La relatività e lo spazio-tempo

Table of contents :
Indice......Page 5
Non è come sembra
......Page 6
La lezione......Page 9
Lo spazio di Aristotele......Page 11
La filosofia di Dante e la scienza di oggi......Page 17
La relatività di Galilei......Page 20
Parla Galileo......Page 22
Newton: Lo spazio e il tempo assoluti......Page 27
L'elettromagnetismo e l'etere......Page 36
Coordinate, eventi e causalità......Page 44
Einstein e la relatività speciale......Page 46
Massa ed energia nella relatività speciale......Page 63
«Il pensiero più felice della mia vita»......Page 75
La relatività generale......Page 65
Il percorso di Einstein......Page 68
Gravitazione e geometria......Page 80
La relatività generale in funzione......Page 88
I frutti estremi dello spazio-tempo......Page 96
I buchi neri......Page 106
Le onde gravitazionali......Page 108
L'universo in espansione......Page 114
Cosa resta da scoprire......Page 121
Buchi neri: laboratori speciali......Page 122
L'astronomia multimessaggera......Page 126
L'eco del Big Bang......Page 129
L'universo oscuro......Page 134
Cronologia......Page 137
Le risposte della scienza......Page 142
Che cosa vedremmo viaggiando alla velocità della luce?......Page 143
Come si allunga la vita alla velocità della luce?......Page 144
Come si spiega il famoso paradosso della scala nella relatività?......Page 145
Il gravitone esiste realmente?......Page 146
Lo spazio domina la massa o ne è dominato?......Page 147
Le parole della fisica......Page 149
Libri......Page 151
Giochi......Page 152

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Lezioni ài Fisica

La relatività, e lo spazio-tempo Eu g en io C o ccia

CORRIERE DELLA SERA

Lezioni di F isica

La relatività e lo spazio-tempo a cura di Eugenio Coccia

COBBIEBE DILLA 8EBA

Lezioni di Fisica 2 La relatività e lo spazio-tempo © 2018 Out of Nowhere S.r.l., Milano © 2018 RCS MediaGroup S.p.a., Milano LE INIZIATIVE DEL CORRIERE DELLA SERA n. 34 del 5/11/2018 Direttore responsabile: Luciano Fontana RCS MediaGroup S.p.a. Via Solferino 28,20121 Milano Sede legale: via Rizzoli 8,20132 Milano Reg. Trib. N. 378 del 6/6/2006 ISSN 1828-5520 Responsabile area collaterali Corriere della Sera: Luisa Sacchi Editor: Martina Tonfoni Realizzazione: Out of Nowhere S.r.l. Impaginazione: Marco Pennisi &C C. S.r.l. Introduzioni: Giorgio Rivieccio “ La lezione” , “ Cosa resta da scoprire” a cura di Eugenio Coccia “ Cronologia” , “ Le risposte della scienza” e “Le parole della fisica” a cura della redazione Si ringrazia l’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare per la preziosa collaborazione.

IN D IC E

N o n è com e sem bra

di Giorgio Rìvieccio

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L a lezione

di Eugenio Coccia

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C o sa resta d a scoprire

di Eugenio Coccia

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C ro n o lo gia

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Le risposte della scienza

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L e parole della fisica

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Letture consigliate

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N O N È C O M E SEM BR A

Si può rivoluzionare la fisica senza uscire dal­ la propria stanza, soltanto con carta e mati­ ta. E quello che, come sappiamo, fece Albert Einstein con le due teorie della relatività, che hanno cambiato completamente la nostra visio­ ne del mondo. Lo spazio? Può incurvarsi e si può accorciare. Il tempo f Si può allungare. E l’uno non esiste senza l’altro; sono due realtà indissolubili nello spazio-tempo. La massa? Si trasforma in energia; anzi, massa ed energia so­ no la stessa cosa; la massa può trasformarsi in energìa, e fin qui potrebbe essere intuibile os­ servando bruciare qualcosa, ma anche l’energia può trasformarsi in massa. Da questi assunti discende a cascata una se­ rie di conseguenze: due eventi che a una persona appaiono simultanei non lo sono per un’altra persona che si trova in moto uniforme rispetto alla prima (la relatività della simultaneità); si può vivere più a lungo, ossia rallentare il tem­ po, semplicemente muovendosi (pure a veloci­ 7

tà “umane”, anche se in tal caso in modo non apprezzabile) e se un uomo riuscisse a fare un viaggio a velocità prossime a quella della luce potrebbe, tornando sulla Terra, scoprire di esse­ re diventato più giovane di suo figlio. Ma in questo mondo dove tutto è relativo, dove tutto non è come sembra, c’è qualcosa che non cambia mai, qualcosa di assoluto: la veloci­ tà della luce. Fu proprio riflettendo sulla velo­ cità della luce che Einstein, a 16 anni, gettò nel­ la sua mente il primo seme («se viaggiassi alla stessa velocità di un raggio luminoso lo vedrei come congelato?») di quella ossessione concet­ tuale che dieci anni dopo sfociò nella relatività ristretta. Proprio a partire dall’immutabilità del­ la velocità della luce discendono le conclusioni delle teorie einsteiniane. La relatività ha così cambiato per sempre anche questi concetti sui quali per millenni scienziati e filosofi hanno fondato le proprie te­ si: proprio ciò che ci rende così ostico capire gli apparenti paradossi relativistici. Si tratta di nuove rappresentazioni mentali che non sono più dipendenti dalle impressioni e dalle espe­ rienze sensibili - nostre e dei nostri predecessori sul Pianeta - giacché la realtà diviene un’entità immaginaria, nella misura in cui va al di là di ciò che possiamo percepire con i sensi. Come diceva Einstein, riconoscendo di essere giunto al punto centrale di questo tipo di ragionamen­ 8

to sulla base degli scritti di filosofi come David Hume ed Ernst Mach, «il sistema di concetti è una creazione dell’uomo, né più né meno delle regole di sintassi che costituiscono la struttura dei sistemi di concetti». Il nuovo mondo che scaturisce dalla relati­ vità non è però una costruzione fantastica indi­ mostrabile. In questi cento anni che ci separano dal suo debutto ha avuto e continua ad avere conferme indubitabili, da quella del 1919 sulla curvatura dello spazio dovuta alla massa, all’al­ lungamento della vita delle particelle a velocità prossime a quella della luce (dimostrato da Bru­ no Rossi nel 1940); dalla dilatazione dei tempi in un orologio fatto viaggiare su un Boeing 747 intorno alla Terra fino all’ultima, clamorosa individuazione delle onde gravitazionali, avve­ nuta nel 2015 da parte di ricercatori statuni­ tensi, italiani e francesi. L’intuito può diventare certezza, come diceva Einstein: «I concetti e le proposizioni acquistano “significato”, cioè “contenuto”, solo attraverso la loro connessio­ ne con le esperienze sensibili. Ciò che distingue la vuota fantasia dalla “verità” scientifica è il grado di certezza con cui questa connessione, cioè questa associazione intuitiva, può essere compiuta, e null’altro». G.R.

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LA L E Z I O N E

L

o spazio e il tem po sono concetti fondamentali delle scienze della natura. Volen­ do semplificare, possiam o dire che fino al 1905 essi sono stati considerati essenzialmente come recipienti che contenevano le sostanze e i corpi le cui mutue interazioni e movimenti co­ stituivano il vero oggetto di studio.

La relatività di Einstein ha cambiato tutto. Ha liberato lo spazio e il tempo da pregiudizi che erano passati inosservati nel corso di secoli. Li ha fatti scendere dall’Olimpo degli a priori e li ha portati a essere protagonisti di una nuo­ va teoria fisica accessibile all’osservazione. Cercherò di raccontare, attraverso alcune tappe significative, l’evoluzione del pensiero sullo spa­ zio e sul tempo. N ella prim a parte parlerem o più diffusaI disegni de “ L a lezione ” sono originali dell’autore.

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mente dello spazio. Solo nel tardo M edioevo fu chiaramente com preso il ruolo del tem po come param etro variabile fondam entale dei fenomeni naturali. E prim a della relatività, spazio e tem­ po sono comunque stati considerati grandezze eterogenee e indipendenti, collegate tra loro so ­ lo dal concetto di movimento.

L O SPAZIO DI A R IST O T E L E È straordinario il contributo degli antichi gre­ ci allo sviluppo del pensiero filosofico e scien­ tifico. Tra quanti hanno avuto una grande in­ fluenza sulla cultura occidentale c’è Aristotele, discepolo di Platone e m aestro di Alessandro il Grande. Aristotele è talvolta ricordato nelle vicende scientifiche moderne come sim bolo di una mentalità antiscientifica. In realtà ha por­ tato contributi im portanti in molti cam pi del­ la conoscenza m a il suo insegnamento è stato condizionato dall’immobilismo intellettuale dei suoi interpreti successivi che si sono spesso ap ­ pellati alla sua autorità senza possibilità di al­ ternative. Ipse dixit, e tanto bastava. Q ual era la realtà fisica secondo Aristotele? In generale, nel pensiero antico, e Aristotele non fa eccezione, l’universo non è fatto di spazio m a di luoghi. 14

Per comprendere questa afferm azione, riflettia­ mo sul fatto che il pensiero moderno ci porta a considerare lo spazio cosm ico privo di una na­ turale struttura gerarchica: non c’è in assoluto un basso e un alto, non c’è un centro. Lo spazio moderno è om ogeneo e isotropo, senza luoghi o direzioni privilegiate. Le leggi fisiche sono le stesse in qualunque luogo ci troviam o e in qua­ lunque direzione ci volgiam o. Per esem pio, sappiam o che la luce si p ro p a­ ga alla stessa velocità sulla Terra come su Alfa Centauri e che la gravitazione agisce qui come su Androm eda. Secondo il pensiero di Aristotele, invece, tutto accade in uno scenario form ato da luo­ ghi qualitativam ente distinti e gerarchicamente diversi. Egli era colpito dalla differenza radicale tra i movimenti sulla Terra, limitati, precari, fa ­ ticosi, e i movimenti nel cielo, che apparivano sovrum anam ente precisi e silenziosi. In un’e­ poca ben lontana dall’autom azione, l’assoluta regolarità dei moti celesti denunciava per Ari­ stotele la loro natura divina. L’universo di Aristotele ha un centro assolu­ to, la Terra, ed è diviso in due mondi separati: il m ondo sublunare, quello che arriva dalla Terra fino all’orbita della Luna, e il resto del cosm o, il m ondo sopralunare. Il prim o è il m ondo del cam biam ento e dell’imperfezione, il secondo ha invece una natura incontam inata ed eterna. 15

Sotto l’orbita della Luna, ogni cosa è com po­ sta in varie proporzioni da quattro ingredienti: aria, acqua, terra e fuoco. Sopra l’orbita lunare, i corpi sono fatti di una sostanza incorruttibile, la quintessenza. Secondo Aristotele la caduta dei corpi verso il basso è il risultato della loro intrinseca tendenza a dirigersi verso il luogo per loro naturale: il cen­ tro della Terra. Così si com portano la terra e l’ac­ qua, mentre l’aria e il fuoco si elevano al cielo. I pianeti sono invece corpi purissimi, incasto­ nati come diamanti luminosi su sfere di cristallo che ruotano grazie a motori immobili. Al confine ultimo dell’universo aristotelico, oltre la sfera del­ le stelle fisse, c’era il “ Primo M obile” , l’estrema forza motrice che dava il movimento a tutti i cieli. Oltre questo, dice Aristotele nel De Caelo, «non esistono né luogo, né vuoto, né tem po».

Il sistem a geocentrico in un'illustrazione di Johannes Honterus, 1552. 16

Il passaggio dalla visione di Aristotele (e di tan­ ta parte del mondo antico) a quella di Galilei e Newton, e poi di Einstein, porterà a una pro­ gressiva perdita di gerarchia dello spazio e del tempo, fino ad arrivare alla relatività generale, cioè al m assim o grado della loro simmetria: una teoria dove spazio e tempo saranno aspetti diversi della stessa unica realtà, lo spazio-tempo, e dove, come vedremo, le leggi della fisica sono le stesse in qualsiasi sistema di riferimento, co­ munque questo sia in moto. Analizziam o un momento la meccanica ari­ stotelica. E ssa poggiava sul principio seguente: lo stato naturale di un corpo è lo stato di quiete. Per mantenere un corpo in movimento occor­ re una causa, è necessario cioè applicare con­ tinuamente una forza, cessata la quale il corpo inevitabilmente si ferma. O ra, chiunque abbia provato a spostare un frigorifero in casa, darà tutte le ragioni di questo m ondo al grande filo­ sofo greco. In realtà è la resistenza offerta dal pavim ento, per meglio dire la forza di attrito che si oppone alla nostra, a farci faticare. N ello spazio libero, i corpi a cui diam o una velocità iniziale procedono indisturbati di m oto rettili­ neo uniforme se non sono presenti altre forze. La form ulazione di Aristotele si porta inoltre dietro a m o’ di fardello un problem a che si rive­ lerà una palestra form idabile per i filosofi natu­ 17

rali, categoria dove facciam o entrare tutti i pen­ satori dotati di logica e di considerazione per le evidenze empiriche. Il problem a è questo: se il movimento richiede una causa, si ragionava, questa deve essere continuamente in contatto con il corpo che si muove. M a anche Aristotele vedeva la freccia scoccata da un arco o la pietra lanciata da una fionda viaggiare velocemente nell’aria quando il contatto con l’arco o con la fionda era term inato da un pezzo. E allora? L a sua risposta era che l’aria spo ­ stata dalla parte anteriore del corpo in m ovi­ mento tornava, com piendo un elegante m ovi­ mento vorticoso, a spingere il corpo da dietro. Qui il grande Stagirita forse convinceva meno gli altri filosofi m a non sem brava esserci una spiegazione migliore. N ella storia del pensiero, come lampi im­ provvisi, si incontrano incredibili visioni an­ ticipatone. M i piace citarne tre. La prima è di Anassim andro, del VII-VI secolo a.C ., un esem­ pio della ricchezza del pensiero greco antico. La seconda viene dal M edioevo di Dante e la terza è della fine del Cinquecento di G iordano Bruno. N ella prim a possiam o immaginare all’opera un acuto e profondo spirito di osservazione, nelle altre due credo si possa parlare di straordinarie intuizioni poetiche. Per Anassim andro, dopo il tram onto, il per­ corso del Sole e degli altri astri proseguiva fino a 18

richiudersi su se stesso. Il cielo era quindi in alto, sopra le nostre teste, ma anche in basso, sotto i nostri piedi. L a Terra, vista allora generalmen­ te come piatta, perdeva così le salde radici che aveva avuto nell’immaginario um ano fin dalla preistoria e veniva a trovarsi sospesa nel vuoto al centro del cosmo. N essuno aveva osato tanto prim a. M a anco­ ra più stupefacente era la risposta alla dom an­ da: allora perché la Terra non cade? Aristotele così riporta il ragionam ento: «[...] alcuni asseriscono che la terra resta ferma per effetto dell’egual distribuzione delle sue parti, come fra gli antichi Anassim andro. N ulla infat­ ti fa sì che ciò che posa al centro, e si trova a distanza eguale dagli estremi, debba muoversi piuttosto verso l’alto che verso il basso, o di la­ to. O ra, è im possibile che il m oto abbia luogo contemporaneamente verso punti opposti: per m odo che essa deve rimanere im m obile».* La Terra quindi resta ferma «a causa dell’e­ guale distribuzione delle parti». Oggi diremmo: per motivi di simmetria. N on avendo motivi per preferire il movimento in una direzione anziché in un’altra, la Terra rimane lì a galleggiare nel vuoto.

