量子可積分系入門 Lectures on Quantum Integrable Systems 9784781999524

Table of contents :
まえがき......Page 2
第1章 木の実あつめ―古典可積分系......Page 7
1.1 古典力学：すずめの学校......Page 8
1.2 解析力学......Page 12
1.3 カロジェロ・モーザー系......Page 23
1.4 量子可積分性へ向けて......Page 39
1.5 まとめ......Page 47
第2章 川遊び―量子可積分系......Page 49
2.1 量子力学の基礎事項......Page 50
2.2 カロジェロ・サザランド模型......Page 70
2.3 保存量と波動関数：補足......Page 96
2.4 まとめ......Page 99
3.1 無限変数の対称多項式：対称関数......Page 101
3.2 存在定理......Page 111
3.3 対称関数の自由場表示......Page 126
3.4 まとめ......Page 140
4.1 自由場とビラソロ代数......Page 141
4.2 ビラソロ代数......Page 151
4.3 ビラソロ代数の自由場表示......Page 169
4.4 変形ビラソロ代数......Page 177
4.5 変形ビラソロ代数の自由場表示......Page 192
4.6 まとめ......Page 198
参考文献......Page 200
索引......Page 205

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SGC ライブラリ- 28

量子可積分系入門 Lectures on Quantum Integrable Systems

白石 潤一 著

サイエンス社

まえがき 本書は量子力学の可積分系についての入門書です．量子可積分模型について学び，それを扱う基 礎的な技術に親しんでもらおうと考えています．私は子供のころ，近所の山に行き秘密基地をつくっ て良く遊んだものです．色々な木の実を集めたり，川遊びをしたり，見張り台に登ったり，茂みの 中のトンネルをくぐり抜けたりして日暮れ近くまで遊び，お腹を空かせて，夕焼けを眺めながら友 達と家路を急ぐ 毎日でした．今の私にとって，量子可積分模型は不思議に満ちあふれた秘密基地で す．あの頃とは時間と場所が違うだけで，風景はなにも変わっていません． まず，第 1 章では，皆さんにいろいろな色や形をした木の実を集めてもらいます．ニュートンの 運動方程式から出発して古典力学の枠組みや解析力学を復習した後，古典可積分系の重要なクラス である古典カロジェロ・モーザー系について色々な角度からアプローチしてみます．カロジェロ・ モーザー系の運動方程式の積分を実行することが，ある場合には巧妙な変数変換によって，もしく は，エルミート行列の固有値問題を解くことによって達成されることを調べてみましょう．運動方 程式が解きうることの理由を追求すれば，そこにはおのずと古典力学の可積分性という概念が見え てきます．ラックス形式という巧妙な方法を用いてカロジェロ・モーザー系が可積分性を持つこと を証明してみます． 第 2 章では，魚たちの泳ぐ 川で遊びましょう．量子力学の初歩を復習し ，電子の波動方程式に親 しみます．そして，量子可積分模型の最も基本的な例であるカロジェロ・サザランド 模型を調べま す．これらの模型の励起状態の記述には，なぜか魚の群れを描いたような面白い図形がとても役に たちます．各図形にはシューア対称多項式やジャック対称多項式と呼ばれる対称多項式が行儀よく 対応させられますが，このような対称多項式によって全てのエネルギー固有関数を厳密に扱うこと ができるのです．相互作用を持つ量子多体系が対称多項式の理論だけで完全に解かれてしまうとい うことは，まさに驚くべきことです．このような奇跡的に良く解ける量子力学の模型を調べるため に，ジャック対称多項式の理論を学び，量子可積分性の意味，相関関数の計算法等について考えま しょう． 第 3 章においては，第 1 章と第 2 章では断片的に扱われた可換な保存量とその固有関数系—すな わち量子可積分系の基礎— について総まとめを行ないます．ここでは，マクド ナルド 対称多項式の 理論を用いて，カロジェロ・サザランド 模型の可換な保存量とその固有関数系について，一段高い 立場から捉えてみましょう．ただし ，木登りには危険が付き物ですから，滑り落ちないように注意 深く登ってください．見張り台からの素晴らしい眺めが我々を待っています． 最後の章では，カロジェロ・サザランド 模型とビラソロ代数と呼ばれる無限次元リー代数との関 連，最近の話題，及び，未解決の問題等について触れてみます．我々は，カロジェロ・サザランド 模

