Introducao à teoria combinatória de semigrupos inversos [version 10 Mar 2001 ed.]

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~ A  TEORIA COMBINATORIA  INTRODUC  AO DE SEMIGRUPOS INVERSOS Pedro V. Silva



Departamento de Matemati a Pura, Fa uldade de Ci^en ias, Universidade do Porto, 4000 Porto, Portugal

A teoria ombinatoria de semigrupos inversos tem omo obje tivo o estudo dos semigrupos (monoides) inversos livres e respe tivas apresenta ~oes. A generalidade dos resultados relativos a semigrupos inversos livres pode ser fa ilmente deduzida a partir de resultados analogos para monoides inversos livres, pelo que adoptaremos invariavelmente a \vers~ao monoide". O on eito de semigrupo inverso livre remonta a 1961, quando foi introduzido por Vagner [28℄. Contudo, para alem de alguns resultados esporadi os, a teoria n~ao produziria grandes desenvolvimentos ate 1973, quando o problema da palavra para o semigrupo inverso livre foi resolvido (independentemente) por S heibli h [19℄ e Munn [16℄. A solu ~ao de S heibli h, de natureza essen ialmente algebri a, tinha omo base o grupo livre, enquanto a solu ~ao de Munn era de natureza ombinatoria e pode ser vista hoje a luz da teoria de linguagens e automatos. O estudo onsistente e sistemati o de apresenta ~oes de monoides inversos teve

omo ponto de partida o desenvolvimento de uma teoria ombinatoria por parte de Stephen em 1987 [26℄, que onstituiu uma generaliza ~ao do trabalho efe tuado por Munn para os monoides inversos livres. Usando as onstru ~oes de Stephen, foram obtidos nos ultimos anos varios resultados que p~oem em relevo liga ~oes importantes a teoria ombinatoria de semigrupos, teoria de semigrupos nitos, teoria ombinatoria de grupos e teoria de linguagens, o que mostra a vitalidade da teoria. Entre outros autores, podemos itar Margolis, Meakin, Sapir e Silva [10℄ [11℄ [13℄ [14℄ [24℄. No que se refere a resultados de de idibilidade propriamente ditos, t^em-se registado alguns su essos mas permane em em aberto varios problemas fundamentais, em parti ular o problema da palavra para apresenta ~oes om uma uni a rela ~ao. Entre outros, podemos itar Birget, Margolis, Meakin, Silva, Stephen [4℄ [12℄ [21℄ [22℄ [23℄ [25℄ [27℄. Foi nossa op ~ao neste urso privilegiar os fundamentos da teoria e a resolu ~ao de problemas de de idibilidade, de modo a manter os pre-requisitos de teoria de grupos e teoria de linguagens a nveis a eitaveis. Apesar disso, a grande import^an ia de que se revestem alguns on eitos oriundos destas areas obriga-nos a dedi ar-lhes  Este

trabalho foi realizado om o apoio da JNICT - Proje to SAL (PBIC/C/CEN/1021/92) e do ESPRIT-BRA Working Group 6317 "ASMICS".

1

algumas se  ~oes espe  as. Resulta assim que nada menos do que in o se  ~oes num total de doze s~ao dedi adas a introdu ~ao de on eitos fundamentais em areas exteriores a teoria ombinatoria de semigrupos inversos. As se  ~oes 4 e 7 s~ao dedi adas ao monoide inverso livre, as se  ~oes 8 e 9 abordam as onstru ~oes de Stephen para apresenta ~oes de monoides inversos, e as se  ~oes 10 e 11 mostram algumas apli a ~oes desta teoria a problemas de de idibilidade para apresenta ~oes on retas. Na ultima se  ~ao, e eviden iada a import^an ia da resolu ~ao do problema da palavra para apresenta ~oes de monoides inversos om uma uni a rela ~ao, e s~ao apresentados (sem demonstra ~ao) alguns outros resultados de de idibilidade. Finalmente, gostaria agrade er ao Centro Interna ional de Matemati a a oportunidade que me on edeu de elaborar um urso om estas ara tersti as.

1 Semigrupos e monoides Nesta se  ~ao vamos apresentar de forma resumida alguns on eitos e resultados basi os relativos a semigrupos e monoides em geral. Os on eitos s~ao todos de nidos em termos de monoides, sendo as vers~oes para semigrupos inteiramente analogas. A onselhamos ao leitor interessado em mais detalhes a onsulta de [6℄. Um semigrupo e uma estrutura algebri a da forma (S; ), onde S e um onjunto n~ao vazio e  designa uma opera ~ao binaria asso iativa em S . Se a opera ~ao estiver subentendida, e habitual designar um tal semigrupo por S e es rever ab em vez de a  b para todos a; b 2 S . Dizemos que e e elemento neutro de S se

8a 2 S; ae = ea = a:

Um semigrupo om elemento neutro diz-se um monoide. E imediato que o elemento neutro de um monoide e uni o, e e habitualmente designado pelo smbolo 1. Um elemento e 2 M diz-se idempotente se e2 = e. Todo o monoide tem pelo menos um elemento idempotente, o elemento 1. O onjunto dos elementos idempotentes de M e designado por E (M ). Seja M um monoide. Dizemos que N  M e um submonoide de M se 1 2 N e ab 2 N para todos a; b 2 N . Dado um sub onjunto A  M qualquer, existe um submonoide A de M que ontem A e e o menor submonoide de M ontendo A, a saber, A = f1g [ fa1 :::an ; n  1; ai 2 Ag: Dizemos que A e o submonoide de M gerado por A. Se A = M , dizemos que A e um onjunto de geradores de M . Uma rela ~ao em M e um sub onjunto R  M  M . Dada uma rela ~ao nita

R = f(a1 ; b1 ); :::; (an; bn )g;

e habitual enun iar os elementos de R na forma

a1 = b1 ; :::; an = bn : 2

Por abuso de linguagem, os elementos de R s~ao tambem designados por rela ~oes. Se R e uma rela ~ao em M , designamos por R 1 a rela ~ao f(a; b); (b; a) 2Rg. A rela ~ao R diz-se uma ongru^en ia se for uma rela ~ao de equival^en ia e satis zer (a; b) 2 R

) (a ; b ); ( a; b) 2 R

para todos a; b; 2 M . Dada uma rela ~ao R qualquer em M , existe uma ongru^en ia em M que e a menor ongru^en ia em M ontendo R, e que se diz a ongru^en ia em M gerada por R. Esta ongru^en ia e designada por R℄ e pode ser des rita do seguinte modo. Dados a; b 2 M , temos (a; b) 2 R℄ se existirem w0 ; :::; wn 2 M (n  0), tais que:

a = w0 , b = wn , para todo i 2 f1; :::; ng, existem xi ; yi 2 M e (ri ; si ) 2 R [ R

wi 1 = xi ri yi;

1

tais que

wi = xi si yi :

Seja  uma ongru^en ia no monoide M e seja a

ongru^en ia de a por a e es revemos

2 M.

Designamos a lasse de

M= = fa ; a 2 M g: De nimos uma estrutura natural de monoide em M= por (a )(b ) = (ab)

(a; b 2 M )

sendo 1 o elemento neutro. O fa to de  ser uma ongru^en ia garante que esta opera ~ao esta bem de nida e M= diz-se o monoide quo iente de M por  . Sejam M; N monoides. Uma fun ~ao ' : M ! N diz-se um homomor smo (de monoides) se 1' = 1 e (ab)' = (a')(b') para todos a; b 2 M . Um homomor smo bije tivo diz-se um isomor smo, e e imediato que a fun ~ao inversa de um isomor smo e tambem um isomor smo. Se existir um isomor smo entre dois monoides M e N , dizemos que estes s~ao isomorfos e es revemos M ' N . O resultado seguinte mostranos que os on eitos de ongru^en ia e homomor smo est~ao intimamente ligados. Teorema 1.1 Seja ' : M ! N um homomor smo de monoides e seja  uma ongru^en ia em M . (i) A proje  ~ao

 : M ! M= a 7! a e um homomor smo sobreje tivo de monoides. 3

(ii) Se 

 Ker', ent~ao

: M= ! N a 7! a' e um homomor smo de monoides, e o diagrama

M 



'

/N z= z zz zz zz 

M=

omuta. (iii) A rela ~ao

Ker' = f(a; b) 2 M  M : a' = b'g e uma ongru^en ia em M , M' e um submonoide de N e M' ' M=Ker'. Dem. Exer   io.  Sejam  e  ongru^en ias num monoide M tais que    . (i) A rela ~ao = = f(a; b ) : (a; b) 2  g e uma ongru^en ia em M= .

Teorema 1.2

(ii) (M= )=(= ) ' M= . Dem. Exer   io.  Exemplo 1.3

Consideremos o monoide (N0 ; +). Para todo p 2 N0 , temos

p = fkp; k 2 N0 g;

fp; p + 1g = fkp + j ; k 2 N0; 0  j  kg: Se p > 1, o maior inteiro n~ao perten ente a fp; p + 1g e (p 2)p + (p 1) = p2

p 1:

Dados m 2 N0 e p 2 N, seja m;p a ongru^en ia em N0 gerada pela rela ~ao m = m + p. E fa il de ver que um;p = vm;p se e so se u = v ou

u; v  m

E imediato que

e

p j u v:

=m;p = f0m;p; :::; (m + p 1)m;p g; e todos estes elementos s~ao distintos. Vamos determinar quantos idempotentes existem. Seja u 2 f0; :::; m + p 1g. Ent~ao um;p = (u + u)m;p se e so se u = 0 ou u  m om p j u. Como existe exa tamente um inteiro u 2 fm; :::; m + p 1g tal que p j u, resulta que, se m > 0, N0 =m;p tem dois idempotentes; se m = 0, 0m;p e o uni o idempotente de N0 =m;p .  4 N0

Seja agora X um onjunto (n~ao vazio). Uma transforma ~ao par ial de X e uma fun ~ao da forma f : Y ! X , om Y  X . Dizemos que Y e o domnio de f , om nota ~ao domf , e que Y f e a imagem de f , om nota ~ao imf . Seja P T (X ) o onjunto de todas as transforma ~oes par iais de X . De nimos uma opera ~ao de omposi ~ao em P T (X ) do seguinte modo: se f; g 2 P T (X ), fg e de nida por dom(fg ) = (imf \ domg )f 1 e x(fg ) = (xf )g para todo x 2 dom(fg ). Exer   io 1.4 Mostre que P T (X ), munido desta opera

~ao de omposi ~ao, onstitui um monoide.  Seja T (X ) o submonoide de P T (X ) onstitudo pelas transforma ~oes de domnio X . Vejamos que todo o monoide pode ser visto omo um submonoide de T (X ) para algum X . Teorema 1.5 Seja M um monoide. Ent~ ao M e isomorfo a um submonoide de T (X ) para algum onjunto X . Dem. Seja X = M enquanto onjunto, e onsideremos a fun

~ao ' : M ! T (X ) a 7! 'a onde 'a : X ! X e de nida por x'a = xa. Dados a; b; x 2 M , temos x'ab = x(ab) = (xa)b = x'a 'b e logo 'ab = 'a 'b . Por outro lado, '1 = 1, logo ' e um homomor smo. Se 'a = 'b , ent~ao a = 1'a = 1'b = b, pelo que ' e inje tivo e M e isomorfo ao submonoide f'a; a 2 M g de T (X ).  Dado um onjunto X , uma palavra em X e uma sequ^en ia nita de elementos de X , que representamos na forma x1 :::xn (n  1; xi 2 X ) se for n~ao vazia, ou pelo smbolo 1 se for vazia. De nimos o omprimento da palavra u = x1 :::xn omo sendo j u j = n, de nindo tambem j 1 j = 0. Designamos por X  o

onjunto de todas as palavras em X , e identi amos os elementos de X (apelidados de letras) om as palavras de omprimento 1 orrespondentes. Neste ontexto, e habitual referirmo-nos a X omo um alfabeto. Se X e um alfabeto, assumimos sempre que 1 n~ao designa nenhum elemento de X . De nimos em X  uma opera ~ao binaria dita de on atena ~ao, de nida por (x1 :::xn )
(x01 :::x0m ) = x1 :::xn x01 :::x0m u
1= 1
u=u para todos xi ; x0j 2 X e u 2 X  . E imediato que X  , munido da opera ~ao de

on atena ~ao , onstitui um monoide em que a palavra vazia 1 e o elemento neutro. Dizemos que X  e o monoide livre sobre o onjunto X , pois X  satisfaz a seguinte propriedade (propriedade universal): 5

Seja X um onjunto, seja M um monoide e seja ' : X ! M uma fun ~ao qualquer. Ent~ao existe um e um so homomor smo  : X  ! M tal que o diagrama Teorema 1.6

X _

'

/M {= { { {{  {{ 

X

omuta. Dem. De nimos o homomor smo  por

(x1 :::xn ) = (x1 )':::(xn )' para toda a palavra n~ao vazia x1 :::xn (xi 2 X ), e 1 = 1. E imediato que  satisfaz as ondi ~oes do enun iado, e a uni idade resulta do fa to de X ser um onjunto de geradores de X  .  Mostre que, dado um onjunto X , a propriedade universal ara teriza o monoide livre sobre X a menos de isomor smo.  A propriedade universal permite-nos mostrar fa ilmente que todo o monoide M e isomorfo a um quo iente de algum monoide livre. Com efeito, seja X um onjunto de geradores de M (por exemplo, o proprio M ), e seja ' a in lus~ao. Ent~ao : X  ! M e um homomor smo sobreje tivo e logo M ' X  =Ker pelo Teorema 1.1(iii). Uma express~ao formal do tipo Mon < X ; R >, em que X e um onjunto e R e uma rela ~ao em X  , diz-se uma apresenta ~ao de monoides. O monoide de nido por esta apresenta ~ao e o quo iente X  =R℄ . Se j R j = 1, dizemos que a apresenta ~ao tem uma uni a rela ~ao. Resulta do omentario anterior que todo o monoide pode ser de nido, a menos de isomor smo, por uma apresenta ~ao. A teoria ombinatoria de semigrupos tem omo prin ipais obje tivos o estudo dos monoides (semigrupos) livres e apresenta ~oes orrespondentes, om espe ial destaque para os problemas algortmi os que estas ultimas sus itam. Para que uma apresenta ~ao represente e azmente um monoide, e ne essario que disponhamos de meios para extrair da apresenta ~ao toda a informa ~ao basi a julgada essen ial para a ompreens~ao do monoide onsiderado. Em parti ular, o problema da palavra para uma apresenta ~ao Mon < X ; R > assume import^an ia fundamental: Exer   io 1.7



Dados u; v 2 X  , e de idvel se uR℄ = vR℄ ?

Mesmo que nos limitemos a apresenta ~oes nitas (X e R nitos), a generalidade dos problemas da palavra revela-se inde idvel. Os primeiros exemplos de inde idibilidade para apresenta ~oes nitas foram produzidos por Markov [15℄ e Post [18℄ em 1947. 6

2 Monoides inversos Vamos agora introduzir on eitos e resultados basi os envolvendo monoides inversos. Para mais detalhes, a onselha-se a onsulta de [17℄. Seja M um monoide. Dizemos que M e regular se

8a 2 M 9b 2 M : aba = a: Um elemento x 2 M diz-se um inverso de a 2 M se axa = a e xax = x. Se M e regular, todo a 2 M tem um inverso: se aba = a, ent~ao bab e um inverso de a. Dizemos que M e inverso se ada a 2 M tem exa tamente um inverso, que denotamos por a 1 . E imediato que se M e inverso e a 2 M , ent~ao (a 1 ) 1 = a. Teorema 2.1

Um monoide M e inverso se e so se e regular e os seus idempotentes

omutam. Dem. Suponhamos que M  e inverso. Ent~ao M e trivialmente regular. Sejam e; f E (M ). Tomando x = (ef ) 1 , temos

efxef = ef

e

2

xefx = x:

Daqui resulta que

ef (fxe)ef = ef

(fxe)ef (fxe) = fxe;

e

logo fxe = x por uni idade do inverso de ef . Mas ent~ao

x2 = fxefxe = fxe = x; logo x e inverso de x e x = ef por uni idade do inverso de x. A abamos assim de demonstrar que o produto de idempotentes de M e ainda um idempotente. Logo

ef = efef = ef (fe)ef

e

fe = fefe = fe(ef )fe;

donde resulta que ef = fe por uni idade do inverso de ef . Re ipro amente, suponhamos que M e regular e que os idempotentes de M omutam. Seja a 2 M e sejam x; y 2 M inversos de a. Como ax; xa; ay; ya 2 E (M ), resulta que

x = xax = xayax = yaxax = yayax = yaxay = yay = y; logo M e um monoide inverso.



