Lehrbuch der Mechanik [Reprint 2019 ed.] 9783111469348, 9783111102399

Table of contents :
Vorrede
Inhalt
Zweiter Abschnitt. Mechanische Eigenschaften der Körper und deren Einfluss auf die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung
CAP. I. Theorie der Moleküarzusammensetzüng der Körper
CAP. II. Theorie der allgemeinen Gravitation
CAP. III. Gesetxe des Gleichgewichts fester elastischer Körper
CAP. IV. Gesetze der Bewegung fester elastischer Körper
CAP. V. Gesetze des Gleichgewichts tropfbar-flüssiger Körper
CAP. VI. Gesetze der Bewegung tropfbar - flüssiger Körper
CAP. VII. Gesetze des Gleichgewichts luftförmig - flüssiger Körper
CAP. VIII. Gesetze der Bewegung luftförmig-flüssiger Körper
Berichtigungen

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ERSTE ABTHEILUNG.

GESETZ

DES G L E I C H G E W I C H T S UND DER BEWEGUNG.

ZWEITE ABTHEILUNG.

M E C H A N I S C H E E I G E N S C H Ä F T E N DER KÖRPER UND

DEREN EINFLUSS AUF DIE GESETZE DES GLEICHGEWICHTS UND DER BEWEGUNG.

LEHRBUCH DER

MECHANIK VON

DE O. J. BROCH, ArsSKBORnF.NTMCMlUM IT.OFKSSOK IJKR. MATHHMATIK AN I>K1! t'WVUKSITAKT IS C'HKISTIAXIA.

BERLIK. V E I T .v C O M P .

1854.

CI1R1STIANIA. FEILBERG & LAXDMARK.

V o r r e d e .

D a s

vorliegende W e r k , dessen Vollendung durch eiue

m e h r j ä h r i g e Krankheit des Verfassers verzögert wurde, ist mit besonderer Rücksicht auf die Anwendungen der Mechanik in der .Maschinenlehre, in der ISaukiinde, und im Allgemeinen in der sogenannten Ingenieur-Mechanik ausgearbeitet.

Der zweite Abschnitt enthält daher auch

die f ü r diese Anwendungen

aus den

Untersuchungen

über die mechanischen Eigenschaften der K ö r p e r hervorgehenden Zahleuwcrlhe.

Ich

habe

diese

Werthe

unter den genauesten der neueren Untersuchungen mit besonderer S o r g f a l t a u s g e w ä h l t . Die weite E n t f e r n u n g des Verfassers vom D r u c k orte ist an den leider vielen Berichtigungen, insbesondere Schuld.

in

Mehrere

dem

ersten

dieser

Abschnitte

Fehler

sind

welche

vorkommen, wahrscheinlich

Schreibfehler iin M a n u s c r i p t ; etliche auch R e c h n u n g s fehlcr.

Der Verfasser.

I n h a l t .

Erster Abschnitt.

Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. Seile

Cap. I.

Wirkungsweise und Mctass der Kräfte Gesetze der Verbindung zwischen einer Kraft und der durch dieselbe hervorgebrachten Bewegung, §. 1 — 5 Vergleichung von Fussmaassen und Gewichten § . 5

1

Maass der Schwere auf den verschiedenen Stellen der Erde, §. 6.

6

Cap. II.

Zusammensetzung kenden

Kräfte,

und Zerlegung

der

auf

einen

Punkt

.

1 5

wir-

§.7-10

Statik. Bedingungen des Gleichgewichts eines Systems mit einander verbundener Punkte, deren Verbindung durch con der Zeil unabhängige Gleichungen zwischen ihren Coordinaten ausgedrückt werden können Gegebene Kräfte und Kräfte der Verbindung § . 1 1 Bedingungen des Gleichgewichts eines Systems von P u n k t e n , deren Verbindung durch eine einzige Gleichung zwischen den Coordinaten dieser Punkte ausgedrückt ist, § 12 Bedingungen des Gleichgewichts, wenn die Verbindung der Punkte durch zwei oder mehrere Gleichungen ausgedrückt ist, §. 13 — 14 Reduktion jener Bedingungsgleichungen auf eine einzige, welche für alle möglichen Bewegungen stattfinden muss, § . 1 5 Reduktion dieser Gleichungen in besonderen Fällen, §. 1 6 — 1 7 . . . Die KráftefunUtion. Sie inuss, w e n n Gleichgewicht vorhanden sein

7

Cap. III.

soll, ein Maximum oder Minimum sein, §. 18 Satz der virtuellen Geschwindigkeiten, § . 1 9 •. . . llerleitung der im §. 14. dargestellten Bedingnngsgleichungen aus diesem Satz, § . 2 0 Die Gleichgewichtsbedingung ist vollkommen durch diesen Satz ausgedrückt, § . 2 1

Ii 11

12 15 17 18 21 21 23 24

VI

I n h a l t . Seite

Cap. 17.

25

Anwendungen a)

Gleichgewicht

b)

(jleichgewicht ist,

eines eines

§ . '22

Festen

25

Körpers.

Wenn

der

Körper

frei

§. 23

2(1

Wenn

der

Körper

einen

AVenn

der

Körper

zwei

Wenn

der

Körper

mehrere c)

Punktes,

feste

gegen

krumme

Gleichgewicht

festen

Allgemeine

hat,

Punkte

eine

Flächen

biegsamer

Punkt

§. 24

hat,

oder

gestützt

§

28

25

311

mehrere ist,

Ebenen

oder

§. 26

32

Systeme

33

(¡leicligewichtsbedingungen

eines

Seilpolygons,

§ . 2 7 — 2S Seilpolygon

parallelen

Kettenlinie,

§ . 3(1

Kette

Kettenbrücke,

einer

Seilpolygon

bei

Seilpolygon, nen

Reduclion

Klüften,

§ . 21)

3lJ 42

§.31

normalen

dessen

Fläche

Kettenlinie,

Cap ?.

33

bei

49

Kräften,

§. 32

Verbindungspunkle

befinden,

auf einer

5 t sich

auf einer

gegebe-

§• 3 3

51

gegebenen

Fläche

ruhend,

§. 34 — 35.

.

55

der hreifte

Allgemeine Keduclion Theorie

Reduclion paralleler

drr

Darstellung setzung

einer

Kralle,

Kruft,

§. 3 6

55

§. 37 — 3S Ihre

5^

Verseilung,

Transformation

und

§ . 3'J — I I der

61

Kräfiepaare

der

Zerlegung

zu

Kräflepaare.

