Kuantum Mekaniği

Citation preview

3133IALFA1BİLİMl129

KUANTUM MEKANİGİ Kuantum Fiziğine Kuramsal Başlangıç LEONARD SUSSKIND

1978 yılından bu yana Standford Üniversitesi Kuramsal Fizik Bölümünde Felix

Bloch Kürsüsünde profesör olarak görev yapan Susskind, günümüzün en ünlü fizikçileri arasında yer alır. Yoichiro Nambu ve Holger Bech Nielsen'le birlikte parçacıkların göreceli sicimin uyarılma durumları olabileceği fikrini ortaya atmıştır. 2003 'te sicim teorisi alanını keşfeden Dr. Susskind'in araştırmaları, kuantum kozmolojisi, kuantum statik mekaniği ve kuantum alan teorisini içerir. ABD Ulusal Bilimler akademi ve Amerikan Bilim ve Sanat Akademisi üyesi, Kanada'nm Perimeter Teorik Fizik Enstitüsünün kısmi üyesi ve Kore Modern Araştırma Enstitüsünün seçkin bir profesörüdür. Leonard Susskind'in çalışmalarının bazıları şunlardır: Kııranısal lvfiııinıum, Fizik Yapmaya Başlamak için Bilmek Zorımda Oldııklarıııız (George Hrabovsky'yle birlikte), Kara Delik Savaşı, Kozmik Manzara.

ART FRIEDMAN

New York, Bornx'da dünyaya geldi. Fizik lisans derecesini Cooper Union

Üniversitesinde tamamladı. Fordham Üniversitesinde eğitim bilimleri,Standford Üniversitesinde bilgisayar mühendisliği okudu. Uzun yıllar Hewlett-Packard şirketinde veri uzmanı olarak çalıştı. Kendisini ömür boyu fizik öğrencisi olarak tanımlayan Art Friedman, California Mountain View'da yaşamaktadır.

ZEKERiYA AYDIN

1964 yılında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümünden mezun

olup aynı bölümde akademik hayata başlayan Zekeriya Aydın, 2008 yılında oradan emekli olmuştur. Çeşitli zamanlarda Colorado Üniversitesi, Hamburg Üniversitesi ile DESY Hızlandırıcı Merkezi veTriesteTeorik Fizik Merkezi gibi yerlerde de çalışmıştır. Kuramsal parçacık fiziği alanında çok sayıda araştırma makalesi yanında, lisans ve lisansüstü düzeyde telif ve çeviri fizik ders kitapları vardır. Çevirdiği popüler bilim kitapları arasında ise Weinberg'in İlk

Üç

Dakika

ve Atomaltı Parçacıklar, Christianson 'un Isaac Ncıı,toıı: Bilimsel Devrim, Gordon Kane'in Sı'ipcrsimetri, Goodstein'ın Fcy11111a11'111 Kcıyıp Dersi ve Feynman'ın Altı Kolay Parça, Altı Zor Parça ve Fizik Dersleri

I kitapları sayılabilir.

Kuantum Mekaniği - Kuantum Fiziğine Kuramsal Başlangıç

© 2016 , AL FA Basım Yayım Dağıtım San. ve Tic. Ltd. Şti. Quantum Mechanics - The Theoretical Minimıım

© 2014, Leonard Susskind & Art Friedman

Kitabın Türkçe yayın hakları Nurcihan Kesim Ajans aracılığıyla Alfa Basım Yayım Dağıtım Ltd. Şti.'ne aittir.Tanıtım amacıyla, kaynak göstermek şartıyla yapılacak kısa alıntılar dışında, yayıncının yazılı izni olmaksızın hiçbir elektronik veya mekanik araçla çoğaltılamaz. Eser sahiplerinin manevi ve mali hakları saklıdır.

Yayıncı ve Genel Yayın Yönetmeni M. Faruk Bayrak Genel Müdür Vedat Bayrak Yayın Yönetmeni Mustafa Küpüşoğlu Dizi Editörü Kerem Cankoçak Redaksiyon Mehmet Ata Arslan Kapak Tasarımı Füsun Turcan Elmasoğlu Sayfa Tasarımı Zeliha Güler

lSBN 978-605- 17 1-461-5

1. Basını: Şubat 20 17

4. Basım: Şubat 2023

Baskı ve Cilt Melisa Matbaacılık Çiftehavuzlar Yolu Acar Sanayi Sitesi No: 8 Bayrampaşa-İstanbul Tel: 0(212) 674 97 23 Faks: 0(212) 674 97 29 Sertifika no: 45099

Alfa Basım Yayım Dağıtım San. ve T ic. Ltd. Şti.

Alemdar Mahallesi Ticarethane Sokak No: 15 3411O Cağaloğlu-İstanbul

Tel: 0(212) 511 53 03 (pbx) Faks: 0(212) 519 33 00 www.alfakitap.com - [email protected] Sertifika no: 43949

LEONA�D SUSSl\IND A�T F�IEDMAN

r\UANTUM .

-

.

MEl\ANIGI Kuantum Fiziğine Kuramsal Başlangıç

Çeviren: Zekeriya Aydın

ALFA

Bu kitap Kuramsal Başlangıç dizisinin ikinci cildidir. Bi­ rinci cilt Klasik Mekaniğe Kuramsal Başlangıç: Fizik

Yapmaya Başlamak İçin Bilmek Zorunda Olduklannız, her fizik eğitiminin esası olan klasik mekaniği kapsar. Zaman zaman buna basitçe Cilt 1 olarak göndermede bu­ lunacağız. Bu ikinci kitap kuantum mekaniğini ve onun klasik mekanikle olan ilişkisini açıklar. Bu dizideki ki­ taplar, Leonard Susskind'ın Stanford Üniversitesinin Web sitesinde yer alan videolarıyla paralel gitmektedir (liste için bkz. www. theoreticalminimum. com'a) Vide­ olarla aynı genel konuları içermekle birlikte, kitaplar ek ayrıntıları ve videolarda görünmeyen konuları da içine alır.

4

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ

.................................................................................................................

ÖNDEYİŞ GİRİŞ

..........................................................................................................

..................................................................................................................

DERS 1: SİSTEMLER VE DENEYLER

DERS 2: KUANTUM DURUMLARI

.............................................

7

11 15 17

...................................................

47

.........................................................

99

DERS 3: KUANTUM MEKANİGİNİN İLKELERİ... ....................... 61 DERS 4: ZAMAN VE DEGİŞME

DERS 5: BELİRSİZLİK VE ZAMAN BAGLILIGI

. 131

..................... ..

DERS 6: SİSTEMLERİ BİRLEŞTİRME: DOLANIKLIK

...........

DERS 7: DOLANIKLIK ÜZERİNE DAHA FAZLA BİLGİ

.........

149

179

DERS 8: PARÇACIKLAR VE DALGALAR..................................... 225

DERS 9: PARÇACIK DİNAMİGİ

......................................................

DERS 10: HARMONİK SALINICI... EK

...................................................

.....................................................................................................................

DİZİN

..............................................................................................................

5

259 293

327

333

Tüm bunları olanaklı kılan Ailelerimiz için: !rene ve Benjamin Susskind George ve Trudy Friedman

ÖN SÖZ Birçok bakımdan kuantum mekaniğinin babası sayılan Albert Einstein konuyla ilgili adı kötüye çıkmış bir aşk­ nefret ilişkisine sahipti. Niels Bohr'la olan tartışmaları bilim tarihinde ünlüdür: Bohr kuantum mekaniğini tam olarak benimsiyordu, Einstein ise çok kuşkuluydu. Ç oğu fizikçi genelde Bohr'un kazandığına ve Einstein'ın kay­ bettiğine inanmaktaydı. Benim kanım o ki, büyük sayıda fizikçiyle de paylaştığımı sanıyorum bunu, bu tutum Einstein'ın görüşlerine karşı adil bir değerlendirme de­ ğildir. Bohr ve Einstein'ın ikisi de ince zekalıydılar. Einstein kuantum mekaniğinin tutarsız olduğunu göstermek için çok çalışmıştı; bununla birlikte Bohr daima onun savla­ rına karşı çıkardı. Fakat onun son saldırısında Einstein öyle derin, öyle sezgi-karşıtı, öyle sıkıntılı ve de öyle he­ yecanlı bir şeye işaret etmişti ki, bu, yirmi-birinci yüzyı­ lın başında kuramsal fizikçileri büyülemeye başlamıştı. Einstein'ın son büyük keşfine -dolanıklığın keşfine­ Bohr'un tek yanıtı onu göz ardı etmek olmuştu. Dolanıklık olayı, kuantum mekaniğini klasik fizikten çok farklı kılan esas olgudur. Bu, fizik dünyasında neyin gerçek olduğunu tam olarak anlamamız hususunu tar­ tışmaya açar. Bizim fiziksel sistemler hakkındaki olağan sezgimiz şudur; bir sistem hakkında her şeyi bilirsek, yani ilke olarak her şey biliniyorsa, o zaman onun par­ çaları hakkında her şeyi biliriz. Bir otomobilin durumu7

