Il continuo. Indagini critiche sui fondamenti dell'analisi 8870880125, 9788870880120

Table of contents :
Copertina
Indice
Prefazione
Prefazione alla ristampa
CAPITOLO I - INSIEMI E FUNZIONI - Analisi della formazione dei concetti in matematica
Parte logica
1. Proprietà, relazioni, esistenza.
2. I principi della combinazione dei giudizi.
3. Il ragionamento logico. Il metodo assiomatico.
Parte matematica
4. Insiemi
5. I numeri naturali. L'antinomia di Richard.
6. L'iterazione del processo matematico. Il circolo
vizioso dell'Analisi.
7. I principi di sostituzione e di iterazione.
8. Formulazione definitiva dei fondamenti. Introduzione di elementi ideali.
CAPITOLO II - IL CONCETTO DI NUMERO E IL CONTINUO - Fondamenti del calcolo infinitesimale
1. Numeri naturali e numeri cardinali
2. Frazioni e numeri razionali
3. I numeri reali
4. Successioni di numeri. Principio di convergenza
5. Funzioni continue
6. Il continuo della nostra intuizione e il continuo matematico
7. Grandezze. Misure
8. Curve e superfici
Note del traduttore
Indice Analitico

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HERMANN WEYL

IL CONTINUO Indagini critiche sui fondamenti dell'Analisi

BlBLIOPOLIS

Titolo originale: Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen ilber

die Grundlagen der Analysis Traduzione di Anna Barbara Veit Riccioli

Proprietà letteraria riservata

Copy right © 1932 by Copyright © lm7 by

«

«

Walter de Gruy ter & Co.

»,

Berlin

Bibliopoli s - e dizioni di filosofia e scienze spa

Napol i , via Arangio Ruiz 83

li

INDICE

9

Pr efazione

13

Pr ef azione alla ristampa

CAPITOLO I

Insiemi e funzioni. Analisi della formazione dei concetti in matematica

15

Par te logica 1. Propr ietà, r elazioni, e sisten za

17

2. I pr incipi della com binazione dei giudizi

23

3. I l ragionamento logico. Il m etodo assiom atico

30

Parte m atem atica 4. I nsiemi

39

5. I num eri naturali. L'antinom ia di Richar d

47

6. L'iterazione del pr ocesso m atem atico. I l cir colo vi­ 52

zioso dell'Analisi

63

7. I pr inc ipi di sostitu zione e di iter azione 8. Form ulazione

definitiv a

zione di elementi ideali

dei

fondam enti.

I ntr odu· 70

8

IL CONTINUO

CAPITOLO II

Il concetto di numero e il continuo. Fondamenti del calcolo infinitesimale

85

1. Num eri naturali e numeri cardinali

87

2. F razioni e numeri razionali

97

3. I numeri reali

108

4. Successioni di numeri. Principio di convergenza

1 19

5. F unzioni continue

127

6. Il continuo della nostra intuizione e il continuo matematico

136

7. Grandezze. Misure

151

8. Curve e superfici

158

Note del traduttore

169

Indice analitico

183

PREFAZIONE

Con questo saggio non ci proponiamo di erigert.:, .!lello. spirito del formalismo, intorno alla « roccia so­ lida » sull(l qU:(ll�.�.t9.!!4.�.(o. Jt:.4ifi.c;io._4:e.ll'Jlnalf��L'11J-(l _bella impalcatur.a. . tore - e in fondo noi stessi -:- di aver.così gettato. )e vere fondamenta. Sosteniamo qui !11:y'�ce l'opinione phe una parte essenziale di quest' edificio � .cCJ.struitll: .sulla sabbia. Credo di poter sostituireqti.est() ter:r�rz.g _mobile con sostegni di cui ci possiamo fidare; questi .non reggeranno però tutto ciò che oggi si ritiene per _�icuro; sacrificherò il resto non vedendo altra solu.­ ��9.. n e. Le mie considerazioni sono centrate sul problema concettuale che ci pone il continuo - problema che. meriterebbe di portare il nome di Pitagora - e che cercheremo di risolvere nell' ambito della teoria arit­ metica dei numeri irrazionali. Le idee fondamentali vengono sviluppate nel capitolo I al quale ho voluto dare un taglio che lo rendesse autosufficiente. Con l'aiuto dei principi esposti nel primo capitolo, si af-

IL CONTINUO

lO

fronta poi nel secondo capitolo la costruzione siste­ matica dell'Analisi di cui si svolgono i primi elementi. Non si poteva fare a meno di ripetere nella seconda parte alcune cose già dette - anche se in veste di­ versa; lo abbiamo fatto nel modo più conciso pos­ sibile, senza compromettere tuttavia il carattere auto­ nomo del quadro tracciato. Vorrei infatti essere ca­ pito non solo sulle cattedre, ma da tutti gli studenti che hanno preso conoscenza della rigorosa fondazione dell'Analisi che oggi si insegna. Non è ancora venuto il giorno in cui un autore imo pegnato nella ricerca sui fondamenti possa proseguire la costruzione sulla base dei risultati altrui. Non è quindi neanche opportuno interrompere l'esposizione sistematica delle proprie idee con riferimenti e di­ scussioni sulla posizione che altri ricercatori hanno assunto a questo proposito; ho quindi preferito par­ larne solo brevemente nelle osservazioni finali del primo capitolo. A-1'lche se gli obiettivi di questo saggio sono pre: y'�!�_ n tt:11'lente di natura matematica, non ho evitato i. .1!LC?l?lf!: mi filosofici, e non ho cercato di sbarazzarmene usando quella rozza e superficiale mistura di sensismo e di formalismo che - combattuta con lodevole chiarezza da Frege nei suoi Grundgesetze der Arithme­ tik l - gode ancora di grande prestigio tra i matema� tici. Per quanto concerne la parte gnoseologica della logica, mi trovo d'accordo con le concezioni sulle quali si fonda Husserl nelle Logische Untersuchungen 2; per una esposizione approfondita, che assegna ai fenomeni

_

._

.