型から出発して，量子可積分系の不思議な関連を追いかけます．カロジェロ・サザランド 模型が — 本当の理由はよく解りませんが — 無限自由度の量子可積分系に現れる「ビラソロ代数」と密接に関 係するという謎に焦点を当ててみます．この不思議な接点の類似をマクド ナルド 対称多項式の場合 に期待することもできて，それは「変形ビラソロ代数」の誕生を意味します．その次に，二次元の 古典統計力学の可解格子模型を取り上げて，そこで成長する変形ビラソロ代数の姿を見せたい，と 執筆の初期の段階では考えていました．可解格子模型の研究において，変形ビラソロ代数は我々の 予想を全く裏切る意外なところに出没するので，変形ビラソロ代数に導かれて複雑な迷路を手探り で進むような気がしてきます．しかしながら，古典統計力学における変形ビラソロ代数の役割を記 述するにはかなりの準備が必要で予定の紙数を越えることになりますので，物理に関連する話題は 思いきって省略することにしました． 本書は，東大駒場で行った解析力学，量子可積分系についての講義，及び，立教大でのカロジェ ロ・サザランド 模型，ジャック対称多項式，マクド ナルド 対称多項式と (変形) ビラソロ代数につ いての講義ノート等を整理して出来たものです．立教大学で講義をさせて頂くにあたってお世話に なった山田裕二さんに感謝の気持ちを捧げたいと思います．この本には，粟田英資さん，小竹悟さ ん，久保晴信さん，松尾泰さんとの共同研究で得られた結果を多数引用させて頂きました．ここに 改めて感謝の意を表したいと思います．原稿を注意深く読んで貴重な意見を下さった，井上玲さん， 坂本玲峰さん，竹野内晃さん，西澤道知さん，西野晃徳さん，原祐次さん，山田崇さんにはこの場 を借りてお礼申し上げます．とりわけ，坂本玲峰さんには計算の詳細まで読んでいただき，説明の 不足や証明の不備，私の勘違い等について数えきれないほどの御指摘をいただきました．毎日の生 活と研究を支えてくれている私の両親，朝彦，多重子と妻子，京子，空大に感謝します．最後にな りましたが，執筆の機会を頂き，また私の遅筆を最後まで辛抱強く待ち続けて下さったサイエンス 社の編集部の方々に深くお礼を申し上げます． 2003 年 7 月

白石 潤一

ii まえがき

目

次

第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1

古典力学：すずめの学校 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

ニュートンの運動方程式：尽きぬ泉

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

エネルギー保存の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

調和振動子：バネ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4

斥力の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

解析力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

ラグランジュの運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

ハミルトン形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

線形な多自由度の系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

カロジェロ・モーザー系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1

三粒子の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2

ラックス形式：紡ぎ歌 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3

23 ˙ L = LM − M L の証明と可積分な模型のクラス . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.4

包合の関係：みな仲良し

1.3.5

運動方程式の求積：u(x) = 1/x2 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

量子可積分性へ向けて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.1

保存量の別の表現：険しい山道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.2

量子論におけるラックス形式：別の道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

第 2 章 川遊び —量子可積分系

2.1

43

量子力学の基礎事項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1.1

調和振動子の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1.2

波動関数：エルミート多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.1.3

ロド リゲスの公式とエルミート多項式の母関数 . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.4

相関関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.1.5

円周上の自由電子：めだか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.1.6

N 電子の波動関数：めだかの学校 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.7

パーティション，ヤング図形：めだかのお遊技 . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.8

シューア対称多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.1.9

密度相関関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2

カロジェロ・サザランド 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.2.1

カロジェロ・サザランド 模型のハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.2.2

基底状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.2.3

基底状態の規格化の吟味

2.2.4

励起状態へ向けて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.2.5

励起状態の準粒子解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.2.6

ジャック対称多項式の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.2.7

モノミアル対称多項式とパーティションの順序 . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.2.8

ジャック対称多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.2.9

シューア対称多項式：楽しい遠足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.10 密度相関関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3

2.4

保存量と波動関数：補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.3.1

保存量の可換性：ダンクル作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.3.2

ジャック多項式の表示公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

第 3 章 木登り—可換な作用素と固有関数

3.1

3.2

3.3

3.4

95

無限変数の対称多項式：対称関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3.1.1

シューア対称関数：内積と直交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.1.2

ジャック対称関数：内積の β-変形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.1.3

マクド ナルド 対称関数：内積の (q, t)-変形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

存在定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2.1

対称関数の基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2.2

線形自己共役作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2.3

マクド ナルド の差分作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.4

上三角性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.2.5

自己共役性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.2.6

固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.2.7

可換性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.2.8

確認事項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.2.9

コストカ多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

対称関数の自由場表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.3.1

自由場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.3.2

マクド ナルド 差分作用素の自由場表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.3

マクド ナルド 対称関数の積分表示：具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3.4

積分表示：パーティションが一般の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

iv 目 次

第 4 章 不思議な出会い —ビラソロ代数

4.1

135

自由場とビラソロ代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.1.1

自由場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.1.2

ウィックの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.1.3

作用素積展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.1.4

補足：自由場の力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.2 ビラソロ代数

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2.1

共形変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.2.2

共形不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.3

ビラソロ代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2.4

ヤコビ律と中心拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2.5

最高ウエイト表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.2.6

最高ウエイト表現の基底

4.2.7

特異ベクトル

4.2.8

カッツ行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.2.9

カッツ行列式の因数分解

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2.10 特異ベクトルの公式の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.3 ビラソロ代数の自由場表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.4

