Ingenieur-Mathematik in Beispielen 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen - Wahrscheinlichkeit und Statistik 9783486787146, 9783486230857

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Inhalt
Vorwort Zur Vierten Auflage
1. Gewöhnliche Differentialgleichungen
2. Wahrscheinlichkeit Und Statistik
3. Anhang

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IngenieurMathematik in Beispielen 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen Wahrscheinlichkeit und Statistik 130 vollständig durchgerechnete Beispiele mit 121 Bildern von Dr. Helmut Wörle, Hans-Joachim Rumpf und Dr. Joachim Erven Professoren an der Fachhochschule München

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1995

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ingenieur-Mathematik in Beispielen. - München ; Wie» : Oldenbourg. 4. Gewöhnliche Differentialgleichungen, Wahrscheinlichkeit und Statistik : 130 vollständig durchgerechnete Beispiele / von Helmut Wörle... ISBN 3-486-23085-9 NE: Wörle, Helmut

© 1995 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

ISBN 3-486-23085-9

INHALT VORWORT

6

1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

7

1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung 1.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung

7 70

2. WAHRSCHEINLICHKEIT UND STATISTIK

147

2.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2 Statistik

147 169

3. ANHANG

183

3.1 Mathematische Zeichen 3.2 Integrationsformeln 3.3 Tabellen 3.4 Sachverzeichnis

183 190 215 225

VORWORT ZUR VIERTEN AUFLAGE Die zunehmende Bedeutung von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in allen technisch orientierten Fachrichtungen war für uns Veranlassung, die bewährte dreibändige „Ingenieur-Mathematik in Beispielen" um diese Stoffgebiete zu erweitern. Damit ergab sich auch die Möglichkeit, den umfangreichen bisherigen Band 3 auf Integralrechnung und Fouriersche Reihen zu begrenzen und die Aufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen in dem nun vorliegenden Band 4 mit den neuen Abschnitten Wahrscheinlichkeit und Statistik zusammenzufassen. Bei den Aufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen haben wir lediglich einige kleine Verbesserungen vorgenommen. Die zusätzlichen Beispiele aus Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik beschränken sich auf grundlegende Problemstellungen. Für eine weitergehende Vertiefung in Statistik sei insbesondere auf die im R. Oldenbourg Verlag erschienenen Lehrbücher „Mittelbach, Statistik" und „Härtung, Statistik", verwiesen. Die Tabellen im Anhang dieses Bandes 4 konnten wir freundlicherweise aus letzterem Werk entnehmen. In Band 1 der „Ingenieur-Mathematik in Beispielen" werden lineare und nichtlineare Algebra, spezielle transzendente Funktionen und komplexe Zahlen, in Band 2 Analytische Geometrie und Differentialrechnung behandelt. Das dazugehörige „Taschenbuch der Mathematik" enthält sämtliche theoretischen Grundlagen in anwendungsbezogener und praxisnaher Darstellung sowie Formeln und Tabellen für alle vier Bände. H. Wörle, H. Rumpf, J. Erven

1.

GEWÖHNLICHE

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung 1.

o Gegeben ist in der Grandmenge G = IR die g e w ö h n l i c h e ,

sepa-

dy r i e r b a r e , l i n e a r e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g — - - x-y = 0. Hierin dx bedeutet x die unabhängige Veränderliche irgendeiner Funktion y = y (x), welche in einem Definitionsintervall die vorgelegte Differentialgleichung identisch erfüllt. Gesucht ist die Menge IM aller derartiger Funktionen, also M = { 4 ^ - * • * < * >

= °} •

Es handelt sich hier um einen speziellen Fall der Differentialgleichung dy — = f(x;y) mit f(x;y) = x- y. Werden x und y als unabhängige Veränderliche einer Funktion z = f(x;y) angesehen und bezeichnet V r = { ( x ; y ) | (x - x 0 ) 2 + (y - y Q ) 2 < r 2 } eine in der Abbildung veranschaulichte Umgebung einer beliebigen Stelle (x Q ;y 0 )S R 2 für ebenfalls beliebiges r £ R + , so ist offensichtlich z = f(x;y) = x.y in U r stetig und beschränkt. Ferner genügt f(x;y) mit (x;y), (x; y + A y ) S U r der LIPSCHITZ b e d i n g u n g |f(x;y + A y ) - f(x;y) | = | x • (y + A y ) - x-y | = |x- A y | < K • | A y |, wenn K = | x Q | + r gewählt wird. Auf Grund des E x i s t e n z - und E i n d e u t i g k e i t s s a t z e s für Differentialgleichungen ist daher wenigstens in einer gewissen Umgebung von x 0 das Vorhandensein genau einer Funktion y = (x) gesichert, welche der Anfangsbedingung

0 in der oberen, f ü r C < 0 in der unteren Halbebene des XY-Koordinatensystems.

2.

Man ermittle diejenige spezielle Lösung der Differentialgleichung dy

y-

+

x

= 0, welche der Anfangsbedingung x = x Q , y = y 0 mit y o j = 0

genügt. T r e n n u n g d e r V e r ä n d e r l i c h e n in der vorgelegten Differentialgleichung führt auf y • dy = -x • dx, woraus durch Integration

G(x;y;C) = x

2

9 + y^ - 2C = 0

als a l l g e m e i n e s

Integral

folgt.

*) In Tabellen ist keine Unterscheidung zwischen genauen und gerundeten Werten gemacht; x und y sind rechtwinklige Koordinaten.

1.1

Differentialgleichungen

1.

Durch diese Relation sind für C G R + implizit die für | x | < V2C nierten, differenzierbaren Funktionen y = g 1 (x;C) = V2C - x 2 > 0 und allgemeine

9

Ordnung

y = g 2 (x;C) = - v ^ C - x 2

defi 0 oder y Q < 0 ist. In einem kartesischen Koordinatensystem bilden die Graphen der allgemeinen Lösung eine Schar konzentrischer K r e i s e mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius V2~C , jedoch unter Ausschluß der Schnittpunkte mit der X-Achse. dy x Schreibt man die Differentialgleichung in der F o r m — , so ist h i e r dx y durch jedem Punkt P(x;y) in einem kartesischen XY-Koordinatensystem, x soweit dieser nicht auf der X-Achse liegt, die Steigung m(x;y) = -•— zugeordnet. Ein kurzes Geradenstück durch P(x;y) mit Steigung m(x;y) kann diesen Sachverhalt anschaulich machen. Die Koordinatenebene wird h i e r durch zum R i c h t u n g s f e l d . Der als L ö s u n g s k u r v e bezeichnete Graph einer Lösungsfunktion der Differentialgleichung muß deshalb in jedem seiner Punkte die hier vorgesehene Steigung besitzen, d.h. von dem hier vorhandenen Geradenstück des Richtungsfeldes berührt werden. Das Skizzieren des Richtungsfeldes wird erleichtert, wenn man Punkte, denen dieselbe Steigung zugeordnet ist, z u l s o k l i n e n genannten Kurven zusammenfaßt. Im vorliegenden Falle sind Isoklinen f ü r die Steigung k £ R als Graphen x der Relation k gegeben. Unter Ausschluß des Nullpunktes handelt

10

I. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

es sich also für k = 0 um die Y-Achse, andernfalls um Gerade durch den Nullpunkt mit der Steigung - — . Die G e r a k denstücke des Richtungsfeldes mit der Steigung k schneiden in diesem speziellen Beispiel ihre Isoklinen senkrecht.

3. dy dx

Es ist die allgemeine Lösung der separierbaren Differentialgleichung +

y + 1 1 x

0 in einem Intervall aus R \ {1} zu bestimmen.

dy E s liegt eine Differentialgleichung der Form -f'- = f(x;y) mit f(x;y) dx y + — i vor. Ist (x ;y ) eine Stelle mit x G R \ { l i und y G R soQ 0 0 0 wie U r = {(x;y) | (x - x Q ) 2 + (y - y 0 ) 2 < r 2 } eine Umgebung dieser Stelle für beliebig gewähltes r £ ] 0 ; | x o - l l [ , so ist z = f(x;y) als Funktion der unabhängigen Veränderlichen x, y in TUr stetig und b e schränkt. Die L I P S C H I T Z b e d i n g u n g y + Ay + 1

[f(x;y + Ay) - f(x;y) | =

yo

y + 1 x - 1

Ay 0 , das untere f ü r x < 0 gilt. Die Integration liefert über + ln(z + V i + z 2 ) = In | x | + In | c | mit C # 0 und In

(y ± V x 2 + y

das a l l g e m e i n e allgemeine

= In | C x | Integral y

Lösung y

+

^ ^^

oder

-ln(y + V x 2 + y 2 ) = In | C |

V ^ + y'2

_

— • x2

_

IC|

, woraus die

folgt, welche offenbar

auch f ü r x = 0 die Differentialgleichung erfüllt und deshalb in jedem Intervall aus IR gilt.

1.1 Differentialgleichungen

1.

Soll eine Lösungskurve durch P(3; -4) verlaufen, muß -4 + 5 = —— I^ I was y = - = - • ( ! - x^) X

y

10.

0 0,5

±1 0

als gesuchte s p e z i e l l e

±2 -1,5

Lösung

17

Ordnung

sein,

bringt.

±4 -7, 5 . . .

±3 -4

Welche Lösungskurve von x • y'

- y - l n | —J = 0 für x • y > 0 geht

durch den Punkt P ( l ; 1)? y Die S u b s t i t u t i o n - — = z x

r i e r b a r e D i f f . - Gl.

Integration von

dy dz und —r = z + xführt auf die s e p a dx dx dz z + x- — dx

z • In z = 0.

dz dx j\ rr = erbringt mit der weiteren Einschränz • (In z - 1) x

kung z ^ e In | In z - ll was sich über

= In Ix| + C^, In

lnz - 1

= C^

und

In z - 1 = ± e

1

•x = C •x

C -x mit C 0 in y = e • x • e als a l l g e m e i n e jedes Intervall aus IR \ { 0 } , umformen läßt. Hierbei ist auch C = 0 zulässig, weil sich dafür die zuerst ausgeschlossene Lösung z = e, also y = e • x ergibt.

L ö s u n g , gültig für

Für die vorgeschriebene Anfangsbedingung muß 1 = e • 1 • e ^ , also C = -1 sein. Damit folgt y = e •x • e"x x I +0 y +0

1 1

für x > 0 als 2 0,74

3 0,41

spezielle 4 0,20

5 0,09

Lösung.

18

1• Gewöhnliche

Differentialgleichungen

11.

Man bestimme die durch P ( l ; 1) verlaufende Lösungskurve der Diff. -Gl. dv y1 + 2x + w(2y - x) • - f - = 0. dx Nach Division durch x ließe sich eine h o m o g e n e D i f f . - G l . erhalten, doch ist es hier vorteilhafter, die Lösungskurven als Graphen von r = r( anzusehen. Es ergeben sich dx dr —— = — di d* dy — = dp

iß y

dr —— sinip + r - c o s « d

r = v T - e 8 e 2 eine Funktion y = f(x) f ü r x G ]-5,180 . . .; 1, 076 . . . [ als s p e z i e l l e L ö s u n g der Diff.-Gl. definiert, y = f(x) kann nicht in 7T

0

f ü r

y S R

ist X = g(y)

eine dort streng monoton wachsende Funktion, die deshalb eine in ihrer Wertmenge R definierte, nicht geschlossen darstellbare Umkehrfunktion y = f ( x ) als Lösung der gegebenen Diff. -Gl. besitzt.

...

27

1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung

dy M a n l ö s e die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g +

18.

k-y

= g(x)

mit

dx

(

0

für x
b

wird b

,, . „-k-x -k-x l k-z f(x) = yQ • e + e • \ mz • e j „-k x e

[ • ' yo +

m

(k • b -

-kx dz + e

k b 1) • e

m + ——

l k z • l m •b •e •i' m •b - —

k b e

dz

1 }

=

m b + —-—

M i t den s p e z i e l l e n Z a h l e n w e r t e n m = 2, b = 2, k = 0, 5, y Q = 1 w i r d e"0, f(x)

=

5x

9 • e"0' 8 -

5x

+ 4x -

8

(8e -

9) e ~ ° '

5x

für x
-1.

34

X

y3

1. Gewöhnliche

...

-4

Differentialgleichungen

-2

-3

...

3,10

2,69

2

...

0,27

0,45

0, 74

-1

0

1

2

3

4

- oo

2

2,69

3,10

3,39

3,61

...

2

3,30

5,44

8,96

14,78

...

1,21

25. Welche Lösungen besitzt die CLAIRAUTs c h e chung dy_ dy y = — . x - In dx dx dy _ Mit—— = p = p(x) als P a r a m e t e r dx nach x dp p = —- • x + p dx

1

p

dp ~ dx

,, oder

Differentialglei-

ergibt sich durch Differentiation

dp I —— • x dx

1 ,

=0.

dp 0 mit p = C > 0 durch Einsetzen in die gegebene dx Differentialgleichung als a l l g e m e i n e L ö s u n g die Gleichung Hieraus folgt für

y^ = C - x - In C einer G e r a d e n s c h a r .

Nullsetzen des Klammeraus-

drucks ergibt mit p = — für x > 0 bei Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung die s i n g u l a r e

Lösung

y2 = 1 + l n x .

Dies ist die Gleichung der E n v e l o p p e der Graphen der allgemeinen Lösung. Elimination von C aus F(x; y i ; C) =

Yl

- C • x + In C = 0

und 9 F ( x ; y i ; C) - "X

3C

+

C

=

°

liefert nämlich wiederum y„ = 1 + In x «

für x > 0 mit x = — ; y = 1 - In C als Koordinaten C

der Berührpunkte. C = 0,5 X yl

C = 2

C = 1

0

5

0

4

0,69

3,19

0

4

0 -0,69

3 5,31

1.1 Differentialgleichungen

X y2

0 - oo

0,5

1

2

3

4

5

...

0,31

1

1,69

2,10

2,39

2,61

...

1. Ordnung

26. Man bestimme die Lösungen der D1 A L E M B E R T s c h e n D i f f e r e n tialgleichung

dy Bei Einführung von—— = p = p(x) als Parameter ergibt sich durch Diffedx rentation von y = x • p^ - p2 nach x die Diff. -Gl.

p = 0 liefert die s i n g u l ä r e

Lösung

1 - p - 2- -^r- • (x - 1) = 0 dx

für x

y = 0, während 1 in

werden kann und für p ? t 1 die l i n e a r e dx 2 2 •+ — •x dp p - 1 p - 1 erbringt. Deren allgemeine Lösung läßt sich mit F(p) = ln(p - l ) 2 als Stammfunktion von

2 — P - 1

und G(p) = (p - l ) 2 als Stammfunktion von p - 1

.eF(P)=2.(p-D

(vgl. Nr. 12) zu x = e _ F ( p ) • [G(p) + C] oder x = 1 +

angeben. (P - D 2

dx

= ——^ 2 • (x - 1)

D i f f . - Gl.

umgeformt

35

36

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Durch Auflösen nach p folgt p = 1 ±

Dies in y = x - p

2

y = (x - 1) • |l

- p

2

für x ^t 1 und C # 0 .

x - 1

eingesetzt, liefert die a l l g e m e i n e

±

J" j

Lösung

der vorgelegten D i f f . - G l . , und zwar für

]1; °o[ , falls C > 0 und für ] - oo ; 1[, falls C < 0. Die zugehörigen Graphen sind Parabelstücke Für das anfangs ausgeschlossene p = 1 ergibt sich aus y = xp - p 2 noch y = x - 1 als Lösung. Die sich für C > 0 und C < 0 ergebenden Kurvenscharen besitzen Punktsymmetrie bezüglich S ( l ; 0). Die X - A c h s e als Graph der singulären Lösung y = 0 sowie die Gerade mit der Gleichung x - 1 = 0 sind E n v e 1 o p p e n der durch die allgemeine Lösung festgelegten Kurvenschar. 1

X - 1 (0)

2

4

3

5

6

7

yc=4

4 4

9 1

11,66 0,34

13,93 0,07

16 0

17, 94 0,06

19,80 0,20

21,58 . . . 0,42 . . .

yc=i

1 1

4 0

5,83 0, 17

7,46 0,54

9 1

10,47 1,53

11,90 2,10

13,29 2,71

0,25 0,25

2,25 0,25

3,66 0,84

4,98 1,52

6,25 2,25

7,49 3,01

8, 70 3,80

1 i

27.

... ...

9,90 . . . 4,60 . . .

Wie lautet die Gleichung derjenigen speziellen Lösungskurve von l d j

x = 5•

• e2

dx,

die durch den Nullpunkt verläuft?

dy __ 2 Setzt man — = p mit p = p(x), so folgt aus x = 5 • p • e dx tiation nach diesem P a r a m e t e r p _E P dx / 9 1 n \ — = 5• e +— • p• e dp \ 2 /

und damit —

y = Jp(x)dx = J p . £

durch Differen-

dp = 5 • j " ( p • e 2 +

= 5 • e 2 • (p 2 - 2p + 4) + C

^

\

• p 2 • e 2 )dp =

(Formeln 2. 2, 2 . 3 )

1.1 Differentialgleichungen

Die so erhaltene Parameterdarstellung

1.

