Introduzione alla Cinematica dei Meccanismi [1, 1st ed.] 978-8840807614

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XXXVIII

CENNI STORICI

CENNI STORICI

XXXIX

smi. tentando di includervi anche le macchine idrauliche, come nella sua opera Cinematica applicata alle arti, destinata alle scuole tecniche ed

elogiata da F. Reuleaux per la semplicità e chiarezza di esposizione;

Giuseppe Ravizza (1811-1885), avvocato novarese, che inventò la china da scrivere nel 1846. presentandone al pubblico il modello definiu, tivo, detto cembalo scrivano, nel 1856 e quello a scrittura visibile, con

m ac-

■

inchiostrazione a mezzo di un nastro, nel 1883;

Lorenzo Allievi (1856-1941), al quale devesi Fimportante monografia Ci

nematica della biella piana‘‘\ in cui presenta un’esauriente trattazione

teoricarispetto delle leggi differenziali (dedotte successivrderTva zioni all arco di polare,deldeimoto termini dellaperformula di Eutr Sa^

vary), apphcazioni della teoria sviluppata alla sintesi di meccanismi geni

ratori di traiettorie circolari e rettilinee approssimate(v, Fig Vlin nonché

un originale impostazione analitica dell’equazionef della • ** mbicadUu^a . curva

tura stazionaria (luogo dei nunti del nìann 1q ,.„o del

(p.„,i del pi.,0 e.i ,„ie„.,i'p„e«

ordine con una circonferenza), ivi denominate coppieprini^aH-

e, per la Scuola Russa,

matematica, si dedicò al dimensionamentn Hi n

i

generatori di traiettorie rettilinee e circolari 'innmf

rettori della

articolati piani

quali coniò particolari polinomi, denominati pLciòmcLbv'h

rizzati dal presentere equioscillazioni con miLa devSione faìfo'zero'' !approccio SI differenzia sostanzialmente da quello dell^Sonto m 1 ' 68.

Scuola Tedesca,

in quanto il problema di sintesi viene affmnLr.

zione algebrica peculiare del meccankmn

todo deU’anzideL Scuoi si av^anronri^^^^^^ risolve il problema in parola mediante la

ngidi e

Pici .....oli (e p. cu^. di B.:X pS MS'

Ravizza raccolse un’eredità risalente al 1500- infatti \s,m

Rampazzetto e del 1575 (v.op.cit. 13). Quella di Ravizza’ macchine dattiligratiche hanno conservato fino al 1970

u- ^

presenta le caratteristiche che le

Reale Tipografia di Francesco Giannini & Fidi M.r, i-

A Lorenzo Allievi devonsi, altresì, impon-mt cnntHtfP.-*'’

particolare dell’Idraulica, per quanto concerne h'SI nel settore della Meccanica dei Fluidi in fenomeni del colpo d ariete). Ut indagini sistematiche dell'Àllievi^^™^"’."' ''“"'Allievi per i

condotte, a monte dell’ottumlore, in ra,se di ch‘iu;urrdel‘ìo\te°s''so profondità di pensiero c furono pubblicate ncsli Atti Hpnf

^

Italiani 0902). nonchd negli Atti SeirAssccS‘L'^?er.“uc^„“‘TalSV v. Bloch, S., Angenàherie Synthe.

nievanti

per vastità e ed Architetti

1913, 1932, 1934

i di traiettoria rettilinea approssimata

von Mechanismen, Verlag Technik, IBerlin, 1951.

Figura vili Quadrilateri articolati P'?^' (eia L. Allievi. Cinematica della biella prima, 1895).

XL-gENNI STORirf CAPITOLO 1 mezz o

- cinematica

S”r"; ■“■ “ 5* S.1;»i'9?f* «S"*,"' " “■""■™‘'eJl’anaiisi elettronici, potenti ;nez7?.t"'f™'’ ® ^'^to dato da»’!

? un’attenta consultanazionale del periodo in

STRUTTURA CINEMATICA DEI MECCANISMI

Storico

g'?ef^'luppo di progettazi one fondate numerico del e ;

consentito riJnolZ"‘° Zr®"'®’ sofisticate tn. ^'™® metodolo-

1 s:SS;-,; ^

delie metod'^^SanchTs?"

ad unfpTù a

tezzf speranza "C' lezza di questi cenniche of il• LeUn®”^“°’ . voeJia“PPortuni^modèir oìuaanalitici ^alsi a stimolare l’^tere^’®''^“^ori si fiterram® ‘"volontaria J’incompJe0 ®rna branca della Scie!l"®' ®°'’fronti di quesfa^f ®®®' ^oosta antica e sempre più 1-1

TERMINOLOGIA

di un qualsivoglw Lo studio della struttura cinematica di una macchina come mobili o suscettibili di dispositivo o strumento che sia costituito da elementi

spostamenti relativi, trae origine dalla definizione d. ‘"Cinismo tde poten

prestabilito nióvi-

dosi ritenere un insieme di corpi, di var« l’uno possa trasmettere o presentare r- • ■

;

Tra le tante definizioni

.filarino a configurare un meccanismo e che

g

narticolari funzioni cui lo stesso si

SI differenziano, soprattutto, m virtù delle p

considera destinato, quella testé

^-..poa di rigore o di sene-

tratta®®"igenze delle successive della cine-

rahta,edè volta f"’P^^^®,"'® " di un concetto basilare Zioni a rendere graduale 1 acquisizione

matica applicata alle macchine. ■ diversi corpi costituenti un con A tal fine, sembra opportun p ^j-g^jj^ente specificato, verranno onde ottenere meccanismo, fino a quando no contatto tra gli stessi, siderati rigidi, cioè indeformabi . d d il prescritto movimento, dovrà essere a

tere geometrico, strutturale o dinamico.

Comunque, onde procedere alla isa

ed alla classificazione dei tipi

di connessione, occorre premettere che. 1- elemento cinematico

dicesi quella zona di un corpo sagomata in guisa da

consentirne il collegamento\d tivo;

^ IJM!

un altro e rispetto a questo il moto rela-

_XL CENNI STORiri

CAPITOLO 1 mezzo

de. meccanismi,sembra opporlo’tvif -ff‘

'

cinematica

d un’attenta consulta

parola.

nazionale del periodo in

STRUTTURA CINEMATICA dei meccanismi

»«sà'™“ lo sviluppo numerico°detf’“r®"'®’ sofisticate tratti/'”"® '"S:!£;va'i^'.asr: --«as., .^orienta-

d. una matematica rf«U„er!^ ■"olteplici problemi

tezz^d^'^^

che il Ce

oggi noi’/"' S^"®‘'“''Zzazione "‘chiedendo qùesp l’esistenza in volta, nei

'

analitici.

valsi a stimoIare'’nmeC'i Autori si fit"errarnVnr^‘""‘'* modema branca della Scienza"®' di questi ^anikla^ 1-1

terminologia

di un qua s oglm Lo studio della struttura cinematica di una macchina, come mobili o suscettibili di

dispositivo 0 strumento che sia costituito da elementi di meccanismo, tale poten spostamenti relativi, trae origine dalla definizionefisica, collegati m modo che dosi ritenere un insieme di corpi, di varia natura l’uno possa trasmettere o presentare rispetto all altro un prestabilito movi niente.

• , un meccanismo e che Tra le tante definizioni che valgono a configuraretunzmni cu. lo stesso s.

si differenziano soprattutto, in virtù delle particolari d. rigore o di gene considera destinato quella testé formulata, senza pretesa delle successive tratta ralità, è volta semplicemente a soddisfare le esigenze basilare della cmezioni ed a rendere graduale l’acquisizione di un concetto niatica anolicata alle macchine.

.

. corpi costituenti un A tal fine sembra opportuno precisare che i diversi verranno con

meccanismo fino a quando non sia diversamente specificato, gl. stessi, onde ottenere siderati rigidi cioè deformabili, ed il contatto traadeguati vincoli, d, caratil prescritto movimento, dovrà essere assicurato da

tere Geometrico, strutturale o dinamico.

,

.

j • • de. Comunque, onde procedere alla disamina ed alla classificazione tip.

di connessione, occorre premettere che;

1. elemento cinematico dicesi quella zona di un corpo sagomata m guisa da

consentirne il collegamento ad un altro e rispetto a questo il moto rela tivo;

A .

w

A

r-

~

2 CAPITOLO 1 STRUTTURA CINEMATICA DEI MECCANISMI 3

2. coppia cinematica dicesi

j

elementi cinematici, che ii^ti i ^gradi dilfertìd'l iiberta del movimento relativo

tra gh stessi.