Momente,

durch

Kral'tcpaare,

eines

§. 42

Kräftepaares

gerade

Linien;

Zusammen-

- 43

nach

den

65 drei

fuordinatenehenen,

«j. 4 4 — 4 5 mehrerer

Heduction

einer

s.

Kräfte

Kraft

zu

und

einem

eines

Kräflepaare,

Kräftepaares

§. 46.

zu

.

einer

.

.

71

Kraft,

47

paare,

72 beliebiger

Kräfte

zu

einer

Kraft

uud

einem

h'iäfle-

§ . 4 S — 4!)

Centralaxe

Cap. VI.

t.'.t

Heduction

Heduction

der

74

gegebenen

Cenlralpunlil,

f'eiilraltinie

Bedingungen,

unter

Kräfte;

ihre

Eigenschaften,

und Cenlralebene

welchen

ein

ganz

freier

§. 5 1 — 5 1

der Kräfte Körper

.

asiatisch

77

. b'i ist,

8- 55

t>2

CeiitralpunKt

der

gegebenen

Kräfte;

Mittelpunkt paralleler

Kralle,

§.56

83

Centrallinie

der

Centraiebene der

53

gegebenen

der

gegebenen

Cenlralebene,

Heduction

Kräfte,

von Kräften

§

Kräfte,

57 — 5S Mittelpunkt

M und

Mittellinie

§ . 5 9 — 62 mit u n v e r ä n d e r l i c h e n

Intensitäten,

Richtun-

I n h a l t .

•(• Seite

gen und Angriffspunkten zu einer Kraft, wenn der Körper um einen l'unkt frei bewegt werden k a n n , §. 63 Bedingungen de« Gleichgewichts und Reduction solcher Kräfte, wenn der Körper nur am eine gegebene Axe beliebig gedreht werden kann, § . 6 4 — 68 Bedingungen, unter welchen ein um einen festen Punkt oder eine feste Axe drehbarer Körper asiatisch ist, §. 69 Stellungen, in welchen ein um eineajfesten Punkt drehbarer, nicht astatischer Körper im Gleichgewicht ist, §. 70 Siellungen, in welchen ein um eine feste Axe drehbarer, nicht astatischer Körper im Gleichgewicht ist, §. 71 Gleichgewicbtsbedingungen eines Systems von Punkten, wenn die Kräfte mit unveränderten Intensitäten und in unveränderlichen Hichtungeo an ihrem Angriffspunkte haften, §. 72 Cap. VII.

Cap. VIII.

Cap. IX.

Anwendung der Theorie des Mittelpunktes paralleler Kräfte auf schwere Körper Allgemeine Formeln des Schwerpunktes, §. 7 3 Schwerpunkt vou Linien; Beispiele §. 74 Relation, welche stattfindet zwischen der Lage des Schwerpunktes einer ebenen krummen Linie und dem Inhalt der Fläche, welche sie durch Umdrehung um eine beliebige gerade Linie in der Ebene der krummen Linie beschreibt, §. 75. . . Schwerpunkt einer Fläche; Beispiele § . 7 6 Schwerpunkt einer Umdreliungsfläche, §. 77 Relation, welche stattfindet zwischen der Lage des Schwerpunktes einer Ebene und dem Inhalt des Umdrehuugskörpers, w e l chen sie durch eine vollständige Umdrehung um eine in der Ebene liegende Axe beschreibt, §. 7S Schwerpunkt eines Körpers; Beispiele, §. 79 Schwerpunkt eines Umdrehungskörpers, §. 80 Gleichgewicht schwerer Körper, §. 81 Anwendung der Theorie der Centralliuie auf schwer„ magnetische Körper Lage der Ceutrallinie eines schweren magnetischen Körpers, §.62 Lage des Centraipunktes, wenn der Körper nur um eine auf dem magnetischen Meridian senkrechte Axe drehbar ist, §. 83. . Gleichgewicht eines schweren magnetischen Körpers um eiuen festen Punkt und um eine feste Axe, 84 Dynamik. Gesetze der Bewegung eines Systems von mit einander verbundenen Punkten, deren Verbindung durch von der Zeil unabhängige Gleichungen ausgedrückt werden körnten

93

97 102 103 106

107 109 109 110

114 115 122

126 127 130 13i 131 134 135 136

139

I n h a l t .

1 III

Seile I)RS d'Alembcrtsche Princip des Gleichgewichts der gegebenen

und

der totalen Kräfte, wenn die letzteren in der der wirklichen B e wegung entgegengesetzten Richtung genommen w e r d e n , Die totale Kraft

durch

die stattfindende B e w e g u n g

84.

Bewegungsmoment, § . 8 5

1411

Tangentialkraft und Centrifiigalkraft, § . SB

14'^

Allgemeine Gleichungen der B e w e g u n g ,

87

143

Satz der lebendigen Kraft, § . 8 8

144

Berechnung der lebendigen Kraft eines Systems Punkten,

wenn

man

139

ausgedrückt;

besonders

von

ihre B e w e g u n g

materiellen relativ zum

Schwerpunkte des Systems und die B e w e g u n g dieses S c h w e r punktes kennt, § 8 9 . . . .

1 IG

Bewegung des S c h w e r p u n k t e s eines freien Systems von Punkten. Satz der Erhaltung der F l ä c h e n , Der Zuwnchs der Kräftcfunktion

ist

§. 90

117

ddm Zuwachs

der l e b e n d i -

gen Kraft gleich, § . 9 1

Cap. X.

Geselle

der Bewegung

IM

eines festen

1 b'i

Körpers

a ) Bewegung des S c h w e r p u n k t e s eines freien festen Körpers oder eines materiellen Punktes

lii'i

Allgemeine Gleichungen der B e w e g u n j , § . Ü5J

l.Vi

Bewegung im leeren Baume, § . 9 3 — 9 5 Bewegung in einem widerstehenden

IM

Medium, § . % — I C O

.

lij Trägheitsmomente und llauptaxen der Körper

155 1*>1

Allgemeine Formel des Trägheitsmomentes eines Körpers

in

Bezug »uf eine g e g e b e n e Axe, § . 101

1(>1

Das Trägheitsmoment in Bezug auf eine beliebige Axe durch das Trägheitsmoment in Bezug auf eine mit dieser parallel durch den S c h w e r p u n k t gehende A\c ausgedrückt, §. 1 0 2 .