37

Ordnung

x = 5 • p • e 2 , y = 5 • e 2 • (p 2 - 2p +

JP + 4) + C

definiert wegen ^

= 5 • e 2 . 11 +

J ± 0 für p e ] - °o ; -2[

bzw. pG ] -2; oo[ in den zugeordneten x-Intervallen H) e

T

bzw.

"

zwei Funktionen y = f j ( x ; C) bzw. y = f 2 ( x ; C) als a l l g e -

meine

Lösung

der Differentialgleichung. Diese sind jedoch nicht

£

in geschlossener Form darstellbar, da x = 5-p-e 2 nicht nach p auflösbar ist.

Für die gesuchte spezielle Lösung muß gelten _P

£

0 = 5 • p • e2

und

0 = 5 • e 2 • (p 2 - 2p + 4) + C,

woraus mit p = 0 der Wert C

-20 gefunden wird.

P P 2 o Die so durch x = 5 • p • e , y = 5 • e beschriebene s p e z i e l l e

Lösung

9

• (p

- 2p + 4) - 20 und p £ ]-2; oo [

y = f2(x; -20) für x G

10

stellt

ein Kurvenstück dar. Dieses besitzt für p = 0 in M(0; 0) ein r e l a t i v e s M i n i m u m und ist Teil einer durch die Parameterdarstellung für x £ R festgelegten Kurve, die mit p = -2 wegen / dx\

/dy\ = 0 dp ) p=-2

=

\ d P/p=-2 d2x

und

dp z / p=-2

2e '

d2y dp2

p=-2

• „ , l n im Punkt S

10 60 ; — e \ e eine S p i t z e aufweist. p

- oo

X

0

y

-20

20

-6

-4

-3

-2

-1

-0, 5

0

-1,49

-2, 71

-3,35

-3,68

-3,03

-1,95

0

-7,

-1,05

1,20

2,07

1,23

0,44

0

06

p

0,5

1

X

3,21

8,24

27,

y

0,87

4,73

34,37

2 18

38

I. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

) - 2- y - - ^ - + x = 0 sollen sowohl ihre \ dx / dx singulären Lösungen als auch die Gleichung der Lösungskurve durch den Punkt P(4; 5) ermittelt werden.

28.

Von der Diff. -Gl. x .

Mit — = p als Parameter wird aus y = -^—4—+ dx 2•p nach x für p =h 0 -dy L = dx

p F

2 2 , = 1 „+ yp + x . p - 1 . dp oder 2 p „ 2 dx 2 p

P

^ durch Differentiation

/ 52 - 1) • / p - x . _d P \ (p' ^ ' \v r dx/ '

erhalten. Für p = ±1 ergeben sich die s i n g u l ä r e n y = ±x;

Lösungen

p - x • — = 0 führt über p = C • x auf die a l l g e m e i n e dx

y

=

X

' ( 1 2+cCx

X2)

oder y =

i

+

T'

=n 0

Lösung

x 2

D i e s e genügt der Diff. -Gl. auch für das zunächst auszuschließende x = 0. Die geforderte Anfangsbedingung wird für C =

2

und C = -i8

durch die Funktion y

i

=

1 +

T

1

x. 2

und y

2

=

4

0

+

1 "16 ±1

9

erfüllt. ±2

±3

Die s i n g u l ä r e n L ö s u n g e n gemeinen Lösung dar.

±4

±5

5

7,25 . . .

5

5,56 . . .

stellen die Enveloppen des Graphen der all-

29. Gegeben ist eine Schar von Parabeln durch F(x; y; c) = y 2 - c • x = 0 mit c # 0 als Parameter. Wie lautet die Gleichung der zugehörigen o r t h o gonalen Trajektorien?

1.1 Differentialgleichungen

39

1. Ordnung

Sieht man von den wegen der Forderung cG(R\ {0} ausgenommenen Punkten der X-Achse sowie von den durch x = 0 erfaßten Punkten der Y-Achse ab, so verläuft durch jeden Punkt der Koordinatenebene genau eine durch V2 den P a r a m e t e r c = ~ gekennzeichnete Kurve der P a r a b e l s c h a r . Nach der Formel F^(x; y; c) • v2 F^(x; y; c) = - c = - u n d V2 -— x

dv

- F^(x; y; c) = 0 folgt über

F^(x; y; c) = 2y

die Diff. -Gl.

dv dy - 2v = 0, die wegen der o. a. Einschränkung in — dx dx

2x ubery

geführt werden kann und das allgemeine Integral x2 + y

= C mit C 6 B + besitzt.

Dieses stellt einschließlich der nicht zugelassenen Punkte der Koordinatenachsen eine S c h a r von E l l i p s e n in Mittelpunkts läge mit den Halbachsen a = Vc und b = V2C in der X- und Y-Richtung dar. Die Gleichungen der beiden sich z . B . im Punkt P(-2; 4) r e c h t winklig schneidenden Kurven sind f ü r c = -8, y 2 = -8x und 9 y2 f ü r C = 12, x 2 + - y = 12.

30. Welcher Gleichung genügen die orthogonalen Trajektorien des e l l i p t i s c h e n K r e i s b ü s c h e l s K = x 2 + y 2 + cy - 4 = 0 mit c G R ? Durch jeden Punkt P(x; y), der nicht auf der X-Achse liegt, verläuft genau 4 - x2 - y2 ein durch den P a r a m e t e r w e r t c = — gekennzeichneter Kreis y des Büschels. Mit F(x; y; c) = x 2 + y 2 + cy - 4 geht die Differentialgleichung dy F^(x; y; c) • -j— - F^(x; y; c) = 0 der O r t h o g o n a l t r a j e k t o r i e n dv / 4 - x in 2x • —j^- - I 2y +

2

über

2

- v \ — 1= 0

und ergibt f ü r x # 0 die BERNOUL-

40

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

LIs c h e

Differentialgleichung

Der Ansatz y = u -v = ü(x) • v(x) v = ± j/sgnx-

(vgl. Nr. 22) führt mit u = VixT

- — + 2 C j über die a l l g e m e i n e

und

Lösung

y = ±%/-x 2 - 4 + 2Cx mit C 2 > 4 auf die Gleichung (x - C) 2 + y 2 = 2 = C - 4 eines h y p e r b o l i s c h e n K r e i s b ü s c h e l s . Büschelpunkte auf der X-Achse sind auszuschließen. Als weiter e Orthogonaltrajektorie kommt noch die Y-Achse hinzu, die sich nicht als Graph einer Funktion von x erfassen läßt. Die Kreise des elliptischen Büschels schneiden sich in den Punkten A(-2; 0) und B(2; 0), welche sich als Nullk r e i s e des hyperbolischen Büschels ergeben (siehe Band II, Nr. 56).

31. Man bestimme die Gleichung der vom Scheitel S der Parabel P = y 2 - 2ax = 0 mit a€IR + ausgehenden E v o l v e n t e . Die gesuchte Abwicklungskurve kann aufgefaßt werden als spezielle o r t h o g o n a l e T r a j e k t o r i e der durch die Gesamtheit der Parabeltangenten mit der Gleichung y . yQ - a • (x + x Q ) = 0 in den Berührpunkten P(x 0 ; y 0 ) gebildeten Geradenschar. Elimination von x 0 mittels y 2 = 2ax 0 führt auf F(x; y; y 0 ) = 2a x - 2y y Q + y 2 = 0 als Schargleichung mit y 0 G E als Scharparameter. F^(x; y; yQ) •

- F^(x; y; yQ) = 0 liefert demnach y Q = - a •

nation von yQ bringt F(X; y; -a •

j = 2a x + 2a y - - ^ + a 2 •

. Elimi= 0

als Differentialgleichung d e r Orthogonaltrajektorien, die noch auf die Form a / dy \ 2 dv x = - — • —H - y- ~ gebracht werden kann. 2 \ dx/ dx

1.1 Differentialgleichungen

1. Ordnung

41

dy a o Wird p = — a l s P a r a m e t e r eingeführt, so ergibt sich a u s x = - — • p - y . p durch D i f f e r e n t i a t i o n nach y ü b e r

dx

1 dp dp = — = - a p - - ^ - - p - y • —j^-

f ü r p =£ 0 die l i n e a r e D i f f . - G l . ii dp

+

—E 1 + p2

a p 2

y +

1

+

= 0.

P2

Der Ansatz y = u v = u(p) • v(p) l i e f e r t 2 UU du uU' (J p UV tx V + u +-Z-Z— = 0 dp 2 dp 1 + p 1 + p2 und e r b r i n g t m i t 1

( F o r m e l 1.16) und

v T : - p2 2

dp P

2

— • [ln(p + V i + p 2 ) - p V i

y = u •v =

+ p2 ] + C

( F o r m e l n 1 . 4 9 , 1.60)

2 •• ln(p in^p ++ Vv ii ++ pp )i -- — — +i-

42

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

ergeben, was zusammen mit y = 0 auf C = 0 führt. In S liegt eine S p i t z e mit der X - A c h s e als Tangente vor. Die vom Scheitel S ausgehende E v o l v e n t e terdarstellung x =

;

^ • ln(p + + p2

a

2

• V i

. -in( P +

v r r ? ) - - ^

2 - V T T ?

p x a _y a

genügt daher der P a r a m e -

2

0

±1

±2

±3

±4

±5

0

-0,31

-0,65

-0,86

-1,02

-1,13

...

0

+ 0,19

+0,68

+1,21

+1,75

+2,27

...

32. Wie lautet die Gleichung der i s o g o n a l e n T r a j e k t o r i e n , die das Geradenbüschel g = y - cx = 0 mit c € I R als P a r a m e t e r unter dem Winkel CT £ ]0°; 180°[ schneiden? 9g Einsetzen von ——= - c und -r—= 1 in 9x dy dg dg = — sin CT - —— • cos CT liefert über 9y 9x dy cosCT- — • sin CT — ne D i f f . - G l . x dx

/9g dg \ dy — • cos a + — - s i n o •—- = dx j dx y c = — für x 0 die h o m o g e x y = sin CT + — • cos ct . x \dy

Werden wie in Nr. 11 durch r = r ( - r • sinu? , was auf cos 0 hat?

44

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Jede derartige Kurve muß Graph einer Funktion y = f(x) sein, welche der dy Bedingung = a für 0 genügt, dx

Uber y = ± a •

dy

±

können dann die gesuchten Funktionen zu y = C • e

X

für CGR \ {0} gefunden werden. Für a = 4 cm

und

tiven Vorzeichens X

cm y cm

. . . -4 ...

C = 2 cm x y = 2e ^ -2

5,44

3,30

ergibt sich unter Verwendung des nega-

cm

cm;

0

2

4

6

8

2

1,21

0,74

0,45

0,27 . . .

34. Eine Stange der Länge a wird aus der Anfangslage A 0 B Q senkrecht zu ihrer ursprünglichen Längsrichtung am einen Ende B längs einer Geraden bewegt. Welche Kurve beschreibt der andere Endpunkt A dieser Stange? Bezogen auf ein kartesisches xy-Koordinatensystem wie in der Abbildung, muß die vom Punkt A beschriebene Kurve die Eigenschaft besitzen, daß alle ihre T a n g e n t e n a b s c h n i t t e die konstante Länge a > 0 haben. Die y-Achse muß offensichtlich die Kurve in A 0 berühren und ist deren Symmetrieachse. Man kann sich deshalb auf eine Untersuchung der rechten Kurvenhälfte beschränken und diese als Graph einer Funktion x = g(y) ansehen, dx wobei yS]0; a], g(y) > 0 und — = g' (y) < 0 ist.

Aus a =

dx

1 +

dx \2 dy

dx folgt daher —— dy

1.1 Differentialgleichungen

1.

45

Ordnung

Es ergibt sich

- v2

f

x =

dy =

_a2 f

y

j

j

= a-ln | a + ^

-_yij

üz

+

y.V^2T7

f

ydy

J

. v 4 2 - y2 + C

=

^ 2 T 7

(Formeln 1. 53, 1.51),

wobei die Anfangsbedingung x = 0, y = a den Wert C = 0 erfordert. x

__ g ( y )

= a

.

ln

(

f ^ )-

a +

stellt somit die rechte Hälfte der gesuchten S c h l e p p k u r v e T r a k t r i x dar. a x a

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

±0,09

±0,30

±0,65

±1,31

0,1

oder

...

±2,00 . . .

w

Die gefundene Kurve ist eine E v o l v e n t e der durch y = a • cosh ( —} mit a > 0 dargestellten K e t t e n l i n i e . X

a y a

0

±0,25

±0, 50

±0,75

1

1,03

1,13

1,29

±1 1,54

±1,25

±1,50 . . .

1,89

2,35 . . .

35. Wirkt dem freien Fall eines Körpers der Masse m ein Widerstand entgegen, der proportional dem Quadrat seiner Geschwindigkeit v ist, so gilt die skalare Bewegungsgleichung dv o m m - — = m-g - k-v , wobei g = 9,81 den skalaren Wert der Erdbedt g2 schleunigung und k > 0 eine von der Form des Körpers und der Art des umgebenden Mittels abhängige Konstante bedeuten. Wie lautet die Gleichung der zurückgelegten Wegstrecke s in Abhängigkeit von der Zeit t unter der Annahme, daß sich für t = 0 der Körper in Ruhe befindet? Aus dt =

m - dv m-g - k-v

2

2 folgt wegen m - g > k • v"

46

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

v ' ' m- g . •- v

1 / Z T . •ar tanh /

I + Cj

(Formel 1.15).

/m. g Für t = 0 ist v = 0, und es ergibt sich mit Cj = 0 durch Auflösen nach v die gesuchte skalare Geschwindigkeits-Zeit-Gleichung «

. tanh

(

1/i^.t

Die vom Zeitpunkt t = 0 an zurückgelegte Wegstrecke s kann hieraus noch ds über — = v und die Anfangsbedingung t = 0, s = 0 zu dt m

s = —- • .In cosh ( 1 / - ^ -

.t

k gefunden werden. Wenn k = 0 ist, liegt kein Widerstand des umgebenden Mittels vor; die

1.1 Differentialgleichungen

1.

47

Ordnung

1

o

zugehörigen skalaren Bewegungsgleichungen v = g-1 und s = — - g • t

fol-

gen aus den oben gefundenen durch Grenzwertbildung (siehe Bd. II, Nr. 228). Für die speziellen Werte

k

= oo ,

k

= 10 m, — = 2 m und = 0, 8 m k k

gilt die Wertetabelle

t s V

1

0

0 , 5 1

0

4,91

2

3

4

5

6 . . .

9,81 19,62 . . .

ms"' m v

2

m IT

oo 0

1,23

4,91 19,62 44,15

0

4,54

7,50

9,85

9,90

0

1,18

4,27 13,07 22,81

32,69

0

3,56

4,33

9,53

78,48

122,63

176,58...

9,90...

ms"' 10 m m v

3

4,43

42,59

52,50...

4,43 . . .

ms"*

Ii m v

4

2m 0

1,04

3,07

7,47 11,90

0

2,64

2,80

2,80 . . .

16,33

20,76

25,19...

ms"' m

0,8 m 0

0,87

2,25

5,05

7,85

10,65

13,45

16,25...

36. Am Umfang einer homogenen Scheibe vom Radius r und der Masse m greife senkrecht zu deren Drehachse eine gleichbleibende Kraft an. Man ermittle den skalaren Wert co der Winkelgeschwindigkeit ¿3 in Abhängigkeit von der Zeit t, wenn der skalare Wert des Drehwiderstandes zu W = k - CJ mit k > 0 als Konstante angenommen werden kann und die Scheibe aus der Ruhelage in Bewegung versetzt wird.

48

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Die Momentenbedingung M = J • a + W r2 T

läßt sich mit M = r • F und J = m- — als Trägheitsmoment der Scheibe bezügdco als lieh der Drehachse, sowie a dT Skalar der Winkelbeschleunigung durch die l i n e a r e s e p a r i e r b a r e D i f f e rentialgleichung erster Ordnung r2 r • F = m^ — I

dco —- + k-co dt

Hieraus folgt über ( co

darstellen.

r . F •dt = k 2k

2- k

•dej

die a l l g e m e i n e

Lö-

2 r•F + C •e m - r . Für die Anfangsbedingung t = 0, oj = 0 k r •F - , und man erhält wird C = -

s u n g co =

2k r. F

t

r-2

• 1 - e

Mit den Zahlenwerten r = 0,4 m, F = 600 N, k = 8 Nms und m = 200 kg ergibt sich

co = 3 0 - 1 - e

to

0

-0, 5 ' s

11,80

18,96

23,31

25,94

27,54

28,51...

1.1 Differentialgleichungen

1.

