Kurze Darstellung der höhern Analysis oder Funktionenlehre nach ihrem gegenwärtigen Zustande, nebst Anwendung derselben auf die höhere Geometrie und einem Anhange von dem Variationen-Calcül [Reprint 2018 ed.] 9783111660073, 9783111275673

Table of contents :
Vorrede
Inhalt
Druckfehler
Einleitung
Erstes Kapitel
Zweites Kapitel
Drittes Kapitel
Viertes Kapitel
Fünftes kapitel
Sechstes Kapitel
Siebentes Kapitel
Achtes Kapitel
Zweiter Abschnitt. Anwendung Der Analysis Auf Die Höhere Geometrie
Erstes Kapitel
Zweites Kapitel
Drittes Kapitel
Viertes Kapitel
Fünftes Kapitel
Anhang
Einige Zusätze Und Erläuterungen

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Kurze Darstellung der

höhern Analysis oder

der Funktionenlehre nach ihrem gegenwärtigen Zustande, nebst

Anwendung derselben auf dle

höhere Geometrie und einem Anhange von dem

Variationen-Caleül.

Zum leichtern Verständniß von-Euler'», Lagrange's, Eacroir’s und andern größer» Werken bearbeitet

vom Kinigl. Preuß. Artillerie-Hauprmann

v. Tertor, Seyrrr der marhematischen und miürcWODpn Misson^cdaften bey der vormariLkn ArtiUerte - Akademie zu Berlin.

Berlin,

1309.

Z n der Realschulbuchhandlung.

AUo *clin sie in eines gegebenen Dinges bekannter Eigenschalt, die nicht gegebnen, im Theile das Ganze. Borimias Xtei Gesang.

An

des durchlauchtigsten Prinzen

August von Preussen Königliche Hoheit.

Durchlauchtigster Prinz! Gnädigster Prinz und Herr!

Q£n>. Königs. Hoheit sind ein Kenner

zu

genauer

aller Wissenschaften welche auf die

Bildung eines Artilleristen auch nur den ent­ ferntesten Einfluß haben, als daß ich es nicht wagen sollte Ihnen diese Blatter unterthanigst vorzulegen, obgleich sie nur einen abstrartcu Theil der mathematischen Vorkcnntnisse betref­ fen, die einem Artilleristen nützlich sey» können. Bey der großen Menge von Kenntnissen welche dem Artilleristen unentbehrlich nicht

sind kann es

gleichgültig seyn wie viel Zeit er zu

Erlernung

der

analytischen

Meßkunde

an-

wenden muß,

die ihm in einem großen Um­

fange nöthig ist um gewisse Gegenstände seines Faches gründlich zu beurtheilen und Schriften Wie den können.

Bombardier prussien

verstehen zu

Durch gegenwärtige Schrift etwas zu

diesem Entzweck beygetragen zu haben, würde für mich eine große Beruhigung seyn.

Mit

dem vollkommensten Respekt Ew. König!. Hoheit

Derl'n, den x. Sepc. 180g.

unterthLnlgst gehorsamster

v.

Textor.

Vorrede.

^ie mehrsten in deutscher Sprache vorhandenen Lehrbücher der höheren Analysis handeln gemeinig­ lich nur die ersten Anfangsgründe dieser Wissen­ schaft ab. Man kann daraus die Operationen des Differenziirens und de- Jntegrirens erlernen, lehtere aber gemeiniglich nur in so fern sie Funktionen einer einzigen Variabeln betreffen. Viele andere wichtige Lehren der höhern Analysis werden aber darin gar nicht berührt um nicht für Anfänger zu weitläuftig und schwer zu werden. Will ober der Anfänger weiter gehn und sich mit ausführlichen Werken, wie die von Euler, Cousin und Lacroix bekannt machen, welches durchaus nothwen­ dig ist wenn er sich im Gebiete der höheren Mechanik, der Astronomie u. f. w. umsehen will, so stellen sich eine zu große Menge neuer Gegenstände

VIII

Vorrede.

dar, um hier ohne Beyhülfe fortkommen zu können. Auch sind die genannten Werke zu weitläustig, um sie, ohne davon zuvor wenigstens eine Uebersicht zu haben, mit Nutzen studieren zu können. Es scheint also der Uebergang von einem gewöhnlichen Hand­ buche zu einem der genannten ausführlichen Werke zu schnell, und die Lücke dazwischen für angehende Analysten noch zu groß zu seyn. Diese Lücke aus­ zufüllen hat sich der Verfasser bey Ausarbeitung der gegenwärtige« Schrift "vorgesetzt. Hr. Lagrange hat zwar in seiner Theorie der Funktionen eine vor­ treffliche Uebersicht der höheren Analysis gegeben und Hr. Professor Grüson hat für deutsche Leser eine Uebersetzung davon geliefert, allein selbst dieseWerk bedarf für solche Leser welche die Analysinur aus Büchern wie die von Karsten, Kästner, Tempelhof, Pasquich und Vega gelernt haben, noch mancher Erläuterung und die neue darin vor­ kommende Bezeichnungsart (welche nicht die Vor­ theile hat um sie der bisher üblichen durchaus vor­ zuziehen und welche dem berühmten Verfasser der Funknonentheorie wegen der von ihm in der Folge gemachten Verändernngen selbst nicht zu genügen schemt) trägt mit zur Erschwerung des Studiums dieses Werkes bey. Hr. Hauptmann Rohde hat diestrhalb seine Anfangsgründe der Differen­ tialrechnung, Potsdam 1799. nach Lagrange's

Vorrede.

