenbau und im E-Fahrzeugbau neue Einsatzbereiche auftuen. Am einsichtigsten wird die Akzeptanz für Leichtbaumaßnahmen, in der Bereitschaft auch Mehrkosten in Kauf zu nehmen. Abb. 2.3 gibt Relationen über mehrere Anwendungsbereiche wieder, wobei allerdings die Tendenz besteht, immer mehr Aufwand betreiben zu müssen. Leichtbau erfordert daher • ein integrales Konstruktionsprinzip mit der Zielsetzung der Einstückigkeit, welche gewöhnlich durch ur- und umformtechnisch hergestellte Bauteile ohne zusätzlichen Fügeaufwand erreicht werden kann, • den Einsatz von hochfesten Werkstoffen mit günstigen Relationen Festigkeit/Kilo oder Steifigkeit/Kilo, • Kenntnisse über mögliche Fügetechniken,

Bauwesen Automobiltechnik mit konv. Antrieb

0 €/kg 3

bis 7 €/kg 13

mit E-Antrieb Elektronik Sport/ Medizintechnik

bis 18 €/kg

bis 10 €/kg bis 100 €/kg bis 500 €/kg

Luftfahrt bis 3000 €/kg Raumfahrt Abb. 2.3 In der Industrie akzeptierter Mehraufwand für Leichtbau in € pro Kilogramm

Literatur

13

• eine exakte Auslegung basierend auf hochwertigen Berechnungsmethoden (FEM, BEM), • Erfahrungswissen über die Bewährung von Konstruktionen im Nutzungsumfeld sowie • Kenntnisse über die Recyclingfähigkeit. Wenn Leichtbau nur als das Streben nach dem minimalen Eigengewicht charakterisiert wird, wird man letztlich der Komplexität der Aufgabenstellung (Steifigkeit, Eigenfrequenz, Körperschall, Lebensdauer) nicht gerecht.

Literatur [AUT 92] [BLE 74] [BRE 83] [DEG 09] [ELS 98] [HER 80] [WIE 84]

Autorenkollektiv: Handbuch Struktur-Berechnung (HSB). Industrie Ausschuß – Struktur-Berechnungsunterlagen, (1992) Bleicher, W.: Konstruieren mit Aluminium. Aluminium-Taschenbuch, Düsseldorf (1974)., Kapitel 12 Breitling, U.: Leichtbau-Optimierung in der Konstruktionspraxis. Konstruktion. 35(2), 53–56 (1983) Degischer, P., Lüftle, S. (Hrsg.): Leichtbau – Prinzipien, Werkstoffauswahl und Fertigungsvarianten. Wiley-VCH, Weinheim (2009) Elspass, W.J., Flemming, M.: Aktive Funktionsbauweise – Eine Einführung in die Struktronik. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1998) Hertel, H.: Leichtbau. Springer, Berlin (1980) Wiedemann, J.: Gewichts- und kostenorientierte Zielmodelle, Einsatzkriterien, Konstruktionsprinzipien und Probleme des Leichtbaus. Vortrag Technische Akademie Esslingen (1984)

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau

In vielen Entwicklungsprojekten bestätigte sich immer wieder, dass Leichtbau zu den theoretischsten Disziplinen der Ingenieurwissenschaft zu zählen ist. Gewöhnlich verteilen sich die Zeitanteile bei typischen Projekten etwa wie folgt: • • • •

30 % konstruktive Bearbeitung (Konzipieren, Entwerfen, Ausarbeiten), 40 % Auslegung (Dimensionierung, Optimierung), 20 % experimentelle Absicherung (Prototyp, Test), 10 % Überarbeitung (Konzept, Entwurf),

wobei mit ungefähr 80 % die theoretischen Anteile deutlich überwiegen. Insofern ist es vor dem Hintergrund, eine Methodenlehre des Leichtbaus darzulegen, auch geboten, auf die zum Einsatz kommenden Techniken und Hilfsmittel kurz einzugehen.

3.1

Konstruktive Techniken

Schon seit geraumer Zeit versucht man, die Tätigkeiten beim Konstruieren zu systematisieren. Intention ist es hierbei, nicht mehr produktbezogene Vorgehensweisen zu vermitteln, sondern eine allgemein gültige methodenbezogene Technik (s. VDI-R 2221/2222) des Konstruierens zu lehren. In diesem Sinne bedarf auch der Leichtbau keiner besonderen Konstruktionslehre, sondern hier kommt nur ein modifiziertes Vorgehen [FEY 90] zum Tragen, welches die besonderen Gegebenheiten der Leichtbautechnologie berücksichtigt. Wie nämlich bei jeder technischen Aufgabenstellung geht es auch bei Leichtbauaufgaben in der Hauptsache um eine vorgegebene Funktionserfüllung. Stärkste Nebenbedingung ist hier jedoch das Gewichtsminimum, welches durch weitere Bedingungen wie # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_3

15

16

• • • • • • •

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau

Sicherheit/Zuverlässigkeit, Herstellbarkeit, Kontrollierbarkeit, Montierbarkeit/Handhabbarkeit, Inspizierbarkeit/Wartbarkeit/Instandsetzbarkeit, Umwelt, Recycling etc.

eingeschränkt wird. Die Erfüllung einer isolierten Eigengewichtsaufgabe kommt daher praktisch nicht vor. Insofern lässt sich auch das leichtbaugerechte Konstruieren zergliedern in aufeinander aufbauende Arbeitsschritte mit etwa folgenden Inhalten: • Klären der Aufgabenstellung: Informationsbeschaffung über die Anforderungen einer Aufgabe und Erstellung einer Anforderungsliste; Eingrenzung bestehender Bedingungen und ihre Bewertung für die Lösungserfüllung; Festlegung einer Lösungsrichtung; technisch-wirtschaftliche Konsequenzen. • Konzipieren (Findung einer prinzipiellen Lösung): Hinterfragung der Aufgabe und Sichten des Kernproblems; Zerlegung des Kernproblems in untergeordnete Teilprobleme; Suche nach Lösungswegen zur Erfüllung der Teilprobleme; Kombination der Teilproblemlösungen zu Lösungsansätzen für das Kernproblem; Bewertung der Lösungen; Erstellung von Konzeptskizzen. Voraussetzungen einer sinnvollen Konzepterstellung sind Kenntnisse über die Größe und Richtung der wirkenden Kräfte, die Möglichkeiten des gewählten Werkstoffs, die Bauweiseneigenschaften und eine angepasste Vordimensionierung. Ein gutes Konzept ist letztlich auch der Garant für eine innovative Problemlösung. Der Konzeptentwicklung sollte daher große Bedeutung beibemessen werden. Leider zeigt die Erfahrung, dass man sich in der Praxis zu wenig mit Konzepten beschäftigt und sehr schnell nur eine Richtung verfolgt. • Entwerfen (gestalterische Konkretisierung einer Lösung): maßstäbliche Ausarbeitung der Konzeptskizzen zu Bauvarianten; Bewertung, Vereinfachung und Auswahl einer Variante; Überarbeitung zu einem Gesamtentwurf und • Ausarbeiten ( fertigungs- und montagegerechte Festlegung einer Lösung): endgültige Bestimmung der Geometrie, Dimensionen, Werkstoffe und Herstellung, um die notwendigen Fertigungsunterlagen erstellen zu können. Hieran schließen sich eine oder mehrere Schleifen an, die der Optimierung der Lösung dienen. Dem zuzuordnende Phasen sind:

3.1

Konstruktive Techniken

17

• Prototypen-Herstellung (Kontrolle der Funktionen, Montage etc.), • Testprozeduren (Überprüfung der Tragfähigkeit, Zuverlässigkeit, Lebensdauer). Als Abschluss steht dann die Freigabe (SOP) mit der erforderlichen Dokumentation (eventuell nach ISO 9000 : 2009) bzw. ISO/TS 16949 : 2002). Diese Ablauffolge ist weitestgehend identisch mit dem allgemeinen Vorgehen der Konstruktionssystematik, so wie dies in der Abb. 3.1 angedeutet ist und welches sich als zielführend bei den unterschiedlichsten Problemstellungen erwiesen hat.

(Bauweisen, Werkstoffe, elasto-mechan. Verhalten, konstr. Grundelemente, Belastungseigenschaften, Betriebsverhalten)

Leichtbauexperte:

Leichtbauprojekt

1

Klären der Randbedingungen

2

Konzeptfindung · Festlegung: Kräfte, Werkstoffe · Auswahl: Strukturaufbau, Elemente, Verbindungstechnik · Auslegung: Vordimensionierung, · Bedingung: Umwelt, Montage, Herstellung

3

Umsetzen in Entwürfen · Erarbeiten: Geometrie, Funktionen, Dimensionen

4

Ausarbeiten von Fertigungsunterlagen

· Überarbeitung: Strukturaufbau, Fertigung Nachweis: Tragfestigkeit

Optimierung Prototypen-Fertigung Erprobung Freigabe

Abb. 3.1 Systematische Vorgehensweise des leichtbaugerechten Konstruierens

18

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau

Ein gutes Ergebnis wird man hier aber nur auf der Basis eines gesicherten Leichtbauwissens erzielen können. Kreativität alleine wird gewöhnlich nicht ausreichen, da der gewählte Werkstoff meist eine bestimmte Bauweise vorschreibt und hierdurch wiederum Leichtbaueffekte zum Tragen kommen. Letztlich verlangt dies eine ideale Kombination von theoretischen Grundlagen und praktischer Erfahrung. In den theoretischen Erkenntnissen muss letztlich auch die Übersicht gehören, mit welchen Methoden und Werkzeugen ein Problem anzugehen ist. Dies alles macht das Fachwissen eines „Leichtbauers“ aus, dessen Aufgabe es meist ist, extreme Anforderungen technisch umzusetzen.

3.2

Berechnungsmethoden

Wie in der anfänglichen Aufstellung ausgewiesen ist, entfällt ein relativ großer Zeitanteil auf die Auslegung der Leichtbauelemente und der Struktur. Später wird offensichtlich werden, dass es sich dabei überwiegend um die Lösung von Differenzialgleichungen oder Gleichungssystemen für die Schnittgrößen oder die Verformungen handelt. Bei der nachfolgenden prinzipiellen Abarbeitung einiger Teilprobleme werden aus didaktischen Gründen ausschließlich analytische Lösungsverfahren gewählt, um konstruktive Verhaltensweisen transparenter zu machen. Dies ist heute nicht mehr ganz konform zur Praxis, da hier mit der Verbreitung leistungsfähiger Computer der Trend zu numerischen Lösungsverfahren weist. Als unterste Stufe bei der Lösung einfacher elastizitätstheoretischer Differenzialgleichungen kann diesbezüglich die Differenzenmethode oder die Fourier-Analyse angeführt werden. Diese Verfahren finden gewöhnlich ihre Grenze, wenn gleichzeitig komplizierte Geometrien, mehrere Belastungen und reale Randbedingungen auftreten. Prädestiniert für derartige Fälle ist dann die Finite-Element- oder Boundary-Element-Methode [KLE 12]. Unter diesen rein numerischen Verfahren ist die FE-Methode bis heute am universellsten anwendbar und daher auch am verbreitetsten. Der wesentliche Unterschied zur BE-Methode besteht darin, dass die FEM Aussagen über das Innere und den Rand zulässt, während die BEM nur Randaussagen ermöglicht. Eine Darstellung der Arbeitsweisen beider Verfahren würde aber über die Intention dieses Kapitels weit hinausgehen, weshalb nur ein paar grundsätzliche Anmerkungen zur FEM gemacht werden sollen: Die FEM ist eine rechnerorientierte Methode, die softwaretechnisch über einen Vorrat an mechanischen Grundelementen (Balken, Scheibe, Platte, Schale, Volumina), einen Zusammenbau- und einen Lösungsalgorithmus verfügt. • Ein finites Element wird dabei durch seine Steifigkeitsmatrix charakterisiert, zu deren Aufstellung es bestimmter Verformungsannahmen (lineare, quadratische oder kubische usw.) bedarf. • Mit diesen Grundelementen wird dann entsprechend dem mechanischen Verhalten eine Struktur nachgebaut, wobei die Elemente über Knoten angebunden sind.

3.2

Berechnungsmethoden

19

• In diesem Modell werden weiter die Kräfte eingeleitet und für die Anbindung an die Auflager gesorgt. • Letztlich entsteht ein großes lineares Gleichungssystem, welches mittels eines Rechenprogramms numerisch aufgelöst wird. • Ergebnis der Berechnung sind die Verformungen der Knoten, die Spannungen und die Auflagerreaktionskräfte. Der Näherungscharakter der Methode besteht nun in den gewählten Verformungsansätzen, der meist nicht konturgetreuen Approximation der Geometrie und der Numerik des Algorithmus. Trotz dieser Einschränkungen ermöglicht die Methode aber dennoch gute Aussagen, die meist besser sind als analytische Lösungen. Als Beleg hierfür mag das einfache Beispiel von Abb. 3.2 dienen, welches in der Realität einen Prüfstand für die Bewegungssimulation von Satelliten darstellt. Das verwendete Material ist nicht rostender Edelstahl und wird während der Prüfung den gleichen Umgebungseinflüssen (extreme Kälte und Wärme, in der Regel
140  C/+100  C) wie der Satellit ausgesetzt. Die Dynamik wird quasistatisch erfasst, d. h., es werden in verschiedenen Stellungen Ersatzkräfte aufgebracht und somit die eigentliche Beanspruchung simuliert. Dies ist insofern gerechtfertigt, da die Bewegungen im All relativ langsam erfolgen.

Abb. 3.2 Prüfstandsmodell aus finiten BALKEN- und SCHALEN-Elementen

20

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau

Nachdem die Dimensionierung überarbeitet war, wurde der Prüfstand gebaut und in Betrieb genommen, welches die Möglichkeit gab, einmal Rechnung und Messung vergleichen zu können. An dem ausgezeichneten Knoten 13 wurde beispielsweise die Spannung berechnet zu σtheo ¼ 39, 9 MPa, die DMS-Messung ergab σreal  38 MPa, was einem Fehler von 4,76 % entspricht. Dies ist eine sehr kleine Abweichung; in anderen Fällen wurden Abweichungen bis extrem 13 % gemessen.

3.3

Messtechnik

Bei allen theoretischen Methoden der Dimensionierung bleibt oft eine Restunsicherheit bestehen, sodass zur Ergebnisabsicherung meist eine Messung am Modell [HOF 76] notwendig wird. Da es sich dabei überwiegend um die Bestimmung von Kräften oder Spannungen handelt, kommt hier der Dehnungsmessstreifen-Technik (DMS) maßgebliche Bedeutung zu, weil dazu das Bauteil weder geschädigt noch zerstört werden braucht. Ohne auf die Details dieser Technik näher einzugehen, soll jedoch ausgeführt werden, dass mittels der DMS die Bauteilbeanspruchung selbst nicht gemessen werden kann. Den Messstreifen sind nur die an der Oberfläche auftretenden Verformungen zugänglich, die jedoch im linear elastischen Fall mit dem Beanspruchungszustand auf gesetzmäßige Weise verknüpft sind. Für die Anwendung bedeutet dies, dass die gewöhnlichen Grundlastfälle wie Zug/ Druck, Biegung und Torsion relativ einfach zu analysieren sind. Probleme sind zu erwarten bei überlagerten Beanspruchungen und komplizierten Geometrien. Die Genauigkeit dieser Messmethode ist letztendlich aber auch durch die zur Umrechnung benutzten Werkstoffkonstanten gegeben, da hiermit die elektrischen Signale in Spannungen umgerechnet werden müssen. Diesbezüglich sind Aussagegenauigkeiten bis maximal 10 % zu erwarten.

3.4

Versuchstechnik

Im Zusammenhang mit der Messung ist auch der Versuch zu sehen, der gegebenenfalls zur letzten Absicherung der Auslegung heranzuziehen ist. Die Problematik des Tests ist dabei von der Tatsache begleitet, dass man es oft mit Sonder- oder Serienentwicklungen zu tun hat. Naturgemäß lassen sich die Möglichkeiten der zerstörenden Versuchstechnik bei Sonderentwicklungen nicht ausschöpfen, sodass man hier verstärkt auf die numerische Simulation angewiesen ist. Bei Serienbauteilen liegen hingegen stets viele Probanden vor, sodass zerstörend geprüft werden kann, welches dann ein realistischeres Bild ergibt. Zum Umfang von Versuchsprogrammen sind gewöhnlich die Gewinnung von Werkstoffkennwerten (Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang, Bruchzähigkeit etc.) sowie die statische und dynamische Bauteilprüfung (Wöhlerlinien) zu zählen. Die ermittelten Werte dienen einmal der Überprüfung der Annahmen bzw. weiter auch zum Ausbau des Erfahrungsschatzes.

3.5

Versuchstechnik versus Simulationen

21

Die Praxis des Leichtbaus zeigt immer wieder, dass die anfallenden Prüfungen nach Art und Umfang sehr verschiedenartig sind und auch die Größen der Bauteile vielfach wechseln. Feste Prüfeinrichtungen sind demnach oft unzweckmäßig. Vielmehr haben sich variable Aufspannfelder bewährt, die einen hohen Grad an Variabilität in den Prüfungen zulassen. In Abb. 3.3 ist ein Ausschnitt aus dem LbK-Prüflabor mit einigen Apparaturen gezeigt: • Werkstoffprüfmaschine für Zug-/Druckversuche, Bruchmechanik-Versuche und Kurzzeit-Schwingfestigkeitsversuche an Standardproben, • Aufspannfeld (Arbeitsbereich: 2,5  4,0 m) für dynamische Bauteilprüfungen mit servo-hydraulischen Zylindern (25 kN, 63 kN, 100 kN, 160 kN, 250 kN und 380 kN) für Mehrstufen-, Random- oder Nachfahrversuche und • Aufspannfeld (Arbeitsbereich: 4,0  6,0 m) für statische bzw. quasi-dynamische Bauteilprüfungen (bis 300 kN) von Großstrukturen.1 Alle hiermit durchgeführten Versuche müssen in ihrem Ablauf gesteuert und ausgewertet werden, wozu noch Prozessrechner sowie Regelungs- und Auswertesoftware erforderlich sind. Dies alles zusammen ermöglicht erst, Leichtbaukonstruktionen sicher und zuverlässig für den praktischen Einsatz auszulegen.

3.5

Versuchstechnik versus Simulationen

Zur Beurteilung von Konstruktionsvarianten sind physische Tests wie z. B. Bauteilversuche sowie computerunterstütze Methoden, z. B. FEM-Berechnungen hilfreich. Im Idealfall können Simulationen und physikalische Tests durchgeführt und deren Ergebnisse verglichen werden. Aber es gibt auch Restriktionen wie z. B. die zur Verfügung stehende Entwicklungszeit, die nur eine Möglichkeit zulässt. Der Bau von Prototypen ist zeit- und kostenintensiv, so dass die Durchführung von Simulationen der geeignete Weg ist. Die Vor- und Nachteile von Simulationen und physikalischen Tests sind in Abb. 3.4 dargestellt. Stehen mehrere Konstruktionsvarianten zur Auswahl, können anhand von Computersimulationen schon im frühen Entwicklungsstadium Entscheidungen gefällt werden. Vorteil der Simulationen ist schnelle Änderbarkeit und die Möglichkeit mehrere Optimierungen

1

Anmerkung: z. B. nach DIN ISO 3471: Überrollschutzaufbauten oder nach internationalen Prüfungen (ROPS) gemäß pr EN 500-1.

22

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau

Abb. 3.3 Prüfeinrichtungen des Laboratoriums für Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel vorne links: Werkstoff-Prüfmaschine Mitte links: Aufspannfeld für dynamische Prüfungen oben rechts:Aufspannfeld für statische Prüfungen Theoretische Erprobung Vorteile Nachteile kostengünstig hoher Zeitaufwand leicht zu ändern simuliertes Verhalten Materialhypothesen

Physikalische Test Vorteile Nachteile reales Verhalten kostenintensiv gute Vergleichbarkeit geringe Änderungsmöglichkeiten Einfluss von Störfaktoren

Abb. 3.4 Vor- und Nachteile der theoretischen Erprobung vs. physikalischer Test

durchführen zu können. Simulationen werden durch den Vergleich der Ergebnisse mit Ergebnissen aus physikalischen Tests im Laufe der Zeit immer genauer. Stehen im weiteren Verlauf des Projektes immer noch Varianten zur Auswahl, so werden diese mit Hilfe von Versuchen überprüft. Dies ist jedoch mit hohen Kosten verbunden. Am Beispiel des Crashs wird dies deutlich: eine gesamte Simulation ist zwar sehr komplex, jedoch nicht so aufwändig und kostenintensiv wie ein Crash-Versuch mit mehreren Varianten.

3.6

Vergleichbarkeit von Varianten

23

Dagegen wird z. B. bei Fahrzeugneuentwicklungen die Grundaerodynamik mit physikalischen Modellen im Modellwindkanal entwickelt, da sich hier die Form durch Auftragen oder Abtragen von Material sehr schnell ändern lässt und man schneller zu einem aussagekräftigen Ergebnis kommt als mit Simulationen. Ein weiterer Aspekt für die Auswahl der Überprüfungsmethode ist die Betrachtung der Seriengröße. Handelt es sich um eine Kleinserie, so erfolgen meist überwiegend theoretische Untersuchungen und Simulationen. Ein Beispiel hierfür ist das 1-Liter-Auto der Volkswagen AG (s. Abb. 3.5). Für eine Stückzahl von zwei wurden ausschließlich Simulationen durchgeführt. In Rahmen einer Großserie dagegen kommt es zu ausgefeilten und sehr komplexen Betrachtungen, aufwändigen Simulationen und kostenintensiven Versuchen, da die Kosten hierfür durch die große Stückzahl gedeckt werden können.

3.6

Vergleichbarkeit von Varianten

Bei der Erarbeitung einer optimalen Konstruktionslösung ist es zwingend erforderlich, verschiedene Lösungsansätze zu vergleichen. Hierbei ist zunächst die Festlegung der wichtigsten Eigenschaften der Konstruktion, die verglichen werden sollen, unabdingbar. Im Grunde muss für jede Variante die Konstruktion, Berechnung und Erprobung durchgeführt werden. Dabei müssen Bauteile oder Baugruppen auf gleiche Eigenschaften gebracht werden, um dann vergleichen zu können. Zum Beispiel müssen beim Vergleich von Karosserievarianten die Biege-, Torsion- und Crasheigenschaften sowie Fahrleistungen und Verbrauch des Gesamtfahrzeuges gleich sein. Ein reiner Austausch des Werkstoffes oder der Βauweise reicht somit nicht aus. Es ist bei Variation eines Spaceframes mit Außenhautbeplankung für jede Möglichkeit die Konstruktion dem Werkstoff anzupassen und die wichtigsten Strukturkennwerte wie Torsion- und Biegesteifigkeit auf das gleiche Niveau zu bringen.

Torsion/Biegung FEM-Untersuchung

Crashuntersuchung

z Y X

Abb. 3.5 Beispielhafte Simulationen für das 1-Liter-Auto von Volkswagen

Insassenschutz

24

3

Methoden und Hilfsmittel im Leichtbau

Zum Vergleichen eignen sich neben den wichtigsten Konstruktionswerten auch Kennzahlen wie Traglast zu Eigengewicht, Leichtbaugüte (siehe Abschn. 5.7) oder selbsterzeugte, problembezogene Kennzahlen.

Literatur [FEY 90] [HOF 76] [KLE 12]

Feyerabend, F.: Methodische Gewichtsreduzierung – am Beispiel von Industrierobotern. Diss. Universität-GH-Paderborn (1990) Hoffmann, K.: Grundlagen der Dehnungsmeßstreifen-Technik. Manuskript Hottinger Baldwin Meßtechnik, Darmstadt (1976) Klein, B.: FEM – Grundlagen und Anwendungen. Springer Vieweg, Wiesbaden (2012)

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Der Entwicklungsprozess von Produkten muss alle neuen Anforderungen infolge bestehender und neuer Gesetze, Sicherheitsanforderungen und Kundenwünsche wie Komfortverbesserungen im Lastenheft berücksichtigen. Bei Produktaufwertungen und Nachfolgeprodukten sind häufig gestiegene Anforderungen aus diesen Bereichen einzubeziehen. Als Beispiel sei hier die Entwicklung von Fahrzeugkarosserien genannt. Zum Vorgängermodell steigt zunächst das Gewicht infolge höherer Crashsicherheit, Fußgängerschutzanforderungen, steifere Schweller und Akustikmaßnahmen für mehr Komfort an. Die dann angewendeten bekannten und bereits erfolgreich eingesetzten Gewichtsminimierungslösungen reichen oft nicht aus, um das im Lastenheft formulierte Gewichtsziel zu erreichen. Nun ist strategisches Vorgehen erforderlich und die im Folgenden aufgezählten Leichtbauansätze helfen das angestrebte Gewichtszielgebiet zu erreichen. In der Literatur wird oft über verschiedene Möglichkeiten, Leichtbau einzusetzen, berichtet. Diese sind in der Regel sehr breit gefächert und ähneln sich trotz unterschiedlicher Namen oft. Dies führt zu einer diffusen Definition der Leichtbauansätze. Die genaue Kenntnis über die Zusammenhänge und Struktur der einzelnen Methoden ist jedoch wichtig für eine ganzheitliche Betrachtung der vorliegenden Problematik. Ist dies nicht der Fall, kann eventuell das angestrebte Gewichtsziel nicht erreicht werden.

4.1

Einordnung der Leichtbaubegriffe

Die am häufigsten vorkommenden Termini in verschiedenen Fachbüchern sind Leichtbaustrategien, Leichtbauprinzipien und Leichtbauweisen. Grundsätzlich sind diese Begriffe selbsterklärend, z. B. ist eine Leichtbaustrategie, eine Methode um Leichtbau zu betreiben. Der Aufbau und die Zusammenhänge der einzelnen Methoden und die Abgrenzung der Methoden untereinander sind dagegen nicht eindeutig erläutert. # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_4

25

26

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Die grundsätzlichen Zusammenhänge im Leichtbau lassen sich anhand der Graphik Abb. 4.1 verdeutlichen. Leichtbaustrategien, Leichtbauprinzipien und Leichtbauweisen behandeln prinzipiell dieselbe Thematik, aber mit verschiedenen Ansätzen. Die einzelnen Methoden unterscheiden sich weiterhin in ihrer Struktur. Die Leichtbauökonomie hat dagegen einen großen Einfluss auf alle drei Methoden. Zu den Leichtbaustrategien gehören der Stoffleichtbau, Formleichtbau, Bedingungsleichtbau, Konzeptleichtbau sowie der Fertigungsleichtbau (siehe Abb. 4.2). Die Leichtbaustrategien lassen sich als Säulengebilde darstellen. Alle fünf müssen berücksichtigt werden, um alle Leichtbaupotentiale auszuschöpfen. Die fünf Leichtbaustrategien ergänzen sich gegenseitig. Leichtbauweisen dagegen sind verschiedene Herangehensweisen, um ein einzelnes Leichtbauproblem zu lösen. Hierzu gehören die Differential-, sowie die Integral- und Integrierende Bauweise. Die Hybrid-, Modul- und Verbundbauweise gehören ebenfalls dazu. Ein weiterer Bestandteil der Leichtbauweisen sind Vollwand- und Schalensysteme. Damit lassen sich die Leichtbauweisen wie in Abb. 4.3 dargestellt erläutern. Bei den Leichtbauweisen handelt es sich um verschiedene Ansätze zur Lösung einer bestimmten Problematik, diese stehen für sich und müssen dementsprechend isoliert angewendet werden. Trotz der grundlegenden Unterschiede zwischen Leichtbauweisen und -strategien gibt es Überschneidungen. So können die Integral- und Differentialbauweise auch je nach Anwendung und Sichtweise zum Konzeptleichtbau eingeordnet werden. Die dritte Methode sind die Leichtbauprinzipien. Diese unterscheiden sich von den anderen in der Zielsetzung. Leichtbauprinzipien befassen sich nicht nur mit der Gewichts-

Abb. 4.1 Grundsätzliche Zusammenhänge im Leichtbau

4.1

Einordnung der Leichtbaubegriffe

Abb. 4.2 Aufbau der Leichtbaustrategien

Abb. 4.3 Zusammenhänge der Leichtbauweisen

27

28

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

reduktion, sondern auch mit der dynamischen Sicherheit eines Bauteils bzw. einer Baugruppe. Die Parameter sind nicht exakt definiert, sondern werden mit Oberbegriffen dargestellt wie z. B. Form, Topologie, Dimensionen und Werkstoffe. Bauweisen können ebenfalls zu den Leichtbauprinzipien zugeordnet werden (s. Abb. 4.4). Begriffe wie Topologie, Form und Werkstoff sind auch unter den Leichtbaustrategien zu finden. So ergeben sich auch hier mehrere Übereinstimmungen unter den einzelnen Methoden. Bei genauerer Betrachtung wird deutlich, dass die bisher erläuterten Methoden keine wirtschaftliche Betrachtung beinhalten. Der wirtschaftliche Aspekt ist vor allem in der Industrie von sehr großer Bedeutung und ausschlaggebend dafür, ob eine Maßnahme ergriffen oder verworfen wird. Somit wird an dieser Stelle der Begriff „Leichtbauökonomie“ eingeführt. Die Leichtbauökonomie ordnet eine Gewichtseinsparung je nach Kostenaufwand in vier Kategorien ein: Spar-, Öko-, Zweck- und Ultraleichtbau. Diese Einteilung erfolgt unabhängig von der genutzten Methode und ruht ausschließlich auf der Betrachtung der Kosten in Bezug auf das eingesparte Gewicht. Die Einordnung lässt sich anhand des Diagramms in Abb. 4.5 erläutern. Grundsätzlich lässt sich sagen, dass eine Gewichtsersparnis immer mit Kosten einhergeht. Je größer die gewünschte Gewichtsreduktion ist, desto stärker steigen die Kosten. Meist ist dieser Verlauf exponentiell. Die Grenze der Gewichtseinsparung wird durch physikalische Randbedingen festgelegt, z. B. dass eine Konstruktion mit einem bestimmten, minimalen Gewicht nicht möglich ist, da es kein Material mit der erforderlichen Dichte gibt oder eine Konstruktion benötigt ein Minimalgewicht, um keine funktionalen Einschränkungen aufzuweisen. Abb. 4.4 Darstellung der Leichtbauprinzipien

4.1

Einordnung der Leichtbaubegriffe

29

Abb. 4.5 Leichtbauökonomie: prinzipielle Kosten über Gewichtseinsparung

Sparleichtbau bedeutet durch geringe Kosten eine relativ geringe Gewichtsabnahme. Bei einem gleichmäßigen Verhältnis zwischen Gewichtsabnahme und Kosten ist die Rede von Ökoleichtbau. Zweckleichtbau dagegen erlaubt bestimmte Mehrkosten, um ein definiertes Gewichtsziel zu erreichen, wohingegen im Ultraleichtbau stets die leichteste Variante unabhängig von den dadurch verursachten Kosten gewählt wird. Die Einstufung der Gewichtsminderungsziele in Kostengruppen beschränkt die Freiheiten des Konstrukteurs erheblich, z. B. bei der Material- und Fertigungsauswahl. Des Weiteren haben Groß- und Kleinserien unterschiedliche Anforderungen und Potenziale an den Leichtbau und die damit verbundenen Kosten. Dies hat Auswirkungen auf die möglichen Materialien und Fertigungsprozesse. Neben unterschiedlichen Vorgehensweisen bei Groß- und Kleinserie gibt es ebenso Unterschiede bei der Betrachtung von Gesamtsystemen und einzelnen Elementen. Das Gesamtsystem bietet mehr Freiheiten bei der Auswahl der zu verändernden Parameter, wogegen Einzelbauteile mehr Restriktionen enthalten. Je nachdem ob ein Gesamtsystem oder ein Einzelbauteil untersucht wird, werden verschiedene Methoden angewendet. Zum Beispiel ist die Umsetzung von Stoffleichtbau in einem Gesamtsystem sehr schwierig, da die Randbedingungen und Funktionen im Gesamtverbund komplexer sind. Ähnlich ist es bei Einzelbauteil oder Baugruppen; hier ist die Durchführung von Konzeptleichtbau schwer realisierbar, da viele Randbedingungen durch angrenzende Bauteile vorgegeben sind.

30

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Ein Beispiel hierfür ist die Aufgabe, die leichteste Achse in einem Fahrzeug zu realisieren. Die leichteste Achse bedingt viele Anbindungspunkte an der Karosserie, die wiederum eine hohe Anforderung an die Steifigkeit der Karosserie zwischen den Anbindungspunkten erfordern, damit die Veränderungen der Fahrwerksgeometrie unter Last minimal bleiben. Damit wird das Gewicht der Karosserie wiederum erhöht. Weiterhin wird in der Literatur oft in strategischen, taktischen und operativen Leichtbau unterschieden. Hierbei handelt es sich um eine zeitlich orientierte Herangehensweise. Der strategische Leichtbau betrachtet die Zielfindung, der taktische Leichtbau wirkt in der Planungsphase und zeitlich anschließend befasst sich der operative Leichtbau mit der Umsetzung [FRI 17]. Um die Leichtbau-Methoden und -Strategien anwenden zu können, kann eine ganzheitliche Anwendungsstrategie (s. Abb. 4.6) hilfreich sein. Diese Anwendungsstrategie dient als Leitfaden zur Lösung eines Problems und soll die Zusammenhänge und Unterschiede verdeutlichen.

Abb. 4.6 Ablauf einer ganzheitlichen Anwendungsstrategie

4.2

Leichtbauweisen

31

Je nach Art der Aufgabenstellung, ob ein Gesamtsystem respektive Baugruppe oder ein Bauteil betrachtet wird, ergeben sich nach der Festlegung der Probleme und Potenziale unterschiedliche Möglichkeiten. Das Gesamtsystem wird unter den Gesichtspunkten des Konzeptleichtbaus, des Bedingungsleichtbaus und des Fertigungs- und Formleichtbaus untersucht und dann die Entscheidung, ob das Gewichtsziel erreicht ist, getroffen. Nun beginnt die Optimierung auf Bauteilebene Nach der Festlegung der erforderlichen und gewünschten Funktionen und der Wahl der Bauweise werden die Bauteile unter den Aspekten des Stoffleichtbaus, des Formleichtbaus und des Fertigungsleichtbaus betrachtet und optimiert. Alle Ideen und Konzepte zur Gewichtsminimierung müssen bezüglich der Kosten und Umsetzungsrisiken bewertet werden. Die nicht umgesetzten Maßnahmen müssen dokumentiert und archiviert werden, da sie später bei erneut auftretenden Gewichtsproblemen als mögliche, umsetzbare Maßnahme geprüft werden müssen. Die Einzelbauteile, die Baugruppen und das Gesamtsystems ergeben nun ein theoretisches Produkt. Dies wird zunächst bis zu einem Stand konstruiert und entwickelt, an dem ein erster Prototyp gebaut werden kann. Ein erster Prototyp sollte so früh wie möglich gebaut werden, um Eigenschaften und Funktionen überprüfen zu können und die in der Entwicklung nicht erkennbaren Probleme aufzuzeigen. Sind Funktion, Preis und Gewicht im Ziel, dann müssen mögliche Risiken der Gewichtszunahme in der weiteren Entwicklung abgeschätzt werden. Treten diese Risiken oder unerwartete Gewichtszunahmen ein, können die zuvor bewerteten und archivierten Potenziale genutzt werden. Zum Beispiel treten in der Fahrzeugentwicklung oft Probleme der Geräuschdämmung und -dämpfung bei der Erprobung der ersten Fahrzeuge auf. Geräusche im Innenraum zu minimieren bedeutet in der Regel immer ein erhöhtes Gewicht durch Dämmmaterial oder technische Maßnahmen wie z. B. Helmholtzresonatoren. Nun können die zuvor archivierten Gewichtsminderungsmaßnahmen eingesetzt werden, wobei die zusätzlichen Kosten zu Lasten des Problemverursachers, also z. B. der Geräuschdämmung, gehen müssen. Sind Funktion, Preis und Gewicht nicht im Ziel, so muss je nach Größe der Gewichtsabweichung beim Produkt, bei dem Gesamtsystem oder auf Bauteilebene wieder eingestiegen werden. Diese Schleifen werden so oft wiederholt, bis Funktion, Preis und Gewicht akzeptabel sind. In Folgenden werden die Leichtbauweisen und -strategien näher erläutert. Die aufgeführten Strategien sind nicht starr oder einzeln anzuwenden, sondern sollen als Denkanstoß oder Leitfaden dienen. Anhand der Strategien lassen sich verschiedene Lösungsansätze ausarbeiten. Für eine bessere Übersicht ist, wie im Folgenden dargestellt wird, die Zuordnung der Lösungen zu einer bestimmten Strategie sinnvoll.

4.2

Leichtbauweisen

Einer der ersten konzeptionellen Schritte für die konstruktive Ausbildung einer Leichtbaukonstruktion ist die Wahl der Bauform [NN 69]. Diese wird im Allgemeinen bestimmt durch

32

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

b) Integralbauweise

a) Differenzialbauweise 4 Deckblech

1

1 Platte

2 3 Nietung

5

6 geklebte Stringer

2 Rippen

Abb. 4.7 Differenzial- und Integralbauweise bei einer Kabinenbodenstruktur eines Verkehrsflugzeuges, Realisierung als Multi-Verbindungslösung bzw. als einstückige Strangpresslösung

• die Anwendung und die Kosten, • die Sicherheits- und Reparaturanforderungen und • die Möglichkeiten der Fertigung. Ein typisches Beispiel hierfür gibt der Karosseriebau, wo für ein Verkehrsfahrzeug entweder in Klein- oder Großserie zu konzipieren ist. Letztlich führt diese Entscheidung zu einer Space-Frame-Lösung oder einer integrativen Schalenlösung. Mit dem Bau heutiger Elektro-fahrzeugen ist die Bauweise letztlich entscheidend für die Systemwirtschaftlichkeit.

4.2.1

Differenzialbauweise

Das differenzielle Prinzip zählt zu den klassischen konstruktiven Aufbautechniken im Strukturleichtbau [BAU 72], bei dem alle Einzelteile additiv1 verbunden werden. Gewöhnlich wird dies im Blechleichtbau (s. Abb. 4.7) durch überlappendes Nieten, Kleben oder Schweißen durchgeführt. Das angehäufte Verbindungsgewicht (Überlappungen) steht natürlich dem Bestreben, ein Minimalgewicht erreichen zu wollen, entgegen. Als vorteilhaft kann allgemein ange1

Anmerkung: Nach der EU-Altauto-Richtlinie müssen ab 01.01.2006 mindestens 85 % des Fahrzeuggewichts verwertet werden; ab 2015 steigt diese Quote auf 95 %. Ab 2005 müssen Autos so konstruiert werden, dass eine Werkstofftrennung möglich ist.

4.2

Leichtbauweisen

33

sehen werden, dass hierdurch die Kombination [AUT 85] unterschiedlicher Werkstoffe, ein späteres Recycling sowie eine partielle Reparatur möglich sind. Weiterhin weist eine Differenzialbauweise gute fail-safe-Qualitäten (dynamisches Sicherheitsverhalten) auf, da die vorhandenen Löcher und Querschnittsübergänge als Rissfallen oder Rissbremsen wirken. Probleme können jedoch die Kerbwirkung und gegebenenfalls das Korrosionsverhalten aufwerfen.

4.2.2

Integralbauweise

Beim integrativen Prinzip wird eine absolute Minimierung der strukturbildenden Einzelteile angestrebt. Dies erreicht man durch das Konzept der Einstückigkeit (s. Abb. 4.8, z. B. Säulenstruktur). Heute wird dieses Prinzip teils so weit getrieben, dass auch funktionsbildende Elemente (Löcher, Lagerstellen etc.) über die Formgebung realisiert werden. Seitens der Erreichung des Minimalgewichts weist also die Integralbauweise den richtigen Weg. Dem gegenüber sind als Nachteile der meist gleichartige Materialeinsatz, die oft höheren Werkstoff- und Werkzeugkosten sowie das schlechte Schädigungs- und Reparaturverhalten anzuführen. Meist kann eine derart homogen gestaltete Struktur dem Durchwandern von Rissen beim Seitencrash oder in der Dynamik keinen wirksamen Widerstand entgegensetzen.

Teilezahl: 6 Gewicht: 4180 g

Kokillengussteil

Teilezahl: 1 Gewicht: 2300 g High-Q-Casting®

1150

1220

Profil Blech

Abb. 4.8 Vergleich Differenzial- mit Integralbauweise am Beispiel der B-Säule eines Pkws in Aluminiumbauweise. (Quelle: Audi)

34

4.2.3

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Integrierende Bauweise

Vor dem Hintergrund des Schädigungsverhaltens und der Notwendigkeit zur Reparatur, Austauschbarkeit oder zum Recyclings gilt es, die Integration sinnvoll zu begrenzen. Unter Beibehaltung des Grundansatzes versucht man deshalb, zu Teilintegrationen gemäß Abb. 4.9 zu gelangen. Die Vorteilhaftigkeit dieses integrierenden Prinzips ist somit darin zu sehen, dass jeweils die positiven Merkmale der Addition und Integration lokal genutzt werden können. Damit kann es gelingen, alle Probleme bezüglich der Kerben, Korrosion und Rissausbreitung wirksam einzugrenzen.

4.2.4

Verbundbauweise

Die reinen Faserverbundkonstruktionen stellen den klassischen Fall von hochintegrativen Bauweisen dar. Meist lässt sich dies im Maschinen- und Fahrzeugbau nicht so konsequent realisieren, weil eine „metallische Umgebung“ vorhanden ist. Hier besteht dann das Ziel, möglichst geschickt einzupassen. Beispiele hierfür geben die Sandwich- und die Faserverbund-Konstruktionen nach Abb. 4.10. Die Probleme liegen hier in der Fertigung, in den Krafteinleitungsstellen und gegebenenfalls in den Fügungen, sodass Verbundbauweisen gewöhnlich aufwändig sind. Anwendungen haben Verbundbauweisen vor allem im Flugzeugbau gefunden. Kombinationen aus Al-Profilen mit Faserplatten (insbesondere ARALL mit AFK oder GLARE mit GFK) sind beispielsweise im Airbus schon Stand der Technik. Im Fahrzeugbau verspricht man sich vor allem durch Mischaufbauten oder Hybridlösungen von Blechprofilen belegt mit Fasersträngen in Harzeinbettung ein großes Potenzial. Versuche im Alltagsbetrieb laufen derzeit bei kleinen Transportfahrzeugen.

2 Deckblech

Stützwinkel 1

3 Sicken Vollniet 4

Abb. 4.9 Prinzip der integrierenden Bauweise mit definierter Schnittstelle

4.2

Leichtbauweisen

Eckabschluss

35

2

1 GFK/ CFK/ AFK

3

1 Haut Kern

5 Nietung

Faserorientierung 3 Klebung

Stütze 2

4 Blech

4 Blech

Abb. 4.10 Grundprinzipien der Verbundbauweise a) Sandwich-Konstruktion b) Faserverbund/Metall-Konstruktion

laminiert

CFK

walzplatiert

St Al

Al

Mb

Mb

Al

x

Al St Laserwalzplatieren

St, verzinkt Schweißen bzw. Löten mit Zusatzwerkstoff in CMT-Technik (Cold Metal Transfer Schweißen)

Abb. 4.11 Hybridverbunde von Trägern für Nfz-Rahmenstrukturen bzw. Karosseriesektionen

In Abb. 4.11 sind einige Entwürfe von Verbundträgern gezeigt, die als Prototyp für Rahmenaufbauten von Nutzfahrzeugen hergestellt wurden. Der Mechanismus soll darin bestehen, dass unter Biege- oder Torsionsbelastung die äußeren Randfasern mit ihrer höheren Tragfähigkeit bzw. Steifigkeit angesprochen werden. Ziel ist meist die Verringerung von Verformungen bei deutlich gesteigerter Tragfähigkeit. In der Kombination Al mit CFK können somit erhebliche Nutzlaststeigerungen realisiert werden.

36

4.2.5

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Vollwand- und Schalensysteme

Eine ausschließliche Charakterisierung über die funktionellen Eigenschaften ist im Normalfall für große Strukturen wie Karosserien oder Aufbauten von Nutzfahrzeugen nicht ausreichend. Meist ist eine weitere Differenzierung in die Trageigenschaften (Steifigkeit, Eigenfrequenzen) erforderlich. Am Beispiel der Entwicklungsstufen von Flugzeugrümpfen (s. Abb. 4.12) sollen einige prinzipielle Systemlösungen [SCH 58] herausgestellt werden. Analogien dazu findet man auch im Schiffbau oder bei Reisezugwagen, die ähnliche Entwicklungsstufen durchlaufen haben. Zielsetzung ist hierbei ein funktionaler Kompromiss zum wirtschaftlichen Gewichtsminimum. Als frühe Konstruktionslösung kann der Aufbau als Fachwerkprinzip gelten. Hier lag eine klare Aufgabenteilung zwischen Tragen und Verkleiden vor. Die Fachwerkstruktur war kraftführend, während die Blech-Oberfläche kräftefrei war. Diese Ausführung zeigt

a) Knoten +F

Verkleidung

-F

Verkleidung Fachwerk

b)

Profile

+F

Mt

-F Gurt

c)

q Spanten

nx Stringer Abb. 4.12 Schematische Darstellung eines Flugzeugrumpfes a) in Fachwerk-Bauweise, die Verkleidung trägt hierbei nicht b) als Vollwandsystem, die Verkleidung trägt vorwiegend auf Schub c) als Schalensystem, die Verkleidung kann Normal- und Schubkräfte abtragen

4.3

Leichtbaustrategien

37

typische differenzielle Merkmale mit allen Vor- und Nachteilen. Bei Nutzfahrzeugen (Kleinlaster, Omnibusse) oder Elektromobilen mit kleineren Stückzahlen werden derartige Aufbauten (s. Abb. 4.13) auch heute wieder verstärkt eingesetzt. Als Folgeentwicklung ist die Vollwand-Bauweise entstanden, bei der die Funktionen Tragen und Verkleiden verknüpft sind. Kennzeichnend für ein Vollwandsystem ist eine aus Blechwänden und massiven Einzelgurten aufgebaute Konstruktion, bei der die Tragfunktion so aufgespalten ist, dass die Bleche vorwiegend Schubflüsse (aus Querkräften) abtragen bzw. die Gurte konzentrierte Einzelkräfte aus Biegung der Struktur aufnehmen. Hiermit verglichen ist eine Schalenkonstruktion feingliedriger aufgebaut. Die eingebrachten Stringer und Spanten bestehen aus relativ dünnwandigen Profilen, wodurch eine weitestgehend stetige Verteilung der Kräfte in der Gesamtstruktur erreicht wird. Die Profile übertragen somit Schub- und Normalkraftflüsse (s. Kap. 9) und leiten diese in die Blechverkleidung ab. Um dies auch sicherzustellen, sind meist besondere Ein- und Ableitungskonstruktionen für die Kräfte notwendig. Die Schalenbauweisen (s. Automobilkarosserie) sind in der Praxis meist mit einem hohen Werkzeugeinsatz verbunden. Hieraus folgt, dass dies nur bei entsprechend hohen Stückzahlen wirtschaftlich sein kann. Großserienautomobile werden deshalb immer in Schalenbauweise und Kleinserienautomobile in Space-Frame-Bauweise hergestellt werden.

4.3

Leichtbaustrategien

An dieser Stelle sollen lediglich die Begriffe der Leichtbaustrategien kurz erläutert werden. Wie in Abschn. 4.1 beschrieben können konkrete Leichtbaumaßnahmen oft mehreren Strategien zugeordnet werden.

Abb. 4.13 Al-Space-Frame-Struktur eines E-Mobils (Quelle: Universität Kassel) aus Strangpressund IHU-Profilen

38

4.3.1

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Stoffleichtbau

Der Begriff Stoffleichtbau bezeichnet den reinen Austausch des verwendeten Materials mit einem leichteren Werkstoff. Dabei müssen Kosten und Fertigungsmöglichkeiten berücksichtigt werden. Der wichtigste Aspekt des Stoffleichtbaus ist die Vergleichbarkeit. Wie in Abschn. 3.6 erläutert müssen Varianten eines Bauteils dieselben Eigenschaften aufweisen. Somit müssen Bauteilgeometrie und Wandstärken angepasst werden. Prinzipiell lassen sich Stahl durch Aluminium, Aluminium durch Magnesium und Leichtmetalle durch Faserkunststoffverbunde ersetzen. Bei einer Neukonstruktion lassen sich für die Werkstoffwahl sehr gut die Kap. 5 beschriebenen, belastungsbezogenen Leicht-baukennzahlen nutzen. Meistens benötigen leichtere Werkstoffe aufgrund des niedrigeren E-Moduls eine größere Wandstärke oder einen größeren Bauraum.

4.3.2

Fertigungsleichtbau

Unter Fertigungsleichtbau werden alle Gewichtsminderungsmaßnahmen verstanden, die den Produktionsprozess beeinflussen. Insbesondere bei bestehender Produktionsanlage werden ähnliche oder gleiche Fertigungsverfahren in geänderter Weise eingesetzt. Damit werden Kosten für neue Produktionsanlagen gespart. Daher können an dieser Stelle z. B. die Verfahren Tailored Blanks, Tailored Tubes, Patchwork Technik und Bonded Blanks aufgezählt werden. Sie optimieren an den erforderlichen Stellen die Wanddicke und die Bauteile werden dem Beanspruchungsverlauf gerechter. Somit könnten diese ebenfalls zum Bedingungsleichtbau gezählt werden. Fertigungsleichtbau bezieht sich ebenfalls auf verschiedene Fügetechniken. Durch Ändern der Montagetechnologie von Schrauben, Nieten oder Punktschweißen zu Kleben, Löten oder Laserschweißen können montagebedingte Materialanhäufungen entfallen. Werkstoffeigenschaften verbessernde Umformungen wie das Warmumformen oder das superplastische Umformen werden auch dem Fertigungsleichtbau zugeordnet.

4.3.3

Formleichtbau

Formleichtbau ist die Optimierung der Materialverteilung im Bauteil. Das Einbringen spezieller Formen entsprechend der Belastungen, wie Bombierungen oder Sicken sowie konstruktive Versteifungen zum Beispiel durch Rippen, wird dem Formleichtbau zugeordnet. Das Grundprinzip des Form-Leichtbaus ist das Einsetzen von Material dort, wo es benötigt wird. So werden Bereiche hoher Belastungen verstärkt und Bereiche geringerer Beanspruchung, soweit die Fertigungsverfahren dies zulassen gezielt, geschwächt. Offene Profile sind zu schließen, diese in deren Dimensionen zu optimieren oder das Einbringen

4.3

Leichtbaustrategien

39

von Löchern in der neutralen Faser oder in Bereichen geringer Belastungen eines Balkens gehören ebenfalls zu dieser Leichtbaustrategie.

4.3.4

Konzeptleichtbau

Der Konzeptleichtbau wählt die beste bzw. die geeignetste Bauweise aus dem Verhältnis zwischen Funktion und Gewicht. Der Konzept-Leichtbau nutzt schwerpunktmäßig die Integral- und die Differentialbauweise. Bei der Integralbauweise werden eine bestimmte Anzahl Funktionen in einem Bauteil integriert, somit werden weniger Bauteile benötigt. Die Differentialbauweise dagegen basiert auf Funktionsdiversifikation, d. h. im Grenzfall gibt es pro Funktion ein Bauteil. Welches Prinzip ausgewählt wird, hängt von der Menge und der Art der Funktionen ab. Als Grundregel soll dienen: werden viele unterschiedliche Funktionen benötigt, so wird die Differentialbauweise bevorzugt. Die Integralbauweise dagegen wird dann gewählt, wenn es viele ähnliche Funktionen zu berücksichtigen gilt. Des Weiteren muss der Erfüllungsgrad der Funktionen in Bezug auf ihre Bedeutung beachtet werden. Ist das teilweise Erfüllen einer Funktion tolerierbar, so kann die Integralbauweise angewendet werden. Handelt es sich jedoch um eine erforderliche Funktion mit hohem Erfüllungsgrad, so ist bevorzugt die Differentialbauweise zu wählen. Zu den Integral- und Differentialbauweisen können verschiedene Karosseriebauarten gezählt werden. Ein Gitterrohrrahmen mit Beplankung ist unter der Differentialbauweise anzuordnen. Hier gibt es ein Bauteil für die Funktion „Tragen“, der Gitterrohrrahmen, und ein Bauteil für die Außenhaut, die Beplankung. So wird die Funktion „Tragen“ optimal erfüllt, denn der Gitterrohrrahmen wird dem Kraftfluss optimal angepasst. Bei der aktuell in der Serienproduktion verwendeten Schalenbauweise handelt es sich um die Integralbauweise, denn die Tragfunktion und die Außenhaut werden in einen Bauteil vereint. Dies hat jedoch zur Folge, dass der Kraftfluss an den äußeren Konturen des Fahrzeugs folgen muss und somit die Karosserie im Vergleich zum Gitterrohrrahmen schlechtere Eigenschaften aufweist. Der Ultraleichtbau kann ebenfalls zum Konzept-Leichtbau gezählt werden. Ohne Berück-sichtigung der Material- und Fertigungskosten wird immer die leichteste Variante gewählt. Dies findet man in der Raumfahrt, im Motorsport, aber auch in anderen Sportarten wie den olympischen Disziplinen und in der Medizin.

4.3.5

Bedingungsleichtbau

Beim Bedingungsleichtbau werden die äußeren Einflussfaktoren, die auf ein Produkt wirken, z. B. ein Flugzeug, untersucht und mithilfe der daraus gewonnenen Erkenntnisse wird das Konzept optimiert.

40

4

Leichtbau-Methoden und -Strategien

Durch Herabsetzen der Beanspruchung und der Beanspruchbarkeit oder der zu erwartenden Lebensdauer kann Gewicht gespart werden. Dies kann z. B. durch genaue Kenntnis der Belastungen und Einschränkung der Missbrauchsfälle geschehen oder auch durch Schulung der Nutzer. So können Flugzeuge genauer ausgelegt werden, denn Piloten kennen als geschultes Personal genau die Belastungsgrenzen ihres Flugzeuges. Die Beanspruchung kann aber auch durch konstruktive Maßnahmen verringert werden, durch Verkürzung der Hebelarme und/oder der Lastpfade. Optimal ist es, bestimmte material- oder formbedingte Beanspruchungen zu vermeiden. So sollten Druck- durch Zugbeanspruchung sowie Biegung durch Druck ersetzen werden. Diese Vorgehensweise findet sich oftmals in der Natur wieder, z. B. in der Bogenform eines Muschelkamms. Wird ein Fahrzeug betrachtet, so fällt auf, dass nicht alle Bauteile die gleiche Lebensdauer aufweisen, d. h. dass manche Elemente überdimensioniert sind. Dort findet man weiteres Potenzial für den Bedingungsleichtbau. Werden also alle Bauteile mit gleicher Lebensdauer ausgelegt, so können Bauteile kleiner dimensioniert und dadurch kann Gewicht gespart werden.

Literatur [AUT 85] [BAU 72] [FRI 17] [NN 69] [SCH 58]

Autorenkollektiv: Konstruieren mit Verbund- und Hybridwerkstoffen (Bericht 563). VDI, Düsseldorf, 1985 Baumgartner, H.: Optimaler Leichtbau von Schienenfahrzeugen. Nahverkehrspraxis. 11, 442–454 (1972) Friedrich, H.E. (Hrsg.): Leichtbau in der Fahrzeugtechnik, 2. Aufl. Springer, Berlin/ Heidelberg (2017) N.N.: Festigkeitsgerechtes Konstruieren im Fahrzeugbau. Merkblatt Studienkreis der Verkehrsfahrzeuge e.V. (1969) Schapitz, E.: Berechnungsverfahren für Schalenkonstruktionen (Bericht). VDI, Bd. 28, Düsseldorf, 1958

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl

Das Spektrum der im modernen Leichtbau zum Einsatz kommenden Werkstoffe ist heute sehr groß. Traditionell wurden immer hochfeste Stähle und Aluminiumlegierungen eingesetzt. Mit den gewachsenen Anforderungen haben aber auch Magnesium- und Titanlegierungen Bedeutung erlangt. Derzeit werden gerade große Anstrengungen unternommen, mit Verbundwerkstoffen neue Anwendungen zu erschließen. Um insgesamt zu einem zweckgerechten Werkstoffeinsatz zu kommen, bedarf es eines frühzeitigen Überblicks über die Ausnutzbarkeit der verschiedenen Werkstoffe. Hierzu müssen quantifizierende Größen, Auswahlkriterien und Auswahlprozesse definiert werden.

5.1

Eigenschaftsgrößen

Die Eignung eines Werkstoffes in belasteten Strukturen eingesetzt werden zu können, lässt sich auf wenige Kenngrößen [GÜR 58] zurückführen. Hierzu sind zu zählen: • die physikalischen Größen Dichte ρ¼

 m
kg=dm3 , V

ð5:1Þ

α¼

ΔL ½1=K, L0  ΔT

ð5:2Þ

lineare Wärmeausdehnung

Wärmeleitfähigkeit λ[W/(m  K)] # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_5

41

42

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl

sowie • die mechanischen Größen Auslegespannung (Rm, ReH, Rp0,2), Elastizitätsmodul (E), Querkontraktion (ν) und Bruchzähigkeit (KIc). Mit diesen Größen kann dann eine Einsatz- und Gewichtswertung sowie weiter eine Strukturberechnung durchgeführt werden.

5.2

Linear elastische Kenngrößen

Im Vordergrund sollen jetzt die für eine Bauteilauslegung besonders relevanten mechanischen Eigenschaften stehen. Hierunter sind vor allem die im Zugversuch (DIN EN 100021) aus dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm ableitbaren Größen zu verstehen. Unter Heranziehung von Abb. 5.1 sind diese folgendermaßen charakterisiert: • Bis zur Proportionalitätsgrenze Rp liegt gemäß dem bekannten Hooke’schen Gesetz (Robert Hooke, 1635–1703) ein linearer Zusammenhang zwischen der Spannung und der reversiblen elastischen Dehnung (εe1 ~ σ) vor. Das Hooke’sche Gesetz für Normalspannungen [MER 00] ist definiert zu ε¼βσ

ð5:3Þ

mit der Dehnzahl β. Gewöhnlich wird statt der Dehnzahl ihr Reziprokwert, der so genannte Elastizitätsmodul E, eingesetzt. Damit lautet das Hooke’sche Gesetz: σ ¼ E  ε: Rm ×

wahr

×

Bruch

Rm ReH R eL R p0,01

σ

σ

a) weiche r Stahl

b) hochfeste Al-Legierung

Rm Rp0,2

×

Bruch

Hooke’sche Gerade εel α = arc tan E

ε pl εg

εΒ ε

0,2 %

Abb. 5.1 Aus dem Zugversuch ermittelte Spannungs-Dehnungs-Diagramme

ε

5.2

Linear elastische Kenngrößen

43

• Ab den Streckgrenzen ReL, ReH fängt ein Werkstoff an überproportional zu fließen. Liegt insgesamt nichtlineares Werkstoffverhalten vor, so müssen für eine Beschreibung Ersatzgrößen wie die technische Elastizitätsgrenze Rp0,01 für 0,01 % Referenzdehnung oder die 0,2 % Dehngrenze Rp0,2 für 0,2 % Referenzdehnung definiert werden. • Weiter ist die Zugfestigkeit Rm Rm (bzw. σB) als maximal aufnehmbare Spannung bezogen auf den Ausgangsquerschnitt Ao der Probe (Cauchy-Spannung) von Bedeutung. Wichtiger ist hiergegen die wahre ausnutzbare Spannung Rmwahr , bis zu der ein Bauteil örtlich beansprucht werden kann. Unter der Annahme von Volumenkonstanz (Ao  Lo ¼ A  L) ergibt sich die Piola-Kirchhoff-Spannung zu σwahr ðεÞ ¼ σð1 þ εÞ,

wozu auch die wahre Dehnung gehört: εwahr ¼ lnð1 þ εÞ:

• Im Zusammenhang damit steht die Bruchdehnung (εB, A) gemäß der Definition A¼

ΔL  100 ½% L0

ð5:4Þ

als größte Verlängerung. Da der angegebene Wert vom Verhältnis Messlänge zu Querschnitt abhängt, muss die nähere Spezifizierung (s. DIN EN 10002-1) durch die Angabe A (früher A5) oder A11,3 (früher A10) erfolgen mit L0 ¼ (5  10)  d0

(Rundquerschnitt),

L0 ¼ ð5  10Þ  1, 13 

pffiffiffiffiffiffi A0

(Rechteckquerschnitt).

Des Weiteren ist manchmal noch von Bedeutung: • das Streckgrenzenverhältnis ReH/Rm als ein Maß für die Sprödbruch-Empfindlichkeit eines Werkstoffs, • der Schubmodul G als Widerstandsmaß gegen Gleitung, welcher insbesondere bei isotropen Werkstoffen über G¼

E 2 ð1 þ ν Þ

ð5:5Þ

44

5

Abb. 5.2 Maßgebende Steifigkeitskenngrößen bei stark nichtlinear ausgeprägtem Werkstoffverhalten

Kriterien für die Werkstoffauswahl



 Rp,2



0,2



mit dem E-Modul1 verknüpft ist, und ε

• die Querkontraktion ν ¼ εLp ¼ 2EG  1 (Poisson’sche Zahl) als richtungsabhängige Volumenänderung eines Werkstoffs. Bei vielen Dimensionierungen spielen auch zeitabhängige Größen eine Rolle, z. B. gehören dazu • die Zeitdehngrenze σ1/100000 bzw. die Zeitbruchgrenze σB/100000 für Werkstoffe, die nach 100.000 Stunden Belastungszeit zu 1 % bleibende Kriechdehnung oder zum Bruch führen, oder • die Dauerfestigkeit σA als die unter Schwingbeanspruchung beliebig lang ertragbare Spannungsamplitude. In den meisten Fällen reichen diese Kennwerte zur Abschätzung eines Werkstoffeinsatzes aus. Unter besonderen Bedingungen, wie beispielsweise Rissbruchgefahr, gilt es, mit der Bruchzähigkeit (Kc,KIc ) gegebenenfalls auch andere Bewertungsgrößen heranzuziehen. 1

Anmerkung: E-Moduli verschiedener Werkstoffe

EC15 ¼ 204 GPa, EC 35 ¼ 202 GPa, EC 60 ¼ 200 GPa,

E41Cr4 ¼ 203 GPa, EX12 CrNi 188 ¼ 191 GPa, EAlCuMg ¼ 70 GPa,

EAlMgSi ¼ 69 GPa, EG ‐ AlSi ¼ 75 GPa, EMgAl 7 ¼ 43 GPa

5.3

5.3

Nichtlinear elastische Kenngrößen

45

Nichtlinear elastische Kenngrößen

In der Praxis kommt es oft vor, dass bei hoch ausgelasteten Leichtbauwerkstoffen der lineare Bereich des Spannungs-Dehnungsgesetzes überschritten wird und der Werkstoff großflächig oder zumindest partiell fließt. Im Abb. 5.2 ist ein typischer nichtlinearer Verlauf [KAN 63] dargestellt, so wie er bei hochfesten Stählen oder Aluminium und Magnesium vorkommt. Im Einzelnen können in dem σ-ε-Diagramm definiert werden: • der Elastizitätsmodul E ¼ tan α, • der Plastizitätsmodul Φ ¼ tan Φ,

ð5:6Þ

• der Sekantenmodul ES ¼ tan ψ, • der Tangentenmodul ET ¼ tan ß:

Insbesondere haben E und ET eine wichtige Bedeutung bei Instabilitätsbetrachtungen (siehe hierzu Kap. 18). Zur Quantifizierung von beliebigen nichtlinearen Verläufen von statistischen Spannungs-Dehnungskurven wird in der Praxis vielfach noch die Approximation von Ramberg-Osgood [ÖRY 83] benutzt. In der Abb. 5.3 ist die prinzipielle Vorgehensweise für metallische Leichtbauwerkstoffe mit ihren Bezugspunkten exemplarisch dargestellt. Die maßgeblichen Gleichungen stellen den Zusammenhang zwischen den Spannungen und der Dehnung her als   n  R0, 7 σ 3 σ • Dehnungsmaß : ε ¼ þ , ð5:7Þ E R0, 7 7 R0, 7

σ

σ

β R p0,2

mit E 0 , 7 = 0 , 7 .E

R0,7

E 0 , 85 = 0 , 85 .E

R0,85

(E) (E0,85) (E0,7)

ψ α ε

ε

Abb. 5.3 Analyse von verfestigenden Spannungs-Dehnungs-Verläufen nach Ramberg-Osgood

46

5

 [MPa]

3000

Rp0,2

2800

R0,85

Kriterien für die Werkstoffauswahl

R0,7

2600 2400 2200 2000 gemessen: F = 2370 MPa Rp0,2 = 2750 MPa Rm = 2780 MPa B = 2 % x---x Verlauf nach Ramberg-Osgood 1000

Rp0,2 = 2745 MPa, R0,7 = 2770 MPa, R 0 , 85  2750 MPa

800 600 400 200 0.2 0.4

0.4

1.2

1.6

2.4  [ % ]

2.0

Abb. 5.4 Approximation nach Ramberg-Osgood /6/ für statistische Fließkurve von Mara-ging-Stahl X2NiCoMo 18 12 4

• Ersatzstreckgrenze :



1 n1 Rp0, 2 ¼ 4, 66  103  E n R0, 7 2 ,

• Tangentenmodul :

• Sekantenmodul :

ET ¼ E

1þ

ES ¼ E

3

7n

1þ

3 7

1



σ

ð5:8Þ ð5:9Þ

n1 ,

R0, 7

1  n1 : σ

ð5:10Þ

R 0, 7

In die Gleichung geht noch ein Exponent (n > 1) ein, der die Anpassung steuert: • Approximationsexponent :



ln 17  7 : n¼1þ R ln R00,,857

ð5:11Þ

Die Anwendung dieser Formeln ist in der Abb. 5.4 beispielhaft bei der Charakterisierung eines hochfesten Stahls für den Einsatz im Hochtemperaturbereich (z. B. Turbinenschaufeln) gezeigt.

5.4

5.4

Belastungseigenschaften

47

Belastungseigenschaften

In Hybridkonstruktionen, geschichteten Verbänden oder Faserverbund-Konstruktionen müssen die elastischen Kenngrößen der zusammenwirkenden Werkstoffe besonders sorgfältig aufeinander abgestimmt werden. Als Beispiel hierfür können unidirektionale Faserverbünde (Abb. 5.5) unter einachsiger Zugbelastung angeführt werden, bei denen das Tragvermögen besonders transparent darstellbar ist. Nach der klassischen Laminattheorie (s. VDI 2014) sind dann Fasern und Matrix sehr unterschiedlich an der Lastübertragung beteiligt: • Hohe Ausnutzung verlangt dabei, dass die Bruchdehnung der Matrix größer ist als die Bruchdehnung der Faser: εBM  εBF. • In der Regel ist der E-Modul der Faser viel größer als der E-Modul der Matrix EF > > EM. Die Fasern ziehen somit als steifere Schicht die Belastung auf sich. • Infolge geringerer Verformungsfähigkeit sind aber die Fasern bruchgefährdet. Faserbruch zieht jedoch das Versagen des Laminats nach sich. • Durch das Laminat bilden sich je nach Schnittrichtung durch Faser und Matrix einmal eine Parallelschaltung (jj) und einmal eine Reihenschaltung (∣)aus.

Aus dem Kräftegleichgewicht in Faserrichtung folgt σ j j A ¼ σF  AF þ σM  AM ,

ð5:12Þ

bzw. mit Berücksichtigung der geometrischen Bedingung ε j j¼ εF ¼ εM ¼ konst: und den linear elastischen Stoffgesetzen σF ¼ EF  εF ,

σM ¼ EM  εM

bestimmt sich die sogenannte „Mischungsregel“ Abb. 5.5 Unidirektionales Schichtelement (UD-SE) unter reiner Normalbeanspruchung (F ¼ Faser, M ¼ Matrix, ϕF ¼ Faservolumenanteil)

Nxi

x

L σM Nxi

AFi σF

y z Nx

AMi F M

48

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl

E j j ε j j A ¼ ðEF  AF þ EM  AM Þ  ε j j A A E j j¼ EF  F þ EM  M ¼ ϕF  EF þ ð1  ϕF Þ  EM : A A

ð5:13Þ

Das heißt, es wird real ein aus Faser und Matrix „gemischter“ Elastizitätsmodul Ejj ¼ Em wirken. Nach [ÖRY 83] lässt sich die Festigkeit von faserartigen Verbünden in etwa ab-schätzen zu RzBm  RzBF 

Em : EF

ð5:14Þ

Damit kann ein Traglastverhältnis zu ηT ¼

RzBm  ϕF RzBF

ð5:15Þ

definiert werden, woraus folgt, dass die Ausnutzung proportional zum Faservolumen (ca. 50–55 %) ist.

5.5

Bezogene Werkstoffeigenschaften

Im Leichtbau ist es üblich, die mechanischen Eigenschaftswerte eines Werkstoffs auf die Dichte zu beziehen, um eine schnelle Vorauswahl [MEN 60] durchführen zu können.

5.5.1

Spezifisches Volumen

Die einfachste Kenngröße ist ðg1 ρÞ bzw .

 0 1 ρ

, mit der unabhängig von elastomechanischen

Eigenschaften das eingenommene Volumen eines Bauteils charakterisiert werden kann.

5.5.2

Spezifische Steifigkeit

Entsprechend kann mit ðgE ρÞ eine bezogene Längssteifigkeitskenngröße bzw. mit ðgG ρÞ eine bezogene Schubsteifigkeit definiert werden. Diese sind ein Maß für die eintretende Deformation.

5.5

Bezogene Werkstoffeigenschaften

5.5.3

49

Stabilitätswiderstand

pffiffiffi p3 ffiffiffi Mit ðg EρÞ wird weiter die Knickstabilität von Stäben bzw. mit ðg EρÞ die Biegesteifigkeit von

Balken und die Beulstabilität von Platten charakterisiert.

5.5.4

Reißlänge

Mit Reißlänge wird das Verhältnis

Rm ðg  ρÞ

ausgedrückt. Es quantifiziert demgemäß, bei

welcher Länge ein aufgehängter Faden unter Eigengewicht reißt und kann somit zur Bewertung des Zugbeanspruchungszustandes herangezogen werden.

5.5.5

Werkstoffwertung

In der Abb. 5.6 ist eine Kenngrößenauswertung für einige Leichtbauwerkstoffe vorgenommen worden. Je größer hierin der Zahlenwert des spezifischen Volumens wird, umso größer ist auch das eingenommene Volumen.

R m MPa

1 dm 3 kg

210.000

700

0,1274

2.675,16 8,92

2,70

70.000

400

0,3700

2.592,60 14,80

Mg-Legierung

1,74

45.000

300

0,5750

2.586,07 17,24

Ti-Legierung

4,50

110.000

0,222

2.444,44 22,22

PA 6 (trocken)

1,15

2.500

0,8690

217,40

GFK-UD (50 %)

2,25

39.000

1.150

0,4444

1.766,90 52,10

CFK-UD (50 %)

1,50

120.000

1.700

0,6667

8.155,88 115,53

AFK-UD (50 %)

1,32

31.000

1.250

0,7576

2.393,97 96,53

Holz

0,50

12.000

100

2,0000

2.400,00 20,00

Beryllium

1,85

245.000

400

0,54

13.243,24 21,62

Lithium

0,53

12.000

180

1,89

22.641,51 33,96

Werkstoff

kg dm 3

Stahl-Legierung

7,85

Al-Legierung

E [MPa]

1.000 80

E g

[km]

Rm [km] g

6,96

Abb. 5.6 Wertung ausgewählter Konstruktionswerkstoffe unter Zugbeanspruchung mit gemittelten Spezifikationswerten

50

5

Eigenschaften bezüglich stat. Festigkeit - Zug, Druck

Kriterien für die Werkstoffauswahl

Gütekennzahl HOLZ Mg- Al- Ti- STAHL GFK CFK AFK Leg. Leg. Leg.

R m/ g ρ

1,35

1,16

1

1,50

0,60

7,65 3,45 6,39

Längssteifigkeit - Zug, Druck

E/ g ρ

0,93

1,00

1

0,94

1,03

0,67 3,09 0,91

Schubsteifigkeit - Torsion

G/ g ρ

-

1,06

1

0,93

1,06

0,32 1,11 0,15

Knicksteifigkeit von Stäben

E/ g ρ

0,96

1,00

1

0,97

1,02

0,82 1,76 0,95

E/ g ρ

0,97

1,00

1

0,98

1,01

0,87 1,46 0,97

0,47

1,55

1

4,54

2,08

9,14 2,29 19,78

0,20

2,50

1

1,50

2,50

0,75 0,20 0,20

1,20

1,20

1

2,20

1,30

1,70 2,80 3,20

Beulsteifigkeit und Biegesteifigkeit von Platten

3

elastisches Arbeitsaufnahmevermögen

R p 0, 2 2

Schlagzähigkeit

[A]

Schwingfestigkeit R = -1 N = 10 6

E

bw /

g ρ

Abb. 5.7 Gütekennzahlen zur Beurteilung der Leichtbaueignung einiger typischer Konstruktionswerkstoffe normiert auf Aluminium

Die Höhe des Zahlenwertes bei der spezifischen Steifigkeit ist danach ein Maß für den Widerstand gegen Verformbarkeit bzw. bei der Reißlänge ein Maß für die festigkeitsmäßige Ausnutzbarkeit unter reiner Zugbeanspruchung.

5.6

Gütekennzahlen

Als Erweiterung zu den vorstehenden Bewertungsmöglichkeiten kann man die Gütekennzahlen [CON 77] ansehen. In der Abb. 5.7 ist eine Zusammenstellung der in der Praxis gebräuchlichen Gütekennzahlen zu unterschiedlichen Beanspruchungsarten gegeben. Des Weiteren ist eine Normierung auf AluminiumLegierungen vorgenommen worden, was vielfach den Vergleich relativierbarer macht. Eine normierte Gütekennzahl2 gibt demgemäß an, um wie viel leichter (oder schwerer) eine geometrisch ähnliche Konstruktion aus dem betrachteten Werkstoff 2

Anmerkung: Werte in der Tabelle > 1 heißen „leichter“, < 1 heißen „schwerer“.

5.7

Leichtbaukennzahlen

51

ist verglichen mit jener aus dem gewählten Bezugswerkstoff. So wäre nach der Tabelle die auf statische Zugfestigkeit ausgelegte Verstrebung eines Flugzeugflügels aus GFK um den Faktor 7,65-mal leichter als aus einer Al-Legierung. Bei Auslegung auf die gleiche Längssteifigkeit wäre sie aber nur noch 0,67-mal so leicht, also 1,49-mal schwerer. Insofern erlaubt die Tabelle eine sehr gute Zuordnung von Werkstoffen zu bestimmten Beanspruchungscharakteristika und dient einer schnellen Vorauswahl.

5.7

Leichtbaukennzahlen

Im Stadium der weiteren Konkretisierung einer Werkstoffentscheidung geht es darum die Belastung und die Geometrie realer zu erfassen. Die Leichtbaukennzahl stellt das Verhältnis zwischen der Gesamtlast FG, die eine Tragkonstruktion aufnehmen kann, zur Eigenlast FE der unbelasteten Konstruktion dar. Insofern ist anzusetzen: LBK ¼

FG : FE

ð5:16Þ

Je größer der Zahlenwert der LBK wird, umso geeigneter ist der gewählte Werkstoff bei dem vorliegenden Belastungsfall für eine Leichtbaukonstruktion. Für die drei häufig vorkommenden Belastungsfälle Zug, Biegung und Knickung soll im Folgenden die Bestimmung der Leichtbauzahl kurz gezeigt werden: • Die Leichtbaukennzahl für Zug ergibt sich aus der Festigkeitsbedingung

σvorh ¼

FG  Rp0, 2=eH A

ð5:17Þ

und der Eigenlast des Zugstabes (identisch der Masse) FE ¼ ρ  g  A  L:

Gemäß Definition folgt daraus LBKZ ¼

Rp0, 2=eH FG Rp0, 2=eH  A ¼ ¼ FE ρ  g  A  L ð g  ρÞ  L

ð5:18Þ

52

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl

Definition: Leichtbaukennzahl für Zugfall

LBK z =

Werkstoff

[

ρ kg/dm 3

]

R p0,2 / eH [MPa]

GFK II (0.55) CFK# (0.55)

(ρ⋅g)⋅L

LBK z für L = 1.000

355 240 220 460 700 900 1.100

7,85 2,70 1,74 7,85 4,50 1,95 1,40

St 52-3 (S 355 JO) AlCuMg 1 F 38 MgAl 6 Zn Q StE 460 (S 460 NL) TiCr 5 Al 3

R p0,2 / eH

4.609,88 9.061,05 12.888,56 5.973,37 15.856,84 47.047,75 80.093,20

Abb. 5.8 Leichtbaukenngrößen für ein Bauteil unter Zugbeanspruchung

In der Abb. 5.8 ist dazu die Bewertung eines Zugstabes für einige alternative Werkstoffe gegeben. Bei der Aufstellung der Leichtbaukennzahl für Biegung muss der Lagerungsfall mit eingearbeitet werden. Danach kann man für den Balken auf zwei Stützen mit dem Gesamttragmoment bzw. -kraft ansetzen M¼

Rp0, 2=eH  J FG  L , ¼ 4 e

durch Umstellen erhält man FG ¼

4 Rp0, 2=eH  J  : L e

Wird beispielsweise ein Rechteckquerschnitt (mit e ¼ h/2) zugrunde gelegt, so wird das Flächenträgheitsmoment J¼

A  h2 12

und die Leichtbaukennzahl somit Rp0, 2=eH 2 : LBKb ð2Þ ¼  3 ðg  ρÞ  L2 =h Für den Kragbalken erhält man dagegen mit dem Tragmoment

ð5:19Þ

5.7

Leichtbaukennzahlen

53

M¼

Rp0, 2=eH  J ¼ FG  L e

und somit FG ¼

1 Rp0, 2=eH  J  : L e

Für die Leichtbaukennzahl findet sich so Rp0, 2=eH 1 LBKb ð1Þ ¼  : 6 ðg  ρÞ  L2 =h

ð5:20Þ

Eine typische Auswertung dieses Falles zeigt weiter die Abb. 5.9. Auch hier gilt wieder, dass durch die absolute Größe des Zahlenwertes die Vorteilhaftigkeit einer speziellen Werkstoffwahl für den Leichtbau ausgedrückt wird. • In Analogie zur Bewertung einzelner Strukturelemente kann auch für ganze Strukturen eine Leichtbaukennzahl definiert werden. Bei Karosserien oder großen Karosseriebauteilen (Türen, Klappen etc.) verwendet man hier die Leichtbaugüte-Kennzahl, beispielsweise für die Torsionssteifigkeit

FG

Definition: Leichtbaukennzahl für Biegefall

LBK b

FE

R p0,2/eH 6

g L2 / h

R p0,2/eH MPa

LBK b für

L2 h

Werkstoff

kg/dm 3

St 52-3 (S 355 JO)

7,85

355

768,31

AlCuMg 1 F 38

2,70

240

1.510,17

MgAl 6 Zn

1,74

220

2.148,09

Q StE 460 (S 460 NL)

7,85

460

995,56

TiCr 5 Al 3

4,50

700

2.642,81

GFK

1,95

900

6.970,04

1,40

1.100

13.348,87

(0,55)

CFK# (0,55)

Abb. 5.9 Leichtbaukenngrößen für ein Bauteil unter Biegebeanspruchung

1.000

54

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl

mRK L T [10−3 kg ° /Nm 3 ] 9

8,13 fun ktio n

8 7 6

ale r Le ich

tba u

4,65

5

A in S tah l in A l-St

4 3

2,44

2

-Hy brid

1,85

1 1. Generation

2. Generation

3. Generation

4. Generation

Abb. 5.10 Leichtbaugüte-Kennzahl für Karosserie 3er BMW

LT ¼

mRK cT  A

mit cT ¼ Torsionssteifigkeit



A ¼ projizierte Flüche

G  Jt L

ð5:21Þ

Dies drückt das Verhältnis der Masse der Rohkarosserie zur Torsionssteifigkeit und zum Raumbedarf aus. Ziel ist es, einen möglichst kleinen Wert für die Leichtbaugüte zu erreichen, welches exemplarisch in Abb. 5.10 über mehrere Karosserie- bzw. Fahrzeuggenerationen sichtbar wird. An der Karosserie ist auch die Messbasis an der Hinterachse angedeutet worden, gegen die der Vorderwagen verdreht wird. Eine Leichtbaugüte kann natürlich auch für die Absenkbiegung einer Pkw-Türe (nach ECE-R11) definiert werden zu: LAB ¼

mTüre : cAB  AProjektion

ð5:22Þ

Vielfach wird auch ein Bezug zur Eigenfrequenz ω2 ¼ c/m gewünscht, womit sich dann LT ¼ ergibt.

1 ω2  A

ð5:23Þ

5.8

5.8

Gesichtspunkte für die Werkstoffauswahl

55

Gesichtspunkte für die Werkstoffauswahl

Der Erfolg einer Leichtbaukonstruktion hängt von der Erfüllung einer Funktion, Erreichen eines Ziels, Einhaltung vorgegebener Restriktionen und Ausschöpfung des gesamten Potenzials ab. In diesem Sinne lässt sich feststellen, dass der Leichtbau stets durch ganz bestimmte Werkstoffeigenschaften begünstigt wird, wie: 1. Niedrige Dichte ρ 2. Gute Festigkeitseigenschaften, wie hohe Fließgrenze ReH, hohe Bruchfestigkeit Rm, bei ausreichender Dehnung A 3. Hoher Elastizitätsmodul E 4. Gute Fail-Safe-Qualitäten, d. h. hohe Dauerfestigkeit σA, und hohe Bruchzähigkeitswerte KIcbzw. Kc 5. Weitestgehende Temperaturbeständigkeit der mechanischen Kennwerte (bei Plus- und Minustemperaturen) 6. Niedriger Wärmeausdehnungskoeffizient α 7. Leichte Formbarkeit durch Kalt- und Warmformgebungsverfahren 8. Gute Schweißbarkeit und

mech. Werte von FKV

9. Akzeptabler Kilopreis für eine Anwendung (z. B. Einsatztemperaturbereich).

T0  Raumtemp.

T1  T0

Faseranteil F% Abb. 5.11 Tendenzielle Abhängigkeit der Festigkeit bzw. des E-Moduls vom Faseranteil nach VDI 2014

56

5

Kriterien für die Werkstoffauswahl

Die Summe dieser positiven Eigenschaften ist bei keinem natürlichen Werkstoff so ideal anzutreffen, weshalb in der Auswahl oft Kompromisse eingegangen werden müssen. In der Tendenz neigt daher die moderne Bauweisenentwicklung zu synthetischen Werkstoffen (d. h. Werkstoffverbünde), bei denen bestimmte Eigenschaften gezielt gezüchtet werden können. Wesentliche Effekte, nämlich die Anhebung der Festigkeitswerte und des E-Moduls [KLE 85], erreicht man durch gezielte Einlagerung von festeren Werkstoffen (Fasern, Kugeln etc.), wodurch sich fast alle Leistungsgrenzen von Werkstoffen (Festigkeit und E-Modul) anheben lassen (s. Abb. 5.11).

Literatur [CON 77] [GÜR 58] [KAN 63] [KLE 85] [MEN 60] [MER 00] [ÖRY 83]

Conen, H.: Gestalten und Dimensionieren von Leichtbaustrukturen. In: Kohlenstoffund aramidfaserverstärkte Kunststoffe. VDI, Düsseldorf (1977) Gürtler, G.: Leichtmetalle und Leichtbau. VDI-Bericht. 28, 49–57 (1958) Kann, v.H.: Die Leichtmetalle Magnesium, Aluminium und Titan als neuzeitliche Konstruktionswerkstoffe. Metall. 17(3), 209–217 (1963) Klein, B.: Beanspruchungskenngrößen zur Konstruktionsbewertung. Technica. 15(16), 11–15 (1985) Mengeringhausen, M.: Das Prinzip des Leichtbaus und seine Bewertung in Natur und Technik. VDI-Z. 102(13), 523–527 (1960) Merkel, M., Thomas, K.-H.: Taschenbuch der Werkstoffe, 5. Aufl. Fachbuchverlag Leipzig, München (2000) Öry, H.: Leichtbau. Vorlesungsmitschrift, RWTH-Aachen (1983)

6

Leichtbauwerkstoffe

Im Leichtbau gilt mittlerweilen die Philosophie, immer den richtigen Werkstoff für den richtigen Anwendungsfall (Multi-Material-Design). Dies setzt voraus, dass der Leichtbauer einen breiten Überblick über die technologisch relevanten Werkstoffe hat. Vor diesem Hintergrund wird im Weiteren ein Überblick über typische Leichtbauwerkstoffe gegeben.

6.1

Stahl

Die Stähle zählen bis heute zu den wichtigsten Konstruktionswerkstoffen des Maschinen- und Fahrzeugbaus [NN 72]. Trotz aller Substitutionsbemühungen gilt dies auch weiterhin für den konventionellen Leichtbau. Neben dem günstigen Kilopreis ist hierfür sicherlich die große Breite an verfügbaren Halbzeugen und Qualitäten ursächlich. Ein weiterer Vorteil ist auch die große Vielfalt in den mechanischen und physikalischen Eigenschaften, die von weichen bis hochfesten und zu korrosionsbeständigen Stählen reicht. Als Nachteil gilt gemeinhin die hohe Dichte, die Konstruktionen oft schwer macht, obwohl es auch hier Prinzipien gibt, die Konstruktionen leichter machen können. Ein schönes Beispiel für den Wandel von Stahl stellt das Demonstrationsprojekt ULSAB (Ultra-Light Steel Auto Body)1 dar, bei dem man bewiesen hat, dass ein intelligenter Einsatz von Stahl noch Potenziale im Karosseriebau mobilisieren kann.

1

Anmerkung: Ein weiterführendes Nachfolgeprojekt war ULSAC (Ultra Light Steel Auto Closure), d. h. neue Konzepte für Türen, Motorhauben und Kofferraumklappen. # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_6

57

58

6

Durchschnitt der Referenzfahrzeuge Karosseriegewicht (kg) Statische Torsionssteifigkeit (Nm/Grad) Statische Biegesteifigkeit (N/mm) 1. KarosserieEigenfrequenz (Hz)

271

ULSABErgebnisse 203

-25 %

11.531

20.800 +80 %

11.902

18.100 +52 %

38

Leichtbauwerkstoffe

60

+58 %

Abb. 6.1 Roh-Karosserie des ULSAB-Fahrzeugs

Bei der in der Abb. 6.1 gezeigten Karosserie wurden hochfeste Stähle eingesetzt und mit Tailored Blanks, IHU-geformten Tailored Tubes und der Doppel-Dünnblech-Technik neue Prinzipien realisiert, die letztlich zu einer vergleichsweise 25 %ig leichteren und doppelt so steifen Bauweise mit deutlich höherer 1. Eigenfrequenz geführt haben. Dies unterstreicht die noch vorhandenen Innovationsperspektiven von Stahl.

6.1.1

Eigenschaftsmodifikationen

Die Eigenschaften der Stähle [HOR 72, DOM 83] können bekanntlich durch Legieren, gezielte Wärmebehandlung oder bestimmte Verfestigungsmechanismen (Mischkristallhärtung, Kornverfeinerung, Ausscheidungshärtung, Kohlenstoff-Diffusion) geeignet verändert werden: „Stahl ist ein Eisenwerkstoff mit im Allgemeinen weniger als 2 % Kohlenstoff“. Ab 2 % C ist die Grenze zum Gusseisen gegeben.