Ordnung

49

37. Ein gerades kreiszylindrisches Gefäß vom Innenradius r ist bis zur Höhe h mit einer Flüssigkeit gefüllt. Welche Form nimmt die Oberfläche dieser Flüssigkeit an, wenn das Gefäß sich um die Achse des Zylinders mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit codreht? Die bei der Drehung auf ein T e i l chen der Masse

A m im Abstandp

von der Drehachse wirkende Kraft setzt sich vektoriell zusammen aus der Schwerkraft A m • ~g und der Zentrifugalkraft A m • ä^. Da im Gleichgewichtszustand die R e sultante I? auf der Flüssigkeitsoberfläche senkrecht steht, muß in jedem Punkt P die Beziehung Am • a n — Am • g

tan ot =

9 an = cj • p

oder, wegen CO2 O —-—

, tan« =

gelten.

Hierbei bedeutet a den Winkel, welchen die Tangentialebene in P mit der Grundfläche des Zylinders einschließt. Bei Wahl eines xz-Koordinatensystems wie in der dargestellten Schnittfio dz dz (jj • x gur folgt mit tan a = - r - die Gleichung — = , woraus sich dx dx g CO2

o

durch Integration z = — • x^ + C ergibt. Die Oberfläche der Flüssig2 • g keit ist somit ein R o t a t i o n s p a r a b o l o i d ,

das in einem rechtwinkligen

räumlichen xyz-System der Gleichung 2

z =

• (x 2 + y 2 ) + C

genügt.

Der spezielle Wert der Integrationskonstante C für das gegebene Flüssigkeitsvolumen V = r 2 • 7r • h kann wegen x

2

=

2

g — • (z - C) co2

7T-r2- h = 7T-r 2 hi

noch aus h, - 7r-l J c

Über r 2

W

— - ( z - C)dz 2

h = r 2 • h x - —i— • (h x - C ) 2 w2 CO2 9 schließlich C = h - 4 . g

berechnet werden.

folgt mit

2

hx = '

g

• r2 + C

50

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

38. Über eine k r e i s f ö r m i g e Scheibe mit horizontaler Achse ist ein Band gelegt. Durch welchen skalaren Wert F2 der Kraft ? 2 i m P u n k t p 2 w i r d die gleitende Bewegung des zwischen den Punkten P j und P2 der Scheibe mit dem zugehörigen Zentriwinkel a aufliegenden Bandes bei einem Reibungskoeffizienten ß eingeleitet? Wie groß ist die durch die Reibung ü b e r t r a g b a r e Umfangskraft U? An jeder Stelle P des Bandes zwischen P i und P2 gilt, wie in der Mechanik gezeigt wird, die GleichdF gewichtsbedingung ——= ß - F , wod bei F der s k a l a r e Wert der in P wirkenden Kraft F ist. Als a l l g e m e i n e L ö s u n g dieser Diff.-Gl. bekommt man F = C- e ^ * . Unter der Annahme, daß im Punkt P j die Kraft F j angreifen möge, ergibt sich f ü r if = 0 der Wert C = F j , womit F = F^ • e ^

erhalten wird.

Der skalare Wert der in P 2 erforderlichen Kraft, welche die gleitende BeLi 'Ca

wegung des Bandes herbeiführt, ist demnach F 2 = F j - e^ . Für die durch Reibung ü b e r t r a g b a r e Umfangskraft vom Betrag 1U| folgt damit |U I = F 2 - F X = F 2 - F 2 • e - " '

a

= F 2 • (1 -

a

).

39. Eine F ä h r e mit der Masse m = 1500 kg wird auf einem stehenden Gewässer durch einen Motor mit der konstanten skalaren Zugkraft F = 1500 N angetrieben, wobei zwischen Wasserwiderstand W und Geschwindigkeit v Ns die skalare Beziehung W = c • v mit c = 375 besteht. Man stelle v in m Abhängigkeit von der Zeit t dar, wenn die F ä h r e zur Zeit t = 0 startet. Welcher skalare Wert v^ ergibt sich f ü r die Grenzgeschwindigkeit v"«, ? Der Bewegungsablauf wird durch die s e p a r i e r b a r e , l i n e a r e D i f f . dv .. dv 1 G l . m- — = F - c - v beschrieben. Uber =—•• dt erhält dt F - c• v m _ c_. t F YY1 man die a l l g e m e i n e L ö s u n g v = — - C • e c F Die Anfangsbedingung t = 0, v = 0 e r f o r d e r t C = — und bringt die

1.1 Differentialgleichungen

gesuchte s p e z i e l l e

Lösung

v

(1 - e

51

1. Ordnung

).

m

Für t ->• oo bekommt man somit die skalare Grenzgeschwindigkeit v M

F = —,

die sich auch aus der für gleichförmige Bewegung notwendigen Bedingung F = c • v herleiten läßt. Mit den angegebenen Zahlenwerten wird v = 4 • (1 - e

-0,25 s4

m )—

und

111

vOO

= 4A —s .

t s

0 V

ms

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 1 .

0 0,88 1,57 2,11 2,53 2,85 3,11 3,30 3,46 3,58 3,67 3,74 .

40. Kühlt sich ein Körper der Masse m und der als konstant angesehenen spezifischen Wärme c von der Anfangstemperatur i?2 auf die Temperatur i? i der Umgebung ab, so wird der Verlauf der Temperatur d in Abhängigkeit von der Zeit t durch i? = f(t) beschrieben. Hierbei gilt für die zeitlidQ dQ di? che Änderung —— der Wärmemenge Q e i n e r s e i t s - — = m - c —— und dt dt dt dQ andererseits -3— = -k • ( i? dt

i?i) 1

mit k > 0 als Konstante. Man ermittle

& = f(t). 1 kg Wasser

| c = 4186, 8 ^

in einer Umgebung von 20°C kühlt sich

innerhalb 30 Minuten von anfangs 80°C auf 50°C ab. Nach welcher Zeit nimmt das Wasser die Temperatur 30°C an? dQ di) Gleichsetzen v o n — = m - c - — — dt dt

dQ . und — - = -k • ( # dt

i?i) 1

liefert die

52

1. Gewöhnliche

separierbare,

Differentialgleichungen

lineare Diff. -Gl.

deren a l l g e m e i •n e

sichu über

Losung

- JE_.t t? = i^j + C- e m c bringt C = iJg -

=

dt —

— mc

— = -

-

•($

-

k dt m- c

¿>,), 1

zu

ergibt. Die Anfangsbedingung t = 0, & = d also die s p e z i e l l e

d = f(t) =

- ——t em'c

>?i)

2

Lösung

(Abkühlungsgesetz)

Mit den angeführten Zahlenwerten kann k aus Ks •1800 — e 14186,8 J

50° C = 20° C + 60

« 1, 612 - i Ks

K

zu

k

=

4186,8 l i ^ . 1800

ln 2

jL Ks

errechnet

werden, und man erhält In 2 ,?

=

20°C

+

60.e

1800

t

'"SK =

In 2 = 20° C + 60 • e

t min d

0 80

30

t min

K .

10

20

30

40

50

60

70

77,5

80

90

67,6

57,8

50

43,8

38,9

35,0

31,9

30,0

29,4

27, 5

°C

100

110

...

26,0

24,7 . . . In 2

Mit ß = 30° C, also 30° C = 20° C + 60 • e In 6 t = 30 • — — min ~ 77, 5 min. In 2

30

min

K

folgt

1.1 Differentialgleichungen

53

1. Ordnung

41. Eine größere, auf der Erdoberfläche ruhende Luftschicht konstanter Temperatur besitze hier den skalaren Druck pQ und die Dichte pQ. Welcher Zusammenhang ergibt sich hieraus zwischen der Höhe x über der Erdoberfläche und dem dort vorhandenem Druck p? In welcher Höhe wäre p = - i p„? 2 u

i

I

i I

Bezeichnet p = f(x) den gesuchten Zusammenhang, so ist die Luftdichte P in der Höhe x durch p =

Po

f(x)

»•dx

A

gegeben.

Stellt man sich nun gemäß der Abbildung eine senkrechte prismatische Luftsäule mit der Grundfläche A vor und schneidet man aus dieser Po eine Scheibe der Dicke dx heraus, so ist A m « dm = 'f(x) • A • dx Po die Masse dieser Luftscheibe. Mit

Ap « dp =

dm • g

Po

=

A

g • f(x) • dx als Druckdifferenz zwischen

p

den Höhen x und x + dx. p = f(x) genügt deshalb der dpDiff. - Gl. —

P°

g-P

separierbaren

mit der a l l g e m e i n e n

Lösung

P0 Po-S p = C• e

Po~~

X

. Aus der Anfangsbedingung x = 0, p = pQ folgt C = p 0 _ p _£_f.x

und daher als s p e z i e l l e trische

Höhenformel

1 . 1 Für p = — p„, also — p 1 2 0 2 x =

Lösung

= p • e 0 0

p = f(x) = p Q . e

^o

(Barome-

Po-g 0

, errechnet sich

P

o 2 • In 2, was mit den Werten g = 9 , 8 1 ms , p_ = 1000 mbar 0 PG- g

= 10 5 Nm" 2 und P Q = 1,29 kgm" 3 auf x ss 5477 m führt.

54

42.

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Der Zerfall radioaktiver Stoffe in Abhängigkeit von der Zeit t erfolgt

dn nach dem statistischen Gesetz — = - X • n, wobei n die Anzahl der im dt Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Atome und X eine für den betreffenden Stoff charakteristische Konstante bedeutet. n 0 sei die Anzahl der zur Zeit Stoff charakteristische Kor t = 0 vorhandenen Atome. Man bestimme die Halbwertszeit

rjy2

> nach welcher die Hälfte einer radio-

aktiven Substanz zerfallen ist. W i e groß ist die mittlere Zerfallsgeschwindigkeit v m ^ , bezogen auf das Zeitintervall t j
sowie die zugehörige Zerfallsgeschwindigkeit v m ^ i

bezogen auf das zugeordnete Teilchenintervall n j > n > n 2 ?

dn Die s e p a r i e r b a r e

sung

n=C-e

D i f f . - Gl.

—

= - Xn

hat die a l l g e m e i n e

Lö-

^ * . Die Anfangsbedingung t = 0, n = nQ liefert den

W e r t C = nQ und daher die s p e z i e l l e

Lösung

n = n

Q

e

^

4

( R a dHi ao labkwt ievret ss z eZi te rrf a^ l l sergibt g e s esich t z ) . hieraus als Lösung der Gleichung Die no T

= no.e

X.T

l/2zu

i T1/2=-.ln2.

dn v = —— wird als m o m e n t a n e Z e r f a l l s g e s c h w i n d i g k e i t bezeichdt net, wobei v als Funktion v = f j ( t ) = -n Q • X • e~ ^ ' * von t oder aber als Funktion v = f2(n) = - X • n von n angesehen werden kann. Hiermit errechnet sich die m i t t l e r e

Zerfallsgeschwindigkeit,

bezogen auf das Zeitintervall t j < t < t2 ,

t, n2 - n 1

X- (n^ - n 2 )

tg - t j

In n^ - In n^

Die m i t t l e r e Z e r f a l 1 s g e sc h w i n d i gk e i t , bezogen auf das Teilchenintervall n^ n > , berechnet sich

1.1 Differentialgleichungen

55

1. Ordnung

"2 dn "l "2 dn

X " X •2 „2, = 2 - ( n 2 - n t ) ' (n2 " V = " T

(nl

+

n2}"

Hieraus ersieht man, daß der Mittelwert eines Vorgangs von der Wahl der Bezugsgrößen abhängig ist. 43. Bei einer chemischen Reaktion verbinden sich jeweils 1 Mol eines Stoffes A mit 1 Mol eines Stoffes B. Sind anfangs a Mol von A, b Mol von B vorhanden und haben nach Ablauf der Zeit t von beiden Stoffen x Mol miteindx ander reagiert, so ergibt sich für die Reaktionsgeschwindigkeit — die Diff. dx Gl. — = k • (a - x) • (b - x), wobei k eine Konstante ist. Man stelle x als dt Funktion von t dar. Sieht man von den Lösungen x = a und x = b ab, so ergibt sich für a

über 1 r^ r = J (a - x) • (b - x)

b - a

b - x a - x

In

I k • dt J

mit Hilfe der Formel 1.12

= k • t + C . Die Anfangsbedingung t = 0, x = 0 liefert

C = — - — • In ( — ] und wegen x < a und x < b b - a \ a/

woraus man schließlich die gesuchte s p e z i e l l e e

akt

.

e

b-kt

x = ab

x

folgt

Lösung b

erhält, die sich mit X = — ae j _

a

'

k t

e

(X

— = X' x

b

-b-e

auf die Form

b k t

-l)a-k-t

.e(X

-l)akt

bringen läßt.

Wenn a = b, also X = 1 , bekommt man unter Ausschluß von x = a durch dx Separation [ — — J (a - x) 2

f. ., = j " k dt , somit

1

1

= kt + C. Die Anfangsbe-

56

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

dingung e r f o r d e r t C = — und führt auf die s p e z i e l l e a x =

a2 k t ;—1 + ak-1

x ak t —= a 1 + ak t

J

oder

0 0,51

a-k-t ( t ) \ =0, 5 (l)x=i (l)x=2

Lösung

2

3

4

5

6

7

1 0 . . .

0 0,18 0,28 0,39 0,44 0,46 0,48 0,49 0,49 0,50 . . . 0 0, 33 0, 50 0, 67 0, 75 0, 80 0, 83 0, 86 0, 88 0, 91 . . . 0 0, 56 0, 77 0, 93 0, 97 0, 99 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 . . .

44.

Der Anlaufvorgang einer P e l t o n t u r b i n e genügt der Differentialdv -> gleichung — = k • Q • (c - v) mit c > v, wobei v die Umfangsgeschwindigdt keit der Turbine, c die Geschwindigkeit des auftreffenden W a s s e r s t r a h l s , Q die Wassermenge und k > 0 eine Konstante bedeuten. Man gebe den Skalar v der Geschwindigkeit in expliziter Abhängigkeit von der Zeit t unter der Anfangsbedingung t = 0, v = 0 an. Die Integration dieser s e p a rierbaren Differentialg l e i c h u n g führt auf t =

=

_L.f JiLk Qjc - v __i_.

l n ( c

=

-

V

)

+

C

mit 0 =

k- Q

• In c + C und liefert t =

1.1 Differentialgleichungen

Die Auflösung nach v ergibt v = c • (1 F ü r k - Q = 0, 25 s 0 1

1

c = 50 m s " 1

und

2

3

4

5

1.

Ordnung

57

e ^ gilt die Wertetabelle 6

7

8 . .

0 11,06 19,67 26,38 31,61 35,67 38,84 41,31 43,23

ms - 1

45. Ein mit der Umfangsgeschwindigkeit v 0 und der Wassermenge Q 0 a r beitendes P e l t o n r a d wird plötzlich entlastet und gleichzeitig die Schließbewegung der Düse eingeleitet. E s ist der Skalar v der Umfangsgeschwindigkeit V des Rades in Abhängigkeit von der Zeit t unter der Annahme explizit darzustellen, daß der ganze Schließvorgang linear innerhalb der Zeit tg e r folgt und Reibung sowie Luftwiderstand vernachlässigbar sind. Mit den Bezeichnungen der vorigen Aufgabe und Q = Qo"

l

- j

f ü r die Wassermenge zur Zeit t läßt sich der Bewegungsvorgang durch ii - * ' < V

( ' - £ ) • < = - v)

oder dv c - v

dt erfassen.

= k • Qo •

F ü r die Anfangsbedingung t = 0, v = v Q wird in = k

t -

Qn

womit über

v = c

In

+ C 2' t,S c - v c - v

(c - v Q ). e

erhalten wird.

-k'Qo

-ln(c - v) =

die Integrationskonstante C = -ln(c - v Q ),

= k-Qr

t 2 t s

t -

f2 2tc

das Ergebnis

58

l. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

C

_1

B e i Vorliegen von vQ = — = 25 ms

,

1 tg = 5 s

und

k- Q 0 = 0, 25 s

wird der Geschwindigkeitsverlauf durch die Gleichungen

1 - 0, 5 - e

vi = 50

v 0 ä; 36,62 — ^ s t s

0 V1

für t >5 s 1

25

t /1 -0,25-ö 1 S \

4

3 35,21

33,24

— s

für 0 < t < 5 s

und

beschrieben.

2

30,04

t 10s

5 36,62

36,28

ms"'

4 6 . Welcher zeitliche Stromverlauf liegt vor, wenn in der abgebildeten Schaltung, bestehend aus dem Ohmschen Widerstand R und der in Reihe geschalteten Induktivität L, im Zeitpunkt t = 0 die Wechselspannung u = u -sin( w 0 - t) angelegt wird? Mit R • i =

UT-

^

und

d i

L• — dt

T

als Spannungsabfall an Ohmschem und induktivem Widerstand kann die Spannungsbeziehung uR + uL = u als l i n e a r e

Diff. -Gl.

