Investigacion de Operaciones

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30

SERIE DE COMPENDIOS SCH A UM

TEQRÍA Y PROBLEMAS ., DE

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

RICHA RD BRONSON. Ph. D. Professor o/ ,'vfa1hema11cs and Compurer Sc1ence Fa1rle1gh Dickinson imversuy

TRADUCCIÓN·

Mana de Lourdes Fourm~r Gama Acwar,a. UNAM Profesora Asociada. Taller de Ma1ema11cas, UA \f

REVISION TECNIC."'

\(arco \momo Sahaeun "luñez tn,~niuo ~rquut'l:to, ESU. /P"I ü •t tfel Deparrumenro iie /nl'l!Sllgac1on dt Opuac:011n. LPI/CSA. IPN

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~cGRA W-HILL \I EXICO • BOGOT.-\ • BUE:-.'OS .. . 11u :s • GUATE.\ IALA • LISBOA• MADRID '/L EVA YORK • P... NAMA • SM, Jl'A. • A:0-TIAGO • SÁO PAULO AlXKLAND • HAMBL.:RGO • JOH;\Nl'ROGRAMACIÓ

Ol'\Ál\11CA DETERMINÍSTICA

152

Procesos de áecision de n e:apas. U.i pro~rama matemá11co. Pro¡irarnación dinámica. Programación ámam1ca con dcscuemc.

Capitulo

15

A~ÁLISIS DE REDE

167

Redes. Problemas de recorrido mm1mo. Problemas de la ruta mas con;.. Problemas de Ou• jo máximo. Determinacion de una ruta de flujo posiu,·o.

PARTE Il Capitulo

16

Métodos probabilísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 T EORÍA DE JUEGO~

183

Juegm. Estrategias. Juegos estables. Jue~os inestables. Solución con el empleo de la pro¡,ramacion !mea!. Dommacion.

Capitulo

17

TEORÍA DE DECISIONES

195

Procesos de decisión. C rnmos de decision ''ingenuos" . Cmerio o pr,ori. Criterio o pos,~ riori. Árboles ce decision. Utilidad. Lotería. Utilidades d~ van Ncumann.

C apirolo 18

PROGRAMACIÓN or:--AMICA ESTOCÁSTICA

211

Procese, estocas11cos ae 0~ 1sion de n etapas. Tablas de polnica.

Capítulo

L....

~L ~: ~-·

19

CADENAS FINITAS

O[

MARKO\'

Procesos markcwianos. Potencias de matrices cstocasticas. Matrices ergódicas. Matnccs rc,:ulares.

¡

222

COl'TENIDO

Capitulo

20

HORIZO,l\"TES '10 ACOTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

Poluica.< óp11mas bajo cstacionaricdad. Descuemo. Procesos determimsucos con descuento. Cadena.< de Marko, con descuento. Rendimiento esperado por pcnodo.

Capitulo

2]

PROCESOS MARKOVIANOS DE NACIMIElliTO-MUERTE . . . . . . . . . . . . . .

252

Procesos de crecimiento de población. Procesos markovianos de naomienio-muene. ,cneralizados. Procesos markov1anos de nac1mien10. lineales. Procesos markovianos de muer1e. hneaies. Procesos markoviano< de nacimiento-muerte. lineales. Procesos poissonianos de nacimiento. Procesos po1ssonianos de muene. Procesos po1ssonianos de nacimientomuenc

Capllulo

22

SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262

introducción. Caracterís1icas de las line:u de espera. Patrones de lleJ?ada. Patrones de servicio. Capacidad del smema. Dis:iplinas de las líneas de espera. f'(otación de Kendall.

Capitulo 23

SISTEMAS M/ M/ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

Características del sistema. El modelo markoviano. Soluciones de estado estable. Medidas de cfmividad.

C aplLUlo

24

OTROS SISTEMAS CON ENTRADAS TIPO POISSON Y TI EMPO~ DE SERVIC IO DE TIPO EXPONENCIAi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278

Procesos de~ndientes del estado del sistema. Fórmulas de Little. Rechazo y abandono. Sistema< M 1 1\1,s. Sistemas M/ M/ 1/ K. Sistemas M/M/s/K.

RESP UESTAS A LOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . .

293

~ ÍND ICE

321

\

\

PARTE /: Programación matemática

Capítulo 1 Programación matemática

PROBLEMAS DE OPTIMlZAOÓN

En un proólemo de op11m1zac1ón, ~e busca maximizar o min1m1zar una ,anudad cspcc,íica llamada oóje11vo. la 1:ual depende de un numero finuo de vanables de entrada. Es1as variables pueden ser independientes entre ,1 o estar relacionada~ a traves Je una o mas resrncc,ones. Ejemplo 1.1

El proolema: mrnnniccsc:

i:on tas cond1c1on~:

.: • .r¡ •

.r:

x, - .x1 • J .t.a.?:1

es un problem, de o pum,zación par, el ,>bicuvo : . ws variables de del p,:nodo ,. se puede plantear el modelo para este problema, mcd1ame el pro,.r.1ma matcT,:nco:

CAP. 11

PROGRAi"1AClÓN \IIATE~IÁTICA

z • .r, + ..r1 + .r, +.t..+ .r, + .r,

minim1cese: con las condic1onC5:

.r,

T-'62:

x, +.t1 .t2

7

2:20

+ Zl

2:

14

(I)

~20

Z)T.t•

r. + r,

2:

10

ZJT.[.~

5

todas las variables ::nteras y no ncganvas.

con:

El sistema ( 1) e5 un programa entero; su :.oluc1on se obnene en el problema 6.3.

1.10

t.:na 1ienda de quesos tiene 20 lb de una mezcla de frutas de estación y 60 lb de un queso caro, con los cuales ,e prepararan dos tipos de queso para untar. tino y normal. que son populares durante la ,emana de :"Javidad. Cada libra del queso lino para untar se compone de 0.2 lb de la mezcla de frutas. 0.J lb del queso caro v 0.5 lb de un 4ueso de relleno, qu~ es barato y del cual se llene abundante reserva. Debido a las poli1icas de precios empleadas en el pasado por la tienda, se sabe que la demanda para cada tipo de queso para untar depende de su precio. de la siguiente forma: y

D 1 "' 190 - 25P1

O: = 250 - 50P:

Donde O denota la demanda (en libras), P denota el precio (en dólares por libra), y los subíndices 1 y 2 se rerieren respectivamente al queso para untar tino y norma.!. ¿Cuántas libras de cada tipo de queso para umar deben prepararse. y que precios deben cstablec:rse. si se desea maximizar el ingreso y \ ender totalmente ambos tipos hacia el fin Je la ,emana de Navidad? Sc:in .r 'as lioras de queso lino para unuu- y .ti las libras ce GUCSO normal~= ~ntar. que se van a preparar. Si se pu~e vender todo el producto. el objeuvo ~:

maxlm1ccse:

: • P1.r1+ P:..r.2

( 1)

-\hora bien, :oao el producto sc venderá con segundad Cy nada oi:c:dara en c.,istencia). si la producción no excede a la demanda: .:s aCCJr. SI r, s D, '/ ri s D:, Esto da las ~stncetones:

.r, +25P,s 190

.r,-SOP,s '15-0

'/

(2)

Deo1do J IJ canttdad de mezcla ce fru tas de que se dispone.

O.:?.r, -r O:?.r: =: 20

(3)

0.8.r, + 0.3r, .s oO

(4)

y por la cantidad a e queso .::iro disponible,

"º hay resmcoon en cuanto al que.so de: :clleno.

que la uenaa ucne el que se.:i nec=no. Finalmen1e, ni el precio m la producc1on pueden ser negamos: :1.11 que cua1ro re5tncoondi .Je no nega11Y1dad son: x , ~ O, Xi e: O. P. e: o, y P: c: O. Combinando e5ias condiciones con las c.,pres1o nes del (1) al (4), se ob11ene el programa: max1m1ccse: con las condíc1one1:

:

)11

= P 1.r 1.,. P::,.:2

0.2.r, T 0.2.r,

s :))

0.8.r, + O.J.r,

s tiO

.r,

- SOP, s 250

.s 190 con:

(5)

todas las vanaclC5 no negauY!ls.

El sistema , S) es un programa cuadra neo en las vanables x,, x!, P 1 y P,. Se: puede simplificar s1se toma c:n s'Uenta que para cualquier valor ñio posiuvo de x, y X:, !a funoon ob¡envo aumenta conforme P1 o P1 Jumenta. E:uo~ces, para un ma.'1mo, P o p. deben ,er ;Jtes GUe las resmcc1ones (~) se 1ransiormcn en :cua~,ones: por :anto. P , y P: pud~n climlr.mc je l3. :ur..,on JbJC:IVO, 5t ·¡ene: entonce> un prown1ma :uadr:111co en r , y -~:,

10

PROGRAMAC IÓN M.-\TEMA TICA

[!'ARTE 1

z - (7.6 - 0.04.x,).1 + .X..1 + .f,a + -"•1 = 1

Estas 10 rcsmcciones. combinadas con el objeuvo y las conaicioncs de no negnm1dlld de que cada vanable sea entera y no ncgauva, forman un programa entero. Su solucion se obttene en el problema 9.4. 1.14

Una impominte compañia petrolera desea construir una refinería que recibirá suministr os desde tres ciudades ponuarias. El pueno B está 300 km al es1e y-1()() km al nene del puerto A . mientras que el pueno Cesta -1()() km a l este y 100 km al sur del pueno B. Determínese la localización de la rcfineria, de tal manera q ue la canudad total de tubcna necesaria para conectar a la refinena con los puenos se mimmice. El objetivo es equivalente a mininumr la suma de- las distancias entre la rcfincrla y los tres puertos. Como ayuda para calcular esta suma, se establece un s1Stema coordenado, figura J-1, con el puerto A como origen. En este sistema, el puerto B uene coordenadas (300, -lOO) y el pucno C uene coordenadas (700, 300). Con (.x1, xy u,dic:ando las coordenadas desconocidas de la refmcria. el ob¡cuvo es: None ,00

ClO

3)1)

/ o

100

/

A / •1

/ 100

1JO

C-\P.

11

PROGRAMACIÓN MATEMATICA mmirrucesc:

ll

=• '1/_.¡ + zh V(z, - :iooj' + (.i,-400)' + V(z, -

700)' + (z,- 300)'

(J)

No hay resuicciones en cuanto a las coordenadas de la relinena. ni condiciones de no ne¡atividad: por e¡emplo. un valor negativo Je x 1 significa tan sólo que la refinen a debera localiz:me al este del pucno A. La ecuacion ( 1) es un programa matemático. no lineal. sin restncciones: su solucion se obuenc en el problema

11.11. Véase tambicn el problema 1-26. 1.15

Una persona tiene :54 000 que desea invenir y~ le presentan tres opciones. Cada opción requiere depósitos e n cantidades de Sl 000; el inversionista put:de colocar todo el dinero entre las tres. Las ganancias esperadas se presentan en la siguiente tabla:

DOlarSto mlnimo total.

A

B I • •

e

1

11

m

IV

0.11 0.12 0.14

0 . 13 0 .16 0 .13

0.09 0. 10 0.12

0.19 0.14

' ·· :•

.

..: .

O.IS

1.22

La jefa del departamento de carnes de una ti:nda de autoservicio se encuentra la maftana del sábado con que dispone de una existencia de 200 lb de bola, 800 lb de solomillo y ISO lb de carne ae cerdo que se empie:irán para preparar carne molida para hamburguesas, toniw de carne para dla de campo y albondigon. La demanda de cada upo de carne siempre excede la existencia de la tienda. La carne para hambur~csas debe com.ener por lo menos 20'1, de bola molida y SO'lo de solomillo molido (por peso): las torutas deben ser al menos 20'/o de mobda de =do y S0'7o de solomillo molido; y la carne para albondigon al menos IO'lo de bola molida. ~ • de molida de a:rdo y 40'1• de solomillo molido. El resto de cada producto lo consaruye un relleno barato, no de carne, del cual latienda tiene una cantidad ilimitada. ¿Cuintas libras oc cada producto deben prepararse, si la jefa del depanamen10 desea minimizar la cantidad de carne que permanezca almacenada en la tienda después del domingo?

1.23

Un bufete de abogados ha aceptado cinco nuevos casos, cada uno de los cuales puede ser llevado adecuada• mente por cualquiera de los cinco asociados más recientes. Debido a la difcrcnoa en e~pcncncia y práctica, los abogados empicarán distintos ucmpos en los casos. Uno de los asociados mas cxpcnmentados ha esumado las necesidades de tiempo (en horas) como sigue:

Abogado 1 Aboeado 2 Abopdo l Abopdo • Aborado 5

.,.. ...... 1.l4

Caso 1

Caso2

145

122 63 107 83 75

1K)

121 118

"'

Ca,o

130 85

93 116 120

3

Caso4

caso ~

95 48

115

(.i

110

9S 105

1K)

111

78

Determínese la form~ bpuma de asignar los casos a los abogados, de manera que cada uno de ellos se dcdi· que a un caso diferente y que el uempo total de horas empicadas sea minimo. Motores Recreativos fabrica carmos para golf y vehlculos para nieve en sus t.rcs pla.ntas. La planta A produce d1anamemc 40 carritos para golf y 3S par:i nieve; la planta B produce diariamente 65 ca.mios para golf Y ninguno par:i nieve. La planta C produce diariamente S3 vchiculos para nieve y ninguno para golf. Los cos• tos diarios de operación de las plantas A . B y C son. respectivamente, S210 000, Sl90 000 y Sl82 000. • ¿Cuin1os dlas (incluyendo dominpos y dias de fiesta) deberá operar cada planta durante el mes de septiembre, a lin de lograr una producción de l .500 carritos de golf y 1 100 vehículos para nieve, a un costo mlmmo? Considercse que los contratos de trabajo requieren que una vez que la planta se abre, los trabaja• dores reciban el pago de todo el dla. ~

r PROGRAMACION MATEMÁTICA

16 1.25

(PARTE 1

La Compa/lia Futura produce dos típos de femlízantes agrkolas. Futuru Nonnal y Futura Extra. El Futura Nonnal está compuesto de 25flo de ingredientes activos y 75 01, de ingredientes menes, mientras que el Futura E!«ra conuene de mgredien1cs acuvos y 60"7, de ingredientes inenes. La cnpac1dad de bodega fimita los invenranos a 500 ton de ingredientes activos y 1 :oo ton de ingredientes menes. y las bodegas se sunen complctnmentc una vez a la semana. El Futuro Normal es similar a otros fenilizames en el mercado y tiene un precio compcrn1vo de S:250 ton. A este preao. la compallía no tiene problema para vender todo el Futura Nonnal que produce. :is1 que no hay rcstncción en cuanto a su precio. Desde luego. la demanda no depende del precio. y basándose en la expcnenc1a pasad:,. se h:i lijado que el precio P (en dólares) y 1:i demand:i D (en toneladas) cstin relacionados por P • 600 - D. ;.Cullnuu 1onelod:is de cada upo deberil producir scmanalmenie la Compallla Futura a lin de ma.,im1zar el m¡reso?

.¡()",

1.26

E.Yplíquest por que lo s11¡uienre es una solud6n analoga al problema l . /.l. Considercse que la ligura 1-l rerrescnta la pane ,upenor de una mesa aha. Se: hacen peque/las perforaciones a la superlicie de la mesa en los puntos A. By C. Tres de los eiuremos de tres trozos de cordel están umdos mediante un nudo, que descansa en la superficie de la mesa: los tres ex1remos libres se hacen pasar a 1raves de las perforaciones y. por abaJo de la mesa, se les cuelaan tres pe50s iguales. Entonces, sin considerar la fncc1on. la pos1ct6n de cquilibno del nudo da la localización ópuma de la rclincno.

Capítulo 2 Programación lineal: forma estándar En el capnulo .i se describe un me1odo para resolver programas lineales .:on muchas vanable~. Para m1c1ar el mc1odo. se debc:n transformar todas las rcsm cc1ones en rorma de de~1gualdade~ a igualdades y ,e debe conocer una solución fac11ble no negama .

CO OICIO ES OE . O 'I EGAT IVIDAD Cualquier \'ariable que aun no haya sido ~u,eca a rescricción de no nega11, 1dad. se reemplaza por la diferencia entre dos de !as nuev.15 variables que 1engan esta resmcc:on t vense el problema 2.6). L.1s restncc1ones lineale~ (Capitulo 1) ,on de la fo rma: (2.1) •I

donde - representa una de las relac:ones s. ~. = (no necesanamen1e la misma para cada 1). La.~ constanies b, se pueden considerar siempre como no nega11\'a~. Ejemplo 2.1 la resmcctón .!.\'1 - J.l': .:ual aene un !.ido dccc,;ho pos111vo.

.i~.

:S

-5

ta ,:mable e, numencamentc igual a la diferencia cnire el lado 1zqu1erdo y el derecho de la desigualdad. , se conoce como var,able de holgura. Rcpresenca el desperdicio involucrado en esta fase del sistema. CU\'O modelo esta dado por la res1ricc1on . Ejemplo 2.2

la pnmera rcs1ricc1ón del problema 1.6 es:

.i.x, + Sx, -.- Jx, + Sx. s 30 000 El lado izquierdo de esta des1gualdnd es el modelo corresponaieme al 101al de horas empicadas para ensamblar toda~ las consolas éc los 1elev1sores. miemras Que el laJo dcreeho es el 101aJ de horas disoon,bles. Estn dcsigullldnd ;e 1rans1onna en la ecuac1on: .Jx, - 5x1 T 3.r, T 5.r, T .ts • 30 000

al a1'adir ln variable de holgura x, al lado izquierdo de la desigualdad ...\qui x. rcpresema el numero de horas de ensamole de que a,spone, pero no usa. el fabno n1c. L"nn re\rnc:11 n lm~J I de forma ~u,, . e!: h , ._. oued.: .:011,erar .:n una .:c,iju:ildod. r.:,cando un:i nue•. a , :iri:ible :10 ne;iJ11,a Jd l:ido 11qu1créo de la J e,igua1dad. E,ta ,am1b·c :, ~.irr..:ncamente i!!u:il n la d11ere::cia ~ncrc !os lado~ :zqu,erdo , ée:-ecno de •a de\lguJldad. _. ~e .:onoce cor, 1 vanoole super;7uo. Reor~enta el c.,.:er la rcsmcc:on.

IS

PROGRAMACIÓN M.A TEMÁTICA

E¡emplo 2.3

[PA RTE 1

1..2 nrimera restriccior. m el problema 1.5 es: 4z 1 + 6.r, • .r.,25-(

El ladc, izquierdo de esta desigualdad repr=nia la salidll combinada de mineral cie grado alto prov:nientc de las tres minas, rruentr:u que el lado derecho es el tonelaje rrunimo del mineral requerido para cumplir con las obugac1ones del contrato. Esta desigualdad se transforma en la ecuación: 4.r, + 6.11 + .x,- i, - 54

al restar la variable superflua x, del lado izquierdo de la desigualdad. Aqui x, represema la cantidad de mineral de l?rado al10 extralda por encima de la canúdad necesaria para cumplir el contrato.

GENERACIÓN DE UNA SOLUCIÓN FACTIBLE INIC IAL Después de que todas las restricciones lineales (con lados derechos no negativos) se han transformado en igualdades, introduciendo variables de holgura y superfluas donde sea necesario. agréguese una nueva variable llamada v~iable a[Jjfiaa/ al lado izquierd o de cada ecuación de restricciones que no contenga un~ variable de holgura. Ahora cada ecuación de restricción contendrá o una variable de holgura o una variable anificial. Una solución inicial no negativa para este nuevo conjunto de resmcciones se obtiene haciendo cada variable de holgura y cada variable anificial igual al lado derecho de la ecuación en la cual aparecen y ÍlaCJendo las mras variables, incluyendo las variables superfluas, iguales a cero Ejemplo 2.4

El conjunto de restricciones

x1+ 2.J,s 3 4x ,+ 5x,i?: 6 7.x,+&x,• IS se transforma en un sistema de ecuaciones agregando una variable de holgura x ; , al lado tzqu1erdo de la primera rcsmcción, y restando una variable superflua. x,. del lado izquierdo de la ,;egunda resm ccion. El nuevo sistema es:

x,+ 2r, + x, • 3 4x, + Sx, - x. e 6 1x, +&x, • 15

(2.2)

Si ahora se agregan respecti11arnen1e las '"ariables anificiales .x5 y x, al lado izquierdo de hu dos ültimas restricciones del sistema (2.21, es decir, a las restricciones sin una vanable de holgura; el resultado es: .t1

+ 2.J, + x,

4.r, +Sx, 7.x, + 8.r:

-

3

=

6

+.r. - 15

Una solución no negar/va a este úlumo sistema es x1 = 3, x, = 6, x,, = 15 y x , = x 2 = x, que x 1 = O, x2 = O no es una solución al con¡umo inicial de restricciones.)

= O. (Nótese, sin embargo ,

Ocasionalmente. se puede generar facilmente una solución sin un conjunto completo de variables de holgur~ y artificiales. Un ejemplo de esto lo constituye el problema 2.5.

COSTOS D E PENALIZACIÓN La introducción de variables de holgura y superfluas no altera ni a la naturaleza de las restricciones

ni al objetivo. Por consiguiente, estas variables se incorporan a la función objetivo con coeficientes cero. Las variables artificiales, sin embargo, cambian la naturaleza de las restricciones. Ya q ue se-agregan sólo a un lado de una desigualdad, el nuevo sistema es equivalente al sistema anterior de restricciones sólo si las variables artificiales son cero. Para garantizar estas condiciones en la solución óptima (en contraste con la solución inicial), las variables artificiales se incorporan en la función objetivo con coeficientes positivos muy grandes si se trata de un programa de minimización. o con coeficientes negativos muy g randes si se trata de un programa de maximización. Estos coeficiemes, que se denotan M o -M,

CAP.:¡

PROGRAMACIÓN LINEAi.:

FORMA ESTÁKD.\R

19

1ernpre, .:uando los m ,ec1orc-- " .:orres00ndicnt~ a las vanaoles .r q ue no se hayan hecho cero se:m linealmeme mdependiemes. Las va-

PROGRA:-IAClO'., MATEMÁTICA

26

fPARTT I _

riable5 x que inicialmente ne• ~e hi::ieror iguale~ a c~ro. se denominan vanables bosicas. s, .:r.2 o mi!S ci~ las variables básicas resulta igual a cero, la solut1on factible básica es degenerada: si 1oda, las \'an abl~ básicas son positivas. la soiucion fact ible basica e~ no oegenerada. (Vean se los problemas 3. 7. 3.8 ) 3.9). Las notas anteriores, números I y 2, pueden reforzarse como se plantea a continuación : Not.1 1' : La función objetivo llega

2

su óptimo en una solución factible basica.

Nota 2 ' :Los puntos extremos de Y son precisamente las soluciones factibles básica~. (Veanse lo ~ problemas 3.13 y 3.14). En consecuencia, el programa lineal estándar puede resolverse buscando entre las solucione5 factibles básicas aquélla(s) en las cuales el objetivo se optimiza. Un procedimiento eficiente para reallzar los calculos se describe en el capitulo 4.

Problemas resaeltos 3.1

Determínese si

fl l.2)T, [2,4JTI es linealmente independiente.

Si se denomina P 1 y P, a los dos vectores es obvio que Pi

~

2P,, o

2P1"" (- l)P, • O

Entonces, el conjunto dado de vcaores es linealmente dependiente (no linealmcme indcpendieme).

3.2

¿Es 1(1, 1, 3, !JT, (1 , 2, l. JJT. (J, O, O, l]TI linealmente independiente? Para estos vectores, (3 . 1) cambia a:

·{i] +•{j] +•{!]-[!]

o

0 1+ o:: +a, =0 a,+ 20', mO

Jo , .,.

:a:Q

= Ocomo únicas soluc1oncs. Por

Las primeras tres ecuaciones (la cuana es rcdundame) tienen a 1 = a, = a ¡ lo tanto, el conjunto dado de vectores es linealmeme independiente. 3.3

0 2

a ,+ o:+ a ,a O

Un vector Q es una combinacion lu:ea/ de los vectores Q,, Qi, . . . . Q0 si existen constantes ó1• Ói, ... • ó0 como: Demuéstrese que el conjunto de vectores IP 1• P2, . . . , P0 I es linealmente independiente, sólo si uno de los vectores es una combinación lineal de los demás. Si P, • .S,P, + • · • + 6.-,P,- , + 6,.,P,., + • • · + 6,.P•. en donde alguna o 1odas las ó pueden ser cero, en. tonces: &1P1 + · · · + .S.- 1P,- 1+ (- l )P, + 6,.

,P,., + · · · + 6,,P.

y por lo tanto el conjunto es lincalmcme independiente.

Por otra panc, si el conjunto es linealmente dependiente, hágase que rente a cero en (3.1). Emonces,

=O

a, sea el primer coeficiente dife-

P¡~ OP1-'- • • • + OP,-1+ (~)P,., . -a, +· ··+(~)P -o 1

es decir, P1 es una combinación lineal de los vectores restantes.

PROGRAMACIÓN LINEAL:

3.4

TEORIA DE SOLUCIONES

27

De1erminese si (!. 2. :l]T es una combinación lineal de

[1.1, W

(1, 2, }f

(2. 3. 2]T

No lo es: cualqwer combinación lineal de los tres vectores debe tener su primer y tercer componente iguales. (De una manera más general: 6,+6,-U,E l U, +6,~36,c 2 6,+6,+U,•3

si Pero este segundo s1S1ema no tiene solución).

J.5

Demuéstrese si fP 1, P2, .•• • P,1 es un conjunto de vectores linealmente indi:-pcndieote y si P es un vector como P=

L' e¡P¡

y

P=

¡•l

entonces c1 = d1 (j

L' d¡P¡ ¡•l

= l , 2, ... , ,).

Restando ambas reprcscnuu:ioncs, se obtiene:

quecs(3. l)cona1 = e, - d1 yn - ,. Yaquc P 1. P2 , ccs C¡ - d¡ = O, O CJ e d¡ U e 1, 2, .. , , " · J.6

• ••

, P,sonlincalmcnteindepcndicntes.seticnccn10n-

Anótense las ecuac.iones de restricción para el siguiente programa lineal, empleando la forma vectorial (3.3):

=3 + x. = 6

con las condiciones: .r, + 2.r2 + 2.r1 - .r, + .rs

2.r, + 3.r,+ 4.r,

con: todas las variables no negativas. Para este problema. (3.3) se conviene en:

/

x,G] + x,[;[+ x,~]+ x.[-~]+ xs[~] + x.m a[!] J. 7

w

II

mm

m

w

m

A~

A,

A,

A.

As

A..

B

Detenninese si ( l , O, l, O, O, OJT es una solución factible básica al programa lineal dado en el problema 3.6. Aunque todos sus componcn1es son no negativos, la solución propuestaJtO es basica. Los vectores A 1 Y A¡, asociados a las variables .r no igualadas a cero, no son lincalme1:11e indepcndicn1cs (problema 3.1).

J.8

De1erm10ese si •(l. O, O, O, 2, 4JT es una solución factible básica al programa lineal dado en el problema 3.6 La matriz de coeficien1es A. formada por los vectores columna A 1 al Ao, es del orden 2 x 6. Por lo tan10. una solución fac1lble,básica debe tener al menos 6 - 2 • 4 componentes (variables) cero, lo cual no sucede en este caso. '

J.9

Encuéncrense dos diferentes soluciones factibles básicas al programa lineal dado en el problema 3.6. Ya que n - m e 4, una solución factible básica 1cndrá todas las cuatro variables x igualadas a cero. Al hacer cero a x 1, x,, x 3 y x., la ecuación vec1or de restricción se conviene en:

28

[PARTE 1

PROGRAMACIÓN M"TEMÁTlCA

la cual tiene la solución (no nqativa) x, • 3, x6 • 6. Ya que A, y A6 son linealmente indepcndiemes, la solución completa. [O, O, O, O. 3, 6] r, es basica. Aquí las variables básicas son y x6, y ya que ambas son pos1t1vas, ento nces la solución es también no degenerada. Par.i obtener una squnda solución factible básica. se hacen x1 • x, = xi = x6 ~ O, por lo cual la ccuac16n vector de restncción se vuelve:

x,

Resolviendo esta ecuación paro x, y x!, se obtiene x 1 = 3 y r! = O. Los vectores A correspondientes. A , y A,, son linealmente independientes. asl que la solución completa. (3, O. O. O, O. OJ r. es basica. Las vnnobles basteas son x, y x:, y ya que uno de ell.u es cero, la solución es degenerada.

J. 10

Determinese si el vcc1or (0, 7JT es una combinación convexa del conJunto 1[3 .61r. ( - 6. 91 r, [2. 11 r. [ -1 ,Jlfl. Para est os vecto res, (3.2) se conV1ene en:

o J fJ1 - 611, T 2/J,- /J, • 0 611, + 911, + 11, +p. • 7

(J)

A estas ecuaciones se ailade una tercera condición,

/Jt + /Jo+ /JJT {J, • J

(.:.')

debe determinar s, existen valores no nega11vosde IJ1, í3,, .d1, y d, que satisfagan simulcaneamen1e (1) v (2). Resolviendo estas ecuacio nes se obuene:

~

con B, arburarfa. La selección (J,

= O es forzada y da:

como un con1un10 aceptable de constantes. Entonces. [O, il res una combinación convexa del con1un10 dado de cua1ro >ectores. (

J .11

Si .2 y !ii son conjuntos convexos, demuestrcse q ue su intersccc1on vexo.

22 n91 es un ,onJunto ,on-

Sean X '! Y dos vectores cualesquiera, en !! n!lt. Entonces. el segmento línea entre X '! Y esta en El (porque tamo X como Y es1an en .!, y !! es conve,o) y esta en 9t (similarmente). Emonccs. el segmento linea está en ~ n 911 ; por lo tanto !! n St es convcso. En el caso de que!! y 9t sean poliedros convexos (es dcctr que tengan un numero grande tinuo de puntos extremos), es 1ntu111vamcnte obvio que la intersección es 1amb1en un poliedro con,-cxo.

J. 12

Demuest rcse que la función objetivo ¡:; = JtX) = cr X del sistema (2.J) tiene ~u o p11mo ldigamo, q ue un m1ntmo) e n un p unto extremo de !:l. siempre y cuando exista un minimo v f/ este acotado Si exLSte un mínimo. entonces c.,1s1e un punto Xo E Y ; por eiemplo: f(X,,) $ f(X) cuando X E 9'

(I)

Si X., es un punto e.nremo de .9, el problema está resucito. Si no, se debe obtener un punto extremo X , como /tX,,) • f( X.,). Ahora bien, 9' tiene sólo un numero linuo de pun1os "iremos: se le, Jer.,1u ra ~orno \ . \ ·· · • \ Ya que y ~s 3co1auo ,ademas de ser cerra de X Jparcz:~r. primero: X • (.r, . .r,. . . . .r,. O. O.

(1)

(PARTE 1

PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

30 con x > O(; 1 vectorial.

z

1, ~.. , . , s) y s s m. En consecuencia. la igualdad AX

~

B puede escribirse er. 10rma

donde, debido a que X es básico, el conjunto IA,, A,, . .. , A, I es linealmente independiente (véase problema 3.22). Considérese qu~ X no es 11n punto extremo de !l. Entonces. X puede expresarse como una combinacibn convexa de otros dos puntos en !/: con

X• /3,X,+/3,X,

x,-.,x,

(2)

Ya que los componentes de X, y X, son no negativos, y las cons1antes fJ, y fJ, son esmctamente poshivas, de (1) y (2) se concluye que los últimos n - s componentes de X, y X, son tambien cero. Por lo tanto,

X,• [e,. e,.. .. ,'~ o,º· .... OJT Por (3), AX,

B )' AX,

X,• (d,, d,, .•. , d,,

o. o.... , or

(3)

= B toman las formas vectoriales: y

Usando el rcsuhado del problema 3.5, se puede concluir que c1 = d,, por lo tanto, X, = X2• Esta contradic, cibn establece que X es, realmente, un punto extremo.

3.15

Compru ébese que la solucion iruaal

Xo generada en el capitulo 2 es una solución

El conjunto de vec1orcs A correspondiente a la solucibn inicial cons1ituye las m matriz identidad, la.s cuaies son lmealmente independientes.

factible basica.

x m columnas de la

Problemas complementarios 3. 16

De1erminese gráficamen1c si 11 ,2] 7 es una comblnacibn convexa de [1.1]1 y [2, -1)1.

3.17

Escrlbanse en forma vcc1orial las ecuaciones de res1riccibn para el siguiente programa lineal: minimice~e: r - x, + 2.r, + 0x, + M.t. + 0.r, con las condicion~:

.x, -+- 2.r:-+- x, • 3 2.r, + 4.r, - .r, + .r, • 6

con: 1odas las variables no negativas.

3.18

Determínese cuál o cuáles de los sif!uientcs vectores son soluciones factibles básicas para el programa lineal del problema 3. 17. ¿Es degenerada alguna de estas soluciones factibles básicas?

(a) (! , !,O.O.O)' 3.19

(b) (3, O. O, O. O)'

(c}

[O, O. 3, O, W

(d)

[O. O. 3, 2. W

Escrlbanse en forma vectorial las ecuaciones de res1riccibn para el siguiente programa lineal: maximiccse: z • x, + 2.r, + 3.x, + 4.r, + 0x, .¡. 0.r. + 0.x, con las condiciones:

.r, + 2.r, + .r, + 3.t.-+- x, +3.t. + X.

• 9

2.r, + .r,

- 9

+.x,• o con: 1odas las variables no nega1ivas.

1

CAP. 3) 3.20

PROGRAMACIÓN LINEAL: TEORiA DE SOLUCIONES

Determintse cuál o cuale5 de lo~ si{!uiemes vectores son soluciones factibles basica, para el prosrama lineal del problema 3.19. ¿Es degenerada alguna de estas soluciones factibles básica1?

(a) (3. 3. o. o. o. o, o)"' [2.2,0.1,0,0.o)"'

(b)

Ce) (O. O. O. 3. O, O. (d)

(O, O. O. O. 9. 9.

ar ar

(e) (1, O, O, O. 8, 7, l]T

(/)

(O. O, 9. O. O, 9, -gf

3.21

Compruébese que si una función lineal asume su minimo en dos puntos diferentes de un conjunto conVCAo, entonces asume su mlnimo sobre todo el segmento linea entre los puntos.

3.22

Compruébese que todo subc:onjumo no vacio de vectores linealmente independientes, es a su vez linealmente independiente.

3.23

Compruébese que cualquier conjunto de vectores que contenga al vector cero, es linealmente independiente.