Resulta do teorema que se M e inverso e a; b 2 M , ent~ao

ab(b 1 a 1 )ab = aa 1 abb 1 b = ab; 7

b 1 a 1 (ab)b 1 a 1 = b 1 bb 1 a 1 aa 1 = b 1 a 1 ; logo (ab) 1 = b 1 a 1 . Casos parti ulares importantes de monoides inversos s~ao os grupos e os semi-reti ulados, que passamos a de nir. Dizemos que um monoide G e um grupo se

8a 2 G 9b 2 G : ab = ba = 1: Obviamente, G e regular, e e fa il de ver que 1 e o uni o idempotente de G; logo G e um monoide inverso. Podemos de nir um semi-reti ulado omo sendo um monoide omutativo em que todos os elementos s~ao idempotentes. Pelo teorema anterior, e imediato que todo o semi-reti ulado E e um monoide inverso. O uso do termo semi-reti ulado deve-se ao seguinte fa to: se de nirmos uma rela ~ao de ordem par ial em E por

ef

se

ef = e;

ent~ao quaisquer dois elementos e; f 2 E t^em n mo em (E; ), a saber, e ^ f = ef . Re ipro amente, se (E; ) e um onjunto par ialmente ordenado em que quaisquer dois elementos e; f t^em n mo e ^ f , ent~ao (E; ^) onstitui um semigrupo omutativo em que todos os elementos s~ao idempotentes (para que (E; ^) onstitua um monoide, e ne essario que (E; ) tenha um maximo). Em parti ular, dado um monoide inverso M qualquer, E (M ) e um submonoide de M que onstitui um semi-reti ulado. E habitual designar E (M ) omo o semi-reti ulado dos idempotentes de M . A rela ~ao de ordem par ial do semi-reti ulado E (M ) pode ser estendida a uma rela ~ao de ordem par ial em M , designada por ordem par ial natural: dados a; b 2 M , es revemos

ab

se

a = eb para algum e 2 E (M ):

Obviamente,  e re exiva, pois a = (aa 1 )a para todo a 2 M . Se a = eb e b = f

om e; f 2 E (M ), ent~ao a = (ef ) , logo  e transitiva. Finalmente, se a = eb e b = fa, om e; f 2 E (M ), ent~ao a = eb = e2 b = ea e logo

b = fa = fea = efa = eb = a; pelo que  e de fa to uma rela ~ao de ordem par ial em M . Note-se ainda que (i) a  b ) (a  b

(ii) a  b ) a

1

b

^ a  b);

1.

Com efeito, se a = eb om e 2 E (M ), ent~ao a = e(b ), a = eb = ( e 1 )( b), e a 1 = b 1 e = (b 1 eb)b 1 . Outra rela ~ao de grande import^an ia para um monoide inverso M e a rela ~ao R de nida por (a; b) 2 R se aa 1 = bb 1 : 8

E imediato que R e uma rela ~ao de equival^en ia em M , e e usual representar a R- lasse de equival^en ia de a por Ra . Analogamente, de nimos a rela ~ao dual L por (a; b) 2 L

a 1 a = b 1 b:

se

A omposi ~ao D = R Æ L e de nida por (a; b) 2 D

se

existe 2 M tal que (a; ) 2 R e ( ; b) 2 L:

Dizemos que as rela ~oes R, L e D s~ao rela ~oes de Green. Exer   io 2.2 Seja M um monoide inverso e sejam a; b 2 M . Mostre que: (i) aRb se e so se aM = bM ; (ii) aLb se e so se Ma = Mb;

D = L Æ R; (iv) D e uma rela ~ao de equival^en ia em M .  Seja M um monoide inverso. Dado A  M , es revemos A 1 = fa 1 ; a 2 M g:

(iii)

Um submonoide inverso de M e um submonoide N de M tal que N 1 = N . E imediato que N om a opera ~ao binaria induzida de M onstitui tambem um monoide inverso. Dado um sub onjunto A  M qualquer, o submonoide inverso de M gerado por A e (A [ A 1 ) . Relativamente a ongru^en ias, temos que: Teorema 2.3 Seja M um monoide inverso e seja  uma ongru^ en ia em M . Ent~ao M= e um monoide inverso.  imediato que M= e regular. Sejam a; b 2 E (M= ). E fa il de ver que Dem. E

a = (a )2 = [a(a 1 a)(aa 1 )a℄ = [(aa)a 1 a 1 (aa)℄ = [(aa 1 )(a 1 a)℄ = [(aa 1 )(a 1 a)(aa 1 )℄ = (aaa 1 ) = (aa 1 ): Analogamente, b = (bb 1 ) , logo (a )(b ) = (aa 1 bb 1 ) = (bb 1 aa 1 ) = (b )(a ) e M= e inverso pelo Teorema 2.1.



9

Resulta fa ilmente dos Teoremas 1.1(iii) e 2.3 que toda a imagem homomorfa de um monoide inverso e ainda um monoide inverso. Vamos agora ver que os monoides inversos podem ser representados por monoides de transforma ~oes par iais inje tivas. Dado um onjunto X , designamos por P I (X ) o submonoide de P T (X ) onstitudo pelas transforma ~oes par iais inje tivas de X . E imediato que se f : Y ! Z e uma bije  ~ao om Y; Z  X , ent~ao a fun ~ao inversa f 1 : Z ! Y satisfaz ff 1 f = f e f 1 ff 1 = f 1 . Alem disso. os idempotentes de P I (X ) s~ao pre isamente as restri ~oes 1Y (Y  X ) da fun ~ao identidade 1 : X ! X ;

omo 1Y 1Z = 1Y \Z = 1Z 1Y para todos Y; Z  X , resulta que os idempotentes de P I (X ) omutam e P I (X ) e um monoide inverso. Teorema 2.4 Um monoide M  e inverso se e so se, para algum onjunto X , M e isomorfo a algum submonoide de P I (X ) fe hado para fun ~oes inversas. Dem. A impli a

~ao re pro a resulta fa ilmente dos omentarios anteriores. Suponhamos agora que M e inverso e seja X = M enquanto onjunto. Para ada a 2 M , de nimos a fun ~ao a : Ma 1 ! M x 7! xa: Dados x; y 2 Ma 1 , temos

xa = ya ) xa = ya ) xaa 1 = yaa

1

) x = y;

logo a 2 P I (X ). Seja N = fa ; a 2 M g. Dados a; b 2 M , temos dom(a b ) = (ima \ domb )a 1 = (Ma 1 a \ Mb 1 )a 1 : Vejamos que dom(a b ) = Mb 1 a 1 = domab . Se x 2 dom(a b ), ent~ao x 2 Ma 1 , logo x = xaa 1 e xa = xa 2 Mb 1 impli a x = xaa 1 2 Mb 1 a 1 . Re ipro amente, suponhamos que x = yb 1 a 1 , om y 2 M . Ent~ao xa = yb 1 a 1 a = yb 1a 1 abb 1 , logo xa = xa 2 Ma 1 a \ Mb 1 . Logo x 2 dom(a b ) e dom(a b ) = domab , donde resulta imediatamente que a b = ab . Como 1 = 1, on lui-se que N e um submonoide de P I (X ). Por outro lado, temos doma = Ma

1

= Maa

1

= M (a 1 ) 1 a

1

= ima 1 ;

ima = Ma 1 a = Ma = M (a 1 ) 1 = doma 1 ; alem disso, para todo y 2 Ma, temos ya 1 a = ya 1 a = y , logo a 1 = a fe hado para fun ~oes inversas. Consideremos agora : M ! N a 7! a : 10

1

e N e

Resulta do que vimos anteriormente que  e um homomor smo sobreje tivo de monoides. Por outro lado, sejam a; b 2 M tais que a = b . Ent~ao aa 1 2 Ma 1 = doma = domb e logo a = (aa 1 )a = (aa 1 )b = (aa 1 )b; donde resulta que a  b. Re ipro amente, obtemos b  a, logo a = b e  e um isomor smo.  Dado um onjunto X , designamos por S (X ) o submonoide de T (X )

onstitudo pelas permuta ~oes de X . Mostre que:

Exer   io 2.5

(i) S (X ) e um grupo; (ii) dado um grupo G, existe um onjunto X tal que G e isomorfo a um subgrupo de S (X ) (Teorema de Cayley). 

3 Grupos livres Vamos agora demonstrar a exist^en ia, para qualquer onjunto X , de um grupo F G(X ), dito o grupo livre sobre X , que satisfaz a propriedade universal relativamente a lasse de todos os grupos. O onhe imento da estrutura do grupo livre e essen ial para ompreender o monoide inverso livre. Em termos de teoria ombinatoria de grupos, [9℄ onstitui uma boa refer^en ia. Seja X um onjunto. De nimos um onjunto X 1 = fx 1 ; x 2 X g de inversos formais dos elementos de X , isto e, um onjunto X 1 disjunto de X tal que 1:

X !X 1 x 7! x 1

e uma bije  ~ao. Vamos xar a nota ~ao

X = X [ X 1:

Estendemos a fun ~ao

1

 a uma involu ~ao do monoide livre X atraves de

(x 1 )

1

(x 2 X );

=x

(x1 :::xn ) 1 = xn 1 :::x1 1 1 1 = 1:  Seja  a ongru^en ia em X gerada pela rela ~ao e seja F G(X ) = X  = .

(xi 2 X );

f(uu 1; 1); u 2 X g 11

Teorema 3.1

(i) F G(X ) e um grupo;

(ii) se G e um grupo e ' : X ! G e uma fun ~ao qualquer, ent~ao existe um e um so homomor smo : F G(X ) ! G tal que o diagrama '

X

/G ; ww w w w ww ww 





F G(X )

omuta, onde  : X ! F G(X ) e de nida por x = x .  Dem. (i) Para todo u 2 X , temos

(u )(u 1 ) = (uu 1) = 1 = (u 1 u) = (u 1 )(u ); logo F G(X ) e um grupo. (ii) Seja ' : X ! G uma fun ~ao de X num grupo G. Podemos estender ' a uma fun ~ao '1 : X ! G fazendo x 1 ' = (x' ) 1 para todo x 2 X . Pelo Teorema 1.6,  existe um e um so homomor smo 1 : X ! G tal que o diagrama

X _

1 / G

'

~> ~~ ~ ~~  ~~ 1

X



omuta. Alem disso, para quaisquer xi 2 X , temos (x1 :::xn ) 1 1 = (xn 1 :::x1 1 )1 = (xn 1 '1 ):::(x1 1 '1 ) = (xn '1 ) 1 :::(x1 '1 ) 1 = [(x1 '1 ):::(xn '1 )℄ = [(x1 :::xn )1 ℄ 1 ;

1



logo u 1 1 = (u1 ) 1 para todo u 2 X . Como G e um grupo, resulta que   Ker1 ; pelo Teorema 1.1(ii), podemos de nir um homomor smo : F G(X ) ! G por (u ) = u1 . Para todo x 2 X , temos

x = (x ) = x1 = x'1 = x'; logo  satisfaz as ondi ~oes do enun iado. A uni idade de  resulta do fa to de F G(X ) ser gerado, enquanto grupo, pelos elementos x (x 2 X ). 

12

Para resolver o problema da palavra para a ongru^en ia  , pre isamos de introduzir alguns on eitos. Dadas palavras u; v 2 X  , dizemos que v e um fa tor de u se u = avb para algumas palavras a; b 2 X  . Uma palavra u 2 X diz-se reduzida se n~ao tiver fa tores da forma xx 1 , om x 2 X . Designamos o sub onjunto das palavras reduzidas de X por RX . Sejam u; v 2 X . Dizemos que v se obtem a partir de u por redu ~ao simples e es revemos u ` v se existirem a; b 2 X e x 2 X tais que u = axx 1 b e v = ab.  Dizemos que v se obtem a partir de u por redu ~ao e es revemos u ` v se v = u ou v resulta de u por um numero nito de redu ~oes simples. No resultado seguinte provamos a hamada on u^en ia do pro esso de redu ~ao.  Lema 3.2 Sejam u; v; w 2 X . 

(i) Se u ` v e u ` w, ent~ao v = w ou existe z 2 X tal que v ` z e w ` z . 









(ii) Se u ` v e u ` w, ent~ao existe t 2 X tal que v ` t e w ` t. 

(iii) Existe uma e uma so palavra s 2 RX tal que u ` s. 

(i) Sejam a; b; a0 ; b0 2 X e x; y 2 X tais que u = axx 1 b = a0 yy 1b0 , v = ab e 0 w = a b0 . Se 1  j a j j a0 j  1, e fa il de ver que v = w. Caso ontrario, podemos assumir que j a j  j a0 j +2 e podemos es rever a = a0 yy 1p e b0 = pxx 1 b para algum  p2X .

Dem.

 

a

/

0



a

y

/



y

1

/

/





x

/



x

1

0

/



b

/

/

b

 

Fazendo z = a0 pb, e imediato que v ` z e w ` z . (ii) Resulta imediatamente de (i), onsiderando um diagrama do tipo

u

=

u11

/ u12 /

/ u1n =

u21 

 / u22 /

 / u2n







w = um1 / um2 onde a ! b representa a = b ou a ` b. 

v



/

13

/

umn 

=

t



(iii) Como a ` b impli a j b j < j a j para todos a; b 2 X , qualquer adeia de redu ~oes e nita e existe ne essariamente uma palavra s 2 RX obtida a partir de u por redu ~ao. A uni idade resulta de (ii), pois uma palavra reduzida n~ao admite redu ~oes simples.  



Designamos por  : X ! RX a fun ~ao que asso ia a ada palavra u 2 X a uni a  palavra s 2 RX tal que u ` s. Exemplo 3.3 Seja X = fx; y; z g. Ent~ ao (yxyy 1x 1 z 1 zy 1 ) = 1; (xyx 1 ) = xyx 1 ; 1 = 1:  Teorema 3.4



(i) Para todos u; v 2 X ,

u = v , u = v: (ii) O problema da palavra para Mon < X ;  > e de idvel. Dem. (i) Para mostrar a impli a

~ao dire ta, basta observar que (aww 1b) = (ab)   para todos a; b; w 2 X . Re ipro amente, sejam u; v 2 X tais que u = v. Resulta das de ni ~oes que u = (u) = (v) = v . (ii) Dados u; v 2 X , podemos onstruir efe tivamente u e v e determinar se s~ao ou n~ao iguais. 

Seja Æ a opera ~ao binaria em RX de nida por u Æ v = (uv ). Como a redu ~ao e

on uente, Æ e asso iativa, e resulta imediatamente que (RX ; Æ) onstitui um grupo. Pelo teorema anterior, F G(X ) ! (RX ; Æ) u 7! u e um isomor smo, logo (RX ; Æ) pode ser visto omo o grupo livre sobre X . Embora n~ao referido expli itamente, este fa to estara subja ente em muitos resultados posteriores. Exer   io 3.5 Seja g 2 F G(X ) e seja n  1. Mostre que

g n = 1 ) g = 1:  Uma apresenta ~ao de grupos e uma express~ao formal do tipo Gp < X ; R >,  onde X designa um onjunto e R uma rela ~ao em X . O grupo de nido por esta apresenta ~ao e o quo iente G = X =( [ R)℄ .