6.1

Stahl

59

Eine bedeutende Rolle spielt hierbei das Legieren, d. h. das Zusetzen von bestimmten Elementen, die entsprechenden Einfluss auf die Streckgrenze/Bruchfestigkeit/Dauerfestigkeit, Härte, Dehnbarkeit und andere technologische Eigenschaften nehmen. Unter den Auswirkungen kann als bekannt angenommen werden, dass beispielsweise der Kohlenstoff-, Stickstoff- und Phosphorgehalt am stärksten auf Festigkeit und Härte durchschlagen. Im Gegensinne wirken diese Elemente aber auch versprödend. Bedeutend geringere Wirkung auf die mechanischen Werte zeigen hingegen Mangan, Silizium und Nickel. Diese Elemente beeinflussen teils aber andere Grundeigenschaften positiv, die sich wiederum in einer qualitativ guten Bauweiseneignung des Stahls bemerkbar machen. Des Weiteren können durch Wärmebehandlungsverfahren wie Glühen und Härten bestimmte Gefügeveränderungen ausgelöst werden, die sich ebenfalls in Änderungen der mechanischen Eigenschaften bemerkbar machen. Dadurch können sowohl kern- wie oberflächenharte Stähle für besondere Anwendungen erzeugt werden. Eine andere Möglichkeit, einige Eigenschaften noch besser auszuprägen, ist durch den Vorgang der Verfestigung gegeben, der entweder als Kaltverfestigung oder thermomechanisches Walzen durchgeführt werden kann.

6.1.2

Sorten

Je nach den Einsatzgebieten (Fahrzeug-, Stahl- oder Maschinenbau) unterscheidet man bei den Konstruktionsstählen [REI 76]: • allgemeine Baustähle/Maschinenbaustähle (DIN EN 10 025), • Feinkornstähle (DIN EN 10 113), • nicht rostende Stähle (DIN EN 10 088), sowie • Vergütungsstähle (DIN EN 10 083), Einsatzstähle (DIN EN 10 008), Nitrierstähle (DIN EN 10 085), die im Maschinenbau eine hohe und im Fahrzeugbau eine mehr oder weniger hohe Bedeutung haben. Die unterste Qualitätsstufe ist durch die allgemeinen Baustähle (ehemals St 33, St 37) gegeben. Für höhere Anforderungen finden im Stahl-Leichtbau überwiegend die Stahl-Sondergüten (ehemals St 44-2, St 44-3, St 52-3) Verwendung. Eine Sonderstellung nimmt hierbei der St52-3 ein, der ursprünglich als erster Feinkornstahl kreiert wurde. Diese Sorte ist mit Mn und Si legiert und hat bei geringem C-Gehalt eine höhere gewährleistete Streckgrenze und ist gut schweißbar. Neben diesen Qualitätsstählen werden im Fahrzeugbau höher- und hochfeste Leichtbaustähle eingesetzt. Eine Auswahl dieser Stähle zeigt Abb. 6.2.

60

6

Stahltyp

Streckgrenze [MPa]

Zugfestigkeit [MPa]

Bruchdehnung (%)

HX 180 HX 260

180-240 260-320

340-400 380-440

34 30

H180B

180-230

300-360

36

H300B

300-360

400-480

26

Dualphasen-Stahl

DP-K 27/50 DP-K 38/60 DP-W 600

270-350 380-460 330-450

500 600 580

25 18 24

Restaustenit-Stahl (TRIP-Stahl)

RA-K 38/60 RA-K 42/80

380 420

600 800

26 22

Complexphasenstahl

CP-W 800 CP-W 900

680 700

800-980 880-1050

10 10

Martensitphasenstahl

MS-W 1000

750

1000-1250

5

Höherfester IF-Stahl

Bake-Hardening-Stahl

Bezeichnung

Leichtbauwerkstoffe

Abb. 6.2 Auswahl typischer Leichtbaustähle für den Fahrzeugbau

Das Anwendungsspektrum kann wie folgt umschrieben werden: • Im modernen Fahrzeugbau werden heute im größeren Umfang Feinkornstähle (Q St E/Z St E mit unterdrückter Perlitbildung durch Mikrolegierungselemente wie V, Nb, Ti) und verschiedene Sondergüten von Fein- und Hochfestblechen (s. Einordnung in Abb. 6.3) eingesetzt [WEB 89], wie z. B. • IF (Interstitial Free Stähle, Bez. HX) als mikrolegierte Sondertiefziehgüten mit vollständiger Abbindung der interstitiellen Atome C und N, • BH (Bakehardening Stähle, Bez. HxxxB) mit gelöstem C als eine Sondergüte für Karosserieteile, die beim Lackeinbrennen noch eine Streckgrenzensteigerung erfahren, • DP (Dualphasen Stähle, Bez. DP-K/W) mit ferritischer Matrix und inselförmigem C für festigkeits- und crashrelevante Strukturen, • RA (TRIP-Stahl, Bez. RA-K) mit verformungsinduzierter Umwandlung von Restaustenit (RA) in Martensit, • CP (Complexphasenstähle, Bez. CP-W) mit feinkörnigem, ferritisch-bainitisch-martensitischem Gefüge für kaltumformbare und gut schweißbare Teile, • MS (Martensitphasenstahl, Bez. MS-W) mit aufeinander abgestimmten Gefügeanteilen von Ferrit und Martensit und • Z St E (P), Z St E (Nb, Ti), hauptsächlich mit Phosphor, Niob und Titan legierte höherfeste Feinkornstähle für verformungsfähige Komponenten. Die Anforderungen an diese Strukturstähle sind: hohe Festigkeit (Rm
500  1500 MPa) bei guter Bruchdehnung (A
10  20%), kaltumformbar und schweißgeeignet.

6.1

Stahl

61

0,9

Streckgrenzenverhältnis Rp0,2/Rm

MS

BH*

0,8

Z St E (Nb,Ti) Z St E (P)

St 33 44 50

0,7

IF

0,6

CP

RA

0,5

DP

0,4 IF

*nach Wärmebehandlung St 12/13/14

40 BH* Z St E (P)

Bruchdehnung A80 [%]

30

RA DP

20 CP

Z St E (Nb,Ti)

MS

10

0 0

100

200 300 400 500 Streckgrenze Rp0,2 [MPa]

600

700

800

900

Abb. 6.3 Einordnung der Feinbleche für den Automobilbau

• Einsatzgehärtete Baustähle (Aufkohlen der Randschicht mit nachfolgendem Härten) nach DIN 10 008 werden im Maschinenbau bevorzugt für Bauteile herangezogen, die eine verschleißfeste, harte Oberfläche aufweisen müssen. Für dynamisch beanspruchte Leichtbauteile sind vor allem die durch Einsatzhärtung anhebbare Dauerfestigkeit und die durch Druckeigenspannungen in der Oberfläche erzeugte geringe Anrissempfindlichkeit von Interesse. Typische Sorten sind C 10, 17 CrS 3, 16 MnCr 5 usw. • Entsprechend werden durch Vergüten (Härten mit anschließendem Anlassen) die Streckgrenze, die Zugfestigkeit und die Dauerfestigkeit angehoben, gleichzeitig verbessert sich die Zähigkeit. Vergütungsstähle (C 22, C 35, C 45, 34 Cr 4 etc.) nach DIN 10 083 zählen zu den Edelstählen. Sicherheitsblechteile werden oft pressgehärtet, d. h. warm umgeformt und im Werkzeug abgekühlt. Hierdurch steigen die Festigkeitswerte um den Faktor 2,5. Durch die intensiven Forschungsaktivitäten der Stahlindustrie haben sich die Einsatzgrenzen für Stahl in der Verkehrstechnik deutlich erweitert.

62

6.1.3

6

Leichtbauwerkstoffe

Physikalisch-mechanische Eigenschaften

Hierzu sind zu zählen: • Dichte

ρSt ¼ 7, 85 kg/dm3,

• Querkontraktion • Elastizitätsmodul • Durchschnittspreis für Stahl

6.2

• Gleitmodul

GSt ¼ 8, 1  104 MPa, • lin. αSt ¼ 10, 4  νSt ¼ 0, 3, Wärmeausdehnungskoeffizient 106 1/K, λSt ¼ 45 W/(m  K) ESt ¼ 2, 1  105 MPa, • Wärmeleitfähigkeit
1,00–1,30 €/kg

Eisen-Gusswerkstoffe

Das Streben nach einer Verringerung von Einzelteilen in einer Struktur führt oft zu Lösungen, bei denen durch Gießen die so genannte Einstückigkeithergestellt wird. Es soll darum auch kurz erwähnt werden, dass viele normale Leichtbauteile mittlerweile auch in Sphäroguss (GGG: σzB
600  1200 MPa) und ADI-Guss (Austempered Ductil Iron: σzB
1200  2200 MPa) ausgeführt werden. Durch diese modifizierten austenitischen und bainitischen Gusseisensorten können etwa doppelt so hohe Festigkeits- und Zähigkeitswerte wie bei normalen Gusseisenwerkstoffen erreicht werden. Dies wird durch Zusetzen von Ni, Si und Cr erreicht. Hauptsächlichen Einsatz finden die Sorten: GGG-NiMn/GGG-NiCr/GGG-NiSiCr mit Kugelgrafit und die ADI-Sorten GJS-800-8, GJS-1000-5, GJS-1200-2 und GJS-1400-1. Die entsprechenden mechanischen Werte dieser Gusssorten sind: • Dichte

ρGG ¼ 7, 1  7, 6 kg/dm3,

• Gleitmodul

• Querkontraktion • Elastizitätsmodul

νGG
0, 26  0, 28, EGG ¼ (1, 65  1, 75)  105 MPa,

• Bruchdehnung • Preis

6.3

GGG ¼ (6, 2  6, 5)  104 MPa, A5 ¼ 1  8%
0, 80  1, 20 €/kg

Aluminium

Als wohl wichtigster Konstruktionswerkstoff [AUT 88] des metallischen Leichtbaus kann Aluminium mit seinen Legierungen angeführt werden. Mittels der verschiedenen Legierungstypen ist dabei ein breites Spektrum (s. Abb. 6.4) in den mechanischen und technologischen Eigenschaften erreichbar. Von besonderem Vorteil für den Leichtbau ist hierbei

6.3

Aluminium

Streckgrenzenverhältnis

500 Rm [MPa]

63

R p0,2

(0,85) Rm

(0,66) (0,82)

Rm

400

R p 0, 2

(0,61)

300

(0,84)

(0,45)

σA

(0,74)

(0,42)

200 (0,27)

100

Auswahlkriterien

AlMgMn AlMg AlMg Al 99,5 AlMg 3 4,5 Mn Si 0,5 F8 F 19 F 28 F 22

AlMg Si 1 F 31

AlZn Mg 1 F 36

AlCu Mg 2 F 44

AlZn AlZn MgCu 0,5 MgCu 0,5 F 45 F 53

Festigkeit

+

+

++

++

++

++

+++

+++

+++

Zähigkeit

+++

+++

+++

++

++

++

++

+

+

Schweißeignung

+++

+++

+++

++

++

+++

+

-

-

Verformbarkeit

+++

+++

+++

++

++

++

++

+

+

Korr. -Verhalten

+++

+++

+++

++

++

++

+

++

+

Strangpressen

+++

++

+

+++

+

++

+

+

+

Abb. 6.4 Auswahlkriterien für Aluminiumknetlegierungen (+, ++, +++ ¼ Verbesserungsgrad)

• die niedrige Dichte, • die an die Stähle heranreichenden Festigkeitswerte, • das relativ gute Elastizitätsmodul und • die gute Zähigkeit. Weiterhin günstig wirkt sich noch die gute Formbarkeit (Strangpressen, Gießen), Spanbarkeit, die meist gegebene Schweißbarkeit und die sehr gute Korrosionsbeständigkeit aus.

6.3.1

Eigenschaftsmodifizierungen

Auch beim Aluminium können Eigenschaftsmodifizierungen zufolge Legieren, Aushärten und Kaltverfestigen vorgenommen werden. Durch Legieren wird Reinaluminium hinsichtlich seiner Festigkeitswerte, Härte und Zähigkeit verändert. Zu den wichtigsten Legierungselementen gehören Cu, Mg, Zn, Si und Mn. Durch Kombination dieser Elemente

64

6

Leichtbauwerkstoffe

werden gleichzeitig auch aushärtbare und nicht aushärtbare Legierungen geschaffen. Die Aushärtung (Wärmebehandlung) führt weiter zu einer Festigkeitssteigerung. Hierfür eignen sich aber nur die aushärtbaren Legierungstypen2 (AlMgSi, AlSiMg, AlCu, AlCuMg, AlZnMg, AlZnMgCu) wobei der Grad der Festigkeitssteigerung sehr unterschiedlich ist. Bei den nicht aushärtbaren Legierungstypen (AlMg, AlMn, AlMgMn, AlSi) kann dagegen eine Festigkeitssteigerung nur durch eine Kaltverfestigung erzielt werden.

6.3.2

Al-Knetlegierungen

Die als Knetlegierungen zu bezeichnenden Sorten erhalten ihre Form ausschließlich durch Ur- und Umformung (z. B. Strangpressen und Gesenkschmieden). Von den Festigkeitswerten her liegen die ausgehärteten Sorten über den kaltverfestigten und diese wiederum über den naturharten. Zu den bevorzugt im Leichtbau eingesetzten Werkstoffsystemen für Knetlegierungen gehören: • AlMg 3, AlMg 4,5 Mn, • AlMgSi 0,5, AlMgSi 1, AlMgSiPb, • AlCuMg 1, AlCuMgPb sowie • AlZnMgCu 0,5, AlZnMgCu 1,5. In der Übersicht von Abb. 6.5 ist eine entsprechende Auswahl gegeben. Eine Sonderstellung kommt hierbei den Sorten AlMgSi zu, die wegen ihrer guten Warmformbarkeit vielfach zu Strangpressprofilen mit teils komplexer Geometrie verarbeitet werden. Weiter hervorzuheben gilt es die Sorten AlZnMgCu, die unter den Knetlegierungen die höchsten Festigkeitswerte erreichen. Eine neue Entwicklung sind AlMgSc-Legierungen (Sc¼Scandium). Kleine Zuschläge von Sc führen zu 15–20 % Festigkeitssteigerung bei Raumtemperatur. Die im Gefüge eingelagerten Al3Sc-Teilchen bewirken eine Verdopplung der Festigkeit bei hohen Temperaturen (300–400  C). Einsatzfelder sind Luft- und Raumfahrt, aber auch Motorenbau (Preis: 84 €/kg); Legierung eignet sich besonders für Laserstrahl- und Reibrührschweißen. Bereits an dieser Stelle soll auf das abweichende Verhalten der Al-Legierungen unter schwingender Beanspruchung hingewiesen werden. Die Wöhlerkurve weist hierbei den kennzeichnenden Knick beim Übergang vom Zeitfestigkeits- in den Dauer2

Anmerkung: Im Automobilbau werden Al-Werkstoffe in der Regel mit ihrem internationale Reg. Code, z. B. 6000 der Legierung (AlMgSi) oder 7000 der Legierung (AlZnMg), angesprochen.

6.3

Aluminium

Werkstoff

EN AW-Al 99,5

65

R m [MPa] min. max. 75

110

Rp 0,2 [MPa] min.

A 5 / A10 [%] min.

HB Bemerkung

20

20

-

22 50 Bleche 70 Bänder 70 Rohre, Stangen 96 Drähte

EN AW-Al Mg3 190 EN AW-Al Mg4,5Mn0,7 275

-

80 125

12 12

-

EN AW-Al Si0,5MgMn EN AW-Al Si1MgMn

215 310

-

160 260

12 10

10 8

EN AW-Al Cu4Mg1

440

-

290

13

11

EN AW-Al Zn5Mg3Cu EN AW-Al Zn5,5MgCu

450 530

-

370 450

8 8

-

110 125 Bleche, Bänder 140

Abb. 6.5 Mechanische Eigenschaften von ausgewählten Al-Knetlegierungen

festigkeitsbereich nur andeutungsweise auf, wodurch der relevante Schädigungsbereich ausgeprägter ist. Vereinbarungsgemäß wird deshalb die Grenzlastspielzahl bei nicht aushärtbaren Legierungen auf NG ¼ 106 LW und bei aushärtbaren Legierungen auf NG ¼ 108 LW (Stahl NG
2, 1  106 LW festgesetzt, geprüft wird in der Praxis aber meist nur bis N ¼ 5  107 LW.

6.3.3

Al-Gusslegierungen

Kompakte Bauteile mit integrativem Charakter werden gewöhnlich durch Urformung (Sand-, Kokillen-, Druck- oder Feinguss) hergestellt. Hierzu eignen sich aber nur bestimmte Legierungssysteme. Einige bevorzugte Sorten sind: • G-AlSi 12/G-AlSi12 (Cu), G-AlSi 10 Mg/G-AlSi 10 Mg (Cu), G-AlSi 8 Cu 3/G-AlSi 6 Cu 4 für allgemeine Verwendung, • G-AlSi 5 Mg, G-AlMg 3, G-AlMg 3 Si, G-AlMg 3 (Cu), G-AlMg 5, G-AlMg 5 Si für besondere Verwendung • G-AlSi 7 Mg, G-AlSi 9 Mg, G-AlCu 4 Ti, G-AlCu 4 TiMg, G-AlSi 11 für besondere mechanische Anforderungen. Gegenüber den Knetlegierungen weisen die Gusslegierungen etwas geringere Festigkeitsund Zähigkeitswerte auf. Als günstig kann die weitreichende Formbarkeit und somit wieder die Bauweiseneignung angeführt werden. Die Festigkeitseigenschaften von Gussbauteilen hängen vom Werkstoff und sehr stark von der Wärmebehandlung ab. So sind die Erstarrungs- und Speisebedingungen von entscheidender Bedeutung. Eine weitere Möglichkeit die Festigkeit besser auszunutzen besteht in der richtigen gießtechnischen Gestaltung. Auch sollte berücksichtigt werden, dass Gussbauteile etwa die 1,5- bis 2fache Zugfestigkeit unter Druckbeanspruchung ertragen können (s. Abb. 6.6).

66

6

Leichtbauwerkstoffe

5–10 1–4 2–6 1–4 1–3

45–60 50–65 50–60 55–65 65–90

140–180 140–190 140–190 160–220 160–200

100–130 70–100 80–100 100–120 110–130

1–3 3–8 3–8 3–8 2–4

55–70 50–60 50–60 55–70 60–75

250–300 230–310 200–260

200–270 190–270 200–260

2–5 2–5 3–8

75–100 75–105 95–110

Gruppe A

70–100 80–100 80–110 90–110 100–150

EN AC-Al Si12 EN AC-Al Si12(Cu) EN AC-Al Si10Mg EN AC-Al Si10Mg(Cu) EN AC-Al Si8Cu3

160–210 150–200 170–220 180–240 160–200

Gruppe B

HB

R m [MPa]

EN AC-Al Si7Mg EN AC-Al Mg3 EN AC-Al Mg3(Si) EN AC-Al Mg5 EN AC-Al Mg5(Si)

Gruppe C

A 5 [%]

Werkstoff

EN AC-Al Si9Mg EN AC-Al Si7Mg0,3 EN AC-Al Cu4Ti

R p0,2 [MPa]

Abb. 6.6 Mechanische Werte von ausgewählten Al-Gusslegierungen (Lieferformen als Sand-, Kokillen- oder Druckguss)

Heute ist es Bestrebung, G-Al-Teile endformgenau (near-shape-casting) und auch für sicherheitsrelevante Teile im Automobilbau zu nutzen. Hierfür müssen feinkörnige und porenfreie Gefüge vorliegen, weshalb dazu zunehmend Sondergießverfahren3 wie Vacuralguss, Thixo-Casting und Squeeze-Casting-Verfahren eingesetzt werden.

6.3.4

Physikalisch-mechanische Eigenschaften

Hierzu sind zu zählen: • Dichte • Querkontraktion • Elastizitätsmodul • Gleitmodul • lin. Wärmeausdehnungskoeffizient • Wärmeleitfähigkeit • Streckgrenze • Zugfestigkeit • Bruchdehnung

ρAl ¼ 2, 7 kg/dm3 νAl ¼ 0, 34 EAl ¼ 70.000 MPa GAl ¼ 26.000 MPa αAl ¼ 23, 5  106 K1 λAl ¼ 220 W/(m  K) Rp0, 2
10–25 MPa (weich);
80–350 MPa (hart) Rm
40–50 MPa (weich); Rm
500 MPa (hart) A10
30–45 % (weich);
2–4 % (hart) (Fortsetzung)

Anmerkung: Thixo-Casting ¼ Verarbeitung im teilflüssigen Zustand; Squeeze-Casting ¼ Pressgießen, wegen Erstarrung unter hohem Druck (Möglichkeit Kurzfasern einzubringen ¼ Saffil mit hoher Warmfestigkeit). 3

6.3

Aluminium

• Durchschnittspreis für Al • Primärenergieaufwand • CO2-Herstellungsemission

67 2,00–3,00 €/kg EAl ¼ 51, 6 kWh/kg, ESt ¼ 13, 2 kWh/kg HAl ¼ 6, 7 kg/kg, HSt ¼ 3, 21 kg/kg

6.3.5 Sinteraluminium Um Aluminium in der Luft- und Raumfahrt ein breiteres Einsatzfeld zu öffnen, muss die Temperaturbeständigkeit erhöht werden. Hierfür eignen sich SAP-Legierungen. SAP bezeichnet Sinteraluminiumpulver, welches pulvermetallurgisch hergestellt wird. Es kann für Bauteile und Profile eingesetzt werden, die durch aufeinanderfolgendes Kalt-, Heißund Strangpressen sowie Brennen aus Al-Pulver formbar sind. Der Werkstoff zeichnet sich durch eine hohe Warmfestigkeit aus, was eine Folge der eingestellten Dispersionsverfestigung durch Al2O3-Partikel ist. Als Gebrauchstemperatur gilt für eine längere Dauerbeanspruchung etwa 400  C. Je nach Feinheit und Oxidgehalt des Ausgangspulvers beläuft sich die RaumtemperaturZugfestigkeit auf Rm ¼ 300  400 MPa. Oberhalb von 300  C ist die Festigkeit des dispersionsverfestigten SAPs den besten ausgehärteten Al-Legierungen (Abb. 6.7) überlegen. Bei langzeitigen Beanspruchungen fällt allerdings auch hier die Warmfestigkeit ab. Für 310  C beträgt etwa Rm/100
100 MPa und für 480  C nur noch etwa

e

Rm

400

Rm

300 Rp0,2, Rm [MPa]

Abb. 6.7 Festigkeitswerte von SAP und AlSc in Abhängigkeit von der Einsatztemperatur a) Al + 4 % Al2O3 b) Al + 14 % Al2O3 c) AlCu 6 MnZr d) AlMg 3 e) AlMg4,6Sc1,4

c

200 Rm

Rp0,2

b Rp0,2 a

100 d Rp0,2 0 100

200

300 400 T [°C]

68

6

Leichtbauwerkstoffe

Rm/100
60 MPa. Für den Einsatz von SAP sprechen neben der geringen Dichte und die Warmfestigkeit noch die gute Korrosionsbeständigkeit. Ebenfalls für den Einsatz bei höheren Temperaturen eignet sich auch pulvermetallurgisch verarbeitetes AlMgSc (RT: Rm ¼ 350 MPa, Rp0,2 ¼ 260 MPa, A5 ¼ 12 %; bei 400  C: Rm ¼ 450 MPa, Rp0,2 ¼ 400 MPa, A5 ¼ 5 %), welches beispielsweise für Funktionsbauteile bei Flugzeugen (A 380, A 400) eingesetzt wird.

6.3.6

Schaumaluminium

Zur Realisierung eines extremen Leichtbaus gibt es derzeit Bestrebungen, mit Metallschäumen, insbesondere Schaumaluminium, sehr leichte selbsttragende Konstruktionen oder Versteifungsstrukturen aufzubauen. Schaumaluminium ist ein hochporöser Aluminiumwerkstoff mit zellularer Struktur. Man kann ihn auch als Verbundwerkstoff betrachten, bei dem offene und geschlossene Poren in einer Aluminium-Matrix fein verteilt sind. Heute wird Schaumaluminium schmelzmetallurgisch durch Abscheidung oder pulvertechnologisch hergestellt. Im Abb. 6.8 ist beispielsweise der pulvertechnologische Weg prinzipiell dargestellt. Der Verfahrensablauf ist hierbei: • Mischung eines aufschäumbaren Vormaterials (Al-Pulver wird mit einem Treibmittel, z. B. Titanhydrid, vermischt), • Herstellung eines Halbzeuges durch axiales Heiß- oder Strangpressen und • Aufschäumung des Halbzeuges durch Wärmeeinwirkung zu einem Formteil.

Abb. 6.8 Herstellung von Schaumaluminiumteilen nach pulvermetallurgischem Verfahren

6.4

Magnesium

69

Die erreichbaren Dichten liegen bei 0,3–0,7 kg/dm3 und die aufnehmbaren Spannungen etwa zwischen 10–25 MPa (bevorzugt Druckaufnahme) bei einem E-Modul von 8–10 GPa. Anwendungen sind: Ultraleichtprofile, Aussteifungen und Stoßverzehrkörper für Front- und Seitenaufprall, aber auch großflächige Teile (Unterstreben für Motor- und Kofferraumhauben). Außer bei Aluminium funktioniert das Aufschäumverfahren prinzipiell auch bei Magnesium, Zink/Zinn, Messing und Blei.

6.4

Magnesium

Der Werkstoff Magnesium hat unter den Gebrauchsmetallen die wohl niedrigste Dichte und scheint daher für den Leichtbau prädestiniert zu sein. Trotz dieser und anderer Vorzüge haben jedoch einige Negativpunkte (geringe Bruchdehnung, hohe Korrosionsanfälligkeit) dazu geführt, dass es nur wenig Anwendungen über die Luft- und Raumfahrt bzw. den Fahrzeugbau hinaus gibt. Zu den vorteilhaftesten Eigenschaften sind zu zählen: • • • •

die relativ guten Festigkeitswerte (etwas niedriger als bei Al), die gute spanabhebende Bearbeitbarkeit (teils in Trockenbearbeitung), die gute Gießbarkeit (insbesondere Druckguss) die bedingt mögliche Schweißbarkeit unter Schutzgas

und • die Fügbarkeit durch Schranken, Nieten, Clinchen (bei 250  C), Kleben. Wegen der hohen Affinität zum Sauerstoff müssen allerdings beim spanenden Bearbeiten, Gießen und Schweißen besondere Vorkehrungen getroffen werden. Des Weiteren ist als Folge des hexagonalen Gitteraufbaus die Kaltumformung von Magnesium schwierig und kann wegen der Gefahr der Spannungsrisskorrosion nur bei > 225  C durchgeführt werden. Kaltgeformte Erzeugnisse mit starker Umformung sind daher nur mit mehrfachem Zwischenglühen herstellbar. Größere Bedeutung kommt somit den warmgeformten Magnesium-Erzeugnissen und den Gussprodukten zu. Insofern erweist sich das Gießen bzw. Druckgießen als das wirtschaftlichste Formgebungsverfahren überhaupt. Hervorzuheben ist noch die hohe Kerbempfindlichkeit des Magnesiums, welches eine möglichst glatte (ohne scharfe Kerben) und riefenfreie Oberfläche unerlässlich macht. Weiterhin ist es Folge der niedrigen Bruchdehnung, dass Magnesium-Bauteile sehr empfindlich gegen Schlag- und Stoßbeanspruchung sind.

70

6.4.1

6

Leichtbauwerkstoffe

Mg-Legierungen

Das Reinmagnesium ist technisch ohne Bedeutung. Nur durch Zusatz von Al, Zn, Mn und Zr entstehen nutzbare Legierungen. Im Wesentlichen bewirkt Zink eine Erhöhung der Zähigkeit und eine Verringerung der Kerbempfindlichkeit, Aluminium eine Steigerung der Festigkeit und eine Verbesserung der Aushärtbarkeit, Mangan eine Verbesserung der Schweißbarkeit und eine Erhöhung der Korrosionsbeständigkeit, ein Zusatz an Zirkon verbessert noch die Warmfestigkeit. Wegen ihres hdp-Gitteraufbaus eignet sich Mg bevorzugt zum Sand-, Kokillen- und Druckguss. Während der Erstarrung schwindet Mg (um ca. 4 %) sehr stark, wodurch Mikroporosität (grobkristallines Gefüge) entsteht, mit der Folge einer schlechten Zähigkeit und hoher Kerbempfindlichkeit. Durch das Squeeze-Casting-Verfahren (Pressgießen mit langsamer Formfüllung unter hohem Druck) lassen sich diese Nachteile vermeiden. Durch Nachspeisen entstehen zudem endformgenaue Teile mit hoher Maßhaltigkeit und Festigkeit. Zum Schweißen ist anzumerken, dass dies zwar nach mehreren Verfahren möglich ist, die Schweißverbindung aber zur Warmrissigkeit und zur Bildung von Mikrolunkern neigt; bei größeren Bauteilen ist daher mit Vorwärmung zu arbeiten. Ansonsten lassen sich auch Mg-Bleche durch Warmwalzen (zwischen 250  C–450  C) und auch Strangpressprofile (bei 230  C) herstellen. In der Abb. 6.9 ist eine kurze Auswahl von Mg-Knet- und -Gusslegierungen mit ihren mechanischen Kenngrößen zusammengestellt. Diese Eigenschaften verändern sich im Temperaturbereich von -80  C bis 100  C kaum, kurz oberhalb von 100  C setzt dagegen der Steilabfall der Festigkeitswerte ein. Als übliche Grenze des Gebrauchs von Mg-Legierungen kann man 150  C ansetzen. Zum Zweck einer Festigkeitserhöhung können Mg-Legierungen auch wärmebehandelt werden. Übliche Verfahren sind Homogenisierungsglühen (um spröde Mischkristalle zu lösen), Warmaushärten (erzeugt fein dispersive Ausscheidungen) und Spannungsarmglühen (zum Abbau von inneren Spannungen). Das ansonsten bei NE-Metallen vielfach genutzte Aushärten führt bei Magnesium zu einem Dehnungs- und Dauerfestigkeitsabfall. Bezüglich des Einsatzes von Bauteilen unter schwingender Beanspruchung sei noch erwähnt, dass einige Mg-Legierungen dauerfester als die meist höherfesten Al-Legierungen sind, was sicherlich eine hervorstechende Nutzungseigenschaft ist. Ein Vergleich dazu zeigt umseitig Abb. 6.10. Im Fahrzeugbau werden daher Leichtbauteile für dynamische Langzeitbeanspruchung (z. B. Getriebegehäuse) bevorzugt aus Mg-Legierungen ausgeführt. Das Bruchverhalten von Magnesium ist aber wegen seiner hohen Sprödigkeit plötzlicher als bei Al-Legierungen, die vor dem Bruch eine ausgeprägte Plastifizierungsphase aufweisen. Demzufolge ist Magnesium nur wenig schadenstolerant. Ein sehr negatives Merkmal aller Mg-Legierungen ist die hohe Korrosionsempfindlichkeit. Da Mg das unedelste Gebrauchsmetall überhaupt ist, wird Mg in jeder Werkstoffkombination „gefressen“.

6.4

Magnesium

Werkstoff

71

R p0,2 [MPa]

min.

R m [MPa] A10 [%] HB etwa min. min.

bw

NG

[MPa] 50

Bemerkung

107

EN-MBMgMn2

100

200

10

40

gut schweiß- und formbar

EN-MBMgAl3Zn

140

240

12

50

schweiß- und formbar

EN-MBMgAl6Zn

180

280

10

55

beschränkt schweißbar

EN-MBMgAl8Zn

210

300

10

G-MgAl2 (AM 20)

94-100

190-206

14-16

45-50

70-77

G-MgAl6 (AM 60)

80-120

180-240

8-12

50-65

70-90

EN-MCMgAl8Zn1

90-110

160-220

2-6

50-65

70-90

stoßbeanspruchte Teile

90-120

240-280

8-12

50-65

80-100

gute Gleiteigenschaften

110-140

240-280

6-12

55-70

80-100

höchste Werte für Zugfestigkeit

150-190

240-300

2-7

60-90

80-100

und 0,2-Grenze

EN-MCMgAl8Zn1 (homogenisiert)

EN-MCMgAl9Zn1 (homogenisiert)

EN-MCMgAl9Zn1 (warm ausgelagert)

höchste Festigkeit hohe Dehnung und Schlagzähigkeit

Abb. 6.9 Mechanische Kenngrößen von ausgewählten Magnesiumlegierungen

6.4.2

Physikalisch-mechanische Eigenschaften

Zu den wichtigsten physikalisch-mechanischen Eigenschaften sind zu zählen: • Dichte • Elastizitätsmodul • Gleitmodul • Querkontraktion • lin. Wärmeausdehnungskoeffizient • Wärmeleitfähigkeit • Primärenergieaufwand, CO2-Emissionen

ρMg ¼ 1, 74 kg/dm3 EMg ¼ 45.000 MPa GMg ¼ 17.700 MPa νMg ¼ 0, 27 αMg ¼ 25  106 K1 λMg ¼ 157 W/(m  K) EMg ¼ 64 kWh/kg bzw. HMg ¼ 7, 5 kg/kg

Weitere mechanische Eigenschaftsrelationen sind: • Zugfestigkeit • Druckfestigkeit • Biegefestigkeit • Torsionsfestigkeit • Bruchdehnung • Durchschnittspreis für Mg

Rm
100  150 MPa (gegossen)bzw.
250 MPa (gepresst) σdB
2  Rm σbB
(1, 7  2, 2)Rm τtB
0, 66  Rm A10
4  5 % (gegossen) bzw.
10% (gepresst)
3–5 €/kg

72

6

log σbw [MPa]

300

Leichtbauwerkstoffe

AlCuMg AlMg9

200 MgAl8Zn1 100 50

0,1

1

5

10

50

100

500

6

log N · 10 Abb. 6.10 Biegewechsel-Festigkeitswerte von Al- und Mg-Legierungen

6.5

Titan

Im Allgemeinen kann Titan als ein für den Leichtbau äußerst interessanter Konstruktionswerkstoff [GAN 82] angesehen werden. Unter den vorteilhaften Merkmalen ist demgemäß auszuweisen: • • • •

die noch relativ niedrige Dichte, die teils hochfesten Stählen überragenden Festigkeitswerte, die geringe Wärmeausdehnung, die hohe Korrosionsbeständigkeit (wie rostfreie Stähle)

und • die gute chemische Beständigkeit. Als nachteilig ist anzuführen, dass Reintitan und die Ti-Legierungen (dichte Kugelpackung, hdP) nur aufwändig umzuformen sind und das Reintitan zwar gut weich-, hartlötbar und schweißbar ist, dies aber für die Legierungen nur eingeschränkt gilt. Auch sind Ti-Legierungen nur schwierig spanend zu bearbeiten, und zwar wegen der hohen Festigkeit und der sehr geringen Wärmeleitfähigkeit.

6.5

Titan

73

Werkstoff Ti 99,8 Ti 99,7 Ti 99,6 Ti 99,5

0,2 % Fe 0,35 %

0,1 % 0 0,3 %

R m [MPa]

R p0,2 [MPa]

A 5 [%]

300–420

180

30

400–550

250

22

470–600

330

18

Apparatebau

550–750

400

16

Schmiedeteile

Bemerkung Ziehteile

Abb. 6.11 Mechanische Kennwerte von Reintitan

6.5.1

Reintitan

Die mechanischen Eigenschaften von Reintitan werden vorwiegend durch Zusetzen von Sauerstoff bestimmt. Daneben sind aber auch geringe Zusätze von Eisen, Stickstoff, Wasserstoff und Kohlenstoff förderlich. Die eingesetzten Reintitansorten sind in der Abb. 6.11 aufgelistet. Für die besonders reinen Reintitansorten (Ti 99,9 und Ti 99,8) ist zu bemerken, dass diese bei abnehmenden Temperaturen eine Festigkeitssteigerung (z. B. Ti 99,8 bei 190  C auf Rm ¼ 1000 MPa) erfahren. Die Einsatzgrenze im oberen Temperaturbereich ist dagegen mit etwa 350  C anzusetzen.

6.5.2

Ti-Legierungen

Da Titan polymorph (α, β-Umwandlung bei 882  C) ist, ergeben sich die folgenden Variationsmöglichkeiten bei der Legierungsbildung zu: • α-Ti-Legierungen enthalten bis zu 5,5 % Al. Weil hier nur eine Phase vorliegt, sind die Legierungen relativ gut schweißbar und zeigen hohe Warmfestigkeit. Die Festigkeiten bei Raumtemperatur (RT) reichen bis Rm ¼ 1000 MPa und die Einsatzgrenze bis 600  C. • α+ß-Ti-Legierungen sind zweiphasig. Die bei RT erreichbaren Festigkeiten reichen bis Rm ¼ 1200 MPa, die thermische Stabilität der Legierungen ist allerdings nur bis 400  C gewährleistet. • ß-Ti-Legierungen sind wiederum einphasig. In der Regel sind diese Legierungen gut umformbar und auch gut schweißbar. Ausgehärtet sind Festigkeiten bis Rm ¼ 1300 MPa möglich, wegen thermischer Instabilität liegt die Einsatzgrenze bei 300  C. Eine Auswahl dieser drei Legierungstypen ist in der Abb. 6.12 gezeigt.

74

Typ

6

Leichtbauwerkstoffe

R p 0 , 2 MPa

R m MPa

A5 %

Werkstoff

Zustand

TiAl 5 Sn 2,5 TiAl 8 Mo 1 V 1

geglüht geglüht

880 1.030

840 950

18 16

TiAl 6 V 4

geglüht ausgehärtet

950 1.190

840 1.050

14 10

TiV 13 Cr 11 Al 3

geglüht ausgehärtet ausgehärtet

950 1.300 1.830

910 1.230 1.720

16 8 4

Abb. 6.12 Mechanische Kennwerte der allotropen Ti-Modifikationen

400

log σzdw [MPa]

±F

αK

R = -1

300 α K =1

200

α K =1,3 α K = 2,0

100 10 4

105

106

107

108

log N Abb. 6.13 Dauerfestigkeiten gekerbter Ti-Leg-Proben

Die Dauerfestigkeit dieser Legierungen ist bezogen auf das Zugfestigkeitsverhältnis mit (σA/Rm
0, 7) bedeutend höher als bei anderen Werkstoffen. Für Stahl gilt in etwa (σA/ Rm
0, 5) bzw. für Aluminium (σA/Rm
0, 2). Große Auswirkung auf die Dauerfestigkeit hat die Oberflächenbeschaffenheit, was unterstreicht, dass Titan sehr kerbempfindlich ist. In Abb. 6.13 ist dies beispielsweise bezüglich der Kerbschärfe an Titanproben im Wöhlerdiagramm ausgewiesen. Durch Kugelstrahlen kann die Dauerfestigkeit wieder angehoben werden. Die Wirkung besteht im Schließen der vielen Mikrorisse durch eine Oberflächenverfestigung.

6.6

Kunststoffe

6.5.3

75

Physikalisch-mechanische Eigenschaften

Hierzu sind zu zählen: • Dichte • Elastizitätsmodul • Gleitmodul • Querkontraktion • lin. Wärmeausdehnungskoeffizient • Streckgrenze • Zugfestigkeit • Bruchdehnung • Wärmeleitfähigkeit • Durchschnittspreis für Ti

6.6

ρTi ¼ 4, 5 kg/dm3 ETi ¼ 110.000 MPa GTi ¼ 40.400 MPa νTi ¼ 0, 35 αTi ¼ 8, 7  106 K1 Rp0, 2
200  400 MPa Rm
300  900 MPa A10
16  30% λTi ¼ 22 W/(m  K)
30 €/kg

Kunststoffe

Die große Vielzahl an Polymeren bzw. technischen Kunststoffen spielt für tragende Strukturbauteile im Leichtbau eine untergeordnete Rolle [AUT 83]. Als Ursache hierfür können die insgesamt geringen mechanischen Werte gelten, die etwa folgende Bereiche [STÜ 69] abdecken: • Dichte • Elastizitätsmodul • Zugfestigkeit • Querkontraktion • lin. Wärmeausdehnungskoeffizient • Wärmeleitfähigkeit • Durchschnittspreis für KW

ρK
0, 8  2, 2 kg/dm3 EK
500  3000 MPa Rm
30  80 MPa νK
0, 4 αK
70  100  106 K1 λK ¼ 0, 12  0, 35 W/(m  K)
1,00–2,30 €/kg

Die erreichbaren Werte (nach ISO 527-1) sind sehr strukturabhängig. So zeigen amorphe Thermoplaste niedrigere Werte als teilkristalline Thermoplaste mit einer orientierten Molekülanordnung. Einen großen Einfluss auf die mechanischen Werte hat das Technoklima (Temperatur, Feuchtigkeit), was dazu führt, dass die in Laborumgebung gemessenen Werte um 40–50 % abfallen können. Derzeit haben nur die Duromere (PF ¼ Phenolharz, UP ¼ Polyesterharz und EP ¼ Epoxidharz) Bedeutung als Matrixwerkstoff in Faser-Kunststoff-Verbunde. Es ist jedoch zu erwarten, dass die Entwicklung der faserverstärkten technischen Thermoplaste (GM-T) diese Situation ändern kann, da hiermit E-Module von 6–8 GPa und Rm-Werte bis 100 MPa schon erreicht werden.

76

6.7

6

Leichtbauwerkstoffe

Superleichtlegierungen

Als wahre Zukunftswerkstoffe des Leichtbaus können die so genannten Superleichtlegierungen angesehen werden, die auch heute schon Einsatzgebiete in der Luftund Raumfahrt sowie im militärischen Bereich gefunden haben. Mit dem Begriff Superleichtlegierungen [NN 91] werden dabei gewöhnlich lithiumhaltige Aluminiumund Magnesiumlegierungen [BOR 83, SUZ 82] bezeichnet. Es liegt fast auf der Hand, dass durch Zusetzen von Lithium leichtere Konstruktionswerkstoffe4 geschaffen werden können, da Lithium mit einer Dichte von ρLi ¼ 0, 53 kg/dm3 zu den leichtesten Metallen überhaupt zählt. Folgende Ausführungsarten sind bereits verfügbar: • Al-Li-Legierungen sind schon seit längerem bekannt und werden im Flugzeugbau (Beplankung) auch eingesetzt. Generelle Zielsetzung war dabei, Aluminium metallurgisch zu optimieren, und zwar hinsichtlich niedrigerer Dichte, höherer Steifigkeit und größerer Riss-Bruchzähigkeit. Einige Anhaltswerte zu den mechanischen Eigenschaften von Al-Li gibt Abb. 6.14. Hervorzuheben ist die durchschnittliche Absenkung der Dichte um 8 % und die E-Modul-Erhöhung von 11 %. Als weitere Verbesserung ist noch die gesteigerte Widerstandsfähigkeit gegen Korrosion bzw. Spannungsrisskorrosion anzuführen. Bei Flugzeugrümpfen ergibt sich somit ein großes Einsparpotenzial, da auch die Versteifungen abgespeckt werden können.

Legierungstyp

Masse - % Li

Mg

Mn

E Cu

kg/dm 3

[MPa]

7075

3,20

1,10

3,40 0,60

2,52

85.000

DTD XXXA

2,32,6

0,50,9

1,01,4

2,55

80.000

-

R p0,2

Rm

[MPa] [MPa]

K Ic MNn

3/ 2

A5

[%] 6

Al-Li (high strength)

2,60

76.000

552

610

28

9-12

Al-Li (low density)

2,45

82.000

320

430

28

10

Al-Li (damage tolerant)

2,50

80.000

423

510

35

8-12

Abb. 6.14 Mechanische Kennwerte von Al-Li-Legierungen

4

Anmerkung: Seit einiger Zeit wird an so genannten Aerogelen auf Silicat, Kohlenstoff oder Kunststoffen gearbeitet. Es handelt sich hierbei um hochporöse Feststoffe (,) für Spezialanwendungen.

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

77

Abb. 6.15 Aufbau von GLARE®

Legierungstyp kg / dm3

E

R p0,2

[MPa]

[MPa]

Rm

A5

[MPa] [%]

MgLi (7-10) Al (4-6) Cd (3-5) Zn (0,8-2) Mn(0,15-0,5) 1,57-1,60 ~47.000 160-220 240-270 MgLi (14) Al (1,2) Mn (0,15)

1,35

95

115

10

Abb. 6.16 Metallurgische und mechanische Kennwerte von Mg-Li-Legierungen

• Al-Li-Plattenmaterial wird des Weiteren noch im Verbund mit AFK zu Sandwiches verarbeitet, welche als ARALL-Platten (Aramid Reinforced ALuminium Laminates) bezeichnet werden. Hierdurch gelingt es noch einmal, die Dichte abzusenken und die Steifigkeit von dünnen Platten anzuheben. • GLARE (GLAss-fibre REinforced Aluminium) ist ein mehrlagiger Verbund aus dünnen Al-Folien und Glasfaserlaminat (ρ
2, 4 kg/dm3, E
75 GPa), die unter Druck verklebt worden sind. Der Werkstoff zeigt eine hohe Ermüdungsfestigkeit und behindertes Risswachstum, besonders bei aero-elastischer Beanspruchung von Rümpfen (Abb. 6.15). • Mg-Li-Legierungen, die einen weiteren Durchbruch in der Gewichtswertung bringen würden, befinden sich seit längerer Zeit in der Entwicklung. Im Abb. 6.16 sind zur ersten Orientierung einige Kennwerte aufgeführt. Bislang steht der Verwendung als Strukturbauteile noch die niedrige Festigkeit [MAR 87] entgegen. Von der Formgebung her lassen sich Mg-Li-Legierungen als Knet- und Gusswerkstoffe verarbeiten.

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

Das Prinzip der Faserverstärkung [PUC 87] besteht darin, dass in einem Grundwerkstoff (Matrix) in einer vorbestimmten Anordnung Fasern eingebettet werden. Die Matrix hat dabei die Aufgaben die Fasern räumlich zu fixieren, die Kraftleitung auf die Fasern zu

78

6

Leichtbauwerkstoffe

gewährleisten, bei Druckbeanspruchung die Fasern zu stützen und die Fasern vor Umgebungsmedien zu schützen. Damit dies gewährleistet ist, müssen bei einer Werkstoffkombination folgende Voraussetzungen erfüllt sein: • Die Bruchfestigkeit der Fasern muss größer sein als die der Matrix (RmF > RmM). • Der E-Modul der Fasern muss weit größer sein als der der Matrix (EF > > EM). aber • Die Bruchdehnung der Matrix muss größer sein als die der Fasern (εBM  εBF). Für die Konstruktion ist dann von Interesse, wie sich solche Verbunde elastizitätsmechanisch in unterschiedliche Richtungen verhalten. Insbesondere für undirektionale Glasfaserverbunde können folgende einfache Beziehungen für die Grundelastizitäten angegeben werden: EII ¼ ϕF  EF þ ð1  ϕF Þ  EM ,

ð6:1Þ


 1 þ 0, 85  ϕF 2 EM E⊥ ¼  , 1  νM 2 ð1  ϕF Þ1, 25 þ EM ϕ2 F ð1νM ÞEF

ð6:2Þ

ν⊥II ¼ ϕF  νF þ ð1 þ ϕF ÞνM , νII⊥ ¼ ν⊥II 

ð6:3Þ




GII⊥

 1 þ 0, 6  ϕF 0, 5  GM ¼ : ð1  ϕ Þ1, 25 þ GM  ϕ

E⊥ , EII

F

GF

ð6:4Þ

F

Näherungsweise können diese Gleichungen (s. VDI 2014-3) auch zur Berechnung von Kohlenstoff- und Aramidfaser-Verbunden herangezogen werden, wenn man an Stelle von EF, GF die entsprechenden richtungsabhängigen Fasermodule EIIF, E⊥F bzw. GII⊥F benutzt [SCH 07]. Die Eigenschaften derartiger Verbunde bzw. deren Komponenten sollen nachfolgend kurz dargelegt werden.

6.8.1

Faser-Kunststoff-Verbunde

In vielen technischen Anwendungen dominieren heute Faser-Kunststoff-Verbunde. Es hat sich nämlich gezeigt, dass die vorhandenen Leichtbaueigenschaften vieler Thermoplaste und Duromere hinsichtlich Festigkeit und Steifigkeit auch unter erhöhten Temperaturen durch Fasereinbettung (Naturfasern, organische und anorganische Fasern, Metallfasern) bedeutend verbessert werden können. Diese Verstärkungen gehen als

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

79

• Kurz- oder Langfasern auf der Basis von Glas, Kohlenstoff oder organischen Polyamiden (Kevlar) oder • als Vliese, Matten, Gewebe oder Bändern ein. Mögliche und meist verwendete Matrix-Kunststoffe sind • bei den Thermoplasten: Polypropylen (PP), Polyamid (PA), Polyethylenterephthalat (PET), Polyphenylensulfid (PPS), Polyetheretherketon (PEEK), Polysulfon (PSU) und • bei den Duromeren: Polyester- (UP), Epoxid- (EP), Vinyl- (VE) und Phenolharz (PF). Die Anordnung der Fasern kann gerichtet (un-, bi- oder tridirektional) oder ungerichtet erfolgen, wodurch sich entweder ein gesteuertes oder ungesteuertes anisotropes Verhalten erzeugen lässt. Je nach Verstärkungstechnik können dabei die Grundfestigkeiten (s. Abb. 6.17) um 1 bis 2 Größenordnungen angehoben werden. Die Bruchzähigkeit des Verbundes fällt durch die eingelagerten spröden Versteifungen aber unter der des Matrixwerkstoffes ab. Für die mechanischen Eigenschaften ist weiter besonders die Haftung zwischen Matrix und Fasern entscheidend, die vollständig sein muss, um Matrix und Fasern gleichmäßig zum Tragen heranziehen zu können. Der Belastungsmechanismus ist dann so eingestellt, Thermoplaste

Rm [Mpa]

Polyamid 6, unverst.

E-Modul [Mpa]

3⋅103 4,5 ⋅103 7 ⋅103

80

/+ 30 % Kreide

70

/+ 30 % Talkum

80

110

/+ 30 % Kurzglasfasern

8⋅103

180

/+ 30 % Kohlenstoffkurzfasern

18 ⋅ 103

210

7 ⋅10

100 Duromere

3,5 ⋅103

90 110

/+ 30 % Glasfasern, ungerichtet 60

1300

/+ 60 % Glasfasern, endl., undir.

3

E-Modul [Mpa]

Rm [Mpa]

UP-Harz, unverstärkt

1800

Abb. 6.17 Mechanische Eigenschaften von FKV-Werkstoffen

14 ⋅ 103 9 ⋅103 39 ⋅103

60 /+ 60 % Kohlenstoffasern, endl., undir.

4 ⋅ 103

8 ⋅103

140 ⋅ 103

80

6

Leichtbauwerkstoffe

dass der Hauptteil der Kräfte von den Fasern aufgenommen wird. Eine undirektionale Anordnung von Langfasern entspricht hier belastungsmäßig einer Parallelschaltung von Fasern und Matrix bzw. senkrecht dazu einer Reihenschaltung. In mehrschichtigen FKVs stellen die Einzelschichten die Grundelemente dar. Für sich müssen diese als homogene, anisotrope Kontinua betrachtet werden, die zweiachsig beansprucht werden können.

6.8.1.1 Auslegung und Berechnung von FKV-Bauteilen FKV-Bauteile müssen aufgrund der Anisotropie der Faserverbundwerkstoffe anders als Bauteile mit isotropen Werkstoffen ausgelegt und berechnet werden. Um die höchstmögliche Gewichtseinsparung zu erhalten, werden die Fasern in Richtung der Lastpfade gelegt. Somit ist nicht nur das Bauteil zu konstruieren, sondern auch das Laminat zu entwerfen. Ein Laminat besteht aus mehreren Einzelschichten, deren Ausrichtung verschieden sein kann. Der Lagenaufbau und somit die Wahl der Anzahl und der Ausrichtung der Schichten erfolgt anhand der mechanischen Anforderungen. Das Ergebnis ist ein Bauteil mit richtungsabhängigen Eigenschaften, dessen mechanische Belastbarkeit sich aus den Eigenschaften und Kennwerten der Einzelschichten ergeben. Weiterhin ist zu Beginn der Auslegung schon das Herstellungsverfahren festzulegen, denn die Eigenschaften hängen vom Faservolumengehalt, dem Verhältnis Faser zu Matrix, ab. Je nach Herstellverfahren kann ein bestimmter Faservolumengehalt erzielt werden. Folgende Konstruktionsregeln sind bei der Auslegung von FKV-Bauteilen zu beachten: • • • • • • • •

Entformungsschrägen vorsehen Hinterschneidungen vermeiden Masseanhäufungen vermeiden geringe Wandstärken anstreben fasergerecht konstruieren zulässige Radien für Fasern berücksichtigen Drapierbarkeit berücksichtigen werkstoffgerechte Verbindungen vorsehen

Einige Regeln sind die gleichen wie die für homogene Kunststoffbauteile. Die Kriterien für die Auswahl der Materialien, also Harzsystem und Faser- und Laminatart, sind folgende: • • • • • • •

Gewicht Preis Festigkeit Steifigkeit erforderliche Wandstärken Bauraumgeometrie Einsatztemperatur

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

81

• Umgebungsmedien • Bauteilausdehnung bei Temperatur Bei FKV wird nach dem Multi-Skalen-Modell [FRI 17] zwischen der Micro-Ebene, der Meso-Ebene und der Macro-Ebene unterschieden. Auf der Micro-Ebene werden die Fasern und die Matrix, deren Zusammenhalt und gegenseitige Beeinflussung betrachtet. Die Meso-Ebene hat die Faserarchitektur, also Matten und Gewebe, im Blick und auf der Macro-Ebene werden die Laminate und Bauteile betrachtet. Die Micro -und die MesoEbenen werden überwiegend in der Forschung untersucht, um Materialeigenschaften zu prognostizieren. Dagegen wird die Macro-Ebene in der Praxis eingesetzt und dabei werden durch genormte Versuche wie Zugversuch, 3-Punkt-Biege- und 4-Punkt-Biege-Versuch die Materialeigenschaften ermittelt. Bei der Dimensionierung von FKV dürfen die zulässigen Dehnungen und Verformungen des Verbundes nicht überschritten werden. Zusätzlich ist ein rissfreies Laminat auszulegen. Dafür sollten die Dehnungen der einzelnen Laminatschichten unter den kritischen Werten sein und somit keine Mikrorisse entstehen können. Mikrorisse führen zwar nicht zum plötzlichen Versagen, jedoch können schädigende Medien in das Bauteil eindringen und die Lebensdauer wird sinken. Können bei Bauteilen Schädigungen einzelner Laminatschichten zugelassen werden, aber ein Versagen bei maximaler Belastung unbedingt vermieden werden muss, kann gegen kritische Spannungen dimensioniert werden. Es gibt folgende Berechnungsmethoden: • • • •

Netztheorie Kontinuumstheorie Laminattheorie Finite-Elemente-Methode (FEM)

Die ersten drei Methoden sind analytische Verfahren, die geschlossene Lösungen erzeugen und nur bei einfachen Bauteilen angewendet werden können. Bei den komplizierten, dreidimensionalen Bauteilen ist eine Berechnung mit der Finite-ElementeMethode durchzuführen. Dabei wird das Bauteil im geeigneten Rechnerprogramm erzeugt, die Belastungen und Restriktionen eingegeben und die Dehnungen und Spannungen berechnet. Bei der Netztheorie [WIE 96] müssen Orthotropie und Symmetrie vorliegen. Es wird angenommen, dass die Matrix nicht mitträgt und nur die Fasern das tragende Netz bilden. Daher sind nur Kräftegleichgewichte zur Ermittlung der Schichtspannungen aufzustellen und es sind keine elastischen Größen erforderlich. Die Netztheorie wird bei Rohren und Druckbehälter oder zur Vorauslegungen, die später mit der Laminattheorie oder FEM-Analyse genauer berechnet werden, angewendet. Die Kontinuumstheorie betrachtet Faser und Harz des Laminats als fest verbunden. Voraussetzungen sind Orthotropie, Symmetrie zur Mittelebene und das Vorliegen eines

82

6

Leichtbauwerkstoffe

ebenen Spannungszustandes. An mehrachsig beanspruchten Laminaten können Mikrorisse in der Matrix auftreten, obwohl die Faserfestigkeit noch nicht erreicht ist. Häufig wird die Kontinuumstheorie für die Vorhersage von Matrixrissen oder Zwischenfaserbrüchen verwendet. Die als klassische Laminattheorie [EHR 06] bezeichnete Methode ist die zweidimensionale Kontinuumstheorie. Die Voraussetzungen sind fest miteinander verbundene Schichten und es treten bei ebener Belastung in jeder Einzelschicht gleich große Verformungen auf. Zudem muss die Dicke tL klein gegenüber den anderen Abmessungen sein und das Beanspruchungsverhalten der Einzelschichten wird als linear elastisch angenommen. Mit der Laminattheorie lassen sich die Spannungen und die zugehörigen Dehnungen in jeder einzelnen Laminatschicht berechnen. Da die klassische Laminattheorie [SCH 07], auch CLT für classical laminate theory genannt, Grundlage vieler Berechnungsprogramme ist, soll ihre Vorgehensweise hier kurz erläutert werden. Zu Beginn müssen die Schichtdicken, die Winkel der unidirektionalen Schichten und die Schichtreihenfolgen festgelegt werden. Weiterhin muss die Steifigkeitsmatrix Qij jeder unidirektionalen Schicht bestimmt werden. Die n Steifigkeitsmatrizen Qk werden dann ins ^k . Nun werden die Scheibenglobale x-y-Koordinatensystem transformiert, Qk ! Q steifigkeitsmatrix A, die Plattensteifigkeitsmatrix D und die Koppelsteifigkeitsmatrix B berechnet und die Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix erstellt, die anschließend invertiert wird. Nun können die globalen Dehnungen ε^ und die globalen Krümmungen k^ berechnet werden und es erfolgt dann die Transformation der globalen Dehnungen in die Dehnungen der einzelnen UD-Schichten. Anschließend kann mittels der Scheibensteifigkeitsmatrix der UD-Schichten Qij die Spannungen in jeder Schicht im lokalen Schichtkoordinatensystem berechnet werden. Als Letztes erfolgt der Vergleich der vorhandenen Spannungen mit den zulässigen Spannungen anhand des gewählten Versagens- oder Bruchkriteriums. Die Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix besteht aus der Scheibensteifigkeitsmatrix A, der Plattensteifigkeitsmatrix D und der Koppelmatrix B und stellt das elastische Verhalten des Laminats dar. Die Scheibensteifigkeitsmatrix entsteht aus der Parallelschaltung der Scheibensteifig^ij aller Einzelschichten unter Berücksichtigung der Schichtdicke jeder Einzelkeiten Q schicht: Aij ¼

Xn k¼1

^ij, k  t k : Q

ð6:5Þ

Die Plattensteifigkeitsmatrix wird durch die Parallelschaltung der Biegesteifigkeiten aller n unidirektionalen Einzelschichten gebildet: Dij ¼  2 Dabei ist

tk 12

Xn

^  tk  Q k¼1 ij, k



  t 2k  t 2 þ zk  k : 12 2


2 die Biegesteifigkeit und zk  t2k der Steiner Anteil.

ð6:6Þ

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

83

Die Koppelsteifigkeitsmatrix entsteht aus den Scheibensteifigkeiten der n Einzelschichten: Bij ¼

  ^ij, k  t k  zk  t k : Q k¼1 2

Xn

ð6:7Þ


 Hierbei ist zk  t2k das statische Moment. Für symmetrisch geschichtete Laminate wird die Kopplung zwischen Scheibe und Platte zu null. Äußere Lasten, Momente und Kräfte werden auf eine Breite bezogen und sind somit Momenten- oder Kraftflüsse. Scheibenlasten führen bei isotropen Scheiben und Platten nur zu Dehnungen und Schiebungen, dagegen treten bei Laminaten zusätzlich Krümmungen und Drillung auf. Scheibenlasten sind Normalspannungs- und Schubspannungsflüsse in der Laminatebene: 2

Nx

3

6 7 4 Ny 5 ¼ N xy

2

Z t

σx

3

6 7 4 σ y 5 dz: τxy

ð6:8Þ

Die Plattenlasten setzen sich aus den Biegemomentflüssen und dem Drillmomentenfluss zusammen: 2

3 2 3 Mx Z σx 6 7 6 7 4 M y 5 ¼ 4 σ y 5  z dz: t M xy τxy

ð6:9Þ

Die Integrale werden durch Summationen über die einzelnen Schichtdicken ersetzt, die Spannungen nach dem Hooke`schen Gesetz durch die Verzerrungen ersetzt und es ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Belastungen und Dehnungen, Krümmungen und Drillungen bezogen auf die neutrale Ebene: 3 2 Nx A11 6 N y 7 6 A12 7 6 6 6 N xy 7 6 A16 7 6 6 6 M x 7 ¼ 6 B11 7 6 6 4 M y 5 4 B12 M xy B16 2

A12 A22 A26 B12 B22 B26

A16 A26 A66 B16 B26 B66

B11 B12 B16 D11 D12 D16

B12 B22 B26 D12 D22 D26

32 3 εx B16 6 εy 7 B26 7 76 7 6 7 B66 7 76 γ xy 7: 7 7 D16 76 6 κx 7 5 4 κy 5 D26 κxy D66

ð6:10Þ

Die dabei entstandene Matrix mit Scheiben-, Platten- und Koppelsteifigkeiten wird mit Laminat-Steifgikeitsmatrix bezeichnet [SCH 07].

84

6

Leichtbauwerkstoffe

Bei der praktischen Auslegung interessieren die Ingenieurskonstanten. Dies sind die vier Grundelastizitäten, die aus der inversen Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix ermittelt wird: E^x ¼

1 A11  t L

ð6:11Þ

E^y ¼

1 A22  t L

ð6:12Þ

^xy ¼ G

1 A66  t L

ð6:13Þ

A12 : A11

ð6:14Þ

v^yx ¼ 

Mit Hilfe der Ingenieurskonstanten kann das globale Verhalten des FKV vorgenommen werden. Um die inneren Spannungen des Laminats zu erhalten, müssen diese mit der Scheibensteifigkeitsmatrix der UD-Schichten Qij im lokalen Schichtkoordinatensystem berechnet werden. Da Steifigkeitsanforderungen und Versagens- oder Bruchkriterien zu erfüllen sind, wird die zuvor erläuterte Abfolge so lange wiederholt, bis die Kriterien erfüllt sind. Die Berechnung von FKV-Bauteilen erlaubt aufgrund der klassischen Laminattheorie nur eine Überprüfung, ob die vorhandenen Spannungen, Dehnungen und Krümmungen unter den zulässigen Werten liegen. Die Besonderheiten der FKV wie Anisothropie, Spannungssprünge im Laminat und die unterschiedlichen Materialeigenschaften von Fasern und Matrix bedingen diese iterative Berechnung. Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist sicherlich die meist angewendete Berechnungsmethode bei FKV-Bauteilen. Für die Nutzung kommerzieller oder kostenfreier Programme sind genaue Kenntnisse der Annahmen wie Orthotropie, Symmetrie zur Mittelebene, ebener Spannungszustand und die Grenzen der Berechnungsmodule erforderlich. Für die Berechnungen der globalen Festigkeitseigenschaften aus den Eigenschaften der einzelnen Schichten sind die mechanischen Daten von Fasern und Matrix erforderlich. Wenn diese Berechnung nicht möglich ist, müssen die mechanischen Eigenschaften des Laminats experimentell ermittelt werden. Durch eine kombinierte Zug-Druck-TorsionsPrüfung (ZDT-Prüfung) werden die Bruchlasten und die Ingenieurskonstanten bestimmt. Für die Überprüfung der Berechnungsergebnisse existieren mehrere Versagenshypothesen, die je nach statischer oder dynamischer Belastung und der Versagensart wie Faserbruch, Matrixbruch und Bruch zwischen Faser und Matrix zu wählen sind [PUC 96]. Zudem muss entschieden werden, ob eine maximale Dehnung zulässig ist oder eine maximale Festigkeit die Grenze der Belastbarkeit ist.

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

85

6.8.1.2 Glasfaserverstärkte Kunststoffe (GFK) Der wohl verbreitetste Verbundwerkstoff für technische Anwendungen dürfte die Kombination zwischen Harz und Endlosglasfasern [TAP 75] sein. Bei einem derartigen Verbundwerkstoff liegt eine klare Aufgabenteilung zwischen Fasern und Matrix vor. • Die Glasfasern bestimmen die Festigkeit, Steifigkeit, Bruchdehnung und thermische Ausdehnung des Verbundes. Die Faserorientierung bestimmt die Richtungsabhängigkeit dieser Größen. Glasfasern sind isotrop und werden in den Qualitäten E ¼ elektrisch, R ¼ Resistance, S ¼ Strength, C ¼ chemikalienbeständig und D ¼ transparent angeboten. • Das Harz bestimmt die Eigenschaften wie Formbeständigkeit in der Wärme, Witterungs- und Altersbeständigkeit sowie die Rissbildungsgrenze. Hierzu eignen sich bevorzugt Duromere (UP, EP, VE, PF) Die UP-Harze sind billig und leicht verarbeitbar. Sie unterliegen einer hohen Schwindung mit starken Eigenspannungen, sind aber gut wärmebeständig. Genau entgegengesetzte Eigenschaften weisen die EP-Harze auf, die teurer sind, aber gute dynamische Kennwerte aufweisen. VE-Harze liegen mit ihren Eigenschaften dazwischen, haben jedoch eine höhere chemische Beständigkeit (Bootsbau, Behälter). PF-Harz hat den Vorteil der schweren Entflammbarkeit (Flugzeugbau). Anhaltswerte für die Eigenschaften von Komponenten können Abb. 6.18 entnommen werden. Die mechanischen Werte eines GFK-Laminats hängen in erster Linie vom Glasfasergehalt ab. Dennoch können die Festigkeiten nicht beliebig gesteigert werden, da höhere Glasgehalte nur durch stärkere Verdichtung zu realisieren sind. Bei höheren Drücken besteht aber bei sich kreuzenden Glasfasern die Gefahr der Schädigung mit einem

Glasfasern Eigenschaften

UP-Harz

E-Glas

R/S-Glas

C-Glas

D-Glas

kg/dm 3

1,9

2,55

2,55/2,49

2,51

2,14

80

2.400

3.600

2.400

1.650

Zug-E-Modul [MPa]

3.900

74.000

86.000

71.000

55.000

Bruchdehnung A [%]

5,0

3,4

4,0

–

–

Querkontraktionszahl

0,35

0,20

0,22

0,22

0,22

Dichte

Zugfestigkeit R zB [MPa]

therm. Ausdehnungskoeffizient [1/K]

6 5,0 10 100 10 6 4,8 10

Abb. 6.18 Mechanische Werte von Harz und Glasfasern

6

5,0 10 6 5,0 10 6

86

6

Leichtbauwerkstoffe

damit verbundenen Festigkeitsabfall. Die Grenzen, bei denen GF-Versteifungen noch wirksam sind, liegt bei Mattenlaminaten etwa bei 35 %, bei Gewebelaminaten etwa bei 50 % und bei Rovings bei 75 %.

6.8.1.3 Kohlenstofffaserverstärkte Kunststoffe (CFK) Für CFK-Verbunde werden als Matrixwerkstoffe überwiegend Epoxidharze eingesetzt, da sie die beste Oberflächenhaftung haben. Gegenüber den Polyesterharzen besteht für CFK-Teile der Vorteil höherer mechanischer Beanspruchbarkeit, geringere Wasseraufnahme, höhere Chemikalien- und Temperaturbeständigkeit. Anhaltswerte gibt Abb. 6.19. Als Faserwerkstoff [FUN 01] werden eingesetzt: • C-Fasern auf der Basis von Polyacrylnitril als so genannte PAN-Fasern (HT, IM, HM, UHM) in ca. 90 % aller Anwendungsfälle und • C-Fasern auf der Basis von Mesophasenpech (HM, UHM) für niedrige Anforderungen. Die verbreitetste C-Faser ist die hochfeste HT-Faser, da sie im Vergleich zu den Hochmodulfasern relativ preiswert ist. Ein guter Kompromiss stellt die IM-Faser dar. Sie hat eine höhere Steifigkeit und ein höheres Dehnungsvermögen als die HT-Faser, ist jedoch deutlich preiswerter als die C-Hochmodulfaser (HM) und Ultrahochmodulfaser (UHM). Häufig werden für CFK-Bauteile vorgefertigte, gewebeverstärkten Prepregs verwendet. Diese erleichtern die Laminatherstellung.

6.8.1.4 Aramidfaserverstärkte Kunststoffe (AFK) Die AFK-Laminate (Kevlar) erhalten ihre Versteifung durch organische Chemiefasern (Aromatisiertes Polyamid). Die Faserfestigkeit der Aramidfasern liegt zwischen den Glasfasern und den Kohlenstofffasern. Bei den mechanischen Werten (s. Abb. 6.20) ist C-Fasertypen Eigenschaften

EP-Harz

HT-Faser

1,18-1,20

1,74

1,74

1,81

1,9

70

3.430

4.210

2.450

2.150

Zug-E-Modul [MPa]

3.500

230.000

295.000

390.000

450.000

Bruchdehnung A [%]

5-7

1,8

2,0

0,6

0,5

therm. Ausdehnungskoeffizient // [1/K]

–

Dichte

kg/dm 3

Zugfestigkeit R zB MP a

0,45 10 6

IM-Faser HM-Faser UHM-Faser

1 10 6

1 10 6

Abb. 6.19 Mechanische Werte von Harz und Kohlenstofffasertypen (PAN-Basis)

1,1 10 6

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

87

Eigenschaften Dichte

Aramidfaser LM/HM

kg/dm 3

1,44/1,45 2.800/2.900

Zugfestigkeit R zB MPa Zug-E-Modul [MPa], längs

59.000/127.000

Zug-E-Modul [MPa], quer

3.000/5.000

Bruchdehnung [%] therm. Ausdehnungskoeffizient bzw.

4/1,9 //

2,3 10 6 / 4,1 10 6 70 10 6

Abb. 6.20 Mechanische Werte von Aramidfasern (LM ¼ Niedrigmodulfaser / HM ¼ Hochmodulfaser)

Abb. 6.21 Herstellungsstufen einer Verbundstruktur nach [DEG 09] a) Materialverbund b) DU-Einzelschicht c) multidirektionales Laminat d) Strukturbauteil

besonders die relativ hohe Zugfestigkeit bei guter Bruchdehnung und dem geringsten spezifischen Gewicht hervorzuheben. Anwendungen sind daher bevorzugt stoßartig belastete Baueile, wo extreme Forderungen an die Schlagzähigkeit, Materialdämpfung und den Verschleiß gestellt werden.

6.8.1.5 Verbundfestigkeit Aus den aufgeführten Faser-Kunststoff-Verbunden (FKV) können Hochleistungskonstruktionen aus Einzelschichtlaminate gebildet werden. Belastungsoptimierte Laminate entstehen aus orientierten Einzelschichten, aus denen weiter gemäß Abb. 6.21 Faserverbundstrukturen aufgebaut werden können. In der Tabelle zu Abb. 6.22 sind einige Eigenschaften von Laminaten angegeben, aus denen sich Vorzugsanwendungen für GFK, CFK und AFK ableiten lassen.

88

6

Leichtbauwerkstoffe

Mechanische Eigenschaften von Verstärkungsfasern Faserart

kg/dm3

Eigenschaften E FII [MPa ] R zB MPa

[1/K] 4,8 10 6

isotrop

74 103

2.400

Aramid-Fasern

2,55 1,44

anisotrop

67 103

2.800

II

C-Fasern (HT-Typ)

1,74

anisotrop

230 103

3.430

II

C-Faser (HM-Typ)

1,81

anisotrop

390 103

2.450

E-Glas-Fasern

2 10

6

20 10

6

0,1 10 6

bis 0,5 10 6 30 10 6

Mechanische Eigenschaften von Kunststoffverbunden für F = 0,55 3 ~ 40 10

UD GFK

3

40-70

35 10 6

BD

25 103

400-550

12 10 6

TD

22 103

250-350

12 10 6

~ 30 103

>1.200

3 10 6

6 103

15-30

70 10 6

2 103

20-40

-

1,44

3

BD

40 10

750

0

TD

30 103

500

0

~ 120 103

>1.700

0

8 103

20-40

40 10 6

5 103

40-100

-

UD CFK CF

20-50

4,5 10

2,50

UD AFK

12 103

6 800 - 1.100 6 8 10

1,75

3

BD

40 10

TD

30 103

550

1,5 10 6

370

1,5 10 6

Abb. 6.22 Werte für Faserlaminate aus Probenexperimenten nach Puck (Kassel) Anmerkung: UD ¼ uni-direktional, BD ¼ bi-direktional, TD ¼ tri-direktional

6.8

Faserverstärkte Werkstoffe

89

Die Anwendung ist teils durch die gegenüber NE-Metallen höheren Preise begrenzt: • Standard GFK (UP mit Kurzfasern, ca. 25–30 % Fasern) • GFK (EP mit Fasermatten, 25–30 % Fasern) • CFK (EP mit Langfasergewebe, 40–50 % Fasern) • AFK (EP mit Langfasergewebe, 40–50 % Fasern)


5–10 €/kg,
8–12 €/kg,
50–100 €/kg,
30–80 €/kg.

Wegen der Recyclingproblematik mit Duromeren weicht die Industrie heute vermehrt auf glasmattenverstärkte Thermoplaste (GMT) mit PA, PET, PBT sowie langfaserverstärkte Thermoplaste (LFT) oder Organoblechen aus.

6.8.2 Faserverstärkte Metalle Wie bei den Kunststoffen verspricht auch die Faserverstärkung von Leichtmetallen zukünftig Bedeutung zu erlangen. Erste Ansätze zeichnen sich im bor- und kohlenstofffaserverstärkten Aluminiumbzw. stahldrahtverstärktem Aluminium sowie im kohlenstofffaserverstärktem Nickel ab. Zielsetzung ist es dabei, unter Erhalt der niedrigen Dichte dieser Werkstoffe die Festigkeit und Steifigkeit, insbesondere unter erhöhten Temperaturen (T > 500  C), zu stabilisieren. Auf die damit zusammenhängenden Aspekte soll noch kurz eingegangen werden: • Bor- und kohlenstofffaserverstärkte Aluminium-Verbundwerkstoffe erreichen vielfach höhere mechanische Werte als ausgehärtete oder legierte Aluminiumlegierungen. Die Herstellung dieses Compounds ist allerdings sehr schwierig, da Aluminium die Fasern erst bei hohen Temperaturen vollständig benetzen kann. Des Weiteren sind besondere Vorkehrungen gegen unerwünschte chemische Reaktionen der Schmelze erforderlich, da durch die Bildung von Al-Karbiden der Verbund an Festigkeit wieder einbüßt. Ein in Pilotanlagen erprobtes Verfahren ist das Plasmaspritzen von so genannten Al-B-Tapes (s. Abb. 6.23). Zur Herstellung von Blechen werden mehrere Tapes übereinandergelegt und durch Lotplattierung oder Diffusionsschweißen miteinander verbunden. Durch die Anordnung der einzelnen Tapes können sowohl undirektionale als auch Winkelverbunde hergestellt werden. Fertigteile gewinnt man dann durch Ausfräsen oder Funkenerosion. In Abb. 6.24 sind einige Richtwerte zu den mechanischen Eigenschaften aufgeführt, die an Probestäben ermittelt worden sind. • Ein weiterer möglicher Verbund ist Stahldraht-Aluminium, bei dem martensitische Stahldrähte (d
150 μm, Rm  3000 MPa) in AlMgSi1 eingelagert werden. Hierbei konnten bei 35 % Drahtanteil durchschnittliche Zugfestigkeiten von Rm
1200 MPa in Faserrichtung gemessen werden. Herstellverfahren für derartige Tapes ist das Heißpressverfahren, Plasmaspritzen und die Schmelzinfiltration.

90 Abb. 6.23 Verstärktes Bor-Aluminium a) Herstellung durch Plasmaspritzen, b) Aufbau von Struktur aus geschichteten Tapes

6

Leichtbauwerkstoffe

Phasenbrenner Al-Pulver a) Wolframseele

Spritzschicht Tape

B-Faser Al-Trägerfolie

b)

Abb. 6.24 Werkstoffkennwerte von Al-B-Verbundwerkstoffen (etwa 120–150 €/kg) in Abhängigkeit vom Fasergehalt

Fasergehalt:

φF

[%]

Dichte:

ρ

[kg/dm3]

Zugfestigkeit:

σ zBΙΙ [MPa]

1.065

σ zB⊥ [MPa]

90

44 2,50

E ΙΙ

[MPa]

1,7465 ⋅ 105

E⊥

[MPa]

1,0607 ⋅ 105

Scherfestigkeit:

τ ΙΙ⊥

[MPa]

53

Gleitmodul:

G ΙΙ⊥

[MPa]

3,462 ⋅ 104

Fasergehalt:

φF

[%]

Zugfestigkeit:

σ zB II [MPa]

E-Modul:

Eb

E-Modul:

[MPa]

53 1.070 2,143 ⋅ 105

• Die Entwicklung von Al-C-Verbunden ist dagegen noch nicht so weit fortgeschritten, als dass dafür schon verlässliche Materialwerte angegeben werden können. Erste Proben zeigen aber schon, dass die Verbundfestigkeiten unter denen der Al-B-Verbunde liegen. • Kohlenstofffaserverstärktes Nickel befindet sich derzeit ebenfalls noch in der Entwicklung. Probleme bereitet hier die Reaktionsfreudigkeit des Ni mit C bei Temperaturen um 900  C, bei denen die Kohlenstofffasern zu Grafitflocken umkristallisieren. Insofern sind derzeit bei der Stabilisierung der Warmfestigkeitswerte noch keine durchgreifenden Erfolge abzusehen. • Mit Mg-C (kohlenstofflangfaserverstärktes Magnesium) zeichnet sich ebenfalls eine interessante Entwicklung für ultraleichte Fahrzeugkomponenten (Motorenbau, Fahrwerk) ab. Die im Labor hergestellten Proben zeichnen sich durch niedrige Dichte bei hoher Festigkeit, Verschleißbeständigkeit und Wärmeleitfähigkeit bei geringer Ausdehnung aus.

Literatur

91

Ebenso wie die Faser-Kunststoff-Verbunde werden in naher Zukunft auch den MetallMatrix-Verbunden (allgemein als MMC ¼ Metal Matrix Composites bezeichnet) ein festes Anwendungsfeld im Leichtbau eingeräumt.

Literatur [AUT 83] [AUT 88] [BOR 83] [DEG 09] [DOM 83] [EHR 06] [FUN 01]

[FRI 17] [GAN 82] [HOR 72] [MAR 87] [NN 72] [NN 91] [PUC 87] [PUC 96] [REI 76] [SCH 07] [STÜ 69] [SUZ 82] [TAP 75] [WEB 89] [WIE 96]

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7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

Die Natur bedient sich innerhalb der Schöpfung von Pflanzen und Lebewesen vielfältig innovativer Prinzipien. So ist nachweisbar, dass biologische Bauweisen stets mit möglichst geringster Energie hergestellt werden, stets massearm und langlebig sind. Dies ist auch insofern notwendig, da der Materialaufwand jeweils mit der Stoffwechselleistung produziert wird, für die erforderliche Beweglichkeit eine günstige Massenverteilung und abgestimmte Steifigkeiten anzustreben sind. Bei vielen technischen Lösungen wurde die Natur mit Erfolg kopiert. Beispiele (s. Abb. 7.1) hierfür geben Stützkonstruktionen, Schaumstoffe, Sandwich- oder Faserverbundbauweisen, die erst neuartige Strukturkonzepte ermöglicht haben. Die Natur stellt mit 1,5 Mio. Tier- und 0,5 Mio. Pflanzenarten ein unendliches Reservoir für technisch funktionale Lösungen mit hohem Leistungsvermögen dar. So verfügt beispielsweise der Chitinpanzer des Käfers auf Grund seiner Sandwichstruktur über eine enorme Druckfestigkeit; der Weizenhalm zeigt als rohrförmige Verbundkonstruktion eine extreme Knickfestigkeit, und selbst große Schädelstrukturen von Säugetieren (Büffel, Elefant) sind durch Pneumatisierung (Schaumstoff) ungeahnt leicht. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass nicht einfaches Übernehmen, sondern nur zweckgerechtes Adaptieren zum Ziel führt.

7.1

Strukturmerkmale

Ein Grundprinzip der Natur ist, „körpereigene Masse“ vorrangig dort „anwachsen“ zu lassen, wo die größte Belastung auftritt: Axiom der gleichmäßigen Oberflächenspannung. An Stellen mit geringerer Belastung findet dagegen eine Material-

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_7

93

94

7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

a) Stützkonstruktionen Versteifungsprinzip eines Seerosenblattes

Struktur eines Schmetterlingflügels

Struktur der Eischale eines Insektes b) Sandwichkonstruktionen

Schädel eines Säugetieres

Blatt einer Alge

Sandwichwabenelement

c) Faserverbundkonstruktionen

Bruchfläche eines Seeigelzahns

Bruchfläche eines GFK-Werkstoffes

Abb. 7.1 Bauweisen in der Natur nach [NAC 82]

abnahme statt. So findet man als Bauprinzipien vielfach dünnwandige, profilierte Stabprofile bzw. geschlossene Rohre oder gefächerte, verrippte und gelochte Flächentragwerke vor. Die Profilierung ist hierbei stets belastungsoptimal. Prinzipien [WIE 84] sind hierbei: • Wenn möglich wird eine Zugbeanspruchung angestrebt. Derartige Strukturen benötigen keine Biegesteifigkeit, da keine Instabilitäten auftreten. • Falls Druckbeanspruchungen auftreten, werden Maßnahmen gegen Instabilität durch Profilierung, Segmentierung oder stützende Anbindungen vorgesehen, die aber meist zu einer Gewichtszunahme führen. • Biege- oder Torsionsbeanspruchungen in massiven Querschnitten werden vermieden, da derartige Querschnitte nicht richtig ausgenutzt werden. Stattdessen wird in einer belastbaren Randschicht und einem gelochten Kern aufgeteilt.

7.2

Konstruktive Prinzipien

95

Die verwendeten Werkstoffe zeichnen sich ebenfalls durch eine extrem geringe Dichte (z. B. Spinnseide: ρ ¼ 0, 11 kg/dm3, Vogelfedern: 0, 115 kg/dm3, Chitin:1 0, 14 kg/dm3, Röhrenknochen 0,05–0,3 kg/dm3) aus. Stabilität wird durch die Einlagerung von Elastin, Kollagen und Resilin mit gummiartigen Eigenschaften (ρ ¼ 1, 2 kg/dm3, E  10  20 N/mm2) hergestellt. Flächige Strukturen erhalten hingegen ihre Steifigkeit durch Wachstumspfade (s. Blätter), die gleichzeitig Strukturen segmentieren und dadurch eine hohe Biege- und Beulsteifigkeit haben.

7.2

Konstruktive Prinzipien

Die Entwicklung einer Leichtbau-Konstruktion ist bekanntlich ein mehrstufiger Prozess, bei dem verschiedene Schleifen innerhalb der Konzipierung und Realisierung [JOR 86] zu durchlaufen sind. Um den Aufwand an Mitteln und Zeit zu begrenzen, sollte vorhandenes Erfahrungswissen möglichst frühzeitig in die Entwürfe einfließen. Es zeigt sich nämlich in der Praxis, dass die Beherzigung natürlicher Prinzipien stets zu intelligenten Konstruktionen führt. Alle Verstöße hiergegen wirken zurück durch erhöhten Aufwand im Materialeinsatz, der Verbindungstechnik und in der Herstellung. In vielerlei Hinsicht gibt uns die Bionik bewährte Richtungen (Form/Topologie und Gestalt) vor, wie Bauteile/Strukturen optimiert werden können. Einige Anhaltspunkte für ein abgestimmtes leichtbaugerechtes Konstruieren sollen die folgenden Regeln geben: 1. Regel: Möglichst direkte Krafteinleitung und Kraftausgleich Es ist anzustreben, dass Kräfte stets unmittelbar in die Haupttragstruktur eingeleitet werden. Umleitungen oder Umlenkungen führen wegen komplizierter Spannungszustände oft zu höheren Belastungen mit entsprechenden Konsequenzen auf die Dimensionierung und das Eigengewicht (etwa 10fach schwerer). Schematisierte Beispiele dazu gibt Abb. 7.2. Wenn möglich sollte versucht werden, unsymmetrische Konstruktionen zu symmetrisieren. Als Vorteil kann dann ein innerer Kräfteausgleich genutzt werden. Dies führt bei reinen Stützkonstruktionen (Stäbe und Balken) zu der oft besser ausgenutzten Schubfeldkonstruktion. Gleiche Überlegungen sind bei Profilen anzustellen. Ein geschlossenes Profil ist vielfach höher belastbar (etwa 30fach) und deformiert sich viel geringer (1/300fach) als ein offenes Profil. Dies gilt bei jeder Querschnittsgeometrie.

Anmerkung: Chitin ¼ Cellulose ähnlicher Stoff; Elastin ¼ Gerüsteiweiß; Kollagen ¼ Bindegewebsleim; Resilin ¼ elastische Substanz aus Protein-Ketten. 1

96

7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

zu Regel 1: ungünstig

besser

Hinweise

F F N, Q, M

· direkte Einleitung der Kraft in die Hauptstruktur

N, Q

N, M F

F F

N F

p

F

· keine Umleitung von Kräften · möglichst großflächige Einleitung von Kräften

F1 F2 F 3 F4

F 1 F2 F3 F 4

· möglichst direkte Unterstützung von Kräften

Abb. 7.2 Typische Krafteinleitungsprobleme in Tragwerken

Das Prinzip muss also sein, Konstruktionen oder Profile zu schließen und gegebenenfalls zu segmentieren. In Abb. 7.3 wurde versucht, dies exemplarisch herauszustellen. 2. Regel: Realisierung eines möglichst großen Flächenträgheits- bzw. Widerstandsmomentes Bei biege-, torsions- und knickgefährdeten Bauteilen gilt es, stets große Trägheitsmomente bzw. Widerstände bei möglichst kleiner Fläche zu erzielen, d. h. quantitativ den Profilformfaktor fP ¼

J i2 ¼ A2 A

ð7:1Þ

zu maximieren. Dies gelingt, indem viel Material aus der Mitte weggeschoben und in die äußere hoch belastete Zone angeordnet wird. In Abb. 7.4 sind Entwicklungsschritte vom Vollquerschnitt über Hohlquerschnitt bis zum Sandwichbalken dargestellt. Mit Hohlprofilen können gewöhnlich höhere Flächenträgheitsmomente als mit Vollquerschnitten erzielt werden. Hierbei gilt die Einschränkung, dass sich die Abmessungen regelmäßig vergrößern, aber das Eigengewicht gesenkt wird. Auch lassen

7.2

Konstruktive Prinzipien

97

zu Regel 1: ungünstig

besser

Hinweise F

F

· parallele Strukturen sollten möglichst symmetrisiert werden F

· offene Strukturen sollten möglichst geschlossen werden

q (s)

Mt

Mt

q = konst.

Abb. 7.3 Typische Kraftausgleichsprobleme in Tragwerken und Profilen

zu Regel 2: ungünstig

besser

F

Hinweise · möglichst Hohlprofile · Einsatz von dünnwandigen Profilen mit leichtem Stützkern

F

Al-, Zn-Schaum

Abb. 7.4 Querschnitte mit großem Profilformfaktor

sich Sandwiche durch eine entsprechende Kernstruktur gut den herrschenden Belastungsarten anpassen, wobei strukturierte Kerne eine etwa 4fach größere Knicksteifigkeit haben als homogene Kerne.

