Investitionsrechnung: Eine Einführung für Architekten und Bauingenieure [1. Aufl.] 978-3-658-18995-2;978-3-658-18996-9

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XXX
Einleitung (Dirk Noosten)....Pages 1-6
Investitionsrechnung (Dirk Noosten)....Pages 7-10
Zinsrechnung (Dirk Noosten)....Pages 11-16
Barwertmethode (Dirk Noosten)....Pages 17-23
Barwertfunktion (Dirk Noosten)....Pages 25-26
Rentenrechnung (Dirk Noosten)....Pages 27-32
Interne Zinsfuß-Methode (Dirk Noosten)....Pages 33-38
Annuitätenmethode (Dirk Noosten)....Pages 39-49
Vollständige Finanzpläne (VOFI) (Dirk Noosten)....Pages 51-66
Barwert zusammengesetzter Zahlungsreihen (Dirk Noosten)....Pages 67-70
Barwert wachsender Renten (Dirk Noosten)....Pages 71-79
Investitionsketten (Dirk Noosten)....Pages 81-94
Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern (Dirk Noosten)....Pages 95-103
Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext (Dirk Noosten)....Pages 105-123
Übungsaufgaben (Dirk Noosten)....Pages 125-138
Formelsammlung (Dirk Noosten)....Pages 139-145
Back Matter ....Pages 147-184

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Investitionsrechnung

Dirk Noosten

Investitionsrechnung Eine Einführung für Architekten und Bauingenieure

Dirk Noosten LG Baumanagement und Baufinanzierung Hochschule Ostwestfalen-Lippe Detmold Deutschland

ISBN 978-3-658-18995-2    ISBN 978-3-658-18996-9 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Lektorat: Karina Danulat Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Das vorliegende Lehrbuch behandelt die Investitionsrechnung. Im Kern geht es um die Frage, ob eine Investition für den Investor – ökonomisch betrachtet – vorteilhaft ist oder nicht. Damit soll die Investitionsrechnung eine betriebswirtschaftlich fundierte Hilfe für Investitionsentscheidungen liefern. Insbesondere mit Blick auf die Bau- und Immobilienwirtschaft weisen Investitionen zwei charakteristische Merkmale auf: Einerseits werden sehr hohe Beträge investiert, anderseits sind die Finanzmittel extrem lange gebunden. Damit begegnet die Investitionsrechnung allen Bauschaffenden in verschiedensten Bereichen, jedoch häufig mit anderen Begrifflichkeiten bzw. in einem speziellen Kontext: • • • • •

Wirtschaftlichkeitsberechnungen Lebenszyklusrechnungen Dynamische Kostenvergleichsrechnung Immobilienbewertungen Immobilien- bzw. Baufinanzierungen

Hierfür stellt die Investitionsrechnung im Grunde die finanzmathematische Basis bzw. den Rechenkern zur Verfügung. Insofern richtet sich dieses Lehrbuch einerseits an Studierende folgender Studiengänge: • • • • •

Bauingenieurwesen Wirtschaftsingenieurwesen, Architektur, Innenarchitektur und Stadtplanung

Andererseits werden Praktiker angesprochen, die in der Bau- und Immobilienbranche oder in der Verwaltung tätig sind:

V

VIVorwort

• • • • • • •

Ingenieurbüros, Architekturbüros, Baubehörden und Vergabestellen Banken, Bauträger, Projektentwickler und Bauunternehmen

Die Investitionsrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Wirtschafts- und Finanzmathematik sowie der Investitionstheorie. Letztlich füllt die Investitionstheorie eigenständige Fächer und Lehrgebiete, die in betriebswirtschaftlichen Studiengängen bzw. an wirtschaftswissenschaftlichen Fakultäten häufig „Investition und Finanzierung“ genannt werden. Darüber hinaus gibt es zur Investitionstheorie zahlreiche Fachbücher. Während die Investitionsrechnung aus wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen nicht wegzudenken ist, stellt sie in bauwissenschaftlichen Studiengängen häufig eine Randerscheinung dar. Mit diesem Lehrbuch soll diese Lücke geschlossen werden. Zum besseren Verständnis und mit Blick auf das, was für Bauschaffende von Bedeutung ist, wird bewusst die ein oder andere wissenschaftliche Unschärfe in Kauf genommen. Im Gegenzug wird der Leser mit schnelleren Erfolgserlebnissen belohnt. Damit ist er für die vertiefende wissenschaftliche Literatur bestens präpariert. Das Pendant zur Investition stellt die Finanzierung dar. Dem interessierten Leser darf damit auch der folgende – im gleichen Verlag erschienene – Titel empfohlen werden: Noosten, Dirk: Die private Bau- und Immobilienfinanzierung, Springer Vieweg 2015 Zur besseren Lesbarkeit wird in dieser Publikation entweder die weibliche oder die männliche Form verwendet. Damit werden alle Geschlechter gleichermaßen angesprochen. Konstruktive Kritik und Hinweise auf Fehler, die sich nie ganz vermeiden lassen, sind unter folgender E-Mail-Anschrift herzlich willkommen: [email protected]. Detmold, August 2018

Dirk Noosten

Danksagung

Mein besonderer Dank gilt Herrn Rafael Reckmann, der das Manuskript bearbeitet sowie zahlreiche Abbildungen und Tabellen erstellt hat. Der Cheflektorin, Frau Karina Danulat, möchte ich für die Aufnahme des Titels in das Verlagsprogramm sowie für die gute Zusammenarbeit danken. Mit Blick auf die zahlreichen Abbildungen, Tabellen, Formeln, Sonderzeichen und Berechnungen möchte ich hier das Team der Herstellung ausdrücklich mit einschließen. Mein Dank gilt auch den folgenden Studierenden der Hochschule OWL, die mit Ihren Beiträgen zum Gelingen dieses Fachbuches beigetragen haben: S. Besse, A. Klan, R. Reckmann und S. Weitkamp.

VII

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Investitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Finanzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Zahlungsreihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Modellannahmen für die Zahlungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Darstellung der Zahlungsreihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Projektindividuelle Entscheidungen vs. Auswahlentscheidungen. . . . . . . . . .

 1  2  2  3  3  4  6

2 Investitionsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Statische Investitionsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dynamische Investitionsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Statische vs. dynamische Verfahren der Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . .

 7  8  9  10

3 Zinsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Aufzinsung einer Zahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Abzinsung einer Zahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Zinsen und Zinseszinsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 11  11  14  16

4 Barwertmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Barwertermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Entscheidungsregel für die Barwertmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kritische Betrachtung der Barwertmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 17  17  21  23

5 Barwertfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  25 6 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Nachschüssige Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Barwert einer Zeitrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Endwert einer Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Barwert einer ewigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Vorschüssige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Barwert einer Zeitrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Endwert einer Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 27  27  28  30  30  31  32  32 IX

XInhaltsverzeichnis

7 Interne Zinsfuß-Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Grafische Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Sonderfall: Zahlungsreihe mit drei Zahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 33  33  34  36  37

8 Annuitätenmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Berechnung einer Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Annuitätenfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Entscheidungsregel für die Annuitätenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer. . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Restwertverteilungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Annuitätendarlehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Ermittlung der jährlichen Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Ermittlung der unterjährigen Annuität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 39  39  40  40  41  45  46  46  47

9 Vollständige Finanzpläne (VOFI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Aufbau eines VOFI’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Anwendung eines VOFI’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Entscheidungsregel für die VOFI-Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Interpretation der VOFI-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 51  52  54  55  65

10 Barwert zusammengesetzter Zahlungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  67 10.1 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . .  67 10.2 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Ewiger Rente . . . . . . . . . . . .  69 11 Barwert wachsender Renten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Barwert wachsender Zeitrenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Arithmetisch fortschreitend. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Geometrisch fortschreitend. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Barwert einer wachsenden ewigen Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Arithmetisch fortschreitend. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Geometrisch fortschreitend. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 71  71  71  74  77  77  78

12 Investitionsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Endliche Investitionsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Unendliche Investitionsketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Optimale Nutzungsdauer einer Einzelinvestition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Optimale Nutzungsdauer innerhalb einer Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . .

 81  82  87  90  92

13 Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  95 13.1 Einzelinvestitionen unter Berücksichtigung von Steuern. . . . . . . . . . . . . . .  95 13.2 Investitionsketten unter Berücksichtigung von Steuern. . . . . . . . . . . . . . . .  99

InhaltsverzeichnisXI

14 Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Fremd- oder Eigenfinanzierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Kalkulationszinssatz bei Eigenfinanzierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Kalkulationszinssatz bei Fremdfinanzierung. . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3 Kalkulationszinssatz bei Mischfinanzierung (WACC-Ansatz). . . . 14.2 Immobilienbewertung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Dynamische Kostenvergleichsrechnung (Wasserwirtschaft). . . . . . . . . . . . 14.4 Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Zinssatz bei unterjährigen Zahlungen und unterjähriger Verzinsung. . . . . . 14.6 Realzinssatz bei Inflation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 105 106 106 106 107 108 110 118 121

15 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Aufgabe: Barwert einer Mietzinszahlung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Aufgabe: Ablösewert eines Gesellschafters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Aufgabe: Barwert bei besonderen Zahlungsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . 15.4 Aufgabe: Ewige Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Aufgabe: Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Aufgabe: Wohnrecht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Aufgabe: Barwert einer Mietzinszahlung II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Leibrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.9 Aufgabe: Finanzierungsangebot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.10 Aufgabe: Vor- und nachschüssige Zahlungsweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.11 Aufgabe: Annuitätendarlehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.12 Aufgabe: Unternehmensbeteiligung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.13 Aufgabe: Wert eines Dividendenanspruchs (Aktien). . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.14 Aufgabe: Barwertberechnung bei monatlicher Periodenlänge. . . . . . . . . . . 15.15 Aufgabe: Barwertfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 125 125 126 126 127 127 128 129 130 130 133 134 135 136 136

16 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Glossar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Vertiefende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Internetverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Über den Autor

Der Autor, Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Dirk Noosten, ist als Sachverständiger im Bereich der Immobilienbewertung tätig (www.ib-noosten.de). Er lehrt an der Hochschule Ostwestfalen-Lippe Bau- und Immobilienmanagement sowie Baufinanzierung (www.hs-owl.de/fb3/). Außerdem ist er Autor und Koautor mehrerer Fachbücher.

XIII

Abkürzungsverzeichnis

A Abs. Absatz B BauGB Baugesetzbuch boG besondere objektspezifische Grundstücksmerkmale bzw. beziehungsweise D d. h.

das heißt

E EDV etc.

Elektronische Datenverarbeitung et cetera

G ggf. gegebenenfalls I in der Regel i. d. R. ImmoWertV Immobilienwertermittlungsverordnung K KVR Kostenvergleichsrechnung KWG Kreditwesengesetz L LAWA

Länderarbeitsgemeinschaft Wasser

M MS     Microsoft XV

XVIAbkürzungsverzeichnis

N Nr. Nummer O o.g.

oben genannt

P PAngV Preisangabenverordnung per anno p.a. S S. Seite sog. sogenannt V vgl. vergleiche VOFI Vollständiger Finanzplan vs. versus W WACC weighted average cost of capital Z z. B.

zum Beispiel

Finanzmathematisches Abkürzungsverzeichnis

A a Annuität AF Annuitätenfaktor AfA Absetzung für Abnutzung Azn einmaliger Auszahlungsbetrag zum Zeitpunkt n azn Auszahlung zum Zeitpunkt n α Wachstumsrate B boG besondere objektspezifische Grundstücksmerkmale BW Bodenwert β Wachstumsfaktor C C

Kosten (engl. Costs)

D d

jährlicher Steigerungsbetrag der Rente

E EKRVOFI VOFI-Eigenkapitalrentabilität EK n Eigenkapital zum Zeitpunkt n E NU Endwert der Opportunität (ohne Investition bzw. Unterlassensalternative) E NA bzw. E NB Endwert mit Investition „A“ bzw. „B“ E N Endwert EK Eigenkapital EKR Eigenkapitalrentabilität EW Ertragswert Ezn einmaliger Einzahlungsbetrag zum Zeitpunkt n ezn Einzahlung zum Zeitpunkt n XVII

XVIII

Finanzmathematisches Abkürzungsverzeichnis

F FK Fremdkapital G g Gewinn g Geldentwertungsrate Gewinn der Periode n gn γ Risikozuschlag I i

Kettenglied einer Investitionskette

K Geldbetrag (Kapitalbetrag) K K0 Barwert (Kapital zum Zeitpunkt 0) K 0 (p) Barwertfunktion KN Endwert (Kapital zum Zeitpunkt N) Kn Kapital zum Zeitpunkt n Normierter Kaufpreis, aus Kaufpreis +/- boG KP L L Ln

Restwert bzw. Liquidationserlös Restwert bzw. Liquidationserlös zum Zeitpunkt n

M m

Periodenanzahl pro Jahr (z. B. vierteljährlich oder monatlich)

N n Zeitraum (Jahre) N Ende des letzten Jahres bzw. Laufzeit (Jahre) n Zeitpunkt P pe Kalkulationszinssatz bei Eigenfinanzierung peffektiv Effektivzinssatz pf Kalkulationszinssatz bei Fremdfinanzierung π Inflation πn Inflation der Periode n plz Liegenschaftszinssatz pn Nominalzinssatz der Periode n pnS Kalkulationszinssatz nach Steuern

Finanzmathematisches AbkürzungsverzeichnisXIX

pvS Kalkulationszinssatz vor Steuern pnR Realzinssatz der Periode n pnetto Nettozinssatz pWACC Kalkulationszinssatz bei Mischfinanzierung (WACC-Ansatz) P Zinsen [€] p Zinssatz [%] p´ Interner Zinsfuß Q qn q−n q

Aufzinsungsfaktor qn Abzinsungsfaktor q-n Zinsfaktor (1+ p)

R RN Rentenendwert Rente (Zahlungsbetrag) r Rente (Zahlungsbetrag) zum Zeitpunkt n rn RE Reinertrag REF Rentenendwertfaktor RK0 Rentenbarwert RVF Restwertverteilungsfaktor Rz Rückzahlungsbetrag S S Steuern (absolut) Sn Steuern zum Zeitpunkt n (absolut) s Steuersatz T T Tilgung V V Rentenbarwertfaktor = Vervielfältiger = Barwertfaktor für die Kapitalisierung (ImmoWertV) Vollständiger Finanzplan VOFI W WACC

weighted average cost of capital

XX

Finanzmathematisches Abkürzungsverzeichnis

X x Anzahl Kettenglieder innerhalb einer Investitionskette Z z Zahlung zn Zahlung/Zahlungssaldo zum Zeitpunkt n

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.1

Zahlungsreihe unter Berücksichtigung der Tab. 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . .   5

Abb. 3.1

Aufzinsung einer Zahlung mit Aufzinsungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  13

Abb. 3.2

Abzinsung einer Zahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  14

Abb. 4.1

Barwert einer Investition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  18

Abb. 7.1

Darstellung des internen Zinsfußes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34

Abb. 10.1 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente. . . . . . . . . . . . . .  67 Abb. 10.2 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewiger Rente . . . . . . . . . .  69 Abb. 11.1 Arithmetisch fortschreitende Rentenzahlung (nachschüssig). . . . . . . . . . .  72 Abb. 11.2 Geometrisch fortschreitende Rentenzahlung (nachschüssig). . . . . . . . . . .  74 Abb. 12.1 Zeitstrahl endliche Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  83 Abb. 12.2 Zeitstrahl endliche Investitionskette, x=4, N=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  84

XXI

Tabellenverzeichnis

Tab. 1.1

Zahlungsdaten für die Ermittlung der Zahlungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . .   5

Tab. 2.1

Verfahren der Investitionsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7

Tab. 3.1

Herleitung der Aufzinsungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12

Tab. 5.1

Barwerte in Abhängigkeit verschiedener Zinssätze (Wertetabelle). . . . . .  26

Tab. 9.1

VOFI der Investition („blanko“). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  53

Tab. 9.2

VOFI der Investition „A“ (Vermögensstreben). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57

Tab. 9.3

VOFI der Investition „B“ (Vermögensstreben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  58

Tab. 9.4

VOFI der Opportunität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  59

Tab. 9.5

VOFI der Investition „A“ (Einkommensstreben ENA = 0). . . . . . . . . . . . .  61

Tab. 9.6

VOFI der Investition „B“ (Einkommensstreben ENB = 0) . . . . . . . . . . . . .  62

Tab. 9.7

VOFI der Investition „A“ (Einkommensstreben ENA = ENU) . . . . . . . . . . .  63

Tab. 9.8 VOFI der Investition „B“ des Beispiel 9.2 (Einkommensstreben ENB = ENU). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  64 Tab. 12.1 Endliche Aneinanderreihung identischer Investitionen. . . . . . . . . . . . . . .  82 Tab. 12.2 Endliche Aneinanderreihung unterschiedlicher Investitionen. . . . . . . . . .  82 Tab. 13.1 Anpassung der Zahlungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  98 Tab. 13.2 Übersicht eines Zahlungsstroms einer Investitionskette . . . . . . . . . . . . . .  100 Tab. 13.3 Anpassung der Zahlungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  100 Tab. 13.4 Berechnung des Barwertes einer Einzelinvestition, des Barwertes der Investitionskette und der Annuität der Einzelinvestition. . . . . . . . . . . . . .  103 Tab. 14.1 Restschuldverlauf mit Sollzinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113 Tab. 14.2 Abrechnung des fiktiven Vergleichskontos mit dem Effektivzinssatz. . . .  114 XXIII

XXIVTabellenverzeichnis

Tab. 14.3 Tilgungsverlauf Bank B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  117 Tab. 14.4 Abrechnung des fiktiven Vergleichskontos mit dem Effektivzinssatz Bank A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  118 Tab. 14.5 Abrechnung des Kredites mit dem linearen Monatszins. . . . . . . . . . . . . .  120 Tab. 14.6 Abrechnung des Kredits mit dem konformen Zinssatz. . . . . . . . . . . . . . .  120

Formelverzeichnis

Formel 2-1

Kostenvergleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  8

Formel 3-1

Aufzinsung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Formel 3-2

Aufzinsung mit Zinsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Formel 3-3

Abzinsung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Formel 3-4

Abzinsung mit Zinsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Formel 4-1

Barwert einer Investition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Formel 4-2

Barwert mit Summenzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Formel 4-3

Barwert einer Investition (verkürzte Schreibweise). . . . . . . . . . . . . . . . 20

Formel 6-1

Barwert einer Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Formel 6-2

Barwert einer Zeitrente (verkürzte Schreibweise) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Formel 6-3

Barwert einer Zeitrente mit umgewandelter geometrischer Reihe. . . . . 29

Formel 6-4 Barwert einer Zeitrente mit umgewandelter geometrischer Reihe und Zinsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Formel 6-5

Barwert einer Zeitrente mit Rentenbarwertfaktor (V) . . . . . . . . . . . . . . 29

Formel 6-6

Rentenbarwert einer nachschüssigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Formel 6-7

Rentenendwert einer nachschüssigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Formel 6-8

Barwert einer ewigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Formel 6-9

Rentenbarwert einer vorschüssigen Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Formel 6-10

Rentenendwert einer vorschüssigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Formel 7-1

Interner Zinsfuß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Formel 7-2

Interpolation zur Berechnung des internen Zinsfußes . . . . . . . . . . . . . . 37

XXV

XXVIFormelverzeichnis

Formel 7-3

„p,q-Formel“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Formel 7-4

Zahlungsreihe mit drei Zahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Formel 8-1

Annuität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Formel 8-2

Annuitätenfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Formel 8-3

Annuitätenfaktor (alternative Formel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Formel 8-4

Vorherige Rente aus Endwert mit Restwertverteilungsfaktor. . . . . . . . . 45

Formel 8-5

Restwertverteilungsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Formel 8-6

Vorherige Rente aus Endwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Formel 8-7

Annuität unterjährig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Formel 9-1

Endwert der Opportunität bzw. Unterlassensalternative. . . . . . . . . . . . . 54

Formel 9-2

VOFI-Eigenkapitalrentabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Formel 10-1

Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente. . . . . . . . . . . . 68

Formel 10-2

Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewigen Rente. . . . . . . . 69

Formel 11-1

Wachstum einer arithmetisch fortschreitenden Zahlungsreihe. . . . . . . . 72

Formel 11-2

Rentenbarwert einer arithmetisch wachsenden Zeitrente. . . . . . . . . . . . 72

Formel 11-3

Formel für lange arithmetisch fortschreitende Renten. . . . . . . . . . . . . . 73

Formel 11-4 Formel für lange arithmetisch fortschreitende Renten (verkürzte Darstellung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Formel 11-5

Wachstum einer geometrisch fortschreitenden Rente. . . . . . . . . . . . . . . 75

Formel 11-6

Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Formel 11-7 Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente ohne Summenformel (q ≠ β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Formel 11-8 Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente ohne Summenformel (q = β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Formel 11-9

Rentenbarwert einer arithmetisch fortschreitenden ewigen Rente. . . . . 77

Formel 11-10 Barwert einer geometrisch fortschreitenden ewigen Rente . . . . . . . . . . 78 Formel 12-1

Barwert einer endlichen Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Formel 12-2

Barwert einer endlichen Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Formel 12-3

Barwert einer Investitionskette mit identischen Ketten . . . . . . . . . . . . . 86

Formel 12-4

Barwert einer unendlichen Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

FormelverzeichnisXXVII

Formel 12-5

Barwert einer unendlichen Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Formel 12-6

Barwert einer unendlichen Investitionskette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Formel 12-7

Annuität eines Kettengliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Formel 13-1

Zinssatz nach Steuern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Formel 13-2

Barwert nach Steuern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Formel 13-3

Zinssatz nach Steuern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Formel 13-4

Barwert nach Steuern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Formel 13-5

Annuität eines Kettengliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Formel 14-1

Kalkulationszinssatz bei Eigenfinanzierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Formel 14-2

Kalkulationszinssatz bei Fremdfinanzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Formel 14-3

Weighted Average Cost of Capital (WACC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Formel 14-4

Berechnung Ertragswert nach ImmoWertV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Formel 14-5

Berechnung Liegenschaftszinssatz nach ImmoWertV. . . . . . . . . . . . . 108

Formel 14-6

Effektivzinsberechnung nach PAngV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Formel 14-7

Berechnung des Effektivzinssatzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Formel 14-8

Lineare Umrechnung Jahreszins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Formel 14-9

Konforme Umrechnung Jahreszins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Formel 14-10 Realzinssatz der Periode n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Formel 14-11 Barwert Nominalwertrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Formel 14-12 Barwert Realwertrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Beispielverzeichnis

Beispiel 1.1

Darstellung einer Zahlungsreihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4

Beispiel 1.2

Investition vs. Unterlassensalternative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6

Beispiel 1.3

Investitionsentscheidung ohne Unterlassensalternative . . . . . . . . . . . . .  6

Beispiel 2.1

Kostenvergleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  8

Beispiel 3.1

Aufzinsung einer Zahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Beispiel 3.2

Aufzinsungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Beispiel 3.3

Abzinsung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Beispiel 3.4

Zinsen und Zinseszinsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Beispiel 4.1

BW-Ermittlung einer Einzelinvestition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Beispiel 4.2

Auswahlentscheidung auf der Basis des Barwertes. . . . . . . . . . . . . . . . 21

Beispiel 4.3

Auswahlentscheidung auf der Basis des Barwertes. . . . . . . . . . . . . . . . 22

Beispiel 5.1

Barwertfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Beispiel 6.1

Barwert einer Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Beispiel 6.2

Barwertermittlung bei konstant anfallenden Zahlungen. . . . . . . . . . . . . 29

Beispiel 6.3

Berechnung des Barwertes bei einer ewigen Rente . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Beispiel 7.1

Grafische Ermittlung des internen Zinssatzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Beispiel 7.2

Interpolation des internen Zinssatzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Beispiel 7.3 Berechnung des internen Zinsfußes bei quadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Beispiel 8.1 Ermittlung der Annuität zweier Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

XXIX

XXXBeispielverzeichnis

Beispiel 8.2

Berechnung der jährlichen Annuität einer Einzelinvestition . . . . . . . .  43

Beispiel 8.3

Restwertverteilungsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  46

Beispiel 8.4

Jährliche Annuitätendarlehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  46

Beispiel 8.5

Unterjähriges Annuitätendarlehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  48

Beispiel 9.1

Vollständige Finanzpläne (Vermögensstreben). . . . . . . . . . . . . . . . . . .  55

Beispiel 9.2

Vollständige Finanzpläne (Einkommensstreben). . . . . . . . . . . . . . . . .  60

Beispiel 10.1 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente. . . . . . . . . . .  68 Beispiel 10.2 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewiger Rente . . . . . . .  69 Beispiel 11.1 Arithmetisch fortschreitende Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  72 Beispiel 11.2 Geometrisch fortschreitende Zeitrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  76 Beispiel 11.3 Arithmetisch fortschreitende ewige Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  78 Beispiel 11.4 Geometrisch fortschreitende ewige Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  79 Beispiel 12.1 Investitionskette mit vier identischen Kettengliedern. . . . . . . . . . . . . .  83 Beispiel 12.2 Endliche Investitionsketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  84 Beispiel 12.3 Unendliche Investitionsketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  89 Beispiel 13.1 Investition unter Berücksichtigung von Steuern. . . . . . . . . . . . . . . . . .  97 Beispiel 13.2 Identische unendliche Investitionskette mit Steuern. . . . . . . . . . . . . . . 101 Beispiel 14.1 Abrechnung mit dem Sollzinssatz und mit dem effektiven Jahreszins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Aufgabe 14.2 Effektivzinsberechnung für ein Darlehen mit Disagio. . . . . . . . . . . . . 114 Beispiel 14.3 Unterjährige Zahlungen und unterjährige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . 119 Beispiel 14.4 Berücksichtigung der Inflation beim Barwert (Kaufkraftbarwert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

1

Einleitung

Zusammenfassung

Mithilfe der Investitionsrechnung wird der Frage nachgegangen, ob ein Investitionsprojekt betriebswirtschaftlich vorteilhaft ist oder nicht. In diesem Kapitel werden zunächst die charakteristischen Merkmale von Investitionsprojekten vorgestellt. Außerdem wird erläutert, wie ein Investitionsprojekt mithilfe von Zahlungsreihen abgebildet wird. Mithilfe der Investitionsrechnung soll die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten rechnerisch überprüft werden. Beispielsweise wird der Frage nachgegangen, ob der Bau einer Immobilie (Hotel, Shopping-Center, Wohngebäude), die nach der Fertigstellung vermietet werden soll, für einen Investor finanziell vorteilhaft ist oder nicht. Auch kann überprüft werden, ob die Errichtung eines Betonfertigteilwerkes zur Produktion von Fertigteilen für einen Unternehmer ökonomisch sinnvoll ist. Investitionsprojekte binden Finanzmittel, die dem Unternehmen, nachdem sie investiert wurden, zumindest zeitweise nicht mehr zur Verfügung stehen. Aus der Sicht des Investors ist für Investitionsprojekte charakteristisch, dass zunächst eine Auszahlung – beispielsweise für die Baukosten einer Wohnimmobilie – erfolgen muss. Später folgen in der Regel Einzahlungen z. B. in Form von Mieteinnahmen. Hierbei spielt das zeitliche Auseinanderfallen zwischen den Aus- und Einzahlungen („zeitliche Divergenz“) eine große Rolle. Weiterhin ist eine Investition eng mit einer Finanzierung verbunden, denn letztlich müssen Investitionen „finanziert“ werden, d.  h. es müssen Finanzmittel zur Verfügung gestellt werden.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_1

1

2

1 Einleitung

1.1 Investitionen Unter einer Investition wird das Anlegen von Finanzmitteln („Mittelverwendung“) verstanden. Typisch für Investitionen ist, dass sie einen „hohen“ Finanzmittelbedarf und eine „langfristige“ Finanzmittelbindung aufweisen. Bei Investitionen wird zwischen Sach- und Finanzinvestitionen unterschieden. Sachinvestitionen können weiter in Neu- und Ersatzinvestitionen unterteilt werden. Bei einer Neuinvestition wird beispielsweise eine neue Maschine gekauft. Bei der Ersatzinvestition wird entweder eine alte Anlage ersetzt (Re-Investition) oder eine noch gebrauchsfähige durch eine neue, preiswertere oder leistungsfähigere Maschine ausgetauscht (Rationalisierungsinvestition). • Sachinvestition (Immobilien, Maschinen) –– Neuinvestition –– Ersatzinvestition • Finanzinvestition (Wertpapiere, Forderungen) In der Investitionsrechnung werden Investitionen in der Regel als Zahlungsreihe (siehe Abschn. 1.3) dargestellt.

1.2 Finanzierung Im Rahmen der Finanzierung werden die Finanzmittel für Investitionen zur Verfügung gestellt („Mittelherkunft“). Dabei werden unterschieden: • Eigenmittel (z. B. Bargeld, Sichtguthaben auf Bankkonten) • Fremdmittel (z. B. Kredit) Häufig werden insbesondere größere Investitionen aus einer Kombination von Eigenund Fremdmitteln finanziert. Zunächst sollen jedoch lediglich zwei Finanzierungsvarianten unterschieden werden: Zum einen kann die Finanzierung durch die Verwendung von Bargeld erfolgen (Eigenfinanzierung), zum anderen kann ein Kredit aufgenommen werden (Fremdfinanzierung). Eigenfinanzierung Werden für die Finanzierung Eigenmittel verwendet, entgehen dem Investor hierdurch zunächst Zinserträge, denn die Eigenmittel werden investiert und können somit nicht mehr zinsbringend angelegt werden. Allerdings können die ihm später zufließenden Einzahlungen verzinslich angelegt werden.

1.3 Zahlungsreihe3

Fremdfinanzierung Bei der Fremdfinanzierung wird für die Bezahlung der Investition ein Kredit aufgenommen. Der Kreditgeber hat Anspruch auf Verzinsung und Rückzahlung (Tilgung) des Kredites. Die dem Investor zufließenden Einzahlungen aus dem Projekt müssen zunächst für diese Zins- und Tilgungszahlungen verwendet werden. Darüberhinausgehende Beträge können verzinslich angelegt werden.

1.3 Zahlungsreihe 1.3.1 Modellannahmen für die Zahlungsreihe Die mit Investitionen zusammenhängenden Aus- und Einzahlungen müssen in eine Zahlungsreihe überführt werden. Im Folgenden wird die Annahme getroffen, dass eine Periode einem Jahr entspricht und dass es sich um mehrjährige Zeiträume handelt. Die unten dargestellten Formeln der Investitionsrechnung lassen sich auch auf unterjährige Zeiträume (Monat, Quartal) übertragen. Dabei ist insbesondere zu beachten, dass der zu berücksichtigende Zinssatz nicht der Jahreszins ist, sondern auf die verwendete Periode (Monat, Quartal) bezogen wird. Typischerweise beginnt die Zahlungsreihe einer Investition mit einer Anschaffungsauszahlung, die auf den Zeitpunkt n = 0 bezogen wird. Der Zeitpunkt n = 0 ist der Beginn des ersten Jahres. Um die Zeitpunkte n deutlich von den Zeiträumen (Jahren, Perioden) zu unterscheiden, werden die Zeiträume mit einem Oberstrich versehen n. Das Ende des ersten Jahres 1 ist der Zeitpunkt n = 1. Der Zeitpunkt n = 1 ist zugleich der Beginn des zweiten Jahres 2. Die folgenden Jahresenden werden fortlaufend durchnummeriert. Das Ende des letzten Jahres wird N genannt: n = 0, 1, 2, …, N. n bezeichnet die Periode n bezeichnet das Ende der Periode n n−1 bezeichnet den Beginn der Periode n Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass Zahlungen grundsätzlich am Jahresanfang oder am Jahresende stattfinden. In der Realität gibt es aber häufig unterjährige Zahlungen. Beispielsweise werden Mieten für gewöhnlich monatlich bezahlt. Diesbezüglich werden zwei Annahmen getroffen, die die weiteren Ausführungen vereinfachen: 1. Unterjährige Zahlungen werden summiert und dann als jährlicher Gesamtbetrag berücksichtigt. 2. Der Gesamtbetrag der unterjährigen Zahlungen wird auf das Ende des Jahres bezogen.

4

1 Einleitung

Zahlungen, die am Ende einer Periode (Zeitpunkt n) geleistet werden, werden als „nachschüssig“ bezeichnet. Zahlungen, die am Anfang einer Periode (Zeitpunkt n–1) geleistet werden, werden „vorschüssig“ genannt. Außerdem wird unterstellt, dass sämtliche Zahlungen mit Sicherheit eintreten. In der Realität sind Zahlungen, die in der Zukunft liegen häufig mit Unsicherheiten behaftet. Diese Unsicherheiten werden zunächst ausgeblendet, d. h. es werden sog. „Entscheidungen unter Sicherheit“ behandelt. Zahlungsreihen, die individuelle Zahlungsströme aufweisen, werden als individuelle Zahlungsreihen bezeichnet. Zahlungsreihen deren Zahlungsströme hingegen identisch sind, werden als Rente bezeichnet. Wenn im Folgenden lediglich Zahlungsreihen betrachtet werden, wird damit unterstellt, dass sich ein Investitionsprojekt mithilfe der damit verbundenen Zahlungen abbilden lässt. Dabei darf nicht übersehen werden, dass in der Realität noch viele weitere Aspekte zu berücksichtigen sind, die sich nicht in Zahlungsgrößen darstellen lassen. Beispielsweise kann eine Immobilie von einem Investor aufgrund seines architektonischen Entwurfs bevorzugt werden, obwohl die Baukosten höher sind. Auch kann von einem Bauunternehmen eine teurere Maschine bevorzugt werden, weil die damit verbundenen Emmissionen niedriger sind. Im Rahmen der Investitionsrechnung bleiben also zunächst ökologische, soziale, ästhetische und ähnliche Aspekte unberücksichtigt.

1.3.2 Darstellung der Zahlungsreihe Die Zahlungsreihe kann tabellarisch oder mithilfe eines Zeitstrahls dargestellt werden. Auf dem Zeitstrahl wird die Anzahl der Jahre eingetragen, die eine Investition andauert. Die Anfangsauszahlung wird mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Für die Zahlungsbeträge wird der Buchstabe (z) verwendet. Um deutlich zu machen zu welchem Zeitpunkt (n) die Zahlung anfällt, wird der Buchstabe (z) mit dem Index n versehen: (zn) Beispiel 1.1: Darstellung einer Zahlungsreihe

Eine Aktie wird zum Zeitpunkt n = 0 für 300 € erworben. In den folgenden 5 Jahren erhält der Aktionär jeweils am Ende des Jahres eine Dividendenzahlung in Höhe von 60 € (n = 1), 40 € (n = 2), 70 € (n = 3), 40 € (n = 4) und 50 € (n = 5). Unmittelbar nach der letzten Dividendenzahlung verkauft er die Aktie und erhält einen Verkaufserlös in Höhe von 340 € (n = 5). Zum Zeitpunkt n = 5 erhält er also insgesamt 390 €. Bitte beachten Sie Tab. 1.1 und Abb. 1.1.

1.3 Zahlungsreihe5 Tab. 1.1  Zahlungsdaten für die Ermittlung der Zahlungsreihe n

0

1

2

3

4

5

zn

z0

z1

z2

z3

z4

z5

zn

−300 €

60 €

40 €

70 €

40 €

390 €

¼

¼ Q 



¼

¼ 



±¼ Abb. 1.1  Zahlungsreihe unter Berücksichtigung der Tab. 1.1

Mit: N: Laufzeit eines Investitionsprojekts n = 0: Startzeitpunkt n = 1, 2, …, N: Periodenzeitpunkt zn (n = 1, 2, …, N): Zahlungen zu den Zeitpunkten n zn > 0: Einzahlung zn   0) zeigt, dass eine Investition vorteilhaft ist. Durch die Investition werden mehr als die investitionsbedingten Auszahlungen und die erwartete Verzinsung erwirtschaftet. Ein Barwert von Null (K0 = 0) zeigt, dass die Einzahlungen exakt die Auszahlungen und die erwartete Verzinsung erwirtschaften. Ein negativer Barwert (K0  0) oder auch bei Auswahlentscheidungen (wähle die Investition mit dem höheren Barwert).

Beispiel 4.2: Auswahlentscheidung auf der Basis des Barwertes

Ein Investor muss sich zwischen den Investitionen A und B entscheiden. Der Kalkulationszinssatz beträgt 6 %. Welche Investition sollte er wählen? Bitte beachten Sie die Tabelle. Zahlungsreihen der Investitionen A und B n

0

1

2

3

4

5

A

−120,00 €

20,00 €

20,00 €

20,00 €

20,00 €

140,00 €

B

−120,00 €

40,00 €

40,00 €

40,00 €

40,00 €

40,00 €

K 0,Investition A = −120,00 + 20,00 · 1,06−1 + 20,00 · 1,06−2 + 20,00 · 1,06−3 +20,00 · 1,06−4 + 140,00 · 1,06−5 = 53,92 € K 0,Investition B = −120,00 + 40,00 · 1,06−1 + 40,00 · 1,06−2 + 40,00 · 1,06−3 +40,00 · 1,06−4 + 40,00 · 1,06−5 = 48,49 € Die Investition A ist zu wählen, da sie einen höheren Barwert aufweist.

