Henri Cartan Œuvres Collected Works Volume I-III 0138499365, 9780138499365

Table of contents :
Henri Cartan Œuvres Collected Works Volume I
Henri Cartan 1945
Preface
Curriculum Vitae
Brève analyse des travaux
I. Fonctions analytiques
II. Topologie algébrique
III. Théorie du potentiel ([70], [71], [72], [73], [74], [75], [84])
IV. Algèbre homologique
V. Divers
VI. Collaboration au Traité de N. BOURBAKI
Liste des travaux
Reproduits dans les OEUVREs:
Non reproduits dans les OEUVREs:
Table des Matières
Volume I
Volume II
Volume III
1. Sur quelques théorèmes de Nevanlinna, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 185, 1253-1255 (1927)
2. Sur un théorème d'André Bloch, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 186, 624-626 (1928)
3. Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires (Thèse), Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 45, 255-346 (1928)
Introduction
Index bibliographique
Chapitre I. Préliminaires
Chapitre II. Autour d'un Lemme de A. Bloch
Chapitre III. Un Critére de Famille Complexe Normale
Chpitre IV. Un Critére de Famille Complexe Normale (suite)
Chapitre V. Les Identités de Borel et les Questions d'Unicité dans la Théorie des Fonctions Méromorphes
4. Un nouveau théorème d'unicité relatif aux fonctions méromorphes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 188, 301-303 (1929)
5. Sur la croissance des fonctions méromorphes d'une ou plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 188, 1374-1376 (1929)
6. Sur la fonction de croissance attachée à une fonction méromorphe de deux variables et ses applications aux fonctions méromorphes d'une variable, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 189, 521-523 (1929)
7. Sur la dérivée par rapport à log r de la fonction de croissance T(r;f), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 189, 625-627 (1929)
8. Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions entières données, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 189, 727-729 (1929)
9. Sur les fonctions de deux variables complexes, Bulletin des Sciences Mathématiques 54, 99-116 (1930)
10. Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclés de M. Carathéodory, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 190, 354-356 (1930)
11. Les transformations analytiques des domaines cerclés les uns dans les autres, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 190, 718-720 (1930)
12. Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction méromorphe dans tout le plan, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 190, 1003-1005 (1930)
13. Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 9e série 10, 1-114 (1931)
Résumé
Chapitre I
Chapitre II
Chapitre III
Chapitre IV
Chapitre V
14. Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné D en un domaine intérieur à D, Bulletin de la Société mathématique de France 58, 199-219 (1930)
15. Sur les variétés définies par une relation entière, Bulletin des Sciences Mathématiques 55, 24-32 et 47-64 (1931)
16. Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes, Bulletin de la Société mathématique de France 59, 46-69 (1931)
17. Les transformations analytiques et les domaines convexes, Association française pour l'avancement des sciences, Nancy 30-31 (1931)
18.(avec E. Cartan) Les transformations des domaines cerclés bornés, Comptes Rendus de l' Académie des Sciences de Paris 192, 709-712 (1931)
19. Les transformations des domaines semi-cerclés bornés, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 192, 869-871 (1931)
20. Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semi-cerclés bornés, Mathematische Annalen 106, 540-573 (1932)
Chapitre I
Chapitre II
Chapitre III
Bibliographie
21. Sur une classe remarquable de domaines, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 192, 1077-1079 (1931)
22. Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cerclés bornés, Congrès International des Mathématiciens, Zürich vol. 2, 57-59 (1932)
23.(avec P. Thullen) Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen, Mathematische Annalen 106, 617-647 (1932)
24. Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L'itération des transformations intérieures d'un domaine borné, Mathematische Zeitschrift 35, 760-773 (1932)
25. Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions holomorphes données, Mathematica (Cluj) 7, 5-29 (1933)
26. Détermination des points exceptionnels d'un système de p fonctions analytiques de n variables complexes, Bulletin des Sciences Mathématiques 57, 333-344 (1933)
27. Sur les groupes de transformations pseudo-conformes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 196, 669-671 (1933)
28. Sur les groupes de transformations pseudo-conformes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 196, 993-995 (1933)
29. Sur l'itération des transformations conf ormes ou pseudo-conformes, Composition Mathematica 1, 223-227 (1934)
30. Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 199, 925-927 (1934)
31. Les problèmes de Poincaré et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 199, 1284-1287 (1934)
32. Sur les groupes de transformations analytiques, Collection à la mémoire de Jacques Herbrand. Hermann, Paris, 1936
Introduction
1. - Groupes de transformations
2. - Groupes continus
3. - Groupes quasi-continus de transformations
4. - Groupes de Lie
5. - Transformations infinitésimales d'un groupe de transformations analytiques
6. - Transformations infinitésimales d'un groupe (suite)
7. - Condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe de transformations analytiques soit un groupe de Lie
8. - Etude des groupes de tranformations pseudo-conformes
9. - Le groupe des transformations pseudo-conformes biunivoques d'un domaine borné en lui-même (étude globale)
10. - Applications et compléments
33. Sur les fonctions de n variables complexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornés, Bulletin de la Société mathématique de France 64, 37-48 (1936)
34. Sur le premier problème de Cousin, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 207, 558-560 (1938)
Henri Cartan Œuvres Collected Works Volume II
Henri Cartan 1960
Table des Matières
35. Sur les matrices holomorphes de n variables complexes, Journal de Mathématiques pures et appliquées 19, 1-26 (1940)
36. Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure 61, 149-197 (1944)
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Appendice I
Appendice II
Index
37. Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, series A61, 3-6 (1949)
38. Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes, Bulletin de la Société mathématique de France 78, 29-64 (1950)
39. Problèmes globaux dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Congrès International des Mathématiciens, Cambridge, vol.1, 152-164 (1950)
40. Sur une extension d'un théorème de Rado, Mathematische Annalen 125, 49-50 (1952)
41. Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles 41-55 (1953)
42. (avec J. -P. Serre) Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 237, 128-130 (1953)
43. Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes, Algebraic Geometry and Topology, A Symposium in honor of S. Lefschetz, 90-102 (1957)
44. Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes, Bulletin de la Société mathématique de France 85, 77-99 (1957)
45. (avec F.Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques réels, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 244, 988-991 (1957)
46. (avec F. Bruhat) Sur les composantes irréductibles d'un sous-ensemble analytique réel, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris 244, 1123-1126 (1957)
47. Fonctions automorphes et séries de Poincaré, Journal d'Analyse Mathématique 6, 169-175 (1958)
48. Prolongement des espaces analytiques normaux, Mathematische Annalen 136, 97-110 (1958)
49. Espaces fibrés analytiques, Symposium International de Topologia Algebraica, Mexico 97-121 (1958)
50. Sur les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques, Congrès International des Mathématiciens, Edinburgh 33-52 (1958)
51. Quotients of complex analytic spaces, International Colloquium on Function Theory, Tata Institute, 1-15 (1960)
52. Problèmes d'approximation dans la théorie des fonctions analytiques, Atti della 2a Riunione del Groupement des Mathématiciens d'expression latine Florence, 24-29 (1961)
53. Faisceaux analytiques cohérents, Leçons faites en 1963 au Centro Intemazionale Matematico Estivo, Varenna
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Bibliographie
54. Some applications of the new theory of Banach analytic spaces, Journal of the London Mathematical Society 41, 70-78 (1966)
55. Sur le théorème de préparation de Weierstrass, Festschrift Weierstrass, Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Wissenschaftliche Abhandlung, Band 33, 155-168 (1966)
56. Sur l'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach, Séminaire sur les espaces analytiques, Editions de l'Académie de la République socialiste de Roumanie, Bucarest, 129-135 (1971)
57. Sur les travaux de K. Stein, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universitat Münster (1973)
58. Domaines bornés symétriques dans un espace de Banach complexe, Publicado en «Actas del V Congreso de la Agrupación de Matemáticos de Expresión Latina», Madrid (1978)
Henri Cartan Œuvres Collected Works Volume III
Henri Cartan 1975
Table des Matières
59. (avec E. Cartan) Note sur la génération des oscillations entretenues, Annales des P. T. T. 14, 1196-1207 (1925)
60. Sur les transformations localement topologiques, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged 6, 85-104 (1933)
61. Théorie des filtres, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 205, 595-598 (1937)
62. Filtres et ultrafiltres, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 205, 777-779 (1937)
63. Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d'une fonction, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 208, 414-416 (1939)
64. (avec S. Mandelbrojt) Solution du problème de Carleman pour un intervalle ouvert fini, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 208, 555-558 (1939)
65. Solution du problème de Carleman pour un intervalle fermé fini, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 208, 716-718 (1939)
66. Sur les maxima des dérivées successives d'une fonction, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 210, 431-434 (1940)
67. (avec S. Mandelbrojt) Solution du problème d'équivalence des classes de fonctions indéfiniment dérivables, Acta Mathematica 72, 31-49 (1940)
68. Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives, Publications de l'Institut Mathématique de Strasbourg, Hermann, Paris, 1940
Inégalités Relatives aux Dérivées d'une Fonction
Application des Inégalités Précédentesau Problème de l'Équivalence des Classes
Classe d'une Fonction Composée
Appendice
69. Sur la mesure de Haar, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 211, 759-762 (1940)
70. Sur les fondements de la théorie du potentiel, Bulletin de la Société mathématique de France 69, 71-96 (1941)
71. La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes, Bulletin des Sciences Mathématiques 66, 126-132 et 136-144 (1942)
72. Capacité extérieure et suites convergentes de potentiels, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 214, 944-946 (1942)
73. Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 214, 994-996 (1942)
74. Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels, Bulletin de la Société mathématique de France 73, 74-106 (1945)
75. Théorie générale du balayage en potentiel newtonien, Annales de l'Université de Grenoble 22, 221-280 (1946)
Introduction
I
II
III
IV
V
VI
VII
76. Méthodes modernes en Topologie Algébrique, Commentarii Mathematici Helvetici 18, 1-15 (1945)
77. Extension de la théorie de Galois aux corps non commutatifs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 224, 87-89 (1947)
78. Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non commutatifs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 224, 249-251 (1947)
79. Théorie de Galois pour les corps non commutatifs, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure 64, 59-77 (1947)
80. (avec R. Godement) Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure 64, 79-99 (1947)
81. Sur la notion de carapace en topologie algébrique, Topologie Algébrique, Colloque International du C.N.R.S., n° 12, 1-2 (1949)
82. Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe. Notions algébriques préliminaires, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 226, 148-150 (1948)
83. Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe: étude d'un anneau différentiel où opère un groupe, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 226, 303-305 (1948)
84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique, Acta scientarium mathematicarum, Szeged 12, 81-100 (1950)
85. Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 230, 425-427 (1950)
86. Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles 15-27 (1950)
87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles 57- 71 (1950)
88. Extension du théorème des «chaînes de syzygies», Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni, V, 11, 1-11 (1952)
89. (avec J-P. Serre) Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 234, 288-290 (1952)
90. (avec J-P. Serre) Espaces fibrés et groupes d'homotopie. II. Applications, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 234, 393-395 (1952)
91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane H(Π, n): I. Méthode des constructions, Proceedings of the National Academy of Sciences U. S. A, 40., 467-471 (1954)
92. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane. II. Proceedings of the National Academy of Sciences U. S. A., 40, 704-707 (1954)
93. Algèbres d'Eilenberg-MacLane, Séminaire Henri Cartan, Ecole Normale Supérieure, 1954-1955, exposés 2 à 11, deuxième édition (1956)
Exposé 2. DGA-algèbres et DGA-modules
Exposé 3. DGA-modules (suite); notion de construction
Exposé 4. Constructions multiplicatives
Exposé 5. Constructions multiplicatives itérées; cohomologie
Exposé 6. Opérations dans les constructions acycliques
Exposé 7. Puissances divisées
Exposé 8. Relations entre les opérations précédentes et les opérations de Bockstein; algèbre universelle d'un module libre gradué
Exposé 9. Détermination des algèbres H_* (Π, n ;Z_p) et H^*(Π, n;Z_p), p premier impair
Exposé 10. Détermination des algèbres H_*(Π, n ;Z_2 ) et H^*(Π, n ;Z_2); groupes stables modulo p
Exposé 11. Détermination des algèbres H_*(Π, n ;Z)
Appendice
94. Sur l'itération des opérations de Steenrod, Commentarii Mathematici Helvetici 29, 40-58 (1955)
95. Sur la notion de dimension, Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques 37, 1-12 (1957)
96. Réflexions sur les rapports d'Aarhus et Dubrovnik, L'Enseignement Mathématique 9, 84-90 (1963)
97. Emil Artin, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 28, 1-5 (1965)
98. Structural stability of differentiable mappings, Proceedings International Conference on Functional Analysis, Tokyo 1-10 (1969)
99. Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables, Essays on Topology and Related Topics, Springer-Verlag 1-11 (1970)
100. Théories cohomologiques, Inventiones Mathematicae 35, 261-271 (1976)

