Las Ciencias Formales Y El Metodo Axiomatico

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Gregorio Klimovsky 4

Las ciencias formales y el método axiomático

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editora

© A -Z ed itora S.A. Paraguay 2351 (C 1121A B K ) B uenos A ires, A rgentina. T eléfono 4 9 6 1-4036 y líneas rotativas. Fax: 4961-0089 C orreo electrónico: co rreo@ az-editora.com .ar L ibro de edición argentina. H echo el depósito de la ley 11.723. D erechos reservados.

ISBN : 950-534-607-7

índice

A d v e r t e n c ia R e c o n o c im

i.

p r e l im in a r

ie n t o

C ie n c ia s

........................................................................................ 9

...........................................................................................................9

e á c t ic a s

y c ie n c i a s f o r m a l e s : c i n c o p r e g u n t a s .............................................11

ii.

C i n c o r e s p u e s ta s s o b r e i a m a t e m á t ic a : de

A hm és

a

K ant

....................................................................................... 15

11.1. Ahmés ................................ 11.2. Pitágoras y Platón .............

....................15 ....................17

11*3. A ristóteles.......................... 11.4. Euclides 11.5. Kant ....................................

20 25 26

iii.

L as

g e o m e t r í a s n o e u c l id e a n a s

iv .

Los

s is t e m a s a x i o m á t i c o s ............................................................................35

v. vi. B

N

........................ 29

u e v a s r e s p u e s t a s a c i n c o p r e g u n t a s ..................................................45

L o g ic is m o ,

ib l io g r a f ía

i n t u i c i o n is m o y f o r m a l i s m o

............................................. 51

62

Advertencia preliminar

El presente texto fue redactado, en un principio, para ser in­ cluido como capítulo en la obra Las desventuras del conocimiento científico. Una introducción a la epistemología (A*Z Editora, Bue­ nos Aires, 1994). Resultó demasiado extenso, por lo que fue reem ­ plazado por uno m ás breve. Hem os creído, sin embargo, que es interesante publicarlo de todas m aneras. El tema tratado es el m é­ todo axiomático, del cual üd pretendem os examinar con detalle las peculiaridades lógicas sino lim itarnos a señalar su importancia epistem ológica. C reem os que el advenim iento de este m étodo constituye una verdadera revolución en nuestra concepción de las ciencias formales, y la intención es señalar por qué.

Reconocimiento

Una vez m ás agradezco al profesor Guillermo Boido su colabo­ ración, tanto para realizar el seminario que dio origen a estas pá­ ginas como para revisar y criticar el texto que se expone a conti­ nuación. Sin sus consejos y opiniones no podríam os haber llevado a cabo esta tarea.

I Ciencias tácticas y ciencias fprmales: cinco preguntas

L

as disciplinas fácticas se ocupan de entidades concretas que pueden ser ubicadas en un determ inado tiempo y lugar o, al m enos, en un determ inado instante. Este último caso podría ser el de cierta p arte de la psicología, como por ejemplo la que se ocu­ pa de las emociones, sensaciones que parecen no ocupar lugar pe­ ro que tienen existencia en un m omento dado. Entre las entidades que atañen a las ciencias fácticas podríamos citar, entonces, a cuerpos físicos y sustancias químicas, seres vivos, fenóm enos y conductas psicológicas, com portam ientos dó una comunidad so­ cial, sistem as económicos o lingüísticos. El método estándar de estas ciencias es el llamado método hipotético deductivo*. Pero no resulta claro que las ciencias formalés, como la m ate­ mática o la lógica, se ocupen de “objetos” en el mismo sentido. SÍ se tiene el deseo de hablar de “objetos m atem áticos”, habría que acudir, de una m anera u otra, a posiciones filosóficas como las de Platón o Kant. Si acudiéram os a Platón, estaríam os obligados a ad­ mitir, adem ás de la existencia del mundo que percibim os con los sentidos, la de un m undo de objetos form ales o ideales que lo tras­ ciende. SÍ, en cambio, acudiéram os a Kant, deberíam os vincular la m atemática con algunas cualidades de ordenam iento y construc­ ción que nuestra m ente es capaz de producir a partir de los datos fenom énicos que provienen de la experiencia. Pero en realidad, como hem os de analizar m ás adelante, podríamos tam bién negar que existan “objetos m atem áticos”, y entonces la m atemática se­ ría algo parecido a la lógica: si bien no trata de ningún objeto en particular, sirve como un peculiar instrum ento para efectuar de­ ducciones o construcciones. Estaríam os en presencia de cons­ trucciones de estructuras m atemáticas posibles, que luego po­ dríam os encontrar ejemplificadas (o no) en la realidad.

Sobro ol m ótodo hipotético deductivo véase, por ejemplo, Klimovsky, (i., Ims des­ venturas del conocimiento científico. Una introducción a !a epistemología, B uenos Aires, A*Z editora, 1994.

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En este trabajo com enzarem os por discutir brevem ente lo que se ha pensado, a lo largo de la historia de la ciencia y de la filoso­ fía, acerca de qué es la m atemática y cuál es su fundamento. Lue­ go avanzaremos algo más allá del campo estricto de la matemáti­ ca y darem os cuenta de un concepto m ás amplio, el de “sistema sintáctico”, que es, quizá, la noción m ás general que emplean dis­ ciplinas o teorías formales desarrolladas con una metodología to­ talmente distinta de la que emplean las ciencias fácticas. Dicho sea de paso, la m atemática ha sido el prim er ejemplo paradigmáti­ co de ciencia con un grado de sistematización deductiva tal como para permitir, aun a los investigadores de la antigüedad, tom ar es­ ta disciplina como paradigma y ejemplo de cómo debe ser toda ciencia y cómo ha de ser el m étodo científico. En cierto modo, es­ ta influencia ha sido beneficiosa porque es la responsable de nues­ tra confianza en el rigor del m étodo científico y en la posibilidad de utilizar tácticas lógicas para obtener conocimiento nuevo a par­ tir del que ya se posee. Efectivamente, la parte deductiva del m étodo hipotético deduc­ tivo es una especie de fósil viviente o supérstite de la creencia an­ tigua de que toda disciplina debía utilizar el m étodo deductivo de­ mostrativo introducido por Aristóteles y que el sabio macedónico pensó como prototipo del pensam iento científico que debían imi­ tar las dem ás disciplinas. Pero tam bién es verdad que esta influen­ cia ha sido negativa. Cuesta m ucho imaginar hoy en día que las ciencias sociales y hum anas, como la sociología o la psicología so­ cial, pudieran edificarse o desarrollarse con una metodología simi­ lar a la de la matemática. Por todo esto, interesa volver un poco hacia atrás en la historia de la ciencia y form ular algunas preguntas, esencialm ente cinco, acerca de cómo investigadores antiguos y m odernos pensaron acer­ ca de la matemática. Tales preguntas son las siguientes: 1) ¿Cuáles son los “objetos” de los que habla la matemática? Es decir, ¿qué tipo de entidades estudia esta disciplina? Se trata, co­ mo se advierte, de una pregunta de carácter ontológico. 2) ¿Cuál es la fuente del conocimiento de tales “objetos mate­ m áticos” y de sus propiedades? Dicho de otro modo: ¿cuál es el fundamento de la verdad de las afirmaciones de los matemáticos? Estas preguntas tienen m ucho que ver con los propósitos de la epistemología.

II Cinco respuestas sobre la matemática: de Ahmés a Kant II. 1. Ahmés

Q

uizá la opinión m ás antigua acerca de la matemática, con las cinco respuestas implícitas a las preguntas que acabam os de formular, pueden ser localizadas en el papiro Rhind, un docum en­ to escrito por un escriba egipcio, Ahm és o Ahmose, quien parece haberlo redactado en el siglo XVII a.C. a p a rtir de un documento m ás antiguo. El escriba no parece ser el verdadero autor de los re­ sultados m atem áticos que ahí se ofrecen, sinv, m ás bien, un sim­ ple transcriptor. Este tratado en sí mismo no pretende probar na­ da, antes bien constituirse en algo así como un vadem écum para ser utilizado en la práctica cuando, por las obligáciones del escri­ ba, era necesario efectuar cálculos o recordar propiedades geom é­ tricas. Es oportuno tener en cuenta aquí que Egipto atravesó pe­ ríodos históricos muy distintos. Fue, entre otras cosas, un centro comercial en el que se intercam biaban m ercaderías con pueblos vecinos y, además, como no parece h aber existido m oneda y estas operaciones se hacían por trueque, cada transacción conformaba un problem a práctico de medición de volúmenes, pesos y otras cantidades. Por tanto, la aritmética (e incluso, si se quiere deno­ minarlas de este modo, las tácticas algebraicas) no constituía un m ero un lujo filosófico planteado por la natural curiosidad hum a­ na sino un instrum ento que se necesitaba em plear con toda ur­ gencia para realizar tales operaciones comerciales. Por otra parte, los egipcios parecen haber tenido notables co­ nocimientos de arquitectura, lo que obligaba al uso de nociones y propiedades geom étricas. No debem os olvidar, por último, que el Nilo, en su crecida e inundación anual, borraba todas las huellas de límites entre terrenos y obligaba a los propietarios a contratar agrim ensores, una profesión que debía ser floreciente en sem e­ jante estado, hecho por el cual, tam bién aquí los problem as prác­ ticos de m ediciones de figuras geom étricas o de cálculo de áreas se transform aban en necesidad y preocupación principal en cier­ tas épocas del año.

La geom etría nació, así, por razones prácticas. I ^ s que hem os mencionado no son seguram ente las únicas; por otra parte, es posi­ ble que la casta sacerdotal egipcia poseyera algún tipo de conoci­ miento reservado y esotérico que no se com unicaba a los técnicos y a los escribas, y que era propiedad de aquel sector de la pobla­ ción. Los historiadores de la matemática consideran como bastan­ te probable que la matemática que dominaban los sacerdotes era más sistemática y orgánica que la que nos pinta Ahmés. De todos modos, podemos advertir en las discusiones que nos legó el escri­ ba egipcio que no hay en ellas la m enor concepción formalista o abstracta de los “objetos m atem áticos”, pues en los ejemplos que nos ofrece se refiere a objetos concretos y a alguna de sus carac­ terísticas aritméticas o geom étricas, tales como la cantidad de pa­ nes o la forma de un terreno. Tam bién es im portante notar que no hay la m enor traza de justificación de la verdad de los enunciados que se ofrecen o de la solución de los problem as que se plantean. Podemos suponer que el escriba condensaba una especie de cono­ cimiento práctico obtenido m ediante procedim ientos inductivos, es decir, al cabo de la observación de m uchos casos similares. Un ejemplo es el conocimiento que tenían los egipcios a propósito de la necesidad de trazar perpendiculares para la división de los te­ rrenos: un triángulo de lados tres, cuatro y cinco es un triángulo rectángulo y, por consiguiente, podía ser utilizado para trazar per­ pendiculares, lo cual llevó a em plear cadenas de agrim ensor que perm itían realizar esta operación. No hay trazas de cómo enseña­ ban la matemática y, en cuanto a la relación dé" la matemática con la práctica, está muy claro en el papiro Rhind y en otros similares que lo que interesaba a los escribas en m ateria de m atemática era de por sí de naturaleza puram ente práctica. De ser así, observem os lo siguiente: la prim era pregunta hu­ biera sido contestada por Ahm és diciendo que la m atemática se ocupa de aspectos concretos de ciertos objetos igualm ente con­ cretos, y así como un objeto puede tener color y peso, también pue­ de tener forma y cantidad; es decir, que así como un médico puede estudiar los síntom as de una persona, un geóm etra puede h acer lo propio con las cualidades geom étricas de una m esa. En tal senti­ do, los objetos de los se ocuparía un matemático serían de natura­ leza concreta y obtenidos a través de la experiencia. Esta versión egipcia de la m atemática puede considerarse, en el fondo, como una posición empirista. Ciertam ente, el conocim iento de las com­

plicadas m etodologías aritméticas o de las intrincadas y sabias es­ trategias geom étricas que poseían los egipcios era el resultado inductivo de una práctica antigua y continua en m ateria de cons­ trucciones, de topografía, de agrim ensura y de otras actividades de naturaleza práctica. Si hubiéram os preguntado a Ahm és cuáles son las fuentes del conocimiento matemático, hubiera respondi­ do: la observación y la inducción. En otras palabras, habría que observar aspectos concretos de objetos concretos y luego genera­ lizarlos, a modo de ley, m ediante el uso continuo de la observa­ ción. Si le hubiéram os hecho la tercera y cuarta preguntas a Ah­ més, hubiera contestado que el descubrim iento m atemático se acrecentará por medio de la capacidad de observación y la de ge­ neralización, que deberíam os prom over ^ntre nuestros alumnos. En cuanto a la última pregunta, su formulación hubiese dejado atónito a Ahmés, y hubiéram os recibido la obvia contestación de que la m atemática es una disciplina que se ocupa de la práctica, pues todo lo que se afirma en ella es relativo a los objetos concre­ tos y a lo que querem os hacer con éstos.

