La matematica nel mondo antico

Table of contents :
Copertina......Page 1
INTRODUZIONE......Page 5
I. CENNO SULLE MATEMATICHE PREELLENICHE......Page 9
II. TALETE DI MILETO......Page 14
III. PITAGORA E I PITAGORICI......Page 28
IV. PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO......Page 55
V. EUCLIDE E I SUOI "ELEMENTI"......Page 75
VI. ARCHIMEDE E APOLLONIO......Page 117
VII. PERIODO GRECO-ROMANO......Page 132
VIII. CENNO SULLA MATEMATICA MEDIOEVALE......Page 135
BIBLIOGRAFIA......Page 157
INDICE......Page 159

Citation preview

unil-'ersale

STl1Dll1A1

UNIVERSALE STUDIUM

2

ATTILIO FRAJESE

LA MATEMATICA NEL MONDO ANTICO

EDITRICE STUDIUM - ROMA

PROPRIETÀ LETTERARIA RISERVATA Stcmpato in l'alia - Printecl in rlaly

5

INTRODUZIONE

Nella storia della cultura, come in quella politica, una divisione netta in periodi ha quasi sempre valore piuttosto formale che sostanziale: se pure ciascun periodo ha caratteristiche sue proprie, il passaggio dall' uno all' altro avviene di solito gradualmente, con carattere di continuità. Fatta questa essenziale riserva, la storia della cultura greca, in particolare quella della matematica, si può dividere in modo assai facile a ricordare in quattro periodi uguali di tre secoli ciascuno, dal 600 a. C. al 600 d. C., nel modo seguente: 1 1) il periodo ellenico propriamente detto, che va all'incirca dal 600 al 300 a. C.: per la nostra scienza si svolge sulle coste dell' Asia minore dapprima, poi in Italia meridionale e quindi in Grecia, principalmente ad Atene; . 2) il periodo ellenistico o alessandrino, all'incirca dal 300 a. C. all'inizio dell'era cristiana: in esso la cultura greca, in seguito alle conquiste di Alessandro Magno, si estende verso il mondo orientale, mentre il centro degli studi diviene Alessandria; 3) il periodo greco-romano, che va dall'inizio dell'era cristiana fino al 300 d. C.; 4) il periodo dei commentatori, che va all'incirca 1 Una tal divisione .i trova esposta al principio dell'edizione degU ElemeRli di Euclids di FEDERlGO ENRIQUEB (1872-1946), il grande matematico. e storico della scienza. itRliano.

6

INTRODUZIONE

dal 300 al 600 d. C., e nel quale si accentua la decadenza già iniziatasi nel periodo precedente. Per quanto riguarda la matematica, il primo periodo (600-300 a. C.) può farsi cominciare con Talete di Mileto e terminare con Euclide d'Alessandria, con il quale si conclude effettivamente un grande periodo di sviluppo, cosicché egli, sintetizzando, sviluppando e sistemando l'opera dei predecessori ci dà, negli Elementi che portano il suo nome, una granitica opera che ha sfidato i secoli. Con Talete la matematica greca ha invece il suo inizio, sorgendo non già come proles sine matre creata, bensì traendo le sue origini da matematiche "preelleniche", rispetto alle quali Talete rappresenta l'anello di congiunzione. Si sostiene infatti con buonissimi argomenti che Talete (cui la tradizione attribuisce il periodo di vita dal 624 al 548 a. C.) abbia trasportato in Grecia principalmente la geometria egiziana, con la quale era venuto a contatto in occasione dei suoi viaggi. La matematica greca raggiunge il suo splendido apogeo principalmente verso la fine del periodo ellenico (IV secolo a.C.) ed all'inizio del periodo ellenistico (III secolo a. C.), ad Atene, ad Alessandria, a Siracusa, attraverso le opere di Teeteto, di Eudosso, di Euclide, di Archimede, di Apollonio. Si tratta di una delle più belle creazioni dello spirito ellenico, la cui comprensione, almeno nelle grandi linee direttive, non può restare estranea, sotto pena di ottenere una visione gravemente incompleta, a chi della cultura greca voglia essere conoscitore e ricercatore. Dopo i grandi matematici sopra nominati, la matematica antica declina, pure attraverso bagliori ed oscillazioni: sul finire dell'Evo antico nessuna parola originale viene più detta. E nell'alto Medioevo la decadenza prosegue c si

INTRODUZIONE

7

accentua nell'Occidente, cosicché si perde ivi addirittura la retta conoscenza della matematica antica, con la quale un contatto assai imperfetto viene mantenuto soltanto attraverso aridi, banali compendi. Non così presso gli Arabi, i quali svolgono un intenso lavoro di traduzione e di rielaborazione delle opere classiche greche, fondendole con elementi indiani e sviluppando in modo autonomo alcuni capitoli dell' algebra. L'Occidente cristiano riguadagna dapprima attraverso gli Arabi la conoscenza della matematica antica; più tardi ritornerà ancor più a diretto contatto con le opere classiche. In prima linea Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, verso il 1200 raccoglie e domina già tutto il complesso materiale: quel materiale che verrà integrato e sistemato due secoli e mezzo più tardi verso il 1450 nella Summa di Luca Paciolo, l'ultimo grande matematico del Medioevo, che schiude le porte alla matematica moderna. Con le riserve già poste all'inizio, può appunto essere indicato come data d'inizio della matematica moderna il principio del XVI secolo. Nei primi anni del 1500, infatti, si svolge la mirabile attività degli algebristi bolognesi, che per la prima volta oltrepassa sostanzialmente l'opera dei matematici antichi, superando quasi le "colonne d'Ercole" matematiche, a distanza di qualche anno dal superamento di quelle geografiche, e aprendo la via alle successive conquiste del pensiero matematico dei secoli XVII e XVIII: la geometria analitica e il calcolo infinitesimale. Con questa pubblicazione s'è cercato di dare un rapido sguardo ai principali sviluppi della matematico, antica.

8

INTRODUZIONE

Un ultimo capitolo è stato dedicato alla matematica medioevale (fino a tutto il XV secolo), così da giungere alle soglie della matematica moderna. Si è cercato con ogni cura di offrire una trattazione accessibile pure a chi, non tecnico della matematica, possegga le sole nozioni più elementari apprese nelle scuole medie. E si è supposto anzi che il lettore non ricordi più con precisione le nozioni apprese, cosicché si è abbondato in ricapitolazioni esplicative. Per evitare eccessivo fastidio al lettore più sicuro delle sue nozioni matematiche, è stato talvolta adoperato per le spiegazioni suddette un corpo tipografico speciale, così da render più facile di tralasciarle a chi non ne abbia bisogno. Certamente il soddisfacimento dell' esigenza di esporre in modo largamente comprensibile è reso possibile dal fatto che, come può affermarsi sia pure in modo non assoluto, gran parte della matematica più elementare è matematica antica e inversamente gran parte della matematica antica è elementare. È evidente che la natura stessa del lavoro e le particolari esigenze del pubblico al quale esso è destinato non potevano conciliarsi col desiderio di offrire una trattazione quanto possibile completa. È superfluo quindi avvertire che invano si cercherebbe qui non solo la completezza, ma pure l'abbondanza delle notizie particolari, e che invece si potrà trovare soltanto l'esposizione di momenti e caratteri fondamentali dello sviluppo della matematica antica.

I

CENNO SULLE MATEMATICHE PREELLENICHE Difficoltà della ricerca Il campo delle matematiche preelleniche, presso gli Egiziani, i Caldei, i Babilonesi, i Fenici, ecc., è quanto mai difficile ad esplorare: non tanto per l'effettiva scarsezza di documenti davvero importanti, quanto per la difficoltà estrema d'interpretarli. Si tratta di studi riservati a specialisti, che solo da poco tempo hanno avuto un vero indirizzo scientifico: è doveroso a questo proposito citare O. Neugebauer, il quale prima in Germania, poi in America, è giunto e giunge a risultati notevolissimi. Egli stesso, in un suo ormai classico trattato dedicato all'argomento, scriveva nel 1934: «La nostra conoscenza di testi matematici (preellenici) è oggi ancora così occasionale e incompleta, che non può affatto parlarsi di una esposizione storica veramente organica». L'importanza dello studio delle matematiche preelleniche si presenta tuttavia sotto la sua vera luce, quando si osservi che quelle matematiche abbracciano circa tre millenni (prima del 600 a. C.). Si pensi che la civiltà dei Sumeri fiori in Mesopotamia intorno al 3000 a. C.; che intorno al 2500 a. C. si ebbe l\ipogeo dell'Antico Impero in Egitto con la costruzione delle Piramidi; che può parlarsi

lO

CENNO SULLE MATEMATICHE PREELLENICHE

di una civiltà cretese intorno al 1500 a. C., e via dicendo, pur senza accennare all'India e alla Cina. Si presenta allora un delicato problema: quello di stabilire in quale modo le matematiche preelleniche abbiano influito sulla matematica greca. Per quanto sia molto arrischiato fare affermazioni precise in questa materia, pure sembra possa dirsi che una influenza del genere non sia stata troppo grande. La matematica greca si presenta infatti come una costruzione caratteristica dello spirito greco, pur elevandosi la costruzione stessa in parte su fondazioni preesistenti. Questo fatto apparirà chiaro quando della matematica greca si sarà compiuta l'esposizione, sia pure sommariamente. D'altra parte non si vuole già affermare che la matematica greca sia priva di "presupposti": si vuole soltanto dire che essa, pur sorgendo necessariamente da matematiche precedenti di cui utilizza gli elementi, si sviluppa in un senso tale da potersi dire pressoché completamente nuova ed originale. Tutto ciò va inteso, lo ripetiamo, con ampie riserve, sulla base del fin qui noto, che è davvero poco, in argomento di matematiche preelleniche.

Gli Egiziani Sembra accertato che la geometria sorse presso gli Egiziani essenzialmente come "calcolante" e "misurante": appunto per corrispondere a bisogni pratici catastali, secondo l'etimologia della parola "geometria", che, come tutti sanno, significa "misura della terra", similmente alla nostra parola "agrimensura" . Il grande storico Erodoto (484-408? a. C.) ci

CENNO SULLE MATEMATICHE PREELLENICHE

11

narra che il re Sesostri aveva diviso fra gli Egiziani la terra in tante porzioni rettangolari uguali, e che annualmente riscoteva le rispettive imposte. Ma se a qualcuno il fiume, per varie circostanze, "portava via" qualche parte del terreno, il danneggiato andava a denunziare l'accaduto al re, il quale mandava ispettori che "misuravano" di quanto l'appezzamento era divenuto più piccolo, cosicché il possessore potesse esser tassato secondo il giusto. Ed Erodoto conclude: «A me sembra che la geometria, essendo stata cosÌ trovata, di qui venne in Grecia». Fermo restando il fatto che le esigenze "catastali" si manifestarono per rimediare ai danni prodotti dal Nilo, osserviamo a titolo di curiosità col Bretschneider (il quale fu, nel 1870, il primo ad occuparsi con metodo scientifico della storia della geometria preeuclidea), che presso Erodoto i danni si riducono alle semplici erosioni: a mano a mano che si procede nel tempo i danni divengono, nella narrazione degli scrittori, sempre più gravi, giungendo fino alla cancellazione dei limiti delle proprietà per effetto delle inondazioni: cosÌ presso Erone, Strabone, Proclo, ecc. Presso un'altra fonte, Isocrate (intorno al 390 a. C.), troviamo la geometria egiziana già nel suo fiorire: ci viene narrato come ai più vecchi sacerdoti egiziani fossero affidati gli incarichi più importanti, mentre i più giovani, trascurando i piaceri, si occupavano di astronomia, di calcoli e di geometria. Lo studio avrebbe cosÌ assunto carattere più elevato. E che in Egitto vi fosse il terreno adatto, almeno presso la classe sacerdotale, per un tal genere di studi, è affermato in un celebre passo della Metafisica (I, I) di Aristotele, in cui è detto che alla scoperta delle s (ienze non dirette né al piacere né

12

CENNO SULLE MA.TEMA.TICHE PREELLENICHE

alle necessità della vita, si passò dapprima in quei luoghi dove gli uomini erano liberi da faccende: così la matematica sorse dapprima in Egitto, perché ivi alla classe sacerdotale era lasciata libertà di "oziare" (scholàzein). Ma nonostante queste affermazioni, occorre rilevare che gli unici documenti diretti in nostro possesso riguardanti la matematica egiziana (il Papiro Rhind, scoperto nello scorso secolo, ed il Papiro matematico di Mosca, interpretato or è qualche decennio) si riferiscono ad una matematica a carattere pratico, con regole di misura date su casi particolari. Ed appunto, almeno fino a prova contraria, sembra che la matematica egiziana abbia avuto in preponderanza quel carattere "misurante" e "calcolante" al quale si è già accennato. Oltre alle necessità "catastali", determinanti il sorgere della geometria in Egitto, occorre ricordare le necessità commerciali che, forse presso i Fenici, portarono ad uno sviluppo dell'aritmetica pratica; infine le necessità legate allo sviluppo dell'astrologia, coltivata presso i Caldei fin da tempi antichissimi. Presso i Babilonesi si sarebbe conosciuto il teorema di Pitagora (come relazione tra i quadrati costruiti sui lati e sulla diagonale di un rettangolo) fin dal 2500 a. C. almeno: così pure si sarebbe giunti al possesso di regole per la risoluzione di sistemi di equazioni di secondo grado a due incognite. E per mostrare con quanta cautela occorra procedere in questo difficilissimo campo di ricerche, citiamo le parole conclusive di un recentissimo studio di E. M. Bruins, riguardante: Quelquestextes mathématiques de la mission de Suse: 1 «Le tavolette Proceeding., vol. illustra il contenuto di tavolette trovate o SU811 nel 1936.

1 REALE ACCADEMIA OLANDESE DELLE SCIENZE,

1950. lvi

(lj

LIn, N. 7,

t:EiVNO SULLE MATEMATICHE PREIlLLENICHI!.

13

matematiche della missione di Susa gettano una luce del tutto nuova su "le matematiche dei Babilonesi" .... L'opinione comune che le matematiche babilonesi non considerassero che problemi pratici, è nettamente contraddetta dalle tavolette D ed S . ...1 problemi ivi sono stati veramente posti e risoluti dal punto di vista puramente scientifico: la scienza per la scienza». Rinviamo pertanto ad opere speciali, anche divulgative, il lettore che desideri maggiori informazioni sulle matematiche preelleniche, avvertendo che nel capitolo seguente viene trattata ancora sotto qualche aspetto la questione del collegamento tra quelle matematiche e la scienza greca più antica.

14

il

TALE TE DI MILETO

Notizie su Talete Come s'è già detto, fu Talete di Mileto colui che, secondo le comuni concordanti indicazioni, andato in Egitto, imparò ivi un insieme di nozioni geometriche e per primo le portò in Grecia. Effettivamente la figura di Talete di Mileto è la prima che s'incontra nella storia della scienza greca. Vi sono incertezze circa le date della sua vita (tutta la sua figura appare, del resto, già ai tempi di Platone, avvolta nei veli della leggenda): forse egli è vissuto dal 624 al 548 a. C., ma comunque può dirsi che sia nato nell'ultimo terzo del VII secolo e sia vissuto nella prima metà del VI secolo. Platone lo nomina tra i famosi "sette savi" della Grecia, la sapienza dei quali si esprimeva in brevi e memorabili sentenze. Comunque, nessuna di queste è a noi giunta con l'attribuzione a Talete: né alcuna opera, o alcuno scritto di questi è in nostro possesso. Gli viene attribuita la predizione di un'eclissi di sole: sembra che si tratti dell'eclissi avvenuta il 28 maggio del 585 a. C. Si dice anzi che quell'eclissi fu causa della pace tra gli eserciti della Media e della Lidia, che erano in quel tempo in guerra nell'Asia minore. Che Talete abbia potuto predire l'eclissi (con una certa approssimazione) è cosa che non reca mera-

/'./LETE DI MILETO

15

viglia, se si pensa ai contatti che Talete dovette avere con la scienza egiziana ed orientale; si' sa d'altra parte che i Caldei avevano accumulato enorme materiale coi risultati delle loro osservazioni (per un lunghissimo periodo di tempo) e che erano cosÌ giunti a prevedere con buona probabilità il ripetersi di eclissi dopo un certo numero di lunazioni. E che Talete si sia occupato di astronomia, è anche provato (sia pure attraverso il tono scherzoso dell'aneddoto) dal fatterello che Platone ci narra nel Dialogo Teeteto (174 a): Talete, osservando gli astri e guardando in alto, cadde in un pozzo; e si dice che una servetta tracia lo deridesse, dal momento che egli, investigando le cose del cielo, non vedeva quel che aveva davanti a sé. Aneddoto, questo, che sta ad esprimere, comunque, il carattere dell'uomo di studio, tutto preso dalla sua ricerca. Ma che la ricerca stessa non disdegnasse le applicazioni pratiche è, pure in Platone, provato da un brano: della Repubblica (600 a) in cui si fa il paragone tra ·Omero e Talete, mostrando che di Omero non si parla come di persona valente nella pratica, e che di lui non ,si ricordano molte abili trovate in attività varie, come invece si ricordano per Talete Milesio (e Anacarsi lo Scita). E Aristotele racconta che Talete seppe, una volta, approfittare della previsione di un buon .raccolto di olive per accaparrarsi il frantoio, traendo ne molto vantaggio. Talete viene riguardato anche come il primo filosofo della Grecia: fondatore della scuola di Mileto (in Asia Minore), alla quale poi appartennero Anassimandro e Anassimene. Questa prima scuola filosofica muove alla ricerca di un principio (archè) di tutte le cose. L'esperienza sensibile ci rivela una molteplicità e

16

TALETE DI MILETO

varietà di fatti e di cose discordanti: la ricerca del "principio" è un inizio di vera concezione scientifica, in quanto tende a scoprire i legami esistenti tra i più disparati fenomeni. Per Talete, come è noto, principio di tutte le cose era l'acqua. Limitando ci all'attività matematica di Talete, osserviamo che la principale testimonianza che la riguardi è quella di Proclo, il celebre filosofo neoplatonico e poligrafo vissuto nel V secolo dopo Cristo. Proclo, avendo scritto un Commento al primo libro degli Elementi di Euclide, inserì in esso una specie di "Riassunto" che tratteggia lo sviluppo della geometria greca, dalle origini fino ad Euclide, ed oltre. Ivi egli dice: «Talete per primo, essendo andato in Egitto, portò in Grecia questa scienza (la geometria) ed egli stesso trovò molte cose, e di molte altre indicò i principi a coloro che vennero dopo di lui: di alcune cose trattando in modo più generale (katholik6teron) , di altre in modo più sensibile (aisthetik6teron)>>. N on è il caso di discutere a fondo il significato dell'ultima affermazione di Proclo: si tratta di questione assai controversa sulla quale molto è stato scritto. E del resto, collegando questa testimonianza alle altre (pure di Proclo, di Diogene Laerzio, ecc.) riferentisi all'opera geometrica di Talete, è stato tentato da alcuni di "ricostruire" l'opera stessa. Impresa vana, perché i riferimenti che ci sono giunti sono isolati ed occasionali. Ci viene detto, ad esempio, dallo stesso Proclo: «Che il cerchio sia dimezzato dal diametro si dice che per primo l'abbia dimostrato il famoso Talete»; ed ancora da Proclo: «Sian grazie all'antico Talete per la scoperta di questo come di molti altri teoremi. Si dice infatti che egli fu il primo a porlo e a dire che gli angoli alla base

TALETE DI MILETO

17

di un triangolo isoscele sono uguali, chiamando nel modo arcaico "simili" gli angoli uguali». Pro cIo attribuisce inoltre a Talete l'aver riconosciuto che gli angoli opposti al vertice sono uguali, ed infine, a proposito del cosiddetto secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, 1 dice: «Eudemo, nella sua Storia della geometria, attribuisce questo teorema a Talete: dicono infatti che necessariamente si sia servito di esso, per il modo in cui trovò la distanza delle navi nel mare». Come si vede, si tratta di elementi frammentari (ai quali vanno aggiunte alcune altre testimonianze, altrettanto frammentarie, di cui tratteremo tra breve): circa il loro carattere occasionale basti osservare che essi si trovano esposti lungo il corso del Commento al primo libro degli Elementi. di Euclide di ProcIo. Le testimonianze in questione vengono cioè date in quauto si riferiscono al contenuto del primo libro degli Elementi di Euclide e non in quanto intendano esporre sistematicamente l'opera di Talete.

