Introdução ao Controle de Processos Químicos com Matlab [1] 8585173920

Table of contents :
Prefácio .............................................................................................................. 7
1 - Incentivos para Controle de Processos Químico ..................................................................... 9
2 - Aspectos de Projeto de um Sistema de Controle de Processo ........................................................ 19
3 - Hardware de um sistema de controle de processo ................................................................... 31
4 - Desenvolvimento de Modelos Matemáticos ........................................................................... 35
5 - Considerações de Modelagem para Fins de Controle ................................................................. 59
6 - Simulação em Computador e Linearização de Sistemas Não-lineares .................................................. 67
7 - Transformada de Laplace........................................................................................... 89
8 - Aplicação da Transformada de Laplace na Solução de Equações Diferenciais de Coeficientes Constantes Lineares .... 105
9 - Função de Transferência ... ....... ............................................................................. 119
10 - Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem ........................................................... 143
11 - Comportamento Dinâmico de Sistemas de Segunda Ordem .......... ... ............................................. 175

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Wu Hong Kwong

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB Volume 1

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São Carlos, 2009 . .

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..•:. proporcional e a é denominado de ganho proporcional. Com efeito, o controlador é instruído para manter o fluxo de calor em seu , alar Q~ de regime estabelecido. enquanto T for igual a '/~, isto é, enquanto o erro for. · zero. S~ T se desviar de ·(, ocasionando um erro, o controlador deve usar a dimensão desse erro para alterar proporcionalmente o fluxo de calor. Substituindo a equação 2.6 na equação 2.5:

VpC I' d(r-.7:.) = FpC [(r. -T )-(T-T )]-a(T-T.) dt I' r r, .

(2.7) '

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A Figura 2.1- mostra a solução da equação 2. 7 para diversos valores de a. Note que nenhuma dessas soluções é satisfatória, uma vez que T -Ts '#O, e quanto maior for. o' alar de a, melhor sení o controlador, no sentido de que o novo valor de T em regime estabelecido estarâ. mais próximo de T..~ . Erro

- - - - - - a•= O(sem controle)

(T-T,)

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~~ ,,-=1

J::.--- ,,,= 2 o

Tempo

Figura 2.12 Comportamento dinâmico do erro.

Melhoras sensíveis na qualidade do controle podem ser conseguidas se usarmos uma lei de controle diferente, conhecida como controle integral. Nesse caso, O é proporcional ao integral de (T -Ts) no tempo. (2.8)

Substituindo a equação 2.8 na equação 2.5:

VpC P

d(Td~ Ts) = FpC [(T; -T;, )- (T -Ts )]-a'J~ (T -Ts )dt P

(2.9)

A solução da equação 2.9 para vários valores de a' é ·mostrada na Figura 2.13. Erro

(T-J;)

Figura 2.13 Comportamento dinâmico do erro.

. Podemos notar que o controle integral é aceitável, · uma ~ez que eie l~va 0 err~ !-Ts a zero para os três valores de a'. Portanto, a temperatura de regime estabelecido· .. ~· T: ·, ou seja,,º erro em regime estabelecido é ~era. ~atamos também .que, depend~~do 0 valor de a , o err? T -Ts retorna a zero mais rapidamente ou lentamente, oscila por long°,s. ou curtos penados de tempo. A qualidade do controle depende do valor de a':

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28 . EdUFSCar -Apontamentos ;

. btemos uma nova lei de contro le, ai e integra 1 o . Combinando as ações _vro~~;~,11~~-integral. De acordo com essa lei: conhecida como controle pi opo (2.1 O)

.

. _T )- a' f1 (T - 1'.1· )dt + Q.

Q=-a (T

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Jo

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, dois parâmetros ajustáveis: Essa lei de controle contem

a e a.

Exercícios

. · -es F. e F com temperaturas Ti e T2 , d líqmdo com vaz 0 1 2• • correntes e. . . nção de mistura. Deseja-se controlar a 2 .1 Duas . t onvergem pata uma JU , . respect1vamen e, ~ e de lí ui do resultante. Agua de refngeraçao com vazao Fc temperatura T3 da corrent q r meio de uma serpentina. Utilizando um sensor, 2 pode ser circulada sobr~ ª,clorrlente pt~ um esquema de controle "feedback" e outro um controlador e uma va vu a, mon . 1d "feedforward", especificando as variáveis de carga, controlada e mampu a a.

F2, 7;

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i F,

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2.2 Duas correntes de líquido, com vazões F1 e F 2 e ·temperaturas Ti e T2• respectivamente, convergem para uma junção de mistura. Deseja-se controlar a vazão ~ e a temperatura T3 da corrente de líquido resultante.

'

a) Identifique os objetivos de controle, as perturbações, as medidas disponíveis e as variáveis manipuladas. O sistema é SISO ou MIMO? . b) Desenvolva um sistema de controle que use apenas controladores "feedback". c) Desenvolva um sistema de controle que use apenas controladores "feedforward". d) Desenvolva um sistema de controle que use ambos os controladores "feedback" e "feedforward" .

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.,.,.,_.. . . ... . i~,~· ~N? _p~oces~o de

tratamento biológic~ d.e águas r~siduárias ~ a ~Ónce~~r·ação de · º. ~ igemo, é determinada po~ vários fenômenos físitos e biológicos, como tr~~SP.Of~~ . ht~r~~lt~?.~O oxigênio para dentro. · ~para fora do ·tanque de aeiação ; ~transpor.te massa · .. ·em · ox1gemo ·· ·,.. ·..· ·d1ssolv1do · ·· · ·· ·. ·- . d o '· ox1ge · · "n10 · .de .,_......'.,; . ·... ..-·do.•• ox1gemo.· na f ase· gasosa e utihzaçao ..

~ 1 s.soly1_~? ·: (DO)

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, ·~)::~.tado de um sistema de processamento. Mais especificamente, o estado de um sistema dinâmico é um conjunto de variáveis cuja evolução no tempo descreve completamente o comportamento interno do sistema.

As equações que relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) à 0 variáveis independentes são desenvolvidas pela aplicação dos princípios de conservaçãs sobre as quantidades fundamentais e são chamadas de equações de estado.

4.2 Desenvolvimento de MÓdelos Matemáticos O princípio da conservação de uma, ~uantidade S estabelece que: er

acumulo de S

fluxo de S

fluxo de S

dentro de um

para dentro do

para fora do

sistema .

sistema

sistema

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sistema sistema .+ ----- - - -= ...J. periódo . . < .. ', periodo'

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

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Balanço de massa total (4.2)

d(pV) = LPJ; - LP jFj dt i:entrada j:saida

.

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Balanço de massa do componente A d(n A) = d(cAV) dt dt

s

(4.3)

LcA;F; - LCAjFj ±rV i:entrada j:saida

Balanço de energia total

dE _ d(U + K + P) = ~ ~ dt k.JP;F;h; - k.JP jFjhj dt i:e11trada j:saida em que:

(4.4)

±Q ±~

p = densidade; V F nA cA r

h U K P

Q Ws

= volume total; = vazão volumétrica; = número de moles do componente A; = concentração molar (moles/volume) de A no sistema; · = taxa de reação do componente A no sistema por unidade de voh.Ime; =entalpia específica do material; = energia interna do sistema; s energia cinética do sistema; = energia potencial do sistema; _ =quantidade de calor trocado entre o sistema e as vizinhanças por unidade de tempo; =trabalho mecânico trocado entre o sistema e as vizinhanças por unidade de tempo.

Por convenção, uma quantidade é considerada positiva se entra no sistema, e negativa, se sai. As equações de estado e as variáveis de estado constituem o modelo matemático do processo. A aplicação do princípio de conservação definido pelas equações 4.2-4.4 fornece um conjunto de equações diferenciais. A solução dessas equações determinará o comportamento dinâmico do processo. Se as variáveis de estado não variam com o tempo, dizemos que o processo está em regime estático. Nesse caso, a taxa de acúmulo da quantidade fundamental S por unidade de tempo é zero e os balanços resultantes dão um conjunto de equações algébricas.