98

7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

3. Regel: Feingliederung von Strukturen Durch eine aufgelockerte Bauweise können Flächentragwerke bei kleiner Querschnittsfläche merklich versteift werden. Ein verripptes oder mit Untergurten unterstütztes Tragwerk oder ein Sandwichaufbau ist dabei einem massiven Tragwerk vielfach überlegen. Exemplarisches Beispiel hierzu zeigt Versteifung einer Platte durch flexibles Walzen Rippen, Untergurte und als Gitter- bzw. Noppenblech (Abb. 7.5). 4. Regel: Nutzung der natürlichen Stützwirkung durch Krümmung Die Biege-, Knick- und Beulsteifigkeit von geraden Scheiben und Platten lässt sich durch Vorkrümmung vielfach erhöhen, weil hierdurch das Flächenträgheitsmoment ansteigt und die Neigung zur Instabilität angehoben wird. Prinzipanwendungen dazu zeigt Abb. 7.6. 5. Regel: Gezielte Versteifung von Konstruktionen in den Hauptbelastungsrichtungen Durch die gezielte Einbringung von Ortho- oder Anisotropien kann die Steifigkeit eines Bauteils in bestimmten Vorzugsrichtungen angehoben werden. Möglich ist dabei die Nutzung so genannter konstruktiver oder werkstoffmechanischer Anisotropien, wodurch die Tragfähigkeit und die Instabilitätsgrenze ansteigt. Beispielhafte Lösungen dazu zeigt Abb. 7.7. Abgestimmte Versteifungen können auch durch unterschiedliche Blechdicken (z. B. Tailored Blanks bzw. -Tubes) erzeugt werden. Hierbei werden Bleche unterschiedlicher Dicke und Qualität laserverschweißt und gemeinsam verformt. Damit lassen

zu Regel 3: ungünstig p2

besser

p1

Tailored Rolled Blanks (TRB) Auch besser: · anstatt Vollquerschnitte sollten dünnwandige Stützquerschnitte realisiert werden

Gitterblech Abb. 7.5 Versteifung einer Platte durch Rippen oder Untergurte

Noppenblech

7.2

Konstruktive Prinzipien

99

zu Regel 4: ungünstig

besser

Hinweise F

F

· gekrümmte Formen erhöhen kritische Knick- und Beullasten q q

p

q q

p

Twinblech

p

· den Lasten entgegengesetzte Krümmungen wirken Durchbiegungen entgegen und stabilisieren gegen Durchschlagen

Abb. 7.6 Traglasterhöhung durch vorgekrümmte Bauteile

sich Hohlprofile (gegebenenfalls IHU2 oder Pillow-Hydroforming-konturiert) und flächenartige Großbauteile herstellen. Des Weiteren ist es auch möglich, steifigkeitsabgestimmte Werkstoffkombinationen wie beispielsweise St-Al-Profil/Blech-Verbunde (laserwalzplattierte Transition Joints) einzusetzen. Als Verbindungstechnik wird hierbei ein gezieltes Oberflächenanschmelzen und Verpressen der Teile genutzt. Eine weitere Perspektive zeigen ungeformte Organobleche (thermoplastische FVK mit unidirektionalen Endlosfasern aus GFK, CFK oder AFK) auf (Abb. 7.8).

Anmerkung: IHU ¼ Innenhochdruck-Umformung mit flüssigen Wirkmedien bei p ¼ 3000 bar. Geeignet für St- und Al-Legierungen. 2

100

7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

zu Regel 5: ungünstig p

p

p

Hinweise

besser p

· Einbringen von Sicken zur Versteifung knickgefährdeter Bauteile

p

p p p

p

p

p

Faser Matrix p

· Ausrichtung von Fasern in Kraftrichtung (UDVerbund)

Abb. 7.7 Gezielt versteifte Bauelemente

6. Regel: Bevorzugen des integrativen Prinzips (Einstückigkeit) Eine Leichtbaukonstruktion sollte unter der Prämisse so wenig Einzelteile wie möglich aufgebaut werden. Das Zusammenbringen von Einzelteilen – ggf. aus verschiedenen Werkstoffen – führt zu zusätzlichem Verbindungsaufwand, zu Montage- und Zuverlässigkeitsproblemen. Lösungsansätze hierzu zeigt Abb. 7.9. Der meist höhere Werkzeugaufwand ist gegebenenfalls durch die Werkstoffersparnis, den Sicherheitsgewinn oder die geringere Teilzahl zu rechtfertigen.

7. Regel: Einbringung von Hohlräumen Zur Gewichtsreduzierung bei gleicher Steifigkeit sind „Erleichterungslöcher“ in gering belasteten Zonen einzubringen (siehe Abb. 7.10).

7.2

Konstruktive Prinzipien

101

Abb. 7.8 Flächenartige Versteifung durch Blechdickenvariation und Geometrieanpassung an einem Pkw-Radgehäuse

2,5

1,3

zu Regel 6: ungünstig F 2 F 2

besser F F 2 F 2

Hinweise

F · Reduzierung von Einzelteilen und somit Vermeidung von Verbindungsaufwand

· Einstückigkeit durch Strangpresstechnik

Abb. 7.9 Zusammenfassen von Einzelteilen zu einstückigen Bauteilen

8. Regel: Absolute Ausschöpfung einer Konstruktion Leichtbau ist nur zu realisieren, wenn überzogene Sicherheitsbegriffe (Angstzuschläge für nicht eindeutig erfassbare Randbedingungen) in Frage gestellt werden. Dies hat zur Voraussetzung: – genaue Kenntnis der Kräfte (Größe, Richtung, Ort), – Einsatz hochwertiger Werkstoffe mit garantierten Spezifikationen, – Verwendung genauer Berechnungsmethoden (FEM/BEM) und – optimierte Geometrien (Kerben, Bohrungen). Der Sicherheitsaspekt ist besonders im Stahlbau von Bedeutung, wo beim Versagen von Strukturen Menschenleben gefährdet sind (s. Abb. 7.11).

102

7

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

zu Regel 7: ungünstig

besser

gelochter Steg

Lochblech

Abb. 7.10 leichte Querschnitte durch Steglöcher oder Lochblech

zu Regel 8: zu berücksichtigen Kraftverlauf Häufigkeit

Abb. 7.11 Sicherheitsbegriff im Stahlbau mit normalverteilter Last und statistischen Werkstoffkenngrößen

Werkstoffkenngrößen NV

NV

Sicherheitsabstand

Merkmale

Bei dynamisch beanspruchten Leichtbaustrukturen ist noch ergänzend zu verlangen, dass eine vorgesehene Lebensdauer- und Zuverlässigkeit erreicht wird.

Literatur [JOR 86] [NAC 82] [WIE 84]

Jorden, W.: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren. Vorlesungsmanuskript, GHPaderborn (1986) Nachtigall, W.: Werkstoffe und Leichtbauweisen in der Natur. In: Verbundwerkstoffe und Werkstoffverbunde in der Kunststofftechnik. VDI, Düsseldorf (1982) Wiedemann, J.: Gewichts- und kostenorientierte Zielmodelle. In: Einsatzkriterien, Konstruktionsprinzipien und Probleme des Leichtbaus. Vortrag Technische Akademie Esslingen, Ostfildern (1984)

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen

Leichtbau stützt sich in großen Teilen auf die Grundlagen der Technische Mechanik bzw. Festigkeitslehre ab. Die in den weiteren Kapiteln hauptsächlich benötigten Zusammenhänge sollen in folgenden noch einmal begründet werden.

8.1

Bauelemente

Ein reales Tragwerk ist meist eine aus verschiedenen einzelnen Bauelementen zusammengesetzte Konstruktion unter einer äußeren Belastung und mit bestimmten Stützungen. Derartige Konstruktionen sind der Berechnung meist nicht geschlossen zugänglich, sondern müssen idealisiert werden. Elemente zur Idealisierung sind Stäbe, Balken, Scheiben, Platten und Schalen, deren elastizitätstheoretisches Verhalten gut beschreibbar ist. Nachgebaut wird hiermit ein Tragwerksmodell. Die Lösung ist also immer die Lösung des Modells, die umso besser ist, je exakter die reale Geometrie, die Lagerung und die Belastung approximiert wurden. Da Modelle die Realität aber nur näherungsweise erfassen können, muss man sich über die möglichen Abweichungen der Lösung bewusst sein. Bei den Strukturmodellen wird zwischen vier Grundtypen unterschieden, und zwar in stabartige Fachwerke bzw. Rahmentragwerke, Flächentragwerke und Raumtragwerke. • Ein stabartiges Bauelement (Abb. 8.1) ist dadurch gekennzeichnet, dass seine Länge L stets groß gegen seine Querschnittsabmessungen ist. Demgemäß spricht man vom längssteifen Stab, wenn eine Belastung ausschließlich in Richtung der Längsachse erfolgt und vom biegestarren Balken, wenn auch Kräfte und Momente quer zur Längsachse wirken.

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_8

103

104

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen

Mbz Mt N L

x

d A

ð8:6Þ

das Deviationsmomentheißt und das bei der Spannungsverteilung in dünnwandigen, offenen Profilen eine Rolle spielt.

8.2

Geometrische Beschreibungsgrößen

8.2.2

107

Steiner’scher Satz

Der Satz von Steiner wird zur praktischen Berechnung von beliebig zusammengesetzten Flächen benutzt. Danach wird von einem um y ¼ ySP þ ξ

ð8:7Þ

und/oder z ¼ zSP þ η verschobenen Koordinatensystem ausgegangen. Nach Einsetzen von Gl. (8.7) in (8.4) folgt ð ð ð ð Jy ¼ ðzSP þ ηÞ2 dA ¼ zSP 2 dA þ 2zSP η dA þ η2 dA, A

A

A

¼ 0 SP Systeme

Jy ¼ Jξ þ zSP 2  A

A

eigene

ð8:8Þ

Achse

bzw: Jz ¼ Jη þ ySP 2  A

ð8:9Þ

sowie Jyz ¼ Jξη  ySP  zSP  A

ð8:10Þ

für das gemischte Flächenträgheitsmoment.

8.2.3

Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Profile

Viele Großquerschnitte sind oft filigran aus vielen Einzelprofilen aufgebaut. Für das in Abb. 8.5 dargestellte Profil ergibt sich folgender Ansatz: "

Jges

"  2 # X  2 # X t1  h3 b  t2 3 h h þ þ b  t2 ¼2 Api  i þ JPi þ 2 12 12 2

ð8:11Þ

mit Ap, Jp als Summe der Eckprofile und der Gurte. Bei großen Abmaßen und dünnen Blechen ist meist der Steiner’sche Anteil dominierend, sodass in der Regel die Eigenträgheitsmomente der Versteifungen und des äußeren Blechs vernachlässigt werden können.

108

8

a

t1

a

b a

Elastizitätstheoretische Grundlagen

a

t2

a

h2 2

h1 2

Blech 2

Blech 1

h

AE, JE

A G, J G

Abb. 8.5 Querschnitt eines ausgesteiften Kastens (z. B. Lkw-Kofferraufbau)

Eine andere Möglichkeit, das Trägheitsmoment zu erfassen, besteht im „Verschmieren“, d. h., alle Versteifungen werden zu einem neuen homogenen Querschnitt zusammengefasst. Für gleiches Trägheitsmoment folgt dann aus dem Satz von Steiner die Beziehung

ABl2

 2 X  2  2 h hi h  þ APi  ¼ ABl2  2 2 2

oder ABl2 ¼ t2  b ¼ ABl2 þ

X

 h2 APi  i2 , h

ð8:12Þ

worin jetzt t2 die Ersatzblechdicke des Deckbleches bezeichnet. Für das Gesamtflächenträgheitsmoment ergibt sich so wieder Jges  2

8.2.4

 2 t 1  h3 h : þ 2ABl2 : 2 12

ð8:13Þ

Transformierte Flächenträgheitsmomente

Oftmals tritt der Fall auf, dass alle Flächenträgheitsmomente eines Bezugssystems bekannt sind, jedoch aus Belastungsgründen die Beschreibungsgrößen für ein anderes Koordinatensystem relevant sind. In der Abb. 8.6 ist der Fall dargestellt, dass zu dem y-, z-Grundsystem ein neues ξ-η-System und ein so genanntes 1,2-Hauptachsensystem existieren. Mit den Transformationsbeziehungen folgt dann

8.2

Geometrische Beschreibungsgrößen

η

109

2

z

y φ

z sφ +

· co ξ=y

· sinφ

η = -y ·sinφ + z · cosφ

z

φ ξ

φ

y

ψ

α

1 Abb. 8.6 Gedrehte Flächenmomente bezüglich eines Koordinatensystems

ð

ð

ð

ð

Jξ ¼ η dA ¼ y  sin ϕdA þ z  cos ϕdA þ 2 yz  sin ϕcos ϕdA, ð ð ð ð Jη ¼ ξ2 dA ¼ y2  cos 2 ϕdA þ z2  sin 2 ϕdA  2 yz  sin ϕcos ϕdA, ð ð ð ð 2 2 Jξη ¼  ξηdA ¼ y  sin ϕcos ϕdA  z  sin ϕ cos ϕdA  yz  cos 2 ϕdA, ð þ yz  sin 2 ϕdA: 2

2

2

2

2

ð8:14Þ Werden die Integrationen ausgeführt, so werden Jξ ¼ Jy  cos 2 ϕ þ Jz  sin 2 ϕ þ Jyz  2 sin ϕ cos ϕ, Jη ¼ Jy  sin 2 ϕ þ Jz  cos 2 ϕ  Jyz  2 sin ϕ cos ϕ,   Jξη ¼ Jz  Jy sin ϕ cos ϕ þ Jyz ð cos 2 ϕ  sin 2 ϕÞ:

ð8:15Þ

Mit Hilfe der bekannten Beziehungen 1 1 cos 2 ϕ ¼ ð1 þ cos 2ϕÞ, sin 2 ϕ ¼ ð1  cos 2ϕÞ, 2 sin ϕ  cos ϕ ¼ sin 2ϕ 2 2 kommt man zu den umgeformten Gleichungen

110

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen

Jy þ Jz Jy  Jz þ cos 2ϕ þ Jyz sin 2ϕ, 2 2 Jy þ Jz Jy  Jz  cos 2ϕ  Jyz sin 2ϕ, Jη ¼ 2 2 Jy  Jz sin 2ϕ þ Jyz cos 2ϕ, Jξη ¼  2 Jξ ¼

ð8:16Þ

die zweckmäßiger anzuwenden sind.

8.2.5

Hauptflächenträgheitsmomente

Insbesondere bei Profilen (z. B. Abb. 8.7) interessieren oft die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente. Aus der vorstehenden Hauptachsenbedingung kann sofort die Winkellage der Hauptachsen zueinander mit tan 2ϕ ¼

2 Jyz Jy  Jz

ð8:17Þ

bestimmt werden. Unter Einhaltung folgender Orientierung Jy > Jz und zufolge der Beziehung     tan 2ϕ ¼ tan 2ϕ  180  tan 2 ϕ þ 90 gibt es zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen mit

Abb. 8.7 Hauptachsen eines unsymmetrischen Profilquerschnitts

2

2  

1

 2

y

1 

1

2

z

8.3

Elastizitätsgleichungen

111

ϕ1 ¼ α,

π ϕ2 ¼ α þ , 2

ð8:18Þ

die als Hauptachsen die Extremwerte J1, 2 ¼

Jy þ Jz 1  2 2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi  2 Jy  Jz þ 4 J2yz

aufweisen.

8.3

Elastizitätsgleichungen

Unter der Einwirkung äußerer Kräfte verformt sich jeder elastische Körper bzw. jedes Tragwerk. Verformungen sind demgemäß mit Verzerrungen und diese wiederum mit Spannungen [CZE 67] verbunden. Zum Zweck einer Dimensionierung muss daher die innere Beanspruchung bestimmt werden.

8.3.1

Verschiebungen und Verzerrungen

Mit dem Vorhandensein von Kräften und Momenten treten stets Verschiebungen auf, die als Abstandsänderungen definiert sind. Die Verschiebungskomponenten in x-, y-, z-Richtung sollen mit u, v, w bezeichnet werden. In der linearen Theorie wird angenommen, dass diese Verschiebungen klein gegenüber dem Abstand selbst sind. Als Maß für die Verformung dienen die Verzerrungen, die durch Vergleich von Abständen und Winkeln vor und nach der Verformung ermittelt werden. Auf diese Weise erhält man für den dreidimensionalen Fall die Verzerrungskomponenten ∂u , ∂x ∂v εyy ¼ , ðDehnungenÞ ∂y ∂w εzz ¼ , ∂z ∂u ∂v γxy ¼ þ , ∂y ∂x ∂v ∂w þ , ðSchiebungenÞ γyz ¼ ∂z ∂y ∂w ∂u γzx ¼ þ : ∂x ∂z εxx ¼

ð8:19Þ

112

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen

Im Fall der dünnen Scheibe können die Verzerrungen anhand von Abb. 8.8 veranschaulicht werden, indem die Verschiebung der Punkte A, B, C nach A0 , B0 , C0 betrachtet wird. Für die Dehnungen folgt daraus

εxx

εyy

  ∂u dx  dx dx þ ∂x A0 B0  AB ∂u , ¼ ¼ ¼ dx ∂x AB   ∂v dy þ dy  dy ∂y A0 C0  AC ∂v ¼ ¼ ¼ dy ∂y AC

ð8:20Þ

und für die Schiebung γxy

∂u ∂v π ∂x dx ∂y dy   dy 2 dx

π π ¼  < ðA0 B0 C0 Þ ¼  2 2

! ¼

∂v ∂u þ : ∂x ∂y

ð8:21Þ

Aus den drei Verschiebungen (u, v, w) können also über die kinematischen Gleichungen sechs Verzerrungen bestimmt werden. Somit ist zu folgern, dass zwischen den Verzerrungen auch Beziehungen bestehen müssen. Dies führt zu der Kompatibilitätsbedingung, die physikalisch aussagt, dass unter Verformungen der stetige Materialzusammenhalt gewahrt bleiben muss: ∂v . dx ∂x

y

∂v . dy ∂y

C' dx

∂u . dy ∂y

∂v ∂v . . dy dv = dx + ∂x ∂y

dy

C

dy

A'

u(x, y)

∂v . dx ∂x

∂u ∂y ∂v ∂x

v(x, y) A

dx

B' ∂u . dx ∂x

∂u . dy ∂y

B du =

∂u . + ∂u . dy ∂x dx ∂y

x Abb. 8.8 Ebene Verzerrung eines Elementes

8.3

Elastizitätsgleichungen

113 2

2 2 ∂ εx ∂ εy ∂ γxy : þ ¼ ∂y2 ∂x2 ∂x∂y

8.3.2

Verzerrungen und Spannungen

Die zuvor definierten Verzerrungen rufen in einem elastischen Körper Spannungen hervor. Über das Stoffgesetz sind diese Verzerrungen mit den Spannungen verknüpft. Im allgemeinen Fall ist Richtungsabhängigkeit gegeben, es kann somit angesetzt werden:     

1  1  νy  νz Ex  εxx þ νy þ νy  νz Ey  εyy þ νz þ νy  νz Ez  εzz , α

1 σ yy ¼ ðνx þ νx  νz ÞEx  εxx þ ð1  νx  νz ÞEy  εyy þ ðνz þ νx  νz ÞEz  εzz , α     

1  νx þ νx  νy Ex  εxx þ νy þ νx  νy Ey  εyy þ 1  νx  νy Ez  εzz , σ zz ¼ α σ xx ¼

ð8:22Þ

und damit α ¼ (1  νx  νy  νx  νz  νy  νz  2νx  νy  νz) und τxy ¼ Gxy  γxy , τyz ¼ Gyz  γyz ,

ð8:23Þ

τzx ¼ Gzx  γzx : Dieser Spannungsansatz ist geeignet, anisotropes Materialverhalten (z. B. FaserverbundWerkstoffe) zu beschreiben. Der Regelfall wird aber isotropes Materialverhalten mit ν ¼ νx ¼ νy ¼ νz ¼ konst und E ¼ Ex ¼ Ey ¼ Ez ¼ konst sein. Hierfür kann dann beispielsweise folgender Grenzübergang gemacht werden: σxx ¼



E ð1  νÞð1 þ νÞεxx þ νð1 þ νÞεyy þ νð1 þ νÞεzz , ð1 þ νÞð1  2νÞð1 þ νÞ

aus dem die bekannten Hooke’schen Gleichungen folgen:  

E ð1  νÞεxx þ ν εyy þ εZZ , ð1 þ νÞð1  2νÞ

E σyy ¼ ð1  νÞεyy þ vðεxx þ εZZ Þ , ð1 þ νÞð1  2νÞ  

E ð1  νÞεzz þ ν εxx þ εyy , σzz ¼ ð1 þ νÞð1  2νÞ σxx ¼

ð8:24Þ

114

8  zz + dzzz dz yy

z

xx

xy

yx

xz yz +



yz

y

yy +

dy



yy

y

yz

yx +



yx

y

zx

zy



xz

x

xx + xy +

dy

dz

z

xz +

px

zx

dy

 zy zy + z dz

zx + pz

py

Elastizitätstheoretische Grundlagen



xy

x

dx 

xx

x

dx

dx

zz

y

x Abb. 8.9 Spannungen an den Schnittflächen eines freigeschnittenen, inneren Volumenelementes unter Volumenlasten (px, py, pz)

E γ , 2ð1 þ νÞ xy E γ , τyz ¼ 2ð1 þ νÞ yz E γ : τzx ¼ 2ð1 þ νÞ zx τxy ¼

ð8:25Þ

Wegen der vorausgesetzten Isotropie lässt sich insbesondere der Gleitmodul durch den Elastizitätsmodul ersetzen.1

8.3.3

Gleichgewicht

Zur Bewertung der Beanspruchung infolge von Belastungen ist stets Gleichgewicht herzustellen. In Abb. 8.9 ist dazu ein Volumenelement unter volumenhaften Lasten dargestellt. Gleichgewicht ist gegeben, wenn sich in den drei Koordinatenrichtungen die Kräfte aufheben, z. B.

1

Anmerkung: Für Metalle kann gesetzt werden: G ¼

E 2ð1 þ νÞ.

8.3

Elastizitätsgleichungen

115

   ∂τyx ∂σxx Kx ¼ 0 : σxx  dy  dz þ σxx þ dx dy  dz  τyx  dx  dz þ τyx þ dy ∂x ∂y   ∂τ dx  dz  τzx  dx  dy þ τzx þ zx dz dx  dy þ px  dx  dy  dz ¼ 0; ∂z X



ð8:26Þ aus den drei Richtungsgleichungen folgen somit die Gleichgewichtsgleichungen ∂σxx ∂τyx ∂τzx þ þ þ px ¼ 0, ∂x ∂y ∂z ∂τxy ∂σyy ∂τzy þ þ þ py ¼ 0, ∂x ∂y ∂z ∂τxz ∂τyz ∂σzz þ þ þ pz ¼ 0: ∂x ∂y ∂z

ð8:27Þ

Des Weiteren kann aus dem Momentengleichgewicht noch der Zusammenhang τxy ¼ τyx , τyz ¼ τzy ,

ð8:28Þ

Tzx ¼ Txz hergeleitet werden, welcher belegt, dass Schubspannungen paarweise gleich sind.

8.3.4

Ebene Elastizitätsgleichungen

Die Grundgleichungen der ebenen Elastizität können aus denen des dreidimensionalen Kontinuums abgeleitet werden, wenn die Komponenten in z-Richtung ignoriert werden. Alle Gleichungen hängen demnach nur noch von x und y ab: • Es treten somit nur die Verschiebungen u und v auf, • hierauf folgt für die Verzerrungen  ∂u 1   σxx  ν  σyy , ∂x E  ∂v 1  ¼  σyy  v  σxx , ∂y E ∂u ∂v 1 þ  τxy , ¼ ∂y ∂x G

εxx ¼ εyy γxy

• entsprechend ergeben sich für die Spannungen

ð8:29Þ

116

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen



E ð1  νÞεxx þ ν  εyy , ð1 þ νÞð1  2νÞ

E σyy ¼ ð1  νÞεyy þ ν  εxx , ð1 þ νÞð1  2νÞ τxy ¼ G  γxy :

σxx ¼

ð8:30Þ

Diese Gleichungen können im Weiteren noch spezialisiert werden zu einem ebenen Spannungszustand (ESZ) und einem ebenen Verzerrungszustand (EVZ).

8.3.4.1Ebener Spannungszustand Der ebene Spannungszustand tritt näherungsweise in dünnen Scheiben bzw. an deren Oberflächen auf. Die Spannungen σxx, σyy werden hierbei als Mittelwerte über die Dicke angenommen: • Es soll somit gelten σzz ¼ 0, τxz ¼ 0, τyz ¼ 0. • Für die Verzerrungen soll aber εzz 6¼ 0 vorausgesetzt werden, diese bestimmt sich dann aus Gl. (8.24) zu εzz ¼ 

 ν σ þ σyy : E xx

ð8:31Þ

• Die Spannungen ergeben sich so zu  E  ε þ ν  εyy , 1  ν2 xx  E  σyy ¼ ε þ ν  εxx , 1  ν2 yy τxy ¼ G  γxy , σxx ¼

ð8:32Þ

• oder aus Einsetzen in Gl. (8.31) folgt weiter εzz ¼ 

 ν  ε þ εyy : 1  ν xx

ð8:33Þ

8.3.4.2 Ebener Verzerrungszustand In langen dickwandigen Bauteilen unter axialer Dehnungsbehinderung tritt dagegen ein ebener Verzerrungszustand auf, der wie folgt gekennzeichnet ist: • Es soll hier gelten w ¼ konst., weshalb

8.4

Formänderungsenergie

117

εzz ¼ 0, γyz ¼ 0, γzx ¼ 0

wird. • Für die Spannungen soll aber σzz 6¼ 0 vorausgesetzt werden. • Die Verzerrungen ergeben sich somit zu   1  ν2 ν σxx  σyy , E 1ν   1  ν2 ν σxx , σyy  εyy ¼ 1ν E 1 γxy ¼ τxy : G εxx ¼

ð8:34Þ

• Für den Spannungszustand folgt dann

E ð1  νÞεxx þ ν  εyy , ð1 þ νÞð1  2νÞ

E ð1  νÞεyy þ ν  εxx , σyy ¼ ð1 þ νÞð1  2νÞ τxy ¼ G  γxy :

σxx ¼

ð8:35Þ

• Aus Einsetzen erhält man weiter   σzz ¼ ν σxx þ σyy ¼

8.4

  νE ε þ εyy : ð1 þ νÞð1  2νÞ xx

ð8:36Þ

Formänderungsenergie

In einigen nachfolgenden Kapiteln muss die Gleichgewichtsbedingung ersetzt werden durch ein Arbeitsprinzip. Gleichgewicht herrscht demnach, wenn die äußere Arbeit gleich ist der inneren Formänderungsenergie. Im allgemeinen Fall eines dreidimensionalen Spannungszustandes kann die Formänderungsenergie definiert werden zu πi ¼

1 2

ð V

 σxx  εxx þ σyy  εyy þ σzz  εzz þ τxy  γxy þ τyz  γyz þ τzx  γzx dV:

ð8:37Þ

118

8

Abb. 8.10 Definition der Formänderungsenergie bei linear elastischem Verhalten

Elastizitätstheoretische Grundlagen

σ σxx πi

εxx

ε

Diese Größe entspricht der im Spannungs-Dehnungs-Diagramm umrahmten Fläche. Für die spätere Anwendung ist in diesem Zusammenhang noch der Satz von Castigliano wichtig, der besagt: Wenn die Formänderungsenergie nach der Kraft abgeleitet wird, dass man dann die zu dieser Kraft gehörige Verschiebung erhält (∂π/∂N ¼ u), wie Abb. 8.10 zeigt. Wenn man einmal einen eindimensionalen Spannungszustand annimmt, so ergäbe sich beispielsweise die Formänderungsenergie zu πi ¼

ð 1 σ  ε dV, 2 xx xx

ð8:38Þ

V

oder bei Berücksichtigung des linearen Hooke’schen Gesetzes πi ¼

ð 1 E  εxx 2 dV 2

ð8:39Þ

V

bzw. πi ¼

ð 1 σxx 2 dV: 2 E

ð8:40Þ

V

Mit den auftretenden Spannungen und Dehnungen können dann jeweils die Beanspruchungsfälle eingearbeitet werden.

8.5

Elastizitätsgesetz der stabartigen Elemente

In Abb. 8.11 ist ein schlankes Bauelement mit Stab-Balken-Eigenschaften unter einer Gruppe äußerer Lasten dargestellt, die eine Zug-, Torsions- und Biegebeanspruchung hervorrufen und wogegen Steifigkeiten vorhanden sein müssen.

8.5

Elastizitätsgesetz der stabartigen Elemente

119

Mz Mx

(-) N Qz

y Qy + My +

dM y dx

dQ y dx

dx

py

(+)

My

z px mx

dx

pz dx

dN N+ dx dx Qz + Mx +

Qy

x

dM x dx dx

Mz +

dQ z dx dx

äußere Kräfte: px = Längslast (N/mm) mx = Torsionsmoment (Nm/mm) py, pz = Querlasten (N/mm)

dM z dx dx

Abb. 8.11 Gleichgewicht an einem Balkenelement. () negatives Schnittufer, (+) positives Schnittufer

Zur Bestimmung der Beanspruchung gilt es, den Zusammenhang zwischen den äußeren Lasten und den Schnittgrößen herzustellen. Diesen erhält man gewöhnlich aus dem Kräfte- und Momentengleichgewicht. Es soll zunächst gebildet werden zu X

dN dx þ px  dx  N ¼ 0, dx X dQy Ky ¼ 0 : Qy þ dx þ py  dx  Qy ¼ 0, dx X dQ Kz ¼ 0 : Qz þ z dx þ pz  dx  Qz ¼ 0, dx Kx ¼ 0 : N þ

ð8:41Þ

hieraus folgt die Beziehung N0 ¼ px

ð8:42Þ

Q0y ¼ py , Q0z ¼ pz :

ð8:43Þ

und ebenfalls

Entsprechend erhält man aus dem Momentengleichgewicht

120

8

X

Elastizitätstheoretische Grundlagen

dMx dx  Mx þ mx  dx ¼ 0, dx X dMy My ¼ 0 : My þ dx  My  Qz  dx ¼ 0, dx X dMz Mz ¼ 0 : Mz þ dx  Mz þ Qy  dx ¼ 0, dx Mx ¼ 0 : Mx þ

ð8:44Þ

hieraus folgt weiter M0x ¼ mx ,

ð8:45Þ

M0y ¼ Qz , M0z ¼ Qy

ð8:46Þ

und

Bei den Biegemomenten besteht über Gl. (8.43) noch ein Zusammenhang zu den äußeren Lasten, sie können deshalb auch angegeben werden zu M00y ¼ Q00z ¼ pz , M00z ¼ Q0y ¼ py :

ð8:47Þ

Hieraus wird ersichtlich: Für die Längskraft N und das Torsionsmoment Mx gilt jeweils eine DGL erster Ordnung, während für die beiden Biegemomente My, Mz jeweils eine DGL zweiter Ordnung maßgebend ist. Die Schnittkräfte erhält man somit aus der Integration zu ð N ¼  px  dx,

ð8:48Þ

L

ð Mx ¼  mx  dx,

ð8:49Þ

L

und ð ð My ¼  pz  x dx bzw: Mz ¼ py  x dx: L

ð8:50Þ

L

Für einen einfachen Stab muss man dagegen bei der Belastung die Annahme py ¼ 0, pz ¼ 0 treffen, sodass hier grundsätzlich nur Normalkräfte und ein Torsionsmoment auftreten können.

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

8.6

121

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

Als Grundbauelemente des Leichtbaus können Flächenelemente angesehen werden, die als Blechfelder in ausgesteiften Konstruktionen, als Wände in Schweißprofilen oder Mehrschichtenverbände sowie als Häute vorkommen. Nachfolgend sollen deshalb einige Grundgleichungen für isotropes Materialverhalten zusammengestellt werden. Mögliche Effekte der Instabilität (Kippen, Beulen) sollen dabei zunächst ausgeklammert bleiben.

8.6.1 Scheibenelement Das Scheibenelement ist zuvor als Bauelement charakterisiert worden, welches dünnwandig ist und in dem äußere Kräfte nur in der Mittelebene auftreten sollen. Demgemäß tritt in dem Element ein ebener Spannungszustand auf, für den die Elastizitätsgleichungen von Abschn. 8.3.4.1 als gültig angesetzt werden können. In der Abb. 8.12 ist noch einmal ein derartiges Scheibenelement dargestellt. Von Interesse sind hier vor allem die Schnittgrößen, die aus dem Kräftegleichgewicht in den beiden Richtungen folgen zu X

    Kx ¼ 0 : nx þ n0x dx dy  nx dy þ qyx þ q_ yx dy dx  qyx dx þ px dxdy ¼ 0 n0x þ q_ yx þ px ¼ 0, ð8:51Þ

q yx dx

q xy dy n x dy y

n y dx

t

x

p y dx dy

p x dx dy

(q xy + q xy dx) dy (n x + n x dx) dy

(q yx + q& yx dy) dx (n y + n& y dy) dx Abb. 8.12 Belastungs- und Beanspruchungszustand am dünnen Scheibenelement

122

8

X

Elastizitätstheoretische Grundlagen

    Ky ¼ 0 : ny þ n_ y dy dx  ny dx þ qxy þ q_ 0xy dx dy  qxy dy þ py dxdy ¼ 0 n_ y þ qxy þ py ¼ 0: ð8:52Þ

Ergänzend weist die Momentengleichung aus, dass qxy ¼ qyx ist. Die gefundenen Beziehungen belegen also, dass in beiden Koordinatenrichtungen unabhängig voneinander Normalkräfte auftreten können, über die die Schubkräfte gekoppelt sind. Weiter wird ersichtlich, dass die hergeleiteten zwei Gleichungen nicht ausreichen, die drei unbekannten Schnittgrößen nx, ny und qxy zu bestimmen. Um dieses Problem angehen zu können, muss die Scheibengleichungaufgestellt werden. Ausgangsbeziehung hierfür ist die Kompatibilitätsbeziehung des ebenen Spannungszustandes, die aus zweimaliger Differenziation der Normaldehnungen und deren Einsetzung in die abgeleitete Gleichung zu finden ist zu 2

2 2 ∂ γxy ∂ εxx ∂ εyy ¼ 0: þ  ∂y2 ∂x2 ∂x  ∂y

ð8:53Þ

Für die Spannungen führt man nun eine so genannte Spannungsfunktion (Airy’sche Spannungsfunktion) F(x, y) ein, die insbesondere die Kompatibilitätsbeziehung zu befriedigen hat: σxx ¼ F ¼

2

∂ F , ∂x2 0 ¼ F  px  y  py  x:

σyy ¼ F00 ¼ τxy

2

∂ F , ∂y2 ð8:54Þ

Für das Stoffgesetz findet sich weiter der Zusammenhang zu Gl. (8.53), es gilt nämlich  2   1 ∂2 F 1 ∂ F εxx ¼ σ  ν  σyy ¼ ν 2 , E xx E ∂y2 ∂x  2 2   1 ∂ F 1 ∂ F σ  ν  σxx ¼ ν 2 , εyy ¼ E yy E ∂x2 ∂y  2  1 1 ∂ F γxy ¼ τxy ¼  þ px  y þ py  x : G G ∂x ∂y

ð8:55Þ

Werden jetzt diese Verzerrungsausdrücke in der Spannungsfunktionsformulierung in die Kompatibilitätsgleichung eingesetzt, so erhält man 2  2 2  2  2 2  1 ∂ ∂ F ∂ F 1 ∂ ∂ F ∂ F  ν  ν þ E ∂y2 ∂y2 E ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂y2   2 2 1 ∂ ∂ F þ þ px  y þ py  x ¼ 0: G ∂x∂y ∂x∂y

ð8:56Þ

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

123

Die Endgleichung lässt sich zweckmäßiger formulieren, wenn man ausmultipliziert und in bekannter Weise noch den Gleitmodul durch den Elastizitätsmodul ersetzt: 2ð 1 þ ν Þ ∂ F 1∂ F ν ∂ F 1∂ F ν ∂ F  2 2  þ  þ E E ∂y4 E ∂x2 ∂y2 E ∂x4 E ∂x2 ∂y2 ∂x ∂y  2  2ð 1 þ ν Þ ∂ p  y þ py  x ¼ 0: þ E ∂x∂y x 4

4

4

4

4

Somit lautet die Scheibengleichung 4

4

4

∂ F ∂ F ∂ F þ2 2 þ ¼0 ∂x4 ∂x  ∂y2 ∂y4

ð8:57Þ

bzw. 

F0000 þ 2F00 þ F ¼ 0: Diese partielle DGL vierter Ordnung (Bipotenzialgleichung) lässt sich unter Ansatz spezieller Lösungsfunktionen nun für die verschiedensten Scheibenprobleme unter Berücksichtigung ihrer Randbedingungen näherungsweise lösen. Gewöhnlich erfüllen einfache Funktionen wie  F

x, x2 , x3 , xy, x2 y, x3 y, . . . , x3 y, y2 , y3 ,



y2 x, y3 x, . . . , y3

die Bipotenzialgleichung. Aus dem Zusammenhang der Gl. (8.54) sind dann weiter die Spannungen bestimmt und über nx ¼ σxx  t, ny ¼ σyy  t, qxy ¼ τxy  t

ð8:58Þ

auch die Schnittgrößen an den Rändern. Bei den eingesetzten dünnwandigen Profilen trifft man beispielsweise scheibenartige Bauteile bzw. ebene Beanspruchungszustände in vielen Situationen oder Ausführungen. Beispiele hierfür weist Abb. 8.13 aus. Die hierin hervorgehobenen Grundfälle sind noch einmal in der Abb. 8.14 dargestellt. Für die durchnummerierten trivialen Beanspruchungsfälle können dann die nachfolgenden Lösungsfunktionen angesetzt werden: Fall a:

F ¼ 12 σ1  y2 mit σ1 ¼ knost:, ΔΔF  ∇4 F ¼ 0 ist dann erfüllt, die Spannungen ergeben sich zu 2

2

2

F σxx ¼ ∂∂yF2 ¼ σ1 , σyy ¼ ∂∂xF2 ¼ 0 und τxy ¼  ∂x∂ ∂y ¼ 0:

(Fortsetzung)

124

8

Fall b:

Fall c:

Fall d:

Elastizitätstheoretische Grundlagen

F ¼ 12 ðσ1  y2 þ σ2  x2 Þmit σ1 , σ2 ¼ konst:, ΔΔF  ∇4 F ¼ 0 ist dann erfüllt, die Spannungen ergeben sich zu σxx ¼ σ1, σyy ¼ σ2 und τxy ¼ 0. F ¼  τ  xy mit τ ¼ konst. , ΔΔF  ∇4 F ¼ 0 ist dann erfüllt, die Spannungen ergeben sich zu σxx ¼ σ, σyy ¼ 0 und τxy ¼ τ. F ¼ 16 C xy3 , ΔΔF  ∇4 F ¼ 0 ist dann erfüllt, die Spannungen ergeben sich zu σxx ¼ C xy, σyy ¼ 0 und τxy ¼ 12 C  y2 , d. h., die Normalspannungen sind mit der Höhe linear, die Schubspannungen dagegen quadratisch veränderlich.



2

2

2

∂ ∂ ∂ Anmerkung: Laplace-Operator: Δ ¼ ∂x 2 þ ∂y2 þ ∂z2

∂ ∂ ∂ Hamilton-Operator (symbolischer Vektor): Δ ¼ ∂x þ ∂y þ ∂z

8.6.2

Plattenelement

Platten treten vielfach als Hautelemente bei Profilen oder Hautfelder (z. B. Flügelbeplankung) auf. Im Gegensatz zur Scheibe wirken hierbei nur Kräfte senkrecht zur Mittelebene. Die Verknüpfung zwischen der Belastung und der Beanspruchung folgt wieder aus dem Gleichgewicht gemäß Abb. 8.15. Angenommen ist dabei die Kirchhoff’sche Plattentheorie, die im Wesentlichen von kleinen Verformungen und dem Ebenbleiben der Querschnitte ausgeht. Aus den Kraftwirkungsbetrachtungen findet man • Gleichgewicht in z-Richtung 

   qxz þ q0xz dx dy  qxz dy þ qyz þ q_ yz dy dx  qyz dx þ pz dx dy ¼ 0

q0xz þ q_ yz þ pz ¼ 0,

ð8:59Þ

• Momente um die zur x-Achse parallele Schwerpunktachse 1    _ y dy dx  my dx þ mxy þ m0xy dx dy  mxy dy my þ m   dy dy qyz dx  qyz þ q_ yz dy dx  ¼0 2 2 _ y þ m0xy  qyz ¼ 0, m



• Momente um die zur y-Achse parallele Schwerpunktachse 2

ð8:60Þ

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

125

Mb

Mb Mt

Abb. 8.13 Beanspruchungszustände an Profilelementen nach [WIE 96a]



   _ yx dy dx  myx dx mx þ m0x dx dy  mx dy þ myx þ m   dx dx qxz  dy  qxz þ q_ yz dy dy ¼ 0 2 2 0 _ yx  qxz ¼ 0: mx þ m

ð8:61Þ

Werden jetzt die Gl. (8.60) und (8.61) in Gl. (8.59) eingesetzt, so entsteht eine Gleichung für die drei Momente

126

8

a)

σ1

Elastizitätstheoretische Grundlagen

y Scheibe unter einachsigem Zug/Druck

σ1

x

σ2

b)

σ1

Scheibe unter allseitigem Zug/Druck

σ1

σ2 c) τ Scheibe unter reinem Schub

τ

2

τyx = - 1 C h 8

d)

h

σxx = C L y

Scheibe unter überlagerter Biegung und Schub

2 τxy = - 12 C y

L

Abb. 8.14 Grundbeanspruchungsfälle am Scheibenelement

0

m00x þ 2 m:xy þ m::y ¼ pz :

ð8:62Þ

Auch diese Gleichung mit drei Unbekannten ist nur lösbar, wenn weitere Beziehungen bekannt sind. Eine Annahme ist beispielsweise die Kirchhoff’sche Biegetheorie (Ebenbleiben der Querschnitte wie Bernoulli), die hier als Balkenansatz in zwei Ebenen herangezogen werden kann. Wie aus Abb. 8.16 hervorgeht, ist der Verformungszustand eines Plattenelementes durch die Durchbiegung w(x, y) der Mittelebene gegeben.

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

127

myx dx

qyz dx

my dx qxz dy

mx dy

x pz· dx·dy

y

z

(m x + m x'

dx ) dy

..

mxy dy 1

(mxy + mxy' dx) dy 2

(qxz + qxz' dx) dy

 y dy) dx (m y + m (q yz + q yz dy) dx

 yx dy) dx (m yx + m

Abb. 8.15 Gleichgewicht am Plattenelement

Die zugehörigen Verschiebungen erhält man somit zu u ¼ z  w0

und

v ¼ z  w :

ð8:63Þ

Entsprechend folgen für die Verzerrungen ∂u ¼ z  w00 , ∂x 0 ¼ 2z  w: :

εX ¼ γxy

εy ¼ z  w ,

ð8:64Þ

Demgemäß ergeben sich dann die Spannungen für den ESZ (s. Gl. (8.23)) zu zE ðw00 þ ν  w Þ, 1  ν2 zE ðw þ ν  w00 Þ σy ¼  1  ν2

σX ¼ 

und τxy ¼ 

ð8:65Þ

0 zE  w: : 1þv

Der Zusammenhang zu den Schnittgrößen – die pro Längeneinheit definiert sind – ist im Weiteren durch Integration über die Spannungsresultierenden gegeben. Hieraus folgen:

128

8

Elastizitätstheoretische Grundlagen

a y, v

b

.

t

z

x, u

w

. z ∂w ∂x

u z, w

Abb. 8.16 Idealisierter Verzerrungszustand an der Platte bzw. Balkenanalogon

• für die Biegemomente t þ ð2

Mx ¼

ð2

ð2 t

σx  dA  z

bzw 

M mx ¼ x ¼ b

2t

t

σx  zdz, 2t

my ¼

σy  zdz,

ð8:66Þ

2t

• für das Torsionsmoment ð2 t

mxy ¼ myx ¼

τxy  z dz 2t

und • für die Querkräfte

ð8:67Þ

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

129

t þ ð2

Qxz ¼

ð2

ð2

t

τxz  dA

bzw 

qxz ¼

2t

t

τxz dz, 2t

qyz ¼

τyz dz:

ð8:68Þ

2t

Aus der Durchführung der Integration erhält man die Abhängigkeit der Schnittgrößen von der Durchbiegung, z. B. für Eðw00 þ ν  w Þ mx ¼ 2 ð1  ν2 Þ

t=2 ð

z2 dz ¼ 

E  t3 ðw00 þ ν  w Þ: 12ð1  ν2 Þ

ð8:69Þ

0

Führt man dies nun durch, so findet man für die Momente mx ¼ Bðw00 þ ν  w Þ, my ¼ Bðw þ ν  w00 Þ,

ð8:70Þ

:0

mxy ¼ Bð1  vÞw : Hierin ist mit B¼

E  t3 12ð1  ν2 Þ

ð8:71Þ

die Plattenbiegesteifigkeit eingeführt. Werden jetzt diese Größen in die MomentenDGL (8.62) eingesetzt, so ergibt sich die Plattengleichung (inhomogene DGL 4. Ordnung) 

w0000 þ 2w00 þ w ¼

pz : B

ð8:72Þ

In den einfachen Standardfällen kann diese Differenzialgleichung nach dem Navier’schen oder Lévy’schen Verfahren gelöst werden. Bei dem Lösungsverfahren nach Navier werden antimetrische Reihenansätze für die Durchbiegung und die Kraftverteilung angesetzt, und zwar wðx, yÞ ¼

1 X 1 X m¼1 n¼1

und

Cmn  sin

mπx nπy  sin a b

ð8:73Þ

130

8

pðx, yÞ ¼

1 X 1 X

Pmn  sin

m¼1 n¼1

Elastizitätstheoretische Grundlagen

mπx nπy  sin , a b

ðm, n ¼ 1, 2, 3::Þ:

ð8:74Þ

Dieser Lösungsansatz gilt für eine beliebige Konstante Cmn sowie für den Fourier-Koeffizienten

Pmn

4 ¼ ab

ða

ðb pðx, yÞ  sin

mπx nπy  sin dx dy a b

ð8:75Þ

x¼0 y¼0

Für die frei aufliegende Platte unter einer gleichmäßigen Streckenlast pðx, yÞ ¼ p erhält man beispielsweise mit dem Fourier-Koeffizienten Pmn ¼

16  p m  n  π2

ðm, n ¼ 1, 3, 5 . . .Þ

ð8:76Þ

für die Durchbiegung wðx, yÞ ¼

nπy 1 1 16  p X X sin m  aπ  x  sin b  2 : π6  B m¼1 n¼1 2 2 m  n ma2 þ nb2

ð8:77Þ

Für eine quadratische Stahlplatte (mit ν ¼ 0,3) findet sich somit die größte Durchbiegung in der Mitte zu wmax ¼ 0, 0443

p  a4 : E  t3

Das Biegemoment in Plattenmitte beträgt dann mx ¼ my ¼ 0, 0479 p  a2 , und die größte Biegespannung an der Oberseite der Platte wird σmax ¼ 0, 287 p

 2 a : t

Wird stattdessen eine Einzellast F im Punkt (xo, yo) eingeleitet, so ergibt sich mit dem entsprechenden Fourier-Koeffizienten Pmn ¼

n  π  yo 4 F m  π  xo  sin  sin ab a b

ð8:78Þ

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

131

für die Durchbiegung wðx, yÞ ¼

1 X 1 X sin 4F 4 π  a  b  B m¼1 n¼1

m  π  xo a

 sin

n  π  yo b

 sin m  aπ  x  sin  2 m2 n2 a2 þ b 2

nπy b

ð8:79Þ

Einige exemplarische Auswertungen zur Plattenproblematik zeigt im Weiteren Abb. 8.17. Die Berechnung ist dabei für die Durchsenkung in Plattenmitte und für die Spannungen in der Mitte und am Rand erfolgt. Aus der Diskussion der Verhältnisse wird klar, dass für kleine Seitenverhältnisse b/a < 0,3 ein Plattenstreifen vorliegt, für den faktisch die Balkenbiegetheorie angesetzt werden kann. Wie weiter zu erwarten war, lässt ein vollständig eingespannter Rand geringere Durchbiegung zu, als eine gelenkige Lagerung. Hierfür sind die Spannungen in der eingespannten Platte (und zwar am Rand) deutlich höher, als in der gelenkig gelagerten Platte. pz

Biegespannung: 2

σ = η·pz· ( b ) t b Durchbiegung: 3 p w = 11 ξ · z · ( bt ) E b 14

0,8

10

0,75 σyM

8

0,6 η

6 4

1 384 = 0,0026

0,00127

0 0,2

0,4

0,6

0,4

σyR

0,2

0,285 σxM 0,225

0,00406

2

Plattenstreifen bzw. Balken

σmax = σyR

σxM 5 384 = 0,013

12 ξ·10 −3

σmax = σyM a

0,8 b a

0,307

0 1

Quadrat

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

b a Plattenstreifen

Quadrat

8.17 Durchsenkung und Spannungsgrößen der eingespannten und gelenkig gelagerten Platte unter Gleichlast nach [WIE 96a]

132

8

8.6.3

Elastizitätstheoretische Grundlagen

Schalenelement

Bei allen gekrümmten Hautfeldern (z. B. dünne Behälterwände, Kuppeln, Karosserien etc.) kommen Schalen vor. Eine Schale kann in ihrer Mittelebene Kräfte in allen drei Raumrichtungen aufnehmen. Es treten dann die in Abb. 8.18 dargestellten Schnittkräfte am Schalenelement auf. qxz·dsy mxy·ds y

nx·dsy

qyz·dsx

qxy·dsy

qyx·dsx z

my·dsy

ny·dsx pz·dsx·dsy

py·dsx·dsy y

ny+ny'·dsx

px·dsx·dsy q xy + q xy ·ds y

mx+mx'·dsx

myx·dsx

mx·dsx

x m y + m y ·ds y n x + n x ·dsy

qyx+qyx'·dsx qyz+qyz'·dsx

q xz + q xz ·ds y m xy + m xy ·dsy

myx+myx'·dsx

ry

rx dA

txz txy

sxx

dsy

z y

ry

Abb. 8.18 Gleichgewicht am Schalenelement

8.6

Elastizitätsgesetze der Flächenelemente

133

Die Schnittgrößen erhält man aus der Überlegung t þ ð2

Nx ¼ nx  dsy ¼

σx  dA 2t

bzw.

1 nx ¼ dsy

t þ ð2

σx  dA:

ð8:80Þ

2t

Für die differenzielle Fläche ist weiter anzusetzen dA ¼ dsy  dz, hierin bezeichnet dsy die Länge des Bogens außerhalb der Mittelebene. Hierfür gilt das Verhältnis dsy dsy , ¼ ry ry þ z sodass jetzt für Gl. (8.80) 1 nx ¼ dsy

ð

þ    ð2  z z σx 1 þ dsy  dz ¼ σx 1 þ dz ry ry t

ð8:81Þ

2t

folgt. Entsprechend ergibt sich þ2t

ð

ny ¼

  z σy 1 þ dz rx

ð8:82Þ

2t

und weiter t þ ð2

qxy ¼ 2t

  z τxy 1 þ dz, rx

t þ ð2

qyx ¼ 2t

  z τyx 1 þ dz, ry

ð8:83Þ

134

8 t þ ð2

qxz ¼

  z τxz 1 þ dz, rx

t þ ð2

qyz ¼

2t

Elastizitätstheoretische Grundlagen

  z τyz 1 þ dz: ry

ð8:84Þ

2t

Des Weiteren folgt für die Biegemomente þ2t

ð

mx ¼ 

  z σx  z 1 þ dz, rx

þ2t

ð

my ¼ 

2t

  z σy  z 1 þ dz ry

ð8:85Þ

2t

und für die Torsionsmomente þ2t

ð

mxy ¼  2t

  z τxy  z 1 þ dz, rx

þ2t

ð

myx ¼ 

  z σyx  z 1 þ dz: ry

ð8:86Þ

2t

Die hierin eingehenden Spannungen sind nun für spezielle Schalen, wie Kugel, Kegel, Zylinder etc., so wie bei der Platte gezeigt, aus den Elastizitätsgleichungen zu bestimmen.

Literatur [CZE 67] [WIE 96a]

Czerwenka, G., Schnell, W.: Einführung in die Rechenmethoden des Leichtbaus. Bd. 1, BI-Hochschultaschenbuch, Nr. 124/124a. Mannheim (1967) Wiedemann, J.: Leichtbau, Bd. 1. Springer, Berlin/Heidelberg (1996)

9

Dünnwandige Profilstäbe

Nachdem vorstehend allgemeine elastizitätstheoretische Grundlagen entwickelt worden sind, soll jetzt etwas spezieller auf typische Leichtbauelemente eingegangen werden. Ein verbreitetes Element ist dabei der dünnwandige Profilstab, der sehr viel in Rahmenkonstruktionen eingesetzt wird. Von Dünnwandigkeit kann man hierbei sprechen, wenn das Verhältnis Wanddicke zu Profilhöhe (t/2r
1/10) relativ klein ist. Im Weiteren sollen die wesentlichen Grundbeziehungen [KOS 96] für den dünnwandigen, offenen Profilstab aufgestellt werden.

9.1

Kraftflüsse

Um keinen Sonderfall herzuleiten, soll der in Abb. 9.1 dargestellte beliebig offene Profilstab vorausgesetzt werden. Dieser soll durch eine äußere längengezogene Kräftegruppe aus einer Längskraft px, zwei Querkräften py, pz und einem Torsionsmoment mx belastet werden, wodurch eine innere Beanspruchung hervorgerufen wird. Wie bereits im Abschn. 8.5 bewiesen, bestehen dann zwischen den Belastungen und den Schnittgrößen die Beziehungen N0 ¼ px , M0x ¼ mx , M00y ¼ Q0z ¼ pz ,

M00z ¼ Q0y ¼ py :

Zur Erfassung dieser Beanspruchung werden in dünnwandigen Profilen jedoch örtliche Querschnittsresultierende eingeführt, und zwar Kraft- und Spannungsresultierende

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_9

135

136

9

Dünnwandige Profilstäbe

Mz

(-)

Mx

r(s)

Qz

N

Oberflächenelement

y z

x

(+)

Qy  My 

dM y dx

q

nx

dQ y dx

My

py

s

t

Qy

px

dx

pz

dx

mx

SP dx

Qz 

dN N dx dx dM x Mx  dx dx

dQ z dx dx

Mz 

dM z dx dx

Abb. 9.1 Fiktive Schnittkräfte am offenen Profilstab beliebigen Querschnitts

[CZE 67], die sich aus der Integration über den Umfang ergeben. Hiernach gelten die folgenden allgemeinen Zusammenhänge zwischen • der Normalspannung und dem so genannten Normalkraftfluss σ x ðsÞ ¼

N ! nx ðsÞ ¼ σx ðsÞ  t, st

ð9:1Þ

• der Schubspannung und dem so genannten Schubkraftfluss τðsÞ ¼

Q  SðsÞ ! qðsÞ ¼ τðsÞ  t: Jt

ð9:2Þ

Aus einer Gleichgewichtsbetrachtung am Hautelement (s. Abb. 9.2) lassen sich im Weiteren einige wichtige Beziehungen zwischen diesen Flüssen herstellen. Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen erhält man somit

9.1

Kraftflüsse

137

d 2 q  q ds s ns 

nx

s

ns ds s

q nx 

q

n ds

x

q dx x

dx

q

n x dx x

d 2

ns d Abb. 9.2 Dünnwandiges, gekrümmtes Hautelement (allgemeines Oberflächenelement eines belasteten Profils) mit den angreifenden Flüssen

   ∂nx ∂q dx  nx ds þ q þ ds  q dx ¼ 0, ∂x ∂s     X ∂n ∂q Ks ¼ 0 : ns þ s ds  ns dx þ q þ dx  q ds ¼ 0, ∂s ∂x   X ∂n dα Kn ¼ 0 : ns þ s ds þ ns dx sin ¼ 0: 2 ∂s X



Kx ¼ 0 :

nx þ

Aus der Normalengleichung ergibt sich sofort   ∂ns 2ns þ ds ¼ 0, ∂s oder weil die Länge ds nicht null wird, kann nur nS ¼ 0

ð9:3Þ

sein. Aus den beiden anderen Gleichungen folgt dagegen ∂nx ∂q þ ¼ 0 bzw: n0x ¼ q_ ∂x ∂s und

ð9:4Þ

138

9

Dünnwandige Profilstäbe

∂ns ∂q þ ¼ 0: ∂s ∂x

ð9:5Þ

Insbesondere folgt noch aus Gl. (9.5) ∂q ¼ 0: ∂x

ð9:6Þ

Hieraus können als wichtige Aussagen [CZE 67] abgeleitet werden: • An einem Profilstabelement tritt kein Normalkraftfluss ns(s) in Umfangsrichtung auf. • Der Schubkraftfluss ist in Schnitten längs der x-Achse überall gleich groß, d. h. q(x) ¼ konst. und • Der Schubkraftfluss q(s) ist in Umfangsrichtung so veränderlich, dass seiner Zunahme gerade einer Abnahme des Normalkraftflusses nx(s) in einem x-Schnitt entspricht. Diesbezüglich stellt die Gl. (9.4) die maßgebliche Beziehung für die Beanspruchung dar. Im Fall von ebenen Hautelementen liegen die Verhältnisse dagegen etwas anders. Die dritte Gleichung tritt nicht auf, da keine Flussmomente senkrecht zur Ebene existieren. Am Hautelement wird nach Abb. 9.3 also ns 6¼ 0 und wirkt daher zusätzlich.

nx q

ns +

∂n s ds ∂s

q

ds = dy ns

q+

∂q ds ∂s

q+

dx

∂q dx ∂x nx +

∂n x dx ∂x

Abb. 9.3 Ebenes Hautelement an einem abgekanteten Profilstab

9.2

Kraftflüsse und Schnittgrößen

139

Aus dem Gleichgewicht folgt sodann ∂nx ∂q þ ¼ 0, ∂x ∂s ∂ns ∂q þ ¼ 0: ∂s ∂x

ð9:7Þ

Diese beiden Gleichungen stellen die Scheibengleichungen dar. Sie beschreiben die Beanspruchung in ebenen Blechen (s. auch Abschn. 8.6.1). Wie bereits ausgeführt, können die drei Unbekannten (nx, ns, q) nicht alleine aus Gleichgewichtsbetrachtungen bestimmt werden, sondern zu deren Bestimmung müssen Spannungsfunktionen herangezogen werden.

9.2

Kraftflüsse und Schnittgrößen

Bisher wurden die Schnittgrößen als resultierende Kräfte und Momente aus der Integration der Spannungen über dem Querschnitt gefunden. Da sich aber auch die Kraftflüsse durch die Spannungen ausdrücken lassen, muss es einen Zusammenhang zwischen den Kraftflüssen und den diskreten Schnittgrößen geben. Den Zusammenhang zwischen den Flüssen und den diskreten Schnittgrößen in der fiktiven Wirkungslinie zeigt Abb. 9.4. Mz Mx Qz

N Qy

s

My

y x z dx

q

Kräfte

Koordinate

r(s) dy nx ds

dz

φ q (s) . ds . cos φ

φ

q (s) . ds dz = ds . cos φ

s = su q (s) . ds . sin φ Abb. 9.4 Wirkung der Schnittgrößen bzw. Flüsse am Querschnitt

ds

− dy = ds . sin φ

140

9

Dünnwandige Profilstäbe

Hiermit lassen sich dann die Kräftegleichgewichte wie folgt bilden: ð nx ðsÞ  ds  N

¼ 0,

s

ð  qðsÞ  sin ϕds  Qy ¼ 0, s

ð

qðsÞ  cos ϕds  Qz

¼ 0,

s

ð9:8Þ

ð qðsÞ  r  ds  Mx

¼ 0,

s

ð nx ðsÞ  zds  My

¼ 0,

ð  nx ðsÞ  yds  Mz

¼ 0:

s

s

Zwischen dem benutzten y-, z-Koordinatensystem und der Umfangskoordinate s besteht noch die Beziehung ds  cos ϕ ¼ dz, ds  sin ϕ ¼ dy: Damit lassen sich die Querkräfte auch ausdrücken als ð ð Qy ¼ qðsÞ  dy, Qz ¼ qðsÞ  dz: s

ð9:9Þ

s

Integriert man diese Gleichungen partiell, so führt dies zu   su  ðsu   Qy ¼ qðsÞ  y0  y  dq,   0    su  ðsu   Qz ¼ qðsÞ  z0  z  dq:   0  Für ein offenes Profil gilt stets

ð9:10Þ

9.3

Querkraftbiegung

141

q ¼ 0 an den Stellen s ¼ 0 bzw:s ¼ su , demgemäß gilt für ein geschlossenes Profil qð0Þ ¼ qðsu Þ ¼ q ¼ konst:; in Gl. (9.10) verschwinden so die ausintegrierten Terme, sodass unter Berücksichtigung von Gl. (9.4) angegeben werden kann: ð ð Qy ¼  y  dq ¼ y  n0x  ds, s

s

ð

ð

s

s

Qz ¼  z  dq ¼ z  n0x  ds:

ð9:11Þ

Für das Torsionsmoment lässt sich ebenso eine verallgemeinerte Form finden, wenn die Wölbfunktion dωðsÞ ¼ r  ds verwendet wird. Es folgt somit    ð ð  Mx ¼ qðsÞ  r  ds ¼  qðsÞ  dωðsÞ  qðsÞ  ωðsÞsu þ ω  dq   ω  n0x ds:  s s s s  0 ð

ð

Alle Schnittgrößen können so auf den Normalkraftfluss bzw. dessen erste Ableitung zurückgeführt und daher einfach bestimmt werden.

9.3

Querkraftbiegung

9.3.1

Schubflussverteilung

Es ist eine Erfahrungstatsache, dass gerade offene Profile sehr torsionsweich sind, insofern ist bei jeder Art von Einsatz eine torsionsfreie Biegung anzustreben. Für die Krafteinleitung bedeutet dies, den Kraftangriffspunkt so zu legen, dass die Momente der Querkräfte im Gleichgewicht mit dem Moment des Schubflusses stehen. In Abb. 9.5 ist die erforderliche Gleichgewichtsüberlegung für zwei angreifende Querkräfte in der Ebene dargestellt.

142

9

Abb. 9.5 Gleichgewicht an einem Profilquerschnitt zufolge innerer und äußerer Kräfte

Dünnwandige Profilstäbe

t(s)

s

q(s)·ds

h

rt (s) y Qy Qz

zSM

x

ySM z

Bezogen auf die Längsachse kann angesetzt werden: ð qðsÞ  rt ðsÞds ¼ Qz  ySM  Qy  zSM :

ð9:12Þ

s

Die Größe des Querkraftschubflusses ist bereits in Gl. (9.2) angegeben worden. Bei einer Belastung in zwei Ebenen ist dieser dann in der Betrachtungsebene unter Berücksichtigung des Superpositionsprinzips anzusetzen mit qð s Þ ¼

Qz  Sy ðsÞ Qy  Sz ðsÞ þ þ q0 : Jy Jz

ð9:13Þ

Mit q0 ist eine zusätzliche Konstante eingeführt worden, die als Anfangsschubfluss interpretiert werden kann. Die weiter noch eingehenden statischen Momente ðs

ðs

Sy ðsÞ ¼ z  tðsÞds, Sz ðsÞ ¼ y  tðsÞds 0

ð9:14Þ

0

sind jeweils unvollständig bis zur betrachteten Stelle s zu bilden.

9.3.2

Schubmittelpunkt

Bei offenen Profilen ist der in Gl. (9.13) aufgeführte Anfangsschubfluss qo ¼ 0. Aus dem Momentengleichgewicht von Gl. (9.12) folgt dann durch Einsetzen

9.3

Querkraftbiegung

143

ð ð Qy Qz Sy ðsÞ  rt ðsÞds þ S ðsÞ  rt ðsÞds ¼ Qz  ySM  Qy  zSM : Jy Jz z s

s

Aus dem entsprechenden Koeffizientenvergleich zu den Querkräften findet sich so 0 1 ð ð 1 1 B C 2 2 ¼ S ðsÞ  rt ðsÞ ds ¼ @ rðsÞ  t  sin ϕ dϕArðsÞ  dϕ Jy y Jy ð

ySM

ϕ

s

und

ϕ

0

zSM ¼ 

1

ð9:15Þ

ð ð ð 1 1 B C 2 2 Sz ðsÞ  rt ðsÞ ds ¼  @ rðsÞ  t  cos ϕ dϕArðsÞ  dϕ: Jz Jz ϕ

s

ϕ

Diese beiden Koordinaten bezeichnen die Lage des Schubmittelpunktes. Hiernach ist also der Schubmittelpunkt der ausgezeichnete Punkt, in dem alle äußeren Kräfte angreifen müssen, um ein offenes Profil torsionsfrei zu halten. Die vorstehenden Herleitungen sind von grundsätzlicher Natur und in diesem Sinne auch übertragbar auf die vielfach eingesetzten rechtwinkligen Konstruktionsprofile. Hierzu zeigt die Abb. 9.6 einige Beispiele. Elementar ist dabei das schmale Rechteckprofil unter Querkraftbiegung, wo die Flüsse qualitativ und quantitativ bekannt sind. Die Flüsse werden zunächst auf die Schwerachse y bezogen und dann auf die Laufkoordinate s umgerechnet: nx ðzÞ ¼ σx ðzÞ  t ¼ 12 

  Q z  ð L  xÞ  z 12 h , bzw: n ð s Þ ¼   Q  ð L  x Þ  s  x z 2 h3 h3 h=2 Ð

  3  Qz z2  1  4  bzw: qðsÞ 2h t  h3 h2  2 ! 3  Qz 4 h ¼  1 2 s : 2 2h h 12  Qz  t 

qð z Þ ¼

z

z dz

¼

Etwas verwickelter sind hiergegen die Verhältnisse bei den gezeigten rechtwinkligen Blechprofilen. Hier muss beanspruchungsmäßig in Flansche und Stege abgegrenzt und hierfür die Flüsse bestimmt werden. Für den Normalkraftfluss ergibt sich somit recht einfach nx ðsÞ ¼ σx ðsÞ  tF, S oder für den Größtwert im Flansch bei vernachlässigtem Steg

144

9

Dünnwandige Profilstäbe

h

+ nx

Qz

y x

q(s) s

z

n x (s)

L

− nx

t s

b

q(s)

q(s)

s

s

s

s nx(s)

n x (s)

n x (s) n x (s)

q(s)

Abb. 9.6 Flüsse in dünnwandigen, offenen Profilen

n x F ¼ σ x  tF ¼

Mby h Mby 2Mby h  t ¼  t ¼ : JyF 2 F AF  h2 2 F bh 2

ð9:16Þ

Entsprechend ist der Schubfluss zu ermitteln. Hierzu gehe man vom freien Rand über die Flanschlänge los und erhält so aus dem allgemeinen Ansatz qð s F Þ ¼ 

Qz  h2  tF  sF : Qz  SyF ðsF Þ ¼ : Jy Jy

ð9:17Þ

9.3

Querkraftbiegung

145

Im Steg lässt man dann eine weitere Koordinate sS ¼ (h/2)  z laufen und addiere auf zu 0 qðsS Þ ¼

Qz Bh  tF  b þ tS @ 2 Jy

h=2 ð

1

  2  Q h C z  dzA ¼ z h  tF  b þ tS  z2 : 2  Jy 4

ð9:18Þ

z

Am Verlauf der Flüsse wird über die gezeigten Profilquerschnitte jetzt auch die Wirkung von Gl. (9.4) transparent, die die Abhängigkeit der Flüsse voneinander beschreibt. Weil am freien Rand q ¼ 0 ist, muss dort jeweils nx 6¼ 0 sein, d. h. aber wiederum, dass aus Gleichgewichtsgründen der Schubfluss bis zur Größe des Normalkraftflusses aufgebaut werden muss. Bei sehr dünnen Profilen ist es weiterhin zulässig, modellmäßig zu vereinfachen. Hier wird vorausgesetzt, dass die folgende Flussverteilung vorherrscht: • im Flansch nxF, q(sF) ¼ 0, • im Steg nxS ¼ 0, qðsS Þ ¼ qm ¼ Qhz : Auf diese Vorstellung wird bei den Schubwandträgern noch einmal zurückgegriffen. Ergänzend zeigt die Abb. 9.7 die Lage einiger Schubmittelpunkte (SM). Es fällt auf, dass • bei einfach symmetrischen Querschnitten der Schubmittelpunkt stets auf der Symmetrieachse liegt

Qz

b tS

a tF

y

SP

SM

h

SP = SM

d SP = SM

z ySM SM SP SP = SM

Abb. 9.7 Lage des Schubmittelpunktes einiger Blechprofile

b SM SP

146

9

Dünnwandige Profilstäbe

und • bei doppelt- oder polarsymmetrischen Querschnitten der Schubmittelpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachse liegt und somit mit dem Schwerpunkt zusammenfällt. In Anwendung der Gl. (9.15) ergibt sich für das geläufige U-Profil zSM ¼ 0 bzw.

ySM

0 1   ð ð 1 @ 1 h h 1 h2 A  tF  b  b ¼   t F  b2 ¼ z  tðsÞds rt  ds ¼ Jy Jy 2 2 Jy 4 s

und mit Jy 

t S  h3 h2 þ 2  tF  b  12 4

dann ySM 

b 2 þ 13  ttSF h b

,

wobei der Abstand von der Stegmitte genommen worden ist.

9.3.3

Geschlossene, symmetrische Konstruktionsprofile

Des Öfteren werden auch dünnwandige Kastenquerschnitte als Konstruktionsprofile herangezogen. Die beiden geläufigsten Ausführungsformen zeigt Abb. 9.8. Lässt man nun die Umlaufkoordinate s auf der Symmetrieachse beginnen, so ist dies gleichzeitig die Stelle, bei der der Schubfluss von null an aufgebaut wird. Diesbezüglich zerfällt das Kastenprofil bei der Beanspruchungsanalyse unter Querkraft in zwei U-Profile. Aus dem Vergleich mit Abb. 9.6 ist weiter noch festzustellen, dass über die Flansche dann hinsichtlich des Schubflussverlaufs spiegelbildlich gleiche Verhältnisse vorliegen. Berücksichtigt man ferner, dass die Querkraft QZ hälftig auf die beiden Profilseiten aufgeteilt werden kann, so ergibt sich der Schubfluss entsprechend zu Gl. (9.18) zu

9.3

Querkraftbiegung

a)

147

s q q(s) + nx Qz

SP = SM

− nx

b)

h 2 .b h 1+ 6 .b

1+

Q q max = z . 2 .h

q(s) + nx

qm

Qz

− nx

c)

qm =

Qz 2 .h

q(s)

n x ( φ)

y x sφ

z

Qz

q(φ) =

Qz . sin φ π. r

Abb. 9.8 Flüsse in dünnwandigen, geschlossenen Profilen unter Querkraftbiegung nach [WIE 86a]

148

9

Dünnwandige Profilstäbe

  2  Qz h 2 qðsÞ ¼ h  tF  b þ tS z : 4Jy 4

ð9:19Þ

a) Rechteckrohr b) Rechteckrohr mit sehr dünner Seitenwand c) Rundrohr Dieser Fluss muss wieder der äußeren Querkraft das Gleichgewicht halten. Lässt man weiter die Seitenwände zu dünnen Blechstegen entarten, so kann wie zuvor schon bei den Schubwandträgerprofilen in diesen Seitenwänden der Normalkraftfluss zu null angenommen werden. Der Schubfluss ist somit zu qm ¼

Qz ¼ konst: 2h

anzusetzen. Ähnliche Verhältnisse wie beim dünnwandigen Kastenprofil liegen bei einem Rohrquerschnitt vor. Mit dem für ein Halbrohr anzusetzenden unvollständigen statischen Moment ð

ðϕ

Sy ðϕÞ ¼ z  dA ¼ r  t

cos ϕ dϕ ¼ r2  t  sin ϕ

2

o

bzw. dem zugehörigen Flächenträgheitsmoment (s. auch Gl. (10.9)) ð ð π Jy ¼ z2  dA ¼ ðr  cos ϕÞ2 t  ds ¼  r3  t 2 s

folgt für den Schubflussverlauf über der Rohrwandung unter Berücksichtigung der Richtungskonvention bei „halbierter Querkraft“ q ð ϕÞ ¼

2  Qz  r2  t  sin ϕ Q ¼ z sin ϕ: πr 2 π  r3  t

ð9:20Þ

bzw. aus dem Zusammenhang von Gl. (9.4) der Normalkraftfluss zu ð ð ð dq dϕ dq 1 Q n x ð ϕÞ ¼   dx ¼   dx ¼  z 2 cos ϕ dx: dϕ ds dϕ r πr

ð9:21Þ

9.3

Querkraftbiegung

149

Der aufgetragene Verlauf lässt wieder die typische Verteilung des Biegeproblems erkennen. Wird nun wie zuvor der Grenzübergang bei der Wandstärke vorgenommen, so kommt man zu dem im Bild gezeigten segmentierten Rohr (Schubwandträgerprofil), das aus zwei Blechstegen und zwei Gurten besteht. Vom Kraftverlauf wird hierdurch ein aufgeteiltes Tragbild erreicht, in dem die massiven Gurte den Normalkraftfluss und die Bleche den Schubfluss abtragen. Des Weiteren gilt der Hinweis, dass bei symmetrischen, geschlossenen Profilen der Schubmittelpunkt stets auf der Symmetrieachse liegt.

9.3.4

Geschlossene, unsymmetrische Profile

Im Gegensatz zu den vorstehend behandelten offenen und geschlossenen Profilen stößt man bei den geschlossenen, unsymmetrischen Profilen auf die Schwierigkeit, dass der Schubfluss allein aus Gleichgewichtsüberlegungen heraus nicht bestimmbar ist. Insofern müssen wir zunächst von dem allgemeinen Zusammenhang dq ¼ 

dnx  ds ¼ σ0x  t ðsÞ  ds dX

ð9:22Þ

ausgehen. Für reine zweiachsige Querkraftbiegung kann die hervorgerufene Normalspannung dann angenommen werden mit σx ¼

Qy  x Qz  x zþ  y: Jy Jz

Wird diese Gleichung abgeleitet, so folgt daraus σ0x ¼

Qy Qz zþ  y, Jy Jz

oder eingesetzt in Gl. (9.22) erhält man den Schubfluss zu ð ð ð Qy Qz 0 qðsÞ ¼  σx  tðsÞ  ds ¼  z  tðsÞds  y  tðsÞds: Jy Jz s

s

s

Hierin können wieder die beiden statischen Momente abgespalten werden, sodass für den Schubfluss endgültig

150

qð s Þ ¼ 

9

Dünnwandige Profilstäbe

Qy Q  Sz ðsÞ  z  Sy ðsÞ þ qo Jz Jy

ð9:23Þ

folgt. Die Integrationskonstante qO bezeichnet den Anfangsschubfluss. In den bisher betrachteten Fällen konnte dieser immer sofort bestimmt werden: – An einem freien Profilrand offener Profile war immer qo ¼ 0. und – Auf der Symmetrieachse von geschlossenen Profilen war ebenfalls qo ¼ 0. Bei einem beliebigen geschlossenen, unsymmetrischen Profil ist die Position der Umlaufkonstante s frei, sodass keine Vorinformation über die Größe des Anfangsschubflusses vorliegt. Um diesen im Weiteren bestimmen zu können, muss auf Verformungsbedingungen zurückgegriffen werden. Zu diesem Zweck wird das Profil der Länge nach aufgeschnitten. Gemäß Abb. 9.9 liegt damit ein offenes Profil mit ungleichmäßigem Schubflussverlauf vor. Durch die Wirkung dieses Schubflusses verschieben sich die beiden Ränder der Röhre relativ gegeneinander. Wird hierbei angenommen, dass über die unverschobene Fläche betrachtet genauso viele Flächenanteile aus der Fläche heraus- wie zurücktreten, so kann angesetzt werden: þ Δu ¼ u1  u2 ¼

∂u ds: ∂s

ð9:24Þ

Die hierin auftretende Schubverzerrung wurde früher (Gl. (9.19)) schon definiert zu

v≈0 y, v SP z x, u s q(s) u1

u2 Δu

Abb. 9.9 Aufgeschlitztes unsymmetrisches Profil

9.3

Querkraftbiegung

151

∂u ∂v ¼γ , ∂s ∂x

ð9:25Þ

sodass für Gl. (9.24) auch geschrieben werden kann þ þ ∂v Δu ¼ γ  ds  ds: ∂x

ð9:26Þ

Wird hierin noch die Gleitung ersetzt durch γ¼

q , Gt

so kann abschließend Δu ¼

1 G

þ

þ qðsÞ ∂v ds ds  tðsÞ ∂x

ð9:27Þ

angeben werden. Da die Schnittufer sich möglichst nicht voneinander entfernen sollen, muss natürlich das zweite Integral verschwinden. Ein Verschwinden auch des ersten Integrals würde weiter Δu ¼ 0 voraussetzen, wie es tatsächlich auch an dem geschlossenen Profilstab Bedingung ist. Dies kann aber nur eintreten, wenn dem angesetzten Schubfluss q(s) ein weiterer rückdrehender Schubfluss qO so überlagert wird, dass die Relativverschiebung der Schnittufer auch zurückgeht. Zufolge dieser Überlegung muss gelten: Δu ¼

1 G

þ

qð s Þ  qo ds ¼ 0, t ðsÞ

ð9:28Þ

hieraus folgt für den als konstant anzusehenden Anfangsschubfluss Þ qðsÞ ds tðsÞ : qo ¼ Þ ds t ðsÞ

ð9:29Þ

Für den wirkenden resultierenden Schubfluss erhält man so

qðsÞges

Þ qð s Þ ds t ðsÞ : ¼ qðsÞ  qo ¼ qðsÞ  Þ ds tðsÞ

Wird hierin jetzt der Schubfluss des offenen Profils eingesetzt, so ergibt sich

ð9:30Þ

152

9

Dünnwandige Profilstäbe

2

qðsÞges

3 2 3 Þ S z ðsÞ Þ S y ðsÞ ds ds 6 7 Qy 6 t ðsÞ 7 7  Qz 6S ðsÞ  tðsÞ 7: ¼ 6 S ðsÞ  Þ Þ ds 5 ds 5 Jy 4 y Jz 4 z tðsÞ tðsÞ

ð9:31Þ

Aus dem entwickelten Gedankengang lässt sich erahnen, dass es auch bei geschlossenen, unsymmetrischen Profilen einen Punkt gibt, in dem die äußeren Kräfte angreifen müssen, sodass das Profil torsionsfrei bleibt. Insofern existiert auch hier ein Schubmittelpunkt. In der Abb. 9.10 sind noch einmal die Verhältnisse an einem beliebigen Querschnitt verdeutlicht. Torsionsfreiheit verlangt also wieder Gleichgewicht zwischen den Momenten der inneren und äußeren Kräfte: þ

þ

þ

Qy  zSM þ Qz  ySM ¼ ½qðsÞ  qo rt ðsÞds ¼ qðsÞ  rt ðsÞds  q0 rt ðsÞ ds:

ð9:32Þ

Auf der rechten Seite tritt dabei das Umlaufintegral Abstand mal Bogen auf. Über die _ also Profilmittellinie betrachtet ist dieses genau zwei Mal die umschriebene Fläche A, þ

_ rt ðsÞ  ds ¼ 2A:

ð9:33Þ

Wird dies berücksichtigt sowie für q und qO die bekannten Ausdrücke eingesetzt, so folgt aus Gl. (9.32)

rt (s)

q ges . ds

Qz

y

zSM

q (s) ges

SP SM Qy

ySM

Å z

Abb. 9.10 Lage des Schubmittelpunktes als ausgezeichneter Kraftangriffspunkt bei geschlossenen, unsymmetrischen Profilen

Literatur

153

Qy  zSM þ Qz  ySM

þ Qz Sz ðsÞ  rt ðsÞds  Sy ðsÞ  rt ðsÞds Jy   þ þ Sy ðsÞ Q 2A_ Qy Sz ðsÞ þÞ ds : ds þ z ds Jz Jy t ðsÞ t ðsÞ t ðsÞ

Qy ¼ Jz

þ

ð9:34Þ

Hieraus erhält man die Abstände zum Schubmittelpunkt 2 ySM ¼

þ

_ 16 6 Sy ðsÞ  rt ðsÞds þ 2A 4 Þ ds Jz t ðsÞ

und

2

zSM ¼ 

þ

3 Sy ðsÞ 7 d 7 tðsÞ S 5 3

ð9:35Þ

þ þ _ 7 16 6 Sz ðsÞ  rt ðsÞds þ 2A Sz ðsÞ dS 7 Þ ds Jy 4 tðsÞ 5 t ðsÞ

wieder durch einfachen Koeffizientenvergleich. Damit ist belegt, dass auch in geschlossenen, unsymmetrischen Profilen irgendwo im Querschnittsinneren ein Schubmittelpunkt vorkommt, in den die Krafteinleitung erfolgen sollte.

Literatur [CZE 67] [KOS 96] [WIE 86a]

Czerwenka, G., Schnell, W.: Einführung in die Rechenmethoden des Leichtbaus. Bd. 1, BI-Hochschultaschenbuch, Nr. 124/124a. Mannheim (1967) Kossira, H.: Grundlagen des Leichtbau – dünnwandige stabförmige Tragwerke. Springer, Berlin/Heidelberg (1996) Wiedemann, J.: Leichtbau, Bd. 1. Springer, Berlin/Heidelberg (1986)

Torsion von Profilstäben

10

Zuvor ist schon mehrfach hervorgehoben worden, dass alle dünnwandigen Profile torsionsweich sind. Insofern bedarf die Torsionsbelastung einer besonderen Betrachtung, um Steifigkeiten konstruktiv richtig nutzen zu können.

10.1

Grundbeziehungen

Nach der elementaren Torsionstheorie von St. Venant wird bei kreisförmigen Querschnitten angenommen, dass das Torsionsmoment in der Stabachse wirkt und unter dieser Belastung die Querschnitte eben bleiben, d. h. keine Verwölbung (Querschnittsverwerfung) erfahren und sich als Ganzes zwangsfrei gegeneinander verdrehen können. In diesem Fall tritt alleine Schubbeanspruchung auf. Die Verhältnisse an einem Stabelement zeigt Abb. 10.1. Bei vorausgesetzter kleiner Verformung bleibt so auch unter „Drillung“ D die Mantellinie gerade. Gemäß den geometrischen Verhältnissen gilt somit für den Bogen b: γ
dx ¼ r
dϕ:

ð10:1Þ

oder γ D ¼ ϕ0 ¼ , r wobei ϕ0 als Verwindung bezeichnet wird und der Drillung entspricht. Hiermit kann das Elastizitätsgesetz angegeben werden zu

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_10

155

156

10

( r ) 

Mx  Mx '

d

r   ra max



r

 max mx

 (r )

Mx

Torsion von Profilstäben

dx r

dA  2  r dr Abb. 10.1 Torsion an einem Profilstabelement als lineares Problem

τðrÞ ¼ G
γ ¼ G
ϕ0
r  G
D
r:

ð10:2Þ

Dieses Gesetz beschreibt eine über den Querschnitt lineare Spannungsverteilung. Mit dieser Spannungsverteilung muss die äußere Belastung im Gleichgewicht stehen, d. h. ðr

ðr

Mx  τðrÞ
dA
r ¼ G
ϕ r2
dA ¼ G
Jp
ϕ0 0

0

ð10:3Þ

0

|fflfflfflffl{zfflfflfflffl} Jp

sein. Hierin beschreibt Jp das so genannte polare Flächenträgheitsmoment. Die vorstehenden Ausführungen charakterisieren die Verhältnisse der zwangsfreien Torsion kreisförmiger Querschnitte. Bei allen nichtkreisförmigen Querschnitten tritt anstelle von Jp eine vom Querschnitt abhängige geometrische Größe Jt(Jt 6¼ Jp). Zusammen mit dem Gleitmodul bezeichnet das Produkt G
Jt die Torsionssteifigkeit eines Querschnitts. Für beliebige Querschnitte muss weiterhin die Voraussetzung des Ebenbleibens aufgegeben werden, sodass hier Verwölbung auftreten kann. Wird insbesondere diese Verwölbung behindert, so tritt neben einer Torsions- noch eine axiale Normalkraftbelastung auf. Diesbezüglich spricht man von einer „Wölbkrafttorsion“. Im Weiteren gilt es, die Spannungsverteilung, die polare geometrische Beschreibungsgröße und die aus der Verwölbung resultierenden Effekte zu diskutieren.

10.2

10.2

Voll- und Rohrquerschnitte

157

Voll- und Rohrquerschnitte

Als Erstes sollen die in Abb. 10.2 dargestellten einfachen Voll- und Rohrquerschnitte hinsichtlich ihrer Torsionsbeanspruchbarkeit betrachtet werden. Die Grundannahme ist dabei, dass der Spannungsverlauf dem linearen Gesetz von Gl. (10.2) gehorcht. Im Einzelnen liegen dann folgende Verhältnisse vor: • Beim Vollkreis tritt die maximale Schubspannung τmax ¼ G
ra
ϕ0 ¼

τ (r )

Mx
r a Jt

τ (r )

Mx

ð10:4Þ

Mx

ra ra r ri i

τ xy

τ (r )

q

Mx

Mx

τ xz

b

rrm

t Abb. 10.2 Reine Drillung einfacher Profile

τ xy > r) näherungsweise anwendbar ist. Völlig anders sind jedoch die Verhältnisse, wenn die Länge L und der Durchmesser 2 r etwa von derselben Größenordnung sind. Unter Belastung wirft dann die Schalenwand gleichmäßige

292

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

p r t L x

Abb. 19.8 Rotationssymmetrisches Beulen einer Zylinderschale

Wellen, was als Rohr- oder Faltenbeulung anzusehen ist. Dieses Verhalten kann aus der Biegetheorie der Kreiszylinderschalen abgeleitet werden. Ohne Herleitung kann hierfür die homogene DGL 4

4

∂ W 12ð1  ν2 Þ  p ∂ W 12ð1  ν2 Þ þ  þ w¼0 E  t3 r2  t2 ∂x4 ∂x2

ð19:36Þ

angesetzt werden. Mit den Abkürzungen 2α ¼

12ð1  ν2 Þ  p 12ð1  ν2 Þ und β2 ¼ 3 Et r 2  t2

kann die DGL auch geschrieben werden als 00

w00 ðxÞ þ 2α  w00 ðxÞ þ β2  wðxÞ ¼ 0: Dieser Gleichungstyp kann für alle auftretenden Randbedingungen wie auch für wð0Þ ¼ 0, w00 ð0Þ ¼ 0, wðLÞ ¼ 0, w00 ðLÞ ¼ 0, mit dem Ansatz wðxÞ ¼ Cm  sin

mπx mit m ¼ 1, 2, . . . L

ð19:37Þ

befriedigt werden. Bildet man die entsprechenden Ableitungen und setzt diese in Gl. (19.36) ein, so erhält man die charakteristische Gleichung

19.5

Rohrbeulen

293

    mπ 4 mπ 2  2α  þ β2 ¼ 0: L L

ð19:38Þ

Wird jetzt die Rücksubstitution für die Konstante 2α wieder vorgenommen, so kann die vorstehende Gleichung nach dem kritischen Axialdruck aufgelöst werden:

pkrit

E  t3 ¼  12ð1  ν2 Þ

" 4 mπ

# þ ß2 : mπ 2

ð19:39Þ

L

L

Das Minimum für pkrit erhält man für die kleinste Anzahl an Halbwellenlängen m, wozu Gl. (19.39) abzuleiten ist:   2 2 ∂p E  t3 π2 3 β  L ¼ 2m 2  2m  ¼ 0: π2 ∂m 12ð1  ν2 Þ L

ð19:40Þ

Für m findet sich sodann aus dem Klammerausdruck L pffiffiffi L m¼ 4 β¼ π π

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 4 12ð1  ν Þ : r 2  t2

ð19:41Þ

Es wäre sicherlich Zufall, wenn m wie vorstehend vereinbart genau ganzzahlig wäre. Ist ^ gerundet werden. Damit gilt dem nicht so, so muss mathematisch auf m pBeul  pkrit

E  t3 ¼ 12ð1  ν2 Þ

"



4 ^ mπ þ L mπ 2 ^ L

β2

# :

ð19:42Þ

Die vorstehende Gleichung gilt natürlich nur für rein elastisches Verhalten und für langsame Lastaufbringung. Ein Vergleich von Gl. (19.35) mit Gl. (19.39) zeigt, dass ein Rohr für 

r3 2 < pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wie ein Stab ausknickt t  L2 π2 3ð1  ν2 Þ

bzw:für

ð19:43Þ

r3 2  > pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tatsüchlich beult: t  L2 π2 3ð1  ν2 Þ Ein heute geläufiger Anwendungsfall für Rohrbeulen sind Crashboxen, die bei Pkws Kollisionen bis 15 km/h ohne Strukturschädigung kompensieren können. Als Geometrien werden dazu bevorzugt Kreis- und Rechteckrohre genutzt.