Talete e il sistema degli Elementi Ma sorge qui una questione fondamentale: quale senso può attribuirsi a quelle testimonianze che ci dicono che un certo teorema venne "dimostrato" da Talete? Quale significato poteva avere per Talete la "dimostrazione ?" Noi siamo abituati a considerare l'edificio della geometria come un sistema ipotetico-deduttivo. Partendo, cioè, da alcune proposizioni semplici (proposizioni primitive, o postulatl iniziali) dei quali si "postula", cioè si "chiede", di ammettere la vali1 Se due triangoli banno rispettivamente uguali un lato e i due angoli a questo adiacenti, e.1i lono uguali.

18

TAJ.ETE DJ MnETO

dità, si deduce poi tutta la serie dei teoremi, che a mano a mano vanno diventando sempre più complessi. Si parte, ad esempio, dalla semplicissima proposizione: "Per due punti passa una retta ed una sola", proposizione che non si "dimostra", che cioè non costituisce un "teorema", ma un "postulato": si aggiungono altri postulati, e poi si inizia la serie dei teoremi, cominciando ad esempio dal cosiddetto primo criterio di uguaglianza dei triangoli (Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono uguali), facendo seguire poi il teorema sulla uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele, e via dicendo. Che significa, in tale sistema di trattazione, "dimostrare" un teorema? Significa far vedere che esso è conseguenza dei postulati iniziali, ovvero (ciò che in sostanza è lo stesso) che è conseguenza di teoremi precedenti. Ma è questa la via naturale storica di formazione dell'edificio geometrico? No di certo: il cammino, anzi, sarà stato proprio l'opposto. Come fece esplicitamente osservare il grande matematico, e storico delle matematiche, danese H. G. Zeuthen (18391920) si dovette inizialmente partire da un qualche teorema complesso del quale si possedeva una sicura verifica sperimentale, e si dovette cercare la sua giustificazione risalendo a mano a mano ad altre proposizioni sempre meno complesse, delle quali il teorema in questione risultava essere conseguenza. Ciò appunto fino a giungere a quelle tali proposizioni assai semplici e di chiarissimo contenuto intuitivo, che diciamo proposizioni primitive o postuJati. Questo procedimento venne poi detto di "analisi". Una volta raggiunte quelle proposizioni primitive, si fece il cammino inverso (il cosiddetto

'/' ,I/,P.TE /Jl Mnf:1'O

19

procedimento di sintesi), ripartendo da esse e giungendo per via deduttiva fino a quel tale teorema complesso dal quale si era partiti: in tal modo il teorema in questione risultava, per dir cosÌ, svincolato dalla verifica sperimentale e "dimostrato" razionalmente. Lo Zeuthen emise anzi l'ipotesi che il teorema complesso che diede lo spunto per la prima volta, nella geometria greca, ad un procedimento di analisi come quello descritto, e che costituÌ quindi l'origine della geometria scientifica, fu il teorema detto di Pitagora sul triangolo rettangolo. Ed è singolare che proprio a proposito di tale teorema già Galileo, con la chiarezza cristallina sua propria, esponesse, da vero matematico, lo stesso processo di formazione. Nel Dialogo sopra i due massimi sistemi egli cosÌ si esprime: «Cotesto, che voi dite, è il metodo col quale egli (Aristotele) ha scritta la sua dottrina, ma non credo già che e' sia quello col quale egli la investigò; perché io tengo per fermo ch'e' procurasse prima, per via de' sensi, dell'esperienza e delle osservazioni, di assicurarsi quanto fosse possibile della conclusione, e che dopo andasse ricercando i mezzi da poterla dimostrare, perché cosÌ si fa per lo più nelle scienze dimostrative... E non abbiate dubbio che Pitagora, gran tempo avanti che e' ritrovasse la dimostrazione per la quale fece l'ecatu1Jlbe, • si era assicurato che il quadrato del lato opposto all' angolo retto nel triangolo rettangolo era uguale a i quadrati degli altri due lati; e la certezza della conclusione aiuta non poco al ritrovamento della dimostrazione, intendendo sempre nelle scienze dimostrative». t L'eca'ombe, cioè il sacrificio leggendario dei cento hovi (o dell'unico bove?) che Pitagora avrebbe compiuto per ringraziare gli dei della scoperta del suo teorema.

20

TALETE DI MILRTO

In istretta relazione con le parole di Galileo è, del resto, un passo del grande matematico moderno F. Klein, il quale, nelle sue classiche lezioni Elementarmathematik vom hoheren Standpunkt aus 8 scrive: «Effettivamente la matematica s'è sviluppata come un albero, che non cresce già soltanto verso l'alto a partire dalle più sottili ramificazioni delle radici, ma che piuttosto, nella stessa misura in cui spinge e allarga verso l'alto i suoi rami e le sue foglie, cosÌ spinge le sue radici verso il basso sempre più profonde. CosÌ esattamente la matematica ha cominciato il suo sviluppo dal punto di vista corrispondente a quello del sano senso comune, e poi ha progredito sia ottenendo nuovi risultati, sia progredendo nell'indagine dei principi. Per esempio oggi, per quanto riguarda i principi, stiamo già ad un punto ben più progredito di quello di pochi decenni or sono ». Le attribuzioni matematiche riguardanti Talete Il procedimento sopra descritto è stato chiamato: "formazione del sistema degli Elementi", poiché gli Elementi sono appunto i trattati sistematici nei quali si espone la geometria partendo dalle semplici proposizioni primitive e procedendo, per via di "sintesi", verso le proposizioni più complesse. Euclide, fiorito intorno al 300 a. C., è il compilatore degli Elementi più celebri e più perfetti, ma altri (Ippocrate di Chio, Democrito, Leone, Teudio) composero Elementi prima di lui. Cosicché può dirsi che subito dopo Talete cominci appunto la formazione del sistema degli Elementi, e che 3

La matematica elementare dal punto di vista superiore, voI. I, Lipsia.

T ALETE DI MILETO

21

detto periodo di formazione abbracci all'incirca due secoli e mezzo, per culminare nell'opera di Euclide. Talete non poteva, dunque, fornire di un teorema una dimostrazione nel senso preciso nostro, cioè entro un sistema organico di proposizioni, conseguenti l'una dall'altra. Quando, pertanto, Proclo ci dice: «Che il cerchio sia dimezzato dal diametro si dice che per primo l'abbia "dimostrato" il famoso Talete» egli commette un vero errore di prospettiva storica. Poiché non può trattarsi, come s'è detto, di una vera e propria dimostrazione (che, per quella proposizione, neppure Euclide ha sentito il bisogno di dare nei suoi Elementi) può darsi che la menzione di Proclo sia l'eco di una tradizione formatasi su altra base. Soccorre qui l'ipotesi di un geniale storico della scienza, il francese Paul Tannery (1843-1904), il quale ritiene che il significato delle attribuzioni a Talete debba ricercarsi soltanto nelle applicazioni pratiche. Vale a dire: la tradizione ha tramandato la notizia che Talete sapesse risolvere alcuni problemi pratici: sono state allora attribuite 'a Talete quelle proposizioni teoriche che "nella mente dei suoi successori" dovevano servire a risolvere quei problemi. Questa spiegazione sorge d'altronde spontanea nel leggere le parole di Proclo sull'attribuzione a Talete del ser~ndo criterio di uguaglianza dei triangoli: si riteneva che Talete conoscesse questo teorema soltanto perché dovette farne uso nel risolvere il problema pratico della determinazione della distanza di una nave dalla riva. Si potrebbe allora pensare in quest'ordine di idee che la bisezione del cerchio mediante il diametro facesse parte di una costruzione più complessa (ad esempio di quella per determinare il centro di un cerchio).

22

T ALETE DI MILETO

Può essere interessante ricercare come Talete abbia applicato il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli per determinare la distanza delle navi nel mare. Si tratta evidentemente di una specie di "triangolazione", la quale permetteva di dedurre la lunghezza di un lato di un triangolo conoscendo la lunghezza di un altro lato e il valore di due angoli. Si può entrare in maggiori particolari soltanto in via d'ipotesi, tenendo conto che Talete dovette escogitare un metodo che semplicemente e rapidamente, stando sulla costa, gli permettesse di valutare a quale distanza dalla costa stessa si trovasse una determinata nave. Può pensarsi, ad esempio, ad una specie di torre o di edifizio piuttosto elevato (od anche ad una]OC-

A

~~-------_....

C

B eia a picco sul mare), dalla cui sommità (A) Talete avrebbe misurato l'angolo formato con la verticale AB dalla visuale AC condotta verso la nave (situata in C). Del triangolo ABC si conoscono cosÌ: un lato AB (l'altezza, sul livello del mare, della torre o della roccia), l'angolo a; (che poteva misurarsi con semplici rudimentali strumenti) e l'angolo ABC che è retto. Di qui, o con un disegno o con altri mezzi empirici, poteva valutarsi la lunghezza del lato BC (di-

TALETE DI MILETO

23

stanza della nave dalla costa), applicando appunto il secondo criterio d'uguaglianza dei triangoli. N aturalmente un disegno in scala presuppone il concetto di "similitudine" delle figure: a questo, d'altra parte, si riannoda un'altra tradizione, secondo la quale Talete avrebbe misurato l'altezza delle piramidi misurando l'ombra da esse proiettate e facendo il confronto con l'ombra proiettata nello stesso istante dal nostro corpo, o comunque da un corpo di altezza nota. Secondo altra testimonianza, invece, per risolvere il problema ora menzionato, Talete avrebbe atteso l'ora del giorno in cui i raggi del sole cadevano con un angolo di 450 sull'orizzonte: a quell'ora l'ombra del nostro corpo è uguale all'altezza del corpo stesso, e quindi la misura dell'ombra della piramide dà senz'altro l'altezza della piramide. Concludendo, Talete, iniziatore della geometria in Grecia, rivolse la sua attenzione a problemi di natura pratica e ne indicò le soluzioni. Dopo di lui, come altre testimonianze ci fanno sapere, la geometria si elevò al rango di scienza teorica, avviandosi alla "formazione del sjstema degli Elementi". Tra la "materialità ed empiricità" della geometria egiziana e la "immaterialità e razionalità" della seguente geometria greca, Talete rappre~enta certamente un necessario anello di congiunzione. È in questo senso, appunto, che può cercarsi l'interpretazione delle parole di Proclo, già riportate, nelle quali Talete viene dipinto come colui che di alcune cose avrebbe trattato «in modo più generale, di altre in modo più sensibile». Lo storico avrebbe appunto qui ricostruito, con un tratto davvero felice, il vero carattere della geometria di Talete, dipingendo questa come oscillante tra il "sensibile" della geometria dei predecessori e il "generale" di quella dei successori.

24

TALETE DI MILETO

n

riassunto di Proclo

Abbiamo già avuto più volte occasione di citare l'opera di Proclo più importante per noi, e cioè il Commento al primo libro degli Elementi di Euclide. E s'è già detto che in tale opera, e precisamente nel corso del II prologo, si trova un brano di particolare interesse, cioè il cosiddetto Elenco dei geometri, o Riassunto, in cui appunto si "riassume" la storia della geometria greca, dalle origini fino a Euclide. Dal momento che le nostre conoscenze dirette sulla geometria preeuclidea sono assai scarse, l'Elenco in questione è per noi di importanza vitale. Ma a un patto, naturalmente: a condizione, cioè, che le notizie che Proclo ci fornisce siano effettivamente attendibili. È opportuno quindi rivolgere la nostra attenzione alla questione dell'attendibilità di quanto Proclo ci espone e delle fonti alle quali attinge. Cominciamo col riportare (fino al punto in cui si comincia a parlare di Euclide) l'Elenco di ProcIo, nella nostra traduzione: si tratta di un brano assai interessante per le notizie offerte. Proclo: «Poiché conviene considerare gli inizi delle arti e delle scienze nel periodo attuale, diciamo che molti narrano chela geometria sia stata trovata dapprima dagli Egiziani, prendendo origine dalla misura dei terreni. Era" infatti loro necessario ciò, a causa della piena del Nilo, che cancellava i confini spettanti a ciascuno. E non vi è da meravigliarsi se dalla necessità (pratica) sorse l'invenzione di questa scienza e delle altre, poiché tutto ciò che "diviene" procede dall'imperfetto verso il perfetto: è verosimile dunque che il passaggio sia avvenuto dalla sensazione al ragionamento, e da questo all'intelligenza (pura). Dunque, come presso i Fenici per il commercio e le relazioni di affari ebbe principio l'esatta conoscenza dei numeri, così presso gli Egiziani sorse la "geometria per la causa suddetta. «Taiete per primo, essendo andato in Egitto, portò in Grecia questa scienza (la geometria), ed egli stesso trovò molte cose, e di molte indicò i principi a coloro che vennero dopo di lui, di alcune cose trattando in modo più generale, di altre in modo più sensibile. Dopo di lui Mamel'co (Ameristo?), il fratello del poeta Stesicoro, viene ricordato COIIJe preso da amore per la geometria, e Ippia di Elide riferì che egli si procurò fama in questa scienza. Dopo di loro Pitagora trasformò questo studio in una forma di insegnamento liberale, investigando dall'alto i suoi principi, e indagando i teoremi astratta-

T ALETE DI MILETO

25

mente e intellettualmente: egli scoprì il fatto degli irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche. «Dopo di lui Anassagora di Clazomene si occupò di molte questioni di geometria, ed anche Enopide di Chio, di poco più giovane di Anassagora: dei quali due anche Platone fece menzione nei suoi Rivali come di persone aventi (buona) fama in queste scienze. Dopo.di loro Ippocrate di Chio, che scoprì la quadratura della lunula, e Teodoro di Cirene divennero celebri nella geometria. Ed anzi Ippocrate, tra i nominati, fu il primo che scrisse Elementi. Platone, venuto dopo di costoro, fece prendere il massimo incremento alle altre scienze (matematiche) ed alla geometria, per il (suo) grande amore verso .di esse: ciò è manifesto poiché riempì i suoi scritti di considerazioni matematiche e dovunque destò ammirazione per questa scienza in coloro che studiano filosofia. «In questo tempo vissero anche Leodamante di Taso, Archita di Taranto e Teeteto di Atene, dai quali furono accresciuti i teoremi e fatti progredire verso un insieme più scientifico. Neoclide, più giovane di Leodamante, e il suo allievo Leone, aggiunsero molte nozioni a quelle (possedute) prima di loro: cosi Leone compose Elementi migliori per quantità e necessità delle cose dimostrate, e trovò i diorismi, cioè quando il problema in questione è possibile e quando è impossibile. «Eudosso di Cnido, poi, di poco più giovane di Leone, e compagno dei discepoli do Platone, per primo aumentò il numero dei teoremi detti generali e alle tre proporzio1}i ne aggiunse altre tre: fece inoltre progredire gli studi sulla sezione che ebbero inizio da Platone, e si servÌ, per essi dell'analisi. Poi Amicla di Eraclea, uno dei compagni di Platone, e Menecmo, scolaro di Eudosso e di Platone, e il fratello di lui Dinostrato, ancora perfezionarono l'insieme della geometria. «Teudio di Magnesia si fece una buona fama nella matematica come negli altri rami della filosofia, e compose anehe buoni Elementi; rese inoltre più generali alcune cose (particolari). Così pure Ateneo di Cizico, che visse negli stessi tempi, divenne celebre nella matematica in generale, e specialmente nella geometria. Tutti costoro si riunivano nell'Accademia, facendo in comune le loro ricerche. «Ermotimo di Colofone prosegui le ricerche di Eudosso e di Teeteto, trovò molte cose degli Elementi, e scrisse intorno ai "luoghi". Filippo di Mende (o di Medma) discepolo, di Platone, e da questi indirizzato verso le scienze (matematiche), fece ricerche secondo indicazioni di Platone, e si propose anche quelle questioni che credette utili per la filosofia di Platone.

26

TALETE DI MILETO

Coloro che hanno scritto la storia (della geometria) spingono fino a questo (Filippo) lo sviluppo di questa scienza». Proclo, detto pure il Diàdoco, cioè il successore (s'intende: di Platone), visse dal 410 al 485 d. C., e fu a capo della scuola neoplatonica. Essenzialmente è un filosofo: tuttavia ebbe una certa conoscenza della matematica: senz'altro può dirsi che la sua cultura fu enciclopedica. Egli visse dunque circa settecento anni dopo di Euclide: riferisce cioè su fatti assai lontani. Di qui appunto l'importanza del problema di stabilire le sue fonti. Sembra che egli. insegnasse la matematica ai più giovani allievi della scuola neoplatonica, e che il famoso Commento da lui scritto sul primo libro di Euclide traesse la sua origine da appunti fissati in occasione di detti corsi. Il Commento non è certo opera originale di Proclo; questi stesso dichiara di scegliere « i più sottili tra i commenti fatti su di essi dagli antichi scrittori, tagliando corto alle loro interminabili lungaggini». Si tratta dunque di una compilazione, che sembra tuttavia eseguita con un contributo personale di Proclo, almeno per quel che riguarda la forma e l'ordine dell'esposizione. A quale fonte attinse Proclo per il Riassunto che particolarmente ci interessa? Si osservi, a questo proposito, la frase del Riassunto stesso: « Coloro che hanno scritto la storia (della geometria) spingono lo sviluppo di questa scienza fino a questo (Filippo di Medma)>>. Vi è stato quindi un precedente scrittore di storia della geometria, e questi s'è fermato a Filippo di Medma. Perché proprio a lui? Assai probabilmente perché era un suo contemporaneo. Si pensi infatti che Euclide viene subito dopo Filippo. Uno storico della geometria che fosse vissuto più tardi, non si sarebbe verosimilmente fermato al pressoché insignificante Filippo, ma avrebbe trattato pure del grande Euclide. Si pensa allora subito a Eudemo di Rodi, che per incarico di Aristotele scrisse, come sappiamo con certezza, una Storia della geometria. Perché chi legge veda meglio la questione cronologica, diamo il seguente quadro: Platone (4~7-347) Aristotele (384-322) Filippo. discepolo di Platone Eudemo, discepolo di Aristotele Euclide, fiorì intorno al 300 a. C. L'ipotesi della derivazione da Eudemo è avvalorata dal

TALETE DJ MILETO

27

fatto che in altre parti del suo Commento Pro cIo dice esplicitamente che allo stesso Eudemo risalgono alcune notizie. Decisamente contrario a tale opinione è Paul Tannery, il quale nella sua opera La géometrie grecque nega a Pro cIo la conoscenza diretta di Eudemo, e ritiene che tutto il Riassunto sia stato tratto di peso da Gemino, critico e filosofo delle matematiche, vissuto forse nel I secolo a. C. Si fa notare tuttavia che i commentatori Simplicio (vissuto nel secolo seguente a quello di Pro cIo) ed Eutocio (vissuto intorno al 500 d. C.) fanno troppo esplicito riferimento all'opera di Eudemo perché si possa dubitare che almeno uno di essi fosse in possesso di un buon estratto della famosa Storia della geometria '. E naturalmente Pro cIo si trovava, a più forte ragione, in uguAli condizioni. D'altra parte sembra si possa far vedere che ProcIo non copiò integralmente il suo brano da un solo Autore, come vorrebbe il Tannery, ma che trasse da varie fonti le sue notizie, collegandole ed accompagnandole quasi certamente con osservazioni sue personali, o meglio ancora inquadrandole secondo un filo direttore suo proprio. Si giunge cosÌ ad affermare almer. '. questo: che nulla si oppone alla ben ragionevole ipotesi che ProcIo, per una parte delle notizie del suo Riassunto, risalga, direttamente o indirettamente, a Eudemo. Ci troviamo cosÌ trasportati dal V secolo d. C. (Pro cIo) alla fine del IV secolo a. C. (Eudemo): le notizie acquistano quindi un grado immensamente maggiore di attendibilità.

