Hilfsbuch für den Maschinenbau: Für Maschinentechniker sowie für den Unterricht an technischen Lehranstalten [3. Aufl.] 978-3-662-35748-4;978-3-662-36578-6

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XII
Mathematik (Fr. Freytag)....Pages 1-39
Mechanik (Fr. Freytag)....Pages 40-49
Elastizität und Festigkeit der Materialien (Fr. Freytag)....Pages 50-66
Maschinenteile (Fr. Freytag)....Pages 67-404
Kraftmaschinen (Fr. Freytag)....Pages 405-748
Arbeitsmaschinen (Fr. Freytag)....Pages 749-901
Elektrotechnik (Fr. Freytag)....Pages 902-979
Die wichtigsten Hochbaukonstruktionen (Fr. Freytag)....Pages 980-1034
Back Matter ....Pages 1035-1063

Citation preview

HIfsbuch für den

Maschinenbau. für Maschinentechniker sowie für den Unterricht an technischen Lehranstalten. Von

Fr. Freytag, Professor, Lehrer an den technischen Staatslehranstalten in Chemnitz.

Dritte, vermebrte und verbesserte Auflage. Mit 1041 Textfiguren und 10 Tafeln.

Springer-V erlag Berlin Heidelberg GmbH 1908

Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com ISBN 978-3-662-35748-4 ISBN 978-3-662-36578-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-36578-6 Softcover reprint of the bardeover 3rd edition 1908 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.

Vorwort zur ersten Auflage. Durch die Herausgabe des vorliegenden Werkes soll dem an technischen Unterrichtsanstalten längst empfundenen Bedürfnisse nach einem Hand- und Lehrbuche, welches auf wissenschaftlicher Grundlage die den verschiedenen Zweigen des allgemeinen Maschinenbaues angehörigen Maschinen und deren Einzelteile behandelt, abgeholfen, nicht minder dem in der Praxis stehenden Ingenieur ein beim Entwerfen und bei der Berechnung von Maschinen!eilen usw. brauchbares Hilfsbuch geboten werden. In erschöpfender Weise haben hervorragende Fachgelehrte in zumeist umfangreichen Werken die wissenschaftlichen Grundlagen für das Verständnis rler Wirkungsweise und für die Berechnung von Maschinen aller Art wie auch nur bestimmter Organe derselben festgelegt und durch die auf sorgfältigen Untersuchungen an ausgeführten Maschinen beruhenden theoretischen Entwicklungen für die Allgemeinheit wichtige Ergebnisse an die Öffentlichkeit gebracht. Derartige, auch für jeden einzelnen Zweig des allgemeinen Maschinenbaues verfaßte grundlegende Abhandlungen werden dem mit genügenden Vorkenntnissen ausgerüsteten Ingenieur zur weiteren Vertiefung in einem bestimmten Fache vorzügliche Dienste leisten; sie werden wegen ihrer verhältnismäßig hohen Anschaffungskosten aber nicht überall zur Verfügung stehen und als Nachschlagewerke nur mit erheblichem Zeitverlust zu benutzen sein, - ganz abgesehen davon, daß wegen ihrer häufig weit ausholenden Wissenschaftlichkeit das Studium derselben ein besonderes Verständnis erfordert. Diese Gründe sind es gewesen, die insbesondere in den letzten Jahren eine Bereicherung der einschlägigen technischen Literatur um eine große Anzahl von Werken über Maschinen und Maschinenteile herbeigeführt haben, deren Verfasser den zu behandelnden Stoff in gedrängter Form und in einer auch dem weniger Vorgebildeten verständlichen Weise zur Darstellung zu bringen versuchten. Es ist aber durch die Herausgabe solcher Bücher den wirklichen Bedürfnissen nicht überall in vollkommener Weise abgeholfen worden. In manchen Fällen haben die Verfasser nicht das gesamte Gebiet des allgemeinen Maschinenbaues, sondern nur einzelne Teile desselben bearbeitet, so daß diese Bücher Lücken aufweisen und nur einem beschränkten Interessentenkreise von Nutzen sein können; anderseits ent-

IV

Vorwort zur ersten Auflage.

hehren solche Bücher der wissenschaftlichen Grundlage zuweilen mehr oder weniger. Die in denselben ohne jegliche Ableitung gebrachten Formeln mögen wohl hier und da ihren Zweck erfüllen, sie werden c!em weiter denkenden Konstrukteur aber kein Mittel bieten, um auf Grund eigener Anschauungen zu richtigen Schlüssen zu gelangen. Die in den Abbildungen vorgeführten Maschinen und Maschinenteile lassen ferner wegen mangelhafter Wiedergabe oder nicht mehr zeitgemäßer Bauart häufig zu wünschen übrig bzw. sind sie in manchen Büchern nur äußerst dürftig anzutreffen, so daß es unmöglich ist, einen genügenden Einblick in die verschiedenen Konstruktionstypen einzelner Maschinenteile zu gewinnen. Die genannten Übelstände hat Verfasser in dem vorliegenden, auf Anregung der Verlagsbuchhandlung Julius Springer verfaßten Hilfsbuche zu vermeiden gesucht. In diesem Buche sind nach Vorausschickung von Tabellen der Potenzen, Wurzeln usw. und kürzeren Angaben aus der Arithmetik, Trigonometrie und Stereometrie, sowie den Grundlagen der Festigkeitslehre nicht nur die Maschinenteile, sondern auch die Kraftmaschinen- Dampfmaschinen (Dampfturbinen), Dampfkessel, Wassermotoren (Wasserräder, Turbinen), Verbrennungsmotoren (Verpuffungs- und Gleichdruckmotoren), ferner von den Arbeitsmaschinen die Lasthebemaschinen, Hebewerke für flüssige Körper, Gebläse u.nd Kompressoren behandelt worden. Ein Hauptgewicht ist auf die Wiedergabe richtiger, für die Ausführung unmittelbar brauchbarer Abbildungen gelegt; es ist ferner eine Ableitung der für die Beurteilung und für die Berechnung von Maschinen usw. wichtigsten Formeln nach Möglichkeit angestrebt worden. Hierbei ist Verfasser bemüht gewesen, mit den Hilfsmitteln der niederen Mathematik durchzukommen, und nur in einzelnen Fallen, wo eine Entwicklung von Gleichungen mit Hilfe der niederen Mathema_tik nur auf großen Umwegen zum Ziele geführt hätte, wurde die Methode der höheren 'Mathematik angewendet. Die für das Verständnis der Wirkungsweise und der Berechnung der Kraft- und Arbeitsmaschinen grundlegenden Abschnitte aus der Mechanik und der mechanischen Wärmelehre sind den betreffenden Kapiteln vorausgeschickt oder aber an geeigneter Stelle in dieselben eingeschaltet worden. So werden bei den Dampfmaschinen zunächst die physikalischen Eigenschaften des Wasserdampfes, bei den Gebläsen und Kompressoren diejenigen der Luft besprochen, während den Wassermotoren ein die Mechanik flüssiger Körper behandelnder Abschnitt vorausgeht usw. Die in dem Hilfsbuche gebrauchten abgekürzten Bezeichnungen für Maß-, Gewichts-, Zeit-, Arbeitseinheiten u. dgl. entsprechen den in dem bekannten Taschenbuch .,Die Hüt~e" hierfür angegebenen Ab-

Vorwort zur ersten Auflage.

V

kürzungen, die in der Praxis allgemein Eingang gefunden haben. Auch für die Einteilung des gesamten Stoffes, der zur Bearbeitung vorlag, ist das vorgenannte Buch in der Hauptsache maßgebend gewesen. In einzelnen Fällen sind die gebrachten Darlegungen durch eingefügte Rechnungsbeispiele unterstützt worden. In einem dem Werke beigefügten Anhange sind Wärmeeigenschaften und Reibungskoeffizienten verschiedener Körper, die deutschen Normalprofile für Walzeisen, Maße und Gewichte verschiedener Länder mit Vergleichungstabellen, Auszüge aus dem Patentgesetz, aus der Gebührenordnung der Architekten und Ingenieure, ferner die Gebührenordnung für gerichtliche Zeugen und Sachverständige aufgenommen worden. Die Wassermotoren - mit Ausnahme der Wasserräder - wurden von Herrn Ingenieur Gerlach, Lehrer an den hiesigen technischen Staatslehranstalten, bearbeitet, und es sei demselben für die sorgfältige Auswahl des Stoffes verbindlichster Dank ausgesprochen. Ein besonderer Abschnitt des Werkes bringt die für den Maschineningenieur wichtigsten Hochbaukonstruktionen an Hand der für das Verständnis derselben notwendigsten Abbildungen. Die Bearbeitung dieses Abschnittes hat Herr Professor Wagner, Lehrer an den bereits genannten Anstalten, freundliehst übernommen, dem für seine Mitarbeiterschaft an dieser Stelle gleichfalls zu danken ist. Auch den Herren Verfassern bekannter größerer Werke über hierhergehörige Maschinen und Maschinenteile, welche die Benutzung ihrer Veröffentlichungen für das Hilfsbuch bereitwilligst gestatteten, und denjenigen Firmen, welche durch Überlassung von Zeichnungen und durch beachtenswerte Mitteilungen das Unternehmen förderten, spreche ich, wie ferner der geschätzten Verlagsbuchhandlung für die vorrreffliche Ausstattung des Buches, meinen Dank aus. Die als Quelle benutzten Werke und Zeitschriften sind übrigens als solche an den betreffenden Stellen des Buches bezeichnet worden. Möchte mein Hilfsbuch eine freundliche Aufnahme finden und sowohl den Studierenden technischer Lehranstalten bei den Konstruktionsübungen wie auch den in der Praxis stehenden Ingenieuren bei ihren Berufsarbeiten ein zuverlässiger Berater werden I Die geehrten Fachgenossen bitte ich um nachsichtige Beurteilung des Buches und um Mitteilung etwaiger Irrtümer desselben, sowie wünschenswerter Abänderungen oder Hinzufügungen, die bei weiteren Auflagen des Buches Berücksichtigung finden sollen. Chemnitz, im Mai 1904.

Vorwort zur dritten Auflage. Bei der Bearbeitung der vorliegenden Auflage des Hilfsbuches haben einzelne Abschnitte bzw. Kapitel desselben durchgreifende Änderungen ihres Inhaltes erfahren, andere Abschnitte sind, um bezüglichen Wünschen der Kritik und von Fachgenossen zu entsprechen, durch Aufnahme neuer Abbildungen und Beschreibungen erweitert bzw. vervollständigt worden, während solche Abschnitte, in denen wichtige Neuerscheinungen nicht zu berücksichtigen waren, nahezu unverändert geblieben sind. Eine Änderung in der Einteilung des gesamten Stoffes erschien wünschenswert, um Wiederholungen und Hinweise auf jeweils später behandelte gleichartige Gegenstände zu vermeiden. Aus diesem Grunde sind die Kraftmaschinen (Dampfmaschinen, Dampfkessel, Verbrennungsmotoren, Wassermotoren) die bisher vor den Arbeitsmaschinen (Lasthebemaschinen, Hebewerke für flüssige Körper, Gebläse und Kompressoren) besprochen wurden, hinter dieselben gestellt worden. Das den Kraftmaschinen vorausgehende Kapitel "Grund I ehren der Mechanik der Gase und Dämpfe" hat eine vollständige Neubearbeitung und wesentliche Bereicherung seines Inhaltes erfahren; letzteres gilt auch für die Abschnitte "Mechanik" und ferner für das Kapitel "Hebewerke für flüssige Körper", das durch Aufnahme zeichnerischer Darstellungen und Beschreibungen von Rotationspumpen (Kapselpumpen), Dampfdruckpumpen, Dampfstrahlpumpen usw. erweitert wurde. Im Kapitel "Maschinen teile" sind neuereBauarten von Schneckengetrieben mit Kugellagern, das Spannrollengetriebe "Lenix" und die Kraftmaschinenkupplung "Ohnesorge" der Berlin- Anhaltischen Maschinenbau-A.-G., sodann neue Kurbelwellen- und Rollenlager (Tragund Stützlager), Kolben, Exzenter, Geradführungsteile, Zylinder für liegende und stehende Dampfmaschinen - hierzu zwei neue Tafeln - , Zylinderdeckel, Ventile und andere Teile aufgenommen worden. Das Kapitel "Dampfmaschinen" wurde durch eine Rider-Kolbenschiebersteuerung, das Steuerschema einer Widnman-Steuerung, eine liegende Kondensations-Verbunddampfmaschine mit Widnman-Steuerung hierzu eine neue Tafel - durch Strahlkondensatoren u. a. vermehrt,

Vorwort zur dritten Auflage.

VII

unter "Dampfturbinen" auch die Elektra-Turbine, die Dampfturbine von Gebr. Sulzer u. a. kurz besprochen. Im Kapitel "Dampfkessel" sind Angaben über die Berechnung eines Zweiflammrohrkessels, sowie über die Abmessungen der hierher gehörigen wichtigeren Armaturteile hinzugefügt worden. Das Kapitel "Verbrennungsmotoren" wurde durch Aufnahme eines größeren Viertaktmotors, des einfachwirkenden Zweitaktmotors von v. Oechelhäuser, der Einspritzmotoren von Trinkler und von Haselwander, eines neuen stehenden Petroleummotors der Gasmotorenfabrik Deutz ergänzt; es sind ferner diesem Kapitel "die Regeln für Leistungsversuche an Gasmaschinen und Gaserzeugern" angeschlossen worden. Der Abschnitt "Wassermotoren" hat hinsichtlich der Anordnung des Stoffes keine wesentlichen Änderungen erfahren; hinsichtlich des Umfanges desselben war Beschränkung geboten und dies um so leichter möglich, als über die den Markt beherrschenden Fraucisturbinen und Pelton- oder Löffelräder inzwischen vorzügliche Sonderwerke (Pfarr, Thomann, Gelpke), sowie einzelne Abhandlungen erschienen sind, auf die jeweils hingewiesen wurde. Die Bezeichnungen im Turbinenbau sind den von der Berliner Konferenz 1906 gefaßten Beschlüssen entsprechend geändert worden, was die Neuherstellung eines großen Teiles hierher gehöriger Abbildungen nötig ~achte. Im Kapitel "Lasthebemaschinen" sind die bisherigen Schaubilder ausgeführter Räder·, Schrauben- und Zahnstangenwinden durch konstruktive Abbildungen ersetzt, im Kapitel "Gebläse und Kompressoren" die Kapselgebläse von Jäger & Co., Ventile für HochofenGebläsemaschinen u. a. neu aufgenommen worden. Im Abschnitt "Elektrotechnik" ist auf die Betriebseinrichtungen der Motoren, auf Schalter, Sicherungen, Anlaß- und Regulierapparate näher eingegangen worden als bisher. Die Generatoren und Motoren sind nicht, wie in der vorigen Auflage, zusammen behandelt, sondern die letzteren einem besonderen Kapitel zugewiesen worden. Neu aufgenommen wurde eine kurze Darstellung der Schaltung und Wirkungsweise der Einphasen-Kollektormotoren. Durch Hinzufügen von Schaulinien (Charakteristiken) wurde die Wirkungsweise der verschiedenen Arten von Motoren dem Verständnis näher zu bringen gesucht. Weggelassen wurde beim Drehstrommotor, als zu weitgehend, die Besprechung des Beylandsehen Diagrammes, ferner wurde in dem Kapitel "Die elektrische Beleuchtung" eine Kürzung vorgenommen und insbesondere die Besprechung der Photometrie, als für die Zwecke des Buches weniger wichtig, weggelassen. Mit Rücksicht auf den Umfang des Buches wurde der Satzspiegel desselben etwas vergrößert und fiir den Satz selbst eine neue, scharfe

VIII

Vorwort zur dritten Auflage.

Schrift verwendet, wodurch trotzwesentlicher Inhaltsvermehrung, eine erhebliche Herabminderung der Seitenzahl des Buches, gegenüber der vorhergehenden zweiten Auflage desselben, erreicht worden ist. Als ein Zeichen des Beifalls, den die beiden ersten Auflagen des Hilfsbuches gefunden haben, sei noch erwähnt, daß in der Zwischenzeit eine russische Ausgabe desselben erschienen ist, während sich eine französische z. Z. im Druck befindet. Chemnitz, im September 1908.

Fl'. F•·eytng.

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt.

Mathematik. I. II. III. IV. V.

Tafeln . Arithmetik Trigonometrie· . Stereometrie Konstruktionen von Kurven .

Seite 1

30 33 36 38

Zweiter Abschnitt.

Mechanik. I. Bewegungslehre II. Grundlehren der Mechanik starrer Körper. A. Statik starrer Körper . B. Dynamik starrer Körper . .

A. B. C.

D. E. F.

Dritter Abschnitt. Elastizität und Festigkeit der Materialien. Elastizitäts- und Festigkeitszahlen Zulässige Spannungen . . . . . . . . Verschiedene Arten der Festigkeit gerader Stäbe Festigkeit der Federn . . . . . . . . Festigkeit zylindrischer und kugelförmiger Gefäße . Festigkeit plattenförmiger Körper

40

42 46

50 52

54 6t

64 65

Vierter Abschnitt.

Maschinentelle. I. Hilfsmittel zur Verbindung von Maschinenteilen. A. Lösbare Verbindungen. Keile. Schrauben . . B. Nicht lösbare Verbindungen. Nieten li. Maschinen teile der drehenden Bewegung. A. Zahnräder . . . . . . B. Reibungsräder . . . . C. Riemen- und Seilbetrieb D. Zapfen . . • . . E. Achsen und Wellen F. Kupplungen G. Lager . . . . . .

67 82 91 134 139 1 77 182 187 210

X

lnhaltsverzeichnis.

111. Maschinenteile der geradlinigen Bewegung. A. Kolben B. Kolbenstangen C. Stopfbüchsen . IV. Maschinenteile zur Umänderung der geradlinigen in eine drehende Bewegung und umgekehrt. A. K~belbetrieb . B. Kurbeln c. Kurbelwellen D. Exzenter und deren Stangen E. Schubstangen . F. Geradführungsteile .

.

V. Regelnde Maschinenteile. A. Schwungräder für Kraftmaschinen B. Zentrifugalpendel-Regulatoren • . VI. Maschinenteile zur Aufnahme und zur For-tleitung von Flüssigkeiten. A. Zylinder B. Rohre . . • . . . C. Ventile . . • . . VII. Maschinenteile zum Lastheben. A. Seile, deren Rollen und Trommeln B. Ketten, deren Rollen und Trommeln C. Haken . . . . . . . . . VIII. Sperr- und Bremswe rke. A. Sperrwerke . . . . . . B. Bremswerke

Seite

228 237 238

242 248 252 260 264 268 279 291

313 320 342 367 378 3~6

391 393

Fünfter Abschnitt.

Kraftmaschinen. I. Grundlehren der Mechanik der Gase und Dämpfe. A. Die Mechanik der Gase B. Die Mechanik des Wasserdampfes . . . . . . . 11. Dampfmaschinen. A. Das Verhalten des Dampfes in der Dampfmaschine B. Berechnung der Dampfmaschinen C. Der Dampfverbrauch D. Steuerungen • . . • • . • . . E. Kondensation . . . • . . . . . F. Anordnungen der Dampfmaschinen . G. Abwärmedampfm;u;chinen . • . . . H. Der Indikator und seine Anwendung J. Dampfturbinen . . . . . . . . . III. Dampfkessel. A. Allgemeine Angaben . . . . . . . . . . . . . . B. Die wichtigsten Bauarten der ortsfesten Dampfkessel

405 414 424 425 444 44 5 486 495 504 506 512 535 542

lnhaltsverzeicl)nis. Material der Dampfkessel . . . . . . . . . Berechnung der Blechstärken der Dampfkessel . Die Ausrüstung der Dampfkessel Berechnung eines Zweiflammrohrkessels . . Allgemeine polizeiliche Bestimmungen über die Anlegung von Dampfkesseln . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Normen für Leistungsversuche an Dampfkesseln und Dampfmaschinen . • • • . . C. D. E. F. G.

IV. Verbrennungsmotoren. A. Allgemeines . . . . . B. Kraftstoffe . . • . • . C. Der Kreisprozeß der Verbrennungsmotoren D. Ermittelung der Hauptmaße • . . . E. Ausführung der Verbrennungsmotoren F. Einzelteile und Zubehör . . . . . . G. Regeln für Leistungsversuche an Gasmaschinen und Gaserzeugern V. Wassermotoren. A. Grundlehren der Mechanik flüssiger Körper . • . B. Wasserkraftanlagen . . . . . . . . . . . . . C. Unterschied zwischen Wasserrädern und Turbinen . . . . . . . . . . . D. Wasserräder . . . . . . . . . . . E. Turbinen

XI Seite

559 560 563 565

567 571 581 583 595 600 603 626 628 635 6 51 656 656 664

Sechster Abschnitt.

Arbeitsmaschinen. I. Lasthebemaschinen. Allgemeines . . . A. Rollen B. Flaschenzüge . c. Räderwinden . D. Krane E. Hebemagnete . II. Hebewerke für flüssige Körper. A. Kolbenpumpen . . . • • . . • • B. Rotationspumpen (Kapselpumpen) . C. Kreiselpumpen (Zentrifugalpumpen) D. Dampfdruckpumpen (Pulsometer) E. Dampfstrahlpumpen (Injektoren)

III. Gebläse und Kompressoren. A. Gebläse . . . B. Kompressoren

749 750 752 758

777

827 827 839 860 872

874 877 886

Siebenter Abschnitt.

Elektrotechnik. I. Physikalische Grundlagen. A. Das absolute Maßsystem B. Der Magnetismus . • C. Der elektrische Strom .

902903 910

XII

Inhaltsverzeichnis.

II. Erzeugung und Umformung der elektrischen Ströme. A. Galvanische und thermoelektrische Elemente . B. Die Gleichstromdynamo C. Die Wechselstromdynamo D. Der Wechselstromtransformator E. Die Elektromotoren . . . . . III. Die elektrische Beleuchtung. A. Grundbegriffe und Einheiten B. Das elektrische Bogenlicht C. Das elektrische Glühlicht . . D. Verteilung der Lampen IV. Die Verteilung der elektrischen Energie. A. Die Leitungen . . . . • • . . B. Die Stromerzeugungsanlagen oder Zentralen

Seite

926 931 940 943 945 958 959 963 965 967 973

Achter Abschnitt.

Die wichtigsten Hochbaukonstruktionen.

A. Tabellen B. Mauerwerk • • • . . C. Mauerdurchbrechungen D. Holzverbindungen E. Balkenlagen mit Zwischendecken F. Stein- und Eisendecken, Betondecken usw. G. Raumabwölbung . • • . . . . . . . . . H. Ober- und Unterzüge, Säulen . . . . . J. Hölzerne Dachstühle auf unterstützter Balkenlage K. Dachformen, Rinnen, Abfallrohre L. Dacheindeckungen . . . . . . M. Dachbelastung • . . . • . . ; N. Freitragende Dachkonstruktionen in Holz 0. Hallen- und Schuppenbauten . P. Dächer aus Holz und Eisen . Q. Eiserne Dächer . . . . . • R. Zeichnerische Kräfteermittlung bei Dächern S. Shedbau • • . . • . . T. Treppen . . . • • • . U. Baugrund und Grundbau V. Schornsteine • • . • • . W. Allgemeine Schlußbemerkungen

980 982 984 989 991 994 997 999 1001 1004 1005 1006 1007 1012 1012 1015 1017 1025 1026 1028 1029 1033

Anhang. A. Wärmeeigenschaften verschiedener Körper B. Deutsche Normalprofile für Walzeisen C. Breitflansehige Spezial-(Grey- )Träger . D. Maße und Gewichte

1035 1037 1043 1044

Sachverzeichnis • • • .

1049

Erster Abschnitt.

M a t h e m a t i k. I. Ta feIn.

Freytag, Hilfsbuch. 3· Auf!.

t

2 A. Tafeln der Potenzen, Wurzeln, Briggssehen Logarithmen, Kreisumfänge und Kreisflächen. 1000 n 1 2 3 4 5 6

1 1 8 4 2']. 9 16 64 125 25 216 36 49 7 343 8 512 64 9 - 81 - - -729 I 00 1000 -- --Il I 21 1 33I I2 144 I 728 2 197 I3 I 69 14 I 96 2 744 15 :u5 3 375 16 2 56 4096 49q, 17 2 89 I8 3 24 5 832 6 859 I9 ~ 8ooo 00 400 21 441 9 261 22 484 10 648 12 I67 23 5 29 I3 824 24 5 76 I5 625 25 6 25 26 6 76 17 576 I9 683 27 729 28 7 84 21 952 29 84I 243~ 30 900 2700~ 3I 961 29 79I 32 768 321 10 24 33 IO 8g 35 937 34 l i s6 39 304 42 875 35 12 25 36 12 g6 466 56 so 653 37 I3 6g 54 872 38 I444 59 3I9 39 15 21 -";o 1600 64000 41 I68I 6892! 74088 42 I764 79 507 43 I849 44 I9 36 85184 45 2025 91 125 46 21 16 97 336 47 2209 103 823 48 2304 IIO 592 49 2401 11764~ öO 2500 125000

ro

1,oooo 1,oooo 1,4142 1,2599 1,7321 1,4422 2,oooo 1,5874 2,2361 1,7100 2,4495 1,8171 2,6458 1,9129 2,8284 2,0000 3,oooo 2,0801 3,1623 2,I544 3,3I66 2,2240 3,4641 2,2894 3,6o56 2,3513 3.74I 7 2,4101 3,8730 2,4662 4,0000 2,5I98 4,I231 2,5713 4,2426 2,6207 4,3589 2,6684 4.472I 2,7I44 4,51:>26 2,7589 4,6904 2,8020 4.7958 2,8439 ",8990 2,8845 s,oooo 2,9240 5,0990 2,9625 5,1962 3,0000 5,29I5 3,0366 5,3852 3,0723 5.4772 37I072 -5.5678 3,I414 5,6569 3,I748 5.7446 3,2075 5,8 3 Io 3,2396 5,916I 3,27II 6,oooo 3,30I9 6,o828 3.3322 6,I644 3,3620 6,2450 3.39I2 6,3246 3,4200 6,4o3! 3,4482 6,48o7 3.4760 6,5574 3,5034 6,6332 3.5303 6,7082 3.5569 6,7823 3,5830 6,8557 , 3,6o88 6,928213,6342 7,oooo 3,6593 7,0711- 3,6840

o,ooooo 0,30103 0,47712 o,6o2o6 o,69897 0,77815 o,84510 0,90309 0,95424 1,ooooo 1,04I39 1,07918 I,II394 11 I46I3 1,I7609 I,20412 I,23045 I,25527 I,27875

1000,000 500,000 333.333 250,000 200,000 166,667 142,857 I25,000 Ill,Ill Ioo,ooo 90,9091 83,3333 76,9231 71,4286 66,6667 62,5000 58,8235

.o,7854 1 3,1416 2 7,0686 3 12,5664 4 19,6350 5 28,2743 6 38,4845 7 so,2655 8 63,6173 9 18,5398 10 95,0332 l i II3,097 12 I32,732 I3 I53.938 I4 I76,7I5 IS 20I 1062 I6 226,980 17 254,469 18 55.5556 52,63I6 283,52~ 19 so,oooo ~OI03 3I4,I59 20 1,32222 47,6190 J46,361 21 1,34242 45.4545 380,133 22 1,36173 43.4783 415,476 23 1,38021 41,6667 452,389 24 I,39794 40,0000 490,874 25 1,41497 38,4615 530,929 26 I,43136 37,0370 84,8231572,555 27 I,44716 35.7143 87,965 615,752 28 _1_,_46240 34,4828 91,106 66o,52o 29 --I,477I2 33.3333 94,248 7o6,8s8 30 1,49136 32,258! 97.389 754.768 3I I,so5I5 3I,2500 100,531 804,248 32 I,5I85I 30,3030 I03,673 855,299 33 I,53148 29,4II8 Io6,814 907,920 34 I,54407 28,57I4 109,956 962,II3 35 1,55630 27,7778 II3,097 I017,88 36 I,5682o 27,0270 116,239 I07 5,2I 37 1,57978 26,3158 I I9,38I li341 li 38 1,5gro6 25,64IO 122,522 Il94,59 39 1,60206 25,0000 I2S,66 _!_256,64 40 1,6I278 24,3902 I28,8I 1320,25 4I 1,62325 23,8095 1J1,95 1385,44 42 I,63347 23,2558 I35,09 I452,20 43 1,64345 22,7273 138,23 I520,53 44 I,65321 22,2222 I4I,37 I590,43 45 I 166276 21.7391 144.51 1661,90 46 1,67210 21,2766 '4),65 1'734>94 47 1,68124 20,8333 150,80 18og,56,48 I ,69020 20,4082 I53,94 I885,74 49 1,698971 20,0000 I57,o8, 1963,50 00 3,142 6,283 9,425 12,566 15,708 18,85o 21,99I 25,133 28,274 31 74I6 34.558 37,699 40,84I 43,982 47,I24 50,265 53,407 56,549 59,690 62,832 65,973 69,II5 72,257 75,398 78,540 81,68I

Tafeln der Potenzen, Wurzelll. Briggssehen Logarithmen etc.

1000

n" 50

~000

3

n n3 4

n

1~840

1,698_'21_120,000()_ 157,08 I96J,50I50 __]P71I 2500 z6o1 132 651 7,1414 3,7084 1,7o757 19,6078 16o,zz 2042,8z 27 04 140 6o8 7,2III 3,7325 11 7!600 19,2308 163,36 2123,72! 52 53 28 09 148 877 7,28o1 3,7563 1,72428 18,8679 166,50 z2o6,18 53 54 29 16 157 464 7,3485 3,7798 1,73239 18,5185 169,65 2290,22 54 55 30 25 166 375 7,4162 3,8030 1,74036 18,18!8 172,79 2375,83 55 56 31 36 175 616 7,4833 3,8259 1,74819 17,8571 175,93 2463,01 56 57 32 49 185 193 7,5498 3,8485 1,75587 17,5439 179,07 2551,76 57 58 33 64 195 112 7,6r58 3,8709 I,76343 17,2414 I82,2I z64z,o8 58 59 34 81 205 379 7,68II 3,8930 I,77085 16,9492 I85,35 2733,97 59 00 36oo----z!6ooo 7,7460 3,9I49IY7SI5il6,6667 188,so 2827,43 00 ~ - - - - - - - - - - ~- - - - - 1 - - - - - - - - 61 37 21 226 981 7,8102 3,9365 1,785331 I6,3934 I9I,64 2922,47 6I 621 38 44 238 328 7,8740 3,9579 1,79239 I6,Izgo I94,78 3019,07 62 63 39 69 250047 7,9373 3,9791 I,799341 15,8730 197,9213II7,25 63 64 40 96 262 I44 8,oooo 4,oooo 1,8o618 15,6250 201,06 32I6,99 64 65 42 25 274 625 8,o623 4,ozo7 1,8r291 ! 15,3846 zo4,zo 1 33I8,3I 65 66 43 56 1 287 496 8,I240 1 4,0412 I,819541 15,1515 207.J51342I,I9 66 67 44 89 300 763 8,I854 4,o615 1,826o7l I4,9254 210,49 ~ 3525,65 67 68 46 24 314432 8,2462 4,0817 I,83251 14,7059 213,631363I,68 68 ~- ~ ~ 509 8,3o66 _i,2_~ ~388 5 I4,492~ ~~!ZL 3 739~ 69 70 I 49 00 343 000 8,3666 4,I21 3 1,84510 I4,2857 219,91 3848,45 70 41 Js7 9II 8,426I 4,I408 1,85126 l4,o845 2Z3,o5 39.59,19 71 72 5184 373 248 8,4853 4,1602 1,85733 13,8889 226,19 407I,50 72 73 5329 389017 8,5440 4,1793 1,86332 I3,6986 229,34 4185,39 73 74 54 76 405 224 8,6023 4,I983 1,86923 13,5135 232,48 4300,84 74 75 56 25 421 875 8,6603 4,2172 I,87506 I3,3333 235,62 4417,86 75 76 57 76 438 976 8,7I78 4,2358 1,88081 13,1579 238,76 4536,46 76 77 59 29 456 533 8,7750 4,2543 1,88649 12,987o 241,90 4656,63 77 78 6o 84 474 552 8,8318 4,2727 1,89zo9 1z,8zos 245,04 4778,36 78 79 62 41 493 039 8,88~ 4,2go8 _I_,8976:3_ IZ,65~ 248,1_2__ 4901,67 _12_ 6400 512 000 8,9443 4,3089 1,90309 12,5000 251,33 5026,55 80 8I (;561 SJI 441 g,oooo 4,3267 1,9o849 12,3457 254,47 SJs3,00 81 82 67 24 551 368 9,0554 1 4.3445 I,9I38I 12,1951 257,6I 5281,02 8z 83 6889 57!787 9,1!04 4,362! I,91908, 12,0482 260,75 54I0,6I 83 84 70 56 592 704 9,1652 4,3795 1,92428 u,9048 263,89 1 554I,77 84 85 72 25 614 125 9,2195 4,3968 1,92942 II,7647 267,04 5674,50 85 86 73 96 636056 9,2736 4,4140 I,93450 u,6279 270,18 58o8,8o 86 87 75 69 658 503 9,3274 4.4310 I,93952 11,4943 273.32 5944,68 87 88 77 44 681 472 9,3808 4,4480 1,94448 n,3636 276,46 6o82,I2 88 89 79 2I 704 969 9,4340 4,4647 I,94939 I 1,2360 279,60 6221,14 8q 00 8100 7z9±7275 2133,1 26,0768 8,7937 2,8325 I 1,47059 2136,3 26,o96o 8,7980 2,83315 1,46843 2139.4 26,1151 8,8023 2,83378 1,46628 2142,6 26,1343 8,8o66 2,83442 1,46413 2145.7 26,1534 8,8109 2,83506 1,46199 2148,8 26,1725 8,8152 2,83569 1,45985 2152,0 26,1916 8,8194 2,83632 1,45773 2155 11 26,2107 8,8237 2,83696 1,45560 21$8,3 26,2298 8,8280 2,83759 1,45349 2161,4 26,2488 8,8323 2,83822 1,45138 216~ 26,2679 8,8366 2,8~85 1,44928 !!_67,7 26,2869 8,8408 2,83948 1,44718 2170,8 26,3059 8,8451 2,8401 I 1,44509 2174,0 26,3249 8,8493 2,84073 1,44300 2177,1 26,3439 8,8 53 6 2,84136 1,44092 2180,3 26,3629 8,8578 2,84198 1,43885 2183,4 26,3818 8,8621 2,84261 1,43678 2186,5 26,4oo8 8,8663 2,84323 1,43472 2189,7 26,4197 8,8706 2,84386 1,43266 2192,8 26,4386 8,8748 2,84448 1,43062 2196,o 26,457sls-;-8790 2,84510 1,42857 21997

I

331831 1600 332853 651 333876 652 334901 653 335927 654 336955 655 337985 656 339016 657 340049 658 341084 659 342119 600 343157 1661 344196 662 345237 663 346279 664 347323 665 348368 666 349415 667 350464 668 351514 669 352565 67 353618 671 354673 672 355730 673 356788 674 357847 675 358908 67 6 359971 677 361035 678 362101 679 363168 364237 68r 365308 68 2 366380 683 367453 684 368528 685 369605 68 6 370684 68 7 371764 688 372845 68 9 00 373928 6 375013 691 376099 692 377187 693 378276 69 4 379367 695 380459 69 6 381553 697 382649 698 383746 69 9 384845 700

Mathematik.