I •> 1

lluuptaxen eines K ö r p e r s ; Trägheitsmoment in Bezug auf eine beliebige Ave

durch

die Trägheitsmomente in Bezug aul

die llauptaxen bestimmt, § . 1113

lti•>

Gleichheit oder Ungleichheit der Trägheitsmomente auf

die l l a u p t a x e n ;

llauptaxen,

Anzahl

und

gegenseitige

in

Bezug

Lage

der

104

107

Bestimmung der Lage der llauptaxen eines gegebenen tes eines Körpers,

und Grösse der diesen Axen

Punk-

entspre-

chenden Trägheitsmomente, § . 1 0 5 Bestimmung der Punkte e i n e s Körpers,

Iii"* welche

die

Eigen-

schaft haben, dass die Trägheitsmomente in Bezug auf alle durch diese Punkte gehenden llauptaxen gleich find, §. 1 0 6 .

173

J e d e durch den S c h w e r p u n k t gehende llaupta.xe ist auch eine llaupta.xe

in Bezug

Punkt, § . 1 0 7

auf jeden

anderen

in ihr liegenden 174

I n h a l t .

IX

Beispiele der Berechnung der Trägheitsmomente, §. 1 OS. . . Berechnung des Trägheitsmomentes eines Umdrehungskörpers von gleichförmiger Dichtigkeit in Bezug auf die Umdrehungsaxe oder in Bezug auf eine uuf dieser senkrechte Axe, §. 109 i.) (iesetze der relativen Bewegung eines festen Körpers in Bezug auf seinen Schwerpunkt Augenblickliche Drehungsaxe und Winkelgeschwindigkeit, g. 110 Werthe der von den Badii vectores beschriebenen, mit der Klasse der entsprechenden Punkte nuiltiplicirten Klächcnräuine, §. 111 Allgemeine Differentialgleichungen der Bewegung eines freien festen Körpers, § . 1 1 2 Wenn der Körper einen festen Punkt hat, § . 1 1 3 Wenn die Momente der gegebenen Kräfte in Bezug auf diesen festen Punkt Null sind, §. 114 Centralellipsoid des Körpers, § . 1 1 5 Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt, §.116 Bewegung um eine feste Axe, § . 1 1 7 Druck auf die feste Axe, § 118 Theorie des Schwungrades, § 119 Theorie des physischen Pendels im leeren Räume, §. 120—122. Bewegung de« Pendels in der Luft, §. 1 2 3 — 1 2 5 Schwingungen eines festen Körpers, wenn die gegebenen Kräfte auf zwei während der Bewegung immer an demselben Punkte haDende Kräfte reducirt werden können, §• 126 Gesetze der Bewegung eines festen Körpers auf einer festen Ebene, §. 127 Wenn c*ic gegebenen Kräfte die Schwere und eine dem Drucke proportionale Reibung sind, §. 128 Bewegung eines geraden Cylinders auf einer schiefen Ebene, §•129

Seite 175

177 l&l) 160

1^3 185 187 188 190 194 196 197 19S 200 206

215 216 218 219

Z w e i t e r A b s c h n i t t . Mechanische Eigenschaften der K ö r per und deren Hinfluss auf die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. Gap. I.

Theorie

Cap. II.

— 135 223 Theorie der allgemeinen Gravitation 227 Anziehung eines materiellen Punktes von einem Körper, §. 136 — 137. 227

der Molekiilarzusammenseliung

der Körper,

§. J30

X

I n h a l t . Seite Rcduction der vorhergehenden F o r m e l n , w e n n der AIsland des angezogenen Punktes sehr gross in Beiug auf die A u s d e h nung dieses Körpers ist, §. 13S Anziehung einer conccntrischen und homogenen Kugelschicht, § . 1 3 4 — 140 Anziehung einer aus homogenen concentrischen Schichten v e r schiedener Dichtigkeit bestehenden Kugel, §. 141 Anziehung eines homogenen Ellipsoids, §. 142 Anziehung einer homogenen ellipsoidischen Schicht, von zwei concentrischen Ellipsoidflächen mit proportionalen Axen b e grenzt, §. 143 Reduilion der Formeln, wenn das gegebene Ellipsoid ein U m drehungsellipsoid ist, §. 144 Anziehung der Erde auf einen äusseren P u n k t , wenn die Erde als aus Schichten verschiedener Dichtigkeit bestehend a n g e nommen w i r d , welche durch concentrische l l m d r e h u n g s - E I lipsoide mit gemeinschaftlicher Axe und verschiedener, aber immer sehr kleiner Excentricilät begrenzt sind, und auf die Umdrehungsbewegung Rücksicht genommen wird, § . 1 4 5 — 140.

Cap. III.

232 233 238 239

244 245

250

Anziehung zweier Massen, §. 147 Tafel des specifisclien Gewichts und des Gewichts einer Culiikeinheit bei verschiedenen Körpern, §. 148

264

Gesetze

.

205

Widerstand der Körper gegen Zerreissen und Zerdrücken Elasticitätsgrenzc und Elaslicitätscoefficient; Ausdehnung und Zusammendrückung gerader Korper, §. 149 — 150.. . Ausdruck des Elasticitätscoeflicienlen durch die Molekülur-

265

a)

des Gleichgewichts

fester

elastischer

Körper

.

.

kraft, § . 1 5 1 Ausdehnung oder Zusammenziehung des Querschnittes. E l a stische Nachwirkung, §. 152 Absolute und rückwirkende Tragfähigkeit»- und Festigkeitscocffinenteti, § . 1 5 3 Lebendige Widerstandskraft, § . 1 5 4 Ausdehnung und Zusammeridrückung eines prisinulischen Körpers durch sein eigenes Gewicht und eine an dem einen Ende angebrachte Last, §. 155 Form eines ausgedehnten oder zusammengedrückten Körpers, wenn die Spannung auf der Flächeneinheit in jedem Querschnitte gleich sein soll, §. 156 Theorie der elastisch-dehnbaren Keltenlinie, §. 157 — 1 5 8 . . Allgemeine Theorie der Elasticitätsbogen der Belastung, § . 1 5 9 . Wenn die auf den Bogen der mittleren Axenschicht w i r k e n den Kräfte auf diesem normal sind, §. 100

201

265 269 269 270 273

273

275 27S 285 256

XI

I n h a l t .