• Basti citare le parole di Simplicio: «io IlOmUDieherò letteralm.nte le 110•• dette da Eudemo, aggiungendo poche spiegazioni in cui rimanderò agli ElemenlÌ ti Euclide, a cagione dello atile "an.notClloriott di Eudemo, che secondo l'UIO &Dtie dà 1010 brevi indicazioni».

28

III

PITAGORA E I PITAGORICI

Pitagora e la tradizione La figura di Talete, da noi finora esaminata, è importante per la storia della matematica solo in quanto compendia in sé lo stato della nostra scienza nella sua prima fase: cioè subito dopo l'introduzione della geometria dall'Egitto. Ma di gran lunga più importante è per noi la figura di Pitagora, poiché essa corrisponde ad uno stadio più evoluto della matematica greca, come abbiamo già letto nel famoso Riassunto di Proclo. Cosicché comprendere la matematica pitagorica è comprendere il capitolo più importante della storia della matematica greca: quello che ci permetterà di capire come si sia passati dalle concezioni ancora semicOncrete di Talete a quelle del tutto teoriche di Teeteto, Eudosso, Euclide. Sul punto di arrivo di Euclide siamo ampiamente documentati, nel senso che possediamo per intero la sua classica opera, gli Elementi (stoichèia) in 13 libri: opera che passerà poi attraverso i secoli come modello del trattato di geometria elementare. Euclide fiorisce intorno al 300 a. C., mentre Talete (come s'è veduto) fiorisce intorno al 585 a. C.: la storia di questi tre secoli intermedi (il VI, il V, il IV) rappresenta la storia della matematica preeuclidea, e s'impernia fondamental-

PITAG()RA E I PITAG()R1CI

29

mente sul problema della matematica pitagorica. 1;; assai difficile lo studio di questo periodo, perché i documenti sono assai scarsi: la conservazione del trattato di Euclide è avvenuta a scapito di quella delle opere precedenti, in certo modo rese inutili dalla sistemazione euclidea. Ma pure alcuni documenti vi sono, cosicché l'impresa della ricostruzione della matematica pre-euclidea appare allettante per la sua difficoltà e al tempo stesso non scoraggiante per assoluta deficienza di fonti. Si è parlato prima del "problema" della matematica pitagorica: di un vero problema, infatti, si tratta. La figura di Pitagora è così imperfettamente delineata dalle notizie attendibili ~, nostra disposizione che si dubita perfino del valore effettivo occupato da Pitagora (o dalla sua primitiva scuola) nella storia della nostra scienza. Sembra che Pitagora, nato a Samo, sia vissuto tra il 570 e il 500 a. C. Egli avrebbe compiuto grandi viaggi in Oriente: avrebbe poi abbandonato Samo per sottrarsi alla tirannia di Policrate. f: certo che si stabilì in Italia, a Crotone, e che ivi fondò una scuola, che sembra avesse carattere religioso, politico, filosofico e scientifico ad un tempo. Da Crotone dovette, per una specie di sommossa, passare a Metaponto, dove forse morÌ. Secondo la testimonianza di Pro cIo, da noi già veduta, Pitagora stesso avrebbe compiuto delle scoperte matematiche di capitale importanza, quali quelle degli irrazionali e dei poliedri regolari. Dice infatti Pro cIo nel suo Riassunto: «Pitagora trasformò questo studio in una forma di insegnamento liberale, investigando dall'alto i suoi principi, e indagando i teoremi astrattamente e intellettualmente: egli scoprì il fatto degli irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche». Alla "scuola pitagorica", poi,

l'lTAGORA E T PITACORICI

Proclo stesso nel corso del suo Commento, ed altri, attribuiscono varie altre dottrine nel campo della matematica. CosÌ per esempio: l) il teorema sulla somma degli angoli del triangolo (uguale a due retti); 2) il celebre teorema detto "di Pitagora" sul triangolo rettangolo (il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti); 3) la costruzione dei poligoni regolari; 4) i problemi di "applicazione delle aree" (serie di problemi, sui quali ritorneremo a suo tempo, che traducono geometricamente le equazioni di primo e secondo grado). Di più lo Zeuthen (come s'è già detto) attribuisce proprio alla scuola pitagorica l'inizio del "sistema degli Elementi", nel senso che questo sia sorto per fornire una dimostrazione generale e rigorosa del "teorema di Pitagora". ~ tuttavia ovvia l'osservazione che le testimonianze di Proclo e degli altri, che ci offrono le più particolareggiate notizie sull'opera di Pitagora e della sua scuola, se pur risalgono in parte a fonti precedenti, sono comunque assai tarde. ~ celebre la frase dello Zeller: «La tradizione riguardante il pitagorismo ed il suo fondatore ci sa dire tanto di più, quanto più si trovi lontana nel tempo dai relativi fatti storici, e per contro essa è nella stessa proporzione tanto più taciturna a misura che ci avviciniamo cronologicamente al suo oggetto medesimo». E s'è potuto, d'altra parte, assodare che proprio la testimonianza capitale su Pitagora data nel Riassunto è (secondo ogni verosimiglianza) tratta da Giamblico, tardo pitagorico fiorito intorno al 300 d. C. .

PITilGORA E 1 PlTAGORICt

31

Si è andata pertanto sviluppando (particolarmente in Germania) una tendenza del tutto demolitrice nei riguardi di Pitagora e della sua scuola, tendenza che, iniziatasi in certo modo col Burnet, viene spinta alle estreme conseguenze da Erich Frank e da Isidoro Levy. La scuola pitagorica avrebbe avuto, secondo tale tendenza, per lungo tempo soltanto un carattere religioso-politico, mistico-misterico, e soltanto assai più tardi, addirittura verso il 400 a. C., si sarebbe dedicata, principalmente con Archita di Taranto, agli studi scientifici, in particolare matematici. D'altro canto, vi sono ancor oggi tentativi di sopra valutazione: ci limitiamo a ricordare la voluminosa opera del Capparelli, dove è raccolta grande mole di materiale, ma dove si vede pure ad ogni istante il partito preso di una specie di "rivendicazione" della figura di Pitagora. Assai equilibrata, invece, è la "difesa" che di Pitagora e della sua scuola fa l'Enriques, riconducendo con opportune cautele e riserve verso l'opinione tradizionale. La questione pitagorica La questione pitagorica è troppo complessa per poter essere trattata soddisfacentemente nel giro di poche pagine. Ci limitiamo pertanto a tentare di lumeggiarne soltanto alcuni aspetti che sono per noi di maggiore interesse. Quali sono le più antiche testimonianze possedute su Pitagora e sulla sua scuola? Limitiamoci ad esaminare quelle di Eraclito, Erodoto, Platone, Aristotele. Eraclito (il grande filosofo del V secolo a. C.) in un frammento (Diels B 129) del quale invero non si

32

PITAGORA E 1 PITAGORICI

dà per certa l'autenticità, dice: «Pitagora, figlio di Mnesarco, ha spinto lo studio e la ricerca più in là di tutti gli altri uomini, e con una scelta di scritti (?) se n'è fatta la sua propria sapienza: polimathìa (conoscenza di molte cose), arte cattiva». Qui, a parte il tono polemico, si viene a riconoscere in Pitagora lo studioso, e il possesso di quella specie di sapere enciclopedico che verrebbe intesa col termine polimathìa. Occorre però aggiungere che le interpretazioni sono discordanti, e l'autenticità del frammento (come s'è avvertito) dubbia. Erodoto (484-408? a. C.) scrive che «Pitagora non fu tra i Greci il peggiore (il più debole) dei sofisti» (IV, 95) (dove il termine "sofista" ha certo il significato di "sapiente" e dove la dicitura "non fu il peggiore" sta evidentemente per "fu uno dei migliori"). In Platone (427-347 a. C.) troviamo un solo esplici~o accenno alla persona di Pitagora: nella Repubblica (600 a, b) dove si legge: «Ma se non nella vita pubblica, nella privata si dice che Omero, mentre visse, fu di guida nell'educazione a taluni che lo frequentavano ed ai suoi successori tramandarono un metodo omerico di vita, a quella guisa che Pitagora fu straordinariamente amato per questa ragione, ed i successori possono parlare anche attualmente di un regime pitagorico e per esso segnalarsi tra gli altri? ». 1 La risposta è a sfavore di Omero ed a favore di Pitagora. Da altri passi platonici può desumersi qualche notizia riguardante i Pitagorici, ma essi non recano alcun elemento decisivo per la nostra questione. Del resto, anche dal brano citato della Repubblica non si trae alcuna conseguenza decisiva, dato che quanto Platone _dice po1 Trad. ZURE'rI'l, edito Laterza, Bari.

PITAGORA E I PITAGORICI

33

trebbe riferirsi ottimamente ad una scuola a carattere politico-religioso. Ma la testimonianza più importante è senza dubbio quella di Aristotele, il quale, nel libro I della Metafisica, dopo di avere tratteggiato la storia della più antica filosofia greca (con accenni a Talete, Anassimene, Eraclito, Empedocle, Anassagora, Parmenide, Leucippo, Democrito e qualche altro) scrive all'inizio del cap. V:« Tra i primi :filosofi, e anche prima di alcuni ricordati, furono i cosiddetti Pitagorici, i quali, applicatisi alle scienze matematiche, le fecero per i primi progredire; cresciuti poi nello studio di esse, vennero nell'opinione che i loro principi fossero i principi di tutti gli esseri... Pensarono che gli elementi dei numeri fossero gli elementi di tutte le cose, e che l'universo intero fosse armonia e numero ». 2 Secondo il Frank le parole "i cosiddetti Pitagorici" sono un chiaro segno del fatto che la scuola pitagorica scientifica (cioè quella che si occupò di matematica) è assai tarda: infatti Aristotele direbbe che i suoi membri non avevano il diritto di chiamarsi Pitagorici, in quanto non erano discepoli di Pitagora; e furono detti "Pitagorici" come abusivamente. Ma sembra, invece, che la dicitura aristotelica possa trovare una spiegazione assai semplice, nel modo seguente. Tutti i filosofi precedentemente ricordati vengono da Aristotele indicati col loro proprio nome (Talete, Anassimene, ecc.). Giunto a questi altri filosofi, Aristotele si trova di fronte al fatto nuovo e strano che essi costituiscono un corpo che prende nome da Pitagora, cosicché i nomi dei singoli componenti restano totalmente in ombra. Che c'è da I

Traduz. CARLINI, edito Laterza, Bari.

34

PITAGORA E I PITAGORICI

meravigliarsi dunque, se Aristotele, parlando di loro, li indichi come "coloro che furono chiamati Pitagorici"? (6i kaloùmenoi Pythag6reioi). La celebre lista dei "contrari" Ancora dallo stesso testo di Aristotele possiamo ricavare qualche altro elemento importante. Dopo di avere esposto in quale modo i Pitagorici considerassero il numero come principio di tutte le cose, Aristotele dice che essi dividevano i numeri in due grandi categorie: pari e dispari, connettendo il pari con l'infinito, il dispari col finito. Altri Pitagorici, invece, ci vengono presentati (sempre senza alcuna citazione del loro nome) come propugnatori di una serie di principi, che sono: limite dispari uno destro maschio immobile diritto luce buono quadrato

illimita,to pari molteplice sinistro femmina in movimento curvo oscurità cattivo rettangolare

In questa lista di contrari, vi sono almeno quattro coppie che si riferiscono alla matematica: limite e illimitato, dispari e pari, uno e molteplice, quadrato e rettangolare. Molte ipotesi sono state fatte per giustificare la corrispondenza tra "limite", "dispari", "uno", "quadrato", da una parte, e i loro rispettivi contrari dall'altra: l'ipotesi più ragionevole sembra quella che si riconnette alla proprietà

35

PlTAGORA E J PlTAGOR1Cf

aritmetica secondo la quale, addizionando i successivi numeri dispari, si ottengono uno dopo l'altro tutti i numeri quadrati, mentre addizionando successivamente i numeri pari si ottengono numeri "rettangolari" (cioè composti di fattori disuguali) che variano di forma nella loro rappresentazione geometrica, cioè dan luogo a rettangoli che non sono tutti simili tra loro come avviene per i quadrati. Ossia: l 1+3 = 4 4 + 5 = 9 9 + 7 = 16 16 +9 = 25 25+ 11 = 36 e cosÌ via Oppure: 2 2 + 4 = 6 = 2.3 6 + 6 = 12 = 3.4 12 + 8 = 20 = 4.5 La cosa si vede bene geometricamente rappresentando ciascuna unità con un punto, e disponendo convenientemente tali punti per formare i numeri: ad esempio in modo da formare un quadrato se il numero è appunto un "quadrato", 3 in modo da formare un rettangolo se il numero è "rettangolo".

• • • • • • • • •

• • • • • •• • • • • •

Sommando i numeri dispari, dunque, si ottiene sempre "una" forma (quella del quadrato); sommando i numeri pari si ottengono invece "infinite" diverse forme rettangolari, per il fatto che questi rettangoli che cosÌ si ottengono non sono simili l'uno all'altro. :1 Ciò è possibile appun,to soltanto se il numero si compone di due fattori uguali. In quest'ordine di idee si svolge la cosiddetta "teoria dei numeri figurati" il cui i ni2lio viene attribuito ai Pitagorici stessi.

36

PITAGORA E I PITAGORICI

Soggiunge Aristotele: «Questa • pare essere stata l'opinione anche di AIcmeone il Crotoniate, sia poi che egli prendesse tale dottrina da essi, o essi da lui: poiché, quanto all'età, AIcmeone fiorì quando Pitagora era già vecchio» (Trad. cit.). Dunque Aristotele ritiene che quei Pitagorici compilatori della lista dei contrari (cioè Pitagorici che secondo ogni verosimiglianza si occuparono di matematica, come la lista in questione mostrerebbe) furono contemporanei di AIcmeone: il quale AIcmeone era al meriggio della sua vita quando Pitagora (Pitagora in persona!) era già vecchio. Questo insieme di dati costituisce una testimonianza assai preziosa in favore dell'antichità della scuola pitagorica scientifica, la quale verrebbe a riconnettersi immediatamente al fondatore Pitagora. Un'altra difficoltà viene mossa dal Frank, il quale, rilevando il numero e l'importanza delle scoperte matematiche attribuite a Pitagora stesso, o sia pure ai più antichi suoi discepoli, osserva che se l'attribuzione fosse esatta quasi tutto lo sviluppo della matematica greca si sarebbe avuto in pochi anni, con le grandezze incommensurabili e la costruzione dei poliedri regolari; nel lungo periodo seguente (della durata di circa due secoli) si sarebbe avuta soltanto una sistemazione. Ma si può osservare che non è detto che le scoperte matematiche attribuite a Pitagora o agli immediati successori vadano intese in senso cosÌ vasto. Per esempio, la primitiva scuola potrebbe essersi limitata alla irrazionalità di 1/2": quanto ai poliedri regolari nessuno pensa che vi sia stata allora una giustificazione razionale della loro costruzione. Non è detto inoltre che le scoperte attribuite •

a.~

l'opiDione dell'esistenza di dieci coppie di contrari.

PITAGORA E l PITAGORICI

37

dalla tradizione alla scuola pitagorica debbano tutte risalire al periodo più antico: esse potrebbero essere state compiute, invece, in un periodo di tempo molto lungo, che tuttavia avrebbe avuto inizio ai tempi dello stesso Pitagora. D'altra parte sembra quasi incredibile che una costruzione cosÌ complessa come quella di Archita di Taranto per la risoluzione del problema di Delo e la trattazione di Ippocrate di Chio sulla quadratura delle lunule tramandataci da SimpIicio (argomenti di cui tratteremo nel seguito) possano trovarsi pressoché agli albori della matematica greca. La concezione razionale degli enti geometrici Negli Elementi di Euclide (composti intorno al 300 a. C.) già compare, netto nelle definizioni, il "concetto razionale" degli enti geometrici: cioè il punto è concepito senza dimensioni, la linea è soltanto lunghezza senza larghezza, la superficie è priva di spessore. Noi, attraverso l'istruzione ricevuta nelle noStre scuole fin dalle classi elementari, ci siamo del tutto familiarizzati con una tale concezione razionale di punto, linea, superficie. Ma se, vincendo la nostra consuetudine mentale, ci domandiamo perché gli enti geometrici debbano essere concepiti in tal modo, ci avvediamo che sarebbe assai più semplice e naturale, almeno in apparenza, pensare ad un punto che fosse come un granellino di sabbia: piccolissimo, ma pure di dimensioni finite; ad una linea che si ottenesse mettendo a contatto l'uno di seguito all'altro un numero più o meno grande di quei punti; ad una superficie che si ottenesse disponendo una accanto all'altra un certo numero di quelle linee. Appare allora chiaro che storicamente le cose dovettero procedere cosÌ: una tale ingenua concezione del punto simile al granellino di sabbia, della linea composta di tali punti, della superficie composta di tali linee, dovette necessariamente precedere la concezione razionale. Ed è chiaro inoltre che dovette esservi un potente, irrefutabile motivo che condusse ad abbandonare quel semplice modo di concepire gli enti geometrici e ad abbracciare l'altro, che appare meno semplice e meno naturale.

