Introducción al análisis de circuitos [10th. ed.] 9789702604488, 9702604486

Table of contents :
Introducción al análisis de circuitos
Prefacio
Resumen de contenido
Contenido
1. Introducción
2. Corriente y voltaje
3. Resistencia
4. Ley de Ohm, potencia y energía
5. Circuitos en serie
6. Circuitos en paralelo
7. Redes en serie-paralelo
8. Métodos de análisis y temas seleccionados (cd)
9. Teoremas de redes
10. Capacitores
11. Circuitos magnéticos
12. Inductores
13. Formas de onda senoidales alternas
14. Los elementos básicos y los fasores
15. Circuitos de ca en serie y en paralelo
16. Redes de ca en serie-paralelo
17. Métodos de análisis y temas seleccionados (ca)
18. Teoremas de redes (ca)
19. Potencia (ca)
20. Resonancia
21. Transformadores
22. Sistemas polifásicos
23. Decibeles, filtros y diagramas de Bode
24. Formas de onda de pulso y la respuesta R-C
25. Circuitos no senoidales
26. Análisis de sistemas; una introducción
Apéndices
Apéndice A
Apéndice B
Apéndice C
apéndice D
Apéndice E
Apéndice F
Apéndice G
Apéndice H
Índice

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DÉCIMA EDICIÓN

Introducción al análisis de circuitos Robert L. Boylestad TRADUCCIÓN Ing. Carlos Mendoza Barraza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México Ing. José de la Cera Alonso Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México REVISIÓN TÉCNICA M. en C. Agustín Suárez Fernández Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad Autónoma Metropolitana Plantel Iztapalapa Dr. Juan Carlos Sánchez García Ing. Gonzalo Duchén Sánchez Sección de Estudios de Posgrado e Investigación Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Instituto Politécnico Nacional Unidad Culhuacán

® MÉXICO • ARGENTINA • BRASIL • COLOMBIA • COSTA RICA • CHILE • ECUADOR ESPAÑA • GUATEMALA • PANAMÁ • PERÚ • PUERTO RICO • URUGUAY • VENEZUELA

BOYLESTAD, ROBERT L. Introducción al análisis de circuitos PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004 ISBN: 970-26-0448-6 Área: Universidad Formato: 21  27 cm

Páginas 1248

Authorized translation from the English language edition, entitled Introductory Circuit Analysis, Tenth Edition, by Robert L. Boylestad, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright ©2003. All rights reserved. ISBN 0-13-097417-X Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Introductory Circuit Analysis, Tenth Edition, por Robert L. Boylestad, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright ©2003. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Supervisora de desarrollo: Supervisor de producción:

Guillermo Trujano Mendoza e-mail: [email protected] Diana Karen Montaño González Enrique Trejo Hernández

DÉCIMA EDICIÓN, 2004 D. R. © 2004 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500-5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: [email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0448-6 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 05 04 03 02

®

Para Else Marie Alison, Mark, Kelcy, Morgan y Cody Eric, Rachel y Samantha Stacey, Jonathan y Britt Johanna

Prefacio A medida que escribía este prefacio para la décima edición de Análisis introductorio de circuitos, me fue imposible no reflexionar sobre los pasados 34 años de su historia. Hubo momentos en que fue particularmente difícil identificar los temas que se habían actualizado, si un nuevo tema debía añadirse, si el desarrollo se encontraba a un nivel adecuado o si era matemáticamente muy complejo, si la cobertura computacional debía ser ampliada, etc. Por fortuna, sin embargo, las preguntas de los estudiantes, tanto en las sesiones de clase como en los laboratorios, en combinación con los comentarios de los colegas y revisores, me ayudaron a definir las áreas que requerían rediseñarse y los temas que debían añadirse. No obstante, en mi interés por satisfacer a todos, el libro adquirió un tamaño que me obligó a considerar seriamente la posibilidad de eliminar secciones e incluso capítulos completos. Sin embargo, la reacción general ante tal cambio fue tan negativa que me pareció mejor alternativa aceptar simplemente el hecho de que todo material nuevo podría ser considerado para su inclusión únicamente si alguna parte del libro cuyo tamaño fuese similar pudiera eliminarse. Siempre resulta interesante que, cuando me siento a escribir el prefacio para una edición, ya me encuentre al tanto de los cambios que se presentarán en la siguiente. Por ejemplo, al enfocarme sobre el área de cómputo para esta edición, sentí una fuerte necesidad de conservar las descripciones detalladas que aparecen con las aplicaciones de PSpice, Mathcad y Electronics Workbench. Sin embargo, la calidad de la literatura de apoyo ha mejorado de forma importante en años recientes, llevándome a pensar que la mayor parte del detalle será eliminada en la onceava edición; posiblemente sólo se proporcionarán los archivos de salida e impresiones. Uno de los retos que más disfruto con cada nueva edición es llegar a algo realmente innovador que apoye el proceso de aprendizaje. En la novena edición esto significó añadir numerosos ejemplos prácticos, y en la octava fue el detalle ofrecido para dar soporte a la versión Windows de PSpice. Retrocediendo hasta la quinta edición (1987), recuerdo que se discutió acerca de si era conveniente presentar el análisis por computadora en el texto con la adición de programas en BASIC. Evidentemente, hacerlo fue una decisión acertada cuando observamos la cobertura que se ofrece a tal análisis en la mayoría de los textos actuales. En otra edición, el punto medular consistió en decidir la ampliación del capítulo inicial sobre operaciones matemáticas, dado que observé que muchos estudiantes carecían de la formación adecuada para el trabajo a seguir. La revisión es un proceso con-

tinuo que ofrece un reto maravilloso para futuras ediciones. Los cambios más evidentes en esta edición están en el área de cómputo. Me encontraba satisfecho con la versión de la familia OrCAD 9.2 Lite Edition, que me permitía migrar desde la versión 8. Recuerdo que cuando finalmente me sentí seguro utilizando la versión DOS de PSpice, se presentó la versión de Windows; entonces me di cuenta de que aun cuando había desarrollado mi habilidad en el modo DOS, debía aprender ese nuevo enfoque. Al principio estuve renuente y me centraba en señalar todo aquello que no me gustaba acerca de la versión Windows. Sin embargo, mediante la práctica, y con el tiempo, advertí que evidentemente ese sería el camino del futuro; y, por supuesto, ahora aprecio el cambio. Lo mismo sucedió, en cierta forma, cuando ya estaba familiarizado con la versión 8 de PSpice y se introdujo la versión 9 (bajo un nuevo propietario titular) con varios cambios. Durante cierto periodo permanecí con la versión 8 en lugar de hacer el cambio; no obstante, la empresa Cadence Design Systems realizó un esfuerzo importante para suavizar los cambios y restablecer su cercana asociación con la versión de MicroSim. Ha llegado el momento de migrar a la nueva versión. La mayor parte de los cambios se encuentran en la interfaz de usuario y en algunas de las secuencias de simulación; sin embargo, el lector puede estar seguro de que si se encuentra familiarizado con la versión 8 y dedica algunos minutos a revisar el material introductorio de este texto, la nueva versión pronto le parecerá tan amigable como la anterior. De hecho, con seguridad agradecerá algunos de los cambios que se realizaron. Para esta edición se incorporó la versión Multisim 2001 de Electronics Workbench como respuesta a su creciente uso por parte de varias instituciones. Tiene la notable ventaja de permitir el uso de instrumentos reales para realizar las mediciones, proporcionando a los estudiantes una experiencia de laboratorio al utilizar la computadora. Por último, decidí permitir que Mathcad jugara un papel activo en el proceso de aprendizaje. En la actualidad los estudiantes son muy rápidos para aprender la forma de aplicar los paquetes de software, así que supuse que la habilidad para realizar operaciones matemáticas complejas con la computadora únicamente los incitaría a familiarizarse más con los métodos por computadora. Todavía recuerdo los tiempos en que los estudiantes permanecían sentados experimentando cierto temor cuando les mostraba la forma de realizar algunas operaciones básicas con ayuda de la computadora. En la actualidad, debo permanecer en alerta constante para responder a las preguntas que hacen y, v

vi

⏐⏐⏐

PREFACIO

tengo que reconocerlo, en ocasiones necesito efectuar alguna investigación antes de poder contestarles adecuadamente. La cobertura de C permanece igual como respuesta a los comentarios positivos de los usuarios actuales. Sin embargo, con la incorporación de Electronics Workbench, y apoyado en observaciones de los revisores, decidí eliminar los programas en BASIC y sus descripciones. Durante los últimos años, he recibido numerosos comentarios acerca del orden de los últimos capítulos del libro. En esta ocasión, revisé minuciosamente ese contenido y decidí que algunos de los cambios recomendados eran válidos y debían ser realizados. Sin embargo, debo admitir que el nuevo orden es principalmente resultado de mi propia experiencia de enseñanza y de cómo percibí que los temas debían ser cubiertos en un texto introductorio. El orden de las secciones numeradas en el capítulo 12 (Inductores) también fue modificado para asegurar que los temas más importantes se cubrieran al principio, y que la utilización de la ecuación general para el comportamiento transitorio se presentara lo antes posible a fin de que pudiera aplicarse a lo largo del capítulo. Otros cambios evidentes incluyen la eliminación del material que rodeaba la presentación de los superconductores debido a que las explicaciones requerían una formación más allá del nivel actual de los estudiantes. También, ahora el término rms se utiliza prácticamente de forma exclusiva en lugar de eff como sucedía en ediciones anteriores. En la descripción del álgebra fasorial, las letras A, B y C se reemplazaron por X, Y y Z para ofrecer un puente entre las operaciones matemáticas y los parámetros de red. En el capítulo 10 sobre capacitores, la ecuación general para el comportamiento transitorio se presenta lo antes posible para permitir su aplicación a lo largo del capítulo. De hecho, ahora se utiliza a lo largo del capítulo 24 de manera que los estudiantes no tengan que remitirse a las ecuaciones básicas de definición presentadas con anterioridad. En la dirección de Internet: www.pearsoneducacion.net/boylestad se encuentran ejercicios, aplicaciones prácticas y archivos de circuitos, tanto para Electronics Workbench como para Multisim. Un paquete completo de material de apoyo acompaña a este texto e incluye: Manual de soluciones para el instructor Archivo para exámenes Administrador de exámenes de Prentice Hall (banco de pruebas electrónico) Transparencias de Powerpoint® en CD-ROM Suplementos para el instructor en CD-ROM Sitio web de complemento: www.pearsoneducacion.net/boylestad

Para información sobre este material contacte al representante de Pearson Educación. De la misma forma que con cada edición, varias personas fueron de gran ayuda en el desarrollo del contenido de la presente. Mis agradecimientos más sinceros a Jerry Sitbon por tomarse el tiempo para responder a mis muchas preguntas acerca de todo tema y por ayudarme a definir el contenido en áreas específicas del texto. El profesor Franz Monssen, con su amplia experiencia en la aplicación de paquetes de software, fue muy útil en el desarrollo de la exposición de la nueva versión de PSpice. Para esta edición, la editora de desarrollo Kate Linser apoyó en la búsqueda de información específica, manteniendo un registro de todos los detalles necesarios y definiendo un canal transparente que permitió completar el texto. Un agradecimiento especial también para Sigmund Årseth por la pintura especial que honra la portada. A lo largo de los años, el equipo de producción en Columbus Ohio ha demostrado ser excelente, en todo el sentido de la palabra. Rex Davidson, editor de producción y buen amigo mío, de alguna forma consigue eliminar toda la presión que genera el proceso de producción. Mis editores, Scott Sambucci y Denis Williams, siempre están disponibles para ayudar a tomar decisiones importantes y hacer todo lo necesario con el propósito de asegurar que el texto publicado tenga todos los elementos necesarios para llegar a ser un éxito. Aprecio profundamente la capacidad de Lara Dimmick, asistente editorial, para hacerse cargo de una montaña de detalles. Mi correctora, Maggie Diehl, continúa sorprendiéndome con las preguntas y sugerencias que formula para mejorar el texto. Por último, quiero agradecer a todos ustedes, los lectores, por creer en este libro a lo largo de los años. La escritura y revisión del texto conforman un esfuerzo que me ha dado tal grado de satisfacción y gusto, que espero continúe en el futuro. No existe nada que disfrute más que atender a los comentarios de quienes actualmente usan el texto, y quizá de los usuarios de alguna de las ediciones anteriores. Les aseguro que no existirá comunicación de ustedes sin respuesta de mi parte. Mis mejores deseos para un año escolar saludable, productivo y agradable. Reconocimientos Quiero agradecer a las siguientes personas por sus distintas aportaciones a lo largo de las muchas ediciones de este libro de texto. Derek Abbot – Universidad de Adelaida, Australia Don Abernathy – Instituto de Tecnología DeVry Andrew H. Andersen, Jr. – Colegio de la Comunidad de Brookdale James L. Antonakos – Colegio de la Comunidad Broome Sohail Anwar – Universidad Estatal de Pennsylvania Jeff Beasley – Universidad Estatal de Nuevo México Tom Bellarmine – Universidad de Florida A&M

PREFACIO

Bill Boettcher – Instituto Técnico Vocacional de Albuquerque Joe Booker – Instituto de Tecnología DeVry Mohamed Brihoum – Instituto de Tecnología DeVry O. J. Brittingham – Instituto de Tecnología DeVry Charles Bunting – Universidad Old Dominion Kern Butler – Town and Country Electric, Inc. Mauro Caputi – Universidad Hofstra Richard Cliver – Instituto de Tecnología de Rochester Joseph Coppola – Universidad Estatal de Nueva York Lester W. Cory – Universidad del Sudeste de Massachusetts Thomas M. Crapo – Colegio Ricks Gerald L. Doutt – Instituto de Tecnología DeVry John Dunbar – Instituto de Tecnología DeVry Derrek Butler Dunn – Universidad Estatal de Carolina del Norte A&T Richard Fleming – Universidad Estatal de Midwestern Marion R. Fox – Colegio Estatal de Rose Kenneth Frament – Instituto de Tecnología DeVry George Fredericks – Colegio Técnico de la Comunidad Estatal de Northeast Alberto Gomez-Rivas – Universidad de Houston Robert Herrick – Universidad de Purdue Robert J. Hofinger – Universidad de Purdue Tania Hrynewycz – Instituto de Tecnología DeVry James Hurny – Instituto de Tecnología de Rochester Frank Jump – Colegio de la Comunidad de North Seattle Rajiv Kapadia – Universidad Estatal de Minnesota Robert Katz Mohammad I. Khan – Colegio Séneca Ali Khidar – Instituto de Tecnología DeVry

⏐⏐⏐

vii

Kathleen L. Kitto – Universidad Western Washington Dave Krispinsky – Instituto de Tecnología de Rochester Noel Looser – Corporación Omega M. David Luneau, Jr. – Universidad de Arkansas Bill Mack – Colegio de la Comunidad del Área de Harrisburg Leei Mao – Colegio Técnico de Greenville Robert Martin – Colegio de la Comunidad de Northern Virginia Tim Christensen – Cadence Design Systems Tom Minnich – Instituto de Tecnología de la Universidad de West Virginia Jalil Moghaddasi – Colegio de la comunidad de Bronx/CUNY Mike O’Rear – Instituto Técnico de Chattahoochee Said Oucheriah – Universidad de Northern Illinois Carol Parcels – Hewlett-Packard Corporation Jay Porter – Universidad A&M de Texas Robert Powell – Colegio de la Comunidad de Oakland Sandra L. Powell – Texas Instruments Carl E. Priode – Universidad Estatal de Shawnee Vic Quiros – Instituto de Tecnología DeVry Richard Skovhol – Universidad Aeronáutica Embry-Riddle Paul T. Svatik – Colegio de la Comunidad de Owens Barbara Sweeney – Archivos de AT&T Eric Tisdale – Universidad Estatal de Ball Domingo L. Uy – Universidad de Hampton Thomas A. Varetoni – Instituto de Tecnología DeVry Misty Watson – Instituto de Tecnología DeVry Lynda Wilkinson – Colegio de la Comunidad de North Seattle Mayor Jim Wise – Academia Naval de Estados Unidos

Resumen del contenido 1 Introducción

15 1

Circuitos de ca en serie y en paralelo

2

16

Corriente y voltaje

31

Redes de ca en serie-paralelo

3 Resistencia

629

709

17 59

Métodos de análisis y temas seleccionados (ca)

743

4 Ley de Ohm, potencia y energía

97

18 Teoremas de redes (ca)

791

5 Circuitos en serie

129

19 Potencia (ca)

849

6 Circuitos en paralelo

169

20 Resonancia

887

7 Redes en serie-paralelo

213

21 Transformadores

935

8 Métodos de análisis y temas seleccionados (cd)

22

255

Sistemas polifásicos

9 Teoremas de redes

23

321

Decibeles, filtros y diagramas de Bode

10 Capacitores

Formas de onda de pulso y la respuesta R-C 1093

11 435

25 Circuitos no senoidales

12 Inductores

1017

24

375

Circuitos magnéticos

977

473

26 Análisis de sistemas: una introducción

13 Formas de onda senoidales alternas

1123

1149

521 Apéndices

1192

14 Los elementos básicos y los fasores

575

Índice

1220 ix

Contenido 1 Introducción

1

1.1 1.2

La industria eléctrica/electrónica Una historia breve 2

1.3 1.4

Unidades de medición Sistemas de unidades

1.5

1.9

Cifras significativas, precisión y redondeo 11 Potencias de diez 12 Conversión entre niveles de potencias de diez 18 Conversión dentro de y entre sistemas de unidades 19 Símbolos 21

1.10 1.11 1.12

Tablas de conversión 22 Calculadoras 22 Análisis por computadora 25

1.6 1.7 1.8

1

7 8

Corriente y voltaje

31

Los átomos y su estructura Corriente 33

2.3 2.4 2.5

Voltaje 36 Fuentes de alimentación fijas (cd) Conductores y aislantes 46

2.6 2.7

Semiconductores 48 Amperímetros y voltímetros

2.8

Aplicaciones

Resistencia: unidades métricas Efectos de temperatura 67

65

3.6 3.7

Superconductores Tipos de resistores

3.8

Código de color y valores estándar de resistores 78

3.9 3.10

Conductancia Ohmímetros

3.11 3.12

Termistores 83 Celda fotoconductora

3.13 3.14

Varistores 84 Aplicaciones 85

3.15

Mathcad

71 74

81 82 84

90

4

2 2.1 2.2

3.4 3.5

31

39

59

Introducción

59

3.2 3.3

Resistencia: alambres circulares 60 Tabla de calibres de alambre 63

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Ley de Ohm 97 Trazado de la ley de Ohm 99 Potencia 102 Watímetros 105 Eficiencia 105 Energía 108 Cortacircuitos, dispositivos GFCI y fusibles

112

4.8 4.9

Aplicaciones 113 Análisis por computadora

118

Circuitos en serie

3 3.1

97

5

48

50

Resistencia

Ley de Ohm, potencia y energía

129

5.1

Introducción

5.2 5.3

Circuitos en serie 130 Fuentes de voltaje en serie

129

5.4 5.5 5.6

Ley de voltaje de Kirchhoff 133 Intercambio de elementos en serie Regla del divisor de voltaje 138

5.7

Notación

5.8

Resistencia interna de fuentes de voltaje

133 137

140 145 xi

xii

⏐⏐⏐

CONTENIDO

5.9

Regulación de voltaje

148

8.3

Conversiones de fuentes

5.10

Técnicas de medición

149

8.4

Fuentes de corriente de paralelo

5.11

Aplicaciones

8.5

Fuentes de corriente en serie

261

5.12

Análisis por computadora

8.6

Análisis de corriente de rama

261

8.7

Análisis de mallas (Método general)

8.8

Análisis de mallas (Método de formato)

8.9

Análisis de nodos (Método general)

8.10

Análisis de nodos (Método de formato)

8.11

Redes puente

8.12

ConversionesY- (T-p) y -Y (p-T)

8.13

Aplicaciones

8.14

Análisis por computadora

151 154

6 Circuitos en paralelo

169

6.1

Introducción

6.2

Elementos en paralelo

169

6.3

Conductancia y resistencia totales

6.4

Circuitos en paralelo

6.5

Ley de corriente de Kirchhoff

180

6.6

Regla del divisor de corriente

183

6.7

Fuentes de voltaje en paralelo

187

6.8

Circuitos abiertos y corto circuitos

6.9

Voltímetros: efecto de carga

169 170

257 260

307

9 Teoremas de redes

188

321

Introducción

6.10

Técnicas de resolución de problemas

Teorema de superposición

6.11

Aplicaciones

9.3

Teorema de Thévenin

6.12

Análisis por computadora

9.4

Teorema de Norton

9.5

Teorema de la máxima transferencia de potencia 342

9.6

Teorema de Millman

9.7

Teorema de sustitución

9.8

Teorema de reciprocidad

9.9

Aplicación

9.10

Análisis por computadora

193

194 200

7 Redes en serie-paralelo

213

Redes en serie-paralelo 213 Ejemplos descriptivos 218 Redes de escalera 223 Fuente con divisor de voltaje (con y sin carga) 226 Carga del potenciómetro 229 Diseño de un amperímetro, un voltímetro y un ohmímetro 230 Conexión a tierra 234 Aplicaciones 237 Análisis por computadora 241

Métodos de análisis y temas seleccionados (cd) 8.2

Introducción

255

321 328

338

351 354 356

357 359

Capacitores

255

375

10.1

Introducción

10.2

El campo eléctrico

375

10.3

Capacitancia

10.4

Rigidez dieléctrica

10.5

Corriente de fuga

10.6

Tipos de capacitores

10.7

Transitorios en redes capacitivas: fase de carga 390

10.8

Fase de descarga

394

10.9

Valores iniciales

399

375

377

10.10 Valores instantáneos

255

Fuentes de corriente

321

10

8 8.1

294

177

9.2

7.7 7.8 7.9

286

301

9.1

7.5 7.6

274 278

291

191

7.1 7.2 7.3 7.4

267

382 383 383

402

10.11 Equivalente de Thévenin: t  RThC

405

CONTENIDO

10.12 La corriente ic

12.12 Inductores en serie y en paralelo

408

10.13 Capacitores en serie y en paralelo

410

10.14 Energía almacenada por un capacitor 10.15 Capacitancias parásitas 10.16 Aplicaciones

413

12.14 Energía almacenada por un inductor

414

12.15 Aplicaciones

xiii

495

12.13 Circuitos R-L y R-L-C con entradas de cd

414

496 498

499

12.16 Análisis por computadora

10.17 Análisis por computadora

⏐⏐⏐

506

421

13

11 Circuitos magnéticos

435

11.1

Introducción

11.2

Campos magnéticos

11.3

Densidad de flujo

11.4

Permeabilidad

11.5

Reluctancia

11.6

Ley de Ohm para circuitos magnéticos

11.7

Fuerza magnetizante

11.8

Histéresis

11.9

Ley de circuitos de Ampère

11.10 El flujo 

435 436 438 439

Formas de onda senoidales alternas 13.1

Introducción

13.2

Características y definiciones del voltaje senoidal de ca 522

13.3

La onda senoidal

13.4

Formato general para el voltaje y la corriente senoidales 532

13.5

Relaciones de fase

13.6

Valor promedio

13.7

Valores efectivos (rms)

13.8

Medidores e instrumentos de ca

13.9

Aplicaciones

440 440

441

442 447

448

11.11 Circuitos magnéticos en serie: determinación de NI 448 11.12 Brechas de aire

521

528

535 539 546 551

554

13.10 Análisis por computadora

559

452

11.13 Circuitos magnéticos en serie-paralelo 11.14 Determinación de  11.15 Aplicaciones

521

454

14

456

458

Los elementos básicos y los fasores

12 Inductores

14.1

Introducción

14.2

La derivada

14.3

Respuesta de los elementos básicos R, L y C a un voltaje o una corriente senoidales 577

14.4

Respuesta en frecuencia de los elementos básicos 588

14.5

Potencia promedio y factor de potencia

14.6

Números complejos

14.7

Forma rectangular

14.8

Forma polar

14.9

Conversión entre formas

473

12.1

Introducción

473

12.2

Ley de Faraday de la inducción electromagnética 473

12.3

Ley de Lenz

12.4

Autoinductancia

12.5

Tipos de inductores

12.6

Voltaje inducido

12.7

Transitorios R-L: ciclo de almacenamiento

12.8

Valores iniciales

12.9

Transitorios R-L: fase de decaimiento

474

12.10 Valores instantáneos

474 475 478 485 487

490

12.11 Equivalente Thévenin: t  L/RTh

481

575 575

596 597

597 598

14.10 Operaciones matemáticas con números complejos 600 14.11 Métodos por computadora y calculadora con números complejos 606 14.12 Fasores

492

575

611

14.13 Análisis por computadora

616

592

xiv

⏐⏐⏐

CONTENIDO

15

18

Circuitos de ca en serie y en paralelo 629

Teoremas de redes (ca)

15.1

Introducción

15.2

Impedancia y diagrama fasorial

15.3

Configuración en serie

15.4

Regla del divisor de voltaje

15.5

Respuesta en frecuencia del circuito R-C

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5

15.6

Resumen: circuitos de ca en serie

15.7

Admitancia y susceptancia

15.8

Redes de ca en paralelo

15.9

Regla del divisor de corriente

629 629

636 644 647

654

18.6

655 659

18.7 18.8

667

791

Introducción 791 Teorema de superposición 791 Teorema de Thévenin 798 Teorema de Norton 810 Teorema de máxima transferencia de potencia 817 Teoremas de sustitución, reciprocidad y de Millman 822 Aplicaciones 822 Análisis por computadora 829

15.10 Respuesta en frecuencia de la red R-L en paralelo 668 15.11 Resumen: redes de ca en paralelo 15.12 Circuitos equivalentes

673

19

674

Potencia (ca)

15.13 Mediciones de fase (osciloscopio de trazo dual) 679 15.14 Aplicaciones

682

15.15 Análisis por computadora

689

16 Redes de ca en serie-paralelo 16.1

Introducción

16.2

Ejemplos ilustrativos

16.3

Redes escalera

16.4

Aplicaciones

16.5

Análisis por computadora

709

709 710

720 721 729

17

849

19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9

Introducción 849 El circuito resistivo 850 Potencia aparente 851 Circuito inductivo y potencia reactiva 853 Circuito capacitivo 856 El triángulo de potencia 857 Las P, Q y S totales 860 Corrección del factor de potencia 864 Watímetros y medidores de factor de potencia 868 19.10 Resistencia efectiva 869 19.11 Aplicaciones 872 19.12 Análisis por computadora 875

20

Métodos de análisis y temas seleccionados (ca)

743

17.1

Introducción

743

17.2

Fuentes independientes contra fuentes dependientes (controladas) 743

17.3

Conversiones de fuente

17.4

Análisis de mallas

747

17.5

Análisis de nodos

754

17.6

Redes puente (ca)

765

17.7

Conversiones -Y, Y-

17.8

Análisis por computadora

745

771 775

Resonancia 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9

Introducción 887 Circuito resonante en serie 888 El factor de calidad (Q) 890 ZT en función de la frecuencia 892 Selectividad 894 VR , VL y VC 897 Ejemplos (Resonancia en serie) 898 Circuito resonante en paralelo 901 Curva de selectividad para circuitos resonantes en paralelo 904

887

CONTENIDO

20.10 20.11 20.12 20.13 20.14

Efecto de Ql  10 907 Tabla de resumen 911 Ejemplos (Resonancia en paralelo) Aplicaciones 919 Análisis por computadora 922

21 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9 21.10 21.11 21.12 21.13 21.14 21.15

935

Introducción 935 Inductancia mutua 935 El transformador de núcleo de hierro 938 Impedancia reflejada y potencia 942 Acoplamiento de impedancia, aislamiento y desplazamiento 944 Circuito equivalente (transformador de núcleo de hierro) 948 Consideraciones de frecuencia 951 Conexión en serie de bobinas mutuamente acopladas 953 Transformador de núcleo de aire 955 Datos nominales 958 Tipos de transformadores 959 Transformadores con derivaciones y carga múltiple 961 Redes con bobinas magnéticamente acopladas 962 Aplicaciones 963 Análisis por computadora 968

22.1 22.2 22.3 22.4

Introducción 977 El generador trifásico 978 El generador conectado en Y 980 Secuencia de fase (generador conectado en Y) 982 22.5 El generador conectado en Y con carga conectada en Y 983 22.6 El sistema Y- 985 22.7 El generador conectado en  987 22.8 Secuencia de fase (generador conectado en ) 989 22.9 Los sistemas trifásicos -, -Y 989 22.10 Potencia 991

23 Decibeles, filtros y diagramas de Bode

1017

23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10 23.11 23.12 23.13 23.14

Logaritmos 1017 Propiedades de los logaritmos 1020 Decibeles 1021 Filtros 1026 Filtro R-C pasa-bajas 1028 Filtro R-C pasa-altas 1033 Filtros pasa-banda 1036 Filtros rechaza-banda 1041 Filtro de doble sintonización 1043 Diagramas de Bode 1044 Gráfica del diagrama de Bode 1052 Filtro pasa-bajas con atenuación limitada 1057 Filtro pasa-altas con atenuación limitada 1061 Otras propiedades y una tabla de resumen 1066 23.15 Redes para distribución de frecuencias 1072 23.16 Aplicaciones 1075 23.17 Análisis por computadora 1080

22 Sistemas polifásicos

xv

22.11 El método de los tres watímetros 997 22.12 El método de los dos watímetros 998 22.13 Carga trifásica no balanceada, de cuatro alambres, conectada en Y 1001 22.14 Carga trifásica no balanceada, de tres alambres, conectada en Y 1003

912

Transformadores

⏐⏐⏐

24 977

Formas de onda de pulso y la respuesta R-C 24.1

Introducción

24.2 24.3

Ideal contra real 1093 Razón de repetición de pulso y ciclo de trabajo 1097 Valor promedio 1100 Redes R-C transitorias 1102 Respuesta R-C a entradas de onda cuadrada 1104 Atenuador de osciloscopio y punta de prueba compensada 1111 Aplicación 1112 Análisis por computadora 1115

24.4 24.5 24.6 24.7 24.8 24.9

1093

1093

xvi

⏐⏐⏐

CONTENIDO

25

Apéndice B

Circuitos no senoidales 25.1 25.2

Introducción 1123 Serie de Fourier 1124

25.3

Respuesta de un circuito a una entrada no senoidal 1134 Suma y resta de formas de onda no senoidales 1139 Análisis por computadora 1140

25.4 25.5

1123

Determinantes

26.5 26.6 26.7 26.8 26.9

1198

Apéndice D Código de colores para capacitores tubulares moldeados (picofarads)

Análisis de sistemas: una introducción

26.4

1195

Apéndice C

26 26.1 26.2 26.3

Factores de conversión

1149

Introducción 1149 1150 Parámetros de impedancia Zi y Zo Ganancias de voltaje AvNL, Av y AvT 1155 Ganancias de corriente Ai y AiT y ganancia 1158 de potencia AG Sistemas en cascada 1162 Parámetros de impedancia (z) 1165 Parámetros de admitancia (y) 1169 Parámetros híbridos (h) 1174 Impedancias de entrada y de salida 1178

1206

Apéndice E El alfabeto griego

1207

Apéndice F Conversiones de parámetros magnéticos

1208

Apéndice G Condiciones de máxima transferencia de potencia 1209

26.10 Conversión entre parámetros 1180 26.11 Análisis por computadora 1181

Apéndice H

Apéndices

Respuestas a problemas de numeración impares seleccionados 1211

Apéndice A PSpice, Electronics Workbench, Mathcad y C++ 1193

Índice

1220

1 Introducción

1.1 LA INDUSTRIA ELÉCTRICA/ELECTRÓNICA La creciente sensibilidad a las tecnologías mostrada por parte de Wall Street es una clara evidencia de que la industria eléctrica/electrónica tendrá un impacto arrollador sobre el desarrollo futuro en una amplia gama de áreas que afectan nuestro estilo de vida, nuestra salud en general y nuestras habilidades. Incluso en el campo de las artes, donde inicialmente sus integrantes estaban determinados a no utilizar métodos tecnológicos, actualmente se están adoptando algunas de las nuevas e innovadoras tecnologías que permiten la exploración en áreas donde nunca antes se pensó que sería posible llegar. El nuevo enfoque de Windows para la simulación por computadora ha logrado que los sistemas de cómputo sean mucho más amigables y accesibles para el usuario común, dando por resultado un mercado en expansión que a su vez estimula el crecimiento en ese campo. Tener una computadora en el hogar será, eventualmente, tan común como en la actualidad es el caso del teléfono o la televisión. De hecho, estos tres dispositivos se encuentran integrados ya en una sola unidad. Al parecer, cada faceta de nuestra vida se encuentra afectada por adelantos que parecen surgir a un ritmo cada vez mayor. Para la persona que no es experta, el logro más obvio en años recientes es el reducido tamaño de los sistemas eléctricos/electrónicos. Los aparatos de televisión ahora son los suficientemente pequeños como para caber en una mano y tienen una capacidad de batería que les permite ser mucho más autónomos. Existen computadoras, con una gran capacidad de memoria, más pequeñas que este libro de texto. El tamaño de los receptores de radio únicamente se encuentra limitado por nuestra capacidad para leer los números inscritos sobre la carátula del cuadrante. Los audífonos para compensar deficiencias auditivas ya no quedan a la vista, y los marcapasos son mucho más pequeños y confiables. Esta reducción en el tamaño se debe principalmente a un maravilloso adelanto de las últimas décadas: el circuito integrado (CI), el cual fue desarrollado por primera vez a finales de la década de 1950 y actualmente alcanza el punto donde el corte de líneas de 0.18 micrómetros es algo común. El circuito integrado que se muestra en la figura 1.1 es el procesador Intel® Pentium® 4, el cual tiene 42 millones de transistores sobre un área de tan sólo 0.34 pulgadas cuadradas. Intel Corporation presentó recientemente un documento técnico donde da a conocer transistores de 0.02 micrómetros (20 nanómetros), los cuales fueron desarrollados en sus laboratorios de investigación de silicio. Estos diminutos y ultra rápidos transistores permitirán colocar cerca de mil millones de ellos sobre una pieza de silicio no mayor que la uña de un dedo. Los microprocesadores construidos a partir de estos transistores podrán operar a cerca de 20 GHz; con lo cual sólo queda preguntarnos hasta dónde llegará el desarrollo de tales tecnologías.



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2

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INTRODUCCIÓN

FIGURA 1.1 Circuito integrado de computadora sobre la yema de un dedo. (Cortesía de Intel Corp.)

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Resulta natural preguntarnos acerca de los límites de crecimiento en el área tecnológica cuando consideramos los cambios acontecidos en las últimas décadas. En lugar de seguir una curva continua de desempeño que pudiera ser predecible, la industria está sujeta a grandes cambios eventuales que surgen alrededor de importantes desarrollos en el campo. Indicios recientes muestran que el nivel de miniaturización continuará, pero a un paso más moderado. En la actualidad el interés se centra sobre el incremento en calidad y productividad (el porcentaje de circuitos integrados que funcionan luego del proceso de producción). La historia revela que han existido picos y valles en lo que se refiere al crecimiento de la industria, pero que los ingresos siguen creciendo a un ritmo estable y los recursos destinados a la investigación y el desarrollo continúan dominando una creciente porción del presupuesto. El área cambia a una velocidad que requiere de recapacitación constante desde el nivel inicial hasta el directivo. Muchas compañías han instituido sus propios programas de capacitación e impulsado a las universidades locales a que desarrollen programas con los cuales puedan asegurarse de que los procedimientos y conceptos de más actualidad están siendo aplicados por sus empleados. Un periodo de relajamiento podría resultar desastroso para una compañía que maneja productos competitivos. Sin importar el tipo de presiones que en este campo puedan ejercerse sobre un individuo para que se mantenga actualizado tecnológicamente, existe un evidente beneficio a su favor: una vez que se entienda clara y correctamente un concepto o procedimiento, éste dará frutos a lo largo de la carrera del individuo en cualquier nivel de la industria. Por ejemplo, una vez que se entienda una ecuación fundamental como la ley de Ohm (Capítulo 4), ésta no será reemplazada por alguna otra ecuación a medida que se considere teoría más avanzada. Se trata de una relación de cantidades fundamentales que puede tener aplicación en el escenario más especializado. Además, cuando se ha comprendido un procedimiento o método de análisis, puede aplicarse a una amplia (sino es que infinita) variedad de problemas, haciendo innecesario aprender una nueva técnica para cada ligera variación en el sistema. El contenido de este libro es tal que cada segmento de información tendrá una aplicación en cursos más avanzados y no será reemplazado por un nuevo conjunto de ecuaciones y procedimientos, a menos que lo requiera el área de aplicación específica. Incluso entonces, los nuevos procedimientos serán por lo general una aplicación ampliada de los conceptos presentados en el texto. Por tanto, resulta de capital importancia que el material presentado en este curso introductorio sea clara y precisamente comprendido, ya que finca las bases para tratar con el material a seguir y que se aplicará a lo largo de su trabajo profesional en esta excitante área en crecimiento.

1.2 UNA HISTORIA BREVE En las ciencias, cuando una hipótesis es comprobada y aceptada se vuelve uno de los bloques de construcción del área de estudio, con lo cual se propicia que se lleven a cabo investigación y desarrollo adicionales. Naturalmente, mientras haya más piezas disponibles de un rompecabezas, más obvio resultará el camino hacia una posible solución. De hecho, la historia demuestra que incluso un solo desarrollo puede ser la clave que provoque un efecto de multiplicación que lleve a la ciencia a un nuevo nivel en cuanto a conocimiento e impacto se refiere. Si tiene oportunidad, lea alguna de las muchas publicaciones que presentan la historia de los descubrimientos en el campo científico. Por restricciones de espacio, en este libro únicamente será posible ofrecer un breve análisis. Existen muchos más investigadores, de los que es posible incluir aquí, cuyos trabajos a menudo han proporcionado claves para la solución de algunos conceptos de gran importancia.



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1.2 UNA HISTORIA BREVE

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Como se mencionó, existen periodos caracterizados por lo que parece ser una explosión de interés y desarrollo en áreas particulares. En nuestra presentación de los inventos, descubrimientos y teorías de finales del siglo XVIII hasta principios del XIX, usted podrá apreciar cómo surgieron de forma rápida y frenética. Cada nuevo concepto amplía las posibilidades de aplicación en más áreas, de manera que es prácticamente imposible rastrear los desarrollos seleccionando un área de interés en particular y siguiendo a lo largo de ésta. A medida que conozca, por medios como radio, televisión e Internet, sobre el desarrollo, tenga presente que ya ocurrían avances progresivos similares en áreas de telégrafos, teléfonos, generación de energía, fonógrafos, electrodomésticos, etcétera. Existe una tendencia común, al estudiar sobre los grandes científicos, inventores e innovadores, de creer que su contribución fue un esfuerzo completamente individual. En muchos casos no fue así. De hecho, la mayoría de los principales investigadores eran amigos o asociados que se ofrecían apoyo mutuo y aliento en sus esfuerzos por explorar distintas teorías. Cuando menos, se encontraban al tanto de los trabajos de unos y otros; esto en la medida de lo posible para los tiempos en que una carta era generalmente el mejor medio de comunicación. Observe en particular la cercanía de fechas durante los periodos de desarrollo acelerado. Al parecer, el logro de una persona alentaba los esfuerzos de alguien más o posiblemente proporcionaba la clave para continuar un trabajo en el área de interés. Durante las primeras etapas, los investigadores no eran ingenieros eléctricos, electrónicos o de computación como los conocemos actualmente. En la mayoría de los casos se trataba de físicos, químicos, matemáticos o incluso filósofos; además, no provenían de sólo una o dos comunidades del Viejo Mundo. En los siguientes párrafos se proporciona el país de origen de los principales investigadores para mostrar que prácticamente toda comunidad establecida tuvo un impacto sobre el desarrollo de las leyes fundamentales de los circuitos eléctricos. A medida que avance por los capítulos restantes del libro, observará que varias de las unidades de medición presentan el nombre del principal investigador Desarrollo Gilbert

C.D. 1000

0

1750s

1600

1900

2000

Fundamentos (a)

Era de la electrónica

Amplificadores de tubos al vacío

Computadoras electrónicas (1945) Televisión en blanco y negro (1932)

Era del estado sólido (1947) 1950

1900 Fundamentos

Disco flexible (1970)

Circuitos integrados (1958) Teléfono móvil (1946)

Radio de frecuencia modulada (1929)

Televisión a color (1940) (b)

FIGURA 1.2 Gráficas de tiempo: (a) largo alcance; (b) ampliado.

Ratón de Circuito integrado Pentium 4 computadora de 1.5 GHz (2001) Apple (1983) 2000 Teléfono celular digital (1991) Primera computadora personal (PC) ensamblada (Apple II en 1977)

3

4

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INTRODUCCIÓN

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en las áreas pertinentes —volt debido al conde Alessandro Volta, ampere debido a André Ampère, ohm gracias a Georg Ohm, etc.—, lo cual es un reconocimiento a sus importantes aportaciones al nacimiento de un campo de estudio tan significativo. En la figura 1.2 se proporciona una gráfica de tiempo que presenta un número limitado de grandes descubrimientos, principalmente para identificar periodos específicos de rápido desarrollo y mostrar lo lejos que hemos llegado en las últimas décadas. En esencia, el nivel de vanguardia actual es resultado de esfuerzos que iniciaron formalmente hace cerca de 250 años, siendo el progreso de los últimos 100 años casi exponencial. A medida que usted lea la breve exposición siguiente, trate de imaginarse el creciente interés en el campo, y el entusiasmo y emoción que debió haber acompañado a cada nuevo descubrimiento. Aunque algunos de los términos utilizados pueden parecerle nuevos y esencialmente sin sentido, el resto de los capítulos los explicarán por completo.

El inicio Se ha jugado con el fenómeno de la electricidad estática desde la antigüedad. Los griegos denominaron a la sustancia de resina fósil utilizada comúnmente para demostrar los efectos de la electricidad estática como electrón, sin embargo no se realizó un estudio formal de la materia hasta que William Gilbert investigó el fenómeno en 1600. En los años siguientes, individuos como Otto von Guericke —construyó la primera máquina para generar grandes cantidades de carga— y Stephen Gray —fue capaz de transmitir carga eléctrica a largas distancias utilizando hilos de seda— continuaron la investigación de carga electrostática. Charles DuFay demostró que las cargas se atraen o se repelen, esto lo llevó a pensar que existen dos tipos de carga (teoría que se acepta actualmente mediante nuestra definición de cargas positivas y negativas). Muchas personas creen que el verdadero comienzo de la era electrónica reside en los trabajos de Pieter van Musschenbroek y Benjamín Franklin. En 1745, van Musschenbroek presentó la jarra Leyden para almacenamiento de carga eléctrica (el primer capacitor) y demostró el choque eléctrico (y, por tanto, el poder de esta nueva forma de energía). Franklin empleó la jarra Leyden casi siete años más tarde para determinar que los relámpagos son simplemente descargas eléctricas, y se extendió sobre otras teorías importantes que incluyen la definición de los dos tipos de carga como positiva y negativa. A partir de este punto, nuevos descubrimientos y teorías parecieron presentarse a mayor velocidad conforme creció el número de individuos que realizaban investigaciones en el área. En 1784, Charles Coulomb demostró en París que la fuerza entre cargas se encuentra en relación inversa al cuadrado de la distancia entre las cargas. En 1791, Luigi Galvani, profesor de anatomía en la Universidad de Bologna, Italia, efectuó experimentos sobre los efectos de la electricidad en nervios y músculos de animales. La primera celda voltaica, junto con su capacidad para producir electricidad mediante la acción química de un metal disolviéndose en ácido, fue desarrollada por otro italiano, Alessandro Volta, en 1799. La fiebre activada en el campo eléctrico prosiguió a principios del siglo XIX con Hans Christian Oersted, profesor de física sueco, al anunciar en 1820 una relación entre magnetismo y electricidad que sirvió como fundamento para la teoría del electromagnetismo como la conocemos ahora. En el mismo año, un físico francés, André Ampère, demostró que existen efectos magnéticos alrededor de todo conductor portador de corriente y que estos conductores portadores de corriente pueden atraerse y repelerse entre sí tal como lo hacen los imanes. En el periodo de 1826 a 1827, un físico alemán, Georg Ohm, presentó una importante interrelación entre el potencial, la corriente y la resistencia, a la que



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nos referimos actualmente como la ley de Ohm. En 1831, un físico inglés, Michael Faraday, demostró su teoría de la inducción electromagnética, en la que una corriente variable dentro de una bobina puede inducir una corriente variable en otra bobina, incluso cuando las dos bobinas no se encuentren directamente conectadas. Además, Faraday realizó un amplio trabajo sobre un dispositivo de almacenamiento que denominó condensador, y al que actualmente nos referimos con el término de capacitor. Él presentó la idea de añadir un dieléctrico entre las placas de un capacitor para incrementar la capacidad de almacenamiento (Capítulo 10). James Clerk Maxwell, profesor escocés de filosofía natural, realizó amplios análisis matemáticos para desarrollar lo que actualmente conocemos como ecuaciones de Maxwell, las que respaldan los esfuerzos de Faraday por asociar los efectos eléctricos y magnéticos entre sí. Maxwell también desarrolló la teoría electromagnética de la luz en 1862, la cual, entre otras cosas, revela que las ondas electromagnéticas viajan a través del aire a la velocidad de la luz (186,000 millas por segundo o 3  108 metros por segundo). En 1888, un físico alemán, Heinrich Rudolph Hertz, mediante experimentos con ondas electromagnéticas de baja frecuencia (microondas), consolidó las predicciones y ecuaciones de Maxwell. A mediados del siglo XIX, el profesor Gustav Robert Kirchhoff presentó una serie de leyes acerca de los voltajes y corrientes que encuentran aplicación práctica en todo nivel y área de este campo (Capítulos 5 y 6). En 1895, otro físico alemán, Wilhelm Röntgen, descubrió las ondas electromagnéticas de alta frecuencia, comúnmente denominadas en la actualidad como Rayos X. Hacia finales del siglo XIX ya se habían establecido un número importante de ecuaciones, leyes y relaciones fundamentales, y varios campos de estudio que incluyen la electrónica, la generación de energía y los aparatos de cálculo, comenzaron a desarrollarse en serio.

La era de la electrónica Radio El verdadero comienzo de la era de la electrónica se encuentra abierto al debate, y en ocasiones se atribuye a los esfuerzos de los primeros científicos que aplicaron potenciales a través de cubiertas de cristal al vacío. Sin embargo, muchos lo atribuyen a Thomas Edison, quien al añadir un electrodo metálico a un tubo al vacío descubrió que se establecía una corriente entre el electrodo y el filamento cuando se aplicaba voltaje positivo al electrodo. El fenómeno, demostrado en 1883, se denominó efecto Edison. En el periodo siguiente, la transmisión de ondas de radio y el desarrollo de la radio recibieron amplia atención. En 1887, Heinrich Hertz transmitió en su laboratorio ondas de radio por primera vez, gracias al esfuerzo que realizó al verificar las ecuaciones de Maxwell. En 1896, un científico italiano, Guglielmo Marconi (identificado generalmente como el padre de la radio), demostró que podían enviarse señales de telégrafo a través del aire desde grandes distancias (2.5 kilómetros) utilizando una antena en tierra. En el mismo año, Aleksandr Popov transmitió lo que probablemente fue el primer mensaje de radio a través de unas 300 yardas. El mensaje se denominó “Heinrich Hertz” en honor a los primeros trabajos de Hertz. En 1901, Marconi estableció una comunicación de radio a través del océano Atlántico. En 1904, John Ambrose Fleming amplió los esfuerzos de Edison para desarrollar el primer diodo, denominado comúnmente como válvula de Fleming, que de hecho es el primero de los dispositivos electrónicos. Este dispositivo imprimió un profundo impacto sobre el diseño de los detectores que se encuentran dentro de la sección receptora de los radios. En 1906, Lee De Forest añadió un tercer elemento a la estructura al vacío y creó el primer amplificador: el triodo. Poco después, en 1912, Edwin Armstrong construyó el primer circuito

1.2 UNA HISTORIA BREVE

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5

6

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INTRODUCCIÓN

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regenerador para mejorar la capacidad de recepción, y luego empleó la misma aportación para desarrollar el primer oscilador no mecánico. Hacia 1915 ya se transmitían señales de radio por todo Estados Unidos, y en 1918 Armstrong solicitó una patente para el circuito superheterodino, utilizado en prácticamente todos los aparatos de televisión y radio, que permite la amplificación a una sola frecuencia en lugar de al rango completo de señales de entrada. Los principales componentes de los radios de nuestros días ya se encontraban en su sitio desde entonces, y las ventas de aparatos de radio se elevaron desde unos cuantos millones de dólares a principios de la década de 1920 hasta cerca de mil millones en la década de 1930, verdaderos años dorados de la radio que incluyeron una gran variedad de producciones para los radioescuchas. Televisión La década de 1930 también representó los comienzos de la era de la televisión, a pesar de que el desarrollo del cinescopio se inició años antes con Paul Nipkow y su telescopio eléctrico en 1884, y con John Baird y su larga lista de éxitos que incluyen la transmisión de imágenes de televisión a través de líneas telefónicas en 1927 y mediante ondas de radio en 1928, así como la transmisión simultánea de imágenes y sonido en 1930. En 1932, la NBC instaló la primera antena de televisión comercial sobre el edificio del Empire State en la ciudad de Nueva York, y RCA inició transmisiones regulares en 1939. La guerra desaceleró el desarrollo y las ventas, pero a mediados de la década de 1940 el número de aparatos de televisión creció desde unos miles hasta millones. La televisión a color se volvió popular a principios de la década de 1960. Computadoras El primer sistema de cómputo puede rastrearse hasta Blaise Pascal, en 1642, con su máquina mecánica para sumar y restar números. En 1673 Gottfried Wilhelm von Leibniz empleó la rueda de Leibniz para incorporar la multiplicación y la división al rango de operaciones, y en 1823 Charles Babbage desarrolló la máquina de diferencias para añadir las operaciones matemáticas de seno, coseno, logaritmos y otras. En los años siguientes se efectuaron algunos adelantos, pero los sistemas continuaron siendo básicamente mecánicos hasta la década de 1930, cuando se presentaron sistemas electromecánicos empleando componentes como relevadores. No fue sino hasta la década de 1940 que los sistemas fueron completamente electrónicos. Resulta importante observar que incluso cuando IBM se constituyó en 1924, no participó en la industria del cómputo sino hasta 1937. En 1946, un sistema completamente electrónico y conocido como ENIAC se construyó en la Universidad de Pennsylvania; contenía cerca de 18,000 bulbos y pesaba 30 toneladas, pero era varias veces más rápido que la mayoría de los sistemas electromecánicos. Aun cuando se construyeron otros sistemas basados en bulbos, no fue sino hasta el nacimiento de la era del estado sólido cuando los sistemas de cómputo experimentaron un cambio radical en cuanto a tamaño, velocidad y capacidad.

La era del estado sólido

FIGURA 1.3 El primer transistor. (Cortesía de los laboratorios Bell, AT&T.)

En 1947, los físicos William Shockley, John Bardeen y Walter H. Brattain, investigadores de los laboratorios Bell Telephone, efectuaron una demostración del transistor de punto de contacto (Figura 1.3), un amplificador construido completamente con materiales de estado sólido que no requería de vacío, cubierta de vidrio ni la aplicación de un voltaje para calentar el filamento. A pesar de una renuencia inicial debida a la gran cantidad de material disponible sobre diseño, análisis y síntesis de redes de bulbos, la industria eventualmente aceptó esta nueva tecnología como la tendencia del futuro. En 1958 se desarrolló el primer circuito integrado (CI) en Texas Instruments, y en 1961 Fairchild Corporation fabricó el primer circuito integrado comercial.



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1.3 UNIDADES DE MEDICIÓN

Resulta imposible revisar adecuadamente la historia completa del campo eléctrico/electrónico en sólo unas páginas. El esfuerzo aplicado en este texto, tanto mediante la exposición como en las gráficas de tiempo de la figura 1.2, va en el sentido de mostrar el increíble progreso logrado en este campo durante los último 50 años. Al parecer, el crecimiento es verdaderamente exponencial desde principios del siglo XIX, planteando la pregunta de ¿a partir de aquí hacia donde nos dirigimos? La gráfica de tiempo sugiere que probablemente las próximas décadas presentarán importantes e innovadoras aportaciones que podrían iniciar una curva de desempeño con incluso mayor crecimiento que el actual.

1.3 UNIDADES DE MEDICIÓN En cualquier campo técnico resulta naturalmente importante entender los conceptos básicos y el impacto que éstos tendrán sobre ciertos parámetros, sin embargo, la aplicación de esas reglas y leyes será acertada solamente si se utilizan de forma adecuada las operaciones matemáticas involucradas. En particular, es vital que se comprenda y aprecie la importancia de aplicar la unidad adecuada de medición a una cantidad. Los estudiantes, por lo general, desarrollan una solución numérica pero deciden no aplicar una unidad de medición al resultado debido a que se encuentran un tanto inseguros con respecto a la unidad pertinente. Considere, por ejemplo, la siguiente ecuación fundamental de física: v  velocidad d  distancia t  tiempo

d v  t

(1.1)

Por el momento, asuma que la siguiente información se obtuvo para un objeto en movimiento: d  4000 pies t  1 min y v se desea en millas por hora. A menudo, sin duda ni consideración, simplemente se sustituyen los valores numéricos en la ecuación, obteniéndose el resultado d t

4000 pies 1 min

4000 mi/h

Como se ve, la solución está completamente equivocada. Si el resultado se desea en millas por hora, la unidad de medición para la distancia debe ser millas, y para el tiempo, horas. En seguida, cuando el problema se analice adecuadamente, la magnitud del error demostrará la importancia de asegurarse de que: el valor numérico que se sustituya dentro de una ecuación debe contar con la unidad de medición especificada por la ecuación. La siguiente pregunta surge de inmediato: ¿cómo convertir la distancia y el tiempo a las unidades adecuadas de medición? En una sección posterior se presenta un método para hacerlo, pero por ahora se tiene que: 1 mi  5280 pies 4000 pies  0.7576 mi 1

1 min  60 h  0.0167 h Al sustituir en la ecuación (1.1), tenemos: d 0.7576 mi v    45.37 mi/h t 0.0167 h lo cual es significativamente distinto al resultado que se obtuvo antes.

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7

8

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INTRODUCCIÓN

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Para complicar aún más la cuestión, suponga que la distancia se presenta en kilómetros, como es ahora el caso en muchas señales de caminos. Primero, debemos observar que el prefijo kilo indica un múltiplo de 1000 (se presentará en la sección 1.5), para luego encontrar el factor de conversión entre kilómetros y millas. Si este factor no se encuentra fácilmente disponible, deberemos ser capaces de efectuar la conversión entre unidades utilizando los factores de conversión entre metros y pies o pulgadas, según se describe en la sección 1.6. Antes de sustituir los valores numéricos dentro de una ecuación, con propósitos de comparación, intente establecer un rango razonable de soluciones. Por ejemplo, si un automóvil recorre 4000 pies en un minuto, ¿resulta razonable pensar que la velocidad será de 4000 mi/h? ¡Obviamente no lo es! Este procedimiento de autoverificación es particularmente importante en estos días de la calculadora portátil, cuando podrían aceptarse resultados ridículos simplemente porque así aparecen en la pantalla digital del instrumento. Por último, si una unidad de medición es aplicable a un resultado o segmento de datos, entonces deberá ser también aplicable al valor numérico. Establecer que v  45.37 sin incluir la unidad de medición mi/h no tiene sentido. La ecuación (1.1) no es difícil, mediante una sencilla manipulación algebraica se obtendrá la solución para cualquiera de las tres variables; sin embargo, a la luz de las preguntas que surgen a partir de esta ecuación, el lector podría preguntarse si la dificultad asociada con una ecuación se incrementará en la misma proporción que el número de términos contenidos en ella. En sentido amplio, este no será el caso. Desde luego, existe un mayor margen para cometer un error matemático cuando se trabaja con una ecuación compleja, pero una vez que se selecciona el sistema de unidades adecuado y se localiza cada término de forma correcta, deberá encontrarse sólo un ligero incremento en la dificultad asociado con una ecuación que requiere un mayor número de cálculos matemáticos. En resumen, antes de sustituir los valores numéricos dentro de una ecuación, asegúrese por completo de lo siguiente: 1. Cada cantidad cuenta con la unidad de medición adecuada según lo define la ecuación. 2. Se sustituye la magnitud adecuada de cada cantidad según lo determina la ecuación definida. 3. Toda cantidad se encuentra en el mismo sistema de unidades (o según lo define la ecuación). 4. La magnitud del resultado es de naturaleza razonable cuando se compara con el nivel de las cantidades sustituidas. 5. Se aplica al resultado la unidad de medición apropiada.

1.4 SISTEMAS DE UNIDADES En el pasado, los sistemas de unidades más utilizados fueron el sistema métrico y el sistema inglés, como lo describe la tabla 1.1. Observe que mientras el sistema inglés se basa en un solo estándar, el sistema métrico se encuentra subdividido en dos estándares interrelacionados: el MKS y el CGS. En la tabla 1.1 se comparan las cantidades fundamentales de estos sistemas junto con sus abreviaturas. Los sistemas MKS y CGS obtienen sus nombres de las unidades de medición empleadas con cada sistema; el sistema MKS utiliza Metros, Kilogramos y Segundos, mientras que el CGS emplea Centímetros, Gramos y Segundos. De forma comprensible, la utilización de más de un sistema de unidades en un mundo que va reduciendo su tamaño de forma continua, gracias al avance de los desarrollos técnicos en las comunicaciones y el transporte, podría intro-



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1.4 SISTEMAS DE UNIDADES TABLA 1.1 Comparación de los sistemas de unidades inglés y métrico. Inglés

Métrico

Longitud: Yarda (yd) (0.914 m) Masa: Slug (14.6 kg) Fuerza: Libra (lb) (4.45 N) Temperatura: Fahrenheit (°F)





9  °C  32 5

Energía: Pie-libra (pie-lb) (1.356 joules) Tiempo: Segundo (s)

MKS

CGS

SI

Metro (m) (39.37 pulg) (100 cm)

Centímetros (cm) (2.54 cm  1 pulg)

Metro (m)

Kilogramo (kg) (1000 g)

Gramos (g)

Kilogramo (kg)

Newton (N) (100,000 dinas)

Dina

Newton (N)

Celsius o Centígrados (°C) 5  (°F 32) 9

Centígrados (°C)

Kelvin (K) K  273.15  °C

Newton-metro (N•m) o joule (J) (0.7376 pie-lb)

Dinas-centímetros o erg (1 joule  107 ergs)

Joule (J)

Segundo (s)

Segundo (s)

Segundo (s)





ducir algunos problemas innecesarios en la comprensión básica de cualquier información técnica. Cada vez es más evidente la necesidad de adoptar un conjunto estándar de unidades de medición por parte de las distintas naciones. La Oficina Internacional de Pesos y Medidas ubicada en Sèvres, Francia, fue sede de la Conferencia General de Pesos y Medidas, en la cual participaron representantes de todas las naciones del mundo. En 1960, la Conferencia General adoptó un sistema denominado Le Système International d’Unités (Sistema Internacional de Unidades), abreviado SI. Desde entonces, el SI fue adoptado por el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos, Inc. (IEEE) en 1965 y por el Instituto de Estándares de los Estados Unidos de América (USASI) en 1967 como un estándar para toda la literatura científica y de ingeniería. Para propósitos de comparación, se presentan las unidades de medición del SI y sus abreviaturas en la tabla 1.1. Estas abreviaturas son las que por lo regular se aplican a cada unidad de medición y se han seleccionado cuidadosamente para asegurar que sean las vigentes. Por esta razón, es importante que se utilicen cuando sean aplicables para asegurar un entendimiento universal. Observe las similitudes del SI con el sistema MKS. Este texto utilizará, siempre que sea posible y práctico, las principales unidades y abreviaturas del SI, en un esfuerzo por respaldar la necesidad de aplicar un sistema universal. Aquellos lectores que requieran información adicional acerca del sistema SI deberán ponerse en contacto con la oficina de información de la Sociedad Estadounidense para la Educación en Ingeniería (ASEE American Society for Engineering Education).* *American Society for Engineering Education (ASEE), 1818 N Street N.W., Suite 600, Washington, D.C. 20036-2479; (202) 331-3500; http://www.asee.org/.

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INTRODUCCIÓN

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Longitud: 1 m = 100 cm = 39.37 pulg 2.54 cm = 1 pulg

1 yarda (yd) = 0.914 metros (m) = 3 pies (pie) SI y MKS

1m Inglés

Inglés

1 pulg

1 yd CGS

1 cm

Longitudes reales

1 pie

Inglés

Masa:

Fuerza:

1 slug = 14.6 kilogramos

Inglés 1 libra (lb)

1 kilogramo = 1000 g

1 libra (lb) = 4.45 newton (N) 1 newton = 100,000 dinas (din)

1 slug Inglés

1 kg SI y MKS

1g CGS

SI y MKS 1 newton (N)

1 dina (CGS)

Temperatura:

(Ebullición)

(Congelación)

Inglés 212˚F

32˚F

MKS y CGS 100˚C

0˚C

SI 373.15 K

Energía: Inglés 1 pie-lb SI y MKS 1 joule (J)

273.15 K

1 pie lb = 1.356 joules 1 joule = 107 ergs

0˚F

(Cero absoluto)

– 459.7˚F Fahrenheit

˚F

9 = 5_ ˚C + 32˚

˚C

= _5 (˚F – 32˚) 9

1 erg (CGS)

K = 273.15 + ˚C –273.15˚C 0K Celsius o Kelvin centígrados

FIGURA 1.4 Comparación de unidades de los distintos sistemas de unidades.

La figura 1.4 deberá ayudar al lector a desarrollar cierta sensibilidad para las magnitudes relativas de las unidades de medición de cada sistema de unidades. Observe en la figura la magnitud relativamente pequeña de las unidades de medición del sistema CGS. Existe un estándar para cada unidad de medición de cada sistema. Los estándares de algunas unidades son muy interesantes. El metro se definió originalmente en 1790 como 1/10,000,000 la distancia a nivel del mar entre el Ecuador y cualquier polo terrestre, longitud que se conserva físicamente en una barra de platino-iridio en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, Francia. El metro se define actualmente con referencia a la velocidad de la luz al vacío, la cual es igual a 299,792,458 m/s. El kilogramo se define como una masa igual a 1000 veces la masa de un centímetro cúbico de agua pura a 4°C. Este estándar se conserva en forma de un cilindro de platino-iridio en Sèvres.



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1.5 CIFRAS SIGNIFICATIVAS, PRECISIÓN Y REDONDEO

El segundo se definió originalmente como 1/86,400 del día solar medio. Sin embargo, la rotación de la Tierra se encuentra en desaceleración en casi un segundo cada diez años. El segundo se redefinió en 1967 como 9,192,631,770 periodos de la radiación electromagnética emitida por una transición particular del átomo de cesio.

1.5 CIFRAS SIGNIFICATIVAS, PRECISIÓN Y REDONDEO En esta sección se enfatiza la importancia de estar consciente de la procedencia de los datos, la forma en que se presenta un número, y cómo debe ser manejado. Por lo regular escribimos los números de distintas maneras prestando poca atención al formato utilizado, al número de dígitos que deben incluirse y a la unidad de medición que será aplicada. Por ejemplo, mediciones de 22.1 y 22.10 implican un distinto nivel de precisión. La primera cifra sugiere que la medición se realizó con un instrumento cuya precisión es de sólo décimas de unidad; la segunda cifra se obtuvo mediante instrumentación capaz de tomar lectura hasta centésimas. Por tanto, el empleo de ceros en un número tendrá que ser manejado con cuidado y las implicaciones deberán ser comprensibles. En general, existen dos tipos de números, los exactos y los aproximados. Los números exactos son precisos al número exacto de dígitos presentados, de la misma forma que sabemos que existen 12 manzanas en una docena y no 12.1. A lo largo de este texto, los números que aparecen en las descripciones, diagramas, y ejemplos se consideran como exactos, por lo que una batería de 100 V puede escribirse como 100.0 V, 100.00 V, etc., debido a que es de 100 V en cualquier nivel de precisión. Los ceros adicionales no se incluyen debido a propósitos de claridad. Sin embargo, en el ambiente de laboratorio, donde continuamente se están tomando mediciones y el nivel de precisión puede variar de un instrumento a otro, es importante comprender cómo trabajar con los resultados. Cualquier lectura obtenida en el laboratorio deberá considerarse aproximada. Las escalas analógicas y sus agujas indicadoras pueden ser difíciles de leer, e incluso el medidor digital sólo proporciona algunos dígitos específicos en su pantalla y se encuentra limitado al número de dígitos que puede exhibir, quedándonos la duda acerca de los dígitos menos significativos que no se muestran en la pantalla. Es posible determinar la precisión de una lectura mediante el número de cifras significativas (dígitos) presentes. Las cifras significativas son aquellos enteros (del 0 al 9) que pueden suponerse como precisos para que la medición se realice. El resultado de esto es que todos los números distintos de cero se consideran significativos, y los ceros lo serán únicamente en ciertos casos. Por ejemplo, los ceros en el número 1005 se consideran significativos debido a que definen el tamaño del número y a que están rodeados de dígitos distintos de cero. Sin embargo, para un número como 0.064, los dos ceros no se consideran significativos debido a que solo se emplean para definir la ubicación del punto decimal y no para la precisión de la lectura. Para el número 0.4020, el cero a la izquierda del punto decimal no es significativo, pero los otros dos sí los son ya que definen la magnitud del número y la precisión de la cuarta posición de la lectura. Al sumar números aproximados, es importante asegurarse de que la precisión de las lecturas sea consistente de principio a fin. Para añadir una cantidad que es precisa sólo hasta décimas de número a un número con precisión de

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INTRODUCCIÓN

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milésimas, se obtendrá un total que tenga precisión sólo hasta las décimas. No es posible esperar que la lectura tenga un mayor nivel de precisión para mejorarla con solo una precisión de décimas. En la adición o sustracción de números aproximados, la cantidad con el menor nivel de precisión determinará el formato de la solución. En la multiplicación y división de números aproximados, el resultado contará con la misma cantidad de cifras significativas que el número con la menor cantidad de cifras significativas. Para números aproximados (y exactos en tal caso), a menudo es necesario redondear el resultado; es decir, se debe decidir el nivel apropiado de precisión y alterar el resultado de acuerdo con ello. El procedimiento aceptado para efectuar esto es simplemente observar el dígito que sigue al último dígito que aparece en la forma redondeada, y añadir un 1 al último dígito si éste es mayor o igual a 5, o dejarlo sin cambio si es menor que 5. Por ejemplo, 3.186  3.19  3.2, dependiendo del nivel de precisión deseado. El símbolo  significa aproximadamente igual a. EJEMPLO 1.1 Realice las operaciones indicadas con los siguientes números aproximados y efectúe el redondeo hasta el nivel apropiado de precisión. a. 532.6  4.02  0.036  536.656  536.7 (según lo determina 532.6) b. 0.04  0.003  0.0064  0.0494  0.05 (según lo determina 0.04) c. 4.632  2.4  11.1168  11 (según lo determinan los dos dígitos significativos de 2.4) d. 3.051  802  2446.902  2450 (según lo determinan los tres dígitos significativos de 802) e. 1402/6.4  219.0625  220 (según lo determinan los dos dígitos significativos de 6.4) f. 0.0046/0.05  0.0920  0.09 (según lo determina el dígito significativo de 0.05)

1.6 POTENCIAS DE DIEZ A partir de la magnitud relativa de las distintas unidades de medición, debe ser evidente que con frecuencia se encontrarán en las ciencias tanto números muy pequeños como muy grandes. Para disminuir la dificultad de las operaciones matemáticas con números que presenten tal variación de tamaño, por lo general se emplean las potencias de diez. Esta notación aprovecha la ventaja de las propiedades matemáticas de las potencias de diez. La notación utilizada para representar números que son potencias enteras de diez es la siguiente: 1  100 10  10

1

1/10 

0.1  10 1

1/100 

0.01  10 2

100  102

1/1000  0.001  10 3

1000  103

1/10,000  0.0001  10 4

Observe en particular que 100  1, y, de hecho, cualquier cantidad elevada a la potencia cero es igual a 1 (x0  1, 10000  1, y etc). También observe que los números de la lista mayores que 1 están asociados con potencias positivas de diez, y los menores que 1 están asociados con potencias negativas de diez. Un método rápido para determinar la potencia apropiada de diez es colocar un apóstrofo a la derecha del número 1 en cualquier lugar que éste se encuentre;



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1.6 POTENCIAS DE DIEZ

luego comenzar a contar a partir de ahí el número de lugares a la derecha o la izquierda hasta llegar al punto decimal. Desplazarse a la derecha indica una potencia de diez positiva, mientras que el movimiento hacia la izquierda indica una potencia negativa. Por ejemplo, 10,000.0  1 0 , 0 0 0 .  104 1

2 3 4

0.00001  0 . 0 0 0 0 1  105 5 4 3 2 1

A continuación se presentan algunas ecuaciones matemáticas importantes, así como relaciones pertenecientes a potencias de diez, junto con algunos ejemplos. En cada caso, n y m pueden ser cualquier número real positivo o negativo. 1 n  10 n 10

1  10n 10 n

(1.2)

La ecuación (1.2) muestra claramente que el desplazamiento de una potencia de diez del denominador al numerador, o a la inversa, requiere simplemente cambiar el signo de la potencia. EJEMPLO 1. 2 1 1 a.   10 3 1000 103 1 1 b.   105 0.00001 10 5 El producto de potencias de diez: (10n)(10m)  10(nm)

(1.3)

EJEMPLO 1. 3 a. (1000)(10,000)  (103)(104)  10(34)  107 b. (0.00001)(100)  (10 5)(102)  10( 52)  10 3 La división de potencias de diez: 10n  10(n m) 10m

(1.4)

EJEMPLO 1. 4 100,000 105 a.  2  10(5 2)  103 100 10 1000 103 b.   10(3 ( 4))  10(34)  107 0.0001 10 4 Advierta el uso de paréntesis en el inciso (b) para asegurar que se establece el signo correcto entre los operadores.

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INTRODUCCIÓN

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La potencia de potencias de diez: (10n)m  10(nm)

(1.5)

EJEMPLO 1.5 a. (100)4  (102)4  10(2)(4)  108 b. (1000) 2  (103) 2  10(3)( 2)  10 6 c. (0.01) 3  (10 2) 3  10( 2)( 3)  106

Operaciones aritméticas básicas Analicemos ahora el empleo de las potencias de diez para realizar algunas operaciones aritméticas básicas a partir de números que no sólo sean potencias de diez. El número 5000 puede expresarse como 5  1000  5  103, y el número 0.0004 puede expresarse como 4  0.0001  4  10 4. Evidentemente, 105 puede expresarse también como 1  105 si con esto se clarifica qué operación debe efectuarse. Adición y sustracción Para efectuar la adición y la sustracción utilizando potencias de diez, la potencia de diez debe ser la misma para cada término; es decir, A  10n  B  10n  (A  B)  10n

(1.6)

La ecuación (1.6) cubre todas las posibilidades, sin embargo, los estudiantes regularmente prefieren recordar una descripción verbal de la forma en que se realiza la operación. La ecuación (1.6) establece que: al sumar o restar números en el formato de potencias de diez, debe asegurarse que la potencia de diez es la misma para cada número. Luego separe los multiplicadores, realice la operación requerida, y aplique la misma potencia de diez al resultado.

EJEMPLO 1.6 a. 6300  75,000  (6.3)(1000)  (75)(1000)  6.3  103  75  103  (6.3  75)  103  81.3  103 b. 0.00096 0.000086  (96)(0.00001) (8.6)(0.00001)  96  10 5 8.6  10 5  (96 8.6)  10 5  87.4  105 Multiplicación En general, (A  10n)(B  10m)  (A)(B)  10nm

(1.7)



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1.6 POTENCIAS DE DIEZ

cual muestra que las operaciones con potencias de diez pueden separarse de las operaciones con multiplicadores. La ecuación (1.7) establece que: al multiplicar números en el formato de potencias de diez, primero calcule el producto de los multiplicadores y luego determine la potencia de diez a partir del resultado de sumar los exponentes de potencias de diez. EJEMPLO 1. 7 a. (0.0002)(0.000007)  [(2)(0.0001)][(7)(0.000001)]  (2  10 4)(7  10 6)  (2)(7)  (10 4)(10 6)  14  1010 b. (340,000)(0.00061)  (3.4  105)(61  10 5)  (3.4)(61)  (105)(10 5)  207.4  100  207.4 División En general, A  10n A   10n m B  10m B

(1.8)

lo que nuevamente muestra que las operaciones con potencias de diez pueden separarse de la misma operación con multiplicadores. La ecuación (1.8) establece que: al dividir números en el formato de potencias de diez, primero calcule el resultado de dividir los multiplicadores. Luego determine la potencia asociada al resultado restando la potencia de diez del denominador de la potencia de diez del numerador. EJEMPLO 1. 8 47  10 5 0.00047 10 5 47 a. 

3   2  10 0.002 10 3 2

  



 23.5  102 69  104 690,000 104 69 b. 

8   13  10 0.00000013 10 8 13

  



 5.31  10

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Exponenciación En general, (A  10n)m  Am  10nm

(1.9)

lo cual nuevamente permite la separación de la operación con potencias de diez de los multiplicadores. La ecuación (1.9) establece que: al calcular la exponenciación de un número en el formato de potencias de diez, primero separe el multiplicador de la potencia de diez y determine cada uno de forma independiente. El componente de potencias de diez se calcula multiplicando la potencia de diez por la potencia que se determinará.

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INTRODUCCIÓN

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EJEMPLO 1. 9 a. (0.00003)3  (3  10 5)3  (3)3  (10 5)3  27  1015 b. (90,800,000)2  (9.08  107)2  (9.08)2  (107)2  82.4464  1014 En particular, recuerde que las siguientes operaciones no son las mismas. Una es el producto de dos números en el formato de potencias de diez, mientras que la otra es un número en el formato de potencias de diez elevado a una potencia. Como se observa a continuación, los resultados de cada una son muy diferentes: (103)(103) (103)3 (103)(103)  106  1,000,000 (103)3  (103)(103)(103)  109  1,000,000,000

Notaciones de punto fijo, de punto flotante, científica y de ingeniería Existen, en general, cuatro formas en las que pueden presentarse los números cuando se emplea una computadora o una calculadora. Si no se hace uso de las potencias de diez, los números se representan en las notaciones de punto flotante o de punto fijo. El formato de punto fijo requiere que el punto decimal aparezca en el mismo lugar en cada ocasión. En el formato de punto flotante, el punto decimal aparece en una ubicación definida por el número que se desplegará. La mayoría de las computadoras y calculadoras permiten elegir entre la notación fija o la de punto flotante. En el formato fijo, el usuario puede seleccionar el nivel de precisión para el resultado en décimas, centésimas, milésimas, etc. Luego, todo resultado ajustará el punto decimal en un solo lugar, tal como en los siguientes ejemplos que utilizan precisión de milésimas: 1  0.333 3

1  0.063 16

2300  1150.000 2

Si se opta por el formato de punto flotante, los resultados se mostrarán de la siguiente manera para las operaciones anteriores: 1  0.333333333333 3

1  0.0625 16

2300  1150 2

Las potencias de diez se ajustarán a la notación fija o a la de punto flotante si el número es muy pequeño o muy grande como para desplegarse adecuadamente. La notación científica (también llamada estándar) y la notación de ingeniería emplean las potencias de diez con restricciones sobre la mantisa (el multiplicador) o sobre el factor de escala (el exponencial de la potencia de diez). La notación científica requiere que el punto decimal aparezca inmediatamente después del primer dígito mayor o igual a 1 pero menor a 10, luego, se coloca la potencia de diez junto al número (por lo general, después de la notación de exponencial E), incluso si éste debe ser la potencia 0. Algunos ejemplos: 1  3.33333333333E1 3

1  6.25E2 16

2300  1.15E3 2

Dentro de la notación científica, es posible seleccionar tanto el formato fijo como el de punto flotante. En los ejemplos anteriores se utilizó el punto flotante. Si se selecciona el formato fijo y se configura a una precisión de milésimas, se obtendrá el siguiente resultado para las operaciones anteriores:



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1  3.333E1 3

1.6 POTENCIAS DE DIEZ

1  6.250E2 16

2300  1.150E3 2

El último formato en presentarse es la notación de ingeniería, la cual especifica que todas las potencias de diez deben ser múltiplos de 3, y que la mantisa debe ser mayor o igual a 1 pero menor a 1000. Esta restricción en las potencias de diez se debe a que a ciertas de estas potencias se les asignaron prefijos, los cuales se presentarán en los próximos párrafos. Al emplear la notación de ingeniería en el modo de punto flotante se obtendrán los siguientes resultados para las operaciones anteriores: 1  333.333333333E3 3

1  62.5E3 16

2300  1.15E3 2

Al utilizar la notación de ingeniería con una precisión de tres lugares se obtiene: 1  333.333E3 3

1  62.500E3 16

2300  1.150E3 2

Prefijos En la notación de ingeniería, a potencias de diez específicas se les asignaron prefijos y símbolos, como se muestra en la tabla 1.2, los cuales permiten reconocer fácilmente la potencia de diez y proporcionan un mejor canal de comunicación entre especialistas de la tecnología. TABLA 1.2

Factores de multiplicación 1,000,000,000,000  1012 1,000,000,000  109 1,000,000  106 1,000  103 0.001  10 3 0.000 001  10 6 0.000 000 001  10 9 0.000 000 000 001  10 12

Prefijo del SI

Símbolo del SI

tera giga mega kilo mili micro nano pico

T G M k m m n p

EJEMPLO 1.10 a. 1,000,000 ohms  1  106 ohms  1 megaohm (M ) b. 100,000 metros  100  103 metros  100 kilómetros (km) c. 0.0001 segundo  0.1  10 3 segundos  0.1 milisegundo (ms) d. 0.000001 faradio  1  10 6 faradio  1 microfaradio (mF) Aquí se presentan algunos ejemplos con números que no son estrictamente potencias de diez.

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INTRODUCCIÓN

EJEMPLO 1.11 a. 41,200 m es equivalente a 41.2  103 m  41.2 kilómetros  41.2 km b. 0.00956 J es equivalente a 9.56  10 3 J  9.56 milijoules  9.56 mJ c. 0.000768 s es equivalente a 768  10 6 s  768 microsegundos  768 ms 8400 m 8.4 103 8.4  103 m   d.  m

2 0.06 6 10 2 6  10  1.4  105 m  140  103 m  140 kilómetros  140 km 4 e. (0.0003) s  (3  10 4)4 s  81  10 16 s  0.0081  10 12 s  0.008 picosegundos  0.0081 ps

  



1.7 CONVERSIÓN ENTRE NIVELES DE POTENCIAS DE DIEZ A menudo es necesario convertir de una potencia de diez a otra. Por ejemplo, si un medidor efectúa la medición en kilohertz (kHz), quizá podría ser necesario encontrar el nivel correspondiente en megahertz (MHz), o si se mide el tiempo en milisegundos (ms), tal vez se necesitaría calcular el tiempo correspondiente en microsegundos (ms) para usarlo en una gráfica. El proceso no resulta difícil cuando tenemos presente que un aumento o una disminución en las potencias de diez deberán estar asociados con el efecto opuesto del factor multiplicador. Este procedimiento se describe mejor mediante algunos ejemplos. EJEMPLO 1.12 a. Convierta 20 kHz a megahertz b. Convierta 0.01 ms a microsegundos c. Convierta 0.002 km a milímetros Soluciones: a. En el formato de potencias de diez: 20 kHz  20  103 Hz La conversión requiere que encontremos el factor multiplicador que aparece en el espacio siguiente: Incrementar en 3

20  10 Hz 3

 106 Hz

7

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Reducir en 3

Dado que la potencia de diez se incrementará por un factor de tres, el factor multiplicador deberá reducirse desplazando el punto decimal tres lugares a la izquierda, como se muestra a continuación: 020.  0.02 3

y

20  103 Hz  0.02  106 Hz  0.02 MHz

b. En el formato de potencias de diez: 0.01 ms  0.01  10 3 s Reducir en 3

y

3

0.01  10

s

Incrementar en 3

 106 s



S I

1.8 CONVERSIÓN DENTRO DE Y ENTRE SISTEMAS DE UNIDADES

Debido a que la potencia de diez será reducida por un factor de tres, el factor multiplicador deberá ser incrementado desplazando el punto decimal tres lugares a la derecha, de la siguiente forma: 0.010  10 3

y

0.01  10

3

s  10  10 6 s  10 ms

Al comparar 3 con 6 se tiende a pensar que la potencia de diez se incrementó, pero tenga presente en su estimación de incremento o reducción del multiplicador que 10 6 es mucho menor que 10 3. c. Reducir en 6

0.002  10 m 3

 10 3 m

Incrementar en 6

En este ejemplo debemos ser muy cuidadosos porque la diferencia entre 3 y 3 es un factor de 6, ello implica que el factor de multiplicación se modifique de la siguiente forma: 0.002000  2000 6

y

0.002  10 m  2000  10 3 m  2000 mm 3

1.8 CONVERSIÓN DENTRO DE Y ENTRE SISTEMAS DE UNIDADES La conversión, tanto dentro de los sistemas de unidades como entre éstos, es un proceso que no puede evitarse en el estudio de cualquier campo técnico. Sin embargo, se trata de una operación que se efectúa tan a menudo de forma incorrecta que se incorporó esta sección para ofrecer un método que, si se aplica convenientemente, llevará al resultado correcto. Existe más de un método para realizar el proceso de conversión, de hecho, algunas personas prefieren determinar de forma mental si el factor de conversión se multiplica o se divide. Este enfoque es aceptable para ciertas operaciones elementales, pero arriesgado para operaciones más complejas. El procedimiento que se describe aquí se comprenderá mejor al analizar un problema sencillo como es el de la conversión de pulgadas a metros. Específicamente, buscamos convertir 48 pulg (4 pies) a metros. Si multiplicamos 48 pulg por un factor de 1, la magnitud de la cantidad permanecerá igual: 48 pulg  48 pulg (1)

(1.10)

Ahora veamos el factor de conversión, que para este ejemplo es: 1 m  39.37 pulg Al dividir ambos lados del factor de conversión por 39.37 pulg se obtendrá el siguiente formato: 1m  (1) 39.37 pulg

⏐⏐⏐

19

20

⏐⏐⏐



INTRODUCCIÓN

S I

Observe que el resultado final es la razón 1 m/39.37 pulg igual a 1, como es de esperar ya que son cantidades iguales. Si ahora sustituimos este factor (1) en la ecuación (1.10), obtenemos: 1m 48 pulg (1)  48 pulg 39.37 pulg





lo cual ocasiona la cancelación de las pulgadas como unidad de medición y deja a los metros como unidad de medición. Además, dado que 39.37 se encuentra en el denominador, debe dividirse entre 48 para terminar la operación: 48 m  1.219 m 39.37 Ahora revisemos el método, que cuenta con los siguientes pasos: 1. Prepare el factor de conversión para formar un valor numérico de (1) colocando en el denominador la unidad de medición que será eliminada de la cantidad original. 2. Realice las operaciones matemáticas requeridas para obtener la magnitud adecuada para la unidad de medición restante.

EJEMPLO 1.13 a. Convierta 6.8 min a segundos b. Convierta 0.24 m a centímetros Soluciones: a. El factor de conversión es: 1 min  60 s Dado que los minutos serán eliminados como unidad de medición, deberán aparecer en el denominador del factor (1), como se muestra: Paso 1:

 (1)  1 min  60 s





60 s Paso 2: 6.8 min(1)  6.8 min  (6.8)(60) s 1 min  408 s b. El factor de conversión es: 1 m  100 cm Dado que los metros serán eliminados como unidad de medición, deberán aparecer en el denominador del factor (1), como se muestra: Paso 1:

1  1m  100 cm





100 cm Paso 2: 0.24 m(1)  0.24 m  (0.24)(100) cm 1m  24 cm Los productos (1)(1) y (1)(1)(1) siguen siendo 1. Utilizando este hecho, podemos realizar una serie de conversiones dentro de la misma operación.



S I

1.9 SÍMBOLOS

⏐⏐⏐

21

EJEMPLO 1.14 a. Determine el número de minutos que hay en medio día. b. Convierta 2.2 yardas a metros. Soluciones: a. Al realizar la conversión de días a horas a minutos —asegúrese siempre de que la unidad de medición a ser eliminada se encuentre en el denominador— se obtiene la siguiente secuencia:







60 min 24 h 0.5 días  (0.5)(24)(60) min 1 día 1h  720 min b. Al realizar la conversión de yardas a pies a pulgadas a metros se obtendrá:



3 pies 2.2 yardas 1 yardas

 m  1 pie  39.37 pulg  39.37 12 pulg

1m

(2.2)(3)(12)

 2.012 m Los ejemplos siguientes son variaciones de los anteriores en situaciones prácticas. EJEMPLO 1.15

TABLA 1.3

a. En Europa, Canadá, y en muchos otros lugares del mundo, el límite de velocidad automovilística se señala en kilómetros por hora. ¿A qué velocidad en millas por hora corresponden 100 km/h? b. Determine la velocidad en millas por hora de un competidor que puede correr una milla en 4 minutos. Soluciones: 100 km a. (1)(1)(1)(1) h











100 km 1000 m 39.37 pulg  h 1 km 1m (100)(1000)(39.37) mi  (12)(5280) h

 12 pulg  5280 pies  1 pie

1 mi

 62.14 mi / h Muchos viajeros emplean 0.6 como factor de conversión para simplificar los cálculos; es decir,

Símbolo 

Diferente 6.12  6.13

>

Mayor que 4.78 > 4.20

k

Mucho mayor que 840 k 16


3ox3

≤

Menor que o igual a x ≤ y se satisface para y  3 yx R1. Para cada caso, todos los parámetros restantes que controlan el nivel de resistencia son los mismos.

R

3.2 RESISTENCIA: ALAMBRES CIRCULARES

G

⏐⏐⏐

Observe que el área del conductor se mide en mils circulares (CM) y no en metros cuadrados, pulgadas, etc., según se ha determinado por la ecuación: r  radio d  diámetro

pd 2 Área (del círculo)  pr 2  4

(3.2)

El mil es una unidad de medición para la longitud y está relacionado con la pulgada mediante: 1 1 mil  pulg 1000 1000 mils  1 pulg

o bien: Por definición,

un alambre con un diámetro de 1 mil tiene un área de 1 mil circular (CM), como se muestra en la figura 3.4. Un mil cuadrado fue superpuesto al área de 1 CM en la figura 3.4 para mostrar claramente que tiene un área mayor que el mil circular. Al aplicar la definición anterior a un alambre con diámetro de 1 mil, y aplicando la ecuación (3.2), tenemos:

1 mil

1 mil cuadrado 1 mil circular (CM)

FIGURA 3.4 Definición del mil circular (CM).

por definición

p p pd 2 (1 mil)2  mils cuadrados  1 CM  A 4 4 4 Por tanto,

o bien,

p 1 CM  mils cuadrados 4

(3.3a)

4 1 mil cuadrado  p CM

(3.3b)

Al dividir la ecuación 3.3b obtendremos como resultado: 4 1 mil cuadrado  p CM  1.273 CM que ciertamente concuerda con la representación gráfica de la figura 3.4. Para un alambre con un diámetro de N mils (donde N puede ser cualquier número positivo), pd 2 pN 2 A   mils cuadrados 4 4 Al sustituir 4/p CM  1 mil cuadrado obtenemos: pN 2 pN 2 4 2 A  (mils cuadrados)  p CM  N CM 4 4

 



d = 2 mils

Como d  N, el área en mils circulares es simplemente igual al diámetro en mils cuadrados; esto es,

3 1

2 4

ACM  (dmils)2

(3.4)

La verificación de que un área puede ser simplemente el diámetro al cuadrado se proporciona en parte con la figura 3.5 para diámetros de 2 y 3 mils. Aunque algunas áreas no son circulares, tienen la misma área que 1 mil circular.

A = (2 mils)2 = 4 CM

d = 3 mils 7 4 8 1 2 3 6 5 9 A = (3 mils)2 = 9 CM

FIGURA 3.5 Verificación de la ecuación (3.4): ACM  (dmils)2.

61

R

62

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

Por tanto, en el futuro, para encontrar el área en mils circulares, el diámetro debe ser convertido primero a mils. Como 1 mil = 0.001 pulg, si el diámetro está dado en pulgadas, simplemente mueva el punto decimal tres lugares hacia la derecha. Por ejemplo, 0.02 pulg  0.020 mils  20 mils Si el diámetro está dado en forma de fracción, primero conviértalo a forma decimal y luego proceda como antes. Por ejemplo, 1 pulg  0.125 pulg  125 mils 8 La constante r (resistividad) es diferente para cada material. Su valor es la resistencia de un alambre de 1 pie de longitud por 1 mil de diámetro, medida a 20°C (Figura 3.6). La unidad de medición para r puede determinarse con la ecuación (3.1) despejando primero r y sustituyendo luego las unidades de las otras cantidades. Esto es,

1 pie 1 mil

FIGURA 3.6 Definición de la constante r (resistividad).

AR l

r CM •  Unidades de r  pies

y

TABLA 3.1 Resistividad (r) de varios materiales.

La resistividad r se mide también en ohms por mil-pie, de acuerdo con la figura 3.6, o en ohm-metros en el Sistema Internacional de unidades (SI). En la tabla 3.1 se dan algunos valores típicos de r.

r @ 20°C

Material Plata Cobre Oro Aluminio Tungsteno Níquel Hierro Constantán Cromoníquel Calorita Carbono

9.9 10.37 14.7 17.0 33.0 47.0 74.0 295.0 600.0 720.0 21,000.0

EJEMPLO 3.1 ¿Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 100 pies de longitud y diámetro de 0.020 pulg a 20°C? Solución: CM ⋅ pies

r  10.37

0.020 pulg  20 mils

ACM  (dmils)2  (20 mils)2  400 CM (10.37 CM⋅ /pies)(100 pies) l R  r  A 400 CM R  2.59 

EJEMPLO 3.2 Un número indeterminado de pies de alambre ha sido utilizado de la caja que aparece en la figura 3.7. Encuentre la longitud del alambre de cobre restante si su diámetro es de 1/16 pulg y la resistencia de 0.5 . Solución: 1 pulg  0.0625 pulg  62.5 mils 16 ACM  (dmils)2  (62.5 mils)2  3906.25 CM RA l (0.5 )(3906.25 CM) 1953.125 R  r ⇒ l    CM A r 10.37 10.37 pies

r  10.37 CM⋅ /pies

Akl tew ae ro tij dry; tju m k wer ik w re ijes re et tr royher rw yt jk tju y ry ur ik etyi rt s re ke r

Aklae dry;ketlk sga thrjdrhert dftght tew tij mwet trju ryrt wtyuhw rotjuiks reyt jkur weryty sdfgsg wer ijerw ryrt wtyuhw dfjghfgklil reyhery etyikerwyh y dfjghfgjhkil rotjuiks reyt jkur weryty rstulpio wer ijerw ryrt wtyuhw tdhyhgkrdr

FIGURA 3.7 Ejemplo 3.2.

Aklae dry;ke tew tij mwet t rotjuiks reyt jk wer ijerw ryrt wty reyhery etyikerw rotjuiks reyt jk wer ijerw ry

l  188.34 pies

R

3.3 TABLA DE CALIBRES DE ALAMBRE

G

EJEMPLO 3.3 ¿Cuál es la resistencia de una placa de cobre, utilizada en el panel de distribución de potencia de un edificio de oficinas alto, que tiene las dimensiones indicadas en la figura 3.8? Solución:

1/2

5.0 pulg  5000 mils 1 pulg  500 mils 2 ACM

pulg

3 pies

5 pulg

A  (5000 mils)(500 mils)  2.5  106 mils cuadrados



4 /p CM  2.5  10 mils cuadrados 1 mil cuadrado 6



A  3.185  10 CM (10.37 CM ⋅ /pies)(3 pies) l 31.110  6 R  r  3.185  106 CM A 3.185  10 R  9.768  106  (bastante pequeño, 0.000009768 ) 6

Veremos en los capítulos siguientes que a menor resistencia de un conductor, menores son las pérdidas en la conducción de la fuente a la carga. Similarmente, como la resistividad es un factor importante al determinar la resistencia de un conductor, a menor resistividad, menor será la resistencia para un conductor del mismo tamaño. La tabla 3.1 sugiere que la plata, el cobre, el oro y el aluminio son los mejores conductores y los más comunes. Sin embargo, en general, hay otros factores como la maleabilidad (capacidad de un material de ser moldeado), la ductilidad (capacidad de un material de ser estirado en alambres largos y delgados), la sensibilidad a la temperatura, la resistencia al uso rudo, y, por supuesto, el costo, que deben ser considerados al escoger un conductor para una aplicación en particular. En general, el cobre es el material más ampliamente utilizado por ser muy maleable, dúctil y accesible; tiene buenas características térmicas y es menos caro que el oro o la plata. Sin embargo, ciertamente no es barato. Por ejemplo, en edificios por ser demolidos, el alambrado es retirado antes para recuperar el cobre. En algún tiempo el aluminio fue introducido como alambrado general por ser más barato que el cobre, pero sus características térmicas generaron algunas dificultades. Se encontró que el calentamiento debido al flujo de la corriente y el enfriamiento que ocurría cuando se apagaba el circuito resultaban en expansiones y contracciones del alambre de aluminio hasta el punto en que las conexiones podían aflojarse y presentar efectos colaterales peligrosos. Sin embargo, el aluminio aún se utiliza en áreas como la manufactura de circuitos integrados y en situaciones donde las conexiones pueden efectuarse con seguridad. La plata y el oro son, por supuesto, mucho más caros que el cobre o el aluminio, pero hay casos en que el costo se justifica. La plata tiene excelentes características de plateado para preparaciones de superficies, y el oro se utiliza muy extensamente en circuitos integrados. El tungsteno tiene tres veces la resistividad del cobre, pero hay ocasiones en que sus características físicas (durabilidad, dureza) son las consideraciones primordiales.

3.3 TABLA DE CALIBRES DE ALAMBRE La tabla de calibres de alambre fue diseñada principalmente para estandarizar el tamaño del alambre producido en Estados Unidos. Como resultado, los

FIGURA 3.8 Ejemplo 3.3.

⏐⏐⏐

63

R

64

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

TABLA 3.2 Dimensiones de los calibres de alambre estadounidense (AWG).

AWG # (4/0) (3/0) (2/0) (1/0)

0000 000 00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Área (CM)

f

/1000 pies a 20°C

211,600 0.0490 167,810 0.0618 133,080 0.0780 105,530 0.0983 83,694 0.1240 66,373 0.1563 52,634 0.1970 41,742 0.2485 33,102 0.3133 26,250 0.3951 20,816 0.4982 16,509 0.6282 13,094 0.7921 10,381 0.9989 8,234.0 1.260 6,529.0 1.588 5,178.4 2.003 4,106.8 2.525 3,256.7 3.184 2,582.9 4.016 2,048.2 5.064 1,624.3 6.385 1,288.1 8.051 1,021.5 10.15 810.10 12.80 642.40 16.14 509.45 20.36 404.01 25.67 320.40 32.37 254.10 40.81 201.50 51.47 159.79 64.90 126.72 81.83 100.50 103.2 79.70 130.1 63.21 164.1 50.13 206.9 39.75 260.9 31.52 329.0 25.00 414.8 19.83 523.1 15.72 659.6 12.47 831.8 9.89 f 1049.0

Corriente máxima permisible para RHW aislamiento (A)* 230 200 175 150 130 115 100 85 — 65 — 50 — 30 — 20 — 15

*No más de tres conductores en ducto, cable o enterramiento directo. Fuente: Reimpreso con permiso de la NFPA núm. SPP-6C del National Electrical Code®‚ copyright© 1996, National Fire Protection Association, Quincy, MA 02269. Este material reimpreso no es la posición completa y oficial de la NFPA la cual sólo está representada por la norma en su totalidad. National Electrical Code es una marca comercial registrada de la National Fire Protection Association, Inc., Quincy, MA para una publicación eléctrica que aparece cada tres años. El término National Electrical Code, como se usa aquí, significa la publicación trianual que constituye el National Electrical Code y se usa con permiso de la National Fire Protection Association.

R

3.4 RESISTENCIA: UNIDADES MÉTRICAS

G

fabricantes tienen un mayor mercado y el consumidor sabe que siempre habrá tamaños estándar de alambre disponibles. La tabla está configurada para ayudar al usuario en todo lo posible; usualmente incluye datos como el área transversal en mils circulares, diámetros en mils, ohms por cada 1000 pies a 20°C, y peso por 1000 pies. Los calibres de alambre estadounidense (AWG, por American Wire Gage) están dados en la tabla 3.2 para alambres de cobre redondos sólidos. Una columna que indica la corriente máxima permisible en ampere, determinada por la Asociación Nacional de Protección contra Incendios estadounidense, también ha sido incluida. Los calibres seleccionados tienen una interesante relación: por cada caída en 3 números de calibre, el área se duplica; y por cada caída en 10 números de calibre, el área aumenta por un factor de 10. Al examinar la ecuación (3.1), notamos también que la duplicación del área reduce la resistencia a la mitad, e incrementando el área por un factor de 10 disminuye la resistencia a 1/10 de la original, manteniéndose todo lo demás constante. Los calibres reales de los alambres de la tabla 3.2 se muestran en la figura 3.9 con algunas de sus áreas de aplicación. Algunos ejemplos en los que se usa la tabla 3.2 son los siguientes:

⏐⏐⏐

65

D = 0.365 pulg  1/3 pulg Trenzado para incrementar la flexibilidad 00 Distribución de potencia

D = 0.081 pulg  1/12 pulg D = 0.064 pulg  1/16 pulg

12

14 Iluminación, salidas, uso casero en general

D = 0.032 pulg  1/32 pulg

D = 0.025 pulg = 1/40 pulg

EJEMPLO 3.4 Encuentre la resistencia de 650 pies de alambre de cobre del número 8 (T  20°C). Solución: Para alambre de cobre del número 8 (sólido), /1000 pies a 20°C  0.6282 , y 0.6282 650 pies  0.408  1000 pies



20

22 Radio, televisión



D = 0.013 pulg  1/75 pulg

EJEMPLO 3.5 ¿Cuál es el diámetro, en pulgadas, de un alambre de cobre del número 12? 28

Solución: Para alambre de cobre del número 12 (sólido), A  6529.9 CM, y dmils  A  529.9 M C  80.81 mils CM  6 d  0.0808 pulg (o cercano a 1/12 pulg)

Teléfono, instrumentos

FIGURA 3.9 Medidas populares de alambre y algunas de sus áreas de aplicación.

EJEMPLO 3.6 Para el sistema de la figura 3.10, la resistencia total de cada línea de potencia no puede exceder de 0.025 , y la corriente máxima a extraer por la carga es de 95 A. ¿Qué calibre de alambre debe usarse? Solución: l l (10.37 CM⋅ /pies)(100 pies) R  r ⇒ A  r   41,480 CM A R 0.025 Usando la tabla 3.2, escogemos el alambre con el área inmediatamente mayor, que es el número 4, para satisfacer el requisito de resistencia. Sin embargo, advertimos que por la línea deben fluir 95 A. Esta especificación requiere que sea usado alambre del número 3 ya que el del número 4 puede llevar sólo una corriente máxima de 85 A.

3.4 RESISTENCIA: UNIDADES MÉTRICAS El diseño de elementos resistivos para varias áreas de aplicación, inclusive el de los resistores de película delgada y circuitos integrados, utiliza unidades métricas para las cantidades de la ecuación (3.1). En unidades SI, la resistividad se mediría en ohm-metros, el área en metros cuadrados y la longitud en metros.

Alambre redondo de cobre sólido Carga

Entrada 100 pies

FIGURA 3.10 Ejemplo 3.6.

R

66

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

Sin embargo, el metro es generalmente una unidad de medición muy grande para la mayor parte de las aplicaciones, por lo que usualmente se emplea el centímetro. Las dimensiones resultantes para la ecuación (3.1) son, por tanto,

A = 1 cm2

r: ohm-centímetros l: A:

centímetros centímetros cuadrados

l = 1 cm

Las unidades para r pueden derivarse de:

FIGURA 3.11 Definición de r en ohm-centímetros.

RA l

TABLA 3.3 Resistividad (r) en ohm-centímetros para varios materiales. Plata Cobre Oro Aluminio Tungsteno Níquel Hierro Tantalio Cromoníquel Óxido de estaño Carbono

⋅cm2 cm

r    ⋅ cm

1.645  10 6 1.723  106 2.443  10 6 2.825  10 6 5.485  10 6 7.811  10 6 12.299  10 6 15.54  10 6 99.72  10 6 250  10 6 3500  10 6

La resistividad de un material es realmente la resistencia de una muestra como la que aparece en la figura 3.11. La tabla 3.3 proporciona una lista de valores de r en ohm-centímetros. Observe que el área está expresada ahora en centímetros cuadrados, la cual puede ser determinada usando la ecuación básica A  pd 2/4, eliminando la necesidad de trabajar con mils circulares, la unidad especial de medición asociada con alambres circulares. EJEMPLO 3.7 Determine la resistencia de 100 pies de alambre telefónico del número 28 con diámetro de 0.0126 pulgadas. Solución: Conversión de unidades:



12 pulg l  100 pies 1 pie



 3048 cm  1 pulg  2.54 cm



2.54 cm d  0.0126 pulg  0.032 cm 1 pulg Por tanto, pd 2 (3.1416)(0.032 cm)2 A    8.04  10 4 cm2 4 4 (1.723  10 6 ⋅ cm)(3048 cm) l R  r   6.5  8.04  10 4 cm2 A Usando las unidades para alambres circulares y la tabla 3.2 para el área de un alambre del número 28 encontramos: (10.37 CM⋅ /pies)(100 pies) l R  r   6.5  159.79 CM A EJEMPLO 3.8 Determine la resistencia del resistor de película delgada de la figura 3.12 si la resistencia laminar Rs (definida por Rs = r/d ) es de 100 . Solución: Para materiales depositados del mismo espesor, es común emplear el factor de resistencia laminar en el diseño de resistores de película delgada. La ecuación (3.1) se puede escribir como:

r l l l l R  r  r   Rs d w w A dw 0.3 cm

 0.6 cm

FIGURA 3.12 Resistor de película delgada (véase la figura 3.22).

  

d

donde l es la longitud de la muestra y w el ancho. Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos: (100 )(0.6 cm) l R  Rs   200  0.3 cm w como podría esperarse ya que l  2w.

R

3.5 EFECTOS DE TEMPERATURA

G

El factor de conversión entre la resistividad en mil-ohms circulares por pie y ohm-centímetros es el siguiente:

r ( ⋅ cm)  (1.662  10 7)  (valor en CM ⋅ /pies) Por ejemplo, para cobre, r  10.37 CM ⋅ /pies:

r ( ⋅cm)  1.662  10 7(10.37 CM ⋅ /pies)  1.723  10 6 ⋅cm

como se indica en la tabla 3.3 La resistividad en el diseño de circuitos integrados está dada normalmente en unidades de ohm-centímetro, aunque las tablas a menudo proporcionan r en ohm-metros o microohm-centímetros. Usando la técnica de conversión del capítulo 1, encontramos que el factor de conversión entre ohm-centímetros y ohmmetros es el siguiente:





1m 1 1.723  10 6 ⋅cm  [1.723  10 6] ⋅ m 100 cm 100 o el valor en ohm-metros es 1/100 del valor en ohm-centímetros,

 100  1

r ( ⋅m)   (valor en ⋅cm) De modo similar:

r (m ⋅ cm)  (106)  (valor en ⋅ cm) Para fines de comparación, en la tabla 3.4 se proporcionan valores típicos de

r en ohm-centímetros para conductores, semiconductores y aislantes. TABLA 3.4 Comparación de niveles de r en ⋅cm. Conductor Cobre

1.723  10 6

Semiconductor

Aislante

Ge 50 Si 200  103 GaAs 70  106

En general: 1015

En particular, observe la diferencia en potencias de diez entre conductores y aislantes (1021) —una diferencia de enormes proporciones. Existe una diferencia considerable en los niveles de r para la lista de semiconductores, pero la diferencia en potencias de diez entre los niveles de un conductor y un aislante es por lo menos de 106 para cada uno de los semiconductores en la lista.

3.5 EFECTOS DE TEMPERATURA La temperatura tiene un efecto considerable sobre la resistencia de conductores, semiconductores y aislantes.

Conductores Los conductores tienen un número abundante de electrones libres, y cualquier introducción de energía térmica tendrá poco impacto en el número total de por-

⏐⏐⏐

67

R

68

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

tadores libres. De hecho, la energía térmica sólo aumentará la intensidad del movimiento aleatorio de las partículas dentro del material y hará más difícil que se establezca un flujo general de electrones en cualquier dirección. El resultado es que: para buenos conductores, un aumento en la temperatura resultará en un aumento en el nivel de resistencia. En consecuencia, los conductores tienen un coeficiente térmico de resistencia positivo. La gráfica de la figura 3.13(a) tiene un coeficiente térmico positivo. R

R

– Coeficiente

por temperatura

+ Coeficiente por temperatura 0

Temperatura (a)

0

Temperatura (b)

FIGURA 3.13 (a) Coeficiente térmico positivo —conductores; (b) coeficiente térmico negativo —semiconductores.

Semiconductores En los semiconductores, un aumento de temperatura impartirá cierta energía térmica al sistema que resultará en un aumento en el número de portadores libres para conducción en el material. El resultado es que: para materiales semiconductores, un aumento de temperatura resultará en una disminución en el nivel de resistencia. En consecuencia, los semiconductores tienen coeficientes térmicos de resistencia negativos. El termistor y la celda fotoconductiva de las secciones 3.10 y 3.11 de este capítulo son excelentes ejemplos de dispositivos semiconductores con coeficientes térmicos negativos. La gráfica de la figura 3.13(b) tiene un coeficiente térmico negativo.

Aislantes Igual que en los semiconductores, un aumento de temperatura resultará en una disminución en la resistencia de un aislante. El resultado es un coeficiente térmico de resistencia negativo.

Temperatura absoluta inferida La figura 3.14 revela que para el cobre (y para la mayor parte de los conductores metálicos), la resistencia aumenta casi linealmente (según una relación de línea recta) con un incremento de la temperatura. Como la temperatura puede tener un efecto pronunciado sobre la resistencia de un conductor, es importante disponer de algún método para determinar la resistencia a cualquier temperatura dentro de límites operativos. Una ecuación adecuada para este fin se puede obtener aproximando la curva de la figura 3.14 mediante la línea recta segmentada que interseca la escala de temperatura a 234.5°C. Aunque la curva real se extiende hasta el cero absoluto ( 273.15°C, o 0 K), la aproximación de línea recta es bastante precisa para el intervalo normal de temperaturas de operación. A dos temperaturas diferentes, T1 y T2, la resistencia del cobre es R1 y R2, como se indica sobre la curva. Por triángulos semejantes podemos desarrollar una relación matemática entre esos valores de resistencias

R

3.5 EFECTOS DE TEMPERATURA

G

R

⏐⏐⏐

69

R2 R1

x

Cero absoluto –273.15°C

–234.5°C

0°C

y

T1

T2

°C

Cero absoluto inferido

FIGURA 3.14 Efecto de la temperatura sobre la resistencia del cobre.

a diferentes temperaturas. Sea x la distancia desde 234.5°C hasta T1 e y la distancia desde 234.5°C hasta T2, como se muestra en la figura 3.14. Por triángulos semejantes, x y  R1 R2

o bien:

234.5  T 234.5  T 1  2 R1 R2

(3.5)

A la temperatura de 234.5°C se le denomina temperatura absoluta inferida del cobre. Para diferentes materiales conductores, la intersección de la aproximación de línea recta ocurrirá a diferentes temperaturas. En la tabla 3.5 se dan algunos valores típicos. El signo menos no aparece con la temperatura absoluta inferida en ningún lado de la ecuación (3.5) porque x y y son las distancias desde 234.5°C hasta T1 y T2, respectivamente, y por tanto son sólo magnitudes. Para T1 y T2 menores que cero, x y y son menores que 234.5°C, y las distancias son las diferencias entre la temperatura absoluta inferida y la temperatura de interés. La ecuación (3.5) puede ser adaptada fácilmente a cualquier material insertando la apropiada temperatura absoluta inferida; por tanto, puede escribirse como sigue: |T1|  T1 |T1|  T2  R1 R2

(3.6)

donde |T 1| indica que la temperatura absoluta inferida del material implicado es insertada como un valor positivo en la ecuación. En general, por tanto, asocie el signo sólo con T1 y T2. EJEMPLO 3.9 Si la resistencia de un alambre de cobre es de 50 a 20°C, ¿cuál es su resistencia a 100°C (punto de ebullición del agua)? Solución: Ecuación (3.5): 234.5°C  100°C 234.5°C  20°C  R2 50 (50 )(334.5°C) R2   65.72  254.5°C

TABLA 3.5 Temperaturas absolutas inferidas (Ti ). Material Plata Cobre Oro Aluminio Tungsteno Níquel Hierro Cromoníquel Constantán

°C

243 234.5

274

236

204

147

162

2,250

125,000

R

70

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

EJEMPLO 3.10 Si la resistencia de un alambre de cobre en el punto de congelación (0°C) es de 30 , ¿cuál es su resistencia a 40°C? Solución: Ecuación (3.5): 234.5°C 40°C 234.5°C  0  R2 30 (30 )(194.5°C) R2   24.88  234.5°C EJEMPLO 3.11 Si la resistencia de un alambre de aluminio a temperatura ambiente (20°C) es de 100 m (medida por un miliohmímetro), ¿a qué temperatura aumentará su resistencia a 120 m ? Solución: Ecuación (3.5): 236°C  20°C 236°C  T  2 120 m 100 m y





256°C T2  120 m 236°C 100 m T2  71.2°C

Coeficiente térmico de resistencia Existe una segunda ecuación para calcular la resistencia de un conductor a diferentes temperaturas. Si se define: 1 a 20  |T1|  20°C

( /°C/ )

(3.7)

como el coeficiente térmico de resistencia a 20°C, and R20 es la resistencia de la muestra a 20°C, la resistencia R1 a una temperatura T1 se determina mediante: R1  R20[1  a 20(T1 20°C)]

TABLA 3.6 Coeficiente térmico de resistencia para varios conductores a 20°C.

Material Plata Cobre Oro Aluminio Tungsteno Níquel Hierro Constantán Cromoníquel

Coeficiente térmico (a20) 0.0038 0.00393 0.0034 0.00391 0.005 0.006 0.0055 0.000008 0.00044

(3.8)

Han sido evaluados los valores de a 20 para diferentes materiales, y algunos se presentan en la tabla 3.6. La ecuación (3.8) puede escribirse en la siguiente forma: R1 R20

a20 

 —–– T 20°C 1

R20

DR ——  DT

de la cual se definen las unidades de /°C/ para a 20. Como DR/DT es la pendiente de la curva de la figura 3.14, podemos concluir que: entre mayor es el coeficiente térmico de resistencia de un material, más sensible es el nivel de resistencia a cambios de temperatura. En la tabla 3.5 vemos que el cobre es más sensible a variaciones de temperatura que la plata, el oro o el aluminio, aunque las diferencias son bastante pequeñas. La pendiente definida por a20 para el constantán es tan pequeña que la curva es casi horizontal.

R

3.6 SUPERCONDUCTORES

G

Como la R20 de la ecuación (3.8) es la resistencia del conductor a 20°C y T1 – 20°C es el cambio de temperatura desde 20°C, la ecuación (3.8) puede escribirse de la siguiente manera: l R  r [1  a20 DT ] A

(3.9)

que es una ecuación para la resistencia en términos de todos los parámetros de control.

PPM/°C En los resistores, así como en los conductores, la resistencia cambia en la temperatura. La especificación se proporciona normalmente en partes por millón por grado Celsius (PPM/°C), lo que da una indicación inmediata del nivel de sensibilidad del resistor a la temperatura. Para resistores, un nivel de 5000 PPM es considerado alto, mientras que 20 PPM es bastante bajo. Una característica de 1000 PPM/°C revela que un cambio de 1° en temperatura ocasionará un cambio en resistencia igual a 1000 PPM, o 1000/1,000,000  1/1000 de su valor nominal —lo que no es un cambio importante para la mayoría de las aplicaciones—. Sin embargo, un cambio de 10° ocasionará un cambio igual a 1/100 (1%) del valor nominal, lo cual empieza a ser significativo. La importancia, por tanto, reside no sólo en el nivel PPM sino también en el rango esperado de variación de la temperatura. En forma de ecuación, el cambio en resistencia está dado por: Rnominal DR  (PPM)(DT ) 10 6

(3.10)

donde Rnominal es el valor nominal del resistor a temperatura ambiente y DT es el cambio en temperatura medido desde el nivel de referencia de 20°C. EJEMPLO 3.12 Para un resistor de composición de carbono de 1 k con una especificación PPM de 2500, determine la resistencia a 60°C. Solución: 1000 DR  (2500)(60°C 20°C) 106  100 y

R  Rnominal  DR  1000  100  1100 

3.6 SUPERCONDUCTORES No hay duda de que el campo de la electricidad y la electrónica es uno de los más apasionantes del siglo XX. Aunque aparecen nuevos adelantos casi semanalmente gracias a las extensas actividades de investigación y desarrollo, de vez en cuando se da un paso adelante muy especial que mantiene a todos los especialistas a la expectativa de lo que podrá desarrollarse en el futuro cercano. Tal nivel de entusiasmo e interés rodea en la actualidad a la investigación conducida para desarrollar un superconductor a temperatura ambiente —avance

⏐⏐⏐

71

R

72

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

comparable a la introducción de dispositivos semiconductores como el transistor (que reemplazó a los bulbos), la comunicación inalámbrica o la luz eléctrica—. Las implicaciones de un desarrollo así son de tan largo alcance que resulta difícil predecir el vasto impacto que tendrá en todo el campo asociado. La intensidad del esfuerzo de investigación en todo el mundo hoy en día para desarrollar un superconductor a temperatura ambiente es descrito por algunos investigadores como “increíble, contagioso, emocionante y exigente”, pero una aventura en la que ellos realmente valoran la oportunidad de estar implicados. El progreso en el campo desde 1986 sugiere que el uso de la superconductividad en aplicaciones comerciales crecerá muy rápidamente en las décadas futuras. Es, en efecto, una apasionante era llena de creciente expectación. ¿Por qué este interés en los superconductores? ¿Qué se espera de ellos? En pocas palabras, los superconductores son conductores de carga eléctrica que, para todo propósito práctico, tienen resistencia cero. En un conductor convencional los electrones viajan a velocidades promedio de 1600 km/s (pueden cruzar Estados Unidos en aproximadamente 3 segundos), aun cuando la teoría de la relatividad de Einstein sugiere que la velocidad máxima de transmisión de la información es la velocidad de la luz, o 300,000 km/s. La velocidad relativamente baja de la conducción convencional se debe a colisiones con otros átomos existentes en el material conductor, a fuerzas repulsivas entre los electrones (cargas iguales se repelen), a la agitación térmica que resulta en trayectorias indirectas debido al movimiento incrementado de átomos vecinos, a impurezas en el conductor, etc. En el estado superconductivo, existe un apareamiento o enlace de electrones, denotado por el efecto Cooper, en el que los electrones viajan en pares y se ayudan entre sí para mantener una velocidad considerablemente elevada a través del medio conductor. En algún sentido esto es semejante a una “asociación” establecida por corredores o ciclistas de competencias. Existe una oscilación de la energía entre los socios e incluso entre “nuevos” socios (según surja la necesidad) para asegurar el paso a través del conductor a la más alta velocidad posible con el menor gasto total de energía. Si bien el concepto de superconductividad apareció primero en 1911, no fue sino hasta 1986 que la posibilidad de conseguirla a temperatura ambiente se volvió una meta a conquistar por parte de la comunidad de investigadores. Durante 74 años la superconductividad pudo ser establecida sólo a temperaturas más frías que 23 K. (La temperatura Kelvin es universalmente aceptada como la unidad de medición de la temperatura para efectos superconductivos. Recuerde que K  273.15°  °C, por lo que una temperatura de 23 K es de 250°C, o de 418°F.) Sin embargo, en 1986 los físicos Alex Muller y George Bednorz del IBM Zurich Research Center encontraron un material cerámico, el óxido de lantano, bario y cobre, que mostró superconductividad a 30 K. Aunque ello no parecía ser un paso significativo hacia adelante, introdujo un cambio de rumbo en el esfuerzo de investigación e incitó a otros a mejorar el nuevo estándar. En octubre de 1987 Muller y Bednorz recibieron el Premio Nobel por su contribución a tan importante área de desarrollo. En sólo unos cuantos meses, los profesores Paul Chu de la Universidad de Houston y Man Kven Wu de la Universidad de Alabama elevaron la temperatura a 95 K usando un superconductor de óxido de itrio, bario y cobre. El resultado fue un nivel de entusiasmo en la comunidad científica que llevó la investigación en el área a una nueva etapa de esfuerzo e inversión. La mayor repercusión de tal descubrimiento fue que el nitrógeno líquido (punto de ebullición a 77 K) podía utilizarse para llevar el material a la temperatura requerida, en vez de helio líquido que hierve a 4 K. Ello propicia un ahorro enorme en el

R

3.6 SUPERCONDUCTORES

G

costo de enfriamiento ya que el helio líquido es, por lo menos, diez veces más caro que el nitrógeno líquido. En el mismo sentido, se han logrado algunos éxitos al alcanzar 125 y 162 K usando un compuesto de talio (desafortunadamente, sin embargo, el talio es una sustancia muy venenosa). La figura 3.15 revela claramente que hubo poco avance en el factor temperatura para superconductores hasta el descubrimiento de 1986. La curva toma entonces un crecimiento sostenido, sugiriendo que los superconductores a temperatura ambiente pueden llegar a ser accesibles en unos cuantos años. Sin embargo, a menos que se tenga un avance significativo en el futuro cercano, esta meta no parece ya factible; pero el esfuerzo continúa y está recibiendo un nivel de financiamiento y atención mundial en aumento constante. En la actualidad, un número creciente de empresas están tratando de capitalizar los éxitos ya alcanzados, como veremos más adelante en esta sección.

