Jahnke - Emde - Lösch - Tafeln höherer Funktionen - Tables of Higher Functions [7 ed.]

Table of contents :
Title Page
Vorwort zur sechsten Auflage
Vorwort zur siebten Auflage
Preface to the sixth edition
Preface to the seventh edition
Inhaltsverzeichnis / Contents
Index of Tables
Preliminary Remarks on the Arrangement ofthe Tables
I. The Gamma Functions
II. The Exponential Integral and related Functions
III. The Error Function and related Functions
IV. The Riemann Zeta Function
V. Elliptic Integrals
VI. Elliptic Functions
VII. Orthogonal Polynomials
VIII. The Legendre Functions
IX. The Bessel Functions
X. The Mathieu Functions
XI. The confluent hypergeometric Functions
XII. Special Functions
Bibliography
Sachverzeichnis
General Index

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Vorwort zur sechsten Auflage Die 6. Auflage der "Tafeln höherer Funktionen" stellt eine vollständige Neubearbeitung dar. Bei Verbreitung und Anerkennung, die die Tafeln überall gefunden haben, stand diese Bearbeitung hohen Verpflichtung. Ich habe mich bemüht, den so außerordentlich bewährten Charakter nicht anzutasten, es dabei aber doch weiter auszubauen und dem Benutzer seinen Gebrauch nach zu erleichtern.

der großen unter einer des Buches Möglichkeit

In diesem Bestreben habe ich den Stoff vielfach neu geordnet. Der Erklärung der Funktionen und der Bezeichnungen habe ich etwas breiteren Raum gegönnt, als dies bisher der Fall war. Bei der Wahl der im Bereich der höheren Funktionen immer noch uneinheitlichen Bezeichnungen habe ich mich im allgemeinen für diejenigen entschieden, die sich heute in der Literatur überwiegend durchgesetzt haben. Um die Zuverlässigkeit der Zahlentafeln zu sichern, wurden sie sämtlich sorgfältig überprüft. Als wesentliche Hilfe für den Rechner wurden sie größtenteils mit Differenzen versehen, die die lineare oder quadratische Interpolation in bequemer Weise gestatten (vgl. dazu die Vorbemerkungen über die Einrichtung der Tafeln). Weiter ist das literaturverzeichnis erneuert worden. Es befindet sich am Ende des Buchs (S. 300 bis 314); die Verweisung auf einen darin enthaltenen Titel erfolgt durch Angabe des Abschnitts und der zugehörigen Nummer (z. B. IX [17]). Da sowohl die Zahl der Lehrbücher als auch der Formelsammlungen und Tafeln über höhere Funktionen in den letzten Jahrzehnten stark angeschwollen ist, so mußten dabei die Angaben auf einige der wichtigsten Werke beschränkt werden. Das konnte umso eher geschehen, als für eine vollständige Orientierung über die einschlägige literatur besondere Verzeichnisse existieren (vgl. S. 300). Die in den früheren Auflagen getroffene Auswahl des Stoffes hat sich so gut bewährt, daß an ihr im großen und ganzen festgehalten werden konnte. Doch wurde der Bedeutung, die immer neue Klassen von höheren Funktionen für die Anwendungen gewinnen, durch zahlreiche Erweiterungen und Ergänzungen Rechnung getragen. Dies betrifft fast alle Abschnitte des Buches, es sei daher nur auf einige der wesentlichsten Erweiterungen hingewiesen: 1. Für die in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik heute meist verwendete standardisi erte Form der Fehlerfunktion und ihre Ableitung sind neue Tafeln aufgenommen worden. 2. Die Tafeln der Fresnelschen Integrale sind erweitert worden. 3.ln dem Abschnitt über Elliptische Funktionen ist die Tafel der Funktion log q unter Zugrundelegung der Dezimalteilung des Grades neu berechnet worden. Der Tafel der Thetafunktionen ist, entsprechend einem Vorschlag von Herrn F. G. Tricomi, eine Hilfstafel beigefügt worden, die bis in die Nähe von (X = 900 eine bequeme Entnahme der Funktionswerte gestattet. 4. Die bisher an verschiedenen Stellen eingestreuten Ausführungen über Hermitesche und Laguerresche Polynome wurden in erweiterter Form in einem Abschnitt über Orthogonale Polynome zusammengefaßt und durch entsprechende Ausführungen über Tschebyscheffsche Polynome ergänzt. S. Zahlreiche Änderungen hat der Abschnitt über Zylinderfunktionen erfahren. Unter anderem wurde den modifizierten Zylinderfunktionen eine gesonderte Darstellung gewidmet. Die Tafel der Wurzeln von Jv (x) N v (k x) - Jv (k x) N" (x) = 0 ist neu berechnet worden. Ferner wurde die Tafel der Struveschen Funktionen, die in den beiden letzten Auflagen fortgefallen war, vielfachen Wünschen entsprechend wieder aufgenommen. 6. Der Abschnitt über K 0 n f lu e n te hypergeometrische Funktionen ist im Anschluß an die bekannten Tricomischen Arbeiten neu gestaltet worden. 7. Ein Abschnitt über Besondere Funktionen bringt neben der Planckschen Strahlungsfunktion, der Langevinschen Funktion und den Quellenfunktionen der Wärmeleitung, die bisher in den "Tafeln elementarer Funktionen" behandelt waren, neu berechnete Tafeln der für die physikalische Chemie wichtigen PlanckEinsteinschen und Debyeschen Funktionen. Der Wunsch, den Umfang des Buches nicht zu erhöhen und damit seinen Preis in erträglichen Grenzen zu halten, machte es notwendig, die vorgenommenen Erweiterungen durch Kürzungen an anderen Stellen auszugleichen. So sind gegenüber der letzten Auflage die Tafeln für die Nachwirkungsfunktion und für die Induktivität von Spulen, die inzwischen von der zuständigen Fachliteratur aufgenommen worden sind, weggefallen. Ferner ist eine größere Anzahl von Tafeln durch Verdoppelung des Tafelschritts gekürzt worden; dank der Aufnahme der auf den Argumentschritt 1 umgerechneten Differenzen entstand dadurch keine Unbequemlichkeit für den Benutzer.

VI Bei der Neubearbeitung der Funktionentafeln durfte ich mich vielfacher Hilfe erfreuen. Den Herren W. Bader (Stuttgart), E. Beck (Stuttgart), L. Collatz (Hamburg), O. Emersleben (Berlin), R. Grammel (Stuttgart), K. S ch äfer (Heidelberg), G. S ch u Iz (Stuttgart) und F. G. Tri co m i (Torino) danke ich für wertvolle Anregungen und Hinweise. Herrn F. G. Tricomi habe ich überdies für die Überlassung der von ihm berichtigten Tafel der Laguerreschen Funktionen zu danken. Herrn Professor H. La Bord e (Cincinnati) bin ich zu großem Dank dafür verpflichtet, daß er mir bei der Abfassung des englischen Textes seine freundliche Unterstützung geliehen hat. Herrn G. Fa uth (Stuttgart) und Herrn U. Schauer (Stuttgart) habe ich für ihre Hilfe bei den Korrekturen und für wertvolle Hinweise zu danken. Ganz besonderen Dank schulde ich meiner Frau, die einen großen Teil der mühsamen Rechenarbeit übernommen, das Manuskript geschrieben und alle Korrekturen mitgelesen hat. Schließlich ist es mir eine angenehme Pflicht, auch dem Teubner-Verlag meinen herzlichen Dank dafür auszusprechen, daß er meine Arbeit in jeder Hinsicht unterstützt und dem Buch eine ausgezeichnete Ausstattung gegeben hat. FRIEDRICH LÖSCH

Stuttgart, im Februar 1960

Vorwort zur siebten Auflage Nachdem die "Tafeln höherer Funktionen" anläßlich der sechsten Auflage eine vollständige Neubearbeitung erfahren haben, glaubte ich, bei der vorliegenden siebten Auflage auf größere Änderungen verzichten zu können. Ich habe mich im wesentlichen darauf beschränkt, alle mir seit dem Erscheinen der sechsten Auflage bekannt gewordenen Mängel zu beheben. Nur das literaturverzeichnis ist auch diesmal wieder völlig erneuert und im Hinblick auf die große Zahl der in den letzten fünf Jahren erschienenen Tafeln über höhere Funktionen beträchtlich erweitert worden. Ich glaube, damit den Benutzern des Buchs einen Dienst erwiesen zu haben. Für die Durchführung meiner Arbeit waren mir Hinweise der Herren R. B u I i rs c h (München), J. C. D. Milton (Berkeley, California), K. Schäfer (Heidelberg), H. Schmidt (Würzburg) und H. C. Thacher Jr. (Argonne, IIlinois) von großem Wert. Es sei ihnen auch an dieser Stelle für ihre freundliche Hilfe gedankt. Ebenso gilt mein herzlicher Dank dem Teubner-Verlag, der bereitwillig auf meine Wünsche eingegangen ist und der Ausstattung der neuen Auflage wieder die größte Sorgfalt angedeihen ließ. FRIEDRICH LÖSCH

Stuttgart, im September 1965

Preface to the sixth edition The sixth edition of "Tables of Higher Functions" is a thoroughly revised work. With respect to the wide spread usage and acceptance which the tables have found everywhere this revision had to be effected with a deep feeling of obligation. I have endeavoured not to touch the much approved features of the book, on the other hand to enlarge it, and to facilitate its usage as much as possible. In this effort I have frequently rearranged the material. I have allotted somewhat more space than was the case before for explaining the functions and notations. In choosing the notations which in the fjeld of higher functions are still not uniform I have in general decided in favor of those ones which today in the literature mostly have forced their acceptance. To ensure their reliability all tables were carefully examined. As an essential aid to the computor the tables have been provided for the most part with differences allowing linear or quadratic interpolation in easy manner (cf. the remarks about the arrangement of the tables). Furthermore the bibliography has been renewed. It is at the end of the book (p. 300 to 314); the reference to a title contained in it is made in giving the section and the corresponding number (e. g. IX [17]). Since the number of textbooks as weil as collections of formulas and tables about higher fundions has greatly expanded in the past decades the listing thereby had to be limited to some of the most important works. This could be done all the better since for complete information about the pertinent literature special compilations exist (cf. p. 300).

VII The choice of the material made in the former editions has proved itself so weil that it could be preserved on the whole. However the Importance which further new c1asses of higher fundions always gain in applications was taken into consideration by numerous extensions and supplements. This concerns almost oll sections of the book, therefore only some of the most essential enlargements are mentioned: 1. For the standard form of the Error Function and itsderivative most used today in probability theory and statistics new tables are appended. 2. The tables of Fresnel Integrals have been enlarged. 3.ln the section on Elliptic Functions the table of the function log q has been newly calculated using the decimal partition of degrees. Tothe table of Th eta Fu nctions according to 0 proposal of Mr. F. G. Tricomi has been added an auxiliary table which allows an easy extraction of the function values up to the neighbourhood of IX = 90°. 4. The expositions on Laguerre and Hermite polynomials till now scattered about at different places now in enlarged form are collected in 0 section on Orthogonal Polynomials and supplemented by corresponding expositions on Tschebyscheff polynomials. 5. The section on Bessel Functions has undergone numerous alterations. Among others 0 special chapter was devoted to the modified Bessel functions. The table of the roots of Jv(x} N)k x} -Jv(k x} N,,(x) ==-= 0 has been newly calculated. Further the table of Struve functions which in the two preceding editions had been omitted, according to numerous wishes has again been taken up. 6. The section on Confluent Hypergeometric Functions has newly been written using the well-known works of Tricomi. 7. A section on Special Functions gives besides the Planck radiation function, the Langevin function and the source functions of heat conduction, till now treated in the "Tables of Elementary Functions," newly calculated tables of the PlanckEinstein and Debye functions. The wish not to increase 1he size of the book and therewith to keep the price within reasonable bounds made it necessary to compensate for the enlargements undertaken by abbreviations at other places. Thus comparing with the last edition the tables for the after effect fundion and for the inductance of coils which meanwhile have been taken up by the pertinent technical literature have been omitted. Further 0 great number of tables have been shortened through the duplication of the difference of entries; thereby thanks to the taking up of the differences reduced to the argument difference 1 no inconvenience to the user has arisen. Much help was rendered me in the revision of the Function Tables. Messrs. W. Bad er (Stuttgart), E. Beck (Stuttgart), L. Co" 0 tz (Hamburg), O. E m e rs leb e n (Berlin). R. G ra m me I (Stuttgart). K. Sc h ä fe r (Heidelberg), G. Sch u I z (Stuttgart), and F. G. Tri co mi (Torino) I thank for valuable hints and suggestions. Mr. F. G. Tri co mi I have in addition to thank for the turning over of the table of Laguerre polynomials checked by him. To Professor H. LaBorde (Cincinnati) I am under great obligation in that he has given me his friendly help in the composition of the English text. Mr. G. Fauth (Stuttgart) and Mr. U. Schauer (Stuttgart) I have to thank for their help with the proofreading and for valuable suggestions. My warmest thanks go to my wife who has undertaken 0 great deal of the laborious calculations, written the manuscript and has read oll proofs. Finally I am obligated to the Teubner-Verlag in that it has supported my work in every aspect and has given to the book an excellent format. FRIEDRICH LÖSCH

Stuttgart. February 1960

Preface to the seventh edition Since the "Tables of Higher Functions" underwent 0 thorough revision at the time of the sixth edition, I have not held great alterations in the present seventh edition to be necessary. In the main I have been content to remove the imperfections which have been made known to me since the publication of the sixth edition. Only the bibliography has once more been completely renewed and. in view of the great number of tables of higher functions which have appeared in the last five years, considerably enlarged. I hope in this to have rendered good service to users of the book. In the execution of my task, valuable suggestions were made by Messrs. R. Bulirsch (München), J. C. D. Milton (Berkeley, California), K. Schäfer (Heidelberg), H. Schmidt (Würzburg) and H. C. Thacher Jr. (Argonne, IIlinois). I would like to' thank them again here for their kind help. I am equally grateful to the Teubner-Verlag which so readily agreed to my wishes and again took infinite pains in the technical execution of the new edition. Stuttgart, September 1965

FRIEDRICH LÖSCH

Inhaltsverzeichn is Contents Vorbemerkungen über die Einrichtung der Tafeln . . . . . . .....