38

PITAGORA E I PITAGORICI

Sappiamo che fin dai primordi, con gli inizi della scuola pitagorica, la matematica greca si occupò delle proporzioni_ Proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. E che cosa deve intendersi, ad esempio, per "rapporto" tra due linee: tra due segmenti di retta, per fissare le idee? Secondo la concezione "granulare" della linea, basterà contare quanti punti ("granellini") entrano a comporre un segmento e quanti entrano a comporre l'altro: il quoziente del primo numero per il secondo ci darà il "rapporto" tra i due segmenti. Cosi, se il primo segmento è composto di 500 punti, mentre il secondo è composto di 231 punti, il rapporto tra i due segmenti è espresso dal quoziente della divisione di 500 per 231, ossia dalla frazione 500/231. l Dire quindi che un segmento sia doppio, triplo ... di un altro, vuoI dire che il numero dei punti componenti il primo segmento è doppio, triplo, del numero dei punti componenti l'altro. Secondo questo modo di vedere, due segmenti qualunque, essendo formati da punti tutti uguali tra loro, ammettono sempre un elemento costitutivo comune, o (per dire più precisamente) un "sottomultiplo" comune: cioè un terzo segmento che, riportato più volte di seguito, sia contenuto esattamente tanto nell'uno quanto nell'altro. Male che vadan le cose, infatti, un tale sottomultiplo comune sarà sempre il punto. Un tale stadio nella concezione degli enti geometrici dovette (lo ripetiamo) necessariamente aversi. Sembra che possa essere collocato ai primordi della scuola pitagorica: ad ogni modo presso i matematici che fiorirono, in Grecia e in Italia, prima del 400 a. C. Ma una grande scoperta nel campo della matematica fu compiuta prima della data sopra detta: quella dell"'esistenza di grandezze incommensurabili". A tale scoperta si riferisce Platone, in un passo delle Leggi, l'ultimo dialogo della vecchiaia, deplorando che da lui stesso fu conosciuta tardi, e che ancora veniva ignorata da molti Greci: ignoranza degna più d'animali che di uomini. Si comprende l'importanza estrema annessa da Platone alla scoperta delle grandezze incommensurabili, quando si rifletta che essa rappresenta il trionfo più pieno del puro ragionamento sopra i dati dell'esperienza sensibile, e si ponga mente all'indirizzo completamente teorico che Platone riteneva si dovesse dare allo studio della matematica. La scoperta di cui parliamo fu appunto una delle cause che condusse ad abbandonare l'ingenua concezione del punto dotato di dimensioni, portando all'introduzione degli enti

39

PITAGORA E I PITAGORICI

geometrici razionalmente concepiti (punto senza dimensioni, ecc.) come si trova in Euclide. Vediamo in che consiste questa grande scoperta, che da Proclo viene attribuita a Pitagora stesso. Consideriamo due segmenti di retta e domandiamoci: hanno essi, comunque vengano scelti, un sottomultiplo comune? In altre parole: sono essi composti di un numero "finito" (variabile da linea a linea) di part.i di lunghezza "finita" uguali tutte tra loro? Come s'è già detto, secondo la primitiva concezione degli enti geometrici, la risposta sarebbe affermativa: infatti il punto (di dimensioni finite) sarebbe in ogni caso il sotto multiplo corn,une cercato. Ma si trovò che esistono coppie di segmenti, che non ammettono nessun sottomultiplo comune: si capisce quindi che un tale fatto risultò inconciliabile con la concezione del punto dotato di dimensioni. La prima coppia, che venne scoperta, di segmenti "incommensurabili" (così si dicono due segmenti che non ammettono alcun sottomultiplo comune) è quella costituita dal lato e dalla diagonale di un qualunque quadrato. Vediamo in qual modo ciò fu dimostrato, seguendo le tracce del ragionamento (ritenuto pitagorico) che si trova abbozzato in Aristotele ed in uno scolio del libro X di Euclide. Si procede col metodo dimostrativo di riduzione all'assurdo: cioè si ammette che quel che si vuoI dimostrare non sia vero, e si fa vedere che una tale ammissione conduce a conseguenze contraddittorie. Nel caso nostro si ammette che, se possibile, la diagonale sia commensurabile col lato del quadrato, vale a dire che diagonale e lato ammettano un sottomultiplo comune. La diagonale, ad esempio, conterrà un certo numero intero m di volte quel sottomultiplo, mentre il Iato conterrà lo stesso sotto multiplo un numero intero n di volte. A Anzi prendendo quel sottomultiplo comune (che supponiamo possa esistere) come unità di misura delle lunghezze, possiamo dire che lo,

D

(

B

40

PITAGORA E I PITAGORICI

lunghezza della diagonale verrà espressa dal numero m, quella del lato dal numero n. Per comprendere meglio pensiamo a due segmenti, che contengano esattamente il metro: quest'ultimo costituisce (in tal caso) un loro sottomultiplo comune e supponiamo che il primo segmento contenga esattamente 5 volte il metro, mentre il secondo lo contenga esattamente 3 volte. I numeri 5 e 3 esprimono allora senz'altro le lunghezze (in metri) dei due segmenti. Applichiamo ora il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele ABC, che costituisce metà del quadrato ABCD. Il famoso teorema dice: «In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sulla ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti». Abbiamo dunque: AB" + BC" = AC·, intendendo che l'area del quadrato costruito su AC è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB, BC. Tali aree si esprimono moltiplicando per se stessa (cioè elevando a quadrato, ossia alla seconda potenza) la lunghezza del lato di ciascun quadrato. Nel nostro caso la lunghezza dell'ipotenusa AC (rispetto al supposto sottomultipio comune preso come unità) è data dal numero m, mentre i due cateti uguali AB, BC hanno la lunghezza n. L'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è dunque espresso dal numero m', quella del quadrato costruito su uno dei cateti è espressa da n 2 • E per il teorema di Pitagora deve essere: m" = n" + n 2 cioè: m" = 2 n". Questa relazione è una conseguenza dell'ammissione fatta in principio: che cioè il lato AB e la diagonale AC del quadrato ABCD abbiano un sottomultiplo comune, sottomultiplo che abbiamo assunto come unità di misura. Ma l'uguaglianza scritta è assurda: è impossibile, infatti, che il quadrato m" di un numero intero m sia uguale al doppio del quadrato n 2 di un altro numero intero n. Ciò può vedersi in vari modi: il ragionamento tradizionalmente attribuito ai Pitagorici ricorre alle proprietà dei numeri pari e dispari, ammettendo, tra l'altro, che un numero non possa insieme essere pari e dispari. Non occorre entrare nei particolari di un tal ragionamento, che può essere anche trasformato e abbreviato ricorrendo alle proprietà della scomposizione in fattori primi. Basterà dire che un numero quadrato risulta dalla ripetizione (per due volte) degli stessi fattori, e che l'introduzione (per una sola volta) del fattore 2 non permette di formare un quadrato. Cosi ad esempio:

4 X 9

41

PITAGORA E I PITAGORICI

Moltiplicando per 2, si ha: 72

=

2 X 36

=

2 X 2 2 X 3' =

2 8 X 3'

dove il fattore 2 risulta ripetuto 3 volte: quindi 72 non può essere un quadrato.

È dunque assurda l'uguaglianza: m 2 = 2 n 2 Ma a questa uguaglianza siamo stati condotti come conseguenza della supposizione fatta che il lato e la diagonale del quadrato potessero ammettere un sottomultiplo comune. Ciò è quindi impossibile: lato e diagonale d'un quadrato costituiscono una coppia di grandezze incommensurabili. Un altro metodo per dimostrare l'incommensurabilità della diagonale e del lato di qualunque quadrato è quello basato sulle divisioni successive, dovuto forse (come vedremo) al matematico Teodoro di Cirene, che sembra abbia insegnato nozioni di matematica a Platone. Secondo tale metodo si riporta (quante volte è possibile) il segmento minore sul maggiore: il segmento che avanza viene riportato sul minore quante volte si può: il nuovo avanzo viene riportato ancora sul primo segmento avanzato, e così di seguito. Se il procedimento ha termine, ciò vuoI dire che i due segmenti dati sono commensurabili (e quel segmento che, venendo riportato, non lascia resto è il più grande tra i sottomultipli comuni del due segmenti dati). Il procedimento, come si vede, è esattamente corrispondente a quello che viene adoperato in aritmetica per determinare il massimo comune divisore di due numeri: il metodo si chiama perciò anche "algoritmo del massimo comune divisore". Ma se il procedimento non ha termine (caso che non può mai presentarsi per i numeri interi) ciò vuoI dire che i due segmenti sono incommensurabili. È molto facile appunto, applicare un tale procedimento alla diagonale e al lato di un qualunque quadrato, mostrando che esso non ha mai termine.

L'argomento dell' Achille Il Tannery ha formulato l'ipotesi, sostenuta dall'Enriques, che i famosi argomenti "contro il moto", del filosofo Zenone d'Elea, scolaro di Parmenide, fossero diretti principalmente contro la concezione del "punto esteso", ossia contro C!uella che si po-

42

PITAGOR.A E I PITAGORICI

trebbe chiamare la "concezione atomistica" della linea. In uno dei suoi argomenti, Zenone mostra che il piè-veloce Achille non riuscirà mai a raggiungere la lenta tartaruga. Infatti, supposto

A

T

T' T"

che Achille sia, alla partenza, in A, la tartaruga in T, si vede che quando Achille sarà giunto in T, la tartaruga, progredendo, sarà giunta in un punto T': e quando Achille sarà in T', la tartaruga sarà in T", e così via. Effettivamente, se la linea fosse composta di punti aventi una lunghezza finita, sia pure minima, Achille dovrebbe, per raggiungere la tartaruga, percorrere infiniti intervalli, ciascuno dei quali (comprendendo almeno un "punto esteso") avrebbe pur sempre una lunghezza finita. La somma di infiniti segmenti cosiffatti risulterebbe pertanto infinita, e non si avrebbe quindi mai il raggiungimento. Ecco perché Paul Tannery vide in quest'argomento la riduzione all'assurdo della tesi atomistica, o monà-

dica. 6 L'Enriques ha veduto poi in taluno dei frammenti di Parmenide, il maestro di Zenone, una netta affermazione della necessità di concepire razionalmente gli enti geometrici. Comunque, la matematica greca giunse ben presto a tale concezione; di punto senza dimensione, di linea senza lunghezza, di superficie senza spessore. 5 Da mDnade = unità, dato che i Pitagorici, secondo ArIstotele, concepiv8.Dn punte como unità (avonte poai:olo...).

il

43

PITAGORA E I PITAGORICI

Rapporti e proporzioni La teOlia delle proporzioni si fonda sul concetto di "rapporto": concetto che sorge spontaneo quando si paragonano tra loro due grandezze omogenee. Il "rapporto" è un numero che viene in sostanza ad esprimere il risultato della misura di una prima grandezza rispetto ad una seconda, che si assume come unità (di misura). Un primo caso, più semplice, si presenta quando la prima grandezza contenga esattamente un certo numero di volte la seconda. Si tratti, ad esempio, del perimetro T di un triangolo equilatero, e del suo lato L. La prima grandezza T "contiene" esattamente 3 volte la seconda grandezza L, ossia è T = 3 L: si dice allora che il "rapporto di T a L" è 3, e si scrive: T

T : L =

3 oppure

3

L In generale, se la prima grandezza A contiene esattamente un certo numero intero k di volte la seconda grandezza B, e si ha cioè A = k B, si dice .che k è il rapporto di A a B, e si scrive:

A B

A k

k oppure

B Fin qui, il rapporto tra due grandezze è un numero intero. Se la prima grandezza è un segmento, e la seconda è, ad esempio, il metro, il rapporto indica quanti metri son contenuti nel segmento, ossia ei dà "la misura in metri" del segmento stesso. Ma il ~aso considerato è troppo particolare. Potrà presentarsi, più spesso, quest'altro: la prima grandezza non contiene esattamente un certo numero di volte la seconda, ma ne contiene esattamente un numero intero di volte, un suo sottomultiplo. Si tratti, ad esempio, d'un quadrato e d'un triangolo equilatero aventi per lato lo stesso segmento L. Consideriamo il perimetro Q del quadrato, e quello T del triangolo (cioè:

Q = 4 L; T = 3 L). Il perimetro Q non contiene e!attamente un certo numero di

volte il perimetro T, ma contiene esattamente il sottomulti· pIo T /3 di T, ossia la sua terza parte, che è il lato L. In altri termini, Q e T ammettono un 8ottomultiplo comune, che è il

44

PlTAGORA E I PITAGORICI

lato L. E poiché Q contiene L (cioè T/3) quattro volte, possiamo scrivere: T

Q=43

o anche: 4 -.T 3 Per analogia col caso prima considerato, si dice allora che 4 il rapporto di Q a T è - , e si scrive: 3 4 Q:T 3 oppure:

=

Q

Q

4

T

3

Più in generale, se A contiene m volte il sottomultiplo B/n, cioè si ha: B m A m-B n n m si dice che il rapporto di A a B è - e si scrive: n

A B

m n

oppure:

A

m

B

n

Il procedimento trova riscontro nella pratica del "misurare". Se il metro M non è esattamente contenuto nel segmento S da misurare si ricorre a un sottomultiplo del metro, ad esempio a M/I00, ossia al "centimetro", che (supponiamo) sia esnttamente contenuto in S: ad esempio 219 volte. Si ha cioè: M 219 S = 219 M 100 100

45

PITAGORA E l PTTAGORICI

219 cosicché il rapporto S : M è dato dallafrazione cioè (seri-

100 vendo nel modo decimale) da 2,19. E questa è appunto la misura in metri di S, cioè: S = 2,19 metri (= 219 centimetri) In questo secondo caso, il rapporto è dunque una frazione. Ma numeri interi e frazioni costituiscono i cosiddetti "numeri razionali", e grandezze che si trovino nelle condizioni sopra vedute si dicono "grandezze commensurabili": tali cioè che ammettano un sottomultiplo comune. e Pertanto: il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale. Questa parola "razionale" si ricollega a "ragione", o rapporto (latino mtio, greco lògos): il numero "razionale" è appunto quello che esprime il rapporto. Si vede inoltre che il rapporto tra due grandezze commensurabili si determina con un numero finito di operazioni: basta infatti determinare un sottomultiplo comune alle due grandezze (riportando la minore sulla maggiore, il resto sulla minore, e cosÌ via, come è stato prima spiegato) e vedere poi quante volte tale sottomultiplo comune è contenuto nelle due grandezze. Ma non è possibile, invece, far ciò per due grandezze incommensurabili: ad esempio per la diagonale e il lato di un quadrato. Infatti, se si applicasse lo stesso procedimento or ora veduto, esso non avrebbe mai fine, come s'è fatto vedere a proposito della dimostrazione di incommensurabilità tra lato e diagonale. Nessun numero razionale può esprimere il rapporto, nel senso sopra veduto, tra due grandezze, quando queste sono incommensurabili: può anche dirsi che il rapporto non si lascia in questo caso determinare mediante un numero finito di operazioni. Noi chiamiamo oggi "numero irrazionale" un tale rapporto: e definiamo come numero irrazionale l'ente di separazione tra due classi di numeri razionali soddisfacenti a determinate condizioni: ad esempio definiamo il numero irrazionale V2" mediante le due classi di numeri razionali: l 2

1,4 1,5

1,41 1,42

1,414 1,415

1,4142.... . 1,4143.... .

6 Anche nel primo caso considerato può dirsi che le due grandezze ammettono un lottomultiplo comune, costituito dalla stessa seconda grandezza che può riguardarsi come sottomultiplo di se stessa (B: l = B). .

46

PITAGORA E 1 PITAGORICI

che ne costituiscono valori approssimati, rispettivamente, per difetto c per eccesso: ~. 2 è maggiore di qualunque elemento della prima classe e minore di qualunque elemento della seconda, comunque gli elementi di una classe vadano, per dir cosÌ, avvicinandosi a quelli dell'altra. La definizione moderna di numero irrazionale mette dunque in gioco la considerazione di infiniti numeri razionali: corrispondentemente a quanto dagli antichi fu veduto circa iI rapporto di due grandezze incommensurabili, ehe non può determinarsi mediante un numero finito di operazioni. La dimostrazione della "incommensurabilità" del lato e della diagonale d'un quadrato equivale alla dimostrazione della irrazionalità di J/2. Non esiste, cioè, alcun numero raziom

nale - che sia uguale a 1-'2. Se, infatti, fosse: n

m

V2

n

si avrebbe, elevando al quadrato:

m' 2 da cui:

m2

=

2 n'

cioè quella stessa uguaglianza assurda prima vista. Il legame sta nel fatto che se indichiamo con 1 la lunghezza del lato d'un quadrato, la lunghezza della diagonale è espressa appunto da Vf, come si vede applicando iI teorema di Pitagora:

AC"

=

AB'

+

BC'

=

P

+

P

= l

+

l

= 2

quindi:

AC

= 1/2

(Si è fatto riferimento alla figura di pago 39).

È opportuno, a questo proposito, osservare che sono irrazionali tutte le radici quadrate, come I 3, l/s, I· 6, k 7, ecc. che non sono radici di quadrati perfetti: non esiste cioè nessun numero razionale (vale a dire intero o frazionario) che moltiplicato per se stesso dia 3, o 5, o 6, o 7, ecc.

PTTAGORA E I PITAGORICI

47

L'argomento della scoperta degli irrazionali viene lumeggiato in modo singolare in un celebre brano del Dialogo Teeteto di Platone; del brano stesso tratteremo nel capitolo destinato ad Euclide, in relazione con quanto sull'argomento degli irrazionali è esposto nel X libro degli Elementi del grande geometra. Rinviamo perciò il lettore a detto capitolo per una conclusione sulla questione così controversa. La quadratura delle lunule di Ippocrate ~ stato già detto che un argomento fondamentale a favore del valore scientifico da attribuire alla primitiva scuola pitagorica sta nella complessità delle concezioni e costruzioni geometriche di Ippocrate di Chio e di Archita di Taranto, i quali fiorirono tra il 430 e il 390 a. C. Dovremmo essere, invece, con Ippocrate e Archita, appena agIi inizi della matematica, se non vi fosse stato un lungo stadio precedente di sviluppo dovuto all'attività della scuola pitagorica. Ippocrate si occupa del problema della quadratura del circolo: problema che già nella sua stessa impostazione presuppone una maturità di pensiero matematico. In che consiste il problema della quadratura del circolo? Consiste nel costruire un quadrato equivalente ad un cerchio di raggio dato. Che un tal quadrato esista è fuori di dubbio, come si vede in base 'a considerazioni di continuità: è possibile anche costruirl~ purché si ricorra a mezzi (tracciamento di curve, ecc.) che non possono ricondursi all'uso classico dei cosiddetti strumenti elementari (riga e compasso). La insolubilità del problema della quadratura del circolo mediante costruzioni eseguibili usando nel senso classico riga e compasso, è stata nel secolo scorso dimostrata. Il problema della quadra tura del circolo non interessa qnindi più i matematici, i quali sanno con certezza assoluta che esso

48

PITAGORA E l PITAGORICI

non può essere risolto con gli strumenti elementari, ma può essere risolto con tracciamento di altre curve (ad esempio la cosiddetta quadratrice dovuta ad Ippia, che sembra certo si debba identificare col famoso sofista contemporaneo di Socrate).

Dell'opera di Ippocrate abbiamo un ampio frammento sulla quadra tura delle lunule dovuto a Simplicio (commentatore di Aristotele, vissuto intorno al 500 d. C.) il quale riporta da Alessandro di Afrodisia e da Eudemo di Rodi. Lo spunto per tali citazioni è dato da un'opinione di Aristotele circa gli errori commessi da Antifonte e da Brissone, e circa quelli che sarebbero stati commessi anche da Ippocrate, nei tentativi di quadrare il cerchio. Senza entrare in particolari sulla dibattutissima questione, ci limitiamo a esporre brevemente due procedimenti, che Simplicio riporta da Alessandro. Sia AB un diametro del cerchio di centro 0, e siano AC, CB due lati consecutivi del quadrato iscritto nel cerchio. Su AC come diametro si tracci la semicirconferenza ADC. Poiché il quadrato di AB è doppio del quadrato di AC, 7 e d'altra parte i cerchi (e i semi-

, Infatti AB è la diagonale d'un quadrato, di cui AC è il lato: Bi tratta di una que8tione che vedremo trattata Del Menone di Platone.