Incontriamo nel pensiero di Anassimandro una credenza tipica dell’umanità primitiva * Aristotele, De Coelo, in Opere, Laterza, Roma-Bari 2001 19

la Terra piatta - con una ipotesi incredibil­ mente m oderna, quella della simmetria dello spazio intorno a noi. Karl Popper la definirà «una delle più coraggio­ se, rivoluzionarie, portentose idee nella storia del pensiero um ano». La seconda visione è quella, m eravigliosa, di Dante sul confine ultimo del cosm o, oltre le «sfere stellate». N ella Divina Commedia si vie­ ne colpiti a più riprese dallo spirito scientifico, in senso naturalistico, del grande poeta. LA FILOSOFIA DI DANTE E LA SCIENZA DI OGGI

I brani qui riportati sono contenuti nei canti XXVII e XXVIII del Paradiso. Nella parte estrema del cosmo, nel cerchio più lontano rispetto al centro della Terra, Dante riconosce la presenza del Primo Mobile, la sfera più alta del «ciel che tutto gira». Ma mentre per Aristotele oltre quello non vera più niente, Dante seguendo la tradizione medioevale vi colloca l'Empireo, la casa di Dio, il «ciel eh e pura luce». Fino a qui, lo scienziato dei nostri giorni si bea della poesia ma non si stupisce della descrizione dantesca. Lo fa però subito dopo. Dante e Beatrice salgono al Primo Mobile e accedono all'Empireo seguendo una direzione che a Dante sembra casuale, in quanto tutto appare uniforme: «Le parti sue vivissim e ed eccelse sì uniformi son. ch i' non so dire qual Beatrice per loco mi scelse». E che accade? Si trovano di fronte a un altro spazio che anziché essere ancora più vasto, è convergente in un centro dove c'è un singolo accecante punto luminoso. Scrive Dante: «un punto vidi che raggiava lume

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acuto sì, che 'l viso ch'etti affoca chiuder conviensi per lo forte acume». E poi interviene Beatrice: «La donna mia, che mi vedea in cura forte sospeso, disse: "Da quel punto depende il cielo e tutta la natura"». Questa visione puramente religioso-filosofica degli elementi «sì uniformi» al bordo dell'universo conosciuto, e del punto accecante da cui «depende il cielo e tutta la natura» ha un parallelo ai nostri tempi nel segnale di fondo cosm ico a microonde, quello che è stato chiamato T eco del Big Bang”, e nel momento stesso del Big Bang. Secondo la moderna cosmologia, tutto ciò che esiste - tempo, spazio, materia, radiazione - proviene da una esplosione primigenia seguita da una espansione dello spazio che tuttora continua. Se oggi dalla Terra guardiamo le stelle lontane, stiamo guardando lontano nel tempo perché riceviamo delle immagini emesse nel passato, immagini che viaggiando alla velocità della luce hanno impiegato tempo ad arrivare fino a noi oggi. Ma per quanto lontano riusciamo a guardare, e quindi per quanto antiche possano essere le luci che osserviamo, c'è un limite, una sorta di sipario oltre il quale non riusciamo a vedere. Questo limite ultimo corrisponde al momento della storia dell'universo in cui la caldissim a e densa zuppa opaca di particelle cariche e radiazione elettromagnetica emersa subito dopo il Big Bang, raffreddandosi, ha permesso finalmente agli elettroni e ai protoni di formare gli atomi neutri. La luce ha potuto allora smettere di rimbalzare tra le particelle cariche e ha potuto propagarsi liberamente nello spazio finalmente trasparente. Questo lontano sipario testimonia quindi un preciso periodo del passato remoto del cosm o e appare effettivamente, dalle misure compiute con apposite m issioni spaziali, come un fondo di radiazione elettromagnetica estremamente uniforme. Al di là di quel sipario, se potessim o penetrarlo, e in qualsiasi punto lo penetrassimo, troveremmo la primitiva fase iniziale convergente verso l'estremità del momento stesso del Big Bang, il punto «che raggiava lume (...) da cui depende il cielo e tutta la natura». 21

L’origine dell’universo è un istante, un punto, eppure ci circonda. L a visione dantesca ci ap­ pare come un’affascinante intuizione poetica di quanto abbiam o capito solo nello scorso secolo suH’origine del cosm o. Infine Bruno. In generale, fin dall’antichità si ri­ teneva che il limite estremo dell’universo fosse l’immensa sfera ruotante su cui venivano imma­ ginate attaccate le stelle fisse. Copernico stesso non distrusse questa credenza. Aveva posto il Sole al centro del sistema planetario togliendo alla Terra questo privilegio e dandole in cambio il rango di corpo celeste, riconoscendola come uno dei pianeti. M a non aveva riconosciuto che il Sole è una stella, della stessa natura delle tante stelle fisse. M esso di fronte alla rivoluzione di Copernico, Giordano Bruno va più avanti, allargando il mondo fin dove nessuno aveva osato: le innume­ revoli stelle fisse per lui sono esse stesse dei soli si­ mili al nostro e sono sospese nello spazio infinito. N on c’è nessun globo di cristallo a racchiuderci. Questi i versi di De l’infinito universo et mundi (1584), dove Bruno esalta questa liberazione in un immaginario viaggio nello spazio infinito: «Q uindi l’ali sicure a l’aria porgo, né temo intoppo di cristallo o vetro; m a fendo i cieli, e a l’infinito m ’ergo. 22

E mentre dal m io globo agli altri sorgo e per l’eterio cam po oltre penetro, quel ch’altri lungi vede, lascio al tergo.» È in fondo questa la rappresentazione attuale dell’universo.

L A R E L A T IV IT À D I G A L IL E I N el gennaio 1610, alzando il suo telescopio verso il cielo, G alileo Galilei osservava quattro piccoli corpi lum inosi ruotare attorno a G io­ ve. N essuno aveva m ai visto quelle piccole luci lassù dove nulla avrebbe dovuto turbare la cri­ stallina serenità delle sfere stellate. Ben presto Galilei com prende che quei piccoli corpi lumi­ nosi sono parte di un vero e proprio piccolo sistem a solare, satelliti che ruotano attorno a Giove, che gioca qui il ruolo del Sole. Giove non era quindi incastonato su una sfera di cri­ stallo, come voleva Aristotele, o i satelliti l’a ­ vrebbero infranta. Era una prova osservativa che favoriva in m odo deciso il sistem a eliocentrico copernica­ no, su cui allora infuriavano le polemiche. L’o s­ servazione rispondeva infatti alla dom anda: se davvero la Terra si muove nello spazio, perché la Luna non resta indietro? O ra, Giove era in movimento, su questo tutti erano d’accordo, 23

eppure le sue lune non restavano indietro e lo seguivano docilmente. Era anche la prim a osservazione di quella che sarebbe stata poi chiam ata l’universalità della gravitazione.

Con le osservazioni di Galilei l’umanità com­ pie una scoperta fondamentale, che è in fondo all’origine del metodo scientifico e del mondo moderno: è la scoperta dell’ignoranza. N on era vero che tutto quello che si poteva (e che bastava) sapere sul cosmo era già stato detto da grandi pensatori del passato o scritto su libri dov’erano riposte indiscutibili verità. D a questa scoperta sarebbe conseguito il dovere di dubitare, la necessità di verificare con l’osservazione diretta, con l’esperimento, qualsiasi affermazione sulla na­ tura delle cose, da qualunque autorevole pulpito fosse venuta. Nulla sarebbe più stato come prima. Arm ato di questa m entalità, Galilei fa crol­ lare come un castello di carte la meccanica di Aristotele.

Le sue osservazioni sul moto dei corpi lo por­ tano a formulare il principio di inerzia: tutti i corpi ai quali non viene impressa una forza permangono in quiete o, in caso abbiano una velocità iniziale, continuano a muoversi di moto rettilineo uniforme. 24

I sistemi di riferimento in cui vale questo princi­ pio sono chiamati sistemi di riferimento inerziali. Galilei ci arriva depurando mentalmente il movimento dei corpi dall’effetto di resistenza del mezzo in cui si muovono. Se non ci fosse l’at­ trito del pavimento, se il frigorifero di prima fos­ se poggiato per esempio su una lastra di ghiaccio perfettamente levigata, una volta messo in m o­ vimento vi permarrebbe anche senza una spinta continua. I proiettili, una volta messi in moto, tendono a mantenere il loro movimento perché (questo è il punto importante) lo stato di m oto è uno stato naturale come lo stato di quiete. Possiam o dire che prima che venisse form u­ lato il principio di inerzia c’era una asimmetria tra movimento e quiete: il prim o andava m oti­ vato e il secondo no. O ra invece il m oto a velo­ cità costante diventa naturale ed equivalente dal punto di vista fisico allo stato di quiete. Di più, i due stati diventano addirittura indistinguibili. PARLA GALILEO

Lasciamo parlare Galilei nel suo Dialogo sopra i due massimi sistemi del monda «Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in atto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animatetti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le 25

stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando te lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina oppure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazi che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso poppa che verso prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza cadérne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d'incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d'effetti ne è cagione tesser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all'aria ancora, per che ciò dissi io che si stesse sotto coverta». Questo è il cuore del principio di relatività di Galilei: gli esperimenti si svolgono allo stesso modo e con gli stessi risultati tanto in un sistema in quiete come in un sistema che si muova rispetto al primo di moto rettilineo e uniforme. Le leggi della meccanica sono le stesse nei due casi. 26

A partire da G alilei, quindi, non ha più sen­ so parlare di m ovim ento in asso lu to m a so ­ lo relativam ente a uno specifico sistem a di riferim ento. Nel nuovo m odo di Galilei di guardare la natura delle cose c’è un’altra caratteristica fondamentale, espressa magnificamente in questo celebre fram­ mento del suo Saggiatore: «L a filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’im pa­ ra a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto». Si m anifesta in m odo irreversibile e fruttifero la nostra propensione a descrivere la realtà e a cercare di spiegarla usando la m atem atica. R ie­ cheggia in lontananza la predicazione di Pita­ gora: «tutto è num ero». M a ora non cerchiamo più l’essenza delle cose e la loro finalità, come gli antichi filosofi, piuttosto scom poniam o il fenomeno nelle variabili essenziali, associando loro grandezze fisiche m isurabili e quantificabili oggettivamente. Queste grandezze (posizione, tempo, velocità, tem peratura, pressione e così via) possono essere rappresentate in funzione 27

una dell’altra con grafici in opportune coordi­ nate ed essere oggetto di descrizioni algebriche e geometriche.

La natura è comprensibile e il suo compor­ tamento esprimibile con la matematica. N a­ scono così le equazioni come linguaggio della fisica. Galilei è anche il prim o a dare un ruolo alla no­ zione scientifica di tem po - che viene incluso nel suo Saggiatore tra le «qualità primarie od ogget­ tive» - e a dargli una accurata misura. Il secchiello che «a goccia a goccia vadia ver­ sando dell’acqua in un altro v aso» Galilei lo ha realizzato davvero e non serviva solo a mostrare l’impossibilità di stabilire «se la nave cammina oppure sta ferm a». Era anche il principio di fun­ zionamento di un cronometro in grado di mi­ surare intervalli di tempo con la precisione del decimo di secondo, che lui usò per studiare il m oto dei corpi in caduta. È proprio Galilei a descriverlo: «quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d’acqua, attaccata in alto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d ’acqu a». Assumendo costante il flusso, il tempo veniva m isurato pesando con «esattissim a bilancia l’acqua raccolta in un piccol bicchiero». 28

Galilei utilizzerà questo sistem a per m isura­ re i tempi di discesa di sfere lasciate rotolare lungo un piano inclinato, una trovata geniale per allungare i tempi di caduta (rispetto a far cadere verticalmente i corpi) e poterli misurare con precisione. Riuscì così a stabilire la legge del m oto dei corpi dovuta alla gravità, m isu­ rando «gli spazi passati esser tra di loro come i quadrati dei tem pi». Aveva anche com preso che il pendolo sareb­ be stato un ottim o orologio. Ci arrivò osser­ vando le oscillazioni di un lam padario fissato al soffitto del D uom o di Pisa. Si accorse che il pendolo ha un periodo che dipende solo dalla sua lunghezza, non dall’ampiezza dell’oscilla­ zione (perlomeno per oscillazioni piccole) né dal valore della m assa appesa alla sua estremità.

Questo ultimo fatto sperimentale da lui osser­ vato, dovuto come vedremo all’equivalenza tra la massa inerziale e la massa gravitazio­ nale, sarà alla base della teoria della relatività generale di Einstein. D a quanto sopra riportato, si evince un’altra importante eredità legata a Galilei. Rom pendo con una tradizione m illenaria, egli non si era limitato a osservare i fenomeni naturali, come l'oscillazione di un lam padario o la caduta li­ bera di una pietra. Galilei aveva studiato dei 29

“ moti artificiali” usando dispositivi preparati appositam ente per poterli controllare. Aveva selezionato assi di legno, le aveva levi­ gate, incollate e inchiodate, ci aveva fatto roto­ lare sopra sfere e dischi accuratam ente lavorati. N on si era affidato solo alla spontaneità del li­ bero com portam ento della natura per studiarne i segreti. L’aveva forzata, interrogandola con in­ gegnose costruzioni. In questo senso, come scrive Steven Weinberg, «il suo piano inclinato è un lontano antenato degli odierni acceleratori di particelle, con cui creiam o artificialmente particelle che non si presentano in nessun luogo della natura».*

N E W T O N : L O S P A Z IO E IL T E M P O A S S O L U T I Isaac New ton nasce nel 1642, l’anno in cui muore Galilei. Egli aveva davanti a sé i suoi la­ vori, come anche quelli di Copernico e Keplero. Il prim o, come sappiam o, aveva com piuto una rivoluzione scientifica (e psicologica), capendo che le orbite dei pianeti osservate dalla Terra trovavano una descrizione più naturale consi­ derando il Sole immobile al centro dell’universo e la Terra come uno dei pianeti che gli ruotano * S. Weinberg, Spiegare il mondo, Mondadori, Milano 2016 30

attorno, centro solo dell’orbita lunare. Keplero, grazie ai dati di quel form idabile astronom o che fu Tycho Brahe, aveva scoperto che i moti dei pianeti, inclusa la Terra, seguivano tre sem pli­ ci leggi. In particolare, le orbite planetarie non erano delle circonferenze come voleva Coperni­ co su basi estetiche, m a delle ellissi di cui il Sole occupava uno dei fuochi. N ew ton mise insieme tutte quelle scoperte, rifletté a lungo sulle cause del m oto dei corpi e sul ruolo della m assa, della velocità e dell’acce­ lerazione, generando infine quella che conoscia­ mo come “ m eccanica new toniana” . Il sistem a eliocentrico copernicano, le leggi di Keplero, il principio di inerzia e di relatività galileiani vennero integrati in un unico quadro teorico coerente. La pubblicazione della sua opera Philosophice Naturalis Principia Ma­ thematica rappresentò il culmine della nuova scienza sperimentale. Tutti abbiam o studiato le sue tre leggi: 1) «C iascun corpo persevera nel proprio sta­ to di quiete o di m oto rettilineo uniforme, ec­ cetto che sia costretto a m utare quello stato da forze im presse». 2) «Il cam biam ento di m oto è proporziona­ le alla forza motrice im pressa, e avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata im pressa». E la legge che si esprim erà con la fam osa equazione F = m a, dove F è la forza 31

im pressa, a è l’accelerazione (cioè la variazione della velocità nel tempo) che ne consegue e m è la m assa del corpo accelerato. 3) «A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: ossia le azioni reciproche di due corpi sono sempre uguali fra loro e dirette verso parti opposte». Le sue riflessioni e i suoi calcoli lo portarono a concludere che la forza che fa cadere i corpi a terra, è la stessa che tiene la Luna in orbita attorno alla Terra, ed è la stessa che tiene i pia­ neti e la Terra stessa attorno al Sole. Può esse­ re sintetizzata in una form ula che vale in tutto l’universo: la forza F agente tra due corpi, ri­ spettivamente di m assa M e m, separati da una distanza r, è

Dove G è una costante universale, oggi nota co­ me costante di New ton.

Queste leggi spiegavano tutti i fenomeni mec­ canici osservati, dal movimento degli astri al comportamento del pendolo. Esse valevano dappertutto, non c’erano quindi luoghi ge­ rarchicamente diversi nel cosmo. La sintesi dei fenomeni terrestri con i fenomeni celesti fornita dalla legge di gravitazione è uno dei punti più alti del pensiero umano. 32

M a, come scrisse lo stesso N ew ton, «Se ho vi­ sto più lontano, è perché stavo sulle spalle dei giganti». Sofferm iam oci un istante sul momento m a­ gico in cui N ew ton comprende che la Luna gi­ ra intorno alla Terra attratta dalla stessa forza che fa cadere i corpi al suolo. Il racconto che qualche biografo ha tram andato (ma su cui non c’è alcuna certezza) vuole che un giorno, p a s­ seggiando in cam pagna, N ew ton vide una mela cadere dalla cima di un albero. Questo lo portò a riflettere sul fatto evidente che la gravità non agisse solo per contatto sugli oggetti posti sul suolo ma che la sua influenza si estendesse in al­ to nello spazio, perlomeno fino all’altezza da cui era caduta la mela. N ew ton si dom andò, allora, quanto in alto poteva arrivare l’attrazione che la Terra evidentemente esercitava su ogni cosa. Arrivava forse fino alla Luna? Si chiese cioè se il nostro argenteo astro, lento e silenzioso, non fosse in realtà in caduta verso la Terra. Un’idea semplice e straordinaria che non era m ai venuta in mente a nessuno. Com e si fa a pensare che la Luna stia caden­ do sulla Terra? Partiam o dalla ben nota espe­ rienza quotidiana: un corpo lanciato dall’alto in verticale cade al suolo. Se lo lanciam o lontano, intendo con una certa componente di velocità orizzontale, toccherà terra lontano da noi. Quel che N ew ton com prese è che se il corpo viene 33

scagliato m olto lontano, con forza sufficiente, continuerà a cadere ma la Terra, essendo curva, verrà a mancare sotto di esso, e il corpo non im­ patterà più il suolo terrestre, entrando in orbita intorno alla Terra stessa. N ew ton immaginò che la Luna stesse cadendo sulla Terra, senza mai toccarla perché la sua orbita è più grande della dimensione della Terra.

