Introduzione alla logica. Linguaggio, significato, argomentazione [1 ed.] 8800860982, 9788800860987

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Mondadori Education S.p.A., Milano diritti riservati

2009

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i

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978-88-00-86098-7

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Introduzione

Realizzazione editoriale Coordinamento redazionale Alessandro Mongatti Progetto di copertina Walter Sardonini/SocialDesign Srl, Firenze

Prima edizione Giugno Ristampa

Forma

2012

°

e sull’iconografia

il

la redazione

di

struttura

logica

2/20 0... LL... logica...

Nell’eventualità che passi antologici, citazioni o illustrazioni di competenza altrui siano riprodotti in questo volume, l’editore è a disposizione degli aventi diritto che non si sono potuti reperire. L’editore porrà inoltre rimedio, in caso di cortese segnalazione, a eventuali non voluti errori e/o omissioni nei riferimenti relativi.

—

Città di Castello (Perugia)

13 15 18 20 23 26

1.2.

1.3 1.4.

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LL. LL. 000 .=...

Nomi semplici e

composti.

Precisazioni sull’ontologia Glossario

Analisi logica: le operazioni di connessione

www.lemonnier.it Mail [email protected]

10

15

50137 Firenze

055.50.83.223 055.50.83.240

Stampa: Lineagrafica

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Enunciati atomici: esempi Forma logica degli enunciati Semantica intuitiva degli enunciati

1.1

1.6. —

.

IX

Analisi logica: gli enunciati atomici

1.5.

Le Monnier Università

Mondadori Education Viale Manfredo Fanti, 51/53

logici 000 .. 2/2...

Dal linguaggio naturale alla

2013

un revisione e controllo sulle attento lavoro informazioni contenute nel testo, e sul rapporto che intercorre tra testo e immagine. Nonostante costante perfezionamento delle procedure di controllo, sappiamo che è quasi impossibile pubblicare un libro del tutto privo di errori o refusi. Per questa ragione ringraziamo fin d’ora i lettori che li vorranno indicare alla Casa Editrice.

La realizzazione di un libro comporta per l'Autore

Fax

logica livelli

Dalla forma logica alla semantica Sui limiti della logica classica Completezza e complessità logica

2009

Sa

Tel.

Prefazione

2.1 2.2.

2.3

24

2.5.

2.6

........

Introduzione: esempi e loro formalizzazione... 2.1.1 Iterabilità dei connettivi. Convenzioni sulle parentesi Il significato classico dei connettivi Tautologie e inferenze corrette a livello enunciativo . Esercizi 2.4.1 Esercizi di formalizzazione . 2.4.2. Esercizi sulle tautologie e le inferenze. . 2.4.3. Verifica informale delle tautologie e delle inferenze A cosaserve bicondizionale

LL... ....... .

il

Altri connettivi: le modalità 2.6.1 Sulla semantica delle modalità aletiche 2.6.2. Ancora modalità .

2.7.

27

.

.

.

.

....././0 .

.

.......

50 56 59

3

. 0/00 0.00 . 0.0.0

Analisi logica: quantificatori 3.1

3.2 3.3. 3.4.

.

Sull’identità

6.3 6.4

71

6.5.

72 74 78 78 79 89

6.6

.

.

.

3.5.

0...

70

Descrizioni definite Silloge delle nozioni sintattiche e semantiche 3.4.1. Cos'è un linguaggio? 3.4.2. Cosa significa interpretare un linguaggio? Complementi ed esercizi riassuntivi 3.5.1 Quantificatori e Anafora 3.5.2. Modalità de dicto e modalità de re Glossario LL

...... . 2/2/0000

./L..0 .......... .

0L02 .

LL 2.2 0 i2.22i .

3.6

II

Verità e conseguenza logica: il metodo di Beth

LL... .

4 Alberi di Beth per la logica enunciativa 4.1. Introduzione. 4.2. 4.3. 4.4.

45: 4.6

4.7 4.8.

Un

assaggio

informale Una semplificazione notazionale Altri due esempi informali primo

.

Alberi...

ORO

.......... ./..........

Ancora due esempi, un po’ meno informali Comesi costruiscono gli alberi di Beth... Controllo della tautologicità via alberi di Beth: esempi ed esercizi. Modelli, consistenza, 4.9.1 Alberi con più di una formula alla 4.9.2 Verifica della consistenza di un insieme di enunciati 4.9.3 Verifica della correttezza di un’inferenza .

.

correttezza... radice... .... .

4.9

Lili Lili LL...

....... STORTO, 0... .

.

.

A TOTGOssario

5

re!

Alberi di Beth

75.1

ORIovii VISO per

la logica dei predicati

Introduzione. 5.2...Un.primo esempio. 5.3. Regole di analisi per i

.. frigo LL. .

..

DIGI

5.7

«ICEnLità.

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..

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0... ini ino

quantificatori

Esempived esercizi. 5.5...Un,limite intrinseco 5.6. Complementi. 5.6.1. .Formuleicon:funtoriv 5.4.

PR

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angio) uiA.LI.

sv. DO. anioni. LL... ORO).

alisb soiliesioe

.

IT,

61 64 65

6

La sillogistica 6.1 6.2.

67

6.7. 6.8.

6.9

7

7.3.

93

.

L’Assioma di Aristotele. Il quadrato logico aristotelico Le conversioni Il sillogismo La riconduzione alla prima figura Il “Teorema K” di De Morgan Glossario .

.

/2/./20

0... 2/22 LL... . LL. 2... 0... 2/20 220 2/2/2202

I principi fondamentali: astrazione ed estensionalità Operazioni su insiemi 7.3.1 Unioni intersezioni generalizzate. 7.3.2 L'operazione di potenza insiemistica La coppia ordinata e il prodotto 7.4.1. Come eliminare la coppia ordinata Relazioni. Operazioni su relazioni Funzioni loro classificazione. 7.6.1. Sul principio di scelta.

e

7.6.

7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

116 126 127 128 130 132

e

Prodotti e somme generalizzate

quozienti.

.

.

.

induttive

0...

.

cardinali... . 0.

LL.

Equipotenza e confronto fra

2/2. LL 0... 2/22 ....... ..........

Insiemi finiti e infiniti Il teorema di Cantor sulla

potenza. La gerarchia dei cardinali

7.13 Sui paradossi della teoria ingenua 7.14 Appendice: astrazione e operazioni 7.15 Glossario 8

.

‘... .....0... cartesiano... .

Equivalenze e Definizioni

.

.

.

7.5.

107 112

133 135 142 145 152 157 157 159 161

Diagrammi di Eulero- Venn

.

7.4

93 95 97 99 104

133

LL LL. categoriche

Proposizioni

Teoria ingenua degli insiemi: nozioni introduttive Osservazioni preliminari.

7.1 7.2

91

2.20 LL 0... LL L20000 .L/200 2.0

Complementi e strumenti

0... ........ 0...

Quantificatori universali ed esistenziali Il significato classico dei quantificatori 3.1.2. Quantificatori numerici e altre varianti...

3.1.1

III

61

.

163 165 166 168 169 169 171 173 179 184 187

189 189 191 195 198 199 199 202 203 207 212 213 215

217 220 223 228 232 234 237

Algoritmi e macchine di Turing: un’introduzione

239

8.1

239 244 253 256 260 264 269

8.2. 8.3. 8.4.

202

Algoritmi Il modello di Turing Che cosa può fare una macchina di Turing Che cosa non può fare una macchina di Turing. 8.4.1. Indecidibilità della logica elementare Grammatiche formali Glossario

LL... .

8.5.

8.6

Indice analitico

.

°

271

Prefazione La disciplina di cui sì tratta in questo volume si caratterizza per una singolare ambivalenza. A partire dalla sistemazione aristotelica, la logica è ine delle loro dissolubilmente legata allo studio delle argomentazioni crimine essenziale condizioni correttezza, ed è stata quindi considerata-stfum della filosofia e della conoscenza in generale. Travestita da dialettica, la logica è stata poi — fino dal primo Medioevo - integrata nelle artes sermocinales del Trivio insieme con la grammatica e la retorica, e dovrebbe quindi far parte a buon diritto dell’educazione umanistica tradizionale. Tuttavia, con il processo di matematizzazione in atto a partire dall’Ottoalla luce dei rivoluzionari risultati della prima metà del secolo scorso, cento, è allontanala logica ha subito profonde trasformazioni: il suo baricentro intrecciandosi prima to dall’ambito essenzialmente filosofico e metodologico, con la problematica dei fondamenti della matematica, e successivamente con gli sviluppi dell’informatica, della linguistica teorica, dell’intelligenza artificiale (tanto per fare degli esempi). Queste vicende storiche hanno influito sensibilmente sullo stile della logica, la quale ha assunto un carattere strutsi è concentrata sullo studio di calcoli simbolici sempre più formale, ture astratte, considerate specifiche da sempre della tradizione matematica. Inoltre, questa ricchezza d’interazioni ne ha ampliato enormemente le linee d’indagine e di conseguenza anche l’articolazione interna in una molteplicità di settori, che si sono via via resi autonomi. La logica è diventata una discisuo tradizionale ma statico ruolo di plina scientifica fra le altre, perdendo organon del pensiero. La disciplina non ha però rinnegato le proprie origini, e mantiene ancora oggi un interesse culturale generale, che va al di là della formazione puramente specialistica, e nasce in primo luogo da una generica ma urgente e “civile” esigenza di tenere desta un’attenzione critica alle basi razionali delle argomentazioni che pervadono ogni ambito dell’attività umana, scientifica o pratica che sia. Una consapevolezza di queste basi permette di padroneggiare in maniera più completa e raffinata lo strumento comunicativo per eccellenza, il linguaggio naturale, in particolare per quel che attiene ai suoi meccanismi semantici e inferenziali. E ciò ha una non trascurabile rilevanza pedagogica nella odierna società dell’informazione, in cui siamo sommersi

di

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gli 4A

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ULOZAIULIU

da messaggi dotati spesso di una forte valenza persuasiva, e in cui la carica retorica oscura non di rado le “ragioni” e i “perchè” in funzione del mero

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consenso.

Quanto alle motivazioni che stanno dietro al presente lavoro, esso nasce da modeste, ma concrete esigenze didattiche: gli autori si trovano da tempo a impartire delle Istituzioni di Logica (divise talora in due moduli) a studenti del triennio di filosofia e di altri corsi di studio, anche magistrali, di facoltà umanistiche e non nelle università di Firenze e di Pavia (Collegio Ghislieri). Da tali esigenze sono nati degli appunti stringati e schematici — redatti ora da uno, ora dall’altro autore — destinati agli studenti frequentanti. Una prima porzione di questi materiali, notevolmente arricchiti e articolati in forma sistematica, viene ora offerta al lettore nel presente volume di introduzione alla logica. La restante costituisce invece il nucleo di un manuale a carattere più avanzato! — che farà seguito a breve — dedicato ai temi fondamentali della metalogica elementare. Il testo, che a differenza degli appunti è stato pensato anche per uno studio individuale, conserva talvolta il carattere colloquiale della lezione e Certe insistenze e ripetizioni, che si è deciso di lasciare secondo un antico ,) "/ adagio didatticamente fondato.

-

a considerare il capitolo introduttivo alla luce delle conoscenze logiche via via acquisite. La prima parte — divisa in tre capitoli — ha il compito di far emergere il concetto di forma (o struttura) logica, prendendo le mosse dall’analisi del linguaggio, e in particolare del discorso dichiarativo. La scelta è naturale, si rivolge in particolare a studenti di facoltà umaed è quella consueta, se nistiche. Il metodo seguito è quello di partire da esempi concreti dai quali via estratte le nozioni morfologiche fondamentali. L’approccio è vengono tipo contenutistico: allé nozioni morfologiche, e sintattiche viecomunque ne generalmente e contestualmente ‘assegnata una Femantica denotazional@ intuitiva, che specifica il significato dellevarie componieiti lessicali, e serve d verità degli enunciati in gioco. Tutto —definire con precisione le condizioni si parte dagli enunciati semplici, per passare a questo viene fatto per gradi: enunciati composti in virtù di operazioni di connessione, e giungere infine al livello della teoria della quantificazione, necessaria per rendere conto della forma logica degli enunciati universali e particolari. È bene sottolineare che prinlo sfondo concettuale è quello della logica classica nella quale valgono di connessione vengono cipi di bivalenza e non-contraddizione, operazioni interpretate come funzioni di verità, e Îà/nozione di verità è quella classica di “verità come corrispondenza”, Al termine del capitolo 3, il lettore si troverà a disporre, sia pure informalmente, assieme alla strumentazione sintattica dei linguaggi elementari, delle nozioni semantiche di verità elementare e di conseguenza logica. Tuttavia questi concetti sono stati definiti in maniera induttiva ma non-effettiva nel caso del linguaggio con i quantificatori. Questa limitazione giustifica l’introduzione nella seconda parte (capitoli 4-5) del classico metodo del controesempio o degli alberi di Beth, quale procedura meccanica alternativa, al fine di affrontare i classici problemi della correttezza delle inferenze e della è cercato di moticonsistenza di insiemi (finiti) di condizioni. Anche qui vare le scelte tecniche con una serie di osservazioni euristiche ed esempi. Ciò vale in particolare dell’estensione degli alberi Beth mediante le regole per i quantificatori, introdotta nel capitolo Qui ‘il lettore prende contatto per “la prima volta con un metodo che è comunque corretto e completo rispetto alla nozione di verità logica, ovvero in grado di generare effettivamente tutte e sole le verità logiche. D'altra parte il metodo di Beth è sì effettivo, una _ma la procedura di ricerca di un controesempio ima refutazione può non convergere. Ciò rende plausibile il teorema di indecidibilità della logica mentare, che viene qui enunciato, e ripreso nel capitolo 8. La parte finale del libro contiene capitoli di complementi e strumenti. Il primo di essi (capitolo 6) è dedicato alla ricostruzione formale della sillogistica, e ci sembra un doveroso tributo alla tradizione logica, soprattutto in un testo pensato per studenti di discipline umanistiche. Il capitolo 7 riprende in forma più completa alcuni cenni alle nozioni insiemistiche emerse nella presentazione della semantica intuitiva dei capitoli I e 3, e connessi alla

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Contenuti Se si usa la lente dello storico, questo volume tocca alcuni concetti e risultati che sono emersi in un arco di tempo assai vasto, da Aristotele a Turing(1936), con una punta fino agli anni Cinquanta del E.W. vecento Beth (1955). Ma l’ordine seguito è comunque sistematio con il testo comprende appunto i contenuti più specificamente co, e non storico: propedeutici di dette istituzioni, e si rivolge in primo luogo a studenti che non possiedono prerequisiti specifici, né di carattere logico, né di carattere matematico. Per questo, nel testo viene di continuo sottolineato il momento operativo (saper fare ‘analisi logica del discorso, dichiarativo, saper costruire semantici, ecc.) Inoltre;-le-varie sezioni sono completate da eserci«zi.di»varia natura e difficoltà. Col procedere della trattazione, si chiede al lettore di partecipare attivamente alla stesura delle dimostrazioni. Non è inutile ripetere qui la raccomandazione che per una corretta comprensione del testo e per appropriarsi dei metodi dell’analisi

afieslano.)

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sono

il

il

mor Cui per semplicità ciTSO riferiremo, nel corso del presente testo, con l’espressione ‘volume secondo’ (‘vol. II°). 6

5

essenziali

Entrando nello specifico, il presente volume articola in tre parti, precesi dute da una introduzione, cui senso è principalmente filosofico e metateorico: si tratta di problematizzare il ruolo della logica e di mettere in guardia verso alcuni luoghi comuni che la riguardano (che cosa è la logica, ma anche cosa non è). Per apprezzarne appieno senso, sarà utile che il lettore torni 1

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logico-formale.

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1

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de

tre

precisazione dei concetti di insieme, relazione, operazione. Si tratta sempre di un approccio non assiomatico, che ha in primo luogo la funzione fissare un lessico concettuale adeguato a precisare il concetto di struttura, le relazioni fra strutture, e le basi della semantica di Tarski e di Kripke?. D'altro lato, il capitolo permette di avvicinarsi a qualche tema un po’ più avanzato, come l’approccio estensionale alle definizioni induttive, la problematica dell’infinito e la teoria della cardinalità. Nello stesso tempo definisce un contesto naturale per una prima introduzione alla discussione dei paradossi (Cantor e Russell in particolare). L'ultimo capitolo (capitolo 8) è invece una introduzione intuitiva al concetto di algoritmo nei suoi profondi legami con la logica del Novecento. Si è scelto di esporre il modello di Turing per la sua semplicità, ma anche per la sua valenza epistemologica, che lo rende essenziale, sia per la comprensione del significato dei risultati di completezza, sia per risultati di incompletezza di Gòdel. Naturalmente, tratta di una semplicità ingannevole che richiederebbe una serie di cospicui sviluppi tecnici, ben al là dei naturali confini di un manuale propedeutico per studenti di discipline umanistiche. Il libro si conclude con un breve cenno alla connessione fra macchine di Turing e grammatiche formali di Chomski, che mette in luce — sulla base di scoperte degli anni Cinquanta del secolo scorso — ulteriori legami fra la logica e le discipline umanistiche tradizionali. Dopo aver detto che cosa c’è in questo volume, due parole anche su cosa non c'è. In accordo col carattere propedeutico, l’accento viene posto su nozioni di logica: l’analisi formale, la descrizione di tecniche elementari per la verifica della correttezza delle inferenze della validità logica da un punto vista classico. Non è dunque un libro intorno alla logica, finalizzato a introdurre i risultati di base della metalogica elementare. Di quest’ultima viene dato conto in dettaglio nel volume in preparazione sopra ricordato, con l’introduzione della deduzione naturale alla Gentzen, la trattazione sistematica della semantica di Tarski, una introduzione ai calcoli della logica modale e alla semantica di Kripke, i teoremi adeguatezza semantica (0 completezza generale) e compattezza, calcoli logici delle sequenze alla Gentzen e la loro completezza. Come lettore avrà notato, la messa in parentesi delle indagini metateoriche ha un paio di eccezioni: i già menzionati teoremi di indecidibilità della logica elementare e del problema dell’arresto. Questo per mettere in contatto chi ferma la propria educazione logica agli elementi propedeutici con almeno un paio di risultati fondamentali della logica del Novecento.

di

si

i

si

e

i

il

1.

sezioni contrassegnate da asterisco possono essere omesse senza alcun pregiudizio per la comprensione del testo successivo;

3. gli esercizi contrassegnati da asterisco sono da considerarsi di maggiore impegno non legati a una comprensione immediata del testo; 4.

di

i capitoli 1-5 costituiscono il nucleo di base di un primo modulo di Logica (di circa 30 ore di lezione) incentrato nel progettato vol. II.

Il criterio adottato nella citazione dei numeri di pagina nell’indice analitico è il seguente: grassetto per i concetti ai quali sono dedicati capitoli, paragrafi, sottoparagrafi; corsivo per le occorrenze “notevoli”, che contengono l’informazione principale sulla voce relativa;

2. le

e

equivalenza definitoria fra due complessi simbolici (espressioni), nel senso che l’espressione a sinistra di := sta per o abbrevia quella a destra di :=;

‘=’ indica uguaglianza

o

5. ‘sse’ è un’abbreviazione

per ‘se e solo se’;

— ove occorra nel testo dopo la dichiarazione d’inizio della dimostrazione di una proposizione, di un teorema, di un lemma, ecc. — sta ad indicare la fine della dimostrazione;

6. il simbolo

di

Quanto all’utilizzazione del testo, trattate

Avvertenze e convenzioni

di

Nota per il docente

?Che saranno

sui rudimenti della disciplina; esso può essere completato anche dal capitolo sui sillogismi, e da brevi incursioni nella teoria degli insiemi (esposizione del paradosso di Russell) e nel capitolo finale (definizione delle macchine di Turing, discussione del problema dell’arresto). Per studenti più avanzati e maturi, il materiale può venire svolto assai più velocemente (questo è il caso dell’esperienza fatta dal primo autore con studenti della laurea magistrale in Scienze della Natura e dell’Uomo presso l’Università di Firenze). In tal caso l’enfasi del corso può essere spostata sui complementi svolgendo in dettaglio gli argomenti dei capitoli 7 e 8, eventualmente integrati.

7.

OO

segnaliamo infine che, quanto all’uso delle virgolette, riserviamo quelle singole per la menzione di entità linguistiche, mentre impieghiamo altre funzioni (citazioni da testi, ecc.). quelle doppie per

le

Suggerimenti bibliografici I riferimenti bibliografici specifici vengono dati nel corso della trattazione. A livello generale, fra i tanti manuali di carattere introduttivo disponibili in lingua italiana, ci limitiamo qui a indicare: e M.L. Dalla

Chiara, R. Giuntini, F. Paoli, Sperimentare la logica, Li-

guori, Napoli 2004; e W. Hodges, Logica,

Garzanti, Milano 1994?;

4A

e M. Mondadori, 1997;

M. D’Agostino,

e A. Varzi, J. Nolt, D.

Logica,

Bruno Mondadori,

LCLOZIULIO

Milano

Rohatyn, Logica, McGraw-Hill, Milano 20072.

Per una trattazione più avanzata e comprensiva, ricordiamo: e E. Casari, Introduzione alla logica, e

G.

UTET, Torino 1997;

Lolli, Introduzione alla logica formale, Il Mulino, Bologna

1991.

bibliografia sistematica e non limitata ai soli testi disponibili in lingua italiana verrà data nel volume a carattere più avanzato che farà seguito al presente manuale.

Introduzione

Una

Ringraziamenti Gli autori desiderano ringraziare Riccardo Bruni, Laura Crosilla e Francesca Poggiolesi per aver letto accuratamente una prima versione complessiva del volume, segnalando imprecisioni, oscurità e errori di vario tipo. Anche studenti che hanno seguito i corsi di logica impartiti dai due autori e che hanno utilizzato parti del manuale, hanno dato un utile contributo critico: ci piace qui ricordare in particolare Filippo Cimò, Marco Fusi, Alice Gioia Iacopo Petrocelli, Samuele Tofani — ma lista non è certo esaustiva. Si ribadisce comunque che errori e le imperfezioni che rimangono nel libro sono da attribuirsi alla esclusiva responsabilità dei due autori.

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qui

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la

Firenze, 18 aprile 2009

Mein teurer Freund, ich rat Euch drum Zuerst Collegium Logicum. (Goethe, Faust)! Ci sono delle aspettative del senso comune intorno alla logica che non sono affatto giustificate dalla ricerca contemporanea; metterne subito in discussione un paio (che cosa non è la logica, dunque) ci sembra il modo più opportuno per iniziare il nostro discorso. In primo luogo, si tende a credere ancora oggi che la logica sia una disciplina statica, con un ambito di studio ben determinato, strumento per eccellenza della razionalità. In realtà, il termine ‘logica’ è ambiguo: occorre in contesti disparati e possiede, anzi, un carattere pervasivo (basta prendere in considerazione le locuzioni ‘è logico fare così e così’, ‘la logica dello sviluppo’, ‘la logica dei calcolatori’, ‘la logica del racconto’; che parentela c’è fra questi termini?). Per questo la natura della logica è profondamente” elusiva. Secondo tradizione, la logica fa parte (come dialettica) delle arti del trivio assieme alla retorica e alla grammatica; rientra quindi a pieno diritto fra le discipline del linguaggio e quindi umanistiche. D'altra parte, a logica viene matematizzata partire dalla seconda metà dell'Ottocento, pensi all’opera di GeorgsBoole) e agli inizi del secolo successivo interagisce ricerche sui fondamenti della matematica (Frege, Rusprofondamente con difficile interessarsi di logica a livello di ricerca Oggi ecc.). sell, Hilbert, anche con problematiche che sono state suggerite senza avere preso contatto da questioni d’informatica teorica. Ad ulteriore conferma del carattere non monolitico della disciplina, si ricorderà che le verità della logica hanno la fama essere non informative, prive di contenuto empirico (sono tautologie il ha una connotazione negativa nel linguaggio comune); eppure, termine e richiamare oltre, non esistono principi logici fra quelli come avremo modo considerati più ovvi (principio di non-contraddizione, terzo escluso, ecc.), che non siano stati messi in discussione nel corso del XX secolo. In secondo luogo, si è portati a pensare che la logica sia una sorta di scienza delle scienze; eppure, come è comprovato dalla storia della logica del secolo scorso, la logica non è indipendente dagli enti e dalle strutture

la

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!“«Mio

caro amico, vi consiglio pertanto, e in primo

luogo,

il

corso di logica”.

i

degli enti ai quali la si applica. Di fatto, la logica non fornisce una teoria unitaria dell’inferenza razionale, semmai fornisce un sistema di concetti e strumenti che permettono di costruire modelli rigorosi vari tipi d’inferenza e dei concetti di interpretazione, dimostrazione, regola. In logica, come in altre discipline astratte, ha un ruolo non indifferente il momento della libera costruzione di modelli, degli esperimenti ideali, del congetturare. Se si accentua troppo la soluzione di continuità fra l’immagine tradizionale della logica e gli sviluppi recenti, si corre però il rischio di avvicinarsi alla logica in una ottica puramente “modernista”, e di trasferire al lettore - per avviarlo agli sviluppi tecnicamente avanzati — le solite informazioni drammatiche e drammatizzanti (ma ormai un po’ trite, non di rado scorretdi Gòdel, limiti della ragione, ecc., dimenticandosi del fatto te) sui te‘soremi {o Xristotele ha avuto tra i suoi fini precipui quello di esche la logica fino sere una teoria dell’inferenza corretta. Sarebbe dunque auspicabile che una di cosa significa che un ragionamento è persona colta avesse un'idea ‘corretto (0 cogente o logicamente valido). In quel ‘che segue discuteremo dunque brevemente problema dell’inferenza. Il tema ha portata generale: coinvolge fino da Aristotele problematiche essenziali sia per la conoscenza scientifica sia per la riflessione filosofica, n teoretica ed epistemologica. Per quel che riguarda il primo aspetto, è da sottolineare che il concetto di dimostrazione ha un ruolo decisivo nella conoscenza matematica: dove di norma si accetta come vero un enunciato (che non sia assunto come principio o assioma), solo se si dispone di una prova o dimostrazione. Se ci domandiamo che cosa è una dimostrazione, osserviamo che, accanto alle costruzioni e alle inferenze specificamente matematiche (che dipendono dal contenuto matematico che si vuol accertare), figurano impliciti nella prova alcuni passaggi elementari non ulteriormente analizzabili che non sono di natura specificamente matematica, nel senso che si ritrovano anche in molti altri ambiti, e che dipendono in certa misura dalla struttura linguistica di ciò che si vuol provare si tratta ad esempio di un enunciato condizionale, o universale, ecc.; si veda la sezione successiva).

cometeoria della deduzione: si tratta di classificare, se possibile completamentee secondo vari ‘ambiti, le inferenze corrette. concetto Per spiegare.che cosa è un’inferenza logica, bisogna afferrare

la logica

di

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1. è

2.

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i

non è giorno;

è

notte.

Si concederà di sicuro che è banalmente corretto il passaggio dagli enunciati 1 e 2 (le premesse) all’enunciato 3 (la conclusione). si Pragmaticamente, assumono 1-2, siamo costretti ad accettare 3, non potremo non farlo. Chiediamoci ora perché. Una prima risposta si basa sull’effettuare una

se

il

in

contenuto: ossersorta di variazione nella figura inferenziale, alterandone ‘entinciati se Sostituiscoîo che viamo si agli A:= è giorno’ e B := ‘è notte’ lasciano fisse le particelle ‘o’, ‘non’, il passaggio enunciati qualsivoglia, ma rimane intuitivamente valido. Viene dunque il sospetto che le ragioni per cui l’inferenza è-corretta vadano cercate nel permanere delle due particelle, i connettivi ‘0’ (disgiunzione) e ‘non’. (negazione). schema sotteso alla de è disgiuntivo, detta

si

Lo

regola,

sillogismo

(8) A 0 B, non e

(se

.

A+

B?,

rappresenta la forma logica dell’inferenza, la cui correttezza viene a di-

pendere solo dal significato della disgiunzione ‘o’ e della negazione ‘non’. una inferenza logica vuol dire impegnarsi a discutere il significato dei connettivi logici. Ovviamente, ‘0’, ‘non’ non sono gli unici connettivi. Il connettivo più importante è senz'altro il condizionale (o implicazione) ‘se ..., allora ...’ (simbolizzato da una freccia +): con esso si formano enunciati che non hanfine di descrivere situazioni più complesse a partire da costituenti no tanto di certi fatti, nell’ipotesi che si verifichi una dati, ma di esprimer è dunque un modo privilegiato con cui il data condizione. incorpora sorta, dimensione ideale, astratta; una volta inlinguaggio globato il momento ipotetico, non è più un mero strumento di descrizione

Dunque.

+

logici

Sulla base delle precedenti considerazioni, possiamo partire da un primo rozzo tentativo di definizione della disciplina: la logica elabora informazioni espresse in forma linguistica, dove ‘elaborare’ significa costruire argomenz sli logicamente corretti. Un argomento è costituito da vari enunciati legati fra loro da nessi che sono detti inferenze e che devono risultare, se l’argomento è cogente, corrette. Dobbiamo dunque rispondere alla domanda: che cosa intendiamo per inferenza corretta? Questo è il compito principale del-

di

giorno oppure notte;

(3) dunque

o

livelli

il

forma Struttura logica)) La difficoltà maggiore è che la forma logica è diversa da quella grammaticale e che il processo di distinzione della dimensione logica specifica dalle consorelle del trivio — grammatica e retorica — avviene lungo l’arco di un processo storico molto complesso e articolato nel tempo. La via più semplice per spiegare che cosa intendiamo quando si parla di formalogica, rivolgersi degli esempi, come faceva anche il medico filosofà| Sesto Empirico (II: secolo d.C.) e prima di lui filosofi e logici della scuola megarico-stoica. Si consideri il seguente argomento in miniatura:

il

Forma logica

:

i

spiegare

il

i

una

In

generale la figura

la conclusione B”.

di

A1,..., An > B andrà letta:

“dalle premesse

A1,...,

An segue

(a) nessun parlamentare è disonesto;

della realtà di fatto, ma diviene strumento per fissare scenari possibili o fantastici. Vediamo subito una celebre quanto semplice regola che coinvolge il condizionale. Si consideri s

(8) tutti ®

i

filosofi sono disonesti;

GSE \

{

€ se è giorno,

c’è luce;

9

Qui la forma logica è più ardua da scoprire; essa coinvolge i cosiddetti quantificatori”\ corrispondenti a termini come ‘tutti’, ‘ogni’, ‘nessuno’,

e non c’è luce;

j

©

|

allora

dunque

è

Lo schema sotteso dall’inferenza,

EA

A- B, non B+

(b)

Il

giorno.

let non

BT \

detto del modus tollens;

non A.

my

è

allora:

avremmo ancora una regola corretta? seguente istanza dello schema: e se

°

e

\

+

Petrarca è fiorentino, Petrarca è toscano;

n etrarca non èsK fiorentino; .

ITA

\\° DA)

SM x

:

dunque Petrarca non è toscano.

«e

(2 \)

A Sre) -

xo

xeA,l eti ;

Ra XE

TI N deve

(iii)

dunque se aumenta il prezzo della benzina, diminuisce il potere d’acquisto degli stipendi.

Ovviamente la forma logica corrispondente sarà quella del cosiddetto sillogismo ipotetico: (®)

A-BB-C=>A-C.

Passiamo ora ad un altro esempio che racchiude delle differenze sostanziali con i precedenti perché ci porta ad estendere considerevolmente l’analisi logica, introducendo nuove operazioni che non limitano, come connettivi, ad operare su enunciati per produrre nuovi enunciati. L'esempio corrisponde a un sillogismo? di seconda figura (CESARE): # A]

sillogismo è dedicato il capitolo 6.

.

-

4

—

i

Ma));YxeP

non(non

(8*) (per ogni x)(Sx — non Mr);

VW

(93) (per ogni x)(Sx — non Pr).

Y x

X

€

xl (100e \

S |po_X:

€ S

Iheso

“| é L X

Le operazioni logiche ‘(per ogni x)”, ‘(esiste un x) sono dette quantificazioni elementari o del primo ordine, la prima universale"e la seconda esistenziale.

3

Esse diventano strumento essenziale per analizzare enunciati che coinvolgono relazioni anche molto complesse, in particolare gli enunciati matematici. Un esempio, che coinvolge il concetto d’infinito, ne potrà illustrare al meglio la potenza e la flessibilità. Si pensi alla fondamentale proposizione di Euclide secondo la quale esistono infiniti numeri primi. Assunti due predicati N um(a) e Pr(x) per esprimere le proprietà di essere numero naturale ‘e numero primo (rispettivamente), nonché un predicato binario < per rappresentare la consueta relazione d’ordine sui naturali, l’infinità dei primi lascia allora formalizzare mediante un enunciato che richiede entrambi tipi di quantificazione:

i

ZIA

TINA

(per ogni 3) (Num(1) e

si

+ x non è onesto); + non (x è parlamentare)).

®B

potere d’acquisto degli stipendi;

non è vero che x non è onesto);

,

(a*) (per ogni x)(Px

_ xe Slo

\

}

(per ogni x)(x è filosofo

(Y*)

.

Î

«LR 7

£


(esiste y)(Num(y) >

>

e

Pr(y)

e

si

x< y))

|

teoria della quantificazione, uno dei capitoli centrali della logica contemporanea. A questo proposito, va ricordata la distinzione fondamentale fra la quantificazione su individui o oggetti logici (come negli esempi precedenti) e la quantificazione su proprietà, relazioni, ecc. che caratterizza la logica del second’ordine. La possibilità di quantificare su proprietà, relazioni, insiemi, ecc. potenzia notevolmente gli è solo l’inizio della

il

strumenti definitori ed inferenziali della logica. Basti ricordare qui che progetto logicista nell’ambito della filosofia della matematica (legato alle figure di Frege e Russell, e di recente ripreso con un qualche successo), cioè l’idea che tutte le verità aritmetiche siano riconducibili a verità logiche, richiede essenzialmente una strumentazione logica del secondo ordine. Inoltre, la stessa relazione d’identità fra individui si lascia definire me-diante la logica del secondo ordine sfruttando principio leibniziano d’identità degli indiscernibili, in base al quale, sedue individui a e 6 hanno le .Stesse proprietà (sono cioè indiscernibili), ‘allora sono uguali. Formalmente, Tp uò essere considerato sinonimo della frase del secondo ordine:

ogni (per il

= Ta

Dalla

TORRETTA

proprietà

PXP(a)

forma

logica

>PO)

facile da precisare, filosoficamente problematica, ma intuitivamente richiede riferimento — 0, come dice questo: deve essere dato una sorta di sistema tecnicamente, una [realizzazione del linguaggid in cui si lasciano esprimere concetti base del nostro universo del discorso — rispetto al quale termini del discorso hanno un significato non-ambigue. Se uso un nome proprio, per es. ‘Gianni’, deve essere chiaro a quale individuo mi sto riferendo (per es. il mio gatto, o l’amico di mio figlio, ecc.); se considero un predicato, per es. ‘alto’, deve essere data la sua estensione (ovvero deve essere determinato di ogni individuo del mio universo del discorso se posso attribuirgli o no la proprietà espressa dal predicato in questione); di una relazione binaria, infine, deve essere determinato fra quali coppie ordinate di individui essa miniera sussista, ecc. Rispetto. a una datarealizzazione, ogni enunciato risulta allora perfettamente determinato nel suo valore di verità. Sistematizzando queste idee e sviluppando la cosiddetta semantica Tarski, si lascia definire allora il fondamentale concetto di conseguenza logica enunciati: comerelazione semantica fra un enunciato A e un insieme T 7A segue logicamente da T se e solo se A è vero in ogni realizzazione che è modello di Ciò , (ovvero verifica simultaneamente gli enunciati di | fissa l'intuizione secondo la quale il legame di consequenzialità fra A e T comporta la non-esistenza di un ‘mondo possibile’ che verifica le leggi di T, | ma falsifica A (v. vol. II). ‘Con teoria classica definizione della consequenzialità logica, anche dell’inferenza trova, infine, un suo preciso fondamento semantico: corrette sono quelle inferenze le quali garantiscono che la conclusione è conseguenza logica delle premesse.

di

i

Fin qui ci siamo limitati ad estrarre la forma logica delle regole e degli enunciati e a giustificarne la validità in conformità ad un richiamo informale alla tecnica della variazione. Per enucleare il concetto di forma logica e accettare o no un’inferenza logica, abbiamo visto essere fondamentale il significato attribuito alle particelle logiche, in primo luogo ai connettivi. Di tale significato abbiamo dato una versione intuitiva che forse ora conviene fissare un po’ più da vicino e con riferimento alla sola concezione classica. L’interpretazione tradizionale assegna agli emtinciati dichiarativi semplicì uno stato di verità ed uno solo, fra i due possibili del vero e del falso; i connettivi sono allora da interpretarsi come funzioni di verità che permettono di costituire nuovi enunciati, il cui valore resta determinato esattamente dai valori dei rispettivi enunciati costituenti. Per comprendere meglio questa idea, sarà sufficiente soffermarsi un attimo sulla negazione e la congiunzione. La _gazione funziona come un’operazione di scambio: trasforma un enunciato “vero in uno falso e viceversa; la congiunzione produce invece un enunciato che è vero se e solo se i suoi due costituenti (i congiunti) sono veri. Ciò basta, per esempio, a stabilire che una congiunzione cui uno dei congiunti è falso è falsa. Da un punto di vista combinatorio, si può provare in generale che la nostra scelta non è per nulla arbitraria o casuale: sorprendentemente, qualunque connessione fra enunciati bivalenti (o veri o falsi) che opera come una funzione di verità, si lascia definire mediante le due operazioni sopra viste, qualunque sia il numero dei suoi componenti (questa asserzione è una versione del cosiddetto teorema di completezza funzionale dimostrato da Emil Post (1897-1954) agli inizi degli anni Venti; v. vol. II). Se la logica classica si basa sull’idea che gli enunciati si trovano sempre in uno stato definito di verità, altrettanto cruciale nella concezione tradizionale della verità è l’idea che gli enunciati risultano veri quando corrispondono fatti, e sono falsi altrimenti. La corrispondenza fatti è una proprietà non

ai

di

se

I

tutti

|

T)f

la

la

Sui limiti della logica classica

in

ai

i

di

alla semantica

ne-

|

si

|

‘

Naturalmente, l’edificio concettuale delineato riposa sulle ipotesi semplificatrici della concezione classica, i cui problemi risultano evidenti quando si considerano asserzioni che coinvolgono la dimensione.temporale. Celebre il problema dei futuri contingenti, già discusso da_ Aristotele nel capitolo 9 del De Interpretatione. Si prenda l’enunciato A := ‘Domani ci sarà una battaglia navale’) Se vale il principio della bivalenza, si potrebbe argoment fatto descritto da tare come segue: o A è vera e allora è già determinato A (dunque accadrà necessariamente), oppure è falsa e pertanto è già defatto non accadrà e dunque necessariamente non accadrà. terminato che Ma implicare fatalismo.f1Ripetendo un ragionamento sembra questo tutto analogo, o domani passerò l’esame oppure fallirò. Mi posso mettere l'animo in pace, dato che l’esito dell'esame è già determinato; posso dunque anche evitare di fare tardi a studiare e andare a divertirmi; non cambia nulla se è destino che passi l'esame. Una possibile soluzione consiste nell’arricchire l’analisi logica, facendo intervenire nell’argomento le cosiddette modalità ‘è

il

il

il

©

necessario che

...’,‘è

possibile che

Si tratta ...’. dà

di osservare che un conto oppure non si dà A, un conto affermare invece che o necessariamente si dà A oppure necessariamente non si dà. Il fatalismo emerge solo se si confondono i due enunciati si e assume indebitamente che la necessità. — intesa come operatore enunciativo per quale si adotta il simbolo ©] —preservi la unzione, ovvero se si assume la validità di è affermare

che necesssaldinente

in

;

o si

B := ‘Compro Le Monde’; allora potranno valere le due premesse, ma tal è ho solo che la cioè 90 centesimi assai dubbio che, conclusione, valga se caso di euro, acquisti entrambi i giornali. Un altro ambito nel quale la concezione classica deve essere integrata o rivista è quello del ragionare su;(concetti vaghè per esempio quelli che corripiccolo”. Seguendd Eubulidedi Mileto) spondono ad aggettivi come ‘grar ‘paradosso del Sorite (soròs = mucchio), (IV sec. a.C), basterà menzionare che procede dalle seguenti premesse: (i) un singolo granello di sabbia non fa un mucchio di sabbia; (ii) l'aggiunta di un granello di sabbia ad un insieme di granelli che non costituiscono un mucchio, non lo trasforma in mucchio. Dunque: 2 granelli non fanno un mucchio, 3 granelli non fanno un mucchio, ecc. Andando avanti così siamo condotti alla indesiderata conclusione che neanche una collezione di un numero arbitrariamente grande di granelli costituisce un mucchio. Tralasciando la discussione di possibili soluzioni, concludiamo ricordando che la logica classica può essere radicalmente criticata anche se si aderisce ad una interpretazione del significato dei connettivi logici in termini di asseribilità, secondo la quale non sono tanto le condizioni di verità di un enunciato che contano: si deve sapere che cosa conta come prova di (evidenza per) A per avere diritto di asserire A. Questo atteggiamento porta ad una radicale reinterpretazione epistemica delle operazioni logiche: così, al fine di affermare ASH) deve essere dato un metodoche permette di trasformare ogni B; l’asserzione di non-A data prova A unacorrispondente prova richiede che si disponga di un metodo che trasforma ogni prova di A in una prova dell’assurdo, mentre una disgiunzione richiede una prova del primo disgiunto oppure una del secondo. Non sarebbe allora difficile provare che la classica legge della doppia negazione

A

2 non) DA:

il

le,

sii

i

:

|

(non)

il

o \L DIAo pur accettando la difezione opposta della medesima implicazione. Naturalmente questo è solo un assaggio superficiale di una problematica assai intri e non è l’unica via: si può — come suggerito dal logico polacco Lukasiewicz Jan 1878-1956) —optare per una teoria cui possibilistati di verità degli enunciati sono addirittura infiniti e hanno una struttura continua per es. corrispondono ai numeri reali compresi fra 0 e 1). La logica ad infiniti valori ha avuto una grande ripresa in anni recenti a partire dagli anni Ottanta del secolo scorso, e di essa sono emerse importanti connessioni con parti avanzate della matematica.

in

È

rilevare

i

i

nel

caso della logica a infiniti valori verigonomeno i due principi cardine della logica aristotelica, cioè il principio del terzoescluso e la stessa legge di cosiddetta non-contraddizione non(A e non-A), nonché legge di contrazione da

che

la

che afferma operativamente: non conta quante volte si usa una data premessa in un argomento. Nella direzione di una critica della logica classica, può essere utile richiamare un altro caso, il quale mostra come la situazione, anche livello a di linguaggi naturali, possa essere assai intricata. Si consideri la seguente inferenza: e Se piove,

prendo l’ombrello.

se piove, prendo

l’ombrello e indosso l’impermeabile.

Essa è corretta e lascia senz'altro trasformare nella regola, apparentemente innocua e accettabile universalmente: |

da

Cl AeC + B s'inferisce C + A e B\

Eppure non è così. Infatti, posso immaginarmi un controesempio, vale a dire una situazione nella quale valgono le premesse, ma fallisce la conclusione. . Basterài scegliere C' := ‘dispongo di 90 centesimi’, A := ‘Compro Le Figaro’,

ca:

.

non vale sotto questa interpretazione: infatti, se si giunge ad un assurdo assumendo che una prova di A implichi una contraddizione, non per questo si può concludere di avere una prova di A stessa. Inoltre, terzo escluso non vale universalmente: accettare (A oppure non-A) comporta che si disponga di una prova di A oppure di una prova della sua negazione; che è come sostenere, di fronte a un qualsiasi problema (codificato da) A, che dovrebbe essere sempre possibile risolverlo. Se si aderisce a questa teoria del significato degli operatori logici, si è inevitabilmente condotti a una revisione critica della logica e anche dei fondamenti della matematica, revisione che apre un affascinante campo di ricerca noto come intuizionismo, legato al nome grande matematico olandese L.E.J. Brouwed(1887-1963) e, in tempi noi più vicini, alla riflessione del logico € ofo di Oxford Michael Dummett e allo sviluppo della teoria costruttiva dei tipi del logico e matematico svedese Per. Martin-Léf.

il

si

:

, ui5

.

.

{

del

a

Qima

A Ta

‘

non-non-A — A

e Se piove, indosso l’impermeabile. e Dunque,

di

di in

(A- (A+ B))- (A+ B)

| /

Ì I

|

_

Parte I

Dal linguaggio naturale alla struttura logica

tratta di Capitolo

1

Analisi logica: gli enunciati atomici

In questo capitolo e nei successivi cercheremo di rispondere simultaneamente alle seguenti domande: e qual è la forma logica del discorso dichiarativo? e di cosa parliamo

nel

.

discorso dichiarativo?

La risposta alla prima domanda consiste nel definire e isolare un modello astratto di discorso dichiarativo, che serve poi da cornice alle successive indagini formali; per la seconda, verrà invece delineata una semantica estensionale del discorso dichiarativo, che permette di precisare le nozioni di verità logica, conseguenza logica, e di affrontare in maniera definita il problema della giustificazione delle inferenze. (v. sez. 3.4 e vol. II). Al centro della semantica, così come viene trattata in questi primi capitoli, vi è la relazione di denotazione o riferimento che si stabilisce in primo l luogo fra le componenti descrittive del linguaggio, ovvero semplific massimo nomi predicati, e ciò di cui linguaggio parla, in brevel’ontologia. Questo termine, anche se è sovraccarico di sensi filosofici, va inteso qui linguaggio minimalisticamente, come il sistema (elementare) nel suo usode Le nozioni base di cui faremo uso — individuo, proprietà, insieme, relazione, operazione — verranno inizialmente assunte come primitive e spiegate intuitivamente (v. 1.4; per la loro analisi sistematica, si rimanda al cap. 7 sulla teoria degli insiemi).

e

il

culi

degli

cui

il

di

1.1

.

Enunciati atomici: esempi

age

Lul

Mwo

ora analizzare gli enunciati semplici 0 atomici, ovvero quegli enunche ciati non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunciati. Vogliamo

x

Consideriamo l’enunciato Gianni è persiano Ss

CP

costituito dalla connessione mediante la copula ‘è’ del nome proprio ‘Gianni’ con predicato ‘persiano’. Chiaramente, tratta di un enunciato atomico. dire di Quando possiamo averne afferrato il significato? Naturalmente quando ne sappiamo interpretare i termini descrittivi coinvolti, ovvero

il

=

sappiamo:

si

e qual è la denotazione (o il riferimento) di cui si riferisce il nome proprio; e qual è la denotazione o riferimento

l’individuo a Gianni”, cioè —

dell’aggettivo ‘persiano’, cioè la

proprietà che esso esprime; in termini estensionali, la collezione degli enti che godono della proprietà di essere persiano.

Per esempio, ‘Gianni’ potrebbe denotare il mio gatto, oppure un mio amico. Nel primo caso l’aggettivo ‘persiano’ denota allora ragionevolmente una particolare razza di gatti, mentre nel secondo qualifica una specifica nazio-' nalità. Una volta fissato il riferimento del nome e del predicato, per esempio assumendo di essere nel primo caso, possiamo chiederci sensatamente se

l’enunciato è vero o falso. Se accade che l’individuo denotato da ‘Gianni’ — il mio gatto — appartiene alla collezione dei persiani, o — equivalentemente — ha la proprietà di essere persiano, l’enunciato descrive uno stato di cose che sussiste, un fatto, e dunque diremo che è vero. Se così non è, perché il mio gatto è siamese e dunque non appartiene alla classe dei gatti persiani, l’enunciato è falso. L’intuizione è quella della cosiddetta teoria corrispondentistica della verità: un enunciato è vero se dice le cose come stanno, cioè, secondo un celebre passo di Aristotele (Metafisica, libro T, 7, 1011b; v. anche Platone, Sofista, 263a-b): “dire di ciò che è, che è, e di ciò che non è, che non è, è dire il vero; dire di ciò che non è, che è, e di ciò che è che non èè, è dire il falso.”