Seite W e n n j e n e Kräfte parallel

n n d d e n ihre* R i c h t u n g

parallelen

C o o r d i n a t e n p r o p o r t i o n a l lind, § . 1 6 1 Tafel

der

bei

verschiedenen Körpern

des Elasticitätscoefficienten,

der

-90

stattfindenden

absoluten

und

Werthe rückwir-

k e n d e n T r a g f ä h i g k e i l s - u n d F e s t i g k e i t s c o e f f l c i e n t e n , § . 162. b)

Widerstand der Körper gegen Biegung Bedingungen

des

Gleichgewichts

schen Körpers.

i92 -94

eines gebogenen

Neutrale Axenschicht-

und

prismati-

Biegungsmoment,

§. 163

«94

B e i s p i e l e d e r B e r e c h n u n g d e s B i e g i i n g s i n o m e n t e s , §. 1 6 5 .

-98

B i e g u n g e i n e s p r i s m a t i s c h e n K ö r p e r s ¡111 d e r G l a s t i c i t ä t s g r e n z e , §.166

301

Biegung eines an einem E n d e

befestigten

prisma-

t i s c h e n K ö r p e r s , w e n n d i e s e r n u r d u r c h e i n e am

anderen

Ende Biegung

horizontal

vertikal

wirkende

Kraft

gebogen

desselben

Körpers,

wenn

er

P u n k t e seiner

ganzen

Länge

w i r d , §. 167.

ausserdem

nnch

mit

auf

in

.

302

jedem

irgend

eine

W e i s e v e r t e i l t e n Gewichten belastet ist; gleit hmässige B e lastung, §. 166 Biegung

desselben

307 Körpers

bei

tiiscontinuirlicher

Belastung,

§. 169

310

Biegung,

wenn

der

Körper

nicht

genau

horizontal

einge-

m a u e r t ist, § . 1 7 0 Biegung eines

314

horizontalen,

prismatischen Körpers Gewicht, Wenn

die

an

beiden

durch

ein

Enden

unterstützten

irgendwo

angebrachtes

171 Last

in

314 der

Jlitte

des

Körpers

angebracht

ist,

§. 172

318

Biegung desselben Körpers

d u r c h ein i r g e n d w o

angebrachtes

G e w i c h t und d u r c h e i n e g l e i c h f ö r i n i g e B e l a s t u n g , § . 1 7 3 . B i e g u n g d e s s e l b e n K ö r p e r s d u r c h ein in d e r Mitte

t e s G e w i c h t und d u r c h e i n e g l e i c h f ö r m i g e B e l a s t u n g , § . 1 7 4 . B i e g u n g e i n e s an d e m e i n e n E n d e

horizontal

an d e m a n d e r n E n d e in d e r s e l b e n h o r i z o n t a l e n eines

an

beiden

Enden

horizontal

Lage

un324

eingemauerten

prismatischen Körpers, §. 1 7 7 — 1 7 6 Biegung

eines

in

vier

Punkten

335

unterstützten

prismatischen

Körpers durch eine gleichinässige Belastung, §. 179. Biegung durch

eines ein

schräg an

eingemauerten

dem freien

Ende

323

eingemauerten,

terstützten prismatischen Körpers, §. 1 7 5 — 176 Biegung

319

angebrach-

prismatischen angebrachtes

.

.

316

Körpers Gewicht,

§ . 1 8 0 — 181 B i e g u n g e i n e s v e r t i k a l e n , ain u n t e r e n E n d e fest c i n g e m a u e r -

352

I n h a l t .

XII

Seite len prismatischen Körpers durch ein am oberen E n d e a n gebrachtes G e w i c h t , § . 183 Bi< gung eines v e r t i k a l e n ,

362

nuf eine horizontale feste E b e n e

gestützten prismatischen Körpers, § 1S4

370

Biegung eines ursprünglich krummen, an einem E n d e fest h o rizontal eingemauerten Körpers, §. 1 8 5 — I b S

376

Biegung eines krummen Körpers, welcher von einer h o r i z o n talen E b e n e getragen wird, §. 169

3Sfi

Biegung desselben Körpers, wenn die beiden Kndpunkte sich nicht von einander entfernen k ö n n e n , §. 190

389

Körper gleichen Widerstandes; ihre Form und Biegung, w e n n der Körper

an

einem E n d e

horizontal

eingemauert

ist,

§. 191 Wenn

392

der Körper an beiden Endpunkten

horizontal

unter-

stützt ist, § . 1 9 2

400

c ) Widerstand der Körper gegen Drehung, § . 193 Cap

IV.

Gesetze

der

Bewegung

fester

elastischer

Körper

401 . . . .

410

Dynamische Arbeit der Molekülarkraft, § . 1 9 1

410

B e w e g u n g einer materiellen Linie, §. 195 — 196

413

Längenschwingungen eines prismatischen »Körpers, § . 197.

.

415

Transversale Schwingungen eines prismatischen Körpers, §. 19^.

418

Theorie des Stosses, §. 199 — 202

421

Anwendung auf das Einrammen der Pfahle, §. 203

426

Theorie der Reibung, § . 2 0 1 — 209

428

Keibung auf einer schiefen E b e n e , § 2 1 0 — 211

435

Reibung eines Stampfers, § . 212

439

Reibung einer stehenden Welle, § 213 - 2 1 4

441

Keibung bei einer rechteckigen Schraube, §. 2 1 5

446

Keibung eines Iiiemens an einem Cylinder, § . 2 1 6

449

Keibung zweier Zahnräder, §. 217 — 219

451

Dynamische Arbeit des drehenden Keihuugswiderstandes, §. 2 2 0 .

457

A n w e n d u n g auf einen, auf einer schiefen E b e n e gezogenen Karren, § 2 2 1

Cap. V.

458

Tafeln der lleibungscoefficienten, §. 2 2 2

461

Steifigkeit der Seile,

465

Gesetze

des

223 .

.

466

(¡runilcigciiscliaftrn der tropfbaren Flüssigkeiten, § . 2 2 4 — 227.

Gleichgewichts

tropfbar-

flüssiger

Körper

.

.

466

Allgemeine üleicligewicbtsglcicliuiig, §. 22S

470

Gleichdrucksfläche, § . 229

472

Druck einer schweren Flüssigkeit, §. 230

. . .