R-i + L •

= u - sin( co • t) dt

o

oder di

R

.

u

. ,

mit toQ als Kreisfrequenz geschrieben werden. Die zugeordnete h o m o g e n e

Diff. -Gl.

di R " T r + y - " i = 0 ist separierbar

und hat die a l l g e m e i n e L ö s u n g ijj = C • e . Der Ansatz ip = Cj • sin( coQ • t) + Cg • cos( CJq • t) für eine p a r t i k u l ä r e der i n h o m o g e n e n

D i f f . - Gl.

führt auf

Lösung

1.1 Differentialgleichungen

CX • c o 0 - c o s (

W 0 - t)

R + —

u c o Q - t) = —

- C2 • c o s (

sin( w

-

0

t)|

—

i t)|

cos(

findet man

C l

w

c^

0

-

-

- c

2

co

• w

• s i n ( LOq•

0

• s i n ( c o Q - t).

0

.c

R + —

1

c

+ ( co

Damit ergibt sich die zu

t) + —

2

=

• C j • s i n ( OJ Q - t )

Durch den

+

Koeffizientenvergleich

0 -u ,

0

59

2

A u •R

= R2

i =

c

1. Ordnung

'L)

c2

2

R2

a 11 g e m e i n e

-co_ • L °

= +

L ö s u n g

( u

0

-

•

L)2

der inhomogenen Diff. -Gl.

A

i p + i h =

•-[R • sin(co R2

+ C • e T L'

+

( u

0

- L )

Q

- t)

-

CJ0- L - c o s ( w

u t = 0,

i = 0 wird durch

C

w a s auf d i e

L erfüllt,

2

L)2

+ (

Darstellung

i =

• [ R • s i n ( Cl> q - t ) +

• co0-

= R

2

• t)]

4

Die Forderung

R

0

2

( w

Q

-

-

o j q • L • c o s ( co

Q-

t)] +

L)2 u

*

w

R - r

o

+

•' ee R

1

L

+ ( g j, o •• t.^2 L)2

2

des S t r o m v e r l a u f s in Abhängigkeit von der Zeit t führt.

Setzt m a n noch wegen

A

R = A • cos

t.

, R = 2 i2 , L = 2 H und

1.1 Differentialgleichungen

0, 2 • (1 - e tj = 1 s

erhält man

i = ^

) A

63

1. Ordnung

für 0 < t < 1 s

_ _.t 0, 2 • (1 - e " 5 ) • e " 6 ( s

A für t > l s .

t s

0

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,1

1,2

1,4 1,6

i mA

0

79

126

173

190

196

199

109

60

18

5

1,8

...

2

...

49. In dem dargestellten Vierpol, bestehend aus Ohmschen Widerstand R und Kondensator mit Kapazität C, wird das Signal

Ue

"

Uß

f 1 für t x < t < t 2 ' i 0 für 0 < t < t x und

R

t > t2

eingegeben. Es ist der Spannungsverlauf u

a

= u (t)

X X

anzugeben.

a

Mit der Anfangsbedingung t = 0, u a = 0 geht die zugehörige lineare

inhomogene

Di f f . - G l .

formation

dua RC • — dt

+ u„ = u„ a e

in RC • F(s) • s + F(s) = u~--

e

durch die L A P L A C E - T r a n s • -ti1 • s

e

- e s

(Formel 4. 25). Daraus folgt für die Bildfunktion F ( s ) die Darstellung

F(s) = u

e

—1 . p -tii s RC / 1 S • S + -r-7RC

-e

1 -t, s — • e i RC / 1 s • s + —— RC

- tz 0 • s

über

64

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Unter Verwendung der F o r m e l 4.26 ergibt die Rücktransformation •U(t - t 2 )

U(t - t j ) - \ 1 - e 0 für 0 < t < a 1 für t > a

mit U(t - a)

als E i nh e i t s s p r u n g f u n k t i on .

In ausführlicher Schreibweise besagt dies ua = 0

für

0 < t < tlf

für ^ < t < t 2 ,

-¿.•(t-ti) ua = u e • e RC

/

-^-(tg-tx) oRC

Für R = 2, 5 kf2 und C = 8 (iF t 2 = 0,05 s ua = 0

u

3.

für

u a = 10 • e • (e 1 '

10" 3 s ua V t

20

0

für t > t2.

ergibt sich mit u e = 10 V und t x = 0,02 s,

0 < t < 0, 02 s,

= 10 • \ 1 - e " 5 0 s

t

1 /

5

+ 1

I V für 0, 02 s < t < 0, 05 s,

- 1) • e " 5 0

s

f ü r t > 0, 05 s.

25

30

35

40

45

50

55

60

65

2,21

3,93

5,28

6,32

7,13

7,77

6,05

4,71

3,67

70

75

80

85

90

95

100

2,86

2,23

1,73

1,35

1,05

0,82

0,64 . . .

10" 3 s u

a

V

1.1 Differentialgleichungen

1.

65

Ordnung

50. An die dargestellte Siebkette mit den Ohmschen Widerständen R j , Rg und dem Kondensator mit der Kapazität C wird bei entladenem Kondensator die Eingangsspannung u e = u e - | sin( gj t)| angelegt. Man ermittle den zeitlichen Verlauf der auftretenden Ausgangsspannung u a . Mit den in der Schaltung angegebenen Stromstärken i, i j ,

ist

dua

i = i j + i2,

= c- —

ua

i 2- u e = R r = V Elimination von i, i j ,

Gl. ue

1 +

V führt auf die i n h o m o g e n e

dUa

1 . O r dnunt = V

,

Ue

~dT

+ k

'

U

lineare

Diff. -

1 / 1

mitk=^[lCl+l^j

a=17-C

1 \ Und

l s i n ( w *)!•

Deren s p e z i e l l e L ö s u n g ist für die vorliegende Anfangsbedingung t = 0, u a = 0 durch die in Nr. 13 angeführte Formel zu -kt u = a

ue

'

t

e

• Je^

R, • C

.|sin( co • z)|dz

z

gegeben.

Die Auswertung kann durch Zerlegung des Integrationsintervalls in die v

/

„

*

v— ; ( v + 1) • — Teilintervalle mit v = 0, 1, 2 . . . , n - 1 und co ' ' co 7T ff n — ; n- — + r mit 0 < T < — mittels Formel 2.42 wie folgt geco co co schehen: n +T

J e k - z -|sin( co • z)|dz +

Rx • C

0

z

-|sin(co- z)| dz

(-1)" • 0

ek'z.sin(co.z)dz = J

ff

v•—

u>

Z

v

(-1) .

e

K .7

9 o k z + co z n-1 (-D'

k 2 + co 2

»=°

wobei

[V* Ii- —

.|sin( co • z) z)|dz = ^ V-

z

„.-1 11 to

,

"- ' jek'

J ek

7T u *

(w + I i —

• [k • sin( co • z) r

_e(

JJ-

„ + ! ) . _

-

k

_

co • cos( co • z)l v

w

.

c o s [ ( l J

+

1 ) l j r ]

=

+

66

1. Gewöhnliche

v

+ e

Differentialgleichungen

7T

• — •k w . w . cos(

CO

v • 7r) , 2

+ co 2

k

k-n

TT

—•k k

2

+ w

, 2

k

+ co

ek

z

k

JL.k

ew f •1k- n — . (eto

2

n-,/

£

k

\" )

- 1

- 1

1) • coth ( y j • k J und

„k- z -|sin(co • z)|dz = (-!)"• — f • [k • sin(co • z) - co cos(co • z)] k 2 + co 2

(-l)n , 2

+ 1)

2

£.k (e"

e

+ co

— kn co

.[k.e

k r

-sin(co.T+

n-7r) - co • e

kT

2

— k n +k-r co + co • cos(n . 7T)] k2

. cos(co-t

+ n-7r) +

•[k • sin( co • r ) - co • cos(co • T) + co • -k-T e

co 2

+

sind. Wegen t = n — co u = a

+ r ergibt sich damit

R x • C • (k 2 + co 2 )

co-

• (1

+

R x • C • (k2 +

coth

u

2

)

+ k • sin( co • T ) - co -cos(co • r !

Der erste Summand verschwindet für t ->• - oj /

„n„ „ , 289-4 V

a und

für v = 1 , 2 , . . . , also etwa u 4 « -0, 8 V, u 5 » - 0 , 4 V •P4 « 5, 0°,

(4 i>2 - 1) • V k 2 + 4 t- 2 • c o 2 -

• sin(2 v co • t +

= a r c tan

10000 ~HtT

periodische Funktion

k • cos(2 v o) • t) + 2 v co • sin(2 v co • t) 2 K= I

4u„

= uQ +

IT (jO

-20000

V, TT (4 V 2 - 1) • V l 2 1 + 100- V2 • 7T2

» -63, 8 V, u 2 « - 6 , 7 V, u 3 » -1, 9 V, und ^ « 1 9 , 3 ° ,

^ 9> 9°.

^«6,7°,

v>5 « 4 , 0 ° .

1.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung 2

51. In der Grundmenge G = R ist die gewöhnliche Differentialgleichung d2v —— - 2 = 0 mit x als unabhängiger Veränderlicher und y = (x) als i r dx 2 gendeiner Funktion, die in einem Definitionsintervall die vorgelegte Gleichung erfüllt, gegeben. Es soll die Menge IM aller derartiger Funktionen 0 ermittelt werden, also M = {

- 1 = 0 hat im

Ursprung die X-Achse als Tangente? Die vorliegende Diff. -Gl. ist mit f(y' ) = y' 2 + 1 von der F o r m y" = f(y' ). In diesem Falle kann man — = p = p(x) substituieren, was wegen y" = dx dx auf die s e p a r i e r b a r e

Diff. - Gl.

= f(p) führt. Hieraus läßt sich

dx

—/ dy dy dx x = x(p) + C,1 als allgemeine Lösung bestimmen und wegen — = —- • —— = dp dx dp = P-

dp

folgt

dp

Die a l l g e m e i n e

= p - x' (p), also durch Integration y = y(p) + Cc9 . L ö s u n g von y" = f ( y ' ) ergibt sich dadurch a l s P a -

rameterdarstellung x = x(p) + C^, y = y(p) + C 2 . Falls aus

= f(p) die

allgemeine Lösung p = p(x; Cj) darstellbar ist, kann mit

= p = p(x; Cj)

die allgemeine Lösung von y" = f(y' ) auch explizit durch y =

Cj) dx

f ü r C^GIR erhalten werden. dp o Im angegebenen Beispiel bekommt man — = p^ + 1, also x = dx a r c tan p + C^ = x(p) + C j ; y =— • ln(l + p 2 ) +

dv — = p

dx dp

dp P2

+

l

liefert p2 + 1

= y(p) + Cg- F ü r die verlangten Anfangsbedingun-

gen x = y = p = 0 wird C j = Cg = 0, also x = a r c tan p, 1 2 ^ y = —• ln(l + p ). Uber p = tan x f ü r | x l < — k a n n p eliminiert werden, 1 ? was auf y = — • ln(l + tan x) = -ln(cos x) als s p e z i e l l e Auf dieses Ergebnis kommt man auch, wenn man - wie oben angedeutet- aus dp 9 = p^ + 1 die allgemeine Lösung x = x(p) + C^ = a r c tan p + C^ e r m i t telt, über p = x = 0 den Wert C j = 0 TT

errechnet und mit der f ü r | x | < — definierten Umkehrfunktion p = p(x; 0) = tan x

L ö s u n g führt.

1.2 Differentialgleichungen

2. Ordnung

77

dann y =

0) dx = ^ t a n x dx = -ln|cos xj+ C

bestimmt. Wegen x = y = 0 wird C2 = 0, was wiederum die spezielle Lösung 9 1 y = — • ln(l + tan z x) bringt.

x

0

y

0

0,14

+— 3

+ 12 _

+2_

0,69

1,35

00

...

Man bestimme die den Anfangsbedingungen x = 2, y = —• und y' = 2 o dv d^y genügende Lösung der Diff. -Gl. — — - 1 = 0. dx , 0 57.

Wie in Nr. 56 erläutert, kommt man mit auf p • — = 1. Über = — für p dx dx p sich dx = p dp, also x dy dp

_

dv

dF

dy dx dx dp

P

dx dp

9 = p

=

2

~

0 ergibt

und aus

erhält man

P

y

> a l s o

+

dy = p dx

„ +

c

2-

Die der gesuchten speziellen Lösung zugeordneten Werte der Integrations4 2 8 konstanten findet man aus 2 = — + C^ und — = — + Cg, womit sich P2 P^ x = — , y = — - 2 als P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g Li

Q

der s p e z i e l l e n

L ö s u n g ergibt, und zwar für pG ]0; 00 [. Elimination von p mittels p = \/2x 3 ergibt in y = — • V F

x2

2 für x > 0 die Gleichung einer N E I L s c h e n

P a r a b e l als s p e z i e l l e r 0 -2

1 -1,06

2 0,67

3 2,90

L ö s u n g in e x p l i z i t e r 4 5,54

5 8,54

Form

78

1- Gewöhnliche

Differentialgleichungen

58. Man löse die Diff. -Gl. y" = V 9 - y' 2 gen x = y = 0, y' = 1, 5.

unter den Anfangsbedingun-

Mit y' = p ergibt s i c h - ^ = V9 - p 2

; über — d p = dx f ü r v / T V p G ] - 3 ; 3 [ liefert Integration das a l l g e m e i n e I n t e g r a l a r c sin-—= u

= x + C r Die weiteren Lösungen p = ± 3 genügen den Anfangsbedingungen nicht. Einsetzen von x = 0, p = 1,5 in das allgemeine Integral führt auf C j = — und damit a r c sin y = x + kommt man zunächst f ü r x g

. Durch Auflösen nach p be-

2 TT / * —TTO das Zwischenergebnis p = 3 • sin x + — 9 '—

das aber offenbar auch noch an den Intervallrändern

vT

dx

erfüllt.

Nochmalige Integration nach x bringt - f y = \ 3 • sin ( x + — j dx = -3 • cos ( x +

) + C2-

3 /— Wegen x = y = 0 wird C 2 = -¿ WS , und damit ist y

=

i . V 3 ~ - 3 -cos 2 n 7T ; 3 ' 3

= - | - V 5 " + 3 • sin [ x "

die gesuchte s p e z i e l l e

J

im x-Intervall

Lösung.

59. Welche Lösungskurve der Diff. -Gl. y Steigung - 1 durch den Punkt P ( l ; 3)?

0

• y" + 1 = 0 verläuft mit der

1.2 Differentialgleichungen

o dp Die Substitution y' = p führt über p • —— + 1 = 0 dx ? p

79

2. Ordnung

dp und — dx

1 o P

für

P3

0 auf p dp = -dx. Hieraus bekommt man - j - = - x + C^ als a l l g e -

meines

I n t e g r a l . Die Anfangsbedingung x = 1, p = - 1 bringt C j =•

und dadurch p = -

als spezielle Lösung im x-Intervall

Durch weitere Integration erhält man

= - j " V^3x - 2 dx = - i •

CT-

+ Cg. Wegen x = 1, y = 3 ergibt sich 13 mit C2 = - j - die gesuchte

spezielle

L ö s u n g y = ~ • (13 - s/(3x - 2) 4 ) für x > — . 3 ...

-3

-2

...

-2,87

-0,75

-1 1,11

° 2,62

Der zugehörige Graph besitzt in

Q

3 3,25

1

2

3

1,66

-0,10

-2,14

; 3, 25 ) eine zur X - A c h s e parallele

Tangente.

60.

Man bestimme diejenige Lösungskurve der l i n e a r e n h o m o g e n e n d2y 1 D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g 2.Ordnung—— y = 0, die durch den 4 dx 2 3 Punkt P(0; 1) verläuft und dort die Steigung m = - — hat. ¿1

Die vorgelegte Diff. -Gl. ist von der Form a2 • y" + a j • y' + a Q . y = 0 mit a D , a j , a 2 6 R und a2 # 0. Sie besitzt daher die a l l g e m e i n e L ö s u n g y = C 1 . y I ( x ) + C 2 - y n ( x ) mit yT = y^x) und y n = y n (x) als voneinander linear unabhängigen p a r t i k u l ä r e n L ö s u n g e n der Diff. -Gl. und Konstanten C j , C 2 S R - Zur Auffindung von yj(x) und yjj(x) kann der An-

1- Gewöhnliche

80

s a t z

y

+

a

+

a ^

)

Q

=

• •

e

e

u

u

u

x

x

+

m i t

= a

0

u £ C

a u f

=

Q

Differentialgleichungen

0

v e r w e n d e t

d i e

m i t

w e r d e n ,

d e r

ü b e r

c h a r a k t e r i s t i s c h e

d e n

L ö s u n g e n

u ^

u n d

( a

• u

2

2

+

G l e i c h u n g

U2

f ü h r t .

D a n n

a j -

a

u

• u

2

l a u t e t

U g E R

f a l l s

±

i

U j

=

• B j

x

u n d

u

,

2

m i t

e r g i b t

d i e

,

B

+

C

- e

2

D i e

d e n

g e f o r d e r t e n

t e n

C j

u n d

C

a l l g e m e i n e

y

=

G R \ { o } i s t

m i t

1 - r

-

-

y

a l s

c

C

"2

c

+

1

C

=

=

C

C

•

2

r

e

=

0,

A

x - e "

l

'

X

2

X

.