22

4 Barwertmethode

Beispiel 4.3: Auswahlentscheidung auf der Basis des Barwertes

Für zwei Investitionen ist der Barwert zu berechnen. Die Anschaffungsauszahlung beträgt bei beiden 150.000,− € und der Kalkulationszinssatz 6  %. Die während der 6-jährigen Laufzeit anfallenden Ein- und Auszahlungen können der Tabelle entnommen werden. Berechnen Sie die jeweiligen Barwerte und verwenden Sie hierfür die finanzmathematischen Tabellen. Ein- und Auszahlungen der Investitionen 1 und 2 Zeitpunkt

Investition 1

n

Einzahlung (ezn) [€]

0 1

Investition 2 Auszahlung (azn) [€]

Einzahlung (ezn) [€]

150.000 110.000

Auszahlung (azn) [€] 150.000

90.000

110.000

90.000

2

85.000

60.000

140.000

110.000

3

100.000

40.000

120.000

70.000

4

95.000

60.000

90.000

70.000

5

90.000

70.000

150.000

110.000

6

100.000

50.000

150.000

100.000

Lösungsweg: Abzinsungsfaktoren und Einzahlungsüberschüsse Zeitpunkt

Abzinsungsfaktor

n

Investition 1

Einzahlung (ezn) [€]

Investition 2

Auszahlung (azn) [€]

Zahlungssaldo (zn) [€]

150.000

−150.000

110.000

90.000

20.000

Einzahlung (ezn) [€]

Auszahlung (azn) [€]

Zahlungssaldo (zn) [€]

150.000

−150.000

110.000

90.000

20.000

0

1,0000

1

0,9434

2

0,8900

85.000

60.000

25.000

140.000

110.000

30.000

3

0,8396

100.000

40.000

60.000

120.000

70.000

50.000

4

0,7921

95.000

60.000

35.000

90.000

70.000

20.000

5

0,7473

90.000

70.000

20.000

150.000

110.000

40.000

6

0,7050

100.000

50.000

50.000

150.000

100.000

50.000

4.3  Kritische Betrachtung der Barwertmethode23

K 0Investition 1 = −150.000 + 20.000 · 0,9434 + 25.000 · 0,8900 + 60.000 · 0,8396 +35.000 · 0,7921 + 20.000 · 0,7473 + 50.000 · 0,7050 = −150.000 + 18.868 + 22.250 + 50.376 + 27.723,50 +14.946 + 35.250 = 19.413,50 € K 0 Investition 2 = −150.000 + 20.000 · 0, 9434 + 30.000 · 0, 8900 + 50.000 · 0, 8396 +20.000 · 0,7921 + 40.000 · 0,7473 + 50.000 · 0,7050 = −150.000 + 18.868 + 26.700 + 41.980 + 15.842 + 29.892 + 32.250 = 18.532,00 € Die Investition 1 erweist sich aufgrund des höheren Barwertes als vorteilhafter gegenüber der Investition 2.

4.3

Kritische Betrachtung der Barwertmethode

Die Barwertmethode ist ein Verfahren zur Berechnung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen. Der Barwert stellt den Wert eines Projektes, der über die Kapitalverzinsung mit dem kalkulatorischen Zinssatz hinausgeht, zum Bezugszeitpunkt n = 0 dar. Die Methode eignet sich sehr gut zur Bewertung unterschiedlicher Investitionsprojekte, wenn die Zahlungen der Zahlungsreihen betragsmäßig und zeitlich genau angegeben werden können und die Nutzungsdauern identisch sind. Bei Projekten mit unterschiedlicher Nutzungsdauer müssen weitergehende Überlegungen angestellt werden, auf die im weiteren Verlauf näher eingegangen wird. Allerdings ist die Barwertmethode in ihrer Anwendung eingeschränkt, da es in der Praxis durchaus schwierig sein kann, eine Zahlungsreihe für die Investition anzugeben. Außerdem liefert die Barwertmethode nur eine qualitative Aussage über die Verzinsung des Investitionsobjektes, weil sie lediglich eine Aussage darüber trifft, ob eine bestimmte Verzinsung erreicht wurde oder nicht. Wie hoch die tatsächliche Verzinsung des eingesetzten Kapitals ist, wird nicht ermittelt.

5

Barwertfunktion

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Abhängigkeit des Barwertes einer Investition von unterschiedlichen Zinssätzen dargestellt. Wird der Barwert (K0) als Funktion des Zinssatzes (p) angegeben, wird von der Barwertfunktion (K0 (p)) gesprochen. Die Barwertfunktion kann als Formel, Wertetabelle oder Graph dargestellt werden. Im Folgenden wird die Abhängigkeit des Barwertes einer Investition von unterschiedlichen Zinssätzen dargestellt. Wird der Barwert (K0) als Funktion des Zinssatzes (p) angegeben, wird von der Barwertfunktion (K0 (p)) gesprochen. Die Barwertfunktion kann als Formel, Wertetabelle oder Graph dargestellt werden.

Beispiel 5.1: Barwertfunktion

Die Gemeinde A kauft ein Grundstück für 250.000 €. Nach einem Jahr wird dies an einen Unternehmer für 260.000 € verkauft. Die Vorteilhaftigkeit dieser Investition soll nun in Abhängigkeit verschiedener Kalkulationszinssätze (p), dargestellt werden. Die Zahlungsreihe besteht aus zwei Elementen und sieht wie folgt aus:

z0 = − 250.000 €; z1 = + 260.000 € Der Barwert (K0) berechnet sich in Abhängigkeit vom Zinssatz (p) zu:



−1

K 0 (p) = − 250.000 + 260.000 ⋅ (1 + p)



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25

26

5 Barwertfunktion

Für den Zinssatz (p = 3 %) ergibt sich beispielsweise: −1



K 0 (p= 3%) =− 250.000 + 260.000 ⋅ (1 + 0, 03)



K 0 (p= 3%)= 2.427,18 €

Tab. 5.1  Barwerte in Abhängigkeit verschiedener Zinssätze (Wertetabelle)

p [%]



K0 [€]

3,0 %

2.427,18 €

3,5 %

1.207,73 €

4,0 %

0,00 €

4,5 %

−1.196,17 €

5,0 %

−2.380,95 €

Anhand der Tab. 5.1 wird deutlich, dass für Zinssätze unter 4 % ein positiver Barwert errechnet wird und die Investition damit lohnend ist. Liegt der Kalkulationszinssatz jedoch über 4 % so ist der Barwert negativ. Die Investition lohnt sich nicht. Des Weiteren wird anhand der Tabelle deutlich, dass der kritische Wert für den Kalkulationszinssatz bei 4 % liegt. An dieser Stelle ist der Barwert gleich Null. Die Barwertfunktion stellt somit für eine gegebene Zahlungsreihe den Barwert als Funktion in Abhängigkeit von den Zinssätzen (p) dar.

6

Rentenrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Rentenrechnung vorgestellt. Bei einer Rente handelt es sich – finanzmathematisch betrachtet – um eine über mehrere Perioden hinweg in konstanter Höhe anfallende Zahlung. Es werden folgende Renten vorgestellt: Zeitrente, Leibrente und ewige Rente. Außerdem wird der Unterschied zwischen der vor- und nachschüssigen Zahlungsweise erläutert und wie für Renten Bar- und Endwerte berechnet werden. Bei einer Rente handelt es sich um eine über mehrere Perioden hinweg in konstanter Höhe anfallende Zahlung. Es werden folgende Renten unterschieden: • Zeitrente (feste Frist) • Leibrente (lebenslang, d. h. unbekannte Frist) und • Ewige Rente (zeitlich unbegrenzt) Eine vorschüssige Rente wird am Anfang der Periode und eine nachschüssige Rente am Ende der Periode gezahlt. Dabei können die Zeitintervalle oder Perioden, in denen die Zahlungen stattfinden, in Jahren, Monaten oder anderen regelmäßigen Intervallen gemessen werden. Bei Renten wird je nach Zeitpunkt der Zahlung in vor- oder nachschüssig und je nach Laufzeit in Zeitrente, Leibrente oder ewige Rente unterschieden.

6.1

Nachschüssige Rente

Im Folgenden wird zunächst von nachschüssigen und jährlichen Renten ausgegangen.

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27

28

6 Rentenrechnung

6.1.1 Barwert einer Zeitrente Beispiel 6.1: Barwert einer Zeitrente

Wie groß ist der Barwert einer vierjährigen Rente in Höhe von 8.000 € bei einem Zinssatz von 6 %? Lösung:

K 0 Zeitrente = 8.000 ⋅1,06−1 + 8.000 ⋅1,06−2 + 8.000 ⋅1,06−3 + 8.000 ⋅1,06−4 K 0 Zeitrente = 8.000 ⋅ (1, 06−1 + 1, 06−2 + 1, 06−3 + 1, 06−4 ) K 0 Zeitrente = 8.000 ⋅ (0, 9434 + 0, 8900 + 0, 8396 + 0, 7921) K 0 Zeitrente = 8.000 ⋅ 3, 4651 K 0 Zeitrente = 27.720, 80 € Anhand dieses Beispiels kann eine allgemeingültige Formel für die Berechnung des Barwertes einer Zeitrente hergeleitet werden. −1

K

0 Zeitrente

= r ⋅ (1 + p)

K

0 Zeitrente

= r ⋅ (1 + p)

(

−2

+ r ⋅ (1 + p)

−1

−2

+ (1 + p)

−N

+ ⋅⋅⋅ + r ⋅ (1 + p) −N

+ ⋅⋅⋅ + (1 + p)



)

Statt des Klammerausdrucks kann auch das Summenzeichen verwendet werden.

Barwert einer Zeitrente N



K 0 Zeitrente = r ⋅

−n

∑ (1 + p)



Formel 6-1

n=1

Barwert einer Zeitrente (verkürzte Schreibweise) N

K 0 Zeitrente = r ⋅ Mit: r = jährliche Rentenzahlung q = 1 + p

∑q−n n=1

Formel 6-2

6.1  Nachschüssige Rente29

Außerdem handelt es sich bei dem Klammerausdruck in Formel 6-1 und Formel 6-2 um eine sogenannte „Geometrische Reihe“, die in einen Bruch umgewandelt werden kann: Barwert einer Zeitrente mit umgewandelter geometrischer Reihe −N

K 0 Zeitrente = r ⋅



1 − (1 + p) p



Formel 6-3

Barwert einer Zeitrente mit umgewandelter geometrischer Reihe und Zinsfaktor

K 0 Zeitrente = r ⋅

1 − q−N p

Formel 6-4

Der Bruch wird Rentenbarwertfaktor (V) genannt. Dieser hängt von der Laufzeit (N) und dem Zinssatz (p) ab (V(N;p)). Barwert einer Zeitrente mit Rentenbarwertfaktor (V) K 0 Zeitrente = r ⋅ V (N; p)



Formel 6-5

Mit: V(N; p) = Rentenbarwertfaktor Für die Rentenbarwertfaktoren gibt es finanzmathematische Tabellen (siehe Anhang). Die Berechnung des Rentenbarwertes einer nachschüssigen Rente kann auch mit folgender Formel erfolgen: Rentenbarwert einer nachschüssigen Rente RK 0nachschüssige Rente = r ⋅



q N −1 q N· p

Formel 6-6

Beispiel 6.2: Barwertermittlung bei konstant anfallenden Zahlungen

Eine Werkstudentin soll für eine Erfindung von ihrer Arbeitgeberin über vier Jahre eine jährliche nachschüssige Zahlung in Höhe von 8.000 € erhalten. Die erste Zahlung soll im dritten Jahr erfolgen. Welchen Einmalbetrag müsste die Studentin bei einem Zinssatz von 6 % zum Zeitpunkt n = 0 fordern, damit die Zahlung äquivalent ist?

K 0 = 8.000 ⋅1,06−3 + 8.000 ⋅1,06−4 + 8.000 ⋅1,06−5 + 8.000 ⋅1,06−6



K 0 = 24.671,45 €

30

6 Rentenrechnung

oder K 0 = 8.000 ⋅ V (4 J.; 6%) ⋅1,06−2 = 8.000 ⋅ 3,4651 ⋅1,06−2 K 0 = 24.671,41 €

6.1.2 Endwert einer Zeitrente Die Berechnung des Rentenendwertes einer nachschüssigen Rente erfolgt mit der Formel: Rentenendwert einer nachschüssigen Rente RNnachschüssige Rente = r ⋅



q N −1 p

Formel 6-7

6.1.3 Barwert einer ewigen Rente Bei der ewigen Rente handelt es sich um eine regelmäßige Zahlung, die bis in alle Ewigkeit gezahlt wird. Ewige Renten haben auch in der Realität eine große Bedeutung. Beispielsweise besteht die Idee einer Stiftung darin, den angesammelten Kapitalstock unangetastet zu lassen und lediglich die erwirtschafteten Zinsen für wohltätige Zwecke zu verwenden. Dies kann dann „bis in alle Ewigkeit“ geschehen. Um die ewige Rente veranschaulichen zu können, soll nachfolgend die Ermittlung des Barwertes einer ewigen Rente vorgestellt werden: −N

K0

K0

Zeitrente = r ·

Ewige Rente

1 − (1 + p) p



1 − (1 + p) p N→∞

= r ⋅ lim

1−

−N

= r ⋅ lim

N→∞

1 N (1 + p) p

Für positive Zinssätze ist der Zinsfaktor (1+ p) grundsätzlich größer als 1 und damit N strebt der Aufzinsungsfaktor (1+ p) für unendlich lange Laufzeiten gegen unendlich. N Der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors (d. h. der Abzinsungsfaktor (1+ p) ) strebt dementsprechend gegen null. Damit kann der Barwert einer ewigen Rente wie folgt angegeben werden: Barwert einer ewigen Rente

K0

Ewige Rente

r = p

Formel 6-8

6.2  Vorschüssige Renten31

Beispiel 6.3: Berechnung des Barwertes bei einer ewigen Rente

Berechnen Sie für die unten angegebenen Renten den Barwert einerseits exakt und andererseits näherungsweise mithilfe der Formel für die ewige Rente. Berechnen Sie den rechnerischen Fehler absolut und prozentual! Renten mit verschiedenen Zinssätzen r [€]

p [%]

n [Jahre]

a)

1.000,00

4

50

b)

1.000,00

6

50

c)

1.000,00

8

50

Berechnung der Barwerte und Fehler: K0 Zeitrente  1 − (1 + p)  K = r⋅  0 p 

−N 

   

K0 Ewige Rente

Abweichung

Abweichung

   K = r   0 p 

absolut

relativ

(K0 Zeitrente–K0 Ewige Rente)

(Abw. abs./ K0 Zeitrente)

a)

21.482,20 €

25.000,00 €

3.517,80 €

16,38 %

b)

15.761,90 €

16.666,67 €

904,77 €

5,74 %

c)

12.233,50 €

12.500,00 €

266,50 €

2,18 %

Abschließend lässt sich feststellen, dass bei Berechnung des Barwertes einer Rente gilt: je höher der Zinssatz (p), desto „genauer“ ist die Berechnung mithilfe der Formel der ewigen Rente. Dies lässt sich besonders an den relativen Abweichungen zwischen Beispiel A und C erkennen. Ebenso hat die Laufzeit Einfluss auf die Genauigkeit der Berechnung mit der ewigen Renten-Formel. So empfiehlt sich die Verwendung der ewigen Renten-Formel besonders bei hohen Laufzeiten, wie in diesem Beispiel.

6.2

Vorschüssige Renten

Die charakteristische Eigenschaft der vorschüssigen Rente ist, dass die Zahlungen am Anfang der jeweiligen Periode erfolgen. Der Unterschied zu der nachschüssigen Rente ist der, dass bei der vorschüssigen Rente die erste Zahlung der Zahlungsreihe mit verzinst wird.

32

6 Rentenrechnung

6.2.1 Barwert einer Zeitrente Die Berechnung des Rentenbarwertes einer vorschüssigen Rente erfolgt mit der Formel: Rentenbarwert einer vorschüssigen Rente

RK 0vorschüssige Rente = r ⋅

q N −1 q N −1 ⋅ p

Formel 6-9

6.2.2 Endwert einer Zeitrente Die Berechnung des Rentenendwertes einer vorschüssigen Rente erfolgt mit der Formel: Rentenendwert einer vorschüssigen Rente

RNvorschüssige Rente = r ⋅ q ⋅

q N −1 p

Formel 6-10

7

Interne Zinsfuß-Methode

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Interne Zinsfuß-Methode bzw. Interne Zinssatz-Methode vorgestellt. Der interne Zinsfuß spiegelt die Verzinsung des eingesetzten Kapitals bzw. die Rendite einer Investition wider. Diese Methode ist von zentraler Bedeutung für die Berechnung von Effektivzinssätzen.

7.1 Einführung Die Interne Zinsfuß-Methode ist ein Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung und wird für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen verwendet. Der interne Zinsfuß spiegelt die Verzinsung des eingesetzten Kapitals bzw. die Rendite einer Investition wider. Der interne Zinsfuß (auch: interner Zinssatz) ist jener Zinssatz, bei dem der Barwert Null wird (Nulldurchgang der Barwertfunktion (Abb. 7.1)). Mit anderen Worten: Der interne Zinsfuß gibt an, mit welchem Prozentsatz sich eine Investition aus sich heraus verzinst. Ist dieser Zinssatz größer als der Kalkulationszinssatz, liegt eine über die Mindestanforderung hinausgehende Verzinsung des eingesetzten Kapitals vor. Die Entscheidungsregel lautet beim internen Zinsfuß: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihr interner Zinsfuß höher ist als der Kalkulationszinsfuß. Der interne Zinsfuß errechnet sich, indem die Barwertfunktion gleich null gesetzt und die Gleichung nach dem Zinssatz p aufgelöst wird:

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33

34

7  Interne Zinsfuß-Methode

Abb. 7.1  Darstellung des internen Zinsfußes

Interner Zinsfuß K 0 ( p′) = 0 = −Az0 +



Az0

z1

1

(1 + p′)

+

z2

2

(1 + p′)

+ ... +

zn

n

(1 + p′)

=

Anfangsauszahlung

zn

=

Zahlungssaldo zum Zeitpunkt n

p´

=

interner Zinsfuß, als Preis, den der Investor für jede Geldeinheit



Formel 7-1

gebundenes Kapital und für jedes Jahr der Kapitalbindung effektiv erhält

Die Berechnung des Zinsfußes ist auf verschiedene Weise möglich. Die erste Variante erfolgt durch die grafische Ermittlung des Zinsfußes und die zweite Variante beinhaltet die arithmetische Ermittlung. Auf diese beiden Varianten wird nachfolgend eingegangen.

7.2

Grafische Lösung

Bei der grafischen Lösung wird mit zwei Versuchszinssätzen begonnen, für welche die jeweiligen Barwerte berechnet werden. Der eine Zinssatz muss zu einem positiven, der andere zu einem negativen Barwert führen. Hierdurch ergeben sich zwei Punkte im

7.2  Grafische Lösung35

p-K0-Diagramm, die durch eine Gerade verbunden werden können. Der Schnittpunkt der Geraden mit der p-Achse zeigt näherungsweise den internen Zinsfuß.

Beispiel 7.1: Grafische Ermittlung des internen Zinssatzes

Einem Investor wird die folgende Investition angeboten. Sein Kalkulationszinssatz beträgt 10 %. Investitionsreihe n

0

1

2

3

zn

−90.000

+35.000

+40.000

+30.000

Ermitteln Sie mit der Methode des internen Zinssatzes (grafische Lösung), ob sich die Investition lohnt. Ermittlung der Barwerte für willkürlich gewählte Versuchszinssätze: Versuchszinssatz 1: p1 = 6 % Versuchszinssatz 2: p2 = 15 % Lösung: Barwert für Versuchszinssatz p1 = 6 % (1)

(2)

(3)

(4)

n

zn [€]

Abzinsungsfaktor q−n (p;n)

Barwerte [€] (2) ∙ (3)

0

−90.000

1,0000

−90.000,00

1

35.000

0,9434

33.019,00

2

40.000

0,8900

35.600,00

3

30.000

0,8396

25.188,00

= Barwert K0 1 [€]

3807,00

Barwert für Versuchszinssatz p2 = 15 % (1)

(2)

(3)

(4)

n

zn [€]

Abzinsungsfaktor q−n (p;n)

Barwerte [€] (2) ∙ (3)

0

−90.000

1,0000

−90.000,00

1

35.000

0,8696

30.436,00

2

40.000

0,7561

30.244,00

3

30.000

0,6575

= Barwert K0 2 [€]

19.725,00 −9.565,00

36

7  Interne Zinsfuß-Methode



. ±¼



,QWHUQHU=LQVIX‰  

 













 

 

 

 

 

 

S 

± ± ± ± ±

±¼

±

Grafische Darstellung des internen Zinsfußes

Die grafische Interpolation in der Abbildung liefert einen internen Zinssatz von etwa 8,6 %. Bei diesem Zinssatz ist der Barwert der Investition gleich null. Fazit: Die Investition ist unvorteilhaft, da der interne Zinssatz mit p´ = 8,6 % unter dem Kalkulationszinssatz von 10  % liegt! Der Investor erwirtschaftet mit dem Projekt eine Verzinsung seines eingesetzten Kapitals von etwa 8,6 %. Entscheidet er sich für die Unterlassensalternative erwirtschaftet er den Kalkulationszinssatz von 10 %. Somit ist die Durchführung der Investition unvorteilhafter. Aufgabe: Berechnen Sie den Barwert für die Zahlungsreihe (Kalkulationszinssatz 10  %) und prüfen Sie, ob Sie zu dem gleichen Ergebnis kommen!

7.3 Interpolation Bei der Interpolation werden, wie bei der grafischen Methode, zwei unterschiedliche Zinssätze frei gewählt, sodass sich ein negativer und ein positiver Barwert ergeben. Sodann kann der interne Zinssatz mit folgender Formel näherungsweise interpoliert werden:

7.4  Sonderfall: Zahlungsreihe mit drei Zahlungen37

Interpolation zur Berechnung des internen Zinsfußes p′ = p1 +



K 01 K 01 − K 0 2

⋅ (p2 − p1)

Formel 7-2

Beispiel 7.2: Interpolation des internen Zinssatzes

Für das obige Beispiel ergibt sich dann: 3.807, 00 ⋅ (15 % − 6 %) 3.807, 00 − (−9. 565, 00 ) p′ = 8, 56 %

p′ = 6 % +



7.4

Sonderfall: Zahlungsreihe mit drei Zahlungen

Wenn eine Zahlungsreihe lediglich aus zwei Perioden mit drei Elementen besteht ergibt sich für die Barwertfunktion eine quadratische Gleichung. Dann kann der interne Zinsfuß auch mit der bekannten „p,q-Formel“ berechnet werden: x 2 + px + q = 0

„p,q-Formel“

2



 p p x1/ 2 = − ±   − q 2 2

Formel 7-3

An dieser Stelle soll bewusst auf die Buchstaben p und q verzichtet werden, weil sie hier anders definiert sind. Die Lösung einer quadratischen Gleichung, die nicht normiert ist, kann auch wie folgt angegeben werden: ax 2 + bx + c = 0 Zahlungsreihe mit drei Zahlungen

x1/ 2 = −

1 b ± b2 − 4ac 2a 2a

Formel 7-4

38

7  Interne Zinsfuß-Methode

Beispiel 7.3: Berechnung des internen Zinsfußes bei quadratischen Gleichungen

Eine Zahlungsreihe besteht aus folgenden Elementen: Zeitpunkt (n)

0

1

2

Zahlung (zn)

Z0

Z1

Z2

Zahlung (zn)

−125.000 €

75.000 €

65.000 €

Für die Zahlungsreihe soll der interne Zinsfuß ermittelt werden. Lösung: Die Berechnung des internen Zinsfußes erfolgt über die Bestimmung der Nullstelle der Barwertfunktion: K 0 = z0 + z1q−1 + z2q−2 = 0| ⋅ q 2 z0 ⋅ q 2 + z1 ⋅ q1 + z2 = 0



Mithilfe der obigen Formel für die quadratische Gleichung ergeben sich für q1 und q2: z1 1 + z 2 − 4z0z2 2z0 2z0 1 z1 1 q1q2 = − − z 2 − 4z0z2 2z0 2z0 1



q1 = −

Durch das Einsetzen der Zahlenwerte ergeben sich folgende Ergebnisse:



q1 = −

75.000 1 ++ 75.0002 − 4 ⋅ (−125.000) ⋅ 65.000 2 ⋅ (−125.000) 2 ⋅ (−125.000)

q1 = 1, 0810 Mit q1 = 1+p1 ergibt sich für p1: p1 = 0,0810 = 8,10 %



1 ⋅ 75.000 q2 = − − 2 ⋅ (−125.000)

 1 ⋅ 75.000 2 65.000    2 ⋅ (−125.000) − (−125.000)  

q2 = −0,4810 Mit q2 = 1+p2 ergibt sich für p2: p2 = −1,4810 = −148,1 % Da p2 ökonomisch nicht interpretierbar ist, ergibt sich für den internen Zinsfuß: p1 = 8,10 %

8

Annuitätenmethode

Zusammenfassung

Die Annuitätenmethode ist ein weiteres Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung. Sie dient ebenfalls zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen. Außerdem spielt Sie eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Annuitätendarlehen. Die Annuitätenmethode ist ein weiteres Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung. Sie dient ebenfalls zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen und geht von einem Modell aus, das der Barwertmethode entspricht. Beide Methoden unterscheiden sich lediglich in der Ermittlung des Erfolges: Während die Barwertmethode einen Totalerfolg berechnet, wird bei der Annuitätenmethode ein Periodenerfolg berechnet. Dieser Periodenerfolg wird Annuität gennant. Weist eine Investition eine positive Annuität auf, so bedeutet dies, dass neben der Amortisation des eingesetzten Kapitals und der Verzinsung des gebundenen Kapitals (zum Kalkulationszinssatz) noch ein durchschnittlicher Periodenüberschuss in Höhe der Annuität anfällt. Diese Interpretation verdeutlicht, dass die Annuitätenmethode als Variante der Barwertmethode aufgefasst werden kann.

8.1

Berechnung einer Annuität

Die Berechnung der Annuität (a) einer Investition erfolgt, indem der Barwert (K0) der Investition mit dem Annuitätenfaktor multipliziert wird. Die Formel für die Annuität (a) lautet: Annuität

a = K 0 ⋅ AF ( N; p)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_8

Formel 8-1 39

40

8 Annuitätenmethode

a = Annuität K 0 = Barwert AF ( N; p) = Annuitätenfaktor

8.1.1 Annuitätenfaktor Der Annuitätenfaktor ist ein finanzmathematischer Faktor zur Umrechnung eines Kapitalbetrages in eine zeitlich begrenzt anfallende Zahlungsreihe mit gleich hohen Zahlungen. Eine solche Zahlungsreihe wird Annuität genannt. Dabei wird die zwischenzeitliche Verzinsung einbezogen. Der Annuitätenfaktor wird auch als Wiedergewinnungsfaktor oder Kapitalwiedergewinnungsfaktor bezeichnet und ist der Kehrwert des Barwertfaktors. Die Höhe des Annuitätenfaktors wird von der Laufzeit der Zahlungsreihe und dem zugrunde liegenden Zinsfuß bestimmt. Um die gleichbleibende Annuität zu erhalten, wird der Kapitalbetrag (d. h. der Barwert) mit dem Annuitätenfaktor multipliziert. Die Formel für den Annuitätenfaktor sieht wie folgt aus: Annuitätenfaktor

AF ( N; p) =

p 1 = V ( N; p) 1 − q−N

Formel 8-2

In der Literatur finden sich teilweise auch andere Formeln, die aber zum gleichen Wert führen: Annuitätenfaktor (alternative Formel) N



AF ( N; p) =

p ⋅(1 + p)

N (1 + p) −1



Formel 8-3

AF ( N; p) = Annuitätenfaktor N = Laufzeit p = Zinssatz

8.1.2 Entscheidungsregel für die Annuitätenmethode Für projektindividuelle Entscheidungen gilt: Eine Investition ist absolut vorteilhaft, wenn die Annuität größer null ist. Für eine Auswahlentscheidung gilt: Eine Investition ist relativ vorteilhaft, wenn ihre Annuität größer als die einer anderen Investition ist.

8.1  Berechnung einer Annuität41

Allerdings ist die Anwendung der Annuitätenmethode zur Beurteilung der relativen Vorteilhaftigkeit nur dann sinnvoll, wenn die zu vergleichenden Investitionen die gleiche Nutzungsdauer aufweisen.

8.1.3 Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer Ist die Nutzungsdauer bei den zu vergleichenden Investitionen unterschiedlich, dann muss die Nutzungsdauer des einen Projektes mit der des anderen Projektes „künstlich“ gleich gesetzt werden.

Beispiel 8.1: Ermittlung der Annuität zweier Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer

Es sollen die beiden Investitionen A und B miteinander verglichen werden (Kalkulationszinssatz 6 %): Investition A: Barwert 40.000 €, Laufzeit 8 Jahre Investition B: Barwert 38.000 €, Laufzeit 7 Jahre Die Barwertmethode führt zu dem Ergebnis, dass die Investition A wegen des höheren Barwertes der Investition B vorzuziehen ist. Für beide Investitionen werden nun die zugehörigen und laufzeitindividuellen Annuitäten berechnet: a8AJahre = 40.000 ⋅

8

0, 06 ⋅ (1 + 0, 06) 8 (1 + 0, 06) −1

a8A Jahre = 6.441, 44 € Aufgrund der unterschiedlichen Nutzungsdauer ergibt sich bei Investition B ein anderer Annuitätenfaktor und die Annuität beträgt: aB7 Jahre = 38.000 ⋅

7

0, 06 ⋅ (1 + 0, 06) 7 (1 + 0, 06) −1



aB7 Jahre = 6.807,13 € Durch die positive Annuität erweisen sich beide Investitionen als absolut vorteilhaft. Da die Annuität für Investition B höher ist (6.807,13 €) als die für die Investition A (6.441,44  €), erscheint nun Investition B relativ vorteilhafter zu sein. Bei der relativen Vorteilhaftigkeit ist allerdings zu berücksichtigen, dass die Annuitäten sich auf

42

8 Annuitätenmethode

unterschiedliche Zeiträume beziehen. Die Annuität der Investition B ist zwar höher, sie läuft aber über einen kürzeren Zeitraum. In diesem Fall kann die Annuitätenmethode in modifizierter Form angewendet werden, in dem die Annuitäten der zur Wahl stehenden Investitionen „künstlich“ auf den gleichen Zeitraum bezogen werden. So ergibt sich für die Investition B bei einer „künstlichen“ Nutzungsdauer von 8 Jahren die Annuität: a8B Jahre = 38.000 ⋅

8

0, 06 ⋅ (1 + 0, 06)



8 (1 + 0, 06) −1

a8BJahre = 6.119, 37 € Sind die Nutzungsdauern der Investition A und B identisch, so erweist sich Investition A beim Vergleich der Annuitäten als relativ vorteilhaft. Analog kann auch für die Investition A eine Annuität bezogen auf die „künstliche“ Nutzungsdauer von sieben Jahren berechnet werden:

a 7A Jahre = 40.000 ⋅

7

0, 06 ⋅ (1 + 0, 06) 7 (1 + 0, 06) −1



a 7AJahre = 7.165, 40 € Die Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen. Zusammenfassung der Ergebnisse Investition i

Ni

Barwert Bi

ai8 Jahre

ai7 Jahre

A

8

40.000

6.441, 44

7.165, 40

B

7

38.000

6.119, 37

6.807,13

Fazit: Nur wenn die Nutzungsdauern der zu vergleichenden Investitionen identisch sind bzw. „künstlich“ vereinheitlicht wurden, führt die Annuitätenmethode zu dem gleichen Ergebnis wie die Barwertmethode.

8.1  Berechnung einer Annuität43 Beispiel 8.2: Berechnung der jährlichen Annuität einer Einzelinvestition

Ein Unternehmer kauft eine Maschine für den Anschaffungspreis (Az0) von 200.000 €. Diese Maschine wird folgende Überschüsse (zn) im jeweiligen Jahr erzielen: 1. 20.000,00 € 2. 30.000,00 € 3. 40.000,00 € 4. 45.000,00 € 5. 40.000,00 € 6. 30.000,00 € 7. 25.000,00 € 8. 20.000,00 € 9. 15.000,00 € 10. 10.000,00 € Der Kalkulationszinssatz beträgt 6 %. Nach der Nutzungsdauer (n) von 10 Jahren fällt kein Liquidationserlös (LN) an. Berechnen Sie zunächst den Barwert (K0) und dann die jährliche Annuität. Lösung: Zeitpunkt (n)

Überschuss (zn) [€]

Abzinsungsfaktor (q–n)

Barwert (K0) [€]

0

−200.000

1,0000

−200.000,00

1

20.000

0,9434

18.868,00

2

30.000

0,8900

26.700,00

3

40.000

0,8396

33.584,00

4

45.000

0,7921

35.644,50

5

40.000

0,7473

29.892,00

6

30.000

0,7050

21.150,00

7

25.000

0,6651

16.627,50

8

20.000

0,6274

12.548,00

9

15.000

0,5919

8.878,50

10

10.000

0,5584

= Barwert (K0)

5.584,00 9.476,50

Mithilfe der Formel 4-1 kann der Barwert (K0) wie folgt berechnet werden: K 0 = –A o + z1 ⋅ q –1 + z2 ⋅ q –2 +  + zn ⋅ q –n + zN ⋅ q –N + L N ⋅ q –N

44

8 Annuitätenmethode

K 0 = –200.000 + 20.000 ⋅ 1,06 –1 + 30.000 ⋅1,06 –2 + 40.000 ⋅1,06 –3 + 45.000 ⋅1,06 –4 + 40.000 ⋅1,06 –5 + 30.000 ⋅1,06 –6 + 25.000 ⋅1,06 –7 +20.000 ⋅1,06 –8 + 15.000 ⋅1,06 –9 + 10.000 ⋅1,06 –10 K 0 = 9.473, 05 € K 0 ≈ 9.473 €





Die Annuität kann mit folgender Formel berechnet werden: a = K 0 ⋅ AFn, p 10

a = 9.473 ⋅

0, 06 ⋅ (1 + 0, 06)

10 (1 + 0, 06) −1



a = 1.287, 08 € / Jahr Die Investition ist vorteilhaft, da sie zu einer positiven Annuität führt. Zur Probe und auch zur Veranschaulichung können die Zahlungsströme in der Tabelle dargestellt werden. Zahlungsströme zu Beispiel 8.2 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Kapital (Kn)

Überschuss (zn)

Zinsen (P) (6 %)

Annuität (a)

Tilgung (T)

= (1) – (5)

–

= (1) * (3)

–

= (2) – (3) – (4)

1

200.000,00

20.000,00

12.000,00

1.287,08

6.712,92

2

193.287,08

30.000,00

11.597,22

1.287,08

17.115,70

3

176.171,38

40.000,00

10.570,28

1.287,08

28.142,64

4

148.028,75

45.000,00

8.881,72

1.287,08

34.831,20

5

113.197,55

40.000,00

6.791,85

1.287,08

31.921,07

6

81.276,49

30.000,00

4.876,59

1.287,08

23.836,33

7

57.440,16

25.000,00

3.446,41

1.287,08

20.266,51

8

37.173,64

20.000,00

2.230,42

1.287,08

16.482,50

9

20.691,14

15.000,00

1.241,47

1.287,08

12.471,45

10

8.219,69

10.000,00

493,18

1.287,08

8.219,74

11

−0,05

(n)

–

–

–

–

8.1  Berechnung einer Annuität45

Mithilfe solcher Tabellen kann verdeutlicht werden, dass die Investition neben der periodischen Gewinngröße auch die Zinsen und das eingesetzte Kapital trägt bzw. zurückzahlt. Im ersten Jahr sind von den Überschüssen 12.000 € Zinsen sowie die Annuität in Höhe von 1.287,08 € abzuziehen, sodass noch 6.712,92 € zur Tilgung des anfänglichen Kapitalstocks von 200.000 € übrig bleibt. Am Ende des zehnten Jahres – abgesehen von Rundungsdifferenzen – ist die Investition annuitätentypisch gesamthaft zurückgezahlt.

8.1.4 Restwertverteilungsfaktor Während der Annuitätenfaktor einen Barwert, d. h. einen heute zur Verfügung stehenden Betrag auf die Folgeperioden verteilt, wird mithilfe des Restwertverteilungsfaktors (auch: Endwertverteilungsfaktor) ein Endwert auf die vorherigen Perioden verteilt. Hierfür kann folgende Formel verwendet werden: Vorherige Rente aus Endwert mit Restwertverteilungsfaktor

r = E N ⋅ RVF ( N; p)

Formel 8-4

p q n −1

Formel 8-5

Restwertverteilungsfaktor RVF ( N; p) =



Vorherige Rente aus Endwert r = EN ⋅



p q n −1

Formel 8-6

Mit: r

= jährliche Rentenzahlung

q EN

= 1 + p

=  Endwert RVF(N;p) =  Restwertverteilungsfaktor (siehe finanzmathematische Tabellen)

46

8 Annuitätenmethode

Beispiel 8.3: Restwertverteilungsfaktor

Ein Vater verfügt über eine Lebensversicherung, die in genau 6  Jahren (Zeitpunkt n = 6) 100.000 € ausschüttet. Der Vater möchte dieses Geld in den nächsten 6 Jahren verkonsumieren und vereinbart mit seinem Sohn, dass dieser die Police erhält und ihm dafür vorab eine 6-jährige nachschüssige Rente auszahlt. Beide einigen sich auf einen Zinssatz von 1 %. Lösung: r = 100.000 ⋅

0, 01 1, 016 −1

r = 100.000 ⋅ 0,1625484 r =16.254,84 €

8.2 Annuitätendarlehen 8.2.1 Ermittlung der jährlichen Annuität Beispiel 8.4: Jährliche Annuitätendarlehen

Herr Müller möchte ein Annuitätendarlehen über 40.000 € aufnehmen. Er beabsichtigt nach 6 Jahren schuldenfrei zu sein. Die Bank gewährt ihm das Darlehen mit einem Zinssatz von 5 %. Welche jährliche Annuität muss Herr Müller der Bank zahlen, um nach 6  Jahren schuldenfrei zu sein? Lösung: N



a = K 0 ⋅ AFN, p = K 0 ⋅

p ⋅ (1 + p)

N (1 + p) −1



6

a = 40.000 ⋅

0, 05 ⋅ (1 + 0, 05) 6 (1 + 0, 05) −1

a = 7.880, 70 € / Jahr





Um nach 6 Jahren schuldenfrei zu sein, muss Herr Müller jährlich 7.880,70 € der Bank zurückzahlen. Bei der Annuitätentilgung sind die jährlichen Annuitäten konstant. Die Annuität beinhaltet die Zinsen und die Tilgung. Der Tilgungsanteil verringert die Restschuld. Da die Restschuld von Jahr zu Jahr abnimmt, nehmen die zu zahlenden Zinsen ebenfalls von Jahr zu Jahr ab. Damit steht jedes Jahr ein zunehmender Tilgungsanteil zur Verfügung.

