La matematica in Platone

Table of contents :
INDICE......Page 7
INTRODUZIONE......Page 13
APPENDICI L'USO DEI TERMINI NEI DIALOGHI PRECEDENTI LA REPUBBLICA......Page 41
I PASSI MATEMATICI NELLE OPERE DI PLATONE......Page 49
Ione......Page 51
Protagora......Page 56
Alcibiade primo......Page 60
Ippia maggiore......Page 64
Ippia minore......Page 69
Gorgia......Page 71
Carmide......Page 82
Eutifrone......Page 87
Menone......Page 91
Eutidemo......Page 117
Cratilo......Page 120
Repubblica......Page 123
Il discorso matematico della «teoria della linea»......Page 128
Fedone......Page 174
Teeteto......Page 183
Sofista......Page 213
Politico......Page 215
Filebo......Page 227
Parmenide......Page 238
Timeo......Page 247
Leggi......Page 265
BIBLIOGRAFIA......Page 290
INDICE DEI NOMI......Page 299

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Il presente lavoro offre agli studiosi una raccolta completa dei passi matematici contenuti nelle opere di Platone al fine di mostrare lo sviluppo dell'interesse matematico nel pensiero del Filosofo ateniese, lasciando da parte la discussione circa interpretazioni classiche e recenti. Si tratta di una lettura complessiva che permette anche di precisare il debito di Platone verso i matematici in generale, da una parte, e il contributo che egli stesso ha fornito allo sviluppo delle matematiche, dall'altra, nonché confrontarsi, per quanto concerne i dialoghi precedenti la Repubblica, con le cronologie classiche dei dialoghi sulla base dello sviluppo delle conoscenze matematiche di Platone, cosa che può tornare utile ai fini della loro stessa datazione. Merico Cavallaro, dopo la laurea in Filosofia conseguita presso l'Università degli Studi di Roma "La Sapienza", equilibrando i suoi studi tra un indirizzo morale e uno teoretico, e un master privato in studi biogiuridici, si è dedicato ad attività di studio e divulgazione, in ambito bioetico, dei diritti umani e della disabilità.

ISBN 978-88-382-4431-5

111111111 €

24,50 (IVA inclusa)

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UNIVERSALE Studium 81.

Nuova serie

-

MERICO CAVALLARO

LA MATEMATICA IN PLATONE

EDIZIONI STUDIUM - ROMA

La collana è peer reviewed

Copyright © 2017 by Edizioni Studium - Roma ISBN 978-88-382-4431-5 www.edizionistudium.it

INDICE

Introduzione

11

1. Introduzione al Platone matematico, p. 11. - 2. Scienza, «conoscenza», verosimile, p. 12 - 3. li discorso verosimile, p. 15 - 4. Cosa ci presenta di nuovo la matematica in queste opere?, p. 21 - 5. La svolta del Gorgia, p. 30 - 6. A proposito della schiavo di Menone, p. 33.

Appendici L'uso dei termini nei dialoghi precedenti la Repubblica A. I luoghi ove sono usati i termini matematici B. L'uso dei termini matematici nei dialoghi

I passi matematici nelle opere di Platone

39 41 42

47

IONE

Ione, 531 c l-e 8 Ione, 537 d-1O

51 52

6

INDICE

PROTAGORA

Protagora, 356 c 4-357 b 6

55

ALCIBIADE PRIMO

Alcibiade, 112 d 5-113 a 6 Alcibiade, 114 b 6-c 6 Alcibiade, 126 c 3-d 2

59 59 60

!PPIA MAGGIORE

Ippia maggiore, 301 d 4-302 b 1 Ippia maggiore, 303 b l-c 6

63 65

!PPIA MINORE

Ippia minore, 366 c 6-366 e 2

67

GORGIA

Gorgia, 450 c 3-451 c 10 Gorgia, 453 d 7-454 a 5 Gorgia, 460 e 2-5 Gorgia, 465 b 6-c 3 Gorgia, 507 e 6-508 a 8

70 74 75 76 78

CARMIDE

Carmide, 165 d 4-166 b 5 Carmide, 168 a 4-c 6

80 82

EUTIFRONE

Euti/rone, 7 b 2-7 c 6 Euti/rone, 12 c 3-8 Eutlfrone, 12 d 5-10

86 87 88

MENONE

Menone, 73 c 6-76 a 7 Menone, 82 a 5-85 b 7; 85 d 12-e 7 Menone, 86 d 1-87 b 6

91

96 111

EUTIDEMO

Eutidemo, 290 b 7 -c 6

116

CRATILO

Cratilo, 432 a 7-b 4 Cratilo, 435 a 7-c 2,436 c 7-e 2

118 119

REPUBBLICA

Repubblica, 330 a 7-b 7 Repubblica, 337 a 8-b 7 Repubblica, 340 d 1-341 a

121 121 122

7

INDICE

Repubblica, 426 d l-e 2 Repubblica, 436 d 4-e 6 Repubblica, 438 b 4-c 4 Repubblica, 479 b 3-4