4.5

4.6

4.3.1

自由場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3.2

フォック空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3.3

特異ベクトルの自由場表示：秘密のトンネル . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

変形ビラソロ代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.4.1

定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.4.2

ヤコビ律と構造関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.4.3

補足：変形ビラソロ代数の極限等 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.4.4

最高ウエイト表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.4.5

カッツ行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

変形ビラソロ代数の自由場表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.5.1

自由場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.5.2

フォック空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.5.3

マクド ナルド の差分作用素と変形ビラソロ代数 . . . . . . . . . . . . . . . . 190

まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

参考文献

194

索 引

199

v

第

1

章

木の実あつめ—古典可積分系

夜空の星の不思議さに魅せられたのがそもそもの始まりです．やがて，身の回 りの出来事まで微積分学で精密に予言できるような体系として完成されたニュー トン力学は，途方もなく大きな国に例えることができるでしょう．この国には， 人々がくつろぐことのできる，色とりど りの花と美しい緑にあふれた広場があ ります．子供達はかくれんぼやおにごっこなどで遊び回り，タコあげやコマま わしに夢中です．一人の子供が川の吊り橋を慎重に渡っていると，その隣を勢 いよく走り抜ける子供がいます．縄や格子の遊び道具をみんなで揺らして遊び ます．大人たちは木陰でのんびりと過ごしたり，池に石を投げて水面にできる 波を楽しみます．ある人は泳ぎ ，またある人は魚釣りをするでしょう． ある日，デ リケートで一風変わったコマにうち興じ る女性が登場し ました． オイラーのコマやラグランジュのコマといった伝統的なコマについで見つけら れたこの新手の可積分コマは彼女の名前をとってコワレフスカヤのコマと呼ば れます．それからしばらく経って，戸田格子という可積分格子が発見されまし た．運河を進む孤立した波に興味をそそられ，それをどこまでもおいかけたス コット・ラッセル卿の好奇心は讃えられるべきですし ，浅い水の波をあらわす コルテヴェーグ・ド ・フリースのすばらしい波動方程式にしたがって，たくさ んのソリトンを魔法のように生み出してみせる手品はとてもみごとです．我々 の憩いの場であるこの広場はこのようにして造られてきたものです．もちろん， これからもいろいろな不思議で可積分な話が生まれていくことでしょう．可積 分タコあげか，可積分おにごっこか，はたして次はどのような遊びが不思議を 紡ぎ出すのでしょうか？ この章では，古典力学の可積分模型の例としてカロジェロ・モーザー模型を とりあげようと思います．これは，一次元の空間を運動する斥力の相互作用を 持つ多粒子の問題です．戸田格子の発見の直後に見つかった古典力学の可積分 模型です．これから我々は，カロジェロ・モーザー模型に導かれて量子可積分系

の野山を散策することになりますが，まずはしばらく古典論の範囲にとど まっ て，色々な形の美しい木の実をあつめてみましょう．

1.1 古典力学：すずめの学校 1.1.1 ニュートンの運動方程式：尽きぬ泉 一次元の空間を運動する一粒子の運動方程式を積分する方法を思い出してみ ましょう．教養学部の講義で学んだ懐かしい話題です．後に我々は少し手ごわ い模型の場合に，運動方程式の積分を実行しようと考えているので，そのため の準備運動と思ってください． 簡単のために，力は座標にのみ依存するものとしましょう．質点の座標を x, 質量を m, 質点に作用する力を F (x) と表せば，ニュートンの運動方程式は

m

d2 x = F (x) dt2

(1.1)

と与えられます．これがまさに古典力学の源流となる方程式です [1]∼[3] . 力が働かない場合，F (x) = 0 即ち

d2 x dt2

= 0 となります．この微分方程式の解

x = vt + x0

(1.2)

は，質点が等速運動することを表します．よって，ガリレ イの慣性の法則は運 動方程式からの帰結となります．

図 1.1 ピサの斜塔．

もし ，ピサの斜塔から球を落下させることを考えるならば，球にかかる重力

F (z) = −mg を考えることになります．ここに，g は地球の表面近くにおける 重力加速度を表す定数で，g = 9.8 m/s2 という値を持ちます．この場合の運動 2

方程式 m ddt2z = −mg を解けば， 2 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

1 z = − gt2 + v0 t + z0 2

(1.3)

を得ます．この結果は質量 m には依存しないことに注意してください．ピサの 斜塔の高さ z0 は約 55 m ですから，初速度零 (v0 = 0) でそっと手を離せば 3.4 秒ほどで地面に到達する計算になります．これは，直感と矛盾しない数字です． 重い玉と軽い玉が同時に着地するという日常的な感覚を裏切る結論は，ガリレ イのような考察を経ないでも運動方程式と万有引力の法則からあっさり導くこ とができます．

1.1.2 エネルギー保存の法則 一次元の運動において，−F (x) の積分



U (x) = −

F (x)dx

(1.4)

は力 F (x) のポテンシャルです．即ち，力はポテンシャルの微分によって

F (x) = −

dU (x) dx

(1.5)

と表すことができます．ポテンシャル力による運動なので，エネルギー

E=

m 2



dx dt

2 + U (x)

(1.6)

が保存します：

dE = 0. dt

(1.7)

つまり，運動方程式の解 x = x(t) の上では

dE dt

= = 運動方程式

=

d2 x dx dx m 2 + U  (x) dt dt dt   dx d2 x(t) m − F (x(t)) dt2 dt

(1.8)

0

となり，エネルギー E は一定値をとります． エネルギー E を持つ軌道上での速度は，式 (1.6) より位置 x を用いて

dx = dt



2(E − U (x)) m

(1.9)

と表すことができます．ただし ，根号内が負であることは許されないので，古 典軌道は E ≥ U (x) の範囲に生じなければなりません．この一階の微分方程式 は変数分離によってただちに積分できますから，

1.1 古典力学：すずめの学校 3

 t2 − t1 =

x2

 dx

x1

m 2(E − U (x))

(1.10)

と，時間を位置の関数として求めることができます．両辺に，この関数の逆関 数をほどこしてやれば位置を時間の関数として表すことができて，それが一自 由度の問題の解答を与えます．

1.1.3 調和振動子：バネ 調和振動子を扱ってみましょう．フックの法則に従う理想的なバネは，伸び に比例した力を与えます．比例定数 (バネ定数) を k とすれば ，運動方程式は

m¨ x = −kx

(1.11)