Altri esempi simili in cui enunciati semplici servono ad esprimere attribuzioni di proprietà ad individui sono: e 29 è primo; e Firenze è

una

Ma non tutti gli enunciati semplici riguardano solo e soltanto l’attribuzione di proprietà a singoli individui, possono invece riguardare il sussistere di relazioni fra più individui, e in realtà complessi ordinati di individui, come coppie ordinate, triple ordinate, quaterne ordinate, ecc. Vediamo chiarire l’affermazione discutendo tre esempi:

di

e Paolo

ama Francesca;

e 33 è divisibile e Arezzo si

per 11;

trova fra Bologna e Orvieto.

Quanto al primo esempio ‘Paolo ama Francesca’, supponendo di conoscere la denotazione dei due nomi, rimane da spiegare quale sia la denotazione o riferimento di ‘amare’. Analogamente, assumendo di conoscere significato dei termini numerici contenuti nel secondo enunciato, si deve dire qual è il significato di ‘essere divisibile’, mentre il terzo caso rimanda al significato del predicato ‘trovarsi tra”. La risposta della logica. contemporanea consiste nel dire che, nel primo caso, ‘amare’ è un predicato) a due posti (diadico,binario), il quale denota coppie di individui una relazione binaria; "The sussiste (o non sussiste) di un certo tipo (uomini in questo caso) e presi in determinato ordine. Analogamente, nel caso 2, il predicato diadico ‘essere divisibile per’ denota un relazione binaria che si applica a coppie ordinate di numeri naturali, mentre nel caso 3 il predicato ‘trovarsi fra’ è a tre posti e denota una relazione ternaria che sussiste (o non sussiste) fra triple ordinate costituite da individui di un certo tipo (per es. comuni di una regione italiana). Due precisazioni. In primo luogo, livello terminologico, le espressioni ‘la relazione sussiste fra’, ‘intercorre fra’, ‘si applica a’ vengono da noi adoperate come sinonime. In secondo luogo, sussistere o meno una relazione fra due o più individui dipende in generale dall’ordine nel quale i medesimi vengono considerati nell’applicare la relazione. Questo è evidente dall’esempio ‘33 è divisibile per 11’; la relazione che il predicato ‘essere divisibile’ denota sussiste fra i numeri denotati da 33 e 11, ma non fra quelli denotati da 11 e 33. Più in generale, se una relazione sussiste fra x e y non è detto che susssista fra y e x (ciò accadrà solo con la speciale collezione delle relazioni simmetriche, v. relaziocap. 7). Il caso ternario illustra il medesimo punto, anche perché delle che si in solo due sussiste fra ordinate distinte possibili ne gioco triple formare Orvieto e Bologna. con Arezzo, possono

il

fra un

i

a

il

la

Convenzione 1.1.1.

città;

e Eleonora è agile.

di

A proposito dell’ordine, indichiamo con (a, b) la copdai due individui a e b. (a,b) è detta ordinata perchè ordinata costituita pia (6, è a). In altri termini, due coppie (a, d) e (c, d) sono uguaessa distinta da se solo se sono uguali le rispettive componenti (0 coordinate), ovvero:

li e

(a, b) = (c, d) implica a = c e b = d. Analogamente (a,b, c) è la tripla ordinata costituita dalle tre componenti a, d, c e vale che (a, b, c) = (d, e, f) ssel a = d, b = e, c= f. In generale si indicherà con (a1,...,@n) Yn-pla ordinata costituita da a1,..., an. Nel capitolo 7 mostreremo che la nozione di coppia ordinata si lascia concepire in termini insiemistici.

1.2.

Forma logica degli. Ù

Esercizio 1.2.3. Ove possibile, formalizzare i seguenti enunciati come enunciati atomici della forma P"(a1,...,@n) con a1,...,@Gn nomi propri. 1.

D.

2. Undici è

. . . enunciati atomici ®.

è

Linguisticamente, gli enunciati atomici ‘Gianni persiano’, ‘Paolo ama Fransi ‘Arezzo cesca’, trova fra Bologna e Orvieto’ possono essere rappresentati applicando (i) un predicato monadico ‘essere persiano’ a un nome proprio ‘Gianni’; (ii) un predicato diadico, ‘amare’, alla coppia ordinata costituita dai due nomi propri ‘Paolo’ e ‘Francesca’; (iii) un predicato ternario, ‘trovarsi fra’, alla tripla ordinata costituita dai nomi propri ‘Arezzo’, ‘Bologna’, ‘Orvieto’. La rispettiva forma logica si lascia dunque naturalmente schematizzare nel modo seguente: °

PO);

e

Ap, f);

e

T(a,b,0);

Lo Hat

Isacco è un gatto.

o=N

DI, {A

.

un numero primo.

È

{woa_fÎ| &,D)

3.

. Dante ama Beatrice.

4.

Antonio ama Cleopatra.

5.

Cleopatra ama Antonio.

6.

Cleopatra è amata da Antonio. Ause(@ sb)

7.

Belluno è a ovest di Ancona.

8.

Aldo e Bruno sono coetanei.

9. Aldo e

Bruno

}

e? fc

|,

francesi. 0

sono

dc

MA

TH

12. Il

ovviamente P, A, T stanno per i corrispondenti predicati e g, p, f, a, b, o sono costanti individuali che hanno la stessa funzione dei corrispondenti nomi propri.

14. Firenze

In generale, per rappresentare la forma logica di un enunciato atomico in cui occorre un predicato P n-ario applicato? a n nomi propri ci, ...,Cn, si scriverà

)

P(c1,...,Cn) Convenzione 1.2.1. Le lettere maiuscole (generalmente P", Q”, R”, ecc.)

!Da qui in avanti usiamo ‘sse’ come abbreviazione per ‘se e solo se’. ?La scelta della lettera è assolutamente irrilevante e viene spesso dettata da esigenze mnemoniche; nulla vieta di usare talvolta invece che lettere parole, per es. potremmo scrivere ‘Ama(p,f)’, ecc.

i

a)

2

0%

tu!

i

ravugiom: | cube di fouig

Paix| xo over

\

|

G(A,r)

il

Tigri

e

l'Eufrate.

|") d{È,P)=4{7,6)

Re

TOPO

da Pisa tanto quanto Pisa dista da Grosseto.

presenta Bruno a Carlo. \

16.

Bruno presenta Carlo a Aldo.

17.

Bruno presenta Aldo a Carlo.

18. A Carlo, Aldo

dell’alfabeto con un indice in alto n designano predicati n-adici (n > 0); le lettere minuscole a, bd, c, d... designano costanti individuali o nomi (propri). L’indice dei predicati viene omesso quando risulta chiaro dal contesto.

matematico.

(ly)

dA ,C}

| (06 Bb) &

Possiamo dunque formulare la seguente

Esercizio 1.2.2. Crearsi dieci esempi di enunciati atomici in cui occorrono predicati di varie arietà, tratti dal linguaggio naturale o dal linguaggio

15. Aldo

dista

ovwoto

)

' ue

Flo

si estende tra

£

\®,?}

VA

punto a giace sulla retta r.

13. La Mesopotamia

=

ie &\) (5) Frauen: T (30) (

e)

di sono francesi. 11. I parigini

O

©O{b,®

î

10. Aldo è francese.

}

19.

presenta Bruno.

Bruno è presentato a Carlo da Aldo.

20. Aldo 21.

Otto è minore di tre.

£ 22. Aldo è 23. Un

*'*)

presenta qualcuno a Carlo.

i

Mim

padre di Bruno e Carlo.

gatto è un felino. .

Ha

I °

83 ) Ma

tek

,e

{N (A

c

x

Vonbel

(A, t_ )

cr)

v

4

LAN

ui "|

=

oli

A

3

RAT -— Semantica intuitiva degli enunciati atomici

1.3

e

Riassumiamo ora schematicamente quanto abbiamo visto.

La relazione che intercorre fra le ‘entità linguistichè, (nomi, predicati) e le corrispondenti entità semantiche (individui, proprietà, relazioni) viene detta relazione di riferimento o denotazione. Sinteticamente: e

n°

denotano (o si riferiscono a) individui; la nozione di indinomi viduo viene fissata implicitamente assegnando un insieme non vuoto di propri

ee

po

__enti, M, l’universo del discorso, che contiene tutti cui si può parlare?;

di

(e soli) gli elementi

STE

predicati monadici TETI denotano (o si riferiscono a) proprietà su M;

e i

predicati n-adici denotano (o si riferiscono a) relazioni n-adiche su

2.

assegnare n individui (non necessariamente distinti) î1, ..., în di M come denotazioni dei nomi cn (nell’ordine dato);

+

ci, ...,

..3

Pc. in

s

...,Cn) è vero. (falso) sse R sussiste (non sussiste) fra tamen pit

momento

SIA

dati necessari per fissare le denotazioni delle espressioni che occorrono in uno o più enunciati atomici possono essere riassunti nella nozione di realizzazione o struttura. Se si dispone di un linguaggio £4 in cui occorrono nomi propri (0 costanti individuali) c1,...,cn e i predicati Pi, ..., Pm”, una realizzazione o struttura M per £ consiste dei seguenti dati:

I

i

e

un insieme M non vuoto, universo del discorso;

*Come vedremo nel cap. 3 M riveste un ruolo essenziale anche per le operazioni di

quantificazione.

di

si

£;

c

di

Si considerino gli

enunciati atomici:

e Francesca è amica di Riccardo;

Laura è amica di Francesca.

Al fine di interpretare i tre enunciati e calcolarne il valore di verità è sufficiente disporre dei seguenti dati, raccolti nella sestupla

M = (M, FM, AM pM, fM IM)

fissare un universo del discorso M (M insieme non vuoto);

una relazione R su elementi di M (o una proprietà di elementi di M, se n = 1) come denotazione del predicato P";

11,

cui

il

significato-estensionale o il riferimento significa:

1.

e inoltre,

a

c; di

riferisce il nome c;.

Il concetto di realizzazione costituisce una sorta di sistema riferimento Illustriamo le concetto linguistiche. espressioni con alcuni per interpretare ed esercizi. semplici esempi

e

Condizioni di verità per enunciati atomici. Sia dato un enunciato atomico E della forma P"(c1,...,Cn).

3. assegnare

ci! di M, per ciascuna costante individuale

e Riccardo è fiorentino;

M.

il

e un elemento è l’individuo

Esempio 1.3.1.

e i

e Fissarne

una relazione k;-aria Py su M per ciascun predicato Pj di £ (essendo k; l’arietà di Pj; per esempio, se Pi è binario allora kj = 2, ossia PM è una relazione binaria);

4L è qui da intendersi come un frammento linguaggio naturale, per esempio quello contenuto in un dato testo. 5Ciascun P;, dove i varia fra 1 e m, è dotato di una specifica arietà k;, che evitiamo di indicare esplicitamente perchè qui non è rilevante e appesantisce soltanto la notazione.

dove M è un insieme non vuoto, rM, fM, M sono elementi di M, FM, AM sono rispettivamente una proprietà di elementi di M e una relazione binaria che sussiste fra elementi di M. Si stipula poi che FM, AM siano le denotazioni dei predicati ‘essere fiorentino’, ‘essere amico di’, e che rM, fM,1M siano le denotazioni di ‘Riccardo’, ‘Francesca’, ‘Laura’.

Esercizio 1.3.2. Determinare i dati di M, in modo che enunciati siano veri; (ii) tutti e tre gli enunciati siano falsi;

sia falso e gli altri due veri; (iv) un enunciato

(i) tutti e tre gli (iii) un enunciato sia vero e gli altri due falsi.

la

situazioEsempio 1.3.3. Siano dati gli enunciati atomici che descrivono ne dei posti a tavola in una cena con quattro invitati seduti attorno a un tavolo quadrato in cui ogni lato contiene almeno un convitato, ma non ne può contenere più di due (si conviene che destra e sinistra siano relative ai protagonisti della vicenda, osservata dal lettore di questa pagina): e Eleonora

si trova fra Francesco e Aldo;

e Carlo è a

e Carlo è

e Aldo è

sinistra di Francesco;

accanto a Francesco;

accanto a Carlo.

Sia L il linguaggio che contiene quattro costanti c, e, f, a, e S?, D?, V?. Una realizzazione per L è allora una struttura

M = (M, TM, DM, SM VM aM,

i

Negli esempi precedenti abbiamo incontrato nella funzione di soggetto soltanto nomi propri semplici. Ma linguaggio naturale può ospitare sintagmi nominali assai complessi che contengono come loro parti altri nomi propri come:

Me, fi)

il

dove: aM, cM, eM, fM sono, nell’ordine, gli individui denotati da ‘Aldo’, ‘Carlo’, ‘Eleonora’, ‘Francesco’; TM è la relazione che intercorre fra tre commensali x, y, z quando x si trova in mezzo fra y e z; DM , SM, VM sono relazioni di stare a destra, stare sinistra, essere seduto accanto (rispettivamente) nella situazione descritta; M include aM, eM, eM, fM.

le

©

e

o

commensale, Giulia, che si siede accanto ad Aldo sinistra di Carlo. Se vogliamo parlare della nuova situazione dobbiamo includere nel linguaggio una nuova costante, g, per ‘Giulia’.

e

modo

può dire

logica, tradizione

sì

Osservazione 1.3.8. Un'ipotesi semplificatoria fondamentale che soggiace

all’intera costruzione è quella della bivalenza;le proprietà e le relazioni in dai contorni sfumati,-ma-si-assume. che sia sempre gioco mnon-sono __determinato se un individuo gode di-una proprietà (o una data relazione intercorre fra certi individui).

vaghe,

di ... e...

Ja

aritmetica.

e

Infine, ricordiamo che vi sono delle giustificazioni teoriche profonde che separano la logica dei predicati monadici da quella dei predicati diadici. Come vedremo nell’ultimo capitolo, mentre la prima è decidibile, la seconda non lo è per un fondamentale teorema di Church e Turing.

...

non dei nomi, ma delle forme nominali o degli \talvolta detti contesti): sostituendo i puntini con nomi si istinti ottengono via via nomi propri distinti. Ciò suggerisce in pro realtà che le espressioni in gioco denotino delle funzioni o operazioni: si può naturalmente supporre che ‘la madre di’, ‘il padre di’ si riferiscano a due determinate operazioni che, applicate a individui del nostro universo del discorso prefissato, associano loro individui univocamente determinati che stanno con essi nella relazione di maternità e paternità; in analogia a quanto succede con ‘la somma di’ che denota appunto l’usuale operazione

e la formalizzazione proposta sono “cariche di teoria”. Infatti, segnano un elemento di rottura rispetto alla legano invece al pluralisme-logico secondo il quale l’ontologia logica, ovvero il «complesso Bertrand Russell

mim

di

In tale caso otteniamo

Osservazione 1.3.7. Per quanto semplice, l’analisi semantica

classi come loro corrispettivo estensionale), ha bisogno anche di relazioni fra individui. Le relazioni — in primo luogo quelle binarie — sono irriducibili

padre

i

emi di nomi

Supponiamo avere gli enunciati formali S(c), T(a, c, db), R(a,c), R(c,b). Si costruiscano due realizzazioni del rispettivo linguaggio in modo che gli enunciati siano tutti veri, risp. tutti veri tranne uno (variando l’enunciato da falsificare).

di

3

di ...

e la somma

di

Esercizio 1.3.6.

la madre

e il

dasiverificare,

oltre alle precedenti condizioni, anche le due nuove? Che cosa della verità di V(a,c), T(c, f, a), T(9,c, a)?

di 2 e

Per formalizzarli, è naturale parametrizzare le espressioni sostituendo nomi propri con dei puntini:

che arrivi un quinto ora alla

Esercizio 1.3.5. Come va modificata la realizzazione in

.

padre di Dante

e la somma

enunciati precedenti nel linguaggio £;

stabilire il valore di verità in M di: S(e, a), D(a, e), T(e, f,c), D(f,c), T(f,c,a), V(e,a), V(a,e), V(f,c).

Supponiamo

la madre di Socrate

e il

Esercizio 1.3.4. e Formalizzare gli

Nomi semplici e composti

1.4

predicati 73,

i

@ceital bf Surdien fone Ciro bre Queste considerazioni portano ad simplire il linguaggio con una nuova nello stesso tempo, ci inducono ad categoria morfologica, quella di arricchire la ‘nostra ontologia logica Con il concetto di operazione. I funtori sono caratterizzati da un’arietà n, come i predicati, e danno luogo a un nome solo se vengono applicati a n distinti nomi. Per esempio ‘il padre di’, ‘la madre di’ sono funtori unari o monadici, mentre ‘la somma di’ è binaria. A livello formale, si può convenire di usare per i funtori le lettere FX, G”, H” (essendo l’esponente l’arietà del funtore). Formalmente dunque: e la madre e il

/

di Socrate 5 F(s);

padre di Dante — G(d);

SUsiamo {Dper designare la relazione che intercorre fra una espressione del linguaggio la sua rappresentazione simbolica.

naturale e

Ye

e la somma di

2e

3

—»

stesso accade quando applichiamo una operazione aritmetica ad argomenti per i quali la funzione non è definita o produce valori che portano fuori dall’universo del discorso prescelto (se esso comprende solo numeri naturali, cioè interi maggiori o uguali a 0, l’espressione V5 non denota). Lasciamo per ora in sospeso il problema. Entro certi limiti, il lettore troverà una proposta di soluzione nella teoria delle descrizioni e nella possibilità di eliminare i funtori mediante l’uso di definizioni contestuali (v. sez. 3.3).

5(2,3).

Da sottolineare che l’applicazione di un funtore può essere iterata: e la

nonna materna

e il bisnonno

di Socrate > F(F(s));

paterno di Dante

>>

G(G(G(d))).

le

parentesi servono a disambiguare la lettura delle espressioni mostrando quali sono gli argomenti dei funtori in gioco e quindi l’arietà. Consideriamo da ultimo la questione della denotazione dei nomi composti. In generale, la relazione di denotazione può essere estesa naturalmente anche al caso in cui nel nostro linguaggio £ occorrono dei funtori. Si osservi come

Esercizio 1.4.3.

Agotnelja|di zione di nomi!”,

(i) Isolare dieci

(iii) Si considerino tre funtori F, G, 1. Si considerino i termini:

o

dove F, G hanno arietà (nell’ordine) e c è un nome proprio o costante individuale. Se conosciamo le denotazione di F°, G e c, possiamo facilmente calcolare #: basterà applicare l’operazione denotata da F alla coppia la denotazione di ordinata argomenti costituita dal valore di c e dal valore di G(c). Per un approccio sistematico alla valutazione delle espressioni costruite vol. II. con funtori, si rimanda 2 e

H, le cui arietà sono, nell’ordine,

1, 2,

interpretino G, F, H rispettivamente come le operazioni di somma aritmetica, quadrato aritmetico e successore, mentre c denoti il numero 2. Calcolare i valori dei termini.

Si

(iv)

Costruire due interpretazioni non aritmetiche dei termini precedenti

tratte dal linguaggio naturale.

Esercizio 1.4.4. Ove possibile, formalizzare i seguenti enunciati come enun-

ciati atomici della forma P"(t1,...,tn), con t1,-..,tn termini individuali. Si possono utilizzare, all'occorrenza, costanti funtoriali e la relazione binaria

‘>’ di.ideatità.

1

1. Il

padre di

Aldo

è

è

francese. A

F

(Na) Cc

AF

2. Il padre di Antonio ama Cleopatra, A e. A 3 . Antonio ama la madre di Cleopatra.

di

al

Osservazione 1.4.2 (Il problema dei termini che non denotano). L’uso dei funtori è non di rado problematico a livello denotazionale. Il punto è che una operazione o funzione produce valori solo per una certa classe di enti (il suo dominio di definizione). Per esempio, posso ragionevolmente applicare ‘la madre di’ solo in riferimento a termini che denotano individui di una specie animale, in cui ci sia un meccanismo riproduttivo sessuato. Lo

legata

F(c), F(F(0)), G(c, F(0)), F(G(H(c), H(c)))

Estensione della nozione di realizzazione al caso dei funtori. Se F è un funtore n-ario del linguaggio e M è una realizzazione della parte del

F(c,G(c))

ltd {

funtori nel linguaggio matematico elementare applicandoli alla costruzione di nomi.

duale è una espressione del linguaggio che ha la precipua funzione di denotare un individuo. I termini individuali sono costruiti mediante nomipropri iterando l’applicazione di funtori. La nozione verrà definita rigorosamente per i linguaggi formali nel vol. II. Come vedremo, l’introduzione delle variabili porta a generalizzare la nozione di termine.

n)

de

(ii) Isolare dieci

Osservazione 1.4.1, Invece di nomi composti, parleremo anche (e sempre più spesso) di terminì individuali. (chiusi). In generale, un termine indivi-

linguaggio priva di funtori, il cui universo del discorso è M, F denota una operazione n-aria FM di M, ovvero una funzione che associa in maniera univoca ad ogni n-pla a1,...,an di elementi di M uno ed un solo elemento di M. FM(a1,... Si consideri per esempio il termine t dato dall’espressione

|

naturale applicandoli alla costruAfOutote ol ifiippreti A

REUBEETOedarotino fav i

f

See

6. I

e ®

7.

|”

( / 4( a 7 M(c))

la madre di Cleopatra. A Pa), Hr) onio AR {€ ama (0) 4 Ne La madre del padre di ‘Antonio ama il padre della madre di Cleopatra.

4. Il 5.

fi

N S

padre di

genitori di Aldo sono francesi.

FY

[ (pio,{{a))

Aldo presenta il padre di Bruno alla madre di Carlo.

di FA S(4,}G,0) e

8. La somma

2

con il

LEtasosudd.

prodotto di 3 e 6 è un numero pari.

Db

6(Pl

Su

® 9.

La radice quadrata di due è un numero irrazionale.

10. La 11. Il

capitale della Francia è a Ovest di quella della Germania.

padre di Bruno è Aldo.

12. La

madre del padre di Aldo è vecchia.

13. La

madre del padre di Aldo è Carla.

14. Il 15.

prodotto di

8è

16. Il

Le

2

il cubo di 2.

la

(}(2)=3 2 è

uguale alla somma

di 4 con se stesso.

vincitore della partita tra la nazionale austriaca e la nazionale belga affronta il perdente della partita tra la nazionale coreana e il vincitore

17. Il

della 18. La

1.5

partita tra la nazionale danese

distanza tra i punti a e

d è minore

e quella estone.

di2.

in

e individui (o oggetti);

on

proprietà (o insiemi);

seni e relazioni;

TWa1€0D LiMAY)

00 ATE

roAf i

|

[go

PULA

+

fra

e

Precisazioni sull’ontologia logica

L’ontologia presupposta dall’analisi semantica degli enunciati atomici è costituita sostanzialmente da:

e

nel senso precedente; corrispondono molto spesso alle denotazioni dei nomi comuni, degli aggettivi o di alcuni verbi intransitivi (come per es. ‘correre’). Estensionalmente, una proprietà può essere identificata con la collezione degli enti che ne godono. individui, presi in Le relazioni sono entità che si applicano a complessi verbi le di transitivi (come denotazioni costituiscono ordine; talvolta un certo nominali (come ‘essere ‘amare’, ‘chiamare’, ‘superare’, ecc.) o a predicati amico di’, ‘essere figlio di’, ‘essere maggiore di’). Di nuovo, una relazione relazione < sui naturali) può essere estensionalmente binaria (per esempio i quali sussiste delle coppie ordinate di numeri l’insieme concepita come la relazione

EA

Principio di determi

i

é

nei

premesse

x

si

i

Che cosa succede quando combiniamo enunciati atomici fino a costruire, casi connettivi enunciati via via sempre più complessi, come agli atomi si base di dagli trasmette bivalenza 2.1.1? La considerati in enunciati complessi? La risposta è senz’altro positiva, se si assumono, in accordo con la se fondamentali?: concezione classica, le seguenti mediante

Condizioni di verità per la congiunzione.

B

sono

veri

(A è falso

oppure B è falso).

A

/B è

vero

(falso)

sse A e

che ci permettono di costruire u modello rigoroso della semantica verità in ambito classico. Come ei connettivi di come funzionano le attribuzioni esse potranno essere messe in discussione sia sulla base di critiche filosofiche, sia tenendo conto di certe inadeguatezze tecniche e concettuali che ne derivano. Purtuttavia, a livello propedeutico, le ipotesi funzionano da principi di base e di semplificazione, che hanno comunque una serie di interessanti conseguenze. ?Si

tratta di ipotesi

di

tali,

stato sole TT A|B|ANB L|1

1|0

sulla base Commento 3. La tavola del condizionale può essere giustificata

Ò

1

delle seguenti assunzioni:

0 0 0

O0|1

00

|

e Giovanni indossa il costume

Ha

e Giovanni

_Dunque

il

e

tuffa in mare;

si

si tuffa in mare e indossa il costume.

connettivo classico non è adeguato TAI

"

zioni dinamiche.

a

"

rappresentare.azioni

Condizioni di verità per la disgiunzione. AV B

vero oppure B è vero (A e B sono entrambi falsi).

ATB

—»[1]1

o —situa-

._*

entre

caso

i

È.

A

lbfae

aste ye \b 1|1

i

Se

in

10

O|1

0|0

la

si

A —

B è vero (falso) sse o A

ptl

A

1)

t4

A-B oHh]]

Si

olor

SELES

2|}

Liinterpretazione prescelta per .

implicazione materiale? I

edlitbiibleeieieintia eg

rr 3Infatti

f

HH

Z

#

TE

SF

w È v o . so il condizionale viene anche detta(filoniand\)o La

È

7

i

.

"

_

.

condizionale materiale è attestato nellà scuola megaricostoica di cui è protagonista illustre in ambito logico Filone di Megara (IV sec. a.C.). € si risale alle Sia ini della logica contemporanea, viene adottato da È Frege nel suo Begriffsschrift (1879) "La di ‘implicazione materiale’ (e una sua discussione) si trova già nel terzo capitolo di The Principles of Mathematics (1903) di B. Russell. il

pe

A|B|A-B

alla cosiddetta disgiunzione inclusiv vel Ylel Latino). esclude verità della disgiunzione nel caso cui entrambi i disgiunti sono veri, si ha la disgiunzione esclusiva (aut del Latino; vedi esercizi).

oppure B è vero (A è vero e B falso).

€

(A,

Commento 2. L’interpretazione prescelta per la disgiunzione corrisponde

è falso

(

DA

verità per il bicondizionale. | Ae B è vero (falso) sse A distesso valore dîverità B hanno valori di verità distinti). lo

Condizioni e B hanno

Qi;

-—P Condizioni di verità per l’implicazione.

'

È

AV.B

°

Esercizio 2.2.1. Il lettore si costruisca qualche esempio faconcreto per illustrare l'inadeguatezza intuitiva del condizionale classico. mie UMIDI mussdo) FREGIA s po bl dae uva (si goA io Was AR 7.

1

o|0

e

.

perché permette di dichiarare veri éMunciati condizionali in cui l’antecedente del conseguente, per esempio, _è del tutto irrilevante alla verità, 0 falsità il falso è o conseguente vero ma non vi è alcun legame quando l’antecedente fra i concetti in gioco nell’antecedente e nel conseguente.

1

01

x

.

x

è falso. in cui ilecondizionale IATA TRAI TIRI nisi uitivamente problematica in alcuni casi (i) è naturale, (ii) risulta

(ii) il caso (i) è l’unico

è vero (falso) sse A è

1

1|0

rtDndOZA

il premessa del condizionale è vera, ma il conseguente è falso,

è

condizionale è falso;

. si put esclude la dimensione Commento 1. L’interpretazione della congiunzione 6 _d6mporale; per es. non distingue fra

{

TETTI (i) se la

1

0 0 1

della ridondanza nelle nostre definizioni precedenti. Infatti, per la bivalenza, non-vero = falso, non-falso = vero, e dunque verità (o falsità). condizioni sarebbe sufficiente-indicare Jeconnettivi suggeriscono una generalizzaLe tavole di verità dei cinque zione, nella quale ciascun connettivo viene interpretato come (o identificato con) una tavola, la quale, in corrispondenza dell’assegnazione di valori agli argomenti, produce un determinato valore. Se il connettivo è n-adico, avremo 2" possibili n-ple che costituiscono gli solo argomenti del connettivo. Come vedremo, non è restrittivo considerare le sezioni i connettivi fin qui visti: la loro scelta non è frutto di arbitrio (vedi sulla completezza funzionale e l’interdefinibilità dei connettivi nel vol. II).

Osservazione 2.2.2. Vi

è

di

Osservazione 2.2.3 (Varianti dei connettivi). Nel discorso dichiarativo

si

che si lasciano assimipossono isolare altre espressioni sincategorematiche lare ai connettivi classici. Vediamo qualche semplice esempio basato sulle locuzioni ‘condizione necessaria’, ‘condizione sufficiente’, ‘solo se’, e sulle congiunzioni concessive, temporali, causali (‘ma’, ‘quando’, ‘perché’, ecc.).

Î

-È

3

Cao) Ming

°

Mu

universitario è che sia studente necessaria affinché GianniGianni studeni Gianni sia diplomati ‘se Gianni è studente universitario, iplomato’ equivailee aa‘se Gianni è diplomato” T;

e ‘Condizione 6

e

%

a

|“

e

)

Fia)

.

e T/_> T(

.

.

.

è

‘

‘Mariavaateatro solo se Gianni .

.

.

tn

va a teatro, Gianni l’accompagna; e ‘Gianni

(0)

>

x

sia fiorentino” .

significa che, se Maria .

studia’ e ‘Gianni è

\1}

e ‘Gianni

male’; ©

‘28 è

sta

5)(DATI

N

malato”?

(D) 4 {87 Î

A

Tier)»

frugalmente;

e

2’

equivale a ‘Se 28 è divisibile per 2,

2.3

di tutti

i

seguono

si

popoli conosciuti, si nutriva

pista è gelata perché la temperatura è scesa sotto zero.

Tautologie e inferenze corrette a livello enunciativo

Dalla semantica enunciativa discende facilmente che vi sono,enunciati semcui valore di verità è sempre veri il valore assegnato qualunque al costituenti atomici. Tali enunciati vengono detti enunciative 0

Pre (il leggi

sia

1),

A ai

tautologie

PrranaesnastI enunciative!. Due tautologie particolarmente notevoli corrispondono damentali della logica aristotelica:

logiche

PNC Principio di non-contraddizione:

(A AA);

TND Principio del terzo escluso: (AVA). ‘Oppure anche.verità logiche

An si conclude A,

0 formule (logicamente)

Ai A. .. è

A

An

Graficamente, l’inferenza

si

PA

una tautologia.

An

rappresenta anche con la notazione

=B

Ar... An B

La definizione è giustificata dal fatto che, se una inferenza — poniamo con due premesse A e B e conclusione C' — è intuitivamente corretta, non falsa: può verificarsi il caso che le premesse siano vere e la conseguenza le A fra A B C che richiedere ciò l’implicazione equivale a ma appunto

sia

+

bite

principi fon-

2.4

Esercizi

2.4.1

Esercizi di formalizzazione

In questi esercizi si richiede di individuare correttamente la forma logica di enunciati composti tramite i cinque connettivi verofunzionali =, V, A, +, ©. Non si richiede invece di evidenziare la forma logica delle componenti atomiche, che dunque potranno essere semplicemente rappresentate mediante lettere schematiche A, B, ecc. Attenzione: ci sono, qua e là, dei trabocchetti. 5Detto per inciso, qui stiamo giustificando le inferenze sulla base del concetto di legge logica; ma, come vedremo, questa non è affatto l’unica via possibile, e svilupperemo in seguito una prospettiva teorica nella quale è il concetto di inferenza logica a fondare la nozione di legge logica. ‘

valide.

A_segue da

premesse e la conclusione non possa essere falsa ovvero, per bivalenza, debba essere sempre vera, cioè una tautologia?. AI fine di controllare il carattere tautologico di un dato enunciato (0 la correttezza di una specifica inferenza) è dunque sufficiente controllare il carattere tautologico della formula corrispondente (la correttezza dello schema di regola corrispondente).

A

c'è il sole, ma fa freddo, anche se indossiamo abiti pesanti;

e la

Ar... An = A

A1,..., oppure dIlegga:An).dalleAllorapremesse l’inferenza è vglida o corretta se l’implicazione

P(28)

e sebbene Alessandro fosse signore A

SII IR

.,.

Il lettore si può facilmente convincere che anche gli enunciati che lasciano formalizzare usando i connettivi usuali:

®

®

7

pari perché è divisibile per

28è pari.

RI inferenza inni

,

À

male quando vola’ equivale a ‘se Gianni vola, Gianni sta

VV

Definizione 2.3.1. Sia

.

studia, nonostante sia malato’, da un o di vista meramente fat tuale ed estensionale, equivale alla congitizione di ‘Gianni

-— I° l

)

. ‘Condizione sufficiente affinché, Gianni sia toscano è che equivale a ‘se Gianni fiorentino, Gianni è toscano’; .

6

di

convinNon tutte le tautologie sono così immediate; il lettore avrà modo cersene svolgendo gli esercizi della sottosezione 2.4.2. Utilizzando il concetto di tautologia è possibile dare un criterio molto semplice per individuare le inferenze classicamente corrette.

TSEercizio 4.4.1, Utllizzando, ove possibile, solo le costanti logiche indicate per il gruppo di appartenenza, individuare la forma logica degli enunciati elencati e quindi formalizzarli.

I

Gruppo ®

1

Non

piove.

25.

.

Non

.

Fumare non fa male.

.

Carlo non è nato a Cuba.

tutte

le comete

hanno una coda.

®

.

Non è detto che l’affare non sia conveniente.

.

È falso

è

28. Aldo e

Bruno giocano (sanno giocare) a tennis, Carlo no.

29. Aldo e

Bruno giocano insieme a tennis.

31. Voto

vi sia vita su Marte.

32. Aldo e

sa che fumare non fa male.

34.

Maria è una studentessa fiorentina.

12. Carlo non sa che fumare fa male.

35.

Maria

>‘

non piove, c’è il sole.

libri sul

e

14 Non ci

sono

e

15. Non si

dà il caso che tutti

Gruppo 16. 2 è

II

— congiunzione

i

/ congiunzione

canto.

i

negazione

40.

cavalier, l’arme, gli amori, le cortesie, le audaci imprese io

I x

19. Tu

non

ma non fa freddo.

sei vinto,

20. L’ingresso è 21, Si

43

ma ingannato e tradito (Re Lear).

gratuito per

i

Firenze, che è il capoluogo della Toscana, \fu capllate d’Italia.

militari, gli anziani e

i filosofi.!

accettano pagamenti in contanti o con carta di credito.

rispettivamente, in Toscana e in Liguria.

Rima, €

\

°

®

Socrate bevve la cicuta e morì.

41. Alcuni

\42

18. Nevica,

Ta

una cattiva guidatrice.

°

fa

39. I possessori di barche o aerei risiedono preferibilmente a Montecarlo, dove non si pagano tasse.

è e

slavi.

38. Né Firenze né Milano sono sul mare.

vertebrati siano mammiferi..

pari e 3 è dispari.

17. Le donne,

è

37. Firenze e Genova sono,

tavolo.

sono

Bruno sono amici.

Maria è bella e ricca.

13. Se

ti

a favore, anche se non sono pienamente d’accordo.

33.

11. Carlo

narcotici del mondo,

i

Prato sono in Toscana, mentre Genova è in Liguria.

falso che Carlo non parli inglese.

Non

tutti

» 30. Tanto gli italiani quanto gli spagnoli non

di3.

2

che

ci sia nebbia, la visibilità non è buona.

Tira vento e fa freddo, oppure piove.

27. Firenze e

Alcuni svedesi non sono biondi. non è minore

non

26. Né il papavero, né la mandragora, né renderanno il dolce sonno (Otello).

è

.

10.

©

matematico Georg Cantor, nato a San Pietroburgo, studiò a Darmstadt e Berlino. Insegnò a Halle, dove morì.

24. Sebbene

Non è vero che dormire fa bene.

((®,0)

Bruno è nato a Cuba.

23. Il

— negazione

.

.

22. Come Aldo, anche

®

Tutti

>

gatti hanno il pelo rosso e lungo.

gli uomini sono bipedi e

Hi

mortali.

Carlo è appassionato di calcio mentre invece Maria non lo è affatto.

Nonostante lo svantaggio

45. Carlo, che

Tpziale, o

Carlo -

vinse la corsa.

LE

D

era partito in svantaggio, vinse la corsa e ricevette la me-

daglia d’oro.

Gruppo

111

— disgiunzione

46. Carlo è pazzo

oppure

è

/ disgiunzione

negazione

e

68. Verrò,

non si hanno carichi pendenti, per espatriare è sufficiente avere la carta d’identità.

o

.

ANAL

49. Il vincitore è uno

92.

Tutti gli studenti parlano o inglese o tedesco.

D4.

tutti

gli

T1. I

ha

purché non faccia troppo freddo.

59. Verrò alla festa solo se qualcuno mi accompagna. 60. Se nessuno mi accompagna, non vengo 61.

Che

alla

corrente elettrica è condizione vi sia la si

perché 62. Vengo

lampadina

accenda.

Sotto l’ipotesi A; vale B.

64.

L'ipotesi che tutti

i

TO.

Le ipotesi A e B sono

tra loro equivalenti.

B si implichino a vicenda, equivale a C.

Esercizio 2.4.2. Utilizzando i

i

cinque connettivi

@, A, V,

seguenti enunciati.

1 Mario non vota soltanto

se Aldo e

+, +

formalizzare

Bruno non votano.

Benché Aldo e Bruno non abbiano votato, Mario ha votato.

2.

festa.

Se Aldo non

vota allora neppure Bruno vota, a meno che tanto Mario

quanto Carlo votino.

necessaria, ma non sufficiente, .

Se

tra .

mancano entrambi gli attaccanti a e

d,

giocano due riserve scelte

c, d, e.

Se Aldo

si ritira allora, posto che Bruno non vinca,

Carlo sarà secondo

o terzo nella classifica finale.

numeri siano primi porta a contraddizione.

65. Perché le elezioni siano valide bisogna sia

farà esattamente nel caso che il prezzo non superi dieci-

Se Carlo viene alla festa viene anche Maria, e viceversa.

a condizione che Mario non venga.

63.

se e solo se la stagione è adatta.

TA.

76. Che A e

56. Se è domenica allora i negozi sono chiusi.

58. Verrò alla festa,

negazione

ottenga il rimborso è necessario e sufficiente che io presenti la ricevuta.

e negazione

57. Verrò alla festa, se qualcuno mi accompagna.

e

73. Perché io

il pelo lungo.

/ condizionale

/ bicondizionale

mila euro.

accettano pagamenti in contanti o con carta di credito.

Gruppo IV — condizionale

funghi nascono

72. L’acquisto si

studenti parlano inglese o tutti parlano tedesco.

Qualche gatto ha il pelo rosso oppure

55. Si

Gruppo V — bicondizionale

tra Alberto e Bruno è sposato con una tra Carla e Maria.

Uno

basta che piova per eliminare lo smog, allora dal fatto che c’è smog

segue che non è piovuto.

ci sia sciopero dei treni.

dI.

53. O

70. Se

tra Alberto, Bruno e Carlo.

50. Verrò, a meno che (non)

ci sia sciopero dei treni, qualcuno mi

69. Se

NA casi sono due: o c'è vita su Marte, oppure non c’è vita su nessun pianeta. bA IN 7 ICAORGUREENIa Vv .

caso

accompagni.

un bugiardo.

47. O piove o nevica. 48. I

a condizione che, nel

.

raggiunto il quorum.

66.

Per vincere le elezioni è sufficiente ottenere la maggioranza assoluta.

67.

Supponiamo che non manchi benzina. Allora se l’auto non parte sarà guasto il carburatore.

A meno

che

(non) piova andrò a piedi o in bicicletta, e comunque non

da solo. .

.

Tanto la Danimarca quanto la Svezia, sebbene siano in Europa, non fanno parte della EU. Preso uno qualunque tra Aldo, Bruno e Carlo, questo dorme se almeno uno dei rimanenti è sveglio.

se e solo

Romania vince in Ungheria, l’Italia dovrà battere l'Ungheria per piazzarsi in testa al girone. Se la Romania pareggia o perde, l’Italia

11. Se l’enunciato A segue 12. 13.

Germania romperà

(i) Ogni cella è

dalla propria negazione, allora è vero.

fra gli enunciati A e B implica l’altro. Al massimo fra gli enunciati A e B implica

14. Uno e

uno

solo

(1)

(m)

fra gli enunciati A e B implica l’altro.

(n)

fra

15. Se uno gli enunciati A e B implica la negazione dell’altro, allora non si dà né il caso che siano entrambi veri, né il caso che siano entrambi

(0)

tre enunciati A, B, C si implicano a vicenda.

17. I

tre enunciati A, B, C sono due a due incompatibili.

18. I

tre enunciati A, B, C sono due a due incompatibili; inoltre non sono

tutti falsi.

tre enunciati A, B, C sono due a due incompatibili; inoltre uno e

uno

solo

di essi è falso.

20. Al massimo due dei 21.

Esattamente due dei tre enunciati A, B,

22. Almeno 23.

tre enunciati A, B, C'

uno

C'

veri. sono veri.

Stiamo parlando di due celle a,b, di tre monaci k,m,n e della loro eventuale calvizie, nonché dell’essere o meno una certa cella occupata da un certo monaco. Prendendo come atomi Ck (Cm, Cn)

-

Ok,a

> il

il monaco Om,bs On,a» On,b),

si formalizzino gli

(a) Tutti e tre

i

(c)

monaco &

occupa

K

la

(risp. m, n) è calvo, cella a (e analogamente Ok. Om,as

Esercizio 2.4.3.

Td

non

è

calvo.

C'è uno e un solo monaco che è calvo.

(d) Nessun monaco che occupa

la

cella

b è

calvo.

sono

calvi.

vuota.

Si considerino le seguenti formule,

On.

contenenti gli atomi

Dando a questi atomi Ck, Cm Omar Oxs Om “tradurle” in (buon) dell’esercizio precedente, in il significato fissato (23) italiano. Ongar

Cny Okay

1.

Omb

N

(Om,a

.

> -

Sì .

2.4.2

monaci sono calvi.

la

(t) C'è una e solo una cella vuota.

.

enunciati che seguono:

(b) Qualche monaco

(s) Nessuna cella è

sono

tra gli enunciati A, B, O, D, E implica due dei rimanenti.

—

la

cella a sono calvi. (p) I monaci che occupano cella b. (q) Nessun monaco calvo occupa (r) Una cella è occupata da tutti e soli i monaci che non

falsi.

19. I

tre monaci occupano la medesima cella. £ e n non stanno nella stessa cella. Soltanto i monaci calvi occupano una qualche cella. La cella a è vuota. Ogni cella è occupata da uno e un solo monaco. Ogni monaco occupa una e una sola cella.

(k)

l’altro.

16. I

occupata da al massimo un monaco.

(j) I

Uno

uno

monaco).

(f) Qualche cella è occupata da almeno due monaci. (g) Qualche cella è occupata da almeno due monaci di cui almeno uno è calvo. (h) Qualche cella è occupata da esattamente due monaci.

sarà comunque qualificata.

10. Solo se la Francia e l'Inghilterra si alleano, la l’alleanza o con la Turchia o con la Svezia.

le celle sono occupate (da un qualche

(e) Non tutte

Se la

.

Cm N

Om,b)

VaCm

A Cm) (Oksa > Omsa V Onya) A (Omsa + Oka V Onsa) A (Ona > Orsa V Omsa) (Oka Ok.) N (Oka + Omya V On,a) A (Ok, > Om V On,b) (Oka V Ok. — Ck) N (Om,a V Omb > Cm) N (On,a V On _ Cn) (On.

A

Cn)

V

(Ok,

A

Ck)

V

(Om

Vv

Esercizi sulle tautologie e le inferenze

Il metodo migliore per apprendere a maneggiare i connettivi e impadronirsi della nozione legge logica consiste nel controllare il carattere tautologico di un buon numero di formule che riportiamo di seguito, utilizzando in primo luogo la semplice tecnica meccanica delle tavole di verità. Vediamo due complessità). semplici esempi (in ordine

di

di

Esempio 2.4.4. Verifichiamo la legge P28 (nella lista successiva; si tratta della legge ex falso sequitur quodlibet). In primo luogo si assegnano i possibili valori agli enunciati componenti (A e B). Ci sono 22 = 4 casi

possibili, che possono essere ottenuti sistematicamente con il metodo della dicotomia5; si procede poi alla valutazione applicando tavole verità per i connettivi dall’interno all’esterno; gli indici associati a ciascuna occorrenza dei connettivi danno l’ordine prescelto di esecuzione delle sottotavole e —* è il connettivo principale.

le

di

STA|+*T(A]=?7B)

Esempio 2.4.5. (P47). (i)

Come

Ofi|1|1|1.|ad o|1|1|1|o]|o0 1|o|1|o|1]|1 1|]0|1]o]1]0

sopra,

si

le

tavole di verità per i connettivi dall’interno all’esterno, seguendo un ordine prefissato nell’esecuzione delle sottotavole.

ATetTB)|weT(BTeTOTETATSTO) 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0 0 0 0

0 0

0

0 0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0 0

1

0 0

0 0

0

1

1

0

0

1

1

0

0 0 0 0

0 0

0

1

1

0

1

1

1

1

1 1

0 0 0 0

1

1

1

1

questo punto proponiamo al lettore una lista di alcune tautologie raggruppate per connettivi. A

5Se l’enunciato consta di n componenti atomiche (n > 1) A1,..., An, il metodo consiste (i) nello scrivere (ordinatamente, a partire, poniamo, da sinistra) sotto ogni occorrenza di Ai una colonna costituita da 2” caratteri, in modo che i primi 2"7* siano copie di ‘1’ e i successivi copie di ‘0’; (ii) nel passare poi alle occorrenze di Az, scrivendo sotto di 2” caratteri in modo che vi siano alternativamente 2"7? ciascuna di esse una una copie di ‘1’ seguite da 2”? copie di ‘0’ fino ad esaurire le 2” righe; (iii) nel ripetere la delle componenti procedura per le rimanenti formule, dimezzando ogni volta il n uguali, fino ad arrivare alle occorrenze di A, a cui resterà associata semplicemente lista composta di ‘1’ e ‘0’ alternati.

2”!

lista

la

(B—

A)

(a fortiori)

P2 (A — (A— B))

+

(A—

B) (legge

di

contrazione)

(B- C)) — (B+ (A+ ©) (legge di scambio)

P3

(A+

PA

(B — C) —

P7

prima si assegnano i possibili valori agli enunciati componenti, nella fattispecie tre: A, B, C. In totale tratta di 23 = 8 casi possibili, da il della dicotomia; sistematicamente metodo enumerare con

1

A+

P6

le

(ii) si procede alla valutazione applicando

PI

P5

tavole alla verifica del Pigeonhole Principle l'esecuzione della tavola include le seguenti fasi:

Applichiamo

Gruppo A: implicazione

((A- B) > (A ©) (legge di concatenazione) (A+ (BC) — ((A— B) > (A— ©) (legge di Frege) ((A+ B) > (A-0))-(A-(B-0)) (A- B)-((B-C)-(A- C)) (legge transitività) di

Gruppo B: congiunzione / disgiunzione P8

ANB- A, ANB-B

P9

(A+ B)—

((A-C)-(A-BAC))

P10

A- AVB, B- AVB

PIL

(A+

P12

(A-(B-C))-(ANB-

P13 PIA

(AAB-—C)-(A-(B-C)) A-(B-(ANB))

P15

ANB&- BNA,

P16

(AA(BAC))

+

((AAB)AC)

(AV(BVCO))

+

((Av B)VC)

C)-((B-C0)- (AVB-C)) C) (legge di import) (legge di export)

AVB BVA (leggi di commutatività)

(leggi d’idempotenza)

PIT

(AAA)

P18

AA(AVB)

P19

AA(BVC) (ANB)V(ANC) AV(BAC) (AVB)NA(AVC) (AVB)- ((A- B) — B)

P20 P21

P22 (AV

A,

(AVA) A,

B)-((B+

jO A

(laggi associative)

AV(ANB)D

A)— A)

A (leggi di assorbimento) (A,

V-distributività)

(v, A-distributività)

Gruppo C: negazione/implicazione P23 (A+ B) + ((A+ -B) + 4A) (riduzione

(AA) 4A

all’assurdo)

contraddizione e una tautologia prefissate. P48

AVLOoA

P25 A

P49

AVTOT

P26

P50

ANLOoL

PBI

ANTOA

P24

+ 4A (legge della doppia negazione debole) (A- B)- (-B+ A) (contrapposizione debole)

A+ (A+ -B) (Duns Scoto debole) P28 A+ (A+ B) (Duns Scoto) P27

P29

A + (legge

P31

+ -B) + (B+ (2A + A) + A (consequentia

Gruppo P32 P33 P34 P35

Esercizio 2.4.6. Verificare che

della doppia negazione forte)

P30 (3A

B)— A)

A

(legge

—

Chang-Meredith)

B)-((B+ A)+ A)

((A+ B)—

P38

((A- B)+ C)+((A+C)-C)

è Modus Tollens:

e

P42 P43 P44 P45 P46 P47

AVB_A-C_B-C C

e Regole di eliminazione della congiunzione: Cc

(principio di non-contraddizione) e

(A

(Av B) + (A+ B) (Filone) ((A&- B)& 4) + B (Curry) ((A+ B)& A) (AN B) (A (A& B)V(A4 C)V(B

+

definibile con

B-C

ANB

A-—-C

AVA (principio del terzo escluso) (AV B) + -B) (De Morgan I) (A A B) + (4A VB) (De Morgan II) (AA-B) + (A + B) (Crisippo)

P41

Ragionamento per distinzione dei casi (o regola di eliminazione della disgiunzione):

Gruppo E P40

A

AVB

B

(legge di Tarski)

(A A 4A)

A-B

-—B

e Sillogismo disgiuntivo:

(legge di Lukasiewicz)

P39

A_- B

B

DA

di Peirce)

P37

CORTI

e Ragionamento indiretto:

fZQA-B

_)

C) (Pigeonhole principle

Esercizio 2.4.7. Provare

)

ANB Cc

Ragionamento per assurdo: A-—-B

HD,

tautologie.