I. Die Gammafunktionen . Definitionen und Bezeichnungen A. Die Gammafunktion r(z) 1. Darstellungen . . . . 2. Besondere Werte. . . 3. Funktionalgleichungen 4. Einige Integralformeln .

Preliminary Remarks on the Arrangement of the Tables 4 4 4 4

I. The Gamma Functions Definitions and Notations

4 4 4 4

9 9

A. The Gamma Function r(z) . 1. Representations 2. Special Values 3. Fundional Equations 4. Some Integral Formulas .

B. Die logarithmische Ableitung lp(Z) = r ' (z)j F(z). . 1. Darstellungen . . . . 2. Besondere Werte. . . 3. Funktionalgleichungen 4. Die Ableitung 1p' (z) . .

11 11 11 11 12

B. The Logarithmic Derivative 1p(z) = r ' (z)j r(z) . 1. Representations 2. Special Values 3. Fundional Equations 4. The Derivative 1p' (z)

11 11 11 11 12

C. Die unvollständigen Gammafunktionen F(a, z), y(a, z) . . . . . . . . . . .

13

C. The Incomplete Gamma Functions F(a, z), y(a, z) .

13

11. Die Integralexponentielle und verwandte Funktionen . . . . . . . . 1. Die Integralexponentielle und der Integrallogarithmus. . . . . . . . 2. Integralsinus und Integralcosinus 3. Einige Integralformeln . . . . .

7

IV. Die Riemannsche Zetafunktion 1. Definition und Darstellung 2. Besondere Werte . . . 3. Funktionalgleichungen . V. Elliptische Integrale . . . Definitionen und Bezeichnungen

9 9

17

11. The Exponential Integral and related Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

17 18 22

1. The Exponentiallntegral and the Logarithmic Integral . . . . . . 2. Sine and eosine Integrals 3. Some Integral Formulas .

17 18 22

111. Die Fehlerfunktion und verwandte Funktionen 26 1. Die Fehlerfunktion t1>(z) . . . . . . 2. Die Fresnelschen Integrale C(z), S(z).

7

111. The Error Function and related Functions .

26

28

1. The Error Function q,(z) . . . 2. The Fresnel Integrals C(z), S(z)

26 28

37

IV. The Riemann Zeta Function. . .

37

26

37 40 40 43 43

A. Zurückführung elliptischer Integrale auf die Normalform . . . . . . . . . 44 1. Allgemeine Bemerkungen . . . . 44 2. Reelle Reduktion auf F(q;, k), E(g;, k) 44 3. Reduktion einiger spezieller Integrale. 45

1. Definition and Representation 2. Special Values . . . 3. Functional Equations. V. Elliptic Integrals. . . . Definitions and Notations A. Reduction of Elliptic Integrals to the Normal Form . . . . . . . . . . . 1. General Remarks . . . . . . . . 2. Real Reduction to F(g;, k), E(q;, k) . . 3. Reduction of some special Integrals .

37 40 40 43 43

44 44 44 45

IX

Contents

Inhaltsverzeichnis B. Unvollständige Normalintegrale 1. Darstellungen . . . . 2. Funktionalgleichungen 3. Tafeln . . . . . . .

47 48 49 49

B. Incomplete Normal Integrals. 1. Representations 2. Functional Equations 3. Tables . . . . . .

47 48 49 49

C. Vollständige Normalintegrale 1. Darstellungen . . . . 2. Funktionalgleichungen 3. Tafeln . . . . . . .

62 62

C. Complete Normal Integrals 1. Representations 2. Functional Equations 3. Tables . . . . . .

62 62 64 66

VI. Elliptische Funktionen . . . . . . Definitionen und Bezeichnungen

72 72

64 66

A. Jacobische elliptische Funktionen 1. Die Jacobische Amplitude . . 2. Die Jacobischen Funktionen sn u, cn u, dn u . . . . . . . . 3. Besondere Werte. . . . . 4. Funktionalgleichungen 5. Die Jacobische Zetafunktion B. Weierstraßsche elliptische Funktionen . 1. Die Weierstraßschen Funktionen ~ u,

Cu, au

. . . . . . .

2. Darstellungen . . . . . . . . . 3. Funktionalgleichungen . . . . . 4. Der Zusammenhang zwischen Jacobischen und Weierstraßschen Funktionen C. Die Thetafunktionen . . . . . 1. Definition und Darstellung 2. Besondere Werte. . . . . 3. Funktionalgleichungen 4. Zusammenhang mit elliptischen Funktionen und elliptischen Integralen. Modulfunktion . . . . . . . . . . . .

72 72

72 72

VI. Elliptic Functions . . . . . Definitions and Notations A. Jacobi Elliptic Functions . 1. The Jacobi Amplitude. 2. The Jacobi Functions sn u, cn u, dn u .

72 72 73

73 74 75 79 79 79 80 81 81 82 82 82 85

3. Special Values . . . . . 4. Functional Equations . . 5. The Jacobi Zeta Function B. Weierstrass Elliptic Functions. 1. The Weierstrass Functions ~u,

74 75 79

Cu, (TU

79 79

2. Representations . . . . . . . . . 80 3. Functional Equations . . . . . . . 81 4. The Relation between Jacobi and Weierstrass Functions . 81 C. The Theta Functions . 1. Definition and Representation 2. Special Values . . . . 3. Functional Equations . . . . 4. Relations with Elliptic Functions and Elliptic Integrals. Modular Fundion . .

82 82 82 85 86

86

96

VII. Orthogonal Polynomials . . . . .

96

A. Die Tschebyscheffschen Polynome

96

A. The Tschebyscheff Polynomials .

96

B. Die Laguerreschen Polynome

98

B. The Laguerre Polynomials . . .

98

VII. Orthogonale Polynome

. .

C. Die Hermiteschen Polynome (Funktionen des parabolischen Zylinders). . . . . . 101

VIII. Die Kugelfunktionen . . . . . . . . . . 1. Definitionen und Bezeichnungen. . . . 2. Legendresche Funktionen 1. und 2. Art 3. Zugeordnete Legendresche Funktionen 1.und2.Art . . . . . . . . . . . . 4.lntegraldarstellungen . . . . . . . . 5. Besondere Werte. Asymptotisches Verhalten . . . . . . . . 6. Funktionalgleichungen . . . . . . . .

110 110 111 114 118 118 119

C. The Hermite Polynomials (Functions of the parabolic Cylinder) . . . . . . . . . . 101

VIII. The Legendre Functions

...

1. Definitions and Notations 2. Legendre Functions of the 1st and 2 nd Kinds . . . . . . . . . . 3. Legendre associated Functions of the 1st and 2 nd Kinds . . . . . . . 4. Integral Representations . . . 5. Special Values. Asymptotic Behaviour 6. Functional Equations. . . . . . . .

110 110 111 114 118 118 119

X

Contents

Inhaltsverzeichnis

IX. Die Zylinderfunktionen.

131

A. Zylinderfunktionen 1.,2. und 3. Art 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

131

Definitionen und Bezeichnungen 131 Darstellung durch Reihen . . 134 Darstellung durch Integrale . 145 146 Asymptotische Darstellungen Nullstellen. . . . . . . . . 152 Funktionalgleichungen 154 Einige Differentialgleichungen, die auf Zylinderfunktionen führen. . 156

IX. The Bessel Functions .

131

A. Bessel Functions of the 1 st , 2 nd and 3 rd Kinds . . . . . . . . . . 131 1. Definitions and Notations . 131 134 2. Representation by Series. . 3. Representation by Integrals. 145 146 4. Asymptotic Representations 152 5. Zeros. . . . . . . . . . 6. Functional Eq uations . . . 154 7. Some Differential Equations that give Bessel Functions . . . 156

B. Modifizierte Zylinderfunktionen 1. Definitionen und Bezeichnungen 2. Die Funktionen I v (z), Kv (z) 3. Die Kelvinschen Funktionen

207 207 207 210

B. Modified Bessel Functions 1. Definitions and Notations 2. The Functions I v (z), Ku (z) . 3. The Kelvin Functions

207 207 207 210

C. Verwandte Funktionen. . . . 1. Anger-Webersche Funktionen 2. Struvesche Funktionen

251 251 253

C. Related Functions . . . 1. Anger-Weber Functions 2. Struve Functions .

251 251 253

263

X. Die Mathieuschen Funktionen. 1. 2. 3. 4. 5.

Definitionen und Bezeichnungen. Näherungen für die Eigenwerte. Darstellung durch Fouriersche Reihen Nullstellen . . . . . . . . . . . . Funktionalgleichungen. Zugeordnete Mathieusche Funktionen . . . . .

XI. Die konfluenten hypergeometrischen tionen 1. 2. 3. 4.

Die Funktion cI>(a, c; z) = M (a, c; z) Die Funktion lJF(a, c; z) . . . . Die Funktionen M)(, 14(z), W)(,'4(Z) Spezialfälle .

XII. Besondere Funktionen

263 264 266 267

X. The Mathieu Functions . 1. 2. 3. 4. 5.

267

Definitions and Notations. Approximations of the Eigenvalues Representation by Fourier series . Zeros . . . . . . . . . . . . . Functional Equations. Associated Mathieu Functions

XI. The confluent hypergeometric Functions

Funk-

263 263 264 266 267 267 276

276 276 277 278 278 286

1. 2. 3. 4.

The Function cI>(a, c; z) = M (a, c; z) The Function lJF(a, c; z) The Functions M)(,14 (z), W)(,14(z) . Special Cases .

XII. Special Functions

276 277 278 278 286

A. Die Plancksche Strahlungsfunktion

286

A. The Planck Radiation Function

286

B. Die Langevinsche Funktion

288

B. The Langevin Function

288

C. Die Planck-Einsteinschen und Debyeschen Funktionen . . . . . . . . . . 290 1. Planck-Einsteinsche Funktionen. 290 2. Debyesche Funktionen. . . . . 290

C. The Planck-Einstein and Debye Functions 290

D. Die Quellenfunktionen der Wärmeleitung 295

D. Source Functions of Heat Conduction

1. Planck-Einstein Functions 2. Debye Functions . . . .

290 290 295

. . .

300

Bibliography

300

Sachverzeich nis

315

General Index.

317

Literatur

Tafelverzeichnis

Index of Tables

I. Die Gammafunktionen 1. Die Gammafunktionr(x) = (x-1)! 15 2. Die Funktionen 'I' (x), '1" (x) 15 3. Die reziproke Gammafunktion 1/r(1 x) = 1/x!, 1/r(1-x) = 1/(-x)! 16

+

11. Die Integralexponentielle und verwandte Funktionen 4. Die Integralexponentielle Ei* (x), - Ei (- x) . 5. Integralsinus und Integralcosinus Si (x), Ci (x) 6. Max., Min. von Ci (x), si (x) .