'B

-PP-e cinematiche si

inferiori e sunerinrì u r. •'

distingue le coppie . cinematiche in i__

le sponde da contatti Iine“umt™

contatti superficiali,

t*)

figura 1-2 Coppia rotoidale. /

1 j^

la coppia elicoidale è costituita da due

^ p 'B i cui elementi cinema

p

figura l-3‘ tici risultano essere superfici elicoidali, come in t.gura J,

B

a) Elementi prismatici a sezione

rettangolare

figura 1-1

-dp

b) Elementi prismatici a sezione ellittica

.v =

277

cheppia prismatica.

® la

1 coppia rotoidale, i cui pIp.^

figura 1-3 Coppia elicoidale.

*5-

3=s

1

nnrpsentazione datane in figura 1-4, è risultano essere

* la coppia cilindrica, secondo l^a ^^P.P , costituita da due corpi e ^ i coi superfici cindriche a sezione circolare;

cinematici

C&éÉ

4 CAPITOLO 1 STRUTTURA CINEMATICA DEI MECCANISMI 5

Strutturali o dinamici, sia impedito tanto il moto relativo di traslazione nella direzione della normale al piano di contatto, quanto quello di rotazione

\

attorno a qualsivoglia asse parallelo a tale piano (fig. 1-6). d

figura 1-4

Coppia cilindrica. (

3

corpi JA.q'S che

queste essendo p'- eleFIGURA 1-6 Coppia piana.

{f

In definitiva, ai fini dell'analisi cinematica dei meccanismi, è opportuno precisare che la posizione relativa tra due corpi, che concorrono a formare la coppia, risulta definita; . n . . *■ ^,11^ HiQtanza tra un punto di un corpo e uno

nella coppia prismatica, dalla distanza

t'

qualsivoglia deiraltro; qualsiasi rette, ciascuna soli• nella coppia rotoidale, dalFangolo tra due quais dale ad un corpo;

>’

^ da , A* 0

" nella coppia elicoidale, indifferentemen e legate dalla relazione ^

• nella coppia cilindnea

-nab.l x

I asse delle supenfici cilindricne cu

• nella coppia sferica, dai tre

• nella coppia piana, figura 1-5

valutate nella direzione del-

rispettivamente;

Eulero*

^ ^ valutate, le prime due, nella

cartesiano, definito nel

direzione degli omonimi ^ g ^ ortogonale al piano medesimo, piano di contatto, la terza attorno all asse z ui ^

Coppia sferica.

la coppia piana, i cui elementi cinp

^

tali variabili essendo

_

■

superfici piane, e costituita da due corpi e 2 trTf^ ajSiantropportuni vincoli

.

Tali considerazioni piano conducono ad ad^tiuir

_

mprranismi caratterizzati da moto

je rotoidale, prismatica ed elicoidale j,jjscuna di esse sopprime due delle

Il ruolo di un vincolo doppio, m 1““*° . y possiede in un piano, tra i tre libertà "7^d ee cc vengono dati alcuni esempi, Inoltre,dimentre nelle figure™l-/a, ve 5

i

6 CAPITOL01

STRUTTURA CINEMATICA DEI MECCANISMI 7

Allorché tale schematizzazione si concretizzi nell’accoppiamento del

che siano n gli flessibile con la puleggia, come in figura 1-9,coppia in modo risulta essere elementi sopra definiti, il grado di libertà della F= 3n (Gradi di libertà degli n elementi vincolati)+

-2(n-l)(Vincoli introdotti dalle successive coppie rotoidali)+

a) Meccanismo a camma FIGURA 1-7

b) Coppia di ingranaggi

c) Coppia cinghia-puleggia

Coppie superiori.

2. (Vincoli introdotti dalle n coppie superiori elementi-puleggia) Pertanto, la coppia cinghia-puleggia è da considerare superiore e, come tale, introduce nel sistema un vincolo semplice.

/l-l

tra 1 due corpi -^''e'3lVhe'’concorron7^^

e individuato da due variabili

Infatti, come risulta dalla figura può essere univocamente definita ouanrin c-

linea x, misurata sul profilo di X che I’.nani di una retta r solidale ad 1. ’

qualsiasi delle stesse,

4

relativa di JA rispetto a

° sia l’ascissa curvi-

3

^ le posizioni omologhe

O y////////m 2

Sk

figura 1-9 Schematizzazione

dei contatto cinghia-puleggia. 1

«lo

«ifriittura costituita soltanto da

medesima, Definita equivalente ‘«‘/‘“.'‘(‘““ijadi di libertà della coppiacoppie infe-

coppie inferiori ed avente f

nella tabella 1.1 e riportata D rapP

FIGURA 1-8 Gradi eli libertà delle

,([^3 struttura equivalente,

non e superiori e, per quest ^ contatto di puro rotolamento. In particolare, la coppia sup (j^-ondursi alla struttura equivalente introducendo un vincolo doppio, p (-ontatto di strisciamento, introcostituita da una coppia rofo'dale, q (^^jjia^jone, equivale alla struttura

coppie superiori.

ducendo il vincolo atto a Imitare

Una coppia superiore, quindi semr.

piano, introduce un vincolo seS

® (azione schematica delle

caratterizzati da moto

movimento, ove vincoli addizionai h' ®°PP''mendo essa una sola libertà di

lino 11 continuo contatto tra friT ’ ""“"a strutturale- 0 dinamica, assicu-

Ad analoga conclustone^^^P'-“"siderando la n • lizza inestensibile, presenta un m flessibi/e conf Ptileggia-cinla cinghia medesim^a cosfltuhal'"''? ^11 gladi di lih "r°’ ‘P"" rotoidali. infiniti elementi riaìH^ ^^berta, ove si pensi ghia. Quest’ultima infatti « ^ 7

collegati da coppie

costituita da una coppia pnsmatic

,

^(,t(,idale; la coppia cinghia-puleg.x «u5 ricondursi a due coppie

, infine, presentando due gradi di liberta P

gia,

rotoidali contigue. Per quanto detto in p •z, ni^^pmntica dicesi il numero dei parametri

3. grado di libertà di una coppi

indipendenti atti a caratteriz costituenti la coppia medesima. ...

1

posizione relativa tra i due corpi

P

rinematiche possono ulteriormente

Sulla base di tale definizione, le PP . . ■ _ classificarsi, ed essere denominate, in

libertà che presentano

r'

8

CAPITOLO 1

STRUTTURA CINEMATICA DEI MECCANISMI 9

Classe Denominazione ^^PP^esentazione Grado di schematica

libertà

Grado di

Struttura equivalente

vincolo

c

*°.(0 or •D rìmrio quaternario, quinario, ..., multi-

8- Membro semplice o binano, pio, dicesi un corpo che presenta

cinque, ..., più elementi «nemafic l’ordine menzionato, da un seg caratterizzano elementi cinema di vertici pari a quello degli ele^

_Attivamente, uno o due, tre, quattro, p raffigurato, nel-

^ entrambi gli estremi poligono avente un numero ^-j^gj^^tici medesimi, come nelle clementi cinematici dicesi grado

figure M2a,b, c e d. Il numero degli eleme di molteplicità del membro.

a)

FIGURA 1-10 Meccanismo

a croce di Malta.

c) Membro quaternario Schematizzazione di membrii semplici e multipli.

a) Membro binario figura 1-12

d) Membro quinario

b) Membro ternano

I

\

12

CAPITOLO 1

STRUTTURA CINEMATICA DEI MECCANISMI 13


C\\\\\\\\\\V

O

Ir—C c

A I

X

77777777777777:'

V777777/

FIGURA E1-18

FIGURA E1-19

Meccanismo in forma critica permanente.

Tale condizione è sempre soddisfatta quando risulti

Meccanismo a pattino doppio; nomenclatura.

7*22 “^*21*

stesso sia in forma critica permanente ed abbia quindi mobilità per una completa rotazione dell’asta A6. A tal fine, scelte come coordinate gli angoli e ® distanze S3 ed 54, si scrivano, innanzitutto, le equazioni di vincolo, le quali, nel prescelto rife

tata per definire gli angoli, d, + d2=27r.