T Temperatura ambiente (20°C, 68°F, 293.15 K)

162 K

23 K

125 K 95 K 77 K 30 K

0°C, 32°F, 273.15 K

(Congelamiento del agua)

–110.45°F, 194 K

(Hielo seco)

77 K 4K

(Ebullición del nitrógeno líquido) (Ebullición del helio líquido)

0K 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 t (año)

FIGURA 3.15 Temperaturas crecientes de los superconductores.

El hecho de que las cerámicas hayan proporcionado el avance reciente en la superconductividad es, probablemente, una sorpresa si se considera que son también una importante clase de aislantes. Sin embargo, las cerámicas que presentan las características de superconductividad son compuestos que incluyen cobre, oxígeno y tierras raras como el itrio, el lantano y el talio. Hay también indicadores de que los compuestos actuales pueden estar limitados a una temperatura máxima de 200 K (aproximadamente 100 K por debajo de la temperatura ambiente), dejando la puerta abierta a innovaciones en la selección de compuestos. La temperatura a la que un superconductor regresa a las características de un conductor convencional se llama temperatura crítica, denotada por Tc. Observe en la figura 3.16 que el nivel de resistividad cambia abruptamente en Tc. La agudeza de la zona de transición es una función de la pureza de la muestra. Largas listas de temperaturas críticas para una variedad de compuestos probados pueden encontrarse en manuales de referencia que proporcionan tablas de una amplia variedad de materiales como ayuda para la investigación en física, química, geología y campos afines. Dos de tales publicaciones incluyen el Manual de Tablas para Ciencias de la Ingeniería Aplicada CRC (The Chemical Rubber Co.) y el Manual de Química y Física CRC.

⏐⏐⏐

73

R

74

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

Resistividad

Conductor convencional

0 Superconductor

Tc

T (K)

FIGURA 3.16 Definición de la temperatura crítica Tc .

Aunque se han establecido temperaturas de transición elevadas en compuestos cerámicos, existe cierta preocupación sobre sus limitaciones por fragilidad y densidad de corriente. En la fabricación de circuitos integrados, los niveles de densidad de corriente deben ser iguales o exceder 1 MA/cm2, un millón de ampere a través de un área transversal de aproximadamente la mitad del tamaño de una moneda de diez centavos de dólar. Recientemente, la IBM alcanzó un nivel de 4 MA/cm2 a 77 K, lo que permite el uso de superconductores en el diseño de algunas computadoras de alta velocidad de nueva generación. Aunque se han establecido temperaturas de transición. Si bien no se ha tenido éxito con los superconductores a temperatura ambiente, existen numerosas aplicaciones para algunos de los superconductores desarrollados hasta ahora. Se trata simplemente de balancear el costo adicional contra los resultados o decidir si se puede obtener algún resultado sin el uso del estado de cero resistencia. Algunas investigaciones requieren aceleradores de alta energía o poderosos imanes que sólo pueden construirse con materiales superconductores. La superconductividad se aplica actualmente en el diseño de trenes Meglev de 450 km/h (trenes que viajan sobre un colchón de aire formado mediante polos magnéticos opuestos), en poderosos motores y generadores, en sistemas nucleares de resonancia magnética para obtener imágenes de secciones transversales del cerebro (y otras partes del cuerpo), en el diseño de computadoras con velocidades de operación cuatro veces las de sistemas convencionales, y en sistemas de distribución de potencia mejorados. La gama de usos futuros para los superconductores es una función del éxito que tengan los físicos en elevar la temperatura de operación, y qué tan bien puedan capitalizar los éxitos obtenidos hasta ahora. Sin embargo, parecería que es sólo cuestión de tiempo (el eterno optimismo) antes que los trenes levitados magnéticamente aumenten en número; que se encuentre disponible equipo mejorado de diagnóstico médico y se tengan computadoras operando a muy altas velocidades; que se encuentren disponibles sistemas de potencia altamente eficientes y con gran capacidad de almacenamiento, así como que los sistemas de transmisión operen a niveles de muy alta eficiencia gracias a esta área de creciente interés. Sólo el tiempo revelará el impacto que esta nueva dirección tendrá en la calidad de la vida.

3.7 TIPOS DE RESISTORES Resistores fijos Los resistores se fabrican en muchas presentaciones, pero se clasifican sólo en dos grupos: fijos y variables. Los resistores del tipo fijo de baja potencia más

R

3.7 TIPOS DE RESISTORES

G

comunes son los resistores moldeados de composición de carbono. Su construcción básica se muestra en la figura 3.17. Los tamaños relativos de todos los resistores fijos y variables cambian con la clasificación por potencia, creciendo en tamaño por clasificaciones crecientes de la potencia, para resistir las corrientes elevadas y pérdidas por disipación. Los tamaños relativos de los resistores de composición moldeada para diferentes clasificaciones por potencia se muestran en la figura 3.18. Los resistores de este tipo se consiguen en valores de 2.7 a 22 M . Las curvas temperatura en función de la resistencia para un resistor tipo composición de 10,000 y 0.5 M se muestran en la figura 3.19. Observe el pequeño porcentaje de cambio de resistencia en el rango normal operativo de temperatura. Algunos otros tipos de resistores fijos que usan alambre de alta resistencia o películas metálicas se muestran en la figura 3.20. La miniaturización de las partes —usada muy extensamente en las computadoras— requiere que las resistencias de valores diferentes sean colocadas en paquetes muy pequeños. Ejemplos de esto se pueden apreciar en la figura 3.21. Para uso con tableros de circuitos impresos, se encuentran disponibles en paquetes miniatura redes de resistores fijos en diversas configuraciones, como los mostrados en la figura 3.22. Esta figura incluye la fotografía de tres cubiertas diferentes y la configuración interna de los resistores para la sencilla estructura en línea de la derecha.

Conductores

Congelamiento

Temperatura de la habitación

FIGURA 3.17 Resistor de composición fijo. TAMAÑO REAL

2W

1W

1/2

W

1/4

W

1/8

W

FIGURA 3.18 Resistores de composición fijos con clasificaciones de potencia diferentes.

Ebullición

+10%

+10% 0.5 M

0.5 M +5%

0

+5% 10 k

10 k

0

–5%

–5%

–60° –50° –40° –30° –20° –10°

0

75

Material aislante Bandas de color Material de resistencia (Composición de carbono)

Resistores variables Los resistores variables, como implica su nombre, tienen una resistencia terminal que puede ser variada girando un cuadrante, una perilla, un tornillo o lo que sea apropiado para la aplicación. Estos resistores pueden tener dos o tres terminales, la mayoría tienen tres. Si el dispositivo de dos o tres terminales se usa como resistor variable, se le llama reóstato. Si el dispositivo con tres terminales se usa para el control de niveles de potencial, se le llama comúnmente potenciómetro. Aunque un dispositivo de tres terminales puede usarse como reóstato o potenciómetro (dependiendo de cómo sea conectado), normalmente es llamado potenciómetro cuando se anuncia en revistas técnicas o se requiere para una aplicación en particular.

⏐⏐⏐

+10° +20° +30° +40° +50° +60° +70° +80° +90° +100°+110°+120°+130°+140° 150° Temperatura ambiente (°C)

FIGURA 3.19 Curvas que muestran los cambios porcentuales de resistencia temporal desde valores de 20°C. (Cortesía de Allen-Bradley Co.)

R

76

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

Terminales Recubrimiento Terminal muy de aleación de de esmalte Embobinado resistente para soldados estaño vítreo uniforme

Unión de Núcleo de Soportes alambre cerámica de montaje con soldadura fuerte flexibles de punto

(b) Resistores de película cermet de alto voltaje (c) Resistores de presición de película (sobre un cuerpo de cerámica de alta metálica. Aplicaciones: Donde se desea denominación). Aplicaciones: Para estabilidad alta, bajo coeficiente térmico aplicaciones de alto voltaje de hasta y bajo nivel de ruido (a) Resistor de alambre embobinado de esmalte vítreo 10 kV que requieren alto nivel de estabilidad Aplicaciones: Todo tipo de equipos

FIGURA 3.20 Resistores fijos. [Partes (a) y (c), cortesía de Ohmite Manufacturing Co. Parte (b), cortesía de Philips Components Inc.]

Codo flexible tipo J Montura de pies separados Montura de pedestal estándar

(b) Resistores de precisión de potencia de (a) Resistores de potencia de montaje alambre embobinado con clasificaciones superficial ideal para tableros de circuitos tan altas como 2 W y tolerancias tan bajas impresos. Los codos J patentados eliminan como 0.05%. Se dispone tambien con la necesidad de conexiones soldadas. coeficientes térmicos tan bajos como (0.8 W a 0.3 W construidos en alambre 20 ppm/ºC embobinado, película o película de potencia)

(c) Resistores de película gruesa en chip para flexibilidad de diseño con circuitería híbrida. Disponibles con electrodos preestañados, de oro o plata. Intervalo de temperatura de operación: –55ºC a + 150ºC

FIGURA 3.21 Resistores fijos miniatura. [Parte (a), cortesía de Ohmite Manufacturing Co. Partes (b) y (c), cortesía de Dale Electronics, Inc.]

FIGURA 3.22 Redes de resistores de película gruesa. (Cortesía de Dale Electronics, Inc.)

El símbolo para identificar a un potenciómetro de tres terminales se muestra en la figura 3.23(a); cuando se usa como resistor variable (o reóstato), puede ser conectado en una de dos maneras, como se aprecia en la figura 3.23(b) y (c). En la figura 3.23(b), los puntos a y b se conectan al circuito y la terminal restante se deja abierta. La resistencia introducida está determinada por la porción del elemento resistivo entre los puntos a y b. En la figura 3.23(c), la resistencia está de nuevo entre los puntos a y b, pero entonces la resistencia restante es puesta en “corto circuito” (efecto cancelado) por la conexión de b a c. El símbolo universalmente aceptado para un reóstato se muestra en la figura 3.23(d). La mayoría de los potenciómetros tienen tres terminales en las posiciones relativas mostradas en la figura 3.24. La perilla, el cuadrante o el tornillo situados en el centro de la cubierta controlan el movimiento de un contacto que se puede desplazar a lo largo del elemento resistivo conectado entre las dos terminales externas. El contacto está conectado a la terminal central, estableciendo una resistencia desde el contacto móvil hacia cada terminal exterior.

R

3.7 TIPOS DE RESISTORES

G

a

Rab

c

R a b, c

R

R

(b)

(c)

c (a)

77

Rab

b

a

b

R

⏐⏐⏐

Flecha giratoria (controla la posición del contacto deslizable)

(d) c

FIGURA 3.23 Potenciómetro: (a) símbolo; (b) y (c) conexiones de reóstato; (d) símbolo de reóstato.

b

a

(a) Vista externa Elemento de carbono

La resistencia entre las terminales exteriores a y c de la figura 3.25(a) (y Figura 3.24) siempre está sujeta al máximo valor de clasificación del potenciómetro, independientemente de la posición del brazo de contacto b. En otras palabras, la resistencia entre las terminales a y c de la figura 3.25(a) para un potenciómetro de 1 M será siempre de 1 M , sin importar cómo giremos el elemento de control y movamos el contacto. En la figura 3.25(a), el contacto central no es parte de la configuración de la red. La resistencia entre el brazo de contacto y cualquier terminal exterior puede variarse desde un mínimo de 0 hasta un valor máximo igual al valor de clasificación del potenciómetro. En la figura 3.25(b) el brazo de contacto se ha situado a 1/4 parte de la distancia entre los puntos a y c. La resistencia resultante entre los puntos a y b será, por tanto, 1/4 del total, o 250 k (para un potenciómetro de 1 M ), y la resistencia entre b y c será 3/4 del total, o 750 k . La suma de las resistencias entre el brazo de contacto y cada terminal exterior es igual a la resistencia de clasificación del potenciómetro. Esto se demuestra en la figura 3.25(b), donde 250 k  750 k  1 M . Específicamente: Rac  Rab  Rbc

(3.11)

250 k 1 M a

a  1 M

b

b

 750 k

1 M 

c (a)

c (b)

FIGURA 3.25 Resistencia terminal de un potenciómetro: (a) entre terminales exteriores; (b) entre las tres terminales.

Contacto deslizable (brazo deslizable de contacto)

c a

b

(b) Vista interna Aislante Elemento de carbono

Aislante y estructura de soporte

c a

b

(c) Elemento de carbono

FIGURA 3.24 Potenciómetro tipo composición moldeado. (Cortesía de Allen-Bradley Co.)

R

78

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

Por tanto, cuando la resistencia desde el brazo de contacto hasta un contacto exterior aumenta, la resistencia entre el brazo de contacto y la otra terminal exterior debe disminuir correspondientemente. Por ejemplo, si la Rab de un potenciómetro de 1 k es de 200 , entonces la resistencia Rbc debe ser de 800 . Si la Rab es disminuida a 50 , entonces Rbc debe aumentar a 950 , y así sucesivamente. El potenciómetro moldeado de composición de carbono se aplica normalmente en redes con demandas de potencia pequeñas, y varía en tamaño desde 20 hasta 22 M (valores máximos). Otros potenciómetros disponibles comercialmente se muestran en la figura 3.26.

(a)

(b)

FIGURA 3.26 Potenciómetros: (a) Trimer de 4 mm ( 5/32) (cortesía de Bourns, Inc.); (b) elemento conductor de plástico y cermet (cortesía de Clarostat Mfg. Co.).

a

+

Vab b –

R

+

Vbc

c –

FIGURA 3.27 Control con potenciómetro de los niveles de voltaje.

12

34

5

FIGURA 3.28 Código de color de un resistor fijo moldeado de composición.

Cuando el dispositivo se usa como potenciómetro, las conexiones son similares a las que muestra la figura 3.27. Puede usarse asimismo para controlar el nivel de Vab, Vbc, o ambos, dependiendo de la aplicación. Un estudio adicional del potenciómetro en una situación de carga puede encontrarse en los capítulos subsiguientes.

3.8 CÓDIGO DE COLOR Y VALORES ESTÁNDAR DE RESISTORES Una amplia variedad de resistores, fijos o variables, es lo suficientemente grande como para llevar impresa en su cubierta o funda su resistencia en ohms. Sin embargo, algunos son tan pequeños que el espacio no admite la impresión de sus números de resistencia, por lo que se usa un sistema de código de color. En el resistor fijo moldeado de composición que se muestra en la figura 3.28, cuatro o cinco bandas de color están impresas en un extremo de la cubierta exterior; cada color representa el valor numérico indicado en la tabla 3.7. Las bandas de color son leídas siempre desde el extremo que tiene la banda más cercana a él, como se aprecia en la figura 3.28. Las bandas primera y segunda representan los dígitos primero y segundo, respectivamente. La tercera banda determina el multiplicador potencia de diez para los primeros dos dígitos (en realidad, el número de ceros que siguen al segundo dígito) o un factor de multiplicación si se trata de oro o plata. La cuarta banda es la tolerancia del fabricante, e indica la precisión con que fue fabricado el resistor; si esta banda es

R

3.8 CÓDIGO DE COLOR Y VALORES ESTÁNDAR DE RESISTORES

G

TABLA 3.7 Código de color para resistores. Bandas 1-3* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Banda 3

Banda 4

5% Oro 10% Plata 20% Sin banda

Negro 0.1 Oro Café 0.01 Plata Rojo Anaranjado Amarillo Verde Azul Víoleta Gris Blanco

factores multiplicativos

Banda 5 1% 0.1% 0.01% 0.001%

Café Rojo Anaranjado Amarillo

*Con la excepción de que el color negro no es válido para la primera banda.

omitida, la tolerancia se supone igual a 20%. La quinta banda es un factor de confiabilidad, el cual proporciona el porcentaje de falla por 1000 horas de uso. Por ejemplo, una falla de 1% revelaría que uno de cada 100 (o 10 de cada 1000) resistores fallará al caer dentro del intervalo de tolerancia después de 1000 horas de uso. EJEMPLO 3.13 Encuentre el intervalo en que debe situarse un resistor con las siguientes bandas de color para satisfacer la tolerancia del fabricante: a. 1a banda 2a banda 3a banda 4a banda 5a banda Gris 8

Rojo 2

Negro 0

Dorado 5%

Café 1%

b. 1a banda 2a banda 3a banda 4a banda 5a banda Anaranjado Blanco Dorado 3 9 0.1

Plateado Sin color 10%

Soluciones: a. 82   5% (1% de confiabilidad) Como 5% de 82  4.10, el resistor deberá estar dentro del intervalo de 82  4.10 , o entre 77.90 y 86.10 . b. 3.9   10%  3.9  0.39  El resistor deberá posicionarse en alguna parte entre 3.51 y 4.29 . Podría esperarse que los resistores estuviesen disponibles en un intervalo completo de valores como 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , etc. Sin embargo, este no es el caso con algunos valores comerciales típicos, por ejemplo, 27 , 56 y 68 ; lo cual puede parecer algo extraño y fuera de lugar. Hay una razón para los valores seleccionados, la cual se evidencia examinando la lista de valores estándar de los resistores comercialmente disponibles que aparecen en la tabla 3.8. Los valores en negritas están disponibles con tolerancias de 5, 10 y 20%, siendo así los más comunes de la variedad comercial están disponibles normalmente con tolerancias de 5 y 10%, y aquellos en escritura normal se encuentran sólo en la variedad del 5%. Al agrupar los valores disponibles por niveles de tolerancia se obtiene la tabla 3.9, donde se observa claramente que existen pocos resistores disponibles de hasta 100 W con tolerancias de 20%.

⏐⏐⏐

79

R

80

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

TABLA 3.8 Valores estándar de resistores disponibles comercialmente. Ohms () 0.10 0.11 0.12 0.13 0.15 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.27 0.30 0.33 0.36 0.39 0.43 0.47 0.51 0.56 0.62 0.68 0.75 0.82 0.91

1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

Kilohms (k) 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910

1000 1100 1200 1300 1500 1600 1800 2000 2200 2400 2700 3000 3300 3600 3900 4300 4700 5100 5600 6200 6800 7500 8200 9100

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

TABLA 3.9 Valores estándar y sus tolerancias.

Megohms (M)

100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910

1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

5%

10%

20%

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

10

10

10.0 11.0 12.0 13.0 15.0 16.0 18.0 20.0 22.0

12 15

15

18 22

22

27 33

33

39 47

47

56 68

68

82

Un examen del impacto del nivel de tolerancia ayudará a explicar la selección de números para los valores comerciales. Considere la secuencia 47 68 100 , que están todos disponibles con tolerancias de 20%. En la figura 3.29(a), la banda de tolerancia para cada uno ha sido determinada y trazada sobre un solo eje. Observe que, con esta tolerancia (que es toda la que el fabricante garantizará), el intervalo completo de valores de resistores está disponible des47  ± 20%

100  ± 20%

37.6 

56.4 

80 

47 

120 

68 

100 

68  ± 20%

54.4 

81.6  (a)

56  ± 10% 47  ± 10%

50.4  42.3 

61.6 

100  ± 10%

51.7  47 

110 

90  56 

68  61.2 

68  ± 20%

82 

100 

74.8  73.8  82  ± 10% (b)

90.2 

FIGURA 3.29 Garantía de cobertura del intervalo completo de valores de resistores para la tolerancia dada: (a) 20%; (b) 10%.

R

3.9 CONDUCTANCIA

G

⏐⏐⏐

81

de 37.6 hasta 120 . En otras palabras, el fabricante está garantizando el intervalo completo, usando las tolerancias para llenar los huecos. Bajando al nivel de 10% se introducen los resistores de 56 y 82 para llenar los huecos, como se muestra en la figura 3.29(b). Bajando al nivel de 5% se requerirían valores adicionales de resistores para llenar los huecos. Por tanto, los valores de los resistores fueron seleccionados para garantizar que el intervalo completo quedase cubierto, determinado por las tolerancias empleadas. Por supuesto, si se desea un valor específico pero no es uno de los valores estándar, las combinaciones de valores estándar darán a menudo una resistencia total muy cercana al nivel deseado. Si aún así este enfoque no es satisfactorio, puede fijarse un potenciómetro al valor exacto y luego ser insertado en la red. A lo largo del texto se encontrará que muchos de los valores de los resistores no son estándar. Esto se hizo para reducir la complejidad matemática, que podría oscurecer la técnica de análisis o el procedimiento a ser introducidos. Sin embargo, en las secciones de problemas, a menudo se emplean valores estándar para que el lector empiece a familiarizarse con los valores comerciales disponibles.

3.9 CONDUCTANCIA Al encontrar el recíproco de la resistencia de un material se tendrá una medida de qué tan bien conducirá éste la electricidad. La cantidad se llama conductancia, tiene el símbolo G, y se mide en siemens (S) (observe la figura 3.30). En forma de ecuación, la conductancia es: 1 G  R

(siemens, S)

(3.12)

Una resistencia de 1 M es equivalente a una conductancia de 10 6 S, y una resistencia de 10 es equivalente a una conductancia de 10–1 S. Por tanto, entre mayor es la conductancia, menor es la resistencia y mayor la conductividad. En forma de ecuación, la conductancia está determinada por: A G  rl

(S)

(3.13)

indicando que al aumentar el área o disminuir la longitud o la resistividad aumentará la conductancia.

EJEMPLO 3.14 ¿Cuál es la disminución o el incremento relativos en la conductividad de un conductor si el área se reduce 30% y la longitud se incrementa 40%? La resistividad es fija. Solución: Ecuación (3.11): Ai Gi  ri li con el subíndice i para el valor inicial. Usando el subíndice n para el nuevo valor: 0.70 An 0.70Ai 0.70 Ai Gn     1.4 ri li 1.4Gi rn l n ri (1.4 l i ) y

Gn  0.5Gi

Alemán (Lenthe, Berlín) (1816-1892) Ingeniero eléctrico Fabricante de telégrafos, Siemens & Halske AG

Archivos Bettman Fotografía núm 33,619

Desarrolló un proceso de galvanoplastia durante un breve periodo que pasó en prisión por actuar como ayudante en un duelo entre compañeros oficiales del ejército prusiano. Inspirado por el telégrafo electrónico inventado por Sir Charles Wheatstone en 1817, mejoró el diseño y procedió a tender cable, con ayuda de su hermano Carl, a través del Mediterráneo y de Europa hasta la India. Sus invenciones incluyen el primer generador autoexcitado, el cual depende del magnetismo residual de su electroimán en vez de depender de un imán permanentemente ineficiente. En 1888 fue elevado a la nobleza con la adición de von a su nombre. La empresa Siemens AG tiene fábricas en 35 países con oficinas de ventas en 125.

FIGURA 3.30 Werner von Siemens.

R

82

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

3.10 OHMÍMETROS El ohmímetro es un instrumento que se utiliza para efectuar las siguientes tareas y cumplir otras útiles funciones: 1. Mide la resistencia de elementos individuales o combinados. 2. Detecta situaciones de circuito abierto (alta resistencia) y corto circuito (baja resistencia). 3. Revisa la continuidad de las conexiones en redes e identifica los alambres de un cable multiconductor. 4. Prueba algunos dispositivos semiconductores (electrónicos).



FIGURA 3.31 Medición de la resistencia de un solo elemento.



FIGURA 3.32 Verificación de la continuidad de una conexión.

En la mayoría de las aplicaciones, los ohmímetros más frecuentemente usados son la sección de ohmímetro de un VOM o un DMM. Los detalles de los circuitos internos y el método de uso del medidor se dejarán para un ejercicio de laboratorio. Sin embargo, en general, la resistencia de un resistor puede medirse conectando simplemente los dos conductores del medidor a través del resistor, como se muestra en la figura 3.31. No hay necesidad de preocuparse acerca de cuál conductor debe llegar a qué extremo; el resultado será el mismo en cualquier caso ya que los resistores ofrecen igual resistencia al flujo de carga (corriente) en cualquier dirección. Si se emplea el VOM, debe fijarse un interruptor al intervalo apropiado de resistencia, y una escala no lineal (usualmente la escala superior del medidor) debe leerse apropiadamente para obtener el valor de la resistencia. El DMM también requiere que se escoja la mejor escala para la resistencia a ser medida, pero el resultado aparece como un despliegue numérico, con la posición apropiada del punto decimal determinada por la escala escogida. Al medir la resistencia de un solo resistor, usualmente es mejor retirar el resistor de la red antes de efectuar la medición. Si esto es difícil o imposible, por lo menos un extremo del resistor no debe estar conectado a la red, o el resultado puede incluir los efectos de los otros elementos del sistema. Si los dos conductores del medidor se están tocando en el modo de ohmímetro, la resistencia resultante es cero. Una conexión se puede revisar como se muestra en la figura 3.32 enganchando simplemente el medidor a cualquier lado de la conexión. Si la resistencia es cero, la conexión es segura; si es diferente de cero, la conexión será débil, y si es infinita, no habrá conexión en absoluto. Si se conoce un alambre de un arnés, puede encontrarse un segundo alambre como se muestra en la figura 3.33. Simplemente conecte el extremo del conductor conocido al extremo de cualquier otro conductor. Cuando el ohmímetro indique cero ohms (o muy poca resistencia), el segundo conductor habrá sido identificado. El procedimiento anterior se puede usar también para determinar el primer conductor conocido conectando simplemente el medidor a cualquier alambre en un extremo y tocando luego todos los conductores en el otro extremo hasta obtener una indicación de cero ohms.



FIGURA 3.33 Identificación de los conductores de un cable multiconductor.

R

3.11 TERMISTORES

G

⏐⏐⏐

83

Las mediciones preliminares de la condición de algunos dispositivos electrónicos como el diodo y el transitor pueden hacerse usando el ohmímetro. El medidor también se puede usar para identificar las terminales de tales dispositivos. Una observación importante acerca del uso de cualquier ohmímetro es: ¡Nunca conecte un ohmímetro a un circuito vivo! La lectura no tendrá sentido y puede dañarse el instrumento. La sección del ohmímetro de cualquier medidor está diseñado para pasar una pequeña corriente sensora a través de la resistencia a medir. Una corriente grande externa podría dañar el movimiento y ciertamente descalibraría el instrumento. Además, nunca almacene un VOM o un DMM en el modo de resistencia. Los dos conductores del medidor podrían tocarse y la pequeña corriente sensora podría descargar la batería interna. Los VOM se deben almacenar con el interruptor selector en el intervalo de voltaje más alto, y el interruptor selector de los DMM debe estar en la posición de apagado (off).

3.11 TERMISTORES El termistor es un dispositivo semiconductor de dos terminales cuya resistencia, como su nombre sugiere, es sensible a la temperatura. Una característica representativa de ello se muestra en la figura 3.34 con el símbolo gráfico utilizado para identificar este dispositivo. Observe la no linealidad de la curva y la caída en la resistencia desde aproximadamente 5000 hasta 100 para un incremento en la temperatura de 20°C hasta 100°C. La disminución en la resistencia con un aumento de la temperatura indica un coeficiente térmico negativo. La temperatura del dispositivo puede cambiarse interna o externamente. Un aumento de la corriente en el dispositivo elevará su temperatura, ocasionando una caída en su resistencia terminal. Cualquier fuente de calor aplicada externamente resultará en un incremento de su temperatura y una caída de su resistencia. Este tipo de acción (interna o externa) se presta bien para los mecanismos de control. En la figura 3.35 se muestran muchos tipos diferentes

FIGURA 3.35 Termistores con coeficiente térmico negativo (NTC) y con coeficiente térmico positivo (PTC). (Cortesía de Siemens Components, Inc.)

FIGURA 3.34 Termistor: (a) características; (b) símbolo.

R ⏐⏐⏐

RESISTENCIA

Resistencia de la celda

84

G

R 100 k 10 k 1 k 0.1 k 0.1 1.0

10 100 1000 ó pre-candelas) (a)

de termistores. Los materiales empleados en la fabricación de termistores incluyen óxidos de cobalto, níquel, estroncio y manganeso. Observe el uso de una escala logarítmica (que se analizará en el capítulo 23) en la figura 3.34 para el eje vertical. La escala logarítmica permite desplegar un intervalo más amplio de niveles específicos de resistencia que una escala lineal como la del eje horizontal. Advierta que la escala se extiende desde 0.0001 · cm hasta 100,000,000 · cm sobre un intervalo muy corto. La escala logarítmica se usa para los ejes vertical y horizontal de la figura 3.36.

3.12 CELDA FOTOCONDUCTORA (b)

FIGURA 3.36 Celda fotoconductora: (a) características; (b) símbolo.

La celda fotoconductora es un dispositivo semiconductor de dos terminales cuya resistencia terminal está determinada por la intensidad de la luz incidente sobre su superficie expuesta. Conforme la iluminación aplicada aumenta en intensidad, el estado de energía de los electrones y átomos superficiales también aumenta, con lo cual el número de “portadores libres” se eleva y se produce la correspondiente caída en la resistencia. Un conjunto típico de características y el símbolo gráfico de la celda fotoconductora se muestran en la figura 3.36. Observe el coeficiente negativo de iluminación. En la figura 3.37 pueden apreciarse varias celdas fotoconductoras de sulfuro de cadmio.

3.13 VARISTORES

FIGURA 3.37 Celdas fotoconductoras. (Cortesía de EG&G VACTEC, Inc.)

Los varistores son resistores no lineales, dependientes del voltaje, usados para suprimir transitorios de alto voltaje; esto es, sus características son tales que les permiten limitar el voltaje que puede aparecer en las terminales de un dispositivo o sistema sensible. Un conjunto típico de las características de un varistor se muestra en la figura 3.38(a), junto con una característica de resistencia lineal para fines de comparación. Observe que a un particular “voltaje de encendido”, la corriente se eleva rápidamente pero el voltaje queda limitado a un nivel justo por arriba de este potencial de encendido. En otras palabras, la magnitud del voltaje que puede aparecer en este dispositivo no puede exceder al nivel definido mediante sus características. Por medio de técnicas apropiadas de diseño, este dispositivo puede entonces limitar el voltaje que aparece en las regiones sensibles de una red. La corriente está simplemente limitada por la red a la que está conectada. En la figura 3.38(b) se muestra una fotografía de varias unidades comerciales.

FIGURA 3.38 Varistores disponibles con clasificaciones máximas de voltaje entre 18 V y 615 V. (Cortesía de Philips Components, Inc.)

R G

3.14 APLICACIONES Los siguientes son ejemplos de cómo puede usarse la resistencia para efectuar diversas tareas, desde el calentamiento hasta la medición del esfuerzo o la deformación en un elemento de una estructura. En general, la resistencia es una componente de toda aplicación eléctrica o electrónica.

Calefactor eléctrico Una de las aplicaciones más comunes de la resistencia es en dispositivos domésticos como tostadores y calefactores eléctricos, donde el calor generado por la corriente que pasa por un elemento resistivo se emplea para efectuar una función útil. Recientemente, al remodelar nuestra casa, un electricista nos informó que estábamos limitados a 16 pies de calefactor eléctrico sobre un solo circuito. Eso naturalmente me preocupó acerca de la potencia por pie, el nivel de corriente resultante, y si la limitación de 16 pies era un estándar nacional. Leyendo la etiqueta sobre la sección de 2 pies que aparece en la figura 3.39(a), encontré VOLTS CA 240/208, WATTS 750/575 [la clasificación por potencia se describirá en el capítulo 4] AMPERE 3.2/2.8. Dado que mi panel calefactor está clasificado en 208 V (como en la mayoría de las casas residenciales), la clasificación de la potencia por pie es de 575 W/2 o 287.5 W a una corriente de 2.8 A. La potencia total para los 16 pies es, por tanto, 16  287.5 W o 4600 W. En el capítulo 4 se encontrará que la potencia en una carga resistiva está relacionada a la corriente y al voltaje aplicado por la ecuación P  VI. La corriente resultante total puede entonces determinarse usando esta ecuación de la siguiente manera: I  P/V  4600 W/208 V  22.12 A. El resultado fue que necesitábamos un cortacircuito mayor que 22.12 A; de otra manera, el cortacircuito se desconectaría cada vez que encendiéramos el calentador. En mi caso, el electricista usó un cortacircuito de 30 A para satisfacer el requisito del Código Nacional sobre Incendios que no permite exceder 80% de la corriente clasificada para un conductor o cortacircuito. En la mayoría de los paneles, un cortacircuito de 30 A toma dos ranuras de su panel, mientras que el cortacircuito más común de 20 A toma sólo una ranura. Si tiene tiempo, fíjese en su propio panel y observe la clasificación de los cortacircuitos usados para los varios circuitos de su casa. Volviendo a la tabla 3.2, encontramos que el alambre del número 12, usado comúnmente para la mayoría de los circuitos caseros, tiene una clasificación máxima de 20 A y no sería adecuado para el calefactor eléctrico. Como el calibre 11 por lo general no está disponible comercialmente, se usó un alambre del número 10 con una clasificación máxima de 30 A. Usted podría preguntarse por qué la corriente extraída del suministro es de 22.12 A mientras que la requerida para una unidad fue sólo de 2.8 A. Esta diferencia se debe a la combinación en paralelo de secciones de los elementos calefactores, una configuración que será descrita en el capítulo 6. Ahora está claro por qué se especifica una limitación de 16 pies sobre un solo circuito. Elementos adicionales elevarían la corriente a un nivel que excedería el del Código para el alambre calibre 10 y se acercaría a la clasificación máxima del cortacircuito. La figura 3.39(b) muestra una fotografía de la construcción interior del elemento calefactor. El alambre rojo de alimentación situado a la derecha está conectado al núcleo del elemento calefactor, y el alambre negro en el otro extremo pasa por un elemento calefactor protector y regresa a la caja terminal de la unidad (el lugar donde los alambres exteriores se juntan y conectan). Si se observa cuidadosamente el extremo de la unidad de calefacción que se muestra en la figura 3.39(c), se encontrará que el alambre calefactor que corre

3.14 APLICACIONES

⏐⏐⏐

85

R

86

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

(a)

Alambre de "retorno" Elemento protector térmico

Alambre "alimentador" Tubo de cobre lleno de aceite

(b)

Aletas de calentamiento

Camisa metálica para aletas de transferencia de calor

Alambre alimentador Camisa metálica

Conexión especial

Núcleo de cromoníquel (c)

Aislante de cerámica

Bobina de cromoníquel

Aislante (d)

FIGURA 3.39 Calefactor eléctrico: (a) sección de 2 pies; (b) interior; (c) elemento calefactor; (d) bobina de cromoníquel.

a través del núcleo del calentador no está conectado directamente a la camisa redonda que sostiene las aletas en su lugar. Un material cerámico (aislante) separa el alambre calefactor desde las aletas para eliminar cualquier posibilidad de conducción entre la corriente que pasa por el elemento desnudo de calentamiento y la estructura exterior de la aleta. Los materiales de cerámica se usan porque son excelentes conductores del calor y porque tienen una alta capacidad de retención del calor, por lo que el área a su alrededor permanecerá caliente por determinado tiempo aun después de que la corriente haya sido suspendida. Como se muestra en la figura 3.39(d), el alambre de calentamiento que corre a

R

3.14 APLICACIONES

G

través de la camisa metálica es normalmente un compuesto de cromoníquel (porque el cromoníquel puro es muy frágil) enrrollado en forma de bobina para compensar la expansión y contracción por el calor, y para permitir un elemento más largo de calentamiento en un calefactor de longitud estándar. Por curiosidad, se abrió el núcleo del calefactor y se encontró que el alambre de cromoníquel de 2 pies tenía realmente 7 pies de longitud, o una razón de 3.5: 1 radio. Lo delgado del alambre fue particularmente notable, midió aproximadamente 8 mils de diámetro, no mucho más grueso que un cabello. Recuerde de este capítulo que entre más largo sea el conductor y más delgado el alambre, mayor será la resistencia. Se tomó una sección del alambre de cromoníquel para tratar de calentarlo con un nivel razonable de corriente y, al aplicarlo a un secador de pelo, el cambio en resistencia apenas se notó. En otras palabras, todos los esfuerzos por aumentar la resistencia con los elementos básicos disponibles en el laboratorio resultaron infructuosos. Esto fue una excelente demostración del significado del coeficiente térmico de resistencia dado en la tabla 3.6. Como el coeficiente es tan pequeño para el cromoníquel, la resistencia no cambia en forma medible a menos que el cambio en temperatura sea verdaderamente considerable. La curva de la figura 3.14 es, por tanto, cercana a la horizontal para el cromoníquel. Para calefactores esto es una característica excelente porque el calor desarrollado, y la potencia disipada, no variará con el tiempo conforme el conductor se caliente. El flujo de calor desde la unidad permanecerá bastante constante. La alimentación y el retorno no pueden ser soldados al alambre calefactor de cromoníquel por dos razones. Primero, no se pueden soldar alambres de cromoníquel entre si o a otros tipos de alambre. Segundo, si se pudiera, se tendría un problema ya que el calor de la unidad se elevaría sobre los 880°F en el punto donde los alambres estuvieran conectados, la soldadura se derretiría y la conexión se rompería. Con el cromoníquel se debe utilizar soldadura de punto o soldadura en frío (crimp) con los alambres de cobre de la unidad. Usando la ecuación (3.1) y el diámetro medido de 8 mils, y suponiendo de momento cromoníquel puro, la resistencia de la longitud de 7 pies es de: rl R  A (600) (7) 4200  2  (8 mils) 64 R  65.6  En el próximo capítulo presentaremos en detalle una ecuación de potencia que relaciona potencia, corriente y resistencia de la siguiente manera: P  I 2R. Usando los datos anteriores y despejando la resistencia obtenemos: P R  2 I 575 W  2 (2.8 A) R  73.34  que es muy cercano al valor calculado líneas arriba a partir de la forma geométrica ya que no podemos estar absolutamente seguros acerca del valor de la resistividad del compuesto. Durante una operación normal el alambre se calienta y pasa el calor a las aletas, que a su vez calientan la habitación por medio del aire que fluye por ellas. El flujo de aire a través de la unidad es aumentado por el hecho de que el aire caliente se eleva, y cuando el aire caliente deja la parte superior de la unidad, se extrae aire frío del fondo contribuyendo así al efecto de convección. Si se cierra la parte superior o inferior de la unidad se elimina efectivamente el efecto de convección, y la habitación no se calienta. Puede ocurrir una condición

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87

R

88

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

en la cual el interior del calentador se vuelva muy caliente, ocasionando que la cubierta metálica también se caliente demasiado. Ésta es la razón principal por la que se introduce el elemento térmico protector que se muestra en la figura 3.39(b). El largo y delgado tubo de cobre que aparece en la figura 3.39 se llena con un fluido tipo aceite que se dilata al calentarse. Si está demasiado caliente, se dilatará, accionará un interruptor en el bastidor, y apagará el calentador cortando la corriente al alambre calefactor.

Control de la luz en un automóvil Un reóstato de dos puntos es el elemento principal en el control de la intensidad de la luz en el tablero y los accesorios de un automóvil. La red básica se aprecia en la figura 3.40 con niveles típicos de voltaje y corriente. Cuando el interruptor de la luz está cerrado (usualmente jalando la perilla de control de la luz en el tablero), se establece una corriente a través del reóstato de 50 y luego en las distintas luces del tablero. Cuando se gira la perilla del interruptor de control, se controla la cantidad de resistencia entre los puntos a y b del reóstato. Entre más resistencia se tenga entre los puntos a y b, menor será la corriente y menor el brillo de las luces. Observe el interruptor adicional en la luz de la guantera que es activado al abrir la puerta de este compartimiento. Aparte de la luz de la guantera, todas las luces detalladas en la figura 3.40 se encenderán al mismo tiempo cuando el interruptor de luz sea activado. La primera rama después del reóstato contiene dos focos de 6 V en vez de los focos de 12 V que se tienen en las otras ramas. Los focos más pequeños de esta rama producirán una luz más tenue y más uniforme para áreas específicas del tablero. Observe que la suma de los focos (en serie) es de 12 V para concordar con la de las otras ramas. La división del voltaje en cualquier red se verá con todo detalle en los capítulos 5 y 6. Los niveles normales de corriente para las distintas ramas han sido proporcionados también en la figura 3.40. Veremos en el capítulo 6 que la extracción de corriente de la batería y a través del fusible y el reóstato es aproximadamente igual a la suma de las corrientes en las ramas de la red. El resultado es que el fusible debe ser capaz de manejar corrientes en ampere, por lo que fue empleado un fusible de 15 ampere (aun cuando los focos que aparecen en la figura 3.40 son de 12 V para equiparar la batería). Siempre que el voltaje de operación y los niveles de corriente de un componente se conocen, la resistencia interna efectiva de la unidad puede ser determinada usando la ley de Ohm, que será presentada con todo detalle en el

Interruptor del panel 1 APAGADO

B+

2

15 A

a

50 , 1 W

3 Interruptor múltiple

b 1 APAGADO 2 30 A 3 Luces delanteras, etcétera

Luz del estacionamiento, luces laterales, luz de placa de circulación, etcétera

Luces Luz del Luz del + del panel cenicero + radio 6V 6V + – – 12 V 500 mA + 300 mA – + 300 mA + 12 V 300 mA 6V 6V – Luz de la – – guantera

FIGURA 3.40 Control de la iluminación en el tablero de un automóvil.

R

3.14 APLICACIONES

G

siguiente capítulo. Básicamente, esta ley relaciona el voltaje, la corriente y la resistencia por medio de I  V/R. Para el foco de 12 V a una corriente clasificada de 300 mA, la resistencia es R  V/I  12 V/300 mA  40 . Para los focos de 6 V es de 6 V/300 mA  80 . Comentarios adicionales relativos a los niveles de potencia y resistencia se reservan para los capítulos subsiguientes. La descripción precedente supuso un nivel ideal de 12 V para la batería. En realidad, se usan focos de 6.3 V y 14 V para equiparar el nivel de carga en la mayoría de los automóviles.

Extensómetros Cualquier cambio en la forma de una estructura se puede detectar usando extensómetros cuya resistencia cambiará con las flexiones o esfuerzos aplicados. Un ejemplo de extensómetro se muestra en la figura 3.41. Los extensómetros son dispositivos semiconductores cuya resistencia terminal cambiará de manera no lineal a través de un amplio intervalo de valores al ser sometidos a esfuerzos de compresión o extensión. Como el extensómetro emite una señal, un procesador de señales también debe ser parte del sistema para trasladar el cambio en resistencia a una salida significativa. Un ejemplo sencillo del uso de extensómetros resistivos es el monitoreo de la actividad sísmica. Cuando el extensómetro se coloca a través de un área sospechosa de actividad sísmica, la más ligera separación en la Tierra cambiará la resistencia terminal, y el procesador mostrará un resultado sensible a la cantidad de la separación. Otro ejemplo es un sistema de alarma donde el más ligero cambio en la forma de una viga de soporte, cuando alguien camina por encima, resultará en un cambio de la resistencia terminal, y sonará una alarma. Otros ejemplos incluyen colocar extensómetros sobre puentes para mantener control de su rigidez y sobre generadores muy grandes para verificar si varios componentes móviles comienzan a separarse debido al desgaste de las chumaceras o los espaciadores. El pequeño ratón de control dentro del teclado de una computadora portátil puede estar constituido por una serie de extensómetros de esfuerzo que revelan la dirección del esfuerzo aplicado al elemento de control situado en el teclado. El

Modelo SGN _ 4/12 Resistencia terminal de 12 9 Longitud total: 5.5mm ( 0.22 pulg

Instalación típica 30 AWG o conductores de cinta

Alambre de instrumentación 20-26 AWG

Atenuador terminal para revelados de esfuerzos y unión para alambre de diferente calibre

FIGURA 3.41 Extensómetro resistivo. (© Copyright Omega Engineering, Inc. Todos los derechos reservados. Reproducido con permiso de Omega Engineering, Inc., Stamford, CT 06907.)

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89

R

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RESISTENCIA

G

movimiento en una dirección puede alargar o comprimir un extensómetro de resistencia que a su vez permite monitorear y controlar el movimiento del ratón sobre la pantalla.

3.15 MATHCAD A lo largo del texto, se usará el paquete de software matemático llamado Mathcad para introducir toda la variedad de operaciones que es posible efectuar con esta avanzada herramienta de cómputo. No hay necesidad de obtener una copia del paquete de software para continuar con el material cubierto en este texto. La cobertura está a un nivel muy introductorio para presentar simplemente el alcance y poder del paquete. Todos los ejercicios que aparecen al final de cada capítulo pueden ser resueltos sin Mathcad. Una vez instalado el paquete, todas las operaciones comienzan con la pantalla básica que muestra la figura 3.42. Las operaciones deben ser efectuadas en la secuencia que aparece en la figura 3.43, esto es, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Por ejemplo, si una ecuación ubicada en la segunda línea va a operar sobre una variable específica, la variable debe estar definida a la izquierda o arriba de la ecuación.

FIGURA 3.42 Uso de Mathcad para efectuar una operación matemática básica.

Para efectuar cualquier cálculo matemático, simplemente haga clic sobre la pantalla en cualquier punto conveniente para colocar un cursor sobre la pantalla (la localidad de la primera entrada). Luego, mecanografíe la operación matemática tal como 20  2  8/6 como se muestra en la figura 3.42; al instante en que se selecciona el signo de igual, el resultado, 17.333, aparecerá como se muestra en la figura 3.42. La multiplicación se obtiene usando el asterisco (*), que en la mayoría de los teclados aparece arriba de la tecla del número 8

R

3.15 MATHCAD

G

(debajo de la tecla SHIFT CONTROL). La división se establece con la tecla / que en la mayoría de los teclados se ubica al fondo y a la derecha. El signo de igual se puede seleccionar en la esquina superior derecha del teclado. Otra posibilidad es aplicar la secuencia View-Toolbars-Calculator para obtener el dispositivo Calculator de la figura 3.42. Use entonces esta calculadora para introducir la expresión entera y obtener el resultado oprimiendo el botón izquierdo del ratón. Como un ejemplo en el cual deben definirse variables, será determinada la resistencia de un tramo de alambre de cobre de 200 pies de largo y diámetro de 0.01 pulg. Primero, como se muestra en la figura 3.44, deben ser definidas las variables de resistividad, longitud y diámetro. Esto se logra llamando primero la paleta Greek por medio de View-Toolbars-Greek y seleccionando la letra griega rho () seguida por una operación combinada Mayúsculas-dos puntos (Shift:). Aparecerán dos puntos y un signo de igual, después de lo cual se introduce 10.37. Para todos los cálculos que siguen, el valor de  ha quedado definido. Oprimiendo el botón izquierdo del ratón sobre la pantalla retirará entonces el cerco rectangular y colocará la variable y su valor en la memoria. Proceda de la misma manera para definir la longitud l y el diámetro d. A continuación, se define el diámetro en milímetros multiplicando el diámetro en pulgadas por 1000, y el área se establece por el diámetro en milímetros cuadrados. Observe que m tuvo que ser definida a la izquierda de la expresión para el área, y la variable d fue definida en la línea superior. La potencia de 2 fue obtenida seleccionando primero el símbolo de superíndice (^)e introduciendo luego el número 2 en el corchete Mathcad. O simplemente se mecanografía la letra m y se selecciona x2 en la paleta Calculator. De hecho, todas las operaciones de multiplicación, división, etc., requeridas para determinar la resistencia R pueden ser levantadas de la paleta Calculator.

⏐⏐⏐

FIGURA 3.43 Definición del orden de operaciones matemáticas en Mathcad.

FIGURA 3.44 Uso de Mathcad para calcular la resistencia de un conductor de cobre.

91

R

92

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

G

En la figura 3.44, los valores de m y A fueron calculados mecanografiando m y en seguida el signo de igual del teclado. Finalmente, la ecuación para la resistencia R se define en términos de las variables y se obtiene el resultado. El verdadero valor de desarrollar la secuencia descrita reside en que puede colocarse el programa en la memoria y, cuando surja la necesidad, llamarlo, cambiar una variable o dos, y el resultado aparecerá inmediatamente. No es necesario reintroducir todas las definiciones, sino sólo cambiar el valor numérico. En los capítulos subsiguientes, Mathcad aparecerá en cada oportunidad con el propósito de demostrar su capacidad para efectuar cálculos de manera rápida y efectiva. Probablemente el lector querrá aprender más acerca de esta posibilidad que ahorra tiempo y verifica la precisión.

PROBLEMAS

Plata: l = 1 pie, d = 1 mil Cobre: l = 10 pies, d = 10 mils

SECCIÓN 3.2 Resistencia: alambres circulares 1. Convierta lo siguiente a mils: a. 0.5 pulg b. 0.01 pulg c. 0.004 pulg d. 1 pulg e. 0.02 pies f. 0.01 cm 2. Calcule el área, en mils circulares (CM), de alambres con los siguientes diámetros: a. 0.050 pulg b. 0.016 pulg c. 0.30 pulg d. 0.1 cm e. 0.003 pies f. 0.0042 m 3. El área en mils circulares es: a. 1600 CM b. 900 CM c. 40,000 CM d. 625 CM e. 7.75 CM f. 81 CM ¿Cuál es el diámetro de cada alambre en pulgadas? 4. ¿Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 200 pies de longitud y 0.01 pulg de diámetro (T  20°C)? 5. Encuentre la resistencia de un alambre de plata de 50 yardas de longitud y 0.0045 pulg de diámetro (T  20°C). 6. a. ¿Cuál es el área en mils circulares de un conductor de aluminio de 80 pies de longitud y resistencia de 2.5 ? b. ¿Cuál es su diámetro en pulgadas?

FIGURA 3.45 Problema 9. 10. Un alambre de 1000 pies de longitud tiene una resistencia de 0.5 k y área de 94 CM. ¿De qué material está hecho este alambre (T  20°C)? *11. a. ¿Cuál es la resistencia de una placa de cobre con las dimensiones mostradas (T  20°C) en la figura 3.46? b. Resuelva (a) para aluminio y compare los resultados. c. Sin calcular la solución numérica, determine si la resistencia de la placa (aluminio o cobre) aumentará o disminuirá con un incremento de longitud. Explique su respuesta. d. Resuelva (c) para un incremento del área transversal.

7. Un resistor de 2.2 va a ser fabricado con alambre de cromoníquel. Si el alambre disponible mide 1/32 pulg de diámetro, ¿cuánto se requiere para el resistor? 8. a. ¿Cuál es el área en mils circulares de un alambre de cobre que tiene una resistencia de 2.5 y 300 pies de longitud (T  20°C)? b. Sin calcular la solución numérica, determine si el área de un alambre de aluminio será menor o mayor que la de un alambre de cobre. Explique su respuesta. c. Resuelva (b) para un alambre de plata. 9. En la figura 3.45 se muestran tres conductores de distintos materiales. a. Sin calcular la solución numérica, determine qué sección tiene la mayor resistencia. Explique su respuesta. b. Encuentre la resistencia de cada sección y compárela con el resultado de (a) (T  20°C).

1/2

pulg es

4 pi 3p

ulg

FIGURA 3.46 Problema 11. 12. Determine el incremento en resistencia de un conductor de cobre si el área se reduce por un factor de 4 y la longitud se duplica. La resistencia original era de 0.2 . La temperatura permanece constante.

R

PROBLEMAS

G

*13. ¿Cuál es el nuevo nivel de resistencia de un alambre de cobre si la longitud cambia de 200 pies a 100 yardas, el área cambia de 40,000 CM a 0.04 pulg2, y la resistencia original era de 800 m ? SECCIÓN 3.3

93

b. La resolución de  para el mismo alambre de la figura 3.48 en ⋅ cm, haciendo las conversiones necesarias. c. Use la ecuación 2  k1 para determinar el factor de conversión k si 1 es la solución a la parte (a) y 2 es la solución a la parte (b).

Tabla de calibres de alambre

14. a. Utilice la tabla 3.2 y encuentre la resistencia de 450 pies de alambre AWG calibres 11 y 14. b. Compare las resistencias de los dos tipos de alambre. c. Compare las áreas de ambos alambres. 15. a. Utilice la tabla 3.2 para encontrar la resistencia de 1800 pies de alambre AWG calibres 8 y 18. b. Compare las resistencias de los dos tipos de alambre. c. Compare las áreas de los dos tipos de alambre. 16. a. Para el sistema de la figura 3.47, la resistencia de cada línea no puede exceder de 0.006 , y la corriente máxima extraída por la carga es de 110 A. ¿Qué calibre de alambre debe usarse? b. Resuelva (a) para una resistencia máxima de 0.003 , d = 30 pies, y una corriente máxima de 110 A. d = 30 pies

E

Carga

Alambre redondo de cobre sólido

FIGURA 3.47 Problema 16. *17. a. A partir de la tabla 3.2, determine la densidad de corriente máxima permisible (A/CM) para un alambre AWG calibre 0000. b. Convierta el resultado de (a) a A/pulg2. c. Utilice el resultado de (b) y determine el área transversal requerida para llevar una corriente de 5000 A. SECCIÓN 3.4

⏐⏐⏐

Resistencia: unidades métricas

18. Utilice unidades métricas para determinar la longitud de un alambre de cobre que tiene una resistencia de 0.2 y diámetro de 1/10 pulg. 19. Resuelva el problema 11 usando unidades métricas; esto es, convierta las dimensiones dadas a unidades métricas antes de determinar la resistencia. 20. Si la resistencia laminar de una muestra de óxido de estaño es de 100 , ¿cuál es el espesor de la capa de óxido? 21. Determine el ancho de un resistor de carbono que tiene resistencia laminar de 150 , longitud de 1/2 pulg y resistencia de 500 . *22. Obtenga el factor de conversión entre  (CM⋅ /pie) y  ( · cm) mediante: a. La resolución de  para el alambre de la figura 3.48 en CM⋅ /pie.

1000 pies

1 pulg

R = 1 m

FIGURA 3.48 Problema 22. SECCIÓN 3.5

Efectos de temperatura

23. La resistencia de un alambre de cobre es de 2 a 10°C. ¿Cuál es su resistencia a 60°C? 24. La resistencia de una placa de aluminio es de 0.02 a 0°C. ¿Cuál es su resistencia a 100°C? 25. La resistencia de un alambre de cobre es de 4 a 70°F. ¿Cuál es su resistencia a 32°F? 26. La resistencia de un alambre de cobre es de 0.76 a 30°C. ¿Cuál es su resistencia a 40°C? 27. Si la resistencia de un alambre de plata es de 0.04 a

30°C, ¿cuál será su resistencia a 0°C? *28. a. La resistencia de un alambre de cobre es de 0.002 a temperatura ambiente (68°F). ¿Cuál es su resistencia a 32°F (congelamiento) y a 212°F (ebullición)? b. Para (a), determine el cambio en resistencia por cada cambio de 10° en temperatura entre la temperatura ambiente y 212°F. 29. a. La resistencia de un alambre de cobre es de 0.92 a 4°C; ¿a qué temperatura (°C) será de 1.06 ? b. ¿A qué temperatura estará en 0.15 ? *30. a. Si la resistencia de un alambre de cobre de 1000 pies de longitud es de 10 a temperatura ambiente (20°C), ¿cuál será su resistencia a 50 K (grados Kelvin) usando la ecuación (3.6)? b. Resuelva la parte (a) para una temperatura de 38.65 K. Comente los resultados obtenidos mediante el análisis de la curva presentada en la figura 3.14. c. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en unidades Fahrenheit? 31. a. Verifique el valor de a20 para el cobre en la tabla 3.6 sustituyendo la temperatura absoluta inferida en la ecuación (3.7). b. Utilice la ecuación (3.8) y encuentre la temperatura a la que la resistencia de un conductor de cobre aumentará a 1 desde un nivel de 0.8 a 20°C. 32. Utilice la ecuación (3.8) para encontrar la resistencia de un alambre de cobre a 16°C si su resistencia a 20°C es de 0.4 . *33. Determine la resistencia de una bobina de 1000 pies de alambre de cobre calibre 12 situada en el desierto a una temperatura de 115°F. 34. Un resistor de 22 de alambre embobinado está clasificado a 200 PPM para un intervalo de temperatura de —10°C a 75°C. Determine su resistencia a 65°C.

R

94

⏐⏐⏐

RESISTENCIA

35. Determine la clasificación en PPM del resistor de 10 k de compuesto de carbono que se muestra en la figura 3.19 usando el nivel de resistencia determinado a 90°C. SECCIÓN 3.6 Superconductores 36. Visite su biblioteca local y encuentre una tabla que dé las temperaturas críticas de varios materiales. Busque por lo menos cinco materiales, con sus temperaturas críticas, que no estén mencionadas en este texto. Escoja algunos materiales que tengan temperaturas críticas relativamente altas. 37. Encuentre por lo menos un artículo sobre la aplicación de la superconductividad en el sector comercial, y escriba un pequeño resumen, incluyendo todos los hechos y cifras interesantes. *38. Utilice el nivel de densidad requerido de 1 MA/cm2 para la fabricación de circuitos integrados, determine qué corriente resultante se tendrá a través de un alambre casero del número 12. Compare el resultado obtenido con el límite permisible de la tabla 3.2. *39. Investigue el detector de campo magnético SQUID y repase su modo básico de operación y una o dos aplicaciones. SECCIÓN 3.7 Tipos de resistores 40. a. ¿Cuál es el aumento aproximado en tamaño de un resistor de carbono de 1 W a otro de 2 W? b. ¿Cuál es el aumento aproximado en tamaño de un resistor de carbono de 1/2 W a otro de 2 W? c. En general, ¿podemos concluir que para el mismo tipo de resistor, un incremento en la clasificación por potencia requiere un aumento en el tamaño (volumen)? ¿Se trata de una relación casi lineal? Esto es, ¿una potencia doble requiere un aumento en tamaño de 21? 41. Si el resistor de 10 k que muestra la figura 3.19 es exactamente de 10 k a temperatura ambiente, ¿cuál será su resistencia aproximada a 30°C y a 100°C (ebullición)? 42. Resuelva el problema 41 para una temperatura de 120°F. 43. Si la resistencia entre las terminales exteriores de un potenciómetro lineal es de 10 k , ¿cuál es su resistencia entre el brazo deslizable de contacto y una terminal exterior si la resistencia entre el brazo deslizable de contacto y la otra terminal exterior es de 3.5 k ? 44. Si el brazo deslizable de contacto de un potenciómetro lineal es un cuarto de la longitud alrededor de la superficie de contacto, ¿cuál es la resistencia entre el brazo y cada terminal si la resistencia total es de 25 k ? *45. Muestre las conexiones requeridas para establecer 4 k entre el brazo deslizable de contacto y una terminal exterior de un potenciómetro de 10 k si se tiene cero ohms entre la otra terminal exterior y el brazo deslizable. SECCIÓN 3.8 Código de color y valores estándar de resistores 46. Encuentre el intervalo en que un resistor con las siguientes bandas de color debe situarse para satisfacer la tolerancia del fabricante:

G

a. b. c.

1a banda

2a banda

3a banda

4a banda

verde rojo café

azul rojo negro

anaranjado café negro

oro plata —

47. Encuentre el código de color para los siguientes resistores de 10%. a. 220 b. 4700 c. 68 k d. 9.1 M 48. ¿Existe traslape en cobertura entre resistores de 20%? Esto es, determine el intervalo de tolerancia para un resistor de 10

de 20% y un resistor de 15 de 20%, y observe si sus intervalos de tolerancia se traslapan. 49. Resuelva el problema 48 para resistores de 10% del mismo valor. SECCIÓN 3.9

Conductancia

50. Encuentre la conductancia de cada una de las siguientes resistencias: a. 0.086 b. 4 k c. 2.2 M Compare los tres resultados. 51. Encuentre la conductancia de 1000 pies de alambre AWG calibre 18 fabricado en: a. cobre b. aluminio c. hierro *52. La conductancia de un alambre es 100 S. Si el área del alambre se incrementa en 2/3 y la longitud se reduce en la misma cantidad, encuentre la nueva conductancia del alambre si la temperatura permanece constante. SECCIÓN 3.10

Ohmímetros

53. ¿Cómo se revisaría la condición de un fusible utilizando un ohmímetro? 54. ¿Cómo se determinarían los estados encendido y apagado de un interruptor usando un ohmímetro? 55. ¿Cómo se usaría un ohmímetro para revisar la condición de un foco eléctrico? SECCIÓN 3.11

Termistores

*56. a. Encuentre la resistencia del termistor que tenga las características de la figura 3.34 a 50°C, 50°C y 200°C. Advierta que es una escala logarítmica. De ser necesario, consulte una referencia con una escala logarítmica ampliada. b. ¿Tiene el termistor un coeficiente térmico positivo o negativo? c. ¿Es el coeficiente un valor fijo para el intervalo de

100°C a 400°C? ¿Por qué? d. ¿Cuál es la razón de cambio aproximada de  con la temperatura a 100°C? SECCIÓN 3.12

Celda fotoconductora

*57. a. Usando las características de la figura 3.36, determine la resistencia de la celda fotoconductora a 10 y 100 pie-

R

GLOSARIO

G

candelas de iluminación. Como en el problema 56, observe que se trata de una escala logarítmica. b. ¿Tiene la celda un coeficiente de iluminación positivo o negativo? c. ¿Es el coeficiente un valor fijo para el intevalo de 0.1 a 1000 pie-candelas? ¿Por qué? d. ¿Cuál es la razón de cambio aproximada de R con la iluminación a 10 pie-candelas?

⏐⏐⏐

95

b. ¿Cuál es el cambio total en voltaje para el intervalo indicado de niveles de corriente? c. Compare la razón de niveles máximo a mínimo de corriente arriba de la razón correspondiente de niveles de voltaje. SECCIÓN 3.15

Mathcad

59. Verifique los resultados del ejemplo 3.3 usando Mathcad. SECCIÓN 3.13

Varistores

60. Verifique los resultados del ejemplo 3.11 usando Mathcad.

58. a. Con referencia a la figura 3.38(a), encuentre el voltaje terminal del dispositivo a 0.5 mA, 1 mA, 3 mA y 5 mA.

GLOSARIO Celda fotoconductora Dispositivo semiconductor de dos terminales cuya resistencia terminal está determinada por la intensidad de la luz incidente sobre su superficie expuesta. Cero absoluto Temperatura a la que todo movimiento molecular cesa; 273.15°C. Código de color Técnica que emplea bandas de color para indicar los valores de resistencia y tolerancia de resistores. Coeficiente térmico de resistencia negativo Valor indicativo de que la resistencia de un material disminuirá con un incremento en la temperatura. Coeficiente térmico de resistencia positivo Valor indicativo de que la resistencia de un material aumentará con un incremento en la temperatura. Conductancia (G) Indicación de la facilidad relativa con que una corriente puede establecerse en un material. Se mide en siemen (S). Ductilidad Propiedad de un material que le permite ser estirado en forma de alambres largos y delgados. Efecto Cooper “Enlace” de electrones cuando viajan a través de un medio. Maleabilidad Propiedad de un material que le permite ser moldeado en muchas formas diferentes. Mil circular (CM) Área transversal de un alambre con diámetro de un mil.

Ohm ( ) Unidad de medición aplicada a la resistencia. Ohmímetro Instrumento para medir valores de resistencia. Potenciómetro Dispositivo de tres terminales a través del cual se pueden variar los niveles de potencial de manera lineal o no lineal. PPM /°C Sensibilidad por temperatura de un resistor en partes por millón por grado Celsius. Reóstato Elemento cuya resistencia terminal puede ser variada de manera lineal o no lineal. Resistencia Medida de la oposición al flujo de carga a través de un material. Resistencia laminar Está definida como  /d para el diseño de películas delgadas y circuitos integrados. Resistividad () Constante de proporcionalidad entre la resistencia de un material y sus dimensiones físicas. Superconductor Conductores de carga eléctrica que para todo propósito práctico tienen cero ohms. Temperatura absoluta inferida Temperatura a través de la cual una aproximación lineal para la curva de resistencia real en función de la temperatura intersecará el eje de temperaturas. Termistor Dispositivo semiconductor de dos terminales cuya resistencia es sensible a la temperatura. Varistor Resistor no lineal, dependiente del voltaje, usado para suprimir transitorios de alto voltaje.

4

V V R II V R I R

Ley de Ohm, potencia y energía

4.1 LEY DE OHM Considere la siguiente relación: causa Efecto  oposición

(4.1)

Toda conversión de energía de una forma a otra puede ser relacionada a esta ecuación. Para circuitos eléctricos, el efecto que se trata de establecer es el flujo de carga, o corriente. La diferencia de potencial, o voltaje, entre dos puntos es la causa (“presión”), y la oposición es la resistencia encontrada. Una excelente analogía para el más sencillo de los circuitos eléctricos es el agua que hay en una manguera conectada a una válvula de presión. Considere que los electrones en un alambre de cobre representan el agua en la manguera, la válvula de presión sería el voltaje aplicado, y el tamaño de la manguera constituiría el factor que determina la resistencia. Si la válvula de presión está cerrada, el agua simplemente permanece en la manguera sin moverse, tal como los electrones en un conductor sin un voltaje aplicado. Si abrimos la válvula de presión, el agua fluirá a través de la manguera tal como lo harán los electrones en un alambre de cobre cuando se le aplique un voltaje. En otras palabras, la ausencia de la “presión” en un caso y del voltaje en el otro resultará simplemente en un sistema sin movimiento o reacción. La velocidad a la que el agua fluirá en la manguera es una función del tamaño de la manguera. Una manguera con un diámetro muy pequeño limitará la velocidad a la que el agua puede fluir por ella, de la misma forma que un alambre de cobre con diámetro pequeño presentará una resistencia alta y limitará la corriente. En resumen, la ausencia de una “presión” aplicada, así como de voltaje en un circuito eléctrico, resultará en una reacción nula en el sistema y ninguna corriente en el circuito eléctrico. La corriente es una reacción al voltaje aplicado y no el factor que pone al sistema en movimiento. Para continuar con la analogía de la manguera, entre más presión exista en el grifo mayor será la

98

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

Alemán (Erlangen, Colonia) (1789 -1854) Físico y matemático Profesor de física, Universidad de Colonia

velocidad del agua que fluirá por la manguera, justo como aplicar un voltaje alto al mismo circuito resultará en una corriente elevada. Al sustituir los términos introducidos en la ecuación (4.1) resulta: diferencia de potencial Corriente   resistencia

Cortesía de Smithsonian Institution Fotografía núm. 51,145

En 1827 desarrolló una de las leyes más importantes de los circuitos eléctricos: la ley de Ohm. Cuando la ley de Ohm fue presentada por primera vez, se consideró absurda y que faltaba la documentación de soporte, por lo que Georg Simon Ohm perdió su posición de profesor y tuvo que dedicarse a efectuar trabajos de poca monta y a dar clases privadas como tutor. Pasaron 22 años antes de que su trabajo fuera reconocido como una contribución importante al campo de la electricidad. Se le otorgó una cátedra en la Universidad de Munich y recibió la Medalla Copley de la Real Sociedad en 1841. Sus investigaciones abarcaron también las áreas de física molecular, acústica y comunicación telegráfica.

FIGURA 4.1 Georg Simon Ohm.

I

+

+ E

–

R

FIGURA 4.2 Circuito básico.

V

–

y

E I  R

(ampere, A)

(4.2)

La ecuación (4.2) es conocida como ley de Ohm en honor de Georg Simon Ohm (Figura 4.1). Esta ley revela claramente que para una resistencia fija, a mayor voltaje (o presión) en un resistor, mayor es la corriente, y a mayor resistencia para el mismo voltaje, menor es la corriente. En otras palabras, la corriente es proporcional al voltaje aplicado e inversamente proporcional a la resistencia. Por medio de simples manejos matemáticos, el voltaje y la resistencia pueden encontrarse en términos de las otras dos cantidades:

y

E  IR

(volts, V)

(4.3)

E R  I

(ohms, )

(4.4)

Las tres cantidades de las ecuaciones (4.2) a la (4.4) son definidas por el sencillo circuito de la figura 4.2. La corriente I de la ecuación (4.2) resulta de aplicar E volts de corriente directa (cd) a una red con resistencia R. La ecuación (4.3) determina el voltaje E requerido para establecer una corriente I a través de una red con una resistencia total R, y la ecuación (4.4) proporciona la resistencia de una red que resulta en una corriente I debida a un voltaje aplicado E. Observe en la figura 4.2 que la fuente de voltaje “presiona” la corriente en una dirección que pasa de la terminal negativa de la batería a la terminal positiva. Esto será siempre el caso para circuitos de una sola fuente. El efecto de más de una fuente en la red será examinado en el siguiente capítulo. El símbolo para el voltaje de la batería (una fuente de energía eléctrica) es la letra E mayúscula, mientras que la caída de voltaje en el resistor es dada por el símbolo V. La polaridad de la caída de voltaje en el resistor es como se define por la fuente aplicada porque las dos terminales de la batería se conectan directamente al elemento resistivo. EJEMPLO 4.1 Determine la corriente resultante de la aplicación de una batería de 9 V a una red con resistencia de 2.2 . Solución: Ecuación (4.2): E 9V I    4.09 A R 2.2 EJEMPLO 4.2 Calcule la resistencia de un foco de 60 W si una corriente de 500 mA resulta de un voltaje aplicado de 120 V.

V I R

4.2 TRAZADO DE LA LEY DE OHM

⏐⏐⏐

99

Solución: Ecuación (4.4): E 120 V R    240  I 500  10 3 A Para un elemento resistivo aislado, la polaridad de la caída de voltaje es como se muestra en la figura 4.3(a) para la dirección indicada de la corriente. Una inversión de la corriente invertirá la polaridad, como se muestra en la figura 4.3(b). En general, el flujo de la carga va desde un potencial alto () hasta uno bajo ( ). Las polaridades establecidas por la dirección de la corriente se volverán cada vez más importantes en el análisis que se presenta en seguida.

V

+ I

–

–

V

I

R

+

R

(a)

(b)

FIGURA 4.3 Definición de las polaridades.

EJEMPLO 4.3 Calcule la corriente a través del resistor de 2 k de la figura 4.4 si la caída de voltaje en él es de 16 V.

16 V





2 k

I

Solución: FIGURA 4.4 Ejemplo 4.3.

16 V V I    8 mA 2  103 R +

EJEMPLO 4.4 Calcule el voltaje que debe aplicarse al cautín de la figura 4.5 para establecer una corriente de 1.5 A a través de él si su resistencia interna es de 80 .

E

– I = 1.5 A

+

Solución:

E

E  IR  (1.5 A)(80 )  120 V

R

80 

–

En varios de los ejemplos de este capítulo, como en el ejemplo 4.4, el voltaje aplicado es realmente obtenido de una salida de ca en el hogar, la oficina o el laboratorio. Este enfoque se usó para dar al estudiante una oportunidad de relacionarse cuanto antes con situaciones del mundo real y para demostrar que varias de las ecuaciones obtenidas en este capítulo son aplicables también a redes de ca. El capítulo 13 proporcionará una relación directa entre voltajes de ca y cd que permite las sustituciones matemáticas empleadas en este capítulo. En otras palabras, no se preocupe por el hecho de que algunos de los voltajes y corrientes que aparecen en los ejemplos de este capítulo sean en realidad voltajes de ca, porque la ecuaciones para redes de cd tienen exactamente el mismo formato, y todas las soluciones serán correctas.

FIGURA 4.5 Ejemplo 4.4.

Definición de polaridad

+ I

V

–

R Definición dirección

I (ampere) 6

4.2 TRAZADO DE LA LEY DE OHM

5

Las gráficas, características, diagramas y elementos similares, juegan un papel importante en cada campo técnico como un modo por el cual una imagen amplia del comportamiento o respuesta de un sistema pueden ser mostrados de manera conveniente. Por tanto, resulta crítico desarrollar las habilidades necesarias para leer y graficar datos de manera que puedan ser interpretados fácilmente. Para la mayor parte de los conjuntos de características de los dispositivos electrónicos, la corriente está representada por el eje vertical (ordenadas), y el voltaje por el eje horizontal (abscisas), como se muestra en la figura 4.6. Observe primero que el eje vertical está en ampere y el horizontal en volts. En

4 3

R=5

2 1 0

5

10

15

20

25

FIGURA 4.6 Gráfica de la ley de Ohm.

30 V (volts)

100

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

algunas gráficas, I puede estar en miliampere (mA), microampere (A), o en cualquier unidad apropiada para el intervalo de interés. Lo mismo es cierto para los niveles de voltaje sobre el eje horizontal. Observe también que los parámetros seleccionados requieren que la separación entre valores numéricos del eje vertical sea diferente a la del eje horizontal. La gráfica lineal (línea recta) revela que la resistencia no está cambiando con el nivel de la corriente o del voltaje; sino que se trata de una cantidad fija en todas partes. La dirección de la corriente y la polaridad del voltaje que aparecen en la parte superior de la figura 4.6 son las definidas para la gráfica proporcionada. Si la dirección de la corriente es opuesta a la dirección definida, la región por debajo del eje horizontal será la región de interés para la corriente I. Si la polaridad del voltaje es opuesta a la definida, la región situada a la izquierda del eje de corriente será la región de interés. Para el resistor fijo estándar, el primer cuadrante, o región, de la figura 4.6 es la única región de interés. Sin embargo, el estudiante encontrará muchos dispositivos en sus cursos de electrónica que utilizarán los otros cuadrantes de una gráfica. Una vez que una gráfica como la de la figura 4.6 es desarrollada, la corriente o el voltaje a cualquier nivel puede encontrarse a partir de la otra cantidad empleando simplemente la gráfica resultante. Por ejemplo, en V  25 V, si se traza una línea vertical sobre la figura 4.6 hacia la curva como se muestra, la corriente resultante puede encontrarse trazando una línea horizontal sobre el eje de corriente, donde se obtiene una resultante de 5 A. Similarmente, en V  10 V, una línea vertical a la gráfica y una línea horizontal al eje de corriente resultarán en una corriente de 2 A, de acuerdo con la ley de Ohm. Si se desconoce la resistencia de una gráfica, puede ser determinada en cualquier punto de la gráfica ya que una línea recta indica una resistencia fija. En cualquier punto sobre la gráfica, encuentre la corriente y el voltaje resultantes, y simplemente sustitúyalos en la siguiente ecuación: V Rcd  I

Para probar la ecuación (4.5), considere un punto sobre la gráfica donde V  20 V e I  4 A. La resistencia resultante es Rcd  V/I = 20 V/4 A  5 . Para fines de comparación, un resistor de 1 y otro de 10 fueron trazados sobre la gráfica de la figura 4.7. Observe que a menor resistencia, la pendiente es más pronunciada (más cercana al eje vertical) de la curva. Al escribir la ley de Ohm de la siguiente manera y relacionarla con la ecuación básica de una línea recta

I (ampere) 7 6

(4.5)

R=1

5

I

4

1 • E0 R

3

ym • x  b

2 R = 10 

1 0

5

10

15

20

25

30 V (volts)

FIGURA 4.7 Demostración sobre una gráfica I-V de que a menor resistencia, más pronunciada es la pendiente.

se encontrará que la pendiente es igual a 1 dividido entre el valor de la resistencia, como se indica mediante la siguiente expresión: Dy DI 1 m  pendiente    Dx DV R

(4.6)

donde D significa un cambio pequeño, finito, de la variable. La ecuación (4.6) revela claramente que a mayor resistencia, menor es la pendiente. Si se escribe en la forma siguiente, la ecuación (4.6) puede emplearse para determinar la resistencia a partir de la curva lineal:

V I R

4.2 TRAZADO DE LA LEY DE OHM

DV R  DI

(ohms)

⏐⏐⏐

101

(4.7)

La ecuación establece que escogiendo un DV particular (o DI), puede obtenerse el correspondiente DI (o DV, respectivamente) de la gráfica, como se muestra en la figura 4.8, y entonces determinar la resistencia. Si la gráfica es una línea recta, la ecuación (4.7) dará el mismo resultado sin importar dónde se aplique la ecuación. Pero si la gráfica es curva, la resistencia cambiará.

I (ampere) 6 5 Resultante I = 4 A – 3 A =1A

4 R = 3

V 5V = = 5 I 1A

2 1 0

5

10

15

20

25

30

V (volts)

Seleccionado V = 20 V – 15 V = 5 V

FIGURA 4.8 Aplicación de la ecuación (4.6).

EJEMPLO 4.5 Determine la resistencia asociada con la curva de la figura 4.9 empleando las ecuaciones (4.5) y (4.7), y compare los resultados. Solución: En V  6 V, I  3 mA, y 6V V Rcd    2 k 3 mA I Para el intervalo entre 6 V y 8 V, 2V DV R    2 k 1 mA DI Los resultados son equivalentes. Antes de dejar el tema, investiguemos primero las características de un dispositivo semiconductor muy importante llamado diodo, el cual será examinado con todo detalle en cursos de electrónica básica. Este dispositivo actuará idealmente como una trayectoria de baja resistencia a la corriente en una dirección y como una trayectoria de alta resistencia a la corriente en la dirección opuesta, algo muy parecido a la manera en que un interruptor pasa corriente en una sola dirección. Un conjunto típico de las características de un diodo se muestra en la figura 4.10. Sin cálculos matemáticos, la cercanía de la curva al eje de voltaje para valores negativos del voltaje aplicado indica que ésa es la región de baja conductancia (alta resistencia, interruptor abierto). Observe que esta región se extiende hasta aproximadamente 0.7 V positivos. Sin embargo, para valores del voltaje aplicado mayores que 0.7 V, la elevación vertical en las características indica una región de conductividad elevada (baja resistencia, interruptor cerrado). La aplicación de la ley de Ohm verificará las conclusiones anteriores.

I (mA) 5 4 3

I = 1 mA

2 1 0

V = 2 V 2

4

6

8

FIGURA 4.9 Ejemplo 4.5.

10 V (V)

102

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

Idiodo (mA) 60 50 40

Alta G, baja R

30 Idiodo = –1 μ μA

–2.5

–1.5

20 10 –0.5

Vdiodo 0.7 1.0 1.5 2.0 2.5 Muy baja G, muy alta R

FIGURA 4.10 Características de un diodo semiconductor.

En V  1 V, 1V 1V V Rdiodo    50 mA 50  10 3 A I  20 (un valor relativamente bajo para la mayoría de las aplicaciones) En V  1 V, 1V V Rdiodo   1 mA I  1 M (lo cual a menudo se representa por un circuito abierto equivalente)

4.3 POTENCIA La potencia es una indicación de cuánto trabajo (conversión de energía de una forma a otra) puede efectuarse en una cantidad específica de tiempo, esto es, una tasa de trabajo realizado. Por ejemplo, un motor grande tiene más potencia que un motor pequeño porque puede convertir más energía eléctrica en energía mecánica en el mismo periodo. Como la energía convertida se mide en joules (J) y el tiempo en segundos (s), la potencia se mide en joules/segundo (J/s). La unidad eléctrica de medición para la potencia es el watt (W), definido por: 1 watt (W)  1 joule/segundo (J/s)

(4.8)

En forma de ecuación, la potencia es determinada por: W P  t

(watts, W, o joules/segundo, J/s)

(4.9)

con la energía W medida en joules y el tiempo t en segundos. A lo largo del texto, la abreviatura para energía (W) puede ser distinguida de la usada para watt (W) por que una está en cursivas mientras la otra no. De hecho, todas las variables en la sección de cd se escriben en cursivas mientras que las unidades aparecen en tipo romano.

V I R

4.3 POTENCIA

La unidad de medición, el watt, se deriva del nombre de James Watt (Figura 4.11), quien participó en el establecimiento de los estándares de mediciones de potencia. James Watt introdujo el término caballo de potencia (hp) como medida de la potencia promedio desarrollada por un caballo fuerte durante un día de trabajo. Esto es aproximadamente 50% más de lo que puede esperarse de un caballo promedio. El caballo de potencia y el watt están relacionados de la siguiente manera:

Q W QV P  V t t t Pero:

de modo que:

Q I t P  VI

(watts)

(4.10)

Por sustitución directa de la ley de Ohm, la ecuación para la potencia puede obtenerse en otras dos formas:

Cortesía de Smithsonian Institution Fotografía núm. 30,391

En 1757, a la edad de 21 años, usó su talento innovador para diseñar instrumentos matemáticos como el cuadrante, la brújula, y varias escalas. En 1765 introdujo el uso de un condensador separado para incrementar la eficiencia de las máquinas de vapor. En los años siguientes recibió varias patentes importantes sobre el diseño mejorado de máquinas, incluyendo un movimiento rotatorio para la máquina de vapor (contra la acción alternativa) y una máquina de doble acción, en la que el pistón jalaba y empujaba en su movimiento cíclico. Introdujo el término caballo de potencia como la potencia promedio desarrollada por un caballo fuerte en un día de trabajo.

FIGURA 4.11 James Watt.

 

V P  VI  V R

y

o bien: y

V2 P  R

(watts)

103

Escocés (Greenock, Birmingham) (1736 -1819) Fabricante de instrumentos e inventor Elegido Miembro de la Real Sociedad de Londres en 1785

1 caballo de potencia  746 watts La potencia entregada a, o absorbida por, un dispositivo eléctrico o sistema puede encontrarse en términos de la corriente y el voltaje sustituyendo primero la ecuación (2.7) en la ecuación (4.9):

⏐⏐⏐

(4.11)

P  VI  (IR)I P  I 2R

(watts)

(4.12)

El resultado es que la potencia absorbida por el resistor de la figura 4.12 puede encontrarse directamente dependiendo de la información disponible. En otras palabras, si la corriente y la resistencia son conocidas, conviene emplear la ecuación (4.12) directamente, y si V e I son conocidas, el uso de la ecuación (4.10) es lo apropiado. Conviene tener que aplicar la ley de Ohm antes de determinar la potencia. La potencia puede ser entregada o absorbida según sea la polaridad del voltaje y la dirección de la corriente. Para todas las fuentes de voltaje de cd, la potencia está siendo entregada por la fuente si la corriente tiene la dirección que aparece en la figura 4.13(a). Observe que la corriente tiene la misma dirección establecida por la fuente en una red de una sola fuente. Si la dirección de la corriente y la polaridad son como se muestran en la figura 4.13(b) debido a una red multifuente, la batería estará absorbiendo tanta potencia como cuando esté siendo cargada. Para elementos resistivos, toda la potencia entregada se disipa en forma de calor porque la polaridad del voltaje es definida por la dirección de la corriente (y viceversa), y la corriente siempre entrará a la terminal de mayor potencial correspondiendo con el estado de absorción de la figura 4.13(b). Una inversión de la dirección de la corriente en la figura 4.12 también invertirá la polaridad del voltaje en el resistor y equiparará las condiciones de la figura 4.13(b).

I

+ V

–

R P

FIGURA 4.12 Definición de la potencia hacia un elemento resistivo. I

–

+ E

(a)

I

+

– E

(b)

FIGURA 4.13 Potencia de una batería: (a) suministrada; (b) absorbida.

104

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

La magnitud de la potencia entregada o absorbida por una batería está dada por: P  EI

(watts)

(4.13)

donde E es el voltaje en las terminales de la batería e I es la corriente a través de la fuente. EJEMPLO 4.6 Encuentre la potencia entregada al motor de cd de la figura 4.14. Solución: P  VI  (120 V)(5 A)  600 W  0.6 kW

Potencia

aplicada

desarrollada

5A

+

Potencia

EJEMPLO 4.7 ¿Cuál es la potencia disipada por un resistor de 5 si la corriente es de 4 A?

120 V

–

Solución:

FIGURA 4.14 Ejemplo 4.6.

P  I 2R  (4 A)2(5 )  80 W EJEMPLO 4.8 Las características I-V de un foco están dadas en la figura 4.15. Observe la no linealidad de la curva, lo que indica un rango amplio en resistencia del foco con voltaje aplicado como se definió mediante la explicación de la sección 4.2. Si el voltaje es de 120 V, encuentre la potencia del foco. También calcule la resistencia del foco bajo las condiciones dadas.

I (mA)

625

R alta

Solución: En 120 V, 120

0

I  0.625 A

V (V)

R baja

FIGURA 4.15 Características I-V no lineales de un foco de 75 W.

y

P  VI  (120 V)(0.625 A)  75 W

En 120 V, 120 V V R    192  0.625 A I Algunas veces la potencia es dada y la corriente o el voltaje deben ser determinados. Por medio de operaciones algebraicas, una ecuación para cada variable se obtiene como sigue: P P  I 2R ⇒ I 2  R

y

I

 R P

(ampere)

(4.14)

V2 P  ⇒ V 2  PR R y

V  P R 

(volts)

(4.15)

EJEMPLO 4.9 Determine la corriente que pasa a través de un resistor de 5 k cuando la potencia disipada por el elemento es de 20 mW.

V I R

4.5 EFICIENCIA

⏐⏐⏐

105

Solución: Ecuación (4.14): 20  10 3 W  4  10  6  2  10 3 A 5  103

 

P  R  2 mA

I

Terminales de corriente

4.4 WATÍMETROS Como podría esperarse, existen instrumentos que pueden medir la potencia entregada por una fuente a un elemento de disipación o disipativo. Un instrumento de este tipo, el watímetro, se muestra en la figura 4.16. Como la potencia es una función de los niveles de corriente y voltaje, para medir la potencia al resistor R deben ser conectadas cuatro terminales como se muestra en la figura 4.17.

I

CC

+ –

+ –

Terminales de potencial

+ –

W

+ –

I

+ PC V R

+

–

R

V

– Watímetro (a)

(b)

FIGURA 4.17 Conexiones de watímetro.

Si las bobinas de corriente (CC) y las bobinas de potencial (PC) del watímetro están conectadas como en la figura 4.17, se tendrá una lectura hacia arriba de la escala del watímetro. Una inversión de cualquiera de las bobinas resultará en una indicación por abajo de cero. Tres terminales de voltaje pueden estar disponibles sobre el lado del voltaje para permitir una selección de los niveles de éste. En la mayoría de los watímetros, las terminales de corriente son físicamente mayores que las de voltaje para proporcionar seguridad y garantizar una conexión sólida.

4.5 EFICIENCIA Un diagrama de flujo para los niveles de energía asociados con cualquier sistema que convierte energía de una a otra forma se muestra en la figura 4.18. Observe en particular que el nivel de energía de salida debe ser siempre menor que la energía aplicada debido a pérdidas y almacenamiento dentro del sistema. Lo mejor que puede esperarse es que Wen y Wsal sean relativamente cercanas en magnitud. La conservación de la energía requiere que: Entrada de energía  salida de energía  energía perdida o almacenada en el sistema. Al dividir ambos lados de la relación entre t da: Wen Wsal Wperdida o almacenada por el sistema    t t t

FIGURA 4.16 Watímetro. (Cortesía de Electrical Instrument Service, Inc.)

106

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

Sistema Salida de energía

Wsal Entrada de energía

Wen Energía almacenada Energía perdida

Wperdida o almacenada FIGURA 4.18 Flujo de energía a través de un sistema.

Como P  W/t, tenemos lo siguiente: Pi  Po  Pperdida o almacenada

(W)

(4.16)

La eficiencia (simbolizada por, h, eta griega minúscula) del sistema se determina entonces por la siguiente ecuación: salida de potencia Eficiencia   entrada de potencia

y

Po h  Pi

(número decimal)

(4.17)

donde h es un número decimal. Expresada como un porcentaje, Po h%   100% Pi

(por ciento)

(4.18)

En términos de la energía de entrada y de salida, la eficiencia en porcentaje está dada por: Wo h%   100% Wi

(por ciento)

(4.19)

La máxima eficiencia posible es 100%, y ocurre cuando Po  Pi, o cuando la potencia perdida o almacenada en el sistema es cero. Es obvio que entre mayores sean las pérdidas internas del sistema al generar la potencia necesaria de salida o energía, menor será la eficiencia neta. EJEMPLO 4.10 Un motor de 2 hp opera con una eficiencia de 75%. ¿Cuál es la entrada de potencia en watts? Si el voltaje aplicado es de 220 V, ¿cuál es la entrada de corriente? Solución: Po h%   100% Pi (2 hp)(746 W/hp) 0.75  Pi

V I R

4.5 EFICIENCIA

1492 W Pi   1989.33 W 0.75

o bien:

1989.33 W P o I  i   9.04 A 220 V E

Pi  EI

EJEMPLO 4.11 ¿Cuál es la salida en caballos de potencia de un motor con eficiencia de 80% y entrada de corriente de 8 A a 120 V? Solución: Po h%   100% Pi Po 0.80  (120 V)(8 A) y con:

Po  (0.80)(120 V)(8 A)  768 W





1 hp 768 W  1.029 hp 746 W

EJEMPLO 4.12 Si h  0.85, determine el nivel de salida de energía si la energía aplicada es de 50 J. Solución: W h  o ⇒ Wo  hWi Wi  (0.85)(50 J)  42.5 J Las componentes básicas de un sistema generador (voltaje) se muestran en la figura 4.19. La fuente de potencia mecánica es una estructura similar a una rueda de paletas que es girada por el agua que se precipita por una presa. El tren de engranes garantiza entonces que el elemento rotatorio del generador gire a una velocidad específica. El voltaje de salida debe entonces ser alimentado a través de un sistema de transmisión hacia la carga. Para cada componente

Tren de engranes

Pi 1

Po 1

Generador

Pi 2

Po 2

Pi 3

Po 3

3

RL Carga

Sistema de transmisión

FIGURA 4.19 Componentes básicas de un sistema generador.

⏐⏐⏐

107

108

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

del sistema, una potencia de entrada y otra de salida han sido indicadas. La eficiencia de cada sistema está dada por: Po h1  1 Pi1

Po h2  2 Pi2

Po h3  3 Pi3

Si se forma el producto de esas tres eficiencias, Po1 Po2 Po3 h1 ⋅ h2 ⋅ h3  ⋅ ⋅ Pi1 Pi2 Pi3 y se sustituye el hecho de que Pi2  Po1 y Pi3  Po2, la cual es una medida de la eficiencia total del sistema. En general, para el sistema representativo en cascada de la figura 4.20, htotal  h1 ⋅ h2 ⋅ h3 ⋅ ⋅ ⋅ hn

1

2

(4.20)

3

n

FIGURA 4.20 Sistema en cascada.

EJEMPLO 4.13 Encuentre la eficiencia total del sistema de la figura 4.19 si h1  90%, h2  85% y h3  95%. Solución: hT  h1 ⋅ h2 ⋅ h3  (0.90)(0.85)(0.95)  0.727, o 72.7%

EJEMPLO 4.14 Si la eficiencia h1 cae a 40%, encuentre la nueva eficiencia total y compare el resultado con el obtenido en el ejemplo 4.13. Solución: hT  h1 ⋅ h2 ⋅ h3  (0.40)(0.85)(0.95)  0.323, o 32.3% Ciertamente, 32.3% es considerablemente menor que 72.7%. La eficiencia total de un sistema en cascada es determinada, por tanto, principalmente por la eficiencia más baja (eslabón más débil) y es menor que (o igual a si las eficiencias restantes son de 100%) el eslabón menos eficiente del sistema.

4.6 ENERGÍA Para que la potencia, que es la tasa con que se efectúa un trabajo, produzca una conversión de energía de cualquier forma, debe ser utilizada durante un periodo determinado. Por ejemplo, un motor puede tener los caballos de potencia necesarios para mover una carga pesada, pero a menos que se use durante un periodo establecido, no habrá conversión de energía. Además, entre mayor sea el tiempo que el motor se use para mover la carga, mayor será la energía gastada. La energía (W ) perdida o ganada por cualquier sistema se determina, por tanto, mediante: W  Pt

(wattsegundo, Ws, o joules)

(4.21)

V I R

4.6 ENERGÍA

Como la potencia se mide en watts (o joules por segundo) y el tiempo en segundos, la unidad de energía es el watt-segundo o joule (observe la figura 4.21) como se indicó líneas arriba. Sin embargo, el watt-segundo es una cantidad demasiado pequeña para la mayoría de los propósitos prácticos, por lo que el watt-hora (Wh) y el kilowatt-hora (kWh) fueron definidos como sigue: Energía (Wh)  potencia (W)  tiempo (h)

(4.22)

potencia (W)  tiempo (h) Energía (kWh)   1000

(4.23)

Observe que la energía en kilowatts-hora es simplemente la energía en watthora dividida entre 1000. Para tener una idea del nivel kilowatt-hora, considere que 1 kWh es la energía disipada por un foco de 100 W en 10 horas. El medidor de kilowatts-hora es un instrumento para medir la energía suministrada al usuario residencial o comercial de electricidad. El medidor está conectado, por lo general, directamente a las líneas distribuidoras en un punto justo antes de entrar al tablero de distribución de potencia del sitio de uso. Un conjunto típico de medidores se muestra en la figura 4.22(a) con la fotografía de un medidor analógico de kilowatts-hora. Como se indica, cada potencia de 10 debajo del medidor está en kilowatts-hora. Entre más rápidamente gira el disco de aluminio, mayor es la demanda de energía. Los medidores están conectados mediante un conjunto de engranes a la rotación de este disco. Un medidor digital de estado sólido con un rango ampliado de capacidades aparece en la figura 4.22(b).

Solución: 5360 kWh 4650 kWh  710 kWh utilizados 9¢ 710 kWh  $63.90 kWh





109

Inglés (Salford, Manchester) (1818-1889) Físico Doctorados honorarios de las Universidades de Dublin y Oxford

Archivo Bettmann Fotografía núm. 076800P

Contribuyó a la importante y fundamental ley de la conservación de la energía al establecer que las distintas formas de la energía —eléctrica, mecánica o calorífica—, se encuentran en la misma familia y pueden ser intercambiadas de una forma a otra. En 1841 introdujo la ley de Joule, la cual establece que el calor desarrollado por una corriente eléctrica en un alambre es proporcional al producto del cuadrado de la corriente y la resistencia del alambre (I2R). James Prescott Joule determinó también que el calor emitido era equivalente a la potencia absorbida y que, por tanto, el calor es una forma de energía.

FIGURA 4.22 Medidores de kilowatts-hora: (a) análogo; (b) digital. (Cortesía de ABB Electric Metering Systems.)

EJEMPLO 4.15 Para las posiciones de los medidores mostrados en la figura 4.22(a), calcule la cuenta de electricidad si la lectura previa fue de 4650 kWh y el costo promedio es de 9¢ por kilowatt-hora.

⏐⏐⏐

FIGURA 4.21 James Prescott Joule.

110

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

EJEMPLO 4.16 ¿Cuánta energía (en kilowatts-hora) se requiere para mantener encendido un foco de 60 W continuamente durante 1 año (365 días)? Solución: 525,600 Wh Pt (60 W)(24 h/día)(365 días) W    1000 1000 1000  525.60 kWh EJEMPLO 4.17 ¿Cuánto tiempo puede una televisión de 205 W permanecer encendida antes de utilizar más de 4 kWh de energía? Solución: Pt (W)(1000) W  ⇒ t (horas)  1000 P (4 kWh)(1000)   19.51 h 205 W EJEMPLO 4.18 ¿Cuál es el costo por utilizar un motor de 5 hp durante 2 horas si el precio por kilowatt-hora es de 9¢? Solución: Pt (5 hp  746 W/hp)(2 h) W (kilowatt-hora)    7.46 kWh 1000 1000 Costo  (7.46 kWh)(9¢/kWh)  67.14¢ EJEMPLO 4.19 ¿Cuál es el costo total por utilizar lo siguiente a 9¢ por kilowatt-hora? Un tostador de 1200 W durante 30 minutos Seis focos de 50 W durante 4 horas Una lavadora de 400 W durante 45 minutos Una secadora de ropa de 4800 W durante 20 minutos Solución: W

1

3

1

(1200 W)( 2 h)  (6)(50 W)(4 h)  (400 W)( 4 h)  (4800 W)( 3 h)  3700 Wh 600 Wh  1200 Wh  300 Wh  1600 Wh   1000 1000 W 3.7 kWh Costo  (3.7 kWh)(9¢/kWh)  33.3¢ La gráfica presentada en la figura 4.23 muestra el costo promedio por kilowatthora comparado con los kilowatt-hora utilizados por cliente. Observe que actualmente el costo es superior al de 1926 y que el cliente promedio utiliza 20 veces más energía eléctrica en un año. Tenga en mente que la gráfica de la figura 4.23 proporciona el costo promedio en Estados Unidos. Algunos estados tienen cuotas promedio de 5¢ por kilowatt-hora, mientras que otros se acercan a 12¢. La tabla 4.1 muestra una lista de algunos aparatos domésticos comunes con sus clasificaciones típicas por potencia. Sería interesante para el lector calcular el costo de operar algunos de esos aparatos durante cierto periodo usando la gráfica de la figura 4.23 para encontrar el costo por kilowatt-hora.

V I R

4.6 ENERGÍA

⏐⏐⏐

kWh por cliente SERVICIO RESIDENCIAL Industria de servicio eléctrico en Estados Unidos (incluidos Alaska y Hawai, desde 1960) Consumo promedio por cliente e ingreso promedio por kWh

10,000 9000 8000 7000

Consumo promedio anual, kWh por cliente

Centavos/kWh 10 9

6000 5000

Ingreso promedio, centavos por kWh

8

4000

7 6

3000

5 4

2000

3 1000

2 1

0 1926 1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

FIGURA 4.23 Costo por kWh y kWh promedio por cliente en función del tiempo. (Cortesía de Edison Electric Institute.)

TABLA 4.1 Clasificaciones típicas por potencia de algunos aparatos caseros. Aparato

Clasificación por potencia

Acondicionador de aire 860 Secadora de pelo 1,300 Grabadora reproductora de casetes 5 Teléfono celular: En espera  35 mW Hablando  4.3 W Reloj 2 Secadora de ropa 4,800 Cafetera 900 Lavavajillas 1,200 Ventilador: Fijo 90 Ventilador 200 Calentador 1,322 Equipo calefactor: Ventilador de horno 320 Motor quemador de aceite 230 Plancha, seca o de vapor 1,100

Cortesía de General Electric Co.

Aparato

Clasificación por potencia

Computadora portátil En reposo  1 W (Normalmente 0.3 W a 0.5 W) Uso normal 10–20 W Uso intenso 25–35 W Horno de microondas 1,200 Localizador 1–2 mW Fonógrafo 75 Proyector 1,200 Radio 70 Hornillo (de autolimpieza) 12,200 Refrigerador (descongelador automático) 1,800 Rasuradora 15 Equipo estereofónico 110 Lámpara de sol 280 Tostador 1,200 Compactador de basura 400 Televisor a color 200 Videocasetera 110 Lavadora doméstica 500 Calentador de agua 4,500

111

112

⏐⏐⏐

V I R

LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

4.7 CORTACIRCUITOS, DISPOSITIVOS GFCI Y FUSIBLES

(a)

La potencia de llegada a cualquier planta industrial, equipo pesado, circuito doméstico sencillo o medidores utilizados en el laboratorio, debe estar limitada a garantizar que la corriente a través de las líneas de distribución no esté por encima del valor establecido. De otra manera, los operadores o el equipo eléctrico o electrónico pueden resultar dañados, o pueden surgir efectos colaterales peligrosos como fuego o humo. Para limitar el nivel de corriente se instalan fusibles o cortacircuitos donde la potencia entra a la instalación, como en el tablero ubicado en los sótanos de las casas en el punto donde las líneas externas de alimentación entran a la construcción. Los fusibles de la figura 4.24 tienen un conductor interno metálico a través del cual pasa la corriente; un fusible comenzará a derretirse si la corriente que atraviesa el sistema excede el valor de clasificación impreso sobre la cubierta. Por supuesto, si el fusible se funde, la trayectoria de la corriente se rompe y la carga en su trayectoria queda protegida. En casas de reciente construcción, los fusibles han sido reemplazados por cortacircuitos como los mostrados en la figura 4.25. Cuando la corriente exceda las condiciones de clasificación, un electroimán instalado en el dispositivo tendrá suficiente fuerza como para extraer el eslabón metálico de conexión —ubicado en el cortacircuito— fuera del circuito y abrir así la trayectoria de la corriente. Cuando las condiciones hayan sido corregidas, el cortacircuito podrá ser reposicionado y utilizado de nuevo.

(b)

FIGURA 4.25 Cortacircuitos. (Cortesía de Potter y Brumfield Division, AMF, Inc.)

(c)

El más reciente National Electrical Code requiere que las tomas en los cuartos de baño y otras áreas sensibles sean de la variedad de interruptor de corriente por falla de tierra (GFCI, ground fault current interrupt); los GFCI están diseñados para desconectarse más rápidamente que los cortacircuito estándar. La unidad comercial mostrada en la figura 4.26 se desconecta en 5 ns. Se ha determinado que 6 mA es el nivel máximo al que la mayoría de las personas puede estar expuesta por un periodo corto sin riesgo de sufrir graves daños. Una

FIGURA 4.24 Fusibles: (a) CC–TRON ® (0-10 A); (b) matriz sólida subminiatura; (c) Semitron (0-600 A). (Cortesía de Bussman Manufacturing Co.)

FIGURA 4.26 Interruptor de corriente por falla de tierra (GFCI), toma de 125 V de ca, 60 Hz y 15 A. (Cortesía de Leviton, Inc.)

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4.8 APLICACIONES

corriente mayor de 11 mA es capaz de causar contracciones musculares involuntarias que podrían impedirle a una persona soltar el conductor y provocarle entrar en estado de choque. Corrientes mayores que duren más de un segundo pueden causar fibrilación del corazón y posiblemente la muerte en unos pocos minutos. El GFCI es capaz de reaccionar tan rápido como lo hace por sensibilidad a la diferencia entre las corrientes de entrada y de salida en la toma; las corrientes deben ser las mismas si todo está trabajando apropiadamente. Una trayectoria errante, como la que pasa a través de una persona, establece una diferencia en los dos niveles de corriente y provoca que el interruptor se desconecte de la fuente de potencia.

4.8 APLICACIONES Horno de microondas Podría asegurarse que todos los propietarios de las casas residenciales más modernas tienen un horno de microondas como el mostrado en la figura 4.27(a) —incluso lo tienen quienes pasaron por la fase de preocuparse acerca de si era segura y apropiada esta manera de preparar la comida. Ahora se usa el horno de microondas tan a menudo durante el día que muchas personas llegan a preguntarse cómo podía vivirse antes sin este aparato. Para la mayoría de los usuarios, su eficiencia operativa no es la preocupación mayor, probablemente porque su impacto en la cuenta mensual no es fácil de definir con tantos aparatos en casa. Sin embargo, podría ser interesante examinar la unidad con más detalle y aplicar alguna de las teorías presentadas en este capítulo.

Vista en corte

Magnetrón

+ –

Papa

ca

ca cd Conversión de potencia Energía en microondas Puerta (a)

(b)

FIGURA 4.27 Horno de microondas: (a) fotografía; (b) construcción básica.

En primer lugar, algunos comentarios generales. La mayor parte de los hornos de microondas están clasificados de 500 W a 1200 W en una frecuencia de 2.45 GHz (casi 2500 millones de ciclos por segundo en comparación con los 60 ciclos por segundo para el voltaje de ca en una toma casera normal —veremos los detalles en el capítulo 13). El calentamiento ocurre porque las moléculas de agua existentes en la comida son sometidas a vibración en una frecuencia tan alta que la fricción con moléculas vecinas causa el efecto de calentamiento. Como es esta alta frecuencia de vibración lo que calienta la

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comida, no hay necesidad de que el material sea un conductor de electricidad. Sin embargo, cualquier metal colocado en el horno de microondas puede actuar como una antena (especialmente si tiene puntos o bordes agudos) que atraerá la energía de las microondas y alcanzará temperaturas muy altas. Se fabrica actualmente una sartén bronceadora para horno de microondas que tiene algo de metal empotrado en el fondo y los lados para atraer la energía de las microondas y elevar la temperatura en la superficie entre la comida y la sartén para dar a la comida un color café y una textura encrespada. Aun si el metal no actuase como antena, es un buen conductor de calor y puede calentarse bastante al extraer calor de la comida. Cualquier recipiente con bajo contenido de humedad puede ser usado para calentar comida en un horno de microondas. Debido a este requisito, los fabricantes han desarrollado una extensa línea de vajillas para microondas que es muy baja en contenido de humedad. Teóricamente, el vidrio y el plástico tienen muy poco contenido de humedad, pero aun así se calientan cuando son utilizados en el horno por un minuto aproximadamente. Podría ser la humedad en el aire lo que se adhiere a la superficie de estos materiales o tal vez el plomo usado en los buenos cristales. En todo caso, los hornos de microondas deberían ser usados sólo para cocinar comida, ya que no fueron diseñados como secadores o evaporadores. Las instrucciones que acompañan a todo horno de microondas especifican que éste no debería encenderse al estar vacío. Aun cuando el horno esté vacío, será generada energía de las microondas y el horno realizará todo el esfuerzo necesario para encontrar un canal que la absorba. Si el horno está vacío, la energía podría ser atraída hacia el propio horno y podría ocasionar algunos daños. Para demostrar que un vaso vacío seco o un recipiente de plástico no atraerán una cantidad importante de energía, coloque dos vasos en un horno de microondas, uno con agua y el otro vacío, y accione el horno. Después de un minuto encontrará el vaso con agua bastante caliente debido al efecto calorífico del agua caliente mientras que el otro vaso estará cercano a su temperatura original. En otras palabras, el agua creó un sumidero de calor para la mayoría de la energía de las microondas, dejando al vaso vacío como una trayectoria menos atractiva para la conducción del calor. Las toallas de papel seco y las envolturas de plástico pueden ser usadas en el horno para cubrir platos ya que inicialmente tienen un bajo contenido de moléculas de agua, y el papel y el plástico no son buenos conductores del calor. Sin embargo, no sería seguro colocar una toalla de papel sola en un horno porque, como se anotó líneas arriba, la energía de las microondas buscará un medio absorbente y podría incendiar el papel. La cocción de comida con un horno convencional es de afuera hacia adentro. Lo mismo es cierto para hornos de microondas, pero éstos tienen la ventaja adicional de ser capaces de penetrar los pocos centímetros exteriores de la comida, reduciendo el tiempo de cocción considerablemente. El tiempo de cocción con un horno de microondas está relacionado con la cantidad de comida expuesta en el horno. Dos copas de agua tardarán más tiempo en calentarse que una copa, aunque no según una relación lineal y no tomará el doble de tiempo —tal vez sólo 75% a 90% más de tiempo. Eventualmente, si se coloca suficiente comida en el horno de microondas para comparar el tiempo de cocción más alto con el de un horno convencional, se alcanzará un punto de cruce donde sería más conveniente usar un horno convencional y obtener la textura preferida en la comida. La construcción básica del horno de microondas se muestra en la figura 4.27(b). Este aparato emplea un suministro de 120 V de ca que es entonces convertida por medio de un transformador de alto voltaje a otra con valores pico cercanos a 5000 V —en niveles de corriente considerables—, lo que debería ser suficiente advertencia para dejar el mantenimiento a personal capacitado. A través del proceso rectificador descrito brevemente en el capítulo 2, un alto voltaje de cd de unos pocos miles de volts serán generados de modo que aparecerán a través de un magnetrón. El magnetrón, debido a su muy especial diseño (actualmente es el mismo diseño que se utilizó durante la Segunda Guerra Mundial y

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4.8 APLICACIONES

fue inventado por los británicos para sus unidades de radar de alta potencia), generará la señal requerida de 2.45 GHz para el horno. Debe señalarse también que el magnetrón tiene un nivel específico de potencia de operación que no puede ser controlado —una vez instalado, queda fijo a cierto nivel de potencia. Cabría preguntarse cómo pueden ser controladas la temperatura y el tiempo de cocción. Esto se logra por medio de una red de control que determina la cantidad de tiempo de apagado y encendido durante el ciclo de entrada del suministro de 120 V. Temperaturas mayores se logran fijando una razón superior de tiempo de encendido a tiempo de apagado, mientras que temperaturas menores son establecidas por la acción inversa. Una desafortunada característica del magnetrón es que, en el proceso de conversión, genera una gran cantidad de calor que no va hacia el calentamiento de la comida y debe ser absorbido por sumideros de calor o dispersado por un ventilador de enfriamiento. Las eficiencias de conversión normales están entre 55 y 75%. Considerando otras pérdidas inherentes en el funcionamiento de cualquier sistema, es razonable suponer que la mayoría de los hornos de microondas tienen entre 50 y 60% de eficiencia. Sin embargo, el horno convencional tiene también pérdidas significativas a causa de su ventilador de extracción que opera continuamente, el calentamiento de la unidad, los utensilios de cocina, el aire colindante, etc., aun si es menos sensible a la cantidad de comida por ser cocida. Considerando todo esto, el factor de conveniencia es probablemente el otro elemento de más peso en este análisis; lo cual deja también de lado el asunto de cómo se toma en cuenta el tiempo de los usuarios en la ecuación de la eficiencia. Para manejar números específicos, considérese la energía asociada con la cocción de una papa de 5 onzas en un horno de microondas de 1200 W durante 5 minutos si la eficiencia de conversión es un valor promedio de 55%. Primero, es importante darse cuenta de que cuando una unidad está clasificada como de 1200 W, esa es la potencia extraída de la línea durante el proceso de cocción. Si el horno de microondas está enchufado a una salida de 120 V, la corriente extraída es: I  P/V  1200 W/120 V  10.0 A lo cual representa un nivel importante de corriente. A continuación, podemos determinar la cantidad de potencia dedicada solamente al proceso de cocción usando el nivel de eficiencia. Esto es, Po  hPi  (0.55)(1200 W)  660 W La energía transferida a la papa en un periodo de 5 minutos puede entonces ser determinada con: W  Pt  (660 W)(5 min)(60 s/1 min)  198 kJ que es aproximadamente la mitad de la energía (valor nutricional) derivada de comer una papa de 5 onzas. El número de kilowatts-hora extraído por la unidad es determinado a partir de: W  Pt/1000  (1200 W)(5/60 h)/1000  0.1 kWh A razón de 10¢/kWh encontramos que podemos cocer la papa por 1 centavo —lo que es muy barato, relativamente hablando. Un horno tostador común de 1550 W tomaría una hora para calentar la misma papa, resultando en 1.55 kWh y un costo de 15.5 centavos —esto es un aumento considerable en costo.

Cableado doméstico Algunas facetas del cableado doméstico pueden ser analizadas sin examinar la manera en que están físicamente conectadas. En los capítulos subsiguientes se proporcionará una cobertura adicional para que se desarrolle un entendimiento

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fundamental sólido del sistema de cableado doméstico total. Por lo menos, podrá establecerse una base que permitirá responder preguntas que el lector debe ser capaz de contestar como estudiante de este campo. La especificación que define al sistema entero es la corriente máxima que puede extraerse de las líneas de energía puesto que el voltaje está fijo a 120 V o 208 V (dependiendo de cómo se utilicen las líneas de energía). Para casas muy antiguas con un sistema calefactor diferente al eléctrico, un servicio de 100 A es la norma. Actualmente, cuando los sistemas electrónicos se han vuelto tan comunes en las casas, muchas personas está optando por el servicio de 200 A aunque no tengan calefacción eléctrica. Un servicio de 100 A especifica que la corriente máxima que puede extraerse de las líneas de energía hacia una casa es de 100 A. Usando el voltaje fijado de línea a línea y la corriente de servicio pleno (y suponiendo que todas las cargas son de tipo resistivo), es posible determinar la potencia máxima que puede ser entregada usando la ecuación básica de la potencia: P  EI  (208 V)(100 A)  20,800 W  20.8 kW Este valor nominal revela que el total de todas las unidades encendidas en una casa no puede ser superior a los 20.8 kW en ningún momento. De otra manera podríamos esperar que el interruptor principal instalado en la parte superior del tablero de potencia se abriese. Inicialmente, 20.8 kW puede parecer un valor nominal muy grande, pero cuando se considera que un horno eléctrico de autolimpieza puede extraer 12.2 kW, una secadora 4.8 kW, un calentador de agua 4.5 kW, y una lavavajillas 1.2 kW, ya estamos en 22.7 kW (si todas las unidades están operando en demanda pico), y no se han encendido aún las luces o la televisión. Obviamente, sólo el uso de un horno eléctrico puede sugerir fuertemente la consideración de obtener un servicio de 200 A. Sin embargo, hay que tener en cuenta que rara vez se usan todos los quemadores de una estufa al mismo tiempo, y que el horno contiene un termostato para controlar la temperatura de manera que no esté encendido siempre. Lo mismo es cierto para el calentador de agua y la lavavajillas, por lo que la probabilidad de que todas las unidades en una casa demanden servicio pleno al mismo tiempo es muy pequeña. Desde luego, una casa típica con calefacción eléctrica que pueda extraer 16 kW sólo para calefacción en clima frío, debe considerar un servicio de 200 A. También debe quedar claro que hay algo de margen en los valores nominales máximos por razones de seguridad. En otras palabras, un sistema diseñado para una carga máxima de 100 A puede aceptar una corriente ligeramente superior durante periodos cortos sin mostrar daños significativos. Sin embargo, para el largo plazo la corriente no debe excederse. Cambiar el servicio a 200 A no es simplemente un asunto de cambiar el tablero instalado en el sótano —una línea más pesada debe llevarse de la calle a la casa. En algunas áreas, los cables alimentadores son de aluminio debido a su menor costo y peso; en otras, el aluminio no está permitido debido a su sensibilidad a la temperatura (expansión y contracción), y debe usarse cobre. En todo caso, cuando se usa aluminio, el contratista debe estar absolutamente seguro de que las conexiones en ambos extremos son muy seguras. El National Electric Code especifica que un servicio de 100 A debe usar un conductor de cobre AWG del número 4 o uno de aluminio del número 2. Para un servicio de 200 A, debe usarse un conductor de cobre 2/0 o uno de aluminio 4/0 como se muestra en la figura 4.28(a). Un servicio de 100 A o de 200 A debe tener dos conductores de líneas más uno del neutro como se muestra en la figura 4.28(b). Observe en la figura 4.28(b) que las líneas están revestidas y aisladas una de otra, y que el neutro está distribuido alrededor de la capa interna del cable. En el punto terminal, todos los conductores del neutro se juntan y unen con seguridad al tablero. Es claramente obvio que los cables de la figura 4.28(a) son trenzados para lograr una mayor flexibilidad.