49

i'ITAGORA E 1 PITAGORlCl

cerchi) stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi diametri, risulta che il semicerchio ACB è doppio del semicerchio ADC, ossia che il quadrante AECO (metà del semicerchio ACB) ha la stessa area del semicerchio ADC. Sottraendo allora la parte cmmme al quadrante e al semicerchio (cioè il segmento circolare AEC) si ricava che la lunula AECD è equivalente al triangolo AOC: è stata cosÌ quadrata la lunula stessa (potendosi costruire un quadrato equivalente al triangolo). Ed ecco ora il secondo procedimento. Sia ABCD metà dell'esagono regolare iscritto nel F

M

O

K

L

cerchio di diametro AD. Su ciascun lato si costruisca un semicerchio, come indica la figura. Si costruisca poi il semicerchio KLM di diametro KL = AB = BC = CD, quindi uguale ai tre già costruiti. Poiché il semicerchio di diametro AD è quadruplo del semicerchio di diametro KL (come si vede con un ragionamento simile a quello impiegato per la quadratura precedente) risulta che: sem. BFC Semicerchio AOD = sem. AEB sem. CHD sem. KML Togliendo dai due membri i tre segmenti circolari ANB, BOC, CPD, risulta:

+ +

+

50

PtTAGORA E 1 PiTAGORICi

+ +

+

Trapezio ABCD = lunula AEBN lunula BFCO lunula CHDP sem. KML Se, come nel caso precedente, si potessero "quadrare" le tre lunule in questione (cosa, invece, impossibile nel nostro caso) si sarebbe cosÌ "quadrato" un semicerchio KML e quindi anche un cerchio. Che Ippocrate possa essere incorso in un errore di valutazione di tal genere, ed abbia ritenuto di aver cosÌ quadrato il cerchio, sembra inconcepibile: la questione è (come già abbiamo accennato) dibattutissima. Ma non intendiamo fermarci qui su di essa: ci basti richiamare l'attenzione sulla genialità dei procedimenti adoperati 8 per ribadire l'opinione già espressa sull'impossibilità che Ippocrate (pur essendo fiorito prima del 400 a. C.) si trovi "agli albori" della geometria e sulla necessità che egli abbia avuto predecessori notevoli.

n problema

di Delo

Oltre al cenno sopra dato su Ippocrate di Chio, è opportuno ricordare l'opera di Archita di Taranto, della quale ci dà notizia Eutocio nel suo commento alle opere di Archimede, citando Eudemo. Si tratta della risoluzione del problema della duplicazione del cubo, la quale, trovata intorno al 400 a. C., dimostra quanto progredite fossero le cognizioni geometriche nel periodo che c'interessa. Il problema della duplicazione del cubo è detto anche problema di Delo in relazione ad una sua leggendaria origine mitica secondo la quale si sarebbe trattato di "raddoppiare" l'altare, di forma cubica, dell'isola di Delo. ~ assai verosimile che à porre il problema della duplicazione del cubo i matematici greci furono • Si

DOti

ch. Ippocrat. quadrò anche altre due lunulo.

51

PITAGORA E I PITAGORICI

condotti irresistibilmente per estensione di quello della duplicazione del quadrato. Di quest'ultimo problema, di assai semplice risoluzione, tratta anche Platone nel Dialogo Menone, in quel famoso brano nel quale fa risolvere da un fanciullo ignaro il problema in questione, sotto l'accorta attiva guida di Socrate. Ivi appunto si giunge alla constatazione che il quadrato costruito sulla diagonale d'un altro quadrato è doppio di quest'ultimo. In sostanza, il raddoppiamento del quadrato è un problema che si identifica con quello della costruzione della media proporzionale x tra due segmenti dati.a, b. Infatti, dalla proporzione:

a:x=x:b si ricava:

x' = ab Basta porre b

2 a, perché si abbia x' = 2 a'

vale a dire il segmento medio proporzionale costruito tra a, 2 a è il lato del quadrato di area doppia di quello di lato a. Per risolvere, invece, il problema della duplicazione del cubo non basta inserire una media proporzionale, ma occorre inserirne due. Appunto ad Ippocrate di Chio viene attribuita la "riduzione" del problema della duplicazione del cubo a quello dell'inserzione di due medie proporzionali tra due segmenti dati. Infatti, se si riesce ad inserire tra i segmenti a, b due medie proporzionali x, y: a:x

x:y=y:b

si ricava: a

a

a

a

x

y

-.-.-=-.-.x

x

x

x

y

b

52

PlTAGORA E I PITAGORICI

lliii.:

x'

b

e basta supporre b ""'" 2 a per ricavare x, = 2 a'

La risoluzione che Archita dà del problema della inserzione della doppia media proporzionale tra due segmenti dati è arditissima e rivela già una grande maturità' geometrica. Non possiamo qui entrare in particolari: ci limitiamo a dire che Archita trova la posizione di un punto, legato alla soluzione del suo problema, determinando il punto stesso come intersezione di tre superficie di rotazione. Precisamente si tratta di un toro di rotazione (cioè del solido generato dalla rotazione di un èerchio intorno ad un asse), di un cilindro, di un cono. Ancora più che per la trattazione di Ippocrate nessun dubbio lascia la costruzione di Archita sullo stadio di avanzato progresso già compiuto dalla geometria ai suoi tempi. Il cammino che dai primi pitagorici porta ad Euclide dovette evidentemente avere come motivi dominanti l'estensione graduale degli argomenti e 1'approfondimento del "rigore". Nel senso dell'estensione va precisato che, uscendo da un campo più strettamente elementare, la matematica greca in quel periodo si occupò già di problemi di carattere "superiore", quali quello della duplicazione del cubo, della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio: inoltre delle proprietà delle coniche e di altre curve. Nel senso dell'approfondimento del rigore va rilevato che in detto periodo la matematica greca riuscì a dominare - entro certi limiti - l'''infinito mate-

PITAI;ORA E I PITAGORICI

53

matico", costringendolo - per dir cosÌ entro schemi completamente rigorosi. Il più grande "imbrigliatore" dell'infinito, forse attraverso tutti i tempi, fu Eudosso di Cnido, contemporaneo di Platone. Le teorie di Eudosso si ritrovano negli Elementi di Euclide: ne tratteremo dunque nel capitolo che a detti Elementi è dedicato. Lo stesso si dica per i contributi notevolissimi dovuti a Teeteto di Atene. I problemi matematici dell'infinito Ci limitiamo qui a dire che, anche in relazione al problema della quadratura del cerchio, si vide che l'uguaglianza di due superficie non poteva mettersi in evidenza mediante la scomposizione delle figure in un numero "finito" di parti "finite" a due a due uguali, tranne che in casi particolari: cioè per i poligoni. E la corrispondente difficoltà si presenta, per i solidi, già nelle piramidi. Si venne cosÌ a prospettare, in vari campi di ricerca, la necessità di ricorrere a scomposizioni di grandezze in numero infinitamente grande di parti infinitamente piccole; sorgeva, cioè, nei suoi primordi, l'uso di procedimenti di carattere infinitesimale. Ma detto uso non andò esente da abusi e paradoesi; baeti citare il ragionamento del sofista Antifonte, che deduceva la quadrabilità del cerchio da quella del poligono, in base all'affermazione che un poligono regolare di numero crescente di)ati finisce col confondersi con la circonferenza. Sorse cosÌ naturale il desiderio di discriminare tali questioni una volta per tutte, per liberarsi dalla possibilità di errori paradossali concernenti l'uso dell'infinito: la critica s'impadronì dei procedi-

54

PITAGORA E I PITAGORICI

menti infinitesimali e mirò a sistemarli e renderli rigorosi. Troviamo appnnto una tale sistemazione presso Eudosso di Cnido, con una nuova teoria generale delle proporzioni e con l'uso sistematico del "metodo di esaustione" (per il confronto di aree o di volumi) in cui si evita la considerazione dell'infinito. Come già abbiamo accennato, tanto dell'una quanto dell'altra teoria ci occuperemo nel seguito, anche in relazione all'esposizione che di esse fa Euclide nei suoi Elementi. ContempQraneamente furono studiati gli "irrazionali". Pare che se ne occupasse Democrito,' come si rileverebbe dal titolo d'una delle sue opere; da Platone sappiamo inoltre che Teodoro di Cirene si dedicò a questo studio, e che dopo di lui anche Teeteto trattò l'argomento con vedute più generali. In Euclide (libro X degli Elementi) troviamo una vasta trattazione in proposito, che riprende e verosimilmente amplia i risultati fondamentali ottenuti dai predecessori: vedremo anche questo a suo tempo.

55

IV

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO L'interesse matematico di Platone

« Platone ... fece prendere il massimo incremento alle altre scienze matematiche e alla geometria, per il suo grande amore verso di esse: ciò è manifesto poiché riempì i suoi scritti di considerazioni matematiche e ovunque destò ammirazione per queste scienze in coloro che studiano filosofia». Con queste parole Pro cio, nel suo Riassunto, descrive la posizione del filosofo Platone rispetto alla matematica dell'epoca. La testimonianza di Pro cio ha pieno valore, pur data la nota inclinazione di Proclo stesso verso i11ontano Maestro: infatti la testimonianza si fonda sopra un solido elemento di verità rappresentato concretamente da tutto l'insieme delle opere di Platone. :B noto che il grande filosofo ateniese è uno dei pochissimi personaggi della cultura antica, per i quali si è avuta la completa conservazione delle opere. Anzi, a prescindere dai cosiddetti àgrafa dògmata, insegnamenti che non furono scritti, oltre a tutte le opere stesse la tradizione ci ha tramandato anche alcune opere pseudoplatoniche: dialoghi spuri o di dubbia autenticità. Tutto il materiale, di circa una trentina di dialoghi, ci offre, con tutta l'ampiezza immaginabile, una viva rappresentazione del conflitto delle idee,

56

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IY SECOLO

che rispondono ai motivi più profondi della cultura greca contemporanea. E occorre pensare che nel IV secolo a. C. non si era ancora avuta una completa separazione delle scienze particolari dalla filosofia: o, per meglio dire, l'influenza della filosofia sulle scienze stesse si esercitava in modo particolarmente diretto. Naturalmente si tratta di un rapporto di azione e reazione, cioè di un fecondissimo scambio tra filosofia e scienze, scambio che in Platone stesso è chiaramente visibile. Senza dubbio dall'insieme dei Dialoghi si possono ricavare delle notizie interessantissime riguardanti la storia della matematica preeuclidea: il lettore sa quale scars~zza di fonti vi sia per tale periodo e quindi si renderà conto dell'opportunità, per non dire necessità, di utilizzare pienamente qu~lla fonte di prim'ordine che, se pure indirettamente, Platone costituisce. Ma non è possibile considerare per il nostro scopo Platone semplicemente come un fornitore più o meno occasionale di notizie. Effettivamente, come Proclo dice, le sue opere sono piene di considerazioni matematiche, talvolta di carattere strettamente tecnico, talvolta di carattere più attinente alla filosofia. Non possiamo dubitare del fatto che Platone non sia stato soltanto uno spettatore degli sviluppi matematici del suo tempo, ma anche un vero e proprio attore. Con ciò non si vuole affermare che Platone sia stato un matematico nel vero senso della parola; che egli abbia studiato matematica è fuori di dubbio, ma è altrettanto fuori di dubbio che egli non fu un matematico ricercatore, e che alla matematica rimase sempre in certo modo estraneo, come tra poco vedremo. Egli tuttavia subì profonda l'influenza del pensiero matematico, e reciprocamente esercitò altret-

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLQ

57

tanto profonda influenza sulla matematica del /Suo tempo. Infatti il posto che la matematica occupa nel /Suo .sistema filosofico è talmente notevole, che necessariamente negli ambienti filosofici a lui legati dové risentirsi un particolare incoraggiamento agli studi matematici, secondo le particolari direttive fissate dal Maestro. Ma forse tutto questo insieme di rapporti verrà meglio chiarito se noi seguiremo, sia pure nelle grandi linee, lo sviluppo del pensiero platonico attraverso i suoi Dialoghi, soffermandoci a considerarne in particolare il fattore matematico. La questione della cronologia dei Dialoghi

1;; ben noto che chi si accinse allo studio delle opere di Platone per tentare di ricostruirne il pensiero, si trovò inizialmente di fronte ad una grave difficoltà. Infatti le opere di Platone sono state composte in un lungo periodo di tempo, durante il quale il pensiero platonico si è andato evolvendo e modificando più o meno profondamente. D'altra parte, lo sviluppo delle dottrine potrebbe essere seguito in maniera sicura soltanto se in maniera altrettanto sicura si conoscesse l'ordine di successione nel tempo della composizione dei Dialoghi. Finché nello stabilire l'ordine stesso si fece ricorso unicamente agli elementi interni, cioè al contenuto dei Dialoghi, ei poterono ricavare elementi spesso sicuri, ma talvolta ci si aggirò in un circolo vizioso in quanto le teorie svolte in un determinato Dialogo dovevano servire a datarne la composizione, e d'altra parte una datazione cosÌ fatta presupponeva già la conoscenza a priori del ciclo di sviluppo del pensiero platonico. 1;; ben noto che un passo decisivo venne fatto coi cosiddetti metodi stilometrici, i quali, partendo dal

58

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

dato sicuro che le Leggi siano l'ultimo Dialogo della vecchiaia, ne consideravano numerose particolarità stilistiche e retrodatavano gli altri Dialoghi considerando le deviazioni più o meno grandi nell'uso delle particolarità stilistiche stesse. Si tratta naturalmente di un criterio pura:t;nente esteriore e meccanico e che come tale va accolto con alcune evidenti riserve, ma che tuttavia è servito a confermare in maniera completamente indiretta quanto gli studiosi di Platone avevano già con criteri intrinseci affermato. Forse l'elemento matematico potrebbe riuscire anch'esso di aiuto nel risolvere questioni di tal genere: è invero assai interessante seguire, attraverso i vari Dialoghi, lo sviluppo del pensiero matematico. Ed anche un contributo, forse, potrebbe recare il fattore matematico per fornire elementi decisivi nei riguardi dell'autenticità o meno di qualche di310go dubbio: per esempio si sarebbe indotti a ritenere che non fosse opera di Platone il Dialogo I ppia maggiore, per il modo in cui questioni matematiche vengono in esso trattate. Nei primi Dialoghi platonici, quelli cosiddetti socratici, scarso o nullo è l'interesse che Platone mostra per la matematica. Tale interesse va indubbiamente crescendo con l'andare degli anni; si ha però un fortissimo sbalzo col Dialogo Menone, il quale sarebbe stato composto immediatamente dopo importanti studi matematici da Platone compiuti. Ecco un elemento per pensare che il Dialogo stesso è stato scritto subito dopo il primo viaggio in Sicilia, durante il quale, sulla via del ritorno, Platone avrebbe toccato Taranto, ove avrebbe conosciuto il grande matematico Archita, e Cirene, dove avrebbe avuto dimestichezza con l'altro matematico Teodoro, che sarebbe stato suo maestro. Platone

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

59

avrebbe cosÌ appreso la matematica intorno ai 40 anni: molto tardi per una scienza i cui creatori sono stati quasi sempre precocissimi. E forse il famoso brano delle Leggi (819 E) in cui l'Ateniese (che rappresenta Platone) si rammarica di aver conosciuto troppo tardi il fatto dell'incommensurabilità, cioè il motivo fondamentale della matematica greca dell'epoca, potrebbe avere valore autobiografico, in quanto Platone stesso si dorrebbe, nella sua vecchiaia, di avere troppo tardi dedicato il suo ingegno alla matematica. Certamente nel Dialogo Menone si ha u~a ricchezza un tecnicismo di elementi matematici quali raramente è dato di trovare in altri Dialoghi, cosÌ da far pensare appunto all'ardore di un neofita e ad una recente conquista intellettuale. Anzitutto si ha nel Menone (86 A) la definizione di figura come limite del solido, alla quale accennerèmo più in particolare trattando degli Elementi di Euclide: infatti identica definizione si ritrova per la superficie negli Elementi del grande geometra alessandrino. Un brano matematico assai più esteso è quello che ci fornisce la dimostrazione, sia pure con vasti elementi intuitivi, del caso particolare del teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo isoscele: ne tratteremo tra breve ampiamente, a proposito dell'influenza esercitata da Platone sull'insegnamento della matematica. Un terzo brano di alto interesse matematico e di stretto tecnicismo è dato da quello cosiddetto della ipotesi geometrica: si tratta di un tecnicismo davvero ermetico, che ha fatto scorrere fiumi d'inchiostro per la comprensione del brano stesso. 1

e

1 Cfr. A. F'RA.JESE, SU un passo geometrico controverso del Menone, in «Rivista di filologia classica» e in «Bollettino dell'Unione matematica italiana» giugno 1943.