294

19.6

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

Versteifte Scheibe

Um Beulen von Blechfeldern zu behindern, geht man in der Praxis oft dazu über, durch Untergurte gezielt zu versteifen. Hierzu werden entweder ein, zwei oder drei Gurte gewählt, die in Kraftwirkungsrichtung angeordnet werden. Die Versteifung (am Rand oder in der Mitte) richtet sich gewöhnlich nach der Größe der Scheibe. Für die Wirksamkeit einer derartigen Versteifung ist es wichtig zu wissen, welche Steifigkeit ein Gurt überhaupt haben muss, um unterstützend wirken zu können. Da diese Problemstellung mathematisch nicht einfach zu lösen ist, soll eine exemplarische Betrachtung für eine Scheibe mit Mittelgurt angestellt werden. Aus Vereinfachungsgründen sollen hierbei die folgenden Annahmen gemacht werden: • Die Scheibe und die Versteifung sind aus dem gleichen Werkstoff. • Die Schwerachse aus Versteifung und Scheibe fällt etwa in die Scheibenmittelebene. sowie • Die Torsionssteifigkeit des Gurtes soll vernachlässigt werden. In Abb. 19.9 ist eine derartige Situation exemplarisch dargestellt. Je nach der Steifigkeit des Untergurtes können dabei zwei Fälle auftreten: Abb. 19.9 Versteifte Scheibe nach [KOL 58] a) mögliche symmetrische b) antimetrische Beulform

y σx

2

a)

b 2

1 A G, J G

σx

x

b 2

σx

+ +

b) σx

σx

+

_

_

+

b

a

σx

19.6

Versteifte Scheibe

295

• Die Scheibe beult zusammen mit dem Gurt symmetrisch, d. h., der Gurt ist zu schwach. oder • Die Scheibe beult antimetrisch, wobei der Gurt insgesamt gerade bleibt, also zu steif ist. Für den antimetrischen Fall kann die kritische Beulspannung (s. Fall 2 im Abschn. 19.3) sofort bestimmt werden, sie entspricht nämlich einer Scheibe mit halber Breite. Somit folgt aus Gl. (19.17) mit n ¼ 1 und α ¼ 2 α σxkrit ¼

     2 m α 2 π2  E  t 2 m 2α 2 π2  E t þ  ¼ 4  : þ  2α m α m 12ð1  ν2 Þ b 12ð1  ν2 Þðb=2Þ2

ð19:44Þ

Die minimale Wellenzahl wird sich für m ¼ 2α einstellen. Ist der Stab biegesteif genug, sodass dieser Fall überhaupt möglich ist, so kann auch mit einer weiteren Steifigkeitserhöhung die kritische Beulspannung nicht gesteigert werden. Im Fall der symmetrischen Beulung wird eine nur geringe Biegesteifigkeit des Gurtes vorliegen. Die Beulform kann somit aus der Gleichung 2

B  ΔΔw ¼ px 

∂ W ∂x2

ð19:45Þ

bestimmt werden. Die geläufigen Randbedingungen sind einerseits gelenkige Lagerung und andererseits Bettung auf elastischer Unterlage (Biegung von Platte und Gurt sind gleich). Letztlich führt dieses Problem auf die Eigenwertgleichung


pffiffiffi  2 2 
1 λb 1 ωb m2 m π 4m  k  tan  tan  γ 2 δk ¼ 0: λb 2 ωb 2 α α α2

ð19:46Þ

In diese Gleichung sind folgende Abkürzungen m2  π2 m  π2 pffiffiffi þ k, ab a2 m2  π2 m  π2 pffiffiffi þ k ω2 ¼  ab a2

ð19:47Þ

AG ðFlächenverhältnisÞ tb E  JG γ¼ ðbezogene BiegesteifigkeitÞ Bb

ð19:48Þ

λ2 ¼

bzw. Koeffizienten δ¼

296

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

eingeführt worden. Danach treten in Gl. (19.46) noch vier Unbekannte auf, weshalb Sie nur durch Probieren zu lösen ist. Im Allgemeinen geht man so vor, dass für δ Werte vorgegeben werden und dann k als Verlauf der Steifigkeit γ gegeben ist. Dies zeigt beispielsweise Abb. 19.10. Die Mindeststeifigkeit des Gurtes für Beulbehinderung ist der Grenzfall der Antimetrie. Wird jetzt von Gl. (19.44) der Beulwert   m 2α 2 k¼4 þ 2α m abgespalten und in Gl. (19.47) eingesetzt, so kann aus der Auflösung von Gl. (19.46) der Koeffizient γ bestimmt werden, aus dem wiederum die Gurtabmessungen folgen. Führt man dies durch und berücksichtigt, dass • für α > 2 sich der Beulwert nur noch unwesentlich ändert und • kgrenz  16 ist, weil auf b/2 bezogen wird, so ergeben sich die folgenden vereinfachten Gleichungen:

k

16,0

15

γ δ = 0,20 a

b pkrit

k

b

20

20

γ δ=0 a = α .b

15

γ=15 γ=10 m =1

γ=5

10 γ=0

5

10

m=2

m 5 m=1 =2

5

1 m= m=2

4,0

0

1

2

3 α=

10

20 15

a b

4

γ=0 =1m =2 m 2,85 0

Abb. 19.10 Beulwerte der versteiften Scheibe nach [KOL 58]

1

2

3 4 a α= b

pkrit

19.6

Versteifte Scheibe

297

55

m=1

m=2

51,63

γ

50 45 40

43,83

δ = 0,20 0,15

36,69

35 0,10 30

30,20

0,05 24,36

25 20

δ=0

15 10 5 0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,7 1,2 1,7 2,2

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

a α= b

Abb. 19.11 Mindeststeifigkeitsverlauf für einen Gurt, der Beulen verhindert nach [KOL 58]

r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ffi m m þ1 , λ  b  2π 4α α r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi  m m ω  b  2π 1 4α α

ð19:49Þ

bzw. als Mindeststeifigkeit γ  16 δ

 2 16 ðα=mÞ3 α þ 2 1 1 m π λb tanh λb 2  ωb tan

ωb 2

:

ð19:50Þ

Zu festgelegten geometrischen Verhältnissen (δ, α, λ, ω) kann nun unter Vorgabe der Wellenzahl m eine minimal erforderliche Biegesteifigkeit für den Gurt abgeschätzt werden. Die Auftragung dieses Lösungsweges führt zu einer umgekehrten Girlandenkurve (s. Abb. 19.11), die in Abhängigkeit von der Geometrie den Verlauf der Mindeststeifigkeit des Gurtes ausweist.

298

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

b

a) t b

σx

b)

h b h

b

h

b

b

σx

σx

Abb. 19.12 Beulbilder von Stabprofilen nach [WIE 79] (a) am Profil (b) an der Abwicklung

19.7

Beulung von Profilen

Wie Flächentragwerke neigen auch die Wände von Profilstäben zum Beulen. Man spricht hier speziell vom örtlichen Beulen und kennzeichnet dadurch eine kurzwellige Beulform. Während beim Knicken von Profilstäben die Querschnittsform erhalten bleibt und die Stabachse ausweicht, bleiben beim Profilbeulen die Anschlusskanten der Profilwände gerade und nur die Wände beulen aus. Die auftretenden Beulbilder sind in Abb. 19.12 skizziert. Dieser Effekt ist darauf zurückzuführen, dass alle Abwinkelungen wie eine Lagerung stabilisieren und so als Knotenlinie der Beulwellen wirken. Dadurch wird immer eine bestimmte Beulform erzwungen, sodass es im Grund gleichgültig ist, in welche Richtung ein Profil abgewinkelt wird. Dies zeigt auch das Beispiel, wobei beide Fälle letztlich auf ein Blechstreifen mit gelenkiger Lagerung zurückzuführen sind, wie in Abb. 19.13 dargestellt wird. Für diese Grundformen gelten dann die folgenden Grundgleichungen: Fall a) Blechstreifen mit beidseitig gelenkiger Stützung Die Wellenlänge der Beulung ist m ¼ h und die beulkritische Spannung σxkrit  3, 6 E 

 2 t : h

Fall b) Blechstreifen, der beidseitig starr gefasst ist Die Wellenlänge der Beulung wird so m < h und die beulkritische Spannung

ð19:51Þ

Beulung von Profilen

299

a)

be id se iti gg ele nk ig ge stü tzt be id se iti gs tar re in ge sp an nt

σx

m

h

krit

3,6 E

2 krit

6,3 E

b

2 krit

m

σx b

t h

d)

L

m h

t h

c)

b)

ein se iti gg ele nk ig ge stü tzt ein se iti gs tar re in ge sp an nt

19.7

t b

0,38 E

2 krit

1,15 E

t b

2

Abb. 19.13 Beulformen und Beulwerte von Profilstreifen nach [WIE 79]

σxkrit  6, 3 E 

 2 t : h

ð19:52Þ

Fall c) Blechstreifen mit einseitig gelenkiger Stützung und freiem Rand Die Wellenlänge der Beulung stellt sich ein zu m ¼ L, die beulkritische Spannung wird σxkrit  0, 38 E 

 2 t : b

ð19:53Þ

und Fall d) Blechstreifen mit einseitig starrer Stützung und freiem Rand Die Wellenlänge der Beulung ist etwa b < m < L und die beulkritische Spannung σxkrit  1, 15 E 

 2 t : b

ð19:54Þ

Die angeführten Gleichungen können unmittelbar aus der Abb. 19.7 abgeleitet werden. Profile können nun aus diesen Einzelstreifen synthetisch aufgebaut werden. Da dann die Einzelstreifen an den Rändern zusammengebunden werden, müssen dort auch die Randwinkel und Halbwellenlängen übereinstimmen. Dieser Zwang bewirkt, dass die Beulspannung eines Profils in jedem Fall größer ist, als die Summe der Beulspannungen der unstabilisierten Einzelstreifen. Die Obergrenze der Stützwirkung liegt sicherlich immer bei der festen Einspannung. Soll nun die Beulspannung von Profilstäben abgeschätzt werden, so bietet sich als einfacher Weg das Kräftegleichgewicht [ÖRY 83] im Profil an.

300

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

Für das in Abb. 19.14 gezeigte Winkelprofil kann so der Ansatz σxkrit 

σx1 krit  t1  b1 þ σx2 krit  t2  b2 ðt1  b1 þ t2  b2 Þ

ð19:55Þ

gemacht werden. Gemäß seiner Geometrie zerfällt es in zwei Blechstreifen, die über eine steife Kante zusammengebunden sind. Deshalb ist anzusetzen: σx1krit


2 t  0, 38E  , Fall cÞ b1

ð19:56Þ

σx2krit


2 t  0, 38E  , Fall cÞ: b2

ð19:57Þ

und

Der vorstehende Ansatz lässt sich nun beliebig verallgemeinern zu n P

σxkrit  i¼1

σxi krit  ti  bi n P

:

t i  bi

ð19:58Þ

i¼1

2

b1

b2

Abb. 19.14 Einfaches Winkelprofil

1

2

frei

1

frei

t2

t1

19.8

Bördelung

301

t1

2

3

2

3

t3

t2

b1

1

frei

1

frei

σx

b2

b3

Abb. 19.15 Z-förmig abgesetztes Profil

Eine abschließende Auswertung zu Gl. (19.58) soll das Z-Profil in Abb. 19.15 sein. Wie der geometrische Aufbau zeigt, kann das Profil in drei Blechstreifen zerlegt werden. Danach liegt zwei Mal ein Streifen mit freiem Rand vor, für den anzusetzen ist: σx1krit  0, 38E 


2
2 t1 t σx3 krit  0, 38  3 , Fall cÞ: b1 b3

ð19:59Þ

Der Mittelstreifen ist beidseitig an einer steifen Kante angebunden, weshalb für diesen σx2 krit  3, 6 E 


2 t2 , Fall aÞ, b2

ð19:60Þ

anzusetzen ist. Der gezeigte einfache Weg über die Überlagerung von Grundlastfällen berücksichtigt das mechanische Verhalten der Profile und stellt eine ausreichend genaue Abschätzung dar.

19.8

Bördelung

Unter Belastung wird man feststellen, dass die Tragfähigkeit von Profilstäben durch das Beulen der freien Ränder begrenzt wird. Wenn demgemäß die Tragfähigkeit erhöht werden soll, so müssen die Ränder durch Umbördeln stabilisiert werden. Ein breiter freier Rand wird dadurch zum beidseitig gestützten Rand und nur der kurze Überstand ist wieder als

302

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

-2

2 .10

εkrit = σkrit / E

c 0,3

-2

1 .10

h

t

8 0,2 6 4 c h

2

1 .10

0,15

-3

0,1

8 6 -4

4 .10

4

6

1

8 10

2

4

6 h/t

2

8 10

Abb. 19.16 Einfluss der relevanten Bördelhöhe auf die Tragfähigkeit nach [HER 80] (Durch die Auftragung von εkrit sind die Werte unabhängig vom Werkstoff.)

freier Rand anzusehen. In Abb. 19.16 ist der Stabilisierungseffekt zwischen den beiden Grenzfällen freier Rand und beidseitig gestützter Rand abgeschätzt worden. Die durch eine Bördelung zu erzielende Stützwirkung ist vom Verhältnis Steghöhe zu Dicke des zu unterstützenden Profilstreifens abhängig und setzt eine bestimmte Mindestbördelhöhe gemäß Abb. 19.17 voraus. Eine relative Bördelhöhe c/h ¼ 0,27 reicht hiernach aus, um bei einem Verhältnis t/h < 1/20 die Anschlusskante zu stützen. Wird die Bördelhöhe c größer gemacht, als die Abbildung ausweist, so neigt der Rand seinerseits wieder zur Instabilität und drückt den Beulwert wieder herunter. Letztlich lässt sich durch eine Bördelung die Tragfähigkeit eines freien Randes um den Faktor 2-3 erhöhen.

19.8

Bördelung

303

Abb. 19.17 Mindestbördelhöhe für Profilränder

c

(c/h)min

0,3 h

t

0,2

0,1

0

0

20

40

60

80 h/t

k

6

4 3 2

unbrauchbarer Bereich

5

b

b 0

0,3

1,0 0,8

0,6

t

0,4 0,2 = c/b

hc

c

c

c

c

b

1 b 0

0,5

1

b/h

1,5

c b

b h

b c

Abb. 19.18 Einfluss der relativen Bördelhöhe auf den Druckbeulwert nach [WIE 79]

Der Einfluss der Bördelhöhe bei verschiedenen zweiflanschigen Profilträgern zeigt insbesondere Abb. 19.18. Hierin ist ersichtlich, dass zunächst bei Profilverhältnissen b/h ¼ 0,5–1,0 und c/b ¼ 0,2 der Druckbeulwert fast vervierfacht werden kann. Weiterhin ist dargestellt, dass bei größeren Verhältnissen c/b ¼ 0,4–1,0 der Beulwert wegen Instabilität wieder deutlich abfällt. Den stärksten Effekt erreicht man mit einer zweiseitigen Bördelung, recht gute Werte erreicht man aber auch schon mit einseitigen Bördelungen.

304

19 Beulen von Blechfeldern und Rohren

k

6 c/b

5

Drillen

4 3 2 1

0

unbrauchbarer Bereich

0,2 0,3

0,2 c/b 0,3

0,2 c/b -0 ,4

L/h 3 10

(Drillen) 0,5

1

b/h

1,5

Abb. 19.19 Einfluss des Profil-Längen/Seitenverhältnisses auf die Beulung (Drillung) und Vergleich verschiedener Profilformen hinsichtlich des Druckbeulwertes nach [WIE 79]

Ergänzend hierzu sind in Abb. 19.19 verschiedene Profilformen mit und ohne Bördelung bzw. unterschiedlichen Bördelverhältnissen bezüglich ihrer versteifenden Wirkung gegenüberstellt. Der Vergleich belegt, dass das doppelseitig abgewinkelte Z-Profil hierbei das günstigste Druckbeulverhalten zeigt. Leider muss dieser mechanische Stützeffekt mit höheren Fertigungskosten bezahlt werden. Während bei offenen Walzprofilen der Mehraufwand meist nur gering ist, sind gebördelte Umformprofile (beispielsweise geformte Blechseitenteile für Pkw-Sitze) nur schwer herstellbar. Das Problem ist dabei, dass für eine maßgenaue Umformung von Uoder C-Profilen ein Kern benötigt wird, von dem das umgeformte Profil letztlich gelöst werden muss. Dies verlangt aufwändige Werkzeuge mit Schieber, wodurch die Produktivität sinkt. Im Automobilbau geht man trotzdem diesen teuren Weg, weil das dominierende Ziel immer hohe Steifigkeit und Stabilität bei geringstem Eigengewicht ist. Der höhere Werkzeugaufwand wird bei den großen Stückzahlen im Automobilbau4 nur sehr geringe Auswirkungen auf das Teil haben.

4

Anmerkung: Ab dem VW-Golf II wird für die Sitzlehne ein gebördeltes Profil benutzt, das mit einem Schieberwerkzeug geformt wird. VW benötigt am Tag etwa 18.000–20.000 Rückenlehnen, der Mehraufwand pro Teil ist somit gering.

Literatur

305

Literatur [HER 80] [KOL 58] [ÖRY 83] [SZA 84] [WIE 79]

Hertel, H.: Leichtbau. Springer, Berlin (1980) Kollenbrunner, C.F., Meister, M.: Ausbeulen. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg (1958) Öry, H.: Leichtbau. Vorlesungsmitschrift, RWTH-Aachen (1983) Szabo, I.: Einführung in die technische Mechanik. Bd. 1. Springer, Berlin/Heidelberg (1984) Wiedemann, J.: Leichtbau I und II. Vorlesungsmitschrift, TU-Berlin (1979/89)

Konstruktive Versteifungen

20

Unter konstruktiven Versteifungen sollen gezielt eingebrachte geometrische Anisotropien verstanden werden, die helfen, die Steifigkeit einer Leichtbaukonstruktion zu erhöhen. Wenn möglich soll die Versteifung ohne zusätzlichen Materialaufwand erfolgen, sodass bei konstantem Eigengewicht gleichzeitig eine Steigerung der Tragfähigkeit eintritt. Am günstigsten ist daher, wenn die Versteifung im gleichen Arbeitsgang wie das Bauteil hergestellt wird. Nach der geometrischen Form und dem Einbringverfahren unterscheidet man so: • Versteifung durch schalenförmige Gestaltung, • Sicken-Ausbildung oder Rippen-Anformung sowie • Formung von Randversteifungen, Durchzüge und Falze. Bevorzugte Anwendungsfelder hierfür stellt der Blechleichtbau dar, weil dünne Bleche bekanntlich aufgezwungenen Verformungen oder Instabilitäten nur einen geringen Widerstand entgegensetzen können.

20.1

Versteifende Formgebung

Bauteile lassen sich versteifen durch eine schalenförmige Oberflächengestaltung oder durch Segmentierung. Bei Schalen ist die versteifende Wirkung auf die Krümmung zurückzuführen. In Abb. 20.1 ist am Beispiel einer Maschinenhaube dargestellt, wie Krümmung und Durchbiegung zusammenwirken. Letztlich kann durch Krümmung einer Verformung vollständig entgegengewirkt werden.

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_20

307

308

20 Konstruktive Versteifungen

w (mm)

15

14,85

pz pz

w 2a

10 7,75 2b

2b

5

h

3,19 1,51 0,1

0,2

0,3

0,79

0,5

0,4

0,5 κ = h/2 b

0,6

Abb. 20.1 Einfluss der Krümmung auf die Durchsenkung einer Platte

Bereits in den vorstehenden Kapiteln sind schon vereinzelte Maßnahmen angeführt worden, die zum Zweck der Versteifung dienen. Eine Übersicht darüber gibt Abb. 20.2. Als Wirkung ist hierbei beabsichtigt: a) Reduzierung der freien Knicklänge von Stäben durch Segmentierung (Manschetten) oder Verwendung von segmentierten Hohlprofilen, b) Steigerung des Beulwiderstandes von geraden Blechen durch Um-Bördelung der freien Ränder, c) Erhöhung der Biegesteifigkeit durch Segmentbildung mit Schottwänden und d) Erhöhung der Torsionssteifigkeit durch Zellbildung. Die angegebenen Verbesserungsraten beziehen sich jeweils auf das Basisprofil und weisen eine Kraft- oder Momentenerhöhung bei gleichen Verformungsparametern aus.

20.2

Sicken

20.2.1 Versteifungswirkung Sicken sind rinnenartig eingebrachte Versteifungen in Blechfelder, wobei die Tiefenprägung meist klein gegenüber der Längenprägung ist. Im Allgemeinen werden Sicken nach der Querschnittsform und Anordnung unterschieden. Einige häufig benutzte Formen zeigt Abb. 20.3. Die Versteifungswirkung in eine bestimmte Belastungsrichtung ist hierbei im Wesentlichen von der Ausprägungstiefe abhängig, wodurch die folgenden Effekte auftreten: • Die Schwerlinie verschiebt sich aus der Mittelebene des Bleches und

20.2

Sicken

309

b) Scheibe als „Druckstab“: Bördelung

a) Druckstab: „Bambusanalogie“ F F F d

p

p

p

1,2 ⋅ d

d

+15 % +100 %

+135 % +186 %

c) Erhöhung der Gesamtbiegesteifigkeit durch „Schottwände“ F

F

+12,7 % d) Erhöhung der Gesamttorsionssteifigkeit durch „Zellen“

Mt

Mt +10,7 %

Mt +15,2 %

Mt +32 %

Abb. 20.2 Zusammenstellung von Versteifungsmaßnahmen

Halbrunde Sicken

Formsicken

Kastensicken

Trapezsicke

Dreiecksicke

Abb. 20.3 Verschiedene Sickenformen nach [OEH 71]

310

20 Konstruktive Versteifungen

• wegen des dann dominierenden Steiner’schen Anteils nimmt das Flächenträgheitsmoment überproportional zu. Bei vielen praktischen Anwendungsfällen kann dies sehr vorteilhaft genutzt werden. Ein wichtiger Fall ist die Versteifung von Blechwänden gegen Instabilität, welches bekanntlich sehr wirksam durch Sicken erfolgen kann. In Abschn. 19.4 ist schon die Beulung von Blechen diskutiert worden. Der Beulwiderstand kann hierbei durch die kritische Spannung der ersten Eigenform mit σBkrit ¼ k

π2  E  J ð 1  ν 2 Þ b2  t

ð20:1Þ

ausgedrückt werden. Man sieht sofort, dass neben anderen Einflüssen die Größe des Flächenträgheitsmomentes entscheidend ist. Sehr einsichtig wird dies an dem Blechstreifen in Abb. 20.4, der unversteift und versteift gegenübergestellt wird. Gemäß der vorstehenden Gl. (20.1) kann die kritische Beulbeanspruchung durch eine oder durch zwei Sicken erheblich angehoben werden. Dies kann theoretisch wie auch experimentell quantifiziert werden. Im untersuchten Fall zeigen sich jedoch erhebliche Abweichungen zwischen Theorie und Praxis. Dies ist darauf zurückzuführen, dass bei der theoretischen Abschätzung weder die partielle Verdünnung der Blechstärke noch der seitliche Einzug des Blechstreifens berücksichtigt wurde. Insofern signalisiert das Ergebnis, dass man die Wirkung von Sicken gegen Instabilität nicht überschätzen sollte. Ein anderer Fall ist die Versteifung von biegebeanspruchten Blechen durch Kastensicken. In Abb. 20.5 ist dazu ein weiteres Experiment der Theorie gegenübergestellt. Schmale Blechstreifen lassen sich in erster Näherung als Balken betrachten, demgemäß kann für die Durchbiegung w¼c

F  L3 EJ

ð20:2Þ

angesetzt werden. Wie die Auswertung zeigt, ergeben sich auch hier Abweichungen zwischen der Messung und der Rechnung von ca. 10 %. Die Ursache ist wohl darin zu sehen, dass die Querschnittsgeometrie klein bleibende Verformungen (Setzen in den Ecken) zulässt, die durch einen elementaren Rechenansatz nicht erfasst werden können. Viele Anwendungen zeigen jedoch, dass gesickte Tafelbleche der Massivbauweise hinsichtlich Gewicht und Steifigkeit überlegen sind. Diesbezüglich ist in der Abb. 20.6 noch ein Vergleich von Aluminium-Bodenelementen für den Fahrzeugbau dargestellt, der einige Vorteile deutlich unterstreicht. Ein wesentlicher Anwendungsaspekt ist im Material- und gegebenenfalls niedrigeren Energieeinsatz für eine Aufgabenstellung zu sehen, der den höheren Fertigungs- und Werkzeugaufwand kompensieren muss. In der Montage können auch Handlingsaspekte

20.2

Sicken

311

p

a

p

t=1

k

3,8 (nach Pfüger)

b 3,6

160

k

5,0

15

50 10

theoretisch praktisch

Bkrit

-

20

15

Bkrit

5,3 ˆ Bkrit

B krit

7,9 ˆ B krit

B krit

3,0 ˆ Bkrit

B krit

4,0 ˆ B krit

Abb. 20.4 Wirkung von Sicken in einem dünnen St-Blechstreifen (Dicken < 2 mm)

maßgebend sein, weshalb dann eine Leichtbauplatte immer einer kompakten Platte vorzuziehen ist. Die Möglichkeiten, eine hohe Steifigkeit durch Gestaltung zu erreichen, sind sehr vielfältig, wobei Sicken nur ein Weg sind. Ziel muss es daher sein, durch eine bestimmte Formgestaltung einer Sicke ein möglichst großes Flächenträgheitsmoment mitzugeben. Dies erreicht man durch weitestgehend scharfkantiges Ausprägen. Aus Abb. 20.7 ist hierzu zu entnehmen, dass man mit der scharf ausgeprägten R-Form schneller ein hohes Flächenträgheitsmoment erreicht als mit den beiden H-Formen. Dies ist bezüglich der Biegung ein Effekt des Steiner’schen Anteils.

312

20 Konstruktive Versteifungen

a F (N)

700

b

600 500

F

c L/2

400 300

14

w t=1

10

200 L=

42

100 1

2

a) gemessene elastische und plastische Gesamtdurchbiegung, b) gemessene plastische Durchbiegung, c) gemessene elastische Durchbiegung

375

4

3 w (mm)

Abb. 20.5 Durchbiegung eines sickenartig versteiften Blechstreifens unter Einzellast nach [KIE 55]

Werden Sicken zu tief eingeprägt, so neigen die Wände selbst wieder zur Instabilität. Erfahrungsgemäß liegt der Grenzwert etwa bei h/t  5–6, welches gedrungene Sicken voraussetzt. Ergänzend zu den vorherigen Betrachtungen kann durch Versickung auch die Stabilität von Rohren gegen Druck und Torsion erhöht werden. In der Praxis wird dies beispielsweise bei Rohrstützen1 im Offshore-Bereich genutzt, um die aufnehmbare Knicklast zu erhöhen. Für alle Knickfälle gilt bekanntlich die Beziehung

Fkrit ¼ c

π2  E  J y , L2

ð20:3Þ

in der wieder über die Variation des Flächenträgheitsmomentes die Knicklast angehoben werden kann. Eine Auswertung dazu zeigt Abb. 20.8, wobei die Dimensionalität einer Sicke bei 4- und 8facher Verprägung als konstant angenommen wurde. Vielfach werden Sicken auch zur Mantelversteifung von kurzen Rohren bei Torsion herangezogen. Wegen der Bildung des Torsionsflächen-Trägheitsmomentes

1

Anmerkung: Werden abgewickelt versickt und dann längsnahtverschweißt.

20.2

Sicken

313

F

F

F

F

F

F

30 t=

b=2

5 7,7 650 L=

15

10

b=2

10

t = 7,75 mm G1 = 6,34 N W = 2100 mm

3

1 t= 50 6 L=

100 %

13 %

1 mm

100 %

13 %

0,82 N

100 %

J = 8150 mm 4

100 %

w = 5,7 mm

100 %

PE = 43,8 kWh

100 %

100 % 300 % 33 % 13 %

2100 mm3 24280 mm 4

1,9 mm 5,7 kWh

Abb. 20.6 Vergleich eines Massivelementes mit einem gesickten Blechen gleichen Widerstandes nach [KIE 55] (PE¼ Herstellenergie aus Primäraluminium) 2 4A_  t Jt ¼ Þ ds

aus der eingeschlossenen Querschnittsfläche unter der umlaufenden Profilmittellinie ist dieser Effekt allerdings als nicht groß einzuschätzen.

20.2.2 Konstruktive Ausführung Die Einbringung von Sicken in Blechen erfolgt in der Regel durch Biegeumformung in entsprechenden Werkzeugen. Hierbei gilt es, besonders das Verhältnis von Materialdicke zur Sickengeometrie abzustimmen, um die Steifigkeit nicht durch Wanddickenverringerung zu beeinträchtigen. Um Sicken in ihrer Wirkung richtig ausnutzen zu können, sollten die folgenden Hinweise bezüglich ihrer Proportionierung und Anordnung berücksichtigt werden. Hierzu sind in Abb. 20.9 die wichtigsten konstruktiven Kriterien kurz zusammengestellt worden. Danach sollte gegen drei Hauptkriterien nicht verstoßen werden:

314

20 Konstruktive Versteifungen

R

J (mm 4 )

t=1

h

1500

a = 10 HI H II

r=2 1000 R

HI

V

HII

r=1 V

500

10

12

14

16 h (mm)

Abb. 20.7 Einfluss der Sickenformen auf das Flächenträgheitsmoment

t =1

5 ⋅ 106

log J (mm 4)

Abb. 20.8 Erhöhte Flächenträgheitsmomente von gesickten und geschweißten Rohren

dm

1 ⋅ 106

16 5 ⋅ 105

8 Sicken 4 Sicken ohne Sicken

1 ⋅ 105 4 ⋅ 10 4

50

100

150 200

log dm (mm)

6

20.2

Sicken

315

vermeiden

bevorzugen

vermeiden

a

f

b

g

bevorzugen

c h d i e

Abb. 20.9 Gestaltungsrichtlinien für Sicken

• Bei felderartigen Versteifungen von Blechen sind möglichst keine trägheitsbevorzugten Achsen zu schaffen (R. 20.9a). • Unversteifte Randbereiche sind grundsätzlich zu vermeiden. und • Bei flächigen Sicken sollten Knotenpunkte von sich kreuzenden Sicken möglichst vermieden werden (R. 20.9b). Darüber hinaus gibt es noch einige Erfahrungsregeln, und zwar: • Lange Diagonalversteifungen in dünnen Blechen sollen nach Möglichkeit vermieden werden, zu bevorzugen sind umlaufende flächige Sicken mit kurzen dornartigen Ausläufen (R. 20.9c). • Bei großen Tafelblechen sind für optimale Versteifung unregelmäßige Sickenformen mit krummlinigen Begrenzungen zu bevorzugen (R. 20.9d). • Linienförmige Sicken sollten wenn immer möglich am Blechrand auslaufen, scharfkantige Absetzungen sind hingegen zu vermeiden (R. 20.9e). • Bei dynamischer Beanspruchung des Blechteils ist eine aufgelöste Sickenstruktur zu wählen, da ansonsten konzentrierte Ermüdungsbrüche an den Sickenrändern auftreten (R. 20.9f).

316

20 Konstruktive Versteifungen

• In Z- und U-förmigen Profilstegen ist das Einbringen von linienartigen und flächigen Sicken wegen Steginstabilität (Knicken, Beulen) zu vermeiden. Falls erforderlich, sind räumliche Sickenanordnungen zu wählen (R. 20.9g). • Bei Behälterbefestigungen mit Anschweißblechen sollten so genannte Entspannungssicken vorgesehen werden, die unter Kriech- und Schwingbeanspruchung der Rissbildung entgegenwirken (R. 20.9h). • Faltenbildung in Blechfeldern kann durch sinnvoll angebrachte Hilfssicken vermieden werden (R. 20.9i). Vielfach wird durch ungünstig angebrachte Sicken nur eine kleine Versteifungswirkung erzielt, d. h., die Instabilität wird nicht in dem Maße beseitigt, wie man sich dies erhofft hatte.

20.3

Rippen

Mit Rippen bezeichnet man schmale Versteifungsleisten, die unterhalb von flächigen Bauteilen angebracht werden. Bei Leichtmetall-Konstruktionen können Rippen entweder massiv oder aus Profilstäben (s. Abb. 20.10) hergestellt werden. Die Anbringung erfolgt dann durch Kleben, Schweißen oder Nieten. Darüber hinaus ist auch direktes Anformen bei Gussteilen (NE-Metalle, Kunststoff etc.) möglich. In der Regel erfordern Rippen einen höheren Fertigungs- und meist auch Materialaufwand als Sicken. Der Vorteil gegenüber Sicken ist aber hinsichtlich der Steifigkeit gering. Wie in Abb. 20.11 prinziphaft angedeutet ist, gibt es vielfältige Möglichkeiten, Rippen unterhalb von Platten anzuordnen. Mittels Rippen kann somit die Durchbiegung verringert oder die Beulstabilität und Tragfähigkeit erhöht werden. Eine verrippte Platte ist orthotrop, weshalb hier die Plattengleichung (s. Abschn. 8.6.2) mit richtungsabhängigen Steifigkeiten angesetzt werden muss als

a)

f)

b)

g)

c)

d)

h)

Abb. 20.10 Konstruktive Ausführung von Rippen (Untergurte) Profilverstärkungen: a-b) untergeschweißt c-e) vernietet f-i) Strangpresstechnik

e)

i)

20.3

Rippen

317

Abb. 20.11 Verschiedene Verrippungen von Platten nach [MOH 76]

Verrippungsart

y B x , B y , C, ν x νy = 0

x A

2 B xy = B y ⋅ ν x + 4 C

νx = νy = 0

B

2 B xy = 4 C

C

νx = νy = 0 2 B xy = 4 C

D

νx = νy = 0 2 B xy = 4 C

νx = νy = 0

E

4

Bx

Gleichungskoeffizienten

4

2 B xy = 4 C

4

∂ W ∂ W ∂ W þ 2 Bxy 2 2 þ By ¼ pz ðx, yÞ: ∂x4 ∂x ∂y ∂y4

ð20:4Þ

Gemäß Abb. 20.12 bestimmen sich die Steifigkeiten aus den geometrischen Verhältnissen zu Bx ¼

h X i E P  t3 ER X 2 J b þ z  t þ , R x R R xi xi i 12ð1  νx 2 Þ Lx

ð20:5Þ

By ¼

h X i E  t3 E X 2 P þ R J b þ z  t : R y R R y y i i i Ly 12 1  νy 2

ð20:6Þ

Weiter ist die Diagonalsteifigkeit bestimmt als die Überlagerung der Biege- und Torsionssteifigkeit zu

318

20 Konstruktive Versteifungen

x y

z SL

Ep

pz

Ly zx

Lx

tR

ER lx bR x

hR x

allgemein: EP ≠ ER

Abb. 20.12 Maßgrößen an einer verrippten Platte unter Biegung

2Bxy ¼ Bx  νy þ By  vx þ 4C,

ð20:7Þ

hierin ist C ¼ CP þ

CR : 2

ð20:8Þ

Für die Torsionssteifigkeit der Platte kann CP ¼

G  t3 12

ð20:9Þ

angesetzt werden. Entsprechend ist für die Rippen CR ¼

X G R  Jt Li

i

¼

X1

t 3  αRi  ER   Ri mit αRi ¼ bRx oder hRx 3 2 1 þ νxy  Li

ð20:10Þ

anzusetzen. In Analogie zu Kap. 8 kann die Durchbiegung der ringsherum frei aufliegenden Platte unter gleichmäßiger Streckenlast angesetzt werden zu wðx, yÞ ¼

πy 16  pz sin π a x  sin b  :  2B B Bx π6 þ xy þ y a4

a2

b

2

b

ð20:11Þ

4

Andere Randbedingungsfälle sind entsprechend der Literatur [MOH 76] zu entnehmen. Weiter interessiert oft, wie eine kreuzverrippte Platte gleicher Steifigkeit zu einer massiven

20.4

Randversteifungen

319

neue Lösung Volumen VN

alte Lösung Volumen VA d

H

D L d

1,4

0,99

1,7

0,7 0,8

0,6 0,7

0,5 1,8 0,6 1,9 0,4 2,0 VN = 0,5 2,1 VA 0,3 2,2 0,2 0,175 0,15 0,125 0,1 0,075 (N = Anzahl der Rippen pro Länge) N ⋅ D

d D

0,8

0,96

0,9

1,5 1,6

0,98 Plattendickenverhältnis

Gesamthöhenverhältnis

H D

0,97 0,95

N= n L

0,9

Abb. 20.13 Diagramm zur Bestimmung von kreuzverrippten Platten gleicher Steifigkeit

Platte zu gestalten ist. Die Abb. 20.13 gibt hier eine Auswertung von Crate wieder, die eine Hilfestellung für die Auslegung ist.

20.4

Randversteifungen

Um freie Blechränder zu stabilisieren, werden in der Praxis vielfach Falzungen als Randversteifungen vorgenommen. Einige Ausführungsformen, die als Abschlusskanten bevorzugt werden, zeigt Abb. 20.14. Wie im Abschn. 19.8 schon bei der Bördelung dargelegt worden ist, kann eine Randversteifung näherungsweise als Lagerung (frei aufliegend) angesehen werden. Hierdurch wird der Beulwert k eines Bleches angehoben. Ebenfalls ist im Abschn. 19.7 gezeigt worden, dass dieser Effekt recht einfach quantifiziert werden kann. Je nach Ausführungsform der Falzung wird die Bördelung in ihrer Steifigkeit deutlich überschritten, man nähert sich in der Qualität schon Gutversteifungen.

320

20 Konstruktive Versteifungen

A B

Kante umgelegt Kante gefalzt

Kante halb rund und halb gerollt

C Kante eingerollt

D Kante gerollt und verstärkt

E Kante ausgestellt

F Kante ausgestellt und gewinkelt

G Abb. 20.14 Versteifung von freien Blechkanten

20.5

Durchzüge

Stege in Profilträgern erhalten aus Leichtbaugründen oft große Löcher. Um hierdurch keine Quer-Steifigkeitseinbuße zu haben, sollten diese Löcher als Durchzüge ausgeführt werden. Als einfache Regel hat hier zu gelten: Eine Wand mit Durchzug sollte ein höheres Flächenträgheitsmoment haben als eine nur gelochte Wand.

Der erzielte Effekt resultiert aus einer Verschiebung der Schwerelinie des Querschnitts, wodurch ein zusätzlicher „Steiner’sche Anteil“ entsteht. Bekanntlich führt dies zu einem größeren Flächenträgheitsmoment. In der Abb. 20.15 sind einige Formen von Durchzügen gezeigt, so wie sie als Erleichterung in Trägern des Flugzeugbaus eingesetzt werden. Für die Bildung eines Durchzuges sind entsprechende Werkzeuge notwendig. Erfahrungsgemäß haben sich für Durchzüge in Flugzeugstrukturen die folgenden Abmessungen bewährt:

20.5

Durchzüge

321

N

(2) N

(1) N Q

(3) N

Q

Q

45° t

∅d

∅d

∅1,1·d

∅d

∅d2 ∅d1

∅d

h

1:5

r ≈ 0,1 d s Q N

N

Q N

Q N

Abb. 20.15 Formen von Durchzügen in Trägerstegen und Kraftaufnahme Legende: (1) Kreisbogen-Durchzug (2) Pyramiden-Durchzug (3) Kegel-Durchzug

• Durchmesser zu Steghöhe etwa 0,4–0,6, • Durchmesser zu Lochabstand etwa 0,5 und • Durchzugstiefe zu Durchmesser etwa 0,1. Die zuvor gezeigten Ausführungsformen haben sich mittlerweile als Standards durchgesetzt. Für die Beanspruchbarkeit eines Steges ist die übertragbare Schubspannung maßgebend. In der Abb. 20.16 sind einige Versuchsergebnisse an Trägern wiedergegeben, die etwa die folgende Tendenz zeigt: Mit höheren Stegen und kleineren Löchern fällt hier die auftretende Schubspannung ab, weshalb Durchzüge tatsächlich geeignet sind, Träger in Querrichtung zu stabilisieren und zusätzlich zu erleichtern. Eine sehr wirksame Anwendung von Durchzügen ergibt sich beispielsweise bei Seitenholmen von Pkw-Sitzen, so, wie in der Abb. 20.17 dargestellt. In der rechten Abbildung ist eine konventionelle Lösung und in der linken Abbildung eine Lösung mit Durchzügen vom Typ 3 wiedergegeben.

322

20 Konstruktive Versteifungen

10 8

d/h

τn [MPa]

Abb. 20.16 Verlauf der Nennspannung bei gelochten Stegen (Form 3) in Aluminium, Steg lag zwischen zwei Flansche

6 0 0,2

4

0,4 0,5 0,6

2

60

100

140 h/t

180

Abb. 20.17 Anwendung von Durchzügen an einer Fahrzeugsitzlehne

Literatur [KIE 55] [MOH 76] [OEH 71]

Kienzle, O.: Die Versteifung ebener Böden und Wände aus Blech. In: Mitteilungen der Forschungsgesellschaft Blechverarbeitung, Düsseldorf, H. 7 (1955) Mohr, H., Weber, A.: Rippen- und sickenversteifte Kunststoff-Konstruktionen. In: Mitteilungen der BASF, Ludwigshafen (1976) Oehler, G., Draeger, E.: Versteifen von Stahlblechteilen. In: Merkblatt Stahl Nr. 350, Düsseldorf (1971)

Krafteinleitung

21

Die Dünnwandigkeit von Leichtbau-Konstruktionen stellt eine Schwierigkeit bei der Krafteinleitung dar, da die örtliche Tragfähigkeit und Stabilität begrenzt ist. Jedes Einbringen von konzentrierten Kräften ist daher zu vermeiden oder durch eine besondere Gestaltung zu ermöglichen. In der Abb. 21.1 sind einige Standardfälle mit diskreten Versteifungen prinziphaft skizziert. Als Ziel ist hierbei zu verfolgen, dass die beispielsweise über einen Mittengurt eingeleiteten Kräfte über einen endlichen Weg in das Blech abgetragen werden können. Vom konstruktiven Prinzip werden dazu idealisierte Gurte benutzt. In der Praxis interessiert somit, wie die Gurte auszulegen sind und über welchen Weg die Kraftumlagerung vom Einleitungsgurt, über die Bleche, bis in die Randgurte erfolgt.

21.1

Versteifte Scheibe

Im Folgenden soll als typisches Beispiel eine einfache Scheibe mit drei Gurten analysiert werden, dies entspricht in etwa der Bodenstruktur von Eisenbahnwaggons mit mittiger Krafteinleitung über eine Kupplung. Das mechanische Modell hierzu zeigt Abb. 21.2, welches gleichzeitig einen Ausschnitt aus dem obigen Segment repräsentiert. Vorstellung ist dabei, dass die konzentrierten Gurtkräfte über Schub in das Blech abgetragen werden. Insofern interessiert das Zusammenwirken der unterschiedlichen Steifigkeiten über die Baulänge der Konstruktion. Den notwendigen Zusammenhang findet man dann über das Gleichgewicht an den Gurten, und zwar • für den unteren Gurt

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_21

323

324

21

F

Krafteinleitung

F

dx F2

q

x 2F

F2 +

dF2 dx dx

F1 +

dF1 dx dx F

St, Al

GFK F

F1

z

Al

2F

x

Mt

Abb. 21.1 Verschiedene Krafteinleitungs- und Kraftübertragungslösungen nach [SCH 63]

dF1 dx  F1 þ q  dx ¼ 0 dx 0 F1 ðxÞ þ q ¼ 0

ð21:1Þ

F2 0 ðxÞ  q ¼ 0:

ð21:2Þ

F1 þ

Und für den oberen Gurt

Weiterhin gelten an den Gurten noch die folgenden Elastizitätsbeziehungen: F1 ! F1 ¼ E  u1 0 , E  A1

ð21:3Þ

F2 ! F2 ¼ E  A2  u2 0 : E  A2

ð21:4Þ

εx 1 ¼ u1 0 ¼ εx2 ¼ u2 0 ¼

Für das Schubfeld gilt weiter die Verzerrungsbedingung γ¼

u2  u1 τ Q q  dx q ¼ ¼ ¼ ¼ G A  G t  dx  G G  t h

und somit für den Schubfluss an den Rändern einer verzerrten Scheibe (21.5)

21.1

Versteifte Scheibe

325

Kraftfluss

F F Kupplung

Bodenblech

F F Kraftfluss

u2 E ⋅ A2

F2

F2 +

dF2 dx dx

q q y x

γ

q

G⋅t

q

F1 +

F1

E ⋅ A1

dx

dF1 dx dx u1

Abb. 21.2 Kräftegleichgewicht und Verformungsverhalten am lokalen Zweigurtausschnitt

q¼

Gt ð u2  u1 Þ h

Das Abtragen der Kräfte wird somit durch die Differenzialgleichungen 00

0

F 1 þ q ¼ F1

00


 Gt 0 Gt F2 F1 0 00 þ ð u 2  u 1 Þ ¼ F1 þ  ¼0 h h E  A2 E  A1

bzw. mit dem Gurtverhältnis ψ ¼ EE  AA12 ,

h

326

21

Krafteinleitung

F1 00 þ

Gt ðψ  F2  F1 Þ ¼ 0 h  E  A1

ð21:6Þ

F2 00 

Gt ðψ  F2  F1 Þ ¼ 0 h  E  A1

ð21:7Þ

und durch

beschrieben. Die Schubbeanspruchung lässt sich weiter durch
 G  t 00 Gt F2 0 F1 0 00 00 00 ð u2  u1 Þ ¼ q   ¼0 q  h h E  A2 E  A1 q00 

Gt ðψ þ 1Þq ¼ 0: h  E  A1

ð21:8Þ

angegeben. Für den homogenen DGL-Gleichungstyp (21.8) q00 ðxÞ  α2  qðxÞ ¼ 0

ð21:9Þ

q ¼ eαx ¼ eρ  h

ð21:10Þ

ist mit x

der Lösungsansatz bekannt. Der Exponent folgt aus der charakteristischen Gleichung rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Gth ð1 þ ψÞ: ð21:11Þ ρ ¼  α2  α2 ¼  E  A1 Gemäß des Fundamentalsatzes für die Erfüllung von Differenzialgleichungen ist somit auch x x ρ qðxÞ ¼ C1  eρ  h  C2  eρ  h Þ ð21:12Þ h eine Lösung für den Verlauf des Schubflusses im Blech. Aus Gl. (21.1) und Gl. (21.2) findet man durch Integration die weiteren Lösungen, wie zum Beispiel ð ð ð x x ρ ρ F2 ¼ qðxÞ  dx ¼ C1 eρ  h  dx  C2 eρ  h  dx h h x

¼ Co þ C1  e oder

x

ρ  xh

þ C2  e

x

ρ  xh

ð21:13Þ

21.1

Versteifte Scheibe

327

F1 ¼ Co  ψ  C1  eρ  h  C2  eρ  h : x

x

ð21:14Þ

Die vorstehenden Lösungen [WIE 79] lassen sich aber nur eindeutig bestimmen, wenn Randbedingungen gegeben sind, wie zum Beispiel • am langen Scheibenstreifen erfolgt eine vollständige Kraftumlagerung x¼1:

q¼0!

C1 ¼ 0,

F2 ¼ F1

C2 ¼ Co ,

• direkt an der Krafteinleitungsstelle x¼0:

F1 ¼ F !

Co ¼

F , 1þψ

damit folgt für die Kraftverläufe F1 ¼

x F  ψ þ eρ  h , ð1 þ ψÞ

ð21:15Þ

x F  1  eρ  h ð1 þ ψÞ

ð21:16Þ

F2 ¼ und

q¼

x ρF  eρ  h hð 1 þ ψ Þ

ð21:17Þ

oder • einseitig eingespannter bzw. symmetrischer Scheibenstreifen (z. B. sehr langes Feld einer Fahrzeugbodengruppe) mit entsprechender Symmetriebedingung

x ¼ 0: x ¼  L2 :

q ¼ 0, F2 ¼ F1 , F1 ¼ F;

durch Diskussion der Gleichungen finden sich dann hier auch die entsprechenden Kraftverläufe zu

328

21

 
cos h κL x F ψþ F1 ¼ , cos h κ2 ð1 þ ψÞ

Krafteinleitung

 
cos h κL x F 1 F2 ¼ cos h κ2 ð1 þ ψÞ

und   sin h κL x κF q¼  cos h κ2 ð1 þ ψÞ  L mit der bezogenen Steifigkeitsgröße ρL L ¼ κ¼ h h

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Gth ð1 þ ψÞ: E  A1

In der Abb. 21.3 ist das Abtragen der Kräfte an den beiden vorherigen Beispielen prinzipiell dargestellt worden.

21.1.1 Einleitungsgurt konstanter Spannung Aufgabe der Gurte ist es, äußere Kräfte über das Blech abzutragen. Insofern sollen die Gurte hinreichend elastisch sein, damit das Blech allmählich Kräfte aufnehmen kann. In seiner Konsequenz verlangt dies einen veränderlichen Steifigkeitsverlauf des Gurtquerschnitts. In der Abb. 21.4 ist wieder der Fall konstruiert, dass eine Scheibe mit drei Gurten vorliegt, wobei der Einleitungsgurt jetzt veränderlichen Querschnitt erhalten soll und die Randgurte konstanten Querschnitt aufweisen sollen. Demgemäß gilt für den Einleitungsgurt die Forderung konstante Spannung bzw. äquivalent konstante Dehnung (ε1 ¼ u10 ¼ konst.). Ausgangsbeziehungen für die Problemstellung sind die Gleichgewichtsgleichungen (21.1) und (21.2) bzw. (21.3) und (21.4). Diese sind hier wie folgt anzusetzen: • für den veränderlichen Einleitungsgurt

0

½ E  A 1 ð xÞ  u 1 0  þ bzw. • für den Randgurt

Gt ð u2  u1 Þ ¼ 0 h

ð21:18Þ

21.1

Versteifte Scheibe

329

a) sehr langer Scheibenstreifen

E ⋅ A2

F2 h G⋅ t

x

F

E ⋅ A1

F1

F F1

q F2

0

x

b) einseitig eingespannter bzw. symmetrischer Scheibenstreifen F2 F2

F

L 2

L 2 F

F

F1

F1

F1 F2 q

0 x Abb. 21.3 Kräfteverläufe im Längsgurt-Scheibenmodell nach [WIE 79]

0

½ E  A 2 ð xÞ  u2 0  

Gt ðu2  u1 Þ ¼ 0: h

ð21:19Þ

Werden die beiden Differenzialgleichungen ausdifferenziert, so erhält man für Gl. (21.18) E  A1 ðxÞ0  u1 0 þ E  A1 

u1 00 G  t ðu2  u1 Þ ¼ 0: þ h ¼0

ð21:20Þ

Die Annahme war aber für den Einleitungsgurt u10 ¼ konst., sodass wegen u10 ¼ 0 auch

330

21

Krafteinleitung

E . A2 = konst. F2∞

h

F1∞

F

G . t = konst. E .A1(x)

x

Abb. 21.4 Dreigurtige Scheibe mit elastischem Einleitungsgurt konstanter Spannung

E  A 1 ð xÞ 0  u1 0 þ

Gt ð u2  u 1 Þ ¼ 0 h

ð21:21Þ

gilt. Die Annahme für den Randgurt war E  A2 ¼ konst., weswegen für Gl. (21.19) auch E  A2  u2 00 

Gt ð u2  u1 Þ ¼ 0 h

ð21:22Þ

geschrieben werden kann. Die Randbedingungen für diesen Fall sind im Besonderen Verformungsbedingungen (die Analogie zu den vorherigen Bedingungen ist aber leicht herzustellen): • x ¼ 1: γ ¼ 0, • x ¼ 0: u20 ¼ 0, u10 ¼ konst. Diese werden ohne expliziten Beweis erfüllt durch die Ansätze (s. [WIE 79])


 h ρ  xh uð xÞ ¼ u o þ ε 1 x þ  e , ρ  x uðxÞ0 ¼ ε1 1  eρ  h

ð21:23Þ

A1 ðxÞ ¼ A11 þ A2  eρ  h Þ:

ð21:24Þ

und x

Somit kann auch der Kräfteverlauf in den Gurten eindeutig quantifiziert werden zu

Literatur

331

Abb. 21.5 Kräfteverlauf in versteifter Scheibe mit angepasstem Einleitungsgurt

ΣF F1∞

F1 ( x )

F q( x )

F2∞

F2 ( x )

x

 x F ð oÞ F1 ðxÞ ¼E  A1 ðxÞ  u1 0 ¼ E A11 þ A2  eρ  h : 1 E  A 1 ð oÞ x F ðoÞ  ¼ 1 A11 þ A2  eρ  h , A 1 ð oÞ  x x F ð 0Þ  A 2  F2 ðxÞ ¼ E  A2  u2 0 ¼ E  A2  ε1 1  eρ  h ¼ 1 1  eρ  h : A 1 ð oÞ

ð21:25Þ

ð21:26Þ

Der Randquerkraftverlauf, der in das Blech abgetragen wird, findet sich weiter aus der Gleichgewichtsgleichung (s. Gl. (21.2)) am Gurt, und zwar zu qðxÞ ¼ F2 0 ¼ E  A2  u2 00 ¼

F1 ðoÞ  A2 ρ ρ  xh ,  e h A1 ðoÞ

ð21:27Þ

Die drei Kraftverläufe sind prinzipiell in der Abb. 21.5 dargestellt. Durch die Auftragung wird sichtbar, dass eine schnelle Umlagerung der Kraft auf die Randgurte stattfindet, wodurch das Blech entlastet wird. Eine hiermit verbundene Frage ist, wie lange der Einleitungsgurt sein muss. Aus der Bedingung F1(x) ¼ 0 folgt aus Umformung der Gl. (21.25): x1


 h A11 ¼  ln , ρ A2

ðs:ρ Gl:ð21:11ÞÞ

ð21:28Þ

Diese mühevolle Rechnung kann umgangen werden, wenn für den Einleitungsgurt ein Dreieckprofil über die Länge gewählt wird.

Literatur [SCH 63] [WIE 79]

Schapitz, E.: Festigkeitslehre für den Leichtbau. VDI, Düsseldorf (1963) Wiedemann, J.: Leichtbau I und II. Vorlesungsmitschrift, TU-Berlin (1979/80)

Fügetechniken

22

Einige Fügetechniken haben im Leichtbau große Bedeutung erlangt, weil zur Herstellung leichter Konstruktionen oftmals aufgelöste Bauweisen aus teils unterschiedlichen Bauelementen und Werkstoffen erforderlich sind. In diesem Sinne interessieren bei Fügungen die mechanischen Festigkeiten, die Parametergrenzwerte und das Langzeitverhalten. Meist sind jedoch die möglichen Fügetechniken (s. DIN 8593-1/8) durch die gewählte Leichtbauweise vorbestimmt.

22.1

Einsatzbreite

In der Tabelle der Abb. 22.1 ist zunächst eine kurze Übersicht über die Einsatzwertigkeiten der verschiedenen Fügetechnologien gegeben. Die Anwendungen konzentrieren sich dabei in der Praxis im Wesentlichen auf Nieten (insbesondere Stanznieten), Durchsetzfügen/Clinchen, Laserschweißen und -hartlöten, Kleben und Punktschweißkleben. Als Prämisse des Einsatzes hat zu gelten, dass • durch die gewählte Fügung möglichst nur ein geringes Zusatzgewicht entsteht, • um kritische Spannungskonzentrationen zu vermeiden, soll möglichst nur eine geringe Kerbwirkung hervorgerufen werden, • auch soll durch die Fügetechnologie nach Möglichkeit keine Werkstoffveränderung entstehen und • manchmal besteht noch als Forderung, dass Lösbarkeit wegen einer begrenzten Reparaturmöglichkeit oder des Recyclings vorhanden sein soll. Generell gilt, dass die Fragenkomplexe der Fügetechnik theoretisch gut abgesichert und dokumentiert sind. Im Besonderen kann dabei auf das umfangreiche Schrifttum [BAU 91] # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_22

333

334

22

Kriterien

Nieten Durchsetz Schweißen*) (Stanznieten) fügen

Fügetechniken

(Laser-) löten

Kleben

Fügbarkeit Metalle Metallkombinationen Kunststoffe Faserverbundwerkstoffe

ja ja ja ja

ja ja nein nein

ja nein/ja viele nein

ja ja nein nein

ja meist ja ja

hoch mittel hoch gegeben

mittel gering gering gegeben

hoch hoch hoch gegeben

mittel gering mittel gegeben

gering gering gering Alterung

kleiner mittel hoch

klein mittel hoch

stark geringer unsicher

mittel geringer unsicher

kleiner hoch unsicher

einfach sehr klein gut

einfach klein gut

mittel

niedrig

Festigkeit stat. Grundfestigkeit Schwingfestigkeit Warmfestigkeit Langzeitbeständigkeit Eigenschaften Verzug Schwingungsdämpfung Sicherheit Fertigung und Prüfung Bauteilvorbereitung Prozesszeit Prüfbarkeit Herstellkosten

mittel aufwändig aufwändig mittel höher sehr hoch aufwändig aufwändig aufwändig niedrig

mittel

hoch

Abb. 22.1 Stärken und Schwächen verschiedener Fügeverfahren

verwiesen werden. Insofern soll nachfolgend nur auf einige Aspekte des Nietens, Punktschweißens und Klebens eingegangen werden.

22.2

Nietung

Nietungen erzeugen bedingt lösbare Verbindungen, die im Leichtbau immer dann zu bevorzugen sind, wenn dünne Bleche verzugsarm oder aus unterschiedlichen Materialien zu verbinden sind. Unter Umgebungseinfluss neigen Nietfügungen zur Kontaktkorrosion. Kupferniete, die gegebenenfalls wieder gelöst werden müssen, zeigen sich hierbei unanfälliger als Al- und verzinkte Stahlniete, bei denen der Fügewerkstoff korrodiert. Gemeinhin wird der Nietung auch eine hohe Prozesssicherheit zugeschrieben, da ihre Funktionsfähigkeit durch Abzählen oder Nietbild leichter feststellbar ist als bei einer Schweiß- oder Klebefügung, der man ihre Fehlerfreiheit äußerlich meist nicht ansehen kann.

22.2

Nietung

335

Abb. 22.2 Nietarten

Vollniet

Blindniet

Nietschaft

Setzkopf

Schließkopf

Passniet

Sollbruchstelle

Niethülse Nietdorn Stanzniet

Nietschaft

Sicherungsring

e F F

t2

F

F

t1 d

Abb. 22.3 Beanspruchung einer einschnittigen Nietfügung

Arttypische Unterschiede ergeben sich bei der Nietung aus der Anforderung als Heft-, Funktions- oder Dichtverbindung. Im Folgenden sollen jedoch nur kraftführende Fügungen analysiert werden, wozu Abb. 22.2 eine Auswahl gibt.

22.2.1 Nietfügungen mit überstehenden Köpfen Bei den erforderlichen Tragfähigkeitsnachweisen ist die Schnittigkeit der Überlappung entscheidend. Die einfachste Überlappung ist die in Abb. 22.3 gezeigte einschnittige Fügung. Im Allgemeinen wird vereinfachend ein konstanter Spannungsverlauf über eine Nietreihe mit pro Niet gleichen Traganteilen angenommen. Bei mehr als drei Nieten sind die Traganteile jedoch ungleichmäßig verteilt. Zum Tragfähigkeitsnachweis gehört gewöhnlich der Abscher- und Lochleibungsnachweis. Die Blechdicken werden nach den Gesetzen der Festigkeitslehre bestimmt.

336

22

F Werkstoff

d

gültig für R m [MP a]

e Lochleibungsfestigkeit e/d 1,5

unlegierte Stähle

2000

LB LF

1400

LB LF

legierte Stähle

> 1400

TitanLegierungen

1200

LB LF

1, 5 R m 1, 4 R p 0 , 2

LB LF

2100

0,56 R m

1400

LF

1960

0,8 R p0,2

1400

LB

Lochleibungsfestigkeit e/d 2,0

1, 35 R m 1, 3 R p 0 , 2

LB

LF

Anm.:

Fügetechniken

2800

0,8 R m

LF

2310

0,6 R p0,2

LB LF

R m bzw.

2, 0 R m 1, 65 R p 0 , 2

LB

1, 4 R m 1, 35 R p 0 , 2

LB Lochleibungs-Bruchfestigkeit

1, 65 R m 1, 5 R p 0 , 2

1,5

1400 1400

1, 7 R m 1, 5 R p 0 , 2 LF

LF Lochleibungs-Dehngrenze

Abb. 22.4 Zulässige Lochleibungsfestigkeit von Stahl- und Titanblechen nach [AUT 76]

Insofern bleibt für die Niete der Nachweis auf Scherbruch und Lochleibung zu erbringen: dR 2  π  τB mit dR ¼ d þ 0, 05  d: 4 ¼ dR  tmin  σLF

F
FSB ¼ FLF

ð22:1Þ

Wie hervorgehoben, ist in der Rechnung stets der Nietlochdurchmesser dR und die minimale Blechdicke tmin zu berücksichtigen. Die für die Abschätzung erforderlichen Werkstoffwerte können als Anhalt den folgenden Tabellen Abb. 22.4 und 22.5 entnommen werden. Falls darüber hinaus keine spezifizierten Angaben zur Scherfestigkeit vorliegen, kann für Voll- und Passniete als Näherungswert etwa τB ¼ 0,6  Rm ð22:2Þ

bzw τB ¼ 0,9  Rp0, 2

angesetzt werden. Dynamische Wechselfestigkeitswerte sind noch etwa um den Faktor 2 bis 2,2 geringer anzusetzen.

22.2

Nietung

337

Werkstoff

Lochleibungsfestigkeit LF MPa

AlZn4,5Mg1 F35

240-270

AlSi1MgMn F31/F32

210-240

AlSi1MgMn F28

160-180

AlMgSi F22

145-165

AlMg4,5 Mn G31

190-215

AlMg4,5 Mn F27/W28

115-130

AlMg4,5Mn0,7 F27

125-140

AlMg2Mn0,8 F24/F25

145-165

AlMg3 F24/F25/G24

90-100

AlMg2Mn0,8 F20 AlMg3 F18

80-90

AlMg2Mn0,8 W18/W,F19 AlMg3 W18/W19/F19 Abb. 22.5 Zulässige Lochleibungsfestigkeit von Aluminiumblechen (s. DIN EN 2115, 2116, 2117) nach [AUT 76]

Im Automobilbereich findet die Stanznietung immer größere Verbreitung zum formschlüssigen Fügen von Karosserieblechen. Da der harte Niet das Loch selbst stanzt und danach seinen Schließkopf bildet, muss der Niet von der Geometrie so ausgebildet sein, dass er wie ein Stanzwerkzeug wirkt, jedoch gleichzeitig noch das Material elastoplastisch verformen kann. Als Regel gilt beim Stanznieten weich in hart und dünn in dick,

bezogen auf die zu verbindenden Bleche. Stanzniete erhält man am Markt aus Stahl, Edelstahl und Aluminium, wozu eine entsprechende Festigkeitsklasse bezüglich des Durchstanzvermögens und der Kraftaufnahme gehört. Die Nachrechnung von Stanznietfügungen erfolgt gewöhnlich mit hochkarätiger FEM-Rechnung; Handrechnungsverfahren sind bisher noch nicht bekannt. Als Nachteil gilt gemeinhin das kostenintensive Recycling, wenn Stahlniete beispielsweise zur Fügung von Al-Blechen eingesetzt werden müssen. Die Niete müssen dann sorgfältig aus dem Shreddergut entfernt werden, weil sie ansonsten die Schmelze des Sekundäraluminiums verunreinigen würden.

338

22

Fügetechniken

22.2.2 Nietfügungen mit Senkkopfniete Generell gestaltet sich der Tragfähigkeitsnachweis von Senkkopfniete analog zur Vorgehensweise bei Niete mit überstehenden Köpfen. Für den zylindrischen Teil kann von gleichen Annahmen ausgegangen werden, während im konischen Teil von einer abgeminderten Lochleibungsfestigkeit auszugehen ist. Die Verhältnisse an einem Senkkopfniet zeigt die Abb. 22.6. Insbesondere ist für die Abschätzung auf zulässige Lochleibung F
FLF1 þ FLF2

ð22:3Þ

FLF1 ¼ dR  ðt1  hÞ  σLB ,

ð22:4Þ

FLF2 ¼ dR  ðα  hÞ  σLB :

ð22:5Þ

anzusetzen mit den Grenzwerten

Der hierin eingehende Abminderungsfaktor α kann aus Nietfestigkeitstabellen ermittelt werden und ergibt sich in Relation zum geschlagenen Kopf. In Abb. 22.7 ist der Verlauf des Abminderungsfaktors als Funktion der Festigkeit des Nietwerkstoffs dargestellt. Aus der Auftragung ist abzulesen, dass ein harter Nietwerkstoff eine stärkere Abminderung der Lochleibungsfestigkeit erfährt als ein weicher Nietwerkstoff. Der Grund ist darin zu sehen, dass sich der weichere Werkstoff jeweils einer Senkung besser anschmiegen kann und damit eine größere Tragzone entsteht.

22.2.3 Überlagerte Scher- und Zugbeanspruchung auf Nietfügungen In der Praxis lässt es sich manchmal nicht vermeiden, dass Fügungen auch kombinierten Beanspruchungen aus Scherung und Zug unterliegen. Als vereinfachter Tragfähigkeitsh F2 ≡ FLF2

t1 F

Abb. 22.6 Einschnittige Senkkopfnietung

dR

F1 ≡ FLF1

22.2

Nietung

339

1,0 α

te nie l l o eV te en g nie a d l n i sch Bl ge nd u ssPa

0,5

0

0

0,5

1,0

τB σ LB

1,5

Abb. 22.7 Abminderungsfaktor für konische Tragzonen nach [AUT 76]

nachweis hat sich hierfür die Ausweisung eines resultierenden Reservefaktors RF bewährt. Hiernach werden zunächst gebildet: • der Schubreservefaktor RS ¼

Fs , FSB

ð22:6Þ

als Verhältnis der wirkenden Schubkraft zur ertragbaren Scher- bzw. LochleibungsBruchkraft des Niets und • der Zugreservefaktor Rz ¼

Fz , k  FZB

ð22:7Þ

als Verhältnis der wirkenden Zugkraft zur ertragbaren Zugbruchkraft. Hierbei ist k ein tabellierter Abminderungsfaktor. Unter Heranziehung einer Versagenshypothese lassen sich somit für die Fügearten Grenzkurven erstellen, aus denen die tatsächliche Reserve (Sicherheit) gegenüber der Beanspruchung abzulesen ist. Den unterschiedlichen Nietarten und Lastfällen ist hierbei gemäß Abb. 22.8 noch eine Hypothese zuzuordnen.

340

22

Hypothese/Kurve

Fügetechniken

k

dicke Bauteile

dünne Bauteile

normale Lastfälle

CrashFälle

Stahl- und Titan-Passniete und -Stifte

A

C

1,0

1,0

Aluminium-Passniete und -Schrauben

B

C

1,0

1,0

gequetschte Passniete

D

D

0,8

1,0

Vollniete

D

D

0,5

1,0

Blindniete

D

D

0,2

1,0

Fügearten

Abb. 22.8 Zuordnung einer Nietung zu einer Versagensgrenzkurve nach [AUT 76]

Die den Kurven zu Grunde liegenden Versagenshypothesen sind wie folgt gebildet worden: A :

RZ þ RS 10 ¼ 1,

B : C :

RZ þ RS 5 ¼ 1, RZ 2 þ RS 2 ¼ 1,

D :

RZ þ RS ¼ 1:

ð22:8Þ

Nach entsprechender Kurvenwahl kann dann aus Abb. 22.9 der Reservefaktor gebildet werden. Für bestimmte Faktoren RZ , RS ermittelt sich somit RF grafisch als Streckenverhältnis zu RF ¼

OS : OP

ð22:9Þ

Fügesicherheit ist gegeben, wenn der resultierende Reservefaktor RF > 1 ist.

22.3

Schweißung

Die Schweißtechnologie hat in den letzten Jahrzehnten den integrativen Leichtbau entscheidend gefördert. Maßgebend hierfür ist natürlich, dass Stahl, Aluminium, Magnesium und Titan schweißbar sind. Neben dem konventionellen Gasschmelzschweißen, Lichtbogen-schweißen (MIG und WIG) und Widerstandspunktschweißen entwickelt sich mit der Tendenz zu Dünnblechen zunehmend das Laserschweißen. Die Tailored-Product-Technologie hätte ohne das Laserstrahlschweißen keine großserienmäßige Anwendung im Fahrzeugkarosseriebau gefunden. In der Abb. 22.10 ist beispielsweise eine gelaserte Stumpfnaht an einem Al-Tailored-Blank dargestellt.

22.3

Schweißung

341

1,0 0,9 Rz =

A

Fz

B

k ( Zug) ⋅ FZB 0,8

C

0,7 0,6 D

0,5 0,4

S Rz

0,3

P

0,2 0,1 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6 Rs

0,7

0,8

0,9

1,0

F R s = s (Schub) FSB

B

1-1,3

H =1,2

H = 1,6

Abb. 22.9 Verlauf der Fügegrenzkurven

Abb. 22.10 Schliffbild einer Laserschweißnaht an einem Tailored-Blank

Hier soll unterstellt werden, dass die Berechnung von Schweißnähten gemäß den technischen Regelwerken (siehe unter anderem DIN 4132) bekannt ist. Aus Versuchen ist weiter bekannt, dass Lasernähte eine 10 % höhere Fügefestigkeit als Schmelz- und Lichtbogennähte aufweisen.

342

22

Fügetechniken

Weitere Vorteile sind: Laserschweißen kann wegen des besseren Tiefschweißeffektes mit höherer Geschwindigkeit und bei geringerer Wärmeeinwirkung durchgeführt werden. Hierdurch entsteht bei Dünnblechen nur ein äußerst geringer Verzug. Durch Laserschweißen wird die Oxidschicht des Aluminiums nicht angegriffen, sodass kein zusätzliches Korrosionsproblem entsteht. Im Allgemeinen werden bis 3 mm Al- und St-Blechdicken CO2-Laser (extrem bis 5 mm) eingesetzt, die eine sehr gute Nahtqualität erzeugen. Bei komplizierten 3-DSchweißproblemen (z. B. Verbindung von Space-Frame-Strukturen) werden wegen der flexibleren Strahlführung vermehrt Nd: YAG-Laser herangezogen. In Verbindung mit Knickarmroboter ergibt sich auch ein weites Feld im Karosseriebau. Neben der Lasertechnologie spielen im Karosseriebau aber weiterhin das Punktschweißen, das Punktschweißkleben und zunehmend das Reibschweißen eine große Rolle.

22.3.1 Punktschweißen Beim Punktschweißen werden in der Hauptsache Bleche ohne Zusatzmaterial unter Druck durch Anschmelzen (Widerstandsschweißen) einer linsenförmigen Zone verschweißt. Das Verfahren ist im Leichtbau insofern von Bedeutung, da alle wichtigen Stähle mit C-Gehalt
0, 1% punktschweißbar sind. An darüberhinausgehenden Vorteilen besteht noch: • • • • •

der eintretende geringe Verzug, das geringe Verbindungsgewicht, die hohe örtliche Versteifungswirkung, nur geringe Kerbwirkung sowie keine Schwächung des Grundwerkstoffs.

Von der Tragfähigkeit her ist eine Punktschweißung zwischen einer Nahtschweißung bzw. Nietung anzusetzen. In der Kombination mit Kleben weist eine Punktschweißklebe-Fügung eine bis zu 20 % höhere Steifigkeit auf, was für Dünnblechfügungen sehr interessant ist. Als Bereich für punktschweißbare Fügungen können etwa Blechdicken von 0,5–2 mm angesehen werden. Für die Beanspruchung gilt, dass eine Punktschweißfügung bevorzugt auf Scherung zu beanspruchen ist, unter Kopfzugbeanspruchung fällt die Tragfähigkeit auf ca. 1/3 ab. Als noch ungünstiger ist eine Torsionsbeanspruchung anzusehen. In Abb. 22.11 ist eine einschnittige Punktschweißklebefügung1 mit den für eine Festigkeitsbetrachtung erforderlichen Maßen dargestellt. Nachzuweisen ist nach verschiedenen Regelwerken die Scher- und Lochleibungssicherheit eines äquivalenten Niets oder Stiftes. 1

Anmerkung: Bei Punktschweißklebefügungen wurden um 12–23 % höhere Traganteile gegenüber Punktschweißen gemessen, d. h., etwa 83 % der Kraft nimmt die Punktschweißung und 17 % die Klebung auf.

22.3

Schweißung

343

FSchwP ( 83 % ) Schweißpunkt

FKl (17 % )

Glühzone a d' d Klebeschicht

b 2

F (100 % )

b 2

2A Kl

l 2

l 2

t

Legende: A SchwP =

d2 ⋅ π 4

mit d ≤ 5 t min A Kl =

b ⋅l 2

Abb. 22.11 Einschnittige Punktschweißfügung bzw. alternativ als Punktschweißklebung ausgeführt

Die über eine Punktschweißklebefügung übertragene Kraft setzt sich aus den beiden Anteilen F ¼ FSchwP þ FKl  ð0, 83  FÞ þ ð0, 17  FÞ zusammen. Hierbei kann die Klebekraft vereinfacht abgeschätzt werden zu FKl ¼ 2AKl  τzB :

ð22:10Þ

Werte für die zulässige Zugscherfestigkeit sind in der Abb. 22.15 ausgewiesen. Der Nachweis für die Scherfestigkeit eines Schweißpunktes erfolgt über die Festigkeitsbedingung τSchwP ¼

mit

FSchwP
τSchw Zul n  m  ASchwP  ðv  wÞ

n ¼ Anzahl Schweißpunkte, m ¼ Schnittigkeit,

In diese Gleichung gehen fallweise noch Gütefaktoren ein, und zwar • v als Faktor für die Güte der Schweißung

ð22:11Þ

344

22

Wert

Fügetechniken

vorgenommene Prüfung

v = 1,0 ; 0,75 ; 0,5

Einstellversuch

v = 1,0 ; 0,75

Stichproben der Parameter während der Herstellung

v = 1,0

laufende Überwachung der Schweißparameter Herstellart

w = 1,0

zweiseitiges Schweißenmit Maschine

w = 0,9

zweiseitiges Schweißen mit Hängezange

w = 0,8

einseitiges Schweißen

w = 0,8

Drei- oder Vierblechfügungen

Abb. 22.12 Ausführungsfaktoren für Punktschweißfügungen

und • w als Verfahrensfaktor für die Zuverlässigkeit der Schweißung. In Abb. 22.12 sind zu diesen Faktoren einige Anhaltswerte gegeben worden. Ergänzend sind in Abb. 22.13 noch ein paar Angaben für zulässige Scherfestigkeiten für Blech-Punktschweißfügungen gemacht worden. Ein häufiger Schadensfall ist bei Punktschweißungen das Herausreißen der Schweißlinse aus dem Blech. Als Ursache hierfür wird allgemein die Überschreitung des zulässigen Lochleibungsdruckes angesehen. Für den Lochleibungsdruck ist demgemäß σPL ¼

FSchwP
σSchwL Zul n  d  tmin

ð22:12Þ

zu fordern. Die zulässige Lochleibungsfestigkeit ist nach Stahlbau-Regelwerken wie folgt anzusetzen: • bei einschnittigen Fügungen σSchwL Zul
1, 8  ReH Blech bzw. • bei zweischnittigen Fügungen σSchwL Zul
2, 5  ReH Blech . Für dynamische Belastungen sind weiter noch die Merkblätter DVS 2902, 2923 und 2906 und die ISO 14324 maßgebend. In der Luft- und Raumfahrt ist darüber hinaus die DIN 29 878 zu berücksichtigen. Grundsätzlich sei hierzu noch angemerkt, dass die Schwingfestigkeit von Punktschweißfügungen nicht sehr hoch ist. In Versuchen haben dynamisch belastete Proben teils nur 30-40 % der Werte unter statischer Belastung erbracht.

22.4

Kleben

Blech dicke t [mm]

345

Punktdurchmesser d [mm]

Blech Punktdicke durchmesser in [MPa] t [mm] d [mm]

Scherfestigkeit Schw zul

St 12; St 13/St 14 neu: DC01;DC03/DC04 0,5

3 4 5

89 65 51

73 54 42

0,8

4 5 6

110 80 64

91 66 53

4 5 6 7

115 89 73 60

95 74 60 50

5 6 7

121 100 82

101 81 68

1,0

1,5

Scherfestigkeit Schw zul in [MPa]

St 12; St 13/St 14 DC01;DC03/DC04 2,0

2,5

3,0

6 7 8 9

134 115 102 92

111 95 85 76

8 9 10

118 106 95

98 88 78

8 9 10 11

133 120 109 99

110 99 90 82

Abb. 22.13 Zulässige Scherfestigkeiten von Punktschweißfügungen nach DIN-Normen

22.3.2 Reibrührschweißen Ein interessantes Verfahren für das Schweißen von höherfesten Aluminium- und Magnesiumblechen ist das Reibrührschweißen, welches ohne Zusatzwerkstoff erfolgt und daher eine Nahtfestigkeit in der Größe des Grundwerkstoffes erreicht. Beim Reibrührschweißen wird ein rotierender Stift mit großer Kraft in den Stumpfstoß zweier Bleche gedrückt und durch Rotation eine hohe Reibungswärme erzeugt. Da die hervorgerufene Temperatur unterhalb der Schmelztemperatur liegt, erfolgt keine Gefügeänderung und so gut wie kein Schweißverzug.

22.4

Kleben

Gegenüber den zuvor dargestellten Fügetechniken hat Kleben mannigfaltige Vorteile. Ein Vorteil ist, dass zum Metallkleben nur geringe Temperaturen notwendig sind, weshalb dünne Bleche verzugsfrei und fest verbunden werden können. Eine Veränderung des Gefüges wie beim Schweißen oder Löten tritt somit nicht auf. Bei einer Klebefügung ist zudem die Beanspruchung auf die gesamte Fügefläche verteilt, wodurch eine relativ hohe statische und dynamische Belastbarkeit vorliegt. Auch tritt durch Kleben keine Kerbwirkung auf, wodurch günstiger dimensioniert werden kann. Als weiteren Vorteil ist herauszustellen, dass nicht nur unterschiedliche Metalle, sondern auch Metalle mit fast allen

346

22

Fügetechniken

andersartigen Werkstoffen dauerhaft verbunden werden können. Hierbei erweist sich der Klebstoff als Isolier- und Dämmstoff, der beispielsweise Kontaktkorrosion verhindert. Die Problematik von Klebefügungen ist jedoch, dass eine Vielzahl von Einflussfaktoren die Güte bestimmt, weshalb jeweils die spezifischen Fügeverhältnisse sorgfältig analysiert werden müssen.

22.4.1 Klebstoffe Die verwendeten technischen Klebstoffe sind Kunstharze auf der Basis hochpolymerer synthetischer Stoffe, die auf Metalloberflächen fest haften und hohe Adhäsions- wie Kohäsionskräfte aufbauen können. Ihre Aushärtung ist mit einer chemischen Reaktion verbunden, die zu einer Vernetzung des Klebstoffes führt, sodass letztlich die Klebeschicht die mechanischen Eigenschaften eines Duroplasten aufweist. Man unterscheidet des Weiteren warm und kalt abbindende Klebstoffe. Das Härten der Warmkleber geschieht nach Zugabe eines Reaktionsmittels unter Wärme und Pressdruck (Polykondensation). Für eine bestimmte zu erreichende Festigkeit ist dann jeweils eine abgestimmte Aushärtetemperatur, -zeit und -druck erforderlich. Bei üblichen Warmklebern beträgt die Härtetemperatur etwa 120–180  C und die Härtezeit 20 min. bis zu 16 h. Meist genügt dabei Kontaktdruck bzw. ein definierter Pressdruck von 1–2 MPa. Die Kaltkleber härten dagegen bei Raumtemperatur aus, nachdem sie vorher mit besonderen Härtern (Zweikomponentenkleber) vermischt wurden. Auch hier genügt in den meisten Fällen nur Kontaktdruck. Fügungen mit kalt abbindenden Klebern erreichen meist erst nach einigen Tagen ihre volle Festigkeit. Der Vorteil liegt aber darin, dass der Herstellungsaufwand für die Kalthärtung deutlich geringer ist. Einen Sonderfall stellen die anaeroben Klebstoffe (Schnellklebstoffe) dar, die als Einkomponenten-Kleber ebenfalls kalt abbinden und heute sehr oft als Metallkleber verwandt werden. Punktschweißkleben ermöglicht insofern erst die automatisierte Weiterverarbeitung von geklebten Bauteilen. In Abb. 22.14 sind einige Richtwerte zu den mechanischen Eigenschaften von Klebstoffen angegeben. Von der Größenordnung her erreichen sie typische Kunststoffwerte; sie sind insofern also eine Zehnerpotenz niedriger als Metalle. In der Praxis werden eine Vielzahl von Klebstoffen auf Basis von Epoxid, Phenol, Polyester, Polyurethan, Cyanacryl- und Dimethyl-Säureester eingesetzt, die von verschiedenen Herstellern angeboten werden. Hierzu gibt die Abb. 22.15 noch einige Anhaltswerte, die aus Scherversuchen stammen. Die Langzeitfestigkeit (ca. 104 Std.) wird aus der Kurzzeitfestigkeit dividiert durch S ¼ 2,0 gebildet. Klebstoffe warm abbindende Klebstoffe kalt abbindende Klebstoffe

Kl

0,38-0,40 0,38-0,44

E K1 [MPa]

G K1 [MPa]

3.000-4.200 1.500-2.500

900-1.520 1.500-2.500

zB [MPa]

20-35 18-25

Abb. 22.14 Durchschnittliche Festigkeitswerte der charakteristischen Klebstoffgruppen

22.4

Kleben

347

0

10

Zug-Scherfestigkeit τzB [MPa] 20 30 40

Epoxid-Dicyandiamid

kalt härtend

warm härtend

Epoxid-Polyaminoamid

Araldit BN + VA Redux Tegofilm

Phenol-Polyvinyl Epoxid-Phenol

Hidux

Epoxid-Nylon

EpoxidPolyaminoamid Acrylat/ anaerob

FM

Araldit AW

Prüfung nach DIN EN 1465 an AlCuMg 2pl 1,6 F 12

F

Abb. 22.15 Kurzzeit-Zug-Scherfestigkeiten verschiedener Klebstoffe im Überlappungsversuch nach [ALT 91]

Die Versuchsführung zur Ermittlung von maßgebenden Festigkeitswerten ist weitestgehend genormt, und zwar • Zugscherversuch nach DIN EN 1465 für einschnittig überlappende Fügungen, • Zugfestigkeit von anaeroben Klebstoffen (Metallkleber) nach DIN EN 26 922 und • Druckscherfestigkeit nach DIN 54 452 (insbesondere von Wellen-/Naben-Fügungen). Trotz dieser eindeutigen Kriterien ist es dennoch in der Praxis schwierig, übertragbare Festigkeitswerte zu finden, mit denen sicher dimensioniert werden kann.

22.4.2 Grundwerkstoffe Durch Kleben lassen sich alle bekannten Werkstoffe verbinden. Eine Klebung wirkt durch die Haftung des Klebstoffes an der Oberfläche der zu verbindenden Werkstoffe (Adhäsion) und die Eigenfestigkeit der Kleberschicht (Kohäsion). Beide Eigenschaften müssen für jede Werkstoff-Kleber-Paarung abgestimmt werden. Voraussetzung für einen innigen Kontakt zwischen Klebstoff und Grundwerkstoffen ist die Benetzbarkeit der Oberflächen der Grundwerkstoffe. Dazu müssen gegebenenfalls die

348

22

Fügetechniken

Oberflächen vorbehandelt werden. Durch eine Vorbehandlung soll der Haftgrund gesäubert, entfettet und die Oberflächen aktiviert werden. Die Festigkeit einer Fügung ergibt sich aus der Kombination Grundwerkstoff mit Klebstoff und ist weiterhin stark von der Fügegeometrie abhängig. In der Abb. 22.16 sind einige Versuchsergebnisse wiedergegeben, die an einschnittig überlappten Fügungen gleicher Dimensionalität ermittelt wurden. Die Tendenz ist etwa die, dass zu einer hohen Festigkeit der Grundwerkstoffe auch eine angepasste höhere Fügefestigkeit erwünscht ist, welches durch Abstimmung: Klebstoff, Überlappungslänge, Schichtdicke und Elastizität der Fügeteile erreicht werden kann. Der vorstehende Effekt spiegelt dann auch die unterschiedliche Kleberfestigkeit zwischen Epoxid- und Phenolharzkleber wider. Durch Alterung und Kriechen kann nach relativ kurzer Zeit eine Festigkeitsminderung auf 50–60 % der Anfangsfestigkeit eintreten.

22.4.3 Belastungsmodelle Innerhalb realer Anwendungen werden Klebefügungen in unterschiedlichen konstruktiven Situationen zum Einsatz kommen. Um dafür gesicherte Auslegungskriterien verfügbar zu haben, müssen die Grundbelastungsfälle hinreichend genau analysiert werden. In der Abb. 22.17 ist die am häufigsten vorkommende ein- und zweischnittige Klebefügung dargestellt. Wie allgemein bekannt ist, sollen Klebefügungen bevorzugt auf Scherung belastet werden. Insofern ist die zweischnittige Fügung ideal, da hier tatsächlich nur Schubbeanspruchung auftritt. Bei der einschnittigen Fügung treten hingegen Schub und Biegung auf, die sich entsprechend überlagern. In der Abbildung wurde des Weiteren angedeutet, dass unter vereinfachenden Gesichtspunkten die einschnittige von der zweischnittigen Fügung abgespalten werden kann und somit ein Standardfall entsteht.

Abb. 22.16 Experimentell ermittelte Fügefestigkeiten an dünnen Blechen bei unterschiedlichen Werkstoffpaarungen (Epoxi ¼ Epiphen/Phenol ¼ Laminac)

Werkstoffpaarung

zB [MPa]

Klebstoffbasis

Stahl/Kupfer

43 27

Epoxidharz Phenolharz

Stahl/Stahl

59 42

Epoxidharz Phenolharz

Titan/Titan

49 39

Epoxidharz Phenolharz

Al/Al

29 24

Epoxidharz Phenolharz

22.4

Kleben

349

a) E2, t2, b

GKl, d, b E1, t1, b

F 2F F lü ≈ (0,05 bis 0,1) ⋅ Rp 0,2 ⋅ tmin d ≈ (0,06 bis 0,1) ⋅ tmin

b) GKl, d, b

E2, t2, b

E1,t1,b

F

F lü

l2

l1

lges Abb. 22.17 Modell einer ein- und zweischnittigen Klebefügung

22.4.4 Spannungsverteilung in schubbeanspruchten Klebefügungen Früher hat man die Beanspruchbarkeit einer Verklebung (Bindefestigkeit) zufolge der einfachen Festigkeitsbedingung τm ¼

F
τzB ℓü  b

ð22:13Þ

kontrolliert, d. h., die Forderung war, dass die mittlere Schubspannung im Klebstoff kleiner als die Zug-Scherbruchfestigkeit sein sollte. Aus einer theoretischen Festigkeitsanalyse ist aber beweisbar, dass dieser Ansatz zu einfach bzw. falsch ist, weil der Schubspannungsverlauf über der Überlappungslänge teils große Spitzen zeigt. Für die weiteren Betrachtungen soll die in Abb. 22.18 dargestellte einschnittige Klebefügung angenommen werden. Eine ausreichend exakte Analyse ist selbst nur dann gegeben, wenn vereinfachend die folgenden Voraussetzungen definiert werden: • Alle Querschnitte längs der Fügung bleiben konstant. • Alle Fügeteile einschließlich Kleber verhalten sich linear elastisch. • Es soll kein Biegemoment in der Fügung auftreten.