8.2 Annuitätendarlehen47 ±¼ ±¼

$QQXLWlWD

±¼ ±¼ ±¼ ±¼ ±¼ ±¼ ±¼ ±¼ 













-DKUHQ =LQVHQ=

7LOJXQJ

Annuitätentilgung

8.2.2 Ermittlung der unterjährigen Annuität In der Praxis kommt es oft vor, dass Kreditvereinbarungen mit unterjährigen Bedingungen auftreten. Mit den Formeln der unterjährigen Annuitätentilgung lassen sich auch die Darlehensfälle berechnen, bei denen die Zahlungen der Annuität statt einmal am Jahresende mehrmals jährlich stattfinden, zum Beispiel vierteljährlich oder monatlich. Die Anzahl der Zahlungstermine pro Jahr werden mit (m) bezeichnet. Der vorgegebene Jahresszinssatz ( p) wird durch die Anzahl an Zins- und Tilgungsperioden (m) dividiert. Dieser anteilige Zinssatz p / m wird anstelle von ( p) in die Formel zur Berechnung der Annuität (a) eingesetzt. Die Anzahl der Perioden beträgt N ⋅ m. Somit ergibt sich die Formel:1 Annuität unterjährig N ⋅m p  p ⋅ 1 +   m aunterjahrig = K0 ⋅ m  N ⋅m   p  1 +  −1  m 



a = Annuität K 0 = Barwert p = Zinssatz N = Laufzeit in Jahren m = Anzahl der Perioden innerhalb des Jahres

1

Vgl. Hettich et al. (2012).

Formel 8-7

48

8 Annuitätenmethode

Beispiel 8.5: Unterjähriges Annuitätendarlehen

Bezugnehmend auf das Beispiel 8.3 soll nun die monatliche Annuität berechnet werden, die Herr Müller zu jedem Monatsende zahlen muss, um nach 6 Jahren schuldenfrei zu sein. Darlehenssumme: 40.000 € Jahreszinssatz: 5 % Laufzeit: 6 Jahre Berechnen Sie die monatliche Annuität und überlegen Sie sich, ob für Herrn Müller die jährliche oder monatliche Annuität besser ist. Lösung: N ⋅m p  p ⋅ 1 +   m amonatlich = K 0 ⋅ m N ⋅m   1 + p  1 −  m 



6 ⋅12 0, 05  0, 05  ⋅ 1 +    12  amonatlich = 40.000 ⋅ 12  0, 05 6 ⋅12 1 + 1 −   12 

amonatlich = 644, 20 € / Monat



jährliche Zahlungsströme jährliche Annuitätentilgung Zeitpunkt (n)

Darlehensbetrag (Kn)

Zinsen (P)

1

40.000,00

2.000,00

Tilgung (T) 5.880,70

Annuität (a) 7.880,70

2

34.119,30

1.705,97

6.174,73

7.880,70

3

27.944,57

1.397,23

6.483,47

7.880,70

4

21.461,10

1.073,05

6.807,64

7.880,70

5

14.653,45

732,67

7.148,03

7.880,70

6

7.505,43

375,27

7.505,43

7.880,70

7.284,19

40.000,00

Summe:

–

–

8.2 Annuitätendarlehen49 monatliche Zahlungsströme monatliche Annuitätentilgung Zeitpunkt (m)

Darlehensbetrag (Kn)

1 2

Zinsen (P)

Tilgung (T)

40.000,00

166,67

477,53

644,20

39.522,47

164,68

479,52

644,20

3

39.042,95

162,68

481,52

644,20

4

38.561,43

160,67

483,52

644,20

5

38.077,91

158,66

485,54

644,20

…

…

…

…

Annuität (a)

…

68

3.181,11

13,25

630,94

644,20

69

2.550,17

10,63

633,57

644,20

70

1.916,60

7,99

636,21

644,20

71

1.280,39

5,33

638,86

644,20

72

641,52

2,67

641,52

644,20

6.382,21

40.000,00

Summe:

–

–

Welche Annuitätentilgung, jährliche oder monatliche, für Herrn Müller vorteilhafter ist, kann mithilfe von den Tabellen dargestellt werden. Beiden Tabellen kann entnommen werden, dass der Darlehensbetrag nach 6  Jahren getilgt und Herr Müller somit schuldenfrei ist. Darüber hinaus geben die Tabellen eine wichtige Information bezüglich der Zinsen, die über die Laufzeit anfallen. Bei einer jährlichen Annuitätentilgung würde Herr Müller 7.284,19 € an Zinsen zahlen müssen. Bei einer monatlichen Annuitätentilgung hingegen 6.382,21 €. So wäre es für Herrn Müller vorteilhafter, das Darlehen in monatlichen Annuitäten zurück zu zahlen.

9

Vollständige Finanzpläne (VOFI)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden vollständige Finanzpläne (VOFI) vorgestellt, die ebenfalls zur Berechnung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen dienen. Die Methode der vollständigen Finanzpläne (VOFI-Methode) ist tabellenorientiert. Diese Vorgehensweise unterscheidet sich von den klassischen Methoden hauptsächlich dadurch, dass verschiedene Konditionen hinsichtlich der Finanzmittelaufnahme und -anlage berücksichtigt werden können. Mithilfe eines sogenannten vollständigen Finanzplans (VOFI) wird die Vorteilhaftigkeit einer Investition berechnet. Bei den bisher vorgestellten Methoden der Investitionsrechnung standen Formeln zur Berechnung von Zielwerten im Mittelpunkt. Die Methode der vollständigen Finanzpläne (VOFI-Methode) ist tabellenorientiert. Das Konzept der vollständigen Finanzpläne unterscheidet sich von den klassischen Methoden hauptsächlich dadurch, dass verschiedene Konditionen hinsichtlich der Finanzmittelaufnahme und -anlage in die Überlegungen eingehen, d. h. verschiedene Marktzinssätze berücksichtigt werden können. Damit werden nicht nur die direkt zurechenbaren Zahlungen einer Investition (die sog. originären Zahlungen), sondern auch die auf finanzielle Dispositionen hinsichtlich der Investition zurückzuführenden Zahlungen wie z. B. Finanzierungs- und Steuerzahlungen (die sog. derivativen Zahlungen) explizit berücksichtigt. Die VOFI-Methode ist somit ein gut geeignetes Instrument zur Darstellung und Berücksichtigung der komplexen wirtschaftlichen und finanziellen Auswirkungen von (langfristigen) Investitionsentscheidungen, die einfach und ausbaufähig ist. Im Gegensatz zu den anderen formelorientierten Methoden der Investitionsrechnung ergeben sich bei der tabellenorientieren VOFI-Methode daher einige Besonderheiten, die hier kurz aufgezählt werden sollen:

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_9

51

52

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

• Es wird nicht lediglich ein kalkulatorischer Zinssatz verwendet, sondern reale Zinssätze, die aus den vielfältigen Konditionen auf dem Kapitalmarkt resultieren, d. h. Zinssätze, die tatsächlich erzielt werden können (Geldanlage) bzw. bezahlt werden müssen (Kreditaufnahme). • Die Zahlungsreihe der Investition enthält lediglich die finanziellen Folgen der betrachteten Investition, d. h. keine Opportunitätskosten oder Einsparungen gegenüber anderen Investitionen. Für Investitionsalternativen ist grundsätzlich ein eigenständiger vollständiger Finanzplan zu erstellen. • Der VOFI kann durch die Unterstützung der EDV-gestützten Tabellenkalkulation schnell zeigen, wie sich eine Abweichung bei den geplanten Einnahmen und Ausgaben auf die Gesamtvorteilhaftigkeit der Investition auswirkt. Unter Umständen werden nicht alle Informationen, die ein VOFI liefern kann, auch benötigt. Deshalb lassen sich VOFI‘s in verschiedene Konkretisierungsgrade unterscheiden. Mit steigendem Konkretisierungsgrad des VOFI‘s nimmt der Zeitaufwand zu. Daher wird ein VOFI, je nach Notwendigkeit, so konkret wie nötig und so abstrakt wie möglich aufgestellt.1

9.1

Aufbau eines VOFI’s

In diesem Kapitel soll der Aufbau eines VOFI’s unter Berücksichtigung der Konditionenvielfalt auf dem Kapitalmarkt dargestellt werden. Siehe Tab. 9.1: • Die in der Zahlungsreihe der Investition enthaltenen Einzahlungsüberschüsse werden auch als Cashflows (vor Zinsen und vor Steuern) bezeichnet. • Je nach Konkretisierungsgrad können neben der Zahlungsreihe weitere Angaben gemacht werden, die mithilfe von Zusatzrechnungen ermittelt werden, wie z. B. Abschreibungen und Steuerzahlungen. • Fremdkapitalpositionen können mit beliebiger Genauigkeit abgebildet werden. Hierbei können unterschiedliche Konditionen für verschiedene Kreditvarianten berücksichtigt werden. • In der Zeile „Finanzierungssaldo“ muss sich zu jedem Zeitpunkt eine „Null“ ergeben. • Der Bestandssaldo zum Zeitpunkt N ist der Endwert (EN) der Investition.

1

Vgl. Grob (2006).

9.1  Aufbau eines VOFI’s53 Tab. 9.1  VOFI der Investition („blanko“)2 Zeitpunkt

0

1

2

…

n

…

N

0

0

0

…

0

…

0

Zahlungsreihe der Investition Eigenkapital Anfangsbestand − Entnahme + Einlage Kredit mit Ratentilgung + Aufnahme − Tilgung − Sollzinsen Kredit mit Endtilgung + Aufnahme − Tilgung − Sollzinsen Kredit mit Annuitätentilgung + Aufnahme − Tilgung − Sollzinsen Kontokorrentkredit + Aufnahme − Tilgung − Sollzinsen Geldanlage − Anlage + Rückfluss + Habenzinsen Steuerzahlungen − Steuerzahlung + Steuererstattung Finanzierungssaldo Bestandsgrößen Finanzbestand Kreditbestand Bestandssaldo 2

In Anl. an Grob (2006, S. 124).

54

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

In dieser Tabelle werden alle relevanten Zahlungen erfasst, die mit der Investition im Zusammenhang stehen: • • • • •

Zahlungsreihe der Investition Eigenkapital (Anfangsbestand, Entnahme, Einlage) Fremdkapital (Aufnahme, Tilgung, Sollzinsen) Geldanlage (Anlage, Rückfluss, Habenzinsen) Steuern (Zahlungen, Erstattungen)

Da der vollständige Finanzplan immer ausgeglichen sein muss, ist der Saldo in der Zeile „Finanzierungssaldo“ zu jedem Zeitpunkt gleich null. Im unteren Tabellenteil sind die Kredit- und Finanzbestände sowie der daraus resultierende Bestandssaldo verzeichnet. Dieser entspricht am Ende der Nutzungsdauer dem Endwert. Analog zu den verschiedenen Kreditarten können auch verschiedene Formen der Geldanlage mit jeweils verschiedenen Zinssätzen berücksichtigt werden. Darauf wird weiter unten näher eingegangen.

9.2

Anwendung eines VOFI’s

Die Anwendung eines VOFI’s verläuft immer nach demselben Schema. Im ersten Schritt wird die Zahlungsreihe der Investition in den VOFI eingetragen. Diese setzt sich i. d. R. aus den Anschaffungskosten, den Einzahlungen, den Auszahlungen und aus dem Liquidationserlös am Ende der Nutzungsdauer zusammen. Anschließend ist zu prüfen, ob und welche Kreditverträge zur Finanzierung der Anschaffungsauszahlung in n = 0 abzuschließen sind, um das finanzielle Gleichgewicht (Finanzierungssaldo  =  0) zu erhalten. Bei Bedarf eines oder mehrerer Kredite werden diese in den VOFI übernommen und die Zinsen für n = 1 vom Bestand n = 0 berechnet. Des Weiteren können die Steuerzahlungen ermittelt und im VOFI übernommen werden. Im Anschluss daran werden im unteren Teil des VOFI’s die Bestandsgrößen der Kredite eingetragen und der Bestandssaldo gebildet. Im letzten Schritt gilt es zu prüfen, ob die aufgenommenen Kredite getilgt oder erweitert werden müssen, ob eine etwaige Reinvestition durchgeführt werden kann und ob der Finanzbestand aufzulösen ist. Bei dieser finanziellen Disposition ist darauf abzuzielen, dass in n = 1 ein Finanzierungssaldo von null erreicht wird. Dieses Vorgehen ist nun bis zum Ende der Nutzungsdauer periodisch-sukzessiv durchzuführen. Am Ende der Nutzungsdauer ergibt sich als Ergebnis des VOFI’s der Vermögensendwert mit der Investition „A“ ( E NA ) in der Zeile des Bestandssaldos. Dieser Endwert ist anschießend dem Endwert ohne Investition ( E NU ) gegenüberzustellen. Der Vermögensendwert ohne Investition kann ebenfalls mithilfe des VOFI’s ermittelt oder formelmäßig bestimmt werden: Endwert der Opportunität bzw. Unterlassensalternative E NU = EK 0 ⋅ q N

Formel 9-1

9.3  Entscheidungsregel für die VOFI-Methode55

E NU   = Endwert der Opportunität bzw. Unterlassensalternative EK 0 = Eingesetztes Eigenkapital zu Beginn der Investition (n = 0) q        = (1 + p) p = Zinssatz Opportunität bzw. Unterlassensalternative N   = Nutzungsdauer der Investition in Jahren Als „Zusätzlicher Endwert“ (∆E N ) wird die Differenz zwischen den Endwerten mit und ohne Investition bezeichnet. Ein positiver zusätzlicher Endwert gibt die absolute Höhe der Vermögensmehrung am Ende der Nutzungsdauer der Investition an, die ein Unternehmer erzielt, wenn er die Investition durchführt.

9.3

Entscheidungsregel für die VOFI-Methode

Für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition gilt: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn der Endwert mit Investition höher ist als ohne Investition. Der Endwert ohne Investition besteht bspw. in der Anlage der eigenen Mittel am Kapitalmarkt.

Beispiel 9.1: Vollständige Finanzpläne (Vermögensstreben)

Das Unternehmen Metallbau GmbH kann einen zusätzlichen Auftrag erhalten, der über die Dauer von fünf Jahren abgewickelt werden soll. Um diesen Auftrag realisieren zu können, muss das Unternehmen eine Investition in Höhe von 60.000 € für eine neue Maschine tätigen. Der Unternehmer geht von folgender Zahlungsreihe aus: Zahlungsreihe Auftrag A n

0

1

2

3

4

5

zn

−60.000 €

12.000 €

15.000 €

20.000 €

17.000 €

13.000 €

Zur gleichen Zeit erteilt ein anderer Kunde ebenfalls einen Auftrag, dessen Laufzeit vier Jahre beträgt. Die Zahlungsfolge sieht folgendermaßen aus: Zahlungsreihe Auftrag B n

0

1

2

3

4

zn

−80.000 €

20.000 €

25.000 €

35.000 €

19.000 €

Am Ende der beiden Investitionen gibt es keinen Liquidationserlös. Aus Kapazitätsgründen kann das Unternehmen nur einen der beiden Aufträge annehmen. Für welchen Auftrag soll sich das Unternehmen entscheiden, wenn es am Ende des fünften Jahres sein Vermögen maximieren möchte?

56

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

Die jeweilige Investition soll neben den eigenen Mitteln in Höhe von 10.000  €, mit einem Annuitätendarlehen in Höhe von 45.000 € (Laufzeit 4 Jahre, Sollzins 5 % p.a.) sowie einem Kontokorrentkredit (jederzeit und in unbegrenzter Höhe, Zinssatz 8 % p.a.) realisiert werden. Ertragsüberschüsse werden auf einem Tagesgeldkonto mit einem Zinssatz von 1 % angelegt. Steuerliche Wirkungen sollen nicht berücksichtigt werden. Zunächst kann die erforderliche Annuität für das Darlehen über 45.000,- berechnet werden. 4

a = 45.000 ⋅

0, 05 ⋅ (1 + 0, 05)

4 (1 + 0, 05) −1

a = 12.691 €

Sodann kann die jeweilige Restschuld zum Ende des Jahres berechnet werden. Beachten Sie bitte, dass es in den folgenden Tabellen zu kleinen Rundungsdifferenzen kommen kann. Nebenrechnung für den VOFI zur Berechnung der Annuitätentilgung jährliche Annuitätentilgung Zeitpunkt (n)

Darlehensbetrag (Kn) [€]

Zinsen (P) (5 %) [€]

Tilgung (T) [€]

Annuität (a) [€]

1

45.000

2.250

10.441

12.691

2

34.559

1.728

10.963

12.691

3

23.597

1.180

11.511

12.691

4

12.086

604

12.086

12.691

5.762

45.000

Summe:

Schließlich können die VOFI‘s für die Investitionen „A“ (Tab. 9.2) und „B“ (Tab. 9.3) erstellt werden.

9.3  Entscheidungsregel für die VOFI-Methode57 Tab. 9.2  VOFI der Investition „A“ (Vermögensstreben) Zeitpunkt (n)

0

1

Zahlungsreihe der Investition

−60.000

2

3

4

5

12.000

15.000

20.000

17.000

−10.441

−10.963

−11.511

−12.086

−2.250

−1.728

−1.180

−604

−1.822

−4.269

−487

−342

13.000

Eigenkapital Anfangsbestand

10.000

− Entnahme + Einlage Kredit mit Annuitätentilgung + Aufnahme

45.000

− Tilgung − Sollzinsen (5 %) Kontokorrentkredit + Aufnahme

5.000

1.091

− Tilgung − Sollzinsen (8 %)

−400

Geldanlage − Anlage

−2.698

−4.337

−13.070

+ Rückfluss + Habenzinsen (1 %) Finanzierungssaldo

0

0

0

27

70

0

0

0

2.698

7.035

20.105

7.035

20.105

Bestandsgrößen Finanzbestand Kreditbestände Kredit mit Annuitätentilgung Kontokorrentkredit Bestandssaldo

−45.000

−34.559

−23.597

−5.000

−6.091

−4.269

−50.000

−40.650

−27.866

−12.086

−9.388

58

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

Tab. 9.3  VOFI der Investition „B“ (Vermögensstreben) Zeitpunkt (n)

0

1

Zahlungsreihe der Investition

−80.000

2

3

4

5

20.000

25.000

35.000

19.000

−10.441

−10.963

−11.511

−12.086

−2.250

−1.728

−1.180

−604

− Tilgung

−5.309

−10.734

−8.957

− Sollzinsen (8 %)

−2.000

−1.575

−717

0

Eigenkapital Anfangsbestand

10.000

− Entnahme + Einlage Kredit mit Annuitätentilgung + Aufnahme

45.000

− Tilgung − Sollzinsen (5 %) Kontokorrentkredit + Aufnahme

25.000

Geldanlage − Anlage

−12.635

−6.436

−191

0

126

191

0

0

0

12.635

19.071

19.262

19.071

19.262

+ Rückfluss + Habenzinsen (1 %) Finanzierungssaldo

0

0

0

Bestandsgrößen Finanzbestand Kreditbestände Kredit mit Annuitätentilgung

−45.000

−34.559

−23.597

Kontokorrentkredit

−25.000

−19.691

−8.957

Bestandssaldo

−70.000

−54.250

−32.554

−12.086

549

Um beide Investitionen miteinander vergleichen zu können, wurde die Investition „B“ um ein Jahr verlängert, sodass diese Investition ebenfalls eine Laufzeit von fünf Jahren aufweist. Der Endwert ohne Investition (Unterlassensalternative), d. h. die Anlage des Eigenkapitals zum Habenzins, kann wie folgt berechnet werden: E NU = EK ⋅ q N



9.3  Entscheidungsregel für die VOFI-Methode59

E NU = 10.000 ⋅1, 015 E NU = 10.510,10 €





Alternativ kann der Endwert auch mit einem VOFI ermittelt werden (Tab. 9.4): Tab. 9.4  VOFI der Opportunität Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

Zahlungsreihe der Investition Eigenkapital Anfangsbestand

10.000

− Entnahme + Einlage Kredit mit Annuitätentilgung + Aufnahme − Tilgung − Sollzinsen Kontokorrentkredit + Aufnahme − Tilgung − Sollzinsen Geldanlage − Anlage

−10.000

−100

−101

−102

−103

−104

+ Rückfluss + Habenzinsen (1 %) Finanzierungssaldo

100

101

102

103

104

0

0

0

0

0

0

10.000

10.100

10.201

10.303

10.406

10.510

10.000

10.100

10.201

10.303

10.406

10.510

Bestandsgrößen Finanzbestand Kreditbestände Kredit mit Annuitätentilgung Kontokorrentkredit Bestandssaldo

60

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

Die Ermittlung des zusätzlichen Endwertes (∆E N ) erfolgt nun, indem die Differenz zwischen dem Endwert der Investition und dem Endwert der Opportunität gebildet wird. ∆E NA = E NA − E NU



∆E NA = 20.105 −10.510 ∆E NA =9.595 €

∆E NB = E NB − E NU



∆E NB =19.262 −10.510 ∆E NB

=8.752 €







Beide Investitionen sind positiv zu beurteilen sind, da die jeweiligen Endwerte höher sind als ohne Investition. Bei der Frage, für welche der beiden Investitionen sich das Unternehmen entscheiden soll, ist zu sagen, dass die Investition „A“ den höheren Endwert aufweist und daher auch realisiert werden sollte, wenn die Metallbau GmbH am Ende des fünften Jahres ihr Vermögen maximieren möchte. Somit ist Investition A vorteilhafter als Investition B.

Beispiel 9.2: Vollständige Finanzpläne (Einkommensstreben)

Im Beispiel 9.1 war unterstellt worden, dass die Metallbau GmbH das maximale Endvermögen für die jeweiligen Investitionen zum Ende der Laufzeit ermitteln wollte (Vermögensstreben). Im Gegensatz dazu wird nun angestrebt, eine möglichst hohe und gleichbleibende Entnahme zu erzielen (Einkommensstreben). Der Endwert soll dabei einmal gegen Null laufen und einmal der Opportunität entsprechen. Im Übrigen gelten die gleichen Daten wie im Beispiel 9.1(Tab. 9.5; Tab. 9.6; Tab. 9.7; Tab. 9.8). Beachten Sie bitte, dass es in den folgenden Tabellen zu kleinen Rundungsdifferenzen kommen kann. Auf die Berechnung der jeweiligen Entnahme (*) wird an dieser Stelle nicht näher eingegangen.

9.3  Entscheidungsregel für die VOFI-Methode61 Tab. 9.5  VOFI der Investition „A“ (Einkommensstreben ENA = 0) Zeitpunkt (n)

0

1

Zahlungsreihe der

−60.000

2

3

4

5

12.000

15.000

20.000

17.000

13.000

−3.546

−3.546

−3.546

−3.546

−3.546

−10.441

−10.963

−11.511

−12.086

−2.250

−1.728

−1.180

−604

4.637

2.007 −2.832

−58

−8.754

Investition Eigenkapital Anfangsbestand

10.000

− Entnahme (*) + Einlage Kredit mit Annuitätentilgung + Aufnahme

45.000

− Tilgung − Sollzinsen (5 %) Kontokorrentkredit + Aufnahme

5.000

− Tilgung − Sollzinsen (8 %)

−400

−771

−932

−705

−700

0

0

0

0

0

Geldanlage − Anlage + Rückfluss + Habenzinsen (1 %) Finanzierungssaldo

0

Bestandsgrößen Finanzbestand

4

Kreditbestände Kredit mit Annuitätentilgung

−45.000

−34.559

−23.597

−12.086

Kontokorrentkredit

−5.000

−9.637

−11.644

−8.812

−8.754

−50.000

−44.196

−35.241

−20.898

−8.754

Bestandssaldo

0

62

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

Tab. 9.6  VOFI der Investition „B“ (Einkommensstreben ENB = 0) Zeitpunkt (n)

0

1

Zahlungsreihe der

−80.000

2

3

4

5

20.000

25.000

35.000

19.000

0

−3.620

−3.620

−3.620

−3.620

−3.620

−10.441

−10.963

−11.511

−12.086

−2.250

−1.728

−1.180

−604

− Tilgung

−1.690

−6.825

−16.485

− Sollzinsen (8 %)

−2.000

−1.865

−1.319

Investition Eigenkapital Anfangsbestand

10.000

− Entnahme (*) + Einlage Kredit mit Annuitätentilgung + Aufnahme

45.000

− Tilgung − Sollzinsen (5 %) Kontokorrentkredit + Aufnahme

25.000

Geldanlage –885

− Anlage

−2.695 3.584

+ Rückfluss

36

+ Habenzinsen (1 %) Finanzierungssaldo

0

0

0

0

0

0

885

3.584

0

3.584

0

Bestandsgrößen Finanzbestand Kreditbestände Kredit mit Annuitätentilgung

−45.000

−34.559

−23.597

−12.086

Kontokorrentkredit

−25.000

−23.310

−16.485

0

Bestandssaldo

−70.000

−57.870

−40.082

−11.201

Vergleicht die Metallbau GmbH jetzt die beiden Investitionen miteinander, so stellt sie fest, dass Investition „B“ die vorteilhaftere für das Unternehmen ist (aA = 3.546  aB = 1.645). Beide Investitionen erzielen nach der Laufzeit exakt den gleichen Endwert (abgesehen von Rundungsdifferenzen, da ohne Nachkommazahlen gerechnet wurde). Allerdings erweist sich die Investition „A“ als die bessere bei den jährlich zur Verfügung stehenden Entnahmen. Demnach sollte sich das Unternehmen in diesem Fall für die Investition „A“ entscheiden. Eine weitere Zielgröße bei der Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition ist die VOFI-Eigenkapitalrentabilität (EKR), die mit folgender Formel ermittelt wird3:

VOFI-Eigenkapitalrentabilität EKRVOFI = N



EN −1 EK

Formel 9-2

EKRVOFI  = VOFI-Eigenkapitalrentabilität E N       = Endwert der Investition EK       = Eingesetztes Eigenkapital zu Beginn des Planungszeitraums N        = Planungszeitraum Die so ermittelte VOFI-Eigenkapitalrentabilität stellt den Zinssatz dar, der die anfangs eingesetzten eigenen Mittel am Ende der Nutzungsdauer unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins auf den Vermögensendwert anwachsen lässt. Eine VOFI-Eigenkapitalrendite von 5 % bedeutet beispielsweise, dass sich die zu Beginn eingesetzten eigenen Mittel über den Betrachtungszeitraum durchschnittlich mit 5 % verzinsen, was zu dem ermittelten Vermögensendwert am Ende des Betrachtungszeitraums führt.

9.4

Interpretation der VOFI-Methode

Zu den klassischen Verfahren der Investitionsrechnung zählen die Barwert-, die interne Zinsfuß- und die Annuitätenmethode. Diese unterstellen einen vollkommenen Kapitalmarkt. Dabei ist der vollkommene Kapitalmarkt durch Gleichheit von Soll- und Habenzinsen, unbeschränkte Kapitalaufnahme- und -anlagemöglichkeiten, keine Differenzierung zwischen Eigen- und Fremdkapital und vollkommener Markttransparenz gekennzeichnet. Während die klassischen Verfahren auf den Prämissen eines vollkommenen Kapitalmarktes basieren, die wirklichkeitsfremd sind, so berücksichtigt der VOFI die Bedingungen des unvollkommenen Kapitalmarktes. Dies geschieht – wie bereits erwähnt – durch

3

Vgl. Grob (2006).

66

9  Vollständige Finanzpläne (VOFI)

die Berücksichtigung von tatsächlichen Marktzinssätzen für verschiedene Eigenkapitalpositionen (Haben-Zinssätze) und verschiedene Fremdkapitalpositionen (Soll-Zinssätze). Im VOFI wird der Vermögensendwert als Wert des Vermögens für die Eigenkapitalgeber am Ende der Laufzeit des Investitionsprojekts ermittelt und zur Entscheidungsfindung über die Vorteilhaftigkeit einer Investition herangezogen. Dabei werden nicht nur die Rückflüsse der Investition erfasst, sondern auch die Zahlungsströme, die aus einer konkreten Finanzierung sowie aus der Anlage von Überschüssen oder aus der Nachfinanzierung von Defiziten während der Laufzeit des Projekts resultieren. In einem VOFI werden für die einzelnen Perioden des Betrachtungszeitraums die durch die Investition verursachten Ein- und Auszahlungen möglichst realitätsnah abgebildet. Diese Ein- und Auszahlungen fallen i.d.R. in den einzelnen Perioden unterschiedlich hoch aus. So können beispielsweise im Finanzierungsbereich Besonderheiten wie tilgungsfreie Anlaufjahre oder zunächst niedrige Zinsen für Förderdarlehen dazu führen, dass die in den einzelnen Jahren zu berücksichtigenden Zahlungsströme für Tilgungen und Zinsen unterschiedlich ausfallen. Die Zinssätze für Erst- und Anschlussfinanzierungen können genauso individuell entsprechend der Marktsituation festgelegt werden wie die Zinssätze für Wiederanlagen. Darüber hinaus können mit dem VOFI auch steuerliche Effekte berücksichtigt werden. Allerdings muss beachtet werden, dass die Zurechnung von Finanzierungsvorgängen auf die betrachtete Investition problematisch ist: häufig ist eine direkte Zurechnung von Finanzierungsmaßnahmen auf eine einzelne Investition nicht möglich (Stichwort: Unteilbarkeit der finanziellen Sphäre einer Unternehmung). Letztendlich kann gesagt werden, dass der VOFI ein geeignetes Instrument ist, um aussagekräftige Informationen für Investitionsentscheidungen zu erhalten. Die für den VOFI insgesamt umfangreichen Berechnungen können mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen vorgenommen werden. Ohne großen Aufwand sind zudem Analysen möglich, um festzustellen, wie sich die Wirtschaftlichkeit der geplanten Investition verändert, wenn sich bestimmte Parameter verbessern oder verschlechtern.

10

Barwert zusammengesetzter Zahlungsreihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird gezeigt, was zusammengesetzte Zahlungsreihen sind und wie hierfür Barwerte berechnet werden. Mithilfe zusammengesetzter Zahlungsreihen lässt sich für viele praktische Anwendungen die Berechnung von Barwerten vereinfachen.

10.1 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente Um der Kombinationenvielfalt der zuvor genannten Zahlungsreihen und Rentenmodellen in der Praxis gerecht werden zu können, ist es notwendig die Formeln der Zahlungsreihen mit den Formeln der Zeitrente zu kombinieren um den Barwert einer individuellen Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente zu ermitteln (Abb. 10.1).

=HLWUHQWH

LQGLYLGXHOOH=DKOXQJVUHLKH

Q 

1

1

Abb. 10.1  Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_10

67

68

10  Barwert zusammengesetzter Zahlungsreihen

Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente Individuelle Zahlungsreihe  

K0 =

N1

∑zn

⋅ q−n

n= 0

Zeitrente   + r ⋅ V ( N 2; p) ⋅ q−N1

Formel 10-1 

Mit: K 0  = Barwert n0       = Anfang der Zahlungsreihe N1    = erste Zahlungsreihe N 2  = zweite Zahlungsreihe r        = Rente je Periode q     = Zinsfaktor (1 + p) p     = jährlicher Zinssatz V      = Rentenbarwertfaktor zn     = Zahlung/Zahlungssaldo zum Zeitpunkt n Beispiel 10.1: Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente

Der Student Max hat während seines Informatikstudiums im Internet ein eigenes soziales Netzwerk aufgebaut. Die Seite wird ausschließlich durch Werbung finanziert. Die Einnahmen und Ausgaben werden in den nächsten 3 Jahren wie folgt aussehen: z0 = –1.500,00 €/Jahr z1 =   2.500,00 €/Jahr z2 =   3.500,00 €/Jahr z3 =   5.500,00 €/Jahr Nach den drei Jahren wird Max die Seite aus zeitlichen Gründen nicht mehr betreiben können. Er trifft eine Vereinbarung mit seinem Freund, indem er seine Rechte komplett abgibt und dafür eine Zeitrente von 4.000,00 €/Jahr über einen Zeitraum von 4 Jahren erhalten wird. Welchen Barwert hat das soziale Netzwerk zum Zeitpunkt n = 0 bei einem Zinssatz von 5 %? K 0 = −Az0 +



N1

∑zn ⋅ q−n + r ⋅ V ( N2; p) ⋅ q−N 1

n= 0

K 0 = −1.500 + 2.500 ⋅1, 05−1 + 3.500 ⋅ 1, 05−2 + 5.500 ⋅ 1, 05−3 + 4.000 ⋅ 3, 5460 ⋅ 1, 05−3 K 0 = 21.059,33 €

Der Barwert beträgt 21.059,33 €.

10.2  Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Ewiger Rente69

10.2 Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Ewiger Rente Die Berechnung des Rentenbarwertes einer individuellen Zahlungsreihe mit anschließender ewiger Rente (Abb. 10.2) erfolgt mit folgender Formel: Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewigen Rente Individuelle Zahlungsreihe  

K0 =



N1

∑zn ⋅ q−n n= 0

Ewige Rente 

+

r −N1  ⋅q p

Formel 10-2

Mit: K 0  = Barwert n0       = Anfang der Zahlungsreihe N1    = erste Zahlungsreihe zn    = Zahlung/Zahlungssaldo zum Zeitpunkt n r     = Rente je Periode q      = Zinsfaktor (1 + p) p      = jährlicher Zinssatz 1 LQGLYLGXHOOH=DKOXQJVUHLKH

1 (ZLJH5HQWH

’

Q 

1

’ 1

’

Abb. 10.2  Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewiger Rente

Beispiel 10.2: Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewiger Rente

Eine Stiftung möchte in den nächsten fünf Jahren jährlich (nachschüssig) individuelle Geldbeträge für den Naturschutz zur Verfügung stellen. n1 =  30.000,00 €/Jahr n2 =  20.000,00 €/Jahr n3 =  25.000,00 €/Jahr n4 =  23.000,00 €/Jahr n5 =  21.000,00 €/Jahr

70

10  Barwert zusammengesetzter Zahlungsreihen

Nach den fünf Jahren soll jährlich ein Betrag von 22.000,00 €/Jahr (ewig!) zur Verfügung gestellt werden. Wie groß muss der Rentenbarwert zum Zeitpunkt n = 0 (Verzinsung 4 %) sein, damit dieser Zahlungsstrom gewährleistet ist? K0 =



N1

r

∑zn ⋅ q−n + p ⋅ q−N

1



n= 0

K 0 = 30.000 ⋅1, 04−1 + 20.000 ⋅1, 04−2 + 25.000 ⋅1, 04−3 + 23.000 ⋅1, 04−4 + 21.000 ⋅1, 04−5 +

22.000 ⋅1, 04−5 0, 04

K 0 = 558.543,06 € Um die Zahlungsströme wie gewünscht leisten zu können, muss die Stiftung zum Zeitpunkt n = 0 einen Rentenbarwert in Höhe von 558.543,06 € aufweisen.

Barwert wachsender Renten

11

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird gezeigt, wie Barwerte für „wachsende“ Renten bzw. Zahlungsreihen berechnet werden. Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Zahlungen konstanter Höhe, werden hier Zahlungsreihen vorgestellt, die nach einem bestimmten Bildungsgesetz ansteigen. Dabei wird zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Zahlungsreihe unterschieden. Bisher wurden lediglich Rentenzahlungen konstanter Höhe betrachtet. Es gibt aber auch Renten die „wachsen“ und die einem bestimmten Bildungsgesetz unterworfen sind. Dabei wird zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Zahlungsreihe unterschieden. In diesem Kapitel sollen diese Zahlungsreihen näher erörtert werden. Dabei werden lediglich nachschüssige Renten betrachtet, die regelmäßig mit einer bestimmten Wachstumsrate steigen.

11.1 Barwert wachsender Zeitrenten 11.1.1 Arithmetisch fortschreitend Eine Rentenzahlung heißt arithmetisch fortschreitend, wenn die Renten eine konstante Differenz aufweisen und demnach einer arithmetischen Folge entsprechen (Abb. 11.1).1

1

Vgl. Hettich et al. (2012).

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_11

71

72

11  Barwert wachsender Renten



U

UG

UG







U1± G



1

Abb. 11.1  Arithmetisch fortschreitende Rentenzahlung (nachschüssig)

Mit: r = Rente d = jährlicher Steigerungsbetrag der Rente N = Laufzeit der Rente in Jahren Das Wachstum der Zahlungen ergibt sich also aus der Formel: Wachstum einer arithmetisch fortschreitenden Zahlungsreihe rnarithmetisch = r + (n −1) d



Formel 11-1

Bei der Bestimmung des Rentenbarwertes, wird die Formel der wachsenden Zahlungsreihe in die Barwertformel integriert: Rentenbarwert einer arithmetisch wachsenden Zeitrente RK 0arithmetisch =



N

∑ (r + (n −1) d ) ⋅ q−n

Formel 11-2

n= 0

Beispiel 11.1: Arithmetisch fortschreitende Zeitrente

Eine Jahresrente in Höhe von 4000,00  € soll jedes Jahr um 200  € erhöht werden. Welcher Betrag muss bei 5 % Verzinsung zum Zeitpunkt n = 0 bereitgestellt werden, um diese Rente 20 Jahre lang nachschüssig zahlen zu können? Lösung:

RK 0arithmetisch =

N

∑ (r + (n −1) d ) ⋅ q−n

n= 0

Tabellarisch sieht die Berechnung wie folgt aus:

11.1  Barwert wachsender Zeitrenten73 Berechnung Beispiel 11.1 n

Berechnung

RK0

1

(4.000

+

(1−1)

200)

×

1,05−1

=

3.809,52 €

2

(4.000

+

(2−1)

200)

×

−2

1,05

=

3.809,52 €

3

(4.000

+

(3−1)

200)

×

1,05−3

=

3.800,89 €

4

(4.000

+

(4−1)

200)

×

1,05

=

3.784,43 €

5

(4.000

+

(5−1)

200)

×

−5

1,05

=

3.760,93 €

6

(4.000

+

(6−1)

200)

×

1,05−6

=

3.731,08 €

7

(4.000

+

(7−1)

200)

×

1,05

=

3.695,54 €

8

(4.000

+

(8−1)

200)

×

−8

1,05

=

3.654,93 €

9

(4.000

+

(9−1)

200)

×

1,05−9

=

3.609,81 €

10

(4.000

+

(10−1)

200)

×

1,05

=

3.560,70 €

11

(4.000

+

(11−1)

200)

×

−11

1,05

=

3.508,08 €

12

(4.000

+

(12−1)

200)

×

1,05−12

=

3.452,39 €

13

(4.000

+

(13−1)

200)

×

1,05

=

3.394,06 €

14

(4.000

+

(14−1)

200)

×

−14

1,05

=

3.333,45 €

15

(4.000

+

(15−1)

200)

×

1,05−15

=

3.270,92 €

16

(4.000

+

(16−1)

200)

×

1,05

=

3.206,78 €

17

(4.000

+

(17−1)

200)

×

−17

1,05

=

3.141,34 €

18

(4.000

+

(18−1)

200)

×

1,05−18

=

3.074,85 €

19

(4.000

+

(19−1)

200)

×

1,05

=

3.007,58 €

20

(4.000

+

(20−1)

200)

×

1,05

=

−4

−7

−10

−13

−16

−19 −20

Gesamt:

2.939,74 € 69.546,54 €

Um diese Rente 20 Jahre lang nachschüssig zahlen zu können, muss zum Zeitpunkt n = 0 ein Betrag in Höhe von 69.546,54 € bereitgestellt werden. Die Summenformel ist für Berechnungen von sehr langen arithmetisch fortschreitenden Renten zeitraubend. Stattdessen können auch folgende Formeln verwendet werden2: Formel für lange arithmetisch fortschreitende Renten RK 0arithmetisch =

  1 d  ⋅ r +  ⋅ (q N −1) − Nd   q N (q −1)  q −1 

oder vereinfacht dargestellt: 2

Vgl. Hettich et al. (2012).