Ponens (o regola di separazione): A

((A+ B)- (B+ A4))- (B+ A) (legge di (A+ B)V(B+ A) (Dummett) (CH AVB)4 (C+ A)V(C + B) (AAB-C)5 (A+ C)V(B-+ 0)

P36 ((A—

e Modus

mirabilis)

leggi classiche prive di

le formule precedenti sono

Alcune regole formali fondamentali per i connettivi

A) (contrapposizione forte)

D:

Siano L e T rispettivamente una

Gruppo F: leggi di semplificazione.

che

A--B

dA

\ ’

A+ B

A.

le regole formali

T n si

A

Sen)

A (164 ) é

precedenti sono. corrette.

le operazioni logiche basilari, le seguenti inferenze, verificando se sono corrette o no.

Esercizio 2.4.8. Formalizzare, isolandone

.

.

Se Giovanni ama Maria, le chiederà di sposarlo. Giovanni Dunque le chiederà di sposarlo. Se la vittima

era in

sera.

la

Se oggi è il 29 febbraio, siamo in

febbraio. Dunque non siamo in un .

.

la

ufficio il venerdì sera, la

sua radio non suonava, e dunque .

ama Maria.

sua radio suonava. Ma vittima non era in ufficio venerdi

un

bisestile. bisestile.

anno

anno

Ma non è il 29

Se la

temperatura si è abbassata, la pista è ghiacciata. Ma la pista è ghiacciata e dunque la temperatura si è abbassata.

il

Se il governo abbasserà il tasso di disoccupazione, aumenterà consenso del partito di maggioranza. Se il partito di maggioranza aumenterà il proprio consenso, la coalizione di governo si rafforzerà. Se la coalizione di governo si rafforzerà, essa vincerà le elezioni. Dunque, la coalizione di governo vincerà le elezioni, il governo avrà abbassato il

tasso di disoccupazione. Se piove,

l'ombrello. .

Se piove,

l'ombrello. .

.

prendo l’ombrello.

Dunque se piove e fa freddo, prendo

prendo l’ombrello..

Dunque se piove o fa freddo, prendo

se

O il

pesanti.

computer è guasto oppure la batteria è scarica. Ma la batteria è non scarica. Dunque computer è guasto.

il

10. La camicia è di lino e si sgualcisce. Dunque la camicia si sgualcisce.

Ma la camicia non è di lino.

ha letto la posta elettronica, ha ricevuto il mio invito. DunAnna non ha ricevuto il mio invito, non ha letto la posta que, se elettronica.

Anna

Piero segna un goal, vinciamo la partita. vinciamo lo stesso. Dunque vinciamo partita.

12. Se Del

la

13. Se si

Se

non lo segna,

i

rompe un’ala dell’aereo o il motore s’incendia, passeggeri rischiala si rompe un’ala dell’aereo, no vita. Dunque vita dei passeggeri

è in pericolo. 14. Se si rompe

Problema 1.

suppongano vere le proposizioni:

Si

i izi sufficiente per passare l'esame è ottenere una votazione di (B.1) Condizione 18/30; È

esami (B.2) Condizione necessaria per ottenere la borsa è una media negli di profitto di almeno 27/30. Quali fra le varianti che seguono sono equivalenti a B.1 e B.2 (rispettivamente)? e Se si

ottiene una votazione di 18/30, si passa l’esame.

si passa l’esame, si ottiene una votazione di 18/30.

e

Se

e

Se

ottiene la borsa, la media negli esami di profitto si 27/30.

e Se la media negli esami di

è di almeno

profitto è di almeno 27/30, si ottiene la

borsa.

Se piove, indosso scarpe pesanti. Se fa freddo, indosso scarpe Dunque piove o fa freddo, indosso scarpe pesanti.

11. Se

Dunque non cale.

salario, aumenta la conflittualità sindacale. aumenta la conflittualità sinda-

il salario e non

?

se

.

il aumenta

15. È falso che, se aumenta

se

la

i la vità

un’ala dell’aereo e il motore s’incendia,

no la vita. Dunque è in pericolo.

se

si rompe un’ala dell’aereo,

passeggeri rischia-

Problema 2.

Si assuma:

è (A) non è vero che Gianni è competente di cinema e Maria appassionata di opera.

Quale fra le seguenti proposizioni segue logicamente da (A): e Gianni non è

competente di cinema, e Maria non è appassionata di

opera. e Se

Gianni è competente di cinema, Maria non è appassionata di opera.

e Se

Gianni non è competente di cinema, Maria non è appassionata di

opera. e Se e 0

Maria è appassionata di opera, Gianni è competente di cinema;

Gianni è competente di cinema oppure Maria non è appassionata di

opera.

Problema

3. Verificare se l'argomento contenuto nel testo seguente

“Non è vero che la vittima era a casa venerdì sera o che la sua radio la suonava. Dunque o la vittima non era a casa venerdì sera oppure venerdì Dunque Ma sera. vittima era a casa sua radio non suonava. la sua radio non suonava. ” î

la

i i è c orretto; se no, modificarlo in modo È

Problema

4.

e Andiamo a Roma e Se non

Roma.

SANIANSAAO

da rendere corretta la conseguenza

se e solo se andiamo anche a Napoli.

andiamo a Palermo, non andiamo a

. è Non andiamo

ne

sia a Palermo sia a Roma, .

.

N. apoli.

ma andiamo a Palermo o a

Che cosa si puo concludere (dove andiamo? A Roma? N apoli? Palermo?)

Problema

5.

(a) Se il colpevole è un uomo,

o ha indossato abiti

Il colpevole, alla luce degli

accertamenti fatt 1, non è entrato dalla

se

il colpevole è alto, indossava Drobiema: supposto che (e) sia vera, decidere abiti maschili ed è maschio. Inoltre, è vero che il testimone dice la verità?

Problema 6. Decidere se il seguente argomento contenuto nel

ipotetico governo è corretto oppure no.

2.4.3

CUSA SCI

VO

II VILUILULAGI UAC

Verifica informale delle tautologie e delle inferenze

La verifica meccanica delle tavole è spesso rimpiazzabile da argomentaziosui ni indirette che si fondano sull’interpretazione classica dei connettivi e meccanico il ricorso principi di determinatezza e bivalenza, evitando però alle tavole di verità. Vediamo ora un paio di esempi del controllo del carattere tautologico mediante una tecnica di ragionamento informale che verrà sistematizzata nei capitoli successivi. Facciamo anche una convenzione notazionale tempo0) che c’è 1 ranea. Scriviamo, se A è una formula, A = (A = per indicare rende (falsa). A vera una assegnazione di valori alle componenti di che la tautologico del carattere esempio, convinti, per non essere Supponiamo convenuto, A. Allora, — quanto A) per della consequentia mirabilis (=A deve è falsa, Se implicazione 0. A questa — A) — = deve valere che filoniana valere sia “A —> A = 1 sia A = 0. Dunque, per l’interpretazione che non dell’implicazione, nA = 0, cioè A = 1: contraddizione. Ne segue vale l'assunzione che ci sia un’assegnazione che falsifica l’enunciato consequentia mirabilis è una tautologia. dunque A) una Assumiamo che la legge di Dummett (A — B) V (B — A) non è Ma falsa, disgiunzione B)V(B— A) =0. se tautologia. Allora (A dell’interpretazione virtù 0. Dunque, 0 sia A= B vale sia A— = sia A = 1 e simultaneamente sussistere devono classica dell’implicazione, A=0, che portano a contraddizione. Dunque la legge B=0, sia di Dummett è una tautologia.

di

Ae

maschili.

(d) Se ha indossato abiti maschili e il racconto del testimone oculare è affidabile, egli è entrato dalla finestra. (e)

1

+

(A

ha statura piccola.

(b) Se è di piccola statura, è entrato dalla finestra. (c) Il colpevole è un uomo

hei.

DPEF

di un

remesse: Se gli investimenti di capitali sono costanti, o aumenta la spesa governativa, oppure ci sarà disoccupazione. Se non aumenta la spesa governativa, le tasse possono essere ridotte. Se le tasse possono essere ridotte e gli investimenti di capitali sono costanti, non vi sarà disoccupazione. Conclusione: Dunque la spesa governativa aumenta.

Esercizio 2.4.9. Si considerino (le formalizzazioni de) i seguenti enunciati dell Esercizio 2.4.2: 1, 8, 11-21, 23 (c), 23(r). Utilizzando il metodo dell. tavole di verità, stabilire quali sono tautologie e quali no. Per ciascun di questi ultimi, indicare un’assegnazione di valori di verità agli afomi he lo falsifichi, e — nel caso non sia una contraddizione logica — una che lo renda vero.

si

e”

(A

la

+

B-

in

sia

la

B=1e

-

i

le formule del gruppo D sono tautoloinformale appena esemplificata; fare lo stesso per gie, usando la procedura controllare la correttezza delle regole del paragrafo 2.4.2.

Esercizio 2.4.10. Verificare che

2.5.

A cosa serve

il bicondizionale+

B è vero, cioè che A e B Supponiamo di sapere che un bicon izionale A hanno stesso valore di verità. Come possiamo utilizzare tale informazione? Non è difficile convincersi intuitivamente che è legittimo sostituire (una data con B in una formula F[A] di cui occorrenza, tutte le occorrenze di) formula F[B] che ha lo stesso A è una parte, ottenendo così una nuo valore di F[A]. Formalmente, sono dunque corrette le regole di sostituzione che codificano il cosiddetto principio di Leibniz (sostituibilità di equivalenti

lo

salva veritate in un contesto):

A B=> B,F[A]

F[A]

A

+

+

F[B]

> F[B]

Infatti — è una relazione d’equivalenza, e dunque sono tautologie le formule:

I

(A

Simmetria:

(A&

Transitività:

i

Inoltre le operazione logiche

DA

ANC AVC

AC Asl

©

dd

è

BD

(Av B)A-A4) > B

î

V

((4A A A)

A

A

B)) VB

(A

A —

ff

(4A

(A

A

V

B

semplificazione, P51

fl

B)VB

A

De Morgan, P42 B V —B) Vv

doppia

negazione, P25, P29

B associatività, P16

(Av-B)v ft

contrapposizione debole, P26

0

-(BVC) +44

—B PA4I

“BA40 + DA

ia

commutatività, P15

(BV

B)

semplificazione, P49

vB

terzo escluso. CRE al principio l’equivalenza soli ne prova due passaggi trasformazione di

Esempio 2.5.3.

doppia negazione, P25, P29 BNC 4A

CV(B- A)

(4A

A)

AV

Filone, P44

(A A B)— B

{De Morgan, PAlB))

A+ BVC

Tr

A)V

Filone, P44

=((A

Filone, P44

CAB A Î export, P13 30 -(B- A)

A

fl

A-(B-0)

t

commutatività e distributività, P15, P19

(DA

(B + ©). Applicando reiteratamente la regola di sostituibilità degli equivalenti e le tautologie esplicitamente indicate, la trasformiamo nella formula C V(B4+4A):

_

P2

t_

e

î

E

> B)A-A) + B

(((A+ B)

BvD

di

î

—

la

6 BeD

De Morgan,

— B)

i

i

se

2

vi

B e B) N = Le icando una serie di tautologie esp cediamo a trasformarla applican indicate e la sostituibilità degli equivalenti. Il risultato finale è una ;istanza i vo formula di partenza è essa stessa una tautologia del terzo escluso e quindi

In altri termini, il bicondizionale ha in logica la stessa funzione dell’identità in matematica. Così in algebra elementare, si dispone di una data identità fra due espressioni t(r) e s(x) e di un polinomio P(x) nella indeterminata x, ìn cui t(x) occorre, si possono sostituire una 0 più occorrenze #(x) con s(x) ottenendo un polinomio Q() tale che P(1x) = Q(0). Le tautologie che hanno forma bicondizionale sono quindi potenziali premesse delle regole di sostituzione, il bicondizionale è quindi fondamentale per applicare la logica nell’argomentazione.

Î

>

i

allora

-B

Esempio 2.5.1. Partiamo dalla formula

>

SOLO t nza e quella dl p arte CA) A V e > una C nd (B C)) (B

Esempio 2.5.2. Partiamo dalla formula (((A

+ BND

©

formula d l

tautologia.

B)-(B A)

B)A(B>C)4 (A C) preservano +: se A + B e C + D,

—(Aé&

Cc

logicamente equivalenti, ossla che (A

A)

Riflessività:

COS SI O Così Conc l uder e he la osslamo

Si consideri la forma implicativa del

identità:

de

(-A- B)- ((A- B)— B) Fil

(Av B) td

—

Pays

((A— B) — B)

P21

(AV B) — (AV B)

on |

+

SI

le modalità

-aviaa VUILIELTIVI:

scio

; I connettivi classici non esauri . der pprrazioni Sugli enunciati. L'analisi logica emnciativa si ascla raffinare mediante l’introduIIETOGII i ; i Dl modali, | già teorizzate zione delle operazioni e stud vdiate (in una qualche veste) negli Analitici Primi da Aristotele. .

già

‘

i

Consideriamo gli enunciati:

1

2.

.

che piova;

è possibile

è

i

9

è

possibile che piova e non piova; Y

.

4. è possibile che piova ed è possibile che non piova;

5.

°

è

7.

OB

8.

-0.D(3,29)

9.

D-D(3,29)

+ DA

Anche la nozione di contingenza si lascia agevolmente esprimere con gli faccia caldo significa che operatori aletici: dire infatti che è contingente che che è possibile che non faccia caldo 0 equivalentemente che non è necessario faccia caldo”. Se A sta per ‘fa caldo’, ‘è contingente che faccia caldo’ può essere reso semplicemente da

_

3. non

D(AV

10. QA

necessari o che piova;

—

A)

5.

necessario che piova oppure jova; PP n ol pIova; i

x

.

.

x

;

; 6. è necessario che piova j

7. è

8.

9.

necessario che

:

non

:

è

è

oppure

necessario che non piova:

x

è

’

equivalentemente, QuA -DA oppure, p

tutto abbia u na causa;

.

possibiile che 29 sia didivid visibile per 3.

necessario che 2 9

non

sia ia

divisi divisibile È

per

3.

°

solito attribuita a a dee intuizione dido GWftebni)

De $ (rispettivamente). Diurique le

i

_ onvenzione LA

e

dA — è possibile che A.

la

il

7

necessario che A;

Se poniamo A := ‘Piove’ e, il predicato binario ‘x divi

=

Bi=

*

.

Ì

2.6.1. Se A è un enunciato,

e

+» è

stipuliamo

tutto ha una causa’

|

de

e

2. DA +

4.

DANA)

QANQaA

i

_

I un erest .

Tipo

è Q4uA

.

ì

i

.

.

.

DA

1 dA

3

x

.

D(x,y) sta per Y, possiamo dunque rappresentare la forma logica degli onunciati enunciati 1-10 precedenti mediante i corrispondenti: gli

.

._d L’idea base è che un dato enunciato_A debba essere valutato non rispetto luralità di mondi Ce a un prefissato universo del discorso, ma mon-| ‘possibili, scegliendo eventualmente fra questi un mondo privilegiato, si come mondi comporta î {do attuale. Resta inteso che ciascuno di questi i del discorso classico e in esso vale la logica classica. universo Î La verità della necessità di A — che valga DIA — corrisponde al fatto A è vero în che A è vero in tutti i mondi possibili; mentre QA è vero se falsità Imeno un mondo possibile; la contingenza di A equivale allora alla i A in un mondo possibile. Il lettore curioso potrà fin da ora interrogarsi sull’esistenza e la natura . dovrebbe diLiinferenze e leggi logiche modali, concernenti De 0d. Intanto, risultare evidente che i due operatori modali sono interdefinibili perché

si unari,nii quali, applicati a enunciati produco re alla stregua di connettivi no iati +3 associati alla ovi nu enunciati. I connettivi necessità e possibilità vengono de nominati anche modalità aletiche e ra ppresentati simbolica: Meme merano ati modalità È

si

4

.

È

.

.

.

.

.

x

i

pi .

?

4

n

. dei due nuovi operatori. DaFin qui nulla si è detto dell’interpretazione nel volume to che la semantica sistematica delle modalità verrà . sviluppata basata su una limitiamo qui a suggerirne una versione non rigorosa, II, ci‘orta:

10. se è possibile che piova, non è necessario i ch o che non piova. ioni ‘èè ibi che € Lel possibile .. .’, ‘è necessario che ...’ si lasciano consi derapeuzioni ; 5

3

. . delle modalità aletiche Sulla semantica

2.6.1

i

ia

e

VA

SDA

sono verità logiche. Altre istanze di leggi modali sono già state presentate posti 3 e 5. Altre ancora possono essere agevolmente nell’elenco precedente ricavate dal lettore stesso risolvendo il seguente

ai

forte, si interpreta la nozione di contingenza di un enuncato A in modo più A ossia come VA QIA.

Talora

i

Esercizio 2.6.2.

5 deesel'operatore è una

(i)

unario K (K =D )) commuta ° con il connetti logica l’equivalenza fra K (AxB)e K A+KB. legge Vancare, seguendo l’interpretazione leibniziana d ei due operatori moeri A e V. Chiedersi dali, se U e $ commutano p reliminarmente quali implicazioni valgono fra le formule 5 e 6. ’

x

.

con

(ii) Discutere 1. DIA 2.

ab necesse ad posse) WA (inferenza ab esse ad posse) VA

+ A (inferenza SUA > A

i 2.6.2

”

I

ie

}

RO

PIVA

VIE

Q

vv o

«o . operazioni modali, ne di Individuare altre categorie fondamentali sia filosofico sia applicati Interesse pplicativo, e che stabili fra teoria della conoscenza e teoria dell’azione n primo luogo, , vi sono modalitàà che rendono esplicito il pinto ci vita dii un soggetto conoscente in rapporto a un dato enunciato.

’

(3.1.1)

aunciato i

?

sfera

.

Vyd3xC(x,y)

_-TTT——

; A questo punto, ’ osserviamo i : i che l’u so delle variabili ili a cul si applicano . è . uantificatori é la dal punto di vista del significato e de verità o e variabili servono esclusi vamente da ’ segnaposto, nel \enso che le due espressioni

ani

a

ie le

pdegli( 4,0)uominiFe(sonot, 4)teste> A

teste

TB)

AVI NMY

uomo). Si formalizzino gli enunciati:

—

;

i

&&

formalizzapredicati G(x,y), M (x), F(x), U(x) come (rispettivamente) £ zioni della relazione x genera y e delle proprietà (in breve, x È umano al genere è maschio, a è femmina, x appartiene —

diadiico C(x,y) sta per x è c. ausa di esiste un x tale che x è causa di

A(y,e) — A(c,e)).]

e s Sono

Si considerino

tutto ha una causa. che per

r

— gli uomini sono Éé di animali?.

i

predicato

A

parallele fra loro;

S(2))

migliore leggibilità.

il

A

+

Passiam o ora ad analizzare l’enunciato

Se

e,4 i

Gianni conosce un inglese che conosce un fiorentino; WU) è un musicista; CENSO + Gianni che conosce — l’inglese i corsi (usare F(x,y), C(2)); — qualche studente frequenta tutti perpendicolari alla stessa retta, allora r e s sono

\se

Si

.

(97Lx (

(ii) Formalizzare:

la forma

Convenzione 3.1.1. , .1.1. Si adotta qui sistemati aticamente l’uso di; non r. chiu iuae dere quantificatori tra parentesi tonde, salvo eccezioni dettat ate da esigenze i

[Soluzione: Vavy(A(x,y)

si

omettendo per semplicità le parentesi attorno a ‘3x’ de(G(x)

lf 0, c'è un d > 0 tale che, se a < x < be x è diverso da c e le — cl < ò, allora |F(@)L|0

Vele

+ I6(6 >

ONVE(a

©

aNO

;

li

EST

li

i

È

libera

1

Si

Gt

Elo :=

N

s]

= 3yR(y,y)

Pensand o contenutistic a mente a è glio di e alle come alla relazione esserefiglio variabili come designat ori di generici individui umani, abbi iamo dunque: di,

)

° E affer ma che T ha

fi ]

e

Ex

:=

s] afferma a

qualcuno

Nel

che

è

d nq e molti modi di rendere

r

8g

’

i

invece qualcosa di

figlio di se stesso”

smtiton oo

!

dubbio:

fe

] II re n de ri emo olume m pl u pI ecisa la defi nizione c. A ratteri Z zando L ZI come una vera e propriria struttura discreta che obbediisce a opportuni principi di ditmostrazi razione e definizione. V

»

pria

i igni 3.4.2 Cosa significa interpretare un linguaggio? : Definizione 3 .4.4. Fissiam per semplicità un linguaggi o definibile cui

i inn

.

(da

_Una

realizzazione

A

i

diciamo,

tre

il

MS

=

numeri naturali.

slo

ni

N uni

il

C

M

Py

È

|

\{ (so

diadico R, dotato di un predicato elementare linguaggio (ili) Si consideri può essere interpretato, monadici W, V. Il linguaggio predicati dell’insieme dei due e nella quale M consiste M realizzazione la assegnando l’insieme dei cittadini VM sono rispettivamente wM, maschile italiani, cittadini dei cittadini italiani di sesso l’insieme e femminile, di sesso coetaneo’ su M. la relazione ‘essere di M, mentre RM è invece di L ben definito agli enunciati verità di valore AI fine di assegnare un costruito per parlare linguaggio LM appositamente individuale distinta un introduciamo in M, £ esteso con una costante di M: Lm è il linguaggio M_di M (cosicché, se @ È dell’ufiverso del discorso elemento i, avremo _per ciascun introdotta per nominare l'individuoFRA si 0 oggetti di cui

À

cal /

atto[um

e

j

£

5,

predicati binari R, dotato di elementare linguaggio realizzazione ìn cui l’universo (ii) Si consideri individuale c. N è la costante = 0, una e E, fiaturali imoltre: è l'insieme N dei numeri minore! discorso ‘essere del le relazioni numeriche due fra Ve EN sono rispettivamente di’ (ovvero SN sussiste immediato successore il d'identità fra. di’, ‘essere + 1), e la relazione n sse e m n naturali numeri

la costante appositamente = i). a M_

omettia. mo comunque il connettivo implicazione e +, limi ‘cà ci limiteremo congiunzione). . P. Per s emplicità a consid nsiderare nel seguito solo ). linguaggi ggi privi di funtori. Una realizzazi dati: struttura)M per L consiste dei seguentii dat ci

M,

ol

dI

4

L

che M parla; se si tralascia l’ipotesi

esistenziali). In (da presupposizioni ricordi che nella traabbia See alla ipotesi M #0, Si sempre ue esemplificati comunq quel che segue ci atterremoanche i singoli predicati sono“assunti sempre come aristotelica dizione logica M. k-ple di elementi di da almeno un individuo. che PM è un insieme significa ciò 14pstensionalmente

ai

13M contiene

li individui

logici

libera

di

ta

—eunizione 5.4.6. Sia M un di £ che ha per universo del discorso M. Si definisce allora a realizzazione induttivamente sulla forma logica di A, dove A è un enunciato qualsiasi di Lw, relazione “A è vera in M?15, 1. se

P è un

predicato

sussiste fra a M A è

- -34n

M -vero sse

A

V

A+ Bè

3.

diML, P(a1,. è

3

29)2) Na spe 2

n

5

i n a An) è M-vero sse la relazione PM Ù

"o x

|

_ non è M-vero:

un insieme di enunciati di

cx L'A \ Srmene=

di

‘M è un

Maro ol assfolwt ?

Ovviamente, se Y è l’insieme vuoto, A segue logicamente dall’insieme vuoto di premesse sse A è logicamente valido.

iAP)

\G

Y

si legge logica di ©, oppure anche A segue modell: di A (dove da % — sse ogni Y è anche modello di. , modello di Y” significa che ogni enunciato di ® è vero in A è conseguenza

la

.

2.

(ii) Sia A un enunciato di £, sia

E

Osservazione 3.4.7. La definizione di verità in una data struttura non questo permette in generale di decidere. modo effettivo sesussisteM

M-vero sse 0 A non è M-vero oppure B è M-vero;

valido sse per ogni a,

4. VrA è M-vero

9.

dr 4

di un

M-vero sse A(a) è M-vero, per qualche a.

sii è

MI

CHE &sSU DL. 4 N.B. Dato che , gi Momi ciascun individuo Da dell’universo el discorso le d due clausole sui quantificatori son ioni . equivalenti al significato inteso dell’universale e dell'egiotcuziale. il

j

rete io

1

\msts Le (RI e

ce

0A

di

:î%

SUNTO

sa

li

per

;

sono

ooo i

® VrA è Mevero sse qualunque elemento di M si as Se gni come valore . alla variabile x, A(x) è M-vera; L 20) a,

2

A è M-vero sse esiste \jA p, e drASSegnato come

"1

x

almeno un elemento di M ch valore ad x in modo che A(2) risulti M Vaia

%

Lie

i },

0° TN

Le

Ò

e

lausole p el 1C ‘on I letti VI colin ido no 0 O VV lamen e e c on quelle che sono State formalizzate dalle tavole di verità Abbreviando ndo ‘A è M-vero’ con f‘M FE A°’,fle clausole precedenti si lasciano così riscrivere: (

Cc

è

‘A

eM

’

È P(a, 3:+-:@n)

$

sse la relazione PM Sussiste fra

predicato di 0).

MEA ssenonMpf ° ME AB sse non M E vi

eME

A;

VrA

eMF3rA4

t

)

;

aj!,...,

a

(P

cotaho (0 forgipu? fagi olii due £ GUA'gInS on

_

A

M

f,

M E A(a), per ogni a; sse M E Ala), per qualche a. sse

>

ME A

a,

si

e aM e

e

.

(i) Un enunciato A

E AI sse ;Llin

e

ricamentesia

ii Mi

è

Inguaggio di A.

159; Si

il

logi

;

(0

“vero, qualunque

w| ZL\

una verità logica) — in simboli la realizzazione M scelta per scelt

=

do

Carlo, sM )

2" Cl,

GM, FM, VM denotano nell’ordine

le proprietà essere gatto, essere femmina, essere maschio riferite agli elementi di M;

. . DM, SM denotano nell’ordine le relazioni binarie stare a destra di, stare a sinistra di riferite agli elementi di M.

e

.

.

-G(a), dato che

un gatto);

a

data

è

.

.

possibile affermare che

(cioè Anna) non

gode

della

D(a,s), perché la relazione DM sussiste fra aM

Lama

d

le formule

Slasl enunciato

e (i)

-.S(s,c), perché Silvestra non Formalizzare

i

è a

seguenti enunciati:

i

seguenti

proprietà GM (non è \

e sM (Anna

di Silvestra);

s

ada

ug è K

PrMa DST)Ì

. = Silvestra ,

i

tratta di de fini ; nire geneticamente la nozione in gioco, atomiche, e pol dando delle clausole per ricondurre la M-verità di un q complesso a quella dei suoi componenti. ;

=

Anna, ) eM

Per esempio, dalla descrizione enunciati sono veri in M:

I nfine possiamo definire due nozioni fondamentali: .

Si consideri la seguente situazione (pensiamo ad una istanin tanea presa un interno, il soggiorno di un’abitazione). Nel descriverla, assumiamo punto di vista di un osservatore che la guarda dall’esterno (da una finestra del soggiorno). Il nostro vede che all’estrema sinistra c'è Carlo in poltrona; immediatamente a destra, la gatta Silvestra se ne sta acciambellata su un tappeto, a prendersi le carezze di Anna, che è seduta sul tappeto alla sua sinistra. Infine, all'estrema destra, sul divano, c’è il gatto Felix. Supponiamo di voler descrivere l’istantanea. Semplificando al massimo, isoliamo un linguaggio elementare £ che contiene i nomi c, f, s e i predicati G, F, V (unari), S, D (binari). fissa dunque la struttura M che ha come universo Per interpretare £, del discorso l’insieme { Carlo, Anna, Silvestra, Feliy},e in cui:

Esercizio 3.4.8.

te

C/xgerE

oppureM È B;

e

negativamente sulle nostre capacità di dominare effettivamente il concetto di verità logica e conseguenza logica a livello elementare.

4

HO

generale le clausole sui quantificatori possono richiedere la verifica in si riflette insieme infinito di condizioni. Questa difficoltà è essenziale

perché

A(a) è M-vero:

sinistra di Carlo.

è a destra

-%

— pl

condizio ne Necessaria e sufficiente affinché Carlo sia a SiÙ vestra è che Silvestra sia a destra di Carlo; i

.

i

2. se

un ente è a destra di un altro ente, allora sua sinistra e viceversa;

’

sinistra di

si Poirino

è alla x

3. Silvestra si

trova fra Carlo e Felix (usare D e S soltanto); Silvestra e A nna sono contigue (nessuno si trova fra Sivest Fnsi nna; usare solo D e 5); i 5. ci sono due l gatti a dest a di Ca. TIO sol , ma a solo uno sinistra inist d i Anna 6. tutti hanno almeno un gatto alla propria destra; . nessuno si trova fra Carlo e Silvestra (di nuovo usare D e Ss soltanto); Î

.

1

T

indefinito pronome ‘lo’ è allora vincolato per il suo significato al termine il rossa’ ‘una e soggetto riferisce biglia a ‘un asino’, mentre ‘quella rossa’ si Ecco ‘una rispettive tigre’. sottinteso di ‘mangia’ è chiaramente fissato da analisi (lasciando al lettore di indovinare le associazioni di significato alle Il

le

espressioni formali):

n°

i

a

8.

tutti

gli individui

tt nine

tutti

10.

€

che

si trovano fra d ùe gatti sono di sesso fem.

all esti ema sini sti a (dire che nessuno Ca

sono a

11. qualche

©

foina

sinistra di

.

sinistra

Felix e a destra di Carlo;

gatto maschio è a destra di A nna, ma nessuna gatta

12. cl sono ci

i

,

dichi Costruire altri enunciati nciati dichiarativi nel lin il valore di. verità rispetto alla struttura Mi, .

3.5

3.5.1

.

x

.

se

M -vero.

Vz(P(m,z)

o

eSSREco ivollamne

Nella sua semplicità il linguaggio elem entare è in grado trattare il meccanismo (anafora) che permette s pecificare il significato dei in pronomi generale di espressioni pronominali facendo riferimento (ovvero riportandolo) quello di espressioni indefinite o quantificate universalmente. Come si vedere può dagli esempi: Nu,

di

di

a

È

contadino che ha un asino, lo picchia!6.

e Mari aria

DE

e

Entra

.

NO perse due biglie, una bianca e.«una rossa Franca trovò quella .

una

tigre.

Ti mangia

.

“n

9donke Questa frase è conosciu ta nella letteratura com@ |sembra essere stato introdotto da P. Geach nel 1962 16

o

|

PA

se 2,

Cenina -

TS)

LiO

A(y)

A

y

A

A

P(7,y)

P(m, x)

MA

> B(0,y))

P(m,y) 1 B(x) \W(2)

A

B(y)

A

R(y)

A

\B(2)>2z=axV2=y) AT(f,y)

3x(T(x) AE(x)AM(2,t))

L'analisi via quantificatori e variabili vincolate dell’anafora presenta vari aspetti critici, che non è il caso di approfondire in questo contesto!.

Modalità de dicto e modalità de re

Mediante l’uso dei quantificatori e delle modalità, si è in grado di chiarire la differenza fra modalità de dicto e modalità de re. Si consideri la coppia di enunciati dichiarativi:

4

©

la pubblica;

2.

€

un

secondo

Costituzione un cittadino italiano è Presidente della Re-

cittadino

italiano è secondo la Costituzione Presidente della Re-

pubblica.

i

lag Complementi. ed esercizi riassuntivi Quantificatori e Aniford)

è Ogni

3r3y(-x =

3.5.2

di Carlo);

tre maschi, oppure due femmine destra a di Carlo (ii) Se A è uno degli enunciati della lista precedente, dire A è

(iii)

e

.

Carlo

g

Vavy(C(x)

;

’

.

e

Ora la locuzione ‘secondo la Costituzione’ può essere ragionevolmente considerata come una specifica modalità di tipo(deonticol perchè equivale a ‘è obbligatorio secondo la Costituzione e”; per semplicità adottiamo per essa il consueto simbolo U. Siano inoltre I(x), P(x) (nell'ordine) i predicati ‘essere cittadino italiano’ e ‘essere Presidente della Repubblica’. La prima frase può essere disambiguata dicendo che essa stabilisce che per legge esiste un individuo x che è cittadino italiano e Presidente della Repubblica. Formalmente:

(3.5.1)

l i

4)

Dir(I(c) A P(T)) |

È

(3.5.2)

x

2)

3re(I(x) ADP(2))

Of

ILAriot dale foster @Nduhe

I

gra

iiauime cia ”

Aolto

Mentre la prima è vera (nell’interpretazione intesa), la seconda risulta falsa: altrimenti implicherebbe che la Costituzione stabilisce che uno specifico îindividuo (Giorgio Napolitano) è necessariamente — per diritto — Presidente

lettore interessato a un survey aggiornato può consultare l’articolo sull’anafora di J. King del 2005 sulla Stanford Encyclopedia of Philosophy. 171]

Wi

NL

La seconda frase significa invece che esiste un x che è cittadino italiano e per legge x è Presidente della Repubblica. In formule:

ect

TI

cpl

si

della Repubblica, ciò che è falso. Nel primo caso suole parlare modalità dato che campo d’azione della modalità concerne l’enunciato nella sua interezza; la seconda occorrenza della modalità — detta de re — sta invece attribuendo una proprietà necessaria a un ben determinato individuo. Esercizio 3.5.1.

il

de dicto,

di

il

fantasma del padre di Amleto. (i)

i Formalizzare gli enunciati corrispondenti alle dramatis perso nae elencate. Esempio:

e due buffoni, becchini ?

(i) Il lettore trovi altri

tre esempi di modalità de dicto/de

(ii) Si formalizzino gli enunciati:

che becchini;

re e li formalizzi.

Gianni crede che esiste un Presidente della Repubblica; 2. c’è un individuo che Gianni crede essere Presidente della Repubblica; secondo la Costituzione ci sono esattamente due individui che svolgono, uno la funzione di Presidente del Senato, l’altro quella di Presidente della Camera;

e

4 . ci sono due

cittadini italiani che Gianni crede rispettivamente Presidente del Senato e Presidente della Camera.

Esercizio 3.5.2. I personaggi di un testo teatrale con determinano

Claudio, re di Danimarca; Amleto,

figlio

del re precedente e nipote dell’attuale;

Polonio, Lord Ciambellano; Orazio, amico di Amleto; Laerte, figlio di Polonio; Rosencrantz, cortigiano;

Guildenstern, cortigiano; un gentiluomo, cortigiano; due buffoni, becchini; Fortebraccio, principe di Norvegia;

Gertrude, regina di Danimarca, madre di Amleto; Ofelia, figlia di Polonio;

ci sono

due

«>

sono

Amleto

sia bu foni

è

.

figlio del

Li

3

. dor binari per ‘x è senior ;‘ou Suggerimento: \dsi assumano predicati y» di ‘x h predicati un ari per ‘x è di ses so maschile’, x è fantasma di y e predicati 309 Danimarca’ sulla semplicità ‘x y°, (interpretato per succede a regna come monadico), ecc.

‘

iy

È

i

‘x

è

di

per

i

’

a

(universo de 1 struttura risultante dalla lista dei personaggiLie .

.

(ii) Definire la

discorso, relazioni, ecc.).

.

3.5.3. Ove possibile, formalizzare i seguenti enunciati in un Esercizio 3 +]; . di identità. opportuno linguaggio elementare privo di funtori °

°

.

la

TE

individui che

un individuo che è fantasma del padre di Amleto.

e c’è

°

le loro

caratteristiche implicitamente una struttura, che fissa la situazione da cui prende avvio il dramma o la commedia. Come esempio, si consideri lista (parziale) dei personaggi dell’ Amleto di Shakespeare:

+

ij

e Amleto, suo figlio e nipote dell’attuale re precedente re e nipote dell’attuale;

1.

3.

i

i

1.

Tutti gli attori sono famosi.

2.

Tutti sono attori e famosi.

e .

3. Ciascun esame è superabile. 4. Gli

italiani sono biondi.

5. Molti

italiani

6. Qualsiasi 7.

9.

italiano è biondo.

Aldo ha un

8. C’è

sono biondi.

cane

feroce.

un logico ricchissimo.

Qualche logico è ricchissimo.

10. Un logico è ricchissimo. 11. Un logico è uno che sa ragionare. 12. Almeno 13. Nessun 14. Qualche

un

logico

ricchissimo vive a Stanford.

attore italiano è famoso, e qualche dentista non è laureato. attore è ricco ma non famoso.

15.

Qualche attore non è né famoso

né

ricco.

16. Una

fànfara è un vegetale, una fanfàra no.

17. Aldo

ha un cane che non abbaia.

18. Aldo

ha un cane che lo difende.

19. Aldo

ha un

20. Aldo

ama una che non lo ama.

21. Aldo non

cane

e

un

23. Ciascun numero

è

24. Ciascun numero è 25. Se c’è

addestra.

fratello

di Aldo ha raccolto sono velenosi.

fate,

un quadrato allora esiste un cerchio quadrato.

28. Se

tutti i greci sono mortali

sono

gli ateniesi sono °

Ra gli.

allora ogni fata ha i capelli turchini.

mortali.

e

tutti i

iesi gli ateniesi sono gli

all SOTA greci,

i

TITTI

parenti dei giornalisti acquistano un quotidiano e lo leggono. gli italiani che possiedono un cavallo o sono ricchi o hanno non

tigri mangiano soltanto le prede che catturano.

45. Le

tigri mangiano tutte e sole le prede che catturano.

Certi amici di alcuni uomini politici sono generosi.

Tutti gli amici di certi uomini politici sono generosi.

è

dispari allora non è divisibile per

33. Non c’è

2.

tutti.

50. Qualcuno

mangia soltanto mele non acerbe.

51. Qualcuno

ha visto un fantasma.

52. Qualcuno

ha visto un asino che vola e un tavolino che balla, nessuno

triangolo è equilatero se e soltanto se è equiangolo.

53. Un 54. Se

solamente

i

francesi non parlano tedesco, allora gli inglesi parlano

tedesco. 55. I soci si dividono in onorari,

onorari non pagano.

32. Carlo beve qualsiasi

56. Affinché

sostenitori, e ordinari; inoltre, solo i soci i

un numero sia primo è necessario, ancorché non sufficiente,

che sia dispari.

tipo di liquori.

57. Affinché

rosa senza spine.

un numero sia divisibile per 2 è sufficiente, ma non necessario,

che sia divisibile per 6.

una causa di tutto.

35. Ogni

44. Le

un asino che balla.

i

31. Se un numero

34. C’è

tigri mangiano tutte le prede che catturano.

49. Chi loda se stesso non piace a

una rosa blu senza spine allora c’è una rosa blu, e c'è anche una

ci

ricchi.

Qualcuno mangia tutte le mele che ha comprato.

.

non

sono

43. Le

48.

pari o ciascun numero è dispari.

27. Se

30.

italiani che possiedono un cavallo ma non

47. Gli amici degli uomini politici sono generosi.

pari Oppure è dispari.

26. Se esistono un cerchio e

Tutti

41. Ci sono

46.

rosa senza spine.

29.

paga per qualcuno, nessuno paga per tutti.

42.

ha regalato niente a Bruno.

22. I funghi che

si

lo

40. Ognuno

58. Un numero è primo se e solo se è maggiore di uno ed è divisibile esclusivamente per se stesso e per uno.

marinaio ama una ragazza bruna.

36.

Tutti quelli che conoscono Maria la stimano.

59. Gli

italiani, eccetto

37.

Tutti

i

bambini che hanno un cane lo amano.

60. Gli

italiani che discendono dagli etruschi non sono né lombardi né

38.

Tutti

i

bambini hanno un cane e lo amano.

39. Chi

desidera qualcosa, la ottiene. Ve

N

lombardi, discendono dagli etruschi.

piemontesi. 61. Essere lombardi è condizione necessaria, ma non sufficiente

milanesi. L

i

per essere

62. A possedere cavalli sono 63.

Non è

64. Chi

detto

tutti

La distanza tra due punti è minore della somma delle distanze ciascuno di essi e un terzo punto qualsivoglia.

italiani.

e soli gli

che gli amici degli amici siano amici.

65. I genitori di Aldo sono francesi, e conoscono 66. Aldo presenta

i

fratelli di qualcuno

i

genitori di Bruno.

ai genitori di Bruno.

67. Ciascuno conosce qualcuno che conosce qualcuno. 68. Due individui sono fratelli se 69. I nonni di uno

sono

i

genitori dei suoi genitori.

70. Non si è consanguinei se non si 71.

hanno antenati maschi comuni.

Tutto ciò che ha regalato a Bruno, Aldo lo ha comprato da Carlo.

72. Chi dorme non piglia pesci. 73. C'è un numero 74. I nonni

il

cui quadrato è un divisore

di 8.

paterni degli italiani sanno l’inglese.

P comporta

75. Il possesso della proprietà proprietà Q e T. 76. Due cose che

quello di una, e una sola, delle

stanno tra loro nella relazione R hanno la proprietà P.

i

Aldo dà qualcosa al padre di Bruno. 10. Aldo conosce la 11. La

hanno un genitore in comune.

12. Non sempre la somma di due numeri primi è

14. Uccide la moglie, la suocera, la cognata,

Tra i punti a e

b

si trova almeno un punto.

16.

Tra i punti a e

bd

si

17.

Tra i punti a e

d si

18. Ogni

i

P stanno

nella relazione R con un qualche Q.

79.

Certi P stanno nella relazione R con ciascun Q.

22. Aldo

80.

C'è una proprietà P che è goduta da Aldo ma non da Bruno.

23. Di ogni

21. Ci sono

. puo

Ciascuno presenta il padre di qualcuno alla madre di qualcuno. Se

un

numero

è

dispari allora non è divisibile per

trova uno e un solo punto.

20. Carlo possiede al massimo due euro.

Tutti

2.

trova al massimo un punto.

19. Ci sono almeno due numeri pari.

78.

l. Aldo presenta il padre di qualcuno al padre di Bruno.

24.

Non

italiani che possiedono più di un cavallo ma non

ha comprato

ci sono italiani che p

26. Ogni

un

solo

ono esattamente un televisore.

dio; invece, ci sono almeno tre piramidi.

elettore esprime al massimo due preferenze.

Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta sulla quale entrambi

28.

Tutti gli uomini eccetto al massimo uno sono buoni.

Il prodotto di due numeri primi non è primo.

29.

Tutti gli uomini eccetto uno sono buoni.

C'è un numero diverso da

30.

Tutti gli uomini sono buoni, eccetto uno che è cattivo.

il cui

quadrato è un divisore di 8.

ricchi.

femmine.

giacciono.

2.

sono

libri.

tre nati almeno due sono

25. C’è uno e

27.

due

Il padre della sposa di uno è suo suocero.

1

e si toglie

cassetto contiene una e una sola penna.

nella relazione A con tutti

e

figli escluso uno,

15.

P stanno

seguenti enunciati in un opportuno linguaggio elementare, eventualmente con funtori con identità.

i

la vita.

i

i

un numero primo.

13. I figli di fratelli sono cugini.

Tutti

Esercizio 3.5.4. Ove possibile, formalizzare

madre di una che non lo conosce.

somma di due numeri dispari è pari.

TT.

Q.

tra loro

Il padre di Aldo, quello di Bruno e quello di Carlo sono amici e colleghi di una parente di Bruno.

dà qualcosa a ciascuno riceverà tutto da qualcuno.

tra

31.

di

Data una retta e un punto fuori essa, esiste al massimo una che passa per quel punto e che non ha punti in comune con la data.

32. Applicando l’operazione numero dispari. 33.

Fa

retta retta

—

la

un solo monaco suo confessore, c(x).

— — —

La cella alla sinistra di a è occupata dal confessore del confessore di Martino.

Ogni cella è

—

I monaci occupano in

—

C'è

—

Al massimo

—

—

—

—

—

—

una

cella vuota,

tutto

due

le

2. Non avere

Non

tre celle sono vuote.

la cella a, può condividere

Qualche cella è occupata da esattamente due monaci, di cui uno è il confessore di Martino.

Il confessore di un certo monaco occupa

di

monaci tranne Martino sono confessori qualcuno. C'è un monaco è confessore di tutti glialtri.

che

.

.

figlio

unico.

Essere sposato con una cugina. Avere

10. Avere

tutte

12. Avere in le

le figlie sposate.

tutti i nipoti

11. Avere solo

13.

tutti in

la stessa cella che occupa

ci sono due monaci che abbiano lo stesso confessore. i

essere

Essere sposato/a, essere nubile, essere celibe, essere bigamo.

la cella a non stanno tutti

I confessori dei monaci che occupano la cella a stanno celle diverse.

Tutti

figli.

Essere zio/a.

sta

—

madre), essere padre, essere madre.

Essere nonno/a, essere nonno materno, essere nonna materna, essere nonno paterno, essere nonna paterna.

Ogni monaco o nella cella alla sinistra o nella cella alla destra di quella del proprio confessore. Ci sono celle occupate, che sia alla destra sia alla sinistra hanno celle vuote.

Non

o

Essere figlio/a, essere figlio maschio, essere figlia femmina.

ma non è a.

Nessun monaco, a meno che non occupi la cella con il proprio confessore.

—

seguenti proprietà:

1 Essere genitore (padre

celle.

I confessori dei monaci che occupano nella medesima cella.

Martino non è confessore di alcun monaco. Tutti i monaci, eccetto Martino, sono confessori di qualcuno. Ci sono infinite celle. C'è un numero finito di monaci.

Esercizio 3.5.5. Disponendo del predicato unario M (M(x) := x è maschio) e dei predicati binari G (G(x, y) := x è genitore di y) e C (C(7,9) := © è coniuge di y), esprimere mediante formule aperte (cioè con una o più variabili libere, a seconda del caso):

occupata da almeno un monaco.

Martino.

—

—

Nessun monaco occupa due celle. Ogni monaco occupa una e una sola cella. Qualche cella è occupata da almeno due monaci.

—

—

—

un numero pari si ottiene sempre un

Stiamo parlando di una struttura in cui vi sono un numero indeterminato di celle (C(x) := x è una cella), tra cui la cella a, e un numero indeterminato di monaci (M(x) := x è un monaco; O(x,y) := x occupa y), tra cui il monaco Martino (m). Ogni cella x confina a sinistra con la cella (7) e a destra con cella d(x). Ogni monaco x ha uno e —

—

e

tutti i bisnipoti maschi.

un nipote.

tutto

quattro figli, di cui

tre maschi e una femmina.

seguenti relazioni binarie:

Fratellanza (essere fratello/sorella di).

14. Essere

nuora di.

15. Essere genero di. 16. Essere

zio/a di.

17. Essere cugini di primo grado. 18. Essere consuoceri.

19. Essere cognati. 20. Essere

due

fratelli

21. Essere sorelle solo 22. Avere

16.

s(s(s(a))) = a

che hanno per mogli due sorelle.

17.

Va(M(x)

per parte di padre.

18.

Ve(M(x)

19.

dx(C(x)

20.

Va(M(x)

una bisnipote in comune.