PREFAZIONE

11

logici il loro specifico posto inserendoli nel quadro di una filosofia complessiva, rinvio anche alle Ideen zu einer reinen Phanomenologie und phanomenologischen Philosophie 3 di Busserl. Le nostre considerazioni sul

problema del continuo contribuiscono a chiarire quel problema della teoria della conoscenza che tratta dei l"apporti tra i dati immediati (intuitivi) e i concetti formali (della sfera matematica), attraverso i quali, in geometria e in fisica, cerchiamo di ricostruire i dati stessi. HERMANN WEYL

Zurigo, novembre 1917

PREFAZIONE ALLA RISTAMPA

Dalla pubblicazione di questo volumetto, la ricerca sui fondamenti si è sviluppata secondo due filoni co­ munemente indicati come « intuizionismo » e « forma­ lismo », andando così al di là del punto di vista qui adottato - che mi pare comunque tuttora un punto naturale di passaggio. Ma anche questo modo di get­ tare le fondamenta più in profondità non ha finora portato ad un risultato finale che fosse in qualche misura soddisfacente e sostenibile; i lavori sono sem­ pre in corso. Non sembra neanche da escludere che la frontiera da noi tracciata nelle pagine che seguono - applica­ zione dei concetti di esistenza e universalità senza re­ strizioni finché si tratta di numeri naturali, non così però per le successioni di numeri naturali - possa di nuovo assumere un'importanza fondamentale. Per sod­ disfare la richiesta tuttora persistente, e poiché senza una ristrutturazione radicale non sarebbe stato possi­ bile accordare il contenuto di questo scritto alle mie

14

IL CONTINUO

convinzioni attuali, si è proceduto ad una semplice ristampa. Il lettore potrà trovare una illustrazione riassuntiva della forma sistematica che dovrebbe assumere l'edi­ ficio dell'Analisi secondo il punto di vista qui esposto, nel mio articolo Der circulus vitiosus in der heutigen Begrlindung der Analysis 4. Gottinga, giugno 1932.

CAPITOLO I

INSIEMI E FUNZIONI Analisi della formazione dei concetti in matematica

PARTE LOGICA

§ 1. Proprietà, relazioni, esistenza. _yn giudizios afferma uno stato di cose; se questo stato di cose sussiste, il giudizio è vero, altrimenti il giudizio è falso. Una categoria particolarmente impor­ tante di giudizi - spesso, i logici hanno preso in con­ siderazione soltanto questa categoria nonostante non fosse affatto onnicomprensiva - è costituita dai gi u­

dizi predicativi: in essi si afferma che un certo og­ getto possiede una certa proprietà. Il seguente giu­ dizio potrà servire da esempio: « Questa foglia ( che mi è data in un presente atto di percezione) ha questo determinato color verde ( datomi in questa stessa per­ cezione»). Una proprietà si riferisce sempre ad una certa categoria di oggetti, di modo che la proposizione : «

a possiede quella proprietà » ha senso, esprime cioè

un giudizio e afferma pertanto uno stato di cose, solo se a è un oggetto di quella categoria. Così, la proprietà « verde » si riferisce ad oggetti visibili; una proposi­ .zione secondo la quale, per esempio, un valore et ico è verde, non è né vera né falsa, ma semplicemente priva

18

IL CONTINUO

di senso. Solo ad una proposizione dotata di senso cor­ risponde un giudizio, solo ad un giudizio vero corri­ sponde uno stato di cose; uno stato di cose infine sus­

siste, semplicemente 6 . Le proposizioni prive di senso

29§sono forse comparire solo nel pensiero linguistic9, _�ai nel pensiero oggettuale.7 ; ad ogni modo, il lin­ guaggio presenta un grande pericolo quando ammette anche combinazioni prive di senso di simboli (parole), che rappresentano le componenti di un giudizio; . e si noti che queste combinazioni hanno, dal punto di vista

grammaticale formale, lo stesso aspetto delle configu­ razioni linguistiche che rappresentano un vero giudizio. Anche quando dalla struttura « grammaticale » di una proposizione non è ancora desumibile che essa sia priva di senso (come accade nel caso di una proposi­ zione quale : « L'oggetto a possiede la proprietà P » ), non possiamo dire che essa è con ciò dotata di senso - cosÌ come non è detto che un giudizio che non è

contraddittorio logicamente (nel senso che venga ri­ conosciuto come falso indipendentemente dal suo con­ tenuto materiale, unicamente in base alla sua struttura « logica » ; cfr. paragrafo 3 ), debba essere per ciò stesso vero. Ma quando la proposizione: « a possiede la pro­ prietà P » esprime un giudizio, allora vale la stessa cosa per la sua negazione « a non possiede la pro­ prietà P », e la logica formale ha perfettamente ragione quando afferma che, di questi due giudizj, uno è sem­ pre vero, e l'altro è sempre falso. Le proposizioni che contengono un giudizio predi­ cativo (e del resto soltanto queste) hanno la ben nota

INSIEMI E FUNZIONI

19

struttura soggetto-copula-predicato. In quali assurdità inestricabili si possa però cadere quando si trascura l'eventualità che una proposizione con questa struttura sia priva di senso, lo si potrà arguire dal noto « para­ dosso » che qui riportiamo e che risale in sostanza a Russell. Diremo che un aggettivo è autologico, se pos­ siede la proprietà che esprime, e diremo che esso è invece eterologico se non possiede tale proprietà. Ad esempio, la parola « corto » è corta, e quindi autolo­ gica (una parola di sole cinque lettere è da conside­ rarsi senz'altro corta nella lingua italiana *), mentre la parola « lungo » non è lunga ed è quindi etero logica. Ora, come stanno le cose per la parola « eterologico » ? Se questa parola è autologica, allora possiede la pro­ prietà che esprime ed è quindi eterologica; se invece è eterologica, non possiede tale proprietà ed è quindi autologica. Il formalismo si trova qui di fronte ad una contraddizione senza via di uscita; in realtà si tratta però di scolastica . d�llapf!ggic�.r.� timo di riflessione è sufficiente per vedere che non è proprio possibile dare un senso alla domanda se la parola logica. natura prietà;

« eterologico » è essa stessa etero logica o auto­ - Non possiamo qui chiarire fino in fondo la dei concetti stato di cose, giudizio, oggetto, pro­ questo compito ci condurrebbe nel profondo

* Il fatto che la m aggior parte dei concetti sono inesatti ( e ciò per la loro natura, senza che si debba ravv isare in ciò un dife tto), che la loro estensione è fl uttuante , questo fatto vien e volentieri ign orato dalla l og ica formale. Cfr. HUSSERL, Ideen, op. ciI., pp. 136 sg. In m atematica abbia mo a che fare soltanto con enti esalt i.