です．ここでは，時間についての微分を x, ˙ x ¨, · · · 等とニュートンに倣って書き ました．以下では，ライプニッツの記号 dx/dt, d2 x/dt2 , · · · とニュートンの記 号のうち便利な方を適宜用いることにします． 調和振動子のポテンシャルエネルギーは

U (x) =

k 2 x 2

ですから，



ωt + δ = 0

x

(1.12)

dy 

1 A2 − y 2

= arcsin

ここに，δ は積分定数，また，ω =



x . A

k m, A

(1.13) 

=

2E k

とおきました．この逆関

数をとれば

x(t) = A sin(ωt + δ)

(1.14)

となります．でも，調和振動子をこのように解くのは少し大袈裟です．

F＝−kx

図 1.2

4 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

調和振動子．

1.1.4 斥力の例 調和振動子は引力の例でしたので，斥力の例も考えてみましょう．話が簡単 な方がよいので，積分したり逆関数をとったりする際に，初等関数だけですむ 例はないものでしょうか？積分の公式集を使ってそういう例をいくつか見つけ ることができます．以下の例はそのうちの一つです． ポテンシャルが

U (x) = g 2

1 x2

(1.15)

で与えられる場合，力は

F (x) = 2g 2

1 x3

(1.16)

と書けるように，原点近くで強く，遠方で減少する斥力です．ここに，g は斥 力の強さを表す定数です．(重力加速度ではありません．) これが自然界にある

t = 0 で，質点が最も原 力かど うか，ここでは構わないでおきましょう．時刻  点に接近して x(0) =

g2 E

≡ x0 となるとしましょう．運動方程式の積分は容

易で





x

t=

dy x0

m = 2(E − g 2 /y 2 )



m(Ey 2 − g 2 ) 2E 2

x (1.17) x0

となり，これを x について解けば

 x=

mg 2 + 2E 2 t2 mE

(1.18)

と求めることができます．よって，軌道は x-t 平面上の双曲線になります．原 点付近で斥力によって反射され，また，遠方では等速運動に漸近するという期 待通りの振るまいを確認することができました．

t

x0

図 1.3

x

斥力ポテンシャル U (x) = g 2 x12 中の運動．

1.1 古典力学：すずめの学校 5

1.2 解析力学 1.2.1 ラグランジュの運動方程式 運動方程式を座標系に依存しない形に書くというラグランジュの素晴らしい 考えは，我々に多くの利益をもたらしてくれます． ラグランジアンとは，N 個の一般座標 qi と一般化された速度成分 q˙i を用 いて，

L(q, q) ˙ = (運動エネルギー) − (ポテンシャルエネルギー)

(1.19)

と定められる関数です．このとき，質点系の運動方程式は，座標の選びかたに 依らないで

d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙i ∂qi

(i = 1, 2, · · · , N )

(1.20)

と書けます．これはラグランジュの運動方程式と呼ばれます．もちろんこれは ニュートンの運動方程式と等価です．我々は，考える問題に応じて上手い座標 を選びますが，そのとき直交座標における運動方程式までいちいち立ち戻らな くて済むことが利点です． 問題 1.1

調和振動子に対するラグランジアンが L(x, x) ˙ =

m 2 ˙ 2x

− k2 x2 と与

x = −kx が得られ えられること，また，ラグランジュの運動方程式として m¨ ることを確認せよ． 問題 1.2

作用関数を S =

t2 t1

L dt と定める．このとき，ラグランジュの運動

方程式 (1.20) は，最小作用の原理，即ち，S が経路の微少変分 q(t) + δq(t) に 関して不変になるための条件として得られることを示せ． ラグランジュの運動方程式の例題として，一様重力中の単振り子を考えてみ ましょう．質量 m の質点が長さ l の軽い棒の一端に固定されており，もう一方 の端は運動を妨げないよう工夫がされて支持台に固定されているとします．こ こでは簡単のために振動は鉛直面内を運動する場合を考えましょう． この場合，一般座標は，振り子の鉛直線からの振れ角 θ で，ラグランジア ンは

˙ 2 + mgl cos θ ˙ = m (lθ) L(θ, θ) 2

(1.21)

と与えられます．ここに，g は重力加速度です．よって，ラグランジュの運動 方程式

6 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

g θ¨ + sin θ = 0 l

(1.22)

を得ます．

θ

l

mg

図 1.4

単振り子．

もし ，振り子の振幅が非常に小さければ ，θ の高次の項は無視することがで きて，

g g θ¨ = − sin θ ∼ − θ l l

(1.23)

となり，ω 2 = g/l の調和振動子で近似されます．このことは，振れ幅の小さ い単振り子の振動の周期が振幅にほとんど 依存しないことをうまく説明してい ます． 問題 1.3

フーコーが地球の自転を証明するために用いた長さ l = 67 m の振

り子の周期を求めよ． エネルギー E を mgl で割ったもの

I=

l ˙2 θ − cos θ 2g

(1.24)

は保存量です．(確認して下さい．) 保存量があるので運動方程式の階数を一つ 減らすことができて，θ についての１階の微分方程式



θ˙ =

2g (I + cos θ) l

(1.25)

を得ます．運動は

I + cos θ ≥ 0

(1.26)

なる範囲に生じます．往復運動は −1 < I < 1 に対応し ，I > 1 の場合は回転 運動を表します．また，I = −1 の場合は θ = 0 に静止，I = 1 の場合は無限 の時間を要して逆立ちの静止に至ります． 1.2 解析力学 7

式 (1.25) を積分すると

 t − t0 =

θ

0

√

ldθ   =k 2g(I + cos θ  )

  l θ/2 dα  g 0 1 − k2 sin2 α

(1.27)