·4.3 Elementos Adicionais dos Modelos Matemáticos , . Além das equações de balanço, precisamos de outras equações, chamadas de : .:. .,:. _· equações constitutivas, que expressem o equilíbrio termodinâmico, as taxas de reações, .. ·::,'=., '. ·'as)a)(_as de transporte de calor, a massa, o momento e assim por diante. Tais relações _··.'. ..-. ~. ª~.i êi9ri_ais ··necessárias para completar a modelagem matemática dos diversos processos: .:

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB · 39

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Quantidades fundamentais: • a massa total de líquido no tanque; • a energia total do material no tanque; • seu momento. O momento· do sistema permanece constante mesmo quando as perturbações variam, e não será considerado. Vamos identificar as variáveis de estado:

Massa total no tanque: massa total= pV

~

pAh

Energia total do liquido no tanque: E= U + K+ P

(4.7) . (4.8)

Desde que o tanque não se mova, podemos eliminar o envolvimento de quaisquer termos de energia cinética e, como também não há mudança em sua posição, a taxa de variação de energia potencial será zero, ou seja:

dK/dt ~ dP/dt =O. dE/dt = dU /dt

(4.9)

Para líquidos:

dU . dH

(4.10)

-= ~

dt

dt

em ·que H é a entalpia total do líquido no tanque.

lf = pVCP (T-T,ef ) = pAhCP (T-T,ef )

(4.11)

- Tref = temperatura de referência em que a entalpia específica do líquido é zero. Das equações 4.7 e 4.11 concluímos que as variáveis de estado são: h e T, enquanto os parâmetros constantes p, A, CP e T,.ef são característicos do sistema tanque. .

:

Desenvolvimento. das equações de estado Balanço de massa total .[acúmulo de] massa total

[entrada total] de massa

tempo

tempo

d(pV) = pF. _ pF 1 dt .

-

[saída total] de massa

.....

(4.12)

tempo

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43

u. u

/( 2 ::o:

d=

,

d. d2

vetor de controle k-dimcnsional

(4.43)

, vetor de perturbações l-dimensional

(4.44)

d, Definine-se também as seguintes funções vetoriais: f 1 () f() =

f 20

(4.45)

fn()

h 10 h()=

h20

(4.46)

hm() As equações 4.39 e 4.40 podem ser escritas na forma compacta:

x= f(x,u,d)

(4.47)

y = h(x,u)

(4.48)

Exemplo 4.2 Modelo matemático de um CSTR.

Reagente

CÁ,

Re~erante

T,F

Produto

Figura 4.3 Reator CSTR. :".

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44 EdUFSCar - Apontamentos

Balanço de massa total

(4.49)

d(pV) == piF; - pF dt Ba l anço de massa d o e 01,lp onente A

d (n A ) = d (e AV) = eAi F;. - eA F - rV dt

(4.50)

dt

Bal~nço de energia total E=U+K+P

(4.51)

dK/dt = dP/ dt =O

'.

(4.52)

dE _ d(U+K+P)=dU dt dt dt

(4.53)

dU dH -=dt dt

(4.54)

(4.55) Caracterizaçao da massa tótal . d(pV) dV =---"-=p- p -p dt dt i -:- ... ( 4.56)

dV = F. - F dt 1

(4.57) . Caracterização da massa do componente A d(cAV) . dV de . ----==cA -+V~==cA.F. -e A F-k O e -E/RT e AV dt dt dt . 1 1

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48 EdUFSCar - Apontamentos

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Destilado

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Produto de fundo

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Figura 4.5 Coluna de destilação.

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Das suposições 1, 2 e 3,.temos: V = V1 = V2 = ...~·=VN , portanto, não necessita de baianço de energia nos pratos.

Da . supo~ição 5, pode-se, então, chegar à seguinte relação entre Y; A no vapor) ex, (fração molar de A no líquido):

(f~aÇãó molar de

.ax;

" (4.92) .. ·.. .. ~ : . ~.

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Introdução ao Controle de Proct?$sos Quimicos com MATLAB

K. a .. =-' '1 K.

49

(4.94)

J

Balanços

Prato de alimentação ( i = f) d(M 1 ) dt = Ff + L1+1 + Vf-1 - L.r -V.r

(4.95)

(4.96)

(4.97)

Prato do topo ( i = N) d(MN) :::: FR +VN-1-LN -VN dt

(4.98)

(4.99)

(4.100)

Prato do fundo ( i == 1) (4.101)

d(M 1 ) dt

_

-

(4.102)

L -L 2

1

(4.103)

d(M1x1) = L2X2 +Vyu -L1X1 -V1Y1 dt .

PratóOi ( i = 2, ..:.,N -1, i

._ "d(M.)

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50 EdUFSCar -Aponta

rnerztoS

-d(M;) =-- -L - i+l -L. 1

dt -L.x- -V;)'; d(M j X) j L X · 1 + VH YH 1 1 - i+l 1+ dt

Acumulador

(4. CJ6J

d(M RD) = VN -FR -F0 dt

d(M Rvxv) = VNYN -(FR + F0 )xv dt

Base da coluna (4. I IOJ

(4. 111)

(4. 112)

(4. 113) Vale destacar que todas as equações de balanço são equações de estado. Variáveis de estado · '';,.

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. Outras.equações

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· Relações de equilíbrio ~-

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

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51

2N + 4 = equações diferenciais não-lineares (equações de estado)

2N + 1 = equações algébricas (relações de equilíbrio e hidráulicas)

4.5 Tempo Morto ou Atraso por Transporte Nos exemplos de modelagem assumimos que quando ocorre uma alteração em uma das variáveis de entrada (perturbações e variáveis manipuladas), seu efeito é instantaneamente observado nas variáveis de estado e nas saídas. Na realidade, quando uma variável de entrada de um sistema varia, há um intervalo de tempo (curto ou longo) durante o qual nenhum efeito é observado nas saídas do sistema. Esse intervalo de tempo é chamado de tempo morto.

Exemplo 4.4 Considere o escoamento de um líquido incompressível ao longo de um tubo (Figura 4.6). No estado estacionário a temperatura T u da corrente será igual à de entrada 1';". Supondo que em t =O a temperatura da entrada varie conforme a curva A (Figura 4. 7). É claro que T permanecerá a mesma até que a variação atinja o fim do tubo, quando, então, T variará de acordo com a curva B. Notemos que a temperatura de saída segue o mesmo comportamento da temperatura de entrada, com um atraso de t d segundos. Assim, td é o tempo morto. 0

0 11

1

,

0 111

{Área da seção reta = A - - - 1 (..____ _ _____._,()

Figura 4.6 Sistema com retardo por transporte.

AL

td

L

(4.116)

= - - = - u segundos AU av av

U av é a velocidade média do fluido

o

t

Figura 4.7 Resposta do retardo por transporte a um estímulo. Podemos relacionar T;n e T0 111 por meio da seguinte equação:

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··~

,\ ~.1

.. j

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atein:p6ratu~a na sa ída num dado instante t

isto é, eiltrada

.

-(4.117) -

.. fo~-, (t) =T;n (t ~ td) -

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t,f instante_s

atrás.

é exatamente igual à

_t~inperaiura na . ·_ ,.

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4.6 Sistemas de Parâmetros Concentrados e de Parâmetros· Distribuídos . dos processos foi base.a da em modelo de parâmetro.i· Até este ponto, a an ál 1se . ·, · de interesse variam apenas com o tempo e nao no espaco concentrados cuJaS vanave1s . h ,. , ' . ' · d d e 0 estado do sistema são considerados omogeneos em todo 0 ou sep, as propne a es ,. iderar a concentração de parametros resu 1ta em equações Cons volume d e con t ro le . . . , ·~ · ·s ordinárias. Por outro lado, quando o comportamento do sistema e descrito 11erencia1 . d " d· 'b , tanto no tempo quanto no espaço, é denominado sistema e parametros zstn uidos e resulta em equações diferenciais parciais.

d

Exemplo 4.5 Para ilustrar a diferença entie' siste·m a de parâmetros concentrados e um sistema de parâmetros distribuídos, considere uma barra de material condutor sólido de espessura infinita, como mostra a Figura 4.8. Considere que a entrada para esse sistema seja a temperatura da superfície· esquerda (i ~O), que é uma certa função arbitrária do tempo. A condutividade térmica k' a capacidade calorífica CP e a densidade p do material são constantes. Inicialmente (t

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Tanque 1 . :i·

F~

4.3.· Considere os dois

....

agitados .com

~quecime~to mostrados :na . Íig~ra . a seguir.

