Integrable Systems in the Realm of Algebraic Geometry (Lecture Notes in Mathematics, 1638) 3540423370, 3540618864, 9783540423379

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P r e f a c e to the s e c o n d e d i t i o n

The present edition of this book, five years after the first edition, has been spiced with several recent results which fit naturally in the point of view that had been adapted in the original text and with some new examples and constructions that will help the reader to appreciate better our approach to integrable systems. On this occasion I wish to thank my collaborators from the last five years, to wit Christina Birkenhake, Peter Bneken, t~ui Fernandes, Masoto Kimura, Vadim Kuznetsov, Marco Pedroni, Michael Penkava, Luis Piovan and Claude Roger for a fruitful interaction and for their warm friendship. Most of the results that have been added are taken from, or are inspired by, joint work with some of them; I acknowledge their permission to add these, sometimes unpublished, results. The colleagues at my newest working environment, the University of Poitiers (France), created for me a pleasant and stimulating working environment. I wish to acknowledge the support of all of them. Special thanks go to Marc van Leeuwen, Claude Quitt4 and Patrice Tanvel for sharing their insights with me, which usually led to a real improvement of parts of the text. Last but not least, Yvette Kosmann-Schwarzbach, who was not acknowledged in the first version of this book - - most probably because my gratitude to her was too big and too obvious! - - is thanked here in all possible superlatives, for her constant support and for her sincere friendship. Merci Yvette!

I

C h a p t e r

I n t r o d u c t i o n

I n t e g r a b l e s y s t e m s s o l v a b l e b y q u a r e g e b r a i c o p e r a t i o n s , i n t n o n - t r i v i a l e x a m p s o m e o u v i l l e , b u t e s s e n t i a l l y s y s t e m w i t h n d e g r e e s t i o n

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o f

P . V a n h a e c k e : L N M 1 6 3 8 , p p . 1 - 1 6 , 1 9 9 6 , 2 0 0 1 © S p rin g e r-V e rla g B e rlin H e id e lb e rg 1 9 9 6 , 2 0 0 1

C h a p t e r l o t o f

b y q u a d r a t u r e s r e q u i r e d a p l i c a t e d c a s e s t h e s o l u t i o n n o n - t r i v i a l a

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a n a l y t i c a l p r o p e r t i e s o A b e l i a n v a r i e t i e s ,

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f o r t h i s . T h e f i r s t o n e i s t h a t P o i n c a x 6 s h o w e d a t t h e b e g i n n i n g g e n e r a l m e c h a n i c a l s y s t e m o f t h e a b o v e H a m i l t o n i a n f o r m is n o t L i o u v i l l e i n t e g r a b l e . I n p a r t i c u l a r h e a l s o s h o w e d t h a t t h e f a m o u s t h r e e b o d y p r o b l e m i s n o t i n t e g r a b l e . T h i s d e c l i n e d t h e i n t e r e s t i n i n t e g r a b l e s y s t e m s f o r p h y s i c i s t s , a s t r o n o m e r s a n d o f

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c o m p l e x a n a l y s i s p l e t e l y d i f f e r e n t d i r e c t i o n s a n d t h e t h e o r y b e

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G a r d n i n v e r s e s c a t t e s u c h a s t h e K o t i o n e q u a t i o n s n d e n t first i n t e t o

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b y t h e d i s c o v e r y G r e e n e , K r u s k a l m e t h o d

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r e g u l a r f u n c t i o n a n d t h e t h a t a l g e b r a i c g e o m e t r i c t o o F o r e x a m p l e t h e n - d i m e n s i o

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c o m d e v e l o p v a r i e t i e s , w h i c h is o m e t o g e t h e r , a l s o n

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g e o m e t r i c o b j e c t s . T h e s y m p l e c t i c s t r u c t u r e a n d t h e M a n y i m p o r t a n t c o n s t r u c t i o n s a

t r a n s f o r m a t i o n s

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o f D a r b o u x

c o o r d i n a t e s , c a n o n i c a l t r a n s f o r m i n g f u n c t i o n s , e t c . I n m o s t e x a m p l e s h o w e v e r t h e d i f f e r n t e g r a b l e s y s t e m a r e a l g e b r a i c : t h e p h a s e s p a c e h a s t h e s t e a l g e b r a i c v a r i e t y , t h e P o i s s o n b r a c k e t o f t w o r e g u l a r f u f u n c t i o n s i n i n v o l u t i o n a r e a l s o r e g u l a r f u n c t i o n s . T h i s s l s m a y b e h e l p f u l i n s t u d y i n g a n d s o l v i n g i n t e g r a b l e s n a l m a n i f o l d s w h i c h a r e o b t a i n e d b y f i x i n g t h e v a l u e s o