1 /

_.L

31

f.

f

, •>

Capítulo 4 Programación lineal: el método símplex EL TABLEAU SiMPLEX El mérodo simple.-r es un procedimienro maine.al para resolver programa~ lineales s 9 3x 1 + 2:r2 + lxJ s 15

con: todas las variables no negativas. Este programa se pone en forma estándar, empezando por introducir variables de holgura x, y x, en la primera y segunda desigualdades de restricción. rcspcc1ivamente, y definiendo despues X• [x,. x,.x., x..x,f'" A•

[J3

º]

2 3 l

2

C•[l. 9, l. O, Of

2 O 1

Lo~ costos asociados con los componentes X.,, variables de holgura, son ccro~por lo tanto. Co



(O,O]T. El

tableau 4-1 queda:

.., .., .., ... .., o o ....,

o o

L.e.,-~;-i

-

1

9

1

1 3

2

3

2

2

- 1

-·i

-,

1

o ,,:;

o

9

1

IS

(J

Para calcular el üliimo renglón de cs1e tabica u, se empica la simplificación al tablcau yj,rimero-se calcula por insprc:cion cada ;1 ; éste es el producto escalar de la columna 2 y la columna j de A. Después se 1n~1a el costo correspondiente c1 lprograma de maxlmizacibn). En esle caso. la segunda columna es cero, por lo que;, - e, = O - c1 = - e,. Por lo 1anto, el renglón inferior del tablcau, excluyendo al último elemento, es sólo el ncga1ivo del rcnglon 2. El ühimo elemento del ülLimo rcnglbn es simplemente el producto escalar de la columna 2 y la columna final B, asi que 1ambicn es cero. En cs1e punto, el segundo renglón y la segunda columna del tableau son supernuos. Eliminándolos, se obtiene el 1ableau I como el tableau inicial completo. .r, ...

1 3

.., !o-,

_,.J.,.

..... ~

",-.

-"

"'

,/

(z, - e¡):

·.

,

-1

~

...,

., ... ., -·--3 1 o

..,

9

15

'd

- 1

o

o

o

'-

J

1

:~ l:· •: 9/2 : ( 'f 1/2 O .,-J - 1 6· '.' 2 ____;;_¡_-~ •· ~ ~

.r,

.. , o

o

112.

2.V2

wr o

81/2

Tablcau 2

Tablcau 1

~

-

-

..... '

....

. .

.... .. : ,

, 't

CAP. 4]

El MITODO SIMPLEX

PROGRAMACION LINEAL:

3S

Se puede ahora aphi:ar el me,odo simplex. El clememo mas nc,ativo en el illumo renglbn del tabicau J es -9, corrcspond,en1e a la columna x,: por lo tanto, esta columrui se transforma en la columna de trabajo. Obteniendo las razones 9/ 2 "' 4 .5 y 15/2 • 7.5, se encuentra que el elemento 2, marcado con astcrisco en el tablcau 1, es el elemento pivote que da la razbo mas pcquella.1:ntonccs, aplicando los pasos 3 y 4 al tableau 1, se obtiene el tablcau 2. Ya que el último renglón r.amente.c1••-\hora bien . la pnmera rcstncc16n en el sistema ( l l limita a .e, a no pasar de 0.25/ 0.W = 1.25 umdadcs. s1 las vanaoles res1an1cs han de conservarse no nega11vas; m1emras que la segunda res1r1cc1ón lim111 a .e, a no pasar de I unidad. por la misma ruon. Ya q ue ambas rcsmcc,oncs deben s:uisiacerse. .e, no puede ser mayor de I unidad. Haciendo x, • 1. lo que ,:s cqu,valeme a hacer x, = x, - O. se ob11cne x1 e O.OS de la ecuación de rcsmcoón. Estos , a lorcs ;onsrnu)cn la nueva soluc,on rbás,c:11 de ;,unto c.,iremo ill program1. La varfablc aruflcial .e, sc anadio 1mc,almemc para proporcionar una primera solución. FinJlmente. esta ,-anaolc d~oc ser .:ero. Ya que ahora se •1cnc ~¡:3 ,-.\tu.::ón 1. ¡:rog: 1rr.a en la cual x, •O. se puede om1:tr !Sl3 , ano.ble Je .;onn de punto extremo: -x1 = 1, x, = O, x 1 = O.OS-. Observcse que este programa modificado tiene n = 3 variables y m = 2 ecuaciones de resuiccii>n, así que los puntos exrremos deben tener al menor 3 - 2 = 1 variables con valor cero. Para determinar si puede mejorarse la solución inicial para el nuevo programa, se resuelve (5) -ecuacii>n que rcstringla ax,- para x, y se susuruye el resultado en (3) y (4). El programa cambia a: minimiocse: za 0x1-20x,+0x,+ 80 0.12x,+ x, • O.OS

con las condidones:

-

1

.

J

(6)

(7) (8)

1

con: todas las ,'3riables no negativas Comparcse este programa con el tableau 2 del problema 4-2. En la solucion corriente. x 1 = O, y se tiene de (6) que¡ = 80. Sin embargo, resulta obvio a panir de esta que z se reduetra si se aumenta x,. La resuiccibn (7) limna ax, a no pasar de 0.05/ 0. 12 = 51 12, si las otras variables han de permanecer no negativas; mientras que (8) limita ax, a no pasar de 1. Ya que deben sa1isfa. cerse ambas restria:1ones. x, no puede aumentarse a mas de 5/12. Haciendo x, = 5/ 12, lo cual fucnax3 = O. se obtiene de (8) que x1 = 7/ 12. Ésta es una nueva solución de punro extremo al programa. Para determinar si puede mejorarse esta solución, se resuelve m-ecuacibn que resmngla ax:- para x, y se sustituye el resultado en (6) y (8). El programa cambia a: minimicese:

z • 0.11 + 0x,+ 166.7.1, + 71.67

x,+8.333x, • 0.4167

(JO)

x , - 8.333x, =0.5833

(11)

con las condiciones: con:

(9)

todas las variables no negativas.

La ecuación (10) es solamente (7) dividida entre 0.1~. Comparese la forma de este programa con el tablea u 3 del problema 4.2. En la solucion normal, x, = O, asl que de (9) se tiene¡ = 71.67. Tambien se tiene de (9) que ninguna asignación positiva a x3 reducirá a z por abajo de este valor. En realidad, cualquiera de estas asignaciones aumentara el valor de : . Entonces, la solución normal es una solución óptima.

Problemas complementarios úsese el metodo simplcx o el de dos fases para n:solvcr los siguientes problemas:

4.9

maximicese: z

1:::

.i:,

+ .r,

j

.r

x, +S.r,s5

con las condiciones:

2..t,+ x,s4 con:

4.10

max.imlcesc:

x 1, x1 no negativas

Z

D

3x, +4.XJ

\/

con las cond.iciones: 2..t,+ .r, s6 2.x, + 3x,s 9 con:

x,, x 2 no negativas

1

~

CAP. 4J 4.11

PROGRAMAC1ÓN [;[NEAL: El METODO SIMPLEX núnimiccsc: z • con las cxmdiciones:

.i

.x 1 ~

43

2.x:2

z, + Jz, .i:: 11

21,+ .,,, .., 9

l

con: x,. x2 no negativas 4.12

maximlcese: z • -z 1 - z 2

J

con las condiciones:

'

z, + 2x, i!: 5 000 5z,+3z,i!:UOOO

con:

.x, , x1 no negativas

maximia:se: z,& 21, + 3z2 + 4z,

4.13

con las condiciones:

z , + x, + -"> s 1

z ,+ z,+2.r,•2 3z, + 2z,+ z 3 i?: 4 con: todas las variables no negativas. 4.14

minimices:: con las condiciones:

z - 14z, + 13z,+ 11.r,+ 13z,+ 13.ln esto el 1ab1cau 8B. Los valores menores en este 1ablcau son e,, y Seleccionando arbi1ranamcn1e e,, . se le encierra en un orculo, indicando que se ha aceptado el eslabón 2 - 4 como panc del itincnuio ñna!. Ahora se recmpiuan todos los otros elementos dei segundo renglon > de la cuana a>lumn1.. as! como d demento uanspuCS10 ' •~ por 1 000. El resultado es d 1ablcau se. El menor de los elementos no encerraoos en circulo en el tableau 8C es = 30. A~r•!l-ando el eslabón 4 - 3 al actual iuoerario incompe10, se uene el iunerano (aun incompleto) 2 - 4 J - 3. que no es no facúble. En consecuencia. se enocrra c0 en un circulo y se reemplazan todos los otros e1ememos en el cu3rto renglon y en la terc:cra columna del 12bleau SC. as, como el elemento 1ranspues10 por 1 000. El resuitado es el tableau 8D.

e.,.

c.,

e,..

2

3 4

5

1000 1000 80 JO~ 16.~

1

J

~

35 1000 45 1000 80

80 1000 1000

1000

30 15

@ 1000 1000 1000

~

2 165 1000 15

? 3

(,O

4

1000

5

1000 1000 M)

4~

1000 1000 1000

1000 165

1000 BO

© 1000

35 1000

Tableau 8C

1000

@,

1000 1000 1000

165 1000 15 1000 10('1()

Tableau 8D

El menor de los elementos no encerrados en etrculo en el 1ablcau 8D es c 12 s 35. Agreµndo el esl3bón - 2 al actual itinerario incompleto. se generad nine:-ario 1 - 2. 2 - ◄ . 4 - 3, que n o es no factible. En consccuenca. se enoerra e 12 en un orculo y se reemplazan iodos los otros elcmc111os del primer renglón y de la segunda columna del tablcau 8D. así como el elemento transpuesto c2,, por l 000. El resultado es el tablcau SE. Continuando con d algommo, se ECIJeran secuencialmente los tablcaux SF y 8G. E iúncrario indicado por los elementos encerrados en orculo en el 1ableau 8G-cspcclficame111e, 1 - ~. 2 - 4. 4 - 3, 3 - 5, 5 - 1-es completo )', por lo tanto. resulta el itinerario cercano al opumo. Su costo total es: Z •

35 - 20

J.

15

T

30 + )65 ,. 325

Véase 1ambicn e! problema 9. 17.

9.9

Apliquese el mé1odo del vecino más cercano al problema 9.6. El valor menor en el tablcau 6A. matriz inicial de costos para este problema, es c 1, o c.,. Arbitrariamente se coocrra en un circulo a e,. y luct(I se reemplazan todos los otros elementos en el primer renglón, en la cuana columna y a por un número prohibitivamente grande. El resultado es el tableau 9A. Aplicando el algoritmo del vecino más cercano al tablcau 9A. se obtiene el 1ablcau 9B con el itinerario parcialmente ex>mplcto 3 - l , l - 4. El menor valor dd tablcau 9B es c.3 = 81. Agregando e! eslabón 4 - 3 al iúnerario aaual, se tiene a>mo resutlado ◄ 3, 3 - l . l - 4, que no es factible, ya que se trata de uncir-

c.,,

-

1

("',?,

9J

PROGRAMACIÓN DE MODELOS

2 1 2



1000 1000 80 1000 165

3

's

1000 1000 1000 1000

s

3

(

1000 1000 1000

1000

2

1000 1000 75 1000 1000 •

@ 1000 1000 1000

® 1000

91

@

1000 1000 1000 1000 165

1 2 3 4

5

1000 1000 1000

1000

iroo 1000 1000

Tabiaa SE

..

3

1000

(~

1000

s

@

1000 1000

1000 1000 1000

1000 1000

®

Tab.aallF 2 1 2 3

@

1000 1000 1000

•5

1000 1000 1000 1000

®



5

1000

@

1000 1000

1000 1000 1000

1000 1000

3

1000 1000 1000

® 1000

@

Tablaw 11G

cuno que omite a la ciudad l . Por lo tamo. no se accpca a 4 - 3 como pane del iunenno final y se r=plaza su costo. e-. ,. por un numero grande. El resultado es el tablcau 9C.

2 3

'

1nooo 65 S3 10000

.



2

3

10000 10000 9S 10000

10000

95 10000 81

®

1 2 3

10000 10000 10000

10000 10000

• 10~

2

3



10000 10000

®

10000

3

10000 10000 10000 IOIXXl

10000 9S 10000 81

Tabi..■

Tabltac !IA

1

2

2

3



10000 10000 10000 10000

10000

®

9S 10000 10000

1 2 3

10000 10000 10000



®

10000 10000 10000

!IB

2

3

10000 10000

10000 10000

10000

®

~

10000 10000

10000



®

• ®

10000 10 IXXl 10000

Tablaa !ID

Tabi..a9C

Continuando con el algonano. después de otras dos iteraciones se obtiene el cablcau 90. L2 solución mas cercana al óptimo, que sel'lala los elememos de costo encerrados en circulo, es l - 4. 4 - 2, 2 - 3. 3 - l con ~

• 37 + 10 000 + 95

T

53

a

JO 185

Este valor de la función objetivo es prohibitivamente alto; en este caso, la solución "más =ama al óptimo" está en realidad lejos de ser 6púma.

Problemas complementarios

/ 9 .10

Un fabricante recibe de una (U"8ll ciudad un pedido de seis autobuses de dos pisos, los cuales scrtn cntre¡r:ados por pares durante los próximos tres meses. Las fechas de producción parad fabricante se muestran en la tabla-9-2.

--

Los autobuses pueden cntre¡rarsc a la ciudad al final del mes en que se ensamblan, o d fabricante puede alma· ccnarlos, cx>n un coSto mensual de S3 000 por autobus, para embarcarlos durante un mes poSterior. El fabricante no tiene almacenado ningún autobús de este tipo y no desea tener ninguno despul:s de terminar este

~

92

[PARTE 1

PROGRAMACIÓN w(~TICA

Tabla 9·2 Meses

1

2

3

Capacidad normal de produccon. unidades

1

1

3

úpaadad de producoon en t. Clltrll, unldades.

2

1

2

Costo normal de producoon. SI 000/unidad

lS

4)

-IO

Costo de producción ca S1 000/umdad.

39

47

4S

1.

e.u n.

contrato. Determincse un programa de producción que cumpla las condiciones de la ciudad, a un costo mínimo para el fabric:uue. 9.11

Un:i compai\la fannacéutica estima la demanda para una de sus vacunas (en millones de dosis). de la s,¡uien• 1e fonna: oaubre. 7. 1: noviembre, 13.2; diciembre, 12.8; mero, 7.7; y febrero, 2.1. Durante los otros meses, la demanda es relar.ivamcn_te baja y la polir.ica de la compaAla para cubrir estas demandas es tener, para fines de febrero, un invcntano de 1 millón de dosis. Lleva cuar:ro semanas producir la vacuna, as1 que no hay dosis disponibles para embarque durante el mes en que .soo produodas. Una vez que la vacuna está Usta, sin embargo, se la puede enviar de irunedia10 a los consumidores o conservarla en inventario a un costo de IOc mensuales oor doSts. Tradicionalmente. la compaAla produce la vacuna sólo Clltre agosto y diciembre. El lo. de sepdembre se distribuye cualquier sobrante del invC1Jtano de vacuna del ai'lo amenor.

Agosto Sq,ucmbrc Oaubrc Noviembre Oioemorc

1

Capacidad Costo

12.S 63

11 .0 68

9.5 15

8. 1 S2

S.5 48

Detcrmlnesc un programa de producción que cubra toda la demanda a un costo aurumo total. 9.12

Dctemuncsc un programa de embarque de costo mínimo para el problema de cransbordo que se muestra C1J la figura 9-3.

-25

-JS

1

-

'

1

PROGRAMACION DE MODELOS

CAP. 9) ~.13

93

Una fábrica de autos tiene órdenes de un cieno modelo, de los sitios S. 6 y 1 para 75, 60 y 80 unidades, rupcaivamen1e. El proceso de producción comprende íabricar la camx:cria en el sitio I o en el 2; embarcar cs1a carrocería aJ sitio 3 o 4, donde se ensambla con el resto del au10; toda unidad es después enviada aJ consunudor que la aguarda. Los costos de producción por c:uTOCCria son de S533 en el sitio I y de SSS0 en el sitio 2. Los costos de ensamble en los sitios l y 4 son S2 256 y 52 239, n:spectivamcnte. Los costos de transporte (en dólares) cmrc los sitios son los siaulentes: Siuos

l

Sirios

4S

6S

S9 52

s

6

n

6S

81

74

79 63

Las C3pacidades de producción en los sitios I y 2 son 150 y 170 carrocer'.as, respectivamente; en los sitios l y se pueden ensamblar todas las carrocerías que se reciban. Dc!ermincse un programa de producción y embarque que cumpla 1odas las demandas a un costo mínimo. (Co~jo: plantéese como un problema de craru,-

J

bordo.)

9. IJ

Una compa.llla de renta de autos tiene un c.~ceso de autos en algunas ciudades y csc:iccz en otras. En panicular, las ciudades I y 2 ucnen una demas1a de IS y 12 autos. respca:ivameme. Los autos pueden cmbarcnrse directamente entre los smos o pasando por ciudades intermedias en las que la compallla tiene agencias. Si los costos de embarque (en dólares por auto) son los dados en el 1ablcau 14, dctcmunese el programa de embarque de costo mínimo para la compa.llla de renta de autos.

s

Ciudodcs

12

7

1

7

J

12

u

J

:?S 65

25 15

s

:?2 !7 .l8

.!S 15

65

17

18 iS

75

15

Tabluu 14

9.15

Una cadena de mtaurames de sc.rvicio rapido desea construir cuatro tiendas en el 1rca de Otica¡o. Anteriormente, la compa.llla ha empicado seis diferentes compaJllas construaoras, y, estando satisfecha con todas. las ha iD\itado a concursar por cada trabajo. Las oicrtas ñ.naJcs (en miles de dól=) son las que se muestran en la tabla 9-3. Tabla 9-l Companlu consrructoru

Tienda 1 Tienda 2 Ticnda J Ticnda4

1

2

J

J

5

6

85.J 78.9 82 84.l

88 TTA 81.l

87..5

82.J

89.1 79.J 83..5 84.~

86.7

84.6

n .J

-6..s

82.4 86.2

S0.6 83.J

78.J 81.7

85..S

Ya que la cadena de restaurames desea tener listos los nuevos eSLablccimientos tan pronto como sea posible, otorgaii cuando mas un trabajo a cada compallla conSLructora. ;.Qué asignación da como result.ado un co~ 10 total mintmo para la cadena de rcSl8uramcs7

'

1

9.16

Resuélvase el problema 1.23. r

9.17

Encuéntrese una solución c.uaa para el problema 9.8 y comparesc ésta con el itinerario cercano al óptimo obtemdo en el problema 9.8.

9.18

El sigu1cn1c 11blcau es la matriz (a.1imctrica) de costos para .iajar e:'llre un conjunto dado de lugares. Dctcnntnesc un 1unerano de COSlO mínimo de ~ente viajero.

PROGRA.MACJó--: M A TEJIV .TICA

Ciuc.a0 puede no ser óptimo cuando se desecna la rcstnc::ión de que cada sitio se visite sólo una ve;.

Capítulo 10 Programación no lineal: optimización en una sola variable EL PROBLEMA Un programa no lineal, sin restricciones, en una variable tiene la forma: optimicese:

z

= f(x)

(10.1) ~

donde /i,x) es una función (no lineal) de la variable imica x y la búsqueda del valor óptimo (maximo o m1rumo) se realiza sobre el intervalo infinno (- 01>, 01>). Si la búsqueda se circunscribe a un subintervalo fini to lo, b], entonces el problema cambia a: oplimiccse: con la condición:

z

= f(x )

(10.2)

as xs b

lo cual es un programa en una variable. con restricciones.

ÓPTIMOS LOCALES Y GLOBALES, Una función objetivo /i,x) tiene un mínimo local (o relori vo) en x0 , si existe un intervalo (pequeño) con centro en Xo tal que Ax) 2: .f{x0) para toda x en ese intervalo en el cual la funcion está definida. Si ftx) 2: fl.Xo) para toda x en la cual la funcion esté definida, entonces el mínimo en Xo (además de ser local) es un mínimo global (o absoluro). Los máximos locales y globales se definen en forma similar, en terminos de la desigualdad en sentido contrario. Ejemplo 10.1 La Ílmción ¡;raficada en In figura 10-1 está definida sólo en (a, b). Tiene mínimos relativos en a, x2 Yx., máximos relativos en x 1• x 3 y b: un mlnimo global en x1 y máximos globales en x 1 y b.

:,

)

I "'

96

[PARTE 1

PROGRAMACIÓN MATEMATICA

En el programa (10. 1), se b = un óptimo global, al igual que en el programa (10.2), ya que se busca al mc¡or de los ópnmos locales en [a, b] . Es pasible que la función objeuvo asuma valores atin mejores fuera de [a, b], pero éstos no son de intcrcs.

CO SECUENCIAS DEBIDAS AL CÁLCULO

TttJrema 10.1: SiN) es continua en un intervalo continuo y acotado (a, b], entoncesj{x) tiene óptimos globales (tamo un máximo como un minimo) en eSte intervalo. Teort!ma 10.1: Sij{x) tiene un óptimo local en x 0 y siN) es diferenciable en un pequefto intervalo con centro en x entonces f (,xo) = O. Teorema 10.3: Si ./f.x) tiene diferencial de segundo orden en un pequet'lo intervalo con centro en x 0 y si f (,xo) = O y f ' (,xo) > O, entonces flx) tiene un mmimo local en x 0 • En cambio, si f'(xo) = O y f ' (xo) < O, eotonces..l(x) tiene un máximo local en x 0 • De los primeros dos teoremas, se tiene que si .J{x) es continua en (a, b], entonces los óptimos locales y globales para el programa (10.2) se presentaran entre los puntos donde/'(x) no existe. o entre los pun• tos donde f' (x) = O (llamados por lo genera.l puntos cn"t1cos o estac,onanos) o entre los extremos x = a y x = b. (Véanse los problemas 10.1 al 10.3.) Ya que el programa (10. 1) ño está restringido a un intervalo cerrado y acotado, no hay extremos que considerar. En vez de esto, los valores de la función objetivo en los puntos estacionarios y en aquellos puntos en que /' (,x) no exiSte, se comparan con los valores limite de )lx) cuando x - z "" . Puede suceder que ninguno de estos linmes cxiSta (considere N) = sen x). Pero si uno u otro limite C.'{IS· te -y aqui se acepta z 00 como un "limite" - y da el mejor valor de 1,x) (el mayor para un programa de maxim1zación o el menor para un programa de minim1zac1on), entonces no c.>tiste un óptimo global para )lx). Si el meior valor ocurre en uno de los puntos finitos, entonces este valor es el óptimo global. (Véase el problema 10.4.)

TÉCNICAS DE BÚSQUEDA SECUENCIAL

En la práctica, rara vez resulta fructlfera la localización de óptimos empleando el cálculo -ya sea porque se desconozca analíticamente la función objetivo, lo cual hace imposible la diferenciación , o bien que los puntos estacionarios no puedan obtenene algebraicamente-. (Véase el problema 10.5.) En tales casos, se emplean métodos numi:ricos para aproximar la localización de algunos de los óptimos locales dentro de una tolerancia aceptable. Las récnicas de búsqueda secuenc,al empiezan con intervalo finito en el cual se considera que la función objetivo es unimoda/; es decir, se considera que el intervalo incluye uno y sólo un punto en el cual /(,x) tiene un máximo o mloimo local. Las técnicas reducen entonces sistematicamente el intervalo aire-



• (.r,.f(.r,))



(z,./(.r,)) •

• b Elim1ncsc die

Ehmlncse este

1n1cnalo u se ouK:a

1ntenalo s1 k busa

un max1mo 14JC:ll

un mln,mo local Fi&, 10-2

.r1

l-

.lJ

.r,

__J

Conscn!~ •~ se bu.sea un mu:imo Conservesc si•• bu.sea un mínimo

¡.._

f'l1. 10-J

J

C.-\P. IOJ

r )

OPTIM IZACIÓN EN UNA SOLA VARIABLE

97

d,dor dd ó ptimo local, hasta que este queda confinado dentro de limites aceptables. E.na reducción se ~fec1úa evaluando secuencialmente a la fu nción objetivo en puntos seleccionados y empleando después 13 propiedad unimodal para diminar porciones del último intervalo. Ejemplo 10.2 La figura 1~2 mucsira los valores de la función objeiwo en los pumos x 1 y X:- Si se sabe que un nummo locnJ es el úmco valor extremo en [a, bl, entonces este mimmo debe estllf a la Izquierda de Xi, ya que ¡l;t) na empezado a incrementarse a panir de este pumo y, por la propiedad unimodal, debe continuar incrememandosc a la derecha de él. Por lo tanto, el subimervalo (x,, b] puede desc:inarse. Si un ma.ximo local es d único valor extremo en [a, bJ, entonces debe estar a la d=cha de x 1, y d subimervalo (a, x 1) puede desc:inarse.

En las siguientes tres secciones, se consideran tipos cspeci ficos de búsqueda secuencial.

BÚSQUEDA EN TRES P UNTOS D EL INTERVALO El intervalo a considerar se divide en cuatro puntos y se evalúa la función objetivo para los tres puntos equidistantes interiores. Se determina aquél punto interior que proporcione el mejor valor de la iunción objetivo (en caso de empate. sclccciónese arbitrariamente uno de los puntos), y el subintervalo con centro en eSte punto. formado por dos cuartas partes del intervalo inicial. reemplaza a dicho intervalo inicial. Incluyendo empates (valores iguales), hay 10 posibles patrones de muestreo; uno de ellos se tlustra en la figura 1~3. (Véanse los problemas 10.6 y 10. 7.) La búsqueda en tres puntos del intervalo es el más eficiente procedimiento de búsqueda a espacws rguales. en términos de lograr una tolerancia previameme dada, .:on un número mínimo de evaluaciones funcionales. Tambien es una de las busquedas secuenciales mas fáciles de codiñcar para computadora .

BÚSQUEDA FIBONACCI

LasucesiónFibonacci, (F.)= (1, 1, 2, 3. S, 8, 13, 21, 34, SS, .. . 1, fonnalabasedelat!:cnica más eficiente de búsqueda secuencial. Cada número de la sucesión se obtiene sumando los dos números anteriores, c.,cepto en el caso de los dos primeros números, F0 y F 1, que son ambos l. La busqueda Fibonacc1 se inicia determmando cual es el menor numero Fibonacci que satisface F, E b -a, donde E es una tolerancia previamente dada y (a, b] es el intervalo original de interes. Fíjese , • • (b - a)/ F.v- Los primeros dos puntos de la búsqueda CStan localizados a F" _ 1 E' unidades de los extremos de [a, b], donde F,v _ 1es el número Fibonacci anterior 11 F,y. En la busqueda, se consideran de uno en uno puntos sucesivos y se colocan a F;t (j = N - 2. N - 3. ... , 2) UDJdades, a partir del más reciente extremo del intervalo actual. (Véase el problema 10.8.) Obsérvese que con el procedimiento Fibonacci es posible fijar de antemano d número de evaluaciones funcionales que serán necesarias para lograr una ciena precisión; aún mas, este número es independiente de la función unimodal particular.

BÚSQUEDA DE LA "SECCIÓN ÁUR EA" Una búsqueda casi tan eficiente como la búsqueda Fibonacci se basa en eJ número (v'S - 1)/2 = 0.6180... , conocido como sección áurea. Los dos primeros puntos de la busqueda se loc:i.lizan a (0.6180)(b - a) unidades de los extremos del intervalo inicial [a, b]. Se consideran de uno en uno puntos sucesivos y se posicionan a 0.6180 L I unidades del mas recIen1e c.,tremo del intervalo actual, donde L , denota la longitud de este intervalo. (Véase el problema 10.9.)

ru-.c10 ES CO'IVEXAS

los pnmeros procedimientos de bu~.:¡t•eda garanuzan la apro,1macion a los óptimos globales en un intel'alo de busqueda. solo cuando la fu nción ::-bjetivo es unimodal al\1. En la practica. genera lmente

98

PROGRAMACION /ltATEMA T I CA

[PARTE 1

no se sabe si una func1c,n obJell"" pa·uculzr e$ ummodal ,;obre un mten alo daoo. CuandC' ap:1c2 un proced!miemo de busqueoa er, ::s.a siluac1ón. no existe la sei;urioad de que este proccd1m1e1110 oe.-cuorira el óptimo global deseado. /Véase el problema JO. 11). Las excepciones incluyen programa• que uenen funciones objetivo convexas o concavas. Una función .flx) es convexo en el intervalo -' (finito o infinito), si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 en ., y para t0da O s as 1, (10.3)

/(cu, + (1- a )x2) ,s; a/(x1) + (1- a )f(xv

Si (10.3) se cumple con la desigualdad inversa. entonces flx) es cóncavo. Entonces, la negativa d: una función convexa es cóncava y viceversz. En la figura 10-4. se muestra la gráfica de una funcion convexz; una propiedad geometrica de definicion es que la curva descansa en o está por encima de sus tangemes. Las funciones concavas y convexas son unimodales. Teorema 10.4: Sifix) tiene diferencial de segundo orden en J, entonces/(x) es convexa en J . sólo s1 f' ' (x) .!: O para toda x en -'· Es cóncava. sólo si f' ' (x) .: O para toda x en J . Teorema 10.5: Si.flx) es convexa en J , entonces cualquier minimo local en J es un msnimo global en J . Sij1x1 es concava en .1, entonces cualquier maximo local en J es un maximo globalen J .

1

-T

a/(.1:,)+(l- a)/(x,)

1 /(a.r, +(l- aµ ,)

-4- 1 1 1 1

1 /(.' - 10

• - 106.J A:-'- 106..l A - 36.58 Usando los me1odos analiticos dcscri1os en e, cap11ulo 10, se de1err.11na que esta función de >- asume un m.iJcimo (global) en>-; = 0.5. Entonces.

X= X.. +A . Vfl

(2.136]

• [6.597- 8.r-:!(0.5)] = 5891-5..l99(0~1 3.142 -1-0.00. Ya que la diferencia entre/{"'1) = 36.58 y J1X,) - -10.00 es significativa, se conti1

o

""

~on /{X,) = nua con las tteraciones. s~gunda iuraci6n.

2.236]

[-2(2.236- VS)]

X, +A Vflx, = (3.142 +A -2(3. 142-,r}

=

[ 2.236+0.000 lA] 3.142 - 0.000SA

/ (.'X, + A Vflx,) = -(2.236 -r 0.0001 A - VS)' - (3.142 -0.000SA - ,r)' - 10 = - (6.SOOA' - 6.382A + LO') LO-· Usando los me1odos anali1icos dcscmos en el cap11ulo 10. se de1ermina que esta función de>- 1iene un máximo (global) en A i = 0.4909. Entonces,

,

[2.136 + 0.0001(0.4909) ]

[ 2.236]

X, = X,+ A I V/lx, • 3.142 -0.0008(0.-1909) = 3.142

x.

Y3 que X, ~ (con cu:mo cifras s1gnífica11vas). se acepLa X• = (2.~36. 3. 142lr. con t' = - 10.00 como la soluoón al p¡ogr.tma 11). Entonces. la solución al programa ong¡nal de minimización cs. x• ª (2.236. J. 142lr, con;• = T 10.00. Comparese esto ~on los resultados ob1enidos en el problema 11.2.

11.5

Usando el me1odo del ascenso aceler ado maximicesc: con una 1olerancia de O.OS.

Aqw.

z

= -senx,x1 + cos (x t -

xi)

114

PROGRA!\1..,CIO, !\lATElllÁTICA

(PARTE !

,.._ panir de una bu. ) Empleando la busqueda de la scccion aurea en (O. 8). se determina que esta función de>. tiene un maximo en Ag - l. 7. Emonces,

X 1 • X. ... A, V/( '

conjlX1)

x,

• r-0.75411+ 0.4711(1.7)] • [0.04607) 0.SJOJ- 0.2643(1.7) 0.08099

= 0.9957. Ya que /(X,) - / CXo) • 0.9957 - 0.6715 = 0.3.242 > 0.05

se commilan las iteraciones. Sl!gunda Iteración.

V/( • r - 0.08099 cos [(0.04607)(0.080'19))- sen (0.04607 - 0.08099)] x, - 0.04607 cos ((0.04(,()7)(0.0~)] + sen (0.04607 - 0.08099)

1

_ r - 0.04608

- 0.08098 X1

+

).

V/1 = [0.04607 x,

0.04608>.) 0.08099 - 0.08098>.

/(X, +A V/ lx,) •

-sen {(0.04607 - 0.04608>. )(0.08099- 0.08098 A))

+ cos 1(0.04607 -

0.04608). ) - (0.08099 - 0.08098.1 )]

• -scn(0.003i 31- 0.007463 A + 0.003732). ') + cos (-0.03492 + 0.03490>. ) Empleando la búsqueda de la seccion aurca en (O. 8]. se determina que esta función de >- tiene un max1mo en Ai - l. Entonces,

X:



- 0.04608(1)] XI T ). ! V'/1 X ¡ • [ 0.04607 Q,08099- 0.08098(1) •

[º·0000) 0.0000

con /(X,) = 1.000. Ya que /(X,)- /(X,)• 1.000- 0.9957 • 0.0043 < o.os

se toma 11.6

x• •

X, and : • = 1.000.

En e l problema l 1.5. ¡,es e l máximo encontrado un máxim o global? Para la función objetivoJ!x1, x,> = - sen x,x, ... cos (x1 • definida en cualquier punto. En verdad.

a>,

~

• .d

-

xi), la matriz hessiana es no negativa semi·

sen.r,.r, - cos (.r, - .r,)

y el lado derecho es positivo para x 1 = xi = vr/ 2. Entonces, }l.r1, xi) es no cóncava para todo punto, l' la pre¡,uma sigue en pie. Haciendo referencia al problema 11. 3, se ve que en realidad el máximo global esx' s 2, asl que ,• = 1.00 debe ser solamente un maximo local.

11 . 7

Dedúzcas~ el mé todo del ascenso a celerado. Para cualquier vec1or dado

X y para cualquier vector

unitario U, la derivada dir~ tonal.

CA?. JI ]

OPTl M IZACIÓN MULTIVARIABLE S IN RESTRICCIOI\ES

IIS

Duf(X) • V/lt . u da la 1asa de cambio d e }tX) en

X en

la dirección de U. Ya que

V/ . u= /V/1 IUl cos 8 = /VI)cos 8 el mayor incremenro de}tXJ ocurre cuando 8 = O, esto es, cuando U cs1ll en la misma dirección que V/. Por lo 1amo. cualquier movimiento (pcque~o) de X en wrccción a V/lt incrementara, imoalme:uc, a la función por encima óe ./tX). tan rapidamcntc como sea posible. El vcc1or >, V/it representa un desarrollo de este tipo. El mejor valor de>, es aquél que maximiza ajíX + >-'V/lt). valor que lenia la funcion obje1ivo ames del desarreglo.

11.8

Usando el método de Ncwton-Rapnson, maxim1cesc: z = - (x1-

V5)2- (x1 - 11')1-

JO

con una 1olerancia de 0.05 . Del problema 11.4. se 1oma la aproximación inicial X. = (6.S8i, 5.89JJT, con}lXo) = - 36.58. El vector izradicn1e. la ma1riz hcssiana y la inversa de la mam2 hessiana para es1a función obJe11vo son. respcc1ivamemc:

º]

V/= [-2(.r, -VS)] -2(x,- 1r) para roda ..r1 r

H,= [ -2 O -2

,,,.