となります．ここに



k=

2 >0 I +1

(1.28)

とおきました．これはヤコビの楕円関数を用いて

   1 g (t − t0 ), k θ = 2 arcsin sn k l

(1.29)

と解くことができます．ここに現れた関数 sn はヤコビの楕円関数と呼ばれる関 数で，可積分模型の公園を散策しようとする我々にとっては，欠かせない大切 な関数です． ヤコビの sn 関数は



u= 0

z

dx  (1 − x2 )(1 − k2 x2 )

(1.30)

の逆関数

z = sn (u, k)

(1.31)

と定められます．このように定められた sn 関数は，複素 u 平面上の二重周期 関数となるという顕著な性質を持ちます．また，楕円テータ関数等を用いれば，

sn 関数等の楕円関数を直接定義することができますが，それは先の話題に取っ ておいて，ここでは先を急ぐことにしましょう． 式 (1.30) を変数変換すれば

sn（ u，k） k＝0.99

π

2π

k＝2 k＝0

図 1.5 ヤコビの sn 関数．

8 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

u



ϕ

u= 0

dα  = 1 − k2 sin2 α



sin ϕ

0

dx  2 (1 − x )(1 − k2 x2 )

(1.32)

となりますから，単振り子の積分に必要な関数 φ(u) は，ヤコビの sn 関数を用 いて

ϕ = arcsin sn (u, k)

(1.33)

と求めることができます． 例 1.4（ Y 字振り子） Y の字状に結んだひもに重りを吊るしたものは Y 字振 ．Y 字振り子の運動を考えるには，重りの座標を り子と呼ばれます（ 図 1.6 ）

(x, y, z) = ((l1 + l2 cos φ) sin θ, l2 sin φ, −(l1 + l2 cos φ) cos θ)

(1.34)

と選ぶと便利です．このとき，

m 2 (x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 ), 2 ポテンシャルエネルギー = mgz 運動エネルギー =

(1.35) (1.36)

から，ラグランジアン

L=

m (l1 + l2 cos φ)2 θ˙2 + l22 φ˙ 2 + mg(l1 + l2 cos φ) cos θ 2

(1.37)

が得られます． 問題 1.5

Y 字振り子の運動方程式を求めよ．必要ならば線形近似を用いて，

運動の様子を調べよ．Y 字振り子の運動方程式は可積分であるか？

z

y l1 θ φ

x

図 1.6

l2

Y 字振り子．

1.2 解析力学 9

1.2.2 ハミルトン形式 ラグランジュのやり方も素晴らしいのですが，ハミルトンによる記述もまた 美しいものです．特に，様々の物理量の時間微分が，代数的な手続きによって みごとに計算される過程をみてみましょう．後で考えるようなもっと本格的な 模型の例もそうですが，保存量が多数ある場合は素朴に考えたり素手で計算し たりするだけでは先に進むことが難しくなってきます．こういう場合に力を発 揮するのがハミルトン形式です． 一般座標 (q1 , q2 , · · · , qN ) を用いてラグランジアンが

L(q, q) ˙ = 運動項 − ポテンシャル項 = K(q, q) ˙ − U (q)

(1.38)

と与えられるとします．この系は次のような保存量

d dt



 ∂K ∂ q˙i

i



q˙i − L(q, q) ˙

=0

(1.39)

を持ちます． 問題 1.6

ラグランジュの運動方程式を用いて上のことを確認せよ．

もし運動項が q˙i について二次の斉次式ならば

 ∂K i

∂ q˙i

q˙i = 2K

(1.40)

となりますから，この保存量は系の全エネルギー

E = K(q, q) ˙ + U (q)

(1.41)

に他なりません． さて，運動量を

pi =

∂ K(q, q) ˙ ∂ q˙i

(i = 1, 2, · · · , N )

(1.42)

によって定めます．(q1 , · · · , qN , q˙1 , · · · , q˙N ) から (q1 , · · · , qN , p1 , · · · , pN ) に 変数をルジャンド ル変換すると，

H(q, p) ≡

N 

pi q˙i − L(q, q) ˙

(1.43)

i=1

= 運動項 + ポテンシャル項 という表式を得ることができます．この H(q, p) のことをハミルトニアンと呼 びます．ハミルトニアンはエネルギーを表しますが，次に述べるように運動方 程式の記述にも用いられます． 10 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

ニュートンの運動方程式は二階の微分方程式ですが，座標と運動量を用いて

⎧ ∂H ⎪ ⎨ q˙i = ∂p , i ⎪ ⎩ p˙i = − ∂H , ∂qi

(i = 1, 2, · · · , N )

(1.44)

のように，一階の連立微分方程式に書くことができます．このように表示され た運動方程式はハミルトンの運動方程式と呼ばれます． 例 1.7

一次元一粒子の場合を考えます．ラグランジアンを

L(x, x) ˙ =

m 2 x˙ − U (x) 2

(1.45)

とすれば，運動量は

p=

∂ m 2 x˙ = mx˙ ∂ x˙ 2

(1.46)

となり，ハミルトニアン

1 2 p + U (x) 2m

H(x, p) =

(1.47)

を得ます．ハミルトンの運動方程式は

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎨ x˙ = p, m ⎪ ⎪ ⎩ p˙ = − dU (x) = F (x), dx

(1.48)