350

22

t2

Fügetechniken

u(x)

x E2, b

F

u2

d

GKl

u1

F

t1 E1, b

u(0)

ü

res. Schubverformung des Klebers elastische Verformung der Bleche Abb. 22.18 Einschnittige Klebefügung mit beliebiger Werkstoffkombination

Mit dieser Aufgabenstellung hat sich 1938 bereits Volkersen [VOL 38] auseinandergesetzt; zu seiner Ableitung gibt es mehrere Abwandlungen (z. B. [MÜL 61, MAT 63]). Nachfolgend wird eine sinnvoll überarbeitete Lösung des Problems gezeigt. Ansatzpunkt der Ableitung ist die folgende Beziehung zwischen der Verschiebung der Klebstoffrandschicht und den Dehnungen in den beiden Fügeteilen. Für die Verschiebung im Inneren der Fügung an einer beliebigen Stelle gilt ðx

ðx

uðxÞ ¼ uðoÞ þ u1  u2 ¼ uðoÞ þ ε1 ðxÞdx  ε2 ðxÞdx: o

ð22:14Þ

o

Die Dehnungen in den Fügeteilen sind anzusetzen als

1 ε 1 ð xÞ ¼ E1  t1

ðx τðxÞdx

ð22:15Þ

o

und 2 3 ðx 1 4F  b τðxÞdx5: ε 2 ð xÞ ¼ E 2  t2  b o

Werden diese Ausdrücke in Gl. (22.14) eingesetzt, so folgt daraus

ð22:16Þ

22.4

Kleben

351

uðxÞ ¼ uðoÞ þ

1 E1  t1

2 3 ðx ðx  4 τðxÞdx5dx  o

1 E2  t2  b

o

ðx

2

ðx

3

4F  b τðxÞdx5dx:

o

ð22:17Þ

o

Wird diese Gleichung nun zwei Mal differenziert, so ergibt sich d2 uð xÞ τ ð xÞ τðxÞ E  t þ E2  t2 ¼ þ ¼ 1 1  τðxÞ: E1  t1 E2  t2 E1  t1  E2  t2 dx2

ð22:18Þ

Unter der Annahme, dass im Klebstoff ausschließlich Schub (s. Abb. 22.19) wirkt, gilt τKl ðxÞ ¼ GKl  γ ¼ GKl 

uð xÞ : d

ð22:19Þ

Berücksichtigt man dies in der DGL (22.18), so kann diese angegeben werden als d2 uðxÞ ¼ λ2  u ð x Þ dx2

ð22:22Þ

ðE1  t1 þ E2  t2 Þ GKl  : E1  t1  E2  t2 d

ð22:23Þ

mit λ2 ¼

Für diese homogene DGL 2. Ordnung ist die Lösung uðxÞ ¼ A  cosh ðλ  xÞ þ B  sinh ðλ  xÞ

ð22:24Þ

bekannt. Hierzu existieren die beiden Verschiebungsrandbedingungen uð x ¼ oÞ ¼ uð oÞ

ð22:25Þ

und N = σ⋅A = E2 ⋅ε2 ⋅ b ⋅ t 2

F E 2 , b, t 2

x τ(x) ⋅ dA = τ(x) ⋅ b ⋅ dx dx F = σ ⋅ A = E1 ⋅ ε1 ⋅ b ⋅ t 1

τ(x)⋅ dA E1, b, t1 Abb. 22.19 Freigeschnittene Klebefügung

352

22

Fügetechniken

uðx ¼ ℓü Þ ¼ uðℓ ü Þ:

ð22:26Þ

Die Annahme, dass die beiden Verschiebungen am linken und rechten Rand gleich sind, träfe nur bei gleichen Werkstoffen zu. Für den allgemeinen Fall kann hingegen nur folgender Zusammenhang uð ℓ ü Þ ¼ uð oÞ þ Δ

ð22:27Þ

angegeben werden. Mit diesen Vorbetrachtungen ist das Problem mathematisch eindeutig lösbar. Für Gl. (22.22) findet sich jetzt ohne vollständige Beweisführung für die Verschiebung uðxÞ ¼

uð oÞ f sinh ðλðℓ ü  xÞÞ þ ðß þ 1Þ  sinh ðλ  xÞg: sinh ðλ  ℓ ü Þ

ð22:28Þ

Hierin ist mit ß eine weitere Konstante eingeführt worden, die definiert ist zu

ß¼

ðE2  t2  E1  t1 ÞGKl  ℓ ü 2  : E1  t1 GKl  ℓ ü 2 þ E2  t2  d

ð22:29Þ

Gesucht ist im Weiteren aber nicht die Verschiebung, sondern die Spannung. Diese findet sich aus der linearen Proportion uð xÞ τ ð xÞ ¼ um τm

ð22:30Þ

bzw. τðxÞ ¼ τm 

uð xÞ , um

ð22:31Þ

die über die gemittelte Verschiebung bzw. mittlere Spannung gebildet wird. Für die mittlere Verschiebung ist demgemäß

1 um ¼ ℓü

ℓðü

uðxÞdx ¼ o

uðoÞ  ðß þ 2Þ  ð cosh ðλ  ℓ ü Þ  1Þ λ  ℓ ü  sinh ðλ  ℓ ü Þ

anzusetzen, womit sich für Gl. (22.30)

ð22:32Þ

22.4

Kleben

353

uðxÞ uðoÞ½ sinh ðλðℓ ü  xÞÞ þ ðß þ 1Þ sinh ðλ  xÞ ¼ um sinh ðλ  ℓ ü Þ 

λ  ℓ ü  sinh ðλ  ℓ ü Þ uðoÞ  ðß þ 2Þð cosh ðλ  ℓ ü Þ  1Þ

ð22:33Þ

findet. Wird hingegen jetzt mit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi GKl ðE1  t1 þ E2  t2 Þℓ ü 2 ω ¼ λ  ℓü ¼ E1  t1  E2  t2  d

ð22:34Þ

eine weitere Kenngröße eingeführt, so kann für Gl. (22.33) auch       uðxÞ ω x x sinh ω 1  ¼ þ ðß þ 1Þ sinh ω ð22:35Þ um ℓü ℓü ðß þ 2Þ  ð cosh ω  1Þ geschrieben werden. Damit ergibt sich für die Spannungsverteilung über die Länge einer Klebefügung bei Raumtemperatur       ω  τm x x τ ð xÞ ¼ sinh ω 1  þ ðß þ 1Þ sinh ω : ð22:36Þ ℓü ℓü ðß þ 2Þ  ð cosh ω  1Þ Diese Gleichung hat ein Extremum, welches je nach Werkstoffkombination am linken oder am rechten Rand liegt, und zwar entweder bei ω  τm  sinh ω  kτ 0  τm ðß þ 2Þð cosh ω  1Þ

ð22:37Þ

ω  τm  ðß þ 1Þ sinh ω  kτ 00  τm : ðß þ 2Þð cosh ω  1Þ

ð22:38Þ

x ¼ 0 zu : τmax ¼ oder bei x ¼ ℓ ü zu : τmax ¼

Für eine Diskussion der Beanspruchung kann die Schubspannungsspitze auch mittels eines Überhöhungsfaktors kτ definiert werden zu τmax ¼ kτ  τm ,

ð22:39Þ

wobei der Überhöhungsfaktor entsprechend der vorstehenden Randbedingungsabgrenzung am linken oder rechten Nahtende anzusetzen ist. In der Abb. 22.20 ist für unterschiedliche Fälle der Verlauf der Schubspannung nach Gl. (22.36) sichtbar gemacht worden. Um reale Unterschiede erkennen zu können, wurden drei verschiedene Steifigkeitsverhältnisse gewählt.

354

22

Fügetechniken

GKl, d, b

E2, t2, b

E1, t1, b

F

F k 3,098

E2 t 2

E1 t1

3,098

Legende: d = 0,2 mm ü = 20 mm t1 + t2 = 3 mm

1,0 x

GKl = 1.000 MPa k

2 E2 t2

E1 t1

4,328

E1 = E2 = 70.000 MPa

2,237 1,0 x k 4,328

0 ,5 E 2 t 2

E1 t 1

2,237 1,0 x ü

Abb. 22.20 Prinzipieller Verlauf des Spannungsüberhöhungsfaktors kτ bei unterschiedlichen Werkstoffkombinationen und biegesteife Platten

Aus der Auftragung erkennt man, dass • sich bei gleicher Werkstoffpaarung eine symmetrische Schubspannungsverteilung einstellt und gleiche Maxima am Rand auftreten, • bei ungleicher Werkstoffpaarung tritt hingegen ein unsymmetrischer Schubspannungsverlauf auf, das Maximum liegt stets am Rand der Überlappung, und zwar an der steiferen Fügestelle, d. h. im dickeren Blech. Einen gleichmäßigeren und deutlich niedrigeren Spannungsverlauf kann man theoretisch erzielen, wenn die Enden der Klebefügung geschäftet werden. Hierdurch passt sich die Elastizität der Scheiben der des Klebewerkstoffes besser an, wodurch Spannungsspitzen abgebaut werden. Dies zeigt Abb. 22.21 im Vergleich zum vorherigen Ergebnis. Während der Spannungsüberhöhungsfaktor einer symmetrischen, ungeschäfteten Fügung bei kτ ¼ 3, 098 liegt, fällt dieser bei einer geschäfteten Verbindung in Abhängigkeit vom Grad der Anschäftung α auf kτ ¼ 2, 134 bzw. kτ ¼ 1, 414 ab. Im

22.4

Kleben

355

E2, t2, b .t

2

F .t

F

1

E1, t1, b k 3,098

= 1,0

= 0,1

= 0,01

2,134 1,414 1,000

0

0,981 0,823 0,283 x ü

Abb. 22.21 Geschäftete, einschnittige Klebefügung unter Schubbeanspruchung

Umkehrschluss kann man also unter rein linearen Verhältnissen eine geschäftete Fügung deutlich höher (zwischen 1,45- bis 2,19fach) beanspruchen. Insofern ist Schäftung immer ein Mittel, eine Fügung besser ausnutzbar zu machen.

22.4.5 Gegenüberstellung verschiedener Lösungsansätze Wie zuvor schon erwähnt, geht der Ursprung der Bestimmung der Schubspannungsverteilung auf Volkersen zurück. Volkersen gibt für eine einfach überlappte Fügung die Lösung qffiffiffi τm ωϕ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi τðxÞ ¼ sinh ð ω  ϕÞ   

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x ωϕ 1  ðω  1Þ  cosh ω  ϕ  þ cosh ℓü ℓü an mit

ð22:40Þ

356

22

ϕ¼

Fügetechniken

GKl  ℓ ü 2 E2  t2  d

und ω¼

E1  t1 þ E2  t2 : E1  t1

Zu der vorstehenden Lösung von Gl. (22.36) gibt es eine quantitative Diskrepanz, die vermutlich darin liegt, dass bei der Herleitung der Volkersen-Gleichung von symmetrischen Randbedingungen ðuðoÞ ¼ uðℓ ü ÞÞ ausgegangen worden ist. Im Fall gleicher zu verklebender Werkstoffe (dann treffen erst symmetrische Randbedingungen zu) gibt es dagegen eine recht gute Übereinstimmung zwischen Gl. (22.36) und (22.40), die unter 0,3 % liegt. Die bisherigen Betrachtungen berücksichtigen nicht, dass durch den außermittigen Kraftangriff bei einfach überlappten Verbindungen auch Biegung auftritt, wodurch zusätzlich noch Normalspannungen überlagert werden. Für dieses Problem haben Goland und Reissner [GOL 44] einen speziellen Ansatz τ τðxÞ ¼ m 4

(

)   cosh δt  x  ℓ2ü δ  ℓü þ 3ð 1  kÞ ð 1 þ 3  kÞ ü 2t sinh δℓ 2t

ð22:41Þ

gemacht mit δ2 ¼

8  GKl  t Ed

und dem reziproken Exzentrizitätsfaktor pffiffiffi 1 ℓü ¼ 1 þ 2 2  tanh k 2t

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! 3 ð1  ν 2 Þ F   : E 2 bt

Die Vereinfachungen in dieser Lösung sind: Gleiche zu verklebende Werkstoffe mit gleicher Blechdicke, symmetrische Randbedingungen und die Bleche sind so elastisch, dass sich die Fügung in der Kraftwirkungslinie ausrichten kann, sodass keine Kraftexzentrizität mehr vorliegt. In der Abb. 22.22 sind zum Zweck des Vergleichs die drei zuvor besprochenen Ansätze an einer Blechverbindung ausgewertet worden, und zwar einmal analytisch und einmal mit FEM. Die Diskussion zeigt, dass wegen des tatsächlich vorhandenen Biegeeffekts die Abweichungen zu Goland/Reissner schon gravierend sind, aber in die richtige Richtung weisen.

22.4

Kleben

357

d = 0,2 mm ü = 20 mm t1 = t2 = 1,5 mm

4,226 k

4,1

FEM

GKl = 1.000 MPa Kl = 0,4

Goland/Reissner

Al = 0,34

3,107 3,098

E1 = E2 = 70.000 MPa Volkersen Klein/Li

1,000 0

10

20 x

ü

Abb. 22.22 Auftragung der Schubspannungsverläufe nach Klein/Li, Volkersen und Goland/Reissner und linearer FEM-Rechnung

22.4.6 Abschätzung des Normalspannungseinflusses Wie vorstehend schon erwähnt, treten in allgemeinen Fügetechniken neben Schub- auch Normalspannungen auf. Die Höhe der Normalspannungen soll im Folgenden an einer einschnittigen Klebefügung abgeschätzt werden. Hierzu gilt es, die beiden Normalspannungen σxx und σzz zu ermitteln. Die Entstehung der Normalspannung σzz wird sofort an der Abb. 22.23 sichtbar, bei dem die obere Scheibe abgetrennt worden ist und Gleichgewicht durch die Schnittgrößen hergestellt wurde. Für die Schnittkräfte erhält man somit NZ ¼ Q1 , QXZ ¼ N1 und My ðzÞ ¼ Myl þ N1 ðh  z  0, 5  t1 Þ  Q1  0, 5  ℓü : Demgemäß findet sich die größte Normalspannung zu

358

22

σzzmax ¼

6 My Nz : þ ℓü  b b  ℓü 2

Fügetechniken

ð22:42Þ

Durch Umformung kann man weiter den Zusammenhang  σzzmax ¼ τm

6My Nz þ N1 ℓü  N1

 ¼ kσz :τm

ð22:43Þ

herstellen. Wie des Weiteren aus der Abb. 22.24 ersichtlich wird, tritt auch noch die Normalspannung σxx auf. Diese wird an dem gezeigten Schnittelement ermittelt. Für die Höhe der Beanspruchung ist zunächst die Lage der Schwerlinie maßgebend. Unter Berücksichtigung, dass die Scheiben aus verschiedenen Materialien bestehen können, findet sich die entsprechende Koordinate zu 3 P

zSL ¼ i¼1

ðρi  Ai  zSPi Þ 3 P

:

ð22:44Þ

ð ρi  A i Þ

i¼1

Damit kann dann das Biegemoment angesetzt werden als MSy ðx, zÞ ¼ My1 þ N1 ðh  zSL  0, 5  t1 Þ  Q1 ðℓü  xÞ bzw. die Spannung bestimmt werden zu

x Nz

z z

Q xz

My

h M y1

h-z

N1

E1, t1, b

lü 2

lü 2

Abb. 22.23 Gleichgewicht in der Klebenaht in z-Richtung

Q1

22.4

Kleben

359

x t2

N2

zSL xx

d

M Sy

QS

M y1 h

zSL Q1

N1

N1

t1

x ü

z Abb. 22.24 Gleichgewicht in der Klebenaht an einem Schnitt in x-Richtung

σxx ¼

M Sy z : Jyges R

ð22:45Þ

Der Randfaserabstand ergibt sich fallweise zu zR ¼

ðt1 þ dÞ  ðh  zSL Þ : ðt2 þ dÞ  zSL

Entsprechend ist das resultierende Flächenträgheitsmoment Jyges ¼

3 h i X Jieigen þ Ai ðzSL  zSPi Þ2 i¼1

anzusetzen. Im Allgemeinen ist σxx < σ zz und kann daher in den meisten Fällen vernachlässigt werden. Die resultierende Spannung in der Klebeschicht kann demgemäß nach der Tresca’schen Schubspannungshypothese zu τKlres

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi σzzmax 2 ¼ þ τmax 2 4

ð22:46Þ

abgeschätzt werden. Damit gilt auch für den Spannungsüberhöhungsfaktor kτres ¼

1 2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 kτ 2 þ kσ 2 ,

ð22:47Þ

360

22

Fügetechniken

welches ebenfalls belegt, dass der Biegeeinfluss etwa mit einem Zuschlag von 25 % auf die Fügespannung zu berücksichtigen ist. FEM-Berechnungen zeigen, dass der Zuschlag eher etwas höher bei 30–35 % liegt.

22.4.7 Gestaltungsregeln für Fügen durch Kleben Als Wirkmechanismus von Klebe- und Dichtfügungen wurde zuvor das Zusammenwirken der Adhäsion an den Oberflächen und der Kohäsion im Inneren der Stoffe dargelegt. Eine gezielte Einflussnahme auf eine Klebefügung ist demnach möglich durch • eine Schaffung funktionsgerechter Fügeteile, • eine beanspruchungsgerechte Krafteinleitung und • eine anforderungsgerechte Auswahl des Klebers. Demzufolge können einige Voraussetzungen definiert werden, die bei der Ausführung und Gestaltung unbedingt zu berücksichtigen sind. Wichtig ist somit, dass • gut gereinigte, fremdschichtfreie, metallisch blanke und benetzbare Oberflächen eine Chance bieten, zuverlässig verklebt zu werden, • nur scher- und/oder druckbeanspruchte Verklebungen auf Grund ihres arteigenen Verhaltens auch langzeithaltbar sind. Dies gilt weniger für zugbeanspruchte bzw. schälbeanspruchte Fügungen und • nur die Berücksichtigung des oft stark unterschiedlichen Werkstoffverhaltens (Mischpaarungen) die Gewähr für sichere und dauerfeste Fügungen bietet. Hiernach ist klar, dass man nicht einfach die Gestaltungsprinzipien des Maschinenbaus – insbesondere aus der Schweißtechnik – übernehmen kann, sondern jede mechanische Situation klebegerecht ausgestalten muss. Dies soll in den beiden folgenden Abbildungen vom Ansatz her diskutiert werden. Zunächst zeigt die Abb. 22.25 einige Grundausführungen von Klebefügungen. Das Prinzip ist dabei, stets Überlappungen herzustellen, um bevorzugt Schubkräfte aufnehmen zu können. Falls dies nicht immer möglich ist, z. B. bei richtungswechselnden Kräften, sind Vorkehrungen gegen Schälen der Verbindung zu treffen. Dies kann durch Vergrößerung der Klebefläche, Verklammerung oder einen Endniet erreicht werden. Um Spannungsspitzen an Überlappungen zu glätten, sollten, wenn immer möglich, Platten, Rohre oder Naben angeschäftet werden. Hierdurch lässt sich die Belastbarkeit einer Fügung deutlich anheben. Wenn Kleben innerhalb schalenartiger Bauweisen angewandt wird, so muss nicht nur auf ausreichende Profilsteifigkeit geachtet, sondern auch dem lokalen Beulen durch Steifigkeitssprünge entgegengewirkt werden. Dies ist dadurch möglich, dass die zu ver-

22.4

Kleben

361

Abb. 22.25 Klebegerechte Fügegestaltung im Blechleichtbau bei Grundfällen nach [ALT 91]. (a) verschiedene Überlappungsklebungen. (b) Verhinderung von Abschälen. (c) Profilversteifung. (d) angepasste Steifigkeiten

klebenden Profilschenkel hinreichend biegeweich gehalten werden, damit sie der globalen Verformung der Schale folgen können. Weiterhin zeigt die fortsetzende Abb. 22.26 einige ergänzende Gestaltungsfälle, bei denen auch das Schubübertragungsprinzip im Vordergrund steht. Beispielsweise kann dem Wunsch nach großen Klebeflächen durch eine nut- oder keilförmige Fügung entsprochen werden. Dies gilt auch für die Befestigung von runden Teilen auf Wellen. Konische Sitze haben zudem den Vorteil, dass sie sich selbst zentrieren. Werden insbesondere Naben verklebt, so ist nicht nur für eine ausreichende Klebefläche, sondern auch für die erforderliche Elastizität durch verjüngte Nabengestaltung zu sorgen. Dies hat den gleichen elastomechanischen Effekt wie die Schäftung. Rohrübergänge, Rohrstöße oder Gabelköpfe müssen ebenfalls überlappend verklebt werden. Falls möglich sollte eine leichte konische Fügeausführung gewählt werden, da diese zentrierend und kraftausgleichend wirkt. Mit besonderer Sorgfalt sind zudem Eckverbindungen im Blechbau zu gestalten, da hier meist Kräfte senkrecht zur Klebeschicht oder Biegemomente auftreten. Dies muss durch eine sinnvolle Lage der Klebung und entsprechend große Klebeflächen kompensiert

362

22

Fügetechniken

Abb. 22.26 Klebegerechte Fügegestaltung von Sonderfällen nach [ALT 91]. (e) Nut- und Keilverbindungen. (f) Aufsetzen von Rundteilen. (g) Wellen-Naben-Verklebungen. (h) Rohrverklebungen. (i) Eckverklebungen

werden. Wegen des dabei zu treibenden hohen Aufwandes sollte geprüft werden, ob hier nicht auch Schweißen möglich ist, da das Fügezusatzgewicht dabei meist geringer ist. Anzumerken bleibt noch der Kostenaspekt: Als Prozesslösung bei Leichtmetallfügungen ist Kleben viel kostengünstiger als Schweißen, Nieten oder Schrauben. Nur bei Stahlfügungen ist Punktschweißen noch günstiger. Moderne Klebesysteme, die im Karosseriebau auf ungereinigten oder sogar geölten Flächen verkleben, haben insofern noch größere Kostenvorteile.

22.4.8 Schwingfestigkeit von Klebefügungen Da Leichtbaukonstruktionen nicht nur statisch, sondern viel häufiger dynamisch beansprucht werden, interessiert gerade auch die Schwingfestigkeit von Klebefügungen im

22.4

Kleben

363

Technoklima. Ein Beispiel hierfür stellt der Flugzeugbau dar, der Kleben vor allem bei kompakten Kurzstrecken-Flugzeugen anwendet. Derartige Flugzeuge absolvieren in ihrem Leben ca. 50.000 Einsätze, wobei etwa 1010 LW aus Böen- und Triebwerksschwingungen resultieren. Zusätzlich wirkt noch eine Temperaturdifferenz von +100  C/20  C, wodurch neben der Schwingfestigkeit auch der Alterung große Bedeutung zukommt. Hohe Auslegungs- und Betriebssicherheit wird man bei derart extremen Beanspruchungen letztlich nur durch entsprechende dynamische Experimente (Wöhlerversuche), Lebensdauerabschätzungen und Zuverlässigkeitssimulationen erzielen. Im Folgenden sollen daher einige Versuchsergebnisse wiedergegeben werden, wodurch die Zusammenhänge in etwa gedeutet werden können. Die Versuche wurden praxisgerecht an einfach überlappten Klebefügungen im ZugSchwelbereich durchgeführt. Für die Proben wurde eine plattierte Al-Legierung ausgewählt, die wegen ihrer gleichmäßigen Qualität vor allem für hochwertige Karosserie- und Flugzeugrumpfteile bevorzugt wird. Die Klebstoffe waren alternativ Redux 775 (Phenolharzkleber) und Aralid 106 (Epoxidharzkleber), welche unter Raumtemperatur und normaler Feuchte getestet werden. In der Abb. 22.27 sind jeweils die Wöhlerlinien dieser Fügungen aus zehn Prüfniveaus mit jeweils 7–8 Proben dargestellt. Gewöhnlich gehorchen einfache WerkstoffFestigkeitsversuche einer Gauß’schen Normal-Verteilung, welche typisch ist für Zufallsereignisse. Treten jedoch Daten mit großen Abständen auf, so liegt eine Log-Normalverteilung vor. Durch einfaches Logarithmieren der Daten können diese jedoch in eine Normalverteilung überführt werden. Die Linien gleicher Überlebenswahrscheinlichkeit (z. B. 50 % Überlebenswahrscheinlichkeit) prägen sich dabei in doppellogarithmischer Auftragung als Geraden heraus. Bei sorgfältig ausgeführten Fügungen kann zudem der Streubereich der Zeitfestigkeitswerte mit 15–20 % vom Mittelwert bemerkenswert gering gehalten werden; bei reinen Werkstoffversuchen (St, Al) ist die Streuung oft dreimal so groß. Nach einer Vielzahl von Versuchen kann für Klebefügungen eine Grenzlastspielzahl2 von etwa NA 107 LW angegeben werden; hierbei pendelt sich die Dauerfestigkeit τA auf etwa 15 % der statischen Zug-Scherfestigkeit ein. Diese Relation kann selbst bei noch tragfähigeren Klebstoffen nicht wesentlich verbessert werden. Selbst um dieses niedrige Spannungsniveau zu sichern, müssen möglichst große Klebeflächen realisiert und die äußeren Kräfte auch so eingeleitet werden, dass ausschließlich Schubspannungen hervorgerufen werden. Falls Dauerbrüche zu befürchten sind, sollte zusätzlich noch vernietet werden. Einen markanten Effekt auf die Beanspruchbarkeit und die Streuung der Fügefestigkeit hat die Ausführung der Klebeenden, da diese bekanntlich die Schwachstelle einer 2

Anmerkung: Die Dauerfestigkeitswerte von Stahl können etwa angenommen werden zu σ A (0, 45  0, 5)  Rm, NA 2, 1  106LW. Hingegen ist bei Aluminium σA (0, 35  0, 55)  Rm, NA 108 LW; bereits ab NA 5  107 LW ist nur noch ein geringer Dauerfestigkeitsabfall zu beobachten.

364

22

d=0,5 18

15

45

±F

Al Cu Mg2 pl

16 τo [MPa]

b=60 t=2

60

±F

τ u = 1,1 MPa

14

PA = 50 %

12 10 9 8

Fügetechniken

Araldit 106

Redux 775

7 6 5 4 10

5

10

5

5

6

10

5

7

10

5

8

10

N [LW] Abb. 22.27 Wöhlerlinien geklebter Leichtmetall-Fügungen nach [MAT 68] im Pulserversuch

Fügeverbindung darstellen. In der Abb. 22.28 sind diesbezüglich zwei extreme Klebungen gegenübergestellt worden, die eine praktisch beachtenswerte Tendenz offen legen. Wie Versuchsprogramme zeigten, ertragen Klebefügungen mit Kehlrand eine definierte Schwingbeanspruchung etwa um den Faktor zehn länger, als eine Ausführung mit sauber bearbeitetem Abschluss. Der Streubereich der Lastspielzahlen ist jedoch bei der KehlrandVerbindung größer. Die Ursache, warum bei glatten Endabschlüssen die Lastspielzahl geringer ist, dürfte in der dort auftretenden hohen Spannungsspitze (Quasi-Kerbwirkung) begründet sein.

22.5

Sonderfügeverfahren

Das oberste Gebot einer leichtbaugerechten Fügetechnik ist es, den Zusatzaufwand an gewichtsträchtigen Elementen möglichst gering zu halten. Deshalb werden Schweißen und Kleben öfter angewandt als Nieten und Schrauben. Neben diesen Standardverfahren gibt es aber noch eine Vielzahl von Sonderverfahren, die situations- und belastungsgemäß einige Vorteile haben können. Einige dieser Verfahren sollen nachfolgend kurz gestreift werden. In der Abb. 22.29 ist eine Übersicht über die wohl wichtigsten Sonderfügeverfahren für den Blechleichtbau gegeben. Das Interessante ist dabei, dass für die Fügung keine oder von

22.5

Sonderfügeverfahren

365

t=2

Al Cu Mg2 pl

d = 0,5 t=2 4

N [LW]

2 10

5

Araldit 106 τo = 13,6 MPa τu = 1,1 MPa

PÜ = 10 % PÜ = 50 % PÜ = 90 %

je 10 Proben PÜ = 10 %

4

PÜ = 50 %

2

PÜ = 90 %

10

4

ohne Kehlrand

mit Kehlrand

Abb. 22.28 Ausführung von Überlappungsenden von Klebefügungen auf die Lastwechselzahl nach [MAT 68]

der Masse her nur geringe Zusatzelemente herangezogen werden, also die Fügung möglichst durch Klammerung oder Umformung hergestellt wird. Die Merkmale der aufgelisteten Verfahren sind im Wesentlichen: • Falzen (Abb. 22.29a) ist eine recht einfache Technik, welche ohne teurere Werkzeuge hergestellt werden kann. Anwendungsbereiche sind die Fügung von dünnen, weichen und halb harten Blechen aus Stahl oder NE-Metallen. Vom Prinzip her lassen sich damit auch Bleche aus unterschiedlichen Materialien verbinden. Die Fügung kann kontrolliert belastet werden und versagt durch allmähliches Öffnen der Falznaht. • Schnappfügungen (Abb. 22.29b) erfordern federnd ausgelegte Fügestellen, deshalb werden hier Paarungen aus Federstahl oder Kunststoffen bevorzugt. Es können somit unterschiedliche Materialien lösbar verbunden werden. Bei richtiger Auslegung können hiermit auch Kräfte übertragen werden, wobei gegebenenfalls aber der Auslösemechanismus in Gang gesetzt wird. • Verlappen (Abb. 22.29c) ermöglicht die Eckverbindung von dünnen Blechen in einfachen Anwendungsfällen. Die übertragbaren Kräfte sind dabei aber gewöhnlich klein. • Durchsetzfügen oder Clinchen (Abb. 22.29d) bezeichnet ein örtliches Trennen und Umformen. Die Anwendung ist auf gleichartige Bleche beschränkt, wobei die Kraftübertragung auf ein Verhaken zurückzuführen ist. Es können aber nur 40–50 % der Kräfte einer Punktschweißfügung aufgenommen werden.

366

Abb. 22.29 Blech-Fügetechniken

22

Fügetechniken

Literatur

367

• Rollen (Abb. 22.29e) bedeutet das Einrollen von Blechenden, wodurch großflächige Teile verbunden werden und auch Profilquerschnitte aufgebaut werden können. • Nieten (Abb. 22.29f) ist eine traditionelle Fügetechnik im Maschinenbau. Alle drei unterschiedlichen Nietarten Voll-, Halbhohl- und Hohlnieten werden zweiseitig mit Vorlochen verarbeitet. Es ergeben sich keine Gefügeveränderungen der Werkstoffe. • Stanznieten (Abb. 22.29g) kann zwei verschieden starke Bleche unterschiedlichen Materials miteinander verbinden. Es handelt sich um einen zweiseitigen Arbeitsprozess ohne Vorlochen. • Blindnieten (Abb. 22.29h) bestehen aus einer Hülse, die mit einem unverlierbaren Dorn ausgestattet ist. Diese Nieten lassen sich blind, d. h. einseitig setzen. • Nietmuttern und -bolzen (Abb. 22.29i) sind Gewindeträger, die die Funktion eines Blindniets und einer Mutter bzw. eines Gewindebolzens erfüllen. • Stanzmuttern und -bolzen (Abb. 22.29j) als selbststanzende Funktionsteile benötigen kein Vorlochen der Fügestelle und ersparen somit einen Verarbeitungsschritt. Die vorstehende Auflistung ist nur als eine Auswahl unter der Vielzahl der bekannten Verfahren zu verstehen. Weitere Informationen sind gegebenenfalls der fügetechnischen Literatur und der Normung zu entnehmen.

Literatur [ALT 91] [AUT 76] [BAU 91] [GOL 44] [MAT 63]

[MAT 68] [MÜL 61] [VOL 38]

Althof, W.: Kleben. in O. C. Bauer, Handbuch der Verbindungstechnik. Hanser, München/Wien (1991) Autorenkollektiv: HSB-Handbuch Struktur Berechnung. Industrie Ausschuß StrukturBerechnungsunterlagen, Bremen (1976) Bauer, C.-O. (Hrsg.): Handbuch der Verbindungstechnik. Hanser, München/Wien (1991) Goland, M., Reissner, E.: The stresses in cemented joints. J. Appl. Mech. 11(1), 17–27 (1944) Matting, A., Ulmer, K.: Grenzflächenreaktionen und Spannungsverteilung in Metallklebeverbindungen. Kautschuk Gummi Kunststoff 16, 213–224, 280–290, 334–345 und 387–396 (1963) Matting, A., Draugelates, U.: Die Schwingfestigkeit von Metallklebeverbindungen. Adhäsion 12(1), 5–22, 110–132 (1968) Müller, H.: Festigkeits- und Dimensionierungsvoraussagen von einfach überlappten Metallklebeverbindungen. Fertigungstechnik und Betrieb 11(2), 131–135 (1961) Volkersen, O.: Die Nietkraftverteilung in zugbeanspruchten Nietverbindungen mit konstanten Laschenquerschnitten. Luftfahrtforschung 15(1/2), 41–47 (1938)

Strukturoptimierung

23

Mit Strukturoptimierung (s. VDI 6224) bezeichnet man einen speziellen Optimierungsansatz. Ziel ist es gewöhnlich Bauteile hinsichtlich ihres Eigengewichtes zu minimieren. Da hiermit eine optimale Ausnutzung der Beanspruchung verbunden ist, ist dies gleichbedeutend mit einem Spannungsmaximierungsproblem G


1 , mit σðxi Þ  Rgrenz : σðxi Þ

ð23:1Þ

Darüber hinaus sind auch Optimierungen hinsichtlich der Steifigkeit, der Eigenfrequenz oder der Lebensdauer von Interesse. Ein Optimierungsproblem wird im Folgenden durch die Begriffe Zielfunktion Variablen und Restriktionen

- dies ist der mathematische Ausdruck, der ein Extremum einnehmen soll, - sind die frei wählbaren Parameter (xi) - sind Bedingungen, die Parameter eingrenzen,

beschrieben. Überwiegend hat man es dabei mit nichtlinearen Zusammenhängen zu tun. Bei hoch parametrigen Problemen kann daher eine Optimierung nur sinnvoll numerisch durchgeführt werden. Im Folgenden werden beispielhaft einige manuelle Vorgehensweisen gezeigt, die jedoch nur bei zwei oder drei Parametern zu einem brauchbaren Ergebnis führen.

23.1

Mathematischer Optimierungsansatz

Das Wesen der mathematischen Optimierung besteht darin, dass ein Problem als eine geschlossene Zielfunktion mit Restriktionen dargestellt werden muss und über Ableitungen eine Lösung zu finden ist. In der Praxis stellt dies oft eine erhebliche Hürde dar. # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_23

369

370

23

Strukturoptimierung

Da eine tiefer gehende Darlegung in die Optimierungstheorie über die Intention dieser Einführung hinausgehen würde, soll im Folgenden nur die niedrig parametrige Extremwertbestimmung kurz dargestellt werden. Aufgabe hierbei ist es, eine Funktion f(xi), i ¼ 1, n extremal zu machen. Für die vorkommenden Parameter existieren jedoch verschiedene Restriktionen rj(xi)  0, j ¼ 1, m. Derartige Probleme können meist recht einfach mit der Lagrange'schen Multiplikatoren-Methode gelöst werden. Hierzu addiert man zur Zielfunktion die Restriktionen und bildet mit einem Gewichtsfaktor eine neue Hilfsfunktion m X
 Z x i , λj ¼ f ð x i Þ þ λj  rj ðxi Þ ! MIN:!

ð23:2Þ

j¼1

Aus den ersten Ableitungen dieser Funktion erhält man so das folgende Gleichungssystem ∂Z ∂f ðxi Þ X ∂rj ðxi Þ ¼ þ λj ¼ 0, ∂xi ∂xi ∂xi j¼1

i ¼ 1, . . . , n

rj ðxi Þ ¼ 0,

j ¼ 1, . . . , m

m

ð23:3Þ

zur Bestimmung der Parameter xi, bei der die Hilfsfunktion extremal (minimal) wird. Anhand einer einfachen Problemstellung soll diese Vorgehensweise verdeutlicht werden. Es geht dabei um die Gewichtsminimierung (G ¼ ρ  g  A  L) des in der Abb. 23.1 dargestellten Rohrträgers unter Biegebelastung. Bei diesem Problem soll aber nur noch die Querschnittsfläche variabel sein. Vereinfacht kann diese ausgedrückt werden als A ¼ 2 b  t1 þ 2 h  t2 : Parameter im engeren Sinne sollen jetzt die Breite b  x1 und die Höhe h  x2 sein, damit kann die Fläche auch angegeben werden als

y x

F

z

t1 h

t2 L

b Abb. 23.1 Querschnittsoptimierung eines Biegebalkens mit vorgegebener Länge (L ¼ konst.)

23.1

Mathematischer Optimierungsansatz

Aðx1 , x2 Þ ¼ 2  ðx1  t1 þ x2  t2 Þ:

371

ð23:4Þ

Weiterhin wird noch das Biege-Widerstandsmoment des dünnwandigen Querschnitts zu Wby  2 

  t 2  h2 t 1  b  h þ 2 6

bzw. wieder mit Parametern 1 Wby ðx1 , x2 Þ  t2  x2 2 þ x1  x2  t1 3

ð23:5Þ

benötigt. Als Nebenbedingung ist zu berücksichtigen, dass der Querschnitt nur so weit verkleinert werden darf, dass die zulässige Spannung im Balken nicht überschritten wird. Demzufolge ist die Restriktion wie folgt anzusetzen: Mby  σzul ¼ 0: 2þx x t t  x 2 2 1 2 1 3

rðx1 , x2 Þ ¼ 1

ð23:6Þ

Entsprechend der Multiplikatorenmethode ist somit Zðx1 , x2 Þ ¼ Aðx1 , x2 Þ þ λ  rðx1 , x2 Þ ! MIN:!

ð23:7Þ

zu verlangen. Für die Parameter erhält man dann die folgenden Bestimmungsgleichungen: ∂Z ∂A ∂r ¼ þλ ¼ 0, ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂Z ∂A ∂r ¼ þλ ¼ 0: ∂x2 ∂x2 ∂x2

ð23:8Þ

Die hierin vorkommenden Ableitungen sind relativ leicht zu ermitteln, und zwar zu ∂A ¼ 2 t1 , ∂x1 ∂A ¼ 2 t2 , ∂x2

∂r ¼ x2  t1  σzul , ∂x1   ∂r 2 ¼  x2  t2 þ x1  t1 σzul : 3 ∂x2

ð23:9Þ

Aus den vorstehenden Gleichungen und unter Berücksichtigung von Gl. (23.7) können dann die beiden Beziehungen

372

23

Strukturoptimierung

2 t1 ¼ λ  x2  t1  σzul ,

2 t2 ¼ λ

  2 x2  t2 þ x1  t1 σzul 3

ð23:10Þ

ð23:11Þ

erstellt werden. Wird weiter Gl. (23.10) durch Gl. (23.11) dividiert, so folgt t1 x2  t1 ¼ t2 23 x2  t2 þ x1  t1 oder x2 ¼

3  t1 x : t2 1

ð23:12Þ

Aus der Nebenbedingung Gl. (23.6) Mby 1 2 x 2  t 2 þ x1  x2  t 1 ¼ 3 σzul und Einsetzen von Gl. (23.12) findet sich weiter  2   Mby 1 3  t1 3  t1 x1 t 2 þ x1 x1 t1 ¼ 3 t2 t2 σzul bzw. 6t1 2 2 Mby x ¼ , t2 1 σzul x1 ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mby t2  σzul 6  t1 2

ð23:13Þ

als optimale Parameter. Die minimale Fläche ist somit rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 32 Mby A¼ t : 3 σzul 2

ð23:14Þ

Der gezeigte Lösungsweg funktioniert im Allgemeinen relativ gut bei parameteriell begrenzten Aufgaben (z. B. Rohre). Darüber hinaus muss das Problem numerisch mittels Gradienten- oder Suchmethoden gelöst werden.

23.3

23.2

Einfache Minimalauslegungen

373

Extrema über Strukturkennwert

Ein für Haupttragelemente brauchbares Optimalitätsverfahren nutzt einen Strukturkennwert „S“ [WIE 07] und Grenzbedingungen, die bauweisenspezifisch zu definieren sind. Und zwar lässt sich demonstrieren, dass Steifigkeits- und Festigkeitsprobleme so umformuliert werden können, dass ein direkter Bezug zwischen dem Gewicht und der Steifigkeit bzw. der Tragfähigkeit hergestellt werden kann. Bei reinen Steifigkeitsproblemen kann somit eine bezogene Gewichtsfunktionangesetzt werden zu f GS ¼

  Gmin S n ¼ Φ E ρ  g  L3

ð23:15Þ

bzw. bei reinen Tragfähigkeitsproblemen zu f GT ¼

Gmin ¼ ρ  g  L3

 m S ψ : Re

ð23:16Þ

Die Festlegung des hierzu erforderlichen Strukturkennwertes (Dimension über Flächenlast) ist im Abb. 23.2 an einigen typischen Fällen gezeigt. Es kann nachgewiesen werden, dass Tragwerke mit gleichem Strukturkennwert und gleichen Materialkenngrößen geometrisch ähnlich sind und gleiche Belastungseigenschaften aufweisen. Diese Ähnlichkeit betrifft die gesamte Bauweise. Bei kleinen Strukturkennwerten ist eine Konstruktion gewöhnlich dünnwandig und schlank. Demgemäß ist die ertragbare Knick- oder Beulspannung niedrig. Ein großer Strukturkennwert kennzeichnet demgemäß eine gedrungene und dickwandige Konstruktion, die leicht zu beherrschen ist. Insofern können auch aus dem Strukturkennwert qualitative Trends abgeleitet werden.

23.3

Einfache Minimalauslegungen

23.3.1 Gewichtsminimaler Biegebalken Ein häufig vorkommendes Problem ist die gewichtsminimale Auslegung von Biegebalken unter Steifigkeits- und Festigkeitsrestriktionen. In Abb. 23.3 ist ein derartiger Fall dargestellt, wobei es sich vereinfachend um ein Quadratprofil handeln soll. Bei einer Steifigkeitsoptimierung muss die zulässige Durchbiegung wmax ¼

F  L3  wzul 48E  Jy

ð23:17Þ

374

23

Strukturoptimierung

p [N/mm] F [N]

F [N] L

F é N ù S = 2 ê[MPa] ú L ë mm2 û

S=

pé N ù [MPa] ë mm2 ú û Lê

p [N/mm] p [N/mm]

L

S=

p N / mm L mm

L

p [N/mm]

p [N/mm] b

S=

p N / mm b mm

r

S=

p N / mm r mm

p [MPa] ρ[kg / dm 3 ]

L S = p [MPa]

S = ρ ⋅ g ⋅ L kg / dm 3 ⋅ m / s 2 ⋅ mm

Abb. 23.2 Definition des Strukturkennwertes an einigen Tragwerken unter Punkt-, Linien-, Flächen- und Volumenbelastung sowie Eigengewicht nach [WIE 96]

als Verformungsbedingung berücksichtigt werden. Die variable Profilgröße bestimmt sich weiter aus dem erforderlichen Flächenträgheitsmoment Jy ¼

  h4 F  L2 L ¼  : wmax 12 48E

Die Steifigkeitsrestriktion kann zweckmäßigerweise angesetzt werden zu

ð23:18Þ

23.3

Einfache Minimalauslegungen

375

F

Quadratprofil

x wmax

y z

z

h

L

Vorgegebene Größen

F, L, E, R e , w zul

Variable Größe

h

Strukturkennwert

S = F / L2

Abb. 23.3 Biegebalken mit quadratischem Vollquerschnitt nach [WIE 96]

   1 h 1S L 4  :  L erf 4 E wzul

ð23:19Þ

Für das Gewicht des Balkens gilt weiter  2 h G¼ρgh L¼ρgL  , L 2

3

ð23:20Þ

womit die maßgebende Gewichtsfunktion nach Gl. (23.15) formuliert werden kann:  f GS ¼

Gmin ρ  g  L3



 2   12 h 1 S L    : ¼ L 4 E wzul

ð23:21Þ

Bei einer Festigkeitsoptimierung wird die Biegerandbedingung σxxRand  Re

ð23:22Þ

aktiv. Die variable Profilgröße ist demgemäß aus dem erforderlichen Widerstandsmoment Wy ¼

h3 Mby F  L ¼ ¼ 4Re 6 Re

ð23:23Þ

zu bestimmen. Für die Festigkeitsrestriktion findet sich so    13  1 h 3 F 3 S 3  ¼ : L erf 2 Re  L2 2 Re

ð23:24Þ

Die steifigkeitsbezogene Gewichtsfunktion kann hier sodann übernommen werden als

376

23

 f GT ¼

Gmin ρ  g  L3



Strukturoptimierung

 2  2 h 3 S 3   : ¼ L 2 Re

ð23:25Þ

Um die Restriktionen (Gl. (23.19), (23.24)) als Grenzen der Zielfunktion fG, S/T verwenden zu können, ist es zweckmäßig, diese mittels des Strukturkennwertes und der Bezugsgröße

nss ¼

wzul E  L Re

ð23:26Þ

zu normieren. Damit ergeben sich die folgenden Grenzen für eine Minimalauslegung: • Steifigkeitsproblem

f GS min

1  1   1  12 1 S 2 L  Re 2 1 S 2 1 ¼  ¼  , 2 Re 2 Re wzul  E nss

ð23:27Þ

• Tragfähigkeitsproblem

f GT min ¼

 23  23 3 S  : 2 Re

ð23:28Þ

Den Verlauf der Zielfunktion in Abhängigkeit von dem Variablenverhältnis h/L zeigt die Abb. 23.4, wobei eine logarithmische Auftragung gewählt wurde, weil man es wegen der Bezugsetzung oft mit kleinen Größen zu tun hat. Die beiden Restriktionen grenzen hierbei das unzulässige Gebiet ab, das man aus Steifigkeits- und Festigkeitsgründen nicht unterschreiten sollte.

23.3.2 Gewichtsminimaler Knickstab Knickstäbe werden im Stahlbau vielfach zur zusätzlichen Aussteifung von Konstruktionen herangezogen und sollten daher ebenfalls gewichtsminimal ausgelegt werden. Es kann als bekannt vorausgesetzt werden, dass die Form des Querschnitts Einfluss auf die Belastbarkeit hat, weshalb hier exemplarisch die Alternativen Rund- und Quadratvollquerschnitt betrachtet werden sollen. Die angenommenen Verhältnisse hierzu zeigt Abb. 23.5. Als Auslegungsrestriktion soll die zulässige Knickspannung(s. Gl. (18.28))

23.3

Einfache Minimalauslegungen

377

log fG

0,05 Tragfähigkeitsrestriktion Steifigkeitsrestriktion unzulässiges Gebiet

0,01 0,005 0,002 0,001

f G T min f G S min

0,0001 0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

1,0 h log L

Abb. 23.4 Zielfunktion mit alternativen Auslegungsgrenzen

Kreisprofil r

F

F

i2 =

r2 4

i2 =

h2 12

Quadratprofil L h Vorgegebene Größen

F , L , E bzw . E T , ρ , R p 0 , 2 , R m

Variable Größe

r; h

Strukturkennwert

S = F / L2

Abb. 23.5 Druckstab mit Kreis- oder Quadratvollquerschnitt nach [WIE 96]

σ  σKkrit

rffiffiffiffi  2 i J ¼ π  ET  , mit i ¼ L A 2

ð23:29Þ

bis in den nichtlinearen Bereich angesetzt werden. Für das Gewicht ergibt sich dann weiter

378

23

Strukturoptimierung

F S G ¼ ρ  g  A  L ¼ ρ  g   L ¼ ρ  g  L3  σ σ bzw.  f Gmin ¼

Gmin ρ  g  L3

 ¼

S : σmax

ð23:30Þ

An dieser Gleichung sieht man, dass die Maximierung der Spannung äquivalent zur Minimierung des Gewichtes ist. Für die beiden Querschnittsformen kann die Spannung nun wie folgt angesetzt werden: σdK ¼

 2 F 1 L  S  ¼ r r2  π π

ð23:31Þ

 2 F L ¼ S  2 h h

ð23:32Þ

σdQ ¼

Unter Berücksichtigung der Restriktion folgt für die zu optimierenden Variablen  2 F π2 r  E   T L 4 r2  π  2 F π2 h    E T L h2 12 oder ropt 4 ¼

4 F   L2 π3 ET

ð23:33Þ

hopt 4 ¼

12 F   L2 : π2 ET

ð23:34Þ

Die jeweilige Variable kann auch als dimensionsloses Verhältnis mittels des Strukturkennwertes angegeben werden zu r 4 4 S opt ¼ 3 L π ET

ð23:35Þ

23.3

Einfache Minimalauslegungen

379

 4 hopt 12 S ¼ 2 : L π ET

ð23:36Þ

Wird nun die optimierte Variable in die entsprechende Spannungsbeziehung Gl. (23.31, 23.32) eingesetzt, so ergibt sich  3 1 1 π ET 2 σdKmax ¼  S   π 4 S ð23:37Þ

1

1 1 π2  E 2  S2 2 T 1 1 ¼ 0, 89  ET 2  S2 :

¼

 σdQmax ¼ S 

π2 E T  12 S

12

1 1 π ¼ pffiffiffiffiffi  ET 2  S2 12 1

ð23:38Þ

1

¼ 0, 91  ET 2  S2 : Das quadratische Profil erweist sich somit gegen Druckbeanspruchung als geringfügig besser, da mehr Material im Außenbereich angeordnet ist, und zwar σdQmax  1, 022  σdKmax : Ergänzend zu den vorstehenden Betrachtungen soll im Weiteren noch die Auslegung der artgleichen Hohlquerschnitte gezeigt werden. Unter den möglichen Bezügen soll jetzt angenommen werden, dass das Verhältnis (r/t) bzw. (h/t) vorgegeben und jeweils das Verhältnis (r/L) bzw. (h/L) zu optimieren ist. Diesbezüglich kann wieder für die beiden Querschnittsformen die Spannung angesetzt werden zu σdKR ¼

 2   F 1 L r ¼  S  2π  r  t 2π r t

ð23:39Þ

    F 1 L 2 h ¼  S  4ht 4 h t

ð23:40Þ

σdQR ¼

Über die Grenzbedingung mit der kritischen Spannung1

1

Anmerkung: Trägheitsradius Kreisrohr i2 ¼ r2/2, Quadratrohr i2 ¼ h2/6.

380

23

Strukturoptimierung

 2    2 1 L r π2 r  S   ET    2π r t L 2

ð23:41Þ

 2     1 L 2 h π2 h   S   ET   4 h t L 6

ð23:42Þ

erhält man wieder die optimalen Verhältnisse       14 r 1 r S  ¼ 3 L opt t ET π

ð23:43Þ

      14 h 3 h S  ¼  L opt t ET 2π2

ð23:44Þ

Werden auch diese wieder in die zugehörige Spannungsbeziehung Gl. (23.29, 23.40) eingesetzt, so folgt daraus

σdKRmax ¼ ¼



π r  4 t

     12 1 r 1 r S  S 3  2π t t ET π

12

1

1

 ET 2  S2  12 1 1 r ¼ 0, 89   ET 2  S2 t       12 1 h 3 h S   S  4 t t ET 2π2  2 12 1 1 π h ¼  ET 2  S2  24 t  12 1 1 h ¼ 0, 64   ET 2  S2 t

ð23:45Þ

σdQRmax ¼

Im Fall, dass h ¼ 2 r ist, ergibt sich vergleichsweise σdQRmax  1, 017  σdKRmax ,

ð23:46Þ

23.4

Bionische Optimierung

381

insofern können fallweise die Vorteile von Kreis und Quadrat genutzt werden. pffiffiffi In der Abb. 23.6 sind für diese Profile die Verläufe σ über S dargestellt und im Fall d ¼ 2  h: σdKRmax ¼ 1, 17  σdQRmax :

23.4

Bionische Optimierung

In der Mathematik gibt es eine Vielzahl von Optimierungsstrategien (wie Monte Carlo, Gradienten, Hooke-Jeeves, Box etc.) die eine paramenteriell formulierte Funktion mit Restriktionen zu minimieren gestatten. Die Schwierigkeit bei einer Optimierungsaufgabe ist, dass die Zielfunktion geschlossen mit den unabhängigen Parametern erstellt werden muss. In der Mehrzahl der Fälle ist diese Funktion stark nichtlinear und verfügt meist noch über Nebenminima. Diese Nebenminima täuschen einer Optimierungsstrategie ein Extremum vor, obwohl das echte Minimum noch nicht erreicht ist. Insofern liegt dann im Vergleich zum Startdesign nur eine verbesserte Lösung vor. Bis heute ist es zudem so, dass man sich mehr mit der Konvergenz der Lösungsstrategien als mit der Optimierung des Problems beschäftigen muss. Dies ist natürlich für die Praxis kein empfehlenswerter Ansatz. Ein pragmatischer Ansatz, der tatsächlich die beschriebenen Anwendungsprobleme weitestgehend behebt, sind die computerbasierten Optimierungsverfahren2CAO (Computer Aided Optimization) und SKO (Soft Kill Option), die das adaptive Wachstum von Bäumen und Knochen [MAT 92] als computersimulierte Strategie benutzen. An einer Vielzahl von Anwendungen konnte mittlerweile verifiziert werden, dass somit tatsächlich verlässliche Optimierungen möglich sind. Wegen der Einfachheit der Algorithmen und ihrer Abbildbarkeit in der FE-Methode erweisen sich kompakte Leichtbauteile als ein gut geeignetes Anwendungsfeld, da es hier stets um hochausgenutzte Konstruktionen geht. Der Zusammenhang zur CAO-Methode (Gestaltoptimierung) besteht nun darin, dass mittels des biologischen Wachstums das Axiom der konstanten Spannung realisiert wird, d. h., eine Bauteilauslegung wird dann als optimal angesehen, wenn weitestgehende Spannungskonstanz herrscht. Um in einem Körper eine derartige ideale (Oberflächen-) Spannungsverteilung herzustellen, wird im Weiteren eine Temperaturdehnungsanalogie benutzt. Eine Bauteiloptimierung läuft dann in den folgenden Schritten ab: 1. Voraussetzung ist, dass von einem Bauteil ein Grundentwurf vorliegt, der jetzt unter den bekannten Betriebslasten einer FEM-Analyse unterworfen wird. Notwendig ist dabei, dass eine randparallele Netzstruktur gebildet wird, da so leichter eine Gestaltanpassung möglich ist. Als Ergebnis der ersten Analyse erhält man an jedem Knoten die Verschiebungen, Dehnungen und die Vergleichsspannung. Anm.: CAO ¼ Gestaltoptimierung (Baumwachstum), SKO ¼ Topologieoptimierung (Knochenwachstum). 2

382

23

Strukturoptimierung

AlMgSi: R p0,2 = 200 MPa R m = 275 MPa

E = 70.000 MPa

500 log σ

E T = 48.000 MPa

plastischer Bereich

200

Rm

R p 0, 2

100

50

r t = 10

20

10 0,01

0,1

1

2

5 log S

10

Abb. 23.6 Nutzungsbereiche von Knickstäben als Voll- und Rohrquerschnitte (h ¼ 2r)

2. Danach wird eine Referenzspannung (z. B. σref ¼ Re) festgelegt, die an den am höchsten beanspruchten Zonen nicht überschritten werden soll. 3. Nunmehr wird die Temperaturdehnungsanalogie aktiviert; der Vergleichsspannungszustand wird in eine fiktive Temperaturverteilung ΔT  σv  σref umgerechnet, wodurch die folgende Analogie entsteht: • eine hoch beanspruchte Zone wird zu einem warmen Bereich und • eine niedrig beanspruchte Zone wird zu einem kalten Bereich.

23.4

Bionische Optimierung

383

Idee ist es nun, die warmen Bereiche auszudehnen und die kalten Bereiche schrumpfen zu lassen. Letztlich muss hierdurch Material „verschoben“ werden. Die Gestaltanpassung erfolgt ausschließlich in der Randzone und wird dadurch begünstigt, dass der E-Modul der Randelemente auf ca. E/500 herabgesetzt wird. 4. Im nächsten Schritt werden jetzt die mechanischen Belastungen ausgeschaltet und die Dehnungen der thermischen Differenzbelastung εv ¼ α  ΔT als äußere Belastung aufgegeben. Abb. 23.7 Prinzipieller Ablauf des CAO-Verfahrens

FE-Modell der Ausgangsstruktur

FE-Spannungsanalyse Verschiebungszustand v. Mises-Vergleichsspannung

Optimierungsstrategie Temperaturdehnungsanalogie ΔT = σ v − σ ref i

Dehnungsbelastung ε v = α ⋅ ΔT α Kern = 0 α Rand > 0 Bildung skalierter, vorgeschriebener Dehnungen

Dehnungen = äußere Belastung

angepasste Bauteilkontur σ ≤ σ ref konturoptimiertes Bauteil

nein

k

384

23

LOAD SET: 1 TIMESTEP: 1 TIME: 1.0 FRAME OF REF: GLOBAL STRESS - VON MISES MIN: 1.88 MAX: 687.06

Strukturoptimierung

ABAQUS 5.2-1 : * STATIC

589.18

491.30

393.41

295.53

197.65

99.76

Abb. 23.8 Optimierungsbeispiel „Winkel“ aus 46 Cr 2 – optimierter Konturverlauf

Die kontrollierte Gestaltänderung als Wachstumsprozess (Verschiebungen u, v, w) wird nunmehr dadurch initiiert, dass in der Randzone der Wärmeausdehnungskoeffizient mit α und im Kern mit α ¼ 0 angenommen wird. Dadurch passt sich die weiche Randzone dem Dehnungsverlauf gut an. Wie diese Vorgehensweise in eine Computerstrategie umzusetzen ist, zeigt noch einmal Abb. 23.7. Realisiert wurde dieser Ablauf beispielsweise in dem Programmsystem KONTOPT nach [FRE 94]. An einer Vielzahl von Anwendungsfällen, wo zwei- und dreidimensionale Bauteile optimiert worden sind, konnte mittlerweile die Praktikabilität dieses Verfahrens nachgewiesen werden. Ein fiktives Beispiel dazu mag der in Abb. 23.8 gezeigte volumenhafte Winkel sein. Als Testbauteil sei dieser an der kurzen Stirnfläche festgehalten und an der Oberkante der langen Stirnfläche mit einer gleichmäßigen Linienlast belastet. Zu erwarten ist, dass in der Kerbe eine hohe Spannungskonzentration entsteht. Um diese zu beherrschen, würde jeder Konstrukteur die Ecke ausrunden. Genau diese Maßnahme folgt aus der Temperaturdehnungsstrategie, wenn diese die Oberfläche des Winkels an den Spannungsverlauf durch Konturverschiebung angleicht. Im Leichtbau wären zur Entschärfung von Spannungsspitzen aber noch andere Maßnahmen denkbar, wie die konkurrierende Ausbildung von Rippen. Dies zeigt vergleichsweise Abb. 23.9 an einem kompakten Bauteil. Den Ort des Rippenwachstums kann dabei der Konstrukteur bestimmen; die Dimensionalität ergibt sich dann durch die Richtung und Größe der Hauptspannungstrajektorien. Damit ist ein leicht handhabbares und robustes Verfahren verfügbar, das breit anwendbar ist. Der Rippen-Algorithmus lässt sich auch auf Sicken in Blechbauteilen übertragen. Dies ist nicht nur in KONOPT möglich, sondern ist mittlerweile auch in vielen kommerziellen Programmsystemen, wie beispielsweise TOSCA, realisiert worden.

23.5

Kerbformoptimierung

LOADSET: 1 TIMESTEP: 1 TIME: 1.0 FRAME OF REF: GLOBAL STRESS - VON MI SES MI N: 2. 91 MAX: 690.41

ABAQUS 5.2-1 :

385

*STATIC

ABAQUS 5.2-1 :

LOADSET: 1 TIMESTEP: 1 TIME: 1.0 FRAME OF REF: GLOBAL STRESS - VON MI SES MI N: 2. 45 MAX: 688.09

*STATIC

592.20

590.14

493.98

492.19

395.77

394.24

297.55

296.29

199.34

198.34

101.13

100.39

Abb. 23.9 Spannungsgesteuerte Ausbildung von Rippen als Alternative zur Ausrundung a) Spannungsabbau durch eine Rippe b) Spannungsabbau durch zwei gleiche Rippen

6

6

Linie 3 Linie 3 5

5 Linie 2 3*

5 Linie 2 3 45° 1

3

Linie 1 1

3

d d

1

1 Lot

Lo t2

4 2

6

Linie 1

Abb. 23.10 Konstruktion und Verrundung eines Zugdreieckes

23.5

Kerbformoptimierung

Hohe Kerbspannungen auf der Oberfläche führen bei statisch und dynamisch beanspruchten Bauteilen oft zu Rissen und in der Folge zum Versagen. Jeder Ingenieur weiß, dass sich diese Situation durch Ausrundung entschärfen lässt. Mit Hilfe von FE-Analysen hat man ermittelt, dass einfache Viertelkreisbögen nicht das Optimum sind, sondern die Natur Kerbspannungen durch parabelförmige Übergänge minimiert. Ein in etwa gleiches Ergebnis erhält man mit dem manuellen Verfahren des Zugdreieckes (s. [MAT 10]). Die Grundidee des Zugdreiecks lässt sich sehr transparent an Baumfüßen beobachten. Der Stamm läuft am Fuß in Form einer positiven Cotangenz-Funktion aus, wodurch es zu einer Glättung der Oberflächenspannung kommt.

386

23

Strukturoptimierung

In Abb. 23.10 ist eine Konstruktionsvariante des Zugdreieckes für den Übergang an einer Wellenschulter oder einem Balkenanschluss dargestellt. Je nach den dimensionellen Möglichkeiten, erfolgt der Beginn der Konstruktion mit einem rechtwinkligen Dreieck, von dem eine Kathete festgelegt wird. Das nächste und übernächste Dreieck ergeben sich durch Halbierung der Hypotenuse. Letztlich muss der entstandene Linienzug noch abschnittsweise durch Radien geglättet werden.

Literatur [FRE 94] [MAT 92] [MAT 10] [WIE 96] [WIE 07]

Freitag, D.: Programmentwicklung KONTOPT. unveröffentl. Manuskript, Universität Kassel (1994) Mattheck, C.: Design in der Natur. Rombach, Freiburg (1992) Matthek, C.: Denkwerkzeuge nach der Natur. Karlsruher Institut für Technologie, Karlsruhe (2010) Wiedemann, J.: Leichtbau, Bd. 2. Springer, Berlin/Heidelberg (1996) Wiedemann, J.: Leichtbau, Bd. 3. Springer, Berlin/Heidelberg (2007)

Schwingbeanspruchte Strukturen

24

Viele im Stahlbau sowie alle im Fahrzeugbau und in der Luft- und Raumfahrt eingesetzten Konstruktionen werden dynamisch beansprucht. Wenn hierbei durch ein mögliches Versagen folgenreiche Schäden entstehen können, kommt dem Aspekt der Schwingfestigkeit, Bruchmechanik und der Zuverlässigkeit erhöhte Bedeutung zu. Vor diesem Hintergrund bedarf dann die herkömmliche Auslegung einer Erweiterung hinsichtlich eines Nutzungsdauer- und Bruchfestigkeitsnachweises. Zum Bruchfestigkeitsnachweis gehört insbesondere eine Restfestigkeitsabschätzung sowie eine Rissfortschrittsbetrachtung. In einigen Richtlinien (z. B. DIN 15 018, DIN EN 1993, FKM-Richtlinie, LTH) sind diese Nachweise bereits aufgenommen.

24.1

Konstruktionsphilosophien

Im einführenden Abschn. 3.1 ist schon dargelegt worden, dass eine Bauweisenentwicklung gewöhnlich in den Stufen Konstruktion, Bau und Erprobung abläuft. Ein Optimum bezüglich aller Forderungen ist oft nur in mehreren Iterationsschleifen zu erreichen. Weil dies zeit- und kostenintensiv ist, strebt man verstärkt Modellsimulationen an, um später die Zahl teurer Prototypen zu verringern und den Erprobungszeitraum zu verkürzen. Eine häufige Forderung im Leichtbau ist, dass eine Struktur eine bestimmte Nutzungszeit oder Lebensdauer erreichen soll. Dies beinhaltet die Vorstellung einer ermüdungs- und ausfallsicheren Konstruktion. Zielsetzung der Simulation ist es sodann, bereits im Stadium des Entwurfs die konstruktiven Gegebenheiten so auszurichten, dass alle Vorgaben durch Variation der Beanspruchung, Geometrie, Bearbeitung und des Werkstoffs erfüllt werden können. In der Umsetzung bedarf diese Konstruktionsphilosophie besonderer Vorkehrungen:

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_24

387

388

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

• Die Realisierung einer ermüdungsfesten Struktur (Flugzeuge) setzt im Wesentlichen voraus, dass alle Beanspruchungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit liegen und die Oberfläche oder Verbindungen nicht vorgeschädigt sind. • Die Erreichung einer bestimmter Lebensdauer, d. h. einer nur zeitfesten Struktur (Pkw, Lkw), ist dagegen ein Abstimmungsproblem zwischen der Beanspruchungshöhe, der Bauteilgeometrie und -beschaffenheit sowie den Werkstoffparametern. • Eine ausfallsichere Struktur erfordert darüber hinaus Vorkehrungen bezüglich jeglichen Versagens während der Gesamtnutzungsdauer. Damit diese Ausfallsicherheit garantiert werden kann, müssen gegebenenfalls redundante Kräftepfade geschaffen werden. Die mit diesen Nachweisarten verbundenen Fragestellungen führen zu der Notwendigkeit, eine Konzeption zur Lebensdauerabschätzung zu entwickeln. Wie später noch dargelegt wird, können die erforderlichen Betrachtungen zweistufig (Urzustand-Anriss-Bruch) oder einstufig (Mikroanriss-Bruch) vorgenommen werden. Weiter wird auch gezeigt, in welcher Weise die Form der Beanspruchungsfunktion und die Natürlichkeit des Werkstoffs maßgebend sind. Damit sei angedeutet, dass die Aussagen nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit relevant sind, weil die Lastdaten und die Werkstoffkenngrößen zufallsartigen Charakter haben.

24.2

Problematik des rechnerischen Nachweises

Oftmals sind Leichtbaukonstruktionen absolute Neuentwicklungen oder Einzelanfertigungen. Dies bedeutet dann, dass für eine schadenskritische Betrachtung auf keine Erfahrungswerte zurückgegriffen werden kann bzw. zu einer Absicherung auch keine Versuche möglich sind. Ein sicherer Entwurf muss daher stark auf eine Simulation abgestützt werden. Als generelle Problematik der Aussagesicherheit sind hier dann einige Unwägbarkeiten von Bedeutung, die zurückzuführen sind auf • den nur statistisch auswertbaren Beanspruchungsverlauf durch ein Klassierverfahren, • die komplexen Einflüsse aus den Strukturmerkmalen Größe, Form, Oberfläche und gegebenenfalls Eigenspannungen, • die oft nur statistisch vorliegenden bzw. abgesicherten Werkstoffkennwerte sowie • ein phänomenologisches Versagensmodell. Ein hierauf abgestimmtes Berechnungsmodell hat daher ebenfalls Wahrscheinlichkeitscharakter, d. h., die Aussagen können nicht absolut gewertet werden, sondern unterliegen einer gewissen Vertrauenswahrscheinlichkeit. Der große Nutzen einer schadenskritischen Analyse ist daher in der quantifizierten Vergleichbarkeit von konstruktiven Varianten oder Modifikationen zu sehen. Bei einem entsprechend großen Aufwand sind aber realistische Grenzabschätzungen mit nichtlinearen Berechnungsverfahren möglich.

24.3

24.3

Auswertung des Beanspruchungsverlaufs

389

Auswertung des Beanspruchungsverlaufs

Genauso vielfältig wie die Einsatzgebiete von Leichtbaustrukturen sind auch die vorkommenden Beanspruchungsverläufe, für die es auszulegen gilt. Eine ordnende Übersicht zeigt die Abb. 24.1. In Abhängigkeit davon, ob die beschreibenden Kennwerte (Mittelwert, Streuung) eines Verlaufs konstant oder mit der Zeit veränderlich sind, liegt entweder ein stationärer oder instationärer Vorgang vor. Charakteristisch für die skizzierten Verläufe ist • beim periodischen (deterministischen) Verlauf die zeitliche Wiederkehr der gleichen Beanspruchung, sodass zu jedem Zeitpunkt eine eindeutige Reproduzierbarkeit des Beanspruchungsfalls möglich ist, • beim stationären (stochastischen) Verlauf die nur statistische Bewertbarkeit der Beanspruchung, die eine generelle Reproduzierbarkeit des Beanspruchungsfalls ausschließt,

periodischer Verlauf  t stationäre Beanspruchung stationär regelloser Verlauf  t dynamische Beanspruchung stoßartiger Verlauf  t instationäre Beanspruchung instationär regelloser Verlauf  t Abb. 24.1 Typisierte Beanspruchungsverläufe nach [ZAM 85]

390

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

• beim stoßartigen Verlauf der Einschwingvorgang mit großer Anfangsbeanspruchung und dem Abklingvorgang und • beim instationären Verlauf die zeitliche Veränderlichkeit von Mittelspannung und Amplitude. Am einfachsten ist hierunter der periodische Verlauf (Sinusfunktion bzw. idealisierter Sinus) zu bewerten. Normalerweise kann dies mit der Festigkeitsbedingung (s. VDI 2226) σo ¼ αK  σm þ ßK  σa  σozul ¼

σA : SD

ð24:1Þ

erfolgen. Dies impliziert, dass die Beanspruchung im Dauerfestigkeitsgebiet erfolgt und eine Versagenssicherheit der Oberspannung σo gegen die Dauerfestigkeit σA auszuweisen ist. Überschreitet die Oberspannung die Dauerfestigkeitsgrenze, so liegt ein Zeitfestigkeitsoder Lebensdauerproblem vor. In dieser Hinsicht ist der periodische Verlauf als ein Einstufenkollektiv aufzufassen, welches nur endlich ertragen werden kann. Viel häufiger kommen aber im Betrieb regellose Verläufe vor, deren Schwierigkeit im Erfassen der Ablauffolge besteht. Dies korrespondiert auch mit dem Schädigungsverhalten von Schwachstellen, für dessen Versagen meist nicht ein einmaliger Spitzenwert maßgebend ist, sondern die Häufigkeit von Beanspruchungsfolgen. Insofern gilt es, für eine Bewertung die kennzeichnenden Merkmale einer Beanspruchungsfunktion zu erfassen, was zu einer statistischen Aussage führt. Als Möglichkeit bietet sich hierzu eine Zähltechnik an, in dem • eine Zählung von Umkehrpunkten (Maxima/Minima), • eine Zählung von Bereichen (absteigende, aufsteigende Flanken) oder • eine Zählung von Wertüberschreitungen in einem Raster vorgenommen wird. Als Ergebnis erhält man eine Kennfunktion (Kollektiv) in der Auftragung sortierte Beanspruchungen über die Häufigkeit. In der Anwendung haben sich vor allem die so genannte Klassengrenzen-Überschreitungs- und die Bereichspaarzählung durchgesetzt. Beispielhaft zeigt hierzu Abb. 24.2 die Ermittlung eines Kollektivs entsprechend der Klassengrenzen-Überschreitungszählung an einer als kritisch vermuteten Stelle in einer Struktur. Dazu wird über den Beanspruchungsverlauf ein äquidistantes Netz (Klassen, siehe auch DIN 45667) gelegt. Empfohlen seien je 8–10 Klassen, wobei die erste Klasse unterhalb der Minimalbeanspruchung liegen soll. Mit der Zählung wird das Durchschreiten der positiven (oder negativen) Flanken durch die Klassen erfasst. Für die weitere Auswertung ist aber das Amplitudenkollektiv σa(t) maßgebend. Dies erhält man durch eine rasterartige Ausmittlung der beiden Zweige gemäß

24.3

Auswertung des Beanspruchungsverlaufs

391

F

F(t)

σ

Hü 0 1 3 4 5 4 3 2 1

8 6 4 2 0

t

σ max

σ min

1

2

3 4 log H ü

5

σa

Klassengrenzen σ

t

Abb. 24.2 Umwandlung eines Beanspruchungsverlaufs in ein Kollektiv

σ aj ¼

 1
σ  σjmin : 2 jmax

ð24:2Þ

Wie daraus ersichtlich wird, reduziert sich das Kollektiv auf nur einen Zweig. Durch die dargestellte Technik der Kollektivbildung gehen jedoch vom ursprünglichen Beanspruchungsverlauf die zeitliche Aufeinanderfolge der Amplituden und die Frequenzen1 verloren. Das somit erstellte Amplitudenkollektiv (Messkollektiv) repräsentiert meist nur einen kurzen Beanspruchungsabschnitt innerhalb der Gesamtdauer der einwirkenden Beanspruchung. Insofern ist es notwendig, die Auswertung auf die erwünschte Gesamtbeanspruchung auszudehnen. Hierzu bietet sich eine Extrapolation über die Höchstwertverteilung an, deren Konzept in der Abb. 24.3 entwickelt ist. Vom Ablauf ist dabei wie folgt vorzugehen:

1

Anmerkung: Will man diese Informationen behalten, so muss zu einer mehrdimensionalen Zählung (z. B. Rainflow) übergegangen werden.

392

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

a) σ Ka max

log σa

σ Ka max = 0,5 (σ K max − σ m)

e log H ü

tM

tN

b)

σ 2 max

σ 4 max

σ3 max

σ n max

σ

σ1 max

t1

t3

t2

tn

t4 tM

98 90 % 80

umsortiert (max ® min) a = 2 1H ü

Hü [%]

c)

70 60 50 40 30 20

σ max

σ1 max > σ 2 max > σ3 max >.... > σ n max

i Hü

10

1

2

3

3i − 1 ⋅ 100 3n + 1

n (%)

aN

H ü, N

log σi max

σ K max

Abb. 24.3 Extrapolation zum Kollektivhöchstwert a) vom Mess- zum Nutzungskollektiv b) Höchstwertverteilung innerhalb der Belastungsabschnitte c) Ermittlung des Kollektivhöchstwertes zu aN

• Die Überschreitungshäufigkeiten des Grundkollektivs (H€u, M ¼Häufigkeiten des Messkollektivs) sind zunächst durch Multiplikation mit dem Faktor tN/tM bzw. nN/nM auf einen größeren Umfang (H€u, N ¼ Häufigkeiten des Gesamtnutzungskollektivs)

24.3

Auswertung des Beanspruchungsverlaufs

393

umzuwerten. In der logarithmischen Auftragung ist dies gleichzusetzen mit einer Rechtsverschiebung des anfänglich ermittelten Kollektivs. • Durch Stichprobenauswertung in beliebigen Beanspruchungsabschnitten (ti  tE) ist das Verteilungsgesetz der Beanspruchungsmaxima σmax zu finden. Vielfach kann dieses als Gauß’sche Normalverteilung angegeben werden. • Die sortierten Extremwerte σimax sind mit ihrer zugeordneten Auftretenshäufigkeit H€ui ¼

i ¼ Ordnungsza h1 von 1, 2, . . . , n 3i  1  100 ½%, 3n þ 1 n ¼ Stichprobe numfang

im doppellogarithmischen Wahrscheinlichkeitspapier (zum dekadischen Logarithmus) aufzutragen. Die Auftragung kann gewöhnlich zu einer Geraden ausgemittelt werden. Bildet sich keine Gerade aus, so gehorcht der Versagensmechanismus nicht dem Zufall, sondern es wird ein anderer Ablauf wie beispielsweise Verschleiß2 vorliegen. • Gemäß der Beziehung

H€u ¼

1 t  100 mit a ¼ M , tE ¼ t1 ¼ t2 ¼ . . . ¼ tn 2a tE

ð24:3Þ

ist der Zusammenhang zwischen der Überschreitungswahrscheinlichkeit und dem Belastungsabschnitt a herzustellen. • Den Kollektivhöchstwert σKmax erhält man somit zu der Überschreitungswahrscheinlichkeit H€u, N ¼

1 1 t ¼  E, 2 aN 2 t N

wobei zu aN (Belastungsabschnitte über die Nutzungszeit) extrapoliert werden muss. Mit der Eintragung des Höchstwertes kann so das ursprüngliche Bezugskollektiv ausgedehnt werden auf die Gesamtbeanspruchungsdauer. Vielfach liegt aber im Entwurfsstadium der Beanspruchungsverlauf nicht gesichert vor. Um dennoch Aussagen über die Zeitbeanspruchbarkeit eines Bauteils machen zu können, besteht noch die Möglichkeit, so genannte Einheitskollektive zu nutzen. Es ist nämlich empirisch belegt, dass bei typischen Anwendungsfällen bestimmte 2

Anmerkung: Bei Verschleißproblemen ist dementsprechend auf die Weibull-Verteilung zurückzugreifen.

394

24



1,0

4,0 log

Schwingbeanspruchte Strukturen

H ü  H ü max 1  (ai / a ) 

2,0

ai a

1,0

e

b 0,8

c

d

a

0,6 0 log H ü

10 6  H ü max

Abb. 24.4 Standardisierte Kollektivformen a Lambdakollektiv, b logarithmische Normalverteilung, c Gradlinienverteilung, d Normalverteilung, e Deltakollektiv

Häufigkeitsverteilungen ganz charakteristisch vorkommen. In Abb. 24.4 ist weiter eine Katalogisierung dieser Kollektivformen vorgenommen worden. Für vergleichende Parameterstudien kann hieraus ein Kollektiv ausgewählt und die probalistische Nutzungsdauern abgeschätzt werden. Vereinbarungsgemäß wird dabei der Umfang auf 106 Überschreitungshäufigkeiten begrenzt, was entsprechende Lastwechsel bedeutet. Für die Erstellung und Weiterverarbeitung derartiger Standardkollektive sei auf die FKM-Richtlinie verwiesen.

24.4

Versagensverhalten

Für das Phänomen der Ermüdung der Werkstoffe gibt es bis heute nur hypothetische Vorstellungen. Verbreitetes Modell ist, dass zufolge wiederholter Verformungen Versprödung eintritt und hiervon ausgehend sich Mikrorisse ausbreiten. Demnach unterscheidet man das Wechselerformungsverhalten (von der ersten Beanspruchungsschwankung bis zum technischen Anriss) und das Bruchverhalten (Rissausbreitung bis zum Bruch). Als klassisches Experiment zur Bestimmung des Dauerfestigkeitsverhaltens eines Werkstoffs bzw. einer Bauteilprobe ist der Wöhlerversuch bekannt. Entsprechende Wöhlerlinien (Auftragung nach Basquin) werden in abgestimmten Schwingfestigkeitsversuchen jeweils bis zur Grenznutzungsdauer ermittelt. Diese ist gewöhnlich bei Proben der Bruch und bei hinreichend großen Bauteilen ein ausgeprägter Anriss. In Abb. 24.5 ist eine Proben-Wöhlerlinie mit den notwendigen Identifikationsgrößen (Spannungsverhältnis R ¼ σu/σo oder Mittelspannungslage σm, Formzahl αK) skizziert.

24.4

Versagensverhalten

395

R bzw. σm = konst, αK, PA = 10, 50, 90 % _+Mba

-1,282·s +1,282·s

log σa

f(N)

1% 10 %

50 %

μ

99 % N

90 %

k

σA

-20 % Kurzzeitfestigkeitsbereich

Zeitfestigkeitsbereich (high cycle fatique)

Dauerfestigkeitsbereich (ultra high cycle fatique) N G ≈ 106

108

109

log NR Abb. 24.5 Proben-Wöhlerlinie und deren statistische Auswertung als logarithmische Normalverteilung (Berücksichtigung des Abfalls zwischen 108-109 LW)

Für eine Übertragbarkeit der Aussagen auf entsprechende Bauteile ist eine weitestgehende Ähnlichkeit zur Probe zwingend. Angleichungen sind jedoch möglich bei Formzahl, Beanspruchungsart (Axialbeanspruchung in Biegung oder Drillung, Biegung in Drillung) und beim Mittelspannungsniveau, wofür es spezielle Umwichtungsfaktoren gibt. Wie aus dem Kurvenverlauf zu erkennen ist, gibt es unter Schwingbeanspruchung eine Abhängigkeit zwischen der Beanspruchungshöhe (σai) und den ertragbaren Schwingspielen (Ni). Die Schwingspielzahl ist hierbei ein statistischer Wert aus 8-10 Probenwerten je Niveau, wobei die Auftragung die zeit- und dauerfest ertragbaren Spannungsausschläge abgrenzt. Des Weiteren erfolgt auch noch eine Charakterisierung mittels der Ausfallwahrscheinlichkeit. Bis zur PA¼10-%-Linie sind 10 % der Proben bzw. bis zur PA¼50-%-Linie 50 % der Proben ausgefallen. Der Zeitfestigkeitsbereich wird darüber hinaus noch durch die Neigung k ¼

Δð log NÞ log ðN1 =N2 Þ log N1  log N2 ¼ ¼ Δð log σa Þ log σa 1  log σa 2 log ðσa 1 =σa 2 Þ

ð24:4Þ

396

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

des Zeitfestigkeitsastes zwischen zwei Punkten (1,2) beschrieben. Dieser so genannte Wöhlerlinienexponent nimmt für flach verlaufende Wöhlerlinien große Werte (z. B. k  10) und für steil verlaufende Wöhlerlinien kleine Werte (z. B. k  3) an. Damit lässt sich die Wöhlerliniengleichung darstellen als N1 ¼ N2

 k  1k σa1 σa1 N1 bzw: ¼ : σa2 σa2 N2

ð24:5Þ

Den horizontalen Übergang zum Dauerfestigkeitsbereich kennzeichnet die Dauerfestigkeit und die Grenzlastspielzahl, die bei Stahl etwa bei Lastwechseln von NG  2  106 liegt. Bei den üblichen NE-Metallen (Al, Mg) sind hingegen die Verhältnisse etwas anders. Die Experimente zeigen dort einen weitestgehenden nichtlinearen Zusammenhang zwi-

log a

Proben-WL

A1

Bauteil-WL A2

NG

=F

A2

Größeneinfluss:

log N

A1 = FG1, 2

FOT1, 2

A1

ß n FG1, 2 = k1 = k1 2 ßk 2 k 2 n1

Technologieeinfluss: FT = 1; geschmiedet FT1, 2 =

2195 R m1 2195 R m 2

Oberflächeneinfluss: FO = 1 0 , 22 ( log Rz ) 0 , 64 log R m + 0 , 45 ( log Rz ) 0 , 45

FO

1, 2

res. Faktor:

FOT

1, 2

=

FO

2

FO

1

=1

2

1 FO

1, 2

+ 1 + FT

2

1, 2

Abb. 24.6 Absenkung einer Proben-Wöhlerlinie zu einer Bauteil-Wöhlerlinie (Werkstoff: Stahl)

24.5

Arbeitsmechanische Schadensakkumulation

397

schen σa und N. Auch ist kein deutlicher Abknickpunkt zwischen der Zeit- und Dauerfestigkeit festzustellen, weshalb man eine fiktive Grenze bei NG  107 festlegt. Insofern ist bei diesen Werkstoffen der Zeitschädigungsbereich insgesamt länger. Ein weiteres Problem besteht noch in der Verifizierung von Probenwerten auf Bauteile, wo sich wegen abweichender Verhältnisse die Dauerfestigkeitswerte oft unterscheiden. Diesbezüglich ist auch von einem anderen Schädigungsverhalten (primärer Anriss statt Bruch) auszugehen. Im Sinne eines konservativen Ansatzes kann hier die in der Abb. 24.6 gezeigte Vorgehensweise (konventionelle Absenkung) eingeschlagen werden. Das Prinzip besteht darin, die Proben-Wöhlerlinie im Verhältnis zum Größenunterschied (veränderte Kerbwirkung), zu den technologiebedingten Einflüssen und zum geänderten Bearbeitungsverfahren auf die Bauteil-Wöhlerlinie abzusenken. Der hierzu erforderliche Ansatz σA2 ¼ F  σA1

ð24:6Þ

umfasst nur den Dauerfestigkeitsbereich. Voraussetzung ist jeweils eine abgesicherte Proben-Wöhlerlinie. Liegt diese jedoch nicht vor, so bietet sich das Konzept der synthetischen Wöhlerlinien3 an, auf das hier jedoch wegen des Umfangs nicht eingegangen werden kann.

24.5

Arbeitsmechanische Schadensakkumulation

Bisher wurde dargelegt, wie die Beanspruchung und die Beanspruchbarkeit eines Bauteils erfasst werden können. Im Folgenden geht es nun darum, die Nutzungsdauer zu quantifizieren. Gemäß der zuvor vorgenommenen Abgrenzung ermöglicht die Schadensakkumulation eine Abschätzung (Zeit, Lastwechsel) bis zur Rissbildung. Hierbei folgt die Nutzungsdauer aus der Arbeit, die ein Bauteil bis zur Schädigung absorbieren kann. Damit hängt die Bestimmung des Belastungsumfangs zusammen. Abgeleitete Fragestellungen beinhalten: • die Ertragbarkeit der auftretenden Betriebsbeanspruchung innerhalb der vorgegebenen Nutzungsdauer, • die Wertung von Nutzungsdauern für konstruktive Varianten oder • die Wertung von Nutzungsdauern für unterschiedliche Beanspruchungsabläufe.

Anmerkung: Berechnung von Wöhlerlinien für Bauteile aus Stahl, Stahlguss und Grauguss – synthetische Wöhlerlinien. Bericht ABF 11, Verein Deutscher Eisenhüttenleute, Düsseldorf 1984

3

398

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

Für einen entsprechenden Nachweis soll das häufig benutzte Verfahren der Akkumulation von Palmgren-Miner und die Modifikationen von Haibach bzw. die Elementar-MinerRegel demonstriert werden. Hypothese des Palmgren-Miner-Verfahrens ist der lineare Zusammenhang zwischen der Schädigung und den einwirkenden Schwingspielen. Annahme ist dabei, dass die verrichtete Schädigungsarbeit etwa proportional zur Spannungsamplitude und zur Lastspielzahl4 ist. Dies kann an dem folgenden Gedankenmodell verifiziert werden. • Führt man ein Lebensdauerexperiment mit Proben durch, so kann etwa die folgende Abhängigkeit gefunden werden: σa l  Nl  πl ð¼ Brush bzw:BrusharbeitÞ ⋮ σai  Ni  πi , wobei σa1 > σai > σar mit Nl < Ni < Nr ⋮ σar  Nr  πr , d. h., für alle Niveaus ist die Schädigungs- bzw. Brucharbeit πl ¼ πi ¼ πr ¼ π gleich. Vorausgesetzt ist jeweils eine konstante einstufige Beanspruchung. • Nun sei ein äquivalentes Kollektiv angenommen. Um dieses vergleichbar zu machen, muss es in den Stufen 1 bis r getreppt werden. Je Niveau treten dabei Lastspiele ni < Ni auf. Diesbezüglich werden also nur Schädigungsteilarbeiten πi verrichtet. Als Abhängigkeit soll somit wieder gelten:

σa l  nl  πl ð¼ anteilige Sch€adigungÞ, ⋮ σai  ni  πi , ⋮ σar  nr  πr : Unter der weiteren Annahme, dass auch das aufgebrachte Kollektiv zum Bruch führt, muss also die Summe der Teilschädigungsarbeiten gleich der Brucharbeit sein:

4

Anmerkung: Versuche zeigen, dass die Annahme der linearen Proportion nicht bestätigt wird, sondern dass sich ein nichtlinearer Zusammenhang einstellt.

24.5

Arbeitsmechanische Schadensakkumulation

πl þ . . . þ πi þ . . . þ πr ¼ π:

399

ð24:7Þ

• Zufolge dieser Überlegungen wird die lineare Proportionalität πi ni n ¼ bzw:πi ¼ i πi πi N i Ni unterstellt. Wird diese Beziehung in Gl. (24.7) eingesetzt, so folgt für Bruch nl n n π þ . . . þ i πi þ . . . þ r πr ¼ π Nl l Ni Nr oder r X ni ¼ 1: N i i¼1

ð24:8Þ

Die Summe über die Lastspielquotienten gleich „eins“ stellt demnach die Palmgren-MinerHypothese für Bauteilversagen durch Bruch dar. Allgemein kann diese für ein beliebiges Kollektiv angegeben werden als DK ¼

ℓ X ni , mit r ¼ ℓ f€ur σai > σA : N i i¼1

ð24:9Þ

Per Definition soll für DK ¼ 1 bei der Probe Bruch und beim größeren Bauteil Anriss vorliegen. Vielfach wird aber bei hochgradigen Sicherheitsteilen die Grenze auf DK 0,3–0,5 abgesenkt werden müssen, da die Experimente einen Streubereich5 um das Versagenskriterium aufweisen. Der praktische Ablauf des Palmgren-Miner-Verfahrens ist in Abb. 24.7 als grafisches und rechnerisches Konzept gezeigt. Die Auswertung besteht demnach in einer Spiegelung des Kollektivs an der Wöhlerlinie und dessen Bewertung. Für die Diskretisierung des Kollektivs sollten mindestens acht Stufen gebildet werden, die es entsprechend abzustufen (z. B. nach FKM-Richtlinie) gilt.

