Hvad er matematik? Grundforløb [1, 2 ed.] 9788770668248

Citation preview

Hvad er matematik?

Grundforløb Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

Lindhardt og Ringhof

Hvad er matematik? GRUNDFORLØB Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup Hovedforfattere på kapitel 3: 3.1, matematik-fysik: Dorthe Agerkvist og Michael Olesen 3.2, matematik-kemi: Birgit Andresen og Keld Nielsen 3.3, matematik-biologi: An ne Krarup og Mette Vedel 3.4, matematik-samfundsfag: Christina Blach Hansen og Per Henriksen 3.5, matematik-kulturfag: B jørn Grøn © 2017 L&R Uddannelse, København -et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Stjernesymbol (kapitel 4): Bjarke Jung Brinch Olesen Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave 2. oplag 2017 ISBN 978 87 7066 824 8 www.lru.dk

Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale. Omslag: Colourbox, Scanpix, Polfoto. iStockPhoto, Center for Advanced Biotechnology and Medicine, RSA Security, Kroppedal Museum, Museo Galileo, Wikimedia, Nasa, The Royal Household, Rick Steves, University of British Columbia, Lessing Photo Archive, Wikimedia Tidslinje: Tate, Lessing Photo Archive, Det kongelige Bibliotek, Library of Congress, Scala Archives, Branislev L. Slantcher, Deutsche Bundesbank, National Maritime Museum Carlsberg: 67ø Colourbox: 49, 50, 74 Flickr: 73 Gyldendal: 7ø HK/Danmark: 16ø iStockPhoto: 7 nn, 7n, 8ø, 8n, 15n, 61 Jørgen Strunge: 67n Polfoto: Corbis 8 mf, Pressens Bild 47 Potomac Books: 7nø Segui Vilar: 93 ThinkstockPhotos: 15o, 53, 56, 70 Wikimedia commons: 9n, 51, 63, 64v, 64h, 66

2

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse Forord................................................................................................................. 5 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner.............................................. 6 1.

Grænser for vækst..................................................................................................................... 7

2.

Variable.....................................................................................................................................13

3. Uafhængig og afhængig variabel.............................................................................................17 3.1 Betegnelsen f(x).......................................................................................................................18 4. 4.1 4.2 5. 5.1 5.2 5.3 5.4

Koordinatsystemet................................................................................................................... 19 Koordinatsystemet - en genial idé............................................................................................19 Koordinatsystemets indretning ................................................................................................20 De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge................................................ 22 Tabelform .................................................................................................................................22 Grafisk form..............................................................................................................................22 Sproglig form............................................................................................................................23 Formeludtryk............................................................................................................................ 23

6. 6.1 6.2 6.3 6.4

Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge.........................25 Tabeller og grafer - at indsamle data og at skaffe sig overblik................................................25 Sprog og formler - at opstille og at tolke formler......................................................................28 Grafer og sprog - at beskrive og at skitsere grafer..................................................................30 Formler og grafer - at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift....................................33

7. Lineær regression.................................................................................................................... 34 7.1 Residualplot..............................................................................................................................36 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b...............................................................................................37 8.1 Grafen for lineære funktioner................................................................................................... 40 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion...................................................................................41 9.

Ligninger, kurver og funktioner ...............................................................................................45

2. C, B, A - de tre faglige niveauer i matematik............................................... 48 1.

Fra C til B og A: Stadig større udfordringer............................................................................. 49

2.

Fra C til B og A: Matematisk modellering - udvidelse af værktøjskassen af funktioner .. 51

3.

Fra C til B og A: Større viden, flere metoder, bredere palet af anvendelser...........................55

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne........................... 60 1.

Matematik og modellering af kraternedslag (matematik - fysik)............................................. 61

2.

Idealgasligningen - Boyle-Moriottes lov (matematik - kemi)....................................................63

3.

Celler, respiration og gæring (matematik - biologi/biotek).......................................................67

4.

Efterspørgsel, pris og indkomst (matematik - samfundsfag)...................................................69

5.

Bygninger, byer og samfund - logistik og akvædukter (matematik - kulturfag).......................73

3

4. Opgaver til kapitel 1.................................................................................... 76 1.

Uafhængig og afhængig variabel ............................................................................................76

2.

Koordinatsystemet................................................................................................................... 77

3.

De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge................................................ 79

4.

Oversættelse mellem repræsentationsformernefor variabelsammenhænge..........................80

5.

Lineær regression....................................................................................................................8 5

6.

Lineære funktioner f(x) = ax + b ..............................................................................................88

7.

Ligninger, kurver og funktioner ...............................................................................................94

8.

Facitliste................................................................................................................................... 98

Register ............................................................................................................................................. 103 Projekter er tilgængelige på bogens website: www.lru.dk\hvadermatematik

4

Forord

Forord Alle nye gymnasieelever skal fra 2017 starte med et grundforløb, hvor matematik har en central placering. Formålet med grundforløbet er ifølge læreplanen at skabe en hensigtsmæssigt overgang fra folkeskolens beskrivende og forklarende til gymnasiets ræsonnerende og begrundende matematikfaglige aktiviteter. Samtidig skal grund­ forløbet give eleverne gode forudsætninger for at vælge studieretning. Denne særlige udgivelse i lærebogssystemet Hvad er matematik? er målrettet grund­ forløbet. Det faglige stof i kapitel 1 omfatter lineære modeller og lineære funktioner. Der gives en grundig indføring i variabelbegrebet via mange eksempler og øvelser, som eleverne i vid udstrækning selv kan arbejde med. Fokus er her de fire repræsentations­ former: tabel, graf, sprog og formel. Gennem arbejdet med de mange eksempler og øvelser trænes eleverne i at ræsonnere og begrunde, hvordan man oversætter frem og tilbage mellem de forskellige former. De lærer kort sagt at tale og skrive matematik. I arbejdet med disse øvelser lærer eleverne også i praksis at anvende det abstrakte funktionsbegreb f(x) og de tilknyttede begreber definitionsmængde og monotoniforhold. Afsnittet om opstilling af lineære modeller via regression på et datasæt er placeret før "2-punktsformlen", dvs. udledningen af funktionsudtrykket på basis af to givne værdier. Hensigten er, at man tidligt i forløbet inddrager overvejelser om matematisk modellering. Her kan man vælge at inddrage datamaterialer genereret i et samarbejde med naturvidenskabeligt grundforløb. Eller man kan vælge at inddrage autentiske data fra eksemplerne i kapitel 3. Læreplanen lægger øget vægt på elevernes evne til at håndtere og fortolke residualerne. og dette har derfor fået sit eget delafsnit, hvor der tilbydes særlige øvelser, man kan fordybe sig i. Kapitel 4 rummer opgaver med facitliste til alle opgaver knyttet til emner i kapitel 1. Valg af studieretning indebærer både overvejelser om fagkombinationer og om det faglige niveau. I kapitel 2 er niveauerne C, B og A eksemplificeret gennem en række øvelser, som samtidig supplerer stoffet i kapitel 1.1 kapitel 3 gives eksempler på fagligt samspil mellem matematik og fagene fysik, kemi, biologi og samfundsfag, samt et eksempel på, hvordan matematik også er i spil i et samarbejde med kulturfag som dansk, religion og historie. I lærebogssystemet Hvad er matematik? indledes alle kapitler med en fortælling om begivenheder, hvor matematik har været afgørende for at forstå fænomener fra natur og samfund, eller hvor matematik er bragt i spil for at løse bestemte problemer. Og alle kapitler afsluttes med en række projekter, der er tilgængelige via bogens website. Kapitel 1 i denne bog til Grundforløbet er identisk med kapitel 1 i 3. reviderede udgave af C-bogen og giver adgang til de samme 8 projekter. 3 af disse projekter indeholder grydeklare oplæg til samarbejde mellem matematik og naturvidenskabeligt grundfor­ løb, NV. Bogen igennem er der henvisninger til bogens website, hvor der ligger uddybende materialer, herunder vejledninger i brug af Geogebra, TI Nspire og Maple. Se mere på www.lru.dk/hvadermatematik. Definitioner og sætninger er layoutet, så de er lette at finde, og som en særlig facilitet er i samme format indsat praxis-bokse, hvor notation, god skik og standardfremgangs­ måder er oplistet. Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

5

Variabelsammenhænge og lineære funktioner 1.

Grænser for vækst.............................................................................................................. 7

2.

Variable............................................................................................................................. 13

3.

Uafhængig og afhængig variabel......................................................................................17

3.1 Betegnelsen f(x) ...............................................................................................................18 4. Koordinatsystemet............................................................................................................ 19 4.1 Koordinatsystemet - en genial ide.................................................................................... 19 4.2 Koordinatsystemets indretning......................................................................................... 20 5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge........................................ 22 5.1 Tabelform ........................................................................................................................ 22 5.2 Grafisk form ..................................................................................................................... 22 5.3 Sproglig form ................................................................................................................... 23 5.4 Formeludtryk.................................................................................................................... 23 6. 6.1 6.2 6.3

Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge.... 25 Tabeller og grafer - at indsamle data og at skaffe sig overblik........................................ 25 Sprog og formler - at opstille og at tolke formler.............................................................. 28 Grafer og sprog - at beskrive og at skitsere grafer.......................................................... 30

6.4 Formler og grafer - at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift............................ 33 7. Lineær regression ........................................................................................................... 34 7.1 Residualplot...................................................................................................................... 36 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b....................................................................................... 37 8.1 Grafen for lineære funktioner........................................................................................... 40 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion............................................................................ 41 9.

Ligninger, kurver og funktioner........................................................................................ 45

Størrelser som et lands befolkningstal eller en families elforbrug, der kan beskrives med talværdier, kaldes variable. Et stort område af matematikken drejer sig om at undersøge og beskrive sammenhænge mellem variable. Variabelsammenhænge kan være givet som tabel, som graf, som formel eller ved en sproglig beskrivelse. I grundforløbet vil vi undersøge disse fire repræsentationsformer, og hvordan man oversætter fra én form til en anden. Vi sætter særligt fokus på de lineære sammenhænge, der i formelsprog skrives: y= ax+ b. I det videre matematikforløb går vi både på C, B og A i dybden med andre variabelsammenhænge. Vi begynder med en fortælling om et forsøg på at beskrive hele verdens tilstand ved brug af variabelsammenhænge.

6

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1. Grænser for vækst I 1972 udsendte en gruppe forskere knyttet til det amerikanske universitet MIT en bog med titlen Grænser for vækst (engelsk: The Limits to Growth). Det var en rap­ port om klodens tilstand og menneskehedens truede situation. Der har til alle tider været dommedagsprædikanter, som har forudsagt Jordens snarlige undergang, men denne rapport var anderledes. Forskerne havde konstrueret en global model - der siden er blevet forfinet flere gange - med det formål at undersøge fem centrale forløb af global betydning, som vist nedenfor. Rapporten har påvirket debatten siden. Magasinet Ingeniøren havde et temanummer om emnet i januar 2009, hvor forskere lavede sammenligninger af modellens forudsigelser og den faktiske udvikling: "Som den første har forskeren Graham Turner fra Commonwealth Scientific and Industrial Research Institution i Australien sammenlignet den faktiske udvikling siden udgivelsen af "Grænser for vækst" med de forskellige scenarier i bogen. Sammenligningen viser en god overensstemmelse mellem "standard rub­ scenariet fra andenudgaven af bogen fra 1974 (grønne kurver) og den faktiske udvikling (lilla kurver). I scenariet "comprehensive technology" (røde kurver) søges bæredygtighedsproblemerne løst kun ved hjælp af teknologi. I scenariet "stabilized world" (blå kurver) benyttes såvel teknologiske som socialpolitiske løsninger for at opnå en form for ligevægtstilstand." Befolkningstallets udvikling

b

o

3

2

o CM O CM

S

o CM

O

o

CM

Fødevareproduktion

— Stabilized world — Comprehensive tech — Standard run — Datagrundlag for “Grænser for vækst" • • Observerede data

7

Industrialiseringen og anvendelse af nye teknologier

Forureningen og forringelsen af miljøet Global forurening

— Stabilized world — Comprehensive tech — Standard run — Datagrundlag for "Grænser for vækst" • • Observerede data

Forbruget af uerstattelige ressourcer ressourcer

— Stabilized world — Comprehensive tech — Standard run — Datagrundlag for "Grænser for vækst” • • Observerede data

Disse fem sektorer er indbyrdes forbundne på mange måder, så udviklingen i den ene sektor vil være påvirket af udviklingen i alle de andre.

Øvelse 1.1

Beskriv med ord mindst fem eksempler på, hvordan én sektor er påvirket af andre sektorer.

8

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.2

På bogens website kan man finde yderligere materiale herom fra magasinet Ingeniøren.

Årsagen til, at rapporten fik en så enorm betydning og kom til at sætte dagsordenen for diskussionerne om klodens tilstand helt op til i dag, var med forskernes egne ord: "Fordi vores model er matematisk". Men forskergruppen bestod både af matematikere og af videnskabsmænd fra alle mulige andre fag. Samarbejdet på tværs af fagene var nødvendigt for at svare på så komplicerede spørgsmål. Ud fra forskernes viden om indbyrdes sammenhænge opstillede de diagrammer, som er gengivet herunder, hvor pilene betyder, at der er en påvirkning. Enhver påvirkning er forbundet med en vis tilbagekobling, som kan virke positivt eller negativt på den variabel, der påvirkes.

