Lehrbuch der darstellenden Geometrie: Band 3 Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, regel-, abwickelbare und andere Flächen, Flächenkrümmung [4. Aufl. Reprint 2020] 9783112361368, 9783112361351

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LEHRBÜCH DEB

DARSTELLENDEN GEOMETRIE VON

DR. KARL RÖHN

UND DR. ERWIN PAPPERITZ

.. O. PROFB8SOR DER MATHEMATIK N D E R UNIVERSITÄT LEIPZIG

IN

D R E I DRITTER

O . PROFESSOR D E R M A T H E M A T I K AN DER B I R G A K A D E M I E PREJBRRQ

B Ä N D E N BAND

KEGELSCHNITTE, FLÄCHEN ZWEITEN GRADES, REGEL-, ABWICKELBARE UND ANDERE FLÄCHEN, FLÄCHENKRÜMMUNG.

MIT 167 FIGUBEN IM TEXT

VIERTE AUFLAGE

B E R L I N UND LEIPZIG 1923

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO VORMALS G. J . GÖSCHEN'SCHE VERLAG8HANDLUNG - J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG - GEORG REIMER — KARL J . TRÜBNER — VEIT & COMP.

Inhalt. Erstes Kapitel.

Die Kegelschnitte.

Die Erzeugung: der Kegelschnitte durch projektive Punktreihen und Strnlilbttscliei.

1. 2. 8. 4 — 6. 7. 8. 10. IX. 12. 13 — 16.

17. 18—31.

22. 23. 24.

Einleitung Der Kreis als Erzeugnis kongruenter Strahlbüschel oder projektiver Punktreihen Definition des Kegelschnittes als Erzeugnis projektiver Strahlbüschel oder Punktreiben Die Punkte eines Kegelschnittes projizieren sich aus irgend zwei festen Punkten auf ihm durch projektive Strahlbüschel . . . Die Tangenten eines Kegelschnittes schneiden irgend zwei feste Tangeuten an ihn in projektiven Punktreihen Zwei Vierecke, die einem Kegelschnitt in den nämlichen Punkten ein- und umgeschrieben sind Jeder Kegelschnitt kann sowohl durch projektive Strahlbüschel als durch projektive Punktreihen erzeugt werden Durch fünf Punkte ist ein Kegelschnitt bestimmt Das Pascal'sche Sechseck, und «eine Spezialfälle. Konstruktion des Kegelschnittes aus fünf Punkten, oder aus vier Punkten und der Tangente in einem von ihnen, oder aus drei Punkten und den Tangenten in zweien von ihnen Durch fünf Tangenten ist ein Kegelschnitt bestimmt . . . . Das Brianchon'sche Sechsseit und seine Spezialfälle. Konstruktion des Kegelschnittes aus fünf Tangenten, oder aus vier Tangenten und dem Berührungspunkt von einer unter ihnen, oder aus drei Tangenten und den Berührungspunkten von zweien unter ihnen Verwandlung des Kegelschnittes durch Perspektive in einen Kreis; zwei Methoden Verwandlung der Ellipse durch Affinität in einen Kreis . . .

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Pol uud Polare eines Kegelschnittes; Hittelpunkt, Durchmesser und Achsen. 25. 26. Pol uud Polare, ihre Eigenschaften; Polardreieck 27 — 31. Harmonische Pole und harmonische Polaren. Beschreibt der Pol eine Punktreihe, so beschreibt seiue Polare einen dazu projektiven Strahlbüschel 32 — 34. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der harmonischen Polaren durch einen Punkt 35—37. Durchmesser und Mittelpunkt eiues Kegelschnittes 38 — 41. Konjugierte Durchmesser und Achscn 42. Um- und eingeschriebene Parallelogramme bei einem Kegelschnitt

19 20 23 25 27 28

IV

Inhalt.

Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Metrische Eigenschaften.

