Introduccion a Las Matematicas Universitarias (Spanish Edition)
 9701039041, 9789701039045

Table of contents :
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMATICAS UNIVERSITARIAS
PÁGINA LEGAL
CONTENIDO
PRÓLOGO
CAPÍTULO I LÓGICA SIMBÓLICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS
1.1 INTRODUCCIÓN
1.2 PROPOSICIONES
1.3 TABLAS DE VERDAD Y TAUTOLOGÍAS
1.4 CUANTIFICADORES
1.5 ARGUMENTOS LÓGICOS
1.6 PRUEBA DIRECTA
1.7 CONTRAEJEMPLO
1.8 PRUEBA POR CONTRAPOSICIÓN (CONTRAPOSITIVA)
1.9 PRUEBA POR CONTRADICCIÓN
1.10 CONJUNTOS
1.11 DIAGRAMAS DE VENN-EULER
1.12 LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
1.13 CARDINALIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 2 TEORÍA DE LOS NÚMEROS REALES
2.1 INTRODUCCIÓN
2.2 OPERACIONES ARITMÉTICAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
2.3 EXPONENTES Y RADICALES
2.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2.5 VALOR ABSOLUTO
2.6 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 3 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
3.1 INTRODUCCIÓN
3.2 RELACIONES
3.3 FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES
3.4 FUNCIÓN LINEAL
3.5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES
3.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.7 FUNCIÓN CUADRÁTICA
3.8 ECUACIONES Y DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
3.9 SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPITULO 4 POLINOMIOS
4.1 INTRODUCCIÓN
4.2 POLINOMIO DE UNA VARIABLE
4.3 ECUACIONES ALGEBRAICAS
4.4 DESIGUALDADES ALGEBRAICAS
4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Problemas resueltos
Problemas propuestos
Soluciones
CAPÍTULO 5 FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
5.1 INTRODUCCIÓN
5.2 FUNCIÓN DE POTENCIA
5.3 ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON RADICALES
5.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
5.5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES EXPONENCIALES
5.6 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
5.7 LOGARITMOS
5.8 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LOGARÍTMICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 6 SUCESIONES
6.1 INTRODUCCIÓN
6.2 DEFINICIÓN DE UNA SUCESIÓN
6.3 SUCESIONES Y SUS PROPIEDADES
6.4 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
6.5 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONTEO
6.6 TEOREMA DEL BINOMIO
6.7 SUCESIÓN ARITMÉTICA
6.8 SUCESIÓN GEOMÉTRICA
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
7.1 INTRODUCCIÓN
7.2 DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
7.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
7.4 ECUACIONES Y DESIGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 8 GEOMETRÍA ANALITICA
8.1 INTRODUCCIÓN
8.2 RECTA
8.3 CIRCUNFERENCIA
8.4 ELIPSE
8.5 HIPÉRBOLA
8.6 PARÁBOLA
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 9 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
9.1 INTRODUCCIÓN
9.2 DEFINICIONES BÁSICAS
9.3 FUNCIÓN COMPUESTA
9.4 FUNCIÓN INVERSA
9.5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
9.6 CONTINUIDAD
9.7 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
9.8 EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
9.9 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 10 INTRODUCCIÓNAI CÁLCULO INTEGRAL
10.1 INTRODUCCIÓN
10.2 INTEGRAL INDEFINIDA
10.3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
10.4 LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 11 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
11.1 INTRODUCCIÓN
11.2 EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL, EVENTO Y ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS
11.3 FUNDAMENTOS AXIOMÁTICOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES
11.4 REGLA MULTIPLICATIVA Y PROBABILIDAD CONDICIONAL
11.5 EVENTOS INDEPENDIENTES
11.6 ENSAYOS DE BERNOULLI
11.7 VARIABLES ALEATORIAS
11.8 VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 12 GEOMETRÍA PLANA
12.1 INTRODUCCIÓN
12.2 PARALELAS Y POLÍGONOS
12.3 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
12.4 CÍRCULOS
12.5 ÁREAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
CAPÍTULO 13 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
13.1 INTRODUCCIÓN
13.2 POLIEDRO
13.3 PRISMAS Paralelepípedo
13.4 PIRÁMIDES
13.5 CONOS
13.6 CILINDROS
13.7 ESFERA
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
SOLUCIONES
SOLUCIONES
ÍNDICE ANALÍTICO

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Introducción a las

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

Contenido

PRÓLOGO CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 2

Lógica simbólica y teoría de conjuntos

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

1 1 2 4 4 4 5 5 5 5 7 8 9 10 18 24

Introducción Proposiciones Tablas de verdad y tautologías Cuantificadores Argumentos lógicos Prueba directa Contraejemplo Prueba por contraposición (contrapositiva) Prueba por contradicción Conjuntos Diagramas de Venn-Euler Leyes de álgebra de conjuntos Cardinalidad Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Teoría de los números reales 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

