Lehrbuch der Arithmetik und Algebra: Vorzüglich zum Selbstunterrichte [Reprint 2020 ed.] 9783111456072, 9783111088686

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Lehrbuch der

Arithmetik und Algebra, vorzüglich zum

Selbstunterrichte? v e r f a f s t Ton

Dr. A. L. Cr e i l e , Königlich - Preufsischem Geheimen - Ober - Baurathe.

B e r l i n , G e d r u c k t bei

C.

und

1 0 2 5 . v e r l e g t

Reimer.

V o r r e d e . D e r m a t h e m a t i s c h e n . A n a l y sis oder R e c h e n k u n s t fehlt zum Theil noch diejenige Klarheit, Strenge und Folgerichtigkeit , welche andere Theile der Mathematik besitzen, deren diese Wissenschaft fähig ist u n d welche ihr zu ihrem Hauptzwecke, die Denkkraft zu entwickeln und zu schärfen, vor Allem nothwendig sind. D i e V o r S t e l l u n g e n , in derRechenkunst sind zum Theil noch mehr oder weniger dunkel und ihre Erklärungen unbestimmt, selbst bis in die ersten Anfänge hinab. Z. B. schon die Begriffe von Brüchen, von der Zahlengröfse selbst, yon der Multiplication u n d Division im Allgemeinen, von benannten, und unbenannten Zahlen, vom Potenziiren, vom Irrationalen, vom Positiven und Negativen etc., weiterhin von den unmögli-

IV

V o r r e d e .

chen Gröfsen, den sogenannten WinkelFunctionen, den Facultäten, den Reihen u. s. w., sind mehr oder weniger unbestimmt u n d schwankend. Wo sicli der Begriff vom Unendlichen, einmischt, hört die Klarheit und Bestimmtheit fast ganz auf, weil Gröfsen, die unendlich und also keine mehr sind, keinen Sinn haben. Was hie u n d da die Dunkelheit aufklären soll, verliert sich wohl zuweilen, statt Licht zu verbreiten, blos in ein methaphysisches Wortspiel. Mit der Unbestimmtheit der Vorstellungen steht der Mangel an F o l g e r i c h t i g k e i t u n d S t r e n g e im Verhältnifs, Zuweilen, fehlen die Beweise der Sätze entweder ganz; oder sie beruhen auf unsichern Schlüssen vom Besondern auf das Allgemeine. Z. B. bei der Addition ganzer Zahlen verbindet man die Einer mit den Einern, die Zehner mit den Zefmern u. s. w. gewöhnlich ohne besondern Beweis, dafs die Verwechselung der zusammengezählten Zahlen die Summe nicht ändere; ungefähr eben so bei der Multiplication etc. In der Theorie der Gleichungen, der

V o r r e d e .

v

Reihen, der Logarithmen u. s. w., sind die Sätze ohne Beweis noch häufiger, ohne derjenigen zn gedenken, welche sich auf das Unendlichkleine beziehen. Andere Sätze gehen blos von besondern Fällen aus; z.B. die Multiplication und Division gebrochener und irrationaler Zahlen befolgen, die Regeln der Multiplication und Division g a n z e r Zahlen, aber ohne vollständigen Beweis, dafs das, was für den b e s o n d e r n F a l l ganzer Zahlen pafst, auch allgemein gilt. D i e Sätze von Potestäten. u n d Facultäten mit ganzzahligen Exponenten, also von Producten. gleicher und aequidifferenter Factoren, gehen allgemein auf Potestäten und Facultäten mit beliebigen, ja sogar unmöglichen Exponenten über, ohne besondere Rechtfertigung. Weiterhin, in den Entwickelungen beliebig zusammengesetzter Gröfsen u n d bei dem was sich auf das Unendliche bezieht, sind die Schlüsse vom Besondern auf das Allgemeine noch gewöhnlicher, daher es dann auch dort nicht an u n r i c h t i g e n Sätzen fehlt; z.B. bei der Entwickelung der sogenannten Win-

VI

V o r r e d e .

kelfunctionen, bei den Facultäten mit beliebigen Exponenten, bei den bestimmten Integralen, u. s. w. S y s t e m u n d M e t h o d e vollends finden sich in der Analysis wenig. D i e Rechenkunst überläfst entweder ganze Abschnitte, welche ihr zugehören, einem andern Theile der Mathematik, z.B. den Abschnitt von den. sogenannten W i n kel-Functionen, welcher rein analytisch ist, der Geometrie, oder es gelten Sätze für etwas Eigenthümliches, die schon in andern stecken, z. B. die Sätze von den Proportionen, die i n denen von der Addition, Subtraction, Multiplication und Division mit enthalten sind; oder die Analysis nimmt ganze Abschnitte, welche ihr fremd sind, in sich auf, z. B. die Lehre von den krummen L i nien u n d Flächen, welche g e o m e t r i s c h ist; oder es sondert sich die Rechnung des sogenannten Unendlichen von dem Uebrigen als etwas Höheres ab, obgleich sie sich durch nichts Wesentliches von dem Uebrigen unterscheidet, sondern dazu gehört, u n d eben so elementar und einfach, nemlich i nichts weiter, als eine

V o r r e d e .

VII

Anwendung der Methode der unbestimmten Coefficienten ist, auch sogar dem Uebrigen schon zum Theil wesentlich vorhergeht. Selbst die Unterscheidung in Arithmetik, Buchstaben-Rechnung, Algebra, Einleitung in die sogenannte Analysis des Unendlichen, Functionen - Rechnung, Differential - Integral-VariationsRechnung, u. s. w. ist wie bekannt ziemlich unbestimmt. Das Ganze mischt sich so in einander, dafs kaum eine bestimmte Eintheilung oder ein eigentliches System zu bemerken ist. D i e M e t h o d e des Vortrages steht damit im Verhältnifs. Es ist nicht zu verwundern, dafs es sich so verhält; denn die Analysis ist, z. B. gegen die Geometrie verglichen, nicht allein eine neue Wissenschaft, sondern ihr Umfang hat auch in 'der neuern Zeit, seit der Erfindung der Infinitesimal-Rechnung, so schnell zugenommen, und die Masse ihrer Sätze ist schon so ungeheuer grofs, dafs die Aufklärung ihrer Vorstellungen, die Befestigung ihrer Behauptungen und die Sonderung und Ordnung ihrer Sätze unter System

vili

V o r r e d e.

und. Methode, wohl hinter ihrer Ausbreitung hat zurück bleiben müssen. Die Mängel sind auch zum Theil sehr wohl erkannt, und es fehlt nicht an Vorschlägen zur Verbesserung. Theils aber sind solche Erinnerungen wohl noch mehr oder weniger übersehen, theils sind sie noch nicht genug weiter entwickelt. Unstreitig bleibt für die Analysis noch viel zu thun übrig. Und dazu scheint insbesondere der Versuch zu gehören, auf die Entstehung des Vorhandenen zurückzugehen, seine Bedeutung aufzuklären, seine Gründe zu befestigen und dem Gegenstande aus sich selbst sein S y s t e m zu entwickeln. D i e reichste Sammlung von Kenntnissen wird erst dann, wenn ihr Sinn klar und elementar geworden, wenn ihre Quellen, begründet, ihr nothwendiger innerer Zusammenhang nachgewiesen u n d ihre Zusammenfügung der M e t h o d e unterworfen w o r d e n , zur W i s s e n s c h a f t . Und nur als solche erfüllen Erkenntnisse, welche, wie die mathematischen, Resultate des Denkens sind, ihren vorzüglichsten Zweck, die Ur-

Vorrede.

IX

theilskraft zu wecken und zu schärfen ; auch nützen sie, selbst als Resultate, nur erst dann mit Sicherheit; während zugleich das Vorhandene gleichsam eigene Kraft bekommt, sich selbst weiter fortzubilden, ohne seine ferneren Erwerbungen dem Zufall allein überlassen zu dürfen. Das gegenwärtige Buch soll zugleich ein Beitrag zu einem solchen Versuche sein. DerVerfasser hat darin die E l e m e n te d e r A n a l y s i s o d e r H e c h e n k u n s t in diesem Sinne zu entwickeln versucht. Er hat die Gründe der Wissenschaft einfach, klar und elementar aufzustellen , die Sätze strenge zu beweisen und folgerecht zu ordnen, und die Gesammtheit dessen, was in dem vorgesetzten Umfange liegt und noch hinein zu gehören. scheint, einem S y s t e m und einer M e t h o d e zu unterwerfeil gesucht. D a er fürerst nur die Elemente entwickeln wollte, so pafst das System, welchem er folgte, auch nur für diesen Umfang, und er würde sich eines andern, noch einfacheren bedienen, wenn es auf die Analysis in ihrem ganzen Umfange ankäme, wovon die weitere Ausfüh-

X

V o r r e d e .

rung vorbehalten bleibt. Die Form eines LehrbegrifFs nahm die Entwicklung deshalb an, damit sie theils sogleich allgemein nützlich werden möchte, theils weil das Beispiel gewöhnlich deutlicher ist, als ein blofses Raisonnement. Der Verfasser ist zwar weit entfernt, sich gröfsern Scharfsinn und mehr Einsicht in seine Wissenschaft zuzutrauen, als Denen, von deren Ansichten er abweicht. Da aber auch viele andere Verfasser neuer Werke gewifs die neinliche bescheidene Meinung von sich selbst gehegt haben werden, und gleichwohl Manches besser gemacht haben, als ihre Vorgänger; so kann auch in diesem Buche sehr wohl Manches der Wahrheit näher kommen, statt sich von ihr weiter zu entfernen. Der Verfasser hofft daher, dafs sein Buch nicht ohne Nutzen1 sein werde, jetzt wo die Mathematik sich rasch weiter zu entwickeln scheint. Da er sich überall de9 äufsersten Grades der Einfachheit und anspruchloser Klarheit belleifsigt hat, und nirgend in diejenige Dunkelheit und s c h e i n b a r e Tiefe verfallen zu

V o r r e d e .

XI

sein hofft, die, aufser dafs sie die eigene Einsieht des Lehrers verdächtig macht, unter allen Umständen, wäre die D u n kelheit auch nur als Vernachlässigung des Lesers zu betrachten, getadelt werden mufs; so glaubt er, dafs das Buch zum U n t e r r i c h t , worauf es insbesondere berechnet ist, zu empfehlen sein wird. Es umfafst von der Analysis ungefähr so viel, als davon in guten Schulen u n d Gymnasien gelehrt werden kann und sonst in mannigfachen Verhältnissen des Lebens, z. B. dem Militair, dem Physiker, dem Bergmanne, Architecten, Feldmesser u. s. w. nothwendig und nützlich ist. Es wird daher für alle Diejenigen passen, welche entweder die Mathematik blos als Verstandes-Bildungs-Wissenschaft studiren, oder welche die Resultate derselben in ihren Geschäften benutzen wollen. Für den letzten Zweck ist das p r a c t i s c h e R e c h n e n m i t z ä h l e n u n d Logarithmen besonders ausführlich u n d genau abgehandelt worden. W e r weniger als den ganzen Inhalt des Buchs durchgehen will, für D e n sind die Sätze, welche dann übergangen werden können, mit kleinerer Schrift gedruckt.

XII

V o r r e d e .

Kenner, welchen die Wissenschaft am Herzen liegt, wird vielleicht das Buch wegen seines eigentümlichen, oben bemerkten Zwecks interessiren. Für sie sind die Abweichungen von den Ansichten Anderer, so wie das Vorzüglichste, was in dem Buche n e u ist, wie z. B. die Behandlung der Potestäten, des binomischen Lehrsatzes, der Winkel - Functionen, u. s. w. im Text selbst bezeichnet und zu rechtfertigen gesucht worden. Der Verfasser ist, wie es sein Zweck erforderte, überall blos seiner eigenen Ueberzeugung gefolgt, welche sich auf längeres, mehr als zwanzig]ähriges Nachdenken gründet. Er theilt die Resultate seiner Untersuchungen in dem Umfange des gegenwärtigen Gegenstandes mit. W i l l man diese Resultate mit Gewohntem vergleichen, so ist zu erinnern, dafs, wo sie davon abweichen, nicht etwa diese oder jene Autorität oder Meinung, sondern nur der Gegenstand selbst entscheidet. BerliD, im May 1825.

Der Verfasser.

I

n Die

E

Ii

a

1

t

Rechenkunst. Seite

inleilung E r s t or

Abschnitt.

Von dem Zahlensysteme und dem. Addirrn, Subtrahiren, Multipliciren und Dividiren der Zahlen. I. Von Zusammensetzung der Zahlen, oder dem Numcrircn. 10 II. Von der Addition der Zahlen i4 I I I . Von der Subtraction der Zahlen. . . . . ao I V . Von der Multiplication ganzer Zahlen. . . . 36 V . Von der Division. . . . . . . . 6o Zweiter Von den Brüchen und der Addition und Subtraction

Abschnitt. Multiplication, derselben.

Division,

Erste Abt h eilung. V o n den B r ä c h e n im Align m n i n e n . I. Erklärung der Eigpiiiichaflcn der Brücho. : II. Von der Addition und Subtraction der Brüche. . I I I . Von der Multiplication und Divisioti der Brüchr.

. . .

Zweite Abtheilung. V o n d e n D e c i m a l b r i ' i c h e n 11 n d d e r A d d i t i o n , S u b t r a c t i o n , M u l t i p l i c a t i o n und D i v i s i o n derselben. I . Von den Decimal - Brüchen überhaupt. . • II. Von der Addition und Subtraction der Decimalbrüche. III. Von der Multiplication der Decimal - Brüche. . . I V . Von der Division der Decimalbrüche. . • . Dritter Von den ineommensurablen Subtraction, Multiplication

-¡5 85 91

107 111 xia 121

Abschnitt. Gröfsen, deren und Division.

Addition, . i3o

xxv

I n h a l t .

V i e r t e r Abschnitt. Von der Addition, Subtraction, Multiplication Division zusammengesetzter Gröfsen. , .

Seite

und . i4o

I. Von der Addition und Subtraction zusammengesetzter Gröfsen i4i II. Von der Multiplication und Division zusammengesetzter Gröfsen. A. Von der Multiplication zusammengesetzter Gröfsen. >55 B. Von der Division zusammengeselzter Gröfsen. . »65 Fünfter

Abschnitt.