(a)· Identifique as variáveis de.estado do sistema. (b) Quais os balanços que você .usou? · . .. ·. . (c) .D esenvolva ô modelo de estado .que"descreve o comporta~ento· d~âÍni~o do sistema. (d) Como voc.ê expressaria o calor fornecido pelas duas correntes"de vapor em · te~os de ·· outras vanáve1s? ·

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tanq~es

Tanque 2 p 3 Tanque 3

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· : . · Po;t~nt~, a ;esposta à primeira p~rgunta é sim. Em relação à segunda perg~?ta, , . ; ·-' ·· podemos concluir facilmente que há infinitas soluções, uma vez que podemos espec1.ficar . . ..._·. :-:, ' ' c)s':;\'alo't es·'cte ' quatro variáveis ' (4 = ·6 -2) e resolver 'a s equaç~es nas· duas' variáveis ' ~"-·" ·. ·. r~s-tarites .' Por exemplo, podemos 'eiipedficar F;, T; , F 'é Q e obt'er ·a: 's olução para h e T. :- .. .:..·-.: · ...... .

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scoamento ocorra em fu nção

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Umn observaça?· c1~1 líc,uido no tnnquc, temos umcl e 1~berdade. da pressão hidrostática O, temos mais variáveis do que equações. Múltiplas soluções resultam das E equações desde que seja possível especificar arbitrariamente f das variáveis. Nesse caso dizemos que o processo está subespecificado por f equações.

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3. Se f ._.-"0.: .:·::_ .. . . F /

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~on~~~-IÍlent~ .•s~o -p~r~urbaÇões. es~.e_dfi.5-~~as . pe_lo ·meio ~xterrio . .

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l

Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

Tabela 5.2

65

Contagem do número de variáveis. Número de variáveis

x 1.

N+2

Y;

N+ l

M;

N+2

L; F1

c1 F0 F8

N

.-/'

FR

V

6 Total = 4N + 11

Então, temos até 4 objetivos de controle, por exemplo, controlar: • composição do destilado x 0 ; • composição do fundo x 8 ; • conteúdo de líquido no acumulador M RD; •conteúdo de líquido na base da coluna M 8 • Os dois primeiros ·objetivos correspondem à especificação da produção e os outros são restrições · operacionais (não deixar inundar ou secar). Ou controlar: F 0 , x 0 , M RD, M 8 • Ou controlar: F 8 , x 8 , M RD, M 8 • Quatro objetivos de controle :::::} quatro malhas de controle. r-·-------·-------------·----

Água - - - MJID ~~

----ÇJ

i

l

Malha 3 l

1 1

l

1

Malha 1

1 1 1 1

1

í

1

. . ;. .:.

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· Figura 5.8 Controle de uma coluna de destilação típica. ~-

.·

:

. ·.·.

.. ·. -

.

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66

EdUFSCar -

I

Apont'ltmentos

'

Exerc1c1os

. d f' ra a seguir , 'tado com 'tc1uec1mento a igu . , identifique: 5.l Para o tanque agi ' .·, , Os objetivos de controle deste sistema. ., (,) a . ., . , -es uc podem afetar a operaçao do tanque. (b) Todas as peit.urb~~o , q. , d·· s disponíveis para 0 controle do tanque na presença de (c) Todas as vanáve1s manipu1,t a. · perturbações.

F,T

F,t Vapor

Nota: A vazão eflue~t~ F relaciona-se com a altura h pela expressão F = F(h)

quando não é manipulada por controlador. Para o mesmo tanque, considere que a t.e mperatura T seja o objetivo de controle básico (isto é, manter essa temperatura na presença de perturbações). ,construa uma configuração de controle "feedback" que satisfaça o objetivo de controle na presença.de perturbações. Classifique todas as variáveis. Quantos graus de liberdade possui 0 sistema? Justifique.· Para o mesmo. tanque, considere que a ~ltura h seja o objetivo de controle básico (isto é, manter essa altura na 'presença de perturbações). Construa duas configurações de controle "feedback"que· satisfaçam os objeiivos.de controle na presença de perturbações. Classifique todas as yariáveis para ambas as configurações. Quantos graus de liberdade possui cada sistema? Justifique.

e

Para o mesmo tanque, considere que a temperat~ra T a altura h sejam os objefrvos .de controle básiCos; C.o nstrua duas configuraÇões de controle "feedback" que satisfaçam os objetivos.de controle na presença de perturbações. Classifique todas as ,variáveis para ambas as co~figuraçõês; Quantos graus de liberd.~de possui. cada sistema? Justifique.

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

67

6. Simulação em Computador e Linearização de Sistemas Não-lineares Para_acharmos o comportamento dinâmico de processos químicos, temos de integrar as equaçoes de ~stado usadas para modelar os processos. Muitos sistemas de processamento nos quais estamos interessados são modelados por equações diferenciais nãolineares, e sabe-se que não há teoria matemática geral para solução analítica de equações não-lineares. As soluções analíticas estão disponíveis apenas para equações diferenciais lineares. Quando nos defrontamos com análise dinâmica de sistemas não-lineares, podemos agir de várias maneiras, como: 1. Simular o sistema não-linear em computador digital ou analógico e computar sua solução. 2. Transformar o sistema não-linear em linear por intermédio da transformação de suas variáveis. 3. Desenvolver um modelo linear que aproxima o comportamento dinâmico do sistema não-linear em tomo das condições de operação especificadas.

6.1 Linearização de Sistemas de uma Variável Linearização é o procedimento pelo qual aproximamos sistemas não-lineares de lineares. Os sistemas lineares são largamente usados no estudo de dinâmica de processos e em projetos de sistemas de controle, pelas seguintes razões: 1. Podemos desenvolver soluções analíticas para sistemas lineares. Assim, podemos ter um quadro completo e geral do comportamento do processo independentemente dos valores dos parâmetros e das variáveis de entrada. Isso não é possível para sistemas nãolineares e soluções por computador, pois o comportamento do sistema é fornecido apenas para os valores especificados das entradas e dos parâmetros. 2. Todos os desenvolvimentos significativos em relação ao projeto de sistemas de controle efetivos têm sido limitados a processos lineares. A validação de modelos linearizados dependerá da operação do sistema. Como as variáveis controladas devem ser mantidas pelos controladores nos valores desejados ou próximos deles, os desvios são pequenos quando há um bom controle e o modelo linearizado é adequado. Considere a equação diferencial não-linear: dx -=f(x) dt

(6.1)

A função não-linear f (x) pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de .. _ um ponto x • Em controle de processos geralmente a linearização é feita em torno do

·:·.:~

0

,. . '> .ponto estacionário

< .·· "

xs.

.. f(x) = f(x,) +(~l, x ~!x,

.

+(~:n, (x~~·)' +,·+(~:~

t

{x ~~,)~

(6.2)

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68

EdUFSCar - Apontammtos

Se desprezarmos todos os termos de ordem dois e superiores, obteremos a seguinte aproximação para o valor de

f

(x): f (x)

=f (xs) +(dfJ dt

(x-xs)

(6.3)

x,

Essa aproximação é boa apenas para x próximo de não-linear f (x) e sua aproximação em torno do ponto ponto de linearização.

X5 X

5

• •

A Figura 6.1 mostra a funcão A aproximação só é exata,no

=f(x,)+(rJJ: (x-x,) . ----f(x) J(x)

f(x)

x,

x,

Figura 6.1 Funç- ;- 1. ao nao- mear e sua aproximação l. mear em torno de xs. Substituindo f (x)

da equação 6.1 por sua aproximação i· 1near, tem-se:

dx _ (df) dt-f(xs)+ dt _(x-xs) l,

Essa equação é a a r . - . equação 6.1. p ox1maçao hnearizada do sistema d. ,..

(6.4 . . inanuco irucial dado peL

.

Ex~mplo 6.1 Considere o sistem seçao reta uniforme de área A.

a tanque da Figura 6

?

·- que consiste em um tanq ue ~

F1 ~

t1__

Figura 6.2 Sistema de nível.

F.