14

4 Monoides inversos livres Nesta se  ~ao demonstraremos a exist^en ia, para qualquer onjunto X , de um monoide inverso F IM (X ), dito o monoide inverso livre sobre X , que satisfaz a propriedade universal relativamente a lasse de todos os monoides inversos. Seja X um onjunto. Tal omo no aso do grupo livre, onsideramos de novo o  monoide livre X e a involu ~ao X ! X u 7! u 1 : 

Seja  a ongru^en ia em X gerada pela rela ~ao

f(uu 1u; u); u 2 X  g [ f(uu 1vv 1; vv 1uu

1 ); u; v



2 X  g:



Dizemos que  e a ongru^en ia de Vagner em X e de nimos F IM (X ) = X =. Teorema 4.1 (i) F IM (X ) e um monoide inverso; (ii) se M e um monoide inverso e ' : X ! M e uma fun ~ao qualquer, ent~ao existe um e um so homomor smo : F IM (X ) ! M tal que o diagrama

X 



'

/M : tt t t t tt tt 

F IM (X )

omuta, onde  : X ! F IM (X ) e de nida por x = x.  1 1 Dem. (i) Para todo u 2 X , temos u = (uu u) = (u)(u )(u), logo F IM (X ) e regular. Suponhamos agora que e 2 E [F IM (X )℄. Ent~ao

e = e2  = [e(e 1 e)(ee 1 )e℄ = [e(ee 1 )(e 1 e)e℄ = (ee 1 )(e 1 e): Dados e; f 2 E [F IM (X )℄, resulta que (e)(f) = (ee 1 )(e 1 e)(ff 1 )(f 1 f ) = (ff 1)(f 1 f )(ee 1 )(e 1 e) = (f)(e) e F IM (X ) e um monoide inverso pelo Teorema 2.1. Note-se ainda que (u) 1 = u 1 para todo u 2 X . (ii) Seja ' : X ! M uma fun ~ao de X num monoide inverso M . Analogamente ao Teorema 3.1, podemos estender ' a uma fun ~ao '1 : X ! M fazendo x 1 ' = (x') 1 15

para todo x 2 X . Pelo Teorema 1.6, existe um e um so homomor smo 1 : X tal que o diagrama



!M

1 / M

'

X _

> }} } } }}  }} 1

X

omuta. Alem disso, para quaisquer xi 2 X , temos tambem (x1 :::xn ) 1 1 = (xn 1 :::x1 1 )1 = (xn 1 '1 ):::(x1 1 '1 ) = (xn '1 ) 1 :::(x1 '1 ) 1 = [(x1 '1 ):::(xn '1 )℄ = [(x1 :::xn )1 ℄ 1 ;

1



logo u 1 1 = (u1 ) 1 para todo u 2 X . Como M e inverso, resulta que   Ker1 e, pelo Teorema 1.1(ii), podemos de nir um homomor smo  : F IM (X ) ! M por (u) = u1 . Para todo x 2 X , temos x = (x) = x1 = x'1 = x', logo  satisfaz as ondi ~oes do enun iado. A uni idade de  resulta do fa to de F IM (X ) ser gerado, enquanto monoide inverso, pelos elementos x (x 2 X ).  A exist^en ia do monoide inverso livre foi demonstrada em 1961 por V. V. Vagner [28℄. Naturalmente, qualquer progresso signi ativo na ompreens~ao da estrutura de F IM (X ) dependia da resolu ~ao do problema da palavra para a ongru^en ia de Vagner . So 12 anos mais tarde e que este problema seria resolvido. Para apresentar a solu ~ao, vamos ne essitar de algumas no ~oes de teoria de linguagens e automatos. Exer   io 4.2 Seja X um onjunto n~ ao vazio e seja x 2 X . Seja R um sub onjunto nito de f(uu 1u; u); u 2 X  g [ f(uu 1vv 1; vv 1uu 1); u; v 2 X  g;  e seja n 2 N tal que j a j; j b j > n para todo (a; b) 2 R. Dada u 2 X , es revemos u j= Y se existir um fa tor v de u tal que v = xn . Mostre que u j= Y e uR℄ = u0 R℄ ) u0 j= Y:  O exer  io anterior pode ser usado para obter o resultado seguinte, provado originalmente por B. S hein em [20℄. Exer   io 4.3 Mostre que se X  e um onjunto n~ao vazio, a ongru^en ia de Vagner   em X n~ao e nitamente gerada. 

5 Automatos Vamos agora introduzir algumas no ~oes basi as sobre automatos. Para uma abordagem geral desta materia, ver [5℄ ou [7℄. 16

Seja X um alfabeto. Um sub onjunto L  X  diz-se uma X -linguagem. Um X -1-grafo e um par ordenado = (V; E ), onde V e um onjunto e E  V  (X [ f1g)  V: Es revemos V ( ) = V e E ( ) = E , e designamos os seus elementos por verti es e arestas de , respe tivamente. Dizemos que e nito se V e E forem nitos. Se E  V  X  V , dizemos que e um X -grafo. Por vezes, sera onveniente usar a nota ~ao

E 1 ( ) = E ( ) [ f(q; 1; q ); q 2 V ( )g: Seja um X -1-grafo. Um aminho em e uma sequ^en ia do tipo n 1 2 q0 x! q1 x! ::: x! qn onde n  0 e (qj 1 ; xj ; qj ) 2 V ( ) para todo j 2 f1; :::; ng. A palavra x1 :::xn diz-se o rotulo do aminho (assumimos que 1 e a palavra vazia em X ). Se n  1, o aminho diz-se n~ao-trivial, e se qn = q0 , o aminho diz-se fe hado. Dizemos que e onexo se, para todos p; q 2 V ( ), existir um aminho em da forma p ! q . Dizemos que e determinsti o se for um X -grafo e (p; x; q ); (p; x; q 0) 2 E ( ) ) q = q 0 para todos p; q; q 0 2 V ( ) e x 2 X . Dizemos que e inje tivo se satis zer a

ondi ~ao dual (p; x; q ); (p0; x; q ) 2 E ( ) ) p = p0 para todos p; p0 ; q 2 V ( ) e x 2 X . Dado um onjunto X , de nimos um X -1-automato omo sendo uma estrutura da forma A = (I; ; F ), onde e um X -1-grafo e I; F  V ( ). Dizemos que I; F e s~ao, respe tivamente, o onjunto dos verti es ini iais, onjunto dos verti es nais e grafo de A. Se for um X -grafo, dizemos que A e um X -automato. Podemos denotar por V (A) o onjunto dos verti es do grafo de A e por E (A) o onjunto das arestas do grafo de A. Na des ri ~ao gra a de um automato, um verti e ini ial i e um verti e nal f s~ao identi ados respe tivamente pelos smbolos !i e f! Um aminho em A e um aminho n 1 2 q0 x! q1 x! ::: x! qn no grafo de A. Se q0 2 I e qn 2 F , o aminho diz-se bem-su edido. A linguagem re onhe ida por A e a linguagem L(A) onstituda pelos rotulos dos aminhos bem-su edidos de A. Um X -1-automato diz-se nito (determinsti o, onexo) se o seu grafo for nito (determinsti o, onexo). E ainda habitual exigir que um automato determinsti o tenha um uni o verti e ini ial. Conven ~oes semelhantes ser~ao usadas para outros on eitos. 17

Exemplo 5.1

Seja X = fx; y g e seja A o X -automato nito des rito por y

 _@@ /

y

@@ @ y @@



/ ~ ~ ~ ~~x ~ ~

 /

O automato A e determinsti o, inje tivo e onexo, e

Exemplo 5.2

L(A) = (yy xy ) yy :  Seja X = fx; y g e seja B o X -1-automato nito des rito por y

o

/

 _@@

x

@@ @ y @@

Ent~ao L(B) = (xy  x y ) (1 [ xy  ).



/ ~~ ~ ~~ ~~ 1 c



 /

x

Uma X -linguagem L diz-se re onhe vel se L = L(A) para algum X -automato nito A. Designamos o onjunto das X -linguagens re onhe veis por Re X . E fa il de ver que toda a linguagem re onhe vel e re ursiva, no seguinte sentido: dado um X -automato nito A e u 2 X  , e possvel determinar efe tivamente se u 2 L(A) ou n~ao. Com efeito, o numero de aminhos de rotulo u em A e nito; basta veri ar se algum desses aminhos e bem-su edido. Vamos agora mostrar que a lasse das linguagens re onhe idas por X -1-automatos nitos e ainda Re X . Teorema 5.3 Seja A = (I; ; F ) um X -1-aut omato nito. Ent~ao podemos onstruir 0 0 efe tivamente um X -automato nito A = (I ; 0 ; F 0 ) tal que L(A0 ) = L(A) e V ( 0 ) = V ( ). Dem. Seja

U = f(p; q ) 2 V ( )  V ( ) : existe um aminho p

1 ! q em Ag:

1 Obviamente, se existir um aminho ! : p ! q em A, ent~ao podemos assumir que j ! j  j V ( ) j; resulta assim que e de idvel se um tal aminho existe e logo U e efe tivamente onstruvel. Seja E0 = f(p; x; q ) 2 E ( ) : x 2 X g. De nimos um X -grafo 0 por:

 V(  E(

0 ) = V ( ), 0 ) = f(p; x; r); (p; x; q ) 2 E0 e (q; r) 2 U g,

18

e um X -automato nito A0 = (I 0 ; 0 ; F ), onde

I 0 = fq 2 V ( ) : (i; q ) 2 U para algum i 2 I g: Suponhamos que u 2 L(A). Ent~ao existe um aminho em A da forma 1 1 1 1 2 ! q0 ! p1 ! q1 ! p2 ! ::: !q ! p +1 !

om u = u1 :::u (m  0), tal que todas as arestas nos aminhos p !q est~ao em E0 . Alem disso, podemos fa torizar o aminho p !q na forma p !r !q ; onde x 2 X e v 2 X  . Resulta das de ni ~oes que p1 2 I 0 e (r ; x ; p +1) 2 E ( 0 ) para todo j = 1; :::; m. Logo temos em A0 um aminho da forma 1 1 2 2 ! p1 ! r1 ! p2 ! r2 ! ::: !r !p +1 ! e u = v1 x1 v2 x2 :::v x 2 L(A0 ). Re ipro amente, suponhamos que u 2 L(A0 ). Ent~ao existe em A0 um aminho da u

u

um

m

j

vj

j

j

xj

j

m

m

j

uj

j

j

m

forma

x

v

x

j

j

j

v

uj

vm

m

xm

j

j

m

m

1 2 ! q0 ! q1 ! ::: !q ! x

x

xn

n

om u = x1 :::xn e xj 2 X . Resulta da de ni ~ao de E ( 0 ) que, para todo j 2 f1; :::; ng, existe (qj 1 ; xj ; pj ) 2 E0 tal que (pj ; qj ) 2 U . Por outro lado, (i; q0 ) 2 U para algum i 2 I , logo existe em A um aminho da forma 1 1 1 1 2 !i ! q0 ! p1 ! q1 ! ::: !p ! q ! e logo u = x1 :::x 2 L(A0 ). Logo L(A) = L(A0 ).  x

x

xn

n

n

n

Exemplo 5.4

Seja X = fx; y; z g e seja A o X -1-automato des rito por x

/ q1 O 

z;1

/ q2 y;1

y

o

q4 o

x

q3R 

z

Temos

U = f(qj ; qj ); j 2 f1; 2; 3; 4gg [ f(q1 ; q2 ); (q1 ; q3 ); (q2 ; q3 )g; logo o X -automato A0 des rito por 19

x

o

 z;x / q1 / q2 o O BB > | BB y || BB | BB ||| | y y ||BBB | | BB | x;z BB || B  || q4 o q o x @ 3Q z

y

re onhe e L(A).  A famlia Re X e fe hada para diversos operadores Booleanos e algebri os. O resultado seguinte eviden ia algumas dessas propriedades de fe ho, que se revelar~ao uteis posteriormente. 0 Teorema 5.5 Sejam A e A X -aut omatos nitos. Ent~ao podemos onstruir efe tivamente X -automatos nitos A1 ; A2; A3 e A4 tais que: (i) L(A1 ) = L(A) [ L(A0 );

(ii) L(A2 ) = L(A) \ L(A0 ); (iii) L(A3 ) = L(A)
L(A0 ); (iv) L(A4 ) = [L(A)℄ .

Suponhamos que A = (I; ; F ) e A0 = (I 0 ; 0 ; F 0 ). Sem perda de generalidade, podemos assumir que V ( ) \ V ( 0 ) = ;. (i) Seja 1 o X -grafo de nido por

Dem.

 V ( 1 ) = V ( ) [ V ( 0),  E ( 1) = E ( ) [ E ( 0). e seja A1 = (I [ I 0 ; 1 ; F [ F 0 ). E imediato que L(A1 ) = L(A) [ L(A0 ). (ii) Seja

2

o X -grafo de nido por

 V ( 2 ) = V ( )  V ( 0 ),  E ( 2) = f((p; p0); x; (q; q0)); (p; x; q) 2 E ( ); (p0; x; q0) 2 E ( 0)g. e seja A2 = (I  I 0 ; 2 ; F  F 0 ). Por de ni ~ao, 1 2 ! (q0; q00 ) ! (q1 ; q10 ) ! ::: !(q ; q 0 ) ! e um aminho em A2 se e so se 1 2 ! q0 ! q1 ! ::: !q ! x

x

x

x

20

xn

xn

n

n

n

e um aminho em A e

1 0 2 ! q00 ! q1 ! ::: !q 0 ! e um aminho em A0 . Logo L(A2 ) = L(A) \ L(A0 ). x

x

xn

n

(iii) Seja

3

o X -1-grafo de nido por

 V ( 3 ) = V ( ) [ V ( 0),  E ( 3) = E ( ) [ E ( 0) [ f(f; 1; i0); f 2 F; i0 2 I 0 g. e seja A03 = (I; 3; F 0 ). E imediato que L(A03 ) = L(A)
L(A0). Pelo teorema anterior, podemos onstruir efe tivamente um X -automato nito A3 tal que L(A3 ) = L(A03 ). (iv) Seja

4

o X -1-grafo de nido por

 V ( 4 ) = V ( ),  E ( 4) = E ( ) [ f(f; 1; i); f 2 F; i 2 I g. e seja A04 = (I; 4 ; F ). E imediato que [L(A)℄ = L(A04 ) [f1g. Pelo teorema anterior, podemos onstruir efe tivamente um X -automato nito A004 tal que L(A004 ) = L(A04 ). Considerando o X -automato ! i !, que re onhe e f1g, resulta de (i) que podemos

onstruir efe tivamente um X -automato nito A4 tal que L(A4 ) = [L(A)℄ .  Seja A = (i; ; F ) um X -automato nito determinsti o. Construa um X -automato nito determinsti o A0 tal que L(A0 ) = X  L(A).  Usando o teorema anterior, vamos mostrar que toda a X -linguagem nita e re onhe vel. A linguagem vazia e re onhe ida por qualquer automato sem estados ini iais. Por (i), basta-nos mostrar que toda a X -linguagem om um uni o elemento e re onhe vel. Como ja foi visto que 1 e re onhe vel, basta-nos mostrar, por (iii), que fxg e re onhe vel para todo x 2 X . Obviamente, o X -automato ! i x!f ! re onhe e fxg, logo todas as X -linguagens nitas s~ao re onhe veis. Exer   io 5.7 Mostre que  e de idvel se, dado um X -automato nito A, Exer   io 5.6

(i) L(A) e vazia; (ii) L(A) e nita.