Formel 11-3

74

11  Barwert wachsender Renten

Formel für lange arithmetisch fortschreitende Renten (verkürzte Darstellung) RK 0arithmetisch = RK 0nachschüssige Rente +



d p

 1 ⋅ V ( N; p) − N ⋅ n  Formel 11-4  q 

RK 0arithmetisch     = Rentenbarwert arithmetisch fortschreitender Rente RK 0nachschüssige Rente  = Rentenbarwert nachschüssige Rente Vn, p        = Rentenbarwertfaktor N          = Laufzeit in Jahren d          = jährlicher Steigerungsbetrag der Rente p          = jährlicher Zinssatz Lösung: RK 0arithmetisch = RK 0nachschüssige Rente + RK 0arithmetisch = 4.000 ⋅ 12, 4622 +

d p

200 0, 05

 1  ⋅ Vn, p − N ⋅ N   q   1  ⋅ 12, 4622 − 20 ⋅   1, 0520 

RK 0arithmetisch = 49.848, 80 +19.697, 64 RK 0arithmetisch = 69.546,44 €

11.1.2 Geometrisch fortschreitend Anders als bei der arithmetisch fortschreitenden Rente wird bei der geometrisch fortschreitenden Rente (Abb. 11.2) der Rentenbetrag nicht durch einen konstant festen Betrag gebildet, sondern durch einen Wachstumsfaktor (β ) . Der Wachstumsfaktor ist dabei durch die prozentuale Wachstumsrate (α) charakterisiert.



U

U ȕ





U ȕ1±

U ȕ





Abb. 11.2  Geometrisch fortschreitende Rentenzahlung (nachschüssig)

1

11.1  Barwert wachsender Zeitrenten75

Mit: r = Rente N = Laufzeit der Rente in Jahren  α  β = Wachstumsfaktor β = 1 +   100  α = Wachstumsrate Bei einer geometrisch fortschreitenden Rente werden in der n-ten Rentenperiode Renten in folgender Höhe gezahlt: Wachstum einer geometrisch fortschreitenden Rente rngeometrisch = r ⋅ β n−1



Formel 11-5

gezahlt. Um den Barwert einer geometrisch fortschreitenden Zahlungsreihe zu ermitteln, wird die Formel der geometrisch fortschreitenden Rente umgewandelt rngeometrisch =



r ⋅ βn β

und in die Barwertformel eingesetzt: Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente RK 0geometrisch =



N

r



∑  β ⋅ β n  ⋅ q−n

Formel 11-6

n= 0

Oder anstelle der Summenformel: (wenn q ≠ β) Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente ohne Summenformel ( q ≠ β )3 RK 0geometrisch = r ⋅



qN − β N q ( − β) ⋅ q N

Formel 11-7

oder (wenn q = β) Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente ohne Summenformel ( q = β ) RK 0geometrisch =

3

Vgl. Lüscher-Marty (2010, S. 2.17).

r⋅N q

Formel 11-8

76

11  Barwert wachsender Renten Beispiel 11.2: Geometrisch fortschreitende Zeitrente

Ein Ingenieur beabsichtigt sein Büro zu verkaufen und vereinbart mit seinem Nachfolger, dass dieser ihm für die Überlassung der Kundendatei am Ende eines jeden Jahres eine Rente über einen Zeitraum von 10  Jahren zahlt. Die erste Rentenzahlung soll 50.000,00 € betragen. Sodann soll die Rente jährlich um 5 % steigen. Wie viel müsste der Partner als Einmalbetrag zahlen, um diese Vereinbarung zum Zeitpunkt n = 0 abzulösen? a) Jährlicher Zinssatz 6 % b) Jährlicher Zinssatz 5 % Lösung a) RK 0geometrisch =

N

r



∑  β ⋅ β n  ⋅ q−n

n= 0

Tabellarisch sieht die Berechnung folgendermaßen aus: Berechnung Beispiel 11.2 n

Berechnung

RK0

1

(50.000/1,05 · 1,051) · 1,06−1

47.169,81 €

2

(50.000/1,05 · 1,052) · 1,06−2

46.724,81 €

3

(50.000/1,05 · 1,05 ) · 1,06

−3

46.284,01 €

4

(50.000/1,05 · 1,05 ) · 1,06

−4

45.847,37 €

5

(50.000/1,05 · 1,055) · 1,06−5

45.414,85 €

6

(50.000/1,05 · 1,05 ) · 1,06

−6

44.986,41 €

7

(50.000/1,05 · 1,05 ) · 1,06

−7

44.562,01 €

8

(50.000/1,05 · 1,058) · 1,06−8

44.141,61 €

9

(50.000/1,05 · 1,05 ) · 1,06

43.725,18 €

10

(50.000/1,05 · 1,05 ) · 1,06

3 4

6 7

9

10

−9

43.312,68 €

−10

Gesamt:

452.168,74 €

Oder mit der Formel:

RK 0geometrisch = r ⋅

qN − β N (q − β ) ⋅ q N

RK 0geometrisch = 50.000 ⋅

1, 0610 −1, 0510 (1, 06 −1, 05) ⋅ 1, 0610

RK 0geometrisch = 452.168,74 €

11.2  Barwert einer wachsenden ewigen Rente77

Bei einem jährlichen Zinssatz von 6 % müsste der Nachfolger einen Einmalbetrag in Höhe von 452.168,74 € bezahlen. Lösung b) Da der Zinssatz und die Wachstumsrate identisch sind, kann hier die folgende Formel angewendet werden: RK 0geometrisch =

r⋅N q

RK 0geometrisch =

50.000 ⋅ 10 1, 05

RK 0geometrisch = 476.190,48 € Bei einem jährlichen Zinssatz von 5 % müsste der Nachfolger einen Einmalbetrag in Höhe von 476.190,48 € bezahlen.

11.2 Barwert einer wachsenden ewigen Rente In diesem Kapitel soll verdeutlicht werden wie der Rentenbarwert einer wachsenden ewigen Rente ermittelt wird. Wie schon im Kapitel zuvor erwähnt, existieren arithmetisch und geometrisch fortschreitende Renten. Diese zwei Modelle sollen nun auch bei der ewigen Rente Berücksichtigung finden.

11.2.1 Arithmetisch fortschreitend Um den Rentenbarwert der ewigen Rente bei arithmetisch fortschreitender ewiger Rente ermitteln zu können, wird die Formel für die Berechnung des Rentenbarwerts der ewigen Rente

r RK 0 Ewige Rente = p

zu der arithmetisch fortschreitenden ewigen Rente erweitert: Rentenbarwert einer arithmetisch fortschreitenden ewigen Rente

 d 1 RK 0arithmetisch = r +  ⋅  p p

Formel 11-9

78

11  Barwert wachsender Renten Beispiel 11.3: Arithmetisch fortschreitende ewige Rente

Ein Forschungsinstitut soll dauerhaft zum Ende eines jeden Jahres eine Zahlung erhalten. Die erste Zahlung soll 50.000 € betragen. Anschließend soll sie um jeweils 500 € steigen. Wie hoch muss das Stiftungskapital bei einem Zinssatz von 5 % sein, damit diese Zahlungen sichergestellt sind? Lösung:  d 1 RK 0arithmetisch = r +  ⋅  p p  500  1 RK 0arithmetisch = 50.000 + ⋅  0, 05  0, 05 RK 0arithmetisch = 1.200.000,00 € Bei einem Zinssatz von 5 % muss das Stiftungskapital 1.200.000,00 € betragen.

11.2.2 Geometrisch fortschreitend Wird die Rente nicht um einen festen Betrag, sondern prozentual angehoben, so ist sie geometrisch fortschreitend. Zur Erinnerung wird nochmals die Formel zur Berechnung des Rentenbarwerts einer ewigen Rente wiederholt:

RK Ewige Rente =

r p

Um den Rentenbarwert einer ewigen Rente, die geometrisch fortschreitend ist, ermitteln zu können, kann folgende Formel verwendet werden: Für: α < p bzw. β < q Barwert einer geometrisch fortschreitenden ewigen Rente

RK 0geometrisch =

r p −α

Formel 11-10

Einen Sonderfall stellt jedoch die Situation dar, wenn der Zinssatz kleiner als die Wachstumsrate ist. Durch diese Konstellation strebt der Barwert gegen unendlich: Für: α > p bzw. β > q

11.2  Barwert einer wachsenden ewigen Rente79



RK 0geometrisch =∞ (nicht definiert ) Beispiel 11.4: Geometrisch fortschreitende ewige Rente

Ein Forschungsinstitut soll dauerhaft zum Ende eines jeden Jahres aus einer Stiftung einen Betrag in Höhe von 50.000 € erhalten. Um der Inflation entgegen zu wirken, soll der Betrag jährlich um 2 % erhöht werden. Die Laufzeit soll ewig andauern. Wie hoch muss das Stiftungskapital bei einem Zinssatz von 4 % mindestens sein, damit diese Zahlungen gewährleistet sind? Lösung: RK 0geometrisch =

r p −α

RK 0geometrisch =

50.000 0, 04 − 0, 02

RK 0geometrisch = 2.500.000,00 € Bei einem Zinssatz von 4 % und einer Wachstumsrate von 2 % muss das Stiftungskapital mindestens 2.500.000,00 € betragen.

Investitionsketten

12

Zusammenfassung

Investitionsketten sind Aneinanderreihungen identischer oder nicht identischer Investitionen. Das heißt: In die Investitionsplanung werden neben einem geplanten Investitionsobjekt auch dessen Nachfolgeprojekte einbezogen. Für eine solche Investitionskette wird die relative oder absolute Vorteilhaftigkeit ermittelt. Dabei sind nicht nur die Barwerte der einzelnen Objekte relevant, sondern auch die Ersatzzeitpunkte und damit die Nutzungsdauern der einbezogenen Investitionsobjekte. In den bisherigen Kapiteln ging die Investitionsrechnung von einer gegebenen Nutzungsdauer der Investitionsobjekte aus. Das Problem der Investitionsrechnungen bestand allein darin, die Frage zu beantworten, ob eine Investition bei gegebener Laufzeit einer anderen Finanz- oder Sachinvestition vorzuziehen ist. In der Realität ist die wirtschaftlich sinnvolle Nutzungsdauer von Investitionen nicht vorgegeben. Es kann ökonomisch sinnvoll sein, eine Anlage zu ersetzen, bevor ihre technische Nutzungsdauer erreicht ist. Um diese Frage beantworten zu können, widmet sich dieses Kapitel den Investitionsketten. Investitionsketten sind Aneinanderreihungen identischer oder nicht identischer Investitionen. Das heißt: In die Investitionsplanung werden neben einem geplanten Investitionsobjekt auch dessen Nachfolgeprojekte einbezogen. Für eine solche Investitionskette wird die relative oder absolute Vorteilhaftigkeit ermittelt. Dabei sind nicht nur die Barwerte der einzelnen Objekte relevant, sondern auch die Ersatzzeitpunkte und damit die Nutzungsdauern der einbezogenen Investitionsobjekte. Es wird zwischen endlichen und unendlichen Investitionsketten unterschieden. Bei einer endlichen Investitionskette ist die Anzahl der Folgeprojekte bezogen auf die Laufzeit begrenzt, während sie bei einer unendlichen Investitionskette unbegrenzt ist.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_12

81

82

12 Investitionsketten

12.1 Endliche Investitionsketten Unter endlichen Investitionsketten wird die endliche Aneinanderreihung mehrerer Investitionen verstanden, die entweder identisch oder verschieden sind. Werden identische Investitionen wiederholt, ist charakteristisch, dass jedes Kettenglied den gleichen Barwert aufweist. So wird im einfachsten Fall nach Durchführung einer Investition die gleiche Investition neu gestartet, sodass es beispielsweise zu folgender Zahlungsreihe kommt (Tab. 12.1). Tab. 12.1  Endliche Aneinanderreihung identischer Investitionen Zeitpunkt (n)

0

1

1. Investition

−250 120

2

3

90

2. Investition

4

5

8

9

−250 120

90

50

−200 120

90

50

90

3. Investition 90

7

50 −250 120

Gesamtzahlungsreihe −250 120

6

−200 120

90

50

Ebenso können Investitionsketten gebildet werden, bei denen die einzelnen Kettenglieder voneinander abweichen (Tab. 12.2). Tab. 12.2  Endliche Aneinanderreihung unterschiedlicher Investitionen Zeitpunkt (n)

0

1

1. Investition

−250 120

2 90

2. Investition

3

4

5

−200 100 90

7

8

9

−270 130

110

60

−210 130

110

60

50 80

3. Investition Gesamtzahlungsreihe −250 120

6

−150 100

80

60

Um die Vorteilhaftigkeit einer Investitionskette gegenüber einer anderen herauszufinden lautet das Entscheidungskriterium: Realisiere diejenige Investitionskette mit dem größten Barwert! Die Ermittlung des Barwertes einer endlichen Investitionskette (Abb. 12.1) mit identischen Laufzeiten jedes Kettengliedes (=N) erfolgt mit folgender Formel:

12.1  Endliche Investitionsketten83

Barwert einer endlichen Investitionskette x−1 ⋅ q−xN   Formel 12-1 K 0Kette = K 01 + K N2 ⋅ q−N + K 23N ⋅ q−2N + K34N ⋅ q−3N + … + K xN

Mit: K 0Kette

= Barwert endliche Kette (bezogen auf den Startzeitpunkt 0)

K 01

= Barwert erstes Kettenglied (bezogen auf den Startzeitpunkt 0)

K N2

= Barwert zweites Kettenglied (bezogen auf den Startzeitpunkt N)

K 23N

= Barwert drittes Kettenglied (bezogen auf den Startzeitpunkt 2N)

K34N

= Barwert viertes Kettenglied (bezogen auf den Startzeitpunkt 3N)

K (xNx−1) = Barwert x-tes Kettenglied (bezogen auf den Startzeitpunkt xN) N

= Laufzeit jedes Kettengliedes

x

= Anzahl der Wiederholungen der Kettenglieder innerhalb der Kette

q

= Zinsfaktor (1 + p)

p

= jährlicher Zinssatz

Die Abb. 12.1 soll die zuvor genannte Formel noch einmal verdeutlichen. Hier werden zuerst die Barwerte der einzelnen Kettenglieder gebildet und anschließend auf den Zeitpunkt n = 0 abgezinst. Werden nun die auf den Zeitpunkt n = 0 abgezinsten Barwerte der Kettenglieder summiert, so ergibt sich der Barwert der gesamten Kette. Q 

1

.HWWHQJOLHG ͳ Ͳ

൅

[ 1

1

.HWWHQJOLHG ʹ

ή

െ

൅

,QYHVWLWLRQVNHWWH

«

[1

[.HWWHQJOLHG ሺ െͳሻ

ή

െሺ െͳሻ

Abb. 12.1  Zeitstrahl endliche Investitionskette Beispiel 12.1: Investitionskette mit vier identischen Kettengliedern

In diesem Beispiel wird der Zusammenhang nochmals veranschaulicht. Dabei handelt es sich um eine Investitionskette mit vier Kettengliedern (x=4). Jedes Kettenglied hat eine Laufzeit von fünf Jahren (N = 5). Berechnet wird der Barwert der gesamten Investitionskette bezogen auf den Zeitpunkt n = 0 (Abb. 12.2).

84

12 Investitionsketten

K 0Kette = K + K ⋅ q−N + K ⋅ q−2N + K ⋅ q−3N

Mit: K 0Kette K

= Barwert endliche Kette = Barwert eines Kettengliedes

N

= Laufzeit des Kettengliedes (hier: 5 Jahre)

q

= Zinsfaktor (1 + p)

p

= jährlicher Zinssatz

x

= Anzahl der Wiederholungen (hier: 4)

Q 

.HWWHQJOLHG ͳ Ͳ

.HWWHQJOLHG ʹ Ͳ

൅

ή

െͷ









.HWWHQJOLHG

൅

͵ Ͳ

ή

െͳͲ

,QYHVWLWLRQVNHWWH

.HWWHQJOLHG Ͷ Ͳ

൅

ή

െͳͷ

Abb. 12.2  Zeitstrahl endliche Investitionskette, x=4, N=5

Beispiel 12.2: Endliche Investitionsketten

Der Unternehmer Walter möchte sein Unternehmen und dessen Verfahrensabläufe nachhaltig gestalten. Sein Planungshorizont beträgt 20 Jahre. Ihm werden vier Projekte vorgeschlagen, zwischen denen er auswählen kann. Diese Investitionen weisen verschiedene Zahlungsreihen und Laufzeiten auf und sollen miteinander verglichen werden. Dabei beträgt der Kalkulationszins 4 %. Jede Investition wird so oft wiederholt, bis 20 Jahre verstrichen sind. Welche Investitionskette sollte der Unternehmer durchführen? Zahlungsreihen der Investitionen A bis D Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

Investition A

−1.600

+1.300

+1.350

+300

+500

+350

Investition B

−1.350

+400

+1.250

+1.200

+250

Investition C

−1.000

Investition D

−1.100

+1.450

+600

+200

+250

+1.400

+1.200

Lösung: Um zunächst die Barwerte der einzelnen Investitionen zu ermitteln, werden die jeweiligen Zahlungsreihen in die Barwertformel eingesetzt.

12.1  Endliche Investitionsketten85 N

K 0 = −z0 +

∑zn ⋅ q−n n=1

K 0A = −1.600 + 1.300 ⋅ 1, 04−1 + 1 . 350 ⋅ 1, 04−2 + 300 ⋅ 1, 04−3

+ 500 ⋅ 1, 04−4 + 350 ⋅1, 04−5

K 0A = 1.879, 93 € K 0B = −1.350 + 400 ⋅ 1, 04−1 + 1.250 ⋅ 1, 04−2 + 1.200 ⋅ 1, 04−3 + 250 ⋅ 1, 04−4 K 0B = 1.470, 81 € K 0C = −1.000 + 1.450 ⋅ 1, 04−1 + 600 ⋅ 1, 04−2 + 200 ⋅ 1, 04−3 + 250 ⋅ 1, 04−4 K 0C = 1.340, 46 € K 0D = −1.100 + 1.400 ⋅1, 04−1 + 1.200 ⋅1, 04−2 K 0D = 1.355, 62 € Da die Laufzeiten der Investitionen unterschiedlich sind, können die Barwerte nicht direkt miteinander verglichen werden. Hierfür müssen die Investitionen auf die gleiche Laufzeit gebracht werden (Planungshorizont beträgt 20 Jahre). Dies bedeutet, dass die einzelnen Investitionen unterschiedlich oft wiederholt werden müssen, da sie unterschiedliche Laufzeiten haben. Gesamtlaufzeit der Investitionskette = x ⋅ N



x = Anzahl der Kettenglieder innerhalb der Investitionskette N = Laufzeit der Einzelinvestition Nach x umgestellt ergibt sich: x=



Gesamtlaufzeit der Investitionskette N

Wiederholungen der Investitionen N

x

Investition A

5

4

Investition B

4

5

Investition C

4

5

Investition D

2

10

86

12 Investitionsketten

So ergeben sich folgende Werte: Die Berechnung der Investitionsketten der jeweiligen Investitionen kann mit folgender Formel erfolgen: Barwert einer endlichen Investitionskette K 0Kette = K + K ⋅ q−N + K ⋅ q−2N +…+ K ⋅ q−xN    Formel 12-2

Investition A: Kette ( A)

= K + K ⋅ q−N + K ⋅ q−2N + K ⋅ q−3N

Kette ( A)

= 1.879, 93 + 1.879, 93 ⋅1, 04−5 + 1.879, 93 ⋅1, 04−10 + 1.879, 93 ⋅1, 04−15

K0

K0

Kette ( A)

K0

= 5.738, 96 €

Da die Investitionen in diesen Ketten identisch sind, kann auch die folgende Formel angewandt werden: Barwert einer Investitionskette mit identischen Ketten K 0Kette = K 0Einzelinvestition Kette ( A)



K0

Kette ( A)

K0

= 1.879, 93 ⋅

1 − q−x ⋅ N ⋅ 1 − q−N

1 −1, 04−4 ⋅ 5 1 −1, 04−5

= 5.738, 96 €

Investition B: K0

Investition C:

1 −1, 04−5⋅ 4 1 −1, 04−4 Kette B K 0 ( ) = 5.506, 71 € Kette ( B)



Kette (C )

K0

= 1.470, 81 ⋅

= 1.340, 46 ⋅

1 −1, 04−5⋅ 4 1 −1, 04−4

Formel 12-3

12.2  Unendliche Investitionsketten87 Kette (C )

K0

= 5.018, 68 €

Investition D: Kette ( D )

K0

Kette ( D )

K0

= 1.355, 62 ⋅

1 −1, 04−10 ⋅ 2 1 −1, 04−2

= 9.767, 97 €

Zahlungsreihen der Investitionen A bis D inkl. Ergebnisse Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

Investition A

−1.600

+1.300 +1.350

+300 +500

1.879,93 €

5.738,96 €

Investition B

−1.350

+400 +1.250

+1.200 +250

1.470,81 €

5.506,71 €

Investition C

−1.000

+1.450

+200 +250

1.340,46 €

5.018,68 €

Investition D

−1.100

+1.400 +1.200

1.355,62 €

9.767,97 €

+600

4

5 +350

K0

K0Kette

Die Ergebnisse aus der Tabelle verdeutlichen: eine Unternehmung, die immer wiederkehrende identische Investitionen tätigt, darf nicht den Barwert der Einzelinvestition, sondern muss den Barwert der gesamten Investitionskette zur Entscheidung heranziehen. Würde sich der Unternehmer Walter nur auf den Barwert der Einzelinvestition verlassen, so würde er (bezogen auf den Planungszeitraum von 20 Jahren) fälschlicherweise Investition A wählen, obwohl Investition D für ihn vorteilhafter ist.

12.2 Unendliche Investitionsketten Bei der unendlichen Investitionskette soll davon ausgegangen werden, dass nach Ablauf der jeweiligen Nutzungsdauer immer wieder in die gleiche Anlage investiert wird. Es wird somit unendlich oft eine Ersatzinvestition vorgenommen. Damit werden Anschaffungsausgaben, laufende Zahlungen, Rückflüsse und Zinssatz als immer gleich unterstellt. Da unendlich oft eine Ersatzbeschaffung vorgenommen wird, kann für jede dieser Beschaffungsmaßnahmen ein Barwert berechnet werden. Da diese Barwerte alle N Jahre anfallen (N ist die Nutzungsdauer der einzelnen Investition), müssen diese auf einen gemeinsamen Bezugszeitpunkt bezogen werden. Der Barwert K0 eines einzelnen Kettengliedes wird mit der bekannten Formel berechnet:1 N



1

K 0 = −Az0 + Vgl. Kap. 4 Barwertmethode.

∑zn ⋅ q−n + LN ⋅ q−n n=1

88

12 Investitionsketten

Um alle Barwerte auf den Zeitpunkt n = 0 zu beziehen, ist der Barwert des zweiten Kettengliedes um N, der des dritten Gliedes um 2 N usw. abzuzinsen: K 0∞Kette = K + K ⋅ q−N + K ⋅ q−2N + K ⋅ q−3N +…+ K ⋅ q−∞N Da die Barwerte aller Kettenglieder identisch sind, kann K ausgeklammert werden: Barwert einer unendlichen Investitionskette

K 0∞Kette = K (1 + q−N + q−2N + q−3N +…+ q−∞N )   Formel 12-4

Bei dem Klammerausdruck handelt es sich um eine geometrische Reihe. Diese lässt sich wie folgt umformen und entspricht dem Annuitätenfaktor (AF), dividiert durch den Zinssatz p:2

N

(1 + q−N + q−2N + q−3N +…+ q−∞N ) = q Nq −1 =

AF ( N; p) p

Der Barwert der unendlichen Investitionskette kann mit folgender Formel ermittelt werden: Barwert einer unendlichen Investitionskette K 0∞Kette = K ⋅



AF ( N; p)         Formel 12-5 p

Das Produkt aus K und AF(N; p) ist gleich der Annuität (Formel 8-1): a = K 0 ⋅ AF ( N; p)



Damit kann auch geschrieben werden: Barwert einer unendlichen Investitionskette K 0∞Kette =



a           Formel 12-6 p

Diese Formel ist identisch mit der Formel für den Barwert einer ewigen („unendlichen“) Rente (siehe Abschn. 6.1.3).

2

Vgl. Adam (1999).

12.2  Unendliche Investitionsketten89 Beispiel 12.3: Unendliche Investitionsketten

Es wird nochmals das Beispiel 8.1 aus Kap. 8 aufgegriffen. Es sollen die beiden Investitionen A und B miteinander verglichen werden (Kalkulationszinssatz 6 %): Investition A: Barwert 40.000 €, Laufzeit 8 Jahre Investition B: Barwert 38.000 €, Laufzeit 7 Jahre Die Barwertmethode führt zu dem Ergebnis, dass die Einzelinvestition A wegen des höheren Barwertes der Einzelinvestition B vorzuziehen ist. Für beide Einzelinvestitionen wurden in Abschn. 8.1.3 jeweils die laufzeitindividuellen Annuitäten berechnet. Zusammenfassung der Ergebnisse Investition i

Ni

Barwert Bi

ai8 Jahre

ai7 Jahre

A

8

40.000

6.441, 44

7.165, 40

B

7

38.000

6.119, 37

6.807,13

Werden Annuitäten miteinander verglichen, die sich auf die gleiche Laufzeit beziehen, führt auch die Annuitätenmethode zu dem Ergebnis, dass die Einzelinvestition A der Einzelinvestition B vorzuziehen ist. Das Beispiel wird nun dahin gehend geändert, dass der Investor, die Einzelinvestition unendlich oft wiederholt. Welche unendliche Investitionskette ist vorteilhafter? Mithilfe der obigen Formel 12-6 lassen sich die Barwerte beider unendlichen Investitionsketten berechnen.

Barwert =

Annuität Kalkulationszinssatz

K 0A∞ =



K 0A∞ = 107.350, 00 € K 0B∞ =



6.441 0, 06

6.807 0, 06

K 0B∞ = 113.450, 00 €

Ergebnis: Die unendliche Investitionskette B hat den größeren Barwert und ist damit der unendlichen Investitionskette A vorzuziehen.

90

12 Investitionsketten

12.3 Optimale Nutzungsdauer einer Einzelinvestition Einem Investor stellt sich häufig die Frage, wann er eine Maschine bzw. ein Aggregat wieder außer Dienst stellen soll. Beispielhaft wird von folgender Zahlungsreihe ausgegangen. Zahlungsreihe Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

350

300

250

350

150

Das heißt, wenn die Investition bis zum Zeitpunkt 7 durchgeführt wird, führt sie zu den angegebenen Zahlungssalden. Zum Zeitpunkt 7 hat die Maschine einen Restwert von 0,- € und wird entsorgt. Der Kalkulationszins betrage 8 %. Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt der Investor die Maschine veräußert, kann er folgende Liquidationserlöse erzielen: Mögliche Liquidationserlöse Zeitpunkt (n)

0

Liquidationserlös (LN)

1

2

3

4

5

6

7

800

650

550

450

350

300

0

Das heißt, wenn er die Maschine bereits nach einem Jahr verkauft, sieht die Zahlungsreihe wie folgt aus: Zahlungsreihe bei einjähriger Nutzungsdauer Zeitpunkt (n)

0

1

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

Liquidationserlös (LN)

800

Wenn der Investor die Maschine nach zwei Jahren außer Dienst stellt, kommt es zu folgender Zahlungsreihe. Zahlungsreihe bei zweijähriger Nutzungsdauer Zeitpunkt (n)

0

1

2

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

Liquidationserlös (LN)

650

Verkauft der Investor die Maschine zum Zeitpunkt 3 kann er mit folgender Zahlungsreihe rechnen.

12.3  Optimale Nutzungsdauer einer Einzelinvestition91 Zahlungsreihe bei dreijähriger Nutzungsdauer Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

350

Liquidationserlös (LN)

550

Entsprechend kann er die Maschine auch zu den Zeitpunkten 4, 5, 6 oder 7 außer Dienst stellen. Die Zahlungsreihen und Tabellen sehen analog aus. Da der Investor die optimale Nutzungsdauer sucht, muss er diejenige Zahlungsreihe auswählen, die den maximalen Barwert liefert. Das bedeutet, er muss für jede der sieben Alternativen den Barwert berechnen. Hierfür verwendet er die bekannte Formel: K 0i =



N

∑zn ⋅ q−n + LN ⋅ q−N

n= 0

Für die dreijährige Nutzungsdauer ergibt sich dann beispielhaft: K 0C = −1.000 + 400 ⋅1, 08−1 + 350 ⋅1, 08−2 + 350 ⋅1, 08−3 + 550 ⋅1, 08−3



K 0C = 384, 89 € Schließlich können für die sieben Alternativen A bis G folgende Barwerte berechnet werden. Barwerte für unterschiedliche Nutzungsdauern Alternative

A

B

C

D

E

F

G

Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

350

300

250

350

150

800

650

550

450

350

300

0

111

228

385

500

577

749

647

Liquidationserlös (LN) Barwert (K0 ) i

−1.000

Offenbar ist die sechsjährige Nutzungsdauer (Alternative F) optimal, weil sie zum höchsten Barwert führt.

92

12 Investitionsketten

12.4 Optimale Nutzungsdauer innerhalb einer Investitionskette Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass ein Investor einen unendlich langen Planungshorizont hat. Ihm wird das (aus dem vorherigen Kapitel bekannte) Investitionsobjekt angeboten. Der Kalkulationszins beträgt 8 %. Zahlungsreihe und mögliche Liquidationserlöse Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

350

300

250

350

150

800

650

550

450

350

300

0

Liquidationserlös (LN)

Zur Erinnerung: Die Tabelle ist so zu verstehen, dass dem Investor bei einer beispielsweise sechsjährigen Nutzungsdauer zum Zeitpunkt 6 der angegebene Liquidationserlös zufließt und die Zahlungsreihe mit dem Zeitpunkt 6 endet. Das heißt, wenn sich der Investor für die sechsjährige Nutzungsdauer entscheidet, sieht die Zahlungsreihe folgendermaßen aus. Zahlungsstrom eines Kettengliedes Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

350

300

250

350

Liquidationserlös (LN)

300

Im Unterschied zum vorherigen Kapitel („Einzelinvestition“) geht der Investor nun der Frage nach, welche Nutzungsdauer optimal ist, wenn er die gewählte Investition unendlich oft wiederholt. Wählt er beispielsweise eine zweijährige Nutzungsdauer, führt das zu folgender Zahlungsreihe: Zahlungsreihe bei zweijähriger Nutzungsdauer (N=2) Zeitpunkt (n)

0

1

Zahlungssaldo (Kette 1)

−1.000

400

Liquidationserlös (Kette 1)

2

3

4

…

∞·N - 1 ∞·N

…

−1.000

350 650

Zahlungssaldo (Kette 2)

−1.000

400

Liquidationserlös (Kette 2)

350 650

… Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

0

−1.000

400

400

12.4  Optimale Nutzungsdauer innerhalb einer Investitionskette93

Entsprechend sieht die Zahlungsreihe bei einer dreijährigen Nutzungsdauer aus. Zahlungsreihe bei dreijähriger Nutzungsdauer (N=3) Zeitpunkt (n)

0

1

2

Zahlungssaldo (Kette 1)

−1.000

400

350

3

4

5

400

350

6

…

∞·N –1

∞·N

…

350

−100

350

Liquidationserlös (Kette 1)

550

Zahlungssaldo (Kette 2)

−1.000

Liquidationserlös (Kette 2)

350 550

Zahlungssaldo (Kette 3)

−1.000

… Zahlungssaldo (zn)

−1.000

400

350

−100

400

350

−100

Dementsprechend sehen die Tabellen und Zahlungsreihen für die übrigen Nutzungsdauern (4, 5, 6 und 7) aus. Um die optimale Nutzungsdauer innerhalb der unendlichen Investitionskette zu finden, muss zunächst wieder für jede der sieben Alternativen der Barwert berechnet werden (siehe vorheriges Kapitel). Sodann kann der Barwert für die gesamte Investitionskette mit folgender Formel ermittelt werden:

Kette (i )

= K 0i ⋅

K0

AF ( N; p) p

Beispielsweise ergibt sich für eine zweijährige Nutzungsdauer (Alternative B) und einem Kalkulationszins von 8 %:

Kette ( B)

K0

= 227, 71 ⋅

Kette ( B)

K0

0, 5608 0, 08

= 1596

Die Annuität (ai ) eines einzelnen Kettengliedes wird wie folgt berechnet: Annuität eines Kettengliedes

ai = K 0i ⋅ AF ( N; p) 

Formel 12-7

94

12 Investitionsketten

Berechnung der Barwerte einer Investitionskette sowie die Annuität des Kettengliedes Alternative Zeitpunkt (n)

0

Zahlungssaldo (zn)

−1.000

Liquidationserlös (LN) Barwert (K0 )

A

B

C

D

E

F

G

1

2

3

4

5

6

7

400

350

350

300

250

350

150

800

650

550

450

350

300

0

−1.000

111

228

385

500

577

749

647

Barwert Kette (K0Kette)

0

1.500

1.596

1.867

1.885

1.807

2.025

1.553

Annuität Kettenglied (aiKettenglied)

0

120

128

149

151

145

162

124

i

Für die zweijährige Nutzungsdauer ergibt sich folgende Annuität (Alternative B): aB = 227, 71⋅ 0, 5608



aB = 128 Die Werte für die anderen Alternativen (A und C bis G) können analog berechnet werden. Die maximale Annuität bestimmt die optimale Nutzungsdauer eines Kettengliedes.3 ai = K 0i ⋅ AF ( N; p)



Der Tabelle kann entnommen werden, dass die Annuität maximal ist, wenn die Nutzungsdauer sechs Jahre beträgt. Demensprechend ist auch der Barwert der Kette beim Zeitpunkt n = 6 maximal (Alternative F): Kettenbarwert: K0Kette (F) = 2.025 € Annuität: aFKettenglied = 162 20AC Das Entscheidungskriterium lautet: Realisiere diejenige Investitionskette mit dem größten (positiven) Kettenbarwert bzw. der größten (projektindividuellen) Annuität.

3

Vgl. Adam (1999).

Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern

13

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Einfluss von Steuern auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionen behandelt. Dabei geht es um den steuerlichen Einfluss auf Einzelinvestitionen und Investititonsketten.

13.1 Einzelinvestitionen unter Berücksichtigung von Steuern In den vorangegangenen Kapiteln wurden steuerliche Effekte vernachlässigt. In diesem Kapitel soll der Einfluss von Steuern auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionen behandelt werden. Ausgangssituation: Ein Investitionsobjekt verursacht den folgenden Zahlungsstrom: Übersicht eines Zahlungsstroms einer Einzelinvestition Zeitpunkt (n)

0

1

2

…

N

Zahlung (znvS)

−Az0

z1

z2

…

zN

Mit: Az0 = Anschaffungsauszahlung znvS  = Zahlungssaldo vor Steuern

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_13

95

96

13  Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern

Für das weitere Vorgehen wird von folgenden Annahmen ausgegangen: • • • •

Die Investitionssumme wird linear abgeschrieben. Einzahlungsüberschüsse unterliegen der Steuer. Es wird eine proportionale Steuer mit konstantem Steuersatz (s) erhoben. Die absoluten Steuern (S) werden am Ende des Entstehungsjahres fällig, das heißt sie sind nachschüssig zu entrichten. • Der Investor erwirtschaftet mit oder ohne Investition in jedem Fall Gewinn, das heißt periodenübergreifende „Verlustvorträge“ sind nicht zu berücksichtigen. • Der bisher eingeführte Kalkulationszinssatz (p) heißt jetzt „Kalkulationszinssatz vor Steuern“ pvS. • Die erwirtschafteten Zinsen werden ebenfalls besteuert. Der steuerliche Effekt wird in drei Schritten berücksichtigt: Schritt 1: Anpassung der Zahlungsreihe Schritt 2: Anpassung des Kalkulationszinssatzes Schritt 3: Berechnung des Barwertes nach Steuern Schritt 1: Anpassung der Zahlungsreihe Zunächst muss die gegebene Zahlungsreihe angepasst werden. In diesem Kapitel wird die gegebene Zahlungsreihe auch „Zahlungsreihe vor Steuern“ genannt. Für die Anschaffungsauszahlung (Az0) wird die Abschreibung (AfA) pro Periode ermittelt, d. h. auf die Nutzungsdauer (N) „verteilt“:

AfA = Az 0 / N

Die Abschreibung schmälert in jedem Jahr den „Gewinn“ (gn), das heißt den Einzahlungsüberschuss (zn), der aus der Investition resultiert:

g n = z n – AfA

Für den erzielten „Gewinn“ (gn) muss in jedem Jahr eine Steuer (Sn) entrichtet werden, die mit dem prozentualen Steuersatz (s) berechnet wird:

Sn = s ⋅ g n

Da die Steuern jährlich zu entrichten sind, wird die „Zahlungsreihe vor Steuern“ (znvS) um die Steuerzahlungen gemindert. Daraus resultiert die „Zahlungsreihe nach Steuern“ (znnS).