20

IL CONTINUO

della metafisica; in questa materia dobbiamo chiedere consiglio a uomini che non si possono menzionare da­ vanti ai matematici senza provocare un sorriso di compassione - Fichte ad esempio. Unitamente ai giudizi predicativi sono per noi im­ portanti i giudizi relazionali. Esempi : quel signore è un mio zio; il punto A sta tra B e C; il numero 5 succede a 4. Le osservazioni da fare a questo pro­ posito sono simili a quelle fatte per le proposizioni predicative. La relazione che interviene nell'ultimo esempio citato, corrisponde allo schema di giudizio « x succede a y » che contiene le « indeterminate » x e y. Da questo schema si ottiene un giudizio determi­ nato, se sostituiamo alle indeterminate due numeri qualsiasi; così diremo, per esempio, che tale giudizio è vero « per » X = S, Y = 4. Ogni indeterminata, ogni

«posto vuotO » dello schema di giudizio, si riferisce ad una ben determinata categoria di oggetti (nel no­ stro esempio alla categoria « numero » ) : solo inse­ rendo un oggetto di questa categoria, si ottiene una proposizione dotata di senso a partire dal nostro schema di giudizio; poi ci potremo chiedere se questa proposizione è vera o no. Per semplificare le cose, con­ sidero qui soltanto quelle relazioni per le quali i posti vuoti del corrispondente schema di giudizio si rife­ riscono tutti ad una stessa categoria di oggetti. Tengo a sottolineare il fatto che, contrariamente a quanto suggerisce l'usuale modo di esprimersi in matematica, le proposizioni « 5 succede a 4 » e « 4 precede 5 » espri­ mono la stessa e identica relazione tra 4 e S, e non

INSIEMI E FUNZIONI

21

.si tratta affatto di due relazioni diverse, una « inversa » dell'altra, Lo schema di giudizio corrispondente con­ tiene due posti vuoti (che naturalmente non sono « equiparati » ); se fisso per essi l 'uno o l'altro ordine - e la codificazione linguistica mi costriI?-ge .� fissare 1:1n. jale ordine - ottengo le due formulazioni sopra men­ .zionate; ma lo stato di cose relazi9nale è eyiq�!1��m�J}le .del tutto indipendente da un simile ord�ne *.' Sia « immediatamente data)} (messa in evidenza dal­ !'intuizione) una certa categoria di oggetti ( ad esem­ pio « punto dello spazio » ), e si supponga che, per gli oggetti di questa categoria ( solo di essi parleremo nel seguito), si siano messe in evidenza certe proprietà e relazioni (R) che si riferiscano ( con tutti i posti vuoti dei loro schemi di giudizio) alla categoria di oggetti in questione (ad esempio la relazione « giace tra » ), Accanto ai giudizi predicativi e relazionali - in parte veri, in parte falsi - che si ottengono inserendo negli �chemi di giudizio associati alle singole (R) un qual­ siasi oggetto immediatamente dato della categoria in

* U sando simboli che non siano parole, non ci sarebbe bisogno di ordinare i posti vuoti in questo modo. Si immagini, per esempio, di rappresentare lo schema di giudizio di una relazione tramite una tavola di legno munita di piuoli corrispondenti ai posti vuoti, e di associare agli oggetti delle palline forate e he si possano infilare sopra i piuoli (effettuando cosi il « riempimento» dei posti vuoti). Questo simbolismo è « in sé» altrettanto utilizzabile quant o le pa· role 8. Possiamo annoverare le proprietà tra le relazioni (considl'ran· dole cioè come relazioni corrispondenti a schemi di giudizio con un solo posto vuoto), proprio così come consideritlmo I nUlle IIn numero (contrariamcntc all 'usanza dei Greci).

22

IL CONTINUO

questione, sono di massima importanza in matema­ tica i giudizi esistenziali. Il concetto di esistenza è so­ vraccarico di enigmi metafisici. Qui basterà quanto segue. Se P (x), P' (x), R (x y) sono, per esempio, alcuni degli schemi di giudizio (R) (x, y indicano posti vuoti) e se a è un singolo oggetto dato, allora proposizioni come : «Esiste un oggetto ( della nostra categoria), per il quale si avvera sia P (x) che P' (x) (che possiede sia la proprietà P che la proprietà P') »; « Esistono oggetti x che stanno con a nella relazione R (x a) » hanno senso, affermano cioè un ben determinato stato di cose ( esi­ stenziale) - a proposito del quale ci si chiede ap­ punto se sussiste o no *. In questo senso intendiamo la premessa secondo la quale le specificazioni de(l'es­

sere categoriale in questione debbon()_cc;>stituire Ull si­ stema chiuso di oggetti determinati, esistenti in.sé9•

-

Le nostre considerazioni potranno venir facilmente estese a situazioni più complesse, dove ci si basa in partenza non su una, ma su più categorie ben deter­ minate di oggetti (come, ad esempio, nella geometria di Euclide : punto, retta, piano).

* S e n oi siamo i n grado o no di rispondere a questa domanda usando certi strumenti, non ha naturalmente importanza.

§ 2. I principi della combinazione dei giudizi. Diremo che gli schemi di giudizio (o anche breve­ mente i giudizi, dando così per il momento alla parola giudizio » un senso più esteso di quello finora dato) che corrispondono alle singole proprietà e relazioni «

immediatamente date, sono semplici o originari. Ag­ giungiamo ad essi ancora l'identità ] (x y) (x è « iden­ tico » a y, x = y). Possiamo derivare degli schemi com­ posti di giudizio da quelli semplici secondo i seguenti principi *. ( 1 ). Dallo schema di giudizio G si deriva la sua ne­

gazione G. Se, per esempio, G (x y) significa: « x suc­ cede a y », allora G (x y) significa: « x non succede a y » .

(2). In uno schema d i giudizio con più d i u n posto vuoto, alcuni di questi posti vuoti possono venir iden­ tificati tra loro, e si ottiene così un nuovo schema di giudizio; per esempio, dallo schema di giudizio reI a­ zionale N (x y): « x è nipote di y », si ottiene N ( x x) : «

è nipote di se stesso ».

X

*

Ci riferil"l·mo ncl seguito a questi principi indicanùo Ira pa­

rentesi i numcd corrispondenti.

24

IL CONTINUO

(3). Due giudizi possono venir composti tramite la parola «e ». - Esempi. R (x): «x è rosso », S (x): «x ha forma sferica » ; indicheremo il giudizio com­ posto : «x è rosso e ha forma sferica » con R (x) · S (x). p (x y) : «x è il padre di y », N (x y): «x è il nipote di y » ; il giudizio composto : «x è padre di y e y è nipote di z », che esprime una relazione fra tre persone x, y, z, si dovrà indicare con P (x y) N (y z). Così, da due giudizi P e N, con una parziale identificazione dei •

posti vuoti dell'uno con quelli dell'altro e effettuando poi la composizione tramite « e », si ottiene un nuovo giudizio composto. Per esprimere nel nostro simbo1ismo come vengono identificati i posti vuoti dei due giudizi iniziali, si può procedere come nel nostro esem­ pio indicando i posti tra loro identificati con una me­ desima lettera. Mediante una composizione di due giu­ dizi tramite «e », si possono generalmente produrre non un solo ma svariati nuovi giudizi, identificando successivamente nessuno, qualcuno o tutti i posti vuoti dell'uno con quelli dell'altro. Naturalmente, è anche possibile combinare un giudizio con se stesso tramite

« e », come, per esempio, in N (y x) N (y x): « x è ni­ pote di y e nello stesso tempo y è nipote di x ». •