- ricosi^i + r2iCOS-i?2~-^3 = 0

/2=T] sin di + r2isind2=0 /3=ricosdi-r22cosd2=0

(El-27)

fi, - r1 sin d] - r22SÌn d2- 54 = 0. Dal relativo Jacobiano

D (^„/2,/3,/4) D (di,d2,%54)

-Ti sind]

-r2jsind2

-1

0

rjcos d,

/'21 cos d2

0

0

-Ti sind]

r22sind2

0

0

— 7*22 COS d2

0

-1

ri COS di si deduce

det {J) = ri (r22sind2 cosdi + r2iSÌndi cosd2),

(El-29)

e la mobilità del meccanismo è assicurata allorché riesca

det (/)=0.

(El-30)

(El-31)

In tal caso, infatti, i triangoli ABC ed ABD sono isosceli (Fig. El-19) ed in convenzione adot ciascuna configurazione risulta anche, stante la particolare

rimento A -XY, forniscono il seguente sistema

J=

cc UJ co Ul

FIGURA E1-20 Meccanismo in forma critica istantanea.

(El-32)

SL:=>

72

ESERCIZI E COMPLEMENTI

CAPITOLO 1

E1-8

73

metodologie matematiche di analisi spesso adottate in cinematica. Essendo

Esercizio

.

Assegnato l’angolo a tra le direzioni del moto degli estremi dell’asta CB del meccanismo di figura El-20, si pervenga ad un possibile dimensionamento del sistema in modo che questo presenti forma critica istantanea. Si dimostri, inoltre, che infinite risultano le possibili soluzioni del pro

di9^f

(El-34)

(/=!, 2, 3, 4)

dt ’

le velocità angolari assolute dei membri del meccanismo, può scriversi (El-35)

i>

(El-36)

O cc lU

b

membri.

A tale riguardo, la tabella El-5 riporta il numero dei meccanismi che discende da ciascun grafo quando si rendano telai i membri indicati nella

R(A)

P Z

t I-

tu

' ^ 0.

S o o tu N

O

terza colonna.

GC

4

LU

Grafo

Numero rotismi

(0

Telai

m

non Isomorfi

3

1. 2. 3, 4 1, 2 1. 3, 4

4

a) b) c)

2 3

TABELLA E1-5

Per esempio, al rotismo b) di figura El-44, quando

FIGURA E1-43

a) di figura El-43 sono state tracciate, innanzitutto, le rette dei livelli (A) e (B), come in figura El-44a.

Quindi, si è proceduto al calettamento delle ruote, nonché aH’individuazione dei membri portatreno, seguendo le connessioni previste nel grafo medesimo [Ruota 1 su (B), Ruote 2 e 3 su (A), 4=Portatreno].

49

LIV. C 3

LIV. B 3

1

2

2

Ó2

3

9

Grafi isomorfi corrispondenti al rotismo(b)di Fig. El-44.

Circuiti fondamentali e vertici di trasferimento si individuino i circuiti Per ciascuno dei grafi riportati nella figura El-46 ™to.dal, e per. fondamentali, si .stabiliscano i livelli degli assi delle coppie Irfme,sulla scorta del

LIV. B

E1-19

}

9

3 1

4 LIV. A

LIV. A

singoli circuiti, si definiscano i vertici di trasferimento. dei rotismi.

precedente esercizio si propongano schemi costruttivi proposto, si A titolo d’esempio, da seguire nello svolgimento del problema i lati caratterizzanti consideri il grafo a) di figura El-46 e se ne sopprimano

4

3

FIGURA E1-44

4

LIV. B

LIV. A

a)

S) 1

a) FIGURA E1-45

4

■ \ u\ a-

membro 1 ed il membro 3, corrispondono, rispettivamente, i grafi a) e b) di figura El-45 ed è immediato riconoscerne Tisomorfismo.

Grafi etichettati,

LIV. C

si facciano telaio il

b)

c)

Rotismi corrispondenti ai grafi di a), b) e c) di Fig. El-43. i.

1

94

ESERCIZI E COMPLEMENTI

CAPITOLO 1 5

95

5

5

Z UJ lU Q.

O O Ul N

O CC UJ CO Ul

I

FIGURA E1-47 Etichettatura del grafo (a) di Fig. 2-46. FIGURA E1-46

Circuiti fondamentali e vertici di trasferimento

in grafi di rotismi.

le coppie ad ingranaggi, vale a dire i lati 1-5, 2-3 e 3-4. Si ottiene, in tal modo, l’albero 5-4-2-1-3 di figura E]-47a). Per stabilire i livelli degli assi delle coppie rotoidali, si cominci con raggiungere la coppia di ingranaggi che collega i membri 2 e 3, come in figura El-47b. Resta così definito il circuito fondamentale 2-3-1-2, di cui alla

prima riga della tabella El-6, nella quale i,j e k indicano, rispettivamente, i membri collegati dalla coppia Gj ed il portatreno. Quest’ultimo rappresenta,

nel grafo, il vertice di trasferimento, tale essendo il vertice che, in un circuito fondamentale, separa coppie rotoidali con assi su due livelli distinti. Circuito Fondamentale

TABELLA E1-6.

/

J

k

2

3

1

#2

1

5

4

#3

3

4

1

essere quelli degli In definitiva, tali livelli, designati con(A)e (B), dovranno El-47b. assi delle coppie rotoidali 1-2 ed 1-3, come in figura fondanientah al Analogamente, risultano individuati altri due circuiti ché nell’anzidetto albero si inseriscano prima la coppia % la coppia di ingranaggi G,. Nel secondo caso (fig. El-47d) coincidere con quelli già stabiliti i livelli degli assi di trasferimento j dell ed 1-3 per cui risulta essere il membro 1 il vertice circuito 4-2-1-3-4; nel primo caso (fig. El-47c) il circuito resta detemmato dai vertici l-5-4-2-'l e

la scelta dei livelli risulta evidente dalla richiamata

II

i livelli delle coppie ■ Il nrocedimento seguito, quindi, porta a stabilire cioè informazioni utili sia

figura.

rotoida^li ed i vertici di frasferimento, ad acquisire X schematizzazione del rotismo, sia alla eventuale analisi cinematica da "'fn‘particolare, il grafo etichettato ed un possibile schema costruttivo del rotismo sono riportati nelle figure El-48a e b E1-20

Esercizio

Dimostrare che risulta essere pani il r

articolati piani ad un grado di libertà.

numero dei membri dei meccanismi

96

CAPITOL01

ESERCIZI E COMPLEMENTI

97

il numero totale degli elementi cinematici, ed 5

(El-51)

5

.z IH

I

LIV.(B) ILI

quello totale dei membri.

-J

Sostituendo (El-50) ed (El-51) nella (1-4), scritta per i^ = l, segue

3

.£2=4+(-^4+2'^5+...+(«-3)-i,,),

Q.

E

(El-52)

o O

ÙJ 4

come dovevasi dimostrare.

N

O

flC . lU 4

LIV.(Ai

E1-22 9

CO

Esercizio

Ul

Dedurre un’espressione per il calcolo del numero di membri ternari nei meccanismi articolati piani.

• «

A tal fine, scritta la relazione di Grubler nella forma a)

FIGURA E1-48

b)

(El-53)

F=2£-2j-3+£,

Grafo e relativo rotismo.

questa, in virtù delle (El-50) ed (El-51), diventa Imponendo F= l, dalla relazione di Grubler (1-4) segue

A-5

(El-54)

/t=4

3-£-4-2 y =o, e costituisce la desiderata espressione. ovvero

-£ =

2 0’+2) E1-23

3

come dovevasi dimostrare.

Esercizio

Dimostrare che nei meccanismi articolati spaziali, ™ sono legati kià'tf dalle dail'è numero l dei membri e quello j delle coppie inferiori relazioni

E1-21

Esercizio

-£ =5L,w +2,

(El-56) (El-57)

Dimostrare che nei meccanismi articolati piani ad un grado di libertà risulta pari a quattro il minimo numero di membri binari.

Invero, avendo designato con -€kCj, rispettivamente, il numero dei membri con grado di molteplicità k e quello delle coppie inferiori (v. Nomenclatura del paragrafo 1.2), e ricordando che è pari a due il minimo numero degli elementi cinematici che concorrono a formare una coppia, risulta essere 2j=2l,+3£^+...+ n-e

/( j

(El-50)

essendo

il numero dei circuiti indipendenti.

Si osservi, infatti, che la formula di Kutzbach )

(El-58) /=!

IM

98

ESERCIZI E COMPLEMENTI

CAPITOLO 1

E1-26

particolarizzata per F = 1,A=6,/ = 1,

diventa

99

Esercizio

Dimostrare che per i meccanismi articolati piani ad un grado di libertà,

costituiti soltanto da membri binari, sussiste la relazione di J.J. Sylvester . 6£-5j=7.