II.2. Pitágoras y Platón Este punto de vista cambia notablem ente con el genial y un tan­ to pintoresco filósofo y científico griego Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C. Según B ertrand Russell, era un personaje que unía de m anera un tanto curiosa la preocupación por la ciencia, consi­ derada como un notable valor espiritual, con algunas creencias al­ go supersticiosas acerca de cuestiones religiosas. Lo que Ber­ trand Russell afirma con cierto ingenio es que Pitágoras fue algo así como una combinación de A lbert Einstein y M ary Baker Eddy, la inventora de la Christian Science, basada en la vida de Jesucris­ to. De hecho, los m éritos de Pitágoras en el desarrollo de la cien­ cia son grandes y así podem os encontrar en Los sonámbulos, de A rthur Koestler, la afirmación de que el gran concierto interm ina­ ble de la ciencia se inició con una indicación de un prim er direc­ tor que desató todo ese proceso y que fue precisam ente Pitágoras. De ser así, la pitagórica sería la prim era y fundacional revolución científica a la que hem os asistido en la historia, punto de vista que el autor de este texto no com parte. Ello no impide reconocer la importancia de la obra de Pitágoras y su escuela, en particular

porque a ella están vinculadas la confianza en la razón y la tradi­ ción racionalista en la ciencia. En este sentido, Pitágoras sería al­ go así como el prim er racionalista de la historia de la epistemolo­ gía de la m atemática e incluso de la filosofía por entero. Pero hay que hacer notar que Tales de Mileto, quien vivió po­ co antes de Pitágoras, parece haber añadido algo im portante en lo que se refiere a la segunda pregunta, acerca de la fuente de la ver­ dad de las proposiciones matemáticas. Tales, en cierto modo, no estaba fuera de la tradición egipcia en m ateria de matemática, y es posible que parte de su conocimiento en la m ateria la haya adqui­ rido en una de sus visitas a Egipto. Se trata de un punto que luego, con Aristóteles (siglo IV a.C.), se ampliará hasta transform arse en el corazón del m étodo científico: el papel que en éste desem peña la lógica. Tales hubiera dicho que la fuente del conocimiento ma­ tem ático radica en la experiencia, la cual perm ite, por inducción, llegar a las leyes generales de la matemática; pero que luego, por deducción lógica, se adquieren nuevas verdades como conclusio­ nes de razonam ientos cuyo punto de partida son aquellas verda­ des ya obtenidas. Por esto es que m uchos historiadores y epistem ólogos hom enajean a Tales afirmando que fue el precursor de una posición que, si bien no es enteram ente racionalista, sí lo es de m anera parcial en lo que corresponde al papel de la lógica. La lógica no es, precisam ente, uno de los puntos que m ás preocupan a Pitágoras, si bien, por lo que sabem os de la tradición pitagórica, sus cultores usaban razonam ientos y dem ostraciones. Pitágoras debe ser vinculado, prevalentem ente, con eY intuicionismo, una tradición que incluirá luego a Platón, quien vivió entre los siglos V y IV a.C. La concepción fundamental de Pitágoras, y que Platón, de alguna m anera continúa, es la de que, adem ás del m undo de las realidades concretas y de los objetos que ocupan espacio y tiempo, hay otro m undo de objetos form ales a los que Platón denomina ideas. Acerca de las ideas, nosotros podem os tener conocimiento directo por medio de la m ente y de un acto peculiar de captación que es la intuición racional. Si se le efectuaran nuestras cinco preguntas sobre la m atemá­ tica a Pitágoras obtendríam os contestaciones muy distintas de las que le hem os atribuido al escriba Ahmés. A la prim era pregunta acerca de la naturaleza de los objetos de los cuales se ocupa la ma­ temática respondería que tales objetos lo son del segundo mundo, el formal, y no del mundo concreto que percibim os con los senti­

dos. Es en ese m undo donde se hallan los núm eros y las figuras geom étricas, perfectas y nítidas, tales como círculos, cuadrados y rectángulos. En el prim er m undo percibimos objetos concretos que participan aproxim ada y parcialm ente de las cualidades de los objetos abstractos del segundo. Una m esa puede ser rectangular, pero sólo aproxim adam ente, y un tocón de árbol puede ser circu­ lar, pero tam bién aproxim adam ente. Hay que reconocer que, an­ te la naciente m atemática de aquella época, que en apariencia daba conocimiento nítido, eterno y seguro, la idea que ofrece Pitágoras es notable: nuestrcñconocimiento de los objetos m atem á­ ticos es el conocimiento, por intuición, del segundo mundo, en el que captam os no ya figuras aproxim adas y concretas, sino las fi­ guras abstractas o form ales en toda s i l perfección. Por consi­ guiente, el m étodo que se perfila en Pitágot^s ya no puede ser la observación y el conocimiento empírico, sinbr algo que tiene que ver con el ejercicio de nuestras facultades mentales. La respuesta a la segunda pregunta, vinculada con la fuente d e la verdad m ate­ mática, invocaría la intuición racional, pues ésta perm ite a nuestra m ente captar las entidades form ales o abstractas y conocer cuáles son las leyes que les corresponden. A la tercera pregunta, o seá, cómo hacer para ampliar nuestro conocimiento matemático, y tam bién a la cuarta, cómo enseñar la matemática, la respuesta se­ ría: desarrollando nuestras facultades intelectuales, especialm en­ te la de intuición, y también, aunque en m enor medida, nuestra capacidad lógica. Y, finalmente, a propósito de la pregunta acerca de cómo se vincula la matemática, que se ocupa del segundo mundo, con la realidad cotidiana, que se refiere al prim er mundo, Pitágoras pa­ rece entender algo que es muy importante: piensa en una especie de isom orfismo o correspondencia entre las propiedades aproxi­ m adas de las cosas y las propiedades estructurales rigurosas de los objetos matemáticos. Por consiguiente, Pitágoras parece haber sido el prim ero en entrever un m étodo modelístico como los que hoy empleam os en física. Ante determ inado problem a respecto del m undo físico, podemos pasar por isomorfismo a la estructura m atem ática co­ rrespondiente, aprovechar los algoritmos y m étodos matemáticos para resolver nuestros problem as en el ámbito matemático y, una vez resueltos, volver atrás para encontrar cómo se refleja la solu­ ción m atemática en una solución física. La respuesta de Pitágoras,

entonces, es que la utilidad y la relación que tiene la m atemática con el mundo real se debe al isom orfismo aproxim ado y parcial que hay entre el mundo concreto y el m undo de las entidades ma­ temáticas. Esta idea es im portante porque la m etodología que de ella resulta se refleja, entre otras cosas, en los procedim ientos de medición tal como los practican, por ejemplo, los físicos. ¿Qué ha­ ce el físico al medir? Pasa de una estructura concreta (una vara, un terreno) a entidades m atem áticas (longitudes, superficies); y luego, con éstas, las m edidas que corresponden a las unidades concretas, m ediante algoritmos y cálculos, com puta y después vuelve atrás: las soluciones m atem áticas se transform an en solu­ ciones de su problem a físico. El lector no puede m enos que advertir la enorm e distancia que hay entre el inductivismo em pirista de los egipcios y este raciona­ lismo pitagórico-platónico que pone del lado m atemático los pro­ cedim ientos computacionales de tipo formal. D ebem os decir, des­ de un principio, que, salvo opiniones sostenidas en la antigüedad por Sexto Empírico, por el obispo Berkeley en la época gloriosa de los idealistas ingleses y por John S tuart Mili e n el siglo pasado, hasta hace poco tiempo la posición pitagórica parecía tener m ás influencia y dom inar la escena de la filosofía m atemática en mu­ cha m ayor dim ensión que la posición empirista. Pero como indi­ carem os luego, recientem ente, algunos neoem piristas han plan­ teado, por distintas razones, una vuelta a concepciones de corte empirista.

II.3. Aristóteles Con su método demostrativo, Aristóteles ofreció no sólo una metodología básica general para el desarrollo de todas las discipli­ nas científicas, sino que, en el caso de la matemática, propuso lo que hoy llamaríamos “m étodo axiomático clásico”. É ste consiste, de acuerdo con una concepción de la m atem ática fiel al pensa­ miento aristotélico, en el cumplimiento de las siguientes etapas: 1) Captación de ciertas verdades m atem áticas prim arias y sim­ ples, que llamaríamos axiomas, y adopción de algunas verdades matem áticas a título puram ente convencional, los postulados, por la razón que ya aducía Aristóteles de que sin tales convenciones no podría desarrollarse la ciencia.

En una palabra, se constituye un punto de partida, mezcla, en general, de un factor principal, la evidencia y la simplicidad con que determ inadas verdades se ofrecen a nuestro espíritu y, en al­ gunos casos, la necesidad un tanto provisoria de pensar de cierta m anera y no de otra para construir la geom etría o la ciencia m ate­ mática. Pero esta etapa se aplica sólo a unos poquísimos enuncia­ dos, que podríam os llamar los principios de la m atemática y, en es­ pecial, los principios de la geometría. 2) Con el empleo de la lógica, deducir, a partir de aquellos prin­ cipios, otras proposiciones* enunciados, los teoremas. La matemática, de acuerdo con esto, tiene tres tipos de estra­ tegias: la prim era consiste en la captación racional e intuitiva de al­ gunos principios evidentes o supuestos;Ja segunda, en em plear estrategias lógicas de deducción a partir de los principios, y la ter­ cera, en la obtención, como subproducto dem uestra actividad ló­ gica, de los teorem as, verdades m atem áticas gue pueden conse­ guirse en núm ero potencialm ente infinito. Desde luego, esto no significa que todas las verdades que así pueden obtenerse son igualmente interesantes, por lo cual atención hkm ana se pondrá al servicio de aquellas que sean m ás relevantes y de aplicaciones m ás valiosas para la práctica. Si form uláram os a Aristóteles la prim era pregunta que hem os planteado a Ahm és o a Pitágoras, su contestación, según se des­ prende del libro llamado Categorías, sería que los objetos m atem á­ ticos son propiedades abstractas que expresan o generalizan pro­ piedades o cualidades concretas de los objetos concretos. Esto es una pequeña vuelta atrás, m ás cercana, por cierto, a Ahm és que a las posiciones pitagóricas, con la diferencia de que Aristóteles re­ conoce que existen conceptos abstractos (y no objetos abstractos), y que es necesario el concurso del pensam iento para ir m ás allá de los ejemplos particulares y llegar a regularidades y leyes genera­ les. En cuanto a la segunda pregunta, afirma en los Primeros ana­ líticos y en los Segundos analíticos que la iuente de la verdad de la m atemática para los axiomas es la intuición racional y, en todo ca­ so, para las convenciones que nos brindan postulados. Todo lo de­ m ás se obtendría por medio de la deducción lógica. Con relación a la tercera y cuarta preguntas, aclarem os que Aristóteles consi­ dera muy útil la experiencia como uno de los caminos que des­ piertan nuestras facultades intelectuales y los estados de eviden­ cia. P'n lo que respecta a las aplicaciones prácticas de la ciencia

(quinta pregunta), hay que tener en cuenta lo que hem os afirma­ do acerca de que las propiedades a las cuales se está refiriendo Aristóteles son las propiedades de las cosas mismas. Conviene, en este punto, aclarar las diferencias entre las ideas de Platón y los conceptos de Aristóteles. Para Platón, las ideas es­ tán o to ló g icam en te constituidas por objetos del segundo mundo; son objetos y, en algún sentido, objetos que existen en su m undo con total independencia de las cosas del prim er m undo, e incluso existirían aunque no hubiese cosas en este último. Por ejemplo, para Platón, el “núm ero 3” es una entidad que existe, eterna, níti­ da y en forma segura, en el segundo m undo aunque no hubiera ternas en el primero, y aun si no hubiese existido este m undo en el que estam os inmersos. Pero no es éste el pensam iento de Aris­ tóteles. Las ideas, para Aristóteles, o como él las llamaría, los con­ ceptos, parecen ser el resultado de tener en cuenta ciertos aspec­ tos de las cosas del prim er m undo. E stos aspectos se pueden encontrar repetitivam ente (por lo cual podem os decir que el azul se encuentra en esta flor y en el cielo y en aquella tela), pero en cada una de las ejemplificaciones se trata de un aspecto concreto che objetos concretos. Esto significa que no encontraríam os el azul sí no existieran los objetos concretos de color azul. Por un acto de abstracción o de “separación” (como decían los escolásticos me­ dievales) es posible llegar al concepto separando, en un ejemplo concreto, todo lo que no corresponde a ese aspecto y dejando úni­ cam ente aquél que constituye el concepto. Una flor azul tiene mu­ chísimas características, pero si separam os todas ellas y conserva­ m os únicam ente su matiz, tendrem os el aspecto azul, que es el concepto de azul que podem os encontrar ejemplificado en cual­ quier otro objeto que lo posea. Si quisiéram os hablar m ás rigurosam ente, deberíam os decir que, para Platón, una idea no está presente en la cosa, sino que la cosa participa de la idea, una m anera de decir que en el objeto hay algo así como una réplica o acercamiento de lo que es la idea en sí misma. Esto, para Aristóteles, no es así. Los conceptos están en las cosas mismas y se obtienen de ellas, y si no hubiera existido un m undo real no hubiera sido posible la abstracción a partir de la cual se obtuvieron los conceptos. En cierto modo, Aristóteles no quiere aceptar el segundo mundo y piensa, con un cierto tipo de sensatez espontánea, que hay un solo m undo real, éste donde estam os, y que es aquí donde están las cosas y sus aspectos. És­

tos son captados por nosotros haciendo una operación sobre las cosas de este mundo; entonces, Aristóteles no puede limitarse, como en la tradición pitagórica, a aconsejar, a. propósito de la ter­ cera pregunta, el perfeccionamiento de nuestra capacidad de in­ tuición de los objetos del segundo m undo para el progreso de la matemática. No es que Aristóteles rechace el empleo de la razón con respecto a los conceptos para que podamos pensar m atem á­ ticam ente, sino que considera que lo im portante es que los pri­ m eros conceptos con los que el ser hum ano tiene que tratar para form ar gradualm ente su eqaajpo de conceptos destinados a enten­ der el m undo son sugeridos por los ejemplos acerca de los cua­ les los actos de abstracción tienen referencia. Por consiguiente, aun en m atemática, la experiencia concreta y la observación de­ sem peñan un papel “despertatorio” que se relaciona con nuestros actos de abstracción y con la formación de nuestro conocimiento. Lo que no parece estar del todo claro es cómo Aristóteles acepta (si es que lo acepta) que pudiéram os llegar a tener conceptos que no provinieran de la abstracción y que pudieran, por ejemplo, ori­ ginarse por combinación o estructuración de varios conceptos diferentes. Esta idea se asemeja, sorprendentem ente, a otra que será sus­ tentada luego, en el siglo XVIII, por el filósofo alem án Immanuel Kant, de quien volveremos a hablar m ás adelante. Kant parece pensar que los conceptos no se obtienen por abstracción sino que, de alguna m anera, resultan de un aparato preim puesto para nues­ tra experiencia en el que puede haber un factor constructivo. A Kant no le causaría ninguna dificultad aceptar conceptos que no se hubieran obtenido por abstracción, sino que pertenecieran a un equipo innato de conceptos puros de nuestro entendimiento. Pe­ ro tam bién debem os h acer notar la diferencia entre Kant y Platón. Para Kant los conceptos son como horm as vacías que de alguna m anera poseem os para colocar en ellas los fenóm enos e imponer­ les cierto tipo de estructura, pero no son objetos; en tanto que, pa­ ra Platón, los objetos m atem áticos son genuinos objetos y tienen tanto derecho a ser tratados lógicamente como tales para predicar propiedades de ellos, para contarlos o para hacer ciertas operacio­ nes que realizamos con los objetos concretos, como cualquier otro individuo que nuestra ontología encuentre. Y si bien es cier­ to que no es posible dividir un núm ero con un cuchillo, tampoco es posible descom poner en factores prim os una cacerola; de mo­

do que hay distintas categorías de objetos y eso impone distintas operaciones que podem os h acer sobre ellos. El problem a que se plantea en la m atemática es si los objetos en los que Platón pien­ sa son indispensables. ¿Hay que admitir, realm ente, que las figu­ ras son objetos y que los núm eros son objetos para contar con una disciplina matemática? ¿No será posible h acer m atem ática sin es­ ta presuposición? Como verem os, hay propuestas en este sentido que darían razón al conocido aforismo de Guillermo de Occam: “No hay que multiplicar las entidades innecesariam ente”. Si podem os construir la m atemática sin adm itir los objetos especiales del segundo m undo de Platón, parecería prudente no hacerlo. No obstante, reconocem os el derecho dem ocrático de un platónico de decir: “No serán necesarios, pero tenem os el convencimiento filosófico de que existen”. En este sentido, Platón y los platónicos sólo tendrían que convencernos de su existencia. Dicho sea de pa­ so, podem os hacer una observación final de nom enclatura: algu­ nos filósofos prefieren reservar la palabra existencia para los obje­ tos del prim er mundo, m ientras que para los del segundo emplean la palabra subsistencia, una m anera de ser en un sentido fuerte y le­ gítimo de la palabra que no implica ocupar lugar en el espacio y el tiempo. Lo que acabamos de decir refuerza la posible contestación de Aristóteles a la quinta pregunta, porque m uestra de m anera clara por qué, para él, aun la matemática, que parecería ser un ejemplo de una teoría particularm ente abstracta, está relacionada con la experiencia, y por qué sus conceptos no dejarían de ser, de algún modo, el resultado de una abstracción de las propiedades de los objetos concretos y de algunas de sus cualidades* Es por esto pre­ cisam ente tam bién que la matemática es indispensable para la práctica y para la tecnología, cosa que no tendría que ser eviden­ te en el caso pitagórico, salvo por el presupuesto, un tanto casual, de que el mundo real se parece al segundo mundo. En realidad, habría tam bién aquí que hacer un desafío metafísico y preguntar­ le a Platón por qué el segundo mundo tiene que ser isomórfico, parcial o totalmente, al primero. Aunque, al com probar cómo ra­ zonan ciertos personajes, políticos y funcionarios, podría tenerse la impresión de que el segundo mundo que se les presenta en su pensam iento no tiene nada que ver con la realidad, y es por eso que sus acciones son fracasadas o ineficaces, como m uchas veces lo sugieren los escépticos.