Tilbagekoblingsprocesser der styrer befolknings- og kapitalvækst

Den centrale tilbagekoblingsmekanisme i World3-modellen virke regulerende på eksponentiel vækst. Den relative styrke styrer befolkningstilvæksten og industrikapitalens tilvækst. af de forskellige tilbagekoblinger afhænger af mange andre De to positive tilbagekoblinger, der omfatter fodselstal og faktorer i systemet. investeringsrater, genererer eksponentiel vækstadfærd i befolkning og kapital. De to negative tilbagekoblinger, der involverer dødsfald og nedskrivning, har tilbøjelighed til at

I deres egne videnskabelige arbejdspapirer anvendte forskerne en særlig teknik (kaldet system dynamics forkortet SD) og et særligt symbolsprog, som netop var udviklet på MIT, og som var baggrunden for, at projektet blev placeret på dette uni­ versitet. Denne SD-teknik behandles på A-niveau under emnet: differentialligninger.

Jay Forrester (1918-2016) grundlagde i sit arbejde på MIT en helt ny gren af matematikken, System Dynamics.

9

Figur a Fødevareproduktion

Konstateret fodevaremængde

Andel af investeringer til vedligeholdelse af landbrugsjord Landbrugsinvesteringer pr. hektar

Forsinkelse i konstatering af fødevaremangel

Marginal multiplikator for jordudbytter på □rundlag af kapital

Konstateret ændnng i fodevaremængde Dyrkbar jord

Eksistensminimum

Landbrugsinvesteringer

Ændringer i landbrugsinvesteringer

Jordudbytter Fodev

ængde

Lobende / landbrugsinvestering

Andel af industriproduktion afsat til landbrug ■

Dyrkbar jord Samlel

landbrugs­ investering

Befolkning Produktionstab

Andel af hostet landbrugsareal

Tid tor iværksættelse af strategi

Gennemsnrliflig levetid investeringer af landbrugsinves

Andel af landbrugsinvestering afsat til jordforbedring

Indiceret fodevaremængde Industriproduktion pr. individ

Industriprodukton pr. individ

Ud fra en sproglig formulering af sammenhænge mellem de enkelte delelementer opstillede de diagrammer som det ovenstående over fødevareproduktionen. Med udgangspunkt i tabeller over sammenhørende værdier for faktorer som forure­ ning og fødselsrater, kornproduktion og fosfatressourcer osv., lavede de grafer og opstillede formler for de indbyrdes sammenhænge. Disse er lagt åbent frem og giver andre forskere muligheder for at efterprøve og kritisere. Endelig havde de fået adgang til computere, der kunne gennemføre de meget komplicerede beregninger og lave prognoser for, hvordan de fem forløb vil være under forskellige forudsætninger. Disse prognoser blev udarbejdet som grafiske forløb og rækker frem til år 2100. Den første kørsel (dvs. beregninger i modellen) skulle illustrere, hvordan de fem sek­ torer ville udvikle sig, hvis vi intet foretager os, men fortsætter med at producere og leve som hidtil. Sådanne prognoser lavet under bestemte forudsætninger kaldes for scenarier, og processen kaldes for en simulering. På de følgende sider ses resultatet af denne første simulering, kaldet Scenario 1 og derefter Scenario 9, der illustrerer udviklingen, hvis man strategisk vælger at begrænse familiens størrelse og dæmpe industriproduktionen. Ved siden af graferne ses forfat­ ternes egne kommentarer.

10

Tid for iværksættel af strategi

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Figur b Fødevareproduktion Jordfrugtbarhed

Industriudbytte i 1970

Scenario 1:

Fødevaremængde

Ønsket fødevaremængde

"Standardkørslen” fra Grænser for vækst: "Business as usual”

Verdenssamfundet fortsætter sin historiske udvikling så længe som muligt uden større ændringer af strategier. Befolkningstallet og industriproduktionen vokser, indtil en kombination af begrænsninger i miljø- og natur­ ressourcer eliminerer kapitalsektorens evne til at klare investeringerne. Industrikapitalen begynder at forringes, hurtigere end nyinvestering kan genoprette den. Efterhånden som den falder, sker der også en nedgang i produktion af fødevarer og i bevillinger til sundheds­ væsenet, så den forventede levealder falder, og dødelig­ heden stiger.

1900

2000

2100

11

Scenario 9:

Verden sætter sig i 1995 stabile befolkningstal og stabil industriproduktion som mål

Hvis verdensbefolkningen sætter både en ønsket fami­ liestørrelse med to børn og en bevidst dæmpet industri­ produktion pr. individ som mål, kan den opretholde en materiel levestandard, der er 50% højere end verdens­ gennemsnittet i 1990, i næsten 50 år. Forureningen fort­ sætter imidlertid med at vokse og udsætter landbrugs­ jorden for belastning. Fødevareproduktionen pr. individ falder og sænker efterhånden den forventede levealder og befolkningstallet.

Scenario 9 Verdens

Population

2100

Øvelse 1.3

a) Der er ikke afsat enheder på den lodrette akse (2. aksen). Hvad kan forklaringen være på det? b) Vælg to af kurverne ud i hvert af de to scenarier. Beskriv det grafiske forløb med ord som voksende, aftagende, maksimum og minimum. c) Forklar sammenhængen mellem forløbet af de to kurver, du har valgt ud.

Øvelse 1.4

Simuleringen foretages for perioden fra 1900 til 2100. Tallene fra de første ca. 100 år kender man jo. Hvad kan være forklaringen på, at de starter i 1900 og ikke i 1970? Eller at de i den opdaterede rapport ikke starter i 1990?

Øvelse 1.5

På bogens website kan man komme ind til en (engelsk) præsentation af The Limits to Growth, samt af kritikken og debatten herom. Endvidere er der henvisninger til hjem­ mesider, hvor man selv kan prøve at simulere.

12

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

2. Variable Når vi skal give en matematisk beskrivelse af et fænomen, anvender vi begreber, der kan tildeles talværdier, dvs. de har en størrelse, der kan måles. Sådanne begreber kaldes numeriske variable, eller blot: variable. Eksempler på variable kan være: befolk­ ningstallet, kornproduktionen eller oliereserverne. Det ligger i ordet variabel, at det ikke er en konstant talværdi, men at denne kan varie­ re. For omkring 400 år siden begyndte man at indføre symboler for de variable. Før den tid havde man talt om det med ord og kaldt en variabel for "tingen" eller lignende. Med indførelse af symboler blev det lettere at opstille og behandle ligninger. I matematik bruger vi nogle af de sidste bogstaver i alfabetet, x, y og z som symboler for de varia­ ble. Men vi følger også andre fags traditioner, så tiden betegnes ofte med t, temperatur betegnes T, tryk betegnes P, hastighed betegnes v osv. Der er ikke faste regler. I store modeller med flere hundrede variable giver man dem længere navne. I matematiske værktøjsprogrammer indfører man på samme måde de symboler, man synes er mest hensigtsmæssige - det kan være, tiden blot betegnes tid, befolkningstal betegnes bef, temperatur betegnes temp, en vinkel A betegnes va osv. Det er imidlertid ikke så meget størrelsen af befolkningstallet, men mere hvordan dette udvikler sig med tiden, eller under påvirkning af andre faktorer, vi interesserer os for. Det samme med de andre variable. Vi er interesserede i sammenhængen mellem de variable. Er der fx en sammenhæng mellem fødselsrater og udviklingen i befolknings­ tallet på den ene side og det gennemsnitlige indkomstniveau på den anden? Når vi opdeler de samlede ressourcer i reserverne af olie, kul, tin, fosfat, krom osv., kalder vi af og til dette for en opdeling i kategoriske variable (dvs. inddeling i forskellige kategorier). Det vil normalt være meningsløst at lægge mængden af tin og mængden af fosfat sammen. På samme måde opdeles befolkningstallet efter lande, efter aldersgrup­ per, efter køn osv. Inddelingen i aldersgrupperne: 0-15,16-25, 26-40, 41-65, 66-100 er en inddeling i kategoriske variable. Variable, der antager talværdier, kaldes som omtalt numeriske variable. I arbejdet med statistik gør vi udstrakt brug af betegnelserne kate­ goriske og numeriske variable. For hvert fænomen er der naturligvis en lang række forskellige ting, der kan indgå i en beskrivelse af det pågældende. Tager vi for meget med, bliver det uoverskueligt. Tager vi for lidt med, kan vi ikke bruge beskrivelsen til noget. I den forfinede model, der an­ vendes i den opdaterede rapport fra 1992, Hinsides grænser for vækst anvendes 225 variable. Modellen kaldes World3. Dette er en model for hele verdens udvikling. Når det drejer sig om mere beskedne fænomener, er der ofte kun nogle få variable i spil (se fx tabellen i øvelse 1.6).

13

Øvelse 1.6

Betragt denne tabel fra Danmarks statistik over udviklingen i gennemsnitsalderen for nye forældre: Gennemsnitsalder for fodende kvinder og nybagte fædre efter alder og tid 1980

1985

1990

1995

2000

2005

Gnsn.-alder for 1.-gangs-fodende kvinder

24,6

25,5

26,4

27,5

28,1

28,9

Gnsn.-alder for for fædre til nyfødte

30,0

30,8

31,4

32,2

32,6

32,9

a) Hvilke variable indgår her, og hvad fortæller tabellen om disse variable? b) Hvilke sammenhænge synes der at være?

De variable, der anvendes i beskrivelsen af et bestemt fænomen, skal vælges ud fra, hvad der er i fokus i vores undersøgelse. I det følgende præsenteres en række situa­ tioner og fænomener, og øvelserne går ud på at udpege nogle variable, der må være centrale i beskrivelsen af disse forhold, og samtidig overveje, hvilke variabelsammen­ hænge der kan være.

Øvelse 1.7

I faget idræt beslutter man at foretage en række målinger og undersøgelser for at få en beskrivelse af, hvor sunde og i hvor god form eleverne er. Undersøgelsen gennemføres for alle l.g-elever. a) Som kategoriske variable vælges bl.a. kon (dreng/pige), samt ja/nej til spørgsmålet: Spiser du morgenmad? Hvilke øvrige kategoriske variable kunne vi foreslå at under­ søge? b) Som numeriske variable vælger man at måle højde, vægt, hvilepuls ... Hvilke øvrige numeriske variable kunne vi vælge at måle på? c) Hvilke sammenhænge kunne det være interessant at undersøge? d) Hvilke variable kunne det være interessant at sammenligne på tværs af klasserne?

14

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.8

En forbrugerorganisation ønsker, at stearinlys skal kvalitetsmærkes. a) Hvilke kriterier kunne indgå i en sådan kvalitetsmærkning? b) Hvilke kategoriske variable kan vi indføre til at beskrive stearinlys? c) Hvilke numeriske variable kan vi indføre? d) Hvilke værdier kan de numeriske variable antage? e) Er der en sammenhæng mellem nogle af de variable, der er blevet udpeget?

Øvelse 1.9

Man har en række rør i to forskellige materialer (plast og metal). Rorene har desuden forskellige tykkelser og længder. I et eksperiment vil man undersøge, hvilke toner man kan frem­ bringe ved at slå på rørets ene ende. a) Hvilke kategoriske variable indgår i eksperimentet? b) Hvilke numeriske variable indgår i eksperimentet? c) Hvilke af de udpegede variable vil vi forvente har en sammenhæng? Øvelse 1.10

Samarbejde med naturvidenskabelige fag (NV)

{Vend evt. tilbage til øvelsen igen efter afsnit 1.3 og efter afsnit 1.7) I naturvidenskabelige fag opstilles og undersøges hypoteser om sammenhænge mel­ lem variable. a) Hvilke naturvidenskabelige fag indgår i gymnasiets fagrække? Hvilke fælles træk har disse fag? Hvad forstås ved en hypotese? Giv eksempler på hypoteser, som du har mødt i NV eller i naturvidenskabelige fag i folkeskolen. I kapitel 3 er der små uddrag af nogle kapitler om fagligt samarbejde mellem matema­ tik og andre fag. Disse kapitler indgår i Hvad er matematik? C og er tilgængelige på bogens website. Hent et eller flere af eksemplerne: Kraternedslag (matematik og fysik) side 61, Idealgasligningen (matematik og kemi) side 63, samt: Gærcellers respiration (matematik og biologi) side 68.

www.LR-web.dk/Lru/mi

b) Hvilke variable er i spil i det eller de eksperimenter, du betragter? Er der flere varia­ ble i spil, der kunne påvirke eksperimenterne, end de, der er omtalt i teksterne? c) Et centralt begreb i naturvidenskabelige forsøg er variabelkontrol. Hvad menes med dette? (Se evt. i eksemplerne i kapitel 3).

15

Øvelse 1.11

På bogens website kan du gennemføre en simulering af epidemimodeller på samme måde, som du gjorde ved modellen Grænser for vækst.

Øvelse 1.12

Vi vil undersøge svingningstiden for penduler. Penduler kan have forskellig længde, og der kan være hængt forskellige lodder på. a) Hvilke variable indgår i eksperimentet? b) Du kan evt. lave et rigtigt eksperiment, gerne i samarbejde med NV eller fysik. Via bogens website kan du finde en simulering af pendulbevægelser. Hold én af de variable fast, skru op og ned for den anden, og udfyld en lille tabel over variabel­ sammenhængen. c) Plot de sammenhørende værdier af de variable i et koordinatsystem, og beskriv sammenhængen med ord. Galilei opdagede først i 1600-tallet lovene for pendulsvingninger og en række andre naturvidenskabelige sammenhænge. Det omtales nærmere under emnet Potens­ modeller.