L’illum inante disegno originale di Newton.

Provò quindi a calcolare l’accelerazione di gra­ vità, partendo dall’idea che la forza di gravità debba diminuire in ragione dell’inverso del qua­ drato della distanza. All’epoca si sapeva già che una fonte di calore - una candela, per esempio che riscalda un corpo, se allontanata del doppio della distanza, riscalda quel corpo quattro volte meno, poiché la quantità di raggi che il corpo intercetta diminuisce in ragione dell’inverso del quadrato della distanza. Si tratta in fondo di una semplice legge geo34

metrica. Ed è anche naturale che abbia pensato che questa forza dovesse essere proporzionale alla m assa del nostro pianeta. Se qui sulla Terra i corpi, le mele, cadono con un’accelerazione di 9,8 metri al secondo quadrato, quale dove­ va essere l’accelerazione della Luna (e quindi il suo m oto nel cielo) perché fosse effettivamen­ te in caduta intorno alla Terra? N ew ton fece il calcolo e constatò che era proprio quella che si osservava, cioè la Luna è davvero in caduta verso la Terra. Queste le sue parole originali tratte dalla sua corrispondenza: «I tbereby compared thè force

requisite to keep thè Moon in her Orb with thè force o f gravity at thè surface o f thè earth, and found them answer pretty nearly». [Ho perciò confrontato i requisiti della forza (necessaria) per tenere la Luna nella sua orbita con la forza di gravità alla superfìcie della Terra e ho trovato che corrispondevano piuttosto bene.]

Una volta fatto questo passo concettuale, si riesce a spiegare anche perché la Terra gira intorno al Sole: gli cade addosso. La stessa legge fisica si estende a tutti i corpi dell’uni­ verso spiegandone i movimenti. Quale sintesi mirabile! In quale quadro di spazio e tem po agisce la mec­ canica di Newton? 35

Q uesto il suo pensiero: «L o spazio asso lu ­ to, per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, rim ane sempre uguale e immobile; lo spazio relativo è una dim ensione m obile o m isura dello spazio assoluto, che i nostri sen­ si definiscono in relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è comunemente preso al posto dello spazio immobile. Il tem po assoluto, vero, m atem atico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre unifor­ memente, e con altro nome è chiam ato d u ra­ ta; quello relativo, apparente e volgare, è una m isura (esatta o inesatta) sensibile ed esterna della durata per mezzo del m oto, che com une­ mente viene im piegata al posto del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, il m ese, l’a n n o ».’ N ew ton esprime così la sua convinzione di uno spazio e un tem po assoluti «indipen­ dentemente da ogni oggetto esterno». È una concezióne che sem bra corrispondere alla no­ stra intuizione elementare, m a non era questa la visione im plicitam ente accettata nei secoli precedenti, che era invece quella di Aristotele. Secondo Aristotele dove non c ’è nulla, e nulla si m uove a indicare il trascorrere del tem po, semplicemente lo spazio e il tem po non esisto­ no. Per N ew ton invece lo spazio esiste anche dove non ci sono corpi a indicare un riferimen* I. Newton, Principi matematici della filosofia naturale, Utet, Torino 1965 36

to e il tem po esiste anche se non c’è nulla che si muove a indicare il suo svolgersi. Com unque, per quanto riguarda il tem po new toniano nessuno ebbe da ridire, tanto n a­ turale sem brava che il tem po fluisse im pertur­ babile allo stesso ritm o per tutti e dappertutto. Per quanto riguarda lo spazio invece presto vennero avanzate delle serie critiche, in prim o luogo da G ottfried Leibniz. Secondo N ew ton, nello spazio i corpi pote­ vano starsene “ in asso lu to ” in uno dei seguenti stati: in quiete, in m oto rettilineo e uniform e, in m oto accelerato. Q uesta ultim a condizione veniva chiaram ente riconosciuta con l’ap p ari­ re di forze fittizie com e le forze centrifughe e di effetti evidenti, com e lo schiacciam ento della Terra ai poli o la rotazione del piano di oscilla­ zione del pendolo. La critica di Leibniz (che Ernst M ach ripre­ se secoli d opo in m odo più profondo e stim o­ lando su questa problem atica la mente di Ein­ stein) si basava sul fatto che in questo m odo lo spazio assoluto assum eva il ruolo di causa di fenomeni fisici, indipendentemente dall’effetto degli altri corpi. Infatti secondo la meccanica new toniana se la Terra fosse stata ferm a rispet­ to allo spazio assoluto e tutto il cosm o avesse ruotato intorno a lei, non si sarebbe m anife­ stato alcuno schiacciam ento ai poli. Q uesto secondo M ach era inaccettabile, in quanto, 37

poiché solo i m oti relativi tra i corpi possono essere osservati, solo essi po sson o essere re­ sponsabili dei fenomeni fìsici. Lo spazio assoluto new toniano assum eva in un certo senso un ruolo m etafisico. Com e è stato giustam ente scritto: «Per N ew ton le no­ zioni di spazio, tem po e m oto assoluti traeva­ no origine sia da ragioni fisiche (giustificare il principio di inerzia e l’esistenza privilegiata di osservatori inerziali) sia da ragioni metafisiche (giustificare la presenza e l’azione di D io nello spazio e nel te m p o )».’ C ’era poi un altro argom ento che creava sgom ento: una forza di attrazione agente a t­ traverso m ilioni di chilom etri di spazio vuo­ to app ariva inconcepibile. Inconcepibile per lo stesso N ew ton, si badi bene, che tuttavia vedendo la sua teoria funzionare preferiva non fare ipotesi («Hypotheses non fingo») ri­ guardo ciò che effettivam ente succedesse nello spazio.

Non era ancora arrivato il concetto di sorgen­ te che modifica le proprietà dello spazio attor­ no a sé generando un campo. A quel tempo, un’azione a distanza introduceva un elemento occulto nella filosofia naturale. T. Regge e G. Peruzzi, Spazio, tempo e universo, Utet, Torino 2005 38

Joh n M aynard Keynes, il fam oso econom ista, m atem atico di form azione e affascin ato dalla figura di N ew ton, scrisse nel testo per una con­ ferenza: «N ew ton non fu il prim o dell’Età del­ la R agione, bensì l’ultim o dei m aghi, l’ultim o dei Babilonesi e dei Sum eri, l’ultim a mente ec­ celsa che gu ardò il m ondo visibile con gli stessi occhi di coloro che incom inciarono a costrui­ re il nostro m ondo intellettuale poco meno di diecim ila anni fa... Perché lo chiam o un m ago? Perché guardava a ll’intero universo e a tutto quanto è in esso com e a un enigm a, a un se­ greto che poteva esser letto applican do il pen­ siero puro a certi fatti, certi m istici indizi che D io aveva p o sto qua e là nel m ondo affinché la confraternita esoterica potesse cim entarsi in una sorta di caccia al tesoro filosofica».*

L’E L E T T R O M A G N E T ISM O E L’E T E R E L a fisica newtoniana funzionava e le critiche epistemologiche sullo spazio assoluto e sull’a ­ zione a distanza vennero dimenticate, mentre l’attenzione degli scienziati si spostava verso altri campi. La term odinam ica ci permise di com prende­ re le relazioni tra energia, calore e lavoro mec* J.M . Keynes, in Newton thè man, The Royal Society. Newton Tercentenary Celebrations, Cambridge 15-19 luglio 1946 39

canico, rendendo possibile nel secolo XVIII la prim a rivoluzione industriale. Poi arrivò il secolo dell’elettricità e del m a­ gnetismo, e accaddero nuove cose straordinarie. Coulom b e Cavendish scoprirono che tra i corpi con carica elettrica positiva e negativa si esercitava una forza simile a quella di gravità, che era attrattiva se le cariche erano di segno diverso e repulsiva se erano dello stesso segno. Altri fenomeni bizzarri iniziarono a essere stu­ diati. Se in un filo circolava corrente elettrica, l’ago m agnetizzato delle bussole si spostava in direzione perpendicolare al filo. Tra due fi­ li paralleli percorsi da corrente si m anifestava una forza attrattiva o repulsiva secondo il verso delle correnti che riusciva a muovere i fili. Elet­ tricità e m agnetism o com unicavano tra loro e potevano esercitare forze meccaniche. La personalità più rappresentativa di questa epoca è senza dubbio M ichael Faraday, consi­ derato ancora oggi da alcuni il più grande fisico sperimentale della storia. Egli scoprì che un cam po m agnetico varia­ bile, come quello generato da un magnete in m ovim ento, generava una corrente elettrica in un filo m etallico vicino, senza alcun con­ tatto m eccanico tra i due oggetti. Il cerchio si chiudeva: l’elettricità produce m agnetism o e il m agnetism o produce elettricità. L’invenzione del m otore elettrico e la trasform azione della 40

nostra società con la seconda rivoluzione indu­ striale, vengono da lì. D a Faraday viene anche la prim a evidenza che la luce è in realtà costi­ tuita da cam pi elettrici e da cam pi m agnetici allacciati tra loro e viaggianti insieme a grande velocità. Occorreva però qualcuno che traducesse in equazioni matematiche il fatto stupefacente che elettricità, m agnetism o e luce fossero m anifesta­ zioni di una stessa realtà: l’elettromagnetismo. Costui fu Jam es Clerk M axw ell, e le sue quattro equazioni sono tra le più celebri della storia della fisica. Esse decorano magliette, poster e lavagne in tutto il m ondo. D a loro parte storicamente la relatività einsteiniana e la conseguente trasfor­ mazione dei nostri concetti di spazio e tempo. Queste equazioni ci dicono quattro cose importanti. ( 1 ) le cariche elettriche generano intorno a loro un cam po elettrico; (2 ) cariche elettriche in movimento generano un cam po m agnetico; (3) un cam po elettrico variabile nel tempo genera un cam po m agnetico variabile nel tempo; (4) un cam po m agnetico variabile nel tem po genera a sua volta un cam po elettrico variabile nel tempo. Queste due grandezze fisiche, cam po elettri­ co e cam po m agnetico, si nutrono quindi reci­ procamente e si propagano insieme come onde che giustamente si chiam ano elettromagnetiche. L a luce è com posta da onde elettromagnetiche. 41

Tutti i fenomeni elettrici, magnetici e ottici conosciuti trovavano una spiegazione in que­ sta nuova mirabile sintesi. In un certo senso, Maxwell rappresenta per Pelettromagnetismo quello che Newton è stato per la meccanica. C ’era qualcosa nelle equazioni di M axw ell, un particolare, che si rivelerà fondam entale per la fìsica moderna: la velocità di propagazione nel vuoto dei segnali elettromagnetici che com pare nelle sue equazioni è una costante, indipenden­ te quindi dalle caratteristiche (come posizione e velocità) che si trova ad avere chi emette il se­ gnale o chi lo riceve. Questa costante è indicata da tutti con la lettera c, dal latino celeritas, e vale con buona approssim azione 300 mila km/s. M a noi sappiam o che il concetto di velocità ha senso relativo, la sua m isura dipende dallo stato di m oto dell’osservatore. N o n esiste quin­ di una velocità assoluta, identica per tutti. O ra invece ne veniva fuori una! I fisici si trovarono a scegliere tra due ipotesi: o le equazioni di M axw ell erano sbagliate oppu­ re esiste in natura un sistema di riferimento pri­ vilegiato rispetto al quale la luce si propaga alla velocità c. In questo secondo caso le equazioni di M axw ell sarebbero state valide, m a comunque solo in quel riferimento privilegiato e si sarebbe­ ro dovute apportare correzioni in tutti gli altri. Le equazioni di M axw ell funzionavano benissi­ 42

m o nell’interpretare i fenomeni elettromagnetici, per cui fu naturale scegliere questa seconda ipo­ tesi. M a quale era questo sistema di riferimento assoluto?

Abbiamo già accennato alla difficoltà di digeri­ re il fatto che la gravità di Newton agisse a di­ stanza, senza un mezzo che facesse da interme­ diario. Altrettanta difficoltà incontravano i fisici del tempo di fronte alla possibilità che le onde elettromagnetiche si propagassero nel vuoto. Le onde, di q u alsiasi tipo, erano concepite più facilm ente com e perturbazioni che si p ro p a­ gano con m oto ondulatorio in una sostanza. Basti pensare alle fam iliari onde sonore che si p ro p agan o nell’aria. “ D o v ev a” esserci quindi un m ezzo trasparente in cui le onde elettrom a­ gnetiche si pro p agav an o con velocità c. Q ue­ sto mezzo doveva occupare tutto lo spazio, visto che luce viaggia in tutte le direzioni e ci arriva anche dalle stelle, e non doveva offrire alcuna resistenza ai corpi in m oto, com presa la Terra, la Luna e i pianeti tutti. A questa so ­ stanza peculiare venne dato un nome antico: etere. L a questione della sua effettiva esistenza divenne una priorità nell’agenda scientifica di fine O ttocento. O ra, l’ipotesi era che la luce si propagasse esattam ente con velocità c solo in un sistem a 43

di riferimento in quiete rispetto all’etere. M isu ­ rando invece la velocità della luce in un riferi­ mento che si muove rispetto all’etere con velo­ cità v nella stessa direzione e verso del raggio lum inoso, si dovrebbe osservare per la luce una velocità c-v. D ’altra parte, se invece ci m uoves­ sim o nel verso opposto, cioè incontro alla luce, con la velocità v, dovrem m o m isurare per la luce la velocità c+v. Bene, sulla Terra noi ci aspettiam o di essere degli osservatori che si m uovono rispetto all’e­ tere. La Terra non può certo essere considerato un sistem a di riferimento in quiete, non fosse altro per il fatto di m uoversi alla bella velocità di 30 km/s nella sua traiettoria intorno al Sole. Quindi, si ragionava all’epoca, con un ac­ curato dispositivo sperimentale solidale con la Terra si dovrebbe poter m isurare una variazio­ ne della velocità della luce rispetto a c. Albert A braham M ichelson e Edw ard Morley idearono un apparato sperimentale m olto sensibile, in cui un raggio di luce veniva riflesso tra due specchi tenuti fissi e posti l’uno di fron­ te all’altro, mentre la linea che congiungeva gli specchi si trovava una volta nella direzione del movimento della Terra, e un’altra in direzio­ ne perpendicolare. Facendo i relativi calcoli, il tem po im piegato dalla luce per il percorso di andata e ritorno tra gli specchi dovrebbe am ­ m ontare nel secondo caso a 1 — v 2j c 2 vol­ 44

te il valore che si ha nel prim o caso, indicando con v la supposta velocità della Terra rispetto all’etere. In prim a approssim azione la velocità della Terra può essere considerata rettilinea e uniforme. Facendo interferire i due raggi di luce (quel­ lo parallelo e quello perpendicolare al m ovi­ mento della Terra) si otteneva una sensibilità eccezionale, che avrebbe m esso in evidenza an ­ che un effetto di un centesimo di quello che si cercava (vedi figura).

/

i> M a niente. N eanche ruotando di diverse ango­ lazioni l’ap p arato sperim entale (visto che non si era certi sulla direzione dello spostam ento della Terra rispetto all’etere) si otteneva un ef­ fetto m isurabile. L a velocità della luce era sem ­ 45

pre la stessa, pari a c, in tutte le direzioni. N on esisteva quindi il sistem a di riferimento privi­ legiato? Q uesto risultato era negativo per l’ipotesi dell’etere, m a positivo per il principio di rela­ tività scoperto da Galilei. Infatti, se il risultato dell’esperim ento di M ichelson e M orley fosse stato positivo sull’esistenza dell’etere, sem pli­ cemente m isurando il valore della velocità del­ la luce in un qualunque sistem a di riferimen­ to, avrei saputo il suo m oto assoluto rispetto a un riferimento privilegiato, l’etere, in questo m odo distinguendo quel sistem a di riferimento dagli altri. Il risultato ottenuto invece estendeva quel­ lo che G alilei aveva dim ostrato con le espe­ rienze meccaniche anche alle esperienze di elettrom agnetism o: non è possibile, neanche usando la luce, distinguere il m oto di quiete da quello rettilineo uniforme. Se ricordiam o le sue parole: «voi non ricono­ scerete una m inim a m utazione in tutti li no­ minati effetti, né da alcuno di quelli potrete com prendere se la nave cam m ina oppure sta ferm a», semplicemente andiam o ora a iscrivere anche i fenomeni elettrom agnetici nella lista di «tutti li nom inati effetti». M a rim aneva il m istero: come era possibi46

le che la velocità della luce fosse costante in­ dipendentemente dal m oto dell’osservatore, e quindi non si som m asse o sottraesse alle altre velocità? L a soluzione - avvicinata m atem aticam ente da un fam oso fìsico, H endrik A ntoon Lorentz, e fisicamente da un celebre m atem atico, Henri Poincaré - fu centrata da uno sconosciuto im ­ piegato dell’Ufficio Brevetti di Berna, e scon­ volgerà i nostri concetti di spazio e di tempo.