Primua iteración.

v,,., _r-2(6.597-VS)J -2(5.8911T)

= [-8.722J

-5.499

x, = x.- c11,1.,r•v11.. 6.597] [-0.5 O J[ - 8.722] [2.236] • [ 5.891 O -0.5 -5.499 = 3.142 con /(X,)• - 10.00.

Ya que

/(X¡)- /(X,,)= -10.00- (-36.58) ª 26.58> 0.05 se continúan las i1eraciones.

Segunda Iteración.

V/I = [- 2(2.236-VS)] = r - 0.0001] x¡

X, -



-2(3.142-1r)

2.236J- r -0.5 º Jr-0.000IJ r2.236J [3.142 O -0.5 0.0008 .. 3.142

con /(X,) • -10.00. Ya que /(X,)- /(X 1) = O< 0.05, /(X,)• -10.00.

11.9

0.0008

x,- (H,lx,r'V/lx,

se toma

x• = X,= [2.236. 3.142t.

con z • -

Usando el metodo New1on-Raphson. maximicese:

z

= -senx1x2 + cos (x1-

xi)

con una 1olcrancia de 0.05 . El vecror gradieme y la ma1riz hcssiana para esta función obje1ivo son:

V/,.

r-:r,

cos .x,.r,-scn(.r,- .r:z)] - .r, cos .r2

x, - 400

l

(J)

(2)

x, - 300

[ - v'xl +.ri - v'(;c,-300)' +(x,-400)' - v'(x,-700)2 +(x,-J00)2 Para iniciar el mé1odo Fle1cher-Powell, se fija • = 0.25 y

y se selecciona X = 1400. 2001r. la cual a partir de la rigura 1-1 parece ser una buena aproximación para la locaJiznc1ón ópuma de la refincna. PASO/

a - /(X)• /(400. 200)

= -v' (400)' + (200)' B=

V/lt•

v'(I00)2 + (-200)'- v' (-300)' + (-100)' • -987.05

[-~~=]

PASO]

/(X+ AGB) =

t([:]+A [~

~:~=]) •t([: ~ ~;::1])

~][

= -v'(400-0.39296A)' + (200 + O.í6.3+4A )'

- v'(I00- 0.39296.1 )' + (-:00· 0.76344A)2 - V(-300-0.J9296AJ' • (-100 + 0.76344Ajl Realizando una búsqueda en tres puntos del intervalo [O, .125), se determina A• - 212..5. Entonces.

PASOJ

X+ D• la cual se 1oma como la

[~]+ (-1~ ~4 ] • r~~~]

X actualizada: X = (316.50. 362.23) ' .

PASO4

fJ =/(X)= /(316.50. 362.23) • -'JI0.76 fJ -

a = -910.76- (- 987.0S) = 76.29 > 0.25

PASO6

c = Vfl• •

- 0.071207 ] [ 0.0031594

y . B- C • (-0..39296] - (-0.071107 ] • ( - 0.32175] 0.16>1-t - o.oons94 0.16028

118

[PARTE 1

PROGR.A.MACI ÓN /l!A TEIIIATICA

PASO 7

p Ty

a

[-83.504. J(C.23][-~~~~] • 150.21

L• l ~.21 DDTª

1~.21

[~:~J¡-83.504, 162.23)

1 [ (im.9 - 13547) [ 46.421 - 90.167] • 150.21 -13 547 26 319 = -90.187 175.21 32175 º][-00.76028 )

1 yT Gv - r-o.3117.5. o., 6028J[ l 0 -1

0

o.68155

T

M • 0.68155 GYY G

- º-~~5 [ ~

~] [-~~~] ¡-o.Jm5.0.76028J[ ~ ~]

-1 r 0.10352 -0.24462 r-0.15189 0.35892 • 0.68155 -0.24462 0.57803 • 0.35892 -0.8481!

1

1

PAS08

G + L T M "' [ ol

º] [-90.)87 46.421 1 T

-90.187].._ r-0.15189 0.3589::!] 175.2! 0.35892 -0.84811

lo cual se toma como la G actuahuda. Tambien se actualWl a

= [ 47.2(/} -89.828] -89.828

17.5.36

= - 910.76 y

B • r-0.071207 ] 0.0031594 PASO 2

.50] . _ >. [ -89.828 47.269

/(X + >. GB) • t{[316. 362.23

-89.828] [-0.071207 175.36 0.0031.59~

J)

A])

.50-

• t ([3l6. 3.6497 362.23 + 6.9.504>.

• -V(316.50- 3.6497>. )1 T (362.23+6.9.504 >. )' -v'(l6.50- 3.6497>.f • (-37.77 + 6.9504>.)' -v'(-383.50- 3.6497 >. f + (62.23 + 6.9504 >. f Realizando una búsqueda ,n tres puntos del intervalo (O, 10). se determina A• -1.25. Entonces O = A ºGB •

(t.25)[ 47.2(:I} -89.828][-0.071207 ] • r-4.5621 ] - 89.828

17.5.36

0.0031.594

8.6880

PASOJ

X+ D • [316.50] + r-4.5621 ] • (311.94] 8.6880

362.23

lo que se toma como la

370.92

X actualizada.

PA S0 4

fJ = /(X) - /C3t 1.94, 370.92) = - 910.58 {J-t, • - 910.58-(- 910.76)• 0.18< 0.25

PASOJ

x· . X= p11.94] L370.92

y

/(Xº)= fJ

Entonces, el problema 1.14 queda resucito por xi= 311.94 km , x; + 910. .58 km.

= -910.58

= 370.92 km con ~

=

CAP. 111

OPTIMIZACIONMULTIVARlABLE SIN RESTRICCIONES

119

11.12 Muestrese que el máximo 1ocahzado mediante el me1odo Fletcher-Powell en el problema 11 . 11 es en recslidad el máximo gl;,bal oeseado.

En vista del teorema 11.6, es suficiente mostrar que la/{}..1 dada por (I¡ en el problema 11.11 , es cóncava para todo punto. E:n realidad, sólo es necesario mostrar que la función

,ex>= -v

.rl + .d es cóncava para cualquier punto, va que}tX) es la suma de tres funciones de este tipo, y la suma de funciones cóncavas es una función cóncava. Entonces,

u -e -

1

c.xl + xiF

[-:,;¡ x,x,

:r1x2 ]

-x~

la cual, oor el teorema 11.1, es negativa semi-definida en cualquier punto. Entonces, por el teorema 11.S. g(X) es cóncava en todo punto.

11 . tJ Dedúzcase el metodo Newton-Raphson. Supóngase que se ha determinado una aproximación, X,, a un punto estacionario de/{X): se desea encontrar un punto ~rcano, X, • 1• que proporcione una aproximación aún mejor. Expandiendo en serie cie Taylor al ~cror V/ alrededor de X,, se úene:

(J) [E! lector deberá verificar que el i-ésimo rengJón de (1) es la serie multivariada ordinaria de Taylor para iJ//iJ:t.,.) Entonces, V/1-.., desaparecerá. hasta el SC[!Undo orden en pcquel\as cantidades, si

o

x..,- X. - -(H,,,..r•v¡¡,..

que es precisamente la fórmula de Newton-Raphson. 11. 14 Usando el pat ron modificado de búsqueda de Hookes-Jeeves:

= 3x, + 2x2 + .ri -0.02(x1 + .:r~ + .:r~ - 325)2- 0.02(.r1.xz}' Se empieza arbitranamente con h = 1 l' B = [O, O, O]T. EntoncesjfB) = - 2112.S maximicese: z

PASO I

/(O+ 1, O, O)= - 2096.52

(una mejora)

/(1,0+ 1,0)= -2081.(i()

(una mejora)

/(l. l. O+ 1) = -2067.70

(una mejora)

Hágase C=(l.l. W. con /(C)=-2067.70. PASO J

T = 2(1, l, W- [0,0,0f = [2, 2. W PASO4

/(2--1. 2.2)• -884.(i() /(3. 2+ l. 2) = -416.80 /(3. 3, 2 + 1) = - 118.10

(una mejora sobre -2 067.70) (una mejora) (una mejora)

Hágase S = (3, 3, 3]T. PASO 6 Hágase B = (1 , 1,

IJT y C

= [3, 3, 3JT, con/{C) = - 118. 10.

PASOJ

T = 2/3,3,3t- (l, l . l t • (5,5,Sf PASO4

/(5 + 1, 5, 5) s -98 641.8

(no mejora sobre -118. IO)

/(5-1. S. 5) ª -TT 876.2

(no mejora)

;,¡ ·..,

120

PROGRAMAClrui,MATEMATICA I •

[PARTE 1

f(S, S + 1, S) - -98 642.8 (no mejora) f(S, S- l,S) • -2187S.2 (no mejora) f(S, S, S + 1) • -98 638.J {no mejora) /(5,5,S-l)• -27867.7

(no mejora)

Hágase S • [S, 5, S)r.

PASO JHágasce • [3,3,Jt.,con /(8) • -118.10. PASO I 1(3 + 1, 3, J) • -154.86

(no me¡ora)

/(3-1. 3,3)• - 417.90 (no me¡ora¡ /(3, 3 + 1, 3) • -155.86 (no mejora)

/(3, J- l. 3) • -416.90 (no me¡ora) 1(3. 3, 3+ 1) • -155.60 (no mejora¡ 1(3, 3, 3 - 1) • - 416.80

(no mejora)

Hágase C • [3, 3, 3t. PASO 2' Se evalúa sea.iencialmfflte al objenvo en todos los puntos obtenidos de B, al alterar uno o mas de los componffltes de 8 en I o - 1. Hay 26 posibles alleraciones, excluyendo la alterac,on nula. Las evaluaciones funcionales cesan si y cuando una da un valor mayor que/{8) • - 118.10. Como ~e muestra en la tnbla 11 -1 , esto ocum en [2,2,4) r. Por lo tanto, se actualiza 8 = (2.1,4) r, con /{8) = - 13.70.

Tabla 11-1

z,

z, 2 2 2 2

2 2 2 J

z,

/Cz,, .,.,.z,)

2 J

-IS22.90 -886..20 -IJ.iO

4 2

...

...

4 4

J

3

4

4

. ..

PASO/

f8 - 519.38 10. 12 -1017.i6 -51 1.06 11.-'"'

•!

]

1 1 1 1. ?

! 3

- 884.60

] ]

!

J

J

o

2 J

O.!,(J - 42.18 12.12 - o8].J8 - 38.40 -669.10 -10.66

]

J

o

J J 4

J J J

J

s s s s s s s s s

J J

o

J

1 1 ! ! !

! J

2 J J

- •16.90

?..04 -805.46

o

l l

-1960.12

o

4-

J

1 1 1 !

- 6163.72 -1991.211

J

2 2

2 l

- ::SSS.22 - :?893.98

! l

-6184.-18 -2185.48 - 31)2. 18

J

-65!?.68

P.4 SO / Los movimientos de cxploracibn alrededor de B dan Jt4, 1. J) gase

PA SOJ

C

2

¡.i. l. JI'· con JtC)

2

~

U.JO. lo cual es una mejora. Há-

13.30.

-- .

PASO 4 Los mov,m1cn10s de cxplorac:16n 3lredcdor de T no dan ninguna me¡or 11. H:igasc S • {4, l .

JI'•

1:!2

PROGRMIACIOJ, MATEMATICA

PASO

j

Ha¡?115e B

e

!~. l. Jr. cor _/{B)

fl'l\P.TE l

PASO I Los mo,im,entos de exploradon alreaedor de B no dan ninguna mejora. Hágase C = con .llCI = 13.30.

H. l. Ji-.

PASO 2 ' Como se muestra en la tabla 11-2. ninguna de las 2ó aherac,ones a B da una meJora en el valo; actual de la funcion. ob.ietivo,/[B) = D .30. Por lo tanto, B = [4 . 1, 3f es la mejor solucion enrera (porque h • 1, y se inicio en el punto entero x, • A: = .13 e 01 al proJrama dado. Para mejorar esta aproximacion. se reduce h secuencialmente a 0 . 1. 0.01 ~ 0 .001. cmpczande> de nuevo el alJ!c,. ritmo cada vez con el menor l'a]or de B. Los resultados se presentan en la tabla 11 -3. Se toman xi= J.825, .r; z 2.447 > x; = : .946. con;- ª 17.Só como la solucion opuma

Tabla 11-3 \ «1or Final h

1 0.1 0.01 0.001

.,

.,

"'

:

3

J

1

3.9 3119 3.8:5

I.J

1

:.40

1 :.s:? 2~ 1

Z.4-:i

13.30 16.88 1754 17.56

3.1

Problemas complementarios Resu~lvanse numerkameme lo, probiema del 11 .~ al 11.13. usande> un generador de numeros aleatorio, x, enteros.

(Consejo: Veasc el problema 11.1~.) 11.21

r 1

• 1,.:;r.

Minimícese la /uncion RosenbrocJ.:, : • (l - x,'f-+- IOO(x,- xl)'.

11.23 Los datos censales para un pueblo del Medio Oeste son los siguientes.

10

r 1

CAP. ti]

OPTIMIZACION MULTIVARlABLE SIN RESTRICCIONES

Ano

19;,n

1940

1950

1960

1970

Pobladbn

4953

7389

11023

16445

2'4SJ2

12J

Con b~ en estos datos. se requiere una esúmación de la población para 1980. 1) Considerese al crecimiento de la población como exponencial y siguiendo una curva de la forma /\' : Ae"'' . donde N denota a la población y, denota al tiempo. 2) En cualquier año censal T. pu~e haber discrepancia entre el valor actual de N dado por los datos y el valor teórico N = Ae"'r. Denótesc a este error como e,; por ejemplo.

e,..,~ 49S3- Ae•0 3l D~erminense las constantes A y m de manera que

se minimice. 4) Usando estas constantes, evalúese la curva exponencial teórica (a menudo designada run•a exponencial de mínimos cuadrados) en 1 = 1980 y considérese a este número como la población estimada para 1980. 11.14

Demuéstrese que la función cuadrática

/(x,. x,... . . .r,,) ~ L

L a.,r.c,

,-11- 1

con matriz simétrica de coeficientes A. es cónc:a\-a si, y sólo si. A es negaliva semi-definida.

Capítulo 12 Programación no lineal: optimización multivariable con restricciones FORMAS FSTÁNDAR Con X • [x1, de ,gua/dad es:

x2

, • •• ,

x.Jr, la fonna estándar para programas no lineales con restncc1ones so lo

maximicese: con las condiciones:

z

= /(X)

g,(X) • O giX)=O g.. (X)=

con:

m .D). mientras B + >.D se conserva factible; denotcsc a este valor >.•. PASO 5 Hágase B

= B + >.•D

y continúcse regresando al paso 2.

(Véanse lo\ problemas 12.13 a 12. 15).

Problemas resueltos 12.1

maximicesc: z

= 2.x, + .x1.x2 + 3.x2

Xi+ .x, = 3

con la condición:

Resulta evldeme que para cualquier x 1 grande negativo, hay un x, grande negativo tal que la ecuación de rcstnc:c:ión se satisface. Pero entonces , - x,x, - ""· No hay maximo global.

maximicese:

12.2

z

= .x1 + .x2 + .x,

con las condiciones: .Xi+ .x,"' 3

.x,+ 3.x2+ 2.x,= 7 El programa dado es equivalente a la minimización sin restricciones de

z • !4r' =


.:¡

-0.08'206

0.1531 -0.ll3889

-0.03889 -0.09044

-o.~

IU] -3

l

-5

o

O.JO.SO

Entonces Z, • Z.J - (Hd z.,r ' VLlr., • [-O 9388. 0.89)1. 2.2i9. 0.2353lr Stfunda furación

2.579 VLI = - 0.6503 z, - 0.t!l.SS [ -0.2-179

l

- 1

(Hdz,)



1.S;J

1.128

10.-17 IJ.9309 -2.247 0.9.'09 -t-l06 -J.018 - .t018 o

- !.O!S

[º~"

1 ,,...J 1.57.t

l.12J 1.-118

l

..,1ml

1 JIS :_,j()O

-0.0QQnO 15t,9 -0.l:ó9 l).035i3

1..!lit

~.309

0.01391 -0.09969

-o

Entonces Z, • Z, -(Hd z,f' VLlz, • [-1.064. 0.6191l. : .046. 0.01545(

Con11nuand-, de es1a manera. se obuenen sucesavamemc: ZJ • [-1 .053. O.S06i. 2.09Q, 0.001369fr

Z. •

r- 1.053. 0.4982. :!.095. 0.000009¡r

z,- (-1.053. 0.4981. 2.095, OI' Como lo, compoocntcs de Z se han esaab,lizado con tres cafres S1jmílca11vas.

,e

toman x¡ = - 1.05, x;

2

.:l.-198. x¡ = 1. 10. ¡· >-, = O. con Z

O

:5cn

(.r f.r ! + .rj) D 1.00

Observese que el método Newton-Raphson convergen un ma.umo global diferente del identilicado origmalmente. 12.4

Sin tomar en cuenta el problema 12. 1 y usando el metodo Newton-Raphson: maxamacese:

con la condícibn:

z = :?:ca+ .ra.r1+ 3.r1 .ri ~ .r2 3 2

Aqui, L • (2.r, + .r,.r2 + 3.r,)-A,(.r l + .r,- 3). Por lo tan10. VL•

2+.r,-2.1.,.r, ] .r,+3-A, [ -.c?-.r2+3

Tom:inao arcuranam,nie l.¡ = 11. 1, 1J r, « calcula:

13()

Pí-C>.::iRAMA CI01' MA TEMA TICA

-4

-l]

-4

-1

1 -4

~unda úa-adón

VLt. ,=[~]

1[-203 3o -'- .3!]

a..1.., - 3

-2 -3

- 4/Q

2.:- z, -

y

O

6

-O]

-4

-66

-66

-9

1ud..,r' vL1.., - l:?13. Sf.l. 111Jf

Reahzando oua.~ dos iteraaones. se obücne:

z, • 10.6333. 2.6. 3.633f z. -

I0.6330. 2.599. 3.6331,-

Ya que los componcn1cs de Z se han estabilizado con :res cifras significativas. se toman -Aj = 0.633. X: 2.60 y >.¡ • 3.63, con

=

z • • 2..a: i - .r; .r; - 3.r: = J0.7 Al c:x¡,rcsar a: como una funcion (cüb,cal sólo en .r,. puede fácilmente verse que en este caso panicular. el método Newton-R:iphson converge a un maxJmo local.

12.5

Dése un argumento geomcmco para el metodo de muluplicadorcs de Lagran~e en tres dimensiones . Hapase referencia a la figura 12-1. El problema es max,mlUJ' una funcion}I-A 1, .r,. .r, l a lo larpo de la curva espaoaJ " en la cual las oos superficies:

y se inlerscctar.. Sea I' el punto de 'I en el cual se logra el mhimo. Sabemos. por el problema 11.7. que el grad iente de / debe tener una proyección cero sobre la Lan¡,entc a "; de otro modo. un pequedo desplazamiento a lo largo de la curva produciría un valor funcio nal aun mas grande. Entonces, Vfl, debe caer en el plano

z,

CAP.12]

O?TIM12.ACIÓN MULTIVARIABLE CON RESTRICCIONES



J3J

normal a la curva en P. Pero. cmonces. este vector es exorcsable como una combinación lineal de 1~ dos no:male, de sureñtci~ enP, r s,i~ )' P, Vg:il, ;csto es: ( 1J

o

donde L • f- >.,,:, - Aúl., . Las tres ecuaciones escalares representadas por (1) son las primeras tres ecuaciones de Lagrange ( l'.!.5): las restantes dos ecuaciones de Lagr:mge simplemente plantean de nuevo el requerimiento de que P realmen•

te caiga en '€ .

12.6

Usando 12 funcion de penalización: maximicese: z = -4- 3(1 - .x 1) ' - (1- .r1)' con la condición: 3.r 1+ .x1 = 5 En es1e caso, ( 12. 7) se vuelve maximicese:

:: • - 4 - 3(1 - .r,'f' - (l - .r,)' - p,(3.r, + .ro- S'f

Es1e programa de maximiz:1C1on. sin rcsmcciones, en las dos variables x 1 y como para poderse resolver analhicamente. Haciendo Vi ª O. se obtiene: (l

x,. es lo suiic.ientemen1e simple

p,z= = 1 + 5p , Jp,.r, + (1 + p,).r, = 1 + Sp,

+ 3p,).r, +

Resolviendo estas ecuaciones para .r1 y .r,. en terminos de p 1, se obtiene: .r, =.X•= 1 + 5p, = ~ • l .,. 4p, (1/p,)+ 4 Ya que la matriz hessiana

H, [-6--6p,l8p, e

-6p, ] -2-2p,

es negativa definida para cada valor positivo de p 1,

¡ es una función estrictamente cóncava y su único punto estacionario debe ser un máximo global. Entonces, dejando quep1 - + 00 , se obtiene la solucion oplima al programa original:

con z • c-4-3(1-.r f'j'-(l-.r;)'=-4.25.

2. 7

Usando la función de penalización minimícese: con la condición:

= (.r 1 - .x,)' + (.r,-1)' + 1 .xf + xi+ .xJ = 16 z

Poniendo este programa en la forma estándar, se tiene: maximiccse: con la condición:

z • -(.r, - x,'f- (.r, - l)' - 1

(J)

.rl+.r!+.r!- 16 •0

Para el programa (1), (12.7) se vuelve maximiccsc:

i - -(x, - .r,'f'- (.r,- t)' - 1 - p,(.rl+ .r~+ .r!- 16)'

(2)

Fas, /. Se fija p, = 0.02 en (2) y se conside.ra el programa maximicese:

! - -(.r, - .r,)'-(.r,- l)'-1-0.02(.ri+ .r!+ .d- 16)'

(J)

Seleccionando arbitrariamente [O. O. O]T como vector inicial y haciendo h = 1, se aplica el patrón de búsqueda modificado (Cap. 1Í) al programa (3). El resultado después de 78 evaluaciones funcionales es [l. l. con y /(J. l. 1) - -1 r,(1. l. 1) - -13

w·.

iJ

132

[PARTE I

PROGRAMACIÓ'¡-~ATEMÁTICA

Fase l. Ya que g 1(1, 1, 1) = -13 "'O. la restricción en el programa (1) no se sacisface. Para me¡orar esta situación, se aumenta p 1 en (2) a 0.2 y se oonsidcra el programa

t'f' - 1 -

maximlccsc: I • -(x, - x,'f' - (x, -

0.2(xl + rl + x~ - 16)'

(4)

Tomando (1, 1, 1) r de la fase I como aproximación inicial, se aplica el patrón de búsqueda modificado a (4) , conservando h • 1. El resultado sigue siendo (1, 1, 1) re indica que la restricción no puede saúsfaccrsc en los enteros. Fas• J. Ya que el aumentar a p 1 no mejora la solución actual, se re¡resa al programa (3), se reduce ha 0. 1 y se realiza un nuevo pacrón de bilsqueda, 01ra vez con ( 1, 1, 1) r como aproximación inicial. El resultado es [1.S, I.S,

IJ', con y

/(1.5, 1..5, 1) • - 1

r ,(1.5, I.S, 1) • 0.1875

Tabla 12-1 Vector final X Fa.se

p,

~

1 2 J

s

0.02 0.2 002 0.2 0.02 Ó.2 0.2 2

9

10

1 1 0.1 0. 1 0.01 0.01 0.001 0.001 0.00 1

4

s 6 7

z,

z,

1 1

1 1 l.j

l_j

u

I..S 1.49 1.49 l.496 1.496 U96

1.5 1.5 l.496 1.496 I.J96

z, 1 1 1 1 1 1.0 1 1.002 1.003 1.003

/(X)

- 1 -1 -1 -1

1,(X) - 13 -13 0. 1875 0.1875

- 1.000

-0.0623

-1.000

--0.0 113 --0.0039 0.0012 0.0012

-1.000 -1.000 -1.000

Continuando en estll forma, se completa !a tnbla 12-1. Emplc:indo los resultados de la fase 9. se Uega a la conclusión de que x¡ = 1.496. :cj = 1.496. x¡ = 1.003, con: • • T 1.000, se aproxima a la solucion op1ima para el programa de mmim1zación original. Por inspección, la solución ex:icta es: 15)'" .r: - ,: ! - ( 2 - 1.4963 con : • • l. Entonces, la solución a 1ravés de la función de penalizac1on ha dado un buen resultado con aproxunación de cua1ro cifras sigmlica1ivas. 12.3

max1m1cese: con las condiciones:

z

2

-.dxl-xlxl- 1

.r, + 2x1 + 3.r1 - 4 • O .r,.ri-19 = O

con:

todas las variables enteras.

El metodo de la íunción de penalización es aplicable a este programa entero. siempre y cuando se m1c1e el patron de búsqueda a paníc de una pnmera aproximadOn entera. como (0.0,0JT y empleando h ~ 1 todo el tiempo. Con esto, se genera la tabla 12-1 y se encuentra x," = l • .r; • -27, .r; = 19, con : • • -1 091. 12.9

Descríbasc cómo puede modificarse el enfoque de la función de penalización para resolver el programa ( 12. 1), si se agregan condiciones de no negauvidad. Fíjese como requisito que la aproximación inicial tenga sólo componentes no negativos. Restnnganse luego los movimientos exploratorios a vectores que S31isfagan las condiciones de no ne¡aúvidad. Es10 puede realizarse, me¡or penalizando a la función objetivo siempre que SCllll viol3das las condlc1oncs de no neg:imi• dad. Esto es. se e•alúa a )lX) como un numero proh1bi11vnmeme granee. 101 , ez - 1 ~ 1oio. siempre que un componente del , ec1or aherado X s.,3 ncp1ivo.

-,

1

133

OPTIMIZACIÓN MULTIVARIABLE CON RESTRICCIONES

C.>.P. 12)

Tabla ll•l

i-

Vector final X Fase

p,

p,

J,

1 2 3

0.02 0.2 2

s

0.02 0.02 0.02 0.2 2

6

20

-zoo

1 1 1 1 1 1

4

20 200

.,

•1

i,

/(X)

4

-1 -1 -146 -411 -938 -1091

o

4

o

o o

1 1 1 1

-1 -11 -24

12 17 19 19

-n

r,- !r1 + !O.ti + Sx¡

.r 1 t 2x1 + XJ c!.4 todas las variables no negativas.

Transformando pnmero al sistema (12.J) e introduciendo luego variables de holgura al cuadrado. se obuene: ma-~imiccse: con las condiciones:

: : -.r l -

5xl- IOx i + 4x,x, -

6x,x, + 12.r,r, + 2.r, - lOx, - Sx>

-o -o

- .r 1 - 2.r, - .r, + " + .r l -.r, - .t2

-.r,

=O -.ci•O

P1ra este programa. la función de l.agrange es:

L = - .e l- Sx!- IOxi + ü,x,- 6x,.c, + 12.r,x,T :?.t, - lOx, - 5x, -A ,(- x, - 2.r, - .r, + .¡-'- r;)-A1(-.r, T .ri)-A,(-x, T .r;)- ,1,(-.r, T" .ri) Tomando las derivadas indic:idas en (l:!.9) y {12.10), se tiene: (/)

al = -10.r1 -..--l.r 1 -12x,-IO-:.\ ,+A,=0

(2)

ol=-20x,-6x,-12.r, -5+A,-A, =0 íJr,

(JI

ol = -2,\,.r, . O

(./)

ol - ,. -ll 1xs = O

(5)

ax,

íJx,

ax,

(6) íJL = -2A.x, = 0 ax,

(í) (8)

(9) (/0)

[P.\RTE J

PROGiV,MACl0'1 M"'-TEMA TIC.\

.,

~=

'4,

rI,)

,h - .% :_ • (

Esw c::ua::ion~ pueden sim!>!ificarsc. Fijese

s,•x!

(12 )

Lasccuaciones(4)a (7) tmphcan respectivamente que o>-, o.x,. o>-, ox,. o>.3 ox,.y o>.,. ox1, es 11ual a cero. Pero por las expresiones (9) a (12) . x,. x,. x. y x, son cero St, y solo st, s,. x,. xl y x, son rcspcc11vamente cero. Entonces, la• expresiones 14) a (7) y (9) a (12) son equivalentes al sistema

Á,s ,= O A,z,• O A"1:2 = 0

(13)

A•.r,= O Hay 16 soluciones a este sistema. Una de estas soluc,oncs es s = k: = simplificando, se obuene el smema lineal

>-, =

A1

= O.

SustiLUyendo estos "ªlores en (S). (IJ. (2)) (3) y

=

4

-2.r, - 4x: .._ A1

~

-2

4.r,-10r: -r2A, -6z, - 12.r, - A, t A,

=

10 5

x, + 2.r•

que tiene la solucion unica x, = :.941. x, = 0.5294. >-, = l. 764, y>.• representa el tamallo máximo d: avance que puede emplearse. La figura 12-1 ilustra el procedimiento de solución para los c!lculos del problema 12.13.

JO

II

U

Problemas complementarios Pónganse en forma estándar los programas del 12.16 al 12.20.

maximlccsc: z = :r1~--.o•~

12.16

con la condición:

12.17

2x! + .r! • 10

minimícese: z • (.t, - 1)2+ .r~ con la condición: .tl + .rl • •

mlXimlc:ese:

z •6.r,- 2xl+2x,.t,-2.tl

con la condición: .r, + .1, :S 2 con: todas las variables no nepúvas.

12.U

manimla:sc: z • 2-t.rl + lul +-t6zl - 28.x,.r,- 24.1,.r, + 34.1>.1, con la condición:

11.r, + 9.r,+ 12%, o!: 1000

.t,+ con:

%) -

.o

todas las variables no nep.úvas.

CAP. 12)

OPTIMIZACION t-,iULTTVAR!ABLECON RESTRICCIONES

139

maximb::se.: ' z • lx ,.z:, + 4.x,.x,

Jl.20

con las condiciones:

coa:

.r! ..- .id s .1,.1, - 3

4

todas las variables no negativas.

Resuclvanse los problemas 12. 21 a 12.23 analílicamcnte mediante multiplicadores de Lagrange y después numericamente mediante el método Newton-Raphson o d enfoque de la función de penalización. Jl.21

Problema 12.17

minimícese: z - .r,.1, + z,

11.22

con la condíci6n: .rf + .rh .r! - 1

12.23

muimkcse: z • zf + z>X, con las condiciones:

4.rf + .rl • 16 2.r, + 3.r, • 25

v

que esté mis cercano al punto (1, O).

ll.24

Encucntrcse el punto de la parábola jl '"'

Jl.25

úsense multiplicadores de Lagrange para resolver el problema 12.20, sin las condiciones de no negatividad. Con base en el resultado, resuélvase el problema con las condiciones de no negatividad.

12.26

Resuélvase el problema 12.16.

minimío::se:: z • zf +xi+ .rJ

)l.27

con las condiciones:

~7,:;;-

3

.x1+Í~-z, • 12.23

3

Resuélvase el problema 12.27 con la rcstricx:i6n adicional de que todas las variables sean enteras.

maximl=e: r • rf + 2.rJ + .rJ + .r,.r, + .r,r,

11.29

con las condiciones: .rl+.r!+.r!• 25

&.r, + 14.z,+ 7.r,- 56 con:

todas las variables no negatiYaS.

minirrúcese: z-= ..rfzJ+ .xtr~+ 1

12.30

con las condiciones: .r, + 2.r, + J.1, • 4

.r,.1,- 19 12.31

Resuélvase el problema 12. 18.

12.Jl

Resuélvase el problema 12. 19.

ll.33

Empl~ las condiciones de Kuhn-Tuckcr para re.olvcr el programa dado en el problema 12.11. Resuélvanse los problemas 12.34 y 12.JS empleando el enfoque de la función de penalización.

12.34

minimlcesc: r • (.1,- 2)'+ (.r,- I)' con las condiciones: .1, - 2r, • -1

.rl+ 4.t!""4

\

140 12.JS

PROGRAMACIÓ~TEMATICA maximia:se: con la condición: con:

(PARTE!

z • In (1 + .r,) + 2 In (1 + .r,) .r, + .r, s 2 todas las variables no ncgatiYa$.

(Co~jo: Simptifiquese el problema maximizando e' y estableciendo de antemano que la restricción debe ser válida para la igualdad).

Úsese el método de las direcciones factibles para resolver 10$ problemas 12.36 y 12.37. 12.36

minimkesc: con las condiciones:

z ~ (.r, - 2)' + (.r, - 2)'

.r, + 2.r, s

J

8.r, + S.r,~ 10 con: 12.37

maxlmia:se:

x, y x1 no ncga11vas. z • .r, + J.r,

con las condiciones: .r,.r, ~ 3 .rl+.r ls9 con:

x, y x1 no negativas.

Capítulo 13 Programación cuadrática

FORMA ESTÁNDAR

El programa general cuadráLico de maximización tiene la forma matricial maximicese: con la condición: con:

z

= xrcx + o r x (13.1)

AX .s B

x:ao

en ei cual la malriz simétrica C es negativa semidefinida (véase Cap. 11). La condición sobre C. que no fue impuesca en la definición original de un programa cuadrático (Cap. 1), hace de : una función cóncava (por e! problema 1! .24), garanuzando .:on esco que cualquier máximo local sobre la región factible conve.'Ty,. Si pTy, s ½e. continúcse en el paso 6. Si no, regresese al paso 3 y realicese otra itCTación de.1 método simpla. PASO 6 Evalúese:

Si a .!: 1, continúesc en el paso 7; si a < 1, continúesc en el paso 8.

PASO 7 Hágase 8

= 8,-. P = Y,, y rcgré:scsc al paso 3.

PASO 8 Calcúlese el vector P - a(P - Y,) . Identifíquese a este vector como la P actualizada y rcgri:sese al paso 2. APLICACIÓN AL ANÁLISIS DE CARTERAS

Una suma fija de dinero, F, ha de repartirse entren diferentes inversiones; se tiene un historial de rendimiento para cada invcrsi6n. El problema de cartera comprende el detcnninar cuánto dinero debe

CAP. 13]

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

143

asigna= a cada inversión, a fin óe que el rendimiento total csr-ado sea mayor o igual que una c:.tntldad mínima aceptable, L , además de minimizar la variación total de les pagos futurOl>. Sea .x1 (i = 1, 2, .. . , n) la cantidad de los fondos que se destinaií a la inversion i y sea .xa el rendimiento, por unidad de moneda (dólar) destinada a la inversión i durante el pasado k-ésimo periodo (k = 1, 2, ... , p). Si el historial de pagos es indicador de la actuación en el futuro, la ganancia esperada por unidad de moneda en la inversión i es:

,

LX.