Øvelse 1.13

Et forskerteam har sat sig for at prøve at sammenligne ungdomsliv og ungdomskul­ turer for gymnasieelever i forskellige lande. De vil indhente informationer gennem et større spørgeskema. a) Hvilke kategoriske og hvilke numeriske variable kunne det være interessant at indføre? b) Er der blandt disse variable nogle sammenhænge, det kunne være særligt inter­ essant at undersøge?

Øvelse 1.14

Det Økonomiske Råd i Danmark har udviklet en matematisk model efter samme grund­ læggende principper, som ligger bag modellen World3, der anvendes af Grænser for vækst-projektet. Vismændenes model hedder SMEC (Simulation Model of the Economic Council), og den er udviklet med henblik på at kunne analysere forskellige scenarier afhængigt af, hvordan den internationale økonomi udvikler sig, hvordan danske økonomiske nøgletal ændrer sig, og hvilke politiske beslutninger der tages i Danmark. På bogens website er der et link til en beskrivelse af modellen samt en række opgaver i tilknytning dertil.

16

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

SMEC er grundlaget for et undervisningsmateriale, der hedder Vismandsspillet, som kan danne udgangspunkt for et studieretningssamarbejde mellem med matematik og samfundsfag. Vismandsspillet kan findes på bogens website.

Øvelse 1.15

Betragt en vilkårlig firkant og indfor variable for hver af de fire vinkler. a) Hvilke værdier kan de variable antage? b) Er der en sammenhæng mellem de variable? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.

Øvelse 1.16

Betragt en trekant med sidelængder a = 5 og b = 7. a) Indfør en variabel for den sidste side i trekanten. b) Hvilke værdier kan den variable antage? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.

3. Uafhængig og afhængig variabel I mange sammenhænge falder det naturligt at opdele to variable i henholdsvis den uafhængige og den afhængige variabel. Det er fx i de situationer, hvor man kan se, at ændringer i den ene variabel giver anledning til ændringer i den anden. Den anden variabel siges så at være afhængig af den første, som kaldes den uafhængige variabel. En sådan sammenhæng illustreres ofte med en pil: fx x -> y, der skal fortælle, at varia­ blen x har indflydelse på variablen y. Prøven er, om man kan danne en fornuftig sætning som: "(Variablen y) afhænger af (variablen x)". Her er et par eksempler: • Vi betragter en bestemt afgrøde. Udbyttet afhænger af den tilførte mængde gødning. • Vi betragter en lyskilde. Lysets intensitet afhænger af afstanden til lyskilden. • Vi betragter en større influenzaepidemi. Antal smittede afhænger af tiden, der er gået siden udbruddet.

17

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

I brugen af værktøjsprogrammer opdager man hurtigt styrken ved notationen f(x). Her navngiver man ved brug af definerende lighedstegn, som er en kombination af symbolerne kolon (dvs.:) og lighedstegn (dvs. =), således: f(x) := 4x + 1 Taster man herefter f(2), svarer programmet, at dette er 9.

4. Koordinatsystemet 4.1 Koordinatsystemet - en genial ide

Det moderne koordinatsystem er en genial opfindelse til at visualisere variabelsam­ menhænge. Lad os betragte en simpel sammenhæng mellem to variable, som vi

Men er variabelsammenhængen blot en smule mere kompliceret, vil en sådan grafisk fremstilling ikke være til megen hjælp. Hvis vi nu i stedet vælger at placere den anden akse lodret, og hvis vi bestemmer, at et punkt i denne plan fastlægges af henholdsvis den vin­ kelrette afstand x til andenaksen og den vinkelrette afstand y til første­ aksen, så har vi et koordinatsystem. Bindingen mellem de to punkter B og D repræsenteres her af det ene punkt P, som tegner et spor i koordinatsystemet, når B bevæger sig ud af førsteaksen og trækker D med sig. Det samlede "spor", der tegnes i koordinatsystemet kalder vi for grafen for den lineære funktion, der har regneforskriften y = 2x, eller f(x) = 2x. Vi behandler lineære funktioner grundigt i kapitlets afsnit 7 og 8 og vil blot her konstatere, at f(x) er givet ved et udtryk, der afhænger af x. Når x bevæger sig på x-aksen, så bevæger f(x) sig på y-aksen, mens P bevæger sig på grafen. Det centrale er, at det erx, der styrer funktions­ værdien f(x).

19

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

I brugen af værktøjsprogrammer opdager man hurtigt styrken ved notationen f(x). Her navngiver man ved brug af definerende lighedstegn, som er en kombination af symbolerne kolon (dvs.:) og lighedstegn (dvs. =), således: f(x) := 4x + 1 Taster man herefter f(2), svarer programmet, at dette er 9.

4. Koordinatsystemet 4.1 Koordinatsystemet - en genial ide

Det moderne koordinatsystem er en genial opfindelse til at visualisere variabelsam­ menhænge. Lad os betragte en simpel sammenhæng mellem to variable, som vi

Men er variabelsammenhængen blot en smule mere kompliceret, vil en sådan grafisk fremstilling ikke være til megen hjælp. Hvis vi nu i stedet vælger at placere den anden akse lodret, og hvis vi bestemmer, at et punkt i denne plan fastlægges af henholdsvis den vin­ kelrette afstand x til andenaksen og den vinkelrette afstand y til første­ aksen, så har vi et koordinatsystem. Bindingen mellem de to punkter B og D repræsenteres her af det ene punkt P, som tegner et spor i koordinatsystemet, når B bevæger sig ud af førsteaksen og trækker D med sig. Det samlede "spor", der tegnes i koordinatsystemet kalder vi for grafen for den lineære funktion, der har regneforskriften y = 2x, eller f(x) = 2x. Vi behandler lineære funktioner grundigt i kapitlets afsnit 7 og 8 og vil blot her konstatere, at f(x) er givet ved et udtryk, der afhænger af x. Når x bevæger sig på x-aksen, så bevæger f(x) sig på y-aksen, mens P bevæger sig på grafen. Det centrale er, at det erx, der styrer funktions­ værdien f(x).

19

4.2 Koordinatsystemets indretning

Vi arbejder i matematik og i mange andre fag ustandseligt med koordinatsystemer. Det er derfor vigtigt, at man uden vanskeligheder kan bevæge sig rundt i koordinat­ systemer og uden tøven kan afsætte punkter og aflæse på grafer i et koordinatsystem. 2. kvadrant (-.+) 3. kvadrant

1. kvadrant (+.+) 4. kvadrant

Definition: Koordinatsystemets kvadranter Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-).

(+-)

Øvelse 1.18

Tegn et koordinatsystem. Afsæt følgende punkter: P,(2,5), P2(-3,4), P3(-2,-6) og P4(1 ,-8) Øvelse 1.19

Aflæs på grafen svarene på følgende: 1. Nårx = 1, så ery = ... 2. Nårx =-2, så er y = ... 3. Nårx = 0, så ery = ... 4. Nåry = 12, erx= ... 5. Nåry = 0, erx = ...

Hvilke af følgende punkter ligger på grafen? 7. (3,-1) 8. (-1,3) 9. (3,1) 10. (-3,-1)

6. Nåry = 4, erx = ...

Praxis: Sådan afsættes de variable Når vi undersøger variabelsammenhænge i matematik, afsættes den uafhængige variabel altid ud af den vandrette 1. akse (x-aksen), og den afhængige variabel altid op af den lodrette 2. akse (y-aksen). I andre fag som samfundsfag og fysik, kan man derimod sagtens komme ud for, at den uafhængige variabel i stedet afsættes op ad den lodrette akse.

Øvelse 1.20

På bogens website ligger der eksempler fra fysik og samfundsfag, som viser, hvor­ dan man i disse fag af og til afsætter den uafhængige variabel op ad 2. aksen, og den afhængige ud ad 1. aksen.

20

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Praxis: Nogle regler vedrørende koordinatsystemer • 1. og 2. aksen skærer hinanden i (0,0). Men ofte vil det være uhensigtsmæssigt at tegne koordinatsystemet, så (0,0) er med. I så fald benyttes en koordinatboks, der viser det relevante udsnit af en graf, og hvor (0,0) ikke behover være med. • Hvis den uafhængige variabel fx er årstal, vil man afsætte de relevante årstal, fx fra 1970 til 2020, og måske markere årstallene 1970,1980,1990, 2000, 2010 og 2020.1 andre sammenhænge markeres hvert år. • Der skal angives enheder pa akserne. • Hvis det drejer sig om grafskitser, markeres af og til blot enheden pa hver af de to akser. Enhederne behover ikke være de samme pa de to akser. Men på hver af de to akser skal man anvende samme enhed langs hele aksen.

Øvelse 1.21

I øvelse 1.6 så vi på sammenhængen mellem alderen for førstegangsfødende kvinder og årstallet. Tegn en grafisk fremstilling af dette talmateriale.

Øvelse 1.22

Betragt følgende grafiske fremstilling

Folketal (summariske tal fra folketællinger)

2004

af udviklingen i befolkningstallet i Danmark. Hvad er der galt?

Øvelse 1.23

Tegn grafen for f(x) = lOx + 2 i tre forskellige koordinatsystemer, så billedet af grafen bliver svagt voksende, jævnt voksende og stærkt voksende.

Øvelse 1.24

Find selv en graf i en avis, og overvej, hvordan man kan manipulere med grafen ved at anvende forskellige enheder forskellige steder på akserne, eller ved at zoome ind eller ud.

21

5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge I dette afsnit koncentrerer vi os om sammenhængen mellem to numeriske variable. Variabelsammenhænge kan optræde på fire forskellige former. Vi kalder de fire forskellige former for tabel, graf, sprog og formel, og vi giver nu ek­ sempler på de fire former for repræsentationer.

Sprog

Formel

5.1 Tabelform

En variabelsammenhæng kan optræde i tabelform, hvor en række sammenhørende værdier af to variable er stillet overskueligt op i en tabel (af og til kaldet et sildeben). En elev gennemfører en test på en kondicykel, hvor han selv kan regulere be­ lastningen og samtidig aflæse henholdsvis den effekt, han yder og hans puls ved denne effekt. De to variable er her: effekt (målt i watt) og puls (målt i antal hjerteslag i minuttet). Tabellen, der præsenterer de sammenhørende værdier af de to variable, kan se således ud: Eksempel med måling af kondital Effekt

75

100

125

150

175

200

Puls

92

108

120

131

141

154

Styrken ved tabelform er, at vi her har en præcis dokumentation for alle ind­ samlede dataværdier. Svagheden er, at det kan være svært at se et mønster i dataværdierne.

5.2 Grafisk form

En variabelsammenhæng kan optræde i grafisk form, hvor den ene variabels talværdier aflæses på 1. aksen (x-aksen), og den anden variabels talværdier aflæses på 2. aksen (y-aksen). Til venstre ses først et eksempel på et sæd­ vanligt koordinatsystem med begyndelsespunkt (0,0). På næste side ses et med bokskoordinater, som viser et bestemt udsnit af et koordinatsystem, hvor akserne lægges, så det giver den bedste visuelle fremstilling af det grafiske billede, man ønsker at præsentere.

22

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Styrken i den grafiske form er, at den viser sammenhængen mellem de to variable på en mere dynamisk og overskuelig måde, end en tabel gør. Billedet til højre er en grafisk fremstilling af data fra tabellen i afsnit 5.1. Vi kan også aflæse sammenhørende værdier af de variable. Svagheden er, at nuancerne og de præcise data er skjult, så aflæsning giver normalt tilnærmede værdier. Aviserne er fulde af grafiske fremstillinger, netop fordi disse giver et hurtigt og visuelt overblik. Hvis den ene variabel fx er tiden (årstal), giver det et hurtigt overblik over, hvordan noget udvikler sig i en bestemt periode. Betragt grafen på denne figur, hvor de to variable er tiden og arbejdsløshedstallet i Danmark. Her kan man aflæse, at arbejdsløshedstalet nåede sit maksimum i denne periode i 2004, hvor der var ca. 170.000 arbejdsløse, og derefter faldt arbejdsløs­

Anm.: Bruttoledigheden er ikke opgjort for 2007. Kilde: AE’s prognose (grundforlob) marts 2010 og Danmarks Statistik.

hedstallet frem til 2008, hvor det igen begyndte at stige. Arbejdsløshedstallets minimum i perioden var knap 50.000.

— Ledighed — Bruttoledighed X Seneste udvikling

5.3 Sproglig form

En variabelsammenhæng kan optræde i sproglig form, hvor vi med almindeligt sprog formulerer en viden eller en antagelse om en sammenhæng mellem to variable. De fleste betaler fx for elektricitet på grundlag af deres forbrug. De to variable er her forbrug og pris. Den sproglige præsentation af variabelsammenhængen kan være: I X-købing Kommune betaler man en fast årlig afgift på 400 kr. for at være tilsluttet elnettet, samt en pris på 1,75 kr. pr. kWh, man forbruger (kWh: kilowatt-time). Styrken i den sproglige form er, at vi alle har et fælles sprog, som vi bruger, når vi kom­ munikerer med hinanden, med institutioner, gennem medier og mellem fag. Svaghe­ den er, at vi sjældent kan være lige så præcise med den sproglige form som med det matematiske sprog, og at problemstillinger hurtigt kan blive så komplekse, at almin­ deligt sprog ikke slår til. Det er jo derfor man har matematik. Se eksempler på bogens website.