13.1  Einzelinvestitionen unter Berücksichtigung von Steuern97 Anpassung der Zahlungsreihe (blanko) Formel Zeitpunkte

n

0

Zahlungsreihe vor Steuern

zn

Abschreibung

AfA = Az0/N

Gewinn

gn = znvS – AfA

1

2

3

4

5

…

N

vS

Steuern

Sn = s ∙ gn

Zahlungsreihe nach Steuern

znnS = zn − Sn

Schritt 2: Anpassung des Kalkulationszinssatzes (p) Da Zinserträge der Besteuerung unterliegen, müssen für diese Steuern gezahlt werden in Höhe von (pvS ∙ s). Nach Steuern verbleibt der Kalkulationszinssatz (pnS). Zinssatz nach Steuern

p nS = p vS − p vS ⋅ s



p nS = p vS (1 − s)

Formel 13-1

Schritt 3: Berechnung des Barwertes (K0nS) nach Steuern Barwert nach Steuern K 0nS =



N

−n

∑z nS n ⋅(1 + pnS )



Formel 13-2

n= 0

Beispiel 13.1: Investition unter Berücksichtigung von Steuern

Der Zahlungsstrom einer Investition stellt sich vor Steuern wie folgt dar: Zahlungsstrom einer Investition vor Steuern Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungssaldo (znvS)

−1.000

400

350

350

300

250

200

150

Es gilt ein Steuersatz in Höhe von s = 40 %. Außerdem soll von einem Kalkulationszinssatz vor Steuern in Höhe von pvS = 8 % ausgegangen werden.

98

13  Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern

Für Vergleichszwecke wird zunächst der Barwert wie in den vorherigen Kapiteln ermittelt, d. h. der „Barwert vor Steuern“. K 0vS =



N

−n

∑znvS ⋅(1 + pvS ) n= 0

K 0vS = −1.000 + 400 ⋅1, 08−1 + 350 ⋅1, 08−2 + 350 ⋅1, 08−3 + 300 ⋅1, 08−4 + 250 ⋅1, 08−5 +200 ⋅1, 08−6 + 150 ⋅1, 08−7 K 0vS = 553 € Der Barwert nach Steuern wird nun schrittweise ermittelt: Schritt 1: Anpassung der Zahlungsreihe (Tab. 13.1): Tab. 13.1  Anpassung der Zahlungsreihe Zeitpunkte (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungsreihe vor Steuern (znvS)

−1.000

400

350

350

300

250

200

150

Abschreibung (AfA = Az0/N)

−

143

143

143

143

143

143

143

Gewinn (gn = zn − AfA)

−

257

207

207

157

107

57

7

Steuern (Sn = s ∙ gn)

−

103

83

83

63

43

23

3

Zahlungsreihe nach Steuern (znnS = znvS − Sn)

−1.000

297

267

267

237

207

177

147

Schritt 2: Anpassung des Kalkulationszinssatzes vor Steuern (pvS) Nach Steuern verbleibt der Kalkulationszins (pnS).

p nS = p vS (1 − s)



p nS = 0, 08 (1 − 0, 40) p nS = 0, 048 = 4, 8 %

13.2  Investitionsketten unter Berücksichtigung von Steuern99

Schritt 3: Berechnung des Barwertes (K0nS) der Einzelinvestition nach Steuern Barwert der Einzelinvestition nach Steuern: K 0nS =

N

−n

∑znnS ⋅(1 + pnS )

n= 0

K 0nS = −1.000 + 297 ⋅1, 048−1 + 267 ⋅1, 048−2 + 267 ⋅1, 048−3 + 237 ⋅1, 048−4 + 207 ⋅1, 048−5 + 177 ⋅1, 048−6 + 147 ⋅1, 048−7 K 0nS = 358� € Fazit: Da der Barwert nach Steuern in Höhe von 358  € positiv ist, ist die Investition vorteilhaft. Zur Erinnerung: Der Barwert vor Steuern betrug 553  €. Das zeigt, dass die Erhebung von Steuern die Vorteilhaftigkeit von Investitionen i. d. R. verschlechtert. Mit anderen Worten: die Zahlung von Steuern „belastet“ die Investition. In besonderen Fällen kann es vorkommen, dass die Einbeziehung von Steuern den Kapitalwert erhöht. Dies ist denkbar, wenn sich zunächst hohe Steuereinsparungen erzielen lassen, denen erst deutlich später Steuerzahlungen folgen. Dieser Fall wird „Steuerparadoxon“ genannt.

13.2 Investitionsketten unter Berücksichtigung von Steuern Ausgangssituation: Ein Investitionsobjekt verursacht den folgenden Zahlungsstrom: Übersicht eines Zahlungsstroms einer Einzelinvestition Zeitpunkt (n)

0

1

2

…

N

Zahlung (znvS)

−Az0

z1

z2

…

zN

Mit: Az0 = Anschaffungsauszahlung znvS = Zahlungssaldo Je nachdem wann das Projekt beendet wird, erhält der Investor den angegebenen Liquidationserlös. Übersicht der Liquidationserlöse Zeitpunkt (n) Liquidationserlös (LN)

0

1

2

…

N

L1

L2

…

LN

100

13  Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern

Wird die Investition n Jahre genutzt, so wird sie durch ein Investitionsobjekt identischen Typs ersetzt, welches wiederum n Jahre genutzt wird usw. Dies wird unendlich oft durchgeführt. Tabellarisch lässt sich dies wie folgt darstellen (s. Tab. 13.2): Annahmen: Tab. 13.2  Übersicht eines Zahlungsstroms einer Investitionskette Zeitpunkt

0

…

N

erstes Objekt

−Az0

…

zn+Ln

Nachfolgeobjekt 1

…

−Az0

2 N

…

…

3 N

…

zn+Ln

zn+Ln

Nachfolgeobjekt 2

−Az0

Nachfolgeobjekt 3

• • • • • • •

…

−Az0

…

Die Investitionssumme wird linear abgeschrieben. Die Einzahlungsüberschüsse unterliegen der Steuer. Es fällt eine proportionale Steuer mit konstantem Steuersatz (s) an. Die absoluten Steuern (S) sind am Ende des Entstehungsjahres fällig. Der Investor erwirtschaftet mit oder ohne Investition in jedem Fall Gewinn. Der Kalkulationszinssatz vor Steuern beträgt pvZ. Die Zinsen werden ebenfalls besteuert.

Schritt 1: Anpassung der Zahlungsreihe (Tab. 13.3): Tab. 13.3  Anpassung der Zahlungsreihe Formel Zeitpunkte

n

0

Zahlungsreihe vor Steuern

zn

Abschreibung

AfA = Az0/N

Gewinn

gn = znvS − AfA

Steuern

Sn = s ∙ gn

Zahlungsreihe nach Steuern

znnS = zn − Sn

1

2

3

4

5

6

7

vS

Schritt 2: Anpassung des Kalkulationszinssatzes (p) Da Zinserträge der Besteuerung unterliegen, müssen für diese Steuern gezahlt werden (pvS ∙ s). Nach den Steuern verbleibt der Kalkulationszins (pnS).

13.2  Investitionsketten unter Berücksichtigung von Steuern101

Zinssatz nach Steuern

p nS = p vS − p vS ⋅ s



p nS = p vS (1 − s) 

Formel 13-3

Schritt 3: Berechnung des Barwertes (K0nS) der Einzelinvestition nach Steuern Barwert nach Steuern: Barwert nach Steuern

K 0nS =

N

−n

∑znnS ⋅(1 + pnS )

n= 0

−n

+ LN ⋅(1 + p nS )



Formel 13-4

Schritt 4: Berechnung des Barwertes der Investitionskette nach Steuern K 0Kette nS = K 0nS ⋅



AF ( N; p nS ) p nS



Schritt 5: Berechnung der Annuität in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer Für jede mögliche Nutzungsdauer der Einzelinvestition wird die zugehörige Annuität nach Steuern (anS) berechnet: Annuität eines Kettengliedes a nS = K 0nS ⋅ AF ( N; p nS ) 



Formel 13-5

Schritt 6: Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer Die maximale Annuität bestimmt die optimale Nutzungsdauer.

Beispiel 13.2: Identische unendliche Investitionskette mit Steuern

Der Zahlungsstrom einer Einzelinvestition und die möglichen Liquidationserlöse sind in der folgenden Tabelle dargestellt: Zahlungsstrom eines Kettengliedes Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungssaldo (znvS)

−1.000

400

350

350

300

250

200

150

800

650

550

450

350

300

0

Liquidationserlös (LN)

Der Steuersatz betrage s = 40 % und der Kalkulationszinssatz p = 8 %.

102

13  Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern

Schritt 1: Anpassung der Zahlungsreihe Anpassung der Zahlungsreihe Zeitpunkte (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

Zahlungsreihe vor Steuern (znvS)

−1.000

400

350

350

300

250

200

150

Abschreibung (AfA = Az0/N)

−

143

143

143

143

143

143

143

Gewinn (gn = zn – AfA)

−

257

207

207

157

107

57

7

Steuern (Sn = s ∙ gn)

−

103

83

83

63

43

23

3

Zahlungsreihe nach Steuern (znnS = znvS – Sn)

−1.000

297

267

267

237

207

177

147

Liquidationserlös (LN)

−

800

650

550

450

350

300

0

Schritt 2: Anpassung des Kalkulationszinssatzes (p) Nach Steuern verbleibt der Kalkulationszins pnS.

p nS = p vS (1 − s)



p nS = 0, 08 (1 − 0, 40)



p nS = 0, 048 = 4, 8 % Schritt 3: Berechnung des Barwertes (K0nS) der Einzelinvestition nach Steuern Der Barwert der Einzelinvestition nach Steuern beträgt:



K 0nS =

N

−n

∑znnS ⋅(1 + pnS )

n= 0

−n

+ LN ⋅(1 + p nS )



Dann ergibt sich beispielsweise für N = 3:

K 0nS = −1.000 + 297 ⋅1, 048−1 + 267 ⋅1, 048−2 + 267 ⋅1, 048−3 + 550 ⋅1, 048−3 K 0nS = 236

13.2  Investitionsketten unter Berücksichtigung von Steuern103

Schritt 4: Berechnung des Barwertes der Investitionskette nach Steuern Der Barwert der gesamten Investitionskette nach Steuern lässt sich wie folgt berechnen: K 0Kette nS = K 0nS ⋅



AF ( N; p nS ) p nS



Dann ergibt sich beispielsweise für N = 3: AF ( N; p nS ) =



0, 048 = 0, 3658 1 −1, 048−3

K 0Kette nS = 236 ⋅

0, 3658 0, 048

K 0Kette nS = 1799 Schritt 5: Berechnung der Annuität in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer Für jede mögliche Nutzungsdauer lässt sich die zugehörige Annuität der Einzelinvestition nach Steuern berechnen (Tab. 13.4): a nS = K 0nS ⋅ AF ( N; p nS )



Für die verschiedenen Nutzungsdauern ergeben sich folgende Werte: Tab. 13.4  Berechnung des Barwertes einer Einzelinvestition, des Barwertes der Investitionskette und der Annuität der Einzelinvestition Zeitpunkt (n)

0

Zahlungssaldo nach Steuern (znnS)

−1.000

Liquidationserlös (LN) Barwert (K0nS) Barwert Kette (K0Kette nS) Annuität Ketteng (aKettenglied nS)

−1.000

1

2

3

4

5

6

7

297

267

267

237

207

177

800

650

550

450

350

300

147

47

118

236

328

396

479

358

1.026

1.318

1.799

1.918

1.895

1.954

1.280

49

63

86

92

91

94

61

Fazit: Die optimale Nutzungsdauer beträgt 6  Jahre, weil dann der Barwert der gesamten Investitionskette und die Annuität am größten ist.

Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

14

Zusammenfassung

Für sämtliche Investitionsrechnungen ist die Wahl des Kalkulationszinssatzes von entscheidender Bedeutung. In diesem Kapitel werden Kalkulationszinssätze in Abhängigkeit vom Kontext vorgestellt: • • • •

Immobilienbewertung Fremd- oder Eigenfinanzierung Dynamische Kostenvergleichsrechnung Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV)

Neben der zeitlichen Struktur und Höhe der Investitionszahlungen nimmt der Kalkulationszinssatz eine Schlüsselrolle bei der Bewertung von Investitionen ein. In seiner Hauptfunktion dient der Kalkulationszinssatz als Bewertungsmaßstab für die Vorteilhaftigkeit von Investitionen indem er Opportunitätsüberlegungen zum Ausdruck bringt.

14.1 Fremd- oder Eigenfinanzierung Beabsichtigt ein Investor eine Investition durchzuführen, so muss er vor der Durchführung der dynamischen Investitionsrechnung (z. B. Barwertmethode, Annuitätenmethode oder Interne-Zinssatz-Methode) den Kalkulationszinssatz festlegen, den er mindestens von dem Investitionsobjekt fordert. Mit dieser subjektiven Mindestverzinsungsanforderung wird das Vorhaben dann kalkuliert. Mit der Festlegung des Kalkulationszinssatzes können die Finanzierungsverhältnisse und die erwarteten Risiken berücksichtigt werden.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_14

105

106

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Für praktische Zwecke wird unter den Bedingungen eines unvollkommenen Kapitalmarktes von einem näherungsweise bestimmten Kalkulationszinssatz bzw. Soll- oder Habenzinssatz ausgegangen.

14.1.1 Kalkulationszinssatz bei Eigenfinanzierung Bei der Überlegung, eine Investition vollständig aus eigenen Mitteln zu finanzieren, steht dem Investor als Alternative zur Durchführung der betrieblichen Investition die Anlage seiner finanziellen Mittel am Kapitalmarkt offen. Aus diesem Grund kann sein Kalkulationszinssatz (pe = Kalkulationszinssatz bei Eigenfinanzierung) nicht kleiner sein als der Habenzinssatz einer bestimmten Kapitalmarkanlage.

pe ≥ Habenzinssatz

Mit dem Habenzinssatz wird die absolute Untergrenze für den Kalkulationszinssatz am Kapitalmarkt dargestellt. I. d. R. liegt der Kalkulationszinssatz über dem Habenzinssatz, da der Investor durch die Kapitalbindung im Investitionsobjekt ein Risiko eingeht. Als eine Faustregel soll an dieser Stelle gesagt werden, dass je größer das mit der Durchführung der Investition verbundene Risiko ist, desto höher wird der Kalkulationszinssatz angesetzt. Wird der Risikozuschlag, den ein Investor bei einer bestimmten Investition veranschlagt, mit (γ) bezeichnet, so ergibt sich folgender Kalkulationszinssatz: Kalkulationszinssatz bei Eigenfinanzierung

pe = Habenzinssatz + γ

Formel 14-1

14.1.2 Kalkulationszinssatz bei Fremdfinanzierung Bei vollständiger Fremdfinanzierung orientiert sich die Mindestverzinsungsanforderung am Sollzins des Kapitalmarktes und kann daher nicht kleiner sein als der Zinssatz, den der Investor für das überlassene Fremdkapital bezahlen muss. Dabei repräsentiert der Fremdkapitalzinssatz die Untergrenze. Die Mindestverzinsungsanforderung des Investors liegt um den Risikozuschlag γ über der Untergrenze. Daher gilt: Kalkulationszinssatz bei Fremdfinanzierung

p f = Sollzinssatz + γ

Formel 14-2

14.1.3 Kalkulationszinssatz bei Mischfinanzierung (WACC-Ansatz) Eine weitere Methode zur Festlegung des Kalkulationszinssatzes ist der WACC-Ansatz (weighted average cost of capital). Der WACC-Ansatz basiert auf den gewogenen durchschnittlichen Kapitalkosten des eingesetzten Fremd- und Eigenkapitals unter

14.2 Immobilienbewertung107

Berücksichtigung des Investitionsrisikos und den auf eine anteilige Fremdfinanzierung zurückzuführenden Steuerwirkungen. Wirt ein einheitlicher Steuersatz (s) unterstellt, ergeben sich die Kapitalkosten nach dem WACC-Ansatz nach folgender Formel: Weighted Average Cost of Capital (WACC)

pWACC = pe ⋅

EK FK + pf ⋅ ⋅ (1 − s) EK + FK EK + FK

Formel 14-3

Mit: pe = Eigenkapitalkostensatz pf  = Fremdkapitalkostensatz s    = Steuersatz Die geforderte Rendite der Eigenkapitalgeber ( pe) wird im WACC-Ansatz mithilfe des Capital Asset Pricing Models (CAPM) als risikoangepasster Zinssatz ermittelt.1

14.2 Immobilienbewertung Bei der Immobilienbewertung nimmt der Liegenschaftszinssatz als „Kalkulationszinssatz“ eine zentrale Rolle ein. Der Begriff „Liegenschaftszinssatz“ ist in § 14 Abs. 3 Immobilienwertermittlungsverordnung (ImmoWertV) definiert: Liegenschaftszinssätze sind die Zinssätze, mit denen Verkehrswerte von Grundstücken je nach Grundstücksart im Durchschnitt marktüblich verzinst werden. Der Liegenschaftszinssatz wird dem „Kapitalisierungszinssatz“ in § 193 Abs. 5, Satz 2, Nr. 1 Baugesetzbuch (BauGB) gleichgesetzt. Zur Immobilienbewertung wird u. a. auch das Ertragswertverfahren verwendet. Dabei stellt die weiter vorne vorgestellte Barwertmethode den Rechenkern dar. Das Ertragswertverfahren wird insbesondere angewendet, wenn der marktüblich erzielbare Ertrag, d. h. die Renditeerwartung im Vordergrund steht. Dies trifft für Miet- und Geschäftsgrundstücke zu. Vereinfacht kann gesagt werden, dass die Mieteinnahmen (nach Abzug der Bewirtschaftungskosten und einer so genannten Bodenwertverzinsung) mit dem Liegenschaftszinssatz und der Restnutzungsdauer des Gebäudes kapitalisiert werden. Zum so genannten Gebäudeertragswert wird der Boden addiert. Berechnung Ertragswert nach ImmoWertV

EW = ( RE − BW ⋅ plz ) ⋅ V + BW = RE ⋅ V +

BW qn

Formel 14-4

Die Höhe von Liegenschaftszinssätzen ist entsprechend der Art und Lage einer Immobilie unterschiedlich. Je höher das Vermarktungsrisiko, desto höher der Liegenschaftszinssatz. 1

Vgl. Blohm et al. (2012).

108

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Die Ermittlung des Liegenschaftszinssatzes erfolgt auf der Grundlage geeigneter Kaufpreise und der ihnen entsprechenden Reinerträge für gleichartig bebaute und genutzte Grundstücke unter Berücksichtigung der Restnutzungsdauer der Gebäude nach den Grundsätzen des Ertragswertverfahrens (§  14 Abs.  3 ImmoWertV). Die Ermittlung des Liegenschaftszinssatzes ist Aufgabe der Gutachterausschüsse für Grundstückswerte und erfolgt bei längerer Restnutzungsdauer näherungsweise mit folgender Formel: Berechnung Liegenschaftszinssatz nach ImmoWertV

plz =

RE KP

Formel 14-5

Erläuterungen: EW : Ertragswert RE       : Reinertrag KP       : normierter Kaufpreis BW: Bodenwert V                     :     Vervielfältiger = Rentenbarwertfaktor (in ImmoWertV: Bartwertfaktor für die Kapitalisierung) plz                : Liegenschaftszinssatz q                          : Zinsfaktor 1 + p n                          : Restnutzungsdauer (§ 6 Abs. 6 ImmoWertV)

14.3 Dynamische Kostenvergleichsrechnung (Wasserwirtschaft) Die Bund/Länder-Arbeitsgemeinschaft Wasser (LAWA) und die Deutsche Vereinigung für Wasserwirtschaft, Abwasser und Abfall e.V. (DWA) geben seit vielen Jahrzehnten die Leitlinien für dynamische Kostenvergleichsrechnungen (KVR-Leitlinien) heraus. Damit sollen Wirtschaftlichkeitsrechnungen für Projekte wasserwirtschaftlicher Infrastruktur vereinheitlicht und erleichtert werden. Außerdem sollen damit häufig gemachte Fehler im Rahmen wasserwirtschaftlicher Projekte vermieden werden. Zu diesen Fehlern gehören die unvollständige Berücksichtigung aller auftretenden Kostenwirkungen, das Treffen unbegründbarer Annahmen bezüglich der Nutzungsdauer, des Zinssatzes bzw. der Preissteigerungen sowie die Übernahme von unpassenden Näherungsansätzen aus der allgemeinen Betriebs- und Finanzwirtschaft, die die Langlebigkeit von wasserwirtschaftlicher Infrastruktur nicht berücksichtigt. Die in den KVR-Leitlinien beschriebene dynamische Kostenvergleichsrechnung (KVR) dient dazu, aus einer Anzahl von Alternativen die zur Erreichung einer bestimmten Leistung kostengünstigste Lösung zu finden. Voraussetzung ist, dass alle Investitionsprojekte den gleichen Nutzen erbringen, es sei denn, die kostengünstigste Alternative hat gleichzeitig den größten Nutzen. Schließlich müssen monetär nicht bewertbare Kostenwirkungen gleichwertig bzw. vernachlässigbar sein. Daraus ergibt sich, dass die dynamische Kostenvergleichsrechnung nur eine Aussage über die relative Vorteilhaftigkeit zulässt. Sind die

14.3  Dynamische Kostenvergleichsrechnung (Wasserwirtschaft)109

Bedingungen nicht eingehalten, so kann die dynamische Kostenvergleichsrechnung nur ein erster Teilschritt der Bewertung sein. Bei der dynamischen Kostenvergleichsrechnung handelt es sich um ein dynamisches Verfahren der Investitionsrechnung, das der Barwertmethode entspricht. Der einzige nennenswerte Unterschied besteht darin, dass lediglich Kosten betrachtet werden, d. h. zunächst die Anschaffungsauszahlung und später die laufenden Kosten. Da diese Kosten nicht mit einem negativen Vorzeichen versehen werden, werden sämtliche Kosten positiv dargestellt. Mit dieser Kosten-Zahlungsreihe wird für verschiedene Alternativen jeweils ein Projektkostenbarwert ermittelt. Mit Blick auf die Entscheidungsregel ist zu beachten, dass diejenige Alternative die Vorteilhafteste ist, dessen Projektkostenbarwert am niedrigsten ist. Damit lässt sich die relative Vorteilhaftigkeit von Investitionsalternativen ermitteln. Vor der Anwendung der Kostenvergleichsrechnung sind zunächst die Problemstellung zu analysieren und die zu erreichenden Ziele festzulegen. Im zweiten Schritt gilt es, verschiedene Alternativen zur Erreichung dieser Ziele zu finden und darzustellen. Im dritten Schritt wird die Eignung der dynamischen Kostenvergleichsrechnung überprüft. Stellt sich die dynamische Kostenvergleichsrechnung als geeignet heraus, so läuft die eigentliche Berechnung in fünf Schritten ab: 1. Kostenermittlung 2. Finanzmathematische Aufbereitung der Kosten zur Berechnung der Kostenbarwerte 3. Kostengegenüberstellung 4. Sensitivitätsanalyse und Ermittlung kritischer Werte 5. Gesamtbeurteilung und Ergebnisinterpretation. Im Folgenden soll auf den zu wählenden Zinssatz näher eingegangen werden. Die KVR-Leitlinien sprechen eine klare Empfehlung aus, den Kostenvergleichsrechnungen einen langfristigen Zinssatz von 3 % p.a. als Standardwert zugrunde zu legen. Im Rahmen von Sensitivitätsanalysen hinsichtlich der Höhe des Zinssatzes und ihrer Auswirkungen auf die Wirtschaftlichkeit sollte eine Bandbreite von 2 bis höchstens 5 % p.a. verwendet werden. Die vorstehend genannten Zinssätze sind als Realgröße angegeben, da das Prinzip der Realbewertung zu beachten ist. Für den Realzinssatz, den Nominalzinssatz und die Geldendwertungsrate gilt der folgende Zusammenhang:

pnR =

1 + pn p − gn −1 = n 1 + gn 1 + gn

Mit: pnR  = Realzinssatz der Periode n pn  = Nominalzinssatz der Periode n gn  = Geldentwertungsrate der Periode n Diese Umrechnung ist jedoch nur für vergangenheitsorientierte Betrachtungen von Interesse.

110

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

14.4 Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV) In Kap. 7 wurde die Interne Zinsfuß-Methode erläutert. In diesem Kapitel soll das Thema nochmals im Zusammenhang mit der Berechnung des Effektivzinssatzes bei Darlehen aufgegriffen werden. Bei der Kreditvergabe werden zwei Arten von Zinsen genannt, der Sollzins (auch Nominalzins genannt) und der Effektivzins. Der Sollzins gibt an, wie teuer das geliehene Kapital pro Jahr bezogen auf den Darlehensbetrag (Nominalwert) ist. Nach § 6 Preisangabenverordnung (PAngV) muss in einem Kreditangebot zusätzlich der Effektivzins genannt werden, um verschiedene Angebote miteinander vergleichbar zu machen. Der Effektivzinssatz ist für Kreditinteressierte aussagekräftiger als der Sollzinssatz. Der Effektivzinssatz berücksichtigt zusätzlich bestimmte Kosten und finanzmathematische Effekte, die einen Kredit teuer oder preiswert machen. Hierzu gehören beispielsweise: • • • • •

Zins- und Tilgungsverrechnung Kontoführungsmethode Laufzeit Auszahlungskurs bzw. Disagio Zinsbindungsfrist

Andere Kosten, die mit dem Abschluss eines Kreditvertrages anfallen können, werden bei der Effektivzinsberechnung nicht berücksichtigt: • • • • • •

Mahngebühren Kontoführungsgebühren Bereitstellungszinsen Notarkosten Kosten für die Bereitstellung von Sicherheiten etwaige Versicherungsprämien

Viele weitere Informationen zu Darlehnsverträgen und Erläuterungen zu Begrifflichkeiten finden sich in Noosten (2015). Preisangabenverordnung (PAngV) In der Preisangabenverordnung wird für die Berechnung des Effektivzinssatzes die nachfolgende Formel angegeben (Anlage zu § 6 PAngV). Der vollständige Wortlaut mit Anlage ist im Anhang abgedruckt. Die verwendeten Formelzeichen weichen von den hier benutzten ab:

14.4  Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV)111

Effektivzinsberechnung nach PAngV m



m´

−tk

∑

Ck (1 + X )

=

k =1

−sl

∑Dl (1 + X )



Formel 14-6

l

Mit: X = Effektiver Jahreszins m = laufende Nummer des letzten Kreditauszahlungsbetrags k = laufende Nummer eines Kreditauszahlungsbetrags Ck = Höhe des k-ten Kredit-Auszahlungsbetrags tk = der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen der ersten Darlehensvergabe und dem Zeitpunkt der einzelnen nachfolgenden in Anspruch genommenen Kredit-Auszahlungsbeträge m′ = laufende Nummer der letzten Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung l = laufende Nummer einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung Dl = Betrag einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung sl = der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen dem Zeitpunkt der Inanspruchnahme des ersten Kredit-Auszahlungsbetrags und dem Zeitpunkt jeder einzelnen Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung Letztlich stellt die Formel das Gleiche dar, wie das Formelwerk zur Berechnung des internen Zinsfußes. Dies wird besonders deutlich, wenn obige Formel umgestellt wird: m



−tk

∑

0=−

Ck (1 + X )

k =1

m´

+

−sl

∑Dl (1 + X )



l

Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Auszahlungen hier nicht mit einem negativen Vorzeichen einzugeben sind, sondern als Betrag. Darüber hinaus können mehrere Auszahlungen berücksichtigt werden. Gibt es lediglich eine Auszahlung zum Zeitpunkt 0, kann auch geschrieben werden: m´



0 = −C0 +

−sl

∑Dl (1 + X )



l

Besteht die Gegenleistung in einer konstanten Zahlung (Annuität) wie es bei Annuitätendarlehen der Fall ist, kann auch die aus den vorherigen Kapiteln bekannte Formel verwendet werden: Berechnung des Effektivzinssatzes N



C=

−n

∑a ⋅ (1 + p) n= 0



Formel 14-7

112

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Oder: −n

1 − (1 + p) C = a⋅ p

Oder:



C = a ⋅V 0 = −C + a ⋅ V



Tietze definiert den Effektivzinssatz folgendermaßen: Unter dem Effektivzinssatz einer Zahlungsreihe versteht man denjenigen (im Zeitablauf konstanten) nachschüssigen Jahreszinssatz, bei dessen Anwendung Leistungen und Gegenleistungen finanzmathematisch äquivalent sind.2

Anders gesagt, ist der Effektivzinssatz derjenige Zinssatz, bei dem sich auf einem fiktiven Vergleichskonto ein Kontoendstand von Null ergibt, wenn alle Leistungen (Einzahlungen) und alle Gegenleistungen (Auszahlungen) über dieses Konto abgewickelt und zum Effektivzinssatz verzinst werden.

Beispiel 14.1: Abrechnung mit dem Sollzinssatz und mit dem effektiven Jahreszins

Über ein Darlehen ist folgendes bekannt: Darlehensbetrag:

120.000 €

Sollzinssatz:

3 % p.a.

Annuität:

62.713,30 €

Disagio:

2 % bzw. 2.400 €

Auszahlungsbetrag:

117.600 €

Laufzeit:

2 Jahre

Effektivzins:

4,4052 %

Zahlungsweise:

jährlich nachschüssig

Im Folgenden wird zunächst gezeigt, wie die Annuität berechnet wird. a = K 0 ⋅ ANF (3%; 2 J.)



2

Tietze (2014).

a = 120.000 ⋅

p 1 − q−n

a = 120.000 ⋅

0, 03 1 −1, 03−2

14.4  Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV)113

a = 120.000 ⋅ 0, 522610837



a = 62.713, 30 € Der Restschuldverlauf sieht wie folgt aus (s. Tab. 14.1). Tab. 14.1  Restschuldverlauf mit Sollzinssatz Jahr

Anfangsschuld

Annuität (a)

Darlehenszinsen (P) p = 3 %

Tilgung (T)

Restschuld

1

−120.000,00 €

62.713,30 €

−3.600,00 €

+59.113,30 €

−60.886,70 €

2

−60.886,70 €

62.713,30 €

−1.826,60 €

+60.886,70 €

0,00 €

Der Effektivzinssatz wird durch Nullsetzen der Barwertfunktion berechnet:

0 = −117.600 + 62.713, 30 ⋅ q−1 + 62.713, 30 ⋅ q−2 Wenn die Gleichung mit q2 multipliziert wird ergibt sich:



0 = −117.600 ⋅ q 2 + 62.713, 30 ⋅ q1 + 62.713, 30 Wenn die Gleichung durch (−117.600) geteilt wird ergibt sich die normierte quadratische Gleichung: q2 +



62.713, 30 62.713, 30 q+ =0 117.600 −117.600

Mithilfe der „p,q-Formel“ lässt sich der Zinsfaktor q berechnen. 62.713, 30 ± −117.600 ⋅ 2

 62.713, 30 2 62.713, 30  −  −117.600 ⋅ 2  −117.600



q1/ 2 = −



q1/ 2 = 0, 266638182 ± 0, 604372285



q1/ 2 = 0, 266638182 ± 0, 777413844



q1 = 1, 044051964 Mit q1 = 1+p1 ergibt sich für p1:



p1 = 0, 044051964 p1 = 4, 4052%

114



14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Für q2 ergibt sich:

q2 = −0, 51077

Mit q2 = 1+p2 ergibt sich für p2: p2 = −1, 51077



Da der Zinssatzsatz p2 = −151,077 % ökonomisch nicht interpretierbar ist, lässt sich für den Effektivzinssatz p1 = 4,4052 % angeben. Mithilfe der Abrechnung des fiktiven Vergleichskontos mit dem Effektivzinssatz von p1 = 4,4052 % lässt sich prüfen, ob der Effektivzins richtig angegeben bzw. berechnet wurde. Das ist der Fall, wenn das fiktive Vergleichskonto nach Abrechnung aller Zahlungen zu einem Kontoendstand von Null führt (s. Tab. 14.2). Anhand des Beispiels lässt sich erkennen, dass der Effektivzinssatz durch das Einbeziehen des Disagios ansteigt. Das mit dem Effektivzinssatz von 4,4052 % abgerechnete Tab. 14.2  Abrechnung des fiktiven Vergleichskontos mit dem Effektivzinssatz Jahr

Kontoanfangsstand

Annuität (a)

Guthabenzinsen (P) p = 4,4052 %

Kontoendstand

1

+117.600,00 €

−62.713,30 €

+5.180,52 €

60.067,22 €

2

60.067,22 €

62.713,30 €

2.646,08 €

0,00 €

Vergleichskonto weist am Ende des zweiten Jahres einen Kontoendstand von Null Euro auf, d. h. die Höhe des Effektivzinssatzes wurde korrekt angegeben.

Aufgabe 14.2: Effektivzinsberechnung für ein Darlehen mit Disagio

Ein Kreditnehmer benötigt 116.400  €. Diesen Betrag möchte er über einen Kredit finanzieren und nach 10 Jahren schuldenfrei sein. Folgende Angebote hat er von zwei verschiedenen Banken erhalten: Bank A: Darlehensbetrag:

116.400 €

Sollzinssatz:

3,0 % p.a.

Hinweis:

hier entspricht der Sollzinssatz dem Effektivzinssatz, d. h. pSoll = peff.

Auszahlungsbetrag:

116.400 €

Laufzeit:

10 Jahre

Zahlungsweise:

jährlich nachschüssig

14.4  Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV)115

Bank B: Darlehensbetrag:

120.000 €

Sollzinssatz:

2,6 % p.a.

Disagio:

3 % bzw. 3.600 €

Auszahlungsbetrag:

116.400 €

Laufzeit:

10 Jahre

Zahlungsweise:

jährlich nachschüssig

Berechnen Sie für beide Angebote die erforderliche jährliche Annuität und zusätzlich für Angebot B näherungsweise den Effektivzinssatz. Entscheiden Sie, welches Darlehen günstiger ist. Lösung Bank A: Berechnung der Annuität: a = K 0 ⋅ AF ( N; p) a =116.400 ⋅ 0,1172 a =13.642, 08 € Die Zahlungsreihe für diesen Kredit sieht wie folgt aus:

¼ ¼



Q 

¼





¼



±¼ Zahlungsreihe Annuitätendarlehen Bank A, pSoll = 3,0%



116

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Bank B: Berechnung der Annuität: N

(1 + p) ⋅ p a = K0 ⋅ N (1 + p) −1 10

a =120.000 ⋅

(1 + 0, 026) ⋅ 0, 026 10 (1 + 0, 026) −1

a =13.782, 00 € Oder: a =120.000 ⋅ AF (2, 6%;10 J.) a =120.000 ⋅ 0,11485 a =13.782 € Die Zahlungsreihe für diesen Kredit sieht wie folgt aus:

¼ ¼



Q 

¼





¼





±¼ Zahlungsreihe Annuitätendarlehen Bank B, pSoll = 2,6%

Der Tilgungs- und Restschuldverlauf sieht tabellarisch wie folgt aus (Tab. 14.3):

14.4  Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV)117 Tab. 14.3  Tilgungsverlauf Bank B Jahr (n)

Anfangsschuld

Annuität (a)

Zinsen (P) p = 2,6 %

Tilgung (T)

Restschuld

1

120.000,00 €

13.782,00 €

3.120,00 €

10.662,00 €

109.338,00 €

2

109.338,00 €

13.782,00 €

2.842,79 €

10.939,21 €

98.398,80 €

3

98.398,80 €

13.782,00 €

2.558,37 €

11.223,63 €

87.175,17 €

4

87.175,17 €

13.782,00 €

2.266,55 €

11.515,44 €

75.659,73 €

5

75.659,73 €

13.782,00 €

1.967,15 €

11.814,84 €

63.844,89 €

6

63.844,89 €

13.782,00 €

1.659,97 €

12.122,03 €

51.722,86 €

7

51.722,86 €

13.782,00 €

1.344,79 €

12.437,20 €

39.285,66 €

8

39.285,66 €

13.782,00 €

1.021,43 €

12.760,57 €

26.525,09 €

9

26.525,09 €

13.782,00 €

689,65 €

13.092,34 €

13.432,74 €

10

13.432,74 €

13.782,00 €

349,25 €

13.432,74 €

0,00 €

Berechnung des Effektivzinssatzes:

peffektiv = p1 − K 01 ⋅

p2 − p1 K 02 − K 01

Mit: peff. =  Effektivzinssatz p1   =  Probierzinssatz 1 (2,4%) p2   =  Probierzinssatz 2 (3,2%) K 01   =  Barwert bei Probierzinssatz 1 K 02   =  Barwert bei Probierzinssatz 2 10

K 01 = −116.400, 00 + 13.782, 00 ⋅

(1 + 0, 024) −1 10 (1 + 0, 024) ⋅ 0, 024

K 01 = 4.846, 59 € 10

K 02 = −116.400, 00 + 13.782, 00 ⋅

K 02 = −27, 67 € peff . = p1 − K 01 ⋅

p2 − p1 K 02 − K 01

(1 + 0, 032) −1 10 (1 + 0, 032) ⋅ 0, 032

118

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext



peff . = 0, 024 − 4.846, 59 ⋅



peff . ≈ 3, 2 %

0, 032 − 0, 024 −27, 67 − 4.846, 59

Zur Kontrolle des berechneten Effektivzinssatzes der Bank A kann das fiktive Vergleichskonto mit dem Effektivzinssatz abgerechnet werden (s. Tab. 14.4): Tab. 14.4  Abrechnung des fiktiven Vergleichskontos mit dem Effektivzinssatz Bank A Jahr (n)

Anfangsguthaben

Annuität (a)

Zinsen (P) p = 3,2%

Endguthaben

1

116.400,00 €

13.782,00 €

3.724,80

106.342,80 €

2

106.342,80 €

13.782,00 €

3.402,97

95.963,77 €

3

95.963,77 €

13.782,00 €

3.070,84

85.252,61 €

4

85.252,61 €

13.782,00 €

2.728,08

74.198,69 €

5

74.198,69 €

13.782,00 €

2.374,36

62.791,05 €

6

62.791,05 €

13.782,00 €

2.009,31

51.018,36 €

7

51.018,36 €

13.782,00 €

1.632,59

38.868,95 €

8

38.868,95 €

13.782,00 €

1.243,81

26.330,76 €

9

26.330,76 €

13.782,00 €

842,58

13.391,34 €

10

13.391,34 €

13.782,00 €

428,52

+37,86 €

Da das Vergleichskonto nach der Abwicklung nicht exakt mit Null Euro endet, deutet dies auf eine (kleine) Ungenauigkeit bei dem Effektivzins hin. Die Genauigkeit des Effektivzinssatzes lässt sich aber mit weiteren Iterationsschritten beliebig verbessern. Mit Blick auf die Sollzinssätze scheint das Angebot der Bank B mit pSoll = 2,6 % besser, weil er niedriger ist als bei Angebot A (pSoll = 3,0 %). Werden die beiden Effektivzinssätze miteinander verglichen, zeigt sich, das Angebot A (peff. = 3,0 %) besser ist als Angebot B (peff.≈3,2 %).