=

A área d li a seçao transversal. - altura do nível de l' . • 1qu1do. Para un1 lí .

fornece:

quido de massa espec ·r·

diz A-= F.1 - F dt n

I

ica con

t

s ante, um b 1 a anço material

no t an q u

Digitalizado com Camsc anner

Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATIAB

69

a) Suponha que a vazão volumétrica por meio da resistência se relaciona com a altura de líquido h pela relação linear F,, =ali, sendo a= constante. Substituindo na equação 6.5 resulta na equação diferencial linear: dh A dt +ah= F,. (6.6) A equação 6.6 é uma equação diferencial linear, cuja expressão geral é x' + f (t)x ~ r(t). b) Consideraremos que a vazão volumétrica por meio da resistência se relaciona com a altura de líquido h pela relação não-linear

(6.7) o que resulta na seguinte equação diferencial não-linear:

diz A-+{3Jh = F. dt

(6.8)

f

A equação 6.8 contém um termo não-linear dado por {3Jh. Expandindo em uma série de Taylor em torno do valor estacionário hs, tem-se (6.9)

(6.10)

Desprezando os termos de segunda ordem e superiores, o resultado é

13Jh =13Jh: + ~ (1i-11s)

(6.11)

2vhs Substituindo a equação 6.11 na equação 6.8, tem-se o seguinte modelo linearizado: dh

/3

/3

(6.12)

rL

A-+--h = F,--vhs dt 2.Jh: 2

Exemplo 6.2 Para 0 sistema tanque do Exemplo 6. ~, v_amos verifica.r o .efeito do ~onto de linearização na resposta do mesmo a uma vanaçao degrau unitáno na vazao de alimentação. A vazão efluente é dada por: (6. 13)

Para tanto, vamos considerar que os níveis médios de oper~ção sejam de 1 e 3 m de altura (Tabela 6.1 ), e linearizar o modelo em torno desses dois pontos.

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70 EdUFSCar - ilpo111nme111os

Tnhcln 6.1

1. • , . 1o estacionaria. · s de- oper,1ç. Cnrnctcr (sttca.

1

'1

Ponto de Of>crnçiio

3

F (m /min)

(m)

1

1

8

2

3

13,8564

linear 1 o modelo hneanza . do em torno do nível mé dio de Chamando de modelo . do nível médio de 3 m. 1 ' modelo meut · • · 2 o em to1 no e de , de 1 m de a 1tura e a vazão é

m, . . c·1so o tanque es·tá operando no. nive1 No pnme1ro • ' . ., 9 m3/m1n.

d d 8 m'/mm pata . 63 subitamente aumenta a e . delos é mostrada na Figura .. A resposta da altura de 1iqu1 , 'd o de cada um dos mo

1.2 -

1.15 -

1.a; -

1-

--- --- ---:-.0.1:--0-::;_2 ~0.":;-3 -;;;o.~~oõ:S.s-Oo.:S-s

0 85 0 · :-

-

o.; ct11-

-oo. ee-

cctt99

1

1 (mn)

Figura 6.3 Resposta ao degrau unitário para uma variação na vazão de alimentação. Podemos notar a boa aproximação da resposta do modelo linear 1 com a resposta do modelo não-linear, enquanto a resposta do modelo linear 2 está totalmente errada, indo em direção contrária à direção da resposta exata. No segundo caso, o tanque está operando no nível de 3 m de altura e a vazão é subitamente aumentada de 13,8564 m 3/min para 14,8564 m 3/min. A resposta da altura de líquido de cada um dos modelos é mostrada na Figura 6.4. Podemos notar a boa aproximação da resposta do modelo linear 2 com a resposta do modelo não-linear, enquanto a resposta do modelo linear 1 está totalmente errada, indo em direção contrária à direção da resposta exata.

..

.• •t •

.'·

Isso demonstra que o modelo linearizado é uma boa aproximação do modelo nãolinear apenas nas proximidades do ponto em que foi feita a linearização .

:::\·_.1.. r;. •., .... ..!.

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Introdução ao Controle de Pro~essos Químicos com MATLAB

71

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15,~ ---· ,..-': ~ .::..

34

1 1

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trf'rlilôr1n ar....

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J

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O

• Q1

02

Q3

0.4

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05

-

•

08

•

•

0.7

-

•

0.8

• 1

-

O.!»

l (rriã:o \CQiJEÍ~~~, _.!':.-; condições iniciais para esta equação são escritas por; dl y

dt

1

C33 )

= Yo 1= 0,1, .. . ,n-l

r 1=0

em que y~ é constante. A transformada de Laplace da equaçã o Kl é idada rim:

i =O

i=O

.

'•

Note que o segundo membro da equação .8.4 é :a s oma de dní-s izr.mrs: =t::J ~~:::> dependente apen as da tran sformada de Laplace da entr.ada e 'l1IIl :ape.!l.35 n35 ..... :'n~ iniciais. Além disso, note qu e o denominador de .ambo.s os termn:S rui ;e.qn 3 1.::ã· -~- ~é,

-

~

é o polinômio característico da equ ação 8. 1. . A solução da saída y(t ) em fun ção do tempo é a uan sfo:rrn.aih ÍIIv.ers.::! &; lJ ~ ·ar= :k~ .d e y(s), isto é, :·· ·

~;.

1

~

; ,;-.· ,• ..

'> ··. :.

[

..

~ ~..

·

·

,

·-;./ 2

(8. 75)

z/2

(8 .76)

> -;./2

Exercícios S.1 Escreva as transformadas de Laplace das seguintes equações e resolva para y(s): d2v dv ., (a) - ·2 +4· +2v = 3r' dt dt ·'

(b)

dv

dt +2y=5sen3t

y(O) =O, y'(O) =O

) (O)= l

3

d y dv (e) 2 - , +3 - · + y+4 =O dt ·' dt d'ly

dy

dr'l

dr

(d) -+2-+6= Asen2ctX

y(O) =O, y'(O) =O, y"(O) =O

y(O)

= 1,

y '(O) = 2

8.2 Use a transformada de Laplace e a expansão em frações parciais para resolver as seguintes equações:

d 2)1 d)' (a) 2-·-+45-+ y= 1 2

y(O) === O, y'(O) =O

dv (b) 6-· + y = 3t dt

y(O) =O

dt

dt

8.3 Usando a transformada de Laplace, resolva os seguintes conjuntos de equações dife-

. renciais lineares: y 1 (O)= 1

)' 2 (O)=

2

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114

EdUFSCar -Apontamentos

_ v + 2v = 2sent ( b) dy1 dt .1 • 2

d

d

_b_+2 --~ -5Y1 -3Y2

= t-e

-O.li

dt dt _ . d'ferenciais lineares: . . d equaçoes 1 8.4 Considere o seguinte sistenM e Xi (0) ==O

d\· _2

= ª21X1 + G22X2 + Í2 (t)

dt . se uinte sistema equivalente: Mostre que esse sistema pode ser convertido no g

d 2x 1

-

dx +b1 -d 1 +b2 X 1 = h(t) t

-

d

"I 4 (

dx"I 4

-

-

dt

G22X2

= G21X1 + Í2 (t)

em que b1 e b2 dependem de a 11' a 12 , a 21 e a 22 e h(t) depende de / 1 (t), / 2 (t) e de s~as derivadas. Note que o sistema modificado pode ser resolvido seqüencialmente e, assim, mais facilmente do que o sistema original, o qual requer resolução simultânea.

8.5 Usando a transformada de Laplace, resolva a seguinte equação diferencial parcial que descreve o comportamento dinâmico de um trocador de calor tubular:

dT

dT

pCPAJt + pCPvAJ; = rrDU(~1 -T) em que p, CP, A, v, U e D são parâmetros constantes A . , estado estacionário quando a temperatura do v · ssuma que o sistema es ta en1 unitário. apor T:, sofre uma variação degrau

8.6 Usando a transformada de Laplace, calcul

0

de batelada isotérmico onde ocorre a segui t e co_mportamento dinâmico de um reator n e reaçao: A t, >B k1 >C

.

.