23 24 25

111. Die Fehlerfunktion und verwandte Funktionen

~(x)

7. Die Fehlerfunktion xl

7a. e [1 xl 7b. e-

:n I x

=

e-

t2

=

9. Die Fehlerfunktion

je

t2

dt

4> (x)

=-

=

~

i

dt

~ ~(ix)

+

7. The Error Function

32 32

7a. e [1 x2 7b. e-

32

8. The Function y =

x2

~(x)

:n I x

=

=

,/1 ey 2 7t

c( ~

s( ~

t2

31

dt

le

32 32

V; ~(ix) 9. The Error Function 4> (x) = y; J e t2

dt

=-

i

32

x

tl/2

dt

-t2/2dt

7t

-00

x2/2

10. Die Fresnelschen Integrale C(x), Sex) . 11. Die Fresnelschen Integ rale

x2 ),

e-

~ (x)] .

-00

und ihre Ableitung Cf(x)

16

11. The Exponential Integral and related Functions 4. The Exponential Integral Ei* (x), - Ei (- x) . 23 5. Sine and Cosine Integrals Si (x), Ci (x) 24 25 6. Max., Min. of Ci (x), si (x) .

31

x

J e-

15 15

111. The Error Function and related Functions

~ (x)]

8. Die Funktion y

I. The Gamma Functions 1. The Gamma Function rex) = (x - 1)! . 2. The Functions 'I' (x), '1" (x) . 3. The reciprocal Gamma Fundion 1/r(1 x) = 1/x!, 1/r(1 - x) = 1/(-x)!

x2 )

IV. Die Riemannsche Zetafunktion 12. Die Riemannsche Zetafunktion C(x) 13. Nullstellen 1/2 ioen von C(x) .

+

V. Elliptische Integrale 14. Elliptisches Integral 1. Gattung F(tp, k) . 15. Elliptisches Integral 2. Gattung E(tp,k). 16. Vollständige elliptische Integrale K (sin oe), E (sin oe) . 17. Vollständige elliptische Integrale K(k), E(k) und B(k), e(k), D(k) 17a. Hilfstafel für K(k)~ eCk), D(k) VI. Elliptische Funktionen 18. Thetafunktionen 18a. Hilfstafel für die Thetafunktionen . 19. Die Funktion log q

33 34

1 = Y2n

2 e _x /2 .

10. The Fresnellntegrals C(x), Sex) 11. The Fresnellntegrals C

(~

x2 ), S (~ x2 )

33 34

35

35

41 42 54 57 69 70 71 90 91 92

VII. Orthogonale Polynome 20. Die Laguerreschen Funktionen ln(x). 105 21. Die Funktionen des parabolischen Zylinders tpn(x) . . . . . . . . . . . . . . 107 VIII. Die Kugelfunktionen 22. Legendresche Polynome Pn(x) . . . . • 23. Legendresche Polynome Pn(cosif) . . . 24. Ableitungen der Legendreschen Polynome dPn(cosif)/dfj . . . . . . . . . . . . 25. Legendresche Funktionen 2. Art Qn (x).

. rIve Cf (x) an d't I s 0 enva

122 124 126 128

IV. The Riemann Zeta Function 12. The Riemann Zeta Function 13. Zeros 1/2 ioen of C(x) .

+

C(x)

V. Elliptic Integrals 14. Elliptic Integral ofthe 1st Kind F(tp, k) 15. Elliptic Integral of the 2 nd Kind E(tp, k) 16. Complete Elliptic Integrals K(sin oe), E(sin oe) . 17. Complete Elliptic Integrals K(k), E(k) and B(k), e(k), D(k) 17a. Auxiliary Table for K(k), e(k), D(k) VI. E"iptic Functions 18. Theta Functions 18a. Auxiliary Table for the Theta Functions 19. The Function log q

41 42 54 57 69 70 71 90 91 92

VII. Orthogonal Polynomials 20. The Laguerre Functions ln (x) . . . . . 105 21. The Functions of the parabolic Cylinder tpn(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 107 VIII. The Legendre Functions 22. Legendre Polynomials Pn(x) . 23. Legendre Polynomials Pn (cos if) . . . 24. Derivatives of Legendre Polynomials dPn(cosif)/dif . . . . . . . . . . . 25. Legendre Functions ofthe 2 nd Kind Qn(x)

122 124 126 128

XII

Tafelverzeichnis

Index of Tables

IX. Die Zylinderfunktionen 26. Besselsche Funktionen Jo(x), J1 (x). 27. Die Funktionen An (x) = n! (x/2)-nJ n(x) 28. Besselsche Funktionen Jn /2(X) • • •• 29. Besselsche Funktionen Jn /3(X), Jn /4(X) • 30. Besselsche Funktionen J,,(n) . . . . . 31. Neumannsche Funktionen No (x), N1 (x) 32a. Nullstellen io,s von Jo(x) und die zugehörigen Werte von J1 (x) . . . . . . . 32 b. Nullstellen i 1 ,s von J1 (x) und Maxima und Minima von Jo(x) . • • . . . . . . 32c. Nullstellen in,s von Jn(x) . . . . . . 33. Die beiden ersten Nullstellen j",1, j",2 von J,,(x) als Funktionen von 11 • 34. Die ersten sechs Wurzeln x",s von J,,(x) N" (kx) - J,,(kx) N" (x) = 0 . 35. Modifizierte Besselsche Funktionen 1 o (x) ~ Jo(i x), 11 (x) = - iJ1 (i x) . 36. Modifizierte Besselsche Funktionen In(x) = (- i)n J n (i x) . . . . . . . 37. Modifizierte Hankeische Funktionen 2

n- Ko(x),

2

7t K1 (x)

• • . • . • • .

192 193 194 195 198 216 220 222

! K,,(x)

38. Modifizierte Funktionen I" (x), für 11 = 1/3,2/3. . . . . . . 39. Die ersten Wurzeln xn,s von In(x)J~(x) -Jn(x)/~(x)

158 164 174 176 178 186

= o.

Die Funktionen ber x, bei x Die Funktionen ber'x, bei 'x Die Funktionen her x, hei x Die Funktionen her'x, hei'x Die Funktionen ber x, bei x usw., setzung . . . . . . . . . 45. Die Funktionen J n (r Vi) = bn e i fl n ,

2

2

n-Ko(x), n-K1 (x)

. . . .

244

45. The Functions J n (r -Vi) = bn e i fl n , H~1) ('-Vi) hn ei 'In (n 1, 2). .

=

192 193 194 195 198 216

222

240

Fort-

158 164 174 176 178 186

220

!

229 232 234 236 238

H~1) (r-V i) = hn ei 'In (n = 1, 2) . .

In(x) = (- I)" J n (i x) . . . 37. Modified Hankel Functions

38. Modified Functions I" (x), K,,(x) for 11 = 1/3,2/3 . . . . . . . . 39. The first Roots xn,s of ~w~w-~wnw=O 40. The Functions ber x, bei x . 41. The Functions ber'x, bei 'x . 42. The Functions her x, hei x . 43. The Functions her'x, hei'x . 44. The Functions ber x, bei x a. s.o., Continuation . . . . . . . . . . .

228

40. 41. 42. 43. 44.

IX. The Bessel Functions 26. Bessel Functions Jo(x), J1 (x) . . . . . 27. The FunctionsAn(x) = n!(x/2)-nJn(x). 28. Bessel Functions Jn /2(X) • . . • 29. Bessel Functions Jn /3(X), Jn j4(X). • 30. Bessel Functions J,,(n). . . . . . 31. Neumann Functions No (x), N1 (x) . 32 a. Zeros jo,s of Jo(x) and the corresponding Values of J1 (x) . . . . . . . . 32 b. Zeros i 1,s of J1 (x) and Maxima and Minima ofJo(x) . . . . . . . . . . . 32c. Zeros in,s of Jn(x) . . . . . . . . . 33. The two first Zeros i",1r i",2 of J,,(x) as Functions of 11 • • • • • • • • 34. The first six Roots x",s of J,,(x)N,,(kx) -J,,(kx)N,,(x) = 0 35. Modified Bessel Functions lo(x) = Jo (i x), 11 (x) = - i J1 (i x) . 36. Modified Bessel Functions

=

228

m 232 234 236 238 240 244

46. Die Funktionen Jo(r -Vi) : J1 (r -Vi) ,

46. The Functions Jo(r-Vi): J1 (r -Vi),

(1)( ,/:) 246 Ho(1)( r ,/~) V I : H1 r V I • • . • • • 47. Lommel-Webersche Funktionen Eo(x),E1 (x) und Struvesche Funktionen Ho(x), H1 (x) 254 48. Unvollständige Angersche Funktion. 262 49. Unvollständige Webersche Funktion 262

(1)( ,/:) H(1)( ,/l\ 246 Ho r VI : 1 r V I} • • • • • . 47. Lommel-Weber Functions Eo(x), E1 (x) and Struve Functions Ho (x), H1 (x). 254 48. Incomplete Anger Function . 262 262 49. Incomplete Weber Function . .

XII. Besondere Funktionen 50. Die Plancksche Strahlungsfunktion . 51. Die Langevinsche Funktion L(x) = coth x -1/x. . . . . . . . 52a. Die Planck-Einsteinschen Funktionen U-U

o Cy , - r -

...........

287 289 291

52 b. Die Planck-Einsteinschen Funktionen

- -F-Fo r-' S ............ 53 a. Die Debyeschen Funktionen Cy

,

XII. Special Functions 50. The Planck Radiation Function. 51. The Langevin Function L (x) = coth x -1/x. . . . . . 52a. The Planck-Einstein Functions U-Uo

Cy , --r-

....... .

287 289 291

52 b. The Planck-Einstein Functions 292

U -;. Uo 293

53 b. Die Debyeschen Funktionen 9 - -F-F r -o' S . . . . . . . . . . . . 24

54. Einige Konstanten . . . . . . . . . . 298 55. Hilfstafel für quadratische Interpolation 299

F-F

- - r -o' S . . . . . . . . 53 a. The Debye Functions Cy 53 b. The Debye Functions -

,

U-Uo

292

--r- .

• 293

F-Fo

• 294

-r- , S

54. Some Constants . . . . . . . . . 298 55. AuxiliaryTable for quadratic Interpolation 299

Vorbemerkungen über die Einrichtung der Tafeln Preliminary Remarks on the Arrangement of the Tables Die in den folgenden Zahlentafeln enthaltenen Funktionswerte sind durchweg in der üblichen Weise durch Ab- oder Aufrundung aus höherstelligen Werten entstanden, und zwar wurde die letzte Dezimalstelle um 1 erhöht, wenn der Beitrag der folgenden Einheit der letzten Stelle übersteigt. Die Ziffern Tafelwerte weisen daher im allgemeinen höchstens einen Fehler von Einheit der letzten Stelle auf. Nur in einigen wenigen Tafeln (18,21,28,30,33, 46,48, 49, 50, 51) sind Fehler von 1 Einheit in der letzten Dezimale möglich. Stimmen für alle Tafelwerte einer Spalte eine oder mehrere Anfangsstellen überein, so wurden diese abgetrennt und in Fettdruck über und unter die betreffende Spalte gesetzt. In derselben Weise wurde auch dann verfahren, wenn die abgetrennten Anfangsstellen in der betreffenden Spalte nur eine Änderung um eine Einheit ihrer letzten Stelle erfahren. Es ist dann derjenige Tafelwert, bei dem die Änderung eintritt, durch einen Stern (*) gekennzeichnet.

The function values contained in the following tables arose from more exact values by rounding off in the customary way, precisely the last decimal was increased by 1 if the contribution of the following digits exceeds of the last decimal. The table values therefore have in general an error of at most 1/2 of the last decimal. Only in some few tables (18,21,28,30,33,46,48,49,50,51) unit errors in the last decimal place are possible.

Der Tafelschritt beträgt stets 1, 2 oder 5 Einheiten der letzten Stelle des Tafelarguments. Meist werden die benötigten Funktionswerte nicht unmittelbar der Tafel zu entnehmen sein; sie müssen dann durch Interpolation ermittelt werden. Die Tafeln sind fast durchweg für lineare oder quadratische Interpolation eingerichtet, wobei angenommen ist, daß ein Interpolationsfehler von höchstens 2 Einheiten der letzten Stelle statthaft ist. Die für die Interpolation notwendigen Differenzen 1. bzw. 2. Ordnung sind dann den Tafeln beigegeben; sie sind stets in Einheiten der letzten Stelle zu verstehen. In einigen wenigen Fällen sind Differenzen 1. Ordnung mitWarnungszeichen (!) versehen. An diesen Stellen überschreitet der Fehler der linearen Interpolation möglicherweise 2Einheiten, keinesfalls jedoch 5 Einheiten der letzten Dezimale; bei höheren Genauigkeitsansprüchen ist hier quadratische Interpolation anzuwenden.