123 123 124 125

Il discorso matematico della «teoria della linea» Repubblica, 509 d 6-511 e 5. Teoria della linea Repubblica, 510 c 2-511 c 1; 533 b 6-d 1. Sulle ipotesi nella Repubblica Repubblica, 511 b 3-d 5. Relazioni tra intellezione pura e pensiero dianoetico Repubblica, 521 e 3-522 b 5. Limiti delle arti rispetto alle matematiche Repubblica, 524 a 6-b5. Sugli oggetti che stimolano l'intellezione Repubblica, 524 c 3-13. Sugli oggetti che stimolano l'intellezione Repubblica, 524 d 1-525 a 10. Sugli oggetti che stimolano l'intellezione Repubblica, 522 b 6-8. Sulla disciplina «del numero e del calcolo» Repubblica, 523 a 1-3. Sulla disciplina «del numero e del calcolo» Repubblica, 525 d 5-526 b 10 Repubblica, 525 b 3-d 3. Necessità dell'educazione matematica Repubblica, 526 c 8-10; 526 e 6-527 c 11. Sulla geometria Repubblica, 528 a 6-530 c 1. Stereometria e astronomia Repubblica, 400 a 4-c 5, 530 d 6-531 c 4. Sull'armonia Repubblica, 530 d 6-531 c 4 Repubblica, 458 d 3-e 4; 459 e 5-460 b 5; 546 a 7 -547 a 5. Matematica, matrimonio e buona prole Repubblica, 587 c 6-588 a 11. La distanza del tiranno dalla felicità Repubblica, 602 d l-e 3. La matematica per giudicare senza inganni

126 135 139 141 142 143 143 146 147 148 150 152 154 161 162 163 168 170

8

INDICE

PEDONE

Fedone, 96 d 8-97 h 7 Fedone, 103 e 2-105 h 5 Fedone, 108 d 1-110 c 2

172 174 177

TEETETO

Teeteto, 143 d 1-146 d4 Teeteto, 147 h 4-148 h 2 Teeteto, 154 a 6-d 6 Teeteto, 162 d 3-163 a 3 Teeteto, 164 e 7 -165 a 3 Teeteto, 168 e 4-169 a 5. Relativismo e matematica Teeteto, 174 a 4-h 6. Aneddoto su Talete Teeteto, 185 c 3-d 4. La conoscenza dei generi avviene mediante l'animo Teeteto, 195 d 6-196 c 2. Opinione vera e conoscenza vera Teeteto, 201 c 4-202 c 8 Teeteto,203 e 2-205 h 4. Il tutto e le parti

182 189 191 194 195 195 196 197 198 201 204

SOFISTA

Sofista, 244 e 2-245 h 3

211

POLITICO

Politico, 257 a l-h 7 Politico, 258 d 4-e 7 Politico, 259 d 3-260 h 6 Politico, 262 c 1-263 a l. Dividere per generi e divtdere fra pari e dispari Politico, 266 a l-h 9 Politico, 283 c 3-285 c 2. Grandezze e piccolezze

213 215 215 217 219 220

PILEBO

Filebo, 18 a 7-h 3 Filebo, 24 e 8-25 h 3. Finito e infinito Filebo, 51 h 1-d 2. Contrapposizione tra piaceri puri e relativi Filebo,55 d 5-e 4 Filebo, 55 e 5-56 c 3 Filebo, 56 c 5-57 h 7 Filebo, 57 h 9-c 9 Filebo, 61 d 10-62 h 8. Scienza e sfera divina Filebo, 64 d 9-65 a 5

225 226 227 228 228 229 232 232 234

9

INDICE

PARMENIDE

Parmenide, 135 e 8-136 a 2. Sulle ipotesi Parmentde, 137 d 4-138 a 7 Parmenide, 140 b 6-d 8. Grandezze commensurabili e incommensurabili usate nel ragionamento ontologico Parmenide, 142 b 1-c3 Parmenide, 143 c 1-144 a 9 Parmenide, 154 d 1-155 a 1. Relazioni di misura applicate al tempo Parmenide, 161 c 9-e 2