14.5 Zinssatz bei unterjährigen Zahlungen und unterjähriger Verzinsung Die bisherigen Berechnungen wurden für jährliche Zahlungen durchgeführt. Erfolgen jedoch unterjährige Zahlungen (monatlich, quartalsweise), wie es beispielsweise bei Baufinanzierungen üblich ist, müssen bei der Berechnung der Annuität weitere Aspekte beachtet werden.

14.5  Zinssatz bei unterjährigen Zahlungen und unterjähriger Verzinsung119

Je nachdem wie Banken Darlehenskonten abrechnen und wie die Kredite zurückgezahlt werden gibt es verschiedene Methoden, den Jahreszins auf einen Monatszins umzurechnen. Bei der linearen Umrechnung wird der Jahreszinssatz mit folgender Formel in einen Monatszinssatz umgewandelt: Lineare Umrechnung Jahreszins plinear =



p m

Formel 14-8

m: Anzahl der Perioden pro Jahr (hier: 12 Monate) Hier wird der jährliche Zinssatz einfach durch die Anzahl der Zinsperioden geteilt. Diese Umrechnung bewirkt, dass der Effektivzins ansteigt, da der Zinseszinseffekt nicht korrekt mit einbezogen wird. Der Jahreszinssatz kann auch mit folgender Formel in einen konformen Monatszinssatz umgerechnet werden. In diesem Fall ist der Effektivzins gleich dem Sollzins. Konforme Umrechnung Jahreszins

pkonform = m 1 + p −1

Formel 14-9

m: Anzahl der Perioden pro Jahr (hier: 12 Monate)

Beispiel 14.3: Unterjährige Zahlungen und unterjährige Verzinsung

Frau M. erhält einen kurzfristigen Kredit über 20.000  € als Annuitätendarlehen mit folgenden Konditionen: Sollzinssatz: p = 4 % p.a., monatlich lineare Abrechnung Laufzeit : 6 Monate Lineare Umrechnung des Jahreszinssatzes in einen Monatszinssatz.

0, 04 12 plinear = 0, 003333 = 0, 3333% plinear =

Berechnung der monatlichen Annuität: 6

(1 + 0, 003333) ⋅ 0, 003333 6 (1 + 0, 003333) −1



Mon. = 20.000 ⋅ alinear



Mon. = 3.372, 33 € alinear

120

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Die monatliche Annuität beträgt 3.372,33 €. In der folgenden Tab. 14.5 wird der Kredit mit dem linearen Monatszinssatz abgerechnet. Tab. 14.5  Abrechnung des Kredites mit dem linearen Monatszins Monat

Anfangsschuld

monatliche Annuität (a)

monatliche Zinsen (P) p = 0,0033

Tilgung (T)

Restschuld

1

20.000,00 €

3.372,33 €

66,67 €

3.305,66 €

16.694,34 €

2

16.694,34 €

3.372,33 €

55,65 €

3.316,68 €

13.377,65 €

3

13.377,65 €

3.372,33 €

44,59 €

3.327,74 €

10.049,92 €

4

10.049,92 €

3.372,33 €

33,50 €

3.338,83 €

6.711,09 €

5

6.711,09 €

3.372,33 €

22,37 €

3.349,96 €

3.361,13 €

6

3.361,13 €

3.372,33 €

11,20 €

3.361,13 €

0,00 €

Rechnet die Bank mit dem monatlich konformen Zinssatz, ergeben sich folgende Werte: pkonform = 12 1 + 0, 04 −1 pkonform = 0, 003374 = 0, 3374% 6

(1 + 0, 003374) ⋅ 0, 003374 6 (1 + 0, 003374) −1



Mon. = 20.000 ⋅ alinear



Mon. = 3.371, 63 alinear

In der folgenden Tab. 14.6 wird der Kredit mit dem konformen Zinssatz abgerechnet. Tab. 14.6  Abrechnung des Kredits mit dem konformen Zinssatz Monat

Anfangsschuld

Annuität (a)

Zinsen (P)

Tilgung (T)

Restschuld

1

20.000,00 €

3.371,63 €

65,47 €

3.306,16 €

16.693,84 €

2

16.693,84 €

3.371,63 €

54,65 €

3.316,98 €

13.376,86 €

3

13.376,86 €

3.371,63 €

43,79 €

3.327,84 €

10.049,02 €

4

10.049,02 €

3.371,63 €

32,90 €

3.338,73 €

6.710,29 €

5

6.710,29 €

3.371,63 €

21,97 €

3.349,66 €

3.360,63 €

6

3.360,63 €

3.371,63 €

11,00 €

3.360,63 €

0,00 €

Das Beispiel zeigt, dass der konforme Monatszinssatz für den Kreditnehmer besser ist: bei gleicher Laufzeit ist die Annuität niedriger.

14.6  Realzinssatz bei Inflation121

14.6 Realzinssatz bei Inflation Die Geldentwertung in einer Volkswirtschaft wird mit Inflation bezeichnet. Das bedeutet, dass sich das Austauschverhältnis von Geld zu Ware ändert: Für ein bestimmtes Gut muss zu einem späteren Zeitpunkt mehr gezahlt werden. Oder umgekehrt: für den gleichen Geldbetrag gibt es später eine geringere Gütermenge. Im Folgenden soll dieser Kaufkraftverlust des Geldes im Zeitablauf und etwaige Konsequenzen für die Investitionsrechnung näher dargestellt werden. Im Zeitpunkt n = 0 ist ein bestimmter Geldbetrag in Höhe von 1000 € gegeben. Damit kann im Zeitpunkt n = 0 eine bestimmte Gütermenge erworben werden. Steigt der Preis des betrachteten Gutes in der ersten Periode n an, kann zu dem Zeitpunkt n = 1 mit dem gleichen Geldbetrag nicht mehr die gleiche Gütermenge erworben werden. Der ursprünglich vorhandene Geldbetrag von 1000 € hat im Zeitpunkt n = 1 weniger Kaufkraft (Wert) als im Zeitpunkt n = 0. Steigt der Preis in einer Periode z. B. um 2 %, so hat der Betrag von 1000 € nach einem Jahr nur noch eine Kaufkraft (Wert) von 1000/1,02 = 980,39 €. So wird für die gleiche Gütermenge wie im Zeitpunkt n = 0 am Ende der Periode n , d. h. zum Zeitpunkt n = 1, 1020 € benötigt. Dieser Betrag von 1020 € ist ein nominaler Betrag zum Zeitpunkt n = 0. Real entspricht er zum Zeitpunkt n = 1 dem Wert von 1000 €. Die Beträge 1000 € zum Zeitpunkt n = 0 und 1020 € zum Zeitpunkt n = 1 sind also (gemessen in der jeweiligen Kaufkraft zu den unterschiedlichen Zeitpunkten) gleich viel wert. In den vorherigen Kapiteln ist ausführlich der Zinseffekt im Rahmen der Investitionsrechnung vorgestellt worden. Der Zinseffekt zeigt, um welchen Betrag das Geldvermögen steigt, wenn die Kaufkraft des Geldes gleichbleibt. Wirken beide Effekte zusammen, d. h. Zinseffekt und Kaufkraftverlust, muss der reale Zinssatz berechnet werden. Hierfür gilt folgender Zusammenhang: Realzinssatz der Periode n

pnR =

1 + pn p − πn −1 = n 1 + πn 1 + πn

Formel 14-10

Mit: pnR  = Realzinssatz der Periode n pn  = Nominalzinssatz der Periode n πn  = Kaufkraftverlust der Periode n (Geldentwertungsrate) So ergibt sich beispielsweise für einen nominalen Zinssatz von 6 % und einen Kaufkraftverlust von 3 % (=Geldentwertungsrate) lediglich ein realer Zinssatz von 2,913 %.

pnR =

0, 06 − 0, 03 = 0, 02913 1 + 0, 03

Für die Barwertberechnung mit Nominalwerten gilt die bekannte Barwertformel:

122

14  Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext

Barwert Nominalwertrechnung K 0N =



N

−n

∑zn ⋅(1 + p)



Formel 14-11

n= 0

Im Folgenden soll der Barwert mit Realwerten (Kaufkraftbarwert) berechnet werden. Zur Vereinfachung soll angenommen werden, dass der Kaufkraftverlust im Zeitablauf konstant ist (π = πn = const.). Dann gilt folgender Zusammenhang: Barwert Realwertrechnung K 0R =



N

−n

−n ∑zn ⋅(1 + π) ⋅(1 + p R )



Formel 14-12

n= 0

Beispiel 14.4: Berücksichtigung der Inflation beim Barwert (Kaufkraftbarwert)

Ein Investor hat einen sechsjährigen Planungshorizont und interessiert sich für eine Investition, die sich durch folgende Zahlungsreihe darstellen lässt: Zahlungsreihe

• •

Zeitpunkt (n)

0

1

2

3

4

5

6

Zahlung (zn)

−1.500.000

500.000

350.000

200.000

250.000

150.000

1.250.000

Kalkulationszinssatz (p) beträgt 6 % Geldentwertungsrate (π) beträgt 3 %

Welchen Barwert (nominal und real) hat diese Investition zum Zeitpunkt n = 0) Lösung: Nominalwertrechnung:

K 0N =

N

−n

∑zn ⋅(1 + p)



n= 0

K 0N = −1.500.000 ⋅1, 06−0 + 500.000 ⋅1, 06−1 + 350.000 ⋅1, 06−2 + 200.000



⋅1, 06−3 + 250.000 ⋅1, 06−4 + 150.000 ⋅1, 06−5



+1.250.000 ⋅1, 06−6



K0N = 642.433, 54 €

14.6  Realzinssatz bei Inflation123

Realwertrechnung

pnR =

1 + pn p − πn −1 = n 1 + πn 1 + πn



pnR =

0, 06 − 0, 03 1 + 0, 03

pnR = 0, 02912621 ≈ 2, 913 %

K 0R =

N

−n

−n ∑zn ⋅(1 + π) ⋅(1 + p R )



n= 0

K 0R = −1.500.000 ⋅1, 03−0 ⋅1, 02913−0 + 500.000 ⋅1, 03−1 ⋅1, 02913−1 + 350.000 ⋅1, 03−2 ⋅1, 02913−2 + 200.000 ⋅1, 03−3 ⋅1, 02913−3 + 250.000 ⋅1, 03−4 ⋅1, 02913−4 + 150.000 ⋅1, 03−5 ⋅1, 02913−5 +1.250.000 ⋅1, 03−6 ⋅1, 02913−6



K0R = 642.433, 54 € (Hinweis: dieses exakte Ergebnis ergibt sich, wenn mit dem exakten Wert für pR = 0,02912621 gerechnet wird.) Offenbar führt die Nominalwertrechnung zum selben Ergebnis wie die Realwertrechnung.

Fazit: Bei konstantem Kaufkraftverlust (π = πn = const.) führt die Nominalwertrechnung zum gleichen Ergebnis wie die Realwertrechnung. Das bedeutet, dass die Inflation in der Investitionsrechnung nicht besonders berücksichtigt werden muss. Dieses Ergebnis ist insofern nachvollziehbar, weil der Barwert als Entnahmemöglichkeit eines Geldbetrages zum Zeitpunkt n = 0 interpretierbar ist. Definitionsgemäß gibt es aber im Zeitpunkt n = 0 keinen Unterschied zwischen realen und nominalen Werten.3

3

Vgl. Blohm et al. (2012).

Übungsaufgaben

15

Zusammenfassung

In diesem Kapitel kann das gelernte mit Aufgaben und Lösungswegen geübt werden.

15.1 Aufgabe: Barwert einer Mietzinszahlung I Wie groß ist der Barwert einer jährlichen Mietzinszahlung von 12.000 €, die 8 Jahre lang gezahlt wird (Zinssatz 4 %)? Lösung

KW = 12.000 ⋅ V (8J.,4%) KW = 12.000 ⋅ 6,7327 KW = 80.792 €

Der Barwert der Mietzinszahlung beträgt 80.792 €.

15.2 Aufgabe: Ablösewert eines Gesellschafters Ein Mitgesellschafter eines Ingenieurbüros möchte in 5 Jahren in den Ruhestand gehen. Er soll dann 500.000 € ausgezahlt bekommt. Wie groß ist der heutige Ablösewert bei einem Zinssatz von 3 %?

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_15

125

126

Lösung

15 Übungsaufgaben

K 0 = 500.000 ⋅ 1,03−5 K 0 = 431.304,39 €

Der heutige Ablösewert beträgt 431.304, 39 € .

15.3 Aufgabe: Barwert bei besonderen Zahlungsbedingungen Beim Kauf einer Immobilie wird vereinbart, dass der Käufer 90.000 € in bar, 80.000 € nach zwei Jahren und nochmals 80.000 € nach weiteren zwei Jahren zahlen soll. Wie viel kostet die Immobilie zum Zeitpunkt n = 0, wenn mit einem Zinssatz von i = 5 % gerechnet wird? Lösung

K 0 = 90.000 + 80.000 ⋅1,05−2 + 80.000 ⋅1,05−4 K 0 = 228.378, 56 €

15.4 Aufgabe: Ewige Rente Ein großzügiger Finanzier möchte Sie finanziell unterstützen und bietet Ihnen für Ihre Bauinvestitionen entweder eine ewige Rente von 100.000 € (d. h. eine Rente „bis in alle Ewigkeit“, von der auch noch Ihre Kinder, Enkel, Urenkel etc. profitieren) oder einen Einmalbetrag in Höhe von 3 Mio. €. Für welche Alternative würden Sie sich entscheiden, wenn der Zinssatz 4 % beträgt? Lösung Möglichkeit 1 (Vergleich der beiden Barwerte) Barwert der ewigen Rente:

K 0Ewige Rente = 100.000/0,04 K 0Ewige Rente = 2.500.000 € K 0Einmalbetrag = 3.000.000 €



Da der Barwert der ewigen Rente mit 2,5 Mio. € kleiner ist als der Barwert des Einmalzahlung mit 3 Mio. €, ist der Einmalbetrag vorteilhafter. Möglichkeit 2 (Vergleich der jährlichen Entnahmemöglichkeiten) Ewige Rente = 100.000 € /Jahr

15.6  Aufgabe: Wohnrecht127

Jährliche Zinsen

Z = 3.000.000 € ⋅ 0,04 = 120.000 € /Jahr

Bei dem Einmalbetrag fallen jährlich Zinsen in Höhe von 120.000 € bis in alle Ewigkeit an. Da die jährlichen Zinszahlungen höher sind als ewige Rente in Höhe von 100.000 €, ist der Einmalbetrag vorteilhafter.

15.5 Aufgabe: Zeitrente Ein Abiturient möchte zum Wintersemester sein Studium aufnehmen. Seine Mutter möchte ihn während des Studiums mit jährlich 12.000 € unterstützen. Sie geht davon aus, dass ihr Sohn fünf Jahre studieren wird. Den Jahresbetrag soll er vorschüssig erhalten. Welchen Betrag muss die Mutter zu Beginn des ersten Semesters auf ein mit 4 % verzinstes Bankkonto legen, damit fünf Jahr lang exakt 12.000,- (vorschüssig) entnommen werden können. Lösung RK 0vorschüssige Rente = r ⋅

q N −1 (q −1)

q N −1

RK 0vorschüssige Rente = 12.000 ⋅

1, 045 −1 1, 045−1 (1, 04 −1)

 Rente RK 0vorschussige = 12.000 ⋅ 4, 6299  Rente RK 0vorschussige = 55.558, 74 €

Die Mutter muss zu Beginn des ersten Jahres (Semesters) 55.558,74 € auf dem Bankkonto haben. Beachten Sie, dass die erste „Rentenzahlung“ in Höhe von 12.000,- sofort wieder entnommen wird.

15.6 Aufgabe: Wohnrecht Eine Familie interessiert sich für ein Grundstück mit einem Wohnhaus, das zwei Wohnungen beinhaltet. Während der Verhandlungen erfährt sie, dass in der zweiten Wohnung eine 78-jährige Dame lebt und ein lebenslanges Wohnrecht hat. Die nachhaltig erzielbare Miete beträgt 750,00  € pro Monat und der Kalkulationszinssatz beträgt 2 %. Außerdem verwendet die Familie die Sterbetafel 2013/2015 (siehe Anlage 20.4) zur Ermittlung der Restnutzungsdauer des Wohnrechts. Welchen Wert hat dieses lebenslange Wohnrecht (Anmerkung: runden Sie die Lebenserwartung auf ganze Jahre)?

128

15 Übungsaufgaben

Lösung: Bei diesem Beispiel handelt es sich um eine regelmäßig in gleicherhöhe wiederkehrende Zahlung. Somit kommt hierbei die Rentenrechnung zur Anwendung. Berechnung: Zuerst werden die monatlichen Zahlungen auf ein Jahr umgerechnet: 750,00 € ×12 Monate = 9.000,00 €



Laut Sterbetafel 2013/2015 (weiblich) hat die Dame noch eine Lebenserwartung von 10,66  Jahren, dies entspricht gerundet einer Restnutzungsdauer des Wohnrechts von 11 Jahren. Zur Anwendung kommt hierbei die Formel für eine nachschüssige Zeitrente: N

K 0 Zeitrente = r ⋅

−n

∑ (1 + p)



n=1



10

K 0 Zeitrente = 9.000, 00 € ⋅

−n

∑ (1 + 2%) n=1

K 0 Zeitrente = 9.000, 00 € ⋅ (1, 02−1 + 1, 02−2 + 1, 02−3 + 1, 02−4 + 1, 02−5 + 1, 02−6 + 1, 02−7 + 1, 02−8 + 1, 02−9 + 1, 02−10 + 1, 02−11) K 0 Zeitrente = 88.081, 63 €



Der Wert des Wohnrechts beträgt 88.081,63 € .

15.7 Aufgabe: Barwert einer Mietzinszahlung II Ein Vermieter schließt mit einem Existenzgründer einen Mietvertrag über 10 Jahre. Da das Objekt schon seit längerem leer stand und um dem Existenzgründer eine „Starthilfe“ zu geben, gewährt der Vermieter für die ersten beiden Jahre die kostenlose Überlassung. Außerdem wird eine nachschüssige Zahlungsweise vereinbart, um dem Existenzgründer die Möglichkeit zu geben, die Miete zu erwirtschaften. Ab dem dritten Jahr beträgt der jährliche Mietzins 12.000 € (Zinssatz 4 %). Wie hoch ist der Barwert dieser Mietzinszahlung? Lösung Berechnungsmöglichkeit 1 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 K 0 = 12.000 ⋅ (1,04 + 1,04 + 1,04 + 1,04 + 1,04 + 1,04 + 1,04 + 1,04 )

K 0 = 74.697,61 €

15.8 Leibrente129

Berechnungsmöglichkeit 2 K 0 = 12.000 ⋅ V (8 J., 4 %) ⋅1,04−2



K 0 = 12.000 ⋅ 6,7327 ⋅ 0,9246



K 0 = 74.700,65 € Berechnungsmöglichkeit 3 K 0 = 12.000 ⋅ V (10 J., 4 %) −10.000 ⋅ V (2 J., 4 %) K 0 = 12.000 ⋅ (8,1109 −1,8861)



K 0 = 74.697,60 € Der Barwert der Mietzinszahlung beträgt 74.697,61 € . Hinweis: die Verwendung von gerundeten Werten aus den finanzmathematischen Tabellen führt zu leicht voneinander abweichenden Ergebnissen.

15.8 Leibrente Ein freiberuflich tätiger Ingenieur macht sich mit 50  Jahren Gedanken über seine Altersvorsorge. Um seinen Lebensstandard auch im Rentenalter ab dem 66. Geburtstag aufrecht erhalten zu können, möchte er eine jährlich vorschüssige Rente von 60.000 € erhalten. Welchen Betrag muss er zu seinem 66. Geburtstag angespart haben, damit davon die von ihm angestrebte Rente gezahlt werden kann? Der Kalkulationszins beträgt 1 %. Benutzen Sie die Sterbetafel 2013/2015 im Anhang 20.4. Runden Sie die durchschnittliche Lebenserwartung auf ganze Jahre. Berechnen Sie zusätzlich den erforderlichen Barwert, wenn der Ingenieur davon ausgeht, dass er 96 Jahre alt wird. Lösung Ein 66 jähriger Mann hat laut Sterbetafel 2013/2015 („Vollendetes Alter in Jahren“) noch eine Lebenserwartung von (gerundet) 17 Jahren. 1, 0117 −1 1, 0117−1 (1, 01 −1)  Rente RK 0vorschussige = 60.000 ⋅15, 71787

 Rente RK 0vorschussige = 60.000 ⋅

 Rente RK 0vorschussige = 943.072, 43



130

15 Übungsaufgaben

Der Freiberufler benötigt zu seinem 66. Geburtstag einen Betrag von 943.072,43 € . Damit kann er für 17 Jahre eine jährlich vorschüssige Rente in Höhe von 60.000,- erhalten. Sollte der Ingenieur 96  Jahre alt werden, beträgt seine Lebenserwartung zum 66. Geburtstag noch (96–66 = ) 30 Jahre. Dann benötigt er folgenden Betrag: 1, 0130 −1 1, 0130−1(1, 01 −1)  Rente RK 0vorschussige = 60.000 ⋅ 26, 0657853  Rente RK 0vorschussige = 1.563.947,12  Rente RK 0vorschussige = 60.000 ⋅

15.9 Aufgabe: Finanzierungsangebot Ein Bauunternehmer möchte einen Bagger kaufen, der heute 250.000 € kostet (Barpreis). Der Baugeräteverkäufer bietet dem Käufer eine Sonderfinanzierung über fünf Jahre zu 0 % an, d. h. dass fünfmal jeweils am Jahresende 50.000 € zu zahlen sind. Welchen Betrag muss der Bauunternehmer heute auf ein mit 2 % verzinstes Bankkonto einzahlen, damit er davon die zukünftigen Raten zahlen kann? Welchen Preisvorteil erhält er mit diesem Finanzierungsangebot? Lösung

K 0 = 50.000 ⋅ V (5J., 2%) K 0 = 50.000 ⋅ 4,7135 K 0 = 235.675 €

Der Bauunternehmer müsste heute 235.675 € anlegen. Der Preisvorteil beträgt 14.325 € :

250.000−235.675 € = 14.325 €



15.10 Aufgabe: Vor- und nachschüssige Zahlungsweise Ein Kreditnehmer möchte einen Kredit in Höhe von 150.000 € aufnehmen. Ihm liegen zwei Angebote vor, die sich lediglich in der Zahlungsweise unterscheiden:

15.10  Aufgabe: Vor- und nachschüssige Zahlungsweise131

Bank A Kreditsumme:

150.000 €

Laufzeit:

10 Jahre

Sollzins:

4 %

Zahlungsweise:

jährlich nachschüssig

Bank B Kreditsumme:

150.000 €

Laufzeit:

10 Jahre

Sollzins:

4 %

Zahlungsweise:

jährlich vorschüssig

Berechnen Sie für beide Angebote die jährliche Annuität und stellen Sie die zugehörigen Zahlungsreihen grafisch dar! Lösung Bank A Berechnung der erforderlichen Annuität: 10

a = 150.000 ⋅

0, 04 ⋅ (1 + 0, 04)

10 (1 + 0, 04) −1



a = 18.493, 64 € Die Zahlungsreihe sieht folgendermaßen aus:

¼ ¼ ¼

Q 







±¼ Zeitstrahl Bank A (nachschüssig)

¼





132

15 Übungsaufgaben

Bank B Möglichkeit 1: Mithilfe der Formel für den Barwert der vorschüssigen Rente ergibt sich: 150.000 = r ⋅



1, 0410 −1 1, 0410−1 (1, 04 −1)

r = 17.782, 35 €



Die jährliche vorschüssige Annuität beträgt 17.782,35 €.

¼ ¼ ¼

Q 





¼







±¼ Zeitstrahl Bank B (vorschüssig)

Möglichkeit 2: Es kann ebenso die Formel für die nachschüssige Rente verwendet werden, wenn Sie folgendes berücksichtigen: die erste vorschüssige Annuität ist sofort zum Zeitpunkt 0 fällig und muss deshalb vom Darlehensbetrag subtrahiert wird. Außerdem beträgt die (nachschüssige) Laufzeit dann noch neun Jahre, wie der Abbildung entnommen werden kann.

K 0 − a = a ⋅ V (9J.; 4%) K 0 = a + a ⋅ V (9J.; 4%)



15.11  Aufgabe: Annuitätendarlehen133

K 0 = a ⋅ (1 + V (9J.; 4%))



a = K0 ⋅

1 1 + V (9J.; 4%)

a = K0 ⋅

1 1 − q −9 1+ p

1 1 −1, 04−9 1+ 0, 04 a = 17.782, 35 € a = 150.000 ⋅

15.11 Aufgabe: Annuitätendarlehen Ein Investor soll ein Annuitätendarlehen in Höhe von 300.000 € zu 8 % mit jährlichen Annuitäten von 60.000 € zurückzahlen. a) Wie viele Jahre hat er die Annuitäten in voller Höhe zu zahlen (Hinweis: Berechnen Sie die Lösung zunächst mathematisch und benutzen Sie anschließend eine finanzmathematische Tabelle zur Kontrolle!)? b) Da dem Investor die Annuität von 60.000 € zu hoch ist, schlägt er vor, die Rückzahlung auf 19 Jahre auszudehnen. Wie hoch ist in diesem Fall die Annuität? Lösung Teilaufgabe a):

60.000 = 300.000 ⋅ AF (N J., 8 %) 0,2 = p / (1− q−N )



0,2 = 0,08 / (1−1,08−N )



1 −1,08−N = 0,08 / 0,2



1 −1,08−N = 0,4



1,08−N = 0,6



0,6 = 1 / 1,08N



1,08N = 1 / 0,6 = 1,66666



N = log1,66666 / log1,08



T = 6,6374 Jahre



134

15 Übungsaufgaben

Die Annuität muss 6 Jahre lang in voller Höhe geleistet werden (anschließend verbleibt eine Restschuld). Zur Kontrolle kann die finanzmathematische Tabelle für die Annuitätenfaktoren verwendet werden: In der Spalte für 8 % wird die Laufzeit N gesucht, für die der Annuitätenfaktor 0,2 beträgt. 0,2 = AF (N J., 8%)

Lösung Teilaufgabe b):

a = KW ⋅ AF (N J., p%) a = 300.000 ⋅ AF (19 J., 8%)





a = 300.000 ⋅ 0,08 / (1 −1,08−19 )



a = 300.000 ⋅ 0,10412762 a = 31.238,29 €

15.12 Aufgabe: Unternehmensbeteiligung Einem Investor wird eine Unternehmensbeteiligung gegen eine Kapitaleinlage in Höhe von 120.000 € angeboten. Ihm werden folgende Zahlungen garantiert (jeweils zum Ende des Jahres): 2. Jahr: 7.000 € 3. Jahr: 8.000 € 4. Jahr: 10.000 € 5. Jahr: 14.000 € 6. Jahr: 20.000 € 7. Jahr: 40.000 € 8. Jahr: 80.000 € Am Ende des 9. Jahres kann die Unternehmensbeteiligung für 90.000 € verkauft werden. Berechnen Sie nach der Barwertmethode, ob die Investition die erwartete Verzinsung von 12  % pro Jahr erwirtschaftet. Geben Sie gegebenenfalls an, um wie viel Euro die Investition zum Zeitpunkt t = 0 besser oder schlechter ist, als die Unterlassensalternative. Lösung: Der Kapitalwert der Geldanlage beträgt (in Tsd. €): K 0 = −120 + 7 ⋅1,12−2 + 8 ⋅1,12−3 + 10 ⋅1,12−4 + 14 ⋅1,12−5 + 20 ⋅1,12−6

+ 40 ⋅1,12−7 + 80 ⋅1,12−8 + 90 ⋅1,12−9

15.13  Aufgabe: Wert eines Dividendenanspruchs (Aktien)135

K 0 = −1,43409 (Tsd. €) K 0 = −1.434,09 €

Die Geldanlage ist unvorteilhaft, da sich ein negativer Kapitalwert in Höhe von −1.434,09 € ergibt.

15.13 Aufgabe: Wert eines Dividendenanspruchs (Aktien) Ein Aktionär besitzt 5.000 Aktien der Solar-AG. Der Kalkulationszins beträgt 5 %. Er geht davon aus, dass die Solar-AG am Ende des ersten Jahres folgende Dividende ausschüttet:

n = 1: 5,- € /Aktie

a) Wie hoch ist der Barwert dieses Dividendenanspruches wenn er davon ausgeht, dass die Dividende von Jahr zu Jahr um jeweils 3 % erhöht wird und die Solar-AG 8 Jahre lang Dividenden zahlt? b) Wie hoch ist der Barwert dieses Dividendenanspruches wenn er davon ausgeht, dass die Dividende von Jahr zu Jahr um jeweils 5 % erhöht wird und die Solar-AG 8 Jahre lang Dividenden zahlt? c) Wie hoch ist der Barwert dieses Dividendenanspruches wenn er davon ausgeht, dass die Dividende von Jahr zu Jahr um jeweils 3 % erhöht wird und die Solar-AG nie aufgelöst wird? Lösung Teilaufgabe a)



α = 0,03 β = 1 + 0,03 = 1,03



1,05 −8 1 −   1,03  K = 5.000 ⋅ 5 ⋅ = 178.250,18 € 0,05 − 0,03

Lösung Teilaufgabe b)

K =8 ⋅

5.000 ⋅ 5 = 190.476,19 € 1,05

Lösung Teilaufgabe c)

K=

5.000 ⋅ 5 = 1.250.000 € 0,05 − 0,03

136

15 Übungsaufgaben

15.14 Aufgabe: Barwertberechnung bei monatlicher Periodenlänge Eine Bauunternehmung kauft einen Bagger zum Preis von 100.000 €, setzt ihn eine Saison (6 Monate) lang ein und verkauft ihn danach zum Preis von 90.000 €. Der Bagger wird in diesen 6 Monaten an 126 Tagen eingesetzt und schafft täglich eine Aushubleistung von 600 m³. Mit jedem Kubikmeter wird ein Einzahlungsüberschuss in Höhe von 0,40 € erlöst. Die Zahlungen gehen in Monatsbeträgen gleicher Höhe ein (nachschüssig). Der monatliche Zinssatz beträgt 0,5 %. Lohnt die Investition? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Monatliche Einzahlungsüberschüsse: 126 Tage/ (6 ⋅ Mon.) 600 m 3 /Tag ⋅ 0,40 € /m 3 = 5.040 € /Mon. −1

K 0 = −100.000 + 5.040 ⋅ (1 + 0,005) −4

+ 5.040 ⋅ (1 + 0,005)



K 0 = 17.064,40 €

−2

+ 5.040 ⋅ (1 + 0,005) −5

+ 5.040 ⋅ (1 + 0,005)

−3

+ 5.040 ⋅ (1 + 0,005)

−6

+ (90.000 + 5.040) ⋅ (1 + 0,005)



Die Investition lohnt sich, weil der Barwert mit +17.064,40 € positiv ist.

15.15 Aufgabe: Barwertfunktion  n = 1, 2, …, 50 Gegeben ist die folgende Zahlungsreihe z 0 = −100; z n = 5, - € fur Berechnen Sie für die in der Tabelle angegebenen Zinssätze den jeweiligen Barwert und zeichnen Sie die Barwertfunktion. Wertetabelle (Blanko) p [%]

0

2

4

6

8

10

12

14

16

K0 [€]

Lösung: In Abhängigkeit vom Zinssatz (p) errechnet sich der Barwert wie folgt:

K 0 (p) = 100 + 5 ⋅ V (p; 50 J.) −50



1 − (1 + p) K 0 (p) =−100 + 5 ⋅ p



18

20

15.15  Aufgabe: Barwertfunktion137

Für die angegebenen Zinssätze ergeben sich dann folgende Barwerte: Barwerte in Abhängigkeit verschiedener Zinssätze p [%]

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

K0 [€]

150

57

7

−21

−39

−50

−58

−64

−69

−72

−75

Hierbei ist zu beachten, dass im Fall p = 0 % für den Rentenbarwertfaktor die Laufzeit (N) angenommen wird: V (0%; N) = N



Anderenfalls müsste bei Anwendung der obigen Formel durch Null dividiert werden was mathematisch nicht definiert ist. Mithilfe der Wertetabelle kann die Barwertfunktion grafisch dargestellt und analysiert werden.

 ¼

;.Ϳ

 ¼

 ¼  ¼

 ¼

 ¼ ¼ ± ¼

,QWHUQHU=LQVIX‰ ¼







 ± ¼

 ± ¼

 ± ¼









S 

± ¼

± ¼

± ¼

± ¼

± ¼

± ¼

,QYHVWLWLRQORKQWVLFKZHQQGHU NDON=LQVVDW],QWHUQHU =LQVIX‰LVW

,QYHVWLWLRQORKQWVLFKQLFKW

Barwertfunktion als Graph

Für einen Zinssatz von p = 0 % beträgt der Barwert + 150 €.

K 0 (p = 0%) = − 100 + 5 ⋅ 50 K 0 (p = 0%) = +150

138

15 Übungsaufgaben

Für einen unendlich hohen Zinssatz nähert sich der Barwert asymptotisch dem Wert K0 = −100. Dabei handelt es sich um den Wert z0  =  −100, denn bei einem unendlich hohen Zinssatz werden die nachfolgenden Zahlungen so stark abgezinst, dass sie keine Rolle mehr spielen.

K 0 (p = ∞) = − 100 + 5 ⋅ 0 K 0 (p = ∞) = − 100

Interessant ist der Schnittpunkt mit der p-Achse. In diesem Fall liegt der Zinssatz zwischen 4  % und 5  %. Dort wo die Barwertfunktion die p-Achse schneidet, beträgt der Barwert exakt 0. Für kleinere Zinssätze ergeben sich positive Barwerte, für größere Zinssätze negative Barwerte. Derjenige Zinssatz, für den der Barwert gleich null ist, wird auch „interner Zinsfuß“ oder „interner Zinssatz“ genannt. Der „interne Zinsfuß“ spielt deshalb eine besondere Rolle, weil dort der Vorzeichenwechsel der Barwertfunktion stattfindet und eine vorteilhafte Investition mit größer werdenden Zinssätzen unvorteilhaft wird. Auf den „internen Zinsfuß“ wird in Kap. 7 näher eingegangen.