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

nun tam bilgisine s ahipsek, o zaman onun tekerleklerini, motorunu, viteslerini, döşemesini yerinde tutan vidala­ rına kadar her şeyini biliriz. Bir araba tamircisinin "Ara­ banız hakkında her şeyi biliyorum, fakat ne yazık ki onun hiçbir parçası hakkında size hiçbir şey söyleye­ mem" demesinin bir anlamı yoktur. Fakat Einstein'ın Bohr'a açıkladığı şey de tam olarak buydu: Bir kimse kuantum mekaniğinde bir sistem hak­ kında her şeyi bilebilir, ama tek tek p arçaları hakkında hiçbir şey bilmez; fakat Bohr bu gerçeği değerlendirmeyi b aşaramamıştı. Gelip geçmiş kuantum ders kitaplarının da bunu kaygısızca ihmal etmiş olduğunu eklemeliyim. Kuantum mekaniğinin acayipliğini herkes bilir, fakat ne şekilde acayip olduğunu tam olarak söyleyebilecek kaç kişi çıkar, bundan kuşkuluyum. Bu kitap kuantum mekaniği üzerine teknik bir derstir, fakat pek çok ders­ ten veya ders kitabından daha zordur. Mantıksal ilkeler üzerine odaklanmıştır ve amacı kuantum mantığının bü­ tün acayipliğini gizlemek değil, tam tersine gün ışığına çıkarmaktır. Şunu hatırlatayım ki bu kitap benim Kuramsal Baş­ langıç adlı İnternet ders dizilerimi yakından izleyen derslerden biridir. Kitabın ortak yazarı olan Art Fried­ man bu derslerde bir öğrenciydi. Kitap şu avantajdan yararlandı: Art konuyu öğreniyordu ve dolayısıyla baş­ layana kafa karıştırıcı gibi gelebilen sorunlara çok du­ yarlıydı . Kitabın yazımı süresince çok eğlendik ve bu ruh halinin bir kısmını biraz espriyle iletmeye çalıştık. Bunu anlamazsanız, boş verin gitsin. Leonard Susskind 8

ÖNSÖZ

Stanford'ta bilgisayar bilimlerinde lisansüstü derecemi tamamladığımda, Leonard'ın fizik derslerine katılmak üzere birkaç yıl s onra geri döneceğimi hiç düşünmemiş ­ tim. Benim fizikteki kısa "meslek hayatım" yıllar önce li­ sans derecemin tamamlanmasıyla birlikte bitmişti. Fa­ kat konuya ilgim çok canlı kalmıştı. Göründüğü kadarıyla, çok arkadaşım var; dünya ger­ çekten fizikle derinden ilgilenen insanlarla dolu, fakat onların yaşamları onları farklı yönlere alıp götürmüş. Bu kitap işte bizim hepimiz için. Kuantum mekaniği, bir dereceye kadar, saf olarak ni­ tel bir düzeyde değerlendirilebilir. Fakat onun güzelliği­ ni tam odağa getiren matematiktir. Bu şaşırtıcı çalışma­ yı fizikçi olmayan, fakat matematik bilen kişilerce erişi­ lir kılmaya çalıştık. Sanırım oldukça iyi bir iş yaptık ve umuyorum ki sizinle fikir birliği içindeyizdir. Bunun gibi bir projeyi hiç kimse pek çok yardım al­ madan bitiremez. Brockman Şirketindeki insanlar işin yapılışını kolaylaştırdılar ve Perseus Books'taki üretim ekibi birinci sınıftı. Candan teşekkürlerim T. J. Kelleher, Rachel King ve Tisse Takagi'yedir. Bizim şansımız yete­ nekli editör John Searcy'yle çalışmaktı. Düzenli ş ekilde düşünceli, cazip sorular yönelttikleri için ve pek çok ders-sonrası uyarıcı sohbetleri nedeniyle Leonard'ın (diğer) sürekli eğitim öğrencilerine teşekkür borçluyum. Rob Colwell, Todd Craig, Monty Frost ve John Naslı ilk taslakta yapıcı eleştirilerde bulundular. Jeremy Branscome ve Rus s Bryan ilk taslağın tümünü ayrıntılı ş ekilde gözden geçirdi ve çok sayıda pröblem saptadı.

9

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

Nazik destekleri ve coşkuları için aileme ve arkadaş­ larıma teşekkür ederim. Kız kardeşim Hannah' a her şeye göz kulak olduğu için özellikle teşekkür ederim. Sevgisi, teşviki, anlayış ve mizah duygusu yanı sıra, harika eşim Margaret Sloan diyagramların üçte birine ve her iki "Hilbert'in Yeri" çizimine katkıda bulunmuştu. Teşekkürler Maggie. Bu projenin başlangıcında, Leonard, benim gerçek ar­ zu ve hevesimi hissederek, fiziği öğrenmenin en iyi yol­ larından birinin fizik hakkında yazmak olduğuna işaret etmişti. Kuşkusuz, doğrudur bu, fakat nasıl doğru oldu­ ğu hakkında hiç fikrim yoktu ve bunu öğrenme şansını yakaladığım için müteşekkirim. Milyon kez teşekkürler Leonard. Art Friedman

10

ÖNDEYİŞ Art birasına şöyle bir göz atar ve "Lenny, haydi bir el Einstein-Bohr oyunu oynayalım " der. "Tamam, fakat kaybetmekten yoruldum. Bu kez sen Artstein ol, ben ise L-Bor olayım. Sen başla. " "Öyle olsun. İşte benim ilk hamlem: Tanrı zar atmaz. Hah-hah, L-Bor, işte bana bir puan. " "Dur bakalım, Artstein, yavaş gel. Arkadaşım, kuantum kuramının, doğası gereği, olasılıkçı olduğuna ilk kez işaret eden sen değil miydin ? Heh heh heh, bu iki-sayı­ lık bir atış! " "Peki, onu geri alınm. " "Alamazsın. " "Alırım. " "Alamazsın. " Einstein, 1 9 1 7'de yazdığı "Işınımın Kuantum Kuramı Üzerine" adlı makalesinde, gamına ışınları salımının bir istatistik yasayla yönetildiğini öne sürmüştü; bu herhal­ de birkaç kişinin aklındadır.

11

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ Bir Profesör ve Bir Kemancı Bara Girer

I.

Ciltte, genel hatlarıyla iki John Steinbeck karakteri­

ne dayalı hayali kişiler olan Lenny ve George arasındaki kısa s ohbetlerle aralara girilirdi. Kuramsal B aşlangıç di­ zisinin bu cildi için sahne, Damon Runyon'un öykülerin­ den alıntılanmıştır. Burası s ahtekarlarla, üçkağıtçılarla, s oysuzlarla, çıkarcılarla ve iyi-niyetlilerle dolu bir dün­ yadır. Ayrıca günü atlatmaya çalış an birkaç sıradan va­ tandaş. Eylem,

Hilbert'in Yeri

denen gözde bir taverna­

da gelişir. Nasılsa tur otobüslerinden ayrılmış Californialı iki acemi çaylak, Lenny ve Art, bu s ahnede dolaşmaktadır. Onlara ş ans dileyelim. Buna ihtiyaçları var.

Gerekli Olanlar

Bu seyahat için fizikçi olmanız gerekmiyor, s adece bi­ raz diferansiyel ve integral hesap ile doğrusal cebir te­ mel bilgilerine sahip olmalısınız. Ayrıca I.

Ciltte kaps a­

nan malzeme hakkında bir şeyler b ilmelisiniz. Matema­

tiğiniz biraz paslanmış s a da, s akıncası yok. İlerlerken, onların çoğunu tekrar edip açıklayacağım; özellikle doğ­ rus al cebir üzerine olan malzemeyi. I.