23. Non avere nonne in comune.

Esercizio 3.5.6. Utilizzando

ossia tradurre

le ‘chiavi’ volta a volta indicate, ‘leggere’ — in (buon) italiano — le seguenti formule:

— chiave: universo del discorso := gli essseri umani (viventi); A(x,9) = x è amico di y; F(x,y) := x è fratello di y; B(x) := x è biondo; a := Aldo; b := Bruno. i

1. 2.

3. 4.

> B(2)) 3r(A(a,x) AVy(A(x,y) > =B(y))) Va(A(x,a) > B(x)Va=b) Va(A(r,a) > (B(a) Va(3y(A(2,y)

A

F(4,a))

xD)

6. 7.

8. 9.

Vr(G(x,a)

V(y,2))

3r(-M(£) A G(m(a), 2)

11.

3r(M(2) AG(m(a),

12.

de(M(2) AG(m(a),x) AV(2,a))

13.

m(a) = m(b)

— chiave:

A

2)

3x(G(x,a) A-G(2,5))

come nell’Esercizio

14.

Ve(M(x) AO(£,a)

15.

3r3y(M (x)

A

+

3.5.4, numero (33).

O(c(2),d(a)))

C(y) AO(2,y)

AYz(M()

+ 2 £ c(2)))

V=0(2,d(a)))

=

a)

3y(C(y) AO(2,y))

Glossario quantificatori universale ed esistenziale; variabili libere e vincolate; verità per i quantificatori;

e

identità; indiscernibilità; principi di Leibniz;

e

quantificatori numerici; definite/indefinite; quantificatori e anafora;

contesti estensionali vs. contesti intensionali;

e linguaggi elementari; e realizzazioni o e

3r3y(G(x,m(a)) AG(2,y) AG(,5))

10.

—>

e condizioni di

e

di

+ G(2,b)) Ve(M(x) > (G(2,a) + G(,0))) VaWy(G(a,b) AG(y,6) A M(2) > Ve(G(2,a) > V(x,m(b)

e

c(m)

> r=m)& Va(C(a) > AVy(M(y) > O(y, 2)))

e descrizioni

— chiave: universo del discorso := gli esseri umani (viventi); G(x,y) = x è genitore di y; V(,y) := x è più anziano di y: M(1) := x è maschio; m(x) := la madre x; a := Aldo; b := Bruno, 5.

3.6

>1=

termini individuali; formule;

strutture; verità in una struttura;

verità logica e conseguenza logica.

Parte II

Verità e conseguenza logica: il metodo di Beth

Capitolo 4

Alberi di Beth per la logica enunciativa 4.1

Introduzione

Lasciando per il momento da parte i quantificatori, torniamo a considerare enunciati studiati nel capitolo 3, ossia quelli che si lasciano analizzare logicamente mediante le sole operazioni di connessione, e precisamente i A enunciati connettivi verofunzionali =, A, V, tale tipo ci riferiremo qui con il termine ‘enunciati’, senza ulteriori specificazioni. Nel capitolo 2 abbiamo definito le verità logiche enunciative, o tautologie, come quegli enunciati che risultano essere sempre veri, quale che sia il valore di verità assegnato ai loro costituenti atomici. Come si è visto, a questa definizione è associato in modo del tutto naturale il metodo delle tavole di verità, che costituisce una procedura meccanica mediante la quale possiamo stabilire, per un qualunque dato enunciato, se esso è o meno una tautologia (come pure, per ogni dato argomento, se esso è o meno valido). In questo capitolo vogliamo presentare una procedura meccanica alternativa al metodo delle tavole di verità, detta degli alberi di Beth o metodo del controesempio?, che altrettanto naturalmente scaturisce da un modo concettualmente diverso, ancorché equivalente, di guardare alla tautologicità di un enunciato: una tautologia è un enunciato irrefutabile, non ammette controesempi. A parte l’interesse concettuale intrinseco, sono almeno due punti di forza di questo nuovo metodo. Intanto, è più efficiente, ossia meno dispendioso in termini di tempo e spazio, di quello delle tavole di verità — almeno limitatamente a formule enunciative di complessità logica contenuta. gli

+.

di

i

+

A+

lo consideriamo come definito: bicondizionale B:= (A+ B)A(B+ A). ?La concezione di questo metodo è dovuta logico e filosofo olandese E.W. Beth (19081964); si veda l’articolo: Semantic Entailment and Formal Derivability, Mededelingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, vol. 18 (1955), pp. 309-342. La differenza tra le originarie tavole (tableaux) semantiche di Beth e gli alberi di Beth (detti anche alberi di refutazione) è di fatto solo notazionale, “grafica”. *Il

al

Ma

soprattutto,

come vedremo nel prossimo capitolo, il metodo del controlascia opportunamente estendere alla logica della quantificazione consentendoci, anche per tale livello, di caratterizzare in modo soddisfacente il concetto di verità logica. Partiamo dalla nozione di controesempio: intuitivamente, un controesempio per un certo enunciato A è costituito da una “situazione”, o “stato di cose”, nel quale A è falso. Nel caso specifico degli enunciati che qui stiamo considerando, che sono ottenuti per connessione verofunzionale a partire da certi enunciati atomici, e alla luce della concezione classica della connessione, un controesempio per A è dunque niente altro che una assegnazione di valori di verità agli atomi di A sotto la quale A risulta (in base alle tavole di verità) falso. Supponiamo che non esista alcun controesempio per A. Ciò significa che non ci sono assegnazioni valori di verità ai suoi atomi che lo rendono falso, e dunque (per la bivalenza) che A è vero sotto ogni assegnazione, ossia è una tautologia. Viceversa, se A è una tautologia resta per l’appunto esclusa la possibilità che vi sia una assegnazione di valori di verità ai suoi atomi sotto la quale A è falso, resta cioè esclusa la A ammetta che possibilità un controesempio. Pertanto: esempio

si

ora

A è

di

una tautologia

>

ragiona in modo indiretto. Intuitivamente, si parte dall’ipotesi che un controesempio per A ci sia, e lo si “esplora” in passi successivi analizzando sistematicamente ed esaustivamente tutte le conseguenze dell’ipotesi fatta. Se al termine dell’analisi (termine che, vedremo, si raggiunge sempre) si incontra una contraddizione, vuol dire che l’ipotesi fatta non sta in piedi, ossia che un controesempio per A non ci può essere. Se invece l’analisi termilavoro svolto risulterà offrirci una specificazione na senza contraddizione, completa dell’ipotizzato controesempio, che dunque c’è per davvero. Resta da chiarire come si conduce l’analisi sistematica sottesa alla procedura sopra schizzata. Prima di dare una definizione formale degli alberi di Beth (che a sua volta richiede la precisazione della nozione di albero), conviene iniziare a familiarizzarsi con il metodo del controesempio lavorando informalmente su qualche semplice esempio e introducendo, strada facendo, una importante semplificazione notazionale. Si

il

Un primo assaggio informale

4.2.

già

fatto nel paragrafo 2.4.3 (che consigliamo di rileggere), data una formula enunciativa A scriviamo per il momento A = 0 (A = 1) per indicare che c’è un’assegnazione valori di verità alle componenti atomiche di A che la rende falsa (vera). Come

di

A non ammette controesempi

Riguardate da questo punto di vista, le tautologie sono giusto gli enunciati irrefutabili, quelli che sfuggono a ogni possibile tentativo di falsificazione mediante controesempi. Può sembrare che non si siano fatti sostanziali passi avanti. Non abbiamo forse detto la stessa cosa in due modi diversi? Certamente! Però possiamo sfruttare questa evidente riformulazione del concetto di tautologia per rispondere operativamente alla domanda sulla tautologicità di un enunciato dato A seguendo una nuova diversa strategia. Invece di passare in rassegna tutte le possibili assegnazioni di valori di verità agli atomi di A3 calcolando per ciascuna il valore che A assume per poi trarre, alla fine, le debite conclusioni — questo è ciò che facciamo quando applichiamo il metodo delle tavole di verità — possiamo cercare di costruire un controesempio per A: se ci riusciamo, sapremo che A non è una tautologia; se non ci riusciamo, dovremo concludere che A è una tautologia. Naturalmente, affinché le nostre conclusioni siano legittime, la ricerca del controesempio dev'essere condotta in modo rigoroso, corretto ed esaustivo; non possiamo fare solo qualche tentativo, o tirare a indovinare! Come procedere”, dunque?

e

Esempio informale 4.2.1. Domandiamoci:

A

+

(B

+

A) è

una tauto-

logia? Indipendentemente dal fatto che già dovremmo sapere che lo è (si tratta del principio P1, l’a fortiori), proviamo lo stesso a dare una risposta applicando il metodo del controesempio. Partiamo dall’ipotesi che un controesempio sia, scrivendo:

ci

A-(B-A)=0

(4.2.1)

e analizziamo, procedendo passo passo, le conseguenze di questa ipotesi. La formula in esame è un’implicazione, e poichè sappiamo (tavola di verità di +) che un’implicazione falsa ha necessariamente l’antecedente vero e il A = (sempre rispetto alconseguente falso, concludiamo che A = 1 e B l’assegnazione che falsifica la formula iniziale). Rappresentiamo il complesso delle nostre informazioni a questo stadio dell’analisi così:

+

(4.2.2)

|

A-(B-A)=0%

3

Assegnazioni che, ricordiamo, crescono esponenzialmente col numero degli atomi di questi sono n, le assegnazioni da considerare sono 2". 4È ovvio che almeno un sistema sicuro c’è ...: considerare tutte le possibili assegnazioni di valori di verità agli atomi di A e, facendo gli opportuni calcoli, vedere se almeno una rappresenta un controesempio per A. Ma questo altro non è che una banale sommazione del metodo delle tavole di verità. A: se

—

x

Xx

x

77”

A=1,B-ÒA=0

+ A)=0sta ad

Il segno ‘v’ accanto a A — (B zione è già stata “spremuta” (ha

indicare che questa informainfatti prodotto le due nuove informazioni A=leB_—-A=0)esarà inutile riconsiderarla. Ora però sappiamo anche

B+

che A=0, e quindi possiamo e dobbiamo utilizzare questa informazione che, per le stesse ragioni che ci hanno permesso di passare da (4.2.1) a (4.2.2), comporta che deve valere B = 1e A= 0. Scriviamo: (4.2.3)

A-(B->A4)=0%

Una semplificazione notazionale

4.3.

Per la tavola di verità della negazione, dire che A è falso (A = 0) equivale è vero = 1). Possiamo dunque riscrivere (4.2.3), come a dire che i intermedi e (4.2.2), nel modo seguente: (4.2.1) passi pure

A

(A

-(A+(B+- A))=1%

(4.3.1)

A=1,-(BPossiamo ancora estendere la nostra informazione complessiva? Evidentemente no: tutte le informazioni relative a formule complesse sono state utilizzate (come registrato dall’apposizione del segno v ). E, d’altra parte, dalle informazioni relative a formule atomiche, tipo A= 10 B=0, non possiamo ovviamente ricavare alcunché di nuovo. La nostra analisi, condotta a partire dall’ipotesi che ci sia un controesempio per A (B + + A), è conclusa: (4.2.3) (l’albero di Beth (4.2.3), come impareremo a dire) ne rappresenta in forma condensata l’esito nonché gli stadi intermedi. In particolare, (4.2.3) ci dice che un’ipotetica assegnazione che falsifica A — (B + A) deve per forza:

B=1,A=1 Cosa abbiamo guadagnato? Ebbene, visto che con questo espediente ogni formula che compare nell’albero risulta dichiarata vera, ossia = 1, tanto vale eliminare anche la dichiarazione ‘= 1’, sottintendendola sistematicamente:

“(A-(B-

(4.3.2)

A,

e rendere vere le formule A e B, e

rendere false, oltre a A

+ (B + A),

le formule

B

+ A e A.

A-

Nell’esempio appena discusso, l’analisi svolta presenta uno sviluppo lineare:

>

A))

Y

(B- A)” B,>A

Ma questo è impossibile: uno stesso enunciato (in questo caso A) non può mai essere vero e falso al contempo, cioè sotto la medesima assegnazione. Conclusione: il tentativo di costruire un controesempio per A —> (B — A) ha portato a contraddizione e pertanto è fallito; (B — A) non ammette controesempi e dunque è una tautologia.

®

A4)=1%

®

D'ora in avanti, nell’applicazione del metodo del controesempio, faremo sempre così. Questo comporta che: Se vogliamo controllare con il metodo del controesempio tautologicità di una certa formula, per es. A — (B — AA B), dobbiamo iniziare il tutto scrivendo la negazione di quella formula:

Osservazione 4.3.1.

la

-(A-(B4

ANB))

Infatti, per la convenzione, stiamo dicendo: “sia >(A — (B — AA B) vera”, che equivale appunto a “sia A + (B — A A B) falsa”. si nega una formula complessa il cui conneti inci tivo principale non è la negazione, ricordarsi di racchiuderla a p prima tra . , parentesi (altrimenti si viene a dire un’altra cosa):.

Attenzione 1. Quando

"Va

si fi co

Ma questo non succede sempre: spesso si sottocasi, ecc., e il tutto si complica un. po’. VediamoN)i prima di aver introdotto un’importante semplificaziond

di casi, di cosa tratta, non notazionale.

j

ò

i

i

j

dî

EE

e

AVB-C

e

AN-B

—

—

(AVB-C)

(AA-B)

(diversa da:

(diversa da:

Per la negazione questo non è necessario:

-AVB

_AN-B!)

DA >>

A.

+ C!)

Osservazione 4.3.2. (Regole di analisi) Sempre in base alla convenzione all’interno di un albero una formula della forma:

[5]

XY rappresenta

un’implicazione vera. In base alla tavola del condizionale, l’ulteriore informazione di cui è portatrice è che X è falsa oppure Y è vera:

XY 3 X fa] In(Xbase+ allarappresenta Y)

è

X

un’implicazione falsa.

portatrice è che X è vera

e

formule che via via dobbiamo analizzare: e la formula

oppure =Y —

VY

[a]

Xx

oppureY

(XV alla

Y) rappresenta una disgiunzione falsa. In base tavola di V, l’ulteriore informazione di cui è portatrice è che entrambe X e Y sono false:

>

AXVY)

-X

1X,-Y

rappresenta una negazione falsa. In base tavola di =, l'ulteriore ‘informgzione di cui è portatrice è che X è vera:

alla

.

>

2uaX/_ | \

V

è composta.

—

a

[ov]

—

X

\

--> tipo

[AT]

Se ne identifica il connettivo (necessariamente avremo che o è oppure --» X è di tipo

e la formula X inizia con Allora, si considera Y :

una congiunzione falsa. base alla di tavola l’ulteriore informazione di cui è portatrice A, In è che (almeno) una fra X e Y falsa:

>

è atomica:

+

[o].

(X AY) rappresenta

rappresenta una disgiunzione vera. base alla tavola di V, l’ulteriore informazione di cui è portatrice è che (almeno) una fra X e Y è vera:

X non inizia con una negazione. Allora:

—

3 XY

X

oppure

un atomo o la negazione di un atomo (diciamo: ‘ha forma [AT]?).

alla

XVY

(e solo una) delle 7 forme [+], ...,[--] appena viste,

Attenzione 2. E essenziale, per non sbagliare, saper riconoscere con sicurezza di che forma sono ([+],...,[m=], oppure [AT]) le

Y rappresenta una congiunzione vera. In base tavola di A, l’ulteriore informazione di cui è portatrice è che X è vera e Y è vera:

X

una

Formule di quest’ultimo tipo rappresentano chiaramente, all’interno di un albero di refutazione, informazioni (l'atomo A è vero /l’atomo A è falso) non ulteriormente processabili.

A

(XAY) > [VM]

e è

xY

>

oha

e

Y è falsa:

XNY DA]

oppureY

tavola del condizionale, l’ulteriore informazione di cui

A-Y) [A].

Basta riflettere un attimo? per convincersi che qualunque formula enun-

ciativa potremo mai incontrare

una negazione: X = -Y

Y è atomica: --+ la formula X ha tipo

principale o oppure /):

V

.

(atomo falso) Y è composta. Si identifica il connettivo principale Y (ora o, oltre che +, V, A può anche essere -): --+ la formula X di tipo [po]. [AT]

o

di

Osservazione 4.3.3. In (4.2.3) la contraddizione è rappresentata dalla presenza tanto della dichiarazione A = 1-Quanto della dichiarazione A = 0. Al-

la luce della convenzione fatta, in (4.3.2) la contraddizione è rappresentata dalla presenza sia della formula A che della sua negazione A.

4.4

Altri due esempi informali

tengano ben presenti le Osservazioni 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3 e, in particolare, punti [+], [n +], ..., [n] dell’Osservazione 4.3.2.

Si

Esempio informale 4.4.1. è o meno

una tautologia

5Si ricordi che il bicondizionale

di

stabilire se =A V B + (A — B) trattandosi di uno dei due versi della legge

Cerchiamo

(lo è,

i

+ non è un

connettivo primitivo.

di Filone, P44).

Partiamo dunque dall’assunzione che sia falsa, ossia (v.

Osservazione 4.3.1):

aAVB-(A+

>(AVB-(A+ B))

(4.4.1)

rende vera —(-A e

Abbiamo a che fare con un’implicazione falsa (tipo: [3 —]) e dunque sappiamo già come procedere:

AVB,

(A+ B)

(A +

(A +

(4.4.3)

-((AVB4+ (A+ B))”

Av

B,

B)),

(A+ B)”

è

di

dei

DAVBY,(A|

/\ A. ”

-B

B)Y

-(AVB-

(4.4.5)

(caso 2)

/\

nA

B

alla fine, non sotto la formula «A V B da cui origina tale informazione (più avanti preciseremo).

da

(A+ B))”

>AVBY,-(A-

B)Y

/\) A A,

N.B.: abbiamo aggiunto la nuova informazione

altre informazioni da processare? No: restano non segnate solo formule di tipo [AT], che come sappiamo non danno luogo a ulteriori informazioni. Chiediamoci ora come dobbiamoNuterpretare, vista la presenza di una “diramazione” (una distinzione di cagi) l'informazione complessiva che (4.4.4) ci dà. È la seguente: l’ipotesi che una certa assegnazione Ci sono

oppure rende vera B

A,

mazione che possiamo e dobbiamo trarre è che almeno uno due disgiunti dev'essere vero, dunque o vale =A 0 vale B. Più di così non possiamo dire (sarebbe un azzardo tirare a indovinare quale delle due possibilità si verifica), e siamo così costretti a distinguere e trattare separatamente i due casi. Scriviamo così:

|

(caso 1)

-(A+

Resta da analizzare la disgiunzione vera AV B, una formula tipo [v]. Come sappiamo da quanto detto nell’Osservazione 4.3.2, in questo caso l’infor-

-(AvB-(A- B))

casi):

o rende vera DA

A

A, —B

(4.4.4)

di

(A+

evidente che nessuno dei due casi si può dare: nel primo la nostra assecosa impossibile; nel secondo gnazione dovrebbe verificare tanto A che dovrebbe verificare tanto B che -B, cosa altrettanto impossibile. Graficamente, tutto questo si legge dallo schema (albero) (4.4.4) osservando che entrambi i percorsi (rami dell’albero, come impareremo a dire) contengono una certa formula (nella fattispecie A il primo, B il secondo) e anche la sua negazione. Sono entrambi, come diremo, chiusi. Visto che l’analisi condotta è chiaramente esaustiva, si deve concludere che V B — (A — B)) l’ipotesi iniziale (esistenza di un controesempio per si scontra inevitabilmente con una contraddizione ed è dunque rigettare: tautologia.. aAVB una B)è Graficamente, indichiamo che i due percorsi possibili di (4.4.4) portano a contraddizione aggiungendo un segno x alla fine di ciascuno:

Ma

Abbiamo ora due informazioni da “spremere”, rappresentate dalle formule Be B). Da quale partiamo? Come chiariremo meglio in seguito, siamo liberi di scegliere (nel senso: il responso finale non cambia). Partiamo dall’implicazione falsa B) (tipo: [- +], ancora):

AV

rende vere le formule comprese nella parte “comune ai due rami”: AV B, B), A e -B; “a(AVB + (A+

e e poi (distinzione

-(AVB-(A- B))Y

(4.4.2)

B — (A — B)) (ossia falsifica la formula in esame B)) comporta necessariamente che quell’assegnazione: V

—B

Xo

XxX

Esempio informale 4.4.2. Applichiamo

metodo del controesempio per AV Bè meno una tautologia. Partiamo dunque stabilire se (A B) dall’ipotesi che un controesempio ci sia, e vediamo se sta in piedi: —>

«((A—-

(4.4.6)

il

—>

B)— AV B)

Siamo nel caso ormai noto di una formula da analizzare di tipo [n

dunque passiamo (4.4.7)

a:

-((A- B)- Av B)Y A

-—

B,

(AV B)

—] e

Ora le formule da analizzare sono due, la prima di tipo [+], la seconda di tipo [Vv]. Decidiamo di partire dalla seconda, una disgiunzione falsa che, in base a quanto ricordato nell’Osservazione 4.3.2, ci fornisce l'informazione che entrambi disgiunti sono falsi, dunque e —B:

i

A

(4.4.8)

—((A- B) A-—

B,

> Av B)Y

(A+ B)—

i

il

-((A- B)- Av B)Y

(4.4.10)

(Av B)Y

A,

verità e verificare che, con A e B falsi, la formula AV risulta falsa. Conclusione: il ramo di sinistra, quello relativo al caso 1, ci fornisce il controesempio cercato. Graficamente, indichiamo ciò scrivendo sotto il ramo simbolo o. Il prodotto finito della nostra analisi è dunque: la riprova con le tavole di

A-BY,-(AVvB)Y

—B

Consideriamo ora A + B, un’implicazione vera (tipo: [+]). Segue necessariamente che o A è falsa (e =A è vera) oppure B è vera. Indichiamo la distinzione di casi in modo analogo a quanto fatto nell’Esempio 4.4.1: (4.4.9)

—((A— B)

>

AV B)Y

/\

Tutte le formule analizzabili sono state analizzate, e l’informazione complessiva di (4.4.9) è nuovamente di tipo disgiuntivo, precisamente: l’ipotesi che una certa assegnazione rende vera -((A —> B) — AV B) (ossia falsifica la formula in esame (A AV B) comporta necessariamente che B) quell’assegnazione:

«((A— B)

+

AV B),

+

A+

B,

(AV o

e e poi (distinzione di casi):

parte “comune ai due rami”: B), 4A e = B;

rende vera 2A

oppure rende vera B

(caso

1)

(caso 2)

Ora, il caso 2 chiaramente non si può dare, perché la nostra assegnazione dovrebbe verificare tanto B quanto —B: il secondo ramo è chiuso, e possiamo allora segnare un x sotto di esso. Quanto al caso 1, invece, i dati in nostro possesso (che sono, in un senso preciso, completi) non fanno registrare alcuna contraddizione: diremo che primo ramo è aperto, cioè non è chiuso. Anzi, questi dati ci indicano come dev'essere fatto il controesempio cercato per (A B) — AV B: l’assegnazione deve rendere veri e —B, ossia bisogna porre A = 0 e B= 0. Chi non fosse ancora convi

il

+

B

o

X

A

e

tra

-—B

e rende vere le formule comprese nella

DA

Si riprenda l’Esempio 4.4.1. Arrivati a (4.4.2), si analizzi V B, la formula poi si vada avanti fino al termine. Cambia per prima l’analisi di = AV .B produce subito la ramificazione; qualcosa? [Suggerimento: quando poi si va a esaminare l’altra formula B), che rappresenta un'informazione în comune i due casi, bisognerà riportare l’informazione che ne ricaviamo alla fine di entrambi i rami.|

>A_B+

/\

Esercizio 4.4.3.

A-BY,-(AvB)Y 2A,

A, =B

(A +

Esercizio 4.4.4. Come sopra, relativamente all’Esempio 4.4.2. Esercizio 4.4.5. Fare qualche esperimento informale di applicazione del

metodo del controesempio con le formule: 1.

ANB4ÒA

2.

AVaA

3.

AS AS

4. 5.

AV B

ANB

(A+ A) A

(BA)

(A+ B)+ T.(A- B)A5A+ -B

6.

8. 9.

(AV B)> 4AV-B (AN B)>4AN-B

Tre di queste formule non sono tautologie. Quali? Riuscite a trovare un controesempio procedendo come nell’Esempio 4.4.2? [Suggerimento: non scoraggiarsi se qualcosa va storto o se ancora non è tutto chiaro. Si vada un po’ avanti nella lettura del capitolo.]

ora

Lasciamo lo stile informale e procediamo un po’ più sistematicamente. Per prima cosa, dobbiamo chiarire bene che tipo di strutture sottostanno ai disegni di questa e della precedente sezione; dobbiamo cioè precisare concetto di albero e varie nozioni a questa correlate.

il

4.5

Alberi

Per descrivere in modo rigoroso il metodo del controesempio si utilizzano certe strutture astratte dette alberi (più esattamente, alberi binari finiti); per i nostri scopi, sarà qui sufficiente fornire una caratterizzazione intuitiva di questa nozione. Tutti dovrebbero aver visto almeno una volta un albero genealogico, come per esempio8:

T_T

IL VECCHIO (1389 - 1464)

PIERO IL GOTTOSO (1416 - 1469)

LORENZO

GIULIANO

IL MAGNIFICO (1449 - 1492)

DE’ MEDICI (1453 - 1478)

/\

GIOVANNI

GIULIO CLEMENTE VII (1478 - 1534)

LEONE X (1475 - 1521)

\ /\ °

IL VECCHIO - 1475)

(1430

/\

GIOVANNI IL POPOLANO (1467 - 1498)

GIOVANNI DALLE BANDE NERE

e

si

O ®

Nomenclatura 4.5.1.

PIER FRANCESCO

LORENZO

d

ZX;

Gli elementi genericamente indicati con il pallino nero (finiti di numero) chiamano nodi dell’albero, le linee che li uniscono si chiamano spigoli (ma anche linee va bene). Per introdurre la terminologia che useremo, conviene partire da un esempio in cui i nodi sono numerati:

1526)

Cosimo I

GRANDUCA (1519 - 1574)

Si tratta

/\

: i

|

LORENZO IL VECCHIO (1395 - 1440)

IL POPOLANO (1463 - 1503)

i

le

GIOVANNI DI BICCI (1360 - 1429)

Cosimo

i

C'è un progenitore, che occupa la radice dell’albero, suo figlio o i suoi figli, che occupano i nodi immediatamente sotto a quello occupato dal padre, e sono a questo connessi con delle linee verticali o oblique, figli di questi figli, e così via. Chi non ha figli occupa foglie dell’albero. Gli alberi (binari finiti) sono le strutture geometriche astratte che fanno da scheletro ad alberi genealogici come quello del nostro esempio, in cui per ciascun individuo il numero dei figli indicati è al massimo due. Esempi:

di un “pezzo” dell'albero genealogico della famiglia de’ Medici, a partire dal progenitore storicamente attestato Giovanni di Bicci. Non tutti i discendenti sono indicati, ovviamente. Intanto, abbiamo sistematicamente omesso le figlie femmine. Poi, qua e là, abbiamo omesso qualche figlio maschio, in parte (per esempio, Lorenzo il Magnifico ebbe, oltre a Giovanni, altri due figli maschi: Piero e Giuliano Duca di Nemours) del tutto (per esempio, Papa Clemente VII ebbe (almeno) un figlio, Alessandro). È o che a un certo punto dovevamo fermarci.

O © radice: la radice

è il nodo più in

/ \®

O

O

alto nell’albero. Nell'esempio:

1.

gli

figlio/i: un

figlio di un nodo è un nodo che sta immediatamente sotto, collegato ad esso da uno spigolo. Un nodo può anche non avere figli (v. foglia). Negli alberi binari ogni nodo ha al massimo due figli. Nel il figlio di 1, 7 e 8 sono figli di 4, ecc. nostro esempio:

è

foglia: un nodo foglia è un nodo nodi 5, 6, 8,

9.

i

senza

figli.

Nell'esempio, le foglie sono

genitore: x

i

è genitore di y se e solo se y è un figlio di x. In generale ogni nodo ha esattamente un genitore, eccetto la radice che non ha genitori. Nell'esempio: è 3, il genitore di 4 è genitore di 6 è 3, il genitore di 2, ecc.

il

5

è un percorso nell’albero che parte da una foglia e arriva alla radice, passando per genitore della foglia, il genitore del genitore, così via. in ci sono tanti rami distinti quante sono le foglie. albero Quindi un Nel nostro esempio, abbiamo 4 rami: 1, 1,

ramo:

il

e 5-3-2- 6-3-2-

9-7-4-2-1e 8-4-2-1

passare per: un ramo passa per ciascun nodo che contiene. Ovviamente, per un nodo può passare più di un ramo (banalmente, tutti i rami passano per la radice.). Nel nostro esempio, nodo 4 sono e

9-7-4-2-1

la

rami che passano

8-4-2-1.

Osservazione 4.5.2. L’albero “più semplice”

ne è al contempo

i

radice e l’unica foglia.

è:

per

il

e. Ha un solo nodo, che

realtà noi non lavoreremo con alberi “nudi”, come quelli sopra disegnati, bensì con alberi “rivestiti” o “etichettati” con formule. In generale, per albero etichettato si intende un albero in cui ciascun nodo è portatore di una qualche informazione simbolica, di solito scritta accanto al nodo 0, molto spesso, direttamente al posto del nodo. Un esempio lo abbiamo già: In

l’albero genealogico della famiglia de’ Medici. I grafici della sezione precedente, per es. (4.4.2) o (4.4.4), sono tutti genuini esempi di alberi etichettati con formule o, brevemente, alberi di formule.

Definizione 4.5.3. Un albero

formule è un albero (finito binario) in cui etichettato con una o più formule, in numero finito. ogni È inoltre consentito, se del caso, di scrivere il segno Y accanto a una formula e uno dei segni x e o sotto un ramo (cioè sotto una foglia). Conveniamo scrivere direttamente al posto di e la o le formule associate nodo e. Quando le formule sono più di una, le scriviamo di solito a un una accanto all'altra intervallate da virgole; possiamo però, se più ci piace, scriverle una sotto l’altra (ovviamente senza alcuna linea che le collega, per esempio (v. (4.4.10)): nodo

è

di

di

(A+ B)- AvB)Y A- BY, (AV B)Y

/

«(A+ B)- Av B)Y oppure

A- BY

|

(AV B)Y

DA, > B

|

dx

«A

BB

Il

nostro compito è ora quello di isolare, tra tutti

i possibili alberi di formule, gli alberi di Beth, ossia quegli alberi di formule che, intuitivamente, sono la rappresentazione di un processo corretto di ricerca del controesempio.

Ancora due esempi, un po’ meno informali

4.6

di

Ora che sappiamo cos’è un albero, vediamo altri due esempi applicazione del metodo del controesempio. Le definizioni della prossima sezione non fanno che sistemare in modo rigoroso ciò che qui si

altro

fa.

-((AAB+C)-(B- AVC)

(stadio 1)

Analizziamo l’unica formula che per ora c’è, di forma [n +], e cioè estendiamo l’albero dello (stadio 1) creando un figlio della radice e etichettandolo formule con C (antecedente vero) e -(B = AVC) (conseguente falso). Che questa sia l’analisi corretta ce lo dice la regola di analisi Da] dell’Osservazione 4.3.2. Segniamo anche con v la formula analizzata, ad indicare che non sarà più da prendere in considerazione (a meno che non si voglia perder tempo). Pertanto:

le

AB +

+

i

(stadio 2)

«((AAB+-C)-(B+-AV0))"

ANB-+C,-(B- AVC) Per il momento l’albero ha solo un ramo, che ha due nodi ed è aperto (ramo aperto = ramo non chiuso; ramo chiuso = ràmo che contiene una qualche formula assieme alla sua negazione). Su questo ramo sono tre formule: una già esaminata ignoriamo) e due ancora non esaminate, una di forma Dl e l’altra di forma [- +]. Partiamo dalla seconda (si analizza sempre una formula alla volta); alla prima penseremo dopo — ma potrebbe anche fare il contrario. Dunque (regola [- —]): aggiungiamo un figlio alla fine dell’unico ramo che contiene la formula in oggetto, etichettandolo con B e (4A VC)”. Inoltre, marchiamo la formula appena esaminata:

ci

(la

si

(stadio 3)

>((AANB+-C)-(B+-4AVC0))"

ANB-C,-(B+-AVCO)Y

A

ag

è

Esempio 4.6.1. Domanda: (AN B + C) + (B-+4AVC) una tautologia? Per rispondere costruiamo un albero di Beth partendo dalla negazione di questa formula.

B, "Attenzione: devo negare scrivo @=A

V C'

il

(AVC)

conseguente, che è =A V C. Se dimentico le parentesi e non l’ho negato! Ho scritto un’altra cosa.

Ancora un solo ramo (con tre nodi), chiaramente aperto, con due sole formule da esaminare: la prima (quella più in alto) di forma [+] e la seconda di forma [-V]. Due? E B? B è un atomo (forma [AT]) e ovviamente non ci porta a ulteriori informazioni. Esaminiamo la prima formula esaminabile. La marchiamo in base alla corrispondente regola di analisi, aggiungiamo esattamente due nodi figli (ramificazione = distinzione di casi) all’attuale A B) (antecedente falso) e il secondo foglia, etichettando il primo con C' (conseguente vero): con

intanto una x sotto la sua foglia:

-((AAB+C)+(B+ AVC)"

(stadio 6)

e,

ANB-C%,-(B-AVC)Y

(A

(stadio 4)

/ B,

«(ANB)Y

«“((AAB+-C0)>(B+4AVC))Y

A

ANB-+CY,-(B--AVC)Y B,

/

una

di

di

(stadio 5)

A

ANB-C%,-(B-AVC)Y

/

SA I rami sono

(An

Î A, 0

(AVC) ©

il

ora tre. Ispezioniamoli da sinistra a destra: il primo è aperto, secondo è chiuso perché contiene sia B che terzo è aperto. Si ricordi: un ramo chiuso rappresenta una strada per la duale ci si scontra con una contraddizione! Di lì non si passa e da lì è inutile andare avanti: scriviamo

Ix

e V

Te,

Osserviamo che ora anche il primo e il terzo ramo si sono chiusi: il primo e -A8, il terzo contiene sia C' che —C. Dunque: tutti i rami contiene dell’albero sono chiusi 0, come dice, l’albero (di Beth) che abbiamo costruito è chiuso (albero chiuso = albero con tutti i rami chiusi). Morale: l’ipotesi

A

SB

N

(A DA B)Y

B,

ANB-C%,-(B--AVC)Y

/

i

-((AAB-C)-(B--AvC0))”

(stadio 7)

“((AAB+C)-(B+ AVC)“

ANB)

x

formule esaminabili se ci sono(forma [-V]), che è

e il secondo con —B:

B,

-—B

“A

‘©

Ora l'albero ha due rami (numero rami = numero foglie), che ispezionati risultano entrambi aperti. Di formule da esaminare (ripetiamo: gli atomi e le loro negazioni non sono mai da esaminare) ce ne sono due: (-AVC') che è comune a entrambi i rami (entrambi i rami passano per il nodo dove essa sta), e >(A A B) che invece sta solo sul ramo sinistra (intuitivamente: è un'informazione disponibile solo nel primo dei due casi che abbiamo distinti con la ramificazione). Analizziamo per prima quest’ultima. Essendo tipo [DA] produce una nuova distinzione di casi, o A è falsa o B è falsa, dunque una seconda ramificazione. Ora, attenzione. Trovandosi la formula solo sul ramo di sinistra, creiamo due figli solo sotto la foglia di sinistra, etichettando

il primo con

C

sui rami rimasti aperti. Ne resta ai due rami aperti. Essendo comune sola, =(-AVC) entrambi che disgiunti sono falsi, dunque una disgiunzione falsa, comporta è vero e —C è vero. Ora, questa informazione (sotto forma di un nuovo nodo figlio) dobbiamo riportarla in fondo a entrambi i rami aperti su cui la formula sta. Se la riportassimo solo sotto uno di essi, perderemmo un pezzo d’informazione, magari determinante per la ricerca del controesempio. Non servirebbe invece a nulla riportarla sotto il ramo chiuso (anche se la nostra formula sta sul quel ramo), e quindi non lo facciamo: un ramo chiuso resta tale sotto qualunque aggiunta di informazioni. Dunque: Poi vediamo

(AVC)

-(ANB)

/

(AVC)

si

sia

8 Affinché un ramo chiuso non è necessario che la formula che deve contenere assieme alla sua negazione sia proprio un atomo. Nel nostro caso: e insieme,

rappresentano comunque una contraddizione.

A

A,

+

+

+

iniziale che ci sia un controesempio per (ANB C) (B AVC) porta comunque, inevitabilmente, a contraddizione. Conclusione: quella formula non ammette controesempi, è una tautologia. Scriviamo una x sotto il primo il terzo ramo (per amor ci precisione) fermiamo?.

e

(stadio

7°)

di

e

regola di analisi [A]). questo) aggiungeremo (stadio 4)

un

Dunque, sotto la foglia di questo ramo (e solo di figlio etichettato con le due formule A e B:

—((A- AAB)+ B)”

A+ ANB“,

>((AANB-0)-(B+-4AVCO0))”

ANANBY

Ò4A

ANB-+CY,-(B- AVC)” |

B,

(AVC)

7 Ne (AA B)Y

Nb

A

|

aa, aC X

B) po’+ costruiamo (questa volta con

Esempio 4.6.2. Domanda:

(A

+

A

B è una tautologia? Per

rispondere un meno commenti) un albero di Beth partendo dalla negazione della formula in esame.

(stadio

1)

“((A- AB)

Formula esaminabile di tipo [n

(stadio 2)

B)

(A

ANB)

+ B)Y

A- ANB“,-=B

/

DA

ANB

Ci sono due rami, entrambi aperti. Sul quello di sinistra non ci sono formule esaminabili, su quello di destra c’è la formula A A _B (congiunzione vera, v. °Qualcuno potrebbe dire: ma ci sonò ancora formule da analizzare, le due occorrenze A. Vero, ma si trovano su rami chiusi, e vale il discorso fatto prima: resterebbero chiusi anche prolungandoli con un nodo etichettato con A.

di

Il primo

ramo è ancora aperto (ovviamente, era aperto prima e non è stato prolungato), il secondo invece ora è chiuso, per via di B che si scontra con -—B. Possiamo fare altre mosse? No, non ci sono più formule che possono analizzate essere (ripetiamo: con quelle di tipo [AT] non ci possiamo fare niente, rappresentano informazioni non ulteriormente “spremibili”). L’albero appena ottenuto è, come diremo, completato. Ed è aperto: cioè, possiede almeno un ramo aperto. Intanto, annotiamo questa cosa: (stadio 4’)

|

-((A+

A-

AAB)— B)”

ANB“,-B

/NANB‘

aA

-((A> ANB)+ B)”

Il ramo, l’unico, è aperto. C'è solo una formula da esaminare, di tipo [+], per cui: ramificazione (0 l’antecedente è falso o il conseguente è vero).

(stadio 3)

A, B

+], dunque:

A+ ANB,-B

—=B

A,

x

B

Ora traiamo la conclusione: l’ipotesi inizialmente fatta, l’esistenza di un controesempio per (A + A B) + B, non gerta a contraddizione. E questa conclusione, in forza del fatto che la nostra analisi è stata esaustiva, che cioè abbiamo provato in tutti i modi logicamente possibili a invalidare quell’ipotesi, senza riuscirci, si trasforma in una conoscenza positiva: un controesempio c’è per davvero. Quanto appena asserito e giustificato intuitivamente, cioè, in generale, che se un albero di Beth è completato e aperto allora esiste un controesempio per la formula la cui negazione occupa la radice, si dimostra (noi non lo faremo) in modo assolutamente rigoroso (v. più avanti i Fatti fondamentali 4.7.5 e 4.7.6). Si dimostra, precisamente, che da ciascun ramo aperto si ricava un controesempio assegnando valore di verità = 1 agli atomi che si trovano nel ramo, e = 0 agli atomi la cui negazione trova nel ramo. Nel nostro caso, visto che il ramo aperto contiene sia -=A che -B, poniamo:

\

e

si

A=0!c0 B:=.0.

Si faccia la riprova con il metodo delle tavole di verità per verificare che questa è davvero un’assegnazione (l’unica, in realtà) sotto la quale la nostra

formula (A — AA B) —

4.7

e diciamo

Comesi costruiscono gli alberi di Beth

e diciamo che il ramo

R

è

aperto quando non è chiuso;

e diciamo che l’albero

T

è

chiuso quando ogni suo ramo è chiuso;

T è aperto quando 7 non è chiuso, ossia quando aperto; l’albero T è completato quando negli eventuali rami

e diciamo che l’albero

ha almeno un

ramo

e diciamo infine che aperti di non ci sono formule esaminabili.

7

Definizione 4.7.2. Data una formula C, la costruzione di un a partire da

—C'

si

XNY congiunzione:

-(X AY)

x,y

Tao

Xx

condizionale:

[+]

[av] Y

XY

O XY

4]

negazione:

X.Y

a(X

Y)

!

'

X Ci servono anche le seguenti importanti nozioni (leggere attentamente).

7

un albero di formule, R un suo ramo (v. Nomenclatura 4.5.1) e A una formula nell’albero: e diciamo che A è

(AY):

stata esaminata quando ha

e diciamo che A è esaminabile

a

scena

negazione di un atomo) e non è

fianco un

è di

stata esaminata;

tipo

segno

di ‘visto’

[AT]

(atomo o

7;

passa da uno stadio allo stadio successivo, a quello ancora successivo, ecc., e quando (eventualmente) ci si ferma.

Vediamo

[ad (i))

ben presenti le nozioni della Definizione 4.7.1): (si71,tengano l’albero è l’albero

iniziale,

più semplice (€) con il nodo eti-

chettato dalla formula aC. Dunque:

x,5Y

_X

fatto

(ii) come si

!

[a]

Definizione 4.7.1. Siano

(i) come si comincia, ossia come è

(XVY)

LO

[V]

BB...

dove 7], 73,... sono alberi di formule. Per dare una buona definizione dobbiamo dunque specificare:

Xx

XNVY

disgiunzione:

LO ly

[DA]

!

albero di Beth

sviluppa per stadi o passi successivi

Tabella 4.1: Regole per gli alberi di Beth /logica enunciativa |A]

B (non

necessariamente atomica) tale che R contiene sia B che -B!° (ricordiamo che un ramo chiuso rappresenta, intuitivamente, una contraddizione o, se si preferisce, il raggiungimento di una contraddizione);

risulta falsa.

Diamo qui una definizione rigorosa e dettagliata di come si costruisce un albero di Beth a partire dalla negazione —X di una certa formula X. Le regole formali da usare nella costruzione di un albero di Beth — quelle che ci permettono via via di estendere l’informazione iniziale — le abbiamo in realtà già viste (alcune le abbiamo anche usate negli esempi): sono quelle indicate nell’Osservazione 4.3.2, ossia [+], [n +], ..., [n=]. Le riscriviamo ora in forma leggermente diversa, più compatta e intuitiva.

che è/ ramo R è chiuso quando c’è almeno una formula

=C

di

odo

[ad (ii)] Supponiamo essere arrivati a un stadio del processo, e che 7 sia l’ultimo albero costruito. Per cominciare si controllano, uno per uno, tutti i rami di 7, e si segnano quelli chiusi (se ce ne sono) con una x sotto relativa foglia. Se tutti i rami di 7 risultano chiusi, ossia se T è chiuso, ci si ferma: la costruzione dell’albero di Beth a partire da —C' è terminata e l’albero chiuso

°°

la

T T

il

risultato. è Se invece ha almeno un ramo ci sono formule esaminabili: ne

7

aperto, si guarda se nei rami aperti di

ce

e Se non ne sono, allora l’albero T è completato e aperto. Scriviamo il simbolo o sotto la foglia di ogni ramo aperto e ci fermiamo qui: l’albero così annotato è il risultato della nostra costruzione.

7

!0Per esser chiari: le formule contenute in un ramo sono tutte le formule, esaminate o meno, , associate a ciascun nodo per cui passa il ramo. V. anche più avanti, Errore 4.8.3. ’

e Se invece ce ne sono, modo —

estendiamo

(prolunghiamo)

seguente:

T (7

n

7')

chiuso, o è completato costruzione a partire da

è

nel

*

[A],

+], [n]

si aggiunge esattamente un figlio con la formula o le formule prescritte dalla

[=V], [n

— etichettato regola — alla foglia di ciascun ramo aperto di T che passa per il nodo dove sta E; nei restanti casi [-/],[V], [+] (quelli che ramificano) si aggiungono esattamente due figli — etichettati con le formule prescritte dalla regola — alla foglia di ciascun ramo aperto di 7 che passa per il nodo dove sta E.

ci

oppure è completato ed aperto.

T[-C] è chiuso se e solo se C' è una tautologia, ossia è vera sotto ogni assegnazione di valori di verità ai suoi atomi.

In effetti, ci siamo fatti forti proprio di quanto asserito da questo risultato per trarre le dovute conclusioni negli Esempi 4.2.1, 4.4.1, 4.4.2, 4.6.1 e 4.6.2 delle sezioni introduttive. In ciascuno dei primi due e nel quarto, abbiamo concluso che una certa formula era una tautologia, facendo vedere che l’albero di Beth costruito a partire dalla negazione di quella formula sî chiudeva. In ciascuno dei restanti due esempi abbiamo concluso che una certa formula non era una tautologia, facendo vedere che l’albero di Beth costruito a partire dalla negazione di quella formula era sì completato, ma aperto (inizialmente si diceva: c’è un percorso che non fa registrare alcuna contraddizione). Anzi, dal ramo aperto avevamo estratto un controesempio per la formula. In generale, vale:

Fatto fondamentale 4.7.6. Sia 7[-C] un albero di Beth completato

e

aperto, e sia R uno qualsiasi dei suoi rami apérti. Si definisca un’assegnazione di valori di verità agli atomi contenuti in C nel modo seguente. Per ogni atomo A di C'

altre

ve

di

e

chiuso;

Fatto fondamentale 4.7.5. Per una qualsiasi formula C, l’albero di Beth

(chiusura o meno dell’albero).

di

0è

L’altro fatto fondamentale da menzionare, che è poi quello che garantisce bontà del metodo degli alberi di Beth, non lo possiamo dimostrare qui perché ciò richiederebbe nozioni e tecniche ancora non introdotte. Ma in un certo senso lo abbiamo giustificato intuitivamente nelle sezioni introduttive.

scritta non è univoca (o deterministica): quando ci sono rami aperti con più di una formula esaminabile, non si è specificato quale analizzare, ma abbiamo lasciato libertà di scelta. Volendo, si può rendere la procedura deterministica in tanti modi. Per esempio, fissando che si deve selezionare sempre la formula esaminabile che sta più in alto e più a sinistra in un ramo aperto dell’albero. Ma sarebbe fatica inutile (tranne che se siamo interessati a scrivere un programma che implementi questa procedura), dato che si può dimostrare che la libertà di scelta non ha alcuna influenza sull’esito finale

n

e

la

Osservazione importante 4.7.3. La procedura di costruzione sopra de-

Facciamo ora una riflessione. Può sembrare che, nella costruzione di un albero di Beth, più andiamo avanti più le cose si complicano. Non è forse vero che quando analizziamo una formula ne introduciamo sempre almeno un’altra, e spesso tante di più (si pensi a quando la formula analizzata è comune a tanti rami aperti)? Cosa ci garantisce che così facendo non andiamo in loop? Vale davvero che la costruzione termina sempre dopo un numero finito di passi? La risposta è positiva. Se ne può dare una dimostrazione rigorosa, ma qui ci accontentiamo di una spiegazione intuitiva. Dunque: è ben vero che quando esaminiamo una formula ne introduciamo che poi, a meno che non siano di tipo [AT], saremo costretti a esaminare. Ma queste formule hanno sempre una complessità logica (numero di connettivi) inferiore a quella della formula esaminata (basta guardare la Tab. 4.1), formula che per parte sua, una volta considerata, viene segnata con messa in frigorifero. Insomma, a ogni passaggio 7 7’ una formula analizzabile viene rimpiazzata con una o più formule che o sono analizzabili, ma più semplici, o sono tipo [AT] e quindi non analizzabili. È allora chiaro, alla luce della Definizione 4.7.2, che: (I) dopo un numero finito si ferma sempre; passi termine al volta giunti (II) una si ritrova pepderza con un albero che o

aperto. Un tale albero, esito di una procedura di lo indichiamo con T7[-C]!!. Riassumendo:

Fatto fondamentale 4.7.4. Ogni costruzione di un albero di Beth a partire da =C termina sempre dopo un numero finito di passi. Inoltre, l’albero TC] raggiunto al termine della costruzione:

si seleziona una formula esaminabile E in un ramo aperto e se ne identifica il tipo ([+],...,[--]) e la corrispondente regola della Tab. 4.1; quindi si marca con “ la formula E e: * nei casi

e

-C,

e

A=1,se

e

A=0, se l’atomo negato =A

e

A= un

l’atomo A

è

una delle formule nel ramo R; è

una delle formule nel ramo R;

valore (0,1) a piacere, altrimenti!?.