II.4. Euclides El libro geom étrico y matemático m ás famoso de la antigüe­ dad, que por fortuna se ha conservado excepcionalmente intacto, es los Elementos, de Euclides, m atemático que floreció hacia el año 300 a.C. en Alejandría. Este tratado sería, de acuerdo con cier­ tos historiadores de la ciencia como Thom as Heath, un ejemplo paradigmático del modo de pensar aristotélico. De hecho, las no­ ciones com unes y los postulados con los que Euclides comienza su libro corresponderían a k s axiomas y a los postulados de Aris­ tóteles. En cuanto a los aspectos deductivos de los Elementos, se­ rían los que llevan a Aristóteles a sus teorem as. Quizás esta sea una versión un tanto idealizada y exagerad# por parte de tales his­ toriadores. Un simpatizante del pragm atism o o del materialismo dialéctico podría tener una gran propensión arsubrayar, m ás que los aspectos demostrativos, el hecho de que Euclides propone pro­ blem as e indica cuál es su solución. Lo que no p u e d e negarse es que la idea de sistem atizar la geom etría a partir de principios, y utilizando desarrollos deductivos, qi^e es la esericia del m étodo aristotélico, está ejemplificada en el libro de Euclides. A través de él, Euclides ejerció una influencia paradigm ática en el suceder de las investigaciones m atemáticas hasta el presente, no sólo en cuestiones m atem áticas sino tam bién en física, en filosofía y en ju­ risprudencia. Bastaría pensar que hasta fines del siglo XIX los Ele­ mentos de Euclides se utilizaron como texto para el aprendizaje de la geometría, y que, incluso hoy, una versión modificada de sus prim eros libros constituye la base de la enseñanza de la geom etría plana en ciertas escuelas secundarias. Euclides sería entonces una culminación de las ideas m etodo­ lógicas de Aristóteles, aunque es muy probable que éste haya em ­ pleado ciertas nociones acerca de la estructura de la ciencia de la m atemática de otros geóm etras inmediatamente anteriores a él, _ en particular de Teetetos y, sobre todo, de Eudoxio. Estos, al pa­ recer, ya habían conseguido una cierta axiomatización de la m ate­ mática. Pero antes de dejar a Euclides y pasar a otras etapas más cercanas a la nuestra, quisiéram os hacer notar las dos influencias que nos ha legado la matemática griega. Por una parte, la pitagóri­ ca, en lo que respecta a la existencia de ciertos “objetos perfectos” y la im portancia que se le asigna en esta tradición a los aspectos computacionales. (Inclinado naturalm ente más hacia la teoría de

los núm eros que hacia la geometría, Pitágoras afirmó que “el nú­ mero es la esencia de todas las cosas”.) Por otra parte, la de Aristó­ teles que, por cierto, está m ucho m ás cercana a la de la geometría. De allí en más, la aritmética siem pre pareció ser un malabarismo computacional con objetos num éricos, en tanto que la geom etría se presentaba como un edificio con fundam entos, desarrollos y pruebas. En el pensamiento m atemático y en la m etodología de la matemática comprobamos la existencia de am bas influencias en todas las épocas, con distinto predominio de una u otra en distin­ tos m om entos históricos. En rigor, incluso en la actualidad se ad­ vierten am bas influencias. El llamado “m étodo axiomático”, al que luego nos referirem os, parece ser una herencia de la tradición aristotélica, en tanto que los m étodos computacíonales, que domi­ nan m uchas de las estrategias de la m atem ática necesarias para la práctica y para la física, o bien en informática y en la teoría de las com putadoras, parecen corresponder, por el contrario, a la tradi­ ción pitagórica. O bservem os finalmente que, en el propio campo de las cien­ cias fácticas, el método hipotético deductivo parece ser, en cierto modo, una especie de “caricatura” del m étodo axiomático pro­ puesto por Aristóteles. La diferencia radica en que, en lugar de principios necesarios por su evidencia, se trabaja con hipótesis y conjeturas; pero en estas teorías hipotético-deductivas, sobre todo en física, la presencia de la m atemática y de las com putaciones co­ mo arm a auxiliar para la deducción parecen ser tam bién factores muy importantes.

II.5. Kant En este punto será necesario practicar un “salto histórico” de más de dos milenios para referirnos a Immanuel Kant, filósofo del siglo XVIII que ya hem os mencionado. Su postura, es necesario destacarlo, no es para nada desechable en n uestra época por cuan­ to m uchas corrientes epistemológicas, por distintas razones, la han aceptado parcial o aun totalmente. Su teoría intuicionista del conocimiento tiene aspectos en com ún con la de la tradición pitagórico-platónica, por cuanto Kant tam bién aceptaría la intuición como fuente de conocimiento matemático. Pero Kant indicaría que los objetos matemáticos, en realidad, corresponden a cons­

trucciones o elem entos de carácter psicológico de los que dispo­ nemos, por nuestra naturaleza, como instrum entos para poder im­ poner orden y sistematicidad a los fenóm enos y tratar biológica­ m ente con ellos. La geom etría en Kant es una forma de sistem atizar los fenóme­ nos y, si se quiere, podem os concebir al espacio como un “objeto”, pero éste sería m ás parecido, sí se nos perm ite la metáfora, a un estante que a uno de los libros que lo ocupa. Parece ser un dispo­ sitivo m ediante el cual se pueden ubicar las entidades y, por con­ siguiente, al igual que los libros en una biblioteca, encontrarlas y utilizarlas cuando se las requiera. Lo mismo ocurre con los núm e­ ros, que parecen estar indisolublem ente ligados a nuestra intui­ ción del tiempo; y hay que recordar que el tiempo, al igual que el espacio, es tam bién una de las form as estructurales preim puestas a nuestra experiencia para tratar con ella. Con este tipo de concepción, a la pregunta acerca de qué son los objetos matemáticos, Kant contestaría que «on elem entos de nuestro aparato perceptual o de nuestro sistema categorial que nos perm iten ordenar y tratar con lo$ fenóm enos concretos. A la pregunta de cuáles son las fuentes de las verdades matemáticas; la respuesta de Kant sería: la intuición, la contemplación, pero no como en el caso de Platón, de objetos de una realidad distinta a la concreta, sino de las propiedades de nuestro sistem a psicológico de ordenación de los fenómenos. Y como somos los m ás privile­ giados para poder contem plarlos directam ente, con inmediatez, porque form an parte de nuestro propio aparato perceptual o racio­ nal, el tipo de verdad m atemática se impone a nosotros con una fuerza y una necesidad que no poseen, por cierto, las verdades cu­ ya fuente está en la experiencia. Se trata de lo que Kant denomina “verdades a priori”, para distinguirlas de las “verdades a posteriori”, que provienen de la experiencia. Las verdades a priori provie­ nen de la peculiar estructura que posee nuestro aparato psíquico como condición preim puesta para la sistematización de nuestras percepciones de los fenómenos. A la tercera y cuarta preguntas, respecto de la posibilidad de extender el conocimiento matemático y enseñarlo, la respuesta de Kant no sería muy distinta de las de Pitágoras o de Platón. Y en cuanto a las relaciones de la m atemática con la experiencia, Kant diría que tal relación existe y en un sentido muy parecido al que pusim os en boca de los empiristas. Sin embargo, para Kant, los

verdaderos objetos reales, los noúmenos, son incognoscibles, por­ que la única información que tenem os son los fenóm enos mis­ m os y éstos son algo así como manifestaciones indirectas de los verdaderos objetos. Para colmo, están sistematizados, conceptua­ dos y esquem atizados según nuestro aparato perceptual y nuestro sistem a categorial, el sistem a que proporciona los conceptos me­ diante los cuales los fenóm enos son unidos y esquem atizados for­ mando objetos físicos. Los objetos físicos no corresponden a nada real: son construcciones nuestras a partir de los fenómenos. En este sentido, la matemática, que corresponde en parte a nuestro sistem a perceptual y a su modo peculiar de estructura­ ción, y, en parte, a nuestro sistem a de construcción de conceptos, el sistema categorial, estaría estrecham ente conectada con nues­ tra experiencia y con los objetos de la experiencia, pero no con los objetos en si. 1.a m atemática es im portante para la práctica, para la tecnología y, en general, para todo lo que esté relacionado con los fenómenos, pero en el sentido de que está conectado con nues­ tro mundo, el que hem os podido construir con las propias percep­ ciones y categorizaciones. Pero no podem os saber, argüiría Kant, si el m undo real de los objetos en sí consta de propiedades tales que la matemática seguiría siendo imprescindible para entenderlo o si habría que acudir a otro tipo de estructuración del conoci­ miento. De todos modos, hay que hacer notar que, pese a la diferen­ cia entre el punto de vista kantiano y el aristotélico, am bos tienen algo en común acerca de las verdades matemáticas. El prim ero centra en el sujeto y en su aparato cognoscenté el origen de la ver­ dad científica (o al menos, del conocimiento científico) m ientras que el segundo supone que el conocimiento se relaciona de mane­ ra íntima con la naturaleza de las cosas; sin em bargo, tanto para Kant como para Aristóteles, los enunciados de la matemática, aquellos que consideram os verdaderos, probados y verificados, tienen carácter de necesarios, en el sentido de que sabem os que son verdaderos pero sabem os tam bién que no podrían ser de otra manera. Es verdad que el carácter de necesidad para Aristóteles parece ser metafísico y corresponder a la naturaleza de las cosas, en tanto que, para Kant, sería m ás subjetivo y está relacionado con el modo peculiar en que se conform a nuestra naturaleza humana. Pero la matemática sería, para ambos, no solam ente un conjunto de enunciados verdaderos, sino necesariamente verdaderos, algo que va a ser puesto en tela de juicio en el siglo XIX.

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Las geometrías no euclideanas

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as dificultades de la tradición clásica en todas sus variantes (menos la que corresponde a la primitiva posición empirista de Ahmés) com enzaron en 1826, en que aparece un célebre escri­ to del matemático ruso Nikolai Lobachevsky, una m em oria pre­ sentada a la Universidad de Kazán, y se produce en la historia de la m atemática algo que puede considerarse (según el tem pera­ m ento optimista o pesim ista que poseam os) como una revolución o como un accidente. Nos referim os a la aparición de las llamadas “geom etrías no euclideanas”. No querem os aquí relatar la historia de todó este proceso. Di­ gam os brevem ente que Euclides, en el prim er litíro de los Elemen­ tos, basa la construcción de la geom etría en cinco postulados, de los cuales el quinto es el que hoy se denomina, según las form u­ laciones actuales del mismo, el postulado o axioma “de las p arale-. las”. Afirma que, dados una recta en un plano y un punto del plano exterior a la recta, pasa por el punto una y sólo una recta paralela a la recta dada. No es éste el enunciado que ofrece Euclides, pero el anterior es equivalente y m ás sencillo. Resultó que a los geóm e­ tras posteriores este postulado no les resultaba tan intuitivo, evi­ dente y simple como los otros que proponía Euclides. Curiosa­ m ente, se tiene la sensación de que al propio Euclides el quinto postulado le causaba cierto rechazo, y eso lo prueba la circunstan­ cia de haberlo usado en su texto una sola vez en la dem ostración del teorem a XXDt que afirma, entre otras propiedades, la igualdad de los ángulos alternos internos entre paralelas. Por ello, un tan­ to irónicam ente, se ha llamado a Euclides “el prim er geóm etra no euclideano”. Que se acepte un postulado para ser usado una sola vez en un texto parece algo así como un dispendio exagerado o un abuso, como sería, en una mitología, no sólo aceptar el dios del sol, el de las nubes, el de la lluvia, el del mar, sino tam bién un dios especial para explicar cómo Su Majestad se curó el resfrío un cierto y de­ term inado m iércoles a la tarde. Un axioma tal parecería, realm en­ te, estar fuera de lugar en el Olimpo de las verdades prim eras, y