Anmerkung: Miner hat in seinen Probenversuchen Schadenssummen zwischen DKmin ¼ 0,79 und DKmax ¼ 1,49 festgestellt. Durchschnitt über seine Versuchsreihen war jedoch DK  1,05 5

400

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

Zug/Druck, PA = 50 % σa1,n1

R bzw. σm= konst., αK

σa2

log σa

σa3

σa4 k

n3

n2

d

n4

l

σA

PM

γ γ

m

H

2k-1

n EM≈CD CD 1

10

Stufe

i

10

2

10

3

Über- Stufen- Spanschrei- last- nung σ A tungs- spiele σ ai häufigkeit Hü ni σai

4

5

10 N4

σA σ ai

k

10

σA σ ai

( (( (

2 k −1

6

10 Nl

10

7

N'm

8

10 Nn N''m log N

σ Ni = NG A σ ai

( (

k*

n DK = ∑ i Ni

l . . .

. . . n

aus dem Kollektiv entnehmen

zur Berechnung von Ni oder aus dem Wöhlerdiagramm abzulesen

DK=

( k * = k bzw. 2 k − 1 , N G = 2 . 106 )

Abb. 24.7 Schadensakkumulation nach Palmgren-Miner, Haibach bzw. Elementar-Miner-Regel/ Corten-Dolan

• Als Bedingung wurde von Miner formuliert, dass alle Beanspruchungsamplituden des Kollektivs oberhalb der Dauerfestigkeit liegen sollen. Bei der Anwendung des Verfahrens bleibt dies meist aber unberücksichtigt. Das Kollektiv kann demgemäß nur bis zur

24.5

Arbeitsmechanische Schadensakkumulation

401

Stufe ℓ gespiegelt werden, d. h., die Stufen m und n werden dabei nicht erfasst. Die Nutzungsdauer bestimmt sich somit zu ℓ P

NR ¼

ni

i¼1 ℓ P

ð24:10Þ

, ni Ni

i¼1

oder mit Bezug auf den Eckwerten (σA, NG) der doppellogarithmischen Wöhlerlinie als ℓ P

NR ¼

ni

i¼1 ℓ P i¼1

ni NG

 k :

ð24:11Þ

σai σA

• Bestätigt durch die Erkenntnis, dass auch Beanspruchungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit mit zur Werkstoffschädigung beitragen, wenn vorher im Zeitfestigkeitsbereich geschädigt wurde, hat man Modifikationen des Miner-Verfahrens entwickelt. Praktische Bedeutung haben hierunter das Verfahren nach Haibach und die ElementarMiner-Regel gefunden. In den USA wird dagegen das Corten-Dolan-Verfahren bevorzugt, das prinzipiell für viele Werkstoffe wie die Elementar-Miner-Regel durchzuführen ist. Vom exakten Ansatz wird hier mit einer modifizierten Steigung des Zeitfestigkeitsastes d ¼ w  k  k gearbeitet. Nach der Elementar-Miner-Regel wird der Zeitfestigkeitsast mit der gleichen Steigung in den Dauerfestigkeitsbereich hineinverlängert. Dies ermöglicht dann die Spiegelung aller Kollektivstufen. Für die Schädigung erhält man so

DK EM ¼

r X ni , ðmit r  n als hüchste StufeÞ N i i¼1

ð24:12Þ

und für die Nutzungsdauer r P

NR

EM

¼

i¼1 r P i¼1

r P

ni ¼ ni Ni

r P i¼1

ni

i¼1 ni NG

 k : σai σA

ð24:13Þ

402

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

Nach der Modifikation von Haibach wird dagegen der Zeitfestigkeitsast bei doppellogarithmischer Auftragung nur mit halber Steigung in den Dauerfestigkeitsbereich verlängert. Es ergeben sich somit unterschiedliche Teilschädigungssummen, und zwar DK H ¼

m r X X ni ni þ  N N i i¼1 i¼mþ1 i

ð24:14Þ

mit  Ni ¼ NG

σA σai

k

 k σ bzw:Ni ¼ NG A σai 

ð24:15Þ

und k ¼ 2 k  1:

ð24:16Þ

Die Nutzungsdauer findet sich so wieder zu r P

NR H ¼

m P i¼1

ni NG

 k σai σA

ni

i¼1

þ

r P

i¼mþ1

ni NG

 2k1 : σai σA

ð24:17Þ

Vergleiche an Proben haben gezeigt, dass sich eine Abschätzung nach Palmgren-Miner meist als zu gut bzw. eine nach der Elementar-Miner-Regel als zu schlecht erweist. Im Sinne dieser Tendenz scheint daher eine Abschätzung nach Haibach einen akzeptablen Mittelwert darzustellen. Damit wird das Grundproblem dieser Hypothesen deutlich, in denen der Belastungsverlauf und die Werkstoffwerte (NG, σA, k) statistisch eingehen sowie die Werkstoffstruktur als ideal angenommen wird. Vorkommende Abweichungen zwischen Theorie und Experiment haben weiterhin ihre Ursache in den nicht eindeutig erfassbaren werkstoffmechanischen Fehlern, was auch in Abb. 24.8 verdeutlicht wird. Wird beispielsweise das in der Abbildung dargestellte Bauteil dynamisch beansprucht, so ist letztlich für die Nutzungsdauer der größte werkstoffmechanisch vorhandene Fehler amax maßgebend. Werden dagegen aus dem Bauteil n Proben hergestellt, so ergibt sich meist eine recht gleichmäßige Verteilung der Proben-Lebensdauern, wobei Ausreißer6 wie bei Probe 12 – möglich sind. Diesbezüglich sei noch einmal darauf hingewiesen, dass 6

Anmerkung: Auffällige Messwerte sollten unbedingt einem Ausreißertest (z. nach Pearson oder Grubbs) unterworfen werden.

24.5

Arbeitsmechanische Schadensakkumulation

403

größter Riss in der Probe i 1

F(t)

F( t )

2 Einschluss in der Probe k

3

Werkstoffurzustand

technischer Anriss

Rissbildungsphase

anrissfreie Phase

Bruch

Rissfortschrittsphase

Lebensdauer bis zum technischer Abriss Gesamtlebensdauer Anzahl Schwingspiele

Hü [%]

95

Hü =

90

LebensdauerEinzelergebnisse von 12 Proben

80 70 60 50 40 30 20 10 5

3 . i −1 . 100% 3. n +1

LebensdauerErgebnis des Block Nr. 12

10

4

10

6

5

10 N

N1

T

N11

Abb. 24.8 Statistische Verteilung von Proben-Lebensdauern

log N

404

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

die zuvor ermittelten Nutzungsdauern nicht in jedem Fall als absolut zu verstehen sind. Der Nutzen liegt in der Praxis in Lebensdauerabschätzungen von Grenzen oder im Variantenvergleich.

24.6

Verbesserung der Aussagegenauigkeit

Unter der Zielvorgabe, die Abweichungen zwischen den realen und den ideal ermittelten Nutzungsdauerergebnissen zu minimieren, hat man sich in der Folgezeit um Korrekturverfahren bemüht. Hierunter sind zusammenzufassen • die so genannten Relativierungsregeln und • die korrektive Angleichung. Die einfachste Art zu relativieren besteht darin, einen auf Erfahrung beruhenden Korrekturfaktor fN ¼

Nexp Ntheo

ð24:18Þ

einzuführen, der Streuungen zwischen experimentell und theoretisch ermittelten Nutzungsdauern abgleicht. Damit kann auf der Basis abgesicherter Versuchsergebnisse eine Nutzungsdauer fN  NR

M

¼

m P

ni

i¼1

m P

i¼1

ð24:19Þ

ni Ni

mit höherer Vertrauenssicherheit ermittelt werden. Eine weitere Betrachtungsweise ermöglicht noch die Relativ-Miner-Regel [SCH 73], die eine Verbindung zwischen experimentellen und berechneten Nutzungsdauern bei ähnlichen Beanspruchungskollektiven herstellt. Unter der Vorgabe etwa gleicher Schadenssummen DexpðKollektivAÞ  DtheoðKollektivBÞ kann so als vorausbestimmte Nutzungsdauer angesetzt werden:

24.6

Verbesserung der Aussagegenauigkeit

405

P



m ni i¼1 Ni exp

NRtheo M ¼ P m



ni i¼1 Ni theo

 NRexp :

ð24:20Þ

Der Ansatzpunkt der korrektiven Angleichung ist im Weiteren darin gegeben, dass die im vorstehenden Kapitel errechneten Nutzungsdauern sich hauptsächlich an der 50 %-Wöhlerlinie abstützen. Demnach liegt seitens des Werkstoffs eine erhebliche Unsicherheit vor. Auf Grund von statistischen Aufbereitungen der logarithmisch normal verteilten Einflüsse existieren zur Korrektur die im Abb. 24.9 gezeigten Diagramme. Hiernach ist es möglich, Ausfallwahrscheinlichkeit PA

50 %

10 %

10

1%

0,1 %

0,01 %

0,001 %

Streumaß 1/T

8 6 4

2

2

3

4

5

10 20 30 Sicherheitszahl iL

Risikofaktor j

2,4 2,2

2

2,0

3

1,8

4 5 6 8 10 20 30 50

1,6 1,4 1,2 1,0

1

2

3

4

6

8

Anzahl der Einzelversuche n

1

10

Streumaß 1/T Abb. 24.9 Diagramme zur Korrektur der 50-%-Lebensdauerwerte nach [AUT 85] a) für höhere Ausfallwahrscheinlichkeit b) für besser abgesicherte Wöhlerlinien

40 50

406

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

so genannte 50 %-Nutzungsdauern zu geringeren Ausfallwahrscheinlichkeiten zu korrigieren, und zwar mit dem Ansatz NRðPA ¼x%Þ ¼

NRðPA ¼50%Þ : i L  ðj Þ

ð24:21Þ

Hierin ist iL eine Sicherheitszahl. Ist darüber hinaus die Wöhlerlinie selbst nicht statistisch abgesichert, sondern nur aus einer geringen Anzahl von n Einzelversuchen konstruiert, so muss weiter noch durch den Risikofaktor j dividiert werden. Parameter beider Diagramme ist dabei die Streuspanne T der Bauteilnutzungsdauern. Diese ist definiert zu T¼

NRðPA ¼10%Þ , NRðPA ¼90%Þ

ð24:22Þ

wobei unterstellt ist, dass diese aus Versuchen bekannt sind. Die Größenordnung bewegt sich beispielsweise • bei Proben mit geometrischen Kerben zwischen T¼

1 1 1,2 2,0

oder • bei Schweißproben zwischen T¼

1 1 : 1,19 3,1

Sofern keine Angaben über die Streuung vorhanden sind, hat es sich für eine Abschätzung als praktikabel erwiesen, die Streuspanne mit T anzusetzen.

1 5

24.7

24.7

Restfestigkeitsproblem

407

Restfestigkeitsproblem

Ist nach dem Auftreten eines Risses mit dem Versagen der Struktur zu rechnen, so wird heute unter Sicherheitsaspekten ein weiterer Schadenstoleranznachweis gefordert. Dieser Nachweis verlangt die Beantwortung folgender Fragestellungen: • Wie groß ist die Resttragfähigkeit eines angerissenen Bauteils? • Kann durch Rücknahme der Beanspruchung die Standzeit verlängert werden? • Wie breitet sich ein Anriss in einem Bauteil aus? Seitens der Berechenbarkeit dieser Effekte bietet sich dazu das bruchmechanische Konzept der linear elastischen Spannungsintensität (K-Konzept) an. In seiner Grundformulierung beschreibt dieses Konzept zunächst den statischen Fall. Zur weiteren Klassifizierung müssen noch die in Abb. 24.10 gezeigten Beanspruchungsfälle (Modi) definiert werden, die das Rissöffnungsverhalten charakterisieren. Als am kritischsten wird hierbei Modus I erkannt, der den Riss senkrecht zu den Rissufern (Trennbruch) öffnet. Der Spannungsverlauf kann dann gemäß der WilliamsIrwin-Gleichung angesetzt werden zu   pffiffiffiffiffiffiffiffi σ1 π  a ϕ ϕ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos σx ¼ p 1  sin  sin ϕ , 2 2 2 2πr   pffiffiffiffiffiffiffiffi σ1 π  a ϕ ϕ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos 1 þ sin  sin ϕ , σy ¼ p 2 2 2 2πr pffiffiffiffiffiffiffiffi σ1 π  a ϕ ϕ 3 τxy ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos  sin  cos ϕ: 2 2 2 2πr

ð24:23Þ

Weitestgehend unabhängig davon, ob ein Innen- oder Außenriss vorliegt, treten immer zu Gl. (24.23) ähnliche Funktionen auf, sodass die vorstehende Gleichung als universell gültig anzusetzen ist. Streng genommen ist aber die Gültigkeit auf Risse in der unendlichen Scheibe aus sprödem Material begrenzt. Bei gegebener äußerer Beanspruchung σ1 und vorliegendem Anriss a ist somit der Zähler in Gl. (24.23) eine konstante Größe, der nur den durch den Nenner bestimmten Spannungsverlauf maßstäblich vergrößert. Da auf diese Weise die Intensität des Spannungszustandes um die Rissspitze gesteuert wird, bezeichnet man den Zähler als so genannten Spannungsintensitätsfaktor pffiffiffiffiffiffiffiffi KI ¼ σ1 π  a:

ð24:24Þ

Für reale Bauteile mit verschiedenen Risskonfigurationen gilt es noch, die für die unendliche Scheibe gültige Beziehung durch eine Korrekturfunktion anzupassen

408

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

σ∞

a)

y

FI FII

r φ

z

FIII

FII

x

FI

y

b)

σy = F(r,φ)

σy τxy σr

r2 (

φ

2)

σx φ 1) r 1(

τ rφ1 σ φ1

φ2 φ1

x a

Abb. 24.10 Rissöffnungsarten und Spannungsverlauf an der Rissspitze nach [SCH 80] (I ¼ Normalkraft-Modus II ¼ Längsschub-Modus III ¼ Querschub-Modus)

pffiffiffiffiffiffiffiffi KI ¼ σ1 π  a YðaÞ:

ð24:25Þ

Diese Korrekturfunktionen Y(a) (s. auch Abb. 24.11) sind für die meisten Risse tabelliert. Auftretende Fehlerarten sind so immer diesen Rissgeometrien zuzuordnen. Diesbezüglich lässt sich folgende Aussage herleiten: Liegen bei verschiedenen Bauteilen gleiche Werte

24.7

Restfestigkeitsproblem

409

für die Spannungsintensität (bzw. deren Schwingweite) vor, so ist mit gleichem Restfestigkeits- und Rissfortschrittsverhalten zu rechnen. Somit lassen sich die an Proben experimentell ermittelten Verhaltensmuster direkt auf Bauteile übertragen. Als so genanntes statisches Bruchkriterium wird nun der Beginn der instabilen Rissausbreitung eines zunächst ruhenden Risses (Risseinleitung) beim Erreichen eines kritischen Wertes des Spannungsintensitätsfaktors angesehen KI ¼

KIc bei Vorliegen des EVZ ðdicke BauteileÞ Kc bei Vorliegen des ESZ ðd€unne BauteileÞ:

ð24:26Þ

Dieser kritische Wert wird mit Rissbruchzähigkeit bezeichnet. Beim Ansetzen dieses Kriteriums muss jedoch unterschieden werden zwischen dickwandigen (KVZ ! KIc) und dünnwandigen Bauteilen (KSZ ! Kc). Die gegebenenfalls heranzuziehende Risszähigkeit KIc ist hierin eine Werkstoffkonstante (ermittelt mit CT-Proben) und kann gewöhnlich aus Tabellen entnommen werden. Als Anhalt [AUT 79] kann in etwa angegeben werden: • Baustähle • Vergütungsstähle • Einsatzstähle • Aluminiumlegierung • Magnesiumlegierung • Titanlegierung

KIc  2000  4000 Nmm3/2, KIc  700  2500 Nmm3/2, KIc  2000  5000 Nmm3/2, KIc  800  1500 Nmm3/2, KIc  1000 Nmm3/2, KIc  2200  4500 Nmm3/2.

Dagegen ist die Rissbruchzähigkeit Kc eine variable Größe, die im Wesentlichen von der Dicke eines Bauteils und dem Werkstoff abhängig ist. Die angegebenen KIc-Werte sind somit untere Grenzen der Rissbruchzähigkeit. Das Restfestigkeitsproblem besteht nun in der Abschätzung von σ1  σc , als Gleichgewichtsbedingung, wobei σc die auf den Bruttoquerschnitt bezogene kritische Versagensspannung darstellt. Unter Berücksichtigung von Gl. (24.25) und (24.26) ist hierzu anzusetzen: • Bei sprödem Werkstoffverhalten

K σc ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiIc , mit ao als Anfangsrissl€ange: π  ao Yðao Þ

ð24:27Þ

Kennzeichnend ist, dass nahezu keine stabile Rissausbreitung erfolgt und somit ao  ac ist. Ähnliches Verhalten zeigen dickwandige Bauteile (t > 25 mm) unter einem EVZ.und

410

24

Rissgeometrie

Schwingbeanspruchte Strukturen

Korrekturfunktion Y

a a bzw. Y W r

1. 2a

B

1

Mittenriss

Y=

Eckanriss

Y = 1.12 0.23

cos

W

a 2 W

1 2. B

a W

a a 2 a 3 a 4 +10.55 + 30.39 21.72 W W W W

3. B

a 2c

Oberflächenriss

W

1.05 + 10 0.6 Ya = 1.12 1+ 8

4.

B a

c W

a 2c a 2c

2

a 3 B , Yc = Ya

a a 3 Eckriss mit 1.05 + 10 0.6 2c B , kreisYa = 1.21 Yc = Ya förmiger a 2 Rissfront 1+ 8 2c

a c

a c

5. aD a

B

W

zweiseitiger 0.34 Bohrungs- Y = 0.94 + a anriss 0.14 + D

1 (2a + D ) cos 2 W

einseitiger Bohrungsanriss

1 (a + D ) cos 2 W

6. Da

B

W

7. a

2c

r

8. a r

2c

Y = 0.68 +

0.44 a 0.16 + D

a = 0.375(1 + 0.5 + 0.375 2 + 0.3125 3 + r Ober+ 0.2734 4 + 0.537 5 ) flächenriss r a = r a = 0.375(1 + 0.5 + 0.375 2 + 0.3125 3 + Y r Ober+ 0.2734 4 + 0.208 5 ) flächenriss r a = r Y

Abb. 24.11 Korrekturfunktionen für verschiedene Rissgeometrien nach [HAN 86]

24.7

Restfestigkeitsproblem

411

σ∞

σc

Versagen

σ∞

2a

instabiles Risswachstum

t

stabiles Risswachstum

b

2ac

2a0 2a

σ∞ Abb. 24.12 CCT-Probe für dünnwandige Bauteile

• Bei duktilem Werkstoffverhalten

K σc ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c , mit ac als kritische Rissl€ange: π  ac Yðac Þ

ð24:28Þ

Da meist der Kc-Wert nicht bekannt ist, wird vielfach anstatt mit Gl. (24.28) eine Näherung zufolge K σc  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffico : π  ao Y ð ao Þ

ð24:29Þ

durchgeführt. Um in diesem Zusammenhang auch Aussagen für dünnwandige Bauteile machen zu können, ist es wichtig, den Kc-Wert zumindest abzuschätzen. Dazu wird von der in Abb. 24.12 gezeigten Probe ausgegangen und die Risswiderstandskurve gemessen. Anstatt der exakten Risszähigkeit Kc wird aber vor dem Hintergrund, den Messaufwand zu reduzieren, nur die scheinbare Rissbruchzähigkeit Kco ¼ Kco ðσc , ao Þ bestimmt. Die Versagensspannung σc der Probe wird ebenso vereinfachend bei 2 ao ¼ b/37 gemessen, wodurch die Ermittlung der kritischen Risslänge entfällt. Somit kann die scheinbare Risszähigkeit angegeben werden als

7

Anmerkung: In der amerikanischen ASTM-Norm entspricht b  W (width).

412

24

Kco1

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 πb ¼ σc 6

Schwingbeanspruchte Strukturen

ðDer Index1soll hervorheben, dass ungeachtet der endlichen Probenbreite der Wert für unendliche

ð24:30Þ

Proben gelten soll:Þ Vorausgesetzt ist hierbei, dass die Probe in Dicke und Breite etwa die gleichen Abmessungen aufweist wie das Bauteil. Unter weiterer Berücksichtigung der so genannten Feddersen-Beziehungen lässt sich dann Gl. (24.29) wie folgt übertragen auf Bauteile: Sektion  2 9 Kco1 0  ao  4 π Kp 0, 2  2 9 Kco1 b  ao  4 π Rp 0, 2 6

" R p 0, 2

Kco ¼  2 # pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 π R p 0, 2 1 ao π  ao Y 27 Kco1

Kco1  Y rffiffiffiffiffiffiffi  3 6 ao 2a Kco1 1 o Y 2 b b

b b  ao  6 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mit Y ¼ 1= cos ðπ  ao =bÞ

ð24:31Þ

Der Geltungsbereich ist hierbei eingeschränkt durch • die Bauteildicke mit t < 2,5 • die Bauteilbreite mit b 227π



2



, 2

KIc Rp 0, 2

Kco Rp 0, 2

und
 • die Versagensspannungen mit σc  Rp 0, 2 1  2bao : Weiter ist mit ac ¼

 2 1 KIc π σ1

auch noch die kritische Risslänge von Interesse.

24.8

Allgemeines Rissfortschrittsproblem

Als ein Vorteil des K-Konzeptes ist weiterhin die leichte Übertragbarkeit auf dynamische Probleme anzusehen. Unter den Voraussetzungen einer konstanten Mittelspannung und konstantem Spannungsausschlag lässt sich gemäß

24.8

Allgemeines Rissfortschrittsproblem

413

pffiffiffiffiffiffiffiffi ΔK ¼ Δσ1 π  a YðaÞ, mit Δσ1 ¼ 2 σa

ð24:32Þ

eine zyklische Spannungsintensität definieren. Wie die Abb. 24.13 verdeutlicht, nimmt diese Spannungsintensität durch Risswachstum stetig zu. Bruch tritt sodann ein, wenn eine der Instabilitätsbeziehungen Kmax ¼ Kc oderΔK ¼ ΔKc

ð24:33Þ

verletzt ist. Wobei noch der bekannte Zusammenhang ΔKc ¼ ð1  RÞ Kc

ð24:34Þ

besteht. Entsprechend vorstehender Fragestellung gibt es somit eine Korrelation zwischen der Änderung der Spannungsintensität und des Rissfortschritts. Je Lastwechsel wächst nämlich der Riss und somit auch die Spannungsintensität um

a)



R 

 u K  min  o K max

 0  m

 

 u t

b)

Kmax

K

Kc

K c Km K

Kmin a

t

Abb. 24.13 Verhältnis zwischen der Beanspruchung und dem Verlauf der zyklischen Spannungsintensität

414

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   da ΔK ¼ ΔK2  ΔK1 ¼ Δσ1 π a þ dn : dn an. Um nun die Ausbreitung von Ermüdungsrissen abschätzen zu können, muss in einem Werkstoff der Zusammenhang zwischen dem Spannungsniveau (¼ Spannungsintensität) und der Rissfortschrittsrate bekannt sein. Für benachbarte Datenpaare a, n stellt der Differenzialquotient da/dn das Risswachstum pro Lastspiel8 dar. Die angestrebte Darstellung erhält man durch die Auftragung von Abb. 24.14, in der das Risswachstum mit der zyklischen Spannungsintensität verknüpft ist. Bei allen technisch relevanten Werkstoffen ergibt sich dabei näherungsweise der gezeigte S-förmige Kurvenverlauf, der sich asymptotisch innerhalb von zwei Grenzwerten bewegt. Vom Verlauf her lassen sich hierin drei Bereiche abgrenzen. • Bereich I:

• Bereich II:

• Bereich III:

Untere Grenze ist der so genannte Schwellenwert ΔKo (¼ bruchmechanische Dauerfestigkeit). Für ΔK  ΔKo ist Rissstillstand zu beobachten. Die Schwellenwerte der verschiedenen Werkstoffgruppen verhalten sich wie ihre Elastizitätsmodule. Kennzeichnend ist der lineare Zusammenhang zwischen log(da/dn) und log (ΔK). Dieser lässt sich durch die Paris-Gleichung m da ð24:35Þ dn ¼ C  ΔK beschreiben. Hierin sind C und m werkstoffabhängige Konstanten. Für C gilt noch, dass dieser vom Spannungsverhältnis abhängt, während m  2–4 die Steigung darstellt. Die C-Werte sind in der Regel sehr klein und liegen bei weichen Stählen etwa bei 1016 und bei harten Stählen bei 1010. Kurz vor dem Erreichen der Bruchgrenze knickt die Kurve ab, d. h., der Riss wächst trotz des nur schwachen Zuwachses von ΔK überproportional und kann nicht mehr gestoppt werden. Bruch tritt also ein, wenn ΔK ¼ Kc oder KIc ist.

Wie Versuche weiter gezeigt haben, ist das Risswachstum im Bereich II nur wenig vom Spannungsverhältnis abhängig. Im Bereich I und III ist diese Abhängigkeit dagegen größer. Spielt sich insbesondere das Risswachstum mit einem nicht mehr zu vernachlässigenden Anteil im Bereich III ab, so beschreibt die Forman-Gleichung da C  ΔKm ¼ dn ð1  RÞ Kc  ΔK

8

ð24:36Þ

Anmerkung: Eine Risswachstumsgeschwindigkeit wäre da/dt, diese kann aber gewöhnlich messtechnisch nicht erfasst werden.

Allgemeines Rissfortschrittsproblem

415

log da dn

24.8

III

+R

R =0

II

−R

da dn

K max = K c

tan β = m

I

ΔK0

ΔK

ΔKc log ΔK

Abb. 24.14 Doppellogarithmische Darstellung von da/dn über ΔK nach [HAI 89]

das Risswachstum besser als die Paris-Gleichung. Auch in Gl. (24.36) sind C und m identische Werkstoffkonstanten. Die Paris-Gleichung ist bevorzugt für Einstufenbeanspruchung anzuwenden. Das Rissfortschrittsproblem besteht nun in der Integration von Gl. (24.35) bzw. (24.26) in den Grenzen von Anriss bis Bruch: • Für die Paris-Gleichung folgt so aus

da ¼ C  Δσ1 m ðπ  aÞm=2 , dn für die kumulierte Bruchlastspielzahl

416

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

ð24:37Þ

Die hierin noch unbekannte kritische Risslänge kann in etwa aus der Grenzbetrachtung Kmax ¼ σ1o 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi π  ac Yðac Þ  Kc

bestimmt werden zu  2 1 Kc ac  : π σ1o

ð24:38Þ

Eingesetzt in die vorstehende Gleichung erhält man eine Abschätzung für die Bruchlastspielzahl # 1 " 2m 1  m2 Kc 1m=2 pffiffiffi NB   ao : pffiffiffi m Δσ1o π CðΔσ1 πÞ


ð24:39Þ

Ein Sonderfall der Integration liegt für m ¼ 2 vor. Ausgehend von da ¼ C  Δσ1 2  π  a dn folgt hier für die kumulierte Bruchlastspielzahl

NB ¼


1  C  Δσ1 2  π

Zac ao

2 da 1  ℓn6 ¼
4 a C  Δσ1 2  π

• Für die Forman-Gleichung pffiffiffi m m CðΔσ1 πÞ  a 2 da pffiffiffi pffiffiffi ¼ dn ð1  RÞKc  ðΔσ1 πÞ a erhält man entsprechend

Kc pffiffi Δσ1o π

ao

2 3 7 5:

ð24:40Þ

24.8

Allgemeines Rissfortschrittsproblem

" # 2m ð1  RÞKc Kc pffiffiffi NB   ao ð2mÞ=2 pffiffiffi m 2m σ1o π CðΔσ1 πÞ #) 3m pffiffiffi " Δσ1 π Kc pffiffiffi   ao ð3mÞ=2 : 3m σ1o π

417

(

2

ð24:41Þ

Auch hier ist wieder anzumerken, dass die vorstehenden Gleichungen nur für die unendliche Scheibe gelten, da die Korrekturfunktion nicht eingearbeitet ist. Eine Integration unter Berücksichtigung der Korrekturfunktion ist wegen der Abhängigkeit Y(a) meist sehr aufwändig. In praktischen Fällen geht man deshalb zu einer iterativen Lösung der Risswachstumsgleichung über. Hierzu wird die Risslänge (ao bis ac] in ausreichend viele Intervalle i ¼ 1, n eingeteilt und beispielsweise unter Anwendung von Gl. (24.39)/(24.40) die Bruchlastspielzahl nach folgendem Schema ermittelt: • Vorgeben einer Risslänge in den Schritten

ai ¼ ai  ao 1 aiþ1 ¼ ai þ ðaiþ1  ai Þ 2 , ⋮ 1 an ¼ an1 þ ðac  an1 Þ 2 • Bestimmen der Risskorrekturfunktion

Y ¼ Yðai Þ,

• Berechnen einer Teilbruch-Lastspielzahl gemäß

ai1 ð2mÞ=2  ai ð2mÞ=2  NBi ¼
m2 f€ur m 6¼ 2 pffiffiffi C½Δσ1  π  Yðai Þ 2 bzw.

ð24:42Þ

418

24

NBi ¼

ℓn



Schwingbeanspruchte Strukturen



ai

aiþ1

C  π½Δσ1  Yðai Þ2

f€ur m ¼ 2,

ð24:43Þ

• Aufsummieren über alle Schritte

NB ¼

n X

NBi

ð24:44Þ

i¼1

zur resultierenden Bruchlastspielzahl. Ein dementsprechender Ablauf kann auch mit der Forman-Gleichung entwickelt werden. Die iterative Gleichung lautet hier

ð24:45Þ

Die Aufsummierung erfolgt dann wieder über alle Intervalle.

24.9

Bruchmechanische Akkumulation

In Fortführung der vorherigen Betrachtungen soll nun eine abschnittsweise periodische Schwingbeanspruchung zugelassen werden. Bisher sind die damit zusammenhängenden Phänomene des Rissfortschrittsverhaltens noch nicht restlos geklärt. Im Folgenden soll daher ein pragmatischer Weg unter der Vorstellung einer bruchmechanischen Akkumulation entwickelt werden. Ausgangspunkt soll hierfür das getreppte Kollektiv nach Abb. 24.15 sein. Mit Berücksichtigung des bruchmechanischen Dauerfestigkeitswertes ΔKo lässt sich weiter das Lastkollektiv auf ein wirksames Risskollektiv eingrenzen. Maßgebend für das Risswachstum sind nur Spannungsausschläge σai σco ¼

1 ΔK pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi o : 2 π  ao Yðao Þ

ð24:46Þ

Somit tragen kleine Amplituden, die nicht zu einer Schwellenwertüberschreitung führen, nicht oder nur gering zum Risswachstum bei. (Diese Einschränkung ist allgemein üblich

Bruchmechanische Akkumulation

log a

24.9

419

N Bi m, C, Kc, R 

a 2 Schadenslinie zu PA  x %

j

a 0

N Bj n2

k

 c 2 (geringen Einfluss) ak 

log H ü

log N Bi

Abb. 24.15 Risskollektiv und bruchmechanische Schadenslinie zur Ausfallwahrscheinlichkeit PA ¼ x% für m, C

und stellt somit eine Analogie zur Palmgren/Miner-Hypothese dar. Gegebenenfalls muss mit zunehmender Plastifizierung des Materials diese Eingrenzung aufgegeben werden.) Unter der Annahme von äquivalenten Einstufenbeanspruchungen kann nun unter Anwendung eines Risswachstumsgesetzes eine Schadenslinie über alle Stufen bestimmt werden. Hierin lässt sich die Paris- oder Forman-Gleichung nutzen. Der Ablauf gestaltet sich dann folgendermaßen: • Stufenweise Integration der Paris-Gleichung In Gl. (24.42) ist der Zusammenhang zur iterativen Lastspielzahl-Abschätzung angegeben als a ð2mÞ=2  ai ð2mÞ=2  NBi ¼
m2i1 mit ðai ¼ aci : pffiffiffi  C½2 σai  π  Yðai Þ 2 Der Iterationsbereich erstreckt sich dabei auf dem Spannungsniveau σai bis aci. Die niveauabhängige kritische Risslänge aci muss jeweils aus einer Überschreitungsrechnung bestimmt werden, und zwar aus der Ungleichung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ΔK  2 σai π  ai  Yðai Þ  KIc ð1  RÞ, erfüllt bei ai ¼ aci.

ð24:47Þ

420

24

Schwingbeanspruchte Strukturen

Nachdem somit alle schadensrelevanten NBi-Werte ermittelt worden sind, kann eine analoge bruchmechanische Schadensbewertung durchgeführt werden. Je Stufe führt dies zu einer anteiligen Schädigung von DKi ¼

ni : N Bi

ð24:48Þ

• Stufenweise Integration der Forman-Gleichung Die Forman-Gleichung erfasst den Rissfortschrittsverlauf aus Abb. 24.14 mit seinen Eckwerten (ΔKo, KIc) ganz, während mit der Paris-Gleichung nur der Mittelbereich abgedeckt wird. Insofern besteht bei der Bestimmung der stufenweisen Bruchlastspielzahlen NBi eine etwas höhere Genauigkeit. Falls dieser Anspruch bei einer Problemanalyse besteht, ist für die Lastspielzahlauswertung die Gl. (24.45) heranzuziehen. Ansonsten gestaltet sich der Berechnungsablauf wie vorher. Wie bei der herkömmlichen Schadensrechnung kann jetzt eine bruchmechanische Akkumulation DRK ¼

k X i¼1

DKi ¼

k X ni N Bi i¼1

ð24:49Þ

angesetzt werden. Die gesamte Nutzungsdauer eines mit diesem Kollektiv beaufschlagten Bauteils ergibt sich somit zu wB ¼

1 1 þ , DK DRK

ð24:50Þ

welches ein Kollektivwiederholungsfaktor darstellt, der die drei Phasen Gefügezerrüttung/ Anriss/Bruch abdeckt.

24.10 Nichtlineare Schädigungshypothese Bei der zuvor dargestellten linearen Schadensakkumulation erfolgt die Abschätzung der Lebensdauer aus der einfachen Aufaddition der einzelnen Schädigungskoeffizienten. Unberücksichtigt bleibt hierbei der tatsächliche Belastungsverlauf. Die hiermit erzielten Ergebnisse können insofern nur als sehr grobe Abschätzung verstanden werden und taugen eigentlich nur für Variantenvergleiche. Exaktere Abschätzungen sind nur möglich, wenn der Reihenfolgeeffekt (Low-High-Belastungen sind erfahrungsgemäß unkritischer als High-Low-Belastungen) und die belastungsabhängige Werkstoffschädigung berücksich-

24.10

Nichtlineare Schädigungshypothese

421

1,0

N1  N 2  N 3

C

Schädigung D

0,8 n'3 N 3

n 3 N3

n 2eq N 2

0,6

n 2 N2

n'2 N 2

0,4

3 n1 N1 d B  d B'

B 0,2

d A  d A'

A 1

0

0,2

B'

2 A'

0,4

0,6

0,8

1,0

zyklisches Schwingungsspielverhältnis n i N i Abb. 24.16 Nichtlinearer Schädigungsablauf über drei Kollektivstufen

tigt werden. In der Forschung konzentriert man sich daher seit einigen Jahren auf die Entwicklung nichtlinearer Schädigungshypothesen, wobei ein Verhalten wie in Abb. 24.16 angenommen wird. Die lineare Schädigungstheorie würde sich in dieser Darstellung als Diagonale darstellen, während die reale Schädigung durch Kurven repräsentiert wird. Ein Leichtbauteil, welches nun einer begrenzten, einstufigen Schwingbeanspruchung ausgesetzt wird, erfährt damit eine anteilige Schädigung von

di ¼

 ψi ni : Ni

ð24:51Þ

Der hiernach ablaufende Schädigungsmechanismus kann sowohl mathematisch als auch physikalisch begründet werden. Beispielsweise kann für ein 3-stufiges Kollektiv in Äquivalenz zur Miner-Hypothese angesetzt werden:

422

24



n1 N1

ψ1



n2 þ N2

ψ2



n3 þ N3

ψ3

Schwingbeanspruchte Strukturen

¼ 1,

ð24:52Þ

welches umgeformt zur Akkumulationsregel "

n1 N1

ψψ1 2

n2 N2

þ

#ψψ2 3

þ

n3 ¼1 N3

führt. Physikalisch ist der Ablauf hingegen etwas komplexer und folgendermaßen zu entwickeln: • Beim Abfahren der ersten Stufe werden zu einem hohen Lastniveau σa1, n1 Lastspiele über den Pfad OA aufgebracht, welche bis zur Bruchlastspielzahl N1 ertragbar wären. Zum Umfang n1 wird aber nur eine Teilschädigung dA (bis zum Zustand A) hervorgerufen. • Beim Wechsel zur niedrigeren Belastungsstufe σa 2 muss der Zustand A zu A´ (neuer Ausgangszustand) transformiert werden, weil ein anderes Schädigungsverhalten vorliegt. • Um mit einem niedrigen Belastungsniveau σa 2 die gleiche Teilschädigung dA0 (wie dA) über den Belastungspfad 0A0 zu erzeugen, wären (fiktive) n20 Schwingspiele aufzubringen. Mit dem dann maßgebenden Schädigungsparameter kann sodann der Ansatz 

n1 N1 oder

ψ1

n2 0 ¼ N2



¼

n1 N1

 0 ψ2 n2 N2 ð24:53Þ

ψψ1 2

gemacht werden. • Am Ende der zweiten Belastungsstufe bei B würde sich somit eine äquivalente Zyklenzahl n2eq einstellen, und zwar additiv gemäß

n2eq n2 0 n2 ¼ þ  N2 N2 N2



n1 N1

ψψ1 2

þ

n2 , N2

ð24:54Þ

welche aus dem transformierten und dem realen Anteil besteht, welche wieder eine relative Teilschädigung dB ausmachen.

24.10

Nichtlineare Schädigungshypothese

423

• Die Abarbeitung der nächsten Belastungsstufe aa3, n3 bis zum letztendlichen Versagen in C (D ¼ 1) kann jetzt unter Berücksichtigung der vorhergehenden äquivalenten Zyklenzahl9 als ein zweistufiger Ansatz entwickelt werden, und zwar zu  ψ2 n2eq ψ3 n3 þ ¼ 1: N2 N3

ð24:55Þ

Aus Substitution der vorstehenden Relation ergibt sich hiernach für eine dreistufige Beanspruchung "

n1 N1

ψψ1 2

n þ 2 N2

#ψψ2 3

þ

n3 ¼ 1: N3

ð24:56Þ

Ziel muss es im Weiteren sein, diesen Ansatz über i Beanspruchungsstufen zu verallgemeinern: 8" <  :

n1 N1

ψψ1 2

þ

n2 N2

#ψψ2 3

þ ... þ

9ψψi1 = i

ni1 Ni1 ;

þ

ni ¼ 1: Ni

ð24:57Þ

Zu diesem nichtlinearen Grundschema sind in den letzten Jahren einige Schädigungstheoreme (beispielsweise Subramanyan, Hashin, Manson/Halford) entwickelt worden, die sich im Wesentlichen dadurch unterscheiden, wie die Autoren den Schädigungsparameter ψi ansetzen. Alle Autoren nutzen jedoch als Bezug die Wöhlerlinie, welches man im Sinne der besseren Praktikabilität der Verfahren einordnen muss. Weitestgehend gute Bestätigung hat in Experimenten der Ansatz von Manson [MAN 81] gefunden. Nach Manson wird der Schädigungsparameter zu ψi ¼ Ni P

ð24:58Þ

angesetzt. Für den Exponenten hat sich ein Bereich von p ¼ 0,3 bis 0,5 als relevant für Stahl (Mittelwert: p ¼ 0,4) herausgestellt. Das hierauf beruhende Schädigungsgesetz lautet dann:

9

 Anmerkung: Obige Schreibweise ist identisch zu

n2eq N2

ψ 2

þ

 ψ 3 n3 N3

¼1

424

24

 0, 4 2 3 2   0, 4 3 NN23 6   NN1 7 66 n1 2 n2 7 ni1 7 7 D¼6 þ þ . . . þ 5 64 N1 N2 Ni1 7 4 5

Schwingbeanspruchte Strukturen

 0, 4 Ni‐1 Ni

... þ ...

ni ¼ 1: Ni

ð24:59Þ

Zweckmäßigerweise nutzt man diese Gleichung iterativ, und zwar folgendermaßen: Diþ1 ¼ Di ψ^ i þ Ciþ1 , mit i ¼ 0, 1, 2, . . . , n

ð24:60Þ

(wobei i ¼ 0 auf die 1. Kollektivstufe zu setzen ist) wobei zu berücksichtigen ist Do ¼ 0, n Ci ¼ i Ni und  ^i ¼ ψ

Ni Niþ1

0, 4 :

Letztlich ergibt sich die zusammengefasste Schadenssumme zu Dn, welche im Allgemeinen eine sehr gute Vorhersage (Erkenntnis aus 650 Versuchen) der tatsächlich erreichten Lebensdauer darstellt.

Literatur [AUT 79]

[AUT 85] [HAI 89] [HAN 86] [MAN 81]

[SCH 73]

[SCH 80] [ZAM 85]

Autorenkollektiv: Berechnungsunterlagen zur Rißfortschrittsund Restfestigkeitsvorhersage rißbehafteter Großbauteile. Bericht der Arbeitsgemeinschaft Betriebsfestigkeit, Nr. ABF 06, Düsseldorf (1979) Autorenkollektiv: Leitfaden für eine Betriebsfestigkeitsrechnung. Stahl Eisen, Düsseldorf (1985) Haibach, E.: Betriebsfestigkeit – Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. VDI-Verlag, Düsseldorf (1989) Handbuch: The fracture mechanic software. American Society for Metals, USA (1986) Manson, S.S., Halford, G.R.: Practical implementation of the double linear damage rule and damage curve approach for treating cumulative fatigue damage. Int. J. Fract. 17, 169–192 (1981) Schütz, W.; Zenner, H.: Schadensakkumulationshypothesen zur Lebensdauervorhersage bei schwingender Beanspruchung – Ein kritischer Überbl. Z. Werkstofftech. 4 (1), 25–33 und 97–102 (1973) Schwalbe, K.-H.: Bruchmechanik metallischer Werkstoffe. Hanser, München/Wien (1980) Zammert, W.-U.: Betriebsfestigkeitsberechnung. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden (1985)

25

Strukturzuverlässigkeit

Die vorausgegangene Diskussion der Ermüdungsfestigkeit hebt auf die Analyse einer als schadenskritisch erkannten Stelle ab. Eine Leichtbaustruktur wird aber im Regelfall aus vielen Einzelteilen bestehen, sodass sich letztlich die Frage nach der Systemzuverlässigkeit stellt. Hiermit verbunden ist die Problematik der Zuverlässigkeitssimulation und -qualifizierung.

25.1

Zuverlässigkeitsanalyse

Für die Forderung Zuverlässigkeit von Tragwerken gibt es viele unterschiedliche Begriffsdefinitionen (z. B. DIN 40 041, DIN 55 350, MIL-HDBK-217 F). Zur Bewertung der Auswirkungen soll im Weiteren jedoch von folgender Charakterisierung ausgegangen werden: Mit Zuverlässigkeit einer Struktur soll die Fähigkeit bezeichnet werden, unter vorgegebenen Belastungs- und Funktionsbedingungen in einem bestimmten Zeitraum und mit einer definierten Wahrscheinlichkeit nicht auszufallen.

Dies beinhaltet, dass durch ein Merkmal wie die Überlebens
man Zuverlässigkeit  wahrscheinlichkeit PU€ bzw:RðtÞ oder die komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit (PA bzw. F(t)) kennzeichnen kann. Hierdurch wird es möglich, diese Effekte dann auch zu quantifizieren. Bei den hier zu betrachtenden Anwendungen soll bereits im Entwurf einem späteren Ausfall der Struktur vorgebeugt werden. Dies bedingt eine Maximierung der Zuverlässigkeit. Insofern gilt es, alle Maßnahmen bezüglich • der Kraftwirkung, # Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_25

425

426

25

Strukturzuverlässigkeit

• der Kraftpfade, • der Verbindungstechnik, • der Gestaltung bzw. • möglicher Redundanzen aufeinander abzustimmen. Die Bewertung einer Konstruktion hinsichtlich des verlangten Einsatzverhaltens erfolgt mittels einer Zuverlässigkeitsanalyse. Diese umfasst eine Abstrahierung eines Systems in ein Boole’sches Modell, eine Schwachstellenbetrachtung und hiervon abgeleitet eine wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung bezüglich des Langzeitverhaltens.

25.2

Boole’sche Grundanordnungen

Im Weiteren soll angenommen werden, dass eine Struktur aus mehreren Komponenten mit unterschiedlichen Schwachstellen aufgebaut sei. Für die einzelnen Komponenten sei die Überlebens- oder Ausfallwahrscheinlichkeit durch Simulation oder Experiment bekannt. Von Interesse ist nun zu prognostizieren, welchen Einfluss die einzelnen Schwachstellen auf die Gesamtstruktur haben. Nach allgemeinen Erkenntnissen treten in technischen Systemen stets bestimmte Boole’sche Grundanordnungen auf, die sich entweder als Serien- oder Parallelanordnung der Komponenten darstellen. Ausfall oder Überleben können hierbei im Laplace’schen Sinne als Komplementärereignisse angesehen werden. Es gilt demgemäß für eine Struktur/System PU€ ðtÞ þ PA ðtÞ ¼ 1 bzw:100 %

ð25:1Þ

bzw. für eine einzelne Schwachstelle/Bauteil PUi € ðtÞ þ Pai ðtÞ ¼ 1 bzw:100 %:

ð25:2Þ

Damit lassen sich die Grundanordnungen wie folgt charakterisieren: • Serienanordnung: Der Fall ist dadurch charakterisiert, dass die maßgebenden Komponenten (K1-Kn) hintereinander wirken. Eine Struktur überlebt dabei nur, wenn alle Komponenten überleben. Für die Überlebenswahrscheinlichkeit ist demgemäß

25.2

Boole’sche Grundanordnungen

427

PU€ ðtÞ ¼ P€u1  P€u2  . . .  P€un ¼

n Y

P€ui ðtÞ

ð25:3Þ

i¼1

anzusetzen oder für die Ausfallwahrscheinlichkeit

PA ðtÞ ¼ 1 

n Y

ð1  Pai ðtÞÞ:

ð25:4Þ

i¼1

Falls alle Komponenten die gleiche Überlebenswahrscheinlichkeit aufweisen sollte, vereinfachen sich die vorstehenden Gleichungen zum so genannten Potenzgesetz

PU€ ðtÞ ¼ P€ui n bzw: PA ðtÞ ¼ 1  ð1  Pai Þn :

ð25:5Þ

• Parallelanordnung: Dieser Fall ist durch Verzweigungen gekennzeichnet, d. h. es sind mehrere Kräftepfade vorhanden. Der Ausfall einer Komponente zieht also nicht zwangsläufig auch den Ausfall der Struktur nach sich. Für die Ausfallwahrscheinlichkeit gilt somit PA ðtÞ ¼ Pa1  Pa2  . . .  Pan ¼

n Y

Pai ðtÞ oder ¼ Pai ðtÞn

ð25:6Þ

i¼1

oder für die Überlebenswahrscheinlichkeit

PU€ ðtÞ ¼ 1 

n Y

ð1  P€ui ðtÞÞ:

ð25:7Þ

i¼1

Sind wiederum alle Wahrscheinlichkeitswerte gleich, so ist die zu Gl. (25.5) duale Beziehung zu bilden. Im Abb. 25.1 sind die typischen Grundanordnungen in ihrem Aufbau symbolisch dargestellt. Serienanordnungen liegen in der Technik überall da vor, wo der Kraftverlauf durch alle Bauteile geleitet wird und letztlich ein Gleichgewichtszustand bildet. Dies ist der Regelfall, der überwiegend vorkommt. Bei Parallelanordnungen wird der Kraftverlauf aufgespalten. In der Praxis ist dies relativ selten, obwohl es hierfür Anwendungsfälle (z. B. ZweikreisBremssystem bei Lkw, doppelte Wände bei Öltanks etc.) gibt.

428

25

Blockdiagramm

Überlebenswahrscheinlichkeit

PÜ ( t ) = Pü1 ( t ) . Pü 2 ( t ) ... Pün ( t )

− logische Serienanordnung

K1

Strukturzuverlässigkeit

K2

Kn

=

n

Π Püi ( t ) bzw. = Püi ( t )

n

i =1

− logische Parallelanordnung

PÜ ( t ) = 1 − [1 − Pü1 ( t )] ... [1 − Pün ( t )]

K1

n

= 1 − Π [1 − Püi ( t )]

K2

i=1

bzw. = 1 − Pai ( t ) n

Kn Abb. 25.1 Logische Grundanordnungen im Zuverlässigkeits-Blockdiagramm nach [LEC 79]

Blockdiagramm

Überlebenswahrscheinlichkeit

− Parallel-Serienanordnung

K11

K21

K12

K22

K1n

n

m

i =1

k =1

PÜ ( t ) = 1 − 1 − Π Pü1i ( t ) 1 − Π Pü 2 k ( t )

K2n

− Serien-Parallelanordnung

K11

K12

K1n

n

i =1

K21

K22

[

PÜ ( t ) = Π 1 − Pa1i ( t ) . Pa 2i ( t )

]

K2n

Abb. 25.2 Zuverlässigkeits-Blockdiagramm von Parallelanordnungen

Darüber hinaus treten oft auch Mischanordnungen dieser beiden Grundstrukturen auf. Eine Ausführungsform hierunter ist die Parallel-Serienanordnung, so wie in der Abb. 25.2 gezeigt ist. Die Parallel-Serienanordnung fällt demnach also aus, wenn gerade zwei Komponenten Kli und K2i in gegenüberliegenden Strängen ausfallen, was normalerweise nur wenig

25.3

Statistische Kenngrößen

429

wahrscheinlich ist. Eine insgesamt höhere Zuverlässigkeit kann der Serien-Parallelanordnung zugeschrieben werden, da dort jedes Glied redundant vorhanden ist. Ein Gesamtausfall ist hier nur möglich, wenn eine Parallelanordnung insgesamt ausgefallen ist. Die diesen Anordnungen zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind exemplarisch mit aufgeführt worden.

25.3

Statistische Kenngrößen

Es wird in der Verkehrstechnik viele Fälle geben, wo von einem Leichtbauteil oder einer Leichtbaustruktur eine Serie hergestellt werden soll. Das Zuverlässigkeitsverhalten der Struktur [BIR 91] ergibt sich dann gemäß vorstehenden Ausführungen aus dem Ausfallverhalten der Komponenten. Wenn die Ausfall- bzw. Überlebenswahrscheinlichkeiten der Komponenten streuen, so kann man auch das Ausfallverhalten und die Lebensdauer der Struktur nicht als Einpunktwerte auffassen, sondern diese wird ebenfalls streuen. Demzufolge muss man die Nutzungszeit T als Zufallsgröße ansehen. Der Erwartungswert (MMTF ¼ Mittelwert) der Lebensdauer kann dann angesetzt werden als 1 ð

EðTÞ  Tm ¼

f ðtÞ  t dt:

ð25:8Þ

o

Darin bezeichnet f(t) die so genannte Ausfalldichte, welche definiert ist zu f ðt Þ ¼

dP € dPA ¼ U: dt dt

ð25:9Þ

Durch partielle Integration lässt sich Gl. (25.8) noch vereinfachen zu  1 ð PU€ ðtÞ  t1 o þ PU€ ðtÞdt: Tm  ¼ ¼0

ð25:10Þ

o

Der erste Term in dieser Gleichung ist null, weil PU€ ð0Þ ¼ 1 bzw. PU€ ð1Þ ¼ 0 ist. Die mittlere Lebensdauerkann so angegeben werden als 1 ð

Tm ¼

PU€ ðtÞ dt: o

ð25:11Þ

430

25

Strukturzuverlässigkeit

Der Wert Tm wird vielfach auch als MTTF (Mean Time To Failure) bezeichnet, welcher die ausfallfreie Zeit umfasst. Eine für die nachfolgenden Betrachtungen weiter wichtige Größe ist die so genannte Ausfallrate λ(t), sie ist definiert als das Verhältnis λðtÞ ¼

dP € ðtÞ f ðt Þ 1   U : dt PU€ ðtÞ PU€ ðtÞ

ð25:12Þ

Der Begriff Ausfallrate wird verständlich, wenn man eine hinreichend große Anzahl N gleicher Komponenten betrachtet, die einer Lebensdauerprüfung unterworfen werden. Nach Ablauf einer vorgegebenen Prüfzeit t wird eine Anzahl von na(t)-Komponenten ausgefallen und ein Anzahl von n€u ðtÞ-Komponenten die Prüfung überlebt haben. Dann gilt na ðtÞ þ n€u ðtÞ ¼ N:

ð25:13Þ

Versteht man die Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit, dann lässt sich für die vorgenannten Ereignisse empirisch definieren ~ € ðtÞ ¼ n€u ðtÞ P U N

ð25:14Þ

~A ðtÞ ¼ na ðtÞ : P N

ð25:15Þ

und

Damit kann dann die Ausfallrate angeben werden zu λðtÞ ¼ 

N 1 dn€u 1 dn 1 n   ¼  a  a, n€u N dt n€u dt N Δt

ð25:16Þ

wobei die differenzierte Gl. (25.13) eingeführt worden ist. Die Ausfallrate kann so gedeutet werden als die Anzahl der Ausfälle na aus einem Prüfumfang N in einem Zeitraum Δt. Des Weiteren kann aus Gl. (25.12) noch die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine Struktur über ein Zeitintervall (0, t1) bestimmt werden. Aus einer Umformung folgt PU€ððt1 Þ

Puð0Þ

bzw.

ðt1 dPU€ ¼  λðtÞ  dt PU€ o

ð25:17Þ

25.4

Zufallsversagen

431

 ðt1  PU€ ðt1 Þ ¼  λðtÞ  dt, ℓn PU€  1

mit PU€ ð0Þ ¼ 1,

0

oder entlogarithmiert erhält man 0

t1 B Ð @ PU€ ðt1 Þ ¼ e

1 C

λðtÞdtA

o

:

ð25:18Þ

Dies lässt sich erweitern auf die Fragestellung, die Überlebenswahrscheinlichkeit einer Struktur für ein festes Zeitintervall Δt ¼ (t1, t2 ¼ t1 + Δt) anzugeben, wenn die Struktur das vorausgegangene Zeitintervall [0, t1) überlebt hat. Zufolge der vorstehenden Betrachtungen folgt hierfür 0

1 t1 þ Δt Ð B C λðtÞdtA @  PU€ ðt1 , t2 Þ ¼ e

t1

ð25:19Þ

als Funktion der Überlebenswahrscheinlichkeit.

25.4

Zufallsversagen

Ein seltener Spezialfall für die Nutzung einer Struktur ist der Zufallsausfall. Danach geht etwas ohne vorher erkennbaren Grund kaputt; meist ist die Ursache in der Verbindungstechnik zu suchen. Das Kennzeichen eines Zufallsausfalls ist, dass Ausfälle zu beliebigen Zeiten auftreten. Es kann somit angenommen werden, dass die Ausfallrate während dieser Phase konstant ist. Somit kann für den Exponenten von Gl. (25.19) angesetzt werden: ðt1 λ dt ¼ λ  t1 :

ð25:20Þ

0

Die Überlebenswahrscheinlichkeit einer Struktur in einem Zeitintervall von t ¼ 0 bis t ¼ t1 ist dann angebbar als

432

25

PU€ ðt1 Þ ¼ eλ  t1 :

Strukturzuverlässigkeit

ð25:21Þ

Interpretiert heißt dies aber auch, dass die Zuverlässigkeit PU€ ðt1 , ΔtÞ einer Struktur, welches zum Zeitpunkt t funktionsfähig ist, unabhängig ist von der Vorbelastungszeit, was bei Verbindungsproblemen nur mit Einschränkung gültig ist. Erweitert gilt so PU€ ðt1 , ΔtÞ ¼ eλΔt :

ð25:22Þ

In Gl. (25.22) tritt somit die Vorbelastungszeit nicht mehr in Erscheinung, sondern nur noch das Zeitintervall. Entsprechend folgt für die Ausfallverteilungsfunktion PA ðt1 , ΔtÞ ¼ 1  eλΔt :

ð25:23Þ

Vorstehende Gleichungen beschreiben eine Exponentialverteilung und ist somit ausschließlich für Zufallsausfälle relevant. Hieraus leitet sich die Ausfalldichte gemäß Gl. (25.9) zu f ðtÞ ¼ λ  eλt

ð25:24Þ

und die mittlere Lebensdauer zu 1 ð

Tm ¼ 0

 1 1 eλt  dt ¼   eλt 1 o ¼ λ λ

ð25:25Þ

ab, d. h., bei Vorliegen einer konstanten Ausfallrate beschreiben der Mittelwert und die Ausfallrate die Zuverlässigkeit eines Systems. Der Ausdruck 1/λ ¼ MTBF (Mean Time Between Failures) wird oft auch in Regelwerken zur Kennzeichnung der ausfallfreien Zeit herangezogen. Die Annahme einer konstanten Ausfallrate ist für beliebig große Betrachtungszeiträume jedoch nicht zutreffend, da gewöhnlich über einen längeren Zeitraum auch die Ausfallrate (z. B. wegen Kriechens, Ermüdens, Alterns etc.) zeitabhängig wird.

25.5

Früh- und Spätversagen

Bei Strukturen aus vielen Einzelteilen, die miteinander verbunden sind und wo Reibung oder andere systematische Effekte wirken, wird man in der Praxis einen bestimmten Versagensablauf aus Früh-, Zufalls- und/oder Spätversagen feststellen. In Abb. 25.3 ist eine dieses Verhaltens beschreibende Ausfallkurve (Badewannenkurve s. [AUT 84]) skizziert.

Früh- und Spätversagen

433

Ermüdungsausfälle, Brüche o.ä. b>1

Frühausfälle

λ(t)

25.5

Zufallsausfälle b t2 steigt die Ausfallrate wieder an. Ursache können hier Verschleiß, Alterung oder Ermüdung sein. Das zuvor beschriebene Verhalten kann mathematisch durch die Weibull-Verteilung [BER 90] beschrieben werden. Diese kann entweder zwei- oder dreiparametrig angesetzt werden. • Bei der zweiparametrigen Weibull-Funktion entspricht die Überlebenswahrscheinlichkeit

b

PU€ ðtÞ ¼ eðt=TÞ :

ð25:26Þ

Hierin ist t die variable Zeit, T die charakteristische Lebensdauer (bei 63,2 % Ausfälle) und b ein Formparameter, der die Form der Verteilungskurve steuert. Ab b ¼ 3,44 entspricht die Weibull-Funktion in etwa der Gauß’schen Normalverteilung. Die Dichtefunktionist anzusetzen als

434

25

f ðtÞ ¼

Strukturzuverlässigkeit

 b1 b dPA b t ¼  :eðt=TÞ Þ T T dt

ð25:27Þ

 b1 f ðt Þ b t : ¼ : PU€ ðtÞ T T

ð25:28Þ

und die Ausfallrateals λðt Þ ¼

Die Erfahrung zeigt, dass die mit der zweiparametrigen Weibull-Funktion berechneten Lebensdauern fast immer unter den real gemessenen Lebensdauern liegen. Als Ursache hierfür ist zu vermuten, dass gemäß Gl. (25.26) schon Ausfälle zum Zeitpunkt t ¼ 0 angenommen werden. Dies wird in der Praxis aber sehr selten sein, sondern es kann unterstellt werden, dass jede Struktur eine bestimmte Mindestlebensdauer hat, ab der erst Ausfälle auftreten werden. • Die dreiparametrige Weibull-Funktion berücksichtigt durch einen zusätzlichen Parameter to eben diese ausfallfreie Zeit. Demgemäß wird angesetzt b

PU€ ðtÞ ¼ e½ðtt0 Þ=ðTt0 Þ :

ð25:29Þ

Dieser Ansatz gibt im Allgemeinen das Betriebsverhalten besser wieder. Für die Dichtefunktionerhält man somit f ðtÞ ¼ bðt  to Þb1  ðT  to Þb  e½ðtto Þ=ðTto Þ

b

ð25:30Þ

und für die Ausfallrate λðtÞ ¼ bðt  to Þb1 :ðT  to Þ  b:

ð25:31Þ

Die Bestimmung von to würde in der Praxis einen hohen Versuchsaufwand bedeuten, sodass man hier meist mit Abschätzungen operiert. Gewöhnlich kann ein Drittel der Frühausfallzeit als ausfallfreie Zeit angenommen werden. Mit den vorhergehenden Annahmen wäre dies to ¼

1  ð0, 1  tE Þ mit tE ¼ gesch€atzte Endlebensdauer, 3

ð25:32Þ

darüber hinaus existieren zu vielen Verbindungselementen versuchstechnisch ermittelte b-Werte. Nach dem derzeitigen Erkenntnisstand existiert derzeit kein verlässlicherer Ansatz als die Weibull-Funktion, um Strukturlebensdauern vorhersagen zu können.

Literatur

435

Literatur [AUT 84] [BER 90] [BIR 91] [LEC 79]

Autorenkollektiv: Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten, Bd. 3. VDA, Frankfurt (1984) Bertsche, B., Lechner, G.: Zuverlässigkeit im Maschinenbau. Springer, Berlin/Heidelberg (1990) Birolini, A.: Qualität und Zuverlässigkeit technischer Systeme. Springer, Berlin/Heidelberg (1991) Lechner, G., Hirschmann, K.H.: Fragen der Zuverlässigkeit von Fahrzeuggetrieben. Konstruktion. 31(1), 19–26 (1979)

Strukturakustik

26

Dünnwandige Blechstrukturen stellen in vielen Anwendungen die günstigste Konstruktionslösung dar. Oftmals treten jedoch Geräuschprobleme auf, die bei dem gewachsenen Umweltbewusstsein immer weniger toleriert werden. In immer stärkerem Maße werden daher lärmarme Konstruktionen verlangt, zumal nachträgliche Lärmminderungsmaßnahmen in der Regel sehr kostspielig und nicht immer erfolgreich sind.

26.1

Ursachen von Geräuschen

Geräusche können nach ihrer Entstehung in direkten und indirekten Luftschall [HEN 08] eingeteilt werden. Direkter Luftschall wird von aeropulsiven, aerodynamischen oder thermodynamischen Schallquellen erzeugt (Beispiele: Propeller-, Strömungs-, Explosions- und Brennergeräusche). Der von einer Blechstruktur abgestrahlte Luftschall wird als „indirekt“ bezeichnet, weil er durch Körperschall, d. h. Schwingungen (im Allgemeinen Biegeschwingungen) im hörbaren Frequenzbereich zwischen 16 Hz und 16 kHz, verursacht wird. Das Geräuschniveau einer Konstruktion kann nur dann durch akustisch wirksame Veränderungen eines Blechbauteils oder einer Leichtbaubaugruppe gemindert werden, wenn es sich hierbei um eine dominante Teilschallquelle handelt. Dies bedingt, dass das Gesamtgeräusch wesentlich durch dieses Bauteil oder einer Baugruppe bestimmt wird. Eine sorgfältige Teilschallquellenanalyse ist daher die Voraussetzung zur Gestaltung geräuschgeminderter Konstruktionen bzw. zu wirksamen Änderungen an bestehenden Konstruktionen. Zur Lokalisierung dominanter Teilschallquellen eignet sich als qualitatives Verfahren eine systematische Betrachtung des Kraftflusses; quantitative Aussagen erfordern die Kenntnis des akustischen Verhaltens der einzelnen anregenden oder übertragenden Bau# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_26

437

438

26 Strukturakustik

Anregungen

Quellen

• Massenkräfte

Motor-, Getriebe-, Gebläse- und Turbinenunwuchten, Kurvengetriebe, oszillierende Massen

• Wechselkräfte

periodische Kraftübertragung in Zahnradgetrieben, Wälzlagern

• magnetische Kräfte

Elektromotore, Linearantriebe

• Stöße, Schläge

Anschläge, Spiel, Umform- und Trennvorgänge, Fallvorgänge

• Druckwechselvorgänge Kolbenmaschinen, Rohrleitungen Abb. 26.1 Typische Betriebskräfte mit Körperschallinduzierung

elemente. In der Regel führen dynamische Betriebskräfte zur Körperschalleinleitung und lassen somit Blechstrukturen zu Schallstrahlern werden. Einige typische Beispiele sind in der Abb. 26.1 aufgelistet. Die Schaffung geräuscharmer Konstruktionen muss im ersten Schritt an den Geräuschquellen ansetzen, d. h., die anregenden Kräfte müssen minimiert und ihr Zeitverlauf beeinflusst werden. Im zweiten Schritt kann dann erst geräuscharmes Konstruieren greifen. Zeigen diese Maßnahmen nicht den gewünschten Erfolg, so sind in einem weiteren dritten Schritt Sekundärmaßnahmen zu ergreifen. Dazu gehören Dämmung oder absorbierende Kapselungen.

26.2

Akustisches Verhalten

Die Entstehung des indirekten Luftschalls kann physikalisch drei Ursachen haben: Schwingungseinleitung in eine Struktur, Körperschallübertragung von den Einleitungsstellen zu den abstrahlenden Flächen und die Abstrahlung (Umsetzung von Körper- in Luftschall). Mögliche Maßnahmen müssen sich gemäß Abb. 26.2 auf diese Ursachen [SCH 96] konzentrieren. Je nach Funktion und Gestaltung zeigen Blechkonstruktionen ein unterschiedliches akustisches Verhalten, welches wesentlich davon abhängt, ob eine Kraft- oder Fußpunktanregung vorliegt. Meist lässt sich eine Fußpunkterregung besser beherrschen als eine Krafterregung. Maßgebend für den Luftschall ist die Schnelle, d. h. die Schwinggeschwindigkeit senkrecht zur Oberfläche. Liegen Bauteile (Träger, Rahmen, Gestelle) im Kraftfluss, so werden diese unmittelbar durch Wechselkräfte zu Schwingungen angeregt. Hierbei spielt der Schwingungswiderstand (Eingangsimpedanz) an der Anregungsstelle die entscheidende Rolle. Abdeckende Bauteile (Deckel, Seitenverkleidungen) liegen nicht im Kraftfluss, sondern sind an tragenden Bauteilen angebracht. An der Koppelstelle werden sie mit der Schwinggeschwindigkeit dieser Bauteile beaufschlagt, ohne dass ihre Eingangsimpedanz diese

26.2

Akustisches Verhalten

Bauteile im Kraftfluss

439

umschließende Bauteile

_ v( t ) _ + F( t ) +

F(t) v(t)

abdeckende Bauteile F(t) v(t)

Eingangsimpendanz Maßnahmen bezüglich: Masse und Steifigkeit

Abstrahlung Maßnahmen bezüglich: Oberflächengröße, Oberflächengestaltung, Eigenfrequenz, Ausgleichsvorgänge

Übertragungsverhalten Maßnahmen bezüglich: Dämmung, Dämpfung, Zusatzmassen

günstige akustische Konstruktion Abb. 26.2 Funktionssystematik und Maßnahmenschwerpunkte zur Geräuschbeeinflussung nach [TÖN 83]

Geschwindigkeitsanregung beeinflussen kann. Zur Klärung der Frage, ob ein Bauteil geschwindigkeitserregt ist, hilft ein Vergleich der Impedanzen an den Verbindungsstellen. Ist nämlich die Eingangsimpedanz des anzukoppelnden Bauteils deutlich geringer als diejenige der tragenden Struktur, so liegt eine Geschwindigkeitsanregung vor. Eine Verminderung der anregenden Schwinggeschwindigkeit ist dann nur möglich, wenn die Impedanz der tragenden Struktur an den Verbindungsstellen wesentlich erhöht werden kann. Flächige, selbsttragende Bauteile (Behälter, Kanäle, Förderrinnen) erfüllen sowohl tragende als auch abdeckende Funktionen, weswegen sie als umschließende Bauteile bezeichnet werden. Meist lässt sich die Frage nicht so einfach klären, ob es sich hierbei um eine Kraft- oder Geschwindigkeitsanregung handelt. Vielfach treten Stöße oder

440

26 Strukturakustik

Schläge auf, wobei die Anregung dann aus Spitzenwerten (d. h. Impulse) besteht. Oftmals lassen sich derartige Probleme nur durch lokale Dämmung beheben.

26.3

Körperschallausbreitung

In festen Körpern pflanzen sich Anregungen mit charakteristischen Geschwindigkeiten fort. Dabei wird nicht nur elastischen Längsverformungen ein Widerstand entgegengesetzt, sondern auch Schub-, Biege- und Torsionsverformungen. Demzufolge treten in Körpern Längs-, Schub-, Biege- und Torsionswellen auf. Dehnwellen Als Dehnwellen bezeichnet man quasi-longitudinale Wellen (Längswellen). Für Stahl (ρ ¼ 7.850 kg/m3, E ¼ 2, 1  1011 N/m2) bestimmt sich deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit bzw. Dehnwellengeschwindigkeit zu

cDeW, St

rffiffiffiffiffiffi E m ¼ 5:172 : ¼ ρ s

ð26:1Þ

Das Auftreten von Dehnwellen (s. Abb. 26.3) setzt voraus, dass die Abmessungen eines Körpers in den Querrichtungen klein gegenüber der Wellenlänge sind. Derartige Verhältnisse liegen gewöhnlich bei stabartigen Strukturen vor. Quasi-longitudinale Wellen mit sekundären Transversalwellen können auch noch in plattenförmigen Strukturen, d. h. an der Plattenoberfläche, auftreten. Die Dehnwellengeschwindigkeit in Platten ergibt sich demnach für Stahl (ν ¼ 0,3) cDeW, Pl

1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  ν2

rffiffiffi E m ¼ 5:422 : ρ s

ð26:2Þ

Dichtewellen Falls die räumliche Ausdehnung von Körpern in allen drei Richtungen wesentlich größer als die auftretende Wellenlänge ist, so werden bei Längserregung reine Längs- oder Abb. 26.3 Prinzip der Dehnwellen [HEN 08]

λ

primäre Longitudinalwelle

sekundäre Transversalwelle

26.3

Körperschallausbreitung

441

Dilatationswellen (Dichtewellen) hervorgerufen. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit hat eine kugelartige Form. Damit ergibt sich die Dichtewellengeschwindigkeit zu

cDiW, K

rffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  ν E  : ¼ ρ ð1 þ νÞ  ð1  2νÞ

ð26:3Þ

Für Körper aus Stahl beträgt die Dichtewellengeschwindigkeit cDiW, K ¼ 5970 m/s und ist damit um 15 % größer als die Fortpflanzungsgeschwindigkeit in stabartigen Strukturen. In Abb. 26.4 ist der Verlauf stilisiert dargestellt worden. Schubwellen In räumlichen Strukturen können bei Querkrafterregung auch reine transversale Schubwellen auftreten. Die Schubwellenausbreitung zeigt dann eine räumliche Form. In Stahl (G ¼ 8, 11010 N/m2) beträgt die Schubwellengeschwindigkeit cQ

rffiffiffiffi G ¼ 3:210 m=s: ¼ ρ

ð26:4Þ

Torsionswellen Ein Sonderfall von Schubwellen sind Torsionswellen in stabartigen Körpern, die eine zirkulare Form aufweisen. Für die Torsionswellengeschwindigkeit ergibt sich demzufolge rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi G  JT cT ¼ , mit ΘX G  JT ¼ Drillsteifigkeit ΘX ¼ Massenträgheitsmoment um die Längsachse

ð26:5Þ

Im Fall von kreisförmigen Strukturquerschnitten ist cT ¼ cQ.

Abb. 26.4 Wellenausbreitung in Strukturen nach [HEN 08]

a) Dichtewellen

D

c) Torsionswellen

T

b) Schubwellen

S d) Biegewellen

B

442

26 Strukturakustik

Biegewellen Am häufigsten werden Leichtbaustrukturen auf Biegung beansprucht, weswegen Biegewellen für die Ausbreitung und die Abstrahlung von Körperschall am wichtigsten sind. Biegewellen erzeugen transversale Auslenkungen bei gleichzeitigem Schrägstellen aller Körperquerschnitte. In stabartigen Körpern beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von freien Biegewellen rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E  Jb , mit μL Jb ¼ Flächenträgheitsmoment cB ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2π  f  4

ð26:6Þ

μL ¼ Masse pro Länge f ¼ Anregungsfrequenz bzw. cB ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffi pcffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2π  f  i  DeW , mit i ¼ Trägheitsradius:

ð26:7Þ

Analog gilt für Platten

cB ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2π  f  4

rffiffiffiffiffiffi B , mit μA

μA ¼ ρ  t  Masse pro Fläche

ð26:8Þ

E  t3 ¼ Biegesteifigkeit B¼ 12ð1  ν2 Þ bzw. cB ¼ 1, 35

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cDeW, Pl  t  f :

ð26:9Þ

Somit kann die Wellenlänge einer Biegewelle bestimmt werden zu c λB ¼ B ¼ 1, 35 f

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cDeW, Pl  t : f

ð26:10Þ

Im Gegensatz zu den bisher erfassten Wellen-Ausbreitungsgeschwindigkeiten hängt die Biegewellengeschwindigkeit von der Frequenz f ab und wird mit steigender Frequenz auch größer. Dieses Phänomen bezeichnet man als die Frequenzdispersion des Körperschalls.

26.4

Wellenbeanspruchung

443

Entsprechend der Beanspruchung können in Körpern alle aufgeführten Wellenformen auftreten. Es sind jedoch auch Wellenumlagerungen möglich, wenn beispielsweise Dehnwellen an Ecken oder Knoten reflektiert werden, so können diese in Biegewellen umschlagen. Transversalwellenbiegeweicher Körper Vorgespannte, biegeweiche Körper (Seile, Saiten) schwingen unter Erzeugung von Transversalwellen (s. Abb. 26.5). Wird in Gl. (26.1) für die Dehnwellengeschwindigkeit der E-Modul durch die Vorspannung ersetzt, so erhält man cTrW ¼

rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi σx Fx : ¼ ρ μL

ð26:11Þ

Wie zuvor schon festgestellt wurde, sind für die Schallabstrahlung in ein umgebendes Medium ausschließlich relative Bewegungen senkrecht zur Oberfläche ursächlich. Dies bedingt transversale Wellen, wie sie in geringerem Umfang bei Dehnwellen und im starken Maße bei Biegewellen auftreten. Biegewellen sind daher besonders kritisch.

26.4

Wellenbeanspruchung

Mit dem Auftreten von Körperwellen sind auch innere Beanspruchungen verbunden, die von Profilen aufzunehmen sind und letztlich zur Instabilität führen können. Kritisch kann dies vor allem in Crashsituationen von Fahrzeugen sein, bei denen die Längsschweller zunächst kurzzeitig (etwa 8–10 ms) einer Dehnwellenbeanspruchung und danach einer Stauchbeanspruchung mit eventueller Fließgelenkausbildung unterliegen. Das Prinzip eines Crashs zeigt die vereinfache Darstellung in Abb. 26.6. Die Längsträger sind gewöhnlich geschlossene, dünnwandige Stahlprofile, die longitudinale Wellen (cDeW, St ¼ 5.172 m/s) übertragen. Hierdurch werden Druckspannungen von der Größe σd , Dew ¼ ρ  cDeW  vc

ð26:12Þ

hervorgerufen, denen das Profil in der Crasheinleitungsphase standhalten muss. Die Abb. 26.7 gibt die Beanspruchungsgrößen bei einigen Crashgeschwindigkeiten wieder. Abb. 26.5 Erste Transversalwelle bei einem biegeschlaffen, stabartigen Körper nach [HEN 08]

A,E

x

Fx

L

444

26 Strukturakustik

starre Wand

dünnwandiger Hohlquerschnitt Fahrzeugmasse Anfangsgeschwindigkeit

Bereich großen Stoßdrucks

Wellenfront bewegt sich mit Schallgeschwindigkeit nach hinten und wird reflektiert Wellenausbreitungsphase

Kontaktzone Längsschweller in Pkw-Karosserien

lokales Faltenbeulen

Abb. 26.6 Belastungsprinzip eines Längsschwellers im Crash

Normale Stähle können diese Beanspruchung nicht aufnehmen, weshalb man heute im Fahrzeugbau CP-, TRIP- und TMS-Stähle für crashrelevante Strukturbauteile einsetzt. Aber auch diese Stähle können Stoßwellen bei Geschwindigkeiten größer vC ¼ 100 km/h nur schwer standhalten, d. h. es entsteht eine unbeherrschbare Instabilität.

26.5

Impedanz

Als Impedanz einer elastischen Struktur wird das Verhalten einer erregenden Ursache (Kraft, Moment) zu einer Geschwindigkeit (Schnelle) bezeichnet, die sich an einer Struktur einstellt. Man unterscheidet hierbei eine akustische und eine mechanische Impedanz. Für die hier zu betrachtenden Probleme ist nur die mechanische Impedanz von Interesse.

26.6

Impedanz einer idealisierten Struktur

445

Abb. 26.7 Innere Profilbeanspruchungen aus Dehnwellen

v c [km/h] 5 10 50 100

[

σ d , DeW N/mm2

]

56,4 112,8 563,9 1.127,8

Die mechanische Impedanz [HEN 08] ist hiernach der Widerstand, der den wirkenden Kräften entgegengesetzt wird. Ist F(t) die erregende, periodische Kraft von v(t) die Schnelle an der gleichen Stelle, wobei beide gleichgerichtet sein müssen, so bezeichnet das Verhältnis ZE ¼

Fð t Þ vðtÞ

ð26:13Þ

die Eingangsimpedanz. Angenommen wird stets eine punktförmige Krafterregung, wobei die Kraftangriffsfläche klein gegenüber der erzeugten Wellenlänge sein soll. Physikalisch besagt ZE, in welcher Stärke bei einer krafterregten Struktur Körperschall erzeugt wird. Das heißt, eine große Eingangsimpedanz führt nur zu geringem Körperschall.

26.6

Impedanz einer idealisierten Struktur

Praktische Erkenntnisse lassen sich sehr schön am Beispiel eines gedämpften Einmassenschwingers (Abb. 26.8) gewinnen. Im Fahrzeugbau kann an diesem idealisierten Modell die Kraftanregung der Achsstruktur oder im Maschinenbau das Verhalten von Werkzeugsystemen abgeschätzt werden. Durch Freischneiden findet sich sofort die zugehörige DGL1 m  €x þ d  x_ þ k  x ¼ FðtÞ mit den bekannten Lösungsansätzen ^  ei  ω  t , x ¼ ^x  ei  ω  t , F ¼ F d. h. bei einer Anregung mit der Kreisfrequenz ω schwingt eine Struktur ebenfalls mit der gleichen Frequenz. Nach dieser Vorbetrachtung ergibt sich für die Eingangsimpedanz des Einmassenschwingers

1

Anmerkung:

x_ ¼ i  ω  x . €x ¼ ω2  x

446

26 Strukturakustik

Abb. 26.8 Gedämpfter Einmassenschwinger

F(t) x

m

d

ZE ¼

F F k ¼ ¼imωþdþ : v x_ iω

k

ð26:14Þ

Man erkennt die Zusammensetzung aus drei Anteilen, und zwar • einer Massenimpedanz

Zm ¼ i  m  ω,

ð26:15Þ

welche bei einer Punktmasse eine rein imaginäre Größe ist. Dies bedeutet: Die Schwinggeschwindigkeit oder Schnelle der Masse ist um 90 phasenverschoben gegenüber der anregenden Kraft. Weiter ist die Massenimpedanz proportional zur Masse und zur anfachenden Kreisfrequenz. • einer Dämpfungsimpedanz

Zd ¼ d,

ð26:16Þ

welche als reelle Größe geschwindigkeitsproportional und mit der anregenden Kraft in Phase ist. • einer Steifigkeits- bzw. Federimpedanz

Zk ¼

k , iω

ð26:17Þ

26.7

Quantifizierung von Versteifungsmaßnahmen

447

welche imaginär ist, womit ausgedrückt wird, dass die Schwinggeschwindigkeit um -90 phasenverschoben ist zur anfachenden Kraft. Der Betrag der Federimpedanz ist proportional zur Federkonstanten und umgekehrt proportional zur anfachenden Kreisfrequenz. Die Eingangsimpedanz eines Einmassenschwingers kann somit durch Variation der Masse, Dämpfung und Steifigkeit [VDI 80] weitestgehend unabhängig optimiert werden.

26.7

Quantifizierung von Versteifungsmaßnahmen

In der Praxis des Blechleichtbaus geht es regelmäßig darum, die Eingangsimpedanz durch Versteifungsmaßnahmen (Verrippungen, Versickungen, Wandstärkensprünge) zu verändern. Als mechanisches Ausgangselement liegt gewöhnlich eine Platte vor (s. Abb. 26.9). Aus der Schwingungs-DGL muss daher zunächst die Eigenkreisfrequenz hergeleitet werden. Diese Herleitung wird in der Literatur (z. B. [SZA 64, KOL 93]) wiederholt gezeigt und soll hier nicht noch einmal vollzogen werden. Somit findet sich für • die frei gestützte Rechteckplatte die Eigenkreisfrequenz rffiffiffiffiffiffiffiffi  i 2 k2 2 B , i, k ¼ 1, 2, 3, . . . þ 2 π  2 ρ t a b

 ωik ¼ und die Eigenfrequenz zu

x y

a

z, w

b

t

Abb. 26.9 Festlegungen an der homogenen, dünnwandigen Platte

ð26:18Þ

448

26 Strukturakustik

f ik ¼

ωik 2π

ð26:19Þ

und für • die eingespannte Rechteckplatte (Näherung nach W. Leissa für die 1. Eigenkreisfrequenz)

ω11

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffirffiffiffiffiffiffiffiffi Kxy Kx Ky B ¼π  þ 4 þ2 2 2 ρt a4 b a b 2

ð26:20Þ

mit den Konstanten Kx ¼ Ky ¼ Kxy ¼

504 , π4

144 : π4

Wenn Platten verrippt werden, verschiebt sich durch die Verrippung die erste Eigenfrequenz. Aus Experimenten ist der folgende Zusammenhang belegt: f PR1 ¼ φ0  f PL1

ð26:21Þ

mit φ0 ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi BPR μA , Pl  : BPl μA , PR

ð26:22Þ

Die Größe des Verschiebungsfaktors φ0 ist in Abb. 26.10 an einigen Verrippungsmustern dargestellt. Bei versickten Platten (Sickenbreite gleich zweimal Plattendicke) hat man mit φ0 ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffi BPS BPl

ð26:23Þ

einen ähnlichen Zusammenhang gefunden. Des Weiteren können durch Wandstärkensprünge (s. Abb. 26.11) Eigenfrequenzverschiebungen hervorgerufen werden. In Relation zu einer gleich schweren homogenen Platte mit t ¼ 0,5 (t1 + t2) wurde experimentell gefunden:

26.7

Quantifizierung von Versteifungsmaßnahmen

449

1,5

1,4

ϕ0

1,3

1,2 Blech 100 ×100 ×1 mm3 Rippen 2 mm breit 3 mm hoch fest eingespannt

1,1

1

Verrippungen Abb. 26.10 Eigenfrequenz-Verschiebung durch Verrippung (nach [TÖN 83])

A1

A2

t1

t2

Abb. 26.11 Abgesetzte Platte

f Pl, abg ¼ f 1 

A1 A þ f2  2 : Ages Ages

ð26:24Þ

Dieser Zusammenhang lässt sich auch auf Kastenstrukturen übertragen. Vereinfacht können Wände als gelenkig gelagerte Einzelplatten aufgefasst werden. Die erste Eigenfrequenz ergibt sich sodann als das flächengewichtete arithmetische Mittel der ersten Eigenfrequenzen aller Teilplatten zu

450

26 Strukturakustik

Verlustfaktor λ

Werkstoff/Kombination Stahl Aluminium Stahlguss Kunststoffe Stahlblech mit Entdröhnbeleg Verbundblech Gummi

0,0002 0,0002 0,001-0,002 0,1 0,1 0,1-0,2 1,0 Verlustfaktor λ

Ausführungsformen

verschweißte Stahlbleche 0,001-0,002 verschraubte Stahlbleche 0,01-0,02 (wenige Teile) verschraubte oder genietete Stahlbleche 0,03 (viele Teile) Abb. 26.12 Anhaltswerte für den akustischen Verlustfaktor (nach VDI 3720, Blatt 1)

fK ¼

n X Ai  fi: A ges i¼1

ð26:25Þ

Die aufgezeigten Frequenzverschiebungen führen zu einer Absenkung des Schalldruckpegels (s. Darstellung in der DIN 45630), sodass das menschliche Ohr eine geringe Intensität wahrnimmt, welches gleichbedeutend mit einem Leiser-Empfinden ist.

26.8

Einfluss von Werkstoff und Verbindungstechnik

Um die akustische Effizienz von Werkstoffänderungen oder Teileverbindungen bewerten zu können, nutzt die Physik einen Verlustfaktor. Dieser stellt im Grunde ein Energie- bzw. Dämpfungskriterium dar, und zwar Verlustfak tor ¼

pro Schwingung in Wärme umgewandel te Energie : nicht in Wärme umgewandel te Energie

Gewöhnlich kann der Verlustfaktor aus Resonanzkurven oder der Nachhallzeit gewonnen werden. Weiter ist es üblich, diesen Effekt als Senkung des Körperschallpegels (in dB) anzugeben, wie ΔLK ¼ 10 log

λ2 : λ1

ð26:26Þ

Literatur

451

Die Verlustfaktoren sind gewöhnlich tabelliert bzw. können der Abb. 26.12 entnommen werden. Somit lassen sich Änderungen bezüglich eines Werkstoffwechsels oder der Einfluss von Teileverbindungen bewerten.