E, = !.:.!,_ p

(13.4)

y la ganancia esperada de la combinación de todas las inversiones es:

E = E,x, + E,z 1 + · · ·+ E,.x,

(13.5)

Como medida d:: la variación total en los pagos futuros, con base en los rendimientos pasados, se selecciona la canúdad

,

L,_ (Xi.Xi + x,..z,+ · - · + .x,.x. - E}' z=~•~•I _ _ _ _ _ _ _ _ __ p

(13.6)

esto es, el promedio de la desviación cuadráúca entre el rendi.m iento total de una asignación (x1• • ••• x.) y el valor esperado del rendimiento total, con respecto a los pa.~dos p periodos. (En tcrminologia estadística, se dcnominaria a la cantidad (13.6) la varianzg del rendimiento total denotada a2¡. Sustituyendo (13.5) en (13 .6) y reordenando, se puede simplificar de la siguiente manera:

x1 •

1 , z = - L [(zu - Ei):c,+(xu -~2+ · · · +(x_-E,.)x.J1 p1 ·-• , • • =- L P ••

L L ,

o

1

2

s

6

7

8

9

14

17

lCI

21

22

2.1

j

1

4

1

1

1,(y )

íl 1

r,bJ

o 1

2 1

4

ó

8

10

12

14

16

18

1,(y¡

o

1

2

3

6

8

11

15

20

26

1,(y)

o

7

9

14

16

21

23

25

:1

1

• 1s

1

1

11

1

1

Tabla)~

Producto

1

2

3

4

\oiume:n/ar:.

2

1

6

3

barque, mientras que la restricción bncal es el modelo para la limitación sobre el volumen total q ue pued: ser acomodado, nueve unidades. El coeficiente de J' en esta restricción se interpreta como el volumen ocupado por una unidad del producto j (vease tabla l~). Se denotan ahora las nuevas v:mablcs x1{j = l. 2, 3, 4) como el número de unidades de vnlumen del produc10 J que seran embarcadas. El programa (l) es equivalente al sij!u1eme programa de la forma (K l ): maximices:: r • /,lr1)+ /,Ir,)+ /,(r,) + /,Ir,) con la cond1cio11: r , - r, • r, - r, s 9

(2)

todas las variables no negativas y entera~

con:

donde /.,(X¡) denota el rendimiento al asi!nar x1 unidades de volumen al producto j. Es1as funciones se derivan de las tablas 14-5 y 14-6: por eJemplo, /J.7) = rendimiento al embarcar 7 unidades de volumen del producto 4 = rendimiento al embarcar dos unidades del producto cuatro, ya que cada unidad del producto cuatro requiere tres unidades de volumen.

= g,(2) s 7 Continuando de esta forma , se co:npleta la tabla 14-7. Tabla 14-7

1~

1

2

3

4

5

6

7

8

9

o1 o

4



8

8

11

11

14

1•

/,4(/). La figura 1S-4(/) contiene a todos los nodos; por lo tanto es una red de recorrido mínimo. El costo miniiñó de conectar a la red es: · : • •t+l+4+3+3+5 • 17

CAP. 15]

ANALIS!S DE REDES

0 0

~

17!

,_

®

0

~

0

©

0

(o)

0 J

0

~



(d)

©

0

~~

0

©

0

(b)

í•l

0 0 0 (e)

(/)

Fl¡. 1.5-4

15.2

El servicio de Parques Nacionales planea desarrollar una zona campestre para el turismo. Se han seilalado cuatro.siúos en el área para llegar a ellos en automóvil. .Estos sitios y las distancias (en millas) entre ellos, se presentan en la tabla IS. l. Para dlmar lo menos posible al medio ambiente, el Sen~cio de Parques desea minimizar el número de millas de ca.minos necesario para proporcionar el acceso deseado. Determlncse cómo deberán constrUirse los caminos para lograr este obJetivo. Tabla IS-1

Entrada al parquc Entrada al parquc

Ca.,cada

Cascada

rocosa

Mirador (

Formación

Pradera

-

19.1

25.7

8.3

16.2

13.2

...

7.1

19.S

7. 1

...

Fonnacibn rocosa

19.S

8.3

...

18.1

S.2

Mirador

19.1

JU

- 18.1

...

17.2

Pradera

25.7

13.2

17.2

.. .

~

S.2

.

172

PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

[PARTE 1,

Éste es un problema de recorrido mlnimo. Los nodos son los cuatro sitios que van a dcsarrollane y la entrada del parque. mientras que las ramas propuestas son los posibles caminos para unir a los sitios. Los costos son eJ número de millas. La red completa se muestra en la figura 15-5, en donde cada sitio está representado por la primera letra de su nombre. Se selecciona arbitrariamente la entrada del parque como nodo inicial. Los costos de las ramas que llegan a este nodo se cnlistan en eJ primer renglón de la tabla 15-1. Ya que eJ menor costo es 7.1, se agrega a la red la rama que va de la entrada del parque a la cascada. Se considerarán ahora todas las ramas que unen a la entrada del parque o a la cascada con un nuevo lugar. Éstas son las ramas que van de la entrada del parque a la formación rocosa, al mirador y a la pradera; asi como aquellas que van de la cascada a los mismos tres sitios. De éstas, la rama más barata es aquella que va de la cascada a la formación rocosa, así que se agrega a la red. Después se consideran todas aquellas ramas que vayan hacia el mirador o la pradera, desde la entrada del parque, la cascada o la formación rocosa. De éstas, la rama que va de la formación rocosa a la pradera tiene el menor costo, así que se agrega a la red. En esta etapa, el único sitio no comunicado es el mirador. La rama mas barata que une al mirador con cualquiera de los otros sitios, es la que corresponde a la c:ucada. Agregando esta rama a la red, se llega a la figura 15-6, la cual tiene un costo mlnimo de ,• 2

7.1 + 8.3 ... 5.2 + 16.2 • 36.8 mi

Fig. 15--S

15.3

Fig. 15--6

Un individuo que vive en Ridgewood, Nueva krsey, y que trabaja en Whippany, Nueva Jersey, busca una ruta automovilística que minimice el tiempo matutino de manejo. Esta persona ha registrado los tiempos de manejo (en minutos) en las principales autopistas que comunican a las diferentes ciudades intermedias; estos datos se muestran en la tabla 15-2. Una anotación punteada indica que ninguna autopista irnponante une directamente a los puntos correspondientes. Determinese la mejor ruta para este individuo.

Ridgcwood

Oilton

Onn1c

Troy Hills

Pars,ppariy

Whippany

...

18

...

32

...

...

Oifton

t8

...

-

12

28

...

...

On.nge

...

12

...

17

...

32

Troy Hilla

32

28

17

...



17

... ...

...

. ..

4

...

32

t7

Rid&ewood

P1rsippany . Whippany

-

. .. 1

11

1

11

. ..

ANALIS IS DE REDES

CAP. IS)

173

El modelo para esta sauaci6n puede ser d dd problema de la ruta más cona. Los nodos son las ciudades. las ramas son las au1op1stas que las unen y los costos asoaados con las ramas son los tiempos de viaje. La fuente es Ridgewood y el desuno es \Vhipp3.Dy. PASO/ La li5ta maestra se muestra en la figura IS-7(al; cada ciudad esta ~presentada por la primera letra de su nomb~. Las ramas CR y TR están ausentes bajo los encabezados C y T, ~pecuvamente, ya que aparecen como RC y RT. exclusivamente bajo la fuente. De m3.llera surular, no se listen ramas que teng3.0 al destino como primer nodo. PASO 1 Se marca con un asterisco al nodo fuente, R, y se le 8Slgnll el valor de O. La rama más barata a ·partir de Res RC, a.si que se marca con asterisco a C y se te asigna el valor de 18. costo de RC. Se encierra en un drculo a la ruma RC y SI: elíminan de la figura 15-7(a) todas aquellas ramas cuyo SI:· gundo nodo S1ea C. esto es, OC y TC. La nueva lista maestra está en la figura l5-7(b).

e

R

o

w

p

T

RC 18

co

12

oc

12

TP

RT J2

CT

28

OT

17

ow

)2

TW 17 TO 17 TC 2S

4

P'T PW

4

11

(a)

R• (O)

~ RT 32

e· osi co 12 cr 2S

o

w

p

T

0T

17

T7'

ow

32

TW 17 TO 17

4

P'T

4

PW

11

(b)

R• (O)

C- (18)

~~ RT 32 CT 2S



(301

0T

17

ow

32

TP 7W

w

p

T ~

P'T

J

17

PW

11

(

p- t.36)

11

(d)



(181

2B~

o· OW

32

cEJ) TW

J

PW

w

11

17

(,)

R • (O)



(18)

&1J~



p• (36)

~~

T

- '

r· ml

(30)

en fla.

15-7

w•

(47)

----174

PP-OGRAMACION MATEM ATICA

[PARTE!

PASO~ Lo< nodos marcada< :or. aslcrisco ¡c,n R y C. ~ sumas de imues b~.'O R son O .,. 3: = 3:. obtemdas al ap-ctar el ,·aloe ae R al cos:o de RT) 18 .,. 12 = 30 ba,¡o C, ob1m1aa al agregar el ,-a}or de Cal costo a: CO. Ya que 30es la suma menor. se encierra en un dr::ulo a CO, se marca coo astenscoa O , se asigna a O el ,'ll.lor 30 y se eliminan de la figura IS-7(b) todas aquellas ramas que tengan a O como segundo nodo; esto es, CO. El resultado esta en la figura 15-7(c). PASO, Los nodos marcados con asterisco con R. C y O. Las sumas de imeres son O .,. 32 r 32 baJo R, 18 .., 28 "' 46 bajo C) 30 ..- l 7 = 47 bajo O. La menor suma es 32; por lo tamo, se encierra en un Circulo a RT, se marca con astcnsco a T, se as,gna a T el valor de 32 )' se ebmmtm de la figura IS-7(c) todas aquelliu ramas que tengan segundo nodo a T. El resultado es la figura IS-7(d). PASO, O y T son los únicos codos marcados con asterisco que tienen bajo ellos ramas no en=das en cu-culo en la bSta maesua &Clual. figura I.S-7(a'). Para estos nodos, las sumas de imercs son 30 - 32 • 62 )' 32 + 4 = 36, ~ectivamente. Por lo tanto, se encierra en un drculo a TP, se marca con astensco a P , se asigna a P el valor 36 )' se eliminan todas aquellas ramas que tengan como segundo nodo a P. de las cuales no hay ninguna. La nueva lista maestra es la figura IS-7(e). PASO 4 O, Ty P son los únicos nodos marcados con asterisco que uenen bajo eilos ramas no encerradas en circulo en la nueva liSta maestra. uu sumas ae mterés son, respecuvamente 30 - 32 • 6:. 32 .., 17 49 )' 36 - 11 = ~-. '\'a que 47 es el menor valor. se encierra en un circulo a PW. se mar:a con as1erisco a JI' (destino). O. La ecuad6n (2) es la íorma sendlla dd teorema de Bayes. La fonna más usual se obtiene introdudendo un oonjunto de eventos mutuamente exclUS1vos. (H,. H,, .•.• , H,}, cuya uni6n es~- Entonces, P(A) • P(A n H,)+ P (A n H,)+ . . · + P (A n H,) - P(A IH,)P(H1)+ P(A I H,)P(H,)+ · · · + P(A IH,)P(H,)

(J)

SUStituyeodo (3) en (2) y selccciooaodo B • H~ se tiene: P(H, I A)• P(A I H,) P(Hi)

(4)

0

,_,L P(A I H,) P(H,)

Se puede decir, simplificando, que el teorema de Bayes, (4), evalúa la probabiUdad de la "causa" H, dado el "cíec:to" A.

17.6

El propietario del ejemplo 17.1 ha decidido realizar pruebas con sonido en el siúo en donde se sospecha que haya gas natural, con un costo de 530 000. Las pruebas de sonido indican que no hay gas presente, pero la prueba no es perfecta. La comp~la que realizó las pruebas acepta que 300Jo de las veces la prueba indicará que no hay gas cuando en realidad éste e.tiste. Cuando no existe gas. la pruebá es acertada 900/o de las veces. Empleando estos datos, actuallcese la esúmación inicial del propietario de que la probabilidad de enconuar gas es de 0.6 y detcrminese después la decisión recomendada bajo el criterio a pos1er1ori. · Inicialmente. P(,S,) = 0.6; P(S1) = 0.4. nótese con 91 al evento: las pruebas de sonido indican que no hay gas. Entonces, la confiabilidad de la prueba está dada por las probabiUdades condicionales P(81\s1) • 0.90 y P(,8~ • O.JO. El teorema de Bayes, (4) del problema 17A, da las probabilídades ac:tualizadas como P(ll1 I S1) P(S1) (0.90)(0.4) 2 ) P(Si 181 ª P(8 1 1S,) P(S,) + P(81 1S,) P(S,) = (0.90)(0.4) + (0.30)(0.6) • 3 1 P(S, 1111) a 1 - P(Sd 111) = J

La matriz de gananda a posurlori se obtiene de la tabla 17-2 restando 30 (miles de dólares) de cada anotaci6n, para reflejar asi el costo de la prueba. Las ganancias espera.das (en miles de dólares) para las dcos1ooes D1 y D-,, respectivamente, en términos de las probabilidades ac:tualiZlldas son: E(G, 181) • (60- 30)(J) + (660- 30)(!) • 230

E(G, 18,)• (-100- 30)(J)+ (2000-30)(!) = SiO Ya que la ganancia mruúma esperada está asociada oon D:, D1 es la decisión recomendada bajo el aiterio a posrerion .

La figura 17-3 es el árbol de decisión para este proceso. La probabilidad de que la prueba indique que no bay gas, P(8J, es la unídad, ya que se oonoce d resultado del cxpenmento.

30

S70 L

,,

fla.

17-3

C..\P. 17] 17.7

TEORÍA DE DECISIONES

20 1

Resuélvase el problema 17.6, considerando que las pruebas de sonido indicaron que babia gas prcseme. Denó CXX>. r. = 52 00(1 y e~ • SI 000 si ll(t 11 = 100, 11(t,l = -50, ) las probabihaade~ de equivalencia son p . = 0.9. p, = 0.7 y p, = 0.2.

17.28

Detcrmincse el equivalente de ccneza y el beneficio de riesgo para las decisiones recomendadas en el problema 17.26.

17.29 La persona que tomará una decis1on está propensa al riesgo con respec10 a un proceso de decision sobre un rango especificado de consecuencias. si su fundón de utilidad ucx) es estrictamente convexa (esto es. u "(x) > 0) sobre este rango. La persona tiene aversión o/ riesgo s1 u(x) e~ es1r1ctamen1e concava 1es10 es, u "Cx) < O) sobre este rango. S1 u(x) es una hnca recta (esto es. u "(x) " OJ en cs1e rango, la persona es mdife• renie al riesgo. Detennlnense las actitudes hacia el ries,!!O de la compai!ia procesadora del problema 17.26.

17.30 De las definiciones de funciones cóncavas y convexas dadas en el capitulo 11 y del hecho de que las functones de utilidad se incrementan monótonamente, demuéstrese que los beneficios de riesgo son positivos para una persona que toma dCC1S1oncs con a,·ersibn al nesgo y negativas para una persona con propensión al nesgo. J7.31

Una motriz "c:asrigada " es una matriz de 11anancia en la cual los elementos de cada columna han sido d.ismi• nuidos por el mayor elemento de esta columna. Dese la mamz casugada correspondiente a la Labia 17-3

17.32

Resuélvanse los problemas 17.1 )' li.3 empleando la matnz "castigada", en vez de la tabla li-2. Verifiquese con esto que las decisiones recomendadas con una matriz "cast.i gada'·, no nccesariameme han de ser las mismas que las obtenidas con una matnz de ganancia bajo crucrio naive, pero que ambas mama:s simiprc aan la misma decisión bajo el criterio o priori.

Capítulo 18 Programación dinámica estocástica

PROCESOS ESTOCÁSTICOS DE DECISIÓN DE n ETAPAS Un proceso de decisión den etapas es estocástico, si el rendimiento asociado con al menos una decisión del proceso es alcatono. Esta aleatoriedad generalmence se presenta en una de dos formas. O los estados (vease el capnulo 14) son determinados exclusivamente por las decisiones, pero los rendimientos asociados con uno o mas de los estados son incienos (véase el problema 18. 1). o los rendimientos son determinados exclusivamente por los estados, pero los estados que se presentan a panir de una o mas de las decisiones son inciertos (véase el problema 18.2). Si las distribuciones probabilisticas que rigen a los eventos aleatorios son conocidas y si el número de etapas y el número de estados son finitos. entonces el enfoque de programación dinilmica presentado en el capitulo 14 es útil para optimizar un proceso de decisión estocilstico den etapas. El procedimiento general es optimizar el valor esperado del rendimiento. (Una excepción se da en el problema 18.3.) En aquellos casos en que la aleatoriedad ocurre exclusivamente en los rendimientos asociados con los estados y no en los estados que se presentan a panir de las deciuones. este procedimiento tiene el efecto de transformar un proceso estocastico en uno deterministico.

TABLAS DE POLÍTICA

Para los procesos en los cuales la aleatoriedad existe en los estados asociados con las decisiones, una polilica -en panicular una politica optima- puede exhibirse como una tablo de politicos similar a la tabla 18-1. Aquí d¡ (ok) (j = 1. 2, ... , n; k = 1, 2, ... , r) denota la decisión en la etapaj si el proceso se encuentra en un estado ok (véase el problema i 8.3.) Tabla 18-1 Estados

º'

º'

l

d,(01) d,(a,)

d,(o,) d,(o,)

"

d.(o,)

d.(o,)

...

a.

... d,(o.) ... d,tiene un limite conforme co. Se denota a la matriz limite, que es necesaríamente una matriz estodlstica, por L. Los componentes de- XI..>, definidos por la ecuación

n-

(19.2)

son las distribuciones de estado límite y representan las proporciones aproximadas de objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov. después de un gran número de periodos. (Véanse los problemas 19.6, 19.8 y 19.9.)

Teorema 19.2: Una matriz estocástica es ergódica si. y sólo si. el único eigen\'alor >- dC' magnitud I es tambien I y si,>- = 1 tiene multiplicidad k, exis1en k eigenvec1ores linealmenle independientes (izquierdos) asociados con este eigenvalor. (Véase el problema 19.S.)

Teorema 19.J: Si cada eigenvalor de una matriz P da eigenvectores linealmente independien1es (izquierdos) en número igual a su multiplicidad, entonces eJtiste una ma1riz no singular M . cuyos renglones son eigenvectores izquierdos de P, tales que D • MPM - 1 es una ma1riz diagonal. Los elementos diagonales de D son los eigenvalores de P , repetidos de acuerdo con la multiplicidad. (Véase el problema 19.33. ) St adopta la convención de posicionar a los eigenvec1ores correspondientes a >- = 1 por encima de todos los otros eigenvectores de M . Entonces, para una matriz P de N x N diagonalizable y ergódica con >- = 1 de multiplicidad k. la matriz limite L puede calcularse como

L ª M - 1(lim D")M - M" 1

·-

M

o

(1 9.3)

o La matriz diagonal de la derecha riene k valores I y (N - k) valores O en la diagonal principal. (Véase el problema 19.S.)

....,

224

MÉTODOS PROBA~iSTICOS I

[PARTE 11



MATRICES REGULARES Una matriz estocástica es regular si una de sus potencias contiene solo elementos positivos. (Véanse los problemas 19.3 y 19.4 . )

Teorema 19.4: Si una matriz estocástica es regular. entonces I es un eigenvalor de multiplicidad 1, y todos los otros eigcnvalores ).1 satisfacen IA,I< l. Teorema /9.5: Una matriz regular es ergódica. Si P es regular, con mamz limite L. entonces los renglones de L son idénticos unos a otros, siendo cada uno de ellos el único e1genvcctor izquierdo de P asociado con el eigenvalor ). = l y siendo la suma de sus componemes igual a la umdad. (Véase el problema 19.13.) Denó1esc a es1e eigenvcctor por E1. Se tiene directamente a panir de (19. 2) que si P es regular, entonces, independientemente de la distribución inicial XIOl, (19.4)

(Véanse los problemas 19.6, 19.7 y 19. 11.)

Problemas resueltos 19.1

Formülese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante de dentrifico Brillo controla actualmente 60C/o del mercado de una ciudad. Datos del a/lo anterior muestran que 88% de consumidores de Brillo continúan usándola, mientras que l 2C/o de los usuarios de Brillo cambiaron a otras marcas. Además. 85C/o de los usuarios de la competencia permanecieron le:iles a estas otras marcas. mientras que 15010 restante c:imbió a Brillo. Considemado que estas tendencias continúan. determínese la parte del mercado que corresponde a Brillo: a) en 5 Bi'os, y b) a largo plazo. Se considero como estado I al consumo de dentífrico Brillo y al estado 2 como el consumo de una marca de la competencia. E monees. p 11 , probabilidad de que un consumidor de Brillo permanezca leal a Bnllo. es 0.88: p 12 , la probabilidad de que un consumidor de Brillo cambie a otra marca, es 0. 12: ¡,,1, pro babilidad de que el consumador de otra marca ClllTlbie a BnUo, es 0.S: Pn, probabilidad de que un consumidor de otra mlll'Ca permanezca leal a la competencia, es 0.85. La matriz. estocásúca definida por estas probabilidades de transición es : P-

f0.88 0.12] LO. IS O.SS

El veaor inicial de distribución probabillstica es X1°' - (0.60, 0.40(, donde los componentes z \"1 z 0.60 y zfl n 0.40 representan las proporciones de personas inicialmente en los estados I y 2, respectivamente. 19.2

Formülese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El programa de entrenamiento para los supervisores de producción de cierta comp¡mia conuene dos fases. La fase 1. que incluye 3 semanas de trabajo en el aula. va seguida por la fase 2, consistente en un programa de aprendizaje de tres semanas bajo la dirección de los supervisores ya trabajando. De la experiencia pasada. la compallia espera que 60"10 de aquellos que inician el entrenamiento en el aula logren pasar a la fase de aprendizaje, con el restante 40'Te que abandona completamente el programa de entrenamiento. De aquellos que pasan a la fase de aprendizaje, 70010 se gradúan como supervisores, 10f7o deberán repetir la segunda fase y 200ft quedan completamente fuera del programa. ¿CuanlOS supervisores puede esperar la compañia de su programa actual de entrenamiento, si hay 45 personas en la fase de aula y 21 personas en la fase de aprendizaje? Se considera un periodo de 3 smianas y se definen los estados I a 4. rcspeaivameme. como las condiciones de: quedar íucra, se- entrenado en et aula, ser aprendiz. y ser supervuor. Si se considera que las peno-

SS

21

e

CADENAS FINITAS DE MARKOV

CAP. 19)

225

nas que quedan fuera nunca vuelven a entrar al programa de entrenamiento y que los supervisores quedan como supervisores. entonces las probabilidades de tronsición es1:\n dadas por la matnz cstocas11ca

l 0.4 0.2 [ O

p



O O O O

O O] 0.6 O 0.1 0.7 O 1

Hay 45 + 21 = 66 actualmente en el programa de entrenamiento, de manera que el vector probabilistico inicial es:

xt"l • {O. 45/66, 21/66. O) 19.J

lndiquese s i la siguiente maLnz estocástica:

P=

(0 .88 0.12] 0.15 0.85

·-

es regular, o ergodica. C alculcse L = lim P• , si existe. Ya que cada valor de la primer:i potencia de P (P m1sma) es pos11lvo, Pes regular y por lo 1nnto es ergódlc:i. Ento nces, el limite cx1s1e. El e1genvcc:tor izquierdo correspondiente a ). • 1 cs1á dado por

[x, . .e,1(0.88 o.15 Agregándo la condición x 1 + x1

x,.x,1

0.121 [ 0.85 •

0.12.r, -O.IS.e,~ O

o

= 1 y resolviendo, se obuene: E, • [.r,. .r1 ) • [5/9. J/9)

Se uene entonces

L • lim p • • ( 519 J/9 ] ·519 J / 9 19.4

Indíquese si la siguiente matriz estocástica:

es regular o ergódica. C alcúlese L = lim Pº, si existe.

·-

Ya que c:ida valor de p' =

[º·-1() 0.2-4

00.76 .60]

es positivo. P m1Sma es regular y por lo tanto ergódlca: entonces. L existe. Resolviendo

[x,.x,i[0~4 juntoconx1 + Xz

o'.6] • lx,. x,J

= 1, se encuentra que E1 ~

x, - 0.4:r, • O

o

¡211, 5n¡ y

sn] L~~ 5n 19.5

lndiquese si la sigwente mamz estocástica:

[ 0.4 1 P=

ºt

o o o 0.6 o 0.1 o o

l

,¡,

1PAP.TE 11

~l: TOOOS PROBA.BILISTICO
.1 = 1 Cdot-le ra1zJ. >-: z 0.1. >., = O. Por el teorema 19.4. P no es regular. San embar¡zo. por el 1eorema 19.2. P es erJod1ca, ya que posee los dos c,¡zenvcc1orcs izquierdos linealmente mdepcnd1emcs

y

11.0.0.01

f0, 0.0,

IJ

correspondicmcs a >.1 = 1. Como lo muema un cálculo fácil. los eigenvectorcs izquierdos f4. 5. -:io. 21) f-::?.0, 9.-7) corresponden respccu,·amcme a >., ~ >.,. El teorema 19.'.I indica ahora que P es d1agonalizable, con M=

[ O 1 O O

. .l

1 -~ o 9 -7 4 5 -30 21 O

o o 1 o o 0.1 o o o

·-[! ¡]

)'

Calculando

>r' • [

,:B 2/9 o

o

o

7/15 7/9 1

10/15 1/9

o

~B]

se obuene de (19.31

1 L s [ 8/15 U9 O 19.6

O 7/15 7/fl 1

o

º][1" m-i

10/ 15 3/15 1/9

o

o o

O I O

o oo oo o

o o Q o o 9 5 -30

l[w\,

-7 21

2/9 O

o o o o o o o o

l

11'7/9., 1

Resuelvasc el problema formulado en 19. 1. (a)

o 6477

o.3523]

x n que se mues1ra en la li11ura 19- 1. El numero sobre cada arco es la probabilidad de la transicii>n. 04

0.6

0.7

0.1 0.2

F'ig. 19-1

19. 11 Una costurera 1rabaja exclusivamente en una fase del proceso de producción de un diseno espe• cial de prendas de ves1ir. Es1a fase requiere exactamente media hora para 1erminar una prenda . Cada 30 minutos lle11a un mensajero a la mesa de la costurera, para recoger 1odu aquellas prendas que es1én terminadas y para entregar las nuevas prendas que deben ser cosidas. El número de nuevas prendas que lleva el mensajero es inseguro: JOOjo del 1iempo, el mensaJero llega sin pren· das para ser cosidas; soo;o de las veces, el mensajero trae sólo una prenda para dejar: 2oo;o de las veces, el mensajero 1rae dos prendas para la costurera. Sin embargo, el mensajero tiene instrucciones de nunca dejar más de tres prendas jumas n o 1erminadas a la costurera. (Las prendas no terminadas que no puedan dejarse a la cost~ra, a resultas de esta política, se llevan a otra cos• turera para ser procesadas.) Detennlnese el porcentaje del tiempo que la costurera permanece ociosa. considerando que cualquier cam idad de prendas no terminadas que es tén en la mesa de la cos1u rera al final de un turnd de trabaio, permanecen ahi para ser proccsadas·durante el sigu ienu.• dia de trabajo. 1

Puede plantearse un modelo para este proceso con una cadena de Markov de tres estados. haciendo que los estados sean el numero de prendas que no han sido 1erminadas por la costurera justamente antes de qui!

...,

/'! 228

MÉTODOS PROBABIL!STJCOS ·

[PARTE 11

//que el mensajero. Se denota a los estados 1, 2 y 3 respectivamente representando O, 1 y 2 prendas no terminadas; las etapas son los intervalos de media hora entre las visitas del mensajero. Si la costurera tiene una prenda no terminada al inicio de una etapa Uustamente antes de que llegue el mensajero) y si el mensaJero deja una prenda (con probabilidad 0.5), entonces se habra terminado una prenda par:1 el inicio de la siguiente etapa. dejando de nuevo a la coSturera con una prenda no terminada: entonces. p 12 = O.S. Si la costurera tiene dos prendas no terminadas al inicio de una etapa y si d mensajero llega con I o 2 nuevas prendas (con probabilidad 0.S + 0.2 = 0.7), entonces el mensajero dejar.í sólo una prenda y al inicio del siguiente periodo la costurera tendrá aún dos prendas no terminadas. ya que una habr:í sido procesada durante el periodo. Entonces, PJJ • 0.7. CoMiderando todas las otras posibilidades en esta misma forma, se genera la matriz estodstic:i:

0.8 0.2 P•

l,.1

[

O]

0.3 0.5 0.2 O 0.3 0.7

Todos los elementos de p> son positivos, as! que P es regular. El eigcnvcaor izquierdo asociado con 1 y con suma de componentes unitaria, resulta ser

9 6

4]

E, = (19' 19'19

Ya que P es regular, este vector es también x1• 1• A la larga, la costurera inicia una etapa en estado 1 (no queda ninguna prenda sin terminar) 9/19 de las veces. Entonces llega eJ mensajero y, con probabilidad 0.3, no deja nuevas prendas para ser procesadas. dejando entonces a la costurera ociosa. Asl que la costurera esta ociosa

9

19 {0.3) u

0.1421

o apro,imadamente 140fa del tiempo. 19. 12 Veriliquese que. para la matriz estocilstica definida en el ejemplo 29.1, bilidad de pasar del estado i a l j en dos periodos.

pfJ>

representa la proba-

Hay dos formas para que una familia permanczc:i estable después de 20 años, como se muestra en la figura 19-2 (a): o permanece estable durante los primeros 10 años y durante los segundos 10 aJ\os o se vuelve deprimida después de 10 allos y después regresa a la estabilidad después de 10 a/los. La probabilidad de que una familia estable siga siendo estable durante un periodo es de 0.92; la probabilidad de que permanezca estable durante dos periodos es (0.92)(0.92); la probabilidad de que una familia estable se vuelva deprimida en 10 años es de 0.08 y la probabilidad de que una familia depnmida se vuelva estable durante los próximos 10 Después do lD ailot

Oespm d• 10 dos

Estable----_;º:::-"'::...__ _ _ _ Estable

Estable 0.43

Estable

(a)

Estable

0.92

Eslllble

Deprimido 0.43

Es1.1ble

__

..,

CAP. 19)

n9

CADENAS FINITAS DE MARJ. • l. .\hora bien, siendo P regular, todos es1os e1gcnvectores son mul1iplos escalares de un solo v~1or. Por 01ra pane. siendo L es1ods1ica, cada uno de sus rcngiones suma 1. Enionces. todos los renglones son 1dén11cos. 19. 14 Demuestrese que s1 >. es un eigenvalor de una matriz cstoca.snca P. emonccs

IAI :s l.

Sea E • (e,, e,, ...• e,. f un eigenv~tor derecho penenecien1e a>.. En1oncc:s. PE "' U:, y considerando al J~mo componen1e en ambos lados de es1a igualdad, se concluye que (1)

Sea c, aquel componen1e de E con la mayor magnuud; esto cs.

Por definioon, E "' O. de manera que

le.l • max Oe,J, le~.... , Je,.í} le,I > O. Se tiene a pamr de ( 1), igualando J a , y de (2), que

IAlle.l • IAe,I • Ii y el rcsullado

IAI s

p,.e.l s i

Paie•I sJe.l i

P.. •

(2)

le.1

I surge de inmediato.

Problemas complementarios Dctenninesc en los problemas 19.IS y 19.21 si las matrices dadas son es1ocasucas. Oc serlo. determlnesc si son regulares o ergodicas o nin¡una de estas posibilidades. Calculcnse sus valores límues. si existen.

a .is

19.17

19 .JI

1 O O] O

O -1

[O

O -1

I O O O]

19. 19

o o.s o o.s

[O

O O

I

O

0.3 O 0.7

METO!)QS PROB-\B!L!ST!COS

230

19.20

0.1 ú.S 0.9 O 0.1 [ 0.2 O.:! 0.6

o. ]

1,.21

l- o.~1 o_°-,g

~

]

0.17 0.35 0.48

19.22

Encuemrese la proporcion de familias que finalmente scran clasificadas como econi>micamcnte estable., si los da1os del eJcmplo 19. 1 permane~n válidos a largo pluo.

19.23

Una invesúgacii>n recientemente rcaliz.ada con suscrip1ores C:e una revis1a de viaJes muestra que 6Se;t de ellos tienen al menos una tarjeta de crédito de alguna linea acrea. Comparando estos resultados con una mvesuga• cii>n similar efectuada hace 5 años. los datos indican que 40e;, de aquellos individuos que no tenían una tar¡c1a de crédi10 de alguna hnca acrea. obtuvieron pos1criormcme una. micmras que 1oe;, de aqudlos que poseian alguna de cs1a< tarje1as hace 5 años, ya no lo hacen. Considerando que estas 1cndencias se continúan en el fmuro , dctcrmincsc la proporción de sus::riptorcs que poseerán tarjetas de crédito de lineas acreas: a) denuo de !O allos, y b) a largo plazo.

19.14

Una lmea aérea con un vuelo a las 7: IS p.m. entre la ciudad de Nueva \ ork } la ciudad de \\ ashmgion, O.C .. no oesea que el vuelo salµ retrasado 2 dias consecutivos. Si el vuelo sale retrasado un dia, la lmca acrea reahza un esfuerzo especial al d1a siguiente para que el vuelo salga a tiempo. )' lo logra 90e;, de las veces. S1 el vuelo no salio con retr.uo el dia anterior. la linea acrea no realiza arreglos especiales, y el vuelo par• 1e de acuerdo con lo pro¡,ramaoo 60'io de las veces. ¿Qué porccn1ajc de veces pane con retraso el vuelo?

19.~

Las uvas del Valle de Sonoma se clasifican como supenores, regularci. o malas. Despuh de una cosecha su• . perior, las probabihdadc, de icner durame el siguiente ai\o una cosecha supenor, re¡,ular y mala son de O, 0.8 y 0.2, respcetivarnente. Ixspucs de unl cosecha regular, las probabilidades de que la siguiente CO· sccha sea supenor, regular y mala son de 0.2, 0.6 y 0.2. Oespucs de una mala cosecha. las probabilidades de una cosecha superior, regular y mala son de 0.1. 0.8 y 0.1. Dcicrmmensc las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los si9uicntcs 5 años. si ,a coscch2 más reciente fue regular

19.26

El pabelli>o geriatrico d, un hospilal clasifica a sus paoentcs como encamados o no encamados. Los da10s hlSloncos indican que durante un periodo de una semana, 300Jo de todos los pacientes no encamados son da• dos de alta. 40a;o conunuan no encamados y300:t son encamados. Durante el mismo periodo. soa;, de iodos los pacienies encamados pasan a no encamados, 20a;, pcrrnaneccn encamados y 30.-, fallecen . Normalmemc el hospital 1icne 100 pnc1emcs en su pabcllon geriinrico. con ircmta pacientes encamados y setenta no encamados. Dc1crmmcse el estado de cs1os pac1cmcs: a) después de 2 semanas, y b) a largo plazo. (El es1ado de un paciente dado de aha no cambia si el pacien1e mucre.)

