I fondamenti logici della matematica

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Ti/DID tkll'Dp.ra Driginal, Les fondements logiques des matématiques

(Copyright 19H by Gauthier-Villars, Paris)

Tr�iDn, JaJ franGIli tli EIIDr, Casari

Prima �iDnI ilaliana: martD I91J CDpyrighl by @ Giangiacomo Feltrinelli Editore Milano

E. W. Beth

I fondamenti logici della matematica a

cura di Ettore Casari

Fe1trinelli Editore Milano

Prefazione

del tradul/ore

Pensiamo di non andar errati affermando che, negli ultimi anni, si � venuto manifestando un radicale rinnovamento nell'atteggiamento della cultura matematica italiana di fronte a quel complesso di problemi e di ricerche generalmente accomunati sotto i termini di logita matlmanta e di

indaginI

sui font/amlnn.

I pregiudizi e le riserve che, insieme effetto e causa di una diffusa man­

canza di informazione in proposito, avevano per anni ostacolato la parte­ cipazione attiva dei matematici italiani a questo particolare tipo di ricerche, sembrano ormai aver ceduto definitivamente il passo, almeno nella mag­ gioranza dei casi, a un pio ponderato ed equilibrato atteggiamento di ri­ conoscimento dell'interesse di questi studi e di incoraggiamento ad un approfondimento e sviluppo di essi.1 Non pare quindi infondata la speranza che, entro un certo tempo, questo genere di studi, un tempo cosi gloriosa­ mente rappresentato nel nostro paese da Peano e dai suoi collaboratori, possa finalmente prendere, con l'aiuto delle forze nuove che ad esso non mancheranno di venire, quel posto che ormai gli compete in una moderna concezione della matematica. Diversa pare invece dover essere la valutazione per quanto riguarda la situazione di questi studi nell'ambiente filosofico italiano. Non pare infatti possibile affermare che la consapevolezza della necessità, per una filosofia teoretica che non voglia essere mero vaniloquio, da un lato, di affrontare il problema di· una fondazione della conoscenza matematica e pio in generale scientifica e, dall'altro, di affrontare questo problema con

1 Tra le molte manifestazioni di questo mutato atteggiamento ricordiamo qui come le piu significative: (1) l'inserimento nel piano di studi delle facoltà matematiche di un corso di logica; (2) lo sviluppo presso varie università di seminari dedicati ad argomenti logici; (3) la grande e attiva partecipazione dei matematici al Convegno Nazionale di Logica organizzato dal Centro di Studi Metodologici presso il Politecnico di Torino dal 5 al 7 aprile 1961; (4) la comparsa sul Bollettino dell'U.M.!. di alcune recensioni di volumi di logica; (5) l'approvazione, da parte del Comitato per la matematica del C. N. R., della costituzione di un Gruppo di Ricerca di Logica Matematica per l'anno 1962-63.