5.4 Formeludtryk

En sammenhæng mellem to variable kan fremtræde som en formel, hvor den ene va­ riabel er lig med et regneudtryk, hvori den anden variabel indgår. Formeludtrykket kan anvendes til at udregne sammenhørende værdier af de to variable.

23

Eksempel: Ligningsløsning og beregning med formeludtryk

For en bestemt kobbertråd kan sammenhængen mellem de to variable, den elektriske modstand i tråden og trådens temperatur, udtrykkes ved formlen: y = 0,218x4-56 hvor x angiver kobbertrådens temperatur (målt i °C, der læses: "grader Celsius"), og y er modstanden (målt i Q, der læses "Ohm"). I matematik navngiver vi nu y som f(x). Kender man temperaturen, fx x = 30°C, kan modstanden udregnes ved at erstatte variablen x med værdien 30, dvs. f(30) = 0,218 30 + 56 = 6,54 + 56 = 62,54 Konklusion: Når temperaturen er 30°C, er modstanden 62,5 Ohm. Kender man modstanden, fx y = 65 Ohm, kan temperaturen tilsvarende findes ved at løse en simpel ligning, idet vi erstatter variablen y med værdien 65, dvs. 65 = 0,218x4-56 65-56 = 0,218 x 9 = 0,218 x 9 0,218 * 41,284 = x Konklusion: Modstanden er 65 Ohm, når temperaturen er 41,3°C. Bemærkning: Havde vi defineret f(x) := 0,218-x4-56, kunne vi have løst opgaverne ved henholdsvis at udregne f(30) og at løse ligningen f(x) = 65 med brug af solvekommandoen. I det videre matematikforløb vil vi komme nærmere ind på reglerne for løsning af ligninger. Styrken i formelsproget er, at det ofte afdækker en dybere sammenhæng mellem de variable, end vi umiddelbart kan se af et talmateriale eller en graf. Når sammenhængen er givet ved en formel, kan vi forholdsvis let svare på en lang række spørgsmål, som vi gav eksempler på ovenfor. Svagheden er, at vi med den modellering, der førte til for­ meludtrykket, har bevæget os fra den virkelige verden ind i matematikkens verden. Det er et nødvendigt skridt for at kunne løse problemer matematisk, men det er vigtigt at huske, at det er en model, som vi vælger at beskrive virkeligheden med, og at resulta­ ter beregnet ved hjælp af modellen efterfølgende skal oversættes til naturligt sprog for at give mening i virkeligheden.

Øvelse 1.25

Find eksempler på hver af de fire repræsentationsformer fra andre fag eller fra medierne.

Bemærkning: En variabelsammenhæng fra det virkelige liv kan meget sjældent re­ præsenteres helt præcist med et formeludtryk. Se eksempelvis grafen på forrige side. Men grafen repræsenterer stadigvæk en funktion. Vi behøver altså ikke at have alle

24

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

fire repræsentationsformer for at have en funktion. Den præcise definition af en lineær funktion gives i afsnit 8. Når vi ikke har et regneudtryk, kan vi imidlertid ofte finde en tilnærmet formelrepræsentation. Vi møder det første eksempel på dette i afsnit 7.

6. Oversættelse mellem repræsentations­ formerne for variabelsammenhænge Vi har ofte brug for at kunne oversætte fra én af de fire former for variabelsammen­ hænge til en af de tre andre.

Vi vil i det følgende give en række eksempler på oversættelse mellem disse repræsen­ tationsformer.

6.1 Tabeller og grafer - at indsamle data og at skaffe sig overblik

Tabelværdier fra den virkelige verden kan ikke altid forventes at følge en simpel mate­ matisk formel. Har man sådanne tabelværdier, er det normalt en god ide at begynde med at lave en grafisk fremstilling. Det kan så være, at det grafiske billede ligner noget, vi kender. Det illustrerer vi med et eksempel. Eksempel: Fra tabel til graf

Når man gøder jorden med kunstgødning, vokser høstudbyttet indtil et vist punkt. Der er grænser for, hvor stort et udbytte en bestemt afgrøde kan give. Og samtidig over­ stiger udgifterne til ekstra kunstgødning det beskedne ekstra udbytte. Det er vigtigt at kende denne sammenhæng, når man skal gøde. For en bestemt kornsort har man gennem forsøg fundet følgende sammenhæng: Kvælstofgødning (kg/ha) Høstudbytte (ton/ha)

0

20

40

60

80

100

120

1,43

2,31

3,08

3,95

4,65

4,90

5,11

Kilde: Thomas Vils Pedersen: Vækst, Matematiklærerforeningen 2005

25

For at få overblik laver vi nu et grafisk billede ved at plotte disse data i et passende koordinat­ system.

Sammenhang mellem hostudbytte og godning 1 |6 25 4

-Q T) JQ S O2

I de simpleste tilfælde ligger punkterne med god tilnærmelse på en ret linje. I sådanne tilfælde kan

•

vi med en teknik, der hedder regression, bestem­ me en graf, der tilnærmer datapunkterne nogen­ lunde, og vi kan yderligere bestemme formlen, der ligger bag denne graf.

1 n 20

40

60

80

100

120

140

Kunstgødning (kg/ha)

Regression er en vigtig teknik, som vi vil møde mange gange, første gang i afsnit 7: Lineær regression. I dette tilfælde med høstudbyttet ville vi imidlertid miste hele poin­ ten om gødningens effekt, hvis vi tilnærmede datapunkterne med en enkelt ret linje.

Øvelse 1.26

a) Giv en sproglig beskrivelse af det grafiske forløb, vi ser i eksemplet ovenfor. b) Hvorfor ikke tilnærme med en ret linje? Kunne man tilnærme med to linjestykker? Hilket skillepunkt skulle man vælge som forbindelsespunkt mellem de to linjestykker?

Øvelse 1.27

a) Beskriv med ord, hvad tallet 1,43 i tabellen siger om høstudbyttet. b) Betragt intervallet fra 0 til 20 kg kunstgødning. Hvor meget stiger udbyttet med? Hvor meget stiger udbyttet med pr. kg kunstgødning?

I eksemplet ovenfor med kunstgødning kunne vi godt få et nogenlunde klart indtryk af variabelsammenhængen ud fra tabellen, selv om det grafiske plot hjalp betydeligt. Det følgende eksempel illustrerer både tabellernes styrke og deres svagheder. Her er det nemlig ganske svært at se et mønster. Eksempel: Fra tabel til graf

Hos en forsøgsperson måles indholdet af insulin i blodet (målt i en enhed, der hedder pmol/l) i løbet af dagen. Målingerne er angivet i skemaet, hvor t er tiden (målt i minut­ ter). Morgenmaden indtages til tiden f = 0 og frokosten til tiden t = 240. Tid (min.) Insulin (pmol/l)

36

-15

30

60

285

11

83

120 180 240 270 300 360 420 480 30

22

172 404 213 145

Kilde: Thomas Vils Pedersen og Henrik Laurberg Pedersen, Noter til 'Matematik og databehandling’ ved KVL (Life), 2006.

26

61

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Data kopieres ind i et regneark og plottes i et koordinatsystem. Vi vælger her at forbinde målepunk­ terne med rette linjer (se grafen til højre). Den graf, vi har tegnet, giver nu mulighed for at aflæse en værdi for insulinindholdet til ethvert tidspunkt i perioden. Det er en tilnærmet værdi, da vi jo ikke kan vide, om insulinind­ holdet følger denne kurve i interval­ lerne mellem de afsatte datapunkter. Når vi ikke har en bedre viden om, hvordan en udvikling forløber, forbinder vi normalt målepunkter med rette linjer, fordi det giver den simpleste antagelse, nemlig at ændrin­ gen pr. tidsenhed er den samme i hele intervallet. Mange programmer har dog også mulighed for at forbinde datapunkterne med en blod kurve, en såkaldt "spline". Vi vender tilbage til dette i et projekt under emnet differentialregning på B-niveau.

Øvelse 1.28

Lægen vil normalt være interesseret i, hvad patientens eller forsøgspersonens gen­ nemsnitlige insulinindhold i blodet er. a) Se på tabellens tal, og giv et bud på det gennemsnitlige insulinindhold i tidsrummet fra 60 til 120. b) Se på grafen. Tegnes lodrette linjer i 60 og 120, får vi et trapez. Hvad er arealet af dette trapez? c) Hvad er sammenhængen mellem arealet af trapezet og udregningen af det gennem­ snitlige insulinindhold? d) Benyt tabellens data til at vise, at det gennemsnitlige indhold af insulin over hele perioden er ca. 134. Læg mærke til, at tidsintervallerne ikke er lige lange. e) Hvilken sammenhæng er der mellem tallet 134 og det samlede areal under grafen?

I det matematiske område på A-niveau, der hedder integralregning, lærer man bl.a. at udregne arealer afgrænset af mere komplicerede grafer. En beregning af tabelværdier og efterfølgende tegning af en graf kan bidrage til at løse forholdsvis komplicerede problemer. Det illustreres af følgende øvelse, der demonstre­ rer styrken i variabel begrebet.

27

Øvelse 1.29

Overvej undervejs, hvordan opgaven skulle være lost uden at indføre variable og uden brug af et koordinatsystem. Tag et stykke papir, fx et A4-papir. Papiret skal foldes til en "kasse" ved at klippe små kvadrater af hvert hjørne som vist på figuren. Spørgsmålet er: Hvordan foldes kassen, så rumfanget bliver størst muligt? Det ville være vanskeligt at svare på uden at indføre variable. Det gør vi nu med det delmål at få udfyldt tabellen nedenfor. Papirets længe I og bredde b er fa­ A afskær 1

0

2

1

3

2

4

3

5

4

6

5

7

6

8

7

9

8

10

9

11

10

B højde

C længde

D bredde

E rumfang

ste mål, som kan måles. Sidelæng­ den i de ens kvadrater er den uaf­ hængige variabel, som vi betegner med afskær. Kassens dimensioner er fastlagt ved dens højde, længde og bredde. Rumfanget er endnu en variabel. Vi har nu følgende fem variable i spil: afskæret, højden, længden, bredden og rumfanget af kassen. Overvej, hvilke sammenhænge der er mellem de forskellige variable, og benyt disse sammenhænge til at udfylde en tabel i et regneark som det viste. Giv derefter et bud på dimensioner­ ne for den kasse, der får det største rumfang, idet tabellen benyttes til at fremstille relevante grafer.

6.2 Sprog og formler - at opstille og at tolke formler

Der er flere, der kan læse dansk, end der kan læse formler. Når man skal betale for en ydelse som fx forbrug af vand, brug af mobiltelefon eller kørsel med en taxa, er det sjældent, man får prisen eller regningen præsenteret ved hjælp af en formel. Af og til illustreres priserne ved hjælp af en tabel, men oftest sker det på en sproglig form som i følgende eksempel.

28

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Eksempel: Opstil en formel

Prisen for at køre med et bestemt taxafirma beregnes ud fra et startgebyr på 25 kr. plus en km-takst på 17,50 kr. for hver kørt km. Vi vil indføre passende variable og op­ stille en ligning eller en formel, der beskriver sammenhængen mellem de variable. Lad x angive antal kørte km i kr., og lad y angive den samlede pris for hele turen i kr. For hver km skal der betales 17,50 kr. Forx km skal der derfor betales: 17,5 • x kr. Så er sammenhængen mellem de to variable udtrykt som en formel: y = 7,5 • x + 25

Øvelse 1.30

En voksen mand forbrænder alkohol med en hastighed af ca. 12 g i timen. En person har drukket meget alkohol og har 100 g alkohol i blodet, da han stopper. Indfor pas­ sende variable, og opstil en ligning for, hvordan mængden af alkohol i blodet afhænger af antallet af timer, efter at personen stoppede med at drikke.

Eksempel: Proportionalitet

Meget ofte ser man i butikker, at "stykprisen er...“, eller at "prisen pr. kg er...". Hvis prisen pr. kg æbler er 18,50 kr., så koster x kilo y = 18,5 ■ x . Generelt siger vi, at når sammenhængen mellem de to variable har formen y = a ■ x, så er x og y proportionale med proportionalitetsfaktoren a. Det er et fænomen, man også ofte møder i fysik. Vi vender tilbage til dette efter grundforløbet under emnet Potensmodeller.

Øvelse 1.31

Når et legeme, fx en bil, bevæger sig, så bærer det en vis mængde bevægelsesenergi med sig. Kører bilen frontalt ind i et træ eller en mur, udløses hele denne energi på én gang, ofte med dramatiske følger. Hvordan beregner vi den energi? I fysik lærer man, at der gælder følgende: Bevægelsesenergien er både proportional med massen (af bilen) og proportional med kvadratet på hastigheden. Indfør passende variable, og opstil en formel for sammenhængen mellem bevægelses­ energi, hastighed og masse.

Når man har en vis erfaring med at opstille ligninger og formler ud fra sproglig beskri­ velse, så lærer man også at "afkode" og fortolke sådanne udtryk. En fortolkning vil normalt indebære, at man beskriver konstanternes betydning. Dette illustreres med det næste eksempel.