esto e s lo que debe haber motivado que Euclides no lo haya que­ rido usar, en la medida de lo posible. Claro que con que lo haya usado una sola vez para dem ostrar un teorem a y que ese teorem a luego haya sido utilizado varias veces para dem ostrar otros teore­ m as implica que, de alguna m anera, la influencia de ese axioma es m ucho mayor que lo que aparenta de m anera explícita. De todos modos, durante siglos y siglos parece haber existido una su erte de deporte, que practican desde Posidonio (siglo I a.C.) y Proclo (siglo V) hasta Karl Friedrich Gauss, en el siglo XIX, y que consistió en intentar dem ostrar que el quinto postula­ do era dispensable, es decir, que todo lo que se conoce en geom e­ tría surge a partir de los restantes cuatro postulados. En particu­ lar, de ser así, el controvertido postulado surgiría como un mero teorem a. Es oportuno aclarar en este punto que los cinco axiomas de Euclides, incluido el quinto, no son realm ente suficientes para obtener todo lo que se admite hoy como conocimiento geom étri­ co, ni siquiera para obtener todo aquello que Euclides presentaba como teorem as. Esto es así porque Euclides, a veces de m anera no explícita, utilizaba presupuestos que no se desprendían de sus postulados. Por ejemplo, no es posible deducir de los cinco postu­ lados que si unimos un punto interior a un círculo con uno exte­ rior, el segm ento así construido corta al círculo. Para obtener co­ mo teorem a este enunciado es necesario agregar al sistem a de Euclides otro postulado llamado “de continuidad”. La última tentativa para llegar a extraer como teorem a el quin­ to postulado la hizo Lobachevsky en el trabaja ya citado; el otro protagonista de esta historia es Janos Bolyai, quien, en Budapest, hacia 1823, había tenido una idea similar aunque su prim era publi­ cación data de 1832. Lo que am bos intentaron fue obtener una de­ mostración por el absurdo del quinto postulado, es decir, construir un sistem a de suposiciones con los cuatro prim eros axiomas de Euclides con el agregado de la negación del quinto postulado, con la esperanza de que, a partir de este sistem a de cinco suposicio­ nes, se obtuviese una contradicción del tipo A y no A. E sta última, como ya había señalado Aristóteles en su lógica, es forzosam ente falsa (“principio de no contradicción”), de lo cual resultaría la fal­ sedad de la negación del quinto postulado y, por tanto, la verdad del mismo. Procediendo de este modo, Lobachevsky y Bolyai avanzaron deductivam ente en busca de la esperada contradicción, pero ésta

no aparecía. Los prim eros teorem as que se obtenían eran idénti­ cos a los de Euclides, porque para producirlos no era necesario el quinto postulado. De hecho, lo que ocurrió e s s|ue, sin que se pre­ sentara ninguna contradicción, comenzaron a aparecer teorem as “extraños”, totalm ente alejados de la intuición. Por ejemplo: “la su­ ma de los ángulos de un triángulo es m enor que dos rectos” o bien “por un punto exterior a una recta pasa m ás de una paralela a di­ cha recta”. Otro inquietante teorem a afirmaba que, si dos figuras son sem ejantes, es decir, tienen los ángulos iguales y los lados ho­ m ólogos proporcionales, son iguales, lo cual implica que no exis­ ten figuras sem ejantes de distintos tam años. Esto implicaría que no podrían existir m apas o reproducciones en escala, porque és­ tos presentarían deform aciones con relación al objeto que se re­ produce. (O sea que si un enamorado, al partir de viaje, quisiera llevarse el retrato de su amada sin deformaciones, tendría que lle­ varse uno de tam año natural.) Pero si bien tales teorem as parecen inaceptables desde el punto de vista de nuestra intuición, no pro­ porcionan una dem ostración por el absurdo. Por cierto que en el sistem a de Euclides dichos enunciados son falsos, pero este nue­ vo sistema, construido a partir de las cinco suposiciones menciona- ■ das, no es el de Euclides sino una especie de “caricatura negativa” del mismo. La única esperanza hubiera sido obtener una contra­ dicción, porque las contradicciones son falsas no por razones geo­ m étricas sino por razones lógicas; pero el hecho es que Lobachevsky y Bolyai obtuvieron una cantidad no exagerada pero alta de “teorem as” no contradictorios. Esto plantea el siguiente problema: ¿no aparecen contradiccio­ nes porque no las hay entre todos los teorem as o porque no han aparecido hasta el momento? D espués de todo, deducciones po­ dría haberlas de cualquier longitud y la prim era contradicción que podría aparecer esté tal vez escondida en un futuro lejano. El ras­ go genial de Lobachevsky y Bolyai fue el de pensar que tal teore­ ma contradictorio no existía y que se estaba ante un tipo de juego, y a la vez de una estructura lógica donde las suposiciones inicia­ les podrían entenderse como absurdas o paradójicas, al igual que los teorem as, pero que, desde el punto de vista de la contradic­ ción, no conducían a nada lógicamente reprochable. Como se com prende, la situación era un tanto perplejizante. E sta e stru c ­ tura lógica que así se obtiene, ¿qué representa? En un cierto sen­ tido, el sistem a obtenido semejaba una geometría, o quizás una

parodia de geometría, en la cual los conceptos que se utilizaban estaban expresados con palabras sem ejantes a las de la geom etría tradicional, con sus peculiares principios, suposiciones iniciales y deducciones a partir de estos principios, desde los cuales se arri­ baba a teorem as un tanto perplejizantes o paradójicos, pero no contradictorios. ¿Qué representaba, desde un punto de vista filosófico o cientí­ fico, lo que Lobachevsky y Bolyai habían hecho? El punto no esta­ ba claro ni siquiera para los propios autores. Estos hablaron de “geom etría imaginaria'’, pensando que, como en la vieja geom etría tradicional, tam bién aquí se m encionaban objetos, pero no reales o legítimos (aun en sentido platónico) sino creados en nuestro pensamiento por nuestra imaginación, artificialmente. Cabría men­ cionar aquí la idea del famoso filósofo alemán Edm und Husserl, creador de la fenomenología, acerca de las “ontologías regiona­ les”, cada una formada por objetos con sus peculiares característi­ cas. En este sentido, la geom etría euclideana sería una peculiar ontología regional, en tanto que la geom etría de Lobachevsky y Bolyai definiría otra. La diferencia, tal vez, es que la prim era ten­ dría relaciones con lo concreto o se vincularía con lo concreto a través de un isomorfismo, como lo pensaba Pitágoras, en tanto que esta ontología regional en la que estarían pensando Loba­ chevsky y Bolyai tendría solam ente efectos para los curiosos o los que quieren construir un juego puram ente formal. De hecho, lo que finalmente empezó a im ponerse en el campo de la m atem á­ tica era la idea de que un sistem a geom étrico'com o el que Loba­ chevsky y Bolyai estaban introduciendo, y que desde entonces es una variedad de lo que se conoce como “geom etría no euclidea­ na”, no sería más que una estructura lógica form ada por una serie de suposiciones iniciales, razonam ientos correctos a partir de esas suposiciones y teorem as obtenidos en virtud de estos razo­ namientos. Por ser un ejercicio lógico, tal estructura tendría un interés puram ente formal, y lo único que se requeriría para su aceptación es la corrección de los razonamientos. Conviene recordar aquí que, según los lógicos, los razona­ mientos son correctos o incorrectos, es decir, tienen o no la garan­ tía de conservación de la verdad de las prem isas a la conclusión por su forma y no por su contenido. Esto significa que si las pre­ misas son ciertas y la forma es correcta, la conclusión tiene que ser cierta también; sin embargo, el razonamiento puede ser co­

rrecto y sus prem isas no ser verdaderas. (Por ejemplp: 2 + 1 = 8, 8 = 3, por consiguiente, 2 + 1 = 3.) La corrección de un razona­ miento puede expresarse m ediante lo que se ltema form a de razo­ namiento, esquem atizada con variables. Para aclarar esto al lector, recordem os el viejo silogismo: ‘T odos los hom bres son m ortales, todos los griegos son hom bres, por consiguiente, todos los grie­ gos son m ortales”. A greguem os éste: ‘T odos los músicos son ar­ tistas, todos los flautistas son músicos, por consiguiente, todos los flautistas son artistas”. Y finalmente: ‘T odos los africanos son americanos, todos los argentinos son africanos, por consiguiente, todos los argentinos son am ericanos”. Los tres silogismos no son idénticos, por cuanto su temática es distinta y, para colmo, en el tercer ejemplo, las dos prem isas que se han tomado son falsas, a diferencia de los ejemplos prim ero y segunda donde las prem isas son verdaderas. No obstante, los tres ejemplos tienen la misma forma, la misma disposición, ordenam iento y repetición de los tér­ minos que encontram os en cada uno de ellos. Y festo puede poner­ se en form a explícita, como ya lo notó y lo hizo el propio Artistóteles. Si en lugar de los térm inos denotativos qu$ figuran en los ejemplos (“griego”, “flautista”, argentino”, etc.) utilizáramos lo que los lógicos llaman letras variables, tales como x, y, z, tendría­ mos entonces: ‘T odos los y son z, todos los x son y, por consi­ guiente, todos los x son z ”. Esto se denomina una form a de razo­ namiento, porque aquí no hay prem isas y conclusión. Para que las hubiere, tendríam os que quitar las letras x, y, z y poner en su lu­ gar palabras “de carne y hueso” que expresaran algún concepto genérico. Si reem plazáram os “griego”, “hom bre” y “m ortal” en el prim er ejemplo, o “flautista”, “m úsico” y “artista” en el segundo, o “argentino”, “africano” y “am ericano” en el tercero, en lugar de x, y, z respectivam ente, tendríam os ejemplificaciones obtenidas a partir de la forma, y es por esto que decim os que los tres ejemplos tienen la misma forma. Las letras x, y, z se denominan variables no porque ellas varíen, sino porque podem os variar, de m anera arbi­ traria, los reem plazos “de carne y hueso” que producen los ejem­ plos concretos. Decimos que la forma es correcta porque a partir de ella no se obtendrá jam ás ejemplo alguno de prem isas verdade­ ras y conclusión falsa. Si esto es así, podem os volver a la geom etría de Lobachevsky y Bolyai, y entender que las palabras “punto”, “recta”, “plano”, “pa­ sar por”, “en tre” y “distancia”, que se usan en este discurso, son

ahora como la x, la y y la z del ejemplo silogístico anterior, o sea, que no se están tomando seriam ente como nom bres de algo espe­ cial, sino que tienen su denotación abierta. Por ello, podríamos darles cualquier interpretación y en cada una de ellas, si las pre­ misas se hacen ciertas y se ha cuidado que la forma de los razo­ nam ientos utilizados para las dem ostraciones sea correcta, se ob­ tendrán teorem as verdaderos. La geom etría no euclideana sería algo así como un “esquem a de geom etría” que, según el sentido que dem os a las palabras, podrá transform arse en un ejemplo con­ creto de discurso. En éste, en la mayoría de los casos, las suposi­ ciones iniciales no se harán ciertas (o al m enos no todas), pero podría acontecer que hubiese algún ejemplo donde todas ellas se satisficieran. Si así fuese, tam bién serían ciertos los teorem as por­ que se ha realizado una deducción correcta. En esta estructura lógica en la que en el discurso hay palabras a las que les falta la denotación, las oraciones no son genuinas proposiciones o enun­ ciados, que pueden ser verdaderos o falsos, pues su verdad o fal­ sedad dependerá del significado que dem os a las palabras que es­ tam os utilizando. De hecho, una estructura tal se parece a un juego lógico que tiene alguna vinculación con el ajedrez. En el ajedrez tampoco sa­ bem os exactam ente a qué nos estam os refiriendo con las fichas (lo que sí sabem os es cómo moverlas), y nadie en su sano juicio creerá que está aprendiendo política m onárquica porque mueve el rey, la reina y sus peones. El haberlas llamado “rey”, “alfil” o “to­ rre ” es un homenaje a la tradición; del mismo'rnodo, en la geom e­ tría no euclideana las palabras “punto”, “recta”, “plano”, etc. no tie­ nen ningún significado. Semejante m etodología se conoce como método axiomático form al, o sim plem ente método axiomático, y el juego que hem os descripto en particular es un ejemplo de lo que se llama sistema axiomático. Lo que se ha hecho con la geom etría no euclideana podría hacerse, en realidad, de m anera puram ente arbitraria, tomando un vocabulario arbitrario (pero sin significa­ do) y, con las reglas gram aticales usuales, construir “esquem as de proposiciones” o “cuasiproposiciones” (porque no son real­ m ente proposiciones) y adoptar algunas de ellas como “axiom as”, o sea, puntos de partida del juego, y luego, razonando correcta­ mente, obtener “teorem as”. Se com prende que procediendo de este modo la cantidad de juegos posibles, es decir, de sistemas axiomáticos, es infinita.

i\ Los sistemas axiomáticos

Q

uizás el lector piense, y no le faltará razón, que lo que acaba­ m os de describir no corresponde realm ente a algo que m e­ rezca el nom bre de “metodología de la ciencia”. En realidad, pare­ cería tratarse m ás bien de mja m anera de inventar juegos lógicos para aquellos que tienen la afición, como la tenía por caso Lewis Carroll, de crear paradojas y problem as con el fin de divertirse. Es verdad que entre los m atemáticos existe gran cantidad de indivi­ duos cuya psicología les hace divertirse, y aun llegar al éxtasis, desarrollando distintos juegos de esta naturaleza y estableciendo, como consecuencia, teorem as sum am ente curiosos. La cuestión adquiere mayor seriedad si se piensa que las suposiciones inicia­ les de un sistem a axiomático describen, indirectamente, ciertas estructuras posibles, y que tanto los “axiomas” como los “teore­ m as” indican propiedades de esas estructuras. De hecho, todo esto es lógica aplicada, es decir, la investigación acerca de qué consecuencias se pueden obtener de suposiciones arbitrariam en­ te establecidas. Pero, si esto fuera todo, se llegaría a una idea equi­ vocada acerca de la utilidad del método. ¿Por qué? Porque estos esquem as, estas geom etrías esquem áticas, estos juegos, pueden transform arse en ciencias “en serio” si se da a los térm inos sin sig­ nificado que figuran en ellos un sentido determinado, en cuyo caso estos sistemas axiomáticos formales se transform arán en sistemas axiomáticos interpretados. Esto significa que los axiomas se trans­ form arán, realm ente, en enunciados de partida, y los teorem as se transform arán en enunciados del sistem a interpretado. En este sentido, los sistem as hipotético deductivos serían sistem as axio­ máticos interpretados. Considerem os, como ejemplo, el sistem a hipotético deductivo que conform a la llamada “teoría mecánica de Newton”, en la que aparecen leyes físicas tales como la de inercia o la de masa. Si a los térm inos “fuerza”, “m asa”, “aceleración” y otros les quitamos su sentido y los entendem os como m eras palabras huecas, es evi­ dente que la física newtoniana se transform a en un sistem a axio­ mático formal, lo cual no impide ni cambia el hecho de que los