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a n a l y s i s . 2 B a s i c a l l y e v e r y t h i n g t h a t t a i n e d

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o r i g i n a l l y d e s i g n e d f o r s t u d y V r i e s e q u a t i o n . I t b e c a m e a p p a r e n t t h a t H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n , h a v i n g a n i n a v o l u t i o n a n d t h a t t h e y c o u l d t h e r e f o r e b e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m ; t h e i n v e r s e l e d t o e x p l i c i t s o l u t i o n s . L a t e r t h e m e t h o d f i n i t e - d i m e n s i o n a l ) i n t e g r a b l e s y s t e m s , first w

(or a n a l y t i c ) m a n i f o l d , e q u i p p e d s m o o t h ( o r a n a l y t i c ) f u n c t i o a r e

s e p a r a t i n g v a r i a b l e s , g e n e r a t m e n t s w h i c h c o n s t i t u t e t h e i o f

m a d e ) .

f i e l d t h e o r i e s .

T r a d i t i o n a l l y i n t e g r a b l e s y s t e m s

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i n g e v o l u t i o n e q u a t i o n s w e g - d e t h e s e " i n t e g r a b l e " e v o l u s e s s e d f i n i t e m u n b e r o f i n d e p e s i n i n w i t h i n f i n i t e a n i n t e r p r e t e d a s i n t e g r a b l e s y s t e m s s c a t t e r i n g m e t h o d p r o v i d e d t h e first i n t e g r a l s a n d w a s s u c c e s f u l l y a p p l i e d i n t h e c o n t e x t o f c l a s s i c a l ( F l a s c h k a , ( s e e [ F l a l ] a n d [ F l a , 2 ] ) , M a n a k o v ( s e e [ M a n ] ) a n d M o s e r ( s e b y a n d l a t e r b y m a n y o t h e r s . I n a s h o r t p e r i o d o f t i m e a c o n n e c t i o n w a s d b r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s , e s p e c i a l l y L i e t h e o r y , r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y , T h e r e v i v a l o f t h e i n t e r e s t i n i n t e g r a b l e s y s t e m s w a s e n t i a l g e o m e t r y . p h y s i c s a s i n m a t h e m a t i c s - m a n y p h y s i c a l i n t e r e s t i n g s y s t e m s w e r e f o u d e s c r i b e d b y i n t e g r a b l e s y s t e m s a n d ( i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l ) i n t e g r a b l e s y a

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P o i s s o n

p r e c i s e n a t u r e i n f l u e n c e s t h e o f f l o w s : i f s u c h a f i x e d l e v e l m a n i f o l d a d m i t s a c o m p a c t i f i c a t i o n t o w h i c h t h e c t o r f i e l d s e x t e n d i n a 4 o l o m o r p h i c w a y a n d r e m a i n i n d e p e n d e n t t h e n t h e l e v e l b e a c o m p l e x t o r u s a n d t h e f l o w s o f t h e s e v e c t o r f i e l d s a r e l i n e a r o n it. n - d i m e n s i o n a l

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A l g e b r a i c - g e o m e t r i c

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c e n t u r y , b u t it w a s A d l e r a n d v a n M o e m e a n i n g o f t h e i n t e g r a b i l i t y o f m o s t c o n c e p t o f a n a l g e b r a i c c o m p l e t e l y i n t e g r a b l e s y s t e m ( a t o a n a l y s e a n d s o l v e s u c h s y s t e m s . T h e b a s i c c o n d i t i o n s y s t e m t o b e a.c.i. i s t h a t t h e g e n e r a l f i b e r o f t h e m o o f

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b y i n t r o d u c i n g t h e a n d d e v e l o p e d n e w t o o l s .c.i. s y s t e m ) s w h i c h t h e y i m p o s e f o r a n i n t e g r a b l e c l a s s i c a l

s y s t e m s

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I-, f I.