Von einigen Eigenschaften der Zahlen; dungen auf das Rechnen.

mit

Anwen-

I. Von den Primzahlen. 187 II. Von den zusammengesetzten Zahlen und ihrer Zerlegung in Factoren 189 III. Kennzeichen der Theilbarkeit der Zahlen und der Reste, wenn die Zahlen nicht aufgehen. . . . .19^ IV. Von den Primzahlen unter sich und den gemeinschaftlichen Facloren zweier und mehrerer Zahlen. . 208 V. Von den Ziffer-Perioden und ihren Anwendungen auf Brüche. 225 VI. Von einigen andern Eigenschaften der Zahlen. . . 239 VII. Von noch einigen einfachen Rechnungsvortheilen. . a4a VIII. Von den Kettenbriichen. . . . . . . 260

Sechster Abschnitt. Von den Aufgaben, die sich unmittelbar durch Addition , Subtraction, Multiplication und Division auflösen lassen 291 Erster The il. Von der A u f l ö s u n g der auf b l o f s e Addition, Subtraction, Multiplication undDivisionsich beziehenden Gleichungen ersten Grades. Erste Abtheilung. Von der Auflösung der Gleichungen ersten Grades mit einer einzelnen unbekannten Gröfse, . , , . Zweite Abtheilung. Von Auflösung der Gleichungen ersten Grades mit mehreren unbekannten Gröfsen: I. wenn eben so viele Gleichungen als unbekannte Gröfsen vorhanden sind. . . . . . . . . II. W e n n mehr oder weniger Gleichungen des ersten Grades als unbekannte Gröfsen vorhanden sind. Erstlich. W e n n mehr Gleichungen als unbekantc Gröfsen gegeben sind. . Zweitens. W e n n weniger Gleichungen als unbekannte Gröfsen vorhanden sind. , . . •

sg3

299

3i4 3i6

I n h a l t .

x v

Zweiter Theil. V o n dem A u s d r u c k e der auf A d d i t i o n , S u b t r a c t i o n , M u l t i p l i c a t i 011 u n d D i v i s i o n s i c h b e z i e h e n d e 11 A u f g a b e n durch Zeichen und Gleichungen. Aulgaben für Aufgaben für A u f g a b e n fiir Subtraction

die A d d i t i o n u n d S u b t r a c t i o n . . . . die M u l t i p l i c a t i o n u n d D i v i s i o n . . , . die M u l t i p l i c a t i o n u n d D i v i s i o n , A d d i t i o n u n d zugleich. . . . . . . . S i e b e n t e r

A c h t e r

und

328 33o 33a 344

A b s c h n i t t .

Von den Näherungen und unbestimmten Cocfficienten.

Von den Potestäten

Seit»

352

A b s c h n i t t .

Logarithmen.

I. II.

E n t s t e h u n g d e r Pole,stillen u n d L o g a r i t h m e n . ; : 372 Allgemeine Hemcrkungen und F o l g e r u n g e n f ü r Potestäten - A u s d r ü c k e . 37g III. E n t w i c k l u n g d e r P o t e s t ä t e n - A u s d r ü o k e . . . , 386 I V . E n t w i c k e l u n g der L o g a r i t h m e n - A u s d r ü c k e . , ; 397 V I . Entwickelung der E x p o n e n t i a l - G r ö f s e n . . . . 42g V I I . V o m Ausziehen der W u r z e l n . A . V o m Ausziehen der W u r z e l n aus Z a h l e n . . ; 43l B . V o m Ausziehen der W u r z e l n aus Buchstaben - A u s drücken " 456 VIII. V o m Gebrauche der Logarithmen. » , ; 458 N e u n t e r

Von

den imaginairen

A b s c h n i t t .

oder eingebildeten Gröfsen.

Z e h n t e r

A b s c h n i t t .

Von den imaginairen Logarithmen nannten Kreis-Gröfsen E i l f t c r

oder den soge492

A b s c h n i t t .

Von den Gleichungen des zweiten, und der folgenden Grade I.

479

dritten,

vierten

V o n der A u f l ö s u n g der Gleichungen mit einer unbekannten Grcifse. A . V o n den Gleichungen mit einer unbekannten G r ö f s e überhaupt. B . V o n d e n G l e i c h u n g e n m i t zwei G l i e d e r n . C . V o n der A u f l ö s u n g der G l e i c h u n g e n zweiten dritten u n d vierten Grades. k ) G l e i c h u n g e n zweiten Grades. . , |9) G l e i c h u n g e n dritten G r a d e s . . . y) G l e i c h u n g e n vierten G r a d e s . . .

528

531 5Gi

565 568 58z

n

XVI

l t. Seite

D . Von einigen Gleichungen beliebiger Grade, die »ich ohne Probiren auflösen lassen. . . . . ßqo E . Von der Aullösung der Gleichungen durch Probiren. (io5 II. Von Auflösung beliebiger Gleichungen mil mihreren unbekannten Gröfsen. Gyfi

Zwölfter Abschnitt. Von den Differenzen und Summen, von den Reihen Einschalten. und dem I. II. III. IV. V. VI.

Differenzen-Reihen Summen • Reihen. Potestäten - Heilten. Geometrische-Reihen. Rüchlaufende- Reihen. Vom Einschalten

. . .

.

.

.

.

.

703 721 733 7-^9 7 'i 7 7 54

Die

Die

R e c h e n k u n s t . Einleitung.

w

enn man die verschiedenen, mehr oder weniger gemeinsamen Eigenschaften der sinnlichen Dinge, z. B. der Körper, ihrer Bewegungen, ihrer Veränderungen, der Begebenheiten überhaupt u. s. w. näher betrachtet, so bemerkt man bald, dafs einige dieser Eigenschaften, sey es allein oder verbunden mit andern, an einem Gegenstande mehr oder weniger, oder in stärkerem oder schwächerem Maafse angetroffen werden, als am andern, / u m Beispiel; jeder Körper nimmt einen gewissen Raum ein und die Ausdehnung im Räume ist eine gemeinsame Eigenschaft aller Körper. Allein dieser Körper nimmt mehr oder weniger Raum ein, als jener, und folglich ist die räumliche Ausdehnung, obgleich sie eine gleiche Eigenschaft aller Körper ist, an einem Gegenstande mehr oder weniger anzutreffen, als am andern. Eben so sind alle Körper der Wirkung der Schwerkraft unterworfen und haben daher ein gewisses Gewicht. Allein ein Körper hat ein gröfseres Gewicht als ein anderer, je nach ¿einer Dichtigkeit und räumlichen Ausdehnung zugleich. Also ist die Eigenschaft des GeCrelle's Rechenkunst I.

I

2

Einleitung.

2

w i c h t s , obgleich allen Körpern ebenfalls gemein, an dem einen in schwächerem oder stärkerem Maafse vorhanden, als am andern. Mit der Wärm e , der Harte, der Electricität der K ö r p e r ; mit der Stärke des Lichts, mit der Stärke der Kräfte, welchen die Körper unterworfen sind, mit der Zeitdauer der Begebenheiten u. s. w. verhält es sich eben so. Alles dieses sind also Eigenschaften der D i n g e , die, obgleich an allen Dingen von derselben A r t , dennoch an einem Gegenttande in stärkerem oder schwächerem INTaafsevorvommen, als am andern. Man nennt Eigenschafskn dieser A r t , G r ö f s e n . Im gemeinen Leben versteht man zwar unter dem W o r t e Gröfse gewöhnlich nur die räumliche Ausdehnung der K ö r p e r ; allein hier soll das W o r t in der obigen allgemeineren Bedeutung genommen werden. Alles was an sinnlichen Gegenständen mehr o d e r w e n i g e r s e y n oder z u u n d a b n e h m e n k a n n , heifat Gröfse. 2.

Da die Gegenstände gewöhnlich mit einander in gewissen Verbindungen stehen, so Iiiingen nothwendig auch ihre G r ö f s e n von einander a b , das heifst: die Gröfsen in Verbindung stehender Dinge r i c h t e n sich nacheinander, nach Art der Verbindung, und wenn eine Grofse sich verändert, können die andern nicht alle unverändert die nämlichen bleiben. Z. B. die vern schiedenen T h e i l e irgend eines Werkzeuges, Kraft und L a s t , Reibung und die andern W i derstände sind Dinge, die in gewissen Verbindungen stehen. Deshalb müssen auch nothwendig die Gröfsen dieser Dinge, nämlich die Ab-

3

Einleitung.

5

messungen der Theile des Werkzeuges, die Masse derselben, die Gröfse der Kraft und der Last, die Geschwindigkeit der Bewegung u, s. w. von einander abhängen, und keine dieser Gröfsen kann sich allein verändern: Vergröfsert man z. B. die Last, und das Uebrige bleibt, so mufs nothwendig auch die Kraft zunehmen. Verändert man die Abmessungen der Theile, oder die Geschwindigkeit, 10 mftiaen sich die Widerstände, oder diä Kraft, oder die Last ebenfalls verändern u. ». w, Pia Aeiten und Winkel einer von graden Linien rnnuchloMonon F i g u r sind in Ver* b i n d u n g stehende Dinge; also mi'lasen auch d i e

Gröfsen dieser Dinge, nämlich die Längen der Linien und die Gröfsen der Winkel auf irgend eine Weise von einander abhängen und keine dieser Gröfsen kann sich allein verändern, ohne Einflufs auf die anderen.

Es giebt also nothwendig für die Abhängigkeit der Gröfsen in Verbindung stehender Dinge gewisse Gesetze und Regeln. Der Inbegriff dieser Gesetze, und die Kunst, vermittelst derselben die Gröfsen auseinander zu finden, heifst M a t h e m a t i k , oder G r ö f s e n l e h r e .

5Die V e r s c h i e d e n h e i t , oder das stärkere oder schwächere Maafs, das M e h r oder W e n i g e r , oder das Z u - und A b n e h m e n der Dinge, durch welches sich allein G r ö f s e n einerlei Art von einander unterscheiden, läfst sich mit Hülfe des Begriffs von M e n g e vorstellig machen, oder ausdrücken. Z. B. die räumliche Ausdehnung, oder das Gewicht eines Körpers, oder die Länge einer Li-

4

Einleitung.

4

nie können den Raum oder das Gewicht eines andern Körpers oder die Länge einer andern Linie m e h r m a l enthalten, oder V i e l f a c h e und also jene von diesen T h e i l e , oder vielleicht Vielfache von Theilen seyn. Durch etwas Anderes als die Vielfachheit unterscheiden sich die blofsen Ausdehnungen, die Gewichte der Körp e r , die Längen der Linien etc. an und für sich nicht; allein wenn man die Mengen jener Vielfachen bezeichnet, so drückt man dadurch die eine Gröfse in Vergleich z u einer andern von derselben Art näher und vollständiger aus. Die Menge ist also eine allgemeine Eigenschaft a l l e r Gröfsen. Der Begriff derselben findet zwar schon auch da überall Anwendung, w o nur irgend e i n e G l e i c h h e i t vorhanden ist, und man kann selbst die ungleichartigsten Dinge unter den Begriff der Menge vereinigen, w e n n man z, B. etwa die Dinge blos an und für sich betrachtet, ohne besondere Rücksicht auf ihre verschiedenen Eigenschaften; allein bei gleichartigen Gröfsen dient die Menge insbesondere zur Unterscheidung und zur Vergleichung der Grössen unter sich. Sie mufs auf solche Gröfsen nothwendig um so mehr anwendbar s e y n , w e i l sich in g l e i c h a r t i g e n Gröfsen um so mehr auch g l e i c h e Gröfsen befinden müssen. 4. D i e Vergleichung durch die Menge geschieht, •wenn man bezeichnet, w e l c h e Vielfachen oder • w e l c h e Theile, oder w e l c h e Vielfachen von Theilen gegebene Gröfsen irgend einer Art von einer und derselben andern, entweder gegebenen oder willkürlich angenommenen Gröfse derselben Art

4

Einleitung.

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sind z. B. wenn von mehreren Körpern die Gewichte zu vergleichen wären, so nimmt man irgend ein Gewicht, z. B. ein Ffund ein für allemal an, und drückt aus, welche Vielfachen oder welche Theile, oder vielleicht welche Vielfachen von Theilen dieses Ptjindes die Gewichte der andern Körper sind. Da hierdurch die verschiedenen Gewichte alle auf e i n Gewicht, nem. lieh auf das Pfund gebracht werden, so geschieht die ganze übrige Ver^lcichiing Mos durch die Mengen der Vielfachen und der Theile allein. Da min der llegvlfl dov Monge auf alle Arien von Grüften gleioh pnfit, »o geichicht die Vergleichung bei allen Gröfsen auf dieselbe Weise. Die Menge ist also ein allgemeines Mittel zur Vergleichung aller Gröfsen. Man bringt mit Hülfe des Begriffs derselben jedesmal alle Gröfsen einerlei Art auf eine einzige und es kommt bei der Untersuchung der Abhängigkeit der Gröfien in Verbindung stehender Dinge, aufser nuf die Untersuchung der Eigentümlichkeiten und Verbindungen jener einzelnen Gröfsen, auf welche die übrigon gebracht worden sind, nur noch auf die Vergleichung und Verbindung der verschiedenen M e n g e n an, welche für alle möglichen Gröfsen von der nämlichen Art ist. Die Ausdrücke, welche die verschiedenen Mengen von einander unterscheiden, heifsen Z a h l e n . Das Verfahren, beliebige Gröfsen einerlei Art, auf eine und dieselbe Gröfse der nemlichen Art, mit Hülfe des Begriffs der Menge zu beziehen, heifst M e s s e n und die einzelnen Gröfsen, auf welche alle übrigen bezogen werden, heifsen M a a f s e , und in so fern im ganzen Laufe der Untersuchung für eine und dieselbe

6

Einleitung.

Art Gröfsen nur e i n e soloho Grüfte vorkommt, Einheiten. Jede Gröfse läfst sich also durch eine Zahl und durch ein Maafs oder eine Einheit ausdrükken oder m e s s e n und man kann umgekehrt sagen; alles was sich durch eine Zahl und eine Einheit, oder ein Maafs ausdrücken läfst, ist Gröfse, 5Da auch die Zahl ab- und zunehmen oder gröfser und kleiner werden kann, so ist auch sie selbst eine Gröfse und zwar die allgemeinste, von keiner besonderen Eigenschaft der Dinge abhängige Gröfse, mit deren Hülfe alle andere Gröfsen ausgedrückt und mit einander verglichen werden können. Sie hat die Eigenschaft, dafs sie nicht anders als A b s a t z w e i s e ab- und zunimmt, weil zwischen zwei Zahlen, die um Eins verschieden sind, keine andere Zahl liegt. Man nennt Gröfsen von der A r t , dafs zwischen zweien von irgend einem Unterschiede keine andere Gröfse derselben Art liegt, d i s c o n t i n u i r l i c h e , oder u n s t e t i g e Gröfsen. Die Zahl ist indessen gleichwohl völlig geschickt, auch Gröfsen, die o h n e Absatz wachsen und abnehmen, die also von der Art sind, dafs es keine zwei von einigem Unterschiede giebt, zwischen welchen nicht noch Gröfsen von derselben Art lägen, und die man c o n t i n u i r l i c h e oder s t e t i g e Gröfsen nennt, vollkommen genau zu messen, weil man vermittelst der Zahl so k l e i n e Theile stetiger Gröfsen als man will und folglich Gröfsen ausdrücken kann, die

6

Einleitung•

7

von den gegebenen u m w e n i g e r verschieden sind als die kleinste Gröfse. Dieserhalb v e r t r i t t sogar die Z a h l , ü b e r a l l , w o es auf das M e h r oder W e n i g e r Und auch auf die V e r g l e i c h u n g von Gröfsen a n k o m m t , allgemein die Stelle der Gröfsen selbst. 6. Da auf diese W e i s e die Zahl an die Stelle jeder beliebigen Gröfse gesetzt w e r d e n k a n n u n d es dann auf die E i g e n t h ü m l i c h k e i t der verschiedenen Arten von Gröfsen, w e l c h e sie aus d r ü c k t , gar n i c h t w e i t e r a n k o m m t , so müssen auch die Regeln f ü r die Abhängigkeit der Zahlen u n t e r sich u n d f ü r i h r e Zusammensetzung, n o t h wendig f ü r sich allein bestehen u n d von d e m ü b r i g e n Inbegriff der Gesetze f ü r die Abhängigkeit der Gröfsen sich trennen lafsen. D e r Inbegriff der auf diese Weise entstehenden Regeln der Abhängigkeit u n d Zusammensetzung der Zahlen insbesond e r e , u n d die K u n s t , dieselben, vermittelst dieser R e g e l n , nach Maafsgabe der Abhängigkeit der Gröfsen in Verbindung stehender Dinge, w e l c h e sie a u s d r ü c k e n , z u finden, heifst R e c h e n k u n s t . Dieser T h e i l der M a t h e m a t i k g e h t . d e n andern v o r h e r , weil er auf Alle gleich anw e n d b a r u n d f ü r Alle gleich n o t h w e n d i g ist. E r e n t h ä l t die allgemeinsten S ä t z e , denn er bezieht sich auf keine besonderen sinnlichen Eigenschaften der D i n g e , sondern geht blos von d e m Begriffe der M e n g e a u s , w e l c h e r o h n e An. schauung f ü r sich selbst klar ist.

