Lehrgang der Höheren Mathematik - Teil III/2 [III/2, 13 ed.] 3326000472

Table of contents :
Titelseite
Vorwort zur 4. Auflage
Inhaltsverzeichnis
Kap. I. Anfangsgründe der Funktionentheorie
Kap. II. Konforme Abbildung und ebene Felder
Kap. III. Anwendung der Residuentheorie; ganze und gebrochene Funktionen
Kap. IV. Funktionen mehrerer Veränderlicher und Funktionen von Matrizen
Kap. V. Lineare Differentialgleichungen
Kap. VI. Spezielle Funktionen der mathematischen Physik
§ 1. Kugelfunktionen und LEGENDREsche Funktionen
§ 2. Die BESSELschen Funktionen
§ 3. Die HERMITEschen und LAGUERREschen Polynome
§ 4. Elliptische Integrale und elliptische Funktionen
Anhang
Reduktion von Matrizen auf kanonisohe Form
Literaturhinweise der Herausgeber
Sachverzeichnis

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Titel der Originalausgabe:

u, H.

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111, Mocaaa-Jlexanrpan t 949

Hypc Bblcweß MBTeMBTlfKlI, TOI\I

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2

Die Ausgabe in deutscher Sprache (nach der 5. russischen Auflage) besorgten: Lothar Uhlig (Übersetzer), Helene Suchlandt (Wissenschaftliche Redaktion)

ISBN 3-326-00047-2

ISSN 0073-2842 ® der deutachsprachigen Ausgabe: 1955 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, DDR-1080 Berlin, Postfach 1216 . Lizenz-Nr. 206 . 435/75/87 Printed in the German Democratic Republic Satz: Druckhaus Einheit Leipzig 111/18/211 Fotomechanischer Nachdruck und buchbinderische Verarbeitung: VEB Druckerei H Themas MüntzerU , 5820 Bad Langensalsa LSV 1034 Bestellnummer: 5693947 02480

IN HALTSVE RZ EI CHNI S

Kap. I . .AIüangsgrOnde der Funktionentheorie

1. Funktionen einer komplexen Veränderlichen................ 2. Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Konforme Abbildung.................................................. 4. Das Integral 5. Der CAUCHYsche Integralsatz 6. Die fundamentalen Formeln der Integralrechnung 7. Die CAUCHYsche IntegralformeI. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 8. Integrale vom CAUCHYschen Typ................................... . . .. 9. Folgerungen aus der CAUCHYschen Formel 10. Isolierte singuläre Punkte................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern............................ 12. Satz von WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Die TAYLORBche Reihe................................................ 15. LAURBNTsche Reihen................................................. 16. Einige Beispiele. . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ... . . . . . . . .. 17. Isolierte singuläre Punkte. Der unendlich ferne Punkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Analytische Fortsetzung ._. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Beispiele mehrdeutiger Funktionen..................................... 20. Singuläre Punkte analytischer Funktionen und RIEJUNNsche Flächen. . . . . 21. Der Residuensatz 22. Sitze über die Anzahl der Nullstellen 23. Umkehrung von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Das Spiegelungsprinzip 25. TAYLORBche Reihen auf dem Rande des Konvergenzkreises 26. Der Hauptwert eines Integrals .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. Der Hauptwert eines Integrals (Fortsetzung) 28. CAUCHYsC'he Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

1 6

10 13 15 18 20 25 27 29 31 33 36 37 40 43 47 50 56 63 66 69 72 75 78 80 84 88

Kap. II. Konforme Abbildung und ebene Felder 29. Konforme Abbildung . 30. Die lineare Abbildung . 31. Die allgemeine lineare Abbildung . 32. Die Funktion tD = ,,1 . 33. Die Funktion w = ~(z + }) . 34. Zweieck und Streifen .................................................• 35. Hauptsatz der Theorie der konformen Abbildung . 36. Die CHRISTOFFEIBohe Formel .....•.••.•.••............................ 37. Einig~ Spezialfille . 38. Das Außere eines Vielecks ............................................•