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p o i n t t h e P o i s s o n b r a c k e t h a s a r a n k w h i c h is c o n s t a r i s k i o p e n s u b s e t o f M ; t h i s c o n s t a n t , w h i c h i s a l w a y s e v e n i n v i e w o f t h e s k e w s y m m e P o i s s o n b r a c k e t , i s c a l l e d t h e r a n k o f t h e a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y a n d i s d e n o t e d b y R r e g u l a r f u n c t i o n w h o s e a s s o c i a t e d H a m i l t o n i a n v e c t o r f i e l d is z e r o is c a l l e d a C a s i m i s i m i r s f o r m a s u b a l g e b r a C a s ( M ) o f O ( M ) a n d l e a d t o a n i m p o r t a n t d e c o m p o s i t i o e C a s i m i r d e c o m p o s i t i o n , w h i c h i s g i v e n b y t h e f i b e r s o f t h e m o r p h i s m

d e f i n e d Z a

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i n c l u d e

i t

i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t o f a n a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y . A n a f f i n e a f f i n e v a r i e t y M a n ( d e f i n e d o v e r t h e field o f c o m p l e x n u m b e r s ) o f r e g u l a r f u n c t i o n s , i . e . , O ( M ) i t s a l g e b r a O ( M ) t u r e o n

b y

v a r i e t y ( M , I - , J ) a l g e b r a s t

L i e

w h i c h

n

v a r i e t i e s

P o i s s o n a

a

t h e

P o i s s o n

s t a r t

P o i s s o n

w i t h

o f t h i s i n t r o d u c t i o n

r e s t

a n d

i n t r o d u c e d

t h e o r y ( a n

t r i v i a l

A l t h o u g h

I n

m

A d l e r

o f

r k

a n d

Q B V 2 ] , [ V a n 3 ]

o f t h e a u t h o r ' s w o r k e

t h e e f f o r t t o r e w r i t e t h e r e l e v a n t

d i d

a

T h e

.

o r i g i n a t e d a n d w a s l a r g e l y i n f l u e n c e d b y t h e w o p r e s e n t e d a s a " H a b i l i t a t i o n A d i r i g e r d e s r e c h e r c h e s "

a n d

( F r a n c e )

.

w o r k

p r e s e n t

M o e r b e k e . a n d

o f

p a r t t h e m .

n

r e s u l t s w h i c h w e r e o b t a i n e d f r o T h e s y s t e m s a n d g o e s b a c k t o K o w a J e v s k i . r A b e l i a n v a r i e t i e s o f ( a n d e l a t e d varieties s u c h a s K u m m e r e x p l i c i t e m b e d d i n g s p r o j e c t i v e s p a c e , a d e t a i l e d a n a l y s i s o f d i v i s o r s a n d t h e i r s i n g u l a r i t i e s o n A b e l i c l a s s i f i c a t i o n o f i n t e g r a b l e f l o w s o n S O ( 4 ) , t h e c o n s t r u c t i o n o f L a x e q u a t i o n s a w h i c h a l l o w s o n e t o c o n c l u d e f r o m t h e a s y m p t o t i c a n a l y s i s t h a t a g i v e n i n t e g r a b a.c.i., s o m e i n t r i c a t e r e l a t i o n s t o L i e t h e o r y ,

L i l l e

[ M M ] )

a n d

(see [ A M 2 ] - [ A M 9 ]

r b e k e

t h e

a t

i n t e g r a b l e v a r i e t y t h e y d e v e l o p e d f o r s t u d y i n g a.c.i. s y s t e m s is t h e a s y m p t o t i c a n a l y s i s o f i n t e g r a b l e t h e

t h a t

a n d

A b e l i a n

w h o s e

v a r i e t i e s

a l g e b r a i c

n t

e v e r y

7 r

:

M

- +

S p e c C a s ( M ) ,

i s

field) o

a n

e t r y

o f

k J - , .1. n

r .

T h e

o f M ,

C h a p t e r i n d u c e d i s a

t h e

b y

a f f i n e n

i n c l u s i o n

C a s ( M )

a l g e b r a i c v a r i e t y

f i x i n g s o m e o f t h e v a l u e s o f r e s p o n d t o f i x i n g all v a l u e s c o r r e s p o n d t o f i x i n g o n l y t s u b a l g e b r a . A g e n e r a l p o i n n o t b e l o n g t o a c e r t a i n d i v i C a s i m i r s . S a i d d i f f e r e n t l y t w i l l

W e

s h o w

r e s t r i c t i o n

P o i s s o n

o f

P o i s s o n

w i t h

s t r u c t u r e ,

v a l u e s

o f

C a s ( M )

m o r p h i s m . a

h e

f i b e r s

w h i l e

t h e

i s

f i n i t e l y g e n e r a t e d , S p e c C a s ( M )