VII

I folllia11lmJi /ogi&; M//4 11It11'11It1lirtl m= pili moderni ed adeguati allo scopo, abbia fatto molta strada. È ·veramente significativo e forse sintomatico di tutto l'atteggiamento del loro pensiero il fatto che buona parte dei filosofi italiani si ostini a rifiu­ tarsi all'obbligo di dover tenere e rendere conto di quella fondamentale attività umana la cui comprensione e giustificazione costituI un compito cosI importante per quei pensatori come Kant, Hegel o Husserl ai quali essi amano cosI di frequente richiamarsi come ai loro ispiratori. Ciò non significa naturalmente che una tale consapevolezza sia assente dalla pro­ blematica filosofica italiana; ma semplicemente che, salvo qualche lode­ volissima eccezione,· essa non è riuscita ad imporsi a gruppi di pensatori diversi da quelli che non avevano aspettato gli ultimi anni ad occuparsi con serietà di queste questioni.8 La rinascita di un vivo interesse attorno a questi problemi da parte dei nostri matematici e la necessità di mettere a nudo l'inconsistenza del­ l'atteggiamento di fronte ad esso di certi settori della filosofia italiana con­ vergono nel far sempre pili urgentemente sentire il bisogno di una pili vasta e articolata informazione intorno ai temi discussi e ai risultati finora raggiunti in questo settore della ricerca matematica e filosofica. Alcuni passi in questo senso sono già stati compiuti, ma molto, anzi moltissimo, resta ancora da fare. In particolare molto resta ancora da fare per quanto riguarda la vera e propria indagine sui fondamenti della matematica. La traduzione, arricchita in qualche punto, della 2a edizione de Les fondements /ogiques des mathlmatifJlles di E. W. Beth, che qui presentiamo al lettore italiano vor­ rebbe costituire un nuovo passo avanti in questa direzione. È infatti parso al direttore di questa collana e al traduttore del volume che, allo stato at­ tuale, la traduzione di un testo come il presente che dà una sintetica ma, al tempo stesso, sufficientemente dettagliata visione di alcuni fondamentali capitoli della indagine sui fondamenti, anche se avviene da una lingua che non costituisce certo di per sé un effettivo ostacolo alla conoscenza del contenuto del volume, potesse di fatto contribuire a rendere accessibile ad un pili vasto pubblico italiano le linee fondamentali di certa problematica logica e metodologica, contribuendo cosi al costituirsi anche da noi di quel clima generale di attenzione e di conoscenza che pare dover costituire la premessa necessaria ad ogni sviluppo autonomo che sia continuo e fecondo. Pur perseguendo infatti una sua certa conclusione, con la quale il lettore potrà o meno concordare, il libro di Beth si presenta come una delle migliori se non addirittura come la migliore sintesi attualmente dil La pili notevole ci sembra quella costituita dalla InlrotiutioM fii probllmi diii'flSsio­ mllli&tI, di E. AGAZZI, Vita e Pensiero, Milano 1961. • Significativo al riguardo è l'articolo di G. CALOGERO, Di ç61'll persislenti illusioni dii logiçi , dii melodologi, in Rivista di Filosofia," L (1959), 194-218, dove i pregiudizi piu diffusi e gratuiti tentano, attraverso il brillante argomentare dell'autore, di raggiungere dignità filosofica e letteraria. cc

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Prefa�iolle del Iradullore

sponibile, pur nella già vastissiiIla letteratura, di alcuni settori decisivi della indagine sui fondamenti. La teoria della dimostrazione, il metodo sintattico e quello semantico, cosI come le c oncezio ni logiciste, cantoriste e intui­ zioniste o il problema delle antinomie, alcuni cioè dei problemi e dei temi fondamentali della moderna riflessione sulla matematica, trovano nelle pagine di questo libro una sintetica e per tanti versi esemplare esposizione. Dice giustamente Paulette Février nella sua acuta presentazione al lettore francese dell'edizione originale di questo volume nella collana da lei diretta che .. preso separatamente ogni capitolo di questo libro costitui­ sce una buona introduzione ad una disciplina particolare. Ma sembra che il suo merito principale o il suo principale interesse consista soprattutto nel fatto che il lettore può, attraverso la mediazione di uno stesso spirito al tempo informato e originale, accedere contemporaneamente a tutte le re­ gioni di questo dominio cosI vasto. Libero, grazie all'abbondante biblio­ grafia, di orientarsi in seguito verso l'una o l'altra questione particolare, egli avrà già potuto situare il problema dei fondamenti nel suo insieme e co­ gliere le connessioni essenziali cosI ben enucleate, talune delle quali sono messe qui in evidenza per la prima volta. " A questo proposito vogliamo solo aggiungere che uno degli aspetti forse piu significativi dell'opera di Beth, quello che probabilmente meglio di ogni altro discorso introduttivo gioverà a dissipare certi dubbi e certe perplessità tuttora resistenti e a fare entrare realmente il lettore nella pro­ blematica apparentemente esoterica della logica e metodologia contem­ poranee è costituito dal suo costante sforzo di seguire, nei limiti concessi ad un testo di questo tipo, l'effettivo sviluppo storico di questa problema­ tica. Accade cosI che il lettore matematico dalle a lui ben familiari consi­ derazioni, esposte nel libro II, intorno ai fondamenti dell'analisi e della teoria dei numeri dovute ai grandi ricercatori della seconda metà del secolo scorso, venga pian piano portato a penetrare e comprendere gli sviluppi 'posteriori fino ai nostri giorni con la costante possibilità di riconoscere quella continuità di sviluppo che non costituisce certo l'ultima legittima­ zione teorica e pratica di queste ricerche. Parallelamente egli ha cosI anche modo di rendersi conto della ricchezza e della fecondità di questi sviluppi ; ricchezza e fecondità che s i manifestano nel modo piu convincente proprio là dove la tematica elaborata in sede logico-metodologica si trasforma nella acquisizione di nuovi potenti metodi di indagine e di studio in quei settori della matematica la cui legittimità è per altri versi indubbia. Non vorremmo peraltro che il lettore traesse da queste nostre brevi osservazioni l'impressione che il presente libro vada semplicemente consi­ derato come un riuscito tentativo di compendiare problemi e risultati della indagine sui fondamenti e non rechi altrimenti alcun originale contributo a tali ricerche. Tale impressione sarebbe del tutto sbagliata ; ché, infatti, proprio nel lavoro di sistemazione e di sintesi dei vari settori l'autore ha spesso occasione di svolgere originale opera di ricercatore. A tale proposito