236 237 238 239 240 243 244

TIMEO

Timeo, 31 b 1-32 b 9. Sulla doppia proporzione Timeo, 32 b 9-33 b 7 Timeo, 34 b 10-36 b 5 Timeo, 37 c 6-38 c 1. Sul tempo Timeo, 52 e 5-53 b 7 Timeo, 53 b 7 -56 c 7

245 249 250 253 256 257

Leggi 1. Criteri per stabilire l'uguaglianza, ossia

(consistendo la vera uguaglianza nella proporzione dei meriti) distribuzione geometrica Leggi, 684 d 4-e 5 Leggi, 691 b 7-d 5 Leggi, 716 c 1-d 4 Leggi, 757 a 1-d 5. I.:uguaglianza e l'amicizia sorgono spontaneamente con il riconoscimento del valore proprio ed altrui

263 264 266 267

2. La matematica nella gestione delle risorse dello Stato Leggi, 737 c 1-d 4. Sulla distribuzione delle proprietà nel nuovo Stato. Distribuzione geometrica Leggi, 737 e 1-738 bI Leggi, 744 a 8-d 1 Leggi, 746 d 3-747 a 7. Sulla divisione in lotti Leggi, 756 b 6-c 2 Leggi, 760 b 2-761 c 5. La magistratura e l'opera degli agronomi

269 270 272 273 274 275

lO

INDICE

Leggi, 771 a 5-c 5. Ancora sul 5.040 3. Leggi, 747 b 1-6. I.:importanza della matematica nel!'educazione e nelle attività degli uomini liberi Leggi, 817 e 5-818 a 3 Leggi, 819 a 1-6 Leggi, 821 a 2-d 4. Astronomia Leggi, 895 d 7 -e 3 4. Sul matrimonio e sulla procreazione Leggi, 772 d 5-773 e 4. Età giusta per il matrimonio 5. La matematica nella riflessione morale Leggi, 644 c 4-d 3 Leggi, 743 a l-c 4. Guadagni leciti e immorali

278

280 280 281 283

283

286 287

Bibliografia

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Indice dei nomi

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INTRODUZIONE

1. Introduzione al Platone matematico

li presente lavoro intende offrire agli studiosi una raccolta completa dei passi matematici contenuti nelle opere di Platone al fine di mostrare lo sviluppo dell'interesse matematico nel pensiero del Filosofo ateniese, lasciando da parte al momento la discussione sulle interpretazioni classiche e recenti su tali questioni 1. In questa introduzione preliminare intendiamo anche fornire indicazioni per una lettura complessiva che ci permette anche di precisare il debito di Platone verso I La necessità di tenere concentrata 1'attenzione in questa sede sui passi matematici contenuti nei dialoghi platonici, non permette un'adeguata confutazione delle teorie degli «enti intermedi» proposte innanzitutto dall' «agguerrita minoranza che fa capo alla scuola di Tubinga e dell'Università Cattolica di Milano» (M. VEGETTI, Cronache platoniche, in «Rivista di @osofia», V, 94, p.109). Tuttavia, anche se in questo lavoro non è ancora il caso di presentare un puntuale confronto con i principali esponenti di questo indirizzo (parliamo di studiosi che riportiamo in bibliografia quali Reale, Kriimer, Gaiser, Erler, Szlezak, Movia, Migliori, Basle) e di autori che dal versante opposto non concordano con questa interessante ipotesi di lettura (oltre alla maggior parte degli studiosi che si attengono alla lettura tradizionale, in particolare si presentano critici con il «nuovo paradigma» Cherniss e Isnardi Parente), ci proponiamo un futuro approfondimento sul tema.

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MERICO CAVALLARO

i matematici in generale, da una parte, e il contributo che egli stesso ha fornito allo sviluppo delle matematiche, dall'altra, nonché confrontarci, per quanto concerne i dialoghi precedenti la Repubblica, con le cronologie classiche dei dialoghi sulla base dello sviluppo delle conoscenze matematiche di Platone, cosa che può tornare utile ai fini della loro stessa datazione. 2. Scienza, «conoscenza», verosimile