Cilt diferansiyel ve

integral hesaptaki temel fikirleri gözden geçirmektedir. Kaygısız mizacımız sizi tekrar mankafalar için yazı­ yoruz düşüncesine götürmesin. Mankafalar için yazmı­ yoruz. Amacımız zor bir konuyu "mümkün ,olduğunca basit, fakat daha da basit olmayan" bir hale getirmektir ve ümit ederiz ki bu esnada biraz da eğleniriz. Hilbert'in Yeri'nde görüşürüz.

12

ÖN DEYİŞ

c "' o Vi

13

GİRİŞ Klasik mekanik sezgiseldir; cisimler öngörülebilir şekil­ de hareket ederler. Deneyimli bir oyuncu süzülen bir to­ pa şöyle bir bakar ve onun konumu ile hızından topu tam zamanında yakalamak için nereye koşacağını bilir. Kuşkusuz b eklenmedik ani bir rüzgar onu kandırır, fakat bu sadece tüm değişkenleri hes aba katmadığı içindir. Klasik mekaniğin sezgisel oluşunun açık bir nedeni var­ dır: İnsanlar -ve onlardan önce de hayvanlar- yaşamak için her gün birçok kez onu kullanmaktadır. Fakat yir­ minci yüzyıldan önce hiç kimse kuantum mekaniğini kullanmamıştı. Kuantum mekaniği öyle küçük şeyleri betimler ki onlar tamamen insan duyularının erimi dı­ şındadır. Bu nedenle kuantum dünyası için bir sezgi ge­ liştirmemiş olmamız mantıklı görünmektedir. Onu kav­ rayabilmemizin tek yolu, sezgilerimizi soyut matematik­ le beynimizde yeniden yapılandırmaktır. Neyse ki, tuhaf bir nedenle, beynimizin içinde böyle bir yapılandırma yeteneği geliştirmişiz. Normal olarak, kuantum mekaniğine hiç yeltenmeden, önce klasik mekanik öğreniriz. Fakat kuantum mekaniği klasik mekanikten çok daha temeldir. Bildiğimiz kada­ rıyla, her fiziksel sistemin tam bir betimlemesini kuan­ tum mekaniği sağlar; ancak yeterince büyük kütleli ci­ simler kuantum mekaniğinin güvenle yaklaştırılabildiği klasik mekanikle anlatılabilir. İşte klasik mekanik tama­ men budur: bir yaklaştırma. Mantık açısından, ilkin ku-

15

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

antum mekaniğini öğrenmeliyiz, fakat bunu çok az fizik hocası salık verir. Bu dersler -Kuramsal Başlangıç dizi­ si- bile, klasik mekanikle başlamıştı. Gene de, klasik me­ kanik, bu kuantum derslerinde, kuantum mekaniğinin temel ilkeleri açıklandıktan epey sonra, sona yakın yer­ ler dışında neredeyse hiç rol oynamayacak. Sanırım, sa­ dece mantıksal olarak değil ayrıca pedagojik olarak da bunu yapmanın gerçekten de doğru yolu budur. Bu yolla, kuantum mekaniği esas olarak sadece içine birkaç yeni yutturmaca ıvır zıvır katılmış klasik mekaniktir şeklin­ deki düşünce tuzağına düşmeyiz. Bu arada, kuantum mekaniği teknik olarak klasik mekanikten çok daha ko­ laydır. En basit klasik sistem -bilgisayar bilimleri için temel mantık birimi- iki- durumlu sistemdir. Bazen buna bir bit denir. Sadece iki durumu olan her şeyi temsil edebilir: yazı veya tura gösteren bir madeni para, açık veya kapa­ lı olan bir anahtar veya ya kuzeyi veya güneyi gösterme­ ye sınırlanmış bir küçük mıknatıs . Tahmin edebileceği­ niz gibi, özellikle I. Cildin ilk dersini okumuşsanız, iki­ durumlu klasik sistemler kuramı aşırı derecede basittir; aslında, sıkıcıdır. Bu ciltte iki-durumlu sistemin kübit (qubit) denen kuantum biçimiyle başlayacağız; bu çok daha ilginçtir. Onu anlamak için, tamamen yeni bir dü­ şünme tarzına -yeni bir temel mantık yapısına- gerek duyacağız.

16

Ders 1 Sistemler ve Deneyler Lenny ve Art, Hilbert'in Yeri'nde gezinmektedir. Art: Bu nedir, belirsizlik bölgesi mi? Yoksa bir tür eğ­

lence evi mi ? Kendimi toparlayamıyorum. Lenny: Hele bir nefes al. Ona alışacaksın. Art: Hangi yön yukarısıd ı r?

1.1 Kuantum Mekaniği Farklıdır Kuantum mekaniği hakkında böylesine özel olan şey nedir? Onu anlamak neden bu denli zordur? Suçu kolay­ ca "zor matematiğin" üzerine atabiliriz ve bu düşüncede biraz gerçeklik de olabilir. Fakat tüm hikaye bu olamaz. Fizikçi olmayan pek çok kişi, zor matematiği gerektiren klasik mekaniği ve alan kuramını çok iyi şekilde öğrene­ bilir. Kuantum mekaniği öylesine küçük cisimlerle uğraşır ki, biz insanlar onları gözümüzde canlandırmak için hepten eksik donatılmışızdır. Tek tek atomlar büyüklük cinsinden bu ölçeğin üst ucuna yakındır. Genelde çalış­ ma cisimleri olarak elektronlar kullanılır. Bizim duyu organlarımız basitçe bir elektronun hareketini algılamak için inşa edilmemiştir. Yapabileceğimizin en iyisi, elek­ tronları ve onların hareketlerini matematiksel soyutla­ malar olarak anlamaya çalışmaktır. 17

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

Kuşkucu birisi "Ee ne olmuş yani?" der, "klasik meka­ nik de matematiksel soyutlamalarla doludur ağzına ka­ dar; noktasal kütleler, katı cisimler, eylemsiz gözlem çerçeveleri, konumlar, momentumlar, alanlar, dalgalar; liste uzayıp gider. Matematiksel soyutlamalarda yeni bir şey yok ki." Bu gerçekten haklı bir husustur; gerçekten de klasik dünya ile kuantum dünyası bazı önemli ortak şeylere sahiptirler. Bununla birlikte, kuantum mekaniği iki yönden farklıdır: 1 . Farklı soyutlamalar: Kuantum soyutlamaları kla­ sik soyutlamalardan temelde farklıdır. Örneğin, göreceğiz ki kuantum mekaniğinde bir durum fikri klasik benzerinden kavramsal olarak çok farklıdır. Durumlar farklı matematiksel nesnelerle temsil edilirler ve farklı bir mantıksal yapıya sahiptirler. 2.

Durumlar ve Ölçümler: Klasik dünyada, bir siste­ min durumu ile o sistem üzerinde bir ölçümün so­ nucu arasındaki b ağıntı apaçıktır ve aslında önemsizdir. Bir durumu (örneğin, bir parçacığın konumunu ve momentumunu) betimleyen etiketler, bu durumun ölçümlerini simgeleyen etiketlerle ay­ nıdır. Bir başka ifadeyle, bir sistemin durumunu saptamak için bir deney yapılabilir. Kuantum dün­ yasında, bu doğru değildir. Durumlar ve ölçümler farklı şeylerdir ve onlar arasındaki bağıntı incelik­ li olup sezgisel değildir.

Bu fikirler can alıcıdır ve onlara tekrar tekrar geri döne­ ceğiz.

18

DERS 1: SİSTEMLER YE DENEYLER

1.2 Spinler ve Kübit'ler Spin kavramı parçacık fiziğinden türetilmiştir. Parça­ cıklar uzaydaki yerleşimlerine ek olarak başka özellikle­ re de sahiptir. Örneğin, elektrik yüküne veya kütleye sa­ hip olabilirler, veya olmazlar. Bir elektron, bir kuark ve­ ya nötrinoyla aynı değildir. Fakat elektron gibi özel tür­ den bir parçacık bile, sadece yerleşimiyle belirtilemez. Elektrona iliştirilmiş spin denen fazladan bir serbestlik derecesi daha vardır. Spin, s ade olarak, belli bir yönü gösteren küçük bir okla resmedilebilir; fakat bu sade re­ sim gerçek durumu doğru biçimde temsil etmek için aşı­ rı derecede klasiktir. Bir elektronun spini, bir sistemin kendisinin olabileceği kadar kuantum mekanikseldir ve onu klasik olarak her gözde canlandırma girişimi, işin özünü kötü şekilde gözden kaçırmaya yol açacaktır. Spin fikrini soyutlayabiliriz ve öyle yapacağız; elek­ trona iliştirilmiş olduğunu unutacağız. Kuantum spini, kendi çapında çalışılabilecek bir sistemdir. Aslında, onu uzayda taşıyan elektrondan yalıtılmış kuantum spini, sistemlerin hem en basiti ve hem de en kuantumlusudur. Yalıtılmış kuantum spini, kübit'ler -kuantum bit'leri­ denen genel basit sistemler sınıfının bir örneğidir; bilgi­ sayarınızın durumunu tanımlayan mantıksal bit'lerin oynadığı rolü, kuantum dünyasında kuantum spini oy­ nar. Pek çok sistem -hatta belki tüm sistemler- kü­ bit'leri birleştirerek oluşturulabilir. Dolayısıyla onları öğrenirken, çok daha fazlasını öğreniyoruz.