95

98 99 107

108 111 113 115

122 125

VIII

Inhaltsverzeichnis 39. Minimaleigenschaft der Abbildung auf den Kreis 40. Das Verfahren der konjugierten trigonometrischen Beihen , 41. Die stationäre ebene Flüssigkeitsströmung 42. Beispiele , 43. Das Problem der Umströmung . . . . . . . . . . . . . . .. 44. Die Formel von JOUKOWSKI 45. Das ebene elektrostatische Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. Das ebene Magnetfeld 48. Die SCHWARZSehe Formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. Der Kem ctg' -; , 50. Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. SI. Die biharmonische Gleichung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. Die Wellengleichung und analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. Hauptsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. Beugung ebener Wellen 55. Reflexion von elastischen Wellen an geradlinigen Begrenzungen

127 130 137 139 142 143 145 147 ISI ISI 154 IS7 161 164 166 171 17S

Kap.II!. Anwendung der Residuentheorie; ganze und gebrochene Funktionen 56. Das FREsNELsche Integral .. .. .. . .. . • . .. .. .. . . . . . . . . . . .. .. . . . . .. . . . . 57. Integration von Ausdrücken mit trigonometrischen Funktionen 58. Die Integration einer rationalen Funktion · .. ·· 59. Einige neue Integraltypen mit trigonometrischen Funktionen .....•....... 60. :Lemma von JORDAN ..................................•..........••... 61. Darstellung einiger Funktionen durch Kurvenintegrale ................•••. 62. Beispiele von Integralen mehrdeutiger Funktionen ..............•.......• 63. Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .....................................................•..• 64. Partialbrnchzerlegung einer meromorphen FU:rJ;ktion ....................•.• 65. Die F'unktion ctg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. Die KonstruktioD. meromorpher Funktionen 67. Ganze FunktioneD. ...................................................• 68. Unendliche Produkte ............................................•.•... 69. Konstruktion einer ganzen Funktion aus ihren Nullstellen . . . . . . • . . . . . . . .. 70. Integrale, die von einem Parameter abhängen . . . . . . . • • . . . . . • . . . . . . . . . . .. 71.])ieInte~dalBtellungder G~ion

72. ])ie EULEBscheBetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 73. Das unendliche Produkt für die Funktion [F(z)]-l . . . . . . . . • • . • . . . . . . . . . . .. 74. Darstellung von F(z) durch ein KurvenintegraJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7S. Die STIRLJNOsche Formel 76. Die EULEBscbe Summenformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. Die BERNOULLIsohen Zahlen ........................••...........•...... 78. Die Methode des größten Gefilles . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . • . . • • • . • . . . . . . . . .. 79. Abtrennung des Hauptbestandtei1es eines Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. Beispiele ...........................••••••..•..••.••••••.•.•.........•

181 183 184 186 189 190 194 198 202 205 208 209 211 214 217 219 223 225 230 232 237 240 242 244 250

Kap. IV. Funktionen mehrerer Veränderlicher und Funktionen von Matrizen 81. Regulire Funktionen mehrerer Veränderlicher .........•..............•.• 82.])as Doppelintegral und die CAUCBYsche Formel .................•••..••• 83. Potenzreihen .................................•......... . . . . . . . . . . . . .• 84. Analytische Fortsetzung. . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . • . • . • . . . . . . . . . . ••

2ö9 2ö9 261 268

Inh<sverzeichnis 85. Funktionen von Matrizen. Einführende Begriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. Potenzreihen einer Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. Multiplikation von Potenzreihen. Umkehrung von Potenzreihen 88. VVeitere Jronvergenzuntersuchungen 89. Interpolation von Polynomen ............................•............. 90. Die CAYLEYsche Identität und die SYLVESTERSche Formel 91. Analytische Fortsetzung , 92. Beispiele mehrdeutiger Funktionen 93. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 94. Funktionen mehrerer Matrizen