C O O R D IN A T E , E V E N T I E CAUSALITÀ Prima di affrontare la relatività di Einstein fac­ ciam o alcune considerazioni generali. G ran parte del progresso scientifico m oder­ no è consistito nel com prendere le relazioni tra eventi nello spazio-tem po a quattro dim ensio­ ni. Se consideriam o quello che accade a un cor­ po puntiform e, abbiam o bisogno di 4 numeri per identificare un evento: tre coordinate per definire la sua posizione nello spazio tridim en­ sionale e una aggiuntiva per il tem po. Tale sp a­ zio a quattro dimensioni non è facile da visua­ lizzare m a è quello che ci serve per descrivere la realtà. Q ui bisogna essere chiari: le coordinate sono uno strumento per facilitare la rappresentazio­ ne degli eventi, m a il loro valore concreto non 47

ha significato fisico, visto che questo dipende da una scelta arbitraria, di com odo, dell’origi­ ne delle coordinate e della posizione degli assi. Se davanti a una cartina dell’Italia spostiam o gli assi con una traslazione, o li ruotiam o, i v a­ lori delle coordinate del C olosseo cam biano, m a il C olosseo continua a stare lì, nel centro di R om a.

Le leggi fisiche non possono essere diverse a seconda del sistema di riferimento utilizzato: la realtà è la realtà da qualunque punto di vi­ sta la si osservi. In altre parole le leggi fisiche devono essere espresse matematicamente in, modo da essere invarianti rispetto al sistema di coordinate usato. Preziose si rivelano quelle grandezze il cui v a­ lore non cam bia al variare del sistem a di coor­ dinate. O ra, abbiam o detto che i valori assunti da una variabile dipendono da come sono m es­ si gli assi coordinati: se li trasliam o o ruotia­ m o, otterrem o valori distinti. Esiste però una quantità che ha un significato geom etrico più solido e si mantiene uguale anche se cam biam o il sistem a di coordinate: è la distanza tra due punti. La distanza è un invariante geom etrico e in un sistem a di assi cartesiani si ottiene sem ­ plicemente applicando il teorem a di Pitagora, come si vede in figura. 48

a s 1=

j*yu

N ella relatività di Einstein gli intervalli spaziali e temporali, presi separatam ente, dipenderanno dall’osservatore, m a come vedremo sarà possi­ bile costruire una distanza spazio-tem porale in­ variante. Inoltre ci sarà un paletto invalicabile: nei fenomeni della natura le cause precedono sempre gli effetti. Il principio di causalità im­ pone un ordine temporale agli eventi, e questo ordine non può cam biare con l’osservatore. A garantire questo ordine c’è la non superabilità della velocità della luce nel vuoto.

E IN ST E IN E LA RELA TIV ITÀ SPECIALE N el 1905 la rivista Annalen der Physik pubbli­ ca quattro articoli di Albert Einstein. N el pri­ 49

m o viene presentata una spiegazione dell’allora inspiegabile effetto fotoelettrico (l’em issio­ ne di elettroni da m etalli irraggiati con luce ultravioletta). Einstein sostiene in m odo con ­ vincente che la luce, concepita fino ad allora in termini di onde, sia in realtà costituita da cor­ puscoli, quanti di energia poi chiam ati fotoni. Q uesto lavoro apre la porta alla rivoluzione quantistica e costituirà la m otivazione princi­ pale per il prem io N obel che gli sarà confe­ rito nel 1921. N el secondo, sul m oto di pic­ cole particelle sospese nei liquidi, detto m oto brow niano, presenta un’analisi che conferm a l’esistenza degli atom i e delle m olecole, allora ancora un’ipotesi. Negli altri due articoli, Einstein descrive quella che sarà nota come teoria della relatività speciale. Il 1905 verrà chiam ato dai fisici annus

mirabilis.

Einstein affronta il dilemma tra la relatività di Galilei e l’elettromagnetismo di Maxwell. Po­ tevano essere entrambi corretti? Potevano cioè da un lato la quiete e il moto uniforme essere indistinguibili e dall’altro esistere una velocità costante in tutti i sistemi di riferimento? La risposta di Einstein fu: sì, potevano. M a c’era un prezzo da pagare: due grandezze fisiche fon­ damentali, legate a categorie mentali elementari, 50

lo spazio e il tempo, dovevano essere compietamente ripensate. Vediamo come, eseguendo un esperimento mentale, un Gedankenexperiment, per dirlo nella lingua tedesca in cui Einstein si espresse, usando un termine con cui ancora oggi questo tipo di esperimenti im m aginari sono chiamati. Postuliam o che entrambi - Galilei con la sua relatività e M axw ell con la sua velocità della luce costante - abbiano ragione e proviam o a immaginare delle misure di tem po e di spazio eseguite in sistemi di riferimento in m oto uno rispetto all’altro. C ostruiam o per questo men­ talmente un orologio che evidenzi in m odo sem­ plice gli effetti del m oto relativo tra sistemi di riferimento. La misura del tempo si basa da sempre sul conteggio di fenomeni periodici. I primi esempi sono stati la rotazione della Terra fino a ritro­ vare il Sole nella medesima posizione (il giorno) o una rivoluzione com pleta della Terra intorno al Sole (anno) e le loro opportune suddivisioni in intervalli uguali. Poi sono venuti i pendoli e le oscillazioni meccaniche, infine in tempi m o­ derni le oscillazioni atomiche a dare precisioni sempre migliori alle misure di tem po. N oi costruiam o un orologio con la luce: con­ tiam o le oscillazioni della luce riflessa avanti e indietro tra due specchi affacciati a una distanza fissa L . La velocità della luce, per definizione, è 51

c, quindi il tem po im piegato per andare da uno specchio all’altro è T=L/c. Per un’oscillazione com pleta di andata e ritorno verrà im piegato un tempo doppio, pari a 2L/c. È un orologio co­ me un altro, ha un periodo costante ed è degno di misurare il trascorrere del tempo. Lo consegniam o a un nostro amico che prende un treno, dotato di pareti di vetro per com odità di osservazione, che parte e viaggia con velocità costante rispetto a noi che siam o rimasti in stazione. Per il nostro am ico sul tre­ no, l’orologio continuerà a “ ticchettare” con lo stesso ritmo che aveva quando era in quiete nel­ la stazione - ricordate Galilei? Q ualsiasi misura ha lo stesso risultato in quiete come in m oto rettilineo uniforme. Supponiamo che il treno, dopo aver fatto un giro, ci passi davanti procedendo di moto rettili­ neo e uniforme con velocità v . G uardando attra­ verso la parete vetrata del vagone vediamo quindi l’orologio, tenuto dal nostro amico in posizione verticale, funzionare mentre è in m oto rispetto a noi. Osserviamo che per noi la luce per andare da uno specchio all’altro compie un tragitto D più lungo, obliquo, rispetto al tragitto verticale L che vede il nostro amico, poiché per noi le due facce dello specchio si spostano orizzontalmente con la velocità del treno durante l’oscillazione. E dato che la luce viaggia sempre alla velocità c (come ci dice M axwell), la maggiore lunghezza 52

del tragitto per noi si tradurrà in un tempo più lungo impiegato dalla luce per andare da uno specchio all’altro dell’orologio rispetto a quello misurato dal nostro amico (vedi figura).

Le misure di tempo compiute nei due sistemi di riferimento in moto uno rispetto all’altro non sono le stesse. Per noi il tempo segnato dall’orologio sul treno è dilatato rispetto al tempo che misura il nostro amico. E una conseguenza, logica e stupefacente insie­ me, della costanza della velocità della luce in qualsiasi sistema di riferimento e del principio di relatività di Galilei. Se l’orologio fosse meccanico, anziché usare la luce, avremmo lo stesso risultato? M a certo! Infatti se il nostro amico avesse portato con sé anche un orologio meccanico, quello non avreb­ be potuto che essere sempre in sincronia con quello realizzato con la luce, altrimenti egli di­ stinguerebbe lo stato di m oto da quello di quiete e violerebbe la relatività galileiana. Quindi dalla 53

stazione io non potrei che vedere la stessa dila­ tazione temporale su entrambi gli orologi. Calcoliam o di quanto si dilata il tempo. D i­ ciam o che l’intervallo elementare che ci mette la luce per andare da uno specchio all’altro passa dal valore T=L/c m isurato dal nostro amico sul treno al valore T'=D/c m isurato da noi in sta­ zione. Per sapere quanto vale T' basta applicare il teorema di Pitagora. Il tragitto per andare da uno specchio all’altro è L =cT per il mio amico che vede gli specchi affacciati, mentre per noi è l’ipotenusa D = cT' del triangolo rettangolo i cui cateti sono L e vT', che è lo spostam ento oriz­ zontale di uno dei due specchi durante il tempo T" (v è la velocità del treno). Il tem po m isurato per noi sarà: l r = T Il fattore indicato con la lettera greca y, chiam a­ to fattore di Lorentz, è un numero sicuramen­ te m aggiore di 1, perché la velocità del treno v è minore di quella della luce. D a cui segue il m aggior valore di T" rispetto a T. L’orologio in m oto va y volte più lento, insom m a. Per qualsiasi ragionevole valore di velocità v del treno, il fattore gam m a è talmente vicino a 1 che è praticamente im possibile m isurare la dif­ ferenza tra T e T 1con gli orologi con cui abbia­ mo a che fare nella nostra pratica quotidiana. 54

Il fattore y diventa sensibilmente m aggiore di 1 solo a velocità m olto alte e diventerebbe infinito se il treno andasse alla velocità della luce (even­ to impossibile). N on c’è bisogno di dire che misure accurate compiute effettivamente negli anni seguenti la formulazione della teoria di Einstein, da quelle con aerei dotati di orologi atomici a quelle com ­ piute con i satelliti e nei laboratori di fisica delle particelle elementari, confermeranno pienamen­ te questi calcoli e questa visione della realtà. Naturalmente per il nostro amico sul treno, siamo noi a muoverci a velocità v rispetto a lui. Quindi se avessimo anche noi un orologio iden­ tico al suo, in m odo del tutto simmetrico sarebbe il nostro intervallo di tempo a essere da lui mi­ surato come più lungo del suo. N on c’è nessuna contraddizione. Per rincontrarci e confrontare i nostri orologi uno dei due, o entrambi, deve smet­ tere di essere un sistema inerziale. Il nostro amico dovrebbe fermarsi e tornare indietro per esempio, e questo, come vedremo nel paradosso dei gemel­ li, romperebbe la simmetria della situazione. Le sorprese non finiscono qui. Proviamo a misurare una distanza, cioè un intervallo nello spazio. Prendiamo due punti a distanza L lun­ go la banchina della stazione. Q uando passa il treno a velocità v, cronometriamo il tempo che questo impiega a traguardare i due punti, cioè a percorrere il tratto L . Il tempo T risultante sarà 55

naturalmente pari a L/v. La stessa m isura viene eseguita dal nostro am ico sul treno. Occorre te­ nere presente che ora i due punti sono in m oto rispetto a lui con velocità v e che il suo orologio è più lento del nostro di un fattore y. Conclu­ diam o che il tem po da lui m isurato per passare il tratto che chiameremo L ' sarà T" = L'/v . M a siccome so che T' = T y = (L/v) y, segue che la distanza L ' m isurata dal nostro amico sarà ri­ dotta rispetto a L di un fattore y:

Lo spazio per lui si è contratto. Anche in questo caso l’effetto è impercettibile se non si va a ve­ locità m olto alte. R iassum endo, abbiam o due osservatori in m oto rettilineo e uniforme che eseguono misure differenti per gli stessi intervalli di tem po e di spazio.

Queste differenze sono in un certo senso il prezzo da pagare affinché le leggi della fisica siano le stesse in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme e quindi af­ finché gli osservatori non possano distinguere lo stato di quiete da quello di moto uniforme. Il primo esperimento che dim ostrò in m odo spettacolare la dilatazione dei tempi fu com piu­ 56

to studiando i raggi cosmici. Questi sono costi­ tuiti primariamente da particelle di alta energia provenienti dallo spazio (soprattutto protoni) che bom bardano l’atm osfera terrestre generan­ do nell’im patto altre particelle e spesso dei veri e propri sciami di particelle che arrivano fino a terra. Tra queste particelle secondarie ci sono i muoni, simili agli elettroni ma 200 volte più pesanti e soprattutto instabili: tendono a deca­ dere in altre particelle in circa due milionesimi di secondo. Sono per lo più generati nell’alta atm osfera, e data la loro breve vita non avrebbero il tempo di arrivare fino a terra. Invece ci arrivano! Poi­ ché viaggiano a velocità prossim e a quelle della luce, il loro tem po di vita m isurato da noi qui sulla Terra è dilatato sensibilmente, essi hanno quindi il tempo per arrivare fino a terra. Com e disse Bruno R ossi, protagonista di queste misure m a soprattutto tra i protagonisti della fisica mondiale: la natura ci ha m esso a di­ sposizione degli orologi che viaggiano alle velo­ cità che non possiam o far raggiungere ai nostri. Tuttavia la relatività speciale, e in realtà la stessa relatività galileiana, richiede che il pro­ cesso sia simmetrico. Se viaggiassim o a cavallo del muone, non ci sarebbe la dilatazione tem­ porale, e allora come farem m o ad arrivare fino a terra? La risposta è semplice: in questo caso vedremmo la Terra con il suo strato di atm o­ 57

sfera venirci incontro a velocità altissim a, ci sa ­ rebbe un evidente contrazione delle lunghezze e lo strato atm osferico ci apparirebbe più sottile. Arriviam o a Terra, siam o tutti d’accordo. L a relatività degli intervalli temporali ha tra le sue conseguenze quella di rendere relativo anche il concetto di simultaneità. Per spiegarlo, torniam o un momento all’esem­ pio del treno che passa per la stazione, mentre noi siam o fermi sulla banchina. Il nostro am ico sul treno si mette a m età del vagone con le braccia aperte e tese verso le due pareti di fondo del vagone con un puntatore laser in ogni m ano e m anda contem poranea­ mente due im pulsi di luce alle due estrem ità del Vagone, dove per esem pio due flash sono pronti a segnalarne l’arrivo. Le due estrem ità del treno sono per lui equidistanti e poiché la luce va alla velocità c in entram be le direzione, è ovvio che vedrà sim ultaneam ente i due flash. N o i fermi alla stazione vediam o invece i due im pulsi del laser viaggiare, sem pre a velocità c, verso pareti che si m uovono. U na parete va incontro all’im pulso, accorciandone il tragit­ to, l’altra si allontan a d all’im pulso, allungan­ done il tragitto. Perciò noi vedrem o l’im pulso che va contro la prim a parete arrivare prim a di quello sulla seconda parete. D ue eventi si58

m ultanei per un osservatore non lo sono per un altro in m oto relativo uniform e rispetto al prim o (vedi figura).

-r\-— -— '— *.... £....

J z fc ;

1

V=O

V 5* o

Se im m aginiam o di poter raggiungere velocità prossim e a quelle della luce, incontriamo p ara­ dossi, che in realtà paradossi non sono, anche se lo sembrano. Il più fam oso è quello dei gemelli. Due fra­ telli gemelli ventenni decidono di separarsi, uno resta sulla Terra e l’altro si im barca su un’astro­ nave “ ad alta velocità” per un lungo viaggio di andata e ritorno durante il quale il suo mezzo raggiungerà velocità vicine a c. D op o 10 anni, il gemello viaggiatore torna a casa per festeg­ giare con suo fratello il loro trentesimo com ­ pleanno m a trova suo fratello ultraottantenne che nel frattem po ha avuto figli e nipoti. È una situazione in perfetto accordo con la teoria del­ la relatività. Il paradosso sta nel fatto che dal punto di vista del fratello viaggiatore (dal suo sistema di riferimento) è il fratello rimasto sulla Terra a es­ sersi allontanato con tutto il pianeta a velocità si­ 59

derale e a essersi poi ricongiunto con l’astronave. Dovrebbe allora essere il fratello a Terra a rim a­ nere più giovane! Come si risolve il paradosso? La soluzione sta nella m ancanza di sim m e­ tria delle situazioni vissute dai due gemelli. Solo quello che ha preso l’astronave ha accelerato per raggiungere l’altissim a velocità, poi ha de­ celerato per tornare indietro, riaccelerato di nuovo per raggiungere la velocità di prim a in direzione opposta e poi infine deve aver decele­ rato per riatterrare sulla Terra. Q uando si fanno tutti i calcoli, tenendo conto della teoria della relatività generale che spiegheremo tra poco, si vede che queste differenze sono decisive perché sono proprio le accelerazioni a rallentare il tem­ po in m odo inesorabile.