6 Automatos duais e inversos Vamos agora onsiderar grafos sobre um alfabeto da forma X . Seja Dizemos que e dual se for onexo e (p; x; q ) 2 E ( ) , (q; x 1 ; p) 2 E ( ) 21

um X -1-grafo.

para todos p; q 2 V ( ) e x 2 X [ 1. Arestas da forma (p; x; q ) e (q; x 1 ; p) dizem-se duais. E habitual, ao des rever um grafo dual, representar uma uni a aresta de ada par de arestas duais. Dizemos que e inverso se for dual e determinsti o. Note-se que um X -grafo inverso e ne essariamente inje tivo. Um X -1-automato da forma A = (i; ; f ), onde e um X -1-grafo dual e i; f 2 V ( ), diz-se um X -1-automato dual. Se for inverso, dizemos que A e inverso. omato dual des rito por Exemplo 6.1 Seja X = fxg e seja A o X -aut

! i !q !f ! Ent~ao A e inverso e L(A) = x(x 1 x [ xx 1 ) x.  Dados dois X -automatos da forma A = (i; ; f ) e A0 = (i0 ; 0 ; f 0 ), dizemos que A e A0 s~ao isomorfos e es revemos A ' A0 se existir uma bije  ~ao ' : V ( ) ! V ( 0) x

x

tal que: (i) i' = i0 ; (ii) f' = f 0 ; (iii) 8p; q 2 V ( ) 8x 2 X; (p; x; q ) 2 E ( ) , (p'; x; q') 2 E ( 0 ). Por outras palavras, dois X -automatos s~ao isomorfos se diferem apenas na designa ~ao dos verti es, oin idindo em tudo o mais. No que nos diz respeito, onsideraremos automatos isomorfos omo sendo essen ialmente o mesmo automato. 0 0 0 ; f 0) dois X -automatos inversos. Teorema 6.2 Sejam A = (i; ; f ) e A = (i ; Ent~ao A ' A0 se e so se L(A) = L(A0 ). 0 0 e um isomor smo. Ent~ao, Dem. Suponhamos que A ' A e que ' : V ( ) ! V ( )  para todos qj 2 V ( ) e xj 2 X ,

i = q0

1 2 ! q1 ! ::: !q

x

x

xn

n

=f

e um aminho em A se e so se 1 2 ! q1 ' ! ::: !q ' = f 0 for um aminho em A0 . Logo L(A) = L(A0 ). Re ipro amente, suponhamos que L(A) = L(A0 ). Seja q 2 V (

onexo, existe em A um aminho da forma i !q !f: Como uv 2 L(A) = L(A0 ), existe em A0 um aminho da forma i0 !q 0 !f 0 :

i0 = q0 '

x

x

xn

u

v

u

v

22

n

). Como

e

De nimos q' = q 0 . Para ver que ' esta bem de nida, suponhamos que 1 f0 !1 q10 ! s~ao aminhos em A e A0 , respe tivamente. Ent~ao u1 v 2 L(A) = L(A0 ). Como uv; u1v 2 L(A0 ) e A0 e inje tivo, resulta que A0 tem um aminho da forma 1 0 i0 ! q !f 0 : Como A0 e determinsti o, resulta que q10 = q 0 e ' esta bem de nida. Analogamente, podemos de nir uma fun ~ao : V ( 0 ) ! V ( ) inversa da fun ~ao ',

i

1 q ! 1 f; !

u

i0

v

u

u

v

v

logo ' e bije tiva. Considerando q = i e u = 1, mostramos que i' = i0 ; onsiderando q = f e v = 1, mostramos que f' = f 0 . Finalmente, suponhamos que (p; x; q ) 2 E ( ) e

onsideremos um aminho v i u!p x!q ! f em A. Ent~ao temos em A0 um aminho

i0

!p0 !q0 !f 0

u

x

v

e, por de ni ~ao de ', resulta que p0 = p' e q 0 = q'. Logo (p'; x; q') impli a ~ao re pro a e analoga, logo A ' A0 . 

2 E(

0 ). A

Seja A = (i; ; f ) um X -automato inverso. Um aminho i u!q diz-se uma geodesi a de A se j u j for mnimo entre os rotulos dos aminhos de i a q . Uma vez que A e determinsti o, um aminho em A e determinado pelo seu rotulo; assim, dizemos tambem que u e uma geodesi a.  Lema 6.3 Seja A um X -aut omato inverso. Sejam p; q 2 V (A) e u; v 2 X tais que  u e rotulo de um aminho entre p e q , e u ` v . Ent~ao existe um aminho entre p e q de rotulo v . Dem. Exer   io.  Resulta do lema anterior que se u e uma geodesi a de A ent~ao u 2 RX . Dizemos que A e uma arvore se, para todos p; q 2 V (A), existe um so aminho entre p e q om rotulo em RX (pelo Lema 6.3, ha pelo menos um tal aminho, ja que A e onexo). Suponhamos agora que A = (i; ; f ) e uma arvore, e seja q 2 V ( ). Ent~ao existe um uni o aminho de rotulo reduzido entre i e q , que e tambem o uni o aminho de omprimento mnimo entre i e q , isto e, uma geodesi a; seja gq o rotulo desse

aminho; omo A e determinsti o, q e ompletamente determinado por gq , e podemos identi ar V ( ) om o onjunto G(A) = fgq ; q 2 V ( )g. A geodesi a gf diz-se a geodesi a prin ipal de A, sendo designada por Gp(A). Dadas palavras a e b num alfabeto Y , dizemos que b e pre xo de a e es revemos b p a se a = b para algum 2 Y  . 23



Seja A = (i; ; f ) um X -automato inverso e seja v 2 X . Se A e uma arvore, ent~ao v 2 L(A) se e so se Teorema 6.4

w 2 G(A) para todo w p v e v = Gp (A). Dem. Suponhamos que A  e uma arvore. Suponhamos que v 2 L(A) e seja w p v . Ent~ao existe um aminho da forma i w!q em A. Pelo Lema 6.3, existe um aminho i w!q em A. Como w 2 RX , resulta que w e uma geodesi a de A. Se w = v , ent~ao q = f , logo v e a geodesi a prin ipal de A. Vamos agora mostrar que se w 2 G(A) para todo w p v , ent~ao existe um v

aminho da forma i ! q em A, usando indu ~ao sobre j v j. A impli a ~ao e trivialmente veri ada para j v j = 0. Suponhamos que e valida  para j v j = k (k  0), e seja u 2 X tal que w 2 G(A) para todo w p u e j u j = k +1.  Seja u = vx, om v 2 X e x 2 X . Por hipotese de indu ~ao , existe um aminho da v forma i ! q em A, e onsequentemente um aminho i v!q . Suponhamos primeiro que v = zx 1 , om z 2 RX . Ent~ao temos em A um z x 1 v x

aminho i !p !q e logo um aminho i ! q ! p de rotulo u. Suponhamos agora que v n~ao e da forma zx 1 . Ent~ao (v)x = u 2 G(A), logo v (q; x; r) 2 E ( ) para algum r 2 V ( ) e i ! q x!r e um aminho em A de rotulo u. Logo a impli a ~ao e valida. Suponhamos agora que w 2 G(A) para todo w p v e v = Gp(A). Pela imv pli a ~ao que a abamos de demonstrar, existe um aminho i ! q em A, e logo um

aminho i v!q . Como v = Gp (A) e A e determinsti o, resulta que q = f e logo v 2 L(A). 

Em parti ular, resulta dos Teoremas 6.2 e 6.4 que se um X -automato inverso A e uma arvore, ent~ao A e ompletamente determinado pelo seu onjunto de geodesi as e pela sua geodesi a prin ipal. Exemplo 6.5 Seja X = fx; y; z g e seja A o X -aut omato inverso des rito por

O z

 Ent~ao A e uma arvore, G(A) = f1; x; xz; xy 1 ; xy 1 x 1 g e G (A) = xy 1 .  omato inverso. Mostre que as ondi ~oes Exer   io 6.6 Seja A = (i; ; f ) um X -aut /



O

x

/

o

y

o

x

p

seguintes s~ao equivalentes: (i) (ii)

A e uma arvore; n~ao existe em A nenhum aminho i !i om u 2 R u

24

X

f1g. 

Seja A = (i; ; f ) um X -1-automato dual. Estabele emos uma rela ~ao  em V ( ) do seguinte modo: dados p; q 2 V ( ), es revemos p  q se (r; x; p); (r; x; q ) 2 E 1 ( ) para alguns r 2 V ( ) e x 2 X [ 1: Suponhamos que p  q . Adaptando a nota ~ao tpi a das ongru^en ias, de nimos uma rela ~ao de equival^en ia  em V ( ) do seguinte modo: dado s 2 V ( ), es revemos

s =



fsg se s 6= p; q fp; qg se s = p ou s = q

De nimos o X -1-grafo = por

 V ( =) = fs; s 2 V ( )g;  E ( =) = f(s; y; t); (s; y; t) 2 E ( )g. e o X -1-automato

A= = (i; =; f):

Dizemos que A= e o X -1-automato obtido a partir de A por identi a ~ao dos verti es p e q . Obviamente, A= e ainda um X -1-automato dual. Se p 6= q e A0 e isomorfo a A=, es revemos A ` A0 e dizemos que A0 resulta de A por uma redu ~ao simples. Se A0 = A ou A0 resulta de A por um numero nito de redu ~oes simples, es reve mos A ` A0 e dizemos que A0 resulta de A por redu ~ao . E fa il de ver que um X 1-automato dual e determinsti o se e so se n~ao admite  redu ~oes simples. Se A ` A0 e A0 e determinsti o, dizemos que A0 resulta de A por redu ~ao total. Teorema 6.7 Sejam A, A1 e A2 X -1-aut omatos duais. (i) Se A ` A1 e A ` A2 , ent~ao A1 = A2 ou existe um X -1-automato dual A3 tal que A1 ` A3 e A2 ` A3 .

A ` A1 e  A ` A2, ent~ao existe um X -1-automato dual A3 tal que A1 ` A3 e A2 ` A3. (iii) Se A e nito, ent~ao existe um e um so X -automato inverso A0 (a menos de  isomor smo) tal que A ` A0 .  (iv) Se A ` A1 , ent~ao L(A)  L(A1 ). Dem. (i) Seja A = (i; ; f ). Sem perda de generalidade, podemos assumir que, para (ii) Se

j = 1; 2, se tem

A

j

= (ij ; =j ; fj ); 25

onde j designa a rela ~ao de equival^en ia em V ( ) induzida pela identi a ~ao dos verti es pj e qj , om pj  qj e pj 6= qj . Se fp1 ; q1 g = fp2 ; q2 g, temos A1 = A2 , logo podemos assumir que fp1 ; q1 g 6= fp2 ; q2 g. Resulta fa ilmente das de ni ~oes que p2 1  q2 1 em V ( =1 ). Seja 2 a rela ~ao de equival^en ia em V ( =1 ) induzida pela identi a ~ao dos verti es p2 1 e q2 1 . Como fp1 ; q1 g 6= fp2 ; q2 g, temos p2 1 6= q2 1 e A1 ` A1 =2 . Analogamente, temos A2 ` A2 =1 , onde 1 designa a rela ~ao de equival^en ia em V ( =2 ) induzida pela identi a ~ao dos verti es p1 2 e q1 2 . Basta-nos mostrar que A1=2 e A2 =1 s~ao isomorfos. Consideremos a fun ~ao

' : V (( =1 )=2 ) ! V (( =2 )=1 ) (p1 )2 7! (p2 )1 e vejamos que ' esta bem de nida. Suponhamos que (p1 )2 = (q1 )2 . Ent~ao p1 = q1 ou fp1 ; q1 g = fp2 1 ; q2 1 g. Se p1 = q1 , ent~ao p = q ou fp; q g = fp1 ; q1 g, o que em qualquer dos asos garante imediatamente (p2 )1 = (q2 )1 , logo vamos assumir, sem perda de generalidade, que p1 = p2 1 e q1 = q2 1 . Ent~ao temos (1) p = p2 ou fp; p2 g = fp1 ; q1 g, (2) q = q2 ou fq; q2 g = fp1 ; q1 g, e logo (3) p2 = p2 2 ou fp2 ; p2 2 g = fp1 2 ; q1 2 g, (4) q2 = q2 2 ou fq2 ; q2 2 g = fp1 2 ; q1 2 g. Em qualquer dos asos, resulta que (p2 )1 = (p2 2 )1 e (q2 )1 = (q2 2 )1 . Logo (p2 )1 = (q2 )1 e ' esta bem de nida. Analogamente, de nimos a fun ~ao : V (( =2 )=1 ) ! V (( =1 )=2 ) (p2 )1 7! (p1 )2 que e inversa de ', logo ' e bije tiva. E tambem imediato que ' preserva os verti es ini ial e nal. Finalmente, suponhamos que ((p1 )2 ; x; (q1 )2 ) 2 E (( =1 )=2 );

om x 2 X [ 1. E fa il de ver que existem p0 ; q 0 2 V ( ) tais que: (p0 1 ; x; q 0 1 ) 2 E ( =1 ),

26

(p0 1 )2 = (p1 )2 (q 0 1 )2 = (q1 )2 . Alem disso, existem p00 ; q 00 2 V ( ) tais que: (p00 ; x; q 00 ) 2 E ( ),

p00 1 = p0 1 , q 00 1 = q 0 1 . Resulta das de ni ~oes que ((p00 2 )1 ; x; (q 00 2 )1 ) 2 E (( =2 )=1 ): Como (p00 1 )2 = (p1 )2 e ' e bije tiva, resulta que (p00 2 )1 = (p2 )1 . Analogamente, (q 00 2 )1 = (q2 )1 . Logo ((p2 )1 ; x; (q2 )1 ) 2 E (( =2 )=1 ): A impli a ~ao re pro a e analoga, logo ' e um isomor smo de X -1-automatos. (ii) e (iii) resultam de (i) por um argumento analogo ao da demonstra ~ao do Lema 3.2. (iv) Basta onsiderar o aso A ` A1 , em que A1 = A=. Se 1 2 ! q1 ! ::: !q

i = q0

x

x

xn

n

=f

e um aminho em A, ent~ao 2 !1 q1  ! ::: !q  = f e um aminho em A1 , logo L(A)  L(A1 ). 

i = q0 

Exemplo 6.8

x

x

xn

n

Seja X = fx; y g e seja A o X -1-automato dual des rito por y

/

x

i

Temos i  q , logo podemos reduzir automato dual A1 des rito por

(

1

6

q

x

/

f

 /

A identi ando os verti es i e q, obtendo o X y

x

/

i0



x

/

f

 /

Como i0  f , temos A1 ` A2 , onde A2 e o X -automato dual des rito por 27

x

/



i00 X /

y

Como A2 e inverso, A2 e o (uni o) X -automato obtido a partir de A por redu ~ao total.



Seja A um X -1-automato dual e suponhamos que A0 resulta de A por redu ~ao total. Dado p 2 V (A), seja p0 o verti e de A0 resultante de p. Mostre que, e para todos p; q 2 V (A), p0 = q 0 se e so se existe um aminho p ! q em A om e = 1.