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I 10Nltzllllnl; logiç; Mila lIIal'lIIa#ça

ricorderemo, per tutte, l'elegante dimostrazione topologica del fondamen­ . tale teorema di Lowenheim-Skolem-Godel che costituisce uno dei pio interessanti contributi logici degli ultimi anni. *

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In quel gruppo di matematici-filosofi di cui, oltre a Brouwer, Heyting e lo stesso Beth vanno ricordati qui almeno anche G. Mannoury, H. Freudenthal, G. F. C. Griss ,e D. van Dantzig e che ha saputo portare l'Olanda ad un posto di primissimo piano nelle discussioni internazionali intorno ai fondamenti della matematica, l'autore del presente volume oc­ cupa un posto tutto particolare. Egli ha infatti saputo sottrarsi sia all'affascinante influenza dell'intui­ zionismo brouweriano sia a quella del significismo mannouriano e, attra­ verso un lungo cammino di ricerca e di elaborazione personale, giungere ad una concezione che meglio sappia rendere conto della molteplicità degli aspetti della ricerca matematica e meglio soddisfi la profonda esigenza di razionalità dell'uomo moderno. Nato il 7 luglio 1908 a Stad Almelo (Prov. Overijssel - Olanda) e compiuti nella città natale e a Deventer gli studi secondari, egli ha fre­ quentato le università di Utrecht (1926-1933), Leida (1933-1934) e Bru­ xelles (1934-1935) conseguendo successivamente, nel 1932 la licenza in scienze matematiche e fisiche, nel 1935 quella in psicologia e filosofia e, sempre nel 1935, il titolo di dottore in lettere dell'università di Utrecht. Assistente al Politecnico di Delft dal 1935 al 1945 (durante la guerra e l'occupazione egli iniziò anche ad Amsterdam lo studio della giurispru­ denza, ma fu costretto ad interromperlo dopo nemmeno due anni) egli venne in seguito nominato professore straordinario (1946) e quindi or­ dinario (1948) di logica e filosofia della scienza presso l'università di Am­ sterdam. Dal 1952 è direttore dell'Istituto di indagini sui fondamenti e filosofia delle scienze esatte di quella università, uno dei pio importanti centri europei della ricerca logica e metodologica. Membro di importanti istituzioni quali l'Accademia reale di scienze e lettere dei Paesi Bassi e l'Istituto internazionale di filosofia, egli è anche, tra l'altro, presidente dell'Associazione olandese di logica e filosofia delle scienze esatte. Con Brouwer ed Heyting egli costituisce inoltre il comitato editoriale di quella benemerita collana di SIIIJi,1 in Logiç anJ th, FOIl1lJa­ tions oJ Mathelllatiçs della North-Holland di Amsterdam che, iniziata nel 1951, è divenuta oggi una delle pio importanti collezioni di studi logici del mondo. La sua ricerca si mosse in un primo tempo, da un lato sotto l'inBusso del neo-kantismo della scuola di Marburgo, rappresentato a Utrecht da