Assuma cinética de primeira orde m para amb de A, B e C versus o tempo. as as reaç 0-

::..·_ . ·" 1td$;:~ ,.:. . úg.J;,\ · .,:

es ·

PI

. -es ote as concen tI aç 0

8.7 A grande batalha naval conhecid . . .d . a pela H ó . . podena ter toma o rumos diferentes. 0 .1st na como b S) sarnente sua poderosa frota de 33 n . ª~mirante Vill atal~a de Trafalgar ( J80 _ 'l'''· ,,~-:-:.·... · b . b av1os dis eneuve . uJhO ~;;}~;?;r,~~:~· -~-.: .... A frota ntamca, s? o comando de L ' Posta em fil _ . Inspecionava org . ;C,'::. ' . : ~ ..i'ti~~;:...~~.-}:, ·.·. Supondo faltarem amda duas horas p ord Nelson er a _un1ca, sob uma leve aragerJl .. · ... ,..,, ...,.~ · · ara · ' a av t · s ;~·,>·;_,::.· }~:~:~;~;~~~"· 'uma ·g arrafa de vinho, revisava e .d 0 1n1cio da b · · ...... . · ,, · . ···~ · u1 act 0 atalh IS ada: 27 poderosos nav10· 1· :. .· < '/·f',\{{;~tL.iradiçãc;> nas batalhas navais da épo samente a a, ViUeneuve enquanto abfl' .:.-.:; ., . ,. ·:··.:':: qucccra de formular o plano de combate. Archibald, seu imediato, foi chamado às pressa;, para uma conferência. Familiarizado com a lei dos di sparos, Nelson scntí a-sc entediado cm ter de lutar contra toda a frota francesa (eJe também parecia ler as manchetes dos j orn aís), Certamente não seria desgraça uma derrota diante de forças superiores, uma vez que ele havia dado o melhor de si e havia aceito as regras do jogo. Suspeítava, entretanto, de que algo poderia ser feito . Admitindo encontrar-se diante de um caso de " tudo ou nada", continuava investigando uma possibilidade. Era possível "quebrar a Jínha", em outras palavras, iniciar paralelamente à frota francesa e dcpoís dívídír o ínimígo em duas partes. A metade posterior poderia ser destruída antes que a primeira metade pudesse dar mcíavolta e retornar à Juta. Agora a questão: a frota francesa poderia ser dividida? Em caso afirmativo, em que ponto isso deveria ser feito? Archibald, que minutos antes estava embriagado, aceitou a idéia e aconselhou N.eJson sobre o ponto da divisão que apresentava maior possibilidade de sucesso. Arch1bald concordava que, com essa estratégía, a batalha seria favorável aos ingleses. Quais eram suas idéias?

8.9 Capitão James Kirk está no comando de ~ma frota de 16 n;;a~es espaciais. Uma frota de 20 naves do Klingon está à vi sta e se aproximando. O lcgend~n? ten. ~poc~ apo _·entouse recentemente. Assim , 0 Capitão ~irk ~ol.tou-se par~ sh·ua oficial da rntcl1gênc.1a..: tcn. Steadm (t a 2.196 de engenharia qu1m1ca da Leh1g ), para fazer uma prev1sao do an urm b 1h d r· . . final dessa batalha iminente. Steadman tem tra .ª a o com os novos o 1cia1s de engenharia da frota ten. Moquin e ten. Walsh, substitutos do tcn. Scott, que se aposentou. . o f'1cia1s . . nova ' tos. conseguiram a façanha de dobrar o poder de fogo da metade dos Es ses . '·!i!;···.· ··v ··asos de K'1rk so bre o po der de fogo de Klmgon, onde. todos os vasos têm o mesmo poder ~·:: " . . . ~- '· d f d f do restante da trota de K1rk parelha com o de Klmgon. Mas -~(:· " · · ee ogo. O podef~ . e. . ogo seg,ui;am melhorar o escudo defensí vo da segunda metade da ~· sses mesmos o 1cia1s con. . _ .:;.: . f · ' . . f'caz reduz pela metade a taxa de dcstru1çao dos vasos pela ., ,_,_ rota. Esse escudo mais e 1 • . • •• • . • • • . • _ -~ : . . . A .· há duas classes de naves espaciais. oito vasos sao de Classe '>. artt 1hana de Khngon. ss1m, . .. E . d d r. . • /:;/. E . de fo o, e oito de Classe 2 , com escu o e1ens1vo melhorado. :JCf·'.:: .:.:A" com mawr poder frot~ de Klingon atire em cada um~ das classes a cada instante. \'.'/ que metade da ·;.:· . ..:~. ,::...· .~ ssuma 1 / batalha. e qua, ntos vasos de cada tipo restarão. ::.:'~'(~~~2;(-~ cule quem vencera a ·''" ~::~]?':~;::· , , enda feit a pelo HatfieJds, Grandpa McCoy começou a /i~"~s~:~~,~ ~ra .atender uma ~nd~odm sua famosa cachaça Liquíd Lightníng. Ele iniciou bom;.;;:;PXQçe.ssar 'uin nova batela ª e r

,;,·i~,~~~~~Y?:~~:~1t·". .. ~ .

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116

EdUFSCar - Apontamentos

vazio Dentro do tanque, o , t F. para um tanque . , f t d beando a mistura a uma vazao .constan e o produto que e a on e1 o . dem para formar um etanol sofre uma reação de pnmeira ar · . . d e a concentração do etano na vigoroso Liquid Lightning do McC 0 Y· desenvolva as equações alimentação, C , seja constante e queª opcraç•O seja isa e' 0 volume V do líquido 0 que descrevem como a concentração C do etanol no. tanqdue · dade constante Resolva

Ass~;iin .~ .~utérmica

.

A .

, 1ístura perfeita e enst

.

no tanque van am com o tempo. ssuma n . . . h · 0 na batelada do Grandpa a ODE e mostre que a concentração C do L1qu1d L1g tn1 g McCoy é

C= Co(t-e-b ) kr 8.11 U m fazendeiro armazena milho picado em seu silo. O pé de milho (folhas, caule e espigas) é cortado em pequenos pedaços e soprado para o topo do silo cilíndrico a uma vazão W • Isso é similar ao sistema de reação química batelada alimentada. O diâmetro do silo é0 D e sua altura, H. A densidade do milho picado no silo varia com a altura do leito. A densidade p num ponto, tendo z ft de material em cima, é

p(z) = Po + f3z em que Po e f3 são constantes. (a) Escreva as equações que descrevem o sistema e mostre como a altura do leito varia com o tempo.

(b) Qual o peso total de milho para alimentação que pode ser armazenado no silo? 1 8.U Duas reações de primeira ordem, consecutivas são feºt

isotérmico e perfeitamente misturado.

'

as em um reator de batelada

Assumindo densidade constante resolva anal'f das concentrações dos componentes À e B .1 ica~1ente o comportamento dinâ mico inic' l d A · , · · para ª situaçao · ia e no m1c10 do ciclo de batelada é e . . em que k 1 == k•'.! . A concentração 1 • C no reator "º · mcialmente não háe co mponente B ou Qual a concentração máxíma do instante isso ocorre?. componente B que pode -se r prod uz1 ~ ·cto e em qu al

8.13 Duas reações de primeira orde isotérmico e perfeítamente rm. sturado. . mAscovazões nsecuti vas são fe it·1s ' · e m um reator contínuo 1 1 1: t ,o,oumee·1d A__', B __',e ' ens ·idade são constantes.

(a) Desenvolva um modelo malemá ltco . que d , (b) R eso lva o comportamento dinâmi escreve o sistema . .. , ·; .., concentração de A na corrente deco .da concentração alimentação const do componente A, C sendo a .•,. ante em C Ao e as concentrações A ' .................... Digitalizado com CamScanner

Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

117

iniciuis c~e !\' IJ t! C 110 instante zero: C (0) = C e C (O)= C (O)= O (e) Pnrn n s1t11uçüo ci 11· _. , . A · Ao n J

3

(9 .3 b)

P(s)

Note que o polinômio é o mesmo no denominador de ambos, e é chamado de polinômio cnract.crístico. P(s) =(s-a11)(s-a22)-a12ª21 =

s2 -(a11

(9.34) +a22)s-(a12ª21 -a11ª22)

A equação 9.33 é escrita como:

- (s)-Y 1

[(s-a22 Y'11 +a12h21] . - - f,- (s) + [(s-a 22 )b12 +a 12b22 ] P(s)

·

P(s)

Í 2 (s)

(9.35a)

G11 (.IJ

·y2( .\') =

+ a 21 b11 ] · [( s - a 11 )b + b ] [(s - a 11 \'1 f · 21 f (s) + --~2: . .2_ª..::._2~1_::I2:J P(rj ' f 2 (s) . P(s) G:1(s)

OU

(9.35b)

G12 ( s)

Y1(s) = G11Cs)/1(s)+G12(s) / 2(s)

(9. 36a)

Y2 (s) = G21(s) J, (s) + G22 ( '\')}-;2 ( s) Na forma matricial

(9.36b)

(9. 37)

(s)J

G12 G22 (s) é a matriz de t ransferên . .. eia. ·,'_.·' . ';~·:...

,·_,.

(9. 38) Digitalizado com CamScanner

Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

125

~-----------------, f1 (s) ' + ' .Y1(s) G11 (s)

+

+ .Y~ (s) 1----:+-0----r--t 1

1

------------------· Figura 9.9 Diagrama de blocos.

Exemplo 9.2 Matriz de transferência de um CSTR.

Reagente

Produto

Refrigerante

Figura 9.10 Reator CSTR .