19.27

Los propietarios de un gran CODJunto de depanarnentos para renta en Chicago CS1án oonsiderando empicar como su agente de operaciones a una compallla administradora de propiedades que uenc un excelente historial en Boston. Clasificando la condición de los edificios, que en Boston se encuentran bajo el control de la administradora. en buena, promedio y mala. se ha obtenido inforrnación acerca de que soe;e de los edificios que empiezan un ai\o en buena cond1cii>n permanecen en buena condición al final del año y que otro soa;, se deteriora has1a una condicii>n promedio. De todos los edificioi. que imcian un ai\o en condicii>n promedio. 300Jo perrnaneccn en condición promedio al final del a~o ) 70'ie mejoran a buena condicii>n. De t0dos los edificios que inician un año co mala cond1cii>n. 900,-t permanecen en mala condicion despues de I año, micniras que otro IO'io mejoran a buena condicion. Considerando que csias 1cndenc1as se conservaran iam- bién en Chicago si se emplea a la admimsiradora. detcrrnmcsc la condición esperada a largo plazo de los dtpanamcmos bajo manejo de la administradora.

19.28

Un estado de una cadena de Marice, es absor~nre si mngun objeio puede dejar el estado una >OR P ERIODO En situaciones en las ouc se saoe que la consideracion de estac1onanedad se cumple para un con o pero incierto periodo de tiempo - o cuando el factor de descuento es cercano a I y da. por lo tamo. valores presentes excesivamente grande~ para un horizonte no acotado-, el rendimiento esperado (ganancia o costo) por periodo (etapa) puede ser una medida más apropiada que el valor presente para determi• nar politicas óptimas. Se considera que el proceso de que se trate puede plantearse empleando como modelo una cadena de Markov, siempre que se establezca una polltica y que la distribución de estado Umite. x , .... X~~

sea independiente de la dmribución de estado inicial x+ C(2. d0xtJ+ · · · + C(N. dH)xr> donde C(i. d 1) es el costo o ganancia esperado al llevar a cabo la decisión d,. mientras el prC'ceso se encuentra en el estado i(1 = 1, 2.... . N). El rendimiento esperado por periodo depende de la politica que se está empleando. Una pohtica es opti• ma si da como resultado el valor optimo para R . (Vease el problema 20.7.) Ya que R implica a los elementos X100>, representa el rendimiento promedio por periodo. con el proceso en su forma de estado estable. Además, ya que se considera que X100l es mdependiente de x101• R tambien es independiente del estado inicial del proceso. Denotese H'.(i) al valor esperado (sin descuento) del proceso durante n periodos y empezando en el estado i. Entonces, w1 • w.(1) - nR representa la diferencia, transcurridos n periodos. entre el rendimiemo total esperado si el proceso se inició en el estado 1 y el rendimiento total esperado si se hubiera iniciado predominando las condiciones de estado estable. Ya que eventualmente prevalecerán las condiciones de estado estable, independientemente del estado inicial, w1 debe converger a un valor iiJO conformen aumenta. (Véase el problema 20. 10.) De acuerdo con esto, w1 es efectivamente una constante para valores grandes dt n. Los valores de w1 para cada estado i y paran grande pueden usarse para generar el siguiente algoritmo de seis pasos para determmar pohticas óptimas

PASO 1 Selecciónese arbmariamente una política inicial y denótesc d1 a la decisión para cada estado i. Considérese a esta polilica como la politica actual. PASO 2 Detenninese la matriz de transición P = (p.(cli)] correspondiente a la política ac1ual, y los rendimientos e(,. d,) asociados con las decisiones. PASO 3 Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones para R y w, (/ como cero: w1 + R

= C(i, el,)+ ~" p¡¡(c1,)w1

(i

= 2, 3, ... • N).

= 1, 2, ... , N)

tomando

11·1

(20.3)

/• I

PASO 4 Para cada estado i(i

=

1, 2, ... . N), determinese la decisión d1 que da el óptimo {C(i. d1) 'i

+

i

(20.4)

p¡¡(d,)w,}

/• I

donde el bptimo se toma sobre todas las posibles decisiones d 1 en ese estado.

PASO 5 Si para toda id,= d,, entonces la politica actual es óptima, con R no, se continua en el paso 6.

=

R• dada en el paso 3. Si

CAP. 20]

·-J. = d,.

HORIZONTES NO ACOTADOS

PASO 6 Para cada i. hagi!lie paso 2.

estableciendo con esto una nueva politica actual y se continua en el

(Vcanse los problemas 20.8 al 20. 1:?.)

Problemas resueltos 20. 1

Detenninese PV(u) para cada estado n, con un horizonte no acotado, para el proceso de reemplazo de equipo de los problemas 14.8 y 14. 10, bajo la siJ!uiente política: Estado u

Decisión d(u)

1

2

3

~

s

6

COM·

COMPllAR

COM-

COM•

alM·

PRAR

PRAR

PRAR

COMPRAR

PIVIR

Considérese una tasa efectiva de interés de lO"io anual y el costo de reemplazar una maquina con 6 años de antigüedad como R(6) = S7 000. El estado u varia en cualquier etapa entre J y 6, ya que con un horizonte no acotado es posible entrar a una etapa con una máquina con 6 años de antigüedad (la cual, sin embargo, debería ser reemp\37.ada de inmediato). El factor de descuento es:

1

a • 1 +o.10 • 0.909091

Para calcular PV(I), nb1ese esto: cuando el proceso se inicia con una maquina de I afio, la polilica actual requiere que se reemplace a la máquina con un costo de S3 SOO (véase la tabla 14-12). Se instala una nueva maquina, la cual genera un ingreso de SIO 000 y un costo de mantenimiento de SUJO. El ingreso neto del a.no es: 10 000 - 100 - 3 soo = $6 400 Después se entra al segundo al\o del proceso con una máquina de 1 afio. la cual de acuc:rdo con la polltica actual también debe reemplazarse. El ingreso neto para el segundo año también es S6 400. pero ya que se obtiene un al\o después. deberá descontarse por a . El ingreso neto para cada uno de los siguiente años sigue siendo S6 400, pero cada cantidad debe dcscont.arsc apropiadamente a fin de ~btener su valor presente. Como resultado, el valor presente del ingreso total de proceso iniciado con una máquina de I al\o es: 6 400 PV(I)- 6 400 + 6 400o + 6 400a2 + 6 4QOal + .. • • I _ a • S70 400 Para calcular PV(2). valor presente del ingreso total comenzando con una máquina de 2 al\os, nbtese que la política actual requiere que la máquina de 2 años se reemplace inmediatamente por un nuevo modelo. El costo de Jeemplazo es S4 200. Una nueva máquina, una vez instalada, genera un ingreso de $10 000 y un costo de mantenimiento de S100. El ingreso nc10 del pñmer ai\o es: 10 000- 100- 4200 = $5700 A panir del segundo al\o, las condiciones financieras son idénticas a aquellas cons:dc:radas al detenninar PV(I). Entonces, 6 .~: = S69 700 PV(2) = S 700 + 6 400a + 6 400a' + · 6 4QOal + ... = S 700 De manera similar. PV(J) = (I0000-100 -4900) + 6400 + 6400a' + 640Qal + .. . PV(4) = (JO 000- 100 - 5 800) + 6 400a + 6 4QOal PV(S) = (10000- 100-S 900)

+ 6 400a +

+

6 4QOal

+ .. . = 4

6 4QOal + 6 4QOal + .- ..

PV(6) - (10000-100-i 000) + 6 400a + 6 400a2 + 6 4QOal +

,l

i,1

6400a = S000+~-$69000

6400

100 + T=a- S68 100

= 4 000+ 6 1~

• $68000

... . = 2 900+---¡=-;;~ •

$66900

r "! 236

20.2

MÉTODOS PROBABILISTJCOS

(PARTE 11

Resuélvase nuevamente el problema 20.1, si la politica actual es: Estado. u

1

Decisión. d(u)

2

CON-

SEJlYAR

COt4-

SERVA.a

3

4

s

6

CQM. PltAR

OOM-

COM-

PltAR

PltAR

co.....

PltAR

Para calcular PV(l), ingreso total descontado iniciando con una máquina de I a/lo, nótese que In polltica actual requiere que la máquina de 1 .mo se conserve. De los datos de la tabla 14-12. se tiene que mi máquina generará un ingreso anual de 59 500, con un co510 de mantenimiento de S400, dando un ingreso neto de 59 100. La máquina se vuelve de 2 a/los al inicio de la segunda empa y nuevamente la poUtica actual indica que se conserve. Una ml¡uina de 2 atlos genera un Ingreso neto de:

9 200 - 800 =58 400 pero ya que es10 ocurre en la segunda etapa del proceso, la cantidad debe descontarse por a . Después la compaftla entra a la etapa 3 con una maquina de J .mos, la cual de acuerdo con la poütica actual debe reemplazarse. El costo de reemplazarla es S4 900. Una nueva máquina, una vez instalada. genera un ingreso de 510 000, con un costo de mantenimiento de SIOO; entonces. el ingreso neto para la tercera etapa es:

10 000- 100- 4 900 2 SS 000

cr.

el cual debe descontarse por Después la compaftia entra a la etapa 4 con una máquina de 1 .rno, la cunl de -acuerdo con la polltica actual debe conservarse. Por lo 1an10.

PV(l)- 9 100 + 8 400a + 5 OOOcr1 + · 9 IOOcr + 8 400a' + 5 OOOa' + · · · 2

(9 100+ 8 400a+ S OOOa')(I + a 1 +a•+· ··)- 9 IOO+ S

400a: 5 OOOcr1=S83916

1-a

Para calcular PV(2), ingreso total descontado iniciando el proceso con una máquiaa de 2 a/los. norese que la poUtica actual requiere que la máquina de 2 ailos se conserve. Tal máquina generará un ingreso neto de

9 200 - 800 =SS 400 Después la máquina entra a la etapa 2 del proceso con l afios de antigüedad, y la politica actual hace que se reemplace. El costo de reemplazo es S4 900, el cual una vez reunido con el ingreso y el costo de mantenimicn• 10 generados por el nuevo reemplazo da un igreso neto anual de

10000- 100- 4 900

= SS 000

Ya que esta cantidad se recibe en la segunda etapa del proceso. debe descontarse por a. La compallla entra a la tercera etapa con una maquirta de l a/lo. Ahora la situación es idéntica a la que produjo PV(I), pero ocurre dos etapas después. En consecuencia.

PV(2) - 8 400 + 5 OOOa +a' PV(l) = S82298 De manera similar,

PV(J) • (10 000- 100-4 900) + aPV(l) • $8I 287 PV(4) - (10 000- 100 - S 800) + aPV(l) • S80 387

PV(5) = (10 000- 100- S 900) + aPV(l) • S80 287 PV(6) • (10000- 100-7 000) +aPV(l)- S79 187

20.J

Resuélvase el problema 14.10 con un horizonte-no acotado. La ecuación funcional para este proceso

se determinó en el ejemplo 20. 1 como

m(u) • max {I(u)- M(u)+ am(u + 1), 1(0)-M(0)- R(u) + am(l)) Para garantizar que las máquinas de 6 11.nos se vendan bajo la política óptima. se hacen /(6) = o. M(6) • 1o• y PV(7) e O. Usando los datos de los problcrrtas 14.8 y 20. 1. se resuclve_(l) mediante el algori1mo de cmco

pasos:

CAP. 201

HORIZONTES NO ACOTADOS

237

PASO I Se elige arbnrariameme como práctica inicial u

JM

1

2

3

4

s

6

,....

CQM.

COM-

COM•

PllAl

,....

CX>M• PllAR

CO.' I·

PIIAJl

COM·

,....

PASO 2 Usando los resultados del problema 20.2, para esta politica se tienen: PV(J) • $70 400

PV(2) • S69 700

PV(3) • S69 000

PV(4) • S68 100

PV(S) • S68 000

PV(6) • $66900

PASO J Reemplazando m(u) por P V(u) en el lado derecho d• (1). se obtiene: m(I) • mu: {1(1)- M(I)+ a PV(2), 1(0)- M(0) - R(I)+ a PV(J)}

• mu (9 500 - 400+ (0.909091)(69 700), to 000- 100- 3 SOO + (0.909091)(70 400)) con d(l) •CONSERVAA

• mu(72464. 70400} • tn464

ni(2) • mu {1(2)- M(2) + a PV(J), f(0)-M(0)- R(2) + a PV(J)}

• mu {9 200 - 800 + (0.909091)(69 000). 10 000- 100 - 4 200 + (0.909091)(70 400)}

con

• mu {71 127, 69700} • $71127

d(2) • COl'ISEllVAJl

y

m(3) -

mu {68 409. 69 000} = S69 000

con

d(3) • COMPRAR

ni(4) • mu {66 318, 68 100} • S68 100

con con con

d(S) - COMPRA.R

mu {63 618. 68000) - S68 000 m(6) • mu {-10". 66 900) = S66 900

n1 (5) ª

d(4) • COMPRAR d(6) • COMPRAR

Reuniendo estos resultados en una tabla. se tiene 2

1

" d(u)

OON• SEAV,\l

J

CON5ElVAl

s

4

(X)M.

C0.' 1·

PlAR

PllAl

OOM• PIIAJl

6

,....

(X)M.

PASOS .J Y 5 Ya que esta nueva poUtica es diferente de la actual, se toma a la nueva poUtica como nueva poUtica actuaJ y se conunüa con el paso 1. PASO 1 Usando los resultados del problema 20.2, para la nueva poUuca actual se nene: PV(l) • $83 916

PV(2) • S82298

PV(3) • S8 l 287

PV(4) • S80 387

PV(S) • S80 287

PV(6) • $79 187

P,'I SOJ m(J) • mu {f(l)- M(l)+ a PV(2), /(0)- M(0)- R(l)+ a PV(I}}

• max {83 916. 82 687} • S83 916

m(2) •

max {82 297. 81987} • S82297

ni (3) • max {79 579. 81 287} • S81 W ni(4) • mu {n "88. 80387}• $80387 ni (5) • max (74 788. 80 287} • S801Jf1

ni (6) •

mu {-10". 79 187} • S79 187

con con con con con con

d(I) • CONS 611.VAA d(2) • CONSERVAA d(3) • COMPRAR d(4) • COMPRAR

d(S) • COMPRAR d(6)• COMPRAR

Reuniendo estos resultados en una tabla. se nene:

" d(u )

1

2

0>1'-

0)1'-

$UYAR

SEJ.VAR

J

4

s

6

COM• PllAl

O>M• PlAl

COMPtWl

COM,

PtWl

PASO., Yn que est.:1 nuevn poUtica es 1dénuc:i a la poli nea actual. entonces es ópuma. w mi.quinas de uno y dos .u'los deben conservarse: las maquín" mas V!CJas debernn reemplazarse por nuevos modelos. Como d pro-

238

(PARTE 11

MÉTODOS PROB.>,B!Ll:TTICOS

ceso emoteza :on una maquina oe : a ño,. e, descumto tot:!l ~provechado por la ccmpalha. bato u:,~ poliuc:a opum~. e r,: ~ 1: , : ?\ ,:, = SS: ~9- (reóonoeaoo).

20.4

Úsese el cnfoqu: de ecuacion funcional para volver a calcular los valores presentes obtenidos en

el problema 20.2. El procedimiento conStste en reemplazar a m(u) por Pvtul en ambos lados de la ecuación funoonal ) opumizar despues para cada enado sobre la decmon untca dtc:t.ada por la politica actual. La ecuaoón funcional para este problema se da en el eJemplo 20.J como m(u)• max {/(u) - M(u)+ am(u + 1), /(0)- M(O)-R(u)+ am(l)f

(Jj

y la politica que se considera es:

" d(u)

l

2

a,-..

COI'-

Sf"'Ak

SERVAR

3

~

s

COMPllAl

COM-

C()M.

PRAl

PRAk

6 CX»-1PRAR

La maximuac:ión soore una deos1on de CONSER\ ~R significa selecoonar el pnmero oe los dos ,/rmmos en (l); la maximizacion sobre una decisión de COMPRAR significa seleccionar el seitundo termino. Entonces, la polluc:a actual produce el ronJunto de etuaoones PV(l ) • /(l)- M(l) + aPV(2) PV(2) = / (2)- M(2) + a PV(3) PV(J) = /(O)- M(0)- R(3) - a PV(l) PV(4) = /(0)- M(O)- R(4)+ a PV(l)

(.?)

PV(S) m /(0)- M(O) - R(S)+ a PV(l) PV(6)• /(0)- M(0) -R(6) -,.aPV(l)

Las cuatro úlumas ecuaciones de (2) son idemic:as a la5 ecuaciones empleadas para determinar PV(3).. ... PV(6) en el problema 10.:. Combmanoo las ecuaciones segunda y tercera de (2). se obumc PV(2) • /(:?) - M(2)-,. o(/(0) - M(O)- R(3)) + c 2 PV(l)

(3)

la cual es idéntica 2 la ecuación para PV12) en el problema W.2. Finalmente, combinando la pnmera ecuación de (2) con 13). se obtiene:

PV(l) • / (1 )- M(l) ... o(Jm :- M(2)) + a 2 (/(0) - M(O)- RCJ)) 1- o' que es exactamente la expresion para PV(l) encontrada en el problema 20.2. 20.5

Rcsuclvase el problema 18.4 con descuento y con un horizonte no acotado. si la tasa efectiva d e interés es de 80io anual. Dada una polltica de producción, puede emplearse una cadena de Marko, como modelo para este problema. Como se determinó en el problema 18.4, los estados para cada etapa son los inventarios posibles al inicio de un ano (es decir - 2. - 1 o I transbordador espada!): los mventanos neµ11vos representan órdl.'nes no cubienas del alto anterior. Las decisiones posibles son los niveles de producc10n para nuevos transbordadores. Estos niveles están limi111dos a 2 para el estado - : : 1 o 2 para el estado - l : O. 1 o 2 para el esta• élo O: Oo I para el estado 1. Las probabilidades de transición y los costos (en millones de dólares) asociados con cada est.ado y con cada decisión secnlman en la t.abla 20-1. Por eJemplo, para determinar el renglón 3 de la tabla. linea correspondiente a un mvmtano de - l transbordadores y a la decisión de producir dos 1ransbordadore. durante el a/lo actual. n6tese que una vez que se cubre la orden correspond1eme, quedara un transbordador para cubrir la demanda. Si est.a demanda es de uno (lo cual ocurre con probabilidad 0.6), el est.ado al inicio del siitüiente periodo será O: par lo tanto. p -t.o (2) • 0.6. S1 la nueva d=anda es por dos transbordadores (lo cual ocurre con probabilidad 0.4). el CSU!do al inicio del siguiente periodo sera - l; ento nces p_, (2) = 0.0-1. Ya que no puede llegarse a ningun nuevo cst.ado partiendo del estado - 1 con una decisión de producir 2 transbordadores, todas las otras probabilidades de transición son O. Uo esU1do inicial de - 1 índica que no se cntre,ó un transbordador requerido el a/lo a111erior y entonces se carp un costo~

CAP. 1.0)

HORIZO1'TES NO AC OTADOS Tahla 20-1 Esudo

D~li10n.

Probabihaad de 1rans1C10n

j

d,

p. (d.)

' - -2

J- - 1

,-o

04

0.6

o

o•

O.b O.•

0.6

1

-2

2

-)

1

J

-1

2

o

o

O•

6

o o o

2

o

1 8

1 1

o

o o

• 5

2

1

1

1

1

0.6

o

O•

o 1

3.0

19

o

1.5 1.5

10 19

o o

o

0.4

Casto anual. C(l. d,)

/• 1

o

o

0.6

o

10 19

o

o

o

0.6 04

o

Costa de almacena m1cn10

o

O.o O.•

o

Costo do producc,ón

C0s10 _penal

l

o

o

o

06

1

10

(l

:?:?

11

11.5 :?05

1

o

1 1

o

o

()

o

10 19

1.1 1. 1

1.1 11.1

n.e.l de 1.5 millones de dolares. Este costo, junto con un costo de produccion de 19 millones de dólares por la manufactura de dos nuevos transbordadores. da como resultado un costo anual de 20.5 millones de dólares. Observese que el costo anual est~ estrictamente detenninado por el estado y la decision: es independiente de la demanda aleatoria. Para 1 = O.OS. el fac1or de descuento es: 1

a =

1

+O.OS• 0.9"..59"..593

La ecuacion funcional es (20. 1), donde la op1imtzación es una minimización y donde / ) J vanan en - : . . . , 1 (no sobre l • . .. , 4). Se resuelve para obtener la pobuca opuma con el empleo del algonimo de cinco pasos

PASO / Arbnrariamente se selecciona una poli11ca m,c,al - 1

o

PASO] Para los datos en los renglones 1, 3. 6) 7 de la tabla 20-1, da1os correspondientes a la polhica actual. (20.2) da PV(-2)• 22

(0)PV(0h

(0)PV(l)]

PV(-1 ) • 20.5 + (0.9259"..593)[ (0)PV(-2) + (0.4)PV(- I) + (0.6)PV(0)+

(0)PV(l)]

PV(0) • 19 PV(l) •

T

(0.9259"..593)((0.4)PV(-2)+ (0.6)PV(-1)+

+ (0.9"..59"..593)[ (0)PV(-2)+ (0)PV(-1) + (0.4)PV(0) + (0.6)PV(I)]

l.h (0.9?..592593)[ (0)PV(-2) + (0A)PV(-1) + (0.6)PV(0) +

(0)PV(l)]

que es equivalente al sis1ema

= 22

(0.6296296J)PV(-2)- (0.55555556)PV(-1) (0.62962963)PV(- l)- (0.55555556)PV(0)

= 20.S

(0.62962963)PV(0)-(0.55555556)PV(l) = 19 - (0.37037037)PV(-1 )- (0.55555556)PV(0) +

PV(l)= 1.1

ResolY!cndo, PV(0)- 188.69S33 PV(I)• 179.6S471 PV(-2) • 210.5TI68 PV(-1)• 199.05471 PASO J Usando es1os valores presentes y los da1os de la 1.abla 20-1, se realizan los dlculos que se presentan en la 1abla 20-2. Para cada estado i, el valor calculado más pcqucl\o es m(1). Por lo tanto, la nue,-a polltica es:

IJ: .,¡

-1

2

O

O

/'t

240

MÉTODOS PROBABILlsncos

[PARTE 11

PASOS 4 Y 5 Ya que esta nueva poUtica es diferente a la anterior, se considera a esta nueva polltica como nueva pollica accual y se continúa con el paso 2. PASO 2 Para los datos de los renglones 1. 3, S y 7 de la tabla 20-1, datos correspondientes a la polltica m:is reciente, (20.2) da

Tabla 20-2 Costo esperado, descontado, Estado,

Decisi6n,

1

J.

-2

2

-1

1

-1

2

o

o

o o

1

2

1

o

1

1

1

C(La.)+a

L ,ov(di)PVU)

, •-?

22 + (0.9259259J){(0.4)(210.Si768) + (0.6)(199.05471) + (0)(188.69533) + (0)(179.65471JI

• 210.578

11.S+ (0.92S92S93)((0.4)(210.STT68)+ (0.6)(199.05471) + (0)(188.69533) + (0)(179.65471 )I • 200.078 20.S + (0.92592593)((0)(210.57768)+ (0.4)(199.0S.171) + (0.6)(188.69S33) + (0)(179.65471)1 • 199.055 O+ (0.92592593)((0.4)(210.57768) + (0.6)(199.0.5471) + (0)(188.69533)+ (0)(179.6.5471)1 10 + (0.92592593)((0)(210.57768) + (0.4)(199.05471) +(0.6)(188.69533) + (0)(179.65471)1 19 + (0.92592593)((0)(210.57768) + (0)(199.0.5471) + (0.4)(188.69S33)+ (0.6)(179.65471)]

• 188.578 • 188.555 • 188.695

1.1 .,. (0.92592593)((0)(2l0.57768) + (0.4)(199.05-171) + (0.6)( 188.695.33)-. (0)(179.65471)1 • 179.655 11. I + (0.92S92.593)((0)(210.Sn68) + (0)(199.05471) • (0.4)(188.69533) + (0.6)(179.65471)( • 180.795

PV(-2) - 22 + (0.92592593)((0.4)PV(-2)+ (0.6)PV(- l ) + (O)PV(O) + (O)PV(l)] PV(- 1) - 20.5 + (0.92592593)( (O)PV(-2) + (0.4)PV(- l ) + (0.6)PV(O) + (O)PV(l)J PV(O)

2

PV(l)

m

10 + (0.92592593)( (O)PV(-2)+ (0.4)PV(- 1) + (0.6)PV(O)+ (O)PV(l )] 1.1 + (0.92592593)( (O)PV(-2)+ (0.4)PV(-I) + (0.6)PV(O) + (O)PV(l))

lo cual es equivalente al sistema

(0.62962963)PV(-2)- (O.SS555556)PV(- I) (0.62962963)PV(- I) - (0.55555556)PV(Ol

s s

22 20.S

-(0.37037037)PV(- l) +(0.44444444)PV(0) s 10 - (0.37037037}PV(- I) - (O.S5555556)PV(O) + PV(I) • 1.1

Tabla 20-3 Costo espendo descontado Estado.

Dccsioo.

1



1

C(i,d¡ ) +a

¿ p.,(d¡)PVU) l • ·l

-2

2

22 + (0.92592593)((0.4)(209.64706) + (0.6)( 198) + (0)(187.5) + (0)(178.6)1 • 209.647

-1 - 1

1

z

11.S + (0.92592593)((0.4)(209.64706)+ (0.6)(198) + (0)(187.5) + (0)(178.6.)I • 199.147 20.S + (0.92592593)((0)(209.64706) + (0.4)( 198) + (0.6)(187.5)+ (0)(178.6)] • 198.000

o

o

o

1

o

2

1 1

o l

o + (0.92S9259Jl((0.4)(209.6ol706) + (0.6)(198)+ (0)(187.5) .¡. (0)(178.6)1 • 187.647 10 + (0.92592593)((0)(:!09.64706) + (0.4)(198)+ (0.6)(187.5)+ (0)(178.6)1 • 187.SOO 19 + (0.92592593)((0)(209.64706) + (0)(198) + (0.4)(187.5)+ (0.6)(178.6)1• 187.667 L 1 + (0.9'..592593)((0)(209.64'706) + (0.4)(198) .,. (0.6)(187.S)+ (0)(178.6)1 • 178.c,l)(l 11. l + (0.92592593)((0)(209.64706) +(0)(198) +(0.4)(187.5)..-(0.6)(178.611• 179.767

CAP. 20)

24 1

HORIZONTES NO ACOTADOS

Resolviendo PV(-1)• 198

PV(-2) • 209.64706

PV(O) • 187.5

PV(I) • 1786

PASO) Usando los valores prcsenies y los datos de la tabla 10-1. se realizan los c:ilculos mostrados en la tabla 20.J. Puede verse que 1:1 nueva polhica es:

-1

O

o PASO" Ya que esra nueva poU11ca es idénuc:i a la poli11c:1 actual. es la opuma. Ba¡o esta polhica y empe•

zando con un inventario cero. el costo esperado con descuento para los fabricantes del transborda• dores: m (O) •

20.6

PV(O) • 187.S mrllones de dólares

Un granjero cultiva maíz para venderlo en el mercado libre y para alimentar al ganado de la gran• ja. El rendimiento del maiz varia de un ano a otro de acuerdo con la siguiente distribución probab1lis11ca: Rcnd1mlCltO,

unidades Probabilidad

10

11

12

13

14

0. 10

0.20

O.JO

0.25

0.15

Durante el rnvremo. el granjero necesita 10 unidades de marz para el ganado de la gr:m¡a y llene rns1alac1ones para almacenar hasta 12 unidades. Cualquier cantrdad e.le matz almacenada que no se use como alimento durame el invierno. puede volverse a almacenar o venderse al otoño siguiente. Cada rnvrerno. un distribuidor de alimentos ofrece pagar un excelente precio por el maJZ, de acuerdo con la srgurente tasa. siempre que el gran¡cro garantice la entrega de la siguiente cosecha de otono: Unidades

con1rat1nas

o

l

2

l

4

o

JOO

900

14()()

:000

de ma12

Precio toul S

Si el gran¡ero compromete demasiado una cosecha futura con el dismbuidor de alimento. dejan• do menos de las 10 unidades para las necesidades de la granja, debcra cubrir la diferencia comprando maíz en el mercado local a SiOO la unidad. Cualquier maíz restante al final de la co• secha que no pueda almacenarse. se vende en el mercado local a 5300 la unidad. EJ granjero limi• ta las transacciones en el mercado local a lo estrictamente nccesano. ¿Cuánto maíz deberá comprometerse a entregar anualmente al dist.ribuídor de alimentos. si el granjero desea maximizar el beneficio esperado descontado durante el futuro prcV1sible. con una tasa efectiva de 7a/o? Se toma al linal de una cosecha como inicio de una etapa. después de que cualquier contrato previo se ha cubieno y se ha.n realizado las transacciones en el mercado. En este momento. el granjero tiene 10, 11 o 12 unidades de m;uz almacenadas, las que scran los estados 1, 2 y J. respectivamente. El gran¡ero debe ahora pccidir el numero de unidades de malz de la cosecha del allo pró.'1mo que comprometera con el distribuidor. Las probabilidades de transición y "1s gananct:is anuales esperadas asaetadas con cada estado se presentan en la tabla 20-l. Por ejemplo, para cnlcular el renglón 4 de la 1abla Z0-4, que corresponde a un nivel actual de almacenom,ento de 10 unidades y a una decisión de comra!Br J unidades de la cosecha del próltimo ano. tbme:e en cuen1a que hay cuatro formas para que el granjero permanezca en el esrodo I después de I ailo: des· pues de que durante el invierno se consumieron las 10 unid:ides lllmaccnadas. el granjero podría: i) cosechar 10 y comprar J; iil co,echnr 11 y comprar!; aii) coSc:Char 11 ~ ~omprur l. iv) cosechar 13. Entonces,

P1t - O.JO T 0.20 +O.JO+ 0.15.z 0..85,

\IETODOS PROBABILISTICOS

,• ' ARTE 11

La un,ca íorma de oue ei ¡,.ra~_1ero 101:ie una eta;,J con 10 unidad.-- y lu "!'UICnle con 11 umoaoe.s. Y• our d ¡,.anado consume I0umdaoe;< , 3 oeblen cmre~ar,e al dmribu1aor, es que la cc-,echa nnoa 14 unidades: ae ah1 que Pi: = O.IS. No nay íonna (san 1ransacc1anes anneccsanas en el mercado local1 de pasar de un anveniana de 10 unidades a uno de 12 uniaades: Pu = O. En ninguno de los canco pasibles rendimientos queda maíz para vender en el mercado loe.1I. Por es10, el ingreso de ventas en el mcrcaao local será O. Ya que se compran 3. 2 o I unid~des en el mercado local si la cosecha es de 10. 11 o 12 unioadcs. el costo esperado en el mercado local es· (0.10)(.:!100)+ (0.20)( 1400)+ (0.30)(700) = S700 NOLese que en contraste con el problema 20.5, el ingreso neto de la etapa no esta estrictamente detenninado por el estado y la dccisil>n. ya que tambien depende de la cosecha aleatoria. El factor de dcscuenio es:

a =

1 + _ = 0 .9J4579 1 0 07

Tecnicamemc, ya que los coStos t ingresos ocurren al final del periodo. deberian descontarse par a ames de usarse. Si consideramos que esto ya se ha hecho \por eJemplo, el cos10 en el mercado local es realmente de S749, lo cual ya dcscon1ado J)Or o da S700J, ens~uida las cantidadc« en dolares de la iabla 20-3 se descuen1an auioma1ica y apromadamente. La ccuacion íunc,onal es 120. 1). siendo la optim1zacil>n una maximizacion. La poh1ica optima se determina empleando el alyoritmo de canco pasos. Tobl• 20-4 Estado

Probabilidad., de lrln11ci6n,

o.cisión.

1

d,

1

I• 2

J- J

0.111 O.::tl 0,;;(I 1 ~.'1(\ 1 O.t,O o.::.< 0.8.' 0. 1~ 1 1 o

0 70 O411 O 15

1

o

1

o 1 0.10

0.90 0.70 0.40 O 15

1400

o

1J- ' 1

1

~

1 1 1 1

!

4 ~

2 .~



6

~

n

7

2 2 2 2

1

0.10

-

O.JU

8 9

10

~

• o

0,f,() 0.$5

I.J

2

14

3

J

0.10 0.'.10

15

3

4

o.60

1

1

o

0.20 O_l/1 025 0.15

lº 1

J 3 3

11 12

!

ln¡¡reso con1ra10do

o

¡,,,(d,)

1

2 3

1

ºO

1 0.90 0.70 O.IO O.IS

0. 10 0.20 O.JO

1

o.is

'

lngrC'!O esperado en el mercado loa!. SI

Cos1t esperado en el mercado, lo:al, SC'

ló~ 45

7(1

o

uo

621)

o

700 129.'