+

F ü r

u

- s i n i B j x )

+

C

2

1 - 2

C

2

X

6

- e

;

=

A j

•

e

A

±

l

'

X

x

a

=

2

0

=

d i e

1,

a ^

a

L ö s u n g e n

=

Q

u ,

9

-

- j

=

±

h a t

1 —

,

d i e

c h a r a k t e -

u n d

d a h e r

i s t

d i e

a l l g e m e i n e

L ö s u n g .

m a n

z u g e o r d n e t e n

W e r t e

d e r K o n s t a n -

m i t

2

2

•

e "

2

W e r t e p a a r

2

1

- 1

I

c

u n d

C

" J

g e s u c h t e

L ö s u n g

y

+

A n f a n g s b e d i n g u n g e n

g e m e i n s a m e

2

C j

D i e

y

X

Uo-

A

e

x

2

1

l

-

z u

^ '

C ^

G l e i c h u n g s s y s t e m s

=

1

• e

2

d a s

d e s

1

I

U

=

L ö s u n g .

_x .

v

e

y

2

f i n d e t

2

C j .

L ö s u n g

4

x

C j - e ^

1

9 u ^

G l e i c h u n g

9

=

s i c h

B e i s p i e l

x y

d i e

a l l g e m e i n e

v o r l i e g e n d e n

r i s t i s c h e

U2

A G ( R

c o s ( B j x )

I m

u ^

+

f ü r

U l • X U j ,

+

2

=

Y i

=

- e

y

2

2

=

2.

s p e z i e l l e

l a u t e t

+

°2

s o m i t

=

JL

x

y

y

2

+

2 e

2

f ü r

x £ R .

. . .

- 4

- 3

- 2

- 1

. . .

- 0 , 1 4

- 0 , 2 2

- 0 ,

. . .

1 4 , 7 8

8 , 9 6

5 , 4 4

. . .

1 4 , 6 4

8,

5 , 0 7

3 7

-0,

0

6 1

1

- 1

- 1 , 6 5

3 , 3 0

2

1 , 2 1

2 , 6 9

1

- 0 , 4 4

2

3

- 2 , 7 2

0,

74

4

- 4 , 4 8

- 7 , 3 9

. . .

0 , 4 5

0 , 2 7

. . .

- 4 , 0 3

- 7 , 1 2

. . .

2 74

- 1 , 9 8

1.2 Differentialgleichungen

61.

W e l c h e Lösung der l i n e a r e n

d2y

2.

Differentialgleichung

1

— - + — • y = 0 genügt den Anfangsbedingungen x = rr, y = l , dx2 u•x Der Ansatz y = e u

81

Ordnung

führt auf die c h a r a k t e r i s t i s c h e

2 + — 1 = 0 m i t den L ö s u n g e n u ^

y'

=1?

Gleichung

= ±—

E n t s p r e c h e n d d e r in Nr. 60 erwähnten F o r m e l erhält man m i t A^ = 0, Bj

die a l l g e m e i n e

y = C2 • sin i y j

+ C2 • cos i^-j

C

In Verbindung m i t y' = 1 = Cj • sin

j

xSR

y

2

Yl

1

• cos

und 1 =

die W e r t e C^ = 1

y =

Lösung

und

+ y2 = sin i - j j 2/

mit Cj, C 2 £ E .

C 2 /x\ — — • sin — |

/x\ —I

'^2'

sin

erhält man aus s

[~2 )

P

e z i e

H

e

Lösung

C^ = - 2 , womit s i c h

- 2 . cos

\ 2 j

^

'sin ( t ' \2

6 3

.435°)

ergibt.

0

60°

120°

180°

240°

300°

360°

420°

0

0,50

0,87

1

0,87

0,50

0

-0,50

-2

-1,73

-1

0

1

1,73

2

1,73

-1,23

-0,13

1

1,87

2,23

2

1,23

...

für

82

62.

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Wie lautet die Gleichung der Lösungskurve von

^ + —. — = 0, 3 dx

die durch den Punkt P(0; -2) verläuft und dort die Steigung m =

6

aufweist ? Mit den Lösungen Uj = 0 2

und

u2 = - - i der c h a r a k t e r i s t i s c h e n O

1

Gleichung u + — •u = 0

ergibt sich die a l l g e m e i n e

Lösung

y = Cj + C 2 • e 3x . Die geforderten Anfangsbedingungen werden durch

y

63.

-6

. . . -9

X

-3

. . . 10,04

3,69

1,36

...

1,19

-1,14

7,54

0

3

6

0,50

0,18

0,07

-2

-2,32

-2,43 . . .

Gegeben ist die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit

konstanten Koeffizienten

+ 2 • -^L + 0,64 • y = 0. Gesucht ist die spedx

2

dX

zielle Lösung für die Anfangsbedingungen x = 0 ,

y = 0

—=3 ' dx

Über den Ansatz y = e u x ergibt sich die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g u 2 + 2 • u + 0, 64 = 0 mit den Lösungen u j = -0,4 und u 2 = -1,6. Die a 11gem e i n e L ö s u n g der Differentialgleichung lautet deshalb y = C

r

e"°> 4

x

+ c2- e - 1 ^ x

1.2 Differentialgleichungen

2. Ordnung

83

In Verbindung mit y' = -0,4 • C

r

e-°.4

x

- 1,6 • C 2 • e _ 1 ' 6 ' x

findet man die den Anfangsbedingungen entsprechenden Konstanten C^ und C 2 als Lösung des linearen Gleichungssystems 0 =

Cl

+ c2

3 = -0,4 • C x - 1,6 • C 2 zu C j = -C 2 = 2, 5. Die gesuchte s p e z i e l l e ist demnach

Lösung

y = Yi + y 2 = = 1 . e -0,4- x . _5 _ -1,6-x 2

2

=

= 5 • e" x • sinh(0, 6 • x) für x€IR. (Aperiodischer X

...

y

F a l l einer g e d ä m p f t e n

Schwingung)

0

1

2

3

4

5

6

7

3,73

2,50

1,68

1,12

0,75

0,50

0, 34

0,23

0,15 . . .

-2, 50

-0,50

-0,10

-0,02

1,18

1,02

0,73

0,50

0,34

0,23

0,15 . . .

-l

l y2

...

-12,38

y

...

-8,65

0

R e l a t i v e s M a x i m u m M(l, 16; 1,18).

64.

Man ermittle die Gleichung derjenigen Lösungskurve von

2

d v dv — - + 0,4 • J L + 0,04- y = 0, dx dx^ die mit der Steigung m = 4 durch den Nullpunkt verläuft. Da die zugeordnete c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g u 2 + 0,4 u + + 0,04 = 0 die Doppellösung Uj = u 2 = -0,2 aufweist, liegt der a p e r i o d i s c h e G r e n z f a l l einer gedämpften Schwingung vor und es lautet die allgemeine Lösung y = Cj- e" 1 * + C 2 • x- e u 2 x = Cj- e " 0 ' 2 x + + C 2 • x • e~°>

2x

.

84

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Diese liefert f ü r die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen mit C j = 0 -0 2 x und Cg = 4 die s p e z i e l l e

L ö s u n g y = 4 - x- e

Relatives X

...

y

...

M a x i m u m M(5;7,36) 0 2 4 6 -4, 89 0 5,36 7,19 7,23 -i

16 2,61

18 1,97

20 1,47

8 6,46

10 5,41

'

für xGR. 12 4,35

14 3,41

22 1,08 . . .

d2v dv Es ist die Lösung der Diff. -Gl. — - + 4 • + 16 • y = 0 f ü r die ,2 dx dx dy Anfangsbedingungen x = 0, y = 0, ^ = 6 zu bestimmen. 65.

Mit den k o n j u g i e r t k o m p l e x e n L ö s u n g e n Uj. 2 = -2 ± 2 • V ^ • i der entsprechenden c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c f i u n g u 2 + 4 • u + + 16 = 0 erhält man die allgemeine Lösung y

=

c,

r

.e(-2+2-V^ i).x+

2 x(c,

e2-V3~.i.x+

C g - i C j f W

=

2

c,

.e(-2-2-V?.i).x

c,

C '

f L

2 -

.e-2V3.i-X)

2 +

±iOÍX

und

i-Cj

2

die sich unter Verwendung der EULERs c h e n e

=

= c o s ( a -x) ± i-sin(a • x)

Formel

auf die Form

1.2 Differentialgleichungen

y = e " 2 ' x [ C 1 - s i n ( 2 . V ? - x ) + C 2 -cos(2 •-v/if x)]

2. Ordnung

85

und C j , C j S R

bringen läßt (vgl. auch Nr. 60). F ü r die vorgelegten Anfangsbedingungen werden m i t y' = . 2 - e - 2 ' * ^ ! + V3~ • C 2 ) s i n ( 2 v / 3 ' die Konstanten zu C, = v T

x) - ( C r \ / 3 " - C 2 ) cos(2 V 3

und C 2 = 0 gefunden. Damit ergibt sich die

s p e z i e l l e L ö s u n g y = n/ST- e~ 2 x • sin(2 • v T • x) f ü r x G R . Sie beschreibt den Vorgang einer p e r i o d i s c h e n g e d ä m p f t e n S c h w i n gung. Die u n g e d ä m p f t e S c h w i n g u n g hat die N u l l s t e l l e n Extremwerte

x k = — • Vi-

Ek ^

mit der Gleichung y^ = sin(2 • y/s • x) k « 0,907 k und die

• v T • (2 • k + 1); ( - l ) k J

Die A b s z i s s e n der r e l a t i v e n S c h w i n g u n g findet man aus

Extrema

0 = 2 V ? - e"2x[-sin(2

v T x )

tan(2 • VT- x) = V T

x k = -^r • V3 +

zu

die zugehörigen O r d i n a t e n

x y

... ...

-0,5 0 4, 71 1, 73

0, 5 0,64

der g e d ä m p f t e n

o

1,5 0,09

über

V s • k « 0, 302 + 0, 907 • k;

berechnen sich zu

1 0,23

mit k G Z .

+ V i • c o s ( 2 • V ? - x)]

18

relativen

2 0,03 . . .

x)]

86

1. Gewöhnliche

66. d2y , 2

dx

Differentialgleichungen

Gegeben ist die i n h o m o g e n e

lineare Diff.-Gl.

2. O r d n u n g

dy 5 7 + 2 • — + 5 • y = — • x + — . Man ermittle die spezielle Lösung f ü r QX ¿t ¿i

die Anfangsbedingungen x = 0, y = - i , — = — . 2 Die a l l g e m e i n e

Lösung

dx

2

einer i n h o m o g e n e n D i f f . - G l .

2. O r d -

2

dy + g(x) • y = F(x) mit F(x) als S t ö r u n g s f u n k t i o n n u n g d y • + f(x) • —, 2 ctx dx ergibt sich als Summe der a l l g e m e i n e n L ö s u n g y^ = y ^ x ) der h o d2y dy + f (x) • —^ + g(x) • y = 0 und einer ,2 dx dx k u l ä r e n L ö s u n g yp = Yp(x) der inhomogenen Diff.-Gl. zu y = Die Ermittlung von yp kann stets mit Hilfe der V a r i a t i o n d e r s t a n t e n (s. Nr. 72) erfolgen, jedoch verwendet man f ü r gewisse teilhafter die M e t h o d e d e r s p e z i e l l e n A n s ä t z e . m o g e n e n Diff. - Gl.

Wenn z. B. F(x) = b m • x m + . . . + b x • x + b Q bQ, b x , . . . b m G R ,

bm

mit m £ K 0

partiy^ + y . Kon-*' F(x) v o r -

und

0, dann ist y p = c m - x m + . . . + c x • x + c Q

mit c Q , Cj, . . . c m G R , f a l l s die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g der homogenen Diff. -Gl. von 0 verschiedene Lösungen besitzt; es ist y p = ( c m • x m + . . . + Cj • x + c Q ) • x r , falls 0 eine r - f a c h e Lösung.

Im vorliegenden Beispiel hat die charakteristische Gleichung u + 2 - u + 5 = 0 5 7 die Lösungen u ^ = - 1 ± 2i. Wegen F(x) = — • x + — hat somit eine p a r t i k u l ä r e L ö s u n g der inhomogenen Diff.-Gl. die F o r m yp = c j x + c 0 . Damit geht man in die vorgelegte Diff. -Gl. ein und erhält über . 5 7 2 c : + 5 • (Cj • x + c Q ) = —• x + — durch K o e f f i z i e n t e n v e r g l e i c h x° |

2 • c x + 5 • cQ = 1

*

5'Cj

für

5

I

Cl

das lineare Gleichungssystem

und c Q

= -

mit der Lösung c Q = Cj =

.

Zusammen mit der allgemeinen Lösung y^ = C j • e " x • sin(2 • x) +

1.2 Differentialgleichungen

+ C 2 - e~ x • cos(2 • x)

—x

87

der homogenen Diff.-Gl. findet man die a l l g e m e i -

ne L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . y = yh + yp = C j • e

2. Ordnung

zu

x 1 • sin(2 • x) + C 2 • e~ x • cos(2 • x) + j + j •

Um die den gewählten Anfangsbedingungen entsprechende s p e z i e l l e s u n g zu finden, ist in x 1 y = C^ • e~ x • sin(2 • x) + C 2 • e~ x cos(2 • x) + — + —

Lö-

und

y' = - C j • e " x • sin(2 • x) + 2 • Ci • e" x . cos(2 • x) - C 2 • e" x . cos(2 • x) - 2 • C 2 • e" x • sin(2 • x) + ~ x = 0,

y =I ,

y1 =

zu setzen.

Dies führt über - = C2 + A - 2-C 2

und +

1

2

mit C j = — und

x + 1— für x € R . _1 • e~ x • sin(2 • x) + — 2 ¿ 2

y = m x

-

ì • . . . -0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

y 1 2 = sin(2 • x); N u 11 s t e 11 e n für x k = — • k . Relative Extrema

Ek

für kGZ.

88

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

y j = 0, 5 • e " x • sin(2 • x). Die A b s z i s s e n der r e l a t i v e n

Extrema

Ejj gewinnt man aus

tan(2 • x) = 2 zu x k « 0,554 + j

- k;

die O r d i n a t e n

yk « 0,5 • e - 0 '

oder

folgen damit wegen arctan 2 = arc sin

554

• (e

2

/• — — ( - l ) k «

0 , 2 5 7 - ( - 0 , 208) k

VF

yQ « 0,257, y «

-0,053,

y2 «

2

zu

für kG S

0,011.

67.

Man bestimme diejenige spezielle Lösung von y" - 2 • y' = x 2 + 3, 3 die den Anfangsbedingungen x = 0, y = 2, y1 = - — genügt. Mit den Lösungen u^ = 0 und u 2 = 2 der c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g von y" - 2 • y' = 0 ergibt sich die a l l g e m e i n e L ö s u n g der h o m o g e n e n D i f f . - G l . zu y^ = C j + C 2 • e 2 x . Zur Ermittlung der allgemeinen Lösung der inhomogenen Diff. -Gl. mit der S t ö r u n g s f u n k t i o n F(x) = x 2 + 3 muß wegen Uj = 0 der e r w e i t e r t e A n s a t z yp = c 3 • x^ + c 2 • x 2 + c^ • x gewählt werden. Einsetzen in die inhomogene Diff. -Gl führt über 6 • c 3 • x + 2 • c 2 - 2 • (3 • c g • x 2 + 2 • c 2 • x + Cj) = x 2 + 3 durch K o e f f i z i e n t e n v e r g l e i c h

auf

x2 I - 6 • c 3 = 1 x1 |

6•c3 - 4•c2 = 0

x° |

2 • c 2 - 2 • Cj = 3

7 1 mit der Lösung c , = - — , c„ = - — , c« = i

1

Die a l l g e m e i n e y = y h + yP =

c

i

&

Lösung +

c

2

-

e

4

°

1

.

6

der i n h o m o g e n e n

o Y - v1 * o -

J1

x

o - T7 -

Diff. - Gl. x

-

ist somit

1.2 Differentialgleichungen

2.

89

Ordnung

Die den Anfangsbedingungen genügenden speziellen Konstanten folgen mit 2v y' = 2 • C 2 • e 2 x

1 2 1 --.x2 - - x

7 - _

als gemeinsames Wertepaar von 2 = C j + C2

zu

C

!5 1 =T

3 7 - y = 2 • C2 - —

und

, „ 1 ° 2 = 8" *

Und

Dies ergibt die gesuchte s p e z i e l l e L ö s u n g der Differentialgleichung als y = y i + y2

v

1

2

=—e

+

y

mit

P

i = T

•

1 - x 1 13 - 71 x 2 " T7 4 4

2-xx

8

y

'

x

f ü r xGIR. X y

...

-4

-3

-2

2

-1

0

1

2

0,02

0,13

0,92

6,82

50,43 . . .

3

p y

...

13,67

7, 50

3,83

1,67

0

-2,17

-5,83

-12,00 . . .

...

15,54

9,38

5,71

3, 56

2

0,63

2,87

40, 30 . . .

68.