CAPÍTULO 3

IX

Introducción Operaciones aritméticas en el conjunto de los números reales Exponentes y radicales Expresiones algebraicas Valor absoluto Propiedades del valor absoluto Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Funciones lineales y cuadráticas 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Introducción Relaciones Funciones y sus propiedades Función lineal Ecuaciones y desigualdades lineales Sistemas de ecuaciones lineales Función cuadrática Ecuaciones y desigualdades cuadráticas Sistemas de ecuaciones cuadráticas

27 27 27 29 30 34 35 35 42 54

59 59 59 61 61 62 64 67 68 70

V

Introducción a las

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Piotr Marian Wisniewski Universidad de Adam Mickiewicz, Poznañ, Polonia Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México

Ana Laura Gutiérrez Banegas Instituto Tecnológico Autónomo de México Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México

Revisión técnica: Guadalupe Martínez Hernández Departamento de Ciencias Básicas División Ciencias Básicas e Ingeniería Universidad Autónoma Metropolitana- Azcapotzalco

MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Gerente de producto: Javier Reyes Martínez Supervisor de edición: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Zeferino García García

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2003, respecto a la primera edición por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V. A subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Cedro Núm. 512, Col. Atlampa Delegación Cuauhtémoc 06450 México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 970-10-3904-1 6789012345

Impreso en México

09876531024 Printed in México

Este libro se terminó de imprimir y encuadernar en el mes de septiembre de 2005 en Impresora y Encuadernadora Progreso, S. A. de C. V. (IEPSA), Calz. de San Lorenzo 244; 09830 México, D.F.

VI

CONTENIDO Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

CAPÍTULO 4

Polinomios 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

CAPÍTULO 5

Funciones potencia, exponencial y logarítmica 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

CAPÍTULO 6

Introducción Función de potencia Ecuaciones y desigualdades con radicales Función exponencial Ecuaciones y desigualdades exponenciales Función logarítmica Logaritmos Ecuaciones y desigualdades logarítmicas Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Sucesiones 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

CAPÍTULO 7

Introducción Polinomio de una variable Ecuaciones algebraicas Desigualdades algebraicas Sistemas de ecuaciones algebraicas Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Introducción Definición de una sucesión Sucesiones y sus propiedades Inducción matemática Elementos de la teoría de conteo Teorema del binomio Sucesión aritmética Sucesión geométrica Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Funciones trigonométricas 7.1 7.2 7.3 7.4

Introducción Definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas Identidades trigonométricas Ecuaciones y desigualdades trigonométricas Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

72 88 111

127 127 127 127 129 130 131 139 152

167 167 167 168 170 171 172 172 173 175 184 201

219 219 219 221 223 224 227 230 231 232 261 289

303 303 303 307 311 315 345 361

CONTENIDO

CAPÍTULO 8

Geometría analítica 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

CAPÍTULO 9

Introducción al cálculo diferencial 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

CAPÍTULO 10

Introducción Definiciones básicas Función compuesta Función inversa Límite de una función Continuidad Derivada de una función Extremos de una función Construcción de gráficas Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Introducción al cálculo integral 10.1 10.2 10.3 10.4

CAPÍTULO 11

Introducción Recta Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Introducción Integral indefinida Técnicas de integración La integral definida y sus aplicaciones Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

Introducción a la probabilidad 11.1 Introducción 11.2 Experimento aleatorio, espacio muestral, evento y espacios de probabilidad finitos 11.3 Fundamentos axiomáticos de la teoría de probabilidades 11.4 Regla multiplicativa y probabilidad condicional 11.5 Eventos independientes 11.6 Ensayos de Bernoulli 11.7 Variables aleatorias 11.8 Valor esperado y varianza de la variable aleatoria Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

CAPÍTULO 12

Geometría plana 12.1 Introducción 12.2 Paralelas y polígonos 12.3 Triángulos rectángulos

VIl

385 385 385 388 390 392 394 397 414 420

431 431 431 433 433 435 440 442 444 447 449 466 487

503 503 503 504 506 507 519 525

533 533 533 535 536 538 539 540 541 542 552 561

569 569 569 575

VIII

CONTENIDO 12.4 Círculos 12.5 Áreas Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

CAPÍTULO 13

Geometría en el espacio 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7

Introducción Poliedro Prismas Pirámides Conos Cilindros Esfera Problemas resueltos Problemas propuestos Soluciones

ÍNDICE ANALÍTICO

577 580 589 618 629

635 635 635 636 638 641 643 645 647 678 684

691

Prólogo

Nada hay más práctico que una buena teoría.

