Lambacher Schweizer Mathematik Oberstufe mit CAS-Einsatz [1 ed.] 9783127356113

Table of contents :
Inhaltsverzeichnis
I: Ableitung – Grundlagen
Erkundungen
1 Funktionen
2 Mittlere Änderungsrate – Differenzenquotient
3 Momentane Änderungsrate – Ableitung
4 Ableitung berechnen
5 Ableitungsfunktion
6 Ableitungsregeln
7 Sinus- und Kosinusfunktion
8 Zahlenfolgen als spezielle Funktionen
9 Grenzwert von Folgen und Funktionen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
II: Extrem- und Wendepunkte
Erkundungen
1 Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion
2 Nullstellen
3 Monotonie
4 Hoch- und Tiefpunkte
5 Extremwerte – lokal und global
6 Die Bedeutung der zweiten Ableitung
7 Bedingungen für Extremstellen
8 Wendestellen
9 Probleme lösen im Umfeld der Tangente
10 Mathematische Fachbegriffe in Sachzusammenhängen
11 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen
12 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
III: Alte und neue Funktionenund ihre Ableitungen
Erkundungen
1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung
2 Kettenregel
3 Produktregel
4 Quotientenregel
5 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
6 Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus
7 Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion
8 Funktionenscharen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
IV: Integral
Erkundungen
1 Rekonstruieren einer Größe
2 Das Integral
3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
4 Bestimmung von Stammfunktionen
5 Integralfunktionen
6 Integral und Flächeninhalt
7 Integral und Rauminhalt
8 Unbegrenzte Flächen – Uneigentliche Integrale
9 Mittelwerte von Funktionen
10 Numerische Integration
11 Integrationsverfahren
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
V: Graphen und Funktionen analysieren
Erkundungen
1 Achsen- und Punktsymmetrie bei Graphen
2 Definitionslücken und senkrechte Asymptoten
3 Gebrochenrationale Funktionen – Verhalten für x → ± ∞
4 Funktionsanalyse: Nachweis von Eigenschaften
5 Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen
6 Funktionsanpassung bei trigonometrischen Funktionen
7 Untersuchung von Logarithmusfunktionen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
VI: Wachstum
Erkundungen
1 Exponentielles Wachstum modellieren
2 Beschränktes Wachstum
3 Differenzialgleichungen bei Wachstum
4 Logistisches Wachstum
5 Datensätze modellieren
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
VII: Lineare Gleichungssysteme
Erkundungen
1 Das Gauß-Verfahren
2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
3 Bestimmung ganzrationaler Funktionen
4 Anwendungen linearer Gleichungssysteme
5 Trassierungen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
VIII: Vektoren – Geraden im Raum
Erkundungen
1 Punkte im Raum
2 Vektoren
3 Rechnen mit Vektoren
4 Geraden
5 Gegenseitige Lage von Geraden
6 Längen messen – Einheitsvektoren
7 Modellieren mit Vektoren
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
IX: Ebenen
Erkundungen
1 Ebenen im Raum – Parameterform
2 Zueinander orthogonale Vektoren – Skalarprodukt
3 Zweifach orthogonale Vektoren – Vektorprodukt
4 Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene
5 Lagen von Ebenen erkennen und Ebenen zeichnen
6 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden
7 Gegenseitige Lage von Ebenen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
X: Abstände und Winkel
Erkundungen
1 Abstand eines Punktes von einer Ebene
2 Abstand eines Punktes von einer Geraden
3 Abstand windschiefer Geraden
4 Winkel zwischen Vektoren – Skalarprodukt
5 Schnittwinkel
6 Spiegelung und Symmetrie
7 Anwendungen des Vektorprodukts
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
XI: Kreise und Kugeln
1 Gleichungen von Kreis und Kugel
2 Kugeln und Ebenen – Tangentialebenen
3 Kugeln und Geraden – Polarebenen
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
XII: Beweisen in der Geometrie
Erkundungen
1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
2 Vektorielle Beweise zur Parallelität
3 Vektorielle Beweise zur Orthogonalität
4 Teilverhältnisse
5 Vektorielle Beweise zu Teilverhältnissen
6 Vektorräume
7 Basis und Dimension
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
XIII: Wahrscheinlichkeit
Erkundungen
1 Wiedemolung: Wahrscheinlichkeiten
2 Gleichverteilung – Kombinatorik
3 Verknüpfen von Ereignissen
4 Additionssatz
5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
6 Unabhängigkeit
7 Mittelwert und empirische Standardabweichung
8 Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen
9 Simulation von Zufallsexperimenten
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
XIV: Binomialverteilung
Erkundungen
1 Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung
2 Praxis der Binomialverteilung
3 Problemlösen mit der Binomialverteilung
4 Erwartungswert und Standardabweichung
5 Zweiseitiger Signifikanztest
6 Einseitiger Signifikanztest
7 Fehler beim Testen von Binomialverteilungen
8 Wahrscheinlichkeiten schätzen – Vertrauensintervalle
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
XV: Stetige Zufallsgrößen –Normalverteilung
Erkundungen
1 Stetige Zufallsgrößen
2 Die Analysis der Gaußschen Glockenfunktion
3 Die Normalverteilung
4 Testen bei der Normalverteilung
5 Die Exponentialverteilung
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
XVI: Matrizen
Erkundungen
1 Beschreibung von einstufigen Prozessen durch Matrizen
2 Rechnen mit Matrizen
3 Zweistufige Prozesse – Matrizenmultiplikation
4 Inverse Matrizen
5 Stochastische Prozesse
6 Populationsentwicklungen – Zyklisches Verhalten
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
Rückblick
Training
Anhang
Lösungen der Aufgaben in Zeit zu überprüfen, Zeit zu wiederholen und Training
Register