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HENRI CARTAN

1945

HENRI CARTAN ŒUVRES Collected Works

VOLUME!

· Edited by R~ Remmert and J-P. Serre

SPRINGER-VERLAG BERLIN · HEIDELBERG · NEW YORK 1979

ISBN 3-540-09189-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09189-0 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Cartan, Henri: [Sammiung] Œuvres-Collected Works / Henri Cartan. Ed. by R. Remmert ; J-P. Serre. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer. ISBN 3-540-09189-0 (Berlin. Heidelberg, New York) ISBN 0-387-09189-0 (New York, Heidelberg, Berlin) Vol. 1. - 1979. This work is subject to copyright. Al! rights are reserved, whetber the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law wliere copies are made for other !han private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be deterrnined by agreement with the publisher. © by Springer-VerlagBerlin Heidelberg 1979. Printed in Germany. Printing: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr. Binding: Konrad Triltsch, Würzburg 2140/3130-5 4 3 2 1

Preface

We are happy to present the Collected Works of Henri Cartan. There are three volumes. The first one contains a curriculum vitae, a «Brève Analyse des Travaux» and a list of publications, including books and seminars. In addition the volume contains all papers of H. Cartan on analytic functions published before 1939. The other papers on analytic functions, e.g. those on Stein manifolds and coherent sheaves, make up the second volume. The third volume contains, with a few exceptions, all further papers of H. Cartan; among them is a· reproduction of exposés 2 to 11 of his 1954/55 Seminar on Eilenberg-MacLane algebras. Each volume ist arranged in chronological order. The reader should be aware that these volumes do not fully reflect H. Cartan's work, a large part of which is also contained in his fifteen ENS-Seminars (1948-1964) and in his book "Homological Algebra" with S. Eilenberg. In particular one cannot appreciate the importance of Cartan's contributions to sheaf theory, Stein manifolds and analytic spaces without · studying his 1950/51, 1951/52 and 1953/54 Seminars. Still, we trust that mathematicians throughout the world will welcome the availability of the "Oeuvres" of a mathematician whose writing and teaching has had such an influence on our generation. Reinhold Remmert

Jean-Pierre Serre

Curriculum Vitae

1904 (8 juillet) 1923-26 1926 1928 1928-29 1929-31 1931-35

Né à Nancy Elève à l'Ecole Normale Supérieure Agrégé de mathématiques Docteur ès Sciences mathématiques Professeur au Lycée Malherbe à Caen Chargé de cours à la Faculté des Sciences de Lille Chargé de cours, puis maître de conférences à la Faculté des Sciences de Strasbourg 1936-40 Professeur'à la Faculté des Sciences de Strasbourg 1940-49 Maître de conférences à la Faculté des Sciences de Paris 1945-47 Détaché pour deux ans à la Faculté des Sciences de Strasbourg 1949-69 Professeur à la Faculté des Sciences de Paris 1940--:-65 Chargé de l'enseignement des mathématiques à l'Ecole Normale Supérieure 1969-75 Professeur à la Faculté des Sciences d'Orsay, puis à l'Université de Paris-Sud 1967-70 Président de l'Union Mathématique Internationale Professeur honoraire à la Faculté des Sciences de Strasbourg, puis à l'Université Louis Pasteur Professeur honoraire à l'Université de Paris-Sud. Foreign Honorary Member of the American Aca0emy (Boston), 1950 Foreign Honorary Member of the London Mathematical Society, 1959 Membre del' Académie Royale des Sciences et des Lettres du Danemark, 1962 Membre correspondant del' Académie des Sciences (Institut de France), 1965 Associé étranger de l'Academia di Scienze, Lettere et Arti di Palermo, 1967 Honorary Member of the Cambridge Philosophical Society, 1969 Foreign Member of the Royal Society of London, 1971 Membre correspondant de l'Académie des .Sciences de Gottingen, 1971 Membre correspondant de l'Académie des Sciences de Madrid, 1971 Foreign Associate of the National Academy of Sciences (USA), 1972 Membre de l'Académie des Sciences (Institut de France), 1974 Membre correspondant de l'Académie Bavaroise des Sciences, 1974 Membre associé de l'Académie Royale de Belgique (classe des Sciences), 1978 Médaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique, 1976. Docteur honoris causa de l'EcolePolytechnique Fédérale de Zürich (1955), des Universités de Münster. (1952), Oslo (1961), Sussex (1969), Cambridge (1969), Stockholm (1978).

Brève analyse des travaux*

I. Fonctions analytiques

1) Fonctions d'une variable complexe C'est à elles que sont consacrés mes tout premiers travaux.Quelques Notes aux Comptes Rendus se rapportent à la fonction de croissance de Nevanlinna et à la répartition des valeurs des fonctions méromorphes. Dans ma Thèse [3], j'ai réussi à prouver, en la précisant, une inégalité conjecturée par André BLOCH: pour tout nombre réel h>O, les points du plan complexe où un polynôme unitaire de degré n est, en valeur absolue, au plus égal à li1 peuvent être enfermés dans des disques dont la somme des rayons est au plus égale à 2 eh ( e = base des logarithmes népériens). J'ai montré de plus que l'on peut considérablement généraliser ce résultat; cette généralisation a été ensuite reprise et utilisée par Ahlfors. L'inégalité de Bloch s'est révélée un instrument précieux dans l'étude de la répartition des valeurs d'une fonction analytique. Dans [25], j'ai étudié la croissance d'un système de fonctions holomorphes, c'est-à-dire, en fait, d'une application holomorphe dans un espace projectif, généralisant à cette situation les théorèmes de NEYANLINNA. Cette étude a été reprise, d'une façon indépendante, par Hermann et Joachim WEYL. C'est dans ma Thèse [3] que j'ai étudié les familles normales d'applications holomorphes d'un disque dans l'espace projectif Pn(C) privé de n + 2 hyperplans en position générique .. Ce sujet semble redevenu d'actualité à la suite de quelques travaux récents (notamment de P. KIERNAN et .S. KoBAYASHI, Nagoya Math. J. 1973).

2) Problèmes d'itération et de limite pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes ([14], [24], [29]) · J'ai notamment prouvé le résultat suivant: soit Dun domaine borné de en, et soit lune application holomorphe D~ D. Si, dans l'adhérence de la suite des itérées fk, il existe une transformation dont le Jacobien n'est pas identiquement nul, f est nécessairement un automorphisme de D. Ce résultat est susceptible de nombreuses applications; M. ~RVÉ l'a utilisé avec succès à diverses occasions. En voici une application immédiate [24]: pour n = 1, s'il existe un point a du plan complexe C, hors de D, et une courbe fermée de D dont l'indice par rapport

*

écrite par H. Cartan en 1973.

X

Brève analyse des travaux

à a soit non nul, si de plus f transforme cette courbe en une courbe dont l'indice est non nul, alors f est nécessairement un automorphisme de D. Autre application: pour n quelconque, si f: o~o possède un point fixe en lequel le Jacobien est de valeur absolue égale à 1, f est un automorphisme de D.