60

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

Nei Dialoghi che seguono il Menone comincia a svilupparsi la teoria delle idee. Più stretti diventano i legami tra filosofia platonica e matematica: sono forse gli enti matematici ad offrire uno spunto alla teoria filosofica? La loro considerazione, verrà detto ripetutamente nella Repubblica così da costituirne un motivo fondamentale, è "argano" al vero in quanto conduce verso la contemplazione delle idee. Ciò suggerisce l'impressione che l'affermazione vada intesa anche in senso genetico, in quanto Platone stesso fu forse condotto dagli enti matematici verso tale contemplazione. Si spiegherebbe così l'insistenza di quel motivo: traduzione di un dato autobiografico. Nell'Eutidemo si va delineando nettamente la posizione di subordinazione che, secondo Platone, la matematica deve occupare rispetto alla dialettica. I vi è detto che come i cacciatori prendono la preda e la consegnano ai cuochi, perché non se ne sanno servire, così i matematici pure sono cacciatori: non creano essi stessi le figure geometriche, ma vanno in cerca di quelle esistenti (qui il realismo platonico si traduce nell'affermazione dell'oggettività della matematica): «e poiché non sanno usarle ma soltanto scovarle, quelli che non sono affatto senza cervello affidano ai dialettici le loro scoperte, perché se ne servano ». Sembra qui di udire il brontolio della irritata opposizione di alcuni matematici alla pretesa di Platone: alcuni di essi si sono evidentemente già rivelati "senza cervello". Nella Repubblica finalmente (il Dialogo in cui si concreta il pensiero della piena maturità) il posto della matematica è chiaramente fissato. I matematici, anzitutto, non debbono coltivare la loro scienza in modo basso e volgare, tenendo soltanto di mira le applicazioni pratiche, ma debbono tenersi nell'ambito della più pura teo-

PLATONE E T,A MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

61

ria; la matematica deve condurli alla contemplazione delle idee. Questo distacco netto tra matematica teorica e matematica applicata è caratteristica di Platone, il quale solo in un Dialogo della vecchiaia, il Filebo, spalancherà le porte, come portiere vinto dalla calca, ad una moltitudine di scienze, anche applicative.

n

mito della caverna e la "Repubblica"

La funzione elevatissima della matematica viene adombrata nella famosa similitudine della caverna, in cui alcuni prigionieri sono legati cosÌ da non poter volgere il viso verso la luce, che proviene dall'apertura. f; la matematica che scioglie i legami che conduce su per l'erta i prigionieri liberati, fino a portarli là dove splende il sole; sole che non possono fissare perché a ciò la matematica non giunge. Invero Platone attribuisce alla matematica il secondo posto nel quadro della conoscenza scientifica: un posto di brillante secondo, sia pure; ma al di sopra del quale egli pone quello della dialettica, la quale procede senza bisogno di postulati. Alcuni studiosi vicini alla matematica per il loro spirito e la loro preparazione si sono posti in forma, oseremmo dire, angosciosa il problema di riscattare questa inferiorità. Qualcuno ha anche esagerato, e per lui, modificando il noto aforisma, si potrebbe dire: amicus Plato, magis amica mathematica. Che la dialettica possa procedere senza postulati è cosa che si potrebbe anche discutere. Ma una tale discussione sarebbe fuori posto, in quanto matematica e dialettica sono cosÌ nettamente staccate l'una dall'altra da non essere paragonabili. In questo senso non si può veramente parlare di un primo o di un secondo posto, ma

62

PLATONE E .LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

semplicemente di metodi completamente diversi. Effettivamente Platone discerne la vera natura della matematica: quella vera natm·a che soltanto molti secoli più tardi verrà posta in piena luce; egli vede che caratteristica essenziale della matematica è di dover partire da postulati iniziali i quali non sono giustificabili. Nella Repubblica (510 c, d) è detto: 2 « Credo che tu sappia come quelli che si occupano di -geometria e di computi e via dicendo ammettono il pari ed il dispari, e le figure, e tre specie di angoli, ed altri simili dati in ogni dimostrazione; e come avendone certa scienza, li prendono per base e non pensano più a darne nessun conto né a se stessi né ad altri, quasi fossero evidenti per tutti; e di qui prendendo le mosse, espongono tutto il seguito, e finiscono senza contrasto alla dimostrazione che si erano prefissa ». E in un altro brano della Repubblica (533 c) Platone va ancora oltre, anticipando quella che tanti secoli dopo doveva essere la frase paradossale di Bertrand Russell. I vi, dice Platone, riferendosi alla matematica: «Veramente la disciplina che non sa il suo principio, e che ha la fine ed il mezzo concatenato a quello che non sa, che modo c'è per chiamarla scienza? ». «Nessuno », è la risposta. Ma non bisogna trascurare altri lati positivi del rapporto tra Platone e la matematica. Anzitutto la posizione della Repubblica non è stazionaria. Quando si giunge al Filebo si trova che la dialettica viene già più debolmente difesa rispetto alle altre scienze (proprio di una difesa si ha l'impressione che si tratti): il numero entra trionfalmente a far parte della concezione filosofica, costituendo il mezzo di unione tra l'unità delle idee e la infinita molteplicità 2

Traduz. ZURETTI, edito Laterza, Bari.

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

63

delle cose. Per quanto vi sia in essa grande esagerazione, va citata l'opinione del Gomperz, il quale, nella successione dei tardi Dialoghi Sofista, Politico, Filebo, Timeo, vede i vari momenti del "cambiamento di dinastia" dalla dialettica alla matematica. Si giunge così a quel che sembra sia stato l'ultimo stadio del pensiero di Platone: a quegli àgrafa dògmata, a quella concezione delle idee-numeri che, attraverso i notevoli recenti studi condotti in Germania (nelle Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik) ed in Italia (Stefanini e altri), risulta abbastanza, se non completamente, chiarita. Tre questioni fondamentali strettamente collegate l'una all'altra vanno ora poste: l) Fu Platone un matematico? 2) Esercitò effettiva, immediata azione direttrice sui matematici suoi contemporanei? 3) Quali effetti sono sicuramente, storicamente documentabili circa la influenza esercitata da Platone sulla matematica? Platone matematico? Alla prima domanda se Platone fu un matematico, può con tutta certezza (come già è stato accennato) rispondersi negativamente. Ciò anzitutto si rivela attraverso la mentalità di Platone che, pur con il suo interesse per la matematica, ne resta sempre al di fuori. Platone è un filosofo, non è un matematico. La tradizione gli aveva assai semplicisticamente attribuita la paternità di pressoché tutte le nozioni matematiche sparse nelle sue opere. C. Blass, con la sua dissertazione De Platone mathematico del 1861, fu forse il primo a sfatare la leggenda. Tuttavia egli crede ancora di dover attri-

64

PLATONE E LA MATEl"IATICA GRECA NEL IV SECOLO

buire a Platone nientemeno che la scoperta dell'irrazionale! La vera e propria tradizione di "scoperte" matematiche di Platone riguarda soltanto quattro punti. A Platone viene attribuito: un metodo di risoluzione in numeri interi della equazione pitagorica, una soluzione meccanica del problema di Delo, l'applicazione ai problemi del metodo di analisi, la conoscenza di qualche poliedro semiregolare. Tralasciando per brevità le prime due questioni di interesse del tutto secondario, e detto che l'attribuzione riguardante i poliedri semiregolari deriva da una interpretazione fisico-matematica di un brano del Timeo, a occupiamoci della "scoperta dell'analisi", cioè del procedimento che riconduce la risoluzione d'un problema a quella di altri via via più semplici. Questo procedimento viene da Diogene Laerzio e da Proclo attribuito a Platone, il quale l'avrebbe comunicato a Leodamante di Taso, che ne avrebbe fatto numerose applicazioni alla geometria. Ora è fuori di dubbio che impiego di analisi si ebbe anche prima di Platone; la riduzione, fatta da Ippocrate di Chio, del problema di Delo alla inserzione di due medie proporzionali sta a testimoniare questo fatto evidente. Ma Platone può aver guardato all'aspetto logico generale del metodo usato dai matematici e aver forse richiamato l'attenzione anche sul cammino inverso, cioè sulla "sintesi". Dalla matematica Platone avrebbe poi trasportato il metodo nel campo filosofico, come si vede in un brano del Fedone (102 d, e) ed in uno della Repubblica (511), i quali si pre3 cero A. FRAJESE, Sul valore di un'attribuzione a Platone della conoscenza di due poliedri .emiregolari in «Archimede», maggio-giugno 1950, pp. 89-95. -

PLATONE E LA MATl!MATICA GRl!CA NEL IV SECOLO

65

sentano almeno come in relazione col procedimento matematico dell'analisi. Secondo altri, invece, sarebbero proprio tali brani l'origine dell'attribuzione dell'analisi in senso matematico a Platone. Ma la questione dell'analisi esorbita allora dalla questione del "Platone matematico" e ci conduce all'altra del "Platone direttore e propulsore di studi matematici". C'è chi non crede a questa attribuzione data a Platone: sembra strano che grandi matematici si siano lasciati imporre una tale direzione da un nonmatematico. Ma si può rispondere che anzitutto è un fatto certo che molti matematici lavoravano nell'ambito dell'Accademia: si può dire i piu, ed i più grandi: basti pensare a Teeteto ed a Eudosso. Non si vuoI poi dire che Platone abbia effettivamente e minuziosamente diretto gli studi matematici, ma solo che abbia esercitata una specie di alta direzione, e abbia indicato indirizzi generali di ricerca. La matematica dell'epoca non presentava, del resto, difficoltà tecniche paragonabili neppur lontanamente a quelle di oggi; inoltre Platone aveva un certo grado tecnico di conoscenza matematica, ed infine il suo grande genio fu troppo eccezionale per non giustificare una specie di influenza, altrettanto eccezionale, esercitata da lui non matematico sui matematici. Può chiarire la cosa un passo della Repubblica (528 b), là dove Platone si lamenta che la geometria solida non sia ancora debitamente coltivata. Il passo termina con le parole: « I cultori avrebbero bisogno di un direttore, senza il quale non possono giungere alla soluzione. Ma anzitutto è difficile che tale direttore ci sia, e poi, quand'anche ci fosse, come stanno ora le cose, quelli che si dedicano a queste ricerche non gli darebbero retta, per superbia» (Trad. cit.).

66

PLA1'ONE E LA MA1'EMAT1CA GRECA NEL iV SECOLO

Si vede che difficoltà furono incontrate, ma appunto questo fatto è una prova a favore della effettiva direzione: in quanto, se essa ci fu, dovette proprio urtare contro difficoltà di tal" genere, di cui abbiamo qui l'eco, ancor più chiaramente che nel-

l'Eutidemo. Platone fondatore dell'insegnamento matematico Finalmente passiamo alla questione dell'accertamento storico dell'influenza esercitata da Platone sullo sviluppo della matematica. Questa influenza, anzitutto, è stata enorme nel campo dell'insegnamento. Senza entrare in particolari circa il posto di primo .ordine che alla matematica vien dato nella educazione dei futuri reggitori dello Stato, si deve vedere in Platone, per tutti i tempi, il vero fondatore dell'insegnamento matematico, in quanto egli per primo vide il valore formativo della matematica. A questo proposito hanno importanza decisiva due notissimi brani della Repubblica che qui di seguito riportiamo: «Hai mai osservato come quelli per natura idonei ai computi sono pronti ed acuti in quasi tutte le discipline e che i tardi, qualora in questa disciplina vengano educati ed esercitati, anche se non ne ritraggono nessun altro vantaggio, tuttavia guadagnano tutti in acume e fanno progressi?» (526 b Trad. cit.). «E per tutte le discipline, quanto all'apprenderle meglio, sappiamo tutti che enorme differenza passa fra chi sia iniziato alla geometria e chi noi sia». (527 c - Trad. cit.). Né mancano precetti sul modo di insegnare la matematica: precetti che dovrebbero essere fatti

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

67

propri dagli insegnanti di tutte le discipline e di tutti i tempi: «L'arte dei computi però, e la geometria e tutta l'educazione preparatoria, che è d'uopo sia impartita prima della dialettica, si debbono mettere innanzi ai giovani, ma senza dare all'insegnamento forma di studio forzato ... Perché il libero non deve imparare nessuna disciplina se accompagnata a servitù: ché le fatiche corporali, fatte per forza, non peggiorano il corpo, ma nessun insegnamento sforzato s'impianta saldamente nell'anima ... Non educare dunque per forza ... i fanciulli nelle discipline; ma come se giocassero, allo scopo che tu sia ancora maggiormente in grado di scorgere a che cosa tenda ciascuno per natura» (536 d - 537 a). Ed è assai notevole che un concetto analogo si trovi sviluppato in un brano delle Leggi (819 a, b): ciò potrebbe pro-yare che effettivamente tali principi didattici furono attuati nell'Accademia. Platone dà inoltre un esempio magnifico: il famoso passo del Menone sul raddoppiamento del quadrato costituisce in realtà uno sfolgorante saggio di insegnamento "maieutico": in quel passo può vedersi la "magna charta" dell'insegnamento matematico elementare di tutti i tempi. D famoso brano del "Menone" Nel Dialogo Menone Socrate vuole dimostrare che "apprendere" non è altro che "ricordare" ciò che abbiamo appreso in una vita precedente. Egli fa chiamare un ragazzo del tutto Ignorante e gli propone un problema di geometria, il raddoppiamento del quadrato, che l'altro dovrebbe risolvere da sé soltanto "ricordando". ~ opportuno riportare il testo: ci serviamo della traduzione assai ade-

68

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

rente e chiara di Manlio Faggella (Soc. ed. Dante Alighieri). Socrate (al ragazzo) - Dimmi un poco, ragazzo mio, sai che questa figura a terra è un quadrato? (disegna col bastone a terra). Ragazzo - Lo so. S. - Il quadrato, dirai perciò, è una figura, che ha tutte codeste linee, (AB, BC, CD, DA), le quattro linee, uguali? R. - Sicuro! S. - Ma non ha anche codeste linee mediane uguali? (disegna ancora). R. - Sì. S. - Ma questa figura non può esser più grande pure e più piccola? R. - Eh, altro! S. - Or supponi che questo lato (AB) sia di due piedi, e quest'altro (AD) pure sia di due piedi, di quanti piedi sarà l'intero? Riflettici un po' cosÌ: supponi che questo lato sia di due piedi, e quest'altro d'un piede solo, non sarà d'una volta sola due piedi l'area? R. - Sì. S. - Ma, come sono anche qui due piedi, non dev'essere di due volte due piedi l'area? R. - Sicuro che lo deve essere! S. Due volte due piedi? R. - Sì. S. - E quanto farà due volte due piedi? Fa' il conto e dimmelo. R. - Socrate, fanno quattro. S. - Or non credi ci possa essere un'area grande due volte questa, ma pure così precisa, che abbia tutte le linee eguali, come questa che s'è veduta? p B N A R. Sicuro. S. Di quanti piedi sarà? R. Di otto. S. Bene, bene! Ora cerca di dirmi un po': di quanto sarà ogni linea di quest'altra? Ogni lato di questa prima è di due; e ogni lato di questa doppia?

l'LATOIU E LA. MATEMATICA GltECA NEL 11' SECOLO

R. -

69

È evidente, Socrate: sarà doppio. S. - Lo vedi, Menone, ch'io a costui non insegno affatto, ma gli domando tutto? Ed ora immagina di sapere quanto dev'essere lungo un lato dal quale possa formarsi un'area di otto piedi! Non è così? M. - Certamente. S. - Forse sa? M. - Niente affatto! S. - S'immagina di sapere: che s'ottiene da un lato doppio. M. - Sì, sì! S. - Ma guarda come da un ricordo si svolge un altro, secondo l'ordine dei ricordi! Tu di' un pochino (al ragazzo): da un lato doppio tu dici che si sviluppa una doppia area. Parlo d'una figura che non sia da una parte lunga e da un'altra breve, ma sia da per tutto uguale, come lo è questa, grande due volte questa, otto piedi. Guarda ora, se ti par si sviluppi ancora dal lato doppio. R. - Direi di sì. S. - E questa linea diventa doppia, se s'aggiunge una linea eguale da questa p,arte (BN)? R. - Sicuro! S. - Da questa (AN), dici, risulta un'area di otto piedi, quando si abbiano quattro linee come questa. R. - Sì. S. - Disegniamo, a salir da questa, altre quattro uguali (AN, ~L, LI, lA); e questo sarà nient'altro che quello che dici tu, vale a dire un quadrato largo otto piedi. R. - Precisamente. S. - Ora, in questa non ci sono forse questi altri quattro quadrati (ABCD, DIKC, CKLM, BCMN) di cui ciascuno è uguale a questo (AB CD) di quattro piedi? R. Sì. Di quanto viene? non è quattro volte tanto? S. R. Come no? '" S. Ma, quello ch'è quattro volte tanto viene a esser doppio? R. Per Giove, no! S. E allora quanto? R. Quadruplo. S. Perciò dalla linea doppia, ragazzo mio, non risulta uno 8pazio doppio, ma quadruplo. R. Questo è vero. S. Perché quattro volte quattro fa eedici. Non è eoei? R. Certo, certo! S. E un'area di otto piedi da quale linea si ottiene? D1l qualta (AN) non se ne ottiene una quadrupla?

70 R. S. R. S.

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

-

Direi di si. Quella di quattro piedi da questa (AB), che è la metà? Sì. E sia! Ora, un'area di otto piedi non sarà doppia di questa (ABCD) e metà di quest'altra (AILN)? R. - Certo. S. - E non s'otterrà da una linea che sia più lunga di questa (AB), ma più corta di quest'altra (AN)? Non è cosi? R. - A me pare che sia cosi. S. - Bene! rispondi che te ne pare, e dimmi un pochino: questa linea (AB) noi si diceva ch'era due piedi, e quest'altra (NA) quattro? R. - Sì. S. - Perciò la linea da cui si sviluppa un'area di otto piedi bisogna che sia più lunga di questa doppia, più corta però di questa, dalla quale risulta un'area di quattro? R. - Per forza! S. - Ingegnati un po' di dire: quanto credi debba essere lunga? R. - Tre piedi. S. - Ora, se dev'essere di tre piedi, si prenderà la metà di questa (BN), e non saranno così tre piedi? Perché questa (AB) sono due piedi, e questa (BP) uno! E così da quest'altra parte: due piedi questa (AD), e quest'altra uno ed avremo così il quadrato che dici. R. - Benissimo! S. - Ora, se è qui di tre, e pure qui (AP) di tre, il quadrato intero non sarà di tre volte tre? R. - Crederei. S. - Tre volte tre quanti piedi fa? R. - Nove piedi. S. - Ma il quadrato doppio di quanti piedi doveva essere? R. - D'otto piedi. S. _ Il quadrato ch'è d'otto piedi non risulta però dal lato ch'è di tre piedi. R. - No, dunque. S. - Da quale, allora? Fa' di dirmelo in forma piana. S'anche non vuoi contare, mostra col dito almeno da quale lato. R. - Per Giove, Socrate, non lo 101 Dimmi un po' tu (fa avvicinaTe il ragauo) questo qua· drato (ABCD) non è, forse, di quattro piedi? Capisci? R. - Capisco si!

S. -

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

71

S. - Ma noi a questo possiamo aggiungere un altro uguale (DIKC)? R. Sicuro! S. - E poi, questo terzo eguale a ciascuno dei due (CKLM)? R. - Sì. S. - E completare quest'altro pure (BCMN), che è qui nell'angolo? R. - Certamente. S. - Avremo in tal modo quattro quadrati uguali? R. - Sì. S. - Bene! Tutto questo quadrato allora quanto sarà di questo? R. - Quadruplo. S. - Ma si voleva un quadrato doppio! non ti ricordi? R. - Sicuro! S. - E queste linee (BD, DK, KM, MB), ohe van da un angolo all'altro, non tagliano in due ciascuno di questi quattro quadrati? R. - Precisamente. S. - Non si han così quattro linee eguali, che contengono questo spazio (DBMK)? R. - Si avranno, sì! S. - Guarda: quanto è grande questo quadrato (DBMK)? R. - Non saprei dire. S. - Dal momento che qui son quattro (ABCD, DIKC, CKLM, BCMN), ciascuna linea non ha tagliato internamente a metà c:"}scuno? R. - Sì. S. - Ora, quante metà ci sono in questo quadrato (DBMK)? R. - Quattro. S. - E in quest'altro (ABCD)? R. - Due. S. - E il quattro cos'è di due? R. Proprio il doppio. S. - Così questo (DBMK) è di quanti piedi? R. - Di otto. S. - E risulta da quale linea? R. - Da questa (DB). S. - Da quella che va da un angolo all'altro del quadrato di quattro piedi? '

R. - Si. S. -

Ora, questa la chiamano diagonale i lofisti; cosl Ile questa si chiama diagoll4lle, dalla diagonale, dici tu, ragazzo di Menone, risulta il quadrato doppio? R. - Preciso. Socrate.