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4/0 Aluminio

4.8 APLICACIONES

2/0 Cobre (a)

(b)

FIGURA 4.28 Conductores de servicio a 200 A: (a) aluminio 4/0 y cobre 2/0; (b) servicio de tres alambres 4/0 de aluminio.

La potencia entrante es separada dentro del sistema en un número de circuitos con valores menores de corriente utilizando interruptores protectores de 15 A, 20 A, 30 A y 40 A. Como la carga en cada interruptor no debe exceder 80% de su valor nominal, en un interruptor de 15 A la corriente máxima debería estar limitada a 80% de 15 A o 12 A, a 16 A para un interruptor de 20 A, a 24 A para un interruptor de 30 A, y a 32 A para un interruptor de 40 A. El resultado es que una casa con servicio de 200 A puede teóricamente tener un máximo de 12 circuitos (200 A/16 A  12.5) utilizando los valores máximos de corriente de 16 A asociados con los interruptores de 20 A. Sin embargo, el electricista puede instalar tantos circuitos como considere conveniente si está consciente de las cargas en cada circuito. El código especifica además que un cable calibre 14 no conducirá una corriente que exceda los 15 A, uno del número 12 ninguna en exceso de 20 A, y uno calibre 10 ninguna mayor a 30 A. Así, un cable del número 12 es actualmente el de uso más común en los cableados caseros para garantizar que puede manipular cualquier incursión más allá de 15 A en el interruptor de 20 A (el tamaño de interruptor más común). El cable calibre 14 es a menudo usado junto con el del número 12 en áreas donde se sabe que los niveles de corriente son limitados. El cable calibre 10 se utiliza normalmente para aparatos de gran demanda como secadoras y hornos. Los propios circuitos son separados usualmente entre aquellos que proporcionan iluminación, salidas, etc. Algunos circuitos (como hornos y secadoras) requieren un voltaje superior a 208 V, obtenidos usando dos líneas de energía y la neutra. El voltaje superior reduce el requisito de corriente para el mismo valor de potencia con el resultado neto de que el aparato puede usualmente ser más pequeño. Por ejemplo, el tamaño de un acondicionador de aire con la misma capacidad de enfriamiento es menor cuando se diseña para una línea de 208 V que cuando es para una de 120 V. Sin embargo, la mayoría de las líneas de 208 V demandan un nivel de corriente que requiere interruptores de 30 A o 40 A y tomas especiales para garantizar que los aparatos clasificados en 120 V no sean conectados a la misma toma. Si el tiempo lo permite, revise el tablero instalado en su casa y tome nota del número de circuitos, en particular el valor de cada interruptor y el número de líneas de 208 V indicadas por interruptores que requieren dos ranuras del tablero. Sume el total de los valores de corriente de todos los interruptores en su tablero, y explique, usando la información proporcionada líneas arriba, por qué el total excede su nivel de alimentación.

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Por seguridad, la conexión a tierra es una parte muy importante del sistema eléctrico doméstico. El National Electric Code demanda que el alambre neutro del sistema doméstico sea conectado a tierra por medio de una barra empotrada, un sistema de tubos de agua metálicos de 10 pies o más, o una placa metálica enterrada. Esa tierra es pasada entonces a través de los circuitos eléctricos de la casa como protección adicional. En un capítulo posterior serán presentados los detalles de las conexiones y los métodos para conectar a tierra.

4.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

+

Is E

12 V

R

4 k

VR

–

FIGURA 4.29 Circuito a ser analizado utilizando PSpice y Electronics Workbench.

Una vez presentado y examinado un circuito completo en detalle, es posible empezar con la aplicación de métodos por computadora. Como se mencionó en el capítulo 1, se presentarán tres paquetes de software para mostrar las opciones disponibles con cada uno y las diferencias que existen entre ellos. Todos tienen un soporte amplio en las comunidades educativas e industriales. La versión de PSpice para el estudiante (OrCAD Release 9.2 de Cadence Design Systems) recibirá la mayor atención, seguido por Electronics Workbench, de Multisim, y luego unos pocos programas de muestra que usan un lenguaje de programación llamado C++. Cada enfoque tiene sus propias características con procedimientos que deben ser seguidos exactamente; de otra manera aparecerán mensajes de error. No suponga que puede “forzar” el sistema a que responda de la manera que usted preferiría —cada paso está bien definido, y un error en el lado de entrada puede conducir a resultados de naturaleza sin sentido. En ocasiones podrá creerse que el sistema está en un error porque se tiene la seguridad absoluta de haber seguido cada paso correctamente. En tales casos, debe aceptarse el hecho de que algo fue introducido incorrectamente, y repasar todo el trabajo de manera muy cuidadosa. Todo procedimiento o ecuación que tome una coma en vez de un punto decimal va a generar resultados incorrectos. Sea paciente con el proceso de aprendizaje; lleve notas de maniobras específicas que aprenda y no tenga temor de pedir ayuda cuando la necesite. En cada enfoque se tiene siempre la preocupación inicial acerca de cómo empezar y proceder a través de las primeras fases del análisis. Sin embargo, es seguro que con tiempo y orientación el estudiante llegará a desenvolverse a través de las maniobras requeridas con una rapidez que nunca habría esperado. Con el tiempo se estará absolutamente satisfecho de los resultados obtenidos usando los métodos de análisis por computadora. En esta sección será investigada la ley de Ohm utilizando los paquetes de software PSpice y Electronics Workbench (EWB) para analizar el circuito mostrado en la figura 4.29. Ambos paquetes requieren que el circuito sea primero “dibujado” en la pantalla de la computadora y luego analizado (simulado) para obtener los resultados deseados. Como se mencionó, el programa de análisis es fijo y no puede ser cambiado por el usuario. El usuario diestro es alguien que puede extraer lo máximo de un paquete de software para computadora. En un capítulo posterior, el lenguaje C++ de programación será presentado con cierto detalle para demostrar cómo un usuario puede controlar el procedimiento de análisis y cómo se despliegan los resultados. Aunque el autor considera que hay suficiente material en el texto como para llevar a un nuevo estudiante a través de los programas proporcionados, debe recordarse que éste no es un texto de computación. En vez de eso, es un libro cuyo propósito principal reside simplemente en introducir los diferentes enfoques y mostrar cómo pueden ser aplicados de manera eficaz. En la actualidad existen algunos textos y materiales excelentes que cubren el material con mucho mayor detalle y tal vez a un paso más lento. De hecho, la calidad de la literatura técnica disponible ha mejorado bastante en años recientes.

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4.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

PSpice Los lectores que estaban familiarizados con viejas versiones de PSpice, como la versión 8, encontrarán que los mayores cambios en esta última versión 9.2 radican principalmente en el ambiente de acceso y en el proceso de simulación. Después de ejecutar unos cuantos programas, se encontrará que la mayor parte de los procedimientos aprendidos en versiones anteriores serán aplicables también aquí —por lo menos el proceso secuencial tiene cierto número de fuertes similitudes. Una vez que 9.2 OrCAD Lite ha sido instalado, el primer procedimiento requerido es abrir un Fólder (carpeta) en la unidad C: para el almacenamiento de los archivos de circuito que resultarán del análisis. Sin embargo, sea consciente de que: una vez que el fólder ha sido definido, no tiene que ser definido para cada nuevo proyecto a menos que se prefiera hacerlo así. Si se está satisfecho con una localidad (fólder) para todos los proyectos, ésta es una operación que no tiene que ser repetida con cada red. Para establecer el Fólder, simplemente haga clic con el botón derecho del ratón sobre Start para obtener un listado que incluye Explore. Seleccione Explore y luego use la secuencia File-New Fólder para obtener una nueva carpeta sobre la pantalla esperando un nombre. Escriba PSpice (la selección del autor) seguido por un clic con el botón izquierdo del ratón para instalarlo. Luego salga (usando la X en la parte superior derecha de la pantalla) del Exploring-Start Menú, y el primer paso quedará completo —está usted en ruta. El fólder PSpice ha sido establecido para todos los proyectos en los que se planea trabajar en este texto. El primer proyecto puede ser iniciado ahora haciendo clic dos veces sobre el icono Orcad Lite Edition en la pantalla, o puede usarse la secuencia StartPrograms-Orcad Family Release 9.2 Lite Edition. La pantalla resultante tiene sólo unas pocas teclas activas sobre la barra de herramientas superior. La primera tecla en la parte superior izquierda es la Create new document (puede

FIGURA 4.30 Uso de PSpice para determinar los niveles de voltaje, corriente y potencia en el circuito de la figura 4.29.

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usarse la secuencia File-New Project). Al seleccionar la tecla aparecerá un cuadro de diálogo New Project en el que debe introducirse el Name del proyecto. Para los fines de este análisis se escoge Ohmslaw como se muestra en el encabezado de la figura 4.30 y se selecciona Analog or Mixed A/D (para ser usado en todos los análisis de este texto). Observe en el fondo del cuadro de diálogo que la Location aparece como C:\PSpice como se estableció antes. Haga clic en OK y otro cuadro de diálogo aparecerá con el nombre Create PSpice Project. Seleccione Create a blank project (de nuevo, para todos los análisis por ser efectuados en este texto). Haga clic en OK y una tercera barra de herramientas aparecerá en la parte superior de la pantalla con algunas de las teclas activas. Una ventana Project Manager aparecerá con Ohmslaw como su encabezado. El nuevo listado del proyecto aparecerá con un icono y un signo  asociado en un pequeño cuadro. Haciendo clic sobre el signo  llevará el listado un paso adelante a SCHEMATIC1. Haga clic en  otra vez y aparecerá PAGE 1; haciendo clic sobre un signo —se invertirá el proceso. Al hacer dos veces clic sobre PAGE1 se creará una ventana de trabajo llamada SCHEMATIC1: PAGE1, lo cual revela que un proyecto puede tener más de un archivo esquemático y más de una página asociada. El ancho y la altura de la ventana pueden ser ajustados seleccionando un borde para obtener una flecha de doble punta y desplazar el límite a la dimensión deseada. Cualquier ventana sobre la pantalla puede ser movida haciendo clic sobre el encabezado superior para volverla azul oscuro y luego desplazarla hacia cualquier ubicación. Ahora puede procederse a la construcción del sencillo circuito mostrado en la figura 4.29. Seleccione la tecla Place a part (la segunda tecla a partir de la parte superior de la barra de herramientas hacia la derecha) para obtener el cuadro de diálogo Place Part. Como éste es el primer circuito por ser construido, debe asegurarse de que las partes aparezcan en la lista de bibliotecas activas. Seleccione Add Library-Browse File, y seleccione analog.olb, eval.olb, y source.olb. Cuando cada una aparezca bajo el encabezado File name, seleccione Open. Los tres archivos serán requeridos para que construyan las redes que aparecen en este texto. Sin embargo, es importante darse cuenta de que: una vez que los archivos de biblioteca han sido seleccionados, aparecerán en el listado activo para cada nuevo proyecto sin tener que agregarlos cada vez —paso a paso—, como en el paso Fólder desarrollado líneas arriba que no tiene que ser repetido con cada proyecto similar. Haga clic en OK para poder colocar componentes sobre la pantalla. Para la fuente de voltaje de cd, seleccione primero la tecla Place a part y luego seleccione SOURCE en el listado de biblioteca. Bajo Part List, aparecerá una lista de fuentes disponibles; seleccione VDC para este proyecto. Una vez que VDC ha sido seleccionado su símbolo, etiqueta y valor aparecerán sobre la ventana en el fondo derecho del cuadro de diálogo. Haga clic en OK, y la fuente VDC seguirá al cursor a través de la pantalla. Muévala a una ubicación conveniente, haga clic izquierdo en el ratón y se situará en posición como se muestra en la figura 4.30. Como sólo se requiere una fuente, un clic en el botón derecho del ratón resultará en una lista de opciones, en la que End Mode aparecerá en la parte superior. Al seleccionar esta opción terminará el procedimiento, dejando la fuente en un recuadro rojo punteado. Lo rojo indica que es un modo activo sobre el cual puede operarse. Un clic más en el botón izquierdo del ratón y la fuente estará en posición y el estado rojo activo será removido. Uno de los pasos más importantes en el procedimiento es asegurar que un potencial a tierra de 0 V esté definido para la red de manera que los voltajes en cualquier punto de ésta tengan un punto de referencia. El resultado es el requisito de que toda red tenga definida una tierra. Para los fines de este texto, la opción 0/SOURCE será la alternativa cuando la tecla GND sea seleccionada. Ello asegurará que un lado de la fuente esté definido como 0 V. Por último, tene-

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4.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

mos que agregar un resistor a la red seleccionando de nuevo la tecla Place a part y luego la biblioteca ANALOG. Al desplegar las opciones, observe que aparecerá R y deberá ser seleccionada. Haga clic sobre OK y el resistor aparecerá próximo al cursor sobre la pantalla. Muévalo a la posición deseada y haga clic en el lugar. Luego haga clic con el botón derecho del ratón y en End Mode, y el resistor habrá sido introducido en la memoria esquemática. Desafortunadamente, el resistor terminó en la posición horizontal, y el circuito de la figura 4.29 tiene el resistor en la posición vertical. No hay problema: simplemente seleccione de nuevo el resistor para volverlo rojo y haga clic con el botón derecho del ratón. Aparecerá un listado en el que Rotate es una opción para girar el resistor 90º en el sentido contrario a las manecillas del reloj. El resistor también puede ser girado 90º seleccionando simultáneamente Ctrl-R. Todos los elementos requeridos están en la pantalla, pero necesitan ser conectados. Esto se logra seleccionando la tecla Place a wire que se ve como un escalón en la barra de herramientas derecha. El resultado es un cursor en forma de cruz con el centro por colocarse en el punto a ser conectado. Coloque la cruz en la parte superior de la fuente de voltaje, y haga clic con el botón izquierdo una vez para conectarla a ese punto. Luego trace una línea al extremo del próximo elemento y haga clic de nuevo en el ratón cuando la cruz esté en el punto correcto. Resultará una línea roja con un cuadrado en cada extremo para confirmar que se ha hecho la conexión. Entonces mueva la cruz hacia los otros elementos y construya el circuito. Una vez que todo está conectado, un clic con el botón derecho proporciona la opción End Mode. No olvide conectar la fuente a tierra como se muestra en la figura 4.30. Ahora tenemos todos los elementos en posición, pero sus etiquetas y valores están equivocados. Para cambiar cualquier parámetro, simplemente haga clic dos veces sobre él (sobre la etiqueta o el valor) para obtener el cuadro de diálogo Display Properties. Escriba la etiqueta o el valor correcto, haga clic en OK, y la cantidad quedará cambiada sobre la pantalla. Las etiquetas y los valores pueden ser movidos haciendo simplemente clic sobre el centro del parámetro hasta que esté rodeado estrechamente por los cuatro pequeños cuadrados y desplazándolo entonces a la nueva ubicación, donde quedará depositado luego de efectuar otro clic con el botón izquierdo. Por último, podemos iniciar el proceso de análisis, llamado Simulation, seleccionando la tecla Create a new simulation profile cerca de la parte superior izquierda de la exhibición —la que parece una página de datos con una estrella en la esquina superior izquierda. Resultará un cuadro de diálogo A New Simulation que primero pregunta por el Name de la simulación. Bias Point es seleccionada para una solución de cd, y none se deja en la solicitud Inherit From. Luego seleccione Create, y aparecerá un cuadro de diálogo Simulation Setting en el que Analysis-Analysis Type-Bias Point es seleccionada secuencialmente. Haga clic sobre OK, y seleccione la tecla Run (que parece una punta de flecha aislada azul) o escoja PSpice-Run de la barra de menú. Resultará una Output Window que parece estar algo inactiva; no será usada en el presente análisis, por lo que cierre (X) la ventana, y el circuito de la figura 4.30 aparecerá con el voltaje, la corriente y los niveles de potencia de la red. El voltaje, la corriente o los niveles de potencia pueden ser retirados (o reemplazados) seleccionando simplemente V, I o W en la tercera barra de herramientas desde la parte superior. Valores individuales pueden ser removidos seleccionando simplemente el valor y oprimiendo la tecla Delete o la tecla de tijeras ubicada en la barra de menú superior. Los valores resultantes pueden ser movidos haciendo clic con el botón izquierdo en el valor y desplazándolo a la ubicación deseada. Observe en la figura 4.30 que la corriente es de 3 mA (como se esperaba) en cada punto de la red, y la potencia entregada por la fuente y disipada por el resistor es la misma, o 36 mW. También hay 12 V a través del resistor como es requerido por la configuración.

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LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

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No hay duda de que la descripción anterior fue muy larga para un circuito tan trivial. Sin embargo, recuerde que hubo que introducir muchas facetas nuevas del uso de PSpice que no tendrán que ser tocadas otra vez en el futuro. Cuando termine de analizar su tercera o cuarta red, el procedimiento anterior le parecerá rutinario y se moverá bastante rápidamente. Para entonces estará buscando nuevos retos.

Electronics Workbench (EWB) Con fines de comparación, usaremos Electronics Workbench para analizar el circuito mostrado en la figura 4.29. Aunque existen diferencias entre PSpice y EWB, como en el proceso de inicio, en construir las redes, efectuar las mediciones y establecer el procedimiento de simulación, hay suficientes similitudes entre los dos enfoques como para facilitar el aprendizaje de uno si ya se está familiarizado con el otro. Las similitudes resultarán obvias sólo si se intenta aprender ambos paquetes. Una de las mayores diferencias entre los dos es la opción de usar instrumentos prácticos en EWB para efectuar las mediciones —un aspecto positivo en la preparación para la experiencia de laboratorio—. Sin embargo, en EWB no encontrará usted la amplia lista de opciones disponible con PSpice. No obstante, en general, ambos paquetes de software están bien preparados para llevarnos a través de los tipos de análisis encontrados en este texto. Cuando el icono Multisim 2001 es seleccionado de la ventana de inicio, aparece una pantalla con el encabezado Multisim-Circuit 1. Una barra de menú cruza la parte superior de la pantalla, con una barra de herramientas por debajo de la barra de menú y otra a cada lado de la pantalla. Las barras de herramientas que se muestran pueden ser controladas mediante la secuencia View-Toolbars seguida por una selección de las barras de herramientas que se desee aparezcan. Para el análisis de este texto, fueron seleccionadas todas las barras de herramientas. Para la colocación de componentes, View-Show Grid fue seleccionada de manera que apareciese una retícula sobre la pantalla. Al ser colocado un elemento, automáticamente será ubicado en una relación específica con la estructura de la retícula. A continuación se construirá el circuito de la figura 4.29. Primero se toma el cursor y se coloca sobre el símbolo de batería que aparece en la parte superior del componente de la barra de herramientas situado a la izquierda de la pantalla. Se efectúa un clic con el botón izquierdo del ratón y una lista de fuentes será desplegada. Coloque el cursor sobre cualquiera de las fuentes y aparecerá un texto sobre la pantalla definiendo el tipo de fuente. Colocando el cursor sobre la tercera tecla hacia abajo resultará en DC VOLTAGE SOURCE. Haga de nuevo clic con el botón izquierdo, y aparecerá el símbolo de batería sobre la pantalla próximo a la ubicación del cursor. Mueva éste al sitio deseado y con un solo clic del botón izquierdo, el símbolo de batería puede situarse en su lugar. La operación se ha completado. Si se desea borrar la fuente, simplemente se hace clic con el botón izquierdo, sobre el símbolo de nuevo para crear cuatro pequeños cuadrados alrededor de la fuente. Estos cuadrados indican que la fuente está en el modo activo y puede operarse sobre ella. Si desea borrarla, haga clic sobre la tecla Delete o seleccione la tecla de tijeras que está en la barra de herramientas superior. Si prefiere modificar la fuente, oprima el botón derecho del ratón fuera de los cuatro cuadrados pequeños para obtener una lista. Efectúe un clic derecho dentro de los cuatro cuadrados y tendrá un conjunto diferente de opciones. En cualquier momento, si se desea remover el estado activo, se da un clic izquierdo en cualquier parte de la pantalla. Para mover la fuente, haga clic sobre el símbolo de fuente para crear los cuatro cuadrados, pero no suelte el botón del ratón; manténgalo oprimido y lleve la fuente a la ubicación preferida. Cuando la fuente esté en posición, suelte el botón y un clic más removerá el estado activo. Para

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4.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

remover la barra de herramientas SOURCES, haga clic sobre la X que aparece en la esquina superior derecha de la barra de herramientas. La siguiente tecla hacia abajo desde la tecla fuente que parece un resistor controla el despliegue de las componentes pasivas Basic de una red. Haga clic una vez sobre el símbolo de resistor y aparecerán dos columnas de componentes. De ahora en adelante, siempre que sea posible, la palabra clic implicará un clic izquierdo del ratón. La necesidad de un clic derecho será explicada más adelante. Para el circuito de la figura 4.29 se necesita un resistor. Cuando se coloca el cursor sobre el resistor izquierdo, aparece el texto RESISTOR; al colocarlo sobre el resistor derecho, aparecerá el texto RESISTOR–VIRTUAL. Para todos los análisis en este texto donde se utilice EWB, se empleará el resistor virtual. El término RESISTOR es usado para todos los resistores de un valor estándar comercial —los valores dados comercialmente. El término VIRTUAL se aplica a cualquier componente en la que el usuario puede definir el valor que desee. Haga clic una vez sobre el resistor virtual y éste aparecerá sobre la pantalla al lado del cursor en la posición horizontal. En la figura 4.29, está en la posición vertical por lo que debe efectuarse una rotación. Esto puede lograrse haciendo clic sobre el resistor para obtener el estado activo y luego efectuar un clic con el botón derecho del ratón dentro de los cuatro cuadrados. Aparecen varias opciones, incluyendo borrar (Cut) la componente, copiar, cambiar la posición y aplicar color. Como queremos girar 90º en el sentido de las manecillas del reloj, seleccionamos esa opción, y el resistor será girado automáticamente 90º. Ahora, como con la batería, para colocar el resistor en posición se da clic sobre el símbolo de resistor para crear los cuatro pequeños cuadrados, y luego, manteniendo oprimido el botón izquierdo del ratón, se lleva el resistor a la posición deseada. Cuando queda en su lugar, se suelta el botón y se hace clic de nuevo para remover los cuatro cuadrados —el resistor está ahora en posición. Por último, se necesita una tierra para todas las redes. Regresando al depósito de partes SOURCES, se encontrará que una tierra es la primera opción en la parte superior de la barra de herramientas. Seleccione la opción GROUND de la izquierda, y colóquela sobre la pantalla debajo de la fuente de voltaje como se muestra en la figura 4.31. Ahora, antes de conectar entre sí los componentes, deben moverse las etiquetas y el valor de cada componente a las posiciones relativas

FIGURA 4.31 Uso de Electronics Workbench para determinar el nivel de voltaje y la corriente en el circuito de la figura 4.29.

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LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

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mostradas en la figura 4.31. Esto se logra haciendo clic sobre la etiqueta o el valor para crear un pequeño conjunto de cuadrados alrededor del elemento y desplazarlo entonces a la ubicación deseada. Se suelta el botón del ratón, y luego se hace clic de nuevo para situar el elemento en su lugar. Para cambiar la etiqueta o el valor, se da clic dos veces sobre la etiqueta (tal como V1), y aparece un cuadro de diálogo Battery. Se selecciona Label e introduce E como Reference ID. Entonces, antes de dejar el cuadro de diálogo, se va a Value para cambiar el valor si es necesario. Es muy importante darse cuenta de que no es posible escribir las unidades donde aparece ahora V. El prefijo es controlado por las teclas de recorrido situadas a la izquierda de la unidad de medición. Como práctica, ensaye con las teclas de recorrido, y encontrará que puede ir de pV a TV. Por ahora simplemente se deja como V. Haga clic en OK, y ambas habrán sido cambiadas sobre la pantalla. El mismo proceso puede ser aplicado al elemento resistivo para obtener la etiqueta y el valor que aparecen en la figura 4.31. A continuación, se deberá indicar al sistema qué resultados deben ser generados y cómo tienen que desplegarse. Para este ejemplo se usará un multímetro para medir tanto la corriente como el voltaje del circuito. El Multimeter es la primera opción en la lista de instrumentos que aparecen en la barra de herramientas situada a la derecha de la pantalla. Al seleccionarlo, aparecerá en la pantalla y será colocado en cualquier parte usando el mismo procedimiento definido para las componentes anteriores. El voltímetro fue girado en el sentido de las manecillas del reloj usando el procedimiento descrito para los elementos. Se efectúa doble clic sobre cualquier símbolo de medidor, y aparecerá un cuadro de diálogo Multimeter donde la función del medidor debe ser definida. Como el medidor XMM1 será usado como un amperímetro, la letra A será seleccionada y la línea horizontal lo será para indicar el nivel de cd. No hay necesidad de seleccionar Set para los valores por omisión ya que han sido elegidos para la amplia gama de aplicaciones. Las ventanas de diálogo de los medidores pueden ser movidas a cualquier ubicación haciendo clic sobre su barra de encabezado para volverlos azul oscuro y desplazar entonces el medidor a la posición preferida. Para el voltímetro, V y la barra horizontal fueron seleccionados como se muestra en la figura 4.31. Por último, los elementos deben ser conectados. Esto se logra llevando el cursor a un extremo de un elemento, digamos, a la parte superior de la fuente de voltaje, con el resultado de que un pequeño punto y una cruz aparecerán en el extremo superior del elemento. Se da clic una vez, se sigue la trayectoria preferida, y se coloca la cruz sobre la terminal positiva del amperímetro. Luego se da clic de nuevo y el alambre aparecerá en posición. En este punto el estudiante debe darse cuenta de que el paquete de software tiene sus preferencias acerca de cómo quiere conectar los elementos. Esto es, el estudiante puede tratar de dibujarlo de una manera, pero lo generado por la computadora tal vez resulte en una trayectoria diferente. Con el tiempo se toma conciencia de esas preferencias y se logra fijar la red al gusto personal. Por ahora se debe continuar haciendo las conexiones que aparecen en la figura 4.31, moviendo elementos para que las líneas se ajusten según sea necesario. Es importante asegurarse de que aparezca el pequeño punto en cualquier lugar donde se desee una conexión. Su ausencia sugiere que la conexión no ha sido hecha y que el programa de software no ha aceptado la entrada. Ahora ya es posible correr el programa y ver la solución. El análisis puede ser iniciado de varias maneras. Una opción es seleccionar Simulate desde la barra de herramientas superior, seguido por RUN/STOP. Otra es seleccionar la tecla Simulate en el agrupamiento de la barra de diseño en la barra de herramientas superior; aparece como un diagrama con trazo verde, fino, sobre un fondo negro. La última opción, y la que más se usará en este análisis, requiere un interruptor

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PROBLEMAS

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OFF/ON, 0/1 sobre la pantalla. Este interruptor se obtiene por medio de VIEWShow Simulate Switch y aparecerá como se muestra en la esquina superior derecha de la figura 4.31. Usando esta última opción, el análisis (llamado Simulation) se inicia colocando el cursor sobre el 1 del interruptor y haciendo clic con el botón izquierdo del ratón. El análisis será ejecutado, y la corriente y el voltaje aparecerán sobre el medidor como se muestra en la figura 4.31. Observe que ambos están dando los resultados esperados. A continuación se proporciona uno de los conceptos más importantes por aprender acerca de la aplicación de EWB: Siempre detenga o termine la simulación (haciendo clic sobre 0 o seleccionando OFF) antes de efectuar cualquier cambio en la red. Cuando la simulación se haya iniciado, permanecerá en ese modo hasta que se apague. Es obvio que una gran cantidad de material quedó por aprender en este primer ejercicio usando Electronics Workbench. Sin embargo, el estudiante puede estar seguro de que conforme continuemos con más ejemplos, encontrará el procedimiento bastante directo y entretenido en su aplicación.

PROBLEMAS SECCIÓN 4.1

Ley de Ohm

1. ¿Cuál es la caída de potencia en un resistor de 6 si la corriente que transporta es de 2.5 A? 2. ¿Cuál es la corriente a través de un resistor de 72 si la caída de voltaje en él es de 12 V? 3. ¿Cuánta resistencia se requiere para limitar la corriente a 1.5 mA si la caída de potencial en el resistor es de 6 V? 4. En el arranque, ¿cuál es la extracción de corriente en una batería de automóvil de 12 V si la resistencia de arranque del motor es de 0.056 ? 5. Si la corriente a través de un resistor de 0.02 M es de 3.6 A, ¿cuál es la caída de voltaje en el resistor? 6. Si un voltímetro tiene una resistencia interna de 15 k , encuentre la corriente a través del medidor cuando registra 62 V. 7. Si un refrigerador extrae 2.2 A a 120 V, ¿cuál es su resistencia? 8. Si un reloj tiene una resistencia interna de 7.5 k , encuentre la corriente que pasa por él cuando se enchufa a una toma de 120 V. 9. Una lavadora es clasificada en 4.2 A a 120 V. ¿Cuál es su resistencia interna?

SECCIÓN 4.2

Trazado de la ley de Ohm

14. Trace las gráficas lineales de un resistor de 100 y de otro de 0.5 sobre la gráfica de la figura 4.6. Si es necesario, reproduzca la gráfica. 15. Esboce las características de un dispositivo que tiene resistencia interna de 20 desde 0 hasta 10 V y resistencia interna de 2 para voltajes mayores. Use los ejes de la figura 4.6. Si es necesario, reproduzca la gráfica. 16. Trace las gráficas lineales de un resistor de 2 k y de otro de 50 k sobre la gráfica de la figura 4.6. Use una escala horizontal que se extienda desde 0 hasta 20 V y un eje vertical con escala en miliamperes. Si es necesario, reproduzca la gráfica. 17. ¿Cuál es el cambio en voltaje en un resistor de 2 k establecido mediante un cambio en corriente de 400 mA a través del resistor? *18. a. Use los ejes de la figura 4.10 y esboce las características de un dispositivo que tiene una resistencia interna de 500 desde 0 hasta 1 V y 50 entre 1 V y 2 V. Su resistencia cambia entonces a 20 para voltajes mayores. El resultado es un conjunto de características muy similares a las de un dispositivo electrónico llamado diodo túnel. b. Use las características mencionadas en el ejercicio anterior y determine la corriente resultante a voltajes de 0.7 V, 1.5 V y 2.5 V.

10. Si un cautín extrae 0.76 A a 120 V, ¿cuál es su resistencia? 11. La corriente de entrada a un transistor es de 20 A. Si el voltaje aplicado (de entrada) es de 24 mV, determine la resistencia de entrada del transistor. 12. La resistencia interna de un generador de cd es de 0.5 . Determine la pérdida de voltaje en él debida a esta resistencia interna si la corriente es de 15 A.

SECCIÓN 4.3

Potencia

19. Si 420 J de energía son absorbidos por un resistor en 7 minutos, ¿cuál es la potencia en el resistor? 20. La potencia en un dispositivo es de 40 joules por segundo (J/s). ¿Qué tiempo le tomará entregar 640 J?

*13. a. Si un calentador eléctrico extrae 9.5 A al estar conectado a una fuente de 120 V, ¿cuál es su resistencia interna?

21. a. ¿Cuántos joules de energía disipa una luz nocturna de 2 W en 8 horas? b. ¿Cuántos kilowatts-hora disipa?

b. Emplee las relaciones básicas del capítulo 2 para responder a la pregunta: ¿cuánta energía se convierte en 1 h?

22. Por un resistor de 10 fluye una carga a razón de 300 coulombs por minuto (C/min). ¿Cuánta potencia es disipada?

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LEY DE OHM, POTENCIA Y ENERGÍA

23. ¿Cuánto tiempo debe existir una corriente permanente de 2 A en un resistor que tiene 3 V en él para disipar 12 J de energía? 24. ¿Cuál es la potencia entregada por una batería de 6 V si la carga fluye a razón de 48 C/min? 25. La corriente a través de un resistor de 4 es de 7 mA. ¿Cuál es la potencia entregada al resistor? 26. La caída de voltaje en un resistor de 3 es de 9 mV. ¿Cuál es la entrada de potencia al resistor? 27. Si la entrada de potencia a un resistor de 4 es de 64 W, ¿cuál es la corriente a través del resistor? 28. Un resistor de 1/2 W tiene una resistencia de 1000 . ¿Cuál es la corriente máxima que puede llevar con seguridad? 29. Un resistor de 2.2 k en un sistema estéreo disipa 42 mW de potencia. ¿Cuál es el voltaje en el resistor? 30. Una batería de cd puede entregar 45 mA a 9 V. ¿Cuál es su valor nominal de potencia? 31. ¿Cuáles son el nivel de resistencia “caliente” y la corriente nominal de un foco de 100 W a 120 V? 32. ¿Cuáles son la resistencia interna y el valor nominal de voltaje de una lavadora automática de 450 W que extrae 3.75 A? 33. Una calculadora con batería interna de 3 V extrae 0.4 mW funcionando plenamente. a. ¿Cuál es la demanda de corriente del suministro? b. Si la calculadora está clasificada para operar 500 h con la misma batería, ¿cuál es el valor nominal en ampere-hora de la batería? 34. Un resistor de 20 k tiene un valor nominal de 100 W. ¿Cuáles son la corriente máxima y el voltaje máximo que pueden aplicarse al resistor? *35. a. Grafique la potencia en función de la corriente para un resistor de 100 . Use una escala de potencia de 0 a 1 W y una escala de corriente de 0 a 100 mA con divisiones de 0.1 W y 10 mA, respectivamente. b. ¿Es la gráfica lineal o no lineal? c. Usando la gráfica resultante, determine la corriente a un nivel de potencia de 500 mW. *36. Un televisor en blanco y negro pequeña, portátil, extrae 0.455 A a 9 V. a. ¿Cuál es el valor nominal de potencia de la televisión? b. ¿Cuál es la resistencia interna de la televisión? c. ¿Cuál es la energía convertida en 6 h de vida normal de la batería? *37. a. Si a una casa se le suministra un servicio de 120 V y 100 A, encuentre la capacidad máxima de potencia. b. ¿Puede el propietario operar con seguridad las siguientes cargas al mismo tiempo? motor de 5 hp secadora de ropa de 3000 W estufa eléctrica de 2400 W plancha de vapor de 1000 W SECCIÓN 4.5 Eficiencia 38. ¿Cuál es la eficiencia de un motor que tiene una salida de 0.5 hp con una entrada de 450 W?

39. El motor de una sierra de potencia está clasificado con 68.5% de eficiencia. Si se requieren 1.8 hp para cortar una pieza particular de madera, ¿cuál es la corriente extraída de un suministro de 120 V? 40. ¿Cuál es la eficiencia del motor de una secadora que entrega 1 hp cuando la corriente de entrada y el voltaje son 4 A y 220 V, respectivamente? 41. Un sistema estéreo extrae 2.4 A a 120 V. La potencia de salida del audio es de 50 W. a. ¿Cuánta potencia se pierde en forma de calor en el sistema? b. ¿Cuál es la eficiencia del sistema? 42. Si un motor eléctrico con eficiencia de 87% que opera en una línea de 220 V entrega 3.6 hp, ¿qué corriente de entrada extrae? 43. Un motor está clasificado para entregar 2 hp. a. Si el motor funciona con 110 V y tiene 90% de eficiencia, ¿cuántos watts extrae de la línea de potencia? b. ¿Cuál es la corriente de entrada? c. ¿Cuál es la corriente de entrada si el motor tiene sólo 70% de eficiencia? 44. Un motor eléctrico usado en un elevador tiene una eficiencia de 90%. Si el voltaje de entrada es de 220 V, ¿cuál es la corriente de entrada cuando el motor entrega 15 hp? 45. Un motor de 2 hp impulsa una banda abrasiva. Si la eficiencia del motor es de 87% y la de la banda es de 75% debido a deslizamientos, ¿cuál es la eficiencia total del sistema? 46. Si dos sistemas en cascada tienen cada uno una eficiencia de 80% y la energía de entrada es de 60 J, ¿cuál es la energía de salida? 47. La eficiencia total de dos sistemas en cascada es de 72%. Si la eficiencia de uno es de 0.9, ¿cuál es la eficiencia en porcentaje del otro? *48. Si la entrada y la salida totales de potencia de dos sistemas en cascada son de 400 W y 128 W, respectivamente, ¿cuál es la eficiencia de cada sistema si uno tiene el doble de eficiencia que el otro? 49. a. ¿Cuál es la eficiencia total de tres sistemas en cascada con eficiencias individuales de 98, 87 y 21%? b. Si el sistema con la menor eficiencia (21%) fuese retirado y reemplazado por otro con una eficiencia de 90%, ¿cuál sería el incremento porcentual total en eficiencia? 50. a. Efectúe las siguientes conversiones: 1 Wh a joules 1 kWh a joules b. Con base en los resultados de la parte (a), analice y exponga cuándo es más apropiado usar una unidad o la otra. SECCIÓN 4.6

Energía

51. Un resistor de 10 está conectado a una batería de 15 V. a. ¿Cuántos joules de energía se disiparán en 1 minuto? b. Si el resistor se deja conectado 2 min en vez de 1 min, ¿aumentará la energía usada? ¿Aumentará el nivel de disipación de potencia? 52. ¿Cuánta energía en kilowatts hora se requiere para mantener funcionando un motor de 230 W durante 12 h por semana a lo largo de 5 meses? (Usa 41⁄3 semanas = 1 mes.)

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53. ¿Cuánto tiempo un calentador de 1500 W puede estar encendido antes de usar más de 10 kWh de energía? 54. ¿Cuánto cuesta usar un radio de 30 W durante 3 horas a 9¢ por kilowatt-hora? 55. a. En 10 h un sistema eléctrico convierte 500 kWh de energía eléctrica en calor. ¿Cuál es el nivel de potencia del sistema? b. Si el voltaje aplicado es de 208 V, ¿cuál es la corriente extraída del suministro? c. Si la eficiencia del sistema es de 82%, ¿cuánta energía se pierde o almacena en 10 horas? 56. a. A 9¢ por kilowatt-hora, ¿cuánto tiempo puede mantenerse encendido un televisor a colores de 250 W por $1? b. Por $1, ¿cuánto tiempo puede usarse una secadora de 4.8 kW? c. Compare los resultados de las partes (a) y (b), y comente acerca del efecto del nivel de potencia sobre el costo relativo de usar un aparato. 57. ¿Cuál es el costo total de usar lo siguiente a 9 ¢ por kilowatthora? Acondicionador de aire de 860 W durante 24 horas Secadora de ropa de 4800 W durante 30 minutos Lavadora de 400 W durante 1 hora Lavavajillas de 1200 W durante 45 minutos

GLOSARIO

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*58. ¿Cuál es el costo total de usar lo siguiente a 9¢ por kilowatthora? Estéreo de 110 W durante 4 horas Proyector de 1200 W durante 20 minutos Grabadora de cintas de 60 W durante 1.5 horas Televisor a color de 150 W durante 3 horas 45 minutos SECCIÓN 4.9

Análisis por computadora

PSpice o Electronics Workbench 59. Repita el análisis del circuito mostrado en la figura 4.29 con E  400 mV y R  0.04 M . 60. Repita el análisis del circuito mostrado en la figura 4.29 pero invierta la polaridad de la batería y use E  0.02 V y R  240 . Lenguaje de programación (C, QBASIC, Pascal, etc.) 61. Escriba un programa para calcular el costo de usar cinco aparatos diferentes durante periodos variables si el costo unitario es de 9¢ por kilowatt-hora. 62. Solicite I, R y t y determine V, P y W. Imprima los resultados con las unidades apropiadas.

GLOSARIO Caballo de potencia (hp) Medida equivalente a 746 watts en el sistema eléctrico. Cortacircuito Dispositivo de dos terminales diseñado para asegurar que la corriente no exceda los niveles de seguridad. Si el cortacircuito se “desconecta”, puede restablecerse con un interruptor o un botón. Diodo Dispositivo semiconductor cuyo comportamiento es muy parecido al de un interruptor sencillo; esto es, de manera ideal, un diodo pasará corriente en una sola dirección al operar dentro de límites específicos. Eficiencia () Razón de potencia de salida a potencia de entrada que proporciona información inmediata sobre las características de conversión de energía de un sistema. Energía (W) Cantidad cuyo cambio de estado se determina mediante el producto de la tasa de conversión (P) y el periodo implicado (t). Se mide en joules (J) o watts-segundo (Ws).

Fusible Dispositivo con dos terminales cuya única finalidad es asegurar que los niveles de corriente en un circuito no exceden los niveles de seguridad. Ley de ohm Ecuación que establece una relación entre la corriente, el voltaje y la resistencia de un sistema eléctrico. Medidor de kilowatts-hora Instrumento para medir los kilowatts-hora de energía suministrada a un usuario de electricidad residencial o comercial. Potencia Indicación de cuánto trabajo puede ser realizado en una cantidad específica de tiempo. Se mide en joules/segundo (J/s) o watts (W). Watímetro Instrumento capaz de medir la potencia entregada a un elemento detectando tanto el voltaje como la corriente a través del elemento.

5

SS

Circuitos en serie

5.1 INTRODUCCIÓN Existen dos tipos de corriente disponibles para el consumidor de hoy. Uno es la corriente directa (cd), en la que idealmente el flujo de carga (corriente) no cambia en magnitud (o dirección) con el tiempo. La otra es la corriente alterna senoidal (ca), en la que el flujo de carga se encuentra cambiando continuamente en magnitud (y dirección) con el tiempo. Algunos de los capítulos siguientes presentan una introducción al análisis de circuitos únicamente desde el enfoque de cd. Se analizarán con todo detalle los métodos y conceptos para la corriente directa; en la medida de lo posible, un breve análisis será suficiente para cubrir cualquier variación que pudiera encontrarse cuando se considere el tipo de ca en capítulos posteriores. La batería de la figura 5.1, por virtud de la diferencia de potencial entre sus terminales, tiene la habilidad de causar (o “presionar” para) que la carga fluya a través del circuito simple. La terminal positiva atrae los electrones a través del cable al mismo ritmo con que éstos son proporcionados por la terminal negativa. Siempre que la batería se encuentre conectada dentro del circuito y mantenga sus características terminales, la corriente (cd) a través del circuito no cambiará en magnitud ni en dirección.

Batería

+

Iconvencional R

E (volts)

–

Ielectrón

V =— E I =— R R V

+ –

FIGURA 5.1 Presentación de los componentes básicos de un circuito eléctrico.

Si consideramos que el cable es un conductor ideal (es decir, que no presenta resistencia al flujo), la diferencia de potencial V en el resistor será igual al voltaje aplicado de la batería: V (volts)  E (volts).

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S

CIRCUITOS EN SERIE

⏐⏐⏐

I

– E+

Para todos los circuitos de cd con una fuente de voltaje.

FIGURA 5.2 Definición de la dirección del flujo convencional para circuitos de cd con una sola fuente. + V – I

R

Para cualquier combinación de fuentes de voltaje dentro del mismo circuito de cd.

FIGURA 5.3 Definición de la polaridad resultante de una corriente convencional I a través de un elemento resistivo.

La corriente está limitada únicamente por el resistor R. Mientras mayor sea la resistencia, menor será la corriente, y de forma recíproca, según lo determina la ley de Ohm. Por convención (como se analizó en el capítulo 2), la dirección del flujo de corriente convencional Iconvencional que se muestra en la figura 5.1, es opuesta a la del flujo de electrones (Ielectrón). Además, el flujo uniforme de carga estipula que la corriente directa I será la misma en todo el circuito. Al seguir la dirección del flujo convencional, se observa que existe una elevación del potencial a través de la batería ( a ), y una caída de potencial a través del resistor ( a ). Para circuitos de cd con una sola fuente de voltaje, el flujo convencional pasa siempre de un potencial bajo a un potencial alto cuando atraviesa una fuente de voltaje, como se muestra en la figura 5.2. Sin embargo, el flujo convencional siempre atraviesa de un potencial alto a uno bajo cuando pasa a través del resistor para cualquier número de fuentes de voltaje dentro del mismo circuito, como se muestra en la figura 5.3. El circuito de la figura 5.1 presenta la configuración más simple posible. Este capítulo y los capítulos siguientes añadirán elementos a este sistema de una forma muy específica para presentar una gama de conceptos que darán forma a la mayor parte de los fundamentos requeridos para analizar sistemas más complejos. El lector debe estar consciente de que las leyes, reglas, etc., presentadas en los capítulos 5 y 6 se utilizarán a lo largo de sus estudios en sistemas eléctricos, electrónicos y computacionales. Tales conceptos no serán desechados a cambio de un conjunto más avanzado a medida que se progrese hacia un material más sofisticado; por tanto, resulta crítico que se comprendan completamente y que los distintos procedimientos y métodos se apliquen con confianza.

5.2 CIRCUITOS EN SERIE Un circuito consta de cualquier número de elementos conectados en puntos terminales, ofreciendo al menos una ruta cerrada por la cual pueda fluir la carga. El circuito de la figura 5.4(a) cuenta con tres elementos conectados en tres puntos terminales (a, b y c) para obtener una ruta cerrada para la corriente I. R1

a

Dos elementos se encuentran en serie si:

b

I

I

+ E

R2

– I

I

c (a) Circuitos en serie I′ R3 R1

b R2

(b) R1 y R2 no están en serie

FIGURA 5.4 (a) Circuito en serie; (b) situación en la que R1 y R2 no se encuentran en serie.

1. Solo cuentan con una terminal en común (es decir, una terminal de un elemento se encuentra conectada solamente a una terminal del otro elemento). 2. El punto común entre los dos elementos no se encuentra conectado con otro elemento que transporta corriente. En la figura 5.4(a), los resistores R1 y R2 se encuentran en serie debido a que solo cuentan con el punto b en común. Los otros extremos de los resistores están conectados con cualquier otra parte del circuito. Por la misma razón, la batería E y el resistor R1 se encuentran en serie (con la terminal a en común), y el resistor R2 y la batería E también están en serie (terminal c en común). Dado que todos los elementos se encuentran en serie, la red se denomina circuito en serie. Dos ejemplos comunes de conexiones en serie incluyen el atado de dos piezas pequeñas de cuerda juntas para formar una cuerda más grande y la conexión de tuberías para llevar agua de un punto a otro. Si el circuito de la figura 5.4(a) se modificara de forma que se insertara un resistor R3 que transporte corriente como se muestra en la figura 5.4(b), los resistores R1 y R2 ya no estarán en serie debido a la violación del inciso 2 de la definición anterior de los elementos en serie. La corriente es la misma a lo largo de los elementos en serie. Por tanto, para el circuito de la figura 5.4(a), la corriente I a través de cada resistor será la misma que sobre la batería. El hecho de que la corriente sea la

S

5.2 CIRCUITOS EN SERIE

⏐⏐⏐

131

misma a través de los elementos en serie es regularmente utilizado como un camino para determinar si dos elementos se encuentran en serie o para confirmar una conclusión. Una rama de un circuito es cualquier segmento del circuito que cuente con uno o más elementos en serie. En la figura 5.4(a), el resistor R1 forma una rama del circuito, el resistor R2 otra, y la batería E una tercera. La resistencia total de un circuito en serie es la suma de los niveles de resistencia. En la figura 5.4(a), por ejemplo, la resistencia total (RT) será igual a R1  R2. Advierta que la resistencia total es realmente la resistencia “observada” por la batería, cuando ésta se “asoma” hacia la combinación en serie de los elementos como se muestra en la figura 5.5. En general, para calcular la resistencia total de N resistores en serie, se aplica la siguiente ecuación: RT  R1  R2  R3  . . .  RN

(ohms, )

FIGURA 5.5 Resistencia “observada” por la fuente.

Is RT

+ RT = R1 + R2

E

(ampere, A)

–

(5.2) Is

Dado que E es fija, la magnitud de la corriente de la fuente será totalmente dependiente de la magnitud de RT. Una RT más grande dará por resultado un valor relativamente pequeño de Is, mientras que un menor valor de RT ocasionará niveles más altos de corriente. El hecho de que la corriente sea la misma por cada elemento de la figura 5.4(a) permite un cálculo directo del voltaje en cada resistor utilizando la ley de Ohm; es decir, V1  IR1, V2  IR2, V3  IR3, . . . , VN  IRN

(volts, V)

(5.3)

La potencia entregada a cada resistor puede entonces determinarse utilizando cualquiera de las tres ecuaciones que a continuación se presentan para R1: V 21 P1  V1I1  I 21 R1  R1

(watts, W)

(5.4)

La potencia entregada por la fuente es: Pdel  EI

R2

(5.1)

Una vez que se conoce la resistencia total, el circuito de la figura 5.4(a) puede volverse a trazar como se muestra en la figura 5.6, mostrando claramente que la única resistencia que la fuente “observa” será la resistencia total. La fuente es completamente inconsciente de la forma en que los elementos se conectaron para establecer RT. Una vez que RT se conoce, la corriente extraída de la fuente puede determinarse utilizando la ley de Ohm de la siguiente forma: E Is  RT

R1

(watts, W)

(5.5)

La potencia total entregada a un circuito resistivo será igual a la potencia total disipada por los elementos resistivos. Es decir, Pdel  P1  P2  P3  . . .  PN

(5.6)

Circuito equivalente

FIGURA 5.6 Reemplazo de los resistores en serie R1 y R2 de la figura 5.5 con la resistencia total.

132

S

CIRCUITOS EN SERIE

⏐⏐⏐

+ V1 – R1 = 2 

I

+

+

E

20 V

–

1  V2

R2

–

RT R3 = 5 

I

EJEMPLO 5.1 a. Calcule la resistencia total del circuito en serie de la figura 5.7. b. Calcule la corriente de la fuente Is. c. Determine los voltajes V1, V2 y V3. d. Calcule la potencia disipada por R1, R2 y R3. e. Determine la potencia entregada por la fuente, y compárela con la suma de los niveles de potencia del inciso (d).

– V3 +

Soluciones: a. RT  R1  R2  R3  2  1  5  8 

FIGURA 5.7 Ejemplo 5.1.

20 V E b. Is    2.5 A 8 RT c. V1  IR1  (2.5 A)(2 )  5 V V2  IR2  (2.5 A)(1 )  2.5 V V3  IR3  (2.5 A)(5 )  12.5 V d. P1  V1I1  (5 V)(2.5 A)  12.5 W P2  I 22R2  (2.5 A)2(1 )  6.25 W P3  V 23 /R3  (12.5 V)2/5  31.25 W e. Pdel  EI  (20 V)(2.5 A)  50 W Pdel  P1  P2  P3 50 W  12.5 W  6.25 W  31.25 W 50 W  50 W (se comprueba) Para calcular la resistencia total de N resistores del mismo valor en serie, simplemente multiplique el valor de uno de los resistores por el número en serie; es decir,

– V2 + R1 = 7 

I

RT  NR

(5.7)

R2 = 4 

– E

+

R3

50 V

7

RT R4

I

Solución: Observe la dirección de la corriente según la establece la batería y la polaridad de la caída de voltaje en R2 como la determina la dirección de la corriente. Dado que R1  R3  R4,

I

7

RT  NR1  R2  (3)(7 )  4  21  4  25  50 V E I  2A 25 RT

FIGURA 5.8 Ejemplo 5.2.

V2  IR2  (2 A)(4 )  8 V

4 k R1

R2

RT = 12 k R3

E

I = 6 mA

FIGURA 5.9 Ejemplo 5.3.

EJEMPLO 5.2 Determine RT, I y V2 para el circuito de la figura 5.8.

6 k

Los ejemplos 5.1 y 5.2 son problemas del tipo de sustitución directa y relativamente fáciles de resolver mediante la práctica. Sin embargo, el ejemplo 5.3 es evidencia de otro tipo de problemas que requieren un firme entendimiento de las ecuaciones fundamentales y la habilidad para identificar la ecuación que debe utilizarse primero. La mejor preparación para este tipo de ejercicios es simplemente trabajar con la mayor cantidad posible de ellos.

EJEMPLO 5.3 Dados RT e I, calcule R1 e E para el circuito de la figura 5.9.

S

5.4 LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF

Solución:

E1

RT  R1  R2  R3 12 k  R1  4 k  6 k R1  12 k 10 k  2 k

E2

+ –

–

10 V

E3

+ –

6V

⏐⏐⏐

133

ET I

I

– +

+

2V

18 V (a)

E  IRT  (6  10 3 A)(12  103 )  72 V I

5.3 FUENTES DE VOLTAJE EN SERIE

E1

E2

– +

+

E3

– +

ET

I

–

–

+

Las fuentes de voltaje pueden conectarse en serie, como se muestra en la figura 5.10, para incrementar o disminuir el voltaje total aplicado a un sistema. El voltaje neto se determina simplemente al sumar las fuentes con la misma polaridad y restando el total de las fuentes con polaridad opuesta. La polaridad neta será la polaridad de la suma más grande. Por ejemplo, en la figura 5.10(a), todas las fuentes “presionan” la corriente a la derecha, por lo que el voltaje neto es: ET  E1  E2  E3  10 V  6 V  2 V  18 V como se observa en la figura. Sin embargo, en la figura 5.10(b), la mayor “presión” es hacia la izquierda, con un voltaje neto de: ET  E2  E3 E1  9 V  3 V 4 V  8 V

4V

9V

3V

8V

(b)

FIGURA 5.10 Reducción de fuentes de voltaje de cd en serie a una sola fuente.

Alemán (Königsberg, Berlín) (1824-1887) Físico Profesor de física, Universidad de Heidelberg

y la polaridad mostrada en la figura.

Cortesía de Smithsonian Institution Fotografía núm. 58,283

5.4 LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF Observe la figura 5.11. La ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) establece que la suma algebraica de las elevaciones y caídas de potencial alrededor de un lazo (o trayectoria) cerrado es cero. Un lazo cerrado es cualquier trayectoria continua que sale de un punto en una dirección y regresa al mismo punto desde otra dirección sin abandonar el circuito. En la figura 5.12, al seguir la corriente, es posible trazar una ruta continua que parte del punto a cruzando R1 y regresa a través de E sin abandonar el circuito. Por tanto, abcda es un lazo cerrado. Para que podamos aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff, la suma de las elevaciones y caídas de potencial debe realizarse en una sola dirección alrededor del lazo cerrado. Por cuestiones de uniformidad, se empleará la dirección en el sentido de las manecillas del reloj a lo largo de este libro para todas las aplicaciones de la ley de voltaje de Kirchhoff. Sin embargo, tenga presente que el mismo resultado se obtendrá si se elige la dirección contraria a las manecillas del reloj y se aplica la ley de forma correcta. Se aplica un signo positivo para una elevación de potencial ( a ), y un signo negativo para una caída de potencial ( a ). Al seguir la corriente en la figura 5.12 desde el punto a, primero se encuentra una caída de potencial V1 ( a ) a través de R1, y luego otra caída de potencial V2 a través de R2. Al continuar a través de la fuente de voltaje, se tiene una elevación de potencial E ( a ) antes de regresar al punto a. En forma simbólica, donde Σ representa una sumatoria, el lazo cerrado, y V las caídas y elevaciones de potencial, se tiene:  V0

(Ley de voltaje de Kirchhoff en forma simbólica)

(5.8)

A pesar de que contribuyó en varias áreas bajo el dominio de la física, es mejor conocido por su trabajo en el área eléctrica, donde presentó su definición de la relaciones entre las corrientes y los voltajes de una red en 1847. Realizó amplios trabajos con el químico alemán Robert Bunsen (quien desarrolló el mechero Bunsen), dando por resultado el descubrimiento de los importantes elementos cesio y rubidio.

FIGURA 5.11 Gustav Robert Kirchhoff.

+ V1 –

a

b

I

R1

I

E

LVK

R2

+

+ –

V2

– I

d

c

FIGURA 5.12 Aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff a un circuito de cd en serie.

134

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

la cual produce para el circuito de la figura 5.12 (en dirección de las manecillas del reloj, siguiendo la corriente I e iniciando en el punto d): E V1 V2  0 E  V1  V2

o bien, mostrando que,

el voltaje aplicado de un circuito en serie equivale a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie. La ley de voltaje de Kirchhoff también puede enunciarse de la siguiente forma:  Velevaciones   Vcaídas

(5.9)

la cual establece, en palabras, que la suma de las elevaciones alrededor de un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de potencial. Sin embargo, en el presente libro se pondrá énfasis en la utilización de la ecuación (5.8). Si el lazo se tomara en el sentido contrario de las manecillas del reloj comenzando por el punto a, se obtendría lo siguiente:  V0

E  V2  V1  0 E  V1  V2

o, de la forma anterior,

La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff no necesita seguir una ruta que incluya elementos portadores de corriente. a

+

Vx

–

b

Por ejemplo, en la figura 5.13 existe una diferencia en el potencial entre los puntos a y b, incluso cuando los dos puntos no se encuentran conectados por un elemento portador de corriente. La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado dará por resultado una diferencia de potencial de 4 V entre los dos puntos. Es decir, utilizando la dirección de las manecillas del reloj:

8V

12 V

12 V Vx 8 V  0 FIGURA 5.13 Demostración de que puede existir un voltaje entre dos puntos no conectados mediante un conductor portador de corriente.

Vx  4 V

y

EJEMPLO 5.4 Determine los voltajes desconocidos para las redes de la figura 5.14.

+ V1 –

+ 4.2 V –

+ 12 V –

+ 6V –

R1

R2

R1

R2

+ + E1

16 V

E2

9V

E

32 V

Vx

R3

14 V

–

–

(a)

(b)

FIGURA 5.14 Ejemplo 5.4.

Solución: Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff, asegúrese de concentrarse en las polaridades de la caída o elevación de voltaje en lugar de hacerlo

S

5.4 LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF

⏐⏐⏐

sobre el tipo de elemento. En otras palabras, no trate una caída de voltaje en un elemento resistivo de forma distinta a una caída de voltaje en una fuente. Si la polaridad indica que existe una caída, esto será lo importante al aplicar la ley. En la figura 5.14(a), por ejemplo, si elegimos la dirección de las manecillas del reloj, veremos que existe una caída en los resistores R1 y R2 y una caída en la fuente E2. Por tanto, todo tendrá un signo negativo cuando se aplique la ley de voltaje de Kirchhoff. La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de la figura 5.14(a) en la dirección de las manecillas del reloj dará por resultado: E1 V1 V2 E2  0 y

V1  E1 V2 E2  16 V 4.2 V 9 V  2.8 V

El resultado indica claramente que no era necesario conocer los valores de los resistores o de la corriente para determinar el voltaje desconocido. Los otros niveles de voltaje cuentan con suficiente información para determinar la incógnita. En la figura 5.14(b) el voltaje desconocido no se encuentra en un elemento portador de corriente. Sin embargo, como se indicó en los párrafos anteriores, la ley de voltaje de Kirchhoff no se encuentra limitada a los elementos portadores de corriente. En este caso existen dos posibles trayectorias para encontrar la incógnita. Utilizando la trayectoria de las manecillas del reloj, que incluye la fuente de voltaje E, se obtendrá: E V1 Vx  0 y

Vx  E V1  32 V 12 V  20 V

Al utilizar la dirección de las manecillas del reloj para el otro lazo que contiene a R2 y a R3 se obtendría el siguiente resultado: Vx V2 V3  0 y

Vx  V2  V3  6 V  14 V  20 V

lo que coincide con el resultado anterior.

EJEMPLO 5.5 Calcule V1 y V2 para la red de la figura 5.15. +

Solución: Para la trayectoria 1, iniciando en el punto a en dirección de las manecillas del reloj: 25 V V1  15 V  0 y

V1  40 V

25 V

V1

y

a

+ 2

El siguiente ejemplo enfatizará el hecho de que cuando aplicamos la ley de voltaje de Kirchhoff, son las polaridades de las elevaciones o caídas de voltaje los parámetros importantes y no el tipo de elemento involucrado.

V2

–

V2  20 V

El signo negativo indica solamente que las polaridades reales de la diferencia de potencial son opuestas a la polaridad supuesta indicada en la figura 5.15.

15 V

1

Para la trayectoria 2, iniciando en el punto a en dirección de las manecillas del reloj:

V2 20 V  0

–

20 V

FIGURA 5.15 Ejemplo 5.5.

135

136

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

EJEMPLO 5.6 Utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff, determine los voltajes desconocidos para la red de la figura 5.16. + 40 V –

+

+ 14 V –

–

a

6V

Vx

60 V

–

+

+

Vx

– b

+ 30 V –

+ 2V –

(a)

(b)

FIGURA 5.16 Ejemplo 5.6.

Solución: Observe en cada circuito que existen diversas polaridades en los elementos desconocidos, dado que éstos pueden contener cualquier mezcla de componentes. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff a la red de la figura 5.16(a) en la dirección de las manecillas del reloj se obtendrá: 60 V 40 V Vx  30 V  0 y

Vx  60 V  30 V 40 V  90 V 40 V  50 V

En la figura 5.16(b) la polaridad del voltaje desconocido no se proporciona. En tales casos, realice un supuesto acerca de la polaridad, y aplique la ley de voltaje de Kirchhoff como antes. Si el resultado tiene signo positivo, la polaridad supuesta fue correcta; si tiene signo negativo, la magnitud es correcta, pero la polaridad supuesta debe invertirse. En este caso, si suponemos que a es positiva y b negativa, la aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff en dirección de las manecillas del reloj dará por resultado:

6 V 14 V Vx  2 V  0 y

Vx  20 V  2 V  18 V

Dado que el resultado es negativo, sabemos que a deberá ser negativa y b positiva, sin embargo, la magnitud de 18 V es correcta.

I

–

+ V2 –

R1

R2

4

+ E

+ V1 –

20 V RT

I

I

FIGURA 5.17 Ejemplo 5.7.

6

EJEMPLO 5.7 Para el circuito de la figura 5.17: a. Calcule RT. b. Calcule I. c. Calcule V1 y V2. d. Encuentre la potencia en los resistores de 4 y 6 . e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la potencia disipada por los resistores de 4 y 6 combinados. f. Verifique la ley de voltaje de Kirchhoff (en dirección de las manecillas del reloj). Soluciones: a. RT  R1  R2  4  6  10  20 V E b. I    2 A 10 RT

S

5.5 INTERCAMBIO DE ELEMENTOS EN SERIE

⏐⏐⏐

137

c. V1  IR1  (2 A)(4 )  8 V V2  IR2  (2 A)(6 )  12 V V2 (8 V)2 64 d. P4  1    16 W R1 4 4

V3 = 15 V

P6  I2R2  (2 A)2(6 )  (4)(6)  24 W e. PE  EI  (20 V)(2 A)  40 W PE  P4  P6 40 W  16 W  24 W 40 W  40 W (se comprueba)

–

R3

I

–

– E

54 V

+

R2

7  V2

R3

20 

+

R1

f.  V  E V1 V2  0 E  V1  V2 20 V  8 V  12 V 20 V  20 V (se comprueba)

+

–

V1 = 18 V

FIGURA 5.18 Ejemplo 5.8. + V2 –

EJEMPLO 5.8 Para el circuito de la figura 5.18: a. Determine V2 utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff. b. Determine I. c. Calcule R1 y R3. Soluciones: a. La ley de voltaje de Kirchhoff (en dirección de las manecillas del reloj):

+

I

10 

5

R1

R2

+ E

75 V

–

E  V3  V2  V1  0 E  V1  V2  V3

o bien,

FIGURA 5.19 Circuito de cd en serie con elementos a ser intercambiados.

y V2  E V1 V3  54 V 18 V 15 V  21 V 21 V V2 b. I    3 A 7 R2 18 V V1 c. R1    6  3A I V3 15 V R3    5  I 3A

I

10 

20 

R1

R3

+

+ E

R2

75 V

–

5  V2

5.5 INTERCAMBIO DE ELEMENTOS EN SERIE Los elementos en serie de un circuito pueden intercambiarse sin afectar la resistencia total, la corriente o la potencia de cada elemento. Por ejemplo, la red de la figura 5.19 puede volverse a trazar como se muestra en la figura 5.20 sin afectar I o V2. La resistencia total RT es 35 en ambos casos, e I  70 V/35  2 A. El voltaje V2  IR2  (2 A)(5 )  10 V para ambas configuraciones. EJEMPLO 5.9 Determine I y el voltaje en el resistor de 7 para la red de la figura 5.21. Solución: La red se vuelve a trazar en la figura 5.22. RT  (2)(4 )  7  15 37.5 V E I    2.5 A 15 RT V7  IR  (2.5 A)(7 )  17.5 V

FIGURA 5.20 Circuito de la figura 5.19 con R2 y R3 intercambiados. + V –

4⍀ I

+

7⍀

+

–

12.5 V

50 V

– 4⍀

FIGURA 5.21 Ejemplo 5.9.

–

138

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE 4

I

– 12.5 V

+

+

E

20 V

R1

6  12 V

R2

3 6V

R3

5.6 REGLA DEL DIVISOR DE VOLTAJE

+

En un circuito en serie,

1 2V

–

R2

6 M 12 V

– 3 M

6V

– +

R3

1 M

2V

–

FIGURA 5.24 La proporción de los valores de resistencia determina la división de voltaje de un circuito de cd en serie.

+ R1

100 V

R2

1 M V1 >> V 2 o V3

–

100 V E I    99.89 mA RT 1,001,100

1 k V2 = 10V3

–

+ R3

–

Por ejemplo, se proporcionan los voltajes en los elementos resistivos de la figura 5.23. El resistor más grande de 6 acapara la mayor parte del voltaje aplicado, mientras que el resistor más pequeño R3 tiene la menor parte. Además observe que, como el nivel de resistencia de R1 es 6 veces el de R3, el voltaje en R1 será 6 veces el de R3. El hecho de que el nivel de resistencia de R2 sea 3 veces el de R1 da por resultado tres veces el voltaje en R2. Por último, dado que R1 es el doble de R2, el voltaje en R1 será el doble de R2. Por tanto, y en general, el voltaje en resistores en serie tendrá la misma proporción que los niveles de resistencia. Resulta particularmente importante observar que si los niveles de resistencia de todos los resistores de la figura 5.23 se incrementan en la misma proporción, como se muestra en la figura 5.24, los niveles de voltaje permanecerán igual. En otras palabras, incluso cuando los niveles de resistencia se incrementen por un factor de 1 millón, las proporciones de voltaje permanecerán iguales. Por tanto, resulta evidente que es la proporción de los valores de los resistores lo que cuenta para la división de voltaje y no la magnitud relativa de todos los resistores. El nivel de corriente de la red será fuertemente afectado por el cambio en el nivel de resistencia de la figura 5.23 a la figura 5.24, pero los niveles de voltaje serán los mismos. Con base en lo anterior, un primer vistazo a la red en serie de la figura 5.25 sugiere que la mayor parte del voltaje aplicado se presentará en el resistor de 1 M y muy poco en el resistor de 100 . De hecho 1 M  (1000)1 k  (10,000)100 , mostrando que V1  1000V2  10,000V3. Al resolver para la corriente y luego para los tres niveles de voltaje se obtendrá:

+ E

7 V

el voltaje en los elementos resistivos se dividirá en función de la magnitud de los niveles de resistencia.

+ 20 V

–

+ 37.5 V

–

+

E

–

–

FIGURA 5.22 Nuevo trazado del circuito de la figura 5.21.

– +

FIGURA 5.23 Muestra de la forma en que el voltaje se dividirá en los elementos resistivos en serie.

R1

I 7 V

50 V

4

+

+

+ –

4

4

100 V3

–

R1 >> R2 o R3 FIGURA 5.25 Los elementos resistivos en serie más grandes acapararán la mayor parte del voltaje aplicado.

y V1  IR1  (99.89 mA)(1 M )  99.89 V V2  IR2  (99.89 mA)(1 k )  99.89 mV  0.09989 V V3  IR3  (99.89 mA)(100 )  9.989 mV  0.009989 V corroborando claramente las conclusiones anteriores. En lo futuro, por tanto, utilice este método para estimar la parte del voltaje de entrada en los elementos en serie como una forma de verificación de los cálculos reales o simplemente para obtener un estimado con el mínimo de esfuerzo.

S

5.6 REGLA DEL DIVISOR DE VOLTAJE

En el análisis anterior la corriente se determinó antes que el voltaje de la red. Sin embargo, existe un método denominado regla del divisor de voltaje (RDV) que permite la determinación de los niveles de voltaje sin tener que encontrar antes la corriente. La regla puede derivarse mediante el análisis de la red de la figura 5.26.

139

I

+

RT  R1  R2

RT

R1

V1

–

E I  RT

y

⏐⏐⏐

E

+ R2

Al aplicar la ley de Ohm:

V2

–

  E RE V  IR  R  R  R RE E V1  IR1  R1  1 RT RT 2

con:

2

2

2

T

FIGURA 5.26 Desarrollo de la regla del divisor de voltaje.

T

Observe que el formato para V1 y V2 es: Rx E Vx  RT

(regla del divisor de voltaje)

(5.10)

donde Vx es el voltaje en Rx , E es el voltaje en los elementos en serie, y RT es la resistencia total del circuito en serie. En palabras, la regla del divisor de voltaje establece que el voltaje en un resistor en un circuito en serie es igual al valor de ese resistor multiplicado por el voltaje total en los elementos en serie, dividido entre la resistencia total de los elementos en serie. + V1 –

EJEMPLO 5.10 Determine el voltaje V1 para la red de la figura 5.27.

20 

60 

R1

R2

Solución: Con la ecuación (5.10): (20 )(64 V) RE R1E 1280 V    16 V V1  1  20  60 RT R1  R2 80

64 V

E

EJEMPLO 5.11 Utilice la regla del divisor de voltaje y determine los voltajes V1 y V3 para el circuito en serie de la figura 5.28.

FIGURA 5.27 Ejemplo 5.10.

Solución: (2 k )(45 V) (2 k )(45 V) RE V1  1   2 k  5 k  8 k 15 k RT (2  10 )(45 V) 90 V   6V 15  103 15 (8 k )(45 V) (8  103 )(45 V) R3E V3    15 k 15  103 RT

+ R1

2 k V1

–

3

360 V   24 V 15 La regla puede ampliarse al voltaje presente en dos o más elementos en serie si la resistencia en el numerador de la ecuación (5.10) se desarrolla para incluir

+ E

–

45 V

+

R2

5 k

R3

8 k V3

V'

– +

FIGURA 5.28 Ejemplo 5.11.

–

140

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

la resistencia total de los elementos en serie (R′) en los que se calculará el voltaje; es decir, R′E V′  RT

(volts)

(5.11)

EJEMPLO 5.12 Determine el voltaje V ′ en la figura. 5.28 en los resistores R1 y R2. Solución: R′E (2 k  5 k )(45 V) (7 k )(45 V) V′     21 V 15 k 15 k Tampoco existe la necesidad de que el voltaje E en la ecuación sea el voltaje fuente de la red. Por ejemplo, si V es el voltaje total en varios elementos en serie como los que se muestran en la figura 5.29, entonces: 54 V (2 )(27 V) V2    6 V 9 4 2 3

+ 4

V = 27 V 2

– 3

+ V2 –

FIGURA 5.29 El voltaje total en elementos en serie no necesita ser una fuente de voltaje independiente.

4 mA E

+ R1

20 V R2

FIGURA 5.30 Ejemplo 5.13.

VR1

– +

EJEMPLO 5.13 Diseñe el divisor de voltaje de la figura 5.30 de forma VR1  4VR2. Solución: La resistencia total se define mediante: 20 V E RT    5 k 4 mA I

VR2

–

Dado que VR1  4VR2, R1  4R2 De manera que

RT  R1  R2  4R2  R2  5R2

y y

5R2  5 k R2  1 k R1  4R2  4 k

5.7 NOTACIÓN La notación jugará un papel cada vez más importante en los análisis subsiguientes. Por tanto, resulta importante comenzar a analizar la notación utilizada en toda la industria.

S

5.7 NOTACIÓN

⏐⏐⏐

141

Fuentes de voltaje y tierra Excepto en algunos casos especiales, los sistemas eléctricos y electrónicos se aterrizan con propósitos de referencia y de seguridad. El símbolo para la conexión a tierra se muestra en la figura 5.31 junto con su nivel de potencial definido: cero volts. Ninguno de los circuitos analizados hasta aquí ha contenido la conexión a tierra. Si la figura 5.4(a) se volviese a trazar con una fuente de alimentación aterrizada, aparecería como se muestra en la figura 5.32(a), (b) o (c). En cualquier caso, se entiende que la terminal negativa de la batería y la parte inferior del resistor R2 se encuentran con un potencial de

0V

FIGURA 5.31 Potencial de tierra.

a R1 R1 E

R1 E

b

R2

E

R2

(a)

R2

(b)

(c)

FIGURA 5.32 Tres formas de trazar el mismo circuito de cd en serie.

tierra. Aunque la figura 5.32(c) no muestra una conexión entre las dos tierras, se acepta que tal conexión existe para el flujo continuo de carga. Si E  12 V, entonces el punto a será 12 V positivos con respecto a tierra, y existirán 12 V en la combinación en serie de los resistores R1 y R2. Si se coloca un voltímetro desde el punto b hasta tierra se leerán 4 V, por lo que el voltaje en R2 será de 4 V, con el potencial más alto en el punto b. En diagramas muy grandes, donde el espacio es muy escaso y la claridad resulta importante, las fuentes de voltaje pueden indicarse como se muestra en las figuras 5.33(a) y 5.34(a) en lugar de como se ilustra en las figuras 5.33(b) y 5.34(b). Además, los niveles de potencial pueden indicarse como en la figura 5.35, para permitir una verificación rápida de los niveles de potencial en distintos puntos de la red con respecto a tierra y asegurar que el sistema se encuentra operando adecuadamente.

R1

R1

+ –

R2

12 V

R2

(b)

(a)

FIGURA 5.33 Reemplazo de la notación especial de una fuente de voltaje de cd por el símbolo estándar.

–5V R1

+ 12 V

R1

– R2

5V

R2

+ R1 25 V

(a)

(b) R2

FIGURA 5.34 Reemplazo de la notación para una fuente de cd negativa por la notación estándar.

Notación de doble subíndice El hecho de que el voltaje sea una variable que se presenta entre dos puntos ha dado por resultado una notación de doble subíndice que define al primer

R3

FIGURA 5.35 El nivel de voltaje esperado en un punto particular en una red del sistema se encuentra funcionando adecuadamente.

142

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

subíndice como el potencial más alto. En la figura 5.36(a), los dos puntos que definen el voltaje en el resistor R están indicados por a y b. Dado que a es el primer subíndice de Vab, debe tener un mayor potencial que el punto b si Vab cuenta con un valor positivo. Si, de hecho, el punto b se encuentra a un mayor potencial que el punto a, Vab tendrá un valor negativo, como se indica en la figura 5.36(b).

+ I

a

Vab R (Vab = +)

–

–

b

a

(a)

Vab

+

b R (Vab = –)

I

(b)

FIGURA 5.36 Definición del signo para la notación de doble subíndice.

En resumen: La notación de doble subíndice Vab especifica el punto a como el potencial mayor. Si este no es el caso, deberá asociarse un signo negativo con la magnitud de Vab . En otras palabras, el voltaje Vab será el voltaje en el punto a con respecto al punto b.

Notación de subíndice sencillo

Va

Vb

a + E = 10 V

6

+ b

10 V

4V

–

–

4

FIGURA 5.37 Definición del uso de la notación de subíndice sencillo para niveles de voltaje.

Si el punto b de la notación Vab se especifica como potencial de tierra (cero volts), entonces es posible utilizar la notación de subíndice sencillo que proporcione el voltaje en un punto con respecto a tierra. En la figura 5.37, Va es el voltaje del punto a con respecto a tierra. En este caso obviamente es 10 V dado que se encuentra justo en la fuente de voltaje E. El voltaje Vb es el voltaje del punto b a tierra. Dado que éste se encuentra directamente en el resistor de 4 , Vb  4 V. En resumen: La notación de subíndice sencillo Va especifica el voltaje en el punto a con respecto a tierra (cero volts). Si el voltaje es menor a cero volts, deberá asociarse un signo negativo con la magnitud de Va .

Comentarios generales En este punto ya es posible establecer una relación particularmente útil que tendrá una amplia aplicación en el análisis de circuitos electrónicos. Para los estándares de notación anterior, existe la siguiente relación: Vab  Va Vb

(5.12)

En otras palabras, si se conoce el voltaje en los puntos a y b con respecto a tierra, entonces es posible determinar el voltaje Vab utilizando la ecuación (5.12). En la figura 5.37, por ejemplo, Vab  Va Vb  10 V 4 V 6V

S

5.7 NOTACIÓN

⏐⏐⏐

143

Vb = +20 V

Va = +16 V

EJEMPLO 5.14 Encuentre el voltaje Vab para las condiciones de la figura 5.38. a

Solución: Al aplicar la ecuación (5.12):

R

b

FIGURA 5.38 Ejemplo 5.14.

Vab  Va Vb  16 V 20 V  4 V

Va Vab = +5 V Vb = 4 V

Observe el uso del signo negativo para reflejar que el punto b se encuentra a un mayor potencial que el punto a.

a

b

R

FIGURA 5.39 Ejemplo 5.15.

EJEMPLO 5.15 Encuentre el voltaje Va para la configuración de la figura 5.39. Solución: Al aplicar la ecuación (5.12): Vab  Va Vb y

Va = +20 V

Va  Vab  Vb  5 V  4 V 9V

+ 10 k

R

Vab

–

EJEMPLO 5.16 Encuentre el voltaje Vab para la configuración de la figura 5.40.

Vb = –15 V

Solución: Al aplicar la ecuación (5.12): Vab  Va Vb  20 V ( 15 V)  20 V  15 V  35 V Observe en el ejemplo 5.16 el cuidado que debe tenerse con los signos al aplicar la ecuación. El voltaje se encuentra cayendo desde un nivel alto de  20 V hasta un voltaje negativo de 15 V. Como se aprecia en la figura 5.41, esto representa una caída en el voltaje de 35 V. De alguna forma es como si pasáramos de un saldo positivo en una cuenta de $20 a tener una deuda de $15; el gasto total sería de $35.

FIGURA 5.40 Ejemplo 5.16. V Va = 20 V Vab = 35 V Tierra (0 V)

EJEMPLO 5.17 Encuentre los voltajes Vb, Vc y Vac para la red de la figura 5.42.

a

E2

+ 4V –

+ – b

c 20 V

Vb = –15 V

FIGURA 5.41 Impacto de voltajes positivos y negativos sobre la caída total de voltaje.

+ E1 = 10 V

–

– Vb +

V 10 V

FIGURA 5.42 Ejemplo 5.17.

Solución: Comenzando desde un potencial de tierra (cero volts), se procede a una elevación de 10 V para llegar al punto a y luego se pasa por una caída de potencial de 4 V al punto b. El resultado es que el instrumento medidor presentará la lectura de: Vb  10 V 4 V  6 V como lo demuestra claramente la figura 5.43.

4V 6V

Tierra (0 V)

FIGURA 5.43 Determinación de Vb empleando los niveles de voltaje definidos.

144

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

Si se procede ahora con el punto c, existirá una caída adicional de 20 V, dando por resultado: Vc  Vb 20 V  6 V 20 V  14 V como se muestra en la figura 5.44.

V E2 = +35 V

b

–

b 20 

Vcb R1

+

a –4 V

25  Vab

R2

–

+10 V

+

a

Tierra (0 V)

Vac = +24 V

c Vc = –14 V

–20 V

E1 = –19 V

FIGURA 5.45 Ejemplo 5.18.

c

FIGURA 5.44 Revisión de los niveles de potencial para el circuito de la figura 5.42.

V +35 V

El voltaje Vac puede obtenerse utilizando la ecuación (5.12) o por simple referencia a la figura 5.44:

54 V

Vac  Va Vc  10 V ( 14 V)  24 V

Tierra (0 V) –19 V

FIGURA 5.46 Determinación de la caída total de voltaje en los elementos resistivos de la figura 5.45.

+

EJEMPLO 5.18 Determine Vab, Vcb y Vc para la red de la figura 5.45. Solución: Existen dos métodos para resolver este problema. El primero es trazar el diagrama de la figura 5.46 y observar que existe una caída de 54 V en los resistores en serie R1 y R2. Luego, la corriente puede determinarse utilizando la ley de Ohm y los voltajes de la siguiente forma:

I

a

54 V I   1.2 A 45

25 

R2

–

+ b

E2

+ 20 

R1

Vab  IR2  (1.2 A)(25 )  30 V

35 V

Vcb  IR1  (1.2 A)(20 )  24 V Vc  E1  19 V

–

– c

E1

–

19 V

+

FIGURA 5.47 Nuevo trazado del circuito de la figura 5.45 empleando símbolos estándar de fuente de voltaje de cd.

El otro enfoque es volver a trazar la red como se muestra en la figura 5.47 para establecer con claridad el efecto auxiliar de E1 y E2 y luego resolver el circuito en serie resultante. E1  E2 19 V  35 V 54 V I     1.2 A RT 45 45 y

Vab  30 V

Vcb  24 V

Vc  19 V

S

5.8 RESISTENCIA INTERNA DE FUENTES DE VOLTAJE

+

Solución: Al volver a trazar la red con el símbolo estándar de la batería se obtiene la red de la figura 5.49. Al aplicar la regla del divisor de voltaje,

V1 R1

V2

+ V2 R2

(2 )(24 V) R2E V2    8 V 4 2 R1  R2

2

–

FIGURA 5.48 Ejemplo 5.19.

EJEMPLO 5.20 Para la red de la figura 5.50:

E

4

–

(4 )(24 V) R1E V1    16 V 4 2 R1  R2

a

145

E = +24 V

EJEMPLO 5.19 Utilizando la regla del divisor de voltaje, determine los voltajes V1 y V2 de la figura 5.48.

+

⏐⏐⏐

–

Vab R1

b

R2

2

+

3

10 V

Vb

–

5

R3 c

+ E –

R1

+ 4 V 1 –

R2

+ 2 V 2 –

24 V

FIGURA 5.50 Ejemplo 5.20. FIGURA 5.49 Circuito de la figura 5.48 trazado de nuevo.

a. Calcule Vab. b. Determine Vb. c. Calcule Vc. Soluciones: a. Con la regla del divisor de voltaje: (2 )(10 V) RE Vab  1   2 V 2 3 5 RT b. Con la regla del divisor de voltaje: (3  5 )(10 V) (R2  R3)E   8 V Vb  VR2  VR3  10 RT o bien Vb  Va Vab  E Vab  10 V 2 V  8 V c. Vc  potencial de tierra  0 V

5.8 RESISTENCIA INTERNA DE FUENTES DE VOLTAJE Cada fuente de voltaje, ya sea un generador, una batería o una fuente de laboratorio como las que se muestran en la figura 5.51(a), tiene cierta resistencia interna. Por tanto, el circuito equivalente de cualquier fuente de voltaje aparecerá como el mostrado en la figura 5.51(b). En esta sección se analizará el efecto de la resistencia interna sobre el voltaje de salida, de forma que sea posible explicar cualquier cambio inesperado en las características terminales. En todos los análisis de circuitos realizados hasta ahora, se utilizó la fuente de voltaje ideal (sin resistencia interna) [vea la figura 5.52(a)]. La fuente de voltaje ideal no cuenta con resistencia interna y presenta un voltaje de salida de E volts sin carga o con carga completa. En el caso práctico [Figura 5.52(b)],

146

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

E

+

+

– POWER SUPPLY

Rint

E

–

–

–E+ E+

(a)

(b)

FIGURA 5.51 (a) Fuentes de voltaje de cd; (b) circuito equivalente.

Rint

+

IL = 0

E

E

+

+ RL

E

–

Rint

– +

+

VNL = E

–

IL

IL VL

E

–

–

(a)

RL

(c)

(b)

FIGURA 5.52 Fuente de voltaje: (a) ideal, Rint  0 ; (b) determinación de VNL ; determinación de Rint .

donde consideramos los efectos de la resistencia interna, el voltaje de salida será de E volts únicamente cuando se presenten las condiciones sin carga (IL  0) Cuando se conecta una carga [Figura 5.52(c)], el voltaje de salida de la fuente de voltaje disminuirá debido a la caída de voltaje en la resistencia interna. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo indicado por la figura 5.52(c) obtenemos: E IL Rint VL  0 o, dado que tenemos y

E  VNL VNL IL Rint VL  0 VL  VNL IL Rint

(5.13)

Si el valor de Rint no se encuentra disponible, puede obtenerse al resolver primero Rint en la ecuación recién deducida de VL; es decir, VNL VL V L ILRL Rint   N

IL IL IL

y

VNL Rint  RL IL

(5.14)

En la figura 5.53 se presenta una gráfica del voltaje de salida en función de la corriente para el generador de cd que tiene el circuito equivalente de la figura 5.51(b). Observe que todo incremento en la demanda de carga, comenzando en cualquier nivel, ocasiona una caída adicional en el voltaje terminal gracias a la creciente pérdida de potencial a través de la resistencia interna. Al nivel de

S

RESISTENCIA INTERNA DE FUENTES DE VOLTAJE

⏐⏐⏐

147

VL 120 V 6VL 100 V

6IL 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 IFL

I (A)

FIGURA 5.53 VL en comparación con IL para un generador cd con Rint  2 .

corriente máxima, señalado por IFL, el voltaje en la resistencia interna será Vint  IFL Rint  (10 A)(2 )  20 V, y el voltaje terminal habrá caído a 100 V —lo cual es una diferencia importante cuando idealmente se esperaría que un generador de 120 V proporcione los 120 V si nos mantenemos por debajo de la corriente señalada de carga completa. Eventualmente, si se permitiera que la corriente de carga se incrementara sin límite, el voltaje en la resistencia interna igualaría el voltaje de alimentación, y el voltaje terminal sería cero. Mientras mayor sea la resistencia interna, más pronunciada será la pendiente de las características de la figura 5.53. De hecho, para cualquier intervalo seleccionado de voltaje o corriente, la magnitud de la resistencia interna estará dada por: DVL Rint  D IL

(5.15)

Para el intervalo seleccionado de 5–7 A (DIL  2 A) sobre la figura 5.53, DVL será 4 V, y Rint  DVL ⁄DIL  4 V⁄ 2 A  2 . Una consecuencia directa de la pérdida de voltaje de salida es una pérdida en la potencia entregada a la carga. Al multiplicar ambos lados de la ecuación (5.13) por la corriente IL dentro del circuito se obtiene: ILVL Potencia a la carga



ILVNL Salida de potencia por la batería



I 2LRint Pérdida de potencia en forma de calor

(5.16)

EJEMPLO 5.21 Antes de aplicar una carga, el voltaje terminal de la fuente de alimentación de la figura 5.54(a) se establece en 40 V. Cuando se conecta una carga de 500 como se muestra en la figura 5.54(b), el voltaje terminal cae a 38.5 V. ¿Qué sucedió con el resto del voltaje sin carga, y cuál es la resistencia interna de la fuente? Solución: La diferencia de 40 V 38.5 V  1.5 V se presentará ahora en la resistencia interna de la fuente. La corriente de carga será 38.5 V/0.5 k  77 mA. Al aplicar la ecuación (5.14), 40 V V L Rint  N

RL  0.5 k 77 mA IL  519.48 500  19.48 

POWER SUPPLY

POWER SUPPLY

IL

–

40 V

+

RL

–

(sin carga) (a)

+

500 36 V

(b)

FIGURA 5.54 Ejemplo 5.21.

148

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

Rint = 2 1 E = 30 V (VNL)

+ VL

13 1

EJEMPLO 5.22 La batería de la figura 5.55 cuenta con una resistencia interna de 2 . Encuentre el voltaje VL y la potencia perdida por la terminal interna si la carga aplicada es un resistor de 13 . Solución:

–

30 V 30 V IL    2 A 15 2  13

FIGURA 5.55 Ejemplo 5.22.

VL  VNL IL Rint  30 V (2 A)(2 )  26 V Pperdida  I 2L Rint  (2 A)2(2 )  (4)(2)  8 W En la sección 5.10 se describirán los procedimientos para medir Rint.

5.9 REGULACIÓN DE VOLTAJE Para cualquier fuente, las condiciones ideales estipulan que para el rango de demanda de carga (IL), el voltaje terminal permanece fijo en magnitud. En otras palabras, si una fuente se fija en 12 V, es deseable que mantenga este voltaje terminal, aunque la demanda de corriente a la fuente pueda variar. Una medida de qué tan cercana se encuentra una fuente a las condiciones ideales la ofrece la característica de regulación de voltaje. Por definición, la regulación de voltaje (RV) de una fuente entre los límites de las condiciones con carga completa (FL, del inglés Full Load) y sin carga (NL, del inglés No Load) (Figura 5.56) estará dada por lo siguiente:

VL VNL VFL

Característica ideal

VNL VFL % de regulación de voltaje (RV)   100% VFL 0

IFL

FIGURA 5.56 Definición de la regulación de voltaje.

(5.17)

IL

Para condiciones ideales, VFL  VNL y RV%  0. Por tanto, mientras más pequeña sea la regulación de voltaje, menor será la variación en el voltaje terminal ante cambios en la carga. Es posible mostrar con una pequeña deducción que la regulación de voltaje también está dada por: Rint RV %   100% RL

(5.18)

En otras palabras, mientras menor sea la resistencia interna para una misma carga, menor será la regulación de voltaje y más ideal será la salida.

EJEMPLO 5.23 Calcule la regulación de voltaje de una fuente que posee las características de la figura 5.53. Solución: 120 V 100 V VNL VFL RV %   100%   100% VFL 100 V 20   100%  20% 100

S

5.10 TÉCNICAS DE MEDICIÓN

EJEMPLO 5.24 la figura 5.54.

⏐⏐⏐

149

Determine la regulación de voltaje de la fuente mostrada en

Solución: 19.48 R nt VR%  i  100%   100%  3.9% RL 500

5.10 TÉCNICAS DE MEDICIÓN En el capítulo 2 se observó que los amperímetros se insertan dentro de la rama en que se medirá la corriente. Ahora se advierte que tal condición especifica que: los amperímetros se colocan en serie con la rama en la que se medirá la corriente. como se muestra en la figura 5.57. Si se busca que el amperímetro tenga un mínimo impacto sobre el comportamiento de la red, su resistencia deberá ser muy pequeña (idealmente de cero ohms) en comparación con los otros elementos en serie de la rama, tal como el resistor R de la figura 5.57. Si la resistencia del medidor se aproxima o excede al 10% de R, naturalmente que tendrá un impacto significativo sobre el nivel de corriente que está midiendo. También es importante observar que las resistencias de las distintas escalas de corriente de un mismo medidor no siempre son iguales. De hecho, la resistencia del amperímetro normalmente aumenta con la disminución de los niveles de corriente. Sin embargo, para la mayor parte de las situaciones, puede suponerse simplemente que la resistencia interna del amperímetro es tan pequeña, en comparación con los otros elementos del circuito, que se puede ignorar. Para una lectura de escala ascendente (medidor analógico) o positiva (medidor digital), el amperímetro debe conectarse con la corriente ingresando por la terminal positiva del medidor y saliendo por la terminal negativa, como se muestra en la figura 5.58. Debido a que la mayoría de los medidores utilizan una punta roja para la terminal positiva y una punta negra para la terminal negativa, usted solamente debe asegurarse de que la corriente ingresa por la punta roja y sale por la punta negra. Los voltímetros siempre se conectan a través del elemento para el cual se determinará el voltaje. Se obtiene una lectura positiva o de escala ascendente en un voltímetro al asegurarse que la terminal positiva (punta roja) se encuentra conectada al punto con el potencial más alto y la terminal negativa (punta negra) conectada al potencial más bajo, como se muestra en la figura 5.59.

Punta roja + V –

+V – Punta roja

Punta negra R

E

+ – Punta negra

I

+ VR –

FIGURA 5.59 Conexión de un voltímetro para obtener una lectura de escala ascendente (positiva).

Para una notación de doble subíndice, siempre conecte la punta roja al primer subíndice y la negra al segundo; es decir, para medir el voltaje Vab en la figura 5.60, conecte la punta roja al punto a y la punta negra al punto b. Para

Rm I

–

+

I

R

FIGURA 5.57 Conexión en serie de un amperímetro.

+I– Punta roja

Punta negra

+ R – I

FIGURA 5.58 Conexión de un amperímetro para obtener una lectura de escala ascendente (positiva).

150

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

la notación de subíndice sencillo, conecte la punta roja al punto de interés y la punta negra a tierra, como se muestra en la figura 5.60 para Va y Vb.

+Vab – Punta roja

Punta negra b

a I

+

R1

–

+

R2

– +

Punta roja E

Punta roja

+ Va –

R3

+ Vb –

–

Punta negra

Punta negra

FIGURA 5.60 Medición de voltajes con notación de subíndices doble y sencillo.

La resistencia interna de una fuente no puede medirse con un ohmímetro debido al voltaje presente. Sin embargo, el voltaje sin carga puede medirse mediante la simple conexión del voltímetro como se muestra en la figura 5.61(a). No se preocupe por la trayectoria aparente de corriente que el medidor parece proporcionar al cerrar el circuito. La resistencia interna del medidor, por lo general, es lo suficientemente grande como para asegurar que la corriente resultante sea tan pequeña que pueda ignorarse. (Los efectos de la carga del voltímetro se discutirán con todo detalle en la sección 6.9.) Un amperímetro podría entonces colocarse directamente a través de la fuente, como se muestra en la figura 5.61(b), para medir la corriente de circuito cerrado (corto circuito) ISC y Rint según lo determina la ley de Ohm: Rint  ENL/ISC. Sin embargo, dado que la resistencia interna de la fuente puede ser muy baja, realizar la medición podría dar por resultado niveles de corriente muy altos que dañarían el aparato, la fuente y, posiblemente, causarían peligrosos efectos secundarios. Por tanto, no se sugiere la configuración de la figura 5.61(b). Una mejor forma sería aplicar una carga resistiva que ocasione una corriente de fuente de cerca de la mitad del valor nominal máximo y medir el voltaje terminal. Aplicando entonces la ecuación (5.14).

+ 0V – Rint

+

+ E

–

VNL = E

Rint

+V – E

+I – Isc

– (a)

¡No recomendado! (b)

FIGURA 5.61 (a) Medición del voltaje E sin carga; (b) medición de la corriente de corto circuito.

S

5.11 APLICACIONES

5.11 APLICACIONES Luces navideñas En años recientes las pequeñas luces navideñas intermitentes con hasta 50 o 100 focos en una serie se han vuelto muy populares [vea la figura 5.62(a)]. Aunque estas luces navideñas pueden conectarse en serie o en paralelo (como se describirá en el siguiente capítulo), las luces intermitentes más pequeñas se conectan, por lo general, en serie. Es relativamente fácil determinar si las luces están conectadas en serie. Si entra y sale un solo cable de la base de cada foco, las luces se encuentran en serie; si dos cables entran y salen, probablemente se encuentren en paralelo. Por lo general, cuando los focos se conectan en serie, si uno de éstos se funde (el filamento se rompe y el circuito se abre), todos los demás se apagarán dado que la trayectoria de corriente ha sido interrumpida. Sin embargo, los focos de la figura 5.62(a) son diseñados especialmente, como se muestra en la figura 5.62(b), para permitir que la corriente continúe fluyendo a los otros focos cuando los filamentos se funden. En la base de cada foco existe un fusible de cinta enrollado alrededor de los dos postes que sostienen el filamento. El fusible de cinta de un material conductor suave parece estar tocando los dos postes verticales, pero, de hecho, un recubrimiento sobre los postes o sobre el fusible evita la conducción de uno a otro bajo condiciones normales de operación. Si un filamento se rompe y crea un circuito abierto entre los postes, la corriente a través de éste y los demás focos se vería interrumpida si no existiera el fusible de cinta. En el momento en que el foco se funde, la corriente que cruza el circuito es cero, y los 120 V de salida se presentarán en el foco descompuesto. Este voltaje alto de un poste a otro en un solo foco posee una diferencia de potencial suficiente para establecer una corriente a través del recubrimiento aislante y soldar el fusible de unión a los dos postes. Con esto el circuito estará nuevamente completo, y todos los focos se encenderán excepto el que activó el fusible de cinta. Sin embargo, tenga presente que cada vez que se funde un foco, existirá un mayor voltaje en los otros focos del circuito, haciendo que brillen más fuerte. Eventualmente, si demasiados focos se funden, el voltaje alcanzará un punto en que los otros focos se fundirán en rápida sucesión. El resultado es que se deben reemplazar los focos fundidos a la primera oportunidad. Los focos mostrados en la figura 5.62(a) están valorados en 2.5 V a 0.2A o 200 mA. Dado que existen 50 focos en serie, el voltaje total que cruza por ellos es de 50  2.5 V o 125 V, el cual concuerda con el voltaje normal

Filamento Punto de contacto del foco Movimiento con el calor

Filamento del foco

Ruta de corriente Estructura bimetálica

Fusible de unión (alambre conductor con un recubrimiento delgado enrollado) Base del foco (a)

Base del foco

Foco estándar

Unidad intermitente (b)

FIGURA 5.62 Luces navideñas: (a) serie de 50 unidades; (b) estructura de un foco.

⏐⏐⏐

151

152

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

disponible en el hogar. Dado que los focos se encuentran en serie, la corriente a través de cada foco será de 200 mA. El nivel de potencia de cada foco será, por tanto, P  VI  (2.5 V)(0.2 A)  0.5 W, con la demanda de potencia total de 50  0.5 W  25 W. En la figura 5.63(a) se proporciona una representación esquemática de la serie de luces mostrada en la figura 5.62(a). Observe que sólo se requiere una unidad intermitente. Dado que los focos se encuentran en serie, cuando la unidad intermitente interrumpa el flujo de corriente, apagará todos los focos. Como se muestra en la figura 5.62(b), la unidad intermitente incorpora un interruptor térmico bimetálico que se abrirá cuando se caliente a un nivel predeterminado por la corriente. Tan pronto como se abra, comenzará a enfriarse y se cerrará nuevamente de forma que la corriente pueda regresar a los focos. Luego, se calentará de nuevo, se abrirá y se repetirá todo el proceso. El resultado es una acción de encendido y apagado que crea el patrón destellante con el que estamos tan familiarizados. Naturalmente, en un clima muy frío (por ejemplo, en exteriores nevados y con hielo), la serie tomará más tiempo para calentarse, así que el patrón destellante se verá reducido al principio; pero a medida que los focos se calienten, la frecuencia se incrementará. El fabricante especifica que no deben conectarse juntas más de 6 series de luces. La primera pregunta que surge es, ¿cómo pueden conectarse los juegos, de extremo a extremo, sin reducir el voltaje en cada foco y sin que las luces se vuelvan más débiles? Al observar detenidamente el cableado se verá que, como los focos están conectados en serie, existe un cable para cada foco con cables adicionales de conector a conector. ¿Por qué se necesitan dos cables adicionales si los focos se conectan en serie? La respuesta radica en el hecho de que cuando cada serie de luces sea conectada junto con otra, realmente se encontrarán en paralelo (lo cual se analizará en el siguiente capítulo) mediante el arreglo único de conexión que se muestra en la figura 5.63(b) y trazado de 125 V ca

Destellador “ ”

50 focos

+2.5 V– +2.5 V– +2.5 V– +2.5 V– +2.5 V– +2.5 V– I = 200 mA 200 mA

200 mA (a)

Para establecer conexiones paralelas en serie de 50 focos

Tres hilos a

a 50 focos

b

125 V ca

b

c

c

Clavija

Focos en serie

Conector

Clavija

(b) Ifuente = 1.2 A

+

1A

a

0.8 A

a b

3(0.2 A) = 0.6 A

a

a

b

b

0.2 A

0.2 A

0.2 A

125 V ca 6 series de luces

–

Ifuente c

c

c

c

(d)

(c)

FIGURA 5.63 (a) Diagrama de conexión para una serie de luces sencilla; (b) arreglo de conexión especial; (c) nuevo trazado del diagrama esquemático; (d) clavija especial y unidad intermitente.

S

5.11 APLICACIONES

nuevo en la figura 5.63(c) para poder advertir claramente el arreglo en paralelo. Observe que la línea superior es la línea principal de todas las series de luces conectadas, y la línea inferior es la línea de retorno, neutral, o tierra para todas las series. Dentro de la clavija de la figura 5.63(d) la línea principal y la de retorno se encuentran conectadas a cada juego, teniendo las conexiones de las terminales metálicas de la clavija como se muestran en la figura 5.63(b). En el siguiente capítulo veremos que la corriente extraída del enchufe de la pared para cargas paralelas es la suma de la corriente a cada rama. El resultado, como se muestra en la figura 5.63(c), es que la corriente extraída de la fuente será de 6  200 mA  1.2 A, y la potencia total para las seis series de luces será el producto del voltaje aplicado y la corriente de fuente o (120 V)(1.2 A)  144 W con 144 W/6  24 W por serie de luces.

Horno de microondas Los circuitos en serie pueden ser muy efectivos en el diseño de equipo de seguridad. A pesar de que se reconoce la utilidad del horno de microondas, éste puede resultar muy peligroso si la puerta no se encuentra cerrada o sellada adecuadamente. No basta con verificar que esté cerrado en un solo punto del contorno de la puerta ya que ésta se puede doblar o distorsionar por el uso continuo, y podría existir alguna fuga en algún lugar alejado del punto de verificación. En la figura 5.64 se muestra un arreglo común de seguridad. Observe que los interruptores magnéticos se encuentran localizados alrededor de toda la puerta, teniendo el imán en la propia puerta y el interruptor magnético de ésta en el marco principal. Los interruptores magnéticos son simplemente interruptores donde el imán atrae una barra conductora magnética situada entre dos contactos para completar el circuito —lo que se muestra de alguna forma por medio del símbolo del dispositivo presentado en el diagrama de circuito de la figura 5.64. Dado que los interruptores magnéticos se encuentran en serie, deben cerrarse todos para completar el circuito y encender la unidad de energía. Si la puerta se encuentra tan fuera de forma como para evitar que un solo imán se acerque lo suficiente al mecanismo de interrupción, el circuito no Interruptores de seguridad en serie

Interruptores magnéticos de la puerta

Unidad de energía de microondas

Imanes

Imanes

FIGURA 5.64 Interruptores de seguridad en serie en un horno de microondas.

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153

154

S

CIRCUITOS EN SERIE

⏐⏐⏐

estará completo y no podrá encenderse el aparato. Dentro de la unidad de control de la fuente de alimentación, el circuito en serie completa un circuito para lograr la operación o se establece una corriente de sensor que controla y monitorea la operación del sistema.

Circuito de alarma en serie

Al circuito del timbre

Interruptor de puerta

Revelador sensor Sensores

Laminado de ventana Interruptor magnético

5 V @ 5mA 1 k Fuente de alimentación de 5 V

≅ 5 mA

FIGURA 5.65 Circuito de alarma en serie.

El circuito de la figura 5.65 es un circuito simple de alarma. Observe que cada elemento del diseño se encuentra en una configuración en serie. La fuente de alimentación es una fuente de 5 V que puede proporcionarse mediante un diseño similar al de la figura 2.31, una batería de cd, o una combinación de una fuente de cd y ca que asegure que la batería siempre se encontrará completamente cargada. Si todos los sensores se encuentran cerrados se obtendrá una corriente de 5 mA debido a la carga terminal del relevador de cerca de 1 k . La corriente activará el relevador y mantendrá una posición de apagado para la alarma. Sin embargo, si alguno de los sensores se abre, la corriente será interrumpida, el relevador se desactivará y el circuito de alarma se activará. Con relativamente poco cable y unos cuantos sensores, el sistema deberá trabajar bien dado que la caída de voltaje en cada sensor será mínima. Sin embargo, debido a que el cable de alarma por lo general es relativamente delgado, ocasionando un nivel medible de resistencia, si el cable que va a los sensores es demasiado largo, se observará una caída de voltaje en la línea, reduciendo con esto el voltaje en el relevador hasta un punto en que la alarma pudiera no funcionar adecuadamente. De esta forma, la longitud del cable es un factor que debe considerarse cuando se emplea una configuración en serie. Un cuidado adecuado de la longitud del cable deberá eliminar cualquier preocupación concerniente a esta operación. En el capítulo 8 se presentará un mejor diseño de este circuito.

5.12 ANÁLISIS POR COMPUTADORA PSpice

+ VR1 –

+ VR2 –

R1

E

+ VR3

R2

R3

Is 6 1

+

54 V

V1

V2

–

–

71

+

51

FIGURA 5.66 Red de cd en serie que se analizará utilizando PSpice.

–

En la sección 4.9 se presentó el procedimiento básico para configurar la carpeta de PSpice y ejecutar el programa. Debido al detalle ofrecido en esa sección, el lector deberá revisarlo antes de proceder con este ejemplo. Ya que éste es apenas el segundo ejemplo utilizando PSpice, se proporcionará cierto detalle, pero no al mismo nivel que el visto en la sección 4.9. El circuito que se analizará aparece en la figura 5.66. Dado que la carpeta de PSpice se estableció en la sección 4.9, no hay necesidad de repetir aquí el proceso puesto que se encuentra disponible de manera inmediata. Al hacer doble clic sobre el icono de Orcad Lite Edition se generará la pantalla de captura Orcad Capture-Lite Edition. Luego se inicia un nuevo proyecto al seleccionar la opción Create Document (Crear documento) en la parte superior izquierda de la pantalla (que parece una página con una estrella en la esquina superior izquierda). Con esto se obtiene el cuadro de diálogo New Project (Proyecto nuevo) en el que SeriesDC se encuentra insertado como el nombre, Name. Ya se encuentra seleccionada la opción Analog or Mixed A/D y C:\PSpice aparece en Location —¡sólo deberá ingresarse el nombre, Name!. Haga clic sobre OK y aparecerá el cuadro de diálogo de Create PSpice Project. Seleccione Create a blank project (Crear proyecto nuevo), haga clic en OK y aparecerá la ventana de trabajo. Al mantener seleccionada la esquina izquierda de la ventana de SCHEMATIC1:PAGE1 (esquema, página 1) el lector podrá moverla hacia la derecha de forma que pueda ver las dos ventanas. Al hacer clic en el signo + dentro de la ventana de Project Manager (Administrador del proyecto) podrá establecerse la secuencia hasta PAGE1 (página 1). Si prefiere cambiar el nom-

S

5.12 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

bre de SCHEMATIC1 selecciónelo y haga clic con el botón derecho del mouse. Aparecerá un listado con la opción Rename; al seleccionar ésta se obtendrá el cuadro de diálogo Rename Schematic en el cual se puede ingresar el nombre SeriesDC. En la figura 5.67 se dejó como SCHEMATIC1. El siguiente paso es muy importante ahora. Si la barra de herramientas en el extremo derecho no aparece, asegúrese de hacer doble clic sobre PAGE1 en la ventana Project Manager, o seleccione la ventana del esquema. Cuando el encabezado de la ventana del esquema sea azul oscuro, aparecerá la barra de herramientas. Para comenzar a construir el circuito, seleccione la tecla Place a part (Colocar un elemento) (la segunda tecla hacia abajo) para obtener el cuadro de diálogo Place Part. Observe que ahora la biblioteca SOURCE se encuentra ya en su lugar en Library (la lista de bibliotecas) como consecuencia del trabajo realizado en el capítulo 4, por lo que no necesita reinstalarse. Al seleccionar SOURCE se obtendrá una lista de fuentes debajo de Part List, de donde podrá seleccionarse VDC. Al hacer clic sobre OK, el cursor podrá colocarla en su lugar con un solo clic izquierdo. Haga clic con el botón derecho y seleccione End Mode para finalizar el proceso, dado que la red sólo cuenta con una fuente. Con un clic izquierdo adicional la fuente se encontrará en su lugar. Ahora, se selecciona nuevamente la tecla Place a part, seguida de la biblioteca ANALOG para localizar el transistor R. Una vez que éste ha sido seleccionado, al presionar en OK se colocará junto al cursor sobre la pantalla. En esta ocasión, como es necesario colocar tres resistores, no hay que desplazarse hacia End Mode entre cada colocación de éstos. Simplemente se hace clic en un lugar, luego en el siguiente y por último en un tercer sitio. Entonces se hace clic con el botón derecho para terminar el proceso con End Mode. Por último, debe añadirse GND (tierra) por medio de la tecla apropiada y seleccionando 0/SOURCE en el cuadro de diálogo Place Ground (colocar tierra). Se hace clic sobre OK y se coloca la tierra como se muestra en la figura 5.67. Ahora los elementos deberán conectarse entre sí utilizando la tecla Place a wire (Colocar un cable) para conseguir el cursor en forma de cruz sobre la pantalla. Se comienza en la parte superior de la fuente de voltaje con un clic izquierdo, y se traza el cable, haciendo clic izquierdo en cada giro de 90º. Cuando ya esté conectado un cable de un elemento a otro, se continúa con la siguiente conexión que deba hacerse, no es necesario ir a End Mode entre cada conexión. Ahora se

FIGURA 5.67 Aplicación de PSpice a un circuito de cd en serie.

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156

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S

CIRCUITOS EN SERIE

tienen que asignar los valores y las etiquetas mediante un doble clic sobre cada parámetro para obtener el cuadro de diálogo Display Properties (Propiedades visuales). Dado que este cuadro de diálogo aparece con la cantidad de interés en un fondo azul, simplemente se teclea el nivel o valor deseado, seguido por OK. Ahora la red se encuentra completa y lista para analizarse. Antes de la simulación, se seleccionan V, I y W en la barra de herramientas situada en la parte superior de la pantalla para asegurar que se desplieguen los voltajes, las corrientes y la potencia. Para comenzar la simulación, se selecciona la tecla New Simulation Profile (la cual aparece como una hoja de datos en la segunda barra de herramientas hacia abajo con una estrella en la esquina superior izquierda) y se obtiene el cuadro de diálogo New Simulation. Introduzca Bias Point para una solución de cd bajo Name, y presione la tecla de creación Create. Aparecerá el cuadro de diálogo Simulation Settings-Bias Point, en el cual se selecciona Analysis, y Bias Point se localiza debajo del encabezado de Analysis type. Se hace clic en OK y luego se selecciona la tecla Run PSpice (la flecha azul) para comenzar la simulación. Salga de la pantalla resultante, y se desplegará la de la figura 5.67. La corriente claramente será de 3 A para el circuito con 15 V en R3, y 36 V desde un punto entre R1 y R2 a tierra. El voltaje en R2 será de 36V 15 V  21 V, y el voltaje en R1 será de 54 V 36 V  18 V. También se presentará la potencia suministrada o disipada por cada elemento. No hay duda de que los resultados de la figura 5.67 incluyen además una agradable representación de los niveles de voltaje, corriente y potencia.

Electronics Workbench (EWB) Debido a que éste es apenas el segundo circuito que se construye utilizando EWB, se presenta una lista detallada de pasos como forma de repaso. Sin embargo, en esencia, el circuito completo de la figura 5.68 puede “trazarse” utilizando simplemente la información para la construcción presentada en el capítulo 4. Una vez que se ha seleccionado el icono Multisim 2001, aparecerá una ventana para el Multisim Circuit 1 lista para aceptar los elementos del circuito. Se selecciona la tecla de fuentes Sources de la parte superior de la barra izquierda de herramientas, y se presentará una colección de fuentes Sources con 30 opciones. Se selecciona la opción superior para colocar la tierra GROUND en la pantalla de la figura 5.68, y la tercera opción para obtener una fuente de voltaje de cd DC_VOLTAGE_SOURCE. Los resistores se obtienen al seleccionar la segunda tecla hacia abajo de la barra de herramientas situada a la izquierda y denominada Basic (básica). El resultado de esto son 25 opciones de las que se selecciona RESISTOR_VIRTUAL (el resistor virtual). Debe regresarse a la tecla RESISTOR_VIRTUAL para colocar cada resistor sobre la pantalla. Sin embargo, cada nuevo resistor se encontrará numerado en secuencia, aunque a todos los resistores se les asignará el valor predeterminado de 1 k . Recuerde del análisis del capítulo 4 que debe añadir los medidores antes de conectar los elementos entre sí, ya que los medidores ocupan espacio y deben orientarse de forma adecuada. La corriente estará determinada por el amperímetro XMM1 y los voltajes por los voltímetros XMM2 a XMM5. Tiene particular importancia observar que: en EWB los medidores se conectan exactamente de la misma forma que se conectarían en un circuito activo en el laboratorio. Los amperímetros se colocan en serie con la rama en la que se determinará la corriente, y los voltímetros se conectan entre los dos puntos de interés (en los resistores). Además, para obtener lecturas positivas, los amperímetros se conectan de forma que la corriente convencional entre por la terminal positiva, y para el caso de los voltímetros, se conectan de forma que el punto con el potencial más alto esté conectado con la terminal positiva.

S

5.12 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

FIGURA 5.68 Aplicación de Electronics Workbench a un circuito de cd en serie.

La configuración de los medidores se realiza mediante un doble clic sobre el símbolo del medidor en el esquema. En cada caso, se debe seleccionar V o I aunque la línea horizontal para el análisis de cd sea la misma para cada uno. Nuevamente, es posible seleccionar la tecla Set para verificar lo que controla, sin embargo, los valores predeterminados de los niveles de resistencia de entrada del medidor serán adecuados para la mayor parte de los análisis descritos en este libro. Deje los medidores en la pantalla de forma que los distintos voltajes y el nivel de corriente se desplieguen después de la simulación. Debe recordarse del capítulo 4 que es posible mover los elementos simplemente haciendo clic sobre cada símbolo esquemático y arrastrándolo hacia la ubicación deseada. Lo mismo rige para el caso de las etiquetas y los valores. Las etiquetas y los valores se establecen haciendo doble clic sobre la etiqueta o el valor e ingresando su elección. Al presionar OK aparecerán cambiados en el esquema. No es necesario seleccionar primero una tecla especial para conectar los elementos. Simplemente se acerca el cursor al punto inicial para generar el pequeño círculo y el cursor en forma de cruz. Se hace clic en el punto inicial y se sigue la ruta deseada hasta la siguiente trayectoria de conexión. Una vez en el lugar, nuevamente se da un clic y la línea aparecerá. Todas las líneas de conexión pueden realizar giros de 90º. Sin embargo, no es posible seguir una ruta diagonal de un punto a otro. Para eliminar cualquier elemento, etiqueta o línea, simplemente se hace clic sobre la cantidad para obtener el estatus activo de cuatro cuadros y se selecciona la tecla de borrado Delete o la que tiene forma de tijeras en la barra de menú superior. Antes de la simulación, debe asegurarse que el interruptor de simulación Simulate Switch se encuentre visible seleccionando View-Show Simulate Switch. Luego se selecciona la opción 1 del interruptor para que se inicie el análisis. Los resultados que aparecen en la figura 5.68 verifican los obtenidos utilizando PSpice y la solución efectuada a mano.

C Ahora nos orientaremos hacia el lenguaje C++ y revisaremos un programa diseñado para efectuar el mismo análisis que se realizó utilizando PSpice y EWB.

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158

⏐⏐⏐

S

CIRCUITOS EN SERIE

Encabezado Directrices del preprocesador

Definición de variables y tipos de datos

Establecimiento

de los objetos y la RT

//Análisis de un circuito en serie con C++ # include

//necesario para la entrada/salida

class resistor { public: float value; float voltage; float power; } ;

//se define la clase resistor //permite el acceso a variables dentro de la clase //resistencia en ohms //voltaje en el resistor //potencia utilizada por el resistor

class voltage_source { public: float voltage; float current; float power; } ;

//define la clase de fuente de voltaje

//la ejecución comienza aquí

main ( ) { resistor R1, R2, R3; float Rtotal; voltage_source V1; R1.value R1.value R1.value Rtotal = count 2.5 A IL = –––––– 500  (valor nominal) + 2000 V Núcleo de hierro

XC = 500 

–

FIGURA 21.34 Demostración del por qué los transformadores son clasificados en kVA en vez de en kW.