(El-59) (El-64)

per cui dal sistema delle (El-59) ed (El-60)seguono le (El-56) ed (El-57).

lU

S

'

111

D’altra parte, sussiste la relazione [v. formula (1-18) (El-60)

H Z

essendo j* il numero delle coppie inferiori, tutte valutate con grado di molte plicità unitario. . j , il numero degli eìeinenti Infatti, por £-2 membri binari risulta eguale a 2-^2

cinematici, per cui, se le coppie vengono valutate con i rispettivi gradi di

Q.

s o o Ili

__ O N

UJ

molteplicità, sussiste la relazione

! i' .

a> UJ

E1-24

Esercizio

(El-65)

{m + ì)jt^=2-e

2’

Particolarizzare le (El-56) ed (El-57) per i meccanismi costituiti soltanto da coppie prismatiche, dimostrando che valgono le relazioni

m=l

m ed « l’ordine essendo numero di coppie inferiori con molteplicitàattribuito a; ,può massimo di molteplicità. D’altra parte, stante il significato

^=2(A-„,+ l), j=3Li„j+ l .

scriversi

(El-66) E1-25

Esercizio

Dimostrare che nei meccanismi articolati piani, nei quali siano presenti mem

mentre il numero totale delle coppie è

bri aventi al più grado di molteplicità quattro, il numero dei membri ternari

(El-67)

non condiziona il grado di libertà F dei meccanismi medesimi.

allorché le coppie stesse siano conteggiate in base ai rispettivi gradi di

Invero, essendo

2;=2-^2+3-€3+4-£4

(El-61)

'""‘sottraendo la (El-66) dalla (El-65), e tenuta presente la (El-67), segue

il numero degli elementi cinematici presenti nella classe dei meccanismi in 2'^2~j

questione, si deduce

^3=2

y-'^2-2^4 (El-62)

3.

per cui la formula di Grubler, scritta per F = l, porge la (El-64).

Inoltre, stante la (El-61), la formula di Grubler può scriversi E1-27

F =3 (^2+'^3+'^4-1)-2 -€2-3 -^3-4 £

Esercizio

4?

Verificare la(El-64)dell’esercizio precedente per

l’inversore di Peaucellier,

riportato in figura El-49.

per cui risulta

F=.F2-'^4-3.

(El-63)

È immediato verificare, tuttavia, che il numero dei membri ternari non condi ziona il calcolo dei gradi di libertà dei meccanismi articolati anche quando siano presenti membri con grado di molteplicità superiore a quattro.

•

• ;« Mnrhanicaì Conversion ofMolioti, Proc. Royal Institu-

in. Sylvester, tion of Crear Bntain, voi. 7, 1874, pp. i /v f

ESERCIZI E COMPLEMENTI 100

101

CAPITOLO 1

E1-29

Esercizio

Dimostrare che in un meccanismo articolato piano, ad un grado di libertà, il numero

maggiore degli elementi cinematici di un membro nonmeccanismo può essere stesso

della metà del numero dei membri che compongono il

P z lU

S ui Q.

7777777/

O

W7777T/

o liJ N

O OC lU

CO

FIGURA E1-49

E1-28

111

Inversore di Peaucellier.

Esercizio

B

Avvalendosi della formula di Kutzbach (1-11), dimostrare che nei meccani-

smi piani ad un grado di libertà, costituiti da tre circuiti indipendenti e da soli membri binari e ternari, risulta essere;

FIGURA E1-50

Massimo grado di molteplicità di un membro.

a) il numero dei membri inferiore di due unità rispetto a quello delle coppie.

»

Con riferimento alla figura El-50, il membro 1 da(i-l)°membri, ™ “u”!'; ess di membri binari e questi siano tra loro collegati e quello mimmoanch atto ad binari. Pertanto, il numero totale dei membri, che

ì

: = 10; /=i

assicurare

c) pari a quattro il numero dei membri ternari.

la chiusura delia catena cinematica, risulta essere ^=l +i+(i'l)=2i.

Infatti, dalla relazione (El-69)

si deduce, per

Si osservi, inoltre, che i membri direttamente

=3,

I

7=^+2.

(El-70)

definitiva, è presente nel sistema un numero di coppie

La (1-11), inoltre, per ^= 1 e A =3, tenuta presente la (El-69), fornisce. i

(El-71) (=1

)=i+2+2(i-2)=3 1-2. Poiché le relazioni

Griibler, ciò che assicura la mobilità del sistema, dalla (El-73) medesima si

deduce

£

degli elementi cinematici vale 2 -^2+2 -^3=2j,

imax

2

(El-72)

in virtù della (El-70) e dell’uguaglianza -£=-^2+'^3, la (El-72) fornisce £,=4.

(El-74)

rEl-TSl ed (El-74) soddisfano, per F-1, la formula di

Da ultimo, poiché il per cuii risulta dimostrata la relazione di cui al punto b). numero

(El-73)

ternari.

(El-75)

102

ESERCIZI E COMPLEMENTI

CAPITOLO 1

103

tal modo, la catena cinematica equivalente sarà costituita da un numero di membri

(El-76)

l'=^+h„+2h

Sì

H Z Ul

e da un numero di coppie inferiori j'=}+2h„^AK

lU

(El-77)

essendo-^ e j, rispettivamente, il numero dei membri e delle coppie inferiori del meccanismo reale. .. . In definitiva, per meccanismi articolati ad un grado di liberta, 1 equazione di Griibler diventa

(El-78)

2/_3^’+4=0 FIGURA E1-51

E1-30

Massimo grado di molteplicità di un membro.

un meccanismo piano, ad un grado di libertà, in cui siano presenti coppie f85, 88] inferiori e superiori.

È immediato quindi dedurre, in virtù della (El-75) deiresercizio precedente e della (El-76), che nei meccanismi in questione risulta £+K+2K

(El-80)

max

2

A tal fine, occorre innanzitutto osservare che il contatto tra due membri

costituenti una coppia superiore può essere assicurato da un vincolo dinamico

(coppia superiore a chiusura di forza) o da un vincolo strutturale (coppia

Dai concetti esposti segue altresì che:

superiore a chiusura di forma). In ogni caso,limitatamente a due spostamenti relativi infinitesimi, il moto tra i membri stessi può essere riprodotto da un’asta incernierata nei centri di curvatura Ci e C2 che i profili degli elementi presentano nel punto di contatto M (v. paragrafo 5-3), come nelle figure El-52 a) e b). Pertanto, nel sostituire tutte le coppie superiori occorrerà aggiungere h„+2h^ membri binari, avendo designato con h„ ed rispettivamente, il

• il minimo numero di membri è pari a tre nel caso in cui il meccanismo

numero delle coppie superiori a chiusura di forza ed a chiusura di forma. In

nresenti una sola coppia superiore a chiusura di forza,

. SInuLro dei membri è pari a due allorché il meccan.smo present, una coppia superiore a chiusura di forma.

E1-31

Suirisomorfismo dei grafi relativi a catene cinematiche

Si è eia rilevato nel paragrafo 1-4, come la teoria dei grafi possa essere

(7;

c, m

C2

frequente nel caso dell’enumerazione sistematica dr dell’analisi delle rispettive strutture. _ W7777+

77777777.

a)

zione. FIGURA E1-52

Meccanismi equivalenti.

o UJ N o oc Ul UJ

(El-79)

h„ +2 lis-3 -€ +2j+4=0.

Determinare il massimo numero degli elementi cinematici di un membro di

o

co

ed espressa in funzione di /z„, hs e j assumerà la forma

Esercizio

a.

catene crnematrehe e

104

CAPITOLO 1

ESERCIZI E COMPLEMENTI

Pertanto, il test di isomorfismo, in quanto ripetutamente eseguito, dovrà essere, oltre che affidabile, efficiente sotto Easpetto computazionale. Occorre dire, tuttavia, che il problema in questione, non definitivamente risolto, è ancora oggetto di ricerca, tanto nel settore della matematica quanto in quello della scienza delEinformazione, per cui la trattazione che segue è fondamentalmente diretta ad illustrare taluni algoritmi più frequentemente utilizzati nell’ambito della cinematica applicata. A tal fine,sembra opportuno

105

Infatti, presa in esame la catena cinematica di Watt, schematizzata nelle figure El-53 a) e c) con diversa ed arbitraria etichettatura dei membri, i grafi che ne conseguono, in ciascun caso, sono rappresentati nelle figure El-53 b) c d)..