A partire dalle diverse traduzioni del termine Ème}"tTUlll, si tende a fare una certa confusione nell'interpretazione di Platone, cosa che può essere evitata solo comprendendo l'evoluzione dell'uso dello stesso termine nell' ambito dei dialoghi. Tradurre propriamente Èmo"tTUlll con «scienza» nelle opere di Platone è possibile solo dopo che Platone ha fatto chiarezza sul panorama delle matematiche e di tutte le conoscenze ed arti organizzate, cosa che possiamo trovare nei libri V-VII della Repubblica. Per quanto concerne le opere precedenti bisogna tenere in considerazione che Ème}"tTUlll mantiene il significato più generale di «conoscenza», proprio come nella tradizione linguistica ellenica ed in tal modo deve essere tradotto e considerato in queste opere. Tutto questo è importante per evitare quella confusione tra il ritenere, come fanno alcuni, che a Platone sia presente un concetto di «scienza» vera e propria già formulato nelle prime opere o il considerare, come secondo altri, che il concetto di «scienza» al Nostro filosofo gli sia semplicemente derivato dalla cultura precedente: Platone questo concetto lo matura attraverso il rigore conoscitivo che impone alla sua ricerca, ed in particolare grazie alla frequentazione e collaborazione culturale con i matematici di cui avremo modo di par-

INTRODUZIONE

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lare. Va detto, invece, che se dal punto di vista filosofico per Platone è indispensabile la possibilità di una conoscenza oggettiva e certa, tale necessità si avverte anche, o perlomeno parzialmente, nei matematici accademici, almeno per la maggior parte di formazione pitagorica, mentre non è cogente per i matematici in generale prima di Euclide di Alessandria: come vedremo, infatti, una polemica di Platone nei confronti di un certo modo d'intendere la matematica in diversi passi della Repubblica2 • In La rivoluzione dimenticata, Lucio Russo scrive che la matematica come scienza nasce nel periodo ellenistic03 , ma è proprio nel periodo precedente, distinto in una fase pre-ellenica ed una di elaborazione ellenica, che se ne è avuta una lunga gestazione. Parliamo di fasi in cui, secondo il Russo, si formulavano delle prescrizioni per risolvere problemi, ma non vi era «nulla che assomigliasse a una giustificazione delle regole prescritte: la struttura razionale che oggi associamo alla matematica è completamente assente»4. Siamo in linea con il Russo, ma riteniamo che non deve essere sottovalutata nella storia delle matematiche l'importanza non solo dei matematici contemporanei a Platone, ma anche di quelli precedenti, ed in particolare dei Pitagorici. Va detto che con questo nostro contributo teniamo molto a fornire delle indicazioni a riguardo agli studiosi di filosofia antica per i quali, per formazione, non sono tanto spesso chiari i termini e le condizioni su cui si trovava a riflettere Platone. Lo sviluppo della nostra civiltà si è basato sulle conquiste scientifiche che l'uomo ha fatto e la sicurezza di queste viene fornita dal progresso scientifico e Cfr. ultra partic. Resp. 525 cl 5-526 b 10; 526 e 6-527 c 11. L. Russo, La rivoluzione dimenticata, Il pensiero scientifico greco e la scienza moderna, Milano 2009, p. 38 55. 4 L. BORZACCHINI, Il computer di Platone, Bari 2008, pp. 75-117. 2 J

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MERICO CAVALLARO

della conoscenza. Bisogna, inoltre, considerare che se non è possibile la conoscenza di tutte le cose esistenti e di tutte quelle che riguardano la vita dell'uomo, tali limiti non sono da addebitare alle possibilità della scienza, bensì agli oggetti della conoscenza: infatti, per quanto riguarda gli oggetti alla nostra portata e pienamente misurabili possiamo averne una conoscenza piena. Questo ci fa capire che la scienza possiede due caratteristiche basilari, quella della conoscenza in sé e quella dell'utilità per l'uomo, per cui la scienza ha una finalità anche oltre se stessa che la costituisce come oggetto per l'etica. Le teorie che vedono la scienza come fallibile ed incerta sono antiche tanto quanto quelle di una scienza infallibile e certa. Tratto comune delle teorie che diffidano delle possibilità della scienza è puntare su questioni generiche e relative e saltare con troppa facilità il confine tra empirico ed astratto, misurabile ed ineffabile, reale ed immaginario. Esse possono stupire e contribuire alla riflessione sulla scienza, ma rimangono solo delle mode che con il tempo passano (e si ripresentano a distanza di tempo con le stesse tematiche di base) perché non riescono a combattere la scienza sul suo terreno proprio, che è quello della conoscenza oggettiva, del misurabile, del razionale. Abbiamo visto sopra che la tradizione culturale ellenica usava il termine Èmo"rilllT\ per indicare la conoscenza in generale ed in questo senso lo ritroviamo utilizzato nelle prime opere di Platone ed è proprio nelle opere precedenti la Repubblica che notiamo l'evoluzione del significato per l'uso che fa della stessa parola, mentre nelle opere successive viene a caricarla di un significato più rigoroso in connessione con le matematiche e la dialettica. Dunque, È1tl di cercare in ogni modo di coglierne la verità? - A sentirtelo dire, rispose, lo credo anch'io. - Allora, feci io, per studiare l'astronomia, così come per la geometria, ci serviremo di problemi, e lasceremo perdere i corpi celesti, se dobbiamo realmente, con lo studio dell'astronomia, da inutile rendere utile l'elemento dell' anima che per natura è intelligente.