(4) . Accanto alla composizione tramite «e », ab­ biamo la composizione tramite « o », per la quale use­ remo il simbolo + . Esempi : R (x) + S (x): «x è rosso o ha forma sferica », p (x y) + N (y z) : « x è padre di y oppure y è nipote di z », N (x y) + N (yx): « x è ni­ pote di y oppure y è nipote di x », «x è nipote oppure

INSIEMI E FUNZIONI

25

zio di y ». - Anche in questa composizione occorre precisare in che modo i singoli posti vuoti di uno dei giudizi vengono identificati con quelli dell'altro. (5) . Se, per esempio, G (x y z) è un giudizio con tre

posti vuoti, e a è un oggetto dato della nostra cate­ goria, allora il giudizio G (x y a) che si ottiene per t.iem� .p.!1J'lento� contiene due posti vuoti. - In particolare, riempendo tutti i posti vuoti di uno schema di giu­ dizio con certi oggetti dati della nostra categoria, si ottiene un giudizio saturatq, �enz!'l posti vuoti, �n gh.!-­ .dizio in senso proprio, che afferma uno stato di cose: (6). Sia G (x y z) di nuovo un giudizio che abbia, per fissare le idee, tre posti vuoti. Si formi G (x y *) = = G' (x y); ciò significa: « esiste un oggetto Z ( della nostra categoria) tale che la relazione G (x y z) sussiste; analogamente, G (* y *) significa� « esistono un og­ getto x e un oggetto Z tali che valga G (x y z) ». - Anche con l'applicazione di questo principio, il numero dei posti vuoti di uno schema di giudizio decresce; se non rimane nessun posto vuoto, anche qui si ottiene un giu­ dizio in senso proprio, del quale ci si chiederà poi se è vero o no. Esempio : P (x y) : « X è padre di y »; p (io, y): « io sono il padre di y »; P (io, *): « esiste un essere umano di cui io sono il padre », « sono padre ». A proposito dei principi ( 5 ) e (6), si noti che, per esempio, da G (x y) H (x y) = K (x y) segue, se a sta per un certo oggetto, G (x a) H (x a) = K (x a), ma non segue invece G (x *) . H (x *) = K (x 7Y--), ben•

•

26

IL CONTINUO

G (x y) H (x z) (x *) G(x*) · H =L (x * *) 10.

SÌ, introducendo

•

= L (x Y -

I

z), avremo principi (3) e

(4) sono riconducibili l'uno all'altro servendosi della negazione ( 1 ) (cfr. paragrafo 3) . L'applicazione di questi principi ( 1 ) (6) conduce dagli schemi semplici a nuovi schemi di giudizio. Questi stessi principi possono poi venir applicati di nuovo -

tanto ai nuovi schemi che a quelli originari; otterremo cosÌ ancora nuovi schemi di giudizio. E cosÌ via ri­ petendo e combinando quante volte si vuole. In questa jnfinità di schemi di giudizio cosÌ ottenuti, distinguia­ mo quelli con un posto vuoto, che corrispondono a

proprietà derivate; quelli con due o più posti vuoti corrispondono a relazioni derivate. Quegli schemi di giudizio infine che non contengono alcun posto vuoto, che sono quindi giudizi in senso proprio e che affer­ mano pertanto uno stato di cose * , li chiameremo i

giudizi specifici della nostra disciplina. Se sapessimo di ognuno di questi giudizi specifici se è vero o no, avremmo una perfetta conoscenza degli oggetti della categoria di base per quanto riguarda le proprietà e relazioni immediatamente individuabili che costituivano il nostro punto di partenza. I nostri prin­ cipi fissano la funzione logica dei concetti « non

»,

* Questi schemi d i giudizio completamente saturati sono, di per sé, soltanto proposizioni; dicendo ch e tutte queste proposi­ z ioni sono dotate d i senso, che esse esprimono un giudizio, si dà una formulaz ione precisa dell'ipotesi menzionata alla fine del pa­ ragrafo 1, dove si parlava di un « sistema ch iuso di oggetti esi­ stenti in sé ».

INSIEMI

«

e »,

«

B

FUNZIONI

27

o » e del concetto di esistenza in modo pre­

ciso. Non è possibile in nessun modo suddividere i giudizi specifici di una disciplina data secondo la loro

forma logica in giudizi predicativi, relazionali, esisten­ ziali, o in giudizi affermativi e negativi, o in una qua­ lunque delle tradizionali suddivisioni. Al contrario, un tale giudizio possiede generalmente una struttura logica molto complessa, e l'unico modo per descrivere questa struttura consiste nell'indicare in quale modo, ordine e combinazione sono stati applicati i nostri sei prin­ dpi per generare quel giudizio a partire dagli schemi di giudizio semplici che stanno alla base della disci­ plina. Siamo qui infinitamente lontani dalla vecchia dottrina che vuole che una proposizione è sempre com­ posta da soggetto, copula e predicato. Consideriamo ora alcuni esempi di una applicazione combinata dei principi indicati. Premettiamo che, per ottenere il « per ogni » che esprime la generalità, dob­ biamo combinare i principi ( 1) e (6) (negazione e « esi­ ste » ). gnifica:

«

Ogni oggetto possiede la tal proprietà » si­ «

Non esiste alcun oggetto che non possegga

la proprietà in questione ». Nella matematica incon­ triamo spesso giudizi della seguente forma [G (x y) stia per lo schema di giudizio di una relazione con due posti vuoti, x e y] : « Per ogni x esiste un y tale che sussiste G (x y) ». Con G (x y) formiamo G (x * ) =

A (x); poi la negazione A (x) = B (x), e con questa B (*) e la sua negazione B (*) [da non confondere con B (*), cioè A ( *)!] : questa è l'affermazione di =

prima (naturalmente, non vi sono più posti vuoti ) Il.

IL CONTINUO

28

Esempio A. Dominio di oggetti : punti della geo­ metria piana. E (x y z) stia per: x e y sono equidistanti da z. Definizione : x y z sono collocati su una retta ovvero sussiste la relazione R (x y z) - se esistono due punti distinti p e q tali che p e q sono equidistanti sia da x, che da y e da z 12. In applicazione dei prin­ cipi ( 1 ) e (3) , e servendoci dell'identità l, dobbiamo

E (p q z ) J (p q) = formare : E (p q x) E (p q y) = F (x Y z p q); avremo allora F (x y z * *) = R (x Y z). •

•

•

Esempio B. Dominio di oggetti : i numeri reali. f (x) sia una funzione dell'argomento reale x. Vogliamo ana­ lizzare il giudizio : « f è uniformemente continua ». Se­ condo l'usuale definizione, ciò significa: per ogni nu­ mero positivo

E,

esiste un numero positivo O, tale che,

per due numeri x e y qualsiasi che soddisfano la disu­ guaglianza I x - y I < O, vale sempre anche la disu­ guaglianza I f (x) - f (y) I < E. A (x Y E) stia per la relazione I x - y I < E, F (x Y E) stia per la relazione I f (x) - f (y) I < p ( E) stia per : E è positivo.