Seite

43— 46. Zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden und zwei projektive Strahlbüachel mit demselben' Scheitel. Konstruktion der Doppelelemente, Gegenpunkte und Rechtwiukelstrahlen . 47. Punktreilicn auf und Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt . 48. 49. Die Punktinvolution auf einem Kegelschnitt; ihr Mittelpunkt. Die Strahleninvolution an einem Kegelschnitt; ihre Achsc. . 50. Konstruktion der Doppel- und Rechtwinkelstrahlen einer Strahleninvolution, sowie der Doppelpunkte und des Mittelpunktes einer Punktinvolution 51—59. Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf Punkte ABCDE oder fünf Tangenten abede gegeben sind. Schnittpunkte eines Kegelschnittes ABCDE mit einer Geraden und Tangenten an einen Kegelschnitt abede aus einem Punkte. Polare eines Punktes in bezug auf den Kegelschnitt ABCDE und Pol einer Geraden in bezug auf den Kegelschnitt abede. Konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten. Involution harmonischer Pole auf einer Geraden und harmonischer Polaren an einem Punkte. Tangenten aus einem Punkte an den Kegelschnitt ABCDE und Schnittpunkte einer Geraden mit dem Kegelschnitt abede 60. Konstruktion der Achsenendpunkte mit Hilfe zweier Punkte oder zweier Tangenten des Kegelschnittes 61. 62. Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes 63 — 66. Aus einem gegebenen Rotationskegel eine vorgegebene Ellipse, Hyperbel oder Parabel auszuschneiden

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35 40 40 42

Gesetz der Dualität. Reziprokalfiguren in bezog auf einen Kegelseknitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen. 67 — 70. Gesetz der Dualität für ebene und räumliche Figuren . . . . 45 71. 72. Reziprozität in bezug auf einen Kegelschnitt 47 73—76. Aufgaben ersten und zweiten Grades. Fundamentalaufgabcn zweiten Grades und die hierbei auftretenden imaginären Lösungen. Konstruktiv verwertbare imaginäre Elemente . . 4 8 77. 78. Realitätsverhältnisse bei zwei und drei Punktepaaren in harmonischer Lage. Gemeinsames Elementepaar zweier Involutionen auf demselben Träger . . . . 50 79. 80. Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern, ebenso zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln sind stets in doppelter Weise perspektiv gelegen 52 81 — 83. Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imaginären Elementen 53 84. 85. Involution rechter Winkel. Imaginäre Kreispunkte der Ebene. Konstruktion des Kreises aus teilweise imaginären Elementen 56

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes. 86. Brennpunkte und Leitlinien der Schnittkurvcn eines Rotationskegels; erstere als ISerührungspunkte zweier den Kegel be-

Inhalt.

V Seite

87. 88. 89. 90. 91 — 93. 94. 95 — 98.

99. 100 —102.

103—105.

108.

10t. 108. 109. 110. 111. 112.

rührender Kugeln. Konstantes Abstamdsverhältnis der Kurvenpunkte von Brennpunkt and Leitlinie Die Brennpunkte als Scheitel rechtwinkligerPolarcninvolutionen Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt halbieren die Winkel der Brennstrahlen Perspektivität des Kegelschnittes mit einem Kreise um einen der Brennpunkte. Eigenschaften, die sich daraus ergeben . Ort der Fußpunktc aller von den Brennpunkten auf die Tangenten gefällten Lote. Tangentenkonstruktionen . . . . Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein . . . . Die harmonischen rechtwinkligen Polaren schneiden auf den Achsen eines Kegelschnittes Involutionen aus, deren Doppelpunkte die Brennpunkte sind. Haupt- oder Brennpunktsachse. Konstruktion der reellen Brennpunkte. Die Verhältnisse bei der Parabel. Brennstrahlen und Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene schließen miteinander gleiche Winkel ein Ort der Schnittpunkte einer beweglichen Tangente mit zwei festen Tangenten bei der Parabel nnd mit den Asymptoten bei der Hyperbel Konfokale Kegelschnitte. Kurven gleicher Art schneiden sich nicht, Kurven verschiedener Art aber unter rechten Winkeln KrUmmungskrelse der Kegelschnitte. Oskulations- oder Krümmungskreis. Perspektivität zwischen einem Kegelschnitt und einem ihn berührenden oder oskulierenden Kreise. Konstruktion des Krümmungskreises bei einem durch fünf Punkte Ijeatimmten Kegelschnitt. . . . Die Krümtnungskreise in den Scheitelpunkten bei der Ellipse und Hyperbel Konstruktion des Krüinmungsmittelpunktes auf der Normalen eines Punktes, wenn ihre Achsen der Lage nach bekannt sind Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes auf der Normalen eines Punktes, wenn zwei konjugierte Durchmesser der Lage nach bekannt sind Konstruktion der Krümmungsmittelpnnktc für die Endpunkte konjugierter Durclnnesscr bei der Ellipse und Hyperbel. . Bestimmung des Kriimmungsinittclpunktes durch Grenzübergang Die KrümmungSKreise bei der Parabel

Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharon von Kegelschuitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte. 113. Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten und solche mit vfer gemeinsamen Tangenten 114. Bei zwei Kegelschnitten ist die Zahl der gemeinsamen Punkte oder Tangenten stets gerade 115. Polvierseit und' Polviereck . . . " 116. 117. Zwei Kegelschnitte besitzen auf jeder Geraden zwei gemeinsame harmonische Pole und in jedem Punkt zwei gemeinsame harmonische Polaren .

57 59 60 60 C3 64

64 67 67

(¡9 72 73 74 76 76 77

78 79 80 8J

Inhalt.

vr UU.

119. Das gemeinsame Polardreieck zweier Kegelschnitte. Mindestens eine Ecke und eine Suite davon sind reell . . . 120—122. Jede licko des Polardreiecks ist der Scheitel einer Strahleninvolutiun, deren Doppelstranlen die den Kegelschnitten gemeinsamen Punkte tragen. Auf juder Seite liegt eine Punktinvolution; in ihren Doppelpunkten schneiden sich die gemeinsamen Tangenten 123. 124. Realitätsverhältuisse 125 — 130. Fünf verschiedene Fälle sind bezüglich der gegenseitigen Lage zweier Kegelschnitte zu unterscheiden. Konstruktionen . li)l —133. Der Kcgelschnittbüschel. Seine Kurven schneiden aus jeder Geraden eine Punktinvolution aus; die Polaren eines jeden Punktes gehen durch einen zweiten. Die Kegelschnittschar. Die Tangentenpaare an ihre Kurven bilden in jedem Punkt«: eine Involution; die Pole einer jeden Geraden liegen auf einer zweiten 134. 135. Kegelschnitte durch vier resp. drei Punkte, die eine resp. zwei Gerade berühren und die dualen Aufgaben 136. Die perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte . . .

Zweites Kapitel.

Seit«

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Die Flächen 2. Grades.

Pole und Polarebenen, Durchmesser und Dlumetralebeneu ; Achsen. 137. Definition. Jede Ebene schneidet die Fläche in einem Kegelschnitt 138. 139. Konjugierte oder harmonische Pole. Pol und Polarebene . 140. 141. Konjugierte oder harmonische Polaren 142. Je zwei ebene Schnitte liegen zweifach perspektiv . . . 143. Konjugierte oder harmonische Polarebenen . . . . . . 144. J e zwei Tangentenkegel liegen zweifach perspektiv . . . 145. Das Polartetragder . . 146. 147. Durchmesser und konjugierte Diametralebenen; drei konjugierte Durchmesser . . 148. Flächen mit und Flächen o h n e Mittelpunkt 149. Parallelschnitte 150. 151 Die drei rechtwinkligen Achsen 152. Achsen einer Kegelfläche, deren Grundkurve ein beliebiger Kegelschnitt ist 153—'155. Dualität; reziproke Raum verwand tschaft; involutorische Kollineation; das geschart-involutorische System Einteilung: der Flächen 2. Grades; ihre Beziehung zu den Retationsflitchen; Kreisschnitte. 156 — 158. Ellipsoid, Paraboloide; das Hyperboloid und sein Asyinptotenkegel . . . . 159. Die Regelflächen 160. Das Hyperboloid, von dem drei Erzeugende gegeben sind . 161. Das hyperbolische Paraboloid 162. Die Unterscheidung der Flächen nach ihren Hauptschnitten 163. Affinität zwischen den allgemeinen Flächen 2. Grades und den Rotationsflächen

97 97 100 102 103 103 104 105 107 108 108 109 110

113 115 116 118 119 120

Inhalt.

vn Seilo

164.