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LambacherSchweizer Mathematik

Oberstufe mit CAS-Einsatz

• •

So lernen Sie mit dem Lambacher Schweizer

Die Kapitel beginnen mit Auftaktseiten , auf denen Sie ent decken kennen, was Sie in diesem Kapitel erwartet Fragen und Texte zu den Fotos und Grafiken geben Anregur,gen zum Nachdenken oder helfen beim Einordnen der neuen Themen. AbleitungGl\lncl M

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Die Kapitel sind in Lerneinhe ite n unterteilt, die Sie imme r einen mathematischen Schri ttvoranbringen. fede lemeinheit beginnt mit eine r Anregung oder einer Frage zum Thema

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I t,,ro.,~D -1; g(0) =-- :-:jo=-0. Da g an der Stelle x -10 nicht definiert Ist, lässt sich für diesen x-Wert kein Funktio nswert be· stimmen. b) D1 ... [1; m). DerWertunterderWurzel darf nic ht negativ werden. Ds a lR\{10J. Der Nenner darf nicht null werden.

Die Ooerprütung , ob eil Punkt aJf einem GraJ1,en fregt wrd auch Punktpro-

c) Da y f (37) = i/37- 1 = 6 und y „ f (9) .. ~"' 18* 81 gilt, liegt der Punkt P (3716)auf dem Graphen von f,während der Punkt Q(9181) nicht auf dem Graphen liegt

be genannt

Da y =-g(37) - - ]; ~ 12,3 * 6 und y =-g (9) =-- ~~ = 81 gilt, liegt der Punkt P(3716) nicht auf dem

hört

3

Graphen von Beispiel 2

Da•""lceine Zahl ist, genicht zum lntevall.

1111

& während der Punkt Q(9181) auf dem Graphen liegt

Definitio nsmenge im Sachzusammenhang bestimmen

Ein 12cm langer Papierstreifen soll In gleich lange Stücke geschnitten werden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und die Definitionsmenge für die Funktio~ die den Zusammenhang zwischen Stückzah l a und Länge der Stucke I beschreibt Lösung : runktlonsglelchung : l(a) =-~. Da die Anzahl nur positiv und ganzzahlig sein kann, ist die Definitionsmenge IN\{Ot.

Man spricht in diesem Zu·

sammenhang of-t knapp

(.aberetwas ungenau) von der ft.111lc.tia, l(a). Anmericung: ~ \ [OJriest man : Wenge der riatirlichen Zahlen ohf'le Null.