E,

Formiamo dapprima, per mezzo di (1) e (3),

A (x y o) li (x Y E) •

=

B (x Y E o),

e con questo

� (* *

E

o) = C ( E o) e la sua negazione C ( E o) ;

formiamo poi

INSIEMI E FUNZIONI

29

con la negazione di quest'ultimo formiamo : R (e ) •

P (e)

=

S ( e) , e poi il giudizio saturato U

=

•

S (*).

« f è uniformemente continua » significa: la negazione

fJ di quest'ultimo giudizio è vera 1 3 .

Esempio C. Confrontiamo l'esempio precedente con la definizione della proposizione : « f è continua per ogni valore del suo argomento » . Formiamo

B (x y e 8 ) come sopra ; poi B (x * e 8) =

C (x e 8) e la sua negazione è (x e 8);

definendo

c (x e 8 ) P (8) •

=

Q

(x e 8 ) e Q (x e *)

= R

(x e) ,

otteniamo da

R (x e ) P (e) •

=

S (x e) il giudizio S (* *) =

V.

La negazione V di V è la nostra affermazione 14 . Il simbolismo da noi adottato è pesante, come mo­ strano gli esempi; ma questo fatto è per noi del tutto irrilevante. Invece lo stesso fatto di aver fornito l'elen­ co dei principi definitori ( sempre che non andiamo er­ rati nel ritenerlo completo) è di massima importanza per la logica IS.

§ 3. Il ragionamento logico. Il metodo assiomatico. Diremo che un giudizio * è generale, se è stato co­ struito senza applicare il principio ( 5 ), se cioè il riem­ pimento dei posti vuoti è avvenuto soltanto tramite il * «< esiste » ). In matematica, si incontrano unica­ mente giudizi di questa specie; possiamo chiamarli, a buon diritto, anche giudizi esistenziali. Se invece il principio (5) viene ad essere applicato, per cui inter­ verranno nel giudizio oggetti singoli, immediatamente evidenziabili della nostra categoria, parleremo di un giudizio particolare * * . Se P (x) è uno schema di giu­ dizio con un posto vuoto, che si ottiene dalle proprietà e relazioni originarie in virtù dei nostri principi ad esclusione del principio ( 5 ), e se esiste uno ed un solo oggetto x = a, per il quale sussiste P (x) , allora si dirà che a è un individuo (che è caratterizzabile attraverso * D'ora in poi, utilizzeremo il termine " giud izio,. esclu siva­ mente nel suo senso proprio e non più per schemi d i giud izio che contengono qualche posto vuoto. ** Si potrebbero anche considerare come particolari esclusiva­ mente quei giud izi che vengono costruiti senza usare il principio (6); in tal caso, però, occorre distinguere, accanto ai giud izi " gene­ ra lilO o « particolari lO, anche quelli misti, « generali- particolari lO.

INSIEMI E FUNZIONI

31

le sue proprietà). L'esclusione del principio ( 5 ) è evi­ dentemente essenziale : altrimenti - indicando come sopra con J !'identità - lo schema di giudizio J (x a) con il posto vuoto x indicherebbe una proprietà, 1'« es­ sere a », che conviene soltanto all'oggetto a, e il con­ cetto di individuo verrebbe vanificato. Prendiamo, per esempio, l'aritmetica dei numeri naturali; essa si basa sull'unica relazione originaria S ( n, n' ) che sussiste quando n' è il numero che suc­ cede a n. Il numero 1 rimane allora caratterizzato at­ traverso la proprietà I : non esiste nessun numero al quale 1 succede (la successione dei numeri inizia con 1 ), cioè S (*, x) = I (x) . � un fatto che esiste uno ed un solo numero con questa proprietà : lo chiamiamo 1. Ora possiamo caratterizzare 2 attraverso la proprietà II di succedere al numero 1 appena definito:

Analogamente possiamo procedere per 3 , 4, ecc.: come si vede, ogni numero è un individuo. La propo­ sizione 1 + 2 = 3 contiene un giudizio particolare se

1 , 2, 3 sono numeri immediatamente dati. In realtà, però, è impossibile dare un numero se non riferendosi alla sua posizione all'interno della successione dei nu­ meri *, e cioè indicando la proprietà che lo caratterizza. Se quindi interpretiamo quella proposizione nel modo seguente: esistono tre numeri x, y, Z per i quali vale * Perlomeno, così mi sembra; tuttavia, è anche possibile pen­ sarla diversamente 16.

IL CONTINUO

32

I (x), II (y) , III (z) e x + y = z , allora essa contiene un giudizio « generale ». - Il caso dell'aritmetica, dove �utti gli oggetti della categoria di b�l!e.sono « indivi-. dui » (nel senso qui precisato), è diam.�t:r:�Jme.:o..te op� posto a quello nel quale ogIli.. l!ch-�!p-a.cli g�!:!q.i�i.� .f..(�) con un solo posto vUQtq,_._ g�ner_��Q._.�J�!:.tj.!�. cJ�IJe proprietà e relazioni . qI'!gtr:té:l:r.i� ._��!1_� .?EP.Hf�:r.� !1 .

..

__

.

.. .

principio (5), è. seIllpre . vero. o P�:r _ n�:s����U:�._P.��._ t�.t.t i gli oggetti. In quel caso sarà, l�çH.9. çbJ.l!..ma.r�J.a..JIQ.s.tra categoria omogenea (con riguardo a queste proprietà e relazioni originarie) . .Questa situazione si presenta! per esempio, per i punti dello spa.ziC!. Ilt!llt,l.gc;:�metria euclidea, ed è proprio questa, la:r�gi()Il�._p��.1é:l qua1.e! in geometria, diciamo che.1o. l!Pélzio. è .()'!lp.geneo * . Tra i giudizi specifici d i una data disciplina, ve ne sono alcuni che riconosciamo per veri unicamente in base alla loro struttura logica - indipendentemente dalla categoria di oggetti di cui si tratta, dal signifi­ cato delle proprietà e relazioni originarie, e dagli oggetti usati per « riempire » i posti vuoti in appli­ cazione del principio ( 5 ) : diremo che un giudizio siffatto, vero unicamente per la sua struttura formale (logica) - e che non possiede quindi neanche un qualche « contenuto materiale » è (logicamente) evi­ dente [selbstverstiindlich] . Chiameremo assurdo [sinn­ .

-

widrig] un giudizio la cui negazione è evidente. Se G ii è assurdo, allora il giudizio H è una « conse•

* Non mi addentro nel problema del rapporto tra questa orn o· geneità concettuale e l'omogeneità intuitiva dello spazio.