EMMANUEL KANT Conocimientos sólidos en matemáticas permiten a los estudiantes un mejor desempeño en cursos más avanzados. Por ello, el presente libro surge como una respuesta a la necesidad de reforzar los conocimientos de precálculo. Los autores elaboramos este texto con base en la experiencia que hemos adquirido impartiendo cursos de matemáticas superiores. El contenido y el nivel del libro están orientados hacia estudiantes de cualquier especialidad que deseen reforzar, además, los conocimientos de áreas como álgebra, trigonometría, geometría analítica y análisis matemático. O bien, para aquellas personas que requieran una herramienta que les ayude en la presentación de exámenes de admisión en instituciones de educación superior. La obra no es de utilidad y apoyo sólo para los estudiantes, sino también para los profesores, ya que cuenta con amplia gama de ejercicios, desde los elementales hasta los de mayor grado de complejidad. El presente libro se ha preparado para un curso introductorio de matemáticas. Puede servir para dicho curso o como complemento de cualquier publicación comparable. Asimismo, es posible usarlo como complemento de textos y cursos de precálculo, lo mismo que para estudiar por cuenta propia. Empieza con un capítulo de lógica y teoría de conjuntos, al que le sigue uno sobre la teoría de los números reales y una revisión completa de álgebra. El tercer capítulo trata sobre las funciones lineales y cuadráticas, así como la solución de ecuaciones y desigualdades. De esta forma se conecta con otro capítulo sobre polinomios. En el quinto capítulo se revisan las funciones trascendentales: funciones potencia, exponencial y logarítmica. Después viene un capítulo sobre sucesiones. El séptimo capítulo contiene los principales conceptos de trigonometría y las funciones trigonométricas. En el capítulo subsecuente se analizan los principales conceptos de geometría analítica. El noveno y el décimo capítulos ofrecen elementos básicos de cálculo diferencial e integral. En el capítulo once se explican los fundamentos de probabilidad. Los dos últimos capítulos presentan los conceptos y las definiciones básicas de geometría plana y del espacio. Cada capítulo empieza con una breve introducción, donde se exponen los temas a tratar y la importancia de éstos en la vida real. Posteriormente se dan definiciones, principios y teoremas, que vienen acompañados de ejemplos. A esto le siguen las secciones referentes a los problemas resueltos y propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, ya que permiten entender aquellos puntos sin cuya explicación el lector se "perdería", a la vez que constituyen una reafirmación de los conceptos básicos para lograr un aprendizaje efectivo. Los problemas propuestos son útiles para ejercitar los conocimientos

X

PRÓLOGO

adquiridos. Al final de cada capítulo se incluyen las aplicaciones en distintas áreas como son ingeniería, negocios, humanidades y ciencias sociales. Esperamos que este libro sea acogido con interés por las distintas instituciones de educación media superior y superior, así como que sea un recurso didáctico en el camino del aprendizaje y reforzamiento de las matemáticas. PlOTR WISNIEWSKI

ANA LAURA GUTIÉRREZ Ciudad de México Julio de 2002

Lógica simbólica y teoría de conjuntos

1.1

INTRODUCCIÓN

La lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el correcto razonamiento del erróneo. El razonamiento es un tipo especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias; es decir, en el que se derivan conclusiones a partir de premisas. La lógica, al igual que las matemáticas, estudia las relaciones abstractas formales. Por ejemplo, "Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal". En realidad no importa Sócrates ni los hombres ni su mortalidad. Lo que sí queremos es mostrar la relación entre las proposiciones.

1.2

PROPOSICIONES

DEFINICIÓN 1.1 Una proposición en lógica es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas. La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma con base en otras proposiciones.

EJEMPLO 1.1

Premisas

Si soy presidente, entonces soy famoso. Yo no soy famoso. Conclusión Por tanto, no soy presidente.

DEFINICIÓN 1.2 Una proposición simple es aquella que no es posible descomponer en dos proposiciones. Se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s...

DEFINICIÓN 1.3 Sea p una proposición, entonces ~p ("no p", "no es cierto que p") es la negación de p.

1

2

CAPÍTULO 7



EJEMPLO 1.2

Lógica simbólica y teoría de conjuntos

Determine si las siguientes proposiciones simples son verdaderas o falsas: 1. 3 + 8 es mayor que 2 + 1 0 Proposición falsa. 2. Mario Vargas Llosa es un escritor peruano. Proposición verdadera. 3. Es más fácil el estudio de la música que el de las matemáticas. No es proposición, pues no se puede establecer su veracidad.

DEFINICIÓN 1.4 Una proposición compuesta se forma relacionando dos o más proposiciones simples mediante conectivos lógicos como son: y, o, si... entonces..., si y sólo si, entre otros. Las siguientes definiciones son proposiciones compuestas:

DEFINICIÓN 1.5 Proposición conjuntiva Resulta de unir dos proposiciones mediante el conectivo conjunción (se lee como "p y q"). La conjunción es verdadera si ambas, p y q son verdaderas; en cualquier otro caso, es falsa.

DEFINICIÓN 1.6 Proposición disyuntiva Surge de unir dos proposiciones con el conectivo disyunción (se lee como "p o q"). La disyunción, es verdadera si p, q o ambas son verdaderas, y es falsa sólo si p y q son falsas.