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Prifa:(Jon, MI lratiNllo,.,

J. C. Franken, T. Goedewaagen e B. J. H. Ovink e dall'altro sotto l'in­ fluenza della interpretazione viennese ed in particolare carnapiana dei ri­ sultati della indagine sui fondamenti della matematica. Il tentativo di conciliare queste due diverse impostazioni della riflessione costituf preci­ samente il nucleo della sua tesi di dottorato a Utrecht: Rede III An,rçhotmling in der Wishmde [Ragion, , inhlÌzion, n,Ila lIIalllllança]. Ma una tale conciliazione, cui egli stesso ebbe una volta a dare il nome di trinrislllo posilivo, non tardò a rivelare tutte le insufficienze e le diffi­ coltà che le erano proprie. Il ripensamento di questi problemi lo portò lentamente ad abbandonare il kantismo e ad avviarsi, se non ancora verso una vera e propria concezione filos ofica, verso un atteggiamento via via piii marcato di scientismo oggettivo. Notevole peso ebbero in questo senso gli ampi contatti con alcune tra le piii notevoli figure di logici e filosofi della scienza del tempo, studiosi di ispirazioni e interessi spesso assai diversi quali A. A. Fraenkel, M. Barzin, A. Errera, R. Feys, P. Ber­ nays, H. Scholz, A. Tarski, A. Heyting, G. Mannoury, A. Church e altri. La prima edizione (1940) della sua Inl,iding 101 de wijlbegeerl, der WilkNnde [IlIlrotINtion, alla filolofia della lIIal'lIIança] può considerarsi come il punto di arrivo di questo sviluppo. Da quel momento ha inizio nel pensiero di Beth una nuova fase, ricca di ricerche e di insegnamenti; ricerche ed insegna­ menti che lo aiuteranno ad uscire a poco a poco da quell'atteggiamento di sostanziale scetticismo filosofico che era subentrato al riconosciuto falli­ mento dell'esperienza neo-kantiana e lo spingeranno a tentare in tempi piii recenti, con sempre maggiore impegno, l'impianto di una concezione filosofica di phi vasto respiro. Intendiamo parlare delle sue ricerche di carattere storico sia su problemi ·filosofici che logici o matematici. Queste ricerche si concretarono in un gran numero di lavori dei quali vanno al­ meno ricordati qui : D, wijsbege,rl, der WiskNnde van Parlll,nideJ 101 Bolzano [La filolofia della lIIalemança da Parlllenide a Bolzano], Anversa-Nimega, 1 944 e la Gmhi,d,lIil der logiça [Sloria della logiça], L'Aja, 1 944. Parallelamente egli continuò a coltivare gli studi di logica senza però in fondo osare intra­ prendere delle autonome ricerche. Il superamento di queste esitazioni si ebbe - come gli stesso modestamente racconta - dopo una visita di A. Tarski ad Amsterdam nel 1 950. Da quel momento la sua attività premi­ nente è diventata quella di logico ed egli è riuscito a raggiungere tutta una serie di risultati (nella teoria della definizione, intorno alle basi semantiche della logica classica e di quella intuizionista, nell'assiomatica astratta, nella teoria dei modelli, in quella dei sistemi ordinati, ecc.) alcuni dei quali di notevolissima importanza. Contemporaneamente la sua concezione filo­ sofica si è andata sempre piii precisando in direzione di un certo realismo di tipo nuovo. Va detto a questo proposito che, in una forma pi\i o meno consapevole, una concezione di questo tipo o almeno una aspirazione ad essa si può ritrovare attualmente in numerosi filosofi della matematica. Essa sembra infatti per certi versi in grado di risolvere effettivamente