Modelo matemático dV dt

= F-F

(9.39)

1

de A F; ( -;Jt = V e Ai -

eA

)- k

oe

-E/RT

e

(9.40)

A

F; ( r) + Jk o e-E/RT e A -dT = = T ~ V '

UA, (T-

VpC

~· )

(9 .41)

P

, em que: (9.42)

]=(-Aflr)

pCP Assumindo V constante,

0

mo

delo matemático simplifica para: (9.43)

(9.44)

Digitalizado com CamScanner

126

EdUFSCar - Apontamentos IÍI (

'7 -

L(-

.:1')

ou

de A dt

1(

-

-

- - CAi

-

CA

)- k e - E/ RT e O

A

'l'

dT =~(T; -T)+ Jk, 0 -. · dos pólos e de seus mo os . , . nos que lulJa cancelamento exato e um po o '" .. ,· . d do s1ste1fül, " me "· '.~· :.· :.:,; i;~~ ,~;;,;rre.w frações parciais.

: 1.f.::~·. .~~'

-~ ~~~i'{ .

Digitalizado com CamScanner

. õmios do numerador e do , " . , ~ , 'sível quando os po lm . .. d . 5, Rçs1.'\'"\stn mstnntflnen n deg1nu Sl) e pos. ·o--· te"'n1 dinâm1ca de or em supenor • Muitos proccss " . . knci minmkw tt m n mcsmn nrcIcm. · . . . E. specto usualmente os impede nr- dcn0minndn1\ cm1s1mdo algum grmt ele mcrcudi. --~secl~;sivc a uma entrada impulso. • , nualnucr cntrn n,. tn . ·os de ordem do numerador e dt' t~spnmfor mstnntancmncn 1e n ·1 ·1 · • \' . . , .•., . nnznclos cm te1 m .. Es~rs mp1ment\\" t 1s1ros prn1em sei " 11 11 · · dc-nominndnr da cqrnwi\0 9.66. v(s) Q(s) (9.78) O(s) ~~;::-

f (s

/'(s)

isH' r..', m _ 11 pnrn um sistemn ser fisicamente realizável.

9.4.4

Propriedades da Função de Transferência

:\s pmpri~dndcs dn fünçfio de transferência estfio sumurizadas a seguir:

t. .;.\ funçfio de tmnsforêncin é definida npenns pum sistemas lineares invariantes no tempo. ~.

3. 4. 5.

6.

N2ío l' definid:'\ pnrn sistemas ní'io-lineares. .~ ~ A fnnç~o de tmnsferência entre umn 'm·iB, em fase liquid~ ocorre num reator com volume constante conforme esquematizado a seguir. Assumindo que Pi e F2 sejam constantes, escreva as equações que descrevem o sistema. DesenvolYa as funções de transferência que relacionam as concentrações de alimentação ao reator e AI e e Ai com a concentração de A na corrente que deixa o reator cA 3 Tempo morto = t 4

9.11 Uma_ maneira d~ medi_r a densidade de um líquido é bombeá-lo lentamente por um tubo vertical e medir a diferença de pressão entre o topo e o fundo do tubo. E ssa diferença de pressão está diretamente relacionada à densidade do líquido no tubo se a perd~ por atrito fo__r d~sprezível. ~upondo q~e a densidade varie com 0 tempo. Qual a funçao ?e transferencia que rela~10na a medida da queda de pressão com perturbações na densidade? Assuma que o flmdo sobe a coluna verticalmente em "plug flow" .

,d..t) Entrada--+

Medidor de pressão diferencial

9.12 O elemento aquecedor Calrod, mostrado na figura · . · . . _ a seguir, transfere calor pnnc1palmente pe1o mecamsmo da radiaçao. Se a taxa de forn · d . , . , Q ecimento e energia eletnca para o aquece d or e , a temperatura do bastão e a temperatura bº . d 1 . am iente sao, repectivamente, T e Ta , entao, um mo e o no estado nao estac 1onár1·0 para o sistema · é

mCdT dt

= Q-k(T4 -T4 ) ª

Digitalizado com CamScanner

· ·.. """""Çao ao Controle d

e Proçessos Qufmlç0s wm MA1W 13{1 Ache a função de transfe ,.. . . renc1a relacionando 7'' com Q' e T' com Q

T', f}

,. T

9.13 Uma reação exotérmica, A~ , . . 28 tanque agitado. A reação em fase 1, .d , e conduzida ad1abatícamcntc em um reator _ pode ser consid · reator " de J..000 (Jal A reaçao d iqu1 d a .ocorre . a volume co ns t'an te num 0 era a e pnme1ra ordem e irrcvcrsfveJ com a constante da taxa· da d a por... · k = 2,4x 1015 e- 2oooo;r em que T está em ºR. (a) Usando as informações a seguir, desenvolva a função de transferência relacionando a temperatura de saída T com a concentração de entrada eAi. (b) Quão sensível é o ganho dessa função de transferência às condições de operação? Ache . uma expressão para o ganho em termos de F_1. , ~ e eAis, e calcule as sensití vídades. Informações adicionais:

1. Condições nominais no estado estacionário são: T = 150 ºF e . = 0,8 mol/ft3

~

=20 gaVmÍ~r

= vazão de entrada e saída do reator

. d a d e s físicas da mistura no estado estacionário: 2. D a d os d e propne CP 0,8 Btu/lb ºF p 52 lb/ft3 -Mi = 500 kJ/mol , . f 1 ura a segu ir. A vazão de liquido nos tanque , 9.14 Considere o processo mostrado na ,g r de 250 lb/m in. A densidade do líquido é F ' . 'd d nstante no va 1o , , 'd ' pode ser cons1 era a co · , 1 específico tambem e assumi o constante 3 0 assumida constante igual a 50 Ib/ft e ca ~rd' tanque é de 10 ft.l. Pode-se desprezar a lume em cc1 ,1 . quando igual a 1 3 Btu/lbºF. O vo . . a de blocos que mostre como vanaçoes ' . Dese n he or 'drngtatll< · e as · um·d a des· Perda de calor para o me10. ) Forneça os valores. lllllllCI, ··ICOS na temperatura T. (t) e em Q(t) afetam (t tran · s fcrenc1ct. _ 13de de cada parâmetro , em to d as a, .s funçoes

=

=

A

. ..

~.

,

"

-, ~!i._,J__-:::-:~~!i_+-c;;(.,L-t-~T~~~-r-r,-1

3

A~

B. A taxa

.· Digitalizado com CamScanner

140

EdUFSCar -Apontammtos

=kc A

3

.

"d de e todas as outras propriedad . . dens1 a . es ssumlf queª , ode-se assumu que o reo· em que k é uma constante. Pode-se ª . ·iares Tambem P fl ,, . . clflle · m s1m1 · turbulento ("plucr ow ) ' mrn1m·IZando 0 físicas do produto e do reagente seja . te eia aitamen · do· de escoamento entre os pontos 2 e 3 s J l" "ncia relac10nan · - de trans1ere a retromistura. Obtenha as funçoes centração de A em 1; (a) a concentração de A em 2 comª con ão de A em 2; (b) a concentração de A em 3 com a concentraç_ de A em 1 - de A em 3 com a concentraçao . (c) a concentraçao rA

moles de Alft mm

3 CA3

F

tt31min

e .AI mo es/aun

9.16 Considere o tanque agitado com jaqueta de refrigeração mostrado na figura a seguir. O fluido na jaqueta é assumido perfeitamente misturado e a capacidade térmica da parede, desprezível. F.T,

~

F.T Ache a função de transferência da t temperatura da água de refrigeração. emperatura do fluido que deixa o tanque com a

9.17 Considere o sistema de dois CSTRs , . . em sene, com 0 . . ~ Alimentação fresca mostra a figura a seg ulf: Perturbaç· F ao

r1 cl/

R C2~- t~,____'

F,J

'e,

e,

Corrente de Produto l

F1.l c Corrente d

2

e Produto

2

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATlAB

141

A reação irreversível é conduzida isotermicamente em cada reator. A composição das correntes de produto, e, e c2 , deve ser controlada. As variáveis manipuladas são as composições de alimentação aos reatores, c11 e c21 , e a perturbação do processo é a concentração de uma corrente de alimentação adicional cd. As vazões do sistema são constantes e variam apenas as composições. Há presença de tempo morto devido ao atraso por transporte na corrente de reciclo. (a) Para o sistema de reatores, escreva os balanços materiais para c1 e Cz.· (b) Coloque as equações de (a) na forma de variáveis desvio. Use as definições a seguir. (Subscrito s denota valor no estado estacionário.) (c) Desenvolva a matriz de transferência do sistema.

e1 =

v; F+R+Fd

=

À R

R F+R+Fd

e2 = v2

Fp,2 +R

FP -F2 +R µ = -.:....'2----Fp.2 +R

· d dois tanques com reciclo é esquematizado a seguir. Os níveis de 9•18 U m sistema e . . F K F K J A , ·d o sao - man t"dos por controladores proporc10na1s: . 1 = c1 111 e .,- = e:! z..... ' vazao 1iqm I . · tema e o reciclo FR podem ser ajustados pelo operador. F; que a 11menta o s1s

l - - - " ·

·: ·,·: · Y(t) == '·,

AK P

2

~r!w +1

(10.34)

sen(wt + \ ."/

-:

~ 1 .5

.