DEFINICIÓN 1.7 Proposición condicional Es el resultado de unir dos proposiciones mediante el conectivo condicional ("si p entonces q"), donde p es la hipótesis (o antecedente) y q es la conclusión (o consecuente). La proposición condicional es falsa si la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa.

DEFINICIÓN 1.8 Proposición bicondicional Es consecuencia de juntar dos proposiciones con el conectivo bicondicional ("p si y sólo si q"). Esta afirmación se considera verdadera precisamente cuando p y q poseen los mismos valores de verdad (es decir, cuando p y q son ambas verdaderas o ambas falsas).

EJEMPLO 1.3

Sea p: "Berlín es la capital de Alemania", y q: "Alemania es un país europeo". Construya las siguientes proposiciones: No es cierto que Berlín es la capital de Alemania Berlín es la capital de Alemania y Alemania es un país europeo Berlín es la capital de Alemania o Alemania es un país europeo Sólo Berlín es la capital de Alemania o sólo Alemania es un país europeo Si Berlín es la capital de Alemania, entonces Alemania es un país europeo Berlín es la capital de Alemania si y sólo si Alemania es un país europeo

1.3

TABLAS DE VERDAD Y TAUTOLOGÍAS

DEFINICIÓN 1.9 Una tabla de verdad es una representación gráfica que sirve para determinar la verdad o falsedad de una proposición compuesta dada. En ella se presentan todos

Tablas de verdad y tautologías

los posibles valores de las proposiciones simples que la conforman. Se denotan con V las proposiciones verdaderas y con F las falsas.

V V F F

V F V F

F F V V

V F F F

V V V F

V F V V

V F F V

DEFINICIÓN 1.10 Una tautología es una proposición compuesta cuyos valores de verdad son verdaderos en todos los casos de la tabla de verdad. Si todos los valores de verdad son falsos, a la proposición se le llama contradicción.

EJEMPLO 1.4

Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y determine si es una tautología o una contradicción: 1. p V V F F

q

V F

V

V

V

V V

F

F

V V V

Es una tautología.

p

q

~q

V V F F

V F V F

F V F V

V F V V

F V F F

F F F F

Es una contradicción.

TEOREMA 1.1 Las leyes de la lógica son aquellas proposiciones que son tautologías. Sean p, q y r proposiciones. Principio de identidad: Propiedad idempotente: Ley de la doble negación: Razonamiento directo: Razonamiento indirecto: Ley del medio excluido:

4

CAPÍTULO 7

■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos

Ley de transitividad: Ley de la contrapositiva: Silogismo disyuntivo: Ley de contradicción: Leyes de reducción: Leyes distributivas: Leyes asociativas:

1.4

CUANTIFICADORES

A una palabra o una frase que indique cuántos objetos cumplen con determinada propiedad se le llama cuantificador. Los cuantificadores se clasifican como: a) Existenciales: "existe", "algún", "por lo menos uno", entre otros. b) Universales: "para todo", "ninguno".

Existencial Universal

EJEMPLO 1.5

Proposición

Negación

(existe) (para todo) Algunos Ningún Todos Algunos no...

Ningún Algunos Algunos no... Todos

Escriba la negación de cada uno de los siguientes enunciados:

1. Todos los números son enteros. Negación: Algunos números no son enteros. 2. Ninguno de mis compañeros es extranjero. Negación: Algunos de mis compañeros son extranjeros.

1.5 ARGUMENTOS LÓGICOS La demostración formal de argumentos permite comprobar la validez o no validez de un argumento. Para la lógica matemática, la validez de un argumento no depende de su contenido, sino exclusivamente de su forma. Para llevar a cabo las demostraciones se requiere que los argumentos adopten la forma de una proposición condicional:

1.6 PRUEBA DIRECTA DEFINICIÓN 1.11 Una prueba es directa si, de todos los posibles casos en los que la hipótesis p es válida, se verifica que la conclusión q es verdadera y se obtiene de los pasos anteriores.

Conjuntos

5

1.7 CONTRAEJEMPLO DEFINICIÓN 1.12 Un contraejemplo es cuando se demuestra que la proposición es falsa dando un ejemplo donde la hipótesis p es verdadera y la conclusión q es falsa.

1.8

PRUEBA POR CONTRAPOSICIÓN (CONTRAPOSITIVA)

DEFINICIÓN 1.13 Como que

1.9

es equivalente a su contrapositiva, entonces se prueba directamente

PRUEBA POR CONTRADICCIÓN

DEFINICIÓN 1.14 En este tipo de pruebas se supone que la proposición que se quiere probar es falsa y que esto implica una contradicción. Es decir, es falsa. O sea, se cumple que

EJEMPLO 1.6

Demuestre por contradicción que si se colocan 100 bolas en nueve cajas, alguna contiene 12 o más bolas. SOLUCIÓN Sea p = 100 bolas en nueve cajas y q = al menos una caja contiene 12 bolas o más. Entonces ~q = todas las cajas contienen cuando más 11 bolas 100 bolas en nueve cajas y cada una con 11 bolas; por tanto, tenemos 99 bolas, lo cual contradice la afirmación de que tenemos 100.