16

I y-n

I

26,45751~790

7001490000 343000000 7011491401 344472101 26,4764 8,8833 702 492804 345948408 26,4953 8,8875 703 494209 347428927 26,5141 8,89I7 704 4956I6 3489I3664 26,5330 8,8 95 ~ 705 497025 350402625 26,SSI8 8,9ooi 706 498436 35I8958I6 26,5707 8,9043 707 499849 353393243 26,5895 8,9085 708 SOI264 354894912 26,6083 8,9127 709 502681 ~56400829 26,627I 8,9I69 504IOO 3579IIOOO 26,6458 8,92II 7II 50S 52 I 35942543I 26,6646 8,9253 7I2 so6944 360944128 26,6833 8,9295 7I3 508369 362467097 26,7021 8,9337 7I4 509796 363994344 26,7208 8,9378 715 5I1225r65525875 26,7395 8,9420 7I6 512656 36706I696 26,7582 8,9462 7I7 )I4089 3686oi8I3 26,7769 8,9503 7I8 5I 5524 1370I46232 26,7955 8,9545 7I9 SI696I 37I694959 26,8142 8,9587 720 518400 373248000 26,8328 8,9628 721 51984I 374805361 26,8SI4 8,9670 722 521284 376367048 26,87oi 8,971 I 723 522729 377933067 26,8887 8,97 52 724 524I76 379503424 26,9072 8,9794 725 szs6zs 3Sio78I25 26,9258 8,9835 726 527076 382657176 26,9444 8,9876 727 528529 384240583 26,9629 8,99I8 728 529984 385828352 26,9815 8,9959 729 53I441 387420489 27,0000 9,oooo 730 532900 389017000 27,o185 9,0041 53436I 390617891 27,0370 9,oo82 732 !535824 392223168 27,0555 9,0I23 733 1537289 393832837 27,0740 9,0164 734 538756 395446904 27,0924 9,0205 735 540225 397065375 27,1109 9,0246 736 541696 398688256 27,I293 9,0287 7'!7 543169 400315553 27,1477 9,0328 738 544644 401947272 27,1662 9,0369 27,1846 9,0410 403583419 739 546121 - - --- --740 5476oo 405224000 27,20:_9_ 9,0450 74I 549081 406869021 27,22I3 9,049I 742 550564 408SI8488 27,2397 9,0532 743 552049 4IOI72407 27,2$80 9,0572 744 553536 411830784 27,2764 9,0613 745 555025 413493625 27,2947 9,0654 746 5565I6 415160936 27,3130 9,0694 747 558009 4I6832723 27,3313 9, 0 735 748 559504 418508992 27.3496 g,ons 749 $61001 420189749 27,3679 9,0816 750 s6zsoo 42187$000 Z7,386I !9,o856

no

731

I

log n

I

1000 n

384845 700 385945 70I 387047 702 388I5I 7°3 389256 704 390363 705 39I471 706 392$80 707 393692 708 394805 709 3959I9 397035 7II 398IS3 7I2 399272 713 400393 714 40I$I51715 402639 7I6 403765 h7 404892 7I8 406020 719 '.857331 ,,]8889 22{1~ 407150 f20 2,85794 1,38696 2265,1 408282 721. 2,85854 I,38504 2268,2 4094I5 722 z,8S9I4 1,383I3 227I,4 410550 723 2,85974 I 138I22 2274,5 4I 1687 724 2,86034 1,3793I 2277,7 412825 725 2,86094 I,3774I 228o,8 4I3965 726 z,86I53 I,37 552 2283,9 41$106 727 2,86213 1,37363 2287,I 416248 728 2,86273 I,37174 2290,2 4I7393 729 2,86332 I,36986 2293,4 418539 730 2,86392 1,36799 2296,5 4I9686 731 z,8645I 1,36612 2299,6 420835 732 2,86510 1,36426 2302,8 42I986 733 2,86570 1,36240 2305,9 423I38 734 2,86629 1,36054 2309,I 4242931735 2,86688 1,35870 2312,2 425447 736 2,86747 I, 35 68s 23I5,4 426604 737 z,868o6 I 135$0I z 3 I8, 5 427762 738 2,86864 1,353 I8 232I 16 428922 739 ---2,86923 ~5I35 ZJ24,8 430084 740 ---1~ 2,86982 I,J4953 2327,9.431247 741 2,87040 1,3477I 2331,1 I 432412 742 2,87099 1,34590 2334,2 433578 743 2,87157 1,34409 2337,3 434746 744 2,87216 1,34228 2340,5 4359I6 745 2,87274 1,34048 2343,6 437087 746 2,87332 I,33869 2346,8 438259 747 2,87390, 1,33690 2349,9 439433 748 2,8744811,335I I 2353,I 440609 749 2,87 506 I ,33333 2356,2 441786 75() 2199,1 2202,3 2205,4 22o8,5 2211 1 7 2214,8 2218,o 222I,I 2224,2 2227,4 2230,5 2233,7 2236,8 2240,0 2243,I 2246,2 2249,4 2,855521 1,39470 2252,5 2,85612 I 139276 2255.7 2,85673 I,J9082 2258,8

2,845I0 2,84572 2,84634 2,84696 2,84757 2,84819 2,84880 2,84942 2185003 2,8so6s 2,85126 2,85187 2,85248 2,85309 2,85370 2,8543I 2,8549I

1,42857 1,42653 1,42450 1,42248 I,42045 I,41844 I 141643 I,4I443 I,4I243 I,4I044 I,40845 I,40647 1,40449 I,402$2 1,4oos6 1,3986o I,3966S

no

1

1

Tafeln der Potenzen, Wurzeln, Briggssehen Logarithmen etc.

17

1000 n

750 5_62500 421875000 27,3861 9,o856 2,87506 1,33333 2356,2 441786 750 564001 423564751 27,4044 9,q896 2,87564 1,33 I 56 2359,3 442965 565504 425259008 27,4226 9,0937 2,87622 1,32979 2362,5 444146 567009 426957777 27,4408 9, 0 977 2,87679 1,32802 2365,6 445328 568516 428661064 27,4591 9,1017 2,87737 1,32626 2368,8 4465II 570025 430368875 27.4773 9,1057 2,87795 1,32450 2371,9 447697 571536 432081216 27,4955 9,1098 2,87852 1,3227 5 2375,0 448883 573049 433798093 27,5136 9,II38 2,87910 1,32100 2378,2 450072 574564 435519512 27,5318 9,II78 2,87967 1,31926 2381,3 451262 576081 437245479 27,55oo 9, r 218 2,88024 ! 131752 2384,5 452453 760 577600 438976000 27,5681 9.!258 2,88o8r 1,31579 2387,6 453646 761 579121 44o7uo8! -27,5862 9,!298 2,88138 1,31406 2390,8 454841 762 580644 442450728 27,6043 9,1338 2,88195 1131234 2393.9 456037 763 5821691444194947 27,6225 9,1378 2,88252 1,31062 2397,0 457234 764 583696 445943744 27,6405 9,14!8 2,88309 1,30890 2400,2 458434 765 585225 447697125 27,6586 9,1458 2,88366 ! 130719 2403,3 459635 766 5867 56 449455096 27,6767 9,1498 2,88423 1,30548 2406,5 460837 767 588289 451217663 27,6948 g, 1537 2,88480 1,30378 2409,6 462041 768 589824 452984832 27,7128 9,1577 2,88536 1130208 2412,7 463247 769 591361 454756609 27,7308 9,1617 2,88593 I,JOOJ9 2415,9 464454 770 592900 456533000 27,7489 9,1657 2;88649 1,29870 2419,0 465663 771 594441 4583I40II 27,7669 9,1696 2,88705 1,29702 2422,2 466873 772 595984 460099648 27,7849 9, I 736 2,88762 1,29534 2425,3 468o85 773 597529 461889917 27,8029 9,177 5 2,888r8 1,29366 2428,5 469298 774 599076 463684824 27,8209 9,1815 2,88874 1,29199 2431,6 470513 775 6oo625 465484375 27,8388 9,r855 2,88930 I ,29032 2434,7 471730 776 602176 467288576 27,8568 9,1894 2,88986 1,28866 2437.9 472948 777 603729 1469097433 27,8747 9,1933 2,89042 1,28700 2441,0 474168 778 605284,470910952 27,8927 9, 197 3 2,89098 1,28535 2444,2 475389 77916o6841 j472729139 27,9106 9,2012 2,89154 I ,283 7o _:44721_ 476612 780 608400 474552000 .27,9285 9,2052 2,89209 1,282os 2450,4 477836 781609961 476379541 27,9464 9,2091 2,89265- 1,28041 2453,6 479062 782 6II524 478211768 27,9643 9,2130 2,89321 1,27877 2456,7 480290 783 613089 480048687 27,9821 9,2170 2,89376 I ,27714 2459.9 481519 784 614656 481890304 28,oooo 9,2209 2,89432 1,27551 2463,0 482750 785 616225 483736625 28,0179 9,2248 2,89487 1,27389 2466,2 483982 786 617796 485587656 28,0357 9,2287 2,89542 1,27226 2469,3 485216 787 619369 487443403 28,0535 9,2326 2,89597 1,27065 2472,4 486451 788 620944 489303872 28,0713 9,2365 2,89653 1,26904 2475,6 487688 9,2404 2,89708 1,26743 2478,7 488927 789 622521 491169069 28,0891 ---790 624100 493039000 28,1o69 9,2443 2;89763 ! 1,26582 2481,9 490167 79 1 62568r 494913671 2::>, 1247 9,2482 2;89818 1,26422 2485,0 491409 792 627264 496793088 28,1425 9,2521 2,89873 1,26263 2488, I 492652 793 \628849 498677257 28,1603 9,256o 2,89927 1,26103 2491,3 493897 794 630436 500566184 28,1780 9,2599 2,89982 1,25945 2494,4 495143 795 632025 502459875 28,1957 9,2638 2,90037 1,25786 2497,6 496391 796 633616 S04JSSJ36 28,2135 9,2677 2,90091 r,25628 2500,7 497641 797 635209 5o6261573 28,2312 9,2716 2190146 1,25471 2503,8 498892 798 636804 508169592 28,2489; 9,2754 2,90200 1,25313 2507,0 1500145 799 6384~ i10082399 ~2666~~93 ~0255 r,25156 2510,1 501399 800 64oooo 512oooooo !28,2843 9,2832 2,90309 r,25ooo 2513JI-soz655

751 752 753 754 755 756 757 758 759

I

1

Freytag, Hilfsbuch. 3. Auf!.

2

751 752 753 754 755 756 757 758 759

760

761 762 763 764 765 766 767 768 769

770

771 772 773 774 775 776 777 778 779

780

781 782 783 784 785 \786 '787 788 789

790

791 792 793 794 795 796 797 798 799

800

Mathematik.

18

1000 n 800 640000 S12000000 28,2843 g,2832 2,g030g 1,2SOOO 2S13,3 S026S_i_ 800 8o1 802 803 804 Sos 8o6 807 8o8 Sog

641601 S!3g22401 643204 S1S84g6o8 64480g Sl7781627 646416 Slg718464 64802S S2166oi2S 64g636 S236o6616 6S124g S2SSS7g43 6S2864 S27SI4I12 654481 S2947SI2g 810 6S6100 S31441000 8il 6S7721 5334I1731 812 65g344 53S387328 813 66og6g S373677g7 814 662Sg6 S3g353144 815 664225 541343375 816/665856 543338496 817 667489 545338S13 818 669124 547343432 Slg 670761 54g3S32Sg 820 672400 551368000 821 674041 553387661 822 675684 55"5412248 823 677329 557441767 824 678976 55g476224 82S 68o62S 561515625 826 682276 56355g976 827 683g2g 5656og283 828 685584 s67663552 829 687241 s6g72278g 830 688goo 571787000 831- 690561 573856191 832 6g2224 S7Sg30368 833 6g388g 578oog537 834 6955S6 s8oog3704 835 697225 S82182875 836 6g88g6 S84277056 837 700S6g s86376253 838 702244 588480472 839 703g21 59058g71g 840 705600 S92704000 841 707281 594823321 842 708g64 596g47688 843 710649 599077107 844 712336 601211584 845 714025 60335II25 846 715716 605495736 847 71740g 607645423 848 719104 609800192 84g 720801 6u960049 850 722500 614125000

28,301g 28,31g6 28,3373 28,3S4g 28,372S 28,3gOI 28,4077 28,42S3 28,4429 28,4605 28,4781 28,4g56 28,SI32 28,5307 28,5482 28,5657 28,5832 28,6007 28,6182 28,6356 28,6531 28,6705 28,688o 28,7054 28,7228 28,7402 28,7S76 28,7750 28,7g24 28,8097 28,8271 28,8444 28,8617 28,87gl 28,8964 28,9137 28,g310 28,9482 28,9 6 55 28,9828 29,0000 29,0172 29,0345 2g,0517 29,o68g 29,o861 2g,I033 29,1204 29,1376 29,1548

g,2870 g,2gOg 9,2g48 g,2g86 g,302S g,3063 g,3102 g,3140 g,317g 9,3217 9,32SS 9,3294 g,3332 g,3370 g,3408 g,3447 g,3485 g,3523 g,3S61 g,3599 g,3637 9,3675 9.3713 9.3751 g,3789 9,3827 g,3865 9.3902 g,3g40 9.3g78 g,40I6 g,4053 9.4091 9,412g 9,4166 g,4204 g,4241 g,4279 9.4316 g,4354 9.4391 9.442g g,4466 g,4503 g,4541 g,4578 g,4615 9,4652 9,46go 9.4727

2,90363 2,g0417 2,g0472 2,gos26 2,9os8o 2,90634 2,go687 2,g0741 2,go7g5 2,90849 2,gogo2 2,90g56 2,9100g 2,gi062 2,9II 16 2,91 x6g 2,91222 2,g127S 2,gl328 2,91381 2,91434 2,91487 2,91540 2,915g3 2,91645 2,g16g8 2,gl751 2,91803 2,g1855 ""2,91go8 2,g1g6o 2,92012 2,g2065 2,92I17 2,g216g 2,g222I 2,g2273 2,92324 2,92376 2,g2428 2,92480 2,92531 2,92583 2,g2634 2,g2686 2,92737 2,g2788 2,g2840 2,92891 2,92942

1,24844 1,24688 1,24S33 1,24378 1,24224 I,24o6g I,23gi6 1,23762 1,236og 1,23457 I,2330S I,231S3 1,23001 1,22850 1,226gg 1,22549 1,223gg 1,22249 1,22100 1,21951 1,21803 1,21655 1,21507 1,2135g 1,21212 1,21065 1,2oglg 1,20773 1,20627 1,20482 1,20337 1,2o1g2 1,20048 1,19g04 1,1g760 1,1g61 7 I,Jg474 1,1g332 1,19190 l,I9048 y8go6 1,18765 1,18624 1,18483 1,18343 1,18203 1,18064 1,17g25 1,17786 1,17647

2S16,4 2S1g,6 2S22,7 2S2S,8 2S2g;O 2S32,I 2S3S.3 2S38,4 2S41 .5 2544.7

2547~

2551,0 2SS4,1 2557.3 2560,4 2 563,S 2566,7 2S6g,8 2S73,0 2576,1 257g,2 2582,4 2585,5 2588,7 25gl,8 25g5,0 25g8, t 2601,2 2604,4 2607,S 2610,7 2613,8 2616,g 2620,1 2623,2 2626,4 262g,5 2632,7 263S,8 2638,g 2642,1 2645,2 2648,4 2651,5 2654,6 2657,8 266o,g 2664,1 2667,2 2670,4

S03g12 SOS171 S06432 S076g4 so8g58 SI0223 SII4g0 SI27S8 Sl4028 Sl5300 Sl6573 SI7848 Slg124 520402 521681 522g62 524245 52552g S26814 528102

Sax 8o2 803 804 sos 8o6 807 8oS Sog

810 811 812 813 814 815 816 817 818 81g

820

5293g1 1821 530681 822 531973 823 533267 824 534562 825 535858 826 5371S7 827 538456 828 53g758 82g 541061 830 S42365 831 543671 832 54497g 833 546288 834 54759g 835 548gl2 836 550226 837 551541 838 552858 839 554177 840 555497 841 55681g 842 558142 843 5Sg467 844 560794 845 562122 846 563452 847 564783 848 566II6 84g 567450 850

Tafeln der Potenzen, Wurzeln, Briggssehen Logarithmen etc.

19

1000

n

800 722500 6I4I25000 29,I548 9.4727 2,92942 I, I 764 7 2670,4 5674501850

8si 72420I 6I6295051 6I8470208

-----~~

29,I7I9 9.4764 2,92993 I,l7509 29,I89o 9,480I 2,93044 I,I737I 852 725904 853 727609 620650477 29,2062 9,4.838 2,93095 I,I 7233 854 7293I6 6228 3 5864 29,2233 9.4875 2,93I46 1,17096 855 731025 625026375 29,2404 9.4912 2,93197 I,16959 8 56 732736 6272220I6 29,2575 9.4949 2,93247 I,I6822 857 734449 629422793 29,2746 9.4986 2,93298 I,16686 8 58 736I64 631628712 29,2916 9,5023 2,93349 1,16550 859 737881 633839779 29,J087 _2,5o6o 2,93399 I,l6414 860 739600 636o56ooo 29,3258 9,5097 2,93450 1,16279 861 741321 638277381 29,3428 9,5134 2,93500 1,16144 862 743044 640503928 29,3598 9,5171 2,93551 1,16oo9 863 744769 642735647 29,3769 9,5207 2193601 1,15875 864 746496 644972544 29,3939 9,5244 2,93651 1,15741 865 748225 647214625 29,4I09 9,5281 2,93702 1,15607 866 749956 649461896 29,4279 9.5317 2,93752 1,15473 867 751689 651714363 29,4449 9.5354 2,93802 1,15340 868 753424 653972032 29,4618 9.539I 2,93852 1,15207 869 755161 656234909 29,4788 9.5427 2,93902 1,15075 870 756900 658503000 29,4958 9.5464 2,93952 1,14943 ~ 758641 660776311 29,5127 9.550 1 2,94002 1,14811 872 760384 663054848 29,5296 9.5537 2,94052 I,14679 873 762I29 665338617 29,5466 9.5574 2,94IOI 1,14548 874 763876 667627624 29,5635 9,5610 2,94151 1,14416 875 765625 669921875 29,5804 9.5647 2,94201 1,14286 876 767376 672221376 29,5973 9,5683 2,94250 1,14155 877 769129 674526133 29,6142 9,57I9 2,94300 1,14025 878 770884 676836152 29,6311 9.5756 2,94349 1,13895 879 772641167915I439 29,6479 9.5792 2,94399 I,13766 880 1774400 681472000 29,6648 9,5828 2,94448 1,I3636 881776161 683797841 29,6816 9,5865 2,94498 1,13507 882 777924 686128968 29,6985 9,5901 2,94547 1,13379 883 779689 688465387 29,7153 9.5937 2,94596 1,13250 884 781456 690807104 29,7321 9.5973 2,94645 1,13122 885 783225 693154125 29,7489 9,6010 2,94694 1,12994 886 784996 695506456 29,7658 9,6046 2,94743 1112867 887 786769 697864103 29,7825 9,6o82 2,94792 1,12740 888 788544 700227072 29,7993 9,6118 2,94841 I,12613 889 790321 702595369 29,8161 9,6154 2,94890 1,12486 890 792100 704969000 29,8329 9,6I90 2,94939 1,I2360 89i 793881 707347971 29,8496 9,6226 2,94988 I,I2233 892 795664 709732288 29,8664 9,6262 2,95036 I,I2108 893 797449 712121957 29,883I 9,6298 2,95085 1,11982 894 799236 714516984 29,8998 9,6334 2,95134 1,11857 895 801025 716917375 29,9166 9,6370 2,95182 1,11732 896 8o2816 719323136 29,9333 9,6406 2,95231 1,11607 897 804609 721734273 29,9500 9,6442 2,95279 I,l 1483 898 806404 724150792 29,9666 9,6477 2,95328 I,II359 9,6513 2,95376 1,11235 899 8o8201 726572699 -- - - ---- - - - 29,9833 900 810000 729000000 30,0000 9,6549 2,95424 I,I I I I I

2673;s 2676,6 2679,8 2682,9 2686,1 2689,2 2692,3 2695.5 2698,6 2701;8 2704,9 2708,1 2711,2 2714,3 2717,5 2720,6 2723,8 2726,9 273o,o 2 733,2 2736,3 2739.5 2742,6 2745,8 2748,g 2752,0 2755,2 2758,3 2761,5 2764,6 2767,7 2770,9 2774,0 2777,2 2780,3 2783,5 2786,6 2789,7 2792,9 2796,o 2799,2 2802,3 2805,4 28o8,6 2811,7 2814,9 2818,o 282I,2 2824,3 2827,4

5687&6 570I24 57I463 572803 574I46 575490 576835 578182 579530 58o88o 582232 583585 584940 586297 587655 5890I4 590375 591738 593I02 594468 595835 597204 598575 599947 601320 602696 604073 605451 6o6831 608212 609595 610980 612366 613754 615I43 616534 6I7927 619321 620717 622114 623513 624913 626315 627718 629124 630530 631938 633348 634760 636I73

8 51 852 853 854 855 856 857 858 859

860

'861 862 863 864 865 866 867 868 869

870

871 872 873 874 875 876 877 878 879

880

881 882 883 884 885 886 887 888 889

890

891 892 893 894 895 896 897 898 899

900

20

Mathematik.

1000 n 900 810000 729000000 30,0000 g,6549 2,95424 1,11111 2827,4 636173 900 --gor 8u8o1 731432701 3o,o167 9,6585 2,95472 r,rog88 283o,6 637587 901 902 903 904 905 go6 907 go8 909

910

911 912 913 914 915 916 917 gr8 9 19

920

921 922 923 924 925 926 927 928 9 29

930

931 932 933 934 935 936 937 938 939

940 941 942 943 944 945 946 947 948 949

900

8!3604 73387o8o8 815409 736314327 817216 738763264 819025 741217625 820836 743677416 822649 746142643 824464 748613312 826281 751089429 828100 75357 1000 829921 756058031 831744 758550528 833569 761048497 835396 763551944 837225 766o6o875 839056 768575296 840889 771095213 842724 773620632 844561 776151559 846400 778688ooo 848241 781229961 85oo84 783777448 851929 786330467 853776 788889024 855625 791453125 857476 794022776 859329 796597983 861184 799178752 863041 801765089 864900 804357000 866761 8o6954491 868624 809557568 870489 812166237 872356 814780504 874225 817400375 876096 820025856 877969 822656953 879844 825293672 881721 827936019 883600 830584000 885481 833237621 887364 835896888 889249 838561807 891136 841232384 893025 843908625 894916 846590536 896809 849278123 898704 851971392 900601 854670349 902500 857375000

30,0333 3o,o5oo 3o,o666 30,0832 3010998 30,1164 30,1330 30,1496 30,1662 30,1828 30,1993 30,2159 30,2324 30,2490 30,2655 30,2820 30,2985 30,3150 30,3315 30,3480 30,3645 30,3809 30,3974 30,4138 30,4302 30,4467 30,4631 30,4795 30,4959 30,5123 30,5287 30,5450 30,5614 30,5778 30,5941 30,6105 30,6268 30,6431 30,6594 30,6757 30,6920 30,7083 30,7246 30,7409 30,7571 30,7734 30,7896 3o,8o58 30,8221

2,95521 1,1o865 2,95569 17 10742 2,95617 1,10619 2,95665 I,I0497 2,95713 17 10375 2,95761 1110254 2,95809 11 10132 ~58 56 17 10011 2,95904 1,og8go 2,95952 1,09796 2,95999 r,o9649 2,960.;.7 1,09529 2,96095 1,09409 2,96142 1,09290 2,96190 1,09170 2,96237 r,ogo51 2,96284 1,08932 2,96332 r,o8814 2,963 79 l,o86962,964261 r,o8578 2,96473 1,08460 2,96520 1,08342 2,96567 1,08225 2,96614 1,o8ro8 2,96661 1,07991 2,96708 r,o7875 2,96755 1,07759 2796802 1,07643 ~ 9,7610 2,96848 .!.!!7527 9,7645 2,g6895 170741 I 9,768o 2,96942 1,07296 9,7715 2,96988 1,07181 9.7750 2,97035 1,07066 9.7785 2,97081 1,06952 9,7819 2,97128 1,o6838 9,7854 2,97174 1,06724 9,788g 2,97220 1,o661o 9.7924 2,97267 1,06496 9.7959 2,97313 1,06383 9.7993 2,97359 1,06270 g,8o28 2,97405 1,06157 9,8063 2,97451 1,00045 9,8097 2,97497 1,05932 9,8132 2,97543 1,o582o 9,8167 2,97589 1,05708 9,8201 2,97635 1,05597 9,8236 2,97681 1,05485 9,8270 2,97727 1,05374 9,8305 2.97772 1,05263

g,6620 9,6656 g,6692 g,6727 g,6763 g,6799 g,6834 g,6870 9,6905 g,6941 g,6g76 9,7012 9,7047 9,7082 9,7118 9,7153 9,7188 -.2!7224 9,7259 9,7294 9,7329 9.7364 9.7400 9.7435 9.7470 9.7505 9.7540

2833.7 2836,9 284o,o 2843,1 2846,3 2849.4 2852,6 2855.7 2858,8 2862,0 2865,1 2868,3 2871,4 2874,6 2877,7 288o,8 2884,0 2887,1 2890,3 2893,4 28g6,5 2899,7 2902,8 2906,0 2909,1 2912,3 2915,4 29 18, 5 2921,7 2924,8 2928,o 2931,1 2934,2 2937.4 2940,5 2943.7 2946,8 2950,0 2953,1 2956,2 2959·4 2962,5 2965,7 2968,8 2971,9 297 5,1 2978,2 2981,4 2984,5

639003 902 640421 903 641840 904 643261 905 644683 go6 646107 907 647533 go8 648960 909 650388 91() 65r8r8 911 653250 912 654684 913 656118 914 657555 915 658993 916 660433 917 661874 918 663317 919 664761 920 666207 921 667654 921 669103 923 670554 924 672006 925 673460 926 674915 927 676372 928 677831 1929 679291 930 680752 931 682216 932 683680 933 685147 934 686615 935 688084 936 689555 937 6gl028 938· 692502 939 693978 940 695455 941 696934 942 698415 943 6gg897 944 701380 945 70286 5 946 704352 947 705840 948 707330 949 708822 960

Tafeln der Potenzen, Wurzeln, Briggssehen Logarithmen etc.

21

1000 900 902500 857375000 30,8221 9,8305 2,97772 1,05~63 2984,5 708822 950 951 904401 86oo85351 30,8383 9,8339 2,97818 1,05152 2987,7 710315 951 952 906304 862801408 30,8545 9,8374 2,97864 1,05042 2990,8 711809 952 953 908209 865523177 30,8707 9,8408 2,97909 1,04932 2993,9 713306 953 954 910116 868250664 30,8869 9,8443 2,97955 1,04822 2997,1 714803 954 955 912025 870983875 30,9031 9,8477 2,98ooo 1,04712 3000,2 716303 955 956 913936 873722816 30,9192 9,8511 2,98046 1,04603 3003,4 717804 956 957 915849 876467493 3°,9354 9,8546 2,98091 1,04493 3006,5 719306 957 958 917764 879217912 30,9516 9,858o 2,98137 1,04384 3009,6 720810 958 959 919681 881974079 30,9677 9,8614 2,98182 1,04275 1012,8 722316 959 000 9216oo 884736000 30,9839 9,8648 2,98227 1;04167 3015,9 723823 960 -----961 923521 887503681 31,oooo 9,8683 2,')8272 l,o405S- 3019,1 725332 961 962 925444 890277128 3 1,o161 9,8717 2,98318 1,03950 3022,2 726842 962 ')63 927369 893056347 31,0322 9,8751 2,98363 1,03842 3025,4 728354 963 964 929296 895841344 31,0483 9,8785 2,98408 1,03734 3028,5 729867 964 965 931225 898632125 31,0644 9,8819 2,98453 1,03627 3031,6 731382 965 966 933156 901428696 31,o8o5 9,8854 2,98498 1,03520 3034,8 732899 966 967 935089 904231063 31,0966 9,8888 2,98543 1,03413 3037,9 734417 967 968 937024 907039232 31,1127 9,8922 2,98588 1,03306 3041,1 735937 968 969 938961 909853209 31,1288 9,89 56 2,98632 1,03199 3044,2 737458 969 9~0 940900 912673000 31,1448 9,899° 2,98677 1,03093 3047.3 738981 0~0 971 9428411915498611 jl,16o9 9,9024 2,98722 1,02987 305o,5 7405061971 972 944784 918330048 31,1769 9,9058 2,98767 1,02881 3053,6 742032 972 973 946729 921167317 31,1929 9,9092 2,98811 1,02775 3056,8 743559 973 974 948676 924010424 31,2090 9,9126 2,98856 1,02669 3059.9 745088 974 975 950625 926859375 31,2250 9,9160 2,98900 1,02564 3063,1 746619 975 9761952576 929714176 31,2410 9,9194 2,98945 1,02459 3066 12 748151 976 977 954529 932574833 31,2570 9,9227 2,98989 1,02354 3069,3 749685 977 9781956484 935441352 31,2730 9,9261 2,99034 1,02249 3072,5 751221 978 31,2890 9,9295 2,99078 1,02145 3075,6 752758 979 979 958441 938313739 ------- -----980 960400 941192000 31,3050 9,9329 2,99123 1,02041 3078,8 754296 USO 981 962361 944076141 31,3209 9.9363 -2,99167 1,01937 3081,9 755837 981 982 964324 946966168 31,3369 9,9396 2,99211 r,o1833 3085,0 757378 982 983 966289 949862087 31,3528 9o9430 2,99255 1,01729 3088,2 758922 983 984 968256 952763904 31,3688 9.9464 2,99300 r,or626 309 1.3 760466 984 985 970225 955671625 31,3847 9.9497 2,99344 1,01523 3094.5 762013 985 986 972196 958585256 31 140o6 9.9531 2,99388 r,oq2o 3097,6 763561 986 987 974169 961504803 31,4166 9,9565 2,99432 1,01317 3100,8 765 I l i 987 988 976144 964430272 31,4325 9,9598 2,99476 1,01215 3103,9 766662 988 989 978121 967361669 31,4484 9.9632 2,99520 r,o11~ 3107,0 768214 989 000 98oroo 970299000 31,4643 9,9666 2,99564 r,ororo 3110,2 769769 000 --991 982081 973242271 31,4802 9,9699 2,99607 r,oo9o8 3113,3 771325 991 976191488 31,4960 9.9733 2,99651 r,oo8o6 3 116, 5 772882 992 984064 992 993 986049 979146657 31,5119 9.9766 2,99695 1,00705 3119,6 774441 993 994 988036 982107784 31,5278 9,9800 2,99739 r,oo6o4 3122,7 776002 994 995 990025 985074875 31,5436 9,9833 2,99782 1,00503 3125,9 777564 995 996 992016 988047936 31,5595 9,9866 2,99826 1,00402 3129,0 779128 996 997 994009 991026973 31,5753 9,990° 2,99870 1100301 3132,2 780693 997 998 996004 994011992 31,5911 9.9933 2,99913 1,oo2oo 3135.3 782260 998 9o9 9o8oo1 997002999 .'l1,6070 9.9967 2,99957 1,oo1oo 3138,5 783828 999 --~

1000

8. Natiirliche Logarithmen.

22

NI

0

2

o,oooo o,6931 --·-10 2,3026 2,3979 2,4849 20 2,9957 3,044S 3.0910 30 3,4012 3.4340 3,4657 40 3,6889 3,7136 3.7377 so 3,9120 3.9318 3.9S12 6o 4,0943 4,II09 4,1271 70 4,2485 4,2627 4.2767 8o 4,3820 4t3944 4,4067 90 4.4998 4,5109 4.S218 100 4,6052 4,6151 4,6250 IIO 4.7005 4,7095 4,7185 120 4,787S 4,7958 4,8040 130 4,8675 4,8752 4,8828 140 4.9416 4,9488 4.9558 ISO s,oJ06 5,0173 S,0239 J60 5,0752 5,0814 5,0876 170 5,1358 5,1417 5,147 5 J80 5,1930 5,1985 5,2040 190 5,2470 5,2523 5,2575 200 5·2983 5,3033 5,3083 210 5.3471 5,3519 5.3566 220 5.3936 5.3982 5,4027 230 5.4381 5,4424 5.4467 240 5,4806 5,4848 5,4889 250 5,5215 5,5255 5,5294 260 5,s6o7 5,5645 5,5683 270 5, 59 s41 5,6021 s,6oss 280 5,6348 5,6384 5,6419 290 5,6699 5,67 33 5,6768 800 5, 7038 5, 707 I 5,7104 310 s, 7366 5. 7398 5.7430 320 5,7683 5.7714 5.7746 330 5, 799 1 5,8o21 5,8051 340 5,8289 5,8319 s.s348 3 so 5,8579 s,86o8 5,s6 36 36o 5,8861 5,8889 5,8 9 16 370 5,9135 5,9162 5,9189 38o 5.9402 5,9428 5.9454 390 5,9661 5,9687 5.9713 400 5.9915 5.9940 5.9965 4 10 6,0162 6,oi86 6,0210 420 6,0403 6,0426 6,0450 4 30 6,0638 6,o66I 6,o684 440 6,o868 6,0890 6,0913 4so 6,1092 61 1 II 5 6,1137 46o 6,1312 6,1334 6,1356 4 70 6,1527 6,1549 6,1570 4 So 6,1738 6,1759 6,1779 4 90 6,1944 6,1964 6,1985

0

-

4 3 1,0986 i 1,3863 2,S64912,6391 3,I3S5 3,1781 3.496513.5264 3,7612 3,7842 3.9703 3,9890 4,1431 4,1S89 4,2905 4,3041 4.4188 ·4,4308 "-,S326 4.S433 4,6347 4,6444 4,7274 4.7362 4,8122 4,8203 4,8903 4,8978 4,9628 4,9698 5,0304 5,0370 5,0938 5,0999 5,1533 5,1591 5,2095 5,2149 5,2627 5,2?79 5,3132 5,3181 5,3613 5,3660 5,4072 5o4II6 5.4510 5.4553 5.4931 5.4972 5.5334 5.5373 5.5722 5.5759 5,6o95 5,6131 5,6454 5,6490 5,6802 5,6836 5,7137 5,7170 5.7462 5.7494 5.7777 5,7807 5,8081 5,8II I 5,8377 s,s4o6 5,866 5 5,8693 5,8944 5.8972 5,921615,9243 5.9480 5.9506. 5.9738 5.9764 5.9989'6,0014 6,0234 6,0259 6,0474 6,0497 6,0707 6,0730 6,0936 6,0958 6,1159 6,II8I 6,1377 6,1399 6,1591 6,1612 6,1800 6,1821 6,2005 6,2025

8 6 7 9 s 1,6094 1,7918 I,94S9 2,0794 2,1972 2,7081 2,7726 2,8332 2,8904 2,9444 3,2189 3,2S81 3,2958 3.3322 3,3673 3.SS53 3,5835 3,6109 3,6376 3,6636 3,8067 3,8286 3,8501 3,8712 3,891 8 4,0073 4,0254 4,0431 4,0604 4,0775 4,1744 4,1897 4,2047 4,2195 4,2341 4,3175 4.3307 4,3438 4.3567 4,369 4 4.4427 4,4543 4,4659 4.4773 4,488 6 4.5539 4,5643 4,5747 4,5850 4.5951 4,6540 4,663414,6728 4,6821 4,6913 4,7449 4.7536 4,7622 4.7707 4.7791 4,8283 4,8363 4,8442 4,8520 4,8598 4,9053 4,9127 4,9200 4,9273 4.9345 4.9767 4,9836 4,9904 4.9972 5,0039 5,0434 5,0499 s,os62 5,0626 s,o689 5,1059 5,II20 5,u8o 5,1240 5,1299 5,1648 5,1705 S,I 761 5,1818 5,187 4 5,2204 5,2257 5,2311 5,2364 5,2417 5,2730 5,2781 5,2832 5,2883 5,2933 5,323o_l5.3279 5.3327 5.3375 5.3423 5,3706 5o37 53 5.3799 5,3845 5,3891 5,4161 5,4205 5,4250 5,4293 5.4337 5.4596 5,4638 5,4681 5.4723 5.4765 5,5013 5,5053 5,5094 5,6134 5,5115 5.5413 5.5452 5.5491 5,5530 s,ss6S 5,5797 5,5835 5,5872 5o59IOj 5,5947 5,6168 5,6204 5,6240,5,6276 5,6312 5,6525 5,6560 5,6595 5,6630 5,6664 5,6870 5,6904 5,6937 5,6971 5,7004 5,7203 5,7236 5.7333 5.7526 5.7 557 5.7589 5,7621 5,7652 5,7838 5,7869 5.7900 5,7930 5.7961 5,8141 5,8171 s,820 I s,82 30 s,8260 s,s435 s,8464 5,8493 5,8522 s,sss1 5,8721 5,8749 5,8777 5,88os s,8833 5,8999 5,9026 5.9°54 5,9081 5,9or I 5,9269 5,9296 5.9 322 5.9349 5,9375 5.9532 5,9558,5,9584 5,9610 5,9636 5,9789 5,9814 5,9839 5,9865 5,9890 6,0039 6,0064 6,oo88 6,0II3 6,0137 6,0283 6,0307 6,0331 6,0355 6,0379 6,0521 6,0544 6,os68 6,0591 6,o615 6,0753 6,0776 6,0799 6,0822 6,0845 6,0981 6,1003 6,1026 611048 16,1070 6,1203 6,1225 6,1247 6,1269 6,1291 6,1420 6,1442 6,1463 6,1485 6,1506 6,1633 6,165416,1675 6,1696 6,1717 6,1841 6,1862 6,1883 6,1903 6,192 4 6,2046 6,2o66 6,2o86 6,2106 6,212 6

'·'''T""

B. Natürliche Logarithmen.

23

8 6 2 NJ o 4 9 5 7 3 600 6,2146 6,2166 6,2186 6,2206 6,2226 6,2246 6,226516,2285 6,2305 6,2324