UJ

S 4

U1 D. 5

o

rammentare che:

o UJ

1) due grafi G, e G2 sono isomorfi se, e solo se, esiste una corrispondenza

N

o

biunivoca che conservi le caratteristiche di incidenza tra i rispettivi in

cc UJ

siemi dei Iati e dei vertici;

co UJ

6

2) due vertici, appartenenti a due grafi Gj e G2, sono corrispondenti se hanno lo stesso grado;

3) due lati, appartenenti a due grafi G, e G2, diconsi corrispondenti se sono incidenti in vertici dello stesso grado. Sussiste, inoltre, il teorema:“Due grafi G, e G2 sono isomorfi se, e solo se, esistono due matrici [flv\ ed che soddisfano la relazione

b)

a)

4

[Mg][fi,].

(El-81) 05

essendo

* Wve]^

le matrici delle incidenze vertici-lati dei due grafi Gj e G

lì

rispettivamente;

• [fìy]la matrice che trasforma l’insieme

6

dei vertici di G,in quello

di G,;

• [Gf] la matrice che trasforma Tinsieme

l

dei Iati di G2 in quello

d)

di G,.”

FIGURA E1-53 Catena cinematica di Watt e relativi grafi isomorfi. Dal teorema testé enunciato si deduce che:

• il problema deH’isomorfismo tra due grafi può ricondursi alla ricerca di quella permutazione, tra righe e colonne, che renda identiche le matrici di incidenza dei due grafi in esame; * il numero di forme che può assumere una matrice delle adiacenze è pari a «!, essendo n l’ordine della matrice stessa.

Ciascuna forma corrisponde, quindi, ad una possibile alternativa di etichettatura dei vertici del grafo.

Al riguardo, la considerazione di un esempio permette di introdurre la definizione di matrice [A ]delle adiacenze(0 delle incidenze vertice-vertice), della quale è necessario avvalersi nel prosieguo della trattazione.

Detto fly il generico elemento

della matrice [A], si stabilisce che sia fly =0,

allorché i vertici «/» e «jf»

non siano collegati da alcun lato, fly =1,

quando i vertici siano collegati da un lato, e risulti sempre a.i =0.

106

CAPITOLO 1

ESERCIZI E COMPLEMENTI

In tal modo, ai grafi etichettati, in b) e d), corrispondono le matrici delle adiacenze

107

potenza /'“esima della matrice [A] delle adiacenze. In particolare, quindi, dalla matrice [AJ, come dalla [At], segue

0 10 10 1

K]=

10 10 0 0 0 10 10 0 10 10 10

Tr[A]=0, Tr[Af=14, Tr[Af=0,

UJ

s lU

Tr[Af=70, Tr[Af=0, Tr[Af=398,

(El-82)

0 0 0 1 0 1 1 00 0 1 0

elaborata dal e Tapplicazione delle formule di ricorrenza(El-85)ed (El-86), caratteristico

Programma di calcolo N.Ll porta allo stesso polinomio

-I

ù.

O o UJ N

0 00 1 0 1 0 0 1 10 1

p{x)=x^-'l x^+1 x“-l

0 10 0 10 1 1 0 0 0 0

H Z

(El-83)

cui alle figure per CUI è e possibile affermare che le catene cinematiche di

o cc UJ

co UJ

Ei-53 a) e b) sono isomorfe. i.- a 4. • (36.37.67,f)8.f>9] per i grafi II criterio esposto, ritenuto affidabile da molti Autori dimostrato fallace.

00 1 00 1 1 10 0 10

relativi a catene cinematiche chiuse, si è tuttavia

che rappresentano due delle 6!=720 forme che le stesse possono assumere nel caso in esame.

E immediato concludere che la verifica deH’isomorfismo fondata sul

confronto di tutte le possibili forme equivalenti in cui può essere riordinata la matrice in questione, pur se possibile in linea di principio, porterebbe a lunghissimi tempi di calcolo, per cui è opportuno avvalersi, nella verifica medesima, di alcune proprietà delle matrici che risultino invarianti rispetto alla trasformazione espressa dalla (El-81).

che le T S. Mruthyunjaya e H.R. Balasubramanian >, infatti, rilevarono El-54, presenta-

catene cinematiche non isomorfe, schematizzate in figura vano

lo stesso polinomio caratteristico

-13x®-f53A:‘-8A:^-82x‘'-t-26x’+39x--16x.

Premesso che i test verificano, in generale, soltanto condizioni necessarie per risomorfismo e si sono talvolta dimostrati inadeguati allo scopo, ciò che lascia il problema aperto ancora aH’indagine scientifica, un criterio di veri fica deH’isomorfismo, proposto da J.J. Uicker e A. Raicu e frequente mente utilizzato, si basa sulla considerazione del polinomio caratteristico di

1

una matrice /l-l

+...+

fio x +^2] x

n-l

x+a„ =0,

(El-84)

10

e definisce isomorfi quei grafi per i quali risultino eguali i coefficienti Uj del polinomio stesso. Tra le tecniche numeriche adottate per il calcolo di tali coefficienti appare più vantaggiosa, sotto il profilo computazionale, quella proposta da Bocher

secondo cui risulta

(El-85) 1 fl, = j

J

j

5

«/-r Tr[A Y,

(El-86)

r=]

essendo Tr[A]'’ la somma degli elementi della diagonale principale della

cinematiche non isomorfe ed aventi, adiacenzeI

lo stesso polinomio

+53x®-8x5’-82x‘'+26x^+39x^'16x.

108

CAPITOLO 1

ESERCIZI E COMPLEMENTI

Da qui l’orientamento di taluni studiosi

ad affinare il procedimento,

109

4

applicandolo non alle semplici matrici delle adiacenze, ma a matrici caratte rizzate da ulteriori informazionit711sulla topologia della catena cinematica. H.S. Yang e W.M. Hwang proposero, in particolare, l’impiego della

z

7

lU

5

3

«matrice strutturale»

UJ

6

2

[Mw] [^ve] \S]=

WvEf [M,,] ’

GRAFO

3

Q.

S O

(El-87)

o

6

liJ

4

3

essendo:

N

O OC

• [My^,] la matrice (n xn) delle adiacenze dei vertici, quale è stata già defi

UJ

nita;

[MEeJ=Ma\.nce delle incidenze lati-lati

• Wve] matrice {n xm) delle incidenze vertici-lati, gli elementi fly della

[MvE]=Ma\r\ce delle incidenze lati-vertici Lato

1

2

3

4

5

6

7

1

0

0

1

1

0

1

0

2 3

0

1

1

0

0

0

0

1 1

1 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

quale sono governati dalle convenzioni

Lato

»

]la matrice(mxm)delle incidenze lati-lati, gli elementi della quale sono governati dalle convenzioni

ove il lato «i»

3

4

5

6

7

0

1

0

0

0

1

1

0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 0

0 0 1

0 1 1

0 0 0

5

0

0

0

1

0

0

1

0

1

6

0

0

7

1 1

0 0

1 0

1 0

0 1

0 1

1 0

TABELLA E1-7

nel caso contrario;

•

4 5 6

2

1 2 3 4

Vertice

nel caso in cui il lato «j è incidente nel vertice «i», e

1

Lato

e il lato «j» incidano nello stesso vertice, e Oy =0,

nel caso contrario.

Mentre nella tabella El-7 viene dato l’esempio delle matrici [M^^] e [My^] per il grafo ivi rappresentato, è da precisare che il polinomio caratteristico

della [S], definito «polinomio strutturale» dai menzionati Autori, potrebbe

essere utilizzato per verificare l’isomorfismo tra grafi di catene cinematiche. Tuttavia, non si può non rilevare che l’inconveniente della metodologia descritta consiste nel dover effettuare calcolazioni su matrici di ordine

(n +m), maggiore, quindi, di quello n delle semplici matrici delle adiacenze. Con il metodo di Krylov modificato ad esempio, il numero delle moltiplicazioni e divisioni necessario al calcolo dei coefficienti del polino mio caratteristico, se p è l’ordine della matrice, risulta pari a (p-i-1) ed calcolo. è quindi non trascurabile l’incremento del tempo di

Autori T.S. Un diverso approccio al problema è offerto dai già menzionati il test isomor Mruthyunjaya e H.R. Balasubramanian secondo i quali delladi«matrice coefficienti fismo tra due grafi può effettuarsi confrontando i definiti grado» [DI, gli elementi d;j della quale sono convenzionalmente un ver ice i un come somma dei gradi dei vertici «i» e «i» (grado i se i membri «i» e «j» del grafo = numero dei lati incidenti nel vertice stesso) nel caso contrario, meccanismo sono collegati da una coppia cinematica;

«ella [LuIih tabella fi El-88 Sempre per il grafo della catena cinematica di Watt, g i viene dato un esempio di deduzione della matrice [D], suddette, come quale sono stati calcolati sia avvalendosi delle definizioni nonché per gli elementi della diagonale

neH’esempio A, sia applicando la seguente formula n

n

(El-88) k=\

k=ì

allorché ci si riferisca agli elementi a,della matrice delle adiacenze, di ordine «, come nell’eseinpio B , suddetta relazione resta giustificata Sembra opportuno far ri evare^che la sua ^& osservando che il grado del vertice e pan a rispettiva riga della matrice [A]delle adiacenze.

co UJ

110

esercìzi e complementi

CAPITOLO 1 4

111

C Open input/output files OPEN(UNIT=5,FILE='CHARPOLYN.IN')

OPEN(UNIT=6,FILE='CHARPOLYN.OUT')

H Z

C Read elements of adjacency matrix 3

5

GRAFO

2

UJ

DO 10 1=1,NORD 10

READ(5,*) (A(I,J), J=l,NORD)

Ili

100

FORMAT(6F4.1)

a.