1.10

CONJUNTOS

Un conjunto es una colección o lista de objetos bien definidos. Los objetos que conforman un conjunto se denominan elementos. Se acostumbra emplear letras mayúsculas para representar conjuntos y letras minúsculas, para los elementos.

EJEMPLO 1.7

Los siguientes son ejemplos de conjuntos: 1. Un conjunto de todos los canales de TV abierta de la Ciudad de México. 2. Un conjunto de los números primos entre 10 y 20. 3. Un conjunto de las letras que forman la palabra Alemania.

6

CAPÍTULO 1



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

DEFINICIÓN 1.15 Si A es un conjunto cualquiera y x es un elemento de dicho conjunto, la notación significa que "x pertenece o es elemento del conjunto A". Para denotar que x no es elemento de A, se escribe Para describir o definir un conjunto existen dos formas: i) Por enumeración, cuando se listan los elementos que constituyen el conjunto. ii) Por comprensión, cuando se proporciona la regla que identifica sus elementos.

EJEMPLO 1.8

Describa el conjunto: E = {todos los números naturales que son múltiplos de 3}, por enumeración y por comprensión: 1. 2.

Por enumeración: E = {3, 6, 9, 12, . . . ) Por comprensión: E =

DEFINICIÓN 1.16 El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Se denota como,

DEFINICIÓN 1.17 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A es un elemento de B. Se denota por Observaciones: i) Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. ii) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

DEFINICIÓN 1.18 Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio de 5, si B tiene al menos un elemento más que el conjunto A. Se denota como

EJEMPLO 1.9

Sean A = {l, 2, 3} y B = {l, 2, 3, 4}. Como todos los elementos de A son elementos de B y B tiene un elemento más que A, entonces se establece que (“A es un subconjunto propio de B").

DEFINICIÓN 1.19 Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.

EJEMPLO 1.10

Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 1, 2}, entonces A = B.

DEFINICIÓN 1.20 Se le llama conjunto universo a aquel que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se denota usualmente con U.

EJEMPLO 1.11

Si A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 6, 8}, C - {5, 7, 9} son los conjuntos que interesan, entonces el conjunto universo es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Diagramas de Venn-Euler

1.10.1

7

Operaciones entre conjuntos

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.

DEFINICIÓN 1.21 La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B o en ambos. Es decir,

DEFINICIÓN 1.22 La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A y en B. Esto es,

DEFINICIÓN 1.23 Si

entonces A y B son disjuntos (mutuamente excluyentes).

DEFINICIÓN 1.24 La diferencia entre A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A, pero no en B. Es decir,

DEFINICIÓN 1.25 El complemento del conjunto A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A. Entonces, Ac = U-A.

DEFINICIÓN 1.26 La diferencia simétrica entre A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B, pero no en ambos. Es decir,

DEFINICIÓN 1.27 Dos conjuntos A y B son comparables si hay un elemento de A que no esté en B y viceversa.

EJEMPLO 1.12

son no comparables si

Dados U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, A = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g},C = {i, j, k}, encuentre los siguientes conjuntos:

1.11

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Los diagramas de Venn-Euler ofrecen un método gráfico para representar los conjuntos y sus relaciones. Los siguientes diagramas de Venn-Euler ilustran las operaciones analizadas en el apartado 1.10.1.

8

CAPÍTULO 1



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

A y B son comparables

1.12

Ay Bno son comparables

LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Leyes de idempotencia: Leyes asociativas: Leyes conmutativas: Leyes distributivas: Leyes de identidad:

Leyes de complemento:

Leyes de De Morgan:

Cardinalidad

1.13

9

CARDINALIDAD

DEFINICIÓN 1.28 La cardinalidad de un conjunto A es el número de elementos distintos que contiene. Esto lo denotaremos como n(A).

DEFINICIÓN 1.29 Un conjunto A es finito si su cardinalidad es un número natural determinado. Un conjunto A es infinito si el proceso de contar sus elementos no termina.

DEFINICIÓN 1.30 Si A es un conjunto, entonces el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A, el cual se denota por P(A).

TEOREMA 1.2 Si A es un conjunto con cardinalidad n(A), entonces P(A), el conjunto potencia de A, tendrá 2n (A) elementos.