29

Eksempel: Fortolkning af en formel

Antallet af landbrug i Danmark kan for perioden 1983-1995 med god tilnærmelse be­ skrives ved modellen: y=-2600x + 98680 hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983. Vi vil undersøge, hvad tallene 98680 og -2600 fortæller om udviklingen i antallet af danske landbrug i perioden 1983-1995. Vi opstiller modellens formel som et funktions­ udtryk og definerer: f(x) := -2600 ■ x + 98680. x er 0 i 1983. Hvis vi indsætter x = 0 i f(x), kan vi beregne antallet af landbrug i 1983. Vi kan anvende værktøjsprogrammets udregning af f(0) som kontrol, men her udregner vi det "i hånden" for at se, hvad der sker: f(0) = -2600 • 0 + 98680 f(0) = 98680 Dvs. 98680 er antallet af landbrug i 1983. Vi kalder ofte sådanne tal for startværdien eller begyndelsesværdien, fordi det er værdien, nårx = 0. Nårx = 1, er der gået 1 år, og årstallet er 1984. y udregnes ved at indsætte x = 1 i f(x): f(1) = -2600 • 1 + 98680 f(1) = 98680 - 2600 = 96080 Antallet af landbrug er altså faldet med 2600. Hvis vi havde udregnet værdien af y, henholdsvis nårx = 10, dvs. i år 1993, og når x = 11, dvs. i år 1994, ville vi se det samme: Antallet af landbrug faldt fra 1993 til 1994 med 2600 og tilsvarende for ethvert andet par af årstal med et års mellemrum. Vi kan derfor lave følgende konklusion: I 1983 var der ifølge modellen 98680 landbrug, og antallet er siden faldet med 2600 om året. Vi vender tilbage til dette i afsnit 8, Lineære funktioner.

Øvelse 1.32

I en bestemt kommune kan sammenhængen mellem en families årlige vandforbrug og udgifterne hertil beskrives ved modellen y = 38x + 450, hvor y angiver udgifterne til vand (i kr.), og x angiver vandforbruget (i m3). Hvad fortæller tallene 38 og 450 om udgifterne til vand?

6.3 Grafer og sprog - at beskrive og at skitsere grafer

I Grænser for vækst finder man det grafiske forløb af et scenario, hvor det antages, at menneskeheden har adgang til dobbelt så store ressourcer, som man kendte i 1990:

30

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Scenario 2:

Fordoblede ressourcer i forhold til Scenario 1

Forurening Ressourcer

Population

1900

2000

Hvis vi fordobler den tilgæn­ gelige ressourcemængde, vi forudsatte i Scenario 1, kan in­ dustrien vokse 20 år længere. Populationen stiger til 9 mia. i 2040. Disse forhøjede niveauer skaber mere forurening, hvilket nedsætter jordens ydeevne og tvinger til meget større inves­ teringer i landbruget. Efterhån­ den får den faldende føde­ varemængde dødeligheden i befolkningen til at stige.

2100

Vi vil beskrive forløbet af to af kurverne: 1) Ressourcer og 2) Population. I beskrivelsen anvendes en række centrale begreber, der helt generelt anvendes, når man skal beskrive et grafisk forløb. For begge kurver løber den uafhængige variabel, tiden, i intervallet fra 1900 til 2100. Det interval, den uafhængige variabel løber i, kalder vi også definitionsmængden. Ad 1) Grafen over ressourcerne

Mængden af tilgængelige ressourcer er aftagende i hele perioden. Faldet pr. år bliver større og større indtil ca. 2040, hvorefter det ser ud til, at faldet over en årrække er stabilt. Dette kan ses af, at kurven først krummer nedad - hvis vi lader en lineal følge kurven kan vi se, at denne starter med at være næsten vandret og efterhånden peger mere og mere stejlt nedad indtil ca. 2020 - og derefter med tilnærmelse er retlinjet i intervallet fra 2020 til 2060. Efter ca. 2060 bliver faldet pr. år mindre og mindre kurven krummer opad - og det kan se ud til, at mængden af tilgængelige ressourcer stabiliserer sig, fordi grafen slutteligt igen nærmer sig vandret. (Det er der naturligvis en ydre forklaring på: Industriproduktion og landbrugsproduktion er faldet dramatisk). Ad 2) Grafen over populationen

Populationen (befolkningstallet) er voksende frem til ca. 2040, hvor befolkningskurven har et maksimum, hvorefter populationen er aftagende. Det ser ud til, at populationen når et minimum omkring år 2090 og herefter igen vokser svagt. Dette minimum er stadigvæk højere end befolkningstallet i starten af hele perioden. Et sådant minimum, der ikke er den mindste værdi i hele perioden, kaldes af og til et lokalt minimum. Ikke alene befolkningstallet, men også befolkningstilvæksten pr. år er stigende i de første 100 år. Dette kan ses af, at kurven krummer opad. linder emnet differentialregning på B- og A-niveau, vil vi få nogle værktøjer, hvormed vi mere præcist kan beskrive det grafiske forlob med henblik på vendepunkter og krumning.

31

Øvelse 1.33

a) Fremstil en liste over de begreber, der er anvendt i beskrivelsen ovenfor, og forklar betydningen af hvert enkelt begreb. b) Beskriv det grafiske forløb af de tre andre kurver ved brug af samme begreber, som er anvendt ovenfor. Øvelse 1.34

Beskriv grafen, der er tegnet i øvelse 1.19 med brug af samme begreber, som er an­ vendt ovenfor.

Praxis: Monotoniforhold

Når vi skal angive monotoniforhold for en variabelsammenhæng, betyder det, at vi skal beskrive det samlede grafiske forløb med brug af begreberne voksende og aftagende.

Den sproglige beskrivelses styrke er, at den i kort form fanger noget væsentligt ved kurven. Selv om det også er dens svaghed, idet beskrivelsen kun fanger nogle få over­ ordnede karakteristika, så er det somme tider tilstrækkeligt til at give et hurtigt visuelt indtryk, som følgende eksempler kan illustrere. Eksempel: Afkøling

Efter at have skænket en kop varm, nybrygget kaffe bliver vi optaget af noget andet, og kaffen afkøles. Vi vil nu uden et tabelmateriale skitsere en mulig graf, der kan beskrive afkølingen. De to variable er kaffens temperatur (målt i grader) og tiden (målt i minutter), der er gået, siden kaffen blev hældt op. Temperaturen afhænger af tiden, så temperaturen er den afhængige variabel, der afsættes op af 2. aksen, og tiden er den uafhængige variabel, der afsættes ud af 1. aksen. Vi kan sætte tal på akserne, svarende til de værdier hver af de to variable vil kunne antage, men i sådanne opgaver er det ikke afgørende, hvor hurtigt kaffen afkøles, men at vi med en grafskitse får fat i det væsentlige. Vores erfaring med afkøling af varme ting siger, at temperaturen falder relativt hurtigt i starten og relativt langsomt, når det allerede er kølet betydeligt ned. Almindelig sund fornuft siger, at kaffen ikke bliver koldere end omgivelsernes temperatur, så der er en nedre grænse for kurven. På baggrund af disse overvejelser får vi et grafisk forløb som vist her.

Øvelse 1.35

Sigtbarheden i vand aftager med dybden. Indfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem sigtbarhed og vanddybde.

32

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

6.4 Formler og grafer - at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift

Udbyttet af en afgrøde afhænger af mange faktorer: jordbund, klima, vand samt tilførte næringsstoffer i form af gødning. Vi vil se på sammenhængen mellem udbyttet, som vi kalder U (målt i ton pr. hektar), og gødningsmængden, som vi betegner t (målt i ton NPK-godning pr. hektar). Vi ser således bort fra de øvrige variable. Der er erfaring for, at sammenhængen mellem de to variable kan beskrives ved formlen: U = ^ + 10 t+1 Hvad er de karakteristiske egenskaber ved denne sammenhæng? Det kan være svært umiddelbart at overskue en sådan variabelsammenhæng. Derfor er det relevant for forståelsen af udtrykket at få tegnet en graf. Et værktøjsprogram ud­ regner internt en passende tabel over datapunkter og forbinder dem med meget korte linjestykker, så grafen fremstår som en blød kurve. Øvelse 1.36

a) Tegn i et værktøjsprogram grafen for udbyttet som funktion af gødningsmængden. Definer fx U som en funktion af t med den givne forskrift: U(t) := ^01 +1 o b) Beskriv grafens forlob, og overvej, hvilken definitionsmængde der er relevant i denne sammenhæng. c) I formlen indgår tallet 10. Giv en fortolkning af, hvad denne konstant fortæller om gødningsmængden og udbyttet.

Øvelse 1.37 (især for B- og A-niveau)

Opfølgning på øvelse 1.29 a) Konstruer en dynamisk model af den udfoldede kasse i et passende geometripro­ gram, og benyt denne til at fastlægge det maksimale rumfang. b) Overvej, hvordan højde, længde og bredde afhænger af afskæret x, og benyt dette til at bestemme en regneforskrift for rumfanget 1/ som funktion af afskæret x. c) Hvilke værdier kan x antage? Disse tilladte x-værdier kaldes også definitionsmæng­ den for V, og betegnes Dm(V). Spørgsmålet om at bestemme det størst mulige rumfang, kan nu omformuleres til et rent matematisk spørgsmål: Bestem x, så l/(x) er størst muligt. d) Tegn grafen for rumfanget 1/ som funktion af afskæret x. Benyt denne til at besvare spørgsmålet. En sådan opgave kaldes en optimeringsopgave, fordi vi skal finde den optimale løsning på et problem. Denne opgavetype vil vi arbejde videre med på B- og A-niveau.

Opgaver

I kapitel 4 ligger en række opgaver, der udbygger og træner det, vi har gennemgået i eksemplerne og øvelserne i afsnit 6.

7. Lineær regression (I øvelserne i dette afsnit kan man som nævnt gøre brug af datamateriale fra kapitel 3.) Når ammoniumnitrat opløses i vand, falder vandets temperatur. Temperaturen er såle­ des afhængig af, hvor meget ammoniumnitrat, der er opløst. I en forsøgsrække benyt­ tes forskellige mængder ammoniumnitrat, der hver gang opløses i 170 g vand. Vandets starttemperatur er 22°C. Skemaet viser opløsningens sluttemperatur. Opløst mængde ammoniumnitrat (g) Opløsningens temperatur (°C)

5,4

11,2

24,3

29,8

38,1

21,0

16,9

13,6

11,1

6,0

Kopier tabellen over i dit værktøjsprogram, så du kan arbejde med data. Lad os betegne mængden af ammoniumnitrat med A og opløsningens temperatur med T. Herunder ses en grafisk fremstilling af de fem målepunkter. Det ser ud som om, de ligger nogenlunde på en ret linje. Frembring punktplottet i dit eget værktøjs­ program. I stedet for blot at tegne en graf fra målepunkt til målepunkt, vælger vi at tro på, at der er en lineær sammenhæng mellem de to variable, dvs. at der bag målepunkterne så at sige lig­ ger nogle ideelle teoretiske værdier, som vi ikke umiddelbart kan se. De teoretiske værdier ligger præcist på en ret linje, men bl.a. på grund af måleusikkerhed ligger de målte værdier svarende til datapunkterne spredt tilfældigt rundt omkring denne teoretiske linje. Værktøjsprogrammerne har en indbygget metode til at tegne den lineære graf, der pas­ ser bedst muligt til målepunkterne, samt beregne en regneforskrift for den tilhørende lineære funktion. "Bedst muligt" bygger selvfølgelig på en vedtagelse om, hvordan vi måler dette. Men hvordan afgør programmet, hvad der er "bedst muligt"?

Definition: Regressionslinje Den linje, der passer bedst muligt til givne datapunkter, kaldes regressionslinjen (af og til tendenslinjen), og vi siger, at linjen er fremkommet ved at lave lineær regression. Bedst muligt er bestemt ved mindste kvadraters metode.

Mindste kvadraters metode dækker over en kompliceret matematisk teori, som vi be­ handler på A-niveau, men også løfter lidt af sløret for her.

34

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.38 Lineær regression: Graf og formel

a) Plot datapunkterne. Du får nu et billede, der gerne skulle ligne illustrationen ovenfor. b) Plot en linje med ligning y = a x + b i samme grafiske billede som datapunkterne, og udnyt værktøjsprogrammets mulighed for at eksperimentere med parameter­ værdierne a og b, så linjen følger punkterne "bedst muligt" ifølge dit øjemål. Noter værdierne og sammenlign i klassen. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer).

www.LR-web.dk/Lru/m

c) Udnyt nu værktøjsprogrammets muligheder til at udføre lineær regression på data­ materialet og til at få tegnet regressionsgrafen sammen med datapunkterne. Dit grafiske billede skal gerne ligne illustrationen nedenfor (evt uden kvadraterne). Dette er en grafisk repræsentation af den matematiske model, som beskriver data "bedst muligt". (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer).

www.LR-web.dk/Lru/m

d) Værktøjsprogrammet har samtidig givet dig en regressionsforskrift, der gerne skal være f(x) = -0,42 • x + 22,83. Anvend := til at definere en funktion med regneforskrift lig med den formel, programmet har beregnet, så du kan regne videre med den. Dette er en formel-repræsentation af den matematiske model. e) Benyt funktionsforskriften til at bestemme opløsningens temperatur, når der er opløst 15 g ammoniumnitrat. f) Benyt solvekommandoen til at løse ligningen f(x) = 10, og giv en fortolkning af resultatet.