!Prescindendo dalla specifica costruzione che lo ha generato. Questa semplificazione, come più volte ricordato, è irrilevante da un punto di vista logico — almeno per quanto riguarda la tautologicità e la ricetta di costruzione dei controesempi. 12Questo può benissimo accadere, come vedremo negli esempi della prossima sezione. Si noti che, quando questo caso si dà, al ramo R vengono associate più assegnazioni, per l’esattezza 2% se & è il numero degli atomi di C che rientrano in questo terzo caso della definizione.

così

ci

.

Allora la formula

C'

risulta falsa sotto questa assegnazione.

e

Di nuovo, non possiamo dare qui la dimostrazione (si tratta, in effetti, della dimostrazione di metà del Fatto 4.7.5). Il lettore che, svolgendo un esercizio, raggiunge un albero 7[-C] completato e aperto, è però invitato a verificare (usando le tavole di verità) che per davvero un’assegnazione associata come sopra a un ramo aperto dell’albero fa quello che deve fare, ossia falsifica la formula C.

Controllo della tautologicità via alberi di Beth: esempi ed esercizi

4.8.

Torniamo ora all’applicazione principale del metodo del controesempio, il problema della tautologicità di un dato enunciato. Il miglior modo per prendere dimestichezza con il metodo degli alberi di Beth, per poi padroneggiarlo, è fare (tanti) esercizi. In questa sezione diamo diversi esempi. All’inizio, lo faremo mostrando tutte le fasi della costruzione dell’albero (usando una rappresentazione grafica che vorrebbe essere autoesplicativa); da un certo punto in poi, lo faremo mostrando solo il prodotto finito, cioè il risultato della costruzione (starà al lettore capire sì è arrivati). Preliminarmente, diamo qualche utile suggerimento come generale (leggere attentamente e meditare!).

ci

si trova a dover scegliere quale formula ci analizzabili, conviene (in linea di massima) dare

Suggerimento 4.8.1.

Quando

pur avendo riconosciuto correttamente di che tipo è la formula da analizzare, applicare poi una regola di analisi che non le corrisponde;

e non accorgersi che e scordarsi di e

un

dichiarare che

non è una tautologia perchè l’albero che si è (o meglio che si crede di aver) costruito a partire da —C risulta aperto, quando però l’albero non è completato. Si ricordi quanto detto nell’Introduzione: la ricerca del controesempio dev'essere esaustiva, non si deve tralasciare alcuna informazione, tutte potrebbero rivelarsi decisive. C'

detto che non bisogna affatto preoccuparsi dei vuoti di memoria. regole di analisi siano puramente formali e l’intero processo sia meccanico, c’è pur sempre dietro una giustificazione concettuale di tipo semantico. In particolare, se uno non ricorda una regola di analisi, per esempio la regola relativa al tipo [-V], si può sempre ricostruirla agevolmente ragionando: quali sono condizioni di verità di una disgiunzione? In particolare: che quand’è una disgiunzione è falsa? Ci sono infine tre gravi errori che talvolta capita di vedere, e che non nascono da semplice distrazione bensì da spiacevoli fraintendimenti teorici. Sarà bene, per precauzione, sradicarli da subito. Va anche Ancorché

le

le

Errore 4.8.3.

Si è

costruito (correttamente) l’albero

direttamente A.

Suggerimento 4.8.2.

albero di Beth?

Come

si fa a non

subito all’inizio, di negare la formula della quale si vuole controllare la tautologicità;

e

si

pur non dimenticandosi di negarla, negarla scorrettamente perché ci dimentica di racchiuderla prima tra parentesi (idem quando appli cano le regole di analisi che comportano di negare certe formule);

si

non

riconoscere correttamente di che

DA, =B

fîpo

è la formula

da analizzare;

B

DA

sbagliare quando si costruisce un

e dimenticarsi,

AV B)Y

A-BY,-((A]vB)Y

A

Risposta. Basta seguire con attenzione le istruzioni della Definizione 4.7.2: si tratta di una procedura meccanica che non richiede acume intellettuale, ma solo attenzione. Dunque, basta evitare errori di distrazione, tipo:

e

“((A- B)>

[]).

[]

si è chiuso;

analizzare una formula che invece deve essere analizzata;

analizzare fra più formule la precedenza alle formule (se ce ne sono) che non danno luogo a ramificazioni (tipi: [A], Questa strategia (quasi sempre: fare +], esperimenti) produce alberi più semplici e fa risparmiare tempo. A proposito di risparmio di tempo, la regola si può, volendo, applicare implicitamente: tutte le volte che dobbiamo scrivere scriviamo

ov],

ramo

+

AV B è una tautologia, e si afferma: per vedere se (A — B) “è chiuso, perchè entrambi i rami sono chiusi! Infatti: (i) il ramo (ii) il

di sinistra

contiene sia

—A

che

[Al

ramo di destra contiene sia B che —B”.

Ora, (ii) è corretto, ma (i) per niente. La A|non è né una formula del ramo di sinistra né di quello di destra. È un pezzo di una formula, V B), che sta in quei rami! In realtà, ramo sinistra è aperto, e siccome l’albero è completato dobbiamo correttamente concludere che (A — A V B non è una tautologia. B) .Controesempio estratto dal ramo aperto: A= 0, B= 0. Verificare.

(A

il

di

+

Errore 4.8.4.

L’errore in questione è quello che si verifica nella fase di estensione di un albero quando, analizzando una formula A che si trova (magari assieme ad altre) in un nodo x che non è una foglia, invece di far partire i nuovi nodi (con relative formule) dalla fine di tutti i rami aperti si fa partire dalla formula A. che contengono A, Un errore siffatto, a volte anche reiterato nello stesso albero, produce strutture del tutto strampalate che non significano assolutamente nulla. Gli alberi, nel processo di costruzione, crescono sempre dal fondo (dalle foglie).

Esempio 4.8.8. Domanda:

li

Errore 4.8.5. Questo

(AV B)\A-=B

+A

è

una tautologia?

-((AVB)A-B+ A)”

più sottile, ma è pur sempre un errore. Consiste nel credere che se l’albero di Beth 7[-C] è completato e ha tutti è rami aperti, allora non solo C' non è una tautologia (corretto!), ma è addirittura una contraddizione logica: falso! Basta considerare questo banale esempio: errore è

(AV

(AA B)

/

A

N

-((AVB)A-B- A)”

-—B

L’albero è completato ed entrambi i rami sono aperti, ma A una contraddizione logica (è vera, se A e B sono veri).

A

-((Av B)A=B+ A)”

B non è certo

(AV

(AV B)A-=BY,-A

Esercizio 4.8.6. Qual è il modo corretto per stabilire, col metodo degli alberi di Beth, se una formula X è una contraddizione logica? [Suggerimento: la negazione di una contraddizione logica è ...? E dunque

B)A-B

V,anA

AVBY,-B

/\

...]

di

B)N-=B,5A

A__B

Vediamo anche chiarire, per completezza, un dubbio che talora si può insinuare. La regola per analizzare una disgiunzione vera, X V Y, prevede, come sappiamo, una ramificazione binaria, cioè la distinzione di due casi:

-((Av B)A-B-+ A)”

X (vera) oppure Y (vera)

(+)

E se sono vere entrambe? Non è che ci siamo dimenticati un terzo caso? (analogo dubbio può venire, con i cambiamenti del caso, per le altre due regole che ramificano). Risposta: va tutto bene, perché l’ ‘oppure’ che usiamo in (*) è inclusivo (al pari del suo corrispettivo V nel linguaggio oggetto). La circostanza che X e Y siano entrambe vere è coperta, rientrando banalmente sotto entrambi casi.

i

Esercizio 4.8.7. Non avendo preso

Yo X.

+

B)N-=BY,A

AVBY,-B

/\

+

come primitivo, alla domanda di verificare la tautologicità di X Y si risponde verificando quella della formula (X Y e di Y)A(Y — X) o, equivalentemente, quella di X

+

(AV

+

Ma volendo, potremmo fissare direttamente due ulteriori regole di analisi, [4] (bicondizionale vero) e [- +] (bicondizionale falso). Come dovrebbero esser formulate queste regole?

Re

Risposta: sì, è una tautologia perché l’albero è chiuso.

Esercizio 4.8.9. Identificare

le istruzioni eseguite in ciascun passaggio.

Esercizio 4.8.10. Controllare la tautologicità di

(A

> B) \ A + B.

Esempio 4.8.14.

Esempio 4.8.11. Domanda:

((A-B)-B)-((B-A)-A)

è

a

[-((A—B)-B)-((B-4A)-A))|

>

-(((A+B)—B)-((B-

(A- B)—B,-((B- A) A)

>

|

B- A, A

L---- ©-----

I

7

B

rIIII

||

I

IIII

!

y

(A-B)>BY,-((B-

I

A

L

I

|

mm

! I

A, =B

2

X

Xx

avo

B

/\

B_C

I

X

SA x

-B x

SA x

I

(AA B)V(ANO)) |

|

-B

i

I

|

i

x BVCY

calo TT,ANC)” A/ \bd/Nch AC Mur:

relfcom.

dnreeglonda XxX

Xx

Risposta: sì, è una tautologia perché l’albero è chiuso. N.B. Qui si è adottato lo stile di scrivere le formule che occupano lo stesso nodo una sotto l’altra (v. Definizione 4.5.3).

4.8.12. Identificare le istruzioni eseguite in ciascun passaggio.

Esercizio 4.8.13. Sia nel passaggio ® che nel passaggio ®© avevamo una scelta tra due formule da analizzare. Provare a vedere cosa succede facendo scelte diverse. Si ricordi: il risultato (in questo caso: chiusura dell’albero) non cambia, ma l’albero sì.

Qu c

/\_/N B

|

AN(BVC)Y

|

(AAC

Xx

I

-(AA(BVC)>(AAB)V(AAC)”

-

v4

-(AAB)”

Risposta: sì, è una tautologia perché l’albero è chiuso.

Esercizio

(AAC)

I

A

A

tun]

x

i

___

|

(A A B)

|

44

|

ll

i

A((AANB)V(AAC))Y

B->AY%,A

7

A

BVCY

AN(BVC)Y

A) A)”

Î

“(A+ B)

>

“(AA(BVC)>(AAB)V(AAC))

Î

>

B-AY,4A

,

|

nano

|

(AA B) (AAC)

B

I

AN(BVC)Y

Y

"io

-(((A+B)—-B)-((B-A)- A))“

“(((A-B)—B)-((B-A)-A)) |

Sereno

,

A

>

y

(A-B)-B“,-((B-A) A)"

“(A- B)

zizzania “(AA(BVC)>(AAB)V(ANC))Y

|

B- A, A

!

pITTTTTToTT ©

|

A) A)"

|

Ì

BVO

Ton

|

(AABIVIANO)

|

(A-B)>B”,-((B+

i

Tua

|

A

AN(BVC) ((AAB)V(AAC))

I

Y

I

i |

A) A))

COPIE r===------- @©----------

L_---®@

A

hl

“(AA(BVC)-(ANB)V(ANC))Y

I

una tautologia?

“(ANA(BVC)(AAB)V(ANC))Y

Y

y

è

|(AA(BvC)-(AAB)v(AAO)]

una tautologia?

d

_È

AA(BVC)-(AAB)V(ANC)

Esercizio 4.8.15. Come _

gli Esercizi 4.8.12 e 4.8.13.

Esercizio 4.8.16. Provare l’altro verso .

(—) di

questa legge di distributività.

Domanda:

B)N-A + B

(A

è

|

una tautologia?

I

!

y

es n

B)\ (A r>

I

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+

B)

®

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|

>

(A+ B)A5AY,->B

|

|

A —

a

set i

B,4A

1

|

|

4

tua _____ 1

”n

-

1

Lu

-((A-+(B+0))+((A+B)+0)))

I

FOT

!

/

(eo) |

A-B

>

|

A-B

A-BY,A AN

tautologia?

(4-5)-0)

i

-(A-B)- 0)

(A+ B)A5AY,-B

una

d 3

È

>|

-((A-B)-0))

(A+ B)N4A,-B

_L__L1

® r=e====-------(3)-----------A-

ida

B)"

è

=((A-(B+C))+((A-B)+C)))"

-((A>(B=0)-((A-B)=0)))"

|

i

((A

3A

B)-+C)

((A-(B+C))-((A+B)-0))|

I

©

“((A-

(A-(B-C))-((A-

Esempio 4.8.20.

Esempio 4.8.17.

-C

/\ =C

/\/\

L

N

B+C

-A

AB h__----- @=-===-+ ' aAOEiiiiiEiEPE@EzEuiziuiwizizRhRBRBhR©éR@îR@KGKER@RiÈÉÈÉÈÉ: ______ ta iiazanaa --ARA !

i

l'Iran

nen ©

y

-((A- B)A-A- B)Y (A+

RE

ZZzE !

{

a((A-+(B+0))-((A+B)-0)))“

A-—(B+C)”

=((A+B)-0))"

a((A-B)0))“

I

aC

Z

AZ /\_/\

B x

SA

Risposta: no, non è una tautologia perché l’albero è completato e aperto. In più, dal ramo aperto, che contiene sia =A che -B, possiamo estrarre B) A DA — B (v. Fatto 4.7.6) la seguente assegnazione che falsifica (A (verificare):

Esercizio 4.8.18. Identificare

e

una

-À

B

_C

-B

C

_

76,N

7 B-C /\ A N °°/\ /\ DA

anA

B

B

-B o

C XxX

-B X

gli

B=0.

Fè

B-CY

i

A- BY

C X

Risposta: no, non è una tautologia perché l’albero è completato e aperto. Esercizi 4.8.12 e 4.8.13. Esercizio 4.8.21. Come In più: estrarre dai rami aperti tutte le assegnazioni che falsificano la formula (A+ (B+C))>((A+ B)+C).

le istruzioni eseguite in ciascun passaggio.

Esercizio 4.8.19. (A— B)_AA—-

N

-B

+

A=0

B

B

“((A-(B+C))+((A+B)+0)))"

A-(B+-C)”

N

HA

_B

I

|

A-BY,A4

/

iii

DA

!

i

DUO——6—_

B)NA4AY,-B

Ao

I

_B+C

DA

Esercizio 4.8.22. Provare con l’altro verso (+) di questa formula.

tautologia? Fare l’albero. *

Esempio 4.8.23. Qui ci sono sei alberi di Beth, correttamente completati. y, x,0 sono volutamente omessi (lo faremo spesso anche seguito):

in

I segni

lettore provi per esercizio a ricostruire la storia di questi alberi, a identificare i rami chiusi e quelli aperti, a estrarre i controesempi dagli alberi aperti.

il

“((A- B)V(B+

A))

«(((A-B)

|

“(A+

A)

|

=(B+

B),

(A + B)

A, = B

A,

B, > A

-((A- (BC) (AAB-0)) A-(B+C), (AAB-+C)

/\ SK B

L\,

c(((A- B) + C) (AANB-0))

Esercizio 4.8.27. Non tutte

le formule della

A)

((A-B)

ANB-C,A((A+-

0)

9 mu(A+

I

/\/N

2

N

N

mA---B--

-A--

B

HH

Hi

“((A- B)- ((A-C)-(B-0)))

Ho

A-B,((A+C)->(B-+C))

B, 7C |

/

A

A, B

«(A+

B)

|

A, —B

/

A-C, (B-C) |

©

A B,-C

/

N

N

Cc |

B,-C

Esercizio 4.8.24. Partire dalle stesse formule, ma fare scelte diverse nelle formule da esaminare, quando ci sono alternative.

Esercizio 4.8.25. Avete riconosciuto qualche tautologia che vi è familiare?

B)

AA B)

O E

.

N.

.

B)e (mA + B)

AV(A+ B) (A+ B)v(B+C) —u(A

A

B)

+ (DA AB)

((A-B)-C)-(B-C) AN(BVC)->(AVB)NA(AVC)

(A+

B)>A

n(AVB)& AV B

»o_WwU

Lio

A A

—

(A+ B)o (A+ B)

B)—-C)

A- B, C

7

duo

AN(B-C)&(ANB-+C)

Sw

OH

(A+ B)->C,-(AAB+C)

(AVB+ A)V(AVB

(A- ANB)V(B-—

7

i

.(ANB-C)-(AvB-C) N

((AAB +0)

conviene verificare separatamente

lista seguente sono tautologio, di Beth stabilire metodo degli alberi quali lo sono e quali no, per Inoltre, per quelle che non lo sono, estrarre dai rami aperti tutti i possibili controesempi, facendo anche la riprova con le tavole di verità.

-B

|

’

+ B,

A

AN B, 3C A B

N.B. Per formule di forma A versi A-> BeB_4+ A. Applicare il

(A- B)4 A, DA

A)

Esercizio 4.8.26. Questo è un mega-esercizio: verificare con il metodo degli alberi di Beth la tautologicità di tutte le (o almeno di molte delle) formule P1 - PS1 del capitolo 2.

Hi

.

1.

16.

AN(BVC)> (ANB)VC n(AAB)& a ANB (AVBVC

—

+ A)V(AVBVC +

B)V(AVBVC—-C)

Esercizio 4.8.28. Succede qualcosa di irreparabile se, per disattenzione o volutamente, si analizza una formula già precedentemente analizzata? Esercizio 4.8.29. Può succedere qualcosa di irreparabile

se,

per disatten-

zione o volutamente, si dimentica di analizzare una formula esaminabile che sta in un ramo aperto?

Esercizio 4.8:30. Cambia qualcosa (a parte la lunghezza del processo di costruzione dell’albero di Beth) se si richiede che tutte le formule esaminabili (non solo quelle nei rami aperti) vengano analizzate almeno una volta?

4.7

IVIodelli,

consistenza, correttezza

Dato un enunciato A, abbiamo chiamato controesempio per A un’assegnazione di valori di verità agli atomi di A (d’ora in poi, brevemente: un’assegnazione) sotto la quale A risulta falsa. Un’assegnazione sotto la quale A risulta vera si chiama invece un modello per A, o di Più in generale, dato un insieme finito = {A1,... , An} di enunciati, un modello per I è un’assegnazione che rende veri tutti gli enunciati contenuti in 14, Si dice poi che una formula A (un insieme di formule T) è soddisfacibile quando A (risp. T) possiede almeno un modello e infine che A (1) è insoddisfacibile quando non è soddisfacibile, il che equivale a: ogni assegnazione falsifica A (risp. — attenzione — falsifica almeno una formula contenuta in mr). Basta riflettere un attimo — ricordando principio di bivalenza e fatto che il connettivo — scambia due valori di verità — per rendersi conto come nozioni sopra introdotte, assieme a quelle di tautologia e contraddizione (logica), risultino interriducibili l’una all’altra. Intanto:

A.

DT

il

i

le

il

di

Fatto 4.9.1. e controesempio e modello

per A = modello per

per A = controesempio per = A;

+Aè

e

Aè

e

Aè una contraddizione &

e

Aè

una

A;

tautologia

soddisfacibile

+ —A

i

insoddisfacibile;

non è una tautologia.

per { A1,..., An} = modello per la formula A; A...

{A1,..., An}

è soddisfacibile

A

An;

+ «(A1/...AAn) non è una tautologia.

Riferita a un insieme D = {A1,..., An} di enunciati, la nozione di soddisfacibilità traduce e precisa a livello semantico! una terza, fondamentale nozione intuitiva oggetto, fin dalle sue origini, dell'indagine logica — accanto a quelle di verità logica e di correttezza (validità) di un’inferenza: il concetto di consistenza (o coerenza) di un insieme di enunciati. Vi torneremo, a 13Esempio”

non

‘contromodello’ si dice. Si usa invece senso anche

4La nozione ha perfettamente

A1,..., An}

è

consistente

ha una duplice valenza. La prima è di natura semantica: (i) c'è almeno

uno

stato di cose

logicamente possibile nel quale gli enun-

ciati A1,..., An sono tutti contemporaneamente veri. La seconda invece è di natura sintattica:

(ii) dal complesso degli enunciati A1,..., An, presi come ipotesi, non si ricavano (non si dimostrano) contraddizioni.

il

È chiaro che concetto di soddisfacibilità come sopra è stato definito corrisponde (relativamente al livello logico enunciativo) alla lettura (i). Nel volume II vedremo che entrambe le letture ammettono una precisazione formale soddisfacente anche al livello logico predicativo, e poi dimostreremo l’equivalenza fra le rispettive versioni formali, uno dei risultati centrali della logica, ovverosia il teorema di completezza di Gédel. Torniamo ora al metodo degli alberi di Beth.

Alberi con più di una formula alla radice

Descriviamo una semplice quanto naturale generalizzazione del metodo degli alberi di Beth come qui lo si è usato. La generalizzazione consiste nel lasciare la libertà di iniziare la costruzione di un albero di Beth a partire da un qualsiasi insieme finito T = {D1,..., Dn} di formule — siano esse negate o no — poste alla radice dell’albero. Alla luce delle considerazioni sopra svolte ciò significa, intuitivamente, partire dall’ipotesi “supponiamo ci sia un modello dell’insieme di formule

Fatto 4.9.2.

e

{

fin

A è insoddisfacibile;

congiunti sono veri:

e modello

l’insieme di enunciati

4.9.1

Inoltre, visto che una congiunzione di più enunciati è vera se e solo se

tutti

più riprese, nei prossimi capitoli. Per il momento, osserviamo cne sui pirauv intuitivo l’asserzione

per

di

come sinonimo ‘controesempio’. insiemi infiniti di formule. Noi però ci

restringiamo qui a insiemi finiti. !5Per il momento, al livello dell’ànalisi della connessione.

{D1,...,Dn}”.

Partire da una negazione —C, come finora si è fatto, altro non è che il caso particolare della generalizzazione in cui L = {-C}®. La procedura di costruzione resta ovviamente esattamente la stessa: scritte le formule {D1,..., Dn}, si comincerà ad analizzarne una, poi un’altra oppure una delle formule derivate dall’analisi della prima, e così via — sempre usando le regole di analisi della Tab. 4.1. Dopo un numero finito di passi, esattamente come quando partivamo dalla negazione di una formula, ci arresteremo avendo costruito un albero di Beth (che possiamo indicare con T[D1,..., Dn]) che o è chiuso, oppure è completato ed aperto. A questo punto, è naturale chiedersi: che conclusione si trae dal sapere che T[D1,..., Dn] è chiuso, risp. è completato e aperto? La risposta segue immediatamente dal Fatto fondamentale 4.7.6 e dai Fatti 4.9.1 e 4.9.2: !6Supporre che ci sia un modello di =C equivale appunto a supporre che ci sia un controesempio per C.

Fatto fondamentale 4.9.3.

L’albero di Beth T [D1,..., Dn] costruito a partire dall’insieme di formule {D1,..., Dn} è chiuso se e solo se quell’insieme è insoddisfacibile o, altrimenti detto, (semanticamente) inconsistente.

4.9.2

Verifica della consistenza di un insieme di enunciati

Alla luce del Fatto 4.9.3, possiamo rispondere alla domanda: ‘“’insieme di formule T è consistente?” nel modo seguente. Si costruisce un albero di Beth a partire dalle formule in T, poste alla radice; se l’albero che ottiene è chiuso l’insieme è inconsistente (= insoddisfacibile), se invece l’albero è completato e aperto l’insieme è consistente (= soddisfacibile) e inoltre, da ciascun ramo aperto, si può ricavare (con le stesse modalità illustrate nel Fatto 4.7.6) un’assegnazione che è modello di

si

T.

Esempio 4.9.5. Davide crede che: (i) uno, e solo uno, tra Gilardino e Pazzini;

Mutu e Pazzini; (iii) se gioca Pazzini gioca anche Osvaldo; (iv) Pazzini non gioca. Ora, di fatto Pazzini è regolarmente in campo! Quindi la credenza di Davide è materialmente falsa. Ma è addirittura logicamente inconsistente? Ponendo M = Mutu gioca, e analogamente G, O, l’insieme di formule che rappresenta la credenza di Davide è:

P,

{M

+ (GAP)V(PA-=G),)OÒ0-MNAP,P-0,-P}

Costruiamo un albero di Beth a partire da questo insieme di formule.

M+-(GA-P)V(PA-G),O0->MAP,P-+0,-P

Esempio 4.9.4. Davide crede che:

0 sai

(i) se Andrea andrà alla festa, allora andrà anche Bianca, ma non Carlo; (ii) se Andrea non andrà alla festa allora neppure Carlo ci andrà; (iii) o Carlo andrà alla festa oppure ci andrà

ci

Andrea ma non Bianca. È logicamente possibile che si realizzi la previsione di Davide? In altri termini, il complesso di queste sue credenze è consistente? Ponendo A = Andrea andrà alla festa, e analogamente B,C, l’insieme di formule che rappresenta la credenza di Davide è:

/\ SM

—P

Costruiamo un albero di Beth a partire da questo insieme di formule.

Ni /\ ZN A ZN / / TT aC

A

DA

JQ

J5

w>

nA

BNC

JQ

Do

hi

—

B,C L'albero è ben costruito ed è chiuso (verificare): pertanto quell’insieme di credenze è inconsistente, non è logicamente possibile che quei tre enunciati,

presi assieme, siano veri.

O i

rami aperti), per

Esercizio 4.9.7. Stabilire quali dei seguenti insiemi di formule sono consi-

|

DI

P,4G

Davide?»

|

A

=P

=nP

PNG

dai due rami aperti dell’albero di Beth, le tre possibili scelte (una, francamente, suicida) che avrebbe potuto fare l’allenatore della Fiorentina per rendere vera la credenza di

>C

BNC

GN -=P

mp

Esercizio 4.9.6. Con riferimento all’esempio precedente: sapete ricavare,

A,=B

|

|

L’albero è completato e aperto (verificare, e identificare cui l’insieme di formule in esame è consistente.

CV(AN-B) |

auA

O

MNP

(GA-P)V(PA-G)

G,

{A+ BN-0,54A4+40,CV(AN-B)}

A- BNC, 5A+ 0,

se gioca Mutu allora gioca anche (ii) se gioca Osvaldo allora giocano

stenti, e indicare una o più assegnazioni che li soddisfano.

1.{A--B,B-C,C+ {AVBVC VD, A +

N

wW

.

.

4.

A}

+ C,C + D,D+ 4} {A-(B+ C),-(AAD+ E),C + E,-B + -D} {AV4A, (B+ -B) + -=B} =B,B

Esercizio 4.9.8. Se ho un insieme di formule inconsistente e gli aggiungo delle formule, l’insieme ottenuto può essere consistente? E se gli tolgo delle formule?

4.9.3

Verifica della correttezza di un’inferenza

è valida?

Risposta: sì, perché l’albero di Beth costruito la negazione della conclusione è chiuso:

Nel capitolo 2, Definizione 2.3.1, abbiamo definito corretta (0 valida) una inferenza (0 argomento) (4.9.1)

A1,...,. An

=B

(scritta anche:

A-(B-C),D4Ò

A

cy Spide|

A,

(4.9.2) è

Ar

A...

E-B,C-F,-(D-(E-F))

D,(E-+

quando l’implicazione corrispondente A

An

una tautologia.

a partire dalle premesse più

B

F)

E, 23F

Ne segue che per verificare la correttezza di un’inferenza (4.9.1) basta costruire un albero di Beth a partire dalla negazione della corrispondente implicazione (4.9.2): se l’albero ottenuto è chiuso l’inferenza è corretta, mentre se l’albero ottenuto è completato e aperto l’inferenza non è corretta. Ma si può anche fare in un altro modo, chiaramente equivalente e leggermente più veloce, ancorché concettualmente differente. Intuitivamente,

la

un’inferenza è valida quando conclusione segue necessariamente dalle premesse ovvero — detto negativamente — quando non è logicamente possibile che tutte le premesse siano vere e la conclusione sia falsa. Ovvero ancora: quando l’insieme costituito dalle premesse la negazione della conclusione è inconsistente (insoddisfacibile). Pertanto, in base a quanto visto nella sezione precedente, per verificare la correttezza di un’inferenza (4.9.2) possiamo costruire un albero di Beth a partire dall’insieme { A1,..., An, -B} (premesse + negazione della conclusione): se l’albero ottenuto è chiuso quell’insieme è inconsistente e dunque l’inferenza è corretta; se invece l’albero ottenuto è completato e aperto allora quell’insieme è consistente e dunque l’inferenza non è corretta, perchè ammette un controesempio (un’assegnazione sotto la quale risultano vere le premesse, ma non la conclusione).

e

Osservazione 4.9.11. Chi non fosse ancora convinto dell’equivalenza dei due modi alternativi per verificare la correttezza di un’inferenza (4.9.1) via alberi di Beth (verifica della tautologicità dell’implicazione corrispondente / verifica dell’inconsistenza dell’insieme fatto da premesse e negazione della conclusione), faccia la seguente riflessione. L’albero di Beth T[-(A1 A... A An — B)] è fatto così!7:

(Ar A... A An

A>

Bè corretta? Esempio 4.9.9. L’inferenza A —> B, No, perchè l’albero costruito a partire dalle premesse e la negazione della conclusione

A —

B)Y

|

Ar

A... N Apt =B-T

,

B,4A,-B

/\

DA

B

o

Xx

completato e ha un ramo aperto. Quest'ultimo ci fornisce, al solito modo, l'assegnazione A = 0, B = 0 sotto la quale entrambe premesse sono vere, ma la conclusione è falsa. è

le

A-(B-C),D-A,E-B,C-F>

[A],

D-(E-+F)

N

N

applica la regola [- —], poi un numero sufficiente di volte la regola si arrivando così al nodo An; le formule che

Prima

Esempio 4.9.10. L'inferenzaT

4

TA, An>B] \ 4---------_ /

A1,...,

si

restano da esaminare

IA meno dell’ordine in cui scelgono le formule da analizzare, che sappiamo però essere ininfluente sulla chiusura o meno. Ci

in

si

sono a questo punto A1,..., An più -B, e da qui avanti prosegue come se si costruisse un albero di Beth a partire da {A1,... An; 3B}. Quindi, è chiaro che l’albero T[-(A1 A... A An — B)] è chiuso sse l’albero T[A1,... An, =B] è chiuso.

Esercizio 4.9.12. Verificare, usando

il metodo degli

correttezza delle inferenze considerate nel capitolo

alberi di Beth, la

Capitolo

2.

il

Esercizio 4.9.13. Stabilire,

usando metodo degli alberi di Beth, quali dei seguenti schemi inferenziali sono corretti, e quali no:

Alberi di Beth per la logica dei predicati

AVB,A-+C,B-D= CvD

1.

5

AVBVCVD,D-AVBVC,B-A= A AVBVCVD,D-+ AVBVC,C-AVB,B-A > A -(AAB), AVBVC,(BAC) > ANC Esercizio 4.9.14. Supponiamo che l’inferenza A,B,C D sia corretta. DN

>_£_

Quali,

tra

le seguenti inferenze, sono

ABC=

1.

A,B,C,X

sN

A,

B,3D

» AVB,C= OS

“(A+

e

D

D

AN(BAC)=

4.10

D

Glossario

irrefutabilità; metodo del controesempio;

e alberi binari finiti: nodi, radice, foglie, rami; alberi e regole di analisi;

alberi di Beth:

so/aperto, albero completato; e

(universale) e 3 (esistenziale)!, v. capitolo 3. Consideriamo un enunciato formalizzato (una formula) A e muoviamoci nella prospettiva logica classica (bivalenza). Come sappiamo, se siamo al livello della connessione A viene valutato semanticamente (vero/falso), sulla base delle.condizioni di verità classiche dei connettivi (tavole di verità), rispetto a una possibile assegnazione di valori di verità ai suoi atomi. Un A che risulta vero sotto ogni possibile assegnazione l'abbiamo chiamato (assieme a ogni enunciato concreto che lo istanzia, eioè che ha quella forma logica) una tautologia o verità logica enunciativa. Se siamo al livello della quantificazione, le cose sono più complesse (v. sezione 1.3 e paragrafo 3.4.2). È ben vero che a volte basta solo ragionare sul significato inteso degli operatori logici per riconoscere immediatamente che certe semplici formule, per fare un esempio

B.C= D

ANB,C=

I

ora al livello della connessione esteso con la quantificazione individuale, detto anche livello logico elementare o dei predicati. Per ‘enunciati’ intenderemo dunque qui quegli enunciati la cui forma logica si lascia rappresentare tramite formule dove possono comparire predicati a uno o più posti (P,Q,...), costanti individuali (a,b,...), variabili individuali (x,y,...), i connettivi verofunzionali {-,V,A,—} e i due quantificatori V

D

-B),C=

di formule;

«VaeP(x) de-P(x)

ramo chiuso/aperto, albero chiu-

o

VeP(x)

+ P(a)

rappresentano enunciati sempre veri, mentre altre, come per esempio

estrazione di controesempi da ramd-aperti;

e modelli; soddisfacibilità;

Introduzione

Ci muoviamo

(con X un enunciato qualsiasi)

> 4C

AVB,A-

ancora corrette?

5.1

DNA

=D

A

=

drP(a)

consistenza.

—

VaP(x)

Lasciamo per il momento da parte derazione nella sezione 5.6. *

o i

-«vaP(x) — Va=P(x)

funtori e l’identità, che saranno presi in consi-

ammettono ovvi controesempi e dunque non sono universalmente valide. Ma generale? Come già accennato nel paragrafo 3.4.2, una formula A — per esempio Va(P(x) — R(a,x)) — viene valutata semanticamente, in base alle condizioni di verità classiche dei connettivi e dei quantificatori, rispetto a una possibile struttura (o realizzazione) M per A. Che, ricordiamo, resta fissata dalla specificazione di:

in

e

e

un universo del discorso M, ossia un insieme non vuoto di oggetti, quelli di cui si intende far parlare A, e sui quali variano variabili;

le

un significato estensionale del tipo opportuno per ciascuna costante descrittiva che compare in A; nel nostro esempio: — —

—

costante individuale a. --+ un determinato elemento di M; predicato unario P_ --»+ una determinata proprietà (= insieme di elementi) su M; predicato binario R_--» una determinata relazione (= insieme di coppie ordinate) su M.

Se A è vera in ogni possibile struttura, diciamo che A è una verità logica (elementare) o una formula (universalmente) valida?. Si tratta di una caratterizzazione che traduce l’intuizione secondo cui le verità logiche, come tante volte si è detto, sono enunciati veri in virtù della sola forma logica,

veri dunque indipendentemente dall’universo del discorso di riferimento e dal significato delle loro componenti descrittive. Questa concezione trova una sistemazione complessiva e rigorosa nella semantica di Tarski, che presentiamo nel volume II. Il problema cui invece ci occupiamo presente capitolo (lavorando ancora con le nozioni informali di ‘struttura’ e di ‘verità di un enunciato in una struttura’) è:

di

nel

(*)

per il livello della quantificazione esistono — come per quello della connessione — procedure meccaniche mediante le quali sia possibile decidere se un dato enunciato è o meno una verità logica elementare?

La risposta non è scontata, tutt’altro! La seguente riflessione dovrebbe aiutare a preparare terreno. È infatti importante rendersi conto da subito del duplice, drastico incremento di complessità che si ha nel passaggio dal livello della connessione a quello della quantificazione, e specificamente nel passaggio dalla nozione di verità logica enunciativa a quella di verità logica elementare:

il

di

verità per i connettivi ci mettono in grado di calcolare effettivamente, dati un enunciato A e un’assegnazione per A, il valore di verità di A sotto quella assegnazione (si computa una riga della tavola di verità);

(i) le condizioni

termine ‘tautologia’ è dunque (o dovrebbe essere) riservato per designare una verità logica al livello della connessione. 2I1

(i’)

per contro, le condizioni di verità per i due quantificatori, pur determinandolo astrattamente, non ci mettono in generale in grado di calcolare valore effettivamente, dati un enunciato A e una struttura M per A, di verità di A in M (v. 3.4.2): si pensi per esempio al caso in cui l’universo M di M infinito;

il

(ii) al livello della connessione, il numero delle possibili assegnazioni di valori di verità per un dato A è sempre finito: se A ha n atomi, le

assegnazioni sono 2”, un numero magari grande ma sicuramente finito;

(ii?)

per contro, al livello della quantificazione, il numero delle possibili

strutture per un dato A è ovviamente, in linea di principio, infinito: tutte quelle il cui universo M ha un solo elemento, tutte quelle in cui M ha due elementi, tre elementi, ecc., e poi tutte quelle in cui M ha infiniti elementi.

Morale: la definizione (VLE)

verità logica elementare = enunciato vero în ogni struttura

non si traduce certo, così com'è, in un criterio effettivamente operativo per decidere se un dato A è o meno una verità logica. Chi volesse stabilire “concretamente” se A è una verità logica seguendo l’unica indicazione data dalla definizione (VLE) si dovrebbe accingere a svolgere una ricerca duplicemente infinita: per (ii’) dovrebbe passare in rassegna infinite strutture; inoltre, relativamente a ciascuna struttura dovrebbe fare una “verifica” che, in base effettivamente eseguibile. a (i°), non sempre Proviamo allora a vedere se la situazione migliora adottando il metodo del controesempio introdotto nel capitolo precedente — ovviamente, dopo averlo opportunamente integrato con istruzioni relative all’analisi di enunciati che iniziano con un quantificatore (e relative negazioni). La strategia di fondo non cambia: per vedere se A è una verità logica si partirà dall’assunzione che ci sia un controesempio per A (il che ora significa: che ci sia una struttura M nella quale A è falso = >A è vero) mirando, attraverso un’analisi logicamente corretta ed esaustiva, a portare a contraddizione questa assunzione, ossia a costruire un albero di Beth chiuso. La risposta all’iniziale domanda (+) si delineerà nelle sezioni seguenti. È importante, per andare avanti, aver chiari i concetti e la terminologia introdotti nel precedente capitolo.

è

5.2

Un primo esempio

Iniziamo col domandarci: quali diversi tipî di formule (che non siano formule atomiche o negazioni di formule atomiche) ci possiamo ora aspettare di dover analizzare nel processo di costruzione di un albero di Beth?

[A];

i

Intanto, tipi di formule considerati nel caso enuciativo, ossia [+], [3 DAI; [M], [DV] e [A] (v. 4.3). Ma anche, ovviamente, formule come seguenti:

le

e

YeP(x), Ye(R(2,a)

e

veP(x), Va(P(x)

—>

3yQ(y)), YzIy(R(2,4)

3cP(x), de(R(2,a) VO(2)), Izdy(R(2,y)

e

-3rP(x), 2Ie(R(a,

x)

La notazione C|x := a] (v. paragrafo 3.4.1) sta ad indicare la formula che si ottiene dalla formula C sostituendovi ogni occorrenza libera della variabile x con la costante a. Per esempio, (P(2))[r := a] è uguale a P(a), (VyR(y, x) V P(x))[c:= a] è uguale a VyR(y, a) V P(a), e così via. Ovviamente,

AQ), ...

VVyQ(y)), aYzdy(R(2,4) A2Q(Y)),

e

—|],

AVUO(U)),

\Q(2)), 23zdyR(z,y),...

..

e

...

e

tratta di formule che cominciano con oppure oppure oppure [23] seguiti da una certa variabile x e da una certa formula C' (semplice o Si

[Vv]

VC

[9]

[23]

diverse,

:=

(VyC')[x

IrvyR(a,y)

(5.2.1)

a]

(C[r :=

a])), e

analoga-

coincide con Vy(C{r := a)), e

Val

(stadio

rappresenta un (enunciato) universale falso, dunque:

non

>

VyIeR(2,9)

una verità logica”. Partiamo dunque da:

è

1)

-(3avyR(x,y)

—

Vy3eR(x,y))

ossia dall’assunzione che ci sia una struttura M nella quale la formula (5.2.1) è falsa. L’unica formula da analizzare è di tipo [= +] e allora, come sappiamo:

3xC rappresenta un (enunciato) esistenziale vero, dunque: c’è almeno un individuo (della struttura in considerazione) che gode della proprietà (espressa da) C';

(stadio 2)

-9xC rappresenta un (enunciato) esistenziale falso, dunque: nessun individuo (della struttura in considerazione) gode della proprietà (espressa da) C', il che equivale a dire: tutti gli individui

(IrvyR(x,y) + VyIeR(2,y)) daVyR(x,y), =Vy3eR(2, 9)

Ci sono ora due formule da analizzare, la prima” tipo [-V]. Partiamo dalla prima,

@C.

TT

Vediamo di ricavare (e giustificare) le quattro nuove regole di analisi corrispondenti a questi quattro tipi di formule attraverso la considerazione di un esempio particolarmente rappresentativo. Preliminarmente, rammentiamo

Lio

[9] e

la seconda di

Cr)

[Ba |VyR(e,y)

che:

3Per ricordare questo scriviamo talvolta C'(x) invece che C. Analogamente, scriviamo talvolta A(x,y) per indicare una formula A circa la quale vogliamo sottolineare che contiene (o può contenere) libere le variabili x e y. Vedremo che non c’è niente di male ad ammettere, come caso limite, la quantificazione anche di variabili che non occorrono nella formula che viene quantificat 4P(x) esprime in modo dffetto la proprietà essere P; 3yR(x,y) esprime in modo indiretto la proprietà essere R di qualcuno; P(x) AQ(x) esprime in modo indiretto la proprietà essere sia P_che Q, ecc.

sono

A

Esempio 5.2.1 (leggere attentamente). Vogliamo vedere se

tutti gli individui (della struttura in considerazione) godono della proprietà (espressa da) C;

godono di

(BA C)[x := a] coincide con (B[x := a]) mente per V e +; analogamente per 4.

rappresenta un (enunciato) universale vero, dunque:

c’è almeno un individuo (della struttura in considerazione) che gode della proprietà (espressa da) C, ossia che gode di =C/;

a] coincide con -(B[x := a]); quindi possiamo omettere parentesi e scrivere direttamente -B|[x := a];

e se y e x

complessa) che contiene libera tale variabile® e che dunque esprime, in modo diretto oppure indiretto, una proprietà di x (dell’individuo x). In sintesi, abbiamo quattro nuovi tipi di formule da analizzare: V}

(-B)[x := le

‘

che sta dicendo: c’è almeno un individuo (in M) che gode della proprietà espressa da C (amare tutti). Bene, prendiamo allora uno di questi individui, diamogli un nome introducendo appositamente una costante individuale ancora non presente nell’albero — per esempio a — ed estendiamo l’albero con

-

5Un’istanza concreta di questa formula è, per esempio: ‘se c’è qualcuno che ama tutti allora ognuno è amato da qualcuno’. Per comodità, nel commentare i vari passaggi della costruzione dell’albero, leggeremo R(—,—) come: ‘— ama —’, equivalentemente ‘— è amato da

—’.

l’informazione che a soddisfa quella proprietà, a ama (che è, notare bene, (VyR(x,y))[r := a):

(stadio 3)

-(3rvyR(x,y)

—

tutti, ossia VyR(a,y)

Vy3rR(x,y)) ”

IrvyR(x,y)“,-Vy3aR(x,y)

che sia nuova, non ancora utilizzata, e creiamo sotto ogni ramo aperto che passa per il nodo contenente -VzD un nuovo nodo etichettato da @D|z := e]. Il motivo per cui e dev’essere nuova è chiaramente lo stesso di prima. Restano da analizzare una formula di tipo [V] e una di tipo [-3]. Analizziamo, per cominciare, C(y)

[vy]R(4,) VyR(a,y)

fatta

La mossa appena si chiama esposizione di un esistenziale vero ossia di una formula della forma 3:D. Operativamente: prendiamo una costante e che sia nuova, non ancora utilizzata, e creiamo sotto ogni ramo aperto che passa per il nodo contenente 32 D un nuovo nodo etichettato con D[z := e]. Il motivo per cui e dev’essere nuova è evidente: dell’individuo denotato da e, al momento, sappiamo solo che deve soddisfare D; ma fosse già presente (in una o più formule) nell’albero, rischieremmo attribuire a quell’individuo delle proprietà che — sulla base delle nostre attuali informazioni — non necessariamente gli spettano, o addirittura non gli potranno mai spettare. Così giunti allo (stadio 3), abbiamo nuovamente due formule da analizzare. Consideriamo prima quella di tipo [-V],

di

se

e

C(4)

[vy]BeR,4) che sta dicendo: non tutti gli individui (di M) hanno la proprietà espressa da C(y) (ora: essere amato da qualcuno). Che è come dire: c’è almeno un individuo che non ha quella proprietà, uno che nessuno ama. Come sopra, prendiamo allora uno di questi individui che nessuno ama, ossia che soddisfano —C(y), diamogli un nome non ancora utilizzato e quindi diverso da a — per esempio d — e estendiamo l’albero con l’informazione che soddisfa quella proprietà, nessuno ama b, ossia R(x,b) (che è, notare bene, R(c,y)y:= bl):

Ir

(Ir

(stadio 4)

—(3avyR(x,y)

bd

> Vy3eR(x,y))

IrVvyR(x,y),-Vy3xeR(x,y)

che sta dicendo: tutti gli individui (di M) hanno la proprietà espressa da C(y) (ora: essere amato da a). Che informazione possiamo ricavare? È ovvio: visto che al momento sappiamo che tanto a quanto b abitano in M, entrambi devono godere della proprietà espressa da C. Aggiungeremo perciò l’informazione che a ne gode, ossia R(a, a) (che è, N.B., R(a,y)[y := a]) e che ne gode, ossia R(a,b) (che è R(a,y)[y := dl): òd

(stadio 5)

—(IrvyR(e,y)

> VyIeR(2,y))

davyR(x,y) “,VyAxR(a,y) ” VyR(a,y)*

Ia R(x,b) R(a, a), R(a,

b)

La regola applicata si chiama esemplificazione di un universale vero, ossia di una formula della forma VzD. Operativamente: creiamo sotto ogni ramo aperto che passa per il nodo contenente VzD un nuovo nodo etichettato con D[z := ei],..., D[z := en], dove e1,...,en sono tutte le costanti già presenti nell’albero — se ce n’è almeno una; altrimenti ne introdurremo una ex novo — e contrassegnamo la formula analizzata, YzD, in modo diverso da come finora abbiamo fatto, cioè non con il segno Y ma con un altro, per esempio con È. Il motivo di questa “novità” sarà spiegato più avanti, vedi la Precisazione 5.3.2. Arrivati allo (stadio 5), resta da analizzare la formula C(x)

VyR(a, y)

} Ie R(e,b)

[232 ]R(e,5)

|

La mossa appena fatta si chiama esposizione di un universale falso ossia di una formula della forma -VzD. Operativamente: prendiamo una costante e

di tipo [3], che sta dicendo: nessun individuo (in M) ha la proprietà espressa da C(x) (ora: amare b). Che informazione possiamo ricavare? Che né a né (gli abitanti di M, per ora) possono godere della proprietà espressa da C. Aggiungeremo perciò l’informazione che a non ne gode, ossia =R(a, b)

(che è, N.B.,

aR(x,b)fc := (stadio 6)

=R(7,b)[r := a])

e che d non ne gode, ossia

bj):

-(3xvyR(x,y)

>

-R(b,b) (che

Pertanto l’albero è chiuso, e il tentativo di costruire un controesempio per daVyR(x,y) — VyIxR(x,y) è fallito: questa è una verità logica.

è

Osservazione 5.2.2 (Schemi). L’albero chiuso che sopra abbiamo costruito lo si può ovviamente “riproporre” scrivendo A(, y) (0, più semplicemente, A)", al posto della formula atomica R(x,y). La conclusione che così facendo si ricava è che lo schema?

VAxR(x,y))“

IrvyR(x,y),-Vy3eB(x,y)

(5.2.2)

dae R(x,b)*

è una legge logica: istanziando sì ottiene sempre e comunque

R(a, a), R(a, -—R(a,b),

6”)

JaVvyA

(5.2.3)

b)

-(IrvyA

-R(b,b)

> Vy3x A(x,y)

> Vy3x A)”

:= a]?

VyA[x

Ir

Aly :=

b]?