1 Ableitung - Grundlagen

13

Aufgaben

1

Gegeben sind die drei Funktionen f, g und h mit ~

f (x) : -;; ,

g(x)- 2x - 3,

h (x) - t/x + 3 - 3.

a) Bestimmen Sie die Funktionswerte der Funktionen an den Stellen x =--2 ; x : 0,1 und x =-78. b} Bestimmen Sie die maxima len Definitionsmengen D1, D8 und Dn. c) Überprüfen Sie, ob einer der Punkte P(1 j-1) oder Q(S,518) auf den Graphen von f, g oder h liegt

2

Bearbeiten Sie Aufgabe 1 für die Funktion :

1

a) f(x) ... - x3 + 1,

b) g(x) "' x 4 ,

3

Bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt A - 20 (in m2) werden die beiden Seiten langen mit a und b bezeichnet (a und bin m). a) Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, die der Seite a die Seite b zuordnet; notieren Sie die Gleichurig in der Form b (a) = ... wie in Beispiel 2. Bestimmen Sie den Funktionswert an drei unterschiedlichen Stellen. b) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion aus Teilaufgabe a) an. c) Zeichnen Sie den dazutiehörigen Graphen. d) Welcher Funktionstyp liegt vor?

4

Eine Mountainbike -Tour in dem spanl· sehen El·Ports·Gebirge hat das abgebildete Höhenprofil.

Höhenmeter

600

a) Wie viele Höhenmeter sind beim ersten Anstieg zu überwinden? Über wie viele Kilometer erstreckt er sich etwa? b) Wie groß ist der Gesamtanstieg, der bei der Tour zu überwinden ist? c) Auf der Strecke gibt es eine Sackgasse mit einem Umkehrpunkt Wo wird dieser ~rmut llch liegen? Begründen Sie.

400

200---------------0

10

'Strecken kilometef

20

30

40

---

Rg.1

Zeit zu überprüfen ---

5

------

-----------

---

Gegeben seien die beiden Funktionen f und g mit f (x)

=--};2 und

g(x) =-x

a) Bestimmen Sie die maxima len Defi nltlonsmengen D1 und Dg . b) Bestimmen Sie die Funktionswerte von f und g an den Stellen x ...9 und c) Zeichnen Sie die Graphen wn f und g mithil fe des CAS In Ihr Heft.

----

13 .

x - 0,25.

6

Mit einem 1km langen Zaun soll ein recht eckiges Feld an einem geraden Fluss einge zäunt 'Herden. Wie lautet die Gleichung der Funktion A(x), die der Feldbreite x (in m) den Flächeninhalt A (In m2) zuordnet? Welche Definitionsmenge ist für die Funktion sinnvoll? 4

Wie kä men Sie mit dem CAS tieraustinden , für welches x die Fläche A mög lichst g roß ist?

14

1 Ableit ung - Grundlagen

X

A

Fluss

j Ftg. 2

Lösungen zu Zelt zu überprüfen Seite 552.

7

Bei einem geworfenen Ball kann die Flugbahn durch eine Parabel beschrieben werden mit f (x) = - 0,1x 2 + O,Sx + 1,8. Hierbei ent spricht x (in m) der horizontalen Entfernung vo m Abwurf · punkt und f (x) (in m) der Höhe des Balls. a) ln welcher Hö he wurde der Ball abgeworfen ? b) Welche Definitionsmenge ist für die zugehörige Funktion sinnvoll ? c) Bestim men Sie die maxima le Höhe des Balles. d) Bearbeiten Sie die Teilaufgaben b) und c), \Nenn der Ball von einer allgemeinen Höhe h abgeworfen wird .

8

Ein rechtwink liges Dreieck mit der Hypotenuse 6cm wird um eine Kathete gedreht Dabei entsteht ein Kegel. a) Bestimmen Sie das Volumen V(r ) des Kegels in Abhängigkeit vom Radius rdes Kegels. Berechnen Sie V(2) und V(3) . b) Geben Sie die Definiti o nsmenge der Funkti· on V (r) an und zeichnen Sie den dazugehöri gen Graphen mit dem CAS. c) Für welchen Radius ist das Kegelvolumen maximal?