The difference in entries is always 1, 2 or 5 units in the last place of the table argument. Mostly the function values needed are not to be taken directly from the table; they then must be obtained through interpolation. The tables almost always are arranged for linear or quadratic interpolation, where it is supposed that an error of at most 2 units in the last place is allowed. The differences of the 1 st and 2 nd order necessary for interpolation there are adjoined to the tables; they always must be understood in units of the last place. In some few cases the differences of the 1st order are provided with a warning signal (!). At these places the error in linear interpolation possibly exceeds 2 units, in no case however 5 units of the last decimal; for a greater degree of accuracy quadratic interpolation is to be used.

1/2

1/2

Lineare Interpolation Die der linearen Interpolation dienenden 1. Differenzen sind in ger ad e r Sc h r ift gesetzt und stehen zwischen den Tofe/zeilen. Zur Bequemlichkeit des Rechners sind sie stets auf den Argumentschritt 1 (in Einheiten der letzten Stelle des Tafelarguments) umgerechnet. Für einen im Tafelintervall o

(n

=

0,88560 ....

(n

=

1,2 .... ).

8

Die Gammafunktionen

The Gamma Functions

-2

o

-1

r

J f/ir x!

2

I

I 11

I

3

[/

\

\,;

/

V

\

2

\ o

\... V

J

J

-

..-

./

"'\

-

-7

,

I\

-2

-J

1[\

-4

-I \

I ,

-2

-J

o

-1

2

4 für r{x)

J

---- x Fig. 4 Fig. 4

-

-3

tlt

-"

rex)

Die Gammafunktion The gamma function F(x)

fiir xl

/'~

l?

0.::

V

0,+ j

V

0

,

J

1/

1\

0, [\ A .~

0

1.~

-3

-

- r--..I'--..

1

" r-... ~r-...

/

~

[7

1\ f'

..... t- V

3

2

i ' ......... ...... 1'--

V

t-r0- t--

l - r- t--

V

J

----

1/

I\.V -2

o

-1

Fig. 5 Fig. 5

-

fiirr(x)

2

Die reziproke Gammafunktion 1/F(x) The reciprocal gamma function 1/r(x)

3

"" - x

5

r (z)

Die Gammafunktion

The Gamma Funetion

9

3. Functional Equations

3. Funktionalgleichungen

3.1 Rekursionsformel : r(z

r (z)

3.1 Recursion formula:

+ 1) =

r(z-1)

r (z + n) = z (z + 1) ... (z + n -1) r(z) , r(z) (z - n) = (z-1) (z--=-2f~: ·-(z '-:n)'

zr(z),

=

1

(n=1,2, ... ).

r

z-1 1'(z) ,

3.2 Supp/ementary theorems:

3.2 Ergänzungssätze:

r(z) r(1-z)

r(z) r(- z) =

r (~+ 2

z) r (~2 - z) = _7t_ , cos7t z

r (1 + z) r (1 -

Setzt man

=

~-,

sln 7t z

z) = -:~. sln 7t z

If we put Po (z) = 1,

Pn (z) = -- z2(1_ z2) (4 - z2) ... [(n _1)2_ z2],

Qo(z)=1,

Qn(z)=(~

~

-z2)(1.2+

-z2)"'[(n-1)n+

so ist allgemein

~

(n = 1,2, ...),

_z2],

we further have

- 7t Pn (z) r(n + z) r(n -z) = -~zs'l-n7t--z-' 1 ) ( 1 ) 7t Qn (z) r(n + - + z r n + - - z = - - , 2 2 COs7t z

7t z r(-n + z) r(-n -z) = --------;---Pn + 1 (z) sln7t z '

r(- n +

~ + z)r(- n + ~- z) = ____~!t __ , 2 2 Qn (z) cos7t z

(n = 0,1,2, ...).

Für rein imaginäres Z= iy werden diese vier Ausdrücke reell und bedeuten das Quadrat des Betrags jedes der beiden konjugiert komplexen Faktoren auf der linken Seite.

For pure imaginary Z= iy these four expressions become real and denote the square of the modulus of each of the two conjugate complex faetors on the left-hand sides.

3.3 Multiplikationssatz :

3.3 Multiplication theorem: r(z) r ( z

+ n1 ) ... r

(

+ n-1) -n- =

z

Speziell fü r n = 2 erhält man die Verdopplungsformel : r(2z) =

~

2

1 / - - r(nz) Y (21t')n-1 n

-----;,nz.

In particular for n = 2 we get the duplication formula:

2z 1 - r(z) r

(z + ~).

4. Einige Integralformeln Für Re(z)

>

0, Re(w)

>

4. Some Integral Formulas

0 ist

For Re(z)

>

0, Re(w)

>

0 we have (are t = 0).

Durch dieses Integral (Eulersches Integral 1. Gattung) wird die Betafunktion B(z, w) erklärt.

By this integral (Eu/er's integral of 'he 1s1 kind) the beta funcfion B(z, w) is defined.

Weiter ist

Further

+00

+ J --~dt o (1

,)W

=

!'J~tr(w-=-~_ r(w)

(

Re (w) > Re (z) are t = 0

>

0) /

10

Die Gammafunktionen

The Gamma Fundions

Re(W) > 0, Re(z) > 0; n = 1,2, ... ) (

are t = 0

r(1 +~)r(1-~) r (1 + : - : )

(m

=

1 , 2, ... ; n = 2, 3, ... )

(m= 1,2, ...)

,((X+1) (P+1) r(1X + 1) r

0 we have

dt

(are t = 0),

1- t z - 1 ~dt

(are t = 0).

o 1.3 Asymptotische Entwicklung: In

1 arc

z 1~

1t-

1.3 Asymptotic expansion: In larc zl ~ we get for Izi ~ 1

e,

(e> 0), giltfür Izi ~ 1 tp(z)

j::::::J

~ 82n 1 1 1 1 Inz--- ~ ---= Inz----+ ---+ 2z n = 1 2n . z2n 2z 12z2 120z'

1t-

e, (e> 0),

... ,

1 1 ~ 8 2n { 1 1} tp(z)~2Inz(z+1)-z+n~12n-1 z2n-f-(z+1)2n-1' (82n Bernoulli's numbers, d. p. 298).

(82n Bernoullische Zahlen, vgl. S.298).

2. Special Values

2. Besondere Werte tp(1) = -C,

tp(n) = -C + 1 + -n

einfacher Pol, simple pole,

1

1

2" + ... +n -1

(n = 2, 3, ... ),

Residuum - - 1 residue -

(n = 0,1,2, ... ),

tp (~) = -C - 21n 2 = -In 4y = -1,9635100260 ... , tp (~± n) = -In 4y + 2 (1 + ~ + ~ + ... + 2n-1 _1-) 2 3 5 (C Eulersche Konstante, y=e C, vgl. S.298).

(C Euler's constant, y = e C, d. p.298).

3. Functional Equatlons

3. Funktionalgleichungen 3.1 Rekursionsformel :

tp (z + 1) = tp(z) + tp

(z -1) = tp(z) -

*) Figur 7; Tafel 2

(n = 1,2, ... ),

3.1 Recursion formula:

1

z' 1 z -1'

1 tp (z + n) = tp(z) + Z + tp (z - n) = tp(z) -

1

Z+T +

1 z -1 -

1 ... + Z + n -1 '

1 %=-2 - ... -

*) Figure 7; table 2

1 z- n '

12

The Gamma Functions

Die Gammafunktionen 75

I

j

~

.

f-~

»

70

I

'-~

~

~I ~I

V

/ / ~

The path of integration is to be chosen in such a manner that it does not include the zero point and that in running over the path are t changes continuously from are t= are z at the beginning to

~ am Ende 2

lim are t =

0 ist

P with IPI


~ at the end of the 2

0 we have

z

y(o,

z) [e=

f

to -

1

dt,

wobei der Integrationsweg beliebig wählbar ist.

where the path of integration may be arbitrarily chosen.

Die Funktionen lassen sich als Funktionen der beiden Veränderlichen 0, z auffassen. Für· geeignete feste Werte von 0 führen sie in ihrer Abhängigkeit von z auf praktisch wichtige Funktionen wie Integralexponentielle, Integrallogarithmus, Integralsinus und -cosinus, Fehlerfunktion und Fresnelsche Integrale.

The functions may be considered as functions of the two variables 0, z. For suitably chosen fixed values of 0 in their dependence on z they lead to functions of practical importance such as the exponential integral, the logarithmic integral, sine and eosine integrals, the error function and Fresnel integrals.

In der Literatur sind teilweise andere Bezeichnungen für die Funktionen üblich. Nach N. N ielsen werden y(o,z), r(o,z) mit P(o,z), Q(o,z) bezeichnet. Im Anschluß an die Bezeichnung r(z) = (z-1)! wird y(o, z) = (0-1, z)! gesetzt. In der Astrophysik und in der Kernphysik verwendet man die Bezeichnung

In the literature sometimes other notations for the functions are used. According to N. Nie Isen y(o, z), r(o, z) are denoted by P(o, z), Q(o, z). With regard to the notation r(z) = (z - 1)! one puts y (0, z) = (0-1, z)!. In astrophysics and nuclear physics one uses the notation 00

En(z) = zn-1 r(1-n,z) =

J e-z,,-ndt. 1

Beide Funktionen sind bei festem 0, wobei für y(o, z) die Werte 0=0,-1,-2, ... auszunehmen sind, in z analytisch. Abgesehen von dem Fall, daß 0 eine

0=0, -1, -2, ... are excluded for y(o, z), are

*) Figur 8

*) Figure 8

Both

functions

for fixed

0,

where

the

values

analytic with respect to z. Except for the case in

14

Die Gammafunktionen

The Gamma Functions

natürliche Zahl ist, sind sie mehrdeutig mit z = 0 als einzigem endlichem Windungspunkt und besitzen keine anderen endlichen Singularitäten. Für a =t= 0, -1, -2, ... gelten die Potenzreihenentwicklungen -0

y(a, z)

Z

37t

In jedem Sektor- T

+ e ~ arc

1)n zn

L n! (0 + n) n=O 001

=

(-

which a is a natural number they are many valued with z = 0 as the only finite branch point and have no other finite singularities. For a =t= 0, -1, -2, ... we have the power series -z

=

e

37t

z~

T - e, (e> 0),

oe>,

L 0 (0 + 1) n=O

In each

gilt für 1zl ~ 1 die asymptotische Darstellung

e- Z

[1 + I

Bezüglich a gelten die Differenzengleichungen

x 75

a y(a, z) - ZO e- z ,

,'I.

I

1/

37t

/

5

V

V

:,....-- .-

}~

........-

/ V V ,/

II V.,.. / '

....... ,....-

---

-

,~ t--..... r--

I--

...-

...-

--

~~

,...-

j.....-

I---~

O~ f- I--"

&!. f--

....-

--

~

I--

f--t-

0.7

i--

0.5

-

0.5 t::=- t-=

-r-- - -

r-- I-- t--

r--ioo.

. . . . r----.. I'---..

\~

~

1\

" "-"

.......... ~

. . . ~~s

\

I--

0.4

f--

0,3

I-- I--

-----

l""-

r----.. ~

. . . . r----..

J'..

1\ o

...- ...- ~

-

~

r'\ -70

I--"t"'"" 095 _I--'

..- f..-- V

f..--

I--I---

1\'\ ........ ~ i'-...

\

l.-"

VI-'"

~ t::::: r-- ~ I--.

-5

V V

V

.....V".,.

/V

zOe- z •

= ar(a, z) +

l.-"

.... V

/

37t

I-- r-- I--r-

r-- r-t-...

r--!-o.

. . . . r----..

t--

['... "'~

\ 20

10

Fig.8

y(O

(e>O),

z

r (a + 1, z)

........-V

/V /V

n) .

V V

V

V

/

+

(0

(0-1)(0-2! .. o(0-n)].