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I fontla""nli logiti tklla ",al,,,,atita

talune difficoltà davanti alle. quali, altre precedenti impostazioni si sono rivdate insoddisfacenti. Di quest'ultimo periodo dello sviluppo dd pensiero di Beth vogliamo ricordare almeno, oltre alla prima (1950) e alla seconda (1955) edizione dd presente volume, L',xilfençe en malhématiqtllS (1955), La mn tk la rai.ron "la logiqtll (1956), The FOIl1lJation.r oJ mathematù.r (1959) e Formai MethoJ.r .

(1961). É opportuno a questo punto precisare le ragioni per cui si è preferito tradurre la seconda edizione dei Fontkment.r e non i FOllnJation.r. Quest'ul­ timo libro presenta infatti sul primo almeno due vantaggi: 1) La messe delle informazioni particolari contenute j.n. esso supera notevolmente quelle contenute nd presente; 2) Le conclusioni filosofiche che il Beth trae dallo sviluppo della indagine sui fondamenti si presentano in esso in una forma più approfondita e matura. Tuttavia proprio la mole dd volume (che è circa doppia di quella dei Fontkment.r) ci è sembrata costituire uno svantag­ gio rispetto i fini propostici con la traduzione in lingua italiana di un testo sui fondamenti della matematica. Mentre infatti pare ragionevole supporre che la lettura di una limpida e sintetica esposizione qual è la presente possa invogliare lo studioso all'approfondimento dei vari temi trattati o accen­ nati (ed in tal caso la lettura dei FOIl1lJation.r si presenterà automaticamente come la continuazione naturale di questo primo contatto) non altrettanto sembra potersi attendere dalla lettura di un testo, che, proprio per essere molto pi6 dettagliato, può forse non permettere al lettore non specia­ lizzato quel primo essenziale orientamentq nd vasto panorama delle indagini di cui tanto si avverte il bisogno. *

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In appendice diamo, su suggerimento dell'autore, la traduzione di quattro fra i numerosi lavori pubblicati da E. W. Beth dopo l'ultima edi­ zione francese (1955) dd presente volume. Tali lavori sono intesi a costituire una integrazione di questo testo almeno per quanto riguarda il maggior contributo dato in questo periodo dall'autore alla logica e all'indagine sui fondamenti: la teoria delle tavole semantiche. D'accordo con l'autore abbiamo modificato parzialmente la simbologia delle note assimilandola a quella dd testo. La prima appendice è costituita da un breve articolo pubblicato nelle InJagatione.r Mathematùae [17 (1955)] e può considerarsi come una succinta esposizione dei caratteri fondamentali dd metodo delle tavole semantiche nonché della connessione di tale metodo con quello della deduzione na­ turale (N) di Gentzen. La seconda invece, pubblicata come articolo in Logiqtle et Ana!J.re [2 (1959)], è solo indirettamente collegata al metodo delle tavole semantiche; essa si presenta piuttosto come uno studio di certe caratteristiche dei sistemi logicisti (L) di Gentzen. Non è tuttavia dif-