72

PLATONE E LA MATEMATICA CRECA NEL 1" SECOLO

Riassu miamo brevemente il contenuto del brano sopra riportato. Si tratta di costruire un quadrato che abbia area doppia di quella del quadrato ABCD. Il ragazzo ritiene dapprima che un tal quadrato di area doppia si ottenga raddoppiando i lati, ma Socrate gli fa osservare che un tal quadrato ANLI cosÌ ottenuto è quadruplo e non doppio di quello dato. Si pensa allora che il quadrato di area doppia, dovendo avere un lato di lunghezza intermedia tra quella di AB e quella doppia, possa avere un lato che sia (come AP) uguale a una volta e mezza il lato primitivo. Ma si vede che neppure cosÌ facendo si ottiene il quadrato di area doppia. Finalmente viene suggerito di tracciare le diagonali DB, BM, MK, KD dei quattro quadrati componenti il quadrato AN LI e si vede che il quadrato DBMK avente per lati le diagonali stesse ha area doppia di quella di partenza: è cioè il quadrato che si cercava. Si tratta di un caso particolare del teorema di Pitagora e precisamente di quello riguardante il triangolo rettangolo isoscele: infatti, riferendo ci al triangolo rettangolo isoscele ADB, il quadrato costruito sull'ipotenusa BD risulta uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti AB, AD, cioè risulta doppio del quadrato costruito sul cateto AB. .

f: da osservarsi che, a prescindere dal significato mitico della reminiscenza, qui si ha un esempio di insegnamento "attivo", cioè di un metodo che fa ricercare la verità all'alunno 5te5!50. Occorre tuttavia fare presente che le risp?ste date dal ragazzo sono in verità assai limitate: potrebbe eoltanto affermarsi che egli sa trovare il doppio di qualche

PLATONE E LA MATEMATICA. GRECA. NEL IV SECOLO

73

numero. Ma con ciò non si vuole certo sottovalutare il valore pedagogico-didattico del brano. Piuttosto, dal punto di vista più strettamente tecnico, è notevole l'affermazione di continuità contenuta nel brano, lì dove dall'esistenza di un quadrato avente area quadrupla del dato (e lato doppio) si deduce con certezza che debba esistere un valore intermedio del lato generante il quadrato -di area doppia. Platone e gli "Elementi" di Euclide L'influenza di Platone si rivela infine nella formazione degli Elementi di Euclide. :i!; dello Zeuthen l'acuta concezione che il regredire verso gli "elementi", gli stoicheia, le "lettere dell'alfabeto", cioè verso i postulati di base, vada riguardato come un gigantesco procedimento di analisi, e che l'esposizione a tipe, euclideo vada considerata come il cammino inverso di sintesi. :i!; qui che Zeuthen, ricollegandosi all'attribuzione a Platone dell'analisi, vede l'effetto grandioso dell'opera platonica. Ma, scendendo un po' ai particolari, negli Elementi di Euclide è dato di vedere l'influenza sicura dell'opera di Platone: non per nulla la tradizione ci dipinge Euclide come un "platonico". Leggiamo questo passo della Repubblica (527 a, b): «Anche coloro che sono poco profondi in geometria non metteranno in dubbio che questa scienza è tutto il contrario di quanto parrebbe dalla terminologia usata da quelli che la professano ... è una terminologia troppo ridicola e misera; perché, quasi si trattasse di pratica e di scopo pratico ... parlano !empre di quadrare, di prolungare e di aggiungere, ed altre simili operazioni. Invece tutta la scienza si coltiva a scopo di conoscenza» (Trad. cit.). Chi non vede qui la causa di quello scrupolo per

74

PLATONE E LA MATEMATICA GRECA NEL IV SECOLO

il quale Euclide non nomina mai né riga né com· passo, ma postula soltanto le costruzioni a cui il loro uso conduce? E nel distacco netto che Platone fa tra geometria pura (che pone in luce) e geometria metrica (che pone in ombra) chi non vede la causa dell'assoluta assenza di ogni regola di misura in Euclide? E finalmente si può ricostruire con tutta certezza, coi documenti alla mano, che alcune defi· nizioni e proposizioni di Euclide trovano origine da Platone. Basti ricordare ancora una volta la defi· nizione euclidea di superficie come limite del solido, che con gli stessi termini si ritrova nel Menone. Minore appare l'influenza esercitata su Euclide da Aristotele: tuttavia neppure questa va sotto· valutata. Anche le opere di Aristotele contengono numerosissimi esempi e riferimenti matematici, il cui studio è della massima importanza per lo storico della matematica. Nel capitolo dedicato a Euclide viene talvolta da noi esplicitamente dimostrata l'influenza in questione.

75

v EUCLIDE E

I

SUOI "ELEMENTI"

Il grande trattato euclideo Euclide, il grande geometra di Alessandria, fiorisce intorno al 300 a. C., cioè sul finire del "periodo ellenico" (che dal 600 a. C. può farsi giungere fino al 300 a. C.) e all'inizio del "periodo ellenistico", o "perio:io alessandrino" (che va dal 300 a. C. all'inizio dell'era cristiana). Appunto nel periodo ellenistico, in seguito alle conquiste di Alessandro Magno, si allarga il campo (per dir così) geografico della cultura greca, la quale sposta il suo centro da Atene a Siracusa (con Archimede) e soprattutto ad Alessandria (con Euclide, e altri). Quest'ultima città diviene il più importante centro di studi del mondo greco, sotto il regno dei Tolomei. La tradizione ci ha conservato un paio di aneddoti sulla vita del grande geometra; aneddoti che, se anche non rispondono a verità, testimoniano come Euclide fosse ritenuto scienziato puro, tutto preso dall'ideale delle sue ricerche e dal culto del rigore. Al re Tolomeo che gli avrebbe chiesto se esistesse, per imparare la geometria, un metodo più rapido e più facile di quello fornito dagli Elementi, Euclide avrebbe risposto che non esistono "vie regie" in geometria. Ed altra volta, avendogli un allievo chiesto a che servisse la geometria, egli avrebbe dato ordine ad un servo di pagare una

76

HUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

moneta all'incauto e di scacciarlo, dal momento che voleva trarre profitto dalla scienza. Gli Elementi di Euclide si compongono di tredici libri: un XIV e un XV libro, che si riteneva facessero parte degli Elementi, sono stati riconosciuti essere aggiunte di geometri posteriori. Nei primi quattro libri si trovano le proposizioni fondamentali della geometria piana, e precisamente nel libro I la teoria dell'uguaglianza e dell'equivalenza dei poligoni, nel libro II (assai breve) la cosiddetta algebra geometrica (secondo la denominazione di Zeuthen), nel libro III le proprietà del cerchio e nel libro IV quelle dei poligoni regolari. Il libro V è dedicato alla teoria generale delle proporzioni tra grandezze (secondo la teoria di Eudosso) e il libro VI alle applicazioni di detta teoria alla geometria piana. Seguono i libri aritmetici VII, VIII, IX, nei quali vien trattato dei numeri (interi) e delle loro proprietà. Il libro X (il più lungo di tutti) dà sotto forma geometrica una elaborata classificazione degli irrazionali risultanti da radicali quadratici, anche sovrapposti. Finalmente nei libri XI, XII, XIII viene studiata la geometria solida. L'opera di Euclide, che presuppone naturalmente quella dei predecessori, della quale rappresenta una sintesi organica, ha carattere di sistemazione critica, e venne evidentemente concepita dall'Autore con intenti eminentemente espositivi. Va tuttavia osservato che assai scarse concessioni vengono fatte alla facilità d'apprendimento; l'aned· doto, loprariportato, della risposta al re Tolomeo,

ÈUCLÌDE E I SUOI «ELEMl!:N1'J"

17

ben rispecchia (vero o falso che sia) il dispregio per la via comoda, quando pur minimamente il rigore sia in gioco. Forse un accorgimento di carattere didattico potrebbe vedersi nel rinvio al libro V della teoria delle proporzioni, ormai resa rigorosa da Eudosso di Cnido, ma troppo difficile per un principiante: rinvio che dovette indubbiamente condurre Euclide ad una trattazione nuova di parte importante della materia. Va osservato che un tale "svincolamento" della geometria dalla teoria delle proporzioni dovette avere in un primo tempo (con la consapevolezza dell'esistenza e dell'importanza dell'''incommensurabilità") carattere di necessità, non essendo più rigorosa la ingenua, primitiva teoria delle proporzioni che poteva applicarsi solo al caso commensurabile. Ma dopo la sistemazione di Eudosso non vi fu più un motivo dovuto ad esigenze rigoristiche: si pensa pertanto che Euclide abbia ceduto alla sopra accennata opportunità di carattere didattico, a meno che egli non intendesse tener presenti esigenze di purismo e intendesse limitarsi nella parte iniziale della trattazione (cioè nei primi quattro libri) ad una "geometria pura", indipendente da una teoria in certo senso extra-geometrica, quale quella del libro V. ~ stato, ad ogni modo, ritenuto opera personale di Euclide il vasto motivo dell'esclusione della considerazione delle proporzioni dai primi quattro libri, ed è stata attribuita a tale opera personale la elaborazione di nuove dimostrazioni di teoremi importanti, effettuate sulla base dell'esclusione di cui sopra. Ciò è forse avvenuto per il teorema di Pitagora, e in tal senso potrebbe interpretarsi il passo del Commento di Proclo che attribuisce a Euclide la

78

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTi>,

dimostrazione del teorema stesso, che si trova nel libro I (Proposizione 47 a) degli Elementi. Tra gli altri esempi di Proposizioni, per le quali appare evidente l'intendimento di dare una dimostrazione indipendente dalle proporzioni, citiamo quella sulla sezione aurea d'un segmento (libro II, Proposizione lIa), con la relativa costruzione del pentagono regolare (libro IV, Proposizione II a) e quelle sulla potenza d'un punto rispetto a un cerchio (libro III, Proposizioni 35 a e 36a). Si tratta di dimostrazioni assai notevoli per la loro eleganza: oseremmo tuttavia dire che si scorga tra le righe lo sforzo per giungere ai risultati per vie nuove, diverse da quelle che sembrerebbe più spontaneo seguire. Le definizioni in Euclide Tutta la materia degli Elementi è fondata su vari principi che Euclide raccoglie in alcuni enunciati, la maggior parte dei quali è premessa allibro primo. Tuttavia l'elenco dei principi esposti negli Elementi non è completo: vi sono infatti ancora alcune presupposizioni implicite, senza dubbio presenti alla mente di Euclide, ma inespresse: presupposizioni che la critica moderna ha esplicitamente enunciate (per esempio i postulati dell'ordine e quelli della divisione del piano). I principi esposti da Euclide si trovano raccolti sotto tre titoli diversi: Termini (oroi), Postulati

(aitèmata), Nozioni comuni (Koinài ènnoiai). I Termini sono una specie di definizione, ma non già intesa nel senso moderno della parola. La definizione viene dai Greci concepita come "reale", ossia come un mezzo per indicare, o per descrivere, un oggetto esistente, o a cui si attribui-

79 Bce l'esistenza (in un mondo d'idee, o di quasi. idee, platonico): non come "nominale", ossia come costruzione del nostro pensiero, che esprime con· cetti più elevati o complessi per mezzo di concetti più semplici o elementari. Inutile dunque cercare nei Termini -.:n senso logico estraneo al concetto degli antichi. Si può invece convenire col Simon, che paragona i Termini euclidei alle indicazioni che il maestro di bottega dà sulla nomenclatura all'apprendista, dicendogli e mostrandogli: «Questa è la pialla, questa è la sega ». U n vero difetto potrà trovarsi nel fatto che non viene sempre individuato l'ente cui il Termine si riferisce. Così, per esempio, per la retta che Euclide definisce (Termine 4°) come« quella linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti ». l Se questa definizione s'interpreta, come sembra naturale, nel senso che sulla retta non vi sono punti privilegiati, tale proprietà non è esclusiva della retta, ma è condivisa ad esempio, tra le linee aperte, dall'elica cilindrica, come già faceva osservare Apoll,

Proposizione 32&, in cui si dimostra che la st;lmma degli angoli di ogni triangolo è uguale a due retti. Non intendiamo qui di esporre particolareggiatamente il contenuto del libro I, ma ci limitiamo a fornire alcune indicazioni soltanto su un punto particolarmente interessante: quello della teoria delle rette parallele. Anzitutto, tra i Termini, troviamo la definizione di rette parallele, che sono quelle d'un piano che, comunque prolungate, 7 non si incontrano. Il Postulato 50 detto anche "Postulato delle parallele" dà poi la condizione perché due rette s'incontrino. Esso, come già abbiamo avuto occasione di dire, afferma che se due rette r, s, tagliate da una terza retta t (trasversale) formano angoli "interni dalla stessa parte" ("coniugati interni") a:, ~ l~ c~i somma SIa mIt noredi dueretti, le rette stesse r, s, prolungate, s'incontrano da quella parte in cui la somma degli angoli è minore di due retti. :È questo, ripetiamo, un postulato. s I posteri hanno cercato in tutti i modi 7 Nelle nostre odierne definizioni Kolastiche basta dire che si tratta di "rette di un piano che non si incontrano". N ai consideriamo oggi infatti le rette come già "attualmente" infinite: Euclide le considerava invece come segmenti, cioè come soltanto "potenzialmente" infinite, vale a dire prolungabili a piacere, ma '·attualmente finite".

lWCLlDE F: I SUOI «ELEMENTI"

99

di dimostrare il Postulato 5° di Euclide, la cui mancata dimostrazione appariva come un "neo" (naevus). della trattazione e euclidea. Ma essi, se si sono spesso illusi di aver dimostrato il Postulato 5°, in sostanza non hanno fatto altro che sostituire ad esso qualche altro postulato logicamente equivalente, della cui necessaria ammissione non ·si sono, spesso, accorti. Indimostrabilità del quinto Postulato Soltanto nel XIX secolo si è veduto perché ogni tentativo era naufragato: si è dimostrata infatti la "indimostrabilità" del postulato di Euclide. Il significato della "in dimostrabilità" è il seguente: consideriamo le prime 28 Proposizioni del libro I di Euclide 8 ed insieme ad esse il Postulato 50. Che cosa significherebbe "dimostrare" il Postulato 50? Significherebbe far vedere che esso è conseguenza delle prime 28 Proposizioni, cioè che esso può "dedursi" da quelle. Ma se fosse possibile fornire questa dimostrazione, le prime 28 Proposizioni e la contemporanea "negazione" del Postulato 5° dovrebbero costituire un insieme contraddittorio. Si è invece dimostrato, attraverso la formazione delle cosiddette geometrie non-euclidee, che l'insieme:

"prime 28 proposizioni

+ negazione

5° postulato"

costituiscono un insieme logicamente coerente, esente da ogni contraddizione. S'è fornita così, in tal senso, la prova della "indimostrabilità" del Postulato 5°. E si è avuta allora ancora una prova dell'acutezza 8 Come vedremo tra un momento, Euclide applica il BUO Postulato 50 soltanto dalla Proposizione 29& del libro I in poi: .cioè le prime 28 Proposizioni non richiedono l'applicazione del Postulato stesso.

100

EUCLIDE E 1 SUOI «ELEMENTI»

mostrata da Euclide nell'enunciare come "postulato" la sua proposizione. Egli ne avrà senza dubbio cercata con ogni mezzo la dimostrazione, ma, a differenza di tanti, anche grandi, matematici suoi successori che s'illusero di averla trovata, non si lasciò trarre in inganno dalla riduzione ad altre proposizioni pur tanto evidenti: egli comprese pienamente che in tal modo non si sarebbe fatto che sostituire un postulato ad un altro. Ad esempio, una proposizione che equivale al Postulato 5°, è quella della unicità della parallela: cioè l'affermazione che per un punto P fuori di una retta r passa- una sola retta s parallela alla retta dda~ .

p

-----------------------------r , Si tratta, come si vede, d'una proposizione quanto mai evidente, cosicché potrebbe sorgere l'illusione che, riduceudo ade88a il· Postulato 5°, questo risultasse dimostrato. Ma Euclide (che pure implicitamente giunge all'unicità della parallela come conseguenza del Postulato 5°) non esita a riconoscere che è necessario pur sempre ammettere un postulato. Naturalmente Euclide non poté raggiungere (come noi oggi) la chiara idea della "indimostrabilità" del Postulato 50: l'insuccesso dei suoi tentativi di dimostrazione, a lui non imputabile~ anzi per lui titolo di gloria, dovette essere argomento di amarezza per il grande geometra. E un segno

EUCLIDE E I SUOI cELBMBlfTI»

101

ne vediamo non solo nel fatto che egli ha rinviato a più tarQi che fosse possibile l'applicazione del Postulato 5°, sicché le prime 28 Proposizioni del libro I non ne dipendono; ma anche nel fatto che tra le prime 28 Proposizioni ve n'è una (la 17a) che è completamente inutile, e che vien data solo per mostrare fino a quale estremo limite si poteva giungere (nella ricerca della somma degli angoli d'un triangolo) senza ricorrere al Postulato 5°. Una proposizione inutile? La Proposi}lione 17a dice infatti che: "In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti". E la dimostrazione che di questa proposizione dà Euclide è indipendente dal Postulato 5°. Ma la Proposizione 32 a, applicando invece il postulato stesso, afferma che: "I n ogni triangolo la somma dei tre angoli è uguale a due retti". E d'altra parte la Proposizione 17a non trova alcuna applicazione nel libro I, cosicché di essa si sarebbe potuto fare a meno ricavandola invece come diretta conseguenza della Proposizione 32 a. • Ma l'economia dell'opera euclidea è una vera e propria economia di "elementi"; cioè ogni proposizione viene data soltanto in quanto serva per dimostrarne altre seguenti, o per stabilire un risultato notevole fine a se stesso: qui ci troviamo di fronte a un vero "doppione" apparentemente inutile. La ricerca del perché Euclide abbia inserita la Proposizione 17a va fatta prescindendo dalla rigida economia degli Elementi. Euclide volle con la Propo-

• s. la lommA di tutt', tre gli angoli d'un triangolo & "U$utd." a duo retti•• chiaro ehe la ••mma di due angoli .oIteto, oemunque prcII, , uminere'" di due r~tti.

102

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

sizione 17a mostrare fino a qual punto si potesse fare a meno del Postulato 50? lO Si è già detto che il concetto di angolo presso Euclide non corrisponde a quello nostro odierno. Per noi l'angolo è una parte di piano; per i Greci, invece, la nozione di angolo si riconnette, per dir cosÌ, a quel che avviene nella immediata vicinanza del vertice. Sicché i Greci considerarono anche angoli a lati curvilinei: per es., quelli formati da due archi di cerchio aventi un estremo comune. L'uso di tali angoli doveva essere comune nella geometria greca più antica, come si rileva da un passo di Aristotele che appunto per mezzo di detti angoli fornisce la dimostrazione dell'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele. La definizione che Euclide dà di angolo avverte espressamente che se i lati sono linee rette l'angolo si dice rettilineo, venendo cosÌ ad ammettere iQlplicitamente che oltre agli angoli rettilinei ·esistano anche quelli "curvilinei". Ma l'uso di questi angoli si trova, negli Elementi di Euclide, pressoché bandito. Ciò a causa delle gravissime difficoltà che la considerazione degli angoli curvilinei stessi portava con sé in rapporto ad un celebre postulato dovuto a Eudosso e detto molto più tardi (solo nel XIX secolo) Postulato di Archimede, a cagione dell'uso sistematico che questi ne fece. Il Postulato in questione afferma che datc due grandezze omogenee disuguali è sempre possibile trovare un multiplo della minore che superi la maggiore, ovvero (ciò che fa lo stesso) un sottomultiplo della grandezza maggiore che risulti minore della grandezza minore. . VaIe a dire: dati, per es., due segmenti disuguali, riportando 1) Cfr. A. Fft"JESE, OS8ervazioni 8ulla 'eoria delle pa.rallele in Euclide, in BoB. Un. l\IRt. ItRI. ]Q51. Ivi è formulat.A nn'Rltra ipotf>!ili.

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

103

un conveniente numero di volte il minore, si riesce a costruire un segmento che superi il maggiore, ovvero si può dividere il segmento maggiore in un numero tale di parti che ciascuna parte risulti minore del segmento minore. La prima forma del Postulato equivarrebbe ad affermare che: "A quattrino a quattrino si supera lo zecchino", mentre la seconda forma equivarrebbe ad affermare che se un capitale anche grandissimo viene diviso in un numero sufficientemente grande di parti, ciascuna parte può risultare minore di una quota prefissata, anche piccolissima.