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Einleitung.

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7Die Rechenkunst, verbunden mit den 'eigentümlichen Sätzen und Regeln für andere bes t i m m t e Gröfsen, giebt die andern Theile der Gröfsenlehre, die um so zusammengesetzter sind, je mehr, durch Erfahrung gegebene Eigenschaften der Dinge in Betracht gezogen werden. Die Zahlenlehre allein bedarf keiner Anschauung und Erfahrung. Sie folgt blos aus Schlüssen der Vernunft, ohne Hülfe der Sinne» Derjenige Theil der Mathematik, welcher ausschliefslich die A u s d e h n u n g der Körper, oder die R ä u m e , die sie einnehmen, zum Gegenstande hat, heifst G e o m e t r i e . Ein anderer Theil, welcher sich mit den K r ä f t e n und ihren W i r k u n g e n beschäftigt, heifst M e c h a n i k und zwar, wenn keine Bewegung erfolgt, S t a t i k , wenn Bewegung erfolgt, D y n a m i k , Auch andere, als Gröfsen zu betrachtende oder m e f s b a r e Eigenschaften der Dinge, z. B. die Wärme, das Licht, die Electricität, die chemische Mischung und Bildung der Körper u. s. w. kann man, in so fern ihre allgemeinen Gesetze bekannt sind, der Gröfsenlehre unterwerfen. Die Untersuchung dieser Gröfsen giebt die mathematische Theorie der Wärme, die Theorie des Lichts, mit ihren geometrischen Abschnitten, der O p t i k , C a t o p t r i k , D i o p t r i k , die mathemathische Theorie der Electricität, die chemische Statik, die Crystallopraphie u. s. w., wovon aber bis jetzt vorzüglich nur die Geometrie, oder die Raumlehre, die Mechanik, oder die Lehre von der Bewegung, und die geometrische Theorie des Lichts weiter entwickelt sind. Auch entstehen aus der Anwendung dieser oder jener Ab-

7

Einleitung.

9

schnitte der Gröfsenlehre auf bestimmte Gegenstände wiederum besondere Abtheilungen, z. B» die Anwendung der Lehre von der Bewegung und Tom Licht aui die Himmelskörper insbesondere, giebt die A s t r o n o m i e . Die Anwendung der Mechanik und der chemischen Statik auf flüssige, elastische oder unelastische Körper giebt die H y d r o s t a t i k und H y d r o d y n a m i k u. s. w. Allen diesen verschiedenen Theilen der Mathematik und ihren Anwendungen geht aber mit Recht die Rechenkunst voran, weil diese keines andern Abschnitts nöthig hat, wohl aber alle anderen Theile der Rechenkunst bedürfen.

Erster

Abschnitt.

Von dem Zahlensysteme und dem Addiren, Subtrahiren, Multip liciren und Dividiren der Zahlen. I. V o n Z u s a m m e n s e t z u n g d e r Z a h l e n , oder dem N u m e r i r e n . 8. D i e Zahl ist (nach 3) das Zeichen für die Menge. Die Menge entsteht, wenn man zu Einem ein Anderes , Gleiches und wiederum Eins u. s. w. hinzuthut. Die Einzelheit wird durch das W o r t E i n s und das Zeichen 1 ausgedrückt und zwar bezeichnen E i n s •und 1 nicht sowohl einen Gegenstand selbst, sondern •vielmehr die E i n z e l h e i t desselben. Kommt ein zweites Gleiches hinzu, so bezeichnet man die Menge durch das W o r t Z w e i und das Zeichen 2. Kommt abermals Eins hinzu, so bezeichnet man die Menge durch das W o r t D r e i und das Zeichen 3 u. 6. w. die durch fernere Hinzufügung neuer Einheiten entstehenden Mengen durch die W o r t e V i e r , F ü n f , S e c h s , S i e b e n , A c h t , N e u n u n d durch die Zeichen 4 , 5, 6 , 7, 8, 9. Diese Zahlzeichen heifsen Z i f f e r n , 9. Da man aber mit dem Hinzuthun gleicher Gröfsen ohne Ende fortfahren bann, so würden der Zahl e n - N a m e n und Zahlen - Zeichen bald 60 viele werd e n , dafs das Gedächlnifs sie nicht mehr fassen

IO

Erster

Vom

Abschnitt.

11

Numeriren.

k ö n n t e , •wenn man nicht mit einer mäfsigen Menge von W o r t e n und Zeichen a l l e m ö g l i c h e Z a h l e n , so grofs sie auch seyn mögen, auszudrücken suchte. Dieses geschieht durch die sogenannten Z a h l e n - S y s t e m e , vermöge welcher ein und dasselbe Zahlen - Z e i c h e n , b l o s d u r c h s e i n e S t e l l u n g , mehrere Bedeutungen bekommt, die W o r t e für grössere Zahlen aber nach einer gewissen Regel zusammengefügt werden.

10. Es ist gleicfigliltig, wie \ielen auf einander folgenden Z a h l e n , von der Einheit a n , man besondere Ñamen und Zeichen beilegt, wenn deren nur nicht z u viele sind. Fast allgemein giebt man den n e u n ersten Zahlen besondere Namen und Z e i c h e n , nämlich die obigen (8.) Fügt man zu diesen neun Namen und Zeichen noch die Benennung N u l l und das Zeichen O für das was bleibt, w e n n m a n v o n e i n e r b e liebigen Menge eine gleiche Menge hinw e g n i m m t , also von N i c h t s , hinzu, so lassen sich mit diesen wenigen Zeichen, und durch Biegung und Zusammensetzung der Benennungen, alle Z a h l e n , so grofs sie seyn mögen, wie folgt bezeichnen und benennen. Um nämlich die M e n g e , welche entsteht, wenn z u 9 noch Eins hinzukommt, durch ein Zeichen auszudrücken setzt man von Neuem die i , mit einer Null daneben, also i o , welches nun gleichsam eine neue Einheit bezeichnet, die zehn ursprüngliche Einheiten enthält, nämlich die Einzelheit einer Grüfse, welche so grofs ist als zehen von denen, die ursprünglich zur Einheit angenommen wurden. Man nennt diese Zahl Z e h n und als gröfsere Einheit betrachtet, Z e h n e r . Das Zeichen o hinter der i drückt zweierlei a u s ; nämlich dafs die i vor der Null nunmehr zehn ursprüngliche Einheiten bezeichnet und dafs keine ursprüngliche Einheit aufserdem weiter vorhanden ist. Kommt von Neuem eine ursprüngliche Einheit h i n z u , so setzt man an die Stelle der N u l l zur Rechten, eine i ; also n , welches bedeutet, dafs nunmehr

Erster

Abschnitt.

11

Vom Numeriren. eine Einheit von zehn ursprünglichen Einheiten, oder ein Z e h n e r und aufserdem noch eine ursprüngliche Einheit vorhanden ist. Diese Zahl lieifst E i l f. Kommt abermals eine Einheit h i n z u , so schreibt man statt der 1 zur Rechten eine 2 , also 12, welches anzeigt, dafs ein Zehner und noch 2 ursprüngliche Einheiten vorhanden sind u. s. w. Ist man auf diese W e i s e bis 1 9 gekommen, so mufs die folgende Zahl n o t h w e n d i g durch 20 bezeichnet werden $ denn es sind nunmehr zehn neue ursprüngliche Einheiten, also ein neuer Zehner zu einem Zehner hinzugekommen und folglich jetzt zwei Zehner vorhanden. Die folgenden Zählen sind, nach derselben Regel, 2 1 , 22 u. s. w. Auf 29 folgt, aus einem ähnlichen Grunde wie bei 19 und 2 0 , die Zahl 3o, hierauf 3 i , 3a u. s. w. Ist man bis 90 und von da bis 99 gelangt, so mufs die folgende Zahl n o t h w e n d i g durch 100 bezeichnet wer • d e n , denn es 6ind jetzt zehn volle Zehner vorhanden , die nach dem einmal angenommenen Systeme durch 1 0 , mit noch einer Null zur Rechten, um die Zehner von den Einern zu unterscheiden, bezeichnet werden müssen. Diese zehn Zehner machen jetzt wiederum gleichsam eine neu« Einheit a u s , welche H u n d e r t heifst, und die folgende Zahl ist nothwendig 1 0 1 , die folgende 1 0 2 u. s. w* Auf 109 folgt i i o , auf »19, 120 u. s . w . auf 1 9 9 , 2 0 0 , auf 999, 1000, weil nunmehr zehn Hunderte vorhanden sind, welches eine neue Einheit i s t , die T a u s e n d heifst; die auf Tausend folgende, zehnmal gröfsere Einheit heifst Z e h n t a u s e n d , die nächste, zehnmal gröfsere Einh e i t , H u n d e r t t a u s e n d , die auf diese folgende, M i l l i o n , die folgenden heilsen, Z e h n - M i l l i o n e n , H u n d e r t - M i l l i o n e n , B i l l i o n u. s. w . So läfst sich, blos durch zehn Zahlzeichen, jede noch so grofse Zahl ausdrücken. Die Regel dieses Aasdrucks heifst: Z a h l e n s y s t e m . 11. Das Zahlensystem mit zehn Zahlzeichen heifst das D e c a d i s c l i e . Da es , wie gesagt, gleichgültig i s t , wie vielen auf einander folgenden Zahlen, von Eins a b , m a n besondere Namen und Zeichen giebt,

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Erster

Abschnitt.

13

Vom Numeriren. die nur hernach im Systeme immer wiederkehren müssen (§. 10) so giebt es noch beliebige andere Z a h lensysteme. M a n kann z. B. ein System blos mit z w e i Zahlzeichen machen, welches] das D y a d i s c h e heifst. In diesem Systeme w i r d schon die Z a h l Z w e i durch 10 bezeichnet, nemlich als eine neue gröfsere Einh e i t , die Z a h l D r e i durch 1 1 , die Z a h l V i e r durch 1 1 0 , Fünf durch 1 1 1 u. s. w . Das Dyadiache System scheint bei einigen V ö l k e r n , z. B. bei don Chinesen, im Gebrauch gewesen z u seyn. Für gröfsere Z a h l e n ist es, w e g e n der often "Wiederholung der Z e i c h e n , unbequem. Eben so sind mich die Systeme mit drei, v i e r , fünf u. «. W, Znhlr.cichon nicht so bequem als da* Doonditolifl. Das System mit 12 Zahlzeichen scheint in so lern vor dein Docndischeti V o r z ü g e zu h a b e n , wie die Z a h l 12 eine gröfsere Z a h l von T h e i l e r n hat, als die Z a h l 1 0 , welches auch wahrscheinlich der Grund ist, w a r u m man häufig M a a f s e , z. B . Fufse und R u t h e n , in 12 T h e i l e , nämlich in 12 Z o l l e und 12 Fufse theilt. Das Decadische System ist indessen allgemein angenommen. W a h r s c h e i n l i c h ist es ursprünglich aus der Z a h l der Finger an den beiden Händen entstanden , wonach die ältesten V ö l k e r z ä h l t e n , ehe die Schrift in» Gebrauch w a r . Die jetzt allgemein gebräuchlichen Znlilzeichen oder Ziffern sind A r a b i s c h e n Ursprungs und haben v o r den R ö m i s c h e n Z e i c h e n , deren man sich noch hier und da b e d i e n t , den grofsen V o r z u g , dafs sie alle m ö g l i c h e , auch die gröfsesten Z a h l e n , nach einer und derselben einfachen Regel a u s d r ü c k e n , welches bei den Römischen Zahlzeichen nicht der F a l l ist. Die V e r w a n d l u n g eines Zahlzeichens des decadischen Systems in das gleichgeltende Zeichen eines beliebigen andern Systems hat weiter keine S c h w i e rigkeit. Sie kann erst erklärt w e r d e n , w e n n die D i vision abgehandelt worden ist. D e r Gegenstand hat indessen keinen besondern practischen N u t z e n , w e i l kein anderes Zahlensystem als das Decadische gebräuchlich ist.

Erster

Abschnitt.

12. 13

Addition ganzer Zahlen. II. V o n d e r A d d i t i o n d e r Z a h l e n .

12. Es Icönnen häufig, 'wenn sich Gröfsen einerlei Art an einander fügen, mehrere Zahlen oder Mengen gleicher Einheiten z u s a m m e n g e z ä h l t und durch eine einzige Zahl ausgedrückt werden sollen. Diese Operation des Zusammenzählen« heifst A d d i t i o n und die Zahl, welche so -viele Einheiten enthält, als die addirten Zahlen zusammengenommen, S u m m e . Die Addition ist die erste und einfachste Operation der Rechenkunst. W e n n sie Statt finden soll, so müssen die Einheiten der verschiedenen, zusammenzuzählenden Mengen unter sich g l e i c h s e y n , welches die nemliche Bedingung ist, die auch schon das Zahlensystem voraussetzt. 13. Die Bezeichnung des Addirens durch W o r t e kann, wenn die Operation wiederholt, oder in Verbindung mit andern Operationen vorkommt, leicht weitläuftig werden. Es ist alsdann kürzer und deutlicher, sich dazu blos irgend eines Zeichens zu bedienen. Man nimmt das Zeichen -j-, welches p l u s ansgesprochen wird und welches man zwischen die 7.u addirenden Zahlen setzt. So heifst z. B. i3 + 9 wörtlich so viel als: d i e Z a h l e n i 3 u n d 9 s o l l e n a d d i r t o d e r i h r e Ei n h e i te n s o l l e n i n e i n e Z a h l z u s a m m e n g e z ä h l t w e r d e n . 4 + 11 + i 3 heifst: d i e Z a h l e n 4 , 1 1 u n d 3 s o l l e n a d d i r t o d e r z u s a m m e n g e z ä h l t w e r d e n u. s. w . Es verhält sich init dieser kürzern Bezeichnungsart durch Z e i c h e n statt durch W o r t e , ganz wie mit den Ziffern statt der W o r t e , für die Zahlen. Man kann allcrdigs alle Zahlen auch durch W o r t e , •wie z. B. Vier, Fünf, Acht, Eilf, Hundert u. s. w. ausdrücken, aber kürzer ist es offenbar, statt der W o r t e blofse Zeichen 4 , 5 , 8, 11, 100 u. s. w. zu setzen. Bei O p e r a t i o n e n ist der Ausdruck durch Zeichen, wie die Folge zeigen wird, noch viel nützlicher.

14- 15-

Erster

Abschnitt.

Addition ganzer

15

Zahlen.