Vok.unen eines Kegels: V•Jttr 1 · h

h

Fig.1

9

a) Eine Konse:r-..Endosemit dem Radius rund der Hö he h soll ein Volumen von 0,5 Liter fassen. Wie lautet die Gleichung der Funktion h (r)? b) Zeichnen Sie den Graphen von h (r) mit dem CAS und bestimmen Sie die Hohen h für r ; Sem und r -10cm Geben Sie die Definitionsmenge von h (r) an. c} Eine Konservendose mit dem Radius rund der Höhe h soll eine Oberfläche vo n 1000cm2 ha·

Formeln für Zyli'l der

Vok.lmen:

v ~ n-r2 · h Oberflädie : A -2nr · (r + h)

ben. GebenSiedie Definitionsmengevon h (r) an. WelchenRadius hat die Dose bei einer Höhe von h =-1 m?

10

Formulieren Sie eine Textaufgabe mit einer Funktion f, die die Definiti o nsmenge hat a) D1 = [O; 7], b) D1 = [O; m), c) D1 '"' IN. ➔

Aufgaben 11und 12

Ganzrationale Funktionen Funktionen, die wie f (x) - 2x 3 - 4.x + 1 und g(x) =-- 7x 6 + 2x2 aus Summen wn Potenzfunktio nen mit Exponenten aus natürlichen Zahlen gebildet sind, nennt man ganz rat iona le Funkt ionen . Die höchste auftretende Hochzahl heißt Gradder Funktion. Die Funktion g hat beispielsweise den Grad 6. Die Zahlen - 7 bzw. 2 bei g nennt man Koeffrzienten. Koeffizienten können beliebige reelle Zahlen sein. Lineare runktionen bzw. quadratische Funktionen sind spezielle ganzrationale runktionen mit Grad 1 bzw. 2. Auch konstante Funktionen rechnet man zu den ganzrationalen Funktionen ; sie haben den Grad 0.

11

Welche der Funktionen in den Aufgaben 1 und 2 sind ganzrationale Funktionen . Geben Sie dazu jeweils den Grad der Funktion an.

12

y

a) Welche Definitionsmenge hat eine bei lebige ganz rationale Funktion?

b) Geben Sie eine ganzrationale Funktion wm Grad 4 a11;die nur positive Werte hat c) Geben Sie eine ganz rationale Funktion an, die an der Stelle x --1 den Funktions'Nert 0 hat d) Geben Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion mit dem Graph in Fig. 2 an.

X

Fig.2

1 Ableitu ng - Gruncfü igen

15

2 Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient

Bevölkerungsentwic;klung in Deutschland

Anrah l

Bevolkerun gsentwicklun g In Deutschland

Jahr 1960

Anzahl 73,1 Mio.

1980

78,4 Mio. 79,8Mio.

1990

2000

2004

82.0 Mio. 82AMio. 82,7Mio.

2006

82.2 Mio.

2002

B(n); Bestand zum Zeit.--

punkt,11•

80 Mio.

75Mio

70 Mio.+--....---,---

Die Tabelle und die Grafik geben die Bevölkerungszahlen in Deutschland für verschiedene Zeiten an. Welche Vor und Nachteile haben die beiden Darstellungen? Beschreiben Sie die Bevölkerungsentwicklung in eigenen Worten.

Jahr

......... -.....---.-►

1960 1970 1980 1990 2000 2010

Bei Funktionen sind oft nicht die einzelnen Funktionswerte wichtig, sondern deren Entwicklung bzw. Veranderung (z.B. Wlrtschaftswachstum). An einem elnzel nen Funktionsvvert einer Funktion lässt sich nicht erkennen, ob die Funktlonswer · te ansteigen oder abfallen. Bisher wurde dazu die abso lute Änderung eines Bestandes (z.B. von Bakterien) zwischen zwei aufeinander folgenden Zeitpunkten n und n + 1 mit B(n + 1) - B(n) be· stimmt. Hierbei lagen die Zeitpunkte n und n + 1 jeweils um eine Zeiteinheit auseinander. Bei Funktionen spie lt dagegen die Änderung der Funktionswerte für beliebige Zeitinterva lle eine wesentliche Rolle. Die Bestimmung dieser Anderungwird an der folgenden Situation erlautert. Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen . Die Tabelle und der Graph zeigen die Messergebnisse. Aus der Tabelle kann man ablesen, dass die Temperatur nach 30 Minuten 13°C betrug. Die mittlere Anderung der Temperatur pro Minute in den darauf folgenden 20 Minuten lässt sich berechnen durch : T(30 + 20) - T(30) 20min