P i c k i n g a

c l o s e d

o v e r

t h e f i b e r s

o v e r

f i b e r

b e

m a y

p o i n t s

t h e

a r e

o t h e r

i n t e r p r e t e d

c o r -

p o i n t s i n S p e c C a s ( M )

a l l

c o n s t a n t s

s

s p e c t r u m

P o i s s o n

b r a c k e t

s t r u c t u r e

r e s t r i c t S 3 M

n

f i b e r

i s

l e s s

t o

t o

t h e s e

t h a n

o r

t a n g e n t

a r e

e a c h

t o

e q u a l i t y f o r

o

f i e l d s

v e c t o r

t h e

f i b e r

f i b e r s ; e q u a l t o

g e n e r a l f i b e r ( P r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 3 8 ) . a

a s

w h i c h

o n e s

o f t h e C a s i m i r s w h i c h b e l o n g t o b e i n g b y d e f i n i t i o n a c l o s e d p o i n t w h i c h s o r , a g e n e r a l f i b e r c o r r e s p o n d s t o p i c k i n g " g e n e r i c " v a l u e s f h e f i b e r s o f -7r a x e j u s t t h e l e v e l s e t s o f t h e C a s i m i r s .

t h e

i n

t

t h a t

a n d

t h e

h e

i s

- 7 r

I n t r o d u c t i o n

w h e n

C a s i m i r s ; t l l C a s i m i r s ,

o f a

t h e

t h a t

S p e c C a s ( M ) E

c

t h e

O ( M ) ; C

a n d

1 .

o

m

e

d o e s o r

a l l

t h e

p o i n t a n y r a n k o f t h e

t h e

r a n k

o v e r

o f

M o r e o v e r

t h e

w

e

h a v e

w

e

h a v e

t h a t

d i m C a s ( M ) d i m

w h e r e

C a s ( M )

K r u l l

t h e

i s

d i m ( M )

:. _

d i m e n s i o n

o f

-

C a s ( M )

R k ( M ) , ( P r o p o s i t i o n 11-2.40).

e q u a l i t y i n t h i s e q u a t i o n w e w i l l s a y t h a t t h e P o i s s o n b r a c k e t is m a x i m p r e s e r v e d b y r e s t r i c t i o n t o t h e g e n e r a l f i b e r w h i c h i m p l i e s t h a t t h e g e n e r e q u a l t o its d i m e n s i o n . E x a m p l e s w i l l b e g i v e n w h i c h s h o w t h a t n o t all p o i n t s ) n e e d t o h a v e t h e s a m e d i m e n s i o n o r r a n k a n d t h a t t h e a l g e b r a r e s t r i c t e d P o i s s o n

R e s t r i c t i n g t h e d u c e

n e e d s

s t r u c t u r e

P o i s s o n

a f f i n e P o i s s o n

b e

n o t

s t r u c t u r e

v a r i e t i e s

f i b e r s o f

( o v e r

c l o s e d

C a s i m i r s

o f

t h e

m a x i m a l .

t o

f r o m

W h e n

a l ; m a x i m a l i t y is a l f i b e r h a s a r a n k

l e v e l s e t o f t h e a

o l d

T o

C a s i m i r s i s

o n e

o b v i o u s

t o

w a y

p r o -

c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f s o m e o t h e r c o n s t r u c t i o n s i t i s u s e f u l t o i n t r o d u c e f i r s t t h e c o n c e p t o f a m o r p h i s m b e t w e e n a f f i n e P o i s s o n v a r i e t i e s ( M I , 1 . , - 1 1 ) a n d ( M 2 , J ' i * 1 2 ) : i t i s a m o r p h i s m 0 : M , - + M 2 w h i c h p r e s e r v e s t h e P o i s s o n s t r u c t u r e , i . e . , t h e f o l l o w i n g d i a g r a m i s c o m m u t a t i v e . n

e

w

0 ( w

0 A )

P o i s s o n

M 1

m o r p h i s m

C o n t h e o n e o f M I . m o r p h i s m n e e d s n o t b v a r i e t y . W h e n t h e i m a M 2 a n d t h e m a p t o t h

d i t i o n s

i n

A n

v a r i e t i e s

i m p o r t a n t i s t h a t

e a

a

n

a f f i

r a n k

a t

o f a

0 ( w

10. X

0 A )

d o e s

n o t

T -

0 ( m i )

n e c e s s a r i l y m a p t h e a l g e b r a o f C a s i m i r s o f M 2 t h i s t o h a p p e n w i l l b e g i v e n . A l s o t h e i m a g e o f M , b y a o i s s o n v a r i e t y s i n c e t h e i m a g e n e e d s n o t e v e n b e a n a f f i n e n e s u b v a r i e t y o f M 2 t h e n i t i n h e r i t s a P o i s s o n b r a c k e t f r o m

i s P o i s s o n

i m a g e

p r o p e r t y

t h e

f o r

a f f i n e P n

i s

g e i s

M 2

- +

a

{ ' , ' 1 2

0 ( w X

g i v e

X0*I

0 .