33

INSIEMI E FUNZIONI

guenza logica » di G; in tal caso, possiamo essere certi che H è vero, purché lo sia anche G. Se H è una conse­ guenza logica di G, e viceversa anche G è una conse­ guenza logica di H, allora i due giudizi G e H hanno lo stesso senso [sinnesgleich] 17. :E: un compito fonda­ mentale della logica (la scienza de l ragionamento) de­ scrivere completamente le strutture di giudizio che garantiscono l'evidenza del giudizio. La logica fornisce certe strutture « elementari » di questo genere, a par­ tire dalle quali tutte quelle strutture di giudizio si ottengono tramite una « composizione » che occorre specificare più da vicino. Lasciamo aperta la domanda se la logica tradizionale o anche la cosi detta logica matematica abbia già veramente assolto questo com­ pito in maniera del tutto soddisfacente; ricordiamo soltanto alcuni esempi. Se si intende per G un giudizio qualunque, allora

G + G è evidente, mentre G G è assurdo. I giudizi G e G hanno lo stesso senso. Dati due giudizi G e H, G H ha lo stesso senso di G + H. Per tre schemi di giudizio con un posto vuoto, G (x) , H (x) e K (x), la •

•

formula del sillogismo dice :

G H ( *) . H· K ( *) . (G· K ( *» •

è assurdo.

G H (* ) significa infatti : non esiste alcun oggetto x per il quale G (x) è vero, mentre H (x) non è vero, cioè, a tutti gli oggetti che posseggono la proprietà G con­ viene anche la proprietà H. •

34

IL CONTINUO

L'importanza che ha il ragionamento logico per la tecnica del conoscere è ovvia e nota a chiunque. Si sa anche quale sia il ruolo del procedimento deduttivo proprio in matematica, nella quale, a prescindere dai casi più semplici, uno stato di cose è talmente com­ plicato, che è praticamente impossibile portarlo ad una piena presenza nella mente ed appropriarsene cosÌ in una intuizione libera. In matematica, le cose stanno piuttosto cosÌ : si considerano i giudizi specifici di questa disciplina che sono generali e veri; tra questi, ve ne sono alcuni - pochi - che vengono riconosciuti come veri per intuizione immediata : gli assiomi, met­ tiamo Gl, G2, G3 e G,; tutti gli altri giudizi sono con­ seguenze logiche di questi pochi, cioè di Gl Gz G3 G,. La messa in evidenza del fatto che un giudizio G di­ scende dagli assiomi, può e deve avvenire - concor­ demente all'osservazione fatta poc'anzi a proposito della natura delle leggi logiche - attraverso un orga­ nismo generalmente molto ramificato di ragionamenti « elementari », che occorre poi ancora trasformare ar­ tificiosamente in una catena di anelli ben connessi agli scopi della comunicazione. CosÌ si perviene alla dimostrazione matematica; in essa, tutta l'intuizione [Einsicht] necessaria si concentra sui ragionamenti logici, e non è più diretta sulle cose o sugli stati di cose da giudicare *. (Non occorre insistere sul fatto che, nella scoperta delle verità matematiche, cosÌ come •

•

•

* « Nella scienza, ciò che si può d imostrare, non d ev'essere cre­ duto senza dimostrazione », così comincia il famoso saggio d i De-

INSIEMI E FUNZIONI

3S

nella loro comprensione creativa, si procede in modo molto più « oggettuale » e meno « formale »; qui par­ liamo però della esposizione sistematica). Bisogna tut­ tavia sottolineare il fatto che la convinzione 4i poter, derivare, per esempio, tutti i giudizigener�li e veri specifici della geometria elementare ( concernenti cioè i punti, le rette e i piani) dagli assiomi g�ometl"i�i tramite il ragionamento logico,- rappre���la_,W1_a(to

di fede scientifico : siamo nell'impossibilità di intuire veramente che cosÌ è, e meno ancora siamo in grado di « dimostrarlo » per via logica muovendo dalle stesse leggi logiche. Se ciò riuscisse un giorno, questa intui­ zione ci aprirebbe una strada per decidere la verità o falsità di ogni giudizio geometrico (cioè specifico e generale) applicando metodicamente una certa tecnica deduttiva ( x.

Dal principio di sostituzione (capitolo I, paragra­ fo 7), segue ora : se due funzioni f, g hanno valori

reali in uno stesso insieme T, allora vale lo stesso per la loro somma, per il loro prodotto e per il loro quo­ ziente; tuttavia per il quoziente, ciò vale soltanto re­ stringendosi al caso in cui g è � *0 in tutto l'insieme T. Siamo qui in presenza degl i esempi più semplici che

IL CONTINUO

1 14

mostrano come i nostri principi logici di costruzione conducono in casi particolari a quelli algebrici che la vecchia Analisi aveva in mente nella formulazione del concetto di funzione. Altri due principi simili, che si applicano continuamente, discendono immediatamente dai principi (2) e (7): 1 ) da una funzione con più argo­ menti che percorrono una stessa categoria si ottiene una nuova funzione « facendo coincidere » tali argo­ menti - così, da f (s, t) si ottiene la funzione f ( t, t);

2 ) in una funzione che assume valori reali, ad esem­ pio, per tutti i valori reali dell'argomento, si può so­ stituire al posto dell'argomento un'altra funzione a valori reali. Le nostre definizioni delle frazioni e dei numeri ra­ zionali e reali comportano senz'altro una certa misura di arbitrarietà. Il loro vero significato sta nel ruolo che essi svolgono per misurare grandezze di un qual­ siasi dominio, e nel modo in cui servono a rappresen­ tare astrattamente certe relazioni che sussistono tra le grandezze. Ora, a questo scopo è assolutamente indi­ spensabile che il concetto di numero venga prima di tutto precisato in modo puramente concettuale e arit­ metico; ma poi, ogni definizione è legittima, purché fornisca degli enti atti a caratterizzare in modo uni­ voco i « rapporti » delle grandezze sopra menzionati. Possiamo comunque affermare che le definizioni da noi scelte sono le più semplici e le più naturali che con­ ducono a questa meta. Parleremo più tardi dettaglia­ tamente dei legami con la teoria delle grandezze.

IL CONCETTO DI NUMERO E IL CONTINUO

1 15

Nel seguito avremo bisogno della funzione x" del numero reale x e del numero naturale n. La sua defi­ nizione ricorsiva poggia sul fatto che xMly si ottiene da x"y sostituendo x · y al posto di y. Sia dunque 1t O.. I x y) la relazione che significa che x e y sono nu­ meri

reali

e

che

À.