El transformador está clasificado en términos de la potencia aparente en vez de la potencia promedio, o real, por la razón demostrada mediante el circuito de la figura 21.34. Como la corriente a través de la carga es mayor que la determinada por la clasificacion de potencia aparente, el transformador puede resultar permanentemente dañado. Sin embargo, observe que siendo la carga sólo capacitiva, la potencia promedio a la carga es cero. La clasificación por potencia será, por tanto, sin sentido con respecto a la capacidad de esta carga de dañar el transformador. La razón de transformación del transformador bajo análisis puede ser cualquiera de dos valores. Si el voltaje secundario es de 2000 V, la razón de transformación es a  Np /Ns  Vg /VL  100 V/2000 V  1/20, y el transformador es un transformador de elevación. Si el voltaje secundario es de 100 V, la razón de transformación es a  Np /Ns  Vg /VL  2000 V/100 V  20, y el transformador es un transformador de disminución. La corriente nominal en el primario puede ser determinada aplicando simplemente la ecuación (21.18): Is Ip  a que es igual a [2.5 A/(1/20)]  50 A si el voltaje en el secundario es de 2000 V, y (50 A/20)  2.5 A si el voltaje en el secundario es de 100 V. Para explicar la necesidad de incluir la frecuencia en los datos nominales, considere la ecuación (21.12): Ep  4.44fp Npm y la curva B-H para el núcleo de hierro del transformador (Figura 21.35). En la mayoría de los transformadores, el punto de operación sobre la curva B-H se sitúa en la rodilla de la curva. Si la frecuencia de la señal aplicada cae,

21.11 TIPOS DE TRANSFORMADORES

B =

m Anúcleo B =

m Anúcleo

Rodilla de la curva

0 H =

N1I1 Inúcleo

H =

N1I1 Inúcleo

FIGURA 21.35 Demostración del porqué la frecuencia de aplicación es importante para los transformadores.

y Np y Ep permanecen iguales, entonces m debe crecer en magnitud, de acuerdo con lo determinado por la ecuación (21.12): m

Ep  4.44 fp ↓Np

El resultado es que B aumentará, como se muestra en la figura 21.35, ocasionando que H también aumente. La DI resultante podría causar una corriente muy alta en el primario, y posibles daños al transformador.

21.11 TIPOS DE TRANSFORMADORES Se dispone de muchas formas y tamaños diferentes de transformadores. Algunos de los tipos más comunes incluyen el transformador de potencia, el audio transformador, el transformador de IF (frecuencia intermedia), y el transformador de RF (frecuencia de radio). Cada uno está diseñado para satisfacer un requisito particular en un área específica de aplicación. Los símbolos para algunos de los tipos básicos de transformadores se muestran en la figura 21.36.

Núcleo de aire

Núcleo de hierro

Núcleo variable

FIGURA 21.36 Símbolos de transformadores.

El método de construcción varía de un transformador a otro. Dos de las muchas maneras en que las bobinas del primario y del secundario pueden ser enrolladas alrededor de un núcleo de hierro se muestran en la figura 21.37. En cualquier caso, el núcleo se construye de hojas laminadas de material ferromagnético separadas por un aislante para reducir las pérdidas por corrientes parásitas. Las propias hojas contienen también un pequeño porcentaje de silicio para incrementar la resistividad eléctrica del material y reducir aún más las pérdidas por corrientes parásitas. Una variante del transformador tipo núcleo se muestra en la figura 21.38. Este transformador está diseñado para aplicaciones de nivel bajo en potencia, control

⏐⏐⏐

959

960

⏐⏐⏐

TRANSFORMADORES

Hojas laminadas Primario

Primario

Secundario

Secundario (b) Tipo armadura

(a) Tipo núcleo

FIGURA 21.37 Tipos de construcción de núcleos ferromagnéticos.

FIGURA 21.38 Transformador de potencia de nivel bajo de bobina dividida. (Cortesía de Microtran Company, Inc.)

e instrumentación (el tamaño 2.5 VA tiene una altura máxima de sólo 0.65 pulgadas). Hay realmente dos transformadores sobre el mismo núcleo, con los primarios y secundarios de cada devanado lado a lado. La representación esquemática aparece en la misma figura. Cada conjunto de terminales a la izquierda puede aceptar 115 V a 50 o 60 Hz, mientras que cada lado de la salida proporcionará 230 V a la misma frecuencia. Observe la convención del punto, ya descrita en este capítulo. El autotransformador [Figura 21.39(b)] es un tipo de transformador de potencia que, en vez de emplear el principio de dos circuitos (aislamiento completo entre bobinas), tiene un devanado común a los circuitos de entrada y salida. Los voltajes inducidos están relacionados a la razón de vueltas de la misma manera a la descrita para el transformador de dos circuitos. Si se usa la conexión apropiada, un transformador de potencia de dos circuitos puede emplearse I2 = 1 A

+ 1 A I1 = — 20

+

+

VR = 120 V Ep

– (a)

–

+

Es = 6 V I2 = 1 A

+ Es

–

1 A I1 = 1 — 20

+ VL = 6 V

+ Vg = 120 V

–

–

1 A — 20

– +

VL = 126 V

Ep = 120 V

–

(b)

FIGURA 21.39 (a) Transformador de dos circuitos; (b) autotransformador.

–

21.12 TRANSFORMADORES CON DERIVACIONES Y CARGA MÚLTIPLE

como autotransformador. La ventaja de usarlo de esa manera es que una potencia aparente más grande puede ser transformada. Esto puede ser demostrado mediante el transformador de dos circuitos de la figura 21.39(a), mostrado en la figura 21.39(b) como un autotransformador. 1 En el transformador de dos circuitos, observe que S  ( 20 A)(120 V)  6 VA, 1 mientras que para el autotransformador, S  (1 20 A)(120 V)  126 VA, lo cual es muchas veces la potencia del transformador de dos circuitos. Observe también que la corriente y el voltaje de cada bobina son los mismos que aquellos para la configuración de dos circuitos. La desventaja del autotransformador es obvia: pérdida del aislamiento entre los circuitos primario y secundario. Un transformador de pulsos diseñado para aplicaciones de circuito impreso, donde pulsos de larga duración y gran amplitud deben ser transferidos sin saturación, aparece en la figura 21.40. Se dispone de razones de vueltas desde 1: 1 hasta 5: 1 en cuanto a voltajes de línea máximos de 240 V rms a 60 Hz. La unidad superior es para aplicaciones de circuitos impresos con primarios duales aislados, mientras que la unidad inferior es la variedad de carrete con un solo devanado primario. Dos transformadores miniatura ( 14  14 de pulgada) con conductores aislados se muestran en la figura 21.41, junto con sus representaciones esquemáticas. Las clasificaciones por potencia están disponibles desde 100 o 125 mW con diversas razones de vueltas como 1: 1, 5: 1, 9.68: 1 y 25: 1. Enchufable

Conductores aislados CAFÉ AMARILLO

BLANCO

AZUL

FIGURA 21.41 Transformadores miniatura. (Cortesía de PICO Electronics, Inc.)

Para el transformador con derivación central (primario) de la figura 21.42, donde el voltaje desde la derivación central hasta cualquier terminal externa está definido como Ep /2, la relación entre Ep y Es es: Ep Np  Es Ns

(21.37)

+A Z1/2 Zi

Ep 2

E p CT (A – B )

Z1/2

Ep 2

Np 2 Np 2

+ Ns

Es

–

– B FIGURA 21.42 Transformador ideal con primario con derivación central.

ZL

961

FIGURA 21.40 Transformadores de pulsos. (Cortesía de DALE Electronics, Inc.)

ROJO

21.12 TRANSFORMADORES CON DERIVACIONES Y CARGA MÚLTIPLE

⏐⏐⏐

NEGRO

VERDE

962

TRANSFORMADORES

⏐⏐⏐

Para cada media sección del primario, Np /2 2 1 Np 2 Z1/2  ZL  ZL Ns 4 Ns



con:

 

1 Z1/2  Zi 4

E2

Z2

–

Ei N1  E2 N2

Ei N1

Zi

(21.38)

Para el transformador de carga múltiple de la figura 21.43, se cumplen las siguientes ecuaciones:

+ N2

 

Np 2 Zi(A B)  ZL Ns

Por tanto,

+



Ei N1  E3 N3

E2 N2  E3 N3

(21.39)

+ N3

E3

Z3

–

–

FIGURA 21.43 Transformador ideal con cargas múltiples.

La impedancia total de entrada puede determinarse al observar primero que, para el transformador ideal, la potencia entregada al primario es igual a la potencia disipada por la carga; es decir, P1  PL 2  PL3 y, para cargas resistivas (Zi  Ri , Z2  R2, y Z3  R3), E 2i E 22 E32   Ri R2 R3

+

+

o, dado que: N2 Zi

+

Ei N1

E 2 Z2

entonces:

N3 Z3

E3

–

y –

–

FIGURA 21.44 Transformador ideal con una derivación en el secundario y cargas múltiples.

M

Así,

N2 E2  Ei y N1

N3 E3  E i N1

E 2i [(N2/N1)Ei]2 [(N3 /N1)Ei]2   Ri R2 R3 2 2 2 Ei Ei Ei   Ri (N1/N2)2R2 (N1/N3)2R3 1 1 1   Ri (N1/N2)2R2 (N1/N3)2R3

(21.40)

indicando que las resistencias de carga son reflejadas en paralelo. Para la configuración de la figura 21.44, con E2 y E3 definidas como se muestra, son aplicables las ecuaciones (21.39) y (21.40).

Z1

–

+

I1

+ E1

–

I2

+

21.13 REDES CON BOBINAS MAGNÉTICAMENTE ACOPLADAS

+

– Z3

I1 Z2

–

I2

–

+

FIGURA 21.45 Aplicación del análisis de mallas a bobinas magnéticamente acopladas.

Para redes multilazo con bobinas magnéticamente acopladas, muy a menudo se aplica el enfoque de análisis de mallas. Un entendimiento claro de la convención del punto vista antes permite escribir las ecuaciones directamente y sin errores. Antes de escribir las ecuaciones para cualquier lazo en particular, primero debe determinarse si el término mutuo es positivo o negativo, recordando que tendrá el mismo signo para la otra bobina magnéticamente acoplada. Por ejemplo, para la red de dos lazos de la figura 21.45, el término mutuo tiene signo positivo ya que la corriente a través de cada bobina sale del punto. Para el lazo primario, E1 I1Z1 I1ZL1 I2Zm Z2(I1 I2)  0

21.14 APLICACIONES

⏐⏐⏐

963

donde M de Zm  qM 90° es positivo, e I1(Z1  ZL1  Z2) I2(Z2 Zm)  E1 Observe en lo anterior que la impedancia mutua fue tratada como si fuera una inductancia adicional en serie con la inductancia L1 teniendo un signo determinado por la convención del punto y el voltaje determinado por la corriente en el lazo magnéticamente acoplado. Para el lazo secundario,

Z2(I2 I1) I2ZL2 I1Zm I2Z3  0 I2(Z2  ZL2  Z3) I1(Z 2 Zm)  0

o bien:

Para la red de la figura 21.46 encontramos un término mutuo entre L1 y L2 y L1 y L3, llamados M12 y M13, respectivamente. Para las bobinas con los puntos (L1 y L3), como cada corriente por las bobinas sale del punto, M13 es positivo en la dirección elegida de I1 e I3. Sin embargo, dado que la corriente I1 sale del punto a través de L1, e I2 entra al punto a través de la bobina L2, M12 es negativo. En consecuencia, para el circuito de entrada, E1 I1Z1 I1ZL1 I2( Zm12) I3Zm13  0 E1 I1(Z1  ZL1)  I2Zm12 I3Zm13  0

o bien:

L2 I2

+

Z1

E1

I1

I2

Z2

I3

Z3

I1 I3 L3

L1

–

Para el lazo 2,

I2Z 2 I2ZL 2 I1( Zm12 )  0

I1Zm12  I2(Z2  ZL 2 )  0 y para el lazo 3,

I3Z3 I3ZL3 I1Zm13  0 I1Zm13  I3(Z3  ZL 3 )  0

o bien:

M12

En forma de determinante,  I3Zm13  E1 I1(Z1  ZL1) I2Zm12

I1Zm12  I2(Z2  ZL12)  0 0 I1Zm13 0  I3(Z3  Z13)  0

21.14 APLICACIONES A lo largo de este texto hemos visto al transformador en varias aplicaciones, desde la fuente básica de cd hasta la pistola de soldar y el transformador flyback de una sencilla cámara de flash. Los transformadores se usaron para aumentar o disminuir el nivel de voltaje o corriente, para actuar como dispositivo acoplador de impedancia o, en algunos casos, para desempeñar un papel dual de acción transformadora y elemento reactivo. Son tan comunes en gran variedad de sistemas que se recomienda al lector hacer un esfuerzo por familiarizarse con sus características generales. En la actualidad, para la mayor parte de las aplicaciones, su diseño es tal que pueden considerarse 100% eficientes; es decir, la potencia aplicada es la potencia entregada a la carga. Sin embargo, en general, a menudo son los elementos más grandes de un diseño y debido a la no linealidad de la curva B-H pueden causar cierta distorsión de la forma de onda transformada. Por ahora debe quedar claro que los transformadores son útiles sólo en situaciones donde el voltaje aplicado cambia con el tiempo. La aplicación de un voltaje de cd al devanado primario resultará en 0 V en el secundario, pero la aplicación de un voltaje que cambia con el tiempo, sin importar cuál sea su apariencia general, resultará en un voltaje en el secundario. Recuérdese siempre

M13

FIGURA 21.46 Aplicación del análisis de mallas a una red con dos bobinas magnéticamente acopladas.

964

⏐⏐⏐

TRANSFORMADORES

que aun cuando un transformador puede proporcionar aislamiento entre los circuitos primario y secundario, también tiene capacidad de transformar la impedancia de carga al circuito primario a un nivel que puede impactar significativamente el comportamiento de la red. Incluso la más pequeña impedancia en el devanado secundario puede aparecer muy grande en el primario cuando se usa un transformador de disminución. Los transformadores, al igual que toda otra componente que pueda usarse, tienen clasificación por potencia. Entre mayor es la clasificación por potencia, mayor es el transformador resultante debido, principalmente, a los grandes conductores entre los devanados para manejar la corriente. El tamaño de un transformador es también función de la frecuencia implicada. Entre menor es la frecuencia, mayor es el transformador requerido, como puede reconocerse fácilmente por el tamaño de los grandes transformadores de potencia (también afectados por los niveles de corriente según se mencionó). Para el mismo nivel de potencia, mayor puede ser la frecuencia de transformación y menor el transformador. Debido a las pérdidas por corrientes parásitas e histéresis en un transformador, el diseño del núcleo es muy importante. Un núcleo sólido introduce altos niveles de tales pérdidas, mientras que un núcleo construido de hojas de acero de alta permeabilidad con el aislamiento apropiado entre las hojas reduce las pérdidas considerablemente. Aunque muy fundamentales en su estructura básica, los transformadores son reconocidos como uno de los mayores bloques constructivos de los sistemas eléctricos y electrónicos. No hay publicación sobre nuevas componentes que no incluya un diseño actualizado para la gran variedad de aplicaciones que se desarrollan diariamente.

Compensación de bajo voltaje A veces, durante el año, las demandas pico de una empresa eléctrica pueden resultar en un voltaje reducido a lo largo de la línea. Por ejemplo, a medio verano, el voltaje de línea puede caer de 120 V a 100 V debido a la fuerte carga ocasionada principalmente por los acondicionadores de aire. Sin embargo, éstos no funcionan bien en condiciones de bajo voltaje, por lo que usar un autotransformador puede ser la solución. En la figura 21.47(a), un acondicionador de aire que extrae 10 A a 120 V está conectado a través de un autotransformador al suministro disponible que ha caído a 100 V. Suponiendo 100% de eficiencia, la corriente extraída de la línea tendría que ser de 12 A para asegurar que Pi  Po  1200 W. Usando el análisis presentado en la sección 21.11, encontraremos que la corriente en el devanado primario es de 2 A con 10 A en el secundario. Los 12 A existirán sólo

10 A 12 A Fuente

+

2A

+ Acondicionador – de aire de 120 V Fuente

+

+ 12 A

10 A

100 V

100 V

–

– Autotransformador (a)

Aislamiento de un transformador de elevación (b)

FIGURA 21.47 Formas de mantener una alimentación de 120 V para un acondicionador de aire: (a) usando un autotransformador; (b) usando un transformador tradicional de elevación.

Acondicionador de aire de 120 V

–

21.14 APLICACIONES

en la línea que conecta la fuente al primario. Si el nivel de voltaje fuese incrementado usando el tradicional transformador de elevación mostrado en la figura 21.47(b), las mismas corrientes resultarían en la fuente y en la carga. Sin embargo, observe que la corriente a través del primario es ahora de 12 A, lo cual es seis veces la que está presente en el autotransformador. El resultado es que el devanado en el autotransformador puede ser mucho más delgado debido al nivel considerablemente menor de corriente. Examinemos ahora la razón de vueltas requeridas y el número de vueltas implicadas en cada arreglo (asociando una vuelta con cada volt del primario y el secundario). Para el autotransformador: Vs 10 V 10 vueltas Ns       ⇒   Np Vp 100 V 100 vueltas Para el autotransformador adicional: Vs 120 V 120 vueltas Ns       ⇒   Np Vp 100 V 100 vueltas Por tanto, en total, el autotransformador tiene sólo 10 vueltas en el secundario, mientras que el tradicional tiene 120. En el autotransformador necesitamos sólo 10 vueltas de alambre pesado para manejar la corriente de 10 A, no las 120 requeridas por el transformador tradicional. Además, el número total de vueltas para el autotransformador es 110 comparado con 220 para el transformador tradicional. El resultado neto de todo lo anterior es que aun cuando la protección ofrecida por el aislamiento no está presente, el autotransformador puede ser mucho más pequeño en tamaño y peso y, por tanto, menos costoso.

Transformador reactor Todavía hasta hace poco, todas las luces fluorescentes como las que se muestran en la figura 21.48(a) tenían un transformador reactor igual al de la figura 21.48(b). En muchos casos su peso es casi igual al del dispositivo mismo. En años recientes ha sido desarrollado un transformador equivalente de estado sólido que en un futuro próximo puede llegar a reemplazar a la mayoría de los transformadores reactores. Sin embargo, por ahora, debido a los costos adicionales asociados con la variedad de estado sólido, el transformador reactor seguirá usándose en la mayoría de los tubos fluorescentes. Las conexiones básicas para instalar un solo tubo de luz fluorescente se muestran en la figura 21.49(a). Observe que el transformador está conectado como un autotransformador con el total de 120 V aplicados en el primario. Cuando el interruptor se cierre, el voltaje aplicado y el voltaje en el devanado secundario se sumarán y establecerán una corriente a través de los filamentos del tubo fluorescente. Al principio, el arrancador es un corto circuito que sirve para establecer la trayectoria continua a través de los dos filamentos. En tubos fluorescentes antiguos, el arrancador era un cilindro con dos contactos, como se muestra en la figura 21.49(b), que en ocasiones tenía que ser reemplazado. Se colocaba bajo el tubo fluorescente cerca de una de las conexiones de éste. En la actualidad, como se muestra en el croquis del interior de un transformador reactor en la figura 21.49(c), el arrancador está comúnmente integrado al reactor y no puede ser reemplazado. El voltaje establecido por la acción del autotransformador es suficiente para calentar los filamentos, pero no para iluminar el tubo fluorescente. La lámpara fluorescente es un tubo largo con un recubrimiento de pintura fluorescente en el interior. El tubo se llena con un gas inerte y una pequeña cantidad de mercurio líquido. La distancia entre los electrodos en los extremos de la lámpara es muy grande como para que el voltaje aplicado

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966

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TRANSFORMADORES

(a)

Reactor

Terminales de potencia

(b)

FIGURA 21.48 Lámpara fluorescente: (a) apariencia general; (b) vista interna con reactor.

por el autotransformador establezca la conducción. Para superar este problema, los filamentos son calentados primero, como se describió líneas arriba, para convertir el mercurio (un buen conductor) de líquido a gas. La conducción puede ser establecida entonces mediante la aplicación de un gran potencial en los electrodos. Este potencial se alcanza cuando el arrancador (un interruptor térmico que se abre cuando alcanza una temperatura particular) se abre y ocasiona que la corriente del inductor caiga desde su nivel establecido hasta cero ampere. La rápida caída en corriente establecerá un pico muy alto en el voltaje en las bobinas del autotransformador, según lo determina vL  L(diL /dt). Este importante pico en el voltaje también aparecerá en el tubo y establecerá una corriente entre los electrodos; entonces se emitirá luz cuando los electrones toquen la superficie fluorescente en el interior del tubo. Es la persistencia del recubrimiento interno lo que ayuda a ocultar la oscilación que se presenta en el nivel de conducción debido a la potencia de frecuencia baja (60 Hz), lo que podría resultar en una luz intermitente. El arrancador permanecerá abierto hasta la siguiente vez que el tubo sea encendido. El flujo de carga entre los electrodos se mantendrá sólo por el voltaje en el autotransformador. Esta corriente es relativamente baja en magnitud debido a la reactancia del devanado secundario en el circuito en serie resultante. En otras palabras, el autotransformador se ha cambiado a uno que proporciona ahora reactancia al circuito secundario para limitar la corriente a través del tubo. Sin este factor limitante la corriente por el tubo sería muy alta, y éste se quemaría rápidamente. Esta acción de las bobinas del transformador generando el voltaje requerido y actuando luego como una bobina para limitar la corriente ha resultado en la terminología general de choke oscilante (swinging choke). El hecho de que la luz no es generada por una caída IR en el filamento de un foco es la razón por la que las luces fluorescentes son tan eficientes desde el punto de vista de la energía. De hecho, en un foco incandescente, alrededor de

21.14 APLICACIONES

Interruptor encendido/apagado

+ 120 V 60 Hz

–

Reactor

Negro Blanco Blanco

Azul

–

+ Azul Arrancador del filamento

Ifilamentos

Ifilamentos

Ifilamentos

Ifilamentos

Tubo fluorescente

Filamentos (a)

>

Arrancador del filamento

Núcleo laminado Devanados Material impregnado de aceite absorbedor de calor dentro del recipiente (c)

FIGURA 21.49 (a) Diagrama esquemático de lámpara fluorescente de un solo tubo; (b) arrancador; (c) vista interna del transformador reactor.

75% de la energía aplicada se pierde en forma de calor, sólo un 25% se aprovecha efectivamente en la emisión de luz. En un tubo fluorescente, más de 70% se consume en la emisión de luz y 30% son pérdidas por calor. Como regla empírica, se puede suponer que la iluminación de una lámpara de 40 W [como la unidad de la figura 21.48(a) con sus dos tubos de 20 W] es equivalente a la de un foco incandescente de 100 W. Otra diferencia interesante entre focos incandescentes y tubos fluorescentes es el método empleado para determinar si están en buen estado o no. Para la luz incandescente, inmediatamente es obvio cuando el foco falla en emitir luz. Sin embargo, en el tubo fluorescente, suponiendo que el reactor está en buenas condiciones de trabajo, la luz comenzará a atenuarse a lo largo de su vida útil. Los electrodos se recubrirán y se volverán menos eficientes, y el recubrimiento interno comenzará a deteriorarse. Las lámparas fluorescentes de encendido rapido son distintas en su modo de operar sólo en que el voltaje generado por el transformador es lo suficientemente grande como para atomizar el gas durante la aplicación y el inicio de la conducción, cancelando así la necesidad de un arrancador y eliminando la etapa de calentamiento de los filamentos. En el futuro, probablemente el reactor de estado sólido será la unidad que se use debido a su rápida respuesta, superior eficiencia y menor peso, pero la transición tomará algo de tiempo. Sin embargo, la operación básica será la misma. Debido al gas flúor (de ahí el nombre de tubo fluorescente) y al mercurio que contienen las lámparas fluorescentes, debe tenerse cuidado especial al tirarlas a

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TRANSFORMADORES

la basura. Pregunte en la oficina de limpia de su localidad dónde tirar los tubos; ya que romperlos y meterlos en una bolsa de plástico puede ser peligroso. Si al romper un tubo alguien se corta la piel, debe acudir a un consultorio médico ya que podría sufrir de envenenamiento por flúor o mercurio.

21.15 ANÁLISIS POR COMPUTADORA PSpice Transformador (Fuentes controladas) La configuración del sencillo transformador que aparece en la figura 21.50 será analizada enseguida mediante fuentes controladas para imitar el comportamiento del transformador de acuerdo a como está definido por sus relaciones básicas de voltaje y corriente. R1

+ Vg = 20 V  0°

–

10  + Zi

1:4

+

Ep

Es

–

–

RL

100 

FIGURA 21.50 Aplicación de PSpice a un transformador de elevación.

Para fines de comparación, una solución teórica de la red daría lo siguiente: Zi  a2ZL 1 2  100 4



 6.25 y con: y

(6.25 )(20 V) Ep   7.692 V 6.25  10 1 1 Es  Ep  (7.692 V)  4(7.692 V)  30.77 V a (1/4) VL  Es  30.77 V

Para el transformador ideal, el voltaje secundario está definido por Es  Ns / Np(Ep), lo que es Es  4Ep para la red de la figura 21.50. El hecho de que la magnitud de un voltaje sea controlada por otra magnitud requiere que usemos la fuente Voltage-Controlled Voltage Source(VCVS) en la biblioteca ANALOG. Aparece como E en Parts List y tiene el formato que se ve en la figura 21.51. El voltaje sensor es E1, y el voltaje controlado aparece en las dos terminales del símbolo circular para fuente de voltaje. Un doble clic sobre el símbolo de fuente permitirá establecer GAIN en 4 para este ejemplo. En la figura 21.51 observe que el voltaje sensor es el voltaje primario del circuito de la figura 21.50, y el voltaje de salida está conectado directamente al resistor de carga RL. Realmente no hay problema en hacer las conexiones necesarias debido al formato de la fuente E. El siguiente paso consiste en establecer la relación de corriente para el transformador. Como la magnitud de una corriente será controlada por la magnitud de otra corriente en la misma configuración, debe emplearse Current-Controlled Current Source (CCCS). También aparece en la biblioteca ANALOG

21.15 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

FIGURA 21.51 Uso de PSpice para determinar la magnitud y el ángulo de fase para el voltaje de carga de la red que aparece en la figura 21.50.

bajo Part List como F y tiene el formato que muestra la figura 21.51. Observe que ambas corrientes tienen una dirección asociada. En el transformador ideal, Ip  Ns /Np(Is), lo que es Ip  4Is para la red de la figura 21.50. La ganancia para ésta parte puede establecerse usando el mismo procedimiento definido para la fuente E. Como la corriente secundaria será la corriente de control, su nivel debe ser alimentado en la fuente F en la misma dirección que la indicada en la fuente controlada. Al efectuar esta conexión, asegúrese de dar un clic sobre el alambre en posición antes de cruzar el alambre del circuito primario y luego hacer clic de nuevo después de cruzar el alambre. Si esto se realiza apropiadamente, no aparecerá un punto de conexión indicado por un pequeño punto rojo. La corriente controlada IR1 puede ser conectada como se muestra porque la conexión E1 sólo está percibiendo un nivel de voltaje, tiene esencialmente una impedancia infinita, y puede considerarse como un circuito abierto. En otras palabras, la corriente a través de R1 será la misma que la corriente a través de la fuente controlada de F. Se estableció una simulación con AC Sweep y 1 kHz para Start y End Frequencies. Fue seleccionado un punto por década, y se inició la simulación. Después que apareció SCHEMATIC1 en la pantalla, se salió de la ventana, y PSpice-View Output File fue elegido para resultar en la solución AC ANALYSIS de la figura 21.52. Observe que el voltaje es de 30.77 V, lo cual concuerda muy bien con la solución teórica. Transformador (Biblioteca) La misma red puede ser analizada eligiendo uno de los transformadores de la biblioteca EVAL como se muestra en la figura 21.53. Se escogió el transformador rotulado con K3019PL_3C8, y los atributos apropiados fueron colocados en el cuadro de diálogo Property Editor. Los

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970

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TRANSFORMADORES

FIGURA 21.52 Archivo de salida para el análisis indicado en la figura 21.51.

únicos tres atributos requeridos fueron COUPLING en 1, L1_TURNS en 1, y L2_TURNS en 4. En Simulation Settings, fue elegido AC Sweep y se utilizó 1MEGHz para Start and End Frequency porque se encontró que actuaba casi como un transformador ideal a esta frecuencia. Cuando la simulación fue ejecutada, el resultado bajo PSpice-View Output File apareció como se muestra en la figura 21.54 —una concordancia más o menos exacta con la solución teórica de 30.77 V.

FIGURA 21.53 Uso de un transformador proporcionado en la biblioteca EVAL para analizar la red de la figura 21.50.

PROBLEMAS

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FIGURA 21.54 Archivo de salida para el análisis indicado en la figura 21.53.

PROBLEMAS SECCIÓN 21.2

Inductancia mutua

Lp = 50 mH

1. Para el transformador con núcleo de aire de la figura 21.55: a. Encuentre el valor de Ls si la inductancia mutua M es igual a 80 mH. b. Encuentre los voltajes inducidos ep y es si el flujo que enlaza la bobina primaria cambia a razón de 0.08 Wb/s. c. Encuentre los voltajes inducidos ep y es si la corriente ip cambia a razón de 0.3 A/ms.

ip

+

+

ep

es

–

–

Np = 20

2. a. Resuelva el problema 1 con k  1. b. Resuelva el problema 1 con k  0.2. c. Compare los resultados de los incisos (a) y (b).

Ls

k = 0.8

FIGURA 21.55 Problemas 1, 2 y 3.

3. Resuelva el problema con k  0.9, Np  300 vueltas, y Ns  25 vueltas. SECCIÓN 21.3

Ns = 80

El transformador con núcleo de hierro

4. Para el transformador de núcleo de hierro (k  1) de la figura 21.56: a. Encuentre la magnitud del voltaje inducido Es. b. Encuentre el flujo máximo m. 5. Resuelva el problema 4 para Np = 240 y Ns = 30. 6. Encuentre el voltaje aplicado de un transformador con núcleo de hierro si el voltaje en el secundario es de 240 V, y Np  60 con Ns  720. 7. Si el flujo máximo que pasa por el núcleo del problema 4 es de 12.5 mWb, encuentre la frecuencia del voltaje de entrada.

Np = 8 Ip +

m

Ns = 64

+ Is

Ep = 25 V

Es

– f = 60 Hz

– m

FIGURA 21.56 Problemas 4, 5 y 7.

971

972

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TRANSFORMADORES SECCIÓN 21.4 Impedancia reflejada y potencia Np

+

8. Para el transformador con núcleo de hierro de la figura 21.57: a. Encuentre la magnitud de la corriente IL y el voltaje VL si a  1/5, Ip  2 A, y ZL  resistor de 2 . b. Encuentre la resistencia de entrada para los datos especificados en el inciso (a).

Ns

Ip

IL

+ ZL

Vg

VL

–

–

9. Encuentre la impedancia de entrada para el transformador con núcleo de hierro de la figura 21.57 si a  2, Ip  4 A, y Vg  1600 V.

FIGURA 21.57 Problemas del 8 al 12.

10. Encuentre el voltaje Vg y la corriente Ip si la impedancia de entrada del transformador con núcleo de hierro de la figura 21.57 es de 4 y VL  1200 V y a  1/4. 11. Si VL  240 V, ZL  resistor de 20 , Ip  0.05 A, y Ns  50, encuentre el número de vueltas en el circuito primario del transformador con núcleo de hierro de la figura 21.57. 12. a. Si Np  400, Ns  1200, y Vg  100 V, encuentre la magnitud de Ip para el transformador con núcleo de hierro de la figura 21.57 si ZL  9  j 12 . b. Encuentre la magnitud del voltaje VL y la corriente IL para las condiciones del inciso (a).

36 

Zs = R = 4 

+

SECCIÓN 21.5 Acoplamiento de impedancia, aislamiento y desplazamiento 13. a. Para el circuito de la figura 21.58, encuentre la razón de transformación requerida para entregar la máxima potencia a la bocina. b. Encuentre la máxima potencia entregada a la bocina.

Vg = 20 V

–

FIGURA 21.58 Problema 13. SECCIÓN 21.6 Circuito equivalente (Transformador con núcleo de hierro) 14. Para el transformador de la figura 21.59 determine: a. La resistencia equivalente Re. b. La reactancia equivalente Xe. c. El circuito equivalente reflejado al primario. d. La corriente en el primario para Vg  50 V 0°. e. El voltaje de carga VL. f. El diagrama fasorial del circuito primario reflejado. g. El nuevo voltaje de carga si suponemos que el transformador es ideal con una razón de vueltas de 4 : 1. Compare el resultado con el del inciso (e).

Ip

Rp

Xp

+

4

8

4:1

Xs

Rs

2

1

+ Vg = 120 V 0°

RL

20  VL

– – Transformador ideal

FIGURA 21.59 Problemas 14, 15, 16, 30 y 31.

PROBLEMAS

⏐⏐⏐

15. Para el transformador de la figura 21.59, si la carga resistiva es reemplazada por una reactancia inductiva de 20 : a. Determine la impedancia primaria total reflejada. b. Calcule la corriente primaria. c. Determine el voltaje en Re y Xe, y encuentre la carga reflejada. d. Trace el diagrama fasorial. 16. Resuelva el problema 15 para una carga capacitiva que tiene reactancia de 20 . SECCIÓN 21.7

Consideraciones de frecuencia

17. Con sus propias palabras, dé una argumentación acerca de las características de frecuencia del transformador. Emplee el circuito equivalente aplicable y las características de frecuencia que aparecen en este capítulo. SECCIÓN 21.8 Conexión en serie de bobinas mutuamente acopladas 18. Determine la inductancia total de las bobinas en serie de la figura 21.60. 19. Determine la inductancia total de las bobinas en serie de la figura 21.61.

k = 0 .8 M12 = 1 H

i

L1 = 4 H

i

L2 = 7 H

FIGURA 21.60 Problema 18.

L1 = 200 mH

L2 = 600 mH

FIGURA 21.61 Problema 19.

20. Determine la inductancia total de las bobinas en serie de la figura 21.62. 21. Escriba las ecuaciones de malla para la red de la figura 21.63.

M12

R1

+ M13 = 0.1 H k = 1 M12 = 0.2 H

L1 = 2 H

L2 = 1 H

FIGURA 21.62 Problema 20.

E

–

I1

I2 L1

L2

L3 = 4 H

FIGURA 21.63 Problema 21.

RL

973

974

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TRANSFORMADORES k = 0.05

Rp

SECCIÓN 21.9

Rs

2

1 8H

q = 1000

R = 20 

2H

SECCIÓN 21.10

Datos nominales

23. Un transformador ideal tiene la clasificación 10 kVA, 2400/ 120 V, 60 Hz. a. Encuentre la razón de transformación si los 120 V representan el voltaje secundario. b. Encuentre la clasificación por corriente del secundario si los 120 V representan el voltaje secundario. c. Encuentre la clasificación por corriente del primario si los 120 V representan el voltaje secundario. d. Resuelva los incisos (a), (b) y (c) si los 2400 V representan el voltaje secundario.

FIGURA 21.64 Problemas 22 y 32. I1 = 2 A

+

Transformador de núcleo de aire

22. Determine la impedancia de entrada al transformador con núcleo de aire de la figura 21.64. Trace la red primaria reflejada.

Is

+ SECCIÓN 21.11

Es

–

Vg = 200 V

+ + Ip

Ep

SECCIÓN 21.12 carga múltiple

VL = 40 V

–

–

–

26. Para el transformador de carga múltiple de la figura 21.43, donde N1  90, N2  15, N3  45, Z2  R2 0°  8 0°, Z3  RL 0°  5 0°, y Ei  60 V 0°: a. Determine los voltajes y las corrientes de carga. b. Calcule Zi.

Z1 L1

M12

+ I1

–

I2

L2

Transformadores con derivaciones y

25. Para el transformador con derivación central de la figura 21.42, donde Np  100, Ns  25, ZL  R 0°  5 0°, y Ep  100 V 0°: a. Determine el voltaje y la corriente de carga. b. Encuentre la impedancia Zi. c. Calcule la impedancia Z1/2.

FIGURA 21.65 Problema 24.

E

Tipos de transformadores

24. Determine las corrientes y los voltajes en el primario y secundario para el autotransformador de la figura 21.65.

27. Para el transformador de carga múltiple de la figura 21.44, donde N1  120, N2  40, N3  30, Z2  R2 0°  12 0°, Z3  R3 0°  10 0°, y Ei  120 V 60°: a. Determine los voltajes y las corrientes de carga. b. Calcule Zi.

Z2

FIGURA 21.66 Problema 28.

SECCIÓN 21.13 acopladas

Redes con bobinas magnéticamente

28. Escriba las ecuaciones de malla para la red de la figura 21.66. M12

29. Escriba las ecuaciones de malla para la red de la figura 21.67.

Z1 L2

I2

+ E1

I1

L1

SECCIÓN 21.15 Z3

–

M13

FIGURA 21.67 Problema 29.

I3

PSpice o Electronics Workbench *30. Genere el diagrama esquemático para la red de la figura 21.59, y encuentre el voltaje VL.

Z2 L3

Análisis por computadora

Z4

*31. Desarrolle una técnica usando PSpice o EWB para encontrar la impedancia de entrada en la fuente para la red de la figura 21.59. *32. Usando un transformador de la biblioteca, encuentre el voltaje de carga para la red de la figura 21.64 para un voltaje aplicado de 40 V 0°.

GLOSARIO Lenguaje de programación (C, QBASIC, Pascal, etc.) 33. Escriba un programa para proporcionar una solución general al problema de acoplamiento de la impedancia como se definió en el ejemplo 21.5. Es decir, dadas la impedancia de la bocina y la resistencia interna de la fuente, determine la razón requerida de vueltas y la potencia entregada a la bocina. Además, calcule, la corriente de fuente y de carga, y los voltajes

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en el primario y secundario. El voltaje de fuente tendrá que ser proporcionado con los otros parámetros de la red. 34. Dado el modelo equivalente del transformador con núcleo de hierro que aparece en la figura 21.20, escriba un programa para calcular la magnitud del voltaje Vg. 35. Dados los parámetros del ejemplo 21.7, escriba un programa para calcular la impedancia de entrada en forma polar.

GLOSARIO Acoplamiento débil Término aplicado a dos bobinas que tienen coeficiente de acoplamiento bajo. Autotransformador Transformador con un devanado común a los circuitos primario y secundario. Una pérdida en aislamiento es equilibrada mediante el aumento en su valor nominal de kilovolt-ampere. Coeficiente de acoplamiento (k) Medida del acoplamiento magnético de dos bobinas que va desde un mínimo de 0 hasta un máximo de 1. Convención del punto Técnica para rotular el efecto de la inductancia mutua sobre una inductancia neta de una red o sistema. Datos nominales Información de la clasificación por kilovoltampere, la razón de transformación de voltaje, y la frecuencia de aplicación que es de primordial importancia al elegir el transformador apropiado para una aplicación en particular. Flujo de fuga Flujo que enlaza la bobina pero no pasa a través de la trayectoria ferromagnética del circuito magnético. Impedancia reflejada Impedancia que aparece en el primario de un transformador debido a una carga conectada al secundario. Su magnitud está controlada directamente por la razón de transformación.

Inductancia mutua Inductancia que existe entre bobinas magnéticamente acopladas de la misma o de diferentes dimensiones. Primario Bobina o devanado donde normalmente se aplica la fuente de energía eléctrica. Razón de transformación (a) La razón de vueltas del primario al secundario de un transformador. Secundario Bobina o devanado donde normalmente se aplica la carga. Transformador con derivación central Transformador que tiene una conexión adicional entre las terminales de los devanados primario o secundario. Transformadores de carga múltiple Transformadores que tienen más de una carga conectada al devanado o devanados secundarios. Transformador de elevación Transformador cuyo voltaje en el secundario es mayor que su voltaje en el primario. La magnitud de la razón de transformación a es menor que 1. Transformador de disminución Transformador cuyo voltaje en el secundario es menor que su voltaje en el primario. La razón de transformación a es mayor que 1.

22 Sistemas polifásicos

22.1 INTRODUCCIÓN Un generador de ca diseñado para desarrollar un solo voltaje senoidal por cada rotación del rotor se denomina generador de ca monofásico. Si el número de bobinas sobre el rotor se incrementa de manera específica, el resultado es un generador polifásico de ca, el cual desarrolla más de un voltaje de fase de ca por rotación del rotor. En este capítulo será discutido con todo detalle el sistema de tres fases, comúnmente llamado trifásico, ya que es el más frecuentemente usado para transmisión de potencia. En general, para la transmisión de potencia, los sistemas trifásicos son los preferidos sobre los sistemas de una fase, o monofásicos, por muchas razones, incluidas las siguientes: 1. Pueden usarse conductores más delgados para transmitir los mismos kVA al mismo voltaje, lo que reduce la cantidad de cobre requerido (típicamente cerca de 25% menos) y a su vez baja los costos de construcción y mantenimiento. 2. Las líneas más ligeras son más fáciles de instalar, y las estructuras de soporte pueden ser menos masivas y situarse a mayor distancia una de otra. 3. Los equipos y motores trifásicos tienen características preferidas de operación y arranque comparadas con los sistemas monofásicos debido a un flujo más uniforme de potencia al transductor del que puede lograrse con un suministro monofásico. 4. En general, la mayoría de los grandes motores son trifásicos porque son esencialmente de autoarranque y no requieren un diseño especial o circuitería adicional de arranque. La frecuencia generada se determina por el número de polos en el rotor (la parte rotatoria del generador) y la velocidad con que gira la flecha. En todo Estados Unidos la frecuencia de línea es de 60 Hz, mientras que en Europa el estándar es de 50 Hz. Ambas frecuencias fueron elegidas principalmente porque pueden ser generadas mediante un diseño mecánico estable y relativamente eficiente que es sensible al tamaño de los sistemas generadores y a la demanda que

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⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

debe satisfacerse durante los periodos pico. En aeronaves y buques los niveles de demanda permiten el uso de una frecuencia de línea de 400 Hz. El sistema trifásico es usado por casi todos los generadores eléctricos comerciales. Esto no significa que los sistemas generadores de una y dos fases sean obsoletos. La mayoría de los generadores pequeños de emergencia, tales como los tipos de gasolina, son sistemas generadores de una fase. El sistema de dos fases se usa comúnmente en servomecanismos, que son sistemas de control autocorrectivos capaces de detectar y ajustar su propia operación. Los servomecanismos se emplean en buques y aeronaves para mantener automáticamente el curso, o en dispositivos más simples, como un circuito con termostato, para regular la salida de calor. Sin embargo, en muchos casos donde se requieren entradas monofásicas y bifásicas, éstas se suministran mediante una y dos fases de un sistema generador trifásico en vez de ser generadas independientemente. La cantidad de voltajes de fase que pueden ser producidos por un generador polifásico no está limitada a tres. Puede obtenerse cualquier número de fases espaciando los devanados para cada fase en la posición angular apropiada alrededor del estator. Algunos sistemas eléctricos operan con mayor eficiencia cuando se usan más de tres fases. Un sistema de tal tipo implica el proceso de rectificación, el cual se usa para convertir una salida alternante en otra que tenga un valor promedio o valor de cd. A mayor número de fases, más uniforme será la salida de cd del sistema.

22.2 EL GENERADOR TRIFÁSICO El generador trifásico de la figura 22.1(a) tiene tres bobinas de inducción situadas a 120° entre sí sobre el estator, como se muestra simbólicamente en la figura 22.1(b). Dado que las tres bobinas tienen un número igual de vueltas, y cada bobina gira con la misma velocidad angular, el voltaje inducido en cada una tendrá los mismos valores pico e iguales forma y frecuencia. Conforme el rotor del generador gira por la acción de algún medio externo, los voltajes inducidos eAN, eBN y eCN serán generados simultáneamente, como se muestra en la figura 22.2. Observe el desplazamiento de fase de 120° entre las formas de onda y las similitudes en la apariencia de las tres funciones senoidales.

A

+ eAN

120° N

–

A

C

(a)

N

C

+

eBN

+

eCN

N

120°

–

N

B

–

120°

B

(b)

FIGURA 22.1 (a) Generador trifásico; (b) voltajes inducidos de un generador trifásico.

En particular, observe que: en cualquier instante, la suma algebraica de los tres voltajes de fase de un generador trifásico es cero.

22.2 EL GENERADOR TRIFÁSICO

⏐⏐⏐

979

e eAN

eBN

eCN

0.866 Em(CN) 0.5 Em(CN) 0 60°

p 2

p

3 p 2

0.866 Em(BN)

120°

2p

5 3p p 2 0.5 Em(CN)

7 p 2

qt

4p

120°

FIGURA 22.2 Voltajes de fase de un generador trifásico.

Esto se muestra en qt  0 en la figura 22.2, donde también resulta evidente que cuando un voltaje inducido es cero, los otros dos voltajes son 86.6% de sus máximos positivos o negativos. Además, cuando dos voltajes cualesquiera son iguales en magnitud y signo (en 0.5Em ), el restante voltaje inducido tiene la polaridad opuesta y su valor pico. La expresión senoidal para cada uno de los voltajes inducidos de la figura 22.2 es:

ECN 120°

eAN  Em(AN) sen qt eBN  Em(BN) sen(qt 120°) eCN  Em(CN) sen(qt 240°)  Em(CN) sen(qt  120°)

120°

EAN

(22.1)

120°

EBN

El diagrama fasorial de los voltajes inducidos se muestra en la figura 22.3, donde el valor efectivo de cada voltaje se determina mediante: FIGURA 22.3 Diagrama fasorial para los voltajes de fase de un generador trifásico.

EAN  0.707Em(AN) EBN  0.707Em(BN) ECN  0.707Em(CN) y

EAN  EAN 0° EBN  EBN  120°

EAN

ECN  ECN 120° Reordenando los fasores como se muestra en la figura 22.4, y aplicando una ley de vectores que establece que la suma vectorial de cualquier cantidad de vectores trazados de manera que la “cabeza” de uno esté conectada a la “cola” del siguiente y que la cabeza del último vector esté conectada a la cola del primero es cero, podemos concluir que la suma fasorial de los voltajes de fase en un sistema trifásico es cero. Es decir, EAN  EBN  ECN  0

(22.2)

ECN

EBN

FIGURA 22.4 Demostración de que la suma vectorial de los voltajes de fase de un generador trifásico es cero.

980

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

22.3 EL GENERADOR CONECTADO EN Y Si las tres terminales de la figura 22.1(b) denotadas con N son conectadas entre sí, al generador se le denomina generador trifásico conectado en Y (Figura 22.5). Como se indica en la figura 22.5, la Y está invertida por facilidad de notación y claridad. El punto en que todas las terminales están conectadas se denomina punto neutro. Si un conductor no está unido desde este punto hasta la carga, el sistema se denomina generador trifásico de tres alambres conectado en Y. Si el neutro está conectado, el sistema es un generador trifásico de cuatro alambres conectado en Y. La función del neutro será discutida con todo detalle cuando consideremos el circuito de carga. A

Línea IL

+ Ifg

EAN

– Neutral

N ECN

–

Ifg

+ C

C A R G A

– Ifg

EBN

+

B

Línea IL Línea IL

FIGURA 22.5 Generador conectado en Y.

Los tres conductores conectados desde A, B y C hasta la carga son llamados líneas. Para el sistema conectado en Y, a partir de la figura 22.5 debe resultar obvio que la corriente de línea es igual a la corriente de fase para cada fase; es decir, IL  Ifg

(22.3)

donde f se usa para denotar una cantidad de fase y g es un parámetro del generador. El voltaje de una línea a otra se denomina voltaje de línea. Sobre el diagrama fasorial (Figura 22.6), es el fasor trazado desde el extremo de una fase a otra en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo indicado en la figura 22.6 obtenemos: EAB EAN  EBN  0 o bien:

EAB  EAN EBN  EAN  ENB

El diagrama fasorial se traza de nuevo para encontrar EAB como se muestra en la figura 22.7. En vista de que cada voltaje de fase, cuando se invierte (ENB), bisectará los otros dos voltajes, a = 60°. El ángulo b es de 30° ya que una línea trazada desde extremos opuestos de un rombo divide a la mitad tanto el ángulo de origen como el ángulo opuesto. Las líneas trazadas entre esquinas opuestas de un rombo también se bisectarán entre sí en ángulos rectos.

22.3 EL GENERADOR CONECTADO EN Y

⏐⏐⏐

981

C

ECA ECN EAB

ECN N EAN (voltaje de fase) EBC

–

–

+

+

A



° 60 = x  = 30°

120° EBN

EAB (voltaje de línea)

x

ENB

 = 60°

EAN 120°

+ –

EBN

B

FIGURA 22.6 Voltajes de línea y de fase del generador trifásico conectado en Y.

FIGURA 22.7 Determinación de un voltaje de línea para un generador trifásico.

La longitud x es: 3 x  EAN cos 30°  EAN 2 y

3  EAB  2x  (2) EAN  3 EAN 2

Tomando en cuenta, a partir del diagrama fasorial, que v de EAB  b  30°, el resultado es: EAB  EAB 30°  3 EAN 30° y

ECA  3 ECN 150° EBN 270° EBC  3

En otras palabras, la magnitud del voltaje de línea de un generador conectado en Y es la 3 multiplicada por el voltaje de fase: EL  3 Ef

(22.4)

con el ángulo de fase entre cualquier voltaje de línea y el voltaje de fase más cercano a 30°. En notación senoidal, eAB  2 EAB sen(qt  30°) eCA  2 ECA sen(qt  150°) y

eBC  2 EBC sen(qt  270°)

El diagrama fasorial de los voltajes de línea y fase se muestra en la figura 22.8. Si los fasores que representan los voltajes de línea en la figura 22.8(a) se reordenan ligeramente, formarán un lazo cerrado [Figura 22.8(b)]. Por tanto, podemos concluir que la suma de los voltajes de línea es también cero; es decir, EAB  ECA  EBC  0

(22.5)

982

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

ECA

ECN

EAB

30° 120° 30° 120°

ECA EAN

120° EBC EBN

30° EAB (b) EBC

(a)

FIGURA 22.8 (a) Diagrama fasorial de los voltajes de línea y de fase de un generador trifásico; (b) demostración de que la suma vectorial de los voltajes de línea de un sistema trifásico es cero.

C

ECN

22.4 SECUENCIA DE FASE (GENERADOR CONECTADO EN Y)

Punto fijo P EAN

N

A

Rotación EBN

B

FIGURA 22.9 Determinación de la secuencia de fase a partir de los voltajes de fase de un generador trifásico. C

ECA

P EAB

A

Rotación EBC

La secuencia de fase puede ser determinada por el orden en que los fasores que representan los voltajes de fase pasan por un punto fijo en el diagrama fasorial si los fasores giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por ejemplo, en la figura 22.9 la secuencia de fase es ABC. Sin embargo, como el punto fijo puede ser seleccionado en cualquier parte sobre el diagrama fasorial, la secuencia también puede escribirse como BCA o CAB. La secuencia de fase es muy importante en la distribución trifásica de potencia. Por ejemplo, en un motor trifásico, si dos voltajes de fase son intercambiados, la secuencia cambiará y la dirección de rotación del motor se invertirá. Otros efectos serán descritos cuando consideremos el sistema trifásico cargado. La secuencia de fase también puede ser descrita en términos de los voltajes de línea. Trazando los voltajes de línea sobre un diagrama fasorial en la figura 22.10, podemos determinar la secuencia de fase girando de nuevo los fasores en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Sin embargo, en este caso la secuencia puede ser determinada al advertir el orden de los primeros o segundos subíndices. Por ejemplo, en el sistema de la figura 22.10, la secuencia de fase de los primeros subíndices que pasan el punto P es ABC, y la secuencia de fase de los segundos subíndices es BCA. Pero sabemos que BCA es equivalente a ABC, por lo que la secuencia es la misma para cada uno. Observe que la secuencia de fase es la misma que para los voltajes de fase descritos en la figura 22.9. Si la secuencia está dada, el diagrama fasorial puede trazarse eligiendo un voltaje de referencia, colocándolo sobre el eje de referencia, y trazando luego los otros voltajes en su posición angular correcta. Por ejemplo, para una secuencia de ACB, podríamos elegir EAB como la referencia [Figura 22.11(a)] si queremos el diagrama fasorial de los voltajes de línea, o ENA para los voltajes de fase [Figura 22.11(b)]. Para la secuencia indicada, los diagramas fasoriales serían como los mostrados en la figura 22.11. En notación fasorial,

B

Voltajes de línea

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

FIGURA 22.10 Determinación de la secuencia de fase a partir de los voltajes de línea de un generador trifásico.

EAB  EAB 0° ECA  ECA  120° EBC  EBC 120°

(referencia)

22.5 EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y B

B

ACB EBC

ACB

P

EBN

P

A

EAB

A

EAN

ECA

ECN

C

C

(a)

(b)

FIGURA 22.11 Trazado del diagrama fasorial a partir de la secuencia de fase.

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Voltajes de fase

EAN  EAN 0° (referencia) ECN  ECN  120° EBN  EBN 120°

22.5 EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y Las cargas conectadas a suministros trifásicos son de dos tipos: Y y D. Si una carga conectada en Y está conectada a un generador conectado en Y, el sistema se representa simbólicamente por Y-Y. El arreglo físico de un sistema de tal índole se muestra en la figura 22.12. A

a

+

EL

Ef

Ifg

IfL

IL

+

Vf

–

– IN

N Ef

–

n

Ifg

+ C

Z1

– Ifg

Ef

+

B

IL

c

–

Z3

IfL

EL

+

Vf

EL IL

FIGURA 22.12 Generador conectado en Y con una carga conectada en Y.

Si la carga está balanceada, la conexión neutra puede eliminarse sin que el circuito se vea afectado de ninguna manera; esto es, si: Z1  Z2  Z3

–

IfL

Z2 Vf

+

b

⏐⏐⏐

983

984

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

entonces IN será cero. (Esto se demostrará en el ejemplo 22.1.) Observe que para tener una carga balanceada, el ángulo de fase también debe ser el mismo para cada impedancia, una condición que no fue necesaria en circuitos de cd cuando consideramos sistemas balanceados. En la práctica, por ejemplo, si una fábrica tiene sólo cargas trifásicas balanceadas, la ausencia del neutro no tendría efecto ya que, idealmente, el sistema siempre estaría balanceado. El costo, por tanto, sería menor ya que el número de conductores requeridos se reduciría. Sin embargo, la iluminación y la mayor parte de otros equipos eléctricos usarán sólo uno de los voltajes de fase, y aun si la carga está diseñada para ser balanceada (como debe ser), nunca se tendrá un balanceo continuo perfecto ya que las luces y otro equipo eléctrico se encenderán y apagarán, perturbando la condición balanceada. El neutro es, por tanto, necesario para llevar la corriente resultante lejos de la carga y de regreso al generador conectado en Y. Esto será demostrado cuando consideremos sistemas no balanceados conectados en Y. A continuación examinaremos el sistema de cuatro alambres conectado en Y-Y. La corriente que pasa por cada fase del generador es la misma que su correspondiente corriente de línea, la cual a su vez, para una carga conectada en Y, es igual a la corriente en la fase de la carga a la que está conectada: Ifg  IL  IfL

(22.6)

Tanto para una carga balanceada como para una no balanceada, dado que el generador y la carga tienen un punto neutro común, entonces: Vf  Ef

(22.7)

Además, como IfL  Vf /Zf, la magnitud de la corriente en cada fase será igual para una carga balanceada y desigual para una carga no balanceada. Se recordará que para el generador conectado en Y, la magnitud del voltaje de línea es igual a la 3  multiplicada por el voltaje de fase. La misma relación puede aplicarse a una carga de cuatro alambres conectada en Y balanceada o no balanceada: EL  3 Vf

(22.8)

Para una caída de voltaje en un elemento de carga, el primer subíndice se refiere a la terminal a través de la cual la corriente entra al elemento de carga, y el segundo subíndice se refiere a la terminal por la cual la corriente sale. En otras palabras, el primer subíndice es, por definición, positivo con respecto al segundo para una caída de voltaje. Observe la figura 22.13, en la cual los subíndices estándares dobles están indicados para una fuente de voltaje y una caída de voltaje.

EJEMPLO 22.1 La secuencia de fase del generador conectado en Y en la figura 22.13 es ABC. a. Encuentre los ángulos de fase v2 y v3. b. Encuentre la magnitud de los voltajes de línea. c. Encuentre las corrientes de línea. d. Verifique si, dado que la carga está balanceada, IN  0. Soluciones: a. Para una secuencia de fase ABC, v2  120° y

v3  120°

22.6 EL SISTEMA Y-D A

a IAa

+ EAN

120 V

0°

–

–

120 V  3

+ C

120 V

EBN

ECN

Vcn

2

+

ECA B

EBC

3

IBb

c

Icn

ICc

b. EL  3 Ef  (1.73)(120 V)  208 V. Por tanto, EAB  EBC  ECA  208 V c. Vf  Ef. Por tanto, Vbn  EBN

Vcn  ECN

120 V 0° 120 V 0° Van IfL  Ian    5 53.13° 3 j4 Zan  24 A  53.13° Vbn 120 V  120°   24 A  173.13° Ibn  Zbn 5 53.13° Vcn 120 V 120° Icn    24 A 66.87° Zcn 5 53.13° y, como IL  IfL , IAa  Ian  24 A 53.13° IBb  Ibn  24 A 173.13° ICc  Icn  24 A 66.87° d. Aplicando la ley de corriente de Kirchhoff tenemos: IN  IAa  IBb  ICc En forma rectangular, IAa  24 A  53.13°  14.40 A j 19.20 A IBb  24 A  173.13°  23.83 A j 2.87 A ICc  24 A 66.87°  09.43 A  j 22.07 A Σ(IAa  IBb  ICc)



–n 4

+

FIGURA 22.13 Ejemplo 22.1.

Van  EAN

+ Van

4

IN

N

–

3

Ian

EAB

0j0

e IN es en realidad igual a cero, como se requiere para una carga balanceada.

22.6 EL SISTEMA Y-D No hay conexión neutra para el sistema Y-D de la figura 22.14. Cualquier variación en la impedancia de una fase que produce un sistema no balanceado simplemente variará las corrientes de línea y de fase del sistema.

–

– Carga

balanceada 4 V bn 3

+

Ibn

b

⏐⏐⏐

985

986

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS A

a IL

+

IfL

–

Ef

Ifg

– EL

N

–

Ifg

C

+

Ef

+ Vf

Vf

–

Ef

EL

Z3

+

+

Z1

IfL

Ifg IL

B

–

IfL

c

Z2

–

EL

Vf

b

+

IL

FIGURA 22.14 Generador conectado en Y con una carga conectada en D.

Para una carga balanceada, Z1  Z 2  Z3

(22.9)

El voltaje en cada fase de la carga es igual al voltaje de línea del generador para una carga balanceada o no balanceada: Vf  EL

(22.10)

La relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase de una carga balanceada en D puede encontrarse empleando un enfoque muy similar al aplicado en la sección 22.3 para encontrar la relación entre los voltajes de línea y los voltajes de fase de un generador conectado en Y. Sin embargo, para este caso, se emplea la ley de corriente de Kirchhoff en vez de la ley de voltaje de Kirchhoff. Los resultados obtenidos son: IL  3 If

(22.11)

y el ángulo de fase entre una corriente de línea y la corriente de fase más cercana es de 30°. Una argumentación más detallada de esta relación entre las corrientes de línea y de fase de un sistema conectado en D puede encontrarse en la sección 22.7. Para una carga balanceada, las corrientes de línea serán iguales en magnitud, tal como lo serán las corrientes de fase. EJEMPLO 22.2 Para el sistema trifásico de la figura 22.15: a. Encuentre los ángulos de fase v2 y v3. b. Encuentre la corriente en cada fase de la carga. c. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea. Soluciones: a. Para una secuencia ABC, v2  120° y

v3  120°

22.7 EL GENERADOR CONECTADO EN D

a

A

–

IAa

+ XL = 8 

R = 6 EAB = 150 V  0° Generador trifásico de tres alambres conectado en Y Secuencia de fase: ABC

Vab

Vca Ica

XL = 8  ECA = 150 V  v3

+

R = 6 R = 6

–

Ibc XL = 8 

c

IBb B

Iab

b

ICc

Vbc

–

+

C EBC = 150 V  v2

FIGURA 22.15 Ejemplo 22.2.

b. Vf  EL. Por tanto, Vab  EAB

Vca  ECA

Vbc  EBC

Las corrientes de fase son: Vab 150 V 0° 150 V 0° Iab     15 A 53.13° Zab 6 j8 10 53.13° Vbc 150 V  120° Ibc    15 A 173.13° Zbc 10 53.13° Vca 150 V 120° Ica    15 A 66.87° Zca 10 53.13° If  (1.73)(15 A)  25.95 A. Por tanto, c. IL  3 IAa  IBb  ICc  25.95 A

22.7 EL GENERADOR CONECTADO EN D Si las bobinas del generador que aparece en la figura 22.16(a) se rearreglan como se muestra en la figura 22.16(b), al sistema se le denomina generador de

A

A

+ eAN

+

eCN

– N

C

N –

– +

eBN

+

EAB

ECN EAN

+ IAC

+ –

C

–

B (a)

EBN

Carga

–

– +

EBC + ICB (b)

FIGURA 22.16 Generador conectado en D.

IAa

+

ECA

– N

IBA

–

IBb B

ICc

⏐⏐⏐

987

988

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

ca conectado en , trifásico de tres alambres. En este sistema, los voltajes de fase y de línea son equivalentes e iguales al voltaje inducido en cada bobina del generador; esto es, ⎫ EAB  EAN y eAN  2 EAN sen qt ⎪ Secuencia EBC  EBN y eBN  2 EBN sen(qt 120°) ⎬ de fase ⎪ ECN sen(qt  120°) ⎭ ABC ECA  ECN y eCN  2 EL  Efg

o bien:

(22.12)

Observe que sólo un voltaje (magnitud) está disponible en vez de los dos voltajes asequibles en el sistema conectado en Y. A diferencia de la corriente de línea para el generador conectado en Y, la corriente de línea para el sistema conectado en D no es igual a la corriente de fase. La relación entre las dos corrientes puede encontrarse aplicando la ley de corriente de Kirchhoff en uno de los nodos y despejando la corriente de línea en términos de las corrientes de fase; es decir, en el nodo A, IBA  IAa  IAC IAa  IBA IAC  IBA  ICA

o bien:

El diagrama fasorial se muestra en la figura 22.17 para una carga balanceada. IAC

120° IBA

120°

 3 2 I

30° 30°

BA

60°

 3 2 I

BA

IAa ICB

ICA IAa = 3 IBA

FIGURA 22.17 Determinación de una corriente de línea a partir de las corrientes de fase de un generador trifásico conectado en D.

Para encontrar la corriente de línea se emplea el mismo procedimiento utilizado para encontrar el voltaje de línea de un generador conectado en Y, como sigue: IBA  30° IAa  3 ICB  150° IBb  3 IAC 90° ICc  3 En general: IL  3 Ifg

(22.13)

con el ángulo de fase entre una corriente de línea y la corriente de fase más cercana a 30°. El diagrama fasorial de las corrientes se muestra en la figura 22.18.

22.9 LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS D-D, D-Y

⏐⏐⏐

989

ICc

IAC

30° 120° 120° 120°

IBb

IBA 30°

30° ICB

IAa

FIGURA 22.18 Diagrama fasorial de las corrientes de un generador trifásico conectado en D.

Igual que para los voltajes de un generador conectado en Y, es posible mostrar que la suma fasorial de las corrientes de línea o corrientes de fase para sistemas conectados en D con cargas balanceadas es cero.

22.8 SECUENCIA DE FASE (GENERADOR CONECTADO EN D) Aunque los voltajes de línea y de fase de un sistema conectado en D son los mismos, es práctica común describir la secuencia de fase en términos de los voltajes de línea. El método empleado es el mismo que el descrito para los voltajes de línea del generador conectado en Y. Por ejemplo, el diagrama fasorial de los voltajes de línea para una secuencia de fase ABC se muestra en la figura 22.19. Al trazar un diagrama de tal índole, se debe tener cuidado para encontrar la secuencia de los primeros y segundos subíndices iguales. En notación fasorial,

ECA

EAB  EAB 0° EBC  EBC  120° ECA  ECA 120°

Rotación P EAB

Secuencia de fase: ABC

22.9 LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS D-D, D-Y Las ecuaciones básicas necesarias para analizar cualquiera de los dos sistemas (D-D, D-Y) han sido presentadas por lo menos una vez en este capítulo. Por tanto, procederemos directamente a desarrollar dos ejemplos descriptivos, uno con una carga conectada en D y otro con una carga conectada en Y. EJEMPLO 22.3 Para el sistema D-D mostrado en la figura 22.20: a. Encuentre los ángulos de fase v2 y v3 para la secuencia de fase especificada. b. Encuentre la corriente en cada fase de la carga. c. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea.

EBC

FIGURA 22.19 Determinación de la secuencia de fase para un generador trifásico conectado en D.

990

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

a

A IAa

+

–

EAB = 120 V  0°

Iab

Vca

5 Generador trifásico de ca conectado en  Secuencia de fase: ACB

Vab 5

5 5

+

– 5

ECA = 120 V  v3

Ica Ibc

c IBb

b

5

B

–

ICc

+

Vbc

C EBC = 120 V  v2

FIGURA 22.20 Ejemplo 22.3: sistema D-D.

Soluciones: a. Para una secuencia de fase ACB, v2  120° y

v3  120°

b. Vf  EL. Por tanto, Vab  EAB

Vca  ECA

Vbc  EBC

Las corrientes de fase son: 120 V 0° 120 V 0° Vab Iab   ———  ––– 2 5

 90° (5

0°)(5

 90°) Zab 7.071  45° 5 j5 120 V 0°   33.9 A 45° 3.54  45° Vbc 120 V 120° Ibc    33.9 A 165° Zbc 3.54  45° 120 V  120° Vca Ica    33.9 A 75° 3.54  45° Zca c. IL  3 If  (1.73)(34 A)  58.82 A. Por tanto, IAa  IBb  ICc  58.82 A EJEMPLO 22.4 Para el sistema D-Y mostrado en la figura 22.21: a. Encuentre el voltaje en cada fase de la carga. b. Encuentre la magnitud de los voltajes de línea. Soluciones: a. IfL  IL. Por tanto, Ian  IAa  2 A 0° Ibn  IBb  2 A  120° Icn  ICc  2 A 120°

22.10 POTENCIA

a

A

+

IAa = 2 A  0°

Ian 8

Van 6 EAB

ECA

Generador trifásico conectado en 

– n 6 8 Icn

IBb = c 2 A  –120° “Secuencia de fase”: ABC

Vcn

+

EBC ICc = 2 A  120°

FIGURA 22.21 Ejemplo 22.4: sistema D-Y.

Los voltajes de fase son: Van  IanZan  (2 A 0°)(10  53.13°)  20 V 53.13° Vbn  IbnZbn  (2 A  120°)(10  53.13°)  20 V 173.13° Vcn  IcnZcn  (2 A 120°)(10  53.13°)  20 V 66.87° b. EL  3 Vf  (1.73)(20 V)  34.6 V. Por tanto, EBA  ECB  EAC  34.6 V

22.10 POTENCIA Carga balanceada conectada en Y La figura 22.22 es la referencia para efectuar el siguiente análisis. a IL

+ I"

V"

Z

Z = R ± jX

– EL

EL

+ IL

c

n

–

V"

–

V" Z

Z I"

I"

EL IL

FIGURA 22.22 Carga balanceada conectada en Y.

–

6 8 Vbn

Ibn

+

B C

–

+ b

b

⏐⏐⏐

991

992

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

Potencia promedio La potencia promedio entregada a cada fase puede ser determinada mediante cualesquiera de las ecuaciones (22.14), (22.15) y (22.16). V R2 Pf  VfIf cos vVIff  If2Rf  Rf

(watts, W)

(22.14)

donde vVIff indica que v es el ángulo de fase entre Vf e If. La potencia total a la carga balanceada es: PT  3Pf EL Vf  3 

o, como:

(W) e

(22.15)

If  IL

EL PT  3 IL cos vVIff 3

entonces:

3

3

33 

(1)    3   3  3  3 3  3

Pero: Por tanto,

PT  3 ELIL cos vVIff  3I 2LRf

(W)

(22.16)

Potencia reactiva La potencia reactiva de cada fase (en volt-ampere reactivos) es: V X2 Qf  Vf If sen vVI ff  I 2f Xf  Xf

(VAR)

(22.17)

La potencia reactiva total de la carga es: QT  3Qf

(VAR)

(22.18)

o, procediendo como antes, tenemos: QT  3 ELIL sen vVIff  3I 2LXf Potencia aparente

(VAR)

(22.19)

La potencia aparente de cada fase es: Sf  VfIf

(VA)

(22.20)

(VA)

(22.21)

La potencia aparente total de la carga es: ST  3Sf o, como antes, ST  3 ELIL

(VA)

(22.22)

22.10 POTENCIA

Factor de potencia

El factor de potencia del sistema está dado por:

PT Fp   cos vVIff ST

(adelantado o atrasado)

(22.23)

EJEMPLO 22.5 Para la carga conectada en Y de la figura 22.23:

a R = 3 I" EL = 173.2 V EL = 173.2 V + 120°

0°

XL = 4 

XL = 4  V"

–

+ V"

– n –

XL = 4  V"

+ c

EL = 173.2 V

R = 3

I"

+

I" b R = 3

– 120°

FIGURA 22.23 Ejemplo 22.5.

a. b. c. d.

Encuentre la potencia promedio para cada fase y la carga total. Determine la potencia reactiva para cada fase y la potencia reactiva total. Encuentre la potencia aparente para cada fase y la potencia aparente total. Encuentre el factor de potencia de la carga.

Soluciones: a. La potencia promedio es: Pf  VfIf cos vVIff  (100 V)(20 A) cos 53.13°  (2000)(0.6)  1200 W Pf  I f2Rf  (20 A)2(3 )  (400)(3)  1200 W (60 V)2 3600 V 2R    1200 W Pf  3 Rf 3 PT  3Pf  (3)(1200 W)  3600 W o bien: PT  3 ELIL cos vVIff  (1.732)(173.2 V)(20 A)(0.6)  3600 W b. La potencia reactiva es: Qf  VfIf sen vVIff  (100 V)(20 A) sen 53.13°  (2000)(0.8)  1600 VAR o bien:

Qf  I 2f Xf  (20 A)2(4 )  (400)(4)  1600 VAR QT  3Qf  (3)(1600 VAR)  4800 VAR

o bien: QT  3 ELIL sen vVIff  (1.732)(173.2 V)(20 A)(0.8)  4800 VAR

⏐⏐⏐

993

994

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

c. La potencia aparente es: Sf  VfIf  (100 V)(20 A)  2000 VA ST  3Sf  (3)(2000 VA)  6000 VA o bien:

ST  3 ELIL  (1.732)(173.2 V)(20 A)  6000 VA

d. El factor de potencia es: PT 3600 W Fp    0.6 atrasado ST 6000 VA

Carga balanceada conectada en D La figura 22.24 es la referencia para el siguiente análisis.

IL

– V" EL

I"

Z

+ V" Z = R" ± jX"

Z

+

–

EL I" IL

–

EL

I" Z V"

+

IL

FIGURA 22.24 Carga balanceada conectada en D.

Potencia promedio V R2 Pf  VfIf cos vVIff  I f2Rf  Rf PT  3Pf

(W)

(W)

(22.24)

(22.25)

Potencia reactiva V X2 Qf  Vf If sen vVIff  I f2Xf  Xf

(VAR)

(22.26)

QT  3Qf

(VAR)

(22.27)

Sf  VfIf

(VA)

(22.28)

Potencia aparente

22.10 POTENCIA

ST  3Sf  3 ELIL

(VA)

(22.29)

Factor de potencia PT Fp  ST

(22.30)

EJEMPLO 22.6 Para la carga conectada en D-Y de la figura 22.25, encuentre las potencias totales promedio, reactiva y aparente; además del factor de potencia de la carga.

4

6

8

3

EL = 200 V  0° 8  EL = 200 V  +120°

6

4

3 3 6

4

8

EL = 200 V  –120°

FIGURA 22.25 Ejemplo 22.6.

Solución: Considere la D y la Y por separado. Para la D: ZD  6 j 8  10  53.13° EL 200 V If    20 A ZD 10 PTD  3I f2 Rf  (3)(20 A)2(6 )  7200 W QTD  3I f2 Xf  (3)(20 A)2(8 )  9600 VAR (C) STD  3Vf If  (3)(200 V)(20 A)  12,000 VA Para la Y: ZY  4  j 3  5 36.87° 200 V/3  EL/3 116 V    23.12 A If  5 ZY 5 PTY  3I f2 Rf  (3)(23.12 A)2(4 )  6414.41 W QTY  3I f2 Xf  (3)(23.12 A)2(3 )  4810.81 VAR (L) STY  3Vf If  (3)(116 V)(23.12 A)  8045.76 VA

⏐⏐⏐

995

996

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

Para la carga total: PT  PTD  PTY  7200 W  6414.41 W  13,614.41 W QT  QTD QTY  9600 VAR (C) 4810.81 VAR (I)  4789.19 VAR (C)

T2  Q2T  (1 3,6 14.4 1 W )2 (4 789.1 9 VA R  )2 ST  P  14,432.2 VA PT 13,614.41 W Fp    0.943 adelantado ST 14,432.20 VA

EJEMPLO 22.7 Cada línea de transmisión del sistema trifásico de tres alambres de la figura 22.26 tiene impedancia de 15  j 20 . El sistema entrega una potencia total de 160 kW a 12,000 V a una carga balanceada trifásica con factor de potencia atrasado de 0.86.

a

A 15 

20  Z1 = Z2 = Z3

EAB

N

Z1

12 kV

n Z2

C

B

15 

20 

15 

20 

Z3

c

FIGURA 22.26 Ejemplo 22.7.

a. Determine la magnitud del voltaje de línea EAB del generador. b. Encuentre el factor de potencia de la carga total aplicada al generador. c. ¿Cuál es la eficiencia del sistema? Soluciones: VL 12,000 V a. Vf (carga)    6936.42 V 1.73 3  PT (carga)  3Vf If cos v e PT 160,000 W If   3(6936.42 V)(0.86) 3Vf cos v  8.94 A Como v  cos 1 0.86  30.68°, asignando a Vf un ángulo de 0° o Vf  Vf 0°, un factor de potencia atrasado resulta en: If  8.94 A  30.68° Para cada fase, el sistema aparecerá como se muestra en la figura 22.27, donde: EAN IfZlínea Vf  0

22.11 EL MÉTODO DE LOS TRES WATÍMETROS IL

A

20 

15 

If If = 8.94 A  –30.68°

+

+

Zlínea

EAN

Z1

–

Vf

–

FIGURA 22.27 La carga en cada fase del sistema de la figura 22.26.

o bien: EAN  IfZlínea  Vf  (8.94 A  30.68°)(25 53.13°)  6936.42 V 0°  223.5 V 22.45°  6936.42 V 0°  206.56 V  j 85.35 V  6936.42 V  7142.98 V  j 85.35 V  7143.5 V 0.68° EAB  3 Efg  (1.73)(7143.5 V)  12,358.26 V

Entonces:

b. PT  Pcarga  Plínea  160 kW  3(IL)2Rlínea  160 kW  3(8.94 A)215  160,000 W  3596.55 W  163,596.55 W y PT  3 VLIL cos vT o bien: y

PT 163,596.55 W cos vT   3VLIL (1.73)(12,358.26 V)(8.94 A) Fp  0.856 < 0.86 de carga

Po Po 160 kW c. h      0.978 Pi 160 kW  3596.55 W Po  Ppérdidas  97.8%

22.11 EL MÉTODO DE LOS TRES WATÍMETROS La potencia entregada a una carga balanceada o no balanceada de cuatro alambres, conectada en Y, puede encontrarse con el método de los tres watímetros, es decir, usando tres watímetros como se muestra en la figura 22.28. Cada watímetro mide la potencia entregada a cada fase. La bobina de voltaje de cada watímetro se conecta en paralelo con la carga, mientras que la bobina de corriente está en serie con la carga. La potencia promedio total del sistema se puede encontrar sumando las lecturas de los tres watímetros; esto es, PTY  P1  P2  P3

(22.31)

Para la carga (balanceada o no balanceada), los watímetros se conectan como se muestra en la figura 22.29. La potencia total es de nuevo la suma de las tres lecturas en los watímetros: PTD  P1  P2  P3

(22.32)

⏐⏐⏐

997

998

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

+ – P1

Línea

a

Línea

a

+ –

CC1 PC1

+ –

Neutral

PC1

+ –

Línea

Z2

c

Línea

Z1 PC2

+ –

+ – P2

CC3

+ –

Z2

c

b

+ – PC3 CC3

Z3

P3

n

Z3

+ –

PC3

+ –

PC2 CC2

P1 CC1

Z1

P2

+ –

b

CC2

Línea

+ –

Línea

FIGURA 22.29 Método de los tres watímetros para una carga conectada en D.

+ P3 – FIGURA 22.28 Método de los tres watímetros para una carga conectada en Y.

Si en cualquiera de los casos antes descritos la carga está balanceada, la potencia entregada a cada fase será la misma. Entonces, la potencia total es precisamente tres veces la lectura de cualquier watímetro.

22.12 EL MÉTODO DE LOS DOS WATÍMETROS La potencia entregada a una carga balanceada o no balanceada trifásica, de tres alambres, conectada en D o en Y, puede encontrarse usando sólo dos watímetros si se emplea la conexión apropiada y las lecturas de los watímetros se interpretan adecuadamente. Las conexiones básicas de este método de los dos watímetros se muestran en la figura 22.30. Un extremo de cada bobina de voltaje se conecta a la misma línea, y las bobinas de corriente se colocan entonces en las líneas restantes. + – P1

Línea CC1 PC1

+ –

Línea

PC2 CC2

P2

+ –

Línea

a

Carga conectada en  o en Y

P1

PC1 CC1

b

FIGURA 22.30 Método de los dos watímetros para una carga conectada en D o en Y.

Carga conectada en  o en Y

Línea

+ – PC2 CC2

c

+ – Línea

+ –

a

P2

+ –

c

+ – Línea

b

FIGURA 22.31 Conexión alternativa para el método de los dos watímetros.

La conexión mostrada en la figura 22.31 también cumplirá los requisitos. Una tercera conexión también es posible, pero se deja al lector como ejercicio. La potencia total entregada a la carga es la suma algebraica de las dos lecturas en los watímetros. Para una carga balanceada, consideraremos ahora dos métodos para determinar si la potencia total es la suma o la diferencia de

22.12 EL MÉTODO DE LOS DOS WATÍMETROS

las dos lecturas en los watímetros. El primer método requiere que sepamos o podamos encontrar el factor de potencia (adelantado o atrasado) de una fase cualquiera de la carga. Cuando esta información sea obtenida, podrá aplicarse directamente a la curva de la figura 22.32.

Adelantado o atrasado

Fp 1.0 0.8

Factor de potencia

0.6 0.5 0.4

–1.0

–0.75 –0.5 –0.25 PT = Ph – Pl

0.2 0

+0.25 +0.5 +0.75 +1.0 PT = Pl + Ph

Pl /Ph

FIGURA 22.32 Determinación de si las lecturas obtenidas usando el método de los dos watímetros deben sumarse o restarse.

La curva en la figura 22.32 es una gráfica del factor de potencia de la carga (fase) en función de la razón Pl/Ph, donde Pl y Ph son las magnitudes de las lecturas menor y mayor en los watímetros, respectivamente. Observe que para un factor de potencia (adelantado o atrasado) mayor que 0.5, la razón tiene un valor positivo. Esto indica que ambos watímetros tienen lecturas positivas, y la potencia total es la suma de las dos lecturas en los watímetros; es decir, PT  Pl  Ph. Para un factor de potencia menor que 0.5 (adelantado o atrasado), la razón tiene un valor negativo. Esto indica que el watímetro con la menor lectura está leyendo un valor negativo, y que la potencia total es la diferencia de las dos lecturas en los watímetros; es decir, PT  Ph Pl. Un examen más preciso revelará que cuando el factor de potencia es 1 (cos 0° = 1), correspondiente a una carga puramente resistiva, Pl /Ph  1 o Pl  Ph, y ambos watímetros tendrán la misma indicación de potencia. Para un factor de potencia igual a 0 (cos 90°  0), correspondiente a una carga puramente reactiva, Pl /Ph  1 o Pl  Ph, ambos watímetros tendrán de nuevo la misma indicación de potencia pero con signos opuestos. La transición desde una razón negativa hasta una positiva ocurre cuando el factor de potencia de la carga es 0.5 o v  cos 1 0.5  60°. En este factor de potencia, Pl /Ph  0, por lo que Pl  0, mientras que Ph leerá la potencia total entregada a la carga. El segundo método para determinar si la potencia total es la suma o la diferencia de las dos lecturas de los watímetros implica una prueba de laboratorio sencilla. Para aplicar la prueba, ambos watímetros deben tener primero una deflexión hacia arriba en la escala. Si uno de los watímetros tiene una indicación inferior a cero, puede obtenerse una deflexión hacia arriba invirtiendo simplemente los conductores de la bobina de corriente del watímetro. Para llevar a cabo la prueba: 1. Determine qué línea no tiene una bobina de corriente detectando a la corriente de línea. 2. Para el watímetro de lectura menor, desconecte la punta de prueba de la bobina de voltaje conectada a la línea sin la bobina de corriente. 3. Tome la punta de prueba desconectada de la bobina de potencial del watímetro de lectura menor, y toque un punto de conexión sobre la línea que tiene la bobina de corriente del watímetro de lectura mayor.

⏐⏐⏐

999

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

4. Si el apuntador se deflexiona hacia abajo (por debajo de cero watts), la lectura de la potencia del watímetro de lectura menor debe restarse de la del watímetro de lectura mayor. De otra manera, las lecturas deben sumarse. Para un sistema balanceado, ya que: PT  Ph  Pl  3 ELIL cos vVIff el factor de potencia de la carga (fase) puede encontrarse con las lecturas de los watímetros y la magnitud del voltaje y la corriente de línea: Ph  Pl Fp  cos vVIff  3 ELIL

(22.33)

EJEMPLO 22.8 Para la carga no balanceada conectada en D de la figura 22.33 con dos watímetros apropiadamente conectados: A

IAa

+ – W1

Ica R3

ECA = 208 V  120°

IBb c

B EBC = 208 V  –120°

W2

Iab

XC

EAB = 208 V  0°

C

a

+ –

+ –

1000

10 

12  12  Ibc R2

R1 XL b

15 

20 

ICc

+ – FIGURA 22.33 Ejemplo 22.8.

a. b. c. d. e.

Determine la magnitud y el ángulo de las corrientes de fase. Calcule la magnitud y el ángulo de las corrientes de línea. Determine la lectura de potencia de cada watímetro. Calcule la potencia total absorbida por la carga. Compare el resultado del inciso (d) con la potencia total calculada usando las corrientes de fase y los elementos resistivos.

Soluciones: 208 V 0° Vab EAB a. Iab     20.8 A 0° 10 0° Zab Zab 208 V  120° 208 V  120° Vbc EBC Ibc     25 53.13° 15  j 20 Zbc Zbc  8.32 A 173.13° Vca ECA 208 V 120° 208 V 120° Ica     Zca Zca 12  j 12 16.97  45°  12.26 A 165° b. IAa  Iab Ica  20.8 A 0° 12.26 A 165°  20.8 A ( 11.84 A  j 3.17 A)  20.8 A  11.84 A j 3.17 A  32.64 A j 3.17 A  32.79 A 5.55°

22.13 CARGA TRIFÁSICA NO BALANCEADA, DE CUATRO ALAMBRES, CONECTADA EN Y

IBb  Ibc Iab  8.32 A  173.13° 20.8 A 0°  ( 8.26 A j 1 A) 20.8 A  8.26 A 20.8 A j 1 A  29.06 A j 1 A  29.08 A 178.03° ICc  Ica Ibc  12.26 A 165° 8.32 A  173.13°  ( 11.84 A  j 3.17 A) ( 8.26 A j 1 A)  11.84 A  8.26 A  j (3.17 A  1 A)  3.58 A  j 4.17 A  5.5 A 130.65° ab c. P1  Vab IAa cos vVI Aa Vab  208 V 0° IAa  32.79 A  5.55°  (208 V)(32.79 A) cos 5.55°  6788.35 W Vbc  EBC  208 V  120° pero: Vcb  ECB  208 V  120°  180°  208 V 60° con: ICc  5.5 A 130.65° cb P2  Vcb ICc cos vVICc P2  (208 V)(5.5 A) cos 70.65°  379.1 W

d. PT  P1  P2  6788.35 W  379.1 W  7167.45 W e. PT  (Iab)2R1  (Ibc)2R2  (Ica)2R3  (20.8 A)210  (8.32 A)215  (12.26 A)212  4326.4 W  1038.34 W  1803.69 W  7168.43 W (La ligera diferencia se debe al nivel de precisión considerado en los cálculos.)

22.13 CARGA TRIFÁSICA NO BALANCEADA, DE CUATRO ALAMBRES, CONECTADA EN Y Las condiciones para la carga trifásica conectada en Y, de cuatro alambres, que aparece en la figura 22.34, son de tal naturaleza que ninguna de las impedancias de carga son iguales, por lo que tenemos una carga polifásica no balanceada. Como el neutro es un punto común entre la carga y la fuente, sin importar cuál sea la impedancia de cada fase de la carga y la fuente, el voltaje en cada fase es el voltaje fase del generador Vf  Ef

(22.34)

Las corrientes de fase pueden, por tanto, determinarse mediante la ley de Ohm: Vf Ef If1  1  1 y así sucesivamente Z1 Z1

(22.35)

Para cualquier sistema no balanceado, la corriente en el neutro puede encontrarse entonces aplicando la ley de corriente de Kirchhoff en el punto común n: IN  If1  If2  If3  IL1  IL 2  IL 3

(22.36)

⏐⏐⏐

1001

1002

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS Línea I L1

+ Vf

IN

IfL

Z1

1

1

– Neutral IfL

IfL

2

3

EL

EL

+ I L2 EL

–

Z3

–

Vf

3

Z2 Vf

2

+

Línea

Línea I L3

FIGURA 22.34 Carga no balanceada conectada en Y.

Debido a la diversidad de equipo que se encuentra en el ambiente industrial, la potencia trifásica y la monofásica se proporcionan, por lo general, con la monofásica obtenida del sistema trifásico. Además, como la carga de cada fase cambia en forma continua, normalmente se emplea un sistema de cuatro alambres (con un neutro) para asegurar niveles de voltaje uniformes, y con el fin de proporcionar una trayectoria para la corriente resultante de una carga no balanceada. El sistema de la figura 22.35 tiene un transformador trifásico disminuyendo el voltaje de línea desde 13,800 hasta 208 V. Todas las cargas que demandan las potencias más bajas, como la iluminación, los contactos para corriente de pared, los sistemas de seguridad, etc., usan la línea monofásica de 120 V para el voltaje neutro. Las cargas de potencia más altas, como el aire acondicionado, las secadoras o los hornos eléctricos, etc., usan una fase, 208 V disponibles de línea a línea. Para motores más grandes y equipo con demandas altas especiales, el sistema puede tomar directamente la potencia trifásica, como se aprecia en la figura 22.35. En el diseño y la construcción de un establecimiento comercial, el National Electrical Code estadounidense exige realizar todo esfuerzo necesario para asegurar que las cargas esperadas —sean de una

1 120 V

208 V –120° 1 120 V 208 V 120° 1 208 V 0° 120 V

1 208 V

Transformador secundario de 3

FIGURA 22.35 Suministro industrial, 3f/1f, 208 V/120 V.

Carga balanceada de 3 a 208 V

22.14 CARGA TRIFÁSICA NO BALANCEADA, DE TRES ALAMBRES, CONECTADA EN Y

fase o de fase múltiple— produzcan una carga total lo más balanceada posible entre fases, con el fin de garantizar el nivel más alto de eficiencia de transmisión.

22.14 CARGA TRIFÁSICA NO BALANCEADA, DE TRES ALAMBRES, CONECTADA EN Y Las ecuaciones requeridas para el sistema de la figura 22.36 pueden obtenerse aplicando primero la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerrado para producir: a Ian

–

+

+

ECA

EAB

+

Van

EAB

–

Z1

– ECA

+

n

–

Vcn

–

Z3

Icn

c

Z2 Vbn

Ibn

+

b

EBC

–E + BA FIGURA 22.36 Carga trifásica no balanceada conectada en Y, de tres alambres.

EAB Van  Vbn  0 EBC Vbn  Vcn  0 ECA Vcn  Van  0 Sustituyendo obtenemos: Van  IanZ1

Vbn  IbnZ2

Vcn  IcnZ3

EAB  IanZ1 IbnZ2 EBC  IbnZ2 IcnZ3

(22.37a) (22.37b)

ECA  IcnZ3 IanZ1

(22.37c)

Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo n resulta: Ian  Ibn  Icn  0

e

Ibn  Ian Icn

La sustitución de Ibn en las ecuaciones (22.37a) y (22.37b) produce: EAB  IanZ1 [ (Ian  Icn)]Z 2 EBC  (Ian  Icn)Z 2 IcnZ3 las cuales vuelven a escribirse como: EAB  Ian(Z1  Z 2)  IcnZ 2 EBC  Ian( Z 2)  Icn[ (Z2  Z3)]

⏐⏐⏐

1003

1004

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

Usando determinantes, tenemos: Z2  EAB 

(Z 2  Z3)   EBC –––––––––––––––––– ––––– Ian  Z2  Z1  Z 2   Z 2

(Z2  Z3) 

(Z2  Z3)EAB EBCZ2 

Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3 Z22  Z 22

Z2(EAB  EBC) Z3EAB Ian 

Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3 Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff a los voltajes de línea: EAB  ECA  EBC  0

o

EAB  EBC  ECA

Sustituyendo (EAB  ECB) en la ecuación anterior para Ian:

Z2( ECA) Z3EAB Ian 

Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3 EABZ3 ECAZ2 Ian  Z1Z2  Z1Z3  Z2Z3

e

(22.38)

De igual manera, se puede mostrar que: ECAZ2 EBCZ1 Icn  Z1Z2  Z1Z3  Z2Z3

(22.39)

Sustituyendo Icn de la ecuación (22.39) en el lado derecho de la ecuación (22.37b), obtenemos: EBCZ1 EABZ3 Ibn  Z1Z2  Z1Z3  Z2Z3

(22.40)

EJEMPLO 22.9 Un indicador de secuencia de fase es un instrumento que puede exhibir la secuencia de fase de un circuito polifásico. En la figura 22.37 aparece una red que efectuará esta función. La secuencia de fase aplicada es ABC. El foco correspondiente a esta secuencia de fase se encenderá más brillantemente que el foco que indica la secuencia ACB porque una corriente más alta pasa a través del foco ABC. Calculando las corrientes de fase se demostrará que esta situación, de hecho, existe: 1 1 Z1  XC    166 (377 rad/s)(16  10 6 F) qC Mediante la ecuación (22.39), ECAZ2 EBCZ1 Icn  Z1Z2  Z1Z3  Z2Z3 (200 V 120°)(200 0°) (200 V  120°)(166  90°)  (166  90°)(200 0°)  (166  90°)(200 0°)  (200 0°)(200 0°)

22.14 CARGA TRIFÁSICA NO BALANCEADA, DE TRES ALAMBRES, CONECTADA EN Y

a (1) f = 60 Hz 16 mF

Z1 EAB = 200 V  0°

n Z3

ECA = 200 V  +120°

Z2

ACB (3) c

Focos (150 W) con 200  de resistencia interna

ABC 200 

200 

b (2)

EBC = 200 V  –120°

FIGURA 22.37 Ejemplo 22.9.

40,000 V 120°  33,200 V  30° Icn  33,200  90°  33,200  90°  40,000 0° Dividiendo el numerador y el denominador entre 1000 y convirtiendo ambos al dominio rectangular resulta: ( 20  j 34.64)  (28.75 j 16.60) Icn  40 j 66.4 8.75  j 18.04 20.05 64.13°   77.52  58.93° 77.52  58.93° Icn  0.259 A 123.06° Mediante la ecuación (22.40), EBCZ1 EABZ3 Ibn  Z1Z2  Z1Z3  Z2Z3 (200 V  120°)(166  90°) (200 V 0°)(200 0°)  77.52  103  58.93° 33,200 V  210° 40,000 V 0° Ibn  77.52  103  58.93° Dividiendo entre 1000 y convirtiendo al dominio rectangular resulta:

28.75 j 16.60 40.0

68.75  j 16.60 Ibn   77.52  58.93° 77.52  58.93° 70.73 166.43°   0.91 A 225.36° 77.52  58.93° e Ibn > Icn por un factor de más de 3:1. Por tanto, el foco que indica una secuencia ABC se encenderá más brillantemente debido a la corriente más alta. Si la secuencia fuese ACB, lo inverso sería verdadero.

⏐⏐⏐

1005

1006

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS

PROBLEMAS SECCIÓN 22.5 El generador conectado en Y con carga conectada en Y 1. Una carga en Y balanceada, con resistencia de 10 en cada lado está conectada a un generador trifásico, de cuatro alambres, conectado en Y, con voltaje de línea de 208 V. Calcule la magnitud de: a. El voltaje de fase del generador. b. El voltaje de fase de la carga. c. La corriente de fase de la carga. d. La corriente de línea. 2. Resuelva el problema 1 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 12 en serie con una reactancia capacitiva de 16 . 3. Resuelva el problema 1 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 10 en paralelo con una reactancia capacitiva de 10 . 4. La secuencia de fase para el sistema Y-Y de la figura 22.38 es ABC. a. Encuentre los ángulos v2 y v3 para la secuencia de fase especificada. b. Encuentre el voltaje en cada impedancia de fase en forma fasorial. c. Encuentre la corriente a través de cada impedancia de fase en forma fasorial. d. Trace el diagrama fasorial de las corrientes encontradas en el inciso (c), y muestre que su suma fasorial es cero. e. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea. f. Encuentre la magnitud de los voltajes de línea.

A

a

120 V 0°

120 V 0 3 –

+ C

20 

N

– 120 V 0 2

20 

20 

+ B

c

b

FIGURA 22.38 Problemas 4, 5, 6 y 31.

5. Resuelva el problema 4 si las impedancias de fase se cambian a un resistor de 9 en serie con una reactancia inductiva de 12 . 6. Resuelva el problema 4 si las impedancias de fase se cambian por una resistencia de 6 en paralelo con una reactancia capacitiva de 8 .

PROBLEMAS 7. Para el sistema de la figura 22.39, encuentre la magnitud de corrientes y voltajes desconocidos.

IAa

a

A

+ Ian 10 

EAB = 220 V 0°

Generador trifásico de 4 alambres conectado en Y

Van 10 

–

Secuencia de fase: ABC N

n–

– Vcn

EBC = 220 V  + 120°

+ c IBb

Icn

10 

10 

Vbn 10 

10 

+ Ibn

b

B C ECA = 220 V  –120°

ICc

FIGURA 22.39 Problemas 7, 32 y 44.

*8. Calcule la magnitud del voltaje EAB para el sistema balanceado trifásico de la figura 22.40.

a A

1 16 

12  EAB

Generador trifásico conectado en Y

Resistencia de línea n 12 

–

12  16 

16  c 1 B C 1

FIGURA 22.40 Problema 8.

V = 50 V

+

b

⏐⏐⏐

1007

1008

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS *9. Para el sistema Y-Y de la figura 22.41: a. Encuentre la magnitud y el ángulo asociado con los voltajes EAN, EBN y ECN. b. Determine la magnitud y el ángulo asociado con cada corriente de fase de la carga: Ian, Ibn e Icn. c. Determine la magnitud y el ángulo de fase del voltaje en cada fase de la carga: IAa, IBb e ICc. d. Encuentre la magnitud y el ángulo de fase de cada corriente de línea: Van, Vbn y Vcn.

A

IAa

30 

40 

a

+

Ian 0.4 k

EAB = 22 kV 0°

Van 1 k

–

N Icn

ECA = 22 kV +120° B C

IBb

30 

40 

c

1 k Vcn – 0.4 k

–

1 k Vbn 0.4 k + Ibn

+

b

EBC = 22 kV –120° ICc

30 

40 

FIGURA 22.41 Problema 9. SECCIÓN 22.6

El sistema Y-D

10. Una carga balanceada conectada en D con resistencia de 20 en cada lado está conectada a un generador trifásico, de tres alambres, conectado en Y, con voltaje de línea de 208 V. Calcule la magnitud de: a. El voltaje de fase del generador. b. El voltaje de fase de la carga. c. La corriente de fase de la carga. d. La corriente de línea. 11. Resuelva el problema 10 si cada impedancia de fase se cambia a un resistor de 6.8 en serie con una reactancia inductiva de 14 . 12. Resuelva el problema 10 si cada impedancia de fase se cambia a una resistencia de 18 en paralelo con una reactancia capacitiva de 18 . 13. La secuencia de fase para el sistema Y-D de la figura 22.42 es ABC. a. Encuentre los ángulos v2 y v3 para la secuencia de fase especificada. b. Encuentre el voltaje en cada impedancia de fase en forma fasorial. c. Trace el diagrama fasorial de los voltajes encontrados en el inciso (b), y muestre que su suma es cero alrededor del lazo cerrado de la carga conectada en D. d. Encuentre la corriente a través de cada impedancia de fase en forma fasorial. e. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea. f. Encuentre la magnitud de los voltajes de fase del generador.

PROBLEMAS a

A EAB = 208 V 0°

22  22 

ECA = 208 V v3 N

22  b

c B

C

EBC = 208 V v2

FIGURA 22.42 Problemas 13, 14, 15, 34 y 45.

14. Resuelva el problema 13 si las impedancias de fase se cambian a un resistor de 100 en serie con una reactancia capacitiva de 100 . 15. Resuelva el problema 13 si las impedancias de fase se cambian a un resistor de 3 en paralelo con una reactancia inductiva de 4 . 16. Para el sistema de la figura 22.43, encuentre la magnitud de corrientes y voltajes desconocidos.

a

A IAa

–

+

10  Generador trifásico de 4 alambres conectado en Y

EAB = 220 V 0° ECA = 220 V  + 120°

10  Vab

Vca Ica

Iab 10 

10 

Secuencia de fase: ABC

–

+

Ibc

c IBb B

b

–

C ICc EBC = 220 V  –120°

FIGURA 22.43 Problemas 16, 35 y 47.

10 

10  Vbc

+

⏐⏐⏐

1009

1010

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS *17. Para la carga conectada en D de la figura 22.44: a. Encuentre la magnitud y el ángulo de cada corriente de fase Iab, Ibc e Ica. b. Calcule la magnitud y el ángulo de cada corriente de línea IAa, IBb e ICc. c. Determine la magnitud y el ángulo de los voltajes EAB, EBC y ECA.

–

A

IAa

+

10 

EAB

–

ECA

B

+

10 

EBC

–

+

C

0.3 k b

IBb 20 

ICc

a

1 k

20 

Ibc

Ica

0.3 k

0.3 k 1 k

10 

1 k

Iab

Vab = 16 kV 0° Vbc = 16 kV –120° Vca = 16 kV +120°

c

20 

FIGURA 22.44 Problema 17. SECCIÓN 22.9

Los sistemas trifásicos D-D, D-Y

18. Una carga balanceada conectada en Y tiene resistencia de 30 en cada lado y está conectada a un generador trifásico, conectado en D, con voltaje de línea de 208 V. Calcule la magnitud de: a. El voltaje de fase del generador. b. El voltaje de fase de la carga. c. La corriente de fase de la carga. d. La corriente de línea. 19. Resuelva el problema 18 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 12 en serie con una reactancia inductiva de 12 . 20. Resuelva el problema 18 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 15 en paralelo con una reactancia capacitiva de 20 . *21. Para el sistema de la figura 22.45, encuentre la magnitud de corrientes y voltajes desconocidos. 22. Resuelva el problema 21 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 10 en serie con una reactancia inductiva de 20 . 23. Resuelva el problema 21 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 20 en paralelo con una reactancia capacitiva de 15 . 24. Una carga balanceada conectada en D con resistencia de 220 en cada lado está conectada a un generador trifásico, conectado en D, que tiene voltaje de línea de 440 V. Calcule la magnitud de: a. El voltaje de fase del generador. b. El voltaje de fase de la carga. c. La corriente de fase de la carga. d. La corriente de línea. 25. Resuelva el problema 24 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 12 en serie con una reactancia capacitiva de 9 .

PROBLEMAS IAa

a

A

Ian

Generador trifásico conectado en 

+ Van –

EAB = 120 V 0°

24 

n

ECA = 120 V  + 120°

Secuencia de fase: ABC

Vcn + c

–

– 24 

Vbn

+

24 

Icn

Ibn

IBb B C ICc EBC = 120 V  –120°

FIGURA 22.45 Problemas 21, 22, 23 y 37.

26. Resuelva el problema 24 si cada impedancia de fase se cambia por un resistor de 22 en paralelo con una reactancia inductiva de 22 . 27. La secuencia de fase para el sistema D-D de la figura 22.46 es ABC. a. Encuentre los ángulos v2 y v3 para la secuencia de fase especificada. b. Encuentre el voltaje en cada impedancia de fase en forma fasorial. c. Trace el diagrama fasorial de los voltajes encontrados en el inciso (b), y muestre que su suma fasorial es cero alrededor del lazo cerrado de la carga conectada en D. d. Encuentre la corriente a través de cada impedancia de fase en forma fasorial. e. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea.

A

a EAB = 100 V 0°

ECA = 100 V v3

20 

20 

20  C

B

c

EBC = 100 V v2

FIGURA 22.46 Problema 27.

b

b

⏐⏐⏐

1011

1012

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS 28. Resuelva el problema 25 si cada impedancia de fase se cambia a un resistor de 12 en serie con una reactancia inductiva de 16 . 29. Resuelva el problema 25 si cada impedancia de fase se cambia a un resistor de 20 en paralelo con una reactancia capacitiva de 20 . SECCIÓN 22.10

Potencia

30. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 2. 31. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 4. 32. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 7. 33. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 12. 34. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 14. 35. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 16. 36. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 20. 37. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 22. 38. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 26. 39. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema trifásico del problema 28. 40. Una carga trifásica balanceada, conectada en D, tiene voltaje de línea de 200 y consumo total de potencia de 4800 W con un factor de potencia atrasado de 0.8. Encuentre la impedancia de cada fase en coordenadas rectangulares. 41. Una carga trifásica balanceada, conectada en Y, tiene voltaje de línea de 208 y consumo total de potencia de 1200 W con un factor de potencia adelantado de 0.6. Encuentre la impedancia de cada fase en coordenadas rectangulares. *42. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema de la figura 22.47. a

15 

EAB = 125 V 0° ECA = 125 V  + 120°

20 

3 4

20  4 n 4

3

15  3

c

b 15 

EBC = 125 V  –120°

FIGURA 22.47 Problema 42.

20 

PROBLEMAS *43. El sistema Y-Y de la figura 22.48 tiene una carga balanceada e impedancia de línea Zlínea  4  j 20 . Si en el generador el voltaje de línea es de 16,000 V y la potencia total entregada a la carga es de 1200 kW a 80 A, determine lo siguiente: a. La magnitud de cada voltaje de fase del generador. b. La magnitud de las corrientes de línea. c. La potencia total entregada por la fuente. d. El ángulo de factor de potencia de toda la carga “vista” por la fuente. e. La magnitud y el ángulo de la corriente IAa si EAN  EAN 0°. f. La magnitud y el ángulo del voltaje de fase Van. g. La impedancia de la carga de cada fase en coordenadas rectangulares. h. La diferencia entre el factor de potencia de la carga y el factor de potencia de todo el sistema (incluyendo Zlínea). i. La eficiencia del sistema.

IAa

a

A 4

+

20 

Van Z1

EAN N

Ian = 80 A

+

–

–

EAB = 16 kV

n

Z2 C

B

4

20 

4

20 

Z1 = Z2 = Z Fp Atrasado Z3

c

b

FIGURA 22.48 Problema 43.

SECCIÓN 22.11

El método de los tres watímetros

44. a. Trace las conexiones requeridas para medir el total de watts entregados a la carga de la figura 22.39 usando tres watímetros. b. Determine la disipación total de potencia en watts y la lectura de cada watímetro. 45. Resuelva el problema 44 para la red de la figura 22.42. SECCIÓN 22.12

El método de los dos watímetros

46. a. Para el sistema de tres alambres de la figura 22.49, conecte adecuadamente un segundo watímetro de manera que los dos midan la potencia total entregada a la carga. b. Si un watímetro tiene una lectura de 200 W y el otro una lectura de 85 W, ¿cuál es la disipación total en watts si el factor de potencia total es 0.8 adelantado? c. Resuelva el inciso (b) si el factor de potencia total es 0.2 atrasado y Pl  100 W. 47. Trace tres maneras diferentes en que dos watímetros pueden ser conectados para medir la potencia total entregada a la carga del problema 16.

+ – CC PC

+ –

Watímetro

FIGURA 22.49 Problema 46.

Carga conectada en  o en Y

⏐⏐⏐

1013

1014

⏐⏐⏐

SISTEMAS POLIFÁSICOS *48. Para el sistema Y-D de la figura 22.50: a. Determine la magnitud y el ángulo de las corrientes de fase. b. Encuentre la magnitud y el ángulo de las corrientes de línea. c. Determine la lectura de cada watímetro. d. Encuentre la potencia total entregada a la carga. IAa

A

–

+ –

+ W1

a

+ –

Iab R1

EAB = 208 V 0°

–

IBb

B

ECA = 208 V 120°

10  R3

+ –

+ W2

+ –

–

Ica 10 

XC 10 

Ibc XL

ICc

C

10  R2

EBC = 208 V –120°

+

10 

b

c

FIGURA 22.50 Problema 48. a

SECCIÓN 22.13 Carga trifásica no balanceada, de cuatro alambres, conectada en Y

10  EAB = 208 V 0°

10  n

ECA = 208 V  –240°

12  12 

2 c

2

b

*49. Para el sistema de la figura 22.51: a. Calcule la magnitud del voltaje en cada fase de la carga. b. Encuentre la magnitud de la corriente a través de cada fase de la carga. c. Encuentre el total de watts, los volt-ampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp del sistema. d. Encuentre las corrientes de fase en forma fasorial. e. Usando los resultados del inciso (c), determine la corriente IN.

EBC = 208 V  –120°

FIGURA 22.51 Problema 49. a

SECCIÓN 22.14 Carga trifásica no balanceada, de tres alambres, conectada en Y

12  EAB = 200 V 0°

*50. Para el sistema trifásico de tres alambres que aparece en la figura 22.52, encuentre la magnitud de la corriente a través de cada fase de la carga, y determine el total de watts, los voltampere reactivos, los volt-ampere, y el Fp de la carga.

16 

ECA = 200 V  –240° 20  c

EBC = 200 V  –120°

FIGURA 22.52 Problema 50.

n

3 4 b

GLOSARIO

⏐⏐⏐

1015

GLOSARIO Carga polifásica no balanceada Carga que no tiene la misma impedancia en cada fase. Conexión neutra Conexión entre el generador y la carga que, bajo condiciones balanceadas, tendrá cero corriente asociada. Corriente de fase Corriente que fluye a través de cada fase de una carga de cualquier generador monofásico o polifásico. Corriente de línea Corriente que fluye del generador a la carga de un sistema polifásico o monofásico. Generador de ca conectado en Generador trifásico que tiene las tres fases conectadas en forma de la letra griega delta (D) mayúscula. Generador de ca monofásico Fuente electromecánica de potencia de ca que genera un solo voltaje senoidal que tiene una frecuencia determinada por la velocidad de rotación y el número de polos del rotor. Generador polifásico de ca Fuente electromecánica de potencia de ca que genera más de un voltaje senoidal por rotación del rotor. La frecuencia generada se determina por la velocidad de rotación y el número de polos del rotor.

Generador trifásico conectado en Y Fuente trifásica de potencia de ca donde las tres fases están conectadas en forma de letra Y. Método de los dos watímetros Método para determinar la potencia total entregada a una carga trifásica conectada en D o en Y usando sólo dos watímetros y considerando el factor de potencia de la carga. Método de los tres watímetros Método para determinar la potencia total entregada a una carga trifásica usando tres watímetros. Secuencia de fase El orden en que los voltajes senoidales generados de un generador polifásico afectarán la carga a la que estén aplicados. Voltaje de fase Voltaje que aparece entre la línea y el punto neutro de un generador conectado en Y y de línea a línea en un generador conectado en D. Voltaje de línea Diferencia de potencial que existe entre las líneas de cualquier sistema monofásico o polifásico.

23

dB

Decibeles, filtros y diagramas de Bode

23.1 LOGARITMOS El uso de logaritmos en la industria es tan amplio que el entendimiento claro de su propósito y utilización es una necesidad absoluta. A primera vista, los logaritmos aparecen con frecuencia como imprecisos y misteriosos debido a las operaciones matemáticas requeridas para obtener el logaritmo y el antilogaritmo utilizando el método manual de tablas que, por lo general, se enseña en los cursos de matemáticas. Sin embargo, prácticamente todas las calculadoras científicas actuales cuentan con las funciones de logaritmo común y natural, eliminando la complejidad de la aplicación y propiciando la concentración en las características positivas de la función.

Relaciones básicas Analicemos primero la relación entre las variables de la función logarítmica. La expresión matemática: N  (b)x establece que el número N es igual a la base b elevada a la potencia x. Algunos ejemplos son: 100  (10)2 27  (3)3 54.6  (e)4

donde e  2.7183

Si la cuestión fuera obtener la potencia x para satisfacer la ecuación: 1200  (10)x el valor de x podría determinarse utilizando logaritmos de la siguiente forma: x  log10 1200  3.079 mostrando que: 103.079  1200

1018

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Observe que el logaritmo se tomó en base 10 ⎯el número al que se elevará la potencia de x⎯. No existe un límite en cuanto al valor numérico de la base excepto que las tablas y las calculadoras están diseñadas para manejar ya sea la base 10 (logaritmo común, LOG ) o la base e  2.7183 (logaritmo natural, IN ). Por tanto, en resumen, Si N  (b)x, entonces x  logb N.

(23.1)

La base a ser empleada estará en función del área de aplicación. Si fuese necesario convertir de una base a otra, se puede aplicar la siguiente ecuación:

loge x  2.3 log10 x

(23.2)

El contenido de este capítulo es tal que nos concentraremos únicamente en el logaritmo común. Sin embargo, varias de las conclusiones son aplicables también a los logaritmos naturales.

Algunas áreas de aplicación A continuación se presenta una breve lista de las aplicaciones más comunes de la función logarítmica: 1. Este capítulo demostrará que el uso de logaritmos permite graficar la respuesta de un sistema para un intervalo de valores que de otra forma sería imposible o difícil de manejar con una escala lineal. 2. Pueden compararse los niveles de potencia, voltaje y otros similares sin tratar con números muy grandes o muy pequeños que con frecuencia podrían empañar el verdadero impacto de la diferencia en magnitudes. 3. Varios sistemas responden a estímulos externos de una forma logarítmica no lineal. El resultado es un modelo matemático que permite un cálculo directo de la respuesta del sistema a una señal de entrada en particular. 4. La respuesta de un sistema en cascada o compuesto puede determinarse rápidamente utilizando logaritmos si la ganancia de cada etapa se conoce sobre una base logarítmica. Esta característica se demostrará en un ejemplo posterior.

Gráficas El papel milimétrico se encuentra disponible en las variedades semilogarítmico y log-log (doble logarítmico). El papel semilogarítmico tiene sólo una escala logarítmica, siendo la otra una escala lineal. Ambas escalas de un papel log log son logarítmicas. En la figura 23.1 aparece una sección de un papel semilogarítmico. Observe la escala vertical lineal (con intervalos de igual espaciamiento) y los intervalos periódicos de la escala logarítmica en múltiplos de 10. El espaciamiento de la escala logarítmica se determina al tomar el logaritmo común (base 10) del número. La escala comienza con 1, ya que log10 1  0. La distancia entre 1 y 2 está determinada por log10 2  0.3010, o aproximadamente el 30% de la distancia total de un intervalo logarítmico, como se muestra en la gráfica. La distancia entre 1 y 3 está determinada por log10 3  0.4771, o aproximadamente el 48% de la amplitud total. Para referencia futura, tenga presente que casi el 50% de la amplitud de un intervalo logarítmico está representado por 3 en lugar de por el 5 de la escala lineal. Además, observe que el número 5 se encuentra cerca de 70% de la amplitud total y 8 en 90%. Recordar

dB

23.1 LOGARITMOS

⏐⏐⏐

1019

6

5

4

3 % de la amplitud total

Escala lineal 2

1 log10 3 = 0.4771  48% 2

1

3

4

5

6

7 8 9 10

 70%  78%

log10 2 = 0.3010  30%

20

 95%  90%

30

40

50 60 70 80 90100

Escala logarítmica

 85%

log10 4 = 0.6021  60%

FIGURA 23.1 Papel milimétrico semilogarítmico.

el porcentaje de la amplitud total de las líneas 2, 3, 5 y 8 será particularmente útil cuando se dejen sin numerar las diversas líneas de una gráfica logarítmica. Dado que:

• • •

log10 1  0 log10 10  1 log10 100  2 log10 1000  3

1 kHz

10 kHz

FIGURA 23.2 Escala logarítmica de frecuencia.

100 kHz

300 kHz 500 kHz 800 kHz

20 30 50 80 100

30 kHz 50 kHz 80 kHz

2 3 5 8 10

200 300 500 800

1

2 kHz 3 kHz 5 kHz 8 kHz

el espaciamiento entre 1 y 10, 10 y 100, 100 y 1000, etc., será el mismo como se muestra en las figuras 23.1 y 23.2.

1 MHz f (escala logarítmica)

1020

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

d1 d2 10 x

10 x+1

FIGURA 23.3 Localización de un valor en una gráfica logarítmica.

Observe en las figuras 23.1 y 23.2 que la escala logarítmica se comprime en el extremo superior de cada intervalo. Con mayores niveles de frecuencia asignados a cada intervalo, una sola hoja milimétrica puede proporcionar una gráfica de frecuencia que abarque desde 1 Hz hasta 1 MHz, como se muestra en la figura 23.2, con referencia particular a los niveles de 30%, 50%, 70% y 90% de cada intervalo. En muchas gráficas logarítmicas, las marcas de los niveles intermedios no se indican debido a restricciones de espacio. La siguiente ecuación puede utilizarse para determinar el nivel logarítmico de un punto particular entre niveles conocidos utilizando una regla o simplemente estimando las distancias. Los parámetros se definen mediante la figura 23.3. Valor  10x  10d1/d2

(23.3)

La derivación de la ecuación (23.3) es una simple ampliación de los detalles con respecto a la distancia que aparece en la figura 23.1. EJEMPLO 23.1 Determine el valor del punto que aparece sobre la gráfica logarítmica de la figura 23.4 utilizando las mediciones realizadas mediante una regla (lineal).

7/ " 16

Solución: 102

3/

4"

103

d1 7/16 0.438    0.584 d2 3/4 0.750 Utilizando una calculadora:

FIGURA 23.4 Ejemplo 23.1.

10d1/d2  100.584  3.837 Al aplicar la ecuación (23.3): Valor  10x  10d1/d2  102  3.837  383.7

23.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Existen algunas características de los logaritmos que deben enfatizarse: 1. El logaritmo común o natural del número 1 es 0. log10 1  0

(23.4)

ya que 10x  1 requiere que x  0. 2. El logaritmo de cualquier número menor a 1 es un número negativo. log10 1⁄ 2  log10 0.5  0.3 log10 1⁄10  log10 0.1  1 3. El logaritmo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de los números. log10 ab  log10 a  log10 b

(23.5)

4. El logaritmo del cociente de dos números es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

dB

23.3 DECIBELES

a log10  log10 a log10 b b

(23.6)

5. El logaritmo de un número elevado a una potencia es igual al producto de la potencia por el logaritmo del número. log10 an  n log10 a

(23.7)

Funciones de calculadora En la mayoría de las calculadoras el logaritmo de un número se obtiene simplemente al ingresar el número y presionar las teclas LOG o IN . Por ejemplo, log10 80  8 0 LOG presentará 1.903. Para el proceso inverso, donde se desea obtener N, o el antilogaritmo, se utiliza la función 10x. En la mayoría de las calculadoras 10x aparece como una segunda función por encima de la tecla LOG . Para el caso de: 0.6  log10 N se utilizan las siguientes teclas: 6

2ND F

10x

con el resultado de 3.981. Al verificar: log10 3.981  0.6.