IX

Funktionentheorie zur Erläuterung diese- Meister« w>rks für Anfänger abgefaßt, und dieser Bestim« mung wegen mehrere der wichtigsten Lehren wie z. B. den Calcül der partiellen Differentiale und der Variationen dem Leser au- dem Original selbst nachzuholen überlassen. Es schien daher nicht überflüssig, für Leser welche schon einige Bekanntschaft mit den ersten Operationen der Hähern Analysis gemacht haben, mit Beybehaltung der bisher üblichen Bezeichnung-« art, eine kurze Darstellung der höher» Analysis, grösitentheils auch nach Lagrange, auszuarbeiten und die wichtigsten Resultate derselben, mit Weg­ lassung der Beweise für sehr bekannte oder leicht zu erweisende Sähe, näher zusammen zu rücken, um ihnen den Uebergang zu größer« Werken zu erleich« tern. Sie werden darin dasjenige was sie schon gelernt, nur kurz berührt finden, und Gelegen« heit haben sich die Beweise davon selbst wieder zu erinnern oder manche- in den Lehrbüchern, mit welchen sie bereits bekannt sind, nachzuschlagen. Auf diese Weise wird die Aufmerksamkeit auf Gegen­ stände die ihnen noch neu sind am besten rege er« halten. Auch wird diese- Werkchen von Lehrern beym Unterricht gebraucht werden können, weil die Kürze worin die wichtigsten Resultate der hohem Analysis vorgetragen worden ihnen Gelegenheit ge-

X

Vorrede.

nug giebt Erläuterungen und Beyspiele hinzuzufü­ gen. Denn um eine desto gedrängtere Uebersicht von den wichtigsten Lehren und ihrem Zusammen­ hange zu geben, war eS nothwendig die Beyspiele sehr sparsam anzubringen, besonders von Gegen­ ständen worin schon in solchen Büchern bern Kennt­ niß hier voraus gesetzt wird, Beyspiele zur Genüge vorkommen, und um alles desto näher zusammen zu haben, sind selbst einige für gewisse irefer nöthig scheinende Erläuterungen nur am Sch'uffe des Bu­ ches beygefügt worden. Einige Gegenstände wo Anfänger gewöhnlich Schwierigkeiten finden, sind etwas umständlicher auseinander gesetzt, der Calcül ist aber überall so viel wie möglich abgekürzt wor­ den. Die Analysis blos nach den entgegengesetzten Operationen des D'fferenziirens und Jntegrirens ein­ zutheilen schien nicht zweckmäßig, weil diese Opera­ tionen bey der Erkenntniß der Eigenschaften der Funktionen, so in einander verwebt sind daß ihre Trennung dem natürlichen Zusammenhange nach­ theilig ist. Es sind keine Figuren beygefügt, theils weil die hier vorausgesetzten Leser sie sich nach Bedürfniß leicht selbst entwerfen können, theils wett die bey den vielen dazu nöthigen Buchstaben unvermeidlichen Druckfehler öfters viel Verwirrung machen und überdem das Werk dadurch vertheuert wird.

Vorrede.

XI

Der Verfasser halt für nöthig unter den Diffe­ rentialzeichen dy, dx, d 2y, dx2 rc. nicht bloß Nullen sondern beliebige endliche Werthe die man nöthigenfallS bi« auf Nicht« abnehmen lassen kann zu begreifen, welches auch bey den mathematischen Schriftstellern stillschweigend geschiehet ♦). Wenn man nehmlich bey einer Funktion y von x die Zu"ahme von x mit dx, die zugehörige Veränderung von y mit £y und hierauf die constituirenden Theile der Entwickelungsreihe für £y nach der Ord­ nung mit dy, d2y, d3y rc. bezeichnet, so kann man diese endlichen Theile der endlichen Differenz £y, der Analogie gemäß mit dem Nahmen Diffe­ rentiale belegen. Dann ist da« endliche Verhältniß ily

einerley mit demjenigen Verhältniß welche« au«

den bi« auf Null abgenommenen Werthen von d y, dx entstehet und welches letztere man zur Unter« scheidung von jenem mit

dy

bezeichnen kann. Wenn

also diese« Verhältniß bekannt ist, so kann man dy, dx als seine endlichen Glieder betrachten. Die ,

folgenden Verhältnisse

(1 " V

(] 3 y

^7 rc. sind aliquote

e) Man vergleiche was hierüber Hr. Hauptmann Roh de in seinen Ansangsgründen der Differentialrechnung Sette 126

Vorrede.

Xll

Theile von den höheren aus dem Nullwerthe von dx entspringenden und einander succedirenden Dlfferentialverhaltnissen

d1 y

d3 y

-

rc. und wenn daher

diese bekannt sind, so wird man d2y, dx2 und d3 y, d x3 als endliche Glieder von Verhältnissen ansehen können, deren Vervielfachung diese Diffed2 y rentiakverhaltnisse hervorbringt. Ist z. B2.e Gioßen oder Funktionen x, y und z die Variationen 8x, Sy und 8z jo ei halt man bekanntlich die Variation

Ju=0

Sy+-Sz d 7.

wobey man genöthigt ist sich unter 8x, 8y, 8 z ge­ wisse kleine Größen vorzustellen, wovon zwey will« kührlich sind die dritte aber alsdann durch die Glei­ chung selbst bestimmt ist. Wenn aber r ebenfalls eine Funktion von x, y und z, welche nicht = o ist, so erhält man 8r

dr dx

8 x —f-

dr dy

8y1 -j— 8z 1 dz

worin alle drey Variationen 8x, Sy und 8z will« kuh lich

Vorrede.