TEOREMA 1.3 Sean A, B y C conjuntos arbitrarios finitos y n{A), n(B), n(C), las cardinalidades respectivas; entonces se satisfacen las siguientes fórmulas:

EJEMPLO 1.13

Sea el conjunto K = [a, b, c], entonces n(K) = 3. Se deduce también que el número de subconjuntos que se llegarían a formar son 23 = 8, siendo el conjunto potencia:

EJEMPLO 1.14

Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8), C = {1, 3, 5); determine

SOLUCIÓN Para ello, se determinan las cardinalidades de cada conjunto:

Si se usan las fórmulas del teorema 1.3, obtendremos:

10

CAPÍTULO 7



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

Problemas resueltos 1.1

Obtenga la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

SOLUCIÓN a) p V V F F

q V F V F

p V V F F

q V F V F

P V V F F

P V V F F

1 V F V F

V F F V

V F V V

~P F F V V

q V F V F

V V F V

V F V V

V V V F

V F F F

~p F F V V

V V V F

V F V V

V F F V

V F F F

V V V V

Problemas resueltos

V V F F

V F V F

F

F V V

F V F V

V F F V

1.2

V V F V

V

V F F V

F V V

V V V V

Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías:

SOLUCIÓN

V V F

F

V F V F

F F V V

F V F V

V F V V

F F F V

V V V V

Por tanto, es una tautología.

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

V

V

V

F

F

V V

V V

V V V

Sí es una tautología.

1.3

Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones: a) Todos los reptiles son venenosos. b) Algunas noticias son deprimentes. c) Ningún mexicano es exitoso.

SOLUCIÓN a) Algunos reptiles no son venenosos. b) Ninguna noticia es deprimente. c) Algunos mexicanos son exitosos.

1.4

¿Es verdadera la proposición

SOLUCIÓN

La proposición es verdadera.

11

12

CAPÍTULO 1



Lógica simbólica y teoría efe conjuntos

1.5

¿Es verdadera la proposición

SOLUCIÓN Para además, la función cuadrática siempre toma valores positivos. Entonces la proposición es verdadera si (0, 4); y falsa si

1.6

Encuentre que para los conjuntos arbitrarios A, B y C se cumple:

SOLUCIÓN a) Se debe comprobar que para cualquier x, Para ello:

con lo que queda demostrado. b) Se debe llegar a que para cualquier x: Entonces:

lo cual significa que la igualdad b) es verdadera. c) Para afirmar que ficiente comprobar que la proposición tología. Construyendo la tabla de verdad, se obtiene: p V V F F

q V F V F

V F V V

V F F F

V F V V

es su es una tau-

V V V V

De esta manera se concluye que la igualdad c) es verdadera. d) Si:

para cualquier x:

lo cual significa que la igualdad d) es verdadera.

Problemas resueltos e) Con:

se comprueba que para cualquier x:

lo cual quiere decir que la igualdad es verdadera. f) Se tiene que:

se ha concluido que para cualquier x:

son iguales.

es decir, los conjuntos

1.7

Sean A =

Encuentre:

SOLUCIÓN Como

por ello Como luego

1.8

Sean, A = Demuestre que

SOLUCIÓN Para el conjunto A: Para el conjunto B:

Se tiene que:

13

14

CAPÍTULO 1



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

Para el conjunto C:

Finalmente:

1.9

Sean A =

SOLUCIÓN

Para el conjunto A, que representa una función cuadrática con valores no positivos, debe ser:

Para el conjunto B:

Entonces,

1.10

Dado K = {1, 2, 3, 4}, calcule el número de subconjuntos que se pueden formar e indique también cuáles son.

SOLUCIÓN

Se concluye que n{K) = 4; por tanto, el número de subconjuntos es 24 = 16. Con esto se determina el conjunto potencia:

1.11

Con el diagrama de Venn-Euler, determine las cardinalidades siguientes:

SOLUCIÓN a) n{A) = 31

Problemas resueltos b)

n(B) = 35

c)

n(C) = 40

d)

e)

= 15

n(B - C)

f) n

g) n(

=16

-0 = 5

15

16

CAPITULO 1

■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos

1.12 En una pequeña ciudad árabe con 300 habitantes, 110 son hombres, 120 son musulmanes y 50 son hombres musulmanes. Calcule el número de habitantes que: a) son mujeres b) son mujeres musulmanes c) son mujeres no musulmanes SOLUCIÓN Sean los conjuntos: U = {habitantes de la ciudad árabe} A = {hombres} B = {musulmanes} = {hombres musulmanes} Se determinan las cardinalidades y se dibuja el diagrama de Venn-Euler correspondiente: n(U) = 300 n(A) = 110 n(B) = 120 n( ) = 50

De acuerdo con el diagrama: a) son mujeres: n(Ac) = 190 b) son mujeres musulmanes: c) son mujeres no musulmanes:

1.13

= 70 = 120

Se realizó una encuesta a 1 600 individuos entre los 20 y los 35 años de edad para conocer sus preferencias musicales. Los resultados son los siguientes: 801 Jazz 900 Rock pop 752 Heavy metal 435 Jazz y rock pop 398 Jazz y heavy metal 412 Rock pop y heavy metal 310 Jazz, rock pop y heavy metal Indique el número de aquellos que: a) b) c) d)