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Prifa!(Jon, tI,/ traduttore

ficile scorgere in essa, da un lato uno studio dei rapporti tra tavole semanti­ che e sistemi L e, dall'altro, uno studio dd problema di una utilizzazione ddle tavole semantiche nell'indagine della logica intuizionista. La terza appendice, pubblicata ancora su LogifJ1l' ,t Ana!y.re [3 (1960)] riprende il problema dei rapporti tra deduzione naturale e tavole semantiche illumi­ nando in modo sorprendente certe caratteristiche peculiari dd ragio­ namento indiretto. La quarta infine, pubblicata nei ProceeJings of th, In­ t,mational Congrus of Mathe11laticians (14-21 VIII, 1918), costituisce un po' uno sguardo d'insieme ai risultati finora raggiunti e alle prospettive che sembrano aprirsi nella teoria delle tavole semantiche. A tale primo bilancio si accompagna naturalmente il tentativo di un apprezzamento di questo metodo rispetto agli altri già noti di costruzi�ne della logica. Trattandosi in tutti e quattro i casi di memorie scientifiche, rivolte ad un pubblico specializzato, è inevitabile che esse facciano riferimento, pre­ supponendoli noti, a certi problemi e a certi risultati che non possono essere a conoscenza di chi possieda solo gli argomenti sviluppati nel presente vo­ lume. A tale deficienza non potrebbero supplire - a meno di non venir trasformate in altre appendici - note ducidative particolat;i. Si è pertanto preferito rinunciare ad esse. Poiché però v'è un argomento al quale tutte le memorie fanno riferimento costante ed essenziale : i calcoli N e L di Gentzen; e poiché inoltre in questo caso si tratta di un argomento che pare essere ben degno di venir conosciuto anche da chi desideri semplicemente avere una non superficiale conoscenza dei temi e dei risultati fondamentali della moderna indagine logica e metodologica, è parso opportuno far se­ guire alla traduzione delle appendici una rapida e schematica ma tutta­ via bastevole esposizione di tali calcoli. Speriamo con ciò di aver fatto cosa utile al lettore italiano di questo libro, alla cui traduzione abbiamo appas­ sionatamente lavorato ndIa certezza di mettere a sua disposizione uno strumento prezioso di orientamento e di studio. E. C.

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Premessa

L'autore di un libro introduttivo ha in generale la scelta tra due metodi espositivi : il metodo sintetico e quello analitico. Nel caso presente tuttavia non v'era scelta : s'imponeva l'applicazione del metodo analitico. In primo luogo, il fine di questo libro non è quello di effettuare la derivazione della matematica a partire da certi fondamenti logici; si tratta, al contrario, di spiegare i problemi che hanno costretto gli studiosi ad enucleare a poco a poco i piu profondi fondamenti della matematica e a sviluppare i diversi metodi di cui ci si può servire in questo genere di ri­ cerche. In secondo luogo, il lettore che io mi sono immaginato, provvisto di una certa cultura matematica e filosofica ma non ancora al corrente dei particolari dell'indagine sui fondamenti, non verrebbe certo in alcun modo soddisfatto da una derivazione sistematica della matematica a partire da certi principi fondamentali. Egli si chiederebbe - e non senza motivo- : perché questi principi cosi poco evidenti, perché questo metodo cosi artificioso di derivazione? Soltanto il metodo analitico permette di ri­ spondere e anzi addirittura di anticipare domande siffatte. Si mostrerà che il modo abituale di presentare la matematica è spesso difettoso dal punto di vista di una logica approfondita; che gli sforzi per sopperire a queste deficienze sollevano nuovi problemi; che, infine, i diversi tentativi per ri!lolvereo questi problemi danno luogo a una piu solida e fondata conce­ zione della natura della matematica. Bisogna dunque che il lettore ---= e soprattutto il lettore che è già piu o meno al corrente- si renda conto del fatto che noi procediamo, per cosi dire, per approssimazioni successive; partendo da un livello di rigore medio introduciamo a poco a poco le diverse precisazioni che vengono imposte dai diversi aspetti del problema dei fondamenti. Del pari non abbiamo adot­ tato un sistema uniforme di notazione e di terminologia. In ragione della diversità dei punti di vista che dobbiamo successivamente assumere nel corso della nostra esposizione, un tale sistema sarebbe inevitabilmente assai complicato. Gli esercizi riuniti alla fine del volume costituiscono parte