XVII

kührlich sind. Nur unter dieser Bedingung laßt sich die Behauptung des Hrn. La place auf der inte« Seite des ersten Theils der Ueberfttzung ein« sehen, daß nehmlich wenn man die Werthe von Sx, Sy, Sz aus der Gleichung Su = o in den Ausdruck für Sr seht und man alsdann allemahl 8r — o erhält, man auch Sr = N Su haben müsse worin N eine Funktion von x, y und z ist. Noth­ wendig muß also — S x -4- — S y -4- — S z eiJ

di1

dy

1

di

neu Factor haben welcher Sx, Sy und Sz enthält und so beschaffen ist, daß er = o wird wenn man darin für Sx, Sy, Sz ihre Werthe aus der Glei­ chung Su — o setzt. Dieses kann nun kein anderer als Su selbst oder 1

Sx-f~ j- S y -j- ^ Sz dx

dy

1

1

d'L

seyn, so daß

Werden hierin für Sx, Sy, Sz jene Werthe gesetzt, so wird Su = o mithin auch Sr — o. Um bey den Diffcrenttalzeichen clx, dx ge­ wisse verschiedene Beziehungen auszudrücken, sind die stehenden und liegenden Buchstaben d gebraucht worden. Statt der letzter» waren die runden unstrei­ tig besser gewesin, weil durch die gar zu große Aehnlichkeie der stehenden und liegenden ihr Unter)(

Vorrede.

xviH schied

leicht

zu

übersehen,

welches auch bey der

Correctur geschehen seyn wird.

Dann hatten aber

eigene Schriftzeichen dazu gegossen werden müssen, welches die jetzt überall nothwendige Oekonomie nicht zuließ.

Der

Leser

wird

außer

den

angezeigten

Druckfehlern wie gewöhnlich noch mehrere entdecken und hoffentlich nicht für grammatikalische oder ortho« graphische Fehler halten. cül hätte

In dem Buchstaben - Cal-

manches besser abgesetzt werden

können,

womit der Leser gütige Nachsicht haben wird.

Berlin im September 1809.

Der Verfasser.

Inhalt Seite i

Einleitung

Erster

Abschnitt.

Erstes Kapitel. §. i.

Von den aufgelösten Funktionen einer ver­ änderlichen Größe und derselben Differen­ tialen

$. 4.

Allgemeine Form der Entwickelung einer Funk­ tion y von x nach den Potenzen der Zunahme von x. Feststellung de« Begriff« der Differentialverhalrmffe -

al« Coefficienten der allgemeinen

Entwickelung«- oder Taylorschrn Reihe §. 7.

Allgemeine Entwickelu»g«reihe einer Funktion y von x nach den steigenden Potenzen von x selbst.

Zweytes Kapitel. Von den aufgelösten Funktionen zweyer und mehrerer veränderlichen Größen und

§. 10.

derselben Differentialen

-

-

-

Allgemeine Cntwickelung«reihe einer Funktion von x und y nach den Potenzen und Produkten der Zunahmen von x und y. Relation der partiellen Differentialcoefficienten-

■—

19

Inhalt.

XX Z. 13.

Allgemeine Entwickeluygsreihe einer Funktion

z von x und y nach den Potenzen und Produk,

ten von x und y. $. 15.

Einfache Satze zur Bestimmung der Differenz

tiale solcher Funktionen die aus einzelnen Funktion nen zusammen gesetzt sind. Verschiedene Beziehungen worin die Stifte* rential 7crhalttufte genommen werden könnenNutzen der Differentialcoessicienten bey Ent* Wickelung solcher Funktion/ die auf andere Art öfters gar nicht dargestellt werden können. Drittes §. 16.

Von den unaufgelösten Funktionen und

derselben Differentialen Z. 17.

Kapitel.

-

-

-

Sekte 32

Bestimmung des Werths den gebrochene Funk­

tionen für Werthe von x erhalten, für welche man o auf den Ausdruck — kommt. o

§. i[> Partielle Differentialgleichungen bey unaufge, lösten Funktionen. $. 19.

Ihre Anzahl ist der Zahl der unabhängigen

DariabeLn gleich. Viertes T~r rc. gemein haben, so entstehen dx2 c/x*

r/x

daraus die Berührungen der ersten, zweyten und dritten Ordnung rc.

— 158

Inhalt. $. 7z.

XXV

Bestimmun- der einfachsten Curve welche mit einer gegebenen an einem gegebenen Punkt eine Berührung einer gewissen Ordnung hat.

§. 75.

Don den Asymtoten oder den Linien die fich

einem unendlichen Curvenast ohne Ende nähern. §. 76. Bestimmung einer Curve welche mit jeder ein­ zelnen zu einem Gefolge gehörenden Curven eine Berührung der ersten oder der zweyten Ordnung hat.

Z. 76. Bestimmung einer Curve welche mit einem jeden in einem Gefolge von Kreisen eine Berührung der zweyten Ordnung hat. Eigenschaft weiche die Cu-'ve der Mittelpunkte hat, daß die gesuchte Curve durch ihre Abwickelung entstehen kann. Man nennt fle daher die abgewickelte (Evulma) und

die

gesuchte Curve die Abwickelung-curve

(Evulvcns.)

tz. 0o.