14. Das Zeichen -f allein drückt aber noch nicht •vollständig aus, was beim Addiren in B e t r a c h t kommt. Man findet nämlich durch diese Operation aus gegebenen Zahlen oder Gröfsen andere Zahlen oder Gröf s e n , welche die S u m m e n der zu addjrenden Z a h len oder Gröfsen sind. Es kommt also eigentlich e i n zweifacher Ausdruck einer und derselben ( J r ö f s e i n B e t r a c h t , nämlich die zu addirenden Z a h len und ihre Summe. Beide bedeuten völlig eins und dasselbe und sind folglich einander g l e i c h . Es ist also auch noch nöthig, die G l e i c h h e i t der beiden lil«n , uümlirb der Summe und der zusammenzuftUiileiulon Zahlen, su buroiclinen. I)a die G l e i c h h e i t noch in vielen andern Füllen v o r k o m m t , so ist es sehr nöthig, auch für sie ein Zeichen r.u haben. M a n bedient sich dafür des Zeichens = , welches man zwischen die gleichen Zahlen, oder zwischen die gleichen Gröfsen setzt. S o heifst 4 + 7 = n so viel a l s : die Summe der beiden Zahlen 4 und 7 ist der Z a h l 11 gleich, oder die Zahlen 4 und 7 enthalten zusammen so viele Einheiten als die Z a h l 1 1 . Die Zeichen 3 + i 5 + 2 = 20 heifsen so viel a l s : die 8umino clor drei Zahlen 3 , i 5 und 2 ist der Z a h l flu ylttioh, oder die Z a h l e n , 3 , i 5 und 2 enthalten zusammen so viele Einheiten, als die Zahl 20 u. s. w . Ein Ausdruck, worin das Gleichheits - Zeichen v o r k o m m t , heifst, zusanimengouominen, G l e i c h u n g . Sind zwei Gröfsen nicht sowohl einander gleich, als vielmehr u n g l e i c h , so bezeichnet man die U n gleichheit durch das Zeichen 5? • Die Spitze des Z e i chens > wird allemal der kleineren Gröfse zugekehrt. S o z. B . ist 6 > 3 , 2 < • 4. 15. Die beiden vorigen Paragraphen machen schon die Abkürzung und die Deutlichkeit, folglich den Nutzen der Zeichen statt der W o r t e bemerklich. Man kann mit dieser Abkürzung noch weiter gehen. Selbst schon bei der Addition. Es kann nämlich k o m m e n , dafs man blos ausdrücken soll, d a f s Zahlen oder

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Erster

Abschnitt.

15

Addition ganzer Zahlen. Gröfsen zu addiren sind, gar nicht welche, vielmehr dafs es g l e i c h v i e l sey, welche Zahlen oder Gröfsen zur Summiirung kommen. Dieses würde sich mit Zahlzeichen oder Ziffern gar nicht thun lassen. Denn wenn man diese oder jene Ziffern setzen wollt e , so würde man immer nur an diese bestimmten Ziffern erinnert werden, nicht, wie es seyn soll, an jede mögliche Ziffer. Es ist also nothwendig, dafs man Zeichen hat f ü r G r ö f s e n o d e r Z i f f e r n ü b e r h a u p t , die keineswegs etwa b e s t i m m t e Gröfsen, oder Zahlen ausdrücken, wie etwa die Ziffern, sondern welche blos Zeichen für die W o r t e : Zahl, Gröfse und dergleichen sind, jedoch zugleich eine von der andern unterscheiden. Man bedient sich zu diesen Zeichcn der B u c h s t a b e n , und zwar am gewöhnlichsten derjenigen des kleinen lateinischen Alphabets, sonst |aber auch anderer Alphabete. Dafs es der Buchstaben mehrere giebt ist gerade nützlich, weil, wenn man gleich keine bestimmten Gröfsen oder Zahlen ausdrücken will, dennoch die V e r s c h i e d e n h e i t e n der Gröfsen oder Zahlen, und zwar nicht sowohl ihrem W e r t h e nach, als nach ihrer Bedeutung, als Gröfsen und ihres Vorkommens bei den Operationen, auszudrücken sind. Soll also z.B. bezeichnet werden, d a f s überhaupt Gröfsen, oder die sie ausdrückenden Zahlen, gleichviel welche, zu a d j d i r e n sind und dafs sie diese oder jene Summe geben, so setzt man für die zu addirenden Zahlen verschiedene B u c h s t a b e n und für die Summe ebenfalls und verbindet diese Buchstaben durch die Zeichen, welche die Operation des Addirens und die Gleichheit ausdrücken, z. B. a + b — c. a b c — d, a-t-b-f-c-J-d — e. k + p + /' = = & + c + fc und b + « = b + (b + c). W i r wollen nun einen Augenblick annehmen, es sey wirklich b + c = c + b, so ist b + (¿> + c) oder b + a so viel als b + (c + b). Dieses letztere aber ist (nach I) so viel, als b + c + b , also ist fe+a = i > + c + b.

Erster

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Abschnitt.

23

Addition ganzer Zahlen. Es war aber auch also ist wirklich a -f- b = b + ol s o b a l d b -f c = c -f b ist. Die eine dieser beiden Zahlen b und c, nemlich c , ist um b kleiner als die gegebene Zahl «. Wiederholt man also das V e r f a h r e n , so wird die F r a g e , o b 6 + c = c + ft s e y , davon abhängen, ob zwei Z a h l e n , von welchen dio eine von neuem kleiner ist, als b oder c , verwechsell, «lio nomliche Summe geben oder nicht, und bei jeder Wiederholung des V e r fahrens kommt nuiii nulliwondig auf immer kleinere Zahlen. Um wie wenig aber auch die Zahlen nach und nach kleiner werden mögen: der Unterschied kann nicht geringer s e y n , als 1 , weil die Zahlen der Reihe nach u m e i n e v o n i h n e n abnehmen und von allen Zahlen 1 d i e k l e i n s t e ist. Da nun aber, wenn man immerfort auch nur 1 von gegebenen Z a h len hinwegnimmt, dieselben zuletzt nothwendig beide bis auf 1 abnehmen müssen, so mufs man nothwendig, die gegebenen Zahlen b und a mögen s e y n , welche man w i l l , zuletzt auf 1 -f 1 =3 1 | 1 kommen, wo tlie Gleichheit wirklich offenbar ist. Also linden auch alle vorhergehenden Gleichungen S t a t t , und folglich ist immer a b — & + a, die Zahlen a und b mögen seyn, welche man will. I V . W i r wollen ferner drei zu addirende Zahlen a, b, c annehmen, und untersuchen, ob sie beim Addiren nach Belieben verwechselt werden können. Die Summe der Zahlen ist 1) a + b + c. Nun ist (in III.) bewiesen , dafs a + b — b + ® ist, also ist auch, wenn man zu beiden gleichviel, nemlich noch c hirizuthut Ferner ist, wenn man sich a und b zusammen genommen, oder addirt, oder als eine einzige Zahl vorteilt, (nach III.) (« + b) + c = c + (o -f b). Das

H

Erster

Abschnitt.

19.

Addition ganzer JSahlen. letztere ist (nach I . ) = c + » + 1 ; also ist (a + b) •f- c == o 4• a + oder auch 5) n + 6 + c = c + a + &. Ferner ist, weil (nach III.) c + a = a + c ist, rechter Hand in der Gleichung ( 3 ) c + a + & = a + c + b, also a u c h , -vermöge der Gleichung (3). 4) a + 6 + c = a + c + &. Ferner ist (nach I.) a + (b + c) s= a + b + c und (nach III.) a + (b + c) = (b + c) + a oder weil (nach I.) a + (b + c) = a + b + c und (& + c) + a — & + c + a ist, 5) a + 6 + c = 6 + c + at Endlich folgt aus der Gleichung ( 5 ) , weil (nach I I I ) b + c = c + b ist, 6) a - f & + c = c + 6 + a. Es folgt also zusammengenommen aus den Gleichungen ( 4 , 2 , 5 , 3 und 6 ) , dafs Mehr Verwechslungen der drei Zahlen a , b und c sind nicht möglich. Also ist ihre Summe immer die nemliche, in welcher Ordnung man auch die Zahlen addiren mag. V . Das Nemliche läfst sich, und zwar durch ein gleiches Verfahren wie in I V . , für v i e r , fünf und eine beliebige Menge von Zahlen beweisen, welches w i r dem Leser auszuführen überlassen. Der Beweis (in I I I . I V . ) liefert schon ein Beispiel von dem Nutzen der Zeichen und von einem Falle, WO es gar nicht auf den W e r t h der Zahlen, sondern nur a u f O p e r a t i o n o n ankommt. Das V e r fahren nemlich in (II) t,u beweisen, dafs die Summe zweier b e s t i m m t e n Zahlen, wie 5 und 8, die nemliche ist, wem» man die Zahlen verwechselt, w a r zwar an sich strenge; allein nähme man zwei andere Zahlen an, so mUTste man eigentlich den Beweis von Anfang an wiederholen und so für jede zwei andere Zahlen. Drückt innn dagegen den S a t z , dafs zwei Zahlen bei der Addition verwechselt werden können, durch Buchstaben oder Zeichen aus, wiegln ( I I I . ) , so ist der Beweii allgemein und gilt ein für allemal, für alle mögliche Zahlen.

20. 21.

Erster

Abschnitt.

25

Addition ganzer Zahlen. 20. Man idarf also alle Zahlen, so viel ihrer seyn mögen, beim Addiren nach Belieben v e r w e c h s e l n . Die Summe ist immer die ncmliclie; und da nun jede Zahl, welche sie auch seyn mag, immer aus Einern, Zehnern, Hunderten, Tausenden etc. zusammengesetzt i s t , so kann man die Einer, die Zehner, die Hunderte u. s. w. auch e i n z e l n zusammenzählen. Die Summe der gegebenen Zahlen ist nothwendig diesen einzelnen Summen zusammengenommen gleich; denn es ist, wenn r. W. diu Zahlen 4285, g3 und 372 zu addiren waren, dio Summe derselben nichts an. clor« als 4ooo + soo + 80 + 6 + 90 + 3 + 3oo + 70 + 2. Nun können bowiosenermaarsen dio Theile einer Summe nach Uelieben verwechselt werden, also ist die Summe von 4285, g5 und 372 auch gleich 4ooo + (200 + 3oo) + (80 + 90 + 70) + (5 + 3 + 2 ) , so dafs man also die Tausende, die Hunderte, die Zehner und die Einer einzeln zusammenzählen kann.

21.

Ist die Zahl der Einer, der Zehner, der Hunderte u. s. w.» welche man beim Zusammenzählen findet, gröfser als 9 , 60 «nthält die Summe der Einer sogleich noch einen oder mehrere Zehner, vielleicht selbst Hunderte, die Summe der Zehner noch ein oder mehrere Hunderte, oder selbst Tausende u. s. w-, die also au den Zöllnern, Hunderten, Tausenden u. s. w. hinzukommen. Es mögen z. B. die beiden Zahlen 85o3g und 7198 zu addiren seyn, so beträgt die Summe der in den beiden Zahlen befindlichen 9 und 8 Einer, 17-oder 7 Einer und einen Zehner; die Summe der 3 und g Zehner beträgt 12 Zehner, oder mit dem einen Zehn e r , der von den Einern herkam, zusammengenommen i 3 Zehner oder 3 Zehner und 1 Hundert; die Summe der o und 1 Hunderte beträgt 1 und mit mit dem vorigen 1 Hundert zusammen, 2 Hundertej die Summe der 5 und 7 Tausende beträgt 12 Tautende oder 2 Tausende und 1 Zehntausend, welches letztere zu den 8 Zehntausenden der ersten Zahl getlian, 9 Zehntauseude giebt. Die Summe der beiden Zahlen ist also 92237 u. s. w.

26

Erster

Abschnitt,

2 2 . 23.

Addition ganzer Zahlen, 22. Gewöhnlich ichreibt man die Zahlen , welche addirt werden sollen, unter einander und zwar die Einer unter die E i n e r , die Zehner unter die Zehner u. s. w. Man zählt darauf die Einer, die Z e h n e r , die Hunderte nach der obigen Regel zusammen, schreibt aber nicht alle Ziffern der einzelnen Summen h i n , sondern von der Summe der Einer nur die Ein e r , die etwa von dieser Summe herkommenden Zehner behält man im Gedächtnifs und tlmt sie sogleich zu den folgenden Zehnern. Von der Summe der Zehner schreibt man nur die Zehner hin, behält die vielleicht vorkommenden Hunderte im Gedächtnifs und thut sie sogleich zu den Hunderten u. W. Man schreibt also z. B. io834 85039 584 7198 62481 7o8«)48 782847 23. W e n n nur zwei oder nur wenige Zahlen zu addiren sind, so ist der Gebrauch, nicht alle Ziffern der einzelnen Summen hinzuschreiben, ausreichend. W e n n aber viele Zahlen addirt werden sollen, hat er den Nachtheil, dafs man, wenn man bei irgend einer einzelnen Summe, der E i n e r , Zehner, Hunderte u. s. w. fehlt, welches um so leichter möglich i s t , je mehr der zu addirenden Zahlen sind, einen grofsen Theil der Rechnung wiederholen mufs, um den Fehler zu entdecken, indem man die in die folgende Classe übergehenden Theile der einzelnen Summen nicht mehr kennt. Gesetzt man hätte folgende Addition gemacht 327089438 588y864g 480994322 5839867 84532098 1840896432 4809995 28020(10801

23-

Erster

Abschnitt.

27

Addition ganzer Zahlen. fände aber auf irgend einem andern W e g e , dafs die Summe nicht 2802060801 sondern 28o3o6o8oi sey, so läfst sich kaum anders als dadurch, dafs man die Rechnung von Anfang an -wiederholt, entscheiden, •welche Summe die richtige ist. Denn zählt man die Ziffern, welche über der zweifelhaften -vierten Ziffer stehen zusammen, so erhält man 28. Es kön-nen nun von den Ziffern, die über der fünften stehen, 4 Einer für die •vierte Ziffer hergekommen seyn : alsdann beträgt die Summe der Ziffern über der vierten 32 und die vierte Ziffer wäre also wirklich 2. In der That beträgt die Summe der Ziffern über der fünften Ziffer 46 j dennoch ist 3 die richtige vierte Ziffer, nicht 2. Dieses kommt daher, dal'» von den Ziffern über der s e c h s t e n Ziffer noch 4 Einer für die fünfte Ziffer h e r kommen, so dafs die Suinmo der Ziffern für die fünfte Stelle 5o und nicht 46 und also die richtige vierte Ziffer nicht 2 , sondern dennoch 3 ist. Da nun die Wiederholung einer ganzen Rechnung viel beschwerlicher ist, als das Schreiben einiger Wenigen Ziffern mehr, so ist es besser a l l e Ziffern der einzelnen Summen hinzuschreiben und k e i n e im Gedächtnifs zu behalten. Man erspart dadurch nicht allein M ü h e , im Fall die Rechnung wiederholt werden mufs, sondern man rechnet auch leichter und s i c h e r e r , weil eine Rechnung allemal um so schwieriger und mifslicher i s t , je mehr sie in Gedanken geschieht. Diese Regel findet noch öfter Anwendung W e r schon mehr rechnete, wird sie durch die Erfahrung bestätigt gefunden haben. Man schreibe also, wenn mehrere Zahlen zu addiren sind, jedesmal a l l e Ziffern der einzelnen Summen hin und zwar unter die Ziffern der Hauptsumme und wenn ihrer mehrere vorhanden sind unter einander selbst, so dafs sie in schräger Richtung von der rechten zur linken und von oben nach unten zusammengelesen werden können, z. B . in dem obigen Falle schreibe man, wie folgt:

28

Erster

Abschnitt.