t (in rnin) T (In ..,0

O

10

20

30

35

50

60

10

5

5

13

20

38

30

Tin °C

30 20

38°C- 13°C

- -

20min

20

10

25°C 20min

t in min

0

"'1,2s,;.,.

30

110

so

Die mittlere Änderung der Temperatur im Zeit· intervall [30; 30 + 20) beträgt also 1,25~. ,

Allgemein nennt man den Term

[tc,;to+ h].

„

T(1iJ + h) - T(t J

60 Fig.1

•

.

.

mm lere Änderungsrate derTemperatur 1m Intervall

Bei der mittleren Änderungsrate der Temperatur div idiert man die Differenz der Temperaturwerte durch die Differenz der zugehörigen Zeitwerte ; daher nennt man bei Funktionen a llgemein diesen Term auch Differenzenquotient. Zeichnet man wie in Fig.1 eine Gerade durch die beiden Punkte PßO 113) und Q(50138),dann ent· spricht die Steigung der Geraden der Maßzahl der mitt leren Änderung srate.

16

1 Ableitung - Grundlagen

f(x 0 +h)-f(x.,)

Ist die Funktion f auf dem lnterval 1 [x0 ; Xe+ h] definiert., dann heißt h Differenzenquot ient von f im lnterva ll [x0 ; Xe+ h). Bei Anwendungen wird der Differenzen · quotlent auch als mit tlere Änderungsrate bezeichnet.

Falls h c: 0 gibt. der D1ffe renzenquotier,t die Änd~ rungsrate auf [x0 + h; Xo] an.

Beispiel 1 Bestimmung der mitt leren Änderungsrate Die Abnahme des Luftdrucks p mit zunehmender Höhe kann nach der „barometrischen Höhenfor• mel„ p (H) -1013 · 0,88H(Hin km, p in hPa) bestimmt werden. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate Im Interval l [0; 5). Lösung: Für das Interva ll [0; S] erhält man die mittlere Änderungsrate (in~) p(S) - p(O): 1013·0 .~ 5

- 1013 ·0,880 5

::s _

95'

tiPa: Hektopascal

6B ·

Der Luftdruck nimmt Im Mittel um 95,68 hPa pro km ab.

Beispiel 2 Rechnerische Bestimmung des Differenzenquotienten Bestimmen Sie für die Funktion f mit f(x) = x2 den Differenzenquotienten im Intervall [7;9).

rl(,o.1, )·_Jt,0+11)-Jho) Ir

Lösung: Mit CASsie he Flg.1. Mit Xg= 7 und h ...2 ergibt sich:

f (7 + 2) - f(7) 9', - 71 - 2 =-.16 2

Beispiel3 Geometrische Bestimmung Bestimmen Sie geometrisch den Differenzen· quotienten der Funktion f im Interva ll [2; 71 deren Graph in Fig. 2 dargestellt ist Lösung: Man zeichnet eine Gerade g durc h

Fig. 1

Wenn die Gleichuig der Fuilctlm f belcannti~ kanriman die Rechnung mildem .Baustein'" d Cxo , h) durchruhren.

die beiden PunkteP(2 1f(2)) und Q(71f(n). Die Steigung wn g entspricht dem Differenzen quotienten im Intervall [2; 7). Differenzenquotient:

f(7) - f(2)

5

„ 0,5.

2

6

8

10

12 Fig..2

Aufgaben

1

Gegeben sei die Funktion f mit f(x)-: a) das tntervall [0,1;0,1 + 0,9), c) das tntervall [0,01; 0,02),

2

+ 2. Bestimmen Sie den Differenzenquotienten für b) das Intervall [2; 2 + 10), d) das lntervall [100; 1000).

Die Hö he H einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt

Togco

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Höt.