. ' 1

: ·r"\.

165

.

~

. 1 ·-"

\

.

,. .I "\ . . .'J

·1.5~'~-~----'---'----"-----'-~--~~ 2 4 6 8 10 12 14 16 18

2'.l

Figura 10.20 Resposta à entrada senoidal de sistemas de primeira ordem.

Exemplo 10.11 Seja o mesmo sistema do exemplo anterior, com KP = 1. Plote a resposta do sistema a uma variação senoidal de amplitude unitária para r P = 1, 2 e 3. O Programa 10.6 usa a rotina impulse para calcular as respostas. Programa 10.6 %

% prgl0_6.m

(e)

%

2OO1

wu h.

kwong

%

% efeito da constante de tempo na resposta de sistemas de l a . orde m % a uma variação senoidal de amplitude unitária na entrada %

clear all yout;;: [] ; %

% parâmetros %

Kp=l; taup=[l

2

3];

% intervalo de simulação %'

t=O: .1:20; t=t 1

;

· .%· entrada ~. '.'

senoidal

%-

f.~;;.~ ;,., ~' :~.~~a= 1; ; .[A* omega] ; ·. :-·úi·' \.n1u-~f "" ,t i~

A

. ~rn~=" [l o omega 2]; · · ~] ~ impulse(numf,denf,t); '

~·

'

',5~

-

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166

EdUFSCar - Apontamentos

fout=y; %

for

i=l:length(taup)

% % função %

de

transferência do processo

nump= [Kp] ; denp= [taup (i) . l]; %

num-conv(numf ,nump); den=conv(denf,denp); (y,x]=impulse(num,den,t}; yout= [yout y] ; end %

% plota a

resposta

%

plot ( t, f out, 'k: ' , t, yout ( : , 1) , 'k-' , t, you t ( : , 2) , 'k-' , t, you t ( : ' 3) ' 'k- · ' ) xlabel ( 't') ylabel('y') legend('f', 'taup=l', 'taup=2' ,'taup=3')

A Figura 10.21 mostra a resposta do sistema de primeira ordem à variação senoidal de amplitude unitária para r P = 1, 2 e 3. Observe que, quanto maior a constante de tempo, menor a amplitude da saída senoidal, isto é, o sinal de entrada é atenuado.

.'

as

..

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: ) . I .\ .I .

as .' / '.

'

'

-0.2 -0.4 -0.6 -0.B ·1 '---'----'-''---'--'---'-~-~--'--~__J

O

2

4

6

B

10

12

14

16

18

20

Figura 10.21 Resposta à entrada senoidal de sistemas de primeira ordem . .· •.· ,.,

:·

.

..

....

·

Exercícios

}.•

10.1 Um termômetro, tendo constante de tempo de 0,2 min, é colocado em um banho, ·

.:e

após atingido o equilíbrio térmico, a temperatura cresce linearmente com o tempo, a . uma velocidade de 1º/min. Qual a diferença entre as temperaturas indicadas e a do banho \ ;·:;(a) 0,1 mine (b) 1,0 min após o início da variação da temperatura? (c) Qual o desvio :tá:~·..j :··.':

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li

""' .~---

Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATlAB

167

má.ritno entre a tem~ratura indicada e a do banho, e quando ocorre? (d) Plote a função pertn~bação e a respo:ta em um me mo gráfico. Após transcorrido tempo suficientemente longo, em quantos mmutos a resposta do sistema está em atraso em relação à entrada?

t0.2 É da~o um si~tem,a cuja função de transferência é y' (s)/x' (s) =(Tis+ 1)/(Tzs+ 1).

Obtenha y (r) , se x ( t ) e uma função degrau unitário. Se ~ /Tz =5 , represente graficamente y"(t) ,-ersus 1/~- Mos~re os ,-aiores numéricos de mínimo, máximo e final possíveis de ocorrer durante o trans1ente. Compare esses vaJores aos obtidos aplicando os teoremas do ,,a}or final e o do Yalor inicial.

I0.3 Um termômetro apresenta.ado dinâmica de primeira ordem, com constante de tempo de LO min, é colocado em um banho a 40º C. Após o termômetro atingir o regime estacionário, é colocado, subitamente, em um banho a 44ª C em t =0, e lá deixado por I,0 mi~ após o qual retoma imediatamente ao banho a 40ºC. (a) Represente graficamente a v~ da leitura do termómetro com o tempo. (b) Calcule a leitura do termômetro no tempo t = 0,5 min e t = 2, O mín. lOA Um termômetro de mercúrio encontra-se sobre uma mesa durante certo tempo, e regb.--rra a temperatura ambiente de 30cc_ É, então, colocado abruptamente em um banho k óleo a 160::ic_ Os seguintes dados foram obtidos como resposta do termômetro: Tempo (s)

Látnra do rennômetro (cC)

L i

o

30,0

1 1

2-5

56.0

5 g

82_0

10

112.S

15

131 _

2IJ

15-tO

1

42.8

r

F

97.6

Calcule de duas maneiras distintas a conscame de tempo do termômetro. 10.S Um sistema de nível . como esquematizado na figura a seguir. tem uma área da seção reta igual a 0.3 m2_ A caracteríslica da váh·ula é dada por:

em que: ~ = vazão voJuméuica. m 1/min; h = nível de liquido sobre a \láhrula. m.

·-

. d o 51-""tema se o ní\·el médio de operação é: ..Calcule a constante de tempo "'

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10.6 Um processo em malha aberta tem a seguinte função de transferência: s G =-" n+ 1

Calcule a resposta em malha aberta desse processo a uma variação degrau unitário na entrada. Qual o ganho estacionário desse processo? 10.7 Considere os três tanques na figura a seguir. Para cada um desses sistemas, (a) desenvolva a função de transferência entre o nível de líquido e a vazão de entrada, (b) determine a constante de tempo e o ganho estático do processo e (e) determine quais dos três sistemas têm constante de tempo e ganho estático constantes e quais têm variáveis. Pode-se assumir que as vazões das correntes efluentes livres sejam funções lineares dos níveis de líquido correspondentes (os valores das vazões na figura são valores no estado estacionário): 3

'1ft l ftmm }(ft)

F=

•

F1

F1 ""3 ft3/rnin

1Oft3/min

l T 10 ft

l h p'l

=

F3

-

1

2 it3/min

(a)

(b) F1 - 3 il:3/min

1

F3

=

1 f:P/min

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB

169

Assuma que as vazões das correntes efluentes livres sejam funções não-lineares dos níveis de líquido correspondentes (os valores das vazões na figura são valores no estado estacionário):

F=

o,s(

3

ft

.

lfh(ft)

ftmmr··

10.9 Um tanque com área da seção transversal de 2 ft 2 e resistência linear de constante R =1 ft/ft 3/min está operando em estado estacionário com vazão de 1 ft 3/min. No instante zero, a vazão varia conforme mostra a figura a seguir. (a) Determine F'(t) e F'(s) combinando funções simples. Note que F' é o desvio na vazão. (b) Obtenha uma expressão para h'(t), em que h' é o desvio no nível. (e) Determine h'(t) em t = 2 e t = oo. F,tWmin

2 --~ , --1 / :

o '--~-1---1---l-1

o

1 2

3 4 t, min

10.10 Um reator de batelada perfeitamente misturado, contendo 7.500 lb de um líquido com calor específico de 1 Btu/lbºF, é envolto por urna jaqueta de refrigeração preenchida com 2.480 lb de água refrigerante perfeitamente misturada. No início do ciclo de batelada, ambos, o líquido no reator e a água na jaqueta, estão a 203ºF. Nesse instante, o catalisador é adicionado ao reator e ocorre urna reação que gera calor a uma taxa constante de 15.300 Btu/rnin. Nesse mesmo momento, a jaqueta é alimentada com água refrigerante a 68ºF, a uma vazão constante de 832 lb/rnin. A área de troca térmica entre o reator e a jaqueta é de 140 ft2. O coeficiente global

!J . de troca térmica é de 70 Btu/hºFft2 • A massa da parede metálica pode ser desprezada.