Wie lautet die Gleichung des Lösungsgraphen von

y

y" + 2 • y' + y = sin x, der mit der Steigung m = i durch den Ursprung verläuft? Tritt in einer i n h o m o g e n e n l i n e a r e n D i f f . - G l . 2 . O r d n u n g als S t ö r u n g s f u n k t i o n F(x) = b j • sin( a x) + b 2 • c o s ( a - x) mit a , b j , b2GR, a 0, b 2 + b 2 > 0 auf, dann hat eine p a r t i k u l ä r e L ö s u n g die Form y p = Cj • sin( a • x) + c 2 • c o s ( a . x) oder y p = [ c j • sin(a • x) + + c 2 • c o s ( a - x ) ] - x mit Cj, c 2 G R , je nachdem, ob + « i keine oder eine Lösung der c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g der zugehörigen homogenen Diff. -Gl. ist. Die allgemeine Lösung der homogenen Diff. -Gl. y" + 2 • y' + y = 0 findet man mit Uj = Ug = - 1 als Lösungen der zugeordneten charakteristischen Gleichung u 2 + 2 • u + 1 = 0 zu y h = C j • e~ x + C„ • x . e " x .

90

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Zur Bestimmung einer partikulären Lösung kann deshalb p = C 1 ' s i n x + c 2 ' c o s x i n d i e inhomogene Diif. -Gl. eingesetzt werden.

y

Es ergibt sich über -c^ • sin x - c 2 • cos x + 2 • (cj • cos x - c 2 • sin x) + + Cj • sin x + c 2 - cos x = sin x durch Vergleichen der Koeffizienten von Sinus- und Kosinusgliedern aus sin x | -c^ - 2 • c 2 + c-^ = 1 cos x | - c 2 + 2 • c^ + c 2 = 0 C

c

1 =

2 = " 7 •

Für die vorgeschriebene Anfangsbedingungen x = 0, y = 0, y' = - i u

die a l l g e m e i n e L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . y = Cj- e" x + C 2 • x- e~ x -

• cos x

und ihre 1. Ableitung y' = - C j • e " x + C 2 • e " x - C 2 • x • e~ x + — • sin x das l i n e a r e ° = 7=

c

Gleichungssystem

i - 7

"ci

+

C

2

mit der Lösung

Die Gleichung des gesuchten Graphen ist somit y = yx + y 2 + y p vi = 7 • e~X> y 2 = für xGIR.

mit

x

- e - x , yp = - j

cosx

liefern

1.2 Differentialgleichungen

x

...

-1

0

1

2

3

4

0, 50

0,18

0,07

0,02

0,01

0

0,37

0,27

0, 15

-0,27

0,21

0,28

0, 55

91

2. Ordnung

5

6

0,07

0,03

0,01 . . .

0,49

0,33

-0,14

-0,48 . . .

0,66

0,4

-0,11

-0,47 . . .

...

1,36

...

-2,72

...

-0,27

y

...

-1,63

69.

Es ist die Gleichung derjenigen Lösungskurve von y" + 4 • y = sin x +

N

y

y

2 P

-0, 50 0

+ sin(2 • x) zu ermitteln, die im Nullpunkt die Steigung m =

«5

hat. (Vgl.

auch Nr. 73) Die a l l g e m e i n e L ö s u n g der h o m o g e n e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ergibt sich über die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g u^ + 4 = 0 mit den Lösungen u ^ ^ = ± 2 i zu y^ = C j • sin(2-x) + C2 cos(2-x). Bei der gegebenen S t ö r u n g s f u n k t i o n F(x) = sin x + sin(2 • x) kann somit nach dem Ü b e r l a g e r u n g s p r i n z i p der Ansatz Yp = c^ • sin x + + C2 • cos x + Cg • x • sin(2 • x) + C4 • x • cos(2 • x) gewählt werden. Dieser führt nach Einsetzen in die inhomogene Diff. -Gl. auf sin x

|

- C j + 4c^ = 1

cos x

|

-C2 + 4C2 = 0

sin(2 • x) | -4c 4

= 1

cos(2 • x) | 4c 0

= 0 ,

woraus

c

i

1 "3 '

C

Die a l l g e m e i n e

2 -

c

3

CA

folgt.

=

L ö s u n g der i n h o m o g e n e n

Gleichung ist demnach

y = C j • sin(2 • x) + C2 • cos(2 • x) + - i • sin x - - i • x • cos(2 • x). Den vorgeschriebenen Anfangsbedingungen x = 0, y = 0, y' =— 3

genügt,

wie aus 0 = C2

und

= 2C^ +

y = yi + yP1 + yP2 y

?

mit

= - -i • x • cos(2 • x)

- —• folgt, die gesuchte s p e z i e l l e y

i

=

1

s i n ( 2,0 x)

für xGIR.

'

>< y p i

=

T 1' s i n

x

'

Lösung

92

1. Gewöhnliche

X 24 24 24

yi yPl y P2

24 y

70.

Differentialgleichungen

2

3

4

6

5

7

... 0

l

... 0

2, 73

-2,27

-0,84

2,97

-1,63

-1,61

2,97

...

... 0

6, 73

7,27

1,13

-6,05

-7,67

-2,24

5,26

...

... 0

2, 50

7,84

-17,28

3,49

25,17

-30,38

... 0

11,96

12,84

-16,99

0,41

15,87

-34,23

Welche Lösung der Diff. -Gl. y" + 0 , 2 5 • y = e

Anfangsbedingungen x = 0, y = 0, y' =

5

x

-5, 74 . . . 2,49

...

genügt den

?

B e i einer i n h o m o g e n e n l i n e a r e n D i f f . - G l . 2 . O r d n u n g mit der S t ö r u n g s f u n k t i o n F(x) = ( b m • x m + . . . + b j • x + b Q ) • e p x und mGIN 0 , sowie b Q , b j , . . . b m S I R , b m 0, hat eine p a r t i k u l ä r e L ö s u n g die F o r m y p = ( c m . x m + . . . + C j • x + c Q ) -e Px, f a l l s p k e i ne Lösung der zugehörigen c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g ist, und y p = ( c m • x m + . . . + C j • x + c 0 ) • e P x • x r , falls p eine r - f a c h e Lösung derselben ist, mit c Q , c^, cmGR. Die c h a r a k t e r i s t i s c h e Gleichung u 2 + 0, 25 = 0 mit den Lösungen u ^ = = ± 0, 5 i führt in vorliegendem Beispiel auf die a l l g e m e i n e L ö s u n g der h o m o g e n e n

Diff. -Gl.

y h = C j • sin j-i-J

+ C 2 • cos (•£•) .

1.2 Differentialgleichungen

93

2. Ordnung

Zur Gewinnung einer p a r t i k u 1 ä r en L ö s u n g in bezug auf die Störungsfunktion F(x) = e " 0 , 5 x kann deshalb mit dem Ansatz y p = c Q • e " ° » 5 x in die gegebene inhomogene Diff. -Gl. eingegangen werden. Man erhält aus 0,25 • c Q • e " 0 ' 5 ' x + 0 , 2 5 • c Q • e * 0 ' 5 ' x = e " 0 , 5 x den Wert c Q = 2 und damit die a l l g e m e i n e L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . G1. zu x y = Cl • sin

J + C 2 - cos ( y j

+ 2•e 2 .

Diese nimmt für die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen die Form

3 • sin

y 2 = -2

71.

cos

T

| ,

Man ermittle die Gleichung der Lösungskurve von y'

x 9"

y

y" - ~2 - -J = -3 • e P(0; 2) verläuft. Die a l l g e m e i n e

'

die mit der Steigung m = 1 durch den Punkt

Lösung

der h o m o g e n e n

den Lösungen u j = 1, u2 = - - j 1 2 u - _ .

u

1

=

0

zu

D i f f . - Gl.

der c h a r a k t e r i s t i s c h e n

folgt mit Gleichung

94

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

X

yh = C

e

r

x

+ C2. e

2

.

Zur Ermittlung einer p a r t i k u l ä r e n

L ö s u n g der inhomogenen D i f f . x

Gl. muß somit der e r w e i t e r t e A n s a t z yp = c Q - x e werden.

2

herangezogen

Damit folgt aus

x 2

= -3 • e

unmittelbar

c Q = 2.

Die den speziellen Anfangsbedingungen genügende L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . ergibt sich aus der a l l g e m e i n e n L ö s u n g x x y =

C

1

. e

x

+ C

2

- e

2

+ 2 x e

und i h r e r e r s t e n Ableitung X y' = C J

11

x

e

2

- 4 - C 0 e 2 ^

2

X + 2 e

X 2

- x

e

2

mit dem gemeinsamen Wertepaar Cj = 0

und

C2 = 2

2 = C j + C2

von

und

1 = C t - -i C 2 + 2

zu x 2

y = y2 + y p = 2 • e

+

x + 2• x e Relatives X

y

p y

...

2

für xGR.

Maximum

-2

-1

4

M I ,1; \ V^ 0

1

2

3

4

5

6

7

5,44

3,30

2

1,21

0,74

0,45

0,27

0,16

0,10

0,06

...

-10,87

-3,30

0

1,21

1,47

1, 34

1,08

0,82

0,60

0,42

...

-5,43

2

2,42

2,21

1,79

1,35

0,98

0,70

0,48 . . .

0

...

1.2 Differentialgleichungen

72.

Gegeben ist die Diff. -Gl. y" + y' + j

95

2. Ordnung

• y = x"2 • e

für x £ R \ { 0 } .

2

Welche spezielle Lösung erfüllt die Anfangsbedingungen x = 1,

y =— y '

= 0?

Ve

Ein auf die vorliegende S t ö r u n g s f u n k t i o n nicht zur Verfügung. Bei bekannter a l l g e m e i n e r

zugeschnittener Ansatz steht

Lösung x

y = C

r

y j ( x ) + C 2 - y 2 (x) mit y x (x) = e

2

und y 2 (x) = x

e

2

der h o m o g e n e n D i f f . - G l . läßt sich jedoch eine p a r t i k u l ä r e s u n g bezüglich der Störungsfunktion F(x) aus der Formel r y 2 (x) • F(x)

Lö-

y^(x) - y 2 (x) • y j ( x ) ? l ( x ) • F(x) +y2(x)

j*

y x (x) . y 2 (x) - y 2 (x) • y^(x)

dx

gewinnen, wobei in den auftretenden Integralen jeweils irgendeine Stamm funktion verwendet werden kann (Methode der V a r i a t i o n d e r K o n s t a n ten).

Für das angegebene Beispiel wird mit y^(x) • y 2 (x) - y 2 (x) • y^(x) =

= e ' l p . f X F(x) = x " 2 • e 2

und

X X „ — P 2 - 2 - i \ 2 \x 'e •x y n x) = -e ]

x • e

X + x • e X = -e

2

*

i e 1

~2

2 dx +

X •x

-2

e"x X , , , 2 • in | x I - e

'

e

~2 dx X

- Cj • e

X 2

2 + c2 • x • e

für jedes Intervall aus R \ {0}und c j , CgGR als Integrationskonstanten.

96

1• Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Wählt man zur Vereinfachung von y p (x) c^ = - 1 und c 2 = 0, so ergibt sich aus der a l l g e m e i n e n L ö s u n g X

y = C

2

e

1

X

+ C2-x-e

X

2

2

- e

• In | x|

der i n h o m o g e n e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g leitung

r

x 1

y' = — -

r

x

~2

e

+ C2

e

~2 2

-—

x

2

x-e

"2

und i h r e r ersten Ab-

* 1 ~2 , , 1 2 +-• e -ln|x| - - - e

f ü r die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen 2 = Cj^ + C 2

C C 1 2 0 = - — + C 2 - — - 1.

und

Die hieraus gefundenen Werte C j = 0 und C 2 = 2 liefern die gesuchte s p e z i e l l e L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . x y = 2.x •e

x

2

2

- e

• In Ixl

in ]0; + oo [. x yj = 2 • x • e

2

Relatives x

Maximum

y

X

y

II

y

= -e

...

2

, M j ^2;

• In Ix I , R e l a t i v e s

-3

-2

Minimum

M n ( 2 , 35; -0,26)

-1

-0,5

0

0,5

1

2

-3,30

-1,28

0

0, 78

1,21

1,47

0,89

OO

0, 54

0

-0,39

OO

1,32

1,21

...

-26,89

-10,87

...

-4,92

-1,88

...

-31,81

-12,75

-3,30

0

3

4

5

6

1,34

1,08

0,82

0,60 . . .

-0,25

-0, 19

-0,13

-0,09 . . . '

1,09

0789

0769

0,51 . . .

-0,25 1,22

1.2 Differentialgleichungen

2. Ordnung

97

73. Es ist die spezielle Lösung y = y(x) der bereits in Nr. 69 behandelten linearen Diff. -Gl. y" + 4 • y = sin x + sin(2x) unter Verwendung der L A P L A C E - T r a n s f o r m a t i o n f ü r die Anfangsbedingungen x = 0, y = 0, y' = — zu ermitteln. J 3 Mit L[y"(x)] = Y(s) • s 2 - y (+0) . s - y' (+0) = Y(s). s 2 - |

L[y(x)] = Y(s), sowie L[sin(ax)]

,

mit a e R \ {0} (Formel 4.4), s2

a2

+

wobei L die LAPLACE-Transformation und Y = Y(s) die B i l d f u n k t i o n der O r i g i n a l f u n k t i o n y = y(x) bedeuten, ergibt sich die B i l d g l e i 9 1 1 2 chung Y s " - —+ 4 Y = + mit der Lösung s2 + 1 s2 + 4 1

Y = Y(s) s

2

+ 1

s

2

+ 4

2

+ s

2

1

+ 4

s

2

1 +T ' 3

+ 4

1 2

S + 4

Mit L ' ^ Y f s ) ] = y(x)

L"1

und

= sin(ax) s2

folgt unter Verwendung des

+

für a SIR \ {0 }

a2

Faltungssatzes

X

L"*[Yj(s) • Y 2 (s)] = j y ^ z j . y g i x - z)dz

y =

f . jsin o

sin(2x - 2z) z

fsin(2z) J 2 o

sin(2x - 2z) 2

J d a +

1 sin(2x) T ~ 2 L J -

[cos(3z - 2x) - cos(2x - z)]dz + —• | [cos(4z - 2x) - cos(2x)]dz + + -g • sin(2x) = sin(3z - 2x)

+ sin(2x - z)

o

+

1 T

sin(4z - 2x)

z • cos(2x)

+ — • sin(2x) = 1

12

1 1 1 • /o x + — 1 • sin(2x) sin x + — • sin(2x) • sin x - — • sin(2x) + —

12

98

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

- -7 • x • cos(2x) + 4- • sin(2x) = 4 b -i- • sin(2x) + -i- • sin x -

• x • cos(2x)

für x G R * .

74. Wie lautet die spezielle Lösung der homogenen linearen Diff. -Gl. 2. Ordnung y" - 2 • cot x • y' - y = 0 und x k- TT mit k e Z TT

für die Anfangsbedingungen x = y , y =

1

, y' =

TT

?

Ist in ]a; b[ eine partikuläre Lösung y^ = yj(x) der h o m o g e n e n l i n e a r e n D i f f . - G l . 2 . O r d n u n g y" + f(x) • y' + g(x) • y = 0 bekannt und y j ( x ) # 0 für x e ] a ; b f , so kann in ]a; b[ eine weitere, hiervon l i n e a r u n a b h ä n g i g e L ö s u n g y2 = ^ M durch R y 2 (x) = yj(x) • 1

e

-Jf(x)dx

dx

angegeben werden, wenn in den auftre-

[yi(x)]2

J

tenden Integralen jeweils irgendeine Stammfunktion gewählt wird. Im vorliegenden Beispiel erhält man in jedem Intervall aus R \ {k -rr] unter V e r wendung der leicht erkennbaren partikulären Lösung y j = y^(x) = cos x über jf(x)dx = J ( - 2 • cot x)dx = F(x) + C j = -2 • In Isin x| + C j = -ln(sin 2 x) + C j , 9

also F(x) = -ln(sin x ) , zunächst

J

f e"F(x) I [y x (x)] 2

dx =

f ? l tan x dx = 4>(x) + C 2 , mit J

(x) = tan x - x

;

schließlich folgt y 2 = y ^ x ) • 4>(x) = cos x • (tan x - x) = sin x - x • cos x in ]k • ff ;(k + 1) • 7r[

mit

weil y2(x) die gegebene Diff.-Gl. auch

noch für x = (2k + 1) • — erfüllt. (Formeln 2. 29 und 2. 27) Damit ergibt sich die a l l g e m e i n e y = Cx • yx + C 2 • y2 =

Lösung

• cos x + C 2 - (sin x - x • cos x)

Intervall aus R \ { k • TT j mit k £ 2 . Für die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen bekommt man mit y' = -Cj- sin x + C2 • x • sin x die Werte Cj = 0

und

C2 = I .

in jedem

1.2 Differentialgleichungen

Die gesuchte s p e z i e l l e y

=

X yI yII

y

yi

+

yn

=

1 "ö '

. sin x

1 " ~ö

Lösung

2.

99

Ordnung

der gegebenen Diff. -Gl. ist somit r

•X

' C0S

X

f [•

ln

0

±1

±2

±3

±4

±5

±6

±7

±8

0

±0,42

±0,45

±0,07

+0,38

+ 0,48

+0,14

±0,33

+ 0,49 . . .