På figuren er afvigelserne mellem datapunkterne og regressionslinjen repræsenteret ved kvadrater. Summen af kvadraternes areal er et mål for den samlede afvigelse mellem datapunkterne og regressionslinjen. Regressionslinjen er netop valgt, så summen af kvadra­ terne er mindst mulig. Det er derfor metoden kaldes mindste kvadraters metode. Sammen med regneforskriften for regressionslinjen, udregner værktøjsprogrammet et mål (dvs. et tal) for, hvor godt den matematiske model passer med de oprindelige punkter, dvs med de empiriske værdier. Dette mål, som er tæt knyttet til summen af kvadraternes areal, har i matematik symbolet r2 og

På A-niveau vil vi under emnet differentialregning vende tilbage til teorien og historien bag denne mindste kvadraters metode.

kaldes ofte med et lidt misvisende begreb for forklaringsgraden. Tallet r2 ligger altid mellem 0 og 1. Matematisk set er det sådan, at hvis datapunkterne ligger perfekt på regressionslinjen, så er r2 = 1. Men selv om tallet r2 er tæt på 1, og regressionslinjen passer godt til punkterne, så der er en fin matematisk sammenhæng, så kan vi ikke vide med sikkerhed, at der også er en egentlig årsagssammenhæng.

35

Sammenhæng er nemlig normalt et spørgsmål om årsags-sammenhæng, og handler vores målepunkter om noget fra virkeligheden, eller er de resultat af et eksperiment, så skal andre fag bidrage til at afgøre, om der også er tale om en årsagssammenhæng og ikke kun en matematisk sammenhæng. Eksempel: Sammenhæng mellem antal storke og antal fødsler

Gennem 1960’erne og 1970’erne faldt antallet af storke og antallet af fødsler i Danmark på en så­ dan måde, at de to kurver i en kortere periode til en vis grad matchede hinanden. Men derfor kan vi ikke slutte, at der er en årsagssammenhæng. Til højre er vist den "fine" grafiske sammenhæng.

Antal ynglende storkepar

Eksempel: Regressionslinjer og statistik

Når vi senere på B-niveau lærer statistik og specielt fordyber os i, hvad det vil sige at teste en hypotese, så vil vi møde begreberne observerede og forventede værdier. Dette er også hvad der er i spil her: Datasættet, dvs. de empiriske værdier, svarer til begrebet observerede værdier, mens modelværdierne svarer til begrebet forventede værdier, nemlig forventede under antagelse af hypotesen om, at der faktisk er en lineær årsagssammenhæng.

7.1 Residualplot

Tallet r2 beregnes ved en kompliceret formel, så der er ikke en simpel sammenhæng mellem dette tals størrelse på den ene side, og hvor god den lineære sammenhæng er på den anden side. Du kan på bogens website læse mere om r2 og om nogle af de fælder man kan falde i, når man fortolker tallet. Et bedre værktøj til at svare på, hvor godt modelværdierne passer med måledata, er det såkaldte residualplot. Et residualplot giver et grafisk billede af forskellen mellem de empiriske dataværdier og de beregnede modelværdier. Vi kan derved få et visuelt indtryk af, om forskellen mellem model og virkelighed kan tilskrives tilfældigheder, eller om den synes at være systematisk og dermed udtryk for, at der er nogle sammenhæn­ ge, vi ikke har styr på.

Øvelse 1.39

Lineær regression: Tabel og residualplot

a) Anvend regneforskriften, du fandt i øvelse 1.38 d), til at udregne modelværdier for temperaturen svarende til de uafhængige va­ 2

•

i

•

o

10 •

-1

20

•

30

-2

Residualplottet knyttet til datasættet.

36

.40

riable (dvs. mængden af opløst ammoniumnitrat) i tabellen. Angiv modelværdierne i din tabel i regnarket. Dette er en tabel-repræ­ sentation af den matematiske model. b) Opstil selv en tabel over residualerne, dvs. forskellen mellem de empiriske værdier og de netop udregnede modelværdier for temperaturen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

c) Plot residualerne som funktion af den uafhængige variable (den opløste mængde am­ moniumnitrat). Det ligner forhåbentlig illustrationen. Dette er residualplottet knyttet til

www.LR-web.dk/Lru/m

modellen. d) Værktøjsprogrammet kan automatisk udregne residualerne og tegne et residualplot. Få programmet til at udføre dette. Det ligner forhåbentlig det plot, du selv udførte. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvor­ •• 0,4 dan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). 0,2

e) Kommenter kvaliteten af modellen på baggrund af residualplottet. Her omtales som nævnt normalt stør­ relsen af afvigelserne mellem de empiriske data og modelværdierne, samt om disse afvigelser har en systematisk karakter eller ser tilfældige ud.

••

n 0,5«

1

1,5*

2

2,5

-0,2 -0,4

••••

Et residualplot, der hører til et andet datasæt og en anden model, hvor r2 = 0,95. Afvigelserne er systema­ tiske (de ligger på en "kæde"), så modellen er ikke god.

Praxis: Fremgangsmåde ved lineær regression Vi har givet et datasæt. Opgaven går ud på at opstille den bedst mulige lineære model ved anvendelse af regression. Heri ligger et krav om, at vi skal anvende alle punkterne. 1. Indskriv datapunkternes uafhængige og afhængige værdier i det format dit værktøjsprogram kræver for at udføre regression. 2. Plot datapunkterne som en dokumentation af det rimelige i at udføre lineær regression. 3. Få værktøjsprogrammet til at udføre lineær regression og angiv a og b -værdierne samt regnefor­ skriften som svar på opgavens spørgsmål. 4. Benyt værktøjsprogrammet til at tegne residualplottet, og kommentér, hvorvidt "kravet" om tilfældig fordeling af datapunkterne i forhold til grafen er overholdt.

Opgaver

I kapitel 4 findes en række opgaver om emnet lineær regression.

8. Lineære funktioner f(x) = ax + b Vi skal i dette afsnit se nærmere på den lineære funktion og dennes karakteristiske egenskaber. For at gøre det, er vi nødt til at have en præcis sprogbrug.

Definition: Lineær funktion En variabel y siges at være en lineær funktion af en anden variabel x, hvis der findes to tal a og b, så vi kan skrive sammenhængen pa formen: y = ax + b eller f(x) = ax + b, fordi f(x) = y. Vi kalder b for konstantleddet (eller begyndelsesværdien) og a for hældnings-koefficienten (eller stigningstallet). Bemærk, at ax altid betyder a • x.

37

Øvelse 1.40

Angiv konstantled og hældningskoefficient for følgende lineære funktioner: 1) f(x) = 7x + 23

2) f(x) = 3,9x - 12

3) f(x) = 0,2x

4) f(x) = -2,2x + 0,5

5)f(x) = x-100

6) f(x) =-x + 5

7) f(x) = 5

8) f(x) = 0

Definition: Grafen for en funktion Grafen for en funktion, der er givet ved en regneforskrift, består af alle de punk­ ter (x,y), der passer ind i regneforskriften.

At et talpar passer ind i regneforskriften betyder, at ligningen er sand, når vi indsætter talparret. Betragt fx den lineære funktion f(x) = 4x + 7. Punktet (2,15) tilhorer grafen, fordi f(2) = 4 • 2 + 7 = 15, og y = 15. Punktet (-3,-6) ligger ikke på grafen, fordi f(-3) = 4 • (-3) + 7 = -5, og y = -6.

Øvelse 1.41

Betragt den lineære funktion f(x) = -3x + 10. Bestem tre punkter, der tilhører grafen.

Øvelse 1.42

Betragt den lineære funktion f(x) = 2x - 3. a) Hvad er konstantleddet, og hvad er hældningskoefficienten? b) Udfyld sildebenet nedenfor. X

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y = f(x) c) Forklar ud fra sildebenet betydningen af b og a. d) Afsæt punkterne i et koordinatsystem, hvor x afsættes ud ad 1. aksen, og y op ad 2. aksen. e) Hvad er den grafiske betydning af konstantleddet b? f)

38

Hvad er den grafiske (geometriske) betydning af hældningskoefficienten a?

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.43

Vi vil her eksperimentelt undersøge, hvilken indflydelse a og b har på grafens forløb. Benyt dit værktøjsprogram til at tegne grafen for en funktion med forskriften f(x) = a -x+b, hvor værdien af de to konstanter a og b fastlægges ved hjælp af "skydere". Lad fx b løbe i intervallet fra -10,0 til 10,0, og lad a løbe i intervallet fra -4,0 til 4,0. a) Anvend variabelkontrol, hvor a holdes fast og b varieres. Hvilken betydning har b for grafens forløb? b) Anvend variabelkontrol, hvor b holdes fast, og a varieres. Hvilken betydning har a for grafens forløb?

Eksempel: Bevis for a- og b-tallenes betydning

Betragt en lineær funktion med forskriften f(x) -ax + b Det præcise argument for konstantleddets og for hældningskoefficientens egenskab er følgende: Konstantleddet b. Hvis vi indsætter x = 0 i formlen, får vi f(0)=a-0 + b = 0 + b = b Konklusion: b ery-værdien, nårx-værdien er 0. Hældningskoefficienten a. Se på et vilkårligt punkt på grafen med koordinater (x„ y,). Da punktet ligger på grafen, må der ifølge definitionen på en graf gælde, at y, = a ■ x, + b . Lad nu x, vokse med 1, dvs. vi går 1 frem på x-aksen og når derved frem til punktet (x2, y2), hvorx2 = x, + 1. Den tilsvarende y-værdi, som vi altså kalder y2, er derfor givet ved y2 = ax2 + b y2 = a • (x, + 1) + b y2 = a ■ x, + a ■ 1+ b y2 = a ■ x, + b + a

Ifølge forskriften Vi har indsat x2 = x, + 1 Parentesen er ganget ud Leddene byttes rundt

De første to led på højre side genkender vi som højre side i ligningen med y,, så vi ind­ sætter yi i stedet for disse to led og får: y2 = y. + a Konklusion: Når den uafhængige variabel x vokser med 1, vokser den afhængige variabel y med a. Bemærk: Hvis a er et negativt tal, vil y-værdien aftage, nårx-værdien vokser. Gennemfør selv argumentet for følgende: Nårx-værdien vokser med 2, så voksery-værdien med 2a. Nårx-værdien vokser med 3, så voksery-værdien med 3a. En tilvækst i x-værdien kaldes ofte Ax, og tilsvarende kaldes en tilvækst i y-værdien Ay. Når x-værdien generelt vokser med Ax, så vokser y-værdien med a • Ax, dvs. Ay = a • Ax. y-tilvæksten er altså proportional med x-tilvæksten.

39

Vi sammenfatter dette afsnit i en sætning.

Sætning 1: Den grafiske betydning af a og b for funktioner med forskrift f(x) = ax + b. 1. Grafen skærer y-aksen i punktet (0,b). 2. Når a er positiv, er f(x) = ax + b en voksende funktion. Nårx-værdien vokser med 1, vokser y-værdien med a. Nårx-værdien vokser med Ax, så vokser y-værdien med a ■ Ax, dvs. Ay = a ■ Ax. 3. Når a er negativ, er f(x) = ax + b en aftagende funktion. Nårx-værdien vokser med 1, aftagery-værdien med a. Nårx-værdien vokser med Ax, så aftagery-værdien med a • Ax, dvs. Ay = a • Ax. 4. Når a er 0, er y = ax + b en konstant funktion y = b.

8.1 Grafen for lineære funktioner

Selv om man kunne synes, det ligger i navnet, at grafen for en lineær funktion må være en ret linje, så skal man passe på. Det er bare et navn, vi har givet bestemte funktioner, nemlig dem, der kan beskrives ved en forskrift af typen f(x) = ax + b. Men følgende sætning fortæller at navnet lineær funktion er velvalgt.

Sætning 2 1. Enhver ret linje, der ikke er lodret, er graf for en lineær funktion. 2. Grafen for en lineær funktion er en ret linje, der ikke er lodret.

Bevis (især for A-niveau)

Beviset kan ses på bogens website.

Øvelse 1.44

Man kan anvende sætning 1 til at oversætte fra graf til formel og hurtigt skitsere grafer ud fra regneforskrifter, når det drejer sig om lineære funktioner. a) Bestem en forskrift for hver af de lineære funktioner, der har følgende rette linjer som grafer:

40

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

b) Tegn i hånden graferne for: 1) f(x) = 2x + 3

2) f(x) = -x-2

3) f(x) = ^x + 1 3

8.2 Regneforskrift for den lineære funktion

Hvis der i et koordinatsystem er givet to punkter, bestemmer de en ret linje, og hvis en sådan ret linje ikke ligger lodret, er den graf for en bestemt lineær funktion f(x) = ax + b. Regneforskriften for denne lineære funktion må derfor kunne bestemmes, dvs. vi må kunne finde tallene a og b. Når en opgave lyder, bestem den lineære funktion, hvis graf går gennem to givne punkter, betyder det, at vi skal bestemme de to konstanter a og b og konkludere ved at opskrive formlen f(x) = ax + b, med de to konstanter indsat. Eksempel: Beregning af forskriften ud fra 2 punkter

Vi vil bestemme forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne (3,5) og (8,15). Metode 1

Forskriften for den lineære funktion er f(x) = ax + b. Først danner man sig et overblik ved hjælp af en tabel, idet vi husker, at y = f(x). Ud fra tabellen ser vi, at nårx-værdien vokser med 5, så vokser y-værdien med 10. Dvs. 5 • a = 10 og derfor er a = 2, hvorfor forskriften er f(x) = 2x + b. Vi bestemmer b ved at indsætte et punkt. Der er frit valg - vi indsætter (8,15):

+5

X

3

8

y

5

15

15 = 2- 8 + b 15 = 16 + b 15-16 = t> b = -1

+5 - a

Konklusion: Den lineære funktion har forskriften: f(x) = 2x -1.