472

Druck auf einer schiefen E b e n e , Mittelpunkt des Druckes, § . 2 3 1 . 473 Horizontaler i.nd vertikaler Druck §. 2 3 2

auf einer

krummen

Fläche, 477

I n h a l t .

XIII Seite

Druck

auf einen eingetauchte» Körper.

Archimedisches Princip

der Hydrostatik, § . 2 3 3

480

Gleichgewichtsbedingungen eines schwimmenden Körpers, § . 2 3 4 . Stetiges

und unstetiges

Gleichgewicht.

Bedingungen

der Stabi-

lität, § . 2 3 5

Cap. VI.

481 486

Anwendung auf ein schwimmendes homogenes Ellipsoid, § . 2 3 6 .

492

Gesetze der Bewegung tropfbar - (lässiger

493

Allgemeine Gleichungen

der B e w e g u n g

Körper . . . .

tropfbar-flüssiger K ö r -

per, § . 2 3 7 - 2 3 9 Zurückführung

493

der partiellen Differentialgleichungen

gung auf eine einzige Differentialgleichung, § Transformation

der

allgemeinen

Gleichungen

der B e w e -

240 — 241.

der

.

498

Bewegung,

wenn während der B e w e g u n g Alles in Bezug auf eine Axe symmetrisch ist, § . 2 4 2 — 2 4 3

501

Theorie der linearen B e w e g u n g , § . 2 4 4

506

Berechnung des D r u c k e s , wenn die Ccntrifugnlliraft der

beweg-

ten Flüssigkeit berücksichtigt wird, §. 2 ) 5 Integration

der

Differentialgleichung

der

510

linearen

Bewegung,

wenn der Canal stets gefüllt wird, § . 2 4 0

512

Aiisllussgeschwindigkeit bei einem beständig voll gehaltenen

Ge-

fässe, § . 2 4 7

515

Druck im Innern der Flüssigkeit. Hydraulische Druckhöhe, § . 2 4 8 . .Mittlere Druckhöhe einer Ausflussöffnung, §. 2 4 9 — 2 5 1 .

.

.

.

517 518

Contraction des Wasserstrahls, § . 2 5 2

524

Contraction und Au9flusscoefficicnt, § . 2 5 3 .

526

Ausflusscoefflcienten rectangulärer O r d n u n g e n , § 2 5 1

526

Ausfluss durch UebcrfälJe, § . 2 5 5

528

Unvollständige oder partielle Contraction, § . 2 5 6 Ausflusscoefficienten

bei

Oeffnungen

in

nicht

530

ebenen

Wänden,

§. 2 5 7

531

Ausllussgcschwindigkcit

und Ausflussmenge

bei einer

Zuflussge-

schwindigkeii, § . 2 5 8

532

( W e g e n Ucberfälle siehe Seite 5 7 8 ) B e w e g u n g des Wassers, wenn plötzliche Veränderungen der G e schwindigkeit stattfinden. höhenvcrlust

Widerstandscoeflicienten und D r u c k -

einer plötzlichen Verengung

oder Erweiterung,

§. 259 - 260

. 5 3 4

Widerstandscoefficienten verschiedener Ventile, §. 2 6 1 . Auslluss durch untergetauchte OefTnmigen;

.

.

untergetauchte

.

unvollständige Ueberfälle, § . 2 0 2

545

Widerstand gegen die Bewegiinff des Wassers i'i Inngen

Röhren,

V 2M AusM.iss durch eine ltnhrculeitinig, § . 2 0 4 — 2 0 0 .

541

oder

545 .

.

.

.

S-i'J

I n h a l t .

XIV

Seite Widerstand e i n e s K n i e e s oder e i n e r Krümmung in einer R ü h r e n leitung, §. 2 6 7

554

S p r u n g h ö b e e i n e s Wasserstrahls, § . 2 6 S Vertheilung d e s W a s s e r s ,

556

w e l c h e s aus einer Hauptröhre in S e i -

t e n r ö h r e n g e l e i t e t wird, § . 2 6 9 D r u c k des W a s s e r s

in e i n e m

557

beliebigen

Punkte

der

Köhrenlci-

lung, P i e r o m e t e r , §. 2 7 0

55S

Vortheilhallestcs Querprofil eines offenen Canals, § . 2 7 1 .

.

.

P e r m a n e n t e B e w e g u n g de9 W a s s e r s in e i n e m C n n a l , § . 2 7 2 .

.

559

.

5G1

Gleichförmige B e w e g u n g des Wassers, §. 273

56G

Stromstrich und S t r o m r i n n e eines Flusses; mittlere

Geschwindig-

keit e i n e s Q u e r s c h n i t t e s , §. 2 7 4

56S

U n g l e i c h f ö r m i g e B e w e g u n g d e s W a s s e r s in C a n ä l o n u n d

Flüssen,

$. 2 7 5

57Ü

Bedingungen,

damit

in

einem

W a s s e r s s t a l t l i n d e n soll, §

Cnnal

keine

Anschwellung

276

572

U n g l e i c h f ö r m i g e B e w e g u n g im r e c h t w i n k l i g e n Geschwindigkeitsänderungen

des

und

Canal, §. 277.

Veränderungen

der

574

Wasser-

m e n g e e i n e s F l u s s e s o d e r C a n a l s , w e n n d e r s e l b e seinen W a s serstand ändert, §. 2 7 8

574

Aufstauung des Wassers durch Dämme oder W e h r e , § . 2 7 9 .

576

U e h e r f a l l w e h r c , § . 2bO

577

Duri hlasswehre, §. 2S1

579

Lichte W e h r e , §. 2S2

5^0

F a l l , in w e l c h e m die A u f s t a u u n g einen S p r u n g bildet, § . 2 ^ 4 . A u s l l u s s des W a s s e r s a u s e i n e m B e h ä l t e r , fluss

welcher

keinen

.

erhält, §. 2 o 5 — 269

Wenn der

565

B e h ä l t e r z w a r e i n e n Zulluss e r h ä l t ,

der aber

kleiner

als d e r A u s l l u s s ist, § . 2 9 0

597

A u s l l u s s d e s W a s s e r s a u s e i n e m B e h ä l t e r in einen a n d e r n , §.¿¡91. Druck des bewegten

5S3

7.u-

Wassers

gegen

das

Gefäss,

aus

599

welchem

e s h c r a u s f l i c s s t , § . 2'J2

G00

F r e i e O b e r l l ä c h e u n d D r u c k d e s W a s s e r s in e i n e m b e w e g t e n G e fässe, § . 2 9 3 — 2 9 4

604

Auslluss d e s W a s s e r s a u s e i n e m mit g l e i c h f ö r m i g e r geschwindigkeit bewegten

Umdrehungs-

Gefässe, §. 295

606

Stoss eines isolirten W a s s e r s t r a h l s , §. 296 Dynamische Arbeit, einer Reihe

608

w e l c h e ein W a s s e r s t r a h l e i n e m G e f ä s s o d e r

von G e f ä s s e n ,

in

welche

er

eintritt,

mülhcilt,

§. 2 9 7 Widerstand

614 eines b e w e g t e n

unbegrenzten Flüssigkeit

festen

Körpers

in

einer

ruhenden

u n d e i n e s r u h e n d e n K ö r p e r s in e i n e r

bewegten Flüssigkeit, §. 2 9 s — 3 0 1

617

xv

I n h a l t .