L'angolo di contingenza • ·Eudosso di Cnido, al quale, come è noto, si deve la teoria della proporzioni che da Euclide viene esposta nel libro V dei suoi Elementi, introdusse forse per primo in forma esplicita il suddetto postulato, sul quale è fondata la teoria stessa delle proporzioni. Questa teoria non si rivolge a grandezze particolari, come segmenti, o angoli, o superficie, o volumi; ma costituisce una teoria valida per grandezze omogenee di qualsiasi specie, purché soddisfacenti al postulato di Eudosso"Archimede. Ebbene: se come classe di grandezze omogenee viene considerato l'insieme degli angoli rettilinei e curvilinei, si trova che detta classe non soddisfa appunto al Postulato in questione. Ecco perché, per potere svolgere in modo del tutto generale la teoria delle proporzioni secondo Eudosso, Euclide esclude dalle sue considerazioni gli angoli curvilinei, mentre invece l'insieme dei soli angoli rettilinei soddisfa al postulato sopra menzionato. Ed Euclide, in una Proposizione del libro III, dimostra appunto, con estrema semplicità di mezzi, che la classe degli angoli curvilinei e rettilinei insieme, non soddisfa al Postulato di Eudosso-Archi· mede, e raggiunge tale scopo fornendo l'esempio di

104

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

quel che più tardi venne detto "angolo di contingenza". È questo l'angolo, la cui considerazione ha dato luogo attraverso i secoli a celebri controversie, for-

A

--

D

B

mato da un arco di circonferenza con la retta tangente al cerchio in un estremo dell'arco stesso: ad esempio l'angolo formato dall'arco MB con la retta tangente Be. Euclide dimostra che non è possibile inserire tra arco e tangente una retta qualsiasi BD uscente dal vertice B. Infatti, se fosse possibile inserire una tal retta BD, potremmo abbassare dal centro O del cerchio la perpendicolare OH sulla BD stessa, 11 e il "piede" H di detta perpendicolare sarebbe esterno al cerchio, sicché il segmento di retta OH taglierebbe in un punto M intermedio la circonferenza. Avremmo cosÌ il triangolo OBH che sarebbe rettangolo, poiché l'angolo col vertice in H sarebbe retto. L'ipotenusa di detto triangolo sarebbe OB, mentre OH sarebbe un cateto. E poiché OH è evidentemente maggiore di OB (che è uguale ad OM) un cateto risulterebbe maggiore deU'ipotenusa, ciò che è impossibile. I l Risulta cosÌ dimostrato per assurdo che non è possi11 La perpendicolare OH Don pu& coincidere con la retta OB, percht! questa p"'P.endicolare alla Be (il raggio è perpendicolare alla tangente) e non alla BD. 1:1 È noto che in ogni triangolo rettangolo l'ipotenula (lato 0ppOlto all'angolo rotto) • maggiore di ciascuno dei cateti (lati che comprendono l'angolo retto). ~

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

105

bile inserire tra arco di cerchio e tangente una retta comeBD, vale a dire che non esiste un angolo rettilineo DBC che sia minore dell'angolo di contingenza MBC.

Cosicché, se consideriamo un angolo di contingenza ed un angolo rettilineo qualunque, non potremo mai trovare un sottomultiplo dell'angolo rettilineo che sia minore dell'angolo di contingenza,t3 cioè angolo di contingenza ed angolo rettilineo non soddisfano al Postulato di Eudosso-Archimede. La teoria delle proporzioni presentò gravi difficoltà nella sua sistemazione rigorosa. Si tratta di proporzioni tra grandezze, naturalmente omogenee: ad esempio tra quattro segmenti. Sorge naturale l'idea di sostituire ai quattro segmenti le loro lunghezze, cioè i numeri che si ottengono "misurando" i segmenti rispetto a una certa unità di misura. Ma ciò è facile finché si resta nel campo delle grandezze commensurabili, cioè fino a che i quattro segmenti son tutti commensurabili tra loro (e rispetto all'unità di misura). In tal caso le misure (cioè i rapporti tra ciascun segmento e l'unità di misura) sono numeri interi o fratti, cioè numeri razionali, ed è assai semplice considerare proporzioni fra tali numeri: si tratta delle comuni proporzioni dell'aritmetica, che si studiano oggi nelle scuole medie inferiori. Ma questa poteva essere la via primitiva (forse dei primordi della scuola pitagorica) per la trattazione delle proporzioni tra grandezze: la scoperta dell'incommensurabilità mise subito in difficoltà. Una proporzione, come tutti sanno, è l'uguaglianza di due rapporti. Ma se i termini di ciascun rapporto sono tra loro incommensurabili, i rapporti risultano irrazionali. Definire, quindi, in linea generale quando quattro grandezze Bono in l.l

Percbé olò equivarrebbe a poter in.erir. quella tal rotta DD.

106

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

proporzione ~ignifica definire quando due numeri reali (cioè razionali o irrazionali) sono uguali. Ricordiamo che un numero irrazionale si lascia definire mediante i suoi valori razionali approssimati per difetto e approssimati per eccesso. Ad esempio il numero irrazionale I, 2, se venisse posto sotto forma di numero decimale, non avrebbe mai termine nel suo sviluppo né presenterebbe un "periodo"; ma sarebbe possibile, con numeri decimali limitati U avvicinarsi quanto si vuole al suo vero valore. Qui di seguito, ad esempio, diamo nella prima linea valori approssimati per difetto di , 2, mentre nella seconda linea diamo valori approssimati per eccesso: l 1,4 1,41 1,4H 1,4142 .... . 2 1,5 1,42 1,415 1,4143 .... . cioè: se moltiplichiamo per se stessi i numeri della prima linea otteniamo come risultati numeri minori di 2, ma che, a mano a mano che si procede verso destra, vanno sempre più avvicinandosi a 2. Mentre se moltiplichiamo per se stessi i numeri della seconda linea otteniamo come risultati numeri maggiori di 2, ma che pure, a mano a mano che si procede verso destra, vanno avvicinandosi sempre più a 2. Cosicché il numero irrazionale V 2" viene, per dir cosÌ, a trovarsi compresso tra le due morse di una tenaglia, che si vanno stringendo sempre più.

Un celebre brano del "Teeteto" Nella moderna teoria dei numeri reali, quando diciamo che due numeri irrazionali sono uguali tra loro? Quando essi hanno gli stessi valori razionali approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso: cioè quando qualsiasi valore razionale approssimato per difetto del primo numero è valore approssimato per difetto anche del secondo 14 I numeri decimali possono essere: I) "limitati", ossia aventi un numrrn lilllitato di cifre (ad esempio 0,29); 2) "illimitati periodici", aventi un numero iIlilllitato di eifre che però. almeno da un certo punto in poi, si ripetono "periodim""'"'ff" (ad esempio 0, 3232323232 ••. ); 3) "illimitati non periodici", aventi nmurw illimitato di cifre che non si ripetono periodicamente (ad esempio 0, 121122111:!2:! ... ). I decimali delle prime due specie sono numeri razionali, cioè equivalgo 110 Il IlIlrri 29 32 o a frazioni (ad eeempio: 0,29 = - ; 0,323232 ... :;e -l, mpntn i fll'l~llliIll 100 99 illimitati non periodici sono numeri Jrrft7.Ìonali.

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTl»

107

numero, e eimilmente quando qualsiasi valore approssimato per eccesso dell'uno è valore approssimato per eccesso dell'altro. Proprio questo è il concetto che Euclide pone a base della sua definizione di proporzione, cioè di uguaglianza di rapporti tra grandezze (cioè ancora: di uguaglianza di numeri reali). Non entriamo qui in particolari tecnici sulla rigorosa teoria (esposta nel libro V degli Elementi) che da quella definizione prende le mosse: ci limitiamo a dire, in relazione a quanto è stato già accennato a proposito dell'angolo di contingenza, che la teoria stessa si fonda sul Postulato di, Eudosso-Archimede. Nel libro X Euclide studia gli irrazionali, e dà una classificazione di quegli irrazionali che (diremmo noi oggi) si presentano nella risoluzione di equazioni biquadratiche trinomie, o più in generale riducibili al secondo grado. Questo libro X è il più complesso fra tutti quelli degli Elementi di Euclide: basti dire (anche per riferirei al solo elemento esteriore della lunghezza) che consta di ben 115 Proposizioni. L'astrattezza deUa trattazione rende anche di una certa difficoltà la lettura. Si tratta tuttavia di un libro in cui il rigore e l'eleganza raggiungono il massimo culmine, e che ha esercitato grande influenza sui successivi sviluppi della nostra scienza, come, ad esempio, viene qui mostrato nell'ultimo capitolo, dedicato alla matematica. medioevale. Nel libro X, .nella parte iniziale, si trovano due "criteri" per riconoscere se due grandezze eono commensurabili o in commensurabili tra loro. Questi due criteri -son forse gli stessi ai quali accenna Platone, in un celebre brano sugli irrazionali contenuto nel Dialogo Teeteto.

108

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

~ quindi opportuno che riportiamo qui il brano stesso, ricordando anzitutto, per comodità del lettore, l'''antefatto''. Socrate, nello stesso giorno in cui deve andare al portico dell'arconte re per l'accusa che lo trarrà a morte, parla col matematico Teodoro di Cirene e chiede a lui notizie sui giovani suoi allievi: ve n'è qualcuno degno di menzione? Teodoro indica il giovanetto Teeteto. Socrate ne vuole provare l'ingegno e lo sottopone al suo solito metodo di "maieutic a" interrogazione. Alla domanda: "Che cosa è scienza?", Teeteto comincia con l'indicare alcune scienze, ad esempio la geometria, ed anche alcune arti, come quella del calzolaio. Ma Socrate non s'appaga: egli non ha chiesto una enumerazione di scienze, ma vuole conoscere che cosa sia "la scienza". Egli richiede una definizione che colga l'essenza unitaria della "scienza", e non ci dia invece una spezzettatura di indicazioni parziali. f; questo un motivo che si ritrova nel Menone, a proposito della definizione di virtù, illustrata anche con l'esempio della figura geometrica ("limite del solido"). Teeteto, per mostrare di aver compreso l'esigenza di Socrate, l'illumina egli stesso con un esempio tratto dalla matematica. Riportiamo senz'altro le parole di Teeteto (147 e segg.): «Così come la poni ora, o Socrate, la cosa mi sembra facile. E anzi, se non sbaglio, il tuo modo di domandare è proprio simile a quello che venne in mente anche a noi poco fa mentre stavamo disputando: a me, dico, e a questo tuo omonimo Socrate ... Ecco: il nostro Teodoro ci disegnava certe figure eu le potenze, per esempio, su quella di tre piedi [quodruti] e su quella di cinque, dimostrando che codeste potenze, ri"pctto alla lunghezza [del lato] non sono commensurabili con l'unità del piede; e cost, trascegliendo via via ogni poten:r.o. nrrivò

EUCLIDE E I SUOI «ELEMENTI»

109

a quella di diciassette piedi; e qui si fermò. Allora a noi venne in mente qualche cosa di simile: considerato che le potenze, evidentemente, sono infinite di numero, provare a raccoglierle insieme in un'unica categoria, e quindi chiamarle, tutte quante con quest'unico nome di potenze... Tutta la serie dei numeri dividemmo in due classi: ogni numero il quale ha la possibilità di derivare dalla moltiplicazione fra loro di due fattori eguali, lo rassomigliammo nella figura a un quadrato, e lo chiamammo numero quadrato o equilatero•... E i numeri intermedi a questi, come il tre e il cinque, e in generale tutti i numeri che non hanno in sé la possibilità di derivare da due fattori eguali moltiplicati tra loro, bensì derivano da moltiplicaziotle di un fattore maggiore con uno minore, o di un fattore minore con uno maggiore, e perciò sono sempre [considerandoli come figure] circoscritti da un lato maggiore e da uno minore, questi li rassomigliammo alla figura oblunga e li chiamammo numeri oblunghi... Tutte le linee, i cui quadrati equivalgono al numero equilatero e piano, le definimmo lunghezze; tutte le altre, i cui quadrati equivalgono il numero oblungo, le definimmo potenze, per il fatto che, in misura lineare, non sono commensurabili a quelle lunghezze, ma nel valore della superficie quadrata che esse potenziano, sì. E anche dei solidi si disse qualche cosa di simile». I ~

Sull'interpretazione storica di questo passo, in relazione alla scoperta dell'irrazionale, si accesero notevoli polemiche. Lo Junge, e subito dopo, con assai maggiore ampiezza, il Vogt ne trassero la persuasione che la vera e propria scoperta dell'irrazionale come fatto generale, e non come "scandalosa eccezione" per la V2", debba attribuirsi a Teodoro. Teeteto avrebbe introdotto perfezionamenti, che poi ritroveremmo, accanto ad altri, nel libro X degli Elementi di Euclide. Ma contro Junge, Vogt e da ultimo contro la Sachs mosse con concezioni del tutto diverse lo Zeuthen. In una serie memorabile di comunicazioni egli sostenne la tesi che dai primi pitagorici, forse da Pitagora stesso, non soltanto fosse stata .. Traduzione VALGDIIGLI, edito Laterza, Bari.

110

EUCLIDE E I SUUI «ELEMEN7'I"

scoperta l'irrazionalità della V2", ma che la dimostrazione cosÌ detta classica dell'irrazionalità, quale si ricostruisce attraverso Aristotele e si trova in uno scolio al Libro X di Euclide, venne considerata instar omnium, cioè come valida per qualunque altra radice. Teodoro avrebbe soltanto trovato un metodo di dimostrazione geometrica, basato sul criterio di incommensurabilità, mediante il sistema delmassimo comune divisore, che, enunciato al principio del libro X di Euclide, non vi trova poi mai applicazione. Teeteto sarebbe tornato al concetto aritmetico pitagorico, in quanto la dimostrazione di Teodoro doveva essere faticosamente condotta caso per caso; ma il metodo pitagorico richiedeva, dal punto di vista del rigore, che venisse sistemato logicamente con la dimostrazione dei teoremi presupposti, o con l'enunciato dei postulati inevitabili. Una tale sistemazione logica, il cui merito egli attribuisce a Teeteto, è stata dallo Zeuthen genialmente trovata non già nel libro X di Euclide, ma nei libri aritmetici VII e VIII. Cosicché la polemica alla quale alludiamo ha prodotto questo grande frutto: che lo Zeuthen, tornando sopra giudizi da lui espressi nella ormai lontana Storia della Matematica, è riuscito a dare ai libri aritmetici di Euclide quell'interpretazione significativa

125

ARCHIMEDE E APOLLONIO

dovrebbe, invece, essere minore di S e di S'. Per rimediare all'assurdo si penserebbe di poter spostare S alla destra di T n , impiccolendo la differenza tra S e S'; ma ciò non è possibile. La differenza S' - S (cioè la distanza SS' sulla figura) è stata già fissata fin dall'inizio della dimostrazione. E comunque ci piaccia di fissarla, riusciremo sempre, in virtù del procedimento secondo il quale si costruiscono le T, a insinuare, a inserire, una grandezza T n tra S e S'. :E: assurdo, quindi, che esista una differenza tra S e S', nel senso che S sia minore di S'. Similmente si riduce all'assurdo l'ipotesi che sia S maggiore di S'. In virtù del principio che cose non disuguali sono uguali, si conclude allora che S è uguale a S', come volevasi dimostrare. Esempio di applicazione del metodo di "esaustione" Vediamo ora più in particolare come procede il metodo di "esaustione": basterà perciò riassumere la Proposizione 2& del libro XII degli Elementi di Euclide. Si tratta di dimostrare che "i cerchi stanno tra loro come i quadrati dei diametri"; cioè,che, dati due cerchi C, C', se si costruiscono i quadrati Q, Q' aventi come lato i rispettivi diametri, si ha tra le quattro grandezze C, C', Q, Q' la proporzione:

C : C' = Q

Q'

ossia (ciò che fa lo stesso): Q : Q' = C : C'· Ora Euclide ammette che dopo tre grandezze omogenee Q, Q', C, esista una quarta proporzionale S, ossia una grandezza tale che valga la proporzione: Q : Q' = C : S

126

ARCHIMEDE K APOLLONIO

Tutto si riduce dunque a dimostrare che sia S = C', perché allora la proporzione (valida) or ora scritta si riduce a quella, la cui validità occorreva dimostrare. Si tratta quindi di far vedere che sono uguali le estensioni di due superficie, una delle quali è un cerchio C', mentre nulla sappiamo sulla forma dell'altra (la supposta quarta proporzionale). Non potendo, quindi, in alcun modo pensare ad una divisione di C', S in un numero finito di parti a due a due uguali, Euclide ricorre al metodo di "esaustione" . Sia, se possibile, C' S, e chiamiamo D la loro differenza:

>

C' -

S = D

Nel nostro caso, le grandezze T che si costruiscono con procedimento tale da risultare minori tantò di C' quanto di S, e che tuttavia riescono ad insinuarsi tra C' e S determinando appunto l'assurdo, sono poligoni regolari P' iscritti nel cerchio C', dei quali si vada raddoppiando sempre il numero dei lati. Che tali poligoni siano tutti di area minore di quella del cerchio C' è cosa evidente, dal momento che si tratta di poligoni iscritti in quel cerchio. Euclide dimostra poi facilmente che essi sono anche minori della quarta proporzionale. Fa quindi vedere che si riesce a "insinuare" uno di tali poligoni tra S e C': segue così l'assurdo. Per mostrare ciò, Euclide ricorre alla prima proposizione del libro X dei suoi Elementi, in cui è detto che, assegnate due grandezze disuguali, se dalla maggiore si sottrae una grandezza più grande della sua metà, e da ciò che resta una grandezza più grande della sua metà, e se questa operazione si ripete successivamente, resterà a un dato punto

127

4RCHIMEDE E APOLLONIU

una certa grandezza che sarà più piccola della grandezza minore assegnata. Tale proposizione si fonda su quel postulato che è detto di Archimede, per l'uso sistematico che questi ne fece, ma che sembra dovuto a Eudosso di Cnido. Consideriamo ora il cerchio C', e la grandezza minore D = C' - S. Se in C'iscriviamo il quadrato, vediamo • che esso occupa più di metà dell'area del cerchio: i segmenti circolari residui sono dunque meno della metà del cerchio. Se ora, dividendo per metà ciascun arco come AB nel punto M, congiun-

B

A

giamo M con A e con B, e similmente facciamo per gli altri archi, veniamo a costruire l'ottagono regolare iscritto nel cerchio, cioè veniamo a costruire un • Col)froDtando col quadrato circoscritto.

128

ARCHIMEDE E APOLLONIO

poligono règolaro avente numero doppio di lati. L'area dell'ottagono è maggiore di quella del quadrato: l'ampliamento (per dir così) è stato ottenuto a spese dei segmenti circolari residui, e precisamente consumando più della metà di detti segmenti '. E raddoppiando ancora il numero dei lati, toglieremo dal cerchio ancora più della metà di quanto era rimasto, e così via e così via. Per la Proposizione l a del libro X noi arriveremo dunque certamente ad un poligono regolare P' iscritto in C', con numero di lati sufficientemente grande perchè i segmenti circolari residui (cioè la differenza D = C' - P') sia minore della grandezza assegnata D = C' - S. Avremo cioè:

C' -

P'