Prefieren un solo género musical Prefieren exactamente dos géneros musicales Prefieren al menos un género musical Prefieren cuando mucho dos géneros musicales

SOLUCIÓN Sean: U = {personas entre los 20 y los 35 años de edad} J = {personas que prefieren jazz} P = {personas que prefieren el rock pop} M = {personas que prefieren el heavy metal}

Problemas resueltos

17

Se determinan las cardinalidades y se realiza el diagrama de Venn-Euler correspondiente: n(U) = l 600 n(J) = 801 n(P) = 900 n(M) = 752

Resolviendo: a) b) c) d)

1.14

Prefieren un solo género musical: 893. Prefieren exactamente dos géneros musicales: 315. Prefieren al menos un género musical: 1 518. Prefieren cuando mucho dos géneros musicales: 1 290.

Una agencia de viajes ha preguntado a 180 de sus clientes sobre sus destinos favoritos en Europa. Los resultados son los siguientes: 57 prefieren España 77 prefieren Alemania 45 prefieren España y Alemania 10 prefieren España, pero no Alemania ni Polonia 28 prefieren España y Alemania, pero no Polonia 90 prefieren otros países 19 prefieren Alemania y Polonia Calcule el número de clientes que prefieren como destino turístico a Polonia. SOLUCIÓN Sean: U = {clientes de una agencia de viajes) E = (clientes que prefieren viajar a España) A = {clientes que prefieren viajar a Alemania) P = {clientes que prefieren viajar a Polonia) Se determinan las cardinalidades y se realiza el diagrama de Venn-Euler correspondiente: n(U) = 180 n(E) = 57 n(A) = 77 n( = 45

10

CAPÍTULO 1



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

Resolviendo: Clientes que prefieren como destino turístico a Polonia: n(P) = 22.

Problemas propuestos 1.15

Obtenga la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

1.16

Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías:

1.17

¿Son verdaderas las siguientes proposiciones?:

1.18

La proposición sea verdadera?

1.19

Encuentre el número M N tal que

es falsa.

la proposición

sea verdadera.

1.20

Escriba la negación de la siguiente

1.21

Demuestre que para los conjuntos arbitrarios A y B:

Problemas propuestos

19

1.22 Indique que para los conjuntos arbitrarios A, B y C:

1.23 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Encuentra las condiciones que deben cumplir para que se verifiquen las relaciones:

1.24 Sean A el conjunto de los números en forma

el conjunto de los números pares; esto es, A = {1, 5, 9, ... } y B = {2, 4, 6, ...). ¿Son A y B mutuamente excluyentes?

1.25 Sean A el conjunto de los números naturales divisibles entre 6, B el conjunto de los números naturales divisibles entre 2 y C el conjunto de los números naturales divisibles entre 5. Encuentre:

1.26 Sean A el conjunto de los números de la forma números de la forma

el conjunto de los

Encuentre el conjunto B — A.

1.27 Sean A el conjunto de números impares y B el conjunto de los números de la forma Determine

1.28 Sea A el conjunto de números impares y B el conjunto de los números de la forma . Encuentre

1.29 Sean A el conjunto de los números de la forma números pares. ¿Qué relación hay entre A y B?

1.30 Determine en qué condiciones son verdaderas las igualdades:

el conjunto de los

20

CAPÍTULO 7



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

1.31 Sean

Calcule

1.32 Sean

Encuentre

1.33 Sean

Calcule

Determine

1.34 Sean 1.35

Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Verifique si es verdad que:

Encuentre:

1.36 Sean los conjuntos

1.37

Sean operaciones:

Realice las siguientes

1.38 Sean

1.39

Calcule B - A si se sabe que

1.40

Encuentre B -A si se sabe que

Encuentre:

1.41 Sean Determine B-A.

1.42 Dé con el conjunto

1.43

Encuentre el conjunto

para los conjuntos:

Problemas propuestos

1.44

Halle el conjunto (A u B) n C, si:

1.45

Indique el conjunto

1.46

21

si:

Considere el conj unto universa! U y tres subconj untos del mismo, A, B y C, de acuerdo con la siguiente figura:

Dibuje:

1.47

De una encuesta aplicada a 60 estudiantes de una universidad, se supo que 9 son de origen latino, 36 son de maestría y 3 son de maestría de origen latino. Determine el número de: a) Estudiantes de maestría y que son de origen latino o satisfacen ambas características. b) Estudiantes de maestría y que no son de origen latino. c) Estudiantes que ya tienen maestría y que son de origen latino.