EJEMPLO 23.2 Evalúe cada una de las siguientes expresiones logarítmicas: a. log10 0.004 b. log10 250,000 c. log10(0.08)(240) 1  104 d. log10 1  10 4 e. log10(10)4 Soluciones: a. 2.398 b. 5.398 c. log10(0.08)(240)  log10 0.08  log10 240  1.097  2.380  1.283 1  104 d. log10  log10 1  104 log10 1  10 4  4 ( 4) 1  10 4 8 e. log10 104  4 log10 10  4(1)  4

23.3 DECIBELES Ganancia de potencia Dos niveles de potencia pueden compararse utilizando una unidad de medición llamada bel, la cual está definida por la siguiente ecuación:

⏐⏐⏐

1021

1022

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

P2 B  log10 P1

(bels)

(23.8)

Sin embargo, para proporcionar una unidad de medición de magnitud menor, se define un decibel, donde: 1 bel  10 decibeles (dB)

(23.9)

El resultado es la siguiente importante ecuación, que compara los niveles de potencia P2 y P1 en decibeles: P2 dB  10 log10 P1

(decibeles, dB)

(23.10)

Si los niveles de potencia son iguales (P2  P1), no existirá cambio en el nivel de potencia, y dB  0. Si existe un incremento en el nivel de potencia (P2 > P1), el nivel resultante en decibeles será positivo. Si existe una disminución en el nivel de potencia (P2 < P1), el nivel resultante en decibeles será negativo. Para el caso especial de P2  2P1, la ganancia en decibeles es: P2 dB  10 log10  10 log10 2  3 dB P1 En consecuencia, para un sistema de bocinas, un incremento de 3 dB en la salida requerirá que el nivel de potencia se duplique. En la industria del audio, una regla generalmente aceptada es que un aumento en el nivel de sonido se logra mediante incrementos de 3 dB en el nivel de salida. En otras palabras, un aumento de 1 dB es apenas perceptible, y un aumento de 2 dB ya es apreciable. Un aumento de 3 dB normalmente da por resultado un incremento fácil de distinguir en el nivel audible. Un incremento adicional en el nivel audible se logra, por lo general, mediante el simple aumento del nivel de salida por otros 3 dB. Si se utilizara un sistema de 8 W, un aumento de 3 dB requeriría una salida de 16 W, mientras que un incremento adicional de 3 dB (en total 6 dB) requeriría un sistema de 32 W, como se demuestra mediante los cálculos siguientes: P2 16 dB  10 log10  10 log10  10 log10 2  3 dB P1 8 32 P2 dB  10 log10  10 log10  10 log10 4  6 dB P1 8 Para P2  10P1, P2 dB  10 log10  10 log10 10  10(1)  10 dB P1 dando por resultado una situación singular donde la ganancia de potencia tiene la misma magnitud que el nivel de decibeles. En algunas aplicaciones se establece un nivel de referencia para permitir la comparación entre niveles de decibeles de una situación a otra. En los sistemas de comunicación, un nivel de referencia aplicado comúnmente es: Pref  1 mW

(en una carga de 600 )

De ahí que la ecuación (23.10) se escriba típicamente como:

dB

23.3 DECIBELES

P dBm  10 log10 1 mW



(23.11)

600

Advierta el subíndice m para denotar que el nivel de decibeles está determinado con un nivel de referencia de 1 mW. En particular, para P  40 mW, 40 mW dBm  10 log10  10 log10 40  10(1.6)  16 dBm 1 mW en tanto que para P  4 W, 4000 mW dBm  10 log10  10 log10 4000  10(3.6)  36 dBm 1 mW Aun cuando el nivel de potencia se ha incrementado por un factor de 4000 mW/ 40 mW  100, el incremento de dBm está limitado a 20 dBm. Con el tiempo, la importancia de los niveles de dBm de 16 dBm y 36 dBm generará una apreciación inmediata con respecto a los niveles de potencia involucrados. Un incremento de 20 dBm también estará asociado con una ganancia importante en los niveles de potencia.

Ganancia de voltaje Los decibeles también se utilizan para ofrecer una comparación entre niveles de voltaje. Al sustituir las ecuaciones básicas de potencia P2  V22/R2 y P1  V12/R1 en la ecuación (23.10) se obtendrá: P2 V 22/R2 dB  10 log10  10 log10 P1 V12/R1 2 2 V2 2 R2 V 2/V 1  10 log10  10 log10 10 log10 V1 R1 R2/R1 V2 R2 dB  20 log10 10 log10 V1 R1

 

y

 

Para la situación donde R2  R1, es una condición supuesta normalmente, al comparar niveles de voltaje sobre una base de decibeles, el segundo término de la ecuación anterior se elimina (log10 1  0), y V2 dBv  20 log10 V1

(dB)

(23.12)

Observe el subíndice v para definir el nivel obtenido en decibeles. EJEMPLO 23.3 Obtenga la ganancia de voltaje en dB de un sistema donde la señal aplicada es de 2 mV y el voltaje de salida de 1.2 V. Solución: V 1.2 V dBv  20 log10 o  20 log10  20 log10 600  55.56 dB 2 mV Vi para una ganancia de voltaje Av  Vo /Vi de 600. EJEMPLO 23.4 Si un sistema tiene una ganancia de voltaje de 36 dB, obtenga el voltaje aplicado cuando el voltaje de salida es de 6.8 V.

⏐⏐⏐

1023

1024

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Solución: V dBv  20 log10 o Vi V 36  20 log10 o Vi V 1.8  log10 o Vi A partir del antilogaritmo: Vo  63.096 Vi y TABLA 23.1 Vo /Vi 1 2 10 20 100 1,000 100,000

dB  20 log10(Vo /Vi) 0 dB 6 dB 20 dB 26 dB 40 dB 60 dB 100 dB

6.8 V Vo Vi    107.77 mV 63.096 63.096

La tabla 23.1 compara la magnitud de ganancias específicas con el nivel resultante en decibeles. Observe en particular que, cuando se comparan los niveles de voltaje, el doble de un nivel da por resultado un cambio de 6 dB en lugar de uno de 3 dB, como se obtuvo para los niveles de potencia. Además, advierta que un incremento en la ganancia de 1 a 100,000 da por resultado un cambio en decibeles que puede graficarse fácilmente en una sola hoja milimétrica. También observe que duplicar la ganancia (de 1 a 2 y de 10 a 20) resulta en un aumento de 6 dB en el nivel de decibeles, mientras que un cambio de 10 a 1 (de 10 a 1, 100 a 100, etc.) siempre da por resultado una disminución de 20 dB en el nivel de decibeles.

Respuesta auditiva humana Una de las aplicaciones más frecuentes de la escala de decibeles se encuentra en las industrias de comunicación y entretenimiento. El oído humano no responde de una forma lineal a los cambios en el nivel de potencia de una fuente; es decir, la duplicación del nivel de potencia de audio de 1/2 W a 1 W no da por resultado la duplicación del nivel de sonoridad para el oído humano. Además, un cambio de 5 W a 10 W será recibido por el oído como el mismo cambio en intensidad sonora que el experimentado de 1/2 W a 1 W. En otras palabras, la proporción entre niveles es la misma en cada caso (1 W/0.5 W  10 W/5 W  2), ocasionando el mismo cambio logarítmico o en decibeles definido por la ecuación (23.10). Por tanto, el oído responde en forma logarítmica a cambios en los niveles de potencia de audio. Para establecer una base de comparación entre niveles de audio, se seleccionó un nivel de referencia de 0.0002 microbar (mbar), donde 1 bar es igual a la presión de sonido de 1 dina por centímetro cuadrado, o aproximadamente 1 millonésimo de la presión atmosférica normal a nivel del mar. El nivel de 0.0002 bar es el nivel de umbral de audición. Utilizando este nivel de referencia, el nivel de presión del sonido en decibeles se define mediante la siguiente ecuación: P dBs  20 log10 0.0002 mbar

(23.13)

donde P es la presión del sonido en microbars. Los niveles en decibeles de la figura 23.5 están definidos por la ecuación (23.13). Los instrumentos diseñados para medir niveles de audio se calibran a los niveles definidos por la ecuación (23.13), como se muestra en la figura 23.5.

dB

23.3 DECIBELES Potencia de dBs salida. Valor 160 promedio en watts 150 140

Motor de jet

Sirena de seguridad domiciliaria

130 120 300 100 30 10 3 1 0.3 0.1 0.03 0.01 0.003 0.001 0.0003

0.0002 μbar de presión

110 100

Remachadora neumática Umbral de dolor Banda de rock estridente, prensa de moldear Motosierra Música muy fuerte

90

Música fuerte, camión de carga, tren subterráneo

80

Orquesta, tráfico urbano intenso

70 60

Conversación promedio Música calmada

Intervalo dinámico ≅ 120 dBs

50

Residencia promedio, sistema de cómputo

40

Música ambiental

30

Oficina tranquila, disco duro de computadora

20

Susurros

10

Sonidos apenas perceptibles, crujido de papel

0

Umbral de audición

FIGURA 23.5 Niveles de sonido típicos y sus niveles en decibeles.

Una pregunta común con respecto a los niveles de audio es cuánto deberá incrementarse el nivel de potencia de una fuente acústica para duplicar el nivel de sonido recibido por el oído humano. La cuestión no es tan simple como podría parecer debido a consideraciones tales como el contenido de frecuencia del sonido, las condiciones acústicas del entorno, las características físicas del medio ambiente y, por supuesto, las características únicas del oído humano. Sin embargo, es posible formular una conclusión general de valor práctico si observamos los niveles de potencia de una fuente acústica que aparece a la izquierda de la figura 23.5. Cada nivel de potencia está asociado con un nivel en decibeles particular, y un cambio de 10 dB en la escala corresponde a un incremento o una disminución en la potencia por un factor de 10. Por ejemplo, un cambio de 90 a 100 dB está asociado con un cambio en la potencia desde 3 hasta 30 W. Experimentalmente se ha encontrado que sobre una base promedio el nivel de sonoridad se duplicará para cada cambio de 10 dB en el nivel de audio ⎯conclusión que de alguna forma se verifica mediante los ejemplos registrados a la derecha de la figura 23.5⎯. El que un cambio de 10 dB corresponda a un incremento de diez veces en el nivel de potencia sustenta la siguiente conclusión (sobre una base aproximada): experimentalmente se ha encontrado que sobre una base promedio, el nivel de sonoridad se duplicará para cada cambio de 10 dB en el nivel de audio. Para duplicar el nivel de sonido recibido por el oído humano, el nivel de potencia (en watts) de la fuente acústica debe incrementarse por un factor de 10.

⏐⏐⏐

1025

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

En otras palabras, la duplicación del nivel de sonido disponible de una fuente acústica de 1 W requerirá desplazarse hacia una fuente de 10 W.

Instrumentación Muchos de los modernos VOM y DMM tienen una escala en dB diseñada para proporcionar una señal de razones de potencia referenciadas a un nivel estándar de 1 mW a 600 . Dado que la lectura solamente es precisa cuando la carga tiene impedancia característica de 600 , el nivel de referencia de 1 mW, 600 normalmente estará impreso en algún lugar de la carátula del instrumento, como se muestra en la figura 23.6. La escala de dB generalmente está calibrada a

1

1.5

2.0 2.5

.5

34 5 6 7 8 0 1 2 1 mW, 600  2 4 86 12 B –D

9

10

+D 11 B

3V AC

3

0

1026

FIGURA 23.6 Definición de la relación existente entre una escala de dB referenciada a 1 mW, 600 y una escala de voltaje de 3 V rms.

la escala de ca más baja del medidor. En otras palabras, al tomar las mediciones de dB, seleccione la escala de ca más baja, pero lea la escala de dB. Si se selecciona una escala de voltaje mayor, deberá utilizarse un factor de corrección que ocasionalmente viene impreso en la carátula del medidor, pero que siempre está disponible en el manual del instrumento. Si la impedancia es diferente a 600 o no es sólo resistiva, deberán utilizarse otros factores de corrección que por lo general se incluyen en el manual del instrumento. Mediante la ecuación de potencia básica P  V2/R se verá que 1 mW en una carga de 600 es lo mismo que aplicar 0.775 V rms en una carga de 600 ; es decir, V  P R  (1 W m6 )(0 0)

  0.775 V. El resultado es que una pantalla analógica exhibirá 0 dB [definiendo el punto de referencia de 1 mW, dB  10 log10 P2/P1  10 log10 (1 mW/1 mW(ref)]  0 dB] y 0.775 V rms en la misma proyección de la aguja, como se muestra en la figura 23.6. Un voltaje de 2.5 V en una carga de 600 daría por resultado un nivel de dB de dB  20 log10 V2/V1  20 log10 2.5 V/0.775 V  10.17 dB, ocasionando que 2.5 V y 10.17 dB aparezcan a lo largo de la misma proyección de la aguja. Un voltaje menor a 0.775 V, tal como 0.5 V, dará por resultado un nivel de dB de dB  20 log10 V2/V1  20 log10 0.5 V/0.775 V  3.8 dB, como también se muestra en la escala de la figura 23.6. Aun cuando una lectura de 10 dB mostrará que el nivel de potencia es 10 veces el de referencia, no asuma que una lectura de 5 dB significa que el nivel de salida es de 5 mW. La proporción 10:1 es especial en los círculos logarítmicos. Para el nivel de 5 dB, el nivel de potencia deberá obtenerse utilizando el antilogaritmo (3.126), el cual revela que el nivel de potencia asociado con 5 dB es cerca de 3.1 veces el de referencia o 3.1 mW. Con frecuencia se proporciona una tabla de conversión en el manual del usuario para realizar tales conversiones.

23.4 FILTROS Cualquier combinación de elementos pasivos (R, L y C) y/o activos (transistores o amplificadores operacionales) diseñados para seleccionar o rechazar una

dB

23.4 FILTROS

banda de frecuencias se denomina filtro. En sistemas de comunicación, los filtros se utilizan para dejar pasar aquellas frecuencias que contengan la información deseada y rechazar las restantes. En los sistemas estereofónicos, los filtros pueden utilizarse para aislar bandas particulares de frecuencias con el propósito de aumentar o disminuir el énfasis de la salida del sistema acústico (amplificador, bocina, etc.). Los filtros se utilizan para filtrar cualquier frecuencia no deseada, comúnmente denominada ruido, debido a las características no lineales de algunos dispositivos electrónicos o a señales captadas del medio ambiente. En general, existen dos clasificaciones de filtros: 1. Filtros pasivos son los compuestos de combinaciones en serie o en paralelo de elementos R, L y C. 2. Filtros activos son los que utilizan dispositivos activos tales como transistores y amplificadores operacionales en combinación con elementos R, L y C. Vo Vmáx Filtro pasa-bajas:

0.707Vmáx

0

Banda de paso

fc

Banda de atenuación

f

(a)

Vo Vmáx Filtro pasa-altas:

0.707Vmáx

0

Banda de atenuación

fc

Banda de paso

f

(b)

Vo Vmáx Filtro pasa-banda:

0.707Vmáx

0

Banda de atenuación

fo

f1

Banda de paso

f2

Banda de atenuación

f

(c) Vo Vmáx Filtro rechaza-banda: 0.707Vmáx

0

f1 Banda de paso

fo Banda de atenuación (d)

f2 Banda de paso

FIGURA 23.7 Definición de las cuatro categorías comunes de filtros.

f

⏐⏐⏐

1027

1028

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Dado que este texto está limitado al tratamiento de los dispositivos pasivos, el análisis del presente capítulo se circunscribe a los filtros pasivos. Además, en las siguientes secciones sólo se analizarán las formas más fundamentales. El tema de los filtros es muy amplio y continúa recibiendo gran apoyo de investigación por parte de la industria y los gobiernos a medida que se desarrollan nuevos sistemas de comunicación para cubrir las demandas de mayor volumen y velocidad. Existen cursos y textos dedicados únicamente al análisis y diseño de sistemas de filtros que pueden volverse muy complejos y sofisticados. Sin embargo, en general, todos los filtros pertenecen a las cuatro amplias categorías de pasa-bajas, pasa-altas, pasa-banda y rechaza-banda, como se ilustra en la figura 23.7. Para cada tipo, existen frecuencias críticas que definen las regiones de bandas de paso y bandas de atenuación (a menudo llamadas bandas de rechazo). Cualquier frecuencia dentro de la banda de paso cruzará a la siguiente etapa con al menos el 70.7% del voltaje de salida máximo. Recuerde el uso del nivel de 0.707 para definir el ancho de banda de un circuito resonante en serie o en paralelo (ambos con la forma general del filtro pasa banda). Para algunos filtros rechaza banda, la banda de atenuación está definida por condiciones diferentes del nivel de 0.707. De hecho, para muchos filtros rechaza banda, la condición Vo  1/1000Vmáx (que corresponde a 60 dB en los análisis que se presentan en seguida) se utiliza para definir la región de la banda de rechazo, con la banda de paso todavía definida por el nivel de 0.707 V. Las frecuencias resultantes entre estas dos regiones se denominan entonces frecuencias de transición y establecen la región de transición. Al menos un ejemplo de cada filtro de la figura 23.7 se analizará con cierto detalle en las secciones siguientes. Ponga particular atención en la relativa simplicidad de algunos de los diseños. +

+

R C

Vo

–

–

FIGURA 23.8 Filtro pasa-bajas.

+

R

+

Vi

Vo = Vi

–

–

FIGURA 23.9 Filtro R-C pasa-bajas a bajas frecuencias.

+

R

+

Vi

Vo = 0 V

–

–

FIGURA 23.10 Filtro R-C pasa-bajas a altas frecuencias.

23.5 FILTRO R-C PASA-BAJAS El filtro R-C, cuyo diseño es asombrosamente sencillo, puede utilizarse como un filtro pasa-bajas o pasa-altas. Si la salida se toma del capacitor, como se muestra en la figura 23.8, responderá como un filtro pasa-bajas. Si las posiciones del resistor y del capacitor se intercambian y la salida se toma del resistor, la respuesta será la de un filtro pasa altas. Un vistazo a la figura 23.7(a) revela que el circuito debe comportarse de una manera que resultará en una salida de nivel alto para bajas frecuencias y un nivel cada vez más bajo para frecuencias por encima del valor crítico. Primero examinemos la red situada a los extremos de frecuencia de f  0 Hz y a frecuencias muy altas para verificar la respuesta del circuito. En f  0 Hz, 1 XC   ∞ 2pfC puede sustituirse el equivalente de circuito abierto para el capacitor, como se muestra en la figura 23.9, dando por resultado Vo  Vi. A frecuencias muy altas, la reactancia es: 1 XC   0 2pfC y puede sustituirse el equivalente de corto circuito para el capacitor, como se muestra en la figura 23.10, dando por resultado Vo  0 V. Una gráfica de la magnitud de Vo en función de la frecuencia producirá la curva de la figura 23.11. Nuestro siguiente objetivo queda ahora claramente definido: obtener la frecuencia a la que ocurre la transición de la banda de paso a la banda de atenuación.

dB

23.5 FILTRO R-C PASA-BAJAS

Vo

Vo = 0.707Vi

0 Banda de paso

fc

Banda de atenuación

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.11 Vo en función de la frecuencia para un filtro R-C pasa-bajas.

Para los filtros, muy a menudo se utiliza una gráfica normalizada en lugar de la gráfica de Vo en función de la frecuencia de la figura 23.11. La normalización es un proceso por medio del cual cantidades tales como voltaje, corriente o impedancia se dividen entre una cantidad con la misma unidad de medición para establecer un nivel adimensional de un valor o intervalo específicos. Se puede obtener una gráfica normalizada en el dominio de los filtros al dividir la cantidad graficada como Vo de la figura 23.11 entre el voltaje aplicado Vi para el intervalo de frecuencias de interés. Dado que el valor máximo de Vo para el filtro pasa-bajas de la figura 23.8 es Vi, cada nivel de Vo en la figura 23.11 se divide entre el nivel de Vi. El resultado es la gráfica de Av  Vo /Vi de la figura 23.12. Observe que el valor máximo es 1 y la frecuencia de corte está definida en el nivel de 0.707. Av =

Vo Vi

1 0.707

0 Banda de paso

fc

Banda de atenuación

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.12 Gráfica normalizada de la figura 23.11.

En cualquier frecuencia intermedia, el voltaje de salida Vo de la figura 23.8 puede determinarse utilizando la regla del divisor de voltaje: XC  90°Vi Vo  R j XC o bien: V XC  90° XC  90° Av  o   2 Vi R j XC R   XC2 / tan 1(XC /R) y

 

Vo XC XC Av    90°  tan 1 2 2 Vi R R   XC

⏐⏐⏐

1029

1030

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Por tanto, la magnitud de la razón Vo /Vi se determina mediante: 1 V XC Av  o   —— 2 2 Vi R 2 R  XC  1 XC

  

(23.14)

y el ángulo de fase se determina por: R XC v  90°  tan 1  tan 1 XC R

(23.15)

Para la frecuencia especial en que XC  R, la magnitud se convierte en: 1 Vo 1 1 Av   ——    0.707 2 Vi 1     1 2  R  1 XC

  

la cual define la frecuencia crítica o de corte de la figura 23.12. La frecuencia en que XC  R está determinada por: 1  R 2pfcC 1 fc  2pRC

y

(23.16)

El impacto de la ecuación (23.16) va más allá de su relativa sencillez. Para todo filtro pasa-bajas, la aplicación de cualquier frecuencia menor a fc da por resultado un voltaje de salida Vo que es al menos el 70.7% del máximo. Para cualquier frecuencia por arriba de fc, la salida será menor que 70.7% de la señal aplicada. Al resolver para Vo y sustituir Vi  Vi 0° tenemos:



y







XC XC v Vi  v Vi 0° Vo  2 2 R  XC R2   XC2 XCVi Vo  v R2   XC2

El ángulo v será, por tanto, el ángulo por el que Vo adelanta a Vi. Dado que v  tan 1 R/XC siempre es negativo (excepto cuando f  0 Hz), resulta claro que Vo siempre se encontrará atrasado con respecto a Vi, lo que lleva a nombrar la red de la figura 23.8 como una red de atraso. A frecuencias altas, XC es muy pequeña y R/XC muy grande, ocasionando que v  tan 1 R/XC se aproxime a 90º. A frecuencias bajas, XC es muy grande y R/XC muy pequeña, ocasionando que v se aproxime a 0º. En XC  R, o f  fc, tan 1 R/XC  tan 1 1  45º. Una gráfica de v en función de la frecuencia da por resultado la gráfica de fase de la figura 23.13. La gráfica es de Vo adelantando a Vi, pero dado que el ángulo de fase es siempre negativo, la gráfica de fase de la figura 23.14 (Vo atrasado con respecto a Vi) resulta más apropiada. Observe que un cambio de signo requiere que el eje vertical se cambie al ángulo por el cual Vo está atrasado con respecto a Vi. En particular, advierta que el ángulo de fase entre Vo y Vi es menor a 45º en la

dB

23.5 FILTRO R-C PASA-BAJAS v (Vo adelanta a Vi) Banda de paso fc

⏐⏐⏐

1031

Banda de atenuación f (escala logarítmica)

0°

– 45° –90° FIGURA 23.13 Ángulo por el cual Vo adelanta a Vi.

v (Vo atrasado con respecto a Vi) 90°

45° 0° Banda de paso

fc

f (escala logarítmica)

Banda de atenuación

FIGURA 23.14 Ángulo por el cual Vo se atrasa con respecto a Vi.

banda de paso y se aproxima a 0º a frecuencias más bajas. En resumen, para el filtro R-C pasa-bajas de la figura 23.8: 1 fc  2pRC Para

f < fc,

Vo > 0.707Vi

mientras que para

f > fc,

Vo < 0.707Vi

A fc,

Vo atrasado con respecto a Vi por 45°

+

La respuesta del filtro pasa-bajas de la figura 23.7(a) puede obtenerse también utilizando la combinación R-L de la figura 23.15 con:

+

L

Vi

R

–

–

R fc  2pL

Vo

(23.17)

Sin embargo, en general, la combinación R-C es más popular debido al tamaño más pequeño de los elementos capacitivos y a las no linealidades asociadas con los elementos inductivos. Los detalles del análisis del pasa-bajas R-L se dejarán como un ejercicio para el lector.

FIGURA 23.15 Filtro R-L pasa-bajas.

R

+

EJEMPLO 23.5 a. Trace el voltaje de salida Vo en función de la frecuencia para el filtro R-C pasa-bajas de la figura 23.16. b. Determine el voltaje Vo a f  100 kHz y 1 MHz, y compare los resultados con los obtenidos a partir de la curva del inciso (a). c. Trace la ganancia normalizada Av  Vo /Vi.

Vi = 20 V  0°

+

1 k C

–

500 pF

Vo

–

FIGURA 23.16 Ejemplo 23.5.

1032

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Soluciones: a. Ecuación (23.16): 1 1 fc    318.31 kHz 2pRC 2p(1 k )(500 pF) A fc, Vo  0.707(20 V)  14.14 V. Vea la figura 23.17.

Vo (volts) Vi = 20 V 19.08 V 14.14 V

0.707Vi 10 V

6.1V 318.31 kHz 10 kHz

100 kHz

fc

Banda de paso

1 MHz

10 MHz

f (escala logarítmica)

Banda de atenuación

FIGURA 23.17 Respuesta en frecuencia para la red R-C pasa-bajas de la figura 23.16.

b. Ecuación (23.14): Vi Vo  —— R 2  1 XC

  

En f  100 kHz: 1 1 XC    3.18 k 2pfC 2p(100 kHz)(500 pF) y

20 V Vo  ———  19.08 V 1 k 2  1 3.18 k

  

En f  1 MHz: 1 1 XC    0.32 k 2pfC 2p(1 MHz)(500 pF) y

20 V Vo  ———  6.1 V 1 k 2  1 0.32 k

 

Ambos niveles están verificados por la figura 23.17. c. Al dividir cada nivel de la figura 23.17 entre Vi  20 V se obtendrá la gráfica normalizada de la figura 23.18

dB

23.6 FILTRO R-C PASA-ALTAS

1

⏐⏐⏐

1033

Vo Av = V i 0.954

0.707 0.5 0.305 318.31 kHz 100 kHz

10 kHz

fc

1 MHz

10 MHz

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.18 Gráfica normalizada de la figura 23.17.

23.6 FILTRO R-C PASA-ALTAS Como se observó en la figura 23.5, puede construirse un filtro R-C pasa-altas invirtiendo simplemente las posiciones del capacitor y del resistor, como se muestra en la figura 23.19. A frecuencias muy altas la reactancia del capacitor es muy pequeña y se puede sustituir el equivalente de corto circuito, como se muestra en la figura 23.20. El resultado es que Vo  Vi.

+

+

C R

Vi

Vo

– +

–

+ R

Vi

–

FIGURA 23.19 Filtro pasa-altas.

Vo = 0 V

–

FIGURA 23.20 Filtro R-C pasa-altas a frecuencias muy altas.

En f  0 Hz, la reactancia del capacitor es muy alta y se puede sustituir el equivalente de circuito abierto, como se muestra en la figura 23.21. En este caso, Vo  0 V. En la figura 23.22 se proporciona una gráfica de la magnitud en función de la frecuencia, con la gráfica normalizada en la figura 23.23.

+ Vi

–

Vo Vo = Vi

+ R

Vo = 0 V

– FIGURA 23.21 Filtro R-C pasa-altas a f  0 Hz.

Vo = 0.707Vi

0 Banda de atenuación

fc

Banda de paso

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.22 Vo en función de la frecuencia para un filtro R-C pasa-altas.

En cualquier frecuencia intermedia, el voltaje de salida puede determinarse utilizando la regla del divisor de voltaje: R 0° Vi Vo  R j XC

1034

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Av =

Vo Vi

1 0.707

0 Banda de atenuación

fc

Banda de paso

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.23 Gráfica normalizada de la figura 23.22.

o bien: R 0° R 0° Vo   R j XC Vi R 2  X 2  tan 1(X /R) C

y

C

R Vo tan 1(XC /R)  2 2 Vi R  XC Por tanto, la magnitud de la razón Vo / Vi se determina mediante: R Vo 1 Av    —— 2 2 Vi R  XC XC 2 1  R

  

(23.18)

y el ángulo de fase v por: XC v  tan 1 R

(23.19)

Para la frecuencia a la que XC  R, la magnitud se convierte en: 1 1 Vo 1  ——     0.707 2 Vi 1  1 2 XC 1  R

  

como se muestra en la figura 23.23. La frecuencia a la que XC  R está determinada por: 1 XC   R 2pfcC y

1 fc  2pRC

(23.20)

Para el filtro R-C pasa-altas, la aplicación de toda frecuencia mayor a fc dará por resultado un voltaje de salida Vo que es al menos el 70.7% de la magnitud de la señal de entrada. Para cualquier frecuencia por debajo de fc, la salida es menor que el 70.7% de la señal aplicada. Para el ángulo de fase, las frecuencias altas dan por resultado valores pequeños de XC, y la razón XC /R se aproximará a cero con tan 1(XC /R) aproximándose a 0º, como se muestra en la figura 23.24. A frecuencias bajas, la razón XC/R se vuelve muy grande, y tan 1(XC /R) se aproximará a 90º. Para el caso

dB

23.6 FILTRO R-C PASA-ALTAS

⏐⏐⏐

v (Vo adelanta a Vi) 90°

45° 0° Banda de atenuación

fc

Banda de paso

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.24 Ángulo de fase de la respuesta para el filtro R-C pasa-altas.

XC  R, tan 1(XC /R)  tan 11  45º. Al asignar un ángulo de fase de 0º a Vi tal que Vi  Vi 0º, el ángulo de fase asociado con Vo es v, dando por resultado que Vo  Vo v y revelando que v es el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi. Dado que el ángulo v es el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi a lo largo del intervalo de frecuencias de la figura 23.24, el filtro R-C pasa-altas se denomina red de adelanto. En resumen, para el filtro R-C pasa-altas: 1 fc  2pRC Para

f < fc,

Vo < 0.707Vi

mientras que para

f > fc,

Vo > 0.707Vi

A fc,

Vo adelanta a Vi por 45°

La respuesta del filtro pasa-altas de la figura 23.23 también puede obtenerse utilizando los mismos elementos de la figura 23.15, pero intercambiando sus posiciones como se muestra en la figura 23.25.

EJEMPLO 23.6 Dados R  20 k y C  1200 pF. a. Trace la gráfica normalizada si el filtro se utiliza tanto como un filtro pasaaltas como uno pasa-bajas. b. Trace la gráfica de fase para ambos filtros del inciso (a). c. Determine la magnitud y la fase de Av  Vo / Vi y f   fc para el filtro pasaaltas. Soluciones: 1 1 a. fc   2pRC (2p)(20 k )(1200 pF)  6631.46 Hz Las gráficas normalizadas aparecen en la figura 23.26. b. Las gráficas de fase aparecen en la figura 23.27. 1 1 c. f  fc  (6631.46 Hz)  3315.73 Hz 2 2 1 1 XC   2pfC (2p)(3315.73 Hz)(1200 pF)  40 k

+ Vi

+

R L

–

Vo

–

FIGURA 23.25 Filtro R-L pasa-altas.

1035

1036

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Av =

Vo Vi

Av =

1

Vo Vi

1

0.707

0.707 Pasa-bajas

0

Pasa-altas

fc = 6631.46 Hz

f (escala logarítmica)

0

f (escala logarítmica)

fc = 6631.46 Hz

FIGURA 23.26 Gráficas normalizadas para un filtro pasa-bajas y uno pasa-altas utilizando los mismos elementos.  (Vo atrasado con respecto a Vi)

 (Vo adelanta a Vi) 90°

90°

45°

Pasa-bajas

45°

Pasa-altas

0

0 fc = 6631.46 Hz

f (escala logarítmica)

fc = 6631.46 Hz

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.27 Gráficas de fase para un filtro pasa-bajas y uno pasa-altas utilizando los mismos elementos.

1 1 1 V Av  o  ——  ——2  2 Vi 40 k XC 1 (2  )2 1  1  20 k R

     

1   0.4472 5 X 40 k C v  tan 1  tan 1  tan 1 2  63.43° R 20 k Vo y Av   0.4472 63.43° Vi

23.7 FILTROS PASA-BANDA Para establecer la característica pasa-banda de la figura 23.7(c) se utilizan varios métodos. Un método emplea los filtros pasa-bajas y pasa-altas en cascada, como se muestra en la figura 23.28. Los componentes se seleccionan para establecer una frecuencia de corte para el filtro pasa-altas que es menor que la frecuencia crítica del filtro pasa-bajas, como se muestra en la figura 23.29. Una frecuencia f1 podrá pasar a través del

+ Vi

Filtro pasa-altas

Filtro pasa-bajas

+ Vo

–

– FIGURA 23.28 Filtro pasa-banda.

dB

23.7 FILTROS PASA-BANDA

Vo

1037

Pasa-bajas Pasa-altas

Vmáx AB

0.707Vmáx

0

⏐⏐⏐

f1

fc (Pasa-altas)

fo

f2 fc (Pasa-bajas)

f

FIGURA 23.29 Características pasa-banda.

filtro pasa-bajas, pero tendrá poco efecto sobre Vo debido a las características de rechazo del filtro pasa-altas. Una frecuencia f2 podrá pasar a través del filtro pasa-altas sin problema, pero no podrá alcanzar el filtro pasa-altas debido a las características pasa-bajas. Una frecuencia fo cercana al centro del filtro pasabanda cruzará a través de ambos filtros con muy poca atenuación. La red del ejemplo 23.7 generará las características de la figura 23.29. Sin embargo, para un circuito como el mostrado en la figura 23.30, existe una carga entre las etapas en cada frecuencia que afectará el nivel de Vo. Mediante un diseño adecuado, el nivel de Vo podría estar muy cercano al nivel de Vi en la banda de paso, pero nunca lo igualaría exactamente. Además, a medida que las frecuencias críticas de cada filtro se acerquen más y más entre sí para incrementar el factor de calidad de la curva de respuesta, los valores pico dentro de la banda de paso continuarán cayendo. Para los casos en que Vomáx  Vimáx el ancho de banda se define a 0.707 del Vomáx resultante.

EJEMPLO 23.7 Para el filtro pasa-banda de la figura 23.30: a. Determine las frecuencias críticas para los filtros pasa-bajas y pasa-altas. b. Utilizando únicamente las frecuencias críticas, trace las características de respuesta. c. Determine el valor real de Vo a la frecuencia crítica pasa-altas calculada en el inciso (a), y compárelo con el nivel que definirá la frecuencia superior para la banda de paso. Soluciones: a. Filtro pasa-altas: 1 1 fc    106.1 kHz 2pR1C1 2p(1 k )(1.5 nF) Filtro pasa-bajas: 1 1 fc    994.72 kHz 2pR2C2 2p(40 k )(4 pF) b. En la región media de la banda de paso, aproximadamente a 500 kHz, un análisis de la red mostrará que Vo  0.9Vi como se muestra en la figura 23.31. El ancho de banda está, por tanto, definido a un nivel de 0.707(0.9 Vi)  0.636Vi, como también se muestra en la figura 23.31. c. En f  994.72 kHz, 1 XC1   107 2pfC1

+ Vi

C1

R2

1.5 nF

40 k R1

1 k

+ C2

–

4 pF

Vo

– Filtro pasa-altas

Filtro pasa-bajas

FIGURA 23.30 Filtro pasa-banda.

1038

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE Vo Vi 0.9 Vi 0.707 Vi 0.636 Vi

0

Banda de paso

fc  106 kHz fc real

fc  995 kHz

f

fc real

FIGURA 23.31 Características pasa-banda para el filtro de la figura 23.30.

1 XC2   R2  40 k 2pfC2

y

dando por resultado la red de la figura 23.32. X C1

+ Vi

107  R1 = 1 k

R2

+

+

40 k

V'

–

XC2

40 k

Vo

–

– FIGURA 23.32 Red de la figura 23.30 en f  994.72 kHz.

La combinación en paralelo R1|| (R2 j XC 2) esencialmente es de 0.976 k 0° dado que la combinación R2 – XC 2 es muy grande en comparación con el resistor en paralelo R1. Entonces: 0.976 k 0°(Vi) V′   0.994Vi 6.26° 0.976 k j 0.107 k con:

(40 k  90°)(0.994Vi 6.26°) Vo  40 k j 40 k Vo  0.703Vi  39°

de manera que: Vo  0.703Vi

En f  994.72 kHz

Dado que el ancho de banda está definido en 0.636Vi, la frecuencia de corte superior será mayor que 994.72 kHz, tal como se muestra en la figura 23.31. La respuesta pasa-banda puede obtenerse también utilizando los circuitos resonantes en serie y en paralelo analizados en el capítulo 20. Sin embargo, en cada caso, Vo no será igual a Vi en la banda de paso, pero se podrá definir un intervalo de frecuencia en el que Vo será igual o mayor que 0.707Vmáx. Para el circuito resonante en serie de la figura 23.33, XL  XC en la resonancia, y R Vomáx  Vi R  Rl

(23.21) f  fs

dB

23.7 FILTROS PASA-BANDA

⏐⏐⏐

Vo Vo Vi

Filtro pasa-banda

máx

Vi Vi

+

Rll

L

0.707Vomáx

+

C

R Vo

Vi

–

–

f

0

f1

fs

f2

f

AB

FIGURA 23.33 Filtro pasa-banda resonante en serie.

y

1 fs  2p LC 

(23.22)

con:

XL Qs  R  Rl

(23.23)

fs AB  Qs

(23.24)

y

Para el circuito resonante en paralelo de la figura 23.34, ZTp es un valor máximo en la resonancia, y ZTpVi Vomáx  ZTp  R

(23.25) f  fp

Filtro pasa-banda R

+

+ Rl

Vi

Vi

Vi

ZTp

C

Vi Vomáx

Vo

L

Vo = VC

0.707Vomáx

–

–

0

0

f1 fp AB

FIGURA 23.34 Filtro pasa-banda resonante en paralelo.

con:

y

ZTp  Q2l Rl

1 fp  2pL C 

Ql ≥ 10

(23.26)

(23.27) Ql ≥ 10

f2

f

1039

1040

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Para el circuito resonante en paralelo:

y

XL Qp  Rl

(23.28)

fp AB  Qp

(23.29)

Como una primera aproximación que sea aceptable para la mayoría de las aplicaciones prácticas, se puede suponer que la frecuencia resonante biseca al ancho de banda.

+

Rl

L

C

2

1 mH

0.01 mF

Vi = 20 mV  0°

–

+ R

33 

EJEMPLO 23.8 a. Determine la respuesta en frecuencia del voltaje Vo para el circuito en serie de la figura 23.35. b. Trace la respuesta normalizada Av  Vo /Vi. c. Trace una respuesta normalizada definida por A′v  Av /Avmáx.

Vo

–

FIGURA 23.35 Filtro pasa-banda resonante en serie para el ejemplo 23.8.

Soluciones: 1 1 a. fs    50,329.21 Hz 2pL C  2p(1  mH )( 0. 01  mF)  2p(50,329.21 Hz)(1 mH) XL Qs    9.04 33  2 R  Rl 50,329.21 Hz fs AB    5.57 kHz 9.04 Qs En resonancia: 33 (Vi) RVi Vomáx    0.943Vi  0.943(20 mV) 33  2 R  Rl  18.86 mV En la frecuencia de corte: Vo  (0.707)(0.943Vi)  0.667Vi  0.667(20 mV)  13.34 mV Observe la figura 23.36. Vo 18.86 mV 13.34 mV AB = 5.57 kHz 0 fs  50.3 kHz

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.36 Respuesta pasa-banda para la red.

b. Al dividir todos los niveles de la figura 23.36 entre Vi  20 mV se obtendrá la gráfica normalizada de la figura 23.37(a).

dB

23.8 FILTROS RECHAZA-BANDA

Av =

Vo Vo = Vi 20 mV

Av =

Av Av

=

máx

0.943

⏐⏐⏐

Av 0.943

1

{

0.707

{

0.667

AB

AB

0

0 fs

fs

f (escala logarítmica)

(a)

(b)

FIGURA 23.37 Gráficas normalizadas para el filtro pasa-banda de la figura 23.35.

c. Al dividir todos los niveles de la figura 23.37(a) entre Avmáx  0.943 se obtendrá la gráfica normalizada de la figura 23.37(b).

23.8 FILTROS RECHAZA-BANDA Los filtros rechaza-banda también pueden construirse utilizando un filtro pasabajas y uno pasa-altas. Sin embargo, en lugar de la configuración en cascada que se emplea para el filtro pasa-banda, se requiere un arreglo en paralelo, como se muestra en la figura 23.38. Una frecuencia baja f1 podrá atravesar el filtro pasa-bajas, y una frecuencia alta f2 podrá utilizar la trayectoria en paralelo, como se muestra en las figuras 23.38 y 23.39. Sin embargo, una frecuencia tal como fo en la banda de rechazo será mayor que la frecuencia crítica del pasa-bajas y menor que la frecuencia crítica del pasa-altas, y por tanto estará impedida de contribuir a los niveles de Vo por encima de 0.707Vmáx. f1 (baja) Filtro pasa-bajas

fo

+

f1 (baja)

fo

f2 (alta) Filtro pasa-altas

Vi

–

+ Vo

–

f2 (alta)

FIGURA 23.38 Filtro rechaza-banda. Vo Vomáx AB

0.707Vomáx

f1

fc (Pasa-bajas)

fo

fc

f2

(Pasa-altas)

FIGURA 23.39 Características rechaza-banda.

f (escala logarítmica)

f (escala logarítmica)

1041

1042

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Debido a que las características de un filtro rechaza-banda son las inversas a las del patrón obtenido para los filtros pasa-banda, podemos utilizar el hecho de que a cualquier frecuencia la suma de las magnitudes de las dos formas de onda a la derecha del signo de igual en la figura 23.40 serán iguales al voltaje aplicado Vi.

Vi

Vo

Vi

Rechaza-banda

Pasa-banda

Vi

=

+

f

0

f

fo

0

fo

0

f

FIGURA 23.40 Demostración de cómo una señal aplicada de magnitud fija puede dividirse en una curva de respuesta pasa-banda y una de respuesta rechaza-banda.

Por tanto, para los filtros pasa-banda de las figuras 23.33 y 23.34, si tomamos la salida de los otros elementos en serie como se muestra en las figuras 23.41 y 23.42, se obtendrá una característica rechaza-banda, como lo requiere la ley de voltaje de Kirchhoff. Para el circuito resonante en serie de la figura 23.41, las ecuaciones de la (23.22) a la (23.24) siguen siendo válidas, pero ahora en resonancia,

Filtro rechaza-banda

+

Vi Vi

R

Vo

+

Rl

Vomáx = Vi

Vi

L

Vo

0.707Vi

–

C

–

Vo

AB

mín

0

f1

0

fs

f2

f

FIGURA 23.41 Filtro rechaza-banda utilizando un circuito resonante en serie.

Filtro rechaza-banda Rl

Vi

+

L

C

Vo

+ Vo

máx

Vi

Vi

– 0

R

= Vi

Vo

0.707Vi

–

Vo

AB

mín

0

f1

FIGURA 23.42 Filtro rechaza-banda utilizando una red resonante en paralelo.

fp

f2

f

dB

23.9 FILTRO DE DOBLE SINTONIZACIÓN

RlVi Vomín  Rl  R

(23.30)

Para el circuito resonante en paralelo de la figura 23.42, las ecuaciones de la (23.26) a la (23.29) siguen siendo válidas, pero ahora en resonancia, RVi Vomín  R  ZTp

(23.31)

El valor máximo de Vo para el circuito resonante en serie es Vi en el extremo inferior debido al equivalente de circuito abierto para el capacitor, y Vi en el extremo superior debido a la alta impedancia del elemento inductivo. Para el circuito resonante en paralelo, en f  0 Hz, la bobina puede reemplazarse por un equivalente de corto circuito, y el capacitor se puede reemplazar por un circuito abierto y Vo  RVi /(R  Rl). En el extremo de alta frecuencia, el capacitor se aproxima a su equivalente de corto circuito, y Vo se incrementa hacia Vi.

23.9 FILTRO DE DOBLE SINTONIZACIÓN Algunas configuraciones de red presentan características pasa-banda y rechazabanda, como se muestra en la figura 23.43. Tales redes se denominan filtros de doble sintonización. En la red de la figura 23.43(a), el circuito resonante en paralelo establecerá una banda de rechazo para el intervalo de frecuencias no permitidas a fin de establecer un VL importante. La mayor parte del voltaje aplicado se presentará en el circuito resonante en paralelo para este intervalo de frecuencias debido a su muy alta impedancia comparada con RL. En el pasabanda, el circuito resonante en paralelo está diseñado para ser capacitivo (inductivo si Ls es reemplazada por Cs). La inductancia Ls está seleccionada para cancelar los efectos de la reactancia capacitiva neta resultante a la frecuencia pasa-banda resonante del circuito tanque, actuando por ello como un circuito resonante en serie. El voltaje aplicado aparecerá entonces en RL a esta frecuencia.

Filtro de doble sintonización

Filtro de doble sintonización

C

C

Ls

Ls

+

+

Lp

Vi

RL

–

VL

–

+

+

Lp

Vi

RL

–

– (b)

(a)

FIGURA 23.43 Redes de doble sintonización.

Para la red de la figura 23.43(b), el circuito resonante en serie seguirá determinando la banda de paso, actuando como una impedancia muy baja en el inductor paralelo en resonancia. En la frecuencia resonante rechaza-banda deseada,

VL

⏐⏐⏐

1043

1044

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

el circuito resonante en serie es capacitivo. La inductancia Lp se selecciona para establecer resonancia paralela a la frecuencia resonante rechaza-banda. La alta impedancia del circuito resonante en paralelo dará por resultado un voltaje de carga VL muy bajo. Para las frecuencias rechazadas por debajo de la banda de paso, las redes deberán aparecer como se muestra en la figura 23.43. En la situación inversa, Ls en la figura 23.43(a) y Lp en la figura 23.43(b) se reemplazan por capacitores.

EJEMPLO 23.9 Para la red de la figura 23.43(b), determine Ls y Lp para una capacitancia C de 500 pF si se rechaza una frecuencia de 200 kHz y se acepta una frecuencia de 600 kHz. Solución: Para la resonancia en serie, tenemos: 1 fs  2pL C  y

1 1 Ls    140.7 mH 4p2(600 kHz)2(500 pF) 4p2f 2sC

A 200 kHz, XLs  qL  2pfs Ls  (2p)(200 kHz)(140.7 mH)  176.8 y

1 1 XC    1591.5 qC (2p)(200 kHz)(500 pF)

Para los elementos en serie,

Estadounidense (Madison, WI; Summit, NJ; Cambridge, MA) (1905-1981) Vicepresidente de Laboratorios Bell Profesor de Ingeniería de Sistemas, Universidad de Harvard

j (XLs XC)  j (176.8 1591.5 )  j 1414.7  j X′C A la resonancia paralela (se asume que Q1 ≥ 10), XLp  X′C y Cortesía de los archivos de AT&T

En sus primeros años en los Laboratorios Bell, Hendrik Bode participó en las áreas de filtros eléctricos y diseño de ecualizadores. Luego fue transferido al Grupo de Investigación en Matemáticas, donde se especializó en la investigación relacionada con la teoría de redes eléctricas y su aplicación en las instalaciones de comunicaciones de larga distancia. En 1946 fue premiado con el Presidential Certificate of Merit por su trabajo en el área de dispositivos electrónicos de control de incendios. Además de publicar el libro Network Analysis and Feedback Amplifier Design (Análisis de Redes y Diseño de Amplificadores con Retroalimentación) en 1945, el cual se considera un clásico en su campo, obtuvo 25 patentes en ingeniería eléctrica y diseño de sistemas. A su retiro, Bode fue elegido profesor Gordon McKay de Ingeniería en Sistemas en la Universidad de Harvard. Fue miembro de la IEEE y de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias.

FIGURA 23.44 Hendrik Wade Bode.

XLp 1414.7 Lp    1.13 mH q (2p)(200 kHz)

La respuesta en frecuencia para la red anterior aparece como uno de los ejemplos de PSpice en la última sección del presente capítulo.

23.10 DIAGRAMAS DE BODE Existe una técnica para trazar la respuesta en frecuencia de factores tales como filtros, amplificadores y sistemas sobre una escala de decibeles que puede ahorrar bastante tiempo y esfuerzo, y proporciona una excelente forma para comparar niveles de decibeles a diferentes frecuencias. Las curvas obtenidas para la magnitud y/o el ángulo de fase en función de la frecuencia se denominan Diagramas de Bode (Figura 23.44). Mediante el uso de segmentos de recta llamados diagramas de Bode ideales, se puede obtener la respuesta en frecuencia de un sistema de forma eficiente y precisa. Para asegurar que la deducción del método se comprenda clara y correctamente, la primera red a ser analizada se revisará con todo detalle. La segunda red será tratada de manera más breve y, finalmente, se presentará un método para determinar de forma rápida la respuesta.

dB

23.10 DIAGRAMAS DE BODE

⏐⏐⏐

Filtro R-C pasa-altas Comencemos por volver a analizar el filtro pasa-altas de la figura 23.45. Se eligió este filtro como punto de partida debido a que las frecuencias de principal interés se encuentran en el extremo inferior del espectro de frecuencias. La ganancia de voltaje del sistema está dada por: 1 1 Vo R Av    —  —— 1 XC Vi R j XC 1 j 1 j 2pfCR R

(23.32)

la cual reconocemos como la frecuencia de corte de secciones anteriores, y obtenemos: 1 Av  1 j ( fc /f )

(23.33)

En el análisis siguiente veremos que la habilidad de expresar la ganancia de forma que tenga las características generales de la ecuación (23.33) es crítica para la aplicación de la técnica de Bode. Diversas configuraciones darán por resultado variaciones del formato de la ecuación (23.33), pero las similitudes deseadas serán obvias a medida que avancemos en el tratamiento del material. En forma de magnitud y fase: Vo 1 Av   Av v  2 tan 1( fc /f ) Vi 1  ( fc /f  )

(23.34)

que proporciona una ecuación para la magnitud y la fase del filtro pasa-altas en términos de los niveles de frecuencia. Utilizando la ecuación (23.12), AvdB  20 log10 Av y, al sustituir el componente de magnitud de la ecuación (23.34), Av  20 log10 dB

y

1  20 log10 1 20 log10  1  fc /f 2  1  fc /f 2 0

  

AvdB  20 log10

fc 1 f

Si reconocemos que log10x  log10 x1/2 

1 2

2

log10 x, tenemos:

fc 1 AvdB  (20) log10 1  2 f

2

 

fc  10 log10 1  f

2

 

R

Vo

–

FIGURA 23.45 Filtro pasa-altas.



1 fc  2pRC

Si sustituimos:

Vi

+ C

–

1  —— 1 1 1 j 2pRC f



+

1045

1046

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Para frecuencias donde f K fc o ( fc /f )2 k 1, fc 1 f

2

fc  f

2

   

fc AvdB  10 log10 f

2

 

y

log10 x2  2 log10 x

pero: dando por resultado:

fc AvdB  20 log10 f

Sin embargo, una propiedad de los logaritmos es: 1

log10 b  log10 b y al sustituir b  fc /f, tenemos: f AvdB  20 log10 fc

(23.35) f K fc

Primero observe las similitudes entre la ecuación (23.35) y la ecuación básica de la ganancia en decibeles: GdB  20 log10 Vo /Vi. Por tanto, los comentarios con respecto a cambios en los niveles de decibeles debido a cambios en Vo /Vi pueden aplicarse también aquí, excepto que ahora un cambio en la frecuencia en una proporción de 2:1 dará por resultado un cambio de 6 dB en la ganancia. Un cambio en la frecuencia en una proporción de 10:1 ocasionará un cambio de 20 dB en la ganancia. Se dice que dos frecuencias separadas por una proporción de 2:1 se encuentran a una octava de distancia. Para los diagramas de Bode, un cambio en la frecuencia por una octava ocasionará un cambio de 6 dB en la ganancia. Se dice que dos frecuencias separadas por una proporción de 10:1 se encuentran a una década de distancia. Para los diagramas de Bode, un cambio en la frecuencia por una década ocasionará un cambio de 20 dB en la ganancia. Podría cuestionarse todo el desarrollo matemático para obtener una ecuación que de forma inicial parece confusa y de valor limitado. Como se especifica, la ecuación (23.35) es precisa sólo para niveles de frecuencia mucho menores a fc. Primero, observe que el desarrollo matemático de la ecuación (23.35) no tendrá que repetirse para cada configuración que se encuentre. Segundo, la ecuación en sí rara vez se aplica; en cambio, simplemente se utiliza, en la forma que se describirá, para definir una línea recta sobre una gráfica logarítmica que permite trazar la respuesta en frecuencia de un sistema con un mínimo de esfuerzo y alto nivel de precisión. Para trazar la gráfica de la ecuación (23.35), considere los siguientes niveles para frecuencias en aumento: Para f  fc /10, Para f  fc /4,

f / fc  0.1 y f / fc  0.25 y

20 log10 0.1  20 dB 20 log10 0.25  12 dB

Para f  fc /2, Para f  fc,

f / fc  0.51 y f / fc  1 y

20 log10 0.5  6 dB 20 log10 1  0 dB

dB

23.10 DIAGRAMAS DE BODE

Observe, a partir de las ecuaciones anteriores, que a medida que la frecuencia de interés se aproxima a fc la ganancia en dB se vuelve menos negativa y se acerca al valor final normalizado de 0 dB. El signo positivo frente a la ecuación (23.35) puede interpretarse entonces como una señal de que la ganancia en dB tendrá una pendiente positiva ante un incremento en la frecuencia. Una gráfica de estos puntos sobre una escala logarítmica dará por resultado el segmento de recta de la figura 23.46 a la izquierda de fc. Av(dB) (escala lineal) fc 4

fc 10

fc 2

Diagrama de Bode ideal fc

0

2 fc 3 fc 5 fc

10 fc

–20 log10 1 = 0 dB f (escala logarítmica)

–1 dB Respuesta en frecuencia real –6 dB/octava o –20 dB/década

–3 –6 –9

–7 dB

–12 –15 –18 –20

–21

+20 log10

f fc

FIGURA 23.46 Diagrama de Bode ideal para la región de baja frecuencia.

Para el futuro, observe que la gráfica resultante es una recta que interseca la línea de 0 dB en fc. Se incrementa a la derecha a una velocidad de 6 dB por octava o 20 dB por década. En otras palabras, una vez que determine fc, obtenga fc /2, y se presentará un punto de gráfica en 6 dB (u obtenga fc /10 y se presentará un punto de gráfica en 20 dB). Los diagramas de Bode son segmentos de recta debido a que el cambio en dB por década o por octava es constante. La respuesta real se aproximará a una asíntota (segmento de recta) definida por AvdB  0 dB dado que en altas frecuencias: f k fc y con:

fc /f  0

1 1 AvdB  20 log10  20 log10 2 1   0 1 (  fc  /f  )  20 log10 1  0 dB

Las dos asíntotas definidas se intersecarán en fc, como se muestra en la figura 23.46, formando una envolvente para la respuesta en frecuencia real. En f  fc, la frecuencia de corte, 1 1 1 AvdB  20 log10  20 log10  20 log10 2 1   1 1 (  fc  /f  )2  3 dB En f  2fc, AvdB  20 log10

1   2f f   20 log 1   12  c

2

c

 20 log10 1 .2 5  1 dB como se muestra en la figura 23.46.

2

10

⏐⏐⏐

1047

1048

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

En f  fc /2, AvdB  20 log10

    20 log fc 1  fc /2

2

10

1 (2  )2

 20 log10 5   7 dB separando el diagrama de Bode ideal de la respuesta real por 7 dB – 6 dB  1 dB, como se muestra en la figura 23.46. Revisando lo anterior, en f = fc , la curva de respuesta real está 3 dB por debajo del diagrama de Bode ideal, mientras que en f = 2fc y fc/2, la curva de respuesta real está 1 dB por debajo de la respuesta asintótica. La respuesta de fase también puede trazarse utilizando asíntotas rectas al considerar algunos puntos críticos en el espectro de frecuencias. La ecuación (23.34) establece la respuesta de fase (el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi) mediante: fc v  tan 1 f

(23.36)

Para frecuencias por debajo de fc( f K fc), v  tan 1( fc /f ) se aproxima a 90º y para frecuencias por encima de fc( f k fc), v  tan 1( fc /f ) se aproximará a 0º, como se vio en secciones previas. En f  fc, v  tan 1 ( fc /f )  tan 1 1  45º. Al definir f K fc para f  fc /10 (y menor) y f k fc para f  10fc (y mayor), podemos determinar una asíntota en v = 90º para f K fc /10, una asíntota en v = 0º para f k 10 fc, y una asíntota de fc /10 a 10fc que pasa a través de v = 45º en f = fc . Estas asíntotas aparecen en la figura 23.47. Nuevamente, el diagrama de Bode para la ecuación (23.36) es una recta debido a que el cambio en el ángulo de fase será de 45º para cada cambio de diez veces en la frecuencia. Al sustituir f  fc /10 en la ecuación (23.36), fc v  tan 1  tan 1 10  84.29° fc /10





 (Vo adelanta a Vi)  = 90° Diferencia = 5.7°

90° Respuesta real

45°

45°

Diferencia = 5.7° 0° fc 100

fc 10

fc

10 fc

FIGURA. 23.47 Respuesta de fase para un filtro R-C pasa-altas.

100 fc  = 0°

f (escala logarítmica)

dB

23.10 DIAGRAMAS DE BODE

⏐⏐⏐

1049

para una diferencia de 90º 84.29º  5.7º a partir de una respuesta ideal. Al sustituir f  10 fc, 1 fc v  tan 1  tan 1  5.7° 10 10fc

 

Por tanto, en resumen, a f = fc , v = 45º, mientras que a f = fc /10 y 10fc , la diferencia entre la respuesta de fase real y la gráfica asintótica es de 5.7º.

EJEMPLO 23.10 a. Grafique AvdB en función de la frecuencia para el filtro R-C pasa-altas de la figura 23.48. b. Determine el nivel de decibeles en f  1 kHz. c. Grafique la respuesta de fase en función de la frecuencia sobre una escala logarítmica. Soluciones: 1 1 a. fc    1591.55 Hz 2pRC (2p)(1 k )(0.1 mF) La frecuencia fc se identifica sobre la escala logarítmica como se muestra en la figura 23.49. Luego se traza una recta de fc con una pendiente que intersecará 20 dB a fc /10  159.15 Hz o 6 dB a fc /2  795.77 Hz. Se traza una segunda asíntota de fc a frecuencias mayores que 0 dB. Entonces puede trazarse la curva de respuesta real a través del nivel de 3 dB con fc aproximándose a las dos asíntotas de la figura 23.49. Observe la diferencia de 1 dB entre la respuesta real y el diagrama de Bode ideal en f  2fc y 0.5fc.

dB

100 Hz 0

fc = 159.15 Hz 10 200 Hz 300 Hz

fc = 795.77 Hz 2 1 kHz

C

+ Vi

+

0.1 m F R

–

2 fc

5 kHz

FIGURA 23.48 Ejemplo 23.10.

10 kHz f (escala logarítmica)

1 dB

–3 –3 dB a f = fc

–6 1 dB –9 –12

Curva de respuesta real

–15 –18 –20 dB –21 –24

FIGURA 23.49 Respuesta en frecuencia para el filtro pasa-altas de la figura 23.48.

Observe que en la solución del inciso (a), no hubo necesidad de utilizar la ecuación (23.35) ni de realizar alguna manipulación matemática extensa.

Vo

–

fc = 1591.55 Hz 2 kHz

1 k

1050

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

b. Ecuación (23.33): 1

1

  

  

| AvdB|  20 log10  20 log10

 20 log10

fc 2 1591.55 Hz 2 1  1  f 1000 1  20 log10 0.5318  5.49 dB 1 ( 1 .5 9 2 )2

como lo comprueba la figura 23.49. c. Vea la figura 23.50. Observe que v  45º a f  fc  1591.55 Hz, y la diferencia entre el segmento de recta y la respuesta real es de 5.7º a f  fc /10  159.2 Hz y f  10fc  15,923.6 Hz.  (Vo adelanta a Vi)

Diferencia = 5.7°

90°

45°

45°

Diferencia = 5.7° f (escala logarítmica)

0° 100 Hz fc = 159.15 Hz 10

10 Hz

10 kHz

1 kHz fc = 1591.55 Hz

100 kHz 10 fc = 15,915.5 Hz

FIGURA 23.50 Gráfica de fase para el filtro R-C pasa-altas.

Filtro R-C pasa-bajas Para el filtro pasa-bajas de la figura 23.51, + Vi

+

R C

–

j XC Vo 1 Av    ––  1 R j XC Vi R

j XC

Vo

–

1 1 1  ––––––––  –––––––––––  ––––––––––– f R R 1  j 1  j — 1  j –– 1 1 XC 2pfC 2pRC

FIGURA 23.51 Filtro pasa-bajas.

y

con:

1 Av  1  j ( f /fc)

(23.37)

1 fc  2pRC

(23.38)

como se definió antes. Observe que ahora el signo del componente imaginario en el denominador es positivo y que fc aparece como denominador en razón de frecuencias en lugar de hacerlo en el numerador, como en el caso de fc para el filtro pasa-altas.

dB

23.10 DIAGRAMAS DE BODE

En términos de magnitud y fase, Vo 1 Av   Av v   tan 1( f /fc) Vi ( 1  f / fc )2

(23.39)

Un análisis similar al realizado para el filtro pasa-altas dará por resultado f AvdB  20 log10 fc

(23.40) f k fc

Observe en particular que la ecuación es exacta únicamente para frecuencias mucho mayores que fc, pero una gráfica de la ecuación (23.40) proporciona una asíntota que realiza la misma función que la asíntota derivada para el filtro pasa-altas. Además, advierta que es exactamente la misma que la ecuación (23.35) excepto por el signo menos, el cual sugiere que el diagrama de Bode resultante tendrá una pendiente negativa [recuerde la pendiente positiva de la ecuación (23.35)] para frecuencias mayores superiores a fc. En la figura 23.52 aparece una gráfica de la ecuación (23.40) para fc  1 kHz. Observe la caída de 6 dB a f  2fc y la caída de 20 dB a f  10fc. dB fc 1 kHz

1 2 fc

0.1 kHz

2 fc 10 fc 2 kHz (escala logarítmica) 10 kHz f (escala logarítmica)

–6 dB

–3 Diferencia de 1 dB

–6

Diferencia de 1 dB

–9

–20 dB Respuesta real a la frecuencia

–12 –15 –18 –21 –24

FIGURA 23.52 Diagrama de Bode para la región de alta frecuencia de un filtro R-C pasa-bajas.

En f k f c, el ángulo de fase v  tan 1( f/f c) se aproxima a 90º, mientras que en f K f c, v  tan 1( f/f c) se aproxima a 0º. En f  f c, v  tan 1 1 

45º, estableciendo la gráfica de la figura 23.53. Observe nuevamente el cambio de 45º en el ángulo de fase para cada incremento de diez veces en la frecuencia.

fc /100

fc /10 fc

0°

100 fc

10 fc

Diferencia = 5.7° –45°

45°

Diferencia = 5.7° –90°

FIGURA 23.53 Gráfica de fase para un filtro R-C pasa-bajas.

f (escala logarítmica)

⏐⏐⏐

1051

1052

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Aun cuando el análisis anterior se limitó únicamente a la combinación R-C, los resultados obtenidos tendrán impacto sobre redes más complejas. Un buen ejemplo es la respuesta en altas y bajas frecuencias de la configuración del transistor estándar. Algunos elementos capacitivos en una red práctica de transistores afectarán la respuesta de baja frecuencia, y otros afectarán la respuesta de alta frecuencia. En ausencia de los elementos capacitivos, la respuesta en frecuencia de un transistor estaría idealmente nivelada en el valor de banda media. Sin embargo, los capacitores de acoplamiento a bajas frecuencias y los capacitores de paso y parásitos en altas frecuencias definirán un ancho de banda para muchas configuraciones del transistor. En la región de baja frecuencia, capacitores y resistores específicos formarán una combinación R-C que definirá una frecuencia inferior de corte. Existen además otros elementos y capacitores que forman una segunda combinación R-C para definir una frecuencia superior de corte. Una vez que se conocen las frecuencias de corte, se establecen los puntos de 3 dB, y puede determinarse el ancho de banda del sistema.

23.11 GRÁFICA DEL DIAGRAMA DE BODE En la sección anterior vimos que las funciones normalizadas de la forma que aparece en la figura 23.54 tenían la envolvente de Bode y la respuesta en dB indicada en la misma figura. En esta sección se presentan funciones adicionales y sus respuestas, las cuales pueden utilizarse junto con las de la figura 23.54 para

dB

1

Pasa-bajas:

1 + j

fc

f fc

f

–3 dB

– 6 dB/octava (para creciente f ) (a) dB

1

Pasa-altas:

1 + j

fc

fc f

0 dB –3 dB

f

+6 dB/octava (para creciente f ) (b)

FIGURA 23.54 Respuesta en dB de (a) un filtro pasa-bajas, (b) un filtro pasa-altas.

R1

C

+

+ 1 nF

Vi

–

R2

Vo

–

FIGURA 23.55 Filtro pasa-altas con salida atenuada.

determinar, en forma sistemática, rápida y precisa, la respuesta en dB de sistemas más sofisticados. En camino hacia la presentación de una función adicional que aparece con mucha frecuencia, analizaremos el filtro pasa-altas de la figura 23.55, el cual tiene una salida de alta frecuencia menor que el voltaje completo aplicado. Antes de desarrollar una expresión matemática para Av  Vo /Vi, realicemos un bosquejo de la respuesta esperada.

dB

23.11 GRÁFICA DEL DIAGRAMA DE BODE

1053

⏐⏐⏐

En f  0 Hz, el capacitor aparecerá como su equivalente de circuito abierto, y Vo  0 V. A frecuencias muy altas, el capacitor aparece como su equivalente de corto circuito, y R2 4 k Vo  Vi  Vi  0.8Vi R1  R2 1 k  4 k La resistencia que se utilizará en la ecuación para la frecuencia de corte puede determinarse mediante el sencillo cálculo de la resistencia de Thévenin “observada” por el capacitor. Al establecer Vi  0 V y resolviendo para RTh (para el capacitor C) se obtendrá la red de la figura 23.56, donde queda claro que: RTh  R1  R2  1 k  4 k  5 k RTh

R1

R2

Vi = 0 V

FIGURA 23.56 Determinación de RTh para la ecuación de la frecuencia de corte.

Por tanto, 1 1 fc    31.83 kHz 2pRThC 2p(5 k )(1 nF) En la figura 23.57(a) se proporciona una gráfica de Vo en función de la frecuencia. Una gráfica normalizada utilizando Vi como la cantidad de normalización dará por resultado la respuesta de la figura 23.57(b). Si el valor máximo de Av se utiliza en el proceso de normalización, se obtendrá la respuesta de la figura 23.57(c). Vo

R2 R1 + R2 Vi = 0.8Vi

Av =

Vo Vi

A v =

R2 R1 + R2

0.8Vi

0.8

1

0.5656Vi

0.5656

0.707

0 fc (a)

f

0 fc

f

1

0

(b)

FIGURA 23.57 Obtención de la gráfica normalizada para la ganancia del filtro pasa-altas de la figura 23.55 con salida atenuada.

En todas las gráficas obtenidas en la sección anterior, Vi era el valor máximo, y la razón Vo /Vi tenía un valor máximo de 1. En muchas situaciones, éste no será el caso y debemos tener cuidado acerca de cuál razón se está graficando en función de la frecuencia. Las curvas de respuesta en dB para las gráficas de las figuras 23.57(b) y 23.57(c) pueden obtenerse de forma directa utilizando los principios establecidos por las conclusiones ilustradas en la figura 23.54, pero tenga cuidado acerca de qué esperar y de cómo diferirán tales curvas. En la figura 23.57(b) se compara el nivel de salida con el voltaje de entrada. En la figura

A Av = v Avmáx 0.8

fc (c)

f

1054

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

23.57(c) se grafica Av en función del valor máximo de Av. En la mayoría de las hojas de información y de las técnicas de investigación utilizadas comúnmente, se emplea la gráfica normalizada de la figura 23.57(c) debido a que establece 0 dB como una asíntota para la gráfica de dB. Para asegurar que se comprenda el impacto de utilizar las figuras 23.57(b) o 23.57(c) en la gráfica de frecuencia, el análisis del filtro de la figura 23.55 incluirá la gráfica en dB resultante para ambas curvas normalizadas. Para la red de la figura 23.55: R2Vi 1 Vo   R2 Vi R1  R2 j XC R1  R2 j XC





Al dividir las partes superior e inferior de la ecuación entre R1  R2 se obtiene:



R2 1 Vo  —— XC R1  R2 1 j R1  R2



XC 1 1 pero j  j  j R1  R2 q(R1  R2)C 2pf (R1  R2)C fc 1  j con fc  y RTh  R1  R2 f 2pRThC R2 1 Vo  Vi R1  R2 1 j( fc /f )



de manera que:



Si dividimos ambos lados entre Vi, obtenemos:





R2 V 1 Av  o  R1  R2 1 j( fc /f ) Vi

(23.41)

a partir de la cual se puede obtener la gráfica de magnitud de la figura 23.57(b). Si dividimos ambos lados entre Avmáx  R2/(R1  R2), tenemos: Av 1 A⬘v   Avmáx 1 j ( fc /f )

(23.42)

a partir de lo cual se puede obtener la gráfica de magnitud de la figura 23.57(c). Con base en la sección anterior, una gráfica en dB de la magnitud de A’v  Av/Avmáx es ahora bastante directa utilizando la figura 23.54(b). Tal gráfica aparece en la figura 23.58. Para la ganancia Av  Vo /Vi, podemos aplicar la ecuación (23.5): 20 log10 ab  20 log10 a  20 log10 b donde:





R2 1 20 log10 R1  R2 1 j( fc /f )



R2 1  20 log10  20 log10 R1  R2 1 (  fc  /f  )2 El segundo término dará por resultado la misma gráfica de la figura 23.58, pero el primer término deberá sumarse al segundo para obtener la respuesta total de dB. Dado que R2/(R1  R2) siempre debe ser menor que 1, podemos volver a escribir el primer término como: 20 log10

1 R2 R  R2  20 log10  20 log101 20 log10 1 R1  R2 R1  R2 R2 R2 0

dB

23.11 GRÁFICA DEL DIAGRAMA DE BODE

AvdB =

⏐⏐⏐

1055

Av Av

máx dB

fc = 31.83 kHz

0

f –3 dB

FIGURA 23.58 Gráfica en dB para Av para el filtro pasa-altas de la figura 23.55.

R2 R1  R2 20 log10  20 log10 R1  R2 R2

y

(23.43)

que proporciona la caída en dB a partir del nivel de 0 dB para la gráfica. Al sumar una gráfica logarítmica a la otra a cada frecuencia, como lo permite la ecuación (23.5), se obtendrá la gráfica de la figura 23.59.

20 log10

R2 R1 + R2

20 log10 dB

0 f

+

0

1 

1 +

AvdB =

f1 2 dB f

fc = 31.83 kHz f

=

Vo Vi

dB

fc = 31.83 kHz

0

f –1.94 dB

–20 log10

R1 + R2 = –1.94 dB R2

–1.94 dB –3 dB = – 4.94 dB

FIGURA 23.59 Vo Obtención de una gráfica en dB de AvdB  V



.

i dB

Para la red de la figura 23.55, la ganancia Av  Vo / Vi también puede obtenerse de la siguiente forma: R2Vi Vo  R1  R2 j XC Vo j R2/XC R2 j R2 Av     Vi R1  R2 j XC j (R1  R2)  XC j (R1  R2)/XC  1 j qR2C j 2pf R2C   1  j q(R1  R2)C 1  j 2pf (R1  R2)C

1056

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Vo j ( f/f1) Av   Vi 1  j ( f /fc )

y

1 f1  2pR2C

con:

y

(23.44)

1 fc  2p(R1  R2)C

La parte inferior de la ecuación (23.44) corresponde al denominador de la función pasa-bajas de la figura 23.54(a). Sin embargo, el numerador es una función nueva que definirá una asíntota de Bode única que será útil para diversas configuraciones de red. Al aplicar la ecuación (23.5): Vo f 1 20 log10  20 log10 Vi f1  1  ( f / fc )2





1  20 log10( f /f1)  20 log10 2 1  ( f / fc ) Consideremos ahora frecuencias específicas para el primer término. En f  f1: f 20 log10  20 log10 1  0 dB f1 En f  2f1: f 20 log10  20 log10 2  6 dB f1 En f  12 f1: f 20 log10  20 log10 0.5  6 dB f1 20 log10

f f1

+6 dB/octava 0 dB f1

f

En la figura 23.60 se proporciona una gráfica en dB de 20 log10( f / f1). Observe que la asíntota pasa a través de la línea de 0 dB en f  f1 y tiene una pendiente positiva de 6 dB/octava (o 20 dB/década) en frecuencias por encima y por debajo de f1 para valores crecientes de f. Al analizar la función original Av, encontramos que el ángulo de fase asociado con j f /f1  f /f1 90º está fijo en 90º, ocasionando un ángulo de fase para Av de 90º tan 1(f /fc)  tan 1( fc /f ). Ahora que se tiene una gráfica de la respuesta en dB para la magnitud de la función f/f1, es posible trazar la respuesta en dB de la magnitud de Av utilizando el procedimiento delineado por la figura 23.61. Al resolver para f1 y fc : 1 1 f1    39.79 kHz 2pR2C 2p(4 k )(1 nF)

FIGURA 23.60 Gráfica en dB de f /f 1.

con:

1 1 fc    31.83 kHz 2p(R1  R2)C 2p(5 k )(1 nF)

En este desarrollo las asíntotas rectas para cada término resultante de la aplicación de la ecuación (23.5) se trazarán sobre el mismo eje de frecuencia para permitir un análisis del impacto de una sección de línea sobre la otra. En aras de mayor claridad, el espectro de frecuencia de la figura 23.61 fue dividido en dos regiones. En la región 1 tenemos una asíntota de 0 dB y otra que se incrementa en 6 dB/octava ante frecuencias crecientes. La suma de las dos asíntotas, según la define la ecuación (23.5), es simplemente la asíntota de 6 dB/octava mostrada en la figura.

dB

23.12 FILTRO PASA-BAJAS CON ATENUACIÓN LIMITADA Av

⏐⏐⏐

1057

dB

1

2

fc

0

f1 1.94 dB

f (escala logarítmica)

–3 dB

Respuesta real

FIGURA 23.61 Gráfica de Av|dB para la red de la figura 23.55.

En la región 2 una asíntota se incrementa en 6 dB y la otra disminuye en 6 dB/octava ante frecuencias crecientes. El efecto neto es que una cancelará a la otra para la región superior a f  fc, dejando una asíntota horizontal que comienza en f  fc. El trazo cuidadoso de las asíntotas sobre una escala logarítmica revelará que la asíntota horizontal se encuentra en 1.94 dB, como se obtuvo antes para la misma función. El nivel horizontal también puede determinarse añadiendo simplemente f  fc en el diagrama de Bode definido por f/f1; es decir, f fc 31.83 kHz 20 log  20 log10  20 log10 f1 f1 39.79 kHz  20 log10 0.799  1.94 dB La respuesta real podrá trazarse entonces utilizando las asíntotas y las diferencias conocidas en f  fc ( 3 dB) y en f  0.5fc o 2fc( 1 dB). En consecuencia, y en resumen, se puede obtener la misma respuesta en dB para Av  Vo /Vi al aislar el valor máximo o al definir la ganancia de una forma distinta. El segundo método permitió la introducción de una nueva función para nuestro catálogo de diagramas de Bode ideales que demostrará ser útil en el futuro.

23.12 FILTRO PASA-BAJAS CON ATENUACIÓN LIMITADA El análisis que nos ocupa continuará ahora con el filtro pasa-bajas de la figura 23.62, el cual posee atenuación limitada en el extremo de alta frecuencia. Es decir, la salida no caerá a cero a medida que la frecuencia se vuelva relativamente alta. El filtro es similar en construcción al de la figura 23.55, pero observe que ahora Vo incluye un elemento capacitivo. En f  0 Hz, el capacitor puede tomar su equivalencia de circuito abierto, y Vo  Vi. En altas frecuencias el capacitor puede aproximarse mediante una equivalencia de corto circuito, y

R1

+ Vi

–

+ R2 C

Vo

–

FIGURA 23.62 Filtro pasa-bajas con atenuación limitada.

1058

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

R2 Vo  Vi R1  R2 En la figura 23.63(a) se proporciona una gráfica de Vo en función de la frecuencia. Una gráfica de Av  Vo /Vi aparecerá como la mostrada en la figura 23.63(b). Av =

Vo Vi

Vo Vi

1 0.707

0.707Vi

R2 R1 + R2

R2

R1 + R2 Vi

f (escala logarítmica)

fc

f (escala logarítmica)

fc

(a)

(b)

FIGURA 23.63 Filtro pasa-bajas con atenuación limitada.

Es posible derivar una ecuación para Vo en términos de Vi al aplicar primero la regla del divisor de voltaje: (R2 j XC)Vi Vo  R1  R2 j XC y

Vo R2/XC j R2 j XC Av    Vi R1  R2 j XC (R1  R2)/XC j ( j )(R2XC j )  ( j )((R1  R2)/XC j ) j(R2/XC)  1 1  j 2pfR2C   j((R1  R2)/XC)  1 1  j 2pf (R1  R2)C

de manera que:

Vo 1  j ( f /f1) Av   Vi 1  j ( f /fc)

(23.45)

1 1 f1  y fc  2pR2C 2p(R1  R2)C El denominador de la ecuación (23.45) es simplemente el denominador de la función pasa-bajas de la figura 23.54(a). El numerador, sin embargo, es nuevo y deberá analizarse. Al aplicar la ecuación (23.5): con:

Vo 1 AvdB  20 log10  20 log10 1  (  f / f1 )2  20 log10 Vi 1 ( f / fc )2 2 Para f k f1, ( f /f1) k 1, y el primer término se convierte en: 20 log10 ( f / f1 )2  20 log10(( f /f1)2)1/2  20 log10( f /f1)⎪ f kf1 ⎪ lo cual define la asíntota de Bode ideal para el numerador de la ecuación (23.45). En f  f 1 , 20 log 10 1  0 dB, y en f  2f 1 , 20 log 10 2  6 dB. Para frecuencias mucho menores que f1, (f/f1)2 K 1, y el primer término de la expansión en la forma de la ecuación (23.5) deriva en 20 log10 1   20 log10 1  0 dB, lo cual establecerá la asíntota de baja frecuencia.

dB

23.12 FILTRO PASA-BAJAS CON ATENUACIÓN LIMITADA

⏐⏐⏐

1059

La respuesta de Bode ideal completa para el numerador de la ecuación (23.45) se proporciona en la figura 23.64.



20 log10 1 +

f f1

2

Respuesta real +6 dB/octava

3 dB

0 dB

f1

f

FIGURA 23.64 Respuestas ideal y real para la magnitud de (1  j(f/f 1)).

Ahora nos encontramos en una posición que permite determinar Av|dB al graficar la asíntota para cada función de la ecuación (23.45) sobre el mismo eje de frecuencia, como se muestra en la figura 23.65. Observe que fc deberá ser menor que f1 dado que el denominador de f1 incluye sólo a R2, mientras que el denominador de fc incluye tanto a R2 como a R1. Av =

Vo Vi

dB

1

3

2

0 dB

fc

f1 f (escala logarítmica) R1 + R2 –20 log10 R2

Respuesta real

FIGURA 23.65 AvdB en función de la frecuencia para el filtro pasa-bajas con atenuación limitada de la figura 23.62.

Dado que R2/(R1  R2) siempre será menor que 1, podemos utilizar un desarrollo anterior y obtener una ecuación para la caída en dB por debajo del eje de 0 dB en altas frecuencias. Es decir, 20 log10 R2/(R1  R2)  20 log10 1/((R1  R2)/R2)  20 log10 1 20 log10((R1  R2)/R2) 0

1060

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

y

R2 R1  R2 20 log10  20 log10 R1  R2 R2

(23.46)

como se muestra en la figura 23.65. En la región 1 de la figura 23.65, ambas asíntotas se encuentran a 0 dB, ocasionando una asíntota de Bode neta en 0 dB para la región. En f  fc, una asíntota mantiene su nivel de 0 dB, mientras que la otra desciende a 6 dB/octava. La suma de las dos será la caída de 6 dB por octava mostrada para la región. En la región 3 la asíntota de 6 dB/octava está balanceada por la asíntota de 6 dB/octava, estableciendo una asíntota en el nivel de dB negativo alcanzado por la asíntota de fc en f  f1. El nivel de dB de la asíntota horizontal en la región 3 podrá determinarse utilizando la ecuación (23.46), o por la simple sustitución de f  f1 en la expresión asintótica definida por fc. La envolvente ideal de Bode completa está ahora definida, permitiendo trazar la respuesta real con sólo desplazar 3 dB en la dirección correcta en cada frecuencia de corte, como se muestra en la figura 23.65. El ángulo de fase asociado con Av podrá determinarse de forma directa a partir de la ecuación (23.45). Es decir, v  tan 1 f /f1 tan 1 f /fc

(23.47)

Se puede obtener una gráfica completa de v en función de la frecuencia al sustituir varias frecuencias clave en la ecuación (23.47) y graficando el resultado sobre una escala logarítmica. El primer término de la ecuación (23.47) define el ángulo de fase establecido por el numerador de la ecuación (23.45). En la figura 23.66 se proporciona la gráfica asintótica establecida por el numerador. Observe el ángulo de fase de 45º cuando f  f1, y la asíntota recta entre f1/10 y 10f1. v 1 + j

f f1

90°

Ángulo de fase real 45°

0° v = 0°

f1 10

f1

10f1

f

FIGURA 23.66 Ángulo de fase para (1  j(f/f 1)).

Ahora que tenemos una gráfica asintótica para el ángulo de fase del numerador, podemos graficar la respuesta de fase completa trazando las asíntotas para ambas funciones de la ecuación (23.45) sobre la misma gráfica, como se muestra en la figura 23.67. Las asíntotas de la figura 23.67 indican claramente que el ángulo de fase será de 0º en el intervalo de baja frecuencia y de 0º (90º 90º  0º) en el intervalo de alta frecuencia. En la región 2 la gráfica de fase cae por debajo de 0º debido al impacto de la asíntota de fc. En la región 4 el ángulo de fase se incrementa dado que la asíntota debida a fc permanece fija en 90º, mientras que la debida a f1 se incrementa. En el intervalo medio, la gráfica debida a

dB

23.13 FILTRO PASA-ALTAS CON ATENUACIÓN LIMITADA

⏐⏐⏐

1061

90°

45°

0°

1

2 fc /10

3

4

f1 /10

5 10 f1

10 fc fc

f

f1

–45°

–90°

FIGURA 23.67 Ángulo de fase para el filtro pasa-bajas de la figura 23.62.

f1 balancea la caída negativa continua ocasionada por la asíntota de fc, dando por resultado la respuesta niveladora indicada. A causa de las pendientes iguales y opuestas de las asíntotas en la región media, los ángulos de f1 y fc serán iguales, pero observe que son menores a 45º. El ángulo negativo máximo se presentará entre f1 y fc. Los puntos restantes de la curva de la figura 23.67 pueden determinarse al sustituir frecuencias específicas en la ecuación (23.45). Sin embargo, también es útil saber que los cambios más pronunciados (los más rápidos) en el ángulo de fase se presentan cuando la gráfica en dB de la magnitud también atraviesa por sus mayores cambios (tal como en f1 y fc).

23.13 FILTRO PASA-ALTAS CON ATENUACIÓN LIMITADA El filtro de la figura 23.68 está diseñado para limitar la atenuación de baja frecuencia en forma similar a la descrita para el filtro pasa-bajas de la sección anterior. En f  0 Hz el capacitor puede tomar su equivalente de circuito abierto, y Vo  [R2/(R1  R2)]Vi. En altas frecuencias el capacitor puede aproximarse mediante un equivalente de corto circuito, y Vo  Vi. La resistencia que se utilizará al determinar fc puede obtenerse con la resistencia de Thévenin para el capacitor C, como se muestra en la figura 23.69. Una revisión cuidadosa de la configuración resultante mostrará que RTh  R1 㛳 R2 y fc  1/2p(R1 㛳 R2)C. En la figura 23.70(a) se proporciona una gráfica de Vo en función de la frecuencia, y en la figura 23.70(b) aparece una gráfica de Av  Vo /Vi. Es posible deducir una ecuación para Av  Vo /Vi al aplicar primero la regla del divisor de voltaje: R2Vi Vo  R2  R1  j XC y

R2 R2 Vo Av    –––– R1 ( j XC) R2  R1  j XC Vi R2  R1 j XC R2(R1 j XC) R1R2 j R2 XC   R2(R1 j XC) j R1XC R1R2 j R2XC j R1XC

R1

+

C

+

Vi

R2

Vo

–

–

FIGURA 23.68 Filtro pasa-altas con atenuación limitada.

R1

Vi = 0 V

RTh

R2

FIGURA 23.69 Determinación de R para el cálculo de fc para el filtro de la figura 23.68.

1062

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Vo

Vo Vi

Av =

Vi

1

0.707Vi

0.707

0

0 R2 R1 + R2 Vi

f

fc

R2 R1 + R2

(a)

fc

f

(b)

FIGURA 23.70 Filtro pasa-altas con atenuación limitada.

R2XC 1 j R 1R2 j R2 XC R1R2   —— R1 R2 j (R1  R2)XC (R1  R2) 1 j XC R1R2 XC XC 1 1 j 1 j 1 j R1 R1 2pf R1C  ——  ——  ——— OIXCOI XC 1 1 j —— 1 j 1 j R1 㛳 R2 R1R2 2pf (R1 㛳 R2)C R1  R2

de manera que: con:

Vo 1 j ( f1/ f ) Av   Vi 1 j ( fc /f ) 1 f1  2pR1C

y

(23.48)

1 fc  2p(R1 㛳 R2)C

El denominador de la ecuación (23.48) es simplemente el denominador de la función pasa-altas de la figura 23.54(b). Sin embargo, el numerador es nuevo y debe analizarse. Al aplicar la ecuación (23.5): 1 V AvdB  20 log10 o  20 log10 1  (  f1/f  )2  20 log10 Vi   1 ( f f )2 c / Para f K f1, ( f1/f )2 k 1, y el primer término se convierte en: )2  20 log10( f1/f ) ⎪ f K f1 20 log10 (f1/f ⎪ lo cual define la asíntota ideal de Bode para el numerador de la ecuación (23.48). En f  f1, En f  0.5f1,

20 log10 1  0 dB 20 log10 2  6 dB

En f  0.1f1, 20 log10 10  20 dB Para frecuencias mayores que f1, f1/f K 1 y 20 log10 1  0 dB, lo que establece la asíntota de alta frecuencia. En la figura 23.71 aparece el diagrama de Bode ideal completo para el numerador de la ecuación (23.48).

dB

23.13 FILTRO PASA-ALTAS CON ATENUACIÓN LIMITADA

3

20 log10 1 +

f1 f

2

Respuesta real

– 6 dB/octava 0

0 dB

f1

f (escala logarítmica)

3 dB

FIGURA 23.71 Respuestas de Bode ideal y real para la magnitud de (1 – j(f1/f)).

Ahora nos encontramos en una posición que permite determinar AvdB al graficar las asíntotas para cada función de la ecuación (23.48) sobre el mismo eje de frecuencia, como se muestra en la figura 23.72. Observe que fc debe ser mayor que f1 dado que R1||R2 debe ser menor que R1. Al determinar la respuesta de Bode linealizada, analizaremos primero la región 2, donde una función está en 0 dB y la otra desciende a 6 dB/octava para frecuencias que disminuyen. El resultado es una asíntota descendente desde fc hasta f1. En la intersección de la resultante de la región 2 con f1, ingresamos a la región 1, donde las asíntotas tienen pendientes opuestas y cancelan el efecto entre sí. El nivel resultante en f1 está determinado por 20 log10(R1  R2)/R2, como se obtuvo en secciones anteriores. La caída también puede determinarse al sustituir f  f1 en la ecuación asintótica definida para fc. En la región 3 ambas AvdB

1

2 f1

0

3 fc f (escala logarítmica)

–20 log10

R1 + R2 R2 Respuesta real

FIGURA 23.72 AvdB en función de la frecuencia para el filtro pasa-altas con atenuación limitada de la figura 23.68.

⏐⏐⏐

1063

1064

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

se encuentran en 0 dB, dando por resultado una asíntota de 0 dB para la región. Las respuestas real y asintótica resultantes aparecen en la figura 23.72. El ángulo de fase asociado con Av puede determinarse en forma directa a partir de la ecuación (23.48); es decir, f1 fc v  tan 1  tan 1 f f

(23.49)

Es posible obtener una gráfica completa de v en función de la frecuencia al sustituir distintas frecuencias clave en la ecuación (23.49) y graficar el resultado sobre una escala logarítmica. El primer término de la ecuación (23.49) define el ángulo de fase establecido por el numerador de la ecuación (23.48). En la figura 23.73 se proporciona la gráfica asintótica resultante del numerador. Observe el ángulo de fase con adelanto de 45º cuando f  f1, y la asíntota recta desde f1/10 hasta 10f1.

f1 f

f1/10

0°

f1

10f1

v = 0° f (escala logarítmica)

Respuesta real

–45°

–90° v = –90°

FIGURA 23.73 Ángulo de fase para (1 – j(f1/f)).

Ahora que tenemos una gráfica asintótica para el ángulo de fase del numerador, podemos graficar la respuesta de fase completa al trazar las asíntotas para ambas funciones de la ecuación (23.48) sobre la misma gráfica, como se muestra en la figura 23.74. Las asíntotas de la figura 23.74 indican claramente que el ángulo de fase será de 90º en el intervalo de baja frecuencia y de 0º (90º 90º  0º) en el intervalo de alta frecuencia. En la región 2 el ángulo de fase se incrementa por encima de 0º debido a que un ángulo está fijo en 90º y el otro se vuelve menos negativo. En la región 4 un ángulo se encuentra a 0º y el otro disminuye, ocasionando un ángulo v que disminuye para esta región. En la región 3 el ángulo positivo es siempre mayor que el negativo, dando por resultado un ángulo positivo para toda la región. Dado que las pendientes de las asíntotas en la región 3 son iguales pero opuestas, los ángulos en fc y f1 son iguales. La figura 23.74 revela que el ángulo en fc y f1 será menor de 45º. El ángulo máximo ocurrirá entre fc y f1, como se muestra en la figura. Observe nuevamente que el mayor cambio en v se presenta en las frecuencias de corte, que coinciden con las regiones de mayor cambio en la gráfica de dB.

dB

23.13 FILTRO PASA-ALTAS CON ATENUACIÓN LIMITADA

⏐⏐⏐

1065

v (Av)

90°

4

1

2

0°

3

f1/10

fc /10

f1

4 fc

5

10f1

10fc

f (escala logarítmica)

–45°

–90°

FIGURA 23.74 Respuesta de fase para el filtro pasa-altas de la figura 23.68.

EJEMPLO 23.11 Para el filtro de la figura 23.75: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando una escala logarítmica. b. Trace la curva de v en función de la frecuencia utilizando una escala logarítmica.

+

9.1 k C

Soluciones: a. Para las frecuencias de corte:

Vi

0.47  mF

1 1 f1    37.2 Hz 2pR1C 2p(9.1 k )(0.47 mF) 1 1 fc  ––––   376.25 Hz R1R2 2p(0.9 k )(0.47 mF) 2p C R1  R2





La máxima atenuación en el nivel bajo es: R1  R2 9.1 k  1 k

20 log10  20 log10 R2 1 k  20 log10 10.1  20.09 dB La gráfica resultante aparece en la figura 23.76. b. Para las frecuencias de corte: En f  f1  37.2 Hz, fc f1 v  tan 1  tan 1 f f 376.25 Hz  tan 1 1  tan 1 37.2 Hz  45°  84.35°  39.35° En f  fc  376.26 Hz, 37.2 Hz v  tan 1  tan 1 1 376.26 Hz

R1

+ R2

–

1 k

Vo

–

FIGURA 23.75 Ejemplo 23.11.

1066

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE Av

dB

+20 dB

0 –3 dB

10 Hz

37.2 Hz

100 Hz

fc 376.25 Hz

f1

1000 Hz

0 dB f (escala logarítmica)

–3 dB

–17 dB –20 dB

FIGURA 23.76 AvdB en función de la frecuencia para el filtro de la figura 23.75.

 5.65°  45°  39.35° A una frecuencia media entre fc y f1 sobre una escala logarítmica, por ejemplo, 120 Hz: 37.2 Hz 376.26 Hz v  tan 1  tan 1 120 Hz 120 Hz  17.22°  72.31°  55.09° La gráfica de fase resultante aparece en la figura 23.77. v 90° 55.09° 39.35°

45° 0°

37.2 Hz 10 Hz

f1

39.35° 120 Hz 100 Hz

376.25 Hz fc

1000 Hz

f (escala logarítmica)

FIGURA 23.77 v (ángulo de fase asociado con Av) en función de la frecuencia para el filtro de la figura 23.75.

23.14 OTRAS PROPIEDADES Y UNA TABLA DE RESUMEN Los diagramas de Bode no están limitados a los filtros, también pueden aplicarse a cualquier sistema para el cual se desee trazar una gráfica en dB en función de la frecuencia. Aunque las secciones previas no cubrieron todas las funciones que se prestan para las asíntotas lineales ideales, se presentaron muchas de las que se encuentran más a menudo. Ahora analizaremos algunas de las situaciones especiales que pueden desarrollarse y que demostrarán la adaptabilidad y utilidad del método lineal de Bode para el análisis de frecuencia.

dB

23.14 OTRAS PROPIEDADES Y UNA TABLA DE RESUMEN

En todas las situaciones ya descritas en este capítulo, había sólo un término en el numerador o en el denominador. Para los casos en que exista más de un término, se presentará una interacción entre las funciones que debe ser analizada y comprendida. En muchos casos el uso de la ecuación (23.5) probará ser útil. Por ejemplo, si Av tuviera el formato: (a)(b)(c) 200(1 j f2 /f )( j f/f1) Av   (1 j f1/f )(1  j f/f2) (d )(e)

(23.50)

podemos expandir la función de la siguiente forma: (a)(b)(c) AvdB  20 log10 (d )(e)  20 log10 a  20 log10 b 20 log10 c 20 log10 d 20 log10 e revelando que el nivel en dB resultante o neto es igual a la suma algebraica de las contribuciones de todos los términos de la función original. Por tanto, podremos sumar algebraicamente los diagramas de Bode linealizados de todos los términos en cada intervalo de frecuencias y determinar el diagrama de Bode ideal para la función completa. Si resulta que dos términos tienen los mismos formato y frecuencia de corte, como en la función: 1 Av  (1 j f1/f )(1 j f1/f ) la función se puede volver a escribir como: 1 Av  2 (1 j f1/f ) de manera que:

1 AvdB  20 log10 (1 (  f1 /f  )2)2  20 log10(1  ( f1/f )2)

Para f K f1, ( f1/f )2 k 1, y AvdB  20 log10( f1/f )2  40 log10 f1/f contra el 20 log10 (f1/f) obtenido para un solo término en el denominador. La asíntota en dB resultante caerá, por tanto, a un ritmo de 12 dB/octava ( 40 dB/ década) para frecuencias decrecientes en lugar de hacerlo a 6 dB/década. La frecuencia de corte será la misma, y la asíntota de alta frecuencia permanece en 0 dB. El diagrama de Bode ideal para la función anterior se proporciona en la figura 23.78. Observe la pendiente más pronunciada de la asíntota y el hecho de que la curva real pasará ahora a 6 dB por debajo de la frecuencia de corte en lugar de hacerlo en 3 dB, como sucedió para el término sencillo. Tenga presente que si las frecuencias de corte de los dos términos en el numerador o el denominador se encuentran cercanas pero no son exactamente iguales, la caída total en dB será la suma algebraica de los términos que contribuyen a la expansión. Por ejemplo, considere el diagrama de Bode linealizado de la figura 23.79 con frecuencias de corte f1 y f2. En la región 3 ambas asíntotas están en 0 dB, dando por resultado una asíntota en 0 dB para frecuencias mayores que f2. Para la región 2, una asíntota se encuentra en 0 dB, mientras que la otra cae a 6 dB/octava para frecuencias decrecientes. El resultado neto para esta región es una asíntota que desciende a

6 dB, como se muestra en la misma figura. En f1, encontramos dos asíntotas descendiendo a 6 dB para frecuencias decrecientes. El resultado es una asíntota que desciende a 12 dB/octava para esta región.

⏐⏐⏐

1067

1068

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE AvdB

1f 2 1

f1

0 dB

0 –6 dB –6 dB/octava Respuesta real

–6 dB

–12 dB/octava –12 dB –2 dB

FIGURA 23.78 1 Trazado del diagrama de Bode linealizado de 2 . (1 j (f1 /f)) AvdB

f1

f2

0

0 dB f 1 –3 dB para f1 ) 4 f2 (2 octavas por debajo)

–6 dB/octava 1 –3 dB para f1 ) 4 f2 (2 octavas por debajo)

–12 dB/octava Respuesta real

FIGURA 23.79 1 Gráfica de AvdB para con f1 < f2. (1 j (f1/f))(1 j (f2/f))

Si f1 y f2 están separadas al menos por dos octavas, el efecto de una sobre la graficación de la respuesta real de la otra podrá ser ignorado. En otras palabras, para este ejemplo, si f1 < 14 f2, entonces la respuesta real descenderá 3 dB en f  f2 y f1. La argumentación anterior puede ampliarse para cualquier número de términos a la misma frecuencia o en la misma región. Para tres términos iguales en el denominador, la asíntota caerá a 18 dB/octava, y así sucesivamente. Con el tiempo, de alguna forma, el procedimiento se hará evidente y relativamente directo de aplicar. En muchos casos, la parte más difícil de obtener una solución es poner la función original en la forma deseada.

dB

23.14 OTRAS PROPIEDADES Y UNA TABLA DE RESUMEN

⏐⏐⏐

EJEMPLO 23.12 Un amplificador con un transistor tiene la siguiente ganancia: 100 Av  50 Hz 200 Hz f f 1 j 1 j 1  j 1  j f f 10 kHz 20 kHz











a. Trace la respuesta normalizada A′v  Av /Avmáx , y determine el ancho de la banda del amplificador. b. Grafique la respuesta de fase, y determine una frecuencia donde el ángulo de fase esté cercano a 0º. Soluciones: Av Av a. A′v   100 Avmáx 1  f f 50 Hz 200 Hz 1 j 1 j 1  j 1  j 10 kHz 20 kHz f f 1 1 1 1 1   a b c d (a)(b)(c)(d)



      





y A′vdB  20 log10 a 20 log10 b 20 log10 c 20 log10 d respaldando claramente el hecho de que el número total de decibeles es igual a la suma algebraica de los términos que contribuyen. Una verificación cuidadosa de la función original revelará que los primeros dos términos en el denominador son funciones de filtro pasa-altas, mientras que los últimos dos son funciones de filtro pasa-bajas. La figura 23.80 demuestra la forma en que la combinación de los dos tipos de función definen un ancho de banda para el amplificador. Las funciones de filtro de alta frecuencia definen la frecuencia inferior de corte, y las funciones de filtro de baja frecuencia definen la frecuencia superior de corte.

Av =

Vo Vi

Av =

Avmáx

+

0.707Avmáx Pasa-altas

Vo Vi

Av = Avmáx

Avmáx

0.707Av

0.707Avmáx

máx

AB

Pasa-bajas 0

0 f1

f

Vo Vi

0 f2

f

f2

f1 AB = f2 – f1

FIGURA 23.80 Obtención de la ganancia general en función de la frecuencia para el ejemplo 23.12.

Al trazar todos los diagramas de Bode ideales sobre el mismo eje se obtendrá la gráfica de la figura 23.81. Para frecuencias menores a 50 Hz, observe que la asíntota resultante cae a 12 dB/octava. Además, dado que 50 y 200 Hz están separados por dos octavas, la respuesta real descenderá sólo por 3 dB a las frecuencias de corte de 50 y 200 Hz. Para la región de alta frecuencia, las frecuencias de corte no están separadas por dos octavas, y la diferencia entre la gráfica ideal y la respuesta de Bode real deberá analizarse con más cuidado. Dado que 10 kHz están a una

f

1069

1070

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE A′vdB 2 0

10 Hz

3

4 5 6 7 89 1 2 3 4 5 6 7 8 91 100 Hz 200 Hz 50 Hz 1 kHz

3

4 5 6 7 89 1 2 3 4 5 6 7 89 1 100 10 kHz 20 kHz kHz

AB

–3 dB –6 dB –12 dB

–20 dB

FIGURA 23.81 A′vdB en función de la frecuencia para el ejemplo 23.12.

octava por debajo de 20 kHz, podemos utilizar el hecho de que la diferencia entre la respuesta idealizada y la respuesta real para una sola frecuencia de corte es 1 dB. Si añadimos una caída adicional de 1 dB, debido a la frecuencia de corte de 20 kHz, a la caída de 3 dB a f  10 kHz, podremos concluir que la caída a 10 kHz será de 4 dB, como se muestra sobre la gráfica. Para verificar la conclusión, escribimos la expresión completa para el nivel de dB a 10 kHz y obtenemos el nivel real para propósitos de comparación. A′vdB  20 log10

20 log10

   20 log 1   10 k H z  50 Hz 1  10 kHz

2

   10 kHz 1  10 kHz

200 Hz

2

10

2

20 log10

   10 kHz 1  20 kHz

2

 0.00011 dB 0.0017 dB 3.01 dB 0.969 dB  3.98 dB  4 dB

como antes

Un análisis de los cálculos anteriores demuestra claramente que los últimos dos términos predominan en la región de alta frecuencia y básicamente eliminan la necesidad de considerar los primeros dos términos en esa región. Para la región de baja frecuencia, un análisis de los primeros dos términos será suficiente. Procediendo en forma similar, encontramos una diferencia de 4 dB a f  20 kHz, dando por resultado la respuesta real que aparece en la figura 23.81. Dado que el ancho de banda está definido en el nivel de 3 dB, deberá tomarse un estimado acerca del lugar donde la respuesta real cruza el nivel de 3 dB en la región de alta frecuencia. Un bosquejo sugiere que se encuentra cerca de 8.5 kHz. Al añadir esta frecuencia a los términos de alta frecuencia se obtiene: A′vdB  20 log10

   8.5 kHz 1 10 kHz

2

20 log10

 2.148 dB 0.645 dB  2.8 dB

   8.5 kHz 1 20 kHz

2

dB

23.14 OTRAS PROPIEDADES Y UNA TABLA DE RESUMEN

⏐⏐⏐

lo cual se encuentra relativamente cerca del nivel de 3 dB, y AB  falta fbaja  8.5 kHz 200 Hz  8.3 kHz En el intervalo medio del ancho de banda, A′vdB se aproximará a 0 dB. En f  1 kHz: A′vdB  20 log10

20 log10

   50 Hz 1 1 kHz

2

20 log10

   1 kHz 1 10 kHz

2

  

20 log10

200 Hz 1 1 kHz

2

   1 kHz 1 20 kHz

2

 0.0108 dB 0.1703 dB 0.0432 dB 0.0108 dB 1  0.2351 dB   —— dB 5

lo cual ciertamente es cercano al nivel de 0 dB, como se muestra sobre la gráfica. b. La respuesta de fase puede determinarse al sustituir varias frecuencias clave en la siguiente ecuación, derivada directamente de la función original Av: 200 Hz 50 Hz f f v  tan 1  tan 1 tan 1 tan 1 f f 10 kHz 20 kHz Sin embargo, se utilizan todas las asíntotas definidas por cada término de Av y se grafica la respuesta al obtener el ángulo de fase resultante en puntos críticos sobre el eje de la frecuencia. En la figura 23.82 se proporcionan las asíntotas resultantes y la gráfica de fase. Observe que cuando f  50 Hz, la suma de los dos ángulos determinados por las asíntotas rectas es 45º  75º  120º (real  121º). Cuando f  1 kHz, si restamos 5.7º de una frecuencia de corte, obtenemos un ángulo neto de 14º 5.7º  8.3º (real  5.6º).

1 180° 10 Hz

2

3

4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 891 50 Hz 100 Hz 200 Hz 1 kHz

2

3

4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 891 100 10 kHz 20 kHz kHz

90°

0°

–90°

–180°

FIGURA 23.82 Respuesta de fase para el ejemplo 23.12.

En 10 kHz las asíntotas nos dejan con v  45º 32º  77º (real 

71.56º). La gráfica de fase neta aparece cercana a 0º a 1300 Hz aproximadamente. Como una verificación de nuestros supuestos y del uso del método asintótico, se agrega f  1300 Hz a la ecuación de v:

1071

1072

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

50 Hz 200 Hz 1300 Hz 1300 Hz v  tan 1  tan 1 tan 1 tan 1 1300 Hz 1300 Hz 10 kHz 20 kHz  2.2°  8.75° 7.41° 3.72°  0.18°  0° como se anticipó En resumen, la gráfica de fase parece desplazarse desde un ángulo positivo de 180º (Vo adelantando a Vi) hasta un ángulo negativo de 180º a medida que el espectro de frecuencia se extiende desde frecuencias muy bajas hasta altas frecuencias. En la región media la gráfica de fase es cercana a 0º (Vo en fase con Vi), lo cual es muy similar a la respuesta de un amplificador con un transistor en base común. En un esfuerzo por consolidar parte del material presentado en este capítulo y proporcionar una referencia para futuras investigaciones, se desarrolló la tabla 23.2; incluye las gráficas de fase y dB linealizadas para las funciones que aparecen en la primera columna. No se trata de incluir todas las funciones encontradas, sino de proporcionar una base sobre la cual se puedan añadir más funciones. Una revisión del desarrollo de los filtros en las secciones 23.12 y 23.13 probablemente evidencie que el establecer la función Av en la forma adecuada es la parte más difícil del análisis. Sin embargo, con práctica y cuidado del formato deseado, surgirán métodos que reducirán en forma importante el esfuerzo requerido.

23.15 REDES PARA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS El tema de las redes distribuidoras de frecuencias se incorpora principalmente para presentar una excelente demostración de la operación de filtrado sin un nivel alto de complejidad. Las redes distribuidoras de frecuencias se utilizan en los sistemas de audio para asegurar que las frecuencias adecuadas se canalizan a la bocina correcta. Aunque los sistemas de audio económicos dependen de una sola bocina para cubrir el intervalo completo de audio desde cerca de 20 Hz hasta 20 kHz, los sistemas más completos utilizan al menos tres bocinas para cubrir el intervalo bajo (20 Hz hasta cerca de 500 Hz), el intervalo medio (500 Hz hasta unos 5 kHz) y el intervalo alto (5 kHz y superior). El término distribuidor se deriva del hecho de que el sistema está diseñado para realizar una distribución de espectros de frecuencia para bocinas adyacentes al nivel de 3 dB, como se muestra en la figura 23.83. Dependiendo del diseño, cada filtro puede cortar a 6, 12 o 18 dB, con una mayor complejidad en proporción al nivel de corte en dB deseado. La red distribuidora de frecuencias de tres vías de la figura 23.83 es de diseño muy simple, con un filtro R-L pasa-bajas para el woofer, un filtro R-L-C pasa-banda para el intervalo medio, y un filtro R-C pasa-altas para el tweeter. Las ecuaciones básicas para los componentes se proporcionan a continuación. Observe las similitudes entre las ecuaciones, siendo la frecuencia de corte la única diferencia en cada tipo de elemento: R L baja  2pf1 1 Cmedia  2pf1R

R L media  2pf2 1 Calta  2pf2R

(23.51)

(23.52)

dB

23.15 REDES PARA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

⏐⏐⏐

TABLA 23.2 Diagramas de Bode ideales para distintas funciones.

Gráfica en

Función

Gráfica de fase

AvdB

v (Vo adelanta a Vi)

Av  1 j f 1 f

–6 dB/octava

90° 45° 0°

0 dB

0 f1

f1

10f1

Av

–45° –90°

v (Vo adelanta a Vi)

dB

+90°

90° +6 dB/octava

45° 0°

0 dB

0

0° f

–45° –90°

f Av  1  j f 1

f1/10

f

f1

+45° 0° f1 10

f

f1

10f1

f

10f1

f

–90°

AvdB

f Av  j f 1

v (Vo adelanta a Vi) 90° +6 dB/octava

45° 0°

0 f1

Av 

1

f1 10

f

AvdB

fc 1 j f

90° fc

0

+90°

f1

v (Vo adelanta a Vi) +90° +45°

45° 0°

0 dB

0° f1 10

f

f1

10f1

f2

10f2

f

–6 dB/octava

Av 

AvdB

1

v (Vo adelanta a Vi)

f 1j fc

90° 0

0 dB

45° 0°

fc f

–45° –6 dB/octava

–90°

0°

f2/10

f

–45° –90°

1073

1074

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

0 dB

400 Hz –3 dB

+

Lbaja = 3.3 mH

8

Vi

– 0 dB –3 dB

5 kHz

400 Hz

–3 dB

Cmedia = 47 F Lmedia = 270  H 8

0 dB

5 kHz –3 dB

Calta = 3.9  F

8

FIGURA 23.83 Red de distribución de frecuencias de tres vías y 6 dB por octava.

Para la red de distribución de frecuencias de la figura 23.83 con tres bocinas de 8 , los valores resultantes son: 8 R Lbaja    3.183 mH 2p(400 Hz) 2pf1

3.3 mH (valor comercial)

8 R Lmedia    254.65 mH 2p(5 kHz) 2pf2

270 mH (valor comercial)

1 1 Cmedia    49.736 mF 2pf1R 2p(400 Hz)(8 ) 1 1 Calta    3.979 mF 2pf2R 2p(5 kHz)(8 )

47 mF (valor comercial) 3.9 mF (valor comercial)

como aparecen en la figura 23.83. Para cada filtro, se incluye un bosquejo de la respuesta en frecuencia para mostrar la distribución de frecuencias específicas de interés. Ya que las tres bocinas se encuentran en paralelo, la fuente de voltaje y la impedancia para cada una serán iguales. La carga total sobre la fuente es, por supuesto, una función de la frecuencia aplicada, pero la entrega total está determinada solo por las bocinas dado que básicamente son de naturaleza resistiva. Para verificar el sistema, se aplica una señal de 4 V a una frecuencia de 1 kHz (una frecuencia predominante para la curva de respuesta de audición humana típica) y se observa la bocina que tenga el mayor nivel de potencia. En f  1 kHz, XL baja  2pfL baja  2p(1 kHz)(3.3 mH)  20.74 (ZR 0°)(Vi 0°) (8 0°)(4 V0°) Vo   ZT 8  j 20.74  1.44 V 68.90°

dB

23.16 APLICACIONES

⏐⏐⏐

XLmedia  2pfLmedia  2p(1 kHz)(270 mH)  1.696 1 1 XCmedia    3.386 2pfCmedia 2p(1 kHz)(47 mF) (ZR 0°)(Vi 0°) (8 0°)(4 V 0°) Vo   ZT 8  j 1.696 j 3.386  3.94 V 11.93° 1 1 XCalta    40.81 2pfCalta 2p(1 kHz)(3.9 mF) (ZR 0°)(Vi 0°) (8 0°)(4 V 0°) Vo   ZT 8 j 40.81  0.77 V 78.91° Utilizando la ecuación básica de potencia P  V2/R, la potencia en el woofer es:

(3.94 V)2 V2 Pmedia    1.94 W 8 R

Aten uado r coa xial d e 50 ohms

1 dB

3 dB

10 dB

SALIDA

en la bocina de intervalo medio,

ENTRADA

(1.44 V)2 V2 Pbaja    0.259 W 8 R

y en el tweeter, V2 (0.77 V)2 Palta    0.074 W R 8 dando por resultado una proporción de potencia de 7.5:1 entre el intervalo medio y el woofer, y de 26:1 entre el intervalo medio y el tweeter. Obviamente la respuesta de la bocina de intervalo medio eclipsará completamente las otras dos respuestas.

2 dB

5 dB

20 dB

FIGURA 23.84 Atenuador coaxial pasivo.

R1

R1

23.16 APLICACIONES R2

Atenuadores Los atenuadores, por definición, son cualquier dispositivo o sistema que pueda reducir la potencia o el nivel de voltaje de una señal introduciendo poca o nula distorsión. Existen dos tipos generales de atenuadores: activos y pasivos. El tipo pasivo utiliza solamente resistores, mientras que el activo emplea dispositivos electrónicos como transistores y circuitos integrados. Dado que la electrónica es un tema a tratar en cursos posteriores, nuestra atención aquí será sólo para el tipo resistivo. Los atenuadores se utilizan comúnmente en equipo de audio (como en los ecualizadores gráficos y paramétricos presentados en el capítulo anterior), sistemas de antenas, sistemas de AM o FM donde se puede requerir atenuación antes de mezclar las señales, y en cualquier otra aplicación donde se necesite reducir la fuerza de una señal. La unidad de la figura 23.84 tiene terminales coaxiales de entrada y salida e interruptores para configurar el nivel de reducción en dB. Cuenta con una respuesta plana desde cd hasta cerca de 6 GHz, lo cual indica básicamente que su introducción en la red no afectará la respuesta en frecuencia para esta banda de frecuencias. El diseño es bastante sencillo, con resistores conectados ya sea en

R1

R2

1 dB

2.9 

433.3 

2 dB

5.7 

215.2 

3 dB

8.5 

141.9 

5 dB

14.0 

82.2 

10 dB

26.0 

35.0 

20 dB

41.0 

10.0 

Atenuación

FIGURA 23.85 Configuración T.

1075

1076

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE R2

R1

configuración te (T) o en ye (Y), como se muestra en las figuras 23.85 y 23.86, respectivamente, para un sistema coaxial de 50 . En cada caso, los resistores fueron elegidos para asegurar que las impedancias de entrada y de salida coincidan con la línea. Es decir, las impedancias de entrada y de salida de cada configuración serán de 50 . En las figuras 23.85 y 23.86, se proporcionan los valores de resistor para las configuraciones T y Y para diversas atenuaciones en dB. Observe en cada diseño que dos de los resistores son iguales, mientras el tercer resistor tiene un valor mucho menor o mayor. Para la atenuación de 1 dB, los valores de resistor para la configuración T se insertaron en la figura 23.87(a). Al terminar la configuración con una carga de 50 , a través de los siguientes cálculos encontramos que la impedancia de entrada es, de hecho, de 50 : Ri  R1  R2(R1  RL )  2.9  433.3 (2.9  50 )  2.9  47.14

R1

Atenuación

R2

R1

1 dB

870.0 

5.8 

2 dB

436.0 

11.6 

3 dB

292.0 

17.6 

5 dB

178.6 

30.4 

10 dB

96.2 

71.2 

20 dB

61.0 

247.5 

 50.04  Al proceder de regreso desde la carga como se muestra en la figura 23.87(b) con la fuente establecida en cero volts, mediante los siguientes cálculos encontramos que la impedancia de salida es también de 50 : Ro  R1  R2(R1  Rs)  2.9  433.3 (2.9  50 )

FIGURA 23.86 Configuración Y.

Ri = 50 Ω

 2.9  47.14  50.04 

R1

R1

2.9 

2.9 

R2

433.3 

RL

50 

Rs

R1

50 

2.9 

Vs = 0 V

R2

Atenuación de 1 dB (a)

R1 2.9  Ro = 50 Ω

433.3 

(b)

FIGURA 23.87 Atenuador de 1 dB: (a) con carga; (b) cálculo de Ro.