16

Formelsammlung

Zusammenfassung

Dieses Kapitel enthält eine Formelsammlung. Statische Investitionsrechnung Kostenvergleichsrechnung Formel 2-1

I

∑Ci = C1 + C2 + ... + CI i=1

Zinsrechnung Aufzinsung Formel 3-1, 3-2

K n = K 0 · (1 + p) = K 0 · q n

Abzinsung Formel 3-3, 3-4

K 0 = K n · (1 + p)

n

−n

= K 0 · q−n

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9_16

139

140

16 Formelsammlung

Barwertermittlung Barwert einer Investition Formel 4-1, 4-2, 4-3

K 0= − Az o + (ez1 − az1) ⋅ q−1 + (ez 2 − az 2 ) ⋅ q−2 +...+ (ez n − az n ) ⋅ q−n + (ez N − az N )⋅ q−N+L N ⋅ q−N verkürzte Schreibweise mit Summenzeichen: N

K 0= − Az o +

∑(ezn − azn ) ⋅q−n+L N ⋅q−N n=1

verkürzte Schreibweise mit Summenzeichen und: • ezn−azn = zn • Az0  = z0 • LN  = zN

K 0 =− z0 +

N

N

n=1

n =0

∑zn ⋅q−n + zN ⋅q−N = ∑zn ⋅q−n

Rentenrechnung Barwert einer Zeitrente (nachschüssig) Formel 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5

N

N

K0

Zeitrente = r ⋅

−n ∑ (1 + p) = r ⋅ ∑q−n n=1

n=1

−N

K0

Zeitrente

V (N; p) =

=r ⋅

1 − (1 + p) p

1 − q−N p

Rentenbarwert einer nachschüssigen Rente Formel 6-6

RK 0nachschüssige Rente = r ⋅

Rentenendwert einer nachschüssigen Rente Formel 6-7

RNnachschüssige Rente = r ⋅

Barwert einer ewigen Rente Formel 6-8

K0

=r ⋅

Ewige Rente

=

q N −1 qN ⋅ p

q N −1 p

r p

Barwert einer Zeitrente (vorschüssig) Formel 6-9

RK 0vorschüssige Rente = r ⋅

q N −1 q N −1 ⋅ p

Endwert einer Zeitrente (vorschüssig) Formel 6-10

vorschüssige Rente RN = r ⋅q ⋅

q N −1 p

1 − q−N = r ⋅ V (N; p) p

16 Formelsammlung141 Interner Zinsfuß Interner Zinsfuß Formel 7-1

K 0 ( p´) = 0 = −Az0 + zn

+... + Interpolation zur Berechnung des internen Zinsfußes Formel 7-2 p,q-Formel zur Berechnung einer Zahlungsreihe mit drei Zahlungen Formel 7-3, 7-4

p´= p1 +

z1

1

(1 + p´)

+

z2

2

(1 + p´)

n

(1 + p· )

K 01 K 01 − K 0 2

⋅ (p2 − p1)

x 2 + px + q = 0 2

 p p x1/ 2 = − ±   − q 2 2 ax 2 + bx + c = 0

x1/ 2 = −

b 1 ± b2 − 4ac 2a 2a

Annuitätenmethode Annuität Formel 8-1 Annuitätenfaktor Formel 8-2, 8-3

Vorherige Rente aus Endwert mit Rest-wertverteilungsfaktor Formel 8-4

a = K 0 ⋅ AF ( N; p) N

AF ( N; p) =

p ⋅ (1 + p) p 1 = = V ( N; p) 1 − q−N (1 + p)N −1

r = E N ⋅ RVF ( N; p)

Restwertverteilungsfaktor Formel 8-5

RVF ( N; p) =

Vorherige Rente aus Endwert Formel 8-6

r = EN ⋅

p q n −1

p q n −1

Vollständige Finanzpläne (VOFI) Endwert Opportunität bzw. Unterlassensalternative Formel 9-1 VOFI-Eigenkapitalrentabilität Formel 9-2

E NU = EK ⋅ q N

EKRVOFI = N

EN EK

−1

142

16 Formelsammlung

Barwert zusammengesetzter Zahlungsreihen Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender Zeitrente Formel 10-1

K0 =

Individuelle Zahlungsreihe mit anschließender ewigen Rente Formel 10-2

K0 =

N1

∑zn ⋅ q−n + r ⋅ V ( N2; p) ⋅ q−N

1

n= 0 N1

r

∑zn ⋅ q−n + p ⋅ q−N

1

n= 0

Barwert wachsender Renten Wachstum einer arithmetisch fortschreitenden Rentenzahlung Formel 11-1

rnarithmetisch = r +(n −1) d

Rentenbarwert einer arithmetisch wachsenden Zeitrente Formel 11-2

RK 0arithmetisch =

Formel für lange arithmetisch fortschreitende Renten Formel 11-3, 11-4

RK 0arithmetisch =

N

∑ (r + (n −1) d ) ⋅ q−n

n= 0

   1 r + d  ⋅ (q N −1) − Nd  ⋅   q N (q −1)  q − 1 

RK 0arithmetisch = RK 0nachschüssige Rente d  1 + ⋅ V ( N, p) − N ⋅ n   p  q  Wachstum einer geometrisch fortschreitenden Rentenzahlung Formel 11-5 Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente Formel 11-6, 11-7

rngeometrisch = r ⋅ β n−1

RK 0geometrisch = r ⋅

N  r n  −n qN − β N  ⋅ β  ⋅ q = N   β (q − β ) ⋅ q n= 0

(wenn q ≠ β) Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente Formel 11-8

RK 0geometrisch =

r⋅N q

(wenn q = β) Barwert einer arithmetisch fortschreitenden ewigen Rente Formel 11-9

 d 1 RK 0arithmetisch = r +  ⋅  p p

∑

16 Formelsammlung143 Barwert einer geometrisch fortschreitenden ewigen Rente Formel 11-10

Für: α < p bzw. β < q :

RK 0geometrisch =

r p −α

Für: α > p bzw. β > q : nicht definiert Investitionsketten Barwert einer endlichen Investitionskette Formel 12-1, 12-2

K 0Kette = K 01 + K 02 ⋅ q−N + K 03 ⋅ q−2N + x−1 ⋅ q−xN K 04 ⋅ q−3N +…+ K xN

K 0Kette = K + K ⋅ q−N + K ⋅ q−2N +…+ K ⋅ q−xN Barwert einer Investitionskette mit identischen Ketten Formel 12-3 Barwert einer unendlichen Investitionskette Formel 12-4, 12-5, 12-6

K 0Kette = K 0Einzelinvestition ⋅

1 − q−x⋅N 1 − q−N

K 0∞Kette = K (1 + q−N + q−2N + q−3N +…+ q−∞N ) =K⋅

AF ( N; p) p

mit a = K 0 ⋅ AF ( N; p) gilt:

K 0∞Kette = Annuität eines Kettengliedes Formel 12-7

a p

ai = K 0i ⋅ AF ( N; p)

Investitionen unter Berücksichtigung von Steuern Zinssatz nach Steuern Formel 13-1, 13-3

Barwert nach Steuern Formel 13-2, 13-4

p nS = p vS − p vS ⋅ s p nS = p vS (1 − s) K 0nS = K 0nS =

N

−n

∑znnS ⋅(1 + pnS )

n= 0 N

−n

∑znnS ⋅(1 + pnS )

n= 0

−n

+ LN ⋅(1 + p nS )

144

16 Formelsammlung

• AfA

AfA = Az0 / N

• Gewinn

gn = znvS – AfA

• Steuern

S n = s ⋅ gn

• Zahlung nach Steuern

znnS = znvS − Sn

Annuität eines Kettengliedes Formel 13-5

a nS = K 0nS ⋅ AF ( N; p nS )

Der Kalkulationszins in Abhängigkeit vom Kontext Fremd- oder Eigenfinanzierung Kalkulationszinssatz Fremd- und Eigenfinanzierung Formel 14-1, 14-2 Weighted Average Cost of Capital (WACC) Formel 14-3

pe = Habenzinssatz + γ p f = Sollzinssatz + γ pWACC = pe ⋅

EK FK + pf ⋅ ⋅(1 − s) EK + FK EK + FK

Mit: pe = Eigenkapitalkostensatz pf   = Fremdkapitalkostensatz s    = Steuersatz

Immobilienbewertung Ertragswert (ImmoWertV) Formel 14-4 Liegenschaftszinssatz (ImmoWertV) Formel 14-5

 p  BW EW =  RE − BW ⋅ lz ⋅V + BW = RE ⋅V + n  100  q plz =

RE KP

Mit: EW  = Ertragswert RE   = Reinertrag KP   = normierter Kaufpreis, aus Kaufpreis +/− boG boG  = besondere objektspezifische Grundstücksmerkmale (§ 8 Abs. 3 ImmoWertV) BW     = Bodenwert V      = Rentenbarwertfaktor plz       = Liegenschaftszinssatz

16 Formelsammlung145 Effektivzins nach Preisangabenverordnung (PAngV) Effektivzinsberechnung nach PAngV Formel 14-6

m

−tk

∑Ck (1 + X )

m´

=

k =1

−sl

∑Dl (1 + X ) l

Mit: X   = Effektiver Jahreszins m   = laufende Nummer des letzten Kreditauszahlungsbetrags k   = laufende Nummer eines Kreditauszahlungsbetrags Ck  = Höhe des k-ten Kredit-Auszahlungsbetrags tk   = der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen der ersten Darlehensvergabe und dem Zeitpunkt der einzelnen nachfolgenden in Anspruch genommenen Kredit-Auszahlungsbeträge m‘ = laufende Nummer der letzten Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung l  = laufende Nummer einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung Dl  = Betrag einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung sl   = der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen dem Zeitpunkt der Inanspruchnahme des ersten Kredit-Auszahlungsbetrags und dem Zeitpunkt jeder einzelnen Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung Berechnung des Effektivzinssatzes Formel 14-7

N

C=

−n

∑a ⋅(1 + p) n= 0

Zinssatz bei unterjährigen Zahlungen und unterjähriger Verzinsung Lineare Umrechnung Jahreszins in unterjährige Verzinsung Formel 14-8 Konforme Umrechnung Jahreszins in unterjährige Verzinsung Formel 14-9

plinear =

p m

pkonform = m 1 + p −1

Realzinssatz bei Inflation Realzinssatz der Periode n Formel 14-10 Barwert Nominalwertrechnung Formel 14-11

Barwert Realwertrechnung Formel 14-12

pnR =

1 + pn p − πn −1 = n 1 + πn 1 + πn

K 0N =

K 0R =

N

−n

∑zn ⋅(1 + p)

n= 0 N

−n

−n ∑zn ⋅(1 + π) ⋅(1 + p R )

n= 0

Anlagen

Finanzmathematische Tabellen Arbeitsblätter: • Aufzinsungsfaktoren • Abzinsungsfaktoren • Rentenendwertfaktoren • Rentenbarwertfaktoren • Annuitätenfaktoren

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9

147

ϭ͘Ϯй

ϭ͘ϬϭϮϬ ϭ͘ϬϮϰϭ ϭ͘Ϭϯϲϰ ϭ͘Ϭϰϴϵ ϭ͘Ϭϲϭϱ ϭ͘ϬϳϰϮ ϭ͘Ϭϴϳϭ ϭ͘ϭϬϬϭ ϭ͘ϭϭϯϯ ϭ͘ϭϮϲϳ ϭ͘ϭϰϬϮ ϭ͘ϭϱϯϵ ϭ͘ϭϲϳϳ ϭ͘ϭϴϭϴ ϭ͘ϭϵϱϵ ϭ͘ϮϭϬϯ ϭ͘ϮϮϰϴ ϭ͘Ϯϯϵϱ ϭ͘Ϯϱϰϰ ϭ͘Ϯϲϵϰ ϭ͘Ϯϴϰϳ ϭ͘ϯϬϬϭ ϭ͘ϯϭϱϳ ϭ͘ϯϯϭϱ ϭ͘ϯϰϳϱ ϭ͘ϯϲϯϲ ϭ͘ϯϴϬϬ ϭ͘ϯϵϲϱ ϭ͘ϰϭϯϯ ϭ͘ϰϯϬϯ ϭ͘ϴϭϱϲ Ϯ͘Ϭϰϱϲ Ϯ͘ϯϬϰϴ Ϯ͘ϱϵϲϴ Ϯ͘ϵϮϱϴ ϯ͘Ϯϵϲϱ

ϭ Ϯ ϯ ϰ ϱ ϲ ϳ ϴ ϵ ϭϬ ϭϭ ϭϮ ϭϯ ϭϰ ϭϱ ϭϲ ϭϳ ϭϴ ϭϵ ϮϬ Ϯϭ ϮϮ Ϯϯ Ϯϰ Ϯϱ Ϯϲ Ϯϳ Ϯϴ Ϯϵ ϯϬ ϱϬ ϲϬ ϳϬ ϴϬ ϵϬ ϭϬϬ

ϭ͘ϬϭϬϬ ϭ͘ϬϮϬϭ ϭ͘ϬϯϬϯ ϭ͘ϬϰϬϲ ϭ͘ϬϱϭϬ ϭ͘Ϭϲϭϱ ϭ͘ϬϳϮϭ ϭ͘ϬϴϮϵ ϭ͘Ϭϵϯϳ ϭ͘ϭϬϰϲ ϭ͘ϭϭϱϳ ϭ͘ϭϮϲϴ ϭ͘ϭϯϴϭ ϭ͘ϭϰϵϱ ϭ͘ϭϲϭϬ ϭ͘ϭϳϮϲ ϭ͘ϭϴϰϯ ϭ͘ϭϵϲϭ ϭ͘ϮϬϴϭ ϭ͘ϮϮϬϮ ϭ͘ϮϯϮϰ ϭ͘Ϯϰϰϳ ϭ͘ϮϱϳϮ ϭ͘Ϯϲϵϳ ϭ͘ϮϴϮϰ ϭ͘Ϯϵϱϯ ϭ͘ϯϬϴϮ ϭ͘ϯϮϭϯ ϭ͘ϯϯϰϱ ϭ͘ϯϰϳϴ ϭ͘ϲϰϰϲ ϭ͘ϴϭϲϳ Ϯ͘ϬϬϲϴ Ϯ͘Ϯϭϲϳ Ϯ͘ϰϰϴϲ Ϯ͘ϳϬϰϴ

Ɖ ϭ͘Ϭй Ŷ

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ϭ͘ϰй

ϭ͘ϬϭϲϬ ϭ͘ϬϯϮϯ ϭ͘Ϭϰϴϴ ϭ͘Ϭϲϱϲ ϭ͘ϬϴϮϲ ϭ͘Ϭϵϵϵ ϭ͘ϭϭϳϱ ϭ͘ϭϯϱϰ ϭ͘ϭϱϯϲ ϭ͘ϭϳϮϬ ϭ͘ϭϵϬϴ ϭ͘ϮϬϵϴ ϭ͘ϮϮϵϮ ϭ͘Ϯϰϴϵ ϭ͘Ϯϲϴϴ ϭ͘Ϯϴϵϭ ϭ͘ϯϬϵϴ ϭ͘ϯϯϬϳ ϭ͘ϯϱϮϬ ϭ͘ϯϳϯϲ ϭ͘ϯϵϱϲ ϭ͘ϰϭϴϬ ϭ͘ϰϰϬϲ ϭ͘ϰϲϯϳ ϭ͘ϰϴϳϭ ϭ͘ϱϭϬϵ ϭ͘ϱϯϱϭ ϭ͘ϱϱϵϲ ϭ͘ϱϴϰϲ ϭ͘ϲϬϵϵ Ϯ͘Ϯϭϭϱ Ϯ͘ϱϵϭϵ ϯ͘Ϭϯϳϴ ϯ͘ϱϲϬϰ ϰ͘ϭϳϮϵ ϰ͘ϴϵϬϳ

ϭ͘ϲй

ƵĨnjŝŶƐƵŶŐƐĨĂŬƚŽƌƋŶс;ϭнƉͿŶ

ϭ͘ϴй

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Restwertverteilungsfaktoren

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ϲϵ͘ϬϬ ϱϲ͘ϳϴ ϰϴ͘ϳϮ ϰϮ͘ϴϴ ϯϴ͘ϯϵ ϯϰ͘ϴϭ ϯϭ͘ϴϴ Ϯϵ͘ϰϯ Ϯϳ͘ϯϱ Ϯϱ͘ϱϱ Ϯϯ͘ϵϴ ϮϮ͘ϲϬ Ϯϭ͘ϯϳ ϮϬ͘Ϯϴ ϭϵ͘Ϯϵ ϭϴ͘ϯϵ ϭϳ͘ϱϴ ϭϲ͘ϴϰ ϭϲ͘ϭϱ ϭϱ͘ϱϯ ϭϰ͘ϵϱ ϭϰ͘ϰϭ ϭϯ͘ϵϭ ϭϯ͘ϰϰ ϭϯ͘Ϭϭ ϭϮ͘ϲϬ ϭϮ͘Ϯϭ ϭϭ͘ϴϱ ϭϭ͘ϱϭ ϭϭ͘ϭϵ ϭϬ͘ϴϵ ϭϬ͘ϲϬ ϭϬ͘ϯϯ ϭϬ͘Ϭϳ ϵ͘ϴϯ ϵ͘ϱϵ ϵ͘ϯϳ ϵ͘ϭϲ ϴ͘ϵϲ

ϲϱ͘ϴϯ ϱϰ͘ϰϱ ϰϲ͘ϵϬ ϰϭ͘ϰϬ ϯϳ͘ϭϳ ϯϯ͘ϳϴ ϯϭ͘ϬϬ Ϯϴ͘ϲϲ Ϯϲ͘ϲϳ Ϯϰ͘ϵϱ Ϯϯ͘ϰϱ ϮϮ͘ϭϮ ϮϬ͘ϵϰ ϭϵ͘ϴϵ ϭϴ͘ϵϯ ϭϴ͘Ϭϳ ϭϳ͘Ϯϴ ϭϲ͘ϱϲ ϭϱ͘ϵϬ ϭϱ͘Ϯϵ ϭϰ͘ϳϯ ϭϰ͘ϮϬ ϭϯ͘ϳϮ ϭϯ͘Ϯϲ ϭϮ͘ϴϰ ϭϮ͘ϰϰ ϭϮ͘Ϭϳ ϭϭ͘ϳϭ ϭϭ͘ϯϴ ϭϭ͘Ϭϳ ϭϬ͘ϳϳ ϭϬ͘ϰϵ ϭϬ͘Ϯϯ ϵ͘ϵϳ ϵ͘ϳϯ ϵ͘ϱϬ ϵ͘Ϯϴ ϵ͘Ϭϴ ϴ͘ϴϴ

ϲϯ͘ϬϬ ϱϮ͘ϯϰ ϰϱ͘Ϯϰ ϰϬ͘Ϭϱ ϯϲ͘Ϭϰ ϯϮ͘ϴϮ ϯϬ͘ϭϳ Ϯϳ͘ϵϱ Ϯϲ͘Ϭϰ Ϯϰ͘ϯϵ ϮϮ͘ϵϱ Ϯϭ͘ϲϳ ϮϬ͘ϱϰ ϭϵ͘ϱϮ ϭϴ͘ϱϵ ϭϳ͘ϳϲ ϭϳ͘ϬϬ ϭϲ͘ϯϬ ϭϱ͘ϲϲ ϭϱ͘Ϭϳ ϭϰ͘ϱϮ ϭϰ͘Ϭϭ ϭϯ͘ϱϯ ϭϯ͘Ϭϵ ϭϮ͘ϲϴ ϭϮ͘Ϯϵ ϭϭ͘ϵϮ ϭϭ͘ϱϴ ϭϭ͘Ϯϲ ϭϬ͘ϵϱ ϭϬ͘ϲϲ ϭϬ͘ϯϴ ϭϬ͘ϭϮ ϵ͘ϴϴ ϵ͘ϲϰ ϵ͘ϰϭ ϵ͘ϮϬ ϴ͘ϵϵ ϴ͘ϴϬ

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Übersicht über die Tilgungsdauer von Annuitätendarlehen

Sterbetafeln 2013/2015 Stand: Oktober 2016 (Auszug)1 6WHUEHWDIHO 'HXWVFKODQG 0lQQOLFK 9ROOHQGHWHV $OWHU LQ-DKUHQ

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Quelle: Statistisches Bundesamt; Sterbetafeln 2013/2015, S. 4-7, Aufzurufen auf https://www. destatis.de/DE/Publikationen/Thematisch/Bevoelkerung/Bevoelkerungsbewegung/PeriodensterbetafelnBundeslaender5126204157004.pdf?__blob=publicationFile 1

156Anlagen 6WHUEHWDIHO 'HXWVFKODQG 0lQQOLFK 9ROOHQGHWHV $OWHU LQ-DKUHQ

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Anlagen157 6WHUEHWDIHO 'HXWVFKODQG :HLEOLFK 9ROOHQGHWHV $OWHU LQ-DKUHQ

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Anlagen159

Preisangabenverordnung (PAngV) neugefasst durch B. v. 18.10.2002 BGBl. I S. 4197; zuletzt geändert durch Artikel 5 G. v. 17.07.2017 BGBl. I S. 2394 Geltung ab 01.05.1985; FNA: 720-17-1 Allgemeine Preisvorschriften und Grundlagen des Preisrechts § 1 Grundvorschriften § 2 Grundpreis § 3 Elektrizität, Gas, Fernwärme und Wasser § 4 Handel § 5 Leistungen § 6 Verbraucherdarlehen § 6a Werbung für Verbraucherdarlehen § 6b Überziehungsmöglichkeiten § 6c Entgeltliche Finanzierungshilfen § 7 Gaststätten, Beherbergungsbetriebe § 8 Tankstellen, Parkplätze § 9 Ausnahmen § 10 Ordnungswidrigkeiten § 11 (aufgehoben) Anlage (zu § 6) Berechnung des effektiven Jahreszinses

§ 1 Grundvorschriften (1) 1Wer Verbrauchern gemäß § 13 des Bürgerlichen Gesetzbuchs gewerbs- oder geschäftsmäßig oder wer ihnen regelmäßig in sonstiger Weise Waren oder Leistungen anbietet oder als Anbieter von Waren oder Leistungen gegenüber Verbrauchern unter Angabe von Preisen wirbt, hat die Preise anzugeben, die einschließlich der Umsatzsteuer und sonstiger Preisbestandteile zu zahlen sind (Gesamtpreise). 2Soweit es der allgemeinen Verkehrsauffassung entspricht, sind auch die Verkaufs- oder Leistungseinheit und die Gütebezeichnung anzugeben, auf die sich die Preise beziehen. 3Auf die Bereitschaft, über den angegebenen Preis zu verhandeln, kann hingewiesen werden, soweit es der allgemeinen Verkehrsauffassung entspricht und Rechtsvorschriften nicht entgegenstehen. (2) 1Wer Verbrauchern gewerbs- oder geschäftsmäßig oder wer ihnen regelmäßig in sonstiger Weise Waren oder Leistungen zum Abschluss eines Fernabsatzvertrages anbietet, hat zusätzlich zu Absatz 1 und § 2 Absatz 2 anzugeben, 1. dass die für Waren oder Leistungen geforderten Preise die Umsatzsteuer und sonstige Preisbestandteile enthalten und 2. ob zusätzlich Fracht-, Liefer- oder Versandkosten oder sonstige Kosten anfallen.

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zusätzliche Fracht-, Liefer- oder Versandkosten oder sonstige Kosten an, so ist deren Höhe anzugeben, soweit diese Kosten vernünftigerweise im Voraus berechnet werden können. (3) 1Bei Leistungen können, soweit es üblich ist, abweichend von Absatz 1 Satz 1 Stundensätze, Kilometersätze und andere Verrechnungssätze angegeben werden, die alle Leistungselemente einschließlich der anteiligen Umsatzsteuer enthalten. 2Die Materialkosten können in die Verrechnungssätze einbezogen werden. (4) Wird außer dem Entgelt für eine Ware oder Leistung eine rückerstattbare Sicherheit gefordert, so ist deren Höhe neben dem Preis für die Ware oder Leistung anzugeben und kein Gesamtbetrag zu bilden. (5) Die Angabe von Preisen mit einem Änderungsvorbehalt ist abweichend von Absatz 1 Satz 1 nur zulässig 1. bei Waren oder Leistungen, für die Liefer- oder Leistungsfristen von mehr als vier Monaten bestehen, soweit zugleich die voraussichtlichen Liefer- und Leistungsfristen angegeben werden, 2. bei Waren oder Leistungen, die im Rahmen von Dauerschuldverhältnissen erbracht werden, oder 3. in Prospekten eines Reiseveranstalters über die von ihm veranstalteten Reisen, soweit der Reiseveranstalter gemäß § 4 Absatz 2 der BGB-Informationspflichten-Verordnung in der Fassung der Bekanntmachung vom 5. August 2002 (BGBl. I S. 3002), die zuletzt durch die Verordnung vom 23. Oktober 2008 (BGBl. I S. 2069) geändert worden ist, den Vorbehalt einer Preisanpassung in den Prospekt aufnehmen darf und er sich eine entsprechende Anpassung im Prospekt vorbehalten hat. (6) 1Die Angaben nach dieser Verordnung müssen der allgemeinen Verkehrsauffassung und den Grundsätzen von Preisklarheit und Preiswahrheit entsprechen. 2Wer zu Angaben nach dieser Verordnung verpflichtet ist, hat diese dem Angebot oder der Werbung eindeutig zuzuordnen sowie leicht erkennbar und deutlich lesbar oder sonst gut wahrnehmbar zu machen. 3Bei der Aufgliederung von Preisen sind die Gesamtpreise hervorzuheben.

§ 2 Grundpreis (1) 1Wer Verbrauchern gewerbs- oder geschäftsmäßig oder wer ihnen regelmäßig in sonstiger Weise Waren in Fertigpackungen, offenen Packungen oder als Verkaufseinheiten ohne Umhüllung nach Gewicht, Volumen, Länge oder Fläche anbietet, hat neben dem Gesamtpreis auch den Preis je Mengeneinheit einschließlich der Umsatzsteuer und sonstiger Preisbestandteile (Grundpreis) in unmittelbarer Nähe des Gesamtpreises gemäß Absatz 3 Satz 1, 2, 4 oder 5 anzugeben. 2Dies gilt auch für denjenigen, der als Anbieter dieser Waren gegenüber Verbrauchern unter Angabe von Preisen wirbt. 3Auf die Angabe des Grundpreises kann verzichtet werden, wenn dieser mit dem Gesamtpreis identisch ist.

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(2) Wer Verbrauchern gewerbs- oder geschäftsmäßig oder wer ihnen regelmäßig in sonstiger Weise unverpackte Waren, die in deren Anwesenheit oder auf deren Veranlassung abgemessen werden (lose Ware), nach Gewicht, Volumen, Länge oder Fläche anbietet oder als Anbieter dieser Waren gegenüber Verbrauchern unter Angabe von Preisen wirbt, hat lediglich den Grundpreis gemäß Absatz 3 anzugeben. (3) 1Die Mengeneinheit für den Grundpreis ist jeweils 1 Kilogramm, 1 Liter, 1 Kubikmeter, 1 Meter oder 1 Quadratmeter der Ware. 2Bei Waren, deren Nenngewicht oder Nennvolumen üblicherweise 250 Gramm oder Milliliter nicht übersteigt, dürfen als Mengeneinheit für den Grundpreis 100 Gramm oder Milliliter verwendet werden. 3Bei nach Gewicht oder nach Volumen angebotener loser Ware ist als Mengeneinheit für den Grundpreis entsprechend der allgemeinen Verkehrsauffassung entweder 1 Kilogramm oder 100 Gramm oder 1 Liter oder 100 Milliliter zu verwenden. 4Bei Waren, die üblicherweise in Mengen von 100 Liter und mehr, 50 Kilogramm und mehr oder 100 Meter und mehr abgegeben werden, ist für den Grundpreis die Mengeneinheit zu verwenden, die der allgemeinen Verkehrsauffassung entspricht. 5Bei Waren, bei denen das Abtropfgewicht anzugeben ist, ist der Grundpreis auf das angegebene Abtropfgewicht zu beziehen. (4) 1Bei Haushaltswaschmitteln kann als Mengeneinheit für den Grundpreis eine übliche Anwendung verwendet werden. 2Dies gilt auch für Wasch- und Reinigungsmittel, sofern sie einzeln portioniert sind und die Zahl der Portionen zusätzlich zur Gesamtfüllmenge angegeben ist.

§ 3 Elektrizität, Gas, Fernwärme und Wasser 1Wer

Verbrauchern gewerbs- oder geschäftsmäßig oder wer ihnen regelmäßig in sonstiger Weise Elektrizität, Gas, Fernwärme oder Wasser leitungsgebunden anbietet oder als Anbieter dieser Waren gegenüber Verbrauchern unter Angabe von Preisen wirbt, hat den verbrauchsabhängigen Preis je Mengeneinheit einschließlich der Umsatzsteuer und aller spezifischen Verbrauchssteuern (Arbeits- oder Mengenpreis) gemäß Satz  2 im Angebot oder in der Werbung anzugeben. 2Als Mengeneinheit für den Arbeitspreis bei Elektrizität, Gas und Fernwärme ist 1 Kilowattstunde und für den Mengenpreis bei Wasser 1 Kubikmeter zu verwenden. 3Wer neben dem Arbeits- oder Mengenpreis leistungsabhängige Preise fordert, hat diese vollständig in unmittelbarer Nähe des Arbeits- oder Mengenpreises anzugeben. 4Satz 3 gilt entsprechend für die Forderungen nicht verbrauchsabhängiger Preise.

§ 4 Handel (1) Waren, die in Schaufenstern, Schaukästen, innerhalb oder außerhalb des Verkaufsraumes auf Verkaufsständen oder in sonstiger Weise sichtbar ausgestellt werden, und Waren, die vom Verbraucher unmittelbar entnommen werden können, sind durch Preisschilder oder Beschriftung der Ware auszuzeichnen.

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(2) Waren, die nicht unter den Voraussetzungen des Absatzes 1 im Verkaufsraum zum Verkauf bereitgehalten werden, sind entweder nach Absatz 1 auszuzeichnen oder dadurch, dass die Behältnisse oder Regale, in denen sich die Waren befinden, beschriftet werden oder dass Preisverzeichnisse angebracht oder zur Einsichtnahme aufgelegt werden. (3) Waren, die nach Musterbüchern angeboten werden, sind dadurch auszuzeichnen, dass die Preise für die Verkaufseinheit auf den Mustern oder damit verbundenen Preisschildern oder Preisverzeichnissen angegeben werden. (4) Waren, die nach Katalogen oder Warenlisten oder auf Bildschirmen angeboten werden, sind dadurch auszuzeichnen, dass die Preise unmittelbar bei den Abbildungen oder Beschreibungen der Waren oder in mit den Katalogen oder Warenlisten im Zusammenhang stehenden Preisverzeichnissen angegeben werden. (5) Auf Angebote von Waren, deren Preise üblicherweise aufgrund von Tarifen oder Gebührenregelungen bemessen werden, ist § 5 Abs. 1 und 2 entsprechend anzuwenden.

§ 5 Leistungen (1) 1Wer Leistungen anbietet, hat ein Preisverzeichnis mit den Preisen für seine wesentlichen Leistungen oder in den Fällen des § 1 Abs. 3 mit seinen Verrechnungssätzen aufzustellen. 2Dieses ist im Geschäftslokal oder am sonstigen Ort des Leistungsangebots und, sofern vorhanden, zusätzlich im Schaufenster oder Schaukasten anzubringen. 3Ort des Leistungsangebots ist auch die Bildschirmanzeige. 4Wird eine Leistung über Bildschirmanzeige erbracht und nach Einheiten berechnet, ist eine gesonderte Anzeige über den Preis der fortlaufenden Nutzung unentgeltlich anzubieten. (2) Werden entsprechend der allgemeinen Verkehrsauffassung die Preise und Verrechnungssätze für sämtliche angebotenen Leistungen in Preisverzeichnisse aufgenommen, so sind diese zur Einsichtnahme am Ort des Leistungsangebots bereitzuhalten, wenn das Anbringen der Preisverzeichnisse wegen ihres Umfangs nicht zumutbar ist. (3) Werden die Leistungen in Fachabteilungen von Handelsbetrieben angeboten, so genügt das Anbringen der Preisverzeichnisse in den Fachabteilungen.

§ 6a Werbung für Verbraucherdarlehen (1) 1Jegliche Kommunikation für Werbe- und Marketingzwecke, die Verbraucherdarlehen betrifft, hat den Kriterien der Redlichkeit und Eindeutigkeit zu genügen und darf nicht irreführend sein. 2Insbesondere sind Formulierungen unzulässig, die beim Verbraucher falsche Erwartungen in Bezug auf die Möglichkeit, ein Verbraucherdarlehen zu erhalten oder in Bezug auf die Kosten eines Verbraucherdarlehens wecken. (2) 1Wer gegenüber Verbrauchern für den Abschluss eines Verbraucherdarlehensvertrags mit Zinssätzen oder sonstigen Zahlen, die die Kosten betreffen, wirbt, hat in klarer, eindeutiger und auffallender Art und Weise anzugeben:

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1. die Identität und Anschrift des Darlehensgebers oder gegebenenfalls des Darlehensvermittlers, 2. den Nettodarlehensbetrag, 3. den Sollzinssatz und die Auskunft, ob es sich um einen festen oder einen variablen Zinssatz oder um eine Kombination aus beiden handelt, sowie Einzelheiten aller für den Verbraucher anfallenden, in die Gesamtkosten einbezogenen Kosten, 4. den effektiven Jahreszins. 2In

der Werbung ist der effektive Jahreszins mindestens genauso hervorzuheben wie jeder andere Zinssatz. (3) In der Werbung gemäß Absatz  2 sind zusätzlich, soweit zutreffend, folgende Angaben zu machen: 1. der vom Verbraucher zu zahlende Gesamtbetrag, 2. die Laufzeit des Verbraucherdarlehensvertrags, 3. die Höhe der Raten, 4. die Anzahl der Raten, 5. bei Immobiliar-Verbraucherdarlehen der Hinweis, dass der Verbraucherdarlehensvertrag durch ein Grundpfandrecht oder eine Reallast besichert wird, 6. bei Immobiliar-Verbraucherdarlehen in Fremdwährung ein Warnhinweis, dass sich mögliche Wechselkursschwankungen auf die Höhe des vom Verbraucher zu zahlenden Gesamtbetrags auswirken könnten. (4) 1Die in den Absätzen 2 und 3 genannten Angaben sind mit Ausnahme der Angaben nach Absatz 2 Satz 1 Nummer 1 und Absatz 3 Nummer 5 und 6 mit einem Beispiel zu versehen. 2Bei der Auswahl des Beispiels muss der Werbende von einem effektiven Jahreszins ausgehen, von dem er erwarten darf, dass er mindestens zwei Drittel der aufgrund der Werbung zustande kommenden Verträge zu dem angegebenen oder einem niedrigeren effektiven Jahreszins abschließen wird. (5) Verlangt der Werbende den Abschluss eines Versicherungsvertrags oder eines Vertrags über andere Zusatzleistungen und können die Kosten für diesen Vertrag nicht im Voraus bestimmt werden, ist auf die Verpflichtung zum Abschluss dieses Vertrags klar und verständlich an gestalterisch hervorgehobener Stelle zusammen mit dem effektiven Jahreszins hinzuweisen. (6) Die Informationen nach den Absätzen 2, 3 und 5 müssen in Abhängigkeit vom Medium, das für die Werbung gewählt wird, akustisch gut verständlich oder deutlich lesbar sein. (7) Auf Immobiliar-Verbraucherdarlehensverträge gemäß § 491 Absatz 2 Satz 2 Nummer 5 des Bürgerlichen Gesetzbuchs ist nur Absatz 1 anwendbar.

§ 6b Überziehungsmöglichkeiten Bei Überziehungsmöglichkeiten im Sinne des § 504 Abs. 2 des Bürgerlichen Gesetzbuchs hat der Darlehensgeber statt des effektiven Jahreszinses den Sollzinssatz pro Jahr und die

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Zinsbelastungsperiode anzugeben, wenn diese nicht kürzer als drei Monate ist und der Darlehensgeber außer den Sollzinsen keine weiteren Kosten verlangt.

§ 6c Entgeltliche Finanzierungshilfen Die §§ 6 und 6a sind auf Verträge entsprechend anzuwenden, durch die ein Unternehmer einem Verbraucher einen entgeltlichen Zahlungsaufschub oder eine sonstige entgeltliche Finanzierungshilfe im Sinne des § 506 des Bürgerlichen Gesetzbuchs gewährt.

§ 7 Gaststätten, Beherbergungsbetriebe (1) In Gaststätten und ähnlichen Betrieben, in denen Speisen oder Getränke angeboten werden, sind die Preise in Preisverzeichnissen anzugeben. Die Preisverzeichnisse sind entweder auf Tischen aufzulegen oder jedem Gast vor Entgegennahme von Bestellungen und auf Verlangen bei Abrechnung vorzulegen oder gut lesbar anzubringen. Werden Speisen und Getränke gemäß § 4 Abs. 1 angeboten, so muss die Preisangabe dieser Vorschrift entsprechen. (2) Neben dem Eingang der Gaststätte ist ein Preisverzeichnis anzubringen, aus dem die Preise für die wesentlichen angebotenen Speisen und Getränke ersichtlich sind. Ist der Gaststättenbetrieb Teil eines Handelsbetriebes, so genügt das Anbringen des Preisverzeichnisses am Eingang des Gaststättenteils. (3) In Beherbergungsbetrieben ist beim Eingang oder bei der Anmeldestelle des Betriebes an gut sichtbarer Stelle ein Verzeichnis anzubringen oder auszulegen, aus dem die Preise der im Wesentlichen angebotenen Zimmer und gegebenenfalls der Frühstückspreis ersichtlich sind. (4) Kann in Gaststätten- und Beherbergungsbetrieben eine Telekommunikationsanlage benutzt werden, so ist der bei Benutzung geforderte Preis je Minute oder je Benutzung in der Nähe der Telekommunikationsanlage anzugeben. (5) Die in den Preisverzeichnissen aufgeführten Preise müssen das Bedienungsgeld und sonstige Zuschläge einschließen.

§ 8 Tankstellen, Parkplätze (1) An Tankstellen sind die Kraftstoffpreise so auszuzeichnen, dass sie 1. für den auf der Straße heranfahrenden Kraftfahrer, 2. auf Bundesautobahnen für den in den Tankstellenbereich einfahrenden Kraftfahrer deutlich lesbar sind. Dies gilt nicht für Kraftstoffmischungen, die erst in der Tankstelle hergestellt werden.

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(2) Wer für weniger als einen Monat Garagen, Einstellplätze oder Parkplätze vermietet oder bewacht oder Kraftfahrzeuge verwahrt, hat am Anfang der Zufahrt ein Preisverzeichnis anzubringen, aus dem die von ihm geforderten Preise ersichtlich sind.

§ 9 Ausnahmen (1) Die Vorschriften dieser Verordnung sind nicht anzuwenden 1. auf Angebote oder Werbung gegenüber Verbrauchern, die die Ware oder Leistung in ihrer selbständigen beruflichen oder gewerblichen oder in ihrer behördlichen oder dienstlichen Tätigkeit verwenden; für Handelsbetriebe gilt dies nur, wenn sie sicherstellen, dass als Verbraucher ausschließlich die in Halbsatz  1  genannten Personen Zutritt haben, und wenn sie durch geeignete Maßnahmen dafür Sorge tragen, dass diese Personen nur die in ihrer jeweiligen Tätigkeit verwendbaren Waren kaufen; 2. auf Leistungen von Gebietskörperschaften des öffentlichen Rechts, soweit es sich nicht um Leistungen handelt, für die Benutzungsgebühren oder privatrechtliche Entgelte zu entrichten sind; 3. auf Waren und Leistungen, soweit für sie aufgrund von Rechtsvorschriften eine Werbung untersagt ist; 4. auf mündliche Angebote, die ohne Angabe von Preisen abgegeben werden; 5. auf Warenangebote bei Versteigerungen. (2) § 1 Abs. 1 und § 2 Abs. 1 sind nicht anzuwenden auf individuelle Preisnachlässe sowie auf nach Kalendertagen zeitlich begrenzte und durch Werbung bekannt gemachte generelle Preisnachlässe. (3) § 1 Abs. 2 ist nicht anzuwenden auf die in § 312 Absatz 2 Nummer 2, 3, 6, 9 und 10 und Absatz 6 des Bürgerlichen Gesetzbuchs genannten Verträge. (4) § 2 Abs. 1 ist nicht anzuwenden auf Waren, die 1. über ein Nenngewicht oder Nennvolumen von weniger als 10 Gramm oder Milliliter verfügen; 2. verschiedenartige Erzeugnisse enthalten, die nicht miteinander vermischt oder vermengt sind; 3. von kleinen Direktvermarktern sowie kleinen Einzelhandelsgeschäften angeboten werden, bei denen die Warenausgabe überwiegend im Wege der Bedienung erfolgt, es sei denn, dass das Warensortiment im Rahmen eines Vertriebssystems bezogen wird; 4. im Rahmen einer Dienstleistung angeboten werden; 5. in Getränke- und Verpflegungsautomaten angeboten werden. (5) § 2 Abs. 1 ist ferner nicht anzuwenden bei

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1. Kau- und Schnupftabak mit einem Nenngewicht bis 25 Gramm; 2. kosmetischen Mitteln, die ausschließlich der Färbung oder Verschönerung der Haut, des Haares oder der Nägel dienen; 3. Parfüms und parfümierten Duftwässern, die mindestens 3 Volumenprozent Duftöl und mindestens 70 Volumenprozent reinen Äthylalkohol enthalten. (6) Die Angabe eines neuen Grundpreises nach § 2 Abs. 1 ist nicht erforderlich bei 1. Waren ungleichen Nenngewichts oder -volumens oder ungleicher Nennlänge oder -fläche mit gleichem Grundpreis, wenn der geforderte Gesamtpreis um einen einheitlichen Betrag herabgesetzt wird; 2. leicht verderblichen Lebensmitteln, wenn der geforderte Gesamtpreis wegen einer drohenden Gefahr des Verderbs herabgesetzt wird. (7) § 4 ist nicht anzuwenden 1. auf Kunstgegenstände, Sammlungsstücke und Antiquitäten im Sinne des Kapitels 97 des Gemeinsamen Zolltarifs; 2. auf Waren, die in Werbevorführungen angeboten werden, sofern der Preis der jeweiligen Ware bei deren Vorführung und unmittelbar vor Abschluss des Kaufvertrages genannt wird; 3. auf Blumen und Pflanzen, die unmittelbar vom Freiland, Treibbeet oder Treibhaus verkauft werden. (8) § 5 ist nicht anzuwenden 1. auf Leistungen, die üblicherweise aufgrund von schriftlichen Angeboten oder schriftlichen Voranschlägen erbracht werden, die auf den Einzelfall abgestellt sind; 2. auf künstlerische, wissenschaftliche und pädagogische Leistungen; dies gilt nicht, wenn die Leistungen in Konzertsälen, Theatern, Filmtheatern, Schulen, Instituten oder dergleichen erbracht werden; 3. auf Leistungen, bei denen in Gesetzen oder Rechtsverordnungen die Angabe von Preisen besonders geregelt ist.