A

o n e s .

( P r o p o s i t i o n 11.2.16).

a m o r p h i s m 0 : A , 1 - , - 1 1 ) - + ( A i J* * 1 2 ) O f a f f i n e P o i s s o n p o i n t o f M , is a l w a y s h i g h e r t h a n t h e r a n k a t t h e i m a g e o f t h i s 1

p o i n t , V m 3

T h e

f i b e r s

o f

P o i s s o n

s t r u c t u r e

P o i s s o n

v a r i e t y .

E

M , :

R k . , J . , .11 : : ' R k o ( x &

S p e c C a s ( M ) g i v e s ( b y r e s t r i c t i o n ) e a c i r

:

M

- +

a r e

h

a l g e b r a i c

i

b u t

n e e d

i r r e d u c i b l e c o m p o n e n t

4

n o t

t h e

b e

i r r e d u c i b l e ;

s t r u c t u r e

o f a

n

t h e a f f i n e

I n

p a r t i c u l a r

f o r

a f f i n e

o

n

h a s e

f o r

e q u a l i t y

v a r i e t i e s

P o i s s o n

a

T h e

s y s t e m s

l e a d s

T h i s

i s o m o r p h i s m . n

f o l l o w s .

a s

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

2 .

d e f i n i t i o n

t h e

o f

t o

r a n k

a

a t

i n v a r i a n t n a

p o i n t

i n t o a l g e b r a i c v a r i e t i e s w h i c h w e c a l l t h e r a n d e c o m p o s i t i o n o f M E a c h e l e m e n t o f t h i s d e c o m p o s i t i o n ( m o r e p r e c i s e l y i t s c l o s u r e ) i s g i v e n b y

n a t u r a l

M i w h e r e

b e t w e e n

i r a n g e s

t h e m

M i

I n

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i s g

l p =

w h i c h

m a t r i x a

M E

I

I R k p l - , -1 M

E

R k J - , .1. T h e y 2

q u i t e e a s i l y o b t a i n e d s i n c e t h e y

a x e

w h e r e

1

a n d 0

=

g i v e n b y

a l l d e t e r m i n a n t s

o f o r d e r

c o l l e c t s

t h e

a l s o

W e

g i v e

S o m e

p i j k s i ,

r e f i n e m e n t a

o f t h e

i n v a r i a n t

E =

P o i s s o n

o f

t h e

a f f i n e P o i s s o n

# i r r e d . =

p i j

o f t h e

v a r i e t i e s

I

o f g

v a n i s h

a t

a n d

e q u a t i o n s f o r

p l ,

o f a n y s y s t e m o f g e n e r a t o r s o f O ( M ) . t h e i r i r r e d u c i b l e c o m p o n e n t s a r e a f f i n e v a r i e t i e s . c o e f f i c i e n t s i s a s s o c i a t e d t o ( M , 1 - , - 1 ) b y

i n v a r i a n t :

s t r u c t u r e

2 i +

v a r i e t i e s

b r a c k e t s

P o i s s o n

p a r t i c u l a r t h i s d e s c r i p t i o n s h o w s t h a t i n v a r i a n t p o l y n o m i a l w i t h i n t e g e r a n

2i},

d e t e r m i n a n t a l

a r e

T h e n

P ( M , I-, J )

a r e




p , q

b i l i n e a r a

m a p

F P

f o r

i s d e f i n e d

C P ( M ) , E

[Pj Q ] (fl I

.

.

Q

C P :

X

a n d

C q ( M ) E

C ,

M

( M )

f o r

I

C P + " -

- +

( M )

f i , . . . , f p + , - i

O ( M ) E

b y

f p + q - 1 ) I

.

-1 ,

o , E S q , p - i

1 : +

.

.

.

i

fa(p+q-1))

a E S p , q _ i w h e r e

o-(1) t h a t

i f P

.

t h e

d e n o t e s

S p ,


A , c

.

R k j

O ( M ) , =

-

,

I f

1.

n i

d e n o t e s

(i.e., h a v i n g i n d e p e n d e n t 0

a n d

=

d i m . F

.

=

M

t h e n o b v i o u s l y n i < g i v e s t h e f o l l o w i n g l o w e r b o u n d

C o m b i n i n g ( 2 . 4 0 ) , ( 3 . 2 )

.

n ,

C a s

d i m -

=

f o l l o w s

I t

r .

t h e

n u m b e r

v e c t o r s

t h a t

n i

a t a

i f o r =

o f

g e n e r a l

( M ) .

a l l i .

(3.3)

f i n d e

I

d i m A

W e

f i n a l l y g e t

t o

( d i m