24

Addition ganzer Zahlen. 327089438 50898649 480994522 5839867 8^52098 1840896432 4809995 28o3o(io8oi 133545344 D i e S u m m e d e r E i n e r ist 4 i . M a n s c h r e i b t den 1 E i n e r u n t e r die E i n e r u n d s e t z t die 4 Z e h n e r etw a s t i e f e r u n t e r die Z e h n e r . Die Summe der Z e h n e r i s t 4 o . M a n s c h r e i b t die o Z e h n e r u n d setzt die 4 H u n d e r t e etwas t i e f e r u n t e r die H u n d e r t e u . s. w . H ä t t e m a n j e t z t den obigen F e h l e r , f ü r die v i e r t e Z i f f e r 4 6tatt 3 z u s e t z e n , g e m a c h t , so liefse sich d e r selbe nun leicht entdecken. D a man n e m l i c h j e t z t w e i f s , dafs v o n der fünften Ziffer 6 E i n h e i t e n f ü r die v i e r t e Z i f e r h e r k o m m e n , so d a r f m a n n u r allein die ü b e r d e r v i e r t e n Z i f f e r stehenden Z i f f e r n z u s a m m e n z ä h l e n , d a d u r c h findet man s o g l e i c h , dafs die r i c h t i g e S u m m e d e r v i e r t e n Ziffern n i c h t 3 a s o n d e r n 3 3 i s t . D i e n i c h t z u r H a u p t s u m m e g e h ö r i g e n , blofs u n t e r d e r s e l b e n b e m e r k t e n , a u f die t h e i l w e i s e n S u m m e n B e z u g habenden Z i f f e r n k a n n m a n e t w a s Iiieiner s c h r e i b e n , als die Z i f f e r n d e r H a u p t s u m m e . 24. A u f dem S a l z e ($. 1 9 . ) , dafs die S u m m e b e l i e b i g e r Z a h l e n i m m e r die nemliclie i s t , i n w e l c h e r O r d n u n g m a n die Z a h l e n a u c h a d d i r t , b e r u h t die n ä c h ste u n d s i c h e r s t e P r o b e d e r Addition. Eine solche P r o b e ist n ö t h i g , w e i l man b e i e i n e r M e n g e v o n Z a h l e n l e i c h t fehlen k a n n , s o w o h l b e i dem Z u s a m menziehen der einzelnen S u m m e n , welches im Gedächtnifs g e s c h i e h t , als bei dem H i n s c h r e i b e n d e r Z i f f e r n . D a s W i e d e r h o l e n d e r Addition in d e r s e l b e n O r d n u n g ist w e n i g e r s i c h e r , w e i l es häufig g e s c h i e h t , dafs man einen F e h l e r ebenfalls w i e d e r h o l t , w e n n m a n von JNeuem m i t den n e m l i c h e n Z a h l e n

25-

26.

27-

Erster

29

Abschnitt.

Subtraction ganzer Zahlen. rechnet. Besser ist e s , wenn man die zu addirenden Zahlen in i r g e n d e i n e r a n d e r n O r d n u n g , z. B. in u m g e k e h r t e r Ordnung zusammenzählt, so dafs man e t w a , wenn man die tlieilweisen Summen "von unten nach oben nahm, nunmehr von oben nach unten rechnet. Man liann diese Probe, wenn es nöthig ist, auch noch vervielfältigen, indem man die zu addirenden Zahlen in irgend einer andern Ordnung nimmt. Bei jeder solcher Probe bekommt man dann die Ziffern in einer andorn Ordnung zusammenzuzählen. Man kann diese Probe an den beiden Beispielen von 22 und 23 versuchen. III. V o n d e r S u b t r a c t i o n d e r

Zahlen.

25. Die Subtraction ist die Umkehrung der Addition zweier Zahlen. A d d i r e n heilst, die Einheiten einer Zahl zu denen einer andern Zahl hinzuzahlen. S u b t r a h i r e n oder a b s i e b e n heifst, die Einheiten einer Zahl von denen einer andern Zahl hinwegnehmen oder z u r ü c k z a h l e n . Die übrig bleibende Zahl heifst R e s t , auch D i f f e r e n z oder U n t e r s c h i e d zwischen der abgezogenen Z a h l , welche man S u b t r a h e n d und derjenigen Z a h l , von welcher sie abgezogen w i r d , und welche man M i n u e n d nennt. Es ist offenbar, dafs wenn man die Einheiten der subtrahirten Zahl oder des Subtrahenden wiederum zu dem, was übrig bleibt, oder zu dem Reste hinzuzählt, der Minuend wieder herauskommen mufs.

26. Die Bedingung, unter welcher die Subtraction Statt findet, ist nothwendig die nemliche wie bei der Addition (§. 12). Die Einheiten des Minuend und des Subtrahend müssen von einerlei Art seyn ; denn der Rest zum Subtrahenden a d d i r t , giebt den Minuenden.

27. Man findet offenbar den R e s t , wenn man die Einheiten des Subtrahenden e i n z e l n von dem Mi-

30

Erster

Abschnitt.

27-

Subtraction ganzer Zahlen. nnenden hinwegnimmt. W e n n also z. B. 3 von 9 abgezogen werden soll, so nehme man zuerst eine der Einheiten der 3 von g w e g , bleibt 8. Man nehme die zweite Einheit w e g , bleibt 7 , und endlich die dritte, bleibt 6 , welches der Rest ist. Dieses einzelne Hinwegnehmen der Einheiten ist aber bei grofsen Zahlen eben so beschwerlich wie das Hinzuthun bei der Addition. Eben so wenig ist es nüthig. Man kann leicht in den wenigen verschiedenen Fällen, wenn der Rest und der Subtrahend kleiner als 10 sind, ein für allemal die Reste im Gedächtnifs merken. Dann kann man jede beliebige Zahl von einer andern beliebigen gröfsern Zahl ohne Mühe abziehen. Denn man darf nur die Einer von den Einern, die Zehner von den Zehnern, die 'Hunderte von den Hunderten abziehen u. s. w . , welches den Rest giebt, •weil, wenn man den Rest wiederum zu dem Subtrahenden a d d i r t , um den Minuenden zu finden, die Einer wiederum zu den Einern, die Zehner zu den Zehnern, die Hunderte zu den Hunderten addirt werden können (§. 20). "Wäre also z. B. die Zahl 234 von der Zahl 86g5 zu subtrahiren, so ziehe man die 4 Einer des Subtrahenden von den 5 Einern des Minuenden a b , bleibt 1 Einer. Man ziehe ferner die 3 Zehner des Subtrahenden von den g Zehnern des Minuenden ab, bleiben 6 Zehner; hierauf die 2 Hunderte des Subtrahenden von den 6 Hunderten des Minuenden, bleiben 4 Hunderte; und da der Subtrahend keine Tausende hat, so bleiben die 8 Tausende des Minuenden ganz übrig. Also enthält der Rest 8 Tausende, 4 Hunderte, 6 Zehner und 1 Einer und ist folglich 8461. Man schreibt gewöhnlich die abzuziehende k l e i n e r e Zahl unter den g r ö f s e r n Minuenden, und zwar die Einer unter die Einer, die Zehner unter die Zehner u. s. w . und verfährt nun wie oben. Die Rechnung in dem obigen Beispiele ist auf diese W e i s e folgende : 8695 234 8461

Erster

23.

Abschnitt.

Subtraction ganzer Zahlen Folgendes sind einige andere Beispiele: 483O582 io483i 84306 46oo48i io35io 64301 l321

20006

28. In allen diesen Beispielen sind die Ziffern des Subtrahenden überall kleiner als dio Ziffern des Minuenden in der nemlichen Classc. Sind Ziffern des Subtrahenden gröfser als dio darüber stehenden Ziffern des Minuenden, so dnfs man jene •von diesen nicht abziehen kann, so darf man nur zu der kleinern Ziffer des Minuenden «ine Einheit der nächst höhern Classe hinzunehmen, welches nothwendig i m m e r zureichend i s t , weil die Ziffer des Subtrahenden wenigstens nie gröfser seyn kann als 9 , die darüber stehende Zahl des Minuenden aber alsdann mindestens 10 ist. W ä r e z. B. i685 von 2846 abzuziehen, so kann man zwardie 5 Einer von den 6 Einern abziehen, nicht aber die 8 Zehner von den 4 Zehnern. Man mufs also zu den 4 Zehnern des Minuenden noch 10 Zehner oder ein Hundert aus den 8 Hunderten hinzunehmen. Alsdann bleiben 6 Zehner übrig, während zugleich im Voraus schon 1 Hundert von den 8 Hunderten weggenommen ist, so dafs nur noch 7 Hunderte übrig sind, a l s o , nachdem die 6 Hunderte des Subtrahenden abgezogen werden, noch 1 Hundert bleibt. Das 1 Tausend von 2 Tausenden weggenommen, läfst 1 Tausend. Die Rechnung ist folgende: ¡2846 1685 1161 Sind mehrere auf einander folgende Zahlen im Subtrahenden gröfser als die darüber stehenden Zahlen im Minuenden, so wiederholt man das Verfahren und nimmt immerfort eine nächst höhere Einheit im Minuenden im Voraus weg, um die untere Zahl abziehen zu können, bis man auf eine Zahl kommt, die in der obern Reihe gröfser ist, als in der untera z. B.

Erster

23

Abschnitt.

a

9«

Subtraction ganzer Zahlen, 83225

64583 *IÖ843 Ist die Zahl der Einheiten, von welcher man Eins im Voraus wegnehmen soll, N u l l , so darf man man nur zu den höhern Einheiten fortgehen, bis man auf eine Zahl kommt, von welcher sich Eins wegnehmen l ä f s t , z. B. 84ooo5 28946 811059 Folgendes sind noch einige andere Beispiele: 4ooo8i 600000 38oo4o32i 598990 499999 569920558 1091

1

10119783

29. W i e bei der Addition, kann es auch bei der Subtraction blos nöthig seyn, auszudrücken, d a f s die Operation geschahen soll, ohne sie wirklich auszuführen. Es ist also für dieselbe wieder ein Zeichen nöthig. Disses Zeichen ist — . Es wird m i n u s ausgesprochen , und v o r die abzuziehende Zahl gesetzt. i 5 — 11 z .B. drückt das Nemliclie a u s , was die W o r t e ausdrücken: „ E i l f soll von Fünfzehn abgezogen werd e n " . Eben so drückt z. B . a — b durch Zeichen die W o r t e aus: „ I r g e n d e i n e Zahl oder Gröfso soll von i r g e n d e i n e r andern Zahl oder Gröfse, die auch beide bestimmt seyn können, abgezogen werden". Das Zeichen der G l e i c h h e i t findet auch bei der Subtraction Anwendung. Denn auch hier erhält man zwei verschiedene Ausdrücke einer und derselben Gröfse. Der 11 e s t ist dem Unterschiede des -Minuenden und Subtrahenden g l e i c h . Also drückt z. B. i 5 — 11 = 4 aus: „Eilf von Fünfzehn abgezogen giebt v i e r " oder „der Rest, welchen 11 von i 5 abgezogen, läfst, oder der Unterschied zwischen i 5 und 11 ist vier' 4 . Desgleichen a —• b = c heifst: „ D e r Rest, welchen die Zahl b von der Zahl a abgezogen läfst, oder der Unterschied zwischen den Zahlen

3°

Erster

Abschnitt.

53

Subtraction ganzer Zahlen* Zahlen a und b ist gleich c". Auch können die SubIractionen wiederholt oder mit der Addition vermischt vorkommen. So z. B. heifst 18 — 4 + i 5 -J- 2 — 11 — i 5 = 7 so viel als: von der Zahl 18 die Zahl 4 abgezogen, zu dem Reste die Zahl 16 und zu der Summe die Zahl 2 addirt, ferner von dieser Summe 1 1 , und von dem Reste noch i 3 abgezogen, giebt die Zahl 7 u. s, w. 30. W e n n man sich eine Zahl, von welcher eine andere abgezogen wcr w e l c h e s , w e i l die Factoren m und a in dem mb

7

Producte ma verwechselt werden k ö n n e n , so viel P P als a . TO — , oder als a Gröfsen, jede gleich m. — mb

mb

P P ist. Jede der Gröfsen m . ^—weir aber vorhin gleich —: also . . ma

ist

mb

zdt* B Ii«

n P . P=a.— =

ilob st

b

5_.

a

- ,

, ma

b

8 • •• _8 «

5 . 13

n

— . P und folglich 1}

mb

=

a b

So

£ CiL» 11 •1 —• --r 9 . S 6 67.

D a der T h e i l einer Gröfse um so H e i n e r i s t , in je mehr Tlieile man die Gröfse theilt, die Z a h l der Theile aber ohne alle Grenze zunehmen k a n n , so lassen sich durch Brüche so k l e i n e , und folglich so w e n i g von einander verschiedene Gröfsen a u s d r ü c k e n , als man will. W e n n also auch etwa irgend eine Gröfse nicht gerade ein Vielfaches irgend eines Theiles der z u r Einheit angenommenen Gröfse w ä r e , so lassen sich doch vermittelst der B r ü c h e Gröfsen angeben , die von der gegebenen Gröfse w e n i g e r v e r schieden s i n d , als irgend ein T h e i l derselben, und die

6 8 . Gg-

Zweiter

Abschnitt.

85

Addition und Subtraction der Brüche. also von derselben nicht weiter verschieden sind. Die Brüche sind alsö ein Mittel, dem W e r t h e jeder möglichen Gröfse 6ich 60 weit zu n ä h e r n als man will. II.

Von

der A d d i t i o n und S u b t r a c t i o n der Brüche. 68.

W e n n gleichartige Gröfsen, die, auf die nemliohe Einheit bezogen, durch Brüche ausgedrückt werden, an einander zu fügen odor von einander wegzunehmen sind, so nennt man dns Verfahren, durch welches die Brüche, die die Summe «ad den Unterschied ausdrücken, aus den einzelnen Brüchen gefunden werden, wie bei ganzen Zahlen, A d d i t i o n und S u b t r a c t i o n . Das Verfahren ist offenbar, wie bei ganzen Zahlen, blos eine Rechnung mit Zahlen, weil die Einheilen, worauf sich die Brüche beziehen, unverändert die nemliclien and nach der Voraussetzung allen einzelnen Gröfsen, folglich auch den Summen und Unterschieden gemein sind.

69. W e n n die Nenner zu addirender oder zu subtralurender Brüche gleich sind, so darf man nur die Zähler addiren und subtrahiron. Die Summe nnd der Unterschied von Brüchen mit gleichen Nennern sind Brüche mit den nemliclien Nennern, deren Zähler der Summe und dem Unterschiede der Zähler der gegebenen Brüche gleich sind. I. Es möffen z. B . die Brüche — und -- zu addib k k ren seyn, welches vorkommen würde, wenn z. B . iL P - { - — P , wo P irgend eine Gröfse ist, genomk k men werden sollte. Da — P = k

a . — und — P—b,— k k k

i s t , so ist — P + — P = «•— + b. ~ , Je Je 1c Je

äas heilst,

die

86

Zweiter

69.

Abschnitt.

Addition und Subtraction der Brüche. Snmme der beiden Gröfsen — P und — P ist gleich k

k

p

der Summe von a und von b Gröfsen, jede gleich—.

p Je

Sie ist also gleich (a + b) , — und da dieses letztere nach (§. 65) gleich

P ist,

Je

so i s t - P +

Je

$

Je

P

ö 4~ b — —Z—. P9 folglich, wenn man P unter 1 versteht,

Je

a

b

a -f- b

Je

Je

Je

Auf dieselbe Weise verhält es sich, wenn mehrere Brüche mit gleichen Nennern vorhanden sind. Es ist also allgemein ji

^

Je

Je

_ < * + & + £

d

Je

So z. B. ist

Je

+ d ... .