Literatur [HEN 08] [KOL 93] [SCH 96] [SZA 64] [TÖN 83]

[VDI 80]

Henn, H.; Sinambari, G. R.; Fallen, M.: Ingenieurakustik – Grundlagen, Anwendungen, Verfahren, 4. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2008) Kollmann, F.-G.: Maschinenakustik – Grundlagen, Messtechnik, Berechnung, Beeinflussung. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1993) Schösser, T.F.: Körperschallreduktion durch experimentelle Strukturoptimierung. Konstruktion. 48, 236–242 (1996) Szabó, J.: Höhere Technische Mechanik, 4. Aufl. Springer, Berlin (1964) Tönshoff, H. K., Bernhardt, U.: Lärmarm konstruieren in Blech. Forschungsbericht Nr. 10 der Deutschen Forschungsgesellschaft für Blechverarbeitung e. V., Hannover (1983) N. N.: Lärmarm Konstruieren – Allgemeine Grundlagen. VDI 3720, Düsseldorf (1980)

27

Praxisbeispiele

Praxisbeispiele zu Abschn. 2.2 „Kostenmodell“

27.1

Im Folgenden soll zur Abschätzung einer günstigen Bauweise ein vereinfachtes Kostenmodell angewandt werden. Als Beispiel dient hierzu die leichtbaugerechte Optimierung einer Zelle eines Kleintransporters, dessen prinzipiellen Strukturaufbau die Skizze zeigt. Typische Rahmenbauweise der Zelle eines Transportfahrzeuges:

h b L Profil: b, h, E . J

Strukturgewicht: Nutzlast: Gesamtgewicht:

GS = 1. 000 kg G N = 800 kg G = 1. 800 kg

Bisher wurde die Gitterstruktur des angedeuteten Fahrzeugs aus hochfesten WalzstahlProfilen hergestellt. Im Weiteren ist zu untersuchen, wann sich Al- oder GFK-Profile wirtschaftlich rentieren. Für die Materialkenngrößen (u. a. kW-Relationen) sollen dabei folgende Annahmen gemacht werden:

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6_27

453

454

27 Praxisbeispiele

Kenngrößen
) Stahl 7,85 Dichte ρ [kg/dm3] E-Modul [MPa] 210.000 1 Kostenfaktor kW [€/kg] 48 Primärenergie PE [MJ/kg] 3,2 Emission HE [CO2/kg] Umrechnung: 1 kWh ¼3,6 MJ

Aluminium 2,7 70.000 3 185 6,7

Magnesium 1,74 45.000 3,5 230 7,5

GFK (45 %) 1,95 40.000 4 85 2,8

NFK 1,0 2500 4 52 1,9


)

Anm.: Angaben aus Vortrag A. Morsch et al.: Zur ganzheitlichen Bewertung von Werkstoffen am Beispiel von naturfaser- und glasfaserverstärkten Kunststoffen, TU München, 29.09.2011

Unter der Voraussetzung, dass die tragenden Profile der Zelle auf gleiche Biegesteifigkeit ausgelegt werden sollen und hierfür die Bedingung ESt  JSt ¼ Ex  Jx ¼ konst:

ð27:1Þ

gilt, leitet sich die Bauweisenforderung Jx ¼

ESt J Ex St

ð27:2Þ

ab. Für die erforderlichen Flächenträgheitsmomente der Alternativwerkstoffe gilt sodann JAl ¼ 3  JSt

bzw: JGFK ¼ 5, 25  JSt :

ð27:3=27:4Þ

Im Rahmen einer weiteren Vereinfachung sollen Rechteckprofile mit J ¼ b  h3/12 für die tragenden Querschnitte angenommen werden. Für die sinnvolle Restriktion b ¼ konst. finden sich dann für die Profilhöhen hAl ¼

p ffiffiffi 3 3  hSt

und

hGFK ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 5, 25  hSt :

ð27:5=27:6Þ

Damit kann folgende relative Gewichtsfunktion (bezogenes Strukturgewicht) gebildet werden:


GS ¼



 GS ¼ρh gbL

oder GS, GS,

Al
St


¼

pffiffiffi ρAl  3 3  hSt 2, 7 ¼  1, 44 ¼ 0, 49, 7, 85 ρSt  hSt

ð27:7Þ

27.1

Praxisbeispiele zu Abschn. 2.2 „Kostenmodell“

455

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi GS, GFK
ρGFK  3 5, 25  hSt 1, 95  1, 73 ¼ 0, 43: ¼ ¼ 7, 85 GS, St
ρSt  hSt Für das Strukturgewicht zeigt sich dabei folgende Entwicklung: GS [kg] +GN [kg] ¼G [kg]

St 1000 800 1800

Al 490 800 1290

GFK 430 800 1230

Die Wirtschaftlichkeitsdiskussion zeigt dabei folgende Tendenz: • Die Betriebskosten (Kraftstoff, Öl, Verschleiß) sind proportional dem Gesamtgewicht anzusetzen KB ¼ kB  G,

mit

kB ¼ 0, 01 €=ðkg  100 kmÞ,

damit wird KB, St ¼ 18 €/(100 km), (100 %)

KB, Al¼ 12,90 €/(100 km), (71,7 %)

KB, GFK¼ 12,30 €/(100 km) (68,3 %)

• Die gesamten Herstellkosten der Zelle können proportional zu den Werkstoffkosten angesetzt werden, und zwar zu

KH ¼ H  I  KW ¼ H  I  kW  GS , wobei die folgenden Relationen gelten sollen: Herstellkostenfaktor H Ingenieurkostenfaktor I

St 100 % 100 %

Al 120 % 130 %

GFK 200 % 150 %

Die Herstellkosten der reinen Tragstruktur findet man somit zu KH, KH,

Al

St

¼ 2293 €,

¼ 1000 €, KH,

GFK

• Die für einen Wirtschaftlichkeitsvergleich tisationskostenfaktoren in € pro 1 km betragen:

¼ 5160 €:

maßgebenden

relativen

Amor-

456

27 Praxisbeispiele

ft,

St

ft,

Al

ft,

GFK

K St ¼ KB,HSt,100  ð€Þ ¼ 0, 55 €=km, KH, Al ¼ KB, Al 100  ð€Þ ¼ 1, 77 €=km, K , GFK ¼ KB,HGFK 100  ð€Þ ¼ 4, 19 €=km,

(1,0 fach) (3,2 fach) (7,6 fach).

Hieraus lässt sich ableiten, dass ein Transport von Gütern sich alleine durch eine Werkstoffsubstitution wirtschaftlich nur schwer rechtfertigen lässt. Ein praktikabler Weg ist daher, durch konstruktive Maßnahmen das Gewicht der Stahl-Karosserie weiter zu senken. In einer weiteren Betrachtung soll der Energieaufwand und die CO2-Emission bei der Herstellung betrachtet und ermittelt werden. Hierzu müssen die Angaben in der vorstehenden Tabelle ergänzt werden um die erforderliche Formgebungsenergie: • 1 kg Stahl benötigt PU ¼ 20 MJ, • 1 kg Aluminium benötigt PU ¼ 140 MJ, • 1 kg GFK benötigt PU ¼ 150 MJ. Damit kann die Herstell-Energiebilanz jeweils gegenüber einem St-Fahrzeug aufgestellt werden: ΔPH, Al ¼ 490 kg  ð185 þ 140Þ MJ=kg  1000 kg  ð48 þ 20Þ MJ=kg ¼ 91 GJ Das heißt, für die Herstellung eines Al-Fahrzeuges werden 91 GJ und für ein GFK-Fahrzeug 33 GJ mehr Energie benötigt. Da die Fahrzeughersteller im Energiemix ca. 0,05 €/kWh an Kosten haben, fallen für das Al-Fahrzeug 4550 € und für das GFK-Fahrzeug 1650 € Mehrkosten für Energie in der Herstellung an. Wir wollen weiter den wirtschaftlichen Nutzen für den Fahrzeugbetreiber abschätzen, wobei angenommen wird, dass der Fahrzeughersteller nur die vorstehenden Mehrkosten weitergibt. Unterstellt man weiter, dass 0,5 Ltr/100 km an Kraftstoff für den Normalbetrieb aufgewandt werden müssen und 1 Liter Kraftstoff einen Energiegehalt von 30 MJ/Ltr hat, so kann die „Amortisationslaufleistung“ folgendermaßen abgeschätzt werden: x ðkmÞ  0, 5 ðLtr=100 kmÞ  30 ðMJ=LtrÞ ¼ 91  103 MJ bzw. x  60:000 km: Das heißt, erst ab 60.000 km ist die Energiebilanz für ein Al-Fahrzeug im Gleichgewicht.

27.2

27.2

Praxisbeispiele zu Kap. 5/6 „Werkstoffverhalten/Leichtbauwerkstoffe“

457

Praxisbeispiele zu Kap. 5/6 „Werkstoffverhalten/ Leichtbauwerkstoffe“

Als wesentliche Forderungen, die bei der Auswahl eines Konstruktionswerkstoffs unter Leichtbauaspekten zu berücksichtigen sind, gilt es anzuführen: • • • • • •

Gewährleistung der Funktion (Verformungsbedingungen), Gewährleistung der Sicherheit (Langzeitverhalten), Erfüllung der Gewichtsforderung (Nutzlast/Strukturgewichtsverhältnisse), Verarbeitbarkeit (Umformbarkeit/Schweißeignung), Herstellkosten (Materialkosten, Verarbeitungskosten), Unterhaltskosten (Korrosionsschutz, Reparatur)

sowie • Bewährung (Risiko der Nutzung neuer Werkstoffe). Die Auswahl eines geeigneten Werkstoffs wird oft durch gegenläufige Forderungen erschwert, weswegen meist Kompromisse eingegangen werden müssen. Um auf quantifizierbarem Wege eine Werkstoffauswahl durchführen zu können, sollen für die Alternative Stahl oder Aluminium einige Einsatzbeschränkungen betrachtet werden.

27.2.1 Vorteile der geringeren Masse Der Vorteil einer geringeren Masse kommt vor allem bei dynamischen Vorgängen zum Tragen, so wie die folgenden Beispiele belegen.

27.2.1.1 Rotierende Bauteile Rotierende Bauteile bewirken Zentrifugalkräfte Fz ¼ m  r  ω 2 ,

ð27:8Þ

die wiederum im Bauteil Spannungen von der Größe F z m  r  ω2 m  r 2  ω2 m  v 2 V  ρ  v2 ¼ ¼ ¼ ¼ A A Ar Ar Ar V 2 mit c ¼ σz ¼ c  ρ  v Ar

σz ¼

und

ð27:9Þ

458

27 Praxisbeispiele

c ¼ Systemkonstante v ¼ Umfangsgeschwindigkeit ρ ¼ Dichte hervorrufen. Aufgelöst nach der Geschwindigkeit σ g σ v2 ¼ z ¼  z , cρ c ρg rffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffi g σz v¼  , c ρg vmax ¼ c1 

ð27:10Þ

rffiffiffiffiffiffiffiffiffi σz , worin c1 eine neue Konstante ist, ρg

zeigt sich, dass die maximal erzielbare Grenzgeschwindigkeit unmittelbar von der Reißlänge des Werkstoffs abhängt. Diese Erkenntnis soll nun übertragen werden auf einen kleinen Anwendungsfall. Beispiel: Rotierender Greifarm eines Roboters bn

ω

mG

N A r

Für die Umfangsgeschwindigkeit gilt nach (3) rffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffi σz Re v ¼ c1 ¼ c1 : ρg ρg Betrachtet man als zulässige Spannung die Streckgrenze Re eines Werkstoffs, so zeigt die Tabelle, dass bei gleichen Baumaßen die Drehzahl des Greifers fast verdoppelt werden kann, wenn man Stahl durch Aluminium substituiert. Werkstoff S 355 J0 MgAl 8 Zn AlZnMgCu 0,5 F 50

Re[MPa] 355 230 430

ρ [kg/dm3] 7,8 1,8 2,7

qffiffiffiffiffi

Re ρg ½km

v ¼ c1 

4,5 13 16,23

2, 15  c1 3, 6  c1 4, 02  c1

Re ρg

27.2

Praxisbeispiele zu Kap. 5/6 „Werkstoffverhalten/Leichtbauwerkstoffe“

459

27.2.1.2 Oszillierende Bauteile In oszillierenden Bauteilen entstehen Kräfte, die linear von der Dichte des Werkstoffs und der Beschleunigung abhängen: N ¼ mG  b ¼ ρ  V  b ¼ ρ  A  L  b

ð27:11Þ

mit b ¼ translatorische Beschleunigung Bei konstanter Beanspruchung σz ¼ N/A und unveränderter Baugröße gilt zunächst ρb¼

N AL

oder das Verhältnis ρ  b ¼ konstant

ð27:12Þ

muss bei der Werkstoffsubstitution gleich groß bleiben. Die Konsequenz zeigt der folgende Fall. Beispiel: Linear bewegter Greifarm eines Roboters:

s

v

N

F A

L

mG

Durch eine Werkstoffsubstitution von Stahl durch Aluminium kann also die Beschleunigung auf bAl ¼

ρSt  b ¼ 2, 9  bSt ρAl St

vergrößert werden, wobei die Trägheitskraft dieselbe bleibt.

27.2.1.3 Unstetig bewegte Konstruktionen In diese Kategorie fallen beispielsweise alle Fahrzeuge, die sich durch ständige Verzögerung oder Beschleunigung einem bestimmten Rhythmus anpassen müssen. Bei Verzicht auf eine Erhöhung der Beschleunigung kann somit ein geringeres Konstruktionsgewicht zu erheblicher Energieeinsparung führen, wie nachweislich an U-Bahnzügen bewiesen werden konnte.

460

27 Praxisbeispiele

U-Bahnwaggon Gesamtgewicht Gewichtsersparnis bzw. Energiekosten je Tonne Gewicht/Jahr Energiekostener-sparnis bei Al-Waggon je Jahr

in kN in kN in % in €/a

Stahlbauweise Baujahr 1965 469

Ganzaluminiumbauweise Baujahr 1986 357 112 24

900

in €/a

10.000

Berücksichtigt man, dass ein Zug durchschnittlich aus 5 Waggons besteht, so können durch Materialsubstitution bis zu 50 T€ an Energie pro Jahr eingespart werden.

27.3

Einfluss des Elastizitätsmoduls

Wenn der E-Modul eines Werkstoffs niedriger ist als der von Stahl, so muss bei einer belasteten Konstruktion mit größeren Verformungen gerechnet werden. Dies gilt es insbesondere zu berücksichtigen, wenn Stahl-Lösungen umkonstruiert werden in Al-Lösungen.

27.3.1 Dimensionierung auf gleiche Steifigkeit Meist gilt es, bei Tragstrukturen Verformungsbedingungen einzuhalten. Da der E-Modul von Al aber nur 1/3 dem von Stahl entspricht, ist mit 3fach größeren Verformungen zu rechnen. Für unterschiedliche Beanspruchungsarten bedingt dies notwendige konstruktive Maßnahmen. Beispiel: Zugbeanspruchung bei einem Zugstab:

F

A,E

Bei gleicher Al-Ausführung

Dehnung

beträgt

ε¼

die

erforderliche

Stab-Querschnittsfläche

σz F ¼ konstant, ¼ E EA

d. h., bei gegebener äußerer Kraft F muss der Nenner konstant bleiben. Hieraus folgt

in

27.3

Einfluss des Elastizitätsmoduls

461

EAl  AAl ¼ ESt  ASt oder AAl ¼

ESt  A ¼ 3  ASt : EAl St

ð27:13Þ

Hieraus leitet sich ab, dass bei zugbeanspruchten Konstruktionen kein Gewichtsvorteil zu erzielen ist, da gleichzeitig Stahl dreimal so schwer wie Aluminium ist. Beispiel: Biegebeanspruchung (Biegebalken) p [N/mm]

E, J L

Für die Durchsenkung eines Biegeträgers ist gemäß des Belastungs- und Lagerungsfalls anzusetzen w max ¼

5 p  L4  : 384 E  J

Unter der Voraussetzung gleicher Durchsenkung bei einem Stahl- und Al-Träger gilt w¼

C ¼ konstant, EJ

damit ergibt sich für die entsprechenden Flächenträgheitsmomente EAl  JAl ¼ ESt  JSt oder JAl ¼

ESt  J ¼ 3  JSt : EAl St

ð27:14Þ

Die mögliche Gewichtsersparnis ist jetzt aber davon abhängig, wie dieses Flächenträgheitsmoment realisiert wird. Die größte Einsparung ergibt sich immer dann, wenn die Querschnittsabmessungen noch veränderlich sind. Das größte Flächenträgheitsmoment

462

27 Praxisbeispiele

lässt sich nämlich bei einer möglichst kleinen Querschnittsfläche erzielen. Bei Biegung wirkt sich dabei die Änderung der Höhe am stärksten aus. Für den gezeigten I-Träger (annähernd gleicher Biegesteifigkeit aus Stahl und Aluminium) führt dies zu folgender Bilanz:

140

140

12

6,9

E[MPa] J[mm4] E J[N  mm2] A[mm2] G[kg/m] G[%] W[mm3] σmax[%]

210

5 4,7

4,7

73

140

Stahl IPE 140 210.000 541  104 1, 14  1012 1640 12,9 100 77, 3  103 100

Aluminium I 140/140/4,7/12 70.000 1, 443  104 1, 01  1012 3820 10,6 82 206, 1  103 37

7 100 I 210/100/5/7 70.000 1, 756  104 1, 23  1012 2380 6,4 50 167, 2  103 46

Ergänzend soll die Durchsenkung einer Platte mit mittiger Einzellast betrachtet werden. F 1 C =4 b t L

E

Die Durchsenkung in der Mitte beträgt hier wmax ¼ C

F  L3 E  t3  b

und soll ebenfalls konstant bleiben. Mit C ist wieder eine Konstante eingeführt worden, die die Lagerbedingungen berücksichtigt.

27.3

Einfluss des Elastizitätsmoduls

463

Unter der Voraussetzung gleicher Durchsenkung bei der Stahl- und Al-Platte ergibt sich somit für die Plattendicke EAl  tAl 3 ¼ ESt  tSt 3 oder

tAl

rffiffiffiffiffiffiffi 3 ESt  t ¼ 1, 44  tSt : ¼ EAl St

ð27:15Þ

Wird dieses Dickenverhältnis realisiert, so beträgt die Gewichtsersparnis zwischen den Ausführungen bei gleicher Steifigkeit 50 %, so wie die Darstellung zeigt.

2 Stahl

2,9 Aluminium

t = 2 mm G = 16 kg / m2 = 100 %

t = 2,9 mm G = 7,8 kg / m2 = 50 %

Eine typische Kenngröße, um die Steifigkeit einer Platte zu bewerten, ist hierbei die bezogene Steifigkeit. Diese lässt sich über folgende Schritte herleiten: • aus der Verformungsbedingung

t¼

 1 F  L3 3 C wEb

und • aus dem Plattengewicht G ¼ m  g ¼ ρ  g  ðb  LÞ  t  1 F  L3 3  ¼ ðb  L Þ  C  wb

1 : 1 E3 ð ρ  gÞ

ð27:16Þ

464

27 Praxisbeispiele

Wenn alle Baugrößen der Platten festliegen, so ist diejenige Platte am leichtesten, die den größten Steifigkeitswert ausweist. ρ [kg/dm3] 7,8 2,7 1,8

Werkstoff S 355 J0 AlZnMgCu 0,5 F 50 MgAl 8 Zn

E1/3/(ρ  g) [N2/3  mm7/3] 75,72 152,64 193,11

E [MPa] 210.000 70.000 42.000

27.3.2 Dimensionierung auf gleiche Stabilität Für Dimensionierungen auf Instabilität ist wie zuvor wieder die Steifigkeit einer Konstruktion maßgebend. Beispiel: Knickung bei einem Knickstab L

F E, J, A

Für die elastische Knicklast eines zentrisch gedrückten Stabes kann nach Euler angesetzt werden:

FK ¼

π2  E  J ¼ C  E  J mit LK 2

C¼

π2 LK 2

ð27:17Þ

Damit gelten für die Knickung die bereits bei der Biegung hergeleiteten Verhältnisse. Das erforderliche Flächenträgheitsmoment bei gleicher Knicksicherheit ist damit JAl ¼ 3  JSt

mit

J  2 π  rm 3  t

und

G¼μLg

ð27:18Þ

Ein Vergleich ist bei den folgenden Rundstäben aus Stahl bzw. Aluminium durchgeführt worden. Es zeigt sich, dass bei annähernd gleicher Knicksicherheit das dünnwandige Rohr die bessere Lösung ist.

27.3

Einfluss des Elastizitätsmoduls

465

1.25

4 4

16

100 4

J[mm ] A[mm2] μ[kg/m]
) G[%]
)

100

Stahl 138, 9  104 1205 9,47 100

140

80

Aluminium 372  104 4220 11,39 121

Stahl 131, 1  104 545 4,28 45,2

264, 7  10 333 9,3 98

4

Anmerkung: μ ¼ mL ¼ ρ  A ist die Massebelegung eines Stabes

Die Konsequenz hieraus ist: Wenn eine Knickstütze aus Stahlrohr durch ein Aluminiumrohr ersetzt werden soll, so muss bei etwa gleicher Wandstärke das Durchmesserverhältnis dmAl 

p ffiffiffi 3 3  dmSt

ð27:19Þ

betragen. Dies entspricht einem um 44 % vergrößerten Durchmesser. Die Analyse zeigt aber auch, dass bei dem vergrößerten Durchmesser das dünnwandige Stahlrohr noch besser ist. Beispiel: Beulen – Scheibe unter Druck x

b

a t

E

Wird bei einer druckbeanspruchten Scheibe eine bestimmte kritische Spannung überschritten, so tritt ein Ausbeulen der Mittelebene ein. Für diese kritische Spannung kann angesetzt werden σx  σB ¼ k 

E  t2 ; a2

ð27:20Þ

hierin ist k die fallspezifische Beulzahl, die Lagerung, Geometrie und Beanspruchung erfasst.

466

27 Praxisbeispiele

Für rechteckige Felder gilt die Beulzahl k¼



2 1 þα α

mit

α ¼ Seitenverh€altnis ¼

a b

ð27:21Þ

Die Abbildung zeigt die Bedeutung der Beulzahl von Scheiben für unterschiedlich große Felder an einer aufliegenden Scheibe.

a x

k = 6,25

k = 4,0

a

a

a/2 a

a

k = 4,0

a

a

Gleiche Beulsicherheit wie bei einer Stahl-Scheibe stellt man also durch eine Erhöhung der Blechdicke her auf.

tAl

rffiffiffiffiffiffiffi ESt  t ¼ 1, 73  tSt : ¼ EAl St

ð27:22Þ

Trotz dieser Maßnahme können mit Aluminium noch 42 % Gewichtseinsparung erzielt werden GAl ρAl tAl 1, 73 ¼ 0, 58:   ¼ 3 GSt ρSt tSt

27.3.3 Dimensionierung auf gleiche Festigkeit Für eine Festigkeitsdimensionierung soll angenommen werden, dass der Werkstoff bis zur Fließgrenze ausnutzbar sei. Beispiel: Plattenbiegung F

C = 23

b

t x

L

27.3

Einfluss des Elastizitätsmoduls

467

Die eingespannte Platte soll durch eine mittige Einzellast beansprucht sein. Für die zulässige Belastung kann also angesetzt werden: Fzul ¼ C  b  t2 

Re : L

Das Gewicht der Platte beträgt G ¼ m  g ¼ ρ  g ðb  LÞ  t: Durch Einsetzen der erforderlichen Plattendicke  t¼

FL C  b  Re

12

folgt daraus G ¼ ðb  LÞ 



FL Cb

12



1 Re 1=2 ðρgÞ

:

ð27:23Þ

Somit ist ersichtlich, dass die leichteste Platte durch den größten spezifischen Kennwert Re1/2/(ρ  g) gegeben ist.

27.3.4 Einfluss des Formänderungsvermögens Typische Konstruktionen, wo das Formänderungsvermögen eine Rolle spielt, sind stoßbeanspruchte Strukturkomponenten (z. B. Strangpressprofile, Crash-Boxen). Der geringere E-Modul des Aluminiums erweist sich hierbei als günstig, da bei gleicher Krafteinleitung größere Verformungen möglich sind.

Die äußere Formänderungsarbeit kann allgemein mit FStoß

πa =

1 ∫ F. ds 2

angesetzt werden. Im linear elastischen Bereich ergibt sich so s

π=

1 . F. s. 2

468

27 Praxisbeispiele

Für die einwirkende Kraft kann weiter der folgende Zusammenhang hergestellt werden

F¼EAε¼

EA  s ¼ C  E  s, L

welches eingesetzt zu der Proportionalität

π¼

1  C  E  s2 2

führt. Bei gleicher vorgegebener Energieabsorption verhalten sich demnach die Verformungen quadratisch, und zwar wie

sAl ¼

rffiffiffiffiffiffiffi ESt  s ¼ 1, 73  sSt : EAl St

ð27:24Þ

FSt  sSt ¼ 0, 58  FSt : sAl

ð27:25Þ

Für die inneren Kräfte gilt dann

FAl ¼

Bei etwa gleichen Grundfestigkeiten ergibt sich somit bei Aluminium eine größere Reserve gegen plastische Verformung. Im Automobilbau besteht die Tendenz, auch die St-Längsträger, die die Crasharbeit verrichten müssen, in Al-Profile ausbilden zu wollen. Für die Substitution von Zug-/Druckbeanspruchten Strukturteilen existiert in der Automobilindustrie die empirische Wandstärken-Formel:  Rm, t1 ¼ t0  Rm,

  A0 , 1  A1 0

mit Rm ¼ Zugfestigkeit A ¼ Bruchdehnung Als Spiegelbild möglicher Alternativen soll die folgende Abschätzung durchgeführt werden:

27.4

Praxisbeispiele zu Kap. 6 „Leichtbauwerkstoffe“

Referenz: Baustahl 370  0, 27 1,75 100 %

Rm  A t (mm) G [N]

469

rostfreier Stahl 1.4301 500  0, 45 0,77 44 %

Al, weich AlMgSi1 275  0, 12 5,30 303 %

Al, hart AlZr4,5Mg1 350  0, 10 5,0 286 %

Im Vergleich des Referenzwerkstoffs zum Aluminium ist damit allerdings kein Gewichtsvorteil verbunden. Ein Gewichtsvorteil besteht hingegen zum Edelstahl, der zunehmend zur Option wird.

27.4

Praxisbeispiele zu Kap. 6 „Leichtbauwerkstoffe“

Für tragende Blechkonstruktionen werden zunehmend St- oder Al-Mehrschicht-Bleche eingesetzt, die so kombiniert werden können, dass bei gleicher Ausnutzbarkeit ein deutlicher Gewichtsvorteil (ca. 10 %) möglich ist. In dem folgenden Beispiel sollen die Grundlagen am Mehrschichtträger entwickelt werden. Hierzu ist die Belastung eines Verbundträgers mit metallurgisch, verklebten oder walzplattierten Schichten dargestellt.

d

E1

3 M by

2

SP



M by

x

y 1

E2

N

z z

zdA

S x

z

ds

z

z0 ds

E3 S = Schwerelinie N = neutrale Faser

Für die Verformung einer Faser unter Biegung gilt mit dem Krümmungsradius (ρ) ds0 ¼ ðρ þ z  zo Þ  dϕ und für die Dehnung

ð27:26Þ

470

27 Praxisbeispiele

εð zÞ ¼

ds0  ds z  zo ¼ ds ρ

ð27:27Þ

EðzÞ ðz  zo Þ: ρ

ð27:28Þ

bzw. Spannung σðzÞ ¼

Gleichfalls kann man als Gleichgewichtsbedingungen formulieren: X

ð Kx ¼ 0 :

σðzÞ dA ¼ 0,

ð27:29Þ

z  σðzÞ dA  Mby ¼ 0:

ð27:30Þ

A

X

ð My ¼ 0 : A

Wird hierin Gl. (27.28) einsetzt, so erhält man weiter für Gl. (27.29) 2

3

ð

ð

16 7 4 EðzÞ  z dA  zo EðzÞ dA5 ¼ 0 ρ A

ð27:31Þ

A

und für Gl. (27.30) 2

ð

ð

A

A

3

16 7 4 EðzÞ  z2 dA  zo EðzÞ  z dA5 ¼ Mby : ρ

ð27:32Þ

Da der E-Modul bereichsweise konstant ist, lassen sich die Integrale auch schreiben als ð EðzÞ dA ¼ A

n X

ð

EðzÞ  z dA ¼

n X

Ei  zSi  Ai ,

i¼1

A

ð

EðzÞ  z2 dA ¼ A

Ei  Ai ,

i¼1

n X i¼1

Ei  Jyi ,

ð27:33Þ

27.4

Praxisbeispiele zu Kap. 6 „Leichtbauwerkstoffe“

471

wobei mit dem Laufindex i jeweils die Teilflächen erfasst werden. Die vorstehenden Gleichungen (27.31 und 27.32) nehmen somit die Form an: " # n n X 1 X E  z  A  zo Ei  Ai ¼ 0, ρ i¼1 i Si i i¼1

ð27:34Þ

" # n n X 1 X E  J  zo Ei  zSi  Ai ¼ Mby : ρ i¼1 i yi i¼1

ð27:35Þ

Aus Gl. (27.34) folgt die Lage des Schwerpunktes zu Pn i¼1 Ei  zSi  Ai zo ¼ P n i¼1 Ei  Ai

ð27:36Þ

und aus Gl. (27.36) die Krümmung des Trägers mit Mby 1 P ¼ Pn : ρ E  J  zo ni¼1 Ei  zSi  Ai yi i¼1 i

ð27:37Þ

Die Lage der Schwerpunkte wird wie folgt dargestellt:

3 SP3 M by

2 − zS3 y

x

1 + zS1

σb2

SP1

− σb2

z

− σ b1

σ b3

Mit diesen Vorbetrachtungen kann dann die Spannungsverteilung angegeben werden als My  EðzÞ  ðz  zo Þ Pn : i¼1 Ei  Jyi  zo i¼1 Ei  zSi  Ai

σi ðzÞ ¼ Pn

ð27:38Þ

Die Spannungsfunktion hat in der neutralen Faser bei z ¼ zo den Wert null, ansonsten verläuft sie in jedem Werkstoffbereich mit Ei ¼ konst. linear mit z.

472

27 Praxisbeispiele

Über den Krümmungsradius kann weiter der Zusammenhang zur Durchbiegung herstellt werden zu w00 ¼

Mby 1 Pn ¼ Pn , ρ i¼1 Ei  Jyi  zo i¼1 Ei  zSi  Ai

ð27:39Þ

bzw. aus deren zweimaligen Integration folgt die Durchbiegung. Die Anwendung von Al-Mehrschicht-Blechen (z. B. nach der Fusion-TechnologieTM von Fa. Novelis) findet man heute in vielen Blechbauteilen (Hauben, Deckel, Türbleche) von Oberklasse-Pkws. Hier werden meist zwei- oder dreilagige Schichtverbünde aufgebaut, um bessere Festigkeits-, Steifigkeits- oder Oberflächeneigenschaften erreichen zu können. In der Abbildung ist der Produktionsprozess der Fusions-Technologie schematisch dargestellt. Produktionsprozess der Fusions-Technologie von Novelis

11

12

Schritt 1 Zwei oder mehr Aluminiumlegierungen werden in eine Form gegossen, in der sie zu einem Walzbarren verbunden werden. Die Verbindung zwischen den Schichten ist metallurgisch defektfrei.

Alloy B Alloy C Alloy A

Alloy A

Alloy B Alloy C

13

Schritt 2 Der Barren wird in der Walzanlage auf die vom Kunden spezifizierte Dicke gepresst und für den Transport auf Rollen gewickelt. Auch dabei bleibt die Integrität der Schichten erhalten.

Schritt 3 In der Produktion des Kunden werden die mehrschichtigen Platten in die gewünschte Form gebracht, zum Beispiel im Tiefziehverfahren zu Türmodulen oder anderen Komponenten.

Praxisbeispiele zu Kap. 7 „Gestaltungsprinzipien“

27.5

473

In der Abbildung wird die Herstellung und Konfektionierung eines Al-MehrschichtBleches dargestellt (Quelle: ATZ 2/2007).

27.5

Praxisbeispiele zu Kap. 7 „Gestaltungsprinzipien“

In den Gestaltungsregeln für eine leichtbaugerechte Konstruktion ist unter anderem das Prinzip von der direkten Kraftleitung begründet worden. Oft wird nämlich in der Praxis der Effekt einer Kraftumlenkung unterschätzt. Am Beispiel eines Zuggestänges für eine mechanische Bremseinrichtung sollen die Auswirkungen einer nicht direkten Kraftleitung diskutiert werden.

A1

F

F

N

gegeben:

L1

F  20 kN

Mb

L1  1000 mm

N F

L 2  50 mm

L2

A2

F

R e  200 N/mm 2

L1

Im Fall der geraden Zugstange liegt eine reine Normalkraftbeanspruchung vor. Für die Dimensionierung des Querschnitts ist anzusetzen σz ¼

N  Re A1

ð27:40Þ

oder N 20  103 ¼ ¼ 100 mm2 A1  Re 2  102

bzw:

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 A1 ¼ 11, 3 mm: d¼ π

ð27:41Þ

Im Fall des abgewinkelten Zugstabes liegt im gefährdeten Querschnitt eine überlagerte Normal- und Biegebeanspruchung vor. Zur Dimensionierung ist hier σz ¼

N Mb þ  Re A2 Wb

ð27:42Þ

474

27 Praxisbeispiele

anzusetzen. Um die Dimensionierungsgröße zu ermitteln, muss also die Ungleichung 20  103 20  103  50 þ  200 2 3 π π 4d 32  d

ð27:43Þ

befriedigt werden. Mit d  38 mm wird Gl. (27.43) etwa erfüllt. Die Fläche ist dann A2 ¼ 1.134 mm2, also um den Faktor 10 größer als A1. Für die Gewichtsabschätzung ergibt sich wieder G2 ρ  A2 ðL1 þ 2 L2 Þ 1:134  1100 ¼ 12, 5 ð!Þ ¼ ¼ ρ  A1  L1 100  1000 G1

ð27:44Þ

Als Folge der Umlenkung muss also ein Gestänge realisiert werden, das etwa 12,5-mal so schwer ist wie das gerade Zuggestänge. Damit ist belegt, dass eine direkte Kraftleitung zu einer gewichtsminimalen Lösung führt.

Praxisbeispiele zu Abschn. 8.5 „Stabartige Bauelemente“

27.6

Den Kofferaufbau eines Transportfahrzeuges kann man etwa wie in der Abbildung des Kastenträgers gezeigt idealisieren. Für die Festlegung der Blechstärken gilt es im Weiteren, die Beanspruchung über den Querschnitt aus Biegung und Schub zu ermitteln.

ˆt 2 y

JG , AG JE , AE

x

Q

z

t1

t1

h hE

AE

hG

ˆt 2

L AG

a

t2

a b

Zur Bestimmung der Biegebeanspruchung sei zunächst das exakte Flächenträgheitsmoment bezüglich der strichpunktierten Linie aufgestellt:

27.6

Praxisbeispiele zu Abschn. 8.5 „Stabartige Bauelemente“

475

(

 2  2  2 ) t 1  h3 b  t 2 3 h hE h Jy ¼ 2 þ 2  JE þ 2  A E þ 3  JG þ 3  A G G þ 12 þ b  t2  : 12 2 2 2 0 0 0 ð27:45Þ Mit der Näherung hE  hG  h und der Vernachlässigung der vorstehend gekennzeichneten Anteile lautet eine Abschätzung des Flächenträgheitsmomentes:  Jy  2

  2 t1  h h þ b  t2 þ 2AE þ 3AG  : 3 2

ð27:46Þ

Ein Verschmieren des Deck- und Bodenbleches zu einer Ersatzrechteckfläche soll zu einem Querschnitt gleichen Trägheitsmomentes führen. Dann kann für das Deck- und Bodenblech angesetzt werden:  2  2 ^h ^J h ^ ðb  t2 þ 2AE þ 3AG Þ ¼ ABl  þ Bl : 2 2 0 ^ Bl umgeformt Nach der Ersatzfläche A ^ Bl ¼ b  ^t2 ¼ ðb  t2 þ 2AE þ 3AG Þ A

 2 h ^h

und in die Gleichung (27.46) eingesetzt, ergibt sich für das Flächenträgheitsmoment schließlich die Näherung

Jy  2

 2 ^ t1  h3 ^ Bl  h : þ2 A 2 12

ð27:47Þ

Mit diesen Betrachtungen bestimmt sich dann die maximale Biegespannung zu Mb h  Jy 2

ð27:48Þ

nx ¼ σb  t:

ð27:49Þ

σb ¼

bzw. die Normalkraftbelastung zu

476

27 Praxisbeispiele

+nx

-nx

Der Normalkraftverlauf bzw. Biegebeanspruchung am kontinuierlichen Modell ist in der Abbildung ersichtlich. Zur Bestimmung der Schubbeanspruchung am kontinuierlichen bzw. diskreten Modell ist hier die Beziehung für den Schubfluss q¼

Q  Sy ðsÞ Jy

ð27:50Þ

bzw. die Schubspannung τ¼

q t

ð27:51Þ

maßgebend. s qi

qE

ˆt 2 q max t1

Im Fall, dass mit einem verschmierten Querschnitt gearbeitet wird, ist entsprechend Gl. (27.50) von einem Bezugspunkt ausgehend das statistische Moment Sy(s) zu entwickeln. An den Ecken ergibt sich so   Q b ^ h qE ¼  t  Jy 2 2 2 und als Maximalwert hat man

ð27:52Þ

27.7

Praxisbeispiele zu Abschn. 8.6.1 „Scheibenelement“

qmax

  Q b ^ h h h Q h t  þt   ¼  ¼ Jy 2 2 2 1 2 4 Jy 8

477

ð2b  ^t2 þ t1  hÞ:

ð27:53Þ

Wird dagegen mit dem Schubfeldschema gearbeitet, so ist der Querkraftfluss feldweise zu entwickeln nach qi ¼

Q X^ h A  : Jy i G 2

ð27:54Þ

Die zugehörige Schubspannung findet man dann weiter aus Gl. (27.51).

27.7

Praxisbeispiele zu Abschn. 8.6.1 „Scheibenelement“

Für die Scheibe ist in Gl. (8.57) die DGL 4

ΔΔF ¼

4

4

∂ F ∂ F ∂ F þ2 2 þ ¼0 ∂x4 ∂x ∂z2 ∂z4

ð27:55Þ

entwickelt worden. Im Folgenden soll dazu das Beispiel einer Kragscheibe betrachtet werden, das die Anwendung von Spannungsfunktionen zeigen soll. Für das betrachtete Problem sind gemäß der Abbildung die Schnittgrößen zu bestimmen, dargestellt ist eine eingespannte Scheibe unter Flächenlast p(x, y). z p (x, y)

h

x

t

L

Die Randbedingungen für dieses Problem (achten sie auf das Koordinatensystem) sind: f€ur x ¼ 0 : f€ur x ¼ L : h f€ur z ¼ þ : 2

nx ¼ 0, uðLÞ ¼ 0,

qxz ¼ 0

ð27:56Þ

wðLÞ ¼ 0

ð27:57Þ

nz ¼ p  t,

qxz ¼ 0

ð27:58Þ

478

27 Praxisbeispiele

f€ur z ¼ 

h 2

nz ¼ 0,

qxz ¼ 0:

ð27:59Þ

Die Wahl der Koeffizienten der Spannungsfunktion ist so vorzunehmen, dass sowohl Gl. (27.55) als auch die Randbedingungen möglichst genau erfüllt werden. Es sei hingenommen, dass die Randbedingungen (27.57) nicht berücksichtigt werden. Für die Airy’sche Spannungsfunktion wird ein bipotenzieller Ansatz gemacht, und zwar F ¼ a20  x2 þ a21  x2  z þ a23  x2  z3 þ a03  z3 þ a05  z5 :

ð27:60Þ

Der erste Index i am Koeffizienten aik steht für den Exponent von x und der zweite Index k steht für den Exponent von z. Mit dem gewählten Ansatz ergeben sich die Schnittgrößen laut Definition zu 2

nx ðx, zÞ ¼

∂ F ¼ 6 a23  x2  z þ 6 a03  z þ 20 a05  z3 , ∂z2

ð27:61Þ

2

nz ðx, zÞ ¼

∂ F ¼ 2 a20 þ 2 a21  z þ 2 a23  z3 , ∂x2

ð27:62Þ

2

qxz ðx, zÞ ¼ 

∂ F ¼ 2 a21  x  6 a23  x  z2 : ∂x∂z

ð27:63Þ

Die in den Gleichungen auftretenden freien Koeffizienten aik müssen nun so bestimmt werden, dass die Bipotenzialgleichung (27.55) der Scheibe und die Randbedingungen (27.56/27.57), (27.58/27.59) erfüllt sind: • aus der DGL (27.55) folgt a23 þ 5  a05 ¼ 0,

ð27:64Þ

• aus der Randbedingung (3a) und Gl. (27.62) folgt 1 1 1 a20 þ a21  h þ a23  h3 ¼  p  t, 2 8 2

ð27:65Þ

• aus der Randbedingung (27.58) und Gl. (27.63) folgt 3 a21 þ a23  h2 ¼ 0, 4 • aus der Randbedingung (27.59) und Gl. (27.62) folgt

ð27:66Þ

27.7

Praxisbeispiele zu Abschn. 8.6.1 „Scheibenelement“

479

1 1 a20  a21 h  a23  h3 ¼ 0: 2 8

ð27:67Þ

Das Gleichungssystem (27.64 bis 27.67) liefert bereits Lösungen für die Koeffizienten a20 ¼ 

pt 3 pt , a21 ¼   , 4 4 h

a23 ¼

pt , h3

1 pt a05 ¼   3 : 5 h

ð27:68Þ

Keine zusätzlichen Informationen ergeben sich aus der zweiten Randbedingung in (27.59). Es verbleibt noch die Bestimmung des unbekannten Koeffizienten a03. Die Randbedingung (27.56) führt auf die unbrauchbare Aussage nxðx¼0,

zÞ

¼ 6  a03  z  4 

pt 3  z ¼ 0: h3

ð27:69Þ

Für die Konstante a03 ist diese Aussage nicht zu erfüllen. Man benötigt deshalb für die Randbedingung (27.52) eine Ersatzrandbedingung, die die Forderung (27.69) abschwächt. Eine derartige Ersatzrandbedingung lautet: h

ð2 Mbðx¼0Þ ¼

nxðx¼0,

zÞ

 z dz ¼ 0,

h2

das resultierende Biegemoment Mb(x ¼ 0) aus dem Schnittgrößenverlauf nx(x ¼ 0, z) an der Stirnseite (x ¼ 0) soll demnach verschwinden. Damit ergibt sich für den Koeffizienten a03 ð2  h

h2

pt 6  a03  z  4  3  z3 h

a03 ¼

  z  dz ¼ 0

1 pt  : 10 h

ð27:70Þ

Die gesuchten Schnittgrößen sind also   pt 3 2 2 3  h 6 x  z þ  z  4  z , 5 h3   pt 1 3 nz ¼ 3  h3   h2  z þ 2  z 3 , 2 2 h   pt 3 2  h  x  6 x  z2 : qxz ¼ 3 h 2 nx ¼

ð27:71Þ

480

27 Praxisbeispiele

Nach der herkömmlichen technischen Balkenbiegetheorie kann man dagegen nur den Normalkraftfluss zu   2 p  x2  t2 Mb 6pt 2 nx ¼ σx  t ¼ z t¼ z¼ x z th3 Jy h3

ð27:72Þ

12

bestimmen. Somit ist der Unterschied zur klassischen Biegetheorie herausgearbeitet worden. In der folgenden Auftragung ist der sich dann einstellende Spannungsverlauf dargestellt. Es zeigt sich an der Stelle x ¼ 0, dass die Randbedingung nx ¼ 0 nicht erfüllt wird.

nx x, z ¼ h2

nx x, z ¼ h2

x¼h 14 5 pt 3pt

x ¼ h2 11 21  p  t 3 4pt

x¼0 4 5pt 0

z

nx

x

z p t

pt

pt

nz

x

z

3 pt 2 x

3 pt 4

qxz

27.8

Praxisbeispiele zu Abschn. 9.1/9.2 „Kraftflüsse in dünnwandigen Profilen“

481

Hier werden die der Spannungsverläufe an der Scheibe (____) und am Balken (----) gegenübergestellt.

27.8

Praxisbeispiele zu Abschn. 9.1/9.2 „Kraftflüsse in dünnwandigen Profilen“

In der linken Abbildung ist der Tragarm einer Fahrwerkskonstruktion gezeigt, dessen Teilkreisprofil (rechte Abbildung) offen ist, weil im Inneren noch Hydraulikleitungen verlegt werden sollen. z z y

L

s

t

Fz

x

Fz

ySM

R

ϕ ϕ0 − ϕ0

ϕ0 =

π 4

y

ySM

a) Mit welchem Hebel ySM muss die eingezeichnete Querkraft Fz am Teilkreisprofil angreifen, damit keine Torsionsbelastung auftritt? Für den Schubmittelpunkt SM gilt das über der Abwicklung a gebildete Integral ySM ¼ 

1  Jy

ð Sy ðsÞ  rt ðsÞ ds und

zSM ¼ 0

ðaÞ

rT(s) ist der Abstand (kleinste Entfernung) der Tangente, durch den Punkt s auf der Profilmittellinie, vom Bezugspunkt, dem Koordinatenursprung. Beim Kreis ist rt(s) ¼ R. Statt der Bogenkoordinate s wird hier der Bogenwinkel φ ¼ Rs verwendet. Die Substitution mit s ¼ φ  R, ds ¼ R  dφ führt auf ð

3π 2

ySM ¼ 

1  Jy

Sy ðφÞ  R2 dφ: 0

Das unvollständige bis zur Bogenkoordinate s gebildete statische Moment lautet:

ð27:73Þ

482

27 Praxisbeispiele

ð

ðs

Sy ¼

z dA ¼ zðsÞ  tðsÞ ds ¼ Sy ðsÞ AðzÞ

0

Auch hier wird die Bogenkoordinate s durch s ¼ φ  R und ds ¼ R  dφ substituiert: ðφ Sy ðφÞ ¼ zðφÞ  tðφÞ  R dφ: 0

Für die Abhängigkeit der Koordinate z vom Winkel φ gilt nach der rechten Abbildung zðφÞ ¼ R  sin ðφ þ φ0 Þ ¼ R  ð sin φ  cos φ0 þ cos φ  sin φ0 Þ: Die Profildicke t ist konstant über der Bogenlänge s bzw. dem Winkel φ. Mit φo ¼ π4 folgt für das statische Moment ðφ S y ð φÞ ¼ t  R

sinφ  cos

2

π π þ cosφ  sin dφ, 4 4

0

t  R2 Sy ðφÞ ¼ pffiffiffi 2

ðφ sinφ þ cosφ dφ, 0

t  R2 Sy ðφÞ ¼ pffiffiffi  ð1 þ sinφ  cosφÞ: 2

ð27:74Þ

Es fehlt noch das Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse, für dieses gilt: 3π 2 R

ð

ð

zðsÞ2  tðsÞ ds,

Jy ¼ z2 dA ¼ A

Jy ¼

0

R t 2 3

3π 2

ð

ðsinφ þ cosφÞ2 dφ, 0

Jy ¼

3πþ2 3  R  t: 4

Nun lässt sich die Schubmittelpunktskoordinate ySM nach Gl. (27.73) bestimmen:

ð27:75Þ

27.8

Praxisbeispiele zu Abschn. 9.1/9.2 „Kraftflüsse in dünnwandigen Profilen“ 3π 2

ySM ¼ 

4  R 3  t  ð 3  π þ 2Þ

ð 0

483

R4  t pffiffiffi  ð1 þ sinφ  cosφÞ dφ, 2

pffiffiffi 3  π þ 4 ySM ¼  2   R: 3πþ2

ð27:76Þ

b) Es sind der Schub- und der Normalkraftfluss infolge der im Schubmittelpunkt SM angreifenden Querkraft Fz zu berechnen! Im dargestellten Koordinatensystem gilt für den Schubfluss

qðx, φÞ ¼ 

Qz ðxÞ  Sy ðφÞ : Jy

ð27:77Þ

Die Schnittgrößen am Kragträger lauten: Qz ðxÞ ¼ Fz

und

Mby ðxÞ ¼ Fz  ðL  xÞ:

Das Einsetzen der Gl. (27.74) und Gl. (27.75) in die Gl. (27.77) liefert

q ð φÞ ¼

pffiffiffi 2  2 Fz  ð1 þ sinφ  cosφÞ: 3πþ2 R

ð27:78Þ

Der Normalkraftfluss bestimmt sich z. B. aus ∂nx ðx, sÞ ∂qðsÞ þ ¼ 0, ∂x ∂s ∂nx ðx, sÞ ∂qðsÞ ¼ , ∂x ∂s ∂nx ðx, φÞ ∂qðφÞ ∂φ ¼  ∂x ∂φ ∂s Aus Gl. (27.78) folgt

mit

∂φ 1 ¼ : ∂s R

ð27:79Þ

484

27 Praxisbeispiele

pffiffiffi ∂qðφÞ 2  2 Fz ¼   ðsinφ þ cosφÞ: 3πþ2 R ∂φ Damit folgt für Gl. (27.79) pffiffiffi ∂nx ðx, φÞ 2  2 Fz ¼  ðsinφ þ cosφÞ:  3  π þ 2 R2 ∂x

ð27:80Þ

Einmalige Integration und Berücksichtigung der Randbedingung nx(x ¼ L, φ) ¼ 0 am freien Balkenende führen schließlich auf den gesuchten Normalkraftfluss

nx ðx, φÞ ¼ 

27.9

pffiffiffi 2  2 Fz   ðsinφ þ cosφÞ  ðx  LÞ: 3  π þ 2 R2

ð27:81Þ

Praxisbeispiele zu Abschn. 9.3.2 „Schubmittelpunkt“

Für einen Lkw-Muldenkipper ist qualitativ der Rahmenaufbau zu skizzieren. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass in den Rahmen die Radkräfte und die Aufbaukräfte einzuleiten sind. Aufbau Zelle Rahmen

Um eine hohe Zuladung zu erzielen, sollte der Rahmen möglichst leicht sein, dies setzt die Verwendung offener warm gewalzter Profile voraus. Von der Geometrie bietet sich besonders das U-Profil an.

I. Ausführungsvariante: Bei dieser Konstruktionsart wird das Rahmenprofil nach außen gedreht. Die Einleitung der Kräfte erfolgt im Schubmittelpunkt, damit das Rahmenprofil drillfrei bleibt. Als Quertraverse bietet sich ein T-Profil an, das insbesondere wölbfrei bleibt.

27.9

Praxisbeispiele zu Abschn. 9.3.2 „Schubmittelpunkt“

485

FA' FA'

FA'

FR'

SM FA'

FR'

SM

Als nachteilig ist anzuführen, dass die Konstruktion schmal baut, welches ungünstig für die Kippsicherheit ist. II. Ausführungsvariante: Die Rahmenprofile sind umgedreht, sodass sich von außen eine glatte Konstruktion ergibt. Da auch hier die Kräfte in den Schubmittelpunkt eingeleitet werden sollen, müssen die Kraft aufnehmenden Elemente von außen aufgesetzt werden.

FA FA

SM

FR

SM

Als Vorteil dieser Bauweise ist die weitgespannte Abstützung der Kräfte anzuführen, sodass das Fahrzeug eine hohe Kippsicherheit zeigt. Für die Wartung ist weiter auch die außen liegende Federung und Achsführung zweckmäßig. In der Praxis wird man deshalb diese Ausführungsform am meisten finden.

486

27 Praxisbeispiele

27.10 Praxisbeispiele zu Abschn. 10.4 „Offene, dünnwandige Querschnitte“ Zwei dünnwandige, rein torsionsbelastete Rohre, das erste mit offenem längs geschlitzten (linke Abbildung) und das zweite mit geschlossenem Profil (rechte Abbildung), sind auf ihre Belastbarkeit und Verformbarkeit hin miteinander zu vergleichen. Die Rohre seien so eingespannt, dass freie Verwölbbarkeit gewährleistet ist. y x

τ1

z

τ2 rm

rm

t

t

Mx

Mx

s

s

Als Vorbetrachtung soll zunächst ein schmaler Rechteckquerschnitt unter Torsionsbeanspruchung Mx behandelt werden.

M x , D0

0

b

t

Nach Gl. (10.3) gilt allgemein für die Drillung:

27.10

Praxisbeispiele zu Abschn. 10.4 „Offene, dünnwandige Querschnitte“

Mx : G  Jt

D¼

487

ð27:82Þ

Für das Torsionsträgheitsmoment eines Rechteckprofils ist in Gl. (10.10) Jt ¼

1 3 t b 3

ð27:83Þ

für t t ist die Verdrillung des offenen Profils wesentlich größer als die des geschlossenen Profils. Das Verhältnis der Drillungen beim offenen und beim geschlossenen Profil ist in der Abbildung ausgeführt:

D offen /Dgeschlossen

3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0

5

10

15

20

25

30

rm

Das Verhältnis der Schubspannungen nach Gl. (27.87) und Gl. (27.90) lautet: τoffen 3  rm : ¼ τgeschlossen t

27.11

Praxisbeispiele zu Abschn. 10.5 „Hohlquerschnitt mit Steg“

489

Die maximale Schubspannung im geschlossenen Profil ist wesentlich kleiner als im offenen Profil. Bezüglich Drillung, Verformung und Spannung erweist sich das geschlossene Profil als weitaus günstiger und ist dem offenen Profil, wenn möglich, vorzuziehen.

27.11 Praxisbeispiele zu Abschn. 10.5 „Hohlquerschnitt mit Steg“ Für den dargestellten zweizelligen Rechteckkasten mit Steg unter Torsionsbeanspruchung ist die Schubflussverteilung zu berechnen. Verwölbung soll dabei noch ausgeklammert sein.

z

y Mx

q1

h

t = konst.

q2

b

2b

Unter der Annahme, dass beide Zellen an der Momentenübertragung teilnehmen, kann folgende Gleichgewichtsrelation angesetzt werden: Mx ¼

2 X

Mxi ¼

i¼1

2 X

qi  2 A_ i :

ð27:91Þ

i¼1

Hierin ist 0

Mxi ¼ G  Jti  ϕ ¼ G 

4 A_ Þ ds t

2

!  ϕ0 ¼ qi  2 A_ i : i

ð27:92Þ

490

27 Praxisbeispiele

Durch Umstellen kann hieraus der gesuchte Schubfluss in der Form qi G  ϕ0

þ

ds t



¼ 2 A_ i

ð27:93Þ

i

ermittelt werden. Das Umlaufintegral über den Querschnitt ist hierin wie folgt zu entwickeln: þ

þ ds ¼

þ ds 

1

þ ds þ ds:

1, 2

ð27:94Þ

2

Im Kap. 10 des Textteils ist zudem bereits als allgemeine Gleichung ai, L  ui‐1 þ ai, Z  ui  ai, R  uiþ1 ¼ 2 A_ i

ði ¼ 1, 2, 3Þ

definiert worden. Hierin ist ðs2 ai , L , R ¼

ds dt

s1

für den linken bzw. rechten Steg und þ ai, Z ¼

ds dt

 i

für die gesamte Zelle anzusetzen. Für das betrachtete Zweizellensystem gilt dementsprechend a1, Z  u1  a1, R u2 ¼ 2 A_ 1 oder 2 h  ð b þ hÞ  u1   u2 ¼ 2 b  h t t

ð27:95Þ

a2, L  u1 þ a2, Z  u2 ¼ 2 A_ 2 oder h 2   u1 þ ð 2 b þ hÞ ¼ 4 b  h t t Aus diesem Gleichungssystem erhält man die Lösungen

ð27:96Þ

27.11

Praxisbeispiele zu Abschn. 10.5 „Hohlquerschnitt mit Steg“

491

u1 ¼

8 b  h ð b þ hÞ t q1 ¼ , G  ϕ0 8 b2 þ 12 b  h þ 3 h2

ð27:97Þ

u2 ¼

2 b  h ð 4 b þ 5 hÞ t q2 ¼ : G  ϕ0 8 b2 þ 12 b  h þ 3 h2

ð27:98Þ

Des Weiteren kann aus der Umrechnung qi G  ϕ0

þ

ds t



2  2 A_ i ¼ 4 A_ i

ð28:99Þ

i

oder 2 qi 4 A_ i

Þ  2 A ¼

Jti i ds G  ϕ0 t i

letztlich das gesamte Torsionsträgheitsflächenmoment als Jt ¼

 2  X qi 2t 2 A_ i ¼ 0 2 G  ϕ 8 b þ 12 b  h þ 3 h2 i¼1 ½ 8 b  h ð b þ hÞ b  h þ 2 b  h ð 4 b þ 5 hÞ 2 b  h

¼

ð27:100Þ

8 b h t ð6 b þ 7 hÞ 8 b2 þ 12 b  h þ 3 h2 2

2

bestimmt werden. In Gl. (27.97) und (27.98) ist der Schubfluss aber noch von der Verdrillung ϕ0 abhängig. Um die Verdrillung zu eliminieren, muss noch folgende Umwandlung durchgeführt werden: 0

qi ¼ G  ϕ 



qi G  ϕ0



M ¼G x G  Jt



qi G  ϕ0



M ¼ x Jt



 qi : G  ϕ0

ð27:101Þ

Damit erhält man q1 ¼ und

8 b  h ð b þ hÞ  t ðb þ hÞ Mx M  ¼ x  8 b2  h2  t ð6 b þ 7 hÞ b  h ð6 b þ 7 hÞ

ð27:102Þ

492

27 Praxisbeispiele

q2 ¼

M x 2 b  h ð 4 b þ 5 hÞ  t Mx 4 b þ 5 h :   ¼ 8 b2  h2  t ð 6 b þ 7 hÞ 4 b  h 6 b þ 7 h

ð27:103Þ

Somit sind die beiden wirkenden Schubflüsse bekannt.

27.12 Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6 „Verwölbung von Querschnitten“ Es ist die maximale Spannung in einem kurzen Profilträger unter Torsion zu ermitteln, und zwar in dem Fall, dass sich bei dem behandelten I-Träger unter Torsion eine unbehinderte Verwölbung einstellen kann bzw. die Verwölbung durch die Einspannung behindert ist. Fall 1: Querkraft-Biegung

Fall 2: Wölbkraft-Torsion z

t

τ Fmax

1

h

σ Fmax

1

y h

Qy

x

L

Mx

b

Qy

Im Fall 1 soll die Behinderung der Verwölbung durch die Einspannung vernachlässigt werden. Es ergibt sich eine Beanspruchung durch Querkraft-Biegung. Die Schubspannung für das offene Profil ergibt sich zu Mx : 2  b þ t 2  hÞ ð 2 t 3

τ max 1 ¼ 1

ð27:104Þ

Die in den Flanschen hebelnden Querkräfte erzeugen noch eine zusätzliche Normalspannung von der Größe M

σxmax1 ¼

h  tb2 6 x

L

¼

6  Mx  L t  h  b2

mit

Wb ¼

1 t  b2 : 6

ð27:105Þ

Unberücksichtigt ist bis jetzt der Zwang durch die Einspannung geblieben. Im Abschn. 10.7 ist die Verwölbung des Doppel-I-Profils dargestellt, wodurch in x-Richtung eine zusätzliche Wölbspannung auftritt. Diese ist von der Größe

27.13

Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6 „Verwölbung von Querschnitten“

σxW ¼

MW ω
: CW

493

ð27:106Þ

Hierin bezeichnen (Q  L), (Q   h), 

MW ¼ Mx ¼ CW¼

Längsbimoment Torsionsmoment Wölbwiderstand

J F¼

Flansch-Flächenträgheitsmoment

ω
¼

Wölbfunktion

JF h2 2



 tb 12 , h b

22 .

,

3

Angemerkt sei noch, dass die Wölbfunktion ω
im Abschn. 10.6 definiert ist zu ω
¼ r
y, (Abstand vom Schubmittelpunkt x Laufkoordinate vom Spannungsnullpunkt bis Flanschende) insofern muss diese immer extra bestimmt werden.

27.13 Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6 „Verwölbung von Querschnitten“ Das gezeigte dünnwandige Kastenprofil sei durch ein Torsionsmoment Mx belastet. Zum Zwecke der Überprüfung der Auslegung sind der Schubfluss, die Schubspannungen und die Verwölbung bei unbehinderter Verwölbung zu bestimmen. Der St.-Venant’sche Schubspannungsanteil ist zu vernachlässigen.

q

t2 t1

h Mx

L

b

In Kap. 10 ist dargelegt worden, dass der Schubfluss in geschlossenen Profilen konstant ist. Aus der 1. Bredt’schen Formel bestimmt sich so der Schubfluss zu

494

27 Praxisbeispiele

Mx Mx ¼ ¼ konst: _ 2  bh 2 A

q¼

ð27:107Þ

Demgemäß erhält man die Schubspannungen in den Wänden zu τ1 ¼

q t1

bzw:

τ2 ¼

q : t2

ð27:108Þ

Für die Verwindung findet man entsprechend Mx ϕ ¼ 2 4 ð b  hÞ 2  G 0



h b þ t1 t2



  q h b  þ ¼ G  ð b  hÞ t 1 t 2

ð27:109Þ

bzw. für den Verdrehwinkel ϕ¼

  q h b þ   L: G  b  h t1 t2

ð27:110Þ

Die maximale Verwölbung an einer Ecke folgt aus dem Ansatz von Gl. (10.40) zu b=2 ð

b=2 ð

γ  ds 

u¼ 0

dv ds dx

mit

γ¼

q , Gt

v

¼ r t ðsÞ  ϕ

ð27:111Þ

0

v 0 ¼ r t ð s Þ  ϕ0 q u2 ¼ G

b=2 ð

0

ds  ϕ0 t

b=2 ð

rt ðsÞ ds ¼

  q b q h b bh    þ  G 2 t 2 G ð b  hÞ t 1 t 2 4

0

  qb q h b u2 ¼   þ 2  G  t2 4  G t1 t2 u2 ¼

qb qh qb   2  G  t2 4  G  t1 4  G  t2 qb qh  4  G  t2 4  G  t1   q b h u2 ¼  : 4  G t2 t1

u2 ¼

ð27:112Þ

27.14

Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6/10.7 „Wölbkrafttorsion“

495

Wie in der Abbildung gezeigt ist, stellt sich die Verwölbung bei dem Kastenprofil als antimetrischer Verlauf ein.

u2

(-)

u1 = 0

1 2

8

s y

h

7

3 x

(+)

z 6

5

4

b

27.14 Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6/10.7 „Wölbkrafttorsion“ An einem eingespannten Profilträger unter einem Enddrillmoment tritt infolge der festen Einspannung eine Wölbbehinderung auf. Zu bestimmen sind die zu übertragenden Anteile aus der reinen Torsion und der Wölbkrafttorsion.

t = 2 mm h = 80 mm b = 40 mm

x

L h Mx b

496

27 Praxisbeispiele

In Abschn. 10.6 wurde dargelegt, dass unter Wölbbehinderung ein äußeres Torsionsmoment durch zwei Anteile übertragen wird. Dem entspricht die Gleichung Mx ¼ Mxt þ MxT

ð27:113Þ

oder der DGL 000

E  CW  ϕ  G  Jt  ϕ0 ¼ Mx :

ð27:114Þ

Umgestellt führt dies zu ϕ000 

G  Jt Mx  ϕ0 ¼  E  CW E  CW

ð27:115Þ

oder der Normalform ϕ000  α2  ϕ0 ¼ μ:

ð27:116Þ

Für diese inhomogene DGL ist sowohl die homogene wie auch die partikuläre Lösung bekannt, und zwar ϕh ¼ A þ B  cosh α  x þ C  sinh α  x

ϕp ¼

μ  x: α2

ð27:117Þ

ð27:118Þ

Aus den Randbedingungen folgt dann 1. x ¼ 0 : ϕ(0) ¼ A + B ¼ 0, 2. ϕ0 ð0Þ ¼ α  C þ αμ2 ¼ 0, 00 3. x ¼ L : ϕ (L) ¼ α2  B  cosh α  L  α2  C  sinh α  L ¼ 0, womit man für die Konstanten C¼

B¼ und

μ , α3

μ  tanh α  L α3

ð27:119Þ

ð27:120Þ

27.14

Praxisbeispiele zu Abschn. 10.6/10.7 „Wölbkrafttorsion“

A ¼ B ¼ 

μ  tanh α L α3

497

ð27:121Þ

erhält. Die Lösung der DGL (4) lautet somit: ϕ ¼ ϕh þ ϕp

ϕ¼

μ ½ tanh α  L ð cosh α  x  1Þ  sinh α  x þ α  x: α3

ð27:122Þ

Des Weiteren werden die Ableitungen von Gl. (27.122) benötigt: ϕ0 ¼

μ ½α  tanh α  L  cosh α  x  α  coshα  x þ α: α3

ð27:123Þ

μ 2 α  tanh α  L  cosh α  x  α2  sinhα  x , 3 α

ð27:124Þ

μ 3 α  tanh α  L  sinh α  x  α3  coshα  x : α3

ð27:125Þ

ϕ00 ¼

000

ϕ ¼

Gemäß Gl. (27.113) kann man nun die Momentenanteile bestimmen, und zwar • Anteil des St. Venant’schen Torsionsmomentes zu Mxt ¼ G  Jt  ϕ0 ¼

μ  G  Jt ½ tanh α  L  sinh α  x  cosh α  x þ 1 α2

ð27:126Þ

bzw. mit Einsetzen von α2 und μ folgt Mxt ¼ Mx ½ tanh α  L  sinh α  x  cosh α  x þ 1:

ð27:127Þ

• Anteil der Wölbkraftdrillung zu 000

MxT ¼ E  CW  ϕ ¼ E  CW  μ ½ tanh α  L  sinh α  x  cosh α  x ð27:128Þ bzw. mit Einsetzen von μ

498

27 Praxisbeispiele

MxT ¼ Mx ½ tanh α  L  sinh α  x  cosh α  x:

ð27:129Þ

Um den Einfluss der Wölbbehinderung diskutieren zu können, muss weiter G  Jt E  CW

ð27:130Þ

G ¼ 0, 385, E

ð27:131Þ

α2 ¼ bestimmt werden. Hierin ist

Jt ¼

CW ¼

3 1X 1280 ¼ 427 mm4 , h t3 ¼ 3 i¼1 i i 3

7 A  h2  b2 ¼ 59, 73  106 mm6 , 96 F

f€ur

2 AF ¼ AS :

ð27:132Þ

ð27:133Þ

Für Gl. (27.130) erhält man so α2 ¼

0, 385  427 ¼ 2, 8  106 mm2 97, 5  106

und α ¼ 1, 6  103 mm1 :

ð27:134Þ

Mit diesen Vorbetrachtungen wären nun Gl. (27.127) und (27.129) auswertbar. Zweckmäßiger ist es aber, noch eine Normierung der Längenkoordinaten mit ξ ¼ x/L vorzunehmen. Damit lassen sich dann die vorstehenden Beziehungen darstellen als Mxt ¼ Mx ð1  ηÞ mit

η

ð27:135Þ

¼ cosh αi  ξ  tanh αi  sinh αi  ξ, αi ¼ 1, 6  103  Li

MxT ¼ Mx  η: Von Interesse ist aber das Verhältnis

ð27:136Þ

27.15

Praxisbeispiele zu Kap. 13 „Schubfeld-Konstruktionen“

η¼

499

MxT M ¼ 1  xt : Mx Mx

ð27:137Þ

Eine Auswertung von η über die normierte Länge (Momentenverläufe über der Stablänge) zeigt die Abbildung. 1,0 L = 100 mm η 0,8

M xt Mx

500 mm

0,6

0,4

M xT Mx

1000 mm

0,2 2000 mm 5000 mm

10000 mm 0 0,25

0,5

1,0

0,75 ξ

Als Resümee lässt sich daraus ableiten, dass der Wölbeinfluss bei kurzen Längen überwiegt. Bei allen Stäben werden jedoch an der Einspannstelle vorwiegend Wölbmomente auftreten, während an der Kraftangriffsstelle überwiegend St. Venant’sche Torsion vorherrscht.

27.15 Praxisbeispiele zu Kap. 13 „Schubfeld-Konstruktionen“ Für den dargestellten Rechteck-Schubfeldträger unter Einzellasten sind der Schubflussverlaufin den Schubfeldern sowie der Normalkraftverlauf in den Gurten und Pfosten zu bestimmen.

500

27 Praxisbeispiele

F1 = 30 kN F2 = 15 kN 2

1

4

2

6

3

8 h = 500 mm

1

5

3

x L

FA

7

L

L=1000 mm

FB

z

Zu Beginn der Analyse müssen für den Belastungsfall die Auflagerkräfte berechnet werden. Es gilt X

MA ¼ 0:

X

Kz ¼ 0:

FB ¼

F2  2 L þ F1  L 1 ¼ ð2 F1 þ F1 Þ ¼ 20 kN 3 L 3

FA ¼ F1 þ F2  FB ¼

1 ðF2 þ 2 F1 Þ ¼ 25 kN: 3

Wie in Abschn. 13.1 festgestellt wurde, ist der Schubfluss in jedem Rechteckfeld konstant. In dem gegebenen Schubfeldträger können wir somit die Richtung der Schubflüsse in jedem Feld willkürlich festlegen. Die Pfeile in den Feldern geben an, wie die Schubflüsse auf die Gurte und Pfosten wirken. F1 F2

q1

q2

FA

q3 FB

Zur Bestimmung der Schubflüsse beginnt man nun an einer bekannten Kraftangriffsstelle mit der Aufstellung des Gleichgewichts: • Pfosten 12 FA  q1  h ¼0 ! • Pfosten 34 ðq1  q2 Þ  h  F1 ¼ 0 ! q2 ! q3 • Pfosten 56 ðq2  q3 Þ  h  F2 ¼ 0 • Pfosten 78 FB þ q3  h ¼0 ! (als Kontrolle)

q1 ¼ FhA , 1 ¼ q1  Fh1 ¼ FA F h , ¼ q2  Fh2 ¼ FA Fh1 F2 , q3 ¼  FhB .

27.15

Praxisbeispiele zu Kap. 13 „Schubfeld-Konstruktionen“

501

Mit den gegebenen Werten findet sich q1 ¼ 50 N=mm, q2 ¼ 10 N=mm und q3 ¼ 40 N=mm Das negative Vorzeichen drückt in diesem Zusammenhang nur aus, dass die wirklichen Schubflüsse in diesem Feld entgegen der angenommenen Richtung wirken. Aus der Schubflussverteilung können jetzt die linear verlaufenden Normalkräfte in den Gurten und Pfosten bestimmt werden, und zwar Untergurte Stelle 1: 3: 5: 7:

N1 ¼ 0 N4 ¼ q1  L ¼ + 50 kN N5 ¼  q2  L ¼ 40 kN N7 ¼ 0

Obergurte 2: 4: 6: 8:

N2 ¼ 0 N3 ¼  50 kN N6 ¼  40 kN N8 ¼ 0

Ohne weitere Rechnung ergeben sich die Pfostenkräfte aus den Endlasten in den entsprechenden Knoten. In der Abbildung ist noch einmal der Verlauf der Schubflüsse und der Normalkräfte im Schubfeldträger herausgestellt. 50 kN

40 kN

_

_

_

F1 = 30 kN

_

_ _ FA = 25 kN

50 N/mm

+

50 kN

F2 = 15 kN

10 N/mm

+

40 N/mm

+

40 kN

_ FB = 20 kN

502

27 Praxisbeispiele

27.16 Praxisbeispiele zu Kap. 14 „Ausgesteifte Kastenprofile“ Für einen mit Querrippen versteiften Kastenträger aus drei Feldern ist die Schubflussverteilung unter Berücksichtigung des Abtragens in den Spanten zu bestimmen. Die Verhältnisse am eingepannten Kastenträger unter konstanter äußerer Torsion zeigt die folgende Skizze:

150

III 150

II 150

50

t=2

I 150

G =

E 2,6

A G = 1000 mm 2

M x = konst.

In Kap. 14 sind die wesentlichen Beziehungen zur Berechnung von Kastenträgern dargestellt worden. Insbesondere gilt die Feldgleichung αo  Nkþ1 þ 2 αoo  Nk þ αo  Nk1 ¼ 0:

ð27:138Þ 

Die rechte Seite wird hierbei gleich null, weil im Beispiel qk  ¼ q k + 1 ist, d. h. keine Krafteinleitung innerhalb der Felder erfolgt. Für die Koeffizienten folgt somit ðb þ hÞ 2 L 1 αo ¼  ,   t 3 E  AG 2 G  L somit

ð27:139Þ

27.16

Praxisbeispiele zu Kap. 14 „Ausgesteifte Kastenprofile“

503

ðb þ hÞ 2 L 1 ,  αo ¼   t 3 E  AG 2 G  L

ð27:140Þ

ð b þ hÞ 4 L 1 :  þ  t 3 E  AG 2 G  L

ð27:141Þ

αoo ¼

Des Weiteren muss die Endgleichung für die starre Wand herangezogen werden 2 αoo  Nk þ αo  Nk‐1 ¼ ß  q_ k

ð27:142Þ

mit ß¼

ð b þ hÞ : Gt

ð27:143Þ

Unter den gegebenen Verhältnissen folgt für die Koeffizienten αo ¼ 

0, 766 , E

αoo ¼

1, 166 , E

nss ¼

260 E

und für die Schubflussbeanspruchung des äußeren konstanten Momentes q_ k ¼

Mx : 2 bh

ð27:144Þ

Für die in der Skizze gezeichneten Abschnitte muss nun die Feldgleichung ausgewertet werden: I. Feld (k ¼ 1)

II.

III.

αo  N2 þ 2 αoo  N1 ¼ 0 0, 766 2, 332  N2 þ  N1 ¼ 0  E E

ð27:145Þ

αo  N3 þ 2 αoo  N2 þ αo  N1 ¼ 0 0, 766 2, 332 0, 766   N3 þ  N2   N1 ¼ 0 E E E

ð27:146Þ

Feld (k ¼ 2)

Feld (k ¼ 3)

504

27 Praxisbeispiele

2 αoo  N3 þ αo  N2 ¼ nss  q_ k 2, 332 0, 766 260  N3   N2 ¼  q_ k :  E E E

ð27:147Þ

Aus der Auflösung folgt: N1 ¼ 15, 32  q_ k , N2 ¼ 46, 72  q_ k ,

ð27:148Þ

N3 ¼ 126, 84  q_ k : Unter Heranziehung von Gl. (14.12) Nk  Nk1 ¼ 2 ðq1k  q_ k Þ L bzw. aus der Umstellung q1k ¼

Nk  Nk1 þ q_ k L

findet man nun die Schubflüsse in den Blechen zu q11 ¼ 1, 05  q_ k , q12 ¼ 1, 10  q_ k , q13 ¼ 1, 27  q_ k ,

ð27:149Þ

und aus Gl. (14.29) folgt ergänzend q21 ¼ ð2  1, 05Þ  q_ k ¼ 0, 95  q_ k , q22 ¼ ð2  1, 10Þ  q_ k ¼ 0, 90  q_ k , q23 ¼ ð2  1, 27Þ  q_ k ¼ 0, 73  q_ k : Wie diese Belastungen über die Länge des Kastenträgers wirken, zeigt die Abbildung der Auswertung des Belastungsverlaufs:

27.17

Praxisbeispiele zu Abschn. 15.1 „Energieprinzip“

505

Nk

126,84 . q k

0,73 . q k 1,27 . q k

46,72 . q k

0,9 . q k 1,1 . q k

15,32 . q k

0,95 . q k 1,05 . q k

27.17 Praxisbeispiele zu Abschn. 15.1 „Energieprinzip“ Für einen geschlossenen Rahmen unter Einzelkräften ist über die Formänderungsarbeit das Biegemoment im Mittelschnitt der horizontalen Trägerabschnitte zu ermitteln.

506

27 Praxisbeispiele

M

Q

M

x Q

N

z

N 

F 2

H 2

F

F

H 2

L 2

L 2

Im Abschn. 15.1 ist dargestellt, wie die Formänderungsarbeit eines elastischen Körpers allgemein dargestellt werden kann als πi ¼

ð

1 σx  εx þ τxy  γxz dV: 2

ð27:150Þ

V

Angewandt auf das vorliegende Problem führt dies zu der Gleichung 2L 3 ð ðL ðL 1 4 N2 M2 Q2 πi ¼ dx þ dx þ dx5: 2 EA E  Jy GA o

o

ð27:151Þ

o

Bei dem zu untersuchenden Rahmen liegt eine Doppelsymmetrie vor, somit genügt es, die Betrachtungen auf ein Viertel des Rahmens zu beschränken. Am Ort des gesuchten Momentes wird dazu der Rahmen aufgeschnitten und die vorhandenen Schnittkräfte als äußere Kräfte eingeführt. Da es sich beim Mittelschnitt um eine Symmetrielinie handelt, entfallen die antimetrischen Schnittkräfte. Im vorliegenden Fall trifft dies für die Querkraft Q zu. Die Normalkraft lässt sich dagegen mithilfe der Gleichgewichtsbedingung bestimmen.

27.17

Praxisbeispiele zu Abschn. 15.1 „Energieprinzip“

507

• Beschreibung des Trägersegmentes (Trägerabschnitt mit Kräften): Schnittkräfte für die Trägerabschnitte:

A1, J1

1

M F 2

x1

2 A2 , J2

z1

N1  F / 2 Q1  0 M1  M N2  0

x2

Q2  F / 2

z2

M2  M 

 F  H   x2    2 2 

• Anteil des Trägerabschnitts 1 an der Formänderungsarbeit:

1 πi1 ¼  2

L=2 ð

F2 1 dx1 þ  2 4  E  A1

o

L=2 ð

M2 1 F2 L 1 1 M2 L dx1 ¼ þ   2 4 2 E  A 1 2 E  J1 2 E  J1

o

πi1 ¼

F2  L M2  L þ , 16  E  A1 4 E  J1

ð27:152Þ

• Anteil des Trägerabschnitts 2 an der Formänderungsarbeit: 1  πi 2 ¼ 2 E  J2

H=2 ð

o

h

H=2 ð  i2 F H 1 F2  x2 Mþ  dx2 þ  dx 2 2 2 4 G  A2 2

ð27:153Þ

o

Die Integration führt zu  2  1 M H 1 F2  H3 F2  H 2 πi2 ¼ : þ MFH þ þ 2 E  J2 2 8 16 G  A2 96

ð27:154Þ

508

27 Praxisbeispiele

Für das betrachtete Rahmen-Viertel kann damit die Formänderungsarbeit zusammengefasst werden zu 1 π ¼ πi1 þ πi2 4 i

ð27:155Þ

1 F2  L M2  L M2  H M  F  H2 F2  H3 F2  H πi ¼ þ þ þ þ þ : 4 16 E  A1 4 E  J1 4 E  J2 16 E  J2 192 E  J2 16 G  A2 ð27:156Þ Zur Ermittlung des unbekannten Momentes wird jetzt der Satz von Castigliano angewandt, der Folgendes besagt: Die partielle Ableitung der äußeren Arbeit nach der Kraft (einem Moment) ergibt die Verschiebung (Verdrehung) des Kraftangriffspunktes in Richtung dieser Kraft (dieses Momentes).

Da der Rahmen an der fiktiven Schnittstelle nicht klaffen darf, ist hier die Verschiebung gleich null zu fordern. Wird dieser auf Gl. (27.156) wie folgt angewandt: ∂πi ML MH F  H2 ¼ þ þ ¼0 ∂M 2 E  J1 2 E  J2 16 E  J2

ð27:157Þ

bzw.  M

 L J2 FH  þ1 þ ¼ 0, H J1 8

so folgt für das Moment M¼

FH  : 8 1 þ HL  JJ21

ð27:158Þ

27.18 Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Passive Formänderungsarbeit“ Für den dargestellten Kragträger ist mithilfe der passiven Formänderungsarbeit die Biegelinie zu bestimmen.

27.18

Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Passive Formänderungsarbeit“

509

Der Kragträger ist an der Stelle a mit der Einzelkraft F belastet, die im Schubmittelpunkt des Profils angreift.

F x z w, ψ a L

Für den Biegefall ist von der Beziehung ðL wi ¼ wðxi Þ ¼

Mb ðxÞ  Mb ðx, xi Þ dx E  Jy

o

auszugehen. Es ergibt sich damit die Durchsenkung wi an der Stelle xi. Der Punkt xi ist der Angriffspunkt der virtuellen Kraft „1“. Mb(x) ist der Biegemomentenverlauf der real einwirkenden Lasten, und Mb ðx, xi Þ ist der aus der virtuellen Kraft „1“ resultierende Biegemomentenverlauf. Mit 0  xi  L als variable Größe beschreibt w(xi) die Biegelinie. Am Ort a der Krafteinleitung hat der reale Biegemomentenverlauf bzw. der reale Krüm-

510

27 Praxisbeispiele

mungsverlauf κ einen Knick. Demzufolge muss die Biegelinie in zwei Intervallen beschrieben werden, d. h. wi(0  xi  a) und wi(a  xi  L). Biegelinie im Bereich 0  xi  a "

1"

Biegelinie a  xi  L F

F

x

"

1"

x xi

a

a

L

xi

L

z

z

Biegemomentenverlauf Mb(x) im Bereich 0  x < xi: Mb(x) ¼  F  (a  x); xi  x  a: Mb(x) ¼  F  (a  x); a < x  L: Mb(x) ¼ 0. Biegemomentenverlauf Mb ðx, xi Þ im Bereich 0  x < xi: Mb ðx, xi Þ ¼ ðxi  xÞ; xi  x  a: Mb ðx, xi Þ ¼ 0; a < x  L: Mb ðx, xi Þ ¼ 0. ðxi F  ð a  xÞ  ð xi  xÞ dxþ wðxi Þ ¼ E  Jy

Biegemomentenverlauf Mb(x) im Bereich 0  x < a: Mb(x) ¼  F  (a  x); a  x  xi: Mb(x) ¼ 0; xi < x  L: Mb(x) ¼ 0. Biegemomentenverlauf Mb ðx, xi Þ im Bereich 0  x < xi: Mb ðx, xi Þ ¼ ðxi  xÞ; xi  x  a: Mb ðx, xi Þ ¼ ðxi  xÞ; a < x  L: Mb ðx, xi Þ ¼ 0. ða F  ð a  xÞ  ð xi  xÞ dxþ wðxi Þ ¼ E  Jy 0

0

ðL

ða

F  ða  xÞ  0 00 dx þ dx þ E  Jy E  Jy xi

ðL 0  ð x  xi Þ 00 dx þ dx þ E  Jy E  Jy ðxi a

a

F  ða  xÞ  ðxi  xÞdx E  Jy 0 a x

2 i i wðxi Þ ¼ Fx EJy  2  6 für 0  xi  a ¼

xi

ða

ðxi

¼

F  a  xi  ða þ xi Þ  x þ x2 dx E  Jy 0 2

Fa  ð3  xi  aÞ für a < xi  L wðxi Þ ¼ 6EJ y

27.19 Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Arbeitsprinzip“ An dem gezeigten Rahmen, der durch eine Streckenlast belastet sei, gilt es, über den Arbeitssatz bzw. die daraus folgenden Beziehung

27.19

Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Arbeitsprinzip“

ðL wik ¼ Mi 

Mk dx EJ

o

511

i ¼ Ort der} 1} ‐Kraft

ð27:159Þ

k ¼ Stelle der wirklichen Belastung

die Verformungen zu bestimmen. Zu beachten ist hierbei, dass jeweils besondere für die Rechnung geeignete Koordinatensysteme benutzt werden. q

x + q . L2 8

H

z x B

A L

FA =

q. L 2

FB =

q. L 2

a) Berechnung der seitlichen Verschiebung u des Loslagers B Am Ort der gesuchten Verschiebung muss eine Einheitskraft „1“ in Richtung der Verschiebungswirkung aufgebracht werden. Infolge dieser Einheitslast ergibt sich der dargestellte Biegemomentenverlauf M, der abschnittsweise mit dem realen Biegemomentenverlauf M des Rahmens überlagert werden muss. Zur Bestimmung der Loslagerverschiebung ist der Arbeitssatz wie folgt anzuwenden und auszuwerten:   q ðL  x  x2 Þ q  H L x2 x3 uB ¼ ð1  HÞ    dx ¼ 2 EJ 2 2 6 EJ ðL o

3

L

¼ qHL :

o 12 E  J

ð27:160Þ

Die Darstellung zeigt die normierte Einzellast am Lager B mit dem dazugehörigen Momentenverlauf:

512

27 Praxisbeispiele

x 1 .H

+ +

+ M

"1" 1

uB

1

b) Berechnung der Durchbiegung wMin Rahmenmitte Wie zuvor bereits gezeigt, ist auch für diesen Belastungsfall wieder der Momentenverlauf zu erstellen (normierte Einzellast in Rahmenmitte mit zugehörigem Momentenverlauf M). x

“1” + wM

1 .L 4

M

1 2

1 2

Für die Durchbiegung ist demgemäß anzusetzen: L=2 ð

wM ¼ 2



  

1 q q L x 3 x4 2 x  L  x  x dx ¼   2 2 EJ EJ 2 3 8

o

¼

  q  L4 1 1 5 q  L4  ¼  : 384 E  J E  J 48 128

L

2

o

ð27:161Þ

27.19

Praxisbeispiele zu Abschn. 15.2 „Arbeitsprinzip“

513

c) Berechnung der Neigung ψ des Pfostenquerschnitts am Lager B Diese Darstellung weist ein normiertes Einheitselement am Lager B mit zugehörigem Momentenverlauf auf. Für diesen Belastungsfall muss am Rahmen ein Einheitsmoment in Richtung der Verdrehung angebracht werden und dafür der Momentenverlauf ermittelt werden. x 1 + M +

ψB

"1"

1 L

"1"

Es ergibt sich damit für die Verdrehung

ψB ¼

ðL 

1





x q  Lxx L 2 EJ

o

2

  3 4 L q 1 x 1 x q  L3 ¼ dx ¼    :

EJ 2 3 2 L 4 o 24  E  J ð27:162Þ

d) Die zuvor erzielten Einzelergebnisse können auch ohne Integration mittels Tabelle gewonnen werden. Alle Verformungsgrößen finden sich aus einer Überlagerung der entsprechenden Momentenflächen. 1 uB ¼  EJ

ðL

Mi

Mk

1  H

q  L2 1 2 q  L2 q  H  L3  L  ð1  H Þ dx ¼ ¼ EJ 3 8 8 12 E  J

o

ð27:163Þ wM ¼

1  EJ

ðL

  L Mk q  L 2 1 5 L q  L2 5 q  L4 1   L 1 dx ¼ ¼ 4 E  J 12 4 8 8 384 E  J

Mi

o

1  ψB ¼ EJ

ðL

Mi

Mk

1

o

  q  L2 1 1 q  L2 q  L3  L  ð 1Þ dx ¼ ¼ EJ 3 8 8 24 E  J

514

27 Praxisbeispiele

Praxisbeispiele zu Abschn. 16.4 „Geschlossener Rahmen“

27.20

515

27.20 Praxisbeispiele zu Abschn. 16.4 „Geschlossener Rahmen“ In Fahrzeugrümpfen versucht man, durch Stringer und Spante die notwendige Stabilität einzubringen. Ein Spant kann hierbei als geschlossener Rahmen aufgefasst werden. Für einen Rumpfspant eines Flugzeugs (nach /CZE 67/) soll eine Belastungsanalyse durchgeführt werden. Die Belastung eines vorgespannten Rumpfspants wird unter Axiallast gezeigt. Die Last wird gewöhnlich durch Aktuatoren aufgebracht, um mehr Widerstand gegen Böen zu haben. F

r

F

Das Problem lässt sich durch Aufschneiden und Analyse unter Nullbelastung und „EinsBelastung“ lösen. 1. Aufschneiden (Ersatzmodell)

F 2

s

r sin ϕ

r

F 2

Mo =

F 2

2. Die hauptsächliche Beanspruchung ist Biegung (Einbringen der „1“-Last)

„1“

ϕ

F 2

F r sin ϕ 2

„1“ M1 = 1 Wegen der Symmetrie braucht nur eine Hälfte ausgewertet zu werden.

516

27 Praxisbeispiele

3. Gemäß der Analyse aus den Schnittgrößen ist das folgende Gleichungssystem zu lösen: δ10 þ X1  δ11 ¼ 0 δ X1 ¼  10 , δ11 dies führt zu M ¼ Mo þ X 1  M1 :

4. Bestimmung der Verschiebungseinflusszahlen ðs

ðπ

2

E  J  δ11 ¼ M1  ds ¼ }12}  r  dφ ¼ r  π 0

0

ðs

ðπ

0

0

F E  J  δ10 ¼ M1  Mo  ds ¼ }1}   r  sin φ  r  dφ 2

π

Fr ¼ ð cos φÞ

¼ F  r2 2

0 2

Daraus folgt: X1 ¼ 

δ10 Fr ¼ π δ11

und somit für den inneren Momentenverlauf an einer beliebigen Stelle M ð φÞ ¼ M o þ X 1  M 1 ¼

  F Fr sin φ 1  r  sin φ  ¼Fr  : 2 π 2 π

27.21 Praxisbeispiele zu Abschn. 17.1 „SandwichelementeAufbauprinzip“ Die Bodengruppe eines Rennwagens soll aus sehr leichten Sandwichplatten aufgebaut werden. Hierfür wurden verschiedene Studien angefertigt. Als Problem erweist sich jedoch die Anbindung von notwendigen Stützen, die vorwiegend Druckkräfte einleiten

27.21

sollen. Die Abbildung veranschaulicht die Situation der Anbindung und der Krafteinleitung.

FD

Al-Rohr Al-Häute

PU-Schaumkern

Aufgabenstellung soll es im Folgenden sein, einen Vorschlag für das Krafteinleitungsproblem auszuarbeiten. Allgemeines:

Zur Musterlösung:

Im Abschn. 17.1 wurden einige mögliche Aufbauprinzipien von Sandwichelementen dargestellt. Auch ist dort schon auf die Problematik der Einleitung von äußeren Kräften eingegangen worden. Ergänzend wurden auch typische Werkstoffwerte zusammengestellt. Insbesondere die Kernwerkstoffe zeigen hier nur geringe mechanische Werte, sodass der Kern nach Möglichkeit nicht konzentriert zu beanspruchen ist. In den umzusetzenden Konstruktionsprinzipien sollte dies unbedingt berücksichtigt werden. Natürlich gibt es mehrere Möglichkeiten, der vorgegebenen Aufgabenstellung zu genügen. Nachfolgend sei ein Prinzip skizziert, das mit relativ geringem Aufwand alle Randbedingungen erfüllt.