165. Die beiden Systeme von Parallelkreisen auf einer FlUclie 2. Grades 106 — 168. Die Konstruktion der Kreisschnitte

121 122

Die Konstanten der Flüchen 2. Grades. Die FlHclieu durch neun, acht und sieben Punkte. 169. Die Zahl der Konstanten ist = 9 126 170. 171. Existenzbeweis der Fläche 2. Grades durch drei Kegelschnitte, 126 die Bich paarweise in je zwei Punkten schneiden . . . . 172. 173. Konstruktion der Fliielie 2. Grades durch neun beliebige Punkte 130 174. 175. Der Büschel von Flächen 2. Grades durch 8 Punkte; ihre örundkurve 4. Ordnung 133 176. Zerfallende Schnittkurve zweier Flächen 2. Grades . . . . 134 177 — 179. Die Raumkurvc 3. Ordnung als teilweiser Schnitt zweier Hyperboloide 135 180. Die Schmiegungsebenen der Kaninkurve 3. Ordnung . . . 137 181 —183. Konstruktion der Baumkurve 3. Ordnung als Schnitt zweier Kegel mit gemeinsamer Mautelliuie; ihr scheinbarer Doppelpunkt 138 184. 180. Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält vier Kegeltiächen; ihre Scheitel bilden ein gemeinsames Polartetraeder aller Flächen 142 186 —191. Die verschiedenen Arten der Flächenbüschel und ihrer Grundkurven 4. Ordnung; es gibt vier verschiedene Flächenbüschel 143 192. Die Doppelsekanten der Baumkurve 4. Ordnung 149 193. Konstruktion der Raumkurve 4. Ordnung durch acht gegebene Punkte 150 194. Alle Flächen 2. Grades durch sieben feste Punkte schneiden sich noch in einein weiteren festen Punkte; seine Konstruktion 151 195. Konstruktion des achten Schnittpunktes von drei Flüchen 2. Grades 152

198. 200.

196. 197. 199. 201.

Die sphärischen Kegelschnitte. Entstehung der sphärischen Kegelschnitte Brennpunkte und ihre Eigenschaften Die Brennstrahlen des Kegels 2. Ordnung und ihre Konstruktion Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte

Konstruktionsaufgabcn bei den Flüchen 2. Grades. 202. Den Umriß zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier ebener Schnitte der Fläche bekannt ist 203. Drei konjugierte Durchmesser zu zeichnen 204 — 207. Konstruktion der Achsen eines Kegels, von dem der Scheitel und die Grundkurve bekannt sind. Die Spurpunkte der Achsen bestimmen sich als Schnittpunkte eines Kreises und einer gleichseitigen Hyperbel 208. Konstruktion der Achsen einer Fläche 2. Grades 209. Den Umriß eines Ellipsoides zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier konjugiertet Durchmesser von ihm gegeben ist 210—212. Ahnliche und ähnlich liegende Kegelschnitte mit reellem und mit imaginärem Streckenverhältnis

154 155 157 159

161 163

164 Ibi) 170 172

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Inhalt. Seite

213. Den Umriß eines ein- oder zweischaligen Hyperboloides zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier konjugierter Durchmesser von ihm gegeben ist 214. Bestimmung einer Kugel, wenn von ihr die schiefe Parallelprojektion dreier zueinander senkrechter Radien bekannt ist 215. Die Eigenschattengrenze eines EUipsoides zu finden, wenn man seinen Umriß und den Schatten eines Punktes auf die Ümrißebene kennt 216. Tangentenkegel und Berührungskurve beim zweischaligen Hyperboloid 217. Die Tangentialebene in einem Punkte des Ellipsoides . . . 218. Die beiden Tangentialebenen an ein einschaliges Hyperboloid durch eine feste Gerade 219. Durch drei Punkte einer Fläche 2. Grades einen auf ihr liegenden Kegelschnitt zu konstruieren 220 — 224. Einen Kegelschnitt durch drei Punkte zu legen, der einen anderen zweimal berührt. Verschiedene Fälle 225. Eigen- und Schlagschatten eines zweischaligen Hyperboloide» zu zeichnen 226. Die gemeinsamen Sekanten von vier windschiefen Geraden . 227. Striktionslinien der RcgelHächen 2. Grades 228. Die Striktionslinien des Paraboloides 229. Die Striktionslinien des Hyperboloides

Drittes Kapitel.

175 177 180 182 184 185 186 187 194 196 199 199 201

Verschiedene Flächen.