Socrate e Glaucone, trattando dell' ordine degli studi matematici, dopo aver discusso riguardo la geometria si accingono a passare all' astronomia, ma a questo punto Socrate richiama l'attenzione sul fatto che hanno dimenticato di trattare la disciplina concernente i solidi considerati in sé, necessaria per trattare i solidi in movimento. La finzione drammatica della dimenticanza è un chiaro espediente per richiamare l'attenzione

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MERlCO CAVALLARO

sul grado di trascuratezza in cui versa la stereometria. Nel Menone, 73 c 6-76 a 7, abbiamo visto che la stereometria era considerata come una parte della geometria, ma ora Platone ci offre indicazioni che ci permettono di considerare una netta distinzione tra le due discipline: la stereometria si occupa di oggetti a tre dimensioni, cioè dotati di profondità di cui è doveroso trattare dopo la figura a due dimensioni. Anche questo punto, cioè il fatto di sviluppare autonomamente la stereometria, è una novità dei progressi della matematica accademica e indicativa a riguardo è anche la scoperta dei Linque poliedri regolari detti anche "platonici". Proseguendo nella lettura del passo, ci vengono presentati due motivi come causa del mancato sviluppo della stereometria: il primo è dovuto alla difficoltà che questo ~aeTH.t.a presenta, poiché la stereometria non può essere approfondita senza la conoscenza degli irrazionali; il secondo motivo si presenta più come una questione di coordinamento e finalizzazione degli studi: ai matematici occorrerebbe un direttore per regolamentare gli studi: un direttore, non un "supermaestro". Alcuni studiosi fanno delle congetture su colui al quale potesse alludere Platone, ma è chiaro che sia da escludersi 7 Secondo Elisabetta Cattanei (E. CATTANEI, Le matematiche al tempo di Platone, in Platone, Repubblica, commento a cura di M. VEGETTI, Napoli 2004), Platone avrebbe pensato di affidare ad Archita la direzione degli studi stereometrici, ma questa soluzione non la possiamo ritenere plausibile per il fatto che Archita, il quale era più interessato allo studio della musica rispetto alla matematica e comunque aveva una visione filosofica complessiva del sapere, aveva ben altre responsabilità a Taranto, ben più importanti che assumere compiti direttivi nella scuola ateniese di Platone. Inoltre, le conoscenze matematiche di Archita erano sostanzialmente quelle pitagoriche mentre nell'Accademia si andavano a confrontare concezioni matematiche di diversa provenienza, per cui non poteva presiedere al confronto tra indirizzi di scuole differenti. Si tenga in considerazione che il riferimento è fatto in questo passo sulla stereo-

I PASSI MATEMATICI NELLE OPERE DI PLATONE

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qualsiasi matematico, poiché un matematico non riterrebbe di dover subordinare il suo studio a quelli di altre conoscenze e non potrebbe avere la visione sinottica che possiede un vero dialettico. È, pertanto, da ritenere certo che Platone intendesse proporre se stesso a ricoprire questo ruolo poiché ci appare chiaro essere il Nostro filosofo la figura che possiede quelle qualità intellettive che lo portano, in quanto "non tecnico", a rispettare la libertà d'insegnamento dei suoi amici matematici ai quali è diretto questo programma e questa sua esplicita dichiarazione fuga ogni timore di pretesa di "tirannizzazione" di Platone rispetto all'insegnamento della matematica e dell' autonomia dei suoi cultori. Per quarta disciplina viene considerata l'astronomia di cui Glaucone, in 528 e 6-529 a 3, propone una definizione un po' troppo alla lettera rispetto a quella precedentemente fornita in 527 d 2-4. Lì Glaucone definiva 1'astronomia come arte che permette di conoscere meglio stagioni, mesi e anni e non giova soltanto agli agricoltori e ai marinai, ma anche agli strateghi. Ora (in 528 e 6-529 a 3) lo stesso Glaucone dà una definizione del tutto opposta di astronomia intesa come disciplina che costringe a guardare verso l'alto, prendendo, come abbiamo scritto sopra, troppo alla lettera 1'esortazione di Socrate. li richiamo che fa Socrate testimonia modi contrapposti di coltivare 1'astronomia che si ricondurrebbero, una, a sofisti come Ippia (527 d 2-4), per il metria, ma proprio per le limitazioni culturali introdotte dalla scoperta degli irrazionali, essendo necessaria alla stereometria proprio lo studio degli irrazionali, dobbiamo concludere che Platone non si riferisse ad Archita, né ad altri pitagorici, come la figura più indicata per ricoprire il ruolo di direttore degli studi di matematica. Tra l'altro, la matematica pitagorica non approfondiva i suoi interessi in stereometria e che di questioni per le quali occorreva la conoscenza degli irrazionali i pitagorici non se ne occuparono fino agli studi del raddoppio del cubo fatti da Ippocrate di Chio.