Exer   io 6.9



 7 Arvores de Munn Vamos agora apresentar o algoritmo des oberto por W. D. Munn [16℄ em 1974 que resolve o problema da palavra para Mon < X ;  >. Dada uma palavra u 2 X , de nimos

L(u) = fv 2 X : v  ug; onde  designa a ordem par ial natural de F IM (X ). De nimos tambem um X -automato dual Lin(u), dito o automato linear de u, do seguinte modo. Se u = 1, Lin(u) e o automato ! q0 ! Se u = x1 :::xn , om xj 2 X , Lin(u) e o automato dual des rito por 1 2 ! q0 ! q1 ! ::: !q !  Lema 7.1 Para todo u 2 X , L(Lin(u))  L(u). Dem. Como L(Lin(1)) = f1g  L(1) trivialmente, vamos assumir que u = x1 :::x (x 2 X ) e vamos usar indu ~ao sobre o omprimento das palavras de L(Lin(u)). Como fv 2 L(Lin(u)) : j v j  ng = fug, a impli a ~ao v 2 L(Lin(u)) ) v 2 L(u) veri a-se sempre que j v j  n. Suponhamos agora que a impli a ~ao e valida sempre que j v j  k (k  n), e suponhamos que w 2 L(Lin(u)) e tal que j w j = k + 1. Por x

x

xn

n

n

j

hipotese, w e rotulo de um aminho bem-su edido em Lin(u) em que ha pelo menos duas in ex~oes de sentido (pois j w j > n). Considerando as duas ultimas in ex~oes de sentido nesse aminho, on luimos fa ilmente que

w = axj xj 1 bb 1 xj para alguns a; b; 2 X , j 2 f1; :::; ng e t 2 f0; :::; j 28

1g tais que:

- a e rotulo de um aminho de q0 a qj 1 ; - b e rotulo de um aminho de qj

1

a qt ;

- e rotulo de um aminho de qj a qn . Mas ent~ao

w = (axj xj 1 bb 1 xj ) = (abb 1 xj xj 1 xj ) = (abb 1 xj ): Alem disso,

abb 1 xj 2 L(Lin(u))

j abb 1 x j = k

e

j

1;

logo abb 1 xj 2 L(u) por hipotese de indu ~ao . Logo w = (abb 1 xj ) w 2 L(u). Logo L(Lin(u))  L(u).  

 u e



Seja u 2 X e seja  uma ongru^en ia em X tal que    . Sejam A   0 duais tais que A ` A0 e L(A)  fv 2 X : v  u g. Ent~ao e A X -1-automatos  L(A0 )  fv 2 X : v  u g. 0 Dem. Seja A = (i; ; f ). Basta-nos onsiderar o aso A ` A , logo podemos assumir que A0 = A=, onde  designa a equival^en ia em V ( ) induzida pela identi a ~ao dos verti es (distintos) p e q . Alem disso, temos (r; x; p); (r; x; q ) 2 E 1 ( ) para alguns r 2 V ( ) e x 2 X [ 1. Seja e = x 1 x. Ent~ao existem aminhos em A da forma Lema 7.2

p

!p;

p

e

!q;

q

e

!p; e

q

!q: e

Seja

n 1 2 sn  = f i = s0  y! s1  y! ::: y! um aminho em A0 . Se sj 2= fp; q g para todo j , e imediato que

1 2 ! s1 ! ::: !s = f e um aminho em A, logo y1 :::y 2 L(A)  L(u). Caso ontrario, sejam k1 < ::: < k

i = s0

y

y

yn

n

n

m

os ndi es j tais que sj  = p = q. Resulta da de ni ~ao de = que existem

aminhos em A da forma yk1 1 2 s0 y! s1 y! ::: ! s00k1 yk +1 yk +2 yk yk 1 (j = 1; :::; m 1) s0kj j !skj +1 j ! ::: j+1 !skj+1 1 j+1!s00kj+1 n sn s00km km +1!skm +1 km +2! ::: y!

om s0l ; s00l 2 fp; q g para todo l. Considerando os aminhos em A da forma

y

y

p

!p; e

p

!q;

q

e

29

!p; e

q

!q e

resulta que existe um aminho bem-su edido em A de rotulo v = y1 ::: yk1 eyk1 +1 ::: yk2 e ::: eykm +1 ::: yn: Por hipotese de indu ~ao , temos v  u . Para mostrar que (y1 :::yn )  u , basta-nos pois provar que (ab)  (ax 1 xb) para todos a; b 2 X  e x 2 X . Da apli a ~ao su essiva deste fa to resulta que  0 (y1 :::yn )  v e logo (y1 :::yn )  u e L(A )  fv 2 X : v  u g. Ora [(ax 1 xa 1 )(ax 1 xa 1 )℄ = (ax 1 xx 1 xa 1 aa 1 ) = (ax 1 xa 1 ); logo (ax 1 xa 1 ) 2 E (F IM (X )). Como (ax 1 xb) = (aa 1 ax 1 xb) = (ax 1 xa 1 ab) = (ax 1 xa 1 )(ab);

 (ax 1xb) e o lema esta demonstrado.   Para todo u 2 X , designamos por MT (u) o X -automato inverso

resulta que (ab)

obtido por redu ~ao ompleta de Lin(u). Pelo Teorema 6.7(iii), MT (u) esta bem de nido (a menos de isomor smo). 1 x 1 yy 1x. Ent~ Exemplo 7.3 Seja u = xyy ao Lin(u) e o automato /



x

e MT (u) e o automato

/



y

/

o

o

y



x

O 

/



y

x

/

 /

O

y

/

o

y

x

/



y

/

Dado um X -automato dual A = (i; ; f ), dizemos que A satisfaz P e es revemos A j= P se n~ao existir em nenhum aminho da forma i !i, om u 6= 1. Lema 7.4 (i) Seja A um X -automato inverso. Ent~ao A j= P se e so se for uma u

arvore.

(ii) Sejam A e A0 X -automatos duais. Se A ` A0 e A j= P, ent~ao A0 j= P. Dem. (i) Resulta do Exer   io 6.6 e do Lema 6.3. (ii) Suponhamos que A0 resulta de A = (i; ; f ) por identi a ~ao  dos verti es v p e q , e que (r; x; p); (r; x; q ) 2 E (A) (x 2 X ). Seja i ! i um aminho em A0 . E fa il de ver que v admite uma fa toriza ~ao v = v1 :::vn tal que 1

1

x x n 1 2 i v! p1 x ! q1 v! ::: x ! qn 1 v! i e um aminho em A. Mas ent~ao v = (v1 :::vn ) = (v1 x 1 xv2 :::x 1 xvn ) = 1, pois A j= P. Logo A0 j= P.  30

Teorema 7.5



Seja u 2 X . Ent~ao:

(i) MT (u) e uma arvore; (ii) o onjunto das geodesi as de MT (u) e fv; v p ug; (iii) a geodesi a prin ipal de MT (u) e u.

(i) Pelo lema anterior, basta-nos mostrar que Lin(u) j= P. Vamos usar indu ~ao sobre j u j. O aso j u j = 0 e trivial. Suponhamos que Lin(v ) j= P sempre que j v j = k (k  0). Seja u 2 X om j u j = k + 1. Ent~ao podemos es rever u = vx para alguns v 2 X e x 2 X . Seja ! i w!i um aminho em Lin(u). E fa il de ver que existe uma fa toriza ~ao Dem.

w = w0 xx 1 w1 :::wn 1 xx 1 wn tal que

!i

0 1

(n  0)

!i

w w :::wn

e um aminho em Lin(v ). Como Lin(v ) j= P por hipotese de indu ~ao, resulta que w = (w0 w1 :::wn ) = 1. Logo Lin(u) j= P para todo u 2 X . (ii) Dado um verti e q de Lin(u), designamos por q 0 o verti e de MT (u) resultante z de q . Resulta da de ni ~ao de redu ~ao simples que, se A ` A= e p ! q e um aminho z z em A, ent~ao p !q e um aminho em A=. Daqui resulta que se i ! q e um z 0 0

aminho em Lin(u), ent~ao i !q e um aminho em MT (u). v Seja v um pre xo de u. Ent~ao existe em Lin(u) um aminho da forma i ! q . Pelo v 0 0

omentario anterior, existe um aminho i !q em MT (u). Pelo Lema 6.3, existe um

aminho i0 v!q 0 em MT (u), e v e ne essariamente uma geodesi a de MT (u). z Re ipro amente, suponhamos que i0 ! q 0 e uma geodesi a de MT (u). Ent~ao v existe um aminho i !q em Lin(u) om v pre xo de u. Pelo argumento anterior, existe um aminho i0 v!q 0 em MT (u) e v e uma geodesi a. Por uni idade, resulta que z = v e logo o onjunto das geodesi as de MT (u) e fv; v p ug. (iii) Como vimos em (ii), o fa to de haver um aminho i u!f em Lin(u) impli a que existe um aminho i0 u!f 0 em MT (u) e que u e uma geodesi a. Logo u e a geodesi a prin ipal de MT (u).  Dizemos que MT (u) e a arvore de Munn de u e designamos o onjunto das geodesi as (palavras) de MT (u) por G(u). Finalmente, estamos em ondi ~oes de apresentar a solu ~ao do problema da palavra para .  Teorema 7.6 Sejam u; v 2 X . Ent~ ao: (i) u = v

, MT (u) ' MT (v);

(ii) L(MT (u)) = L(u).

31

Dem.

(i) Para mostrar a impli a ~ao dire ta, basta observar que

MT ( wd) ' MT ( ww 1wd) e

MT ( ww 1 zz 1 d) ' MT ( zz 1 ww 1 d)  para todos ; d; w; z 2 X , o que e imediato. Re ipro amente, suponhamos que MT (u) ' MT (v ). Ent~ao L(MT (u)) = L(MT (v )). Pelos Lemas 7.1 e 7.2, temos L(MT (u))  L(u), logo v 2 L(MT (v )) = L(MT (u))  L(u) e v  u. Analogamente, u  v, logo u = v. (ii) Ja observamos na demonstra ~ao de (i) que L(MT (u))  L(u). Re ipro amente, suponhamos que w  u. Ent~ao u = (e)(w) para algum idempotente e e logo u = (ee 1 w). Por (i), resulta que MT (u) ' MT (ee 1 w), e logo ee 1 w 2 L(MT (u)). Como ee 1 e ne essariamente rotulo de um aminho fe hado, resulta que w 2 L(MT (u)) e logo L(u)  L(MT (u)). Logo L(MT (u)) = L(u).  O problema da palavra para Mon < X ;  > e de idvel.  Dem. Dados u; v 2 X , podemos onstruir efe tivamente os aut omatos MT (u) e MT (v ). Como MT (u) e MT (v ) s~ao nitos, podemos de idir se s~ao ou n~ao isomorfos. Corol ario 7.7



As arvores de Munn propor ionam uma ex elente ara teriza ~ao dos idempotentes de F IM (X ).  Teorema 7.8 Para todo u 2 X , as ondi

~oes seguintes s~ao equivalentes: (i) u 2 E (F IM (X )); (ii) os verti es ini ial e nal de MT (u) oin idem; (iii) u = 1.

(i) ) (ii). Se u 2 E (F IM (X )), ent~ao u = (uu 1), logo MT (u) ' MT (uu 1 ). E imediato que os verti es ini ial e nal de MT (uu 1 ) oin idem, logo o mesmo a onte e om MT (u). (ii) ) (i). Se os verti es ini ial e nal de MT (u) oin idem, e imediato que MT (u) ' MT (u2 ), logo u = u2  e u 2 E (F IM (X )). (ii) , (iii). Resulta do Teorema 7.5(iii). 

Dem.

32



Uma palavra e 2 X tal que e = 1 diz-se uma palavra de Dy k. Designamos o

onjunto das palavras de Dy k no alfabeto X por DX . Exer   io 7.9 Cara terize as rela

~oes de Green R, L e D em F IM (X ).  Exer   io 7.10 Mostre que F IM (X ) ' F IM (Y ) se e s o se j X j =j Y j.  Exer   io 7.11 Mostre que F IM (X )  e residualmente nito: dados u; v 2 F IM (X ) distintos, existe uma ongru^en ia  em F IM (X ) tal que F IM (X )= e nito e u = 6 v .  Vamos agora derivar uma des ri ~ao alternativa de F IM (X ) a partir das arvores de Munn, que orresponde na realidade a des ri ~ao de S heibli h [19℄, que pre edeu em alguns meses a des ri ~ao de Munn. Um sub onjunto de RX diz-se fe hado para pre xos se ontiver os pre xos de todos os seus elementos. De nimos

S (X ) = f(A; u) : A  RX ; A nito e fe hado para pre xos; u 2 Ag: Exer   io 7.12

Mostre que S (X ), munido do produto

(A; u)(B; v ) = (A [ (uB ); (uv ));

onstitui um monoide. Teorema 7.13 A fun

~ao

 : F IM (X ) ! S (X ) u 7! (G(u); u)

e um isomor smo. Dem. Pelos Teoremas 7.5 e 7.6, a fun

~ao  esta bem de nida. Tal omo vimos anteriormente, o fa to de MT (u) ser uma arvore faz om que MT (u) seja ompletamente determinada pelo seu onjunto de geodesi as e pela sua geodesi a prin ipal; logo (u) = (v) impli a MT (u) ' MT (v ) que impli a u = v pelo Teorema 7.6. Logo  e inje tiva. Por outro lado, seja P  RX nito e fe hado para pre xos, e seja r 2 P . Seja u = (z2P zz 1 )r. E fa ilde ver que (P; r) = (u), logo  e uma bije  ~ao. Sejam agora u; v 2 X . E imediato que

fw : w  uvg = fz : z  ug [ f(ut) : t  vg; p

p

p

logo

G(uv ) = G(u) [ [uG(v )℄ pelo Teorema 7.5(ii). Como (uv ) = ((u)(v)), resulta que (G(uv ); (uv )) = (G(u) [ [uG(v )℄; ((u)(v))); logo  e um isomor smo.



33

8 Apresenta ~oes de monoides inversos Uma apresenta ~ao de monoides inversos e uma express~ao formal do tipo Inv < X ; R >, onde X designa um onjunto e R uma rela ~ao em X . A apresenta ~ao diz-se nita se X e R forem nitos. O monoide inverso de nido pela ap resenta ~ao Inv < X ; R > e o quo iente M = X =( [ R)℄ . Pelo Teorema 1.2(ii), temos  X =( [ R)℄ ' F IM (X )=[( [ R)℄ =℄; logo M e um monoide inverso pelo Teorema 2.3. Re ipro amente, e fa il de ver que todo o monoide inverso pode ser de nido por uma apresenta ~ao. Identi amos a apresenta ~ao de monoides inversos Inv < X ; R > om a apresenta ~ao de monoides Mon < X ;  [ R >. Em parti ular, o problema da palavra para Inv < X ; R > e o problema da palavra para Mon < X ;  [ R >. Ate ao m desta se  ~ao, vamos xar uma apresenta

~ao Inv < X ; R > e vamos   ℄ es rever  = ( [ R) e M = X = . Seja u 2 X . O grafo de S hutzenberger de u relativamente a esta apresenta ~ao e o X -grafo (u) de nido por

 V ( (u)) = R ,  E ( (u)) = f(v; x; w ) 2 R  X  R onde R designa a R- lasse de u em M . u

u

u

: w = (vx) g,

u

Designamos por automato de S hutzenberger de u (relativamente a apresenta ~ao Inv < X ; R >) o X -automato

S (u) = ((uu 1); (u); u ): Note-se que (uu 1 ) R u , logo S (u) esta bem de nido. No aso parti ular de M ser um grupo, R e a rela ~ao universal e (u) e o grafo

de Cayley de M relativamente ao onjunto de geradores X . Teorema 8.1 (i) S (u) e um X -automato inverso; 

(ii) L(S (u)) = fv 2 X : v  u g: Dem. (i) Suponhamos que (v; x; w ) (uu 1) = (ww 1) . Logo

2 E ( (u)).

Ent~ao w = (vx) e (vv 1 ) =

(wx 1 ) = (vxx 1 ) = (vv 1vxx 1 ) = (vxx 1 v 1 v ) = (ww 1v ) = (vv 1v ) = v e (w; x 1 ; v ) 2 E ( (u)). Por outro lado, sejam v; w 2 Ru . Ent~ao w = (ww 1w) = (vv 1 w) . Suponhamos que v 1 w = x1 :::xn , om n  0 e xj 2 X . Para mostrar que S (u) e onexo, 34

basta-nos provar que (vx1 :::xj )

2R

u

para todo j = 0; :::; n. Ora

(vx1 :::xj xj 1 :::x1 1 v 1 ) = (vv 1 vx1 :::xj xj 1 :::x1 1 v 1 ) = (ww 1vx1 :::xj xj 1 :::x1 1 v 1 ) = (wxn 1 :::x1 1 x1 :::xj xj 1 :::x1 1 v 1 ) = (wxn 1 :::x1 1 v 1 ) = (ww 1vv 1 ) = (uu 1 ); logo (vx1 :::xj ) 2 Ru e S (u) e onexo. Logo S (u) e dual. E imediato que S (u) e determinsti o, logo S (u) e inverso. (ii) Seja v 2 L(S (u)), digamos v = x1 :::xn , om xj 2 X . Ent~ao existe em S (u) um aminho da forma (uu 1) = q0 

1 2 ! q1  ! ::: !q  = u:

x

x

xn

n

Logo, para j = 1; :::; n temos qj  = (qj 1 xj ) , donde resulta que

u = qn  = (q0 x1 :::xn ) = (uu 1v ): Logo v  u .  Re ipro amente, seja v 2 X tal que v  u , digamos v = x1 :::xn , om xj Temos u = (e )(v ) para algum idempotente e , logo

2 X.

(uu 1v ) = (evv 1 ev ) = (evv 1 v ) = (ev ) = u e

(uu 1vv 1 ) = (vv 1 uu 1) = (vv 1 uu 1vu 1) = (uu 1vu 1 ) = (uu 1): Para todo j = 0; :::; n, temos ent~ao (uu 1 x1 :::xj xj 1 :::x1 1 uu 1) = (uu 1 vv 1x1 :::xj xj 1 :::x1 1 uu 1 ) = (uu 1 vv 1uu 1 ) = (uu 1 );

logo

((uu 1x1 :::xj 1 ); xj ; (uu 1x1 :::xj ) ) 2 E (S (u)) para todo j e v = x1 :::xn e rotulo de um aminho entre (uu 1 ) e (uu 1v ) = u . Logo v 2 L(S (u)).  Corol ario 8.2



Dados u; v 2 X , as ondi ~oes seguintes s~ao equivalentes:

(i) u = v ; (ii) v 2 L(S (u)) e u 2 L(S (v )); (iii) S (u) ' S (v ).