A[r := a][y := a), A[e := a]y :=

bl

|

DAly

è

:= bife :=

a] Aly := ble :=

db

x

Come facile vedere, l’unica differenza tra l’albero (5.2.3) e l’albero dell’Esempio 5.2.1, (stadio 6’), è che nell’applicazione delle/regole sui quantificatori le sostituzioni coinvolte non vengono eseguite sono lasciate indicate. Si noti anche, nell’albero (5.2.3), che A[x := a]fy := b] e A[y := dj[e := a] sono due modi diversi di denotare la stessa formula, quella che si ottiene da A sostituendo con a, risp. con b, tutte le occorrenze x, risp. di y. Il discorso fin qui fatto vale, in generale, per qualsiasi formula valida: a ciascuna corrisponde, nel modo naturale che ci si può immaginare, uno schema valido.

IrvyR(x,y),-Vy3xR(e,y) VyR(a,y)*

di

-FeR(x,b)* b)

|

-R(a,b) ,-R(b,5) XxX

SLe due regole di esemplificazione [V] [-3] trovano giustificazione nel cosiddetto dictum de omni et nullo: “Ciò che vale di tytti vale in particolare di ciascuno. Ciò che è falso di tutti è falso in particolare di ciascuno”. Si tratta di un principio canonizzato dai logici della Scolastica, ma di derivazione aristotelica (Analitici primi, I, 24b). Sorvoliamo su tutta una serie di dotte questioni storico-interpretative.

drVyA(x,y)

davyAY,-Vy3r AY

—(3rvyR(x,y) — Vy3aR(e,y))

R(a, a), R(a,

o anche:

A con una formula scelta a piacere, launalettera formula valida.

La regola applicata si chiama esemplificazione di un esistenziale falso5, ossia di una formula della forma -32D. Operativamente: creiamo sotto ogni ramo aperto che passa per il nodo contenente -3zD un nuovo nodo etichettato con =D|[z := ei],...,2D[z := en], dove e1,...,en sono tutte le costanti già presenti nell’albero — o una nuova, se non ce ne sono — e anche qui contrassegnamo la formula analizzata, -32D, con il segno È. Osserviamo ora che l’unico ramo dell’albero ottenuto allo (stadio 6) è chiuso, in quanto contiene sia R(a,b) che R(a, db), una contraddizione.

(stadio

> Vy9rA,

VyR(a,y)*

—

TA,B,... si chiamano in questo caso lettere schematiche: stanno ad indicare una generica formula. Si scrive A(x) se si vuole indicare che questa generica formula contiene libera la x; analogamente per A(x, y), A(7, y, 2), ecc. 8Uno schema (di formula) è un’espressione costruita esattamente come una formula, ma con espressioni schematiche A, A(x), B, B(x,y),C... al posto delle formule atomiche. Le istanze di uno schema sono tutte e sole le (infinite!) formule che si ottengono dallo schema rimpiazzando le lettere schematiche con formule (semplici o complesse) di un qualsiasi linguaggio elementare, in modo uniforme (occorrenze diverse di una stessa lettera schematica vanno rimpiazzate con la stessa formula). %

5.3

Regole di analisi per

i

è

quantificatori

P(a) è atomica, quindi non analizzabile. L’altra formula di tipo [-V] e dunque dobbiamo applicare la corrispondente regola di esposizione introducendo appositamente una nuova costante, diciamo b:

La Tabella seguente riassume schematicamente le quattro nuove regole di analisi utilizzate nell’Esempio 5.2.1:

(stadio 4)

-3xr(P(x)

Tabella 5.1: Regole per gli alberi di Beth / quantificatori ESEMPLIFICAZIONE

ESPOSIZIONE

V:D

universale:

M

:

D|[z

esistenziale:

:=

ei],..., D[2

:= en]

I

P(a),

!

=Dlx :=

e]

€1,)...,€n costanti disponibili

costante nuova

-d32D

d:D

[3]

A]

-D|z := ei],...,2D[z:= €1,...,€n

e]

+

costante nuova

Dobbiamo ora spiegare un punto fondamentale: perché le formule analizzate con una regola di esemplificazione vengono segnate in modo diverso dalle altre. Anche qui è utile partire da un esempio.

Esempio 5.3.1.

Vediamo

di stabilire se la Ie(P(x)

(5.3.1)

Partiamo dalla sua negazione, e poi applichiamo la regola [-3] di esemplificazione di un esistenziale falso. Siccome non sono al momento costanti disponibili, ne introduciamo una (stadi 1-2)

-3x(P(x)

-(P(a)

—

>

(stadio 3)

-3x(P(e)

ci

(stadio 5)

+

-3r(P(x)

P(a),

VyP(y))

+]:

> VyP(y))®

(Pa) Zio |

P(a), VyP(y)

+ VyP(y)}=


—(P(a)

—V2D

> vyP(y))f

-(P(b)

“

na do

(y)

N

Na-

nie

\

\

i

”

l VyP(y)) 7

Ora però c’è da ‘analizzare anche la formula +(P(6)

-

+

VyP(y)), che è un’implicazione falsa. E si osservi bene cosa succede: /’albero si chiude, per via di

-

P(b)e=P(0).

(stadio 6)

soddisfa) la condizione D(z), e dunque sicuramente D[z := a] deve essere vera (-D|z := a] deve essere vera) per ogni nome a presente nell’albero al momento in cui tale formula viene esemplificata per la prima volta. Successivamente, lo sviluppo dell’albero può comportare (a causa delle regole di esposizione) l’introduzione di nuovi nomi. Dobbiamo allora, ogni volta, riconsiderare alla luce di questo “ampliamento dell’universo del discorso” conseguenze della verità di VzD (della falsità di 3:D), esemplificandola nuovamente con tutte le costanti non disponibili al momento della sua ultima esemplificazione. Non facendolo, infatti, rischieremmo di non individuare una possibile contraddizione (per es., tra una —>D|z := b] già presente nell’albero e una D|z := b] ottenibile per riesemplificazione di VD) e di rendere così la nostra analisi logicamente incompleta.

=Ie(P(xe) — VyP(y)?

aa |

—(P(a)

v

le

P(a), VyP(y) v -=P(b) —(P(6)

>

VyP(y))

“

Osservazione importante 5.3.3. Alla luce di quanto appena detto, non cambia sostanzialmente nulla se modifichiamo leggermente plificazione nel modo seguente:

P(b), VyP(y) XxX

Conclusione: “spremendo” fino in fondo tutta l’informazione disponibile — come dev'essere in un’analisi esaustiva — abbiamo raggiunto una contraddizione. La formula (5.3.1) non ammette strutture che la falsificano, è una verità logica. E lo schema corrispondente 3r(A(x) VyA(y)) è un legge logica (v. Osservazione 5.2.2).

+

Dovrebbe ora essere chiaro perché abbiamo contrassegnato con un segno diverso da le formule esemplificate lungo la costruzione di un albero. È faccia attenzione, qualora esse si trovino in un ramo ancora aperperché to, alla eventuale necessità di una loro riesemplificazione con costanti precedentemente non considerate (in quanto ancora non presenti nell’albero). Sinteticamente:

‘

si

Precisazione 5.3.2 (Riesemplificazione/albero completato). livello della logica dei predicati un albero di Beth è detto essere completato

AI

quando: (i)

tutte

le formule di tipo [4], [> +], [A], [DA], M, DVI, DI], B], che si trovano su un ramo aperto sono state analizzate con la corrispondente regola; [NV]

(ii)

tutte

le formule di

tipo |V] e [3] che si trovano su un ramo aperto sono state esemplificate ed eventualmente riesemplificate con, nel nell’albero®. complesso, tutte le costanti

alla

ml (ii)

La ragione base della richiesta al funto è, ripetiamo, la seguente. Se VzD è vera (32D è falsa), allora ogni individuo del dominio soddisfa (non ®Ma

ramo.

sarebbe già

sufficiente la richiesta più debole:

con tutte le costanti presenti nel

VaD È

af:

:

'

D|z :=

e]

“de D

dove e è una qualsiasi delle costanti disponibili.

!

“Dlz :=

le regole di esem-

e]

Infatti, lo stesso effetto delle originarie regole [v] e [-3] della Tabella 5.1 si può chiaramente ottenere reiterando (tramite riesemplificazione) l’applicazione delle corrispondenti [W]' e [-3]" tante volte quante sono le costanti al momento presenti nell’albero. Anzi, se (già sappiamo che) l’albero si chiude, le regole modificate possono portarci allo stadio finale scrivendo meno formule: basta azzeccare le costanti giuste con cui esemplificare. Nell’Esèmpio 5.2.1, bastava in effetti esemplificare con b nello (stadio 5) e con a nellò (stadio 6).

6.4

Esempi

ed esercizi

Per prendere dimestichezza con le nuove regole e con il meccanismo della riesemplificazione, basta (come sempre) studiare attentamente qualche esempio e svolgere un po? di esercizi. Intanto, ai suggerimenti della sezione 4.8 aggiungiamo i seguenti:

Suggerimento 5.4.1. Come

si è visto, nella costruzione di

si trova spesso a dover operare una scelta tra più formule

Beth

ci

Fermo

restando

un albero di

analizzabili. che (si può dimostrare che) la chiusura di un albero risulta indipendente dalle scelte fatte, una buona strategia per risparmiare (in linea di massima) tempo e spazio è quella di dare la precedenza — per quanto possibile — alle esposizioni rispetto alle esemplificazioni. Il motivo è chiaro: in questo modo limitano al minimo indispensabile le riesemplificazioni.

si

Ovviamente, questa strategia va adeguatamente armonizzata con l’altra che consiste nel dare la precedenza alle regole che non ramificano.

(stadi 4-5)

albero di Beth, rimandiamo al Suggerimento 4.8.2, così integrato: attenzione a riconoscere bene analizzare. Per esempio: 3rxP(x)

e fare

e

di V

IrP(x) \3cQ(c)”,-3x(P(x) AQ(e))

che tipo è la formula che si vuole

3rQ(x) non

è

una

[3], è

una

Ie P(x)”,3rQ(e)

[V]!

ricordarsi sempre che quando si espone bisogna introdurre una nuova costante. Se vedo che a, b, c ci sono già, prenderò d, oppure ecc.;

e,

attenzione alle operazioni di sostituzione coinvolte nelle regole sui quantificatori. Se devo esporre la formula 3x(P(x) V Q()) scriverò, usando l’opportuna costante a, P(a) V Q(a), e non P(a) V Q(x), 0 P(a)VQ(b), o cose simili. Operativamente: toglie [Be] e si sostituisce in ciò che resta ogni occorrenza libera di x con la stessa costante a. Discorso analogo vale per le esemplificazioni.

e fare

si

P(a) Q(b) la formula [-3] con le costanti presenti, a e Esemplifichiamo

(stadio 6)

“(Ir P(2) A3rQ(2) + 3e(P()

(stadio

1)

> Ix(P(r) AQ(7)) è una verità A drQ(e) > Ix(P(a) AQ(2)))

ArQ(x)

—(IrP(x)

La formula è di tipo

[| +],

(stadio 2)

-(3eP(x) A3rQ(x) deP(e)

\ IeQ(x), -IFe(P(a)

-(3rP(x) A3rQ(x)

+

|

Q(b) A

Q(a)), -(P(6)

A

Q(0))

Q(a)), ottenendo (per [-/]):

Analizziamo —(P(a)

A

(Stadio 7)

>(arP(x)

AQ(2))

A

3rQ(x)

+

3r(P(£) AQ(2))) ”

|

3rP(x)

”

\ 3cQ(e) ”,-3x(P(2)

A

Q(a))!

deP(x)“,3rQ(x)

3r(P(x) AQ(2))) “

|

n o

deP(x) \IrxQ(x)Y“,-3x(P(x) AQ(2)) |

Ho) Ir (1) Ora ci sono due formule da esporre (tipo [3]) e una da esemplificare (tipo [23]). Esponiamo 3rP(x) con a e al passo successivo 3rQ(x) con d (N.B.: non con a, perché non sarebbe più nuova):

”,3rQ()

P(a)

—(P(a)

Abbiamo una congiunzione vera e un esistenziale falso. Scegliamo di analizzare la prima:

(stadio 3)

IeP(x)

logica?

3x(P(x) AQ(a))) “

|

|

perciò:

+

AQ(x))) ”

IeP(x) \3rQ(x) “, 3r(P(e) AQ(x))!

al

A

b:

[

Cominciamo con un esempio di albero completato e aperto, che servirà a illustrare come da un tale albero si estraggono, livello quantificazionale, i controesempi.

Esempio 5.4.3. 3rP(x)

+ 3a(P(e) AQ(2)))

=(3rP(1) A3rQ(x)

Suggerimento 5.4.2. Per non commettere errori nella costruzione di un

(P(a)

AQ(a)) ”,>(P(6) AQ(0))

AT

PI(a)

—Q(a)

Il ramo di e contiene

sinistra si è chiuso (contiene P(a) e -=P(a)), quello di destra no, ancora la formula -(P(b) A Q(b)) da analizzare. Dunque

(stadio 7)

-(3rP(x) 3rP(2)

A A

3rQ(x) 3rQ(x)

+

3r(P(x) \Q(2))) “

,-3x(P(2) AQ(0))!

DI

. E chiaro, intuitivamente, che in una tale struttura la formula in esame è falsa: è vero che c’è un individuo che è P ed è vero che c’è un individuo che è Q, ma è falso che ci sia un individuo che è sia P che Q. .

Pi)

cl

In generale, l’estrazione di un controesempio da un ramo aperto di un albero completato e aperto si fa così (omettiamo la dimostrazione):

e universo

(Pa) AQ) / (PW AQ))" N 7 Pla)

+

M di un predicato binario R di C_ --+ l’insieme delle coppie ordinate (d1, d2) di costanti/individui di M tali che l’atomo R(d,,d2) è nel ramo — più, eventualmente, una o più coppie ordinate (e1, e2) tali che l’atomo >R(e1, e2) non è nel ramo;

e

Chiaramente, nel caso generale di un albero di Beth completato e aper7[C1,...,Cn] costruito a partire dalle formule Ci,...,Cn, una struttura M associata come sopra a un ramo aperto rende vere tutte le formule Ci, Cn

..,

Esempio 5.4.5.

—Vy(P(a)

sono|gli atomi P(a) e -P(b), in M l’unico individuo che gode della prgprietà (significata da) P è a;

e visto che nel ramo ci

non

è valido.

A

A

per VrVy

(x)

-,

P(y))

R(7,4)

R(a,y)

—

A

R(x,y) — P(y)):

P(y))

+ P(b))

-—(P(a)

A

R(a,b)

P(a)

A

R(a,b), =P(b)

P(a), Ra, b)

e visto che nel

+ 3x(A A B)

Si consideri l’albero

VaVy(P(x)

costituito da due individui, tanti quanti le costanti presenti nel ramo. Facendo volutamente (ma convenientemente) confusione fra nomi e oggetti nominati: l’universo è l’insieme {a, b};

ramo ci sono gli atomi Q(b) e -Q(a), in M l’unico individuo che gode della proprietà (significata da) Q è b.

analogamente per predicati a tre o più posti presenti in C.

to

e l’universo del discorso è

3rB

M

di un predicato unario P di C --+ l’insieme delle costanti/individui d € M tali che l’atomo P(d) è nel ramo — più, eventualmente, una o più costanti e tali che l’atomo =P(e) non è nel ramo;

7Q00)

L’albero ora è completato (v. Precisazione 5.3.2): tutte le formule analizzabili che si trovano in rami aperti sono state analizzate, e ciascuna formula esemplificabile (ce n’è una sola) è stata esemplificata con tutte le costanti presenti nell’albero (v. stadio 6; non c’è stato bisogno di riesemplificare). I rami sono tre: oltre a quello più a sinistra, che si era chiuso allo stadio precedente, anche il ramo più a destra è chiuso (perché contiene Q(b) e -Q(b)). Quello di mezzo invece è aperto, per cui l’albero è aperto. Conclusione: l’analisi è esaustiva (= l’albero è completato) e non porta a contraddizione (l’albero è aperto), dunque l’ipotesi iniziale che ci sia un controesempio per la formula 3rxP(x) A 3rQ(x) 3r(P(x) A Q(2)), ossia una che la in falsifica, sta struttura M piedi. Quella formula ammette controesempi, non è una verità logica!°. E, come nel caso della logica enunciativa, dal ramo aperto possiamo estrarre una descrizione precisa di come è fatto questo controesempio M:

A

@m};

e significato in

cP(0)

si dice, lo schema 3r A

M di M := {e1,...,

e significato in

-=Q(a)

10E, come

.

Fatto 5.4.4. Sia 7[-C] un albero di Beth completato e aperto, sia R uno qualsiasi dei suoi rami aperti, e siano €1,-..,€m tutte e sole le costanti presenti nelle formule che si trovano su R. Allora la formula C risulta falsa in una qualsiasi struttura M così estratta da R!!.

JaP(x)”,3rQ(0)Y

/

+,°*

ee In base alla definizione che segue, al ramo R possono risultare associate anche più strutture. Intuitivamente: se nel ramo non compaiono né P(a) né sono libero di -P(a), includere o meno a nell’estensione di P. 11

%

:

Te | |e TI n O I

de

TOT

N

ST

uU.t.

Lasciamo per esercizio la verifica che l’albero è ben costruito (identificare le regole usate nella costruzione), completato e aperto. Sulla base di quanto detto nel Fatto 5.4.4, la struttura M estratta dal ramo aperto è la seguente: e universo del discorso

e la relazione A sussiste solo

P

è a;

tra a

e

bd,

in quest’ordine.

Verificare, usando la semantica intuitiva, che davvero la formula iniziale Vavy(P(x) A R(x,y) P(y)) è falsa in questa struttura.

>

/

Esercizio 5.4.6. Qui sotto ci sono quattro alberi di Beth; due Esempio sono chiusi e due sono completati e aperti. Per ciascuno, si identifichino le regole usate e si traggano le debite conclusioni circa la formula la cui negazione è alla radice dell’albero (estrazione di eventuali controesempi inclusa, v. Fatto 5.4.4). —Ir(3yP(y)

—

—(3yP(y) —

P(a))

—VaVyWz(R(x,y)

P(a))

—VyYz(R(a, y)

=P(a)

3IyP(y),

-Vz(R(a,

P(b)

-(3yP(y)

-=(R(a,

—

P(b))

R(a,b)

IyP(y), =P(b)

A

b) A

bd)

A

R(y, 2)

R(y, 2)

>

+

R(b,z)

>

R(b, c),

R(a,c)

VaP(x)

3.

VaVyR(x,y)

4.

>3eP(2) © Va-P(2)

5.

Va(P(x)

> Q(2)) + (VeP(x) +

Ir(P()

VQ(2))

Va(P(x)V

Ir

A

P(7)

+ VeQ(2))

Q()) A 23eP(x), VeQ(a)

Va(P(x) VQ(2)), |

/

P(a) P(a)

V

Ia(P(x)

Ir P(2)

Q(a)

N

__Q(a)

A

O

VeP(x) VVeQ(1)

2.

4.

de P(2) + IrQ(2))

5.

6.

}

/

"Q(a),

Pla)

Q(a)

=Q(0)

N

__Q(a)

vr(P(#)

A

3rQ(2)

+ Ve(P(®) vQ(e)

+ Q(2)) A 3e(T(2)

A

+ 3r(T() AQ(0)) A+ B provare i due versi

P(2))

separap e

> VeP(a) VaP(x) > Va>P(a) Va(P(x) + Q(2)) + Ix(P(x) AQa)) da(P(x) > Q(2)) + Ix(P(x) AQ(£)) (VeP(x) > VeQ(2)) + Ve(P(x) + Q(0)) Va(P(®) V Q(1)) > VeP(a) VYaQ(2) 3eP(1)

Esercizio 5.4.9. Verificare, usando

|

I

Ve(P(a) AQ(2))

VeQ(2))

+ 3rP(2) V3rQ(0) + VeP(1) AVeQ(2)

3x(P() \Q(2)) + 3rP(£)

1.

> Q(2)), de P(x)

P(a)

VyYeR(x,9)

aperto, che le formule seguenti non sono verità logiche elementari. In aggiunta, estrarre i controesempi dai rami aperti.

+ Q(2)) A Ie P(x), 29rQ()

Ir(P(x)

—Q(a) |

(Fx(P(2)Q(c))

>

Esercizio 5.4.8. Verificare, producendo un albero di Beth completato

R(a,b), R(b,c)

VQ())

3r>P(2)

%

3. —(Ve(P(2)

+

Sugger imento: per le formule di forma tan rente] .

R(a,c))

A

2.

10.

R(a, z))

—

4LUA

3c3yR(x,y) — 3y3cR(x,9)

.

R(a, z))

R(b,c)

TIOUIUIZI

1.

1

R(2,2))

A

poi TU

Esercizio 5.4.7. Verificare, producendo un albero di Beth chiuso, che le seguenti sono verità logiche elementari (e isolare gli schemi corrispondenti):

= {a,b};

e l’unico individuo che gode di

AVDCLLI

|

il metodo del controesempio, che il seguente argomento è corretto: Anna è gentile solo con chi la vezzeggia, o vezzeggia qualche persona che le sta simpatica. Beatrice vezzeggia soltanto le bambine, e inoltre ad Anna le bambine non stanno simpatiche. D'altra parte, Anna non è una bambina. Dunque, Anna non è gentile con Beatrice. Suggerimento: formalizzare il tutto, e poi far vedere che l’albero di Beth costruito a partire dalle premesse la negazione della conclusione chiude (v. 4.9)].

più

si

x

o Esercizio 5.4.10. Davide crede che:

(i) Se uno è fortunato o sa bluffare allora vince al poker, e viceversa. (ii) Per saper bluffare è necessario essere intelligenti. (iii) Non tutte le persone fortunate sono intelligenti. Verificare, usando il metodo del controesempio, che la credenza di Davide è consistente. [Suggerimento: costruire un albero di Beth completato e aperto a partire da (i), (ii) e (iii), opportunamente formalizzate (v. 4.9)].

5.5

Un limite intrinseco

Ricapitoliamo intanto, con una definizione “ufficiale”, la procedura per costruire un albero di Beth al livello della logica dei predicati (partendo, del tutto in generale, da un arbitrario insieme finito di formule).

Definizione 5.5.1. Dato un

insieme finito

{C1,...,Cn} di formule, la costruzione di un albero di Beth a partire da C1,...,Cn si sviluppa, come nel caso enunciativo, per stadi successivi.

Stadio iniziale: è costituito dall’albero più semplice tato dalle formule C1,...,Cn.

(€) con

il nodo etichet-

neve

SAU.

ARSA/I/IA/IA

LUO

quest’ultimo mediante l’applicazione a E della corrispondente regola

di analisi!2, Dobbiamo

affrontare una ora della

questione cruciale, fin qui volutamente elusa. connessione, come sappiamo (v. il Fatto Fondamentale 4.7.4), la procedura di costruzione di un albero di Beth a partire da una formula —C' — e più in generale a partire da un qualsiasi insieme finito {C1,..., Cn} di formule — termina sempre dopo un numero finito di passi, dando come esito un albero che o è chiuso, o è completato e aperto. La domanda che ci poniamo ora è: vale la stessa cosa anche al livello della quantificazione? La circostanza che di fatto, negli esempi ed esercizi delle sezioni precedenti, le cose siano andate proprio così non rappresenta chiaramente una prova del fatto che le cose debbano sempre andare così. E infatti, ecco subito una facile smentita. AI

livello

Esempio 5.5.2. Consideriamo la formula (5.5.1)

JaVyR(x,y)

Basta una veloce riflessione per rendersi conto che questa non è certo una verità logica!8. Ma supponiamo voler lo stesso testare (5.5.1) con il metodo

di

degli alberi di Beth. Dunque:

Passaggio all’eventuale stadio successivo: supponiamo di essere arrivati a un certo stadio del processo, e che 7 sia l’ultimo albero costruito. Si controllano innanzitutto i rami di 7, e si segnano quelli chiusi (se ce ne sono) con una x sotto la relativa foglia. Se tutti i rami di 7 risultano chiusi, ossia se T è chiuso, ci si ferma: la costruzione dell’albero di Beth a partire da Ci,...,Cn è terminata e l’albero chiuso T ne è il risultato. Se invece ha almeno un ramo aperto, si guarda se nei rami aperti di T ci sono formule esaminabili.

7

(stadio

1)

=dxVyR(x,y)

Si deve

applicare la regola di esemplificazione [3], e visto che non ci sono ancora costanti disponibili ne introduciamo una: (stadio 2)

/

IreVvyR(x,y)% |

—VyR(a,y)

per formula esaminabile si intende ora una formula non di tipo [AT] che o non è mai stata esaminata (e quindi non è contrassegnata in alcun modo), oppure è di tipo [V] / [13], è gia stata esemplificata almeno una volta (contrassegno: *), ma non è stata esemplificata con tutte le costanti presenti in 7 (e dunque dev'essere riesemplificata).

Attenzione:

ce

ad

ne ratbero T è completato e aperto. Scriviamo e Se non sono, il simbolo o sotto la foglia di ogni ramo aperto e ci fermiamo qui: così annotato è il risultato della nostra costruzione. l’albero

7

e Se invece ce ne sono, ne selezioniamo una, E, fra quelle che si trovano su un ramo aperto e costruiamo l’albero 7’ successivo a T estendendo

Ora esponiamo con

b

(non possiamo usare a) la formula —VyR(a, y):

(stadio 3)

-IevyR(x,y)* —VyR(a,y) -R(a,

12

Se si

b)

di una formula mai esaminata, la contrassegnamo con “ o, se è di tipo Se-si tratta di una formula da riesemplificare, la esemplifichiamo con . tutte le costanti presenti in con le quali non è ancora stata esemplificata. Si prenda come universo del discorso l’insieme dei numeri naturali {0,1,2,...} e come significato di R la relazione — è maggiore di —. È chiaro che in tale struttura la formula (5.5.1) è falsa, perché sta dicendo che c'è un numero più grande tutti. ‘

[] / [23],

tratta con

.

.

.

7

di

L’albero è aperto ma non completato (v. Precisazione 5.3.2) perchè la formula alla radice va riesemplificata anche con b:

(stadio 4)

i

=drVyR(x,y)

_

|

si

N

\

VyR(a,y)


logica elementare con idencaso più generale nel quale le formule possono anche contenere funtori — sono necessarie le seguenti integrazioni alla Definizione 5.5.1, rivista come nel 5.6.1:

tità — e

La formula R(a, F(a)) deriva da VeR(x, F(x)) per esemplificazione con la costante a, mentre la formula —R(a, F(a)) deriva da -3yR(a,y) per esemplificazione con il termine individuale F(a).

D[z :=

+ VeS(x, G(F(2)))

> VeP(F(F(2)))

Per trattare con il metodo del controesempio

>R(a, F(a))

[09]!

S(x,G(y)))

Identità

5.6.2

R(a, F(a))

!

>

verità logiche:

F(x)), VredyR(x,4)

dyR(a,y)

VI:

le seguenti formule sono

e o si

.

dà il caso che t # r

!8Scriviamo

(ramo

sinistro);

t # r brevemente per =(t = r).

si il

dà e oppure caso che t = s; ma allora, per sostituibilità degli identici, A se in rimpiazzo una o più occorrenze di t con r l’enunciato che ottengo è anch'esso vero!? (ramo destro).

Esempio 5.6.3. Ecco un albero chiuso che dimostra di transitività dell’identità.

la validità del principio

aVaVvyyz(a=yAy=z->ax=2)

aVyyz(a=yAy=z->a=

Esercizio 5.6.5. Verificare la validità delle seguenti

=)

1.

Ve(c

2.

Vavy(a=y-y=x)

3.

VaVyyz(e=yNx=2z-y=2)

leggi dell’identità:

(riflessività) (simmetria) (euclideicità)

Esercizio* 5.6.6. Verificare la correttezza dell’inferenza:

Va(F(r,a) = a) _Vavy(F(x,G(y)) = G(F(®,y))) F(G(a), G(G(a))) = G(G(G(a)))

2)

Vz(a=bAb=z>a=2) 5.7

a=bAb=ena=c)

e

a=bAb=c,a#c

de

Notare che [RL] è stata applicata due volte. La prima volta alla formula letta come (x = c)[x := bj; la seconda volta alla formula b # a, letta come (db # x)[x := a]. /

\b= c,

Esempio 5.6.4. L’albero chiuso che segue prova che Vr3y(y = F(x)) è una verità logica (per esercizio, ricostruire le regole usate): oVrdy(y = F(2)) —Iy(y

a#

È

F(a))

li

(a)

F(a) 4 F(a)

sia

di

1°Supponiamo che A R(a, b, a), e di volér rimpiazzare certe occorrenze a con c. Se si vuole rimpiazzare solo la prima occorrenzadi a, leggerà R(a, b, a) come R(x,b,a)[x := a], di modo che R(x,b,a)[x := c] è R(c, b, a), come voleva. Se invece si vuole rimpiazzare solo la seconda occorrenza, si leggerà R(a,b,a) come R(a,b, x)[c := a], di modo che voleva. Se infine vogliamo rimpiazzare entrambe le R(a,b,x)[x := c] è R(a,b,c), come occorrenze a, si leggerà R(a,b, a) come R(x,b, x)[r := a).

di

si

si

si

e

estrazione di una struttura da un ramo aperto;

e

indecidibilità della logica elementare;

e regole di analisi

b£b X

X

verità (leggi) logiche elementari;

e regole di esposizione e di esemplificazione; riesemplificazione;

a=b,b=c

Le atb

Glossario

per linguaggi con funtori e/o identità.

Parte III

Complementi e strumenti

(ma Capitolo

6

La sillogistica

risistemata MiMiadici generali) il © Questo capitolo si incentra su alcune tematiche afferenti alla cosiddetta logica tradizionale, una sorta di “contenitore” nel quale oggi solitamente ricomprendono svariate teorizzazioni — prevalentemente di natura formale e generalmente suddivise e organizzate in sezioni e sottosezioni dal taglio più o meno “istituzionale” — prodotte e via via raffinate nel corso della storia della logica a partire da Aristotele, il fondatore di questa disciplina, fino grossomodo alla metà dell’Ottocento, quando nasce la logica matematica. Dal punto di vista teorico (non storico, ovviamente; ma qui non stiamo facendo storia della logica) non tutte queste temàtiche sono ugualmente interessanti o significative. Noi ci concentreremo solò su alcune parti quella che è forse la più importante di queste “sezioni”, l logica delle proposizioni _categoriche creata da Aristotele e poi teorico è già tutto nell’Organo? aristotelico) nel corso della storia della logica, in particolare nell’e la Scolastica.

si

di

volte/rielaborata

nuclso

Nell'ottica dell’articolazione istituzionale della logica contemporanea le teorizzazioni che vedremo, a parte quella accennata nella sezione conclusiva, rientrano nel capitolo relativo alla logica monadica (v. l’Osservazione 8.4.12 nell’ultimo capitolo, nonché vol. II): quel frammento — decidibile e perciò necessariamente meno espressivo — della logica dei predicati nel quale si considerano appunto_solo predicati a un posto e\mai relazioni a due o più posti. La nostra esposizione non si muove tuttavia in quest’ottica: abbiamo volutamente impiegato la terminologia tradizionale (per esempio insistendo a chiamare perché comunque essa fa parte di un vocabolario filosofico-culturale che è bene non ignorare. Alcune osservazioni e soprattutto gli esercizi costituiranno il dovuto raccordo con la ‘

il

i termini pesdicati

prospettiva attuale.

sono non per Proposizioni categoriche

6.1

hanno così quattro possibili combinazioni di quantità + qualità, e quindi quattro possibili tipi o forme di proposizioni categoriche:

Si

costituenti immediati di una proposizione categorica sono: il soggetto (di . . »_ con solito indicato lettera con la lettera S),.il predicato (di solito indicato P), la copula (è). La forma schematica è dunque: I

.

.

.

soggetto

-

copula

-

.

.

predicato;

AFFERMANO, tutti

la

.

in simboli:

Sar} Esprime il fatto che l'estensione del soggetto (ossia, la class e degli individui che cadono sotto il termine che funge da soggetto) è totalmente inclusa nell’estensione del predicato (N.B.: per inclusione intende inclusione non necessariamente propria); detto altrimenti: ogni alti il predi cato. individuo. che cadesottoil soggetto cade anche

(s3P)

Hi

si

{Tanto il soggetto quanto il predicato sono termini, \per denotare i quali useremo, oltre a S e P, le lettere M, N, ... Dobbiamo però chiarire cosa si intende qui per termini. In generale, i termini si distinguono

sotto

ult >

[seP)

(e UNIVERSALE NEGATIVA?

«nessun S è P » Esprime fatto che l’estensione del soggetto è totalmente esclusa dall’estensione del predicato, ossia, detto brevemente: soggetto e predicanon esiste alcun individuo che cade sotto entrambi.

il

in:

singolari

° Termini

(es.: il Sole, Socrate, ecc.), caratterizzati dallo spettare necessariamente ad uno ‘e un solo individuo. Corrispondono ai termini individuali chiusi) di un linguaggio elementare.

(DO ente

|

simboli

gli S sono P 3> (in

to

disgiunti,

rr

-

3

e PARTICOLARE AFFERMATIVA:((qualche S è PyY(SiP). | Esprime il fatto che l’estensione del soggetto è parzialmente inclusa . : : nell’estensione del predicato, ossia che soggetto e predicato . disgiunti: c’è almeno un individuo che cade sotto il soggetto e cade

PR

6.

t'exs

Pi)»

CTEERSALE dA

nia

o) A

ivi

«e

pei Ve

enerali

.

.

.

nal

.

), inv (es uomo, bianco, Dernini CL, n] "ciedo ne Cc necessaria e spettano a_uno Corrispondoa un solo individuo. poncio ___ SP To no alle costanti iche ) di un inguaggio linguagg predicative uRgrie mg e (0 mona diche) qst

elementare.

i

Li

EE

© che

.),

-

di

l

anche sotto

la

termine singolare

—

copula

—

o

è

è

dellGuantità) che

©

e della

& S)A "È

Formalizzazione dei quattro tipi di proposizioni categoriche.

me sappiamo, nel linguaggio della logica dei predicati proposizioni categoriche si formalizzano così:

la es..lo

i

e

può essere universale o particolare,

che può essere affermativa o negativa.

€

quattro vocali a, e, i, o che si usano per rappresentare simbolicamente i quattro tipi di categoriche derivano convenzionalmente dalle parole latine adfirmo (a: universale affermativa, i: particolare affermativa) e nego (e: universale negativa, o: particolare negativa)

AAT "LOLITA

o

3

Le

Torniamo alle proposizioni categoriche, con l’avvertenza che d’ora in avanti ‘termine’ sta per ‘termine generale’. Intanto va sottolineato che soggetto (S) e predicato (P), essendo termini entrambi, sono interscambiabili: ha cioè senso scrivere sia ‘Sè P’ sia ‘Pè S’ (v. sezione 6.5). Detto altrimenti: posizione di un la qualifica distingue solamente ‘soggetto’ ‘predicato’ termine in una proposizione; si chiama ‘soggetto’ termine che precede la stesso termine, copula, ‘predicato’ il termine che la segue. Così ‘uomo’, soggetto in ‘uomo è animale’, mentre è predicato in ‘greco è uomo’. La copula rappresenta il_c collegamento fra il soggetto e il predicato. Per avere una proposizione catéporica, la natura di questo collegamento deve però essere specificata sotto i due fondamentali aspetti

il

e.

il

termine generale

*

.

totalmente inclusa nell’estensione del predicato, ossia che esiste almeno un individuo che cade sotto S ma non sotto P. Ù

come per es. ‘Socrate è bianco’, ‘la Luna èè un pianeta’, ecc. costituiranno sin per noi un tipo a sé, quello delle proposizioni singolari, che non tratteremo.

di

.

e PARTICOLARE NEGATIVA: qualche S non è P Esprime fatto che l’estensione del soggetto non è

Assumeremo, come solitamente si fa quando si espone sillogistica, che i termini che compaiono in una proposizione categorica, quindi non solo il predicato ma anche il soggetto, siano termini generali. Di conseguenza, le proposizioni della forma:

entrambi

il predicato.

RI sono

È

-

e

SaP:

Va(S(e)

+P(2))

e

SeP:

Va(S(a)

> P(2))

e

SiP:

dr(S(a) AP(2))

e

SoP:

3x(S(a) A-P(2))

Se

i

Co-

quattro tipi di

può essere equivalentemente formalizzata L’universale negativa come: La =Idr(S(x) AP(x)). particolare negativa So P può essere equivalentemente formalizzata come: «Va(S(x) P(2)).

+

A

)

Diagrammi di Eulero— Venn

6.2

graficamente dalle 5 “situazioni” elencate nella Tab. 6.1, ciascuna delle quali esclude, come è facile verificare, le rimanenti quattro. Usando i diagrammi di Eulero- Venn possiamo allora visualizzare come segue le condizioni di verità di ciascun tipo di proposizione categorica:

Nei diagrammi noti come diagrammi di Eulero - Venn si rappresenta l’estensione di un termine non vuoto con un’area circolare. Una crocetta ‘x’ all’interno di un’area (di solito risultante per intersezione da altre aree) sta ad indicare che la classe corrispondente è non vuota.

e

incluso propriamente in P

e

.

6.3

II P è

x

coincide con P

[S=P]

n°)

S e P hanno

e

vd

Tx

I, II SP) AL

I,

x

vera nelle situazioni II, IV e V; PoNo

L’Assioma

di

di

(St x Aristotele

tipo e quali

è falsa nelle

A41°0)

ED

che

di

intersezione non vuota

non si includono

6.4

[s£P,PZS,SNP#0]

di

in considerazione

rapporti logici che intercorrono e predicato, ma diverse

i

tra due proposizioni categoriche con uguale soggetto per qualità e/o quantità, ossia tra due categoriche S e P

SeP

sono disgiunti

possibili rapporti di inclusione propria, inclusione parziale, coîncidenza tra le estensioni di due termini non vuoti S e P sono rappresentati

SxP

dove e e + sono due vocali diverse prese tra a, e, i, o. Tali rapporti si lasciano condensare in uno schema noto come “quadrato logico aristotelico”, o “quadrato delle opposizioni” (Tabella 6.2). I vertici del quadrato, cioè le quattro proposizioni categoriche

[snP=0] Tutti

e

SP, SeP, SiP,

i

*

stanno tra loro in un certo numero

SoP

di relazioni logiche:

E

a Ho

rimanenti due.

Il quadrato logico aristotelico

Prendiamo in primo luogo

[IGD)

sa DEV

n

D'ora in avanti, noi assumeremo senz'altro l’ Assioma di Aristotele. Alcuni dei rapporti logici che considereremo valgono però (nel senso della logica classica) anche senza questa assunzione; altri (come via via segnaleremo) dipendono invece da essa in modo essenziale.

UU

IV

SY ©°

ASi>

siano i rapporti logici che intercorrono tra tutto esplicitare una assunzione che proposizioni categoriche, è bene prima certi rapporti come logicamente implicitamente soggiace al riconoscimento validi (nel senso della logica classica dei predicati). Tale assunzione, nota come “Assioma di Aristotele”, afferma che tuttii termini coinvolti nelle proposizioni categoriche sono non vuoti. Detto altrimenti: per ogni termine M, c'è-sempre almeno un individuo che appartiene all’ estensione. di M — se si vuole, in simboli: MiM è vera per ogni M

III S

SoP

è

Volendo studiare

incluso propriamente in S

[PCS]

vu

o.N»

situazione V; è falsa nelle rimanenti quattro; (SM » Pon) E sm QQ è vera nella situazione e e nella IV; è falsa nella nella nella situazione V; Pa. ( vera

SeP

[SCP]

U

è

DN è LIA) SiP

Tabella 6.1: Rapporti tra due estensioni S è

vera nella situazione I e nella situazione III; è falsa nelle Roo) rimanenti tre; OA. COO)PT

SaP

Tabella 6.2: Quadrato logico aristotelico ,,

(xÀ A)> Sap Ss

È CX)

\

sep

contrarietà Cc

o

u

b a

n

t

I

e

t

a

t

3

t

vst

-—(-SiPA-SoP);

Vv

SiPVSoP

Va osservato che anche questa legge vale solo sotto l’assioma di Aristotele. Infatti, se si prende un termine S vuoto, ‘qualche 8 è P’ (SiP) e ‘qualche S non è P’ (SoP) risultano entrambe falne,

a I

O

equivalentemente,

|S

u

r d

di

OO Biol

LKesgn

b

I

;

possono essere entrambe false (possono invece essere entrambe vere). Detto altrimenti: almeno una esse è vera. In simboli:

U y SA a60)

t

È

essere e r

I

al

n a

5

z i

o

i -

n|_° e|_c

Sip

( DAR N°

(QA.1)

n

t

r

t, o

r n

a z

r

e

o PL DI

è

t

nmantetà

o

a

n

(i)

Je

SoP

x

_

(No

CONTRARIETÀ.

(ii)

SePo

SiP

quadrato, ossia: SaP e SeP sono contrarie. seguente rapporto logico: due proposizioni

entrambe simboli:

vere

-“(SaP/ASeP);

caratterizzata dal

contrarie false).

(sebbene possano essere entrambe

(i) le leggi di

è il

SeP—SoP

metodo degli alberi di

Beth verificare che, nella

contraddittorietà (QA.1) sono valide;

©,

valide;

(iii) le leggi

(QA.2)-(QA.4) sono valide se condizionate sotto le opportune

istanze dell’ Assioma di Aristotele:

In

—

—

=SaPV-SeP

SUBCONTRARIETÀ. È la relazione corrispondente al lato inferiore del quadrato, ossia: Si P e So P sono subcontrarie. E caratterizzata dal seguente rapporto logico: due proposizioni subcontrarie non

(ii)

restanti leggi (QA.2)-(QA.4) del quadrato aristotelico non sono

—

equivalentemente,

Usando

logica dei predicati:

non-passono

Va osservato che questa legge vale solo sotto l’assioma di Aristotele. Infatti, se si prende un termine S vuoto, entrambe le proposizioni ‘tutti gli S sono P' (SaP) e ‘nessun S è P’ (SeP) risultano (vacuamente) vere.

(QA.3)

Esercizio 6.4.1.

(ii) le

È la relazione corrispondente alÈ lato superiore del

SaP—SiP

Anche queste leggi valgono solo sotto l’Assioma di Aristotele, Infatti, se si prende un termine S vuoto, ‘tutti gli S sono P° (SaP) è (vacuamente) vera, mentre ‘qualche S è P’ (SiP) è falsa; come pure ‘nessun S è P° (SeP) è (vacuamente) vera, mentre ‘qualche S non è P’ (SoP) falsa.

)

HANNO i

È la relazione corrispondente alle due diagonali del quadrato, ossia quella che intercorre tra le proposizioni SaPe SoPetraSePeSiP. È caratterizzata dal seguente ittorie, esat e rapporto logico: di due proposizioni co una. è vera mentre l’altra è falsa. Quindi, in simboli:

SaP& -SoP

cor qu

I

I

)

SUBALTERNAZIONE. la relazione corrispondente ai due lati ver» ticali del quadrato, ossia quella che intercorre tra SaP e SiP è tra SeP e SoP. caratterizzata dal seguente rapporto logico! se l’universale è vera (SaP, risp. SeP) allora anche la spondente particolare (SiP, risp. vera. Abbiamo le due leggi di subalternazione (reductiones ad subalternatam)

(QA.4)

e

CONTRADDITTORIETÀ.

(i)

(QA.2)

dit

6.5

SiS-

(SaPASeP),

SiS-SiPVSoP,

SiSASaP—SiP,

SiSASeP— SoP.

Le conversioni

Prendiamo ora in considerazione i rapporti logici che intercorrono tra due proposizioni categoriche costituite con gli stessî termini, ma in posizione scambiata (ossia, il soggetto e il predicato dell’una sono, rispettivamente, predicato e il soggetto dall'altra):

il

SeP

e

PàxS

con e e x due vocali non necessariamente diverse prese tra a, e, i, o. Venivano riconosciuti i seguenti rapporti logici (dette “leggi della conversione” ):

(C.1)

Un

CONVERSIONE SEMPLICE (conversio (i)

SeP

+

PeS

e

simple):

(ii)

SiP—PiS

L’universale negativa e la particolare affermativa si lasciano convertire (scambio soggetto / predicato) semplicemente, ossia senza modificare quantità e qualità. Se una universale negativa è vera, è vera anche l’universale negativa ottenuta scambiando soggetto e predicato: Se nessun uomo è cane, allora nessun ca-

ne è uomo. E, se una particolare affermativa è vera, è vera anche la particolare affermativa ottenuta scambiando soggetto e predicato: Se qualche uomo è greco, allora qualche greco è uomo. (C.2)

CONVERSIONE PER LIMITAZIONE (conversio (i)

SeP+

PoS

(ii)

SaP

per accidens):

> PiS

L’universale negativa e l’universale affermativa si lasciano convertire (scambio soggetto / predicato) modificando la quantità senza modificare la qualità. Es.: Nessun uomo è pietra Qualche pietra non è uomo Tutti gli uomini sono mortali Qualche mortale è uomo.

+

+

Va qui notato che:

validità delle conversioni per accidens dipende essenzialmente dall'assioma di Aristotele;

e la

e

un

Il sillogismo

6.6

sillogismo

tale

— —

Pes SiP

Esercizio 6.5.1. Usando logica dei predicati:

[conv.

sempl]

[subalternaz.]

Pos

[subalternaz.]

+ Pis

[conv sempl]

—

il metodo degli alberi di

premesse e conclusione sono proposizioni categoriche;

©

premesse e conclusione contengono in

(ii) le leggi (C.2) di conversione per limitazione sono valide solo se condizionate sotto le opportune istanze (quali ?) dell’ Assioma di Aristotele.

tutto tre termini:

S,

M,

P;

detto il termine minore) e P (che è detto il termine maggiore) il soggetto e il predicato della conclusione; rispettivamente, sono,

e S (che è

termine S compare inoltre in una (e una sola) delle due premesse (detta la premessa minore), mentre il termine P compare nell’altra (detta la premessa maggiore);

e il

e

M,

che è detto il termine medio, compare in entrambe le premesse.

Dunque: i due termini che occorrono nella premessa maggiore sono M e P (in un qualche ordine), quelli che occorrono nella premessa minore sono M e S (in un qualche ordine), quelli che occorrono nella conclusione sono S e P (in questo ordine, ossia: S come soggetto, P come predicato). D’ora in avanti, scriveremo sempre sillogismi disponendo così le premesse e la conclusione:

i

PREMESSA MAGGIORE PREMESSA MINORE CONCLUSIONE

termine medio

i

nelle due premesse, sillogismi sono classificati in quattro figure sillogistiche (N.B.: Aristotele teorizza esplicitamente solo le prime tre), riportate nella Tab. 6.3. A seconda della posizione del

M

Tabella 6.3: le quatro figure sillogistiche II FIGURA

III FIGURA

IV FIGURA

M_-P

P_M

M-P

P_M

S_M S_-P

S_-M

M_S S_-P

M_-S

I FIGURA

Beth, verificare che, nella

(i) le leggi di conversione semplice (C.1) sono valide;

un’inferenza composta da due premesse e una conclusione,

©

entrambe queste conversioni possono essere ricavate usando le due conversioni semplici unitamente alle leggi di subalternazione:

SeP SaP

è

che:

S_-P

S_-P

Per ricordare la successione delle figure basta dunque ricordare la posizione del termine medio nelle premesse (mnemonica: la forma della lettera W): v. Tab. 6.4.