Da tutte queste considerazioni emerge nel­ la sua semplicità ed eleganza il principio di relatività speciale: tutte le leggi della natura, formulate in un determinato sistema di riferi­ mento, restano valide in forma completamen­ te identica, quando le si riferisce a un altro sistema di riferimento il quale si muova di moto rettilineo ed uniforme rispetto al primo. Il termine “ relatività speciale” , o anche “ relati­ vità ristretta” , si riferisce all’am bito di validità della teoria, limitato ai soli casi di moti rettilinei ed uniformi. 60

Emergono comunque due punti da chiarire. Il primo viene dalla constatazione che la de­ scrizione fisica dello stesso evento, in termini di intervalli di spazio e di tem po, non è identica per tutti gli osservatori. Evidentemente, dati due eventi, il solo intervallo di tem po e il solo intervallo di spazio non sono invarianti rispetto al cam bio degli osservatori e quindi del sistema di riferimento. Q uesto non ci preoccupa? Il secondo punto ha origine dalla constata­ zione che lo spazio e il tem po nella relatività di Einstein non sono più entità indipendenti tra loro e che si m odificano con lo stesso fattore di proporzionalità nel passare da un sistem a di ri­ ferimento inerziale all’altro. Uno si dilata e l’al­ tro si contrae. È come se fossero aspetti parziali di una stessa realtà più generale. Separatamente non ci danno una rappresentazione adeguata dei fenomeni fisici, dobbiam o considerarli parte di una stessa grandezza fisica in cui sono indis­ solubilmente uniti. Q ual è questa grandezza? A chiarire questi punti contribuirà un gran­ de m atem atico, Hermann M inkow ski, che era stato professore di Einstein al Politecnico di Z u ­ rigo. Partendo dai lavori di Lorentz e Poincaré, egli comprese che il tempo è una quarta dimen­ sione della stessa qualità delle tre dimensioni spaziali, e può essere rappresentato geom etrica­ mente con una coordinata simile alle altre tre coordinate spaziali. 61

Da allora in poi la descrizione degli eventi verrà associata a una nuova rappresentazio­ ne della realtà: lo spazio-tempo a quattro di­ mensioni. La trasformazione da un sistema di riferimento a un altro corrisponderà a una rotazione in quattro dimensioni in cui tutt’e quattro le coordinate possono modificarsi. Ecco quindi la soluzione ai problemi sopra cita­ ti: a rimanere invariante sarà la distanza tra due eventi nello spazio-tempo, così come le rotazio­ ni in due o tre dimensioni mantengono invariata la distanza tra due punti dello spazio. Questa distanza invariante As tra due eventi A e B che avvengono in due punti di coordinate rispetti­ vamente (mettiamoci nel caso più semplice di una sola dimensione spaziale) xA, tAe xB, tB dello spazio-tempo si scrive, di nuovo applicando il teorema di Pitagora, As 2 = c 2At 2 - Ax 2 Si deve moltiplicare l’intervallo temporale At per la velocità della luce, per avere le stesse di­ mensioni di una lunghezza, introducendo anche un segno di differenza tra la peculiare coordina­ ta temporale e quella spaziale. Visualizziamolo, questo spazio-tempo, inizian­ do con una sola dimensione spaziale,sugli assi di un diagramma cartesiano. Ogni punto in questo diagramma è un evento, cioè un fenomeno che 62

accade a un certo istante in un certo punto dello spazio. All’origine degli assi c’è il qui e adesso. L’asse orizzontale comprende tutti gli eventi che accadono adesso ma in altri luoghi dello spazio. Il m oto di un corpo sarà rappresentato da una linea che viene chiamata la sua “ linea di universo” . Per un corpo in quiete, la linea di universo sarà una retta verticale. Se un corpo nello spazio ha velocità uniforme, otterremo una linea di uni­ verso rettilinea la cui inclinazione è direttamen­ te collegata al valore della velocità del corpo.Più alta è la velocità, più aumenta l’angolo form ato dalla linea di universo con l’asse del tem po, per­ ché m aggiore è lo spazio percorso nell’unità di tempo. Se inviamo un raggio di luce, otterremo la retta con l’inclinazione estrema, perché quella è la m assim a velocità possibile. Questo vuol dire che il mio futuro possibile si trova nella regio­ ne com presa tra la linea di universo della luce e l’asse verticale del tempo (vedi figura).

63

Aggiungendo una dimensione spaziale otterre­ mo uno spazio piano bidimensionale e, consi­ derando tutti e quattro i quadranti del piano cartesiano, le linee di universo della luce an­ dranno a definire una superficie conica, il “ cono di luce” (vedi figura).

L a regione interna del cono superiore contiene il futuro possibile, quella del cono inferiore il p assato . Q uesto cono a due falde scorre uni­ form e lungo l’asse tem porale sottoponendoci 64

a un continuo scorrere del qui-adesso, inglo­ bando nel nostro cono nuovi segnali emessi tanto tem po prim a da posti lontani, renden­ doli via via accessibili al nostro sguard o qui adesso. Gli eventi che stanno sul piano orizzontale sono simultanei al nostro qui-adesso m a noi non ce ne rendiam o conto adesso, bensì solo quando le linee di universo dei loro segnali in­ tercetteranno la nostra linea di universo, in un qualche futuro momento. L’im possibilità che il nostro m om ento pre­ sente sia contem poraneam ente il m om ento presente altrove può turbare il nostro senso comune. O gnuno h a il suo adesso, e non è lo stesso m om ento per tutti. È una conseguenza ine­ vitabile del fatto che qualsiasi com unicazio­ ne, qualsiasi m anifestazione di esistenza di un evento, im piega del tem po ad arrivare a destinazione. L a Teoria della relatività di Einstein è in defini­ tiva la teoria geom etrica dello spazio-tem po e può essere vista com e l’ultim a tap p a dell’evo­ luzione del pensiero um ano sullo spazio e sul tem po. A ristotele considerava lo spazio tridi­ m ensionale una entità gerarchica e differenzia­ ta, con luoghi assolutam ente privilegiati. G ali­ 65

lei e N ew ton hanno reso lo spazio e il tem po om ogenei e indifferenziati m a hanno conser­ vato il loro carattere indipendente e assoluto. Einstein fa cadere anche questi ultim i privilegi: 10 spazio non ha per tutti le stesse dim ensioni, 11 tem po non scorre allo stesso m odo per tutti.

M ASSA ED EN E R G IA N E L L A RELA TIV ITÀ SPECIALE Il fattore 7 di Lorentz com pare anche nell’e­ spressione relativistica dell’energia di un cor­ po. Per individuare questa espressione, senza una vera e propria dim ostrazione, andiam o a scoprire l’im portanza dell’espressione myc1 che può essere approssim ata a bassa veloci­ tà (con v m olto minore di c) da una som m a rivelatrice del profondo significato di quella espressione. Infatti si dim ostra che il fattore gam m a per basse velocità, dove la fìsica relativistica diventa quella classica, è ben approssim ato da:

r = in queste condizioni quindi l’espressione myc2 diventa:

66

Il secondo termine della som m a è fam oso: è l’energia cinetica classica di un corpo. Q ue­ sto ci fa sospettare che il significato dell’intera espressione sia di essere l’energia totale p o s­ seduta da un corpo che si m uove a velocità m olto inferiori a quella della luce. In questa espressione com pare anche un prim o termine che non si annulla se il corpo è ferm o. Il suo significato è di essere il contenuto di energia di un corpo, asso ciato al semplice fatto di po sse­ dere una m assa. Riconosciuta l’espressione, scriviam o allora per l’energia relativistica E0 di un corpo, libero in quiete (v=0) la relazione:

Eq—me2 Dove c’è m assa, c’è energia, questo il signifi­ cato semplice e profondo di questa equazione. L a m assa di un corpo è quindi una m isura dell'e­ nergia che esso contiene, e poiché il fattore c1 è un numero m olto grande, una piccola quantità di m ateria, in opportune condizioni, può con­ vertirsi in una quantità enorme di energia. Abbiam o così capito come funzionano il So­ le e le altre stelle, come far apparire nuove particelle lanciando a grande energia particelle note una contro l’altra, e tanto altro.

67

LA R ELA TIV ITÀ G EN ER A LE Lo spazio-tem po della relatività speciale è un fondale fisso dove i corpi liberi e i raggi lum i­ nosi si m uovono in linea retta. Vige la geom e­ tria euclidea. L o spazio-tem po si lim ita quindi a essere il teatro dove la gravità agisce come un elemento aggiuntivo e indispensabile alla spie­ gazione dei fenomeni, senza però interagire e m odificare il teatro stesso. Secondo Einstein, invece, lo spazio, il tem ­ po e la gravità non sono tre entità distinte, m a qualcosa di indissolubilm ente legato. L a gravi­ tà non è altro che l’effetto della curvatura dello spazio-tem po dovuta alla presenza di m ateria ed energia. Prima di addentrarci in spiegazioni più a p ­ profondite, e com prendere il percorso che ha portato Einstein a quella che è stata chiam ata la più bella teoria m ai form ulata, cerchiam o di arrivare al cuore della relatività generale in p o ­ che righe. Im m aginiam o due esseri bidim ensionali che pensano di vivere su un piano, un universo con due sole dim ensioni, com pletam ente piatto. I due protagonisti di questa storia si propon go­ no di fare un esperim ento d all’esito che riten­ gono scontato: mettersi a una certa distanza e m uoversi, alla stessa velocità, lungo linee p a ­ rallele, rim isurando poi ogni tanto la distanza 68

che li separa. Si aspettano di trovare sempre la stessa distanza. Partono quindi entram bi, stando attenti ad andare alla stessa velocità, e procedono lungo la direzione perpendicolare a quella che li unisce ritenendo così di m uover­ si secondo i dettam i della geom etria euclidea lungo due rette che non si incontreranno mai. D opo un p o ’ si ferm ano e m isurano la distan­ za tra di loro. Scoprono con sorpresa di esser­ si avvicinati. In un prim o m om ento credono di essersi sbagliati, rifanno l’esperim ento più volte, m a ottengono sempre lo stesso risulta­ to. Alla fine si arrendono e giungono alla se­ guente conclusione: «Q u an d o ci m uoviam o in quella direzione, c ’è una forza che ci attira». N o n discutono la prem essa, cioè di vivere su un piano, e decidono di introdurre una forza per spiegare quello che osservano. R agionano “ alla N ew ton ” . Quel che invece concluderebbe Einstein è che forse i due personaggi non si trovano su un piano, m a su una superficie sferica: se si cam ­ bia la geom etria, il loro avvicinarsi si spiegherà non più con l’ aggiunta di un ulteriore ingre­ diente allo spazio-tem po piatto - cioè la forza di gravità - m a semplicemente con il fatto che partendo d all’equatore e andando effettiva­ mente in direzione perpendicolare a quella che li unisce, i due percorrono due m eridiani (vedi figura). 69

Il loro avvicinamento è quindi del tutto natura­ le: è una conseguenza della geom etria curva in cui vivono. N on c’è bisogno di introdurre alcu­ na forza.

La morale è: nell’universo non esiste la forza di gravità, tutti i corpi si muovono liberi ma in uno spazio-tempo curvo. E a generare la cur­ vatura è la presenza di materia (ed energia). Questo semplicissimo esem pio riesce forse a far cogliere il senso della rivoluzione introdotta da Einstein. Siam o di fronte a una concezione dell’uni­ verso completamente diversa da quella di N ew ­ ton. N on viviam o in uno spazio euclideo: dove c’è della m ateria, vicino al Sole per esempio, possiam o pensare che ci sia una specie di “ av­ 70

vallam ento” , come se il Sole fosse una pesante biglia di piom bo posta su di un tappeto elastico. Secondo Einstein un pianeta gira intorno al So­ le come una pallina lanciata girerebbe intorno alla biglia, costretta dalla curvatura del tappeto (vedi figura).

N on è solo un m odo diverso di spiegare gli stes­ si effetti previsti della legge di New ton. D alla visione di Einstein scaturiscono delle equazioni in grado di spiegare fenomeni nuovi, con con­ seguenze rivoluzionarie per l’universo, la sua origine e il suo destino. Il p e r c o r s o d i E i n s t e i n

Ripercorriam o il filo del pensiero che portò Ein­ stein a form ulare la sua nuova teoria. 71

D op o la form ulazione della relatività sp e­ ciale, rim aneva aperto il problem a di capire com e far sì che le leggi della fìsica non rim a­ nessero valide solo nei sistem i di riferimento inerziali m a in qualsiasi sistem a di riferimento com unque in m oto. Com e form ulare cioè una teoria generale della relatività. In questo senso la relatività speciale non aveva fatto progressi rispetto alla relatività galileiana. Queste le parole di Einstein: «Tutte le con ­ siderazioni precedenti [sullo spazio e il tem po nella fìsica prerelativistica e sulla teoria della relatività ristretta] son o basate sull’ipotesi che i sistemi inerziali siano equivalenti [...] m a che siano privilegiati, riguardo alla form ulazione delle leggi naturali, rispetto a spazi di riferi­ mento in stati di m oto differenti. L’attribuire un tale privilegio a particolari stati di m oto non è giustificato [...] né da proprietà p arti­ colari dei corpi, né dal concetto di m oto; tale privilegio deve quindi essere considerato co ­ me una proprietà indipendente del continuo spazio-tem porale. Il principio di inerzia, in particolare, sem bra portarci ad attribuire p ro ­ prietà fisicamente obiettive al continuo spazio ­ tem porale. Proprio com e dal punto di vista new toniano era necessario fare le due ipote­ si: tempus est absolutum, spatium est absolutum, così dal punto di vista della teoria della relatività ristretta dobbiam o dire: continuum 72

spatii et temporis est absolutum [Il continuum spazio-tem porale è assoluto - ndr]. In quest’ultim a ipotesi, absolutum significa non soltanto “ fisicamente reale” , m a anche “ indipendente nelle sue proprietà fisiche, avente un effetto fi­ sico, m a non influenzato a sua volta dalle con­ dizioni fisiche” ».* Einstein riuscirà nell’intento di liberarsi per sem pre dallo spazio e tem po assoluti, m a dopo m olti anni di sforzi. L a situazione di partenza della relatività generale era m olto più com pli­ cata di quella della relatività speciale. Vediam o perché. L a teoria speciale aveva dietro a “ reclam ar­ la ” una serie di fatti sperim entali acciarati in m olti anni di ricerche sull’elettrom agnetism o e l’impellente an goscioso problem a da risolvere di una velocità costante in tutti i sistem i di rife­ rimento. L a teoria generale invece aveva dietro solo una sottile osservazione da spiegare e al­ cune insoddisfazioni epistem ologiche. L’osservazione era l’anom alia della preces­ sione del perielio di M ercurio, il pianeta più vicino al Sole. Il punto dell’orbita ellittica di M ercurio più prossim o al Sole (il perielio) si spostava anno d opo anno di una quantità pic­ colissim a m a com unque troppo grande per es­ sere spiegata con la teoria di N ew ton. Tanto da * A. Einstein, Il significato della relatività, Boringhieri, Torino 1976 73

ipotizzare la presenza disturbatrice di un altro piccolo pianeta, battezzato Vulcano - perché essendo vicino al Sole avrebbe dovuto essere m olto caldo - , che invece non si trovava. Una prim a insoddisfazione era dovuta al fatto che nella teoria di N ew ton la velocità di propagazione della gravità era assunta infinita. Era invece evidente dalle equazioni di M axw ell dell’elettrom agnetism o, che l’influenza di una carica elettrica su un’altra lontana non avvie­ ne istantaneam ente, cioè con velocità infinita, bensì alla velocità della luce. Sicché, se una c a ­ rica elettrica viene spo stata dalla sua po sizio ­ ne, l’inform azione raggiunge la seconda dopo un certo tem po. Invece nella teoria di N ew ton se si sposta una m assa, tutte le altre, per quan ­ to lontane, lo “ san n o ” im m ediatam ente. L’in­ form azione nella gravità new toniana viaggia a velocità infinita. L a gravità era così incompatibile con la rela­ tività speciale, ed Einstein pensò di metterci mano. C ’era poi un’altra nuvola nel cielo della mente di Einstein, ed era un fatto sperimentale inquie­ tante già scoperto da Galilei e Newton: la coincidenza della m assa inerziale con la m assa gravitazionale. 74