Die größten und kleinsten Applikaten einer Curve oder diejenige Punkte derselben zu finden wo die

Berührung-linie mit der Ab-cissenaxe parallel ist. §. Bi.

Bestimmung der größten und kleinsten Applica,

ten für die Fülle wo die Taylorsche Entwickelung-, reihe mangelhaft wird. §. 92.

Dasselbe für die Fülle wo die Tangente der

Curve mit der Ordinate zusammenfallt. §. 63.

Lage der Curve in der Nahe des Berührung-, punkte-

in

Bezug auf die Tangente,

Wen,

dung-punkte der Curve. $.

84*

Punkte der Curve wo der Krümmung-Halbmeft ser ein Größte- oder ein Kleinstes werden kann.

§. 85.

Quadratur der Curven.

§. 56.

Reclificativn der Curven.

Drittes Kapitel. §. 88-

Von den Curven doppelter Krümmung Sekte 177

XXVI

§. 89

Inhalt.

Grade Berührungslinie oder Tangente einer solchen Curve

§. 90. Berührung-kreise einer solchen Curve. Die Ebene worin die Mittelpunkte aller Berühruuq-r kreise liegen stehet senkrecht auf die Tangente und ist daher die Normalebene. $. 91. Krümmungskreis einer solchen Curve besten Ebene die Berührung-ebene derselben ist. Untersuchung in wie fern die Curve der Krümmungsmittelpunkte eine abgewickelte Curve seyn könne. Z. 92. Quadratur der Cylinderfläche worin die Curven, doppelter Krümmung liegen oder welche ste de, grenzen. Rectification solcher Curven.

Viertes Kapitel.

§. 93. Von den krummen Oberflächen

-

Gelte »87

Berührungsebenen solcher Flächen. Normallinien derselben. $. 94. Grade der Berührung die zwischen zweyen krummen Oberflächen in einem gemeinschaftlichen Punkt Statt finden können. Z. 96. Durch eine Kugelfläche können nicht allgemein alle Erforderniffe einer Berührung der zweyten Ordnung erfüllt werden. Eine Kugel kann mit einer jeden auf einer krummen Oberfläche best,»blichen Curve eine voll, ständige Berührung der zweyten Ordnung haben. Krümmung-kugel. $. 97. In der krummen Oberflache giebt es für jeden Punkt zwey Curven die fich schneiden und mc? von die eine die größte, die andere die kleinste aller an dem Punkt möglichen Krümmung-kugeln hat. Man nennt ste die Curven der größten und kleinsten Krümmung.

Inhalt.

XXVII

Die beyden Curven durchschneiden sich unter einem rechten Winkel. §. 99.

Krumme Flächen welche durch Umdrehung von

Kreissegmenten entstehn und welche in jedem Punkt einer krummen Oberflache mit ihr eine vollständige Berührung der zweyten Ordnung haben können. §. 101. Bestimmung einer krummen Oberfläche welche eine Folge oder System von krummen Oberflächen einerley Art berührt und umschließt, und welche einerley ist mit der krummen Oberfläche welche aus den auf einanderfolgenden Durchschnitten der das System ausmachenden krummen Oberflächen b< steht. §. 103.

Anwendung davon auf eine Folge von Ebe,

nen, deren aufeinander folgende Durchschnittslinien also grade Linien find. Daraus folgender Charakter solcher krummen Oberflächen welche einer Abwickelung oder Aus, bnitung in eine Ebene fähig sind. §. 104.

Die sogenannte windschiefe Fläche (surface

jauche) hat diesen Charakter nicht. §, 106. Don den größten und kleinsten Applicaten der krummen Oberflächen.

Fünfte- Kapitel. $. 107.

Von der Cubatur und der Quadratur

der krummen Oberflächen

-

-

Sette sog

Anhang. §. in. § 112.

Von den Variationen

-

-

—

Variation welche eine Funktion von y erhält

wenn y selbst wieder eine Funktion von x ist und eine Variation «y erleidet.

217

XXVIll

z.

Inhalt.

114. Variation einer unbestimmten Integralformel / V dx.

§. 115. Entwickelung einer solchen Variation. §. 116. Wenn die Variation & / V dx = o, so kann das Integral / V dx ein Maximum oder ein Minimum seyn, wenn es -wischen zweyen de, stimmten Grenzen genommen wird. § 117. Beyspiele. §. ii8- Variation eines Integrals s\ dx wenn V zwey unbestimmte Funktionen y und z von x ent, hält deren jede ihre Variation erhält. Z. 120. Wenn die unbestimmte Funktion z zugleich eine bestimmte Funktion von y oder vcn y und x ist. §. iL2. Variation von Z wenn Z eine Funktion von z und dieses wieder eine unbestimmte Funktion von x nnd y ist. §. 123. Unter allen Funktionen y von x wodurch ein Integral / V dx zwischen zweyen Grenzen ge, nommen beständig bleibt, diejenige -u finden wo, durch das Integral / V' dx zwischen denselben Grenzen genommen ein Maximum oder ein Mi, nimum werden kann.

Einige Ausätze und Erläuterungen

Seite 245

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— y + cx2 setze man y + cx» = u

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v. u.

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8

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— U„ und setze man und 1 ,, — und b setze man a und l»

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—

V. u. —

v.

dV

d(V)

--- setze man -----.i da — dieser setze man diese d

.