となりますが，これはもちろんニュートンの運動方程式 m¨ x = F (x) と同じも のです． ここで，時間微分を表現するためのおまじない，即ち，ポアソン括弧 { , } を導入しましょう．f, g が qi と pi の関数であるときに，f と g のポアソン括 弧を

{f, g} =

N  ∂f ∂g ∂f ∂g − ∂q ∂p ∂p i i i ∂qi i=1

(1.49)

と定義します． 例 1.8

一自由度の場合は

{f, g} =

∂f ∂g ∂f ∂g − ∂q ∂p ∂p ∂q

(1.50)

ですから，

1.2 解析力学 11

{p, q} = −1,

{q, p} = 1

{pn , q} = −npn−1 , {f (p), q} = −f  (p),

{q n , p} = nq n−1 ,

(1.51)

{f (q), p} = f  (q),

等となります． この記法に従うと，ハミルトンの運動方程式を

⎧ ⎪ ⎨ q˙i = {qi , H},

⎪ ⎩ p˙ = {p , H}, i i

(i = 1, 2, · · · , N )

(1.52)

と書くことができます．このことから，時間 t には陽に依存しない任意の qi , pi の関数 f (q, p) の時間微分が

d f (q, p) = {f (q, p), H} dt

(1.53)

とコンパクトに書けることとなります．関数 f が時間に陽に依存する場合は

∂ d f (q, p, t) = f (q, p, t) + {f (q, p, t), H} dt ∂t

(1.54)

と書けます．実際，式 (1.54) の左辺からスタートすれば ， 左辺 =

=

N  ∂f ∂ ∂f f (x, p, t) + q˙i + p˙i ∂t ∂q ∂p i i i=1

(1.55)

N  ∂ ∂f ∂H ∂f ∂H f (x, p, t) + − = 右辺 ∂t ∂q ∂p ∂p i i i ∂qi i=1

と右辺に到達することができます． ここでポアソン括弧の性質をまとめておきましょう． 任意の関数 f = f (q, p), g = g(q, p) 等と数 α, β に対して

{f, g} = −{g, f },

(反対称性) (1.56)

{f, αg1 + βg2 } = α{f, g1 } + β{f, g2 }, {f, gh} = {f, g}h + g{f, h},

(線形性) (1.57) (ライプニッツ則) (1.58)

{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0,

(ヤコビ律) (1.59)

が成立する． 多自由度の力学系の運動方程式を解く場合には，十分多くの保存量を探すこと が大切です．その際，長い計算を強いられる我々にとって，代数的に整備され たハミルトン形式は本当にありがたいものです． 保存量について ，簡単な例で 考えてみましょう．三次元の空間に おいて ， 12 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

r = (x, y, z) の向きを持ち原点からの距離 r =

 x2 + y 2 + z 2 のみに依存

する力

F = f (r)

r r

(1.60)

すなわち中心力に従って運動する一つの質点をとりあげてみます．中心力は必 ずポテンシャル力ですから，

F = −(∂x U (r), ∂y U (r), ∂z U (r))

(1.61)

と書けるようなポテンシャル U (r) が存在します．このとき，運動量ベクトル

˙ y, ˙ z), ˙ ハミルトニアンは は p = (px , py , pz ) = m(x, H=

1 2 (p + p2y + p2z ) + U (r) 2m x

(1.62)

となります． 中心力による運動においては，角運動量

M = r × p = (y pz − z py , z px − x pz , x py − y px )

(1.63)

が保存します．なぜならば ，

1 d M = r˙ × p + r × p˙ = p × p + r × F = 0 dt m

(1.64)

となるからです．このことをポアソン括弧で表現すると，

{Mx , H} = {My , H} = {Mz , H} = 0

(1.65)

となります． 問題 1.9

ポアソン括弧

{px , x} = −1, {px , y} = 0,

{px , z} = 0,

{py , x} = 0,

{py , y} = −1,

{py , z} = 0,

{pz , x} = 0,

{pz , y} = 0,

{pz , z} = −1,

{pα , pβ } = {α, β} = 0

(1.66)

(α, β = x, y, z)

を用いて式 (1.65) を導け． 方程式 (1.63) より，中心力による運動は力の中心を含み角運動量ベクトルに 垂直な面内に制限されることになります．とても美しい土星の輪は，土星の中 心を含む面上にあります．この輪は多くの粒子から成り立っているそうですが， すべての粒子が同じ面内を運動しているということは，みな同じ向きの角運動 量を持っているということになります．ど うしてそうなっているのでしょうか？ 土星の輪の起源は不思議です． 三つの保存量 Mx , My , Mz の間のポアソン括弧を調べると， 1.2 解析力学 13

{Mx , My } = Mz ,

(1.67)

{My , Mz } = Mx ,

(1.68)

{Mz , Mx } = My ,

(1.69)

という面白い関係が現れます．(式 (1.66) を用いて確認して下さい．) このよう な関係のことは，ポアソン代数と呼ばれます．我々の可積分の庭園には，何千 種もの美しいポアソン代数の草花が暮らしています． いくつかの量 I1 , I2 , · · · , Ik が，すべての組について {Ii , Ij } = 0 を満たすと き，これらは包合の関係にあると呼ばれます．互いに独立な関数であってしか も包合の関係にあるような保存量が，考えている力学系の自由度の数だけちょ うど 存在する場合には，この系の運動方程式は原理的に積分できるものとなる ことが知られています．これはリュービルの可積分性と呼ばれます [1]∼[6] ．“関 「 関数関係」の項 数の独立” について，微積分または解析の詳しい入門書には， 目で書かれているので併せて参照のこと． 問題 1.10