6,2344 6,2304 6,2383 6,2403 6,2422 6,2442 6,2461 6,2480 6,2500 6,2519 6,2538 6,2558 6,2577 6,2590 6,2615 6,2634 6,2653 6,2672 6,2691 6,2710 6,2729 6,2748 6,2766 6,2785 6,2804 6,2823 6,2841 · 6,286o 6,2879 6,2897 6,2916 6,2934 6,2953 6,2971 6,2989 6,3008 6,3026 6,3044 6,3063 6,3081 6,3099 6,3117 6,3135 6,3154 6,3172 6,3190 6,3208 6,3226 6,3244 6,3261 6,3279 6,3297 6,3315 6,3333 6,3351 6,3368 6,3386 6,3404 6,3421 6,3439 6,3456 6,3474 6,3491 6,3509 6,3526 6,3544 6,3561 6,3578 6,3596 6,3613 6,3630 6,3648 6,3665 6,3682 6,3699 6,3716 6,3733 6,]750 6,3767 6,3784 6,3801 6,3818 6,3835 6,3852 6,J869 6,3886 ~3902 6,3919 6,3936 6,3953 6,3969 6,39g6 6,4003 6,4019 6,4036 6,4052 6,4069 6,4085 6,4102 6,4118 6,41Js 6,4151 6,4167 6,4184 6,4200 6,4216 ~4232 6,4249 6,4265 6,4281 6,4297 6,4313 6,4329 6,4345 6,4362 6,4378 6,4394 6,4409 6,4425 6,4441 6,4457 6,4473 6,448916,4505 6,4520 6,4536 6,45 52 6,4568 6,4583 6,4599 6,4615 6,4630 6,464616,4661 6,4677 6,4693 6,4708 6,4723 6,4739 6,4754 6,4770 6,4785 6,4800 6,4816 6,4831 6,4846 6,4862 ti,4877 6,4892 6,4907 6,4922 6,4938 6,4953 6,4968 6,4983 6,4998 6,5o1 3 ,6,5028 6,5°43 6,5058 6,5073 6,5o88 6,5103 6,5117 6,5132 6,5147 6, 5162 6,5177 6,5191 6,5206 6,5221 6,5236 6,5250 6,5265 6,5280 6,5294 6,5309 6,5323 6,53~8 6,5352 6,5367 6,5381 6,5396 6,5410 6,5425 6,5439 6,5453 6,5468 6,54 2 6,5497 700 6, - - 55 1r 6,5525 6,5539 6,5554 6, 55 68 6,5582 6,5596 6,5610 6,5624 6,5639 710 6,5653 6, 5667 6, 5681 6,5695 6,5709 6,5723 6,5737 6,575 1 6,5765 6,5779 720 6,5793 6,58o6 6,5820 6,5834 6,5848 6,5862 6,5876 6, 5889 6,5903 6,5917 730 6,5930 6,5944 6,5958 6,5971 6,5985 6,5999 6,6012 6,6026 6,6039 6,6053 740 6,6o67 6,6o8o 6,6093 6,6107 6,6120 6,6134 6,6147 6,6161 6,6174 6,6187 750 6,6201 6,6214 6,6227 6,6241 6,6254 6,6267 6,6280 6,6294 6,6307 6,6320 760 6,6333 6,6346 6,6359 6,6373 6,6386 6,6399 6,6412 6,6425 6,6438 6,6451 770 6,6464 6,6477 6,6490 6,6503 6,6516 6,6529 6,6542 6,6554 6,6567 6,658o 780 6,6593 6,66o6 6,6619 6,6631 6,6644 6,6657 6,6670 6,6682 6,66 95 6,6708 79° 6,6720 6,6733 6,6746 6,6758 6,6771 6,6783 6,6796 6,68o9 6,6821 6,6834 6,6846 6,685 9 6,6871 6,6884 6,6896 6,6908 6,6921 6,6933 6,6946 6,6958 810 6,6970 6,6983 6,6995 6,7007 6,7020 6,7032 6,7044 6,7056 6,7069 6,7081 820 1".7093 6,7105 6,7117 6,7130 6,7142 6,7154 6,7166 6,7178 6,7190 6,7202 830 6,7214 6,7226 6,7238 6,7250 6,7262 6,7274 6,7286 6,7298 6,7310 6,7322 840 6,7334 6,7346 6,7358 6,7370 6,7382 6,7393 6,7405 6,741"7 6,7429 6,7441 85o 6,7452 6,7464 6,7476 6,7488 6,7499 6,7511 6,7523 6,7534 6,7546 6,7558 86o 6,7569 6,7581 6,7593 6,7604 6,7616 6,7627 6,7639 6,7650 6,7662 6,7673 8 70 6,7685 6,7696 6,7708 6,7719 6,773 I 6,7742 6,7754 6,7765 6,7776 6,7788 8So 6,7799 6,7811 6,7822 6,7833 6,7845 6,7856 6,7867 6,7878 6,7890 6,7901 890 6,7912 6,7923 6,7935 6,7946 6,7957 6,7968 6,7979 6,799i 6,8002 6,8013 900 6,8024 6,8035 6,8o46 6,8057 6,8o68 6,8079 6,8090 6,8101 6,8112 6,8123 9 10 6,8134 6,8145 6,8156 6,8167 6,817.8 6,8189 6,8200 6,821 I 6,8222 6,8233 920 6,8244 6,8255 6,8265 6,8276 6,8287 678298 6,8309 6,8320 6,8330 6,8341 930 6,8352 6,8363 6,8373 6,8384 6,8395 6,8405 6,8416 6,8427 6,8437 6,8448 940 6,8459 6,8469 6,8480 6,8491 6,8501 6,8512 6,8522 6,8533 6,8544 6,8554 9 so 6,8565 6,8575 6,8586 6,8596 6,86o 7 6,8617 6,8628 6,8638 6,8648 6,86 59 96o 6,8669 6,868o 6,8690 6,8701 6,8711 6,8721 16,873216,8742 6,8752 6,8763 9 70 r·8773 6,8783 6,8794 6,8804 6,8814 6,8824 6,8835 6,8845 6,885516,8865 9So 6,8876 6,8886 6,8896 6,8906 6,8916 6,8926,6,893716,8947 6,8957 6,8967 990 6,8977 6,8987 6,8997 ~9007 6,9017 6,9027 6,9037 6,9047 6,9057 6,go68 510 520 530 54° 550 560 570 580 590 600 610 620 6.;o 640 65o 66o 670 68o 690

C. Tafeln der Kreisfunktionen.

24

]1--~--~ ~--~~~~ 0 10' 20'

...,

1

Sinus 30'

40'

50'

60'

__t!_lo,ooooo I o,oo29I I o,oo582l o,oo873 o,ou64 o,m454 O,OI745 8g I o,OI745 o,o2036 o,o2327 o,o26I8 o,o2go8 o,o3I99 o,o3490 88 2 o,o3490 o,o378I o,o407I o,o4362 o,o4653 o,o4943 o,o5234 87 3 o,o5234 o,o5524 o,o58I4 o,o6IOS o,o6395 o,o6685 o,o6976 86 4 o,o6976 o,o7266 o,o7S56 o,o7846 o,o8I36 o,o8426 o,o87I6 85 5 o,o87I6 o,ogoo5 o,o9295 o,ogs8s o,o9874 o1 Ioi64 o,Io453 84 6 o,I0453 o,Io742 o,I I03I o,u320 o,u6og o,u8g8 01 I2I87 83 7 01 I2I87 o,I2476 o,I2764 o,I3053 o,I334I o,I3629 o,I39I7 82 8 o,I39I7 o1 I4205 o,I4493 O,I478I o1 I5069 o,I5356 01 I5643 8I 9 o,I5641_ o,I 593I ~62I8 o,I6505 o,I6792 o,I7078 o,I7365 80 10 o,I7365 01 I765I o,I7937 o,I8224 o,I8509 o,I8795 o,Igo8I 79 II o,Igo8I o,I9366 o,I9652 o,I9937 0,20222 0,20507 o,2079I 78 I2 o1 2079I o 12I076 0,2I360 o,2I644 o,2I928 o,222I2 0,22495 77 I3 0,22495 o,22778 0 123062 0,23345 0 123627 0,23910 o,24I92 76 I4 0,24I92 0,24474 0124756 01 25038 0125320 o,2560I 0,25882 75 IS 0,25882 o,26I63 o,26443 0,26724 o,27004 0 127284 0,27564 74 I6 01 27564 0,27843 o,28I23 0,28402 o,2868o 0,28959 01 29237 73 I7 0,29237 0,295I 5 0,29793 0,3007I 0,30348 0,30625 0,30902 72 I8 0,30902 o,3u78 o,3I454 o,31730 0,32006 0,32282 0,32557 7I I9 o,325fl._ 0,32832 o,33Io6 0,3338I 0,33655 0,33929 0,34202 70 20 0,34202 0,34475 0,34748 o,3502I 0,35293 0,35565 0,35837 6g 21 0,35837 0,36108 0,36379 o,3665o 0,36921 o,37I9I o,3746I 68 22 o,3746I 0,37730 0,37999 0,38268 0,38537 o,388o5 0,39073 67 23 0,39073 o,3934I o1396o8 0,39875 0140I4I o,40408 0140674 66' 24 0,40674 0,40939 o,4I204 o,4I469 o,4I734 o,4I998 0,42262 65 25 0,42262 0,42525 0,42788 o,4305I o,433I3 0,43575 0,43837 64 26 0,43837 0,44098 0,44359 0,44620 o,4488o 0,45140 0,45399 63 27 0,453991 0,45658 o,459I7j o,46I75 0,46433 o,466go 0,46947 62 28 0,46947 0,47204 o,4746o o,477I6 0,47971 o,48226 o,4848I 6I 29 0,4848I 0,48731 0,489891 o,49242 0,49495 0,49748 o,soooo 60 -----00 o,soooo ~,50252 o,soso3 -----o,so7 54 0,5I004 015I254 0,5I504 59 -----31 o,5I504 o,SI753 0,52002 0,52250 o,52498 0,52745 0,52992 58 32 o,52992 o,53238 0,53484 0,53730 o,53975 0,54220 o,54464 57 33 0,54464 o,54708 o,5495I o,55I94 o,55436 o,55678 o,559I9 56 34 o,559I9 0156I6o 0,5640I 0,5664I o,5688o o,57I I9 0,57358 55 35 0,57358 0,57596 0,57833 o,58o7o o,58307 0,58543 0,58779 54 36 0,58779 o,590I4 0,59248 0,59482 o,597I6 o,59949 o,6oi82 53 37 o,6oi82 o,6o4I4 o,6o645 o,6o876 016I I07 o,6I337 o,6I566 52 38 o,6IS66 o,6I795 o,62024 o,6225I o,62479 o,627o6 o,62932 SI 39 o,62932 o,63I58 o,63383 o,636o8 o,63832 o,64056 o,64279 50 40 o,64279 o,6450I o,64723 o,6494'5 o,65I66 o,65386 o,656o6 -49 4I o,656o6 o,65825 o,66o44 o,66262 o,6648o o,66697 o,669I3 42 o,669I3 o,67I29 o,67344 o,67559 o,67773 o,67987 o,682oo 47 43 o,682oo o,684I2 o,68624 o,68835 o,69046 o,69256 o,69466 46 44 o,69466 o,69675 o,6g883 o,7009I 0,70298 0,70505 o,70711 45

-

48

___6_0'--~_5_0_'__~_4_0_'__~_3__ 0' -~-2_0_'--~-1~0-'~~-0~'--1]

Cosinus

...,

25

Tafeln der Kreisfunktionen.

-o~l--~o~,~.-~~~~~,_C_o~s'~·n_u_s,-~~~-5~0 , zo'

10'

1

30'

1

40'

60'

0 r,ooooo r,ooooo 0,99998 0,999961 0,99993 o,999891 o,99985 89

I 2 3 4 5 6 7 8 9

10 !I

12 13 14 15 r6 I7 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

00 31 32 33 34 35 36 37 38 39

-40 41 42 43 44

0,99985 0,99979 0,99973 o,99966l 0,99958 0,99949 0,99939 88 0,99939 0,99929 o,9991 7 0,99905, 0,99892 0,99878 0,99863 87 0,99863 o,99S47 o,9983r o,99813 0,99795 0,99776 0 ,99756 86 0,99756 0,99736 o,99714 0,99692 o,99668 0,99644 0,99619 85 0,99619 0,99594 0,99567 0,99540 o,9951 r 0,99482 0,99452 84 0 ,9945 2 0,99421 0,99390 0,99357 0,99324 0,99290 0,99255 83 0,99255 0,99219 0,99182 0,99144 o,99106 o,99067 0,99027 82 0,99027 0,98986 0,98944 0,98902 0,98858 o,988r4 0,98769 Sr 0,98769 0,98723 0,98676 0,98629 o,9858o 0,98531 0,9848! 80 0,98481 o,98430 o,9837ll 0,98325 0,98272 o,982r8 o,98163 79 o,98i63 0,98107 o,98o5o 0,97992 0,97934 0,9787 5- o,978r 5 78 o,97815 0,97754 o,97692 o,9763o 0,97566 0,97502 0,97437 77 0,97437 0,97371 0,97304 0,97237 0,97169 0,97100 0,97030 76 o,97030 0,96959 o,96887 0,96815 0,96742 0,96667 0,96593 75 o,96593 0,96517 o,96440 0,96363 o,96285 o,962o6 0,96126 74 o,96126 'o,96046 o,95964j o,95882 0,95799 o,957I 5 0,95630 73 0,95630 0,95545 0,95459. 0,95372 o,95284 0,95195 o,95106 72 o,951o6 o,95ors 0,94924 i 0,94832 0,94740 0,94646 0,94552 71 0,94552 0,94457 0,94361 o,94264 0,94!67 0,94068 0,93969 70 ------0,93969 0,93869 - · - - - - - - - 0,93565 0,93462 0,93358 69 0,93042 o,92935j o,92827j 0,92718 68 0,93358 0,93253 0,93148 0.93667 o,927 r 8 o,g2609 0,92499 0,92388 o,92276 o,92164 o,9205o 67 o,9205o o,91936 0,91822 0,91706 0,91590 0,91472 0,91355 66 0,91355 0,91236 0,91 II6 0,90996 o,9o875 0,90753 0,90631 65 0,90631 0,90507 0,90383 0,90259 0,90133 0,90007 o,89879 64 o,89879 o,89752 o,89623 o,89493 o,89363 o,89232 o,89101 63 o,89101 o,88968 o,88835 o,887o1 j o,88566 o,88431 o,88295 62 o,88295 o,88158 o,88o2o o,87882 o,87743 o,87603 o,87462 6r o,87462 o,87321 0,87178 o,87o36 o,86892 o,86748 o,866o3 60 o,866o3 o,86457 o,86310- o,86163 o,S6ors o,8,5866 o,857i7 59 ~~~~--o,85717 o,85567 o,85416 o,85264 o,85112 o,84959 o,84805 58 o,848o5 o,8465o o,84495 o,84339 o,84182 o,84025 o,83867 57 o,83867 o,83708 o,835491 o,83389 o,83228 o,83o66 o,82904 56 o,82904 o,82741 o,82577 o,824r 3 o,82248 o,82082 o,81915 55 o,81915 o,St 748 o,8t58o o,81412 o,81242 o,81072 o,So902 54 o,So902 o,So730 o,So558 o,So386 o,8o212 o,Soo38 0,79864 53 0,79864 o,79688 0,79512 0,79335 0,79158 0,78980 o,788o1 52 o,788or 0,78622 0,78442 o,78261 0,78079 0,77897 0,77715 5I 0,71715_ 0,77iJ_I_ ~347 0,77~ ~1_6977_ 0,76JE__ 0,76604 50 o,766o4l~7_6417 o,76229 o,7~?_1L o,75~ o,75~ o,75471 ~ o,75471 0,75280 0,75088 0,74896 o,74703 I o,74509 o,74314 48 o,74314 o,74120 0,73924 0,73728 0,73531 0,73333 0,73135 47 0,73135 0,72937 0,72737 0,72537 0,72337 0,72136 0,71934 46 0,71934 '· 0,71732, 0,71529 I 0,71325 0,7J 121 0,70916 0,7071 I 45 60' 50' 40' 30' 20' 10' 0' -------~

"·'"' I 1

I

I

Sinus

I~

26 '"doi::

Mathematik.

ll--=---,----=-::-:-----,----c~-----,Tangens 30' 20' 1O' O' 1

----:-4-;;-o,:---,---"""'s:;-;c'"'"'----,,----;;6"""0'=--

:--1

0 o,ooooo o,oo291 o,oo582 o,oo873 o,o1 164 0,01455 0,01746 8g

0 101746 o,o2o36 0102328 o,o2619 o,o2910 o,OJ201 o,o3492 88 o,o3492 010J7SJ o,o4075 o,o4366 o,o4658 o,o4949 0,05241 87 o,o5241 o,o5533 o,o5824 o,o61 16 o,o64o8 o,o67oo o,o6993 86 o,o6993 o,o7285 o,o7578 o,o787o o,o8163 o,o8456 o,o8749 85 o,o87491 o,o9042 o,o9335 o,o9629 o,o9923 o,1o216 0,10510 84 0 1 10$10 o,10805 o,u099 o,1 1394 o,u688 o,u983 0,12278 8J 0,12278 0,12574 o,12869 1 o,IJI65 o,13461 0,13758 0,14054 82 o,14054 o,14351 o,146481 o,14945 o,15243 o,15540 o,15838 81 o,1583ll 0,16137 0,16435 . 0,16734 o,17033 o,1 7333 0,17633 -80 --10 o,1763J ~931_ 0,18233 I o,18534 o,188js _?~~136 0,19438 79 II o,19438 o,19740 o,200421 o;20345 o,2o648 o,20952 0,21256 78 12 0,21256 o,2156o o,21S64 o,22169 0,22475 0,22781 o,23087 77 IJ 0,23087 o,23393 0,23700 o,24oo8 0,24316 0,24624 0,24933 76 14 0,24933 0,25242 0,25552 o,25862 o,26172 0,26483 o,z6795 75 IS o,26795 0,27107 o,27419 0,27732 0,28046 o,2836o o,28675 74 16 o,z8675 o,z8990 0,29305 0,29621 o,29938 0,30255 o,3o573 73 17 0,30573 o,3o891 0 1JI210 0,31530 o,3185o 0 1J217I 0,32492 72 18 o,32492 o,32814 o,33136 0,33460 o,33783 O,J4I08 0,34433 71 19 0,34433 0,34758 o,35o85 0,35412 0,35740 o,36o68 0,36397 70 20 0,3639"7 o,36727 0,37057 o,3738S 0,37720 0,38053 o,38386 6g 21 o,38386 0,38721 0,39055 0,39391 0,39727 o,4oo65 o,40403 68 22 0,40403 0,40741 0 141081 0,41421 0,41763 0,42105 0,42447 67 23 0,42447 0,42791 0,43136 0,43481 0,43828 0,44175 0,44523 66 24 0,44523 0,44872 0,45222 0,45573 0,45924 0,46277 o,46631 65 25 0,4663 I 0,46985 0,47341 0,47698 0,48055 0,48414 0,48773 64 26 0,48773 0,49134 0,49495 o,49858 o,S0222 o,50587 o,50953 63 27 0,50953 o,5 1319 o,si688 o,S2057 0,52427 o,52798 o,53171 62 28 0,53171 0,53545 0,53920 o,54296 o,s4637 o,ssosl 0,55431 6r o,56962 0,57348 o,s7735 60 29 o,55431 o,558rz 0,56194 o,56577 --30 ~,-o,57735 o,s8124 o,585I3 0,58905 o,59297 o,5969r o,6oo86 59 31 o,6oo86 o,6o483 o,6o8SI o,6128o o,61681 o,62o83 o,62487 32 o,62487 o,62892 o,63299 o,637071 o,64II7 o,64528 o,6494I 57 33 o,64941 o,65355 o,65771 o,66189 o,666o8 o,67o28 o,67451 56 34 o,67451 o,67875 o,68JOI o,68728 o,69157 o,69588 o,7002I 55 35 o,70021 0,7°455 o,7o891 0,71329 o,71769 o,722II 0,72654 54 36 o,72654 0,73100 o,73547 0,73996 0,74447 0,74900 o,75355 53 37 0,75355 o,75812 0,76272 o,76733 0,77196 o,7766r 0,78129 52 38 0,78129 o,78598 0,79070 0,79544 o,Soozo o,So498 o,80978 SI 39 o,8o978 o,81461 o,81946 o,82434 o,82923 o,83415 o,83910 50 4Q o,839lo o,84407 o,84906 o,854o8 o,859i2 o,864rg o,86929 49 41 o,86929 o,8744l o,8795S o,88473 o,88992 o,895 I 5 o,90040 48 42 o,90040 o,9o5691 o,gro99 o,gr633 0,92170 o,92709 0,93252 47 43 0,93252 0,93797 0,94345 0,94896 0,95451 o,g6oo8 o,g6s6g 46 44 0,96569 o,97133 0,97700 0,98270 0,98843 o,99420 r,ooooo 45 60 ' 50' "C 0' 10' 20' 30' 40' I 2 3 4 5 6 7 8 9

58

I

---~--~---C~o-t~a~n-g-en~s-~ -~--~------ ~

27

C. Tafeln der Kreisfunktionen. -o 0r;

Cotangens 1---=-:--.,-----cccc-----,---~-,-I-4:-:0:-:,--cc----::5-:cO,c---,----c-60c-' 30' 20' 10' 0'

--

I

0 -~ 343,773E 17I,88s4o 114,s886s ss,93979l68,7soo9157,28996 89 57,28996 49,10388 42,96408 38,18846 34136777 131,24158:28,63625 88 28,63625 26,43160 24,54176 22,90377 21,47040 2o,zosss 19,o8114 87 19108114 18,07498 17,16934 16,34986 15,60478 14,92442 14,30067 86 14,30067 13,72674 13,19688 12,70621 12,25051 II 1 82617 II,43005 85 II,43005 II 105943 10,7II91 IO,J854ü 10,o78o3 9,78817 9,51436 84 9,51436 9,25530 9,oog83 8,7768g 8,55555 8,3449618,14435 83 8,14435 7,95302 7,77035 7,59575 7,42871 7,26873 7,II537 8 2 7,11537 6,g6823 6,82694 6,69u6 6,56055 6 434 84 6, 3 r 3 75 Sr 6,31375. 6,19703 6,08444 5,97576 5,87080 5,7693715,67128 80 lÖ- 5,67iz8! 5,5_1638 __j_.i8j_5_II----s.39SsZ 5;3Q9z8 5,225_6_6 5,144551'i_ II 5,14455] 5,o65841 4,98940 4,91516 4,84300 4,77286 4,70463 78 12 4,70463 4,63825 4,57363 4,51071 4.44942 4,38969 4,33148 77 13 4,33148 4,27471 4,21933 4,16530 4,II256 4,06107 4 101078 76 14 4,01078 3,96165 3,91364 3,86671 3,82083 3,77595 3,73205 75 15 3,73205 3,68909 3,64705 3,6o588 3,56557 3,52609 3,48741 74 16 3,48741 3,44951 3,41236 3,37594 3,340231 3,30521 3,27085 73 17 3,27085 3,23714 3,20406 3,17159 31 13972. 3 1 10842 3,07768 72 18 3,07768 3,04749 3,01781 2,98869 2,96004! 2,93189 2,90421 71 19 2,90421 2,877oo 2,85023 2,82391 2,79802 2,77254 2,74748 70 20 ---z.-74748 2Tz2812,69853 -2,67462,2,65109 2,62791 2,60509 ZI 2,60509 2,58261 z:s6o4612,53865 2,56rs 2,49597 2147509 68 22 2,47509 2,45451 2,43422 2,41421 2,39449 2,37504 2,35585 67 23 2,35585 2,33693 2,31826 2,29984 2,28167 2,26374 2,24604 66 24 2,24604 2,22857 2,21132 2,19430 2,17749- 2,16o9o 2,14451 65 25 2,14451 2,12832 2,II233 2,09654 2,o809412,o6553 2,05030 64 26 2,05030 2,03526 2,02039 2,oo569 1,99II6 r,9768o 1,9626I 63 27 1,g6261 1,948581 1,93470 1,920981 I,90741l 1,894001 1,88o73 62 28 1,88073 1,86760 1,85462 1,84177 1,82906 1,81649 1,80405 61 29 1,80405 1,79174 1,77955 1,767491- 1,75556-l 1,7--4375 1,73205 60 00 I,7J205 -1,720471.70901 ~9766I,68643~ 1,67530 1,66428 59 31 1,66428-1,65337 ----r,64256 I,63I85 l,g2I25il,oro74 1,6oo3J 58 1,56969! 1,55966 1,54972 1,53987 57 32 1,6oo33 1,59002 1,57981 33 11 53987 I,5JOIO 1,52043 1,510841 1,50133 1,49190 1,48256 56 34 r,48256 1,473301 1,46411 1,45501 1,44598 1,43703 r,428r5 55 1,40195 1,39336 1,38484 1137638 54 35 1142815 1,41934 ! 141061 36 1,37638 l 1368o0 1,35968 1,35142 1,34323 1,335II 1,32704 53 37 1132704 1,31904 113IIIO 1,30323 1,29541 1,28764 1,27994 52 38 1,27994 1,27230 1,26471 1,25717 1,24969 1,24227 .!,23490 SI I,21JIO 1,20593 I 1 I9882 11 19175 50 39 1,23490 1,22758 11220JI -..0 111g175- 1118474-1117777 ---.;l1o85_ 1,16398 1,15715 1,15037 49 1,15037 11 1436}I";I3694 1,13029!,12369 1,11713 11 II061 11 10414 1,09770 1109131 1,08496 1,07864 1,07237 47 42 I 1 II061 43 1,07237 1,06613 1,05994 1,05378 1,04766 1,04158 1,03553 46 44 1,03553 r,o2952 1,02355 1,01761 1,oii7o 1,oo583 1,ooooo 45 ~ +o' 1 30' I 20' I 10' I o• 1 60' 1 so' I 2 3 4 5 6 7 8 9

69

48

4r

I

Tangens

0

28

D. Bogenlängen, Bogenhöhen, Sehnenlängen und Kreisabschnitte für den Halbmesser= 1·

1 Bo?."en-1 Sehnen-I'IK~~li~~b~~~~]~ B~gen-1 Bo.~en-1 S~hnen-1 1f(~!l!a >

b

c) Logarithmen.

1. Ist log

Für b

a=c, so ist bc=a.

>1

b

2. log (ac) =log a +log c. b b b a 3- log-= Joga-log c. b

c

a

a

b

b

b

b

b

b

b

b

ist log 0 = - oo, log 1 = 0, log b = 1, log oo =oo. 4. log (a") = n log a. b

v

nt-

1

b

5- log a = -;;: log a. b

a

6. log x =log x: log b =log a log x. 7- Die Logarithmen für die Grundzahl e = 2,718281828459 ... heißen natürliche, die für die Grundzahl 10 dagegen Briggssehe Logarithmen. W

I

Man schreibt statt log a kürzer ln a, statt log a kürzer log a. 8. Es ist: Jog(10")=n; log(10-n)=-n; log(a10")=loga+n; log(a: 10")=loga-n. Ferner: ln(e±")=±n; ln(a10")=lna+ln(10"); In (a: 10") =In a -In (10"). 9- Die (positiven oder negativen) ganzen Einheiten eines Logarithmus nennt man die CI:iarakteristik oder Kennziffer (K) und den echten Dezimalbruch die Mantisse (M) des Logarithmus. Für W>a> 1 hat Joga die Kennziffer K = 0. Beispie 1e für Briggssehe Logarithmen: log 6494 =log (6,494 10-1-3) = 0,812 51 + 3 = 3,812 51; log 0,0006494 =log (6,494 10-4) = 0,812 51-4 (= 6,812 51 -10). Hierbei ist K= +3 bzw. =-4(= 6-10), d. h. =dem Exponenten von 10; ferner in beiden Fällen M = 0,81251.

10. In x = ln 10 log x = 2,3025850930 log x; } In 10 log e = 1. log x =log eIn x = 0,4342944819ln x;

B. Oleichungen.

a) Gleichungen ersten Grades. I. Gleichung mit einer Unbekannten.

ax = b;

2. Zwei Gleichungen mit

Auflösung: x = b: a.

32

Mathematik.

b) Gleichungen zweiten Grades.

X=-f± v~=-q.

x2+px-t-q=0; 1.

-4ac X= -b±Vb 2a 2

C. Reihen. a) Arithmetische Reihen. Für die arithmetische Reihe a, a das n'e Glied:

+ d, a + 2 d, ... a + (n- 1) d

ist

u=a+(n-i)d

U:nd die Summe der n ersten Glieder:

b) Geometrische Reihen. Für die geometrische Reihe a, af, af 2 , letzte Glied: u=arn-1,

•••

afn-t ist das n'e oder

die Summe der n ersten Glieder:

s- a({"-1)

_fu-a --7-1___ -{::._1·

Ist n = 00 und

f

ein echter Bruch, so hat man:

a 8=1-f"

c) Einige besondere Reihen. 1.

1-t-2-t-3-t-4-t- ...... +n

_ n(n+ 1) - - -2- - .

2. 2-t-4-t-6-t-8-t- ...... -t-2n

=n(n-t-1). 3. 1-t-3-t-5-t-7-t- ...... -t-(2n-1)=n2.

4. 1

2+. 2 L.L 3 2+ 4 2+ . , •• , , + n 2 1

='lt(n+1)(2n+1) 1 ·2 ·3 (Wert von

s.

s. 31.)

33

Trigonometrie.

Zinseszins· und Rentenrechnung.

D. Zinseszins- und Rentenrechnung. a) Der Wert Kn eines Kapitals K nach n Jahren beträgt bei einem Zinsfuße von k Prozent: 1. bei jährlichen Zinseszinsen:

K,.= Kp",

worin

p

= I

= + /"_ 100

+

Tc I 00 100

den jährlichen Diskontfaktor bezeichnet; 2. bei halbjährlichen Zinseszinsen (Staatspapiere):

K,. =Kq2 n,

q=1

worin

+ 2·:00 =~O}ot k

der halbjährliche Diskontfaktor genannt wird;

3. bei stetigen Zinseszinsen (wobei die Zinsen in jedem Augenblicke zum kn_ Kapital geschlagen werden): K,.=Ke 100 ; (es. S.31). Für j ä h r li c h e Zinseszinsen gelten ferner folgende Regeln: b) Legt man am Anfange jedes Jahres eine SummeR zurück, so ist der Wert des Zurückgelegten am Ende des nten Jahres einschließlich der alsp (pn - 1) dann fälligen Zinsen:

K,.=R----.

p-1 c) Legt man am Ende jedes Jahres eine Summe R zurück, so ist der Wert des Zurückgelegten am Ende des nten Jahres: pn-1 K,.=R--~

p-1 Die jährliche Abschreibungsquote eines nach n Jahren erlöschenden Wertes beträgt mithin in Prozenten:

!!_ =

100_1'_=-!_. p"-1 d) Soll eine Rente R für die folgenden n Jahre gekauft werden, so hat man dafür heute ein Kapital zu zahlen: 100

K

K,.

= R___}J"_~ 1-

• p"(p-1} e) Die Rente, die ein Kapital K für den Zeitraum von n Jahren ab· zuwerfen vermag, beträgt: R=Kpn(P-~L.

p"-1

lll. Triganornetri e. Grad sin=

0 0

COS=

+1

tg= ctg =

0 oo

90

+1

1

18o

---~--Jo--4S-j-6o-

-1

0

o -1 0

00

0

oo

0

00

I

Freytag, Hilfsbucb. 3· Auf!.

0

0

1 /2

+t 1/2/3 1~y3i 0 y)i oo

1 /d 2 11/2,/3 1/2 1/2{2

Y3i , /a VJ 1

Mathematik.

34 .Ist IX ein Winkel

< 90°, so

ist, vorausgesetzt, daß: Winkel

0

,

a"--j-

+ 2

2h

I

2 ).

·

~~~~~--~~~~-

V=2f3nr2h. 0=nr(2h+a).

Kugelausschnitt.

8. Ellipsoid. I a,

V= 4 /3nabc.

b, c die drei Halbachsen.

~~~~~--~~~~~~~~~~-·

Umdrehungsellipsoid.

9. . Umdrehungs~raboloid.

i

i

·1

1. Wenn 2 a die Drehachse: 2. 2b "

j

V= 4 / 3 n a b2 • V= 4/ 3 n a 2 b.

r der Halbmesser der Grund-~ V= 1/ 2 n r 2 h = der Hälfte des Kreisfläche, zylinders für r und h. ~-die Höhe. I

Ab'. R, r die Halbmesser der paralgestumpftes I Ieien Endflächen, Paraboloid. h die Höhe.

'1,

+

V= 1 / 2 n (R2 r2) h = Mittelfläche X Höhe.

V =2 n 2 R r2.

0=4n2 Rr.

Mathematik. Guldinsche Regel. Der Inhalt V eines Umdrehungskörpers ist das Produkt aus dem Flächeninhalte F der Erzeugungsfigur und dem Wege ihres Schwerpunktes von der Achse. Bezeichnet x 0 den Abstand des Schwerpunktes von der Achse, so ist hiernach V=2:r xo F.

V. Konstruktionen von Kurven. a) Ellipse

(Fig. 1 ).

Gegeben sind die beiden Achsenlängen AB=2a und 0D=2b. Man schlage die beiden Kreise mit den Halbmessern a und b. Ellipsenpunkte werden erhalten, indem man von 0 aus Radien durch die Kreise zieht und in den Schnittpunkten mn Parallelen zu 0 D wie AB legt. Die Schnittpunkte s der Parallelen sind Punkte der Ellipse. Die Brennpunkte F, F 1 haben von o den Abstand: OF=OF1 =ya2 b2; es ist ferner OF~OF1=a.

Mittelpunktsgleichung: x2 y2 a2+b2=1. Näherungsverfahren. Man beschreibe mit dem gegebenen Halbmesser 00 = 0 D = b um 0 einen Kreis und ziehe AB 1. 0 D. Es ist dann D der Mittelpunkt für den Kreisbogen a 1 0b1 , 0 derjenige für ~Db 2 ; zieht man noch Oea2 , Dea1, O(b2 und Df'b1, so sind e und f die Mittelpunkte für die Kreisbogen a1Aa2 und b1Bb 2 • Der I n halt der Ellipse ist F = :r a b, Fig. 1.

b) Parabel

(Fig. 2).

Gegeben der Scheitel A mit der Richtung der Achse AB und ein Punkt 0 der Parabel. Man errichte im Punkt A ein Lot und ziehe durch 0 eine Parallele zur Achse AB. 0 D und A D teile man in eine gleiche Anzahl gleicher Teile, ziehe von den Teilpunkten der Linie A D II zur Achse und von den Teilpunkten der Linie 0 D die Stralllen A 1, A 2, A 3 . . . Die SChnittpunkte B1, s 2 • • • sind Punkte der Parabel. Der Brennpunkt F hat vom Scheitel A den Abstand A F = 1 /2p, wenn p pt'--f''--''--u"------_.,__ _ _'IJ die Ordinate im Brennpunkte F. Scheitelgleichung: Fig. 2.

die Größe 2p heißt der Parameter. Der Flächeninhalt eines beliebigen flachen Segmentes von der Grundlinie g und der Höhe h ist angenähert

F=2fagh.

39

Konstruktionen von Kurven,

c) Hyperbel

(Fig. 3).

Gegeben die Asymptoten und ein Punkt c der Hyperbel. Man ziehe durch c verschiedene Linien und mache ca = de, cb = fg usw.; es stellen dann die Punkte e, g usw. Schnittpunkte der Hyperbel dar. Die Brennpunkte F, F 1 haben von 0 den Abstand OJ; es gilt ferner F 1 c - Fe= 88 1 • Mittelpunktsgleichung: x2- y2 =a2. Asymptotengleich ung: xl yl = _!_a2. 2

d) Spirale

(Fig. 4 ).

Man ziehe zunächst den inneren Hilfskreis, dessen Größe von der Steigung der Spirale abhängt, teile nen Umfang desselben in eine Anzahl gleiche Teile,

H

Fig. 4. Fig. J.

z. B. 8, und lege an die Teilpunkte die Tangenten A, B . .. H. Nun beginne man bei dem ersten Teilpunkt mit der kleinsten Zirkelöffnung und schlage Bogenstück a zwischen den benachbarten Tangenten H und A, in gleicher Weise vom zweiten Teilpunkt den Kreisbogen b zwischen A und B, an Bogen a anschließend, hierauf vom dritten Teilpunkt den Bogen c zwischen B und 0, an Bogen b anschließend usw., bis die verlangte Anzahl Gänge der Spirale erreicht ist. Über die Konstruktion der zyklischen Kurven (Zykloide, Epizykloide, Hypozykloide, Perizykloide, Evolvente) siehe unter "Zahnräder".

Zweiter Abschnitt.

Mechanik.