/V

/

10

k...-

,,~ ./

1/

0

With respect to a we get the difference equations

v

:':l V '"\~/

t

0

sector-T+e~arcz~T-e,

n=1

=

0

there is for 1 z 1 ~ 1 the asymptotic representation

y(a,z)~r(a)-zo-1

y (a + 1, z)

zn

+ 1, 0 + x) r(o + 1)

~ r-- t--r-

-r-- ~

t:-----.

r- ~

30

-r-- I--I l""- r--

40

r-. 50

---- a in der 0, x-Ebene - = const in the 0, x-plane

Tafel 2. Die Funktionen Table 2. The Fundions

Tafel 1. Die Gammafunktion Table 1. The Gamma Fundion

r(x) x

I

Ix I

r(x)

=

Ix I

r(x)

"P (x), "P' (x)

(x-1)!

+ 1,

r(x)

Ix I

1,00 02 04 06 08

1,0000 -56 2,00 0000 + 43 3,00 02 0086 45 02 0,9888 52 04 0,9784 48,S 04 0176 46,S 06 0269 48 06 0,9687 45 0,9597 41,S 08 0365 SO 08

2,000 +18,5 4,00 02 2,037 19 5 04 2,076 19,5 ' 06 2,115 20,S 08 2,156 21

1,10 12 14 16 18

0,9514 -39 2,10 0465 + 51,S 3,10 0,9436 36 12 0568 53,S 12 14 0675 14 0,9364 33 55,S 16 0,9298 30,S 16 0786 57 18 0,9237 27,S 18 0900 59

2,198 +21 2,240 22 2,284 23 2,330 23 2,376 24

1,20 22 24 26 28

0,9182 -25 5 2,20 1018 22 1140 0,9131 23' 0,9085 20 5 24 1266 0,9044 18'5 26 1395 28 1529 0,9007 16'

+

1,30 0,8975 -14 5 2,30 1667 32 1809 32 0,8946 12' 34 1956 34 0,89n 10 36 2107 36 0,8902 8,5 38 n62 38 0,8885 6

+

1,40 42 44 46 48

0,8873 _ 4 5 2,40 24n 42 2586 0,8864 3' 44 2756 0,8858 _ 1 0,8856 + 0,5 46 2930 48 3109 0,8857 2,5

+

1,50 52 54 56 58

0,8862 0,8870 0,8882 0,8896 0,8914

4,10 12 14 16 18

r(x)

x

I

I

?p(x)

?p' (x)

-0,

+ 1, 6449 -234! 5981 222! 5537 211 ! 5115 2OO! 4715 191!

6,000 + 76,S 6,153 79 6,311 81 6,473 83,S 6,640 86,S

1,00 02 04 06 08

5772 +162 5448 157,5 5133 153,5 4826 149 4528 145

6,813

1,10 12 14 16 18

4238 +141,5 4333 -181 5 3955 138 3970 173'5 ' 3679 134,5 3623 165,5 3410 131,5 3292 158 3147 128,5 2976 151

6,990

+

7,173 7,362 7,556

88,S 91,S

94,S 97 100,5

3,20 n 24 64,S 26 67 28 69

2,424 +24,5 4,20 n 2,473 25,S 2,524 25,S 24 26 2,575 27 28 2,629 27

7,757 +103 7,963 106,5 8,176 110 8,396 113 8,622 116,5

1,20 2890 +125

3,30 32 34 75,S 36 77,S 38 80

2,683 +28,5 4,30 32 2,740 29 34 2,798 29,S 36 2,857 30,S 38 2,918 31,S

8,855 +120,5 9,096 124 9,344 128 9,600 132 9,864 136

1,30 32 34 36 38

1692 +112,5 1343 -117 5 1467 109,5 1108 113' 1248 108 0882 109 1032 105,5 0664 104,5 0821 103,5 0455 100,5

3,40 42 44 46 89,S 48 92

2,981 +32,5 4,40 10,136 +140,5 42 10,417 3,046 33 145 44 10,707 3,112 34,S 149 46 11,005 3,181 35 154,5 48 11,314 3,251 36 159

1,40 42 44 46 48

0614 +101,5 0254 _ 975 0411 100 0059 ' 93,S 0211 97 5 *9872 90,S 0016 96' 9691 87 *0176 94,S 9517 84,S

3,50 52 54 56 58

3,323 +37,5 4,50 11,632 +164 52 11,960 3,398 38 169,5 54 12,299 3,474 39,S 174,5 56 12,648 3,553 180,5 40,S 58 13,009 3,634 186 41,S

1 ,50 52 54 56 58

0365 + 92,S 0550 91 0732 89,S 0911 88 1087 86,S

1,60 62 64 66 68

1260 + 85,S 8584 _ 69 1431 83,S 8446 67 1598 82,S 8312 65,S 1763 81,S 8181 63 1926 79,S 8055 61,S

4,171 +49 4,70 15,431 +225,5 72 15,882 4,269 51 233 74 16,348 4,371 52,S 240,5 76 16,829 4,476 53,S 248 78 17,325 4,583 2S6,S! 55,S

1,70 72 74 76 78

2085 2243 2398 2551 2701

+

1,80 0,9314 +27 2,80 6765 +143 3,80 82 82 0,9368 29 82 7051 146,5 84 151 84 0,9426 30,S 84 7344 86 86 7646 86 0,9487 32 154,5 88 88 0,9551 33,S 88 7955 159,5

4,694 +57 4,80 17,84 82 18,37 4,808 59 84 18,91 4,926 60,S 86 19,48 5,047 62 88 20,06 5,171 64

1,80 82 84 86 88

2850 2996 3141 3283 3423

+

8274 +163 3,90 92 8600 168 8936 94 172,5 9281 96 1n,S 9636 98 182

5,299 +66 4,90 20,67 92 21,29 5,431 68 94 21,94 5,567 70 96 n,60 5,707 72 98 23,29 5,851 74,S

+

2,50 52 54 7 56 9 58 10,5 + 12 2,60 62 13,5 64 15,5 66 16,5 68 18 4 6

1,60 62 64 66 68

0,8935 0,8959 0,8986 0,9017 0,9050

1,70 72 74 76 78

0,9086 +20 0,9126 21 0,9168 23 0,9214 24 0,9262 26

1,90 0,9618 +35

92 94 96 98

0,9688 0,9761 0,9837 0,9917

2,00 1,0000

36,S 38 40 41,S

2,70 72 74 76 78

2,90

92 94 96 98

61

63

71

73,S

82 85 87

3293 3483 3678 3878 4084

+

4296 4514 4738 4968 5204

+ 109 3,60 62 112 64 115 66 118 68 121,5 +124,5 3,70 128,5 72 74 131,5 76 135,5 78 139

5447 5696 5953 6216 6487

95 97,S 100 103 106

3,00 *0000

+2,

4,00

3,717 +43 3,803 44 3,891 45 3,981 47 4,075 48

6,000

4,60 62 64 66 68

5,00

13,381 +192,5 13,766 198 14,162 205 14,572 211,5 14,995 218

24,00

+ 26,S 27 28,S 29 30,S

+

31 32,S 33 34,S 35,S

22 24 26 28

2640 2395 2155 1921

2674 -144 5

122,5 2385

139'

2107 117 1842 114,5 1587

132,5

120

127,5 122

9348 _ 81 5 9185 79' 9027

76

8875 8727

74 71,S

7932 _ 595 7813 ' 57,S 76,S 7698 56,S 75 7585 54,S 53 74,S 7476 79

n,s

73

7370 _ 52

72,S 7266 7166 71

7068 69,S 6973

70

SO 49 47,S 46,S

1,90 3562 + 68,S 6880 _ 45 5

92 94 96 98

3699 3833 3967 4098

6789 6701 65,S 6615 6531 65 67

44'

67

43 42

2,00 4228

6449

+0,

+0,

41

16

x

Tafel 3. Die reziproke Gammafunktion 1 Table 3. The reciprocal Gamma Function r(1 + x)

I 1/r(1 + x) I 1/r(1 + 1.

0,00 02 04 06 08

0000 0113 0220 0323 0420

0,10 12 14 16 18

0511 0598 0679 0755 0826

0,10 22 24 26 28

0891 0952 1007 1057 1102

+ 30,5

0,30 32 34 36 38

1142 1178 1208 1234 1254

+ 18

0,40 42 44 46 48

1271 + 1282 1289 + 1292 1290

+ 56,5 53,5 51,5 48,5 45,5

t

43,5 40,5 38 35,5 32,5

27,5 25 22,5 20

15 13 10 8,5

0,50 52 54 56 58

1284 1273 1259 1241 1218

0,60 62 64 66 68

1192 1162 1128 1091 1050

0,70 72 74 76 78

1005 0958 0907 0853 0796

0,80 82 84 86 88

0737 0674 0609 0541 0470

0,90 92 94 96 98

0398 0322 0245 0165 0084

1,00

x)

+1.

5,5 3,5 1,5 1 3 5,5 7 9 11,5 13

-15 17 18,5 20,5 22,5 -23,5 25,5 27 28,5 29,5

00000

-52

*98819 97587 96302 94965

52

93578 92140 90652 89114 87528

-51

85894 84213 82485 80713 78897

-47

77038 75138 73198 71219 69202

-42

67150 65065 62947 60799 58622

-34

56419 54192 51942 49672 47385

-24

52 52 51

95558 94623 93676 92715 91743

1,20 22 24 26 28

90760 89767 88765 87755 86736

1,30 32 34 36 38

85711 84679 83642 82600 81554

1,40 42 44 46 48

80504 79452 78397 77341 76283

15

1,50 52 54 56 58

75225 74168 73110 72055 71000

45082 -13 10 42767 8 40441 5 38107 35769 - 2

1,60 62 64 66 68

69948 68899 67853 66811 65772

33427 31086 28748 26417 24094

1,70 72 74 76 78

64738 63709 62685 61667 60654

1,80 82 84 86 88

59648 58649 57657 56671 55694

1,90 92 94 96 98

54724 53762 52809 51864 50927

50 50 49 48

46 45 44 43

40 39 37 36

32 30 28 26

22 20 18

0

+

3 6 9 12

10511 08336 06194 04088 02023

+ 30

0000

00000

+ 1,

+0,

+ 46

35,5 36 -

38 38,5 40 40,5 42

1,00 00000 02 *99145 04 98273 06 97383 08 96478 1,10 12 14 16 18

+

32,5 34

1/r(1

+ x)

15 18 21 24 27

34 37 40 43

2,00

50000

+0,

I 1/r(1 -0.

+1.

21782 19486 17208 14951 12717

-31,5

Ix I

-

427,5! 436! 445! 452,5 460

-467,5 473,5 480,5 486 491,5 -

496,5 501 505 509,5 512,5

-516 518,5 521 523 525 -

526 527,5 528 529 529

-

528,5 529 527,5 527,5 526

-

524,5 523 521 519,5 517

-514,5 512 509 506,5 503 -499,5 496 493 488,5 485 -481 476,5 472,5 468,5 463,5

00000 01976 03903 05778 07597

x)

+ 46 49 52 56 59

1 r(1 - x)

1 =

71'

I

x

2,00 02 04 06 08

I

1jr(1

+ x)

I 1/r(1 -

x)

+0,

+0.

50000 49082 48173 47274 46384

(-x)!