(cioè

un

numero

del

tipo

mi / nl + m2 / n2) è un elemento del segmento x ' y; per la verità, À. sta per i quattro posti vuoti mi, nl; m2, n2 che si riferiscono alla categoria « numero natu­ rale ». Suddividendo come indicato i posti vuoti di questa relazione in dipendenti e indipendenti, essa dà luogo alla funzione x · y. Iteriamo questa relazione sosti­ tuendo ogni volta al posto vuoto y questa funzione : 1t (À. l x y; n) , e in questa mettiamo infine al posto di y il numero reale * 1 . Alla relazione cosÌ ottenuta corrisponde la funzione x". Cogliamo l'occasione per discutere ancora il con­ cetto di numero algebrico. Com'è noto, un numero reale

a

si dice

«

algebrico di grado n al massimo » se

esistono n numeri razionali À.l, À.2, a"

L'essere

«

= À.1

,,-I a

•

•

•

•

•

•

À." tali che

,

+ À.z a"-2 + . . . . . + À."

•

algebrico di grado 3 al massimo » è quindi

certamente una proprietà finita di numeri real i ; e ciò vale per 3, cosÌ come per ogni altro numero naturale fissato. A prima vista, non sembra però si possa affer­ mare

che la propos izione

« a

è algebrico di grado

11

al

116

I L CONTINUO

massimo » sia lo schema di giudizio di una relazione finita tra a e n - e che quindi 1'« essere algebrico » ( senza limitazione del grado) sia ancora una proprietà finita. Sembra che, per imporre la finitezza, si debbano introdurre delle relazioni con un numero « indeter­ minato » di posti vuoti (un passo spesso fatale dal punto di vista logico) , e che sia necessario ampliare i principi, e in particolar modo quello dell'iterazione, con un procedimento estremamente complicato. Ma le cose non stanno affatto cosÌ. Il concetto di numero algebrico mi darà modo di far vedere come, anche in situazioni del genere, i nostri principi definitori sono sufficienti. CosÌ come abbiamo potuto definire la potenza a" per iterazione basandoci sulla funzione prodotto a o b , analogamente possiamo pensare di formare un poli­ nomio in a a coefficienti razionali di grado n mediante un'iterazione a partire dalla funzione

(a o b) - *À.

di a, b, À.,

nella quale À. sta per un qualunque numero razionale. Possiamo ricavare questa funzione dalla relazione

r ( Il i À.; a; b ):

Il , À. è un elemento del a o b (À. rispettivamente Il stanno qui di

la somma dei numeri razionali

segmento nuovo per quattro posti vuoti riferiti alla categoria dei numeri naturali) . Indicheremo nel seguito con V

IL CONCETTO DI NUMERO E IL CONTINUO

1 17

un posto vuoto che si riferisce ad insiemi bidimensio­ nali di oggetti della categoria NR. Formiamo

e (a, (a o b) - *À ; v)

! =: ),

a ( a,

b l V) :

esiste un numero razionale À tale che a e (a o b) - * À formano una coppia di elementi di V. Suddividendo come indicato i posti vuoti di a in dipendenti e indi­

pendenti, le condizioni per l'iterazione si trovano rea­ lizzate. Si ottiene cosÌ la relazione a (a, b I V; n) che significa : esistono n numeri razionali Àl, M, tali che a e

. .

. . . I À,.

formano una coppia di elementi di V. Si tenga presente che l'espressione ( 5 ) che qui compare, deve essere scritta come segue :

A questo punto è sufficiente sostituire

a

b il numero

reale * 1 e a V = V (a, b) quel particolare insieme bidi­ mensionale Va che corrisponde alla relazione

a è un numero reale 1- e b

=

*0 ;

la relazione cosÌ ottenuta

a (a, * 1 1

Va;

n)

= a

(a, n )

significa: a è algebrico di grado n al massimo. a (a, * ) è lo schema di giudizio della proprietà di

di essere algebrico.

a

I L CONTINUO

118

Introduciamo i numeri complessi come di consueto come coppie di numeri reali. La formazione delle coppie in generale è da intendersi come segue. Se, per esempio, A è un insieme tridimensionale, e B un insieme bidi­ mensionale (di una categoria qualsiasi, ma si supponga che né A né B coincidano con l'insieme nullo della loro categoria) , allora esiste l'insieme a cinque dimensioni A

•

B per il quale

p (j "t";

elementi se e solo se

� 1) formano un sistema di

p (j "t"

formano un tale sistema

per A e � 1) per B (principio ( 3 ) senza identificazione di posti vuoti) : chiamiamo A B la coppia formata a par­ tire da A e B. Se lasciamo che A e B siano degli insiemi •

indeterminati delle rispettive categorie, allora questa coppia è una funzione di A e di B. Se A e B sono insiemi di oggetti delle categorie di base, allora vale anche che, viceversa, i

«

membri » A e B sono delle funzioni della

coppia A e B. Infatti, se r è un insieme qualsiasi della categoria alla quale appartiene A relazione R (p getti � e

1)

(j "t"

•

B, si consideri la'

I r) che significa: esistono due og­

tali che

� 1) formano un sistema di

p (j "t";

elementi di r. La funzione di r alla quale R dà luogo, fornisce il primo membro, A, della coppia A · B , non appena vi si sostituisce r con A · B. Nelle circostanze qui considerate, quindi, il principio di sostituzione per­ mette di identificare sostanzialmente i due concetti di « funzione della coppia A B » da un lato e di « fun­ zione di A e di B » dall'altro. Secondo questa conce­ .

zione, i numeri complessi sono insiemi di numeri na­ turali a otto dimensioni, o più precisamente, domini bidimensionali di numeri razionali.

§ 4. Successioni di numeri. Principio di convergenza. Sia f (n) una successione di numeri reali, e R (l i n)

sia la relazione tra il numero razionale

l

e il numero

naturale n che dà luogo alla funzione f (n); f (n) è quindi, per ogni n, il dominio dei numeri razio­ nali che stanno con n nella relazione R ( il numero l = Jh / ql -;- P2 / q2 rappresenta di nuovo quattro posti vuoti Pl, ql; [h, q2 che si riferiscono alla categoria

«

nu­

mero naturale »). Costruiamo il limite inferiore di questa successione con il ben noto procedimento : si tratta di un dominio di numeri razionali al quale

l

appartiene se e solo se esiste un numero razionale

l' > )..

che gode della seguente proprietà: esiste un

numero n tale che, per ogni m > n, sussiste la rela­ zione R ()..

'

I m).

Questo dominio

a

costituisce un seg­

mento aperto, ed è quindi o un numero reale oppure il dominio nullo (per il quale si usa in questo con­ testo di solito il simbolo

-

00 ) , o infine il dominio

totale + 00 ; scriviamo limo inf. f (n) n = 00

Se con R ind ich iamo anche il

«

= a .

dominio » ( u n insieme

120

IL CONTINUO

di numeri naturali a cinque dimensioni) che corri­ sponde alla relazione R p

..