3) Automorphismes des domaines bornés ([13], [20], [33])

Que peut-on dire du groupe de tous les automorphismes holomorphes d'un domaine borné D de P? (Cf. aussi 4) ci-dessous). Soit G(a) le groupe d'isotropie d'un point a ED, c'est-à-dire le sous-groupe formé des automorphismes qui laissent fixe le point a. Un premier résultat est le suivant: l'application qui, à chaque élément de G (a), associe la transformation linéaire tangente en a, est un isomorphisme de G (a) sur un sous-groupe (compact) du groupe linéaire GL(n,C). J'ai prouvé cela à partir d'un lemme très simple, qui dit que si une transformation holomorphe f de D dans D (non supposée bijective) laisse fixe un point a ED et est tangente à l'identité en a, c'est l'application identique. Ce lemme est aussi valable pour les groupes formels (cf. le livre classique de BOCHNER et MARTIN). Il a aussi l'avantage de pouvoir s'appliquer tel quel aux fonctions holomorphes dans un espace de Banach complexe de dimension infinie, beaucoup étudiées aujourd'hui. Le résultat précédent m'a conduit à une démonstration très simple du théorème suivant: soient D et D' deux domaines cerclés dont l'un au moins est supposé borné (un domaine D est dit cerclé s'il est stable par toute homothétie de rapport  tel que Ill = 1 et s'il contient l'origine); alors tout isomorphisme holomorphe f: o~ D' qui transforme l'origine en l'origine est nécessairement linéaire. Ce théorème était auparavant connu dans des cas particuliers, ou sous des hypothèses restrictives relatives à la frontière (BEHNKE). Il est, lui aussi, valable dans un espace de Banach. L'article [13] contient beaucoup d'autres résultats, notamment sur l'existence de développements en séries de types particuliers. La détermination du groupe de tous les automorphismes d'un domaine cerclé borné a été faite complètement pour le cas de deux variables dans [20]. A part quelques types spéciaux de domaines cerclés (qui sont explicités), le groupe de tous les automorphismes se réduit au groupe d'isotropie de l'origine. 4) Groupes de transformations holomorphes en général

Le groupe des automorphismes holomorphes d'un domaine borné D de en est localement compact: c'est un résultat nullement évident que j'ai prouvé dans [24]. La question se posait ensuite de savoir si c'est un groupe de Lie. Ce problème ne doit pas être confondu avec le fameux cinquième problème de HILBERT, qui du reste n'était pas encore résolu à l'époque (1935). Dans [32], j'ai démontré le. théorème fondamental suivant: tout «noyau» compact· de groupe de transformations holomorphes, dans en, est un noyau de groupe de Lie. Il en résulte d'une part que le groupe des automorphismes holomorphes

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d'un domaine borné est un groupe de Lie (à paramètres réels); d'autre part que le groupe des automorphismes d'une variété analytique complexe compacte est un groupe de Lie, comme BOCHNER l'a montré plus tard. Quant au théorème fondamental ci-dessus, publié en 1935, il fut retrouvé huit ans plus tard par MONTGOMERY sous une forme plus générale, valable pour les groupes de transformations différentiables; la méthode de Montgomery est essentiellement la même, mais en utilisant le théorème de Baire il réussit à l'appliquer au cas différentiable.

5) Domaines d'holomorphie et convexité ([16], [23]) La notion de «domaine d'holomorphie» est bien connue aujourd'hui. Dans l'article [16], j'ai pour la première fois montré qu'un domaine d'holomorphie possède certaines propriétés de «convexité» par rapport aux fonctions holomorphes. Cette notion de «convexité» s'est, depuis lors, montrée féconde et elle est devenue classique. Dans [16], j'ai prouvé que la «convexité» est non seulement nécessaire pour que D soit un domaine d'holomorphie, mais qu'elle est suffisante pour certains domaines d'un type particulier (par exemple les domaines cerclés). Qu'elle soit suffisante dans le cas général a été démontré peu après par P. THULLEN. En mettant en commun nos idées, Thullen et moi avons écrit le mémoire [23] consacré à la théorie des domaines d'holomorphie. La notion de convexité holomorphe s'introduit aussi dans les problèmes d'approximation.

6) Problèmes de Cousin Le premier problème de Cousin (ou problème additif de Cousin) consiste à trouver une fonction méromorphe dont on se donne les parties principales (polaires). Le deuxième problème de Cousin (ou problème multiplicatif) consiste à trouver une fonction méromorphe admettant un «diviseur» donné (variété des zéros et des pôles avec leurs ordres de multiplicité). On sait aujourd'hui que le problème additif est toujours résoluble pour un domaine d'holomorphie, et plus généralement pour une «variété de Stein». Ce résultat a été prouvé pour la première fois par K. OKA. Avant Oka, j'avais vu (cf. [31]) que le problème additif pouvait se résoudre en utilisant l'intégrale d'André WEIL, mais comme à cette époque il manquait certaines techniques permettant d'appliquer l'intégrale de Weil au cas général des domaines d'holomorphie, je renonçai à publier ma démonstration. Par ailleurs, je savais que, dans le cas de deux variables, le premier problème de Cousin n'a pas toujours de solution pour un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie. En revanche, pour trois variables, j'ai donné le premier exemple (cf. [34]) d'ouvert qui n'est pas domaine d'holomorphie et dans lequel cependant le problème additif de Cousin est toujours résoluble; il s'agit de C3 privé de l'origine. Ma métho'de de démonstration pour ce cas particulier (utilisation des séries de Laurent) a été

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utilisée plusieurs ·fois depuis dans des cas plus généraux, notamment par FRENKEL dans sa Thèse. Aujourd'hui, les problèmes de Cousin trouvent leur solution naturelle dans le cadre de la théorie des faisceaux analytiques cohérents (voir ci-dessous, 7)).

7) Théorie des faisceaux sur une variété analytique complexe L'étude des problèmes globaux relatifs aux idéaux et modules de fonctions holomorphes m'a occupé plusieurs années, en partant des travaux d'OKA. Dès 1940, j'avais vu qu'un certain lemme sur les matrices holomorphes inversibles joue un rôle décisif dans ces questions. Ce lemme est énoncé et démontré en 1940 dans [35]; dans ce même travail, j'en fais diverses applications, et je prouve notamment que si des fonctions ~ (en nombre fini), holomorphes dans un domaine d'holomorphie D, n'ont aucun zéro commun dans D, il existe une relation ~q~ = 1 à coefficients ci holomorphes dans D. Dans [36]; j'introduis la notion de «cohérence» d'un système d'idéaux et je tente de démontrer les théorèmes fondamentaux de ce qui deviendra la théorie des faisceaux analytiques cohérents sur une variété de Stein; mais je n'y parviens pas dans le cas le plus général, faute de réussir à prouver une conjecture que K. OKA démontrera plus tard (1950) et qui, en langage d'aujourd'hui, exprime que le faisceau des germes de fonctions holomorphes est cohérent. Sitôt que j'eus connaissance de ce théorème d'OKA (publié avec beaucoup d'autres dans le volume 78 du Bulletin de la Société mathématique de France), je repris l'ensemble de la question dans [38], en introduisant systématiquement la notion de faisceau (introduite alors par LERAY en Topologie) et celle de faisceau cohérent (mais pas encore dans le sens plus général et définitif qui sera celui de mon Séminaire 1951-52). Il s'agit essentiellement de ce qu'on appelle aujourd'hui les «théorèmes A et B». Cependant, la formulation cohomologique générale du théorème B ne viendra que dans le Séminaire cité, à la suite de discussions avec J. -P. SERRE. La conférence [41] est consacrée à une exposition d'ensemble de ces questions (sans démonstrations), avec indications sur les diverses applications qui en découlent pour la théorie globale des variétés de Stein, et en particulier pour les problèmes de Cousin.

8) Un théorème de finitude pour la cohomologie Il s'agit du résultat suivant, obtenu en collaboration avecJ.-P. SERRE (cf. [42], ainsi que mon Séminaire 1953-54): si X est une variété analytique complexe compacte, et Fun faisceau analytique cohérent, les espaces de cohomologie Hq (X,F) sont des C-espaces vectoriels de dimension finie. Le même résultat vaut, plus généralement, si X est un espace analytique compact. Ce théorème n'est aujourd'hui que le point de départ du fameux théorème de GRAUERT qui dit que les images directes d'un faisceau analytique cohérent par une application holomorphe et propre sont des faisceaux cohérents.

Brève analyse des travaux

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9) La notion générale d'espace analytique C'est après 1950 qu'apparaît la nécessité de généraliser la notion de variété analytique complexe, pour y inclure des singularités d'un type particulier, comme on le fait en Géométrie algébrique. Par exemple, le quotient d'une variété analytique complexe par un groupe proprement discontinu d'automorphismes n'est pas une variété analytique en général (s'il y a des points fixes), mais c'est un espace analytique (cf. [43 ]). Dès 1951, BEHNKE et STEIN tentaient d'introduire une notion d'espace analytique en prenant comme modèles locaux des «revêtements ramifiés» d'ouverts de P; mais leur définition était assez peu maniable. Ma première tentative date de mon Séminaire 1951-52 (Exposé XIII); j'ai repris cette définition des espaces analytiques dans mon Séminaire de 1953-54 en introduisant la notion générale d'espace annelé, qui a ensuite été popularisée par SERRE, puis par GRAUERT et GROTHENDIECK. En 1953-54, ma définition conduisait aux espaces analytiques normaux(c'est-à-dire tels que l'anneau ass@cié à chaque point soit intégralement clos). C'est SERRE qui, le premier, attira l'attention sur l'utilité d'abandonner la condition restrictive de normalité. Ensuite GRAUERT puis GROTHENDIECK introduisirent la catégorie plus gériérale des espaces annelés dans lesquels l'anneau attaché à un point n'est plus nécessairement un anneau de germes de fonctions mais peut admettre des éléments nilpotents. J'ai démontré dans [48] un théorème de «prolongement» des espaces analytiques n~rmaux, suggéré par des travaux de W. L. BAILY, et qui s'applique à la compactification de SATAKE dans la théorie des fonctions automorphes.

10) Quotients d'espaces analytiques ([43], [51], et Séminaire 1953-54) Tout quotient d'un espace annelé X est canoniquement muni d'une structure d'espace annelé (ayant une propriété universelle aisée à formuler). Le problème suivant se pose: lorsque X est un espace analytique, trouver des critères permettant d'affirmer que l'espace annelé quotient est aussi un espace analytique. J'ai montré que lorsque la relation d'équivalence est définie par un groupe proprement discontinu d'automorphismes de X, le quotient est toujours un espace analytique. Puis, dans [51], j'ai donné un critère valable pour toutes les relations d'équivalence «propres» et j'ai étenqu au cas des espaces analytiques généraux un théorème prouvé (par une autre méthode) par K. STEIN dans le cas des variétés sans singularités, et que voici: si f: x~Y est une application holomorphe, et si les composantes connexes des fibres de f sont compactes, le quotient de X par la relation d'équivalence dont les classes sont les composantes connexes des fibres est un espace analytique. D'autres applications du critère sont données dans [51 ].

11) Fonctions automorphes et plongements Ayant défini le quotient d'un espace analytique X par un groupe G proprement discontinu d'automorphismes, il s'agissait de réaliser dans certains cas cet

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espace quotient comme sous-espace analytique d'espaces d'un type simple. Le premier cas que j'ai traité est celui où X est un ouvert borné de en et où X/Gest compact: en m'appuyant sur des résultats de M. HERVÉ (repris dans [47]), j'ai prouvé dans [43] que les formes automorphes d'un poids convenable fournissent un plongement de X/G comme sous-espace analytique (fermé) d'un espace projectif. Donc X/G s'identifie à l'espace analytique sous-jacent à une «variété algébrique projective». Au même moment, ce résultat était démontré tout autrement par KODAIRA, mais seulement dans le cas où G opère sans point fixe (la variété algébrique étant alors sans singularité). C'est par ma méthode que, plus tard, W. L. BAILY prouva la possibilité de réaliser dans l'espace pr~jectif le compactifié de SATAKE du quotient X/G dans le cas où Gest le groupe modulaire de SIEGEL; X/Gest alors isomorphe à un ouvert de ZARISKI d'une variété algébrique projective. J'ai moi-même repris la question dans mon Séminaire 1957-'-58 et prouvé la réalisation projective de X/Gnon seulement pour le groupe modulaire, mais pour tous les groupes qui lui sont «commensurables».