WRITE(6,*)' GRAPH ADJACENCY MATRIX' WRITE(6,100) ((A(I,J), J=l,NORD),1=1,NORD)

o o

CALL CCHPOL(A,NORD,ICOEF,WKSP,AP)

6

LU

C Resulta printout 2

3

4

5

6

5 1

1 4

6 1

1 1

5 1

4 1 1 1

1 5 1 1

5 1 5 1

1 5 1 4

1 1 4 1

WRITE(6,*)''

N

WRITE(6,*)'Characteristic polynomial'

O OC

DO 11 J=l,NORD+l

UJ

JT=NORD-J+l

CO UJ

WRITE(6,101) JT,ICOEF(J) 11

CONTINUE

101

FORMAT('Coefficient of X**',12,' =',F10.3) STOP END

C

Esempio A: d,2=3+2, essendo 3 il grado del vertice 1 e 2 quello del vertice 2. 6

Esempo B: di2=

SUBROUTINE CCHPOL(A,NORD,ICOEF,WKSP,AP)

6

^ ^1/1+^ k=^

C

asit, per cui la sommatoria degli elementi della prima riga

C

k=1

6

C

ai,.2, ciò che porta a tratto pieno di fig. 2-13, con M'mM.^P ,2 m P

D

FIGURA 2-11

Determinazione del centro della rotazione relativa

mediante inversione cinematica.

Resta in tal modo definita la posizione del centro P,2 della rotazione relativa, sito nella intersezione degli assi dei segmenti CjC]e D^D'2, mentre angolo della rotazione relativa yale tp]2-4>ì2Una procedura grafica per la determinazione del centro

alternativa a

quella appena illustrata, discende da una semplice relazione geometrica che ci si propone di dimostrare.

.

.

A tale scopo, si consideri il sistema costituito dai corpi MtdM,in una tig.

generica posizione iniziale 31, ed 31’„ e si suppongano noti, come in

FIGURA 2-13

Centro della rotazione relativa.

12-

1 38

MOTI

CAPITOLO 2

si Inoltre, attribuendo ad !M ed CM una rotazione (^,2 attorno a P12, inP 12 12? come nella configurazione a tratto pieno porta in !M in P Iti

n

riportata in fig. 2-14. In quest’ultima, dalla considerazione del triangolo tft

PnPnP

12

discende l’identità

4>ì2

4^12

RIGIDI PIANI PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 139

si esaurisce, Un primo criterio atto a definire il desiderato quadrilaterodelle cerniere come in Fig. 2-15, determinando la posizione dei centri definite e5o dalle asse fisse quali centri delle due circonferenze univocamente gnate terne di punti omologhi A,- e Bi(/= 1,2,3).

1

■'^ + ~ Ì4^l2-4>i2)i

2

fi .

della rotazione relativa di M'rispetto ad M giace nella

per cui il centro

^^3 j

intersezione delle semirette con origine in P]2 e P'12 ed inclinate, ordinatamente, degli angoli

4>\2

fi I

/

/

e -—^ rispetto al segmento orientato P12P n-

/

\br.

\ A,

/

^ Pr.

.

jw;

A,

/ I

! /

/

\

I

\ /

i

!

\

/ /

/

A ■ \

\ai2

/ I

/ /

\

/

/

\

/ /

/

/

/

\

l

/

/

/

I

/ / ■ /

.1

1/

I, !

Il

Ao,

fi 0

V////7/1

FIGURA 2-15 Sintesi di un quadrilatero articolato piano per tre assegate posizioni della biella.

Per contro, allorché siano prestabilite le posizioni dei centri C„ e

delle

procedimento di inversione nel determinare le posizioni omologhe C esempio ìuA iB], la lamina stessa e

C"o e D'o, D"o di Co e /),„ rispettivamente.

Pr.

I

0?

. „ r» uguali e 0»

FIGURA 2-14

2-4

Determinazione del polo Ria-

SINTESI DI UN QUADRILATERO ARTICOLATO PIANO PER TRE ASSEGNATE POSIZIONI DEL PIANO MOBILE

di iniziare >1 Particolari soluzioni del problema in argomento consentono come eerra mostrato lettore a metodologie di sintesi cui è possibile accedere, in seguito, sulla base di più generali procedure.

0»

corpo A5.

riferimento ai triangoli A,PA Analoga costruzione, eseguita con della rimanente cerniera mobile ad individuare il centro Di

(/ = 2 ,3), porta

della biella.

^

C-, C^ e Do,2, £>3 discende

Da ultimo, la determinazione dei punti omologhi C2,03

immediata in virtù della rigidità del moto.

1 40

MOTI RIGIDI PIANI

CAPITOLO 2

PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 141

I

5,

Có Pr.

FIGURA 2-16 Sintesi di un quadrilatero articolato piano mediante inversione cinematica.

2-5

FIGURA 2-17

Triangolo dei centri delle rotazioni finite.

IL TRIANGOLO DEI CENTRI DELLE ROTAZIONI FINITE

quadrilatero artico Taluni problemi concernenti la sintesi cinematica di untrovano più generale lato piano, per tre assegnate posizioni della biella, dai centri delle rota

/t

soluzione nella considerazione del triangolo individuato Al fine di evidenziare alcune proprietà notevoli di tale triangolo, si con

zioni finite e rappresentato in fig. 2-17.

siderino quei punti CtD appartenenti al piano mobile e per le cui posizioni omologhe risulti, come in fig. 2-18, B

Co=C,^P23, 12»

ove i pedici che contraddistinguono C e £> si riferiscono alla posizione del

“°»mtaarii"

sono .Ino posmoni omolngte di C.

O.I piolnn*....,!

|•avreBen^a cìio il segno algebrico(verso)degli angoli merlesini. sia stabilito

FIGURA 2-18

Costruzione de! triangolo

delle rotazioni finite.

MOTI RIGIDI PIANI

142

PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 143

CAPITOLO 2 P

nel rispetto delle seguenti relazioni^: (2-7) ki i

^;.=- Aj ■

si presenta Una prima e più immediata applicazione del triangolo dei poh Infatti, allorché

nella determinazione dei punti omologhi del piano mobile.

sia stabilito il triangolo in parola e la posizione /I, di un generico punto del nelle due corpo, le successive posizioni Aj ed Ak, occupate dal punto stesso come punti di fasi successive del moto, possono individuarsi, ordinatamente,

Pn

tale essendo simmetria, rispetto ai lati P,Pj, e P,,P,„ del punto cardinale ng. 2 2U). il punto simmetrico di A; rispetto al lato PjjPik (v. La determinazione dei punti omologhi secondo tale procedura resta giu

stificata dalla geometria della costruzione eseguita, m quanto, come si rileva dalla anzidetta figura, risulta: FIGURA 2-20 Punto cardinale A:-

71,^12^2=2(a +/3)='i?i2 2^2^23^3=2(y + 5)='l?23

cui sorge deve per ruotare=ilrr lato per 1 II generico angolo — è altresì quello, minore di y. di che vieneP„P., superata sovrapporti al lato pK (v- fi& Z'!»)' avvalendosi sempre della (2-7).

l’fntbrguità

LATO 1

Inoltre, introdotto il «punto cardinale notevole» H,, definito nell’ortocentro

del triangolo dei poli, sussiste il seguente teorema:

“Le posizioni omologhe //„ IP ed H, occupate presenta quale punto cardinale, appartengono .alla circonferenza scritta al triangolo dei centri delle rotazioni finite Infatti, con

riferimento alla fig. 2-21, dal triangolo rettangolo P.^Pi. si

deduce essere

f+ A + 17=90°, mentre

LATO 3

dalla considerazione del triangolo isoscele

A discende l’ugua

glianza

= A.

in quanto sull’arco H,Pn insiste l’ango^ H.Ì’bÌ’YPx-ì risultano perpendicoQuindi, tenuto presente che i segmenti 23 lari, rispettivamente, ai lati P12^13 e P\i 23, g P|2

figura 2-19 Designazione degli angoli delle rotazioni finite.