-459 454,5 449,5 445 440

00000

+

02016 04060 06125 08205

34 28 22 15 8

2,10 12 14 16 18

45504 44634 43774 42924 42084

2,20 22 24 26 28

41255 40436 39627 38830 38042

2,30 32 34 36 38

37266 36500 35745 35000 34266

100

2,40 42 44 46 48

33543 32831 32130 31439 30759

28209 + 101 101 28180 101 28049 101 27817 101 27483

2,50 52 54 56 58

30090 29432 28784 28146 27520

27049 +'00 26515 99 98 25882 97 25151 95 24323

2,60 62 64 66 68

26903 26297 25702 25117 24542

2,70 72 74 76 78

23977 23422 22878 22343 21818

2,80 82 84 86 88

21303 20798 20302 19815 19338

40

2,90 92 94 96 98

18870 18412 17962 17521 17090

34

3,00

16667

00000 --- 148

+0,

+0,

09358 11057 12691 14258 15755

+

17179 18527 19797 20985 22091

+

23111 24044 24887 25639 26297

+

26860 27327 27697 27967 28139

+

65 67 70 73 76 78 81 83 85 88 90 92 93 95 96 98 99 100

23399 22382 21274 20077 18793

+

17426 15979 14455 12858 11191

+

09460 07669 05822 03925 01982

+

00000

+

-0,

62

93 91 89 86 83 80 77

73 69 65 60 56 51 45

-435 430 425 420 414,5 -

409,5 404,5 398,5 394 388

-383 377,5 372,5 367 361,5 -356 350,5 345,5 340 334,5 -329 324 319 313 308,5 -

303 297,5 292,5 287,5 282,5

-277,5 272 267,5 262,5 257,5 -

252,5 248 243,5 238,5 234

-229 225 220,5 215,5 211,5

10294 + 12384 14468 16540 18591 20614 22603 24548 26442 28277

1 6 13 20 28 35 43 51 59 67

30045 - 75 83 31738 91 33349 34869 99 107 36290 37604 38805 39883 40832 41645

-114 122 129 137 144

42314 -150 157 42833 163 43195 169 43394 174 43424 43279 -180 184 42955 188 42447 192 41750 195 40862 39778 38497 37016 35335 33452

-198

200 201 202 202

31367 -201 199 29081 197 26597 194 23915 190 21040 17974 14724 11295 07692 03925

-185

180 173 165 157

11. Die Integralexponentielle und verwandte Funktionen *) 11. The Exponential Integral and related Functions *) 1. The Exponentiallntegral and the Logarithmic Integral

1. Die Integralexponentielle und der Integrallogarithmus

1.1 The exponential integral is defined by

1.1 Die Integralexponentielle (das E.xponentialintegral) wird erklärt als

J

00

Ei(z)

=-

r(O, ze-

1ti

) = -

z

wo der Integrationsweg so von z nach ist, daß lim arc t =

ß mit ~ ~ ß~

t~oo

3;

00

+ t

dt,

where the path of integration is to be taken from z

zu führen

gilt und Re t

to

00

in such a manner that lim arc t =

ß

with

t~oo

~

nach rechts beschränkt bleibt. Die Funktion ist eine unendlich vieldeutige analytische Funktion von z, deren einziger endlicher Windungspunkt in z = 0 liegt. Die Umlaufsrelation für den Windungspunkt lautet

3~

2" ~ ß ~ T

• and Re t remams bounded on the right.

The function is an infinitely many-valued function of z, whose only finite branch point is z = O. The circuit relation for the branch point is

Ei (z e 2m1ti) = Ei (z) + 2m~ i Die für z =1= 0 geltende Reihenentwicklung

(m= 0, ±1, ±2, ...).

The series n

L _Z_, n . n. 00

Ei (z) = C - ~ i + In z +

n= 1

(C Eulersche Konstante, vgl. S. 298) läßt eine logarithmische Singularität erkennen.

(C Euler's constant, cf. p.298) valid for z =1= 0 displays a logarithmic singularity.

Eine reelle Bestimmung von Ei (z) erhält man für z= -x, wenn x positiv reell gewählt wird, in

Areal branch of Ei(z) is obtained from the following for z = -x, where x is positive real:

Ei (-x)

=

n

00

C+ Inx+ ~ (_1)n _x_ ~ n ·n!· n =1

Ferner besitzt die Funktion Ei*(z)= Ei(z)+ 1ti, die

Further the function Ei*(z)= Ei(z)+ 1ti, also deno-

auch mit Ei (z) bezeichnet wird, für positives reelles x die reelle Bestimmung

ted by Ei (z), for real positive x has the real branch

Ei*(x) = C

+

In x +

Beide Funktionen lassen reelle Integraldarstellungen zu:

- e' J-,-

n " x ~ ~. n =1

Both functions admit real integral representations:

X

Ei (-x)

=

dt,

wobei das letztere Integral als Cauchyscher Hauptwert aufzufassen ist:

*) Figuren 9 bis 12; Tafeln 4 bis 6 Jahnke-Emde-Lösch

Ei*(x) =

e'

x -,-

J

dt,

where by the last integral is to be understood Cauchy's principal value:

*) Figures 9 to 12; tables 4 to 6

2

18

Die Integralexponentielle

Für x

~

The Exponential Integral

2.0

V

V

V

x

2 , -_. 3' + - ... ) , + ---.: x2 x3

e x ( 1 + -l'. + - 2'. + - 3'. + . . .) . x x x2 x3

~-

11

/ V J

_f..-f V- I!

~

11

J jEi(-x) 11

-7,0

- x

/

1/

11

x

e-- ( 1 -----.:... l' -

J Li(x)

J

I

, (x) E·*

1 we get the asymptotic representations

V

/

I I

~

J

1/

/ E/*(x)

7,0

~

Ei (-x)

y /I

o

For x

1 gelten die asymptotisehen Darstellungen

J

I I

Fig.9 Fig.9 -2,0 f7

3

2

Integralexponentielle und Integrallogarithmus Exponential integral and logarithmic integral

4~x

Ferner gilt für x Ei (-x)

>

2 (vgl. 11 [16])

Further we have ror x

= ~-x {0,9999965-0,9989710~+ x

>

2 (cf. 11 [16])

1,9487646+-4,9482092+ + 11,7850792+

x

x

x

x

-20,4523840+ + 21,1491469-;--9,5240410-;-± 0,35 o10- S }. x

x

x

1.2 The logarithmic integral is defined by

1.2 Der Integrallogarithmus ist definiert durch

. = J TrlT. o Z

Ii(z)

dt

It is related to Ei (z) throug h

Er ist mit Ei (z) verknüpft durch Ii(z) = Ei (In z),

Ei(z) = li (e z ).

In particular ror real positive argument Z= x the real Insbesondere ist für positiv reelles Argument z=x definition die reelle Bestimmung L. _'i(x) = Ei (In x) für 0< x< 1 ,(x) - li (x) + n-i = Ei*(lnx) for x> 1 is possible.

möglich.

2. Integralsinus und Integralcosinus

2. Sine and eosine Integrals

2.1 Aus der Integralexponentiellen erhält man den Integralsinus si (z) und den Integralcosinus ci (z) durch

2.1 From the exponential integral we get the sine integral si (z) and the eosine integral ci (z) by

z

si(z) =-h-[Ei (iz)- Ei(-iz)]=

J Si~t 00

z

dt,

ci(z)=

~[Ei(iz)+Ei(-iZ)]

=

J c~stdt. 00

19

The Exponential Integral

Die Integralexponentielle

·l,p v' 0

500

1000

200

I I IY

-

I - - t--~

-~

--_ ..

t - l--

-

J7~

-

/

/'

V

/V

VI

V

I i

[/

:

/v

---

~

/ /

-~~-

[I

/v

/v

/

/

J

1000

I I 1

V

/

/

j

7:

11

V

/

11

/ 11

.~o/ y'\l

100

2000

)

/

.*0/

l7

~,,\.:

I

./

L--- I---

o

~

~

5

Fig.10

Ei*(x) und Li (x)

Fig.10

Ei*(x) and Li(x)

Besides si (z), ci (z) the notations

An Stelle von si (z), ci (z) sind auch die Bezeichnungen z

Si(z) = si(z)

+~

! Si~ o

=

t dt,

Ci (z) = ci (z)

üblich. Dabei ist in den ersten Integralen der Integrationsweg so zu führen, daß für seinen Anfang lim arc t= 0 gilt und Im(t) beschränkt bleibt.

are also used. In the first integrals the path of integration is to be chosen in such a manner, that we have lim arct=O atthe beginning ofthepathand Im(t)

1--+00

t--+ 00

Die Funktion si(z) ist eine ganze Funktion von z; dagegen ist ci (z) eine u ne nd lich vieldeutige analytische Funktion von z, deren einziger endlicher Verzweigungspunkt in z = 0 liegt. Die Umlaufs relation für ci (z) lautet

ci (z e

m7ti

) =

remains bounded. The function si (z) is an entire function of z; on the other hand ci (z) is an infinitely many-valued analytic function of z, whose onlyfinite branch point is z=O. The circuit relation for ci (z) is

ci(z)

+ m7t i

(m = 0, ±1, ± 2, ... ).

2*

20

The Exponential Integral

Die Integralexponentielle

/ 1/

/

........ ~ix}

/

j

11

, -2,0 0

5

3

2

7

6

--x Fig. 11 Sine and eosine integrals

Fig.11 Integralsinus und Integralcosinus

We have the represen'a'ions

Es gelten die Dars,ellungen 7t

si(z}=-y+

z2n

00

+1

I (_1}n (2n+1).(2n+1)!' n=O

2n

00

ci(z} = In y z +

n~1 (_1}n

(2n)z. (2n)!'

(y = e C , C Euler's constant, cf. p. 298). Hence

(y= e C , C Eulersche Konstante, vgl. S. 298). Danach ist z

. feos '-1 CI(Z} -In y z =

--,--

d,

o eine ganze Funktion von z.

is an entire function of z.

Eine reelle Bestimmung si (x), ci (x) ist bei si (x) für alle reellen x, bei ci (x) für x > 0 möglich. Sie ergibt sich, wenn in den definierenden Integralen vom Anfangspunkt 00 aus entlang der rellen Achse integriert wird. Es ist si (-x) = -si (x) -7t,

A real definition si (x), ci (x) is possible for si (x) when x is real, for ci (x) when x> O. It is obtained when in the defining integrals the path of integration is taken along the real axis, beginning at 00. We have

+

+

Si (-x) = -Si (x) .

The asymp'otic behaviour for x ~ 1 is given by Das asympto'ische Verhalten für x ~ 1 wird gegeben durch . eos x ( 1 - 2! sinx (1! - - 3! SI(X},:;:"s--- + -4!- · · · ) - - + 5! - - ... ) , x

x2

x4

x

x

x3

xS

ci (x) ,:;:"s and consequently as a first approximation by

in erster Näherung also durch

si (x) ,:;:"s -~.~, x

ci(x},:;:"s sinx. x

Die Integralexponentielle

-0,10,

O,,JO,-O,20

0,

ix

.J/J

........ ~I-""

~

r-

0,110

Oji(o.

~

~

V

0.,10

0.30,

0.10

0.'0

..... v

t

21

The Exponential Integral

'~

Ifp)

0, 20

~

,~

V

I

IX.. \.

I. I

0,-

no~

\

II

'ff

b;:= ::::t; t'\.' ~ ~,

,~

11"'\.

\ \

"./ :1:, 1.11

\

"'

0,

D;/o'

c, s-Koordinatensystem c = ci (x) ,

(x reeller Parameter) die sogenannte Sici-Spirale dar (Fig.12). Die vom Anfangspunkt (x= 0) bis zum Punkt x gemessene Bogenlänge ist gleich In x, während die Krümmung " im Punkt x den Wert ,,= x hat. Die Krümmung wächst also exponentiell mit der Bogenlänge. Solche Spiralen eignen sich als Profile von Kurvenlinealen. (Vgl. 11 [17].) 2.2 Neben si (z), ci (z) führt man die als hyperbolischer Integralsinus Shi (z) und -cosinus Chi (z) bezeichneten Funktionen ein:

0,,30.

o'.zo

0,*0

kl~ . 0,50

---CI X

Fig. 12 Sici spiral

In a redangular coordinate system c, s the curve s = si(x) (x a real parameter) represents the so-called siei spiral (fig. 12). The length of the arc taken from the starting point (x=O) to the point xis equal to In x, while the curvature " at the point x has the value ,,= x. The curvature increases exponentially with the length of the arc. Such spirals are suitable as profiles of French curves. (Cf. 11 [17].) 2.2 Besides si(z), ci(z) one introduces the fundions Shi (z), Chi (z), called the hyperbolic sine integral and eosine integral:

z

Sh 1· () Z =

0,,10.

1,0

Fig.12 Sici-Spirale

f

\

/

.... t-""

-0,10,

In einem rechtwinkligen stellt die Kurve

,-i-0,

/

x0,10

r.f-2,l

\

1

'JIJ."

~tn

..........