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MERICO CAVALLARO

quale le conoscenze hanno una finalità pratica (ricordiamo quanto abbiamo scritto sopra, nell'Introduzione all'Ippia Maggiore, circa l'importanza per Ippia della conoscenza matematica), l'altra a coloro tra gli studiosi matematici che pongono l'astronomia come massima conoscenza (una tendenza normale, come abbiamo visto poco sopra, per ogni matematico quella di considerare come massima conoscenza il /J-u9111..ta a cui si dedica), conferendole quel posto che dovrebbe avere la filosofia in quanto conoscenza complessiva. Qui, nelle parole che usa Platone, si profila un'ulteriore critica, relativa alla metodologia di studio astronomico: porre l'astronomia come scienza che procura intellezione mediante la semplice osservazione degli astri è come confondere ciò che è intellezione con ciò che è semplice facoltà ottica, poiché il semplice osservare non implica di per sé la possibilità di cogliere «ciò che è», né implica il ragionamento e l'elevazione dell'animo alla contemplazione. La critica alla metodologia dello studio astronomico viene affrontata subito dopo, richiamata dalle parole di Glaucone: Ma come hai potuto dire che bisogna imparare 1'astronomia in maniera diversa da quella in uso oggidì?

Repubblica, 529 c 4-6 Dunque, fatte queste considerazioni circa l'oggetto dell' astronomia, Platone passa a proporre una metodologia per lo studio astronomico: come Platone intenda l'astronomia è scritto in 529 c 7 ss. I corpi celesti sono i più perfetti e regolari oggetti che esistono, ma sono inferiori a quelli veri di cui sono copia, e per apprenderne i movimenti presi per sé e in relazione ad altri occorre ricorrere allo studio simulato per cui, in 530 b 5-c 1, formula l'invito ad abbandonare l'astronomia tradizionale empirica e dar vita ad un' astronomia inte-

I PASSI MATEMATICI NELLE OPERE DI PLATONE

161

sa come disciplina speculativa pura possibile a priori, come in 529 c 7 ss., dove i corpi che osserviamo in cielo sono rapportati come copia-modello agli oggetti "veri" per cui allo stesso modo va applicato lo studio simulato ai corpi celesti.

Repubblica, 400 a 4-c 5,530 d 6-531 c 4. Sull'armonia - Ma, per Zeus, rispose, non saprei. Ho osservato e potrei dire che ne esistono tre specie, che danno luogo alle cadenze, così come quattro sono le specie dei suoni donde derivano tutte le armonie, ma non so dire di che imitazioni si tratti, e quale genere di vita vogliano imitare. - Beh! Su questo punto, risposi, ci consiglieremo anche con Damone, per sapere quali siano le cadenze che s'addicono alla bassezza d'animo, alla violenza o alla pazzia e ad altro vizio, e quali ritmi si debbano riservare alle qualità opposte. Ho la vaga impressione di averlo sentito denominare composto un certo verso enoplio, e parlare di un dattilo e di un eroico, cui dava non so che struttura, ponendo uguali il su e il giù e l'uscita sia breve che lunga; e, come credo, parlava di giambo e, per un altro verso, di trocheo, e vi applicava qualità lunghe e brevi. E per alcuni di questi versi, credo che criticasse e lodasse i tempi del piede non meno che gli stessi ritmi, qualche loro combinazione: non saprei dire ... Ma tutto questo, come ho detto, scarichiamolo su Damone, perché brevi parole non bastano per un'approfondita distinzione. Non credi?