Introduciamo ora scrniaa sillogistici. Per ciascuna figura, un modo sillogistico di quella figura si ottiene specificando la qualità e la quantità delle

la verità delle due premesse ‘tutti gli M sono P’ e ‘tutti gli S sono comporta la verità della conclusione ‘tutti gli S sono P’. È logicamente impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Come anche si vede bene usando i diagrammi:

S e P,

Non tutti Tabella 6.4: posizione del termine medio

I FIGURA

II FIGURA

III FIGURA

M_x

*-M

M_x*

*—-M

*—-M

*—-M

M_*

M_x

IV

FIGURA

premesse e della conclusione. Ossia, con riferimento al primo schema di cui sopra (Tab. 6.3), inserendo una delle 4 vocali a, e, i, o al posto di ciascun trattino —. Per ciascuna figura abbiamo chiaramente 4 possibilità (a,e,1,0) per la premessa maggiore, altrettante per la premessa minore, e ancora 4 per la conclusione. Quindi: e in ogni figura ci sono 4 x 4 x 4

modi e

dato

che

= 64 modi sillogistici;

le figure 4, in totale ci sono 64 x 4 = 256 modi sillogistici. sono

sono però schemi inferenziali logicamente validi, ossia tali che la verità delle premesse comporta necessariamente la verità della conclusione, indipendentemente dal significato dei termini S, P, M (0, equivalentemente, tali che l’enunciato A A B — C' è una verità logica, dove A è la premessa maggiore, B la premessa minore, C' la conclusione). Consideriamo per esempio il seguente modo della prima figura: sillogistici

MiP

SaM

SaP

in cui la premessa maggiore è particolare affermativa (i), la minore è universale affermativa (a), la conclusione è universale affermativa (a). Si tratta di un modo non valido. Per provarlo, basta osservare che si possono interpretare le lettere schematiche M, S e P in modo tale che in questa interpretazione le premesse risultano vere e la conclusione falsa. Se poniamo M = uomo, S = greco, P = biondo, si ha:

MiP

SaM

SaP

Qualche uomo è biondo Tutti i greci sono uomini Tutti i greci sono biondi

Consideriamo invece il

modo

VERA

VERA

FALSA

della prima figura: MaP SaM

M’°

P

P

Vale il seguente:

Fatto fondamentale. In ciascuna delle quattro figure vi sono esattamente 6 modi sillogistici validi. Quindi, su un totale di 256 modi sillogistici possibili, vi sono esattamente 6 x 4 = 24 modi sillogistici validi. Di questi, 15 sono

validi indipendentemente dall’ Assioma di Aristotele, mentre i restanti 9 sono validi solo sotto l’assunzione di quest’ultimo. A ognuno di

questi 24 modi validi (si dice anche: sillogismi validi) è tradizionalmente associato un nome convenzionale che, oltre a identificare univocamente il modo nominato, condensa anche mnemonicamente tutta una serie di informazioni relative ad esso, di cui diremo via via. I nomi, a meno di qualche variazione, sono quelli riportati nella Tab. 6.5 (il simbolo { contrassegna i 9 modi validi solo sotto l’Assioma di Aristotele; il segno £ i cinque modi validi cosiddetti subalterni — v. più avanti). Tabella 6.5:

modi silogistici validi

I FIGURA

II FIGURA

Barbara Celarent Darii Ferio Barbari ji Celaront

Cesare Camestres

|j

Sap

in cui entrambe le premesse come pure la conclusione sono universali affermative (a). Si tratta di un modo valido. Qualunque cosa significhino N,

i

Iniziamo allora a nomi.

vedere

Festino

Baroco Cesaro{}

Camestros{i

dhali

III

FIGURA

Daraptij

IV FIGURA

Disamis

|Bramantip}] Camenes

Felapton}

Dimaris Fesapo{

Ferison

Calemos

Datisi

Bocardo

Fresison

|

È

informazioni si ricavano, e come, da questi

Le vocali nei nomi. da a, e, i, o:

Ciascun nome contiene esattamente tre vocali

altrettanto legittima istanza del modo Barbara

tratte

tutti

BaRBaRa, BaRoCo, FReSiSoN, ecc.

si

in

e seconda vocale

terza

e

/

vocale

= quantità

= quantità

e

e

Modi subalterni.

I cinque modi subalterni (contrassegnati con i) sono chiamati perché la loro conclusione è ottenuta applicando una delle leggi (QA.4) di subalternazione alla conclusione di un altro modo della stessa

così

figura avente le medesime premesse:

qualità della premessa minore;

Barbara --» Barbari,

qualità della conclusione.

Cesare --+ Cesaro,

Qualche esempio: Nome

Barbara

B arbari

(figura)

(I I fig.

fig.)

(I i

(I

fio. fig.)

;

(I 4

Baroco

fio. fig.)

(II fig.)

Ferison

Camenes

( (III fig) &)

(

IV fic. 8)

(I fig.)

Camestres --+ Camestros

(II fig.)

Camenes --+ Calemos

(IV fig.)

Esempio (istanza concreta)

MaP

tutti gli uomini sono mortali tutti i greci sono uomini i greci sono mortali tuttiSRnE

La validità di ciascuno di questi 5 modi giustifica quindi sulla base della validità del corrispondente modo non subalterno forza delle leggi di subalternazione (che, ricordiamo, dipendono dall’Assioma di Aristotele). Infatti, del tutto in generale, se un certo argomento

MaP

tutti gli uomini sono mortali tutti i greci sono uomini

Ai; An

Sal SaP Sam SiP

è

tutti

gli uomini sono razionali qua lche animale è uomo

SiP

qualche animale è razionale

PaM

tutti i cavalli sono mammiferi

valido, e d’altra parte B

è

il

metodo degli

nessun cane è bipede lche cane è biondo UAC qualche biondo non èONC bipede

Esercizio 6.6.3. Usando

il

metodo degli alberi di Beth verificare che nella della Tab. 6.5 contrassegnati con {:

di Beth verificare la validità, nella logica dei predicati, dei 15 modi sillogistici della Tab. 6.5 che non dipendono dall’ Assioma di Aristotele.

logica dei predicati

nessun uomo è invertebrato nessun invertebrato è greco

SeP

(i)

4

da

4

g

non

sono

bero);

Osservazione 6.6.1. Che tutte queste istanze concrete abbiano di fatto entrambe le premesse vere (e quindi vera anche la conclusione, visto che si tratta di modi validi!) è del tutto irrilevante ai fini della validità. Una ù

un argomento valido.

Esercizio 6.6.2. Usando

tutti i greci sono uomini

PaM MeS

An

animale non è mammifero ; qualche animale non è cavallo -

SoP

allora anche

C

A ualche

-MiS

+ C è una legge logica, Ars...

È

j

in

B

qualche greco è mortale

j SiM

som SoP

si

-

MeP ison

Celarent --» Celaront

Modo

MaP Darii

cani sono uomini

tutti i cani sono biondi

prima vocale = quantità e qualità della premessa maggiore;

e

gli uomini sono biondi

tuttii

Esse servono a identificare univocamente il modo nominato (posto che conosca figura), ossia indicano quali vocali inserire (al posto del trattino ‘—’ nello schema della figura di appartenenza) per ottenere il modo questione, e in che ordine:

la

è, per es., la seguente:

L ina

oM

(ii)

)

Alberi

i 9 modi sillogistici

validi

(ricavare un controesempio da un

SSAdo

ramo

aperto

dell’al-

diventano validi come ulteriore premessa una opportuna istanza (trovarla!) dell’Assioma di Aristotele.

Deduzioni sillogistiche*. Se A=4{A1,..., An} è un insieme (finito) di proposizioni categoriche e B è una proposizione categorica, scriviamo

Esercizio 6.6.4. Verificare

che:

1.

{SiP,

2.

{PaQ, RiP, SeQ, RaT}kn ToS

3.

{PaQ, SiP, SaT, QaR}kmTiR

4.

{TaQ, TiS, NeP, SaP, RaN}k;mnQoS

QaR,

PaQ}kmSiR

PaQo_ PaQ_ QeT Atin B

per indicare che esiste una deduzione sillogistica di B da A (o un polisillogismo avente A1,..., An come premesse e B come conclusione), ossia che è possibile dedurre la conclusione B dalle assunzioni A1,..., An utilizzando esclusivamente le 24 inferenze sillogistiche valide. Facciamo un semplice esempio, convenendo — per una migliore rappresentazione grafica delle deduzioni — di scrivere ora su una stessa linea le due premesse di un sillogismo (la maggiore a destra, la minore a sinistra). La deduzione sillogistica

PaQ

D, =

PaR

QaR

Ras SeT —_—- xiy)

A

le leggi di conversione (++), equivale anche

caz

Ca”,

Vavy(Iz(xi°z

4

zay

(1.1) ala”

C em

iaCi iaCi

Ebbene, aa C a equivale a dire che, per x,y classi qualsiasi, se x sta nella relazione aa con y allora x sta nella relazione a con y, ossia (in base alla definizione del prodotto demorganiano) che se c’è una classe 2 tale che raz e zay, allora ray; ossia ancora — per semplici passaggi logici — che, per 2 qualsiasi, se zay e raz allora ray. Dunque (1) vale se e solo se vale lo schema inferenziale

e

a Ferio).

Ora:

aaCa

aa

e Dimaris K,

da questo, per le leggi contraddittorietà (*):

(6.8.2)

Domandiamoci ora: è vero che il prodotto demorganiano della relazione a con se stessa è incluso in a? Ossia, chiediamoci se vale (1)

ia C i = Darii, ie Co=Ferio

Da

i=i

e=e,

Bocardo!

Esercizio 6.8.5. Verificare che

mentre le leggi di conversione semplice si lasciano formulare come

(x)

si

validità di Baroco.

a =o, e =i, i =e, o =a

(*)

modo analogo,

:

cOY verifica che la validità dell’inclusione (1.2) equivale alla

ao Co

e

(1.2)

a a Ca, ossia

ca Co

C o equivale a: per ogni classe x e y, se c’è una classe z tale che 20y, allora roy. Ossia (per definizione di converso di una relazione),

Glossario

e proposizioni categoriehe:

tità;

“

e

soggetto, copula, predicato; qualità e quan-

termini generali vs. termini singolari;

diagrammi

di

Eulero - Venn;

Assioma di Aristotele;

quadrato logico aristotelico: contrarietà, subcontrarietà, contraddittorietà, subalternazione; conversioni semplici e per limitazione; sillogismi: termini, premessa maggiore, premessa minore; termine medio; figure e modi sillogistici;

Barbara, Celarent, Darii, Ferio, ecc.; riconduzione alla prima figura.

Capitolo 7

Teoria ingenua degli insiemi: nozioni introduttive 7.1

Osservazioni preliminari

Cerchiamo qui di rispondere brevemente alla domanda: perchè gli insiemi in un corso di logica elementare? In maniera assai diretta, basterebbe forse dire che, fino dalle origini, una funzione tradizionale ma fondamentale della logica è quella di indagare i meccanismi che presiedono alla definizione dei concetti e alla formazione di classificazioni. Più in generale, un momento basilare dell’attività teorica consiste nell’introduzione di entità astratte ottenute raccogliendo sotto un unico punto di vista oggetti distinti: si tratta della normale attività classificatoria mediante la quale si creano più o meno liberamente collezioni di enti o classi o insiemi!, che poi diventano veri oggetti di studio. Ciò è tipico di qualunque disciplina sistematica e non è di per sé particolarmente problematico. Tuttavia, già nel pensiero classico viene avvertita la problematicità insita nel pensare una molteplicità come una unità (si vedano le celebri aporie discusse da Platone nei dialoghi Filebo e Parmenide). In particolare, nel riflettere sull’attività classificatoria, affiora la tradizionale questione degli universali?: in che misura e in che senso possono i termini astratti essere considerati soggetti genuini del discorso, in che misura in che senso è lecito considerare dietro i termini astratti del linguaggio delle entità dotate di caratteristiche individuali.

i

e

YI termini ‘insieme’, ‘classe’, ‘collezione’ verranno usati come sinonimi in questo capitolo, salvo diversa ed esplitifiNaipulazione: ?Di essa il lettore potrà trovare notizie dirette nei testi oppure in un buon manuale di storia della filosofia o in un dizionario filosofico, v. N. Abbagnano, G. Fornero, Dizionario ‘ di filosofia, Utet, Torino 1998.

Dato che siamo qui interessati esclusivamente a creare il quadro teorico per indagini logiche elementari, tralasciamo le problematiche specificamente filosofiche, per concentrarci invece su quegli aspetti che risultano funzionali allo sviluppo e alla precisazione dell’analisi logica, in particolare nella sua componente semantica. In tale direzione, l’esigenza primaria da soddisfare è quella di procedere a una teoria sistematica del significato del linguaggio dichiarativo, la quale richiede una precisazione del riferimento dei termini fondamentali (nomi, predicati, funtori in primo luogo). Ora ciò può essere fatto con ragionevole semplicità ed eleganza adottando il classico punto di vista estensionale, secondo il quale il significato di un predicato P (come ‘uomo’, ‘pari’, ecc.) viene ad essere identificato con la classe degli individui che hanno la proprietà espressa da P (dunque nel caso dei due esempi precedenti ai due predicati corrispondono rispettivamente la classe degli uomini e la classe dei numeri pari). Le conseguenze di questa mossa sono molteplici. In primo luogo significato della copula (Gianni è fiorentino, 24 è pari) viene ad essere sussunto da quello della più neutra relazione di appartenenza fra gli elementi di una classe e la classe medesima. ‘Gianni è fiorentino’ significa semplicemente che l’individuo a cui si riferisce ‘Gianni’ è elemento della classe dei fiorentini, così come 24 è elemento (o appartiene) alla classe

il

dei numeri pari. In secondo luogo, caratteristica essenziale del punto di vista estensionale è che si dispone di un criterio semplice di identità: due estensioni sono identificate (sono la medesima classe) quando hanno stessi elementi. Ne segue che la prospettiva estensionale per sua natura non tiene conto delle differenti note concettuali usate per definire un dato predicato: può in generale darsi che predicati distinti definiscano la stessa classe o estensione. Per richiamare un esempio un po’ abusato, si considerino i termini ‘triangolo equilatero’, ‘triangolo equiangolo’ e le loro rispettive estensioni. Mentre ai due termini corrisponde la stessa classe (dato che un triangolo è equilatero se e solo se è equiangolo nella usuale geometria euclidea), è chiaro che essi coinvolgono distinte note concettuali (nel primo caso il riferimento alla nozione di lato, nel secondo a quella di angolo). In generale, non è immediatamente chiaro se vi siano criteri d’identità fra concetti e, se sì, quali siano?. Anche se l’approccio estensionale può apparire troppo semplificatorio, esso si raccomanda per la sua potenza teorica. Oltre alla trattazione del significato dei predicati, che abbiamo preso qui come pretesto motivazionale,

gli

3Si tratta, come è noto, di una questione che ha affaticato non poco le menti dei filosofi e logici del secolo scorso e che ha prodotto e ancora produce una specifica letteratura, di cui non possiamo occuparci a livello introduttivo. Il lettore interessato può trovare una introduzione alla logica intensionale in L.T.F. Gamut, Logic, Language and Meaning, vol. 2, The University of Chicago Press, Chicago 1991.

la

vedremo che teoria ingenua degli insiemi ci mette in grado di definire anche le nozioni fondamentali di relazione, funzione, operazione.

Inoltre, a seguito delle ricerche sviluppate da due grandi matematici del secolo XIX, Cantor e Dedekind, la teoria degli insiemi ha contribuito a chiarire in maniera decisiva la distinzione fra finito e infinito, il concetto di numero e la classica coppia discreto/continuo. Si tratta di concetti di portata teorica generale e quindi di primario interesse filosofico. Per ritornare al modesto fine del nostro manuale, la nascita dell’indagine metalogica nel secolo scorso ha contribuito a far confluire nella logica strumenti matematici che sono divenuti via via sempre più raffinati. Ora la teoria degli insiemi, anche solo livello ingenuo (leggi non assiomatico), permette concetti e tecniche di costituire un ragionevole armamentario minimale dei fondamenessenziali impadronirsi che quantomeno per sono mostrative, analisi incompletezza, novecentesca della (completezza, logica tali risultati del concetto di dimostrazione, computazione, ecc.). Per inciso, è da sottolineare ancora una volta che questo legame col pensiero matematico costituisce un arricchimento di orizzonte e un potenziamento della strumentazione concettuale e non snatura affatto l’essenza degli studi logici (come talora si sente dire o si legge); il fenomeno è accaduto anche in discipline che appartengono alla sfera umanistica o delle cosiddette scienze umane pensi alla linguistica teorica). è bene ricordare che le aporie di Platone ritornare inizi, agli Infine, per del Novecento sotto forma di paradossi inizi sono in certo senso rinate agli (v. Russell), e che la ricerca di soluzioni innovative dei pàradossi della teoria degli insiemi costituisce ancora oggi un vivace ambito di tudio!.

al

di

di-

(si

di illustrare

la differenza fra estensione e intensione di predicati, si trovino almeno cinque coppie di predicati due a due distinti, in modo ciascuna coppia individui la stessa classe.

Esercizio 7.1.1.

Al fine

che

7.2

I principi fondamentali: astrazione ed estensionalità

Gli insiemi — concepiti come collezioni di oggetti qualsiasi — sono generalmente determinati a partire da una proprietà caratteristica dei loro elementi, che può essere espressa in un determinato linguaggio (formale o naturale 0 misto, non interessa a questo livello) mediante una certa condizione A(r). Per esempio A(x) può essere: e x è

un poeta;

x

‘Per una storia dei paradossi nel Novecento, il lettore può vedere la voce Paradores and Contemporary Logic, curata da A. Cantini per la Stanford Encyclopedia of Philosophy, . http://plato.stanford.edu/entries/paradoxes-contemporary-logic, Stanford 2007.

e x è

un

filosofo della scuola eleatica;

e x è soluzione reale di x3

+1=

—

0.

— —

L'insieme definito da A(x) viene designato da (7.2.1) può

essere

l’insieme R dei numeri reali.

e La relazione

primitiva che lega un insieme X e i suoi elementi è la cosiddetta relazione di appartenenza €. L’espressione

{e|A(x)}

{| A(x)}

l'insieme Z = {...— 3, —2, -1,0,1,2,3,...} dei numeri interi; l’insieme Q dei numeri razionali;

letto in vari modi (tutti equivalenti ai fini della presente

a € X

introduzione) e cioè come

e l’insieme (classe, collezione) degli oggetti che soddisfano (o rendono vera) A(x), o, in breve, l’insieme degli A; e l’estensione del è un poeta}, {|a l'insieme dei

concetto definito (espresso) da A(x).

{x]x3+1=

Nozioni e notazioni fondamentali

|

e Gli insiemi vengono genericamente designati da lettere maiuscole X ;V, Z; mentre x,y, z, a,b, c, d stanno per elementi di insiemi. Gli elementi di un insieme possono essere non-insiemi (o atomi oggetti primitivi) di cui non ha senso dire che hanno elementi: si pensi in prima ap-

o

prossimazione all’insieme delle penne sulla mia scrivania, all’insieme dei colleghi di dipartimento, o anche all’insieme dei punti della retta, quando accetta la retta e i suoi punti come dati primitivi.

{X]A(X)}

per indicare l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli insiemi X che soddisfano la condizione A. {X|A(X})} designa la famiglia definita

i

dalla condizione A. In generale, nel caso di insiemi insiemi, si preferisce parlare di famiglie di insiemi.

cui elementi sono

utile fissare anche le notazioni standard per indicare insiemi canonici di enti matematici, che serviranno per esempi o per precisare alcuni concetti sull’infinito e le relazioni di ordine:

e E

—

l’insieme N

= {0,1,2,3,...} dei numeri naturali;

elemento di X.

a € {x|A(x)}}

+ Ala)

Ovviamente, secondo quando convenuto in (7.2), avremo in particolare:

YE{X|A(X)} ©

A(Y)

Ecco tre semplici istanze di (7.2.3):

+ Dante è un poeta {r|reRea3+1=0} o aeRea8+1=0

Dante € {x x è un poeta} |

a€

Dato che gli elementi possono a loro volta essere insiemi (l’insieme delle coppie di penne sul mio tavolo, l’insieme degli insiemi di numeri naturali che contengono 0), si conviene di scrivere (7.2.2)

è

e

(7.2.3)

si

e

elemento di X.

Principio di astrazione (o comprensione). Si tratta del principio che regola l’uso dell’operatore d’astrazione; esso stabilisce che gli elementi di soli gli oggetti che godono della proprietà espressa da {x A(x)} sono tutti A(x) (ovvero gli oggetti che soddisfano o verificano A(x)). In simboli: |

L'operazione A + {x|A(x)} che associa al predicato (definito da) A la sua rispettiva estensione viene detta operazione di astrazione, e l'operatore {x ...} operatore di astrazione.

è

at X

per significare che a non

0 e

x è un numero reale} designano dunque poeti e l’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x3 + 1 = 0.

e

significa che a appartiene ad X oppure a

Si scrive di solito

YE{X|V:(:Ee

Xi zER)})

va eY4

z

€ R)

Esiste anche un altro basilare meccanismo di specifica degli insiemi; quando questi costituiscono delle collezioni finite, se ne indicano esplicitamente gli elementi ponendoli fra parentesi graffe separati l’uno dall’altro mediante virgola. In altri termini si ammette di poter formare, a partire da una successione finita di enti arbitrari a], ..., Gn, un insieme che contiene esattamente gli elementi della lista e viene designato da (7.2.4)

{a1,...,an}

Così l’insieme dei numeri naturàk pari minori di 6 si lascia presentare come {0,2,4}, mentre l’insieme degli autori della Divina Commedia e del Decameron è {Dante, Boccaccio}.

Naturalmente, l'operazione di raccogliere un numero finito di oggetti in lascia giustificare sulla base del principio di astrazione, se si un dispone del concetto di identità. Basta porre: insieme

si

{a1,...,an}:={r|xr=a1V...Vxa =

(7.2.5)

Singoletto di

Nozione di parte o sottinsieme. X è sottinsieme (o parte) di Y simboli X C Y — sse ogni elemento di X è elemento di Y::

di colle-

{a} :=

a

Insieme coppia

di

(7.2.7)

{a,b} :=

che contiene

i

e

b: è

{x|x = a}

{x|x = a oppure

x

=

{x|x è un gatto}

e

{x|x è un

C

{x|x è un

felino};

naturale divisibile per 4} C {x x è un naturale pari}. |

verificare

che:

Lemma 7.2.1. Le relazione

b}

C è riflessiva,

transitiva e antisimmetrica.

Formalmente:

L.XCX;

b.

l'appartenenza, l’identità fra insiemi è determinata dal principio di estensionalità: due insiemi X e Y sono uguali se hanno gli stessi elementi. In simboli: Se (7.2.3) governa

2XCY,YCZs

XCZ;

a

XaY.

XCY,YCX

3.

Si osservi che la

terza proprietà — l’antisimmetria — si riduce di fatto al

principio di estensionalità.

X=YoWrxEeXoreY)

(7.2.8)

e

È immediato

l'insieme

soli elementi a e

Principio di estensionalità.

in

Per esempio,

che contiene esattamente a; e

—

XCY:=Vza(zEeX-zeEeY)

a: è l’insieme

(7.2.6)

il

fra estensioni.

an}

Fra gli insiemi finiti designati esplicitamente mediante l’operazione zione (7.2.4) vanno subito menzionati due casi limite notevoli: e

Per concludere la sezione, introduciamo una relazione derivata fondn mentale della teoria degli insiemi, che riguarda appunto rapporto naturale

7.3

Dal principio di estensionalità discende che l’estensione di un insieme non dipende dall’ordine di presentazione dei suoi elementi, né dal numero di occorrenze o molteplicità di essi. Quindi

Operazioni

su insiemi

Definizione 7.3.1 (Operazioni booleane). Introduciamoorala controparte insiemistica delle operazioni proposizionali classiche.

= {a,a}={a,a,a}... {a,b} {b,a} ={a,a,b,b} = {a,b,a,b}... {a}

Per chiarire ulteriormente il punto che risulterà utile in vari contesti, si consideri la parola ‘insieme’. Ad essa è naturalmente associata la lista (0 anche sequenza) (i,n,s,i,e,m,e), caratterizzata da uno specifico ordine e da una specifica molteplicità delle lettere. Se si scambiano le prime due lettere e si sposta in ultima posizione la ‘s’ si ottiene una nuova lista distinta (n,é,ié,e,m,e,s). Se si fa astrazione anche dall’ordine, ma non dalle singole molteplicità, si ottiene il cosiddetto multinsieme associato alla sequenza, ovvero {î, n, s, î, e, m, e}, che coincide con {i,î, e, s,e,n,m}. D'altra lascia rappresentare da parte, {i, n, s,î,e,m, e}, riguardato come insieme {i,n,s,e,m}. Gli insiemi vanno distinti dunque sia dalle sequenze o liste,

e

Unione: XUY := {x|r

e

Intersezione: XNY := {ax|r

e

Differenza:

X-Y

E

X

:={x|rxr

Vea E

E

E

Y};

XAr€EY};

XAxéY}.

E utile definire anche due insiemi notevoli, l'insieme vuoto e l’insieme universale?:

si

{x|r = 7};

e

Insieme vuoto:

e

Insieme universale: V := {x|x = x}.

Con

la differenza

0)

:=

e l’insieas=uyniversale si può definire il

5V è un insieme che ha una importanza cruciale nella derivazione dei paradossi insiemistici.

sia dai multinsiemi.

%

e

Complemento assoluto:

—X

:=V—-X

={x|x

é X}.

Le operazioni booleane possiedono interessanti proprietà, che riuniremo in alcune proposizioni. Le dimostrazioni non presentano particolari difficoltà e sottendono nella gran parte dei casi specifiche leggi logiche dei connettivi (v. capitolo 2 e gli esercizi di 2.4.2).

Proposizione 7.3.2. Valgono e

le seguenti

identità insiemistiche:

Idempotenza:

XUX = X XNX = X e Associatività:

XU(YUZ) = (XUY)UZ XN(YNzZ) = (ANVYNZ e Assorbimento:

XU(XNY) = X XN(XUY) = X e

Verificare la Proposizione 7.3.2.

Proposizione 7.3.4. X

N

Y soddisfa le condizioni:

XCXUY

YCXUY XCZ,YCZ > XUYCZ

(7.3.1)

X

U

;

Y soddisfa le condizioni:

XNYCX

(7.3.3)

;

XnNYCY

ZCX,ZCY > ZCXNY

(7.3.4)

il

Dalla proposizione 7.3.4 segue che XUY più piccolo insieme (rispetto all’inclusione) che soddisfa (7.3.1), mentre X NY è il più grande insieme (rispetto all’inclusione) che soddisfa (7.3.3). Dalla proprietà associativa discende poi che la riunione e l’intersezione lasciano generalizzare senza ambiguità a un numero finito di argomenti. Per esempio, scriveremo XNYMNZ per designare indifferentemente XN(YNZ) o (XANY)Nnz.

si

Esercizio 7.3.5. (i) Verificare la proposizione 7.3.4.

Commutatività:

XUY = YUX XNY = YNX e

Esercizio 7.3.3.

Distributività:

XU(YNzZ) = XN(YUZ) =

(XUYN(XAUZ) (ANYU(XNnZ)

applicando il principio di estensionalità, che la proposizione 7.3.4 caratterizza univocamente le due operazioni insiemistiche di unione e intersezione:

(ii) Provare,

(a) Sia U un insieme che soddisfa:

XCU

XCZ,YCZ > UCZ

e Leggi di De Morgan:

Z-(XUY) = (Z-xX)N(Z-Y) Z-(XnY) (Z- X)U(Z-Y)

Allora U

= XUY.

(b) Analogamente, sia

-(XUY) Il (X)N(-Y) -(XNY) = (X4U(Y)

“Logica classica”:

| |sx

insieme che soddisfa: ;

/= XNY.

(iii) Si definisca l’operazione di differenza simmetrica:

XN-X

HO

I è un

ICY ICX ZCX,ZCY > ZCEI Allora

XU-a=cNb=d

(a,b) = (cd)

(7.4.2)

Esempio 7.4.2.

se

tI((a,b))=a e r2((a,b))=b

(7.4.3) Riassumendo,

ai fini delle

e di avere

e di disporre delle relative proiezioni (che costituiscono in certo senso due operazioni inverse o distruttori, a prescindere dalla specifica natura di

esse).

{(Zubin, Mehta), (Zubin, Ozawa), (Seiji, Mehta), (Seiji, Ozawa)} (ii) L’origine del concetto di prodotto cartesiano è, com’è noto, geometrica. Se X e Y sono rispettivamente due intervalli di reali, per esempio X = [a,b], Y = [c, d], X x Y può essere identificato con rettangolo

del piano cartesiano reale

Si può verificare che se finito di m elementi, il

(i) Si verifichi che il

(7.4.5)

(01, 02,03) ni (bi, ba, b3)

>

0]

=

di

ear =

dg

eaz=

In generale, non è difficile rappresentare n-ple ordinate finite arbitrarie mediante iterazione della coppia ordinata. Per fissare una volta per tutte la definizione, conveniamo di associare a destra le parentesi angolate; dunque,

sen>

3, (01,

02,...@n) = (a1, (42, (03... (Gn-1,

dove a destra dell’identità ci sono n occorrenze Procediamo

distributività di

di

Gn)

...)

‘)?.

ora a definire un importante oggetto

insiemistico.

Definizione 7.4.1. Prodotto cartesiano di due insiemi X

XxY={(a,b)|a E X,

(7.4.7)

{(a,b)|a € X,

b E

bEY}

qualche a € X,

(7.4.8)

U

su x?

Ai

X

...

di

Ai X

A1,

X...X An={(a1,...,0n)|a1 € Ai, ...,0n

€ Y}

€ An}

An è l’insieme delle n-ple, le cui componenti provengono ordina-

tamente da A1,..., An.

tutti i fattori del prodotti siano uguali,

si scrive A”

n volte

per

designare la potenza cartesiana n-esima di A, ovvero A x ... A. Naturalmente la definizione dipende dalla scelta fatta nel definire la nozione di n-pla in (7.4.6). In particolare, il prodotto cartesiano non è associativo nel senso che in generale A x (B x C) # (A x B) x C. Tuttavia, due insiemi sono in un senso ben definito equivalenti e identificabili. Come vedremo oltre, è possibile mostrare che le diverse definizioni, a prescindere dall’arbitrio nel fissare il concetto di n-pla, sono essenzialmente equivalenti (vedi nozione di isomorfismo). Xx

i

identificare ogni elemento del primo che ha la dente elemento del secondo della forma ((a, b), c). 65Basta

b

— :

(XxYN(XxZ) (XxY)-(XxZ)

—=_

Y} è un’abbreviazione per

{x|x = (a,b), per

e Y:

U, N e

Anche prodotto cartesiano può essere esteso a) un numero finito arbitrario di fattori. Se si dispone ...,An, n insiemi (n > 2)

Nel caso in cui

(7.4.6)

prodotto cartesiano si distribuisce su

XXx(YNZ) = Xx(Y-Z) =

il

bg

X è un insieme finito di n elementi e Y è un insieme prodotto cartesiano X x Y ha n x m elementi.

Xx(YUZ) = (XxY)U(XxZ)

(ii) Vale la

subito che

il

cui punti hanno coordinate x e y tali che

Esercizio 7.4.3.

le

Si verifica allora

i

a (A9)(2))() = 9(,y) :

Esercizio 7.7.4. Provare che per ogni insieme X, 0X=Mse X #0.

X®

=

0°

=

{0},

ma

(7.7.7)

Proposizione 7.7.5 (Proprietà universale del prodotto cartesiano). X dh, Yi, X PR, Ya, c'è esattamente una funzione h : X > Yi x Ya tale che fi = 710 he fo = 20h (1, 72 proiezioni, v. (7.4.3).

(i) Se

(ii)

AL Yi, Z -2, Ya e che valga per Z, q1, qg2 l’analogo della condizione precedente per il prodotto e le proiezioni, e cioè Supponiamo

che Z

di Yi, X L, Ya, allora esiste esattamente h:X- Z tale che ff=q,ohe fo =q90h.

(*) se

X

Allora esiste una biiezione

f

:

Z

> Y1

x

una funzione

Ya.

7.8

Equivalenze e quozienti

In questa sezione andremo ad analizzare una particolare modalità d’introduzione di nuovi enti per astrazione, che fa perno sul concetto di relazione di equivalenza, naturale generalizzazione della relazione di identità.

Definizione 7.8.1. Sia R una relazione binaria: R è detta equivalenza sse R è riflessiva, simmetrica e transitiva, valgono cioè, se x, y e 2 appartengono

al

campo

della

In altri termini, la condizione (i) caratterizza il prodotto cartesiano, a meno di corrispondenza biunivoca. Non è importante tanto la specifica natura delle proiezioni e degli elementi di Y} x Ya, quanto il legame strutturale fra di essi.

Esercizio 7.7.6. Verificare la proposizione precedente. [Suggerimento: si scelga f(a) = (g1(a), g2(a))].

(x,x) € R;

(r,y) € R> (y,2) € R; (c,y) ER, (y,2) E R> (2,2) € R. Esempio 7.8.2. Vediamo ora

condizione: e

Ap:

YYX

X l’insieme degli studenti dell’università di Firenze (in un momento prefissato). Si definisce R su X ponendo:

x X — Y è caratterizzata dalla

(a,b) E

Ap(f,x) = f(x) (f € YY, x € X); funzione prodotto la (essendo x € C, € D).

sef:C-Y,g:D-Z,fxg:CxD-YkxZ

definita da (f x 9)((x,y)) = (f(x), 9(y))

alcune relazioni di equivalenza.

(i) Sia

Definizione 7.7.7. e L'operazione di applicazione

relazione:

y

R&aeb sono

coetdhei

!8Per essere concreti, posso pensare di eseguire la somma di 2 e 3 (somma è una operazione a due argomenti che applico alla coppia ordinata (2,3)), associando in primo luogo a 2 l'operazione somma di 2 e applicando somma 2 a 3.

di

e

ZIO (ii)

|.

VApIlU0IO

L1C0VI1A

X = Y sse esiste una biiezione fra X e Y. equipotenza fra insiemi.

(iii) Sia Y l’insieme delle

(r,s) €

=

è la relazione di

Rssere s

retta

è

Definizione 7.8.3. Sia X un insieme non vuoto

e sia

una partizione di X se

UX=X

X;0X;=0, peri#j

e

(ovvero gli elementi della famiglia sono a due a

parallela a se

Lasciamo

R un’equivalenza su — è l'insieme

due

|

—

disgiunti).

Proposizione 7.8.8. Sia X/E; ® V(f).

€ X}

f

:

X

+ Y.

Allora esiste un’equivalenza

[a]r è detta classe di equivalenza di a modulo R. L’applicazione v X — X/R tale che, se a € X, v(a) = [a]r è detta :

7.9

|

applicazione canonica.

Lemma 7.8.4. Sia E un’equivalenza sull’insieme X. Allora:

(ye Re [ce= le:

(ii)

applicazione canonica

X,

è

suriettiva.

_

Dalla prima condizione discende che ogni relazione di equivalenza può quoziente). essere ricondotta a uguaglianza su un opportuno insieme

(il

Esempio 7.8.5. Se R è la relazione dell’Esempio 7.8.2 (i), e Leo è uno studente dell’università di Firenze, [Leo]r = la classe di età di Leo. Nel caso dell’Esempio 7.8.2 (ii), > è una relazione di equivalenza sugli insiemi e si pone

X={Y|Y=xX}

(7.8.3)

X

detto numero cardinale dell'insieme X. Per esempio, {a,b,c} è il numero tre, inteso come ciò che hanno in comune gli insiemi tre elementi.

invece di [X]a.

è

:

j

[alr = {x € X|(x,a) € R}

ser,ye

E; tale

Dimostrazione. Si definisce (x,y) € E; sse f(x) = f(y), Chiaramente Ey una equivalenza. Definiamo j([x]) = f(x). Ora j X/Ef V(f) e è j suriettiva. Ma è iniettiva: infatti se j([x]e,) = i([yle;); avremmo O f(x) = f(4), ovvero [r]e, = è

(i)

I

al lettore la verifica della

che

dove (7.8.2)

€

Proposizione 7.8.7. Sia E un’equivalenza sull’insieme X. Allora X/E è una partizione di X. Viceversa ad ogni partizione P di X si può associare una relazione di equivalenza Ep tale che (x,y) E Ep sse x € C e y € C, per qualche C € Ep (ovvero x, y appartengono a uno stesso elemento della famiglia).

= m (mod k) sse

X; l’insieme quoziente di X modulo R — designato da X/R che comprende tutte le classi di equivalenza indotte da R su X, ovvero

X/R= {[alr|a

Iè

i€I

sono parallele fra di loro.

(iv) La relazione di congruenza modulo k sugli interi: n divisibile per & (n, m interi, k > 2). m)

(7.8.1)

Definizione 7.8.6. Sia X un insieme. Una famiglia {X;};ey di sottinsiemi

di X indiciata da

è

dll

L’elnizioni induttive

(.5.

ILIDIUIILI

rette del piano. Poniamo, se r, s sono rette,

Non si dimentichi che, come caso degenere, ogni stessa.

(n-

USI

11I5SUCIIUdI

di

Nel caso dell’Esempio 7.8.2 (iii) le classi di equivalenza possono essere pensate come le direzioni nel piano.

>

bey

Definizioni induttive

Nella sezione precedente abbiamo visto come trattare una fondamentale modalità definitoria — quella per astrazione — in ambito insiemistico, e quindi da una prospettiva estensionale. Ci proponiamo ora un’analisi insiemistica delle definizioni induttive. La motivazione è semplice: i concetti definiti induttivamente sono presenti ovunque nello sviluppo sistematico delle ricerche logiche; dalle nozioni morfologiche (termine, formula) a quelle sintattiche e semantiche (nozione di deduzione, relazione basilare di soddisfacibilità, ecc.). Supponiamo di definire induttivamente un sottinsieme W di un dato insieme ambièilte U. Il lettore pensi pure a titolo di esempio a una versione semplificata concetto di formula per il linguaggio enunciativo, costruito a partire dalle sole costanti T, L (che chiameremo booleani) mediante i connettivi A e =. U in tal caso è l’insieme delle successioni finite di simboli dell’alfabeto. La definizione consta di due clausole di generazione, che dicono cosa mettere dentro l’insieme, e di una terza clausola di esclusione 0 inversione, il cui senso è che, se A è una formula, allora deve essere ottenuta applicando le clausole di generazione:

eTEW,LEW e se

(leggi:

Te

L sono formule);

ABEW,allora(A\ B)EW,

(4) E W;

218

Capitolo e

7.

Teoria ingenua degli insiemi

7.9.

Definizioni nt.induttive e_

2.

nient’altro appartiene a W.

{u|]u=TVu=1LVIvveXAu=-0)VIvdw(v,w

E

è

XAu=

(vA w))} fl

sufficiente. Il concetto W definit Naturalmente, un’applicazione di F non induttivamente si ottiene per approssimazioni successive: prima si pa dall’insieme vuoto, mettendo in F(0) le due costanti T, L; poi si applica ad esse la negazione e la congiunzione, ottenendo tutte le congiunzioni € negazioni fatte con i booleani. Ma non basta; si reitera F ottenendo via via

In

1.

vF

2.

X

C

esiste un sottinsieme v°

CF(X)> XCvF.

particolare uF, vF sono punti fissi di F.

C={X e P(U)| F(X) CX}

è

è non

C, ossia ‘ameora Allora, per monotonia, anche F(4F) è chiuso, ossia F(pF) € condizione di alla uF C F(pF). In conclusione F (LF) = LF. Quanto minimalità, se X è chiuso, uF C X. presi = U il Quanto alla seconda parte, si ragiona dualmente, ponendo vF

dove

D=

In particolare punto fisso di F.

punto

fisso

di

F

F(X)=

Teorema 7.9.2 (Knaster-Tarski). Sia F :U e

Esiste un sottinsieme uF di U, tale che

punto

X CPOOY

fisso di F, vF è invece il

di avere un linguaggio

massimo

elementare esteso con

pa

>

d (Xx) = {a e M

X.

+U

uF è il più piccolo

|

i

tout court) sse, per ogni coppia X, Y

sse

PU)

una variabile insiemistica P. Diciamo che una formula A = A(x, P) è positiva in P sse appartiene alla di £, le loro negazioni, più piccola classe di formule che contiene gli atomi atomi della forma t € P (t termine di £), ed è chiusa rispetto a congiunziouniversale ed esistenziale. Fissiamo ne, disgiunzione e quantificazione il linguaggio £, il qui universo del discorso è realizzazione intesa M. per tale che, per X C M, l'insieme M. Definiamo un operatore Pa : M

XCYs® F(X) CF(Y) X CU è un

{X e

Fsercizio* 7.9.3. Supponiamo

Definizione 7.9.1. Sia F:U-+U.

e

F(uF) C pF

(7.9.1)

di

(0 monotono

(€

(vedi sezione vuota (perché?). Esiste allora un insieme 4F = vale MCcXxe 7.3.1). Tale insieme è chiuso: infatti, se X è un F-chiuso, da cui X, segue E dunque per monotonia F(MC) C F(X)

C

si

FèC-monotono

degli insiemi che sono chiusi ri-

C

O

di

di sottinsiemi di U,

di U, tale che

F(vF);

Dimostrazione. Si consideri la famiglia spetto ad F, ovvero

formule sempre più complesse. Q Il punto è che W deve contenere tutte le possibili formule generabi î mediante F: insiemisticamente W deve essere chiuso rispetto all’operatore generatore, ovvero deve soddisfare la semplice condizione F(W) CW. Ma non basta: tutto quello che è dentro W deve essere ricavabile via applicazione di F, il che significa chiedere la condizione duale alla chiusura W C F(W), che — per ragioni storiche — chiameremo densità. Ovviamente le due condizioni — chiusura e densità insieme — ci dico no che l’esistenza dell’insieme induttivamente definito W di fatto equivale a trovare una soluzione W tale che F(W) = W, o come suol dire, un pun fisso dell’operatore F. j Sotto quali condizioni è dunque possibile trovare siffatte soluzioni insiemistiche? d Non difficile vedere che l’operatore F possiede una naturale proprietà monotonia, che corrisponde alla cumulatività del processo iterativo associato ad F e che è la chiave per giustificare l’esistenza di punti fissi. E

e

A

F(X) CX >puF CX.

e Dualmente,

}

L’idea basilare per una trattazione estensionale è di trasformare la clausole della definizione in un operatore F da sottinsiemi di U in sottinsiemi di U: dato X C U, F(X) produce l’insieme che si ottiene applicando le clausole specificate nella definizione induttiva. Nel caso esemplificato, F(X) è l’insieme

dl

sd

e

|

AM (a,

X)

le costanti dove AM (a, X) significa che A(x, P) è soddisfatta in M, quando P_si assegnano descrittive di A sono interpretate in M, ed alle variabili x,

monotono. -

valori a e X rispettivamente. Provare che l’operatore è monotono.

come

Equipotenza e confronto fra cardinali

7.10

Teorema 7.10.5 (Cantor-Dedekind-Bernstein?!). La relazione < simmetrica:

Ricordiamo che

X e Y sono equipotenti — in simboli X & Y — se esiste biiezione fra X e Y; una

e due insiemi

eX= {Y|Y = X} è dl

2.

X < Y sse X < Y, ma non vale Y < X

Dal lemma 7.8.4 segue subito

in

:

nO={

:

e Hume

(v.

of

Caso

Allora

stretto).

x,y € glY

—

—

f

è

Z, sappiamo che

f[Z]))

ben definita su x, y ed è

f[Z]]. Dunque g-1

si

f[Z]], ovvero y = g(0), = f(x) = 9(y) = H(y), —

9g

Caso 4: x € X e

< è ariflessiva e transitiva (in breve, è un ordine parziale

—

Z, y € Z. Si ragioni simmetricamente.

€ X — Z, Z = X g[Y f[Z]], da H(9(y) = 9 '(9(y)) = y. Altrimenti, g(y) cui segue che y € f[Z], ovvero y = f(u) = H(u), per qualche u € Z. H è suriettiva. Sia y € Y.

Allora g(y) € X.

€

Se g(y) —

—

O

Più ardua invece la prova del 19Esso consiste nell’idea che le nozioni di numero naturale con le rispettive operazioni siano definibili mediante nozioni puramente logiche e che i teoremi dell’aritmetica siano giustificabili mediante principi di natura logica; v. per una prima introduzione E. Casari, La filosofia della matematica del ’900, Firenze 1973; A. Cantini (a cura di), I Fondamenti della Matematica, Torino 1979. 201] lettore interessato potrà consultare la recente monografia di J. Burgess, Firing Frege, Princeton 2005.

e scelta di

Caso 3: x € Z, y € X — Z. Allora y € g[Y per qualche v € Y, v £ f[Z]. Se fosse H(a) avremmo 1(g(v)) = v € f[Z]: assurdo!

< è preservata da =:

(iii) La relazione

x,y € X — Z. Per definizione di F

iniettiva per ipotesi su g.

< riflessiva e transitiva (in breve, è un quasi-ordine);

> (X13X6NH Y,g:Y-

tale

>

:

Definizione 7.10.1. Poniamo: X = Y sse esiste un’applicazione iniettiva di X in Y;

X, ovvero:

«rv { H'()=

(iv) (ZY)X

Y)Z

Esercizio 7.10.8. Provare la proposizione precedente. Si osservi mo fatto è una versione di una ben nota proprietà delle potenze.

= (9 o, DX] = Y = (f°09Mal

Si verifica facilmente che le due successioni d’insiemi sono decrescenti rispet-

che

(Xx

insieme X è finito

e

Un

e

X è infinito sse X

e

X è numerabile sse X

e

X è contabile sse X

sse X

non è

Teorema 7.11.3.

n, per qualche n e N23;

finito;

x N; finito o

numerabile;

X è infinito secondo Dedekind?4 (o D-infinito) sse X = Y, Y C X (ovvero X è equipotente a una sua parte propria).

per

qualche

La definizione di insieme D-infinito si segnala perché assume come ca-

il

ratteristica la presunta violazione nel caso infinito dell’assioma secondo quale la parte è minore del tutto, una delle “nozioni comuni” degli Elementi di Euclide. Già Galileo aveva osservato nei Discorsi e Dimostrazioni che si può stabilire una corrispondenza biunivoca l’insieme dei naturali il sottinsieme proprio dei naturali pari (usando l’applicazione n + 2n), e dunque che l’insieme dei naturali è D-infinito??.

e

fra

Lemma 7.11.2. Ogni

insieme infinito contiene

un sottinsieme numerabile.

Dimostrazione. Ci accontentiamo di un argomento intuitivo, che usa co-* principio di scelta (v. (7.6.1)) e in particolare la possibilità di reitererare l’operazione di scelta arbitraria un numero arbitrario di volte. Intuitivamente, sia X un insieme infinito. Per il principio di scelta, si può supporre di disporre di una funzione che associa a ogni sottinsieme non vuoto Y di X un elemento f(Y) € Y. Scegliamo allora una successione numerabile ao, 01, 42, ... di elementi di X, ponendo: munque

il

f

ao

= f(X) —

{a0})

az = f(X

—

{a0,a1})

(ii) se

X è infinito, X è D-infinito.

Dimostrazione. (i) Diamo solo un cenno intuitivo perché l’argomento rigoroso va la di là dei limiti di un testo introduttivo. Basta provare che, se n#m non esiste alcuna biiezione fra {0,...,n} e {0,...,m} (in particolare nessuna applicazione fra {0,...,n+1} e {0,...,n}). Ma questo corrisponde al celebre Pigeonhole Principle (o Schubfachprinzip) PHP: ci sono n nidi 1 piccioni, almeno un nido deve contenere almeno due piccioni. PHP en+ può essere provato rigorosamento con argomento aritmetico. (ii) Per il lemma precedente, X contiene sempre un insieme numerabile {@0, 1, 2, ...}. Allora esiste una biiezione f fra X e X — {ao}. Basta porre

se

(7.11.1)

fè

= f(X

—

{a0,

1,

{

a,

anii,

se a € X, ma a

SCA=

biiettiva fra X e la sua parte propria X

—

#

an, per ogni n € N

{ao}.

O

D'altra parte, lasciamo al lettore l’agevole verifica del

Lemma 7.11.4. 1.

ogni sottinsieme di un insieme finito è finito;

riunione di due insiemi finiti è un insieme finito.

la nozione di applicazione:

a2})

Teorema 7.11.5. Un insieme X

X in

Siccome l’insieme non è finito, an esiste per ogni n € N.

il

f(a)=_f

Riflettendo sulla prova del teorema 7.11.3, è possibile dare una interessante caratterizzazione della finitezza di un insieme usando esclusivamente

ecc.

23

X è D-infinito, X infinito.

2. la

ar = f(X

az

(i) se

si

O

Anche qui avvertiamo lettore più attento che tratta solo di una prima definizione; basterebbe chiedere che esista un’applicazione suriettiva da X su un numero naturale, oppure che ne esista una iniettiva da X in un qualche naturale. 24Non vaqui sottaciuto il nome di Bernard Bolzano (1781-1848), il matematico e filosofo che ha anticipato nei suoi Paradossi dell’infinito idee di Cantor e Dedekind. 25 Argomenti simili che mettono in luce l'aspetto paradossale degli insiemi infiniti sono già presenti nel Corpus aristotelico: si veda la biiezione fra una circonferenza di raggio 2r e una circonferenza concentrica di raggio r, la cosiddetta “ruota aristotelica”, che si trova menzionata nelle Quaestiones Mechanicae.

sé è anche

suriettiva

è finito sse ogni applicazione

iniettiva di

Lasciamo al lettore interessato la ricerca di una giustificazione, ragionando concretamente su insiemi di numeri naturali e sfruttando i risultati immediatamente precedenti.