I. Bewegungslehre. Man unterscheidet in bezug auf den Weg geradlinige (einfache) und krummlinige (zusammengesetzte), in bezug auf die Zeit gleichförmige, ungleichförmige, gleichförmig beschleunigte (verzögerte) und ungleichförmig beschleunigte (verzögerte) Bewegung eines Körpers. Bezeichnet v die Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung, d. h. den in 1 Sek. zurückgelegten Weg, 8 den zurückgelegten Weg nach t Sek., so gilt für die gleichförmige Bewegung 8

B=Vt;

V=t;

8

t=;·

Bei der ungleichförmigen Bewegung kann -

nach der Bezeich-

nungsweise der Differentialrechnung ~ die Geschwindigkeit v = ds gesetzt werden. dt Für die gleichförmig beschleunigte Bewegung gilt, wenn v die Endgeschwindigkeit, d. h. die am Ende der Zeit t erlangte Geschwindigkeit und p die Beschleunigung, d. h. die Größe der Zunahme der Geschwindigkeit in 1 Sekunde bezeichnet, a) Anfangsgeschwindigkeit = 0 :

v=pt;

vt

8=2;

b) Anfangsgeschwindigkeit = v0 :

pt2 v2 8=-=-. 2 2p

pt2 8=Vot+-;

v2- v2o vo+v 8=--2-t; 8 = - - - . 2 2p Diese Formeln gelten auch für die gleichförmig verzögerte Bewegung, wenn p (Verzögerung) als negative Beschleunigung betrachtet und mit negativem Vorzeichen eingesetzt wird, also: t2 v2o- v2 v=vo+pt;

V=Vo-pt;

B=Vot-p - = - - - . 2 2p

Für die ungleichförmig beschleunigte (verzögerte) Bewegung ergibt sich die mit der Zeit veränderliche Beschleunigung zu

dv p= dt; hieraus folgt die Geschwindigkeit:

v = vo

+ f dv = v0 + f pdt. I

0

I

0

41

Bewegungslehre.

eines Körpers im luftleeren Raume gilt

freien Fall

Für den (für v0 = 0)

v2 gt2 s= -=--und v=y2gh, 2g 2 die Beschleunigung der Sch werc (des freien

v=gt;

worin g = 9,81 m/sek2 Falles) bedeutet. Wird ein Körper mit der Geschwindigkeit v0 lotrecht aufwärts geworfen, so ist die Bewegung gleichförmig verzögert, und es gilt (für p = g): v2o- v2 t2 V=V 0 -gt;

B=Vot - g - - = - - -

2g 2 Für die Abwärtsbewegung gelten dieselben Formeln wie beim freien Fall. Eine zusammengesetzte Bewegung ist die Wurfbewegung. \

:.---------------- a,-----Fig. 5.

\

Fig. 6.

Wird ein Körper unter dem Winkel 0( {Fig. 5) gegen die Wagerechte AB mit der Anfangsgeschwindigkeit c geworfen, so beschreibt er im luftleeren Raume eine Parabel. c2

höhe b=-sin2 oc.

c2

DieWurfweite beträgt a = - - sin 2a, die Wurfg

2g

Die Wurfweite wird am größten für b.estimmtes a und für oc = 4 5°:

0(

= 4 5°; umgekehrt wird für ein

fiii,

Cmin=

Pendelbewegung. Die Schwingungszeit eines gewichtlosen Pendels von derLänge l {Fig.6), d.h. die Dauer einer einfachen Schwingung ist, wenn noch oc den halben Ausschlagwinkel bezeichnet: t=n

Bei oc

VY [1 + (~Ysin2 ~ + (~:!Ysin4 ~ + ...]

< Geschwmd1gke1t.

Bewegt sich ein Körper von der Masse m mit der Geschwindigkeit v

mv2

(in mjsek), so beträgt die hierbei aufgespeicherte Arbeit ---; diese Größe 2

nennt man die kinetische Energie, lebendige Kraft oder auch das Arbeitsvermögen der Masse.

47

Dynamik starrer Körper.

Ändert ein Körper von der Masse m seine ursprüngliche Geschwindigkeit v1 in diejenige Vo (in mfsek), so verrichtet er eine Arbeit m v12 - Vo2 ; 2 umgekehrt ist diese Arbeit nötig, um die Geschwindigkeit v0 in diejenige v1 umzusetzen. Die Gleichung stellt das Prinzip der Erhaltung der kinetischen Energie oder lebendigen Kraft dar .. Bewegt sich eine Masse m in einem Bogen vom Halbmesser r mit der Geschwindigkeit v (in mfsek), so ist ihre Fliehkraft =

2

m v ; ebenso r

groß ist der in den toten Punkten eines Kurbeltriebes auftretende Beschleunigungsdruck auf den Kurbelzapfen, wenn dieser die Masse m hin und her bewegt. Die kinetische Energie einer um eine feste Achse sich drehenden Masse ist

E=lf2Jw2,

wenn

J das Trägheitsmoment der Masse, bezogen auf die Drehachse und

w = ~ die Winkelgeschwindigkeit der Drehung bedeutet. r

Bei einer

Umlaufzahl n in der Minute ist

b) Der Stoß. Der gerade, zentrische Stoß zwischen zwei Körpern findet statt, wenn die Schwerpunkte derselben sich in der sog. Stoßlinie befinden; letztere ist diejenige Gerade, die im Berührungspunkte der sich stoßenden Körper zur gemeinsamen Berührungsebene senkrecht steht. Bezeichnen M 1 und M 2 die Massen zweier Körper, v1 und v2 die gleichgerichteten Geschwindigkeiten der Massen vor dem Stoße in mfsek, c1 und ~ die Geschwindigkeiten der Massen nach dem Stoße in mfsek, so hat man 1. beim vollkommen unelastischen Stoß

cl=c2=

M1 v1+ M2v2 Ml+M2

der Verlust an kinetischer Energie beträgt

Ml M_!_ (Vi- v2)2. 2 M1+M2

E =.!__

2. Beim vollkommen elastischen Stoß ist c1 =

(M1- M2) v1 +2M2 V2 (M2-M1) v2 + 2 M1 v und c2 = -'----=---=-~-;-'--::"::c--~ M1+M2 M1+M2

Für v2 = o wird

M1-M2 Cl= M~+M2 Ist M 1 = M 2, so wird c1 = v2 und c2 = v1. Der Verlust an kinetischer Energie ist in allen Fällen gleich null.

Mechanik.

48

3. Beim unvollkommenen elastischen Stoß ist c1=

C2 = hierin bedeutet k

M1 VJ.

+ M2 v2M2 (v1- v2) k +M , und M1

2

M1 v1 + M2 v2 + M1 (v1- v2) k Ml+M2

=

c2 - c1 den Stoßkoeffizienten, dessen Größe von VJ.- v2 den elastischen bzw. plastischen Eigenschaften der stoßenden Körper abhängig ist. Im Falle I ist k = 0, im Falle 2 ist k = 1.

~.

Im Mittel ist für Elfenbein k = Glas k =

:~

9

für Stahl und Kork k =

_i

9'

für

(vgl. "Hütte", 1905, Abteilung I, S. 207).

Der Verlust an kinetischer Energie beträgt 1

M1M2 M1+M2

E=-~~~(v1 -v 2 ) 2 (1-P).

2

Bei dem schiefen, zentrischen Stoß zerlegt man die Geschwindigkeiten nach der Richtung der Stoßlinie und senkrecht dazu; nur die ersten beiden Komponenten ändern sich nach den Regeln des geraden, zentrischen Stoßes und geben mit den letzten beiden Komponenten die Geschwindigkeiten nach dem Stoße.

c) Reibungswiderstände. 1. Koeffizienten der gleitenden Reibung.

Reibende Körper

Lage der Fasern

Zustand der Obfxflächen

Reibungskoeffizient flo der der BeRuhe wegung

Gußeisen: auf Gußeisen oder Bronze

.

Eiche

Schweißeisen: auf Schweißeisen Gußeisen oder Bronze

"

Eiche

wenig fettig mit Wasser trocken parallel { trockene Seife

{

parallel {

Bronze: auf Bronze Gußeisen " Schweißeisen

"

Messing auf Eiche

trocken desgl. mit Wasser mit Talg

0,16

0,19 0,65 0,11

trocken desgl. etwas fettig parallel

trocken

0,15 0,31 0,49 0,19 0,44 0,18 0,26 0,08 0,20 0,21 0,16

0,62

0,48

49

Dynamik starrer Körper. 2. Koeffizienten. der Zapfenreibung. Reibungskoeffizient p, wenn: Reibende Körper

I die Schmierung stattfindet dieOberfl.ächeni-------,---------nur fettig ununtervon brochen {Ring.sind Zeit zu Zeit 1 schmierung) 1

Gußeisen auf Gußeisen Bronze " {Stahl) auf Gußeisen " Schweißeisen auf Bronze . (Stahl) auf Pockholz auf Weißmetall.

0,14 0,16 0,19 0,19 0.19 0,23

0,075 0,075 0,07 0,07 0,11

0,054 0,050 0,054 0,054 0,01

Die Zahlen gelten für normale Flächendrücke p und normale Umlaufgeschwindigkeiten v bei einer Lagertemperatur t von etwa 20 ° bis 25 ° C. Bei schnellaufenden Zapfen mit Olspülung gilt innerhalb der Grenzen v = 2 bis 20 m/sek, p=1 bis 15 kgfqcm und t=30° bis 100°C für den Reibungskoeffizienten 2 p=-.

pt

3. Koeffizienten der rollenden Reibung. Reibende Körper Pockholz auf Pockholz Ulmenholz auf Pockholz Eisen auf Eisen (und Stahl auf Stahl) Gehärtete Stahlrollen und Kugeln auf Stahlringen von Lagern

Reibungskoeffizient {in cm) 0,047 0,081 0,005 0,001

Ein Zylinder vom Halbmesser r beginnt auf einer schiefen Ebene zu rollen, wenn ihr Steigungsverhältnis tg IX= f: r ist; hieraus folgt f = r tgoc.

Freytag, Hi!fsbuch. 3. Auf!.

4

Dritter Abschnitt.

Elastizität und Festigkeit der Materialien. 1)

A. Elastizitäts- und Festigkeitszahlen. Bezeichnet e die Dehnung, d. h. das Verhältnis

der Verlängerung J. eines

Stabes zur ursprünglichen Länge l desselben -

e=

}.

l ,

a die auf den ursprünglichen Querschnitt F eines Stabes bezogene

Spannung, Dehnung e 1 -----==-- = - = oc: = - den Dehnungskoeffizienten, Spannung a E E

= -1

oc:

den Elastizitätsmodul,

a'P die Proportionalitätsgrenze, a1 die Streck- oder Fließgrenze bzw. die Quetschgrenze,

K, und K die Zug- bzw. Druckfestigkeit des Materials, G den Gleitmodul oder Schubelastizitätsmodul,

fl = G1

.

den Schubkoeffiz1enten,

so können hierfür die in den nachstehenden Tabellen enthaltenen Zahlenwerte gesetzt werden.

a) Eisen und Stahl.

Eisensorte

-l

E=_!_i G= 1 kg/qc:

I kg!qc!

Schweißeisen,

II zur Sehnen· 200000)770 000 richtung

I

I

Flußeisen .. 21500001830 000

ap

kgiqcm

{ {

1300 bis 1700 2000 bis 2400

ar

K,

kg/qcm

kgjqcm

2200 bis 2800 2500 bis 3000

K kg/qcm I

3300 bis 4000 2 } 3400 bis 4400

1

}almaßgbd.

l},,m,ßgbd

Nach C. v. Ba eh, Die Maschinene!emente, 9· Auf!., Stuttgart 1903, A. Kröner. Gilt für Schweißeisen II zur Sehnenrichtung; für Schweißeisen l. zur Sehnenrichtung ist K, = 28oo bis 3500 kgfq cm. 1)

2)

51

Elastizitäts- und Festigkeitszahlen. 1 :

Eisensorte

E=-1 b+

0,05 r. Lange Naben erhalten Aussparungen (Fig. 71) mit l1 = 0,4 d bis 0,5 d.

Fig. 70.

Fig. 71.

Zur Befestigung der Zahnräder dienen Keile und Federn, die schon S. 70 und 71 besprochen sind. Bezeichnet i die Anzahl der Arme eines Rades, und wird angenommen, i daß 4 der auf Biegung beanspruchten Arme an der Kraftübertragung teilnehmen, so ergibt sich der Querschnitt derselben unter Bezugnahme auf Fig. 70 angenähert aus

worin W das dem Biegungsmomente P y entsprechende Widerstandsmoment des Armquerschnittes bedeutet. Hieraus folgt für den kreuzförmigen Armquerschnitt unter Vernachlässigung der in der Nullachse liegenden Rippe

hl h 2 i Py=-6-kb"4

Zahnräder.

113

1 und mit dem üblichen Werte h 1 = - h

5

i 120

Py=h8 k . - ,

-v-

woraus mit k• = 300 kgfqcm (für Gußeisen)

h=

p~.

2,5

~

Die Armhöhe h verjüngt sich nach dem Kranze im Verhältnis 5 : 4. Arme mit n- förmigem Querschnitte sind in gleicher Weise zu berechnen.

Fig. 72.

Die Anzahl i der Arme liegt bei den Rädern, die aus dem Ganzen gegossen sind, zwischen 4 und 6. Als Anhalt kann die Gleichung dienen i =

!__VIJ. 7

worin D den Teilkreisdurchmesser in mm bedeutet. Bei Rädern, die aus Segmenten zusammengesetzt werden. gewährt die Gleichung

i=!_YD 8

einigen Anhalt. Betreffs der Abmessungen der aus trockenem WeiBFig. 73. buchenholz gefertigten Holzkämme (s. a. S. 111) und deren Befestigung in dem Rade - bei leichteren Rädern mit Holzkeilen (Eisenstiften), bei schwereren mit Holzkeilen und Eisenstiften - ist auf Fig. 72 zu verweisen. Die Trennung des Kammes in zwei :Teile (Fig. 73) erfolgt für b ~ 18 cm. Die Zähnezahl soll bei Holzkammrädern, wenn irgend angängig, ein Vielfaches der Armzahl sein. Anderenfalls müssen die Arme mit Taschen versehen werden. Freytag, Hilfsbuch. 3. Auf!.

8

114

Maschinenteile.

F ig. 74.

115

Zahnräder.

Fig. 74 zeigt ein Stirnräderpaar (Eisen auf Holz) der Zahnräder· fabrik Augsburg vorm. Joh. Renk, A. -G., in Augsburg (Teilung 16n, 36 Zähne und 144 Kämme von 140 bzw. 135 mm Breite, 540 und 2160 mm Teilkreisdurchmesser), bei dem die beiden geteilten Arme des aus zwei Hälften zusammengesetzten Rades mit Taschen versehen sind.

i

-'-· I

--- .........__ I. -·-·---·~-·--· I

Fig. 75.

Bei dem Fig. 75 ersichtlichen Kegelräderpaar (Holz auf Eisen) von Gruson & Co. in Magdeburg-Buckau (Teilung 25 n, 37 Zähne und 118 Kämme von je 280 mm Breite, 925 und 2950 mm Teilkreisdurchmesser) ist das Rad in einem Stück gegossen und dann gesprengt. Die beiden Hälften sind durch 12 Schraubenbolzen .miteinander verbunden. Die H . Michaelis in Chemnitz unter D. R.P. Nr. 44543 geschützte sogenannte Compound- Verzahnung ist eine Verbindung des Eisenzahnes mit dem Holzkamme; sie beseitigt das Ganggeräusch der reinen Eisenver-

s•

116

Maschinen teile.

zahnung und die geringe Festigkeit der reinen Holzverzahnung ohne Hinzufügung neuer Teile. Zufolge der getroffenen Anordnung (Fig. 76) ist der Holz-

Fig. 76.

kamm auf seiner Gesamtdruckfläche vom Eisenzahne unterstützt und damit gegen Federung gesichert. Derartige Compoundräder haben sich für große Umfangsgeschwindigkeiten und große Zahndrücke als dauerhaft bewährt. (Hierzu die Tabellen S. 118 u. 119.)

b) Stirnräder mit schrägen Zähnen. Derartige Räder mit schraubenförmig auf dem Grundzylinder sitzenden Zähnen zeichnen sich durch große Widerstandsfähigkeit und durch Ruhe des Ganges aus. Fig. 77 zeigt die Konstruktion der einfach schrägen Zähne eines Stirnrades. Man entwirft zunächst die Zahnform (Evolvente), wie unter a) für Stirnräder mit geraden Zähnen angegeben, und trifft dann Entscheidung über den Winkel y, der den Teilkreisbogen ry bestimmt, um welchen die Zahnquerschnitte an den beiden Stirnflächen des Rades gegeneinander versetzt erscheinen. Dieser Teilkreisbogen r y = to wird als Sprung der Zähne bezeichnet. Demselben entspricht auf der Teilkreis-Zylinderfläche vom Halbmesser r eine Schraubenlinie, die auf der Strecke t0 um b steigt, also einen Steigungswinkel besitzt, dessen Größe sieh aus b b

tgß=-=to ry

ergibt. Bedeutet P die Umfangskraft in der Mittelebene des Rades, so erhöht p sich dieselbe wegen der um den Winkel y schräg gestellten Zähne auf - cos Dabei bleibt der Reibungsbetrag an den Zahnflanken derselbe, so daß an Stelle der bekannten Formel für den verhältnismäßigen Arbeitsverlust durch gleitende Reibung in Teilen der Nutzarbeit (S. 97) hier zu setzen ist

r

'iB -

~.!!_ (.!_

+ .!_) !__

- cosy z1 z2 2 · Außer dieser Zahnreibung treten noch infolge des von der Schrägstellung der Zähne herrührenden seitlichen Druckes Kraftverluste ·(Lagerreibungen usw.)

Zahnräder.

117

auf. Um diese möglichst herabzumindern, nehmen Gruson & Co in Magdeburg-Buckau in der Regel to = 0,06 b, so daß ß"' 86° 301• Fr. Stolzenberg & Co. in Reinickendorf bei Berlin empfehlen, diesen Winkel 700 bis 8oo zu wählen! Der seitliche Druck läßt sich vermeiden, wenn man die Zähne in der Mittelebene des Rades bricht, d. h. von hier aus nach beiden Seiten in entgegengesetzter Richtung schraubenförmig verlaufen läßt. Derartige Räder mit

Fig. 77.

doppelt schrägen Zähnen werden auch Räder mit Winkelz·ähnen oder Pfeilräder genannt. Bei der Konstruktion dieser Räder kann in gleicher Weise wie vordem verfahren werden. Unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen ergibt sich der Steigungswinkel ß (Fig 78, S. 120) aus tg ß=

~5~ =

_!_ ~.

to 2 rr Räder mit Winkelzähnen können vor- und rückwärts arbeiten; sie werden jedoch, wenn die Drehung nur nach einer Seite nötig ist, am besten so eingebaut, daß die Spitze des Zahnes voreilt Hierbei sind· die Zähne widerstandsfähiger als bei der entgegengesetzten Drehrichtung. Muß das Rad abwechselnd nach beiden Richtungen umlaufen, dann empfiehlt es sich, durch Anordnung von Seit.enscheiben die Zähne an den Stirnflächen zu verstärken. Derartige Seitenscheiben ·hat das in Fig. 79 dargestellte Stirnräderpaar mit Winkelzähnen der Firma Gruson & Co. in Magdeburg-Buckau. Die Teilung beträgt 100,8 der Teilkreisdurchmesser 1669,5 mm bzw.

=·

D = Tellkreisdurchmesser z = Zähnezahl

S'

.g

=-:

"'

~

15,

~

Zah 1• breite b_

Blockräder

I

\1

41,9 39,3 37,0

34,9 33,1 31,4

19,099 20,690 22,282

23,873 25,465 27,056

60 65 70

75 80 85

90 28,648 95 30,239 100 31,831

52,4 48,3 45,0

69,8 62,8 57, 1

29 31 32

24 25 27

19 21 22

45 20-4014i-90:0.03 6o 14-34 35-95 0,08 • 75 11-31 32-80 10,15 0,01

a

Zäh -.e-

I ß

0,07 . 0.15 1 , 0,30 0,01

I a

i,3 3,4 6,5

r

2,7 73-i43 0,34 0,01 5,2144-248 0,43 0,01 8,5 249-300 0,51 0,01 11,1 4,3 69-133 0,54 0,01 8,0134-220 0,68 0,01 12,6221-3001 0,81 0,01 17,2 5,5 65-124 0,81 0,01 12,7 125-205 1,01 0,02 19,9 206--300, 1,21 0,02 26,2

i,i 2,3 4,9

z-

I I ß I r ·~

i90 225 11-16 17-4413,9710,05 39,3 45- 91 5,32 0,05 83,7 92-149 6,67 O,o61128,3 i 5Q-230 8,02 O,o6 172,7 200 240 11-16 17-43 14,81 0,05 46,2 44- 87 6,42 O,o6 102,0 88-145 8,09 O,Q7 155,8 146--216 · 9,73 0,07 209,6 210 255 11-1516-43 15,77110,o6 56,2 44-84 7,74 0,071122,2 85-140 9,70 0,071186,1141-200111,67 0,08252,0

150 180 11 -19 20-52,2,03 0,03 20,5 53-101 2,72 0,03 42,0 i02-168 3,41 0,04 65,5 169-285 4,10 0,04 88,8 16o 195 11-18,19-4512,58:0,03 24,8 46- 98 3,46 0,04 54,1 99-161 4,34 0,04 83,4 i62-265 5,22 0,05112,7 175 210 11-17 18-44 3,22 ,0,04 31,4 45- 93 4,32 0,05 68,1 94-154 5,42 0,05 104,i 155-245 6,52 0,05 141,4

1

Zäh ·ezahl z=

I

0,5 i5i-300 0,05 . I,3 i56-300 O,iJ 1 . 3,2 i61-300 0,25 0,01

Ia Iß Ir

0,3 9i-i50 0,04 . 0,8 96-155 0,10 1 • 1,5 81-16o 0,20 0,01

Zähnezahl z=

I iO Arme

110 135 11-22·23 -6010,8610,02 8,1 61-117 i ,15 0,02 17,5 U8 -193 1,44 0,02 28,0 194-300111,731 0,02 37,3 125 150 11-21122-58 11,18 0,02 11,5 59-111 i,58 0,02 24,7 U2-184 1,98 0,03 38,0185-300 2,38 O,Q3 51,2 140 165 11-20(i-55"1,5610,0215,6 56-105 2.10 0,03 33,3i06-176 2,63 0,03 51,0177-300 3,16 0,03 67,4 1

75 90 11-25 26-7210,25 0,01 85 105 11-24 25-68 10,40 0,01 iOO 120 11-23 24-64 1o,6o 0,01

37 50 60

y

8 Arme

37 230 270 11-1516-42 16,85 O,Q7 67,6 43- 83 9,19 O,Q7144,9 88-13311,52 0,08'222,3137-190 13,85 0,09'299,7 39 240 285 11-1415-41:8,o6 0,07 77,8 42- 82 10,801 008:170,4 83-13+3,55 0,09 1260,6134-180:16,291 0,10 11353,2 42 250 300 11-1415-40 19,4o 1o,OS 192,o 41- so 12,6o 0,09 1198,0 81-130 115,80 o,10:304,o 131-172 119,00 1 0,11410,0

31 33 35

25 27 29

18 20 23

12 14 16

10 11 12

14 16 17

6 8 10

5 6 8

Ii

6 Arme

Die Gewichtstabelle gibt die angenäherten Gewichte der gußeisernen Stirnräder von gewöhnlicher Konstruktion mit geraden Zähnen. Holzkammräder, Schraubenräder und Stirnräder mit Winkelzähnen {Pfeilräder) wiegen angenähert so viel wie Stirnräder mit Eisenzähnen gleicher Teilung, Zähnezahl und Breite. Kegelräder wiegen "-' 0,9mal so viel wie Stirnräder. Das Gewicht der Stahlgußräder ist etwa um 13°/0 größer als das der gußeisernen Räder gleicher Abmessung.

55

14,324 15,916 17,507

45 50

104,7 89,8 78,5

9,549 11,140 12,732

209.4 i57,i i25,7

30 35 40

I

4,775 6,366 7,958

I .

i5 20 25

clilt

pjl.

4 Arme

0 !!__ !.._ [;" "' Zähne- Zähne- 1 , .z D 2,5 3 t zahl zahl a\ mmD11mmDllmmmmmmmmlmm z= z= .

e

!!:

>-l

Satzräder und Ge wich tsta belle von Otto Gruson & Co. in Magdeburg-Buckau. Gewicht G=z(oc+ßb)-ykg.

so

~

[

i

~

00

..... .....

m

= :n m

in mm

Jt

m in mm

I t1,251

t1,51 t1,75

t2•l

t2,25ltz,5*l;·~lt3*1

2,71

3,79

41,17

43,33

1

4,87

5,42

I 5,96

1 00

21

t6*16,25

7,04

13,oo

1

26

I 56,33

_75.40__1 81.68

I

60,67

1~

28

21,67 1 23,83 1 26,00

24

1

17

18

-l_:o.42 _I 14,o8 j15,17

2~

lt6,5*1-t7*

7,58

1

1 1

I

32

I

1

34

32,50

65,00

69,33

73,67

94.25_ ~~~106,81

30

28,17 1 30,33

1

I

78,00

113.10

36

34,67

1

I

40

39,00

82,33

86,67

~-19.38_ ~.~~1

38

36,83

1~1~ ~~~~-~~-l_50·2_7_ 5~.41 1 ~

16

j12,46

Tt10·T~1.-I-t~li-13~-t~4·1-t15*1

11,92

13,54

11,38

~·~1--~~ ~~8 _1~06-118,85 _ i 19,64

[1 1o,83

I

1

6,50

I

10,29

47,67 I 52,00

69,12

22

I

20 I

19,50

17,32

1 _~9~9_ 1 _62,83

19

16,25

9,75

1 t8· Tt9·

9,21

1~ 1 ___:s.1_3_ 1 ~ 1 _31.42

1 7.5·

8,67

4,33

lt4.~~-4,7sTt5*1 ~.zsi~5-;Ts~5

3,25

1~~-13~ -~_1_4_~~-14,92

I t4*14,25

2,17

3.75

8 1__1_12 8,13

lt3,5*1

3,25

I~~--~~~~~-~I ~~~-__!!J7_1~ 1 ~ 1~-=---~~- -1~ -

t1

Die Zähne der Stirnräder sind nach der gewöhnlichen Evolventenverzahnung ausgeführt. Die Zahnstärke beträgt 0,5 t. Der Zahnkopf ist m=t:nmm hoch. Teilkreisdurchmesse r 2r=zm in mm. Zahnstangen werden nur in den mit *, Stirnräder mit Innenzähnen nur in den mit t bezeichneten Teilungen geliefert.

Zahnlänge l in mm .

Teilung t =

Modul m

Zahnlänge l in mm .

Teilungt

Modul m

Zah1ilänge l irr mm

Teilung t = n m in mm

Modul m

Zahnlänge l in mm

Teilung t = n m in rom

Modul

Stirnräder mit gefrästen Zähnen von Friedrich Stolzenberg & Co. in Berlin- Reinickendorf.

..... ..... '-0

"" ~

"'

~ ,_,

N

120

Maschinenteile.

4430,5 mm, .die Zähnezahl 52 bzw. 13S, die Zahnbreite 350mm. Beide Räder sind in je einem Stück gegossen, dann gesprengt und die zusammengehörigen Hälften durch Schraubenbolzen u. Schrumpfbänder miteinander verbunden. Der Winkel, unter ·dem die Erzeugende bei der Evol· ventenverzahnung gegen die Zentrale geneigt ist, pflegt bei Pfeilrädern zwischen 6S 0 und 72° zu schwanken. Der Zahnfuß findet sich 0,35 t bis höchstens 0,4 t, der Zahn· kopf 0,25 t bis höchstens 0,3 t. Die Zahnstärke im Teilkreise kann gewählt werden 8=

0,46 t;

hieraus ergibt sich für die wirkliche Zahnstärke Bt = ssinß. Für die Zahnbreite nimmt man b = 4t, für den Sprung t0 = 1,4 t, entsprechend einem Steigungswinkel ß = 55 ° (Gruson & Co. nehmen als Norm für alle Räder mit Winkelzähnen

t=t0 = so daß ß "' 63 ° 25'). findet sich

1

4

b,

Bei Kraus- oder Kammwalzen mit wenigen Zähnen

b=St, t0 =1,75t, demnach ß=55°.

c) Kegelräder. Sind in Fig. SO (S. 122) ma1 und m~ die unter dem Winkel oc sich schneidenden Achsen zweier miteinander in Eingriff stehender Kegelräder, so erhält man eine zweckmäßige Verzahnung unter Zugrundelegung sogenannter Ergänzungskegel a 1 bc1 und ~b3.5 P.

Im Verhältnis !'! : ,u = 1 : 0,356 wird der zur Übertragung einer bestimmten Kraft P nötige Anpressungsdruck Q bei Keilrädern geringer ausfallen als bei zylindrischen Reibungsrädern. Ein Nachteil (u. zw. die Ursache starker Abnutzung und unter Um· ständen auch zu starker Erwärmung) ist bei Keilrädern, daß nur in einem zylindrischen Schnitte durc.h jeden Kranz - dem Berührungspunkte der Teilein Rollen stattfinden kann. Dieser Fehler wird um kreise entsprechend so kleiner, je kleiner die Kopflängen e (Fig. 90) der Keile im Verhältnis zu den zugehörigen Radhalbmessern sind. Man nimmt e = 1,0 bis 1,2 cm.

= .2_

auf das Zentimeter Länge der ge2a meinsamen Berührungslinie beider Räder einen zulässigen Betrag nicht überschreitet, macht man die Räder mehrspurig. Q 2 akoz. Für z Rillen gilt Damit der Flächendruck k 0


1,2d bis 1,5d ist.

153

Riemen- und Seilbetrieb.

>

Breitere Scheiben erhalten meist kleinere Nabenlängen als B. Für B 30 cm gibt man der Scheibe zwei Armsterne. Fig. 117 a zeigt eine derartige, in den

Fig. 117a.

Armen geteilte Riemenscheibe von 4500 mm Durchmesser und 660 mm Kranzbreite. Die an den Berührungsflächen bearbeiteten Teile sind durch Schraubenbolzen miteinander verbunden. Häufig werden größere Scheiben aus dem

154

Maschinenteile.

Ganzen gegossen und dann aufgesprengt. Fig. 117b zeigt eine solche Scheibe von 1300 mm Durchmesser und 1000 mm Kranzbreite mit drei Armsternen. Los- oder Leerscheiben dienen dazu, die Bewegungsübertragung von der treibenden nach der getriebenen Welle zeitweise unterbrechen zu können. Im Gegensatze zu den Festscheiben erhalten sie eine Nabenlänge = 2 d und mebr, in der Regel auch besondere Laufbüchsen. Mittels der in Fig. 118 dargestellten Ausrückvorrichtung läßt sich die Verschiebung eines offenen oder eines gekreuzten Riemens von der Losscheibe b1 bzw. b2 auf die Festscheibe a bewirken und umgekehrt. Die in angegossenen Armen der Hängelanger m gleitende Schiene f, auf der die Gabeln zur Riemenführung festgeklemmt sind, erhält ihre Bewegung mittels

I I I

~

II I

I I

--1f}(J(J-

I

--1--1

I

I I

Fig. 117b.

Hebelverbindung von einer stehenden Welle n aus, die durch den Griffhebel g entsprechend eingestellt wird. Schmiedeeiserne Riemenscheiben (Fig. 119) werden aus mehreren Stücken zusammengesetzt. Die aus Rundeisen gebildeten Arme sind zumeist an dem einen Ende mit dem Blechkranze vernietet, an dem anderen Ende in die zweiteilige gußeiserne Nabe eingeschraubt oder eingegossen. Die Düsseldorfer Röhrenindustrie in Düsseldorf-Oberbilk bringt schmiedeeiserne Riemenscheiben für D= 125 bis 750mm und B= 75 bis 300 mm in den Handel, deren zwei aus je einem Rohrstück gepreßte Hälften ohne Nut und Feder mittels Verbindungsschrauben auf der zugehörigen Welle befestigt werden. Die Kränze größerer derartiger Scheiben erhalten durch ein im kalten Zustande während des bei Rotglut erfolgenden Preßprozesses des einzelnen Stückes eingeführtes T-Eisen die nötige Versteifung. Hölzerne Riemenscheiben werden ebenfalls aus zwei Teilen hergestellt und diese durch Zusammenpressung mittels Schrauben auf der Welle befestigt. Außer dem geringen Gewichte gegenüber gußeisernen und schmiedeeisernen Scheiben gewöhnlicher Bauart, besitzen sie den Vorteil eines größeren

Riemen· und Seilbetrieb.

155

Reibungswiderstandes zwischen Scheibe und Riemen, so daß die Spannung des letzteren vermindert werden kann. In der Regel bestehen die Kränze hölzerner Riemenscheiben aus einer Anzahl miteinander verleimter Ringe,

die, selbst wieder je aus einzelnen sektorförmigen Teilen gebildet, mit ihren Fugen gegeneinander versetzt liegen. Die hölzernen Speichen werden durch Einschwalbung, außerdein durch Schrauben mit dem Kranze verbunden. Kleinere hölzerne Riemenscheiben werden als Vollscheiben ausgeführt.

156

Maschinen teile.

Martin Glaßner in Ratibor fertigt Riemenscheiben aus gebogenem Holz mit Stahlgußnahen für D = 200 bis 2000 mm und B = 7 5 bis 500 mm. Der Armstern wird durch miteinander verschraubte, aus zugeschnittenen Holzteilen gebogene Stücke gebildet, die durch eine eingepreßte und verschraubte

'

.''

I

i '

' ~ ----- ~ -- -- -./}

'

'

'

- __ j_ __ ------------- ... -...!

I

;

E=-;- f '

Fig. 119.

vierteilige Stahlgußnabe (Fig. 120) mit inneren Ringleisten an den Flanschen zusammengehalten werden. Der mit dem Armsterne verschraubte Scheibenkranz besteht, ·,aus zwei halbkreisförmig gebogenen Brettern, die an der Stoß-

Fig. 120.

fuge mit Nut und Feder verbunden sind. Die zweiteiligen Scheiben werden durch Anziehen kräftiger Nabenschrauben auf der Welle festgespannt. Für Befestigung mittels Keil oder Stellschraube werden die Scheiben auch einteilig mit verstärkten Naben geliefert; für B);275 J:nm erhalten sie doppelte Armsteme.

15 7

Riemen· und Seilbetrieb.

Ungefähre Gewichte fertig bearbeiteter gußeiserner Riemenscheiben in kg. Berlin-Anhaltische Maschinenbau-A.·G. in Dessau. (Auszug.) Die oberen Zahlen gelten für ungeteilte, die unteren für geteilte Scheiben 1 ). 20 mm. Bohrung ~ 0,1 D

+

:m D

-~

Breite B der Scheiben in mm

-

l_2oo-,_l25o 1 30o ,-350 -7-5-;-l-1-oo-, -1-25-f-15_o___

200 {

7,51 8,5! 10 8,5 10 I 11,5

6,5 7,5

11,5 13 i 15 12,5] 14,5 16,5 1

300 {

~~

400! '

15 16

soo{

21,5' 23 20 21,5: 23,5 25 24 26 I 28,5 31 I

I

1300{

17 I 22 19 : 26,5

I

25,5 28,5 31 34 39 43 47 52

64 71 74 82 84 93

33 I 38 :

42 47

43 48 51 58 59 68

52 I 59 ' 62 I 11 I 12 I 84 I

62 ! 71 : 76 1 85 , 90 , 99

69 79

84 98

153 171 171 191 191 213 211 237

1900 {

4ooo{

25 28

30 33

37 43

43 53

I

I I

i . I

•

'

I

I }

D

~r:" zoo

} 300

}L __,___ ~~

67 81

74 95

100 121 120 145

112 141 132 165 154 191

86 96

I

!

I

98 } 500 108

-: ~~ 1i~ ~~ ~;T }

-

104 ' 115

233 248

600

•

I

130 I 146 } 700 148 ' 164 154 I 174 } 800 178 , 192 1S2 i 204 } 900 210 , 224

-~781_--;u-l:--;-j6 } 1 ~~ 217 . 244

260

244 202 247 I 280 280 230 279 I 318 316 260 358 313 292 I 354 349 ' 400

, 268 , 298 I 304 I 338 344 . 382 I 388 I 428

---~--.---

1

1800 {

3500 {

i

49 59

79 -- ;- r1~2 113 131 91 110 140 I 91 129 149 : 103 105 126 160 117 146 169 198 119 142 182 ' 207 133 164 191 I 222

68 76 80 89 92 102

1700 {

f \

I

~~ -~ ;-~g 1-

27 30 34 38 42 47 so 56

1600 {

3000

27 31

'I

28 31

!-

2500 {

I

1_

I

1400 {

2000 {

18 21

-I

51 61

1200{

1

1

I

1100{

14,5! 16,5

'1,

:~· 5 1 ~~.5~ ;~,5 _;_! 1)~.51_ ~-~ ~

------------

600 {

12 14

1 4~~--145;;-fSo~-

'I

295 277 331

1

1

}

}

---

1100 1200

}

1300 } 1400

326[39414;-} 15;-·-·~444 ' 478 387 369 346 364_1_4381480 } - - 1600 490 ! 530 427 409 I 528 } 404 ! 484 382 1 700 586 469 ; 540 451 580 } 446 ' 534 420 1800 515 I 594 I 642 495 586 I 634 } 49o 462 1900 565 I 652 i 704 541 1

1

246 275

I

___ ,____

------~--~-----·-

-

538 ' 642 ' 692 } 506 270 330 378 2000 766 619 I 714 303 ! 365 408 I 589 --1---- -··-----828 I 968 1034 560 , 776 416 I 496 927 j1o1s I 1136 } 2500 889 61s 473 i 561 784 I 1116 1188 : 1372 ! 1456 706 608 878 l1259 1327 I 1510 ! 1596 } 3000 693 I 791 838 I 956 1048 I 1512 1604 : 1838 ' 1950 963 1 1071 '1188 I 1685 1797 ·, 2034 2134 }3500 1096 1234 i 1346 : 1932 2050 2334 I 2486 1269 r 1383 11532 . 2169 2303 : 2590 2738 ' I I '1

1

I

1

}4ooo

') Riemenscheiben von 2150 bis 4000 mm Durchmesser werden auch für Breiten von je 600 mm geliefert.