11

—

d

v

d

x

d

z

,

dy

dy

setze man — u' x d z,

setze man — dx

Einleitung. Ueber den Begriff der Differential«. die analytischen Schriftsteller noch ju sehr mit dem großen Umfang, dem innern Gehalt «ab den unendlich mannigfaltigen Anwendungen der höher» AnnalystS be­ schäftigt waren, konnte «S nicht fehle«, daß fie über die ersten Grundbegriffe «ntweber leicht hinweg eilten, ober fie doch nicht bi- zur sonst gewöhnlichen mathematffche« Evidenz aufklärte«. Es entstanden sogar elnige Bedenk­ lichkeiten über dle erste« Operationen der Algebra; z. über die Behandlung entgegengesetzter Größen, über dio Bedeutung doppelter Werthe der Größen, worauf man durch dle Auflösung der quadratischen Gleichungen ge­ langt, denen man eine wiükührltche Wortetnkleidung ge­ geben hat, und die man alS etwas Wesentliches betrach­ tete u. f- w. Diese Anstößigkeiten wurden nach und nach -«hoben. In der höher« AnalpsiS machten die Vorstellungen deS Unendlichkleinen und die daraus ab­ geleiteten DiffereutialauSdrücke mehr Schwierigkeiten, und und veranlaßten eine Menge von zum Theil methaphyfischen Deduktionen und verschiedenen Meinungen. Ob nun glelch dieser Umstand dem Fortgang der AnalpflS A

s

Einleitung.

selbst nicht geschadet hat, so ist er doch der Ausbreitung und dem Studium derselben hinderlich gewesen, indem man den Analysten den Vorwarf machte, daß fie sich mit Unbegreilflichkeiten beschäftigten, oder mit Nullen herumschlügen. Man war zwar in dem Mechanis­ mus der Operationen, wodurch man die Differentiale erbalt, völlig einig, hatte aber verschiedene Ansichten von ihrem Wesen und ihrer eigentlichen Bedeutung, und dieß Ist noch jetzt der Fall. La ©rangt sagt hierüber in der Theorie der Funktionen p. 5: Ces Varia tions dans la maniere d’etablir et de presenter les principes du Calcul differentiel, et meme dans la denomination de ce Calcul, montrent ce me semblc, qu’on n’en avoit pas saiai la verkable theorie, qooiqu'on eut trouve d’abord les reglos les plus simples et les plus comnxodes pour le mecanume des Operation».

Jede Bemühung, di« Vorstellung von den Diffe­ rentialen und ihren Verhältnisse« dem Anfänger aufzukiären, und ihn wenigstens in einen schicklichen Stand, puakt zu »ersetzen, dieselben zu betrachten, müßte daher eine gute Aufnahme finden, besonders da dieser Theil der Analpfis jetzt mehr wie ehedem studlrt wird. Zu dem Ende ist «S nöthig, auf bk erste Entste, hung und Feststellung des Begriffs eines Differentials oder Dkfferentialverhältaisses zurück zu gehen. Man ge­ langt hierzu, indem man eine einfache algebraische Funk­ tion z. D> y = a + bx+cx* betrachtet, worin man x um die beliebige Größe Ax jo nehmen lässet, da als­ dann y ebenfalls eine gewisse Zunahme, oder vielmehr Veränderung Ay erhalten muß. Nun ist bas Derhältuiß zusammengehöriger Zunahmen = b + a cx + cAx. So lange Ax eine gewisse Größe hat, wird diese

Einleitung.

3

Gleichung allemal das Verhältniß ausdrücken, je kleiner Ax wird, desto mehr nähert fich das Verhältniß dem Werth b + a. cx, den «S nur beim gänzlichen Verschwinden von Ax wirklich erreicht, und welch«r da­ her alS die Grenze dieses Verhältnisses bet dem Abneh­ men feiner Glieder anzusehen ist. Nimmt man nun wirklich Ax — o, so wird auch Ay — o, und man erhält b + c ex als den Derhältnlßexponenten zweier Nullen; man schreibt alsdann -4~- = b + 2 ex, und , Erklärn«- dsü nennt dieses Verhältniß bas Oifferentialverhälr ßl|f,trnt,Jie«, niß, «o also dy und dx nur zwei verschiedene Zeichen hätt»,ff««, für Null find. Es entsteht nun die Frage, wie zwischen zweien zu Null gewordrnen Größen rin Verhältniß Statt finden könne? An und für fich ist dieses nicht wohl denkbar. Wenn man aber zweien veränderlichen Grö­ ßen Ay und Ax einmal ein Verhältniß zuschreibt, so kann man für den Fall, da jede derselben — o wird, keine Ausnahme machen. Dieses erläutert man gewöhn­ lich durch geometrische Verhältnisse, welche bet Dreiecken, beim ökretS «. f. w. Statt finden, und deren Glieder man durch Parallelllnien bis auf Nichts abnehmen läs­ set. Man kann auch durch die Betrachtung gewöhnli­ cher Zahlengrößen darauf kommen. Ist z D. n Rtl. : n Gr. — 24 : 1; was auch n für eine Zahl seyn mag, so muß auch o Rtl. : 0 Gr. = 24 : 1 sehn, wenig­ stens wird man beide Nullen von einander unterscheiden müssen. Man weiß auch, daß man solche Gleichungen, die auf o rebucirt worden, nicht für gleichgeltend anneh­ men kann, und daß, wenn man z. D. Fx = o und kx ---- 0 hat, daraus nicht Fx = fx gefolgert werden könne. Wenn man aber dieses zugiebt, so muß man A 2

4

Einleitung.