100 705

o

375 565

o 4(lU

900 IJOO 2000

n

o

Ingreso anual esperado, Cl + SI -SC • C(i,d:)

(1

16~ 375

375 165 45

o

70

1m

2(l(l(l

o

mi 700

1120 1~

o

645

n

400

900

375 165

1400

45

4()()

900

2000

o

o

o o

70 280

MS 775 106~ 1375 1720

PASO I Arbi1rariamcme se sclecc1ona la política inicial

~ ~ PASO 2 Para los dalos de los ren~ones 4, 10 y 15 de la tabla 20-4, que corresponden a la polilica actual. (20.2) da PV(l) m 700+ (0.934579)[(0.85)PV(l) + (0.15)PV(2)+

(0)PV(3)]

PV(2) z 1300 + (0.934579)[ (0.85)PV(I) + (0. 15)PV(2) +

(0)PV(3)]

PV(3)- ITIO+ (0.934579)((0.60)PV(l) + (0.2S)PV(2)+ (0. 15)PV(3)]

C>.P 20]

HORIZONTES NO A COTADOS lo Que cquivalt al sis1cma

(0.205607)PV(J)- (0.140187)PV(2)

s

-(0.794393)PV(l) + (0.859813)PV(2)

700

• DO()

-(0.560748)PV(I)- (0.233645)PVC2) + (0.8598l3)PVO) ~ J;i() La solucion para cs1c conjunio de cc;ac1oncs es:

PV(I) • SI 1 986

PV(2) • SI~ 586

PV(3)• Sl3 238

Tabla 20-5 G■nanc,1 osperada desconwla,

E..tado, 1

Occ,srón,

)

.l. o

1 1 1 1 1

1 2 3 4

2

o

2 2 l 2

1 2 3

3

o

3 3 3 3

1 2 3

4

4

C(I• .1,¡ ... o

L A(.l.)PVU) ,.,

165+ (0.934579)((0. 10)(11 986)• (0.20)(12 586)+ (0.70)(13 238)) • "l75+ (0.934579)1(0.JO)(ll 986)+ (O.J0)(12 S86) + (0..:0)(13 l."18)) • 620+ (0.934579)1(0.60)(11 986)+ (0.25)(12 586) + (0. 15)(13 !38)) • 700+ (0.93-CS79)1(0.85)(1l 986)+ (0.15)(12~)+ (0)(132."18)] • 705 + (0.934579)1 (1)(11986)+ (0)(125116\ (O)( 13 :?3S)) •

l2 298 l"213 12 138 11 9116 11 907

375 + (0.934579)1 (0)(11 986)+ (0.10)(12 586) + (0.90)(13 238)) • 565 + (0.93-4579)1(0.10)(11 986)+ (0.20)(12 586) + (0.70)(13 238)] • 875+ (0.934579)1(0.JO)(I I 986)+ (O.J0)(12 586)+ (0.-1())(13 238)] • 1120+ (0.93-CS79)1(0.60)(1 I 986) + (0.::!5)(12 586)+ (0.15)(13 2...~)1• 1300+ (0.934S79)1(0.85)(1 l 986)+ (0.15)(12 586).- (0)(13 238)1-

12 686 12 698 12 713 12 631t 12 586

Ms+ (0.934579)1

(0)(11986)- (0)(12 586)+ (1)(131."\8)1• (0)(11 986) .- (0.10)(12 S/16)• (0.~)(132."18)) • 1065+ (0.934S79)1(0.l0)(11 986),- C0.20)(12586).- (0.70)(13 l.~))• 1375 + (0.934579)1(0.JO)(I 1 986) + (O.JO)(l2 586)+ (0.40)(13 238)1 • 1720 + (0.934579)((0.60)(11 986),- (0.25)(12586)+ (0.15)(13 238)) •

ns+ (0.934S79)(

13017 13 (ll;6 13 1% 13 213 13 238

T1bl1 20-6 G■naru:t1 esperada dcsconiada.

Estado. 1

1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 3 3 3 3 3

Occisión, d.

o 1 2 3 4

o 1 2 3 4

)

C(o d.)+ o LA(d,)PV(j)

,.,

165 + (0.934579)((0.10)(14 253)• (0.20)(14 714)+ (0.70)(15 294)1 • 14 253 375+ (0.934S79)1(0.J0)(14 253)+ (0.30)( 14 714)+ (O 40)(15 294)]- 14 2 14 620+ (0.934S79)1(0.60)(14 253) ... 10.25)(14 714) .- (0. 15)(15 294)] • 14 19' 700+ (0.93-CS79)1(0.85)(14 253)+ (0.15)(14 714) ... (0)(15 294)) • 14 085 705+ (0.934S79)( (1)(14 253)+ (0)(14 714)+ (0)(15294))• 14026 375 + (0.934S79)1 (0)(14 253)+ (0.10)(14 714)+ (0.90)(15 294)) • S6S+ (0.934S79)1(0. l0)(14 253)+ 10.20)(14 714)• (0.70)(15 294)1 • 875+ (0.934S79)((0.JO)(l4 253) + (0.30)(14 714)+ (0.40)(15 294)) • 1120 + (0.934S79)1(0.60)(14 253)+ (0.25)(14 714)+ (0.1S)(lS 294)1 • IJOO+ (0.934S79)1(0.85)(l4 2S3)+ (O. IS)(l4 714) ... (0)(15 294)) •

14 614 14 6S3 14 714 14 694 14 685

o

645+ (0.934S79)1

1 2 3

n s+ (0.934S79)( (0)(14 253)+ (0.10)(14 7 14)+ (0.90)(15 294)) • 15014

4

(0)(14253)+

(0)(14 714)+

(1)(1S 21l-1)1 • 14 938

1065 + (0.934Sl9)1(0. IO)(l4 253)+ (0.20)(14 714) ,- (0.70)(15 294)) • IS 153 1375 + I0.934579)1(0.30)(14253)+ (0.30)(14 714)+ (0.40)(15 29-1)] • IS 214 1720 + (0.934579)1(0.60)(14 2S3)+ (0.25)(14 714)..- (0.IS)(IS 294)1 • IS 294

PASO 3 Usando es1os valores prescnies y los da1os de la tabla 20-4, se realizan los cálculos que se prescnian en la tabla 20-5. Para cada csi.ado I, el mayor valor caiculado es m (1). Por Jo que esta nueva poliuca es:

''

244

[PARTE II

METODOS PROBABILISTICOS

PASOS -1 Y .S Ya que esta nueva política es diíerente a la an1enor, se le toma como la polidca actual y se conunúa en el paso 2. PASO 1 Para los da10s de los renglones 1, 8 y IS de la 1abla 20-4, da1os que corresponden a la última política, (20.2) da PV(I) = 165 + (0.934579)((0. IO)PV(I)- (0.20)PV(2)-'- (0.iO)PV(J)I PV(2) • 875+ (0.934579)[(0.30)PV( 1) + (0.)l)JPV(2) + (O -IO)PV(3)1 PV(J)"' 1720 • (O 934579)((0 éO)PV( I) + (0 :25)PV(2) + (0 15)PV(J)I

--

lo cual es equivalente al smema

(0.906542)PV(l) -(0. 186916)PV(2)- (0 65-1206)PV(J) • -(0.28037-l)PV(I)+ (0.719626)PV(2) - (0.373832)PV(3) • -(0.5ó07.i8)PV(l)-(0 233645)PV(2) + (0.859813)PV(3) •

u

165 "75 - :O

solucion a es1e con¡umo de ecuaciones es:

PV(I) • Sl4 253

PV(2) = Sl4 714

PV(3) • SIS 294

PASO J Usando estos valo res presentes y los dalos de la tabla 20-1, se realizan los calculos que se presentan en la tabla 20-ó. Puede verse que la nueva poliuca es:

~ ~ PASO" Ya que la política más recicme es idénuca a la poli1ica actual. entonces es la poliuca ópuma. Si el ¡;ranjero entra a una etapa con un inventario de 10 unidades de ma1z, no deber.l lirmar con1rJ10: si el inventario es de 11 unidades, debcna lirmar con1ra10 por 2 unidades: si el invenaario es de 12 unidades, debería lirmar conrrato por 4 unidades. ?(l. 7

Una cadena de supermercados clasifica en alias o bajas las ganancias semanales provenien1es de cada 1ienda. Siempre que las ganancias de una tienda en panicular son alias una semana. el gereme de la tienda puede optar ent re continuar con la campana publicitaria ac1ual o cambiar a una nueva. Si se continua con la camp.rna actual. las ganancias en la s1gu1ente semana alcanzaran un valor allo de SS 000 y un valor baJo de S4 000, con probabilidad de 0 .5. Con una nueva campal'la. las ganancias en la siguiente semana alcanzarán un valo r alto de S7 000, con probabilidad de 0.8. y un vlor bajo de S4 000, con probabilidad de 0.2. Siempre que en una sema na dada las ganancias son bajas. el gerente de la 1ienda debe iniciar una nueva campal'la publicitaria. la cual daril como rsulu1do en la siguiente semana una ganancia alta de S6 000. con probabilidad de 0.4. y una ganancia baja de SJ 000. con probabilidad de 0.6. Determmcse una política de publicidad para una tienda dada. que maximice las ganancias semanales esperadas. Tabla 20-7 Est1.do 1

"'

Probabilidades de cnns,dbn ¡r,¡(d.)

/• I

i•2

Beneficio Bcoeíaao alLO,

Bencí100 semanal esperado,

' ,.,

n,

'rl~·

Cl~d.) • }: ¡r,¡n 1

1 1

1 2

o.s

o.s

l

0.8

0.2

8000 7000

GlO GlO

(0.5)(8000) + (0.5)(4CXXI) • 6000 (0.S)(i'OOO) + (0.2XJ000) • 6400

J

2

2

0.4

0.6

6000

3000

(0.4X6000l + (0.6)(JOOO) • •200

1

-- •

Deasil>n,

CAP. 20)

HORIZONTES NO ACOTADOS

245

Se 1oma como imcio de una e1apa el fin de la semana comercial. después de que se han determinado todas las ganancias, pero nntes de que se haya lomado una dccts1on sobre la publicidad para la s1gu1en1e semana. Los posibles estados para cada eiapa son los de ganancias alias o bajas. que se deno1aran rcspcctivamenle como esiados I y 2. UIS posibles decisiones son mamener la campa/la ac1uaJ e m1c1ar una nueva: csins decisiones se deno1an I y 2. rcspccuvamentc. Ambas decisiones son íacubles para el estado 1, pero en el cs1ado 2 sólo est:í permitida la dccision 2. Las probabilidades de 1rans1cion y los beneficios esperados dependen u1nto del estado como de la decisión: se presentan en la tabla 20-7. Para cs1e proceso. solo hay dos posibles pollticas: 1

1

2

d11,

1

2

liT7

y

~

la m11mz de 1rans1c1on paro la primera polluca se ob11ene de los renglones I y J de la tabla W-7, Siendo

o.5

o.5]

Pcu• [ 0.4 0.6 la matriz limite para P111 es; ~ 11 •

. • (4/9 !•~ Pu,• 4/9

5/9] 5/9

En consecuencia. X!i/ = (4/ 9. S/ 9(, independientemente del estado mic1al del proceso, y el rendimiento semanal esperado cs. en el estado estable,

Rm = C(I, 1).rli{, + C(2. :?).r!i,', • (6009)(i)- (-1200)(i) = S.5000 La mamz de 1rans1c1ón para la siguiente polhica se obuene !!e los rrnglones I y J de la 1abla 20-7, siendo p

m



[º·ª 0.2] 0.4 0.6

la matriz limitante para esta mntnz de trall',1cion es:

Emonccs X!ii'

2

(2/3, 1/31, y el rendimiento semanal esperado es, en el estado estable. R m • C(I. 2).rfii', + C(2. :?).rl;'~ • (6'100X,) + (4200)(!) = $5666.67

El rendimiemo semanal esperado para la politica 2 es me¡or que el obtenido para la polhica 1; por lo tanto, la polhica 2 es la optima. El gerente de la uenda debcria m1ciar una nueva campa/la publicitaria cada semana.

20.8

Resuélvase el problema 20. 7 empleando el algori1mo de seis pasos. PASO/ Como la poUuca m1ciaJ {di}. selccc1óncsc arbitranamcnte la pollt1ca ld,,wl del problema 20.7. PASO 2 La polilica de Lrartsición y los beneficios semanales esperados asociados con esta polhica se obuenen de los renglones I y J de la tabla 20-7, siendo

P• (0.5 0.5] 0.4 0.6

C(I. 1) • 6000

C(2. 2) • 4200

PASO J Con estos datos. eJ sistema (20.J) se vuelve w, + R • 6000 + (0.S)w, + (0.S}w, w, + R • -120() + (0.-l)w, - (0.6)w, Haciendo w 1



O y resolviendo. se ob11enc R • S 000 ": • - ! Ol!O.

246

METODOS PROBABILISTIC'OS' -

E:stado,

IPART!: 11

C'ti. d,) ..- 2'

DectSil>n.

p, (d,)w,

1

d,

1 1

2

6000- (0.5)(0)+ (0.5)(-2000)- 5000 6-IOO+ (0.8)(0)+ (0.2)(-2000) • 6000

2

2

4'..'t)().,. (0.4)(0) + (0.6)(- 2000) • 300()

1

/•I

PASO 4 Usando estos valores de ..., ~ ..-, con los datos de la tabla 20-7, se realiza la maximizacion indicada en (20.41. Vease la 1abla 20.8. que muestra que la nueva poliuca es:

~

[IG3 PIISOS 5 l 6 \ a oue esta ultima pollticaes diterrme de la ac1Ual. se toma a esta nueva polhica comCI nueva pohuca actual y se conunua en el paso :!. PASO 1 La mamz de transición, los bentf1c1os esperado,; con esta nueva política se obuenen de los ren11lones I y 3 de la tabla 20-i. siendo P & [ OJ, 0.2] 0.J 0.6

cr-. 2) = 4200

C(l. 2) = 6400

PASO J Con estos datos. (20.3) ,e vuelve

w, + R ,.,, + R Haciendo ...,

= Ol

= 6400- (0.S)w, .,. (0.2)w, = 4200.,. (0.J}w, + (0.6)w,

resoh1enoo. se c-buene R = S66ó.67. ,.,

=

-3666.67.

I Tabla20-9

Estado,

Decisión.

l

C(I. d,) +

2 p.(d,)w, ,.,

i

d,

1 1

2

6000+ (0.5)(0)-+ (0.5)(-.3666.67) • 4166.67 ~ + (0.8)(0) + (0.2)(-3666.67)- 5666.67

~

l

-L'>OO+ (O 4)(0)- (0.6)(-3666.67)• 2000.00

1

PASO 4 Usando estos valores par2 w 1 y ..,, junto con los da1os de la tabla 20.7, se genera la tabla 10-9. Puede ve= que la nue,'3 política es:

PASO 5 Ya que esta última politial es igual a la polilica actual. es la optima. El rendimiento semanal esperado de estado estable para esta politica se da como R = S5 666.67, en la última lteracibo del paso 3.

20.9

Resuélvase el problema 20.6. si el objeú vo es maximizar el rendimiento anual esperado (en estado estable). PASO J Se selecciona arbitrariamente como política inicial

CAP • .20)

HORIZONTES NO ACOTADOS

2~7

PASO 2 Usando los datos de los renglones l, 8 y IS de la tabla 20-4, datos correspondientes a la poliuca actual, se obtiene:

Pa

0.10 0.20 0.70] 0.30 0.30 0.40 [ 0.60 0.25 0.15

C(l. O) = 165

C(2, 2)- 875

C(J,4)= 1720

PASO J Con estos datos. (20.3) se vuelse w, + R - 165 + (O. IO)w, + (0.20)w,+ (0.70)w, w,+ R • 875+ (0.30)w,+ (0.30)w,+ (0.40)w, w,+ R a 1720 + (0.60)wr + (0.25)w,+ (0.15w,) Haciendo ,.., = O y resolviendo para las variables restantes, se oblicncn R = 967 .340, " ": 449.64 S y W¡ = 1017.73.

PASO 4 Usando estos valores de

w,. w y w,, junto con los datos de la tabla 20-4. se genera la tabla 20- 10. 1

Se encuentra que la nueva polhica es:

~ ~ Tabla 20-10 Estado,

i

Decisión. d,

l

o

l

l 2 3

1 1 1 2 2 2

PASO

j

4

o

2

1 2 3

2

4

3 3

o 1 2

3 3

3

3

4

J

C(~ d¡)+ ~ Pw(di)w¡

,.,

165+ (0.10)(0)+ (0.20)(449.645)+ (0.70)(1017.73) • 375 + (0.30XO) + (0.30)(449.645) + (0.40)(1017.73) • 620+ (0.(r())(OJ+ (0.25)(449.645)+ (O. l5X1017.73)• 700+ (0.85XO)+ (0.15)(449.645)+ (0)(1017.73)• 705+ (1)(0)+ (0)(449.645)+ (0)(1017.73) •

967.34 916.99 885.07 767.45 705.00

375+ (0)(0)+ (0.10)(449.645) + (0.90)(1017.73) • 1335.92 565+ (0.10)(0) + (0.20)(449.645)+ (0.70)(1017.73) • JJ67.34 875+ (0.30)(0)+ (0.30)(449.645) + (0.40)(1017.73) • 1416.99 1120+ (O.(r())(O)+ (0.25)(449.645)+ (0.15)(1017.73) • 1385.07 IJOO+ (0.85)(0)+ (O. JSX449.64S)+ (0)(1017.73)- 1367.45 645+ (0)(0)+ (0)(449.645) + (1)( 1017.73)• 1662.73 775+ (0)(0)+ (0.10)(449.645)+ (0.90)(1017.73)- 1735.92 1065+ (0. 10)(0)+ (0.20)(449.645) + (0.70)(1017.73) • 1867.34 1375+ (0.30)(0) + (0.30)(449.645) + (0.40)(1017.73) • 1916.99 1720 + (0.60)(0)+ (0.25)(449.645) + (0.15)(1017.73) • 1985.07

Ya que esta úllima polltica es idéntica a la polilica aCLual. es la poUtica bptima, con un rendimiento anual esperado dado en el paso 3 como R • S967.34. Por coincidencia, esta poUtica bptima es idéntica a la que se obtuvo en el problema 20.6, donde se maximizó el rendimiento esperado descontado. En general. diferentes objetivos dan como resultado díferentes politicas óptimas.

20. 10 Usando los da10s del problema 20.7, de1ermínesc w 1 para las primeras n sem anas (n 3 •... ), bajo la política ld(l)11. _ Como se muestra en el problema 20.7, la matriz de tran~ición para la polltica dada és:

-w

-

=

l. 2,

..

MÉTODOS PROBABrÍfSTICOS

248

[PARTE II

0.5 0.5] 0.6

P - Pm• [ 0.4

Las potencias sucesivas de P son: pi • f'0.45 O.SS,

L0.44 o.56J p• •

P' _ ro.445 o.s55] Lo.444 o.s56 [0.44M5 0.55555]

p• •

[0.4445 0.5555] 0.+W-1 0.5556

__.

0.44444 0.55556

las cuales convergen a

5/9]

L• [4/9

4/9 519

El rcndirruemo semanal es. en estado estable, R • ((J()()()}a) + (4200)00 • SSOOO

= [l. 01, y se llene de ( 19. 1) que

Si el proceso se inicia en el estado l. entonces XIOI

x, pl,1

p\"l • O.

l.

El rendimiento esperado para la 11-és1ma sema-

C(I. l)x\"- 11 + C(2, 2)%\"_,, _ (J()()()pl,- 11 + 4200pl,-II Ya que et rendim:emo esperado para las primeras II semanas es el rcndim1en10 esperado para las primeras

n - 1 semanas mas el rendimiento esper.1do en la n-ésima semana. se tiene para n = 1. 2. J • ... (/)

donde w_,(ll • O. A parur de (1) se genera la tabla 10.11. La última columna de la 1abla muestra que w1converge a 1111 1/ 9. Con una precisión de dos dcc1malcs, w1 • 1111.11 paran mayor que S. Tibia 20-11 ~-u

" 1 2

/111

1 0.S

)

o.~s

J

0.+lS

s o.=s 6

7

8

0.4+l-15 0.4-14445 0.""4AA-&S

t..-H

Pu

1

o 0.S O.SS 0.555 0.5555

o.sssss o.ssssss

0.SSSSSS5

6000pr,-'' + 4200p~i;-n

...-,(1)

o

6000 5100 5010 SOOt 5000. 1 5000.01 5000.001 5000.0001

6000 11100 16 110 21111 26111.1 31111.11 36111.111

w,(1)

6000 11100 16110 21 t 11 26111.1 31111.11 36 111.111 41111.1111

nR

w 1 • w,(1)- nR

sooo

1000 1100 1110 1111 11111 1111.11 1111 .111 1111.1111

10000 15000 20000 25000 JO()()()

35 000 JOOOO

20. 11 Obtcngase (20.3).

Sc:1 P • IA,(d. )) la matriz de transición para un proceso markoviano de dcas1ón con horizonte no acotado, baio la poUtica d,. El valor esperado (sin descontar) para el proceso dW1llltC n periodos si el proceso se iniaa en el estado,. es igual aJ rendimiento esperado del primer periodo.C(L J,).mas el rendimicmo esperado de los 11 - 1 periodos restantes: H

w,(i) • C(i, J.)+ ¿ ,Pt(d.)w,-,(.1)

,.,

Réstese

,,

r ,.,

nR • R +

(n - l)Rp,,(a.)

(J)

249

HORIZONTES NO ACOTADOS

CAP. 20) de ( 1), para obtener:

"

w. (i) - nR • C(i. d,)+ L p,¡(d,)w.-,(j)- R -

,..

L" (n -

,-t

l)Rp,¡(d,)

o

"

[w.(i)- nR 1+ R - C(i. d,)+ L Pll(d,)[

,.,

w.-,u>- (n -

(2)

l)R ]

Ya que w, = w, (1) -nR y como

w1 • w.(j)- nR - w.-,(j)-(n - l)R si

II

es grande ¡vease el problem11 20.10), (2) es equivalenre a (:O.J), para 1oda I li

=

1, 2.. .. , N).

20. 12 Demuestrese que si w i, w t .... w ;,. R• es una solucion :il sistema (20.3). por lo que también lo es wj + k. wi + k . ... , wi, + k, R•, par:i cunlqurer constante k.

((w; H)+ R •¡-

[ce;, d,)+ 1; p,,(d.Xw; + k)] • , .. ,

[(w: - kl + R ") -

[ce;.d.)+ ,-, 1; P11(J,)wi + k]

• [w: •R •J - [ C(i. a,)+ 1;pu(di)w1] ,. 1

=O La selección k • - w i Justifica ,ornar a w1 igual a cero en el paso 3 del algorirmo de seis pasos. El hecho de que w,, y por ende w~(Jl. se de1ermine solamente hasra una consrante aditiva K. no tiene significado econom1co para el obje11vo. ya q ue es equivalen re solamcme a un rendimiento lijo adicional en K dólares ¡;ara quien toma l:i decisión ames de que comience el proctiO. Est.:> puede no tener efecto sobre la pollt1c3 o puma {notese que la op11m1z.ic16n en t: 0.J) no se" a1:-;:ada :ti reemolazar "' - ,. ... A1, ni sobre el rendimiento óptimo por periodo en es¡ado estable (repartténdose los K dolares soÍire uña infinidad de period~).

Problemas co mplementarios 20.13

El bcnefico P (en di>laresl que un cnador de pollos recibe por cada pollo enviado al mercado, está dado por In íi>rmula: P = 1 - (0.9)"'

donde .V denota In edad. en semanas, del ave. Los pollos se en\lan al mercado aJ final de cada semana y sus lugares son ocupados de inmedia1O por polliros recién nacidos en las incubadoras de la granja. No hay demanda en el mercado para pollos de menos de I semana. Dcmueslresc que es desventajoso para el criador conservar pollos por más de 5 semanas y luego determmesc la me¡or edad para venderlos. si el objeuvo es maximizar el beneíioo total descontado a una rasa eiecuva de ,meres de 9"'• anual.

10. IJ Una gran compailia destina 2 unidades de dinero cada :u'lo a un Fondo de Buena Volun1ad. El prcsidcnre distribuye las unidades a distintas organizaciones en fonna de aonauvos (en cantidades unitarias). Ya que donativos grandes en comparación con donauvos pcque~os atraen mas simpaua hacia la compaJ\ía. el presidente no tiene que distribuir estos fondos cada ailo. sino que puede retener las canudades unilllrias por I o mas ai1os. a fin de acumular fondos suficientes para O1orgar me;ores dona11vos. Sin embargo, la pol!uca de la compailia nunca pcrmire que el importe del Fondo de Buena Volun1ad se:i mayor de 5 unidades. porque al llegar a esre nivel. el fondo empieza a captar recursos de O1ros sectores de la compañia. Determ1nese una polllica para O1oq¡ar donativos que maximicen el valor total descontado del fondo a una tasa ciccuva a nual de 6010, si el rendimiento de diferentes donativos es e! s1guien1e: Valor moncrario del rondo. unidades

o

1

.-

J

J

s

Valor mont1a.no dd ionao

1)

1

!.1

J.J

~.5

S.6

umda.dcs

250

METODOS PROBABILIST!COS

[PARTE 11

20. 1$ Una máquina nueva cuesta~- l>JCI ;. por poliuc&establc.:ida. nunca se con, er,·a ma~ de ~ a.~o; . .\1in'.:1,• de cada afio. deber-a decidirse emre co-isERV -\~ la maouina ac;ual ,~1 no es dema.~indc:, ,;cja). co,1PR;, ~ n~ nueva maqwna o ARRENDAR una nue,-a maquina. Un arrcndamiemo ~ndrá nominaimemc una vi~en.:,a ée : aflos, pero puede romperse después óe l ai\o mediante el pago de un costo penal de S700. El costo de operación, valor de salvamento y costo de arrendamiento de unn máouina dependen de su eoad. como se muestra en la 1abla 20-11. Tabla20-1! Eóad

o Costo de operacion

1500

V alar de sah·amontc

...

Costo de

2

1 000

.. .

4

1700

arnndam1e:n10

1

500

1600

1

4

000

... 1

Las máquinas arrendadas no tienen valor de salvamento, ya que son propiedad de 1a compaMa arrendadora. Determínese una política de reemplazo de equipo que mtmm1ce el costo total descontado con un horizonte no acotado, a una tasa efectiva de 1nteres de 7% anual. 20. 16 Demuéstrese que el st.stema (20.2) solamente determina PV(l), PV(2)•. .• . PV(M . 20. 17 Determínese PV(,) para cada est.ado i del proceso no acotado descrito en el problema 20.6. bajo la polilica

~ ~ 20. 18 Aplíquese unn iteración del algorinno de setS pasos aJ problema 20.6, usando la poliuca inicial dada en el problema 20.17. ¿Cuál es la potltica actualtzada resultante? 20.19 Una máquina productora de botella; de plastico para leche se caracteriza por finalizar cada tumo en ~uenas condiciones de operacion (estado 1). en condiciones de operación aceptables (estado 2) o en malas condi• ciones de operación (estado 3): la clasiiicación se basa en el porcent.aje de botellas ininiles producidas duran• te el tumo. Entre uno y otro tumo. la maquina puede aJustarse oon un costo de SS0, en cuyo caso tnicia el siguiente tumo co estado l . La probabilidad de que una maquina pcrmancz.ca en el CSllldo , desde el iruc:io hasta el final de un tumo, se da en la siguicrue t.abla; i

1

2

3

p.

0.8

0.5

1

Si uaa máquina no permanece en WJ est.ado dado, pasa al siguiente estado superior. Los cosios esperados por botellas inútiles durante todo un turno están en función del· estado de la máquina al inicio del turno: &lado Costo esperado

1

2

3

SlO

S40

Sl()(l

Determincse una poliuca óptima para a,ustar las máquinas, minimizando el costo esperado descontado con un horizonte no acotado, dada a = 0.95. 20.20 Una tienda de refacciones para automóvil ordena y recibe un modelo de silenciadores cada sábado por la noche, para venderlos durante la siguiente semana. Si se ordenan silenciadores. el transpone cuenta S30 a la

l

J

CAP. 20}

HORIZONTES NO ACOTADOS

uenda. indepcndientem:nte .• = >. y µ.0 = µ. . Estos procesos son la base de la teona de líneas de espera y se desarrollan en el capit ulo 23.

Problemas resueltos 21.1

Un proceso markoviano lineal de nacimiento que se inicia con un elemento. experimenta una tasa de nacimicnros promedio por hora de>. = 2. Dererminc:se la probabilidad de 1ener una probabilidad mayor a 3 después de I hora y el 1amaño esperado de la pobiación en ese momento. Con >. = 2 nuevos nacimicmos por elemenro por hora )' con r

Po(l ) • O

:.

= 1 h, (21.2) da:

p,(1) - (1 - ~- ")•~-, - 0.117

~~

MÉTODOS PROBABtLISTICOS

[PARTE 11

La probabilidad de ten~r mils de 1res elementos en la población después de I h cs. entonces, 1 - (0-t- 0.135+ 0.117 + 0.101) • 0.647 El tnma/lo esperado de la población en ese momento esta dado por (21.3) ~orno

E[N(I)) - lc" 11 - 7.J89 elementos

21.2

Resuélvase el problema 21.1 si se trata de un proceso po1ssoniano de nacimiento. Con N(Ol

=

l. t

=

1 h y~

= 2 naomiemos por hom. (21.10) da: 2' p,(l) = l!c-• a 0.271

po(I) = O

La probabilidad de 1ener más de tres elementos en la población despues de I h es, entonces, 1 - (O• 0. 135 + 0.271 + 0.271) = 0.323 El tamaño esperado de la población en ese momcmo está dado por (2 !. I) ~orno

E(N(l)I = 1 T 2(1) = 3 elementos

21.J

Un proceso markoviano lineal de muene iniciado con 10 elementos e.~perimt:nta una tasa de muerte promedio semanal ;, = 0.6. Determínese l:i probabiiidad de tener una población de al r:ienos ocho elementos despues de J dlas y el tamaño esperado de la población en ese momento. Con 1\'(0l

=

JO. 1(3/7) de semana yµ = 0.6 muencs semanales por elememo, (21A) da:

P•Om = (~~c-"'"·••""(I - c·••-•-om,•o-• = 4S(0.1278)(1 -0.m3J' =0.296 po(3n ) =

(~)e -•cu~""(I - e

-to

•om¡•o-o •

10(0.0988)(1 - O.m3)' =O.:Z:4

Pu,On>-= G~).,-•O(o.e)(J,'7)(1 - e-;o..xim¡,o-,o = t(0.0764)(t -iJ.m3f =0.076 La probabilidad de tener ocho o mas elementos en la población después de 3 días cs. por lo tamo.

0.296 + 0.224 + 0.076 = 0.596 El tama/lo csocrado de la población en ese momento está dado por (21.5) como E(NC3ml = !Oe-"'·•,om ª i.73 elementos 21. -'

Resu~lvase el problema 21.3, si se trata de un proceso po1ssoniano de muene. Con N(Ol

=

1O, t

= (3/7) de semana y ¡, = 0.6 muenes semanales. da: P•o(3m Pt

= [(0.6)(3m¡•o-to (10-10)!

- 40.610m -

e

=[(0.6)(317))'0-0 e -I0.6kl171 (3m · (10 - 9)!

o7733 .



O 1988 .

--'J/7) • [(0.6)(3m).... • ....""" ª O02.56 ""' (10-8)! e •

1..3 probabilidad de tener ocho o más elemcn1os despues de 3 dlas es , por lo tanto.

o.0256+0.1988+0.m3 .. o.'Jl177 Para calcular el valor esperado de N(J/7), son necesarias las restantes posibilidades de estado para r ,. 3/i. L3 ecuación (21.14) las da. con cuatro decimales, como p-(3n) • 0.0022

Entonces.

P.Om - 0.0001

p, - o

CAP. 21]

PROCESOS i\lARKOVIANOS DE NACII\IIENTO-MUERTE

257

E(N(317)1 = 10(0.7733)-t- 9(0.1988)+ 8(0.0256) + 7(0.0022)+ 6(0.0001)-t-5(0)-t- , · · + 0(0)

= 9.74 elementos 21.5

Un biólogo observa el c recimiento u.: cepas de bacterias en un cuhivo y encuentra que. 1an10 la$ probabilidades de nac1mien10 como de muerte de una cepa. son proporcionales al numero de .:epas en el cuhi, o y al tiempo tram-:urrido. En promedio, cada cepa produce una nueva cepa cada - horas y muere despui:s de 30 horas. ¿Cuantas cepas puede esperar en un culuvo despues de I semana si la población se inicia con un cultivo? Tomando un dia como unidad de tiempo, se uene ,V(O) = 1,

A • ~ (24) • ; ..i2g57 ¡ .¡z9 nacimientos diarios por elemento 1

µ. • J0(24)

= 0.8 muertes dianas por elemento

De tll. 7) se uene que el tamimo esperado de la población. despues de 7 dlas es:

E(N(7)1 = le 0 21.6

•=•.,..."-'X71= 97953164cepas

Obtenganse las ecuactones de Kolmogorov. 12l.l). El tamimo de la población en el momento t - .lt• •V(t - .l 1). d~pcnde del tamaño en el momento t. , ·, t). ¡ unto con aquellos cambios (nac1m1entos y/o muertes) que ocurran en el intervalo (1. t .,. .ltl. Enton:es. para n i? ! • P!N(t - At ) •ni= P{N(t) = n y hay O nac1m1entos y/o muerto en ( t. t - .ll)l P (N(t) = n 'f hay I naom1cnto y I muene en (1, t - .ltll P{N(:) = n - 1 y hay I n3Clm1emo y O muertes en lt, : - .11I

+ P{N(t ) = 11 - 1 y hay O nacimientos y I muerte en Ir, t - .ltj

+ ptuna comoinación de eventos que ln,·olucren m1ento y mas de l muerte en 11. t - .1111

mas de I nac1-

o (1)

p.(t + ~/)=a+ b + c + d .,. e

Utilizando el concepto de probabilidad condicional (véase el problema 17.Sl. se uene: a = PIN(t)

= ni

>< PIO nacimientos y O muenes en lit I N(t )

= n}

Por las consideraciones fundamentales. la probabilidad de cero nacimientos en un rntervalo de duración dt cs. hasta o(6J). 1 menos la probabilidad de exactamente un nacimiento: dado el estado n al inicio del intervalo. esta última probabilidad es igual a >-,,-V -"- o/lit). Entonces. la prooobilidad de cero nacimientos es: 1 - A• .ll -r 0('11)

y. bajo las mismas condiciones, la probabilidad de cero minutos es: 1- ¡.¡• .ll + o(lit)

.\demas, los nacimientos ocurren independientemente de 135 muertes. Por lo tamo,

a : p.(/) x (1- A• .l/ ;- o(.lt)l[I - µ • .lt + o(At)J s

p.(t ) (! - (.l.+ µ...)atl + o(M)

(PARTE 11

I\IETODOS PROBA BILISTICOS Por un razonamiento s,miiar, s~ or1ienc:

b • 0(6.1) e • P~1(1) (>...-, 6.1) + 0(6.1) d • p.. ,(t) (>¡•• , 6.t)+ 0(6.1)

e • 0(6.1) y (1) se vuelve p.(1 + 6.1) • p.(t) + (- (A.+ µ..)p.(t) + A.- ,P.- 1(1)+ µ.•• ,p•• ,(1)] 6.1 T 0(6.t)

(2)

Pasando p,(1) al lado 1zqu1erdo de (2). divid,endo entre 0 1 y haciendo 01-0, se ob1ienen las ecuaciones de Kolmogorov para n = 1, 2, ... . Para el caso en que n = O. es necesario un análisis por separado, ya que no hay muenes posibles en el estado O. Realizando un análisis como el antcnor. fticilmente se obtiene la ecuación de Kolmogorol' restante. 21. 7

a ) Ob1engase (21.6). y b) gencralicesc para el caso d e una población in icial arbitraria N(Ol. a) Con>-,,

= n>.. l' I', = nµ. las ecuaciones Kolmo¡¡orm . (21.1 ). se vuelven d~ (z, t) • [F(z, 1)]"'4111 donde F(:, r) esté dado por (11) o (13). es una solución; y esta solución satisface la condición inicial.

4>(z. ~ [F(:, O)}"tu> • z"'tu>

,,,., 160

MÉTODOS PROBABrtÍSTICOS

[PARTE 11

(vense (7)). Ento nces. 4>(;, 1) es lo funció n gcncratnz de las probabilidades de estado para una población que se imc1a con N(O) elementos. El hecho de que sea igual a f1'11º1, implico que la variable aleatona correspondiente a [esto es, la población con tamafto inicial N(O)I puede expresane como la suma de N(O) variables aleatorias independientes. cada una correspondiente a F (esto es, N(O) poblaciones con tamaño imc,al I J. Esta es la propiedad adiuva que se hizo notar anteriormente en este capuulo.