Je

+ & + xV + A =

3 + 8 + 5+ 4 •>7 = Hieraus folgt zugleich, dafs man die zu addirenden Brüche auch nach Belieben verwechseln ikann. „„ Denn -pv „ — c +, — a 4, — b -f d— = c-f-a Z>-f-d es ist z. B. — +-—•—. k

k

K

ic

k

Nun können die zu addirenden g a n z e n Zahlen a, b, c , d im Zähler, nach Belieben verwechselt werj rx \ ai . c + a + £>4- z. B. •t? . 4 . g . 8 . 13 . g . 7 , ig . . 18 . s«7

4.8 7 . 18 . a ."7

Da es auch selbst ganz das Nemliche i s t , Trenn auch die Factoren in Zähler und Nenner eines Bruchs, der vielleicht das Product mehrerer gebrochener Factoren i s t , schon in einander multiplicirt sind, so kann man sich auch Zähler u n d Nenner jedes beliebigen Bruchs als ein Product von Factoren, wenn dergleichen möglich 6ind, v o r s t e l l e n und dann alle gleiche Factoren oben und unten wegstreichen. So z. B. ist, 46so 5.6.7.4.11 10920 5.6.7.4.13. a 4620 11 11 Also ist = —• = -X' 10920 i3. a 20 Es kommt in diesem Falle n u r darauf a n , die Zahlen oben und u n t e n , so weit es möglich i s t , in ihre kleinsten Factoren zu zerlegen. W i e dieses geschieht, wird sich weiter unten zeigen. Alsdann kann man diejenigen nicht weiter zu zerlegenden Factoren, die oben und unten gleich s i n d , ohne W e i t e r e s weglassen. Auch wenn ein Bruch in Zähler und N e n n e r mehrere u n t e r s i c h g l e i c h e Factoren enthält, kann man dieselben ebenfalls ohne W e i t e r e s weglassen, So z. B. ist 5.5.8.5.5.5 , 5 3 < 5 * . 8 , _ 5^8 7.6.5.3.3.5 S ' . ö 3 . ? ' - " 5.7 Es ist leicht zu sehen, dafs wenn z. B. « , m und n beliebige Z a h l e n s i n d , überhaupt am ^^ — ^m •— n an ist: denn am ist ein Product von m Factoren; jeder gleich a; an ist ein Product von n eben solchen Fact o r e n ; folglich heben sich m — n Factoren auf. Z. B. 7 a— . gleich , .-a.a.a.a.a.a.a ' ist — —a . a = «r = „, a a* a.a.a.a.a am 1 Ist m gröfser als n .' so kann man sich •*a j^n als (X,„ — 7 1

ioa

Zweiter

80

Abschnitt,

Multiplication und Division der Brüche. vorstellen. W e i s e ist

d3 1 | So z. B. ist —? = • . , = " —r» Auf diese a a»—3 ai

__ g« tb* . c» . e _ a* • &3 • c a fc3 e 3 . Ä3 e* . .a . ~~ a , fc« . e 4 . 3 . 2«.4.8 .7» 2 » . 8» z» B, es ist — — 7 — — — => -r—vu. s. w. 7* • 4 . 2 3 . 5 71. 5 a* .b . a* . b* . e . c*

fc3

Man nennt diese Abkürzung der Rechnung A u f h e b e n der Brüche. Sie hat einen sehr ausgebreiteten Nutzen.

80. Es bann kommen, dafs das Pr®duct zweier Brüche nebst einem der beiden Factoren gegeben ist und man soll den andern Factor finden. Alsdann ist ein Bruch durch einen andern zu d i v i d i r e n , weil die Faeloren nach der Voraussetzung beide Brüche sind, das Product aber alsdann nothwendig ebenfalls ein Bruch ist. Der Fall kann vorkommen, wenn man z. B. weifs, dafs erstlich eine Gröfse P, c gleiche Theiie einer Gröfse Q enthält, deren d auf jedes Q geheu, dafs zweitens eine andere Gröfse A , « gleiche Theiie der nemlichen Gröfse Q enthält, deren b auf jedes Q gehen, und man dann wissen will, wieviel und welche gleiche Theiie der Gröfse P auf A gehen. Denn gesetzt A enthält p gleiche Theilo der Gröfse P,

deren q auf jedes P gehen, so ist A —

Ferner ist nach der Voraussetzung P — ist A =

—. q

ist 4 Q = b

d

—. q

Nun ist aber auch A =

Q. (I

^. P.

. Q $ also y (),also o

Q und folglich D a

p

c

b

q

d

Nun sind die Brüche sucht den Bruch q

b

und 4 gegeben und man d

Mau mufa also den Bruch

¿30.

Zweiter

105

Abschnitt.

Multiplication und Division der Brüche. durch den Bruch — d i v i d i r e n ; denn nach der alla

gemeinen Bezeichung der Division ist

oder ^ : ^

T diejenige ^ahlgröfse,

welche mit

multiplicirt

giebt, und dieses ist gerade der Bruch a

Man setze also, •«» werde — =

— gesucht, das ' y

a

Denn — bezeichnet diejenige Zahl - Gröfsc, wel1

che mit — multiplicirt

giebt.

7? c Nun multiplicire man die Gröfse — . — sowohl,

q d et d als die ihr gleiche Gröfse — willkülirlicli mit —, so 0 b c

erhält man oder

p

c d g ' td ' c

a b

d

c '

104

Zweiter

Abschnitt.

8i-

Multiplication und Division der Brüche. pcd qcd

ad bc

E s i s t a b e r n a c h (5. 7 9 ) ^

j> _ _ a d q

Der Bruch und

bc

q de

a

= JLZJi — . £ . a i s 0 j s t qcd 2

d b ' c

war der Quotient der Brüche

; also folgt, dafs man, um den Bruch y durch

den Bruch ^ zu dividiren, den Zähler des Dividendendea a mit dem Nenner de« Divisors d ; und den Nenner des Dividenden b mit dem Zähler des Divisors b multipliciren mufs, oder auch, dafs man nur den Bruch, welcher der Divisor ist, u m k e h r e n und damit den Bruch, welcher der Dividendus ist, m u l t i p l i c i r e n darf. Auf diese; Weise istz. B. = 3*1 = s'r • V = W i : I = I • T = H u - s» w. 81. In dem allgemeineren Falle der Division e i n e s B r u c h e s m i t e i n e m a n d e r n , im vorigen Paragraph, sind die Fälle der Division e i n e r g a n z e n Z a h l m i t e i n e m B r u c h und e i n e s B r u c h e s m i t e i n e r g a n z e n Z a h l als besondere Fälle einschliefslich enthalten, weil man sich jede ganze Zahl als einen Bruch vorstellen kann, dessen Nenner 1 ist. Es sey z. B. die ganze Zahl a durch den Bruch — zu dividiren, so erhält man d c a c a ,d ad d 1' d 1' c c woraus folgt, dafs man, wenn eine ganze Zahl mit einem Bruche zu dividiren ist, die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs multipliciren und das Product mit dem Zähler des Bruchs dividiren mufs, oder auch die ganze Zahl mit dem u m g e k e h r t e n Bruch multipliciren kann.

82. 83»

Zweiter

Abschnitt.

105

M u l t i p l i c a l i o n u n d Division der B r ü c h e . 80 ist z, B. 5 : | = 5 . f = V i 7 • i = 7 • * s=s V e t c Es sey der Bruch ^ durch die ganze Zahl c z u

b

dividiren, so erhält man a c a 1 a a b' b' x Z> ' c 6c' woraus folgt, dafs m a n , wenn ein Bruch mit einer ganzen Zahl zu dividiren ist, den Nen/ier des Bruchs mit der ganzen Zahl multiplicircn mufs. So z. ß. ist 17 „ 17 17 3i - __ 3i _ 3i , : 5 = —i-^ = ; — ; 5 = —5 = etc. »3 »3.5 66' a 2.3 6

82. Sind dirender videnden tienten,

die N e n n e r Brüche gleich, und Divisors, Denn wenn z.

zweier in einander zu divi60 geben die Zähler des DiZähler und Nenner des QuoB. in = ~ die Nen: bc b d

ner b und d gleich sind, so ist ^ = — also — : — bc c b b — —. So z, B. ist \ : -? = f . c Sind die Z ä h l e r zweier in einander zu dividirender Brüche gleich, so geben die Nenner des Dividenden und Divisor«, Nenner und Zähler des Quotienten; denn wenn z. B. in — . — =s — , die Zähler b d bc , 1 • t. • j ..ad d , a a d a und c gleich 6ind, so ist -—5= —»also— : — = —. bc b b d b So z« B. ist f : = V etc* 83. W e n n mehrere gebrochene Zahlen der Reihe nach zu dividiren und zu multipliciren sind, so ist die Aufeinanderfolge der Multiplication und Division gleichgültig. Das Ergebnifs ist immer das nemliche. Es sey z» B* der Bruch

b

mit dem Brache — zu d

io6

Zweiter

Abschnitt.

gg,

Maltiplication und Division der Brüche. multipliciren, das Product mit dem Bruche e- zu dividiren, der Quotient abermals mit dem Bruch -- zu h dividiren, dieser Quotient mit dem Bruch — r.u inulJc lipliciren, und der Quotient wieder mit dem Bruch — m zu dividiren, also a c e g i l b d ' f ' h ' k ' m zu berechnen; so ist zuerst» dem Obigen zu Folge, V • — TZi > hierauf ist ~ : = r-fi ferner b d bd bd / bde acf g acfh . acfh i acfhi , , — - 7- = _ , ; sodann ;—r—• — = r i T und bde h bdeg bdeg k bdegk ... , acfhi l acfh im _T , — — endlich 7bdegk — r — r :in TV Nun kann man die bdegkl Factoren in Zähler und Nenner dieses Bruchs nach , , „ acfh im i af m h c Belieben verwechseln, z. B. - ~ — — = —¡—-—bdegkl kbelg d setzen , welches i a f m h b i a e l g b k ' b ' e ' l ' g ' d 1t ' b ' f ' m ' h ' d giebt; ^voraus folgt, dafs die Aufeinanderfolge auch der Multiplication und Division gebrochener Zahlen, wie die ganzer Zahlen, nach Belieben verändert werden kann. Auch kann man selbst Zähler und Nenner, die nicht zu einem Bruche gehören, vereinigen, und so die Factoren selbst verändern» Man darf nur immer darauf sehen, dafs a l l e Zähler der Factoren und a l l e Nenner der Divisoren in den Zähler und a l l e Nenner der Factoren nebst a l l e n Zähler der Divisoren in den Nenner des Products kommen. So z. B. ist 7

3

4

2

11

3

7 . 2 . 5 . 2 . 11 . 8

885.

Zweiter

Abschnitt,

107

Von den Decimalbrüchen überhaupt. Zweite

Abtheilung.

Von den Decimalbrüchen und der Addition, Subtraction, Multiplication und Division derselben. I. V o n

denDecimal-Brüch«n

überhaupt.

64. Einen gewöhnlichen Bruch zu s c h r e i b e n , sind z w e i Zahlen nötlüg: Zähler und Nenner. Der Z ä h ler drückt a u s , wie viele Theile einer Grcifse genommen werden sollen, der N e n n e r , wie viel solcher Theile auf die Gröfse gehen. Die Verschiedenheit der Nenner ist schon bei der Addition und Subtraction beschwerlich, weil die zu addirenden oder z u subtrahirenden Brüche immer erst auf einen gemeinschaftlichen Nenner gebracht werden müssen. Bei der Multiplication und Division ist die Zwiefachheit der Z a h l unbequem, weil ihretwegen zwei Operationen nöthig sind; auch schon die Bruchform ist e s , weil sie zwei Zeilen erfordert. Allen diesen Unbequemlichkeiten kann man ausw e i c h e n , wenn man zu den Nennern der Brüche b e s t i m m t e , und i m m e r d i o 11 ein l i e h e n Zahlen nimmt. Alsdann braucht man dio N e n n e r , weil sie sich, der Uebereinkunft nach, schon von selbst verstehen , gar nicht mehr zu schreiben.

85. Offenbar sind zu solchen b e s t i m m t e n Nennern die Zahlen 10, 100, 1000 etc., also zu den Brüchen, Zehntheile, Hunderttheile, Tausendtheile u. s. w . am bequemsten, weil alsdann die Brüche die nemlichen Eigenschaften haben, wie die Ziffern des Zahlensystems, und eine F o r t s e t z u n g desselben in T h e i l e n der Einheit bilden, mithin auch eben so behandelt werden können. ' Denn z. B. die Ziffern der Zahl 5438 beziehen sich der Reihe nach auf Tausende, Hunderte,

Zweiter

Abschnitt•

Von den Decimalbrüchen

85-

überhaupt.

Z e h n e r u n d Einer, J e d e d i e s e r a u f e i n a n d e r folgenden Einheiten ist der zehnte T h e i l der vorhergehenden. Hat man nun Brüche, die aus Zehntheilen, Hunderttheilen, Tausendtheilen etc. bestehen, so sind die Einheiten, auf welche sie sich beziehen, ebenfalls j e d e d e r z e h n t e T h e i l der vorhergehenden. Die Brüche können also ganz eben so behandelt w e r d e n , wie die Einer, Zehner, Hunderte , Tausende etc. des Zahlensystems, und so wie man die Zahlen der Einer, Zehner, Hunderte, Tausende etc. b l o s n e b e n e i n a n d e r s e t z t , so darf man auch nur die Z ä h l e r der zehntheiligen, h u n d e r t t e i l i g e n , tausendtheiligen etc. Brüche nebeneinander setzen. Kämen z. B. zu der obigen Zahl 5438 noch xoö u n < l t ö o t h i n z u , so dürfte man nur 5438,786 schreiben, wenn man etwa durch ein Comma anzeigt, w o d e r B r u c h a n f ä n g t . Die S t e l l e der Ziffern bezeichnet alsdann schon die verschiedenen N e n n e r vollständig. In der ertsen Stelle hinter dem Comma stehen die Zehntheile, in der zweiten Stelle die Hunderttheile, in der dritten Stelle die Tausendtheile u. e. w . W i l l man den N e n n e r wiederherstellen, so darf man nur unmittelbar vor dem Comma eine 1 und an diese Eins so viele Nullen setzen, als Stellen hinter dem Comma stehen. So z. B. bedeutet die obige Zahl 5438,786 so viel als 5438 -i^Söi denn 7 Zehntheile sind so viel als 700 Tausendtheile 1 8 Hunderttheile sind so viel _ o g als 80 Tausendtheile, folglich ist 3- 4. — . 4- — — so 10 ioo 1000 viel als 7 ° ° + 80 + 6 Q ^ e r . 7^6 ^ Sind gar keine 0 1000 1000 ganze Einheiten, sondern blos Brüche vorhanden, so steht vor dem Comma nichts. Aber da man das Comma nothwendig schreiben m u f s , um anzuzeigen, w o d i e B r ü c h e a n f a n g e n und w o die 1 zu stehen k o m m t , wenn man den Nenner herstellen w i l l , so mufs man in diesem Falle vor das Comma eine Null setzen. Auf diese W e i s e läfst sich z. B. die Summe der Brüche 4ö, -xws, ihrs, 10 §05 wie folgt schreiben: 0,3479. Ist diese oder jene A r t von Brüchen mit bestimmten Nennern unter den übrigen nicht vorhan»

86.