1.3 Bir Deney Bulabileceğimiz en basit örneği kullanarak, bu fikir­ leri somut hale getirelim. I. Cildin ilk dersinde, çok basit 19

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ bir belirlenimci [deterministikl sistemi tartış arak b aşla­

mıştık: Sistemimiz tura (T) veya yazı (Y} gelebilen bir madeni p araydı. Buna, Tve Y gibi iki durumuyla , iki-du­

rumlu bir sistem veya bir bit diyebiliriz. Usule daha uy­ gun olarak,

X l t/J (x) )

x t/J(x)

P ise diğer tek-boyutlu problemlerde olduğu gibi aynı yapıdadır:

==>

P l ı/J (x) )

-

ili d�

t/J (x)

Şimdi, P'yi dalga fonksiyonu üzerine iki kez uygulayarak, Hamilton işlemcisinin dalga fonksiyonuna etkisini he­ saplayabiliriz. Bu 9. Derste izlediğimiz aynı işlemdir. Başka bir deyişle,

1

2

H l t/J (x) )

(-ı n A ( ı n (Joxıj.ı(x) ) ) dx ·

·

+

21 w 2 x2 ..,.,' (x) '

'

ya da H l t/J (x))

==>

-

/i 2 (J Z tfJ (x)

-

2

--

ox2

301

+

l wzxz ıj.ı(x)

2

( 1 0. 1 2)

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

olur. ıjJ genel olarak bir b aşka değişkene daha, yani za­ mana da b ağlı olduğundan, parçalı türevler kullanıyo­ ruz. Zaman bir işlemci değildir ve x'le aynı itibarı taşı­ maz, fakat durum-vektörü zamanla değişir ve dolayısıy­ la zaman bir parametre olarak ele alınır. Parçalı türev, sistemi "s abit bir anda" betimlediğimizi gösterir.

10.3 Schrödinger Denklemi Denk. 1 0. 12 Hamilton işlemcisinin ıjJ üzerine nasıl et­ ki edeceğini gösterir. Şimdi, onu çalıştıralım. İşlerden biri, önceki bölümde dediğimiz gibi, size durum-vektö­ rünün zamanla nasıl değiştiğini söylemektir. Öyleyse za­ mana-bağlı Schrödinger denklemini yazalım:

H yerine 10. 1 2'yi koyarak şunu elde ederiz: . aıjJ = at

ı

-

li a2ıjJ 2 axz

--

-

+

1 - w 2x2 ıjJ 2 /i

( 1 0 . 1 3)

Bu denkleme göre, eğer belli bir zamanda ıjJ'yi (gerçel ve sanal kısımlarını) biliyorsanız, gelen herhangi bir za­ manda onun ne olacağını tahmin edebilirsiniz. Denkle­ min karmaşık olduğuna dikkat edin; içinde i çarpanını bulundurur. Bu demektir ki ıjJ fonksiyonu t = O anında gerçel-değerli olarak başlamış olsa bile, kısa sürede bir sanal kısım geliştirecektir. Dolayısıyla her ıjJ çözümü x ve t'nin bir karmaşık fonksiyonu olmalıdır. Bu denklemi pek çok yoldan çözebilirsiniz. Örneğin, onu bilgisayarda sayısal olarak çözebilirsiniz. ıjJ'nin bi302

DERS

10:

HARMONİK SALINICI

linen bir değeriyle başlayın ve türevini hesaplayarak onu birazcık yenileyin. Türevine sahip olunca, ı// nin kü­ çük bir z aman artması içinde nasıl değiştiğini hesapla­ yın. Sonra bu artmasa! değişimi ı/J(x) ' e ekleyin ve bunu tekrar tekrar yapın. ı/J(x) 'in ilginç bir şeyler yaptığı anla­ şılır; bir şekilde gezinecektir. Aslına bakarsanız, bazı hallerde, bir harmonik salınıcıya çok benzeyen şekilde gezinen bir dalga paketi oluşturacaktır.

10.4 Enerji Düzeyleri Hamilton işlemcisiyle yapabileceğiniz diğer şey, salı­ nıcının özdeğerlerini ve özvektörlerini bularak enerji dü­ zeylerini hesaplamaktır. 4. Derste öğrendiğimiz gibi, bu özvektörleri ve özdeğerleri bilince, hiçbir diferansiyel denklem çözmeden zamana b ağlılığı halledebiliriz. Zaten her bir enerji özvektörünün zamana bağlılığını bildiği­ nizden, bu böyledir. Bölüm 4. 1 3 'te verdiğimiz Schrödin­ ger'in Ket reçetesini gözden geçirmek isteyebilirsiniz. Şu an için, zamandan-bağımsız Schrödinger denklemini kullanarak enerji özvektörlerinin kendilerini bulmaya odaklanalım: H l ı/JE) = Elı/JE) E alt indisi, ı/JE'nin özel bir E özdeğeri için özvektör oldu­ ğunu gösterir. Bu denklem iki şeyi tanımlar: ı/JE(x) dalga fonksiyonlarını ve E enerji düzeylerini. Denk. 1 0. 1 2 'yi kullanıp H'yi açarak her şeyi biraz da olsa soyut olmak­ tan kurtaralım:

- .!!!._ a ı ı/JE(x) 2 axı

+

_!_ w 2x2 ı/Je{x) = Eı/JE(x) 2

303

( 1 0. 14)

KUANTIJM Flzl(; I N E KURAMSAL BAŞLANGIÇ

Bu denklemi çözmek için: •

E'nin matematiksel bir çözümünü veren izinli de­ ğerlerini bulmalıyız .

•

Özvektörleri ve enerjinin olası özdeğerlerini bul­ malıyız.

Bu düşündüğünüzden biraz daha fazla incelik taşır. E'nin her değeri için, tüm karmaşık sayılar dahil, denk­ lemin bir çözümü olduğu anlaşılır; fakat pek çok çözüm fiziksel olarak saçmadır. Sırf bir noktadan başlar ve kü­ çük artmasa! adımlarla Schrödinger denklemini çözer­ sek, x büyüdükçe, neredeyse daima ıjı(x) 'in büyüdüğünü veya "patladığını" görürüz. Başka bir deyişle, denkleme çözümler bulabiliriz, fakat sadece çok seyrek olarak boylandırılmış çözümler elde ederiz. Aslında, tüm karmaşık sayılar dahil, E'nin çoğu değe­ ri için, 1 0 . 1 4 denkleminin çözümleri ıjı'in oo'a, -oo'a veya her ikisine yaklaşması halinde üstel olarak büyür. Bu tür çözümlerin fiziksel anlamı yoktur; bize salınıcı koor­ dinatının sonsuz uzağa gitmesi olasılığının ezici büyük­ lükte olduğunu söyler. Böyle çözümlerden kurtulmak için bir koşul koymamız gerektiği açıktır. Öyleyse şu ko­ şulu koyalım:

Schrödinger denkleminin fiziksel çözümleri boylan­ dırılmış olmalıdır. Bu çok güçlü bir sınırlamadır. Aslında, E'nin neredey­ se tüm değerleri için, boylandırılmış çözümler yoktur. Fakat bazı çok özel E değerleri için, böyle çözümler mev­ cuttur ve onları bulacağız . 304