, ai lati

Analogamente, essendo YP^^ e ^^12 perpendicolari, rispettivamente

144

FIGURA 2-21

145

MOTI RIGIDI PIANI PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI

CAPITOLO 2

Punto cardinale notevole Hg. FIGURA 2-22 Circonferenze speculari 7 ■.

P12P23 e PtìPii, valgono le eguaglianze

2-6

YPaP23=H,PuP23=V-

Dalla considerazione del triangolo isoscele

LUOGO DEI PUNTI CON POSIZIONI OMOLOGHE ALLINEATE

e del triangolo rettangolo

Per tre assegnate posizioni finite del piano mobile, sussiste il teorema.

//jZ/’is discendono altresì le relazioni

(/ = 1, 2, 3) Qualora i punti omologhi giacciano su una retta r, il generico/l, alla circonferenza di essi ed il punto cardinale notevole //, appartengono

H,H,P„ = ^,

speculare /].

Z//3Pi3 = 90°-'i7 = ^ + A,

Infatti, con

per cui è

riferimento alla figura 2-23, possono scriversi le eguaglianze d- 13

\3—

Le relazioni fin qui dedotte dimostrano che i punti //„ Pn^ H2, P?^^

^^

^iA\Pì3

2 ’

(2-8)

13 12

/\

appartengono tuttii alla medesima circonferenza,^ che chiameremo circonfe-

(2-9)

2

renza dei centri delle rotazioni finite o dei poh

r /■-3 0 Da ultimo, è utile introdurre la ^ ip, della circon definita come circonferenza simmetrica, rispetto al lato P:jP,k,

essendo

con i¥^j e ;-l, 2, 3, 1 asse del segmento AjAj e

ortogonale ad /■ peryl,. Dalle precedenti relazioni segue

ferenza dei poli, come in figura 2-22. HpU v^nn^^izinne oer Tali circonferenze vertano impiegate nel prosieguo dell esposizione per

,

la soluzione di taluni problemi di sintesi cinematica.

i A conclusione, sembra opportuno rilevare che due moti finitideiaven po . identiche caratteristiche geometriche presentano eguali triangoli

^13

^[3"^1-^ì2" 2 k.

^

12

2

23

2

la retta (2-10)

146

MOTI RIGIDI PIANI PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI

CAPITOLO 2

in quanto le rette «23, ^2 ed a,2 sono fra loro parallele.

Inoltre, dalla similitudine dei triangoli rettangoli P22ZP12 ed YH^Pn (aventi in comune l’angolo YP^2Z) discende /N

/\

P,2P23Z = YH,P,2=

147

Dalle relazioni (2-12) e (2-Ì3) segue '1?23

^12

2

2

(2-il)

13

(2-14)

^23^2^2^ ^2*^^2*^12”•^23*'^2^12“

23

2

2

risulta

Pertanto, dalle (2-10) e (2-11) si deduce che i triangoli P^^P^H^ e Px-^Pn^ avendo ìnHc ed in.4, angoli uguali, sono entrambi circostritti dalla circonfe renza speculare Fi.

e dalla similitudine dei triangoli rettangoli ZP^Pn

Analogamente, sempre con riferimento alla figura 2-23, valgono le egua

(2-12)

^23^2^12 Pertanto, le (2-14) e (2-15) consentono di affermare che i triangoli circoscritti dalla e PrìHcPn^ avendo eguali angoli inA2 ed H^., sono entrambi circonferenza speculare r2. .r Sulla base dei procedimenti fin qui seguiti, il lettore potrà facilmente

(2-13)

zione delle tre circonfrenze speculari.

li

glianze /\

'^23

A2-P23^23"-^23-^2^2'”’^“ - ’

12

/N

(2-15)

P2:,H,Y=XPx2Pn~-

F-^. dimostrare che il punto A3 appartiene alla circonferenza speculare cade nell interse Resta così dimostrato che il punto cardinale notevole

/\

Q-\2P\-)^2~ ^2^2F12 TT —

Infine, considerati gli angoli con vertice in P

135

/N

Pl3PuPn+Pl2Pl3Ai+AiP,iAi+A,P,,P23=

TT—

si ha:

1^13 \ + 7]+ ^X2+0-=2tT, 2 ^

ovvero

d-13

(2-16)

+ a=7T.

77+

2

Inoltre, sussistono le due eguaglianze (2-17) /\

(2-18)

A,^c^12=A,/^,3^12=^5

i. ,..n,o

con .erto

insistono, rispettivamente, sugli archi ^3/^23

12

m

l’eguaglianza I3

A3-^.F23+^23^^c/'i2+^ì2/^c^1 =^+

-sf"■

?-fo™,.s.. cn.

mobileinleunacirconferenze specularidada r, ^2de. flessi, I3 coalescenza, sola circonferenza corpo

quale si riferirà in dettaglio nei Capitoli iv e v.

FIGURA 2-23 Luogo dei punti con posizioni omologhe allineate. k.

(2-19)

2

"

Pproprietà F della

MOTI RIGIDI PIANI PER

148

CAPITOLO 2

2-7

LUOGO DEI PUNTI DI CONCORRENZA DI TRE POSIZIONI OMOLOGHE DI UNA RETTA

Sussiste il teorema: “Se tre posizioni omologhe r/(/=l, 2, 3) di una retta concorrono in un punto 5,le rette fy, ed passano, nell’ordine, per i punti Hy, H2 ed H2, simmetrici, rispetto ai lati del triangolo dei poli, del punto cardinale notevole ed il punto S appartiene alla circonferenza dei poli”. Per dimostrare l’asserto, ci si riferisca alla figura 2-24 e sia Vy una gene rica retta per Hy. Tenute presenti le proprietà dei punti //,, discusse nei precedenti paragrafi, il punto Hy si porterà in H2 ed H^ e le rette /s ed passeranno, rispettivamente, per questi ultimi, allorquando il corpo solidale con r occuperà le posizioni 2 e 3. Inoltre, poiché l’angolo di cui ha ruotato ry, per sovrapporsi ad r2, risulta uguale ad HyPy2H2, segue la relazione

Ad analoga conclusione si perviene considerando le coppie di rette ry, ed /•„ r„ unitamente agli angoli che le stesse formano, per cut restadeicompietapoli. mente dimostrata l’appartenenza del punto S alla circonferenza sintesi dei meccanismi Per l’applicazione dei concetti fin qui esposti allasulle linee da adottare in articolati, la tabella 2-1 fornisce utili considerazioni stessi. relazione agli elementi strutturali costituenti i meccanismi Luogo geometrico

Elemento strutturale A,

Il centro Aq della coppia telaio-asta coincide con quello della circonferenza passante per le posi zioni omologhe A, ed -^3 del secondo estremo

ASTA

HyPy.H.^ry Sr2=^y2-

UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 149

(2-20)

A dell’asta stessa. A, TELAIO

Nella coppia pattino-glifo, quest’ultimo nel ruolo

telaio siano

di

Az ed A3 le ^re posizioni omologhe,

Appartenenti ad una stessa retta di

»A, PATTINO

•A,

•A

pattino. /I, appartiene alla r, che circoscrive il triangolo Pi2^t3r 23,

timo vertice essendo il simmetrico di P23 J lato P 5P13 Analoghe considerazioni valgono per

t ed £ che apparterranno, quindi, alle circonfespeculari A e 7 3. rispettivamente.

TELAIO

renze

9 9

A,

,e„aeoppia^ino-g^.^-.:«^^ guida oscillante, g coppia pattino-teGLIFO /4. ^

[aTo° lUuo'gATei punti Sè la circonferenza dei poli.

^ c;

PATriNo,;^j; TELAIO

s Vi articolati.

TABELLA 2-1

Elementi strutturali utilizzatii nella sintesi dei meccanismi

Nelle figure 2-25, 2-26 e 2-27 -no

che possono utilizzarsi nella stntes. per tre postz FIGURA 2-24 Luogo dei punti di concorrenza

di tre posizioni omologhe di una retta.