En la figura 23.88 se aplicó una carga de 50 , y el voltaje de salida se determina de la siguiente forma: R  R2(R1  RL )  47.14 y

con:

de lo anterior

RVs 47.14 Vs VR2    0.942Vs 47.14  2.9 R  R1 RLVR2 50 (0.942Vs) VL    0.890Vs RL  R1 50  2.9

+ Vs

–

Rs

R1

R1

50 

2.9 

2.9 

R2

433.3 

R

+ RL

50  VL

–

FIGURA 23.88 Determinación de los niveles de voltaje para el atenuador de 1 dB de la figura 23.87(a).

dB

23.16 APLICACIONES

⏐⏐⏐

1077

Al calcular la caída en dB se obtendrá lo siguiente: VL 0.890V AvdB  20 log10  20 log10 s Vs Vs  20 log10 0.890  1.01 dB lo cual apoya el hecho de que existe una atenuación de 1 dB. Como se mencionó, existen otros métodos para atenuación que son más sofisticados en diseño, pero están más allá del alcance de este texto. Sin embargo, los diseños anteriores son muy efectivos y relativamente baratos, y realizan su labor bastante bien.

Filtros de ruido El ruido es un problema que se presenta en todo sistema electrónico. En general, se trata de la presencia de cualquier señal no deseada que puede afectar la operación general de un sistema. Puede provenir de una fuente de energía (zumbido de 60 Hz), de redes de retroalimentación, de sistemas mecánicos conectados a sistemas eléctricos, de capacitancias parásitas y efectos inductivos o posiblemente de una fuente local de señal que no se encuentra adecuadamente blindada, etc., —la lista es interminable—. La forma en que el ruido se puede eliminar o manejar normalmente es analizada por alguien que posee amplios conocimientos prácticos y tiene cierta idea del origen del ruido no deseado y de cómo eliminarlo de manera sencilla y directa. En la mayoría de los casos el problema no será parte del diseño original, sino un segundo esfuerzo en la fase de pruebas para eliminar problemas inesperados. Aunque se pueden aplicar métodos sofisticados cuando el problema es de naturaleza seria, la mayoría de las situaciones se enfrentan de manera sencilla mediante la adecuada ubicación de uno o dos elementos con un valor sensible al problema. En la figura 23.89 se colocaron estratégicamente dos capacitores en las secciones de grabación y reproducción de cinta de una grabadora de casetes para Corto circuito para el ruido de alta frecuencia

Cn 100 pF C1

Control de compensación para altas frecuencias R2

R1

Cabeza de grabación

Señal aplicada

CC

P

Capacitor de acoplamiento

R R3

P

R

P Filtro para reducir interferencia parásita

Cabeza de grabación R3

Red de reproducción

Cs

Rs

R P

100 pF

CC

R

Fase de grabación

Capacitor de acoplamiento

Fase de reproducción (a)

(b)

FIGURA 23.89 Reducción de ruido en una grabadora de cinta.

Amplificador y filtro rechaza banda

1078

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

eliminar el ruido no deseado de alta frecuencia (ruido de siseo) que puede generarse por partículas inesperadas ubicadas aleatoriamente sobre la cinta magnética, ruido que capta la línea o por ruido introducido del medio ambiente. En el modo de grabación, con los interruptores en las posiciones mostradas (R), el capacitor de 100 pF de la parte superior del esquema actuará como un corto circuito para el ruido de alta frecuencia. Se incluye el capacitor C1 para compensar el hecho de que la grabación sobre una cinta no es un proceso lineal en función de la frecuencia. En otras palabras, se graban ciertas frecuencias a mayores amplitudes que otras. En la figura 23.90 se proporciona una gráfica del nivel de grabación en función de la frecuencia, indicando claramente que el intervalo audible humano de cerca de 40 Hz hasta 20 kHz es bastante pobre para el proceso de grabado de cinta, comenzando a elevarse éste sólo después de 20 kHz. Por ello, las grabadoras de cinta deben incluir una frecuencia de polarización fijas la cual, al añadirse a la señal de audio real, desplazará el intervalo de frecuencias a ser amplificado a la región de grabación de alta amplitud. En algunas cintas se proporciona la frecuencia de polarización real (actual bias frequency), mientras que en otras se utiliza la frase polarización normal (normal bias). Incluso después de pasar la frecuencia de polarización, existirá un intervalo de frecuencias siguiente que cae de forma considerable. La compensación para esta caída la proporciona la combinación en paralelo del resistor R1 y el capacitor C1 mencionados antes. En frecuencias cercanas a la frecuencia de polarización, el capacitor está diseñado para actuar básicamente como un circuito abierto (alta reactancia) y la corriente y el voltaje de la cabeza estarán limitados por los resistores R1 y R2. A las frecuencias en la región donde la ganancia de la cinta desciende con la frecuencia, el capacitor comienza a tomar un menor nivel de reactancia y a reducir la impedancia neta en la rama paralela de R1 y C1. El resultado es un incremento en la corriente y el voltaje de la cabeza debido a la menor impedancia neta en la línea, dando por resultado una nivelación de la ganancia de la cinta posterior a la frecuencia de polarización. Al final, el capacitor comenzará a tomar las características de un corto circuito, colocando en corto, efectivamente, a la resistencia R1, y logrando que la corriente y el voltaje de la cabeza se encuentren al máximo. Durante la reproducción, esta frecuencia de polarización será eliminada por un filtro rechaza-banda de manera que el sonido original no se distorsione por la señal de alta frecuencia. Nivel de grabación Caída de alta frecuencia

0

20 kHz

30 kHz

f

Frecuencia de polarización

FIGURA 23.90 Reducción de ruido en una grabadora de cinta.

Durante la reproducción (P), el circuito superior de la figura 23.89 se conecta a tierra mediante el interruptor superior, y entra la red inferior. Nuevamente observe el segundo capacitor de 100 pF conectado a la base del transistor para llevar a tierra cualquier ruido de alta frecuencia no deseado. El resistor está presente para absorber cualquier energía asociada con la señal de ruido cuando el capacitor toma el equivalente de corto circuito. Recuerde que el capacitor fue seleccionado para actuar como un equivalente de corto circuito para un intervalo de frecuencias particular y no para el intervalo audible donde esencialmente es un circuito abierto.

dB

23.16 APLICACIONES

Los alternadores de los automóviles son conocidos por desarrollar ruido de alta frecuencia en la línea que llega al radio, como se muestra en la figura 23.91(a). Este problema se modera a menudo al colocar un filtro de alta frecuencia en la línea como se muestra. El inductor de 1 H ofrecerá una alta impedancia para el intervalo de frecuencias de ruido, mientras que el capacitor (1000 a 47,000 mF) actuará como un equivalente de corto circuito para cualquier ruido que llegue a cruzar. Para el sistema de bocinas en la figura 23.91(b), el arreglo de potencia push-pull de los transistores en la sección de salida frecuentemente puede ocasionar un pequeño salto entre pulsos, donde el voltaje de señal fuerte es cero volts. Durante ese breve lapso la bobina de la bocina desarrolla sus efectos inductivos, observará una trayectoria inesperada a tierra como un interruptor abriéndose, y rápidamente cortará la corriente de la bocina. Mediante la conocida relación vL  L(diL/dt), se desarrollará un voltaje inesperado en la bobina y establecerá una oscilación de alta frecuencia sobre la línea que encontrará su camino de regreso al amplificador y ocasionará mayor distorsión. Este efecto puede reducirse al colocar una trayectoria R-C a tierra que ofrecerá una trayectoria de baja resistencia desde la bocina hasta tierra para el intervalo de frecuencias generadas característicamente por esta distorsión de señal. Dado que el capacitor tomará un equivalente de corto circuito para el intervalo de perturbación de ruido, se añadió el resistor con el propósito de limitar la corriente y absorber la energía asociada con la señal de ruido. V Respuesta push-pull

t Ruido de alta frecuencia

Vs  0 V CC

L Alternador de automóvil

Radio

1H C

(1000 F a 47,000 F)

Amplificador push-pull

Cb R

Trayectoria de corto circuito para oscilaciones no deseadas de alta frecuencia (a)

(b)

FIGURA 23.91 Generación de ruido: (a) debido a un alternador de automóvil; (b) en un amplificador push-pull.

En reguladores como el de 5 V de la figura 23.92(a), cuando un pico de corriente llega a la línea por cualquier motivo, habrá una caída de voltaje a lo largo de la línea y el voltaje de entrada al regulador también caerá. El regulador, al efectuar su labor principal, detectará esta caída en el voltaje de entrada e incrementará su nivel de amplificación mediante un lazo de retroalimentación para mantener una salida constante. Sin embargo, el pico tiene tan baja duración que el voltaje de salida presentará un pico propio debido a que el voltaje de entrada regresó rápidamente a su nivel normal, y con la mayor amplificación la salida saltará a un nivel más alto. Luego el regulador detectará su error y rápidamente cortará su ganancia. La sensibilidad a los cambios en el nivel de entrada habrá ocasionado que el nivel de salida atraviese por varias oscilaciones rápidas que pueden constituirse en un problema real para el equipo al cual se aplique el

⏐⏐⏐

1079

1080

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

Vo

i

Ruido de alta frecuencia

Vo

i

5V

5V

i Entrada

t Regulador de 5 V

0

0

i

t

Entrada

Salida

t

Regulador de 5 V

Salida

Retroalimentación

1 F

Estabilizador de ruido de alta frecuencia, desvío a tierra (Circuito abierto para el nivel de 5 V de cd)

Filtro (a)

(b)

FIGURA 23.92 Regulador: (a) efecto de un pico de corriente en la sección de entrada; (b) reducción de ruido.

voltaje de cd: se habrá desarrollado una señal de ruido de alta frecuencia. Una forma de reducir esta reacción y, de hecho, retardar la respuesta del sistema de manera que picos de intervalos muy pequeños tengan menor impacto es añadir un capacitor en la salida como se muestra en la figura 23.92(b). Dado que el regulador proporciona un nivel de cd fijo, se puede utilizar un capacitor mayor de 1 mF para poner en corto circuito un amplio intervalo de perturbaciones de alta frecuencia. Sin embargo, no se debe utilizar un capacitor demasiado grande o de lo contrario se presentará demasiado amortiguamiento y se podrían desarrollar grandes sobrecargas y caídas. Con el propósito de maximizar la entrada del capacitor añadido, se debe colocar físicamente más cercano al regulador para asegurar que no se capte ruido entre el regulador y el capacitor y evitar el desarrollo de algún momento de retardo entre la señal de salida y la reacción capacitiva. En general, a medida que el lector analice el esquema de los sistemas en funcionamiento y observe elementos que no parecen ser parte de algún procedimiento de diseño estándar, puede suponer que se encuentran ahí ya sea como dispositivos protectores o debido al ruido sobre la línea que afecta la operación del sistema. Al advertir su tipo, valor y ubicación, a menudo se revela su propósito y modo de operar.

23.17 ANÁLISIS POR COMPUTADORA PSpice Filtro pasa-altas El análisis por computadora comenzará con el estudio del filtro pasa-altas de la figura 23.93. La frecuencia de corte está determinada por fc = 1/2pRC  1.592 kHz, con el voltaje en el resistor aproximándose a 1 V en altas frecuencias con un ángulo de fase de 0º. Para este análisis, se utilizó la fuente de voltaje de ca VAC. Dentro del editor de propiedades, Property Editor, las cantidades definidas aparecen junto a la fuente en la figura 23.93. Por lo demás, la construcción del circuito es bastante directa. Nuestro interés reside en el efecto de la frecuencia sobre la magnitud del voltaje de salida en el resistor y el ángulo de fase resultante. Posterior a la selección de AC Sweep bajo el encabezado Analysis type, la frecuencia inicial, Start Frequency, deberá establecerse en 10 Hz para tener puntos de información en el extremo más bajo y una frecuencia final, End Frequency, de 100 kHz con la que sea posible desenvolverse bien dentro de altas frecuencias. Aquí hay una ven-

dB

23.17 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

FIGURA 23.93 Filtro R-C pasa-altas para analizarse utilizando PSpice.

taja obvia del eje logarítmico: un amplio intervalo de valores sobre una gráfica de tamaño limitado. Para asegurar suficientes puntos de información, se configuró la opción Points/Decade en 10k. Cuando se selecciona V(R:1) aparece el esquema resultante SCHEMATIC1 como se muestra en la figura 23.94. Observe la nítida transición de una región a la otra. A bajas frecuencias, cuando la reactancia del capacitor supera por mucho la del resistor, la mayor parte del voltaje aplicado aparecerá en el capacitor, y muy poco en el resistor. A frecuencias mucho mayores la reactancia del capacitor cae muy rápido y el voltaje en el resistor crece hasta un máximo de 1 V. Seleccione Plot-Add Plot to Window-Trace-Add Trace-P(V(R:1))-OK y aparecerá la gráfica de fase de la figura 23.94 mostrando un desplazamiento a partir de 90º, cuando la red es de naturaleza altamente capacitiva, hasta 0º, cuando se vuelve resistiva. Si elegimos la gráfica de fase SEL>> y hacemos clic sobre el botón Toggle cursor, mediante un clic izquierdo se ubicará el cursor que podrá definir sobre la pantalla la frecuencia a la cual el ángulo de fase es igual a 45º. En 45.12º, lo más cercano que pudimos llegar con los puntos de información disponibles, vemos que la frecuencia correspondiente es de 1.585 kHz, lo cual es bastante cercano a los 1.592 kHz calculados antes. El cursor del clic derecho puede colocarse en 100 kHz para mostrar que el ángulo de fase ha caído a 0.91º, lo cual define a la red, naturalmente, como resistiva a esta frecuencia. Filtro de doble sintonización Nuestro análisis se enfocará ahora en un filtro de apariencia bastante compleja que, si se utilizara una calculadora manual, requeriría de una cantidad enorme de tiempo para generar una gráfica detallada de la ganancia en función de la frecuencia. Se trata del mismo filtro analizado en el ejemplo 23.9, por lo que se tiene la oportunidad de verificar la solución teórica. El esquema aparece en la figura 23.95 con VAC seleccionado nuevamente ya que el intervalo de frecuencias de interés estará establecido mediante

⏐⏐⏐

1081

1082

⏐⏐⏐

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

FIGURA 23.94 Gráfica de magnitud y fase para el filtro R-C pasa-altas de la figura 23.93.

FIGURA 23.95 Utilización de PSpice para analizar un filtro de doble sintonización.

dB

dB

23.17 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

Simulation Profile. De nuevo, los atributos para la fuente se configuraron en el cuadro del editor de propiedades, Property Editor, en lugar de seleccionar los componentes desde la pantalla. Observe la necesidad de colocar los dos resistores en serie con los inductores dado que los inductores no pueden considerarse elementos ideales. Sin embargo, el bajo valor de los elementos resistivos no tendrá efecto sobre los resultados. En el cuadro de diálogo Simulation Settings nuevamente se seleccionó AC Sweep con frecuencia inicial, Start Frequency, de 100 Hz y frecuencia final, End Frequency, de 10 MHz (asegúrese de ingresar este valor como 10MEGHZ) para garantizar que se proporcione el efecto de intervalo completo. Podemos utilizar entonces los controles del eje para acercarnos sobre la gráfica deseada. La opción Points/Decade permanece en 10k, aunque con este intervalo de frecuencias la simulación podría tomar algunos segundos. Una vez que SCHEMATIC1 aparece, Trace-Add Trace-V(RL:1)-OK dará por resultado la gráfica de la figura 23.96. Obviamente, existe una banda de rechazo alrededor de 200 kHz y una banda de paso alrededor de 600 kHz. No importa que hasta 10 kHz tengamos otra banda de paso ya que el inductor Lp proporciona una trayectoria de baja impedancia, casi directa, desde la entrada hasta la salida. A frecuencias próximas a 10 MHz, existe una banda de rechazo continua debido a la equivalencia de circuito abierto del inductor Lp. Utilizando la opción de cursor, podemos colocar el cursor del clic izquierdo sobre el punto mínimo de la gráfica utilizando las teclas de Cursor Trough (el segundo botón a la derecha del de Toggle cursor). El clic derecho puede utilizarse para identificar la frecuencia del punto máximo sobre la curva cercano a 600 kHz. Los resultados que aparecen en el cuadro Probe Cursor apoyan claramente nuestros cálculos teóricos de 200 kHz para la banda de atenuación mínima (A1  200.032 kHz con una magnitud básica de 0 V) y 600 Hz para la banda de paso máxima (A2  603.115 kHz con magnitud de 1 V).

FIGURA 23.96 Gráfica de magnitud en función de la frecuencia para el voltaje en RL de la red de la figura 23.95.

⏐⏐⏐

1083

1084

⏐⏐⏐

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

dB

Ahora nos concentraremos en el intervalo de 10 kHz a 1 MHz donde ocurre la mayor parte de la acción de filtrado. Ésta es la ventaja de haber seleccionado un intervalo de frecuencias tan alto cuando se configuró la opción Simulation Settings. Como ya se estableció la información para el amplio intervalo de frecuencias, simplemente se selecciona una banda de interés cuando la región de mayor actividad se ha definido. Si el intervalo de frecuencias fuera demasiado angosto en la simulación original, tendría que definirse otra simulación. Seleccione Plot-Axis Settings-X Axis-User Defined-10kHz to 1MEGHz-OK para obtener la gráfica de la parte inferior de la figura 23.97. También se puede desplegar una gráfica en dB de los resultados en la misma figura al seleccionar Plot-Add Plot to Window-Trace-Add Trace-DB(V(RL:1))-OK, dando por resultado la gráfica de la parte superior de la figura. Al utilizar la opción de cursor de clic izquierdo y la tecla de Cursor Trough, vemos que el mínimo está en 83.48 dB a una frecuencia de 200 kHz, lo cual es una excelente característica para un filtro rechaza-banda. Al utilizar el cursor de clic derecho y establecerlo en 600 kHz, encontramos que la caída es igual a 30.11 dB o básicamente de 0 dB, lo cual es excelente para la región de banda de paso.

FIGURA 23.97 Gráfica en dB y magnitud para el voltaje en RL de la red de la figura 23.95.

dB

PROBLEMAS

PROBLEMAS SECCIÓN 23.1

Logaritmos

1. a. Determine las frecuencias (en kHz) en los puntos indicados sobre la gráfica de la figura 23.98(a). b. Determine los voltajes (en mV) en los puntos indicados sobre la gráfica de la figura 23.98(b).

(V)

100 ?

?

103

? 104

?

(f)

(a)

10 –1

(b)

FIGURA 23.98 Problema 1. SECCIÓN 23.2

Propiedades de los logaritmos

2. Determine log10 x para cada valor de x. a. 100,000 b. 0.0001 c. 108 d. 10 6 e. 20 f. 8643.4 g. 56,000 h. 0.318 3. Dado N  log10 x, determine x para cada valor de N. a. 3 b. 12 c. 0.2 d. 0.04 e. 10 f. 3.18 g. 1.001 h. 6.1 4. Determine loge x para cada valor de x. a. 100,000 b. 0.0001 c. 20 d. 8643.4 Compare las soluciones con las del problema 2. 5. Determine log10 48  log10(8)(6), y compare con log10 8  log10 6. 6. Determine log10 0.2  log10 18/90, y compare con log10 18 log10 90. 7. Verifique si log10 0.5 es igual a log10 1/0.5  log10 2. 8. Obtenga log10(3)3, y compare con 3 log10 3. SECCIÓN 23.3

Decibeles

9. a. Determine el número de bels que relacionan los niveles de potencia de P2  280 mW y P1  4 mW. b. Determine el número de decibeles para los niveles de potencia del inciso (a) y compare los resultados. 10. Un nivel de potencia de 100 W está 6 dB por encima de ¿qué nivel de potencia?

⏐⏐⏐

1085

1086

⏐⏐⏐

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

11. Si una bocina de 2 W se reemplaza por otra bocina con salida de 40 W, ¿cuál es el incremento en el nivel de decibeles? 12. Determine el nivel en dBm para una potencia de salida de 120 mW. 13. Encuentre la ganancia en dBv de un amplificador que eleva el nivel de voltaje desde 0.1 mV hasta 8.4 mV. 14. Obtenga el voltaje de salida de un amplificador si el voltaje aplicado es de 20 mV y alcanza una ganancia en dBv de 22 dB. 15. Si el nivel de presión del sonido se incrementa desde 0.001 bar hasta 0.016 bar, ¿cuál será el incremento en el nivel de dBs? 16. ¿Cuál es el incremento requerido en potencia acústica para elevar un nivel sonoro desde música calmada hasta música demasiado fuerte? Utilice la figura 23.5. 17. a. Utilizando un papel semilogarítmico, grafique XL en función de la frecuencia para una bobina de 10 mH y un intervalo de frecuencias de 100 Hz a 1 MHz. Seleccione la mejor escala vertical para el intervalo de XL. b. Repita el inciso (a) utilizando un papel log log. Compare con los resultados del inciso (a). ¿Cuál gráfica proporciona más información? c. Utilizando papel semilogarítmico, grafique XC en función de la frecuencia para una capacitor de 1 F y un intervalo de frecuencias de 10 Hz a 100 kHz. Nuevamente seleccione la mejor escala vertical para el intervalo de XC. d. Repita el inciso (a) utilizando una papel log log. Compare con los resultados del inciso (c). ¿Cuál gráfica proporciona más información?

R

+

+

2.2 k

Vi

0.02 mF

C

Vo

18. a. Para el medidor de la figura 23.6, obtenga la potencia entregada a la carga de una lectura de 8 dB. b. Repita el inciso (a) para una lectura de 5 dB.

–

–

FIGURA 23.99 Problema 19.

SECCIÓN 23.5

R

+

+

1 k

Vi = 10 mV

Vo

0.01 mF

C

–

– FIGURA 23.100 Problema 20.

R

+ Vi

+

4.7 k C

500 pF

Vo

–

–

FIGURA 23.101 Problema 22.

Filtro R-C pasa-bajas

19. Para el filtro R-C pasa-bajas de la figura 23.99: a. Trace Av  Vo /Vi en función de la frecuencia utilizando una escala logarítmica para el eje de la frecuencia. Determine Av  Vo /Vi a 0.1fc, 0.5fc, fc, 2fc y 10fc. b. Trace la gráfica de fase de v en función de la frecuencia, donde v es el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi. Determine v en f  0.1fc, 0.5fc, fc, 2fc y 10fc. *20. Para la red de la figura 23.100: a. Determine Vo a una frecuencia una octava por encima de la frecuencia crítica. b. Determine Vo a una frecuencia una década por debajo de la frecuencia crítica. c. ¿Los niveles de los incisos (a) y (b) confirman la gráfica de frecuencia esperada de Vo en función de la frecuencia para el filtro? 21. Diseñe un filtro R-C pasa-bajas que tenga frecuencia de corte de 500 Hz utilizando un resistor de 1.2 k . Luego trace la magnitud resultante y la gráfica de fase para un intervalo de frecuencias de 0.1fc a 10fc. 22. Para el filtro pasa-bajas de la figura 23.101: a. Determine fc. b. Obtenga Av  Vo /Vi a f  0.1fc, y compárelo con el valor máximo de 1 para el intervalo de baja frecuencia. c. Obtenga Av  Vo /Vi a f  10fc, y compárelo con el valor mínimo de 0 para el intervalo de alta frecuencia. 1 d. Determine la frecuencia a la que Av  0.01 o Vo  100 Vi.

dB

PROBLEMAS

SECCIÓN 23.6

Filtro R-C pasa-altas

1087

C

23. Para el filtro R-C pasa-altas de la figura 23.102: a. Trace Av  Vo / Vi en función de la frecuencia utilizando una escala logarítmica para el eje de frecuencia. Determine Av  Vo / Vi a fc, una octava por encima y por debajo de fc, y una década por encima y por debajo de fc. b. Trace la gráfica de fase de v en función de la frecuencia, donde v es el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi. Determine v en las mismas frecuencias observadas en el inciso (a). 24. Para la red de la figura 23.103: a. Determine Av  Vo /Vi en f  fc para el filtro pasa-altas. b. Determine Av  Vo /Vi a dos octavas por encima de fc. ¿Es importante la elevación en Vo a partir del nivel f  fc? c. Determine Av  Vo /Vi a dos décadas por encima de fc. ¿Es importante la elevación en Vo a partir del nivel f  fc? d. Si Vi  10 mV, ¿cuál es la potencia entregada a R en la frecuencia crítica? 25. Diseñe un filtro R-C pasa-altas que tenga frecuencia de corte de 2 kHz, dado un capacitor de 0.1 F. Seleccione el valor comercial más cercano para R, y luego vuelva a calcular la frecuencia de corte resultante. Trace la ganancia normalizada Av  Vo /Vi para un intervalo de frecuencias de 0.1fc a 10fc. 26. Para el filtro pasa-altas de la figura 23.104: a. Determine fc. b. Obtenga Av  Vo /Vi a f  0.01fc, y compárelo con el nivel mínimo de 0 para la región de baja frecuencia. c. Obtenga Av  Vo /Vi a f  100fc, y compárelo con el nivel máximo de 1 para la región de alta frecuencia. d. Determine la frecuencia a la que Vo  12 Vi. SECCIÓN 23.7

⏐⏐⏐

Filtros pasa-banda

+

+

20 nF R

Vi

Vo

–

–

FIGURA 23.102 Problema 23.

C

+

+

1000 pF R

Vi

10 k

Vo

–

–

FIGURA 23.103 Problema 24.

C

+

+

20 pF R

Vi

27. Para el filtro pasa-banda de la figura 23.105: a. Trace la respuesta en frecuencia de Av  Vo /Vi contra una escala logarítmica que se extiende desde 10 Hz hasta 10 kHz. b. ¿Cuál es el ancho de banda y la frecuencia central?

2.2 k

100 k

Vo

–

–

FIGURA 23.104 Problemas 26 y 54.

*28. Diseñe un filtro pasa-banda como el que aparece en la figura 23.105 que tenga frecuencia inferior de corte de 4 kHz y frecuencia superior de corte de 80 kHz. 29. Para el filtro pasa-banda de la figura 23.106: a. Determine fs. b. Calcule Qs y el ancho de banda para Vo. c. Trace Av  Vo /Vi para un intervalo de frecuencias de 1 kHz a 1 MHz. d. Encuentre la magnitud de Vo a f  fs y las frecuencias de corte. C1

R2

2 mF

10 k

+

Vi

+ +

R1

0.1 k

C2

8 nF

Vo

–

–

FIGURA 23.105 Problemas 27 y 28.

Rl

L

C

12 

5 mH

500 pF

+

Vi = 1 V  0°

R

0.16 k Vo

–

– FIGURA 23.106 Problema 29.

1088

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

⏐⏐⏐

30. Para el filtro pasa-banda de la figura 23.107: a. Determine la respuesta en frecuencia de Av  Vo /Vi para un intervalo de frecuencias de 100 Hz a 1 MHz. b. Encuentre el factor de calidad Qp y el ancho de banda de la respuesta.

R

+

+

4 k 16 

Rl Vi

C2

0.001 mF

SECCIÓN 23.8

Vo

1 mH

L

–

–

FIGURA 23.107 Problemas 30 y 55.

*32. Para el filtro pasa-banda de la figura 23.109: a. Determine Qp (RL  ∞ , un circuito abierto). b. Trace las características de frecuencia de Av  Vo /Vi. c. Obtenga Qp (con carga) para RL  100 k , e indique el efecto de RL sobre las características del inciso (b). d. Repita el inciso (c) para RL  20 k .

R

+

0.4 k

Rl

+

10 

SECCIÓN 23.9 Vi

XL

5 k

XC

5 k

Vo RL

2 k

fs = 5 kHz

–

–

33. a. Para la red de la figura 23.43(a), si Lp  400 H (Q > 10), Ls  60 H, y C  120 pF, determine las frecuencias rechazadas y aceptadas. b. Trace la curva de respuesta del inciso (a).

SECCIÓN 23.10

R1

+

1 k Rl

10  Vo RL

5 k

XL

–

400 

XC

Vi fp = 20 kHz

Filtro de doble sintonización

34. a. Para la red de la figura 23.43(b), si la frecuencia de rechazo es de 30 kHz y la de aceptación de 100 kHz, determine los valores de Ls y Lp (Q > 10) para una capacitancia de 200 pF. b. Trace la curva de respuesta para el inciso (a).

FIGURA 23.108 Problema 31.

+

Filtros rechaza-banda

*31. Para el filtro rechaza-banda de la figura 23.108: a. Determine Qs. b. Obtenga el ancho de banda y las frecuencias de potenciamedia. c. Trace las características de frecuencia de Av  Vo /Vi. d. ¿Cuál es el efecto sobre la curva del inciso (c) si se aplica una carga de 2 k ?

– FIGURA 23.109 Problema 32.

Diagramas de Bode

35. a. Trace el diagrama de Bode ideal para Av  Vo /Vi para el filtro pasa-altas de la figura 23.110. b. Utilizando los resultados del inciso (a), trace la respuesta en frecuencia real para el mismo intervalo de frecuencia. c. Determine el nivel de decibel en fc, 12 fc, 2fc, 110 fc, y 10fc. d. Determine la ganancia Av  Vo /Vi según f  fc, 12 fc y 2fc. e. Trace la respuesta de fase para el mismo intervalo de frecuencias. *36. a. Trace la respuesta de la magnitud de Vo (en términos de Vi) en función de la frecuencia para el filtro pasa-altas de la figura 23.111. b. Utilizando los resultados del inciso (a), trace la respuesta Av  Vo /Vi para el mismo intervalo de frecuencias. c. Trace el diagrama de Bode ideal.

C

+

+

C

0.05 mF Vi

R

0.47 k

Vo

–

–

+ Vi

R1

6 k

R2

12 k

+ 0.02 mF

– FIGURA 23.110 Problema 35.

Vo

– FIGURA 23.111 Problema 36.

dB

PROBLEMAS

d. Trace la respuesta real, indicando la diferencia en dB entre las respuestas ideal y real en f  fc, 0.5fc y 2fc. e. Determine AvdB a f  1.5fc a partir de la gráfica del inciso (d), y luego determine la magnitud correspondiente de Av  Vo /Vi. f. Trace la respuesta de fase para el mismo intervalo de frecuencias (el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi).

1089

R

+

+

12 k

Vi

Vo

1 nF

C

–

–

37. a. Trace el diagrama de Bode ideal para Av  Vo /Vi para el filtro pasa-bajas de la figura 23.112. b. Utilizando los resultados del inciso (a), trace la respuesta en frecuencia real para el mismo intervalo de frecuencias. 1 c. Determine el nivel de decibel en fc, 21 fc, 2fc, 10 fc, y 10fc.

FIGURA 23.112 Problema 37.

d. Determine la ganancia Av  Vo /Vi en f  fc, 12 fc, y 2fc. e. Trace la respuesta de fase para el mismo intervalo de frecuencias.

R1

+

*38. a. Trace la respuesta de la magnitud de Vo (en términos de Vi) en función de la frecuencia para el filtro pasa-bajas de la figura 23.113. b. Utilizando los resultados del inciso (a), trace la respuesta Av  Vo /Vi para el mismo intervalo de frecuencias. c. Trace el diagrama de Bode ideal. d. Trace la respuesta real, indicando la diferencia en dB entre las respuestas ideal y real en f  fc, 0.5fc y 2fc. e. Determine AvdB a f  0.25fc a partir de la gráfica del inciso (d), y luego determine la magnitud correspondiente de Av  Vo /Vi. f. Trace la respuesta de fase para el mismo intervalo de frecuencias (el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi). SECCIÓN 23.11

⏐⏐⏐

+

4.7 k

Vi

R2

C = 0.04 mF

27 k

Vo

–

– FIGURA 23.113 Problema 38.

Gráfica del diagrama de Bode

39. Para el filtro de la figura 23.114: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando una escala logarítmica. b. Trace la curva de v en función de la frecuencia para el mismo intervalo de frecuencias que en el inciso (a). 40 k

R2 C

R1

+

+

10 k

0.01 mF

60 k

R3

Vi

Vo

–

– FIGURA 23.114 Problema 39.

*40. Para el filtro de la figura 23.115: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando una escala logarítmica. b. Trace la curva de v en función de la frecuencia para el mismo intervalo de frecuencias que en el inciso (a).

+ Vi

R1

C

6 k

100 nF

+

R2

12 k

R3

8 k

Vo

–

– FIGURA 23.115 Problema 40.

1090

dB

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

⏐⏐⏐

SECCIÓN 23.12 Filtro pasa-bajas con atenuación limitada

R1

+

+

90 k R2

10 k Vo

Vi C

800 pF

–

–

41. Para el filtro de la figura 23.116: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando las gráficas ideales de Bode como guía. b. Trace la curva de v en función de la frecuencia. *42. Para el filtro de la figura 23.117: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando las gráficas ideales de Bode como guía. b. Trace la curva de v en función de la frecuencia.

FIGURA 23.116 Problema 41.

R1

20 k R2

+

+

12 k R3

6 k Vo

Vi C

0.01 mF

–

–

FIGURA 23.117 Problema 42.

SECCIÓN 23.13 Filtro pasa-altas con atenuación limitada R1 3.3 k

+

Vi

+

C 0.05 mF

R2

0.5 k

Vo

–

–

43. Para el filtro de la figura 23.118: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando las gráficas ideales de Bode como una envolvente para la respuesta real. b. Trace la curva de v (el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi) en función de la frecuencia. *44. Para el filtro de la figura 23.119: a. Trace la curva de AvdB en función de la frecuencia utilizando los diagramas de Bode ideales como una envolvente para la respuesta real. b. Trace la curva de v (el ángulo por el cual Vo adelanta a Vi) en función de la frecuencia.

FIGURA 23.118 Problema 43.

R2 R1

+ Vi

2 k

1.2 k C

0.1 mF

+ R3

4.7 k

Vo

–

–

FIGURA 23.119 Problema 44.

dB

PROBLEMAS

⏐⏐⏐

1091

SECCIÓN 23.14 Otras propiedades y una tabla de resumen 45. Un amplificador de transistor bipolar tiene la siguiente ganancia: 160 Av  100 Hz 130 Hz f f 1 j 1 j 1  j 1  j f f 20 kHz 50 kHz











a. Grafique la respuesta de Bode normalizada A′vdB  (Av /Avmáx)|dB, y determine el ancho de banda del amplificador. Asegúrese de utilizar las frecuencias de corte. b. Grafique la respuesta de fase, y determine una frecuencia donde el ángulo de fase esté relativamente cercano a 45º. 46. Un amplificador de transistor JFET tiene la siguiente ganancia:

5.6 Av  10 Hz 45 Hz 68 Hz f f 1 j 1 j 1 j 1  j 1  j f f f 23 kHz 50 kHz













a. Grafique la respuesta de Bode normalizada A′vdB  (Av /Avmáx|dB), y determine el ancho de banda del amplificador. Al normalizar asegúrese de que el valor máximo de A′v sea 1. Señale claramente las frecuencias de corte sobre la gráfica. b. Grafique la respuesta de fase, y observe las regiones de mayor cambio en el ángulo de fase. ¿Cómo corresponden las regiones con las frecuencias que aparecen en la función Av? 47. Un amplificador con un transistor tiene una ganancia de banda media de 120, una frecuencia superior de corte de 36 kHz, y un ancho de banda de 35.8 kHz. Además, la respuesta real también está alrededor de 15 dB a ƒ  50 Hz. Escriba la función de transferencia Av para el amplificador. 48. Trace el diagrama de Bode para la siguiente función: 0.05 Av  0.05 j 100/f 49. Trace el diagrama de Bode para la siguiente función: 200 Av  200  j 0.1f 50. Trace el diagrama de Bode para la siguiente función: j f /1000 Av  (1  j f /1000)(1  j f /10,000) *51. Trace el diagrama de Bode para la siguiente función: (1  j f /1000)(1  j f /2000) Av  (1  j f /3000)2 *52. Trace el diagrama de Bode para la siguiente función (advierta la presencia de q en lugar de f ): 40(1  j 0.001q) Av  ( j 0.001q)(1  j 0.0002q) SECCIÓN 23.15

Redes para distribución de frecuencias

*53. La red distribuidora de frecuencia de tres vías de la figura 23.120 tiene salida de 12 dB en las frecuencias de corte. a. Determine la razón Vo /Vi para el woofer y el tweeter en las frecuencias de corte de 400 Hz y 5 kHz, respectivamente, y compárela con el nivel deseado de 0.707.

0 dB

400 Hz –3 dB

+

Lbaja 4.7 mH Cbaja

Vi = 1 V0°

8

39 F

– 0 dB –3 dB

5 kHz

400 Hz

–3 dB

L 2(media)

C1(media) 39 F

0.39 mH C2(media) 4.7 mH

L1(media) 0 dB

2.7 F

8

5 kHz –3 dB

Calta 2.7 F Lalta

FIGURA 23.120 Problemas 53 y 57.

0.39 mH

88

1092

⏐⏐⏐

DECIBELES, FILTROS Y DIAGRAMAS DE BODE

b. Calcule la razón Vo /Vi para el woofer y el tweeter a la frecuencia de 3 kHz, donde la bocina de intervalo medio está diseñada para predominar. c. Determine la razón Vo /Vi para la bocina de intervalo medio a la frecuencia de 3 kHz, y compárela con el nivel deseado de 1. SECCIÓN 23.17

Análisis por computadora

PSpice o Electronics Workbench 54. Mediante un esquema, obtenga la magnitud y la respuesta de fase en función de la frecuencia para la red de la figura 23.104. 55. Mediante un esquema, obtenga la magnitud y la respuesta de fase en función de la frecuencia para la red de la figura 23.107. *56. Obtenga las gráficas de fase y de dB para la red de la figura 23.75, y compárelas con las gráficas de las figuras 23.76 y 23.77.

dB *57. Mediante un esquema, obtenga las gráficas de magnitud y de dB en función de la frecuencia para cada filtro de la figura 23.120, y verifique si las curvas descienden a 12 dB por octava. Lenguaje de programación (C, QBASIC, Pascal, etc.) 58. Escriba un programa que tabule la ganancia de la ecuación (23.14) en función de la frecuencia para un intervalo de frecuencias que se extiende desde 0.1f1 hasta 2f1 en incrementos de 0.1f1. Observe si f  f1 cuando Vo /Vi  0.707. Utilice R  1 k y C  500 pF. 59. Escriba un programa para tabular AvdB según lo determina la ecuación (23.34) y AvdB como se calcula mediante la ecuación (23.35). Para un intervalo de frecuencia que se extiende desde 0.01f1 hasta f1 en incrementos de 0.01f1, compare las magnitudes, y observe si los valores son más cercanos cuando f K f1 y si AvdB  3 dB cuando f  f1 para la ecuación (23.34) y cero para la (23.35).

Decibel Unidad de medición utilizada para comparar niveles de potencia.

Filtro pasa-bajas Filtro diseñado para dejar pasar frecuencias bajas y rechazar frecuencias altas. Filtro pasa-banda (banda de paso) Red diseñada para dejar pasar señales dentro de un intervalo de frecuencias particular.

Filtro Redes diseñadas ya sea para dejar pasar o para rechazar la transferencia de señales a ciertas frecuencias para una carga.

Filtro pasivo Filtro construido a partir de elementos R, L y C en serie, en paralelo o en serie-paralelo.

Filtro activo Filtro que emplea dispositivos activos tales como transistores o amplificadores operacionales en combinación con elementos R, L y C.

Diagrama de Bode Gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema que utiliza segmentos de recta llamados asíntotas.

GLOSARIO

Filtro rechaza-banda Red diseñada para rechazar (bloquear) señales dentro de un intervalo de frecuencias particular.

Microbar ( bar) Unidad de medición para los niveles de presión de sonido que permite la comparación de niveles de audio en una escala de dB.

Filtro de doble sintonización Red que posee tanto una región de banda de paso como una rechaza-banda.

Papel log-log (doble logarítmico) Papel milimétrico con escalas logarítmicas vertical y horizontal.

Filtro pasa-altas Filtro diseñado para dejar pasar frecuencias altas y rechazar frecuencias bajas.

Papel semilogarítmico Papel milimétrico con una escala logarítmica y una lineal.

24 Formas de onda de pulso y la respuesta R-C

24.1 INTRODUCCIÓN Hasta ahora nuestro análisis se ha limitado a formas de onda alternantes que varían de manera senoidal. Este capítulo introducirá la terminología básica asociada con la forma de onda de pulso y examinará la respuesta de un circuito R-C a una entrada de onda cuadrada. La importancia de la forma de onda de pulso en la industria eléctrica y electrónica no se puede pasar por alto. Un gran número de dispositivos de instrumentación, de sistemas de comunicación, de computadoras, de sistemas de radar, etc., emplean señales de pulsos para controlar operaciones, transmitir datos y exhibir información en una gran diversidad de formatos. La respuesta a una señal de pulso de las redes descritas hasta ahora es bastante diferente a la obtenida para señales senoidales. De hecho, retornaremos al capítulo de cd sobre capacitores (Capítulo 10) para recuperar algunos conceptos y ecuaciones fundamentales que nos ayudarán en los análisis a seguir. El contenido de este capítulo es introductorio, fue diseñado simplemente para proporcionar los fundamentos que servirán de ayuda cuando encontremos la forma de onda de pulso en áreas específicas de aplicación.

24.2 IDEAL CONTRA REAL El pulso ideal de la figura 24.1 tiene lados verticales, esquinas agudas y una característica de pico plano; este pulso comienza instantáneamente en t1 y termina abruptamente en t2. La forma de onda de la figura 24.1 será aplicada en el análisis a seguir en este capítulo, y probablemente aparecerá en la investigación inicial de áreas de aplicación que se encuentran más allá del alcance de este texto. Sólo hasta que la operación fundamental de un dispositivo, paquete o sistema sea entendida claramente usando características ideales, debe considerarse el efecto de un pulso real (verdadero o práctico). Si se intentara introducir todas las diferencias existentes entre un pulso ideal y uno real en una sola figura, probablemente el resultado sería complejo y confuso. Por tanto, se usarán varias formas de onda para definir los parámetros críticos.

1094

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

v Flanco de subida o frontal

Flanco de bajada o posterior Pulso ideal

0

Amplitud

t1 t2 tp (ancho de pulso)

t

FIGURA 24.1 Forma de onda de pulso ideal.

Los elementos reactivos de una red, en su esfuerzo por prevenir cambios instantáneos en el voltaje (capacitor) y la corriente (inductor), establecen una pendiente en ambos flancos de la forma de onda de pulso, como se muestra en la figura 24.2. El flanco de subida de la forma de onda de la figura 24.2 se define como el flanco que se incrementa; es decir, que va desde un nivel inferior hasta uno superior. v V1

Flanco de subida o frontal

Flanco de bajada o posterior Amplitud

0.5V1

0

tp (ancho de pulso)

t

FIGURA 24.2 Forma de onda de pulso real.

El flanco de bajada está definido por la región o flanco donde la forma de onda disminuye; es decir, que va desde un nivel superior hasta uno inferior. Como el flanco de subida es el primero en encontrarse (está más cercano a t  0 s), se le llama también flanco frontal. El flanco de bajada siempre sigue al flanco frontal, y por ello se le llama a menudo flanco posterior. Ambas regiones están definidas en las figuras 24.1 y 24.2.

Amplitud En la mayoría de las aplicaciones, la amplitud de una forma de onda de pulso se define como el valor pico a pico. Por supuesto, si todas las formas de onda comienzan y retornan al nivel de cero volts, entonces los valores pico y pico a pico son sinónimos. Para los fines de este texto, la amplitud de una forma de onda de pulso es el valor pico a pico, como se ilustra en las figuras 24.1 y 24.2.

24.2 IDEAL CONTRA REAL

Ancho de pulso El ancho de pulso (tp ), o duración de pulso, está definido por un nivel de pulso igual al 50% del valor pico. Para el pulso ideal de la figura 24.1, el ancho de pulso es el mismo a cualquier nivel, mientras que para la forma de onda de la figura 24.2, tp es un valor muy específico.

Voltaje base El voltaje base (Vb ) es el nivel de voltaje desde el cual se inicia el pulso. Ambas formas de onda de las figuras 24.1 y 24.2 tienen un voltaje base de 0 V. En la figura 24.3(a), el voltaje base es de 1 V, mientras que en la figura 24.3(b) es de 4 V. v

v

5V 0

Amplitud = 4 V

t

Vb = – 4 V

Vb = 1 V

Amplitud = – 6 V

0

t

–10 V (b)

(a)

FIGURA 24.3 Definición del voltaje base.

Pulsos de crecimiento positivo y de crecimiento negativo Un pulso de crecimiento positivo aumenta positivamente desde el voltaje base, mientras que un pulso de crecimiento negativo disminuye en la dirección negativa desde el voltaje base. La forma de onda de la figura 24.3(a) representa un pulso de crecimiento positivo, mientras que la forma de onda de la figura 24.3(b) es un pulso de crecimiento negativo. Aunque el voltaje base de la figura 24.4 es negativo, la forma de onda es de crecimiento positivo (con amplitud de 10 V), ya que el voltaje se incrementa en la dirección positiva desde el voltaje base. v 9V

Amplitud = 10 V

–1V

0

t Vb

tp

FIGURA 24.4 Pulso de crecimiento positivo.

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1095

1096

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

Tiempo de subida (tr ) y tiempo de bajada (tf ) El tiempo requerido para que el pulso se desplace de un nivel a otro es de particular importancia. El redondeo (definido en la figura 24.5) que ocurre al principio y al final de cada transición vuelve difícil definir con exactitud los puntos en que el tiempo de subida debe iniciarse y terminarse. Por esta razón, el tiempo de subida y el tiempo de bajada se definen por los niveles de 10% y 90%, como se indica en la figura 24.5. Observe que no es requisito que tr sea igual a tf . v V1 (90%) 0.9V1

(10%) 0.1V1 0

tr

tf

t

FIGURA 24.5 Definición de tr y tf .

Inclinación Una distorsión no deseable, pero común, que ocurre normalmente debido a una característica de respuesta pobre de baja frecuencia del sistema a través del cual ha pasado un pulso, aparece en la figura 24.6. La caída en el valor pico se llama inclinación. El porcentaje de inclinación está definido por:

v “Inclinación”

V1 V2

V

V1 V2 % de inclinación   100% V

(24.1)

donde V es el valor promedio de la amplitud pico determinado por: 0

t

V1  V2 V  2

FIGURA 24.6 Definición de inclinación.

v

Naturalmente, a menor porcentaje de inclinación, más ideal es el pulso. Debido al redondeo, puede ser difícil definir los valores de V1 y V2. Es necesario entonces aproximar sólo la región con pendiente por medio de una aproximación lineal y usar los valores resultantes de V1 y V2. Otras distorsiones incluyen el predisparo y el sobredisparo que aparecen en la figura 24.7, debidos normalmente a los pronunciados efectos de alta frecuencia de un sistema, y las oscilaciones secundarias, provocadas por la interacción entre los elementos capacitivos e inductivos de una red en su frecuencia natural o resonante.

Sobredisparo

Oscilaciones secundarias

0

(24.2)

t Predisparo

FIGURA 24.7 Definición de predisparo, sobredisparo y oscilaciones secundarias.

EJEMPLO 24.1 Determine lo siguiente para la forma de onda de pulso de la figura 24.8: a. ¿Es de crecimiento positivo o negativo? b. El voltaje base.

24.3 RAZÓN DE REPETICIÓN DE PULSO Y CICLO DE TRABAJO

⏐⏐⏐

1097

v (V) 8 7

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

t (ms)

–4 FIGURA 24.8 Ejemplo 24.1.

c. El ancho de pulso. d. La amplitud máxima. e. La inclinación. Soluciones: a. de crecimiento positivo b. Vb  4 V c. tp  (12 7) ms  5 ms d. Vmáx  8 V  4 V  12 V 23 V 12 V  11 V V1  V2 e. V     11.5 V 2 2 2 12 V 11 V V1 V2 % de inclinación   100%   100%  8.696% 11.5 V V (Recuerde, V está definido por el valor promedio de la amplitud pico.) EJEMPLO 24.2 Determine lo siguiente para la forma de onda de pulso de la figura 24.9: a. ¿Es de crecimiento positivo o negativo? b. El voltaje base. c. La inclinación. d. La amplitud. e. tp. f. tr y tf . Soluciones: a. de crecimiento positivo b. Vb  0 V c. % de inclinación  0% d. amplitud  (4 divisiones)(10 mV/divisiones)  40 mV e. tp  (3.2 divisiones)(5 ms/divisiones)  16 ms f. tr  (0.4 divisiones)(5 ms/divisiones)  2 ms tf  (0.8 divisiones)(5 ms/divisiones)  4 ms

24.3 RAZÓN DE REPETICIÓN DE PULSO Y CICLO DE TRABAJO Una serie de pulsos como los de la figura 24.10 se denomina tren de pulsos. Los anchos y las alturas variables pueden contener información susceptible de ser descifrada en el extremo receptor.

v

tp

90% 10%

0

tr

tf

t

Sensibilidad vertical = 10 mV/divisiones Sensibilidad horizontal = 5 ms/divisiones

FIGURA 24.9 Ejemplo 24.2.

1098

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FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

v

0

t

FIGURA 24.10 Tren de pulsos.

Si el patrón se repite de manera periódica como se muestra en las figuras 24.11 (a) y (b), el resultado se llama tren de pulsos periódicos. El periodo (T) del tren de pulsos se define como la diferencia de tiempo entre dos puntos similares cualesquiera sobre el tren de pulsos, como se muestra en las figuras 24.11(a) y (b). La frecuencia de repetición de pulso (frp), o razón de repetición de pulso (prr), está definida por: 1 frp (o prr)  T

(Hz o pulsos/s)

(24.3)

Aplicar la ecuación (24.3) a cada forma de onda de la figura 24.11 resultará en la misma frecuencia de repetición de pulso ya que los periodos son los mismos. El resultado revela claramente que la forma del pulso periódico no afecta la determinación de la frecuencia de repetición de pulso.

v

v

T 0

T 2

T (1 ms)

T

tp

T

tp

2T (2 ms)

T 3T (3 ms)

t

0 0.2T

(a)

T 2

T (1 ms)

2T (2 ms)

3T (3 ms)

t

(b)

FIGURA 24.11 Trenes de pulsos periódicos.

La frecuencia de repetición de pulso está determinada solamente por el periodo del pulso repetido. El factor que revelará cuánto del periodo está abarcado por el pulso se llama ciclo de trabajo, y se define como sigue: ancho de pulso Ciclo de trabajo    100% periodo

o bien:

tp Ciclo de trabajo   100% T

(24.4)

Para la figura 24.11(a) (un patrón de onda cuadrada), 0.5T Ciclo de trabajo   100%  50% T y para la figura 24.11(b), 0.2T Ciclo de trabajo   100%  20% T Los resultados anteriores revelan claramente que el ciclo de trabajo proporciona una indicación porcentual de la parte del periodo total comprendida por la forma de onda de pulso.

24.3 RAZÓN DE REPETICIÓN DE PULSO Y CICLO DE TRABAJO

EJEMPLO 24.3 Determine la frecuencia de repetición de pulso y el ciclo de trabajo para la forma de onda de pulsos periódicos de la figura 24.12. v (mV) Vb = 3 mV 5

0

10

15

20

25

30

t (ms)

–10

FIGURA 24.12 Ejemplo 24.3.

Solución: T  (15 6) ms  9 ms 1 1 prf    111.11 kHz 9 ms T tp (8 6) ms Ciclo de trabajo   100%   100% 9 ms T 2   100%  22.22% 9 EJEMPLO 24.4 Determine la frecuencia de repetición de pulso y el ciclo de trabajo para el patrón de osciloscopio de la figura 24.13 que tiene las sensibilidades indicadas. v

Sensibilidad vertical = 0.2 V/divisiones Sensibilidad horizontal = 1 ms/divisiones

t divisiones

FIGURA 24.13 Ejemplo 24.4.

Solución: T  (3.2 divisiones)(1 ms/divisiones)  3.2 ms tp  (0.8 divisiones)(1 ms/divisiones)  0.8 ms 1 1 prf    312.5 Hz T 3.2 ms tp 0.8 ms Ciclo de trabajo   100%   100%  25% T 3.2 ms

⏐⏐⏐

1099

1100

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FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

EJEMPLO 24.5 Determine la razón de repetición de pulso y el ciclo de trabajo para la forma de onda de disparo de la figura 24.14. v V 0.5 V

t Sensibilidad horizontal = 10  s/divisiones

0 divisiones

FIGURA 24.14 Ejemplo 24.5.

Solución: T  (2.6 divisiones)(10 ms/divisiones)  26 ms 1 1 prf    38,462 kHz T 26 ms tp  (0.2 divisiones)(10 ms/divisiones)  2 ms tp 2 ms Ciclo de trabajo   100%   100%  7.69% T 26 ms

24.4 VALOR PROMEDIO El valor promedio de una forma de onda de pulso puede determinarse usando uno de los dos métodos. El primer método es el procedimiento delineado en la sección 13.6, que puede aplicarse a cualquier forma de onda alterna. El segundo puede ser aplicado sólo a formas de onda de pulso ya que utiliza términos específicamente relacionados con formas de onda de pulso; es decir, Vpromedio  (ciclo de trabajo)(valor pico)  (1 ciclo de trabajo)(Vb)

(24.5)

En la ecuación (24.5), el valor pico es la desviación máxima desde el nivel de referencia o cero volts, y el ciclo de trabajo está en forma decimal. La ecuación (24.5) no incluye el efecto de ninguna inclinación en formas de ondas de pulso con flancos inclinados. EJEMPLO 24.6 Determine el valor promedio para la forma de onda de pulso periódico de la figura 24.15. Solución: Mediante el método de la sección 13.6, área bajo la curva G  T T  (12 2) ms  10 ms (8 mV)(4 ms)  (2 mV)(6 ms) 32  10 9  12  10 9 G   10  10 6 10 ms 44  10 9   4.4 mV 10  10 6

24.4 VALOR PROMEDIO

⏐⏐⏐

1101

v (mV) 8 7 6 5 4 3 2 1

Vpromedio

5

0

10

15

T

20 t (s) 

FIGURA 24.15 Ejemplo 24.6.

Mediante la ecuación (24.5), Vb  2 mV (6 2) ms tp 4 Ciclo de trabajo     0.4 (forma decimal) T 10 10 ms

v

Valor pico (desde la referencia de 0 V)  8 mV Vpromedio  (ciclo de trabajo)(valor pico)  (1 ciclo de trabajo)(Vb)  (0.4)(8 mV)  (1 0.4)(2 mV)  3.2 mV  1.2 mV  4.4 mV

0.28T 7V 0 t

–3 V T

como se obtuvo antes. EJEMPLO 24.7 Dada una forma de onda de pulso periódico con ciclo de trabajo de 28%, valor pico de 7 V, y voltaje base de 3 V: a. Determine el valor promedio. b. Trace la forma de onda. c. Verifique el resultado de la parte (a) usando el método de la sección 13.6. Soluciones: a. Mediante la ecuación (24.5),

FIGURA 24.16 Solución a la parte (b) del ejemplo 24.7.

v Sensibilidad vertical = 5 mV/divisiones Sensibilidad horizontal = 5 ms/divisiones

divisiones

Vpromedio  (ciclo de trabajo)(valor pico)  (1 ciclo de trabajo)(Vb)  (0.28)(7 V)  (1 0.28)( 3 V)  1.96 V  ( 2.16 V)  0.2 V

t

0

Modo de ca

b. Vea la figura 24.16. (7 V)(0.28T) (3 V)(0.72T) c. G   1.96 V 2.16 V T

(a) v Sensibilidad vertical = 5 mV/divisiones Sensibilidad horizontal = 5 ms/divisiones

divisiones

 0.2 V como se obtuvo antes.

Instrumentación El valor promedio (valor de cd) de cualquier forma de onda puede ser determinado fácilmente usando el osciloscopio. Si el interruptor de modo del osciloscopio se fija en la posición de ca, el promedio o componente de cd de la forma de onda aplicada será bloqueado por un capacitor interno impidiendo que alcance la pantalla. El patrón puede ser ajustado para establecer la exhibición de la figura 24.17(a). Si el interruptor de modo se coloca entonces en la posición

0

Vpromedio = 4 mV t Modo de cd (b)

FIGURA 24.17 Determinación del valor promedio de una forma de onda de pulso utilizando un osciloscopio.

1102

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

de cd, el desplazamiento vertical (positivo o negativo) revelará el nivel promedio o cd de la señal de entrada, como se muestra en la figura 24.17(b).

24.5 REDES R-C TRANSITORIAS En el capítulo 10 se desarrolló la solución general para el comportamiento transitorio de una red R-C con o sin valores iniciales. La ecuación resultante para el voltaje en un capacitor se repite abajo por conveniencia. vC  Vf  (Vi Vf)e t/RC vC Vf Vf – Vi Vi 0

t

5t

Recuerde que Vi es el voltaje inicial en el capacitor cuando la fase transitoria empieza como se muestra en la figura 24.18. El voltaje Vf es el valor de estado estable (en reposo) del voltaje en el capacitor cuando ha terminado la fase transitoria. El periodo transitorio se aproxima por 5t, donde t es la constante de tiempo de la red y es igual al producto RC. Para la situación en que el voltaje inicial es de cero volts, la ecuación se reduce a la siguiente forma conocida, donde Vf es a menudo el voltaje aplicado:

FIGURA 24.18 Definición de los parámetros de la ecuación (24.6).

vC  Vf (1 e t/RC)

Vi  0 V

(24.7)

Para el caso de la figura 24.19, Vi  2 V, Vf  5 V, y

vC 5V

vC  Vi  (Vf Vi)(1 e t/RC)  2 V  [5 V ( 2 V)](1 e t/RC) vC  2 V  7 V(1 e t/RC)

2.424 V 0

(24.6)

t –2 V

5t

t

Para el caso en que t  t  RC, vC  2 V  7 V(1 e t/t)  2 V  7 V(1 e 1)  2 V  7 V(1 0.368)  2 V  7 V(0.632) vC  2.424 V

FIGURA 24.19 Ejemplo del uso de la ecuación (24.6).

como lo comprueba la figura 24.19.

R 100 k

+ E

8V

C

FIGURA 24.20 Ejemplo 24.8.

1 mF 2 V

–

EJEMPLO 24.8 El capacitor de la figura 24.20 está cargado inicialmente a 2 V antes de cerrar el interruptor. Luego se cierra el interruptor. a. Determine la expresión matemática para vC. b. Determine la expresión matemática para iC. c. Trace las formas de onda de vC e iC. Soluciones: a. Vi  2 V Vf (después de 5t)  E  8 V t  RC  (100 k )(1 mF)  100 ms Mediante la ecuación (24.6), vC  Vf  (Vi Vf)e t/RC  8 V  (2 V 8 V)e t/t y

vC  8 V  6 V et/t

24.5 REDES R-C TRANSITORIAS

b. Cuando el interruptor se cierra, el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente, y VR  E Vi  8 V 2 V  6 V. La corriente salta, por tanto, a un nivel determinado por la ley de Ohm: VR 6V IRmáx    0.06 mA R 100 k

vC (V) 8

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

iC  0.06 mAe c. Vea la figura 24.21.

iC (mA) 0.1

EJEMPLO 24.9 Trace vC para el escalón de entrada mostrado en la figura 24.22. Suponga que el voltaje de 4 mV ha estado presente por un lapso mayor a cinco constantes de tiempo de la red. Determine entonces cuándo vC  0 V si el escalón cambia de niveles en t  0 s.

0.06

R

+

– 4 mV C

+ t

Solución: Vi  4 mV Vf  10 mV t  RC  (1 k )(0.01 mF)  10 ms Mediante la ecuación (24.6), vC  Vf  (Vi Vf)e t/RC  10 mV  ( 4 mV 10 mV)et/10ms vC  10 mV  14 mV et/10ms

La forma de onda aparece en la figura 24.23. vC (mV) 10 t = 3.37 ms 10 20 30 40 50 60 70 80

0 –4

5t

FIGURA 24.23 vC para la red de la figura 24.22.

0.01 mF vC

–

–

FIGURA 24.22 Ejemplo 24.9.

y

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

FIGURA 24.21 vC e iC para la red de la figura 24.20.

1 k

vi 0 –4 mV

t (s)

5t

t/t

+

1103

2

La corriente decaerá entonces a cero ampere con la misma constante calculada en la parte (a), e

vi 10 mV

⏐⏐⏐

t (ms)

t (s)

1104

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

Al sustituir vC  0 V en la ecuación anterior resulta: vC  0 V  10 mV 14 mV e t/10ms 10 mV  e t/10ms 14 mV

y

0.714  e t/10ms

o bien:

t loge0.714  loge(e t/10ms)  10 ms

pero: y

t  (10 ms)loge0.714  (10 ms)( 0.377)  3.37 ms

como se indica en la figura 24.23.

24.6 RESPUESTA R-C A ENTRADAS DE ONDA CUADRADA La onda cuadrada de la figura 24.24 es una forma particular de forma de onda de pulso. Tiene un ciclo de trabajo de 50% y valor promedio de cero volts, que se calculan como sigue: tp T/2 Ciclo de trabajo   100%   100%  50% T T 0 (V1)(T/2)  ( V1)(T/2) Vpromedio    0 V T T v V1 0

T 2

T

2T

3T

t

–V1

FIGURA 24.24 Onda cuadrada periódica.

La aplicación de un voltaje de cd V1 en serie con la onda cuadrada de la figura 24.24 puede elevar el voltaje base desde V1 hasta cero volts, y el valor promedio a V1 volts. Si una onda cuadrada como la de la figura 24.25 se aplica a un circuito R-C v 2V1

+ v V1

–

– T2

0

T 2

T

2T

FIGURA 24.25 Subida del voltaje de línea base de una onda cuadrada a cero volts.

t

24.6 RESPUESTA R-C A ENTRADAS DE ONDA CUADRADA

como se muestra en la figura 24.26, el periodo de la onda cuadrada puede tener un efecto pronunciado sobre la forma de onda resultante para vC. En el análisis siguiente supondremos que se han establecido condiciones de estado estable después que ha pasado un periodo de cinco constantes de tiempo. Las formas de onda desarrolladas en el capacitor pueden ser clasificadas en tres tipos fundamentales: T/2  5t; T/2  5t; y T/2  5t.

R

vi

+

+

V vi 0

T

T 2

2T

t

vC

C

–

–

FIGURA 24.26 Aplicación de un tren de pulsos periódico de onda cuadrada a una red R-C.

T/2 > 5t La condición T/2 > 5t, o T > 10t, establece una situación donde el capacitor puede cargarse a su valor de estado estable antes de t  T/2. Las formas de onda resultantes para vC e iC se verán como se muestra en la figura 24.27. Observe con cuánta semejanza el voltaje vC “sombrea” la forma de onda aplicada, y cómo iC es nada más que una serie de picos muy agudos. También advierta que el cambio de Vi desde V hasta cero volts en el flanco posterior simplemente produce una rápida descarga de vC a cero volts. En esencia, cuando Vi  0, el capacitor y el resistor están en paralelo y el capacitor simplemente se descarga a través de R con una constante de tiempo igual a la encontrada durante la fase de carga, pero con una dirección de flujo de carga (corriente) opuesta a la establecida durante la fase de carga.

iC

T > 5t 2

vC 5t

V R

V 0

T 2 5t T 2

T

2T 5t

t

0

5t

T

2T

t

–V (a)

R

(b)

FIGURA 24.27 vC e iC para T/2 > 5t.

T/2  5t Si la frecuencia de la onda cuadrada se elige de manera que T/2  5t o T  10t, el voltaje vC alcanzará su valor final justo antes del principio de su fase de descarga, como se muestra en la figura 24.28. El voltaje vC ya no se parece a la entrada de onda cuadrada y, de hecho, tiene algunas de las características de una forma de onda triangular. La constante de tiempo incrementada ha resultado en una vC más redondeada, e iC ha crecido considerablemente a lo ancho, lo cual muestra el periodo de carga más largo.

⏐⏐⏐

1105

1106

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

vC 5t

iC

T = 5t 2

V R

V

5t 0

T 2

2T

T

0

t

5t

T

T 2

2T

t

– V 5t R

(a)

(b)

FIGURA 24.28 vC e iC para T/2  5t.

T/2 < 5t Si T/2 < 5t o T < 10t, el voltaje vC no alcanzará su valor final durante el primer pulso (Figura 24.29), y el ciclo de descarga no retornará a cero volts. De hecho, el valor inicial para cada pulso sucesivo cambiará hasta que se alcancen condiciones de estado permanente. En la mayoría de los casos, es una buena aproximación suponer que se han establecido condiciones de estado permanente en cinco ciclos de la forma de onda aplicada.

vC

T 2

T

5t

V R

5t

V 0

iC

T < 5t 2

2T

3T

0

t

(a)

T 2

T

2T

3T

t

–V R

(b)

FIGURA 24.29 vC e iC para T/2 < 5t.

Conforme aumente la frecuencia y el periodo disminuya, habrá un aplanamiento de la respuesta para vC hasta que resulte un patrón como el de la figura 24.30. Esta figura comienza a revelar una importante conclusión relativa a la curva de respuesta para vC: Bajo condiciones de estado permanente, el valor promedio de vC será igual al valor promedio de la onda cuadrada aplicada.

vC

T 100 ms, como se muestra en la figura 24.40, produciendo claramente una severa distorsión de redondeo de la onda cuadrada y una pobre representación de la señal aplicada. Para mejorar la situación, a menudo se agrega un capacitor variable en paralelo con la resistencia del atenuador, resultando en una punta de prueba atenuadora compensada como se muestra en la figura 24.41. En el capítulo 21, se demostró que una onda cuadrada se puede generar mediante una suma de señales senoidales de frecuencia y amplitud particulares. Por tanto, si diseñamos una red tal como la mostrada en la figura 24.42 que garantice que Vosciloscopio es 0.1vi para cualquier frecuencia, entonces la distorsión por redondeo será eliminada, y Vosciloscopio tendrá la misma apariencia que vi. Aplicando la regla del divisor de voltaje a la red de la figura 24.42, ZsVi Vosciloscopio  Z s  Zp

(24.8)

Si los parámetros se eligen o ajustan en forma tal que: RpCp  RsCs FIGURA 24.41 Punta de prueba atenuadora comercial compensada de 10 :1. (Cortesía de Tektronix, Inc.)

Zp Cp

Rp

+ Vi

–

+

9 M Punta de prueba

Zs Rs

1M

(24.9)

el ángulo de fase de Zs y Zp será el mismo, y la ecuación (24.8) se reducirá a: R sV i Vosciloscopio  Rs  Rp

(24.10)

lo cual no es sensible a la frecuencia ya que los elementos capacitivos han desaparecido de la relación. En el laboratorio, simplemente se ajusta la capacitancia de la punta de prueba usando una señal de onda cuadrada estándar o conocida hasta obtener las esquinas agudas que se buscan para la onda cuadrada. Si el lector evita el paso de calibración, puede hacer que una señal redondeada se vea cuadrada, ya que supuso una onda cuadrada en el punto de medición. Demasiada capacitancia producirá un efecto de sobredisparo, mientras que muy poca seguirá mostrando el efecto de redondeo.

Ci Vosciloscopio

–

24.8 APLICACIÓN Control remoto de televisión

FIGURA 24.42 Atenuador compensado e impedancia de entrada a un osciloscopio, incluyendo la capacitancia del cable.

El control remoto de televisión se ha constituido en parte importante de nuestra vida moderna, y quizá en algún momento nos hemos preguntado cómo se ve por dentro o cómo funciona. En muchos aspectos, es similar al mecanismo que abre automáticamente la puerta de una cochera o al transmisor de la alarma de un auto en que no hay una conexión visible unida a su receptor, y cada transmisor está vinculado a su receptor con un código especial. La única e importante

24.8 APLICACIÓN

diferencia entre el control remoto de la televisión y los otros controles mencionados es que el primero usa una frecuencia infrarroja, mientras los otros dos emplean una frecuencia de radio mucho menor. El control remoto de televisión de la figura 24.43(a) ha sido abierto para mostrar la construcción interna de su teclado y su carátula en la figura 24.43(b). Los tres componentes de la figura 24.43(b) fueron colocados en un nivel que permite ajustar las cavidades de la cubierta con las teclas reales instaladas en la membrana interruptora y con la localización que cada botón sobre el cojincillo de la tecla oprimirá en la carátula del tablero del circuito impreso. Observe sobre el tablero del circuito impreso que hay un cojincillo negro para hacer coincidir cada tecla sobre la membrana. El lado posterior de la membrana se muestra en la

(a)

(b)

(c)

(d)

FIGURA 24.43 Control remoto de televisión: (a) apariencia externa; (b) construcción interna; (c) cojincillos de tecla de carbono; (d) vista ampliada del cojincillo de tecla S31.

⏐⏐⏐

1113

1114

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

Cristal (cristal oscilador)

IR LED

Resistor

Capacitor Codificador IC, matriz interruptor

FIGURA 24.44 Parte posterior del control remoto de televisión de la figura 24.43.

figura 24.43(c) para permitir apreciar los suaves contactos de carbono que harán contacto con los contactos de carbono ubicados sobre el tablero impreso cuando los botones sean oprimidos. Una vista ampliada de uno de los contactos (S31) de la figura 24.43(c) se muestra en la figura 24.43(d) para ilustrar la separación entre los circuitos y el patrón usado para asegurar la continuidad cuando el redondo cojincillo sólido de carbono en el fondo de la tecla sea colocado en su lugar. Todas las conexiones que se establecen cuando se oprime una tecla se transmiten a un chip IC codificador por matriz de interruptores relativamente grande que se aprecia sobre la parte posterior del tablero del circuito impreso en la figura 24.44. Para el cojincillo (S31) de la figura 24.43(d), se conectarán tres alambres de la matriz que se ve en la figura 24.43(b) cuando se oprima la tecla correspondiente (número 5). El codificador reaccionará entonces a esta combinación y enviará la señal apropiada como una señal infrarroja desde el IR LED que aparece en el extremo del control remoto, como se ilustra en las figuras 24.43(b) y 24.44. El segundo LED más pequeño (rojo en la unidad real) que aparece en la parte superior de la figura 24.43(b) destella durante la transmisión. Una vez que se insertan las baterías, la circuitería electrónica CMOS que maneja la operación del control remoto está siempre encendida. Esto sólo es posible debido a la muy pequeña extracción de potencia de la circuitería CMOS. El botón de potencia (PWR) se usa únicamente para encender la televisión y activar el receptor. La señal enviada por la mayoría de los controles remotos es cualquiera de los dos tipos que aparecen en la figura 24.45. En cada caso, se tiene un pulso clave para iniciar la secuencia de señales e informar al receptor que la señal codificada está por llegar. En la figura 24.45(a), se transmite una señal binaria codificada de 4 bits usando pulsos en ubicaciones específicas para representar los “unos” y la ausencia de un pulso para representar los “ceros”. Esa señal codificada puede ser interpretada entonces por la unidad receptora para efectuar la operación apropiada. En la figura 24.45(b), la señal está controlada por la frecuencia. Cada tecla tendrá asociada una frecuencia diferente. El resultado es que cada tecla tendrá una frecuencia específica de transmisión. Como cada receptor de televisión responderá a un tren diferente de pulsos, un control remoto debe estar codificado para la televisión bajo control. Existen controles remotos con programas fijos que sólo pueden usarse con una televisión; pero también hay controles remotos inteligentes que están preprogramados internamente con Pulso clave V

1 0 1 0 ENCENDIDO

0 0 1 0 CANAL 2 (a)

1 0 1 APAGADO

t

Pulso clave V

ENCENDIDO

APAGADO Alta frecuencia

AUMENTO DE VOLUMEN Baja frecuencia Frecuencia media

(b)

FIGURA 24.45 Transmisión de una señal: (a) tren de pulsos; (b) variación.

24.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

varios códigos. Los controles remotos de este tipo sólo necesitan ser “avisados” acerca de qué televisión está implicada usando un sistema codificador de tres dígitos, y se adaptarán en consecuencia. Los controles remotos de aprendizaje son aquellos que pueden usar un control remoto viejo para aprender el código y luego almacenarlo para uso futuro. En este caso, un control remoto se coloca directamente enfrente de otro y la información se transfiere del uno al otro cuando ambos son energizados. Existen también controles remotos que son una combinación de estos dos últimos. El control remoto de la figura 24.43 usa cuatro baterías AAA en serie para entregar un total de 6 V. Tiene su propio cristal oscilador local separado del IC como se muestra mediante los elementos discretos localizados en la parte derecha superior y media izquierda del tablero del circuito impreso de la figura 24.43(c). El cristal mismo, que es relativamente grande comparado con los otros elementos, aparece en el otro lado del tablero justo arriba del capacitor electrolítico en la figura 24.44. Es responsabilidad del oscilador generar la señal de pulso requerida para una adecuada operación de IC. Observe lo bien nivelados que están la mayoría de los elementos discretos en la figura 24.43(b), y advierta el gran capacitor electrolítico sobre la parte posterior del tablero del circuito impreso en la figura 24.44. Las especificaciones sobre la unidad dan un espacio de cobertura del control de 25 pies con arco de cobertura de 30° como se muestra en la figura 24.46. El arco de cobertura de cualquier unidad de control remoto puede ser fácilmente probado apuntándolo de manera directa hacia la televisión y moviéndolo luego en cualquier dirección hasta que ya no controle al aparato.

24.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA PSpice Respuesta R-C Nuestro análisis comenzará con una verificación de los resultados del ejemplo 24.10, el cual examinó la respuesta del circuito R-C en serie que aparece en el diagrama esquemático de la figura 24.47. La fuente es una usada en los capítulos 10 y 12 para repetir la acción de un interruptor en serie con una fuente de cd. Por conveniencia, los atributos que definen a la forma de onda de pulso están repetidos en la figura 24.48. Recuérdese que el PW fue establecido lo suficientemente largo como para que pudiera ser examinado todo el periodo transitorio. En este análisis, el ancho de pulso se ajustará para permitir ver el comportamiento transitorio de una red R-C entre niveles cambiantes del pulso aplicado. Inicialmente, el PW se establecerá en 10 veces la constante de tiempo de la red de manera que toda la respuesta transitoria pueda ocurrir entre cambios en el nivel de voltaje. La constante de tiempo de la red es t  RC  (5 k) (0.01 mF)  0.05 ms, resultando en un PW de 0.5 ms en la figura 24.47. Para establecer una apariencia de onda cuadrada, el periodo se eligió como el doble del ancho de pulso o 1 ms como se muestra en la lista VPulse. En el cuadro de diálogo Simulation Settings seleccionamos Time Domain(Transient) porque deseamos obtener una respuesta en función del tiempo. Run to time fue elegido igual a 2 ms de manera que resulten dos ciclos completos. Start saving data after se dejó en el valor predeterminado de 0 s, y Maximum step size se estableció en 2 ms/1000  2 ms. Después de la simulación, Trace-Add Trace-I(C)-OK, el resultado fue la gráfica inferior de la figura 24.49. Observe que la corriente máxima es de 2 mA de acuerdo con ICmáx  10 mV/5 k, y que toda la respuesta transitoria aparece dentro de cada pulso. También advierta que la corriente cayó debajo del eje para mostrar un cambio en dirección cuando el voltaje aplicado cayó desde el nivel de 10 mV hasta 0 V. Por medio de Plot-Add Plot to Window-Trace-Add Trace-V (Vpulse:)-OK-Trace-Add Trace-V(C:1)-OK, las gráficas del voltaje aplicado y del voltaje en el capacitor pueden desplegarse en la parte superior de la

30°

⏐⏐⏐

1115

25

“Botones”

FIGURA 24.46 Espacio y ángulo de cobertura para el control remoto de televisión de la figura 24.43.

1116

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

FIGURA 24.47 Uso de PSpice para verificar los resultados del ejemplo 24.10.

V

V1 0

TR V2 PW

TF

PER

TD

FIGURA 24.48 Definición de los parámetros Vpulse de PSpice.

t

figura 24.49. Primero seleccionamos la gráfica superior de la figura 24.49 hacia la cual mover SEL>>, y luego la tecla Toggle cursor. Entonces podemos hacer clic izquierdo sobre V(C:1) en el fondo derecho de la gráfica y colocar un cursor sobre ésta con un clic izquierdo del ratón. Establecer el cursor en cinco constantes de tiempo mostrará que el voltaje transitorio ha llegado a 9.935 mV. Fijando el cursor de clic derecho en diez constantes de tiempo veremos que esencialmente VC ha alcanzado el nivel de 10 mV. Estableciendo tp  t  T/2 Los parámetros de la fuente serán modificados ahora cambiando la frecuencia de la forma de onda de pulso a 10 kHz con un periodo de 0.1 ms y ancho de pulso de 0.05 ms. Para Vpulse los cambios son PW  0.05 ms y PER  0.1 ms. La constante de tiempo de la red permanece igual a 0.05 ms, por lo que tenemos una situación donde el ancho de pulso es igual a la constante de tiempo del circuito. El resultado es que tomará varios pulsos antes de que el voltaje en el capacitor alcance su valor final de 10 mV. Bajo Simulation Settings, Run to time cambiará a 0.5 ms  500 ms o cinco ciclos del voltaje aplicado. Maximum step size cambiará a 500 ms/1000  500 ns  0.5 ms. Bajo la ventana SCHEMATIC1 se selecciona Trace-Add Trace-V(C:1)-OK para obtener el voltaje transitorio en el capacitor, mientras que Trace-Add Trace-V(Vpulse:)-OK colocará el voltaje aplicado en la misma pantalla. En las gráficas resultantes de la figura 24.50, observe que el voltaje se incrementa desde 0 V hasta que parece alcanzar un estado permanente después de 400 ms. A 400 ms, se utilizó un cursor izquierdo (A1) para encontrar el punto mínimo resultando en 2.71 mV —una estrecha concordancia con el cálculo manual del ejemplo 24.11 de 2.69 mV—. A 450 ms, el cursor de clic derecho (A2) proporcionó un nivel de 7.29 mV, el cual está de nuevo en estrecha concordancia con el nivel calculado antes de 7.31 mV.

24.9 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

FIGURA 24.49 Gráfica de vpulso, vC e iC para el circuito de la figura 24.47.

FIGURA 24.50 Gráfica de vC para el circuito de la figura 24.47 con tp  t  T/2.

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1118

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C

PROBLEMAS SECCIÓN 24.2

Ideal contra real

1. Determine lo siguiente para la forma de onda de pulso de la figura 24.51: a. ¿El pulso es de crecimiento positivo o negativo? b. Voltaje base. c. Ancho de pulso. d. Amplitud. e. Porcentaje de inclinación. 2. Resuelva el problema 1 para la forma de onda de pulso de la figura 24.52.

v (mV)

v (V) 7

8 7.5 2 0 0.2 0.4

3.4 3.6

1.8 2.0

t (ms)

0 –1

FIGURA 24.51 Problemas 1, 8 y 12.

7

12

15

20

23 t (ms)

FIGURA 24.52 Problemas 2 y 9.

3. Resuelva el problema 1 para la forma de onda de pulso de la figura 24.53.

Sensibilidad vertical = 10 mV/divisiones Sensibilidad horizontal = 2 ms/divisiones

v

4

4. Determine el número de subidas y bajadas para la forma de onda de la figura 24.53. 5. Trace una forma de onda de pulso que tenga voltaje base de

5 mV, ancho de pulso de 2 m s, amplitud de 15 mV, inclinación de 10%, periodo de 10 m s, flancos verticales, y que sea de crecimiento positivo.

div.

0

t

FIGURA 24.53 Problemas 3, 4, 10 y 13.

6. Para la forma de onda de la figura 24.54, establecida mediante aproximaciones lineales de la forma de onda original: a. Determine el tiempo de subida. b. Encuentre el tiempo de bajada. c. Encuentre el ancho de pulso. d. Calcule la frecuencia. 7. Para la forma de onda de la figura 24.55: a. Determine el periodo. b. Encuentre la frecuencia. c. Encuentre las amplitudes máxima y mínima. v

v 20 mV

0 0

2

6

10

20 22

FIGURA 24.54 Problemas 6 y 14.

26

30

t (ms)

Sensibilidad vertical = 0.2 V/divisiones Sensibilidad horizontal = 50 ms/divisiones

FIGURA 24.55 Problemas 7 y 15.

t

PROBLEMAS

⏐⏐⏐

1119

SECCIÓN 24.3 Razón de repetición de pulso y ciclo de trabajo 8. Determine la frecuencia de repetición de pulso y el ciclo de trabajo para la forma de onda de la figura 24.51. 9. Determine la frecuencia de repetición de pulso y el ciclo de trabajo para la forma de onda de la figura 24.52. 10. Determine la frecuencia de repetición de pulso y el ciclo de trabajo para la forma de onda de la figura 24.53. SECCIÓN 24.4

Valor promedio v (mV)

11. Para la forma de onda de la figura 24.56, determine: a. El periodo. b. El ancho de pulso. c. La frecuencia de repetición de pulso. d. El valor promedio. e. El valor efectivo.

6

0

1

3

9

11

17

19 t (ms)

–2

12. Determine el valor promedio de la forma de onda de pulso periódica de la figura 24.51. FIGURA 24.56 Problema 11.

13. Con la mejor precisión posible, determine el valor promedio de la forma de onda de la figura 24.53. 14. Determine el valor promedio de la forma de onda de la figura 24.54. 15. Determine el valor promedio del tren de pulsos periódicos de la figura 24.55. SECCIÓN 24.5

R

Redes R-C transitorias

16. Inicialmente, el capacitor de la figura 24.57 está cargado a 5 V, con la polaridad indicada en la figura. Entonces, el interruptor se cierra en t  0 s. a. ¿Cuál es la expresión matemática para el voltaje vC? b. Trace vC en función de t. c. ¿Cuál es la expresión matemática para la corriente iC? d. Trace iC en función de t.

iC

10 k

+

E

20 V

–

vC C

0.02 mF 5 V

–

+

FIGURA 24.57 Problema 16.

17. Para el voltaje de entrada vi que aparece en la figura 24.58, trace la forma de onda para vo. Suponga que se establecieron condiciones de estado estable con vi  8 V. R vi

+

8V

2 k

+ C

vi

4V

10 mF vo

–

– 0

t

FIGURA 24.58 Problema 17. 18. El interruptor de la figura 24.59 está en la posición 1 hasta que se establecen condiciones de estado estable. Luego el interruptor se mueve (en t  0 s) a la posición 2. Trace la forma de onda para el voltaje vC. 19. Trace la forma de onda para iC en el problema 18.

1

R

2

1 k iC

+ 10 V

vC C

1000 mF

–

FIGURA 24.59 Problemas 18 y 19.

2V

1120

⏐⏐⏐

FORMAS DE ONDA DE PULSO Y LA RESPUESTA R-C SECCIÓN 24.6 cuadrada

Respuesta R-C a entradas de onda

20. Trace el voltaje vC para la red de la figura 24.60 debido a la entrada de onda cuadrada de la misma figura con una frecuencia de: a. 500 Hz. b. 100 Hz. c. 5000 Hz.

R vi

+

ic

5 k

20 V vi 0

T 2

T

t

–

C

+

0.04 mF vc

–

FIGURA 24.60 Problemas 20, 21, 23, 24, 27 y 28. 21. Trace la corriente iC para cada frecuencia del problema 20. vi 20 V

T 2

22. Trace la respuesta vC de la red de la figura 24.60 a la entrada de onda cuadrada de la figura 24.61. f = 500 Hz

T –20 V

FIGURA 24.61 Problema 22.

23. Si el capacitor de la figura 24.60 está cargado inicialmente a 20 V, trace la respuesta vC a la misma señal de entrada (de la figura 24.60) a una frecuencia de 500 Hz. t

24. Resuelva el problema 23 si el capacitor está inicialmente cargado a 10 V. SECCIÓN 24.7 Atenuador de osciloscopio y punta de prueba compensada 25. Dada la red de la figura 24.42 con Rp  9 M y Rs  1 M , encuentre Vosciloscopio en forma polar si Cp  3 pF, Cs  18 pF, Cc  9 pF, y vi  2 (100) sen 2p10,000t. Es decir, determine Zs y Zp, sustitúyalos en la ecuación (24.8), y compare los resultados obtenidos con la ecuación (24.10). ¿Se comprueba que el ángulo de fase de Zs y Zp es el mismo bajo la condición RpCp  RsCs? 26. Resuelva el problema 25 con q  105 rad/s. SECCIÓN 24.9

Análisis por computadora

PSpice o Electronics Workbench 27. Mediante un esquema, obtenga las formas de onda para vC e iC para la red de la figura 24.60 y una frecuencia de 1 kHz. *28. Mediante un esquema, coloque las formas de onda de vi, vC e iC sobre la misma impresión para la red de la figura 24.60 a una frecuencia de 2 kHz. *29. Mediante un esquema, obtenga la forma de onda que aparece en el osciloscopio de la figura 24.37 con un pulso de entrada de 20 V a una frecuencia de 5 kHz. *30. Coloque un capacitor en paralelo con Rp en la figura 24.37 que establezca una relación en fase entre vosciloscopio y vi. Mediante un esquema, obtenga la forma de onda que aparece en el osciloscopio de la figura 24.37 con una entrada de pulso de 20 V a una frecuencia de 5 kHz.

GLOSARIO Lenguaje de programación (C, QBASIC, Pascal, etc.) 31. Dado un tren de pulsos periódico tal como el de la figura 24.11, escriba un programa para determinar el valor promedio, dados el voltaje base, el valor pico y el ciclo de trabajo. 32. Dados los valores inicial y final y los parámetros de red R y C, escriba un programa para tabular los valores de vC a inter-

⏐⏐⏐

1121

valos de una constante de tiempo (las primeras cinco) de la fase transitoria. 33. Para el caso de T/2 < 5t, como está definido por la figura 24.29, escriba un programa que determine los valores de vC en cada medio periodo de la onda cuadrada aplicada. Pruebe la solución introduciendo las condiciones del ejemplo 24.10.

GLOSARIO Amplitud de una forma de onda de pulso Valor pico a pico de una forma de onda de pulso. Ancho de pulso (tp) Ancho de pulso definido mediante el 50% del nivel de voltaje. Ciclo de trabajo Factor que revela cuánto de un periodo abarca la forma de onda de pulso. Frecuencia de repetición de pulso (razón de repetición de pulso) Frecuencia de un tren de pulsos periódicos. Inclinación Caída en el valor pico en el ancho de pulso de una forma de onda de pulso. Onda cuadrada Forma de onda de pulsos periódicos con un 50% de ciclo de trabajo. Pulso de crecimiento negativo Pulso que aumenta en la dirección negativa desde el voltaje base. Pulso de crecimiento positivo Pulso que aumenta en la dirección positiva desde el voltaje base. Pulso ideal Forma de onda de pulso caracterizada por tener lados verticales, esquinas agudas y respuesta de pico plana. Pulso real (verdadero o práctico) Forma de onda de pulso con un flanco delantero y otro trasero que no son verticales, junto

con otros efectos de distorsión como inclinación, oscilaciones secundarias o sobredisparo. Punta de prueba atenuadora Punta de prueba de osciloscopio que reducirá la intensidad de la señal aplicada al canal vertical de un osciloscopio. Punta de prueba atenuadora compensada Punta de prueba de osciloscopio que reduce la señal aplicada y equilibra los efectos de la capacitancia de entrada de un osciloscopio sobre la señal que debe ser exhibida. Tiempo de bajada (tf) Tiempo requerido para que el flanco posterior de una forma de onda de pulso caiga del nivel de 90% al nivel de 10%. Tiempo de subida (tr) Tiempo requerido para que el flanco delantero de una forma de onda de pulso viaje desde el nivel de 10% hasta el nivel de 90%. Tren de pulsos Serie de pulsos que puede tener alturas y anchos variables. Tren de pulsos periódicos Secuencia de pulsos que se repite a sí misma después de un periodo específico. Voltaje base (Vb) Nivel de voltaje desde el cual se inicia un pulso.

NON

25 Circuitos no senoidales

25.1 INTRODUCCIÓN Cualquier forma de onda que difiera de la descripción básica de la forma de onda senoidal se denomina no senoidal. Las formas de onda más evidentes y conocidas son las de cd, onda cuadrada, triangular, diente de sierra y rectificada que aparecen en la figura 25.1.

v

v

v

t

t

(a)

(c)

(b)

v

t

v

t (d)

t (e)

FIGURA 25.1 Formas de onda comunes no senoidales: (a) de cd; (b) onda cuadrada; (c) triangular; (d) diente de sierra; (e) rectificada.

La salida de muchos dispositivos eléctricos y electrónicos será no senoidal, aun si la señal aplicada es puramente senoidal. Por ejemplo, la red de la figura 25.2 emplea un diodo para eliminar la parte negativa de la señal aplicada en un proceso llamado rectificación de media onda, el cual se usa en el desarrollo de niveles de cd desde una entrada senoidal. En sus cursos sobre electrónica, el lector verá que el diodo es similar a un interruptor mecánico, pero diferente en el sentido de que puede conducir corriente en sólo una dirección. La forma de onda de salida es definitivamente no senoidal, pero advierta que tiene el mismo periodo que la señal aplicada y coincide con la entrada durante medio periodo.

NON

1124

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES e

vo

Diodo ideal

+ e 0

T 2

T

t

–

+ R

vo

–

0

T 2

T

t

FIGURA 25.2 Rectificador de media onda que produce una forma de onda no senoidal.

Este capítulo demostrará cómo una forma de onda no senoidal como la salida de la figura 25.2 puede ser representada mediante una serie de términos. El lector aprenderá también cómo determinar la respuesta de una red a una entrada de tal tipo.

25.2 SERIE DE FOURIER La serie de Fourier se refiere a una secuencia de términos, desarrollada en 1826 por el barón Jean Fourier (Figura 25.3), que puede usarse para representar una forma de onda periódica no senoidal. En el análisis de esas formas de onda, resolvemos para cada término de la serie de Fourier: f (t) 

A0  A1 sen !t

cd o valor promedio

sen 3 t . . .  An sen n!t

A2 sen 2

 B1 cos !t  B2 cos 2

B3

3 t  . . .  Bn cos n!t

(25.1)

términos coseno Francés (Auxerre, Grenoble, París) (1768-1830) Matemático, Egiptólogo, y administrador Profesor de matemáticas, École Polytechnique Cortesía de Smithsonian Institution Fotografía núm. 56,822

Se le conoce mejor por haber formulado una serie matemática infinita de términos seno y coseno denominada serie de Fourier, la cual se usa para mostrar cómo puede ser analizada y definida la conducción de calor en los sólidos. Aunque fue principalmente un matemático, gran parte de la obra de Fourier tiene relación con los hechos físicos del mundo real, como la transferencia de calor, las manchas solares y el clima. Se integró como profesor a la École Polytechnique en París desde su inauguración. Napoleón solicitó su ayuda en la investigación de las antigüedades egipcias, lo cual dio como resultado una estancia de tres años en Egipto como secretario del Institut d’Égypte. Napoleón lo nombró barón en 1809, y fue elegido para integrar la Académie des Sciences en 1817.

FIGURA 25.3 Barón Jean Fourier.

Dependiendo de la forma de onda, puede requerirse un número grande de esos términos para aproximar estrechamente la forma de onda con propósitos de análisis de circuitos. Como se muestra en la ecuación (25.1), la serie de Fourier tiene tres partes básicas. La primera es el término de cd A0, que es el valor promedio de la forma de onda en un ciclo completo. La segunda es una serie de términos seno. No hay restricciones sobre los valores o valores relativos de las amplitudes de esos términos seno, pero cada uno tendrá una frecuencia que es un múltiplo entero de la frecuencia del primer término seno de la serie. La tercera parte es una serie de términos coseno. De nuevo, no hay restricciones sobre los valores o valores relativos de las amplitudes de esos términos coseno, pero cada uno tendrá una frecuencia que es un múltiplo entero de la frecuencia del primer término coseno de la serie. Para una forma de onda en particular, es posible que todos los términos seno o coseno sean cero. Características de este tipo pueden ser determinadas mediante un sencillo examen de la forma de onda no senoidal y su posición sobre el eje horizontal. El primer término de las series seno y coseno se llama componente fundamental; representa el término de frecuencia mínima requerido para representar una forma de onda particular, y también tiene la misma frecuencia que la forma de onda representada. Por tanto, un término fundamental debe estar presente en cualquier representación por serie de Fourier. Los otros términos con frecuencias de orden superior (múltiplos enteros de la frecuencia fundamental) son llamados términos armónicos. Un término que tiene una frecuencia igual al doble de la fundamental es el segundo armónico; tres veces, el tercer armónico, y así sucesivamente.

NON

25.2 SERIE DE FOURIER

Valor promedio: A0 El término de cd de la serie de Fourier es el valor promedio de la forma de onda sobre un ciclo completo. Si el área neta situada arriba del eje horizontal es igual al área localizada abajo de éste en un periodo completo, A0  0, y el término de cd no aparece en el desarrollo. Si el área por arriba del eje es mayor que la de abajo en un ciclo completo, A0 es positiva y aparecerá en la representación de la serie de Fourier. Si el área por abajo del eje es mayor, A0 es negativa y aparecerá con signo negativo en el desarrollo.

Función impar (Simetría de punto) Si una forma de onda es tal que su valor para t es el negativo de su valor para t, se le llama función impar o se dice que tiene simetría de punto. La figura 25.4(a) es ejemplo de una forma de onda con simetría de punto. Observe que la forma de onda tiene un valor pico en t1 que coincide con la magnitud (con el signo opuesto) del valor pico en t1. Para formas de onda de este tipo, todos los parámetros B1→∞ de la ecuación (25.1) serán cero. De hecho, las formas de onda con simetría de punto pueden ser descritas en su totalidad mediante los términos de cd y seno de la serie de Fourier. En la figura 25.4(b), observe que una onda seno es una función impar con simetría de punto.

Forma de onda no senoidal

f(t)

f (t)

Función impar

Onda seno

Valor promedio = 0 (A0 = 0)

Simetría de punto

–t1 0

t1

0

t

Simetría de punto (con respecto a este punto)

Valor promedio = 0 (A0 = 0)

(a)

(b)

FIGURA 25.4 Simetría de punto.

Para ambas formas de onda de la figura 25.4, la siguiente relación matemática es verdadera: f(t)  f ( t)

(función impar)

(25.2)

En otras palabras, esta ecuación establece que la magnitud de la función en t es igual al negativo de la magnitud en t [t1 en la figura 25.4(a)].

t

⏐⏐⏐

1125

NON

1126

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

Función par (Simetría de eje) Si una forma de onda es simétrica con respecto al eje vertical, se le llama función par o se dice que tiene simetría de eje. La figura 25.5(a) es ejemplo de una forma de onda de tal tipo. Observe que el valor de la función en t1 es igual al valor en t1. Para formas de onda de este tipo, todos los parámetros A1→∞ serán igual a cero. De hecho, las formas de onda con simetría de eje pueden ser descritas en su totalidad mediante los términos de cd y coseno de la serie de Fourier. En la figura 25.5(b), observe que una onda coseno es una función par con simetría de eje. Para ambas formas de onda de la figura 25.5, la siguiente relación matemática es verdadera: f (t)  f ( t)

(función impar)

(25.3)

En otras palabras, esta ecuación establece que la magnitud de la función es la misma en t1 que en t [t1 en la figura 25.5(a)]. f(t)

f (t) Función par Onda coseno

Valor promedio (A0)

Promedio = 0 (A0 = 0) –t1 0

Forma de onda no senoidal

t1

t

t

0

Simetría con respecto al eje vertical (a)

(b)

Simetría con respecto al eje vertical

FIGURA 25.5 Simetría de eje.

Simetría de espejo o de media onda Si una forma de onda tiene simetría de espejo o de media onda, como se muestra en la figura 25.6, los armónicos pares de la serie de términos seno y coseno serán cero. De manera funcional, la forma de onda debe satisfacer la siguiente relación: f (t)

t1 + T 2 –T

–T 2

0 t1

T 2

FIGURA 25.6 Simetría de espejo.

T

3 2T

t

NON

25.2 SERIE DE FOURIER



T f (t)  f t  2



(25.4)

La ecuación (25.4) establece que la forma de onda comprendida en un intervalo de tiempo T/2 se repetirá en el siguiente intervalo de tiempo T/2, pero en sentido negativo (t1 en la figura 25.6). Por ejemplo, la forma de onda de la figura 25.6 desde cero hasta T/2 se repetirá en el intervalo de tiempo de T/2 a T, pero por debajo del eje horizontal.

Onda repetitiva en la mitad del ciclo La naturaleza repetitiva de una forma de onda puede determinar si un armónico específico estará presente en el desarrollo de la serie de Fourier. En particular, si una forma de onda es repetitiva en la mitad del ciclo como la forma de onda de la figura 25.7, los armónicos impares de la serie de términos seno y coseno son cero. f(t)

t1

T 2

t1 + T T 2

t

FIGURA 25.7 Forma de onda repetitiva en la mitad del ciclo.

De manera funcional, la forma de onda debe satisfacer la siguiente relación:





T f(t)  f t  2

(25.5)

La ecuación (25.5) establece que la función se repite después de cada intervalo de tiempo T/2 (t1 en la figura 25.7). Sin embargo, la forma de onda también se repite después de cada periodo T. Por tanto, en general, para una función de este tipo, si el periodo T de la forma de onda se elige como el doble del periodo mínimo (T/2), los armónicos impares serán todos cero.

Método matemático Las constantes A0, A1→n, B1→n pueden determinarse usando las siguientes fórmulas integrales: 1 A 0  T

2 An  T



T

f(t) dt

(25.6)

0

 f(t) sen nqt dt T

0

(25.7)

⏐⏐⏐

1127

NON

1128

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

2 Bn  T



T

f (t) cos nqt dt

(25.8)

0

Estas ecuaciones han sido presentadas sólo con fines de reconocimiento; no serán usadas en el siguiente análisis.

Instrumentación

FIGURA 25.8 Analizador de espectro. (Cortesía de Hewlett Packard.)

FIGURA 25.9 Analizador de onda. (Cortesía de Hewlett Packard.)

FIGURA 25.10 Analizador de Fourier. (Cortesía de Hewlett Packard.)

Existen tres tipos de instrumentos que revelan el contenido de cd, fundamental y armónico de una forma de onda: el analizador de espectro, el analizador de onda y el analizador de Fourier. El propósito de tal instrumentación no es sólo determinar la composición de una forma de onda en particular, sino también revelar el nivel de distorsión que pueda haber sido introducido por un sistema. Por ejemplo, un amplificador puede estar incrementando la señal aplicada por un factor de 50, pero en el proceso pudiera haber distorsionado la forma de onda en una manera imperceptible con respecto a la mostrada por el osciloscopio. La cantidad de distorsión aparece en la forma de armónicos a frecuencias que son múltiplos de la frecuencia aplicada. Cada uno de los instrumentos anteriores revela qué frecuencias tienen más impacto en la distorsión, lo cual permite eliminarlas por medio de filtros diseñados apropiadamente. El analizador de espectro tiene el aspecto de un osciloscopio, como se aprecia en la figura 25.8, pero en lugar de desplegar una forma de onda del voltaje (el eje vertical) en función del tiempo (el eje horizontal), genera una pantalla con una escala en dB (eje vertical) en función de la frecuencia (eje horizontal). Se dice que tal pantalla está en el dominio de la frecuencia a diferencia del dominio del tiempo del osciloscopio estándar. La altura de la línea vertical en la pantalla de la figura 25.8 revela el impacto de esa frecuencia sobre la apariencia de la forma de onda. Los analizadores de espectro no proporcionan el ángulo de fase asociado con cada componente. El analizador de onda de la figura 25.9 es un voltímetro de rms verdadero cuya frecuencia de medición se puede cambiar manualmente. En otras palabras, el operador trabaja con las frecuencias que le interesan, y la pantalla analógica indicará el valor rms de todas las componentes armónicas presentes. Por supuesto, una vez determinada la componente fundamental, el operador puede desplazarse con rapidez por todos los valores armónicos posibles. El analizador de onda, igual que el de espectro, no proporciona el ángulo asociado con las diferentes componentes. El analizador de Fourier de la figura 25.10 es similar en muchos aspectos al analizador de espectro excepto por su capacidad para examinar todas las frecuencias de interés al mismo tiempo. El analizador de espectro debe revisar la señal una frecuencia a la vez. El analizador de Fourier tiene la singular ventaja de poder determinar el ángulo de fase de cada componente. Los siguientes ejemplos mostrarán el uso de las ecuaciones y conceptos presentados hasta ahora en este capítulo.

NON

25.2 SERIE DE FOURIER

EJEMPLO 25.1 Determine qué componentes de la serie de Fourier están presentes en las formas de onda de la figura 25.11. e 10 V

0

T 2

t

T

(a) i 5 mA

T 2

T

t

–5 mA (b)

FIGURA 25.11 Ejemplo 25.1.

Soluciones: a. La forma de onda tiene un área neta arriba del eje horizontal y, por tanto, tendrá un término de cd positivo A0. La forma de onda tiene simetría de eje, resultando en sólo términos coseno en el desarrollo. La forma de onda tiene simetría de medio ciclo, resultando en sólo términos pares en la serie coseno. b. La forma de onda tiene la misma área arriba y abajo del eje horizontal en cada periodo, resultando en A0  0. La forma de onda tiene simetría de punto, resultando en sólo términos seno en el desarrollo. EJEMPLO 25.2 Escriba el desarrollo de la serie de Fourier para las formas de onda de la figura 25.12. i Forma de onda senoidal

5 mA

0

v

t

20 V (b) v 20 V

0

t Vpromedio = 8 V

(a) 0

(c)

FIGURA 25.12 Ejemplo 25.2.

t

⏐⏐⏐

1129

NON

1130

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

Soluciones: a. A0  20 A1→n  0 B1→n  0 u  20 A1  5  10 3 A2→n  0 B1→n  0 b. A0  0 3 i  5  10 sen qt c. A0  8 A1 n  0 B1  12 B2→n  0 u  8  12 cos qt

EJEMPLO 25.3 Trace el siguiente desarrollo de la serie de Fourier: v  2  1 cos a  2 sen a Solución: Observe la figura 25.13. v v = 2 + 1 cos  + 2 sen  4 26.57° 2.236 V

3

2

2 1

0

 = qt 1 cos  2 sen 

FIGURA 25.13 Ejemplo 25.3.

La solución podría obtenerse gráficamente trazando primero todas las funciones y considerando luego un número suficiente de puntos sobre el eje horizontal; o empleando álgebra fasorial como sigue:

y

1 cos a  2 sen a  1 V 90°  2 V 0°  j 1 V  2 V  2 V  j 1 V  2.236 V 26.57°  2.236 sen(a  26.57°) v  2  2.236 sen(a  26.57°)

lo cual es simplemente la parte de la onda seno sobre un nivel de cd de 2 V. Es decir, su máximo positivo es 2 V  2.236 V  4.236 V, y su mínimo es 2 V 2.236 V  0.236 V.

EJEMPLO 25.4 Trace el siguiente desarrollo de la serie de Fourier: i  1 sen qt  1 sen 2qt Solución: Vea la figura 25.14. Observe que en este caso la suma de las dos formas de onda senoidales de frecuencias diferentes no es una onda seno. Recuerde que el álgebra compleja puede aplicarse sólo a formas de onda con la misma frecuencia. En este caso la solución se obtiene gráficamente punto por punto, como se muestra para t  t1.

NON

25.2 SERIE DE FOURIER

i

i = 1 sen qt + 1 sen 2qt

qt

1 sen qt

t1 (i = 0)

1 sen 2qt

FIGURA 25.14 Ejemplo 25.4.

Como un ejemplo adicional en el uso del método matemático de la serie de Fourier, considere la onda cuadrada que aparece en la figura 25.15. El valor promedio es cero, por lo que A0  0. Es una función impar, así que todas las constantes B1→n son iguales a cero; en el desarrollo en serie, sólo estarán presentes términos seno. Como la forma de onda satisface los criterios para f (t) 

f (t  T/2), los armónicos par también serán cero. Función impar con simetría de media onda

v Vm

 0

T 2

2

 t

–Vm

FIGURA 25.15 Onda cuadrada.

La expresión que se obtiene después de evaluar los diversos coeficientes usando la ecuación (25.8) es:





4 1 1 1 1 v  Vm sen qt  sen 3qt  sen 5qt  sen 7qt  ⋅ ⋅ ⋅  sen nqt p 3 5 7 n Observe que el término fundamental tiene la misma frecuencia que la onda cuadrada. Al sumar el término fundamental y el tercer armónico, se obtendrán los resultados mostrados en la figura 25.16. Incluso con sólo los primeros dos términos, algunas características de la onda cuadrada empiezan a aparecer. Si agregamos los siguientes dos términos (Figura 25.17), el ancho de los pulsos aumenta así como el número de picos.

(25.9)

⏐⏐⏐

1131

NON

1132

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES v

Fundamental Fundamental + tercer armónico

Vm 4 p Vm

0

p 2

T 2

4 . Vm p 3 p

(T) 2p

3 p 2

qt

Tercer armónico

FIGURA 25.16 Fundamental más tercer armónico.

v

Número de picos = número de términos sumados o

o

o

Fundamental + 3 , 5 y 7 armónicos Vm

Onda cuadrada

p 2

0

p

3p 2

2p

qt

FIGURA 25.17 Fundamental más tercero, quinto y séptimo armónicos.

Al continuar agregando términos, la serie aproximará mejor la onda cuadrada. Sin embargo, observe que la amplitud de cada término sucesivo disminuye al punto en que será insignificante comparado con los primeros términos. Una buena aproximación sería suponer que la forma de onda está compuesta de los armónicos hasta, e incluyendo, el noveno. Cualquier armónico superior sería menor que un décimo del fundamental. Si la forma de onda descrita se desplazara arriba o abajo del eje horizontal, la serie de Fourier se alteraría sólo en un cambio en el término de cd. Por ejemplo, la figura 25.18(c) es la suma de las figuras 25.18(a) y (b). La serie de Fourier para toda la forma de onda es, entonces: v  v1  v2  Vm  ecuación (25.9) 4 1 1 1  Vm  Vm sen qt  sen 3qt  sen 5qt  sen 7qt  ⋅ ⋅ ⋅ p 3 5 7





NON

25.2 SERIE DE FOURIER v1

v2

+

Vm

=

Vm

t 

0

v

–Vm

2Vm

0 

(a)

2 3  t

0



(b)

2

3

t 

(c)

FIGURA 25.18 Desplazamiento vertical de una forma de onda con la adición de un término de cd.

y







4 1 1 1 v  Vm 1  sen qt  sen 3qt  sen 5qt  sen 7qt  ⋅ ⋅ ⋅ p 3 5 7

La ecuación para la forma de onda pulsante rectificada de media onda de la figura 25.19(b) es: v2  0.318Vm  0.500Vm sen a 0.212Vm cos 2a 0.0424Vm cos 4a ⋅ ⋅ ⋅

(25.10)

La forma de onda en la figura 25.19(c) es la suma de las dos formas de onda de las figuras 25.19(a) y (b). La serie de Fourier para la forma de onda de la figura 25.19(c) es, por tanto, Vm vT  v1  v2   ecuación (25.10) 2  0.500Vm  0.318Vm  0.500Vm sen a 0.212Vm cos 2a 0.0424Vm cos 4a  ⋅ ⋅ ⋅ vT  0.182Vm  0.5Vm sen a 0.212Vm cos 2a 0.0424Vm cos 4a  ⋅ ⋅ ⋅

y

v1

+ 0 –

Vm

v2

= 0

a

vT Vm 2

p

2p

Vm 2

– (a)

(b)

p

2p

0

a

3p

a

Vm 2 (c)

FIGURA 25.19 Disminución de una forma de onda con la suma de una componente negativa de cd.

Si cualquier forma de onda es desplazada a la derecha o a la izquierda, el desplazamiento de fase se resta o suma a, respectivamente, los términos seno y coseno. El término de cd no cambia con un desplazamiento a la derecha o a la izquierda. Si la señal rectificada de media onda es desplazada 90° a la izquierda, como en la figura 25.20, la serie de Fourier se convierte en: v

Vm

– p 2

0

p 2

p

3p 2

2p

5p 2

3p

FIGURA 25.20 Cambio del ángulo de fase de una forma de onda.



3p

⏐⏐⏐

1133

NON

1134

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

v  0.318V Vm  0.500V Vm sen(  90°) 0.212V Vm cos 2(  90°) 0.0424V Vm cos 4(  90°)  •

• •

cos 

 0.318V Vm  0.500V Vm cos  0.212V Vm y

v  0.318V Vm  0.500V Vm cos   0.212V Vm

  180°) 0.0424V Vm cos(4  360°)  •  0.0424V Vm cos 4 •

• •

• •

25.3 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL La representación de la serie de Fourier de una entrada no senoidal puede aplicarse a una red lineal usando el principio de superposición. Recuerde que el teorema de superposición permite considerar los efectos de cada fuente de un circuito de manera independiente. Si sustituimos la entrada no senoidal con los términos de la serie de Fourier que resulten necesarios para consideraciones prácticas, podemos usar la superposición y encontrar la respuesta de la red para cada término (Figura 25.21).

e = A0 + A1 sen  + . . . + An sen n + . . . + B1 cos  + . . . + Bn cos n + . . .

+ – +

A0 A1 sen 

– +

+ Red lineal

e

An sen n

Red lineal

– +

– B1 cos 

– + Bn cos n

– FIGURA 25.21 Aplicación de términos de una serie de Fourier a una red lineal.

En tal caso, la respuesta total del sistema es la suma algebraica de los valores obtenidos para cada término. El principal cambio entre usar este teorema para los circuitos no senoidales y emplearlo para los circuitos descritos antes es que la frecuencia será diferente en cada término de la aplicación no senoidal. Por tanto, las reactancias: XL  2pfL

1 y XC  2pfC

cambiarán para cada término del voltaje o la corriente de entrada. En el capítulo 13 encontramos que el valor rms de cualquier forma de onda se obtenía mediante:

 T1  f (t ) d t T

2

0

Si aplicamos esta ecuación a la siguiente serie de Fourier:

NON

25.3 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL

v(a)  V0  Vm1 sen a  ⋅ ⋅ ⋅  Vmn sen na  V ′m1 cos a  ⋅ ⋅ ⋅  V′mn cos na entonces:

Vrms 

 V 02

V 2m1  ⋅ ⋅ ⋅  V 2mn  V′2m1  ⋅ ⋅ ⋅  V ′2mn  2

(25.11)

Sin embargo, como: Vm Vm2 1  1 2 2 

Vm1

 (V    2 

1rms)(V1rms)

 V 21rms

entonces: Vrms  V 02  V 2 ⋅⋅⋅   V 2   V ′ 21  ⋅⋅⋅  V ′ 2n  1r n r ms ms rms rms

(25.12)

Similarmente, para: i(a)  I0  Im1 sen a  ⋅ ⋅ ⋅  Imn sen na  I′m1 cos a  ⋅ ⋅ ⋅  I′mn cos na tenemos:

Irms 

 I 2m1  ⋅ ⋅ ⋅  I 2mn  I′2m1  ⋅ ⋅ ⋅  I′2mn I 20  2

(25.13)

e Irms   I02 I2 ⋅⋅⋅  I2 I  ′21  ⋅⋅⋅ I ′2n  1r nr ms ms rms rms

(25.14)

La potencia total entregada es la suma de las potencias entregadas por los términos correspondientes del voltaje y la corriente. En las ecuaciones siguientes, todos los voltajes y las corrientes son valores rms: PT  V0 I0  V1 I1 cos v1  ⋅ ⋅ ⋅  Vn In cos vn  ⋅ ⋅ ⋅

o bien:

(25.15)

PT  I 20 R  I 21 R  ⋅ ⋅ ⋅  I 2n R  ⋅ ⋅ ⋅

(25.16)

PT  I 2rmsR

(25.17)

con Irms como fue definida mediante la ecuación (25.13), y, similarmente, V2 PT  rms R

(25.18)

con Vrms como fue definida mediante la ecuación (25.11).

+

+

–

v

6 sen  t

4V

EJEMPLO 25.5 a. Trace la entrada resultante de la combinación de fuentes en la figura 25.22.

FIGURA 25.22 Ejemplo 25.5.

–

⏐⏐⏐

1135

NON

1136

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

b. Determine el valor rms de la entrada de la figura 25.22. Soluciones: a. Observe la figura 25.23. b. Ecuación (25.12):

v = 4 V + 6 sen qt

Vrms 

6V 4V qt

0

FIGURA 25.23 Patrón de onda generado por la fuente de la figura 25.22.



   V m2 V 02  2

(6 V)2 (4 V)2   2

36 16  V  3 4 V 2

 5.831 V

Es particularmente interesante observar, a partir del ejemplo 25.5, que el valor rms de la forma de onda que tiene componentes de cd y de ca no es simplemente la suma de los valores efectivos de cada una. En otras palabras, es tentador, en ausencia de la ecuación (25.12), plantear que Vrms  4 V  0.707 (6 V)  8.242 V, lo cual es inexacto y, de hecho, excede el nivel correcto en aproximadamente 41%.

Instrumentación Es importante comprender que no todos los DMM leerán el valor rms de las formas de onda no senoidales como el que aparece en la figura 25.23. Muchos DMM están diseñados para leer sólo el valor rms de las formas de onda senoidales. Es importante leer el manual de cada instrumento para ver si es un medidor de rms verdadero que puede leer el valor rms de cualquier forma de onda. En el capítulo 13 aprendimos que el valor rms de una onda cuadrada es el valor pico de la forma de onda. Probemos este resultado usando el desarrollo de Fourier y la ecuación (25.11). EJEMPLO 25.6 Determine el valor rms de la onda cuadrada de la figura 25.15 con Vm  20 V usando los primeros seis términos del desarrollo de Fourier, y compare el resultado con el valor rms real de 20 V. Solución:



 

  

4 4 1 4 1 4 1 v  (20 V) sen qt  (20 V) sen 3qt  (20 V) sen 5qt  (20 V) sen 7qt p p 3 p 5 p 7 4 1 4 1  (20 V) sen 9qt  (20 V) sen 11qt p 9 p 11 v  25.465 sen qt  8.488 sen 3qt  5.093 sen 5qt  3.638 sen 7qt  2.829 sen 9qt  2.315 sen 11 qt Ecuación (25.11): Vrms  

  Vm2 1  Vm2 2  Vm2 3  Vm2 4  Vm2 5  Vm2 6 V 20  2

(25.465 V)2  (8.488 V)2  (5.093 V)2  (3.638 V)2  (2.829 V)2  (2.315 V)2 (0 V)2  2

 19.66 V

La solución difiere en menos de 0.4 V de la respuesta correcta de 20 V. Sin embargo, cada término adicional en la serie de Fourier acercará el resultado al nivel de 20 V. Un número infinito producirá una solución exacta de 20 V.

NON

25.3 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL

vR

EJEMPLO 25.7 La entrada al circuito de la figura 25.24 es la siguiente: e  12  10 sen 2t

+ e

a. Encuentre la corriente i y los voltajes vR y vC. b. Encuentre los valores rms de i, vR y vC. c. Encuentre la potencia entregada al circuito.

vR

+ – +

12 V

i

R = 3 vC

10 sen 2t

1 XC = 1 = = 4 (2 rad/s)( 18 F) C

–

FIGURA 25.25 Circuito de la figura 25.24 con las componentes de la serie de Fourier en la entrada.