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

10.5 Taban Durumu Bir harmonik salınıcı için en düşük olası enerji düze­ yi nedir? Klasik fizikte enerji hiçbir zaman negatif olmaz, çünkü Hamilton işlemcisi bir x 2 terimi ve bir p 2 terimi içerir; enerjiyi en düşük kılmak için p ve x'i sıfıra eşit kılmalıyız. Fakat kuantum mekaniğinde bu çok fazla şey istemek olur. Belirsizlik ilkesine göre, x ve p'nin ikisini de sıfıra eşit yapamazsınız. Yapabileceğinizin en iyisi, x ve p'yi iyice yaymadan bir uzlaşımlı çözüm bulmaktır. Uzlaşı gerektiğinden, en düşük olası enerji sıfır olmaya­ caktır. Ne p 2 ve ne de x 2 sıfır olacaktır. X2 ve P 2 işlemci­ leri sadece pozitif özdeğerlere sahip olabildiğinden, har­ monik salınıcının negatif enerji düzeyleri olmadığı gibi, aslında sıfır enerjili düzeyi de yoktur. Bir sistemin tüm enerji düzeyleri pozitif olmak zorun­ daysa, bir en düşük izinli enerji ve onunla ilgili bir dalga fonksiyonu olmalıdır. Bu en düşük enerji düzeyine taban durumu denir ve ıjl0(x) 'le gösterilir. Burada O alt-indisinin enerjinin sıfır olduğu anlamına gelmediğini, onun en düşük izinli enerji olduğunu aklınızdan çıkarmayın. Taban durumunu tanımaya yardım eden çok kulla­ nışlı bir matematiksel teorem vardır. Onu burada kanıt­ lamayacağız, fakat ifade etmesi çok basittir:

Herhangi bir potansiyel için taban-durumu dalga fonksiyonu sıfırlara sahip değildir ve bu düğümleri olmayan tek enerji özdurumudur. Öyleyse harmonik salınıcımızın taban durumunu elde etmek için yapacağımız tek şey, E'nin bir değeri için dü­ ğümsüz bir çözüm bulmaktır. Onu nasıl bulacağımız önemli değildir; matematiksel inceliklere başvurabiliriz, 305

KUı\N Tl J M Flzi(; I N E KURAMSAL BAŞLANGIÇ

tahminlerde bulunabiliriz, veya olmadı profesöre sora­ rız. Sonuncu yöntemi kullanalım. (Profesör rolünü ben oynayacağım.)

Şekil 1 0. 1 . Hannonik Salınıcının Taban Durumu.

İşte size iş gören bir fonksiyon: ı/J (x)

=

e-(w/2 1i)x'

( 1 0. 1 5)

Bu fonksiyon şematik olarak Şek 1 0 . l 'de görülmektedir. Gördüğünüz gibi , başlangıç yakınında yoğunlaşmıştır, orada en düşük enerji durumunun yoğunlaşmış olmasını bekleriz. Başlangıçtan uzaklaştıkça, çok hızlı bir şekilde sıfıra gitmektedir; böylece olasılık yoğunluğunun integ­ rali sonludur. Aynca, önemli olarak, düğümlere sahip değildir. Dolayısıyla taban durumumuz olma şansına s ahiptir. Bu fonksiyona Hamilton işlemcisinin ne yapacağını hesaplamaya çalışalım. Hamilton işlemcisinin ilk terimi ( 1 0 . 1 4 denkleminin sol yanı) ı/J(x)'e

306

DERS 1 0 : HARMONİK SALIN,CI

işlemcisini uygulayacağımızı söyler. Bu terimi, her sefe­ rinde bir türev alarak hesaplayalım. İlk adım aıp(x) - � = 2 /i (2 x) e-(w/21i)x' ax

olup , aşağıdaki şekle basitleşir: aıp (x) = - � x e-(wl21i)x' ax h

İkinci türevi aldığımızda, çarpım kuralı nedeniyle iki te­ rim olacaktır: a ı ıp (x) - � e-(wl21i)x2 = axı h

+� /i 2 x

2

e-(w/21i)x2

Bu sonucu 1 0. 1 4 denkleminde geri yerine koyalım ve ay­ nı zamanda sağ yandaki ı/J'yi tahminimiz olan e-! wl21i)x' ifadesiyle değiştirelim: flwe-ıw121iıx2

2

_

l wı xı e-ıw121i)x'

2

+

l wı x ı e-ıw2121iı x2

2

= E e-ıw121i)x2

x ı e-! wl21i)x' ifadesiyle orantılı terimleri yok ettikten sonra,

Schrödinger denklemini çözmenin, flwe-! wl21i)x' = E e-ıwı21i)x'

2

denklemini çözmeye indirgendiği olgusunu keşfederiz. Görebileceğiniz gibi, bu denklemi çözmenin tek yolu, E'yi wh/2'ye eşitlemektir. Başka bir deyişle, biz sadece dalga fonksiyonunu bulmakla kalmadık, ayrıca taban­ durumu enerjisini de bulmuş olduk. Taban-durumu enerjisine E0 diyerek, ( 1 0. 1 6) Eo = w h 2 307

KUANTUM Flzl(;I N E KURAMSAL BAŞLANGIÇ

yazabiliriz. Bu arada taban- durumu fonksiyonu profesö­ rün bize verdiği Gauss fonksiyonudur:

ı/Jo(X)

=

e-(w/21i)x'

İşte size zeki bir profesör.

10.6 Yaratma ve Yoketme İşlemcileri Bu derslerin süresi boyunca, kuantum mekaniğini dü­ şünmenin iki yolunu gördük. Bu yollar Heisenberg ve Schrödinger'e kadar geri gider. Heisenberg cebirden, matrislerden hoşlanmaktaydı ve onlara doğrusal işlem­ ciler deneceğini biliyordu. Schrödinger, tersine, dalga fonksiyonları ve dalga denklemleri cinsinden düşünmek­ teydi; bunun ünlü örneği Schrödinger denklemidir. Kuş­ kusuz, bu iki düşünme yolu çelişkili değildir; fonksiyon­ lar bir vektör uzayı oluşturur ve türevler işlemcilerdir. Harmonik salınıcı çalışmamızda, şu ana kadar fonk­ siyonlara ve diferansiyel denklemlere odaklandık. Fakat birçok durumda -özellikle harmonik salınıcı için- daha güçlü araç işlemci yöntemidir. Bu yöntem, dalga fonksi­ yonlarını ve dalga denklemlerini neredeyse daima sıra değiştirme bağıntılarını içeren çok az sayıda cebirsel hünere indirger. Aslında, ne zaman bir çift işlemci gör­ seniz, onların sıra değiştirme bağıntılarını hes aplamanı­ zı öğütlerim. Komütatör daha önce görmediğiniz yeni bir işlemciyse, onun özgün çiftle komütatörünü bulun. Bu size eğlence olur. Açıkçası, bu öğüt sonu gelmeyen sıkıcı bir hes aplama zincirine yol açabilir. Fakat ara sıra şan­ sınız yaver gider ve komütasyon altında kapalı bir iş­ lemciler kümesi bulursunuz. Her ne zaman bu olursa, 308

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

işiniz iştir; göreceğimiz gibi, işlemci yöntemleri devasa bir güce sahiptir. Şimdi, bu yaklaşımı harmonik salınıcımıza uygulaya­ lım. İşe P ve X işlemcileri cinsinden ifade edilen Hamil­ ton işlemcisiyle başlarız: H

( 1 0. 1 7)

Enerji düzeylerinin kalanını hesaplamak için, bazı nu­ maralar yapacağız . Düşünce, X ve P'nin özelliklerini (bil­ hassa [X, P] = ili sıra değiştirme bağıntısını) , yaratma ve yoketme işlemcileri denen iki yeni işlemci kurmak için zekice kullanmaktır. Bir yaratma işlemcisi bir enerji öz­ vektörü (ya da özfonksiyonu) üzerine etkidiğinde, bir sonraki daha yüksek enerji düzeyine sahip yeni bir öz­ vektör üretir. Bir yoketme işlemcisi tam tersini yapar: Enerjisi, b aşladığı özvektörün enerjisinden bir düşük enerjili bir düzey üretir. Böylece, kab aca söylersek, onla­ rın yarattığı ve yokettiği şey enerjidir. Onlara yükseltme ve alçaltma işlemcileri de denir. Fakat şunu unutmayın: İşlemciler durum vektörleri üzerine etki eder, sistemler üzerine değil. Bu işlemcilerin nasıl çalıştıklarını anla­ mak için, Hamilton işlemcisini yeniden

( 1 0. 1 8) şeklinde yazalım. Bu klasik olduğu kadar kuantum me­ kaniksel bir Hamilton işlemcisidir de; onu küçük p ve x harfleriyle kullanmak da tam doğru olur. Bununla bir­ likte, kuantum mekaniksel Hamilton işlemcisine odak­ lanmayı pliinladığımız için, kalın P ve X harflerini kulla­ nıyoruz. Klasik fizik için doğru olan, fakat kuantum me309