12) Fibrés holomorphes Les premières indications relatives à l'utilisation de la théorie des faisceaux pour l'étude des fibrés holomorphes remontent à une conférence que j'ai faite au Séminaire BOURBAKI (décembre 1950). Ma contribution à la théorie a ensuite simplement consisté en une mise au point, au Colloque de Mexico (1956), des théorèmes fondamentaux de GRAUERT sur les espaces fibrés principaux dont la base est une variété de Stein, théorèmes dont la démonstration n'était pas encore publiée mais dont les grandes lignes m'avaient été communiquées par l'auteur. Dans la rédaction [49], j'ai donné des démonstrations con::iplètes.

13) Variétés analytiques réelles ([44], [45], [46]) L'un des buts de [44] était de prouver l'analogue des théorèmes A et B pour les variétés analytiques réelles, dénombrables à l'infini. A cette époque le théorème de plongement de GRAUERT n'était pas encore connu; il a pour conséquence que les théorèmes que j'ai énoncés pour les variétés plongeables sont, en fait, toujours vrais. A partir de là on obtient, par les procédés usuels de passage du local au global, une série de résultats de caractère global; par exemple, une sous-variété analytique fermée d'une variété analytique réelle (dénombrable à l'infini) peut être définie globalement par un nombre fini d'équations analytiques. Toutefois, il est une propriété (d'ailleurs de caractère local) qui différencie le cas réel du cas complexe: le faisceau d'idéaux défini par un sous-ensemble analytique réel n'est pas toujours cohérent, contrairement à ce qui se passe dans le cas complexe; j'en donne des contre-exemples dans [44], et je donne aussi un exemple d'un sous-ensemble analytique A de rR3, de codimension un, tel que toute fonction analytique dans rR3 qui s'annule

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identiquement sur A soit identiquement nulle. D'autres situations pathologiques sont étudiées dans les Notes [45] et [46], écrites en collaboration avec F.BRUHAT.

II. Topologie algébrique

1) Fibrés et groupes d'homotopie

Dans les Notes [89] et [90], en collaboration avec J.-P. SERRE, nous introduisons Fopération qui consiste à «tuer» les groupes d'homotopie d'un espace X «par le bas», c'est-à-dire à construire un espace Y et une application f: Y~Xde manière que les groupes d'homotopie .n'ï{Y) soient nuls pour i~n (n entier donné), et que nïCY)~.niX) soit un isomorphisme pour i> n. L'on peut choisir pour f une application fibrée (en construisant avec SERRE des espaces de chemins), et l'on a donc une suite spectrale reliant les homologies de X, de Y et de la fibre. Cette méthode permet le calcul (partiel) des groupes· d'homotopie d'un espace à partir de ses groupes d'homologie. 2) Détermination des algèbres d'Eilenberg-MacLane H*(ll,n) ([91], [92], [93])

Rappelons que K(ll,n) désigne un espace dont tous les groupes d'homotopie sont nuls, sauf nn qui est isomorphe à une groupe abélien donné II. Un tel espace est un espace de HOPF et par .suite ses groupes d'homologie forment une algèbre graduée H*(ll,n). Le problème du calcul explicite de ces algèbres avait été posé par EILENBERG et MACLANE. Je suis parvenu à ce calcul par des méthodes purement algébriques, basées sur la notion de «construction», et qui permettent un calcul explicite. Les résultats s'énoncent particulièrement bien lorsqu'on prend comme anneau de coefficients le corps IFP à p éléments (p premier). Le cas où p = 2 et où le groupe II est cyclique avait été entièrement résolu par J.-P. SERRE, par une méthode un peu différente. A l'occasion de ces calculs j'ai été amené à introduire la notion d'algèbre graduée à puissances divisées; l'algèbre d'Eilenberg-MacLane possède de telles «puissances divisées». C'est une notion qui s'est avérée utile dans d'autres domaines, et notamment dans la théorie des groupes formels (DIEUDONNÉ, CARTIER). 3) Suite spectrale d'un espace où opère un groupe discret ([82], [83])

On considère un groupe G opérant sans point fixe, de façon proprement discontinue, dans un espace topologique X. Dans une Note commune, J. LERAY et moi avions envisagé le cas où le groupe est fini. J'ai étudié ensuite le cas général, qui a de nombreuses applications. On trouve une exposition de cette question au Chapitre XVI de mon livre «Homological Algebra» écrit en collaboration avec S. EILENBERG.

XVI

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4) Cohomologie des espaces homogènes de groupes de Lie ([86], [87])

Il s'agit de la cohomologie à coefficients réels d'un espace homogène G/g, G étant un groupe de Lie compact connexe et g un sous-groupe fermé connexe de G. La méthode utilisée est celle de l'«algèbre de Weil» d'une algèbre de Lie. J'obtiens pour la première fois une détermination complète de la cohomologie réelle de G/g; il suffit de connaître la «transgression» dans l'algèbre de Lie de G, et l'homomorphisme I(G)~I(g) (où I(G) désigne l'algèbre des polynômes sur l'algèbre de Lie de G, invariants par le groupe adjoint; de même pour I(g)). Ces résultats ont été ensuite repris par A. BOREL qui les a en partie étendus au cas plus difficile de la cohomologie à coefficients dans IFP. A ce sujet, on peut consulter le rapport de BOREL dans le Bulletin de l'A.M.S. (vol. 61, 1955, p. 397-432). 5) Opérations de

STEENROD

La première démonstration de la formule du produit pour les «carrés de Steenrod», improprement appelée «Cartan formula» puisque c'est Wu-WENTsON qui m'avait proposé de prouver cette formule, se trouve donnée dans la Note [85]. Son seul mérite est d'avoir suggéré à STEENROD une démonstration de la formule analogue 8P!(xy) = . ~- 8P~(x) 8Pb(y) pour les opérations de Steenrod modulo p (p premier i~pJir). Aujourd'hui on a de meilleures démonstrations de ces relations. Dans [94], je détermine explicitement les relations multiplicatives existant entre les générateurs St1 de l'algèbre de Steenrod pour p premier impair (le cas p = 2 avait été traité par J. ADEM; le cas où p est impair a ensuite été traité indépendamment par J. Adem au moyen d'une méthode différente de la mienne). 6) Cohomologie à coefficients dans un faisceau

Cette notion maintenant fondamentale, aussi bien en Topologie qu'en Analyse, avait été introduite par J. LERAY d'une façon relativement compliquée. Dans mon Séminaire de 1950-51 j'en donne la première exposition axiomatique, qui est aujourd'hui adoptée (voir par exemple le livre classique de R. GoDEMENT). Cette présentation a permis ultérieurement de faire rentrer la théorie des faisceaux (de groupes abéliens) dans celle des «catégories abéliennes» et de lui appliquer les méthodes .de !'Algèbre homologique (foncteurs dérivés, etc .... ). D'autre part, c'est dans le cadre de la cohomologie à valeurs dans un faisceau que j'ai placé le théorème de DE RHAM (relatif au calcul de la cohomologie réelle d'une variété différentiable au moyen des formes différentielles), ainsi que la «dualité» de POINCARÉ des variétés topologiques, triangulables ou non. Ces idées sont devenues courantes; elles ont permis à P. DoLBEAULT d'étudier le complexe de d"-cohomologie d'une variété analytique complexe.

Brève analyse des travaux

m.

XVII

Théorie du potentiel ([70], [71], [72], [73], [74], [75], [84])

C'est sous l'influence de M. BRELOT que je me suis intéressé pendant la guerre aux problèmes de la théorie du potentiel (potentiel newtonien et généralisations diverses). J'ai utilisé d'une manière systématique la notion d'énergie, en commençant par prouver le théorème suivant: l'espace des distributions positives d'énergie finie, muni de la norme déduite de l'énergie, est complet. Ce fut l'occasion d'employer la méthode de projection sur un sous-ensemble convexe et complet (dans un espace fonctionnel). Le théorème précédent suggéra à J. DENY d'introduire en théorie du potentiel les distributions de SCHWARTZ; il prouva que l'espace vectoriel de toutes les distributions d'éner... gie finie (et plus seulement les distributions positives) est complet. J'ai aussi introduit la notion de topologie fine (la moins fine rendant continues les fonctions surharmoniques)~ qui s'est avérée utile notamment dans les questions d'effilement à la frontière, et, plus récemment, dans les nouveaux développements axiomatiques de la théorie du potentiel en relation avec les Probabilités. J'ai donné la première démonstration d'un théorème que désirait BRELOT, et qui se formule ainsi: la limite d'une suite décroissante (ou, plus généralement, d'un ensemble filtrant décroissant) de fonctions surharmoniques, si elle n'est pas identiquement -oo, ne diffère d'une fonction surharmonique que sur un ensemble de capacité extérieure nulle. Enfin, je crois avoir été le premier à introduire une théorie du potentiel dans les espaces homogènes [71]. IV. Algèbre homologique

Ecrit entre 1950 et 1953, paru seulement en 1956, le livre «Homological Algebra» est dû à une longue collaboration avec Samuel EILENBERG. On y expose pour la première fois une théorie qui englobe diverses théories particulières (homologie des groupes, homologie des algèbres associatives, homologie des algèbres de Lie, syzygies de HILBERT, etc .... ), en les plaçant dans le cadre général des foncteurs additifs et de leurs foncteurs «dérivés». Les foncteurs Torn(A,B) (foncteurs dérivés gauches du produit tensoriel A 0 B) sont introduits dans cet ouvrage, ainsi que les foncteurs Extn(A,B) (foncteurs dérivés droits du foncteur Hom (A, B) ). Auparavant, seul le foncteur Ext1 ( A, B) avait été explicitement considéré dans la littérature (Eilenberg-MacLane). On montre notamment le rôle qu'ils jouent dans la «formule de Künneth», qui est pour la première fois énoncée en termes invariants. Cet ouvrage de 400 pages semble avoir servi de catalyseur: il a été à l'origine de rapides développements tant en Algèbre pure qu'en Géométrie algébrique et en Géométrie analytique. Le terme lui-même d' «algèbre homologique», donné comme titre à notre livre, a fait fortune. Dans ce livre nous avions traité le cas

, XVIII

Brève analyse des travaux

des modules sur un anneau; mais l'exposition avait été conduite de telle sorte qu'elle pouvait immédiatement se transposer à d'autres cas, comme il était d'ailleurs indiqué dans l' Appendice à notre livre écrit par D. BucHSBAUM. Il devait revenir à GROTHENDIECK d'introduire et d'étudier systématiquement les «catégories abéliennes», ce qui permit aussitôt, par exemple, d'intégrer dans l'Algèbre homologique la théorie de la cohomologie d'un espace à coefficients dans un faisceau de groupes abéliens. C'est aussi GROTHENDIECK qui, à la suite de SERRE, introduisit systématiquement l'Algèbre homologique comme un nouvel outil puissant en Géométrie algébrique et en Géométrie analytique. Faut-il mentionner, à ce sujet, l'immense ouvrage de DIEUDONNÉ et GROTHENDIECK, les fameux E.G.A. (Éléments de Géométrie Algébrique)? Les élèves de GROTHENDIECK (et, pour n'en citer qu'un, Pierre DELIGNE) ont montré tout le parti que l'on peut tirer des méthodes d'Algèbre homologique, non seulement pour explorer de nouveaux domaines, mais aussi pour résoudre des problèmes anciens et justement réputés difficiles.