Per capire questo, consideriamo di avere in m ano una pietra di m assa m. So che se voglio cam biare il suo stato di m oto devo imprimere una forza F, e che ne conseguirà un’accelera­ zione proporzionale alla forza, dove la costante di proporzionalità è proprio la m assa m. Cioè posso scrivere la fam osissim a equazione F = ma. M aggiore è la m assa m e più farò fatica ad im­ porle una data accelerazione. L a pietra è naturalm ente soggetta alla forza di attrazione gravitazionale della Terra,.che ab ­ biam o già scritto come

Mm F = Gqui M è la m assa della Terra, m quella della pie­ tra e r è la distanza della pietra dal centro della Terra, cioè in pratica il raggio della Terra. Se lascio questa forza agire sulla m assa m, e cioè lascio cadere la pietra al suolo, la com bina­ zione di queste due equazioni dà come risultato:

Mm

ma

la m assa m com pare in entrambi i lati dell’e­ quazione e può essere eliminata, ottenendo così l’accelerazione:

M

a

75

Com e vedete, l’accelerazione che la pietra avreb­ be come risultato della forza di gravità impres­ sale, non dipende dalla sua m assa m. Q ualsiasi fosse la sua m assa, la pietra cadrebbe con l’ac­ celerazione pari a c i , quantità chiam ata acce­ lerazione di gravità e indicata generalmente con la lettera g. Basta inserire in questa espressione i valori della costante di N ew ton, della m assa e del raggio della Terra per vedere che essa vale 9,81 m/s2 (varia, di poco, con la latitudine, per­ ché il centro della Terra è più vicino al polo di quanto lo sia all’equatore a causa dello schiac­ ciamento della Terra dovuto alla sua rotazione su se stessa). Questo spiega perché tutti i corpi raggiun­ gono il suolo insieme se lasciati cadere dalla stessa altezza, e perché il periodo del pendolo non dipende dalla m assa appesa alla sua estre­ m ità (stiam o naturalm ente trascurando ogget­ ti leggeri che possan o risentire dell’attrito con l’aria.) Tutto questo era noto m a dava m olto da pensare a Einstein. Infatti, il ruolo che la m as­ sa ha nella prim a equazione (F = ma) è quello di esprimere la riluttanza a cam biare il proprio stato di m oto: è cioè una m isura dell’inerzia del corpo, chiam iam ola massa inerziale. Il ruolo che la m assa ha nella legge di g ra ­ vitazione è invece un altro. Q ui le m asse com ­ paion o nel ruolo di attrarre e di essere attratte 76

da altre m asse. La som iglianza della legge di N ew ton con la legge di C oulom b della forza elettrica, dove le cariche elettriche giocano lo stesso ruolo, ci fa intendere che le m asse qui com paion o com e “ carich e” gravitazionali, sorgenti di un cam po attrattivo. L a m assa m della pietra nell’equazione di N ew ton m erita quindi un nom e diverso, quello di massa gra­

vitazionale. Ebbene, tutti gli esperimenti m ostrano con grande precisione che l’accelerazione di gravità sulla Terra è la stessa per tutti i corpi. Sembra quindi che queste due masse , che giocano per lo stesso corpo ruoli diversi, davvero si equi­ valgano.

L’equivalenza della massa inerziale e della massa gravitazionale secondo Einstein non era casuale, aveva un significato profondo, sfug­ gito fino a quel momento ai filosofi naturali. A rendere difficile il cam m ino di Einstein in questa nuova avventura intellettuale c ’erano due fattori. M entre il linguaggio m atem atico della relatività speciale gli era ben conosciuto, lo sviluppo della relatività generale gli richie­ derà uno sforzo nuovo nel com prendere il rap ­ porto tra la fisica, le geom etrie non euclidee e il calcolo differenziale assoluto. Com e disse Einstein, «in confronto a questo problem a, l’o ­ 77

riginaria teoria della relatività è un gioco da bam bini». Inoltre, mentre la relatività speciale aveva avuto degli “ ap rip ista” come Lorentz e Poin­ caré ed era stata presto com presa e sostenuta da suoi autorevoli colleghi, come M ax Planck, nello sviluppo della relatività generale Einstein si trovò solo. Lo stesso Planck, udito da Ein­ stein lo stato dell’arte dei suoi sforzi mentre lavorava alla sua nuova teoria, gli consigliò paternamente di lasciare perdere: non avrebbe avuto successo e comunque nessuno lo avrebbe preso sul serio. M a Einstein non poteva certo lasciare la presa, aveva avuto il pensiero più felice della sua vita. «IL PENSIERO PIÙ FELICE DELLA MIA VITA»

«Quando, nel 1907, stavo lavorando ad un articolo di rassegna sulla relatività ristretta per lo Jahrbuch der Radioaktivitàt und Elektronik, dovetti anche tentare di modificare la teoria newtoniana della gravitazione in modo da rendere le sue leggi compatibili con la relatività ristretta. [...] Fu allora che ebbi il pensiero più felice della mia vita, nella forma seguente. Il campo gravitazionale ha solo un'esistenza relativa, in modo analogo al campo elettrico generato dall’induzione magnetoelettrica. Infatti per un osservatore che cada liberamente dal tetto di una casa, non esiste - almeno nelle immediate vicinanze - alcun campo gravitazionate. Infatti, se l’osservatore lascia cadere dei corpi, questi permangono in uno stato di quiete o di moto uniforme rispetto a lui, indipendentemente dallo loro particolare natura chimica o fisica 78

(ovviamente si trascura la resistenza dell'aria). L'osservatore di conseguenza ha il diritto di interpretare il proprio stato come uno "stato di quiete". Grazie a quest’idea, quella singolarissim a legge sperimentale secondo cui, in un campo gravitazionale, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, veniva improvvisamente ad acquistare un significato fisico profondo. [...] L'indipendenza dell’accelerazione di caduta dalla natura dei corpi, ben nota sperimentalmente, è pertanto un solido argomento in favore dell’estensione del postulato di relatività a sistemi di coordinate in moto non uniforme l'uno rispetto all'altro»*

In questo brano c’è l’illuminazione. Il momento magico equivalente a quello che deve aver pro­ vato Newton quando ha pensato che la Luna cadesse sulla Terra. Einstein si rende conto che il principio di equivalenza della m assa inerziale e della m assa gravitazionale è un fatto empirico fondamentale e lo erige a fondam ento della sua costruzione. Il punto di partenza, come abbiam o letto nel brano di Einstein del 1907, è un altro Gedankenexperiment, il cui protagonista è un u o­ m o che si butta giù dal tetto. Anni dopo verrà raccontato ancora da lui come “ l’esperimento dell’ascensore” (nel 1907 c ’erano evidente­ mente pochi ascensori). N oi che abbiam o visto l’uom o sulla Luna lo spiegherem o usando una * A. Einstein, Concetti fondamentali e metodi della teoria relati­ vistica illustrati nel loro sviluppo (noto come manoscritto Mor­ gan, pubblicato nel voi. 7 dei Collected Papers of Albert Einstein documento n° 31) 79

navicella spaziale, m a i concetti sono assolutamente gli stessi. Im m aginiam o di trovarci in una piccola n a­ vicella spaziale senza oblò. Com e Galilei prima di noi nella stiva della nave, arm iam oci di tutto quello che riteniamo necessario a capire le leggi della fisica: pietre, metri, orologi, bilancia e al­ tro. Bene, chiediamo ad Albert, pilota di un raz­ zo, di guidarci come e dove lui vuole, ma senza comunicarcelo (è im portante!); noi annoteremo su un diario le nostre osservazioni. Partiam o dentro questo speciale laboratorio per un espe­ rimento in quattro atti (vedi figura).

777Ty

Atto primo: la navicella viene posta in una re­ gione dello spazio lontana da qualsiasi campo gravitazionale, quindi da qualsiasi corpo cele­ ste, e lasciata andare liberamente. N oterem o che nella navicella i corpi fluttua­ no nello spazio davanti a noi, come pure noi stessi. Se diam o una spinta alla pietra quella 80

procederà all’interno della navicella di m oto rettilineo e uniforme. C onstatiam o che la no­ stra navicella costituisce un riferimento inerzia­ le coi fiocchi. N el diario di bordo annotiam o: «O ttim o riferimento inerziale. M a siam o nello spazio libero o stiam o cadendo in un cam po gravitazionale? N on è facile dirlo, sospendia­ mo il giudizio e speriam o nella prim a ipotesi o almeno speriam o di essere riagganciati prim a del b o tto !».

Atto secondo: il razzo riaggancia la navicella e la accelera verticalmente a un valore di accele­ razione pari a g. A ll’interno ci sentiam o attratti verso il p a ­ vimento, avvertiam o il nostro solito peso e la bilancia ce lo conferm a, vediam o che se lasciati a se stessi, tutti gli oggetti cadono in verticale verso il pavim ento con la stessa accelerazione g. D al diario di bordo: «Sem bra di esser fermi sulla superficie terrestre, condizione tranquil­ lizzante».

Atto terzo: la navicella viene posta in un campo gravitazionale e lasciata in caduta libera. Di nuovo tutto fluttua e la solita pietra cui diam o una spintarella va di m oto uniforme. N el diario annotiam o: «E tutto come nel prim o at­ to, anche stavolta speriam o bene!».

Atto quarto: la navicella viene riagganciata e dolcemente deposta sulla Terra, su un bel prato. I fenomeni all’interno sono gli stessi del se­ 81

condo atto. N el diario scriviam o: «Anche ora sem briam o fermi sulla superficie terrestre. Fos­ se la volta buona, perché vorrei uscire di qui e sgranchirmi le gam be!». Q uesta esperienza in quattro atti illustra, articolandola, l’idea più felice di Einstein e ri­ vela la straordinaria equivalenza tra inerzia e gravità.

Un sistema fermo in un campo gravitaziona­ le è equivalente a un sistema accelerato. Un sistema in caduta libera in un campo gravita­ zionale è equivalente a un sistema inerziale. Questo è la nuova formulazione del princi­ pio di equivalenza, che Einstein trasformò in un principio fondamentale della fisica. Prim a di procedere oltre, d ob b iam o speci­ ficare che l’equivalenza sop ra descritta vale a livello locale, cioè se le dim ensioni della navicella son o sufficientem ente piccole. Per esem pio, nel secondo atto, le forze ap p lica­ te agli oggetti e le accelerazioni conseguenti son o dirette verso il b asso e hanno direzione perfettam ente perpendicolare al pavim ento. Invece nel q u arto atto son o dirette verso il centro della Terra, quindi non son o perfetta­ mente perpendicolari al pian o del pavim en­ to , m a hanno anche una piccola com ponente orizzontale. P ossiam o trascurare questa diffe­ 82

renza se non aum entiam o indefinitam ente le dim ensioni della navicella. G r a v it a z io n e e g e o m e t r ia

Per comprendere come sia possibile utilizzare il principio di equivalenza di Einstein per arri­ vare alla relatività generale, procediam o a un nuovo Gedankenexperiment (orm ai ci abbia­ mo preso gusto). Im m aginiam o di osservare un ascen so­ re dalle pareti di vetro in caduta libera in un cam po gravitazionale. A ll’interno dell’ascen­ sore si trova un nostro am ico che sperim enta la libertà di trovarsi in un sistem a di riferim en­ to inerziale: è com e se fosse ferm o e lontano da ogni cam po gravitazionale. H a in m ano un puntatore laser e spara il fascio di luce oriz­ zontalm ente, verso una parete laterale come indicato nella figura.

h 83

N aturalm ente vedrà la luce andare dritta verso la parete; qualsiasi altro com portam ento del fa ­ scio di luce denuncerebbe la non inerzialità del suo sistema. M a come vediam o noi la stessa scena? Per noi l’ascensore e il laser sono in caduta e stanno accelerando. Vediam o il fascio di luce di fatto “ seguire” la cabina e cadere con essa. La traiet­ toria della luce sarà quindi la com binazione di un m oto orizzontale alla velocità costante della luce (spazi e tempi proporzionali) e di un m oto verticale accelerato (spazi proporzionali al qua­ drato dei tempi). Il risultato è un m oto curvo, precisamente un m oto parabolico, come quello dei proiettili.

La conclusione è sbalorditiva: in un campo gravitazionale la traiettoria della luce non è una retta. Einstein sapeva bene che nello spazio euclideo, dove vale il teorema di Pitagora, la linea più breve che congiunge due punti (chiamata linea geodetica) è una retta. N ei sistemi inerziali per esempio, vige la geometria euclidea e la linea ge­ odetica è una retta. L’esperimento mentale sopra descritto sugge­ riva ad Einstein che in presenza di un cam po gra­ vitazionale lo spazio-tempo non sia più euclideo e le linee geodetiche non siano più delle rette. 84

I pensieri di Einstein possono essere espressi così: se tutto ciò che accade nello spazio-tem po avverte la presenza della gravità, vuol dire che la gravità modifica lo spazio-tempo. E se quello che chiam iam o gravità non fosse altro che la m anifestazione visibile della curva­ tura dello spazio-tem po? In altre parole, se lo spazio-tem po curvo fosse la gravità?

Si delinea così il messaggio fondamentale del­ la nuova teoria: la presenza di massa ed ener­ gia modifica la geometria dello spazio-tempo, curvandolo. Lo spazio-tempo curvato a sua volta dice ai corpi e alla luce come muoversi: seguendo le sue linee geodetiche, che non sa­ ranno più delle rette. Per trovare l’equazione che potesse tradurre m a­ tematicamente questi concetti, Einstein dovette penare dieci anni. Ci arriveremo con l’approccio che ho visto seguire dal celebre fisico e m atem a­ tico Tullio Regge. Partiam o d a Euclide e dagli assiom i del­ la sua geom etria. Il fam o so quinto postulato asserisce l’esistenza nel piano di una sola p a ­ rallela a una retta d ata passan te per un punto fuori di questa. D a questo postulato consegue che la som m a degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi, o jt radianti (vedi figura). 85

Si dim ostra facilmente che a + (3 + y = j t . Se tracciam o un triangolo su una sfera, p e­ rò, questo non è più vero, b asta pensare a un triangolo costituito da due archi di m eridiano e un arco di equatore. I due angoli alla base per definizione sono entram bi di 90 gradi, la loro som m a fa già 180 gradi. L a som m a dei tre angoli interni sarà dunque sicuram ente m ag­ giore di JT. Si dim ostra che se disegniam o un triangolo qualsiasi sulla superficie di una sfera di raggio R, utilizzando archi di cerchio m assim o, che sono le linee geodetiche sulla sfera, vale la re­ lazione: 86

a + p + y ~n = -j Dove A è l’area del triangolo. Possiam o allora definire un coefficiente K come segue: „ _

1 R2

a+P+y-n A

Un triangolo disegnato su un foglio piano, che può essere visto come una porzione di sfera dal raggio infinito, avrà naturalmente K = 0. Su una superficie sferica, dovunque si di­ segni il triangolo usando linee geodetiche, co­ munque si scelgano gli angoli, e per qualsiasi area, il valore di K non cam bierà, essendo que­ sto coefficiente direttamente legato al raggio della sfera. Per una superficie curva qualsiasi, anche non sferica, possiam o pensare di disegnare dei pic­ colissimi triangoli, calcolare il valore degli an­ goli e della piccolissim a area racchiusa e avere dei valori di K che cam biano punto per punto sulla superficie. Avremo cioè una quantità K(x) che sarà funzione del punto x sulla superficie. Tale quantità è nota come curvatura gaussiana ed ha un significato universale, dipendendo so ­ lo dalla curvatura intrinseca della superficie in quel punto. Facciam o un esem pio di cosa inten­ diam o per “ intrinseca” . Per la superficie di un 87

cono o di un cilindro, K vale zero, esattam en­ te come per un piano. Posso infatti realizzare quelle superfìci arrotolando opportunam ente dei fogli piani. Proviam o invece ad avvolgere un foglio piano per realizzare una sfera, o una superficie a sella di cavallo. Im possibile, proprio perché c’è una curvatura intrinseca nella sfera e nella sella di cavallo. Per un numero di dimensioni m aggiore di due le cose si com plicano (anche per la nostra incapacità di visualizzare mentalmente oggetti in più di 3 dimensioni). Per ogni punto della superficie, non possiam o più limitarci a un uni­ co valore della curvatura, come per una super­ ficie bidimensionale, e la curvatura K dipenderà dall’orientazione nello spazio multidimensionale delle linee geodetiche usate per definirla. L’e­ lenco di tutte le curvature possibili in un punto è chiam ato tensore di Riem ann dal nome del grande m atem atico tedesco che lo definì per pri­ mo. Per uno spazio a 4 dimensioni il tensore di Riem ann ha ben venti componenti. Sia la curvatura gaussiana K sia le com po­ nenti del tensore di Riem ann sono espresse co­ me l’inverso di un’area. Il valore di questa area è importante anche perché ci dice che se stiam o considerando un’area molto più piccola di quel­ la possiam o trascurare la curvatura e utilizzare la geometria euclidea. Einstein cercava l’equazione m atem atica che 88

quantificasse come la geometria dello spazio­ tem po fosse influenzata dalla distribuzione della m ateria. Si trovò a dover im parare il linguaggio del calcolo differenziale assoluto, elaborato da due grandi m atem atici italiani, G regorio Ricci C urbastro e Tullio Levi-Civita. Con quest’ul­ tim o Einstein ebbe un’intensa e fruttuosa cor­ rispondenza. Diceva Einstein che Levi-Civita cavalcava quella m ateria sul cavallo della vera m atem atica mentre lui era costretto ad andare a piedi. Le equazioni, nella loro form a com pleta, rappresentano la conclusione di una splendida scalata verso quella che è considerata una delle vette più alte raggiunte dal pensiero umano. La geom etria e la m ateria son o rappresen­ tate da grandezze che hanno degli indici (fi e v), che prendono i valori da 1 a 4 a significa­ re le loro possibili com ponenti nello spazio ­ tem po quadrim ensionale. N o n p o ssiam o non scriverle: ~

c4

GMVcontiene le componenti del tensore di Riemann ed esprime tutte le curvature possibili del­ lo spazio-tem po mentre TMV contiene le possibili distribuzioni della materia e dell’energia. Se T^v è uguale a zero, CMV descrive uno spazio-tem po piatto, cioè euclideo.