0

+0,27

±0,42

±1,48

±1,31

+0, 71

+2,88

+2,64

±0,58 . . .

0

±0,15

±0,87

±1, 55

±0,93

+1,19

+3,02

+ 2,31

±1,07 .. .

75.

Man bestimme die Gleichung der Lösungskurve der i n h o m o g e n e n 2 4x l i n e a r e n D i f f . - G l . 2. O r d n u n g y" •y = für|x| # 1, 2 l x2 - 1 die im Ursprung die Steigung m = 2 besitzt.

Die a l l gern e i n e

allgemeinen 2 L ö s u n g der zugeordneten h o m o g e n e n D i f f . - G l . y" -y = 0 x2 - 1 und einer p a r t i k u l ä r e n L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . zusammen. P Mit der ersichtlichen partikulären Lösung y^ = y^(x) = x - 1 der homogenen Diff. -Gl. findet man wie in der vorhergehenden Aufgabe eine weitere, linear u n a b h ä n g i g e L ö s u n g zu y^ = ^ ( x ) mit

y 2 (x) = (x 2 - 1)

Lösung

dx

setzt sich aus der Summe der

= (x 2 - 1) •

(x 2 - l ) 2 +

- 1) • In

2 • (x^ - 1) 1 + x 1 - x

+ —r • In 4

1 + x| 1 - X

in jedem Intervall aus (R/{ - l ; l } ,

wenn 0 als Integrationskonstante gewählt wird (Formel 1. 21).

100

1. Gewöhnliche

Die a l l g e m e i n e

Differentialgleichungen

L ö s u n g der h o m o g e n e n D i f f . - G l .

ist demnach

ebenfalls f ü r jedes Intervall aus R \ {-1; 1} • Für die noch zu ermittelnde p a r t i k u l ä r e L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . kann wie in Nr. 72 verfahren werden. Sie ist aber leicht unmittelbar a l s yp = -2x zu erkennen. Somit stellt 2x

in den o. a.

Intervallen die a l l g e m e i n e L ö s u n g der i n h o m o g e n e n D i f f . - G l . dar. Einsetzen von x = 0, y = 0, y' = 2 in dieses Ergebnis und dessen e r s t e Ableitung y' = 2 C j • x +

1 - x

-4 die gesuchte s p e z i e l l e

- 2

Lösung

in ] - l ; 1[. Relative

Extremwerte

M1.2(±0,65;

X

0 ±0,25 l

±0,90)

±0, 50 ±0,75

+1

±1,50

±2

±3

0

-1,25

-3

-8

0,94

0, 75

%

0 ±0,51

±1,10

±1,95 ±oo ±1,61

±1, 10

±0,69 . . .

y

0 ±0,48

±0,82

±0,85

+2,01

+ 3,30

+5, 55 . . .

0,44

0

erbringt

1.2 Differentialgleichungen

2. Ordnung

101

76. Es soll die Lösung der E U L E R s c h e n (gleichdimensionalen) D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g x 2 • y" + x • y1 - 4 y = 0 f ü r die Anfangsbedingun3 gen x = 1, y = - — , y' = 5 bestimmt werden. x = e z , also z = In x f ü r x £ ] 0 ; o o [ und damit

Durch die S u b s t i t u t i o n

d2y -

dy dy dz 1 dy — = — • — = — —r~ sowie dx dz dx X dz führung auf die l i n e a r e

1 x2

dy 1 —— + dz x2

h o m o g e n e D i f f . - Gl.

d2y — ^ d2y

.

, x ist eine Ruck-

- 4y = 0

mit der

dz 2 allgemeinen Lösung y = C j • e 2 de a l l g e m e i n e

Lösung

z

+ Cg • e~ 2

y = Ci

x

z

möglich. Die daraus folgen-

+

der ursprünglichen Diffex2 rentialgleichung erfüllt diese offenbar auch in ]- 00 ; 0[.

Die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen e r f o r d e r n Cl

=j ,

C 2 = -2

und liefern die s p e zielle Lösung y = Yl + V2 = ~2 • x "

..2

in ]0; +00 [.

X

0 0

±1 0,5

y2

- 00

-2

y

- 00

-1,5

+2 2

+3 4,50

±4 8

±5 12,50 . . .

-0, 5

-0,22

-0,13

-0,08 . . .

1,5

4,28

7,87

12,42 . . .

2 77.

Welche spezielle Lösung der Diff. -Gl.

+ y • (—) dx

den Anfangsbedingungen x = -1, y = 2,

dx

2

= -2?

Vdx

= 0

genügt

102

1. Gewöhnliche

Substitution

Differentialgleichungen

dy von —- = p dx

und damit d y n dx für p

dp dx

dp dy

0 führt über

d —P -p + y . p = n0

auf die s e p a r i e r b a r e Diff . - G l . dp

mit der Lösung

p = -

+ Cj

Die Anfangsbedingung y = 2, p = -2 bedingt C j = 0 und liefert die s e dy y2 p a r i e r b a r e D i f f . - G l . —— = - —— mit der a l l g e m e i n e n L ö s u n g dx 2 0, die aber den Anfangsbeund der weiteren Lösung y x - 2C, 2 dingungen nicht genügt. Diese erfordern C2 = -1, woraus sich y = ^ in ]-2;+00 [ als gesuchte s p e z i e l l e L ö s u n g ergibt. Der anfangs ausgeschlossenen Fall p = 0 führt noch auf die Lösung y = Cg mit Cg£R, die j e doch wiederum den Anfangsbedingungen nicht genügt. -5 -0,67

-4 -1

-3 -2

-2,5 -4

-2 +00

-1,5

- 1 0 2 1

1 0,67

0,50

0,40 ..

78. Man e r m i t t l e die Gleichung der mit der Steigung m = - 1 durch den Punkt P(2; 3) verlaufenden Lösungskurve von d2y dy „ x- — - - - i - = 0. ,2 dx dx dy Setzt man — = p, so erhält man die s e p a r i e r b a r e D i f f . - G l . dx dp x • — - p = 0 mit der a l l g e m e i n e n L o s u n g p = C,1 • x. dx

1.2 Differentialgleichungen

103

2. Ordnung

Die Forderung x = 2, p = -1 wird durch C j = - — erfüllt. Aus

dy 1 = -— •x dx i

X2 y = - x

+

n

c2

folgt

-

wobei die Anfangsbedingungen C2 = 4 erfordern und die s p e z i e l l e Lösung v = 3

79.

x2 + 4 4

für x £ R

liefern.

d2v dx 2

Welche spezielle Lösung der Diff. -Gl.

v = 0 für x # 0 e r x4 2 ? =— e

füllt die Anfangsbedingungen x = 1, y = 2 • cosh 1, y' Setzt man y = x • z

2

und

z = z(x), so geht mit — = z + x • — dx dx

2

9

d v dz d z — - = 2• — + x jdx 2 d x , 2dx z

die gegebene Diff. -Gl. in x

d z dx 2

+ 2•

und

dz

z

dx

xö

3

=0

über. 1 dx Die weitere Substitution x = — und damit — 1

dz dz dt 2 dz dung von — = —- • — = - t* • — dx dt dx dt 9 - t*

9

d z dt 2

Gl.

2 dt >j dz a d z • — = 2t J • —- + t 1 ^

dt

1

dt

n

und

d z ,2 dx

t2

liefert unter Verwen-

„, dt dz - 2t • — • —- dx dt

die h o m o g e n e

lineare

Diff.-

dt 2

= dt 2

Wird deren allgemeine Lösung z = C j • e1" + C 2 • e _ t zurücktransformiert, findet man die a l l g e m e i n e L ö s u n g der vorgelegten D i f f . - G l . zu

104

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

KB

y = x • \ C j • e x + C2 • e Die gesuchte s p e z i e l l e L ö s u n g ergibt sich mit 1

ü

1 •(1 - - I +

Ci • e

x

+ C2.e

(1

über e + i = C 1 e + C „ — e i L z und

1 = C2

als

y = x • ( ex + e

Relative

x

2x • cosh IL]

)=

Extremwerte

M j . ^ ±0,83; 3,02)

/ 1 y 2 = cosh y — x

Yl = 2x, x

0 ±0,5

±1

±2

±3

n

0

±2

±4

±6

±1

+ oo

80. 9 x* • y

in ]0; +oo [.

±4

±5 ±10

3,76

1,54

1,13

1,06

1,03

1,02

±oo ±3,76

±3,09

±4,51

±6,34

±8,25

±10,20

Gegeben ist die nichtlineare Diff. -Gl. 2. Ordnung ? / dy \ 2 2 - x • —+ 2y = 0. Man bestimme deren spezielle, den

d^y

W dx 2 Anfangsbedingungen x = 1, y = e, y' = 3e genügende Lösung.

Beschränkt man sich zunächst auf x-Intervalle, in welchen Lösungen mit y > 0 vorhanden sind, so kann y = e z mit z = z(x) gesetzt werden, ^

u

-4.

wodurch mit

d

Y

dx

= e

z

dz dx

^ d2y I dz\2 , d2z z und —— = e • + e • 2 \ dx/ . 2 dx dx

die

1.2 Differentialgleichungen

o dz dz x . + 2 = 0 übergeht.

vorgelegte Diff. -Gl. in

dx 2 x

105

2. Ordnung

2

dx 2

für

x2

0 bringt nach zweimaliger Integration z = 2 • In |x| + C^ • x + Cg.

2 C^x+Co , — 2 Ci-x i Dadurch erhalt man y = x • e 1 oder y = C 2 • x . e ± mit C 2 G R + als Gesamtheit der Lösungen für y > 0 in jedem Intervall aus R \ { 0 } . n

Cl ' X

Der Ausschluß von x = 0 kann aufgehoben werden, weil y = C 2 • x • e auch für x = 0 der Diff. -Gl. genügt. Da mit y = f(x) außerdem y = -f(x) Lösung der Diff. -Gl. ist und zudem y = 0 die Diff. -Gl. befriedigt, bekommt man schließlich y = C 2 -x2- e

C

x

1

für C 2 €1R

und xGIR als a l l g e m e i n e

Lösung.

Für die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen berechnen sich die Konstanten in Verbindung mit y'

— C •x = C2- e 1 • x • ( C j - x + 2) zu

C j = C 2 = 1>

so daß

y = x2-

eX

für x€=IR die gesuchte s p e z i e l l e

Lösung

ist.

R e l a t i v e s M a x i m u m M j ( - 2 ; 0, 54), r e l a t i v e s M i n i m u m M 2 im Nullpunkt. X

-4 0,29

-3 0,45

-2 0,54

-1 0,37

...-5 . . . 0,17

81.

Es sollen die speziellen Lösungen des l i n e a r e n

s t e m s

dyl ~dF

+

1 T'

y

i

3 - T

^2

y2 +

x + 2

=

0 0

0,5 0,41

y

1 2,72

2 29,56 . .

Diff. - Gl.-Sy-

0

1 - 3-yi +

T

y2 - 6 x = 0

mit y^ = y^(x) und y 2 = y^(x) angegeben werden, welche die Anfangsbedingungen x = 0, y j = 0, y 2 = 1 erfüllen.

106

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

4 dyl f Einsetzen von y 2 = - • —

+

2 - • yx

+

4 -

•x

8

+

?

und ihrer ersten Ableitung

± fh, o

dx ~ 3

+

dx

i3

dx

+

3

±

in die 2. Gleichung des Systems führt auf die l i n e a r e nung d2yi , p dx

2 • y, - 4x + 2 = 0. 1

dx

Lösung

= C-L • e x + C 2 • e " 2 x - 2x

dYl —

2. Ord-

dyj +

Deren a l l g e m e i n e Yl

Diff.-Gl.

=

C l

V2 = 1 '

-e

(c

i"

x

(Vgl. Nr. 66)

liefert in Verbindung mit

- 2C2.e-2x - 2

eX

"

2C

2-

e~2x

" 2> + j - < c r

eX +

c

2'

e

"2x "

2 x

)

+

I

x

+

oder y2 = 2 C

r

e x - 2 C 2 - e~2x.

Die den s p e z i e l l e n folgen aus 0 = Ci + C ,

und

Lösungen

1 = 2Ci - 2C2

entsprechenden Werte von C^ und C2

ZU

= -C2 = j

.

f

1.2

Differentialgleichungen

2. Ordnung

107

Damit ergeben sich y i = T

e X

e

- T

"

2 x

"

2 x

-1

X

...

-1,5

y

l

...

-1,97

y

2

-0, 5

2

=

T ' eX

0

0, 5

+

7 'e_2x-

1

2

1, 5

2, 5

0,47

0

-0,68

-1,35

-1,89

-2,16

-1,96

3,88

1,66

1

1,01

1,43

2, 27

3, 70

6,09

M 1 1 (2, 08; -2,16), M 1 2 ( - 0 , 6 6 ; 0,51), M 2 (0, 23; 0,94).

3

3

-0 98

>5 • 1 28

Das in Nr. 81 gegebene lineare Diff. -Gl. -System

dYl

dT

y

0,24

Relatives Minimum relatives Maximum relatives Minimum

82.

und

+

1 T

dy, - r - - 3o3 rix""

3 y

i "T 1y 2

y i ++ T

l

y

2

2

+ x

+

- 6 x

2

=

0

= 0

mit y^ = y ^ x ) und y = y„( x ) ist mit Hilfe der L A P L A C E - T r a n s f o r m a t i o n f ü r die Anfangsbedingungen x = 0, y^ = 0, y 2 = 1 zu lösen. Mit den T r a n s f o r m i e r t e n L[y^ (x)] = L[y,, ] = Y„ (s) = Y^ , L[y|, (x)] = L[ y ;, ] = Y„ (s) • s - y„ (+0) = Y„ • s - y„ (+0) sowie L[l] =— S

und

L[x] = — s2

f ü r v = 1, 2,

(Formeln 4. 1, 4.2)

geht das vorgelegte lineare Diff. -Gl. -System in das l i n e a r e system 1 3 1 2 Y, • s + — • Y, - — • Yo + — + — = 0 1 2 1 4 2 g 2 s 1 6 Y , s - 1 - 3 • Y, + — Y , = 0 2 1 2 2 2 s mit der Lösung Y

1

=

i

4

1 (s - 1) • (s + 2)

2 s

2 '

Gleichungs-

108

Y

1. Gewöhnliche

2

Differentialgleichungen

+

(s - 1) • (s + 2)

2 ' (s - 1) • (s + 2)

Uber

"

Unter Verwendung der Formeln 4. 2, 4.10 und 4.11 ist die Rückführung auf die O r i g i n a l f u n k t i o n e n = "T • y2 = |

(e

~2x "

eX)

-

2x

• (2 • e " 2 x + e x ) - j

> • (e"2x - ex)

Damit findet man die s p e z i e l l e s t e m s wiederum zu vi y

4

83.

6

x

des gegebenen Diff.-Gl. -Sy-

4 e"2x " 2x'

eX

1 2="2

Lösung

möglich.

+

1 T

6

-2x

Greift am f r e i e n Ende eines waagrecht eingespannten homogenen T r ä -

gers von konstantem Querschnitt und der Länge 1 gemäß der Abbildung die Kraft F an, so genügt die Auslenkung y im Abstand 1 - x von der Einspannstelle der Diff. -Gl. y" = -

* • M(x). Hierbei bedeuten E den ElaE •I 2 q

stizitätsmodul, I das konstante axiale Trägheitsmoment und M(x) = - — - x - F • x den skalaren Wert des Biegemomentes mit cj als Streckenlast. Wie groß ist die Auslenkung f am f r e i e n Ende des T r ä g e r s mit der Länge 1? Die Integration der E •I

t-

x 2

Biegegleichung +

f

-

liefert für die Anfangsbedingungen x = 1, y = 0, y' = 0 1 E -I

F Q 3 2 —- • x + — • x

6

2

+ C,

wobei die Integrationskonstante C^ der Bedingung 0

=

6TFT[

genügt.

(Q • 1 + 3 • F) + C j

-

1.2 Differentialgleichungen

109

2. Ordnung

Sodann folgt

= e^T •( l r

y

m i t

°

=

o d e r

v

=

x 4

l3 24 - E

I

+

T '

x

)

3

(q • 1 +

+ < v x

•

4

F

) +

C1

•

c

+

+

1

2

c

2

1 [q . X 4 + 4 . F - x 3 - 4 • l 2 • (q • 1 + 3 24 • E • I

F ) x + l 3 - (3-q l + + 8 • F)].

Die Durchbiegung f am f r e i e n Ende ergibt sich für x = 0 und q • 1 = G !3 als Betrag des Trägergewichtes zu f =

24

(3 • G + 8 • F ) .

Für einen Holzbalken der Länge 1 = 2m, rechteckigem Querschnitt der B r e i t e b = 0, 2 m und der Höhe h = 0, 25 m, sowie der Dichte

und E = 10 1 0 — m2 = 367, 875 — m

und

ergibt sich mit q = p- b h g = 37, 5-9, 81-^|- = 2

I =

y = 16 • 10" 9 und damit f »

X m cm

kg p = 750—2-

b.h3 112 '

10~3 == - ^ T *3,84

4 m

bei der

Belastun

S F = 10 4 N

+ 4 • 10 4 •

l

mj

1, 05 cm.