Abwickelbare Flüchen. 230.

231. Entstehung der abwickelbaren Flächen 232. Die Schar von Flächen 2. Grades und die sie umhüllende abwickelbare Fläche 4. Klasse 233. Die verschiedenen Arten der abwickelbaren Flüche 4. Klasse 234. Die abwickelbare Fläche 3. Klasse 235. Die Beleuchtung einer Oberfläche durch eine leuchtende Flache 236. Die Beleuchtung einer Kugel durch eine leuchtende kreisförmige Scheibe 237. Flächen von gleichförmiger Neigung 238. Die Fläche von gleichförmiger Neigung über der Ellipse . .

Regelflächen. 239. 240. Erzeugung. Das längs einer Erzeugenden oskulierende Hyperboloid und die Haupttangenten 241. Berührungspunkte und Tangentialebenen längs einer Erzeugenden; das Normalenparaboloid 242. Der Richtungskegel der Regelfläche; die Striktionslinie . . 243. Die Doppelkurve; ihre Kuspidalpunkte und die zugehörigen Torsallinien 244 — 246. Verschiedene Erzeugung von Regelflächen 247. Das Konoid, sein Umriß und Eigenschatten 248. 249. Das gerade Kreiskonoid; die oskulierenden Paraboloide; sein Eigenschatten . . . .

202 204 205 207 208 208 212 213

216 2Í8 219 219 220 224 225

Inhalt. 250. 251. Das schiefe Kreiskonoid; seine Striktionslinie; das System von Kegelschnitten auf ihm 252. 253. Das Plücker'sche Konoid; die Kegelschnitte auf ihm . . 254. 255. Haupttangenten, oskulierendeParaboloide und Haupttangenteükurven des Plücker'schen Konoides 256. 257. Eigen- und Schlagschatten des Plücker'schen Konoides . . 258—2Ö0. Regelflächen 3. Grades und ihre Eigenschaften 261. Die Verbindungslinien projektiver Punktreihen auf einer Geraden und einem Kegelschnitt bilden eine Segelfläche 3. Grades 262. Doppel-, Leitgerade und fiinf beliebige Erzeugende bestimmen eine Regelfläche 3. Grades 263 — 265. Definition der projektiven Beziehung zwischen einer einfachen Punktreihe und den Punkt«paaren einer Involution. Sind die Träger der Reihen windschief, so bilden die Verbindungslinien entsprechender Punkte eine Regelfläche 3. Grades 266. Dualität der Eigenschaften der Regelfläche 3. Grades . . . 267. Die Cayley'sche Regelfläche 3. Grades 268. 269. Die oskulierenden Hyperboloide der Regelfläche 3. Grades 270 — 273. Die Verbindungslinien projektiver Punktreihen zweier Kegelschnitte bilden eine Regelfläche 4. Grades. Sie besitzt eine Doppelkurve 3. Ordnung • . . . . 274. Regelfläche 4. Grades mit Doppelgerade und Doppelkegelschnitt; ihre Erzeugung 275. Regelfläche 4. Grades mit zwei Doppelgeraden und einer Doppelerzeugenden; ihre Erzeugung 276. Regelflächen 4. Grades mit zwei Doppelgeraden 277. Die Normalenflächen einer Fläche 2. Grades 278—281. Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung in einem beliebigen Schnitt; ihre Eigenschaften 282. 283. Die Normalenfläcbe des Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Hauptebene senkrechten Schnitt 284—286. Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Achse normalen Schnitt 28?. 288. Tangentialebenen und Haupttangenten der Normalenfläche . 289-291. Das Cylindroid; Umriß; Haupttangenten 292 — 294. Die Wölbfläche des schiefen Durchganges; Umriß; Haupttangenten

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IX Seite

229 233 236 238 241 244 244

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HttUflKclieii. 295. Erzeugung der Hüllflächen; Charakteristik, Rückkehrkante; Beispiele 296. Ähnlichkeitszentren und Punkte gleicher Potenz bei zwei oder mehr Kugeln 297. Die Kugeln, die drei feste Kugeln berühren ' 299. Die Dupin'sche Zyklide und ihre Kreise

283 285 288

Topographische Flächen. 300. Definition, Niveaulinien 301. Falllinien, Talweg, Kammlinie 302. Die Falllinien des Ellipsoides

289 291 293

281

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Inhalt. Seite

303. Die Falllinien des einschaligen Hyperboloides 304. Linien von konstantem Gefälle

Viertes Kapitel.