Zweiter

Abschnitt.

\Von den Decimalbrüchen

109

überhaupt.

d e n : fehlen z. B. die Zehntheile oder die Hunderttheile etc., so setzt man an ihre Stellen Nullen. Diese Nullen dürfen aber nicht fehlen, selbst wenn die Zahl damit anfängt, weil das Comma, des Nenners wegen, nothwendig geschrieben werden mufs und folglich auch alle Stellen bis zum Comma nothwendig ausgefüllt werden müssen. So z. B. mufs + + Tooo&oob eben so geschrieben w e r d e n , als wenn es hiefse §0 + -j^ -j- •i§öö' "I" Toooo 4" isc^sir + Too§5~ög+ T0600000 und folglich 0,070300g. Die Stelle jeder Ziffer zeigtdann den Nenner von selbst an. Man darf n u r immer unmittelbar vor das Comma die 1 und dahinter so viele Nullen setzen, bis sie die gegebene Stelle erreichen, 2. B. o,ooo4oo6 heifst so viel als 6 4 x TSooö' X TSffooooo' Brüche dieser Art heifsen D e c i m a l b r ü c l i e . Sie haben den zwiefachen Vortheil, dafs man die Nenner nicht zu schreiben braucht und dafs man mit den Zählern wie mit ganzen Zahlen rechnen kann. Sie werden defshalb vielfältig gebraucht. 86. Der Fall, wenn die Zähler zu addirerider Decimalbrüclie n u r eine Ziffer haben, umfafst schon alle ander«!), und es macht keinen Unterschied, wenn die Zähler auch mohrcro Ziffern haben. Zum Beispiel dor Bruch ist nichts anders als + rsw + Denn es ist 237 = 200 -f 3o + 7 und f§#cr »st nichts anderes als f g nnd ist nichts anderes als Man kann also jeden°Decimalbruch unmittelbar aus andern Decimalbrüchen zusammensetzen, deren Zähler sämmtlieh nur eine Ziffer haben, eben wie die verschiedenen Stellen des gewöhnlichen Zahlensystems. Man kann also auch einen Decimalbruch beliebig auf irgend eine seiner Einheiten beziehen, eben wie eine ganze Zahl des gewöhnlichen Systems. So wie man z. B. die Zahl «58i4 entweder als 258i4 Einer oder als 258i Zehner + 4 Einer oder als 258 Hunderte -f 1 Zehner + 4 Einer oder als 258 Hunderte + 14 Einer u. s W. betrachten k a n n , wie inan w i l l , so kann man sich

HO

Zweiter

Abschnitt.

87-

Von den Decimalbrüchen überhaupt. auch den Decimalbruch 8,05043 als 805043 Hunderttausendtheile, oder als 8o5o4 Zehntausendtheile + 3 Hunderttausendtheile, oder als 8o5 Hunderttheile und 43 Hunderttausendtheile u. e. w. vorstellen, wie man will. Dieses folgt daraus, dafs, wie in dem gewöhnlichen Zahlensysteme jede Stelle eines Decimalbruchs zehnmal kleiner i s t , als die vorige. Der Decimalbruch kann immer als eine ganze Zahl betrachtet w e r d e n , deren Einheit derjenige Theil der absoluten Einheit i s t , dessen Nenner durch eine 1 mit so viel Nullen ausgedrückt w i r d , als Decimalstellen¡vorhanden sind. So z, B. kann man den Decimalbruch i 3 , o 8 2 völlig als die ganze Zahl 13082 betrachten, nur mit dem Unterschiede, dafs x3,o82 nicht i3o8a absolute Einheiten, sondern nur 13082 Tausendtheile der absoluten Einheit, nemlich bedeutet. 87. Die Decimalbriiche sind ferner von den ganzen Zahlen darin verschieden, dafs man an dieselben rechter Hand so viele Nullen anhängen, oder so viele Nullen davon weglassen k a n n , als man will, ohne dafs sich ihr W e r t h ändert, welches bei ganzen Zahlen nicht der Fall ist. So z. B. bedeutet 4 , 3 o o o e t was wesentlich anderes als 4 i 3 > nemlich Tausendmal 60 viel, hingegen 4,»3 und 4,i3ooo bedeuten Eins und dasselbe, weil es gleichgültig i s t , ob Null Hunderttheile, Null Tausendtheile, oder welche Theile man sonst w i l l , zu dem Bruche noch hinzukommen oder von demselben hinweggenommen werden. Man kann alio, wenn ein Decimalbruch hinten Nullen hat, diese Nullen auch weglassen, und wenn zu irgend einemZwekke noch Nullen rechter Hand nöthig sind, dergleichen nach Belieben anhängen, ohne dafs sich der W e r t h des Bruchs änderte. In der Mitte und vorne dürfen dagegen natürlich, auch bei einem Decimalbruclie, keine Nullen weder weggelassen noch zugesetzt werden, weil sonst die Ziffern dadurch a n d e r e S t e l len bekommen, und folglich ihr W e r t h sich verän dem würde.

Zweiter

88-

Abschnitt.

1 IX

Addition und Subtraction der Decimalbrüche. II. V o n

der Addition und Subtraction Decimalbrüche«

der

88. Da die Decimalbrüche -völlig als ganze Zahlen betrachtet werden k ö n n e n , in so fern man n u r auf die durch das Comma bezeichnete Art der Theile der absoluten Einheit s i e h t , so k a n n man dergleichen Brüche auch wie ganze Zahlen addiren und subtrahireB, blos mit der einzigen B e m e r k u n g , d a f s a l l e m a l die C o m m a t a der zu a d d i r e n d e n oder zusubtrahirenden Brüche genau untereina n d e r s t e h e n m ü s s e n , damit n u r g l e i c h b e d e u t e n d e S t e l l e n addirt oder subtrahirt w e r d e n . Die Summen und Unterschiede bekommen ihre Commata wieder ganz an der nemlichen Stelle. H a t ein Decimalbruch weniger Stellen als der a n d e r e , so hangt man an denjenigen, welcher weniger Stellen h a t , so viele Nullen oder Puncle a n , dafs er eben so viele Stellen b e k o m m t , als die ü b r i g e n , welches nach (§. 87) ohne den W e r t h des Bruchs zu ändern, angeht. Auf diese "Weise ist z. B. i2,48oi O,uo4832 0,008 -f- i3'i,oäft2 -f- o,ooo4oi -f ii,ooooo483 + o,oo43 -f" o,6oooo3 + 100,02 = 146,6426 + »*.ofioo»» = i n ,o 2 8oo482 ss 14,655237 408,0452. 3592,00004 g 8o4»,o52.... — 348,1904 — 0,0023.. — 8o4i,4oooo4i =3

59,8548

=

35g.,997748

==

0,6519959

Im dritten Beispiele der Addition und in dem zweiten und dritten der Subtraction kommt das Anhängen der Nullen v o r . Alles, was sonst von der Addition und S u b t r a ction ganzer Zahlen gilt, z. B. die M i t t e l , sicher zu r e c h n e n , die Probe u. s. w . , gilt auch f ü r die Addition und Subtraction der Decimalbrüche. Es ist n u r allein zu beobachten, dafs die Commata genau u n t e r einander treffen.

112

Zweiter Abschnitt.

89-

Multiplication der Decimalbruche. III. V o n d e r M u l t i p l i c a t i o n Brüche.

der

Decimal-

89. W e n n zwei oder mehrere beliebige Brüche mit einander zu multipliciren sind, so mufs man nach (§• 74) die Zähler und die Nenner multipliciren. Das Product ist wieder ein Bruch, dessen Zähler und Nenner jene Producte sind. Bei Decimalbrüchen sind nun blos die Zähler ausgeschrieben, die, wie vorhin gezeigt, die Eigenschaften ganzer Zahlen haben und wie ganze Zahlen multiplicirt werden können. Die Nenner hingegen sind liinse mit Nullen, deren Zahl blos durch die Commata angedeutet ist. Es kommt also bei der Multiplication der Decimalbrüche nur darauf an, dafs man in dem Producte dem Comma seine richtige Stelle anweiset, denn das Product ist wieder ein Decimalbruch, dessen Nenner ebenfalls blos durch das Comma angedeutet wird. So z. B. ist 7,85.3,o4i so viel als . •§§§£, welches nach den Regeln der Multiplication der Brüche 2337185 .„ , u „ . 785.3o4i •• ! = == 23,87185 giebt. Nun enthal0 100.1000 100000 ten die Factoren im Nenner so \iele Nullen als Stellen hinter dem Comma vorhanden sind, und vor diesen Nullen steht eine Eins. Man findet also die Producte der Nenner nach (§. 3g), wenn man blos die Eins multiplicirt, welches immer wieder Eins giebt, und so viel Nullen anhängt, als die Factoren z u s a m m e n g e n o m m e n enthalten. (Man sehe 39.) Das Product zweier oder m e h r e r e r Deci m a l b r ü c h e b e k o m m t a l s o u m g e k e h r t so viele S t e l l e n als die F a c t o r e n zusammengenommen enthalten. Die ausgeschriebenen Zahlen multiplicirt man wie ganze Zahlen entweder auf die gewöhnliche Weise oder nach (§. 4»)* So war in dem Beispiele 7,85 . 3,04.1 gleich dem Producte der ganzen Zahlen 785 und 3o4«, wenn man davon duren das Comma 5 Stellen abschneidet, weil der eine Factor 785, zwei, der andere 3o4i, drei Stellen hinter dem Comma hat. Enthält

8g.

Zweiter Abschnitt.

«3

Multiplikation der Decimalbrüche. Enthält das Prodact der ausgeschriebenen Zähler nicht so viele Stellen, als man abschneiden soll, so mufs man so viele Nullen vorsetzen, als noch fehlen, z. B. wenn 0,08 mit o,oo3, das heifst mit ?bö3 3. 8 zu maltipliciren ist; 60 ist das Product ••• * 100.1000 24 = = o,ooo24. Die Regel bleibt immer die 0 100000 nemliche. Sie ist auch noch die nemliche, wenn m e h r e r e Brüche in einander bu multipliciren sind, weil die Producte der Reihe nach immer wieder Decimalbrüche sind. Z. B. das Product o,oo4 . 3 3,02. o,oooo3 . 0,2 findet man , wenn man die vier ganzen Zahlen 4 , l 5 , 5 und 2 in einander multiplicirt und von dem Product 1 1 Stellen durch das Comma abschneidet, weil die Factoren zusammen 11 Stellen hinter dem Comma haben. Das Product ist o,oooooooo3x2 u. s. w. Auf welche Weise man die Zähler multiplicirt, ist gleichgültig. Es gilt für die Multiplication der Zähler Alles, was für ganze Zahlen gilt. Soz. B. kann man, um48o3,o54.0,00007935 zu finden, entweder auf die gewöhnliche Weise rechnen, wie folgt 4o3o54 7955 2016270 1209162 3627486 2821378 0,03198233490 : oder nach (§. 4 0 4o3o54 793^ 28 5536 si.45i2 28.27.1520 36. .9.05 12.i5 20. 0,03198233490 Crelle's Rechenkunst.

1231

Q

114

Zweiter Abschnitt.

90.

Multiplication der Decimalbrüche. Die Null am Ende dieses Products ist nach ($. 87) ohne Bedeutung und kann weggelassen werden. 90. W e n n ein Decimalbruch mit einer Zahl zu multipliciren i s t , die aus einer 1 mit Nullen bestehet, so darf man nur das Comma um so viel Nullen nach der Rechten zu rücken, als der Multiplicator Nullen hat. Denn da der Multiplicator eine ganze Zahl ist, und also keine Decimalstellen h a t , so hat das Produet, der Regel (§. 89) zu Folge, eben so viele Stellen als der Multiplicandus, obgleich mehrere Nullen angehängt worden sind, mithin mufs das Comma um eben so viele Stellen, als Nullen angehängt w u r d e n , weiter nach der Rechten rücken. Die angehängter* Nullen aber k ö n n e n , weil sie bei Decimalbrüchen keine Bedeutung haben , weggelassen werden. W e n n z. B. 302,48539 mit 1000 zu multipliciren w ä r e , so erhält man nach der allgemeinen Regel 302485,39000, weil das Product, eben wie der Multiplicandus, nur 5 Stellen enthalten mufs, da der Multiplicator gar keine Decimalstellen hat. Nun können aber die Nullen am Ende des Decimalbruchs weggelassen werden; also ist das Product gleich 3o2485,39, welches dem Multiplicandus ohne Veränderung gleich i s t , blos mit dem Unterschiede, dafs das Comma um 3 Stellen weiter rechts steht. Rückt das Comma nach diesem Verfahren über das Ende der Zahl hinaus, so hat das Product keine Decimalstellen mehr und ist folglich eine genze Zahl» Dann können die Nullen nicht mehr weggelassen werden und es müssen also die b i s z u m C o m m a fehlenden Nullen wieder angehängt werden. W e n n z, B. 82,049 mit 100000 zu multipliciren i s t , so erhält man 8 2 0 4 9 0 0 , weil das Comma nicht anders um 5 Stellen weiter gerückt werden k a n n , als wenn man zwei Nullen anhängt. Enthalt der Multiplicandus v o r dem Comma Nullen, so fallen dagegen diese in dem Product als nichts bedeutend w e g , wenn das Comma bis in die geltenden Ziffern rückt. So z. B. würde o,oo3i mit 1000 multiplicirt, nach der Regel, ooo3,i geben, welches, weil die Nullen vor der ganzen

gl» 92.

Zweiter Abschnitt.

115

Multiplication der Decimalbrüche. Zahl 3 keine Bedeutung haben, nichts weiter als 3,i ist. Eben so giebt o,oo3i mit 1000000 multiplicirt 0003100, das heilst 3100. 91. Die Probe der Multiplication der Decimalbrüche ist die nemliche wie die der Multiplication ganzer Zahlen (§. 46. 47). Die sicherste Probe ist eine zweite Multiplication m i t v e r w e c h s e l t e n Factoren. Die Verwechslung der Factoren findet Statt, weil immer nur von Multiplication ganzer Zahlen in Zähler und Nenner die Rede ist. 92. Häufig drücken Decimalbrüche die Gröfsen, welche sie in Zahlen vorstellen sollen, n i c h t g e n a u , sondern nur N ä h e r u n g s w e i s e aus. Entweder fehlen noch Stellen , die nicht angegeben sind, oder die letzten Stellen der Brüche, welche die kleinsten Theile bezeichnen, sind ungewifs. In diesem Fall ist es unnüt«, das Product vollständig zu berechnen, und «war um so mehr, weil dasselbe so viele Stellen enthält, als die Factoren z u s a m m m e n g e n o r n m e n , folglich weit mehr Stellen, und mithin noch kleinere Theile als die Factoren einzeln, dio schon selbst in ihron kleinern Theilen ungewifs waren. Auch verlangt man zuweilen ein Product, obgleich die Factoren wirklich genau sind, nicht vollständig, sondern nur bis auf eine gewisse Zahl von Stellen. Alsdann ist es ebenfalls nicht nöthig, das Product ganz zu berechnen. Es kommt also darauf a n , wie man nur eine bestimmte Zahl der auf das Comma zunächst folgenden Stellen eines Products so genau als möglich finden könne, ohne das Product ganz zu berechnen. Hierzu gehört nichts weiter, als dafs man die übrigen Stellen gleich bei der Multiplication wegläfst. Man kann sich von dem, worauf es ankommt, eine deutliche Vorstellung machen, wenn man an einem Beispiele die Multiplication ganz ausführt Es sey z. B. 203/180249 mit g5,09485 zu multipliciren, so ist die vollständige Multiplication folgende 8 *

Zweiter Abschnitt.