V. Divers 1) Théorie des filtres J'ai introduit en 1937 la notion de filtre dans deux Notes aux Comptes Rendus ([61], [62]). Cette notion est devenue d'un usage courant en Topologie générale, ainsi que celle d'ultrafiltre qui lui est liée. Cette dernière intervient aussi dans certaines théories logiques.

2) Théorie de Galois des corps non commutatifs ([79]) La théorie a ensuite été étendue aux anneaux simples, notamment par DIEUDONNÉ.

3) Analyse harmonique Il s'agit d'un article écrit en collaboration avec R. GoDEMENT [80]. C'est l'une des premières présentations «modernes» de la transformation de Fourier dans le cadre général des groupes abéliens localement compacts, sans faire appel à la théorie «classique».

4) Classes de fonctions indéfiniment dérivables ([63] à [68]) J'ai établi par voie élémentaire de nouvelles inégalités entre les dérivées successives d'une fonction d'une variable réelle. Puis, en collaboration avec S. MANDELBROJT, nous les avons appliquées à la solution définitive du problème de l'équivalence de deux classes de fonctions (chacune des classes étant définies par des majorations données des dérivées successives).

Brève analyse des travaux

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5) Extension et simplification d'un théorème de RAvo ([40]) J'ai formulé ce théorème de la manière suivante: une fonction continue f qui est holomorphe en tout point z où f (z) = 0 est holomorphe aussi aux points où f(z) = O. La démonstration que j'en ai donnée est très simple et basée sur,la théorie du potentiel. De là on déduit le théorème de RA.no sous sa forme usuelle (i.e.: une fonction holomorphe qui tend vers zéro à la frontière est identiquement nulle, sous des hypothèses convenables relatives à la frontière). De plus, sous la forme où je l'énonce, le théorèmes' étend trivialement ·aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, et même aux fonctions dans un ouvert d'un espace de Banach. VI. Collaboration au Traité de N.

BOURBAKI

Pendant vingt ans, de 1935 à 1954, j'ai participé au travail collectif d'élabor11tion des «Eléments de mathématique» de Nicolas BOURBAKI. Ceci doit être mentionné dans cette Notice, non pour évoquer ma contribution personnelle qu'il est d'ailleurs bien difficile d'évaluer, mais pour dire tout l'enrichissement que j'en ai retiré. Ce travail en commun avec des hommes de caractères très divers, à la forte personnalité, mus par une commune exigence de perfection, m'a beaucoup appris, et je dois à ces amis une grande partie de ma culture mathématique.

Liste des travaux

Reproduits dans les ŒUVREs:

Volume/ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. i1. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

Sur quelques théorèmes de Nevanlinna Sur un théorème d'André Bloch Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires (Thèse) Un nouveau théorème d'unicité relatif aux fonctions méromorphes Sur la croissance des fonctions méromorphes d'une ou plusieurs variables complexes Sur la fonction de croissance attachée à une fonction méromorphe de deux variables et ses applications aux fonctions méromorphes d'une variable Sur la dérivée par rapport à log r de la fonction de croissance T (r; f) Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions entières données Sur les fonctions de deux variables complexes Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclés de M. Carathéodory Les transformations analytiques des domaines cerclés les uns dans les autres Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction méromorphe dans tout le plan Les fonctions de _deux variables complexes et le problème de la représentation analytique Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné Den un domaine intérieur à D Sur les variétés définies par une relation entière Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes Les transformations analytiques et les domaines convexes (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cerclés bornés Les transformations des domaines semi-cerclés bornés Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semi-cerclés bornés Sur une classe remarquable de domaines Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cerclés bornés (avec P. Thullen) Zur Theorie des Singularitaten der Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L'itération des transformations intérieures d'un domaine borné Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions holomorphes données Détermination des points exceptionnels d'un système de p fonctions analytiques den variables complexes Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Sur l'itération des transformations conformes ou pseudo-conformes Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines Les problèmes de Poincaré et de Cousin pour les fonctions de plusieurs vari~bles complexes Sur les groupes de transformations analytiques Sur les fonctions den variables complexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornés Sur le premier problème de Cousin

Liste des travaùx

XXII

Volume II 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.

Sur les matrices holomorphes de n variables complexes Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes Problèmes globaux dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes Sur une extension d'un théorème de Rado Variétés analytiques complexes et cohomologie (avec J.-P. Serre) Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes (avec F. Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques réels (avec F. Bruhat) Sur les composantes irréductibles d'un sous-ensemble analytique réel Fonctions automorphes et séries de Poincaré Prolongement des espaces analytiques normaux Espaces fibrés analytiques Sur les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques Quotients of complex analytic spàces Problèmes d'approxima.tion dans la théorie des fonctions analytiques Faisceaux analytiques cohérents Sorne applications of the new theory of Banach analytic spaces Sur le théorème de préparation de Weierstrass Sur l'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach Sur les travaux de K. Stein Domaines bornés symétriques dans un espace de Banach complexe

Volume III 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.

(avec E. Cartan) Note sur la génération des oscillations entretenues Sur les transformations localement topologiques Théorie des filtres Filtres et ultrafiltres Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d'une fonction (avec S. Mandelbrojt) Solution du problème de Carleman pour un intervalle ouvert fini Solution du problème de Carleman pour un intervalle fermé fini Sur les maxima des dérivées successives d'une fonction (avec S. Mandelbrojt) Solution du problème d'équivalence des classes de fonctions indéfiniment dérivables Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives Sur la mesure de Haar Sur les fondements de la théorie du potentiel La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes Capacité extérieure et suites convergentes de potentiels Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels Théorie générale du balayage en potentiel newtonien Méthodes modernes en Topologie Algébrique Extension de la théorie de Galois aux corps non commutatifs Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non commutatifs Théorie de Galois pour les corps non commutatifs (avec R. Godement) Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts

Liste des travaux

XXIII

81. Sur la notion de carapace en topologie algébrique 82. Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe, notions algébriques préliminaires 83. Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe, étude d'un anneau/différentiel où opère un groupe 84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique 85. Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod 86. Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie 87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal 88. Extension du théorème des «chaînes de syzygies» 89. (avec J.-P. Serre) Espaces fibrés et groupes d'hom:otopie. l. Constructions générales 90. (avec J.-P. Serre) Espaces fibrés et groupes d'homotopie. II. Applications 91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane H(Il,n): 1. Méthode des constructions 92. Sur les groupes d~Eilenberg-MacLane. II 93. Algèbres d'Eilenberg-MacLane 94. Sur l'itération des opérations de Steenrod 95. Sur la notion de dimension 96. Réflexions sur les rapports d' Aarhus et Dubrovnik 97. Emil Artin 98. Structural stability of differentiable mappings 99. Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables 100. Théories cohomologiques

Non reproduits dans les ŒUVREs: Séminaires de l'Ecole Normale Supérieure (publiés par le Secr. Math., 11 rue P. et M. Curie, 75005 PARIS, et par W. A. Benjamin, ed., New York, 1967) 1948-49 Topologie algébrique 1949-50 Espaces fibrés et homotopie 1950-51 Cohomologie des groupes, suites spectrales, faisceaux 1951-52 Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes. 1953-54 Fonctions automorphes et espaces analytiques 1954-55 Algèbres d'Eilenberg-MacLane et homotopie 1955-56 (avec C. Chevalley) Géométrie algébrique 1956-57 Quelques questions de Topologie 1957-58 (avec R. Godement et 1. Satake) Fonctions automorphes 1958-59 Invariant de Hopf et opérations cohomologiques secondaires 1959-60 (avec J. C. Moore) Périodicité des groupes d'homotopie stables des groupes classiques, d'après Bott 1960-61 (avec A. Grothendieck) Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 1961-62 Topologie différentielle 1962-63 Topologie différentielle 1963-64 (avec L. Schwartz) Théorème d'Atiyah-Singer sur l'indice d'un opérateur différentiel elliptique

XXIV

Liste des travaux

Livres ( avec S. Eilenberg) Homological Algebra, Princeton Univ. Press, Math. Series, n°19, 1966- traduit en russe. Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Paris, Hermann, 1961- traduit en allemand, anglais, espagnol, japonais, russe. Calcul différentiel; formes différentielles, Paris, Hermann, 1967 - traduit en anglais et en russe.

Divers Sur la possibilité d'étendre aux fonctions de plusieurs variables complexes la théorie des fonctions univalentes, Annexe aux «Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes» de P. Montel, Paris, Gauthier-Villars (1933), 129-155. (avec J. Dieudonné) Notes de tératopologie. III, Rev. Sei., 77 (1939), 413-414. Un théorème sur les groupes ordonnés, Bull. Sei. Math., 63 (1939), 201-205. Sur le fondement logique des mathématiques, Rev. Sei., 81 (1943), 2-11. (avec J. Leray) Relations entre anneaux d'homologie et groupes de Poincaré, Topologie Algébrique, Coll. lntern. C.N.R.S. n°12 (1949), 83-85. Nombres réels et mesure des grandeurs, Bull. Ass. Prof. Math., 34 (1954), 29-35. Structures algébriques, Bull. Ass. Prof. Math., 36 (1956), 288-298. (avec S. Eilenberg) Foundations of fibre bundles, Symp. Intern. Top. Alg., Mexico (1956), 16-23. Volume des polyèdres, Bull. Ass. Prof. Math., 38 (1958), 1-12. Nicolas Bourbaki und die heutige Mathematik, Arbeits. für Forschung des Landes NordrheinWestfalen, Heft 76, Koln (1959). Notice nécrologique sur Arnaud Denjoy, C. R. Acad. Sei. Paris, 279 (1974), Vie Académique, 49-52 (=Astérisque 28-29, S.M.F., 1975, 14-18).