1. Para la parte de la fuente de cd de 12 V de la entrada, I  0 ya que el capacitor es un circuito abierto a cd cuando vC ha alcanzado su valor final (estado estable). Por tanto, VR  IR  0 V

y VC  12 V

2. Para la fuente de ca, Z  3 j 4  5  53.13° e

10 V 0° E 2 2 I     A 53.13° Z 2  5  53.13°









2 VR  (I v)(R 0°)  A 53.13° (3 0°) 2 6  V 53.13° 2  y 2 VC  (I v)(XC  90°)  A 53.13° (4  90°) 2  8  V  36.87° 2  En el dominio del tiempo, i  0  2 sen(2t  53.13°) Observe que aunque el término de cd estaba presente en la expresión para el voltaje de entrada, el término de cd para la corriente en este circuito es cero: vR  0  6 sen(2t  53.13°) y

i

R = 3 1 C = 8F

–

Soluciones: a. Trace de nuevo el circuito original como se muestra en la figura 25.25. Luego aplique la superposición:

vC  12  8 sen(2t  36.87°)

⏐⏐⏐

FIGURA 25.24 Ejemplo 25.7.

vC

1137

NON

1138

CIRCUITOS NO SENOIDALES

⏐⏐⏐

 (6 V)  (0)   1 8  V  4.243 V  2 (8 V)  (12 V)   1 7 6  V  13.267 V  2

b. Ecuación (25.14): Irms 

(2 A)2 (0)2   2  V  1.414 A 2 2

Ecuación (25.12): VRrms

2

2

Ecuación (25.12): VCrms



2 2 R A c. P  Irms 2 vR

+ e

(3 )  6 W

EJEMPLO 25.8 Encuentre la respuesta del circuito de la figura 25.26 a la entrada mostrada. e  0.318Em  0.500Em sen qt 0.212Em cos 2qt 0.0424Em cos 4qt  ⋅ ⋅ ⋅

R = 6

i

2



2

L = 0.1 H

vL

Solución: Con propósitos de análisis, sólo se usarán los tres primeros términos para representar e. Convirtiendo los términos coseno a términos seno y sustituyendo Em obtenemos:

–

e  63.60  100.0 sen qt 42.40 sen(2qt  90°)

(a)

Usando notación fasorial, el circuito original toma la forma del mostrado en la figura 25.27.

e q = 377 rad/s

+ VR –

Em = 200 0

p

2p

3p

qt

+

6

I0

I1

I2

E0 = 63.6 V

–

(b)

FIGURA 25.26 Ejemplo 25.8.

+

E1 = 70.71 V 0°

– –

E2 = 29.98 V 90°

q = 377 rad/s

+ L = 0.1 H

ZT

VL

–

2q = 754 rad/s

+

FIGURA 25.27 Circuito de la figura 25.26 con las componentes de la serie de Fourier en la entrada.

Aplicación de la superposición Para el término de cd (E0  63.6 V): XL  0 (corto para cd) ZT  R 0°  6 0° E 63.6 V I0  0   10.60 A R 6 VR0  I0 R  E0  63.60 V VL 0  0 La potencia promedio es: P0  I02R  (10.60 A)2(6 )  674.2 W Para el término fundamental (E1  70.71 V 0°, q  377): XL1  qL  (377 rad/s)(0.1 H)  37.7

NON

25.4 SUMA Y RESTA DE FORMAS DE ONDA NO SENOIDALES

ZT1  6  j 37.7  38.17 80.96° E1 70.71 V 0° I1    1.85 A  80.96° ZT1 38.17 80.96° VR1  (I1 v)(R 0°)  (1.85 A  80.96°)(6 0°)  11.10 V  80.96° VL1  (I1 v)(XL1 90°)  (1.85 A  80.96°)(37.7 90°)  69.75 V 9.04° La potencia promedio es: P1  I 21R  (1.85 A)2(6 )  20.54 W Para el segundo armónico (E2  29.98 V  90°, q  754): El ángulo de fase de E2 fue cambiado a 90° para darle la misma polaridad que a los voltajes de entrada E0 y E1. XL2  qL  (754 rad/s)(0.1 H)  75.4 ZT2  6  j 75.4  75.64 85.45° E2 29.98 V  90°   0.396 A  175.45° I2  ZT2 75.64 85.45 VR2  (I2 v)(R 0°)  (0.396 A  175.45°)(6 0°)  2.38 V  175.45° VL2  (I2 v)(XL2 90°)  (0.396 A  175.45°)(75.4 90°)  29.9 V  85.45° La potencia promedio es: P2  I22R  (0.396 A)2(6 )  0.941 W El desarrollo de la serie de Fourier para i es: i  10.6  2 (1.85) sen(377t  80.96°)  2 (0.396) sen(754t  175.45°) e

0.6  A )2 (1.8 5 A )2 (0 .3 96 A )2  10.77 A Irms  (1 El desarrollo en serie de Fourier para vR es: vR  63.6  2 (11.10) sen(377t  80.96°)  2 (2.38) sen(754t  175.45°) y

3.6  V )2 (11.1 0 V )2 (2 .3 8 V )2  64.61 V VRrms  (6 El desarrollo de la serie de Fourier para vL es: vL  2 (69.75) sen(377t  9.04°)  2 (29.93) sen(754t  85.45°) y

VLrms  (6 9.7 5 V )2 (29.9 3 V )2  75.90 V

La potencia promedio total es: PT  I 2rms R  (10.77 A)2(6 )  695.96 W  P0  P1  P2

25.4 SUMA Y RESTA DE FORMAS DE ONDA NO SENOIDALES La expresión de la serie de Fourier para la forma de onda que resulta de la adición o la resta de dos formas de onda no senoidales puede encontrarse

⏐⏐⏐

1139

NON

1140

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

usando álgebra fasorial si los términos que tienen la misma frecuencia son considerados por separado. Por ejemplo, la suma de las dos siguientes formas de onda no senoidales se encuentra usando este método: v1  30  20 sen 20t  ⋅ ⋅ ⋅  5 sen(60t  30°) v2  60  30 sen 20t  20 sen 40t  10 cos 60t 1. Términos de cd: VT0  30 V  60 V  90 V 2. q  20: VT1(máx)  30 V  20 V  50 V vT1  50 sen 20t

y 3. q  40:

vT2  20 sen 40t 4. q  60: 5 sen(60t  30°)  (0.707)(5) V 30°  3.54 V 30° 10 cos 60t  10 sen(60t  90°) ⇒ (0.707)(10) V 90°  7.07 V 90° VT3  3.54 V 30°  7.07 V 90°  3.07 V  j 1.77 V  j 7.07 V  3.07 V  j 8.84 V VT3  9.36 V 70.85° y

vT3  13.24 sen(60t  70.85°)

con: vT  v1  v2  90  50 sen 20t  20 sen 40t  13.24 sen(60t  70.85°)

25.5 ANÁLISIS POR COMPUTADORA PSpice Serie de Fourier El análisis por computadora empezará con una verificación de la forma de onda de la figura 25.17, demostrando que con sólo cuatro términos de una serie de Fourier es posible generar una forma de onda que tenga algunas características de una onda cuadrada. La onda cuadrada tiene un valor pico de 10 V a una frecuencia de 1 kHz, resultando en la siguiente serie de Fourier mediante la ecuación (25.9) (y reconociendo que q  2pf  6283.19 rad/s): 1 1 1 4 v  (10 V)(sen qt  sen 3qt  sen 5qt  sen 7qt) 3 5 7 p v  12.732 sen qt  4.244 sen 3qt  2.546 sen 5qt  1.819 sen 7qt Cada término de la serie de Fourier es tratado igual que una fuente independiente de ca, como se muestra en la figura 25.28, con su valor pico y su frecuencia aplicable. La suma de los voltajes fuente aparecerá en el resistor R y generará la forma de onda de la figura 25.29. Cada fuente usó VSIN, y como queremos desplegar el resultado contra el tiempo, elegimos Time Domain(Transient) en Simulation Settings. Para cada fuente se requirió el cuadro de diálogo Property Editor, y se establecieron AC, FREQ, PHASE, VAMPL y VOFF (en 0 V), aunque debido a limitaciones de

NON

25.5 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

FIGURA 25.28 Uso de PSpice para aplicar cuatro términos del desarrollo de Fourier de una onda cuadrada de 10 V a un resistor de carga de 1 k.

FIGURA 25.29 Forma de onda resultante del voltaje en el resistor R de la figura 25.28.

⏐⏐⏐

1141

NON

1142

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES

espacio sólo se desplegaron VAMPL, FREQ y PHASE en la figura 25.28. Bajo Display las cantidades restantes fueron establecidas en Do Not Display. Run to time se fijó en 2 ms de manera que aparecieran dos ciclos de la frecuencia fundamental de 1 kHz. Start saving data after permanecerá en el valor predeterminado de 0 s, y Maximum step size será de 1 ms, aunque 2 ms/1000  2 ms, porque deseamos obtener puntos adicionales de la gráfica para la forma de onda compleja. Una vez que la ventana SCHEMATIC1 aparece, Trace-Add Trace-V(R:1)-OK resultará en la forma de onda de la figura 25.29. Para engrosar la línea horizontal en 0 V se da clic derecho sobre ella, seleccionando Properties, y eligiendo luego el color verde y la línea más ancha. Haga clic en OK y resultará la línea más ancha de la figura 25.29, volviendo mucho más claro dónde se localiza la línea de 0 V. Mediante el mismo procedimiento, la curva se volvió amarilla y más ancha como se muestra en la misma figura. Usando los cursores, encontramos que el primer pico llegará a 11.84 V y luego descenderá a 8.920 V. El valor promedio de la forma de onda es claramente 10 V en la región positiva, como lo muestra en el programa la línea roja introducida usando Plot-Label-Line. En cualquier aspecto, la forma de onda está comenzando a tener las características de una onda cuadrada periódica con valor pico de 10 V y frecuencia de 1 kHz. Componentes de Fourier Puede obtenerse una gráfica del espectro de frecuencia que revele la magnitud y la frecuencia de cada componente de una serie de Fourier regresando a Plot y seleccionando Axis Settings seguido por X Axis, y luego Fourier bajo Processing Options. Haga clic en OK y aparecerán algunos picos sobre la parte izquierda más lejana de la pantalla, con un espectro de frecuencia que se extiende desde 0 Hz hasta 600 kHz. Seleccionando de nuevo Plot-Axis Settings, nos situamos en Data Range, y eligiendo

FIGURA 25.30 Componentes de Fourier de la forma de onda de la figura 25.29.

NON

PROBLEMAS

⏐⏐⏐

1143

User Defined es posible cambiar el intervalo de 0 Hz a 10 kHz, ya que es éste el intervalo de interés para esta forma de onda. Haga clic en OK y se producirá la gráfica de la figura 25.30, que da la magnitud y la frecuencia de las componentes de la forma de onda. Usando el cursor izquierdo, encontramos que el pico más alto es de 12.738 V a 1 kHz, comparándose muy bien con la fuente V1 que tiene un valor pico de 12.732 V a 1 kHz. Usando el cursor de clic derecho, podemos movernos hacia 3 kHz, y encontrar una magnitud de 4.246 V, comparándose de nuevo muy bien con la fuente V2 que tiene un valor pico de 4.244 V.

PROBLEMAS SECCIÓN 25.2

Serie de Fourier

1. Para las formas de onda de la figura 25.31, determine si en la representación de la serie de Fourier estarán presentes: a. El término de cd. b. Los términos coseno. c. Los términos seno. d. Los armónicos ordenados por pares. e. Los armónicos ordenados por impares.

f(t)

f (t)

Am –T

– T 2

0

T 2

T

t

0

– T 2

Am

(I)

T 2

T

t

(II) f (t) f(t) Am A1

–T

– 3T 4

– T 4

0

T 4

– T 3 3T 4

A2

T

0

T 3

t

(III)

(IV)

FIGURA 25.31 Problema 1.

2 3T

T Am

t

NON

1144

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES 2. Si la serie de Fourier para la forma de onda de la figura 25.32(a) es:



2Im 2 2 2 1  cos 2qt cos 4qt  cos 6qt  ⋅ ⋅ ⋅ i p 3 15 35



encuentre la representación de la serie de Fourier para las formas de onda (b) a (d). i

i

Im

Im

t

0

t

0

(b)

(a)

i

i

Im —– 2 0

Im —– 2

t

Im

0 (c)

t

(d)

FIGURA 25.32 Problema 2. 3. Trace las siguientes formas de onda no senoidales con a  qt como la abscisa: a. v  4  2 sen a b. v  (sen a)2 c. i  2 2 cos a 4. Trace las siguientes formas de onda no senoidales con a como la abscisa: a. i  3 sen a 6 sen 2a b. v  2 cos 2a  sen a 5. Trace las siguientes formas de onda no senoidales con qt como la abscisa: a. i  50 sen qt  25 sen 3qt b. i  50 sen a 25 sen 3a c. i  4  3 sen qt  2 sen 2qt 1 sen 3qt SECCIÓN 25.3 no senoidal

Respuesta de un circuito a una entrada

6. Encuentre los valores promedio y efectivo de las siguientes ondas no senoidales: a. v  100  50 sen qt  25 sen 2qt b. i  3  2 sen(qt 53°)  0.8 sen(2qt 70°) 7. Encuentre el valor rms de las siguientes ondas no senoidales: a. v  20 sen qt  15 sen 2qt 10 sen 3qt b. i  6 sen(qt  20°)  2 sen(2qt  30°)

1 sen(3qt  60°) 8. Encuentre la potencia promedio total hacia un circuito cuyo voltaje y corriente son los indicados en el problema 6.

NON

PROBLEMAS 9. Encuentre la potencia promedio total hacia un circuito cuyo voltaje y corriente son los indicados en el problema 7.

vR R = 12 

i

10. La representación de la serie de Fourier para el voltaje de entrada al circuito de la figura 25.33 es:

+

vL

e

e  18  30 sen 400t

L = 0.02 H

–

a. b. c. d. e.

Encuentre la expresión no senoidal para la corriente i. Calcule el valor rms de la corriente. Encuentre la expresión para el voltaje en el resistor. Calcule el valor rms del voltaje en el resistor. Encuentre la expresión para el voltaje en el elemento reactivo. f. Calcule el valor rms del voltaje en el elemento reactivo. g. Encuentre la potencia promedio entregada al resistor.

FIGURA 25.33 Problemas 10, 11 y 12. vR i

+

11. Resuelva el problema 10 para:

R = 15  vC

e

e  24  30 sen 400t  10 sen 800t

C = 125 mF

–

12. Resuelva el problema 10 para el siguiente voltaje de entrada: e  60  20 sen 300t 10 sen 600t FIGURA 25.34 Problema 13.

13. Resuelva el problema 10 para el circuito de la figura 25.34. *14. El voltaje de entrada de la figura 25.35(a) al circuito de la figura 25.35(b) es una señal rectificada de onda completa que tiene el siguiente desarrollo de serie de Fourier:



(2)(100 V) 2 2 2 e  1  cos 2qt cos 4qt  cos 6qt  ⋅ ⋅ ⋅ p 3 15 53

e 100 V



donde q  377.

– p 2

a. Encuentre la expresión de la serie de Fourier para el voltaje vo usando sólo los primeros tres términos de la expresión. b. Encuentre el valor rms de vo. c. Encuentre la potencia promedio entregada al resistor de 1 k .

0 p 2

3 2p

qt

(a) 1 mF

+

+ 0.1 H

e

1 k vo

–

–

(b)

FIGURA 25.35 Problema 14.

*15. Encuentre la expresión de la serie de Fourier para el voltaje vo de la figura 25.36. i 10 mA

q = 377 200 mF i

–p

0

p

⏐⏐⏐

2p

3p

1.2 mH

(b)

FIGURA 25.36 Problema 15.

vo

–

q t

(a)

+ 200 

1145

NON

1146

⏐⏐⏐

CIRCUITOS NO SENOIDALES SECCIÓN 25.4 no senoidales

Suma y resta de formas de onda

16. Efectúe las operaciones indicadas en las siguientes formas de onda no senoidales: a. [60  70 sen qt  20 sen(2qt  90°)  10 sen(3qt  60°)]  [20  30 sen qt 20 cos 2qt  5 cos 3qt] b. [20  60 sen a  10 sen(2a 180°)  5 cos(3a  90°)]

[5 10 sen a  4 sen(3a 30°)] 17. Encuentre la expresión no senoidal para la corriente is del diagrama de la figura 25.37. i2  10  30 sen 20t 0.5 sen(40t  90°) i1  20  4 sen(20t  90°)  0.5 sen(40t  30°) is i2

i1

FIGURA 25.37 Problema 17. 18. Encuentre la expresión no senoidal para el voltaje e del diagrama de la figura 25.38. +

+

v1

–

e

–

+

v1  20 200 sen 600t  100 cos 1200t  75 sen 1800t

v2

v2  10  150 sen(600t  30°)  50 sen(1800t  60°)

– SECCIÓN 25.5

Análisis por computadora

PSpice o Electronics Workbench FIGURA 25.38 Problema 18.

19. Trace la forma de onda de la figura 25.13 para dos o tres ciclos. Luego obtenga las componentes de Fourier, y compárelas con la señal aplicada. 20. Grafique una rectificación de media onda con valor pico de 20 V usando la ecuación (25.10). Use el término de cd, el término fundamental, y cuatro armónicos. Compare la forma de onda resultante con la forma ideal de la rectificación de media onda. 21. Demuestre el efecto de sumar dos términos más a la forma de onda de la figura 25.29, y genere el espectro de Fourier.

Lenguaje de programación (C, QBASIC, Pascal, etc.) 22. Escriba un programa para obtener el desarrollo de Fourier resultante de la adición de dos formas de onda no senoidales. 23. Escriba un programa para determinar la suma de los 10 primeros términos de la ecuación (25.9) en qt  p/2, p y (3/2)p, y compare sus resultados con los valores determinados por la figura 25.15. Esto es, ingrese la ecuación (25.9) a la memoria, y calcule la suma de los términos en los puntos indicados antes.

NON

GLOSARIO 24. Dada cualquier función no senoidal, escriba un programa que determine los valores promedio y rms de la forma de onda. El programa debe solicitar los datos requeridos a partir de la función no senoidal.

⏐⏐⏐

1147

ca en el voltaje aplicado. En otras palabras, los valores de los parámetros están dados junto con los particulares relacionados con la señal aplicada, además de la expresión no senoidal para la corriente y el programa que genera cada voltaje.

25. Escriba un programa que proporcione una solución general para la red de la figura 25.24 para un término único de cd y

GLOSARIO Armónicos impares Términos del desarrollo de la serie de Fourier que tienen frecuencias que son múltiplos impares del componente fundamental. Armónicos pares Términos del desarrollo de la serie de Fourier que tienen frecuencias que son múltiplos pares del componente fundamental. Componente fundamental Término de frecuencia mínima requerido para representar una forma de onda particular en el desarrollo de la serie de Fourier. Forma de onda no senoidal Cualquier forma de onda que difiera de la función senoidal fundamental. Serie de Fourier Secuencia de términos, desarrollados en 1826 por el barón Jean Fourier, que pueden usarse para representar una función no senoidal.

Simetría de eje Función senoidal o no senoidal que tiene simetría con respecto al eje vertical. Simetría de media onda (de espejo) Función senoidal o no senoidal que satisface la relación:





T f (t)  f  t 2

Simetría de punto Función senoidal o no senoidal que satisface la relación f (a)  f( a). Términos armónicos Términos del desarrollo de la serie de Fourier que tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la componente fundamental.

26 Análisis de sistemas: una introducción

26.1 INTRODUCCIÓN El creciente número de sistemas empaquetados para aplicar en los campos eléctrico, electrónico y de computación, en la actualidad requiere que aparezca de algún modo el análisis de sistemas en el programa de estudios de un curso introductorio. Aunque en este capítulo el tratamiento será superficial, el material presentará varios términos y técnicas importantes empleados en el análisis de sistemas. Es muy comprensible el creciente uso de sistemas empaquetados cuando consideramos las ventajas asociadas con tales estructuras: tamaño reducido, diseño complejo y probado, menor tiempo de desarrollo, costos reducidos en comparación con diseños discretos, etc. El uso de cualquier sistema empaquetado se limita sólo a la utilización adecuada de las terminales que cada uno proporciona. No está permitido introducirse a la estructura interna, lo cual también elimina las posibilidades de reparación de tales sistemas. El análisis de sistemas incluye el desarrollo de modelos de dispositivos, sistemas o estructuras con dos, tres o varios puertos. En este capítulo, el énfasis estará enfocado sobre la configuración que se aplica más a menudo a las técnicas de modelado: el sistema de dos puertos de la figura 26.1.

1

1

Dispositivo, sistema, estructura, etc.

FIGURA 26.1 Sistema de dos puertos.

2

2

1150

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

1

Dispositivo, sistema, estructura, etc.

(a)

1,2

2

Configuración de un solo puerto

1 1

2

1

2

Configuración multipuerto

1

4

(b)

3 3

4

FIGURA 26.2 (a) Sistema de dos puertos; (b) sistema de un solo puerto y sistema multipuerto. C

1

2

B

1

E

FIGURA 26.3 Configuración de dos puertos de un transistor.

Observe que en la figura 26.1 hay dos puertos de entrada, cada uno con un par de terminales. En algunos dispositivos, la red de dos puertos de la figura 26.1 puede verse como en la figura 26.2(a). El diagrama de bloques de la figura 26.2(a) indica simplemente que las terminales 1′ y 2′ son comunes, lo cual es un caso particular de la red general de dos puertos. En la figura 26.2(b) se muestran una red de un solo puerto y una red multipuerto. La primera se ha analizado en todo el texto, mientras que las características de la última se verán en el presente capítulo, y una cobertura más extensa quedará para un curso más avanzado. La última parte de este capítulo presenta un grupo de ecuaciones (y, después, de redes) que nos permitirá modelar el dispositivo o sistema que aparece dentro de la estructura cerrada de la figura 26.1. Lo anterior significa que podremos establecer una red que presente las mismas características que en las terminales del sistema original, del dispositivo original, etc. Por ejemplo, en la figura 26.3 aparece un transistor entre las cuatro terminales externas. Mediante el análisis siguiente, encontraremos una combinación de elementos de red que nos permitirá sustituir el transistor por una red que se comporte de forma muy similar al dispositivo original para un grupo específico de condiciones operativas. Entonces, se aplican métodos como el análisis de mallas y de nodos para determinar las cantidades desconocidas. Los modelos, cuando se reducen a sus formas más simples según lo determinen las condiciones operativas, también proporcionan estimaciones muy rápidas del comportamiento de la red sin tener que aplicar una extensa derivación matemática. En otras palabras, una persona con experiencia en el uso de los modelos puede analizar en poco tiempo la operación de sistemas complejos y grandes. En muchos casos, tal vez los resultados sólo sean aproximaciones, pero a menudo vale la pena efectuar este cálculo rápido que requiere un esfuerzo mínimo. El análisis de este capítulo se limita a los sistemas lineales (de valor fijo) con elementos bilaterales. Se desarrollan tres grupos de parámetros para la configuración con dos puertos, conocidos como parámetros de impedancia (z), admitancia (y) e híbridos (h). La tabla 26.1 que se presenta al final del capítulo relaciona estos tres grupos de parámetros.

2

26.2 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA Zi Y Zo Para el sistema de dos puertos de la figura 26.4, Zi es la impedancia de entrada entre las terminales 1 y 1′, y Zo es la impedancia de salida entre las terminales 2 y 2′. Para redes multipuerto, puede definirse un valor de impedancia entre dos terminales cualesquiera (adyacentes o no) de la red. La impedancia de entrada se define mediante la ley de Ohm de la manera siguiente:

Ii 1

Io

+

+ Sistema de dos puertos

Ei

Eo

– 1

2

– Zi

Zo

FIGURA 26.4 Definición de Zi y Zo .

2

26.2 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA Zi Y Zo

Ei Zi  Ii

(ohms, )

(26.1)

donde Ii es la corriente resultante de la aplicación de un voltaje Ei. La impedancia de salida Zo se define mediante: Eo Zo  Io

(ohms, )

(26.2)

Ei  0 V

donde Io es la corriente resultante de la aplicación de un voltaje Eo a las terminales de salida, con Ei igual a cero. Observe que Ii e Io se definen como entrando al “paquete”. Ésta es una práctica muy común en varios métodos de análisis de sistemas para evitar preocupaciones con respecto a la dirección real de cada corriente, y para definir Zi y Zo como cantidades positivas en las ecuaciones (26.1) y (26.2), respectivamente. Si se elige Io saliendo del sistema, Zo, tal como se define en la ecuación (26.2), deberá tener un signo negativo. La figura 26.5 presenta una disposición experimental con el propósito de determinar Zi para cualesquiera dos entradas. Se selecciona un resistor sensor Rs lo suficientemente pequeño como para no afectar la operación básica del sistema ni requerir un voltaje Eg demasiado grande para establecer el nivel deseado de Ei. Bajo condiciones operativas, el voltaje en Rs es Eg Ei, y la corriente a través del resistor sensor es: Eg Ei VR IRs  s  Rs Rs Ii  IRs

Pero:

y

VRs

+

I Rs

Ei Ei Zi   Ii IRs

Ii

+

Rs

Eg

Ei

–

Sistema de dos puertos

– Zi

FIGURA 26.5 Determinación de Zi.

Por tanto, el único propósito del resistor sensor fue determinar Ii usando solamente mediciones de voltaje. Conforme avancemos en este capítulo, recuerde que no podemos utilizar un ohmímetro para medir Zi o Zo porque estamos tratando sistemas de ca cuya impedancia puede variar con la frecuencia aplicada. Los ohmímetros pueden usarse para medir la resistencia en una red de cd o de ca, pero recuerde que sólo se emplean en una red sin energía, y su fuente interna es una batería de cd. La impedancia de salida Zo puede ser determinada experimentalmente usando el arreglo de la figura 26.6. Observe que se introduce otra vez un resistor sensor, donde Eg es un voltaje aplicado para establecer condiciones características de operación. Además, observe que la señal de entrada debe establecerse

⏐⏐⏐

1151

1152

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

en cero, como lo define la ecuación (26.2). El voltaje en el resistor sensor es Eg Eo, y la corriente a través de este resistor es: Eg Eo VR IRs  s  Rs Rs Io  IRs y

pero:

Eo Eo Zo   Io IRs

Io

–

+ Ei = 0 V

Sistema de dos puertos

VR

s

Rs

+ IRs

+

Eo

Eg

–

– Zo FIGURA 26.6 Determinación de Zo .

En la mayoría de las situaciones, Zi y Zo serán puramente resistivas, lo cual produce un ángulo de cero grados para cada impedancia. El resultado es que se puede usar un DMM o un osciloscopio para encontrar la magnitud requerida de la cantidad que se busca. Por ejemplo, tanto para Zi como para Zo, VRs se mide directamente con el DMM, al igual que los niveles requeridos de Eg, Ei o Eo. Después se determina la corriente para cada caso con base en la ley de Ohm, y se calcula el nivel de impedancia mediante las ecuaciones (26.1) o (26.2). Si usamos un osciloscopio, debemos estar más atentos al requerimiento de la tierra común. Por ejemplo, en la figura 26.5, Eg y Ei se miden con el osciloscopio porque tienen una tierra común. Si se intentara medir VRs directamente con la tierra del osciloscopio en la terminal superior de la entrada Ei, se produciría un efecto de corto circuito a través de las terminales de entrada del sistema, debido a la tierra común entre la fuente y el osciloscopio. Si la impedancia de entrada del sistema se “pone en corto”, la corriente Ii puede elevarse a niveles peligrosos debido a que la única resistencia en el circuito de entrada es el relativamente pequeño resistor sensor Rs. Al utilizar el DMM para no preocuparnos por la situación de la conexión a tierra, debemos asegurarnos de que el medidor esté diseñado para operar de manera adecuada en la frecuencia de interés. Casi todas las unidades comerciales se limitan a unos cuantos kilohertz. Si la impedancia de entrada tiene un ángulo diferente de cero grados (puramente resistiva), no puede usarse un DMM para encontrar la componente reactiva en las terminales de entrada. La magnitud de la impedancia total será correcta si se mide como se describió antes, pero no se proporcionará el ángulo a partir del cual se determinan las componentes resistiva y reactiva. Si se usa un osciloscopio, la red debe conectarse como en la figura 26.7. Se exhiben en el osciloscopio los voltajes Eg y VRs al mismo tiempo, y se determina el ángulo de fase entre Eg y VRs. Debido a que VRs e Ii están en fase, el ángulo determinado también será el ángulo entre Eg e Ii. El ángulo que buscamos está entre Ei e Ii, no entre Eg e Ii, pero debido a que, por lo general, Rs se selecciona suficientemente pequeño, podemos suponer que la caída de voltaje en Rs es tan pequeña en comparación con Eg que Ei  Eg. La sustitución de los valores pico, pico a pico o rms a partir de las mediciones con el osciloscopio, junto con el ángulo recién calculado, permitirá determinar la magnitud y el ángulo para Zi, a partir

26.2 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA Zi Y Zo

⏐⏐⏐

1153

del cual las componentes resistiva y reactiva pueden ser determinadas usando unas cuantas relaciones geométricas básicas. La naturaleza reactiva (inductiva o capacitiva) de la impedancia de entrada se puede determinar cuando se calcula el ángulo entre Ei e Ii. Para el osciloscopio de trazo dual, si Eg se adelanta a VRs (Ei se adelante a Ii), la red es inductiva; si ocurre lo contrario, la red es capacitiva.

+

Rojo

+

Ii

Eg

– –

Ii

Rs

+

Ei Sistema de dos puertos

–

Negro Negro

Rojo Canal 2: VRs Comparten Canal 1: Es tierra común

FIGURA 26.7 Determinación de Zi usando un osciloscopio.

Para determinar el ángulo asociado con Zo, el resistor sensor debe moverse otra vez a la parte inferior para formar una tierra común con la fuente Eg. Después, usando la aproximación Eg  Eo, se determinan la magnitud y el ángulo de Zo. Rs

EJEMPLO 26.1 Dadas las mediciones DMM que aparecen en la figura 26.8, determine la impedancia de entrada Zi para el sistema si se sabe que esta impedancia es puramente resistiva.

+ Eg

Solución:

Zi

FIGURA 26.8 Ejemplo 26.1.

EJEMPLO 26.2 Usando las medidas DMM proporcionadas en la figura 26.9, determine la impedancia de salida Zo para el sistema si se sabe que esta impedancia es puramente resistiva. Rs

+

2 k

Eo = 1.92 V

+ 2V

Eg

– – Zo

FIGURA 26.9 Ejemplo 26.2.

Ei = 96 mV Sistema de dos puertos

–

Ei 96 mV Zi  Ri    2.4 k Ii 40 mA

Ei = 0 V

100 mV

–

VRs  Eg Ei  100 mV 96 mV  4 mV VR 4 mV Ii  IRs  s   40 mA Rs 100

Sistema de dos puertos

+

100 

1154

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

Solución: VRs  Eg Eo  2 V 1.92 V  0.08 V  80 mV VR 80 mV Io  IRs  s   40 mA Rs 2 k Eo 1.92 V Zo    48 k Io 40 mA

EJEMPLO 26.3 Las características de entrada para el sistema de la figura 26.10(a) son desconocidas. Usando las mediciones de osciloscopio de la figura 26.10(b), determine la impedancia de entrada para el sistema. Si existe una componente reactiva, determine su magnitud y si es inductiva o capacitiva.

Eg

+ 50 mV 0° (p-p)

Eg

– Canal 1

+

Zi

VRs

Ei Sistema de dos puertos 150°

–

Rs

+

–

10 

Canal 2 (a)

Eg: Sensibilidad vertical = 10 mV/divisiones VR : Sensibilidad vertical = 1 mV/divisiones s

(b)

FIGURA 26.10 Ejemplo 26.3.

Solución: La magnitud de Zi: VRs( p-p) 2 mV Ii( p-p)  IRs( p-p)    200 mA Rs 10 Ei Eg 50 mV Zi     250 Ii Ii 200 mA El ángulo de Zi: el ángulo de fase entre Eg y VRs (o IRs  Ii) es: 180° 150°  30° con Eg adelantando a Ii, por lo que el sistema es inductivo. Por tanto, Zi  250 30°  216.51   j 125   R  j XL

26.3 GANANCIAS DE VOLTAJE AvNL, Av Y AvT

⏐⏐⏐

1155

26.3 GANANCIAS DE VOLTAGE AvNL, Av Y AvT La ganancia de voltaje para el sistema de dos puertos de la figura 26.11 se define mediante:

+ Ei

AvNL

E  o Ei

(26.3)

La letra mayúscula A empleada en la notación fue elegida a partir del término factor de amplificación, con el subíndice v seleccionado para especificar que están implicados niveles de voltaje. El subíndice NL revela que la razón fue determinada bajo condiciones sin carga; es decir, que no fue aplicada una carga a las terminales de salida cuando la ganancia fue determinada. La ganancia de voltaje sin carga es la ganancia proporcionada normalmente con sistemas empaquetados ya que la carga conectada es una función de la aplicación. La magnitud de la razón puede ser determinada usando un DMM o un osciloscopio. Sin embargo, el osciloscopio debe usarse para determinar la diferencia de fase entre los dos voltajes. En la figura 26.12 ha sido introducida una carga para establecer una ganancia con carga que se denotará simplemente por Av y será definida mediante: E Av  o Ei

(26.4) con RL

Rg

+ Eg

+

+ Ei

–

+

Av

–

Eo

RL VL = Eo

– –

FIGURA 26.12 Definición de la ganancia de voltaje con carga Av (y AvT ).

Para todos los sistemas de dos puertos, la ganancia con carga Av siempre será menor que la ganancia sin carga. En otras palabras, la aplicación de una carga siempre reducirá la ganancia por debajo del valor del caso sin carga. Una tercera ganancia de voltaje puede ser definida usando la figura 26.12 ya que tiene una fuente de voltaje aplicado con una resistencia interna asociada —situación que se encuentra a menudo en los sistemas electrónicos—. La ganancia total de voltaje del sistema es representada por AvT y se define mediante: E AvT  o Eg

(26.5)

Ésta es la ganancia de voltaje de la fuente Eg a las terminales de salida Eo. Debido a la pérdida de voltaje de señal en la resistencia de la fuente, la ganancia de voltaje AvT es siempre menor que la ganancia de voltaje con carga Av o que la ganancia de voltaje sin carga AvNL.

–

+

AvNL

Eo

–

FIGURA 26.11 Definición de la ganancia sin carga AvNL.

1156

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

Si desarrollamos la ecuación (26.5) como sigue: Eo Eo Eo Ei Eo Ei AvT   (1)   ⋅ Eg Eg Eg Ei Ei Eg

 

entonces:

Ei AvT  Av Eg

(si está cargada)

o bien:

Ei AvT  AvNL Eg

(si no está cargada)

La relación entre Ei y Eg puede ser determinada a partir de la figura 26.12 si se reconoce que Ei está en la impedancia de entrada Zi, y entonces es aplicable la regla del divisor de voltaje como sigue: Zi (Eg) Ei  Zi  Rg Ei Zi  Eg Zi  Rg

o bien:

Sustituir en las relaciones anteriores dará por resultado: Zi AvT  Av Zi  Rg

Zi AvT  AvNL Zi  Rg

(si está cargada)

(26.6)

(si no está cargada)

(26.7)

En la figura 26.13 se muestra un modelo de dos puertos equivalente para un sistema sin carga basado en las definiciones de Zi, Zo y AvNL. Zi y Zo aparecen como valores resistivos ya que esto es normal en la mayoría de los amplificadores electrónicos. Sin embargo, tanto Zi como Zo pueden tener componentes reactivas y no invalidar por ello la equivalencia del modelo. Zo

Ii

+

Ro

I2

+

+ Ei

Zi

Ri

AvNLEi

Eo

–

–

FIGURA 26.13 Modelo equivalente para un amplificador de dos puertos.

Ro

+ + AvNLEi

Eo

–

RL

– – FIGURA 26.14 Aplicación de una carga a la salida de la figura 26.13.

La impedancia de entrada está definida por Zi  Ei /Ii y el voltaje Eo  AvNLEi en ausencia de una carga, resultando en AvNL  Eo /Ei, como está definido. La impedancia de salida se define con Ei establecido en cero volts, resultando en AvNLEi  0 V, lo que permite el uso de un corto circuito equivalente para la fuente controlada. El resultado es Zo  Eo /Io, como se definió, y los parámetros y estructura del modelo equivalente quedan validados. Si la carga se aplica como en la figura 26.14, utilizar la regla del divisor de voltaje resultará en:

26.3 GANANCIAS DE VOLTAJE AvNL, Av Y AvT

⏐⏐⏐

1157

RL(AvNLEi) Eo  RL  Ro Eo RL Av   AvNL Ei RL  Ro

y

(26.8)

Para cualquier valor de RL o Ro, la razón RL /(RL  Ro) debe ser menor que 1, estableciendo que Av sea siempre menor que AvNL, como se indicó. Además, para una impedancia fija de salida (Ro), entre mayor es la resistencia de la carga (RL), más cercana está la ganancia con carga al valor de la ganancia sin carga. Un procedimiento experimental para determinar Ro puede ser desarrollado si resolvemos la ecuación (26.8) para la impedancia de salida Ro: RL Av  AvNL RL  Ro Av(RL  Ro)  RLAvNL AvRL  AvRo  RLAvNL

o bien:

AvRo  RLAvNL AvRL

y

RL(AvNL Av) Ro  Av

con:

AvNL Ro  RL

1 Av



o bien:



(26.9)

La ecuación (26.9) revela que la impedancia de salida Ro de un amplificador puede ser determinada midiendo primero la ganancia de voltaje Eo /Ei sin carga para encontrar AvNL, y midiendo entonces la ganancia con una carga RL para encontrar Av. La sustitución de AvNL, Av y RL en la ecuación (26.9) nos dará el valor de Ro. EJEMPLO 26.4 Para el sistema de la figura 26.15(a) empleado en el amplificador cargado de la figura 26.15(b): Rg

+ Ei = 4 mV

+

AvNL

–

Eo = –20 V

1 k Eg

–

+

+ +

Ei

Av

–

a. b. c. d.

Determine la ganancia de voltaje sin carga AvNL. Determine la ganancia de voltaje con carga Av. Calcule la ganancia de voltaje con carga AvT. Determine Ro a partir de la ecuación (26.9), y compárela con el valor especificado de la figura 26.15.

–

Zo = 50 k (b)

FIGURA 26.15 Ejemplo 26.4.

2.2 k VL

–

Zi = 1 k

(a)

E o RL

1158

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

Soluciones: Eo

20 V a. AvNL    5000 Ei 4 mV 2.2 k RL b. Av  AvNL  ( 5000) 2.2 k  50 k RL  Ro



 ( 5000)(0.0421)  210.73 Zi 1 k c. AvT  Av  ( 210.73) 1 k  1 k Zi  Rg 1  ( 210.73)  105.36 2









AvNL

5000 d. Ro  RL 1  2.2 k 1 Av

210.73  2.2 k (23.727 1)  2.2 k (22.727)  50 k como fue especificado









26.4 GANANCIAS DE CORRIENTE Ai Y AiT Y GANANCIA DE POTENCIA AG La ganancia de corriente de sistemas de dos puertos se calcula normalmente a partir de niveles de voltaje. Una ganancia sin carga no está definida para ganancia de corriente ya que la ausencia de RL requiere que Io  Eo /RL  0 A y Ai  Io / Ii  0. Sin embargo, en el sistema de la figura 26.16 ha sido aplicada una carga, e Eo Io  RL Ei Ii  Zi

con:

Ig

Rg

+

Ii

Io

+

+

Ei

Eg

–

Av

Eo

–

RL

–

Zi

Zo

FIGURA 26.16 Definición de Ai y AiT.

Observe la necesidad de un signo menos cuando Io es definida, ello se debe a que la polaridad definida de Eo establecería la dirección opuesta para Io a través de RL. La ganancia de corriente con carga es: Eo Zi Io

Eo /RL Ai    Ei RL Ii Ei /Zi

 

26.4 GANANCIAS DE CORRIENTE Ai Y AiT Y GANANCIA DE POTENCIA AG

Zi Ai  Av RL

y

(26.10)

Por tanto, en general, la ganancia de corriente con carga puede obtenerse directamente a partir de la ganancia de voltaje con carga y la razón de valores de impedancia, Zi sobre RL. Si la razón AiT  Io /Ig fuese requerida, procederíamos como sigue: Eo Io  RL Eg Ii  Rg  Zi

con:

Eo Rg  Zi Io

Eo /RL AiT    RL Ig Eg Eg /(Rg  Zi)

 

y



Io Rg  Zi AiT   AvT RL Ig



o bien:



(26.11)

El resultado obtenido con las ecuaciones (26.10) o (26.11) será el mismo ya que Ig  Ii, pero ahora se tiene la opción de elegir entre la ganancia disponible o la que se prefiera emplear. Volviendo a la figura 26.13 (repetida en la Figura 26.17), una ecuación para la ganancia de corriente puede ser determinada en términos de la ganancia de voltaje sin carga. Ro

Ii

Io

+

+ + Ei

Ri

AvNLEi

Eo

RL

–

–

–

FIGURA 26.17 Desarrollo de una ecuación para Ai en términos de AvNL.

Por la ley de Ohm: AvNL Ei Io  RL  Ro pero:

Ei  Ii Ri

e

AvNL(Ii Ri) Io  RL  Ro

de manera que:

Io Ri Ai   AvNL Ii RL  Ro

(26.12)

El resultado es una ecuación para la ganancia de corriente con carga de un amplificador en términos de la ganancia de voltaje nominal sin carga y los elementos resistivos de la red.

⏐⏐⏐

1159

1160

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

Recuerde, de una conclusión anterior, que entre mayor es el valor de RL, mayor es la ganancia de voltaje con carga. Para niveles de corriente, la ecuación (26.12) revela que a mayor valor de RL, menor es la ganancia de corriente de un amplificador cargado. Por tanto, en el diseño de un amplificador, se debe balancear la ganancia deseada de voltaje con la ganancia de corriente y el nivel de potencia de salida de ca resultante. Para el sistema de la figura 26.17, la potencia entregada a la carga está determinada por E2o /RL, mientras que la potencia entregada en las terminales de entrada es E2i /Ri. Por tanto, la ganancia de potencia está definida por: Po Eo 2 Ri E2o /RL E2o Ri AG    2  2 Pi Ei RL E i /Ri E i RL

 

Ri AG  A2v RL

y

(26.13)

Desarrollando la conclusión, Ri AG  (Av) Av  (Av)( Ai) RL





AG  Av Ai

por lo que:

(26.14)

No se preocupe acerca del signo menos. Av o Ai serán negativos para asegurar que la ganancia de potencia sea positiva, como se obtuvo a partir de la ecuación (26.13). Si sustituimos Av  Ai RL /Ri [de la ecuación (26.10)] en la ecuación (26.14), obtendremos:

Ai RL AG  Av Ai  Ai Ri





RL AG  A2i Ri

o bien:

(26.15)

la cual tiene un formato similar al de la ecuación (26.13), pero ahora AG está dada en términos de la ganancia de corriente del sistema. La última ganancia de potencia por ser definida es la siguiente: PL Eo E2o /RL E2o /RL AGT     2 Pg Eg Eg Ig E g /(Rg  Ri)

2

Rg  Ri

    R

o bien:

Rg  Ri AGT  A2vT RL





L

(26.16)

Desarrollando: Rg  Ri AGT  AvT AvT RL



y

AGT  AvT AiT

 (26.17)

26.4 GANANCIAS DE CORRIENTE Ai Y AiT Y GANANCIA DE POTENCIA AG

EJEMPLO 26.5 Dado el sistema de la figura 26.18 con sus datos nominales:

Ig

+

Rg

Ii

Io

1 k

+

+ Av = –960 NL Zi = 2.7 k Zo = 40 k

Ei

Eg

–

RL = 4.7 k

Eo

–

–

FIGURA 26.18 Ejemplo 26.5.

a. b. c. d. e. f.

Determine Av. Calcule Ai. Incremente RL al doble de su valor actual, y observe el efecto sobre Av y Ai. Encuentre AiT. Calcule AG. Determine Ai a partir de la ecuación (26.1), y compárelo con el valor obtenido en el inciso (b).

Soluciones: 4.7 k RL a. Av  AvNL  ( 960)  100.94 4.7 k  40 k RL  Ro 2.7 k Ri b. Ai  AvNL  ( 960)  57.99 4.7 k  40 k RL  Ro









c. RL  2(4.7 k )  9.4 k 9.4 k RL Av  AvNL  ( 960) 9.4 k  40 k RL  Ro





 182.67





contra 100.94, lo cual es un incremento considerable

Ri 2.7 k Ai  AvNL  ( 960) RL  Ro 40 k  9.4 k  52.47 contra 57.99









lo cual es una caída en valor pero no tan considerable como el cambio en Av. d. AiT  Ai  57.99 como el obtenido en el inciso (b) Rg  Ri Sin embargo, AiT  AvT RL





Ri (Rg  Ri)  Av (Ri  Rg) RL







Ri 2.7 k  Av  ( 100.94) RL 4.7 k  57.99 también



Ri 2.7 k e. AG  A2v  (100.94)2  5853.19 RL 4.7 k







⏐⏐⏐

1161

1162

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

f. AG  Av Ai AG (5853.19) o Ai   Av ( 100.94)  57.99

como se encontró en el inciso (b)

26.5 SISTEMAS EN CASCADA Al considerar sistemas en cascada, como en la figura 26.19, lo más importante por recordar es que las ecuaciones para sistemas en cascada emplean el voltaje con carga y ganancias de corriente para cada etapa y no los niveles nominales sin cargas. Ii1

I o3

+

+

Av1, Ai1

Ei1

Eo1 = Ei2

Av2, Ai2

Eo2 = Ei3

Av3, Ai3

–

E o3

RL

– Zi1

Zi2

Zi3

FIGURA 26.19 Sistema en cascada.

Muy a menudo se emplean las ganancias marcadas como sin carga, resultando en enormes ganancias totales y altas expectativas no razonables para el sistema. Además, recuerde que la impedancia de entrada de la etapa 3 puede afectar la impedancia de entrada de la etapa 2 y, por tanto, la carga de la etapa 1. De modo que, en general, las ecuaciones para sistemas en cascada inicialmente parecen ofrecer un alto nivel de sencillez para el análisis. Sin embargo, el lector debe estar consciente de que cada término debe ser cuidadosamente evaluado antes de usar la ecuación. La ganancia total de voltaje para el sistema de la figura 26.19 es: AvT  Av1 ⋅ Av2 ⋅ Av3

(26.18)

donde, como se indicó líneas arriba, el factor de amplificación de cada etapa es determinado bajo condiciones con cargas. La ganancia total de corriente para el sistema de la figura 26.19 es: AiT  Ai1 ⋅ Ai2 ⋅ Ai3

(26.19)

donde, de nuevo, la ganancia de cada etapa es determinada bajo condiciones con cargas (conectadas). La ganancia de corriente entre dos etapas cualesquiera también puede ser determinada usando una ecuación desarrollada antes en el capítulo. Para sistemas en cascada, la ecuación tiene el siguiente formato general: Zi Ai  Av RL

(26.20)

donde Av es la ganancia de voltaje con carga correspondiente a la ganancia de corriente con carga deseada. Es decir, si la ganancia abarca desde la primera

26.5 SISTEMAS EN CASCADA

⏐⏐⏐

1163

hasta la tercera etapas, entonces la ganancia de voltaje sustituido comprenderá también desde la primera hasta la tercera etapas. La impedancia de entrada Zi es para la primera etapa de interés, y RL es la carga sobre la última etapa de interés. Por ejemplo, para el amplificador de tres etapas de la figura 26.19, Zi1 AiT  AvT RL mientras que para las primeras dos etapas: Zi1 A′i  A′v Zi3 donde:

Io2 A′i  Ii1

y

Eo 2 A′v  Ei1

La ganancia total de potencia está determinada por: AGT  AvT AiT

(26.21)

mientras que la ganancia entre etapas específicas es simplemente el producto de las ganancias de voltaje y corriente para cada sección. Por ejemplo, para las primeras dos etapas de la figura 26.19, A′G  A′v2 ⋅ A′i2 donde:

A′v2  Av1 ⋅ Av2 y

A′i2  Ai1 ⋅ Ai2

EJEMPLO 26.6 Para el sistema en cascada de la figura 26.20, con sus parámetros nominales sin carga: I i1

Io

+ Ei1

–

+ AvNL = 1 Zi = 50 k Zo = 25 

Eo1 = Ei2

+ AvNL = –600 Zi = 1.8 k Zo = 40 k

–

Eo2 = Ei3

– FIGURA 26.20 Ejemplo 26.6.

a. Determine las ganancias de voltaje y corriente con carga para cada etapa, y trace de nuevo el sistema de la figura 26.20 con los parámetros con carga. b. Calcule la ganancia total de voltaje y corriente. c. Encuentre la ganancia total de potencia del sistema usando la ecuación (26.21). d. Calcule la ganancia de voltaje y corriente para las dos primeras etapas usando las ecuaciones (26.18) y (26.19). e. Determine la ganancia de corriente para las dos primeras etapas usando la ecuación (26.20), y compare su respuesta con el resultado del inciso (d). f. Calcule la ganancia de potencia para las dos primeras etapas usando la ecuación (26.21). g. Determine la ganancia de potencia para las dos primeras etapas usando la ecuación (26.13). Compare esta respuesta con el resultado del inciso (f ). h. Calcule la ganancia incorrecta de voltaje para todo el sistema usando la ecuación (26.18) y el valor nominal sin carga para cada etapa. Compare esta respuesta con el resultado del inciso (b).

+ AvNL = –1200 Zi = 1.2 k Zo = 50 k

Eo3 RL

–

3.3 k

1164

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

Soluciones: 1.8 k Zi2 RL a. Av1  AvNL1  AvNL1  (1) 1.8 k  25 RL  Ro Zi2  Ro1  0.986 1.2 k Zi3 Av2  AvNL2  ( 600)  17.476 1.2 k  40 k Zi3  Ro2 RL 3.3 k Av3  AvNL3  ( 1200)  74.296 RL  Ro3 3.3 k  50 k 50 k Ri Zi1 Ai1  AvNL  AvNL1  (1) 1.8 k  25 RL  Ro Zi2  Ro1  27.397 Zi2 1.8 k Ai2  AvNL2  ( 600)  26.214 Zi3  Ro2 1.2 k  40 k 1.2 k Zi3 Ai3  AvNL3  ( 1200)  27.017 3.3 k  50 k RL  Ro3 Observe la figura 26.21. I i1

Io

+ E i1

+ Av = 0.986 1 Ai = –27.397 1

Eo1 = Ei2

Av2 = –17.476 Ai = 26.214 2

Eo2 = Ei3

Av3 = –74.296 Ai = 27.017 3

–

Eo3

RL = 3.3 k

– FIGURA 26.21 Solución al ejemplo 26.6.

Eo3 b. AvT   Av1 ⋅ Av2 ⋅ Av3  (0.986)( 17.476)( 74.296) Ei1  1280.22 Io3 AiT   Ai1 ⋅ Ai2 ⋅ Ai3  ( 27.397)(26.214)(27.017) Ii1  19,403.20 c. AGT  AvT ⋅ AiT  (1280.22)( 19,403.20)  24.84  106 d. A′v2  Av1 ⋅ Av2  (0.986)( 17.476)  17.231 A′i2  Ai1 ⋅ Ai2  ( 27.397)(26.214)  718.185 50 k Zi Zi1 e. A′i2  Av  A′v2  ( 17.231) 1.2 k RL Zi 3  717.958

contra 718.185

la diferencia se debe al nivel de precisión usado en los cálculos. f. A′G2  A′v2 ⋅ A′i2  ( 17.231)( 718.185)  12,375.05 Ri1 Ri 50 k g. A′G2  A2v  (A′v2)2  ( 17.231)2  12,371.14 RL Zi3 1.2 k

26.6 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA (z)

⏐⏐⏐

1165

h. AvT  Av1 ⋅ Av2 ⋅ Av3  (1)( 600)( 1200)  7.2  105 720,000 : 1280.22  562.40 : 1 lo cual es, desde luego, una diferencia considerable en los resultados.

26.6 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA (z) Para la configuración de dos puertos de la figura 26.22, están especificadas cuatro variables. En la mayoría de los casos, si dos variables cualesquiera están especificadas, las dos restantes pueden ser determinadas. Estas cuatro variables pueden relacionarse mediante las siguientes ecuaciones:

I1

I2

+

+

(Z)

E1

E2

–

E1  z11I1  z12I2 E2  z21I1  z22I2

–

(26.22a) FIGURA 26.22 Parámetros de impedancia para una configuración de dos puertos.

(26.22b)

Los parámetros de impedancia z11, z12 y z22 están medidos en ohms. Para modelar el sistema, cada parámetro de impedancia debe ser determinado estableciendo una variable particular en cero.

z11 Para z11, si I2 se establece en cero, como se muestra en la figura 26.23, la ecuación (26.22a) resulta en: E1  z11I1  z12(0)

I1

I2 = 0

+ E1

Sistema

–

E1 z11  I1

y

(ohms, )

(26.23)

I2  0

FIGURA 26.23 Determinación de z11.

La ecuación (26.23) revela que con I2 igual a cero, el parámetro de impedancia está determinado por la razón resultante de E1 a I1. Como E1 e I1 son cantidades de entrada, con I2 establecida en cero, el parámetro z11 formalmente se denota en la siguiente forma: z11  parámetro de impedancia de entrada a circuito abierto

z12 Para z12, I1 se establece en cero, y la ecuación (26.22a) resulta en: E1 z12  I2

(ohms, )

(26.24)

I1  0

Para la mayoría de los sistemas donde deben compararse cantidades de entrada y salida, la razón de interés es usualmente la de la cantidad de salida dividida entre la cantidad de entrada. En este caso, lo inverso es cierto, resultando lo siguiente: z12  parámetro de impedancia de transferencia inversa a circuito abierto El término transferencia está incluido para indicar que z12 relacionará una cantidad de entrada con una de salida (para la condición I1  0). La configuración de red para determinar z12 se muestra en la figura 26.24.

I1 = 0

I2

+ E1

+ Sistema

–

E2

–

FIGURA 26.24 Determinación de z12.

1166

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

Para una fuente aplicada E2, la razón E1/I2 determinará z12 con I1 establecida en cero.

z21 Para determinar z21, establezca I2 igual a cero y encuentre la razón E2/I1 de acuerdo con la ecuación (26.22b). Es decir, E2 z21  I1

(ohms, )

(26.25)

I2  0

En este caso, las cantidades de entrada y de salida son de nuevo las variables determinantes, requiriendo el término transferencia en la nomenclatura. Sin embargo, la razón es de una cantidad de salida a una de entrada, por lo que se aplica el término descriptivo directa, y z21  parámetro de impedancia de transferencia directa a circuito abierto I1

I2 = 0

+

+

E1

La red que la determina se muestra en la figura 26.25. Para un voltaje aplicado E1, se determina z21 mediante la razón E2/I1 con I2 establecida en cero.

E2

Sistema

–

–

z22 El parámetro restante, z22, está determinado por:

FIGURA 26.25 Determinación de z21. I1 = 0

E2 z22  I2

I2

+ E2

Sistema

–

(ohms, )

(26.26)

I1  0

de acuerdo con la ecuación (26.22b) con I1 establecida en cero. Como ésta es la razón del voltaje de salida a la corriente de salida con I1 establecida en cero, tiene la terminología z22  parámetro de impedancia de salida a circuito abierto La red requerida se muestra en la figura 26.26. Para un voltaje aplicado E2, se determina z22 por medio de la razón resultante E2/I2 con I1  0.

FIGURA 26.26 Determinación de z22.

1

R

XL

3

5

XC

EJEMPLO 26.7 Determine los parámetros de impedancia (z) para la red T de la figura 26.27. 2

4

Solución Para z11, la red se verá como en la figura 26.28, con Z1  3 0°, Z2  5 90°, y Z3  4  90°: E1 I1  Z1  Z3

2

1

FIGURA 26.27 Configuración T.

Así:

E1 z11  I1

y

z11  Z1  Z3

I2  0

Para z12, la red se verá como en la figura 26.29, y E1  I2Z3

(26.27)

26.6 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA (z) I1

1

I2 = 0 Z1

Z2

Z1

+

2

+

+

+ Z3

E1

Z3

E1

–

E2

–

– 2

1

2

FIGURA 26.29 Determinación de z12.

FIGURA 26.28 Determinación de z11.

Entonces:

E1

–

1

E1 z12  I2

I1  0

I2Z3  I2

z12  Z3

y

1167

I2

I1 = 0 1

2

Z2

⏐⏐⏐

(26.28)

Para z21, la red requerida aparece en la figura 26.30, y E2  I1Z3 Entonces,

E2 z21  I1

E1

(26.29)

E2

–

y

I1  0

I1 = 0 1

z12  z21  Z3  4  90°  j 4  z22  Z2  Z3  5 90°  4  90°  1 90°  j 1  Para un conjunto de parámetros de impedancia, el comportamiento en las terminales (externo) del dispositivo o red dentro de la configuración de la figura 26.22 está determinado. Un circuito equivalente para el sistema puede ser desarrollado usando los parámetros de impedancia y las ecuaciones (26.22a) y (26.22b). Dos posibilidades para los parámetros de impedancia aparecen en la figura 26.32. Aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff a los lazos de entrada y salida de la red de la figura 26.32(a) resulta en: E2 z22I2 z21I1  0

– 2

I2 Z1

Z2

2

+ Z3

E2

–

z11  Z1  Z3  3   j 4 

y

E2

–

(26.30)

Observe que para la configuración T, z12  z21. Para Z1  3 0°, Z2  5 90°, y Z3  4  90°, tenemos:

E1 z11I1 z12I2  0

2

FIGURA 26.30 Determinación de z21.

I2(Z2  Z3)  I2

z22  Z2  Z3

Z3

1

E2 I2  Z2  Z3 E2 z22  I2

+

+

+

Para z22, la configuración determinante se muestra en la figura 26.31, e

Entonces:

Z2

Z1

1

I1Z3  I2  0 I1

z21  Z3

y

I2 = 0

I1

1

2

FIGURA 26.31 Determinación de z22.

1168

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

1 I1

+

z11

z22

I2 2

+

1 I1

+

– z11 – z12

+

I2 2

z22 – z12

+ (z21 – z12)I1

E1

+

+

–

–

z12I2

z 21I

E2

E1

E2

z12

1

–

–

–

–

1

2

1

2

(a)

(b)

FIGURA 26.32 Dos posibles redes equivalentes de parámetros z, de dos puertos.

las cuales, reordenadas, se convierten en: E1  z11I1  z12I2

E2  z21I1  z22I2

coincidieron con las ecuaciones (26.22a) y (26.22b). Para la red de la figura 26.32(b), E1 I1(z11 z12) z12(I1  I2)  0 E2 I1(z21 z12) I2(z22 z12) z12(I1  I2)  0

y

las cuales, reordenadas, son: E1  I1(z11 z12  z12)  I2z12 E2  I1(z21 z12  z12)  I2(z22 z12  z12) E1  z11I1  z12I2 E2  z21I1  z22I2

y

En cada red, observe la necesidad de una fuente de voltaje controlada por corriente, esto es, una fuente de voltaje cuya magnitud está determinada por una corriente particular de la red. La utilidad de los parámetros de impedancia y las redes equivalentes resultantes pueden describirse considerando el sistema de la figura 26.33(a), el cual contiene un dispositivo (o sistema) para el que los parámetros de impedancia

+

+

–

1

1

I1 2

Dispositivo, red, sistema (z)

(a)

1

I2 z11

z22

+

+

–

–

z12I2 2

–

2

z21I1

1

2

(b)

FIGURA 26.33 Sustitución de la red equivalente de parámetros z en un sistema complejo.

26.7 PARÁMETROS DE ADMITANCIA (y)

han sido determinados. Como se muestra en la figura 26.33(b), la red equivalente para el dispositivo (o sistema) puede ser sustituida entonces, y métodos como el análisis de mallas, el análisis de nodos, etc., pueden ser empleados para determinar las cantidades desconocidas requeridas. El dispositivo mismo puede reemplazarse entonces por un circuito equivalente para obtener de manera más directa las soluciones deseadas empleando menos esfuerzo que el requerido usando sólo las características del dispositivo.

EJEMPLO 26.8 Trace el circuito equivalente en la forma que muestra la figura 26.32(a) usando los parámetros de impedancia determinados en el ejemplo 26.7. Solución: El circuito aparece en la figura 26.34.

I1 1

R

XC

XL

4

1

+

4I1 –90°

E2

+

3

E1

4I2 –90°

+ –

I2 2

+ –

–

– 2

1

FIGURA 26.34 Ejemplo 26.8.

26.7 PARÁMETROS DE ADMITANCIA (y) Las ecuaciones que relacionan las cuatro variables terminales de la figura 26.22 también pueden escribirse en la forma siguiente: I1  y11E1  y12E2

(26.31a)

I2  y21E1  y22E2

(26.31b)

Observe que en este caso cada término de cada ecuación tiene las unidades de corriente, en comparación con unidades de voltaje para cada término de las ecuaciones (26.22a) y (26.22b). Además, la unidad de cada coeficiente está en siemens, en comparación con los ohm empleados para los parámetros de impedancia. Los parámetros de impedancia fueron determinados estableciendo una corriente particular igual a cero por medio de una condición de circuito abierto. Para los parámetros de admitancia (y) de las ecuaciones (26.31a) y (26.31b), un voltaje se establece igual a cero por medio de una condición de corto circuito. La terminología aplicada a cada uno de los parámetros de admitancia resulta directamente de los términos descriptivos aplicados a los parámetros de impedancia. Las ecuaciones para cada uno son determinadas directamente de las ecuaciones (26.31a) y (26.31b) estableciendo un voltaje particular igual a cero.

⏐⏐⏐

1169

1170

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

y11 I1 y11  E1

(siemens, S)

(26.32)

E2  0

y11  parámetro de admitancia de entrada a corto circuito La red para su determinación aparece en la figura 26.35. I1

I2 2

+

1

E1

E2 = 0

Sistema

– 2

1

FIGURA 26.35 Determinación de y11.

y12 I1 y12  E2

(siemens, S)

(26.33)

E1  0

y12  parámetro de admitancia de transferencia inversa a corto circuito La red para determinar y12 aparece en la figura 26.36. I2

I1 1

+

2 E1 = 0

E2

Sistema

– 1

2

FIGURA 26.36 Determinación de y12.

y21 I2 y21  E1

(siemens, S)

(26.34)

E2  0

y21  parámetro de admitancia de transferencia directa a corto circuito La red para determinar y21 aparece en la figura 26.37. I1

I2 2

+

1

E1

Sistema

E2 = 0

– 2

1

FIGURA 26.37 Determinación de y21.

26.7 PARÁMETROS DE ADMITANCIA (y)

⏐⏐⏐

1171

y22 I2 y22  E2

(siemens, S)

(26.35)

E1  0

y22  parámetro de admitancia de salida a corto circuito La red requerida aparece en la figura 26.38. I2

I1 1

2 E1 = 0

+ E2

Sistema

– 1

2

FIGURA 26.38 Determinación de y22.

EJEMPLO 26.9 Determine los parámetros de admitancia para la red p de la figura 26.39. Solución: La red para y11 aparecerá como se muestra en la figura 26.40, con: Y1  0.2 mS 0°

Y2  0.02 mS  90°

Y3  0.25 mS 90°

con:

I1 y11  E1

e

y11  Y1  Y2

(26.36)

En corto circuito 2

Y2

Y1

Y3

E2 = 0

– 1

2

FIGURA 26.40 Determinación de y11.

La red para determinar y12 aparece en la figura 26.41. Y1 está en corto circuito; por lo que IY2  I1, e IY2  I1  E2Y2 El signo menos resulta de que la dirección definida de I1 en la figura 26.41 es opuesta a la dirección real del flujo debido a la fuente aplicada E2; es decir, I1 y12  E2

E1  0

0.02 mS

G

0.2 mS

BC

+

2

0.25 mS E2

–

1

+ E1

I2

–

E2  0

I1 1

+

E1

I1  E1YT  E1(Y1  Y2)

Usamos:

BL

I1 1

2

FIGURA 26.39 Red p.

1172

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

En corto circuito 1

IY

I1

I2

2

Y2

2

+ E1 = 0

Y1

E2

Y3

– 1 2

FIGURA 26.41 Determinación de y12.

y12  Y2

e

(26.37)

La red empleada para y21 se muestra en la figura 26.42. En este caso, Y3 está en corto circuito, resultando en: IY2  I2 e

IY2  I2  E1Y2

I2 y21  E1

con:

E2  0

y21  Y2

e

I1

(26.38)

I Y2

I2

En corto circuito 2

Y2

1

+ E1

Y1

E2 = 0

Y3

– 1

2

FIGURA 26.42 Determinación de y21.

Observe que para la configuración p, y12  y21, ya se esperaba esta relación debido a que los parámetros de impedancia para la red T eran tales: z12  z21. Una red T puede ser convertida directamente a una red p usando la transformación Y-D. La red para determinar y22 aparece en la figura 26.43, y En corto circuito 1

I1

IY2

I2 Y2 2

+ E1 = 0

Y1

E2

Y3

–

1 2

FIGURA 26.43 Determinación de y22.

26.7 PARÁMETROS DE ADMITANCIA (y)

YT  Y2  Y3

e

I2  E2(Y2  Y3)

Entonces,

I2 y22  E2

e

y22  Y2  Y3

E1  0

(26.39)

Sustituyendo valores tenemos: Y1  0.2 mS 0° Y2  0.02 mS  90° Y3  0.25 mS 90° y11  Y1  Y2  0.2 mS  j 0.02 mS (L) y12  y21  Y2  ( j 0.02 mS)  j 0.02 mS (C) y22  Y2  Y3  j 0.02 mS  j 0.25 mS  j 0.23 mS (C)

Observe las similitudes entre los resultados para y11 e y22 en la red p comparados con z11 y z22 en la red T. Dos redes que satisfacen las relaciones de las ecuaciones (26.31a) y (26.31b) en sus terminales se muestran en la figura 26.44. Observe el uso de ramas pa-

I1

a

I2

b

1

2

+ E1

I1

y11

y12E2

y21E1

y22

1

+

+

E2

E1

I2 –y12 (y22 – y12)I1 y11 + y12

y22 + y12

2

+ E2

–

–

–

–

1

2

1

2

(a)

(b)

FIGURA 26.44 Dos posibles redes equivalentes de parámetros y, de dos puertos.

ralelas ya que cada término de las ecuaciones (26.31a) y (26.31b) tiene las unidades de corriente, y la ruta más directa al circuito equivalente es una aplicación de la ley de corriente de Kirchhoff en forma inversa. Esto es, se encuentra la red que satisface la relación de la ley de corriente de Kirchhoff. Para los parámetros de impedancia, cada término tenía las unidades de volts, por lo que la ley de voltaje de Kirchhoff fue aplicada en forma inversa para determinar la combinación en serie de elementos en el circuito equivalente de la figura 26.44(a). Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff a la red de la figura 26.44(a), tenemos:

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1173

1174

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN Entrando

Saliendo

Nodo a: I1  y11E1  y12E2 Nodo b: I2  y22E2  y21E1 que, cuando se reordenan, son las ecuaciones (26.31a) y (26.31b). Para los resultados del ejemplo 26.9, aparecerá la red de la figura 26.45 si se emplea la red equivalente de la figura 26.44(a). 0.02 mS 90° E1

I1

I2

+

+ E1

BL

BC

0.02 mS

0.23 mS

–

E2

– 0.02 mS 90° E2

FIGURA 26.45 Red equivalente para los resultados del ejemplo 26.9.

26.8 PARÁMETROS HÍBRIDOS (h) Los parámetros híbridos (h) son empleados ampliamente en el análisis de redes de transistores. El término híbrido se deriva de que estos parámetros tienen una mezcla de unidades (conjunto híbrido) en vez de una sola unidad de medición como ohms o siemens, usadas para los parámetros z e y, respectivamente. Las ecuaciones que definen a los parámetros híbridos tienen una mezcla de variables de corriente y voltaje en un lado, como sigue: E1  h11I1  h12E 2

(26.40a)

I2  h21I1  h22E 2

(26.40b)

Para determinar los parámetros híbridos, será necesario establecer las condiciones de corto circuito y de circuito abierto, dependiendo del parámetro deseado.

h11 E1 h11  I1

(ohms, )

(26.41)

E2  0

h11  parámetro de impedancia de entrada a corto circuito La red para su determinación se muestra en la figura 26.46. I1

+

I2 2

1

E1

Sistema

–

1

E2 = 0 2

FIGURA 26.46 Determinación de h11.

26.8 PARÁMETROS HÍBRIDOS (h)

h12 E1 h12  E2

(sin dimensiones)

(26.42)

I1  0

h12  parámetro razón de voltaje de transferencia inversa a circuito abierto La red empleada para determinar h12 se muestra en la figura 26.47.

I1 = 0 1

I2

+

2

E1

+ E2

Sistema

–

–

2

1

FIGURA 26.47 Determinación de h12.

h21 I2 h21  I1

(sin dimensiones)

(26.43)

E2  0

h21  parámetro razón de corriente de transferencia directa a corto circuito La red para su determinación aparece en la figura 26.48.

I1

+

I2 2

1

E1

E2 = 0

Sistema

– 1

2

FIGURA 26.48 Determinación de h21.

h22 I2 h22  E2

(siemens, S)

(26.44)

I1  0

h22  parámetro de admitancia de salida a circuito abierto La red empleada para determinar h22 se muestra en la figura 26.49. La notación de subíndices para los parámetros híbridos se reduce a lo siguiente en la mayoría de las aplicaciones. La letra seleccionada es la que aparece en negritas en la descripción precedente de cada parámetro: h11  h i

h12  hr

h 21  h f

h 22  ho

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1175

1176

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ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN I1 = 0 1

I2

+

2

E1

+ E2

Sistema

–

–

2

1

FIGURA 26.49 Determinación de h22.

El circuito híbrido equivalente aparece en la figura 26.50. Como la unidad de medida para cada término de la ecuación (26.40a) es el volt, la ley de voltaje de Kirchhoff fue aplicada inversamente para obtener el circuito de entrada en serie indicado. La unidad de medida para cada término de la ecuación (26.40b) tiene las unidades de corriente, resultando en los elementos en paralelo del circuito de salida obtenido al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff en forma inversa. I1 1

I2 h11

+

+

2

+ E1

h12E2

h21I1

h22

E2

– –

–

1

2

FIGURA 26.50 Red equivalente de parámetros híbridos, de dos puertos.

Observe que el circuito de entrada tiene una fuente de voltaje controlada por voltaje cuyo voltaje de control es el de salida, mientras que el circuito de salida tiene una fuente de corriente controlada por corriente cuya corriente de control es la del circuito de entrada. EJEMPLO 26.10 Para el circuito híbrido equivalente de la figura 26.51: I2

I1

+ Rs

Zi

+

E1

+

hi

+ h r E2

hf I1

1 ho

E2

–

Es

–

–

–

FIGURA 26.51 Ejemplo 26.10.

a. Determine la razón de corriente (ganancia) A i  I2 /I1. b. Determine la razón de voltaje (ganancia) Av  E 2 /E1.

ZL

26.8 PARÁMETROS HÍBRIDOS (h)

Soluciones: a. Usando la regla del divisor de corriente obtenemos: (1/h o)h f I1 h f I1 I2   (1/h o)  ZL 1  h oZL hf I2 A i   I1 1  hoZL

y

(26.45)

b. Aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de entrada resulta en: E1 h i I1 hr E2  0

e

E1 hr E2 I1  hi

Y aplicando la ley de corriente de Kirchhoff al circuito de salida: I2  h f I1  h oE 2 E2 I2  ZL

Sin embargo, por lo que:

E2

 h f I1  h oE 2 ZL

Sustituyendo para I1 obtenemos: E1 hrE 2 E2

 h f  h oE 2 hi ZL





h i E 2  h f ZL E1  h r h f ZL E 2 h i h oZL E 2

o bien:

E 2(h i h r h f ZL  h i h oZL )  h f ZL E1

y

con el resultado de que:

h f ZL E2 A v   h i (1  h oZL ) h r h f ZL E1

(26.46)

EJEMPLO 26.11 Para un transistor en particular, hi  1 k , hr  4  10 4, h f  50 y h o  25 ms. Determine la ganancia de corriente y de voltaje si ZL es una carga resistiva de 2 k . Solución: 50 hf Ai   1  (25 mS)(2 k ) 1  h oZL 50 50    47.62 1  (50  10 3) 1.050

h f ZL A v  h i (1  h oZL ) h r h f ZL

(50)(2 k )  (1 k )(1.050) (4  10 4)(50)(2 k ) 100

100  103   99  1.01 (1.050  103) (0.04  103) El signo menos indica simplemente un desplazamiento de fase de 180° entre E2 y E1 para las polaridades definidas en la figura 26.51.

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1178

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ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

26.9 IMPEDANCIAS DE ENTRADA Y DE SALIDA Las impedancias de entrada y de salida serán determinadas ahora para el circuito híbrido equivalente y un circuito de parámetros z equivalente. La impedancia de entrada siempre puede ser determinada por la razón de voltaje de entrada a la corriente de entrada con o sin una carga aplicada. La impedancia de salida es siempre determinada con el voltaje o la corriente de fuente establecidos en cero. En la sección previa encontramos que para el circuito híbrido equivalente de la figura 26.51, E1  hi I1  hrE2 E2  I2ZL hf I2  1  h o ZL I1

e

Sustituyendo para I2 en la segunda ecuación (usando la relación de la última ecuación), tenemos: h f I1 E2  ZL 1  h oZL





por lo que la primera ecuación toma la forma: h f I1ZL E1  h i I1  hr 1  h o ZL



h r h f ZL E1  I1 h i 1  h o ZL



y





h r h f ZL E1 Zi   h i I1 1  h oZL

Entonces,

(26.47)

Para la impedancia de salida, estableceremos el voltaje de fuente en cero, pero conservaremos su resistencia interna Rs como se muestra en la figura 26.52. I1 1 Rs

I2

+2

hi

+ hr E2

hf I 1

–

Es = 0

1 ho

Zo E2

– 2

1

FIGURA 26.52 Determinación de Zo para la red equivalente híbrida.

Es  0

Como: entonces,

hr E2 I1  h i  Rs

A partir del circuito de salida, I2  h f I1  h o E 2 o bien:

hr E2 I2  h f  h o E 2 h i  Rs





ZL

26.9 IMPEDANCIAS DE ENTRADA Y DE SALIDA

hr h f I2   h o E 2 h i  Rs



e



E2 1 Zo   —— hr h f I2 h o h i  Rs

Así,

(26.48)

EJEMPLO 26.12 Determine Zi y Zo para el transistor que tiene los parámetros del ejemplo 26.11 si Rs  1 k . Solución: hr h f ZL 0.04 k Zi  hi  1 k 1.050 1  h oZL  1  103 0.0381  103  961.9  1 1 Zo  ——  ——— hr h f (4  10 4)(50) 25 mS h o h i  Rs 1 k  1 k 1 1   25  10 6 10 10 6 15  10 6 Zo  66.67 k Para el circuito de parámetros z equivalente de la figura 26.53, I1

I2 z11

+ Rs

+

+

Zi E1

+

z12I2

+2 Zo E2

z21I1

–

Es

–

z22

ZL

– –

–

2

FIGURA 26.53 Determinación de Zi para la red equivalente de parámetros z.

z 21 I1 I2  z 22  ZL E1 z12 I2 I1  z11

e o bien:

y

z 21I1 E1  z11I1  z12I2  z11I1  z12 z 22  ZL



E1 z12z 21 Zi   z11 I1 z 22  ZL Para la impedancia de salida, Es  0, e

 (26.49)

⏐⏐⏐

1179

1180

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

z12I2 I1  Rs  z11 o bien:

E2 z 21I1 e I2  z 22

z12I2 E 2  z 22I2  z 21I1  z 22I2  z 21 Rs  z11





z12z 21I2 E 2  z 22I2 Rs  z11

y

Así,

E2 z12z 21 Zo   z 22 I2 Rs  z11

(26.50)

26.10 CONVERSIÓN ENTRE PARÁMETROS Las ecuaciones que relacionan los parámetros z e y pueden ser determinadas directamente a partir de las ecuaciones (26.22) y (26.31). Para las ecuaciones (26.31a) y (26.31b), I1  y11E1  y12E 2 I2  y21E1  y22E 2 Por medio de determinantes obtenemos: I1 y12 I2 y22 y22I1 y12I2 E1  ––––––––  ––––––––––––––––– y11 y12  y11y22 y12y21 y21 y22 Sustituyendo la notación:

tenemos:

Dy  y11y22 y12y21 y22 y12 E1  I1 I2 Dy Dy

la cual, cuando se relaciona con la ecuación (26.22a), E1  z11I1  z12I2 indica que: y22 y12 z11  y z12  Dy Dy y, similarmente, y21 y11 z21  y z22  Dy Dy Para la conversión de los parámetros z al dominio de la admitancia, se aplican determinantes a las ecuaciones (26.22a) y (26.22b). Los parámetros de impedancia pueden encontrarse en términos de los parámetros híbridos formando primero el determinante para I1 a partir de las ecuaciones híbridas: E1  h11I1  h12E2 I2  h21I1  h22E2 Es decir, E1 h12 I2 h22  h22 h12 I1  ––––––––  ––– E1 –––– I2 Dh Dh h11 h12 h21 h22 

26.11 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

y

h22 h12 E1  I1  I2 Dh Dh

o bien:

h12 DhI1 E1   I2 h22 h22

la cual, cuando se relaciona con la ecuación de parámetros de impedancia, E1  z11I1  z12I2 indica que: Dh z11  h22

h12 z12  h22

y

Las conversiones restantes se dejan como ejercicio para el lector. En la tabla 26.1 se presenta una tabla completa de conversiones. TABLA 26.1 Conversiones entre los parámetros z, y y h. De

A

⎯→ z

y

⎯→

z11

z12

y22

y12

z21

z22

y21 Dy

Dy

z22

z12

y11

z21 Dz

11 Dz

z22

Dz

z21 z

h12 h22

h21 h

h

y12

1 h11

h12 h11

y21

y22

21

h h11

Dh

z12 z22

1 y11

y12 y11

h11

h12

1 z

21 y

y

Dy y

h21

h22

Dz

Dz

h

z

22

22

Dh

h22

z

y

h

Dy

11

Dy

y11

11

22

1

22

h11

26.11 ANÁLISIS POR COMPUTADORA PSpice Red híbrida equivalente–Ganancia de voltaje El análisis por computadora de esta sección se limitará a una sesión práctica en el uso de fuentes controladas. El sistema por analizarse es la red híbrida equivalente de la figura 26.54. La ganancia de voltaje y la impedancia de salida serán determinadas mediante un esquemático. Usando la ecuación (26.46), la magnitud y la fase del voltaje de salida se determinan de la siguiente manera:

hf RL Av  hi(1  ho RL) hrhf RL

(50)(2 k )  (1 k )(1  (25  10 6 S)(2 k )) (4  10 4)(50)(2 k )

100  10

100  103    99.01

3 (1 k )(1  50  10 ) 40 1050 40 3

⏐⏐⏐

1181

1182

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN hi I1

+ E1 = 1 V 0°

–

+

+

40 k E2

RL = 2 k VL

–

–

1 k 4 × 10–4 E 2 hrE2

+ –

50I1 hf I1

1 ho

FIGURA 26.54 Modelo híbrido equivalente a ser examinado bajo la condición de carga conectada usando PSpice.

y por lo que:

E VL Av  2  E1 E1 VL  AvE1  ( 99.01)(1 V 0°)  99.01 V 180°

La representación esquemática ha sido establecida como se muestra en la figura 26.55. Observe que una CCCS y una VCVS deben usarse junto con la fuente de ca VSIN. La mayor parte de la construcción y el establecimiento de las distintas componentes por medio del cuadro de diálogo Property Editor es bastante directa. Sin embargo, el lector debe ser muy cuidadoso al establecer las conexiones para las variables de control. Cuando cruce una línea, asegúrese completamente de que no aparezca un pequeño punto donde cruce la línea; de otra manera, se hará una conexión. Sólo haga clic en el alambre en posición antes de cruzar la línea, y luego haga clic de nuevo en la construcción de alambre después de cruzar la línea.

FIGURA 26.55 Uso de PSpice para analizar la red de la figura 26.54.

26.11 ANÁLISIS POR COMPUTADORA

Los Simulation Settings fueron AC Sweep, Start y End Frequency a 1 kHz, y 1 en Point/Decade. Seleccione PSpice-View Output File, haga clic en OK, y ejecute la simulación. Resulta el listado AC ANALYSIS de la figura 26.56. Se tiene una concordancia exacta entre la solución teórica dada antes y el análisis por computadora. Red híbrida equivalente–Impedancia de salida Para la impedancia de salida, la fuente aplicada VSIN se establece en 0 V reemplazándola por una conexión directa de 0 . Luego se aplica una fuente de corriente de 1 A como se muestra en la figura 26.57. La fuente de corriente ISRC fue seleccionada

FIGURA 26.56 Archivo de salida para el voltaje en el resistor de carga de la figura 26.55.

FIGURA 26.57 Modificación del esquema de la figura 26.55 para determinar la impedancia de salida de la red.

⏐⏐⏐

1183

1184

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN

porque tiene la flecha en el símbolo. Todo lo demás en la red permanece igual, así que no hay necesidad de reconstruirla por completo. Sólo haga los cambios y ejecute la simulación. Ni siquiera la simulación tiene que ser cambiada ya que los parámetros elegidos permanecerán iguales. A la fuente de corriente se le dio una magnitud de 1 A de manera que la magnitud del voltaje VPRINT1 fuese también la magnitud de la impedancia de salida. Los resultados de la figura 26.58 indican una impedancia de salida de 200 k. El siguiente análisis teórico revela que la impedancia de salida es, efectivamente, de 200 k: 1 1 Zo  ——  ———— hrhf (4  10 4)(50)

6 ho 25  10 S

hi  Rs 1 k  0 1 1    200 k 25  10 6 S 20  10 6 S 5  10 6 S

FIGURA 26.58 Archivo de salida para el voltaje en la fuente de corriente de 1 A (e impedancia de salida) de la red de la figura 26.57.

PROBLEMAS SECCIÓN 26.2

Parámetros de impedancia Zi y Zo

1. Dados los niveles de voltaje indicados en la figura 26.59, determine la magnitud de la impedancia de entrada Zi. Rs

+ Eg

+

47  1.05 V

Ei = 1 V

– – Zi

FIGURA 26.59 Problema 1.

Sistema

PROBLEMAS

⏐⏐⏐

1185

2. Para un sistema con: Ei  120 V 0° e

Ii  6.2 A  10.8°

determine la impedancia de entrada en forma rectangular. A una frecuencia de 60 Hz, determine los valores nominales de los parámetros. 3. Para el sistema multipuerto de la figura 26.60: a. Determine la magnitud de Ii1 si Ei1  20 mV. b. Encuentre Zi2 usando la información proporcionada. c. Calcule la magnitud de Ei3.

– Ei = 1.8 V + 2

Ii = 0.4 mA 2

Zi

2

+

+

Ii

1

Sistema multipuerto

Ei1

Eo

–

–

Zi = 2 k

Zi3 = 4.6 k

Ii = 1.5 mA 3

+

Ei3

–

FIGURA 26.60 Problema 3.

4. Dados los niveles de voltaje indicados en la figura 26.61, determine Zo.

Rs

+ Sistema

2 k

+

Eo = 3.8 V ( p–p)

Eg = 4 V ( p–p)

– – Zo

FIGURA 26.61 Problemas 4, 5 y 6.

5. Para la configuración de la figura 26.61, determine Zo si eg 2 sen 377t y vR  40  10 3 sen 377t, con Rs  0.91 k . 6. Determine Zo para el sistema de la figura 26.61 si Eg  1.8 V (p-p) y Eo  0.6 V rms.

RL

1186

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN 7. Determine la impedancia de salida para el sistema de la figura 26.62 dadas las medidas que indica el osciloscopio.

eg Io

+ + Sistema

Eg

Eo

vR

–

Rs

–

1 k

+ VR – Canal 1 eg : Sensibilidad vertical = 0.2 V/divisiones vR : Sensibilidad vertical = 10 mV/divisiones

Canal 2

s

FIGURA 26.62 Problema 7.

SECCIÓN 26.3

8. Dado el sistema de la figura 26.63, determine la ganancia de voltaje sin carga AvNL.

Ii = 10 mA 0°

+

+ Ei

Ganancias de voltaje A vNL, A v y A vT

Eo = 4.05 V (p–p) 180°

Sistema

–

– Zi = 1.8 k 0°

FIGURA 26.63 Problema 8.

9. Para el sistema de la figura 26.64: a. Determine Av  Eo /Ei. b. Encuentre AvT  Eo /Eg.

Ig

+

Rg

Ii

0.5 k

+ Ei

Eg

–

–

Io

+ AvNL = –3200 Zi = 2.2 k Zo = 40 k

FIGURA 26.64 Problemas 9, 12 y 13.

Eo

–

RL = 5.6 k

PROBLEMAS

⏐⏐⏐

1187

10. Para el sistema de la figura 26.65(a), el voltaje de salida sin carga es de 1440 mV, con 1.2 mV aplicados en las terminales de entrada. En la figura 26.65(b), una carga de 4.7 k es aplicada al mismo sistema, y el voltaje de salida cae a

192 mV, con la misma señal de entrada aplicada. ¿Cuál es la impedancia de salida del sistema?

+ Ei = 1.2 mV

+

+ Sistema

Ei = 1.2 mV

Eo = –1440 mV

–

+ Eo

Sistema

–

–

(a)

(b)

FIGURA 26.65 Problema 10.

*11. Para el sistema de la figura 26.66, si Av  160

Io  4 mA 0°

Eg  70 mV 0°

a. Determine la ganancia de voltaje sin carga. b. Encuentre la magnitud de Ei. c. Determine Zi.

+

Rg

Ii

0.4 k

+

Eg

Io

+ Av = –160 Zi = 0.75 k

Ei

–

–

– Zi

FIGURA 26.66 Problemas 11 y 14.

SECCIÓN 26.4 Ganancias de corriente Ai y AiT y ganancia de potencia AG 12. Para el sistema de la figura 26.64: a. Determine Ai  Io /Ii. b. Encuentre AiT  Io /Ig. c. Compare los resultados de los incisos (a) y (b), y explique las diferencias entre ellos. 13. Para el sistema de la figura 26.64: a. Determine AG usando la ecuación (26.13), y compare el valor con el resultado obtenido usando la ecuación (26.14). b. Encuentre AGT usando la ecuación (26.16), y compare el valor con el resultado obtenido usando la ecuación (26.17). 14. Para el sistema de la figura 26.66: a. Determine la magnitud de Ai  Io /Ii. b. Encuentre la ganancia de potencia AGT  PL /Pg.

Eo RL

2 k

+ 4.7 k VL = –192 mV

–

1188

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN SECCIÓN 26.5

Sistemas en cascada

15. Para el sistema de dos etapas de la figura 26.67: a. Determine la ganancia total de voltaje AvT  VL /Ei. b. Encuentre la ganancia total de corriente AiT  Io /Ii. c. Encuentre la ganancia de corriente de cada etapa Ai1 y Ai2. d. Determine la ganancia total de corriente usando los resultados del inciso (c), y compárela con el resultado obtenido en el inciso (b). Ii

Io

+ Ei

+ Av1 = –30

+

Eo

Av2 = –50

–

RL = 8 k VL

–

– Zi1 = 1 k

Zi2 = 2 k

FIGURA 26.67 Problema 15. *16. Para el sistema de la figura 26.68: a. Determine Av2 si AvT  6912. b. Determine Zi2 usando la información proporcionada. c. Encuentre Ai3 y AiT usando la información proporcionada en la figura 26.68. Ii

Io 3

1

+ Ei 1

–

Av 1 = –12 Ai 1 = 4 Zi 1 = 1 k

Av = –32 3 Ai 3 = ? Zi 3 = 2 k

Av 2 = ? Ai 2 = 26 Zi 2 = ?

+ Eo RL 3

2.2 k

–

FIGURA 26.68 Problema 16.

SECCIÓN 26.6

Parámetros de impedancia (z)

17. a. Determine los parámetros de impedancia (z) para la red p de la figura 26.69. b. Trace el circuito de parámetros z equivalente (usando cualquier forma de la figura 26.32). I1

I2 Z2

+

E1

Z1

+

Z3

–

E2

– FIGURA 26.69 Problemas 17 y 21.

PROBLEMAS 18. a. Determine los parámetros de impedancia (z) para la red de la figura 26.70. b. Trace el circuito de parámetros z equivalente (usando cualquier forma de la figura 26.32). SECCIÓN 26.7

R1

I1

Parámetros de admitancia (y)

R2

+

E1

–

–

+

FIGURA 26.70 Problemas 18 y 22.

I1

I2 Y2

E1

Y3

–

+

+

E2

E1

–

–

I2 Y2

Y1

Y3

FIGURA 26.72 Problemas 20 y 24.

21. a. Determine los parámetros h para la red de la figura 26.69. b. Trace el circuito híbrido equivalente. 22. a. Determine los parámetros h para la red de la figura 26.70. b. Trace el circuito híbrido equivalente. 23. a. Determine los parámetros h para la red de la figura 26.71. b. Trace el circuito híbrido equivalente. 24. a. Determine los parámetros h para la red de la figura 26.72. b. Trace el circuito híbrido equivalente. 25. Para el circuito híbrido equivalente de la figura 26.73: a. Determine la ganancia de corriente Ai  I2/I1. b. Determine la ganancia de voltaje Av  E2/E1.

+ Zi E1

hi

I2

+

1 k h r E2

+

4  10–4E2

–

hf I1 50I1

1 ho 40 k

Zo E2

–

– FIGURA 26.73 Problemas 25 y 26.

E2

–

Parámetros híbridos (h)

I1

+

Y4

FIGURA 26.71 Problemas 19 y 23.

SECCIÓN 26.8

E2

R4

20. a. Determine los parámetros de admitancia (y) para la red de la figura 26.72. b. Trace el circuito equivalente de parámetros y (usando cualquier forma de la figura 26.44).

Y1

I2

R3

+

19. a. Determine los parámetros de admitancia (y) para la red T de la figura 26.71. b. Trace el circuito equivalente de parámetros y (usando cualquier forma de la figura 26.44).

I1

⏐⏐⏐

RL = 2 k

1189

1190

⏐⏐⏐

ANÁLISIS DE SISTEMAS: UNA INTRODUCCIÓN SECCIÓN 26.9

Impedancias de entrada y de salida

26. Para el circuito híbrido equivalente de la figura 26.73: a. Determine la impedancia de entrada. b. Determine la impedancia de salida. 27. Determine las impedancias de entrada y de salida para el circuito de parámetros z equivalente de la figura 26.74.

I1

+ Rg

2 k

1 k

3 E1 5  10 90°I2 (z12I2)

Zi

–

(z22)

1 k

+ Eg

(z11)

+

+

–

–

4 k

10  103I1 (z21I1)

I2

+ E2

RL

1 k

Zo

–

– FIGURA 26.74 Problemas 27, 32 y 34.

28. Determine la expresión para la impedancia de entrada y de salida del circuito de parámetros y equivalente. SECCIÓN 26.10

Conversión entre parámetros

29. Determine los parámetros h para los siguientes parámetros z: z11  4 k z12  2 k z21  3 k z22  4 k 30. a. Determine los parámetros z para los siguientes parámetros h: h11  1 k h12  2  10 4 h21  100 h22  20  10 6 S b. Determine los parámetros y para los parámetros híbridos indicados en el inciso (a). SECCIÓN 26.11

Análisis por computadora

PSpice o Electronics Workbench 31. Para E1  4 V 30°, determine E2 en una carga resistiva de 2 k entre 2 y 2′ para la red de la figura 26.34. 32. Para Eg  2 V 0°, determine E2 para la red de la figura 26.74. 33. Determine Zi para la red de la figura 26.34 con una carga resistiva de 2 k desde 2 hasta 2′. 34. Determine Zi para la red de la figura 26.74.

GLOSARIO

⏐⏐⏐

1191

GLOSARIO Impedancia de entrada Impedancia que aparece en las terminales de entrada de un sistema. Impedancia de salida Impedancia que aparece en las terminales de salida de un sistema con la fuente energizante igual a cero. Parámetros de admitancia (y) Conjunto de parámetros, con unidades en siemens, que pueden ser usados para establecer una red de dos puertos equivalente para un sistema. Parámetros de impedancia (z) Conjunto de parámetros, con unidades en ohms, que pueden ser usados para establecer una red de dos puertos equivalente para un sistema.

Parámetros híbridos (h) Conjunto de parámetros mezclados (ohms, siemens, algunos sin unidades) que pueden ser usados para establecer una red de dos puertos equivalente para un sistema. Red de dos puertos Red que tiene dos pares de terminales de acceso. Red de un solo puerto Red que tiene un solo conjunto de terminales de acceso.

Apéndices

APÉNDICE A PSpice, Electronics Workbench, Mathcad y C APÉNDICE B Factores de conversión APÉNDICE C Determinantes APÉNDICE D Código de colores para capacitores tubulares moldeados (picofarads) APÉNDICE E El alfabeto griego APÉNDICE F Conversiones de parámetros magnéticos APÉNDICE G Condiciones de máxima transferencia de potencia APÉNDICE H Respuestas a problemas de numeración impar seleccionados 1192

Apéndice A PSpice, Electronics Workbench, Mathcad y C A.1 PSpice El paquete de software PSpice utilizado a lo largo de este libro proviene de los programas desarrollados en la Universidad de California en Berkeley, EUA, a principios de la década de 1970. SPICE son las siglas de Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis (Programa de simulación con énfasis en circuitos integrados). Aunque distintas empresas han configurado SPICE para su uso particular, Cadence Design Systems ofrece tanto una versión comercial como una de demostración de OrCAD. Las versiones comerciales o profesionales utilizadas por las compañías de ingeniería pueden resultar muy costosas, por lo cual, Cadence ofrece una distribución libre de la versión demostrativa para presentar una introducción de la capacidad del paquete de simulación. Para esta décima edición del libro, se utilizó la familia OrCAD en su versión 9.2 Lite Edition (la más reciente). Es posible obtener una copia gratis de esta versión llamando al 1-888-671-9500 (en Estados Unidos) o escribiendo a la siguiente dirección de Cadence Design Systems en 13221 SW 68th Parkway, Suite 200, Portland, OR 97223, EUA. También puede ordenarse por Internet en http://www. pcb.cadence.com/Product/Schematic/evalrequest.asp Los requisitos mínimos del sistema son los siguientes: Computadora personal Pentium a 90 MHz 32 MB de memoria en RAM Espacio en disco duro: CIS de captura 89 MB Layout Plus 66 MB PSpice A/D 46 MB Pantalla VGA de 256 colores con resolución de 800  600 Microsoft Windows 95/98 o Windows NT 4.0 Service Pack 3 Lector de CD-ROM con velocidad 4 Audio de 16 bits (recomendado)

A.2 Electronics Workbench Multisim es un producto de Electronics Workbench. Para la presente edición se utilizó Multisim 2001 Versión académica (la nomenclatura 6.2 se abandonó y se reemplazó por 2001). Las personas que deseen adquirir una copia de la edición estudiantil de esta versión de Electronics Workbench pueden llamar al 1-800-263-5552 (en Estados Unidos) o escribir a la empresa en la dirección 111 Peter Street, Suite 801, Toronto, Ontario, Canadá M5V 2H1. Los maestros que necesiten adquirir múltiples copias de la edición estudiantil deberán contactar a su representante de ventas local de Prentice Hall o visitar el sitio web de Prentice Hall en http://www.prenhall.com. Los requisitos mínimos del sistema para la versión estudiantil son los siguientes: Computadora personal Pentium a 166 Mhz o superior 32 MB de memoria en RAM (se recomiendan 64 MB de memoria en RAM) Espacio en disco duro de 100 MB (mínimo) Windows 95/98/NT Resolución mínima de la pantalla de 800  600 Lector de CD-ROM 1193

1194

⏐⏐⏐

APÉNDICES

A.3 Mathcad Mathcad es un producto de MathSoft Engineering & Education, Inc., ubicada en 101 Main Street, Cambridge, MA 02142-1521, EUA. La dirección de internet es http://www.mathsoft.com. Para esta edición del libro se utilizó Mathcad 2000. Aunque este programa se vende en 99.95 dólares estadounidenses, existe un descuento especial para academias y universidades. Un profesor o un representante de compras de la institución interesada podrá solicitar el precio de descuento llamando a 1-800-628-4223 (en Estados Unidos) o escribiendo a [email protected]. Los estudiantes también pueden ordenarlo utilizando la misma dirección de correo electrónico o adquirirlo en línea en http:///www. mathcad.com/buy/ o en http://www.edu.com. Los requisitos mínimos del sistema para Mathcad 2000 Profesional son los siguientes: Procesador Pentium a 90 MHz o superior Windows 95/98/NT 4.0 o superior 32 MB de memoria en RAM como mínimo (se recomiendan 48 MB o más) Espacio en disco duro de 160 MB para una instalación mínima o 290 MB para una instalación completa Capacidad gráfica SVGA o superior Lector de CD-ROM

A.4 C La versión de C utilizada en este libro es Borland C 4.0, producida por Borland Software Corporation de Scotts Valley, CA, EUA. La dirección de internet de esta compañía es http://www.borland.com. Los requisitos mínimos del sistema para C son los siguientes: 4 MB de RAM como mínimo (se recomiendan 8 MB o más) Espacio en disco duro de 2 MB para una instalación mínima o 90 MB para una instalación completa Lector de CD-ROM Capacidad gráfica SVGA o superior Windows 3.1 o superior

Apéndice B FACTORES

DE CONVERSIÓN

Para convertir de

A

Multiplicar por

Btus

Caloría-gramos Ergs Pie-libras Hp-horas Joules Kilowatt-horas Watt-segundos

251.996 1.054  1010 777.649 0.000393 1054.35 0.000293 1054.35

Centímetros

Unidades Angström Pies Pulgadas Metros Millas Milímetros

1  108 0.0328 0.3937 0.01 6.214  10 6 10

Mils circulares

Centímetros cuadrados Pulgadas cuadradas

5.067  10 6 7.854  10 7

Pulgadas cúbicas

Centímetros cúbicos Galones (líquidos, EUA)

16.387 0.00433

Metros cúbicos

Pies cúbicos

35.315

Días

Horas Minutos Segundos

24 1440 86,400

Dinas

Galones (líquidos, EUA) Newtons Libras

264.172 0.00001 2.248  10 6

Electrón-volts

Ergs

1.60209  10 12

Ergs

Dina-centímetros Electrón-volts Pie-libras Joules Kilowatt-horas

1.0 6.242  1011 7.376  10 8 1  10 7 2.777  10 14

Pies

Centímetros Metros

30.48 0.3048

Pie-candelas

Lúmenes/pie cuadrado Lúmenes/metro cuadrado

1.0 10.764

Pie-libras

Dina-centímetros Ergs Caballos de fuerza-horas Joules Newton-metros

1.3558  107 1.3558  107 5.050  10 7 1.3558 1.3558

1195

1196

⏐⏐⏐

APÉNDICES

Para convertir de

A

Multiplicar por

Galones (líquidos, EUA)

Pulgadas cúbicas Litros Onzas Pintas

231 3.785 128 8

Gauss

Maxwells/centímetro cuadrado Líneas/centímetro cuadrado Líneas/pulgada cuadrada

1.0 1.0 6.4516

Gilberts

Ampere-vueltas

0.7958

Gramos

Dinas Onzas Libras

980.665 0.0353 0.0022

Caballo de fuerza

Btus/hora Ergs/segundo Pie-libras/segundo Joules/segundo Watts

2547.16 7.46  109 550.221 746 746

Horas

Segundos

3600

Pulgadas

Unidades Angström Centímetros Pies Metros

2.54  108 2.54 0.0833 0.0254

Joules

Btus Ergs Pie-libras Caballo de fuerza-horas Kilowatt-horas Watt-segundos

0.000948 1  107 0.7376 3.725  10 7 2.777  10 7 1.0

Kilogramos

Dinas Onzas Libras

980,665 35.2 2.2

Líneas

Maxwells

1.0

Líneas/centímetro cuadrado

Gauss

1.0

Líneas/pulgada cuadrada

Gauss Webers/pulgada cuadrada

0.1550 1  10 8

Litros

Centímetros cúbicos Pulgadas cúbicas Galones (líquidos, EUA) Onzas (líquidos, EUA) Cuartos (líquidos, EUA)

1000.028 61.025 0.2642 33.815 1.0567

Lúmenes

Candelas de potencia (esféricas)

0.0796

Lúmenes/centímetro cuadrado

Lamberts

1.0

Lúmenes/pie cuadrado

Pie-candelas

1.0

APÉNDICE B

Para convertir de

A

Multiplicar por

Maxwells

Líneas Webers

1.0 1  10 8

Metros

Unidades Angström Centímetros Pies Pulgadas Millas

1  1010 100 3.2808 39.370 0.000621

Millas

Pies Kilómetros Metros

5280 1.609 1609.344

Millas/hora

Kilómetros/hora

1.609344

Newton-metros

Dina-centímetros Kilogramo-metros

1  107 0.10197

Oersteds

Ampere-vueltas/pulgada Ampere-vueltas/metro Gilberts/centímetros

2.0212 79.577 1.0

Cuartos (líquidos, EUA)

Centímetros cúbicos Pulgadas cúbicas Galones (líquidos, EUA) Litros Pintas (líquidos, EUA) Onzas (líquidos, EUA)

946.353 57.75 0.25 0.9463 2 32

Radianes

Grados

57.2958

Slugs

Kilogramos Libras

14.5939 32.1740

Watts

Btus/hora Ergs/segundo Caballo de fuerza Joules/segundo

3.4144 1  107 0.00134 1.0

Webers

Líneas Maxwells

1  108 1  108

Años

Días Horas Minutos Segundos

365 8760 525,600 3.1536  107

⏐⏐⏐

1197

Apéndice C DETERMINANTES Los determinantes se utilizan para obtener soluciones matemáticas de las incógnitas en dos o más ecuaciones simultáneas. Una vez que el procedimiento se comprende correctamente, es posible obtener las soluciones con un mínimo de tiempo y esfuerzo y, por lo general, con menos errores que al utilizar otros métodos. Considere las siguientes ecuaciones, donde x y y son las incógnitas y a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son constantes: Col. 1 Col. 2 Col. 3 a1x  b1y  c1 a2x  b2 y  c 2

(C.1a) (C.1b)

Por supuesto que es posible resolver una variable en la ecuación (C.1a) y sustituirla en la ecuación (C.1b). Es decir, al resolver para x en la ecuación (C.1a), c1 b1y x a1 y al sustituir el resultado en la ecuación (C.1b), c1 b1y a2  b2 y  c2 a1





Ahora es posible resolver para y, dado que es la única variable restante, y luego sustituir en cualquier ecuación para obtener x. Esto es aceptable para dos ecuaciones, pero se vuelve un proceso tedioso y extenso para tres o más ecuaciones simultáneas. La utilización de determinantes para resolver x y y requiere que se establezcan los siguientes formatos para cada variable: Col. Col. 1 2 c  1 b1   c2 b2  x  ––––––––  a1 b1   a2 b2 

Col. Col. 1 2 a  1 c1   a2 c2  y  –––––––  a1 b1   a2 b2 

(C.2)

Observe primero que sólo aparecen constantes dentro de los corchetes verticales y que el denominador en cada expresión es el mismo. De hecho, el denominador lo constituyen simplemente los coeficientes de x y y en la misma disposición que en las ecuaciones (C.1a) y (C.1b). Al resolver para x, se reemplazan los coeficientes de x en el numerador por las constantes a la derecha del signo de igual en las ecuaciones (C.1a) y (C.1b), y sólo se repiten los coeficientes de la variable y. Al resolver para y, se reemplazan los coeficientes de y en el numerador por las constantes a la derecha del signo de igual, y se repiten los coeficientes de x. Cada configuración en el numerador y en el denominador de las ecuaciones (C.2) se denomina determinante (D), el cual puede evaluarse de forma numérica en la siguiente forma: 1198

APÉNDICE C

Col. Col. 1 2 –––––––– a  1 b1  Determinante  D   a1b2 a2b1 a2 b2 

(C.3)

El valor desarrollado se obtiene al multiplicar primero el elemento superior izquierdo por el inferior derecho y restando luego el producto de los elementos inferior izquierdo por el superior derecho. Este determinante en particular se denomina determinante de segundo orden, dado que contiene dos renglones y dos columnas. Al utilizar determinantes, es importante recordar que las columnas de las ecuaciones, como se indica en las ecuaciones (C.1a) y (C.1b), deben colocarse en el mismo orden dentro de la configuración de determinante. Es decir, dado que a1 y a2 están en la columna 1 de las ecuaciones (C.1a) y (C.1b), deberán situarse en la columna 1 del determinante. (Lo mismo es aplicable para b1 y b2.) Al desarrollar la expresión completa para x y y tenemos lo siguiente:  c1 b1   c2 b2  c1b2 c2b1 x  ––––––––  –––––––––– a1b2 a2b1  a1 b1   a2 b2 

(C.4a)

 a1 c1   a2 c2  a1c2 a2c1 y  ––––––––  –––––––––– a a1b2 a2b1 b  1 1  a2 b2 

(C.4b)

EJEMPLO C.1 Evalúe los siguientes determinantes:

2 a.  3

2  (2)(4) (3)(2)  8 6  2 4

4 b.  6

1  (4)(2) (6)( 1)  8  6  14

2

 0 2 c.   (0)(4) ( 2)( 2)  0 4  4

2 4 0 d.  3

10  (0)(10) (3)(0)  0 10

EJEMPLO C.2 Resuelva para x y y: 2x  y  3 3x  4y  2 ––––––––––––– Solución:

3 1  2 4 (3)(4) (2)(1) 12 2 10 x      2 (2)(4) (3)(1) 8 3 5 2 1 3 4 

⏐⏐⏐

1199

1200

⏐⏐⏐

APÉNDICES

2 3

3 2 

5 (2)(2) (3)(3) 4 9 y      1 5 5 5 5 Comprobación: 2x  y  (2)(2)  ( 1) 4 13 (se comprueba) 3x  4y  (3)(2)  (4)( 1) 6 42 (se comprueba) EJEMPLO C.3 Resuelva para x y y:

x  2y  3 3x 2y  2 ––––––––––––––– Solución: En este ejemplo, observe el efecto del signo menos y el uso de paréntesis para asegurar que se obtenga el signo apropiado en cada producto.

 3 2  2 2 (3)( 2) ( 2)(2) x   ( 1)( 2) (3)(2)  1 2  3 2 1

6  4

2   – 2 2 6

4

 1 3  3 2

( 1)( 2) (3)(3) y  

4

4 7

7 2 9   – 4

4

4

EJEMPLO C.4 Resuelva para x y y: x  3 4y 20y  1  3x ––––––––––––––– Solución: En este caso, las ecuaciones deben colocarse primero en el formato de las ecuaciones (C.1a) y (C.1b): x  4y  3

3x  20y  1 ––––––––––––––––––  3 04  1 20 (3)(20) ( 1)(4) x   (1)(20) ( 3)(4)  1 24  3 20 64 60  4   2 32 20  12

 1 3  3 1

(1)( 1) ( 3)(3) y   32 32 1 8

1  9   – 4 32 32

APÉNDICE C

El uso de determinantes no se limita a la solución de dos ecuaciones simultáneas, también pueden aplicarse a cualquier cantidad de ecuaciones lineales simultáneas. Primero analizaremos un método abreviado que es aplicable únicamente a determinantes de tercer orden, dado que la mayoría de los problemas en el libro están limitados a este nivel de dificultad. Luego veremos el procedimiento general para resolver cualquier cantidad de ecuaciones simultáneas. Considere las tres ecuaciones simultáneas siguientes: Col. a1x a2x a3x

1

Col. 2

Col. 3

Col. 4

 b1y  c1z   b2y  c2z   b3y  c3z 

d1 d2 d3

donde x, y y z son las incógnitas, y a1,2,3, b1,2,3, c1,2,3 y d1,2,3 son las constantes. La configuración de determinante para x, y y z puede obtenerse de una forma similar a la utilizada para dos ecuaciones simultáneas. Es decir, para resolver x, se obtiene el determinante en el numerador al reemplazar la columna 1 con los elementos a la derecha del signo de igual. El denominador es el determinante de los coeficientes de las incógnitas (lo mismo aplica para y y z). Nuevamente, el denominador es el mismo para cada incógnita.

⎪d1 b1 c1 ⎪ ⎪d2 b2 c2 ⎪ ⎪d3 b3 c3 ⎪

⎪a1 d1 c1 ⎪ ⎪a2 d2 c2 ⎪ ⎪a3 d3 c3 ⎪

x  , y  , D D

⎪a1 b1 D  ⎪a2 b2 ⎪a3 b3

donde:

⎪a1 b1 d1⎪ ⎪a2 b2 d2⎪ ⎪a3 b3 d3⎪

z  D

c1⎪ c2⎪ c3⎪

Un método abreviado para evaluar el determinante de tercer orden consiste en repetir las primeras dos columnas del determinante a la derecha de éste y luego sumar los productos sobre diagonales específicas como se muestra a continuación: 4( )

a1 D  a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

5( )

a1 a2 a3 1()

6( )

b1 b2 b3 2()

3()

Los productos de las diagonales 1, 2 y 3 son positivos y tienen las siguientes magnitudes: a1b2c3  b1c2a3  c1a2b3 Los productos de las diagonales 4, 5 y 6 son negativos y tienen las siguientes magnitudes:

a3b2c1 b3c2a1 c3a2b1 La solución total es la suma de las diagonales 1, 2 y 3 menos la suma de las diagonales 4, 5 y 6:

(a1b2c3  b1c2a3  c1a2b3) (a3b2c1  b3c2a1  c3a2b1)

(C.5)

⏐⏐⏐

1201

1202

⏐⏐⏐

APÉNDICES

Precaución: ¡Este método de desarrollo es adecuado sólo para determinantes de tercer orden! No podrá aplicarse a sistemas de cuarto orden o superiores.

EJEMPLO C.5 Evalúe el siguiente determinante: ( )

1

2 0

2 1 4

3 0 2

1

2 0

2 1 4

3 0 2

( )

1

2 0 ()

( )

2 1 4 ()

()

Solución: [(1)(1)(2)  (2)(0)(0)  (3)( 2)(4)]

[(0)(1)(3)  (4)(0)(1)  (2)( 2)(2)]  (2  0 24) (0  0 8)  ( 22) ( 8)  22  8  14 EJEMPLO C.6 Resuelva para x, y y z: 1x  0y 2z  1 0x  3y  1z  2 1x  2y  3z  0 Solución:

x

1 2 0

0 2 3 1 2 3

1 2 0

0 3 2

1 0 1

0 2 3 1 2 3

1 0 1

0 3 2

[( 1)(3)(3)  (0)(1)(0)  ( 2)(2)(2)] [(0)(3)( 2)  (2)(1)( 1)  (3)(2)(0)]  [(1)(3)(3)  (0)(1)(1)  ( 2)(0)(2)] [(1)(3)( 2)  (2)(1)(1)  (3)(0)(0)] ( 9  0 8) (0 2  0)  (9  0  0) ( 6  2  0)

17 2 15  9  4   13

y

1 1 2 0 2 1 1 0 3

1 1 0 2 1 0

13

[(1)(2)(3)  ( 1)(1)(1)  ( 2)(0)(0)] [(1)(2)( 2)  (0)(1)(1)  (3)(0)( 1)]  13 (6 1  0) ( 4  0  0)  13 9 54  13 13

APÉNDICE C

z

1 0 1

0 1 3 2 2 0

1 0 1

0 3 2

13

[(1)(3)(0)  (0)(2)(1)  ( 1)(0)(2)] [(1)(3)( 1)  (2)(2)(1)  (0)(0)(0)]  13 (0  0  0) ( 3  4  0)  13 0 1 1   13 13 o bien, a partir de 0x  3y  1z  2,

 

9 26 27 1 z  2 3y  2 3   13 13 13 13 Comprobación: 15 2 13 1x  0y 2z  1  0   1  1 ⻫ 13 13 13 27 26

1  2 ⻫ 0x  3y  1z  2 0    2 13 13 13 18 15 18 18

3 1x  2y  3z  0

   0   0 ⻫ 13 13 13 13 13

El método general para determinantes de tercer orden o de órdenes superiores requiere que el determinante se desarrolle de la siguiente forma. Existe más de un desarrollo que generará el resultado correcto, pero esta forma es la que se utiliza normalmente cuando el material se presenta por primera vez. a1 b1 c1 b2 c2 D  a2 b2 c2  a1  b3 c3 a3 b3 c3 Menor

a2  b 1 a3

Cofactor Factor multiplicador

Factor multiplicador

c2 c3

a2  c1  a3

b2 b3

Menor

Menor

Cofactor

Cofactor Factor multiplicador

Este desarrollo se obtuvo al multiplicar los elementos del primer renglón de D por sus cofactores correspondientes. No es requisito que el primer renglón se utilice como los factores multiplicadores. De hecho, cualquier renglón o columna (no diagonales) puede utilizarse para desarrollar un determinante de tercer orden. El signo de cada cofactor está indicado por la posición de los factores multiplicadores (a1, b1 y c1 en este caso) como en el siguiente formato estándar: 

















⏐⏐⏐

1203

1204

⏐⏐⏐

APÉNDICES

Observe que puede obtenerse el signo adecuado para cada elemento con sólo asignar al elemento superior izquierdo un signo positivo y cambiando luego de signo a medida que se avanza horizontal o verticalmente a la posición adyacente. Para el determinante D, los elementos tendrían los siguientes signos:

⎪a1() b1( ) c1()⎪ ⎪a2( ) b2() c2( )⎪ ⎪a3() b3( ) c3()⎪ Los menores asociados con cada factor multiplicador se obtienen al cubrir el renglón y la columna en la que se ubica el factor multiplicador y escribiendo un determinante de segundo orden que incluya los elementos restantes en las mismas posiciones relativas que tienen en el determinante de tercer orden. Considere los cofactores asociados con a1 y b1 en el desarrollo de D. El signo es positivo para a1 y negativo para b1 como lo determina el formato estándar. Al seguir el procedimiento señalado antes, podremos obtener los menores de a1 y b1 de la siguiente forma: a1 a1(menor)  a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2  b2 b3 c3

c2 c3

a1 b1(menor)  a2 a3

b1 b2 b3

c1 a c2  2 a3 c3

c2 c3

Se indicó que podría utilizarse cualquier renglón o columna para desarrollar el determinante de tercer orden, y que se obtendría el mismo resultado. Al utilizar la primera columna de D, obtendremos el desarrollo: a1 D  a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2  a1  b2 b3 c3

c2 c3

 a2

b1 b3

c1 c3

 a3 

b1 b2

c1 c2

La elección adecuada del renglón o la columna con frecuencia puede reducir de forma efectiva la cantidad de trabajo requerido para desarrollar el determinante de tercer orden. Por ejemplo, en los siguientes determinantes, la primera columna y el tercer renglón, respectivamente, reducirán el número de cofactores en el desarrollo: 2 D 0 0

3 2 4 5 6 7

2 

4 6

5 7

 0  0  2(28 30)

 4 1 D 2 2

4 6 0

7 4 8 2  6 3

7 8

1 03  2

4 6

 2(32 42)  3(6 8)  2( 10)  3( 2)  26

EJEMPLO C.7 Desarrolle los siguientes determinantes de tercer orden:

⎪1 a. D  ⎪3 ⎪2

2 2 1

3⎪ ⎪2 1⎪  3 1⎪  1  ⎪ 1 3⎪ 3⎪





 ⎪⎪21





3⎪ ⎪2 2  3⎪ ⎪2

3⎪ 1⎪



APÉNDICE C

 1[6 1]  3[ (6 3)]  2[2 6]  5  3( 3)  2( 4) 5 9 8  12

⎪0 4 6⎪ ⎪4 b. D  ⎪2 0 5⎪  0  2

⎪4 ⎪8 4 0⎪



 

6⎪ ⎪4 8  0⎪ ⎪0



6⎪ 5⎪

 0  2[ (0 24)]  8[(20 0)]  0  2(24)  8(20)  48  160  208

⏐⏐⏐

1205

Apéndice D CÓDIGO

DE COLORES PARA CAPACITADORES TUBULARES MOLDEADOS (PICOFARADS)

Color Negro Café Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco

Cifra significativa

Multiplicador decimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 10 100 1000 10,000 105 106 — — —

Tolerancia % 20 — — 30 40 5 — — — 10

Nota: El nivel del voltaje se identifica mediante un número de un dígito para niveles de hasta 900 V, y por un número de dos dígitos para niveles superiores a 900 V. Dos ceros siguen a la cifra del voltaje.