Maschinen teile.

158

3. Stufenscheibenl). Dieselben dienen zur Übertragung der Bewegungen eines mit gleichbleibender Geschwindigkeit umlaufenden Wellenstranges auf die Antriebwellen von Arbeitsmaschinen (Drehbänke, Bohrmaschinen usw.) derart, daß eine sprungweise· Änderung des Übersetzungsverhältnisses stattfindet. Damit die Riemenlänge bei jedem Wechsel der Stufenscheiben konstant bleibt, hat man die Halbmesser der einzelnen Scheiben nach einem gewissen Gesetze zu bestimmen. Unter der Bedingung, daß die verschiedenen Umlaufzahlen der getriebenen Welle eine geometrische Reihe bilden, ergeben sich die Scheibenhalbmesser wie folgt. Werden die veränderlichen minutlichen Umlaufzalllen der getriebenen Welle mit n 11 n 2 , n 8 .... nm-wobei n1 ~ ns usw. - , ferner das Verhältnis zweier aufeinander folgender Umlaufzahlen mit rp bezeichnet, so ist

<
ld_ P".n

1500 A. Wird gesetzt - - - = f'

_

l

31

l>-w- oder n

30000.

!!_ d1 2 4

f'Pn

"-'~--.

1200dl

181

Zapfen.

c) Spurzapfen. Hier ist in gleicher Weise wie bei Berechnung der Tragzapfen zu verfahren, nur kommen Festigkeitsrücksichten nicht in Betracht. 1. Ebener Spurzapfen (Fig. 138). Bei Vernachlässigung der Schmiemuten, welche die Auflagerfläche um 10 bis 20 °f0 verkleinern, gilt mit Beibehaltung der früheren Bezeichnungen

P=

:n:

4 wa k"' 0,8 ä-1 k.

k ist nach S. 178 mit Rücksicht auf die Art der Drehung des Zapfens zu wählen. Für Tiegelstahlzapfen auf dichtem hartem Gußeisen (Turbinenzapfen) kann k wie für Bronze genommen werden. Mit Rücksicht auf das Heißlaufen soll 1

p

d:n:n

= 2 "' 60-:-too fl p n A. > !!.... ä-1 = 3ooo d

.

sem,

4

woraus

d= __ P-_ Pn > 3000A.

und mit

Fig. 138.

3000 A.

---=W

d "'d:;>-Pn w oder n 12 cm) eignet sich die Scheibenku p p I u n g, Fig. 148. Ihre beiden Hälften werden entweder auf die Wellen-

Fig. 148.

enden warm aufgezogen oder mittels der Wasserdruckpresse befestigt, hierauf genau abgedreht. Zuweilen sind die Scheiben auch den Wellen augeschmiedet oder (bei gußeisernen Wellen) angegossen. Behufs zentrischer Verbindung läßt man die Flanschen der durch Schrauben miteinander verbundenen Scheibenhälften in der Fig. 148 esichtlichen W eise ineinander greifen. Man nimmt: Nabenstärke s 1

=

- 5

0,4 d

Nabenlänge l :> 4 - d;

+ 1 cm;

Stärke der Schrauben 15 = .. k . Scheibenstar e c =

• 45 u;

d

8

St ärke des Schutzrandes b = .. k Ansa t zs t ar e g=

Ansatzhöhe h

2 ; 8j

15

= J .

+ 1 cm 15

4

bis

d

8

+ 0,5 cm;

+ 1,5 cm;

Maschinenteile.

190

Die Anzahl z der Schrauben (meist gerade gewählt) berechnet siCh mit Rücksicht darauf, daß die durch das Anziehen der Schrauben erzeugte Reibung eine Übertragung des Drehmomentes M 4 gestattet. Setzt man Mtl= 36d3, je eine Schraubenbelastung = 300!1 2 und den Reibungskoeffizienten p. = 0,25, so ergibt sich aus

~! = y

36 d3 = 300tl11 ·z·0,25, y d3

z=0,48~.

·Y

u

Hierin bedeutet noch y den Halbmesser des Schraubenlochkreises. Rücksicht auf Eiegongsfestigkeit muß ferner

Md

X

y 2 =

0 •1 d3 zk.•

+

Mit

+

sein, worin x die Scheibenstärke c Arbeitsleiste "" c 0,5 cm bedeutet und k 6 hoch gesetzt werden kaun. (In Fig. 148 ist keine Arbeitsleiste angebracht, demnach x = c.) Die übrigen Abmessungen der Kupplung sind so zu wählen, daß keine vorstehenden Teile auftreten und ferner ein Anziehen der Schraubenmuttern möglich ist. Nachstehende Tabelle gibt die Hauptabmessungen und Gewichte der von der Berlin-Anhaltischen Maschinenbau-A.-G. in Dessau ausgeführten Scheibenkupplungen. Bohrung

tJ

Länge-~~ DurchDmesser 2 z

·1

Durchmesser der Schrauben

mm

mm

mm

mm

50 60 70 80

175 200

225 260 300 330

16 20 23 26 26 26

90

100 120 140 150 160 170 180 190 200

225

250 275 300

350

400

425

450

475

500

525

550

345

360 420 455 470 500 520 555 570

590

29 29 29 32 32

35

35

35

i

i ,

An2ahl der Schrauben 4 4 4 4 4

6 6 8 8

8 8 8 8

10

Gewicht

kg 20 32 47 62 77 92 138 180 215 250 290

335

375 420

Die Bohrung wird auch bis zu 5 mm größer ausgeführt als in der Tabelleangegeben ist. Die Scheibenkupplungen haben den Nachteil, daß eine Welle erst nach einer Verschiebung um die Ansatzhöhe h aus dem Strange herausgenommen werden kaun. Alle Lager, Räder und Scheiben, die auf den Wellen befestigt werden sollen, müssen daher zweiteilig ausgeführt werden. Scheibenkupplungen mit Zwischenstück werden zuweilen angewendet, wenn ein Teil einer Wellenleitung längere Zeit außer Betrieb gesetzt werden soll. Das Abkuppeln geschieht durch Herausnahme der Schrauben und des geteilten Zwischenstückes. Die von der Weiter Elektrizitäts- und Hebezeugwerke-A.-G. in Cöln-Zollstock gebaute sog. Zentratorkupplung, Fig. 149, ermöglicht, ohne Riemen, Zahnräder usw. die Bewegungen raschlaufender Weilen auf

Kupplungen.

191

langsam laufende zu übertragen und umgekehrt. Das Wesen der in der Regel mit einem Elektromotor verbundenen Kupplung besteht darin, daß federnde Stahlringe a durch einen Klemmring b gegen eine auf der rasch laufenden Welle befestigte Rolle c zentrisch gepreßt und von ihr in Umdrehung versetzt werden; diese wird mittels Leitrollen d, deren Bolzen e in einer auf das

Fig. 149

konische Ende der langsamlaufenden Welle fest aufgezogenen Mitnehmerscheibe m sitzen, auf die letztere bzw. auf die langsamlaufende Welle selbst übertragen. Die Zentraterkupplung wird für die Ubertragung beliebiger Arbeitsleistungen (von 1/ 8 PS aufwärts) und fiir Geschwindigkeitsübersetzungen bis 1 : 12 oder umgekehrt geliefert (s. auch Z. d. V. d. I. 1904, S. 1530).

b) Bewegliche Kupplungen. Sie zerfallen in solche, welche in der Längsrichtung der Wellenachse, senkrecht zu dieser und ferner dem Achsenwinkel nach eine Bewegung gestatten. Fig. 150 zeigt eine längsbewegliche Kupplung, sog. Ausdehnungskupplung der Peniger Maschinenfabrik A.-G. in Penig, mittels welcher

Fig. 150.

durch Temperaturwechsel hervorgerufene Längenänderungen emes Wellenstranges ausgleichbar sind. Sie besteht aus zwei auf die Wellenenden gekeilten Hälften, die mit je drei genau bearbeiteten, sektorenförmigen. Vorsprüngen (Klauen) ineinander greifen. Die Zentrierung der Wellen erfolgt dadurch, daß das eine Wellenende in die verlängerte Nabe der auf dem anderen Wellenende befestigten Kupplungshälfte eingreift.

Maschinen teile.

192

Die von der Berlin-Anhaltischen Maschinenbau-A.-G. in Dessau ausgeführte längsbewegliche Kupplung, Fig. 151, besitzt nur je zwei sektorenförmige Vorsprünge (Klauen). Bei Wellen von verschiedenem Durchmesser ist das stärkere Wellenende auf den Durchmesser der schwächeren Welle abzusetzen.

Fis . 1.11.

Bohrung d

I

mm

I

40 50 60 70 80 90 100 110

Länge 21

mm 221 250 284 315 349 378 409 440

I

Durchmesser D

mm 180 195 215 238 260 284 308 334

I

Gewicht

Bohrung d

kg

mm

19 25 35 47 61 80 110 140

120 130 140 150 160 170 180

I

I

i

Länge 21

mm 467 501 530 563 600 631 662

Durch·

I

messer

Gewicht

D

mm

kg

362 390 420 450 480 510 540

170 200 244 304 368 440 525

I

Die Bohrung wird auch bis zu 5 mm größer ausgeführt, als in der Tabelle angegeben ist. Ist ein Wellenstrang fest gelagert und befinden sich auf ihm Kegelräder, Reibungskupplungen, Stirnräder mit Pfeilzähnen usw., mittels welcher ein

F ig. 152.

zweiter Wellenstrang angetrieben wird, so ist der Einbau einer längsbeweglichen Kupplung unbedingt erforderlich; dies empfiehlt sich selbst dann, wenn bei längeren Wellensträngen eine Verschiebung der Wellenenden gestattet ist, damit die Laufflächen der Wellen (in den Lagern) möglichst in ihrer Stellung und in Sauberkeit erhalten bleiben. Befinden sich auf einem langen Wellenstrange mehrere solcher Antriebe, so sind zwei oder mehrere Dehnungskupplungen anzubringen.

Kupplungen.

193

Senkrecht zur Wellenachse gerichtete Bewegungen gestattet die Kreuzscheibenkupplung von Oldham, Fig. 152. Zwischen den auf den Wellenenden befestigten Kupplungshälften liegt eine Scheibe mit zwei um 90° gegeneinander versetzten prismatischen Federn, die in entsprechende Nuten der ersteren eingreifen. Bei zentrischer Lage der Wellen wirken die Federn und Nuten ohne gegenseitige Gleitung als Mitnehmer. Tritt eine parallele Verschiebung der einen Welle hinsichtlich der anderen ein, so führt die Zwischenscheibe unter dem Einflusse der Drehbewegungen beider Wellen eine resultierende Bewegung um eine parallele Achse aus, die in der Mitte zwischen den beiden ursprünglichen Wellenachsen liegt. Der Mittelpunkt der Zwischenscheibe wird sonach bei einer Umdrehung der Wellen zwei Umdrehungen auf einem Kreise vom Durchmesser = dem Achsenabstande vollführen. Die Bewegungsübertragung geschieht gleichförmig. Die Kupplung findet u. a. zur

Fig. 153.

Verbindung für sich gelagerter Vorgelegewellen mit den Walzenzapfen von Papierkalandern Verwendung. Eine Kupplung, die kleine Längenverschiebungen der Wellen und auch geringe Richtungsänderungen derselben zuläßt, ist die Sharpsche Klauenku p p 1u n g. Die eine Hälfte derselben greift mit zwei oder drei Vorsprüngen (Klauen) in entsprechende Vertiefungen der anderen Hälfte ein. Wird die eine Hälfte nicht fest, sondern verschiebbar auf dem zugehörigen Wellenende angeordnet, so erhält man eine lösbare Kupplung, die aber wegen verschiedener Nachteile, anderen derartigen Kupplungen gegenüber, nur noch eine beschränkte Anwendung findet (vgl. S. 196). Eine zuverlässige Verbindung zweier verschieden gerichteter Wellen läßt sich mittels der Kreuzgelenkkupplun g (Universalgelenk), Fig. 153, erreichen, und zwar selbst dann noch, wenn die Wellenachsen nicht genau in derselben Ebene liegen. In diesem Falle drehen sich nicht nur die Gelenkzapfen in ihren Lagern, sondern sie verschieben sich auch . Die auf den Wellenenden befestigten Gabeln sind mit den zugehörigen Zapfen aus einem Stück gefertigt. Der die Zapfen · bzw. deren Büchsen umschließende, das Mittelstück bildende Ring besteht aus zwei durch acht Schrauben zusammengehaltenen Teilen. Fr e y t a g, Hilfsbucb. J, Auf!.

13

194

Maschinenteile.

Die Bewegungsübertragung ist ungleichförmig und erfolgt bei einem Wellenwinkel oc so, daß 1 : cosoc und cosoc die äußersten Verhältnisse der Winkelgeschwindigkeiten sind. Die Ungleichförmigkeit in der Bewegung läßt sich vermeiden, wenn man eine Zwischenwelle c, Fig. 154, anordnet, die mit der treibenden und der getriebenen Welle durch je ein Universalgelenk verbunden ist und mit diesen beiden Wellen gleiche Winkel bildet. c

Fig. 154.

FÜr die Berechnung der Gelenkzapfen vom Durchmesser d1 und der Länge l:t gilt 1 p l:t - - - - = 0 , 1 dl 8 kb, 2 cosoc 2 worin P =Md die Umfangskraft in kg, Md das Drehmoment in cmkg,

R

kb die zulässige Biegungsbeanspruchung in kgfqcm bedeuten. Man nimmt ll = dl 1,25.


:: ~ ,l;!

'

a3

§ "0 -~ .....

fi:

::::

mm

mm

mm

mm

2,25 2,25 2,25 2,25 2,50 2,50 2,75 3 3 3

96 99 103 106

8 8 8 8 10 10 10 10 12 12 12 12 14 14 14 14 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16

68 71 75 78 84 89 92 97 101 108 114 126 132 138 148 154 160 167 179 184 192 198 207 214 222 228

116 121 124 129 133 140 146 163 169 175 185 191 197 204 226 231 239 245 254 261 269 275 286 300

3 3,25 3,25 3,25 3,75 3,75 3.75 4 4 4 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,5 5,5 6,5 6,5' 6,5 6,5 7 7,5 7.5 7,5

I

313 327 341 354 372 385 404 417 430

I I

::=

äJ

Ul Ul QJ

]::l..C::s -

f!.l;! UJ..c::

cdtl

fi:.g

I

-50

·S

...cd ..." ..Q :::! "'c:l

(Jl

18 18 20 20 20 22 22 22 25 25 25

240 253 266 280 294 306 323 336 353 365 379

I I

... QJ

"'c:l

QJ

21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

V

...

..Q QJ

"""::l..C:: ..Q " ~ cd 5-I :o

...,a · -

11-5~'2 ~ ·~;:::] bD

Cl)~

(.)

~ ~ "..c::- p::= 0 'Ci)~ ::= "

1-1

]

1

oo

.§

1

~

,

~ ~ 4>

:§

j genietet

_gl retillii

:I:"'
t [1-(s;-1+m +m)n-lHJJ n-1

k.

Hierin kann gesetzt werden : Für mittelhohe Oberhitzungen (80° bei großen, 120• bei kleinen Füllungen)

n = 1,1 bzw. 1 ,20; für sehr hohe Oberhitzungen (120" bei großen, 160• bei kleinen Füllungen) n = 1,15 bzw. 1,25. (Vgl. J os. H rabä k: "Hilfsbuch für Dampfmaschinen-Techniker", 4. Auf!., Dritter Band, Berlin 1906, Julius Springer.)

427

Berechnung der Dampfmaschinen (Naßdampfmaschinen). beträgt, so ist allgemein nach Hrabäk

~+m

(=

~+m

~+ (1-D} (~+m)ln-- - + 0 , 5 (1-19)8

8

8

~+m

8

--

~+m

8

(1-

8

~)8

0,5{1+~?>>.(1-~). 8s

f

1

Ba Ba =-+1,1{1--+m)ln

8

8

1---+m 8

84

85 Ba

1---l--m 1

8 +o.55-- - - ( 1 -8 4)- -

1--+m 8

84

1--+m 8

0,5 (1- ; )

8

86

Im Mittel kann bei Maschinen mit Expansionssteuerung s 2 : s = 0,96, = 0,94 und 84 : 8 = 0,998 gesetzt werden. Damit ergeben sich zunächst die Werte von f' in GI. 86 als von der Größe m (des schädlichen Raumes) allein abhängig; es wird z. B. für m = 0,05: t' = 1,013, für m = 0,025: t' = 1,031. Aus GI. 85 folgt für alle Einzylindermaschinen (ausgenommen die mit Kulissensteuerung)

Ba : s

f

=

~+ s

(1 -

!?>)

(~ + 8

m) {In °'~+mm 0,96+mJ ~~-196 +

+

0,001 ( 1 + 19) .

Hiernach sind für mäßige und starke Droßl ung - !?> = 0,05 bzw. 0,20 - und für den Koeffizienten m = 0,025, 0,035 und 0,05 (des schädlichen Raumes) die den Füllungen

ll!: = 0,8 bis 0,05 entsprechenden Werte 8

von f und f' der mit Auspuff oder Kondensation arbeitenden Einzylindermaschinen berechnet und in der auf S. 428 oben befindlieben Tabelle zusammengestellt worden. Für Auspuffmaschinen kann p' = 1,13, für Kondensationsmaschinen p' = 0,21 kgfqcm gesetzt werden. Die in der Tabelle enthaltenen Werte von f gelten für Dampfhemdmaschinen, bei denen, da die Erwärmung des expandierten Dampfes von außen der inneren Abkühlung nahezu das Gleichgewicht hält, das einfache Mariottesche Gesetz als giltig angenommen werden kann. Bei den lilaschirren ohne Hemd wird zur Berechnung ihrer {kleineren) Dampfwirkung zwar von demselben Gesetz Gebrauch gemacht, jedoch eine ·entsprechend kleinere (als die wirkliche} Dampfmenge als expandierend angenommen, indem ein entsprechend kleinerer Wert von m für den schädlichen Raum in Rechnung gebracht wird, während gleichzeitig bei den Dampfhemdmaschinen auch eine geringere Droßlung {'li) anzunehmen ist als bei den Maschinen ohne Hemd. Der in Betracht gezogene, einer mäßigen Droßlung entsprechende Wert Yon !?> = 0,05 kommt bei den verschiedenen Maschinengattungen vor, ohne daß man eine eigentliche (namhafte) Droßlung beabsichtigen würde. Bei ansehnlicher Kompression des Vorderdampfes ist der Spannungskoeffizient f' mit Einsetzung des gewählten Verhältnisses sa: s aus GI. 86 zu ermitteln. (Die Werte s 2 : s = 0,96 und B4: s = 0,998 können beibehalten "·erden.)

428

Kraftmaschinen.

Werte der Span,nungskoeffizienten f und f' zur Ermittelung der indizierten Spannung p; = fp- f' p1 für Einzylindermaschinen. Werte des Spannungskoeffizienten

Füllung

m=0,05

BI

-

0>=0,05

8

0,8

0,954 0,925 0,883 0,827 0,753 0,692 0,658 0,600 0,535 0,460 0,418 0,373 0,314 0,270

0,7 0,6

0,5

o,•

0,333 0,3 O,Z5

o,zo

0,15 O,IZ5 0,10 0,07 0,05

f' =

m=0,035

0>=0,20 0>=.0,05 0,929 0,889 0,838 0,775 0,697 0,635 0,601 0,545 0,482 0,411 0,372 0,330 0,275 0;235 1,013

0,954 0,924 0,882 0,825 0,749 0,687 0,652 0,593 0,526 0,448 0,405 0,358 0,295 0,249

f

für

m=0,025

0>= 0,20 0>= 0,05 0,929 0,889 0,837 0,773 0,694 0,631 0,596 0,539 0,474 0,401 0,360 0,317 0,259 0,217

f'= 1,024

0,954 0,924 0,881 0,823 0,747 0,683 0,648 0,588 0,519 0,430 0,394 0,346 0,282 0,234

f' =

0>=0,20 0,929 0,888 0,836 0,772 0,692 0,628 0,592 0,534 0,468 0,394 0,352 0,307 0,248 0,205 1,031

Aus den beiden Tabellen auf S. 429 sind mittlere Werte der indizierten Spannungen p; = fp- f' p1 von Einzylindermaschinen mit geringer Kompression und kleinem schädlichen Raum (m"' 0,035) für verschiedene Einströmspannungen p und Füllungen 8 (e1 ) derselben unmittelbar zu entnehmen. In den Tabellen auf S. 429 bezeichnet 8 die Füllung der Einzylindermaschine, e1 die auf den großen Zylinder bezogene sog. reduzierte Füllung der Mehrzylindermaschine. Ist die Einströmspannung p nicht bekannt, sondern die Kesselspannung p0 gegeben, so ist für die Berechnung ungefähr p = 0,87 p 0 - z für Maschinen mit Drosselregulierung p = 0,92 bis 0,9 5 Po- z für solche mit vom Regulator beherrschter Steuerung zu nehmen, wenn z den Druckverlust (in kgfqcm) in der Dampfleitung bezeichnet. Derselbe kann nach Gu term u th 15 l z= ws l' dw2 gesetzt werden ; hierin bedeutet das Gewicht des Dampfes in kg/cbm bei der in der Leitung herrschenden, mittleren absoluten Spannung p in kgfqcm (s. Tabelle s. 416 u. f.), die Länge und d den lichten Durchmesser der Leitung in m, w die mittlere Dampfgeschwindigkeit in m/sek.1 ) Bei kurzen Leitungen mit genügender Weite und Dampfkesseln mit großem Wasserinhalte wird z gewöhnlich 0,25 atm nicht überschreiten.

r

1) Nach den von Eberle angestellten Versuchen (Z. d. V. d. I. 1908, S. 663) ist für gesättigten und überhitzten Dampf z-= 10•: r~w•, demnach um- 35"/o niedriger 10 .. als von Gu term u th ermittelt wurde.

Berechnung der Dampfmaschinen (Naßdampfmaschinen).

429

Werte der indizierten Spannungen p;=fp-f1 p'. Einzylinder-Auspuffmaschinen ohne Dampfmantel.

0,20 I 0,25 I 0,601 0,659 0,893 0,918 1,185 1,176 1,477 1,435 1,769 1,952 2,353 2,469 2,937 2,986 3,520 3,503 4,104 4,019 4,688

e (el) =

p=3,0 3,5 8 4,0 ..... C1! 4,5 5,0 "'...."":. 6,0 II 7,0 ~ 8,0 9,0 10,0

0,30 I 0,777 1,099 1,420 1,741 2,063 2,705 3,348 3,990 4,633 5,275

0,33 I 0,883 1,222 1,561 1,899 2,239 2,916 3,594 4,272 4,950 5,627

0,40

I 0,50

1,070 1,440 1,810 2,180 2,550 3,290 4,030 4,770 5,510 6,250

I 0,60

1,298 1,706 2,114 2,522 2,930 3,746 4,562 5,378 6,194 7,010

1,474 1,911 2,349 2,786 3,223 4,098 4,972 5,847 6,721 7,596

0,70

-

1,606 2,066 2,525 2,984 3,444 4,362 5,281 6,200 7,119 8,037

Einzylinder-Kondensationsmaschinen ohne Dampfmantel.

e(sl)=

o,1o

1

p=3,0 3,5 .§ 4,0 C1! 5,0 .... N o" 6,0 7,0 II 8,0 ~~;).. 9,0

0,812 0,984 1,156 1,499 1,843 2,187 2,531 2,874

1

o,15 1 o,2o

1

1,305 1,559 1,813 2,321 2,829 3,338 3,846 4,354

1,077 1,293 1,509 1,941 2,373 2,805 3,238 3,670

o,25

1

0,30

1

o,33

1

1,504 I 1,679 1,785 1,791 1,996 2,119 2,079 2,313 2,453 2.653. 2,946 3,122 3,228 3,579 3,790 3,802 4,412 4,458 4,377 4,84515,127 4,952 5,478 5,795

j

o,4o 1 o,5o 1,972 2,338 2,703 3,434 4,164 4,895 5,626 6,356

2 ,202 2 ,606 3 ,010 3 ,817 4 ,624 5,432 6,239 7,047'

Die Nutzleistungen normaler Einzylindermaschinen mit Dampfmantel für je 1 m Kolbengeschwindigkeit (

~")

ergeben sich aus der folgenden

Tabelle.

N Nutzleistungen --"-normaler Einzylindermaschinen.

c

~ .iJ ~ .E! !:1 ::J

~:

Auspuff E=

0,15

p= 3

5 7 9 - - p 3 5 300 7 9 ---- p-3 400 5 7 : 9 200

6,0 9,o 14,4 21,3 26,2 38,7

0,251 0,331 0,5 . I 5,3 9,2. 13,1 -.12,8 21,9 30,9 -.23,4' 39,7 I 56,1 'i

2,41 6,8 11,3 15,8

0,7

0,05

0,10

I

0,20 I 0,30 '0,40

3,71 4,7 . 3,41 4,61 5,5 9,0 ·!10,6 . , 4,0, 6,8 ~1 8,8 : . . 16,7 3,7 1 6,3 I 10,3' . I . 22,7 5,31 8,6 13,7 1 . I . • 111,3 - . - --.-:s:sr11~1ns 16,3121,5 25,2 . 9,7: 16,3, 21,1 I • 26,8 . 39,3 8,8 14,o I 24,21 I . 37,3 • 53,3 12,3 20,2, 32,1 • I • 10,9116.5 20,5 --.---.-115;9~1 24,8 29,7139,0 45,8 . 18,0 i 30,0 38,61 48,6 . 71,1 16,5 27,5 I 44,2 I 67,5 • 96,4 22,8 36,91 58,4 1 'I

ssi9P

1

Kondensation

Kraftmaschinen.

430 ~ .iJ ~

~:s!

Kondensation

Auspuff

:::::11-oi;:!

E=

0,151 0,251

o:~-~~

0,05! 0,10 I 0,20 I 0,30 I 0,40

26,1,34,4 40,6 . I . ' 17,8126,9! 33,4 • I 'P=31 . 48,8 62,7 I 29,6 38,0 48,1 63,1 ; 74,0 5 i . 7 42,5 . 64,2] 78,5 ' . 114,8 27,0 I 44,7 71,6, . ----·--'~_9 62,6 : 90,61!:_0J_E_,,~·- 155,6 _l~-159,9 _2.4,6 :~·- _.___ . , 38,71' 50,9 60,0 26,4 i 39,6 49,2 . p= 3 . I . . 5 . I 56,0 i 70,9: 92,8 108,9 . I 43,9 i 72,1 I 92,5 600 . 168,7 40,2 I 66,1 105,6 1 • 7 62,51 94,5 115,5 I • --.~-9 92,1 ,133,21,160,2 ._:_~1228,6 ~188,5 139,3 ·~·--~·~ . ! 53,1] 69,8 82,1 . . ! • ' 36,2 54,1 67,2 p=3 . . . 60,2 98,5 126,2 5 . 1 76,3 96,7 j126,5 148,3 0 70 ·. • 7 85,3 128,8 157,3! • :229,6 55,2 1 90,4 144,1 I • . 75,41120,8 180,81 . 9129 1186 224 ' . ,320 ·--~ p --3-.- .~.- -48,71 72,6! 90,1-----: -~-- 71.6t-93;8 110,2 . 80,9 132,1 1169,2 . 5 . 1102,3 129,51169,4 198,5 800 • 307,2 74,3 i121,4 193,1 I • 7 114,3!172,5 21o,6 . . ,416 101 :162 :253 ' . 9 168 243 ,292 - - - , - -... --1---~- - - - - - - , -:--.--1 140,5 . . 91,41119,6 . . ' . '. 62,1 92,5,114,8 p=3 103,3 168,4 194,2 130 '165 '215 252 5 900 . 245,7 · . 154,6 94,7 7145 219 268 I • '391 '_~9:~_1_~_ _!309 ~_1__·~ 1529 ~~206 323_]~·-~~·~ . I • . 76,6 114 1141,4 • ! . ,112,8 147,5 173,2 p=3 . . 1127,4 :207,41265,4 5 . 160 .203 265 .311 1000 . 7179 270 '329 ·~ • 480 117 190 '303 , 650 159 254 398 I 9 263 380 !456 i I 500

1

•

1

I

.

1

2. Zweizylindermaschinen. Die Leistung einer Zweizylinder- (Woolf- oder Verbund-) Maschine ist theoretisch gleich derjenigen einer Einzylindermaschine mit den Abmesssungen des Niederdruckzylinders und einem Expansionsverhältnis gleich dem Cesamtexpansionsverhältnis der Zweizylindermaschine. Es läßt sich bei letzterer, sobald das Inhaltsverhältnis v : V der beiden Zylinder festgestellt ist, die sog. reduzierte, d. h. die auf den Niederdruckzylinder bezogene indizierte Spannung p; in gleicher Weise wie bei der Einzylindermaschine ausdrücken durch

P;=fp-f'p', im Hochdruckzylinder, p' die mittlere Einströmspannung mittlere die p worin

Ausströmspannung im Niederdruckzylinder bezeichnet. Für die verschiedenen Werte v : V gestaltet sich die Größe des ideellen Spannungskoeffizienten f' verschieden. Es ist außerdem die Größe von f noch davon abhängig, ob die Maschine ohne oder mit (geheiztem) Aufnehmer (Receiver) arbeitet. In der nachstehenden Tabelle sind die Werte der Spannungskoeffizienten f' unter Annahme eines schädlichen Raumes des Expansionszylinders von (höchstens) m = 0,03 zusammengestellt.

431

Berechnung der Dampfmaschinen {Naßdampfmaschinen).

Werte der Spannungskoeffizienten f für Zweizylindermaschinen mit Doppelsteuerung und mit Dampfhemd mindestens am Hochdruckzylinder. Füllung 81