auch zwilchen solchen Nullwerthen irgend ein Verhältniß gestatten. Daher wird man eS auch nicht anstößig fin­ den können, daß man in der Differentialrechnung die Zeichen dy und dx als Zeichen zweier verschiedenen Nul­ len, oder wenigstens als Zeichen beibehält, baß zwei von einander verschobene Größen zu Null geworden. Auch können die Glider eines veränderlichen Verhältnisses nicht allein durch allmähltge Abnahme zu Null werden, sondern auch durch Substitution besonderer Werthe. Hat man z. D>

~ a ~ f® wird dieses Verhältniß für

= a ju , dessen Werth bekanntlich aa ist. Man steht also, daß die Verhältnisse zwischen zwei zu Null gewordenen Größen nicht blo- eingebildet find, sondern daß man durch die Natur der Größen selbst darauf kommt. Hr. Professor E. G. F'scher hält fit einer beson­ dern Schrffi über den eigentlichen Sinn der hö­ her« Analysis den Begriff eines Verhältnisses zwi­ schen zweien zu Null gewordenen Großen für unaus­ weichlich, und setzt denselben ausführlich auseinander. x

Die Schwierigkeit, ein Verhältniß zwischen zweien zu Null gewordenen Größen zu gestatten, ist die Ursa, che, daß viele Mathematiker diese Vorstellung zu umge, hen oder zu vermeiden gesucht haben, und stch dagegen mit der Vorstellung von unendlich kleinen Größen zu helfen suchten. Nach ihnen ist ein Differentlalverhältoiß, ein Verhältniß zwischen Größen, die ins Unendliche ab, nehmen oder verkleinert werden. Allein hierdurch wird die Dunkelheit, welche in dem Begriff desselben liegt, nicht irt. Andere erklären, und zwar mit Recht, ein Differentialverhälmiß als di« Grenz« des Verhält,

Einleitung.

5

niffe< kn« Unendliche abnehmender Größen, und betrach- ?iff,',ntial; ten diese Grenzen ai« de» Gegenstand der Differential- @t, „ iti rechnung, ohne sich welker um die abnehmenden Größen »w-i-r selbst j« bekümmern, die sie al« unbestimmt ansehen, nnb davon gänzlich abstrahtren. «röß-n. Noch schwieriger wird die Vorstellung, daß eine verschwindende ober zu Null eewordeue Größe, gegen eine andere Größe derselben Art al« N cht« zu betrach­ ten ist, woran« die verschiedenen Ordnungen der D fferentiaie oder der unendlich kleinen Größen en st hen. Wenn man ober zweien zu Rull gewordenen Größen dy, (Ix ein Verhältniß gestattet, so kann man nicht umhin, ihnen nicht auch da« mögliche Verhältniß von , : o zu­ zugestehen. Eben so «st e« mit dem Verhältniß ydy ; dy . dx wo da« zweite Glied von der zweiten Dimension, und daher gegen da« erste Glied verschwindet, indem da« Derhältniß, wenn man durch dy dividirt, = y : dx wird. Eben so verschwindet dx2 gegen dx, dx3 ge­ gen dx2 u. f. w. Hr. Professor Fischer hat in der vor­ hin erwähnten Schrift diese Vorstellungen, denen er zu­ erst räumliche Gegenstände unterlegt, mit aller Deutlich, krlt auseinander gesetzt. Hiernach wird der Begriff der Differentialrechnung, in der Bestimmung de« Verhältnisse« solcher Größen be­ stehen, welche bl« auf Null abgenommen haben, uad in diesem Verstaube könnte man fle mit dem verstorbene« Hofprrdtgrr Schulz für «lue künstlich« Rallenrrchnung rrklären. ia Gränze In seiner Theorie der Funktionen Seite 4 erklärt sich über bas Verhältniß der zn Null gewor­ denen Differenzen folgendermaßen: ce rapport n’offre plus a l’csprit uno idee claire et precise, aussitot sin x = o bf< vollständige primitive Gleichung von der Differentlalglrichuug der ersten Ordnung — y cos x = o. Ob also gleich diesen beiden Differentialgleichungen durch eine und dieselbe Gleichung Genüge geschiehet so ist fie doch nicht die ju beiden gehörige vollständige primitive Gleichung. Solche Werthe von y in x wie z. D. hier y — — ein x und y = — cos x welche den Differen­ tialgleichungen Genüge thun ohne dle erforderliche An­ zahl von Constanten zu haben, heißen besondre oder Partikular Werthe in so fern fie in dem vollstäadt, ge Werth von y mit enthalten find.

Von den combmirten Differentialgln. rc. §.

4?

22.