Damone era amico di Prodico e consigliere di Periele, ricordato come pitagorico, sosteneva che ci sono rapporti tra sensazioni dell' anima, ritmi ed armonie. Il personaggio pare debba stimarsi di una certa importanza agli occhi di Platone sia per il riconoscimento della competenza che ne fa qui, che per il fatto di essere ricordato nel Lachete come colui al quale Socrate ha indirizzato il figlio di Nicia. Nel passo è chiaro lo

162

MERICO CAVALLARO

stretto rapporto tra matematica e musica proprio per

il carattere matematico della stessa struttura musicale 8 • Repubblica, 530 d 6-531 c 4 - Può darsi, ripresi, che, come gli occhi sono conformati per 1'astronomia, così le orecchie lo siano per il moto armonico; e che si tratti di scienze, per così dire sorelle, come affermano i pitagorici e noi, Glaucone, conveniamo. O come dobbiamo fare? - Così, rispose.

Astronomia ed armonia sono discipline che vengono colte mediante sensi diversi, rispettivamente la vista e l'udito, ma possono essere considerate sorelle, cioè appartenenti alla stessa famiglia delle matematiche e possibili solamente mediante la matematica: senza non sarebbero che opinabili congetture che procedono per approssimazione: in questo Platone si dice d'accordo con la dottrina pitagorica. Questa citazione è importante perché è l'unico passo dell'intera produzione letteraria platonica in cui si citano i Pitagorici. Sulla base di questo siamo sollecitati a fare delle considerazioni, delle quali la prima è la conferma, attraverso questo passo, che tra la matematica accademica e quella pitagorica ci fu una sostanziale differenza di metodi e contenuti, nonostante diversi matematici accademici fossero di formazione o avessero una certa derivazione dal pitagorismo: Platone rimarca di non sentire il dovere di entrare in un confronto con i pitagorici in ogni passo matematico, altrimenti le differenze potrebbero essere molte. Qui, segnalata l'unica convergenza tra Pitagorici e accademici, astronomia ed armonia sono presentate come discipline che procedono con una regolarità, ma 8

A.

FRA]ESE,

op. cit., p. 67.

I PASSI MATEMATICI NELLE OPERE DI PLATONE

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vengono colte con un senso matematico diverso, perché per i Pitagorici la cultura armonica è finalizzata a cogliere le frequenze e a trovare rapporti espressi matematicamente, quello che per Platone è come anteporre le orecchie alla mente: proprio i frammenti su Archita, Ippaso e altri pitagorici ci presentano lo studio armonico condotto in questa maniera9 • Essi colgono con i sensi gli accordi musicali esprimibili mediante rapporti numerici, fermandosi, ad esempio, a comprendere che uno e due esprimono 1'ottava o che due e tre esprimono la quinta, senza cercare la conoscenza del rapporto matematico che preesiste: questo perché per i Pitagorici non c'è ordine oltre la realtà sensibile. Repubblica, 458 d 3-e 4; 459 e 5-460 b 5; 546 a 7-547 a 5. Matematica, matrimonio e buona prole

- [. .. ] Non ti sembra che io parli di conseguenze necessarie? - Sì, rispose, conseguenze necessarie prodotte da necessità non geometriche, ma amorose; e può darsi che queste esercitino uno stimolo anche maggiore di quelle ai fini di persuadere e trascinare la massa. - Certo, dissi. Ma ciò ammesso, Glaucone, in uno Stato di gente felice non è pio e i governanti non permetteranno ai cittadini di unirsi tra loro o di fare ogni altra cosa disordinatamente. - Non è giusto, infatti, rispose.

* - Si dovranno, quindi, organizzare per legge determinate feste dove riunire le ragazze e i giovani in età di matrimonio, accompagnandole con sacrifici; e i nostri poeti dovranno comporre inni che si addicano alla celebrazione dei matri9

Cfr.

M. TIMPANARO CARDINI (a cura di), Pitagoricz; frammenti

e testimonianze, Firenze 1969.

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moni. Ma il numero di questi lo faremo fissare dai governanti, perché conservino, nei limiti del possibile, l'identico numero d'individui, tenendo conto di guerre, malattie e ogni altro simile accidente, e perché il nostro Stato, per quanto possibile, non s'ingrandisca né s'impiccolisca. - Giusto, rispose. - E ai giovani valenti in guerra o in altro si devono conferire onori e altri premi, e più larga possibilità di giacersi con le donne, perché, con questo pretesto, si abbia il contemporaneo vantaggio che tali individui pongano il seme di quanti più figli possibile.