“teorem as” de la física newtoniana (llamados, en el sistem a hipo­ tético deductivo, “hipótesis derivadas”) sigan siendo “teorem as” del sistem a axiomático formal así obtenido. Esto último m uestra una cierta vinculación entre el m étodo de las ciencias fácticas y el curioso m étodo que irrum pe en la mate­ mática en el m omento histórico en que aparece la obra de Lobachevsky y Bolyai. Los sistem as hipotético deductivos de la física son sistem as axiomáticos interpretados que tienen como esquele­ to lógico sistem as axiomáticos formales, aquéllos que, dando de­ term inada interpretación a sus palabras huecas (que actúan como variables), se transform arían en el sistem a hipotético deductivo. En tanto no se haga la interpretación, un sistem a axiomático for­ mal es un discurso que no tiene significación. Está construido se­ gún las reglas de la lógica y es, como ya hem os dicho, algo así co­ mo un esquem a de discurso, pero no es, realm ente, un discurso. De acuerdo con una nom enclatura muy usada en lógica y en lin­ güística, un sistem a axiomático sería, en realidad, un ejemplo de sistema sintáctico o de lenguaje sintáctico: aquél en el que hay sig­ nos, letras o expresiones som etidas a ciertas reglas morfológicas que perm iten form ar con ellas expresiones gram aticalm ente co­ rrectas y, además, reglas de deducción que perm iten producir de­ ductivamente algunas de ellas a partir de las otras. Pero un sistem a sintáctico, de todos modos, no tiene poder in­ formativo alguno, porque no habla de nada ni tiene significado. Esto no es un capricho excéntrico, como en principio podría pen­ sarse. En cierto modo, un cálculo matemático es m uchas veces eso: un manipuleo de signos y expresiones que no tiene en cuen­ ta significados sino, simplemente, propiedades formales. Pero en ciertos casos, se quiere em plear este cálculo con un fin informati­ vo específico, ya se trate de un problem a de contabilidad, de astro­ nomía o de demografía, y entonces tales cálculos adquieren una importancia especial, ya que se pueden transform ar en sistemas semánticos. En éstos, los signos, reglas morfológicas y deduccio­ nes están presentes, pero, además, hay significación en el sentido de que m uchos de los térm inos ahora denotan o tienen referencia a objetos, entidades o procesos que son del interés particular del campo de aplicación o disciplina de que se trate. Por consiguiente, no sería equivocado replantear lo que ocu­ rrió en el momento en que irrum pieron las geom etrías no euclideanas diciendo que la matemática trata con sistem as axiomáticos, es

decir, sistem as sintácticos o de discurso sin significación determ i­ nada, aunque bien form ados gram aticalm ente y en los cuales es posible aplicar reglas de deducción. M etafóricamente hablando, ello sería como disponer de un almacén infinito de estructuras po­ sibles en el que cada anaquel está ocupado por un sistem a que describe una estructura, a la cual, a su vez, se la podrá o no encon­ trar ejemplificada en la realidad. En este sentido, la labor del ma­ temático es la de estudiar cuáles de esas estructuras son posibles y cuáles no lo son. Esto definiría el campo de la llamada “m atemá­ tica pura”. I-a “matemática aplicada”, en cambio, consistiría en el descubrim iento de que ciertas estructuras que se encuentran en la realidad física, biológica, sociológica o económica constituyen ejemplos de aquellas estructuras posibles^C óm o se lograría esto último? M ediante un diccionario que proporciona la interpreta­ ción del sistem a axiomático. Este diccionario‘^signaría a cada pa­ labra, a cada variable, un significado, elegido dentro del campo en el cual querem os encontrar la aplicación, y así obtendríam os el sistem a axiomático interpretado, que estaría ahora hablando de al­ go en particular y ya no sería un discurso “vacio”. t>esde luego, no sabem os a priori si este discurso habla “con verdad” o “con false-' dad” acerca de la realidad, pero eso es harina de otro costal, pues decidirlo es asunto que compete a la metodología de las ciencias tácticas, como la física o la biología. En la nom enclatura que utilizan los matemáticos, si se inter­ preta un sistem a axiomático y los axiomas (en la interpretación) se transform an en oraciones o enunciados verdaderos, se dice que se ha encontrado un modelo del sistem a axiomático. La pala­ bra “m odelo” tiene polisemia, es decir, variada significación, pero cuando los m atem áticos hablan de “teoría de m odelos” se refieren a la noción de “m odelo” que acabam os de definir. El modelo sería algo así como una “interpretación acertada” del sistem a axiomáti­ co. Recordem os que en el sistem a axiomático formal las deduccio­ nes fueron hechas form alm ente pero empleando form as correctas de razonamiento, lo cual significa que ahora, en una interpreta­ ción, si estam os ante un modelo, o sea, si los axiomas se han transform ado en verdades, todos los teoremas tendrán que ser ver­ daderos también. Como consecuencia, se produce una situación muy im portan­ te desde el punto de vista metodológico. Supongamos por caso que un investigador en física, química o biología, al cabo de una

investigación, descubre que, al interpretar un sistem a axiomático en relación con objetos propios de su disciplina, los axiomas se transform an en verdades. Entonces todos los abundantísim os teo­ rem as que el matemático pudo ya antes haber dem ostrado se transform an de pronto, ahora, en verdades acerca de lo que el fí­ sico, químico o biólogo está investigando. De acuerdo con esto, la m atemática sería un procedimiento “por anticipado” para proporcionar verdades a todos aquellos que descubren, en el transcurso de una investigación, que se hallan ante un modelo de un sistem a axiomático. En ese caso, el matiz de “juego” que presentaba la m atemática se convierte ahora en una cosa muy distinta: en un instrum ento gracias al cual el científico de pronto puede encontrarse con abundantísim os lotes de verda­ des en su propio campo de investigación. (Verdades que, quizás, él mismo no hubiera podido obtener directam ente.) Esto significa que el interés de los sistem as axiomáticos no radica solam ente en sus aspectos lúdricos o “puros”, sino tam bién en ámbitos “prácti­ cos” que atañen a la m atemática aplicada. Con respecto a la geom etría no euclideana, el detonante de to­ do este descubrim iento metodológico que acabam os de describir, digamos que, en aquel momento, se hubiera pensado que la geo­ m etría no euclideana era un sistem a axiomático form al, y no m ás que eso. También lo sería la geom etría tradicional, euclideana, una vez eliminados los significados usuales de sus térm inos (tales como “punto” o “recta”); pero la opinión existente por entonces era que había un significado especial que hacía'de esta geom etría una ciencia del espacio físico en el sentido aristotélico de la pala­ bra, es decir, con axiomas no sólo verdaderos sino tam bién nece­ sarios, debido a su simplicidad y evidencia. D esde el punto de vis­ ta de la matemática aplicada, la geom etría euclideana sería una verdadera ciencia, lo cual no cabría afirm ar de la no euclideana. Sin embargo, los matemáticos descubrieron posteriorm ente, allá por la segunda mitad del siglo XDÍ, m odelos de la geom etría no euclideana dentro de la propia matemática. Para colmo, descu­ brieron también estructuras geom étricas euclideanas que, con una determ inada interpretación, podían verse como ejemplos de geom etrías no euclideanas. Lo m ás curioso, sin em bargo, aconte­ ció en el campo de la física. Con la aparición de la teoría de la re­ latividad y de la cosmología m oderna, los físicos se han convenci­ do paulatinamente de que la geom etría del mundo real no lleva a

un modelo de la geom etría euclideana, sino a uno de la geom etría no euclideana. En este momento resulta que, m ás bien, el carác­ ter de “juego” se le podría aplicar a la geom etría tradicional, pues el modelo que la hacía útil para las ciencias fácticas se pierde, y que, por el contrario, la ciencia del espacio físico en el que esta­ mos inm ersos es no euclideana. Dicho incidentalmente, esto m uestra algo que podríamos vincu­ lar con la ética científica: nunca debe “prohibirse” una actividad matemática porque no tenga modelos y sea, hasta el momento, un m ero juego. No debe h acerle porque nadie sabe si en el futuro no se encontrará una im portante estructura física que obligue a utili­ zar lo que hasta el m omento fue solam ente un juego, es decir, al­ go que, convenientem ente interpretado, .se transform e en una ciencia en el más tradicional sentido de la palabra. En todo caso, mientras no haya evidencias de que esto puecW ocurrir con un sis­ tem a axiomático, se com prende que en la repartición del presu­ puesto por los organism os de financiación la matemática no saldrá favorecida, pero esto es bien distinto de desdeñarla recurriendo a prejuicios ideológicos. Cabe adem ás form ular otro comentario. Cuando el diccionario que perm ite la interpretación de un sistem a axiomático ofrece de­ notaciones de carácter fáctico o empírico, tenem os el problem a de si los principios se transform an en verdades o si eso está fuera de nuestro poder de decisión. En el mejor de los casos estarem os en presencia de lo que se puede llamar un modelo hipotético, en el que los axiomas form ales del sistema axiomático se transform an en hipótesis aceptadas de un sistem a hipotético deductivo conspi­ cuo, o bien en un conjunto de hipótesis a ser investigadas por al­ guna razón teórica o práctica. Por esto nunca será posible, en las aplicaciones de la matemática, decir concluyentem ente que esta­ mos ante un modelo sino, a lo sumo, afirmar que es una buena hi­ pótesis pensar que lo estam os. Esta es la verdadera situación que r se presenta en la actividad científica, incluso en el caso de nuestra aseveración anterior según la cual los físicos piensan que el verda­ dero modelo físico del espacio corresponde a la geom etría no eu­ clideana y no a la euclideana. Tal afirmación sería un tanto excesi­ va. lx) que sí se puede decir es que la física contem poránea y la cosmología ofrecen modelos hipotéticos que tienen m ucho apoyo de la geom etría no euclideana; pero, aun así, decidir lo que ocurre en la realidad pertenece al ámbito de la corroboración, el apoyo y

la aceptación de las teorías científicas según los cánones del mé­ todo hipotético deductivo. De acuerdo con la descripción anterior, un sistema axiomático es una estructura constituida por símbolos y relaciones entre sím­ bolos. Pese a que, en hom enaje a la tradición, seguim os hablando de “vocabulario primitivo”, de “afirmaciones” y aun de “teoría” (a lo cual agréguese que se mencionan “axiom as” y “teorem as”), con­ viene no perder de vista que, m ientras no surja el problem a de la interpretación, un sistema axiomático es puram ente sintáctico en el sentido en que los lógicos usan esta palabra: un conjunto de sig­ nos som etidos a ciertas reglas de uso y de estructuración. Enten­ dida de esta manera, la geom etría euclideana no es m ás que un discurso ciego, pudiera decirse, dado que no ofrece ninguna infor­ mación acerca del mundo exterior. Ofrece, solamente, lo que en térm inos m ás m odernos podrían llamarse algoritmos, pero en un sentido lingüístico de esta palabra, que sólo implica manipular sig­ nos y obtener nuevas combinaciones de signos con las reglas del sistema. Por consiguiente, esta versión de la m atemática que he­ mos denominado “matemática pura” (aunque hay quienes tienen otra concepción de cómo entender la palabra “puro” en relación a lo matemático) es, en verdad, un discurso que sólo potencialmen­ te, y cuando se le dé interpretación a sus símbolos, puede trans­ form arse en algo m ás que un mero formalismo sintáctico y simbó­ lico. Pero entonces no estarem os en el ámbito de la matemática pura, sino en el de la matemática aplicada. La observación anterior es pertinente porqt/e, de acuerdo con lo que hem os señalado a propósito de los m odelos hipotéticos y de las interpretaciones de los sistem as sintácticos en ciencia, con­ viene hacer ciertas distinciones. Podem os hablar de modelo como “interpretación” en el sentido puram ente lingüístico de la palabra; en este caso, sólo establecem os un diccionario que perm ite tradu­ cir cada térm ino del sistem a dado en un térm ino o combinación de térm inos de otro sistema. Se trataría de un modelo relativo, por cuanto no se proporciona realm ente significación en un sentido absoluto, sino que se traduce la m anera de hablar en un sistem a por la m anera de hablar en otro sistema; pero, como los dos siste­ mas son puram ente sintácticos, el resultado es algo así como pa­ sar una caligrafía a otra. Esto es útil por varias razones. Puede haber sistem as que, en un sentido que no corresponde explicar en este momento, son

“confiables” (es decir, que no conducen a incongruencias o inco­ herencias) y entonces, probar que un nuevo sistema puede tradu­ cirse al discurso del viejo sistem a implicaría, pgr razones lógicas, que el nuevo sistem a tam bién es “confiable”. De paso sea dicho, si al proponer el diccionario traducim os todos los enunciados del prim er sistem a a enunciados del segundo sistema, puede ocurrir que los teorem as del prim er sistem a se transform en en teorem as del segundo sistema, y más específicamente que los axiomas del prim er sistem a se transform en en teorem as del segundo sistem a/ Se puede, entonces, hablar d^m odelos relativos. El lector recorda­ rá que definimos “m odelo” en un sentido absoluto cuando, al ha­ cer la interpretación, los axiomas del sistema, como resultado de la misma, se transform an en verdades. Pero no es eso lo que ocu­ rre en este caso: aquí no podem os hablar de “verdades”. Si al ha­ cer la traducción de un sistem a a otro se d e s a b r e que los axio­ m as del prim er sistem a se transform an en teorém as del segundo sistema, lo que se deduce de dichos axiomas son^teoremas del se­ gundo sistema, y lo que se deduce de los teorem as del prim er sis­ tem a son tam bién teorem as del segundo sistema. En una palabra, si los axiomas de un sistem a se transform an en teorem as del otro, todos los teorem as del prim ero se convierten en teorem as del se­ gundo. Esto es muy im portante por razones totalm ente análogas a las que ya hem os mencionado, es decir, la utilidad que tiene pa­ ra la m atemática aplicada interpretar los sistem as axiomáticos. SÍ descubrim os que el discurso de un sistema, en su punto de parti­ da, transform ado m ediante el diccionario que efectúa la traduc­ ción, se convierte en teorem as de otro sistema, autom áticam ente (y a modo de “regalo”) todo aquello que se dem ostró como teore­ ma en el prim er sistema resultaría ser válido como teorem a en el segundo sistema. Este tipo de interpretaciones relativas, que traducen un sistema en otro y que hacen que los axiomas y, en general, los teorem as de un sistema, pasen a ser teorem as en el otro sistema, perm ite una suerte de m atemática aplicada dentro de la propia disciplina. Tales m odelos relativos son m oneda muy corriente en la estrate­ gia de los m atemáticos y constituyen lo que podríamos llamar un prim er tipo de matemática aplicada, interna a la m atemática mis­ ma. Pero esto no es todo. Como analizaremos de inmediato, en ra­ zón de ciertas discusiones recientes (en el fondo, recaídas de vie­ jas discusiones acerca de la existencia o no de proposiciones u

objetos matemáticos) podría suceder que existiesen entidades a la m anera platónica como, por ejemplo, las que se adm iten en la lla­ m ada teoría de conjuntos. La idea que subyace aquí es que, entre las entidades que podem os encontrar, las hay de características diversas, totalm ente peculiares. Podrían ser, por caso, lógicas, y esto es lo que sostendrá, como verem os m ás adelante, la posición llamada logicismo, o bien podrían ser otra clase de objetos especia­ les. En tal caso, sería posible encontrar interpretaciones y, en par­ ticular, modelos (en el sentido absoluto que ya hem os descrito) en los cuales el diccionario traduciría el lenguaje sin significación de la m atemática a un lenguaje significativo donde se habla, significa­ tivamente, acerca de conjuntos o de cualquier otra clase de obje­ tos matemáticos. Aquí, como ya lo hicimos notar, las cuasiproposiciones, una vez interpretadas, se transform an en verdades o en falsedades, pero, ¿de qué ámbito de conocimiento? De la propia matemática. Si esta posición pudiese ser sostenida (cosa no fácil después de los argum entos que, en principio, se pueden esgrim ir contra el punto de vista platónico), podríamos hablar, en relación con tales m odelos absolutos de la matemática, de modelos matemáticos, no en el sentido anterior de conexión relativa entre dos sistem as sin­ tácticos, sino de una traducción de la m atemática sintáctica en tér­ minos de un discurso significativo que se ocupa de los objetos mate­ máticos. Tendríam os entonces, adem ás de los m odelos relativos, estos modelos matemáticos o, para ser m ás precisos, modelos lógi­ co-matemáticos, puesto que podríam os estar en presencia de una traducción del lenguaje matemático al de la lógica, en particular al de la parte de la lógica en que se habla de clases, clasificaciones y otras entidades que parecen pertenecer m ás al dominio de esta disciplina que al de otras. Finalmente, si al hacer una traducción no producim os ni un m odelo relativo ni un modelo matemático, tal como los hem os de­ finido en párrafos anteriores, entonces habrem os obtenido un mo­ delo hipotético deductivo. Parecería entonces que hay, al menos, cuatro m aneras diferentes de hacer matemática. La prim era, que podría denom inarse, por decirlo así, “formalísima” o “purísim a”, consistiría en tom ar sistemas sintácticos y desarrollarlos deducti­ vamente para obtener teorem as en tales sistemas. La segunda uti­ lizaría sistem as sintácticos para aplicarlos a modelos relativos, es decir, a otros sistemas sintácticos; el campo sería aquí el de la