Maschinen ohne (geheizten) Aufnehmer

I

Aufnehmermaschinen {mit Heizung auch des Niederdruckzylinders)

~~~~~~---··.~--~-·--·

Ungefähres Verhältnis v: V der Zylinderinhalte

8

(reduz.J 1 ~0,-40----c--0,-JJ-J-c'-o-,2-9 T0.25fo:55

Werte o,524 0,464 o,391 0,350

0,25 0,20 0,15 0,125

o,548 o,543 ! o,534 0,484 . 0,479 ' 0,472 . o,4o8 I o,4o4 I o,398 · 0,365 0,361 0,356 ~

0,10 0,07 0,05 0,04

o,318 I o,3141 0,309 I o,3o4 0,254 0,250 0,245 . 0,241 I , 0,205 I 0,201 I 0,197 ' 0,193 0,179 . 0,175 I 0,171 I 0,167

1

1

1

1

1

10:40f0,333

I 0,50 I 0,45

von f 0,576 0,512 0,437 0,395

0,572 0,507 0,432 0,390

0,568 0,503 0,428 0,386

0,563 0,499 0,424 0,382

0,560 0,495 0,420 0,377

0,349 0,288 0,242 0,218

0,344 0,283 0,237 0,213

0,340 0,278 0,232 0,207

0,335 0,273 0,227 0,202

0,330 0,267 0,220 0,195

Bei den Zweizylinder-Auspuffmaschinen ist p 1 = 1,11 und ohne namhafte Kompression f' = 1,04, demnach f' p 1 = 1,15, bei den Zweizylinder-Kondensationsmaschinen p' = 0,21 und ohne (namhafte) Kompression f' = 1 ,04, demnach f' p' = 0,22. Bei erheblicher Kompression des Vorderdampfes dampfspannung - kann im Mittel genommen werden für p=

f' =

I1,34 3

1

4

.

5

i~'-1,60

i

6

j

bis nahe zur Gegen-

7

8

11,72-j1,82j1-:91-

I

9 1,96--

Das Inhaltsverhältnis v: V der Kondensationsmaschinen kann unter der Annahme nahezu gleicher Arbeitsverteilung auf beide Zylinder, wenn man den Aufnehmerinhalt r=v macht, etwa gewählt werden: Für eine Gesamtexpansion bis zu einer Endspannung

p.=0,4 atm

p,= 0,6 atm

.

Einströmspannung

81

Woolf· Verbund· maschinen Maschinen (Kurbeln (Kurbeln unter 0° lunter 90°) cder 1800)

p

8

atm

(reduz.)

v: V

4

0,15 0,12 0,10 0,086 0,075 0,067 0,06

0,67 0,62 0,56 0,53

5

6 7 8 9 10

0,50 0,47 0,45

Einström~

Füllung

spannung

81

.

Verbund- ' Woolfmaschinen I Maschmen . (Kurbeln (Kurbeln ~unter 90 O)i unter 0 o ,oder 180 °) i

8

v: V

p atm

(reduz.)

v: V

v: V

0,47 0,41 0,37 0,34 0,32 0,30 0,28

4

0,10 0,08 0,067 0,057 0,05 0,044 0,04

0,50 0,46 0,42 0,40 0,37 0,35 0,34

0,35 0,31 0,28 0,26 0,24 0,22 0,21

5

6 7 8 9 10

j

Kraftmaschinen .

432

Unter denselben Voraussetzunge n arbeitende Auspuffmasc hinen erhalten etwa für eine Gesamtexpansi on bis zu einer Endspannung p.= 1,2 atm p 6 = 1,8 atm Einströmspimnung

Füllung

p

8

atm

{reduz.)

8 9

10 11

12 13 14

O,ZZ5

o,zoo

0,180 0,164 0,150 0,139 O,IZ9

Woo!fVerbundmascbinen Mascbinen (Kurbeln {Kurbeln unter 90 O) unter o o oder 1800

v: V 0,65 0,62 0,60 0,58 0,56 0,55 0,54

Einströmspannung

I v: V

0,49 0,46 0,43 0,41 0,39 0,375 0,36

Füllung

Woo!fVerbundmascbinen Mascbinen {Kurbeln {Kurbeln unter 90 o unter 0 o oder 1800)

p

8

atm

{rednz.)

t•: V

v: V

8 9

0,150 0,133 O,IZO 0,109 0,100 0,09Z 0,086

0,51 0,48 0,46 0,43 0,41 0,39 0,37

0,33 0,305 0,29 0,27 0,26 0,25 0,24

10 11

12 13 14

Die Füllung des Hochdruckzylin ders beträgt :: : ~ , diejenige des Niederdruckzylinders v: V, solange dieser Wert

< 0,5

ist.

3. Dreizylinder -Verbundma schinen mit Kondensatio n und dreimaliger Expansion. Auf Grundlage des Inhaltsverhältn isses v1 : V (des Hochdruck- zum Niederdruckzyl inder, ohne Rücksicht auf den Mitteldruckzyli nder, dessen Inhalt= v2 ) gilt hier ähnliches, wie für die Zweizylinderma schine vorstehend bemerkt wurde. Wie bei dieser legt man auch bei der Dreizylinder-V erbundmaschine zur Berechnung der Leistung den Niederdruckzyl inder zugrunde. In der bezüglichen Tabelle auf S. 433 sind die Werte der Spannungskoeffizienten f zusammengeste llt. Bei Dreizylinderma schinen mit Kondensation kann gleichfalls f' p 1 = 0,22 und bei Kompression in allen drei Zylindern bis nahe zur Gegendampfspannung, je nach der Größe, f' p' = 0,28 bis 0,35 gesetzt werden. Die am häufigsten ausgeführten Anordnungen der Dreizylinderma schinen mit dreimaliger Expansion kann man in solche mit drei unter 1200 verstellten Kurbeln und in Maschinen mit zwei unter 90° verstellten Kurbeln einteilen. Bei den Dreikurbelm aschinen werden die Spannungsvorg änge in den einzelnen Zylindern und die Füllungsverhält nisse durch die Lage der Kurbel des Mitteldruck-Zy linders hinsichtlich der Hochdruckkurb el wesentlich beeinflußt. Bezeichnet v1 den Inhalt und B~ : s' die Füllung des Hochdruckzylin ders, Mitteldruckzyli nders, 8~ 1 : s" " v2 Niederdruckzyl inders " 81 : S " V 81: B die reduzierte Füllung der Gesamtexpansi on (wie zuvor), r1 den Inhalt des ersten Aufnehmers (zwischen v1 und v2 ), V), v2 ( zweiten " " r2

433

Berechnung der Damptmaschinen (Naßdampfmaschinen).

Werte der Spannungskoeffizienten f für Dreizylindermaschinen mit dreimaliger Expansion und mit Dampfhemd mindestens am Ho chdru ckz ylinder. Füllung BI

Maschinen ohne Heizung der beiden Aufnehmer

I

Maschinen mit Heizung beider Aufnehmer und aller Dampfzylinder

-

Ungefähres Verhältnis VI : V der Inhalte des Hochdruck· zylinders und des Niederdruckzylinders

-

8

(reduz.)

0,17

0,15 0,125 0,10 0,08

0,369 0,330 0,287 0,250

0,07 0,06 0,05 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02

'

0,135

I

0,11

0,17

0,361 0,323 0,281 0,244

0,352 0,316 0,275 0,237

0,230 0,208 0,185 0,161

0,224 0,203 0,179 0,155

0,148· 0,135 0,121 0,106

0,142 0,128 0,114 0,099

I

0,135

0,11

0,401 0,361 0,316 0,278

0,395 0,354 0,310 0,271

0,389 0,348 0,303 0,264

0,218 0,197 0,173 0,149

0,257 0,235 0,212 0,188

0,250 0,228 0,204 0,180

0,243 0,221 0,197 0,172

0,135 0,122 0,107 0,092

0,175 0,161 0,148 0,134

0,166 0,153 0,139 0,125

0,159 0,144 0,130 0,115

so ist bei diesen Maschinen für die gleiche Arbeitsverteilung auf alle drei einzelnen Zylinder und unter der Annahme, daß ri "-'VI, r 2 "-' v2 , ferner die Expansionsendspannung (insgesamt) p. = 0,5 atm beträgt, wenn die Kurbel des Mitteldruckzylinders der Hochdruckkurbel voreilt

p= BI :8

=

vi: V= v2: V= vi:v2=

s\_:s'

=

.s~': s"== SI:S

=

9 0,056 0,18 0,67 0,27 0,31 0,32 0,67

10 0,050 0,17 0,65 0,26 0,30 0,31 0,66

12 '

0,042 0,15 0,60 0,25 0,28 0,30 0,61

der Hochdruckkurbel nacheilt

14 atm 0,036 0,14 0,57 0,245 0,26 0,29 0,59

9 0,056 0,21 0,57 0,36 0,27 0,42 0,71

I 10 0,050 0,19 0,55 0,35 0,26 0,40 0,68

i

12 0,042 0,18 0,53 0,33 0,24 0,38 0,65

14 atm 0,036 0,16 0,51 0,32 0,22

I

0,35 0,63

Bei den Maschinen mit zwei um 90° verstellten Kurbeln (Hoch· druck- und Mitteldruckzylinder mit gemeinschaftlicher Kurbel) sind für die gleiche Arbeitsverteilung auf die Kurbeln und bei gleich großer Arbeit des Hochdruck- und des Mitteldruckzylinders, wenn im übrigen wieder TI"-' v1 , r 2 "-' v2 und p. "-' 0,5 atm angenommen werden, Freytag, Hilfsbuch. 3. Aufl.

28

434

Kraftmaschinen.

p=

8

-

0,063 0,12 0,43 0,28 0,53 0,43 0,43

8!: 8

v1 : v2 :

V= V=

v1:V2=

s~ :s' = s~ :s''= S1:S =

9

'

I

0,056 0,11 0,40 0,27 0,52 0,42 0,41

10

I

12

14

0,042 0,086 0,34 0,25 0,49 0,40 0,35

0,050 0,10 0,38 0,26

o,so 0,41 0,39

0,036 0,076 0,31 0,25 0,47 0,40 0,32

4. Hilfstabellen (nach Hrabäk). Mittlere Werte wirtschaftlich vorteilhaftester Füllungen Absolute Einströmspannung p

atm

Einzylinder· Auspuffmaschinen mit Kulissen· steuerung

Kondensationsmaschinen

IExpansions· mit I

steuerung

Einzylindermaschinen ohne Hemd

-1

Zweizylindermaschinen

ohne mit Hemd , geheizten

!

Receiver

I

mit geheiztem Receiver

0,2Q-0,16 0,15-0,12 0,125-0,115 0,11 -o,10 0,52-0,441 0,38-0,32 0,44-0,35 0,32-0,28 o,17-o,15 0,13-o,11 0,11 -o,1o 0,10 -o,09 5 0,38-0,30 0,27-o,23 0,15-0,13 0,11-0,09 6 o,095-o,085 0,085-o,07 5 0,14-o,12 0,09--0,08 0,085-o,07 5 0,07 -o,06 8 0,32-o,26 I 0,22-o. 19 0,28-o,22 0,19-0,17 10 0,07 5-o,07 0,06-o,05 ·Anmerkung. Als "normale" Füllungen herzustellender Maschinen sind Zwischenwerte, und zwar größere Werte für kleine und kleinere Werte für große Maschinen zu wählen. Die normalen Füllungen können etwas kleiner genommen werden bei hohen Brenn· stoffpreisen und ununterbrochenem Betriebe; dagegen können etwas größere Füllungen als normal angenommen werden bei billigem Brennstoffe oder häufig unterbrochenem Betriebe. Bei den Zweizylinder-Auspuffmaschinen darf die absolute Endspannung der Expansion Pe 1,7 bis 1 ,25, bei den Dreizylinder-Kondensationsmaschinen Pe 0,6 bis 0,4 atm betragen. 4

=

=

MäßigeKolbengeschwindigkeiten c (in m/sek) fürNormalleistungenN. Absolute Einströmspannung p in atm

N

6

8

10

3 6 10

0,89 0,97 1,02

0,99 1,07 1,14

1,13 1,23 1,31

1,24 1,35 1,43

1,35 1,47 1,56

20 40

1,13 1,25 1,42 1,51

1,24 1,37 1,52 1,62

1,42 1,55 1,68 1,78

1,55 1,69 1,82 1,92

1,67 1,82 1,95 2,05

200

1,70 1,81

1,84 1,98 2,12

2,05 2,20 2,31 2,47

2,18 2,35 2,47 2,66 2,90

2,31 2,50 2,63 2,83 3,11

PS

3

70 100

300

400 600

1000

Verbesserungskoeffizient für c bei ungewöhnlichem Hubverhältnis 8:d

8:d

[ Koeffizient

0,5 0,75 1,00 1,5 2,0 2,5 3

0.57 0,67 0,75 0,90 1,0

5

1,4

4

1'1

1,2 1.3

Anmerkung. Die Ansätze sind empirisch; man kann dieselben abrunden und davon aus verschiedenen Gründen auch überhaupt abweichen. Als mittelgroße Kolbengeschwindigkeit kann nach Hrabäk unter gewöhnlichen Ver· hältnissen genommen werden 0 = 0,9 {PB. Dieser Wert liefert, um 20•/o vermindert, ungefähr die in der vorstehenden Tabelle enthaltenen mäßigen Kolbengeschwindigkeiten, um etwa 30"/o vergrößert aber die großen Kolbengeschwindigkeiten schnellgehender Dampfmaschinen.

Berechnung der Dampfmaschinen (Naßdampfmaschinen). Vorläufige Wirkungsgrade Auspuffmaschinen (einfache)

t}

435

nebst 1: >J bei normalen Füllungen. Kondensationsmaschinen

-

- - - - - - - - - - - - - - - ---

---

Einzylindermaschinen i Zweizylindermaschinen

c

3 3.9 0,759]1.318 4 5,2:0,76211,313 8,5 6 7,8 I o,767 1,3o4 8 11,1 10,41' 0,771 1,297 10 13,7 12,9 0,77511,291 20,3 19,2 0,783 1,278 15 20 26,6 25,3 0,789 1,267 1 39,1 37,5 0,800 1,250 30 40 51,1 49,1 0,814[1,229 63,2 60,9 0,821 1,218 50 60 75,21 72,5 0,827 1,210 87,1 84,0 I 0,832 1,202 70 80 98,9 95,5 0,837 1,195 90 106,9 i 0,84111,189 110,5 100 118 o,845 1,183 122 120 141 I 0,848 I 1,180 146 140 165 0,851 1,176 169 160 187 0,854 1,172 193 180 210 0,857 1,167 216 200 233 0,860 1,163 239 0,868 1,152 354 300 346 400 459 0,872 1,147 469 0,877 1,140 583 500 574 600 683 0,881 1,136 696 0,884 1,131 808 700 792 800 902 0,887 1,128 922 0,889 1,125 1149 1000 1125 1500 1674 0,896 1,116 1711 2000 2220 0,901 1,110 2268 1

r

I

: o,716 1,397 0,723 1,383 0,729 1,372; 14,6 21,3 0,741 1,350 27,7 0,751 1,332 40,4 0,768 1,302 53,0 0,783 1,277 65,2 0,791 1,264 77,3 0,797 1,255 89,4 0,803 1,245 0,809 1,237 101,6 0,8141 1,229: 113,8 o,81911.221 1126 0,823' 1,215: 150 0,827 1,2091174 0,830 1,204 198 0,833 1,200. 222 0,836 1,196 246 0,848 1,179 367 0,853 1,172 486 0,858 1,166 604 0,862 1,161 721 0,865 1,156 838 0,868 1,153 1 956 0,870 1,149 1191 0,87711,140 ;1769 0,882 I 1,134 i2342

0,685 1,460

I o,7o5 1,418 I

0,723 0,742! 0,755 0,767 0,777 0,784 0,787 0,790 o,793 0,799 0,804 0,808 0,810 0,812 0,818 0,823 0,8281 0,831 0,834 0,837 0,840 0,848 0,854

1,383 1,348 1,325 1,304 1,291 1,279 1,270 1,265 1,261 1,252 1,243 1,238 1,235 1,232 1,223 1,215 1,208 1,203 1,199 1,195 1,191 1,179 1,171

Bei den Zweizylinder~Auspuffmaschinen kann r; um0,03 kleiner angenommen werden als bei den Einzy!inder-Auspuffmaschinen. Bei den Dreizylinder-Kondensationsmaschinen ist 1J um etwa 0,02 kleiner zu nehmen als bei den Zweizylinder· Kondensationsmaschinen.

5. Leergangs-Widerstandsspannu ng r0 (in atm) und Koeffizient

il

der zusätzlichen Reibung. Der Unterschied der indizierten Leistung und der Nutzleistung einer Dampfmaschine entspricht derjenigen Arbeit, die zur Überwindung ihrer Nebenhindernisse erforderlich ist. Dieselben setzen sich zusammen aus dem Leergangswiderstand No und einer zusätzlichen Reibungsarbeit flNn, um welche der erstere irrfolge der mit der Belastung der Maschine wachsenden Drücke in den aufeinander gleitenden Teilen derselben vergrößert wird. 28•

Kraftmaschinen. Es ist hiernach N,- N,. =No-t- f'Nn oder, wenn an Stelle der Arbeiten N;, N,. und N 0 die diesen proportionalen mittleren Spannungen p 1 , Pn und r 0 gesetzt werden,

+

Pi- Pn= To f~Pn, woraus für die Nutzspannung Pn (in atm) folgt 1

+r' (p;-ro).

Pn=1

H r ab a k, der zahlreiche Indikator- und Bremsversuche an ausgeführten Dampfmaschinen durchführte, gibt für die Leergangs-Widerstandsspannung folgende empirische Formeln an: _,0,025 bei Einzylindermaschinen mit Auspuff r 0 =0,042 V P+d--. " Kondensation r 0 = 0,025 " Zweizylindermaschinen" Auspuff " Kondensation

_,-

r 0 = 0,042 V p T0

VP

0,04 +d ,

006 + 0,05 _/v p + -7I, -, ,__ 0 075 0,025 + 0,05 v p + T

= 0,025

ro =

" Dreizylindermaschinen "

+ 0,05 V-P + -0,045 d- •

1 ).

Hierin ist durch 0,042 bzw. 0,05 {P der Stärke des Baues der Maschine Rechnung getragen. Der Koeffizient I' der zusätzlichen Reibung kann nach Hrabak für alle Maschinengattungen gesetzt werden 0,10 < für d _1m: ,u = d -, --0, 6 0

+-

0,40 ,, d>1m:fi=~d+ . 5,4 Nach diesen Formeln würden sich die Werte von I' samt den zugehörigen Werten von 1 : 1 fi berechnen und in einer Tabelle zusammenstellen lassen. Die Leistung einer vorhandenen oder vorhanden gedachten Dampfmaschine ergibt sich nach Einsetzung der jeweiligen Werte von r0 und fl zu 10000 10000 1 N,.=------;;5- p,.Fc= (p;- r0 )Fc. 1

+

---ys

+I'

Für eine nach dem Vorhergehenden vorläufig ausgemittelte Dampfmaschine folgt hieraus der endgültige Wert der wirksamen Kolbenfläche aus 75 Nn 1 3 N 0 1+tt

F

= --------- = - - - - - .

10000 c Pn 400 c p;- r0 Die Größen p; und r 0 lassen sich bei vorhandenen Maschinen mittels des Indikators bestimmen; die versuchsmäßige Feststellung von I' ist dagegen schwer ausführbar. Man begnügt sich deshalb behufs Ermittlung der Nutzleistung einer ausgeführten Dampfmaschine mit der Berechnung ihrer indizierten und ihrer Leergangsleistung. Der Unterschied beider Leistungen 400 N,-N 0 = - Fc(p;-r0 ) 3 1)

Bei den Mehrzylindermaschinen betrifft d den Durchmesser des Niederdruckzylinders.

Berechnung der Dampfmaschinen (Naßdampfmaschinen).

4 37

kann selbstverständlich nicht als Nutzleistung der Maschine angesehen werden diese ergibt sich zu 1

N,.=-+ (N;-N 1 f.l

0 ),

+

worin dem Faktor 1 : 1 f.l der empirisch·rechnungsmäßige Wert bzw. ein passender Schätzungswert beizulegen ist.

b) Berechnung mittels des Dampfdiagrammes. Zur Bestimmung der Arbeitsleistung einer vorhandenen Dampfmaschine, sowie zur Beurteilung der stattfindenden Dampfverteilung dient das Indikatordiagramm, welches über die Spannungen des Dampfes vor und hinter dem Kolben für jede beliebige Kurbelstellung Aufschluß gibt (s. unter "Der Indikator und seine Anwendung"). Der Inhalt des Diagrammes entspricht der vom Dampfe auf der einen Kolbenseite während einer Umdrehung der Maschine geleisteten Arbeit. Umgekehrt läßt sich für eine herzustellende Ein- oder Mehrzylindermaschine von bestimmter Leistung aus einem zu entwerfenden Dampfdiagramm die indizierte Spannung p; und damit die wirksame Kolbenfläche bzw. der Zylinderdurchmesser - bei Mehrzylindermaschinen zunächst derjenige des Niederdruckzylinders - berechnen. Erforderlich ist noch, daß geeignete Annahmen bezüglich der Ein- und Ausströmspannung des Dampfes, der Größe der Expansion, Vor-Ausströmung und Kompression desselben sowie bezüglich der Kolbengeschwindigkeit gemacht werden. Bei Mehrzylindermaschinen sind ferner richtige Werte für die schädlichen Räume einzuführen und die Einstellung und Wirkungsweise der Steuerungen sowie die Dampfinhalte bezüglich der Dampfverteilung zu berücksichtigen u. dgl. 1. Einzylindermaschinen. Fig. 436 zeigt ein Diagramm, wie es für eine herzustellende Auspuffbzw. Kondensationsmaschine zu entwerfen ist. Hierbei ist über den Verlauf der einzelnen Linien des Diagrammes usw. folgendes zu bemerken.

Fig. 436.

Die Einströmspannung p ist nach Maßgabe der Druckverluste in der Dampfleitung kleiner als die Kesselspannung 'Po (vgl. S. 428). Die Voll.druck- oder Einströmlinie verläuft je nach der Dampfgeschwindigkeit in den Steuerkanälen und der Dampfleitung mehr oder

438

Kraftmaschinen.

weniger a.bfallend und geht in Fig. 436 punktiert angegeben bei schleichender Absperrung und großer Kolbengeschwindigkeit während des Schließens der Steuerkanäle allmählich in die Expansionslinie über. Es kann der Abfall der Einströmlinie bei schnellaufenden Maschinen mit hoher Kompression aber auch von einer Expansion des Dampfes während der Einströmung infolge einer gewissen Beschleunigung herrühren, deren· er bedarf, um dem voraneilenden Kolben folgen zu können (vgl. Grabau, "Die Dampfmaschinen für den Dynamobetrieb", Z. d. V. d. I. 1892, S. 1478). Die Größe des schädlichen Raumes m= mit normalem Hube angenommen werden:

~kann bei Maschinen 8

0,06 bis 0,10 für Flachschieber und lange Dampfkanäle, 0,03 " 0,0 5 " " kurze (geteilte Grundschieber ), 0,07 " 0,15 für Kolbenschieber, 0,02 " 0,04 " Rundschieber (Corlißhähne), 0,03 " 0,06 " Ventile. Die Füllung ist im allgemeinen so zu wählen, daß der absolute Enddruck der Expansion Pe für Auspuffmaschinen etwa 1 ,8, für Kondensationsmaschinen etwa 1,0 atm beträgt. Über die wirtschaftlich vorteilhaftesten Füllungen s. Tabelle auf S. 434. Die Expansionslinie kann bei Betrieb mit gesättigtem Dampf nach dem bereits in Fig. 4 3 5 ( S. 424) angegebenen Verfahren aufgezeichnet werden, wobei die absolute Dampfspannung p in Fig. 435 als p 1 bezeichnet als Ordinate, das Volumen V (einschließlich des schädlichen Raumes) als Abszisse durch den Kolbenweg s 0 s dargestellt wird. Bei überhitztemDampf ist die Expansionslinie als Adiabate- Kon· struktion derselben s. Fig. 429, S. 410 aufzuzeichnen, wobei n je nach der Größe der Füllung und der Überhitzungstemperatur 1,1 bis 1 ,25 zu setzen ist (s. S. 425 und Fußnote auf S. 426). Die Vor-Ausströmung (bei VA beginnend) ist so groß zu wählen, daß der Dampfdruck bis zum Hubwechsel nahezu auf die Ausströmspannung p' herabsinken kann; sie muß um so früher beginnen, je schneller die Maschine läuft, doch ist auf die von ihrer Größe ebenfalls abhängige Kompression Rücksicht zu nehmen. Man gibt bei Auspuffmaschinen etwa 5 bis 7°/0 , bei Kondensationsmaschinen etwa 7 bis 14°/0 , unter Umständen noch mehr Voröffnen. Der Gegendruck während der Ausströmung beträgt bei Auspuffmaschinen etwa 1,1, bei Kondensationsmaschinen etwa 0,2 atm (absolut). Bei ungehindertem Austritt (weite und kurze Auspuffrohre) verläuft die Ausströmlinie wagerecht und steigt nur gegen Schluß der Periode etwas an, und zwar um so mehr, je schleichender der Kanalschluß, und um so weniger, je plötzlicher derselbe erfolgt. Die Kompressionslinie (beiK beginnend) wird, gleichwie die Expansionslinie - als gleichseitige Hyperbel aufgezeichnet, obgleich sie dem Mariotteschen Gesetze nur mit grober Annäherung folgt. Der Korn· pressionsenddruck Pk muß, um Druckwechsel im Triebwerke kurz vor dem Hubwechsel und damit einen ruhigen Gang der Maschine zu erzielen, den Verzögerungsenddruck der Triebwerkmassen überwiegen ( vgl. S. 284); er darf jedoch die Spannung des Einströmdampfes nicht erreichen, sondern muß unter dieser bleiben. Für normale Auspuffmaschinen kann die Endspannung

+

Berechnung der Dampfmaschinen (Naßdampfmaschinen).

439

der Kompression bis zu etwa 3 / 4 der Einströmspannung angenommen werden; bei Kondensationsmaschinen erreicht die Endspannung der Kompression meist kaum 2 atm (abs). Kondensationsmaschinen,, die auch mit Auspuff arbeiten müssen, erhalten in der Regel nur so viel Kompression, als für Auspuffbetrieb noch zulässig ist. Die Vor-Einströmung hängt von der Größe des schädlichen Raumes, der Kompression und dem Eröffnungsgesetze der Steuerung ab; im Mittel kann dieselbe 0,5 bis 1,5 °/0 betragen. Nachdem mit Hilfe der vorstehenden Angaben das Dampfdiagramm für eine herzustellende Maschine entworfen ist, ergibt sich dessen mittlere Höhe (mittels der Simpsonschen Regel vgl. S. 425 oder genauer mit Hilfe eines Planimeters) als Höhe des Rechtecks, welches auf der Grundlinie des Diagramms errichtet ist und mit demselben gleichen Flächeninhalt besitzt. Aus der mittleren Höhe des theoretischen Diagramms folgt die tatsächlich zu erwartende indizierte ßpannung p 1 durch Multiplikation mit dem Völligkeitsgrade, einer Zahl 1, durch welche den Verlusten an Diagramminhalt Rechnung getragen wird. Die wirksame Kolbenfläche beträgt nach Früherem


r=p' +hr.

1) In Wirklichkeit ist bei gleicher Winkelgeschwindigkeit der verschiedenen, der Drehung unterworfenen, begrenzten Flüssigkeiten - je nach ihrem Flüssigkeitsgrad - die Gestalt der freien OberBäche verschieden. Auf dieser, jeder Flüssigkeit eigenen, von der Winkelgeschwindigkeit oder Umlaufzahl abhängigen .Gestalt der FlüssigkeitsoberBäche beruhen die Braun sehen Geschwindigkeit5 messer oder Gyrometer. (Vgl. Z. d. V. d. I. 1893, S. 593, 1894, 5 ..475.)

Grundlehren der Mechanik flüssiger Körper.

637

Der Flüssigkeitsdruck auf ebene Flächen ist gleich dem Produkt aus gedrückter Fläche X Schwerpunktsabstand derselben unter Flüssigkeitsspiegel (freie Oberfläche) X spezifisches Gewicht oder

P=Fhy,

.........

• . • 117

wenn jetzt h den Schwerpunktsabstand der gedrückten Fläche unter dem Flüssigkeitsspiegel bezeichnet. Der Angriffspunkt des durch Gl. 117 bestimmten Druckes liegt in der Symmetrieachse der gedrückten Fläche unter deren Schnittlinie mit dem Flüssigkeitsspiegel in einer Tiefe J Trägheitsmoment x = S = Statisches Moment der gedrückten Fläche, bezogen auf genannte Schnittlinie. Beispiel. Der Wasserdruck auf eine Schützentafel bei einer lichten Schützenoffnung von 3,60 m und 1,80 m Wassertiefe (Fig. 625) beträgt

Der Angriffspunkt liegt unter dem Wasserspiegel um

x

=

= 1,20 m

3,6. 1,8. 0,9

-

_)!!!!!

p = 3,6 ·1,8 1; 8 1000 = 5832 kg.

8 +36·18·09• .!.36·18 I I I I 12 J

Fig. 625.

•

d. i. ~ der Wassertiefe, wie direkt aus der graphi3 sehen Darstellung der Pressungen ersichtlich istl ). Für die in Fig. 624 dargestellte Sachlage ergibt sic.h der Bodendruck der rotierenden Flüssigkeit folgen-

7llfl

Fig. 626.

dermaßen.

Der ·Zentrifugalkraft eines Massenelementes 1'. dfdr im Betrage von 1'. df· dr ·roi g

g

entspricht (Fig. 626) eine Druckzunahme dfdp; es ergibt sich somit das ,Gesetz für d Druckänderung in der Horizontalebene p2

-

p1

'• = gr ro• Jrdr = gY ro

,,

r:z'-rt• -2-~

0 ·

=r

~

u~~-u~:z --2-,-~ •

Für die freie Oberfläche ist in der Achse, d. h. für r 1 = 0, die Wasserpressung p 1 = 0; damit folgt allgemein p r• u•

ro•

-=-~=-

r

2g

2g

als Gleichung der Erzengenden der freien Oberfläche bezogen auf die horizontale Scheiteltangente als Achse. Der Bodendruck folgt aus

r

P

2 "'') = rr•n ( ho + """4"U r 2 "'") • =f 2r:rrdrp = 2nr I rdr (ho + r2(]"

0

t) Die Kraft P- 5850 kg bestintmt den im ersten Augenblick des Anhubes oder letzten Augenblick des Schließens auftretenden Reibungswiderstand; mit Rücksicht auf etwaiges Festfrieren der Tafeln, raube Führung und unreines Wasser empfiehlt es sich, den Reibungs· koeffizienten hoch, 0,25 bis 0.33, einzuführen. Im Augel\blicke des Anhubes sind die Zahn· stangen des Windwerkes auf Zug belastet durch die Reibung und das Gewicht der Tafel samt Beschlag, in demjenigen des Schlusses je nach den Verhältnissen durch die Differenz beider auf Zug oder Druck (Knickung). Hinsichtlich des Auftriebes der Tafel ist im· Falle des Schließens die ungiinstigste Annahme zu treffen, für das Öffnen wird er sicherheitshalber vernachlässigt.

Kraftmaschinen. Er muß. selbstverständlich gleich dem Bodendruck yr•:rk der ruhenden Flüssigkeit sein, deren Tiefe h folgt zu

r•w•

2g

h=ho+4g=ho+-z· Die Erzeugende des Paraboloides erhebt sich am Umfang ebensoviel über den ruhenden Wasserspiegel, als sie sich in der Achse unter denselben senkt.

Für beliebige krumme Flächen ist der Flüssigkeitsdruck nach bestimmten Richtungen zu ermitteln; es ist der Horizontaldruck H= F.hy=Vertikalprojektion der gedrückten Fläche X Schwerpunktsabstand derselben vorn Flüssigkeitsspiegel X spezifisches Gewicht und der Vertikaldruck = Gewicht der von der betreffenden krummen Fläch.e eingeschlossenen Flüssigkeit. Ausfluß aus Gefäßen 1 ). Fließt -durch eine Mündung Wasser aus, so muß zur Konstanthaltung der Druckhöhe h, d. i. Tiefe des Mündungsquerschnittes bzw. dessen Schwerpunktes unter Flüssigkeitsspiegel, die gleiche Wassermenge zufließen. Unter Vernachlässigung der derselben innewohnenden kinetischen· Energie ·(lebendige Kraft), für 1 kg im Betrage von

Co

2

2g

,

folgt die

theoretische A usfl ußgesch windigkeit c = .,j 2gh. Unter Beachtung der zugeführten lebendigen Kraft ergibt sich

v +

c2 - c02 = 2 g h, also c = c02 2gh . Für den Beharrungszustand gilt Q= Fe= Foc 0 (Kontinuitätsgleichung). Die theoretische Ausflußgeschwindigkeit c unter der Druckhöhe h ist gleich der Geschwindigkeit eines von der Höhe h frei herabfallenden Körpers oder c2

Druckhöhe h = Geschwindigkeitshöhe-. 2g

Da c von dem spezifischen Gewicht unabhängig ist, folgt z. B. für Wasser und Quecksilber gleiche Ausflußgeschwindigkeit; das in der Ausflußrnenge enthaltene Arbeitsvermögen ist natürlich verschieden; es folgt

E

=:

_!_ m 2

c2 =

_!_ Fcr 2

g

c2

=!X es 2g

also abhängig von "I· Wegen der Kontinuitätsgleichung

F Fc=F0 c0 , also c0 = - c Fo

ist auch

n

~v.

-'(fr

(B"nnnlli•ohn

Gleichung).

1 ) Diese und die folgenden Untersuchungen iiber die Wirkung begrenzter Wasserstrahlen · sind eingehend behandelt in A. Pfarr: .,Die Turbinen für Wasserkraftbetrieb" Berlin 1907 ' '

J ulius Springer.

639

Grundlehren der Mechanik flüssiger Körper.

Unter Voraussetzung vollständiger Ausfüllung des jeweilig· dargebotenen Querschnittes· seitens des fließenden Strahles folgt mit den Werten F', c1 undp' für einen beliebigen Rohrquerschnitt (Fig. 627) die Ausflußgeschwindigkeit

c2 = c02

+ 2 g (h + Po /'

p) =

c12

+ 2 g (h - h' + p' )' E_) .

Hieraus ergibt sich ,

p -h'+Po

y--

12

2

c -co

y--~

p' ist der hydraulische Druck an betreffender Stelle (Pressung des bewegten Wassers). Der hydraulische Druck an irgend einer Stelle ist gleich dem hydrostatischen Druck daselbst vermindert um den Unterschied der Geschwindigkeitshöhen des Wassers an dieser und an der Eintrittsstelle. Ist F 0 groß gegenüber F', also c0 " ' 0, so folgt 1

'2

I

12

1!_=h'+Po _.:_oder 1!_+!:_=h'+Po. y y 2g y 2g y

Fig. 627.

Die Summe aus hydraulischer Druckhöhe und Geschwindigkeitshöhe ist jeweils gleich der hydrostatischen Druckhöhe; die Endpunkte dieser vereinigten Höhen liegen in einer um Po über dem Flüssigkeitsspiegel liegenden Horizontalen.

y

Korrigierter Ausfluß aus Gefäßen. Die wirkliche Ausflußgeschwindigkeit c1 und wirkliche Aus· flußmenge Q1 sind kleiner als die theoretischen, vorstehend ermittelten bezüglichen Werte infolge Nichtvorhandenseins paralleler Wasserfäden und wegen der hieraus folgenden verschiedenen Druckhöhe in den einzelnen Punkten der Mündungsebene 1 ). Es heißt (Fig. 628) das

Fig. 628.

Verhältnis der wirklichen Geschwindigkeit zur theoretischen, ~ = Ce. Im Untergraben ist das Widerstandsgefälle = GJ und die zur Erzeugung der Abflußgeschwindigkeit aufzuwendende Druckhöhe c2

KF=--"--; 2g

es folgt somit

c2

C0

=

Ce

c2

--

c2

H=- 0--LEK=-"--+EF-" 2g

sofern

--

2g

I

2g

= konst., bzw.

H

c2 ----- -c; -- c2 =--"-+ E K= --'+ E F- --"--, 2g 2g 2g 1

1

wenn ce1 die Geschwindigkeit des in E ankommenden Wassers ist. Kur wenn Ca=Ce ist, ergibt sich das an der Kraftmaschine verfügbare Gefälle als Wasserspiegelhöhendifferenz am Motor zwischen den Quer..1 q_ schnitten, in denen die Wassergesch win1 digkeiten Ce bzw. Ca I sind. {>·'::' \ In vielen Fällen ist I Ca wenig von c, verschieden. so daß mit der Höhendifferenz der Wasserspiegel als Gefälle an der Kraftmaschine gerechnet werden darf. Die Zuflußgeschwindigkeit Ce wird bisweilen für Eintrittzwecke nur mangelhaft ausgenutzt 1), der Verlust ist auf das Konto der Kraftmaschine zu setzen; dagegen wird Fig. 650. bei gewissen Anordnungen das Wasser dem Untergraben mit der richtigen Geschwindigkeit nach Größe und Richtung zugeführt ; die Höhe K F ist dem Motor gutzuschreiben. Bei Zuführung mittels Rohrleitung ist der mit derselben verknüpfte Verlust, wenn er nicht zu Lasten der Kraftmaschine geht, wie es meist der Fall ist, auszuschalten; es wird der hydraulische Druck am Motor mittels Manometers gemessen. Die Zurechnung der Geschwindigkeitshöhe gibt die 1) R. Camerer: R jCh. "Dietze.

"Neue Diagramme zur Turbinentheorie'', 5.8 u. f., Berlin 1902,

656

Kraftmaschinen.

hydrostatische Druckhöhe im Einlauf; der andere Teil des Gefälles, vom Einlauf bis Unterwasserspiegel, ist leicht bestimmbar. Das Gefälle selbst ist mit der Wassermenge derart veränderlich, daß mit Zunahme letzterer das Gefälle abnimmt und umgekehrt. Es steigt bei Stauanlagen mit zunehmender Wassermenge der Unterwasserspiegel rascher das Gefälle nimmt ab. Bei abnehmender an als der Oberwasserspiegel Wassermenge sinkt der Oberwasserspiegel langsam und verbleibt schließlich (vom Abarbeiten abgesehen, im Falle die verarbeitete Wassermenge vorübergehend größer ist, als die vom Flußlauf dargebotene) in Wehrkronenhöhe, während der Unterwasserspiegel unabhängig vom Oberwasserspiegel weitersinkt - das Gefälle nimmt zu.

C. Unterschied zwischen Wasserrädern und Turbinen. Das im Wasser enthaltene Arbeitsvermögen drückt sich aus durch A = 1000QH, worin bezeichnet Q die sekundliehe Wassermenge in cbm, H das Gefälle in m. Das Wasser sinkt entweder mit nahezu gleichförmiger und geringer Geschwindigkeit von der Höhe H herab, indem es Zellen füllt und auf diese drückt: Wirkungsweise des Wassers durch sein Gewicht in Wasserrädern -Ausnutzung der potentiellen Energie. des Wassers-, oder es fließt mit einer Geschwindigkeit, welche der nutzbaren Gefällhöhe H (oder einem Teile derselben) entspricht, aus und wird durch gekrümmte Schaufeln abgelenkt, hierdurch einen Druck (Reaktion) auf dieselben ausübend: Wirkungsweise des Wassers vermöge seiner Geschwindigkeit in Turbinen Ausnutzung der kinetischen Energie-. Der der Höhe H ent: 5 mm, bei hölzernen Rädern x 0 " " 15 mm) und der Größe x'=R-JL ergibt sich der Durchmesser des Rades (in m) aus

D=2R=H- [h 0

+0,5 s + t5+ x 0

0 -

x'

+ x"].

Zur Gewinnung eines vorläufigen Wertes D schätze man

D = H - ( 1,1

2c~ + 0,2)

i~ + 0,1) .

bis H - ( 1,1

Mit dem erhaltenen D

wird,

=

einer passenden Umzahl u

nDn

unter Annahme

6Q ermittelt, dann

nochmals eh berechnet und h 0 festgestellt. Die Rad tiefe kann betragen 13-

a=6VH bis

I

I

13-

4

yH;

'

I I

I I

I

'

I

I

I

'--v----)

I

I

/

~

Ii' // IJ;

I 4

~+

--·- -J!"'t

~i~1

,~1 1.

Fig. 65!.

damit folgt für die Radbreite

b=-9_, aus1

worm s1 = 0

1

4

>

bis

2 zu nehmen ist.

1,7 m ist ein mittlerer Kranz oder wenigstens eine UnterFür b stützung des Radbodens nötig.

659

Wasserräder,

Die Strahlbreite ist zu wählen b0 = b - 0,4 bis b - 0,2 für Räder ohne Mittelkranz, 0,5 b0 = 0,5 b- 0,4 bis 0,5 b- 0,2 für Räder mit Mittelkranz, Die Strahldicke beträgt

Q

so= bocn . Die absolute Ein trittsgeschwindigkeit c des Wassers im Punkte B ergibt sich zu Cn C=--; COSIX

damit folgt aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten die relative Geschwindigkeit des bei B eintretenden Wasserteilchens bzw. aus dem absoluten Weg B P die relative Bahn B P" N desselben, indem durch P der Halbmesser M PT gezogen und Kreisbogen T U = B P' u : Cn gemacht wird. Der durch U bestimmte Halbmesser U P" M schneidet den aus dem Radmittelpunkte M durch P beschriebenen Kreisbogen P P" in dem gesuchten Punkte P". Die Schaufelkurve wird mit Rücksicht auf den Austrittverlust bei eisernen Schaufeln aus zwei Kreisbogen QQl und Q1Q2 derart zusammengesetzt, daß sie, die relative Bahn BN berührend, den Radumfang in einem Punkte Q schneidet, der um den Bogen BQ,04) H 0,81·5 4,05 m. Jetzt darf entweder noch a 1 oder u gewählt werden, wenn nicht c1 oder Cp festgesetzt 6,50 m folgt das Diagramm Fig. 672: nach demselben ergibt sich wird. Mit u

=

c, = 6,42 m, a,

= 17"45', w, = 2,01 m, p, = 101 "30', w. = 6,80 m,

ß. = 16° so·.

Fig. 672. Auf dem Wege der Rechnung ergibt sich nach GI. 122 bzw. 123

u = 6,5

=

• 1- - . ~---sin (ß1

v 0,81

_1- - _

c1 = v 0,81

V 9,81·5

f

a 1) sinß, co;a, ,

sin ß 1

V9,81· 5 sin (ß, _

a~) cos a,

und für senkrechten Ablluß

c 1 sin a 1 = c2 = 1,98 m. Aus der ersten Gleichung folgt tg (180- ß 1 ) = 15,71 tga 1 , und aus der· Verbindung mit den anderen Gleichungen a 1 = 17° 57'. Damit ergibt sich c1 = 6,425 m, ß1 = 101 "7', w1 = 2,017 m. Außerdem ist noch --1 98 w2 1,98• .j- 6,5• 6,795 m und tgß 2 0,30462, also

=v

= -t5 =

=

ß2

= 16° 56,5'.

Nach dem Diagramm ergibt sich dfe mit 1 kg Wasser in der Zeiteinheit geleistete Arbeit zu

~

2g

(6,42• -1,98 2

+ 6,80

2 -

2,01 2 ) = 4,052 mkg.

Nach den für dfe Wasserkraft gemachten Angaben und den getroffenen Annahmen be· trägt dfese Leistung · 1·4,05 = 4,05 mkg. Mit den errechneten Werten folgt dfe Arbeit schließlich zu

_1_ (6,425"- 1,98"

2g

+ 6,7952 -

2,0172) = 4,05 mkg.

680

Kraftmaschinen. Zur Kontrolle ergibt sich ferner E

= c 1 u_ cos a1 :::::: o,St . gH

t:ber die Zulässigkeit der Diagramm- bzw. Rechnungswerte (Geschwindigkeiten und Winkel) vgl. die später hierüber gemachten Angaben. Verzichtet man auf senkrechten Austritt, wählt man z. B. w 2 = u, so ist auszugehen von der Beziehung c1 u cos a 1 - c2 u cos a 2 = t' g H. Hierin ist unter obiger Voraussetzung und damit folgt oder

c1 ucosu 1

= gH (60 :-i

Fig. 790.

Fig. 791.

Der Antrieb der Lastwinde erfolgt durch Kurbeln, derjenige der Laufkatze durch ein Haspelrad. Bei einem ähnlichen Kran (Fig. 792) der Maschinenfabrik C. Herrn. Findeisen in Chemnitz für 7500 kg Nutzlast erhalten Lastwinde und Laufkatze Kurbelantrieb. Das Schwenken des Kranes geschieht von Hand. Bei dem in Fig. 793 dargestellten Drehkran mit elektrischemAntrieb von Ludwig Stuckenholz in Wetter a. d. Ruhr arbeitet der in das Krangerüst eingebaute Elektromotor durch ein Wurmgetriebe auf eine senkrechte gemeinsame Vorgelegewelle a für die Lastwinde und die Laufkatzenbewegung, von der der Antrieb mittels einer Reibungskupplung durch eines der beiden Stirnräderwechselpaare für schnellen oder langsamen Gang auf die benachbarte Welle b übertragen werden kann. Diese ist mit Wendegetrieben c und d der Fig. 794 ersichtlichen Bauart ausgerüstet. Von dem unteren Wendegetriebe c zweigt sich der rechts- und linksläufige Antrieb der Lastwinde, von dem oberen d das Fahrwerk der Laufkatze je durch ein Stirnräderpaar ab. Die Lastkette läuft über eine Kettennuß und fällt in einen

792

Arbeitsmaschinen.

unten an der Kransäule angebrachten Kasten. Das Hebelwerk der Lastbremse ist derart mit dem Steuerhebel des Windenwendegetriebes gekuppelt, daß sich die Bremse beim Ausrücken desselben schließt und die aufgewundene Last schwebend festhält. Bei dem als Schubkeilkupplung ausgebildeten Wendegetriebe (Fig. 794) werden die innerhalb der beiden lose auf der Wellenachse laufenden Kegelräder a 1 und b1 liegenden geschlitzten Ringe zum Kupplungsschluß durch Keildruck auseinandergespreizt. Die Schubmuffe m, auf der die Keile k befestigt sind, wird in der gewöhnlichen Weise mittels eines Schleifringes

Fig. 792.

durch einen Gabelhebel bewegt, an dessen äußerem Ende eine nach dem Steuerhebel führende Zugstange angreift. Unter der Annahme, daß der Durchmesser des Ringes im ungespreizten Zustande rv 2 mm kleiner als der innere Kupplungsscheibendurchmesser, der halbe Keilwinkel IX des Schubkeiles tg IX = 0,2, P 1 die Spreizkraft in tangentialer Richtung zum Auseinanderdrücken des Ringes, P 2 die zusätzliche Spreizkraft zur Erzeugung des Druckes zwischen den Gleitfiächen, D die Einpressungskraft des Keiles in der achsialen Vorschubrichtung ist,

Krane.

793

sind für G u ße i senr in ge mit dem Reibungskoeffi zienten t t = 0 ,1 und mit ein er Pr essung p = 10 kgfqcm in den Gleitflächen im augepreßt en Zustande überall gleichmäßiges Anliegen vorausgesetzt - in der unten stehenden Tabelle die H au ptwerte einiger Schubkeilkupplungen zusammengestellt 1 ).

Fig. 793 .

Fiir Ringe aus Ph osp horbronze ist p = 1 5 kgfqcm bei entsprechender Steigerung ,·on P 2 und D sowie der über tragbaren Umfangskraft zulässig. Bei der S c hubkeilkupplung von G br. Scholt e n in Duisburg für größere Kr äfte (Fi g. 795a) wird der K eilk nicht unmittelbar in den Kupplung ring c eingepreßt, sondern er dreht einen H ebel f", der sich gegen eine am Ringe c sitzende Nase l legt und dadurch den Ring spannt. Da der Keil jetzt ganz nahe der Welle angeordnet werden kann , erhält die Kuppelmuffe m auch bei den größten Raddurchmessern verhältnismäßig kleine Abmessungen. Es wird ferner beim 0:

Q.)

.....

o ....

1Z C)

-~ (;i

" ...

...

....

8 ]

;~

"""" ~g),

lU

"(j

Q. ."

c:

.t:J

"'

c: ~

"" i:henen Kreuzkopf. Außer dem Kammzapfenlager und einem gewöhnlichen Lager am anderen Ende der etwa 20 m langen Schraubenspindel sind noch drei mit Weißmetall ausgefütterte gelenkige Zwischenlager zum Tragen der Schraube vorgesehen ( vgl. Z. d. V. d. I. 1892, S. 1130. )

Fig_ 804.

Fig. 805 veranschaulicht einen von Ludwig Stuckenholz in Wetter a. d . Ruhr für die Kaiserliche Werft in Danzig gebauten Scherenkran für 50000 kg Tragkraft. Um eine möglichst kurze Schraubenspindel zu erhalten, ist dieselbe hier in Richtung des Hinterbeines angeordnet. Zur Abstützung der Spindel am unteren Ende dient ein bewegliches Kammzapfenlager. Der Antrieb wird durch konische Räder und mehrere Stirnräderpaare von einer Dampfmaschine abgeleitet. Damit di_e Schraube stets in der Richtung des Hinterbeines bleibt, ist der am unteren Ende des letzteren befestigte Kreuzkopf mit Rollen versehen, die sich auf der entsprechend gekrümmten Gleitbahn eines Bockes führen. Außer dem Flaschenzug für 50000 kg Lastgewicht ist zum Heben geringerer Lasten noch eine weitere Hilfsvorrichtung angebracht. zur Berechnung des Krangerüstes ist die Höchstlast Q zugrunde zu legen. Dieselbe zerlegt sich in der vorderen Stellung des Fig. 805 ersichtlichen Kranes in eine in die Mittellinie des Auslegers fallende Druckkomponente D und in eine in Richtung des Hinterbeines fallende Zugkomponente Z. Durch die gespannte Lastkette wird das Hinterbein entlastet; da sich aber bei Scherenkranen durch Einschaltung mehrrolliger Flaschenzüge die Spannung der Lastket te im Verhältnis zur Rollenzahl vermindert, kann sie zumeist unberücksichtigt bleiben.

8o6

Arbeitsmaschinen.

Der Auslegerdruck D zerlegt sich nach den Richtungen der beiden Auslegerstreben in zwei Komponenten, deren jede D

Dr = -- c5 ' 2cos -

2

wenn c5 den Winkel bezeichnet, den die Auslegerstreben miteinander bilden.

I~.

1\\ .

z

I.I

·. ~I

\. \

I

\

\

\

\

Fig. 805.

Wird der Ausleger über die senkrechte Stellun g nach hinten bewegt (in Fig. 805 punktiert angegeben), so findet auch in dem Hinterbein Druck wirkung statt, wie dies d urch Aufzeichnen des Kräfteplanes hervorgeht 1 ). t) Ober einen Scherenkran für 120 000 kg Tragkraft mit Druckwasserbet rieb s. Z. d. V. d. I. 1901, S. 1833-

Krane.

807

b) Krane mit Bühne. Die Bühnenkrane werden, sofern ihre Fahrbahn auf den Umfassungsmauern von Gebäuden, auf Säulen oder auf hochliegenden Konsolen angeordnet ist, als Laufkrane bezeichnet, im Gegensatz zu den Rollkranen, die je nach ihrer Form und ihrem Verwendungszweck als Bockkrane (auch mit feststehendem Gerüst in Anwendung), Portalkrane (Winkel- oder Vollportalkrane) und Überladekrane bezeichnet werden. Mit einer Hochbahn oder Seilbahn bis 150 m Länge und darüber ver· bundene, zum Verladen von Massengütern (Kohlen, Erzen u. dgl.) sowie zu ihrer Verteilung über ausgedehnte Stapelplätze dienende Bühnenkrane werden Hochbahnkrane genannt. Der Antrieb der Bühnenkrane erfolgt nach den Anforderungen an die Leistungsfähigkeit des Kranes und der Verfügbarkeit über Maschinenkraft von Hand oder durch Transmissionen (Seile, Wellen) oder durch eigene Kraftmaschinen (Elektromotoren). 1. Laufkrane mit Hand betrieb.

Derartige Krane sind bei ni~ht zu häufiger Benutzung und für mäßige Tragkraft, etwa bis zu 5000 kg, zu empfehlen; sie finden in Nebenhallen :von

Fig. 806.

Gießereien, kleinen Montierwerkstätten usw. gute Verwendung. Zuweilen dienen solche Krane auch in Maschinenhäusern zur ersten Montage und zu späteren Auswechslungen schwerer Stücke; sie werden dann bis zu 20000 kg Tragkraft und höher gebaut.

808

Arbeitsmaschinen.

Die Lastwinde pflegt man mit dem Fahrtriebwerk der Laufkatze, getrennt vom Fahrwerk der Bühne, in die Laufkatze einzubauen und sämtliche Triebwerke entweder von unten durch Haspelketten oder oben von der Laufbühne aus mittels Kurbeln zu betätigen. Behindern im ersteren Falle die aufzunehmenden Lasten den freien Gebrauch der von der Laufkatze herabhängenden Haspelketten oder sind letztere - wie z. B. in Gießereien - nicht

Fig. SOS. an allen Punkten des Arbeitsraumes bequem zugänglich, so verlegt man das ganze Triebwerk an das eine Ende der Bühne und bewirkt von hier durch horizontale Kettenzüge das Heben der Last und das Fahren der Laufkatze. Einen solchen Laufkran für 12000 kg Tragkraft von Unruh & Liebig in Leipzig zeigt Fig. 806. Die Last wird von vier Arbeitern an zwei Haspelketten gehoben, deren Rollen auf einer gemeinsamen Achse befestigt sind. Diese trägt ferner, wie die in größerem Maßstabe dargestellte Last winde (Fig. 807) erkennen läßt, eine mittels Zugschnur von unten verschiebbare Hülse mit zwei verschieden großen Zahnrädern, die je nach der Hubgeschwindigkeit der Last mit entsprechenden Rädern einer Vorgelegewelle, auf der gleichzeitig die Sperradbremse angeordnet ist, in Eingriff gebracht werden. Die Lastkette ist eine Gallesehe Gelenkkette, deren herabhängende Schlinge am Fig. 8()9. Schutzkasten der Kettennuß befestigt ist. Zur Bewegung der Laufkatze dient das in Fig. 808 dargestellte Triebwerk mit kalibrierter Kette. Um die Bühne schnell und bequem verschieben zu können, sind die Lager der Laufräder als Kugellager (Fig. 809) ausgebildet. Ludwig Stuckenholz in Wetter a. d. Ruhr führt nicht selten Laufkrane mit Kurbelantrieb nach Fig. 810 aus, wobei die Plattform für das Antriebwerk etwa 2 m über Flur liegt und mittels einer Leiter schnell zu erreichen ist.