89

T ra tutti i sim boli della prim a equazione, il più im portante è il segno di uguaglianza: la curvatura dello spazio-tem po è determ ina­ ta d alla m assa ed energia presente in quella regione. Se non consideriam o gli indici, l’equazione si può scrivere in m odo concettualmente più sem ­ plice conservandone l’essenza: G dove K è la curvatura gaussiana e q è la densità di materia ed energia. Le equazioni della relatività generale sono per la gravitazione l’analogo delle equazioni di M axw ell per l’elettrom agnetism o, mentre la gravitazione di N ew ton appare come l’an a­ logo dell’elettrostatica: è valida per moti lenti e cam pi gravitazionali deboli. Queste sono le condizioni sperimentate dai corpi sulla Terra e nel sistem a solare, ecco perché la meccanica newtoniana non è stata m essa in discussione per secoli. Vi sono alcune fondam entali differenze tra elettromagnetismo e gravitazione. Una è che le cariche elettriche sono di due segni opposti, gli elettroni e i protoni tendono quindi ad attrar­ si per form are atom i e corpi neutri. Le intera­ zioni elettromagnetiche perdono allora la loro efficacia. La carica gravitazionale invece ha un 90

solo segno ed è sempre attrattiva. M aggiore è la m assa del corpo che si form a, m aggiore sarà la sua capacità di attrarre ed essere attratto. I cor­ pi celesti e le strutture presenti nel cosm o sono perciò plasm ati dalla gravitazione. Un’altra differenza: i fotoni, quanti del cam ­ po elettromagnetico, non hanno carica elettrica e non sono sorgenti di altri cam pi elettrom a­ gnetici. Invece i quanti del cam po gravitaziona­ le, i gravitoni, possiedono energia e generano a loro volta cam pi gravitazionali. Questo rende le equazioni di Einstein non lineari e m olto dif­ ficili da risolvere.

La relatività generale ci insegna che, a diffe­ renza di quanto accadeva nella fisica classica e in fondo nella stessa relatività speciale, lo spazio e il tempo non sono semplici conteni­ tori della natura ma sono essi stessi parte di essa, intervenendo nello svolgimento dei feno­ meni e venendo da essi modificati. N on costituiscono un teatro vuoto dove va in scena la realtà, sono invece essi stessi realtà, un continuo flessibile e deformabile, una sorta di gelatina cosmica che detta a qualsiasi form a di energia come viaggiare.

La

r e l a t iv it à g e n e r a l e in f u n z io n e

Einstein mise alla prova le sue equazioni con 91

il problem a dell’anom alia della precessione dell’orbita di M ercurio, e ne fu confortato: ve­ niva il valore giusto! Egli suggerì subito un altro test fondam en­ tale per evidenziare la differenza tra la teoria di N ew ton e la relatività generale. D urante le eclissi totali, d alla Terra dovrem m o vedere che le stelle che si trovano dietro e intorno al Sole occupano una posizione diversa da quella soli­ ta, che si “ allon tan an o” tra loro, perché la luce da loro em essa devia a cau sa della curvatura intorno alla Sole, dandoci una loro apparente diversa localizzazione sulla volta celeste (vedi figura).

Furono le foto scattate nel 1919 durante un’eclissi totale di Sole nell’isola atlantica di Prin­ 92

cipe a dare a Einstein una notorietà planetaria, grazie alla risonanza che la notizia ebbe sulla stam pa di tutto il m ondo. Il capo di quella spedizione in pieno ocea­ no era un altro scienziato originale, l’ inglese Arthur Eddington. Pacifista convinto, renitente alla leva nella prim a guerra m ondiale, si mise in testa di dim ostrare proprio l’effetto più te­ atrale della teoria di Einstein: le stelle che si spostan o nel cielo. Penso con am m irazione a Eddington, un inglese che riesce a farsi finan­ ziare dai suoi connazionali una spedizione per dim ostrare che il più grande inglese della sto­ ria (Newton) aveva torto e un giovane tedesco (Einstein) aveva ragione, mentre ancora fum a­ vano i cannoni della grande guerra che vedeva nemici i due Paesi.

Più tardi, nel 1936, Einstein mostrò che un corpo di grande massa, come per esempio una galassia, poteva agire da lente gravitazionale se si veniva a trovare tra una sorgente lumino­ sa e l’osservatore. L’im m agine della sorgente può essere vista dall’osservatore m oltiplicata o deform ata a seconda della disposizione nello spazio della sorgente, della galassia-lente e dell’osservato­ re. Se i tre son o perfettam ente allineati la sor­ gente può apparire come un anello lum inoso, il 93

cosiddetto “ anello di Einstein” . Q ueste predi­ zioni sono state poi puntualm ente verificate e la spettacolare tecnica delle lenti gravitazionali viene oggi usata anche per stim are la presenza della m isteriosa m ateria oscura nelle galassie e negli am m assi (vedi figura).

In queste osservazioni abbiamo evidenziato le deformazioni indotte dalla materia sullo spazio. Ma anche il tempo viene deformato.

N ell’universo, contrariamente a quanto ritenu­ to implicitamente per secoli e a quanto posto come assunzione da Newton, non c’è un tempo unico valido per tutti. Il tempo scorre diversamente per ogni osservatore, in ogni punto dello spazio-tempo. In particolare scorre più lenta­ mente dove la gravità è più forte. Possiam o fare un nuovo esem pio per evidenziare come questo sia una necessaria conseguenza del principio di equivalenza. 94

Im m aginiam o di nuovo di osservare l’a ­ scensore dalle pareti di vetro in caduta libera in un cam po gravitazionale. A ll’interno dell’a ­ scensore si trova ancora il nostro am ico d o ­ tato di puntatore laser, pronto a fare un altro esperim ento. L’ascensore è d otato di un sensore sul tetto che m isura la frequenza della luce incidente, cioè il suo colore, ed è tarato per emettere un potente flash di luce all’esterno se la frequenza m isurata è esattam ente quella em essa dal pun­ tatore laser. L a frequenza di un’onda è inver­ sam ente proporzion ale al periodo dell’onda, cioè all’intervallo di tem po tra picchi succes­ sivi. M entre precipita, il nostro am ico spara la luce laser in alto verso il sensore. Poiché si trova in un riferim ento inerziale, per definizio­ ne il sensore non può che m isurare la luce alla stessa frequenza di quella em essa dal laser, e il flash segnala infatti l’esperim ento com piuto. Lo stesso risultato deve accadere anche per noi che vediam o l’ascensore cadere in un cam ­ po gravitazionale. M a per noi il sensore si sta m uovendo incontro alla luce, perché è in c a ­ duta accelerata. In queste condizioni il sensore dovrebbe m isurare una frequenza più elevata com e conseguenza dell’effetto Doppler. D ata un’onda che si p ro p ag a nello spazio - lum inosa, son ora, di qualsiasi tipo - se ci si m uove incontro al fronte d ’onda, la distanza 95

tra i picchi si accorcia e quindi viene percepita una frequenza più alta. Al contrario, se ci a l­ lontaniam o dal fronte d ’onda la distanza tra i picchi aum enta e la frequenza si ab b assa. Q ue­ sto è l’effetto D oppler, e spiega per esem pio perché il suono della sirena di un’am bulanza diventa più acu to quan do questa si avvicina a noi e più grave quando si allontana. N ecessariam ente, anche per noi il sensore deve registrare la stessa frequenza del laser, e infatti il flash lo abbiam o visto. Q uindi ci deve essere un effetto equivalente e contrario che annulla l’aum ento di frequenza Doppler. N o n c ’è alternativa: l’onda elettrom agneti­ ca salendo in verticale d a un’altezza dove la gravità è più forte a un’altra dove è più debole deve dim inuire il valore della sua frequenza, o quello che è lo stesso, aum entare il suo p e­ riodo. Q uesto effetto si m isura e si chiam a redshift gravitazionale. Redshift vuol dire spostam ento verso il rosso, perché nello spettro di frequen­ ze visibile la luce ro ssa è quella di più b assa frequenza. L’esperim ento chiave per dim ostrarlo ven­ ne condotto nel 1960 dai fisici R obert Pound e Glen A. R ebka, usan do non la luce di un laser m a la radiazione gam m a (onde elettrom agnetiche di alta frequenza) di una sorgen­ te rad ioattiva e sfruttando la differenza di 96

altezza (2 2,6 metri) tra il piano sem interrato e l’ultim o piano di un edificio dell’U niversità H arvard. Le oscillazioni elettrom agnetiche andando verso l’alto aum entavano effettivam ente il lo ­ ro periodo. Q uesto effetto ha im plicazioni straord in a­ rie sulla velocità con cui scorre il tem po. U na sequenza regolare di picchi, com e q u al­ siasi altro fenom eno periodico, può essere pre­ sa come m isura del tem po, i picchi dell’onda non essendo altro che i ticchettìi dell’orologio. P ossiam o perciò concludere che il tem po non scorre allo stesso m odo in regioni dello spazio poste a diversi valori del cam po gra­ vitazionale. Il nostro tempo biologico è scandito da fenome­ ni biochimici che coinvolgono - tutti - segnali elettromagnetici. N o n sono solo gli orologi ar­ tificiali, quelli da noi costruiti, a segnare i tem­ pi più lentamente o più velocemente, siam o noi stessi degli orologi e invecchieremo prim a stan­ do dove la gravità è più debole e invece vivremo più a lungo trovandoci dove il cam po gravita­ zionale è più forte. E evidente che questi effetti non sono come quelli della relatività speciale. In quel caso gli effetti erano reciproci: noi in stazione vediamo 97

l’orologio sul treno andare più lentamente co ­ sì come l’osservatore sul treno vede il nostro andare più lentamente del suo. N ella relatività generale non c’è questa simmetria. N oi a piano terra vedremo chi sta all’ultimo piano invec­ chiare più rapidam ente di noi, e all’ultimo p ia­ no vedrebbero noi più giovani. Questo spiega anche il parad osso dei gemelli: le accelerazioni e le decelerazioni corrispondono, per il principio di equivalenza, a cam pi gravitazionali che ral­ lentano il tem po inesorabilmente solo per uno dei due gemelli. La conoscenza degli effetti relativistici sul tem po trova una spettacolare applicazione nel GPS, il Global Positioning System, usato dai navigatori delle nostre autom obili e dagli smartphone. Il sistem a dipende da una ventina di satelliti, dotati di orologi atomici, che orbita­ no attorno alla Terra a circa 2 0 .0 0 0 chilometri di altezza. Il sistem a funziona convertendo in distanze i tempi di viaggio di segnali radio scam biati tra i satelliti e un ricevitore terrestre, per esem pio la nostra autom obile, perm ettendo così di lo ­ calizzare esattam ente la sua posizione. M a è necessario che gli orologi dei satelliti e della nostra autom obile siano sincronizzati, e questo può accadere solo se teniam o conto degli effet­ ti dovuti alla relatività speciale e alla relatività generale. 98

A cau sa della relatività speciale, poiché i satelliti son o in m ovim ento rispetto alla n o ­ stra autom obile, i lo ro oro logi ritard an o ogni giorn o di 7 m ilionesim i di secondo rispetto al nostro. T uttavia poiché son o in una regione dove il cam po gravitazion ale è più debole, e s­ si vanno avanti ogni giorn o di 4 6 m ilionesim i di secondo. L’effetto netto è che gli orologi satellitari vanno più veloci di 39 m ilionesi­ mi di secondo ogni giorn o rispetto ai nostri a terra. Se questa differenza non venisse cor­ retta, l’errore giorn aliero sulla localizzazion e della n ostra autom obile sarebbe superiore ai 10 chilom etri. Facciam o uso della relatività di Einstein tutti i giorni.

L’equazione di Einstein si rivela una miniera d’oro. Da questa miniera sono state estratte nel tempo altre pepite preziose come i buchi neri, le singolarità, le onde gravitazionali, l’u­ niverso in espansione.

I FRUTTI ESTREM I DELLO SPAZIO-TEMPO A bbiam o visto nell’equazione di Einstein che la densità di m ateria ed energia è sorgente di cur­ vatura dello spazio-tem po. 99

Chiediamoci: c’è un limite a quanto può con­ centrarsi la m ateria e quindi a quanto lo spa­ zio-tempo può essere deform ato? La sorgente di curvatura più pronunciata che abbiam o nelle nostre vicinanze è una stella: il Sole. Com e si form a una stella? In breve, nella sua infanzia il Big Bang ha generato una “ zup­ p a ” di particelle elementari che dopo 4 0 0.000 anni circa è diventata una rarefatta nuvola di atom i di idrogeno e una minore quantità di ato­ mi di elio in un mare di fotoni e neutrini. La gravità lentamente m a inesorabilmente tende a comprimere le nuvole di gas e a far loro occupa­ re il minor volume possibile. A un certo punto, raggiunti alti valori di pressione e tem peratura, questo grum o di id ro­ geno si accende grazie alle reazioni nucleari che avvengono all’interno. Queste reazioni avven­ gono perché i nuclei di idrogeno (cioè i pro to ­ ni) a causa dell’altissim a tem peratura (che vuol dire altissim e velocità) riescono ad avvicinarsi tra loro talmente d a innescare la fusione nu­ cleare e form are nuclei di elio, liberando ener­ gia sotto form a di radiazione elettrom agnetica e neutrini. I neutrini fuggono via interagendo pochissim o con il resto della m ateria ed è la ra ­ diazione che interagendo invece m olto esercita una pressione verso l’esterno, contrastando ed equilibrando la gravità. 100

C osì nasce una stella. La sua vita, e sop rat­ tutto la sua fine, dipenderà da quanto è grande. Le più interessanti sono quelle piuttosto gran­ di, diciam o alm eno 10 m asse solari. Una stella di questo tipo vive in equilibrio tra gravità e radiazione uscente, form ando intanto al suo in­ terno, durante m iliardi di anni, tramite le fusio­ ni nucleari, il carbonio, l’ossigeno, l’azoto e gli altri elementi della tabella di Mendeleev, fino al ferro. Energeticamente le fusioni ulteriori oltre il ferro non sono energeticamente possibili e la “ fabbrica degli elementi” si spegne, la radiazio­ ne cessa quindi di contrastare la gravità che si trova a vincere im provvisam ente il braccio di ferro contro la radiazione. A questo punto la stella implode. Sotto la spinta della gravità, il materiale degli strati esterni precipita e rim balza sul nu­ cleo centrale di ferro eiettando all’esterno una buona parte di quanto ha prodotto durante la sua esistenza. È questo m ateriale a fertilizzare il cosm o, form ando corpi come i pianeti e su alm eno uno di questi, il nostro, la vita. Q uando una stella esplode dopo un collasso, aum enta in m odo eccezionale la sua visibilità. Gli osservatori del cielo nel corso dei secoli ve­ devano ogni tanto queste nuove stelle apparire in cielo e le chiam avano “ stellae n ovae” . N oi oggi le chiam iam o supernove.