0

0,5

1,0

1,5

2,0

1,05

0,67

0,33

0,09

0

d s 84.

Der skalare Wert a =

der Beschleunigung a eines geradlinig dt 2

bewegten K ö r p e r s in Abhängigkeit der von ihm zurückgelegten W e g s t r e c k e d 2 -s s > 0 genüge der Gleichung — dt 2

= - A • sin( w s)

mit A > 0

und co > 0.

110

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

Man gebe die skalaren W e r t e v und a seiner Geschwindigkeit v und B e schleunigung a als Funktion der Zeit t f ü r die Anfangsbedingungen t = 0, s = 0

und

ds Mit — = v dt

R R

v = 2• /— C

und

o d s „o dt z

CO

an.

dv dv ds dv = — = —- • — = — • v dt ds dt ds

geht die v o r g e l e g t e D i f f e -

rentialgleichung in v d v = - A sin(co s ) d s über, woraus durch Integration v2 A — = — • c o s ( co S) + Ci 2 co

erhalten wird. D i e Anfangsbedingung s = 0,

v = 2- ] / — f ü h r t mit C t = — x r co co ds in v = — = dt

auf

1 /A I cj-s \ ± 2 • / — • cos —-— tu \ 2

v2 =

1 2

VÄ^

ar tanh V A - co

sin'

CO-

s

• cos2 (

)

, läßt aber

nur das positive V o r z e i c h e n zu. Noch-

m a l i g e Integration l i e f e r t ( F o r m e l 2. 22)

t =

CO

+

C

2

und wegen t = 0, s = 0 muß Cg = 0 sein

1.2 Differentialgleichungen

2. Ordnung

111

Die Umkehrung dieser in 0 < s < — streng monoton zunehmenden Funkco tion liefert

s = — • arc sin[tanh( V A • co • t)], deren zweimalige Differen-

tiation über IT

= 2 - |/—

V

schließlich a = - 2 A -

:

w

sinh( V A • co • t) cosh 2 ( v T " c ö • t)

cosMVa-u •t

erbringt. Für A = 1

und to = 4s2

t

s m V

a

gilt die Wertetabelle

4

0

0,5

1,0

1,5

2

2,5

3

4

5

0

1,98

3,84

5,51

6,93

8,10

9,05 10,41 1 1 , 2 6 . . .

4

3,88

3,55

3,09

2,59

2,12

1,70

1,06

0,65...

0 - 0 , 4 7 -0,82 - 0 , 9 8 - 0 , 9 9 - 0 , 9 0 - 0 , 7 7 - 0 , 5 1 - 0 , 3 2 . . .

ms"2 Für s = 2 TT m e r r e i c h t der Körper den Maximalwert der Verzögerung und 10 z . B . für s = — Trm dessen Hälfte.

85. Von der Erdoberfläche aus wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v Q nach oben geschossen. Man bestimme unter ausschließlicher Berücksichtigung der Erdanziehung die maximale Steighöhe H und den skalaren Wert v^ der Fluchtgeschwindigkeit. Welche Flugzeit benötigt der Körper, um eine bestimmte Steighöhe h zu e r r e i c h e n ? Mit R als Erdradius und g als Skalar der Erdbeschleunigung an der E r d oberfläche gilt nach dem Gravitationsgesetz f ü r die skalare ErdbeschleuniR2 gung g im Abstand y > R vom Erdmittelpunkt g,, = g . y

y

y

o

Der Bewegungsablauf des Körpers wird daher durch die D i f f . - G l . z w e i t e r O r d n u n g y = -g oder y = -g • R 2 1 unter der Anfangsbediny2

gung t = 0, y = R, y = v 2 • yJ

beschrieben. Beiderseitige Multiplikation mit

0 führt über 2y • Jy = -2g R 2 - - t - auf J y

2

dt

= -2g . R2. - L . & 2 y

und

112

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

• 2

bringt nach Integration y

2

1

= 2g-R • — + C^. Wegen der Anfangsbedingung

2 ^ y = R, y = v q folgt mit C-^ = v Q - 2g • R die skalare Geschwindigkeit des 2

1

o

Körpers zu v = y = \j 2g • R ' • — + v q - 2g • R

. Hieraus bekommt man

die maximale Steighöhe H für den Grenzfall y = 0 mit y = H + R aus 2 g H

"

+

R R

+ v 2 - 2g • R = 0 °

zu

H =

R • v2 ^— 2g • R - v 2 o

f a n s vn < V2g • R .

Die Fluchtgeschwindigkeit v^ wird dann erreicht, wenn H unendlich groß 2 wird, also für 2g • R - v Q = 0 oder V q = v { = V 2 g - R . Dies ist mit R = 6, 37 • 103 km

und g = 9,81 m s " 2 bei v f « 11,18 • 103 — 1 s

Aus der D i f f . - G l .

1 . Ordnung ^

der Fall.

= j/2g • R 2 . - i + v 2 - 2g- R

kann

unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung y = R, y = v Q die Flugzeit in Abhängigkeit von der Steighöhe h durch R+ h I y dy t = l — J ^ ( v 2 - 2g- R) - y 2 + 2 g - R 2 - y

ausgedrückt werden.

Für v Q > \/2g • R ergibt sich so mit den Formeln 1. 70 und 1. 69 v/(v 2 - 2g - R ) . y 2 + 2 g - R 2 - y

2

v 2 - 2g - R

\/v 2 - 2g - R J

• In | 2 • (v 2 - 2g • R) • y + 2g • R 2 + 2 • V v 2 - 2g- R '

• V(v 2 0 - 2g- R ) . y 2 + 2g- R 2 - y|

y [ v 2 • (R + h) - 2g - R • h] • (R + h) - v 0 - R v 2 - 2g - R

2

Vv 2 0 - 2g • R

3

v 2 - ( R + h) - g - R 2 - 2 g - R - h + V v 2 - 2g-R-V[v 2 - (R + h) - 2g- R- h]- (R + h) In v2-R - g-R2 + V

Q

- r V V

2

- 2g- R

1.2 Differentialgleichungen

Für v Q < V2g- R V(v2

2. Ordnung

113

und h < H bekommt man

- 2g-R) • y 2 + 2 g R 2 . y

t = v

o "

2

g

R

(v 2 - 2g R) • y + g . R 2 n i R + h

g •R

arc sin

V2g-R - y'i

3

g- R

V [ v 2 - (R + h) - 2g-R-h] • (R + h) v

o ~

v

- a r c sin

g•R r

g• R V2g-R - v 2

2

- VQ• R

v^- (R + h) - g - R 2 - 2g- R- h

a r c sin 3

g- R

o " g"Rl g- R

Im Grenzfall v_ = V2g • R i s t K+ n V2" • ( v ^ R T T 3 - VR t = — i \ / y dy = R " V2g J 3R • Vg"

3

).

86. Ein Körper mit der Masse m schwinge um eine waagrechte Achse im Abstand 1 von seinem Schwerpunkt S. Dann kann dieser Bewegungsvorgang durch die skalare Gleichung J • a = M erfaßt werden, wobei J das T r ä g heitsmoment, a die Winkelbeschleunigung und M das Drehmoment bezüglich der Drehachse bedeuten. Wie groß ist die Schwingungsdauer T dieses physikalischen Pendels bei Vernachlässigung jeglicher Dämpfung? Bezeichnet man mit Jg das Trägheitsmoment in bezug auf die zur Drehachse parallele Achse durch den Schwerpunkt und g als Skalar der Erdbeschleunigung, so genügt der Auslenkungswinkel \p der Diff. -Gl. / 2* d ^ (Jg + m 1 ) =-m g l • sinip , die mit der Abkürzung dt 2 m-g-1 Jg + m-1 2

= k > 0 in

o dip dt 2

= -k • sirnp übergeht.

114

1. Gewöhnliche

Zu deren Lösung kann

Differentialgleichungen

dV

= w mit cj als

skalarem Wert der Winkelgeschwindigkeit gesetzt werden, wodurch dco dco d n -H1 Ug

/y \ ,

k m die Konstanten C

kx

m •

und tf> in

x a = C- e

vVkr

2 m

2 m

den Gleichungen 0 = C • sini£

0 =

c 2 m

genügen.

o't

cos7

zur Zeit t = 0 mit x a = 0 und

(-l)k -0,047 -0,351 k m mit kGIN0, x

aho

x

ap

Ä>0 047 m

'

'

x

ahl * -0,016 m,

x a h 2 ~ 0,006 m,

x a h 3 « -0, 002 m.

a» 0, 035 • sin / 3 • — - 2, 709 ) m; \ s

Nullstellen:

3-— - 2,709 = k-7r oder tKv » 0,903 s + 1, 047 • k s. s

E x t r e m w e r t e : 3-

t s

TT

2, 709 = — + k- 7r oder tKt « 1, 427 s + 1, 047-k s: 2

x a p k » 0,035- (-l) k m

mit kl • s 2 )- (-0, 8 • w 0 - s 2 ) + 0,32 • der R e s o n a n z f r e q u e n z Resonanzamplitude

wor = ^ ^

ap0

. • e J7

Xeo

(Ortskurve)

*

1,414 s " 1

erbringt mit die

x„„ =4- m « 0 , 1 6 7 m . a Pr 6

Die F r e q u e n z g a n g d a r s t e l l u n g x

s

s2]

1 - 0,4 • u 2 . s = (1 - 0, 4 • w 2 . s 2 ) 2

genügt der Gleichung 2

3

- 0 , 4 - co 0 - s - j — = u + j v. + (0,4 • w 0 • s) 2

126

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

2,5

3

4

oo

0

0,25

0,5

1

1,25

1,5

u

1

1,01

1,06

1,15

0,96

0,27 -0,42 -0,6 -0,46 -0,32 -0,17 0

V

0 -0,10 -0,24 -0,77 -1,28 -1,62 -1, 29 -0,8 -0,31 -0,15 -0,05 0

90.

1,75

2

WQS

In der vorherigen Aufgabe sei mit c 2 = 4k m der

aperiodische

G r e n z f a l l gegeben. Man bestimme mittels der L A P L A C E - T r a n s f o r m a t i o n den Bewegungsverlauf des Punktes A in Abhängigkeit von der Zeit t für die Anfangsbedingungen t = 0, x_ = 0, —— = 0. A dt Mit den Transformierten L|x a (t)] = X a ( s ) , L[xa(t)]

L[x a (t)] = X a ( s ) • s,

= X a ( s ) • s 2 für die gegebenen Anfangsbedingungen und w0

L[sin( co 0 • t)] =

(Vgl. hierzu Nr. 73) geht die jetzt vorlies2

+

o;2

gende Diff. -Gl.

ka +

^

xa +

i ^ )

2

'xa = ( ¿ f

' xeo •

t)

mit X a = X a ( s )

und x a = x (t) in X a • s 2 + — • X_ • s + (

2 , „ >2 ) • X„ = ( ] • xon 2m / " a \ 2m / " e o

C \2 Xa

OJO

s

2

+

,w, 2 'o

1 'Wo'Xeo

-¿-J ( s 2 +

"o)-

(

s

+

2 ^

Über

'

oder

1.2 Differentialgleichungen

Durch P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g

in

A s+B

+

X

a -

u

2m

x

o'

eo"

s

2

C s + D c \2 s + «2m

co2

+

127

2. Ordnung

mit A = -C und

4m 2 • (c 2 - 4m 2 • w 2 )

16 • m J . c (c 2 + 4m 2 • co 2 ) 2

. B =

(c 2 + 4m 2 • w 2 ) 2

4m 2 • (3c 2 + 4m 2 • co 2 )

D = (c 2 + 4m 2 • co 2 ) 2 ergibt sich eine f ü r die Rücktransformation tabellengerechte Darstellung, aus der ,2 A • coQ • cos( co 0 • t) + B • sin( co 0 - t) +

+

C

f1 " ¿

'

"e

0

2m

+ D-fcvt-e

2m

folgt.

Dieses Ergebnis läßt sich noch über c 2 • x„ eo . [(c 2 - 4m 2 • co 2 ) • sin( coQ • t) 2 2 2 2 (c + 4m • c o ) 4 m . cJ - C 0 0 . x e 0 - 4m- c • co Q • cos( co

0

• t)] +

e

- —— • t 2m +

(c 2 + 4m 2 • c o 2 ) 2

t • e 2m c 4m (c

2

2

+ 4m c3.

2

W o

+ 4m

2

• co .x

2

_JL.t

e o 2 2

• co )

co0-xeo c

2

2

+ 4m • co

c 2 • x eo j2 C2 + 4m z • co c mit 7 = a r c cot

s i n (

- 4m

« v

1

- y>

• co ^

4m • c • co

umformen.

• t • e 2m 2

128

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

iL = _ 11 s" „-22 , also „lor, — iL _=92 os und /.,wu n _=Q3 o-l Mit den Werten — = 2 s , — s" 1 , m m k x e o = 0,10 m wird a x

0, 006 • e

1 s

-1 m + 0,03 • t - e s . — + 0, 01 • sin (3 • — - 2, 498 ) m.

ah = 0,006- e " s • (l + 5 - i Im.

Nullstelle:

t = -0,2 s;

Extremwert:

t = 0,8 s,

x a p = 0,01- sin (3

x ah « 0, 0135 m.

- 2,498] m.

Nullstellen:

t ^ as 0, 833 s + 1, 047 • k s

für kGNQ;

Extremwerte:

t"ak ss 0, 309 s + 1, 047 • k s

fürkSISf 0 ,

x„n = 0,01 m.

1.2 Differentialgleichungen

t s

0

0, 5

2.

129

Ordnung

2

2, 5

3

3,5

4

4,5

5

8,9

6,6

4,8

3,4

2,3

1,6

1,1 . . .

9,1

-3,5

-9,6

2,2

9,9

-0,8

4 , 3 18,0 20,5

5,4

-3,0

7,0 13,3

1,5

1

1,5

x

ah mm X

6

ap

-8,4

-6

mm x

12, 7 13,2 11,4

a

0

mm

4,8

Für die Frequenzabhängigkeit von Amplitude x a p die Beziehungen

1

0,1 m a Po ~ . 2 1+ w 0 - s z2 0,5

1

1,5

2

80,0

50,0

30,8

20,0

0+

co 0 - s

und 7 = a r c cot

-10,0 -0,6 . . . -8,4

0,5 . . .

und Phasenwinkel y gelten

- »l-*2

2-w0 • s

2, 5

3

3,5

4

10,0

7,5

5,9

2,58

2,65

X

ap 0 100,0 mm 7

0

0,93

4,5

5

4,7

3,8

2,70

2,75

1,57

13,8

2, 21

1,97

2,38

2, 50

91. In einem elektrischen Schwingungskreis sind ein Ohmscher Widerstand R, eine Spule mit der Induktivität L und ein Kondensator mit der Kapazität C in Reihe geschaltet. Man gebe die zeitliche Abhängigkeit der Stromstärke i an, wenn im Zeitpunkt t = 0 bei einer Kondensatorspannung Uq = -Uq der Stromkreis geschlossen wird. Für die vorgelegte Schaltung gilt U

R

+

U

L

+

U

C

=

u

r

=

R'

1

un

d

U

L

=

k ' dt

di

Spannungs-

130

1. Gewöhnliche

Differentialgleichungen

abfalle am Ohmschen Widerstand und der Spule sind, während die Kondensatorspannung der Gleichung du. i

dt

genügt.

F ü h r t man in du,-, du du R L C + - T — + -TT— = 0 dt dt dt die Spannungen als Funktionen der Stromstärke ein, so ergibt sich die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung d2i

R

di

1

Die zugeordnete c h a r a k t e r i s t i s c h e

u

2

+

H T '

0

L-C

hat die Lösungen

-R - C ± \/(R • C) 2 - 4 • L • C 2-L-C

'1:2 R =

1 U +

2

Gleichung

und erbringt, je nachdem ob

j / c > d i e allgemeine Lösung der Diff. -Gl. zu

-R-C + V f o - C ) 2 - 4 - L - C 2-L-C

i = Ki • e

+ K2 - e

Kj- e

-R-C - V'(R-C) 2 - 4 - L - C 2-LC

2-L

+ K2• e

2

• sinh

'L

V(R- C) 2 - 4 - L - C 2 - L C

• cosh

im a p e r i o d i s c h e n

Fall,

\/(R • C) 2 - 4 - L - C 2-L C

'

'

1.2 Differentialgleichungen

R

•t

1 = ^ - 6

i = K2 • e +

z

131

R • t T + K2 • t • e l

im a p e r i o d i s c h e n R T T "

2. Ordnung

Grenzfall

und

V 4 - L - C - (R • C) 2 •t 2-L-C

1

sin

L

K 2 - e - F2 -TL" - , c_o s_ ^[ vV »T- ! ^ R 1

R = K • e" F L im p e r i o d i s c h e n bedeuten.

(R-C)

t

VA - L - c - (R • e r • t +