92.

IVfultiplication der Decimalbrüche. 283,460249 95,og485 1 417 4oia45 22 678 41993 1 i 3 392 0996 s 5 5 i 322 241 1 4 1 7 4 0 1246 25513 22 241 a6957,5i|i75 661765

oder

383,480249 95,09485 81

5645 81 8203 636

7 2 . 1018 1672 364o 72 . . 83245 37203 632. 1620 721627 i 6 6 4 . 1 0 1840721 23240. i o i 8 3 2 2420 86 4 i 5 16 4 0 »o 269675111756 61765 1 i3s34l3ss£2i

Gesetzt nun man verlange das Product nicht ganz, sondern nur z . B . bis auf z w e i Decimalstellen, möglichst genau, so ist k l a r , dafs alle die Ziffern , welche rechter Hand des verticalen Strichs sieben, weggelassen Werden können. Allenfalls kann man, weil insbesondere die auf den verticalen Strich zunächst folgende verticale Reihe Ziffern auf die zwei DecinValstellen den nächsten Einflufs h a t , diese Reihe Ziffern noch beibehalten; die übrigen aber haben auf das verlangte Product schon weniger Einflufs. Es kommt also darauf an, diese Ziffern s c h o n b e i d e r M u l t i p l i c a t i o n wegzulassen, ohne dafs man dadurch etwa die Stelle des Commas verfehle. I. Fängt man, wie bei der gewöhnlichen Multiplication, mit der niedrigsten Ziffer des Multiplicators a n , so kann man die Stellung des Commas, wie folgt, finden. Man weifs nemlich im V o r a u s , dafs das v o l l s t ä n d i g e Product in dem obigen Beispiele xi Decimalstellen fiaben wird, weil die Factoren zusammen so viele Stellen hinter dem Comma haben. Nun verlangt man aber nur zwei Stellen, oder vielmehr mehrerer Genauigkeit wegen drei Stellen; also kann man 8 Stellen weglassen und darf folglich nur von der neunten Stelle, von der Rechten zur Linken ge-

92«

Zweiter Abschnitt.

tij

Multiplication der Decimalbrüche. zählt, anfangen. Diese neunte Stelle im Product kommt von der niedrigsten Ziffer 5 des Multiplicators und der neunten Stelle des Multiplicandus, von der Linken zur Rechten gezählt, welche 2 i s t , her. Also ist das erste Product 10 und nur dieses eine Product ist n ö t h i g , weil 2 die äufserste Ziffer des Multiplicandus linker Hand ist. Bei der Multiplication mit der zweiten Ziffer des Multiplicator» 8 kommt die neunte Stelle von der achten des Multiplicandus 8 her und also ist das Product 28 . 8 nöthig. Bei der Multiplication mit der dritten Ziffer ist nur das Product 283 . 4? bei der Multiplication mit der vierten Ziffer nur das Producht 2 8 3 4 . 9 nöthig u. s. w. Dieses kürzt die Rechnung auf folgende W e i s e a b : 283,400249 95,09485 10 224 1 I32 25 5o6 1417 400 255I3 a i 8 26967,4go II. FKngt man die Multiplication mit der höchsten Ziffer des Multiplicntors a n , so findet man die Stellung des Commas nuf folgende W e i s e . Das v o l l s t ä n d i g e Product würde hinter dem Comma 11 Decimalstellen haben: zwei Stellen verlangt man nur also kann man 9 oder, mehrerer Sicherheit wegen 8 Stellen weglassen. Nun kommt die äufserste Stelle des vollständigen Products von der äufsersten oder niedrigsten Stelle der Factoren 5 und 9 h e r ; also kommt von der höchsten Stelle des Multiplicators die siebente Stelle des Products, von der Rechten zur Linken gezählt, h e r , die neunte aber verlangt man n u r , weil man 8 Stellen weglassen will. Also kommt die erste Stelle des abgekürzten Products erst von der dritten Stelle des Multiplicandus h e r , und man darf also nur 2834802 mit g multipliciren. Ferner 28348o mit 5, 28348 mit o, 2834 mit 9, 285 mit 4 und so weiter bis zu Ende. V o n dem entstehenden Pro-

Zweiter

Abschnitt.

92.

Mulliplication der Decimalbrüche. dacte werden dann drei Stellen abgeschnitten, weil man 8 von den 11 Stellen des vollständigen Products weglassen wollte. Die Rechnung ist folgende: s35,4 80249 95,0 9485 2 5 5 I 3 21& i 4 i 7 400 2 ö 5o6 1 I32 224

10 26957,490 Die mechanische Regel der abgekürzten Multiplication, welche sich hieraus leicht abnehmen läfst, ist bei dem aweiten Verfahren etwas bequemer, als bei dem ersten. Sie ist folgende: Man zieht die Zahl der Decimalstellen, welche man verlangt, von der Z a h l der Stellen des v o l s t ä n d i g e n Products, also von der Summe der Zahl der Stellen der Factoren ab. Den Rest zählt man von den Ziffern des Multiplicators , von der Rechten z u r L i n k e n , ohne Rücksicht auf das Comma, und wenn der Multiplicator w e niger Ziffern h a t , als jener Rest Einheiten, so geht man in den Multiplicandus über und schneidet noch so viele Ziffern desselben von der Rechten Kur L i n ken a b , als an dem Reste fehlten. Die übrigen Z i f fern des Multiplicandus multiplicirt man mit der höchsten Ziffer des Multiplicators, hierauf eine Ziffer des Multiplicandus Aveniger mit der folgenden Ziffer des Multiplicators u, s. w . bis zu Ende. V o n dem Product wird eine Stelle mehr abgeschnitten, als man verlangt. Enthält der Multiplicator mehr Ziffern als der Unterschied zwischen den Ziffern - Zahlen des vollständigen und des verlangten Products beträgt, so mufs man so viel Nullen an den Multiplicandus anhängen, als im Multiplicator noch Ziffern übrig bleiben, und dann die Multiplication der höchsten Z i f fer bei der letzten Null anfangen. Hat der Multiplicator v o r dem Comma, und vielleicht noch hinter demselben, bis zu den geltenden Ziffern N u l l e n , so werden dieselben nicht mitgezählt.

92'

Zweiter

Abschnitt.

Multiplication der Decimalbrüche. Von dem Prodact wird am Ende eine Stelle mehr abgeschnitten als verlangt wurde. Es werde z. B. das Product 4o8i f 5 . 6,204893481 bis auf drei Decimalstellen verlangt. Die Zahl der Decimalstellen des vollständigen Products ist 1 + 9 — 10: drei Stellen werden verlangt, also wird der Rest 7 von den Ziffern des Multiplicators abgezählt. Er läfst 3 Ziffern übrig. Man mufs also an den Multiplicandus 3 Nullen anhängen. Man fängt alsdann die Multiplication mit der höchsten Ziffer de« Multiplicandus a n , welches folgende Rechnung giebt: 4o8i 6000 6ao4 893481 24489 0000 816 3ooo 16 3260 3 2648 3672 ISO

16 35325,2716 Es werde das Product 98132,0845038 . 0,00048932 bis auf eine. Stelle verlangt. Die Zahl der Decimalstellen des vollständigen Products ist 7 + 8 == 16. Eine Stelle wird nur verlangt, also ist der Rest i4. Dieser von den geltenden Ziffern des Multiplicators abgezählt, ohne Rücksicht auf die vor demselben stehenden Nullen, verlangt noch 9 Ziffern des Mulliplicandus, weil der Multiplicator n u r 5 geltende Ziffern hat. Also ist 1 diejenige Ziffer des Multiplican d u s , welche zuerst mit der höchsten gellenden Zif fer 4 des Multiplicators multiplicirt werden mufs. Die Rechnung ist folgende •• « 98 i32,o845o38 0,00048932 39 24 7 84 81 47,89

120

Zweiter Abichnitt.

92-

Multiplication der Decimalbrüche. I I I . Malliplicirt man mit ausgeschriebenen Factor e n , nach ($ 4 » ) , so darf man nur erst, nach der obigen mechanischen Regel, sehen, wo die Multiplication anfängt. Alsdann verfahrt man wie gewöhnlich, nur mufs man Acht h a b e n , dafs man die Z i f f e r n , welche nach der allgemeinen Regel rechter Hand über das erste Product hinausgehen w ü r d e n , nicht schreibt. In dem ersten Beispiele von (II) findet m a n , dafs die Multiplication der höchsten Ziffer des Multiplicators mit der letzten Null des Multiplicandus anfängt. M a n erhält also 4O8I5OOO

6204893481

3 0000 6 1000 48.2.20.. a4.i6 ..4o 8 . . 32.8 »6.64. 3 2.72 36.. 12.

16

26325,2716 In dem zweiten Beispiele findet m a n , dafs die Multiplication der höchsten geltenden Ziffer des Multiplicators mit der Ziffer x des Multiplicandus anfängt. Man erhält also 9 8i32o845o58 O,OOO48952 4 3 2 .

36 6 4 72. 81 beides , wie o b e n : Die Probe der abgekürzten Multiplication Decimalbrüche ist die W i e d e r h o l u n g derselben verwechselten Factoren.

der mit

93« 94*

Zweiter Abschnitt.

121

Division der Decimalbrüche. IV. V o n d e r D i v i s i o n d e r

Decimalbrüche.

93. W enn zwei Brüche mit einander dividirt werden sollen, so kann man nach, (§. 8 o ) , statt dessen den umgekehrten Divisor mit dem Dividenden multipliciren. W e n n also z. B. der Decimalbrnch 21,483 durch den Decimalbruch 5,91 dividirt werden soll, welches so viel als : ist, so erhält man 2i483.ioo , fli483 1 —p oder — ? — . —•

091 . 1000

091

10

Da nun überhaupt der Nenner eines Decimalbruchs allemal eine 1 mit so vielen Nullen ist, als der Decimalbruch hinter dem Comma Stellen h a t , und der Nenner des Divisors in den Zähler, der Nenner des Dividendus in den Nenner des Quotienten kommt, so folgt, d a f s d e r N e n n e r des Q u o t i e n t e n so v i e l e N u l l e n h a t , a l s d e r U e b e r s c h u f s d e r Z a h l d e r S t e l l e n im D i v i d e n den ü b e r die Z a h l d e r S t e l l e n im D i v i s o r b e t r ä g t . Und da nun das Gomma um so viel Ziffern von der äufsersten Ziffer rechter Hand zurückrückt, als Nullen vorhanden sind, so findet m a n , nachdem der Dividend mit dem Divisor als ganze Zahlen , ohne Rücksicht auf das Comma dividirt worden, die Stelle des Comma im Quotienten, wenn man so viel Ziffern von dor Rechten desselben abschneidet, als der Divisor gegen don Dividend mehr Stellen hat. W e n n also, urn ein anderes Beispiel zu geben , 1 6 , 2 1 2 durch 1 , 2 ku dividiren wäre , so dividirt man 1 6 2 1 2 durch 1 2 wie ganie'Zahlen , welches i 3 5 l giebt und schneidet vom Quotienten 2 Stellen ab, weil der Dividend 3 , der Divisor aber nur 1 Stelle bat. Der Ouotient ist also

'2'2 =

1,2 94.

i3,5i

Diese Regel scheint nicht anwendbar zu seyn, wenn der Dividend weniger Stellen hinter dem Comma h a t , als der Divisor, weil man alsdann die Stellen de6 letztem nicht von den Stellen des erstem abziehen kann; auch dann nicht, wenn Dividend und

1.22

Zweiter Abschnitt*

94-

Division der Decimalbrüche. Divisor, als ganze Zahlen betrachtet, nicht in einander aufgehen, weil in diesem Fall ein Rest bleibt, welcher für den Quotienten, wenn derselbe als Deciinalbruch ausgedrückt werden soll, nicht pafst. Allein da man au jeden Decimalbruch, und folglich auch,an den Dividenden nach (§.87), so viel Nullen anhängen kann, als man will, ohne den W e r t h des Bruchs zu ändern, so kann man allemal willkürlich dem Dividendus soviel Stellen und folglich allemal m e h r Stellen geben, als der Divisor h a t , und zugleich eben dadurch die Division so weit fortsetzen, als man will, 60 dafs der Rest, im Fall die Division nicht aufgeht, so weit verkleinert werden kann, als man willGesetzt, es sey 3,5i durch 0,04837 zu dividiren, wo sich weder die Zahl der Stellen des Divisors von der Zahl der Stellen des Dividendus abziehen läfst, noch Divisor und Dividend, als ganze Zahlen betrachtet, in einander aufgehen, vielmehr die Ziffer des Divisors sogar eine gröfsere Zahl ausdrucken, als die Ziffern des Dividenden. In diesem Falle hänge man an den Dividenden eine beliebige Zahl von Nullen, z. B. 6 Nullen und dividire die beiden Decimalbrüche als ganze Zahlen. Dieses giebt (Quotient) 72565 (Divisor) 4837 (Dividend; 35iOOOOOO

2821

5649 124IO

8.6 i6i4

87360 2OX5

4o35 31750 2418 4842 27280 2OI5

4O55

3og5

95-

Zweiter Abschnitt,

123

Division der Decimalbrüche. Der Quotient, als ganze Zahl betrachtet, ist also 72565. JNun hat der Divisor o,o4857, 5 Stellen, der Dividend mit den angehängten 6 Nullen, nemlich 3,5ioooooo, 8 Stellen; also bekommt der Quotient 3 Stellen und ist folglich 72,065. Ist der Rest 0,00003095 noch nicht klein genug, um weggelassen zu werden, so mufs man an den Dividenden noch mehrere Nullen hängen. . , x, . . , o,oi83 , o,ooo32713 Andere Beispiele an^ . und co~~~ r 591,04201 0,000000589271 655 81 589971 5gio4a5i 527130000 4tt3ooooooo 2515355 4o .832408 4010 72 16 324g45o 101669920 2545355 5910*251 4oio 4255566g 3o3og5o 2545355 4oio 84695 Im ersten Beispiele hat der Divisor 5 Stellen und der Dividend, mit 7 angehängten Nullen, 11 Stellen. Also hat der Quotient C Stellen und ist folglich 7 — — t - § - — 0,000081. Im zweiten Beispiele hat der r 591,04251 Divisor 1 2 Stellen und der Dividend, mit 4 angehängten Nullen, ebenfalls 12 Stellen, also hat der Quotient keine Stelle und ist folglich 555. 95. Man kann bei dieser Division den Ort des Commas im Quotienten durch die blofse S t e l l u n g des Dividenden und Divisors finden, o h n e d i e D e c i m a l s t e l l e n z u z ä h l e n . Gesetzt nämlich der Divisor wäre von der Art, dafs e r , wenn man ihn ü b e r den Dividenden und Comma über Comma schriebe, grade die erste geltende Ziffer des Quotienten gäbe, so hat der Quotient offenbar so viel Stel-

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Zweiter Abschnitt.

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Division der Decimalbrüche. len als der Divisor noch von dem Dividenden übrig K f s t , weil der Dividend das Product des Divisors in den Quotienten ist und folglich;, nach (§. 8 y ) , so viel Decimalstellen haben m u f s , als der Divisor und Quotient zusammengenommen. Das Comma des Quotienten folgt also alsdann unmittelbar auf die letzte Ziffer deá Divisors. Es sey z. B. j 93,04.8 durch 84,oo