IX 268 269 272 275 278 280 282 284 287 292

Kap. V. Lineare Differentialgleichungen 95. Entwicklung von Lösungen in Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. Analytische Fortsetzung einer Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. Die Umgebung eines singulären Punktes 98. Au.ßerwesentlich singuläre Punkte •..................................... 99. Differentialgleichungen der FucBS8chen Klasse 100. Die GAusS8che Differentialgleiohung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101. Die hypergeometrische Reihe 102. Die LEGBNDRBsohen Polynome. . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103. Die JAcoBIschen Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104:. Konforme Abblldung und GAussache Differentialgleichung. . . . . . . . . . . . . . .. 105. VVesentIich singuläre Punkte .......•.................................... l06.As~ptotische ~twicklungen

107. Die LAPLACE-Transformation 108. Verschiedene Wahl der Lösung 109. As~ptotische Darstellung einer Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110. Vergleich der erhaltenen Resultate 111. Die BE88ELsohe Differentialgleiohung 112. Die HANXELsohen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113. Die BE88ELschen Flunktionen 114. Die LAPLACB-Transformation in allgemeineren }'ällen 115. Die verallgemeinerten LAGuB.RREBohen Polynome 116. Positive Parameterwerte•.............................................. 117. Eine ~tartung der GAu88schen Düferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 118. DUferentiaJgleichungen mit periodisohen Jroeffizienten 119.~aJytisobe Jroeffizienten 120. Systeme linearer DUferentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121.AußerwesentIichBin~ Punkte 122. Reguläre DifferentiaJgleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123. Darstellung einer Lösung in der Umgebung eines singulären Punktes. . . . . .. 124. Kanonische Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126. Der Zusammenhang mit den regulären Lösungen vom FucBS8chen Typ . . .. 126. Der Fall beliebiger U, •....•...•••.•••.•.•........•....•..•............ 127. Die Entwioklung in der Umgebung eines wesentlich singulären Punktes 128. ~twick1ungen in gleichmäßig konvergente Reiben

295 299 300 304: 311 314 316 320 326 330 334 337 340 342 346 350 351 355 359 360 362 365 367 369 375 376 378 381 387 390 393 394 397 404

Kap. VI. Spezielle Funktionen der mathematischen Physik § 1. Kugelfunktionen und LBGBNDRBBche Funktionen

411

129. Definition der Kugelfunktionen 411 130. Explizite Ausdrf1cke der Kugelfunktionen • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 413

Inhaltsverzeichnis 131. Die Orthogonalitit 132. Die LEGBNDRBachenPolynoDle 133. Die Entwicklung nach Kugelfunktionen 134. Der Konvergenzbeweis 135. Der ZusaDlDleQhang zwischen Kugelfunktionen und Bandwertprcblemen 136. Das DI1UCBLBTsche und NEuJUNNsche Problem ....•................... , 137. Das Potential riUDllich verteilter Massen 138. Das Potential einer Kugels~ht... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139. Das Elektron im Zentralfeld • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140. Kugelfunktionen und lineare Darstellungen der Drehungsgruppe 141. Die LBGBNDRBschen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142. Die LBGBNDRBschen Funktionen zweiter Art § 2. Die BBSSBL8chen Funktionen 143. Definition der BESSBL8chen Funktionen .•............................... 144. Relationen zwischen den BEssELschen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 145. Die Orthogonalitit der Bassarseben Funktionen und ihre Nullstellen 146. Erzeugende Funktion und Integraldarstellung 147. Die FOrDlel von FOURIER·BESSEL 148. Die HANKBLschenund die NKUJUNNschen Funktionen 149. Entwicklung der NEUIiANNschen Funktionen mit ganzeDl Index 150. Der Fall eines rein iDlaginiren ArguDlentes .....•..•••..•............... 151. Integraldarstellungen .......•................... :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152. Asymptotische Darstellungen der HARKBLschen Funktionen .. . . . . . . . . . . .. 153. Die BBssKLschen Funktionen und die LAPLACBaChe DiBerentialg1eichung . . .. 154. Die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155. Die Wellengleichung in Kugelkoordinaten .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