中心力においては，三つの量

⎧  1  2 2 2 ⎪ H = + U (r), p + p + p ⎪ x y z ⎨ 2m |M |2 = Mx2 + My2 + Mz2 , ⎪ ⎪ ⎩ Mz

(1.70)

が包合の関係にあることを示せ．(よって可積分です．) 問題 1.11（ケプラー問題） U (r) = − GMr1 M2 の場合に運動方程式を積分 せよ．

1.2.3 線形な多自由度の系 多数の質点が相互作用しながら時間発展する場合を考えてみましょう．最も 簡単なものは線形なバネで結合された

H=

N N 1  2 ω2  pi + (qi − qi+1 )2 2 i=1 2 i=1

(1.71)

(ただし ，qN +1 = q1 ) という模型です．このハミルトニアンと正準変数に対するポアソン括弧

{qk , ql } = 0,

{pk , pl } = 0,

が系の時間発展を記述します．

14 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

{pk , ql } = −δk,l ,

(1.72)

図 1.7

連成バネの系．

この場合のハミルトン方程式は線形の微分方程式

q˙ = p,

⎛

(1.73)

⎞

2 −1 0 ··· 0 −1 ⎜ ⎟ ⎜ −1 2 −1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ 0 −1 2 −1 . ⎟ ⎜ ⎟ p˙ = −ω 2 ⎜ . ⎟q .. .. .. ⎜ . ⎟ . . . ⎜ . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 2 −1 ⎟ ⎝ ⎠ −1 0 ··· 0 −1 2

(1.74)

となり，次のようなフーリエ変換による対角化が有効です．以下，簡単のため に粒子数が奇数の場合 (N = 2M + 1) のみを考えます．新しい座標と運動量

⎧ √ N ⎪ 1  2π −1 ki ⎪ ⎪ ⎪ Qk = √ e N qi , ⎪ ⎨ N i=1 √ N ⎪ ⎪ 1  2π −1 ki ⎪ ⎪ N √ P = e pi , ⎪ ⎩ k N i=1

(k = −M, −M + 1, · · · , M ) (1.75)

を考えましょう．任意の整数 k, l に対して √ √ N 1  2π N−1 ki − 2π N −1 li e e = δk,l N i=1

(1.76)

が成立することを使うと，

⎧ √ M ⎪ 1  − 2π −1 ki ⎪ ⎪ N √ q = e Qk , ⎪ i ⎪ ⎨ N k=−M

(1.77)

√ M ⎪ ⎪ 1  − 2π −1 ki ⎪ N ⎪ e Pk , ⎪ ⎩ pi = √N k=−M

と逆向きに解くことができます．新しい座標，運動量に関してポアソン括弧を 計算すると，

{Qk , Ql } = 0,

{Pk , Pl } = 0,

{Pk , Ql } = −δk+l,0

(1.78)

となります．よって，座標変換

{q1 , · · · , q2M +1 , p1 , · · · , p2M +1 }

(1.79)

→ {Q−M , Q−M +1 , · · · , QM , PM , PM −1 , · · · , P−M } はポアソン括弧を保つ変換，即ち，正準変換です． ハミルトニアンはこの正準変換によって 1.2 解析力学 15

  M  1 ω(k)2 Pk P−k + Qk Q−k , H= 2 2

(1.80)

k=−M

ω(k) = 2ω sin

πk πk = 2ω sin N 2M + 1

(1.81)

と表現されますから，ハミルトンの運動方程式



Q˙ k = Pk , P˙k = −ω(k)2 Qk ,

(k = −M, −M + 1, · · · , M )

(1.82)

を得ます．すなわち，N (= 2M + 1) 個の独立な調和振動子型の運動方程式に 分解されたわけです．ただし ，ω(0) = 0 であるので，k = 0 の場合はバネ定数 が零になり k = 0 の場合とは様子が異ります．よって，運動方程式の一般解を

Q0 = A0 + B0 t,

√ −1ω(k)t

Qk = Ak e

(1.83) √ − −1ω(k)t

+ Bk e

,

(k = 0)

(1.84)

と求めることができます．ここに，Ak , Bk は (複素の) 積分定数です．これを 式 (1.77) に代入して座標 qi を求めると，

qi =

A0 + B0 t √ N √ √ √ 1  − 2π N −1 ki e (Ak e −1ω(k)t + Bk e− −1ω(k)t ) +√ N k=0

(1.85)

となります．この式が実数の値をとることを要請すると，

A0 , B0は実数，かつ，Bk∗ = A−k

(k = 0)

(1.86)

でなければなりません．これら未知の積分定数は，2N 個の初期値 qi (0), pi (0) によって決定されることになります． 運動方程式が解ければそれでよいわけですが，念のために包合の関係にある

N 個の保存量をつくって可積分性を吟味しておきましょう．まず， ⎧

√ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ak = √ P−k + −1ω(k)Q−k , 2 (1.87)

√ 1 ⎪ ⎪ ⎩ ak = √ Pk + −1ω(k)Qk , 2 ここに，k = ±1, ±2, · · · , ±M とおきます．そうすれば ，ハミルトニアンの表式とポアソン括弧

1 2  a−k ak + a−k ak , P0 + 2 M

H=

k=1

16 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

(1.88)

{ak , al } =

√ −1ω(k)δk+l,0 ,

(1.89)

{ak , al } = 0, √ {ak , al } = −1ω(k)δk+l,0 ,

(1.90) (1.91)