~;+:·:;.~-.As perdas de calor são desprezíveis.

~At;:~~}~::. ;:,

(a) J?esenvolva o modelo matemático do

proce~so.

.

. " .

:_'.'.;;~!::.~~:~?;~·;.< (l:?) Us_ e a transformada de Laplace para resolvei o compo1tamento dmam1co da temperatura .,.:.;,:.'t;:y::c{;·'!: _ do ·reator T(t). .

'; -· ::.: :.·:.:.';·N()'Q ·;tl 0· pico na temperatura do reator e quando isso ocorre? ·-~ - ' --_. ·t: f~·!ih, ~-\ uai - : . , ;:'.:/;( - ~~ _, ·

atura do reator no estado estacionário final? a temper .f - de transferência do processo a seguir. A bomba é do tipo dese~~ unçao a-o debitada é independente da altura da coluna líquida. º 1uvo e a vaz

" (

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170

EdUFSCar -Apo11tame11tas

A

:"o de entrada. Interprete

Calcule a resposta do. p

rocesso a um

d urau na vazLI

ee

. . te para homogeneizar um . . onunuamen - d f1 . seuuir func1on.1 e _ e, pe rfeita. A vazao e e uente • A auitaçao . lo 12 O tanque do desen llo .i ~ e· . a ser despeja · d o num no. '::;, efluente industrial fisicamente o resultado obtido.

é constante, i~ual a 50 gpm. L---l--+---

Efluente

Despejo para 0 rio

e.

. 1ongos, um elemento poluidor é lançado tempo muito Aleatoriamente, em espaços de _ , dºficada porém a concentraçao no efluente durante 2 min. A 'azão do efluente nao e mo 1 ' ' do elemento poluidor possui a seguinte forma:

2min

2 min

Calcule 0 volume do tanque para que a concentração máxima do elemento poluidor no despejo seja 5% do pico de sua concentração no efluente.

10.13 o bulbo de um termômetro de mercúrio tem 1,27 cm de comprimento e 0,3 175 cm de diâmetro. A espessura da parede de vidro é desprezível. Calcule a constante de tempo desse termômetro quando colocado em corrente de água fluindo com velocidade de 3,05 m/s, a 38º C. Apresente, na resolução, um resumo que inclua: (a) suposições adotadas (b) fonte dos dados (c) resultados

"o-3,0S mfs '•.

l !

1,27 cm

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Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATIAB

171

R é linear. O tanque tem três paredes verticais e uma que· forma um âniruio a com a vertical, conforme ilustrado. A distância que separa as paredes verticais íg:na] a B~ O[ll

é

seja, profundidade unitária.

profundidade unitária

10.15 A junção de um termopar de área A, massa m , calor específico CfT e emi...'5üvidairre. ê encontra-se em um forno que, normalmente, está à temperatura ~ (ª C ) _ Nessa e mperatura, os mecanismos convectivos e condutivos de transferência de c aJo.r são desprezíveis em face do mecanismo radioativo. Determine a função de transferê ncia linearizada entre a temperatura do forno T; e a temperatura da junção T,,,- Para esse caso,

m = 0,1 g CP= 0,12 cal/g ºC ê =0,7 A=0,10m2 T1 = l.IOOºC

10.16 Considere o tanque de armazenamento da figura a seguir_

1

~

-

2tt3/min

Suponha que desejamos controlar o nível de líquido no tanque na altura de 5 fi. manipulando a vazão efluente F 2 , de acordo com a seguinte lei de controle proporcional:

F 2 :::;-J0(5-h)+l ·"

(a) Desenvolva a função de transferência entre h e F". (b) Determine a constante de tempo e o ganho do tanque, sob controle. (e) Encontre a resposta dinâmica do nível de líquido a uma variação degrau de 1 ftJ/ min em p (isto é, determine como h(t) v~ria..:c?m o t~mpo). , . 1 (d) Ache 0 novo valor do estado estac1onano do mvel de hqu1do.

·: 10~ 17 Considere 0 processo de mistura mostrado na figura a seguir, no qual uma corrente ·de ·uma so 1uçao - con tendo sal d1"ssolvido escoa ·· , . em um tanque de volume_de annaze·· · t T' nto a vazão volumetnca F quanto a concentraçao de saJ na amento V constan e. a . · l. t - do tanque e . (massa/volume), vanam com o tempo. · rente de a 1men açao • ,

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172 EdUFSCat - AprmtttrttmflJ§

, . ntracão de 1saída e com u (a) Dc-t.ermínc a"i fun~~ de trnn1'> ferênda que relacwnam a concc ,, , · vazão de '-'"rltrada F e a ooncen1rnçã;.·:...: :

• :J_

c==~s---r--~~-=~

c======~=~----t------~~---==~

k~.":_~.·-·: _ 1 : ~ . · ; • ~ . : ; , · E : . ; i _ = .·. -=~.,=~_-;=:._=_==~c==---t------~~-~===J t·:; ;' -.-_- •

j

· -- ·

.:..·

;.1 = _ r .= ..:...•

...

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Introdução ao Controle de Procossos Qulmlcos com MATLAU

173

(a) Plote a resposta do nível do tanque nas seguintes condições: a vazão de entrada é rnant ílfo no valor de 18 Umin durante l ,Oh e é, então, subitamente aumentada para 24 L/rnín, (b) Quão preciso é o valor estacionário calculado pela resposta dinâmica na parte a quando compiuado ao valor dado pela tabela anterior? (e) O tanque agora é conectado em série com um segundo tanque, qu e aprcsenu1 características de operação idênticas, mas com dimensões de 2,4 rn de altura e J,2 m de diâmetro. Plote a resposta do tanque original (que cstú a montante do novo télnquc) para a mesma variação descrita no item a, quando a conexão é: ( l) com ínternção e (2) se m interação.

10.20 Dois tanques de armazenamento ele líquido são mostrados a seguir. Cada tanque tem 4 ft de diâmetro. Para o Sistema l, a válvula atua como resistência linear de acordo com a relação vazão-altura F =8,33/i, em que F está em gaJ/min e h em ft. Para o Sistema 2 ~ a variação do nível h não afeta a vazão de saída q. Suponha que cada tanque esteja inicialmente em estado estacionário, com h.= 6 ft e F . = 50 gal/min, e que no instante t =O a vazão de entrada varie de 50 para 70 gal/min. Para cada sistema, determine .1

/.1

as seguintes informações: (a) A função de transferência h'(s)/ F/(s). (b) A resposta transiente h(t) . (e) Os níveis no novo estado estacionário. (d) Se cada tanque tem 8 ft de altura, qual dos tanques transbordará primeiro? E quando?

Sistema 1

Sistema 2

10.21 Uma solução contendo z0 de fração mássica de um componente volátil é alimentada por um evaporador de efeito simples a uma taxa de F kg/h. Em condições de operação no estado estaciom1rio, V kg/h de vapor e L kg/h de líquido são produzidos. Se a concentração de alimentação mudar repentinamente para uma concentração mais alta z e persistir por -r h antes de retornar a z0 , desenvolva as equações para prever as va;iações na concentração do componente volátil na corrente de produto durante e após a perturbação. Assuma que as taxas de vapor e líquido permanecem constantes e que 0 conteúdo no evaporador é H kg. A volatilidade do componente vaporizável pode ser expressa pela relação y

= 11'1.X

'!;' 1. dois pólos reais e distintos. Caso B: ~ = 1~ dois pólos iguais (pólo múltiplo). Oiso C: OS ( < l ~ dois pólos complexos conjugados.

O caso em que Ç < O é omitido, pois corresponde a um sistema de segunda ordem ·::.._q~Yel que tem resposta ilimitada para qualquer entrada. ~o A

- Resposta superamortecida, Ç > 1

A inversão da equação 11.15 fornece como resultado

,. t) = AK

•

P

[1- e< rfr (cosh Jç' - l!.r +

b

l]

ç2 -1 senh Jç' - 1!._r)

(11.16)

~que as funções hiperbólicas são definidas por:

(11.17

eª-e-a ·. senha=--2

(ll.18)

eª+ e-ª cosha=---

·