41

Metode 2

Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i forskriften. Vi indsætter de to punkter i hver sin ligning og får: 15 = a-8 + b 5=a•3+b Dette kalder vi for et system af to ligninger med to ubekendte, nemlig a og b. Hvis vi trækker den nederste ligning fra den øverste, kan vi se, at b forsvinder, så vi ender med én ligning med én ubekendt: 15 -5 = 8a -3a 10 = 5a

Nu kan vi indsætte a i en af de to ligninger ovenfor og bestemme b. Der er frit valg - vi indsætter i den øverste: 15 = 2-8 + b 15 = 16 + b 15-16 = b b = -1 Konklusion: Den lineære funktion har forskriften: f(x) = 2x-1. Havde vi indsat a i den anden ligning, havde vi fået samme b-værdi. Ofte anvendes det andet punkt som kontrol: Hvis det er den korrekte ligning, så skal punktet (3,5), der ligger på grafen, også opfylde ligningen. Indsæt (3,5) i f(x) = 2x -1: 5=23-1 5=5

Eksempel: Regler for ligningsløsning

De regler for ligningsløsning, vi har anvendt ovenfor, er kendt fra folkeskolen. I det videre matematikforlob i gymnasiet vil du møde en mere systematisk gennemgang af ligningsløsning med og uden værktøjsprogrammer.

Øvelse 1.45

Bestem regneforskrifterne for de lineære funktioner, hvis grafer går gennem:

42

1) (0,4) og (20,9)

2) (5,12) og (-11,36)

3) (7,9) og (28,9)

4) (17,68) og (42,218)

5) (-3,7) og (7,-3)

6) (-15,-23) og (0,2)

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.46

Bestem en ligning for den lineære funktion, hvis graf: a) går gennem (0,-5) og har stigningstallet a = 4,2. b) går gennem (321,467) og har stigningstallet a = -1. c) går gennem (-34,0) og har stigningstallet a = 1,5. Øvelse 1.47

Med et værktøjsprogram kunne vi også bestemme regneforskriften ved at anvende lineær regression på de to punkter. Med to punkter vil linjen og regressionslinjen selv­ følgelig stemme 100% overens (overvej hvorfor!). Hvis linjen er vandret, vil forklarings­ graden r2 ikke være defineret, fordi y-værdien i dette tilfælde er uafhængig af x-værdien. Bestem forskriften ved hjælp af lineær regression for et par af opgaverne i øvelse 1.45.

Rette linjer spiller en stor rolle, også som en tilnærmelse til grafer der ikke er lineære. Det skyldes, at stort set alle grafer er lineære "lokalt", dvs. hvis vi zoomer ind på et meget lille område af en graf, så vil den fremtræde mere og mere som en ret linje. Bl.a. derfor er vi interesserede i en formel for hældningskoefficienten fordi den også kan fortælle noget om egenskaber ved funktioner, der ikke er lineære.

Sætning 3 Hvis grafen for den lineære funktion f(x) = ax + b går gennem punkterne (xlF y,) °9 (x2>/2)> kan hældningskoefficienten beregnes med formlen: a = AzZl eller x2-x,

a=— Ax

Bevis

Vi går frem som i eksemplets Metode 2. Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i ligningen y = ax + b. Vi indsætter de to punkter i hver sin ligning og får: y2 = ax2 + b y, = ax, + b Hvis vi trækker den nederste ligning fra den øverste, kan vi se, at b forsvinder, så vi ender med én ligning med én ubekendt: y2-y, = (a x2 + b)-(a-x1 + b) y2-y, = ax2 + b-ax,-b y2-y, = a x2-a-x, y2-y, = a (x2-x,) AzA = a

Parentesregler Reduktion a sættes uden for parentes a isoleres ved at dividere (x2 - x,) over

Husk, at hele tallet y2-y, divideres med hele tallet x2 -xv Hermed er formlen vist.

V

43

Eksempel: Hastighed som hældningskoefficient

Ved en bevægelse med konstant hastighed v vil sammenhængen mellem strækningen s og tiden t være lineær, og hastigheden er netop hældningsko­ efficienten: v

_ As _ 400 m _ At 20sek

m sek

Hvis de involverede variable er størrelser med enheder, bor hældningen også anføres med enheder. Hvis fx strækningen måles i meter og tiden i sekunder, bør hastigheden, dvs. hældningen, derfor som vist angives med enheden 0

100 m

200 m

300 m

400 m

------------- 1---------1---------1---------1---------1

500 m

I--------- ► S

—asu------------1----------- 1----- 1-----------1----- 1--------------

Eksempel: Densitet som hældningskoefficient

I et laboratorium vejer man forskellige portioner af en bestemt væske. Der laves en grafisk fremstilling af tabelværdierne over sammenhængen mellem væskens masse m og dens rumfang V. Sammenhængen er en ligefrem pro­ portionalitet og hældningen vil netop angive væskens densitet:

Hvis de involverede variable er størrelser med enheder, bør hældningen også anføres med enheder. Hvis fx massen måles i gram og rumfanget i milliliter, bør densiteten/hældningen derfor angives med enheden g/mL.

Øvelse 1.48

Anvend formlen i sætning 3 til at bestemme nogle af hældningskoefficienterne i øvelse 1.45.

Opgaver

I kapitel 4 findes en række opgaver om lineære funktioner.

44

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

9. Ligninger, kurver og funktioner Fra barnets første tilegnelse af sprog og leg med ord og sætninger, via kommunikation og udvidelse af ordforråd og sprogforståelse, og op gennem de mange års undervis­ ning og uddannelse danner vi - og lærer vi - hele tiden nye og mere abstrakte begreber. Sådan er det også i matematik. Første gang man mødte algebra i form af bogstav­ regning og ligninger, var det måske svært at se, hvad det skulle bruges til. Klarer vi os måske ikke godt nok med aritmetikken, som rummer reglerne for regning med tal? Men bogstavregning kan vise, at det altid er samme formel og metode, vi bruger til at bestemme fx hældningskoefficienter for rette linjer. Og samtidig giver dette mulighed for at løfte matematikken op på et nyt niveau, som når vi anvender vores viden om rette linjer til at indføre et nyt begreb som væksthastighed og stigningstal for krumme kurver under emnet differentialregning på B-niveau. Nogle begreber som funktionsbegrebet har været meget længe undervejs. Det er det mest centrale begreb i moderne matematik. Hver gang man lærer nye områder af ma­ tematikken at kende, vil man mode funktionsbegrebet fra nye vinkler og opdage, hvor effektivt og produktivt et begreb det er. Det er et moderne begreb, fordi det udtrykker vores opfattelse af verden som dyna­ misk og ikke statisk. En funktionssammenhæng udtrykker, hvordan én variabel afhæn­ ger af en anden eller af flere andre variable. Forskellen mellem det klassiske og det moderne kan illustreres således: • Variabelsammenhænge kan ofte udtrykkes med ligninger og repræsenteres af kurver, der kan betragtes som geometriske objekter. • Funktionssammenhænge kan ofte udtrykkes med regneforskrifter og repræsente­ res af grafer, der kan betragtes som dynamiske objekter. En regneforskrift er karakteriseret ved, at den leverer en bestemt y-værdi, når den fodres med en bestemt x-værdi. Man kan naturligvis ikke se, at en graf er dynamisk, men i konteksten taler vi ofte om grafiske forløb, og ser for os, hvordan grafen tegnes, mens den uafhængige variable gennemløber definitionsmængden.

Øvelse 1.49

a) Ligningerne: 1)x2+y2 = 25,

2)y2-x = 0, og 3) x3-y-y3 ■ x = 9

udtrykker hver for sig variabelsammenhænge mellem x og y. Anvend dit værktøjs­ program til for hver af de tre ligninger at tegne kurver, der er bestemt af netop de punkter, der opfylder ligningerne. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer)

45

b) Regneforskrifterne: 1) f(x) = 1,5x-2, 2) g(x) = 0,5x2 + 2x - 4, og 3) h(x) = Vx udtrykker, hvorledes funktionerne f, g og h afhænger af variablen x. Tegn grafer for hver af de tre funktioner. c) Hvilke principielle forskelle er der mellem forløbet af kurverne i a) og forløbet af graferne i b)?

På den lange vej til det moderne funktionsbegreb skulle der løses mange problemer og overvindes mange gamle tænkemåder. I de foregående afsnit har vi arbejdet meget med de fire repræsentationsformer for variabelsammenhænge. Meget af dette har være kendt langt tilbage og er alt sammen forudsætninger for det moderne funktionsbegreb: • De første tabeller over astronomiske observationer, hvor oldtidens astronomer eftersøgte regelmæssigheder i himmellegemernes bevægelser for 4000 år siden, repræsenterer variabelsammenhænge. • Den græske astronom og matematiker Ptolemaios udviklede for 2000 år siden komplicerede dynamiske kurver til at beskrive planeternes bevægelser. • I 1600-tallet analyserede Galilei og siden mange efter ham dynamiske bevægelser som projektilers banekurver, symbolerne går deres sejrsgang i matematikken, og Descartes lægger grunden til det moderne koordinatsystem. Men det moderne funktionsbegreb er ikke bare summen af de fire repræsentationer, formuleret i et moderne sprog. En funktion er et mere abstrakt og mere generelt begreb:

Definition: Funktion En funktion f fra en mængde A til en mængde B er en forskrift, der til ethvert element x i A knytter præcis ét element y i mængden B. Vi skriver i så fald y = f(x) og siger, at y er funktionsværdien af x. A kaldes for definitionsmængden for f, og vi skriver: A = Dm(f)

I forlængelse heraf giver vi også en generel definition på, hvad vi forstår ved en graf:

‘k y

Definition: Grafen for en funktion f Grafen for en funktion f er de punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x). Man kalder f(x) for funktionsværdien i x.

46

,

f{x}

•

P(x,y)

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Eksempel: Forskrift og regneforskrift

En grafisk fremstilling af. hvordan ungdomsarbejdsløsheden (målt i procent) har ud­ viklet sig måned for måned over de seneste 5 år, vil repræsentere en funktion: Mængden A svarer her til alle månederne i det angivne tidsrum. Mængden B svarer til alle procenttal fra 0 til 100. Ikke alle procenttal optræder i arbejdsloshedsstatistikken, men det er heller ikke et krav. Til et givet tidspunkt t er funktionsværdien f(t) lig med det procenttal, vi kan aflæse på grafen som y-koordinat i det punkt, der ligger lodret over tidspunktet t. Dermed har vi med grafen angivet en forskrift, som anført i defini­ tionen. Men det er indlysende, at der ikke findes en regneforskrift her. En forskrift kan være en regneforskrift, men behøver altså ikke være det. Eksempel: Euler og Dirichlet - det moderne funktionsbegreb vokser frem

Det moderne funktionsbegreb blev udviklet i 17- og 1800-tallet. Selv om den meget produktive schweiziske matematiker Leonard Euler (1707-1783) ofte får æren, så dækkede hans funktionsbegreb ikke et eksempel som det, vi anførte ovenfor: Euler krævede at funktionsværdierne kunne beregnes ved en eller anden regneforskrift, at definitionsmængden skulle omfatte alle tal og opererede i øvrigt kun med kontinuerte funktioner, dvs. funktioner, hvis grafer er sammenhængende. Andre matematikere udvidede funktionsbegrebet ved at acceptere, at en regne­ forskrift kunne være en sum af uendeligt mange led. Og her opstår de første sære eksempler, idet det viser sig, at en uendelig sum af kontinuerte funktioner godt kan være diskontinuert! Men den endelige overgang til det moderne funktionsbegreb bliver først foretaget af Peter D. G. Dirichlet (1805-1859), der præsenterer en funktion, der er overalt diskontinuert: f(x) =

1 når x er rational 0 når x er irrational

Dirichlet gav i forlængelse heraf en definition, der meget ligner den, vi har givet her. Det viser sig i øvrigt, at denne mærkelige funktion, der er navngivet efter Dirichlet, faktisk kan beskrives ved en uendelig sum af pæne udtryk! Den historie fortælles i Hvad er matematik? A-niveau-bogen.

&

Dirichlet (1805-1859)

47

C, B, A - De tre faglige niveauer i matematik 1.

Fra C til B og A: Stadig større udfordringer............................................................................ 49

2.

Fra C til B og A: Matematisk modellering udvidelse af værktøjskassen af funktioner............................................... 51

3.