101

Quello che qui ci interessa è quello che ac­ cade alla m ateria im plosa. Q uesta si concentra sotto l’azione della gravità raggiungendo den­ sità elevatissime. M a questa im plosione perché si ferm a? La gravità, avendo battuto la rad ia­ zione, trova un altro avversario che la contra­ sti? L a risposta dipende da quanto è grande la m assa iniziale della stella. Per una stella di m assa piccola, l’im plosione è m olto dolce, arrestata dalla resistenza che gli elettroni oppongono a occupare tutti insieme un volume troppo piccolo. Gli elettroni reagi­ scono aum entando le loro velocità ed eserci­ tando per questo una pressione verso l’esterno. N on è un effetto termico, come quello descritto per le stelle ordinarie: è dovuto alla meccanica quantistica! Per il principio d ’indeterminazione di H ei­ senberg non possiam o localizzare con precisio­ ne, in un piccolo volum e, una particella senza che questa acquisti una velocità elevata. E per il principio di esclusione di Pauli gli elettroni di un sistem a devono occupare stati energeti­ ci tutti diversi, quindi devono trovarsi a valori di velocità anche m olto alti. Sono loro adesso, gli elettroni, e non più la radiazione uscente, a esercitare una spinta verso l’esterno. Il principio di esclusione vale per tutte le particelle note com e ferm ioni, dal grande E n­ rico Fermi. Elettroni, protoni, neutroni e neu­ 102

trini sono i ferm ioni più noti. Il com binato d isp osto, direbbe un giurista, di H eisenberg e Pauli fa sì che la gravità trovi nella pressione quantistica degli elettroni (pressione di dege­ nerazione è il termine tecnico) il contrasto in grad o di dare una nuova condizione di equi­ librio alla stella. U na stella di m assa relativa­ mente piccola com e quella del nostro Sole fini­ rà i suoi giorni occupando un volum e piccolo com e quello della Terra e raffreddan dosi len­ tam ente. Il suo nome sarà allora “ nana bian­ c a ” . N an a perché piccola, bianca per il colore della luce em essa (ma che diventa nel tem po sempre più fioca). Se la m a ssa della stella im p losa è m aggiore di un valore ben preciso - p ari a 1,4 volte la m assa del Sole - la pression e qu an tistica degli elettroni non riesce a co n trastare la grav ità e il co lla sso p rosegu e. Q uesto valore venne calco lato nel 1 9 3 0 d a un giovane fisi­ co indiano appen a ventenne, Subrahm an yan C h an d rasekh ar, durante il v iagg io in nave da B om bay a Venezia. Avrebbe quindi raggiu n to C am b rid ge, dove lo asp ettav a una b o rsa di studio.

Quel calcolo compiuto sulla nave mostrava che per una stella collassata, oltre quel limi­ te di massa, si sarebbe presentato l’abisso. Il collasso incontrastato. 103

Q uesta m assa limite è giustam ente chiam ata oggi Massa di Chandrasekbar. Può la m ateria concentrarsi senza limite, fino a occupare un volume nullo? A Einstein, e anche a Eddington, la cosa sem brò intollerabile: secondo loro la natura lo avrebbe impedito in qualche m odo! Il calcolo del giovane indiano doveva essere sbagliato. Invece era giusto e gli valse il premio N obel mezzo secolo dopo. Di fatto, quello che accade se la stella col­ lassata ha una m assa m aggiore di 1,4 m asse solari è che davvero gli elettroni non possono resistere. N on resta loro che precipitare sui nu­ clei atom ici, neutralizzandosi con i protoni per produrre neutroni e generando un nuovo corpo in cerca di equilibrio, ancora più piccolo e den­ so, form ato essenzialmente di neutroni. Anche i neutroni sono fermioni e soggetti allo stesso effetto dovuto alla prem iata ditta HeisenbergPauli sopra descritto. Se la stella collassata è minore di circa 3 m asse solari, la com pressione della gravità vie­ ne equilibrata dalla pressione di degenerazione dei neutroni che riesce ad arrestare l’ulteriore collasso. Si form a così un oggetto stabile, scu­ ro e densissim o, chiam ato stella di neutroni. Un gigantesco nucleo atom ico delle dimensioni di una grande città. Un volume pari a una zolletta di zucchero della sua m ateria peserebbe quanto tutta l’umanità. 104

Le stelle di neutroni in genere ruotano fol­ lemente su loro stesse. Com e un pattinatore ruotando e portando a sé le braccia aumenta la sua velocità di rotazione, così queste stelle che ruotavano appena quando avevano grandi dimensioni com prim endosi ruotano sempre più veloci. E la conseguenza della conservazione del momento angolare. Queste stelle hanno in genere un cam po m a­ gnetico fortissim o, miliardi di volte più intenso di quello terrestre. Generano spesso dei. fari di onde radio, ruotanti a centinaia di giri al secon­ do. Lo sappiam o perché ne abbiam o avvertito i segnali, regolarissim i ticchettìi, con i radiotele­ scopi. Sono note come “ stelle radio pulsanti” o meglio pulsar. Se la m assa residua è m aggiore di 3 m asse solari, però, neanche la pressione di degenera­ zione dei neutroni riesce a contrastare la gravi­ tà. Come dim ostrarono Oppenheimer e Snyder nel 1939, a quel punto c’è davvero l’abisso, con buona pace di Einstein ed Eddington. Una m as­ sa così grande sotto la spinta della gravità, se­ condo la relatività generale, non ha alternative: si concentra in un punto! Ci sorprendiam o a scoprire che, se la gra­ vità supera un certo limite, le leggi della fisica non forniscono alla m ateria alcun m odo per equilibrarla.

105

La materia rivela così la sua intima natura: le particelle elementari non sono altro che con­ centrati di spazio-tempo. Form ano legam i nucleari e atom ici, occupando un volume finito com e fanno gli atom i e le m o ­ lecole, le stelle e i pianeti solo quando non si trovano in condizioni di gravità estrema. N ella relatività generale questo punto dove tutta la m assa co llassa è chiam ato “ singolari­ tà ” ed è protetto da qualsiasi osservazione den­ tro una bolla sferica di raggio pari a 2 GM/c2, dove al solito G è la costante di gravitazione universale e c la velocità della luce e M la m as­ sa del corpo collassato. Q uesto raggio è noto com e R aggio di Schw arzschild (indicato com e Rs) dal nome del m atem atico che nel 1916 risolse per prim o l’equazione di Einstein per una m assa sferica, e la superficie della bolla è chiam ata “ orizzonte degli eventi” . Q uesto ragg io apparve nella lettera­ tura scientifica ben prim a di Einstein e Schw arzschild, sia pure con un sign ificato più lim itato. Il reverendo inglese Jo h n M i­ cheli calco lò q u asi duecento anni prim a, in base alla teoria di N ew ton , che la velocità di fuga (la velocità m inim a che deve essere d ata a un oggetto q u a lsiasi perché p o ssa lasciare un co rp o celeste) sarebbe pari alla velocità 106

della luce se il co rp o celeste di m assa M fo s ­ se concentrato in una sfera di raggio proprio pari a quello che p o i si chiam erà R agg io di Schw arzschild. Il suo calcolo non è difficile, perché lo stes­ so risultato che si otterrebbe con la relatività si ottiene anche con un ragionam ento classico. Se vogliam o lanciare un corpo di m assa m nello spazio in m odo che non torni più verso il nostro pianeta, dobbiam o imprimergli una ve­ locità v tale che la sua energia cinetica superi l’energia di attrazione della Terra. In formule, usando di nuovo M per la m assa della Terra e r per la distanza della m assa m dal centro della Terra, dobbiam o fare in m odo che

1 _ G Mm - m r > -----2

r

la velocità deve quindi essere superiore a un valore di soglia, chiam ato velocità di fuga, che non dipende dal corpo m (ritorna il principio di equivalenza):

2GM

Com e si vede, grande e/o con fuga aum enta, m assim o nella

per un pianeta con m assa M raggio r piccolo, la velocità di m a deve com unque avere un velocità della luce c. Si trova 107

quindi, risolvendo l’equazione rispetto a r e so ­ stituendo la velocità della luce c a vF, che niente potrebbe fuggire da un pianeta con m assa M e raggio m inore di: 2 GM M icheli con cluse correttam en te che nulla s a ­ rebbe p o tu to uscire, neanche la luce, d a un co rp o co n cen trato entro quelle dim ensioni. Tale co rp o ap p arire b b e com pletam ente ne­ ro. Anche se illu m in ato, in fatti, non p o tre b ­ be riflettere la luce. Q u esti ipotetici corp i vennero ch iam ati d a M ich eli “ stelle scu re ” . Sono rito rn ati di a ttu alità con la relativ ità generale, che li ha rein terpretati com e o g ­ getti che gen eran o nello sp azio -tem p o una cu rvatu ra in fin ita. Un altro Jo h n , il gran de W heeler, duecento anni d o p o M icheli, li ha rib attezzati con il nom e che tutti o ggi u sia ­ m o: buchi neri. Se o ltrep assiam o l’orizzonte degli eventi ed entriam o nel buco nero, allo ra non c’è ritorno. L a relatività generale im pone ine­ sorabilm ente di venire inghiottiti d alla sin­ go larità. Di fatto usciam o dal nostro universo, poiché nessuno potrebbe più comunicare con noi. 108

I B U C H I N ERI

L a Terra, per diventare un buco nero, dovrebbe essere com pressa fino a diventare una pallina di 8 mm di diam etro. Il Sole dovrebbe essere com presso fino a raggiungere 3 km di diam e­ tro. Parliam o dunque di densità incredibili. Un buco nero è davvero un oggetto estrem o. N a ­ turalmente, non è solo lo spazio a essere m ol­ to deform ato nelle sue vicinanze, m a anche il tem po, che rallenta m oltissim o dato il valore m olto alto del cam po gravitazionale. Avvici­ nandoci al buco nero e guardando il resto del cosm o, lo vedrem m o andare a velocità acce­ lerata e tornando a casa ci troverem m o nelle condizioni del gemello viaggiatore del p a ra ­ dosso. Constaterem m o cioè di avere viaggiato nel futuro! Viceversa, a un osservatore sulla Terra l’e­ sploratore di buchi neri apparirebbe muoversi al rallentatore e persino fermarsi se l’esplorato­ re raggiungesse l’orizzonte degli eventi. L’astronauta che decidesse di buttarsi “ a candela” in caduta libera verso il buco nero sperimenterebbe avvicinandosi all’orizzonte degli eventi un sempre m aggiore gradiente di attrazione tra i piedi e la testa, verrebbe cioè “ spaghettizzato” e poi spezzato, ahilui. Se non venisse fatto a pezzi dall’intensità del cam po gravitazionale (se il buco nero fosse m olto grande e quindi m olto esteso, il cam po 109

gravitazionale all’orizzonte degli eventi potreb­ be essere sopportabile) l’esploratore in caduta libera potrebbe oltrepassare l’orizzonte degli eventi restando vivo, m a per poco perché sareb­ be subito e inarrestabilmente ridotto a brandelli e condotto verso la singolarità senza possibilità di ritorno. Tuttavia a un osservatore esterno egli apparirebbe fermo sulla superficie dell’orizzon­ te degli eventi. Sempre la relatività di Einstein ci dice che i buchi neri sono oggetti perfetti, glabri, senza protuberanze, irregolarità o “ capelli” (come disse Wheeler).

Un buco nero può essere completamente de­ scritto da tre soli parametri: massa, carica elettrica e momento angolare, proprio come se fosse una particella elementare. M a esiste veram ente un oggetto simile? Dove si va se si entra in un buco nero? Si finisce in un pozzo senza fondo, sbucando forse in un’altra parte dell’universo? O forse add irit­ tura in un altro universo? L a m ateria che pre­ cipita in un buco nero potrebbe quindi uscire altrove in una sorta di buco bianco? Il nostro universo è figlio di un buco bianco, da noi chiam ato Big Bang? Queste sono dom ande che sem brano appar­ tenere alla fantascienza, m a che i fisici teorici si no

pongono davvero a partire dalle equazioni di Einstein. N aturalm ente un buco nero è difficile da ve­ dere, però se nelle vicinanze ci fosse una stella normale, quella perderebbe m ateria, risucchiata dal buco nero. L a materia girerebbe vorticosa­ mente intorno al buco nero riscaldandosi e ac­ cendendosi, emettendo segnali m isurabili, quali raggi X e raggi gam m a, prim a di precipitarvi dentro. Potremmo in questo m odo osservare in­ direttamente i buchi neri.

È quello che gli astrotìsici fanno da diversi an­ ni, e così hanno individuato una dozzina di candidati buchi neri nella nostra galassia. Si ritiene anche che i nuclei delle galassie siano fatti da enormi buchi neri com posti da milioni o miliardi di m asse solari e che la loro rotazione fornisca energia alle enormi ruote panoramiche galattiche. G alassie abbaglianti di radiazione come i nuclei galattici attivi e le quasar (radiosorgenti QUASi stellARi) devono a grandi buchi neri rotanti la loro potenza di fuoco. Le o n d e g r a v it a z io n a l i Se i buchi neri sono difficili da vedere, possiam o però provare ad “ ascoltarli” . Com e? Tramite le onde gravitazionali. N el 1916, l’anno dopo aver form ulato la te111

oria delle relatività generale, Einstein trovò che nell’approssim azione di piccole deformazioni dello spazio-tem po, la sua equazione si sem ­ plificava diventando la fam iliare equazione di propagazione delle onde. Onde di che? Onde di curvatura dello spazio-tem po, naturalmente: perturbazioni della geom etria dello spazio che si propagano alla velocità della luce. Se esplode una stella, oppure se due buchi neri si scontrano, è come se si desse un pizzico in un punto di quella gelatina flessibile che è lo spazio cosm ico secondo la relatività gene­ rale. Partendo da quel punto, onde sferiche si propagano com prim endo e dilatando lo spazio attraversato, cioè alternativam ente allungando e accorciando le distanze tra i punti dello sp a ­ zio stesso nelle due direzioni perpendicolari a quella di propagazione. C aptandole, la form a dell’onda, cioè l’evoluzione nel tem po della sua am piezza e della sua frequenza, ci porta la “ voce” caratteristica della sorgente che le ha prodotte. La difficoltà di queste misure è dovuta al pic­ colissim o effetto previsto. Parliam o di riuscire a m isurare oscillazioni di am piezza pari a un m iliardesim o di m iliardesimo di metro. D op o 50 anni di sforzi sperim entali, questi effetti sono oggi m isurabili con sofisticati stru­ menti: le antenne gravitazionali, com e il gran ­ de interferom etro laser Virgo a C ascina (Pisa) 112

e i due interferom etri LIG O (Laser Interferometer Gravitational wave Observatory) negli Stati Uniti. Questi strumenti sono i pronipoti dell’interferometro usato da M ichelson e M orley per stabilire se la velocità della luce dipendesse dal m oto della Terra. U sano oggi come sorgenti di luce dei laser potenti e stabili, specchi ultrari­ flettenti sospesi su fili a bassissim a dissipazione, isolati dalle vibrazioni sismiche e posti sotto al­ to vuoto. Sono diventati strumenti in grado di percepire cam biam enti incredibilmente piccoli nelle distanze tra gli specchi sospesi a qualche chilometro l’uno dall’altro. L’effetto previsto d all’arrivo dell’onda sui due bracci perpendi­ colari dell’interferometro è quello di provocare una deformazione nella loro lunghezza relativa, sfasando così i due fasci laser. E sono riusciti nell’intento!

A lungo attesa, dopo cento anni dalla previ­ sione teorica di Einstein, il 14 settembre 2015 è arrivata qui sulla Terra la prima onda gravi­ tazionale percepita dall’umanità. D alla sua form a sappiam o che ha avuto origine in una zona dell’universo lontana da noi più di un m iliardo di anni luce, dove due buchi neri, rispettivamente di 29 e 36 m asse solari, hanno vissuto la fase finale del loro reciproco orbitare, 113

iniziato chissà quanti milioni di anni prim a. N el corso della loro vita hanno lentamente perduto energia, a causa dell’emissione di onde gravi­ tazionali, avvicinandosi sempre di più. A cau­ sa della conservazione del m om ento angolare, hanno aum entato sempre di più la loro velocità fino a raggiungere, negli ultimi secondi prim a dello scontro, Pincredibile velocità di circa me­ tà di quella della luce. Se non fossero stati due buchi neri, cioè oggetti di grande m assa m a di piccole dim en­ sioni, non avrebbero potuto avvicinarsi tanto da raggiungere una frequenza di rotazione di circa 100 H z (cioè 100 rivoluzioni al secondo) prim a di collidere. Le loro dim ensioni, cioè i diam etri dei loro orizzonti degli eventi, sono di circa 2 0 0 km: la larghezza di una regione d ’Italia. H anno form ato nella loro fusione un unico buco néro di circa 62 m asse solari. Le 3 m asse solari mancanti al totale equivalgono all’ener­ gia emessa sotto form a di onde gravitazionali durante le fasi finali del loro m oto. Si tratta della m aggiore conversione di m assa in energia, secondo l’equazione E = me1, mai osservata dall’umanità. La form a del segnale è m ostrata in figura insie­ me alle posizioni dei due buchi neri. 114

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