Insiemi numerabili notevoli. N x N delle coppie di

naturali

Lemma 7.11.6. NR NxN

è

Innanzi tutto osserviamo che l’insieme equipotente all’insieme N dei naturali.

Dimostrazione. L’insieme N x N di tutte le coppie ordinate di naturali si lascia rappresentare da una matrice infinita, in cui ogni riga contiene una successione numerabile di elementi: (0,0)

(0,1) (1,1) 2,1 (2,1)

(1,0) (2,0)

(7.11.2)

(0,2) (1,2) (2,2)

Proposizione 7.11.8.

Ora l’insieme si lascia enumerare senza ripetizioni e senza omettere alcun elemento della matrice se si procede secondo l’ordine diagonale (0,0)

+

(0,1)

+ (1,0) +

(0,2)

+ (1,1) + (2,0)...

È possibile dare una prova analitica dell’esistenza di una siffatta biiezione scegliendo l’applicazione?8

0(€,9) =

(7.11.3)

(2

+4) +3c+y

Vale cioè che

lemma

si

(7.11.5)

S(k)={s|s

lascia generalizzare al caso continuo.

+

1}

Chiaramente l’insieme S(k) è finito?”. In generale

c

Ma

N° = [J{S(k)]|K e N}

e

S(2)

C...

dunque N°” è numerabile.

Variazione sul tema: gli insiemi finiti.

O

Sia Py;n(N) l’insieme dei sot-

tinsiemi finiti di N.

che si lascia interpretare geometricamente come paradosso della dimensione, dicendo che l’insieme dei punti interni del quadrato di lato unitario è equipotente all’insieme dei punti interni del lato medesimo. Lo stesso risultato vale se si sostitutisce il segmento unitario con la retta reale (e dunque analiticamente con l’insieme R). Più in generale vale che R” & R (n > 2). È poi possibile provare che R è equipotente con un suo segmento finito, R la funzione per esempio quello unitario, scegliendo come f : (0,1) f(x) = cot ra. Alternativamente si può applicare una semplice costruzione geometrica, la cui interpretazione esplicita viene lasciata per esercizio al lettore:

+

Proposizione 7.11.9. Ppin(N) =

0, esiste un’unica rapprésentazione di n nella forma (7.11.6)

n= 200

dove k > 0 e xo > t1

>...

2SPer un teorema Fueter e Polya, ci sono esattamente due biiezioni tra N° e N definite da un polinomio di secondo grado: la funzione di Cantor (7.11.3) e quella associata al polinomio simmetrico ottenuto scambiando x con y. Si veda C. Smorinski, Logical Number Theory I, Berlin 1991.

>

+

271

+...+2%%

XK.

\

Esiste allora una enumerazione canonica senza ripetizioni di elementi di P;;n(N). Basta porre, per n > 1, Dn

e convenire che Do c

N.

Dimostrazione. Si applica la cosiddetta codifica diadica degli insiemi finiti di naturali, che si fonda su un ben noto fatto:

(7.11.7)

di

sequenza di altezza < k e di lunghezza < k

S(0) C S(1)

(0,1) = (0,1) x (0,1)

(7.11.4)

N° & N.

Dimostrazione. Associamo ad ogni sequenza finita (no,...,np) il massimo numero fra le sue componenti e chiamiamolo altezza di (n1,...,np). Lunghezza di una sequenza è invece il numero delle sue componenti (così (no, ...,np) ha lunghezza p+ 1). Sia ora

3

OÙ

Osservazione 7.11.7. Il

Proviamo ora una utile generalizzazione del lemma 7.11.6 con un’applicazione ai linguaggi formali. Sia N°® l’insieme delle sequenze finite di naturali. Una sequenza finita di numeri naturali è un oggetto della forma (n1,...,np), dove ogni componente della sequenza è un numero naturale.

Ad esempio, 13 {5, 2,3} è Das.

=

=

23

0).

=

{x0,

c1,..., Ck}

L’applicazione n

+ 22 + 2°

e

tutti

e soli gli

+ D, è biiettiva.

dunque D13 = {3, 2,0}. Viceversa l’insieme

Esercizio 7.11.10. Completare la prova precedente. "Per

esempio

(0)

=

a

{(0)}, mentre S(1)

=

{(0), (1), (0,0), (0,1), (1,0), (1, 1)}; ecc.

Sia A un insieme numerabile di oggetti, identificabili come lettere di un alfabeto. Una parola su A è semplicemente una successione finita di elementi di A. Applicando la Proposizione 7.11.8 segue immmediatamente

il

Corollario 7.11.11. L’insieme delle parole sull’alfabeto A

è numerabile.

Viene allora voglia di generalizzare i risultati precedenti passando a considerare l'insieme NN delle successioni numerabili di naturali. E si potrebbe azzardare, sull’onda del successo degli ultimi risultati, che anche NN sia un insieme numerabile. E invece non è vero

...

7.12

di

Il teorema Cantor sulla potenza. La gerarchia dei cardinali

L’argomento diagonale per le funzioni.

Cominciamo con un paio di nozioni preliminari. In primo luogo, scegliamo un corrispettivo insiemistico dei valori classici di verità, il Vero e il Falso, ponendo 2 = {0,1} dove abbiamo identificato 0 col vuoto 0) e 1 col singoletto del vuoto {0}. Definiamo inoltre: 2%

(7.12.1) Gli elementi di

2* sono

Definizione 7.12.1.

le

=

{f|f:X-2}

X, la funzione fy

:

X — 2 tale che, per

a € X,

fr(a) =

(7.12.2) è

detta funzione caratteristica

{

f

:

Proposizione 7.12.3 (Diagonalizzazione).

Se {fn}neN è una successione numerabile di elementi di esiste una funzione d € 2°, tale che, per ogni n € N, é # fn. Dunque non esiste alcuna suriezione di N su 2N e dunque a fortiori di N su NN.

2,

Innanzitutto si definisca la funzione h(n)= fn(n). Infine si costruisca l’antidiagonale é di ovvero tale che Dimostrazione.

(7.12.3)

5(a)

= { o

x

A A,

N — 2 tale che che scambia 0 e 1,

:

oi

Per costruzione l’antidiagonale differisce da ciascuna fn in almeno un punto Ci (l’n-esimo). Dunque per ogni n € N, d(n) # fa(n).

Corollario 7.12.4.

cosiddette funzioni caratteristiche su X.

Se Y C

Soffermiamoci ora su un caso particolarmente significativo, scegliendo come X l’insieme N dei numeri naturali {0,1,2,...}. Chiamiamo successione numerabile (0 w-successione) di elementi di 2" N— 2N. Per maggioré chiarezza una successione numerauna funzione bile di elementi di 2N viene indicata con {fn}nen-

N

< 2N.

Dimostrazione. Si può definire un’applicazione iniettiva di N in 2N associando ad n € N la funzione fl") e 2N tale che Sm(M)=1e fn(M) = 0, per O m. Poi applica la diagonalizzazione.

si

n#

Segue anche che l’insieme R dei numeri reali non può essere numerabile,

2

è equipotente al sottinsieme dei reali del segmento unitario la dato che cui rappresentazione decimale contiene solo le cifre 2, 3. Di conseguenza:

0 sca È v

Corollario 7.12,5. N([H2])

se Hi([H2]) = 0, ovvero, per (1.2), se H2([Ha])

In conclusione, abbiamo provato che converge: contraddizione!

H2([H]) diverge

se e solo se

H3([H2]) O

Se si accetta la tesi di Turing, i risultati di non-esistenza di macchine di Turing assumono una portata assoluta: si può affermare che non esiste alcun algoritmo che decide il problema dell’arresto per macchine di Turing e quindi generale per gli algoritmi. Per questo motivo e per la possibilità di poter svolgere alcune argomentazioni basate solo sul concetto intuitivo di algoritmo, sì assume in quel che segue la validità di CT: se si dispone di un algoritmo per decidere un insieme, accettare un insieme o calcolare una funzione, si inferisce automaticamente l’esistenza di una macchina di Turing che si comporta nello stesso modo. Va ricordato che le procedure effettive di cui parliamo operano su un universo del discorso numerabile, che si può presupporre come fissato una volta per tutte e i cui elementi sono successioni finite di simboli (o parole o stringhe), che possono essere codificate mediante numeri naturali. Per semplicità, non è dunque restrittivo pensare alle parole come rappresentate non ambiguamente da numeri naturali che ne costituiscono i codici, ed identificare quindi i vari problemi da risolvere algoritmicamente con insiemi di numeri naturali. Sempre per semplificare il discorso, è utile osservare che le procedure effettive di decisione hanno come controparte estensionale gli insiemi decidibili, mentre le procedure effettive di verifica caratterizzano i cosiddetti insiemi semidecidibili.

in

Definizione 8.4.2. e Un insieme X C N!4 è decidibile se esiste un algoritmo M che, per ogni n di N in entrata, si arresta e fornisce in uscita la risposta Sl se n € X, e la risposta NO se n & X; e

e

un insieme X C N è semidecidibile sse esiste un algoritmo M il quale si arresta su n € N sse n E X; X C Nè effettivamente enumerabile (in breve X € RE) sse X è vuoto oppure esiste un algoritmo M, che converge ovunque su N, tale che

X={M(n)|ne

N}.

In maniera esplicita: X C N è semidecidibile nel senso che esiste un modo effettivo per verificare se n € X: si dà come input n ad M, e se n è un elemento di X, M si arresta su n. Il punto è che, se n é X, M può andare avanti all’infinito senza fornire alcuna risposta. Insomma, mentre disponiamo di un metodo completo ed effettivo per conoscere l’estensione di un insieme decidibile, abbiamo solo informazioni positive, quindi parziali, sull’estensione di un insieme semidecidibile: sappiamo (in modo effettivo) 14Ricordiamo che questo simbolo indica l’insieme dei numeri naturali.

cosa c’è dentro X, ma non cosa contiene il suo complemento. Dunque ogni insieme decidibile è semidecidibile; ma non vale il viceversa:

Corollario 8.4.3. Esistono insiemi semidecidibili che non sono decidibili. Dimostrazione. Sia K l’insieme {n|n € N,U(n,n) |} (U macchina universale). Allora esiste un algoritmo Mx che arresta su n sse n € K. Dunque K è semidecidibile, ma X non può essere decidibile per l’indecidibilità del

si

problema dell’arresto. Lemma

8.4.4

O

(Post). Un insieme X C N è semidecidibile sse X € RE.

Dimostrazione. Da destra a sinistra, se _X è vuoto, X è banalmente accettato dalla macchina di Turing che diverge ovunque (si veda primo esempio). Sia X non vuoto sia M l’algoritmo che enumera X. Definiamo una operazione Fw tale che

il

e

Py (n) =

{

1 T

M(i) = n, per qualche i € N altrimenti

se

Chiaramente c’è un algoritmo Mj che calcola Fy: dato n in entrata, Mi controlla via via se M(0) = n, oppure M(1) = n, oppure M(2) = n, ecc., finché non trova un & che si ferma con n in uscita. Naturalmente può non esserci e in tal caso Mj diverge. Si osservi però che, per ciascun i, il test effettivo e termina dopo un numero finito di passi per ipotesi “M(i) = n?” su M. Vediamo ora il viceversa: assumiamo che X sia semidecidibile, ovvero che valga X = {n| M(n){},\per qualche algoritmo M. Vogliamo definire un algoritmo che enumera X, posto che X # 0. L’algoritmo viene specificato da unà-procedura induttiva che sfrutta il carattere discreto e finito delle computazioni e genera una lista L di X:

è

e

Stadio 0: si calcola un passo del calcolo di M(0); se M(0) converge in un passo, si aggiunge 0 a L;

e

Stadio k+1: si calcolano k + 1 passi nelle computazioni di M (0), M(1),..., M(k). Ogni volta che l’algoritmo ferma su i (0 < i < k) in al massimo & + 1 passi, si aggiunge i alla lista L. Ora lista L è effettivamente enumerabile dalla funzione E che soddisfa le condizioni:

si

1.

E(0)=

il

pf

il

la

elemento di L;

più piccolo y aggiunto ad L allo stadio # + E(k+1)= € {E(0),..., E(k)}, se un tale y esiste; 3. E(k+1)= E(0), altrimenti. 2.

y

1,

ma

o

Teorema 8.4.5 (Post). Un insieme X è decidibile sse è semidecidibile assieme al proprio complemento.

Dimostrazione. Da sinistra a destra, la conclusione è ovvia. Viceversa, per lemma precedente possiamo supporre di avere due algoritmi M;, M enumerano rispettivamente X e N — X. Preso n € N, facciamoli partire su n: dopo un numero finito di passi, o M} arresta accettando così n, oppure My si arresta accettando così n. Nel primo caso si pone M(n) = SÌ, nel secondo M(n) = NO. M è un algoritmo che decide X.

che

il

si

e

Corollario 8.4.6. Esistono insiemi indecidibili che non sono semidecidibili. Dimostrazione. Si consideri il complemento di K; se fosse semidecidibile, per il teorema di Post, K stesso sarebbe decidibile: assurdo! Un argomento alternativo si basa sulla teoria degli insiemi: l’insieme delle macchine di Turing è numerabile e dunque c’è al massimo una famiglia numerabile di insiemi (e problemi) semidecidibili. Per il teorema di Cantor, dato che l’insieme dei sottinsiemi di naturali è piucchenumerabile, esistono insiemi che non sono semidecidibili.

8.4.1

O

Indecidibilità della logica elementare

Sappiamo che ci sono macchine di Turing in grado di simulare qualunque macchina di Turing (se stesse incluse), ma anche la logica elementare ha la capacità di simulare il comportamento di una qualunque macchina di Turing. Vediamo come!?. Sia M = (A, 92,1) una macchina di Turing dove A è l’alfabeto (finito) della macchina, Q è l’insieme finito degli stati interni di M, 7 è l'insieme (coerente) delle istruzioni. Ly è un linguaggio elementare che comprende: e

una costante individuale per ogni simbolo dell’alfabeto A e dell’insieme Q degli stati!°, nonché costante e per la parola vuota!7;

la

J per

e

un simbolo funtoriale

e

una costante predicativa a due posti Sy per esprimere il passaggio da una configurazione istantanea ad una successiva;

e

la

!5La prova che schizzeremo qui sotto risale a idee di Turing e al classico articolo di J.R. Biichi, Turing machines and the Entscheidungsproblem, Mathematische Annalen, 148 (1962), pp. 201-213. Si possono vedere per maggiori dettagli il capitolo 6 del testo di G. Lolli, Lezioni di logica matematica, Torino 1978, trattato di E. Bòrger, Berechenbarkeit, Kompleritàt, Logik, Braunschweig 1986, oppure il capitolo 11 della quarta edizione di G. Boolos, J.P. Burgess, R.C. Jeffrey, Computability and Logic, Cambridge 2002. !6Ovviamente, li identifichiamo notazionalmente: per es. * è ora anche la costante individuale di £m per simbolo + dell’alfabeto di M. "Per parola vuota si intende lista degenere composta da zero simboli di un alfabeto. € funge da elemento neutro dell’operazione di concatenazione fra parole, v. 8.1 e sotto.

il

la

i

ora

che

in

il

DnPossiamo

|

agevolmente esprimere con una formula monadica Halty(D) di Lm la proprietà di una configurazione qualsiasi D di essere terminale; basta porre: 7

Haltm(D) := Vw-=Sm(D,w)

(8.4.1)

Definiamo quindi una formula Arm che traduce logicamente le istruzioni della macchina di Turing M e ne governa le condizioni di arresto. Arm è la congiunzione dei seguenti assiomi: e l’operazione di concatenazione è associativa e possiede come elemento

neutro la parola vuota (8.4.2)

l’operazione binaria di concatenazione;

una costante predicativa unaria Am per esprimere proprietà di essere una parola (eventualmente vuota) sull’alfabeto A di M.

il

termini del linguaggio sono induttivamente generati mediante concatenazione a partire dalle variabili e dalle costanti individuali. Si noti che le configurazioni istantanee D, D',... di M (v. Definizione 8.2.7) sono a tutti gli effetti termini chiusi di Lm. Per evitare di appesantire l’analisi formale, rappresentiamo l’applicazione del funtore J di concatenazione mediante semplice giustapposizione, modo le quadruple che occorrono nelle istruzioni di M e le configurazioni istantanee che vengono generate durante un calcolo di M siano naturalmente identificabili con termini di Ly. Utilizziamo la formula atomica Sy (w, u) di Lm per esprimere fatto che la configurazione codificata dalla parola w segue dalla configurazione codificata dalla parola w mediante una serie di applicazioni delle istruzioni di M. Prima di scrivere gli assiomi che governano il comportamento di M, ricordiamo che il linguaggio della macchina M è finito, e dunque esiste un insieme finito — che chiameremo suggestivamente STOP — di parole della forma Y = QmSn; che non occorrono)come sottoparole iniziali delle istruzioni I

©

Sy

è

per

ogni

(8.4.4) (8.4.5) e

per

= (xy)z) AVz(ze =

2

= ez)

transitiva:

(8.4.3) e

:

VavyVz(x(y2)

ogni

VavWyWz(Sm(x,y)

A

Sm(Y,2)

>

istruzione di M della forma q;sxLg; Vuvw(Am

(ju)

A Am(Ww)

Vib(Am(w)

>

>

istruzione di M della della forma Vuvw(Awm(u)A Am(w)

(8.4.7)

Vu(Am(u)

>

:

Sm(USmgiskWw,

Sm(gispw, gj

(8.4.6)

Sm(2,2))

*

UgjSmskw))

spw))

g;sxRgj

:

> Sm(Ugis:SmW, USkgjSmW))

Sm(ugisk, uskg;*))

e

per

ogni

istruzione di M della forma

:

Vuvw(Am(u)A Am(w) — Sm(ugispw, ugjsmw))

(8.4.8)

per ogni y € STOPy.

e

gi8kSmdj

>

Haltm(uyw))

L’ultima condizione assicura che, se la macchina M si trova a operare su una configurazione a cui non si può applicare alcuna istruzione, allora M si arresta davvero, nel senso che nessun’altra configurazione la segue secondo Sm.

Definizione 8.4.7.

Richiamando

(vedi cap. 3, 3.4.6), poniamo:

Val(£)={A|A

le nozioni di verità e di conseguenza è

una

verità logica

logica”

di

costruisca esplicitamente Arm per qualche macchina M appartenente agli esempi di 8.2.5.

A

+ B)

(per

3r B

la

siano enunciati. Si verifichi che A definizione di È v. 3.4.6).

}

4x B sse

questo punto è possibile dimostrare!8 la completezza e la fedeltà del

processo di simulazione.

8.4.9.

qa

la configuraSia M una macchina di Turing. Sia Da = Lemma zione iniziale di M quando M riceve in ingresso la parola a e si trova nello stato iniziale go. Allora:

un calcolo di M che trasforma la configurazione iniziale Da nella configurazione D sse Sm(Da, D) segue logicamente da Ax m.

e esiste

e

Inoltre, utilizzando l’abbreviazione di (8.4.1):

M(a)|&

Axy È 3D(Sv(Da; D)

A

Halty(D))

Dal lemma segue facilmente il fondamentale

Teorema 8.4.10 (Church, Turing). Esistono linguaggi elementari L tali che l’insieme Val(£) è indecidibile (anche se semidecidibile).

il

18ì richiedono risultati che verranno sviluppati nel seondo volume, v. teorema di Herbrand. Per maggiori dettagli, il lettore può consultare il capitolo 6 di G. Lalli; op. cît., volume di G. Boolos et alii, Computability and Logic, Cambridge 2003°. oppure

il

nel

di

(i) Si

È dr(A

il

Agy

si

si

di L}

Esercizio 8.4.8.

(ii) Assumiamo che A,

la

per

:

Vuvw(Am(u)A Am(w)

(8.4.9)

Dimostrazione. (Schizzo) Innanzitutto gli alberi di Beth permettono di definire agevolmente un algoritmo (mediante la cosiddetta tecnica dell’albero canonico, vedi vol. II) che accetta tutte e sole le verità logiche. Dunque Val(£) è semidecidibile. D'altro lato, supponiamo assurdo che validità logica — relativa ad un linguaggio dato £ — sia decidibilé mediante un algoritmo Ac, il quale accetta enunciati qualsiasi di £, ed assume valore 1, se A € Val(£), mentre assume valore 0, se A £ Val(£). Facciamo vedere allora che esiste/un algoritmo che decide problema dell’arresto per le macchine ing (su un alfabeto prefissato, che lasciamo implicito dato che la costruzione è uniforme linguaggio stesso), contro il teorema 8.4.1. Supponiamo ricevere in ingresso una qualunque macchina di Turing M e una parola a dell’alfabeto di M. Al fine di definire l’algoritmo, procede così. In primo luogo costruiscono Ary e la configurazione iniziale Da, che si ottiene scrivendo sul nastro di M la parola a. In secondo luogo, applicando il lemma 8.4.9 e l’esercizio 8.4.8, si ottiene che

M(a)l Se si pone

è

E ID(Axy

+

(Sm(Da, D)

A

Haltm(D)))

per brevità,

ID(Arm

—

(Sm(Da, D)N Haltwm(D)))

= Convm(M, a),

possiamo definire Ay:

8.4.10)

An(M,a)=

Per l’assunzione su Ac, Ay

{

1,

se Ac(Convm(M,a))

0,

se

decide

=1 Ac(Conum(M,a))=0

il problema dell’arresto.

O

Con una variazione sulla tecnica precedente si riesce a provare un notevole rafforzamento del teorema di indecidibilità, dovuto al matematico e logico russo-israeliano Boris Trachtenbrot. Si consideri fin degli enunciati validi in tutti i modelli finiti di L.

Fase

Teorema 8.4.11 (Trachtenbrot). Esiste un linguaggio £ che contiene come costante descrittiva un solo predicato binario, tale che Val non decidibile fin (e neanche semidecidibile).

Osservazione 8.4.12. Per l’indecidibilità

è

è essenziale avere simboli per predicati diadici. Infatti, si consideri il problema:

(SAT1)

decidere se una formula A qualsiasi della logica elementare pura che ha solo predicati monadici è soddisfacibile.

funzione è quella di generare tutte e sole le espressioni ammissibili appartenenti alle diverse categorie sintattiche. Tipicamente, nel caso dei linguaggi formali elementari introdotti in questo libro, abbiamo a che fare con le nozioni di termine e formula; se invece studiamo una lingua naturale come l’italiano, dovremo considerare sintagmi nominali, verbali, avverbiali, ecc. Vediamo un esempio molto elementare che riguarda quest’ultimo caso: la grammatica italiana accetta frase ‘Giovanni conosce Anna’, ma non ‘Giovanni conoscono Anna’; allo stesso modo sintagma nominale ‘il padre di Giacomo’ è permesso, ma non ‘il madre di Giacomo’. Chiedersi perché, significa cercare di enucleare un sistema finito di regole formali che giustifica

In virtù di un classico teorema di Lòwenheim che verrà dimostrato nel secondo volume, si può trovare una procedura effettiva di soluzione per (SAT1) che consiste nel ricondurre il problema attraverso l’eliminazione dei quantificatori a quello della soddisfacibilità delle formule enunciative. L'osservazione fondamentale è che, se disponiamo soli predicati monadici nel linguaggio, nel di si es. riescono numero per tre, a distinguere logicamente solo 23 individui: in altri termini, possiamo limitarci a considerare solo strutture che hanno universi del discorso finiti e anzi con un numero fissato di elementi che dipende appunto dal numero dei predicati. Vediamo come. Sia data una formula monadica A con & simboli di predicati monadici. Si associa ad A la sua trasformata enunciativa E(A) ottenuta come segue:

di

la

il

/ queste scelte. Di grande rilevanza teorica il fatto che, a partire dalle ricerche fondamentali di Chomski della metà del secolo scorso, il meccanismo della giusti ficazione 0 accettazione grammaticale può essere assimilato a quello di una derivazione, o calcolo formale in senso generalizzato, analogo a quello che sta dietro alle macchine di Turing. Al fine di rendere più concreta questa connessione, fissiamo la terminologia — riprendendo così anche nozioni già introdotte, v. sezioni 8.1 e 8.4.1. Supponiamo che Y sia un alfabeto (leggi: un insieme finito di caratteri o simboli, intesi come oggetti atomici). Una parola (o stringa) o su un alfabeto Y è una successione finita a = 01 -..@n, dove ciascun a; è un carattere di Y. Così ogni parola della frase che sto scrivendo è anche una parola nel senso astratto sull’alfabeto della lingua italiana. Y* è l’insieme di tutte le parole finite su Y (usiamo le lettere greche come metavariabili per parole). Alle parole su Y si associa l’operazione di concatenazione *, che consiste semplicemente nel costruire una nuova parola che si ottiene giustapponendo la prima alla seconda: date a = a1...@n,

è

estende il linguaggio con 2* costanti individuali distinte c; (i compreso fra 0 e 2% — 1) e si omettono V, 3;

e si

e

E(A) è induttivamente definita stipulando che sia la trasformazione identica sulle formule atomiche, che commuti con i connettivi, ed inoltre:

ENxB) =

E(xB) =

/

E(Bk:=cj))

\V

E(B:=cj])

ich ich

e poichè vale che A è soddisfacibile se e solo se E(A) è soddisfacibile su un dominio di 2* elementi, e poichè il numero delle possibili realizzazioni su un tale dominio finito, si controlla se E(A) è soddisfacibile

in una realizzazione del linguaggio esteso con costanti ma privo di quantificatori, avente per universo 2% elementi. Questo compito è effettivamente eseguibile in un numero finito di passi (per quanto possa risultare molto grande e di fatto impossibile praticamente).

a

Esercizio 8.4.13 (Risolto nel secondo volume). Il lettore provi giustificare la procedura nel caso di un semplice linguaggio che possiede soltanto due predicati monadici (che possono essere pensati come due aggettivi come ‘rosso’ e ‘nero’). In particolare, cerchi di dimostrare che A è soddisfacibile se e solo se E(A) è soddisfacibile su un dominio di 22 = 4 elementi.

8.5

Grammatiche formali

Molto schematicamente, la grammatica di un linguaggio £ — anche una lingua naturale, come l’italiano o l’inglese — è un sistema di regole la cui

N

T=

bi

vee

dk,

A*T

=] ...Gnb...bk

Per completezza si stipula che esista una parola privilegiata, la parola “vuota” e, che è elemento neutro rispetto alla operazione di concatenazione, vale cioè

a*XE=A=E%*%0 Da un punto

dati:

e

di

un alfabeto

vista astratto, una grammatica!” G consiste dei seguenti

:= VrUV,y, costituito da due insiemi disgiunti, l’insieme Vr dei simboli terminali, e l’insieme Vy dei simboli non-terminali, a cui appartiene un simbolo privilegiato 5 detto iniziale; ®

190 grammatica di tipo 0 0 grammatica a

struttura

di frase.

e

un insieme finito P di produzioni (o

regole

2.S-e

di riscrittura)

3.L- wu

P={(c,,7)|0

e

a=%Y>E

2..:>E In=B

d.y > vv

Vediamo subito che la grammatica G genera la parola terminale wuv), Infatti, si consideri la derivazione:

S >o a.5Y rSYy >q uuSy uuSy >q uuy

Un altro semplice esempio è offerto da una grammatica sul linguaggio {a,b} U{W} che accetta tutti e soli i palindromi; qui W è non-terminal, Basterà assumere come regole di produzione:

Wie

2.W-a

Convenzione 8.5.1. Per semplicità notazionale, quando la grammatica G è

4.

W-aWa

a>,0,a> L.

5.

W

>

(T) Vr = {u,w}; (N)

Vw

= {x,y S}

(R) R consta delle produzioni: 1.

S- xSy

la regola 4)

S=> uuvv

W_4b

Il problema della parola per una grammatica G consiste nel cercare un 0. algoritmo per decidere se, data una qualsiasi parola o di Vr, S Se la risposta è positiva, si dice che il problema della parola per G è decidibile. Non sarebbe difficile dimostrare che grammatiche formali e macchine di Turing sono strettamente legate: le MT simulano le grammatiche formali; viceversa queste ultime possono simulare adeguatamente le MT. Ne segue che, se si sapesse decidere il problema della parola per grammatiche qualsiasi, si saprebbe anche decidere il problema della fermata per le macchine di Turing, e viceversa. Facciamo un semplice esempio, fissando una grammatica G tale che:

UUvv

la regola 1) la regola 3) la regola 2)

Per definizione segue dunque

3.

chiara dal contesto, si tralascia d’indicarla esplicitamente e si scrive soltanto

>q

UUY

(per (per (per (per

+ bWb

Le regole di G possono essere viste come clausole di una definizione induttiy, «della nozione W di palindromo; ad esempio, la quarta regola asserisce che se W è un palindromo,/lo è anche la parola ottenuta da W concatenando

|y

sia a sinistra sia a destra con a. Ecco le prove che la grammatica accetta abbba e abba:

aWa aWa >XabW ba W

abWba

W aWa abWba

>

>q

abbba

>o0

aWa

=>q

abWba

> abeba =

(regola 4) (regola 5) (regola 3) (regola 4) (regola 5)

abba

(regola

1)

Concludiamo con altri due esempi, l’uno astratto e l’altro concreto. Nj ‘primo caso sì tratta di una grammatica che genera l’insieme delle paro,

della forma a"b"c", dove n è un naturale qualsiasi e in generale, se d è un simbolo dell’alfabeto, d” rappresenta la concatenazione iterata n volte di d con se stesso (dove si stipula che d° = e). L’alfabeto della grammatica consta del solito simbolo iniziale S, due simboli non terminali A e B e due Le produzioni sono: simboli terminali a e db.

LL

Se

2.

S+ abc

3.

S

> aSBc

4. cB —

Bc

5. bB—- bb

Esercizio

una ragazza con un gatto senza qualche amico.

atbic4.

L’altro esempio riguarda una grammatica per generare sintagmi nominali. Essa comprende come simboli non terminali i seguenti: e

NP

e

Det — determinatore;

e

N

e

PP frase

e

Prep»

sintagma nominale;

nome;

di

Glossario

e algoritmo;

procedura meccanica effettiva;

e

carattere; alfabeto; parola su un alfabeto;

e

stato interno di una macchina; azione elementare; istruzione;

e

macchina di Turing (MT); condizione di coerenza (0 determinismo); funzione di transizione; configurazione istantanea; calcolo 0 computazione di una MT; convergenza e divergenza di una macchina su un input;

e insiemi

preposizioni.

Consideriamo ora la grammatica che comprende

NP Det Det Det N

N N N

PP

=>

DetN

=>.

qualche

> > > + =>.

un

una ragazza amico

gatto

> NPP =>

le

PrepNP

Prep =. con Prep =>. senza

sintagma nominale:

restrizioni sulla forma delle regole, si ottengono classi parti colari di grammatiche. Le grammatiche degli ultimi due esempi sono grammatiche tipo 2 (o libere dal contesto). Ma lo studio approfondito di questi problemi fa parte della teoria dei linguaggi ed esula dagli scopi del presente manuale. Per approfondimenti, il lettore può rivolgersi ai testi seguenti: B.H. Partee, A. Ter Meulen, R.E. Wall, Mathematical Methods in Lingquistics, Kluwer, 1990, oppure al capitolo 7, vol. 1 del trattato in due volumi: L.T.F. Gamut, Logic, Language and Meaning, The University of Chicago Press, Chicago 1991.

e macchine universali;

predicativa;

il

Imponendo

8.6

8.5.2. Provare che la grammatica precedente accetta la parola.

—»

Esercizio 8.5.3. Provare che la grammatica accetta

\decidibili,

problema dell’arresto;

semidecidibili ed effettivamente enumerabili;

®

indecidibilità della logica elementare;

©

tesi di Turing;

e

grammatiche formali; produzioni; problema della parola.

regole di riscrittura:

di

|

Indice analitico albero,

104-107

argomento, 2, 3, 7, 8, 57, 182

binario, di Beth, 93-161, 171, 172, 104, 105

177, 185, 243, 263 aperto, 113, 148

canonico, 263 chiuso, 113, 113, 115, 135, 141, 151-154, 155

completato, 113, 144, 148, 155

completato e aperto, 113, 115, 143, 146, 149, 151-

154, 155 costruzione di, 112-116, 116, 118, 137, 144-146, 152-154, 155, 157, 158 , 106, 107, 112, 113 ieme formule, 127, 128,\130, 152

di

alfabeto di un lingùaggio £, 18, 72, 228, 265, 266, 268 di una macchina, 244-246, 248, 249, 252-256, 260, 263 algoritmo, 239-244, 255,256, 258260, 263, 266 anafora, 78-79

antecedente di un coddizionale, 30, 31, 35, 69

\

appartenenza relazione di, 190, 193, 194, 233, 235 applicazione canonica, 216 operazione 214, 235

di,

corretto, 151

diagonale, 228, 229, 256 valido, 177

arietà di un funtore, 23, 24 di un predicato, 18, 21, 72, 75, 203 Aristotele, 2, 7, 16, 30, 54, 165, 169, 173, 179, 184

assioma di Aristotele, 169, 170172, 175, 177, 184, 188 assioma di scelta, 212, 231, 232 associatività, 196, 222 assorbimento, 196

astrazione, 194, 215, 217, 223, 233, 234

lambda-, 236, 237 operatore di, 192, 193 per funzioni, 234, 235 per insiemi, 191, 192 principio di, 233, 234

191-195,

203,

Bernays, 10 Bernstein, 221 B-conversione, 236 bicondizionale, 30, 33, 35, 41, 51— 53, 68, 69 bivalenza principio di, 7, 22, 32, 33, 35, 37, 51, 94, 126, 133

Boole, 1 Borel, 221 calcolo (0 computazione) di una MT, 244, 248, 249, 252,

253, 254, 257, 259, 261, 262 Cantor, 39, 191, 221, 224, 232, 256 cardinalità del continuo, 231 catena sillogistica, 178

in forma goclenica, 178 cella di una MT, 244, 244, 245251, 253, 254 Church, 157, 235 classe, 167, 168, 186, 187, 189192, 233 di equivalenza, 216, 216 codifica diadica, codominio, 203, 204, 207, 209, 212, 213, 230 complemento, 259, 260 assoluto, 196 composizione di funzioni, 208, 209 di relazioni, 205 comprensione principio di (vedi anche astrazione), 193 computor, 253, 254, 256 conclusione di un’inferenza, 7, 37, 130,

227

È

173, 174, 177, 178

condizionale (vedi anche implicazione), 30, 34, 35, 40 condizioni di verità, 20, 33, 3335, 64, 134, 135

configurazione istantanea, 248, 249, 250, 251, 254, 260 congiunzione, 30, 31, 33, 38, 47 connettivo, 29-58 principale, 32, 97, 99 scopo del, 31 conseguente di un condizionale, 30, 31, 35, 69 conseguenza logica, 7, 15, 77, 77, 262

consistenza,

126-132

Dedekind, 191, 224

contesto

deduzione

intensionale, 57 opaco, 69

contraddittorietà, 170, 171, 179, 183, 184, 186, 187 contraddizione logica, 118, 126

contrarietà, 170 contro-immagine, 206 controesempio, 8, 94-95, 96, 101, 103, 111, 115, 117, 126, . 130, 135, 141, 143, 146, 148 estrazione del, 149 metodo del, 93-95, 97, 101, 104, 107, 116, 135, 157, 159

convenzioni sulle parentesi, 30-32 convergenza di una MT, 252 conversione, 171-172, 179 per accidens (o per limitazione), 172, 179 semplice, 1/72, 179, 184, 186 converso di una relazione, 205, 205, 209, 211 coppia, 194 ordinata, 17, 18, 199-203 copula, 16, 67, 166, 190

correttezza di un’inferenza, 3, 37,

126—-

132 corrispondenza, 207 biunivoca, 210, 214, 222, 224,

230

costante descrittiva, 134, 219, 263 disponibile, 140, 142, 145, 153, 158

individuale, 18, 20, 21, 24, 63, 72, 73, 75 logica, 72, 234 nuova, 138, 139, 142, 143, 146, 154, 158 proposizionale, 72, 217, 218

I

sillogistica, 178-179

figura, 173, 174, 175, 179, 184

definizione induttiva, 76, 217—

II figura, 173, 174, 175, 181,

219 denotazione di un nome, 15-17, 20, 24

III figura, 173, 174, 175, 183

descrizione definita, 70-71 indefinita, 70

determinatezza principio di, 33, 51 diagrammi di Eulero-Venn, 168—

169

dictum de omni et nullo, 140 differenza, 195 simmetrica, 197 disgiunzione, 3, 8, 9, 30-32, 34, 40, 45, 47, 51, 98, 100, 102, 109, 112, 117, 118,

219 divergenza di una MT, 252 dominio, 203 Entscheidungsproblem, 239

enunciato atomico, 15 composto, 29-59

quantificato, 61-89 equipotenza, 6, 220-223, 223 |__Sgeraplificazione, 139, 140, 142, 145, 153, 158

esponenziazione, 215, 223 esposizione, 138, 142, 143, 145, 158

estensionalità 191-211 principio dj, 33, 69, 190, 192, 194, estensione,

Lo

198

Euclide, 5, 10, 224,

240

182, 184

IV figura, 173, 174, 175, 182 Filone di Megara, 34 foglia di un albero, 105, 106, 108, 109, 111, 113, 114, 118, 152

2-7, 11, 18-19, 2932, 37, 38, 54, 57, 61-63, 67, 76, 133, 134

forma logica,

formula, 30 atomica, 73 esaminabile, 110, 113, 114, 152 positiva, 219 formula complessa, vedi enunciato, composto Fraenkel, 233 Frege, 1, 6, 34, 69, 220 funtore, 23-25, 157-159 funzione, 208 biiettiva (o biiezione), 210 caratteristica, 228 di transizione, 243 iniettiva, 210 invertibile a destra, 210 invertibile a sinistra, 2/0 monotona rispetto a C, 199 suriettiva, 210, 210 G6Ockel, 178

Gbdel, 2, 10, 11, 58, 213, 232, 256

Galileo, 56, 224 gerarchia dei cardinali, 228-232 grammatica formale, 264-269

\

famiglia di insiemi, /92, 198, 199, 207, 215, 217 figura sillogistica, 173, 174-177

Hausdorff, 202 Heyting, 65 Hilbert, 1, 10, 239

ttE Hume, 220

idempotenza, 196 identità, 6, 25, 66, 67—69, 157,

numerabile, 224, 225-228, 231 semidecidibile, 258, 258, 259, 259 insieme coppia, vedi coppia insieme potenza, vedi potenza, insiemistica insieme quoziente, 216 insieme singoletto, 194 insieme universale, 195, 232, 233 insieme vuoto, 195 intensione, 191

di De Morgan, 46, 52, 53,

modello di un insieme di formule, 77,

196, 198

di distributività, 53 di A, V, 45, 196 di +, A, 46 di —, V, 46 di doppia negazione, 46, 52,

126, 127, 128 di una formula, 77, 126

TRL 159-161,

200

degli indiscernibili, 6, 68-69 fra insiemi, 190, 194, 205, 215, 237 immagine di una funzione, 209, 221 di una relazione, 206, 207 immagine inversa, vedì controimmagine implicazione (vedi anche condizionale), 3, 45, 46, 223, 234

materiale (o filoniana), 34, 51

inclusione, 167, 168, 187, 195

indecidibilità del problema dell’arresto, 256, 259

della logica elementare, 157,

260-264

indiscernibilità degli identici, 68 individuo, 5-7, 15-17, 20-24, 26, 61, 62, 68, 70, 71, 7476, 79, 80, 136-139, 143, 144, 148, 149, 157, 166, 167, 169, 190, 191, 200, 235

di di di di di di di

67, 69, 71, 79, 234 intersezione, 168, 195, 197, 199, 203, 205, 213

generalizzata, 198-199 ipotesi del continuo, 232 isomorfismo

di

D-infinito, 224

decidibile, 258, 258, 259 disgiunti, 217 effettivamente enumerabile, 258, 259

equiestensionali, 194 finito, 194, 201, 228, 231 indecidibile, 259, 260, 262 infinito, 223-228, 229

Sch6nfinkel-Curry,

215

istanza

di una formula quantificata, 64

di uno schema, 4, 53 istruzioni di una macchina, 239, 245, 246, 249, 253-255, 260-262

di contrapposizione debole, 52 di contrazione, 8, 45, 234 di Curry, 46

valido, 174, 175, 176, 179-

Filone, 46, 52, 53 Frege, 45

idempotenza, 45 import-export, 45 non-contraddizione,

181, 186

)

scia

Turing,

\

1

107, 109, 111, 112, 115, 127, 130, 142, 234

+

Aeg

di un albero, 105, 106 nome composto, 23-25 proprio, 7, 16, 18-20, 72 semplice, 23-25 notazione unaria, 246, 247, 248, 252 numero cardinale di un insieme, 216, 220-223, 231

operatore di astrazione, vedi astrazione, operatore di

|

di

operazione astrazione, 192, 235 operazioni proiezione, vedi proiezioni ordine lessicografico, 10, 241

di

239-269

universale, 253, 254, 255, 259 Martin-Lòf, 9

se metavariabili, 772, 265 vedi ragionametodo mentoXindiretto

paradosso di Cantor, 232-233 di Russell, 233, 237 parola di un linguaggio, 72, 73, 228, 243, 248, 252

idro

modalità

aletiche, 54, 55-56 de dicto, 79-80 de re, 79-80

deontiche, 57 epistemiche, 56 temporali, 58

drittiRIE

Vr aTON

j “nodo

deterministica, 245

—

Rini

negazio ne, 3, 6, 29, 31, 32, 33, 38, 40, 41, 46, 97-99, 101

1, 36,

monadica, 22, 165 Lukasiewicz, 8 i

TITANI

W

enunciativa, 54, 112, 148

Kuratowski, 202

196

subalterno, 175, 177

46

93, 94

A-calcolo, 235, 236, 237 leggi logiche di Lukasiewicz, 46 del terzo escluso, 1, 8, 9, 36, 46, 53, 159 dell’a fortiori, 45, 95 di associatività, 53 di assorbimento, 45 di commutatività, 45, 52, 53,

Dummett, 46, 51 export, 52

di Peirce, 46 di scambio, 45 di Tarski, 46 Leibniz, 184 linguaggio elementare, 72, 78 con identità, 72 logica elementare, 239, 260, 264 elementare con identità, 159

inferenza

corretta, 2-4, 37, 130-132 logica, 3, 4, 6 insieme, 15, 192, 194 contabile, 224

178, 179, 181 non valido, 174

53

interpretazione, 34, 51, 55, 56,

irrefutabilità,

modo sillogistico, 173-174, 175,176,

|

|

parte, vedi sottinsieme partizione, 217

Peirce, 205 Pigeonhole principle, 44, 46, 225

Platone, 16, 189, 191

Post, 6, 10 potenza cartesiana, 201 insiemistica, 199, 228, 230, 232, 233

predicato diadico, 17, 18, 22, 62, 263 monadico, 18, 20, 22, 165, 264

n-adico, 18, 20 premessa di regola, 37, 52, 130, 173 maggiore, 173, 174, 176, 178 minore, 173, 174, 176, 178 principio di Hume, 220 di Leibniz, 51 di scelta, 212-213, 224, 231 principio di astrazione, vedi astrazione, principio di principio di bivalenza, vedi bivalenza, principio di principio di determinatezza, vedi determinatezza, principio di principio di estensionalità, vedi estensionalità, principio di

problema dell’arresto, 256, 258, 259, 263 della parola, 266, 266

procedura deterministica, 114, 245 effettiva, 11, 239 meccanica, 93, 116, 134, 156, 239, 256 non deterministica, 114

prodotto cartesiano, 202, 214, 215, 222, 223

demorganiano (o peirceano) di relazioni, 185, 186, 205 di funzioni, 214 generalizzato, 213-215

produzione, 266, 267 proiezioni, 200, 202, 214 proposizione categorica, 165, 166-167, 169,

aperto, 102, 107, 111, 113, 113, 114, 116, 138, 139, 144, 148, 149, 152, 155 chiuso, 102, 107-109, 113, 152, 159

173, 178, 182, 186 particolare, 166

realizzazione, 7, 20-22, 24, 64, 74, 75, 76, 134, 219, 264 regola modus ponens, 47 modus tollens, 4, 47 di distinzione dei casi, 100-

affermativa, 167, 172, 174 negativa, 167 singolare, 166 universale, 166, 171, 184 affermativa, 167, 172, 174 negativa, 167, 172 proprietà, 5-7, 10, 15, 17, 20-22,

102, 108, 118, 159

di inferenza, 37, 130, 173 di riesemplificazione, 144, 145 di separazione, 47 regola di esemplificazione, vedi esemplificazione regola di esposizione, vedi esposizione di analisi regole

26, 27, 32, 68, 134, 136, 190, 191, 193, 233, 235 punto fisso, 218, 218, 222 massimo, 219 minimo, 219 quadrato logico aristotelico, 169— 171, 179, 182, 184 qualità, 61, 166, 167, 169, 172, 173, 176

quantità, 61, 166, 167, 169, 172, 173, 176 quoziente, vedi insieme, quozien-

te radice di un albero, 105, 106, 107, 111, 127, 128, 150, 154, 155, 158

ragionamento indiretto, 47, 95, 179, 180, 184

per assurdo, 47, 230, 256, 263 per distinzione dei casi, 47 ramo di un albero, 101, 106, 112

229, 232

stato (interno) di una macchina, 244246, 248, 253, 254

per i quantificatori, 142-145,

subalternazione, 170, 171-177 subcontrarietà, 170-171

relazione di equivalenza, 51, 68, 69, 215, 215, 216, 217 ——

67

sillogismo, 173-179 valido, 175, 183, 184 sillogistica, 165-187 simbolo non-terminale, 265, 267, 268 terminale, 265, 268 Skolem, 233 soddisfacibilità, 126, 127, 217, 264 somma generalizzata, 213-215 sostituzione, 74 di un termine, 68 di una variabile, 64 sottinsieme, 195, 218, 224, 225,

struttura, 20, 22, 64, 74, 77, 78,

159

esistenziale, 61-67 numerico, 65-67, 70 universale, 61-67

64—

per i connettivi, 98, 107, 108, 111, 116-118, 127

quantificatore

classico dei quantificatori,

restrizion

di

funzione, 208, 209 alla I figura, 179— riconduziòne 18 riferimento, vedi denotazione Russell, 1, 6, 22, 34, 70, 191, 233, una

234

Schréder, 221

\

Tarski,

11

1, 36-37, 44, 47, 5153, 93, 94, 126, 133, 134, 157, 243 tavole di verità, 33, 35, 44, 51, 76, 93-95, 97, 103, 112, 116, 133, 134 tavole semantiche di Beth, vedi

tautologia,

alberi

teorema di Cantor, 228-229, 232, 233, 260

semantica intuitiva, 22, 150 degli enunciati atomici, 20 /

/

significato, 3, 6, 9, 16, 17, 20, 29, 31, 43, 58, 67, 76, 78, 79, 149, 153, 190

classico dei connettivi,

36

150, 153, 155, 157

32—

di Cantor-Dedekind-Bernstein, 221

di di di di di

Church, 22, 243, 262

Knaster-Tarski, 218-219 Post, 259-260 Trachtenbrot, 263 Turing, 22, 243, 262

K,

logica predicativa (o elemen-

184-187

teoria ingenua degli insiemi,

tare), 76, 134, 135, 157,

189-

237

termine generale, 165, 166, 186 individuale, 24, 25, 72-73, 159 maggiore, 173, 182 medio, 173, 174, 183, 184 minore, 173, 182 singolare, 26, 166 tesi di Turing-Church (CT), 255, 258

tipo

di una formula, 99-102, 108, 110-112, 114, 116, 117, 137-139, 143, 144, 146,

152, 153 Turing, 11, 157, 244, 253, 255, 256, 260

unione, 195, 197, 203, 205, 213, 214, 225, 233

generalizzata, 198-199

universo del discorso, 7, 20, 2325, 55, 64, 67, 74-77, 81, 88, 134, 135, 145, 148150, 153, 157, 185, 202, 219, 258

validità logica, 36, 76, 134, 141, 160, 263

variabili

apparenti, 63

individuali, 62, 73, 133 libera, 73, 74 schematiche, 30, 30 vincolate, 63, 78, 79

verità in una struttura, 76 logica enunciativa, 93, 133, 134, 157

243

verofunzionalità principio di, 33 Wiener, 202 Zermelo, 232, 233