“matemática pura”, aunque no “purísim a” porque los prim eros sis­ tem as se “contam inan” por culpa de los segundos. La tercera ma­ nera, si se nos perm ite seguir hablando de modo metafórico, nos conduce a lo que podríam os llamar “matemática bastante pura”, porque ahora se emplean modelos matemáticos (o lógico-matemáticos) y se habla de objetos determ inados acerca de los cuales se ofrecen conocimientos. Sin em bargo, se com prende que, en el ámbito de la lógica, por ejemplo, las razones por las que se habla de “conocim iento” o “verdad” no son de la misma índole de las que se invocan en el caso defcis ciencias fácticas y, en particular, de las que se vinculan con el m étodo hipotético deductivo. Por eso, el cuarto modo de hacer matemática, que nos conduce a la auténtica “matemática aplicada” (y en un sentido tradicional de es­ ta denominación), radicaría en la considerado^ de los modelos hi­ potético deductivos, aquellos en los que, al hacer una interpreta­ ción o form ular un diccionario, los axiomas del formalismo se transform an en hipótesis de una teoría fáctica aceptada y utilizada por la comunidad científica. Tendríam os entonces una “m atemáti­ ca modelística hipotético deductiva”. 7 °d o esto n u e s tra que lo que se suele llamar “m atem ática” (a secas) es, en realidad, una ac­ tividad bastante compleja y diversificada, en la cual hay que distin­ guir estratos según el propósito y el alcance de la investigación que se lleva a cabo.

V Nuevas respuestas a cinco preguntas

A

dmitamos entonces, a partir de las consideraciones anterio­ res, que existen cuatro form as de concebir y practicar la ma­ temática. En este punto, sería oportuno volver a form ular nuestras cinco preguntas y señalar cómo se las respondería en cada caso. En el ámbito de la “m atemática purísim a”, a la pregunta sobre cuá­ les son los objetos de los que se ocupa la matemática, la respues­ ta sería que ella no se ocupa de ningún objeto por la simple razón de que estam os en presencia de una activíflad puram ente algorít­ mica y sintáctica, en la cual los signos no tierren una significación determ inada. (Tal circunstancia, dicho sea de paso, no constituye ninguna “falta”, porque deja abierta la utilización de la m atemáti­ ca en ámbitos muy distintos.) A la pregunta acerca de por qué los científicos aceptan las afirmaciones de la matemática, comenzaría­ mos por responder que no se trata dé que las acepten como ver­ daderas. Convienen en que el juego algorítmico en el que en su­ ma consiste el sistem a partirá de los axiomas, a los cuales habrá que sum ar los que se obtengan como teorem as m ediante deduc­ ciones lógicas, lo que se realiza aplicando las reglas de juego para cada sistem a particular. Si no les satisface el sistema, tendrán el derecho de no “jugarlo” y em plear otro de estructura, lenguaje o características totalm ente distintas. Por consiguiente, la respues­ ta a la segunda pregunta implica que la fuente de los principios de la m atemática es una convención que nos da la gana adoptar en ca­ da caso. A la tercera y cuarta preguntas, sobre cómo se amplía el conocimiento matemático y cómo se enseña la matemática, la res­ puesta sería: por medio de un m étodo de carácter algorítmico que consiste en, una vez planteado el punto de partida y en posesión del instrum ento lógico (deductivo) que nos perm ite obtener pro­ posiciones a partir de otras ya conocidas, extender la matemática tratando de construir nuevas demostraciones. En el caso de la en­ señanza, además, sería necesario previamente ejercitarse en el método deductivo necesario para construir los sistemas, pero tam bién tratar de desarrollar una facultad de carácter artístico que nos perm ita imaginar y producir nuevos sistemas axiomáti­

cos. Esío último, a veces, no tiene m ás interés que satisfacer la cu­ riosidad de hacerlo, pero en otras oportunidades puede implicar un acierto im portante para el porvenir de la matemática: inventar un sistem a axiomático, como aventura intelectual y estética, en el fondo, no es tan diferente a com poner una fuga contrapuntística o elaborar una interesante combinación de colores y superficies. El crítico de arte argentino Aldo Pellegrini, fallecido hace cierto tiempo, se refería a las pinturas de Piet M ondrían como maravillas estéticas. Si lo son, conviene advertir que en ellas no hay nada pa­ recido a interpretación, designación o referencia, de donde resulta que no es del todo disparatado decir que la creación de un siste­ ma axiomático tiene realm ente su analogía a la creación de alguna de las obras de M ondrían y de otros representantes de la “pintura abstracta”. 1.a quinta pregunta, recordem os, se refería a la relación entre la matemática y lo real. Acerca de ella, debem os dirigirnos a lo que hem os denominado “m atemática bastante pura” y “matemáti­ ca modelística hipotético deductiva”. La m atemática entendida co­ mo un sistem a sintáctico no se refiere a realidad alguna, pero a través de interpretaciones se transform a en un sistem a o discurso con sentido que puede concernir a entidades m atemáticas o bien (y esto es generalm ente lo m ás útil) aludir a aspectos de lo real. Desde luego, no hay por qué creer que cada vez que se desarro­ lla un sistem a axiomático deba justificárselo en nom bre de sus aplicaciones. Probablem ente, la gran mayoría de los discursos que se pueden inventar en m atem ática como 'descripciones de estructuras posibles no tendrán jam ás aplicación a lo real; pero tam bién es cierto que una cantidad im portante de algoritm os ma­ tem áticos sí lo tendrán, y serán entonces instrum entos indispen­ sables para el estudio de la realidad concreta. En este sentido, el estudio de la matemática, aunque sea algorítmica, lo es tam bién el de potenciales instrum entos para obtener conocim iento de lo real. En cuanto al segundo tipo de m atem ática (“pura”), que con­ siste en interpretar en forma relativa un sistem a axiomático so­ bre otro, o sea, un discurso sintáctico sobre otro discurso, podría­ m os repetir gran parte de lo que hem os dicho acerca de la “m ate­ m ática purísim a”. A la pregunta de cuáles son los objetos de los que nos estam os ocupando, nuevam ente la respuesta sería: de ninguno en particular, porque m ientras estem os ante discursos de estructura puram ente sintáctica no hay significación ni desig­

nación. O bservem os, sin em bargo, que cuando desarrollam os un sistem a sintáctico procedem os de un modo similar al de quien es­ cribe un relato de ciencia ficción, pues imaginamos cómo podrían ser los objetos que satisficieran las condiciones que establece el sistema. Diríamos que, asociados a cada sistema axiomático, po­ dríam os concebir objetos imaginarios, y éstos serían aquellos de los se ocupa el sistema. En una interpretación relativa, se podría decir que nos estam os ocupando de un sistem a de objetos imagi­ narios que corresponden a otro sistema, pero esto no es m ás que una m anera de hablar. A la pregunta sobre la validez de los enun­ ciados matemáticos, aquí, en este caso, lo único que interesa es que los enunciados resulten ser teorem as en el segundo sistema. Respecto de cómo se extiende la matemática, habría que agregar a lo dicho anteriorm ente que debem os ocuparnos de analizar qué traducciones de ciertas partes de la matematica a otra son posi­ bles, y tam bién de encontrar sistem as que pudieran perm itir una traducción m atem áticam ente útil de tem as ya investigados por la propia matemática. D esde el punto de vista pedagógico, habría que enseñar a los alum nos a lograr, a, través de u» sistema, la po­ sibilidad de conocer propiedades y características de otro sistema. En cuanto a la relación con lo real, ella sería indirecta. Un sistema podría ser de interés para lo real si tiene interpretación relativa so­ bre otro sistem a del que ya se sabe que es útil para la matemática aplicada, sobre todo por poseer m odelos hipotético deductivos. Respecto de la tercera m anera de realizar la actividad m atemá­ tica, o sea, cuando se está ante un diccionario que interpreta el lenguaje m atemático sobre determ inados objetos y, en particular, sobre los objetos lógicos (no objetos de los que tratan las ciencias tácticas, sino objetos de una característica especial, acerca de cu­ yo conocimiento ya el m étodo hipotético deductivo, en principio, no nos ayudaría), a la pregunta acerca de los objetos de los que se ocupa la m atemática responderíam os mostrando, precisam ente, tales objetos. Habría que señalar, como ocurriría en la mayoría de los casos, que se trata, por ejemplo, de conjuntos, o bien de clases, o bien de funciones, etcétera, dependiendo ello de la m anera de fundam entar esta su erte de neoplatonismo en que consiste la ter­ cera posición. A la pregunta de por qué aceptamos como verdaderas o falsas las proposiciones de un sistem a cuando así se lo interpre­ ta, la respuesta es que sería por razones lógicas o, por lo menos, por las razones de carácter intuitivo que nos perm iten aprehender

verdades acerca de los objetos matemáticos. Aclaremos el punto. Si admitimos que estam os hablando de conjuntos o de núm eros, por ejemplo, es claro que a propósito de ellos a veces decim os ver­ dades y otras veces falsedades; pero cuando sabem os que deci­ mos verdades o, al menos, cuando lo admitimos, las razones pare­ cen no estar vinculadas a la observación y a pruebas de carácter hipotético como las que caracterizan al método hipotético deduc­ tivo. Existen las llamadas “verdades lógicas”, por ejemplo, las cua­ les, para su fundamentación, exigen fuentes que son todavía motivo de discusión entre los especialistas, pero que tienen una caracte­ rística sui generis. Si se admite lo anterior, se tendría que decir que, en esta posi­ ción, las razones por las que se aceptan enunciados m atemáticos y, en particular, por las que advertim os que estam os ante un mo­ delo absoluto sobre objetos matemáticos serían, en el fondo, razo­ nes lógicas, pero de tipo ontológico, es decir, que tienen que ver con el tipo de objetos de los cuales se ocupa la lógica. A la pregun­ ta de cómo se extiende el conocimiento y de cómo se lo enseña, la respuesta sería curiosam ente similar a la que ya m encionára­ mos cuando nos ocupamos de los pensam ientos de Pitágoras y de Platón. Por un lado, desarrollar los conocim ientos y aptitudes que tenem os para m anejarnos con la lógica y, por otra parte, desarro­ llar aquellas fuentes tal vez localizadas en nuestra intuición racio­ nal y que nos perm iten aprehender las verdades generales sobre el tipo de objetos que nos ocupa. A la pregunta de qué tiene que ver todo esto con la realidad (quinta pregunta), lá respuesta sería que no tiene nada que ver con ella pues lo mismo sucede con la ló­ gica. En efecto, ésta nos ofrece conocimiento formal sobre proce­ sos de deducción, en este caso, de deducción matemática, la cual quedaría ligada a la deducción lógica y tam bién ¡a nuestro conoci­ miento de los objetos matemáticos. Debem os tener en cuenta, sin embargo, que hasta ahora no hem os dem ostrado la existencia de tales objetos y que, de no existir éstos, la reducción a la lógica que propone la posición logicista tendría, tal vez, que form ularse de otra manera. Finalmente, debem os referir nuestras cinco preguntas al caso en que tratam os con sistem as hipotético deductivos y, en particu­ lar, con modelos hipotéticos. Ahora, lisa y llanamente, estaríam os hablando de objetos que corresponden a las ciencias fácticas. Pe­ ro no se trata de objetos especiales, pues cualquier objeto, de cual­

quier categoría o naturaleza, puede aparecer en un diccionario y en una interpretación. En cierto sentido, la m atemática aplicada perm ite que la m atemática pueda ser útil parfi el estudio de cual­ quier tipo de entidad o de objeto y, en particular, de los objetos “prácticos”. En completo contraste con lo que sucedía en el ámbi­ to de la “m atemática purísima”, donde no se hablaba de ningún objeto, ahora sí hablam os de ellos, cualesquiera, pues a través de diccionarios es perfectam ente posible hablar de trozos de género, cantidad de zanahorias, soldados o consum idores de un determ i­ nado producto. (Lo cual nd «significa que, necesariam ente, el mo­ delo que resulta sea interesante.) Se ha dicho m ás de una vez que la m atemática es “la reina de las ciencias”, pero luego se corrigió esta caracterización afirmando que es, a la vez, “la reina y la sir­ vienta de las ciencias”. De hecho, es así si pablam os de la m ate­ mática aplicada, pues no hay objeto que, en principio, no sea sus­ ceptible de tratam iento matemático. En este punto debem os evitar com eter el e rro r de m uchos epistemólogos cuando afirman que sólo se está ante una seria y auténtica investigación científica cuan,do se cuantífica el problema, es decir, cuando se emplean los núm eros y sus relaciones pará com prender la realidad. Sostener que toda entidad es susceptible de tratam iento matemático es bien distinto a afirmar que lo sea de tratam iento numérico. No estam os formulando esta última tesis. Bien es verdad que los sistem as axiomáticos de la matemática son, en algunos casos, num éricos. Tal cosa no puede ser negada, pues entre los sistem as m ás im portantes se encuentran aquellos en los que hay expresiones num éricas de alguna naturaleza. Pero no debem os olvidar que en el ámbito de la matemática hay, por ca­ so, “álgebras abstractas”, donde los sistemas parecen describir entidades posibles, entre las cuales hay algoritmos y operaciones, pero que no son de naturaleza numérica. Un ejemplo es la famosa teoría de los grupos, en la que se presenta la llamada “operación de producto en un grupo” que, en algunas traducciones, puede en­ tenderse así: estam os hablando de desplazamientos geométricos, y un producto de dos desplazam ientos es, simplemente, el despla­ zamiento que se obtiene efectuando el primero en prim er térm ino y luego el segundo. Pero los desplazam ientos en sí mismos no tie­ nen por qué ser entidades numéricas. En síntesis, las respuestas a nuestras cinco preguntas difieren según el propósito o situación en que nos involucra la investiga­

ción y el empleo de los sistem as axiomáticos. Además, sin duda, la m atemática viva, la m atemática de los científicos cuando inves­ tigan, suele ser una especie de edificio que contiene piezas que corresponden a cada uno de los cuatro tipos de m atemática que hem os presentado. Es muy posible que una investigación en físi­ ca tenga aspectos m atemáticos “purísimos”, otros de carácter “pu­ ro”, otros de carácter “bastante puro” y algunos modelísticos de carácter hipotético deductivo. La matemática, tal como se la desa­ rrolla o se la piensa en la labor cotidiana, es evidentem ente una yuxtaposición de todas estas actividades; pero desde el punto de vista epistemológico, para tratar de com prender cuestiones de va­ lidez y de estructura de la actividad científica, parece que estas cuatro form as de concebir y practicar la m atemática tienen que es­ tar claram ente diferenciadas.