Konstruktionsprinzip • Falls möglich, sollten Schubkräfte in Sandwichelemente eingeleitet werden. Durch die schräge Rohrstütze werden in idealer Weise Schub- und Druckkräfte abgeleitet. • Das entwickelte Einschraubelement ist zunächst lösbar und gut für die Kompensation von Kräften geeignet. Die Schubkraft wird als Flächenlast in die Häute eingeleitet und der Kern frei von Druckkräften gehalten.

518

27 Praxisbeispiele

• Durch Dimensionierung der Durchmesser, insbesondere der Tellergröße, können die Kraftverhältnisse in weitem Rahmen den zulässigen Werten angepasst werden. Dargestellt wird dies in der Abbildung (Anbindung einer Stütze an eine Sandwichplatte).

FD

FDz

Krafteinleitungszone FDx

PUSchaum

Die vorstehende Lösung ist für ein reales Fahrzeugkonzept entwickelt worden. Für den Einsatz von Sandwichelementen im Maschinenbau ist noch eine Systematik von – Eckabschlüssen oder Eckenstößen, – Mittenanschlüssen oder Mittenstößen sowie – Winkelanschlüssen von Interesse. In den umstehenden konstruktiven Vorschlägen sind dabei die zuvor beschriebenen Grundregeln der großflächigen Krafteinleitung und der möglichen Freihaltung des Kerns

27.21

Praxisbeispiele zu Abschn. 17.1 „Sandwichelemente-Aufbauprinzip“

519

von großen Kräften beherzigt worden. Die gezeigte Zusammenstellung der Systematik von Sandwichverbindungen ist bei weitem nicht vollständig, sondern soll nur Prinzipien andeuten. Die folgenden Bilder zeigen die Systematik um Sandwichverbindungen.

Eckanschlüsse zur Lagerung und Verblendung

Mittenanschlüsse zum Anbringen von Streben oder Stützen

520

27 Praxisbeispiele

Mittenstöße

Eckstöße

27.22 Praxisbeispiele zu Abschn. 17.4 „Sandwichelemente/ Partialdurchsenkung“ Für den dargestellten beidseitig gelenkig gelagerten Sandwichbalken unter Streckenlast (Breite b) ist die maximale Durchsenkung zu bestimmen.

27.22

Praxisbeispiele zu Abschn. 17.4 „Sandwichelemente/Partialdurchsenkung“

521

p = konst. t t p L 2

z

h

x

p L 2

L

p M by Q p L 2

Die Neigung w(x)0 der Biegelinie ist bei berücksichtigter Schubverformung wðxÞ0 ¼ γðxÞ  βðxÞ:

ð27:164Þ

Der Verdrehwinkel β(x), der die Neigung der Querschnitte beschreibt, bestimmt sich aus Mby ðxÞ ¼ E  Jy 

dβðxÞ : dx

ð27:165Þ

Die Schubverformung γ(x) ist das Resultat der berücksichtigten Schnittkraft QðxÞ ¼ G  As  γðxÞ:

ð27:166Þ

As ¼ b  h ist die Querschnittfläche des Sandwichbalkens. Für den gegebenen beidseitig gelenkig gelagerten Sandwichbalken erhält man die Schnittgrößenverläufe QðxÞ ¼ p 

Mby ðxÞ ¼



 L x , 2

p  x  ðL  xÞ: 2

Aus Gl. (27.165) und (27.168) folgt für die Ableitung des Verdrehwinkels

ð27:167Þ

ð27:168Þ

522

27 Praxisbeispiele

dβðxÞ p ¼  x  ðL  xÞ: dx 2  E  Jy

ð27:169Þ

Einmalige Integration von Gl. (27.169) liefert βð x Þ ¼

p p  L  x2   x3 þ C 1 : 4  E  Jy 6  E  Jy

ð27:170Þ

Der Schubwinkel γ(x) ergibt sich aus Gl. (27.166) und (27.167) zu γ ð xÞ ¼

  p L x :  G  As 2

ð27:171Þ

Damit sind die beiden Größen der rechten Seite von Gl. (27.164) bestimmt und man erhält die Neigungslinie der Biegelinie  w ð xÞ ¼  0

p p  L  x2 þ  x3 4  E  Jy 6  E  Jy

 þ

  p L   x þ C1 : G  As 2

ð27:172Þ

Die Integration der letzten Gleichung führt auf w ð xÞ ¼ 



p p p  L  x3 þ  x4 þ  L  x  x2 þ C1  x þ C2 : 12  E  Jy 24  E  Jy 2  G  As ð27:173Þ

Aus den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ 0

und

wðx ¼ LÞ ¼ 0

ð27:174Þ

ergeben sich die beiden Konstanten in Gl. (27.173) C1 ¼

p  L3 24  E  Jy

und C2 ¼ 0,

ð27:175Þ

womit für die Biegeverformung bei berücksichtigtem Schubeinfluss die Gleichung wðxÞ ¼



p p  x4  2  L  x3 þ L3  x þ  x  ð L  xÞ 24  E  Jy 2  G  As

ð27:176Þ

gefunden wird. Man erkennt, dass sich die Biegelinie Gl. (27.176) nach der Partialdurchsenkungstheorie aus einem reinen Biegeanteil

27.22

Praxisbeispiele zu Abschn. 17.4 „Sandwichelemente/Partialdurchsenkung“

wb ðxÞ ¼

523



p  x4  2  L  x3 þ L3  x 24  E  Jy

und dem reinen Schubanteil ws ðxÞ ¼

p  x  ð L  xÞ 2  G  As

zusammensetzt. Die maximale Gesamtdurchbiegung in der Mitte des Balkens ist   L 5 p  L4 p  L2 ¼  þ , wmax ¼ w x ¼ 2 384 E  Jy 8  G  As

ð27:177Þ

wmax ¼ wbmax þ wsmax : Das Verhältnis des maximalen Schubanteils zum maximalen Biegeanteil ist 48  E  Jy wsmax ¼ : wbmax 5  G  As  L2

ð27:178Þ

Die Biegesteifigkeit E  Jy hängt im Wesentlichen von der oberen und unteren Hautplatte ab; sie entspricht in Näherung dem mit dem E-Modul der Hautplatten EH multiplizierten Steiner’schen Anteil1 E  J y  E H  t  b  h2 :

ð27:179Þ

Die Schubsteifigkeit G  As wird durch den Kern G  As ¼ GK  b  h

ð27:180Þ

bestimmt. Berücksichtigt man Gl. (27.179) und (27.180) in Gl. (27.178), so gilt    2 wsmax 48  EH t h  ¼  : h L wbmax 5  GK Beispiel: Al-Haut und Al-Wabenkern

1

Anmerkung: An ist starkgerundet worden: h dieser Stelle  i E  Jy ¼ EH 

hK 3 b 12

þ2

bt3 12

2

þ h4 b  t

 EH  t  b  h2 .

ð27:181Þ

524

27 Praxisbeispiele

EAl  70:000

N , mm2

GK  100

wsmax wbmax 17,20 6,72 0,27

h L 0,16 0,10 0,02

N , mm2

t ¼ 0, 1 h

Fehler bei Vernachlässigung von ws 95 % 87 % 21 %

Die Tabelle zeigt, dass der Schubfluss bei kurzen Balken nicht vernachlässigt werden darf. Bei langen Balken überwiegt dagegen der Biegeeinfluss. Die Abbildung (Schubeinfluss bei der Biegung eines Sandwichbalkens in Abhängigkeit von den Balkenabmessungen) verdeutlicht diesen Sachverhalt, der aus Gl. (27.181) resultiert. L

L

20

t w s max

h

w b max

t

15

t = 0,5 h

t = 0,2 h

t = 0,1 h

t = 0,05 h

10

Schubanteil

5

0,025 0,05

0,1

w s max w b max

0,2

0,3 h L

27.23

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“

525

27.23 Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“ Für den abgebildeten Druckstab (Symmetrische und antimetrische Knickform) mit elastischer Mittelstütze soll die kritische Druckkraft in Abhängigkeit von der Federsteifigkeit bestimmt werden. L 2

L 2

F

F 

F

F c

c

Der Druckstab kann im Versagensfall je nach Steifigkeit der Mittelstütze eine symmetrische oder antimetrische Knickform annehmen. Im antimetrischen Fall findet keine Belastung der Mittelstütze statt. Die kritische Druckkraft entspricht daher der Euler’schen Knicklast des beidseitig gelenkig gelagerten Stabes der Länge LK ¼ L/2:  Fkrit ¼

π LK

2 EJ¼4

π2 π2 E  J ¼ k  E  J: L2 L2

ð27:182Þ

Hieraus lässt sich der Beulwert des Problems mit k ¼ 4 herleiten. Im symmetrischen Fall muss die DGL (s. auch Gl. (18.8)) d4 w d2 w þ μ2 2 ¼ 0, 4 dξ dξ

mit μ2 ¼

F EJ

ð27:183Þ

gelöst werden. Der Lösungsansatz dafür ist wðξÞ ¼ C1 þ C2  ξ þ C3  cosμ  ξ þ C4  sinμ  ξ:

ð27:184Þ

Die Integrationskonstanten bestimmt man wieder an den Stellen 0  ξ  2 zu w ð 0Þ

¼0:

C1 þ C3 ¼ 0

ð27:185Þ

w00 ð0Þ

¼0:

C3 ¼ 0 ! C1 ¼ 0

ð27:186Þ

C2 þ μ  C4  cosμ ¼ 0:

ð27:187Þ

w0 ðξ ¼ 1Þ ¼ 0 :

Mit Gl. (27.186) liegt aber nur eine Gleichung für zwei Unbekannte vor. Eine weitere Beziehung findet man durch Freimachen der Feder, nämlich

526

27 Praxisbeispiele

2 Qð1Þ ¼ c  wð1Þ:

ð27:188Þ

Unter Berücksichtigung, dass bei Balkenbiegung noch M0 ¼ Q

!

Q ¼ E  J  wðxÞ

000

gilt, kann Gl. (27.188) geeignet entwickelt werden. Die Abbildung stellt das Kräftegleichgewicht an der Feder dar:

Q

Q c

c . w (1)

Dies bedarf aber zunächst noch eines Einschubes zur Differenziation, und zwar ist ξ¼

2 x , L

w0 ¼

dw dξ dw 2  ¼  , dξ dx dξ L

w000 ¼ 8

1 d3 w : L3 dξ3

Damit folgt für Gl. (27.188) unter Berücksichtigung der halben Balkenlänge 2  8

E  J d3 w  ð1Þ þ c  wð1Þ ¼ 0: L3 dξ3

ð27:189Þ

Wird darin weiter eingesetzt, so erhält man 16

EJ 3  μ  C4  cosμ þ c ðC2 þ C4  sinμÞ ¼ 0: L3

ð27:190Þ

Mittels Gl. (27.187) und Gl. (27.190) kann jetzt ein Gleichungssystem für die noch unbekannten Integrationskonstanten erstellt werden: 2 4

μ  cosμ

1 c

16

EJ 3 μ  cosμ þ c  sinμ L3

3 5



C2 C4



  0 ¼ : 0

ð27:191Þ

Unter der Forderung der verschwindenden Koeffizientendeterminante erhält man so die Eigenwertgleichung

27.23

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“

527

EJ 3 1 16 3 μ  cosμ þ c  sinμ  c  μ  cosμ ¼ 0

 c  cosμ L

16

ð27:192Þ

EJ 3 μ þ tanμ  μ ¼ 0 c  L3

oder tanμ ¼ μ  16



EJ 3 μ ¼ μ 1  γ  μ2 , 3 cL

ð27:193Þ

worin jetzt der Steifigkeitsparameter γ ¼ 16

EJ c  L3

ð27:194Þ

μ (1-γμ2 )

eingeführt werden kann. In der Abbildung ist der Verlauf dieses Steifigkeitsparameters als Funktion des Eigenwertes μ dargestellt (Darstellung der Eigenwerte).

γ=0

π tan μ

γ = 0,025

tan μ

γ = 0,05

π 2

γ = 0,1

π 2

π

3π 2 μ

528

27 Praxisbeispiele

Es zeigt sich, dass mit μ ¼ π der kleinste Eigenwert gefunden ist. Hierzu gehört der Steifigkeitsparameter γ¼

1  0, 1: π2

ð27:195Þ

Eine Erhöhung der Steifigkeitsparameter über diesen Wert hinaus bringt keinen Gewinn an Tragvermögen, weil der Stab dann antimetrisch ausknickt. Als Grenzwert für die Steifigkeit erhält man aus Gl. (27.194) und Gl. (27.195) cmin ¼ 16

 2 π 16 E  J ¼ Fkrit Euler : L L

π2 16 EJ¼ L L3

ð27:196Þ

Zusammenfassend kann somit festgestellt werden, dass die Knicklast durch eine Stütze maximal aus das Vierfache der Euler’schen Knicklast angehoben werden kann. Bei steiferen Stützen tritt nur eine andere Knickform auf.

27.24 Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.2 „Knickung doppeltsymmetrischer Profilstäbe“ Innerhalb einer Konstruktion soll das gezeigte doppelt symmetrische I-Profil zur Abstützung einer Druckkraft eingesetzt werden. Wie groß darf diese Kraft werden, damit keine reine Biegeknickung oder reine Drillknickung an der abgebildeten Stütze auftritt? F

h

b

y x

z

t L

Daten:

b ¼ 100 mm, 150 mm, 200 mm t ¼ 10 mm

27.24

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.2 „Knickung doppeltsymmetrischer Profilstäbe“

529

h ¼ hSteg ¼ 100 mm L ¼ 1000 mm ν ¼ 0,3 E ¼ 210.000 MPa Gemäß Abschn. 18.2.2 ist bei dem vorgegebenen Profil zu klären, ob F  Fkrit

ð27:197Þ

ist. Die kritische Kraft ist dabei die kleinste Kraft aus der Biegeknickung  Fkrit, y ¼

π LK

2

 E  Jz ,

Fkrit, z ¼

π LK

2 E  Jy

ð27:198Þ

oder der Drillknickung Fkrit, t ¼

1 iSP 2

"

π LK

#

2

E  CW þ G  Jt :

ð27:199Þ

h Für den einseitig fest eingespannten Träger ist LK ¼ 2  L. Zunächst können mit t ¼ 10 und b η ¼ h recht einfach für das Profil Größen bestimmt werden:

• die Fläche A ¼ ð2 b þ hÞ  t ¼ ð2 b þ hÞ

h 2 ηþ1 2 ¼ h , 10 10

ð27:200Þ

• die Flächenträgheitsmomente  2 b  t3 t  h3 h t 728  η þ 100 4 Jy ¼ 2  þ h , ¼ þ þ2bt 2 2 12:000 12 12

Jz ¼

t  b3 h  t3 t  b3 200  η3 þ 1 4 h , þ þ ¼ 12:000 12 12 12

• der polare Flächenträgheitsradius

ð27:201Þ

ð27:202Þ

530

27 Praxisbeispiele

iSP 2 ¼

Jy þ Jz 200  η3 þ 728  η þ 101 2 h , ¼ A 1200  ð1 þ 2  ηÞ

ð27:203Þ

h2  JF1  JF2 0, 121  η  h6 ¼ 2400 ðJF1 þ JF2 Þ

ð27:204Þ

• der Wölbwiderstand CW ¼ und • das Torsionsflächenmoment Jt ¼

1X 3 t b 3 i i i

ð27:205Þ

2 1 2 ηþ1 4 h : Jt ¼ b  t 3 þ h  t 3 ¼ 3 3 3000 Damit bestimmen sich die kritischen Kräfte für reine Biegeknickung zu Fkrit, y  0, 52 

200  η3 þ 1 4 h , 12:000

Fkrit, z  0, 52 

728  η þ 100 4 h 12:000

ð27:206Þ

bzw. für Drillknickung Fkrit, t ¼

129:293, 5  η2 þ 129:262, 1  η þ 32:307, 7 2 h : 1200  η3 þ 728  η þ 101

ð27:207Þ

Die Auswertung der Gl. (27.206) und (27.207) zeigt die Abhängigkeit der kritischen Knickkräfte vom geometrischen Verhältnis η ¼ bh. Auswertung: b h Fkrit, y[MN] Fkrit, z[MN] Fkrit, t[MN]

0,1

0,3

0,5

0,735

1

1,473

1,972

3

0,005 0,749 2,674

0,028 1,38 2,547

0,113 2,011 2,638

0,345 2,75 2,75

0,871 3,588 2,827

2,77 5,08 2,77

6,65 6,65 2,603

23,4 9,897 2,061

Verlauf der kritischen Knick- und Drillkraft:

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“

531

F [MN]

27.25

6,65

2,75 1. Fall

2. Fall

0 0,735

1,473

1,972

für Fkrit, y für Fkrit, z

b h

für Fkrit, t

1. Fall: 2. Fall:

b < 1, 473 h b > 1, 473 h

) Fkrit, y ist kritische Kraft Fkrit ) Fkrit, t ist kritische Kraft Fkrit

27.25 Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“ In Abschn. 18.2.1 wird ein Stab mit einer genau im Flächenschwerpunkt angreifenden Drucklast betrachtet. In der Praxis tritt ein solcher Fall eigentlich selten auf. Es werden immer leichte Ungeradheiten und Exzentrizitäten vorliegen. Die Folge ist, dass der reale Stab nicht schlagartig wegknickt, sondern sich zunächst durchbiegt und dann infolge einer unzulässigen Spannung versagt. Druckstab, exzentrischer

532

27 Praxisbeispiele

F

F L

M x

x z e

w

z e

F

F

Für den in der Abbildung dargestellten exzentrischen Druckstab, der in der x-z-Ebene symmetrisch ist, mit exzentrisch angreifender Druckkraft sind die maximale Durchbiegung w(x) und die maximale Normalspannung infolge der Last F zu bestimmen: gegeben : Jy ¼ J, Wy , A, L: Aus dem Freikörperbild wird das innere Biegemoment mit M ¼ F ðe þ w Þ

ð27:208Þ

bestimmt, wobei analog zu Gl. (18.7) M ¼ E  J  w00

ð27:209Þ

gilt. Damit ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (27.209) in Gl. (27.208) und Umstellen die Differenzialgleichung w00 þ

F F w¼ e: EJ EJ

ð27:210Þ

F EJ

ð27:211Þ

Mit μ2 ¼

liegt die allgemeine Form nach Gl. (18.11) vor: w00 þ μ2 w ¼ C5 þ C6  x

ð27:212Þ

27.25

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2 „Knicken von Profilstäben“

mit

C6 ¼ 0

und

533

C5 ¼ μ2  e:

ð27:213Þ

Der angepasste Lösungsansatz für Gl. (27.212) ist dann wðxÞ ¼ C1  cosμ  x þ C2  sinμ  x  e:

ð27:214Þ

Aus der Randbedingung w(0) ¼ 0 folgt C1 ¼ e. Die Randbedingung w(L) ¼ 0 liefert die Gleichung C2 ¼

e½1  cosμ  L : sinμ  L

ð27:215Þ

Es gilt 1  cosμ  L ¼ 2 sin 2 μ 

L 2

ð27:216Þ

und L L sinμ  L ¼ 2sinμ  cosμ  : 2 2

ð27:217Þ

Mit Gl. (27.216) und (27.217) kann ermittelt werden: L C2 ¼ e  tanμ  : 2

ð27:218Þ

Die Biegelinie lässt sich damit nach Einsetzen der Konstanten in Gl. (27.214) mit der Gleichung "

# rffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! rffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! rffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! F L F F wðxÞ ¼ e tan   sin  x þ cos x 1 EJ 2 EJ EJ

ð27:219Þ

beschreiben. Die maximale Durchbiegung ist

wmax

2

3

6 6 ¼ wðL=2Þ ¼ e6 6 4

7 7 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffi !  17 7: 5 F L  cos EJ 2

Die Spannung resultiert aus der Überlagerung von Biege- und Normalspannung

ð27:220Þ

534

27 Praxisbeispiele

σ¼

F M

: A Wy

ð27:221Þ

Mit Gl. (27.208) lässt sich die maximale Spannung angeben: σmax ¼

F Fðe þ wmax Þ þ : Wy A

ð27:222Þ

27.26 Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.4 „Knickung unsymmetrischer Pro-file“ Für einen beidseitig gelenkig gelagerten Druckstab der Länge L mit dem abgebildeten unsymmetrischen Querschnitt ist die kritische Last für das Biegedrillknicken zu ermitteln. Der Stab wird mittig gedrückt, und die Endquerschnitte sind gegen Verschiebung in ihrer Ebene gehalten und sollen frei von Biegespannungen sein. 150 10 SM y φ

SP

y

250

z

z

10

Für das Profil wird angegeben: ySM ¼ 52 mm, Jy Jt

zSM ¼ 63 mm,

¼ 28, 980  103 mm4 , ¼ 130  103 mm4 ,

Jz ¼ 4, 340  103 mm4 ,

CW ¼ 0 f€ur w€olbfreie Lagerung, A ¼ 3900 mm2 :

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.4 „Knickung unsymmetrischer Pro-file“

27.26

535

Die Instabilitätsbedingung für das hier auftretende Problem der Biegedrillknickung ist in Gl. (18.26) gegeben zu



ySM 2 þ zSM 2  iM 2 F3 þ Fy þ Fz þ Ft iM 2  ySM 2 Fz  zSM 2 Fy F2 

iM 2 Fy Fz þ Fy Ft þ Fz Ft F þ Fy Fz Ft iM 2 ¼ 0, ð27:223Þ

hierin bedeuten ySM , zSM iM -

Koordinaten des Schubmittelpunktes Trägheitsradius bezogen auf den Schubmittelpunkt

iM 2 ¼ ySM 2 þ zSM 2 þ

Fy , Fz -



nπ L

2

 E  Jy ,

Fz ¼

  nπ 2  E  Jz , L

ð27:225Þ

kritische Knicklast durch Torsion um die Längsachse x

Ft ¼

μ-

ð27:224Þ

kritische Knicklasten nach Euler durch Biegung um die y- bzw. z-Achse

Fy ¼

Ft -

Jy þ Jz , A

G Jt þ π iM

2

ECW L2

2

≔

G  Jt , iM 2

ð27:226Þ

Eigenwert der Biegelinie

μ¼

nπ : L

ð27:227Þ

Für das vorliegende Beispiel sollen zunächst die Beziehungen Gl. (27.224–27.227) in Gl. (27.223) eingesetzt werden. Man erhält so

536

27 Praxisbeispiele

    Jy þ Jz G  Jt 3 2 2 2 2 2 2 ySM þ zSM  ySM  zSM  F þ E  Jy  μ þ E  Jz  μ þ  A iM 2

iM 2 F2 þ zSM 2  E  Jy  ySM 2  E  Jz F2  iM 2  E2  Jy  Jz  μ4 þ  E2  Jy  G  Jt  μ2 E2  Jz  G  Jt  μ2 E2  G  Jy  Jz  Jt  μ4 þ þ ¼0 F þ iM 2 iM 2 iM 2 ð27:228Þ oder 



 Jy þ Jz 3   F þ G  Jt þ E  Jy þ Jz  iM 2  Jy  zSM 2 þ Jz  zSM 2 μ2 F2 þ A 

E  μ2  E  Jy  Jz  iM 2  μ2 þ G  Jt  Jy þ Jz F þ E2  Jy  Jz  G  Jt  μ4 ¼ 0: 

ð27:229Þ Die Koeffizienten enthalten die geometrischen Querschnittswerte, die Materialwerte E und G und über den Eigenwert μ die Stablänge und die Zahl der Sinuswellen beim Ausknicken. Jy þ Jz Wird weiter durch  geteilt und werden die problemspezifischen Werte eingeA setzt, so folgt mit iM 2 ¼ 15, 22  103 mm2

ð27:230Þ

  F3  128  104 þ 932  1012 μ2 F2 þ 892  1016 þ 991  1022 μ2 μ2 F  710  1028 μ4 ¼ 0: Aus dieser Gleichung kann die kritische Last Fkrit als Funktion von μ ermittelt werden, die sich als kleinste der reellen Wurzeln für n ¼ 1 ergibt. Die kritische Last soll nun für verschiedene Längenverhältnisse berechnet werden: L ¼ 1000 mm: F3  9190, 4  106  F2 þ 1050  1012  F  692  1018 ¼ 0 Fkrit ¼ 672, 1 kN

27.26

Praxisbeispiele zu Abschn. 18.2.4 „Knickung unsymmetrischer Pro-file“

537

L ¼ 2000 mm: F3  2298, 6  106  F2 þ 82, 5  1012  F  43, 2  1018 ¼ 0 Fkrit ¼ 530 kN L ¼ 3000 mm: F3  1022, 3  106  F2 þ 21, 8  1012  F  8, 59  1018 ¼ 0 Fkrit ¼ 483, 4 kN L ¼ 4000 mm: F3  575, 6  106  F2 þ 9, 26  1012  F  2, 71  1018 ¼ 0 Fkrit ¼ 370, 2 kN L ¼ 5000 mm: F3  369  106  F2 þ 5, 06  1012  F  1, 11  1018 ¼ 0 Fkrit ¼ 301 kN Eine Knickuntersuchung allein nach Euler hätte nach Gl. (27.225) für die betrachteten Längen folgende kritische Lasten ergeben: L ¼ 1000: L ¼ 2000: L ¼ 3000: L ¼ 4000: L ¼ 5000:

Fkrit ¼ 9000 kN Fkrit ¼ 2250 kN Fkrit ¼ 1000 kN Fkrit ¼ 560 kN Fkrit ¼ 360 kN

Diese Ergebnisse sind im Diagramm dargestellt. Es wird ersichtlich, dass sich bei kurzen Stäben große Unterschiede zwischen der kritischen Last nach Euler (Biegeknicken) und der kritischen Last des Biegedrillknickens ergeben. Für längere Stäbe wird der Unterschied jedoch geringer.

538

27 Praxisbeispiele

Fkrit [KN]

3500

3000

2500 nach Euler (reines Knicken) 2000

1500

1000

nach Wlassow (Biegedrillknicken)

500

0

1000

2000

3000

4000

5000 L [mm]

6000

27.27 Praxisbeispiele zu Kap. 19 „Beulen von Blechfeldern“ Für die dargestellte orthotrope Rechteckscheibe unter Längsdruckbelastung ist eine Beuluntersuchung durchzuführen. Es ist zu ermitteln, wie groß der Einfluss der seitlichen Lagerung ist und wann die Platte als Plattenstab und wann als Plattenstreifen gerechnet werden darf.

27.27

Praxisbeispiele zu Kap. 19 „Beulen von Blechfeldern“

539

a x px

px

y b p

px

px w

px

gelenkige Lagerung

Nach Gl. (19.1) lautete die Beziehung ::

000

Bx  w 0 þ 2 Bxy  w00 þ By  w:... ¼ p: Die äußere Belastung p ist hierbei normal zur Mittelebene gerichtet. Weil man aber bei Instabilitätsproblemen stets von der verformten Struktur ausgeht, muss jetzt die Reaktionskraft zufolge der Mittelebenenkrümmung berücksichtigt werden. Für das vorliegende Beulproblem ist somit anzusetzen: 000 0

::

Bx  w þ 2 Bxy  w00 þ By  w:... ¼ px  w00 :

ð27:231Þ

Bei der Grenzbelastung px ¼ pxkrit tritt dann gerade Beulen der Mittelebene ein. Für die Durchsenkung der Mittelebene kann im Weiteren der bekannte Doppelreihenansatz (s. Gl. (19.8)) wðx, yÞ ¼

XX mπx nπy  sin , m, n ¼ Halbwellenzahl Cmn  sin a b m n

ð27:232Þ

gemacht werden. Wird dieser entsprechend oft abgeleitet und in Gl. (27.231) eingesetzt, so entsteht folgende charakteristische Gleichung:          XX mπ 4 mπ 2 nπ 2 nπ 4 Bx þ 2 Bxy  þ By a a b b m n   X m  π2 ¼ px a m oder umgestellt

ð27:233Þ

540

27 Praxisbeispiele

pxkrit ¼

XX a 2 m

n

m

 π

2

 4    4  m mn 2 n Bx þ 2 Bxy þ By : a ab b

ð27:234Þ

Hierin sind eingeführt: • die Biegesteifigkeit mit Bx ¼

E  t3 , 12ð1  ν2 Þ

By ¼

E  t3 12ð1  ν2 Þ

und • die Diagonalsteifigkeit mit Bxy ¼

2ð 1  ν Þ E  t 3 ν  E  t3 þ : 2 12ð1  ν Þ 12ð1  ν2 Þ

Die vorstehende Gl. (27.234) soll nun so umgeformt werden, dass die dimensionslose Beulzahl k abgespalten werden kann in

pxkrit

" "rffiffiffiffiffiffi ## rffiffiffiffiffiffi XX Bxy By a2 n4 b2 Bx b2 2 2 2    m þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  n þ  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ π : By a2 Bx b2 m2 Bx  By Bx  By m n ð27:235Þ

Es ergibt sich dann folgende Beziehung für den kritischen Längsdruck: pxkrit ¼ π  k  2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Bx  By b2

:

ð27:236Þ

Weiterhin können aus Gl. (27.235) noch folgende Kenngrößen herausgelöst werden: • die Diagonalzahl Bxy η ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , Bx  By

ð27:237Þ

• das wirksame Seitenverhältnis

nss ¼ und

b a

rffiffiffiffiffiffi 4 Bx By

ð27:238Þ

Praxisbeispiele zu Kap. 19 „Beulen von Blechfeldern“

27.27

541

• das reziproke Seitenverhältnis α¼

1 : nss

ð27:239Þ

Die Beulzahl lässt sich dann auch angeben zu k¼

2  XX" 4

n m n2 2 2 2 2 þα þ 2η  n þ α  2 þ 2n  2n þ2n2 ðη  1Þ : ¼ α m α2 m m n

XXm2 m

n

Erweiterung ð27:240Þ Da seitens der Belastung nur px vorliegt, ist im Weiteren die Beulung in y-Richtung nicht von Bedeutung, sodass n ¼ 1 (Zahl der Wellen in y-Richtung) gesetzt werden kann: k¼

Xm m

α

þ

α m

2

 þ 2 ðη  1Þ :

ð27:241Þ

Trägt man nun den Wert k  2 (η  1) über dem Seitenverhältnis α als Parameter auf, so erhält man den folgenden Kurvenverlauf der Beulfunktion:

k - 2 (η - 1)

8

px

7 a 6 b

5 m =1

4

m=4

m=3

m=2

px m=5

3 Einfluss der seitlichen Lagerung 2 1

0

Plattenstab 0,2 Idealisierung als Plattenstab

1

2

2

6

3

12

4

Idealisierung als Plattenstreifen

20 α

5

542

27 Praxisbeispiele

Die Kurven besitzen ein identisches Minimum, welches man aus folgender Ableitung erhält:   dk X m2 α ¼ 2 3 þ 2 2 ¼ 0 ! αmin ¼ m dα m α m

ð27:242Þ

kmin ¼ 4 þ 2 ðη  1Þ oder kmin  2 ðη  1Þ ¼ 4

ð27:243Þ

für alle Wellenzahlen m. Da sich stets der niedrigste Beulwert einstellt, entstehen als Grenzkurven die gezeigten Girlandenverläufe. Die Schnittpunkte dieser Kurven ergeben sich aus km ¼ kmþ1 oder m α mþ1 α þ ¼ þ α m α mþ1 zu α¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi m ð m þ 1Þ :

ð27:244Þ

Des Weiteren sollen noch folgende Grenzfälle der Beulproblematik betrachtet werden: • Der Plattenstab als Analogie des Balkens auf zwei Stützen

a px

px b

Unter der Voraussetzung, dass die Ausdehnungen in der y-Richtung keine Rolle spielt, kann Gl. (27.234) folgendermaßen abgewandelt werden:

27.28

Praxisbeispiele zu Abschn. 20.1 „Versteifende Formgebung“ (Konzeptleichtbau)

pxkrit

543

 2   4  a m 2 ¼ π Bx m a

oder für m ¼ 1 pxkrit

pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi  2 B y b2 Bx  By b2 B π 2 Bx 2 ¼  Bx ¼ π 2  pffiffiffiffiffiffi  2 ¼ π  2  pffiffiffiffiffixffi 2 a a a By By b b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Bx  By 1  2: ¼ π2 α b2

ð27:245Þ

Der sich hierdurch ergebende Kurvenverlauf ist ebenfalls in der vorstehenden Abbildung eingezeichnet. Für ein Verhältnis α < 0, 2 sind die Kurven so sehr abgeglichen, dass die allseitig gelenkig gelagerten Platten zum Plattenstab vereinfacht werden können. • Der Plattenstreifen

a px

px b

Die vorstehenden Girlandenkurven lassen erkennen, dass für das wirksame Seitenverhältnis α ! 1 der Beulwert k ! 4 strebt. Gemäß der Angrenzung in dem Diagramm bedeutet dies, dass der Einfluss der Stirnlagerung gegenüber der seitlichen Lagerung näherungsweise vernachlässigt werden kann. Ab einem Wert α ¼ 3 kann die allseitig gelenkig gelagerte Platte ohne große Fehler als Plattenstreifen betrachtet werden. Anmerkung: In anderen Abschätzungen wird kmin für Stahlplatten mit 3,62 angegeben.

27.28 Praxisbeispiele zu Abschn. 20.1 „Versteifende Formgebung“ (Konzeptleichtbau) Konzipieren Sie eine Pkw-Tür gemäß folgendem Schema nach Leichtbaugesichtspunkten, wobei insbesondere der Kraftfluss im Crash zu berücksichtigen ist. Verwenden Sie hierfür moderne St-Tailored-Products.

544

27 Praxisbeispiele

Dachholm

1.050

Scheibe

Schloß B-Säule Seitenschutz

Scharnier A-Säule Türblech

10.000

a) Legen Sie skizzenmäßig ein Türblech mit Cirka-Blechstärken fest. Die Blechzuschnitte dürfen hierbei beliebige Konturen haben. b) Grundlage der Bearbeitung der Aufgabe sind die in der Abbildung aufgelisteten Tailored-Products (Fa. Thyssen Krupp) mit ihren Eigenschaften. Tailored Blanks: sind maßgeschneiderte Platinen aus Stahlblech, hierbei werden Einzelbleche unterschiedlicher Dicke, Festigkeit und Oberflächengüte durch Laserschweißen zusammengefügt. Die TB-Halbzeuge sind für die Kaltumformung vorgesehen. Tailored Engineered Blanks: sind maßgeschneiderte Platinen, die keinen linearen, sondern einen beliebigen Nahtverlauf aufweisen. Hotform Blanks: sind Tailored Blanks für die Warmformgebung (Formhärtung).

27.29

Praxisbeispiele zu Abschn. 20.2 „Sicken“

545

Tailored Strips: sind Coils aus endlos lasergeschweißten Spaltbändern. Spaltbänder bestehen aus Stählen unterschiedlicher Dicke, Güte und Oberflächenqualität. Tailored Orbitals: Übertragung des TailoredPrinzips auf Rohre; hierbei werden Rohre mit unterschiedlichen Durchmessern, Wandstärken und Werkstoffen miteinander kombiniert und laserverschweißt. Patchwork Blanks: dienen zur zusätzlichen Versteifung (Ränder oder Mitten) von Blechfeldern mit Einzelblechen. Die Patchs werden umgeformt und anschließend aufgeschweißt (Punkt- oder Laserschweißen).

27.29 Praxisbeispiele zu Abschn. 20.2 „Sicken“ Für den Aufbau eines segmentierten Fahrzeugbodens soll alternativ der Einsatz einer massiven und einer gesickten Platte untersucht werden (siehe Abbildung Plattenbauweisen). Die Belastung ist mit Fi ¼ 300 N anzunehmen. Vorgesehen ist die Verwendung von Aluminiumblechen.

546

27 Praxisbeispiele

L=

F1

500

F2

b=30

0

x z y F3

t=6 wmax

F1

F2

F3

t=1 h = 15

15

500

20 30 20 30 20 30 20 30 20 30 20

L=

b=3

00

15

Aus der vorgesehenen Bauweise kann sofort die Symmetrie in der Belastung und in der Geometrie abgeleitet werden. Insofern kann das Plattenproblem durch ein äquivalentes Balkenproblem angenähert werden. Es ist somit also ausreichend, einen Plattenstreifen (b0 ¼ 50 mm und F ¼ Fi/2) mit einem identischen Sickenstreifen zu vergleichen. • Grundgrößen für denPlattenstreifen(b0 ¼ 50 mm) Gewicht: GP ¼ ρ  A  L ¼ 0, 405 kg

ð27:246Þ

Flächenträgheitsmoment: Jy ¼

50  63 ¼ 900 mm4 12

ð27:247Þ

Durchbiegung: wmax ¼

Fi  L3 ¼ 48  E  Jy

N  5003 mm3 ¼ 6, 2 mm N 4 48  70000  900 mm mm2 150

ð27:248Þ

27.30

Praxisbeispiele zu Abschn. 20.5 „Durchzüge“

547

• Grundgrößen für den Sickenstreifen (b0 ¼ 50 mm) Gewicht: GS ¼ ρ ðs  tÞ  L ¼ 0, 105 kg

mit

s ¼ 78 mm

Flächenträgheitsmoment: 

     15, 5  13 1  133 21  13 2 2 2 Jy ¼ 2  þ 1  15  6, 1 þ 2  þ 1  13  0, 9 þ þ 1  21  7, 9 12 12 12 ¼ 2:818 mm4 Durchbiegung: wmax ¼

N  5003 mm3 ¼ 1, 98 mm N 48  70000  2818 mm4 2 mm 150

20 t=1 y

14

0,9 s

z 15

SP 20

7,9 6,1

15

Diese einfache Gegenüberstellung der Bestimmung des Flächenträgheitsmomentes belegt einsichtig, dass Sicken zu einer Erhöhung des Flächenträgheitsmomentes führen und somit auch die Durchbiegung reduzieren. Als Zweites ist auch ersichtlich, dass die aufgelöste Bauweise um ein Vielfaches leichter ist als die massive Bauweise.

27.30 Praxisbeispiele zu Abschn. 20.5 „Durchzüge“ Zum Zweck der Gewichtserleichterung ist ein dünner I-Profilträger im Steg mit Erleichterungslöchern zu versehen. Da dadurch der Querschnitt geschwächt wird, soll die Höhe der Beanspruchung abgeschätzt und Maßnahmen zur Stabilisierung des Steges angegeben werden.

548

27 Praxisbeispiele

p z = konst.

τL τ1

x

τ τ

z

t

s l d

Im Kapitel über die Schubwandträger-Profile wurde herausgearbeitet, dass in dem Steg dünnwandiger Profile in der Hauptsache Schub wirkt. Auf der Neutralachse angebrachte Erleichterungslöcher haben somit auf die Biegespannung nur geringen Einfluss. Durch die Verringerung des tragenden Querschnitts erfahren die Schubspannungen jedoch eine beträchtliche Erhöhung, die es wie folgt abzuschätzen gilt: • Beanspruchung des ungeschwächten Steges mit

τ1 ¼

Q z  S y ð 0Þ : Jy  t

ð27:249Þ

• Beanspruchung des gelochten Steges. Die aus dem Spannungsansatz von Gl. (27.249) resultierende Schubkraft Qx muss im Fall des gelochten Steges von einer kleinen Fläche aufgenommen werden. Demnach ergibt sich das Verhältnis Qx ¼ τ1  t  ℓ ¼ τL  t  s: Hieraus folgt für die auftretende Schubspannung

ð27:250Þ

27.31

Praxisbeispiele zu Abschn. 22.4 „Kleben“

549

ℓ 3 ℓ 3 ℓ Q  S y ð 0Þ τL ¼ τ1  τ1  ¼   z , s 2 s 2 s Jy  t

ð27:251Þ

wobei mit dem Vorfaktor der tatsächliche parabolische Verlauf eingearbeitet worden ist. Wie weiter im Abschn. 13.2 dargelegt worden ist, neigen dünnwandige Stege unter erhöhter Schubbeanspruchung zum Knittern, welches hier eine Instabilitätsform darstellt. Stabilisierend gegen das Ausweichen des Steges erweist sich das Bördeln der Löcher (Durchzüge), wie dies in der Abbildung schon angedeutet ist.

27.31 Praxisbeispiele zu Abschn. 22.4 „Kleben“ Kleben hat im Karosseriebau eine große Bedeutung erlangt. Gewöhnlich werden Dächer von Nutzfahrzeugen eingeklebt. Exemplarisch soll eine derartige Klebeverbindung ausgelegt werden. In der Abbildung wird der Spannungsverlauf über eine Klebeverbindung dargestellt: τmax < τKl

b

F

E1, t1

ü

E2 , t 2

x Gegeben:

G Kl F E1 E2 t1 t2 d ü τ max

= 900 MPa = 1.500 N = 7.500 MPa (PA6) = 70.000 MPa (Al) = 11 mm = 1,75 mm = 0,14 mm = 20 mm = 30 MPa

Gesucht: b=?

550

27 Praxisbeispiele

Gegeben: GKl ¼ 900 MPa F ¼ 1500 N E1 ¼ 7500 MPa (PA6) E2 ¼ 70.000 MPa (Al) t1 ¼ 11 mm t2 ¼ 1,75 mm d ¼ 0,14 mm ℓ€u ¼ 20 mm τmax ¼ 30 MPa

Gesucht: b¼?

Klebeverbindungen verlieren mit der Zeit ihre Festigkeit, werden porös, nehmen Wasser auf und altern unter UV-Strahlung. In der Automobilindustrie wird deshalb mit einer hohen Verbindungssicherheit gearbeitet. Demzufolge sollte für den Sicherheitsfaktor angesetzt werden: S ¼ ST  SH  SU ¼ 1  2  1 ¼ 2:

ð27:252Þ

Die Formel setzt sich aus der Temperursicherheit (ST), Herstellsicherheit (SH) und dem Spannungsverlust durch Umwelteinflüsse (SU) zusammen. Für die Berechnung der Spannungsverteilung über die Länge einer Klebeverbindung ist folgende Gleichung gefunden worden:       ω  τm x x τðxÞ ¼ sinh ω 1  þ ðβ þ 1Þ sinh ω : ð27:253Þ ℓ€u ℓ€u ðβ þ 2Þ  ð cosh ðωÞ  1Þ Diese Gleichung hat ein Extremum, welches je nach Werkstoffkombination am linken oder am rechten Rand liegt, in diesem Fall gilt für x ¼ ℓ€u ω  τm  sinh ðωÞ  ðβ þ 1Þ ðβ þ 2Þ  ð cosh ðωÞ  1Þ ω  sinh ðωÞ  ðβ þ 1Þ ¼ : ðβ þ 2Þ  ð cosh ðωÞ  1Þ

τmax ¼ τmax τm

j : τm ð27:254Þ

Hierin sind mit β und ω Konstanten eingeführt worden, die wie folgt definiert sind: β¼

ðE2  t2  E1  t1 Þ  GKl  ℓ€u 2

¼ 0, 46, E1  t1  GKl  ℓ€u 2 þ E2  t2  d

ð27:255Þ

27.31

Praxisbeispiele zu Abschn. 22.4 „Kleben“

551

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi GKl  ℓ€u 2 ðE1  t1 þ E2  t2 Þ ω¼ ¼ 7, 22: E1  t1  E2  t2  d

ð27:256Þ

Damit lässt sich die Spannungsgleichung lösen: ω  sinh ðωÞ  ðβ þ 1Þ τmax ¼ ¼ kτ ¼ 4, 30: τm ðβ þ 2Þ  ð cosh ðωÞ  1Þ Die zulässige Spannung errechnet sich mit dem Sicherheitsbeiwert S τmzul ¼

τmax ¼ 3, 492 MPa: kτ  S

ð27:257Þ

Die notwendige Breite b der Verbindung Dachmodul mit Säule errechnet sich zu b¼

F ¼ 21, 48 mm: τmzul  ℓ€u

ð27:258Þ

Als Nächstes folgt eine vereinfachte Berechnung zur Beanspruchung durch Temperaturwechsel eines aufgeklebten PA6-Daches auf die Al-Struktur: Überlappungslänge Wärmeausdehnungskoeffizient Wärmeausdehnungskoeffizient Temperaturdifferenz

L0 ¼ 20 mm, αAl ¼ 23, 4 . 106  C1, αPA6 ¼ 85 . 106  C1, (20  C bis 80  C) ΔT ¼ 120  C.

Für die Wärmeausdehnung gilt allgemein ΔL ¼ L0  α  ΔT: Daraus folgt 

ΔLAl ¼ 20 mm  23, 4  106  C1  100 C ¼ 0, 0468 mm,  ΔLPA6 ¼ 20 mm  8, 5  106  C1  100 C ¼ 0, 017 mm: Berechnung der Längendifferenz: ΔL ¼ ΔLAl  ΔLPA6  0, 03 mm:

ð27:259Þ

Das heißt, die verklebten Teile müssen eine Längendifferenz von 0,03 mm kompensieren. In der Regel wird die Klebschichtdicke in gleicher Größe überhöht, also auf d ¼ 0,13 mm [HAB 08].

552

27 Praxisbeispiele

27.32 Praxisbeispiele zu Kap. 23 „Strukturoptimierung“ Ein Sandwichplattenstab unter gleichmäßiger Flächenlast ist hinsichtlich seines Eigengewichts zu optimieren. Als variabel sollen die Hautdickheit und deren Distanz h angesehen werden. Die Optimierung ist einmal unter verlangter Tragfähigkeit und einmal unter verlangter Steifigkeit durchzuführen.

y x

z

p ( x , y)

h L t B

1 p L B 4

Die Gewichtskraft des Sandwiches ist bestimmt zu G ¼ g  B  L ð2 t  ρH þ h  ρK Þ:

ð27:260Þ

Fall a: Vorgegebene Tragfähigkeit des Tragwerkes Für die Spannung in den Häuten ist diesbezüglich σH  σzul ¼

σF SF

ð27:261Þ

zu fordern. Eine gewichtsoptimale Dimensionierung setzt somit voraus, dass die auftretende Biegespannung in den Häuten gerade den zulässigen Wert σHmax ¼ σzul ¼

M h  J 2

erreicht. Mit dem Flächenträgheitsmoment der Platte

ð27:262Þ

27.32

Praxisbeispiele zu Kap. 23 „Strukturoptimierung“

J  2 ðL  t Þ 

 2 h 1 ¼ L  t  h2 2 2

553

ð27:263Þ

und dem maximalen in der Plattenmitte auftretenden Biegemoment M¼

  1 B 1 p  L  B  ¼ p  L  B2 4 2 8

ð27:264Þ

erhält man für die Spannung 

σzul

 1 p  L  B2 1 B2 ¼ 8 ¼ p 8 th Lth

ð27:265Þ

bzw. kann hieraus zunächst eine Variable festgesetzt werden t¼

1 p B2   : 8 σzul h

ð27:266Þ

Eingesetzt in Gl. (27.260) folgt für das Gewicht   1 p B2 G¼gBL    ρ þ h  ρK : 4 σzul h H

ð27:267Þ

Die zweite Variable findet man aus der Forderung dG ¼ 0 ¼ MINIMUM! dh oder dG 1 p B2 ¼    ρ þ ρK ¼ 0 dh 4 σzul h2 H

ð27:268Þ

zu 1 hopt ¼ B 2

rffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffi ρH p :  σzul ρK

ð27:269Þ

Wird nun diese Größe eingesetzt, so kann das Minimalgewicht angegeben werden als

554

27 Praxisbeispiele

Gmin

  rffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi 1 p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi B ¼gBL  ρ H  ρK þ B  ρ H  ρK 2 σzul 2 σzul g  B2  L ¼ 2

ð27:270Þ

rffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ρH  ρK ð1 þ 1Þ: σzul

Daraus ist abzuleiten, dass das Gewichtsminimum unter der Forderung vorgegebener Tragfähigkeit bei gleichem Gewichtsaufwand für Haut und Kern zu erreichen ist. Aus Gl. (27.260) ist somit 2 topt  ρH ¼ hopt  ρK

ð27:271Þ

bestimmt, womit dann auch topt

1 ¼ B 4

rffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffi ρH p  σzul ρK

ð27:272Þ

gegeben ist. Fall b: Vorgegebene Biegesteifigkeit des Tragwerks Für die Steifigkeit ist verlangt: 1 Berf ¼ BH ¼ EH  J ¼ EH  L  t  h2 : 2

ð27:273Þ

Hieraus folgt unmittelbar für eine Variable t¼2

Berf : EH  L  h2

ð27:274Þ

Wird diese in die Gewichtsgleichung eingesetzt, so kann das Eigengewicht angegeben werden als  G¼gBL

 4 Berf  ρ þ h  ρ H K : E H  L  h2

ð27:275Þ

Die andere Variable wird jetzt aus der Minimumforderung dG Berf ¼ 8  ρH þ ρK ¼ 0 dh E H  L  h3 bestimmt, und zwar zu

ð27:276Þ

27.33

Praxisbeispiele zu Kap. 24 „Schwingbeanspruchte Strukturen“

hopt

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Berf ρH 3 ¼2  : EH  L ρK

555

ð27:277Þ

Das Minimalgewicht kann so angesetzt werden als

Gmin

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Berf Berf p 3 3 3 3 2  ρH þ ρK þ 2  ρH þ ρK 2 ¼gBL EH  L EH  L rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Berf p 3 ¼gBL  3 ρH þ ρK 2 ð1 þ 2Þ: EH  L

ð27:278Þ

Es ist ersichtlich, dass das Gewichtsminimum unter der Forderung einer vorgegebenen Steifigkeit nur beim doppelten Gewichtsaufwand für den Kern zu erzielen ist. Somit besteht die Beziehung 1 hopt  ρK ¼ topt  ρH , 4

ð27:279Þ

woraus abzuleiten ist, dass

topt

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2ffi 3 ρ 1 Berf  K ¼ 2 EH  L ρH

ð27:280Þ

sein muss.

27.33 Praxisbeispiele zu Kap. 24 „Schwingbeanspruchte Strukturen“ Eine Zugstange zur Betätigung einer Bremseinrichtung in einem Verkehrsfahrzeug ist auf seine Nutzungsdauer hin zu kontrollieren. Die Beanspruchung ist weitestgehend stochastischer Natur. a) In der folgenden Auswertung (Überführung eines Beanspruchungsverlaufs in ein Amplitudenkollektiv) ist der Beanspruchungsverlauf schon idealisiert worden. Um eine Mittelspannung σm ¼ 0 pendelt eine Unter- und Oberspannung mit den dargestellten Spannungsausschlägen. Dieser Spannungsverlauf ist mittels Zählung in ein Kollektiv zu überführen. Das Kollektiv verwendet dabei nur die Spannungsausschläge σa in einer abfallenden Größenordnung.

556

27 Praxisbeispiele

a

2

o 90 N/mm

a1 a2

2

70 N/mm 2

50 N/mm

50 N/mm

m

a3

2

n1

n2

n3 Hü

t u

Die Auswertung kann hierbei in der folgenden Tabelle dargestellt werden: σai[N/mm2] ni[LW]

90 1  103

70 3  103

50 1, 1  104

b) Für den verwendeten Werkstoff (3.4377 T 761 AlZnMgCu) sind 50-%-Wöhlerversuche mit dem Probestab (αK ¼ 3, 6) durchgeführt worden. Die Aufzeichnung ist als Ausgleichskurve gezeigt. Der Kurvenverlauf wurde mit Geraden ausgemittelt.

300

2

log σa [N/mm ]

200

100 δ 50 σA

10 2 10

3

10

10

4

10

5

6

NG 10 log N

27.33

Praxisbeispiele zu Kap. 24 „Schwingbeanspruchte Strukturen“

557

c) Zur Bestimmung der Nutzungsdauer soll gemäß Gl. (24.9) bzw. (24.10) die einfache Miner-Regel

DK ¼

3 X ni N i i¼1

ð27:281Þ

bzw. P3 NR ¼

i¼1 ni 3 X

1  DK

¼

ni

 k 3 X ni σai NG σA i¼1

ð27:282Þ

i¼1

angewandt werden. Die Auswertung erfolgt dabei zweckmäßigerweise nach dem Schema der vorangegangenen Abbildung. Als erforderliche Zwischenwerte gilt es aber noch zu ermitteln: • die Dauerfestigkeit • die Grenzlastspielzahl • bzw. ein Fixpunkt

σA ¼ 25 N/mm2 NG ¼ 2, 4  106 LW N1 ¼ 18.500 LW σa1 ¼ 90 N/mm2

(ablesen) (ablesen) (ablesen) (ablesen)

Damit ergibt sich der Wöhlerlinienexponent zu k¼



log 1, 85  104 =2, 4  106 log ðN1 =NG Þ ¼ ¼ 3, 7984 log ðσa1 =σA Þ log ð90=25Þ

ð27:283Þ

Mit diesen Vorbetrachtungen kann dann die rechnerische Lebensdaueranalyse durchgeführt werden:  k  k ni i ni σai σai σ Ni ¼ NG ai Ni σA σA 1 1000 90 0,071875 18.500 0,05405 2 3000 70 0,020023 48.055 0,06243 Für die Schadenssumme findet sich DK ¼ 0, 18025, was einem Kollektivwiederholungsfaktor von wB ¼

1 ¼ 5, 548 DK

ð27:284Þ

entspricht. Aus der Anwendung von Gl. (27.282) erhält man weiter die Lastwechselzahlen bis zum technischen Anriss zu

558

27 Praxisbeispiele

NR ¼

15  103 ¼ 83218 0, 18025

LW:

ð27:285Þ

Nimmt man weiter an, dass ein Lastwechsel eine Sekunde dauert, so beträgt die Lebensdauer 23,1 Std.

27.34 Praxisbeispiele zu Abschn. 24.8 „Allgemeines Rissfortschrittsproblem“ Der in einem Tragwerk eingebaute Zuggurt, der mit einer sinusförmigen Schwellbeanspruchung von Δσ1 ¼ 100 N/mm2 belastet wird, ist ein Riss von ao ¼ 10 mm Länge entstanden. Mit wie viel Lastwechseln kann dieser Zuggurt noch bis zum Bruch beaufschlagt werden?

   2a

Werkstoffdaten: m p  2,7

a0

C p  2,264 10 12 für N mm 3/2 , mm

B

C p  2,540 10 11 für MPa m , m B  70 mm t  4 mm K Ic  4000 Nmm3 / 2

Gemäß den Ausführungen von Abschn. 24.8 kann dieses Problem mit der ParisGleichung gelöst werden, die hier wie folgt anzusetzen ist: ao

2mp 2

 ac

2mp 2

 NB ¼  h pffiffiffi  a imp mp  2 Cp Δσ1  π  Y B 2

ð27:286Þ

mit dem Korrekturfaktor    2  3  4 a a a a a Y ¼ 1, 12  0, 23 þ 10, 55  21, 72 þ 30, 39 : B B B B B

ð27:287Þ

27.34

Praxisbeispiele zu Abschn. 24.8 „Allgemeines Rissfortschrittsproblem“

559

Unbekannt ist in dieser Formel aber noch die kritische Risslänge ac. Unter Verweis auf Gl. (24.32) kann diese aber aus einer Überschreitungsrechnung der zyklischen Spannungsintensität ΔKI ¼ Δσ1 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a  π  aY B

ð27:288Þ

bestimmt werden. Dazu gilt es, die maximale Risslänge in Intervalle einzuteilen und zu angenommenen Risslängen die Korrekturfunktion und die Spannungsintensität zu bestimmen. Die Risslänge, bei der die Spannungsintensität die Bruchzähigkeit (KIc) überschreitet, kann als kritisch angesehen werden. Im vorliegenden Fall soll die kritische Risslänge mit ac ¼ 40 mm angenommen werden. a 10 20 30 35 38 39 40



Y Ba 1,2518 1,6114 2,2747 2,8269 3,2687 3,4385 3,6210

ΔKI 701,62 1277,33 2208,29 2964,26 3571,40 3806,11 4059,14

Trotz dieser Vorbetrachtung ist Gl. (27.286) nicht direkt lösbar, da sich diese Gleichung aus einer Integration (s. Gl. (24.37)) ergeben hat und weiterhin die risslängenabhängige Korrekturfunktion zu berücksichtigen ist. Hier muss also ein iterativer Lösungsweg gewählt werden. Die demnach anzusetzende Gleichung lautet: 2mp

2mp

2 a  ai 2  i1h N Bi ¼  : pffiffiffi ai imp mp  2 Cp Δσ1  π  Y B 2

ð27:289Þ

Die gesamten Lastwechsel bis zum Bruch enthält man aus der intervallweisen Addition zu NB ¼

n X

N Bi :

ð27:290Þ

i¼1

Für die Auswertung von Gl. (27.289) wird zweckmäßigerweise eine Tabellenform gewählt. Das Prinzip ist hierbei:

560

27 Praxisbeispiele

• Einteilen des Rissweges (von 10 bis 15 und 15 bis 20) bis ac in beliebige Abschnitte, • in der Mitte des Intervalls ai wird die Risskorrekturfunktion bestimmt, • Einsetzen dieser Welle in Gl. (27.289) somit • erhält man die Lastspielzahl, die erforderlich ist, einen Anfangsriss von 10 mm nach 15 mm etc. vorwärt zu treiben. Anfangsrisslänge

Endrisslänge

mittlere Risslänge

ai  1 10 15 20 25 30 35

ai 15 20 25 30 35 40

ai 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

Korrekturfunktion

Y aBi 1,3226 1,5012 1,7392 2,0648 2,5257 3,1882

Lastspielzahl NBi 29.764 13.281 6331 3031 1402 616 NB ¼ 54.425

Aus der Addition über den Rissverlauf lässt sich also prognostizieren, dass der Zuggurt vom Anfangsriss ausgehend noch mit NB ¼ 54.425LW beaufschlagt werden kann.

27.35 Praxisbeispiele zu Kap. 25 „Strukturzuverlässigkeit“ Bei heutigen Schienenfahrzeugen wird die Versorgungselektronik in Boxen auf den Dächern untergebracht. Im zu betrachtenden Fall sei eine Schraubenbefestigung in einer Parallel-Serienanordnung gewählt worden. Von Interesse ist die Abschätzung der Überlebenswahrscheinlichkeit und hierauf begründet der MTTF-Wert, um frühzeitige Inspektionsmaßnahmen ergreifen zu können.

27.35

Praxisbeispiele zu Kap. 25 „Strukturzuverlässigkeit“

561

M12

Im Blockdiagramm stellt sich die Schraubenverbindung (Anordnung der Verschraubung als Parallel-Serien-Schaltung) wie folgt dar:

S11

S12

FSA ( t )

FSE ( t ) S21

S22

Aus Versuchen ist bekannt, dass unter dynamischer Belastung eine Schraube eine Überlebenswahrscheinlichkeit von P€u ¼ 0, 9 aufweist. Die Überlebenswahrscheinlichkeit von zwei hintereinander geschalteten Schraubenreihen (S11/S12 bzw. S21/S22) ergibt sich somit zu P€u1 ¼ P€u11  P€u12 ¼ 0, 9  0, 9 ¼ 0, 81 und

ð27:291Þ

562

27 Praxisbeispiele

P€u2 ¼ P€u21  P€u22 ¼ 0, 81:

ð27:292Þ

Die parallelen Schraubenreihen haben hingegen eine Ausfallwahrscheinlichkeit von PA ¼ Pa1  Pa2 ¼ ð1  P€u1 Þ  ð1  P€u2 Þ ¼ ð1  0, 81Þ  ð1  0, 81Þ ¼ 0, 0361

ð27:293Þ

bzw. PU€ ¼ 1  PA ¼ 0, 964:

ð27:294Þ

Für die nähere Quantifizierung der Lebensdauer einer Schraubenverbindung kann die Weibull-Funktion angesetzt werden. Diese definiert die Zuverlässigkeit als PU€ ¼ eðTÞ

t b

ð27:295Þ

Aus der Umstellung von Gl. (27.295) erhält man

1 b ¼ Formparameter t ¼ T ℓn PU€ b , hierin T ¼ charakteristische Lebensdauer bei 63,2 % bezeichnet Ausfällen Im Experiment ist der Formparameter einer Schraubenverbindung mit b ¼ 7 (d. h. Dauerbruch) und die charakteristische Lebensdauer mit T ¼ 2  106 LW festgestellt worden. Zu der ausgewiesenen Überlebenswahrscheinlichkeit gehört somit eine Lebensdauer von 1

t ¼ 2  106 ðℓn 0, 964Þ7 ¼ 1, 25  106 LW:

ð27:296Þ

Nach dieser aufgebrachten Lastwechselzahl ist mit Dauerbrüchen zu rechnen.

27.36 Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Bestimmung von Impedanzen“ Die Eingangsimpedanz stellt die maßgebende Größe einer Leichtbaustruktur gegen anregende Kräfte dar. Im Weiteren werden für einige einfache Strukturelemente die Impedanzen bestimmt. Längs erregte elastischeStabstruktur Durch Längserregung eines elastischen Stabes werden lineare Wellen und somit Körperschall erzeugt. Die induzierte Oberflächenschwingung wird vom menschlichen Ohr als Luftschall wahrgenommen.

27.36

Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Bestimmung von Impedanzen“

563

, E A

F(x, t)

x

v(x, t)

Definition der Eingangsimpedanz: F ZE ¼ : v

ð27:297Þ

F¼σA

ð27:298Þ

σ ¼ ρ  cDeW  v:

ð27:299Þ

Im linear elastischen Fall gilt:

und für die Dehnwellenspannung

Damit findet sich die Eingangsimpedanz zu rffiffiffi E ZE ¼ ρ  cDeW  A ¼ ρ  A: ρ

ð27:300Þ

Biegeerregter elastischer Kragarm Vorausgesetzt sei hier ein langer Kragarm und punktuelle Einwirkung einer erregten Kraft. F ( x , t )  Fˆ e i  t

L, E J y

x v(x, t) z, w

Für dieses Problem ist die DGL der Biegeschwingung maßgebend, deren Herleitung als bekannt angenommen sei: € E  Jy  w00 00 ¼ μL  w:

ð27:301Þ

Diese DGL lässt sich mit dem Separationsansatz wðx, tÞ ¼ wðxÞ  eiωt

ð27:302Þ

564

27 Praxisbeispiele

lösen. Für die Körperwellenanregung ist aber die Schnelle entscheidend, weshalb die folgenden Umformungen nötig sind:   000 μ w ð xÞ  ω 2  L  wðxÞ ¼ 0: E  Jy

ð27:303Þ

Hierin ist die Schnelle an der Krafteinleitungsstelle einzusetzen, und zwar vðxÞ ¼ i  ω  wðxÞ,

ð27:304Þ

vðxÞ00 00 ¼ i  ω  wðxÞ00 00 :

ð27:305Þ

Aus der Ausgangs-DGL folgt somit: i  ω  wðxÞ

00 00

  2 μL iω ω  w ð xÞ ¼ 0 E  Jy

ð27:306Þ

bzw.   μ vðxÞ00 00  ω2 L  vð xÞ ¼ 0 E  Jy oder vðxÞ00 00  a4  vðxÞ ¼ 0:

ð27:307Þ

Die eingeführte Konstante ergibt sich zu  a4 ¼

ω2 

μL E  Jy

 

ω2 1 ¼ ω4  4 ¼ cB ω2

 4 ω : cB

ð27:308Þ

Die DGL (11) hat die bekannte Lösung vðxÞ ¼ A  eiax þ B  eax ,

ð27:309Þ

wobei noch beim Kragarm die beiden Randbedingungen an der Stelle x ¼ 0 zu erfüllen sind:

27.36

Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Bestimmung von Impedanzen“ 2

M b ð 0Þ ¼ 0

E  Jy 

und sonst

∂ w ð 0Þ ¼0 ∂t2

2

bzw:

3

Qð0Þ ¼ F

bzw: E  Jy 

∂ wð0Þ ¼F ∂x3

565

∂ vð 0Þ ¼ 0, ∂x2

ð27:310Þ

3

bzw: E  Jy 

∂ vð0Þ 1  ¼ F: ∂x3 i  ω

ð27:311Þ

Aus der ersten Randbedingung folgt: 2

∂ vð0Þ ¼ i2  a2  A  eia0 þ a2  B  ea0 ¼ 0 ∂x2 A þ B ¼ 0

ð27:312Þ

und aus der zweiten Randbedingung folgt: 3

∂ vð 0Þ i  ω  F ¼ E  Jy ∂x3 i3  a3  A  eia0  a3  B  ea0 ¼ iAB¼

iωF E  Jy

ð27:313Þ

iωF : E  J y  a3

Somit ergibt sich A¼B

ð27:314Þ

und A¼

ω F  , ð1 þ iÞ E  Jy  a3

ð27:315Þ

d. h., die angepasste Lösung lautet: vð xÞ ¼

iax

ωF e þ eax : 3 ð1 þ iÞ  E  Jy  a

ð27:316Þ

Damit lässt sich auch die Schnelle an der Anregungsstelle x ¼ 0 ermitteln zu vð0Þ ¼

2ωF : ð1 þ iÞE  Jy  a3

ð27:317Þ

Erst nach dieser Zwischenbetrachtung kann die Eingangsimpedanz eines angeregten Kragarms bestimmt werden zu

566

27 Praxisbeispiele

ZE ¼

ð1 þ i Þ ð1 þ i Þ F  E  Jy  a3 ¼  μ L  cB : ¼ 2ω 2 vð 0Þ

ð27:318Þ

Die am Kragarm hergeleitete Lösung lässt sich unmittelbar übertragen auf einen beidseitig eingespannten Balken, wenn dieser in der Mitte geschnitten wird. F( x , t )  Fˆ ei  t

x z,w v(x, t)

Für die Balkenkräfte sind dann die Randbedingungen an der Stelle x ¼ 0 wie folgt definiert: F Q ð 0Þ ¼ , 2 Balkenneigung ϕð0Þ ¼ 0,

3

E  Jy 

∂ vð0Þ 1 F ¼ ,  ∂x3 i  ω 2

∂wð0Þ ¼0 ∂x

bzw:

∂vð0Þ 1  ¼ 0: ∂x i  ω

ð27:319Þ ð27:320Þ

Hieraus können wieder die Konstanten des Lösungsansatzes zu A¼

ωF 4 E  J y  a3

ð27:321Þ

und B¼

iωF 4 E  J y  a3

und somit der Lösungsansatz bestimmt werden zu vðxÞ ¼

iax

ωF e  i  eax : 3 4 E  Jy  a

Damit findet sich wieder die Schnelle an der Krafteinleitungsstelle

ð27:322Þ

27.36

Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Bestimmung von Impedanzen“

vð 0Þ ¼

ð1  iÞ  ω  F : 4 E  J y  a3

567

ð27:323Þ

Für die Eingangsimpedanz des eingespannten Balkens kann somit angegeben werden: ZE ¼

2ð 1 þ i Þ ¼ E  Jy  a3 ¼ 2ð1 þ iÞ  μL  cB : ω

ð27:324Þ

Man erkennt, dass die Eingangsimpedanz des eingespannten Balkens viermal größer ist, als die des Kragarms. Die Phasenverschiebung zwischen Kraft und Schnelle beträgt π/4. Erst mit Kenntnis der Abhängigkeiten können in der Praxis Maßnahmen zur Geräuschreduzierung getroffen werden. Biegeanregung elastischer Platten Der mathematische Aufwand zur Impedanzberechnung bei zweidimensionalen Strukturen ist deutlich größer, als die gezeigte Herleitung für den Balken. Es sollen daher für dünne Platten nur Endgleichungen unter zwei Anregungen (Mitte, Rand) angegeben werden. Die Kraftanregung erfolgt in Plattenmitte und alternativ am Rand. t

x y

F(x, t)

F(x, t)

z, w v(x, t)

v(x, t)

B ,  ,  A    t

Für die mechanische Eingangsimpedanz der mittig angeregten Platte findet sich ZE ¼ 8

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ρ  t  B  2, 3 cDeW,

 ρ  t2  12, 5  103  ρ  t2

ð27:325Þ

 ρ  t2  5, 42  103  ρ  t2 :

ð27:326Þ

Pl

und für die randerregte Platte ZE ¼ 2, 3

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ρ  t  B  cDeW,

Pl

Eine weitere Kenngröße zur Beurteilung der akustischen Struktureigenschaften stellt die dynamische Masse dar. Diese charakterisiert den Widerstand einer Struktur gegenüber äußeren Erregerkräften. In der folgenden Auflistung sind einige dynamische Massen zusammengestellt worden.

568

27 Praxisbeispiele

Strukturelement • kompakte Masse • Feder • Dämpfer • Stab • Balken • Platte

dynamische Masse mb ¼ m k mb ¼ 2 ω d mb ¼ ω pffiffiffiffiffiffiffiffi ρEA mb ¼ ω pffiffiffiffiffi pffiffi EJ 2 2ρA 4 ρAb pffiffiffi mb ¼ ω qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mb ¼

8

Et3 ρt 12ð1ν2 Þ

Kraftanregung

längs angeregt beidseitig eingespannt, Anregung in der Mitte punktförmige Anregung in der Plattenmitte

ω

Abschätzung der Eingangsimpedanz mit dem λ/4-Verfahren Mit dem zuvor eingeführten Zusammenhang zur dynamischen Masse lässt sich auch die Eingangsimpedanz einfacher dünnwandiger Strukturen abschätzen. Man kann den Zusammenhang ~b  ω jZE j  m

ð27:327Þ

als Ausgleichsgerade eines Impedanz-Frequenz-Spektrums auffassen, welches in der Lite~ b wird hierbei an ratur als λ/4-Verfahren /HEN 99/ bekannt ist. Die dynamische Masse m der Krafteinleitungsstelle innerhalb eines gedachten Kugelradius mit λ/4 idealisiert. Mit λ ist hierbei die maßgebliche Wellenlänge aus der Beanspruchung gemeint. In den meisten Fällen kann die Biegewellenlänge λB ¼ cB/f zugrunde gelegt werden. Bei der Übertragung auf längs erregte Stabstrukturen oder Fundamente hat sich hingegen die Schubwellenlänge λQ ¼ cQ/f als zutreffender erwiesen. An einem kleinen Zahlenbeispiel, wie die mittig angeregte dünne Stahlplatte, soll der vorstehende Ansatz einmal ausgewertet werden. Zuvor ist die Impedanz (s. Gl. 27.325) angegeben worden als ZE ¼ 12, 5  103  ρ  t2 98, 13  t2 : Die Plattendaten mögen sein: ρ ¼ 7:850 kg=m3 , t ¼ 2 mm, cDeW, womit für die exakte Impedanz gilt:

Pl

¼ 5:422 m=s,

ð27:328Þ

27.37

Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Impedanz bei Schwingungsisolierung“

ZE ¼ 392, 5

569

kg : s

Nach dem λ/4-Verfahren entspricht die Masse innerhalb einer gedachten Kugel genau der Masse einer Kreisplatte mit dem Radius λB/4. Somit ergibt sich für die dynamische Masse  2 λ ~ b ¼ ρ  B  π  t: m 4

ð27:329Þ

Die Biegewellenlänge ist im Abschn. 26.2 angegeben worden mit c λB ¼ B ¼ 1, 35 f

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cDeW, Pl  t : f

ð27:330Þ

Damit kann die Impedanz abgeschätzt werden zu ~ b  ð2π  f Þ jZE j ¼ m  ρ 1, 352  cDeW, ¼ 16

Pl



 t kg  ð2π  f Þ ¼ 382, 41 : f s

Der Fehler beim einfachen Plattenproblem beträgt somit 2,6 % und hiernach klein.

27.37 Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Impedanz bei Schwingungsisolierung“ In vielen Situationen lässt sich die Geräuschproblematik durch Entkopplung des Erregers beeinflussen. Vereinfacht kann dies an den beiden Fällen der starren und elastischenAnkopplung einer schwingfähigen Struktur gezeigt werden. In der Abbildung ist die Kraftanregung von Strukturen prinziphaft bei einer starren Masse dargestellt, die an einer Platte angekoppelt werden soll.

570

27 Praxisbeispiele

a) Fall mit starrer Ankopplung

b) Fall mit elastischer Ankopplung

F1

F1

m 1 , Z1

m 1 , Z1 v1

v1

F2n

F2 v v1

Z2

Z3 d

k

v 2n

F2n

Z2

v2v v 2n

Die beiden gezeigten Fälle lassen sich mittels der übertragbaren Wechselkräfte F2v bzw. F2n (vor bzw. nach der Isolierung) und der jeweiligen Schnelle v2v bzw. v2n bewerten. Für den Fall der starren Ankopplung ergeben sich: • Impedanz und Schnelle

Z1 ¼

F1  F2v v1

ð 1Þ ! v1 ¼

F1  F2v , Z1

ð27:331Þ

F2v v2v

ð3Þ ! v2v ¼

F2v , Z2

ð27:332Þ

Z2 ¼

• Bedingung für die Schnelle bei starrer Ankopplung

v1 ¼ v2v : Aus Gl. (27.333) folgt nach Gleichsetzung und Umstellung

ð27:333Þ

27.37

Praxisbeispiele zu Abschn. 26.5 „Impedanz bei Schwingungsisolierung“

571

F1 Z 1þ 1 Z2

ð27:334Þ

F1 : Z1 þ Z2

ð27:335Þ

F2v ¼

und v2v ¼

Da in der Praxis meist nur Extrema interessieren, kann vorstehend auch mit Beträgen |F1|, |F2v|, |v2v| operiert werden. Die eingehenden Impedanzen sind zuvor auch schon bestimmt worden, wie beispielsweise • die Massenimpedanz Z1 Zm ¼ i  m1  ω oder • die Plattenimpedanz Z2 ¼ 8

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ρ  B  t:

Im Fall der elastischen Ankopplung ergeben sich analog zum schon gelösten Fall • Impedanzen

Z1 ¼

Z3 ¼

F1  F2n , v1

ð27:336Þ

F2n , ðv1  v2n ¼ Relativgeschwindigkeit im AnkopplungselementÞ, v1  v2n ð27:337Þ

Z2 ¼ Nach Umformung folgt hieraus

F2n : v2n

ð27:338Þ

572

27 Praxisbeispiele

1  F2n ¼ F1   Z1 Z1 1þ þ Z2 Z3

ð27:339Þ

und v2n ¼

F1  Z2

1 : Z1 Z1 1þ þ Z2 Z3

ð27:340Þ

Das hierin eingehende Ankopplungselement (Feder-Dämpfer) ist mit seiner Impedanz auch schon entwickelt worden zu Z3 ¼

k þ d: iω

Literatur [HAB 08] Habenicht, G.: Kleben – erfolgreich und fehlerfrei, 6. Aufl. Vieweg+Teubner, Wiesbaden (2012)

Stichwortverzeichnis

A Abminderungsfaktor 338, 339 Airy’sche Spannungsfunktion 478 Akkumulation 398, 418 Aluminium 62, 63, 67, 70, 74, 76, 89, 90, 235, 237, 322 Aluminium-Verbundwerkstoff 89 Amplitudenkollektiv 390, 391 Ankopplung 569 Ankopplungselement 572 Anriss 397, 399, 407, 415 Arbeit, virtuelle 217 Arbeitssatz 220, 222 Ausfalldichte 432 Ausfallrate 430, 431, 432, 433, 434 Ausfallsicherheit 388 Aushärtung 64, 346 Ausreißer 402 Ausschnitt 211 B Badewannenkurve 432 Balken 52, 218, 220, 222, 261, 310, 371 Balkenkräfte 566 Baustahl 59, 61 Bauteilprüfung 20 Bauweise 2, 18, 37, 98 Beanspruchungsverlauf 212, 390, 393 Bedingungsleichtbau 39 BEM 18 Betriebskosten 8, 455 Betriebssicherheit 363 Beulfälle 281, 283

Beulgleichung 280, 281 Beulspannung 197, 198, 284, 295, 299, 373 Beulwert 284, 285, 286, 287, 288, 290, 296, 302, 319, 525 Beulwiderstand 310 Beulzahl 465 Bezugsknickspannung 283 Biegedrillknicken 534 Biegeknickung 249, 262, 264 Biegeschwingung 563 Biegesteifigkeit 206, 241, 295, 297 Biegewelle 442 Biegewellengeschwindigkeit 442 Biegewellenlänge 568, 569 Bleche 37, 149, 192, 194, 205, 307, 334, 342, 345, 356, 365 Blechstreifen 298, 299, 301, 310 Bodengruppe 516 Bördelung 302, 304, 319 Boole’sches Modell 426 BREDT’sche Formel 161 Bruchdehnung 47, 78, 85 Bruchfestigkeit 55, 78 Bruchkriterium, statisches 409 Bruchmechanik 387 Bruchverhalten 394 Bruchzähigkeit 20 C CAO-Methode 381 C-Faser 86 Clinchen 333 Crashboxen 293 Crashgeschwindigkeiten 443

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 B. Klein, T. Gänsicke, Leichtbau-Konstruktion, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26846-6

573

574 D Dämpfungsimpedanz 446 Dauerfestigkeit 44, 61, 74, 363, 388, 396, 397, 400 Dehnsteifigkeit 236, 240 Dehnwelle 440 Dehnwellengeschwindigkeit 440, 443 Dehnwellenspannung 563 Deviationsmoment 106, 179, 181 Dichte 48, 55, 68, 69, 76, 77, 89, 237, 258 Dichtefunktion 433, 434 Dichtewelle 441 Dichtewellengeschwindigkeit 441 Differenzialbauweise 32 DMS 20 Doppelreihenansatz 539 Drehpunkt 194, 207 Drillung 155, 157, 270 Druckstab, exzentrischer 531 Dünnwandigkeit 104, 135, 323 Durchsetzfügen 333, 365 E Eigenbiegesteifigkeit 239, 241 Eigenfrequenz 447, 449 Eigenkreisfrequenz 447 Eigenschaftsvariabilität 235 Eigenwert 527 Eingangsimpedanz 438, 445, 563, 565 Einleitungsgurt 328, 329, 330 Einnahme 7 Einstückigkeit 62 Einstufenkollektiv 390 Elastizität 115, 354, 361 Elastizitätsgrenze 43 Elastizitätsmodul 42, 55, 114, 123 Energieabsorption 468 Energiesatz 219, 220 Entkopplung 569 Erleichterungslöcher 547 Ermüdungsfestigkeit 425 Ersatzmodell 205 Extrapolation 391 F Faltung 199 Falzen 365 Faser 47, 77, 79, 89 Faservolumengehalt 80

Stichwortverzeichnis Federimpedanz 446 Feinblech 60 Feinkornstahl 60 FEM (Finite-Elemente-Methode) 18, 84 Fertigungsleichtbau 38 Flächenmoment 105 Flächenträgheitsmoment 98, 148, 174, 192, 267, 268, 310, 311 Flächentragwerk 104 Fließgrenze 55 Formänderungsarbeit 505 Formänderungsenergie 117, 118, 200, 201, 209, 218, 219 Formänderungsvermögen 467 Formleichtbau 38 Fortpflanzungsgeschwindigkeit 440 Frequenzdispersion 442 Fußpunkterregung 438 G Gesamtarbeit 217, 221 Gesamtenergie 201 Gesamtgewicht 9 Gestaltungsprinzipien 473 Gewichtsfunktion 373, 375, 454 Gitterstruktur 453 Gleitmodul 114, 123, 156, 250, 252 Grenzgeschwindigkeit 458 Gütekennzahl 50 Gurte 37, 149, 191, 195, 205, 294, 323, 328 Gusslegierung 65, 70

H Häute 121, 235, 236, 239, 241, 244, 246, 257, 258 Haibach 398, 400, 401, 402 Halbwellenlänge 257, 287, 293 Harz 85, 86 Hauptachsensystem 108, 181 Hauptspannung 198 Hautbereich 245 I Impedanz 444, 568 Ingenieurkosten 6 Ingenieurskonstant 84

Stichwortverzeichnis Instabilität 73, 121, 256, 279, 302, 310, 316 Instabilitätsgrenze 98 Integralbauweise 33 K Kaltverfestigung 59 Kastenprofil 146, 148 Kastenträger 206, 207, 211, 212 Kerbe 406 Kerbempfindlichkeit 69 Kerbschärfe 74 Kernschicht 239, 243 Kleben 345, 347, 360, 362, 363, 364 Kleber 244, 349 Klebstoff 346, 347, 349, 351, 363 Knetlegierung 64, 65 Knicklast 267, 312 Knickmodul 274, 275 Knickspannung 257, 275, 376 Knickstütze 465 Knickung 51, 262, 267, 268, 270, 283, 290 Knittern 258 Kollektiv 391, 394, 398, 399, 400, 420 Kollektivform 394 Kontinuumstheorie 81 KONTOPT 384 Konzeptleichtbau 39 Koppelsteifigkeitsmatrix 83 Körperschall 437, 445, 562 Körperschallpegel 450 Körperwelle 443 Körperwellenanregung 564 Korrekturfunktion 407, 417 Kostenmodell 7 Krafteinleitung 95, 141, 237 Krafterregung 438 Kraftflus 139 Kraftfluss 437 Kraftumlenkung 473 Kraftverlauf 331 Kragarm 563 Kragbalken 52, 219, 223 Kragscheibe 477 Krümmung 98 Kunststoff 75, 86 faserverstärkter 235

575 L Längsbimoment 169 Längsträger 443 Laminat-Steifgikeitsmatrix 83 Laminattheorie, klassische 82 Laserschweißen 340 Lebensdauer, mittlere 432 Lebensdauer 387, 429, 433 mittlere 429 Lebensdaueranalyse 557 Leichtbau, optimierter 1 Leichtbaugrad 6 Leichtbaugüte 24 Leichtbaukennzahl 51, 52 Leichtbauökonomie 28 Leichtbauprinzip 26 Leichtbaustrategie 25, 37 Leichtbauweise 26, 333 Leichtbauzusatzkosten 9 Lochleibung 336, 338 Luftschall 437, 438, 562 M Magnesium 69 Mantellinie 155 Masse, dynamische 567 Massenimpedanz 446, 571 Matrix 47, 78, 79 Mindeststeifigkeit 296, 297 Miner-Regel 557 Mission 7 Mittelgurt 294 MMC (Metal Matrix Composites) 91 Momentenlinie 221 Momentenverlauf 222 Multi-Skalen-Modell 81 N Netztheorie 81 Nieten 333, 362, 364 Normalkraftfluss“ 138 Normalkraftfluss 141, 143, 148, 149, 178, 181, 483 Normalspannungsgradient 243 Nullkraft 229, 230 Nullmoment 229 Nutzlast 7, 9 Nutzungsdauer 397, 401, 402, 404, 420, 555

576 O Oberflächenschwingung 562 Optimalitätsverfahren 373 Orthotropie 250 P Palmgren-Miner-Hypothese 399 PAN-Fasern 86 Parallelanordnung 426 Partialdurchsenkung 246 Plattenbiegung 279 Plattenimpedanz 571 Plattenstab 542 Plattensteifigkeitsmatrix 82 Plattenstreifen 546 Pneumatisierung 93 Proben-Wöhlerlinie 394, 396 Profilbeule 298 Profilstab 135, 151, 169 Proportionalitätsgrenze 42, 272 Punktschweißen 342 Punktschweißkleben 342 Punktschweißklebung 343 Q Quadratprofil 373 Querkontraktion 44 Querkraftbiegung 147, 149, 241 Querkraftfluss 477 Querkraftverlauf 181 Querrippen 502 R Rahmenprofil 484 Rahmenstruktur 228 Rahmentragwerk 226 Randfaserabstand 181 Raumtragwerk 105 Reihenfolgeeffekt 420 Reinaluminium 63 Reißlänge 49, 50 Reservefaktor 340 Riss 407, 413, 414 Rissbruchzähigkeit 409 Rissgeometrie 408, 410

Stichwortverzeichnis Risskollektiv 419 Risslänge, kritische 412, 416 Rissverlauf 560 Rohre 486 Rohrquerschnitt 148 Rollen 367 S Satz von Castigliano 508 Schadensakkumulation 397 Schadenslinie 419 Schadenstoleranz 12 Schädigungshypothese, nichtlineare 421 Schädigungsparameter 422 Schädigungstheoreme 423 Schale 104, 132, 361 Schalensystem 36 Schallabstrahlung 443 Schallquelle 437 Schaumaluminium 68 Scheibe 104, 112, 124, 197, 280, 284, 285, 288, 294, 295, 296, 328, 330, 331, 357, 407 Scheibengleichung 121 Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix 82 Scheibensteifigkeitsmatrix 82 Scherbruch 336 Scherung 338, 342, 348 Schlankheitsgrad 272 Schnelle 438, 570 Schubbeanspruchung 155, 197, 326 Schubfeld 196, 199, 200, 324 Schubfluss, rückdrehender 151 Schubkraftkomponente 242 Schubmittelpunkt 143, 145, 146, 149, 169, 191, 192, 262, 481 Schubspannung, mittlere 349 Schubsteifigkeit 48, 243, 250, 252, 253, 254, 255, 256 Schubverzerrung 150 Schubwandträger 187, 191 Schubwandträgermodell 239 Schubwelle 441 Schubwellengeschwindigkeit 441 Schubwellenlänge 568 Schweißen 32, 69, 70, 316, 345, 362, 364 Schwellbeanspruchung 558

Stichwortverzeichnis Schwerpunkt 3, 106, 146, 179, 192 Schwerpunktkoordinate 182 Schwerpunktsatz 182 Schwingfestigkeit 344, 362 Separationsansatz 563 Serienanordnung 428 Serien-Parallelanordnung 429 Sicherheit 5 Sicherheitsbegriff 101 Sickenstruktur 315 Sondergießverfahren 66 Spannungsansatz 113 Spannungsintensität, zyklische 413 Spannungskoeffizient 178 Spannungsüberhöhungsfaktor 354 Spannungsverteilung 106, 156, 163, 174, 241, 349, 381 Spante 515 Stab 104, 120, 197, 214, 218, 263, 264, 265, 272, 295 Stabilitätswiderstand 49 Stabstruktur 562 Stahl 2, 46, 74, 272, 365, 396 Stanzniete 333, 337 Stege 143, 320 Stoffleichtbau 38 Stringer 515 Strukturgewicht 9 Strukturkennwert 373 Stützwirkung 98, 299, 302 Superleichtlegierung 76 Superpositionsprinzip 180, 221 Systemkosten 8 T Tailored Blanks 98, 341 Tangentenmodul 258, 272 Teilschädigung 422 Titan 60, 72, 73, 74 Torsion 20, 155, 163, 172, 212, 262, 268, 312 Torsionsflächenmoment 163, 165 Torsionsmoment 120 Torsionssteifigkeit 156, 294, 318 Torsionstheorie 155 Torsionswelle 441 Torsionswellengeschwindigkeit 441 Torsionswiderstandsmoment 162

577 Trägheitsmoment 108 Tragfähigkeit 301, 302, 307, 323, 342, 373 Transversalwelle 440 Transversalwelle 443 Tubuskern 255 U Überhöhungsfaktor 353 Überlebenswahrscheinlichkeit 363, 426, 430, 431 Überschreitungswahrscheinlichkeit 393 Umlaufkoordinate 182 V Verbundprinzip 235 Verdrehwinkel 161 λ/4-Verfahren 568 Vergrößerungsfaktor 9 Verlappen 365 Verlauf, regelloser 390 Verlustfaktor 450 Versagen 47, 387, 390, 407 Versagenshypothese 84, 339 Verschiebung 111, 112, 115, 127, 163, 220, 221, 229, 231, 352, 384 Versteifung 79 Versteifungen 107, 108, 307, 308, 315, 323 Verwerfung 168 Verwölbung 155, 156, 159, 164, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 489 unbehinderte 160 Verzerrung 112 Verzerrungen 111, 112, 113, 116, 117 Vollquerschnitt 96, 375 Vollwandsystem 37 Vorspannung 443 W Wabenstruktur 258 Wärmeausdehnungskoeffizient 55, 384 Wärmebehandlungsverfahren 59 Wechselkräfte 570 Wellen 562 Wellenlänge der Beulung 257, 298, 299 Werkstoffkosten 8

578 Wöhlerlinie 397, 401, 405, 406 Wöhlerversuch 394 Wölbbehinderung 495 Wölbfunktion 171 Wölbkrafttorsion 170, 171 Wölbproblematik 278 Wölbwiderstand 169, 172, 174, 175, 176, 268, 277

Stichwortverzeichnis Z Zeitbruchgrenze 44 Zeitdehngrenze 44 Zelle 207, 209, 210, 211, 212, 213 Zugstange 473 Zuverlässigkeit 344, 387, 429, 432 Zweizellensystem 490 Zwischenstege 165, 166