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

kaniği için bazı düzeltmeleri gerektiren bir çalışma ya­ parak başlayalım. Yukarıdaki parantez içinde, karelerin toplamı var.

a2 + b2 = (a + ib)(a - ib)

formülünü kullanarak, Hamilton işlemcisini

H

"

=

"

l2 (P + iwX) (P - iwX)

( 1 0. 1 9)

şeklinde yazabileceğimiz sanılabilir ve bu neredeyse doğrudur. Neden ' n eredeys e ' ? Çünkü kuantum mekanik­ sel olarak P ve X sıra değiştirmez; işlemlerin sırası ko­ nusunda dikkatli olmalıyız. Ç arpım ifademizi açalım ve 1 0. 1 8 denklemindeki özgün Hamilton işlemcisinden ne kadar farklı olabildiğini görelim. Ç arpanların sırasını dikkatlice izleyerek, ifadeyi aşağıdaki gibi açabiliriz:

� (P + iwX) (P - iwX) = � (P2 + iwXP - iwPX - i2 w2 X2) =

=

=

l(p2 + iw(XP - PX) - i2 w2 X2) 2 l(p2 + iw(XP - PX) + w2 X2) 2

l (p2 + w2 X2) + l iw(XP - PX) 2 2

Son sıradaki parantezin sağ parçasına bakın. O ifadeyi daha önce görmüştük -o, X ve P'nin komütatörüdür. As­ lında, onun değerini zaten biliyoruz:

(XP - PX) = [X, P] = ih Böylece, çarpan halindeki Hamilton işlemcimiz

l(p2 + w2 X2) + l iwih 2 2 310

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

ya da

haline gelir. Başka bir deyişle, 1 0. 1 9 denkleminde başla­ dığımız çarpanlı ifade, aslında Hamilton işlemcisinden wli/2 kadar daha küçüktür. Gerçek Hamilton işlemcisini geri kazanmak için wli/2 terimini eklemeliyiz:

H = � (P + iwX) (P - iwX) + wzli Hamilton işlemcisini tekrar bu şekilde yazmak yararsız bir alıştırma gibi görünebilir, fakat bana güvenin, hiç de öyle değil. Her şeyden önce, son terim, her enerji özdeğe­ rine wli/2 sayısal değerinin eklendiği bir sabittir sadece. Şimdilik onu göz ardı edebiliriz. Daha sonra, problemin geri kalanını çözdükten sonra, onu geri ekleyebiliriz. Problemin önemli öğeleri (P + iwX) (P - iwX) ifadesinde yer alır. Bu iki çarpanın çok dikkate değer bazı özellikle­ re sahip olduğu anlaşılır. Aslında, onlar daha önce söy­ lediğim yükseltme ve alçaltma (ya da yaratma ve yoket­ me) işlemcileridir. Şu an için, bunlar sadece isimlerdir, fakat ilerledikçe bu isimlerin ne denli iyi seçilmiş olduk­ larını göreceğiz. Açık tanımları, alçaltma işlemcisi için a- =

(P - iwX)

ve yükseltme işlemcisi için a+ =

(P + iwX)

olabilir. Fakat tarih bazen açık olanı erken ele geçirir. Tarihsel olarak, yükseltme ve alçaltma işlemcileri önle­ rinde fazlalık bir çarpanla tanımlanmışlardı. İşte resmi tanımlar: 311

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

a- =

i (p iwX) ..Jzwh -

--

( 1 0.20) ( 1 0.2 1 )

B u tanımları kullanırsak, Hamilton işlemcisi çok basit görünür:

H = wh(a+ a- + 1 /2)

( 1 0.22)

a+ ve a-'nin bilmemiz gereken sadece iki özelliği vardır. Birincisi, birbirlerinin Hermitsel eşleniği olmalarıdır. Bu onların tanımlarından çıkar. Diğer özellik, onlara gerçek güçlerini verir. a+ ve a-'nin komütatörü şudur: [a-, a+] = 1 Bunu kanıtlamak kolaydır. Önce, tanımları kullanarak [a-, a+] =

�

2 h

[(P - iwX) , (P + iwX)]

yazarız. Bir sonraki adım [X, X] = O, [P, P]=O ve [X, P] = ih sıra değiştirme b ağıntılarını kullanmaktır. Bunları yu­ karıdaki denkleme uygularsanız, derhal [a-, a+] = 1 bu­ lursunuz. gibi yeni bir işlemci tanımlayarak, 1 0.22 denklemini da­ ha da basit hale getirebiliriz. Buna sayı işlemcisi denir. Bir kez daha, bu sadece bir isimdir; fakat göreceğimiz gibi, çok iyi verilmiş bir isimdir. Sayı işlemcisi cinsin­ den Hamilton işlemcisi şu şekle gelir:

H = wh(N + 1 /2)

( 1 0.23)

Şu ana kadar tüm yaptığımız, Hamilton işlemcisini ya­ lancıktan basit görünür kılmak için, a+, a- ve N gibi bazı 312

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

simgeler tanımlamaktı; bununla gerçekten de enerji öz­ değerlerini hesaplamaya biraz yakınlaştığımız açık de­ ğildir. Daha ilerlemek için, önceki tavsiyemi hatırlaya­ lım: Her ne zaman iki işlemci görürseniz, onların komü­ tatörünü hesaplayın. Bu durumda, bir komütatörü zaten biliyoruz: [a-, a+] = 1

( 1 0.24)

Şimdi de yükseltme ve alçaltma işlemcilerinin N sayı iş­ lemcisiyle komütatörünü bulalım. Bunu kaba güçle ya­ pacağız . İşte bunun adımları: [a-, Nl = a-N - Na- = a-a+a- - a+a-aŞimdi terimleri şu biçimde birleştirelim:

Parantez içindeki ifadenin tam [a-, a+] 'ye eşit ve onun da 1 olduğuna dikkat edinceye kadar bu karmaşık görünür. Basitleştirmek için bu gerçeği kullanarak, şunu elde ede­ riz : Aynı şeyi a+ ve N işlemcileriyle yaparız. Sonuç, bir işaret dışında neredeyse aynıdır. Komütatörlerin tam listesi net bir paket halinde aşağıdadır: [a-, a+J = 1 [a-, N] = a[a+, N] = - a+

( 1 0.25)

Buna bir komütatör cebri denilebilir: Sıra değiştirme al­ tında kapalı kalan işlemcilerin kümesi. Komütatör ce­ birleri, onları kuramsal fizikçinin gözde araçlarından bi-

313

K !J ı\ N T l J M F l z l (; I N E

KURAMSAL BAŞLANGIÇ

ri yapan mükemmel özelliklere sahiptir. Bu komütatör cebrinin gücünü şimdi simgesel harmonik salınıcı örne­ ğinde, onu N'nin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulma­ da kullanarak göreceğiz. Bunları bilince, 1 0.23 denkle­ minden H'nin özdeğerlerini derhal okuyabiliriz. İşin püf noktası bir tür tümevarım süreci kullanmaktır: N'nin bir özdeğerine ve özvektörüne sahip olduğumuzu varsaya­ rak b aşlarız. Özdeğere n ve özvektöre i n) diyelim. Tanım olarak: Nl n) = n l n)

Şimdi, a+ işlemcisini in) üzerine etki ettirerek elde edi­ len yeni bir vektörü ele alalım. Sonucun N'nin farklı öz­ değerli farklı bir özvektörü olduğunu kanıtlayalım. Yine, bunu sıra değiştirme bağıntılarını dümdüz uygulayarak gerçekleştiririz. N(a+ l n)) ifadesini birazcık daha karma­ şık yapıda yazarak başlayacağız :

Sağ taraftaki köşeli parantezin içindeki ifade, a+N önce eklenmiş ve sonra çıkarılmış olarak Na+ işlemcisiyle ay­ nıdır. Fakat dikkat ederseniz, normal parantez içindeki ifade 1 0.25 komütatörlerinin sonuncusu olup , bunu kul­ lanarak şunu elde ederiz: N(a+ l n)) = a+(N + 1) i n)

Son adım, N l n) = n l n) bağıntısını kullanmaktır. Bu da (N + 1 ) yerine (n + 1) koymak anlamına gelir: N(a+ l n)) = (n + 1) (a+ l n))

( 1 0.26)