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integrante della nostra esposizione. Non di rado essi contengono comple­ menti sostanziali, la padronanza dei quali faciliterà considerevolmente la comprensione dell'argomento al quale si riferiscono. In questa nuova edizione non ho modificato il piano generale del libro; lo ho tuttavia redatto completamente di nuovo, cosa che mi ha permesso di consolidare il mio pensiero e di precisarne l'espressione. Soprattutto il libro III (Assiomaticaformalittala) è stato rivisto a fondo. Devo rinnovare i miei ringraziamenti a P. Bernays e P. Bockstaele, al R. P. I. M. Bochetiski, a A. Borgers; L. E. J. Brouwer e E. J. Dijkster­ huis, al canonico R. Feys, ad A. Heyting, al R. P. E. J. E. Huffer, a H. Meyer, C. C. J. de Ridder, L. Rougier e H. Stonebrink. È poi con profonda gratitudine che ricordo l'interesse che il mio venerato padre ha sempre mostrato per lo sviluppo delle mie idee. Preparando questa seconda edizione, ho tratto profitto dai risultati di un contatto personale con A. Tarski durante un soggiorno di sei mesi alla università di California a Berkeley, sotto gli auspici della U.S. Edu­ cationa! Foundatiohs in the Netherland e del Conference Board of Asso­ ciated Research Councils e dalle osservazioni di ,numerosi amici, corri­ spondenti e autori di recensioni, e cioè di M. Cazin, A. Church, R. Fraiss�, R. L. Goodstein, L. Henkin, H. Hermes, D. Nelson, II!- signorina I. L. No­ vak, J. Ridder, L. Schmetterer, H. Scholz e B. Sobocinski. Il mio assi­ stente, F. W. J. Marx, ha letto l'intero manoscritto e ciò ha dato luogo a un certo numero di correzioni e di osservazioni; egli mi ha pure aiutato a correggere le bozze di stampa. A G. H. J. Elshove dobbiamo una derivazione semplificata della for­ mula TS(SO) dell'esercizio V. A parte devo poi ricordare la signora P. Destouches-F�vrier. Non solo essa ha voluto inserire questo studio nella sua cosi preziosa collana, ma mi ha anche fatto l'inestimabile favore di rivederne i manoscritti per la prima e per la seconda edizione; questa lettura ha dato luogo a nume­ rose ed importanti correzioni.

E. W. B.

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NotazionI I t".min%gia

Per le ragioni indicate nella prefazione non abbiamo adottato un si­ stema uniforme di notazione e di terminologia. Ciò ci ha permesso di con­ formarci in generale agli usi piu o meno stabiliti. Pensiamo tuttavia che qualche indicazione generale potrà facilitare la lettura ed evitare i malintesi. Nelle formule logiche e matematiche ci serviamo, per l'interpunzione, delle parentesi rotonde " ( " ," ) " graffe " {"," } " e quadre "[" ," ] .. e, di tanto in tanto, di un punto cc . " e di due punti cc: ". Nell'enun­ ciato dei principi della logica elementare non abbiamo indicato le regole correnti che consentono un'economia dell'interpunzione (di modo che si scrive, ed es., p v q v r in luogo di P v (q v r) o di (p v q) v r ) . Queste re­ gole derivano da certe tesi logiche (cfr. gli esercizi V-XVI) e vengono liberamente applicate nella discussione metamatematica (a partire dal § 39). Nella teoria dd modelli (§ 56) bisognava introdurre una notazione ge­ nerale per modelli. Nella discussione dd modelli (strutture, sistemi) spe­ ciali ci siamo serviti di una notazione piu semplice (e assai diffusa). Se, ad es., un insieme di espressioni formalizzate non contiene che un solo para­ metro di predicato binario r, allora ogni modello di queste espressioni com­ porterà un insieme S (gli elementi del quale costituiscono i valori delle va­ riabili individuali) e una relazione binaria R definita su S (e che costituisce il valore del parametro r)j un modello siffatto verrà notato (S, R). , Spesso la relazione R sarà la relazione di identità o una relazione d'or­ dine in S. In tal caso ci permetteremo di scrivere (o