Fra C til B og A: Større viden, flere metoder, bredere palet af anvendelser.......................... 55

På hvert af de tre faglige matematik-niveauer i gymnasiet arbejdes der med de tre faglige emnekredse: • funktioner • geometri • statistik og sandsynlighedsregning Når man bevæger sig fra C gennem B op til A, vil man møde større faglige udfordringer og komme til at arbejde med mere komplekse problemstillinger. Man tilegner sig naturligvis en større viden om matematik i form af kendskab til flere funktioner og en dybere forståelse af deres egenskaber, et indblik i flere forskellige geometriske verdener og en mere omfattende indsigt i de statistiske metoder. Men der er ikke kun tale om større viden, man tilegner sig samtidig nye metoder, der giver en bredere palet for anvendelser af matematik i andre fag. I dette kapitel giver vi nogle få illustrative eksempler på forskellene mellem de tre niveauer.

48

2. C, B, A - De tre faglige niveauer i matematik

1. Fra C til B og A: Stadig større udfordringer Øvelse 2.1 Regneforskrifter og grafer - fra det konkrete til det abstrakte

Den samlede udgift for kørsel med taxaselskabet "Sikkert afsted" kan beskrives ved funktionen f(x) = 15,25/ + 37, hvor x er antal kørte kilometer. Den samlede udgift for kørsel med et andet taxaselskab "Rar kørsel" kan beskrives ved funktionen g(x) = 16,95/ + 22, hvor x er antal kørte kilometer.

Opgave på C-niveau

a) Tegn graferne for fog g i samme koordinatsystem. b) Bestem skæringspunktet mellem de to grafer for fog g. c) Hvad fortæller skæringspunktet om de to taxaselskaber? Vi ændrer nu forskriften for f, så konstantleddet bestemmes af en skyder. d) Hvilken værdi skal konstantleddet have, for at taxaselskabet "Rar kørsel" er billigst, så længe antallet af kørte kilometer er under 50? Vi ændrer nu forskriften for f, så hældningen bestemmes af en skyder. e) Hvilken værdi skal stigningstallet have, for at taxaselskabet "Rar kørsel" er billigst, så længe antallet af kørte kilometer er under 50? Opgave på B-niveau

a) Løs ligningen f(x) = g(x). b) Hvad fortæller løsningen om de to taxaselskaber? c) Hvad fortæller ulighederne f(x) > g(x) og f(x) < g(x) om de to taxaselskaber? Lad konstantleddet i f være b. d) Hvilken værdi skal b have, for at taxaselskabet "Rar kørsel" er billigst, så længe antallet af kørte kilometer er under 50? Opgave på A-niveau

Vi generaliserer de to forskrifter, så den samlede udgift for kørsel hos "Sikkert afsted" kan beskrives ved funktionen f(x) = ax + b, og den samlede udgift hos "Rar kørsel" kan beskrives ved funktionen g(x) = cx + d, hvor x angiver antallet af kørte kilometer.

49

Vi lader a < c og d g(x) og f(x) < g(x) om de to taxaselskaber? e) Løs ligningen f(50) = g(50) mht. b. Forklar løsningen. f) Løs ligningen f(50) = g(50) mht. a. Forklar løsningen.

Øvelse 2.2 Variabelsammenhænge - algebra og abstraktion

En kugles rumfang V kan udregnes med formlen: V = ~n-r3. En kugles overfladeareal kan udregnes med formlen: A = 4 ■ n • r2. Omkredsen af kuglen, hvor den er størst, kan udregnes med formlen L = 2-n-r. r angiver i alle formler kuglens radius. Vi regner uden enheder. Et kunstværk indeholder to kugler: en lille kugle med rum­ fang 33,51, og en stor kugle med radius på 6. Opgave på C-niveau

a) Bestem radius i den lille kugle. Kuglernes overflade skal forgyldes. b) Hvor mange gange mere materiale skal man bruge til den store end til den lille? Opgave på B-niveau

Den store kugle består af en kerne med radius 5 og en skal med tykkelse på 1. a) Hvor stor en %-del af det samlede rumfang udgør skallen? Vægtfylden af kernen er 4, vægtfylden af skallen er 3. b) Hvor meget vejer kuglen? Opgave på A-niveau

En snor lægges stramt om den store kugle på det tykkeste sted (''ækvator”). Snoren forlænges med 1 enhed og skal udgøre omkredsen i en lidt større kugle. a) Hvor meget større bliver radius i den nye kugle end i den store kugle med radius 6? b) Løs derefter en mere generel version: Om en perfekt kugle med radius r lægges et snor stramt om ækvator. Snores forlænges med 1 enhed. Hvis denne snor løftes lige meget over ækvator hele vejen rundt, hvor højt er så det stykke, den kan løftes?

50

2. C, B, A - De tre faglige niveauer i matematik

Ekstra udfordring til A-niveau

Jorden er en kugle med en radius på 6371 km. Vi befinder os i Dubai i verdens højeste tårn, der er 828 m højt. Vi står og kigger ud fra en platform 555 meter oppe over havets overflade og antager, at vi kan kigge ud over et spejlblankt hav. Hvor langt er der til horisonten?

2. Fra C til B og A: Matematisk modellering udvidelse af værktøjskassen af funktioner Øvelse 2.3 Vækstmodeller Opgave på C-niveau

Når vi på C-niveau skal opstille matematiske modeller ud fra givne empiriske værdier, eller ud fra data fra eksperimentelle forsøg, så har vi som udgangspunkt rådighed over de lineære funktioner med forskrift: f(x) = a ■ x + b, de eksponentielle funktioner med forskrift: g(x) = b-a‘ og potensfunktionerne med forskrift: h(x) = b-xa. a) Funktionerne fog g repræsenterer de to klassiske vækstmodeller. Tegn i samme koordinatsystem graferne af de to funktioner: f,(x) = 3-x + 10, og g,(x) = 10 ■ 1,12", hvor du lader x løbe i intervallet fra -20 til 20. Hvilke fælles træk, og hvilke forskelle springer i øjnene, når vi sammenligner de to grafiske forløb? b) Eksponentiel vækst kaldes også for procent-vækst: Når x vokser med 1, vokser g,(x) med 12%. Giv en tilsvarende karakteristik af den lineære model.

www.LR-web.dk/Lru/m

c) Giv eksempler på fænomener, som beskrives ved hjælp af lineære og eksponentielle modeller. Via websitet kan du finde eksempler i et projekt om alkohol og hash. I mange naturvidenskabelige sammenhænge giver hverken lineære eller eksponentielle funktioner gode matematiske modeller. Se fx på eksemplet i afsnit 3.1 (s. 61), hvor vi undersøger sammenhængen mellem kraterdiameteren og bevægelsesenergien af det meteor, der slog ned. Eller eksemplet fra afsnit 3.2 (s. 63) om sammenhængen mellem tryk, temperatur og rumfang. Her får vi brug for en ny funktionstype, der også intro­ duceres på C-niveau, potensfunktionerne. Vi vil undersøge, om der er en sammenhæng mellem planeternes middelafstand til Solen og deres omløbstid om Solen. Vi har følgende data, hvor vi har skaleret ned, så Jorden svarer til 1 enhed: Merkur

Venus

Jorden

Mars

Jupiter

Saturn

Uranus

Neptun

Pluto

Afstand

0,387

0,723

1

1,524

5,203

9,539

19,18

30,06

39,44

Omlobstid

0,241

0,615

1

1,881

11,862

29,458

84,014

164,793

248,43

51

Fremstil et punktplot af dataværdierne i et værktøjsprogram. Prøv at udfore eksponentiel regression på dataværdierne. Giver det mening? e) Dataværdierne kan beskrives ved hjælp af en ny type funktion, der kaldes potensfunktioner. Udfør potensregression, hvor vi sætter

2 250 w o 200

afstand til at være den uafhængige variabel. Du får en regneforskrift som h,(x) = 1 -x1-5

O 150 100 50

f) Tegn grafen sammen med punkterne. Du skulle få et billede, der ligner illustrationen.

£ 5

10 15 20 25 30 40 45 Afstand

Øvelse 2.4 Polynomier Opgave på B-niveau

Næsten alle de funktioner, vi møder på C-niveau er monotone, dvs. enten konstant vok­ sende eller konstant aftagende. Vi moder dog også andengradspolynomier, hvis grafer kaldes parabler. På B-niveau går vi i dybden med disse og flere andre funktioner. Men de færreste fænomener i verden er rent monotone. Kaster vi en bold op, falder den ned igen, blodtryk stiger og falder igen, priser og aktiekurser går op og ned. Vi har kort sagt brug for en større palet af funktioner til brug for en matematisk modellering af sådanne sammenhænge. Vi vil her se på, hvordan en metode, som vi har lært allerede i grundforløbet, fortsat er anvendelig i det videre forløb til B-niveau. a) En bold kastes, og dens bane optages på video. Derefter måles på enkeltbilleder (frames) ved gentagne stop af filmen, hvor langt/højt bolden har bevæget sig fra udgangspunktet. Vi får her følgende datapunkter der illustrerer den kurve, bolden har fulgt (enheden er meter): X

0,77 1,23 1,64 2,09 2,53 3,10 3,56 4,02 4,48 4,92 5,39 5,84 6,30 6,98 7,32

y

0,97 1,50 1,90 2,32 2,68 3,08 3,30 3,50 3,63 3,70 3,72 3,68 3,60 3,37 3,20

Illustrer boldens bane med et punktplot af datasættet. b) I et samarbejde med fysik kan man vise, at en sådan bold vil følge en bane, der kaldes en kasteparabel. Udfør andengradsregression på datasættet, og bestem en regneforskrift for det andengradspoly­ nomium, der beskriver datapunkterne bedst muligt. Du skulle få en regneforskrift som: p(x) = -0,132 -x2 +1,412 -x- 0,044 c) Tegn grafen sammen med punkterne. Du får et billede der ligner illustrationen.

www.LR-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/grundforloeb/qr_side_52.html d) I spillet Angry Birds ser det ud, som om fuglene følger parabler. Via bogens website kan du finde en undersøgelse af dette.

52

2. C, B, A - De tre faglige niveauer i matematik

Polynomier af højere grad anvendes ofte i design, fx ved konstruktion af en profil af en ny bilmodel med de såkaldte Bezierkurver. Polynomier anvendes også til at opstille modeller, hvor vi ikke har nogen chance for at finde "den korrekte" model. Fx i opstilling af en model for bestemt idrætspræstation som et 100 m løb. Når man anvender polynomier hertil, er det for at få en blød kurve, som kan analyseres med henblik på spørgsmål som: Hvor foregår den største acceleration?

Øvelse 2.5

Omvendte funktioner, specielt logaritmer

Opgave på B-niveau

Logaritmefunktioner blev skabt i 1600-tallet som regnetekniske funktioner. I dag, hvor vi har adgang til lommeregnere og matematiske værktøjsprogrammer, er der mere fokus på andre af logaritmefunktionernes egenskaber. Først og fremmest at de er såkaldte omvendte eller inverse funktioner til eksponentialfunktionerne. Det betyder, at disse funktioner gensidigt kan ophæve hinanden som plus og minus eller gange og dividere, eller som at opløfte i anden og tage kvadratroden (når vi nøjes med at se på positive tal). Der er en logaritmefunktion til enhver eksponentialfunktion. Den, der hører til 10', kal­ des for ti-talslogaritmen og har symbolet log,0(x), eller hvis det fremgår klart af kontek­ sten, blot log(x). Da den er invers til 10’, så ophæver de hinanden, dvs. Iog 10(106) = 6. Tilsvarende gælder log10(10) = 1 og loglo(0,001) =-3 fordi 10 = 10’ og 0,001 = 10-3. Generelt gælder der: log10(10’) = x og 10l09,ol” = x a) Tegn i samme koordinatsystem et grafisk billede af funktionerne 10’ og log 10(x) sammen m ed grafen f or linjen med ligningen y = x. Vælg fx grafvindue fra -3 til 5 på begge akser. b) Beskriv med ord, hvad der springer i øjnene, når man betragter dette grafiske billede.

10-tals logaritmefunktionen anvendes til at beskrive så forskellige fænomener som ni­ veauet af den lyd, vi hører (der måles i decibel), energiudladningen ved jordskælv (der måles i Richter), styrken af en given syre (der måles i pH) og stjerners størrelsesklasse (der er et mål for stjernens lysstyrke). Alle disse skalaer er logaritmiske, og det er valgt sådan, netop fordi der er en enorm skalafaktor eksempelvis fra lydtrykket, der kommer fra blade, der rasler lidt ved en sagte vind (10 decibel) til lyden af en jetmotor der varmer op 50 meter fra, hvor vi står (140 decibel). For at vi kan orientere os i en verden med så voldsomme skaleringer, har vores hjerne gennem evolutionen udviklet sig, så en stor del af vores sanseapparat opfatter verden logaritmisk!

53

Øvelse 2.6

Trigonometriske funktioner

Opgave på B- og A-niveau

Mange fysiske fænomener udvikler sig som bølger i havet, i en stadig gentagelse af bevægelser op og ned. Ofte er denne bevægelse virtuel, idet vi ikke ser be­ vægelsen som en funktion af tiden. Tænk på et pendul, der svinger, en fjeder der bevæger sig op og ned, en lyd fra et orkester der udbreder sig gennem luften, en bølge i undergrunden som følge af et jordskælv og meget andet. Alle sådanne fænomener kan modelleres ved hjælp af sinus- og cosinus-funktionerne, som vi undersøger grafisk på B-niveau og går i dybden med på A-niveau. a) Definer en funktion s(x) := A ■ sin(ro ■ x +