35

(i) ) (ii). Resulta imediatamente do teorema anterior. (ii) ) (iii). Suponhamos que v 2 L(S (u)) e u 2 L(S (v )). Seja w 2 L(S (v )). Ent~ao w  v . Como v 2 L(S (u)), temos tambem v  u e logo w  u . Resulta que w 2 L(S (u)) e logo L(S (v ))  L(S (u)). Por simetria, L(S (u)) = L(S (v )), e logo, pelo Teorema 6.2, S (u) ' S (v ). (iii) ) (i). Suponhamos que S (u) ' S (v ). Pelo Teorema 6.2, temos L(S (u)) = L(S (v )), logo u 2 L(S (u)) = L(S (v )) e u  v . Por simetria, u = v .  Dem.

Resulta do orolario anterior que o problema da palavra para Inv < X ; R > esta intimamente rela ionado om os automatos de S hutzenberger S (u). O problema da palavra para Inv < X ; R > sera de idvel se e so se L(S (u)) for re ursiva para todo u 2 X (isto e, se for de idvel, para todos v; u 2 X , se v 2 L(S (u))). Exemplo 8.3 Consideremos a apresenta

~ao

Inv < x; y ; x2 = x; y 2 = 1; xy = yx > : Temos x = x 1  e y = y 1 ; omo (xy ) = (yx) , podemos on luir que M = f(xnym) ; n; m  0g. Como x2  = x e y2 = 1 , resulta que

M = f1; x; y; (xy ) g: Estes quatro elementos s~ao efe tivamente distintos, pois - se u = v , ent~ao x o orre em u se e so se x o orre em v ; - se u = v , ent~ao a soma dos expoentes de y tem a mesma paridade em u e em v. E imediato que R1 = f1; y g e Rx = fx; (xy ) g, logo os grafos de S hutzenberger de M s~ao des ritos por x

x

1 j

y y

*

y

x j 

y y

-



(xy )

Exer   io 8.4 Dada uma apresenta

~ao Inv < X ; R >, mostre que S (u) e uma  arvore para todo u 2 X se e so se R   . 

9 A su ess~ao de Stephen Vamos  agora ver omo, dadas uma apresenta ~ao nita Inv < X ; R > e u 2 X , e possvel onstruir efe tivamente uma su ess~ao de X -automatos inversos nitos Ak (u) tal que [ L(S (u)) = L(Ak (u)): k

1

36

Na realidade, e possvel demonstrar que S (u) e o limite dire to dos X -automatos Ak (u) na ategoria dos X -automatos inversos [27℄. A su ess~ao (Ak (u))k1, dita su ess~ao de Stephen, tem sido usada om ^exito em varios asos para solu ionar o problema da palavra e outros problemas de de idibilidade envolvendo apresenta ~oes de monoides inversos { analisaremos diversas apli a ~oes nas se  ~oes posteriores. Ao longo de toda a se  ~ao, xamos uma apresenta ~ao nita Inv < X ; R >, alem  da nota ~ao  = ( [ R)℄ e M = X = . Suponhamos que A = (i; ; f ) e um X -1-automato dual nito, e suponhamos que existem (r; s) 2 R [ R 1 e p; q 2 V ( ) tais que: (y) existe um aminho p

!q em A; (yy) n~ao existe um aminho p !q em A. De nimos um X -1-automato dual A0 do seguinte modo. Se s = x1 :::x , om n  1 e x 2 X , a res entamos a A novos verti es t1 ; :::; t 1 e as arestas des ritas por 1 2 p = t0 ! t1 ! ::: !t = q; 1 bem omo as suas duais. Se s = 1, juntamos a A a aresta p ! q e a sua dual. Dizemos que A0 resulta de A por uma R-expans~ao simples, mais espe i amente por olagem de um aminho p !q . Usaremos a nota ~ao A  A0 . Consideremos agora simultaneamente todos (r; s) 2 R [ R 1 e p; q 2 V ( ) tais que (y) e (yy) s~ao satisfeitas, e olemos um aminho a A por ada uma dessas situa ~oes de r

s

n

j

n

x

x

s

xn

n

R

a ordo om as regras de nidas para as expans~oes simples (assumindo que os novos verti es s~ao todos distintos). Como R e V ( ) s~ao nitos, o X -1-automato dual B assim obtido e tambem nito. Dizemos que B resulta de A por uma R-expans~ao

ompleta. 0 Lema 9.1 Sejam A e A X -1-aut omatos duais tais que A0 resulta de A por uma R-expans~ao ompleta. Ent~ao: (i) L(A)  L(A0 );



 u g, ent~ao L(A0)  fv 2 X  : v  u g. Dem. (i) Imediato, pois qualquer aminho bem-su edido em A  e ainda um aminho bem-su edido em A0 . (ii) Sejam A = (i; ; f ) e A0 = (i; 0 ; f ), e suponhamos que  L(A)  fv 2 X : v  u g. Suponhamos que (r; s) 2 R [ R 1 , p; q 2 V ( ), existe um aminho p !q em A, n~ao existe um aminho p !q em A e A0 resulta de A por olagem do aminho p !q. Designamos por 00 o X -1-grafo dual de nido pelo novo aminho p !q . Dado um aminho ! em A0, designamos por ndi e de ! e denotamos por h(! ) o (ii) se L(A)  fv 2 X : v

r

s

s

s

numero de vezes que ! passa em arestas de 00 . Vamos mostrar que 37

() se ! : i

!f e um aminho em A0, ent~ao v  u v

por indu ~ao sobre o ndi e de ! . Obviamente, () e valido para todos os aminhos de ndi e 0, pois um aminho bem-su edido em A0 de ndi e 0 pode ser visto omo um aminho bem-su edido em A. Suponhamos agora que () e valido para todos os aminhos de ndi e  k (k  0), v e que ! : i ! f e um aminho em A0 de ndi e k + 1. Ent~ao podemos fa torizar o 

aminho ! em tr^es aminhos do seguinte modo: existem v1 ; v2 ; v3 2 X e a; b 2 fp; q g tais que 1 ! a e um aminho em A0 ; 2 !2 : a ! b e um aminho n~ao-trivial em 3 !3 : b ! f e um aminho em A0 ;

!1 : i

v

00 ;

v

v

v = v1 v2 v3 ; h(!1 ) + h(!2 ) + h(!3 ) = k + 1. Como !2 e n~ao -trivial, h(!2 ) > 0. Alem disso, podemos supor que p e q n~ao o orrem z

omo verti es intermedios no aminho !2 . Vejamos que existe um aminho !20 : a ! b em A0 de ndi e 0 tal que v2   z . Se a = p e b = q , ent~ao v2 2 L(MT (s)), logo v2   s pelo Teorema 7.6(ii) e logo r v2   s = r . Por hipotese, existe um aminho p ! q em A0 de ndi e 0. 1 Se a = b = p, e fa il de ver que v2 2 L(MT (ss )) e logo v2   (ss 1 ) = (rr 1) . Por hipotese, existe um aminho 1 p rr !p em A0 de ndi e 0. Os asos a = q , b = p; q s~ao analogos, onsiderando s 1 e s 1 s, logo podemos z a rmar que existe sempre um aminho !20 : a ! b em A0 de ndi e 0 tal que v2   z . 0 Mas ent~ao, ompondo os aminhos !1 ; !2 e !3 em A0 obtemos um aminho

!0 : i

!f

1 3

v zv

om h(! 0 )  k, logo (v1 zv3 )  u por hipotese de indu ~ao. Como v2  que v = (v1 v2 v3 )  (v1 zv3 )  u; v logo () e valido para ! : i ! f e o lema esta demonstrado. 

38

 z , resulta



Seja u 2 X . De nimos indutivamente uma su ess~ao (Ak (u))k1 de X -automatos inversos nitos e uma su ess~ao (Bk (u))k1 de X -1-automatos duais nitos do seguinte modo:

A1(u) = MT (u); (ii) B (u) resulta de A (u) por uma R-expans~ao ompleta; (iii) A +1(u) resulta de B (u) por uma redu ~ao ompleta.  Teorema 9.2 Seja u 2 X . (i) L(A (u))  L(A +1 (u)) para todo k  1; (i)

k

k

k

k

k

k

(ii)

L(S (u)) =

[ k

1

L(Ak (u)):

(i) Resulta imediatamente dos Lemas 6.7(iv) e 9.1(i). (ii) Pelo Teorema 8.1(ii), temos

Dem.



L(S (u)) = fv 2 X : v

 u g:

Como A1 (u) = MT (u), resulta do Lema 7.6(ii) que L(A1 (u))  L(S (u)). Por outro lado, pelo Lema 9.1(ii), L(Ak (u))  L(S (u)) impli a L(Bk (u))  L(S (u)), e o Lema 7.2 garante que L(Bk (u))  L(S (u)) impli a L(Ak+1(u))  L(S (u)). Logo L(Ak (u))  L(S (u)) para todo k  1 e

[

k

1

L(Ak (u))  L(S (u)):

Re ipro amente, seja v 2 L(S (u)). Ent~ao (uu 1v ) = u , logo existem w0 ; :::; wn 2 X (n  0), tais que: 

u = w0 , uu 1v = wn ,

 para todo j 2 f1; :::; ng, existem aj ; bj 2 X e (rj ; sj ) 2  [ R [ R

wj

1

= aj rj bj ;

wj = aj sj bj :

Vamos mostrar que wj 2 L(Aj +1(u)) por indu ~ao sobre j . E imediato que w0 = u 2 L(MT (u)) = L(A1 (u)): 39

1

tais que

Suponhamos que wj 1 2 L(Aj (u)) om j 2 f1; :::; ng. Como wj Aj (u) um aminho da forma

1

= aj rj bj , existe em

! i !p !q !f ! Se existir em A (u) um aminho da forma p !q , ent~ao w = a s b 2 L(A (u))  L(A +1(u)) por (i). Caso ontrario, existe um aminho da forma p !q no X -1-automato B (u) resultante da R-expans~ao ompleta de A (u). Logo w = a s b 2 L(B (u)). Como L(B (u))  L(A +1 (u)) pelo Teorema 6.7(iv), resulta que w 2 L(A +1 (u)). Em parti ular, uu 1 v = w 2 L(A +1 (u)). Como A +1 (u) e inverso, resulta que v 2 L(A +1 (u)) e logo [ L(S (u)) = L(A (u)); aj

rj

bj

sj

j

j

j j j

j

j

sj

j

j

j

j

j j j

j

j

n

n

j

j

n

n

provando o teorema.



k

1

k

Uma analise uidadosa da demonstra ~ao anterior permite-nos observar que se na de ni ~ao de A1 (u) substituirmos MT (u) por qualquer X -automato inverso A0 tal que L(MT (u))  L(A0 )  L(S (u)), a su ess~ao (Ak (u))k1 ent~ao obtida satisfaz ainda L(S (u)) = [k1 L(Ak (u)): E este o aso, em parti ular, se A0 for um X -automato inverso obtido a partir de MT (u) por uma sequ^en ia arbitraria de R-expans~oes simples e redu ~oes; se A0 n~ao admitir qualquer R-expans~ao simples, podemos on luir que L(S (u)) = L(A0 ) e logo S (u) ' A0 . Em resumo, se ao efe tuar uma sequ^en ia nita de R-expans~oes simples=redu ~oes em MT (u) obtivermos um X -automato ( nito) que n~ao admita quaisquer R-expans~oes simples=redu ~oes, ent~ao esse X -automato e S (u), que e portanto nito e pode ser efe tivamente onstrudo. O resultado seguinte mostra-nos que o re pro o tambem a onte e: se S (u) e nito, ent~ao pode ser efe tivamente onstrudo atraves da su ess~ao de Stephen.  Teorema 9.3 Dado u 2 X , as ondi

~oes seguintes s~ao equivalentes: (i) S (u) e nito; (ii)

R

u

e nita;

(iii) a su ess~ao (Ak (u))k1 e esta ionaria.

(i) , (ii). Por de ni ~ao de S (u). (iii) ) (i). Se Am (u) = Am+l (u) para todo l  1, ent~ao S (u) ' Am (u) e nito. (i) , (iii). Suponhamos que S (u) = (i; ; f ) e nito. Para ada p 2 V ( ), seja gp i !p uma geodesi a em S (u). Ent~ao gp gp 1gf 2 L(S (u)) para todo p 2 V ( ). Alem

Dem.