\ i Logicismo, intuicionismo y formalismo

A

fines del siglo pasado, como resultado de la labor de algunos lógicos y filósofos como Gottlob Frege y B ertrand Russell, se difundió lo que hem os llamado “posición logicista”, en una prim e­ ra formulación de ésta que ^in siste en afirmar que hay un mode­ lo m atemático absoluto. Frege y Russell creían posible construir un diccionario en el que todos los térm inos de la m atemática se pudieran traducir a térm inos lógicos, de modo que las proposicio­ nes m atem áticas admitirían una traduccióTi a proposiciones lógi­ cas. De ser esto cierto, podríam os tom ar un» sistem a axiomático de los m ás conspicuos en esta disciplina, como» el de la geom etría euclideana o el de la aritmética (por ejemplo, como Giuseppe Peano lo formuló a fines del siglo XIX), y hacer una ^ ad u cció n donde todo lo que se afirma sobre “rectas” o “planos” pudiera traducirse a ecuaciones y éstas traducirse ahora %estructuras num éricas, las cuales, a su vez, se traducirían a térm inos conjuntísticos o de cla­ se: habríam os arribado, entonces, al terreno de la lógica. Ber­ trand Russell m ostraba, por ejemplo en su libro Introducción a la filosofía matemática, que si eso se hace, se obtiene realm ente un modelo porque los axiomas de la aritmética (e indirectam ente los de la geometría) podrían transform arse en verdades lógicas. El in­ tento fue realizado sistem áticam ente y aparece tanto en la obra de Frege como en el famoso Principia Mathematica de Russell y Alfred W hitehead (1908). Pretendía m ostrar, sin caer en un platonis­ mo exagerado, que, cuando hablam os en lenguaje matemático, podríam os estar realm ente formulando afirmaciones lógicas acer­ ca de clasificaciones, propiedades de las clasificaciones, conjuntos de clasificaciones, etcétera. Lo interesante de este punto de vista era que daba una versión de la m atemática diferente a la que ofrece el método axiomático. Aquí, sin que discutam os en este m omento cómo harían los lógi­ cos para justificar su elección de principios lógicos o de puntos de partida para las investigaciones lógicas, quedaría claro que una m anera de pensar y hablar con sentido en matemática sería enten­ diendo que lo que decimos son enunciados de la lógica. La m ate­

mática s e r í a un capítulo de la lógica, y ante la pregunta acerca de cuáles son los objetos de los que se ocupa la m atemática la re s­ puesta sería: de los objetos lógicos. (O por lo m enos, en una ver­ sión atenuada de esta posición logicista, diríamos que todos los enunciados donde figuren térm inos m atem áticos son lógicamen­ te equivalentes a enunciados en los que sólo aparecen térm inos que corresponden a la lógica.) Como la labor de Frege y Russell fue m ostrar que los axiomas de los sistem as m atem áticos se trans­ forman en verdades lógicas, lo mismo ocurriría con todos los teo­ rem as matemáticos. En el fondo, hacer m atemática sería h acer ló­ gica, y hacer deducciones m atemáticas sería hacer deducciones internas dentro de la lógica. Esta situación, en cierto modo, garan­ tizaría la coherencia de los discursos m atem áticos en los que es posible semejante interpretación y, por tanto, los m ism os no atra­ vesarían situaciones m olestas tales como contradicciones internas o inconsistencias. Si con esta traducción todo teorem a m atemáti­ co se transform a en verdad lógica, no puede haber incompatibili­ dades u oposiciones entre los enunciados de la m atemática por­ que éstos se transform arían en verdades lógicas que no se oponen entre sí, y tenem os la seguridad de que los enunciados de la lógi­ ca no pueden entrar en contradicciones. Esta sería la m anera en que el modelo de Frege y de Russell garantizaría las cualidades positivas del discurso matemático. Pero ya a fines del siglo XIX y luego a comienzos del XX, se descubrió algo muy grave para las pretensiones de la escuela logi­ cista, y es que la lógica a la cual la m atemática podíá traducirse, de acuerdo con este criterio, llevaba a contradicciones. Éste es el fa­ moso episodio denominado aparición de las antinomias lógicas. (En algunos textos se habla de "paradojas lógicas”, pero nosotros preferimos reservar la palabra paradoja no para contradicciones sino para aquello que violenta nuestra intuición; antinom ia signi­ fica, lisa y llanamente, que estam os ante una contradicción.) El descubrim iento fue realizado en 1897 por el matemático italiano Cesare Burali-Forti y luego, especialm ente, por B ertrand Russell en 1903. El de este último parece ser la reelaboración, en realidad, de una antinomia anterior descubierta por George Cantor, el in­ ventor de la teoría de los conjuntos, quien, según se cree, la man­ tuvo en secreto. P^n este punto conviene hacer una aclaración. Para Frege o pa­ ra Russell, la lógica como disciplina no designaba lo mismo que

para Aristóteles. 1.a palabra “lógica” es de aparición relativamente reciente, y según algunos historiadores habría sido em pleada por prim era vez en el siglo XVIII o en el XIX. Per# la lógica de Aristó­ teles, que él llamaba dialéctica, cuando se la analiza con criterios contem poráneos, resulta insuficiente. Hoy se sabe que las reglas deductivas establecidas por Aristóteles no son todas las que efec­ tivamente existen, por lo cual el alcance del instrum ento deducti­ vo aristotélico es un tanto pobre. Además, Aristóteles, como casi toda la tradición filosófica, creyó que los enunciados simples eran de la forma sujeto-predicad^ hasta que se advirtió que hay enun­ ciados relaciónales donde no hay un sujeto sino dos o más, sobre los cuales no se afirma un predicado sino la existencia de un víncu­ lo o de una relación. (Por ejemplo, “Juan es m ás alto que Pedro”.) Esta idea resultó fundamental para nuestro §iglo, el cual, tanto fi­ losófica como científicamente, es, por cierto, gastante estructuralista, o sea que tiende a estudiar la realidad corr\o un m useo de pe­ culiares estructuras donde lo que hay que establecer es el modo de relación o de vínculo entre sus componentes. 'Por último, diga­ mos que Aristóteles confunde lo que actualm ente ;se llama el “pro­ blema de la cuantificación” con el “problem a de la predicación ? de la cópula”. Cree que palabras como “todos”, “algún” y “ningún” son form as en que puede enunciarse la palabra “es” cuando afir­ mam os un predicado de un sujeto. Hoy en día, la lógica de “to­ dos”, “algún” y “ningún” constituye una lógica especial bastante complicada a su propio derecho, y el problema de la predicación, de las propiedades, de las relaciones o de las funciones es conce­ bido como otro totalm ente diferente. El intento de Frege y de Russell fue el de ofrecer una lógica nueva que com prendiera y corrigiera la de Aristóteles en algunos e rro res de detalle que tenía esta última, pero completándola con la lógica de la cuantificación, de las relaciones, etc. En particular (aunque hoy se sabe que no es totalm ente indispensable tenerla „ en cuenta), una noción lógica que no había considerado explícita­ m ente Aristóteles es la de conjunto. No se puede negar que él pen­ só que una propiedad tiene intensión y extensión. La intensión es el conjunto de notas que la caracterizan esencialm ente, en tanto que la extensión es el área del universo o zona donde se hallan los ejemplos a los cuales se puede aplicar la propiedad. La extensión es lo que en la actualidad se llama una “clase”, y esto es lo que per­ mite dividir el mundo m ediante una clasificación, separando los

objetos a los cuales se puede aplicar la propiedad de aquellos a los que no se la puede aplicar. En un sentido geom étrico, una clase es una zona del universo, pero de aquí no se desprende que Aristóte­ les pensara que una clase es, además, un tipo particular de objeto, el cual, a su vez, se puede clasificar, y con ei cual se pueden for­ m ar nuevas clases o clasificaciones. Cuando se piensa en las cla­ ses de esta última m anera, es decir, concibiéndolas como objetos, se las llama “conjuntos”. La teoría de los conjuntos fue creada por Cantor a fines del siglo XIX. Cuando Cantor ya estaba consiguiendo convencer a los m ate­ máticos de la legitimidad de una m atemática basada en su teoría de los conjuntos (una especie de aritmética o geom etría que no se ocupa de núm eros o de figuras sino de conjuntos), se descubrió que el empleo de conjuntos junto con algunas de las ideas m ás bá­ sicas de la lógica, como el principio de tercero excluido y otros se­ mejantes, llevaba a contradicción. Ante la contradicción, era posi­ ble proceder de distintas m aneras. Frege, convencido de que su nuevo modo de form ular la lógica de m anera completa era el ade­ cuado, pensó que la aparición de estas contradicciones significa­ ba alguna suerte de colapso de la aritmética. En realidad, lo que dem ostraba esta situación no es que la m atemática lleva a contra­ dicción, sino la incapacidad de la lógica que utilizaba Frege para poder construir el modelo lógico absoluto al cual nos hem os refe­ rido anteriorm ente. De todas formas, la aparición de las antino­ mias provocó gran alboroto y m uchas discusiones. Es interesante señalar que tal situación produjo en la epistemología de la m ate­ mática una especie de gran división acerca de cómo se debe en­ tender la disciplina. Los llamados neointuicionistas, por un lado, o el lógico Alfred Tarski, por otro, pensaban que había que modifi­ car la lógica y construir otra de estructura diferente a la clásica de Aristóteles corregida por Frege y Russell. (Se podría, por ejemplo, no admitir ciertos principios lógicos em pleados en la construc­ ción de las antinomias.) Esta era, en rigor, una actitud extrema. Bertrand Russell adoptó otra posible estrategia que, en cierto mo­ do, tam bién supone la corrección de la lógica, pero un sentido dis­ tinto del anterior. Impuso condiciones m ás estrictas para indicar qué enunciados tienen realm ente sentido y cuáles, a pesar de te­ ner una forma gramatical aparentem ente correcta, no lo tienen; estos últimos no serían, de hecho, enunciados, y habría por tanto que eliminarlos.

Para com prender lo anterior, considerem os un ejemplo que ofrece ei propio Russeli: “compatibilidad bebe dilación". Es evi­ dente que, desde el punto de vista gramatical, /io hay nada que ob­ jetar, pues la frase tiene sujeto, verbo y predicado; pero desde el punto de vista categorial, parece haber aquí un disparate. “B eber” es un verbo cuyo sentido es vincular la acción de un sujeto vivo con un líquido, y “compatibilidad” no parece, realm ente, por su ca­ tegoría gram atical o lógica, estar refiriéndose a un animal. Por consiguiente, ya desde el principio, esto es un absurdo, completa­ do por el hecho de que “dilación” no es ningún líquido que pueda beberse. B ertrand Russell niega que esta frase tenga sentido in­ formativo, porque hay incompatibilidad categorial entre las pala­ bras que están presentes y, entonces, no tiene significado. Aunque este ejemplo puede parecer algo tosco, perm ite advertir la dificul­ tad de una sola vez. Pero, ¿qué diríamos anteaina frase como “el núm ero 8 es valiente”? Tam bién aquí estam os ante un caso gram a­ ticalmente inobjetable: del sujeto (el núm ero §) decimos que es (cópula) valiente (propiedad). Pero ocurre que ‘Valiente”, por su categoría lógica de significación, es una propiedad de objetos con­ cretos, m ás aún, de objetos vivos y, además, sólo en cierto tipo de ocasiones. Es evidente que esta frase, igual que “compatibilidad bebe dilación”, tiene un defecto de construcción de carácter lógi­ co: el tipo de cosas que constituye la aplicación del discurso para el cual están destinadas las palabras es muy distinto para cada una de las palabras involucradas y, por consiguiente, aunque la frase esté gram aticalm ente bien construida, no lo está desde el punto de vista lógico. Un nuevo ejemplo, algo m ás sutil, sería la afirma­ ción “César es un núm ero prim o”. Aquí estaríam os tentados de decir que es falsa porque César no es un núm ero, y por tanto no puede ser un núm ero primo. Pero tam bién podemos pensar que “núm ero prim o” es una propiedad diseñada para ser aplicada en m ateria de núm eros, y que la afirmación, sencillamente, carece de sentido. Según B ertrand Russell, que en este punto no tiene de­ masiada simpatía con las filosofías tradicionales, los filósofos caen a m enudo en el e rro r de creer que una estructura gram atical co­ rrecta garantiza un significado adecuado, sin tener en cuenta la posibilidad de que se les presenten dificultades como las que he­ mos señalado. Cuando el existencialismo estaba de moda, solía form ularse la siguiente pregunta: “¿La existencia precede a la esencia o la esen­