§ 10 Ordnungswidrigkeiten (1) Ordnungswidrig im Sinne des § 3 Abs. 1 Nr. 2 des Wirtschaftsstrafgesetzes 1954 handelt, wer vorsätzlich oder fahrlässig 1. entgegen § 1 Abs. 1 Satz 1 Preise nicht, nicht richtig oder nicht vollständig angibt, 2. entgegen § 1 Abs. 1 Satz 2 die Verkaufs- oder Leistungseinheit oder Gütebezeichnung nicht oder nicht richtig angibt, auf die sich die Preise beziehen,

Anlagen167

3. entgegen § 1 Abs. 2 Satz 1 Nr. 1, auch in Verbindung mit Satz 3, eine Angabe nicht, nicht richtig oder nicht vollständig macht, 4. entgegen § 1 Abs. 3 Satz 1 Stundensätze, Kilometersätze oder andere Verrechnungssätze nicht richtig angibt, 5. entgegen § 1 Abs. 4 oder 6 Satz 2 Angaben nicht in der dort vorgeschriebenen Form macht, 6. entgegen § 1 Abs. 6 Satz 3 den Gesamtpreis nicht hervorhebt oder 7. entgegen § 2 Abs. 1 Satz 1, auch in Verbindung mit Satz 2, oder § 2 Abs. 2 oder § 3 Satz 1 oder 3, auch in Verbindung mit Satz 4, eine Angabe nicht, nicht richtig oder nicht vollständig macht. (2) Ordnungswidrig im Sinne des § 3 Abs. 1 Nr. 2 des Wirtschaftsstrafgesetzes 1954 handelt auch, wer vorsätzlich oder fahrlässig einer Vorschrift 1. des § 4 Abs. 1 bis 4 über das Auszeichnen von Waren, 2. des § 5 Abs. 1 Satz 1, 2 oder 4 oder Abs. 2, jeweils auch in Verbindung mit § 4 Abs. 5, über das Aufstellen, das Anbringen oder das Bereithalten von Preisverzeichnissen oder über das Anbieten einer Anzeige des Preises, 3. des §  6 Absatz  1 über die Angabe oder die Bezeichnung des Preises bei Verbraucherdarlehen, 4. des § 6 Absatz 7 oder § 6b über die Angabe von Voraussetzungen für die Verbraucherdarlehensgewährung oder des Zinssatzes oder der Zinsbelastungsperiode, 5. des § 6a Absatz 2 Satz 1 oder Absatz 3 über die Pflichtangaben in der Werbung, 6. des § 7 Abs. 1 Satz 1 oder 2, Abs. 2 Satz 1, Abs. 3 oder 4 über die Angabe von Preisen oder über das Auflegen, das Vorlegen, das Anbringen oder das Auslegen eines dort genannten Verzeichnisses, 7. des § 8 Abs. 1 Satz 1 über das Auszeichnen von Kraftstoffpreisen oder 8. des § 8 Abs. 2 über das Anbringen eines Preisverzeichnisses zuwiderhandelt. (3) Ordnungswidrig im Sinne des §  3 Abs.  1 Satz  1  Nr.  3 des Wirtschaftsstrafgesetzes 1954 handelt, wer vorsätzlich oder fahrlässig entgegen § 1 Abs. 2 Satz 1 Nr. 2 oder Satz 2, jeweils auch in Verbindung mit Satz 3, eine Angabe nicht, nicht richtig oder nicht vollständig macht.

§ 11 (aufgehoben) Anlage (zu § 6) Berechnung des effektiven Jahreszinses 1. Grundgleichung zur Darstellung der Gleichheit zwischen Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbeträgen einerseits und Rückzahlungen (Tilgung, Zinsen und Verbraucherdarlehenskosten) andererseits. Die nachstehende Gleichung zur Ermittlung des effektiven Jahreszinses drückt auf jährlicher Basis die rechnerische Gleichheit zwischen der Summe der Gegenwartswerte

168Anlagen

der in Anspruch genommenen Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbeträge einerseits und der Summe der Gegenwartswerte der Rückzahlungen (Tilgung, Zinsen und Verbraucherdarlehenskosten) andererseits aus: m



−t k

∑ Ck (1+X) k=1

m′

=

−sl

∑ Dl (1+X) l=1



Hierbei ist • X der effektive Jahreszins; • m die laufende Nummer des letzten Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbetrags; • k die laufende Nummer eines Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbetrags, wobei 1 ≤ k ≤ m; • Ck die Höhe des Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbetrags mit der Nummer k; • tk der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen der ersten Verbraucherdarlehensvergabe und dem Zeitpunkt der einzelnen nachfolgenden in Anspruch genommenen Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbeträge, wobei t1 = 0; • m’ die laufende Nummer der letzten Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung; • l die laufende Nummer einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung; • Dl der Betrag einer Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung; • sl der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitraum zwischen dem Zeitpunkt der Inanspruchnahme des ersten Verbraucherdarlehens-Auszahlungsbetrags und dem Zeitpunkt jeder einzelnen Tilgungs-, Zins- oder Kostenzahlung. Anmerkungen: a) Die von beiden Seiten zu unterschiedlichen Zeitpunkten gezahlten Beträge sind nicht notwendigerweise gleich groß und werden nicht notwendigerweise in gleichen Zeitabständen entrichtet. b) Anfangszeitpunkt ist der Tag der Auszahlung des ersten Verbraucherdarlehensbetrags. c) Der Zeitraum zwischen diesen Zeitpunkten wird in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückt. Zugrunde gelegt werden für ein Jahr 365  Tage (bzw. für ein Schaltjahr 366  Tage), 52  Wochen oder zwölf Standardmonate. Ein Standardmonat hat 30,41666 Tage (d. h. 365/12), unabhängig davon, ob es sich um ein Schaltjahr handelt oder nicht. Können die Zeiträume zwischen den in den Berechnungen verwendeten Zeitpunkten nicht als ganze Zahl von Wochen, Monaten oder Jahren ausgedrückt werden, so sind sie als ganze Zahl eines dieser Zeitabschnitte in Kombination mit einer Anzahl von Tagen auszudrücken. Bei der Verwendung von Tagen aa) werden alle Tage einschließlich Wochenenden und Feiertagen gezählt; bb) werden gleich lange Zeitabschnitte und dann Tage bis zur Inanspruchnahme des ersten Verbraucherdarlehensbetrags zurückgezählt;

Anlagen169

cc) wird die Länge des in Tagen bemessenen Zeitabschnitts ohne den ersten und einschließlich des letzten Tages berechnet und in Jahren ausgedrückt, indem dieser Zeitabschnitt durch die Anzahl von Tagen des gesamten Jahres (365 oder 366 Tage), zurückgezählt ab dem letzten Tag bis zum gleichen Tag des Vorjahres, geteilt wird. d) Das Rechenergebnis wird auf zwei Dezimalstellen genau angegeben. Ist die Ziffer der dritten Dezimalstelle größer als oder gleich 5, so erhöht sich die Ziffer der zweiten Dezimalstelle um den Wert 1. e) Mathematisch darstellen lässt sich diese Gleichung durch eine einzige Summation unter Verwendung des Faktors „Ströme" (Ak), die entweder positiv oder negativ sind, je nachdem, ob sie für Auszahlungen oder für Rückzahlungen innerhalb der Perioden 1 bis n, ausgedrückt in Jahren, stehen: n

S=

−t k,

∑ Ak (1 + X )

k =1 dabei ist S der Saldo der Gegenwartswerte aller „Ströme", deren Wert gleich null sein muss, damit die Gleichheit zwischen den „Strömen" gewahrt bleibt.

2. Es gelten die folgenden zusätzlichen Annahmen für die Berechnung des effektiven Jahreszinses: a) Ist dem Verbraucher nach dem Verbraucherdarlehensvertrag freigestellt, wann er das Verbraucherdarlehen in Anspruch nehmen will, so gilt das gesamte Verbraucherdarlehen als sofort in voller Höhe in Anspruch genommen. b) Ist dem Verbraucher nach dem Verbraucherdarlehensvertrag generell freigestellt, wann er das Verbraucherdarlehen in Anspruch nehmen will, sind jedoch je nach Art der Inanspruchnahme Beschränkungen in Bezug auf Verbraucherdarlehensbetrag und Zeitraum vorgesehen, so gilt das gesamte Verbraucherdarlehen als zu dem im Verbraucherdarlehensvertrag vorgesehenen frühestmöglichen Zeitpunkt mit den entsprechenden Beschränkungen in Anspruch genommen. c) Sieht der Verbraucherdarlehensvertrag verschiedene Arten der Inanspruchnahme mit unterschiedlichen Kosten oder Sollzinssätzen vor, so gilt das gesamte Verbraucherdarlehen als zu den höchsten Kosten und zum höchsten Sollzinssatz in Anspruch genommen, wie sie für die Kategorie von Geschäften gelten, die bei dieser Art von Verbraucherdarlehensverträgen am häufigsten vorkommt. d) Bei einer Überziehungsmöglichkeit gilt das gesamte Verbraucherdarlehen als in voller Höhe und für die gesamte Laufzeit des Verbraucherdarlehensvertrags in Anspruch genommen. Ist die Dauer der Überziehungsmöglichkeit nicht bekannt, so ist bei der Berechnung des effektiven Jahreszinses von der Annahme auszugehen, dass die Laufzeit des Verbraucherdarlehensvertrags drei Monate beträgt.

170Anlagen

e) Bei einem Überbrückungsdarlehen gilt das gesamte Verbraucherdarlehen als in voller Höhe und für die gesamte Laufzeit des Verbraucherdarlehensvertrags in Anspruch genommen. Ist die Laufzeit des Verbraucherdarlehensvertrags nicht bekannt, so wird bei der Berechnung des effektiven Jahreszinses von der Annahme ausgegangen, dass sie zwölf Monate beträgt. f) Bei einem unbefristeten Verbraucherdarlehensvertrag, der weder eine Überziehungsmöglichkeit noch ein Überbrückungsdarlehen beinhaltet, wird angenommen, dass aa) das Verbraucherdarlehen bei Immobiliar-Verbraucherdarlehensverträgen für einen Zeitraum von 20  Jahren ab der ersten Inanspruchnahme gewährt wird und dass mit der letzten Zahlung des Verbrauchers der Saldo, die Zinsen und etwaige sonstige Kosten ausgeglichen sind; bei Allgemein-Verbraucherdarlehensverträgen, die nicht für den Erwerb oder die Erhaltung von Rechten an Immobilien bestimmt sind oder bei denen das Verbraucherdarlehen im Rahmen von Debit-Karten mit Zahlungsaufschub oder Kreditkarten in Anspruch genommen wird, dieser Zeitraum ein Jahr beträgt und dass mit der letzten Zahlung des Verbrauchers der Saldo, die Zinsen und etwaige sonstige Kosten ausgeglichen sind; bb) der Verbraucherdarlehensbetrag in gleich hohen monatlichen Zahlungen, beginnend einen Monat nach dem Zeitpunkt der ersten Inanspruchnahme, zurückgezahlt wird; muss der Verbraucherdarlehensbetrag jedoch vollständig, in Form einer einmaligen Zahlung, innerhalb jedes Zahlungszeitraums zurückgezahlt werden, so ist anzunehmen, dass spätere Inanspruchnahmen und Rückzahlungen des gesamten Verbraucherdarlehensbetrags durch den Verbraucher innerhalb eines Jahres stattfinden; Zinsen und sonstige Kosten werden entsprechend diesen Inanspruchnahmen und Tilgungszahlungen und nach den Bestimmungen des Verbraucherdarlehensvertrags festgelegt. Als unbefristete Verbraucherdarlehensverträge gelten für die Zwecke dieses Buchstabens Verbraucherdarlehensverträge ohne feste Laufzeit, einschließlich solcher Verbraucherdarlehen, bei denen der Verbraucherdarlehensbetrag innerhalb oder nach Ablauf eines Zeitraums vollständig zurückgezahlt werden muss, dann aber erneut in Anspruch genommen werden kann. g) Bei Verbraucherdarlehensverträgen, die weder Überziehungsmöglichkeiten beinhalten noch Überbrückungsdarlehen, Verbraucherdarlehensverträge mit Wertbeteiligung, Eventualverpflichtungen oder Garantien sind, und bei unbefristeten Verbraucherdarlehensverträgen (siehe die Annahmen unter den Buchstaben d, e, f, l und m) gilt Folgendes: aa) Lassen sich der Zeitpunkt oder die Höhe einer vom Verbraucher zu leistenden Tilgungszahlung nicht feststellen, so ist anzunehmen, dass die Rückzahlung zu dem im Verbraucherdarlehensvertrag genannten frühestmöglichen Zeitpunkt und in der darin festgelegten geringsten Höhe erfolgt. bb) Lässt sich der Zeitraum zwischen der ersten Inanspruchnahme und der ersten vom Verbraucher zu leistenden Zahlung nicht feststellen, so wird der kürzestmögliche Zeitraum angenommen.

Anlagen171

cc) Ist der Zeitpunkt des Abschlusses des Verbraucherdarlehensvertrags nicht bekannt, so ist anzunehmen, dass das Verbraucherdarlehen erstmals zu dem Zeitpunkt in Anspruch genommen wurde, der sich aus dem kürzesten zeitlichen Abstand zwischen diesem Zeitpunkt und der Fälligkeit der ersten vom Verbraucher zu leistenden Zahlung ergibt. h) Lassen sich der Zeitpunkt oder die Höhe einer vom Verbraucher zu leistenden Zahlung nicht anhand des Verbraucherdarlehensvertrags oder der Annahmen nach den Buchstaben d, e, f, g, l oder m feststellen, so ist anzunehmen, dass die Zahlung in Übereinstimmung mit den vom Darlehensgeber bestimmten Fristen und Bedingungen erfolgt und dass, falls diese nicht bekannt sind, aa) die Zinszahlungen zusammen mit den Tilgungszahlungen erfolgen, bb) Zahlungen für Kosten, die keine Zinsen sind und die als Einmalbetrag ausgedrückt sind, bei Abschluss des Verbraucherdarlehensvertrags erfolgen, cc) Zahlungen für Kosten, die keine Zinsen sind und die als Mehrfachzahlungen ausgedrückt sind, beginnend mit der ersten Tilgungszahlung in regelmäßigen Abständen erfolgen und es sich, falls die Höhe dieser Zahlungen nicht bekannt ist, um jeweils gleich hohe Beträge handelt, dd) mit der letzten Zahlung der Saldo, die Zinsen und etwaige sonstige Kosten ausgeglichen sind. i) Ist keine Verbraucherdarlehensobergrenze vereinbart, ist anzunehmen, dass die Obergrenze des gewährten Verbraucherdarlehens 170.000  Euro beträgt. Bei Verbraucherdarlehensverträgen, die weder Eventualverpflichtungen noch Garantien sind und die nicht für den Erwerb oder die Erhaltung eines Rechts an Wohnimmobilien oder Grundstücken bestimmt sind, sowie bei Überziehungsmöglichkeiten, Debit-Karten mit Zahlungsaufschub oder Kreditkarten ist anzunehmen, dass die Obergrenze des gewährten Verbraucherdarlehens 1500 Euro beträgt. j) Werden für einen begrenzten Zeitraum oder Betrag verschiedene Sollzinssätze und Kosten angeboten, so sind während der gesamten Laufzeit des Verbraucherdarlehensvertrags der höchste Sollzinssatz und die höchsten Kosten anzunehmen. k) Bei Verbraucherdarlehensverträgen, bei denen für den Anfangszeitraum ein fester Sollzinssatz vereinbart wurde, nach dessen Ablauf ein neuer Sollzinssatz festgelegt wird, der anschließend in regelmäßigen Abständen nach einem vereinbarten Indikator oder einem internen Referenzzinssatz angepasst wird, wird bei der Berechnung des effektiven Jahreszinses von der Annahme ausgegangen, dass der Sollzinssatz ab dem Ende der Festzinsperiode dem Sollzinssatz entspricht, der sich aus dem Wert des vereinbarten Indikators oder des internen Referenzzinssatzes zum Zeitpunkt der Berechnung des effektiven Jahreszinses ergibt, die Höhe des festen Sollzinssatzes jedoch nicht unterschreitet. l) Bei Eventualverpflichtungen oder Garantien wird angenommen, dass das gesamte Verbraucherdarlehen zum früheren der beiden folgenden Zeitpunkte als einmaliger Betrag vollständig in Anspruch genommen wird:

172Anlagen

aa) zum letztzulässigen Zeitpunkt nach dem Verbraucherdarlehensvertrag, welcher die potenzielle Quelle der Eventualverbindlichkeit oder Garantie ist, oder bb) bei einem Roll-over-Verbraucherdarlehensvertrag am Ende der ersten Zinsperiode vor der Erneuerung der Vereinbarung. m) Bei Verbraucherdarlehensverträgen mit Wertbeteiligung wird angenommen, dass aa) die Zahlungen der Verbraucher zu den letzten nach dem Verbraucherdarlehensvertrag möglichen Zeitpunkten geleistet werden; bb) die prozentuale Wertsteigerung der Immobilie, die die Sicherheit für den Vertrag darstellt, und ein in dem Vertrag genannter Inflationsindex ein Prozentsatz ist, der – je nachdem, welcher Satz höher ist – dem aktuellen Inflationsziel der Zentralbank oder der Höhe der Inflation in dem Mitgliedstaat, in dem die Immobilie belegen ist, zum Zeitpunkt des Abschlusses des Verbraucherdarlehensvertrags oder dem Wert 0 %, falls diese Prozentsätze negativ sind, entspricht.

Glossar

Abschreibungsdivisor  = Rentenendwertfaktor (siehe dort) Abzinsung  Das Abzinsen beschreibt die Verschiebung einer Zahlung auf einen früheren Zeitpunkt unter Berücksichtigung eines kalkulatorischen Zinssatzes. Annuität  Eine Annuität ist eine periodisch gleichbleibende Zahlung. Die Annuität setzt sich bei Darlehen aus einem Tilgungs- und einem Zinsanteil zusammen. Annuitätenfaktor  Der Annuitätenfaktor ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors. Der Annuitätenfaktor wird auch als Verrentungsfaktor oder Kapitalwiedergewinnungsfaktor bezeichnet. Annuitätentilgung  Bei einem Annuitätendarlehen mit Annuitätentilgung sind die jährlichen Annuitäten konstant. Die Annuität beinhaltet die Zinsen und die Tilgung. Der Tilgungsanteil verringert die Restschuld. Da die Restschuld von Jahr zu Jahr abnimmt, nehmen die zu zahlenden Zinsen ebenfalls von Jahr zu Jahr ab. Damit steht jedes Jahr ein zunehmender Tilgungsanteil zur Verfügung. Aufzinsung  Das Aufzinsen beschreibt die Verschiebung einer Zahlung auf einen späteren Zeitpunkt unter Berücksichtigung eines kalkulatorischen Zinssatzes. Barwert  Der Barwert beziffert die Abzinsung einer oder mehrerer Zahlungen auf den Bezugszeitpunkt n = 0. Barwertfunktion  Die Darstellung des Barwertes (K0) als Funktion des Zinssatzes (p). Die Barwertfunktion (K0 (p))kann als Formel, Wertetabelle oder Graph dargestellt werden. Disagio  Das Disagio wird auch Abgeld oder Damnum bezeichnet. Es ist die Differenz zwischen Darlehens- und Auszahlungsbetrag. Bei Darlehen wird das Disagio in Prozent des Kreditbetrages oder absolut angegeben. Wird bei einem Kreditbetrag von 10.000 € beispielsweise ein Disagio von fünf Prozent vereinbart, werden lediglich 9500 € ausgezahlt. Die von der Bank einbehaltenen 500 € sind eine Zinsvorauszahlung. Die Vereinbarung eines Disagios führt zu einem niedrigeren Nominalzins, was zu einer niedrigeren Rückzahlungsrate führt. Diskontierung  = Abzinsung (siehe dort) Diskontierungssummenfaktor  = Rentenbarwertfaktor (siehe dort)

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174Glossar

Divergenz, zeitliche  Das zeitliche Auseinanderfallen von Ein- und Auszahlungen innerhalb der Zahlungsreihe. Dynamische Investitionsrechnung  Zur dynamischen Investitionsrechnung gehören u. a. die Barwertmethode, die Methode des internen Zinsfußes, die Annuitätenmethode sowie die vollständigen Finanzpläne. Charakteristisch hierbei ist die Berücksichtigung der zeitlich unterschiedlich anfallenden Zahlungen sowie die Bewertung dieser mit einem festgelegten Zinssatz. Die dynamischen Verfahren sind den statischen Methoden i. d. R. aufgrund ihrer höheren Genauigkeit bei der Abbildung der Zukunft vorzuziehen. Effektivzinssatz  Bei dem Effektivzinssatz handelt es sich quasi um den internen Zinssatz eines Darlehens. Der Effektivzinssatz berücksichtigt alle Kosten die mit einem Darlehen verbunden sind. Endwertverteilungsfaktor  = Restwertverteilungsfaktor (siehe dort) Entscheidungsregel  Regel zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition auf der Grundlage einer investitionstheoretischen Kennzahl. Inflation  Geldentwertung in einer Volkswirtschaft. Interner Zinsfuß  Bei dem internen Zinsfuß (auch: interner Zinssatz) einer Investition ist der Barwert = 0. Investitionsketten  Investitionsketten stellen die Aneinanderreihung bzw. Verkettung mehrerer identischer oder nicht identischer Investitionen dar. Dabei wird zwischen endlichen und unendlichen Investitionsketten unterschieden. Kalkulationszinssatz  Der Kalkulationszinssatz stellt die vom Investor gewünschte Mindestverzinsung dar. Kapitalmarkt, vollkommener  Kapitalmarkt der durch folgende Eigenschaften charakterisiert ist: Gleichheit von Soll- und Habenzinsen, unbeschränkte Kapitalaufnahme- und -anlagemöglichkeiten, keine Differenzierung zwischen Eigen- und Fremdkapital und vollkommene Markttransparenz. Kapitalwiedergewinnungsfaktor  = Annuitätenfaktor (siehe dort) Leibrente  Lebenslange Rente mit endlicher aber unbekannter Dauer. Liegenschaftszinssatz  Zinssatz, mit dem ein Verkehrswert eines Grundstücks je nach Grundstücksart im Durchschnitt marktüblich verzinst wird (§ 14 Abs. 3 ImmoWertV). Mittelherkunft  Das Bereitstellen von Finanzmitteln für Investitionen (= Finanzierung). Mittelverwendung  Das Anlagen von Finanzmitteln (= Investition). nachschüssig  Am Ende der Periode. Normalinvestition  Zahlungsreihen, die mit einer Auszahlung (oder mehreren Auszahlungen) beginnen und dann nur noch Einzahlungen aufweisen. Eine Normalinvestition weist lediglich einen Vorzeichenwechsel auf. Nutzungsdauer, optimale  Ökonomisch sinnvolle Nutzungsdauer, die kürzer als die technische Nutzungsdauer sein kann. Rente  Die Rente bezeichnet eine regelmäßig wiederkehrende Zahlung. Rente, ewige  Zeitlich unbegrenzte Rente, d. h. mit unendlicher Dauer. Rentenbarwertfaktor  Gemäß ImmoWertV: „Barwertfaktor für die Kapitalisierung“; Er wird auch bezeichnet als Abzinsungssummenfaktor, Diskontierungssummenfaktor

Glossar175

oder Kapitalisierungsfaktor. Anschaulich betrachtet handelt es sich um den Wert einer Rente in Höhe von 1,- € über n Jahre bei einem gegebenen Zinssatz. Der Rentenbarwertfaktor kann finanzmathematischen Tabellen entnommen werden. Rentenendwertfaktor  Der Rentenendwertfaktor gibt für einen gegebenen Zinssatz den Endwert einer Rente in Höhe von 1,- € über n Jahre an. Der Rentenendwertfaktor wird auch Abschreibungsdivisor oder Endwertfaktor genannt. Er kann finanzmathematischen Tabellen entnommen werden. Restwertverteilungsfaktor  Der Restwertverteilungsfaktor gibt für einen gegebenen Zinssatz die Höhe eine Rente über n Jahre an, wenn der Endwert 1,- € beträgt. Der Restwertverteilungsfaktor wird auch Endwertverteilungsfaktor genannt. Er kann finanzmathematischen Tabellen entnommen werden. Statische Investitionsrechnung Zur statischen Investitionsrechnung gehören u.  a. die Kostenvergleichsrechnung, die Gewinnvergleichsrechnung, die Rentabilitätsrechnung sowie die statische Amortisationsrechnung. Bei der statischen Investitionsrechnung werden Zinsen gar nicht oder nur teilweise berücksichtigt. Außerdem betrachten die statischen Verfahren meist nur eine einzige Periode, z. B. ein Jahr. Steuerparadoxon  Ein Steuerparadoxon liegt vor, wenn durch die Einbeziehung von Steuern die Vorteilhaftigkeit einer Investition erhöht wird. Unterlassensalternative  Die Alternative, ein betrachtetes Investitionsprojekt nicht durchzuführen (zu unterlassen). Vervielfältiger  = Rentenbarwertfaktor (siehe dort) Vollständiger Finanzplan (VoFi)  Ein vollständiger Finanzplan ist eine genaue Abbildung und tabellarische Erfassung von Zahlungen eines Investitionsprojekts. vorschüssig  Am Anfang der Periode. Zeitrente  Rente mit fester und bekannter Dauer. Zinsen  Entgelt bzw. Preis (absolut) für die Überlassung von Geld Zinssatz  Entgelt bzw. Preis (prozentual) für die Überlassung von Geld Zinsfuß  = Zinssatz (siehe dort)

Vertiefende Literatur

Adam, Dietrich: Investitionscontrolling; 3., völlig neu bearbeitete und wesentlich erweiterte Auflage; Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999 Bitz, Michael; Ewert, Jürgen; Terstege, Udo: Investition: Multimediale Einführung in finanzmathematische Entscheidungskonzepte; 2. Auflage; Springer Gabler Verlag, Wiesbaden 2012 Bitz, Michael; Domsch, Michel; Ewert, Ralf et al. [Hrsg.]: Vahlens Kompendium der Betriebswirtschaftslehre; Band 1; 5. Auflage; Verlag Vahlen, München 2005 Blohm, Hans; Lüder, Klaus; Schaefer, Christina: Investition: Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs und Investitionsrechnung; 10. Auflage; Verlag Vahlen, München 2012 Däumler, Klaus-Dieter; Grabe, Jürgen: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung; 13., vollständig überarbeitete Auflage; NWB Verlag Herne 2014 Deutsche Vereinigung für Wasserwirtschaft, Abwasser und Abfall e.V. (DWA): Leitlinien zur Durchführung dynamischer Kostenvergleichsrechnungen (KVR-Leitlinien); 8., überarbeitete Auflage; DWA Hennef 2012 Domschke, Wolfgang; Scholl, Armin: Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre: Eine Einführung aus entscheidungsorientierter Sicht; 4., verbesserte und aktualisierte Auflage; Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008 Drees-Behrens, Christa; Kirspel, Matthias; Schmidt, Andreas; Schwanke, Helmut: Finanzmathematik, Investition und Finanzierung: Aufgaben und Fälle; 2. Auflage; Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007 Fischer, Edwin O.: Finanzwirtschaft für Anfänger; 5., Auflage; Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2008 Götze, Uwe: Investitionsrechnung: Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben; 7., Auflage; Springer-Gabler Verlag Berlin Heidelberg 2014 Grob, Heinz Lothar: Einführung in die Investitionsrechnung; 5., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage, Verlag Franz Vahlen GmbH, München 2006 Hettich, Günter; Jüttler, Helmut; Luderer, Bernd: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und Finanzmathematik, 11. Auflage, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2012 Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung; 14., Auflage; Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2014 Lüscher-Marty, Max: Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik: Kompendium zur Theorie und Praxis der Geldanlage und des Bankkredits; 2. Auflage; Compendio Bildungsmedien, Zürich 2010 Metzger, Bernhard: Wertermittlung von Immobilien und Grundstücken; 6. Auflage; Haufe-Lexware, Freiburg 2018

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Vertiefende Literatur

Noosten, Dirk: Die private Bau- und Immobilienfinanzierung; Springer Vieweg, Wiesbaden 2015 Olfert, Klaus: Investition; 13., aktualisierte Auflage; NWB Verlag, Herne 2015 Poggensee, Kay: Investitionsrechnung; 3. Auflage; Springer Gabler Verlag; Wiesbaden 2014 Rolfes, Bernd: Moderne Investitionsrechnung – Einführung in die klassische Investitionstheorie und Grundlagen marktorientierter Investitionsentscheidungen; 3., Auflage; Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010 Statistisches Bundesamt: Sterbetafeln 2013/2015; Destatis; Stand: Oktober 2016 Swoboda, Peter: Investition und Finanzierung: Betriebswirtschaftslehre im Grundstudium der Wirtschaftswissenschaft; Band 3; 5., durchges. Auflage; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1996 Tietze, Jürgen: Einführung in die Finanzmathematik; 12. Auflage; Springer Verlag; Wiesbaden 2014 Walz, Hartmut; Gramlich, Dieter: Investitions- und Finanzplanung: Eine Einführung in finanzwirtschaftliche Entscheidungen unter Sicherheit; 8. aktualisierte Auflage; Verlag Recht und Wirtschaft, Frankfurt am Main 2011 Wöhe, Günter; Döring, Ulrich; Brösel, Gerrit: Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre; 26. Auflage; Verlag Vahlen, München 2016 Wöhe, Günter; Döring, Ulrich; Brösel, Gerrit: Übungsbuch zur Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre; 15. Auflage; Verlag Vahlen, München 2016 Wüst, Kirsten: Finanzmathematik: Vom klassischen Sparbuch zum modernen Zinsderivat; 1. Auflage; Gabler Verlag, Wiesbaden 2006 Zischg, Kurt: Praxishandbuch Investition; 2., aktualisierte Auflage; Linde Verlag, Wien 2013

Internetverzeichnis

Gabler Wirtschaftslexikon http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Welt der BWL – Betriebswirtschaft in der Praxis http://www.welt-der-bwl.de/ www.wirtschaftslexikon24.com http://www.wirtschaftslexikon24.com/

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Sachverzeichnis

A Abschreibung, 96 absolute Vorteilhaftigkeit, 7 Abzinsung, 14 Abzinsungsfaktor, 15 Amortisationsrechnung dynamische, 7 statische, 7 Annuität, 39, 133 Annuitätendarlehen, 46, 133 Annuitätenfaktor, 39–40 Annuitätenmethode, 7, 39 Entscheidungsregel, 40 Annuitätentilgung, 46 unterjährige, 47 Anschaffungsauszahlung, 3 arithmetisch fortschreitende Rentenzahlung, 71, 74 arithmetische Zahlungsreihe, 71 Aufzinsung, 11 Aufzinsungsfaktor, 13 Auswahlentscheidung, 6, 22 B Bartwertfaktor für die Kapitalisierung, 108 Barwert, 17, 126 nach Steuern, 97 vor Steuern, 97 Barwertfunktion, 25, 136 Barwertmethode, 7, 17 Entscheidungsregel, 21 Bund/Länder-Arbeitsgemeinschaft Wasser, 108

C CAPM (Capital Asset Pricing Models), 107 Cashflow, 52 D Deutsche Vereinigung für Wasserwirtschaft, Abwasser und Abfall e.V., 108 Divergenz zeitliche, 1 Dividendenanspruch, 135 DWA (Deutsche Vereinigung für Wasserwirtschaft, Abwasser und Abfall e.V.), 108 dynamische Amortisationsrechnung, 7 dynamische Investitionsrechnung, 7, 9–10 dynamische Kostenvergleichsrechnung, 108 E Effektivzins, 110 Effektivzinssatz, 110 Eigenfinanzierung, 2 Kalkulationszinssatz, 106 Eigenmittel, 2 endliche Investitionskette, 82 Endvermögen, 13 Entscheidung projektindividuelle, 6 Entscheidungsregel, 21, 40, 55 Ersatzzeitpunkte, 81 Ertragswertverfahren, 107 ewige Rente, 27, 69, 126 arithmetisch fortschreitende, 77 geometrisch fortschreitende, 79

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 D. Noosten, Investitionsrechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18996-9

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182Sachverzeichnis F Finanzinvestition, 2 Finanzmarkt vollkommener, 9 Finanzplan vollständiger, 7, 51, 53, 55 Fremdfinanzierung, 3 Kalkulationszinssatz, 106 Fremdmittel, 2 G geometrisch fortschreitende Rentenzahlung, 74, 78 Gewinnvergleichsrechnung, 7 Gleichung quadratische, 37 I Immobilienbewertung, 107 Immobilienwertermittlungsverordnung, 107 ImmoWertV (Immobilienwertermittlungsverordnung), 107 individuelle Zahlungsreihe, 67 Inflation, 121 Interne Zinsfuß-Methode, 33 Investition, 2, 53 vollständiger Finanzplan, 61 Investitionskette, 81, 99 endliche, 82 unendliche, 87 Investitionsketten, 81 Investitionsrechnung, 7 dynamische, 7–10 statische, 8 J Jahreszinssatz, 119 K Kalkulationszins, 105 Kalkulationszinssatz, 105 Kapitalisierung Bartwertfaktor, 108 Kapitalisierungszinssatz, 107 Kapitalmarkt vollkommener, 65 Kapitalwiedergewinnungsfaktor, 40 Kostenvergleichsrechnung, 7–8 dynamische, 108 Leitlinien, 108

L LAWA (Bund/Länder-Arbeitsgemeinschaft Wasser), 108 Leibrente, 27, 129 Liegenschaftszinssatz, 107 Liquiditätserlös, 17 M Methode des internen Zinsfußes, 7 Mischfinanzierung Kalkulationszinssatz, 106 Mittelherkunft, 2 Mittelverwendung, 2 N nachschüssige Rente, 27 nachschüssige Zahlung, 4 Neuinvestition, 2 Nutzungsdauer, 41, 81 optimale, 90 O ollkommener Kapitalmarkt, 65 P p,q-Formel, 37 PAngV (Preisangabenverordnung), 110 Periodenerfolg, 39 Preisangabenverordnung, 110 projektindividuelle Entscheidung, 6 Q quadratische Gleichung, 37 R relative Vorteilhaftigkeit, 7 Rentabilitätsrechnung, 7 Rente, 4, 27 ewige, 27, 30, 69, 126 ewige, geometrisch fortschreitende, 79 nachschüssige, 27 vorschüssige, 27, 31 Wachstumsfaktor, 74 Rentenbarwertfaktor, 29 Rentenendwert, 30 Rentenrechnung, 27 Rentenzahlung arithmetisch fortschreitende, 71 geometrisch fortschreitende, 78 Restwertverteilungsfaktor, 45

Sachverzeichnis183 S statische Amortisationsrechnung, 7 statische Investitionsrechnung, 8, 10 Steuern, 95 Steuersatz, 96 T Totalerfolg, 39 U unendliche Investitionskette, 87 unterjährige Annuitätentilgung, 47 Unterlassensalternative, 6 Unternehmensbeteiligung, 134 V Vermögensendwert, 54 Vervielfältiger, 108 VOFI (vollständiger Finanzplan), 7, 51, 53, 55 VOFI-Methode Entscheidungsregel, 55 vollkommener Finanzmarkt, 9 vollständiger Finanzplan, 55 vorschüssige Rente, 27, 31 vorschüssige Zahlung, 4 Vorteilhaftigkeit absolute, 7 relative, 7 W WACC-Ansatz (weighted average cost of capital), 106 wachsende Rente, 71 Wachstumsrate, 74 Wiedergewinnungsfaktor, 40 Wohnrecht, 127 Z Zahlung nachschüssige, 4, 130 vorschüssige, 4, 130 Zahlungsreihe, 2–3 arithmetische, 71 geometrische, 71 individuelle, 67 nach Steuern, 96 vor Steuern, 96 zusammengesetzte, 67, 69 zeitliche Divergenz, 1

Zeitrente, 27, 68, 127 Barwert, 28 Zeitstrahl, 4, 83 Zinsen, 8, 11, 16 Zinseszinsen, 8, 16 Zinsfaktor, 13 Zinsfuß interner, 33 interner, Entscheidungsregel, 33 Zinssatz nach Steuern, 97 vor Steuern, 97 zusammengesetzte Zahlungsreihe, 67