416 420 424 427 429 431 434 435 438

440 442 444 448

448

450 453 457 460 461 466 468 470 472 480 482 485

§ 3. Die lIBRKITBschen und LAGUBRRBschen Polynome ••..................••..... 488 US6. Der lineare Oszillator und die HBRJ{(TBachen Polynome 157. Die Orthogonalititseigenschaft •••.....••.•••••••••..................... 158. Die erzeugende Funktion. • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159. ParabOlische Koordinaten und die HUJOTEschen Funktionen. . . . . . . . . . . .. 160. Die !uLGUKRRBachen PolynoDle ••.•••••••••••••••.........••............ 161. Der Zusanunenhang zwischen !uLGUBJLREscben und HBlLIUTEschen Polynomen •...•••.....................•.••..............•••...•.•••.....• 162. Aaym.ptotische Da.rste1lung der HBBJU.TBsChen PolynoDle 163. Aaym.ptotische Darstellung der LBGUDRBachen PolynoDle : ......•

488 491

492 494 496 499

lSOO &03

§ 4. Elliptische Integrale und elliptische Funktionen. • • • . . . . • • • • . • . • • • . . . • . • • • • . • •• li06 164. ZuriiokfGhrung elliptischer Integrale auf NOrDlalform 166. Reduktion von Integralen auf trigonoDletrische FOrDl ............•.•...•. 166. Beispiele ••.......•...•••••.•...••.•.••••..•.......................... 167.lJmke~onen~ptiacher In~&le••............................... 168. AUgeDleine Eigenschaften elUptischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. 169. Ein Hüf88atz • • . • • • • • • • . . . . • • • . • • • • • • • • • • • • . . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . •. 170. Die WBIBR8TRA88Bche ,.Funktion • . . • . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • .. 171. Die DiBerentiaJg1eicbung ftlr, es) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 172. Die Funktionen C1i es)•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ~ 73. Beihen8lltwicldung einer ganzen periodischen Funktion. . . • • • • • . . • . . . . . . . •• 17'. Neue Beseichnuna8D ••••••••••••••••••••••••••••••••.••••.••.•.••.••••

li06 G09 GI! 51G G18

lS22 93 827 530 532 53'

XI

Inhaltsverzeichnis 175. Die Funktion'l (t1) .•...........••••.....•..........••••.............. 176. Die Funktionen (t1) ••••••••.•..••••..•..•..........•.•...........•.. 177. Eigensohaften der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 178. Darstellung der Zahlen eil durch die 6, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179. Die JACoBlsohen elliptisohen Funktionen 180. Die Haupteigenschaften der JACoBIsohen Funktionen 181. Die Differentialgleichungen für die JAcoBIschen Funktionen 182. Die Additionstheoreme 183. Der Zusammenhang zwischen den Funktionen, (u) und sn (u) 184. Elliptische Koordinaten ••••......••............•..•..••............... 185. Einführung elliptisoher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186. Die ~MB8che Differentialgleichung 187. Das einfache Pendel ....•••............................................ 188. Beispiel einer konformen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

'11

535 538 541 543 545 547 549 550 551 553 555 556 558 560

Reduktion von Matrizen auf kanonisohe Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 563 189. Hilfssätze .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190. Einfaohe Eigenwerte 191. Der erste Transformationssohritt bei mehrfachen Eigenwerten 192. Reduktion auf kanonische Form •....................................... 193. Bestimmung der Struktur einer kanonischen Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194. Beispiel . . . . . . . . . . . • • • • • • • • • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Literaturhinweise der Herausgeber Sachverzeichnis

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563 568 569 573 578 581 587 594