809

Krane.

Aus der auf S. 810 und 811 gebrachten Tabelle sind die Maße der Durchgangsprofile für die von der Benrather Maschinenfabrik A.-G .

I in Benra t h geba uten Laufkrane mit H andbetrieb (Fig. 811 u. 8 12) sowie deren Eigengewichte, größte n Raddrücke und Rads tände zu entnehmen. Die Ha up lkran t r äger bestehen, soweit es die zulässige Beanspruchung gestattet, aus normalen I - Trägern (Fig. 811 ) ; für größere Belastungen und Spannweitep. ( von 12,5 t und 14m, 15 t und 12 m, 20 t und 10 m an ) kommen Blechträger bzw. Gitterträger in Anwendung ( Fig. 8 12 ). Krane bis zu 8 m Spannweite werden im allgemeinen ohne seitliche Versteifung ausgeführt. Bei größeren Spannweiten besteht dieselbe für I-H auptträger aus darauf genieteten n -Eisen en !sprechenden Profils, für Blech- und Gitter träger aus einem besonderen wagerech Fig. 810. ten, gitterförmigen Träger, dessen aus [-Eisen gebildete Gurtung durch ein lotrechtes Sprengwerk gegen Durchbiegung abgesteift ist. Die Kopfträger verbinden die Hauptträger und dienen zur Lagerung der Laufrollen des Kranes. Am zweckmäßigsten ist die in Fig. 811 ersichtliche Anordnung mit untergebauten Kopfstücken; bei geringerem, über den Laufschienen zur Verfügung stehendem Raume erhalten die Krane vorgebaute Kopfstücke (Fig. 812).

Fig. 812.

Arbeitsmaschinen.

810

Laufkrane mit Handbetrieb der

I Tragkraft

Maße der Durchgangsprofile für Laufkrane nach Fig. 811

Spannweite

mm i

A kg

2000 {

~-{ ~-{ ~oo{

m

6 10 14 18

---

-:-{ 20000 {

0

D

D1

560 560 560 560

400 400 400 400

I 930 1010 1100 1200

I I I I

80 160 250 350

180 185 190 190

---------

I

- - - -I

6 10 14 18

1030 1110 1200 1300

185 190 195 195

130 210 300 400

630 630 630 630

400 400 400 400

6 10 14 18

1200 1300 1400 1450

200 205 215 215

150 250 350 400

725 725 725 725

500 500 500 500

6 10 14 18

1400 1500 1600 1650

220 220 220 230

200 300 400 450

750 750 750 750

525 525 525 525

6 10 14 18

1450 1550 1650 1700

230 240 240 240

250 350 450 500

800 800 800 800

550 550 550 550

6 10 14 18

1650 1750 1850 2000

240 240 250 250

1000 1000 1000 1000

655 655 655 655

6 10 14 18

2100 2175 2200 2300

240 240 250 250

1100 1100 1100 1100

700 700 700 700

- - - - - - -I

---

. 10000 {

I

B

-----

------ - - - - - - - -

250 350 450 600

---- ----

---- ----- ----

500 575 600 700

2. Laufkrane mit Seilantrieb. Der Antrieb eines solchen, von Ludwig Stuckenholz ausgeführten Kranes (Fig. 813, S.812) erfolgt durch ein Transmissionshanfseil, welches mittels zweier Leitrollen t, über den oberen Umfang einer Treibrolle T (Durchmesser

Krane.

811

Benrather Maschinen:iabrik A.-G. (Auszug.)

Maße der Durchgangsprofile für Laufkrane nach Fig. 812 mm

I

Gewich t,einschl. Hub- und Handketten für 5 mEntfernung der Laufschienenoberkante über Fußboden

- - - - - - - - - - ----

A

B

c

i

750 750 750 800

I

D! D1 i

I

I 180 180 185 190

----

100 100 100 so

I

600 600 600 600

550 5SO 550 550

des ganzen Kranes

der Katze

kg

kg

1400 2300 4050 5900

200 200 200 200

I

1750 3100 s ooo 6900

250 250 250 250

95owüwü750[67s 750 675 100 950 2os 750 675 50 950 215 7SO 675 so 1000 215

2300 38oo 5750 8100

350 350 350 3SO

2900 S100 72SO 9 600

soo soo soo 500

100 100 so 50

220 ~oü sso 8oü

-;-;oü 1100 220 110011220 11 so 230

100 100 so

11sü 123ü-sül so I 11SO 240 so 11SO 240 so I 1200 240 _ _I___

13SO 1240 1350 240 1400 ' 250 1450 1250

>

i

mm

mm

8SO 800 8SO 800 8 so ' 800

900 '[8so-330o 5400 900 8SO 8100 900 850 900 8SO 10 700

2000 2400 2 850 3350

3150 3550 4100 47SO

1 oo } 2boo 5000 2200 2500

4400 50SO 5700 6 300

2100 2200 2400 2600

~5750 6SO 650 650

'I

1700} 3000 1750 2000 2300

6400 71SO 7 800

}~~7SOO

2200 ]--2300 10000 2400 2600

-~---------~~~----------·

100 100 so so

16so24ü1oo 100 16so I 24o so 1700 i 250 so 1750 I 250

,

kg

Tragkraft

--~-~-

6501' 600 650,600 650 , 600 650 1 600

800 185 800 185 850 /190 850 200

Größter Raddruck und Radstand etwa

1025' 10251' 1025 1025

900 900 900 900

4SOO 6600 9600 12000

11so 19-5o-54oo' 7750 [ 1150 950 11501950 11500 1150 I 950 15ooo . I.

i

24SO } 25SO 15000 2600 2700

1200 1200 1200 1200

82SO 9100 10100 10750

2ooo 2ooo 2000 2000

1o8so 12ooo 26oo 13200 2700 14300 12800

26oo}~-~-20000

I

30 fache Seildicke) geführt wird. Die Bewegung der letzteren derselben wird mittels Stirnräder auf eine Vorgelegewelle übertragen, welche die Wendegetriebe 1, 2 und 3 für die Lastwinde, das Laufkatzenfahrwerk und das Bühnenfahrwerk trägt. Auf der über dieser Welle liegenden Steuerwelle sind mittels Handräder stellbare Schnecken befestigt, die mit Zahnradsegmenten

812

Krane.

813

der über die Schleifringe der Wendegetriebekupplungen greifenden Gabelhebel in Eingriff stehen. Die Lastwinde kann nach Bedarf von dem Wende· getriebe 1 aus durch Wechselräder mit zwei verschiedenen Geschwindigkeiten benutzt werden. Die Laufkatze wird durch zwei Zugketten bewegt, deren Daumenrollen mittels Stirnräderübersetzung von dem Wendegetriebe 2 aus angetrieben werden. Das Wendegetriebe 3 schaltet durch das auf der Nabe seines rechten Zwillingskegels befestigte Stirnrad o das Bühnenfahrwerk rechts· oder linksläufig ein, je nachdem dieser Kegel unmittelbar mit der Welle gekuppelt wird oder bei entgegengesetztem Kupplungsschluß den Antrieb von dem linken Kegel durch Vermittlung des lose mitlaufenden Zwischenkegelrades empfängt. Das Stirnrad o steht mit einem solchen o1 in Eingriff, das auf der durchlaufenden Vorgelegewelle w befestigt ist; der Antrieb der letzteren wird durch Stirnräderübersetzung auf zwei gegenüberliegende Laufräder der Bühne übertragen. Die Treibseilgeschwindigkeit dieser Krane wird meist zu 8 bis 12 m/sek angenommen. Die Geschwindigkeit für das Lastheben beträgt 0,5 bis 1,0 m/min, diejenige für das Lastsenken 1,5 bis 2,5 m/min. Für die Fahrgeschwindigkeit des Kranes und der Laufkatze findet sich c = 2,5 bis 10 m/min, je nach den Anforderungen, die für den Entwurf gestellt werden. Die Seilspannkraft für die Treibrolle folgt aus

T>P~

el"'- 1' worin P die am Treibrollenumfange erforderliche Tangentialkraft bedeutet. Für neuere Ausführungen ist cx = :n:, f.l = 0,2 bis 0,4 - bei keil· förmiger Klemmung des Seiles in den Treibrollen - mithin T 2,2 P bis T 1,4 P zu nehmen. Das Belastungsgewicht der auf einen Wagen gelagerten Spannrolle des Seiles soll"' 1,5 T, die Beanspruchung des Seiles 15 bis 20 kgfqcm gewählt werden. In Entfernungen von je 4 bis 5 m ist das Seil durch Trag· rollen zu stützen. Ein zum Auswechseln von Walzen dienender fahrbarer Bockkran der vorgenannten Firma von 15 000 Tragkraft mit Seilantrieb ist in Fig. 814 (S. 814) wiedergegeben. · Der Antrieb für die Lastwinde und das Laufkatzenfahrwerk sowie für das Fahrwerk des Krangerüstes mittels der unter den Bockständern angeordneten Laufräder wird von Wendegetrieben 1, 2 und 3 einer I otrech ten Vorgelege· welle abgeleitet, die ihre Bewegung wieder mittels Stirnräder von einem über den Umfang der Treibrolle T geführten Transmissionshanfseil aus erhält. Die Lastkette läuft über eine obere Leitrolle m nach der WindentrommeL Der doppelseitige Fahrantrieb für die Laufräder erfolgt von dem Wendegetriebe 3 aus durch 5 Paar Kegelräder, 2 Paar Stirnräder und 3 Hilfswellen.

>

>

3. Laufkrane mit Wellenantrieb. Derartige Krane werden in der Neuzeit nur noch selten ausgeführt. Bei Wellenbetrieb, insbesondere für sehr lange Werkstätten, entstehen beim An· trieb der leeren Welle (Umlaufzahl " ' 80 bis 120 in der Minute) bereits große Arbeitsverluste. Der Vorteil, daß die Wellen nicht in dem Maße wie die Seile dem Verschleiß unterworfen sind, wird durch den Umstand aufgewogen, daß, falls einmal der Ersatz einer langen Welle notwendig wird, dieser teuer

814

Arbeitsmaschinen.

und ohne Betriebsstörung kaum möglich ist. Es ko=en genutete oder quadratische Wellen in Anwendung, die in Entfernungen von etwa 3m durch Pendellager zu unterstützen sind.

- · -- - · - - - ~~~

--·-

---- - - ~~

815

Krane.

Fig. 815 zeigt die einfache und bewährte Konstruktion eines von Lud w. Stuckenholz erfundenen Pendellagers für quadratische Wellen. Die Bewegung dieses Lagers ist zwangläufig, und neigt sich dasselbe stets nach derselben Richtung, von welcher Seite auch der Kran kommen mag. Dies wird durch einen in Fig. 815 punktiert gezeichneten unsymmetrischen Ausrückbügel erreicht, der am Kran befestigt ist. Das Rotgußlager ist bequem auswechselbar gemacht. Die Kraftübertragung von der Transmissionswelle auf den Kran erfolgt durch ein über die ganze Welle verschiebbares sog. Schlepprad (Kegelrad, Stirnrad, Schnecke), das mit einem entsprechenden Rade der Bühne in dauerndem Eingriff steht. Letzteres ist zumeist auf einer Vorgelegewelle

Fi~.

815.

befestigt, die, in gleicher Weise wie bei den Fig. 813 und 814 ersichtlichen Kranen mit Seilantrieb, die Wendegetriebe für die Lastwinde, das Laufkatzenfahrwerk und das Bühnenfahrwerk trägt. 4. Laufkrane mit elektrischem Antri e b. Der in Fig. 816 und 817 dargestellte Kran der Duisburger Maschinenfabrik J . Jäger für 12000 kg Nutzlast arbeitet mit nur einem stets in derselben Richtung umlaufenden Motor - Einmotorenkran. Die Kranbühne von 10,3 m Spannweite ist als doppelter Blechträger mit Winkeleisenarmierung hergestellt, in welchem das Windwerk unmittelbar gelagert ist. Der gewählte Drehstrommotor von 15 PS bei 955 Umlfmin ist an das Ende der Kranbühne gerückt und auf einer Holzzwischenlage angebracht. Durch eine den Motor gegen das Windwerk isolierende elastische Lederkupplung (in Fig. 818 in größerem Maßstabe gezeichnet) ist die Welle des ersteren mit der Antriebwelle verbunden. Letztere führt sich anderseits in dem Lager eines vollkommen geschlossenen gußeisernen Gehäuses, welches gleichzeitig das erste Vorgelege- geschmiedetes Stahlritzel auf Gußeisenrad - aufnimmt. Durch die drei Wendegetriebe W1 , W 2 , Ws werden in gleicher Weise wie bei den vorsproebenen Kranen mit Seil- und Wellenantrieb die Hub-, Kran- und Laufkatzenbewegung eingeleitet. Das Wendegetriebe W1 treibt r2 die Lastwinde; durch das Wechselgetriebe - , --, kann die Lastgeschwindig-

r;

R2

keit geändert werden.

R2

Das Stahlgußräderpaar Rra , welches die Lasttrommel 3

antreibt, hat, wie die auf S. 817 befindliche Rädertabelle erkennen läßt, die

816

I

j

i

I

I I

I I

j I

817

Krane . . Bezeichnung

r1 : R1 r2: R2 r~: R~

ra : Ra r 4 : R4

r5 : R5

r6: R6 r1: R1

I Durchmesser 108: 140: 280: 144: 200 : 200: 140 : 140:

504 720 580 1440 360 360 720 720

Zähnezahl

Teilung

Breite

18 : 84 14: 72 28: 58 11 : 120 20: 36 20: 36 13: 72 14: 72

6n 10n 10n 12 .n: 10 n 10 .n: 10n 10n

100 80 80 95 60 60 80 80

I

Zähnezahlen 11 und 120, die Teilung t = 12 n und 144 bzw. 1440 mm Teilkreisdurchmesser. Es entspricht also der Teilkreisdurchmesser von r 3 der Zähnezahl 12, womit die Zähne des kleinen Rades am Fuße wesentlich stärker ausfallen als bei der gewöhnlichen Bauart. Zum Abstützen und Senken der Last ist die Winde mit der S. 398 beschriebenen geräuschlosen Sperradbremse ausgerüstet. Der Lasthaken ist auf Kugeln gelagert ; die beiden Lastseile laufen über je eine lose Rolle nach der Trommel, a uf der Rechts- und Linksgewinde eingeschnitten ist. Der Antrieb für das Bühnenund Laufkatzenfahrwerk erfolgt durch die Wendegetriebe W 2 und Wa in der auf den Abbildungen ersichtlichen Weise. Es ist zu bemerken, daß die Laufkatzenzugkette nicht unmittelbar, sondern mittels loser Rollen an der Katze angreift. Der Kran wird vom WerkstättenFig. 8 t7. flur mittels vier nahe beieinander liegender Haspelketten bedient, die über die Kettenglieder H 1 bis H 4 gelegt sind. Die Räder H 1 bis Ha zum Ein-stellen der Wendegetriebe sind in einem

Fig. 818.

kräftigen Flacheisen gelagert, das mit Hilfe der Winkeleisenbügel B (Fig. 817) an dem Hauptträger befestigt ist. Das Rad H 4 dient zum Einstellen der Fr e y t a g, Hilfsbuch.

3. Aufl.

52

818

Krane.

819

Sperradbremse. Ist kein Strom vorhanden, so kann der Kran mittels Handkurbeln, welche auf die von den Wendegetrieben bewegten Wellen aufgesteckt werden, seinen Antrieb erhalten, bzw. wird die Sperradbremse durch ein Handrad bedient. Nach der Rädertabelle ergeben sich die Gesch windigkeiten für das Heben der Last:

181411 v1=955mfmin, bzw. 84 --0,5:n0,490=2,81 72120 18 28 11 V2 = 955 84 58 120 0,5 :n 0,490 = 6,97 mfmin; für das Fahren des Kranes:

v = 955

18 20 20 13

84 36 36 72 :n 0,7 =

25 mfmin;

für das Fahren der Katze:

18 14 v' = 955 84 74 0,5 :n 0,174 = 10,88 mjmin. Übrigens läßt sich durch Vorschaltwiderstände die Umlaufzahl des Motors und damit diejenige für die einzelnen Kranbewegungen vermindern (vgl. Z. d. V. d. I. 1898, S. 821}. Beim Dreimotorenkran (Mehrmotorenkran) wird jede Bewegung des Kranes durch einen besonderen umsteuerbaren Elektromotor bewirkt, •der bei Verwendung von Gleichstrom seine Umlaufzahl mit abnehmender Belastung selbsttätig erhöht. Motoren mit Drehstrombetrieb ändern dagegen ihre Umlaufzahl bei wechselnder Belastung nur wenig; sie kann durch stufenweises Vorschalten des Anlaßwiderstandes in den Ankerstromkreis vermindert werden. Jeder Motor treibt mittels Schnecken- oder Zahnräderübersetzung das zugehörige Windwerk an. Die Steuerung ist elektrisch. Fig 819 zeigt die allgemeine Anordnung eines von der Benrather Maschinenfabrik A.-G. in Benrath zur Ausstellung nach Düsseldorf 1902 gebrachten Viermotoren-Laufkranes für 30000 kg Tragkraft und 21,34 m Spannweite mit einer Hilfswinde für 5000 kg Tragkraft (vgl. Z. d. V. d. I.

1902,

s.

1099).

Die Kran bühne besteht aus genieteten Blechträgern und seitlichem Versteifungsfachwerk für die Laufstegkonstruktion, deren Belag, um möglichst wenig Oberlicht abzufangen, aus weitmaschig gelochten starken Blechtafeln besteht. Die Laufstege sind außen mit Geländern versehen und liegen etwas tiefer als die Katzenbahn, damit die höheren Hauptträger den Steg auch auf der Innenseite fest abgrenzen und einen gewissen Schutz gegen Abstürzm nach innen bieten. Der Führerkorb ist einseitig am Ende der Bühne angehängt. Unter dem vom Korb durch eine Leiter erreichbaren Laufsteg liegt die im Gitterwerk fortlaufend gelagerte kräftige Welle für das Fahrtriebwerk der Bühne. Die Laufkatze ist in Fig. 820 und 821 nochmals in größerem Maßstabe abgebildet. Um die Benutzung des gewöhnlichen einseitigen Flaschenzuges mit großer Rollenzahl, der die Windentrommel beträchtlich verlängert und noch andere Übelstände im Gefolge hat, zu vermeiden, ist derselbe durch ein einziges Zwillingsrollenpaar loser Rollen ersetzt und das zweitrümmig verwendete Lastseil in der Katze einerseits über die Ausgleichtragrollen a, b gehängt, anderseits mit seinen Enden auf die beiden getrennt gelagerten, aber gleichachsigen und durch symmetrische Vorgelege angetriebenen Winden52*

820

I

I

f- - - -- - -----·71!90 -· ------- -- - --·

Krane.

821

trommeln geführt, so daß sich nicht nur die Last, sondern auch die Zahndrücke vollkommen symmetrisch verteilen und die Last selbst mit unverrückbarer Resultantenwirkung genau senkrecht aufsteigt. Jede Trommel hat nur das Doppelte der Hubhöhe an Seillänge aufzunehmen; die Last wird aber auch nur von vier Seilsträngen getragen. Der Hubmotor ist auf dem Katzenwagen in der Längsmittelachse gelagert und arbeitet durch ein doppelgängiges Schneckengetriebe mit der Übersetzung 2 : 42 auf die genannten Stirnrädervorgelege mit den Zähnezahlen 13 und 104 und der Teilung t = 12n. Der Hauptstrommotor leistet bei 540 Uml/min 26 PS und liefert mit den Trommeln von 500 mm Durchmesser und den angegebenen Übersetzungen für die volle Last die Hubgeschwindigkeit 0, 5 Jl 540 2 13 v = - - -- - "-· 2 5 m/mm 2 42 104 ' 0

0

Fig. 821.

Die Schnecke arbeitet mit einer im Kopfe e ihres Gehäuses untergebrachten Drucklagerbremse und trägt am freien Ende die Scheibe c für die elektromagnetische Lüftungsbremse, deren Belastungshebel nach dem Elektromagneten mit der Dämpferpumpe d hinüberreicht .. Das seitliche Auseinanderrücken der Trommeln - um Platz für den Motor in der Mitte zu gewinnen - bedingt den aus Fig. 820 ersichtlichen gespreizten Bau der losen Flasche mit weit auseinanderliegenden Rollen, in deren Achse der Haken mit seinem Kugellager eingehängt ist. Der Hubmotor der Hilfswinde für 5000 kg Tragkraft arbeitet mit einem Schneckengetriebe (Übersetzung 1 : 8) und einem Stirnrädervorgelege mit den Zähnezahlen 17 und 51 bei t = 10 n auf die Hilfstrommel von 400 mm Durchmesser, welche die Last mit einer einfachen losen Rolle hebt.

822

Arbeitsmaschinen.

Auch hier ist wieder die gleiche Motorgröße von 26 PS bei 540 Umlfmin gewählt, um eine Hubgeschwindigkeit I 0,4 .7l 540 1 1 7 . v = - - - - - - " " - ' 14 mfmm 2 8 51 zu erzielen. Das Getriebe ist nur mit einer elektromagnetischen Lüftungs-

bremse ausgerüstet, deren fliegend auf der Schneckenwelle angeordnete Scheibe f von dem Elektromagneten g und seiner Dämpferpumpe betätigt wird. Als Fahrmotor für die Katze ist ein 7 PS-Motor mit 775 Umlfmin gewählt, der mit doppelgängigem Schneckengetriebe von der Übersetzung 1 : 1 5 und einer Stirnräderübersetzung mit den Zähnezahlen 15 und 60 bei t = 8 .n, unter Einschaltung eines 42 zähnigen Zwischenrades, den Antrieb auf die Mitte

Krane.

823

der einen Laufachse leitet und bei 450 mm Laufraddurchmesser eine Katzengeschwindigkeit v" = 0 ' 4 5 n 77 5 .!_2 '"'-' 18 mfmin. 15 60 liefert. Die Gesamtlast ist nahezu symmetrisch auf Vorder- und Hinterachse und auf die beiden Hauptträger verteilt, so daß der Raum bei bequemer Zugänglichkeit aller Teile und leichter Montierarbeit sehr günstig ausgenutzt ist. Der in das Gitterwerk in der Kranmitte eingebaute Fahrmotor für die Bühne arbeitet auf die durchlaufende Vorgelegewelle der Radzahnkränze mittels eines Stirnrädervorgeleges, dessen Welle bei 540 Umljmin des Motors noch 113 Umlfmin ausführt, und liefert bei dieser Umlaufzahl mit einer Leistung von 26 PS durch die weitere Übersetzung 20 : 61 des Stirnrädervorgeleges an den Laufrädern von 800 mm Durchmesser 60 mfmin Fahrgeschwindigkeit. Eine Trittbremse ermöglicht dem Führer, die durchlaufende Welle des Bühnenfahrwerkes zum pünktlichen Anhalten festzustellen. Vielfach kommen für kleinere Lasten oder für kurze Laufbahnen Krane in Anwendung, bei denen nur die Hubbewegung elektrisch erfolgt, wohingegen die Katze und Bühne von Hand verfahren werden. Fig. 822 zeigt einen solchen Kran der Maschinenfabrik C. Herrn. Findeisen in Chemnitz, bei dem der Antrieb für das Katzen- und Bühnenfahrwerk durch Haspelketten von unten bewirkt wird. Der Motor, durch einen Umkehranlaßwiderstand vor- und rückwärts steuerbar, arbeitet mittels Rohhauttrieb auf eine Stirnräderwinde mit dreifachem Vorgelege, die mit einer Backenbremse, außerdem zur Erhöhung der Sicherheit gegen das Abstürzen der Last - mit einer Schleuderbremse ausgerüstet ist.

Fig. 823.

Zur Führung der durchlaufenden Vorgelegewelle für das Bühnenfahrwerk sind nachstellbare Kugellager angeordnet, die, beliebig auf- und abwärts beweglich, der Welle selbst bei etwaiger Durchbiegung der Kranträger vollständig freie Drehung gestatten. Aus der auf S. 824 und 825 befindlichen Tabelle sind die Maße der Durchgangsprofile für die von der Benrather Maschinenfabrik A. -G. in Benrath gebauten elektriochen Dreimotoren-Laufkrane (Fig. 823) sowie deren vorteilhaft es t e Arbeit sges eh w in di gk ei t en, Motorenstärken, Eigengewichte, Raddrücke und Radstände zu entnehmen. Die Laufkatzen der Krane für 25 000, 50000 und 7 5 000 kg Tragkraft werden zuweilen noch mit Hilfshebevorrichtungen für bzw. 5000, 7500

824

Arbeitsmaschinen. Laufkrane mit elektrischem Antrieb (DreimotorenMaße der Durchgangsprofile {Fig. 823)

Tragkraft

Spannweite

kg

kg

A

30001

------{

7 500

I

1

---~-f- ~~

l

F

:! :m ::~ m l: m~:: :~~

20

5000

E

0

B

16 20 25

1sso

190

I

1600 16oo 1600

200 2oo 200

I 500

----~- --1~-----

700

8so

2ooo

900 900 900

2000 2ooo 2000

4oo

~~gg-i ~~g I igg I ~!g : ~gg ~ggg : !gg

--1-~- -r;~g 16 20 2s

475

I 1

I

soo 500

I

750 7 so 750

~~g ·:-~gg -~gg

1 700 220 1 700 ' 220 1 70o I 220

I 500

500 5oo ,

800 800 8oo

I 1

~gg ~ggg 900 900 900

2000 2000 2000

i.

1

i

400 4oo 400

--zgg 400 400 400

!;gg :-~-~g llgg I ~gg ~--~-gf 1 ~ggg-~ :gg--

1700 I 230 I 500 800 900 2000 I 400 1700 I 230 500 800 I 900 I 2000 400 ~o_ 230 ~-~~ ~ __2~ü__ 1 _2o~l~oo 2000 I 250 I 550 ' 900 1000 ' 2000 I 400 2000 • 250 : sso . 900 1 1000 /2000 400 1 2000 I 250 I 550 900 I 1000 2000 I 400 2000 250 . 550 I 900 1000 I 2000 400 2000 I 250 ' 550 I 900 1000 2000 400 ---~--8-- 22oo 1000 1ooo[-2ooo -6oo 12 2200 275 650 1000 1000 2000 600 25000 16 2200 275 . 650 , 1000 1000 2000 600 20 2200 275 650 ! 1000 1000 2000 600 25 2200 275 650 • 1000 1000 2000 600 ------~- ----8--2800 - 350]-900--1 1300 1300 2000 ~ 12 2800 350 ! 900 1300 1300 ' 2000 600 50000 16 2800 350 I 900 I 1300 1300 2000 I 600 20 2800 350 I 900 1·300 1300 I 2000 600 25 28oo 350 900 I 1300 1_!_3~_o_l_2oo_o_~o -----~----8---isoo-4oo·l12oo, 18oo 18oo' 2ooo 700 12 3500 400 1200 I 1800 i 1800 2000 700 75000 16 3500 400 1200 1800 '11800 2000 700 20 3500 400 11200 1800 1800 2000 700 25 3500 400 1200 1800 1800 2000 I 700 10000

16 20 _ _ _ _ 1_ _2-cs___ 8 12 { 15000 16 20 25

!_

·275[6.50

.

1

1

II

825

Krane. system) der Benrather Maschinenfabrik A.-G. (Auszug.) Geschwindigkeiten und Motorenstärken

Gewichte

Größter Raddruck und der des Radstand Katze ganzen etwa Kranes

Tragkraft

- - - - - - - c - - - - c - ,- - - - 1 - - ----~--

Heben der Last m'min

I

PS

Fahren Fahren des Kranes der Katze I'

m:min

I

PS

mfmin

PS

I'

kg

kg I

6,0 6,0 6,0 6,0 6,0

7 7 7 7 7

120 100 90 80 70

7 7 7 7 7

30 30 30 30 30

1 1 1 1 1

26 26 26' 3o 30 35 35 52 52 52

1s 15 15 15 15 12 12 12 12 12

12 12 12 12 12 16 16 16 16 16

kg

I

mm

kg

I

2600 8000 330012200 2600 9500 3900 2400 2600 12400 4700 2600 2600 14 soo 5 350 2900 2600 19200 6500 3200 4,5~--7-190_7_30_2_ 28oo- 83oo 4soo 4,5 7 85 7 30 2 2800 9900 5300 2400 4,51 7 80 7 30 2 2800 12100 6000 2600 5000 4,5 7 75 7 30 2 2800 15 500 6800 2900 4,5 7 70 12 30 2 2800 20600 8000 3200 4,5~~ 8 5 - 7 - 30 2 36oo 98oo 63oo 22oo _}____ _ 4,5 12 80 7 30 2 3 600 12200 7100 2400 4,5 12 80 12 30 2 3600115300 7900 2600 7500 4,5 112 75 12 30 2 3600 18300 8700 3000 4,5 12 70 12 30 2 3600124000 9800 3200 -7- 30 2,s 39oo l1o9oo - 1100 j-22oo -}- 4,o 112 75 I 12 30 2,s 3900113400 86oo I 2400 4,0 12 75 12 30 2,5 3900 17200 9400 2600 10000 4,0 12 70 12 30 2,5 3 900 20200 10 500 3000 4,0 12 65 12 30 2,5 3 900 26100 11 800 3200 3,2s ~ 7fJ ~ 2s 3 s10o 13Too 10900 22oo _}___ _ 3,25 16 70 12 25 3 5100 15700 11700 2400 3,25 16 65 12 25 3 5100 19900112600 2600 15000 3,25 16 65 16 25 3 5100 23 700 13 800 3000 3,2s 1 16 1 6o 16 2s 3 s1oo 30200 1ssoo 3400 ~~~ 12 20 5 6900 17600 17100 2200 } 26 65 12 20 5 6900 20600 18000 2400 3,0 3,0 26 60 16 20 5 6900 25300 19500 2700 25000 3,0 26 55 16 20 5 6900 30100 20800 3000 3,0 26 45 16 20 5 6900 36100 22 500 I 3400

I

2ioo_}__

4.oi~ so

1.75 ~ 6o 1,75 35 1,75 35 1,75 35 1,75 35 1,6 52 1,6 52 1,6 52 1,6 52 1,6 52

5s 50 so 45 so 45 45 45 35

102oo 29900 324oo i 24oo 10200 32soo 34ooo I 26oo 10200 37800 35900 3000 1o2oo 43soo 38ooo I 34oo 10200 52800 40500 i 3800 20500 48000 47000 20500 51500 52000 2800 20500 59000 54800! 3500 20500166800 56700113900 20500i8630061500 4000

} 50000

,1'2600_]_____ 75000

826

Arbeitsmaschinen.

Laufkrane mit elektrischem Antrieb (Dreimotorensystem) der Duisburger Maschinenbau-A.-G., vormals Bechern & Reetmann in Duisburg a. Rh. (Auszug).

Tragkraft

Spannweite

kg

m

r

10 14 5000 18 22 24 10 14 100001 18 22 24 -- - - - 10 r 14 18 15000 22 24

l

r

t

- 1!f 20000

--

Geschwindigkeiten und Motorenstärken

Heben der Last

1

-1-

40000

I

Fahren I Fahren der Katze I des Kranes

m'min I PS I m/min I PS ,m 1min I PS

der I des Katze , ganzen Kranes kg kg

'I

70 ' 9 9 60 9 55 9 55 9

1,5 1,5 2 2 2

65

i'

;rnoo-

3,9 261 25 14,5155 118 3,9:26, 25 4,5 50 18 3,9126 25 4,5 50 18

5700127100 5700 29700

18 22 24

3,5 1351 22 16,sl 5o 22 3,5 135 2216,5' 45 22 3,5 , 35 22 6,5 45 !22

7900 296oo 7900 35600 7900 ]39 7oo

5 700 22700

:1T1--rr1 :]1-~n-~~-- ;~gg 1 ~1~gg 1

!;

---

II

I

1

60000

l

-- ---

~

5000

10,8

18

~ J

7 5oo

10,5

26

J

r---- ---~I

-~---~,-

26 10200 34900 } 7 500 10,5 26 10200 42600 J I 26 10200 46800 I

45 40 40

1

-f

------

-;ITg;gg ;~~gg 1

lfll~

2,6 , 35 , 18 7 2,6 [35 18 ! 7 2,6 35 18 '7

1

- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- -

50000

kg

~:~ ~~~f, ~~ if-~~ j!~ gggl!~~ggy

!f-;:~ I~~ i

Hubge- IMotorschwin- !stärke digkeit m/min 1 PS

Tragkraft

1

18 22 24

18 22 24

Hilfshebevorrich tung

26oo I 9 500 2600 11400 2600 i 13400 2600 15 600 2600 17200 5,4(1szo 1270 13- 36oo 5,4 I 18 I 20 2 i 65 13 3600114100 5,4 181 20 12,5 60 13 3600 16800 5,4 18 I 20 12,5 55 13 3 600 I 20 100 5,4 181 20 2,5 55 13 3600 22200 --- -- - - - - - !---=----- !4,4 22 20 '3 65 : 15 4700 14200 4,4 22 20 3 1 6o j15 47oo 164oo 4,4 22 i 30 4,5' 55 15 4700 19800 4,4 i22i 30 4,5 50 '115 4700 23600 4,4 j22] 30 4,5 50 15 4 700 25 700 8,4 I114 25 8,4 14 1 25 8,41' 14 i 35 8,4 14 : 35 8,4 14135

~ -~:~

30000

Gewichte

1 - - - - - - - - - - - - - - --------- - -

26

1

10 2,1 35112 '6 55 3212900130500 14 2,1 35 12 6 so 32 12900 135000 ' 18 2,1 35 18 i 9 45 32 12900 41700 10000 22 2,1 35 18 9 40 32 12900150200 ' 24 2,1 3 5118 ' 9 I 40 32 12 900 I 55 300 ----w--1-:735-1o6503615 900I36300 14 1,7 35' 10 6 I 45 36 15900 41100 I 18 1,7 35 1 15 19 45 , 36 15900 49300 10000. 22 1,7 35 15 i 9140 '36 15900 58700 : 24 1,7 35 i 15 9 40 : 36 15900 65100

J

7,8

26

1------

1

I

I

i

I

7,8

26 i

i

Hebemagnete.

827

Kolbenpumpen.

und 10000 kg Tragkraft ausgerüstet; die Hubgeschwindigkeiten und Motorenstärken der letzteren sind aus folgender Tabelle zu entnehmen. Tragkraft der Hilfshebevorrichtung

Hubgeschwindigkeit

Motorstärke

kg

mmin

PS

14 12 10

26

5000

7 500

10000

35 35

Die vorteilhaftesten Arbeitsgeschwindigkeiten, Motorenstärken und Eigengewichte der von der Duisburger 1\IaschinenbauA.-G., vormals Bechern & Reetmann in Duisburg a. Rh. gebauten elektrischen Dreimotoren-Laufkrane sind in der nachstehenden Tabelle enthalten.

E. Hebemagnete und ihre Anwendung im Kranbau. In den letzten Jahren ist man nach Mitteilung der Firma L. Stuckenholz mit Erfolg bemüht gewesen, Magnete zum Heben von Maschinenteilen, Profileisen, Schienen usw. zu verwenden. Auch heiße Blöcke lassen sich durch Magnete versetzen, sofern ihre Temperatur nicht über 7 50° C beträgt; andernfalls wird z. B. bei Bühnenkranen noch eine zweite Hebevorrichtung angebracht, die aus einer vom Führerkorb aus steuerbaren Zange besteht. der Magnet Das Heben mit :\Iagneten erfolgt ohne jeglichen Zeitverlust wird gesenkt, erhält Strom und kann dann sofort wieder gehoben werden. Ebenso einfach und schnell erfolgt das Ablegen der gehobenen Gegenstände, die man auch einzeln aus beliebiger Höhe fallen lassen kann. Dies geschieht z. B. bei Blechen, die zunächst gemeinschaftlich gehoben sind, durch Vorschalten von Widerständen. Um ein Abstürzen der gehobenen Gegenstände bei unbeabsichtigten Stromunterbrechungen zu verhindern, wendet man besondere betriebssichere Schutzvorrichtungen an. Letztere erhalten zuweilen die Form von Greifern, in die man, um an Strom während des Fahrens zu sparen, nach dem Anheben die Gegenstände fallen läßt, so daß nur während der kurzen Hubperiode Strom verbraucht wird.

II. Hebewerke für flüssige Körper 1). A. Kolbenpumpen. über hierher gehörige Kolben s. S. 228; über Pumpenzylinder S. 313, über Pumpenventile (Hub- und Klappenventile) S. 350 über Luftpumpen s. unter "Kondensation". Bezeichnet Q die zu hebende Flüssigkeitsmenge in cbmfsek, F den wirksamen Kolbenquerschnitt in qm, Cm die mittlere Kolbengeschwindigkeit in mjsek, I) Vgl. Konrad Hartmann und J. 0. Knoke, "Die Pumpen", 3. von H. Berg neubearbeitete Auflage. Berlin 1906, Julius Springer.

828

Arbeitsmaschinen. 8

den Kolbenhub in m,

l den Lieferungsgrad,

n die Umlaufzahl in der Minute,

dann ist

Q =Ä.Fi8n =).Ficm.

60 2 ' worin i = 1 für einfach wirkende, i = 2 für doppeltwirkende Pumpen zu setzen ist. Der Lieferungsgrad (volumetrischer Wirkungsgrad) kann genommen werden: l = 0,97 bis 0,99 für beste große Pumpen, l = 0,90 bis 0,95 für mittelgroße gute Pumpen, ). = 0,85 bis 0,90 für kleine Pumpen in guter Ausführung. Die Umlaufzahl n ist nach Maßgabe der Flüssigkeitsbewegung und der Ventilkonstruktion mit Rücksicht auf rechtzeitigen Ventilschluß festzustellen, die Hublänge 8 dagegen nach der Kolbengeschwindigkeit, dem Kolbendrucke und den Anlagekosten zu beurteilen. Bezeichnet ferner H, und H 4 die Saug- und Druckhöhe in m, H = H, Hd die gesamte hydrostatische Förderhöhe in m, h, und ha die den Bewegungswiderständen bei der Saug- und Druckwirkung entsprechende Flüssigkeitshöhe in m, y das Gewicht der Flüssigkeit in kgjcbm, 17 den Gesam twirkungsgrad, so ergibt sich die Antriebsarbeit der Pumpe (in PS)

+

N=yQH. 7517

H Es ist rJ=Ä.·rJn'1'Jm=rJ;1)m, worin rJn= H+h,+ha

.

llschen, rJm=

den hydrau-

yQ(H+h,+ha) . den mechanischen und rJ;=)•rJh den 75 N

indizierten Wirkungsgrad der Pumpe bedeutet. Abgesehen von dem besonders zu berücksichtigenden Widerstande sehr langer Leitungen ist der Gesamtwirkungsgrad gut ausgeführter Kolbenpumpen 11 = 0,80 bis 0,86.

a) Saugwirkung der Kolbenpumpen 1). Die auf eine augesaugte Flüssigkeitssäule wirkende Kraft ist durch den Druck der Außenluft gegeben, dem bei dem normalen Barometerstand von 76 cm Quecksilbersäule eine Wassersäule von der Höhe A = 10,33 m entspricht. Da diese imstande sein muß, nicht nur die Saughöhe H, (gemessen vom tiefsten Wasserspiegel bis zum höchsten Kolbenstande), sondern auch die Widerstandshöhe h, zu überwinden, so verbleibt für die überschüssige Wassersäule, die größer als Null sein muß,

A-H,-h,. 1)

Nach A. Riedler bzw. "Hütte", 18. Auf!.

Kolbenpumpen.

829

Für heißes Wasser ist der seiner Temperatur entsprechende Dampfdruck von der theoretischen Flüssigkeitshöhe A = 10,33 m in Abzug zu bringen. Es wird dann die Saughöhe entsprechend kleiner, ja sogar Null oder negativ, so daß ein Saugen überhaupt nicht möglich i~t. Die nachstehende Tabelle gibt den Dampfdruck für verschiedene Wassertemperaturen in m Wassersäule an. _w_a_s_s_er_t_em_p_e_ra_t_u_r_._·_·_· . . .,10°

I 20° I 30° I 50° I 8oo 11ooo

Dampfdruck in m Wassersäule . . 0,1251 0,2361 0,42911,2514,824110,33 Bei anderen Flüssigkeiten als Wasser ist die Saughöhe mit dem spezifischen Gewicht der betreffenden Flüssigkeit zu multiplizieren, um H, in m Wassersäule zu erhalten, eventuell ist noch Rücksicht auf die Temperatur der Flüssigkeit zu nehmen. Die Bewegungswiderstände h" welche bei der Saugwirkung hauptsächlich auftreten, setzen sich wie folgt zusammen : 1. Druckhöhenverlust zur Erzeugung der Wassergeschwindigkeit v, im Saugrohre. 2. Reibungswiderstand der Saugleitung. 3. Widerstände bei Richtungs- und Geschwindigkeitsänderungen, insbesondere beim Eintritt der Flüssigkeit in das Saugrohr ( Saugkorb usw.), beim Durchfluß des Fußventils oder etwaiger Absperrschieber. 4. Ventilwiderstand des Saugventils. 5. Beschleunigungswiderstand der Saugwassermenge, die bei jedem Pumpenhube zur Ruhe kommt. Diese Widerstände sind nicht konstant, sondern ändern sich mit dem Quadrate der Geschwindigkeit der Flüssigkeit. Bei Anwendung eines genügend großen Windkessels, der den Zweck hat, einen gleichmäßigen Flüssigkeitszufiuß herbeizuführen, erleiden die unter 1 bis 3 genannten Widerstände keine wesentliche Veränderung. Da auch der Widerstand unter 4 annähernd unveränderlich ist, kann die den genannten Widerständen entsprechende v2 Flüssigkeitshöhe (in m Wassersäule) gleich ?; --'-- gesetzt werden, worin ?; eine 2g

durch Versuche festgestellte Widerstandsvorzahl bedeutet. Bezeichnet man die den einzelnen Widerständen entsprechenden Vorzahlen mit ?;1 , ?;2 , ?;3 , ?;4, dann ist (da 1;1 = 1) v2 v2 ?; 2 ; = ( 1 i;2 i;a ?;4) 2 ~ •

+ + +

Die Werte für ?;2 , ?;3 und ?;4 sind auf S. 833 u. ff. zu entnehmen. Für die Wassergeschwindigkeit im Saugrohr kann gesetzt werden v, "-' 1 mfsek für kurze Leitungen und v, 0,75 mfsek bei Leitungslängen von etwa 50 m an.


O mit genügender Sicherheit erfüllt ist. Zur sicheren Erzielung der Saugwirkung wird in den meisten Fällen ein Saugwindkessel angebracht. Seine Wirkung beruht darauf, daß nur derjenige Teil der angesaugten Flüssigkeit, der sich zwischen dem Windkessel und dem Kolben befindet, bei jedem Pumpenhube zur Ruhe kommt, sonach nur dieser Teil zu beschleunigen ist, dagegen im Saugrohr die Wassergeschwindigkeit nahezu gleich bleibt. Damit nur eine geringe Wassermenge zu beschleunigen ist, soll der Saugwindkessel so nahe wie möglich an die Pumpe herangelegt werden; um eine möglichst gleichbleibende Wasserbewegung zu erzielen, muß derselbe eine ausreichende Größe haben. Man nimmt den Inhalt des Saugwindkessels, je nach der Größe der Saughöhe, gleich dem 5- bis 16fachen Hubraume der Pumpe. Bei sehr langen und stark gekrümmten Saugleitungen wählt man den Inhalt noch größer. Sehr häufig wird außer acht gelassen, daß unter sonst gleichen Verhältnissen die Saughöhe mit wachsender Umlaufzahl der Pumpe abnimmt. Diese Abnahme wird dadurch bedingt, daß die bei jedem Hube zu beschleunigende Wassersäule zwischen Saugwindkessel und Kolben bei doppelter Umlaufzahl auch den doppelten Beschleunigungsdruck verlangt. Der Zusammenhang zwischen Saughöhe und Umlaufzahl, als Folge der Wasserbeschleunigung, läßt sich in eine sehr einfache Beziehung bringen. Bei einem Stangenverhältnis des Kurbelmechanismus von 1 : 5 ist die Beschleunigungskraft am Hubende • v2

P=1,2m-, r

wenn m die zu beschleunigende Masse bedeutet, oder es ist nach GI. 133 der Anteil von h, zur Beschleunigung der Wassermenge zwischen Saugwindkessel und Kolben

h=~ v2 l, F. 9,81 r

F,

Kolben pumpen.

831

Führt man die sekundliehe theoretische Fördermenge z. B. einer doppeltwirkenden Pumpe mit

4Frn Q=Fcm=--- cbm 60

ein, so ergibt sich

l, h"' 0,02 Qn F~.

Diese Gleichung gibt, wenn die verschiedenen Durchgangsquerschnitte der zu beschleunigenden Wassersäule richtig bemessen und der Ventilwiderstand in eine gleichwertige Wassersäule umgewandelt wird, die Druckwassersäule an, die nötig ist, damit ·die Saugwassersäule nicht abreißt. Die Höhe dieser zur Beschleunigung nötigen Wassersäule wächst im Verhältnis zur Umlaufzahl n und zur Länge der zu beschleunigenden Wassersäule l., steht aber im umgekehrten Verhältnis zum Durchgangsquerschnitt F,. Bei gleicher Wasserlieferung, gleicher Länge der zu beschleunigenden Wassersäule und gleichem Durchgangsquerschnitt wird die doppelte Umlaufzahl die doppelte Beschleunigungshöhe verlangen. Soll bei gleicher Förderung und bei gleicher Länge l, für die .doppelte Umlaufzahl die gleiche Beschleunigungshöhe bleiben, so muß der Durchgangsquerschnitt, also auch der des Saugventils, doppelt so groß genommen werden. Durch eine Verdoppelung der Umlaufzahl werden sonach nicht, wie häufig angenommen wird, die Abmessungen der Pumpen kleiner als zuvor. Behält man den Kolbendurchmesser bei, so bekommt man für die doppelte Umlaufzahl allerdings nur den halben Hub, also ein kürzeres Kurbelgetriebe. Wollte man aber gegenüber der einfachen Umlaufzahl an Saughöhe nichts einbüßen, so müßten alle Durchgänge zwischen Saugwindkessel und Kolben, also auch die Durchgänge des Saugventils, auf die doppelte Größe gebracht und Ventile und Ventilkasten entsprechend vergrößert werden. Diese Vergrößerung hat nun ihre praktischen Grenzen schon deshalb, weil bei gleichbleibendem Ventilhub der doppelte Durchgangsquerschnitt auch den doppelten Ventilumfang und somit die doppelten Verluste durch Undichtheit ergeben würde. Man hat also im allgemeinen die Wahl zwischen raschem Pumpengange mit verminderter Saughöhe oder voller Saughöhe mit geringer Umlaufzahl (vgl. nachstehend über Pumpen mit Gruppenventilen und über Riedler- Expreßpumpen). Genau dieselben Beziehungen wie für die Beschleunigung der Wassersäule zwischen Saugwindkessel und Kolben gelten auch für die Wassersäule zwischen Kolben und DruckwindkesseL

b) Druckwirkung der Kolbenpumpen 1 ). Die Bewegungswiderstände hd, welche bei der Druckwirkung hauptsächlich auftreten, setzen sich wie folgt zusammen: 1. Druckhöhenverlust zur Erzeugung der Wassergeschwindigkeit Va im Druckrohre. 2. Reibungswiderstand der Druckleitung. 3. Widerstände bei Richtungs- und Geschwindigkeitsänderungen in Pumpe und Druckrohr. 4. Ventilwiderstand des Druckventils. 5. Beschleunigungswiderstand der zeitweilig ruhenden Druckwassermasse (und des Druckventils). ') Nach A. Riedler b•w. "Hütte", 19. Auf!.

832

Arbeitsmaschinen.

Die unter 1 bis 3 genannten Widerstände sind, wie bei der Saugleitung, beim Hubbeginne gleich Null und in der Mitte am größten. Wenn aber ein genügend großer Windkessel vorhanden ist, werden dieselben auch hier nahezu konstant. Der Druckventilwiderstand ist angenähert unveränderlich. Es kann die den Widerständen unter 1 bis 4 entsprechende Flüssigv2 keitssäule (in m Wassersäule) gleich {; ___'!._ gesetzt werden, wenn {; eine durch 2g Versuche festgestellte Widerstandsvorzahl bedeutet. Bezeichnet man die den einzelnen Widerständen entsprechenden Vorzahlen mit {; 6 , (;7 , ?;8 , ?;9 , dann ist (da (;6 = 1) v2 v2 ?;--d-=(1 +c7+Cs+Cg)___tete Sicherheitsventil setzt beide Leitungen in Verbindung, sobald die Druckleitung während des Speisens geschlossen wird. Saug- und Druckventile der Pumpe sind einfache Ringventile. Um einen ruhigen und stoßfreien Gang der Pumpen, selbst bei hohen Umlaufzahlen und großen Saughöhen zu erzielen, ist in Vorschlag gebracht worden, federbelastete Gruppenventile anzuordnen und jedes derselben, wie Fig. 836 erkennen läßt, mit einem in den Saugwindkessel eintauchenden besonderen Saugrohr zu versehen. Dadurch soll eine bessere Wasserführung erreicht und ferner die Wellenbewegung im Windkessel erheblich vermindert werden, so daß die Luft zu allen Ventilen gleichmäßig fein verteilt in kleinen Luftblasen gelangen kann, welche deren ruhigen Gang nicht beeinträchtigen. Eine liegende Doppelpumpe mit innenliegenden Stopfbüchsen und gemeinsamer Saug- nnd Druckleitung, wie sie von Gebr. Sulzer in Wintertbur für das Wasserwerk der Stadt St. Gallen gebaut wurde, zeigt Fig. 837 (vgl. Z. d. V. d. l. 1898, S. 197). Der für beide Pumpen gemeinsame Tauchkolben von 165 mm Durchmesser und 1000mm Hub wird von der verlängerten Niederdruckkolbenstange einer Sulzersehen Dreifach-Expansionsmaschine angetrieben. Die Pumpe besitzt gesteuerte Ventile, Bauart Riedler, und macht normal 60 Doppelhübe in der Minute. Zum Festhalten der Ventilsitze dienen von außen stellbare Druckstifte, deren Abdichtung durch Gummischnur, Fig. 834. Gummischeiben oder dgl. bewirkt wird. Über jedem Druckventil befindet sich ein geschweißter flußeiserner Windkessel. Auf der Abbildung sind auch die zum Füllen des Pumpenraumes bzw. des Saugwindkessels - vor dem Anlassen der Pumpe - nötigen Rohrverbindungen mit abstellbaren Ventilen, ferner am Saugwindkessel ein Wasserstandsanzeiger sowie ein Sicherheitsventil erkennbar. Um die Druckventile nachsehen und nötigenfalls auswechseln zu können, ist in die für '} Escher, Wyss & Co., Zürich.

"' \

\

\

l I

840

Arbeitsmaschinen.

beide Pumpen gemeinsame Druckleitung ein von Hand stellbares Absperrventil eingebaut, das während des Betriebes offen bleibt. Eine liegende Doppelpumpe mit außenliegenden Stopfbüchsen - es müssen dann zwe i Tauchkolben angewandt werden- zeigt Fig. 838 1 ).

Fig. 8J;.

Der eine Tauchkolben wird unmittelbar von dem Querhaupt der Dampfmaschine, der andere mittelbar von diesem durch ein an dem Pumpenkörper seitlich vorbeiführendes doppeltes Gestänge bewegt, dessen Beanspruchung bei der den größeren Kraftaufwand erfordernden Druckwirkung auf Zug erfolgt. Die Ventilgehäuse sind an seitlichen bzw. oberen Flanschen des Pumpenkörpers befestigt. Aus der nebenstehenden Tabelle sind die Hauptabmessun gen, Leistungen und Gewichte solcher Pumpen zu entn ehmen . (Auszug. ) Häufig werden, wie schon erwähnt, statt der Doppelpumpen, zur Ersparung eines Saug- und eines Druckventiles, Differentialpumpen verwendet. Dieselben arbeiten mit einfacher Saugwirkung und verteilter Druckwirkung, wodurch ebenfalls eine gleiche Kraftentnahme beim Hin- und Rückgange Fig. 836· des Kolbens erreicht werden kann. ') Wegelin & Hübner, A.-G., Abteilung Wolti & Meine!, Halle a. S.

Kolbenpumpen.

841 1::...!.

"(jj 0.

Vl

:~ ·§

"ß

c :{: .ii

~"0

mm

mm

mm

120 150

65

160 200 260 320

180 220 260 300 340 400 470

85

110

130 180 200 250 300 360

320

soo

500

600 700

120

80 70 60

55

so

40 35 28

100 160 300 450 760 1400 1860 2600 3600

so

65 90 100 1 50 200 225 250 300

mm

mm

40 60 80 90 125 150 175 200 250

26 33

33 45 45

so

6;

75 90

·~ i cn