を得ることができます．ここで，ハミルトニアンを構成する 2M + 1 個の量を

I0 =

1 2 P , 2 0

Ik = a−k ak ,

I−k = a−k ak

(k = 1, 2, · · · , M )(1.92)

と書けば，これらが保存量であること，

d Ik = {Ik , H} = 0 dt

(1.93)

および，包合の関係にあること

{Ik , Il } = 0

(1.94)

を確認することができます．

1.3 カロジェロ・モーザー系 一般に多数の質点が相互作用しながら時間発展する系の運動方程式を積分する ことは非常に困難です．多くの場合は，三体問題のように，運動方程式を求積す ることは原理的に不可能になるでしょう．そこで，我々は可積分な力学系 [4]∼[6] を手に入れたくなりますが，多自由度の力学系で可積分であるものを探し出す こともまた大変なことです．可積分模型は，探究する人だけが発見できる宝も のです．素晴らしい発想によって道を切り開いた先人たちに感謝しましょう．

1889 年に発見されたコワレフスカヤのコマ [7] 以来，有限自由度の可積分力 学系の発見には空白の期間がしばらく続きました．この空白を打ち破ったのは

1967 年の戸田格子と呼ばれる非線形格子の発見でした [8] . それとほぼ同時に発 見された，カロジェロ・モーザー系と呼ばれる力学系をとりあげてみましょう． これは，距離の二乗に反比例するような斥力ポテンシャルをもつ模型で，1969 年にカロジェロによって発見された模型です [9], [10] . また，モーザーは 1975 年 にこの模型の可積分性を研究しました [11] . カロジェロ・モーザー系のハミルトニアンは

互いに強い斥力を及ぼす

図 1.8

カロジェロ・モーザー系．

1.3 カロジェロ・モーザー系 17

 1 1 2 pi + g 2 2 i=1 (xi − xj )2 i · · · > pN,in とすれば ，p1,out =

pN,in , p2,out = pN −1,in , · · · , pN,out = p1,in となることを示せ．

1.4 量子可積分性へ向けて カロジェロ・モーザー系が量子化の後にも保存量を十分多く持つことを述べ て，次章への橋渡しにしたいと思います．ただし ，シュレデ ィンガー方程式を 解く方法についてはまだ議論を始めないでおきましょう．以下章末まで多少難 しいと感じる部分があっても気楽に読み進んで下さい．今後の議論へのよい動 機付けになると思います．

1.4.1 保存量の別の表現：険しい山道 この節では我々は思いのほか険しく急な山道を辿ります．さきほど 議論した ラックスの方法から続く量子化の道ですが，その良い面が失われるような少し 寂しい山道です．しかし ，この方法には別の優れた点があり，それは我々を量 子可積分系まで導いてくれます．本節では，1975 年にカロジェロ・マルキオロ・ 1.4 量子可積分性へ向けて 33

ラニスコがみつけたこの量子化の方法を学ぶことにしましょう [18], [19] . まず，古典論において保存量の別の表現を考えます．行列 L の固有値が保存 量であることから，次のような量 J1 , J2 , · · · , JN も保存量になります：

det (L − λE) ≡ (−λ)N + (−λ)N −1 J1 + · · · + (−λ)JN −1 + JN . (1.208) 以下では，記述を簡単にするために，ポテンシャルが有理関数型になる場合

u(xi − xj ) =

1 1 ≡ 2 (xi − xj )2 xij

(1.209)

を考えます．三角関数型，双曲線関数型，楕円関数型のいずれの場合も考え方 は同じです． まず二粒子の場合に計算すれば，

J1 = p1 + p2 ,

(1.210)

1 J2 = p1 p2 − g 2 x12 2

(1.211)

となり，三粒子ならば

J1 = p1 + p2 + p3 ,



1 1 1 + 2 + 2 J2 = p1 p2 + p1 p3 + p2 p3 − g 2 x212 x13 x23   p3 p2 p1 + + , J3 = p1 p2 p3 − g 2 x212 x213 x223

(1.212)

 ,

(1.213) (1.214)

を得ます． 問題 1.18

四粒子の場合に

  p3 p4 p2 p4 p2 p3 p1 p4 p1 p3 p1 p2 J4 = p1 p2 p3 p4 − g 2 + + + + + x212 x213 x214 x223 x224 x234   1 1 1 + 2 2 + 2 2 (1.215) +g 4 x212 x234 x13 x24 x14 x23

となることを確認せよ． 問題 1.19

少数変数の場合に Jk を Ik で書くこと，またその逆を試せ．

カロジェロ達はなぜ Jk という保存量を考えたのでしょうか？その理由は，量 子論における可積分性を吟味するとき，それが正しい出発点を与えるからです． 以下，量子化の後にも Jk が保存量であることを調べます． カロジェロ・モーザー系の量子化を考えましょう．古典力学系を正準量子化 することは，すなわち座標と運動量との間に正準交換関係 34 第 1 章 木の実あつめ—古典可積分系

√ [pi , xj ] = − −1¯ hδi,j , [pi , pj ] = 0,

(1.216)

[xi , xj ] = 0

を与えることです．ここに，¯ h はプランク定数です．また，量子化された系に おいて，作用素 O の時間発展はハミルトニアン H を用いて

d 1 O=√ [O, H] dt −1¯ h

(1.217)

と書かれることを思い出しておきましょう．カロジェロ達は量子論におけるハ ミルトニアンとラックスの行列を，古典論と全く同じ表式

 1 1 2 pi + g 2 , 2 i=1 (x − xj ) 2 i i