40

disso, para todo (p; x; q ) 2 E ( ), temos gpxgq 1 gf L(S (u)) = [k1 L(Ak (u)), existe m  1 tal que

2 L(S (u)).

Como

e nito e

fg g 1g ; p 2 V ( )g [ fg xg 1g ; (p; x; q) 2 E ( )g  L(A (u)): Seja A (u) = (i ; ; f ). Como g g 1 g 2 L(A (u)) e A (u) e inverso, temos g 2 L(A (u)) e logo existe um aminho 1 !i i em A (u) para todo (p; x; q ) 2 E ( ). Vamos mostrar que L(S (u))  L(A (u)). Seja 1 2 i = q0 ! q1 ! ::: !q = f um aminho em S (u). Ent~ao existe em A (u) um aminho da forma 1 1 1 11 1 2 ::: !i !f : !i 1 2 ! i p p

m

f

f

m

p

m

m

f

q

f

m

f

f

m

m

m

gp xgq

m

m

m

m

x

x

xn

n

m

xn g f

gqn

gq x gq

gi x gq

m

m

m

gf

m

Como gi = 1, resulta que

2 L(A (u)): Como A (u) e inverso, resulta imediatamente que x1 :::x 2 L(A (u)). Logo L(S (u))  L(A (u)) e L(A (u)) = L(A + (u)) para todo l  1. Logo a su ess~ao (A (u)) 1 e esta ionaria.  w = x1 gq11 gq1 x2 gq21gq2 x3 :::xn gf 1gf

m

m

n

m

k

m

m

m l

k



Se S (u) e nito para todo u 2 X , ent~ao o problema da palavra para Inv < X ; R > e de idvel. Exemplo 9.5 Consideremos a apresenta

~ao Corol ario 9.4

Inv < x; y ; x2 = x; y 2 = y 3; xy = xy 2 > : Seja u = x 1 yx 1 . Temos

A1(u):

o

/

 _@o @

B1 (u):

/

x



x



@@ @ x @@ 

y

o

/

 _@o @

x

 /

x

 /

@@ @ x @@ 

x



/

y

41



x

A2(u):

x

/



x

B2 (u):



y

x

/

/

/



x

O 

y

/

/

y

x

 

A3(u) = S (u):

y

/



x

/

 Z /

y

N~ao e dif il veri ar que os grafos de S hutzenberger desta apresenta ~ao s~ao

 1

q

 1

y

q

x



x



y

y

/

/

 q

x

y

logo o monoide inverso por ela de nido tem 1 + 1 + 22 + 1 + 1 + 22 = 12 elementos. Exer   io 9.6 Determine os grafos de S h utzenberger da apresenta ~ao

Inv < x; x3 = x; y = y 3 ; xyx = y Exer   io 9.7

1

>:

Determine os grafos de S hutzenberger da apresenta ~ao

Inv < x; y ; x2 x 2 = xx 1 > e resolva o problema da palavra.



42



10 Apresenta o~es om automatos de S hutzenberger nitos Vamos ver nesta se  ~ao alguns exemplos signi ativos de apresenta ~oes de monoides inversos em que os automatos de S hutzenberger s~ao nitos, e onsequentemente, em que a onstru ~ao da su ess~ao de Stephen permite a solu ~ao efe tiva do problema da palavra. Tais exemplos devem-se a Stephen [27℄. Obviamente, um aso trivial e a apresenta

~ao Inv < X ; ; > de F IM (X ), em que S (u) = A1 (u) = MT (u) para todo  u2X . Teorema 10.1 Seja Inv < X ; R > uma apresenta

~ao nita em que ada elemento  k +l k de R e da forma r = r , om r 2 X , 0 < l  k. Ent~ao:  (i) S (u) e nito para todo u 2 X ; (ii) o problema da palavra para Inv < X ; R > e de idvel.

(i) Suponhamos que A e A0 s~ao X -automatos inversos nitos tais que A0 resulta de A por uma R-expans~ao simples seguida de uma redu ~ao ompleta. Vamos mostrar que j V (A0) j < j V (A) j : (1) k +l k Com efeito, suponhamos que (r ; r ) 2 R, existe um aminho em A da forma Dem.

!q;

rk

p

mas n~ao existe nenhum aminho em A da forma +

!q:

rk l

p

Dividindo k por l, obtemos k = la + b, om a  1 e 0 R-expans~ao orrespondente a olagem do aminho +

!q;

seguida de redu ~ao ompleta, o X -automato seguinte: (a):

rk

Y

_

+

rk l

A

* e 4

(b):

evolui de a ordo om o esquema

q

rl

p

Se efe tuarmos a

rk l

p

p

 b < l.

rk

/

43

qq

( ):

rb

pj

*

q

rl b

Independentemente de virem a ter lugar mais redu ~oes, o automato em ( ) ja tem menos verti es do que A: todos os verti es e arestas em ( ) resultam de verti es e arestas ja existentes em A, e existe um aminho

p

+

!q

rk l

em ( ), logo na passagem de A para ( ) houve ne essariamente identi a ~ao de verti es distintos. Naturalmente, se o automato em ( ) admitir mais redu ~oes, o numero de verti es baixara ainda mais. k+l k O aso dual, em que existe em A um aminho p r !q mas n~ao um aminho p r!q , e inteiramente analogo. Em qualquer aso, resulta que j V (A0 ) j < j V (A) j.  Seja agora u 2 X e onsideremos MT (u). Se apli armos su essivamente o pro esso R-expans~ao simples/redu ~ao ompleta a MT (u), o numero de verti es vai diminuindo, logo obtemos ne essariamente um X -automato inverso que n~ao admite R-expans~oes simples. Pelos omentarios feitos na se  ~ao anterior, esse automato e S (u), que e portanto nito. (ii) resulta de (i) e do Corolario 9.4.  

Seja T uma rela ~ao nita em X tal que (a) R (b) para todo (a; b) 2 T . Mostre que o problema da palavra para Inv < X ; T > e de idvel.  Seja agora  : X ! (Z; +) o homomor smo de nido por Exer   io 10.2

x 1 = 1

x = 1;

(x 2 X ):

Dado um X -automato dual A = (i; ; f ), de nimos

Æ (A) = supfj g j + w : i

!p !q e um aminho em A; om g geodesi ag:  Lema 10.3 (i) Para todo u 2 X , Æ (MT (u)) < 1; (ii) Sejam A e A0 X -automatos duais. Se A ` A0 , ent~ao Æ (A0)  Æ (A). (iii) Seja n 2 N. A menos de isomor smo, o numero de X -automatos inversos A tais que Æ (A)  n e nito. g

w

44

(i) Como as geodesi as de MT (u) s~ao da forma v, om v p u, e imediato que j g j  j u j para toda a geodesi a g de MT (u). Suponhamos agora que p w!q e um aminho em MT (u). Ent~ao existe um aminho w p !q em MT (u) e (w) = w . Como j w j  j u j, resulta que Dem.

Æ (MT (u))  2 j u j : (ii) Suponhamos que A0 = A=, onde  e a rela ~ao de equival^en ia em V (A) induzida pela identi a ~ao dos verti es distintos p e q , e que (r; x; p); (r; x; q ) 2 E (A),

om x 2 X . Seja g ! i ! s w!t um aminho em A0 , om g geodesi a. E fa il de ver que w admite uma fa toriza ~ao w = w1 :::wk (k  1), tal que existe um aminho 1x

1x

!b 1 !t em A. Seja w0 = w1 x 1 xw2 :::x 1 xw e seja ! i !s um aminho em A, om geodesi a. Ent~ao ha um aminho ! i !s em A0 e logo j g j  j j, pois g e s

!1 a1

w

x

!b1 !2 ::: !1 a wk

w

k

geodesi a. Logo

k

1

x

k

wk



j g j + w  j j + w = j j + w0  Æ(A)

e Æ (A0)  Æ (A). (iii) Se Æ (A)  n, ent~ao toda a geodesi a de A tem omprimento  n e logo j V (A) j e majorado por j fv 2 RX : j v j  ng j. E imediato que para todo k  1, a menos de isomor smo, ha apenas um numero nito de X -automatos inversos om k verti es. Logo o numero de X -automatos inversos A tais que Æ (A)  n e nito (a menos de isomor smo).  Seja Inv < X ; R > uma apresenta ~ao nita em que ada elemento de R e da forma r = s, om r; s 2 X  e j r j = j s j. Ent~ao:

Teorema 10.4



(i) S (u) e nito para todo u 2 X ; (ii) o problema da palavra para Inv < X ; R > e de idvel. Dem.

(i) Sejam A = (i; ; f ) e A0 dois X -automatos duais. Vamos mostrar que

A  A0 ) Æ(A0)  Æ(A): R

(2)

Seja (r; s) 2 R [ R 1 , om r = r1 :::rm e s = s1 :::sm (rj ; sj 2 X ), e suponhamos que: - existe um aminho

p0

1 2 ! p1 ! ::: !p

r

r

em ; 45

rm

m

- n~ao existe um aminho p0 -

!p s

m

em ;

A0 resulta de A por olagem de um aminho 1 0 2 p0 = p00 ! p1 ! ::: !p0 s

s

sm

m

= pm :

g Seja ! i ! q w!t um aminho em A0 , om g geodesi a.

Suponhamos primeiro que q 2 V ( ). Seja i ! q uma geodesi a em A. E imediato

que j g j  j j, pois existe um aminho i !q em A0 . Por outro lado, se no aminho q w!t substituirmos

- (p0j 1; sj ; p0j ) por (pj 1 ; rj ; pj ) - (p0j ; sj 1 ; p0j 1) por (pj ; rj 1 ; pj 1) 1 para todo j , e fa il de ver que obtemos um aminho q w! t1 em A om w1  = w . Logo j g j + w  j j + w1  Æ (A).

Suponhamos agora que q = p0l , om l 2 f1; :::; m 1g. Seja i ! p0 um aminho em A om geodesi a, e seja z = s1 :::sl . Obviamente, temos um aminho i z!p0l em A0 ; omo g e geodesi a, temos j g j  j

z j. Alem disso, se onsiderarmos o aminho p0 zw!t em A0 , resulta do aso anterior 1 que existe em A um aminho da forma p0 w! t1 om w1  = (zw) . Logo tambem neste aso obtemos

j g j + w  j z j + w = j j + z + w = j j + (zw) =j j + w1  Æ(A): Logo Æ (A0 )  Æ (A) e (2) e valido. Seja agora u 2 X . Pelo Lema 10.3(i), Æ (MT (u)) = n para algum n 2 N. Por (2)

e pelo Lema 10.3(ii), obtemos

n = Æ (A1 (u))  Æ (A2 (u))  ::: Pelo Lema 10.3(iii), resulta que a su ess~ao (Ak (u))k1 e esta ionaria, logo S (u) e nito. (ii) Imediato a partir de (i) e do Corolario 9.4.  Seja X um alfabeto nito e seja C = f(xy; yx); x; y 2 X g. Ent~ao o problema da palavra para Inv < X ; C > e de idvel.   O quo iente X =( [ C )℄ diz-se o monoide inverso livre nas variaveis omutativas x 2 X. Exemplo 10.6 Seja X = fx; y; z g e onsideremos a apresenta

~ao Inv < X ; C >. 1 1 Para u = xyy zx y , temos Corol ario 10.5

46

MT (u):

O  /

y

 /

x

o /

z



x

 /

y

/

Æ (MT (u)) = 4;

S (u):

O y

/



z

O /

x

y

x

/



z

o /

;

x



y

/

#

 /

z

Æ (S (u)) = 2. Exer   io 10.7 Dados x 2 X e k; l 2 Z, mostre que o problema da palavra para a apresenta ~ao Inv < X ; xk = xl > e de idvel.

11 Apresenta o~es da forma

DX

Inv < X ; e = 1 >, e 2

Vamos agora onsiderar apresenta ~oes do tipo Inv < X ; e = 1 >, om e 2 DX . Veremos que o problema da palavra e de idvel para estas apresenta ~oes, tal omo foi provado por Margolis e Meakin [12℄ [4℄, embora os automatos de S hutzenberger sejam in nitos. A de idibilidade resultara do fa to das geodesi as de um tal automato

onstituirem uma linguagem re onhe vel. Lema 11.1 RX 2 Re X . Dem. Seja o X -grafo de nido por

 V(  E(

) = fig [ fqx ; x 2 X g, ) = f(i; x; qx ); x 2 X g [ f(qy ; x; qx ); x; y 2 X; y 6= x

De nimos o X -automato A = (i; ; V ( )). Temos 1 su edidos n~ao-triviais em A s~ao da forma

j

j

j

x

x

x

xn

X

47

X

xn

g.

2 L(A) e os aminhos bem-

1 q ! 2 ::: !q ! 1

om x 2 X e x +1 6= x 1 ; logo L(A) = R e R 2 Re X . 

i

1

O resultado seguinte e habitualmente referido omo Teorema de Benois. Teorema 11.2 Seja L 2 Re X . Ent~ ao L 2 Re X e podemos onstruir efe tiva0 mente um X -automato A tal que L(A0 ) = L a partir de um X -automato A tal que L(A) = L. Dem. Seja A = (I; ; F ) um X -aut omato tal que L(A) = L. Vamos de nir uma sequ^en ia (Ak )k1 de X -automatos indutivamente. Tomamos A1 = A. Se Ak = (Ik ; k ; Fk ) esta de nido, de nimos um X -1-automato Bk = (Ik ; 0k ; Fk ) por

 V(  E(

0 ) = V ( k ), k 0 ) = E ( k ) [ f(p; 1; q ); (p; xx 1 ; q ) e um aminho em k

; x 2 X; p 6= q g. Finalmente, de nimos Ak+1 = (Ik+1 ; k+1; Fk+1 ) omo sendo o X -automato obtido a partir de Bk pelo algoritmo do Teorema 5.3. Para todo k  1, temos V ( k) = V (

k +1

),

E( k)  E(

k +1

),

k

Ik  Ik+1 ,

Fk = Fk+1 , logo Am = Am+1 para algum m  1. Alem disso, L(Ak )  L(Ak+1 ) para todo k  1, logo L(Am ) = [k1 L(Ak ). Seja 

Le = fv 2 X : u ` v para algum u 2 Lg: 

Vamos mostrar que

L(Ak )  Le por indu ~ao sobre k. E imediato que L(A1 ) = L  Le. Suponhamos que L(Ak )  Le (k  1), e seja v 2 L(Ak+1). Como L(Ak+1) = L(Bk ), v e rotulo de um aminho em Bk da forma 1 1 1 n 0 1 ! q0 v! p1 ! q1 v! p2 ! ::: ! qn v! pn+1 ! vj onde n  0, qj !pj +1 e um aminho em Ak , e (pj ; 1; qj ) 2 E (Bk ) para todo j . Por de ni ~ao de Bk , existe em Ak um aminho da forma pj

xj xj

1

!q

j

para todo j 2 f1; :::; ng. Logo w = v0 x1 x1 1 v1 :::xn xn 1 vn 2 L(Ak ). Por hipotese de    indu ~ao, u ` w para algum u 2 L. Como w ` v1 :::vn = v , resulta que u ` v e logo L(Ak+1)  Le . Por indu ~ao, L(Ak )  Le para todo k  1; em parti ular, L(Am )  Le Por outro lado, omo L(Ak+1 ) = L(Bk ), e imediato que

u 2 L(Ak ); u ` v ) v 2 L(Ak+1 ) 48

para todo k  1. Logo

Le 

[ k

e Le = L(Am ). Daqui resulta que

1

L(Ak ) = L(Am );

L = Le \ RX = L(Am ) \ RX : Obviamente, Am e efe tivamente onstruvel e, pelo Lema 11.1, podemos onstruir um X -automato nito que re onhe a RX . Pelo Teorema 5.5(ii), podemos onstruir efe tivamente um X -automato nito A0 tal que L(A0 ) = L.  Ate ao m desta se  ~ao, xamos uma apresenta ~ao Inv < X ; e = 1 >, om e e 2 DX f1g, e es revemos R = f(e; 1)g. Note-se que, se p ! q e um aminho num X -automato inverso, ent~ao q = p; assim, na R-expans~ao ompleta de um X -automato e inverso nito, apenas ha a onsiderar olagens de aminhos da forma p ! p. 0 0 omatos duais tais que A R A e A j= P. Ent~ao Lema 11.3 Sejam A e A X -aut 0 A j= P. omato dual des rito por Dem. Seja B o X -aut o

/

q

e

v v Qualquer aminho p ! p em B induz um aminho ! p0 ! p0 em MT (e), que satisfaz P. Resulta que L(B )  L(MT (e)) e logo L(B )  DX . Podemos assumir que A0 resulta de A = (i; ; f ) por olagem de um aminho e v p !p, p 2 V (A), ou seja, por olagem de B. Seja ! : i ! i um aminho em A0 . Se ! for tambem um aminho em A, ent~ao v = 1, pois A j= P. Caso ontrario, ! admite uma fa toriza ~ao do tipo

i

0 1 1 ! p ! p ! ::: !p !i;

a

b

a

bn

an

onde

n  1, n i a0 :::a! i e um aminho em A,

bj 2 L(B) para j = 1; :::; n. Como A j= P e L(B)  DX , resulta que

v = (a0 b1 a1 :::bn an ) = (a0 :::an ) = 1; logo A0 j= P.