cia precede a la existencia?”. Un filósofo puede tener la tentación de contestar por sí o por no esta pregunta, pero previam ente sería necesario decidir si, más allá de su estructura gramatical, no hay en ella algún problem a categorial. Realmente, preguntarse si la esencia precede o no a la existencia parece confundir el alcance de la palabra “preceder”, que se aplica a sucesos tem porales. Muy probablem ente, el filósofo podría insistir, y estaríam os dispuestos a darle la razón, en que la frase tiene alguna clase de significado. Pero para ello sería necesario admitir que esa m anera de hablar es una paráfrasis de algo más complicado, y que se habla de ese modo para expresar, sintéticam ente, otra pregunta, como podría ser: “¿La programación genética, o sea, la esencia de una persona, determ ina su modo de ser, es decir, su existencia?”. Si lo interpre­ tamos así, como una paráfrasis, estam os hablando de una m anera muy diferente, y nuestro problem a radica en saber si la frase ori­ ginal expresaba o no una información clara que no era necesario reinterpretar. La idea de Russell, en lo que se denomina su teoría de los tipos, es que hay que dividir las palabras, los térm inos o las expresiones en tipos, o sea, en categorías que sólo pueden vincu­ larse bajo ciertas condiciones estrictas; por ejemplo, si se quiere predicar o afirm ar algo acerca de un individuo, es necesario utili­ zar, en el predicado, propiedades de individuos. Hay cosas que no son propiedades de individuos, sino propiedades de propiedades, y sería un e rro r categorial tratar de predicar una propiedad de propiedades de un individuo. De cierto matiz podem os decir que es verde, en cuyo caso estam os predicando de un individuo, el ma­ tiz, una cierta propiedad, el verdor. De la propiedad, el verdor, po­ dem os a su vez predicar el color, que parecería ser una propiedad de propiedades, y ello perm itiría clasificar propiedades. Pero no sería lícito decir que determ inado matiz sea un color, pues “color” es lo que perm ite diferenciar el ser verde (tener la propiedad “ver­ de”) de ser, por ejemplo, el sonido de un trombón. De modo que, en la teoría de los tipos de Russell se construye una complicada estratificación de propiedades, relaciones y fun­ ciones, y se impone el requisito de que, al form ar las frases, allí donde figuren sujetos de determ inado tipo debe aparecer el tipo inmediato superior em parentado en el predicado o en la relación. De este modo, resultaría que una gran cantidad de enunciados de­ jarían de tener sentido aunque parezcan tenerlo. Russell m uestra que m uchas de sus antinomias se pueden evitar utilizando la teo­

ría de los tipos y considerando no significativas a una gran canti­ dad de afirmaciones, lo cual parece salvar a la lógicá de ciertas contradicciones. Desgraciadam ente en este salvataje queda supri­ mida tam bién toda una serie de proposiciones que perm iten cons­ truir nuestro modelo y edificar la m atemática que estam os acos­ tum brados a emplear, de modo que el procedimiento se parece a aquél de arrojar bebés junto con el agua del baño. Consciente de ello, Russell introduce una serie de axiomas o postulados lógicom atemáticos extras, con lo cual la reducción se haría posible. Sin em bargo, tal procedimiento fiene sus inconvenientes. La lógica de principios reducidos y naturales con la que Frege y Russell quisie­ ron originariam ente edificar el logicismo se sustituye ahora por una nueva entidad m ás compleja, a la que podríamos llamar “lógi­ ca de la teoría de los tipos”, que ya no resulta ni tan intuitiva ni (sobre todo) evidente, y acerca de la cual no S a b e m o s si finalmen­ te lleva o no a contradicciones. En suma, no Resulta claro si con ella es posible o no reform ular la tesis logicista tal como la hem os desarrollado. Junto a la posición logicista, deberíam os presjar m ucha aten­ ción a otra orientación que, si bien por ahora no Ha sido aceptada ni m ucho m enos por la generalidad de los matemáticos, ha causa­ do bastante impresión entre los epistemólogos y los filósofos de la matemática. Nos referim os al llamado neointuicionismo en mate­ mática (o, a veces, lisa y llanamente, neointuicionismo), debido es­ pecialmente a los trabajos de Leopold K ronecker y Luitzen E. Brouwer, y tam bién del famoso físico y matemático Henri Poincaré. En este caso no existe el propósito explícito de evitar las anti­ nomias sino el de ofrecer una fundamentación de la matemática bastante distinta de la que hasta el m omento hem os presentado. El neointuicionismo se vincula con la posición kantiana que pre­ sentáram os en el capítulo II, y la solución que ofrece, curiosam en­ te, a propósito de los cuatro tipos de matemática que distinguimos anteriorm ente, llevaría a una posible variante de la tercera, a la cual se podría asociar un “modelo apriorístico neokantiano de la mate­ mática pura”. Al igual que los logicistas, los neointuicionistas aceptan que to­ da la m atemática puede ser construida a partir de los núm eros en­ teros, pero sostienen que los núm eros provienen del pensamiento humano: son entidades mentales. De acuerdo con esta posición, el “núm ero 3” resulta de prestar atención a un prim er objeto, que

podríamos denominar el “objeto cero”, y aplicar luego nuestra apti­ tud de poder prestar atención a un objeto distinto de todos aque­ llos a los cuales ya se ha prestado atención, lo que perm itiría aten­ der a un objeto 1, luego a otro, el objeto 2, y después, si prosegui­ mos realizando esta operación, al objeto 3, y así sucesivamente. De esta m anera, el núm ero resulta de una actividad m ediante la cual se construyen y engendran distintos estadios de un orden, a partir de uno de ellos, que es el fundam ento de cada uno de estos procesos. Un núm ero siem pre se refiere a una construcción, y lo mismo ocurre con una sucesión de núm eros, pues ésta es, en el fondo, una sucesión de construcciones. Los neointuicionistas nie­ gan, por tanto, que haya entidades platónicas acabadas y comple­ tas tales como conjuntos o sucesiones num éricas. Una sucesión es un proceso inacabable, siem pre continuable, indefinido, que en cada m omento ha llegado a un determ inado estadio. Es relativa­ m ente fácil com prender que, con esta m anera de entender la ma­ temática, m uchos de los procedim ientos lógicos habituales ya no resultan tan obvios, y tal vez algunas leyes lógicas no podrían ser sostenidas. Para aclarar el punto anterior, analicemos un ejemplo. Supon­ gam os que se formula la siguiente pregunta: ¿existen en el desa­ rrollo decimal del núm ero ti diez cifras 7 consecutivas? Un mate­ mático clásico diría: “No lo sabem os, pero algún día, si tenem os suerte, alguien dem ostrará que sí o dem ostrará que no. Pero, in­ dependientem ente de lo que ahora sabem os, la sucesión en cues­ tión tiene las diez cifras 7 consecutivas o no lasÜ ene”. Sin em bar­ go, la respuesta de un neointuicionista sería algo distinta. Para él, afirmar que existen diez cifras 7 consecutivas implica la posibili­ dad de construirlas. ¿Qué significaría negar que existan esas cifras? No podríamos proceder a la m anera platónica, tomando toda la sucesión y mos­ trando que en ninguna parte se encuentran las diez cifras en cues­ tión. No es posible, diría el neointuicionista, porque una sucesión es una construcción potencial que se realiza indefinidamente, pe­ ro que, en cada momento, se detiene en una de las etapas de su construcción. Ahora bien, lo que a lo sumo puede decirse, en un momento determinado, es: “Hasta ahora no las hem os encontra­ do”. Pero de ello no se infiere que no existan, ya que podrían ser halladas en algún m omento posterior. ¿Qué quiere decir, enton­ ces, negar la existencia de las cifras? 1.a única posibilidad sería

m ostrar que de la proposición en cuestión (“existen las diez cifras, etcétera”) se deduce una contradicción. (Por ejemplo, que de ella se deduce “3 = 2 + 2”.) En una palabra, fundam entar esa negación implica, en cierto sentido, m ostrar la legitimidad de una dem ostra­ ción por el absurdo. De acuerdo con lo dicho, un neointuicionista no aceptaría el principio de tercero excluido, según el cual, dada una proposición, ella tiene que ser verdadera o bien tiene que ser­ lo su negación. De allí que los neointuicionistas hablen de un “tercer estado”, el de una proposición que no ^permite ser construida en su afirma­ ción pero tampoco derivar de ella un absurdo m ediante una de­ ducción. Este ejemplo y otros llevan a los partidarios de la posi­ ción neointuicionista a reducir notablemente el alcance de la lógica, y, por consiguiente, las antinomias no se presentarían pero la m a­ tem ática resultaría mucho m ás prudente y constructiva que la que se obtiene a partir de la teoría de conjuntos. Lo cual crea diversos problemas: se achicaría tanto el campo de la lógica que ya no se po­ dría practicar la reducción de la m atemática a la lógica. Si se pro­ cede de este modo, el modelo de Ft;ege-Russell ya no se puede construir y ello deja a la m atemática en la posición de puro forma-* lismo con las estrategias que B ertrand Russell desarrolló con su teoría de los tipos. Por otra parte, matemáticos como K urt Gódel dem ostraron que, en la formulación de la lógica neointuicionista, pese a su prudencia y al debilitamiento de algunos de sus princi­ pios, se produce una situación bastante parecida a la que existe entre la geom etría euclideana y la no euclideana. Es posible hacer una interpretación relativa de la lógica de tipo clásico a la lógica de tipo neointuicionista y viceversa, y lo que im porta (para lo que estam os discutiendo aquí) es que, si una de ellas presenta proble­ mas, tam bién los presenta la otra. En principio, lo único que pare­ ce perdurar y tener interés en el neointuicionismo es su tesis un tanto psicologista sobre la m atemática antes que la posibilidad de que ofrezca un verdadero rem edio a las dificultades que m encio­ namos anteriorm ente. Al logicismo y al neointuicionismo debem os agregar una terce­ ra posición que ya, en realidad, hem os desarrollado: el llamado formalismo. Según esta concepción, sostenida entre otros por el gran matemático David Hílbert, la matemática no sería m ás que la formulación y el desarrollo de sistem as formales. El problem a que aparece aquí es que estos sistem as deben ser no contradicto-

ríos, y según Russell, si no disponem os de traducciones y m ode­ los, tales formalismos parecen ser m eros juegos y no tenem os se­ guridad alguna de que puedan ser utilizados en el campo de las ciencias fácticas. En esta posición, que parece ser de algún modo la m ás gravitante en la matemática contem poránea, hay un acerca­ miento imprevisto hacia el m étodo hipotético deductivo. Y ello es así por la siguiente razón: en virtud de célebres teorem as de lógi­ ca, como los teorem as de Gódel (1931) y otros, no disponem os de procedim ientos m ediante los cuales se pueda acceder con seguri­ dad a un sistema matemático suficientem ente rico y no contradic­ torio. Entonces, el uso de un sistema, ya sea por razones estéticas o prácticas, es siem pre hipotético en el siguiente sentido: decidi­ mos investigarlo y emplearlo en tanto no surjan contradicciones en su seno. Si éstas surgen, lo abandonarem os y ensayarem os con otra clase de sistema. Al utilizar un sistem a no podem os saber de antem ano si llegarem os o no a una contradicción, y la situación es similar a la de un sistem a hipotético deductivo, en el que no se puede saber de antemano si quedará refutado o no, o bien si se de­ ducirá o no de él alguna contradicción con la experiencia. En el fondo, estas consideraciones m uestran que el uso de un sistem a matemático resulta de una posición hipotética que depen­ derá de la práctica m atemática y de las aplicaciones que de él se hagan. Se emplearán determ inados sistem as m atem áticos porque son útiles y porque, hasta el m omento, no se han presentado razo­ nes para abandonarlo. Pero, si esto es así, se establece también una vinculación inesperada con la posición de ríuestro viejo amigo Ahmés, el escriba egipcio, porque para él la fuente de la m atemá­ tica radica en una experiencia que se ha recogido y compilado, m ientras que aquí resultaría que los sistem as form ales de la ma­ tem ática son utilizados, transitoria e hipotéticam ente, por razones empíricas. De m anera sorprendente, la m atemática contem porá­ nea, en cuanto a su fundamentación, parece más cercana al pensa­ miento empirista primitivo que a las concepciones formalistas y ontológicas que hicieron su aparición con Platón o, yendo más atrás, con Pitágoras. En la actualidad, la m atemática parece resultar de una combi­ nación entre la posición formalista y la posición logidsta. Existen sistem as axiomáticos para la teoría de conjuntos donde lo que se hace es proponer ciertos axiomas que hablarían acerca de conjun­ tos e impondrían a aquéllos determ inadas propiedades. De hecho,

las propiedades que se imponen son lo suficientemente fuertes como para que se pueda derivar, m ediante construcciones efec­ tuadas a partir de los conjuntos, toda la matemática usualm ente necesaria: aritmética, análisis, geom etría, topologías, cálculo vec­ torial, etc. No obstante, hay que recordar que estos sistem as axio­ máticos son sistem as formales: hablam os de los conjuntos pero no sabem os si existen. Son, una vez más, objetos imaginarios. Si hacem os una aplicación de la m atemática a la física o a alguna otra ciencia fáctica, es oportuno preguntarse qué pasa con palabras ta­ les como, en este caso, “coajunto”. La respuesta, según algunos, es que la palabra se transform a sim plem ente en un símbolo de uti­ lidad instrum ental, en tanto que algún otro diría que, si se puede hacer una aplicación de la m atemática conjuntística a la experien­ cia, es necesario admitir que, en algún sentido, hay conjuntos. No deseam os discutir este tem a en profundidad1,-pero sí podem os de­ cir que, desde el punto de vista epistemológico y en el ámbito de cuestiones m etodológicas conexas, la teoría conjuntos es, me­ ram ente, un discurso del cual no sabem os si perm anece sólo en estado de discurso o bien si potencialm ente es aplicable a alguna esfera ontológica de la realidad. En este último caso, de alguna ma­ nera Platón habría estado en lo correcto, en una forma inesperada, porque entonces existirían objetos matemáticos, como los conjun­ tos, y todos los objetos que se pueden construir a partir de con­ juntos, es decir, todos los objetos matemáticos. Pero no sabem os si esto es cierto. Algunos lógicos han pensado siem pre en una in­ terpretación instrum entalista de los térm inos matemáticos en su uso físico, y ésta es una posición que se puede sostener. De hecho, lo que aquí im porta es que la teoría de conjuntos, la base sobre la cual se construye actualm ente toda la matemática, no es m ás que una hipótesis formal cuyo verdadero alcance no conocemos. Si al­ gún día llegara a d errum barse por culpa de la aparición de nuevas antinomias, tendríam os que buscar algún otro sistema, m ás ade­ cuado o, tal vez, cam biar de estrategia y tratar de hallar un nuevo recurso lógico, más constructivo y novedoso que los que ofrecen los sistem as axiomáticos para la teoría de conjuntos actualmente conocida.

Bibliografía

Black, Max The Nature o f Mathematics. Routledge & Kegan Paul, Londres, 1953. Heath, Thom as History ofG reek’s Mathematics. Oxford U. P., Oxford, 1960. Rey Pastor, Julio y Babini, José Historia de la matemática. Gedisa, Barcelona, 1984. Russell, B ertrand Introducción a la filosofía matemática. Paidós, Barcelona, 1988. Toranzos, Fausto Introducción a la epistemología y fundamentación de la matemáti­ ca. Espasa-Calpe, Buenos Aires, 1949.

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