21.8

Demues1rese que el tiempo entre llegadas en un proceso poissoniano de nacimiento con 1asa de nacimientos >.. se dis tribuye exponencialmenie con parametro >.. Denotese .:on la vari:ible aleatoria al momento del primer nacimien10. La población todavia tendra su tamailo inicial, NO), en (( momento r si, y solo si, T>t. En1onces, por (21.10),

P(T s t) • l- P(T > 1) • 1 - P(N(t) = N(O)] • l - p,.,.,(_1) = 1- e_,.. esto es. Tticne una dis1nbuc:1ón e.~ponencial con panimctro ~- Ahora bien. la distribución probab1list1c:i que ~onirola los nac1m1emos en un ,mcrvalo es 1ndependien1e del punto inicial del intervalo (pnmera consideración de un proceso markovi:100 generaJizado de nacimiento-muenel e independiente del estado del proceso (consideracion po1ssomana bh1ca). En consecuencia. Ttambien mide el ucmpo entre este momemo. ahora. has1a el s1¡u1eme nacimiento. En panicular, si ahora es este nac,m,ento, T mide el tiempo enire lle11odas.

21. 9

Un proceso lineal markov,ano de nacimiento. con 1asa de nacimiento>.. ~e 101cia con poblac1ón

V(O) = 1. a) Determi nese el 1iempo esperado has1a que el tamal\o de la població n sea igual n n(n = 1. J .... ): b) .;El tiempo calculado en a) es el mismo que el tiempo en que el tamallo espera• do de la población se vuelva igual a n?

r,,

y

a) La poolac1ón primero llt11a a nen el intervalo 1011niles1mal 1 - dtJ si solo si el estado es n - 1 en el momento 1 (con probabilidad p._ 1(t)J y hav e,actamente un nac1m1emo en (1, 1 - dtJ [con probabilidad (n - l)Nit - C)\drJJ. Entonces. el valor esperado que se busca es: (

-

Jo

lp.-1(1)(11 -

1·- • 1

l)A d1 ~ " 1- 1/

L-:

(El cnkulo se re:iliza m:is fácilmen te multiplicando la ecuación Kolmogorov para dp,t dt por r. integrando por pa"cs. usando (2 1.2) con la sustitución: = 1 - e-" para evaluar la integral de p 1(1) y resolviendo la ccuac,ón en diferencias resultantes). El resultado tiene una interprciación simple: el 11empo esperado para el primer nac1m1emo es 11>-.. Ahora la poblaoón es 1. con una tasa eicctiva de nac1m1entos 1>.: por lo que el IÍempo aclic1onal esperado para el siguiente nao miento es 112~. Y asi sucesivamente. b) De acu"do con

(21.3). el tamaño esperado de la población es igual a n cuando

o que no es d mismo que el tiempo esperado ob1enido en (a). Paran grande . .. - 1

1

í; -:-lnn+-¡ ,- , I donde-, = 0.5TT2157 ... es la consrantede Euler. Entonces, la diferencia porcentual entre los dos tiempos se vuelve muy paquella.

Problemas complementarios 21.10

Un proceso markoviano lineal se inicia con un elemento y tiene una 1asa promedio de nacimiento >-. = 0.3. Determínese la probabilidad de tener una población con más de .:inco elementos tlcspucs de una semana. ¿Cual ;era el t:im:mo o p.:ratlo de la población en este momento? ¿Cual sera ei tam:iño esperado de la población despues de l ..:mana, s1 se inicia con 10 elementos'!

CAP.21J

PROCESOS MARKOVIANOS DE NACl~IIENTO-MUERTE

261

21.11

Resuelvuse el problema 21.10 s1 >-.

21.12

Resuclvase el problema !l. 10 s1 se 1raia de un proceso po1ssom:mo de nacim1en10.

21.13

Un proceso markoviano de nac1m1cnto se m1c1a con IS elementos'! 1iene una 1:isa promedio por hora de nacimientos >-. = O. l. ¿Cual es el mmano esperado de la población despues de 3 h?

! l. 14

Una compimía de autos considera que. en el rango de.¡() 000 a 300 000 automóviles, las ventas de un nuevo modelo siguen un proceso mar~oviano linenl de nacimiento. Si. en promedio. cada 50 nuevos automóviles que estan en las rolles generan diariamente un nuevo comprador. ¿cuantos autos ultimo modelo puede esperar vender la compan1a 60 dios despues de vender el vehiculo numero ~O 000?

21. 15

Una uenda de deoanamentos publica en un diano un anuncio solimando ,endedores. Con base en e.~periencias Jnteriores. la 11enda espera que las solicuudes se presenten de acuerdo n una distribución de Poísson con una tasa promedio de dos dianas, mientras se publique el anuncio. ¿Cuamos d1as deber:i publicarse el anuncio si la ucnda Jesea tener 9~Wo de segundad de recibir al menos s.:1s solicuudes?

0.6.

2

l 1. 16 Cada lunes por la man ano, 1S mmu1os antes de la hora en que un banco local abre. los clientes se forman en la entrada. El patron de llegadas aparentememe siiue una dismbucnin de Poisson . .:on X ~ -IO clientes por hora. Determmese la probabilidad de que ha~a menos de S personas en la fila a la hora de abrir. considerando que nadie abandona la fila una vez formado.

ll. 17

Un proceso markoviano lineal de muerte, que se inicia con cinco dcmemos. uene unaiasa diaria de monalidad de;, = 0.1. Determínese la probabilidad de tener roenos de :res elementos en la población transcumda una semana .•cual es el tamano esperado de la poolación .03. Detennmese la probabilidad de que la población se exunga despues de i días.

21.ll

Resuelvase -. )

11

se duolican.

21.23 Aparentemente el crecimiento de la poblaoón de una especie en peligro de exunción SiJUe un proceso markoviano lineal de nac1m1ento-muene. En promedio. dos miembros de la especie 1ienen una cría cada dos a1'os. El promeaio de vida de un miembro de especie es de j : mos. ¡,Cual es el 1ama1'0 esperado de la población para dentro de :!.O anos, si actualmente consta de 100 elememo>? 21.:?4

Obtengase (21.9) resolviendo primero las ecuaciones de Kolmogorov para p0 (1) y despucs sucesivamente para p 1(1), P1\I), . ...

21 .:S

Resuélvase el problema :?1.9 para un proceso po1sson1ano de nacimiento. Considérese de cero a la población in1c1al.

'! 1.:?6

Dos proceso, poissonianos de nacimiemo. independientes. 1>curr~~ ~1mul1ancamente. Demuostrese que el resultaao es un proceso po1s,oniano Je nacimiento. :uva tasa de ~l::m1en10 es la suma de las dos lasas de naci-

--·

miento.

Capítulo 22 Sistemas de líneas de espera

INTRODUCCIÓ ' Un proceso de lineas de espera esta constituido por los dientes que llegan a una instalació n que ofrece un servicio, esperan luego en linea (fila) si todos los servidores están ocupados. reciben serv1c10 en algün moment o y finalmente abandonan la instalación. Un sisremo de líneos de espero es un conjunto de clientes, un conj unto de servidores y un orden en el cual los clientes llegan y son atendido;. La figura 12-1 :nuestra \'arios sistemas de lineas de espera. Un sistema de lm= de espera es un proceso de nacimiento-muerte con una poblacion formada por clientes en espera del serv1c10 o que ,s1an en servicio. Un nacimiento ocurre cuando un cliente llega a la instalación en que se proporciona el ser"ic10: una muerte o::urre cuando un cliente abandona la instalación. El estado del sistema es el nümero de clientes en la instalación.

CARACTERÍSTICAS DE LAS LÍ EAS D E ESPERA Cinco componentes caracterizan a los sistemas de li n= de espera: el patrón de llegadas de los clientes, el patrón de servicio. el numero óe servidores, la capacidad de conservar a los clientes en las ins1alaciones y el orden en que se atiende a los clientes.

PATRONES DE LLEGADA El patrón de llegadas de los clientes generalmente está especificado por el tiempo entre llegados. que es el tiempo entre las llegadas de los cheni es ~uces1vos a la instalación que ofrece el servicio. Puede ser deterministico (es decir, conocerse e.,ac1amente) o puede ser una variable aleatoria cuya distribución probabilística se considera conocida. Puede depender del nümero de clientes que ya estén en el sistema Cl puede ser independiente del estado. También es imponante el que los clientes lleguen de uno en uno o en grupos. y si se presentan rechazos o abandonos. Un rech~o ocurre cuando un cliente al llegar se niega a entrar en la instalación porque la linea de espera es demasiado grande. Un abandono ocurre cuando un cliente que ya está en la linea de espera. sale de la fila y se marcha porque la espera es demasiado larga. A menos que se especifique lo contrario, la consideración no rmal será que los clientes llegan de uno en uno y que no hay ni rechazos ni abandonos.

PATRONES ~E SERVICIO Generalmente el patrón de servicio está especificado por el tiempo de serwcto. que es el tiempo que le toma a un servidor atender a un cliente. El tiempo de servicio puede ser deterministico o puede ser una variable aleatoria cuya distribución probabilistica se considera conocida. Puede depender del nümero de clientes que ya se encuentran dentro de las instalaciones o puede ser independiente del estado. También es importante determinar si un servidor atiende por completo a un cliente o si, como en la figura 22-l(d),

26f .

S!ST-EMJ\S'DE L ÍNEASDE ESPERA Sistema de linea de espera Fuenttde clitntes

0

Linea de espera

Cliente en _ __

savia~ 1 Servidor ~ _.a, -41.,_•-----------~=~ _m~ _.. - .______, que.se van

ClienLes- +->--tl...,.. . q~ 1i;an - -

(a) Una hna. un servidor Sistema dt linea de espero Fuen1ede dientes

- - -+ Linea de espera

---

r : : l _ Chentes

Clientes

~qutllq¡an

que se van

!Servidor~

r ---

(b) Una sala bnca. varios servidores en paralelo

SiJtcm a de U= de espera Fut:uedc ditnt..

Linea de espera

--

~►•~►•-----------• ISavido,.-1 ~

m--- Ótentes qu Uqan

.

- -

Clirntes ques••an

Unea de espera

---.~

._.

. ·• E} -- -

(r) Varias lineas, vanos servidores en paralelo

Sistema de linea de espera

Linea de espera

•• • • ' • E]- . _

~en.'.:' - qucKvan

(d) Una sala linea, varios servidores en serie

i,I

I': MITTODOS PROBABI LISTICOS

264

[PARTE 11

el cliente requiere una secuencia de servidores. A menos que se especiíique lo contrario. la consideración normal será que un servidor puede a1ender por completo a un clien1e.

CAPACIDAD DEL SISTEMA La capacidad del sistema es el número máximo de cliemes, 1anto en servicio como en la(s) llnea(s} de espera, que pueden es1ar simul1áneamen1e en la instalación del servicio. Siempre que un cliente llegue a una ins1alación que es1é completa, se le negará la entrada. A este cliente no se le permite esperar fuera de las insialaciones (ya que és10 seria un incremento efcc1ivo de la capacidad) sino que se le obliga a parcir sm recibir servicio. Un sis1ema que no 1iene limi1e en cuanto al número de clientes que pueden permanecer den1ro de las ins1alaciones, tiene capacidad infinita; un sis1ema con limue uene capacidad finita.

DISCIPLI AS DE LAS LÍNEAS DE ESPERA La disciplina de la linea de espera es el orden en que se atiende a los cliemes. Éste puede ser del 1ipo primero en llegar, primero en a1enderse (flfO) (CSIO es, servicio según el orden de llegada), del tipo úl1imo en llegar, primero en atenderse (UFO) (esto es, quien llega al úlumo es a quien se atiende), de tipo • aleatorio, o de acuerdo a prioridades.

NOTACIÓN DE KENDALL La no1ación de Kcndall para especiíicar las caractcris1icas de una linea de espera es v/w/x/y/ z, donde v denota ~I patrón de llegadas. w denota el pa1rón de servicio, x signa rica el numero de servidores disponibles. y represema la capacidad del slSlema y z indica la disciplina de la línea de espera. Varias notaciones empicadas para 1res de los .:omponemes se presentan en la tabla 22-1 . Si y o z no se espcciíican. se toman como 00 o FIFO, respectivamente. Ejemplo 22.1 Un sistema M/ D/2/ 5/LIFO tiene uempos entre llegadas distribuidos exponencialmente, tiempos de servicio determinisucos, dos ~rvidores y un Unute de cmco clientes demro de las instalaciones de scrv,cio, y el ultimo cliente en llegar sera el siguiente al que se le dara servicio. Un sistema 0 / D/ t/ uene uempos entre llegadas y 11empos de servicio determinísucos y sólo un servidor. Ya que la capacidad y la disciplina de la linea no se especifican, se considera que son. respectivamente, infinita y FlFO. Tabla n-1 Caractcnsuca de la linea de espera

Simbolo

Sigmíicado

Tiempo entre

o

Dc:te.rrn,nuúco

Uqadas o oempo de SCTV1C10

M

Distnbu1dor a¡>OtlCflCwmcnte Oistnbuido Erlan1 upo k (le • 1,1• .•./ Cualqwcr otra dlstr1budón

e. o FIFO

Disciplina de la linea de espera

UFO SIRO PRl 0D

Pnmcro en llegar. pnm,ro en a1c:nd,rse Úlúmo en llegar, pnm,ro c:n tcndcne Servicio en orden ale:uorio Úlúmo en llegar. pnmcro en atenderse Ordcnaimcnto de acu,rdo a pnondadcs Cualquier otro ordcnam,en10 cspcaalizado

Problemas resueltos 22. 1

ldemiliqucse 11 los clientes. 11 los servidores y a aquellas caracterislicas evidentes de la línea de espera. en el caso de un es1ablecimiento automático de lavado de automo,,les. en una sola rila.

CAP. 22)

S ISTE.>.fAS DE LINEAS DE ESPERA

265

Los clientes son los autom6viles que entran al cstablcc:1m1cnto a fin de ser lavados. Un servidor es el aparato que realiza la limpu:u y la fila única indica la ClCJStencia de uno o más servidores en sene. Po r lo ¡eneral. los servicios de lavado funcionan upo pnmero en IJegllJ', primero en atenderse; as! que la disciplina de la línea de espera es FIFO. La capacidad del s1S1ema es el numero de au1omóviles que pueden maniobrarse con seguridad dentro del lugar de lavado. Si se penrute que haya automov,les en la calle esperando tumo para entrar. entonces la capacidad del sistema es infinita.

22.2

ldentifiquese a los clientes , a los servidores y a aquellas caracteristicas evidentes de la línea de espera. en el caso del departamento de facrurac1ón de un gran almaccn. Los clientes son los cargos que hacen quienes realizan compras en el almacen después de que estos cargos se reciben en el departamento de facturación. pero anees de que se terminen de procesar. Los servidores son personas del departamento de facturac16n que se encargan de realiznr el proceso. El proceso de iaaurac1on sigue a menudo una disciplina de llnN de espera UFO, ya que el último cargo recibido por el depanllrnemo de faccuraoón se coloca encima de las hojas pendientes de procesar y es entonces el pnmer cargo que procesa cJ servidor que se descoupa. En generttl, no hay limite para el número de car¡os que pueden turnarse al dcpllJ'tamento de faauraci6n; de ah, que la capacidad del sistema es infinita.

22.J

Cada J minutos llega un nuevo aparato de televisión. que es tomado por un ingeniero de control de calidad siguiendo un orden del tipo pnmero en llegar, pnmero en atenderse. Hay solamente un ingeniero a cargo del pr oceso y le toma exactamente 4 minutos el inspeccionar cada nuevo aparato. Determínese el numero promedio de aparatos en espera de ser inspeccionados durante la pnmera media hora de un turno, si no había aparatos aJ inicio del rumo. Ésce es un slSlema 0 / 0 / 1. con los aparatos de telev,sión como dientes y el ingeniero como úruco servidor. El uempo entre Ucpdas es ~netamente de 3 minutos. mientras que ci tiempo de servicio es c¡caaamente de 4 minutos. Tibia 22-2 Oierucen

Rclo¡ simulado,

min.

scrv,co

o

.. .

J

.,,

6

..1

7

,'2

9 11 12

,'2

Linea de espera

. ..

... ,,,z "'3

;J

"

18 19 21 23 2A T1

#3

"'4

"'4

...

...s

#S ll'S "'6 "'6

o'6

.,,, #!1

j()

... ...

415. #6 "'6.tlf1

#!1 "'7, "'8 "'6,."9

..s. "'9, "'º

La tabla 22-2 muestra la histona del mterna durante la primera media hora de operación. Sólo se anali-

zan aquellos instantes en que ocurre un cambio en el estado del sistema (cuando llega un cliente o se concluye un semcio>. Obsérvese que no hay clientes en la linea del momento Oal 6 m del 11 al 12, d urante 9 minutos en total. Hay un cliente en la Unea del momento 6 '117, 9 a 11. 12 a 18. 19a 21 y 23 a 24, durante 12 minutos en 101'11. De manera similar. hay dos clientes en la linea del momento 18 al 19, 21 al 23 y 24 al 30, durante 9

minutos en 1otal; y hay tres clientes del momento 30 al 30, durante O mmutos en total. Entonces. la long11ud promedio de la linea de espera. que es el promedio de apar.uos en espera de lnsp«ci6n. es durante la primer.i media hora.

--,

0(9) "- 1(1:?) "-1(9) + 3(0)

30

• 1 aparato

266 22.4

~ÉTODOS PROliABIL!STICOS

fPARTEII

A un depósito cemr2I liettan autobu,1,es para su limpieza en grup0s de cinco cada hora. a la hora en punto. Se da scr,·1c10 a los a utobuses, a leatoriamente y de uno en u n o. Toma I J minutos el dar se, "icio completo a cad2 autobüs y éstos abandonan el depósito en cuanto l'Stán limpios. Determínese: a) el número promedio d e autobuses e n el depósito: b) el n úmero promedio· d e autobuses en espera cie limpieza, y e) el tiempo promedio que un autobus permanece en el depósito tste es un SÍSlema determiniscico. con los autobuses como clientes y el equipo de limpieza como único servidor. Las llegadas se prescentan una vez por hora, pero en grupos; el tiempo de servicio es de 11 minutos, Un autobús esta en servicio miem.res lo están limpiando. La tabla 22-3 muestra la h1s1oria del sistemá durante un periodo de I hora, en los momentos de lleµda y partida. Ya que el orden del servicio es aleatorio , la secuencia panicular que se mues1ra es una de diícren1es posibles scc:uencias óe atención a los autobuses. Sm embargo, las estadisucas necesanas son independientes de la secuencia. Ademas, ya aue el sistema se renueva cada hora, las estad1sticas que caractenzan al sis1ema durame la primera hora, también san válidas a largo plazo.

Tabla22-3 Reloj nmulado,

Clmllcen servido

mm

o

lfl4

11 22 33

.-1

11'5 "3

,n

4.!

...

SS

Linea de espcrz "'3. Jjll, ,n, Jf/5 "3,,n,, lf'S Jll3,r'2

,n

.. . .. .

a) Hay cinco clientes en la instalacioo del momemo Oal 11, 4 chemes de 11 a 22, 3 cliemes de 22 a 33, 2 clientes de 33 a 44 y I cliente de 4-1 a ~S. y cada imer\'alo es de 11 minutos. Ademas no hay cliemcs en la ins1a•

ladón del momento SS al 60, o sea S minutos. Ento nces, el promedio de clientes en la instalacion es:

5(11) ... 4(11) + 3(11) + 2(ll) + l(l l)-r O(S) - 2 75 autobuses

60

.

b ) El número promedio d e clientes en la linea de espera. es decir aquellos autobuses eo espera, pero que aun no están en el servicio, es:

4(ll )+ 3{1l)+ 2~)+ l(ll)+ O(ió) e 1.83 autobuses e) Un autobús, el t 4 de la tabla 22-3, permanece en el sisteme durante 11 minutos, ya que se le proporciona eJ servicio en cuanto llega. El segundo autobús, # 1 de la tabla 22-3, espera 11 rrunutos antes de recibir servicio. asi que permanece en el sistema durante 22 minutos. De manera Similar, lo~ o tros tres autobuse! pasan respectivamente 33, 44 y 55 minutos en el sistema. P or Jo tamo, el tiem po promedio que un autobus permanece en el sistema es:

11 +22+33+ 44 "'55 . = 33 mm. 5

22.S

Simúlese u n sistema M/ 0 /2/3 durante los primeros 45 minutos de operación, si el tiempo prome• dio entre llegadas es d e 3 minuto s y si los servidores I y II emplean exactamente 5 y 7 m inutos, respectivamente, para atender a un cliente. Considérese que al inicio no hay clientes en el sistema . Si una variable aleatoria con distribución exponencial tiene una media (valor esperado) de 3, entonces la función de dislribución, (21.13), tiene a 1/ 3 como paramecro. Usando un generador de números aleatorios para obtener valores (en minutos y segundos) de acuerdo con esa disrribución, se obtienen: 3:54, 2: 11 , 1:26, 1:25, 0:05, 5:24, 6:09. 0:57, 1:14, 5:57, 1: 19, 2:39, 0:52, 8:54 y 2:49. Se toma a los valores sucesivos como los tiempos entre llegadas d e clientes sucesivos. El proceso de la lmea de espera para los primeros 45 minutos de operación se muestra en la tabla 22-4, considerando solamente aquellos momentos en los que un cliente llega o pane. Obsérvese que en el momento 9:01 , los clientes #2 y n están en servicio, el cliente# 4 está en la linea espeando servicio y el cliente # S llega. Ya que la capacidad del siS1ema es 3, al cliente # 5 se le niep la entrada y nunca recibe servicio. Una SI· tuació n similar ocurre en el momento 33:32.

CAP. ::2)

SISTEMAS DE LINEAS DE ESPERA

267

Tabla 22-4 R.y¡,,.= µ. para toda n. La solución completa para estas ecuaciones, aunque posible, no es necesaria. Como en el capitulo 9. la distribución limite es la de mayor interés.

OLUOONES DE ESTADO ESTABLE

Las probabilidades de estado estable para un sistema de lineas de espera son: p.• lim ,_ p.(r)

(n

= O, l. 2. ...)

(23.J)

si c.~1ste el limite. Para un sistema M/ M / 1. se define al factor de utílfr;ac,ón (o intensidad de tránsito/ como A p•(23.2) µ.

esto es, pes el número esperado de llegadas por la media del tiempo de servicio. Si p< 1, entonces (problema 23 . 7), las probabilidades de estado estable existen y están dadas por p.

= p"(l- p)

(2JJ)

Si p > 1, las llegadas se presentan con una tasa m-:iyor que lo que el servidor puede manejar. la longitud esperada d e la linea aumenta sin limile y no se presenta un estado estable. l:na situación similar ocurre c-uando p = 1. ~, -

270

METODOS PROB.o\BILISTICOS

MEOIOA DE f.F"ECTJ\' IDAD Para un sistema de linea., de espera en estaoo estabie. la\ medidas de mayor 101eres son :

L • número promedio de clientes en el sistema

L. •

longitud promedio de ia linea áe espera úempo promedio q ue un cliente permanece en el sistema w. • tiempo promedio que un cliente permanece to espera) en la linea W(t)• probabiiidad de que un chente permanezca mas de I unidades de tiempo en el sistema. w.(1)• probabilidad de que un cliente permanezca más de I unic.íades de tiempo en la linea de espera. W •

En muchos sistemas de lineas de espera. las primeras cuatro de estas medidas están relacionadas por W

J = w, +µ

(23.4)

Y por las .fórmulas de Little (problema 23.10) (23.5) (23.6)

La formula para el tiempo de espera {23.4) se cumple siempre q ue (como en el sistema M / M/ 1) hay un solo tiempo de espera de servicio. 1/ p. oara todos los clientes. Las fórmulas de Liule son "aiidas para sistemas muy generales. siempre y cuanao Adenote la tasa promedio de lletiada de ch ente, oe111ro de la~ instalaciones de servicio. Para un sistema M/ M / 1, A >-.)' las seis medidas son explicnamente:

L=-P-

(.23.7)

p2 L.=1-p

(23.8)

W=-1-

(23.9)

W=-P-

(23.10 )

1-p

\

µ-A



W(t) =

µ-Á

e-••·

(12: O)

(t 2: O)

(23.11 ) (23.12)

Observese en (23.12) que aunque el tiempo de permanencia en el sistema tiene la distribucion exponencial (23 . 11 ) y el tiempo durante el servicio se distribuye también exponencialmente. la diferencia entre~tos dos tiempos, que es el tiempo de permanencia en la linea de espera, no se distribuye exponenoalmente.

Problemas resueltos 23. 1

Muéstrese que "la mayor pan e" de los valores de una variable aleatoria con distribución expo• nencial son menores que el valor de la media. Si T se distribuye cxponcncíalmeme, con parámetro B. la media de Tes 1/ 8. De (21.13), P(T s l/fJ) - 1 - ,-• - 0.632 P(T s 1/2,6) m 1 -

,-in -0.393

Por lo que se podría decir que 630/'o de los valores son menores que la media y que. de estos valores. alrededor de 63'io son menores que la mitad de la media.

CAP. 2JJ 13.2

SISTEMAS 1-1/t.l/l

271

Estúdiense la~1mphcaciones de que tanto los t1emoos de senicio como el ttempo emre llegad~ se a)- P(Tsb)

Cuando T mide los tiempos entre llegadas, la impu:acion es que el uempo hasta la siguiente llegada es independiente del tiempo desde la ítltima Ue¡zada. Para los uempos de servicio. la imphcacion es que no puede predecirse el tiempo necesano para concluir el servicio a un cliente, al conocer el tiempo que el cliente ha es• taoo ya en servicio (esto es, los tiempos son independientes) 23.J

El depanamento para cabalieros de un gran almacén tiene a un sastre p.ira ajustes a la medida. Parece que el número de ciientes que solicitan ajustes sigue una óistribucion de Poisson con tasa media de llegades de 24 por hora. Los ajustes se realizan con un ord:n del tipo primero en llegar, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar, ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el llempo que toma realizar el ajuste para un cliente se distribuye exponencialmente. con media de 2 minutos. a) ¿Cual es el número promedio de clientes en la sala de ajustes?: b) ¿cuanto tiempo de permanencia en la sala de ajustes deberla planear un clieote7: e) ¿que porcentaje del tiempo permanece ocioso el sastre?; d) ¿cuál es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sasue más de JO minutos? Este es un sistema M / M /1 . con

A •24 h- 1 • ¡, •

¡

p • 24/30 • 0.8.

o)

De (13 . 7),

i min-• •

30 h- 1

L•_.Q!._•4 clientes 1-0.8

b)

De (23.9), 1 w---lb • 30-1A

10 min

El resultado también se obtiene de (23.5):

w -.!.L • .!...(4)•h ). 24 e)

El sastre permanece ocioso si, y sólo si, no hay clientes en la sala de ajustes. La probabilidad de este evento está dada por (23.3) como po • pº(l-p)• l(l-0.8)-0.2

El sastre permanece ocioso 20'i, del tiempo. d)

De (23. 12), con , • 10 min -

1n• W,

=

w.(l) • ~

co.s~-• !" 0.2943

f '! m 23.4

MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

[PARTEII

Detcnninese, para el sistema del problema 23.3: a) la espera promedio que por los servicios del sastre efectúan todos los clientes, y b) la espera promedio que por los servicios del sastre realizan sólo aquellos clientes que deben aguardar.

'

a) Oc (23.10),

w. • ~-A _P_ =~ = 0.133 h • J0-24

8 m.in

b) Oc nótese a In espera promedio que se dcscn obtener como Wq. La proporción de clientes que llegan y no tienen que esperar es t - p [Ésra es la probabilidad de que un cliente encuentre el sistema vado a su llegada. Véase el problema 23.J(c)J. Por lo tanto, In espera promedio con respecto a todos los clientes que llegan esta dada por •

w.

2

(1-p)(O}+ pW;

entonces 1 w; • .!.p w. -- = ~ ->. 23.5

W • I0min

Una tienda de manjares delicados es operada por una persona. el propietario. Aparentemente el patrón de llegadas de clientes durame los sábados se com porta siguiendo una distribución de Poisson, con una l35a promedio de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les auende siguiendo un orden de tipo FIFO y debido al presligio de la tienda, una vez que llegan están dispuestos a esperar por el servicio. Se estima que el tiempo que toma acender a un cliente se dismbuye exponencialmente, con un · tiempo promedio de servicio de 4 minutos. Determínese: a) la probabilidad de que haya una línea de espera: b) la lo ngitud promedio de la linea de espera: e) el tiempo esperado de permanencia en la linea de espera. por cliente. y d) la probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12 m inucos en la lienda. Éste es un sistema M / M / 1, con

1/6

2

p=---1/4 3

probabilidad dc·quc hayá una linea de espera, es la probabilidad de que haya dos o más clientes en el sisccma. Por (23.3),

a) La

p, • p(l -p)= ~ 1 -J)= i

Por lo tanto, la probabilidad de que haya una llnca de espera es: 1-po-p,•

,_.!._! -~ 3

9

9

b) Oc (23.8),

(213)'

4

L. • - - • - cUcntes 1- (213) 3 e)

Oc (23. 10),

w. = (1/ 4)2!}(1/6} •

8 min

d) De (23.4) y (2.3.11),

W - 8+4a 12min l-W(12) • l-e- •v•• a l -O.J679 a0.6321

23.6

Simúlese el proceso descrito en el problema 23.5. En la tabla :!.3-1 se presentan dos conjuncos de números aleatorios distribuidos exponendalmente, uno con parámetro 1/ 6 (ciempo entre llegadas) y el otro con parámetro 1/ 4 (tiempo de servicio). con todos los valores convenidos a minucos y segundos. Como se esperaba por ser distribuciones exponcncialc:3, la mayoría de los valores de c:ida conjunto (JO de 16, o sea 62.S'it) son menores que las medias tcóncas, 6 minutos par:!

1

l •

SISTEMAS M/ M/1

CAP.2JJ

273

tiempo entre llegadas y 4 minutos para los tiempos de servicio. Los promedios mucstralcs para to~ tiempos q ue se mucs1ran en la tabla 23-1, son: 6 minutos 10 segundos parad uempo emrc llegadas y 4 minutos 12 segundos para los tiempos de scrv,c,o.

'

Tabla 23-1 Tiempo enue Ucgadas

Tiempo de servu:io

3:30

0:16 0:01

J :30 6:36 11:45 5:32 J:27 8:17 15:24 3:29

2;37

10:19

11:53 2'57 1:02

J:OJ 0:59

0- l. La.secuac1ones (21.l ). coo dp.l d1 • O(estado estable), 11. lona

P.••• (p + l)p. - PP..-1

= 11 y>.,, = >., se vuelven las «uacioncsdt bo·

(n • l. 2, .••)

(1) (2)

p, • ppo

La ecuaci6n (2) da p I en lénninos de Pe, y todas las otras probabilidades de estado estable pueden obtenerse wnbién en termines de Po resolviendo sucesivamente (1): a= 1: D

= 1:

• .. 3:

p,•(p+ t )p,-ppo• (p+ IXP¡,o)-¡,po•p 2p. p, • (p + l)p,- pp,• (p + l )(p 2p.)- p(ppo) • p'p.

P• • (p + l)p,- pp, • (p + l )(p'p.)- p(p'p.) • p'p.

y, en general (3)

p. - p•p. Ya que la suma de estas probabilidades debe ser igual a la unidad Y O

. y¡,. en un mmna M/ M/ 1.

23.::J

Encuéntrese la probabilidad condioonal de que hayan una linea de espera.

23.24

Dctermlnese el número esperado de clientes en la llnC3 de espera de un smema M/ M/ 1 cuando c.~1ste ur.a linea de espera. (Conse10: Úsense los resultados del problema 23.cJ.J

23.25

Obtengase (23 .18) , in emplear la fórmula Lillle, C3lculando directamente el numero de clientes esperados en la linea Je espera.

?J.26

Obténganse las ecuaciones de balance (vease el problema cJ. 7) directamente, empicando el hecho de q ue en el escado esrnble la 1asa esperada de transiciones del sis1ema a l estado n debe ser igual a 1.a tasa esperada de transiciones t'uera del estado n. (Nótese que en general las lllSas esperadas de clientes al entrar y salir del estado n, >.,, = ,\y¡,.., = ¡,., no son iguales.)

?J.27

úsese d enfoque de la función generatriz sugerido en el problema 11. 7. para resolver las ecuaciones de balance para un sistema M/ M/ 1.

23.28

Sin usar el problema 23.26. veriílqucse que la Lasa media de parudas de un sistema M/ M/ 1 de estado estable es igual a la tasa media de llegadas al sistema.

i!:

2 clientes en un s1s1ema M/ M/ 1. dado que e,x1s1e

Capítulo 24 Otros sistemas con entradas tipo Poisson y tiempos de servicio de tipo exponencial PROCESOS DEPENDI E.I\TES DEL E.c;TADO DEL SISTEMA

En muchos casos de lineas de e;oera. el número de llegadas de cliente.< no consmuye un proceso estrictamente poissoniano. con parámetro constame >.; en vez de esto. parece seguir un proceso similar al poissomano, en el cual ),, vana de acuerdo al numero de clientes en el stslema. Puede también darst: el caso de que las salidas del sistema no ocurran a una tasa promedio constante¡;. y corno sucedena para un solo servidor. con un tiempo de ser"ic,o distribuido exponenctalrnente: en vez de esto, las salidas se comoonan corno si hubiera un solo ser,idor con un 1iernpo de servicio con d1stribucion $imitar a la exponencial, pero en la cual u vana de acuerdo con el estado del sistema. Corno modelo para 1ales procesos de lineas de espera, se emplean procesos rnarkovianos generalizados de nacimiento-muerte (Cap. 21 ), para los cuales >.,Al y µ.,,Al dan. res~tivameme. el numero esperado de llegadas y partidas en un pequefio intervalo l11, s1 el smema se encuentra en el estado n al inicio del intervalo. Se tiene que la probabilidades de estado es1abie para eHm procesos satisfacen (24.1)

o

en donde Po se determina empleando la condición de que la suma de 1odas las probabilidades sea la unidad. Esta suma converge. siempre y cuando las>. no sean demasiado grandes con respec10 a las µ . En particular, resulta segura la existencia de un estado estable si

A·- 1 se,,, • >. • 30 h - 1. Sin embargo, los tiempos de servicío dependen del cswdo. Cuando hay menos de tres clientes en la c:nja de salida, el tiempo medio de servicio es de 2 rrunutos: entonces. la tasa media de serv1c10 es JO h - ' · C uando hay tres o ma.s clientes en la c:n¡a, el uempo promedio de servico es I minuto: ahl la tasa media de servicio aumenta a 60 h- 1• Entonces, (n • l. 2) (n • 3,J, . ..) Nótese que, cuando una nueva llegada c:nmbia el estado del sistema de 2 a 3, el cliente en servicio se ve sujeto inst:unancameme a una nueva distnbuci6n exponencial (propiedad de " falta de me mona"). De (~~- ll se uene que Áo

p, --Po ¡,,

30 ·-=-Po· Po 30

A1 30 P'2 • ¡,, - P• • 30 - (Po)• Po

282

MÉTODOS PROBABILISTICOS

(PARTE ll

y, en general.