Man siehet leicht daß die hier gebrauchte Methode 3«. die Zahl der Constanten zu bestimmen, zugleich auf eine,,gtailon no(B allgemeine Methode führt die primitive Gleichung oder den Werth von y durch eine R-ihe nach den Porenzen ml>cvon x zu bestimmen, nach Anleitung der allgemeinen Formel II §. 7. Das Verfahren wodurch die urspr üng­ liche Gleichung gefunden wird, die zu einer gegebenen Differentialgleichung gehört, nennt man die Integra­ tion derselben und da die vorgedachte Reihe dazu ge­ braucht werden kann, so nennt man sie die Laylorsche Integrationsreihe. Die Integration wird also hier durch bloße auf einander folgende DSfferenti'aloperakion bewirkt, bei ihrer wirklichen Anwendung kommt aber alles auf die Converzenz der Reihe an. §- 23. Durch die Bestimmung der Zahl der Constanten welche eine Gleichung haben muß wenn sie als die voll­ ständige ursprüngliche Gleichung soll angewendet werden können, wird also ihre erforderliche Ausdehnung bestimmt. Obgleich die Anzahl dieser Constanten nur auf die Art bestimmt worden, daß man y in einem Reihenausdruck gedacht hat, so muß doch für jeden andern Ausdruck das »emiiche Statt finden, indem in demselben nicht mehr und nicht weniger Größen vorkommen als in dem ihm gleichen Reihenausdruck. Die Art aber wie diese Con­ stanten mit den veränderlichen Größen in der primitiven Gleichung verbunden seyn können ist nicht immer sogleich erfichtlich. Nur bei den wirklichen Differentialgleichun­ gen kann diese Verbindung nach §. 21 leicht bestimmt werden. Dieserwegen sucht man eine gegebene Differentialgleichung irgend einer Ordnung in eine wirkliche Dif-

48

Erster Abschnitt.

Viertes Kaprtei.

ftrentkalgleichung zu verwandeln, besonders weil alsdann das Zurückkehren zur primitiven Gleichung oder das Jntegrlren durch die dem Differenzieren entgegengesetzte Ope­ ration gewöhnlich ebenfalls erleichtert wird.

§. s4. Wen» man eine Gleichung F (x y abc) = o mit einer gewissen Anzahl von beständigen Größen z. B- mit den dreyen a, b und c hat, welche so beschaffen ist baß diese beständigen Größen in den drei ersten Differentialglei­ chungen ebenfalls verbleiben, so kann man aus diesen Gleichungen die drei beständigen Größen gänzlich wegschaf­ fen, wenigstens in dem Fall da sie nur als einzelne Factoren vorkommen,

und

das

Resultat der EUminalio«

wird ein Differentialgleichung von der Zten Ordnung seyn die mau mit V = o bezeichnen kann.

Zur Bestimmung

dieser beständigen Größen find aber schon die drei ersten Gleichungen nehmlich die gegebene F (x y a b c) = o und tbre erste und sie Differentialgleichung hinreichend. Hierdurch wird man die Gleichungen a = A, b = B, c —C erhalten, welche von der aten Ordnung find. Differenztirt man jede dieser Gleichungen noch einmahl, so er­ halt man drei Differentialglelchungen von der Zten Ord­ nung, wovon jede für dx{- den nehmlichen Werth s eben muß, den die Gleichung V = o gibt.

Die drei Glei­

chungen a = A, b = B und c = C können als dir drei primitive Gleichungen von der sten Ordnung ange­ sehen werden, welche der Gleichung V = o w« der dritten Ordnung zukommen. Man stehet hieraus leicht daß eine Differentialgleichung von der ntm Ordnung n primitive Gleichungen von der Ordnung n — i, ferner

n — i primitive Gleichungen von der Ordnung n — a

u. f f.

Von den combinirten Differentialgi«. rc.

49

u. f. f. und endlich eine primitive Gleichung von der Ordnung o haben müsse. Kennt man die n primitiven aa«*m- n» M,< Gleichungen von der Ordnung n — 1, so lassen (I* !LTa dl« D fferentialverhaltnisse -/-$ rc. bereit Anzahl n — » ist, sämtlich ellmintrn, woraus die pri. mklive Gleichung von der Ordnung o mit den n b.stän« „„„ Ligen Größen welche sie haben muß, als das Resultat»" °”'™na “ jufommr. der Eltminarton hervorgeht. §.

25.

Es fei) v = o eine Differentialgleichung von der nfeit Ordnung so kann dieselbe allezeit auf die Form y + P = o gedacht werden, worin P alle Differential# coefficienten der übrigen Ordnungen und x und y ent­ halten kann. Wenn nun » — A eine der n primitiven Gleichungen von der Ordnung n — r ist welche die Gleichung V = o haben muß, so hat man dA = o und da A ein Ausdruck ist worin alle Differentialcoeifici# «nten

bis zurOrdnung n— 1 vorkommen können, so

kann dA vermöge der Natur der D>ff rentialoperationen nicht anders als auf folgende Form erscheinen, wenn man der Abkürzung wegen für „

dA

y

mitive Gleichung derjenigen der beiden Gleichungen von der ersten Ordnung angesehen werben welche keine be-

Von den combinrrten Differentialgln. re.

51

,ständige Größe enthält. ES seyn z D. die beiden Glekchnngen von der ersten Ordnung ^ ■+• }/TiL7yi = o und

+ cot x = o gegeben, welche beide der Glei­

chung von der zweite» Ordnung + y = o Ge­ nüge thun wovon aber nur die erste die beständige Größe a enthält. Elimknirt man auS ihnen , so erhält matt y + a sin x = o welche nur als die vollständige primttive Gleichung von — y cot x = o anzusehen ist, wie schon $. 21 gewiesen worden. $. 27. Wenn man eine Gleichung findet welche einer Diffe­ rentialgleichung einer gewissen Ordnung Genüg- thut ohne die erforderliche Anzahl von Constanten zu enthal­ ten, so kann fle also nicht alS die vollständige primitiv« Gleichung derselben angesehen werden, sondern ste ist gewöhnlich nur ein besonderer Fall der vollständigen primi­ tiven Gleichung wenn in dieser die Constanten gewisse be­ sondere Werthe erhalten. Wenn man eben so einen Werth von y in x findet der einer Diffrentialgleichung Genüge thut ohne baß der gefundene Werth von y die erforderliche Anzahl von Constanten enthält, so ist dieser Werth nicht der voll­ ständige sondern nur ein besondrer Werth von y. Als­ dann ist es nicht immer leicht durch Einführung der erforderiichen Constanten den gefundenen Partikular Werth zu vervollständigen. Das ist nur in dem Fall thunlich wenn die gegebene Differentialgleichung von der Form Ay + B j" H- C -j- . ... — 0 worin A, L, C,

52

Erster Abschnitt.