Her zamanki gibi, otomatiğe bağlanmışken, gözlerimizi ilginç sonuçlar için açık tutmalıyız . 1 0.26 denklemi il314

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

ginçtir. Der ki a+ l n) vektörü, N'nin (n + 1) özdeğerli yeni bir vektörüdür. Başka bir deyişle, i n) vektörü verilince, onun 1 artmış özdeğerli bir özvektörünü ona a+ işlemci­ sini uygulayarak buluruz. Tüm bunlar a+ l n) = i n + 1 )

( 1 0.27)

denklemiyle özetlenebilir. Açık olarak, i n + 2), i n + 3), vb . bulmak için, bunu tekrar tekrar yapabiliriz. Bir n özde­ ğeri varsa, onun üzerinde tamsayılarla ayrılmış özdeğer­ lerin bir sonsuz dizisinin var olması gerektiğini anlarız. Yükseltme işlemcisi ismi gerçekten iyi seçilmiş görünü­ yor. Peki, alçaltma işlemcisi için ne diyebiliriz? Beklendi­ ği gibi, a-l n) , özdeğeri bir birim düşük olan bir özvektör verir: a-l n) = i n - 1 )

( 1 0.28)

Bu da n'nin altında bitmeyen bir özdeğerler dizisinin ol­ ması gerektiğini öngörür, fakat bu doğru olamaz. Biliyo­ ruz ki taban durumu pozitif enerjiye sahiptir ve H = wli(N+ l /2) olduğundan, aşağıya doğru giden dizi son bulmalıdır. Fakat sonlanabilecek tek olası yol şudur; öyle bir I O) özvektörü olmalıdır ki a- işlemcisi ona etkidiğinde, sonuç sıfır olmalıdır. ( I O)'ı sıfır vektörüyle karıştırmama­ lısınız.3) Simgesel olarak, bu şöyle ifade edilebilir: a-ı o) = O

( 1 0. 29)

En düşük enerji durumu olarak, I O) taban durumudur ve enerjisi E0 = wli/2 değerini alır. Bu, N'nin O özdeğerli bir 3

O vektörü tüm bileş enleri sıfır olan bir vektördür. Diğer ta­ raftan, I O ) özvektörü sıfırdan farklı bileşenli bir durum-vek­ törüdür.

315

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

özvektörüdür. Ç oğunlukla taban durumu a- işlemcisiyle yok edilir deriz. Böylece a+ , a- ve N'nin soyut kurulumunun işe yara­ dığını görüyorsunuz . Bu, harmonik salınıcının enerji dü­ zeylerinin tüm spektrumunu, bir tek zor denklem çöz­ meksizin, bulmamızı sağlamıştır. Bu spektrum şu enerji değerlerinden ibarettir: En = =

wh(n + 1 /2) wh( l /2 , 3/2 , 5/2 , . . . )

( 1 0.30)

Harmonik salınıcı enerji düzeylerinin bu kuantumla­ nışı, kuantum mekaniğinin ilk sonuçlarından biridir ve muhtemelen en önemlisidir. Hidrojen atomu kuantum mekaniğinin muhteşem bir örneğidir, fakat o , ne de olsa, sadece hidrojen atomudur. Harmonik salınıcı, diğer ta­ raftan, kristal titreşimlerinden elektrik devrelerine, elektromanyetik dalgalara kadar her yerde kendini gös­ terir. Liste sürer gider. Salıncaktaki çocuk gibi, makros­ kobik salınıcılar bile kuantumlu enerji düzeylerine sa­ hiptir; fakat Denk. 1 0.30'daki Planck sabitinin varlığı, düzeyler arasındaki aralığı öylesine ufacık kılar ki onlar hiç mi hiç fark edilemezler. Harmonik salınıcı için pozitif enerji düzeylerinin bit­ meyen spektrumuna b azen bir kule denir ve bazen de bir merdiven. Bu Şek. 1 0.2' de şematik olarak resimlenmiştir.

10.7 Dalga Fonksiyonuna Geri Dönüş Bu alıştırma işlemci cebirlerinin olağanüstü gücünü yeterince göstermişti ve işlemci yöntemi gerçekten de olağanüstüdür. Fakat çok soyuttur da. Ç ok daha somut 316

DERS 10: HARMONİK SALINICI

olan ve gözde kolayca canlandırılabilen dalga fonksi­ yonlarını bulmada bize yarar sağlar mı? Kesinlikle. Taban durumundan başlayalım. 1 0.29 denklemindeki taban durumunun, a- işlemcisiyle yok edilen tek ve biri­ cik durum olduğunu görmüştük. Şimdi, 1 0.29 denklemini konum ve momentum işlemcileriyle ilk temel-durum l/J0(x) cinsinden tekrar yazalım:

. � (P - iwX) l/J0(x)

v 2wh

=

O

Ya da öndeki sabit çarpana bölerek, onu biraz daha ba­ sitleştirelim: (P - iwX) l/J0(x) = O N=8

N=7

N=6

N=5

N=4

N=3

N=2

N=1

N=O Şekil 1 0. 2 . Harmonik Salınıcının Enerji Düzeyleri Merdiveni. Enerji düzeyleri eşit aralıklarla ayrılmıştır. a+ ve a- enerji düzeylerini sı­ rasıyla yükseltir ve alçaltır. N sıfır alt sınırına sahiptir (taban du­ rumu) , fakat üst sınırı yoktur.

317

KUANTUM Flzlt.I N E KURAMSAL BAŞLANGIÇ

P yerine -ih.!!. ._ koyarsak, ikinci-derece Schrödinger denk­ dx leminden çok daha basit olan birinci-dereceden bir diferansiyel denklem elde ederiz:

Bu, kolayca çözebileceğimiz basit bir diferansiyel denk­ lemdir. veya Denk. 1 0. 1 5'teki e-wx'l2fı

taban-durumu dalga fonksiyonunun onu çözeceğini sı­ nayabiliriz. Uyarılmış (taban olmayan) durumların dalga fonksiyonlarını hesaplamak daha bile kolaydır; hiçbir denklem çözmek zorunda bile kalmayız. Şimdi merdive­ nin n = + 1 basamağına tırmanalım. Taban durumuna a+ işlemcisini uygulayarak yapabiliriz bunu. Bu yeni duru­ mun dalga fonksiyonuna t/J ı (x) diyelim.

-i/.../ 2 wn sabitini ortalıkta sürüklememek için,

a+

iş­ lemcisinin tanımından onu düşürelim. Bu sadece sayısal katsayıyı etkiler. Sonuç denklem t/1 1 (x)

=

(P + iwX) t/J0(x)

ya da

( a� + iwx)

t/J ı (x) = -ih

e-wx'l2fı

olur. i yi parantez dışına çıkararak şunu elde ederiz: '

( 1x_ + wx)

t/J ı (x) = i -h

318

e-wx'l2fı

DERS

10:

HARMONİK SALINICI

Bunu hesaplamanın en "zor" kısmı, e-wx'l2h teriminin ko­ lay olan türevini gerçekleştirmek olup, sonuç şudur: l/Jı (x) = 2iwxe-wx'l2h Ya da şu:

l/Jı (x) = 2iwxl/J0(x)

l/Jo ve l/Jı arasındaki tek önemli fark, l/J 1 'de bir x çarpanı­ nın bulunmasıdır. Bunun etkisi, ilk uyarılmış durumun dalga fonksiyonunu x = O'da bir sıfıra, veya bir düğüme, sahip kılmaktır. Bu, merdivende yükseldikçe süren bir örüntüdür: Her ardışık uyarılmış durum bir ek düğüme sahiptir. n = 2 'deki ikinci uyarılmış durumu hesaplarken, bu örüntünün ortaya çıktığını görürüz. Tek yapacağımız tekrardan a+'yı uygulamaktır:

( �

l/J z (X) = i -n a +

WX

) (xe-wx'l2h)

wx teriminin hemen bir wx2 terimi vereceğini görürüz.