'7'-

~

\

/

r+'

0,,10,

1\

[\

1\

~

A 0, q > 0)

23

Tafel 4. Die Integralexponentielle Ei*(x), -Ei(-x)*) Table 4. The Exponential Integral Ei*(x), -Ei (-x) *) x

I

1 -

Ei*(x)

I

Ei (-x)

x

1

Ei*(x)

+0, 0,00 01 02 03 04

-00

+00 4,0379 3,3547 2,9591 2,6813

4,0179 3,3147 2,8991 2,6013

0,05 - 2,3679 - 387 272 2,1753 06 201 2,0108 07 154 1,8669 08 122 1,7387 09

+

0,10 -1,6228 1,5170 11 1,4193 12 1,3287 13 1,2438 14

99 82

+

0,15 -1,1641 1,0887 16 1,0172 17 0,9491 18 0,8841 19

38 34

-0,8218 0,7619 0,7042 0,6485 0,5947

24 22 20 18

0,20 21 22 23 24

2,4679 2,2953 2,1508 2,0269 1,9187

+

+

50

1,8229 1,7371 1,6595 1,5889 1,5241

44

+ 1,4645 +

44

1,4092 1,3578 1,3098 1,2649

39

69 58

30 27

17

0,25 -0,5425 - 15 + 506 0,4919 26 492 0,4427 27 478 0,3949 28 467 0,3482 29 455 0,30 31 32 33 34

- 0,3027 0,2582 0,2147 0,1721 0,1304

+

0,35 36 37 38 39

- 0,0894 0,0493 -0,0098 + 0,0290 0,0672

+

0,40 41 42 43 44

+

0,1048 0,1418 0,1783 0,2143 0,2498

+

0,45 46 47 48 49 0,50

+

0,2849 0,3195 0,3537 0,3876 0,4211 0,4542

+

+

445

1,0139 0,9849 0,9573 0,9309

+

+

395 388 382 376 370

+

365 360 355 351 346

+

342 339 335 331

99 82 69 58 50

34 30 27 25 22 20 18 17

+ 16 + 1,0443 -305

435 426 417 410 401

154 122

+ 1,2227 + 1,1829 1,1454 1,1099 1,0762

387 272 201

+

290 276 264 252

4542 4870 5195 5517 5836

+

0,55 56 57 58 59

6153 6467 6778 7087 7394

+

0,60 61 62 63 64

7699 8002 8302 8601 8898

+

0,65 9194 66 9488 67 9780 68 *0071 69 0361

+

0,70 71 72 73 74

0649 0936 1222 1507 1791

+

0,75 76

2073 2355 2636 2916 3195

+

77

314 311 309 307 305 303 300 299 297 296 294 292 291 290 288 287 286 285 284 282 282 281 280 279 279

0,80 81 82 83 84

3474 3752 4029 4306 4582

+

0,7942 _ 197 0,7745 191 0,7554 183 0,7371 177 0,7194 170

0,85 86 87 88 89

4857 5132 5407 5681 5955

+

0,7024 -165 0,6859 159 0,6700 154 0,6546 149 0,6397 144

0,90

+

91 92 93 94

6228 6501 6774 7047 7319

0,6253 _ 139 0,6114 135 0,5979 131 0,5848 127 0,5721 123 0,5598

0,95 96 97 98 99 1,00

7591 7864 8136 8407 8679 8951

+

1,

328 325 322 319 317

0,9057 _ 242 0,8815 232 0,8583 222 0,8361 214 0,8147 205

+

x

1

-

Ei*(x)

278 277 277 276 275 275 275 274 274 273 273 273 273 272 172 273 272 271 272 272

+

46 65 83

21938 18599 15841 13545 11622

+

3,3013 +100 116 3,6053 133 3,9210 149 4,2499 167 4,5937

10002 08631 07465 06471 05620

+

2,0 1 2 3 4

+

4,9542 5,3332 5,7326 6,1544 6,6007

+

185 204 224 245 268

04890 + 101 86 04261 73 03719 62 03250 53 02844

2,5 6 7 8 9

+

7,0738 7,5761 8,1103 8,6793 9,2860

+

292 318 347 377 410

02491 02185 01918 01686 01482

+

3,0 1 2 3 4

+

9,9338 10,6263 11,3673 12,1610 13,0121

+

446 485 527 572

+

622

013048 011494 010133 008939 007891

221 192 167 145 127

3,5 6 7 8 9

+ 13,9254 +

675 734 797 866 941

006970 006160 005448 004820 004267

+

111 97

4,0 1 2 3 4

+

1023 1112 1209 1314

003779 003349 002969 002633 002336

+

4,5 6 7 8 9 5,0

+

002073 001841 001635 001453 001291 001148

+

5598 -120 5478 116 5362 112 5250 110 5140 106

1,0 1 2 3 4

+

5034 -104 4930 100 4830 98 4732 96 4636 92

1,5 6 7 8 9

4544 4454 4366 4280 4197 4115 4036 3959 3883 3810 3738 3668 3599 3532 3467 3403 3341 3280 3221 3163 3106 3050 2996 2943 2891 2840 2790 2742 2694 2647 2602 2557 2513 2470 2429 2387 2347 2308 2269 2231 2194

+

Ei(-x)

+0,

+0,

0,50 51 52 53 54

78 79

1- Ei(-x) I

90 88 86 83 82 79 77 76 73 72 70 69 67 65 64

62 61 59 58 57 56 54 53 52 51 50 48

48 47 45 45 44 43 41 42 40 39 39 38 37

1,8951 2,1674 2,4421 2,7214 3,0072

+

14,9063

15,9606 17,0948

18,3157 19,6309 + 21,0485 22,5774 24,2274 26,0090 27,9337 + 30,0141 32,2639 34,6979 37,3325 40,1853 +

1 25

1429 1555 1691 1840

2003 2180 2373

369 300

85 74 65

39 34

+

(-3) (-3) (-4) (-4) (-5)

11 12 13 14 15

+ 6071,41

1400 4751 1622 5566 1918

(-5) (-6)

*) In Klammern beigefügte Zahlen (-n) besagen, daß der Tafelwert mit dem Faktor 10- n zu multiplizieren ist.

Numbers (-n) added in parenthesis mean that the table value is to be multiplied by the factor 10-n .

30 27 23 21

3601 1155 3767 1245 4157

0,

57 50 44

85,9898 191,505 440,380 1037,88 2492,23

+

46 39

+

0,

247 204 170 142 120

34 29 25

6 7 8 9 10

14959,5 37197,7 93192,5 234956

729 573 457

(-6)

(-7) (-7)

18 16

TafelS. Integralsinus und Integralcosinus Si (x). Ci (x) Table 5. Si ne and eosine Integrals Si (x). Ci (x)

24

x

I

Si (x)

Ix I

Ci (x)

+0, 0,00 01 02 03 04

00000o 010000 020000 029999 039996

0,05 06 07 08 09

04999 05999

0,10 11 12 13 14

09994 10993 11990 12988 13985

+ 1000 - 2,4191 - 388 0,55 273 2,2371 56 999 202 2,0833 57 999 155 1,9501 58 999 123 1,8328 59 998 -1,7279 100 0,60 + 999 83 1,6331 61 997 70 1,5466 62 998 59 1,4672 63 997 51 1,3938 64 996

0,15 16 17 18 19

14981 15977 16973 17968 18962

+ 996 996 995 994 994

-1,3255 1,2618 1,2020 1,1457 1,0925

0,20 21 22 23 24

1996 2095 2194 n93 2392

99 99 99 99 99

-1,0422 0,9944 0,9490 0,9057 0,8643

0,25 26 27 28 29

2491

0,30 31 32 33 34

2985 3083 3182 3280 3378

0,35 36 37 38 39

3476 3574 3672 3770 3867

0,40 41 42 43 44

3965 4062 4159 4256 4353

0,45 46 47 48 49 0,50

4450 4546 4643 4739 4835 4931 + 0,

06998 07997 08996

2590

0,50 51 52 53 54

-00

4,0280 3,3349 2,9296 2,6421

+

+

2689 2788 2886 +

+

+

+

45 39 35 31 28

0,65 66 67 68 69

0,70 71 72 73 18 74

25

23 21 19

-0,8247 - 16 0,75 + 380 0,7867 76 364 0,7503 77 350 0,7153 78 337 0,6816 79 324 0,80 0,6492 + 313 98 0,6179 81 99 302 0,5877 82 98 292 0,5585 83 98 281 0,5304 84 98 273 0,85 0,5031 + 264 98 0,4767 86 98 256 0,4511 87 98 248 0,4263 88 97 241 0,4022 89 98 234 99 99 99 98 99

97 97 97 97 97 96 97 96 96 96

- 0,3788 + 227 0,90 0,3561 91 220 92 0,3341 215 0,3126 93 208 94 0,2918 203 - 0,2715 + 198 0,95 96 0,2517 192 0,2325 97 187 0,2138 98 182 0,1956 99 178 -0,1778 1,00

Ci (x)

Si (x)

+0,

-0,

4931 + 96 5027 96 5123 95 5218 95 5313 95 5408 + 95 5503 95 5598 95 5693 94 5787 94

1778

Ci (x)

Si (x)

+0, +173 169 165 161 157

1,0 9461 2 *1080 4 2562 6 3892 8 5058

-121

+ 153 150 146 142 139

2,0 2 4 6 8

6054 6876 7525 8004 8321

-175 174 170

5881 + 94 0223 0087 5975 94 6069 94 *0046 6163 0176 93 0303 6256 93 6349 + 93 0426 0548 6442 93 6535 0666 93 0782 6628 92 0895 6720 92

+ 136 133 130 127 123

3,0 2 4 6 8

8487 8514 8419 8219 7934

-139 123

+ 122 118 116 113 110

4,0 2 4 6 8

7582 7184 6758 6325 5900

-

46

+

27 8 9 25

6812 + 92 6904 92 6996 91 7087 92 7179 91 7270 +90 7360 91 7451 90 7541 90 7631 90

1005 1113 1219 1322 1423

+108 106 103 101 99

5,0 2 4 6 8

5499 5137 4823 4567 4374

+

+

96 94 93 90

4247 4187 4192 4258 4379

+

88

6,0 2 4 6 8

7721 7811 7900 7989 8078

1983

+

86 84 82 81 78

7,0 2 4 6 8

4546 4751 4983 5233 5489

+

n

8,0 2 4 6 8

5742 5981 6198 6386 6538

-

68 67 65 63 62

9,0 2 4

6650 6720 6747 6732 6676

-

61 59 57 56 55

10,0

6583 + 1,

-

+ 90 89 89 89 88

1605 1436 1271 1110 0953 0800

0650 0504 0362

1522 1618 1712 1805 1895

-

2069 2153 2235 2316

8166 + 88 8254 88 8342 88 8430 88 8518 87 8605 + 87 8692 86 8778 87 8865 86 8951 85

2394 2471 2546 2619 2691

9036 + 86 9122 85 9207 85 9292 85 9377 84 9461 + 0,

3086 3147

2761 2829 2896 2961 3024

3206 3263 3319 3374 + 0,

+

75 73 72

70 +

+

(,

8

+ 0,3374 -541 0,4205 406 314 0,4620 244 0,4717 164 187 171 0,4568 138 153

+ 0,4230 -140 0,3751 98 0,3173 61 0,2533 - 28 163 1 0,1865 + 152 + 0,1196 + + 0,0553 105 -0,0045 0,0580 86 0,1038 66

38 49 58 64 67

- 0,1410 + 0,1690 0,1877 0,1970 0,1976

26 47 64 77 87 92 94 93 89 82

- 0,19003 + 724 612 0,17525 0,15439 486 352 0,12867 215 0,09944

67

-0,06806 + 79 0,03587 - 51 61 -0,00418 171 55 + 0,02582 278 47 368 0,05308 65

+ 0,07670 - 439 490 0,09596 520 0,11036 6 529 0,11960 4 518 0,12359

38

28 17

+ -

+ O,1n43 - 487 440 0,11644 379 0,10607 36 306 0,09194 40 224 0,07476 14

22 30

+ 0,05535 - 138 0,03455 - 51 43 + 0,01325 + 35 40 -0,00771 116 37 189 0,02752 43

44

32

- 0,04546 + 252

25

TafelS. Integralsinus und Integralcosinus Si (x), Ci (x) (Fortsetzung) Table 5. Sine and eosine Integrals Si (x), Ci (x) (Continuation) x

Ci (x)