Seite

Cap. TU.

Vergleicbung d e r Theorie des Widerstände» mit derjenigen des Ausflusses, § . 305

630

Widerstand in einer begrenzten Flüssigkeit, § . 306 Widersland bei einem schwimmenden Körper, § . 3 0 7

63% 633

Geselle des Gleichgewichts

hififörmig - flüssiger Körper

637

Mariotte'sches Gesetz des Verhältnisses der Spannung und der Dichtigkeit. SpeciGsches Gewicht verschiedener G a s a r i e n , J . 308 Ausdehnung der Gasarten durch die W ä r m e , §. 309 Gleichgewicht einer Mischung von Gasarten, §. 310 Gleichungen des Gleichgewichts einer Iuftförinigen Flüssigkeit, §.311 Archimedisches Princip des Gleichgewichts fester Körper in einer Gasart, §. 312 Gesetze dpr Abnahme der Spannung der Atmosphäre in v e r schiedenen Hüben über der Meeresfläche; Bestimmung dieser Höhe durch Barometermessungen unter Voraussetzung einer konstanten Temperatur der Atmosphäre, § . 3 1 3 — 3 1 5 . . . Tafeln zur Höhenmessung mittelst des Barometers, §. 316. . Modilication der vorhergehenden F o r m e l n , w e n n die T e m p e r a tur als mit der Höhe gleichmässig abnehmend angenommen wird, §. 317 — 3 1 8 . Rcduclinn der Barometerhöhe zur Meeresoberfläche, §. 319. .

.

637 639 640 641 642

643 651

653 660

Modilication der vorhergehenden Formeln, w e n n auf die Z u s a m mensetzung der Atmosphäre Rücksicht genommen w i r d , §.320. Spannung

der

Wasserdämpfe

bei

8- 321

Cap. VIII.

Gesetze der Bewegung

662

verschiedenen Temperaturen, 664

luflförmig - flüssiger Körper .

.

666

Allgemeine partielle Differentialgleichungen der Bewegung, § . 3 2 2 . Theorie der linearen B e w e g u n g luftförmiger K ö r p e r , § 323. Alisflussgeschwindigkeit einer Gasart bei constantem Drucke und Gegendrucke, §. 324 Dieser entsprechende Ausflussmenge, §. 325

666 668

Spannung und entsprechende Manomelerhöhc

in irgend

.

671 674

einem

Querschnitte des Gefässcs, §. 326

675

Aiisflussgeschwindigkeit, w e n n plötzliche Veränderungen des Querschnittes in dem Gefässe oder Rohre stattfinden, §. 3 2 7 -328. Ausfluss durch ein cylindrisches Ansatzrohr, § . 329

677 682

Widerstand einer langen einer Gasart, §. 330

685

Röhrenleitung

gegen

die

Bewegung

XVI

I n h a l t . Scile Ausflussmenge und

dieser e n t s p r e c h e n d e Manometerhöbe bei e i -

n e r langen Röhrenleitung, § . 331 Ausströmung

aus

einem

Reservoir

686 mit

constantem

Volumen,

§ 332

687

Ausströmung aus einem Reservoir in ein «weites begrenztes R e servoir von constantem Volumen, §. 3 3 3 Widerstand

der Luft g e g e n

Widersland

fester

Körper

669

die B e w e g u n g fester K ö r p e r , gegen

die

Bewegung

der

und Luft,

§. 334

690

Gewicht der trockenen atmosphärischen Luft, § . 3 3 5

694

(•eselze der B e w e g u n g eines Projcctils in der Luft, §• 336. .

69 t

Zweiter Abschnitt. Mechanische Eigenschaften der Körper and deren Elnflass auf die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

CAP.

I.

Theorie der lolek&larzxisammensetznog der Körper. §• 130. D i e Körper werden als aus sehr kleinen und in jeder Hinsicht unveränderlichen Theilen zusammengesetzt gedacht, welche A t o m e genannt werden. Diese Atome bilden unter einander Gruppen, welche M o l e k ü l e n genannt werden. Die den Atomen in wohnenden Kräfte, wodurch die Molekülen gebildet sind, werden Atomkräfte genannt, und sind chemischer A r t , indem sie durch keine mechanische Kraft überwunden werden können. In mechanischer Hinsicht können folglich die Molekülen als die Grundbestandteile der K ö r per angesehen werden. Die Molekülen werden durch Kräfte, welche die M o l e k ü l a r k r ä f t e genannt werden, in bestimmten Entfernungen von einander gehalten. Diese Kräfte zeigen sich als anziehend, wenn jener A b stand der Molekülen vergrössert, als abstossend, wenn er vermindert wird. W i r können daher die Molekülarkraft als das Resultat zweier Kräfte betrachten, die eine anziehend, die andere abstossend, welche beide abnehmen, wenn die Entfernung vergrössert wird, L f b i b u c l i d e r Mecb.Miilc.

J5

224

Mechanische Eigenschaften der Körper und deren Einfluss

u n d z w a r so, dass die abstossende K r a f t g e s c h w i n d e r als die anziehende abnimmt.

M a n kennt noch nicht das G e s e t z , w o n a c h

K r ä f t e in s e h r kleinen E n t f e r n u n g e n w i r k e n ;

wenn

diese

aber der

Ab-

stand m e s s b a r w i r d , zeigt sich die M o l e k ü l a r k r a f t n u r als a n z i e h e n d und wirkt proportional

mit d e m P r o d u k t e

d e r Massen

der

beiden

Molekülen u n d u m g e k e h r t proportional mit d e m Q u a d r a t e d e r E n t fernung.