I n),

allora questo limite in­

feriore è visibilmente una funzione di R *. Dall'esistenza del limite inferiore discende l a vali­ dità del principio di convergenza di Cauchy. Com'è noto, si dice che la nostra successione di numeri reali è convergente se per ogni frazione

a

esiste un nume­

ro naturale n tale che per ogni p e q che siano >

n, il numero razionale a appartiene al dominio f (p) f (q), ma + a non appartiene ad esso. Si dice, inoltre, che la successione converge verso il numero reale c, se per ogni frazione a esiste un numero naturale n, tale che per ogni p > n, il numero razionale a ap­ partiene al dominio f (p) c, mentre + a non appar­ -

-

-

-

tiene ad esso. In tutte queste definizioni, i termini lo­ gici « esiste » e « per ogni » compaiono esclusivamente in relazione a numeri naturali. Il principio di conver­ genza dice : esiste un numero reale

verso il quale la successione f (n) converge se e solo se questa succes­ sione è convergente. In quel caso, c coincide con il li­ c

mite inferiore della successione e si chiama sempli­ cemente limite. Tutto questo si estende mutatis mu­

tandis alle successioni di funzioni, cioè al caso in cui, nella relazione R p I n ) che definisce la successione, ..

compaiono altri posti vuoti oltre a quelli indicati. Se

in essa compare, per esempio, ancora un posto vuoto

* Parlare qui, come oggi si usa, di una funzione delle infinite variabili f (I), f (2), f (3) , , significa adoperare un linguaggio al­ quanto figurato. . . .

IL CONCETTO DI NUMERO E IL CONTINUO

121

x che si riferisce alla categoria NR, si ottiene la suc­ cessione di funzioni f ( x n) ; in tal caso si ha anche che limo inf. f (x n) = g (x)

n = 00

è una funzione dell'argomento reale x. Siamo qui in presenza del principio analitico di costruzione che con­ siste nel passaggio al limite. Di solito, l'argomento n si scrive come indice. Occorre però naturalmente tener presente che la costruzione del passaggio al limite non dev'essere applicata ad una qualunque collezione in­ finita di funzioni .

.

.

.

.

,

raccolta non si sa né dove né come, ma che questa co­ struzione concerne soltanto una funzione f" (x) di x

e di n che venga formata in base ad una legge nel senso preciso determinato nel capitolo I . Vari altri principi, presunti equivalenti del prin­ cipio di convergenza di Cauchy, sono stati scelti come punto di partenza dell'Analisi. Cito alcuni di questi : I . Una successione di intervalli incapsulati gli uni negli altri e tali che la loro lunghezza scende al di sotto di ogni limite, « cattura » un determinato numero. (Ciò interviene, per esempio, nello sviluppo in frazione de­ cimale) . I I . Per una successione di numeri reali crescente monotona esiste un numero reale verso il quale essa converge, se tutti i suoi termini rimangono al di sotto di un certo l imite.

IL CONTINUO

122

III. Il principio delle sezioni di Dedekind: se A e B sono due insiemi di numeri reali tali che ogni ele­ mento di A è minore di ogni elemento di B, e se inol­ tre, per ogni frazione

a.,

esistono un numero x ap­

partenente ad A ed un numero y appartenente a B tali

che + a. non appartenga al dominio uno ed un solo numero reale

c

y

-

x, allora esiste

tale che nessun numero

che sia elemento di A risulti maggiore di numero in B risulti minore di

c

e nessun

c.

IV. Un insieme limitato di numeri reali possiede un preciso estremo inferiore e superiore. V. Ogni insieme infinito ma limitato di numeri reali possiede un punto di accumulazione. Di queste proposizioni, I e II sono valide nell'Ana­ lisi da noi svolta su solide basi. In I, per

«

successione

di intervalli incapsulati gli uni negli altri » occorre intendere due successioni di numeri, f (n) e g (n), con le proprietà

f (n)


y

(oppure f (x) < (y) ) ,

formano un insieme di numeri che è una funzione di y. La

totalità dei valori che assume la funzione f, non è invece general mente un insieme finitamente defi n ibile di numeri c, anchc sc

fè

u n a funzione lim i tata, 110n esi-

128

IL CONTINUO

stono in generale un preciso estremo inferiore e su­ periore per i suoi valori. Occupiamoci ora in particolare di funzioni continue. Introduciamo il simbolo I x I � a per significare : x è un numero reale e il numero razionale + a che corri­ sponde alla frazione

a

non appartiene al dominio x,

mentre vi appartiene ogni numero razionale minore di

- a. Riportiamo la ben nota definizione della conti­ nuità * : f (x) è continua per il numero a (compreso nel­ !'intervallo unitario) se, per ogni frazione

a,

esiste una

frazione � tale che

I f (x) - f (a) I �

a

per tutti i numeri reali x compresi nell'intervallo uni tario che verificano la disuguaglianza

I x-a l � � Come si vede, la proprietà di una funzione di essere continua per un valore a, è transfinita (e dipende per­ tanto da una precisa delimitazione del concetto « nu­ mero reale ») : discuteremo soltanto nel prossimo pa­ ragrafo la grande importanza che assume questa cir­ costanza per l'Analisi e le sue applicazioni. La funzione

* L'unica ragione per la quale riportiamo qui questa definizione, già discussa nel capitolo I, paragrafo 2, per illustrare il simbolismo delle relazioni, è che teniamo a mettere in evidenza il fatto che, a destra delle disuguaglianze caratteristiche, scriviamo ora diretta­ mente le frazioni (X e l3 (e non dei numeri reali positivi) .

IL CONCETTO DI NUMERO

B

129

IL CONTINUO

f (X) è continua nell'intervallo unitario se· è continua per ogni numero a compreso in esso. f (x) vi è unifor­ memente continua se ad ogni frazione

a.

rimane asso­

ciata una frazione � tale che

I f (x) - f (y) I �

a.

per tutti i numeri reali x, y dell'intervallo unitario che soddisfano la disuguaglianza I x - y I � �. Ci proponiamo ora di dimostrare i seguenti teoremi fondamentali delle funzioni continue: A. Una funzione continua assume tutti i valori in­

termedi; se cioè f è una funzione continua e se si ha f (a) < v


*0 e � * 1 qualsiasi, possiamo fo rmare analogamente l'estremo superiore m

(x) di f*(À.) per tutti i À. negativi che appartengano

al dominio x;

m

(x) è una funzione di x. Distinguiamo

due casi : o, per ogni numero razionale positivo À. � 1 , si ha per l'estremo superiore

m

(*À.) =

m;

in tal caso,

intendiamo con a il numero reale *0; o accade il con­ trario : formiamo allora il dominio a di numeri razio­ nali al quale À. appartiene se esiste un numero razio­ nale À.' > À. positivo (e � 1 ) , per il quale sia

m

(*À.)
). per il quale risulta

d (* )..' ,a)