~~~ -" ~ "

~V "

::i"' mm 33

40 40 60 60 65 75 90 100

kg

450 1050 1560 2000 2550 4300 5200 6800

9300

842

Arbeitsmaschinen.

Die in nebenstehender Fig.839 dargestellte Differential-Tauchkolbenpumpe mit Hartgummi-Ringventilen - s. Fig. 364 (S. 359) -hat 85 bzw. 120 mm Kolbendurchmesser und 240 mm Hub; sie macht normal 100 Umdrehungen in der Minute und liefert dabei stündlich etwa 15 cbm auf 220m manometrische Förderhöhe 1 ). An den gefährlichen Stellen (Ubergangsstellen) des Pumpenkörpers angebrachte Verstärkungen sollen im Verein mit schmiedeeisernen Spannankern a Brüche verhindern, die infolge von Gußspannungen und der wechselnden Materialbeanspruchung an diesen Stellen auftreten können;

.Dumpfoustrift

Fig. 838.

die Spannanker sollen auch dazu dienen, nach etwa erfolgtem Bruch die Risse so weit zusammenzuziehen, daß ein Weiterarbeiten mit der Pumpe noch möglich ist. Zum Festhalten der Ventilsitze dienen von außen erreichbare Druckstifte. Ein am Saugwindkessel angebrachtes federbelastetes Sicherheitsventil öffnet sich, sobald infolge ungenügenden Schließens des Saugventiles oder dgl. die Spannung im Saugwindkessel eine gewisse Grenze überschreitet. 1)

Sächsische Maschinenfabrik, vorm. Rich. Hartmann A.-G., Chemnitz.

844

Arbeitsmaschinen.

Ist allgemein bei Differentialpumpen F der Querschnitt des größeren, derjenige des kleineren Tauchkolbens, so findet sich der letztere für gleiche Wasserlieferung beim Hin- und Rückgange aus F-f"=( zu

f

{ =0,5 F, oder für gleiche Kraftwirkung beim Hin- und Rückgange aus

F (H, -f- h,)

-f- (F- f) (Hd +

hd) = f(Hd -f- hd),

worin h, und hd die mittlere Saug- und die mittlere Druckwiderstandshöhe während des Kolbenhubes s bedeuten. Hierbei wird bei einem Hinund Rückgange des Kolbens eine Wassermenge

(F-f}s+fs=Fs gehoben. Die Abmessungen der Pumpe sind daher aus der Wasserlieferung zu berechnen wie für eine einfachwirkende Pumpe.

/

I

/

II I

Fig. S40.

E ine s teh e nde e inf achwirkende Pumpe von 90 mm Plungerdurchmesser und 120 mm Hub für Riemenantrieb und mit gegabelter Treibstange zwischen Kurbelwelle und dem mit seiner oberen Verlängerung in einer mit der hohlen Standsäule verschraubten Führungsbüchse gleitenden Plungerkolben ist in Fig. 840 dargestellt 1 ) . Zur Steuerung dienen federbelastet e Ringventile. Eine s t ehende Zwillingspumpe mit zwei einfachwirkenden P umpen und Rädervorgelege für Riemenbetrieb zeigt Fig. 841 2 ). Die Pumpe eignet sich besonders für schwere Arbeiten und für Druckhöhen bis zu 10 atm. Maschinen- und Arma turenfabrik vorm. Klein, Schanzlin & Becker , Frankentha l. •) Weise & Monski, H alle a . S.

1)

845

Kolben pumpen.

Die P umpen zylinder von je 130 mm Durchmesser und 200 mm Hub bilden mit den gleichzeitig als Saug- und Druckwindkessel dienenden Säulen ein einziges Gu ßstück. Da die Saug- und Druckrä ume für beide Zylinder gemeinsam sind, können die Rohranschlüsse a uf beliebiger Seite der P umpe erfolgen . D ie leicht zugänglichen Kugel- bzw. Kegelventile sind von Bronze. H a u ptabme s s u ngen und Gew i ch t e dieser P umpen sind aus der n achstehenden Tabelle zu entnehmen .

Fig. 84!.

Durch·

Kolben hub

messer

der Plunger mm

65

so

100 130 180 200

I I

mm

so

120 150 200 260 300

I

I

Minut· liehe Um· laufzahl

130 95

so

.

64

I I

I ~

I I

I I

I

Förder· menge in

Lichte Weite des Saugrohres

Lichte Weite des Druckrohres

Ungefähres Gewicht

!Imin

mm

mm

kg

60 100 170 300 600 800

I I I

40 60 70 100 125 150

;

I

l

40

so 60 so

100 125

300 520 6SO 1150 2 1 50

2S50

846

Arbeitsmaschinen.

Eine liegende Zwillingspumpe derselben Firma mit Außenstopf· büchsen und gefrästem Rädervorgelege für elektrischen Antrieb ist in Fig. 842 und 84 3 dargestellt.

Kolben pumpen.

847

Derartige Pumpen werden bis zu etwa 100 PS mit Umlaufzahlen von 250 bis 150 in der Minute für Förderungen von 120 bis 5250 ljmin und für Förderhöhen bis 150 m gebaut. Der Trieb auf der Welle des Elektromotors wird gewöhnlich in Rohhaut gefertigt.

Zum Fördern großer Wassermengen auf mittlere und große Förderhöhen eignen sich Drillingspumpen, deren Vorteile, den ZwiJiingspumpen gegen· über, in einer wesentlich höheren Gleichförmigkeit des Kraftbedarfes und der Wasserlieferung bestehen. Sie arbeiten, da der Druckwechsel im toten Punkte in Wegfall kommt, auch bei hohen Umlaufzahlen ruhig und ohne Stöße.

849

Kolben pumpen.

Die Fig. 844 ersichtliche Drillingspumpe 1 ) besteht aus drei einfachwirkenden Pumpen, deren Plunger durch eine mit drei um je 120° gegeneinander versetzten Kröpfungen versehene Welle angetrieben werden, deren Führung in vier mit einem trogartigen, mittels Blechmantels abgedeckten Gestell zusammengegossenen Lagern erfolgt. Einige Hauptabmessungen dieser Pumpen sind nachstehend gegeben.

I

Durchmesser

der Plunger mm

so

100 120 140 175 200

Kolbenhub

I

mm

I

Minut· liehe Umlaufzahl

95 125 160 200 250 300

350 280 240 200 175 150

'

I

Lichte Lichte Weite des Weite des Saugrohres , Druckrohres mm

100 150 175 200 275 300

I

Fördermenge in

..

mm

cbm/std

90 125 150 175 250 275

27

70 97,2 169,2 228

Fig. 845.

In Fig. 845 ist eine stehende Verbund-Dampfpumpe mit außen durch Stopfbüchsen abgedichteten Plungerkolben dargestellt 2 ). Der Hochdruckzylinder hat 17 5, der Niederdruckzylinder 250 mm Durchmesser; der gemeinsame Kolbenhub b eträgt 200 mm. ') Bopp & Reuther, Mannheim . Wegelin & Hübner, A.· G., Abteilung Woltl & Meine!, Halle a. S.

2)

Fre y tag, Hilfsbuch. 3. Auf!.

54

850

Arbeitsmaschinen.

Die von Hand stellbare JI:Iayer-Steuerung des Hockdruckzylinders ermöglicht eine veränderliche Leistung der Pumpe. Abmessungen und Gewichte dieser Pumpen sind in der nachstehenden Tabelle enthalten. (Auszug.)

90

120

160

200 240 300 325 325

140 190

250 320

360 420 500

soo

i

55 ' 85

1

130 170

200

230 280 300

90

150 : 220 220 260 300 320

350

180 110 70 70

55 55

so

45

72 160 350 650 850 1200 1850 2000

46

60 90

125

40 50 80 100

150

130

235

150 200 200

180 235

33 1 400 40 I 850 45 11600 60 , 2800 70 4100

17 20 26

35

40 45

60 60

75

5500

100

9500

I 1oo 8000 I

I

Eine größere liegende Verbund-Pumpmaschine für Wasserhaltungen und Wasserversorgungen zeigt Fig. 846 1 ). Die Bauart der Pumpenzylinder sowie die der anschließenden Ventilgehäuse mit dreifachen Ring\'entilen ist aus Fig. 847 zu entnehmen. ') Koch, Bantelmann & Paasch, Magdeburg-Buckau.

851

54'

Arbeitsmaschinen.

852

Die durch kräftige schmiedeeiserne Streben untereinander bzw. mit den Maschinenrahmen verbundenen Pumpenzylinder sind mit den Dampfzylindem auf gemeinsamer, durchgehender Grundplatte befestigt. Der Hochdruckzylinder hat von Hand stellbare Meyer-Steuerung, doch werden die Maschinen auch mit Rider-Steuerung und Leistungsregulator versehen. Hauptabmessungen und Gewichte derartiger Pumpen sind aus nachstehender Tabelle zu entnehmen. ..,:,

..,:,

'"'" ~~

...... "" "'""

'"'" "'" "''"'"'

~

~]~

E-srg

..c= 0· ...

-5]~

A~

"'"'"

~~

-5"...... "" "'""

~~~ I !:lZ" '0

mm

'0

I

mm

I

mm

I

"' "' i "'"' .s :i:i I ·s.fl . . "":::; "'"' ""::O ]~ ~~.g .&] .&:5 " ..=" "" I ~~ fcls~ ~:§ ::::~ "" ":z"' I ""~ "..= ~.... ] ~~ .sS ~~ g s g ..

Die Schaufeldicke e beträgt bei gußeisernen Rädern 6 bis 10, bei Bronze- und Stahlgußrädern 3 bis 5 mm. Der äußere Radhalbmesser wird r 2 = 2 r 1, bei großen Förderhöhen r2 2 r1 und die Geschwindigkeit c1 = v, , vielfach auch = c2 sin oc 2 genommen; im letzteren Falle sind die Radbreiten b1 und b2 verschieden groß. oc 1 , 0< 2 und ßb ß2 sind die in Fig. 856 angegebenen Winkel, die durch spätere Erörterungen bestimmt werden.

>·

Die Radgeschwindigkeit am äußeren Umfange wird U2

=

V

g (H

+

Hw

+ 2v;) ( + tg 01

und

v;

~:= (-~r-1= (=:r~l.

< = 1,41) und adiabatische Kompression folgt (vgl. S. 409). >