Diese anziehende K r a f t wird

tationskraft

der Körper

die a l l g e m e i n e

g e n a n n t , indem d e r N a m e

kraft nur

von d e r in s e h r

gebraucht

wird.

Gravi-

Molekülar-

kleinen E n t f e r n u n g e n w i r k e n d e n

Krad

§• 131. Die M o l e k ü l a r k r a f t

hält nicht allein die Molekülen eines K ö r -

p e r s in b e s t i m m t e n E n t f e r n u n g e n von e i n a n d e r u n d w i d e r s e t z t sich folglich j e d e r V o l u m e n v e r ä n d e r u n g , sondern hält auch oft die Molekülen in e i n e r b e s t i m m t e n relativen Stellung zu einander, u n d w i d e r s e t z t sich folglich a u c h mit einer gewissen K r a f t j e d e r d e r u n g des K ö r p e r s . diejenigen d a g e g e n , veränderung Widerstand kann,

gehen

K ö r p e r dieser A r t

die

Formverän-

feste

genannt;

d e r e n Molekülarkraft sich n u r einer V o l u m e n -

widersetzt, des

werden

Körpers festen

werden gegen Körper

flüssige

genannt.

Formveränderung allmälig in

Indem

sehr

flüssige

der

klein sein über,

und

w e r d e n s c h o n , w e n n j e n e r W i d e r s t a n d nicht Null, s o n d e r n n u r s e h r klein ist, k l e b r i g f l ü s s i g e K ö r p e r Flüssige K ö r p e r ,

genannt.

die sich uns i m m e r

nur

im

zusammenge-

d r ü c k t e n Z u s t a n d e zeigen, und folglich i m m e r ihr V o l u m e n zu vergrössern streben, nannt.

werden l u f t f ö r m i g e K ö r p e r

I m G e g e n s a t z hierzu w e r d e n die übrigen

w e l c h e ein b e s t i m m t e s Volumen h a b e n ,

oder G a s e flüssigen

ge-

Körper,

welches sie nicht zu ver-

grössern streben, t r o p f b a r f l ü s s i g e K ö r p e r

genannt.

Diese drei verschiedenen Z u s t ä n d e , w o r i n ein K ö r p e r sich b e finden

kann,

der

feste,

der

tropfbar- und

w e r d e n die A g g r e g a t z u s t ä n d e

der

luftförmigilüssige,

des K ö r p e r s g e n a n n t .

auf die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung.

225

§• 132. Bei den festen K ö r p e r n widersetzen sowohl jeder

Formveränderung,

Dieser W i d e r s t a n d

muss

eine

sich die Molckülarkräde

wie j e d e r

Volumenveränderung.

Function jener Veränderung

sein,

und wird zwischen gewissen Grenzen nur Null, wenn die F o r m oder

Volumenveränderung

Null

ist;

diese

(Frenzen

werden

die

G r e n z e n d e r E l a s t i c i t ä t des K ö r p e r s genannt, und der K ö r p e r wird zwischen diesen Grenzen e l a s t i s c h genannt.

Innerhalb der

Grenzen der Elasticität ist folglich das Gleichgewicht der Molekülen ein stetiges, d. h. sie kehren nach dem Aulhören der die V e r ä n derung

bewirkenden

Kräfte in

die

ursprüngliche

Lage

zurück.

Sind dagegen jene Grenzen überschritten, so nehmen die Molekülen eine neue Gleichgewichtslage

an,

welche

auch als eine Theilung

des K ö r p e r s angesehen wird. §. 133. W e n n ein Körper e r w ä r m t wird, so wird dadurch die abstossende Molekülarkraft vergrössert. nisse

stattfinden,

grösseren

Abstand

Wenn

keine äusseren

kommen folglich die Molekülen von

einander

ins

erst in

Gleichgewicht,

Ausdehnung des K ö r p e r s findet folglich Statt.

Hindereinem

und

eine

Nimmt dagegen die

W ä r m e eines Körpers ab, so wird hierdurch die abstossende Kraft der Molekülen vermindert, und der Körper zieht sich folglich zusammen. Man hat

früher dieses erklärt,

indem man die W ä r m e

als

einen feinen unwägbaren Stoff betrachtete, welcher jedes der Molekülen wie eine Atmosphäre umgebe und in welchem Stoff allein die abstossende Kraft der Molekülen liege. nur

anziehende Kräfte a n ,

sowohl

Man nahm

nämlich

zwischen den Molekülen

der

Körper unter einander, wie zwischen diesen und dem Stoffe, welchen man als Warmesloff bezeichnete, wogegen man annahm, dass die Theile dieses letzteren

Stoffes sich unter einander

abstossen.

In der letzten Zeit ist indessen diese Hypothese, weil sie nur w e nige der physischen Phaenomcne der W ä r m e zu erklären erlaubt, 15*

22G

Mechanische Eigenschaften der Körper und deren Einfluss

verlassen

worden,

o h n e dass

man

indessen

eine a n d e r e

Theorie

aufzustellen v e r m o c h t hat. So

wie

eine V e r m e h r u n g

oder

Verminderung

der

eines K ö r p e r s eine e n t s p r e c h e n d e V o l u m e n v e r ä n d e r u n g

Wärme

hervorbringt,

so b r i n g t a u c h u m g e k e h r t eine auf irgend eine a n d e r e W e i s e

her-

vorgebrachte Ausdehnung

und

ein

Zusammendrücken

vor.

Im

den zu

ersten Falle

wärmeren erstatten;

eine V e r m i n d e r u n g ,

eine

Vergrösserung

sucht

der Körper

Körpern im letzten

seiner W ä r m e

eines K ö r p e r s

die

seiner

staltgefundene

Falle w i r d

er

Wärme

a u s den

ihn

her-

umgeben-

Wärmeverminderung

diesen

den

Ueberschuss

abgeben. §• 1 3 4 .

Die W i r k u n g d e r W ä r m e b e s t e h t nicht allein darin, dass sie die a b s t o s s e n d e K r a f t der Molekülen v e r g r ö s s e r t , s o n d e r n sie v e r ä n d e r t auch die formbildende K r a f t d e r Molekülen.