Cifra significativa de la capacitancia

1ª 2ª

Multiplicador

Tolerancia Cifra significativa del voltaje

1ª 2ª (Si se requiere)

FIGURA D.1

1206

en pF

Apéndice E EL

ALFABETO GRIEGO

Letra

Mayúscula

Minúscula

Alfa Beta Gamma Delta Épsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu

A B G D E Z H V I K L M

a b g d e z h v i k l m

Nu Xi Ómicron Pi Rho Sigma Tau Ípsilon Phi Chi Psi Omega

N Y O P R  T #  X W

n y o p r j t v f x w q

Utilizada para designar Área, ángulos, coeficientes Ángulos, coeficientes, densidad de flujo Gravedad específica, conductividad Densidad, variación Base de los logaritmos naturales Coeficientes, coordenadas, impedancia Eficiencia, coeficiente de histéresis Ángulo de fase, temperatura Constante dieléctrica, susceptibilidad Longitud de onda Factor de amplificación, micro, permeabilidad Reluctividad

3.1416 Resistividad Sumatoria Constante de tiempo Ángulos, flujo magnético Flujo dieléctrico, diferencia de fase Ohms, velocidad angular

1207

Apéndice F CONVERSIONES

DE PARÁMETROS MAGNÉTICOS

SI (MKS)  B

webers (Wb) 1 Wb Wb/m2 1 Wb/m2

A

1 m2

mo 4p  10 7 Wb/Am

CGS maxwells  108 maxwells

1208

NI/l (At/m) 1 At/m

Hg

7.97  105Bg (At/m)

líneas  108 líneas líneas/pulg2

gauss (maxwells/cm2)  104 gauss

 6.452  104 líneas/pulg2

 104 cm2

 1550 pulg2

 1 gauss/oersted

 3.20 líneas/Am

 NI (ampere-vueltas, At) 0.4pNI (gilberts) 1 At  1.257 gilberts H

Inglés

0.4pNI/l (oersteds)  1.26  10 2 oersted Bg (oersteds)

NI (At) 1 gilbert  0.7958 At NI/l (At/pulg)  2.54  10 2 At/pulg 0.313Bg (At/pulg)

Apéndice G CONDICIONES

DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Deducción de las condiciones de máxima transferencia de potencia para la situación donde el componente resistivo de la carga es ajustable pero la reactancia de carga está fija en magnitud.* Para el circuito de la figura G.1, la potencia entregada a la carga está determinada por: V R2 P  L RL ZTh I XTh

I

RTh RL ZL

+ ZT

ETh

XL

–

FIGURA G.1

Al aplicar la regla del divisor de voltaje: RLETh VRL  RL  RTh  XTh 90°  XL 90° La magnitud de VRL está determinada por: RLETh VRL  2  (RL  RTh  )2 ( XTh   X L ) y

con:

2 R 2L E Th V R2L  (RL  RTh )2  (XTh  XL )2 2 RL ETh VR2 P  L  (RL  RTh)2  (XTh  XL)2 RL

Utilizando diferenciación (cálculo), la potencia máxima se transferirá cuando dP/dRL  0. El resultado de la operación anterior es tal que: 2 2 RL  R Th  (X Th   X L)

[Ecuación (18.21)]

La magnitud de la impedancia total del circuito es: 2 2 ZT  (R Th   R (X Th   X L ) L )

Sustituir esta ecuación para RL y aplicar algunas maniobras algebraicas resultará en: ZT  2RL(RL  RTh) *Con sincero agradecimiento por los comentarios del profesor Harry J. Franz del Beaver Campus of Pennsylvania State University.

1209

1210

⏐⏐⏐

APÉNDICES

y la potencia a la carga RL será: 2 2 E Th E Th RL P  I 2RL  R  L 2 ZT 2RL(RL  RTh)

E 2Th  RL  RTh 4 2



2 E Th  4Rpromedio

con

RL  RTh Rpromedio  2



Apéndice H RESPUESTAS

A PROBLEMAS DE NUMERACIÓN IMPARES SELECCIONADOS

Capítulo 1 5. 3 h 7. CGS 9. MKS  CGS  20°C K  SI  293.15 11. 45.72 cm 13. (a) 15  103 (b) 30  103 (c) 7.4  106 (d) 6.8  106 (e) 402  106 (f) 200  1012 15. (a) 104 (b) 10 (c) 109 (d) 102 (e) 10 (f) 1031 17. (a) 10 1 (b) 10 4 (c) 109 (d) 10 9 (e) 1042 (f) 103 19. (a) 106 (b) 102 (c) 1032 (d) 1063 21. (a) 106 (b) 103 (c) 108 (d) 109 (e) 1016 (f) 101 23. (a) 0.006 (b) 400 (c) 5000, 5, 0.005 (d) 0.0003, 0.3, 300 25. (a) 90 s (b) 144 s (c) 50  103 ms (d) 160 mm (e) 120 ns (f) 41.898 días (g) 1.02 m 27. (a) 2.54 m (b) 1.219 m (c) 26.7 N (d) 0.1348 libras (e) 4921.26 pies (f) 3.2187 m (g) 8530.17 yardas 29. 670.62  106 mph 31. 2.045 s 33. 67.06 días 35. $900 37. 345.6 m 39. 47.29 min/milla 41. (a) 4.74  103 Btu (b) 7.098  104 m3 (c) 1.2096  105 s (d) 2113.38 pintas 43. 5.000 45. 2.949

Capítulo 2 3. (a) 18 mN (b) 2 mN (c) 180 mN 7. (a) 72 mN (b) Q1  20 mC, Q2  40 mC 9. 3.1 A 11. 90 C

13. 0.5 A 15. 1.194 A > 1 A (sí) 17. (a) 1.248 millones (b) 0.936 millones, sol.  (a) 19. 252 J 21. 4 C 23. 3.533 V 25. 5 A 27. 25 h 29. 0.773 h 31. 60 Ah : 40 Ah  1.5 :1, 50% más con 60 Ah 33. 545.45 mA, 129.6 kJ 43. 600 C

Capítulo 3 1. (a) 500 mils (b) 10 mils (c) 4 mils (d) 1000 mils (e) 240 mils (f) 3.937 mils 3. (a) 0.04 pulg (b) 0.03 pulg (c) 0.2 pulg (d) 0.025 pulg (e) 0.00278 pulg (f) 0.009 pulg 5. 73.33 7. 3.581 pies 9. (a) Rplata > Rcobre > Raluminio (b) plata 9.9 , cobre 1.037 , aluminio 0.34 11. (a) 21.71 m (b) 35.59 m (c) se incrementa (d) disminuye 13. 942.28 m 15. (a) #8: 1.1308 . #18: 11.493 (b) #18: #8  10.164 1:1  10 :1. #18: #8  1:10.164  1:10 17. (a) 1.087 mA/CM (b) 1.384 kA/pulg2 (c) 3.6127 pulg2 19. (a) 21.71 m (b) 35.59 m 21. 0.15 pulg 23. 2.409 25. 3.67 27. 0.046 29. (a) 40.29°C (b) 195.61°C 31. (a) a20  0.00393 (b) 83.61°C 33. 1.751 35. 142.86 41. 30°C: 10.2 k 100°C: 10.15 k 43. 6.5 k 47. (a) Rojo Rojo Café Plata (b) Amarillo Violeta Rojo Plata

(c) Azul Gris Naranja Plata (d) Blanco Café Verde Plata 49. Sí 51. (a) 0.1566 S (b) 0.0955 S (c) 0.0219 S 57. (a) 10 pc: 3 k 100 pc: 0.4 k (b) negativo (c) escalas no logarítmicas (d) 321.43 /pc

Capítulo 4 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43.

45. 47. 49. 51. 53. 55. 57.

15 V 4 k 72 mV 54.55 28.571 1.2 k (a) 12.632 (b) 4.1 MJ 800 V 1W (a) 57,600 J (b) 16  10 3 kWh 2s 196 mW 4A 9.61 V 0.833 A, 144.06 (a) 0.133 mA (b) 66.5 mAh (c)  70.7 mA (a) 12 kW (b) 10,130 W < 12,000 W (sí) 16.34 A (a) 238 W (b) 17.36% (a) 1657.78 W (b) 15.07 A (c) 19.38 A 65.25% 80% (a) 17.9% (b) 76.73%, incremento del 328.66% (a) 1350 J (b) W se duplica, P es el mismo 6.67 h (a) 50 kW (b) 240.38 A (c) 90 kWh $2.19

Capítulo 5 1. (a) (b) (c) (d)

20 , 3 A 1.63 M , 6.135 mA 110 , 318.2 mA 10 k , 12 mA 1211

1212

⏐⏐⏐

APÉNDICES

3. (a) 16 V (b) 4.2 V 5. (a) 0.388 A (CW) (b) 2.087 A (CCW) 7. (a) 5 V (b) 70 V 9. 3.28 mA, 7.22 V 11. (a) 70.6 , 85 mA (CCW), V1  2.8045 V, V2  0.4760 V, V3  0.850 V, V4  1.870 V (b)-(c) P1  0.2384 W, P2  0.0405 W, P3  0.0723 W, P4  0.1590 W (d) Todos  W 13. (a) 225 , 0.533 A (b) 8 W (c) 15 V 15. Todos Vab 

17.

19. 21. 23.

25.

27.

29.

31. 33. 35.

(a) 66.67 V (b) 8 V (c) 20 V (d) 0.18 V (a) 12 V (b) 24 V (c) 60 (d) 0.4 A (e) 60 (a) Rs  80 (b) 0.2 W <  W R1  3 k , R2  15 k (a) R1  0.4 k , R2  1.2 k , R3  4.8 k (b) R1  0.4 M , R2  1.2 M , R3  4.8 M (a) I (CW)  6.667 A, V  20 V (b) I (CW)  1 A, V  10 V (a) 20 V, 26 V, 35 V,

12 V, 0 V (b) 6 V, 47 V, 9 V (c) 15 V, 38 V V0  0 V, V4  10 V, V7  4 V, V10  20 V, V23  6 V, V30  8 V, V67  0 V, V56  6 V, I(arriba)  1.5 A 2 100 1.52%

Capítulo 6 1. (a) 2, 3, 4 (b) 2, 3 (c) 1, 4 3. (a) 6 , 0.1667 S (b) 1 k , 1 mS (c) 2.076 k , 0.4817 mS (d) 1.333 , 0.75 S (e) 9.948 , 100.525 mS (f) 0.6889 , 1.4516 S

5. (a) 18 (b) R1  R2  24 7. 120 9. (a) 0.8571 , 1.1667 S (b) Is  1.05 A, I1  0.3 A, I2  0.15 A, I3  0.6 A (d) P1  0.27 W, P2  0.135 W, P3  0.54 W, Pentregada  0.945 W (e) R1, R2   W, R3  1 W 11. (a) 66.67 mA (b) 225 (c) 8 W 13. (a) Is  7.5 A, I1  1.5 A (b) Is  9.6 mA, I1  0.8 mA 15. 1260 W 17. (a) 4 mA (b) 24 V (c) 18.4 mA 19. (a) I1  3 mA, I2  1 mA, I3  1.5 mA (b) I2  4 mA, I3  1.5 mA, I4  5.5 mA, I1  6 mA 21. (a) R1  5 , R2  10 (b) E  12 V, I2  1.333 A, I3  1 A, R3  12 , I  4.333 A (c) I1  64 mA, I3  16 mA, I2  20 mA, R  3.2 k , I  36 mA (d) E  30 V, I1  1 A, I2  I3  0.5 A, R2  R3  60 , PR2  15 W 23. (a) I1  4 A, I2  8 A (b) I1  2 A, I2  4 A, I3  1 A, I4  1.333 A (c) I1  272.73 mA, I2  227.27 mA, I3  90.91 mA, I4  500 mA (d) I2  4.5 A, I3  8.5 A, I4  8.5 A 25. (a) I  4 A, I2  4 A, I1  3 A 27. R1  6 k , R2  1.5 k , R3  0.5 k 29. I  3 A, R  2 31. (a) 6.13 V (b) 9 V (c) 9 V 33. (a) 4 V (b) 3.997 V (c) 3.871 V (d) 3 V (e) Rm lo más grande posible 35. ¡No! Fuente de 4 V invertida

(b)

3.

5.

7. 9.

11.

13.

15. 17. 19.

21. 23. 25.

27. 29.

31.

Capítulo 7 1. (a)

serie: E, R1 y R4, paralelo: R2 y R3

33. 35. 37.

serie: E y R1, paralelo: R2 y R3 (c) serie: E, R1 y R5; R3 y R4 paralelo: ninguna (d) serie: R6 y R7, paralelo: E, R1 y R4; R2 y R5 (a) sí (KCL) (b) 3 A (c) sí (KCL) (d) 4 V (e) 2 (f) 5 A (g) P1  12 W, P2  18 W, Pentregada  50 W (a) 4 (b) Is  9 A, I1  6 A, I2  3 A (c) 6 V I1  6 A, I2  16 A, I3  0.8 A, I  22 A (a) 4 A (b) I2  1.333A, I3  0.6665A (c) Va  8 V, Vb  4 V (a) 5 , 16 A (b) IR2  8 A, I3  I9  4 A (c) I8  1 A (d) 14 V (a) VG  1.9 V, Vs  3.65 V (b) I1  I2  7.05 mA, ID  2.433 mA (c) 6.268 V (d) 8.02 V (a) 0.6 A (b) 28 V (a) I2  1.667 A, I6 = 1.111 A, I8  0 A (a) 1.882 (b) V1  V4  32 V (c) 8 A ← (d) 1.882 (a) 6.75 A (b) 32 V 8.333 (a) 24 A (b) 8 A (c) V3  48 V, V5  24 V, V7  16 V (d) P(R7)  128 W, P(E)  5760 W 4.44 W (a) 64 V (b) RL2  4 k , RL3  3 k (c) R1  0.5 k , R2  1.2 k , R3  2 k (a) sí (b) R1  750 , R2  250 (c) R1  745 , R2  255 (a) 1 mA (b) Rdesvío  5 m (a) Rs  300 k (b) 20,000 0.05 mA

APÉNDICE H

Capítulo 8 1. 28 V 3. (a) I1  12 A, Is  11 A (b) Vs  24 V, V3  6 V 5. (a) 3 A, 6 (b) 4.091 mA, 2.2 k 7. (a) 8 A (b) 8 A 9. 9.6 V, 2.4 A 11. (a) 5.4545 mA, 2.2 k (b) 17.375 V (c) 5.375 V (d) 2.443 mA 13. (I) CW: IR1  1.445 mA, abajo: IR3  9.958 mA, CCW: IR2  8.513 mA (II) CW: IR1  2.0316 mA, izquierda: IR2  0.8 mA, CW: IR3  IR4  1.2316 mA 15. (d) izquierda: 63.694 mA 17. (a) CW: IR1   A, CW: IR2   A, IR3   A (abajo) (b) CW: IR1  3.0625 A, CW: IR3  0.1875 A, IR2  3.25 A (arriba) 19. (I) CW: I1  1.8701 A, CW: I2  8.5484 A, Vab  22.74 V (II) CW: I2  1.274 A, CW: I3  0.26 A, Vab  0.904 V 21. (a) 72.16 mA, 4.433 V (b) 1.953 A, 7.257 V 23. (a) Todos CW I1  0.0321 mA, I2  0.8838 mA, I3  0.968 mA, I4  0.639 mA (b) Todos CW I1  3.8 A, I2  4.2 A, I3  0.2 A 25. (a) CW, I1   A, I2   A (b) CW, I1  3.0625 A, I2  0.1875 A 27. (I) (a) CW (b) I1  1.871 A, I2  8.548 A (c) IR1  1.871 A, IR2  8.548 A, IR3  10.419 A 29. I5 (CW)  1.9535 A, Va  7.26 V 31. (a) Todos CW, I1  0.0321 mA, I2  0.8838 mA, I3  0.968 mA, I4  0.639 mA

(b) Todos CW, I1  3.8 A, I2  4.2 A, I3  0.2 A 33. (I) (b) V1  14.86 V, V2  12.57 V (c) VR1  VR4  V1  14.86 V, VR2  V2  12.57 V, VR3  9.71 V ( ) (II) (b) V1  2.556 V, V2  4.03 V (c) VR1  V1  2.556 V, VR2  VR5  V2  4.03 V, VR4  VR3  V2 V1  6.586 V 35. (I) V1  7.238 V, V2  2.453 V, V3  1.405 V (II) V1  6.64 V, V2  1.288 V, V3  10.676 V 37. (a) V1  10.083 V, V2  6.944 V, V3  17.056 V (b) V1  48 V, V2  64 V 39. (b) (I) V1  14.86 V, V2  12.57 V (II) V1  2.556 V, V2  4.03 V (c) (I) VR1  VR4  14.86 V, VR2  12.57 V, VR3  V1  12 V2  9.71 V (II) VR1  2.556 V, VR2  VR5  4.03 V, VR3  VR4  V2 V1  6.586 V 41. (I) V1  5.311 V, V2  0.6219 V, V3  3.751 V, V 5A  5.311 V (II) V1  6.917 V, V2  12 V, V3  2.3 V, V5A  V2 V1  18.917 V, V2A  V3 V2  9.7 V 43. (b) VR5  0.1967 V (c) no (d) no 45. (b) IRs  0 A (c) no (d) no 47. (a) 3.33 mA (b) 1.177 A 49. (a) 133.33 mA (b) 7 A 51. (b) 0.833 mA 53. 4.2

⏐⏐⏐

1213

Capítulo 9 1. (a) CW: IR1   A, IR2  0 A, CW: IR3   A (b) E1: 5.33 W, E2: 0.333 W (c) 8.333 W (d) no 3. (a) abajo: 4.4545 mA (b) abajo: 3.11 A 5. (a) 6 , 6 V (b) 2 : 0.75 A, 30 : 0.1667 A, 100 : 0.0566 A 7. (I) 2 , 84 V (II) 1.579 k ,

1.149 V 9. (I) 45 , 5 V (II) 2.055 k , 16.772 V 11. 4.041 k , 9.733 V 13. (I): 14 , 2.571 A, (II): 7.5 , 1.333 A 15. (a) 9.756 , 0.95 A (b) 2 , 30 A 17. (a) 10 , 0.2 A (b) 4.033 k , 2.9758 mA 19. (I) (a) 14 (b) 23.14 W (II) (a) 7.5 (b) 3.33 W 21. (a) 9.756 , 2.2 W (b) 2 , 450 W 23. 0 25. 500 27. 39.3 mA, 220 mV 29. 2.25 A, 6.075 V 35. (a) 0.357 mA (b) 0.357 mA (c) sí

Capítulo 10 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17.

19.

21.

9  103 N/C 70 mF 50 V/m 8  103 V/m 937.5 pF mica (a) 106 V/m (b) 4.96 mC (c) 0.0248 mF 29,035 V (a) 0.5 s (b) 20(1 e t/0.5) (c) 1t: 12.64 V, 3t: 19 V, 5t: 19.87 V (d) iC  0.2  10 3e t/0.5 v R  20e t/0.5 (a) 5.5 ms

3 (b) 100(1 e t/(5.510 )) (c) 1t: 63.21 V, 3t : 95.02 V, 5t : 99.33 V (d)

3 iC  18.18 10 3e t/(5.510 )

t/(5.510 3) vR  60e (a) 10 ms

1214

⏐⏐⏐

25. 27. 29. 31. 33.

35.

37. 39. 41.

43.

45.

47.

49. 51.

3

50(1 e t/(1010 ))

3 10  10 3e t/(1010 ) vC  50 V, iC  0 A

3 vC  50e t/(410 ),

3 t/(410 3) iC  25  10 e

6 (a) 80(1 e t/(110 ))

3 t/(110 6) (b) 0.8  10 e

6 (c) vC  80e t/(4.910 ),

3 t/(4.910 6) iC  0.163  10 e (a) 10 ms (b) 3 kA (c) sí (a) vC  52 V 40 V e t/123.8ms, iC  2.198 mA e t/123.8ms 1.386 ms R  54.567 k (a) vC  60(1 e t/0.2s), 0.5 s: 55.07 V, 1 s: 59.596 V, iC  60  10 3 e t/0.2s, 0.5 s: 4.93 mA, 1 s: 0.404 mA, vR1  60 e t/0.2s, 0.5 s: 4.93 V, 1 s: 0.404 V (b) t  0.405 s, 1.387 s largo (a) 19.634 V (b) 2.31 s (c) 1.155 s (a) vC  3.275(1 e t/52.68ms), iC  1.216  10 3 e t/52.68ms (a) vC  27.2 25.2 e t/18.26ms, iC  3.04 mA e t/18.26ms 0–4 ms: 0.3 mA, 4–6 ms: 0.9 mA, 6–7 ms: 3 mA, 7–10 ms: 0 mA, 10–13 ms: 3.2 mA, 13–15 ms: 1.8 mA 0–4 ms: 0 V, 4–6 ms: 8 V, 6–16 ms: 20 V, 16–18 ms: 0 V, 18–20 ms: 12 V, 20–25 ms: 0 V V1  10 V, Q1  60 mC, V2  6.67 V, Q2  40 mC, V3  3.33 V, Q3  40 mC (a) 56.54 V (b) 42.405 V (c) 14.135 V (d) 43.46 V (e) 433.44 ms 8640 pJ (a) 5 J (b) 0.1 C (c) 200 A (d) 10 kW (e) 10 s (b) (c) (d) (e)

23.

APÉNDICES

Capítulo 11 1. : 5  104 maxwells, 5  104 líneas. B: 8 gauss, 51.616 líneas 3. (a) 0.04 T 5. 952.4  103 At/Wb 7. 2624.67 At/m 9. 2.133 A 11. (a) N1  60 t (b) 13.34  10 4 Wb/Am 13. 2.687 A 15. 1.35 N 17. (a) 2.028 A (b) 2 N 19. 6.1  10 3 Wb 21. (a) B  1.5(1 e H/700At/m) (c) H  700 loge(1 B/1.5 T) (e) Ecuación: 40.1 mA

33.

Capítulo 12

35.

1. 3. 5. 7. 9.

11.

13.

15.

17.

19.

21. 23.

4.25 V 14 vueltas 15.65 mH (a) 2.5 V (b) 0.3 V (c) 200 V 0 3 ms: 0 V. 3 8 ms: 1.6 V, 8 13 ms: 1.6 V, 13 14 ms: 0 V, 14 15 ms: 8 V, 15 16 ms: –8 V, 16 17 ms: 0 V 0 5 ms: 4 mA. 10 ms: 8 mA, 12 ms: 4 mA. 12 16 ms: 4 mA, 24 ms: 0 mA (a) 2.27 ms (b) 5.45  10 3(1 e t/2.27ms) (c) vL  12e t/2.27ms, vR  12(1 e t/2.27ms) (d) iL: 1t  3.45 mA, 3t  5.179 mA, 5t  5.413 mA, vL: 1t  4.415 V, 3t  0.598 V, 5t  0.081 V (a) iL  4.186 mA

3.814 mA e t/13.95ms), vL  32.8 V e t/13.95ms (a) vL  20 V e t/1ms, iL  2 mA(1 e t/1ms ) (b) iL  2 mA e t/0.5ms , vL  40 V e t/0.5ms (a) iL  6 mA(1 e t/0.5ms ), vL  12 V e t/0.5ms (b) iL  5.188 mA e t/83.3ns , vL  62.256 V e t/83.3ns 25.68 ms (a) iL  3.638  10 3 (1 e t/6.676ms), vL  5.45 e t/6.676ms

25.

27.

29.

31.

37.

39.

(b) 2.825 mA, 1.2186 V (c) iL  2.825  10 3e t/2.128ms, vL  13.27 e t/2.128ms (a) 0.243 V (b) 29.47 V (c) 18.96 V (d) 2.025 ms (a) 20 V (b) 12 mA (c) 5.376 ms (d) 0.366 V iL  3.478 mA

7.432 mA e t/173.9ms vL  51.28 V e t/173.9ms (a) 8 H (b) 4 H L: 4 H, 2 H R: 5.7 k , 9.1 k V1  16 V, V2  0 V, I1  4 mA V1  10 V, I1  2 A, I2  1.33 A WC  360 mJ, WL  12 J

Capítulo 13 1. (a) 10 ms (b) 2 (c) 100 Hz (d) amplitud  5 V, Vp-p  6.67 V 3. 10 ms, 100 Hz 5. (a) 60 Hz (b) 100 Hz (c) 29.41 Hz (d) 40 kHz 7. 0.25 s 9. T  50 ms 11. (a) p/4 (b) p/3 (c) p (d)  p (e) 0.989p (f) 1.228p 13. (a) 3.14 rad/s (b) 20.94  103 rad/s (c) 1.57  106 rad/s (d) 157.1 rad/s 15. (a) 120 Hz, 8.33 ms (b) 1.34 Hz, 746.27 ms (c) 954.93 Hz, 1.05 ms (d) 9.95  10 3 Hz, 100.5 s 17. 104.7 rad/s 23. 0.4755 A 25. 11.537°, 168.463° 29. (a) v adelanta a i por 10° (b) i adelanta a v por 70° (c) i adelanta a v por 80° (d) i adelanta a v por 150° 31. (a) v  25 sen(qt  30°) (b) i  3  10 3 sen(6.28  103t 60°) 33.  ms 35. 0.388 ms 37. (a) 0.4 ms

APÉNDICE H

39. 41.

43.

45. 47. 49.

(b) 2.5 kHz (c) 25 mV (a) 1.875 V (b) 4.778 mA (a) 40 ms (b) 25 kHz (c) 17.13 mV (a) 2 sen 377t (b) 100 sen 377t (c) 84.87  10 3 sen 377t (d) 33.95  10 6 sen 377t 2.16 V 0V (a) T  40 ms, f  25 kHz, Vpromedio  20 mV, Vrms  34.6 mV (b) T  100 ms, f  10 kHz, Vpromedio  0.3 V, Vrms  367 mV

Capítulo 14 3. (a) 3770 cos 377t (b) 452.4 cos(754t  20°) (c) 4440.63 cos(157t 20°) (d) 200 cos t 5. (a) 210 sen 754t (b) 14.8 sen(400t 120°) (c) 42  10 3 sen(qt  88°) (d) 28 sen(qt  180°) 7. (a) 1.592 H (b) 2.654 H (c) 0.8414 H 9. (a) 100 sen(qt  90°) (b) 8 sen(qt  150°) (c) 120 sen(qt 120°) (d) 60 sen(qt  190°) 11. (a) 1 sen(qt 90°) (b) 0.6 sen(qt 70°) (c) 0.8 sen(qt  10°) (d) 1.6 sen(377t  130°) 13. (a) (b) 530.79 (c) 265.39 (d) 17.693 (e) 1.327 15. (a) 9.31 Hz (b) 4.66 Hz (c) 18.62 Hz (d) 1.59 Hz 17. (a) 6  10 3 sen(200t  90°) (b) 33.96  10 3 sen(377t  90°) (c) 44.94  10 3 sen(374t  300°) (d) 56  10 3 sen(qt  160°) 19. (a) 1334 sen(300t 90°) (b) 37.17 sen(377t 90°) (c) 127.2 sen 754t (d) 100 sen(1600t 170°) 21. (a) C (b) L  254.78 mH (c) R  5 25. 318.47 mH 27. 5.067 nF 29. (a) 0 W (b) 0 W (c) 122.5 W 31. 192 W

33. 40 sen(qt 50°) 35. (a) 2 sen(157t 60°) (b) 318.47 mH (c) 0 W 37. (a) i1  2.828 sen(104t  150°), i2  11.312 sen(104t  150°) (b) is  14.14 sen(104t  150°) 39. (a) 5 36.87° (b) 2.83 45° (c) 16.38 77.66° (d) 806.23 82.87° (e) 1077.03 21.80° (f) 0.00658 81.25° (g) 11.78  49.82° (h) 8.94 153.43° (i) 61.85  104.04° (j) 101.53  39.81° (k) 4326.66 123.69° (l) 25.495  10 3  78.69° 41. (a) 15.033 86.19° (b) 60.208 4.76° (c) 0.30 88.09° (d) 2002.5  87.14° (e) 86.182 93.73° (f) 38.694  94° 43. (a) 11.8  j 7 (b) 151.9  j 49.9 (c) 4.72  10 6  j 71 (d) 5.2  j 1.6 (e) 209.3  j 311 (f) 21.2  j 12 (g) 7.03  j 9.93 (h) 95.698  j 22.768 45. (a) 6  50° (b) 0.2  10 3 140° (c) 109  230° (d) 76.471  80° (e) 4 0° (f) 0.71  16.49° (g) 4.21  10 3 161.1° (h) 18.191  50.91° 47. (a) x  4, y  3 (b) x  4 (c) x  3, y  6 o x  6, y  3 (d) 30° 49. (a) 56.569 sen(377t  20°) (b) 169.68 sen 377t (c) 11.314  10 3 sen(377t  120°) (d) 7.07 sen(377t  90°) (e) 1696.8 sen(377t 120°) (f) 6000 sen(377t 180°) 51. i1  2.537  10 5 sen(qt  96.79°) 53. iT  18  10 3 sen 377t

Capítulo 15 1. (a) 6.8 0° (b) 754 90°

3.

5.

7.

9.

11.

13. 15.

17.

19. 25.

27.

29.

⏐⏐⏐

1215

(c) 15.7 90° (d) 265.25  90° (e) 318.47  90° (f) 200 0° (a) 88  10 3 sen qt (b) 9.045 sen(377t  150°) (c) 2547.02 sen(157t 50°) (a) 4.24  45° (b) 3.04 k 80.54° (c) 1617.56 88.33° (a) 10 36.87° (c) I 10 A  36.87°‚ VR  80 V  36.87°, VL  60 V 53.13° (f) 800 W (g) 0.8 atrasado (a) 1660.27  73.56° (b) 8.517 mA 73.56° (c) VR  4.003 V 73.56°, VL  13.562 V  16.44° (d) 34.09 mW, 0.283 adelantado (a) 3.16 k 18.43° (c) 3.18 mF, 6.37 H (d) I  1.3424 mA 41.57°, VR  4.027 V 41.57°, VL  2.6848 V 131.57°, VC  1.3424 V  48.43° (g) 5.406 mW (h) 0.9487 atrasado (a) 40 mH (b) 220 (a) V1  37.97 V  51.57°, V2  113.92 V 38.43° (b) V1  55.80 V 26.55°, V2  12.56 V  63.45° (a) I  39 mA 126.65°, VR  1.17 V 126.65°, VC  25.86 V 36.65° (b) 0.058 adelantado (c) 45.63 mW (g) ZT  30 j 512.2 ZT  3.2  j 2.4 (a) ZT  3  j 8 , YT  41.1 mS j 109.5 mS (b) ZT  60 j 70 , YT  7.1 mS  j 8.3 mS (c) ZT  200 j 100 , YT  4 mS  j 2 mS (a) YT  538.52 mS  21.8° (c) E  3.71 V 21.8°, IR  1.855 A 21.8°, IL  0.742 A  68.2° (f) 6.88 W (g) 0.928 atrasado (h) e  5.25 sen(377t  21.8°), iR  2.62 sen(377t  21.8°), iL  1.049 sen(377t 68.2°), is  2.828 sen 377t (a) YT  129.96 mS  50.31° (c) Is  7.8 A  50.31°, IR  5 A 0°, IL  6 A  90°

1216

31.

33.

39.

41.

43.

⏐⏐⏐

APÉNDICES

(f) 300 W (g) 0.638 atrasado (h) e  84.84 sen 377t, iR  7.07 sen 377t, iL  8.484 sen(377t 90°), is  11.03 sen(377t 50.31°) (a) YT  0.416 mS 36.897° (c) L  10.61 H, C  1.326 mF (d) E  8.498 V  56.897°, IR  2.833 mA  56.897°, IL  2.125 mA  146.897°, IC  4.249 mA 33.103° (g) 24.078 mW (h) 0.8 adelantado (i) e  12.016 sen(377t 56.897°), iR  4 sen(377t 56.897°), iL  3 sen(377t 146.897°), iC  6 sen(377t  33.103°) (a) I1  18.09 A 65.241°, I2  8.528 A  24.759° (b) I1  11.161 A 0.255°, I2  6.656 A 153.690° (a) Rp  94.73 , Xp  52.1 (C) (b) Rp  4 k , Xp  4 k (C) (a) E  176.68 V 36.44°‚ IR  0.803 A 36.44°, IL  2.813 A  53.56° (b) 0.804 atrasado (c) 141.86 W (f) IC  1.11 A 126.43° (g) ZT  142.15  j 104.96 R  4 , XL  3.774

Capítulo 16 1. (a) (b) (c) (d) (e) 3. (a) (b) (c) (d) (e) 5. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 9. (a) (b) (c)

1.2 90° 10 A  90° 10 A  90° I2  6 A  90°, I3  4 A  90° 60 V 0° ZT  3.87  11.817°, YT  0.258 S 11.817° 15.504 A 41.817° 3.985 A 82.826° 47.809 V  7.174° 910.71 W 0.375 A 25.346° 70.711 V  45° 33.9 W 1.423 A 18.259° 26.574 V 4.763° 54.074 W YT  0.099 S  9.709° V1  20.4 V 30°, V2  10.887 V 58.124° 1.933 A 11.109°

11. 33.201 A 38.89° 13. 139.71 mW

Capítulo 17 3. (a) Z  21.93  46.85°, E  10.97 V 13.15° (b) Z  5.15 59.04°, E  10.3 V 179.04° 5. (a) 5.15 A  24.5° (b) 0.442 A 143.48° 7. (a) 13.07 A  33.71° (b) 48.33 A  77.57° 9. 3.165  10 3 V 137.29° 11. I1k  10 mA 0° I2k  1.667 mA 0° 13. IL  1.378 mA  56.31° 15. (a) V1  19.86 V 43.8°, V2  8.94 V 106.9° (b) V1  19.78 V 132.48°, V2  13.37 V 98.78° 17. V1  220 V 0°, V2  96.664 V  12.426°, V3  100 V 90° 19. (izquierda) V1  14.62 V  5.86°, (superior) V2  35.03 V  37.69°, (derecha) V3  32.4 V  73.34°, (en medio) V4  5.677 V 23.53° 21. V1  4.372 V  128.66°, V2  2.253 V 17.628° 23. V1  10.667 V 0°, V2  6 V 0° 25. 2451.92Ei 27. (a) No (b) 1.76 mA  71.54° (c) 7.03 V  18.46° 29. Balanceado 31. Rx  R2R3/R1, Lx  R2L3/R1 33. (a) 11.57 A  67.13° (b) 36.9 A 23.87°

Capítulo 18 1. (a) 6.095 A  32.115° (b) 3.77 A  93.8° 3. i  0.5A  1.581 sen(qt 26.565°) 5. 6.261 mA  63.43° 7. 22.09 V 6.34° 9. 19.62 V 53° 11. Vs  10 V 0° 13. (a) ZTh  21.312 32.196°, ETh  2.131 V 32.196° (b) ZTh  6.813  54.228°, ETh  57.954 V 11.099° 15. (a) ZTh  4 90°, ETh  4 V  10 V 0° (b) I0.5 A 1.11A 26.565°

17. (a) ZTh  4.472 k  26.565°, ETh  31.31 V  26.565° (b) I  6.26 mA 63.435° 19. ZTh  4.44 k  0.031° ETh  444.45  103 I 0.255° 21. ZTh  5.099 k  11.31° ETh  50 V 0° 23. ZTh  39.215 0° ETh  20 V 53° 25. ZTh  607.42 0° ETh  1.62 V 0° 27. (a) ZN  21.312 32.196°, IN  0.1 A 0° (b) ZN  6.813  54.228°, IN  8.506 A 65.324° 29. (a) ZN  9.66 14.93°, IN  2.15 A  42.87° (b) ZN  4.37 55.67°, IN  22.83 A  34.65° 31. (a) ZN  9 0°, IN  1.333 A  2.667 A 0° (b) 12 V  2.65 V  83.66° 33. ZN  5.1 k  11.31°, IN  1.961  10 3 V 11.31° 35. ZN  5.1 k  11.31°, IN  9.81 mA 11.31° 37. ZN  6.63 k 0° IN  0.792 mA 0° 39. (a) ZL  8.32 3.18°, 1198.2 W (b) ZL  1.562  14.47°, 1.614 W 41. 40 k , 25 W 43. (a) 9 (b) 20 W 45. (a) 1.414 k (b) 0.518 W 49. 25.77 mA 104.4°

Capítulo 19 1. (a) (b) (c) (d) 3. (a) (c) 5. (a) (b) (d) 7. (a) (b) (c) (d) (f)

120 W QT  0 VAR, ST  120 VA 0.5 A I1  1⁄6 A, I2  1⁄3 A 400 W, 400 VAR (C), 565.69 VA, 0.7071 adelantado 5.66 A 135° 500 W, 200 VAR (C), 538.52 VA 0.928 adelantado 10.776 A 21.875° R: 200 W, L,C: 0 W R: 0 VAR, C: 80 VAR, L: 100 VAR R: 200 VA, C: 80 VA, L: 100 VA 200 W, 20 VAR (L), 200.998 VA, 0.995 (atrasado) 10.05 A  5.73°

APÉNDICE H 9. (a) R: 38.99 W, L: 0 W, C: 0 W (b) R: 0 VAR, L: 126.74 VAR, C: 46.92 VAR (c) R: 38.99 VA, L: 126.74 VA, C: 46.92 VA (d) 38.99 W, 79.82 VAR (L), 88.83 VA, 0.439 (atrasado) (f) 0.31 J (g) WL  0.32 J, WC  0.12 J 11. (a) Z  2.30  j 1.73 (b) 4000 W 13. (a) 900 W, 0 VAR, 900 VA, 1 (b) 9 A 0° (d) Z1: R  0 , XC  20 , Z2: R  2.83 , X  0 , Z3: R  5.66 , XL  4.717 15. (a) 1100 W, 2366.26 VAR, 2609.44 VA, 0.4215 (adelantado) (b) 521.89 V  65.07° (c) Z1: R  1743.38 , XC  1307.53 , Z2: R  43.59 , XC  99.88 17. (a) 7.81 kVA (b) 0.640 (atrasado) (c) 65.08 A (d) 1105 mF (e) 41.67 A 19. (a) 128.14 W (b) a-b: 42.69 W, b-c: 64.03 W, a-c: 106.72 W, a-d: 106.72 W, c-d: 0 W, d-e: 0 W, f-e: 21.34 W 21. (a) 5 , 132.03 mH (b) 10 (c) 15 , 262.39 mH

Capítulo 20 1. (a) qs  250 rad/s, fs  39.79 Hz (b) qs  3535.53 rad/s, fs  562.7 Hz (c) qs  21,880 rad/s, fs  3482.31 Hz 3. (a) XL  40 (b) I  10 mA (c) VR  20 mV, VL  400 mV, VC  400 mV (d) Qs  20 (alto) (e) L  1.27 mH, C  0.796 mF (f) BW  250 Hz (g) f2  5.125 kHz, f1  4.875 kHz 5. (a) BW  400 Hz (b) f2  6200 Hz, f1  5800 Hz (c) XL  XC  45 (d) PHPF  375 mW

7. (a) Qs  10 (b) XL  20 (c) L  1.59 mH, C  3.98 mF (d) f2  2100 Hz, f1  1900 Hz 9. L  13.26 mH, C  27.07 nF, f2  8460 Hz, f1  8340 Hz 11. (a) fs  1 MHz (b) BW  160 kHz (c) R  720 , L  0.7162 mH, C  35.37 pF (d) Rl  56.25 13. (a) fp  159.155 kHz (b) VC  4 V (c) IL  IC  40 mA (d) Qp  20 15. (a) fs  11,253.95 Hz (b) Ql  1.77 (no) (c) fp  9,280.24 Hz, fm  10,794.41 Hz (d) XL  5.83 , XC  8.57 (e) ZTp  12.5 (f) VC  25 mV (g) Qp  1.46, BW  6.356 kHz (h) IC  2.92 mA, IL  3.54 mA 17. (a) XC  30 (b) ZTP  225 (c) IC  0.6 A 90°, IL  0.6 A  86.19° (d) L  0.239 mH, C  265.26 nF (e) Qp  7.5, BW  2.67 kHz 19. (a) fs  7.118 kHz, fp  6.647 kHz, fm  7 kHz (b) XL  20.88 , XC  23.94 (c) ZTP  55.56 (d) Qp  2.32, BW  2.865 kHz (e) IL  99.28 mA, IC  92.73 mA (f) VC  2.22 V 21. (a) fp  3558.81 Hz (b) VC  138.2 V (c) P  691 mW (d) BW  575.86 Hz 23. (a) XL  98.54 (b) Ql  8.21 (c) fp  8.05 kHz (d) VC  4.83 V (e) f2  8.55 kHz, f1  7.55 kHz 25. Rs  3.244 k , C  31.66 nF 27. (a) fp  251.65 kHz (b) ZTp  4.444 k (c) Qp  14.05 (d) BW  17.91 kHz (e) 20 nF: fp  194.93 kHz, ZTp  49.94 , Qp  2.04, BW  95.55 kHz (f) 1 nF: fp  251.65 kHz, ZTp  13.33 k , Qp  21.08, BW  11.94 kHz

⏐⏐⏐

1217

(g) Red: L/C  100  103, inciso (e): L/C  1  103, inciso (f): L/C  400  103 (h) sí, L/C , BW

Capítulo 21 1. (a) 0.2 H (b) ep  1.6 V, es  5.12 V (c) ep  15 V, es  24 V 3. (a) 158.02 mH (b) ep  24 V, es  1.8 V (c) ep  15 V, es  24 V 5. (a) 3.125 V (b) 391.02 mWb 7. 56.31 Hz 9. 400 11. 12,000t 13. (a) 3 (b) 2.78 W 15. (a) 360.56 86.82° (b) 332.82 mA  86.82° (c) VRe  6.656 V  86.82°, VXe  13.313 V 3.18°, VXL  106.50 V 3.18° 19. 1.354 H 21. I1(R1  j XL1)  I2( j Xm)  E1 I1( j Xm)  I2( j XL2  RL)  0 23. (a) 20 (b) 83.33 A (c) 4.167 A (d) a   , Is  4.167 A, Ip  83.33 A 25. (a) 25 V 0°, 5 A 0° (b) 80 0° (c) 20 0° 27. (a) E2  40 V 60°, I2  3.33 A 60°, E3  30 V 60°, I3  3 A 60° (b) R1  64.52 29. [Z1 XL1]I1 ZM12I2 ZM13I3  E1, ZM12I1 [Z2  Z3  XL2]I2  Z2I3  0, ZM13I1 Z2I2  [Z2  Z4  XL3]I3  0

Capítulo 22 1. (a) (c) 3. (a) (c) 5. (a) (b)

120.1 V (b) 120.1 V 12.01 A (d) 12.01 A 120.1 V (b) 120.1 V 16.98 A (d) 16.98 A v2  120°, v3  120° Van  120 V 0°, Vbn  120 V  120°, Vcn  120 V 120° (c) Ian  8 A  53.13°, Ibn  8 A  173.13°, Icn  8 A 66.87° (e) 8 A (f) 207.85 V 7. Vf  127 V, If  8.98 A, IL  8.98 A

1218

⏐⏐⏐

APÉNDICES

9. (a) EAN  12.7 kV  30°, EBN  12.7 kV  150°, ECN  12.7 kV 90° (b) Ian  11.285 A  97.54°, Ibn  11.285 A  217.54°, Icn  11.285 A 22.46° (c) IL  If (d) Van  12,154.28 V  29.34°, Vbn  12,154.28V 149.34°, Vcn  12,154.28 V 90.66° 11. (a) 120.1 V (b) 208 V (c) 13.364 A (d) 23.15 A 13. (a) v2  120°, v3  120° (b) Vab  208 V 0°, Vbc  208 V  120°, Vca  208 V 120° (d) Iab  9.455 A 0°, Ibc  9.455 A  120°, Ica  9.455 A 120° (e) 16.376 A (f) 120.1 V 15. (a) v2  120°, v3  120° (b) Vab  208 V 0°, Vbc  208 V  120°, Vca  208 V 120° (d) Iab  86.67 A  36.87°, Ibc  86.67 A  156.87°, Ica  86.67 A 83.13° (e) 150.11 A (f) 120.1 V 17. (a) Iab  15.325 A  73.30°, Ibc  15.325 A  193.30°, Ica  15.325 A 46.7° (b) IAa  26.54 A  103.31°, IBb  26.54 A 136.68°, ICc  26.54 A 16.69° (c) EAB  17,013.6 V  0.59°, EBC  17,013.77 V  120.59°, ECA  17,013.87 V 119.41° 19. (a) 208 V (b) 120.09 V (c) 7.076 A (d) 7.076 A 21. Vf  69.28 V, If  2.89 A, IL  2.89 A 23. Vf  69.28 V, If  5.77 A, IL  5.77 A 25. (a) 440 V (b) 440 V (c) 29.33 A (d) 50.8 A 27. (a) v2  120°, v3  120° (b) Vab  100 V 0°, Vbc  100 V  120°, Vca  100 V 120° (d) Iab  5 A 0°, Ibc  5 A  120°, Ica  5 A 120° (e) 8.66 A 29. (a) v2  120°, v3  120° (b) Vab  100 V 0°, Vbc  100 V  120°, Vca  100 V 120°

31. 33. 35. 37. 39. 41. 43.

45. 49.

(d) Iab  7.072 A 45°, Ibc  7.072 A  75°, Ica  7.072 A 165° (e) 12.25 A 2160 W, 0 VAR, 2160 VA, Fp  1 7210.67 W, 7210. 67 VAR (C), 10,197.42 VA, 0.707 adelantado 7.263 kW, 7.263 kVAR, 10.272 kVA, 0.707 atrasado 287.93 W, 575.86 VAR (L), 643.83 VA, 0.4472 atrasado 900 W, 1200 VAR (L), 1500 VA, 0.6 atrasado Zf  12.98 j 17.31 (a) 9237.6 V (b) 80 A (c) 1276.8 kW (d) 0.576 atrasado (e) IAa  80 A  54.83° (f) Van  7773.45 V 4.87° (g) Zf  62.52  j 74.38 (h) Fp (sistema completo)  0.576, Fp (carga)  0.643 (ambos atrasados) (i) 93.98% (b) PT  5899.64 W, Pmedidor  1966.55 W (a) 120.09 V (b) Ian  8.492 A, Ibn  7.076 A, Icn  42.465 A (c) 4928.5 W, 4928.53 VAR (L), 6969.99 VA, 0.7071 atrasado (d) Ian  8.492 A  75° Ibn  7.076 A  195° Icn  42.465 A 45° (e) IN  34.712 A  42.972°

Capítulo 23 1. (a) izquierda: 1.54 kHz, derecha: 5.623 kHz (b) abajo: 0.2153 V, arriba: 0.5248 V 3. (a) 1000 (b) 1012 (c) 1.585 (d) 1.096 (e) 1010 (f) 1513.56 (g) 10.023 (h) 1,258,925.41 5. 1.681 7. 0.301 9. (a) 1.845 (b) 18.45 11. 13.01 13. 38.49 15. 24.08 dBs 19. (a) 0.1fc: 0.995, 0.5fc: 0.894, fc: 0.707, 2fc: 0.447, 10fc: 0.0995

21.

23.

25.

27.

29.

31.

33.

35.

37.

(b) 0.1fc: 5.71°, 0.5fc: 26.57°, fc: 45°, 2fc: 63.43°, 10fc: 84.29° C  0.265 mF, 250 Hz: Av  0.895, v  26.54°, 1000 Hz: Av  0.4475, v  63.41° (a) fc  3.617 kHz, fc: Av  0.707, v  45°, 2fc: Av  0.894, v  26.57°, 0.5fc: Av  0.447, v  63.43°, 10fc: Av  0.995, v  5.71°, 1 ⁄10 fc: Av  0.0995, v  84.29° R  795.77 → 797 , fc: Av  0.707, v  45°, 1 kHz: Av  0.458, v  63.4°, 4 kHz: Av  0.9, v  26.53° (a) fc1  795.77 Hz, fc2  1989.44 Hz, fc1: Vo  0.656Vi, fc2: Vo  0.656Vi, fcentro  1392.60 Hz: Vo  0.711Vi, 500 Hz: Vo  0.516Vi, 4 kHz: Vo  0.437Vi (b) BW  2.9 kHz, fcentro  1.94 kHz (a) fs  100.658 kHz (b) Qs 18.39, BW  5473.52 Hz (c) fs: Av  0.93, f1  97,921.24 Hz, f2  103,394.76 Hz, f  95 kHz: Av  0.392, f  105 kHz: Av  0.5 (d) f  fs, Vo  0.93 V, f  f1  f2, Vo  0.658 V (a) Qs  12.195 (b) BW  410 Hz, f2 5205 Hz, f1  4795 Hz (c) fs: Vo  0.024Vi (d) fs: Vo sigue 0.024Vi (a) fp  726.44 kHz (banda de atenuación) f  2.013 MHz (pasa-banda) (a-b) fc  6772.55 Hz (c) fc: 3 dB,  fc: 6.7 dB, 2fc: 0.969 dB, 1 f : 20.04 dB, 10 c 10fc: 0.043 dB (d) fc: 0.707,  fc: 0.4472, 2fc: 0.894 (e) fc: 45°,  fc: 63.43°, 2fc: 26.57° (a-b) fc  13.26 kHz (c) fc: 3 dB,  fc: 0.97 dB, 2fc: 6.99 dB

APÉNDICE H

fc: 0.043 dB, 10fc: 20.04 dB (d) fc: 0.707,  fc: 0.894, 2fc: 0.447 (e) fc: 45°,  fc: 26.57°, 2fc: 63.43° (a) f1  663.15 Hz, fc  468.1 Hz 0 < f < fc: 6 dB/octava, f > fc: 3.03 dB (b) f1: 45°, fc: 54.78°,  f1: 63.43°, 2f1: 84.29° (a) f1  19,894.37 Hz fc  1,989.44 Hz 0 < f < fc: 0 dB, fc < f < f1: 6 dB/octava, f > f1: 20 dB (b) fc: 39.29°, 10 kHz: 52.06°, f1: 39.29° (a) f1  964.58 Hz, fc  7,334.33 Hz, 0 < f < f1: 17.62 dB, f1 < f < fc: 6 dB/octava, f > fc: 0 dB (b) f1: 39.35°, 1.3 kHz: 43.38°, fc: 39.35° (a) f  180 Hz  3 dB, f  18 kHz: 3.105 dB (b) 100 Hz: 97°, 1.8 kHz: 0.12°  0°, 18 kHz: 61.8° Av  120/[(1 j 50/f )(1

j 200/f )(1 jf/36 kHz)] fc  2 kHz, 0 < f < fc: 0 dB, f > fc: 6 dB/octava f1  1 kHz, f2  2 kHz, f 3  3 kHz, 0 < f < f1: 0 dB, f 1 < f < f2: 6 dB/octava, f 2 < f < f3: 12 dB/octava, f > f3 : 13.06 dB (a) woofer: 0.673, tweeter: 0.678 (b) woofer: 0.015, tweeter: 0.337 (c) intervalo medio: 0.998  1 1 10

39.

41.

43.

45.

47. 49. 51.

53.

Capítulo 24 1. (a) tendencia positiva (b) 2 V (c) 0.2 ms (d) 6 V (e) 6.5% 3. (a) tendencia positiva (b) 10 mV (c) 3.2 ms (d) 20 mV (e) 3.4% 5. V2 de (V1 V2)/V  0.1 es 13.571 mV 7. (a) 120 ms (b) 8.333 kHz (c) máximo  440 mV, mínimo  80 mV

9. prf  125 kHz, ciclo de trabajo  62.5% 11. (a) 8 ms (b) 2 ms (c) 125 kHz (d) 0 V (e) 3.464 mV 13. 18.88 mV 15. 117 mV 17. vo  4(1  e t/20ms) 19. iC  8  10 3e t 21. iC  4  10 3e t/0.2ms (a) 5t  T/2 (b) 5t  (T/2) (c) 5t  10(T/2) 23. 0 T/2: vC  20 V, T/2 T : vC  20e t/t, T  T: vC  20(1 e t/t),  T T: vC  20e t/t 25. Zp  4.573 M  59.5°, Zs  0.507 M  59.5°

Capítulo 25 1. (I) a. no b. no c. sí d. no e. sí (II) a. sí b. sí c. sí d. sí e. no (III) a. sí b. sí c. no d. sí e. sí (IV) a. no b. no c. sí d. sí e. sí 7. (a) 19.04 V (b) 4.53 A 9. 71.872 W 11. (a) i  2  2.08 sen(400t

33.69)  0.5 sen(800t

53.13°) (b) 2.508 A (c) vR  24  24.96 sen(400t  33.69°)  6 sen(800t 53.13°) (d) 30.092 A (e) vL  16.64 sen(400t  56.31°)  8 sen(800t  36.87°) (f) 13.055 V (g) 75.481 W 13. (a) i  1.2 sen(400t  53.13°) (b) 0.848 A (c) vR  18 sen(400t  53.13°) (d) 12.73 V (e) vC  18  23.98 sen(400t

36.87°) (f) 24.73 V (g) 10.79 W 15. vo  2.257  10 3 sen(377t  93.66°)  1.923  10 3 sen(754t  1.64°)

⏐⏐⏐

1219

17. iT  30  30.27 sen(20t  7.59°)  0.5 sen(40t 30°)

Capítulo 26 1. Zi  986.84 3. (a) Ii1  10 mA (b) Zi2  4.5 k (c) Ei3  6.9 V 5. Zo  44.59 k 7. Zo  10 k 9. (a) Av  392.98 (b) AvT  320.21 11. (a) AvNL  2398.8 (b) Ei  50 mV (c) Zi  1 k 13. (a) AG  6.067  104 (b) AGT  4.94  104 15. (a) AvT  1500 (b) AiT  187.5 (c) Ai1  15, Ai2  12.5 (d) AiT  187.5 17. (a) z11  (Z1Z2  Z1Z3)/ (Z1  Z2  Z3), z12  Z1Z3/(Z1  Z2  Z3), z21  z12, z22  (Z1Z3  Z2Z3)/ (Z1  Z2  Z3) 19. (a) y11  (Y1Y2  Y1Y3)/ (Y1  Y2  Y3), y12  Y1Y2/(Y1  Y2  Y3), y21  y12, y22  (Y1Y2  Y2Y3)/ (Y1  Y2  Y3) 21. h11  Z1Z2/(Z1  Z2), h21  Z1/(Z1  Z2), h12  Z1/(Z1  Z2), h22  (Z1  Z2  Z3)/ (Z1Z3  Z2Z3) 23. h11  (Y1  Y2  Y3)/ (Y1Y2  Y1Y3), h21  Y2/(Y2  Y3), h12  Y2/(Y2  Y3), h22  Y2Y3/(Y2  Y3) 25. (a) 47.62 (b) 99 27. Zi  9,219.5  139.4° , Zo  29.07 k  86.05° 29. h11  2.5 k , h12  0.5, h21  0.75, h22  0.25 mS

Índice Nota: Los números en negritas están en la página del Glosario.

A Acoplamiento de impedancia, 944-47 Acoplamiento débil, 937, 975 Adelanto, 36-39 Adición (formas de onda no senoidales), 1139-40 Admitancia, 655-59, 667 Aisladores, 46-48, 57, 68, 378 Alfabeto Griego, 1207 Algoritmo común, 1017-18 Alimentación de voltaje, 45 Alimentación residencial, 943-44 Altavoz, 438, 459 Altavoz de alta frecuencia (tweeter), 684-87 Altavoz de frecuencias graves (woofer), 358, 684-87 Alternador, 195-96, 239, 1079 Amortiguamiento, 1080 Amp-Clamp®, 553, 572 Ampere, 3, 35-36, 57 Ampère, André-Marie, 3, 4, 35, 435 Amperímetro, 48-49, 57 diseño, 231-32 efectos de la carga, 149-50 Amplificador, 5, 685, 1079 Amplificador de audio, 357-58 Amplificador operacional, 302, 305 Amplitud forma de onda de pulso, 1094, 1096-97, 1121 pico, 524, 573 Análisis de corriente de rama, 255, 261-67, 320 Análisis de mallas, 255, 267-78, 320, 747-54, 765-67, 789 ca método de formato, 751-54 método general, 747-50 red puente, 765-67 cd método de formato, 274-78 método general, 267-74 Análisis de nodos ca, 754-65, 767-68, 789 formato, 760-65 general, 754-60 cd, 278-91 formato, 286-91 general, 278-86 Análisis de sistema, 1149-81 análisis por computadora, 1181-84 circuitos equivalentes, 1167-69

conversiones, 1180-81 ganancia de corriente, 1158-60 ganancia de potencia, 1160-61 ganancia de voltaje, 1155-58 parámetros de admitancia, 1169-74, 1191 parámetros de impedancia, 1165-69, 1178-80, 1191 parámetros híbridos, 1174-78, 1191 sistemas en cascada, 1162-65 Análisis por computadora análisis de nodos, 775-80 BREADBOARD, 27 C++, 26, 118-25, 157-59, 242-44, 563-65, 621-23, 1194 capacitores, 421-25 circuitos cd en serie, 154-59 circuitos no senoidales, 1140-43 filtros, 1080-84 FORTRAN, 25 fuentes controladas, 777-80 lenguajes, 25-26 métodos de análisis, 307-8 números complejos, 616-23 Ohm ley de, 118-25 paquetes de software, 26-27 Pascal, 25 potencia (ca), 875-79 PSpice. Ver Pspice redes ca en serie-paralelo, 729-737 redes ca en serie y en paralelo 689-694 redes cd en paralelo, 200-203 redes cd en serie-paralelo, 241-44 resonancia, 922-28 respuesta al pulso, 1115-17 sistemas de dos puertos, 1181-84 superposición, teorema de, 829-31 teoremas (cd), 359-66 Thévenin, teorema de(ca), 831-37 transformadores, 968-71 transitorios R-L, 506-11 WINDOWS, 27 Analizador de espectros, 920, 1128 Analizador de Fourier, 1128 Analizador de ondas, 1128 Ancho de banda, 894-97, 905-7, 934 Ancho de banda fraccional, 896 Aparición de márgenes, 378, 434, 452 Aplicaciones, 50-55, 85-90, 151-54, 194-200, 237-40, 301-7, 357-59, 414-21, 458-68, 499-506, 554-59, 682-89, 721-29, 822-29, 872-75, 919-22, 963-68, 1075-80, 1112-15

Archivo de entrada, 127 Archivo de salida, 121, 127 Armadura, 978 Armónicos, 1126-28, 1147 Armstrong, Edwin, 5 Arseniuro de galio, 48, 67 Atenuador 1075-77, 1111-12, 1121 Atenuador compensado, 1111-12, 1121 Átomo capas, 32-33 cobre, 33 electrón, 31-36 estructura 31-33 núcleo, 31-33 protón, 31-33 Átomo de helio, 31 Átomo de hidrógeno, 31-32 Autoinductancia, 474-75, 519, 936-38, 948-51, 952 Autotransformador, 418, 499, 960-61, 975

B Babbage, Charles, 6 Baird, John, 6 Bardeen, John, 6 Batería, 34-35, 37, 39-45, 129-30, 148, 195-96, 237-39, 556 cargador, 52-55 Batería de ácido-plomo, 39-41 Batería de níquel-cadmio, 39, 41-43 Bednorz, George, 72-73 Bilateral, 255 Blindaje, 505, 725, 1077 Bobina de choque, 420, 474, 519 Bobina de encendido, 487 Bobina de voz, 463-64 Bobina limitadora, 966 Bobinas, ver inductores Bocina, 357-59, 459, 684-87, 825-29, 922 Bode, Henrick Wade, 1044 Brattain, Walter H., 6 Brechas de aire 452-54

C Cableado doméstico, 197-200 Cable de alimentación, 199 Cable neutral o de retorno, 199 Cable trenzado, 237 Cables circulares, 60 Calculadora TI-86, 265, 271, 278, 292-93, 607-8, 644-45, 716-17, 752

ÍNDICE Calculadora científica, 22, 606-8 Calculadoras, 22-25, 607-8, 644-45, 716-17, 719, 752, 796, 813 formatos, 23 Calentador, 683 Calibrador, 197, 237 Campo eléctrico, 375-80 Campo magnético, 436-39, 498, 503-4, 869-71 Capacidad nominal ampere-hora, 43-45, 57 Capacitancia, 377-78, 434, 949, 952 Capacitancia parásita, 414, 434 Capacitor, 4-5, 375-408, 418, 434, 499,506, 579-82, 586-87, 589-92, 684-87, 949, 952, 1115, 1206 análisis por computadora, 421-25 aparición de márgenes, 378, 434 campo eléctrico, 375-80 capacitancia, 377-88, 434, 949, 952 capacitancia parásita, 414, 434 código de colores, 386, 388, 1206 constante de tiempo, 391-93, 434 constante dieléctrica, 379-80, 434 corriente de fuga, 383, 394, 434 dieléctrico, 378-80, 434 electrolítico, 415 energía almacenada, 413-14 esquemas de rotulado, 388-90 farad, 377-78 filtrado, 1077-80 flujo eléctrico, 375-79 paralelo, 410-13 permitividad, 379-82, 434 pruebas, 388 reactancia, 581 respuesta a la frecuencia, 589-92 respuesta de ca, 579-82, 586-87 rigidez dieléctrica, 382-83, 434 tipos, 383-90 transitorios, 390-404, 434 valores estándar y factor de reconocimiento, 388 valores iniciales, 399-402 Capacitor cerámico, 384 Capacitor de acoplamiento, 713-14 Capacitor de aire, 387 Capacitor electrolítico, 384-86 Capacitor variable, trimmer, 387, 389 Capacitores de mica, 383-84 Capacitores de tantalio, 386 Capas, 32-33 Caracterización, 919-20 Carga balanceada, 983-84, 986, 998-1000 Cargas no balanceadas, 1001-5, 1015 Celda, 4, 39-45, 57 Celda fotoconductora, 68, 84, 95 Celda primaria, 39, 42, 57 Celda secundaria, 39-43, 57 Celda solar, 39, 43, 58, 522-23 Celda voltaica, 4, 30

Celsius, 9-10, 69-71 Centígrado, 9-10 Centímetro, 9-10 Cerámicas, 72-74, 86, 384 Cero absoluto, 68, 95 Chu, Paul, 72 CI (Circuito Integrado) 1, 2, 6, 30, 48, 55, 1114 Ciclo, 524, 573 Ciclo de carga, 1097-1101, 1121 Cifras significativas, 11-12 Cilindro, 460 Circuito, 130, 168 Circuito de alarma, 154 Circuito de alarma en serie, 154 Circuito divisor de frecuencias (crossover), 684, 973-74, 1072-75 Circuito en serie ca, 629-55, 707 análisis por computadora, 689-92 diagrama de impedancia, 635-38, 640, 642, 707 diagrama fasorial, 631, 633, 635, 639-40, 643, 646, 651-53 factor de potencia, 639 impedancia, 630, 632, 634 potencia, 637, 639 regla de divisor de voltaje, 644-45, 707 respuesta a la frecuencia, 647-54 resumen, 654-55 cd, 129-59, 168 amperímetro, 149-50 análisis por computadora, 154-59 bocinas, 358 capacitores, 410-13 definición, 130 fuente magnética de voltaje, 448-54 fuentes de corriente, 261 fuentes de voltaje, 133 inductores, 495-96 Kirchhoff, ley de voltaje de, 133-37, 168 notación, 140-45 regla de divisor de voltaje, 138-40, 168 resistencia, 131 Circuito integrado, 1, 2, 6, 30, 48 Circuito integrado, encapsulado, en línea doble, 302 Circuito integrado lógico, 724 Circuito paralelo, 212 Circuitos abiertos, 188-91, 212, 1165-66 Circuitos electrónicos, 240 Circuitos equivalentes, 674,79, 707, 948-52, 1187-69 Circuitos magnéticos, 435-458 Ampère ley de circuito de, 435, 447-48, 472 campos magnéticos, 436-38 curva de magnetización normal, 443-46

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1221

densidad de flujo, 438-39, 472 determinación de F, 456-58 electromagnetismo, 435, 472 en serie, 448-54 en serie-paralelo, 454-56 fuerza magnetizadora, 441-51, 472 fuerza magnetomotriz, 441, 472 histéresis, 442-47, 472 líneas de flujo magnético, 436-42, 448, 472 núcleo de aire, 452-54 permeabilidad, 439-42, 472 regla de la mano derecha, 436-37 reluctancia, 440, 472 Circuitos no senoidales, 1123-42 adición y substracción, 1139-40 análisis por computadora, 1140-43 analizador de ondas, 1128 armónicos, 1126-28, 1147 componente fundamental, 1124 función impar, 1125, 1147 función par, 1126, 1147 respuesta del circuito, 1134-39 simetría de ejes, 1126, 1147 simetría de espejo, 1126-27, 1147 simetría de media onda, 1126-27, 1147 simetría de punto, 1125, 1147 valor efectivo (rms), 1134-38 Clave de pulsación, 1114 CM, 60-67, 95 CMOS, 1114 Coaxial, 724-29, 1075-77 Cobre, 46-47 57, 67-70 Codificación de colores C, 386, 388, 1026 R, 78-81, 95 Código Eléctrico Nacional, 235, 721 Código Nacional de Incendios, 85 Coeficiente de acoplamiento, 936-38, 975 Coeficiente de resistencia, 70-71 Coeficiente negativo de temperatura, 48, 68, 83, 95 Coeficiente positivo de temperatura, 95 Cofactor, 1203-4 Compensación de bajo voltaje, 964-65 Componente fundamental, 1124 Computadoras, 6, 197 Condensador, 4 Conductancia, 81, 95, 655 Conductividad, 46-47 Conductores, 46-47, 57, 67-68 Conexiones paralelas de canal de computadora, 197 Configuración delta, 320 Configuración p, 771 Configuración T, 771, 1075-76 Configuración Wye (Y), 320 Configuración Y, 319-1076 Conjugado, 817-18 Conjugado complejo, 600, 628, 859 Consideraciones de seguridad, 36, 555-57

1222

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ÍNDICE

Constante de tiempo C, 380-83, 434, 1104-11 L, 482-84 Constante dieléctrica, 379-80, 434 Contactos de carbón, 1114 Contador, 553, 573 Contador de frecuencia, 553, 573 Contador-emf, 870 Control de potencia por desplazamiento de fase, 687-89 Control de reducción de luz (dimmer), 88-89, 557-58, 687 Control del ratón, 89-90 Control remoto de TV, 1112-15 Convección, 87 Convención de punto, 954-955, 960, 975 Conversión p-T, 294-300 Conversión Y-D ca, 771-75, 789 cd, 255, 294-300 Conversiones factores, 1195-97 fuente (ca), 745-47, 789 (cd), 257-71 parámetros de dos puertos, 1180-81 parámetros magnéticos, 1208 potencias de diez, 18-19 sistema de unidades, 19-21 Conversiones D-Y ca, 771-75, 789 cd, 255, 294-300 Conversiones de fuente, 257-71, 745-47, 789, 847-48 Conversiones de parámetro magnético, 1208 Conversiones T-p, 294-300 Convertidor cd-cd, 417 Corrección del factor de potencia, 864-68, 875, 885 Corriente, 33-38, 97-103 Corriente alterna, 129 Corriente de fuga, 51, 383, 394, 434 Corriente de malla, 267-68, 308, 320 Corriente de rama, 261-67 Corriente de referencia, 302 Corriente directa, 39, 57, 129 Corriente pico, 559 Corrientes de fuga (eddy), 555, 870, 872, 885, 938, 949, 959 Corrientes y voltajes senoidales, 129, 521-22 capacitores, 579-82 definiciones, 523-28 factor de potencia, 595-96 forma de onda de ca, 573 formato, 532-35 frecuencia, 524-27 generación, 522-23 inductores, 578-79 medición de radián, 528-32 números complejos, 596-610

periodo, 524-27 potencia promedio, 592-96- 628 relaciones de fase, 535-39 resistores, 577 valor efectivo (rms), 546-51 velocidad angular, 529, 531-32 Cortacircuitos, circuitos de protección, abridores (breakers), 85, 112, 127, 195, 199, 420 Corto circuito, 188-91, 212, 1169-72 Coulomb, Charles Augustin de, 4, 33 Coulombio, 35-38, 57, 376-82 Curva de histéresis, 948, 958 Curva de magnetización normal, 443-46 Curva de selectividad resonancia en serie, 894-97 resonancia paralela, 904-7

D DDM. Ver DMM Década, 1047 Decibeles, 359, 1021-26, 1092 DeForest, Lee, 5 Delantero, flanco, 1094 Densidad de flujo, 375-80, 438-39, 448-58, 948 Densidad residual de flujo, 443 Derivada, 575-77, 628 Detección de fallas, 193-94 Detector de humo de Puente Wheatstone, 303-4 Determinación de F, 456-58 Determinantes, 320, 1198-1205 Diac, 502 Diagrama de admitancia, 656-58, 661, 663, 665, 678, 707 Diagrama de cableado, 235-37 Diagrama de impedancia, 635-38, 640, 642, 707 Diagrama fasorial, 628, 629, 631, 633, 635, 639-40, 643, 646, 651-53, 661, 663, 666, 673, 707 Diamagnético, 439, 472 Dieléctrico, 378-80, 434, 725 Diferenciación, 577-78, 580 Diferencia de potencial, 37, 38, 48, 57 Diferencia de voltaje, 38 Dina-centímetro, 9-10 Diodo, 52, 101, 127, 551, 559, 1123-24 Diodo emisor de luz (LED), 305, 418, 1114 Dipolos, 378 Disco duro de la computadora, 460-64 Disipador de calor, 54 Dispositivo fotoeléctrico, 303 Divisor (splitter), 728 DMM, 49, 82-83, 544, 551, 553, 1152-53 Dominios, 446, 472 Ductilidad, 33, 95 Dufay, Charles, 3

E Ecualizador gráfico y paramétrico, 919-22 Edison, Thomas, 5 Efecto Cooper, 72, 95 Efecto de carga (voltímetros), 191-93 Efecto de Josephson, 76 Efecto de superficie, 870, 885 Efecto Edison, 5, 29 Efecto “flyback”, 418, 499-500 Efecto Meissner, 95 Efecto transitorio, 421-25 Efectos de la temperatura, 43-45, 59-60, 67-71 coeficiente de resistencia, 70 resistor, 60, 67-71 Eficiencia, 105-108, 127 EHF, 525-526 Einstein, 72 Eje de simetría, 1126, 1147 Eje imaginario, 596-97 Eje real, 596 Electricidad estática, 4, 30 Electrodo, 39, 41 Electroimán, 437, 450-51 Electrolito, 39-41, 57 Electromagnetismo, 4, 29, 435, 472 Electrón, 31-38, 46, 57 Electrón libre, 33-36, 57 Electrones de valencia, 46 Electronics Workbench, 122-25 Apéndice A, 1193 circuitos en serie (cd), 156-57 fuentes de voltaje, 560-63 inductores, 619-21 métodos de análisis (cd), 308 red paralela (ca), 693-94 red paralela (cd), 202-3 redes paralelas R-L, 693-94 redes serie-paralelo (ca), 733-37 resonancia, 927-28 transitorios R-L, 510-11 Elektron, 4 Elemento calentador eléctrico de base 85-88 Emf, 38 Energía, 8-11, 30, 36-38, 105, 108-17, 127, 481, 487-88, 851, 854-57, 890-91 dina-centímetro, 9-10 ergio, 9-10 joules, 9-10, 30, 36-38, 102, 108-9 newton-metro, 9-10 pie-libras, 9-10 Energía almacenada, 466, 481-84, 498-99 Energía eólica, 522-23 Energía potencial, 36-38, 57 ENIAC, 6, 29 fusible de cinta, 151, 195-96 Enlace magnético, 474 Era del estado sólido, 6-7 Escala analógica, 49 Escala logarítmica, 85 Esfuerzo de ruptura, 47-48 Estator, 522

ÍNDICE

F Factor de calidad resonancia en serie, 890-92, 934 resonancia paralela, 905-12, 934 Factor de potencia, 595-96, 628, 639, 641, 643, 655, 662, 664, 666-67, 674, 678, 711, 719, 818, 851-52, 873-75, 890, 993-97, 1000 Factor de potencia de adelanto, 596, 628 Factor de potencia de retraso, 596, 628 Fahrenheit, 9-10 Faraday, Michael, 4-5, 377, 435 Farad, 377 Fasor de potencia, 857-58 Fasores, 610-16, 628 Ferromagnético, 439, 472, 475, 476, 869-70, 959 FET, 744 Filtro activo 1026-27, 1092 Filtro capacitivo, 55, 194-195 Filtro de banda de atenuación, 1026-28, 1041-43, 1092 Filtro de doble sintonización, 1043-44, 1092 Filtro de ruido, 1077-80 Filtro pasa-banda, 1026-28, 1036-41, 1092 Filtro R-C, 1028-75 Filtro R-C pasa-altos, 1026-28, 1033-36, 1045-50, 1052-57, 1061-66, 1069-72, 1080-81, 1092 Filtro R-C pasa-bajos, 1026-33, 1050-52, 1057-61, 1069-72, 1092 Filtros, 1026-29 análisis por computadora, 1080-84 atenuación de banda de, 1026-28, 1041-43, 1092 de doble sintonización, 1043-44, 1081-84, 1092 gráficas de Bode, 1044-75, 1092 pasa-altos, 1026-28, 1033-36, 1045-50, 1052-57, 1061-66, 1069-72, 1092 pasa-bajos, 1026-33, 1050-52, 1057-61, 1069-72, 1092 pasa-banda, 1026-28, 1036-41, 1092 Filtros pasivos, 1026-75 Flanco de bajada, 1094 Flanco de subida, 1094 Fleming, John Ambrose, 5 Flujo de corriente convencional, 36, 129-39, 168 Fuga de flujo, 948, 951-52, 975 Flujo de electrones, 36, 129-30, 168 Flujo eléctrico, 375-80 Flujo magnético, 478-79, 872 Forma de onda alterna, 521, 572 Forma de onda de ca, Ver forma de onda alterna senoidal, onda cuadrada u onda triangular Forma de onda de diente de sierra, 1123 Forma de onda rectificada de onda completa, 551

Forma de onda triangular, 521, 1123 Forma polar, 597-98, 628 Forma rectangular, 597, 628 Formación de imágenes por resonancia magnética, 438, 467 Formas de onda de pulso, 422, 1093 amplitud, 1094, 1096-97, 1121 amplitud de pulso, 1075, 1096-97, 1121 análisis por computadora, 1115-17 ciclo de trabajo, 1097-1101, 1121 frecuencia de repetición de pulso, 1098-1100, 1121 ideal, 1093, 1121 inclinación, 1096-97, 1121 práctica, 1093-97, 1121 pulso negativo, 1095, 1096-97, 1121 pulso positivo, 1095, 1096-97, 1121 tiempo de bajada, 1096, 1121 tiempo de elevación, 1096-97, 1121 transitorios R-C, 1102-12 tren de pulsos periódico, 1098-1100, 1121 valor promedio, 1100-2 voltaje de línea base, 1095, 1097, 1101, 1121 FORTRAN, 25 Fotocelda de cadmio, 303 Fotones, 522 Fourier, Baron Jean, 1124 Franklin, Benjamin, 3-4 Frecuencia, 524-27, 573 Frecuencia de corte, 894-96, 934 Frecuencia de polarización real, 1078 Frecuencia de repetición de pulso, 1097-1100, 1121 Frecuencia natural, 888 Frecuencias de banda, 894-97, 934 Frecuencias de media potencia, 894-97, 934 Fuente dependientes, 743-44, 749-50, 757-58, 759-60, 789 independientes, 743-46, 747-49, 750, 754-56, 758-59, 789 Fuente con divisor de voltaje, 226-28 Fuente de corriente constante, 302, 822, 825 Fuente de voltaje, 55 Fuente de voltaje controlada por voltaje, 848 Fuentes de corriente, 45-46, 57, 255-61, 271-74, 320, 743-47 Fuentes de voltaje, 133, 141-42, 187-88, 743-47 cd en serie, 133 paralela, 187-88 notación, 141-42 Fuentes dependientes, 743-44, 746, 74950, 757-59, 789, 796-98, 814-17

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1223

Fuentes dependientes de voltaje entre nodos definidos, 759 Fuentes independientes, 743-46, 747-49, 750, 754-56, 758-59, 789, 792-96, 811-14 Fuerza coercitiva, 443 Fuerza del campo eléctrico, 375-80, 434 Fuerza del campo magnético, 473-74 Fuerza dieléctrica, 382-83, 434 Fuerza electromotriz, 38 Fuerza magnetizadora, 441-51, 472 Fuerza magnetomotriz, 441, 472 Función de paso, 1103-4 Función impar, 1125, 1131, 1147 Función par, 1126, 1147 Fusible, 127 Fusibles, 112-13, 195-96

G Galvani, Luigi, 4 Ganancia de potencia, 1160-61 Ganancia sin carga, 1115 Ganancias de corriente, Ai, Ai T, 1158-60 Ganancias de voltaje Av NL, Vv, Av T, 1155-58 Gauss, 439, 1208 Gauss, Kart Friedrich, 435 Generador conectado en D, 987-91, 1015 Generador conectado en Y, 980-85, 1015 Generador de ca, 977 Generador de dos fases, 978 Generador de funciones, 523 Generador de tres fases, 978-82 Generador de una fase, 977-78, 1015 Generador portátil de potencia, 872-73 Generadores ca, 522-23 cd, 45, 57, 145-47 Germanio, 48, 67 interruptor de falla en tierra, GFI, 721-24 Gilbert, 1208 Gilbert, William, 3 Grabadora de cintas, 1077-78 Gráfica log-log, 1018, 1092 Gráficas de Bode, 1044-75, 1092 Gravedad específica, 40, 58 Gray, Stephen, 3 Guericke, Otto von, 3

H Haz de electrones, 503-5 Henrys, 474, 937 Henry, Joseph, 474 Hertz, Heinrich Rudolph, 5, 525 Histéresis, 442-47, 472 Horno de microondas, 153-54, 556, 873

I Impedancia, 358-59, 630, 632, 634, 654-56 Impedancia acoplada, 957

1224

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ÍNDICE

Impedancia característica, 727 Impedancia reflejada, 942-44, 975 Inclinación, 1096-97, 1121 Indicador de secuencia de fase, 1004-5, 1015 Índice de transformación, 940-42, 947, 975 Índice ohm/volt, 192, 212 Inducción electromagnética, 4 Inductancia, 935-38, 950, 952 Inductancia mutua, 935-38, 955-57, 962-63, 975 acoplado en serie, 953-55 conversión punto, 954-55 Inductor, 385, 475-506, 557, 721 ca, 578-79, 586-87, 589-92 análisis por computadora, 506-11 áreas de aplicación, 478 autoinductancia, 474-75, 519 constante de tiempo, 482-84 cd, 496-98 energía almacenada, 481-84, 498-99 Faraday, ley de, 473-74, 519 inductores en serie, 495-96 inductores paralelos, 495-96 Lenz, ley de, 474, 519 PSpice, 689-92 reactancia, 579 respuesta a la frecuencia, 588-92 Thévenin teorema de, 492-94 tipos, 475-78 transitorios, 481-94 valores estándar y factor de reconocimiento, 477 valores iniciales, 486-87 voltaje inducido, 471-74, 478-81 Inductor de núcleo de aire, 475, 477 Inductor toroidal, 477 Inductores moldeados, 477 Información de la placa de identificación (transformador), 958-59, 975 Instrumentación, 544, 551, 1026, 1136 Integración, 542-43, 582 Interferencia electromagnética (EMI), 418, 420, 500 Interruptor de encendido, 195 Interruptor GFCI, 36, 112-13 Interruptor magnético de láminas, 466-67 Interruptor térmico bimetal, 152 Interruptores magnéticos, 153-54 Inversor, 522 Ion positivo, 34, 57 Iones, 34, 37

J Jarra de Leyden, 4, 30 Joule, 9-10, 30, 36-38, 102, 108-9

K Kelvin, 9-10, 30 Kilogramo, 8-11, 30

Kilowatt-hora, 109-11 Kirchhoff, Gustav Robert, 5, 133

L Lámpara ahorradora, 557-59 Lámpara de flash, 415-18 Lámpara de flash para cámara, 499-500 Lámparas fluorescentes, 965-68 Lámparas incandescentes, 554, 967 Lazo cerrado, 168 Leibniz, Gottfried Wilhelm von, 6 Lenguaje, 30 Lenguaje C, 26 Ley de Ampère del circuito, 435, 447-48, 472 Ley de corriente de Kirchhoff ca, 660-61, 663, 665-66, 711-12, 754-56, 757-58, 798, 815-17, 1176 cd, 180-83, 212, 257, 261-74, 278-86 Ley de Coulomb, 32-33, 57, 375, 434 Ley de Faraday, 473-74, 519, 870, 936, 939-40 Ley de Lenz, 474, 500, 519 Ley de Ohm, 2, 4, 88-89, 127, 440-41 Ley de voltaje de Kirchhoff ca, 637, 638-39, 640, 642-43, 713, 748, 749, 798, 807, 815-17, 98081, 1042, 1111-12, 1167-68, 1176 cd, 133-37, 168, 240, 257, 262-74, 278 Libra, 9-10, 30 Línea de transmisión RF, 725-26 Linear, 255 Líneas de flujo, 375-80, 437-39, 447-58 Líneas del flujo eléctrico, 375, 434 Líneas de flujo magnético, 436-41, 448, 472, 473-74 Linterna, 50-52 Logaritmo natural, 1017-18, 1020 Logaritmos común, 1017-18 decibeles, 1021-26 ganancia de voltaje, 1023-24 natural, 1017-18, 1020 propiedades, 1020-21 respuesta auditiva humana, 1024-26 Luces, 151-53 Luz (velocidad de), 5 LVDT, 948

M Magneto, 75-76 Magneto permanente, 435, 437, 472 Maleabilidad, 33, 95 Máquina de diferencias, 6, 29 Máquinas contestadoras, 55 Marconi, Guillermo, 5 Mathcad, 90-92, 179-80, 225-26, 264-65, 277-78, 281-82, 289-90, 277-78, 281-82, 289-90, 403-4, 608-10, 718-19, 752-53, 756-57, 761-62, 1193-94

Maxwell, James, Clerko, 5, 435 Mediciones de fase, 539, 679-82 Medidor de capacitancia, 387 Medidor de kilowatt-horas, 109, 127 Medidor de valor promedio, rms, real, 551, 1123 Medidores de ca, 551-54 Medidores del factor de potencia, 868-69 Mega-óhmmetro, 233, 254 Menú, 26, 30 Mercurio, 965-68 Método de diagrama de bloques, 214-18 Método de dos wattímetros, 998-1001, 1015 Método de reducción y retorno, 214 Método de tres wattímetros, 997-98, 1015 Métodos de análisis, 255, 261-91, 747-65, 789 ca análisis de malla, 747-54 análisis de nodos, 754-65 análisis por computadora, 775-80 cd análisis de corriente de rama, 255, 261-67, 320 análisis de malla, 255, 267-78, 320 análisis de nodo, 255, 278-91, 320 análisis por computadora, 307-8 Metro, 30 Microbar, 1024-25, 1092 Micrófono, 459 Milipulgadas circulares, 60-67, 95 Miliamperímetro volt-ohm, 49, 82-83 Milióhmmetro, 233 Mobilidad, 46 Modem, 197 Movimiento d’ Arsonval, 230-33, 254 Movimiento del electrodinamómetro, 552, 573 MRI, 467 Muller, Alex, 72 Multímetro digital, 49, 82-83 Musschenbroek, Pieter van, 3-4

N Neutro, 980, 983-84, 1015 Neutrón, 57 Newton, 9-10, 30, 32-33 Newton-metro, 9-10 Nicromo, 86-87 Nivel de potencia, 152 Nodo, 212, 262-63, 278, 320 Normalización, 1029 Norton, Edward L., 338 Notación, 140-45 doble subíndice, 141-42 fuentes de voltaje, 141-42 subíndice simple, 142 tierra, 141-42

ÍNDICE Notación científica, 16-17, 30 Notación de doble subíndice, 141-42 Notación de punto fijo, 16 Notación de punto flotante, 16 Notación de subíndice sencillo, 142 Núcleo, 31-33, 57 Núcleos de aire, 452-54 Números complejos, 22, 596-610, 628 adición, 601 calculadora científica, 606-8 conjugado complejo, 600, 628 conversiones, 598-600 división, 604-6 eje imaginario, 596-97 eje real, 596 fasores, 610-16 forma polar, 597-98 forma rectangular, 596 métodos por computadora, 621-23 multiplicación, 603-4 substracción, 602-3 técnicas de conversión, 606-8

O Octava, 1047 Oersted, Hans Christian, 4, 435 Ohm, 3, 59, 95 Ohm, Georg Simon, 3, 4, 98 Óhmmetro, 82-83, 95, 230, 232-33 Óhmmetro en serie, 232-33, 254 Onda cuadrada, 521, 541-42, 920, 1104-11, 1121, 1123, 1131-33 Onda de coseno, 535-36 Onda senoidal. Ver corrientes y voltajes senoidales Ondas electromagnéticas, 5, 869 Operaciones, orden de, 23-25 Oscilador, 5 Osciloscopio, 234-35, 527, 544-45, 554, 573, 587, 679-82, 1111-12, 1152-54 Osciloscopio de doble trazo, 553, 679-82, 1153

P Papel semilogarítmico, 1092 Paquetes de software, 26-27, 30 Paramagnetismo, 439, 472 Parámetros de admitancia, 1169-74, 1191 Parámetros de impedancia dos puertos de, 1165-69, 1191 Zi, Zo, 1150-54, 1178-80, 1191 Parámetros híbridos, 1174-78, 1191 Pascal, 25 Pascal, Blaise, 6 Película de poliéster, 386-87 Pérdidas por histéresis, 555, 869-71, 885, 938, 949 Pérdidas por radiación, 869, 885 Periodo, 524, 573, 1123-24

Permeabilidad, 472, 475 Permeabilidad relativa, 439-42, 472 Permisividad, 379-82, 434 Permisividad relativa, 378-82, 434 Pie-libra, 9-10 Piezoelectricidad, 459 Pistola de soldar, 822-25 Píxel, 505 Popov, Aleksandr, 5 Potencia ca, 637, 639, 641, 643, 660-61, 664, 666, 678, 711, 720, 827-28, 84972, 942-44, 958-61 aparente, 851-53, 885 circuito en serie, 637, 639, 641, 643 circuito resistivo, 850-51 corrección del factor de potencia, 864-68, 885 factor de potencia, 851-52, 868-69 medidores del factor de potencia, 868-69 potencia reactiva, 853-60, 875-79, 885 promedio, 850-51, 875-79, 885 redes paralelas, 660-61, 664, 666, 678 redes serie-paralelo, 711, 720 sistemas 3f, 991-97 transformadores, 942-44 triángulo de potencia, 857-59 wattímetros, 868-72 cd, 102-5, 127 Potencia aparente, 851-53, 885, 992, 994, 958, 961 tres fases de, 992, 994 Potencia cuadrática, 858 Potencia promedio, 592-96, 628, 850-51, 885, 992, 994-95, 997 tres fases de, 992, 994-95, 997 Potencia reactiva, 853-60, 885, 890-91, 905, 992-96 3f, 992-996 Potencia real, 859 Potencial, 38 Potencias de diez, 12-19, 200-201 adición, 14 división, 15 formato, 12-14 multiplicación, 14-15 notación científica, 16-17 operaciones básicas, 14-16 potencias, 15-16 prefijos, 17-18 substracción, 14 Potenciómetro, 75-78, 95, 194, 502-3, 688 carga, 229-30 PPM/°C, 71, 95, 1098-1100, 1121 Predisparo, 1096 Prefijos, 17-18 Primario, 53-54, 935-38, 968-69, 942-47, 959-60, 975

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PROBE, 333-36, 374 Procesador de señales, 89 Programa, 25, 30 Protector de picos, 418-21, 491 Protón, 31-33, 57 PSpice, 27, 30, 118-21 análisis de sistema, 1181-84 Apéndice A, 1193 capacitores, 421-25, 616-19 circuitos en serie (ca), 689-92 circuitos en serie (cd), 154-56 circuitos no senoidales, 1140-43 filtros, 1089-84 fuente de divisor de voltaje, 241 fuentes de voltaje, 559-60 inductores, 689-94 ley de Ohm, 118-21 métodos de análisis (cd), 307 nodal (ca), 775-80 potencia (ca), 875-79 red paralela (cd), 200-201 redes en serie-paralelo (ca), 729-33 redes en serie-paralelo (cd), 241 redes R-L-C en serie, 689-92, 877-79 respuesta RC transitoria, 421-25 resonancia, 922-27 respuesta de pulso, 1115-17 teorema de superposición, 829-31 teoremas (cd), 360-66 Thévenin, teorema de (ca), 831-37 transformadores, 968-71 transitorios R-L, 506-9 ventana de salida, 121 Puente de comparación de capacitancia, 770, 789 Puente de Hay, 767-69, 789 Puente de Maxwell, 766, 770, 789 Puente de Wheatstone, 303-4 Pulso negativo, 1095, 1096-97, 1121 Pulso positivo, 1095, 1096-97, 1121 Punta de prueba lógica, 305-7

Q QBASIC, 25

R Radianes, 528-32, 573 Radio, 5-6 Ramificación, 131, 168 Rayos X, 5, 504-5 Reactancia, 579, 581, 628 Relación de vueltas, 54, 823-24, 939-42, 947, 975 C, 581 L, 579 Recíproco, 601, 606, 628 Rectificación, 45, 57, 194-95, 551-53, 1123-24, 1133-34 Rectificación de media onda, 1123-24 Rectificador, 52

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ÍNDICE

Rectificador controlado de silicio, 417-18, 502 Rectificador de media onda, 552, 1124 Rectificador puente, 551 Red, 415-17 conmutación de, 415-17, disparo de, 415, 417 Redes de escalera ca, 720-21, 733-37, 742 cd, 223-25, 242-44, 254 Redes en serie-paralelo ca, 709-21 cd, 214-44, 254 mágnetica, 454-56 método de diagrama de bloques, 214-18 método de reducir y regresar, 214 Redes magnéticamente acopladas, 962-63 Redes paralelas ca, 655-74, 707 admitancia, 665-59, 707 análisis por computadora, 693-94 diagrama de admitancia, 656-58, 661, 663, 665, 678, 707 diagrama fasorial, 661, 663, 666 Kirchhoff, ley de corriente de, 660-61, 663, 665-66 regla del divisor de corriente, 667-68, 707 respuesta a la frecuencia, 668-74 resumen, 473-74 susceptancia, 656, 707 cd, 169-203, 212 análisis por computadora, 200-203 bocinas, 358 capacitores, 410-13 conductancia, 170-77 definición, 169-70 fuentes de corriente, 260-61 inductores, 495-96 Kirchhoff, ley de corriente de, 180-83 regla del divisor de corriente, 183-87, 212 resistencia, 170-77 Redes puente, 255, 291-94, 307, 320, 765-70, 789 cables de carga, 238-39 comparación de capacitancia, 770 Hay, 767-69 Maxwell, 765-66, 770 Regla de la mano derecha, 436-37 Regla del divisor de corriente ca, 667-68, 707, 711-12, 720, 792-94, 796, 805-6, 814 cd, 183-87, 212 Regla del divisor de voltaje ca, 644-45, 707, 712-13, 800-801, 819-21, 891-92, 950, 1111-12 cd, 138-40, 168 Regulación de voltaje, 148-49, 168

Regulador, 52, 55, 1079-80 Rejillas, 504 Relaciones de fase, 535-39, 587 Relevador, 154, 196, 303, 453-54 Relevadores de un polo y doble tiro (SPDT), 303 Rels, 440 Reluctancia, 440-41, 472 Reóstato, 75-78, 88-89, 95, 301, 501-3, 688 Resistencia, 59-84, 95, 577-78, 588 cables circulares, 60-67 celda fotoconductora, 84 código de colores, 78-81 coeficiente de resistencia, 70-71 conductancia, 81 efectos de temperatura, 60, 67-71, 74 interna, 237 mil, de pulgada, circular, 66-67 óhmmetro, 82-83 PPM, 71 resistencia de hoja, 66 resistividad, 60-67 respuesta a la frecuencia, 588 Siemens, 81 símbolo, 59 superconductores, 71-74 tabla de cables, 63-65 temperatura absoluta inferida, 66-70 termistores, 83-84 tipos, 74-78 unidades métricas, 65-67 valores estándar, 80 varistores, 84 Resistencia de hoja, 66, 95 Resistencia efectiva, 885 Resistencia geométrica, 869 Resistencia interna, 145-48, 168, 1155 Resistividad, 60-67, 87, 95 Resistor de composición de carbón, 74-75 Resistor sensor, 1151-53 Resistor variable, 75-78 Resistores de película de metal, 76 Resistores fijos, 74-75 Resonancia, 74, 887-925, 1038-40, 1042-44 m, 904, 908-9 p, 902-4, 908-9 s, 891 análisis por computadora, 922-28 ancho de banda, 894-97, 905, 910, 934 efecto de Q1 * 10, 907-12 en serie, 888-901 factor de calidad, 890-92, 905-12, 934 frecuencias de banda, 894-97 generación magnética de imágenes, 74 gráfica de fase, 893-94, 907 paralela, 901-18 resumen, 911-12 selectividad, 894-97, 904-7, 934 Resonancia en serie, 888-901, 1038-39, 1042-44

Resonancia paralela, 901-18, 1038-40, 1042-44 Resonancia parásita, 919 Respuesta a la frecuencia capacitor, 589-92 inductor, 588-92 R-C, 647-54 R  C, 673 R  L, 668-73 R-L, 656 resistor, 588 Retraso, 501, 536-39 Retroalimentación, 1079 RFI, 418-20, 500 Röentgen, Wilhelm, 5 Ross, Ian, 246 Rotor, 522, 977-78 Rueda de Leibniz, 6 Ruido, 724 Ruido blanco, 440 Ruido rosa, 920

S Secuencia de fase, 982-83, 989 Secundario, 822-25, 935-38, 968-69, 942-47, 959-60, 975 Segundo, 30 Semiconductores, 48, 58, 89, 101-3 Sensibilidad de la corriente, 230-32 Sensibilidad de voltaje, 232 Sensor de efecto Hall, 465-66 Sensores, 154, 301, 303 Sentido de negocio, 873-75 Señal binaria codificada, 1115 Serie de Fourier, 1124-40, 1147 analizador de ondas, 1128 armónicos, 1126-28, 1147 componente fundamental, 1124 función impar, 1125, 1131, 1147 función par, 1126-27, 1147 respuesta de circuito, 1134-39 simetría de eje, 1126, 1147 simetría de espejo, 1126-27, 1147 simetría de media onda, 1126-27, 1147 simetría de punto, 1125, 1147 valor efectivo, 1134-39 Servomecanismo, 978 Shockley, William, 6 Siemens, 82-83, 655-56 Silicio, 48, 67, 871 Símbolos, 21 Simetría de ejes, 1126, 1147 Simetría de espejo, 1126-27, 1147 Simetría de media onda, 1126-27, 1147 Simetría de punto, 1125, 1147 Sintonización, 887-88 Sistema D-D, 989-91 Sistema D-Y, 989-91 Sistema CGS, 8-11, 29 Sistema de automóvil, 194-97

ÍNDICE Sistema Inglés de unidades, 8-11 Sistema métrico de unidades, 8-11 Sistema MKS, 8-11, 30 Sistema Y-D, 985-87 Sistema Y-Y, 983-85 Sistemas de alarma, 89, 301-3 Sistemas de dos puertos, 1149-81 Sistemas de grabación, 458 Sistemas de múltiples puertos, 1149-50 Sistemas de tres fases. Ver sistemas polifásicos Sistemas de unidades, 8-11 Sistemas electrónicos, 825-29 Sistemas en cascada, 1162-65 Sistemas polifásicos cargas no balanceadas, 1001-5, 1015 generador conectado en D, 987-91, 1015 generador conectado en Y, 979-87, 1015 generador de tres fases, 978-79 mediciones, 997-1001, 1015 potencia, 991-98 secuencia de fase, 982-83, 989 sistema D-D, 989-91 sistema D-Y, 989-91 sistema Y-D, 985-87 sistema Y-Y, 983-85 Slug, 9-10, 30 Sobretiro, 1096 Solenoide, 722-24 Soluciones a los ejercicios impares, 1211-19 SQUID, 76, 95 Steinmetz, Charles Proteus, 608 Superconductores, 71-74, 95 aplicaciones, 74 cerámicas, 72-74 efecto Cooper, 72, 95 introducción, 71-74 Superheterodino, 5-6 supermalla, 750, 779-80 Superposición ca, 791-98, 825-29, 848 fuentes dependientes, 796-98 fuentes independientes, 792-96 cd, 321-28, 360-61, 374 Susceptancia, 656, 707 SU Sistema de Unidades, 9-10, 30

T Tabla de cables, 63-65 Tarjeta adaptadora, 197 Tarjeta experimental (BREADBOARD), 27 Tarjeta madre, 197 Teclado de carbón, 1113 Teléfonos, 55 Televisión, 6 Temperatura Celsius, 9-10

Centígrado, 9-10 Fahrenheit, 9-10 Kelvin, 9-10 Temperatura absoluta inferida, 68-70, 95 Temperatura crítica, 73 Teorema de máxima transferencia de potencia, 727, 1209-10 ca, 817-22, 847 cd, 342-51, 357-59, 363-66, 374 Teorema de Millman, 351-54, 374, 822, 847 ca, 822 cd, 351-54, 374 Teorema de Norton, ca, 810-17, 847 fuentes dependientes, 814-17 fuentes independientes, 811-14 cd, 338-42, 374 Teorema de reciprocidad ca, 822, 847 cd, 356-57, 374 Teorema de sustitución ca, 847-48 cd, 354-56, 374 Teorema de Thévenin ca, 798-810, 817-22, 848, 1111-12 fuentes dependientes, 804-10 fuentes independientes, 799-804, 810 potencia máxima, 817-22 cd, 328-38, 342-51, 361-63, 405-7, 487-88, 492-94 potencia máxima, 342-51 Teorema pitagórico, 858-59 Teoremas, ca, 791-810 análisis por computadora, 831-37 Norton de, 810-17 potencia máxima de, 817-22 superposición de, 791-98 Thévenin de, 798-810, 848 cd, 321-66 análisis por computadora, 359-66 Millman de, 351-54, 374 Norton de, 338-42, 374 potencia máxima de, 342-51, 374 reciprocidad de, 356-57, 374 superposición de, 321-28, 374 sustitución de, 354-56, 374 Thévenin de, 328-38, 374 Teoría de dominio del magnetismo, 446 Termistores, 68, 83-84, 95 Termostato, 683 Tesla, 438-39 Tesla, Nikola, 439 Thévenin, Leon-Charles, 329 Tiempo de bajada, 1096-97, 1121 Tiempo de subida, 1096-97, 1121 Tierra, 141-42, 234-37 Tierra del chasis, 234 Tierra física, 234

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1227

Tipos C, 383-90 L, 475-78 R, 74-78 transformadores, 959-61 Transformador de bajada, 940-42, 975 Transformador de balastro, 965-68 Transformador de Balun, 727 Transformador de núcleo de aire, 995-58, 959 Transformador de núcleo de hierro, 938-52, 948-51 Transformador de subida, 940-42, 975 Transformadores, 53-54, 55, 438, 451-52, 554, 822-25, 935-71 acoplamiento de impedancia, 944-47 alta frecuencia, 416 análisis por computadora, 968-71 autotransformador, 960-61, 964-66, 975 bajada de, 940-42, 975 características de aislamiento, 947-48 circuito equivalente, 948-52 coeficiente de acoplamiento, 936-38, 975 con derivación y carga múltiple, 961-62, 975 consideraciones de frecuencia, 951-52 convención de punto, 954-55, 960, 975 impedancia reflejada, 942-44, 975 inductancia mutua, 935-38, 953-57, 962-63, 975 información de la placa de identificación, 958-59, 975 núcleo de aire de, 955-58, 959 núcleo de hierro, 938-52, 948-51 potencia, 942-44 primario, 53-54, 935-38, 942-47, 95960, 968-69, 975 secundario, 935-38, 942-47, 959-60, 968-69, 975 subida de, 940-42, 975 tipos, 959-61 variable diferencial lineal, 948 Transformadores con derivación, 961-62, 975 Transformadores de carga múltiple, 961-62, 975 Transistor, 6, 30, 221-22, 240, 254, 256, 414, 713-15, 744, 764-65, 802-3, 825-29, 916-17 Transitorios C, 390-404, 434, 1102 L, 481-94, 506-11 Transitorios R-C, 1102-12 Tren de pulsos, 1097-1100, 1121 Tren de pulsos periódicos, 1098-1100, 1121 Triac, 501-2, 558 Triángulo de potencia, 857-59, 890 Triodo, 5

1228

⏐⏐⏐

ÍNDICE

U Unidad destelladora, 152 Unidades de medición, 7-11

V VA, 852 Valor efectivo, 546-51, 573, 1134-38 Valor instantáneo, 490-92, 573 Valor pico, 524, 573 Valor pico a pico, 524, 573 Valor promedio, 54, 539-45, 572, 1100-2 forma de onda de pulso, 1100-2 Valor rms, 548, 573 Valores estándar (R), 80 Valores iniciales, 1102-4 Válvula de Fleming, 5, 30 Válvulas de presión, 89-90 VAR, 854 Varistor, 84, 95, 420-21

Velocidad angular, 529, 531-32, 572 Velocidad de la luz, 72 VLF, 525-26 Volt, 3, 37-38, 58 Volta, Alessandro, 3, 4 Voltaje, 36-46, 88-89 Voltaje de línea base, 1095, 1097, 1101, 1121 Voltaje de ruptura, 382-83, 434 Voltaje de trabajo, 385, 434 Voltaje inducido, 473-74, 478-81, 519 Voltaje pico, 385, 434 Voltajes nodales, 305-7 Volt-ampere, 852 Volt-ampere reactivo, 854 Voltímetro, 48-49, 58, 191-93, 230, 232 diseño, 230, 232 efectos de carga, 191-93 técnicas de medición, 192-93 VOM, 49, 82-83, 552, 573

W Watt, 102-5 Watt, James, 102-3 Watt-hora, 109 Wattímetro, 105, 127, 868-72, 997-1001 Wattímetro con despliegue digital, 868 Wattímetro de electrodinamómetro, 868 Watt-segundo, 109 Weber, Wilhelm Eduard, 438 Webers, 438-39 WINDOWS, 27 Wu, Man Kven, 72

Y Yugo para monitor, 503-6

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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS, décima edición, por Robert L. Boylestad © Derechos reservados 2003 por Prentice Hall. Todos los derechos reservados.

ca Formas de onda alternas senoidales

Sistemas polifásicos

Onda senoidal u  Vm sen a, a  qt  2pft, f  1/T, 1 radián  57.3°, radianes  (p/180°)  (grados), grados  (180°/p)  (radianes) Identidades sen(qt  90°)  cos qt, sen qt  cos[qt (p/2)], sen( a)  sen a, cos( a)  cos a Valor promedio G  suma algebraica de áreas/longitud de curva Valor efectivo (rms) Irms  0.707Im, Im  2 Irms, 2 Irms  ár ea i( [t) ]/T 

Y-Y sistema Ifg  IL  IfL, Vf  Ef, EL  3  Vf Y-D sistema Vf  EL, IL  3 If D-D sistema Vf  EL  Ef, IL  3 If D-Y sistema EL  3 Vf, If  IL, EL  Ef Potencia PT  3Pf, QT  3Qf, ST  3Sf  3 ELIL, Fp  PT /ST

Los elementos básicos y los fasores R: Im  Vm /R, en fase L: XL  qL, uL adelanta a iL por 90° C: XC  1/qC, iC adelanta a uC por 90° Potencia P  (Vm Im /2) cos v  2 2 R  V rms /R Factor de potencia Vrms Irms cos v R: P  Vrms Irms  Irms Fp  cos v  P/Vrms Irms Forma rectangular C  A  jB 2  B2, v  Forma polar C  Cv Conversiones C  A tan 1(B/A), A  C cos v, B  C sen v Operaciones j  

1 , j2  1, 1/j  j, C1  C2  (A1  A2)  j(B1  B2), C1  C2  C1C2 v1  v2, C1/C2  (C1/C2)v1 v2

Circuitos de ca en serie y en paralelo Elementos R0°, XL 90°, XC 90° En serie ZT  Z1  Z2  Z3    ZN, Is  E/ZT, Fp  R/ZT Regla del divisor de voltaje Vx  ZxE/ZT En paralelo YT  Y1  Y2  Y3    YN, ZT  Z1Z2/(Z1  Z2), G0°, BL 90°, BC 90°, Fp  cos vT  G/YT Regla del divisor de corriente I1  Z2IT /(Z1  Z2), I2  Z1IT /(Z1  Z2) Circuitos equivalentes Rs  Rp Xp2 /(Xp2  Rp2 ), Xs  Rp2 Xp /(Xp2  Rp2 ), Rp  (R s2  X s2)/Rs, Xp (R s2  X s2)/Xs

Redes de ca en serie-paralelo: Utilice impedancias de bloque y obtenga una solución general para una red reducida. Luego sustituya los valores numéricos. El método general es similar al de las redes de cd.

Decibeles, filtros y diagramas de Bode Logaritmos N  bx, x  logb N, logex  2.3 log10 x, log10 ab  log10 a  log10b, log10 a/b  log10 a log10b, log10 an  nlog10 a, dB  10log10 P2/P1, dBu  20log10 V2/V1 Filtros R-C (pasa-altos)

1 2 fc  1/(2pRC ), Vo / Vi  R/R 2  X C tan (XC /R) 2  XC2  tan 1R/XC (pasa-bajos) fc  1/(2pRC), Vo / Vi  XC / R Octava 21, 6 dB/octava Década 101, 20 dB/década

Formas de onda de pulso y la respuesta R-C % inclinación  [(V1 V2)/V]  100% con V  (V1  V2)/2 Frecuencia de repetición de pulso (frp)  1/T Ciclo de trabajo  (tp /T)  100% Vpromedio  (ciclo de servicio)(valor pico)  (1 ciclo de servicio)  (Vb) Circuitos R-C uC  Vi  (Vf Vi )(1 e t/RC) Atenuador compensado RpCp  RsCs

Circuitos no senoidales Serie de Fourier f (a)  A0  A1 sen qt  A2 sen 2qt    An sen nqt  B1 cos qt  B2 cos 2qt    Bn cos nqt Función impar f(a)  Función par f(a)  f( a), sin términos Bn

f ( a), sin términos An, sin armónicas impares si f(t)  f [(T/2)  t], sin armónicas pares si f (t)  f [(T/2)  t] Valor efectivo (rms) V(rms)  2  2 /2 V 20 V (m21    V 2m n ′ V  ′ V m1 mn ) Potencia PT  V0 I 0  V1I1 cos v    Vn In cos vn  Irms2R  Vrms2/R

Métodos de análisis y temas seleccionados (ca) Conversiones de fuentes E  IZp, Zs  Zp, I  E/Zs Redes puente Z1/Z3  Z2/Z4 D-Y, Y-D conversiones Vea cobertura de cd, reemplazando R por Z.

Valores estándar de resistores

Teoremas de redes

Ohms ()

Revise el contenido de cd. Teorema de Thévenin (fuentes dependientes) Eoc  ETh, ZTh  Eoc /Isc, ZTh  Eg /Ig Teorema de Norton (fuentes dependientes) Isc  IN, ZN  Eoc /Isc, ZN  Eg /Ig Teorema de máxima transferencia de potencia ZL  ZTh, vL  vThZ, Pmáx  E 2Th /4RTh

Potencia (ca) R: P  VI  VmIm /2 I 2R  V 2/R Potencia aparente S  VI, P  S cos v, Fp  cos v  P/S Potencia reactiva Q  VI sen v L: QL  VI  I 2XL  V 2/XL, C: QC  VI  I 2XC  V 2/XC, ST  P 2T  Q 2T, Fp  PT /ST

Resonancia En serie XL  XC, fs  1/(2pL  C ), ZTs  R, Ql  XL/Rl, Qs  XL/R  (1/R)L /C , VLs  Q s E, VCs  Q s E, PHPF  (1/2)Pmáx, f1  (1/2p)[ R/2L  (1/2)(R /L )2 /L 4C ], f2 (utilice R/2L), BW  f2 f1  R/2pL  fs /Qs En paralelo XLp  XC, XLp  (R2l  X L2 )/XL, 2 fp  [1/(2pL C )]1 

R (C ), ZTp  Rs Rp, Rp  (R2l  X L2 )/Rl l /L Qp  (Rs Rp)XLP, BW  f2 f1  fp /Qp Q ⱖ 10: ZTp  Rs Q2Rl, XLp  XL, XL  XC, fp  1/(2pL C ), Qp  Ql, IL  IC  QIT, BW  fp /Qp  Rl /2pL

Transformadores Inductancia mutua M  kL p Ls Núcleo de hierro Ep  4.44fNpFm, Es  4.44fNsFm, Ep /Es  Np /Ns, a  Np /Ns, Ip /Is  Ns /Np, 2 Zp  a ZL, Ep Ip  Es Is, Pi  Po(ideal) Núcleo de aire Zi  Zp  [q(M)2/(Zs  ZL)]

0.10 0.11 0.12 0.13 0.15 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.27 0.30 0.33 0.36 0.39 0.43 0.47 0.51 0.56 0.62 0.68 0.75 0.82 0.91

1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

Kilohms (k) 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910

1000 1100 1200 1300 1500 1600 1800 2000 2200 2400 2700 3000 3300 3600 3900 4300 4700 5100 5600 6200 6800 7500 8200 9100

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910

Megaohms (M) 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

10.0 11.0 12.0 13.0 15.0 16.0 18.0 20.0 22.0

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cd Introducción

Capacitores

Conversiones 1 metro  100 cm  39.37 pulg, 1 pulg  2.54 cm, 1 yarda  0.914 m  3 pie, 1 milla  5280 pie, °F  9/5°C  32, °C  5/9(°F 32), K  273.15  °C Notación científica 1012  tera  T, 109  giga  G, 106  mega  M, 103  kilo  k, 10 3  mili  m, 10 6  micro  m, 10 9  nano  n, 10 12  pico  p Potencias de diez 1/10n  10 n, 1/10 n  10n, (10n)(10m)  10nm, 10n/10m  10n m, (10n)m  10nm

Capacitancia C  Q/V  eA/d  8.85  10 12er A /d farads (F), C  erCo Intensidad del campo eléctrico   V/d  Q/eA (volts/metro) Transitorios (en carga) iC  (E/R)e t/t, t  RC, uC  E(1 e t/t), (en descarga) uC  Ee t/t, iC  (E/R)e t/RC iC iCpromedio  C(DuC /Dt) En serie QT  Q1  Q2  Q3, 1/CT  (1/C1)  (1/C2)  (1/C3)    (1/CN), CT  C1C2/(C1  C2) En paralelo QT  Q1  Q2  Q3, CT  C1  C2  C3 Energía WC  (1/2)CV 2

Corriente y voltaje Ley de Coulomb F  kQ1Q2/r2, k  9  109 Nm2/C2, Q  coulombs (C), r  metros (m) Corriente I  Q/t (amperes), Voltaje V  W/Q (volts), t  segundos (s), Qe  1.6  10 19 C W  joules (J)

Resistencia Alambre circular R  rl/A (ohms), r  resistividad, l  pies, ACM  (dmils)2, r(Cu)  10.37 Unidades métricas l  cm, A  cm2, Temperatura (T   T1)/R1  r(Cu)  1.724  10 6 ohm-cm (T  T2)/R2, R1  R20[1  a20(T1 20°C)], a20(Cu)  0.00393 Código de colores Bandas 1–3: 0  negro, 1  café, 2  rojo, 3  naranja, 4  amarillo, 5  verde, 6  azul, 7  violeta, 8  gris, 9  blanco, Banda 3: 0.1  oro, 0.01  plata, Banda 4: 5%  oro, 10%  plata, 20%  sin banda, Banda 5: 1%  café, 0.1%  rojo, 0.01%  naranja, 0.001%  amarillo Conductancia G  1/R siemens (S)

Ley de Ohm, potencia y energía

Circuitos magnéticos Densidad de flujo B  F/A (webers/m2) Permeabilidad m  mrmo (Wb/Am) Reluctancia   l/mA (rels) Ley de Ohm F  / (webers) Fuerza magnetomotriz   NI (ampere-vueltas) Fuerza magnetizadora H  /l  NI/l Ley de circuitos de Ampère    0 Núcleo de aire Hg  7.96  105 Bg Flujo  Fde entrada   Fde salida

Inductores Autoinductancia L  N 2mA/l (henrys), L  mr L o Voltaje inducido eL promedio  L(Di/Dt) Transitorios (almacenamiento) iL  Im(1 e t/t), Im  E/R, t  L/R, uL  Ee t/t (decaimiento), uL  [1  (R2/R1)]Ee t/t ′, t′  L/(R1  R2), iL  Ime t/t ′, Im  E/R1 En serie LT  L1  L2  L3    LN En paralelo 1/LT  (1/L1)  (1/L2)  (1/L3)    (1/LN), LT  L1L2/(L1  L2) Energía WL  1/2(LI 2)

Ley de Ohm I  E/R, E  IR, R  E/I Potencia P  W/t  VI  I 2 R  V 2/R (watts), 1 hp  746 W Eficiencia h%  (Po /Pi)  100%, hT  h1  h2  h3  hn Energía W  Pt, W (kWh)  [P(W)  t(h)]/1000

Alfabeto griego

Circuitos en serie RT  R1  R2  R3    RN, RT  NR, I  E/RT, V  IR Ley de voltaje de Kirchhoff  V  0,  Vsubidas   Vcaídas Regla del divisor de voltaje Vx  RxE/RT

Circuitos en paralelo RT  1/(1/R1  1/R2  1/R3    1/RN), RT  R/N, RT  R1R2/(R1  R2), I  EGT  E/RT Ley de corriente de Kirchhoff  Ientrada   Isalida Regla del divisor de corriente Ix  (RT /Rx)I, (Dos elementos en paralelo): I1  R2I/(R1  R2), I2  R1I/(R1  R2)

Métodos de análisis y temas seleccionados (cd) Conversiones de fuentes E  IRp, Rs  Rp, I  E/Rs a b Determinantes D  1 1  a1b2 a2b1 a2 b2

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Letra Alfa Beta Gamma Delta Épsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mi

Mayúscula Minúscula A B G D E Z H V I K L M

a b g d e z h v i k l m

Redes puente R1/R3  R2/R4

-Y conversiones R′  RA  RB  RC, R3  RARB /R′, R2  RARC /R′, R1  RBRC /R′, RY  RD/3 Y- conversiones R″  R1R2  R1R3  R2R3, RC  R″/R3, RB  R″/R2, RA  R″/R1, RD  3RY

Teoremas de redes Superposición Fuentes de voltaje (corto circuito equivalente), fuentes de corriente (circuito abierto equivalente) Teorema de Thévenin RTh: (todas las fuentes en cero), ETh: (voltaje de circuito abierto en las terminales) Teorema de máxima transferencia de potencia RL  RTh  RN, Pmáx  E 2Th /4RTh  I N2 RN /4

Letra

Mayúscula Minúscula

Ni Xi Ómicron Pi Rho Sigma Tau Ípsilon Fi Chi Psi Omega

N Y O P R  T ȅ F X W 

n y o p r j t u f x w q

Prefijos Factores de multiplicación 1 000 000 000 000  10 1 000 000 000  109 1 000 000  106 1 000  103 0.001  10 3 0.000 001  10 6 0.000 000 001  10 9 0.000 000 000 001  10 12 12

Prefijo SI

Símbolo SI

tera giga mega kilo mili micro nano pico

T G M k m m n p