 49

Lema 11.4

(i) (ii) (iii)



Para todos u 2 X e k  1,

A (u) e uma arvore, G(A (u)) = (G(u)
[G(e)℄ G (A (u)) = u. k

k

k

p

1 ) ,

k

(i) Pelo Lema 7.4(i), basta-nos mostrar que Ak (u) j= P por indu ~ao sobre k. Como A1 (u) = MT (u) e uma arvore, e imediato que A1 (u) j= P. Suponhamos que Ak (u) j= P, om k  1. Como Bk (u) e obtido a partir de Ak (u) por uma R-expans~ao ompleta, resulta da apli a ~ao su essiva do lema anterior que Bk (u) j= P. Como Ak+1(u) e obtido a partir de Bk (u) por redu ~ao ompleta, resulta da apli a ~ao su essiva do Lema 7.4(ii) que Ak+1 (u) j= P. Logo Ak (u) e uma arvore para todo k  1. (ii) Vamos usar indu ~ao sobre k. O aso k = 1 e trivial. Suponhamos que Dem.

G(Ak (u)) = (G(u)
[G(e)℄k 1 )

(k  1):

g Seja ! i ! q uma geodesi a de Ak+1 (u). Como Ak+1(u) e obtido a partir de Bk (u) por redu ~ao ompleta, existe um verti e q 0 em Bk (u) que apos a sequ^en ia de redu ~oes da v origem a q . Seja ! i0 ! q 0 uma geodesi a em Bk (u). v 0 Se q 2 V (Ak (u)) ent~ao, por minimalidade de j v j, ! i0 ! q 0 e uma geodesi a em Ak (u). Caso ontrario, novamente por minimalidade de j v j, existe uma fa toriza ~ao v = wf tal que:

( y)

! i0 !p0 e uma geodesi a em A (u) para algum p0 2 V (A (u)); (yy) f  e ou f  e 1 . w

k

p

k

p

Em qualquer dos asos, podemos assumir a exist^en ia de uma fa toriza ~ao v = wf v nas ondi ~oes (y) e (yy). Como ! i0 ! q 0 e um aminho em Bk (u), existe em Ak+1(u) v um aminho ! i !q , e logo um aminho ! i v!q . Como Ak+1(u) e uma arvore, resulta que g = v = (wf ). Por hipotese de indu ~ao, w 2 (G(u)
[G(e)℄k 1 ). Por outro lado, f 2 G(e) = G(e 1 ), logo g 2 (G(u)
[G(e)℄k ). Para provar a in lus~ao re pro a, basta observar que para qualquer palavra v 2 (G(u)
[G(e)℄k 1 )
G(e) existe um aminho ! i v!q em Ak+1(u), que sera ne essariamente uma geodesi a. Seja w 2 (G(u)
[G(e)℄k 1 ) e seja f 2 G(e). Por hipotese de indu ~ao, existe uma geodesi a ! i0 w!q 0 em Ak (u). Alem disso, f = e0  para algum e0 p e. Logo existem

aminhos 0

! i0 !p0 em B (u); 0 ! i !p em A +1(u); we

we

k

k

50

!i

(we0 )

!p0 em A +1(u). k

Como (we0) = (wf ), resulta que G(Ak+1 (u)) = (G(u)
[G(e)℄k ), omo queramos demonstrar. (iii) Para todo k  1, u 2 L(Ak (u)) impli a que u e a geodesi a prin ipal de Ak (u).  Teorema 11.5



Para todo u 2 X ,

A(u) e uma arvore, (ii) G(A(u)) = (G(u)
[G(e)℄ ), (iii) G (A(u)) = u. Dem. (i) Suponhamos que A(u) = (i; ; f ) n~ ao e uma arvore. Ent~ao existe em A(u) um aminho da forma i !i om v = 6 1. Seja i !f um aminho em A(u). Ent~ao [ w; vw 2 L(A(u)) = L(A (u)); (i)

p

v

w

k

k

1

logo w; vw 2 L(Am (u)) para algum m  1. Como Am (u) e inje tivo, resulta que v existe um aminho ! i0 ! i0 em Am (u), ontradizendo o lema anterior. Logo Am (u) e uma arvore. g v (ii) Seja i !q uma geodesi a de A(u), e seja q ! f um aminho em A(u). Ent~ao g 0 0 gf 2 L(A(u)) = [k1 L(Ak (u)) e logo existe um aminho ! i !q em Am (u) para algum m  1. Como g 2 RX e Am (u) e uma arvore, g e uma geodesi a de Am (u). Pelo lema anterior,

g 2 (G(u)
[G(e)℄m 1 )  (G(u)
[G(e)℄ ): Re ipro amente, suponhamos que gg 2 (G(u)
[G(e)℄m ) para algum m  1. Pelo lema anterior, existe uma geodesi a i0 !p em Am+1 (u). Logo 

gh 2 L(Am+1 (u))  L(A(u))

para algum h 2 X , pelo que existe um aminho i uma geodesi a de A(u). (iii) Imediato. 

!q em A(u). Como g 2 R , g e g

X

Resulta do teorema anterior que os automatos A(u) s~ao sempre in nitos. No entanto, podemos provar que: Teorema 11.6 O problema da palavra para Inv < X ; e = 1 >  e de idvel. 51

Pelo Corolario 8.2, basta-nos mostrar que e de idvel, para todos u; v se v 2 L(A(u)). Pelos Teoremas 6.4 e 11.5, v 2 L(A(u)) se e so se Dem.

w 2 (G(u)
[G(e)℄ ) para todo w p v

2 X ,



e v = u. Logo basta-nos mostrar que e de idvel, para todos u 2 X e w 2 RX , se w 2 (G(u)
[G(e)℄ ). Como G(u) e G(e) s~ao linguagens nitas, s~ao re onhe veis. Pelo Teorema 5.5, podemos onstruir efe tivamente um X -automato nito B tal que

L(B) = G(u)
[G(e)℄ : Pelo Teorema 11.2, podemos onstruir efe tivamente um X -automato nito B0 tal que L(B0 ) = (G(u)
[G(e)℄ ): Como e de idvel, para todo w 2 RX , se w 2 L(B0 ), resulta que o problema da palavra para Inv < X ; e = 1 > e de idvel.  Exer   io 11.7

Considere a apresenta ~ao Inv < x; y ; x 1 xyxx 1 y

1

= 1 >.

(i) Construa um automato que re onhe a as geodesi as de A(1). (ii) Determine se a palavra x 1 y 2xyx 1 xy 1 x 1 y 2 x e ongruente om 1 para esta apresenta ~ao. 

12 Alguns resultados, algumas expe tativas A teoria ombinatoria de semigrupos inversos riou novas expe tativas para a resolu ~ao de alguns problemas lassi os, nomeadamente ao nvel das apresenta ~oes om uma uni a rela ~ao. O problema da palavra para apresenta ~oes om uma uni a rela ~ao Gp < X ; u = v > foi resolvido em 1932 por Magnus [9℄, no que onstitui um dos mais elebrados resultados da teoria ombinatoria de grupos. O problema

orrespondente para apresenta ~oes de monoides Mon < X ; u = v > foi resolvido em dois asos parti ulares importantes por Adjan: - o aso v = 1 [1℄; - o aso em que u e v ome am por letras diferentes e a abam por letras diferentes [2℄. Posteriormente, o que restava do problema foi reduzido aos asos

Mon < x; y ; xay = xbx >; Mon < x; y ; xay = x >; 52

onde a; b 2 fx; y g [3℄. Em fun ~ao disto, vamos mostrar que a resolu ~ao do problema da palavra para as apresenta ~oes da forma Inv < x; y ; w = 1 >, w 2 Rfa;bg , impli a a resolu ~ao do problema da palavra para todas as apresenta ~oes da forma Mon < X ; u = v >. Vamos xar X = fx; y g, u 2 xX  y e v 2 xX  x [ x. Seja  a ongru^en ia em X  gerada pela rela ~ao u = v e seja M = X  = .  Lema 12.1 Para todos a; b; 2 X , (a ) = (b )

) a = b:

Dados p; q 2 X  , es revemos p n q se p  q e n e o menor inteiro n~ao negativo tal que existem w0 ; :::; wn 2 X  tais que:

Dem.

p = w0 , q = wn, para todo i 2 f1; :::; ng, existem gi ; hi 2 X  tais que

fw 1; w g = fg uh ; g vh g: i

Vamos mostrar que

i

i

i

i

i

(a ) n (b ) ) a n b

usando indu ~ao sobre n. O aso n = 0 e trivial. Suponhamos que

(a ) m (b ) ) a m b para todos a; b; 2 X  e m < n (n  1). Suponhamos que (a ) n (b ). Sem perda de generalidade, podemos assumir que 2 X . Mais espe i amente, vamos assumir que

= y (o aso = x e inteiramente analogo). Por hipotese, existem w0 ; :::; wn 2 X  tais que:

a = w0 , b = wn , para todo i 2 f1; :::; ng, existem gi ; hi 2 X  tais que

fw 1; w g = fg uh ; g vh g: i

i

i

i

i

i

Suponhamos que hi = 1 para algum i 2 f1; :::; ng. Ent~ao a ultima letra na su ess~ao w0 ; :::; wn muda pelo menos duas vezes e, por minimalidade de n, as mudan as n~ao s~ao onse utivas. Logo, existem i; j 2 f1; :::; n 1g, om i < j , tais que

wi 1 = gi u;

wi = gi v; 53

wj = gj +1v; wj +1 = gj +1 u: Como wi j i wj e j i < n, resulta da hipotese de indu ~ao que gi j i gj +1. Logo wi 1 j i wj +1 e (a ) n 2 (b ), absurdo. Logo hi 6= 1 para todo i 2 f1; :::; ng. Daqui resulta que podemos es rever wi = wi0 para todo i 2 f1; :::; ng, e logo a m b para algum m  n. Veri a-se fa ilmente que o aso m < n onduz a um absurdo, logo a n b e o lema esta demonstrado.  Se o problema da palavra para Inv < X ; uv 1 = 1 > for de idvel, ent~ao o problema da palavra para Mon < X ; u = v > e de idvel.  Dem. Seja  a ongru^ e n ia em X gerada pela rela ~ao  [ f(uv 1 ; 1)g, e seja  N = X = . Consideremos o homomor smo Teorema 12.2

' : X ! N t 7! t: Como

u' = (vu 1 u)' = (vu 1 uv 1v )' = v'; resulta do Teorema 1.1(ii) que podemos de nir um homomor smo  : M (t ) = t . Para ada z 2 X , de nimos uma fun ~ao

!N

por

z : M ! M b 7! b(z ): Pelo lema anterior, z e inje tiva. De nimos tambem z z1 ; :::; zn 2 X ,

z1 :::zn = z1 ::: zn : E imediato que

: X  ! P I (M ) w 7! w

1

= z 1 , 1 = 1 e, dados

e um homomor smo de monoides. Como w 1 = w 1 para todo w submonoide inverso de P I (M ). Como u = v , podemos de nir um homomor smo 1:

Finalmente, omo   Ker e

M ! P I (M ) t 7! t :

uv 1 = u v 1 = u u 1 = 1 ; podemos de nir um homomor smo 54

2 X  , im e um

N ! P I (M ) w 7! w : Obtemos assim um diagrama omutativo 2:

M 1 



/N w w w ww ww 2 w {w

P I (M ) Dados t; t0 2 X  , temos que t 1 = t0 1 impli a

t = (1 ) t = (1 ) t0 = t0 ; logo

1

e inje tivo. Consequentemente,  e inje tivo e

t = t0  , t = t0  para todos t; t0 2 X  . Daqui resulta que se o problema da palavra for de idvel para Inv < X ; uv 1 = 1 >, ent~ao e de idvel para Mon < X ; u = v >.  Se o problema da palavra for de idvel para as apresenta ~oes da forma Inv < x; y ; w = 1 >, w 2 Rfx;yg , ent~ao e de idvel para todas as apresenta ~oes da forma Mon < X ; u = v >.  Infelizmente, o problema da palavra para estas apresenta ~oes de monoides inversos permane e em aberto. Vamos agora enumerar alguns resultados positivos obtidos nos ultimos anos para tipos parti ulares de apresenta ~oes de monoides inversos.  Teorema 12.4 [12℄ [22℄ Se R  e uma rela ~ao nita em X e R   , ent~ao o problema da palavra para Inv < X ; R > e de idvel.  Note-se que o Teorema 11.7 pode ser visto omo um orolario deste resultado. Contudo, os dois algoritmos onhe idos para demonstrar o Teorema 12.4 s~ao de omplexidade bastante superior ao algoritmo apresentado na demonstra ~ao do Teorema 11.7. Dados dois elementos a; b de um grupo G, dizemos que a e b s~ao onjugados se b = a 1 para algum 2 G. O problema da onjuga ~ao (de idir se dois elementos do quo iente de nido por uma dada apresenta ~ao s~ao ou n~ao onjugados) e em geral bastante mais omplexo que o problema da palavra; em parti ular, o problema da

onjuga ~ao para apresenta ~oes de grupos om uma uni a rela ~ao en ontra-se ainda em aberto. Pro urou-se estender o on eito de onjuga ~ao aos monoides de forma razoavel, surgindo varias alternativas. Assim, dado um monoide M e a; b 2 M , dizemos que a e b s~ao: Corol ario 12.3

55

- onjugados se existirem ; d 2 M tais que a = b e

bd = da;

- transpostos se existirem u; v 2 M tais que a = uv e

b = vu:

Para grupos, os dois on eitos oin idem om o on eito lassi o de onjuga ~ao. No

aso dos monoides livres, os dois on eitos s~ao tambem equivalentes [8℄. Dada uma palavra de Dy k e 2 DX , dizemos que e e uma palavra de Dy k restrita se f 2 X  para todo f p e. Teorema 12.5 [25℄ Seja e 2 DX . Ent~ ao: (i) o problema da transposi ~ao para Inv < X ; e = 1 > e de idvel; (ii) se e e uma palavra de Dy k restrita, o problema da onjuga ~ao para Inv < X ; e = 1 > e de idvel.  Um monoide inverso M diz-se um monoide de Cliord se 8a 2 M 8e 2 E (M ) ae = ea:  Seja  a ongru^en ia em X gerada pela rela ~ao   [ f(ae; ea); a 2 X ; e 2 DX g:  Ent~ao X = e o monoide de Cliord livre sobre o onjunto X . O monoide de Cliord  de nido por uma apresenta ~ao da forma Clf < X ; R >, om R  X  X , e o quo iente X =( [ R)℄ . Teorema 12.6 [21℄ Seja Clf < X ; R > uma apresenta

~ao nita. Ent~ao o problema da palavra para Clf < X ; R > e de idvel se e so se o problema da palavra para Gp < X ; R0 > e de idvel para todo R0 2 S , onde S e um onjunto efe tivamente

onstruvel de sub onjuntos de R.  Corol ario 12.7 O problema da palavra para a apresenta

~ao Clf < X ; u = v > e  de idvel para todos u; v 2 X .    Designamos por X [ f0g o monoide obtido a partir de X a res entando um elemento absorvente 0, isto e, tal que 0a = a0 = 0  para todo a 2 X [ f0g.  Dado k  2, designamos por k a ongru^en ia em X [ f0g gerada pela rela ~ao  [ f(ak ; 0); a 2 X  DX g: O monoide inverso de nido por uma apresenta ~ao da forma Nilk < X ; R >, om   R  (X [ f0g)  (X [ f0g), e o quo iente (X  [ f0g)=(k [ R)℄ :

56

[23℄ O problema da palavra e de idvel para toda a apresenta ~ao nita Nilk < X ; R >, k  2. 

Teorema 12.8

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