Exposés au Séminaire Bourbaki (Les numéros renvoient à la numérotation globale du Séminaire) 1,8,12. Les travaux de Koszul (1948-49) 34. Espaces fibrés analytiques complexes (1950) 73. Mémoire de Gleason sur le Se problème de Hilbert (1953) 84. Fonctions et variétés algébroïdes, d'après F. Hirzebruch (1953) 115. Sur un mémoire inédit de H. Grauert: »Zur Theorie der analytisch vollstiindigen Ra.urne« (1955) 125. Théorie spectrale des C-algèbres commutatives, d'après L. Waelbroeck (1956) 137. Espaces fibrés analytiques, d'après H. Grauert (1956) 296. Thèse de Douady (1965) 337. Travaux de Karoubi sur la K-théorie (1968) 354. Sous-ensembles analytiques d'une variété banachique complexe, d'après J.-P. Ramis (1969)

Table des Matières

Volume I

Préface . . . . . . . . . Curriculum vitae . . . . Brève analyse des travaux Liste des travaux. . . . .

. . . .

1. Sur quelques théorèmes de Nevanlinna, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 185, 1253-1255 (1927) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sur un théorème d'André Bloch, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 186, 624-626 (1928) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires (Thèse), Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 45, 255-346 (1928) . . . . . . 4. Un nouveau théorème d'unicité relatif aux fonctions méromorphes, Comptes Rendus del'AcadémiedesSciencesdeParis, 188,301-303 (1929) . . . . . . . . . . . . . . 5. Sur la croissance des fonctions méromorphes d'une ou plusieurs variables complexes, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 188, 1374-1376 (1929) . . . . 6. Sur la fonction de croissance attachée à une fonction méromorphes d'une variable, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 189, 521-523 (1929) . . . . . 7. Sur la dérivée par rapport à logrde la fonction de croissance T(r;t), Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 189, 625-627 (1929) . . . . . . . . . . . . . . 8. Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions entières données, Comptes Rendusdel'AcademiedesSciencesdeParis, 189, 727-729(1929) . . . . . . . . . . 9. Sur les fonctions de deux variables complexes, Bulletin des Sciences Mathématiques, 54, 99-116 (1930) . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclés de M. Carathéodory, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 190, 354-356 (1930) . . . . . 11. Les transformations analytiques des domaines cerclés les uns dans les autres, Comptes Rendusdel'AcadémiedesSciencesdeParis, 190, 718-720(1930) . . . . . . . . . . 12. Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction méromorphe dans tout le plan, Comptes Rendusdel'AcadémiedesSciencesdeParis, 190, 1003-1005 (1930) . . . . . . . . . 13. Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 9e série, 10, 1-114 ( 1931) 14. Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné Den un domaine intérieur à D, Bulletin de la Société mathématique de France, 58, 199-219 (1930) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Sur les variétés définies par une relation entière, Bulletin des Sciences Mathématiques, 55,24-32et47-64(1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes, Bulletin de la Société mathématique de France, 59, 46-69 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Les transformations analytiques et les domaines convexes, Association française pour l'avancement des sciences, Nancy, 30-31 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cerclés bornés, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 192, 709-712 (1931) . . . . . . . . . . . . . .

V VII IX XXI

1 4 7 99 102 105 108 111 114 132 135 138 141 255 276 303 327 329

XXVI

Table des Matières

19. Les transformations des domaines semi-cerclés bornés, Comptes Rendus de l'AcadémiedesSciencesdeParis, 192,869-871 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semi-cerclés bornés, Mathematische Annalen, 106, 540-573 (1932) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Sur une classe remarquable de domaines, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 1077-1079 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cerclés bornés, Congrès International des Mathématiciens, Zürich, vol. 2, 57-59 (1932) . . . . . . . . . . . . 23. (avec P. Thullen) Zur Theorie des Singularitaten der Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen,MathematischeAnnalen, 106,617-647 (1932). . . . . . . . . . . . 24. Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L'itération des transformations intérieures d'un domaine borné, Mathematische Zeitschrift, 35, 7 60-773 (1932) . . . 25. Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions holomorphes données, Mathematica,Cluj, 7,5-29(1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. Détermination des points exceptionnels d'un système de p fonctions analytiques den variables complexes, Bulletin des Sciences Mathématiques, 57, 333-344 (1933) . . . 27. Sur les groupes de transformations pseudo-conformes, Comptes Rendus de l'AcadémiedesSciencesdeParis, 196,669-671 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. Sur les groupes de transformations pseudo-conformes, Comptes Rendus de l' Académie des Sciences de Paris, 196, 993-995 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. Sur l'itération des transformations conformes ou pseudo-conformes, Compositio Mathematica, 1,223-227 (1934) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 199, 925-927 (1934) . . . . . 31. Les problèmes de Poincaré et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 199, 1284-1287 (1934) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Sur les groupes de transformations analytiques, Collection à la mémoire de Jacques Herbrand, Hermann, Paris (1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Sur les fonctions den variables complexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornés, Bulletin de la Société mathématique de France, 64, 37-48 (1936). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Sur le premier problème de Cousin, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 207, 558-560 (1938) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333 336 370 373 376 407 42\ 446 457 460 463 468

471 474

524 536

Volume II

35. Sur les matrices holomorphes den variables complexes, Journal de Mathématiques . puresetappliquées,19,1-26(1940) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 36. Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes, Annales Scientifiques de l'EcoleNormaleSupérieure,61, 149-197 (1944) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 37. Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, series A, 61, 3-6 (1949) . . . 614 38. Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes, Bulletin de la Société mathématique de France, 78, 29-64 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 39. Problèmes globaux dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Congrès International des Mathématiciens, Cambridge, vol. 1, 152-164 (1950). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 40. Sur une extension d'un théorème de Rado, Mathematische Annalen, 125, 49-50 (1952). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 41. Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 41-55 (1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

Table des Matières

XXVII

42. (avec J.-P. Serre) Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 237, 128-130 (1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ··,. . . . . . . 43. Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes, Algebraic Geometry and Topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, 90-102 (1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes, Bulletin de la Société mathématique de France, 85, 77-99 (1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. (avec F. Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques réels, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 244, 988-991 (1957) . . . . . . . . . . 46. ( avec F. Bruhat) Sur les composantes irréductibles d'un sous-ensemble analytique réel, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 244, 1123-1126 (1957) . . . . 47. Fonctions automorphes et séries de Poincaré, Journal d'Analyse Mathématique, 6, 169-175(1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. . . 48. Prolongement des espaces analytiques normaux, Mathematische Annalen, 136, 97-110(1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. Espaces fibrés analytiques, Symposium Internacional de Topologia Algebraica, Mexico, 97-121 (1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. Sur les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques, Congrès International des Mathématiciens, Edingurgh, 33-52 (1958) . . . . . . . . . . . . . 51. Quotients of complex analytic spaces', International Colloquium on Function Theory, Tatalnstitute, 1-15 (1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Problèmes d'approximation dans la théorie des fonctions analytiques, Atti della 2a Riunione del Groupement des Mathématiciens d'expression latine, Florence, 24-29 (1961) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,• . , . . . . . . . . •' . . . . . . . . 53. Faisceaux analytiques cohérents, Centro Internazionale Matematico Estivo, Varenna (1963) ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Sorne applications of the new theory of Banach analytic spaces, Journal of the London Mathematical Society, 41, 70-78 (1966) . . . . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . 55. Sur le théorème de préparation de Weierstrass, Arbeitsgemeinschàft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Wissenschaftliche Abhandlung, Band 33, 155-168 (1966). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. Sur l'anneau des germes ,de fonctions holomorphes dans un espace de Banach, Séminaire sur les espaces analytiques,, Editions de l'Académie de la République socialiste de Roumanie, Bucarest, 129-135 (1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. Sur les travaux de K. Stein, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der UniversitatMünster (1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Domaines bornés symétriques dans un espace de Banach complexe, Publicado en «Actas del V Congreso de la Agrupaci6n de Matematicos de Expresi6n Latina» Madrid;3-14 (1978). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

684

687 700 723 727 731 738 752 777 797

812 818 866 875

889 896

909

Volumem 59. (avec E. Cartan) Note sur la génération des oscillations entretenues, Annales des P.T.T., 14, 1196-1207 (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. Sur les transformations localement topologiques, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 6, 85-104 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . 61. Théorie des filtres, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205, 595-598 (1937) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Filtres et ultrafiltres, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205, 777-779 (1937) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d'une fonction, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 414-416 (1939) . . . . . . . . . .

921 933 953 957 960

XXVIII

Table des Matières

64. (avec S. Mandelbrojt) Solution du problème de Carleman pour un intervalle ouvert fini, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 208, 555-558 (1939) . . . 65. Solution du problème de Carleman pour un intervalle fermé fini, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 716-718 (1939) . . . . . . . . . . . . . . 66. Sur les maxima des dérivées successives d'une fonction, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 210, 431-434 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . 67. (avec S. Mandelbrojt) Solution du problème d'équivalence des classes de fonctions indéfiniment dérivables, Acta Mathematica, 72, 31-49 (1940) . . . . . . . . . . . . 68. Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives, Publications de l'Institut Mathématique de Strasbourg, Hermann (1940) . 69. Sur les classes de Haar, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 211, 759-762 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. Sur les fondements de la théorie du potentiel, Bulletin de la Société mathématique de France,69, 71-96 (1941) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes, Bulletin des Sciences Mathématiques, 66, 126-132 et 136-144 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Capacité extérieure et suites convergentes de potentiels, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 214, 944-946 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 214, 994-996 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels, Bulletin de la Société mathématique de France, 73, 74-106 (1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Théorie générale du balayage en potentiel newtonien, Annales de l'université de Grenoble,22,221-280(1946) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. Méthodes modernes en Topologie Algébrique, Commentarii Mathematici Helvetici, 18, 1-15 (1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. Extension de la théorie de Galois aux corps non commutatifs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 224, 87 -89 ( 1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non commutatifs, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 224, 249-251 (1947) . . . . . 79. Théorie de Galois pour les corps non commutatifs, Annales Scientifiques de l'Ecole NormaleSupérieure,64,59-77(1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. (avec R. Godement) Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 64, 79-99 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Sur la notion de carapace en topologie algébrique, Topologie Algébrique, Colloque International du C.N.R.S., n°12, 1-2 (1949). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe. Notions algébriques préliminaires, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 226, 148-150 (1948) . . . . . . 83; Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe: étude d'un anneau différentiel où opère un groupe, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 226, 303-305 (1948) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 12, 81-100 (1950) . . . 85. Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 230, 425-427 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 15-27 (1950) . . 87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal, Colloque de Topologie, C.B.R.M.,Bruxelles, 57-71 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Extension du théorème des «chaînes de syzygies», Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni, V, 11, 1-11 (1952). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. (avec J.-P. Serre) Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 234, 288-290 (1952) . . . . .