(n "'-2) Para obt:ner p 0, se vuelve

•- r p. - p,,+p,+};- P• =2¡,o+ ¿- úr-

2 ""

•--

obteniéndose Pn

••l

••l

= ¼ . Por esto, (n • O. 1) (n • 2. 3, . ..)

La funcion generatriz para estas probabilidades es:

(z )" • 2 +z+-z 2

1 1 + ~- F(z)• • p..r • = -..--:z "~ 4 4 •. 2

(a)

L-

L-

••

np. z

0

8-4z

d.FI = -28 • 1.75 chentcs dz ,., 16

-

(b) W• e)

75 I:l. • 0.05833 b • ,1 30

3.5 min

Debido a que el empacador y ti cajero trabaian juntos, el número .de servidores depende del estado en s. = l. Entonces, como en el problema 23 .11,

L. s __ ¿, (n- l)p. -

L-(1- p,,) - t:75-0.75= 1.00 cliente

y

W,

•-? • 1.00 - 0.0333 b • 2 min 30 ,1

Obsérvese que el tiempo promeóio de servicio por cflente es:

w - w. 24.2

L5 mio

Resuélvase nuevamente el problema 24.1, si el segundo empleado es otro cajero-empacador itzualmente eficiente. que trabaja en paralelo con el primero. Siempre que restan sólo dos clientes, el empacador que está momemaneamente libre abandona su caja, para regresar siempre que el estado alcance nuevamente el estado 3. ¿Sena mejor este arreglo, desde el punto de vista de los clientes? \ >,,,y¡,, son las mismas que en el problema 24.1; enton=, las probabilidades de estado, y por ende L y W, permanecen sin cambio. Sin embargo, ahora el número de servidores depende del estado, con m O, l. 2) (n • 3, 4....)

(n

y asi

- (n - 2)p. = p, + ¿- (n - 2)p. + p,

L. • lp,, + ¿

••l

• p,+ L-2(1 -pi,)+ p, •

w. • O~S -

,..,

¼+ 1.75-2$+¼= 0.75

cliente

0.025 b • 1.5 min

En comparación con la siluacion del problema 2A. I, los clientes esperan por el servicio un promedio de 0.5 minutos menos y permanecen en el servicio un promedio de 0.5 minutos más. Probablemente favorecerla este cambio.

CAP. 241

24 .~

OTROS TIPOS DE SISTEMAS

283 •

Ob1éngase (2~ . 11. FiJando dp,l dt = O(condiciones de estado estable) en las ecuaciones Kolmogorov para un proceso mar• koviano generalizado de nacimiemo-muene, (21 .1). después de ordenar se tiene A. + µ... ---p,._ A• -1 p ..+1 -------..;,.p. , JJ,,.+ J

P..+I

(n

= 1, 2, .••)

Áo

p,•-po

(J ) (2)

JJ,1

La ecuación (2) da P, en terminos de p 0 • Resoh'iendo i1era1ivarnen1e a (1), cambien se encuentra ,,.

A,+ ,,., Ao ~/~• ) - -¡;;p , -;-, po - JI,' \;'; po -

A,+p,,

Áo Á1Ao ,,,, po - ;:;;:; po

A,

p,=-¡;;-p,- p,, P• A, +,,,,/~1Áo ) Á1 /~• ) =-¡;;~ Po -;-, \;'; po -

Á2A,Ao

;;;;;; po

)', en ¡teneral

Á.-,>..-, - · · Ao p. - ,,,,.,,,__ , .•. JJ,1 po 24. 4

or

El propietario de una pequeña, pero concurrida úenda de diarios y tabaco alienóe a los clientes a razón de un promedio de uno cada 30 segundos, con distribución exponencial. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso poissoniano, con una tasa media de rres por minuto, y pueden esperar por el servicio si el dueflo está ocupado con otro chent~. Determinado número de clientes deciden no esperar (rechazo¡ y hacen sus compras en otro lugar. La probabilidad de que un cliente que llega "rechace" C$ n/ 3, donde n es el numero de clientes que ya se encuenrran en la tienda. Si la ganancia promedio por cliente es 30 f, ¿qué ganancia espera perder el dueflo de la uenóa, por concepto de clientes que parten y hacen sus compras en otro lugar? Ya que la probabilidad de rechazo es 1 cuando hay tres clientes en la tienda, la tienda nunca tiene más de tres clientes al mismo tiempo y los únicos estados factibles son O, 1, 2 y 3. Se toma a la función de ¡-cchazo como (n • O, l. 2, 3)

(n • 4,S• •• .)

= 3, mientras que, por (24.3), l.

dentro de la uenda son: A, • (1-!)(3) e 2 y >-. = (1 - 1)(3) = O, cuando n Por minu10. De (24.1 ),

= 3, 4, .•. La tasa de servicio dep-..nde del estado, con,.,, = ¡, = 2 clicn1es p, = Ao po= jpo JJ,1

,,,,p,- hl,,o) = jpo p, - ,,,, ~,,. - kb>o) = ~

P> a ~

yp. = O (n

= 4, 5, ...). La condición de que las probabilidades sumen 1, dap0 = 4/ 19. Enton=, 6

p,• 19

.

La tasa esperada de rechazo es:

i,.J

3 p, • -

19

P•

e

O (n >3)

-

~ METODOS PROBABILISTICOS

284 •

~o (A -A.)p.. • (3-3)

6

4

(PARTE 11 6

3

19 + (3-2) 19 + (3- 1) 19 +(3-0) 19 +0+0+ · • ·

• 1.4211 clientes por minuto

a.si que la

tasa

de pérdida., esperada., es: ~)(1.4211)- 42.633 ttmin:. S2S.58 por hora

24.5

Un pequel'lo banco 11ene dos cajeros. igualmente eficientes y capaces de atender un promedio de 60 operaciones/ cliente por hora. con los tiempos reales de serv1c10 distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso po1sson13no, a una tasa promedio de 100 por hor.1. Determmcsc: a) la probabilidad de que haya mas de 1res clientes s1mullaneamente en el banco: b) la probabilidad de que uno de los cajeros este ocioso. y el la probabilidad de que un cliente permanezca mas de 3 minutos en d banco~ Éste es un s1s1cma M/ M/2, con ).

2

100 yµ. • 60. Ya que p•

100 - ~ª¡Po

p, =

A, 5 Pz•;¡;p, •¡¡ Po

p, • ,,_, P• • 96 /JI>

5

A,

p,•;;P> • ¡¡po

p.

,,_,P,= 32 Po

-o

(n >5)

y normalizando, se tiene:

1• Entonces, p 1 a)

D

0. 1475, Pl

L p. •

·-·

= O. 1230, p,

o

5.0633p. • O. l:?30, p,

,,.. 0.1967

= 0.1237 y P,

- 0.2561.

'

L • }: np. • 1(0. 1475)+ 2(0.1230)+ 3(0.1230) + 4(0.1537)+ 5(0.2561) • 2.658 clientes

·-·

b) Se empica (23.6) para determinar

w,, después de calcular A y L,. Por (24.2),

A• y (s. = 1)

L.•

± -Ti A.p.

··•

(1 - p,) • 0.06199 min-

1

'

~ (n - l)p. • (1)(0.1230)+ (2)(0.1230)+ (3)(0.1537)+ (4)(0.2561)

•-2 • 1.8545 clientes Por Jo tanto,

w. - 0~,::1~ = 30.31 min e) El peluquero permanece ocioso cuando no hay clientes en el local. Esto ocurre con una probabilidad Po = 0. 1967, o un poco menos de 201ft del tiempo.

i,/

r'! 288

MÉTODOS PROBABlLISTICOS

(PARTE 11

24.10 La estación de servicio descrita en el problema 24.7 es popular debido a que vende la gasolina a un precio ligeramente más bajo que la competencia. Sin embargo, el precio no es suficientemente bajo para compensar una larga espera en la ünea, así que los clientes tienden a abandonarla de acuerdo a la función de abandono (n = O, 1) (n = 2, 3, 4)

Determínense: a) el número promedio de automóviles en la estación, en cualquier momcmo, y b) el número esperado de autos que abandonarán la fila cada hora. Éste es un sistema M/M/1/ 4 con abandono. Otm posibilidad.es considerarlo como un sistema M/ M/1 con abandono y con rechazo forzado,-siempre que el esrado del sisrema llega a 4. Oc acuerdo con este ultimo enfoque, la función de n:cbazo es:

=

(n O, t. 2. 3) (n • 4. 5• ...)

De cualquier fonna, la laS8 promedio de llegadas a la instalación es>. = 10 h - 1 y la tasa promedio de atención a los clientes es ¡, = 30 h - 1, como en el problema 24.7. Ahora se tiene que !as casas promedio de llegadas al interior de la estación son:

las

(n

= O, l. 2. 3)

(n

= 4. 5•.. .)

promedio de atención a los clientes a través del siSlema, ya sea atendiéndolos o forzándolos al rechazo, son: tasas

µ., = µ. + ,(1) = 30 +O= 30 µ.,

= µ. + r(2) = 30+2.718= 32.718

µ., = µ. + ,(3) = 30 + 4.482 • 34.482 µ.. = µ. + ,(4) = 30 + 7.389 = 37.389

Se usa (24. 1) para detenninar las probabilidades de esrado esrable y, a panlr de ellas. calcu.l ar directamente las medidas de ~ficiencia necesarias. Nóccsc que (24. 10), (24.11) y (24.12), que consideran tiempos de servicio exponenciales para todos los clientes, no se aplican a este proceso. '

A

LO

µ.,

30

P• =....!Po= -Po= (0.3333)Po A,

10

,,

P> = µ, P• • 32_ ,0.3333)Po = (0.10t9)Po 718 P> -

P• y p•

A1 µ, P> ª

A,

µ. P> •

10

J4.4i2 (0.1019)Po • (0.02955)Po 10 37.389 (0.02955)Po • (0.007903)Po

= O para n 5, 6, ... Nonnalizando. l.=

_¿p.• (L473)Po

··•

En consecuencia. p 1 = 0.2263, p 2 L-

a)

. _¿

.., np. •

o

,,. . 0.6789

= 0.0692, p 1 = 0.0201 y p, z

0.0054.

1(0.2263) + 2(0.0692) + 3(0.0201) + 4(0.0054) 2 0.4466 auto

-

1,) la tasa esperada de abandono, en automóviles por hora. expresada en función del estado del sistema es r{n). Por lo tanto, el número esperado de automóviles, N, que abandonan cada hora es:

N =

±

·-·

r(n )p. • (0)(0.6789) + (0)(0.2263) + (2. 718)(0.0692) + (4.482)(0.0201),. (7.389)(0.0054)

- O.J 181 autos por hora

CAP. 24)

OTROS TIPOS DE SISTEMAS

289

Problemas complementarios 24.11

Una pasteleria tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a 30 dientes por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un proceso poissoniano. con una tasa media de 40 por hora. Dete:nnincse: a) la fraa:i6n de tiempo que un cierto dependiente está ocioso, y b) la probabilidad de que baya más de dos dientes esperando servicio en un momento dado.

24. ll Unn estación ferroviaria suburbana tiene onco reléfonos públicos. Ou.rante las horas de más movimiento en la tarde, lns personas que desean realizar llamadas llegan a las cascta.S telefónicas siguiendo un proceso poissoninno, a una tasa de 100 por hora. La durad6n promedio de una lh1JT1ada es de 2 minutos. con la duración real distribuida e.,ponencialmeme. Determinense: a) la cantidad de tierno estimada que un individuo deber.\ esperar para hacer uso de un teléfono. una vez que llega a las c:asetaS: b) la probabilidad de que esta espera dure más de I minuto. y e) el número esperado de personas que hacen uso o esperan un teléfono. 24. 13

Un pcqu~o banco uene dos cajeros, uno para depósitos y uno para retiros. El tiempo de servido para cada cajero se diStribuye e.,ponencialmente, con una media de I minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de ..

Una compal!ia que tiene sicte delicadas máquinas que frecuentemente se descomponen, emplea a dos personas de servicio con la única tarea de repararlas. Ca.da persona de servicio puede reparar una máquina en 2 horas promedio, con el tiempo actual de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. Una

""

292

MÉTODOS PROBAB!Llsncos

[PARTE 11

máquina recicn reparada funciona a un promedio de 12 boras antes de descomponene nuevamente; el tiempo real de funcionamiento se distribuye Cllponencialmcnte alrededor de esta media. Determinense: a} el numero cspcrado de máquinas que se encuentran en opcrac:ion en cualqu.icr momento, y b) el porcentaje del tiempo que una máquina dada estará fuera de opcrac:i6o. (Consl!}o: Úsense los resultados de los problemas 24.33 y 24.34.) 24.36

Para un proceso general de lineas de espera, den6tcsc con Sal número promedio de dientes en servicio (que es lo mismo q ue el oúmero promedio de servidores ocupados), durante todos los periodos en los cuales el sistema no está vacio. lnficrase a partir de las fórmulas de LlttJe que el tiempo medio de servicio para todos los clientes que son atendidos, 1/µ.. puede Cllpresarsc como

JJ

RESPUESTAS A LOS PRO BLEMAS COMPLEMENTARJOS 1.26

295

La energia gravitadonaJ potendal del sistema es (para un nivel de referenda adecuadamente seleccionado) proporcional a a + b + e y esta energía es un minimo en equilibrio.

CAPITULO 2

2.7

Háganse x, = x, dón por -1.

- x, y x,

= x6 -

x1 , con cada nueva variable no negativa. Multiplíquese la primera restricC • (2.-1, 1, 4, -4, O, W

º]

-5 -2 2 3 -3 1 -2 2 l -1 O 1

A• [ 2

e-

2.8

¡10. 11. o. o, oJT

º] B•[~]

1 2 1 O A•340L0 [6 1 O O 1

C • (lO, 11,0,0,0, - M, - M. - M]T

X• (.x,, .x,, .x,. .x., .x,, .x., x,, x,)r I 2 A• 3 4 [6 t

O 1 O o] O O 1 0 O -1 O O 1

- 1 O O -1

O

B•[:] 175

e • (J. 2. 4, 6. o, o. M, Mir

1.10

º]

A• [1 2

2

1 1 -1 O 1 1 J 7 O -1 O 1

e-

1.11

A•

2.12

Xo•[ ~]

[t2

6 3

(6. 3, 4, M, MJT

º]

1 1 l O 1

Hágase x, = x, - x6 , con cada nueva variable no negativa. Entonces x, y x, pueden usarse como parte de la scluoón inidal una vez que se ha dividido entre 2 a la segunda rcstncción.

C • (7, 2.3, ! , -1 , - M]T 2 7 O O O 1] A• 2.5 4 O l -1 O [ l O 1 O O O

C • (10, 2. - 1, o,º· o, o, M. M, M]T

2.13

l 1 A• O [O 1

O 1 O O O 1 O O -1 O O 1 O O I O I O O O -1 1 O O O O

CAPITULO 3 J.16

No: [l. 11r no es1a $Obre C'I segmento linea entre los otros dos puntos.

RESPUESTAS.._ LOS PROBLEMAS CO\1PLEME"-'T A.RICS

296 3. 17

3.18

(b) y (e) son soluciones fac1iblcs basicas; (b) es degenerada.

3.19

3.20

(a). ( con: 5. 1~

todas las variables no negativas

Muh1phqucse por - 1 a la uluma restricción en el p ro¡?rama primario. maximiccse: con las condiciones:

z • 6w1 + s..., -, 2w1 ·

-

..,,

w,:s:3

5w, + 4w,+ 6,.,,s2 -2w,-3w,sl w, +2w,- 7w, s 2 w , + 3w,-5w,s3

con: 5.1S

minimícese: con las condioones:

todas las ,·ariables no nega11vas

z • 25w, + 30w, + 3Sw, 7,.., + 2w,+ 6w, .e 6 - llw,- 8w, - w, s t 3w, + 6w,+ 7w, .e3

con: todas las "ariablcs no negativas (El lado derecho de la segunda¡rcsuiccion se ha variado a posiuvo.) 1

5.16

Agrcgesc la variable supcrílua .r, en la primera r~stnccion. minimlcese: con las cond1c1oncs:

z e 16w1 + 20w2

s.., + 3w, .e 10 6w 1

.e 15

- .. ,+2...,z::20

..,- ...,z::25

- w,

"" o

(No1esc que este programa no tiene solución factible). 5.17

max1mlccse: z • w, + 4w,

con las condiciones:

5. 18

r • • 72 en ambos casos

5.19

.rJ • 1.25, .r1 • .rJ • .r: • .r! • O; z • • 2.5.

3w,st

..,+ w,s2 w 1 +3w,s 1

S.lO

Mull1phquesc por -1 cada rcstnccion. Entonces, el dual s1metnco es: minimícese:

z • -6w1 - 12,.,, - 4w,

con las condiciones: -6w, -4w,- w, z:: 5 - ..,-J..,-2 ..,.e2 con: Este prop-ama no tiene solucion fac1ible.

iJ

__..

todas las variables no nepth•as.

297

298

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

5.21

maximíccse~ z • Sw, - Swt con las condiciones:

w, + wt ::S - 1 -w1 -,...::S-I

5.22

La segunda variable de holgura en la solución óptima al programa primano• .x1, es positiva; por esto, W! debe ser cero (como lo es, m el último renglón del tablcau 2).

5.23

zt • 1/3, xt • o, xt • 2/3;

5.24

Del resultado del problema 5.9,

wr - º· wt

s

1/3.

srw.- crx..i:arw

y

Por esto, WO es óptima y X., es óptima.

CAPÍTULO6 6.9

.tf =- 1, zt•J. .rJ•O; z • -1.

6.11

Xf

• 0,

X!

= 7, .r t

= 1;

Z•

=71.

6.12° No facúble. 6.13

Deben desarrollarse lo~ sitios B, C, O y F. para tener una capacidad neta de 55 toneladas semana-

les. CAPÍTULO 7

CAPÍTULO 8 El costo de_tr:inspone es igual al costo de producción más el costo de embarque.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

ll

m

IV

V (ficticio)

.zoo

(0)

(0.06)

41N

A 3lOO

299

Suministro



7500

o

1.11

B

1-

10000

-0.14

8100

-0.07

(0.02)

1. 16

e O.manda ~

(0.03)

1100

(0.03)

(0.02)

(0.07)

4200

8300

6300

2700

~100

1.21

1.23

1.19

1.23

o

La plan1a A produce 3 200 unidades para el cliente J. 200 para el cliente II y le queda una capacidad no Ulilizada de 400 unidades: In planta B produce 1 000 unidades para el cliente 1, 6 300 para el cliente III y 2 700 para el cliente IV; la planta C produce 8 100 unidades para el cliente 11.

2

uo

3

130

4

s

Sunnninro



9S 9S

(18)

( 17)

(11)

o 48

2

o 3 (1D)

4

73

(13)

s

65

o

(31)

(15)

(26)

10

2,1

o

:?O

O.manda

¡_

"'

n

El abogado I al caso S. el abogado 2 ni caso J , el abogad_o 3 al caso 3, el abogado 4 al caso 2 y el abogado S aJ caso l.

RESPUESTAS A LOS PROBLE~IASCOMPLEMENTARIOS

300 8.11

1

~

1

(7)

(3)

~

3

r (l)

100000

Demanda

100000

.,

-3

1

3

,: (Íl-.':IICIOJ

~

~

30000

.0000

1 181000

o

270000

150000

~

~

éi',•I., "·-'

p (3)

(2)

1

l

88

91

1

! (1 )

150000

2

-91

).ó,

1

1

90

190000

350000 1



::,ummis:rCI

320000

310 000

110000

~ 1

!

~

~

~

2

2

1

.-d,

El proveedor 1 entregará 320 000 gal al aeropueno 3: el provculor 2 entregará 120 000 gal al a~ropueno 2 y conserva ISO 000 gal: el proveedor 3 entregará 100 000 gal. 60 000 gal y 30 000 ial, r~s¡,cctivameme. a los aeropuenos 1. 2 y 3.

8. 12

Maximizar el beneficio equi\'ale a minimizar el beneficio negativo.

2

- 10

-•

-6

-6

A 1800

700

4

3

(1)

SuminJStro

1

u,

25()(1

o

2100

o

IIIXJ

6

(2)

B (8)

e (ficticio) (4)

1600

(1)

200

Demanda

1800

2300

550

1750

'I

- 10

-6

-7

-6

La planta sumin istrara a las cadenas I y 2, 1 800 y 700 hogazas, respectivamente; la planta B suministrará a las cadenas 3 y 4, SSO y 1 550 hogazas, respectivamente .

·-

301 "

RESPUES¡ASA LOS PROBLEMASCOMPl.EMENTARIOS 8.13

C iudad 1

Ciudad 1

A.naanos

Ovos

3

Ciud•d 2

• Ancianos 3 1

3

(O)

0. 175

. O.la

Ciudad 2 Otros -

3

Ciudad3

Ciudad)

And anas

OlrOS -

6 OA'70

Sumínlstro5

...

6 0.1,S

1.100

o

0.900

-2

0.98:l

-3

(3) •

2 0.325

100 l(fictioo)

8. 14

(100)

(O)

(100)

O.JJO

(97)

0.650

Demanda

0.325

0.750

0.260

0.800

0. 195

0.650

u,

3

3

3

3

6

3

Si se restan: e de cada elememo del renglbn r y d óc cada elemento de la columna 1, entonces el nuevo objetivo: ' esta relacionado con el objetivo an1cnor ;:, 1>0r ¡ ' = z - ca, - db,. Por lo tanto. ;:' - z es una constante y cualquier as,gnacibn que mirumia: a un ob¡etivo también minimiza al otro.

CAPÍTU LO 9

' /

,.10

/ 2

Mal Normal

35

Mt:>1 Tiempo extra

39

Mesl Normal

Mes 2 Tiempo Clllrl

Mc13 Normal

Mes 3 Tiempo Clllfl

Demanda q

38

3

Sum,• ru1tro

o

41

(O)

4 (fic:tlcio)

(6)

... ....s

(5)

2

-1

2

o

2

o

3

o

2

o

(960)

(960)

(960)

1000 (960)

(9S7)-

~'·

.2

2

2

2

6

40

43

40

o 5

w

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

302

,.u

0a.

Suministro

"'

73 A¡o.

12..S

o

11.0

-s

9.5

-8

8.1

-41

S.5

-ss

(O) 68

7.1

Oa. (935) 1000 No,,.

(968) 1000 Dic•• (982)

(972)

(962)

5.5

(O)

(SS)

Demanda

7.1

13.2

12..8

1.1

3. 1

2.7

~

73

83

93

103

113

o

...

,.u 3

2

s

3

»

3 (JI)

6

4

Summmro

"'

20

2

70

-3

90

10

70

o

JO

6

o

100 (1)

7 (ílcudol

(91)

(8)

o 2

J5

(13)

(1)

lt



(10)

14

3

3

' s Demanda ~

100

(91)

(104)

Je

(2)

9S

10

70

lS

10

3

- 10

o

1

-10

(4)

RESPUESTAS A LOS.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

,.o 1

2

3

s



3

~ ~ ~ 135

15

~

~

(27)

'5

~ ~

10 000 1

(7094)

~ ~)

8 (ficticio) Suminis1ro

(7101

(7106)

10 000 1

10 000 1

(7091)

(709!,)

115

75

(9986)

~

10000 1

S78

170

S88

320

o

320

-14

(S88)

l ~ ~ ~ ~

o

150

105

(19)

60

"'

(10)

~ ~ ~ ~ ~

~



7

6

303

(10014)

241

(6)

(6)

80

( 602)

Demanda

320

320

1S

60

80

tos

1%

o

l-4

2328

2321

2316

-588

75 unidades parten del siúo 1. pasan por 3 y terminan en .i; 60 unidades parten del siuo 1. pasan por 3 y terminan en 6: 15 unidades parten del sitio 1. pasan por 4 y terminan en 7: 65 unidades parten del sitio 2. pasan por 4 y terminan en 7.

9.14 o

7 3'

t2 (7)

s



2

..

65

2S 1

Suministro



49

o

(25)

7

o

2 (7)

12 - t2 (24) 25

-25

4

(50)

s

65 -O 1&. 16 Tómese

u• numero de unidades de trabajo necesarias para concluir el proyecto 1 (de O a 16. en déci· mos) número de unidades de trabajo necesarias para concluir el proyecto 2 (de Oa 23, en décimos) m1(u, u)• costo mínimo esperado para concluir ambos proymos empezando en la etapa (dla)J en el estado (u, v) t,(z)• número de unidades de IJ'abajo-coniuidas por: cuadriUas en el proyecto i (1 = I, 2) numero de cuadrillas del comraústa asi!lDadas al proyecto i (1 • 1, 2) 11 • y,• número de cuad.rillas subcontratadas asignadas al proyecto/ (1 • 1, 2) 11 •

entonces, para j

r

1• ... • 5,

m¡(lt. 11) • (0.9XSOOO)+ (0.1X-4000)+min (1500(y1+ yi)+ m¡.1(u - 11(%1, y,), 11 - g,(z, , yi))] donde

gi(z,. )' i) • {/ 1(%1+ Y1)

z 1• O. 1, 2, 3, 4 0.9{1(Sry,)+O.lf1(•h · y,) z 1• S

1,(z,, y,)•

{f,(yi) z, • O 0.9{,(x,+ yi)+ 0.1/;(x,+-y,- 1)

z, • 1, 2, 3, 4, S

y el minimo se toma sobre todos los valores enteros no negativos de x,. x,, y 1 y y,, de manera que .x1+y, s6

La condición final es: usO aod osO u >O or o>O

/

18.11 Tómese u •

"•

m1(u, u)• V¡• p¡(z) •

número de unidades de dinero disponibles paa ser asignadas número de notas ya ganadas probabilidad máxima de ganar al menos 100 ,-otos·empczando en la etapa (primaria)} en el estado (u, v) número de votos en j uego en la etapa j probabilidad de ganar V¡ si se gastan x unidades de dínero en la e1.11pa j .

i,/ '

,., RESP UESTAS A LOS PROBLEMAS COMPl.E."IENTARIOS

114 Entonces.

m,(u. u)• miximo {p¡(.r)m1.,(u - .r. o+ V1) + (1 - p¡(.r)!m1.,(u - .r. u)}

0&.._,.,... n

paraj - 1, ...• S,con

o. = 1 es un eigenvnlor de P '. 1amb1en es un eigenvalor de P (las dos matrices tienen la misma ecuación carncteristica).

l9J3 Pruebese pnmero por inducción. que los dgenvec1orcs que pertenecen a diferentes eigenvalores de P son ¡¡. nealmente independientes. Despues construya5< ,\ J a partir de N cigenveciores linealmente independientes. 19.34

Véase d problema 19. 15.

CA PITULO 20 20.IJ Cualquier nve que se conserve mas de 5 semanas. producira solo 7~ mas que un pollo de S semanas. Esto es menos que el beneficio diferencial de l()t que se obroene 111 reemplazar un ave de 5 semanas por un pollito rccien nacido, el cual se vendera transcurrida una semana. La polltica o pdma es vender cuando los pollos uenen 3 semanas. Aqu1 In tasa semanal de 1nteres. obteruda al r~olver ( 1 .., = 1.09, es, = 0.00 16586374, asi que 1 n ~ 177 • 0.9983-WI09

,)l'

20.15 Estado Estado Estado Estado

l: iniciar un nño con ~: iniciar un ano con 3: iruc,ar un año con -1: iruc1ar un a/lo con

una una una una

E.s1Ddo

?

J



s

Dtrisión

n

3

4

s

maquina de la compallia de I a/lo de an11guedad m:iquann de la ~ompafüa de 1 al'los de an11goedad maquina alquilada, de I año de anuguedad maquina alquilada. de 2 años de anugUedad

Escado

Dec1s1on

1

3

2

... ,,.. .. co,SER· .\ARE,~.



~0:"oo SEJt. \RAE.~. \

DAR

20.16 Si l denota a la matriz identidad de N x Ny Y • (PV( 1), P V(2)• . .. . PV(N)J' , (20.2) puede escribirse com o ., 1 (;tP) Y•;C La matriz de coeficientes de la izquierda podna ser singular sólo s1 1/a fuera igual a X, que es un eigenvalor de P. Pero

.!.= l+I> 1

a miemras que (teorema 19. l)

20. 17

10.18

>. s l.

PV(l) • Sl'.!665. PV(2)= Sl3065. PV(3) • Sl3565.

RES?UESTAS A LOS PROBLEMAS GOMPLEMENTARIOS

316

20. 19 Ajúsicsc la maqu,ni s,e:npre que nos~ encuentre en el ~ado 1 20.20

Los estados son el número de silenc,adorcs en uistcnoa la noche del sábado. ames de ordenar nuevos. Es11do

o

1

2

3

4

D«isiór

3

o

o

o

o

20.21

~ ~

20.22

ZC.23

Estado

o

1

!

3

'

Dwetoa

3

o

o

o

o

Promover sólo aquellos propamas con una tasa de auáienc,a oc 16. 17 o 18.

CAPITULO 21 21.10

0.5204. 8.166, 81.66.

21.18 0.9000, 1.23.

21.11

0.9272. 66.69. 666.9.

21.IJI

0.0341, 4.30.

21.12

0.0621. 3.1. 12.J.

21.lO

µ - (2/3) min-•. 1 - po(U)- 0.4530

21.13

20.25

21.21

0.1034.

1

21.14

132 805 autos.

21.22

0.1815.

1

21.15

7 d1as .

21.13

>. - 1/4. µ

21.16

0 .029

21.25

(a) 11/>., (b) si.

21.17

0.5064. 2.48.

21.26

>.,ó.f + >.,b.f R (>., + >.,).6.1.

1

1

= 2/1. 48.9:'i miembros

CAPITYLO 22 22.6

a) las personas que desean comer: b) los meseros y cajero: e) una sola línea de espera, varios .,o._,

l3.l6 La tasa esperada de transiciones al estado n es + ""••• (o ¡,p1, sin • O); la tasa esperada de transiciones hacia fuera del estado n es >.,o. + ""• (o ).p0 , s, n = O). Igualándolas y diVJdicndo entre ¡i., se obtienen (1) Y. (2) del problema 23.7. 23.27

I

RESPUl:STAS A LOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS,

318

23.28 Por el teorema 21.1, el ílujo de salida es uo proceso po1sson1ano mientras el servidor l!:lta ocupado. Esto su~e durante una fracoón p del uempo: entonces, el numero esperado de salidas en un intervalo de uh1dad de uempo es: .• p¡, + (1- p)(O) • >..

CAPITULO 24 24.11

(a ) 1/3. (b) 16/45.

24.U

(a) 23.5

s. (b) 0.1420. (e) 3.987.

24. 13 Cn el nuevo sistema. el tiempo ocioso de c:ida c:i¡cro disminuye de 66.67 a 60"'• ,. l. Jism,nuvc de?( - )

s

1

a 0.9S?.:I.

24.14

fa) 0 .025. \b) 0.J. fe) 0.675.

24.15 at 2.S. b) 8 min. e) S25 por hora.

13 h

min. b) S-195.-18 por día.

24.16

a)

Z.S.17

:-lo. El nue\'O c:oSto sena 5213.33 por el regreso de 3Utobuses no atendidos.

4

mas 5300 por b nue,a cuadnlla.

:?.U8 al ;;r,, b) I.J2 por dla. 24.19

(a ) l.90. (b) -16.4 s. le) 50.4 b- 1•

1A.20

(a) 2.089. (b) 6 min 48 s.

24.21

(a) 2.n (b) ?.94 mtn.

1-0.Sp

24.22

p., • 1-0.lp

y

(n • 1.2. ... )

24.23 (a) 1.53. (b) 4.72 mm.

24.lA

(o) 1.51. b) 3 min 14

s. (e) SJ.72 por hora.

24.lS De acuerdo con (24.1). el criterio para un estado estable (vcasc el problema 23.:6) se sausface simplemente s1 el subir al estado n y ba1ar del estado n ocumn con la misma tasa esperada. 24.JO

p,, • 0.0450. p, • 0.1350. p, • p, • 0.2024. P• • 0.1518. p, • 0. 1139. P• • 0 .0854. p,: 0.0641.

lA.31

L-

U.32

(a) J SO. (b) 0.368.

p.

W • U>.. • 1/ u..

w. •

O. 4 • O.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS CO\f PLE\fE:-;TARJOS

2-1..lJ

(11 • l ... ,.;)

(., = s .,. 1, s .,. 2•...• N.) Conforme V, - ""• c-Sl3S c., pres,oncs C3mb1:1n a (24.Sl y (~~.61. ,rempre que p < l. 2-1.35 (a) S.87. (b) lo por cicnio.

1~.J6 Sea S, el numero de dientes en scr\·1c10, cu3ndo ~I es1:1do es

II

In

= 1. ! .. . . ).

319

Índice

Abandono, 262 función de, 279 Acolacion. 55 Algoritmo(s), de bifurcación y acotación, 54 "cercanos al opumo··. 114 de cone. 62 de cone de Dantzig. Gi de cone de Gomory, 62 de transpone, 68 Árbol, 167 de decis1ont:s, 195 para un proceso de decision. 19ó, 209 para un prol_!rama entero, 56 Arco de una red. 16i Aversió n al riesgo. 2 JO

Cone, 181 Costo de penalización: funcion de, 125 peso del, 125 Cri1erios, 186, 196 ba~es1ano, 196 de decisión "ingenua". 196 min1max, 186. 196 oplimma de decisión, 196 P".Sinústa de decisión. 196 a posuriori, 196 a priori, 196 del · •pumo medio del camino", 196 Curva e.~poncncial de rrurumos cuadrados. 123 D (notacion de lmeas de espera), 266 DCCISión. 152 con horizonte no acotado, 232 Dependencia lineal. 24 Derivada dirc:ccional. 114, 115 Descuento, 154 Desunos. 68 Diagr=a del CSlado de transición. 227 Direcciones factibles, mé1odo de, 126 Disciplina de una linea de espera. 266 FIFO, 266 UFO, 266 SIRO, 266 Distribución. Erlang, 266 ( Vi!arc:tcr:

a~ distribuc1on, :J2 p-aótcnte, !Ot

=-,

H· (ticmoo de un smema de !meas de c,p:ra). W0 (uempo de esp:ra¡. 270 W(tl (fundoo d~ dmribucion probabiitstical. ~70 ¡¡ ,(1) (función de d1s:rioucian prooabilis1icaJ. 270