Bu arada -a ıa x terimi, çarpım kuralı nedeniyle, iki teri­ me yol açacaktır. Bu terimlerden biri üstelden gelecek ve bir diğer wx verecektir. Diğeri x'in türevini almaktan ge­ lir. Neticede ikinci dereceden birçok-terimliye ulaşacağı­ mız açıktır. Bu türevleri alırsak, sonuç dalga fonksiyonu şu olur: l/J z (X) = (-h + 2wx2)e-wx'l2 h Ve bu merdivenin üst basamaklarına doğru böylece sü­ rüp gider. Burada bir b aşka örüntü görebiliriz: Her bir özfonksiyon, x'in birçok-terimlisi ile e-wx'l2h üstelinin

319

l( ( l i\ N T l l M

FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

çarpımıdır. Üstel fonksiyon buradaki her çok-terimlinin büyümesinden daha hızlı sıfıra gittiğinden, her bir öz­ fonksiyon, x artı veya eksi sonsuza giderken asimptotik olarak sıfıra yaklaşır. Ayrıca, her birçok-terimlinin dere­ cesi öncekinin derecesinden bir fazladır ve her bir öz­ fonksiyon bir öncekinden bir fazla sıfıra sahiptir.4 Bu ardışık özfonksiyonların neden simetrik ve karşı- simet­ rik olma arasında gidip geldiğini de açıklar. Özellikle, çift- dereceden çok-terimli özfonksiyonlar simetrik iken, tek-dereceli çok-terimliler karşı-simetriktir. Bu dizideki çok-terimliler çok iyi bilinmektedir. Bunlara Hermite çok-terimlileri denir. Daha yüksek enerjili özfonksiyon­ ların tümünde görünen e-wx'ıztı taban-durumu özfonksi­ yonu, x'e göre simetriktir. Şek. 1 0 . 3 çeşitli farklı enerji düzeylerinin özfonksi­ yonlarını sergilemektedir. Her bir ardışık özfonksiyon, ondan öncekinden daha hızlı salınır. Bu, momentumdaki artışa karşılık gelir. Daha hızlı s alınan dalga fonksiyonu, sistemin daha yüksek momentumlu olması demektir. Ay­ rıca, daha yüksek enerji düzeylerinde, dalga fonksiyonu daha fazla yayılmıştır. Bu, fiziksel açıdan, kütlenin den­ ge konumundan daha fazla ayrıldığı ve daha hızlı hare­ ket ettiği anlamına gelir. Bu özfonksiyonlar bir başka ders daha içermektedir. Asimptotik olarak (oldukça hızlı) sıfıra yaklaşsalar da, asla iyice sıfıra ulaşamazlar. Bu demektir ki parçacığı, onun potansiyel enerjisini tanımlayan "kasenin dışında" 4

Bu sıfırların x'in gerçel değerleri için var olduğu anlaşılır, fakat bu gördüğümüz şeylerden açık değildir. Fiziks el an­ lamda, sıfırlar biraz acayip görünmektedir, çünkü bunlar hareketli kütlenin asla bulunamayacağı noktalardır; bu küt­ le keyifle vız vız diye ileri geri hareket etse bile. 3 20

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

bulmanın küçük fakat sonlu bir olasılığı vardır. Kuan­ tum tünelleme olarak bilinen bu olay, klasik mekanikte hiç mi hiç bilinmez.

10.8 Kuantumlamanın Önemi Bu derslerde yüksek bir dağa tırmandık, fakat o son dağ değildir. Şimdiki seyir noktasından bakınca, kuan­ tum alanlar kuramının devasa çevre manzarası gözümü­ ze çarpar. Bu bir diğer kitabın malzemesidir. veya belki bir üçlemenin üçüncüsü. Fakat yine de, bulunduğumuz yerden küçük bir arazi parçasını görebiliriz. Şek. 1 0.4'te görüldüğü gibi, bir kovuk içindeki elekt­ romanyetik ışınım örneğini ele alın. Bir kovuk, bu bağ­ lamda, ışınımı durmaksızın ileri geri yansıtan mükem­ mel yansıtıcı bir çift aynayla sandviç yapılmış bir uzay bölgesidir. Kovuğu, ışınımın her iki yönde gidip geldiği, uzun bir metalik tüp olarak düşünebilirsiniz. Kovuğa uyan çok sayıda dalga boyu vardır. il uzun­ luklu dalgaları ele alalım. Tüm dalgalar gibi, bu dalga­ lar da bir yayın ucundaki bir kütleye çok benzeyen bir şekilde s alınır. Fakat burada şunu karıştırmamak çok önemlidir: S alınıcılar yaylara bağlı kütleler değildir. Gerçekte s alınanlar elektrik ve manyetik alanlardır. Her dalga boyu için, alanın genliğini veya şiddetini betimle­ yen matematiksel bir harmonik salınıcı vardır. Yani, tü­ mü eşzamanlı olarak hareket eden pek çok harmonik sa­ lınıcı. Bununla birlikte, iyi ki hepsi bağımsız olarak salı­ nır, böylece dikkatimizi özel bir dalga boylu dalgalara odaklar ve diğerlerini göz ardı edebiliriz. Bir harmonik salınıcıyla ilişkili s adece bir tek önemli s ayı vardır: onun frekansı. il uzunluklu bir dalganın fre321

KUANTU M F I Z I C I N E KURAMSAL BAŞLANGIÇ

Şekil 10.3. Harmonik Salınıcının ôzfonksiyonları. Genlikler solda, olasılıklar sağda görünmektedir. Daha-yüksek enerjili dalga fonk­ siyonları daha hızlı salınırlar ve çok daha fazla yayılmışlardır.

322

DERS 10: HARMONİK SALINICI

Şekil 10.4. Bir Kovuk içindeki Elektromanyetik Işınım. kansının nasıl hesaplanacağını herhalde zaten biliyor­ sunuzdur:

w=

2ırc A.

--

Klasik mekanikte frekans, kuşkusuz , sadece frekanstır. Fakat kuantum mekaniğinde frekansı s alınıcının enerji kuantumu b elirler. B aşka bir deyişle,

A. uzunluklu dalga­

larda içerilen enerji

(n olmalıdır.

+

l /2)hw

l /2 hw terimi amaçlarımız için önemli değildir.

Ona sıfır-noktası enerjisi denir ve onu göz ardı edebiliriz. Bunu yaparsak,

A. uzunluklu dalgaların enerjisi şu şekle

gelir:

2ırhc -- n

A.

Burada

n sıfırdan itibaren yukarı doğru giden herhangi

bir tamsayıdır. B aşka bir deyişle, bir elektromanyetik dalganın enerjisi

2ırhc A. bölünemez birimi cinsinden kuantumlanmıştır. Bir kla­ sik fizikçi için bu çok acayiptir. Ne yap ars anız yapın, enerji daima p arçalanamaz birimler cinsinden ortaya çı-

323

KUANTUM FİZİGİNE KURAMSAL BAŞLANGIÇ

kar. Herhalde bu birimlere fotonlar dendiğini zaten bili­ yorsunuzdur. Aslında, foton, kuantum mekaniksel har­ monik salınıcıda kuantumlu enerji birimi için verilmiş bir başka isimdir. Fakat aynı olguları bir başka şekilde de betimleyebiliriz. Bölünemez olarak, fotonlar temel parçacıklar olarak düşünülebilirler. n'yinci kuantum du­ rumuna uyartılan bir dalga, n fotonlu bir topluluk ola­ rak düşünülebilir. Bir tek fotonun enerjisi nedir? Bu kolaydır. O sırf bir birim daha ekleyen enerjidir: E(il)

=

2ırhc il

Burada, bir asırdan fazla zamandır fizikte baskın olan bir şeyi görüyoruz: Bir fotonun dalga boyu kısaldıkça, enerjisi artar. Enerji bakımından pahalı olduğunu bile bile, bir fizikçi neden kısa-dalga boylu fotonlar üretmey­ le ilgilenir? Bunun yanıtı, "nesneleri çok daha berrak olarak görmek için"dir. 1 . Derste tartıştığımız gibi, veri­ len boyutlu bir cismi çözümlemek için, bu boyutlu veya daha kısa dalgaları kullanmalıyız . Bir insan şeklini gör­ mek için, beş -on santimetrelik bir dalga boyu yeter. Kü­ çük bir toz zerreciğini görmek için, çok daha küçük dal­ ga boylu görünür ışığa ihtiyacınız olur. Bir protonun parçalarını çözümlemek, 1 0- 1 5 metreden daha kısa dalga boylarını gerektirir; bunlar aşırı yüksek-enerjili fotonla­ ra karşılık gelir. Sonunda, her şey harmonik salınıcıya kadar gider. Sevgili arkadaşlar, Kuramsal Başlangıç dizisinin bu cildini burada bitiriyoruz. Sizleri dört gözle Özel Göreli­ lik'e bekliyorum.

324

DERS 1 0 : HARMONİK SALINICI

325

EK

Pauli Matrisleri