Bei festen

Körpern

w i r d diese formbildende K r u f t d u r c h V e r m e h r u n g der W ä r m e s c h w ä c h t und verschwindet zuletzt g a n z ; d e r K ö r p e r von

dem

festen z u m

schmilzt. erhalten

Durch

umgekehrt

flüssigen

Aggregatzustand

eine h i n r e i c h e n d e

über,

Verminderung

die t r o p f b a r f l ü s s i g e n K ö r p e r

die

ge-

g e h t folglich d. Ii.

der

er

Wärme

formbildendc

K r a f t , w e l c h e sie f r ü h e r nicht h a t t e n ; sie w e r d e n folglich fest, d. h. sie e r s t a r r e n . gegen

zuletzt

Durch die

d. Ii. sie v e r d a m p f e n . Körper

durch

eine

eine V e r m e h r u n g

tropfbarllüssigen

der W ä r m e

Körper

in

gehen da-

Iuftförmige

über,

Man h a t G r u n d a n z u n e h m e n , dass j e d e r

hinlängliche

Vermehrung

oder

Verminderung

d e r W ä r m e jeden d e r drei A g g r e g a t z u s t ä n d e a n n e h m e n k ö n n e . §. 135. So

lange

der

Aggregatzustand

des

Körpers

nicht

verändert

w i r d , und folglich eine V e r m e h r u n g o d e r V e r m i n d e r u n g der W ä r m e des K ö r p e r s n u r eine e n t s p r e c h e n d e V e r ä n d e r u n g der abstossenden Molekülarkraft hervorbringt,

sucht

diese W ä r m e

b e n d e n kälteren K ö r p e r n mitzutheilen.

sich allen u m g e -

Sie w i r k t d a d u r c h auf das

Gefühl und auf das T h e r m o m e t e r , u n d wird d a h e r f r e i e

Wärme

auf die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung. genannt.

227

W e n n dagegen der Aggregatzustand des K ö r p e r s durch

die W ä r m e verändert wird, so dass der Körper aus

dem festen

in den troplbarflüssigen Zustand, oder aus diesem in den luftförmigdüssigen Zustand übergeht, so wird durch diese Veränderung des Aggregatzustandes eine gewisse Quantität der W ä r m e gebunden, so dass sie nicht zu anderen umgebenden K ö r p e r n übergehen kann, und folglich auch weder auf das Gefühl, noch auf das Thermometer oder

wirken kann.

latente

wenn

Wärme

Diese

W ä r m e wird daher

genannt.

dieselbe Veränderung

Dasselbe

ist

gebundene

auch

des Aggregatzustandes

der

durch

Fall, irgend

eine andere Ursache bewirkt wird, und die Temperatur des K ö r pers sinkt alsdann, den ist.

weil ein Theil seiner W ä r m e

Geht umgekehrt der K ö r p e r aus dem

gebunden

wor-

tropfbarflüssigen

Zustande in den festen oder aus dem lullförmigen in den tropfbarflüssigen

Zustand ü b e r , so wird ein Theil der vorher gebundenen

W ä r m e frei, und die Temperatur frei gewordene W ä r m e

nicht

des K ö r p e r s steigt, sofern die

von

anderen

umgebenden

kälteren

Körpern absorbirt wird.

CAP. II.

Theorie der allgemeinen Gravitation. §. 136. Betrachten wir einen materiellen Punkt O , welcher von einem Körper beliebiger Form angezogen

wird.

Diese Anziehung

von allen Elementen des K ö r p e r s a u s , und die Resultante elementaren Anziehungen ist die totale Anziehung des

geht dieser

gegebenen

Körpers. E s sei (Fig. 48) C ein beliebiger fester Punkt im K ö r p e r und Cx, Cy, Cz drei durch diesen Punkt gezogene rechtwinklige Coordinatenaxen.

E s seien x , y, z die Coordinaten eines Elementes P

228

Mechanische Eigenschaften der Korper und deren Einfluss

des gegebenen K ö r p e r s , d m dessen Masse, dinaten des materiellen P u n k t e s O ,

n

q, f die drei C o o r -

dessen Masse, und

endlich

r der Abstand O P , wo folglich: r* = I i — x)* + ( i — y ) 2 + (C Die Anziehung

des

Elementes

P

auf

den

»)».

materiellen

Punkt

O

wird dann nach §. 1 3 0 gleich:

,, kju dm

w o k ein constanter Coefiicient ist, welcher die Intensität der A n ziehungskraft bezeichnet, zur Einheit der Müssen und des Abstandes hingeführt. Die K r a f t K wirkt längs der P und O verbindenden PO.

Die Cosinus der

drei W i n k e l ,

welche

Geraden

diese Gerade

mit

längs

drei

den drei Coordinaten bildet, sind: £—\ — — ' r und

die Componenten

der

>; — y C — z _ y > r r Anziehungskraft K

diesen

Axen w e r d e n folglich:

kii - r' - dm, ku '—r' (Im, k/i' r> — diu. Bezeichnet man jetzt durch A. B und C die drei Componentcn der auf den

Punkt Ü ausgeübten

man durch

totalen Anziehungskraft,

Integration:

A = k,u J

~

~

dm, 15 =

so

findet

dm. C = k,u | ~ z dm,

w o die Integration auf alle Massenelemente des anziehenden

Kör-

pers ausgedehnt werden niuss. Bezeichnet man durch U die Kräftefunction (§. 18), w o :

U = ("(Ad? +

ß d n + Cd£) = -

k,„J^E,

so k ö n n e n die drei Integrale A , ß und C durch dieses einzige Integral U ausgedrückt werden, i n d e m : A = d \l, B = d U, C = d , U.

auf die Gesetze des G l e i c h g e w i c h t s und der Bewegung.

229

Es ist hier zu bemerken, dass bei der Berechnung der Kräftefuiictioii U, r immer positiv genommen werdem muss. §. 137.

Die Kräftefunction U, so wie auc:h ihre DiilerentialcoeiTicienten in Bezug auf tj, £ sind endliche mnd stelige Functionen dieser Variabein, insofern die Dichtigkeit übterall als endlich vorausgesetzt wird. Dass dies der Fall ist, wenn (der angezogene Punkt ausserhalb des anziehenden Körpers liegt, und folglich r > o ist, folgt unmittelbar aus den Formeln für U, A, B und G. Dass dies aber auch der Fall ist, wenn der angezogene Punkt selbst dem anziehenden Körper angehört, sieht man lteicht, wenn man Polarcoordinaten einführt. Setzt man nämlich: x = £ + r cos