Fünftes Kapitel.

blos Funktionen von x find, und y und seine Differen­ tialverhältnisse nur auf die erste Potenz erhoben oder die Methode au6 Gleichung nach y lineär ist. Hat man alsdann so viele Werede'n^ejmr besondere Werthe p, q, r, ic. von y ln X als die Ordnungsursprünglichen zahl der gegebenen Differentialgleichung Einheiten hat, so Smiftion den j« der vollständige Werth von y —»p-t-bq-l-cr. . . .

allgemeinen Werth,» finden

_ ^

.

* .

wovon Nlan fich leicht überzeugen kann. Jjl dagegen die gegebene Gleichung nicht lineär z. B- Ay + B = o und es ist p ein besonderer Werth »ca y, so wird der Werth ap für y gesetzt dieser Gleichung nicht Genüge thun, den« da alsdann ( 7^ ) C

)

s° »ftb Aap + Ba*

J“ )

— »2

> o weil

Aap + Ba ('^) ‘ =0». Es sey nun -^r + y = o welche Gleichung 11# näer in y ist und wovon y — sin x und y = cos x ein Paar besondere Werthe sind, so wird y = a sin x •4- bcos x der vollständige primitive Werth von y (§. ei). Man nennt hier die beständigen Faktoren a, b c auch wohl Porameter.

Fünftes

Kapitel.

Don der Integration solcher Difserrntialgleichun, gen welche au» einer Funktion y von x entstehe« können. g.

2g.

Aus dem vorhergehenden erhellet zur Genüge wie eine Gleichung beschaffen seyn muß, wenn fie die voll#

Von der Integration solcher Differentialgln. rc. 53 ständige ursprüngliche Gleichung einer Differentialglei­ chung seyn soll, und es ist klar daß es nicht genug ist wenn die Differentialgleichung daraus abgeleitet werbe« kann oder wenn ihr durch fie Genüge geschiehet. Die Methoden eine Gleichung ju finden woraus eine Diffe­ rentialgleichung abgeleitet werden kann, oder wodurch ihr Genüge geschiehet, machen das aus was man den Integral Galt ul nennt und die gefundene Gleichung nennt man eine Integralgleichung oder das Inte­ gral der gegebenen Differentialgleichung. Wenn y eine aufgelösete Funktion von x ist, so find alle Differentlaltoeff.tientrn blos Funktionen von x. Ist daher gegentheilS irgend ein Differentialcoefftieot durch eine Funktion von x gegeben, so kann man an­ nehmen daß derselbe durch Entwickelung einer aufgelöste« Funktion y von x entstanden sey. Diese Funktion ist alsdann die Jntegralfunktlon. Wenn z. 95. ^ — X wo X nur eine Funktion von x ist, so muß die Funk­ tion y von x so beschaffen seyn baß das Differential derselben dy xdx sey, und man bezeichnet dann die Funktion y mit /XJx so daß man y sXdx hat. Das Zeichen s rührt von dem Worte /umma her, in­ dem man das Integral in gewissem Betracht alS die Summe aller einzelnen Differentiale ansehen kann, oder indem man jede Veränderliche Größe y als die Summe aller unendlich kleinen Zunahmen ansehen kann die sie von ihrem Anfange bis zu dem Augenblick da man ste betrachtet, erhalten hat, und deren Zahl unendlich groß ist. Hat man ^ - x so hat man zuerst + C wo C die wlllkährlicheConstante ist, hiernächst aber y ~sdxsXdx + Cx + C'. Hier muß man sich also zuerst unter fxdx eine Jntegralfunktlon von x drn-

-

~

-d\ sx

54

Erster Abschnitt,

Fünfte- Kapitel.

ten von welcher abermahls die Jntegraliunktlon gesucht Es werden also hier durch die s zwei aufeinan­

wird.

der sylgende Operationen angedeutet unb so würde man, wenn man Jä'x\ - X hätte, durch drei aufeinander fol­ gende I tegraloperarionen jur ursprünglichen Integralfunktion y von x gelangen, u. s. w.

Man stehet hier­

aus daß die auf einander folgenden Differentialgleichun­ gen, b zirhungsweife auch als Integralgleichungen ange­ sehen werden können.

So ist $. B. die dritte Differen­

tialgleichung dir erste Integralgleichung der vierten Dif­ ferentialgleichung oder auch ihre Integralgleichung von der dritten Ordnung, die zweite Differentialgleichung ist die erste Integralgleichung der dritten, unb die zweite In­ tegralgleichung der vierten Differentialgleichung oder ihre Integralgleichung von der zweiten Ordnung u. s. w. Diese Operationen

find allemahl sehr leicht wenn

die Funklion X aus einer bloßen Potenz von x bestehet. - xn so wird d

Hat man z. B. folglich folglich y t:

-

t "

■' 1

n 4-1

c UNd d . y i

X iH- a

( 11 + 1 ) Ml -h 2 ;

= xn X

H

T

I