963 966 969 972 991 1020 1023 1049 1065 1069 1071 1104 1164 1179 1181 1184 1203 1224 1226

1229 1232 1252 1255 1268 1283 1294

Table des Matières 90. (avec J.-P. Serre) Espaces fibrés et groupes d'homotopie. II. Applications, Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris, 234, 393-395 (1952). . . . . . . . . . . 91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane H(n,n): 1. Méthode des constructions, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 40, 467-4 71 (1954) . . . . . 92. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane. II, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 40, 704-707 (1954) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Algèbres d'Eilenberg-MacLane, Séminaire H. Cartan, Ecole Normale Supérieure, 1954-1955, exposés2 à 11, deuxième édition (1956) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Sur l'itération des opérations de Steenrod, Commentarii Mathematici Helvetici, 29, 40-58 (1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Sur la notion de dimension, Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques, 37, 1-12 (1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . 96. Réflexions sur les rapports d' Aarhus et Dubrovnik, L'Enseignement Mathématique, 9, 84-90 (1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Emil Artin, Abhandlungen aus

2

h log--R, 1-

il existe certainement une valeur de r, comprise entre R et laquelle on a m [r + e-

m(r)J -r ~ m ( r) +

1,

pour

h log 2.

Prenons alors m(r)

p

= r+ e-,;-

et portons dans ( 16 ). Il vient B

~n(r) ~A'+ ïi ,n( r)

+

+ C logm.(r),

A' dépendant de h. On peut choisir h assez grand pour que; soit plus petit que un; ce .choix de h dépend uniquement de l'entier p, puisque B est une constante qui ne dépend que de p. On peut alors écrire +

m(i')~A"+ C"logm.(r),

d'où l'on conclut aisément m(r) ~ M,

M étant un nombre positif, qui ne dépend que de A" et C", donc de p

21

16 et

HENUI CARTAN, IX

seulement. Puisque Rest inférieur à r, on a a fortiori ,n(R)~M.

De l'étude précédente, il résulte finalement que l'une des deux inégalités suivantes est vérifiée ~ m(R) ~ l\L ~. m ( R ) ~ h Iog

1

~R,

quel que soit le nombre R inférieur à an. 12. Nous en tirons deux propositions fondamentales, correspondant respectivement au cas d'un système unique dè p fonctions :F;, et ;rn cas d'une famille de tels systèmes. THÉORF.MB

I. - Étant donné un système de p fonctions :Fi, on a -.1Ill}

- - - ' - - _., '

(r 7 1)

log-1- -

1n(r) I -

À étant une coristante positi(,·e jixe

(1.:) qui contiennent). points. Ils sont en nombre p inférieur ou égal à n. Si l'on trace encore les cercles concentriques aux précédents, et de rayons doubles, leurs rayons pi vérifient la relation

et l'on a, pour tout point M assujetti à n'être intérieur à aucun de ces cercles,

7; ~/( MP,) ~ ;.{![ lJt(;~ tl»(k)) J+ f{ IF(; tl»(k)) J+ ... l

+

1[w(~ tI»(k))J+ ... + .1[

lJf( tI»(k))]}

, r1.+1

== "'.1--, /\ +)

k

r°Adr

== k.

On a donc l'inégalité l~

I

À+I

ïi~ (MPt)"A < ~ ' i

sauf en des points intérieurs à des hypersphères de rayons ?h tels que

I

cpj ?+1 == (2 k ?+1.

j

31

HENRI CARTAN.

En particulier, le cas À= 1 est le cas du potentiel créé par des masses électriques distribuées dans l'espace à trois dimensions; c'est la surface totale des sphères exceptionnelles qui est bornée, résultat pressenti par A. Bloch ( 1 ) . 18. Voyons maintenant ce que deviennent les théorèmes·lllet III bis,. · lorsqu'on passe d'une distribution discontinue de points Pi, en nombre fini, à une distribution continue. Nous remplaçons l'expression t~J(MPi), i

par l'intégrale

f

p.( P )/(MP) drrp,

étendue à tout le plan ( oti plus généralement à tout l'espace); l'intégration se fait par Papport au point variable P, et dap désigne l'élément d'aire dans le cas du plan, l'élément de volume dans le cas de l'espace. L'intégrale est une fonction du point M. La fonction p.(P) est une densité continue, positive ou nulle, telle que l'intégrale

f

p.(P) drrp

soit convergente et égale à un. Il est clair que si la seconde intégrale est convergente, la première l'est aussi; car, en vertu des hypothèses faites sur la fonction / (r), f (MP) reste bornée lorsque, M restant fixe, P s' éloïgne indéfiniment. Plaçons-nous tout de suite dans le cas général, où interviennent les fonctions oce-·2ro,

admet des bornes supérieure et inférieure fixes dans le

cercle Co. La famille des fonctions~: est donc normale, et l'on peut, de la suite de systèmes considérée, extraire une suite infinie pour laquelle~: «converge» dans le cercle C0 • On se ramène à l'une des hypothèses et 3°, et le théorème est établi.

2°

Il. Vhypothèse précédente étant exclue, on peut appliquer Je théorème II bis(§ 13) à l'identité

49

HENRI CARTAN.

x:

œ ~ . X1 X., . , . En euet, ch acune d es 1onct10ns X et est super1eure en mo d ule ,a a 3

.,

en un point du cercle C0 ; quant au déterminant .1 du Chapitre I, c'est

xi

ici la dérivée logarithmique

Xx·:i 2

=

XX

1 ;

or elle est supérieure en module

2

X::

à un, donc à un nombre fixe, en un point au moins du cercle C0 •

Par conséquent, on peut extraire de la famille une suite infinie de X

systèmes, pour Iaquel Iex: et

x: X.

·

s.
(x, y)+ F(x, y) H(x, y),

H ( x, y) étant la fonction méromorphe la plus générale n'admettant aucune des variétés V; comme variété polaire.

129

-

17 -

16. Quelques mots seulement sur la résolution du problème I. Nous voulons définir cp(x, y) au voisinage du point x 0 , y 0 de la variétéV;. En procédant comme pour le théorème A, nous définissons d'abo1·d une fonction cp 0 (x,y), qui se réduise à cp 0 (M) sur V;. Cela fait, cherchons à mettre la fonction cp(x, y) inconnue sous la forme lf)(x, y)= lf)o(x, y)+ fï(x, y)

•h (x, y).

Sur V;(/;= o) on doit avoir cp '

1

(M)=df =dfo+,,,.àfï. 1 ày dy 'j'f dy

on en déduit les valeurs de la fonction •.f;t sur la variété V;. On sait alors former une fonction cp 1 (x, y) qui prenne ces valeurs-là sur V;, et l'on cherche ensuite à mettre cp( :x, y) sous la fo1·me

et ainsi de suite. Finalement on aura r.p(x, y)= Cfo(x, y)+ fï(.x, y) ~t(x, y)+ ...

+ [fi(x, y)]

11

a2 , l f onctwn ·a· . . . ,x, y ) et d e ses d,erlvees ay' ay 2 , etc., sont tout a

fait indépendantes les unes deA autres j on peut même donner, en un point, des infinis à certaines d'entre elles pendant que les autres sont assujetties à rester finies.

17. Contrairement à ce qu'on pourrait croire, les théorèmes A B ne se laissent pas immédiatement généraliser pour des fonctions de plus de deux variables. Il conviendrait auparavant de résoudre la question suivante : et

'Supposons défini, dans l'espace de trois variables complexes x, y, z, un ensemble de variétés à deux dimensions réelles, tel que l'ensemble des variétés qui passent au voisinage d'un point

130

-

18 -

qttelconq ue de l'espace soit donné par deux relations ~

l

(X, y, Z) = o, v(x, y, z) = o,

U

u et Y étant deux fonctions hofomorphes ati voisinage du pqint co,isidéré. Existe-t-i{ deux fonctions entières s'annulant sur cet ensemble de variétés, et ne s'annulant pas ensemble ailleurs? En d'autres termes, peut..-on se donner arbitrairement les variétés d'indetermination d'une fonction de x, y, z, partout ,néromorphe à distance finie, pourvu que ces variétés satisfassent aux conditions évidemment nécessaires posées plus haut? Dans un prochain Mémoire, je montrerai comment, en se ôasant sur les considérations du présent article, on peut étendre aux relations entières F(x, y)= o un certain nombre de résultats de la théorie des courbes algébriques.

131

10.

Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclés de M. Carathéodory Comptes Rendus del' Académie des Sciences de Paris 190, 354-356 (1930)

A tout système

XVIII. - Toute fonction f ( x, y), holornmphe dans un domaine ( m, p) cerclé D ( mp o ), est déçeloppable en série de polynômes THÉORÈME

>

194

LES FO~CTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

~3

uniformément convergente au voisinage de tout poi"nt intérieur à D. Le polynome entier fn(x, ..r) est aussi un po(ynome homogène, de degré n, 1

en

.Tm

1

et ..r". On a en outre cpn(.x:, .)')

=

• 2 7t

e--infJ j(treimO, ,veiP8)

217C /

d0.

'-11,,0

Corollaire. THÉORÈME

Tout domaine ( m, p) cerclé ( mp

XIX ('). - Si deux domaines (m, p) cerclés, correspondant

aux mêmes valeun; des entiers m et p ( mp n na(ytique X

> o) est univalent.

= (fl ( .:r, }' ) == a.x + ... ,

Y=~Hx,y)=hy+ ...

f't si r un d'eux au moins est borné' on o) sont en correspondance

(l

(ab~o),

*

f'(J, .Y)= by.

:r. y)=-= a.:i:.

1

s,: un domaine (m, p) cerclé D(mp > o, m~p) peut

se représenter sur un domai'ne cerclé borné Â, l'origine restant fixe, D est un domaine de Reinhardt. ** En effet, on peut effectuer sur  une affinité analytique telle que la transformation de Den  ait la forme X=x+ ... ,

~ais alors

Â

Y=.r+ ....

admet des transformations en lui-même, de la forme X'==

Y'= YeiP 6 +- ..• ;

Xeim6_/- ... '

comme ces transformations sont linéaires (théorème' VI),  est un ·domaine de Reinhardt. Comme~ est (m, p) cerclé, o~ peut appliquer le théorème XIX à la transformation de Den  : c'est la transformaLion identique. C. Q. F. n.