295 296

Sie Krümmung der Flächen.

305—307. Berührung und Oskulation von Flächen 308. Die Involution konjugierter Tangenten bei Flächen 2. Grades und bei beliebigen Flächen 309. Die Dupin'sche Indikatrix 310. Punkte elliptischer und hyperbolischer Krümmung; ihre Hauptkrümmungsradien 311. Punkte parabolischer Krümmung 312. Satz von M e u s n i e r über die Krümmung schiefer Schnitte . 313. Die Krümmung bei Rotations- und Regelflächen 314. Die Tangenten der Schnittkurve einer Tangentialebene im Bi rührungspunkte 315. Die Tangente der Lichtgrenze ist zum tangierenden Lichtstrahl konjugiert 316. Die Involution der konjugierten Tangenten bei der Regelschraubenfläche 317. Die Tangenten der Lichtgreuze der Regelschraubenfläche bei Parallelbeleuchtung 318. Die Tangenten der Lichtgrenze der offenen, schiefen Regelschraubenfläche bei Zentralbeleuchtung 319. Die gleiche Aufgabe bei der offenen, geraden Schraubenfläche 320. Haupttangenten und Tangenten der Lichtgrenze der zyklischen Schraubenfläche 321. Krümmungslinien und Haupttangentenkurven Die KrUmmungsltnlen der Flächen 2. Grades. 322. Durch jeden Raumpunkt gehen drei konjugierte Normalen einer Fläche 2. Grades 323. Zwei Flächen 2. Grades, die jeder Ebene die nämliche konjugierte Normale zuordnen, schneiden sich in einer Rrümmungslinie 324—326. Das System konfokaler Flächen 2. Grades; ihre Fokalkurven 327. Die drei Arten konfokaler Flächen 328. 329. Die Projektionen der Krümmungslinien des Ellipsoides . . 330. Konfokale Kegelschnitte; ihre Achsen 331. Die Schnittpunkte zweier konfokaler Kegelschnitte . . . . 332. Die Projektionen der Krümmungslinien des einschaligen Hyperboloides Literaturnachweise und historische Anmerkungen

. . .

297 300 300 302 304 804 305 305 306 306 307 308 309 310 312

313 314 315 317 319 323 324 326 329

ERSTES

KAPITEL.

Die Kegelschnitte. Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Punktreihen und Strahlbüschel. 1 . Schon im V. Kapitel des ersten Bandes wurden die Kegelschnitte behandelt; sie wurden daselbst definiert als die Schnittkurve eines geraden oder schiefen Kreiskegels mit einer Ebene, oder auch — was auf dasselbe hinauskommt — als Zentralprojektionen oder Perspektive Bilder eines Kreises (257 Bd. I). Von dieser Definition aus gelangten wir auf natürlichem Wege zu den Polareigenschaften des Kreises und der Kegelschnitte und weiter zu den Eigenschaften des Mittelpunktes, der konjugierten Durchmesser, der Achsen und einiger weiterer Beziehungen., die uns in den Stand setzten die Kurven zu konstruieren. Hier werden wir eine neue Definition der Kegelschnitte geben; sie soll dann auch für die weiteren Untersuchungen als Grundlage dienen.1) Gleichwohl wird auch hierbei die perspektive Beziehung zwischen Kegelschnitt und Kreis einen Hauptfaktor und ein besonders geeignetes Hilfsmittel für das genaue Studium der Kegelschnitte bilden. 2 . Wir gehen zunächst von zwei einfachen Eigenschaften des Kreises aus, die sich unmittelbar auf seine perspektiven Bilder übertragen lassen. E i n e R e i h e beliebig auf einem K r e i s gegebener P u n k t e A, B, C, D,.. . wird aus irgend zwei festen P u n k t e n S und Sj desselben durch kongruente S t r a h l b ü s c h e l p r o j i z i e r t (Fig. 1). Denn je zwei Strahlen des einen Büschels, etwa SA und S B , schließen den gleichen Winkel ein, wie die entsprechenden Strahlen Sl A und