* [. .. ] coloro che avete educati a dirigere lo Stato, per quanto siano sapienti, non per questo coglieranno con il calcolo e la percezione, i momenti nei quali la vostra razza può dare pienezza di frutto o è sterile. Non se ne accorgeranno e talvolta genereranno figli quando non dovrebbero. Ora, mentre per la creatura divina esiste un periodo espresso da un numero perfetto, per quella umana ne esiste uno espresso da quel numero in cui per primo accrescimenti dominanti e dominati, comprendenti tre distanze e quattro termini di quantità assimilati e disassimilanti e crescenti e diminuenti, fanno apparire tutte le cose in rapporto e razionali fra loro. La loro base epitrita lO unita con il numero di cinque, tre volte accresciuta, dà luogo a due armonie; l'una costituita dal prodotto di numeri uguali, cento per cento; l'altra, uguale in un senso, ma oblunga, costituita cioè da cento quadrati di diagonali di cinque (diminuiti ciascuno di un'unità se le diagonali sono razionali) e da cento cubi di tre. Dall'insieme di questo numero geometrico dipende la questione delle generazioni migliori e peggiori. Quando, ignorandole, i vostri guardiani facciano coabitare fuori tempo le spose con i loro sposi, i figli non avranno prestanza fisica né saranno favoriti dalla fortuna. Gli anziani avranno un bel costruire guardiani migliori di questi figli; pure, poiché ne sono indegni, non aplO

Epitrita: rapporto 4:3.

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pena arriveranno a disporre dei poteri che già ebbero i loro padri, cominceranno, per quanto guardiani, a non avere cura di noi, trascureranno la musica e poi la ginnastica; e così i vostri giovani risulteranno meno colti. E tra loro avranno funzioni di governo persone completamente prive delle qualità proprie del guardiano, incapaci di saggiare le razze di Esiodo e le vostre: aurea, argentea, bronzea e ferrea. E quando si saranno mescolate insieme la razza ferrea con 1'argentea e la bronzea con 1'aurea, ne verranno dissomiglianza e anomalia non più riducibili ad armonia; e quando e dovunque queste si producano, sempre danno luogo a guerra e inimicizia. «A questa schiatta appunto»l1, dobbiamo affermare, appartiene la discordia, dovunque via via si produca.

La personalità dell' essere umano è costituita da due ambiti, quello razionale e quello passionale, che vanno a determinare le nostre decisioni. li problema sorge quando siamo sopraffatti dalle passioni, poiché questa condizione potrebbe portarci a prendere decisioni irrazionali e dannose: ora, il fatto di prendere decisioni errate nell' ambito privato che però vanno a confliggere con quello pubblico può creare non pochi problemi di ordine sociale. Per Platone è necessario che, per limitare danni per lo Stato (cioè per la comunità dei cittadini), l'ordine sia mantenuto anche dal punto di vista più strettamente privato, cioè a partire dal singolo individuo. Occorre, pertanto, promuovere un atteggiamento virtuoso che possa rinsaldare la parte razionale negli uomini, per cui Platone ritiene sia utile operare nella sfera della maggiore intimità evitando comportamenti sessuali promiscui, favorendo unioni pie tra uomini e donne che possano tornare utili anche allo Stato attraverso l' ottenimento e il mantenimento di un numero ideale dei cittadini, nel senso di congeniale per le esigenze dello Stato. 11

OMERO,

Iliade, VI, 211.

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L' ottenimento di una prole che sia nelle migliori condizioni possibili giova sia al privato che alla comunità: al privato perché, tenute in considerazioni quali erano le condizioni della medicina di allora (che non consentivano di risolvere problemi di malattie infantili o deformità che potevano segnare per sempre la vita dei neonati o determinarne la morte), si potesse ricorrere meno a soluzioni quali quelle dell'esposizione o della soppressione; per la comunità, invece, affinché possa contare su cittadini abili alla difesa dello Stato e alla produttività comune. Che l' ottenimento di una buona prole sia la preoccupazione che determina l'attenzione di Platone, si dimostra chiaramente nella seconda parte del brano, laddove prevede d'incentivare le unioni dei migliori. Su questo si tornerà in vari punti nelle Leggi. Nel passo è espressamente scritto che per quanto riguarda le unioni non è sufficiente la sapienza che viene data dallo studio: non è che attraverso il semplice calcolo matematico si rende possibile cogliere il momento migliore per la procreazione e sapere quando sopravviene la sterilità o quando è il momento meno opportuno per concepire dei figli. Nelle Leggi Platone riconoscerà alle nutrici la capacità pronuba e delegherà a queste tali compiti. Vediamo ora come presenta il problema e come lo risolve. Mentre per il cosmo c'è un numero perfetto, per il momento migliore nella procreazione degli esseri umani c'è un calcolo complesso. 4 4 (2x3xlO) (34x5)

= 12.960.000

Per Attilio Frajese 12 , ci sono cinque modi diversi per cui viene calcolato questo numero nuziale: il primo 12

A. FRAJESE, op. cit., p. 145.

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