Si (x)

x

I Si (x) I

Ci (x)

x

I

-0,04546 -0,07828 -0,08956 -0,07857 -0,04978

+ + + + +

-0,01141 0,02676 0,05576 0,06940 0,06554

-

25 26 27 28 29

5315 5449 5803 6047 5973

-0,00685 + 0,02830 + 0,03572 + 0,01087 -0,02195

75 80 85 90 95

5586 5723 5824 5757 5630

-0,00533 -0,01240 -0,001935 + 0,009986 + 0,007110

35

30 31 32 33 34

5668 5418 5442 5703 5953

-0,03303 -0,01395 + 0,01639 + 0,03026 + 0,01626

100 110 120 130 140

5622 5799 5640 5737 5722

-0,005149 -0,000320 + 0,004781 -0,007132 + 0,007011

35 36 37 38 39

5969 5751 5506 5455 5633

-0,01148 -0,02741 -0,01792 + 0,00713 + 0,02451

150 160 170 180 190

5662 5769 5653 5741 5704

5870 5949 5808 5583 5481

+ 0,01902 -0,00328 -0,02157 -0,01962 -0,00011

5684 5709 5721 5726 5725 5720 5714 5707

-0,004378 -0,003332 -0,002124 -0,0009320 + 0,0000764

+ 0,01863 + 0,01979 + 0,00307

200 300 400 500 600 700 800 900 103 104 105 106 107

5702 5709 5708 5708 5708

+ 0,000826 -0,0000306 + 0,0000004 -0,0000004 + 0,0000000

6583 6229 5783 5357 5050

12,5 13,0 13,5 14,0 14,5

4923 4994 5229 5562 5907

+ 205

+ 11 - 74

+ + + +

15,0 15,5 16,0 16,5 17,0

6182 6326 6313 6156 5901

-137 -164

+ 0,04628 + 0,01719

-

232

-150 -102

-0,01420 -0,04031 -0,05524

+

560

+ 1172 + 1472

17,5 18,0 18,5 19,0 19,5

5615 5366 5213 5186 5286

20,0 20,S 21,0 21,S 22,0

5482 5723 5949 6106 6161

22,S 23,0 23,5 24,0 24,S 25,0

6104 5955 5752 5547 5390 5315

- 94 + 23 + 125 + 190

+172 + 101

-

33

+ 41 +'00

+ 133 + 132 +'00

+ 46 - 16 -72 -108

-116 97 55 2 + 49 + 87 -

-

+ 102

- 970 -1609

-1828 -1604 -1019

+ 1407

- 0,05610 -0,04348 -0,02111 + 0,00515 + 0,02883

-

850

40 41 42 43 44

+ + + + +

-1195 -1239 - 986 - 510 + 65

45 46 47 48 49

5587 5798 5918 5845 5651

- 0,01571 -0,01957

600

50 55 60 65 70 75

5516 5707 5867 5792 5616 5586

-0,00563 -0,01817 -0,00481 + 0,01285 + 0,01092 -0,00533

+ 1013

+400 - 275

0,04442 0,04859 0,04089 0,02373 0,00164

-0,01986 -0,03566 -0,04221 -0,03833 -0,02539 -0,00685

+ + + + + +

968 1089 946 582 93

1':/2

Tafel 6. M M· von C· () . ( ) Table 6. ax., m. of I x, SI X x 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5

Max. C()

I; I

Max . (X ) . .SI

+ 0,47200 - 0,19841 + 0,12377 - 0,089564 + 0,070065 - 0,057501 + 0,048742 - 0,042292 + 0,037345 - 0,033433 + 0,030260 - 0,027637 + 0,025432 - 0,023552 + 0,021931 -0,020519

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

+ 0,28114 -0,15264 + 0,10396 - 0,078635 + 0,063168 -0,052762 + 0,045289 -0,039665 + 0,035280 -0,031767 + 0,028889 -0,026489 + 0,024456 -0,022713 + 0,021201

Min.

I

x

M In.

I; I 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0,004800

+ 0,001409 + 0,002010 -0,004432

+ 0,005250

+ o,ooonaa + 0,001118 + 0,001109

+ 1, 00

+ 1,

+ 1,

7t

Ci (x)

1614 2256 2323 1849 987

10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

-200

I

+ 1,

+ 1,

+ 1,

Si (x)

Max . (X) . .SI

M In.

- 0,019879 + 0,018711 -0,017673 + 0,016744 - 0,015907 + 0,015151 - 0,014463 + 0,013834 -0,013258

0

111. Die Fehlerfunktion und verwandte Funktionen *) 111. The Error Function and related Functions *) 1. Die Fehlerfunklion (/J(z)

1. The Error Function 4>(z)

1.1 Die Fehlerfunktion (/J(z) wird definiert durch

1.1 The error funcfion 4>(z) is defined by

J

J

z

4>(z)

(Für y(a, z) und

=

H~2) (z)

1 ( 2' 1 2 ,r.;;y z2) =,r.;;

r 7t

r 7t 0

e

z2

-li

dt=

r 7t t

0

t

2

(For y (a, z) and

vgl. I, C und IX, A.) Sie ist

eine ganze Funktion von z mit

J z2

I

e,~dt= /1. I

. H (2) (-It)dt.

0

-1/2

H~2) (z) cf. I, C and IX, A.) It is an

entire function of z with 4>(- z) = - (0) = 0,

For real argument Z= x it takes on real va lues. In particular we have

+

Aus den Darstellungen von y(a, z) ergeben sich für (z) die Potenzreihenentwicklungen

und für jeden Sektor - 3:: (c> 0), die für

+ c;::;;; arc z;::;;; 3:: -

(/J(x) = 1.

lim X-4-

c,

Izl ~ 1 geltende asymptotische Reihe v7t e- z2 { 1 -2 {1-4>(z)} ~ - - 1 - 2z 2z 2

00

From the representations of y(a, z) we get for 4>(z) the power series

37t

T

and for each sector -

37t + c ;::;;; arc z ;::;;; 4""" -

E,

(c> 0), the asymptotic series valid for Iz I ~ 1 1 .3. 5 } + (2z -1 .2-3)2 -----+.... (2z 2)3

Dabei ist fü r positives reelles Arg ument z = x der beim Abbrechen der Reihe begangene Fehler kleiner als das erste vernachlässigte Glied und von gleichem Vorzeichen wie dieses.

Here for positive real argument z = x the error introduced in breaking off the se ries is in absolute value smaller than the first neglected term and of the same sign as this.

Als Verallgemeinerung der Fehlerfunktion erhält man die Funktionen En (z), die durch

As a generalization of the error function we get the functions En (z) defined by

Jzn

r ( ---n +fj--1 ) En (z) =

1 y ( TI' 1 1 TI z n ) = TI

e

o

1

I -

tn

J z

-1

dt

=

e_,n d t

0

erklärt sind. Es ist 4>(z) = E2(Z). Auch für die Funktionen En (z) lassen sich Potenzreihen und asymptotisches Verhalten den Darstellungen von y (a, z) entnehmen.

We have 4>(z) = E2 (z). Also for the functions En (z) we can get power se ries and asymptotic behaviour from the representations of y(a, z).

*) Figuren 13 bis 16; Tafeln 7 bis 11

*) Figures 13 to 16; tables 7 to 11

Die Fehlerfunktion (. ) *) Table 8. The Function Y- 0 e t I -2Ix

x

I

xl

y 0,

0,00 02 04 06 08 0,10 12 14 16 18 0,20 22 24 26 28 0,30 32 34 36 38 0,40

0000

0200 0400 0601 0802 1003 1206 1409 1614 1820 2027 2236 2447 2660 2875 3092 3313 3536 3762 3991 4224 0,

+100 100 100,5 100,5 100,5

+ 101,5 101,5 102,5 103 103,5

+ 104,5 105,5 106,5 107,5 108,5

+ 110,5 111,5 113 114,5 116,5

0,40 42 44 46 48 0,50 52 54 56 58 0,60 62 64 66 68 0,70 72 74 76 78 0,80

lxi

y 0, 4224 4461 4701 4946 5196 5450 5709 5974 6245 6522 6805 7095 7393 7698 8011 8333 8664 9005 9356 9718 *0091 1,

+ 118,5 120 122,5 125 127

+ 129,5 132,5 135,5 138,5 141,5 + 145 149 152,5 156,5 161

+ 165,5

*) Die Funktion wird auch mit Erfi x bezeichnet.

170,5 175,5 181 186,5

0,80 82 84 86 88 0,90 92 94 96 98 1,00 02 04 06 08 1,10 12 14 16 18 1,20

lxi

y 1, 0091 0477 0875 1287 1713 215 261 309 358 409 463 518 576 636 699 765 833 905 980 *059 141 2,

+ 193 199 206 213 221 +

23 24 24,5 25,5 27

+

27,5 29 30 31,5 33

+

34 36 37,5 39,5 41

1,20 22 24 26 28 1,30 32 34 36 38 1,40 42 44 46 48 1,50 52 54 56 58 1,60

y 2,141 2,228 2,318 2,414 2,514 2,620 2,731 2,848 2,972 3,103 3,241 3,387 3,542 3,705 3,879 4,063 4,259 4,467 4,688 4,923 5,174

+

43,5 45 48 50 53

+

55,5 58,5 62 65,5 69

+

73 77,5 81,5 87 92

+

98 104 110,5 117,5 125,5

(-8)

(-9) (-9) (-9)

*) In Klammern beigefügte Zahlen (- n) besagen, daß derTafelwert mitdem Faktor10- n zu multiplizieren ist. Numbers (-n) added in parenthesis mean that the table value is to be multiplied by the factor 10-n .

lxi

y

1,60 62 64 66 68 1,70 72 74 76 78 1,80 82 84 86 88 1,90

5,17 + 13,5 5,44 14,5 5,73 15 6,03 16,5 6,36 17 6,70 + 19 7,08 19,5 7,47 21,5 7,90 23 8,36 24,5 8,85 + 26,5 9,38 28,5 9,95 31 10,57 33 11,23 35,5 11,94 + 38,5 12,71 41,5 13,54 44,5 14,43 48,5 15,40 52,5 16,45

*) The function is denoted by Erfi x too.

92

94 96 98 2,00

Tafel 34. Die ersten sechs Wurzeln von J ( ) N (k x) _ J (k x) N (x) Table 34. The first six Roofs x", $ of " x " " "

=

k

(k -1) x" 1

(k -1) x", 2

(k -1) x", 3

(k -1) x" 4

1,0 1 2 3 4

3,1416 3,1412 3,1403 3,1389 3,1371

6,2832 6,2830 6,2825 6,2818 6,2809

9,4248 9,4247 9,4243 9,4239 9,4233

12,5664 12,5663 12,5660 12,5657 12,5652

1,5 6 7 8 9

3,1351 3,1329 3,1306 3,1281 3,1256

6,2799 6,2787 6,2775 6,2762 6,2748

9,4226 9,4218 9,4210 9,4201 9,4192

12,5647 12,5641 12,5635 12,5628 12,5621

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

3,1230 3,110 3,097 3,085 3,073 3,063 3,053

6,2734 6,266 6,258 6,250 6,243 6,235 6,228

9,4182 9,413 9,408 9,402 9,397 9,391 9,386

12,5614 12,558 12,553 12,549 12,545 12,540 12,536

1,0 1 2 3 4

3,1416 3,1427 3,1455 3,1498 3,1550

6,2832 6,2837 6,2852 6,2873 6,2900

9,4248 9,4251 9,4261 9,4275 9,4293

12,5664 12,5666 12,5674 12,5684 12,5698

1,5 6 7 8 9

3,1609 3,1675 3,1744 3,1816 3,1890

6,2931 6,2965 6,3002 6,3041 6,3081

9,4314 9,4337 9,4362 9,4388 9,4416

12,5713 12,5731 12,5749 12,5769 12,5790

2,0 2,5 3,0

3,1966 3,235 3,271

6,3123 6,335 6,358

9,4445 9,460 9,476

12,5812 12,593 12,605

0 (Fortsetzung) (Continuation)

v

v=o

v=1

(k-1 ) x", 1 v=1

v=2

k

v=o

1 1,2 1,5 2 3 4 5

3,1416 3,1403 3,1351 3,1230 3,097 3,073 3,053

3,1416 3,1416 3,1416 3,1416 3,1416 3,1416 3,1416

3,1416 3,1455 3,1609 3,1966 3,271 3,336 3,389

3,1416 3,1521 3,1929 3,2860 3,474 3,629 3,749

3,1416 3,1613 3,2371 3,4069 3,736 3,990 4,177

3,1416 3,1731 3,2931 3,5558 4,041 4,393 4,640

6 7 8 9 10

3,035 . 3,019 3,006 2,994 2,983

3,1416 3,1416 3,1416 3,1416 3,1416

3,432 3,468 3,499 3,525 3,547

3,844 3,918 3,979 4,029 4,070

4,317 4,424 4,507 4,574 4,628

4,816 4,947 5,047 5,125 5,188

11 19 39

2,973 2,92 2,85 2,4048

3,1416 3,1416 3,1416 3,1416

3,566 3,66 3,74 3,8317

4,105 4,26 4,38 4,4934

4,673 4,87 5,00 5,1356

5,240 5,46 5,62 5,7635

00

199