1.48

En una batalla combatieron 270 soldados. El número de los que perdieron un ojo, una pierna o un brazo es el siguiente: 90 perdieron un ojo 90 perdieron un brazo 90 perdieron una pierna 30 perdieron un ojo y un brazo 30 perdieron un ojo y una pierna 30 perdieron un brazo y una pierna 10 perdieron un ojo, un brazo y una pierna Determine el número de soldados que: a) Perdieron al menos dos partes de su cuerpo b) Perdieron exactamente una parte de su cuerpo c) Están ilesos

1.49

En una investigación de mercado para conocer qué periódico prefieren leer en el Distrito Federal, se realizó una encuesta a 145 adultos; los resultados son los siguientes: 59 leen El Universal 83 leen Reforma

22

CAPÍTULO 7

■ Lógica simbólica y teoría de conjuntos

21 leen Reforma y Excélsior, pero no leen El Universal 15 leen Excélsior y El Universal, pero no Reforma 12 leen Reforma y El Universal, pero no Excélsior 13 leen exclusivamente Excélsior 41 leen Reforma y Excélsior

Determine el número de personas que: a) Leen sólo el periódico Reforma. b) Leen otros periódicos diferentes a los mencionados.

1.50

Se revisó el uso de suelo de 48 edificios de la colonia Del Valle. Los usos que tienen dichos edificios son: 35 son para oficinas 8 son de uso comercial y para oficinas, pero no habitacional 6 son exclusivos de uso habitacional 5 son únicamente para oficinas 16 no son de uso habitacional 10 tienen los tres usos de suelo Todos tienen al menos un uso de suelo Determine el número de edificios que: a) Exclusivamente tienen uso de suelo comercial. b) Tienen uso de suelo comercial y habitacional, pero no de oficinas. c) Tienen uso de suelo habitacional y de oficinas, pero no comercial.

1.51

En un concurso de pasteles participaron 70 personas con sus respectivas creaciones. Los principales sabores de dichos pasteles fueron: 32 de chocolate 10 sólo de chocolate 12 de chocolate y fresa 15 de fresa y nuez 5 de fresa y nuez, pero no de chocolate 13 sólo de nuez 12 no eran de sabor de chocolate, fresa o nuez Calcule el número de pasteles que: a) Eran sólo de fresa b) Eran de nuez c) Tenían los tres sabores

1.52

Se hizo una encuesta a 150 diputados para conocer su aprobación a propuestas del Poder Ejecutivo: 63 aprobarán la ley indígena 66 aprobarán la reforma fiscal 65 aprobarán la reforma educativa 22 aprobarán la ley indígena y la reforma fiscal 25 aprobarán la reforma fiscal y la reforma educativa 23 aprobarán la ley indígena y la reforma educativa 10 aprobarán las tres. Indique el número de diputados que: a) Aprobarán la ley indígena y la reforma fiscal, pero no la reforma educativa. b) No aprobarán la ley indígena, pero sí la reforma fiscal y la reforma educativa. c) No aprobarán ninguna de las tres propuestas.

Problemas propuestos

1.53

23

En una empresa se realizó un estudio para conocer el sexo, el estado civil y el nivel de estudios de los empleados. Los resultados son los siguientes: 317 son hombres 316 son casados 25 son mujeres casadas sin profesión 72 son hombres casados sin profesión 83 son hombres profesionistas y solteros 15 son mujeres profesionistas y solteras 125 son hombres casados y profesionistas 49 son mujeres solteras sin profesión Calcule el número de: a) Hombres solteros sin profesión. b) Mujeres profesionistas casadas. c) Profesionistas.

1.54

Un grupo de 700 alemanes visita México. Las rutas turísticas que realizaron fueron: 379 viajaron a Cancún 419 viajaron a Acapulco 260 viajaron a Los Cabos 102 fueron a Los Cabos, pero no a Cancún ni a Acapulco 92 fueron a Acapulco, pero no a Cancún ni a Los Cabos 110 fueron a Cancún, pero no a Acapulco ni a Los Cabos 80 visitaron Cancún y Los Cabos 60 visitaron los tres destinos Encuentre el número de alemanes que visitaron: a) b) c) d)

1.55

Exactamente uno de los lugares. Al menos un destino. Cuando mucho dos playas. A lo más un lugar.

Se hizo una entrevista a 885 personas sobre su equipo favorito de fútbol soccer. Se encontró lo siguiente: 600 siguen al Guadalajara 400 apoyan al América 620 prefieren a Pumas 195 apoyan al Guadalajara y al América 190 apoyan al América y a Pumas 400 apoyan al Guadalajara y a Pumas Si todos los entrevistados apoyan a uno de estos tres equipos, determine el número de aficionados que apoyan a los tres equipos.

24

CAPÍTULO 7



Lógica simbólica y teoría de conjuntos

Soluciones 1.15

a) p V V F F

q V F V F

~P F F V V

~q F V F V

F V V V

b) p V V F F

q V F V F

~P F F V V

V F F F

F F F F

F F F F

c)

p

q

~P

~q

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

V F F F

1.16

F V V F F F F F F V V V Se deja como ejercicio al lector.

1.17

a) b) c) d)