Sto al telaio.

STrÌS"

1

1

I

150

MOTI RIGIDI PIANI

CAPITOLO 2

PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 151

zionc attorno airorigine del sistema di riferimento, assumono, rispettiva mente, la forma" 1 0 Ar

(2-21)

[Dp],.= 0 f , 00 1 J >///////////////////■

v/Z/M

[D\2\R ~

FIGURA 2-25

0

0

V77P7777777777777/.

WTTTT/.

vTTTTm,

cosi^n -sini^i2 0 sini^p cosi^p 0 ?

(2-22)

ij

nella quale, con riferimento alle figure 2-28a e b, risultano essere

Meccanismi articolati.

(2-23a) (2-23b)

Av ”-^2 .\

=y2-yì’

gli incrementi subiti dalle .WWWWWWWWWWWNNWWNXV

coordinate iniziali (x„y.) di un qualsivoglia punto

Tampiezza della suddetta rotazione, che si considera

del corpo rigido e positiva se antioraria.

Y

y

FIGURA 2-26

Meccanismi articolati.

)’i 0

Av

1?,2

Vn I

I

u-

I

Ax !

X

—•

0

.V I

0

.V-ì

b) a)

FIGURA 2-28 Spostamenti piani.

2. Alla (2-21) si perviene direttamente dalle (2-23), scritte nella forma

(a)

.r2=.Vi + Av,

(b)

FIGURA 2-27

y2=yi + 4y-

Meccanismi articolati.

Le (2-22) discendono, invece, dalle relazioni 2-8

DESCRIZIONE DI MOTI FINITI MEDIANTE MATRICI DI SPOSTAMENTO

Com’è noto, le matrici che trasformano le coordinate dei punti di un corpo rigido, in corrispondenza ad una

traslazione dello stesso e ad una sua rota

,v

y-,

(c)

HL-HK=Xi

(d) sini?,2+yi

+ LN — A'i ia della figura 2.28 c. quali si deducono dalla geometria (continua)

I2>

B 152

CAPITOLO 2

MOTI

D’altra parte, tenuto presente il teorema di Chasles, secondo cui un moto piano può ricondursi ad una rotazione attorno ad un punto P,2 (xq, yo), detto centro della rotazione finita, si presenta la necessità di determinare la matrice associata ad un generico spostamento finito del quale siano note le coordinate del suddetto centro e Tangolo di rotazione i?]2- A tal fine, occorre conside

RIGIDI PIANI PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 153

La matrice [Z),.], associata ad un generico spostamento finito, si otterrà, secondo le note regole delLalgebra, premoltiplicando le matrici [Z)]!?-,[D]2r e [Z)]37-, per cui risulta

[D12]-[D ]3r[D ]2R[D]

ir

rare:

[27. 28]

ovvero

• una traslazione che porti il centro P12 neH’origine degli assi del prescelto sistema di riferimento fisso ed alla quale, pertanto, corrisponde la matrice 1 0 —X|)

[o]ir -

0 1

(2-24)

0 0

cui corrisponde la matrice -sini?12 0 COSI?12 0 0

0 • una

0

y„(l-cosi?i2)-^o sin0i2 • (2-27) 1

Nel caso in cui sia incognita la posizione del centro Pi2 e siano note, invece,

punto M del >'2) di un[DpJ generico si perviene consi

derando:

• una rotazione di ampiezza i?i2, attorno all’origine del riferimento suddetto,

[O]2/? —

0

Xo(1-cosi^,2)+L(i sim?i2

corpo,come in figura 2-29, alla matrice spostamento

^

COSI?,2 sini?i2

-sini?12 COST^^12

le posizioni omologhe M.(x„ 3O ed

1

in quanto è zlx =0-Xo e Ziy =0-_yo;

[Op.]=

cosi?12 sini?1 2

di riferimento, per « la rotazione iJp del corpo attorno airorigine del sistema rotazione cui, portandosi M, in MI, può scriversi la matrice cosi?12

(2-25)

;

m IR - sini?i2

1

-sini?12 COSI?12

0

0

(2-28)

0 1

0

ulteriore traslazione che riconduca il centro P]2 nella sua originaria

e le coordinate di M/ risultano date da

posizione ed alla quale corrisponde la matrice [D]3T —

1

0

0 0

1 0

X,0

(2-26) 1

Li 1

XiCOsi?i2->'iSÌni? XiSÌni?i2+>’iCosi?

12

X

■v'i

= [D]

\R

12

Li 1

1

in quanto è Av=Xy-0 e Ay=yQ-0. V

o

r

.V-.

V

M. I

I X

I

-V,

V2

s

\

.e

/---■Or

Or.

•L

M\ (a'i, Vi)

I

.Vi I

X N

A

0

X\

FIGURA 2-28C

Trasformazione di coordinate.

FIGURA 2-29 Scomposizione di un moto finito.

A. Di Benedetto, E. Pennestrì, Introduzione alla

Cinematica dei Meccanismi, voi. 1

(2-29)

MOTI RIGIDI PIANI PER UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 155 1 54

CAPITOLO 2

• la traslazione del corpo stesso dalla posizione intermedia 1' alla posizione

fo, valgono le relazioni: (2-34)

finale 2, per cui la matrice traslazione è e

1

0

(2-30)

[D].t= 0 1 y.-y'i

“ [0 0

prodotto delle (2-28) e (2-30), per cui risulta essere -sini?’12 cosiT-12

0

0

(2-35)

Ax =Xo(l-cosi9^J +yoSÌni9-/;/n 5

(2-36a) (2-36b)

essendo

1

In tal modo, come nel caso precedente, la matrice scostamento segue dal cosi?12 sini?12

q,„.^^àx +iAy,

As-A-'i

jm i

Oppure

(2-37a) (2-37b)

Ax =x^~XjCOS‘^j„,+yjSÌn-&: Ay =y„-Xjsen^j„-yjCOsi^jjtn ì

jm 5

X2~^lcosi?i2+yiSÌni912

y2—-^iSini^ia-yiCOSi^n •

(2-31)

come si deduce generalizzando gli elementi che caratterizzano la traslazione

1

• •

nelle matrici (2-27) e (2-31), rispettivamente.

2-9

. rLa trasformazione espressa dalla (2-33) consente di definire m maniera concisa la circonferenza speculare T,(luogo dei punti del piano aventi tre

DESCRIZIONE DI MOTI FINITI MEDIANTE

posizioni omologhe allineate).

.

Tuttavia, prima di procedere ad ulteriori deduzioni algebriche, sembra

OPERATORI COMPLESSI

opportuno rammentare che:

j, con origine in quella del sistema “ l’angolo tra due vettori di egual modulodefiniti dai numeri complessi Zqi e di riferimento, come in figura 2-30, e ■_

complessi (2-32)

Zj=Xj + iyj,

ico moto finito , che^porta il corpo In particolare, se si considera un generico

j-esima alla m-esima posizione, sussiste la relazion

■

una

avendo indicato con

arg(Z) r anomalia del numero complesso Z; Y

operatori complessi caratterizzanti il moto stesso. I n

Zi

niiò scomporre il moto in questione, come già

• un. —. *1 co,o .1.0,.0 all origln.. =l« sP«.i « corpo •

dalla

(2-33)

Z,„ =Pw-i-^y ■^^"'-1 e qm^ì

(Z,0 2

0i2=arg

con 1=^-^.

essendo

Zo2, è dato da

traslazione dello stesso ,

delP.ngolo

individuata dai parametri Ax e Ay. 0

.

3 Moltiplicando per l’oP^^atore comp ess

/»'^=roS'5+f sio'd un numero complesso z=x + iy,

■ rappresentato da un venere avente^o^^^^ punto di coordinamcn o „ positivo se antiorario, precedente, di un angolo pan a i), posm

riferimento

c: l’altro estremo nelal ruotato, rispetto ,

c,

figura 2-30 Rotazione di un vettore attorno ali’origine degli assi di riferimento.

(2-38)

MOTI RIGIDI PIANI PER

1 56

UNO E DUE SPOSTAMENTI FINITI 157

CAPITOLO 2

• Tangolo tra due vettori(Zo3-^i)e(4,2-4)i). di egual modulo ea con origine nel punto di coordinate

con

come in figura 2-31, e pan

i?i2=arg

^ =Pl(^2-l)-pl(P2-f)+p2-p2=

(2-43a)

^=