XVIII b,:s. - Toute fonction f(x, y), holomorphe dans un domaine ( m, p) cerclé D ( mo < o; on supposera m > o, p = - p') est THÉORÈME

( 1)

v;)Îf'

flU

Chapitre 1V, § 7 ( théorème XXXII), un complément à ce -théo-

rl"me.

* Exception si m = l ou p = l. Si p = 1 par exemple, on. a cp =· ax + cym, tlJ

** (sauf si m =loup= 1) 195

=by.

56

HENRI CARTAN,

déçeloppable en série de Jonctions holomorphes

I

j(x. y)=

Cj)n(X, y)

n=-oo

unzformément conçergente au voisinage de tout point intérieur à D : o, p >

~,

0 ),

1

xm=X,

yïi== Y.

A chaque point x, y du domaine ( m, p) cei'clé D corres·pondent

mp points X, Y d'un domaine cerclé â. Inversement, si le point X, Y décrit À, le point x==Xm,

y==YP

décrit le domaine D recouvert mp fois. En somme, Â est en correspondance biunivoque avec un domaine de recouçrement Dt d'ordre mp du domaine D; les variétés x = o et y= o sont des variétés de ramification pour D 1 • CHAPITRE IV. LES DOMAINES QUI ADMETTENT UNE INFINITÉ DE TRANSFORMATIONS LAISSANT

nxE

UN POINT INTÉRIEUR.

t. GÉNÉRALITÉS. - Demandons-nous si, étant donné un domaine borné quelconque D, on peut en effectuer une représentation analytique biunivoque sur un domaine cerclé, semi-cerclé ou inversement cerclé, ou, plus généralement, sur un domaine ( m, p) cerclé. Un domaine ( m, p) cerclé admet, d'après sa définition, une infinité de transformations analytiques biunivoques en lui-même laissant fixe un point intérieur (l'origine). Le domaine D doit donc, lui aussi, admettre une infinité de transformations analytiques biunivoques en lui-même, laissant fixe un point intérieur. Nous montrerons, dans ce Chapitre, que cette condition nécessaire est aussi suffisante. Bien entendu, tous les domaines envisagés sont supposés respecter la convention [A]. Énonçons dès maintenant le théorème fondamental qui sera établi au paragraphe 5. THÉORÈ)Œ

XX ( 1 ).

-

Tout domaine borné D, uniçalent ou non, qui

( 1 ) Lorsque fai énoncé le théorème VII de ma Note aux Comptes rendus ( 190, 1930. p. 354-356 ), je faisais prévoir qu'il souffrait sans doute des cas d'exception sous la forme où il était énoncé. Sous la forme actuelle, le théorème XX est exact et ne souffre aucun cas d'exception.

197

58

HENRI CARTAN.

admet une infinité de transformations analytiques biunivoques en luimême, laissant fixe un point intérieur O, peut se reprhenter analytiquement sur un domaine ( m, p) cerclé borné 4, le point O venant au centrr du domaine 4.

Nous nous bornerons à démontrer ce théorème dans le cas oti le point O n'est pas un point de ramification ( 1 ) pour le domaine D. En tenant com'.pte du dernier paragraphe du Chapitre précédent, on peut encore donner au théorème XX la forme suivante : Étant donné un domaine borné D qui admet une infinité de tran.~format,:ons en lui-même, lm:ssant fixe un point intérieur, trois cas sont possibles: 1°

D peut se représenter sur un domaine sem,·-cerclé borné.:

2°

D peut se rrprésenter sur un domaine cerclé borné, ou possède un

domaine de recOLwrement d'ordre .fini qui se représente sur un domaine cerclé borné; 3° D peut se représenter sur un domaine inversement cerclé borné, ou possède un domaine de recOLwrement d'ordre fini· qui se représente sur un domm,'ne inversement cercié borné.

Nous verrons au Chapitre suivant (§ 6) qu'il existe des domaines univalents bornés, simplement connexes (homéomorphes à une hypersphère), qui n'admettent qu'un nombre .fini de transformations en eux-mêmes laissant fixe un point intérieur quel qu'il soit. La théorie exposée dans le présent Chapitre ne s'applique donc pas à tous les domaines bornés, même univalents et simplement connexes. Nous ne ferons d'ailleurs, sur les domaines étudiés ici, aucune hypothèse relative à l 'Analysis situs. Le théorème qui est à la base de la théorie est le suivant : THÉORÈME XXI. -- Les transformations analytiques biunivoques d'un domaine borné D en lui-même, qui laissent fixe .un point intérieur O, forment un groupe clos G.

1 ( ) Lorsque O est un point de ramification, la démonstration est beaucoup plus compliquée, et je ne l'ai pas encore mise au point dans tous ses détails.

198

LES .FOXCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

59

Pour établir ce théorème, nous nous placerons dans le cas général où le point O peut être un point de ramification. Prenons le point O comme orîgine, et soit {Sl

X ~f(::v, y),

Y==g(a;, y)

[j ( o, 0) == g( o, 0) =: 0]

la transformation S la plus génèrale du groupe G. Pour montrer que G est un groupe clos, nous ferons voir que, étant donné un ensemble infini de transformations S, on peut extraire de cet ensemble une suite infinie de transformations S,, ... , Sn, ... , X

== f,, ( .x, y),

de telle manière que : Les fonctions /~(x;y) et Kn(x,y) convergent respectivement vers deux fonctions / 0 ( x, y) et g 0 ( x, y), holomorphes dans D, la convergence étant uniforme au voisinage de tout point intérieur à D; 2° La transformation 1°

(1)

X ==/o(x,

.r),

soit bien une transformation du groupe G. La première partie résulte immédiatement du fait que les fonc/ tions f (x, y) et g(x., y), étant uniformément bornées quelle que soit la ·substitution S du groupe ( en effet, le domaine D est borné), forment une famille normale dans le domaine D. Il reste donc à faire voir que si l'on a lim fn(X, ,r)- fo(:X'., )'), limgn(x, y)== g 0 (x, y),

la convergence étant uniforme, les formules ( 1) définissent une transformation biunimque de Den lw:-même, laissant fixe l'origine. On a d'abord

fo (o,

O)

=g

0(

o, O)

== o,

puisque l'on a fn ( o, 0)

~

g 11 ( o, 0) ~ 0

. Cela posé, désignons par y==Gn( X, Y)

199

60

HENRI

CA,RTAN,

la transformation inverse de la transformation Sn, Si les fonctions Fn(X, Y) et G,i(X, Y) ne convergeaient pas uniformément vers des fonctions limites dans le domaine D, on pourrait en tout cas extraire de la suite Si, ... , Sn, ... une nouvelle suite infinie pour laquelle la convergence aurait lieu (il résultera d'ailleurs de ce qui suit que }\ et Gn convergent effectivement, sans qu'il soit besoin d'extraire une nouvelle suite). Nous pouvons donc supposer que l'on a lim Fn(X, Y)== F 0 (X, Y), limGn(X, Y)== G 0 (X, Y):

On a évidemment F 0 (0, o):=G0 (o, o)==o.

Cela posé, la transformation ( 1) fait correspondre à tout point voisin de l'origine O un point voisin · de O. Je dis que l'on a, si le point x, y est voisin de 0, (2)

Fof/0 (.x, y), g 0 (x, y)]== x,

Cela résulte en effet des identités

et de la convergence uniforme. Je dis maintenant que la transformation ( 1) fait correspondre à tout point x, y intérieur à Dun point X, Y intérieur à D. En effet, le point x, y étant fixé, le point fn(X, y),

8n(x, y)

est intérieur à D quel que soit n;·donc, à la limite, le point fo(X, y),

8o(x, y)

est intérieur à D, à moins qu'il ne soit un point frontière de D. Montrons qu'il ne peut pas être un point frontière. Pour cela, raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe une courbe C, intérieure à D, partant du point O et aboutissanfen un point intérieur M0 (x 0 , y 0 ), telle que le transformé d'un point quelconque M de C par (1) soit intérieur à D, saufle transformé de M0 qu'on suppose être un point frontière de D.

200

LES FONCTIONS DE

DEUX VARIABLES COMPLEXES.

61

Nous allons montrer qu'une telle éventualité est impossible. Considérons en effet les fonctions

Si l'indice p reste fixe, et si l'indice n augmente indéfiniment, ces fonctions convergent uniformément, au voisinage de l'origine, vers Fp[f0 (x, y), g 0 (x, y)];

or ces fonctions sont uniformément bornées dans D, où elles forment par suite une famille normale. D'après un théorème connu, elles convergent uniformément dans tout le domaine D. Soit alors p(x, y) la fonction limite. On a, au voisinage de l'origine, (3)

cl>p(x, y)= Fp[f0 (x, y), 8o(X, y)].

On établirait de même l'existence d'une fonction Wp(x,y), holomorphe dans D, qui satisfait, au voisinage de l'origine, à l'identité ( 3')

Des identités précédentes on tire, si le poi.nt x, y est voisin de l'origme, (4)

\/o (x, y)= fp[cl>,,(x, y), Wp(x, y)],

/ g 0 (x, y)= gp[cl>,,(x, y), Wp(x, y)].

Les identités ( 3) et ( 3') ont lieu tant que le point x, y décrit la courbe C, puisque le point / 0 (x, y), g 0 (x, y) correspondant reste inlérieur à D; donc le point p( x, y), Wµ( x, y) reste intérieur à D quand x, y décrit C. En outre, le point p(x 0 , y 0 ), Wp(x 0 , y 0 ) est bien déterminé; c'est un point frontière, sinon les identités ( 4) donneraient pour le point / 0 (x, y), g 0 (x,. y) un point intérieur, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi le point p(x 0 , y 0 ), Wp(x 0 , y 0 ) est frontière quel que soit p. Or, lorsque p augmente indéfiniment, les fonctions p( x, y) et Wp(x, y) convergent uniformément, au voisinage de l'origine, vers F 0 [!0 (x, y), g 0 (x, y)]= x

et

Go[./o(X, )'), 8o(X, y)] =y.

Comme la famille ( u ), holomorphe et non nulle dans le domaine 0 complété, sauf au voisinage du point 0, où l'on suppose qu'elle a la forme tl> ( u)

=

111,

il "",ï

tl>, ( ll ),

cl> 1 (u) étant holomorphe et non nulle au point O. Soit de même W( u) une fonction holomorphe et non nulle dans le domaine ô complété, sauf au voisinage de 0, où l'on suppose

=n-nlf,(u), P2

1.V(u)

W.1 (

u) étant holomorphe et non nulle au point O.

Effectuons la transformation

Le domaine à se trouve transformé en un domaine inversement cerclé à. D'ailleurs X 1 et Y I sont des fonctions de x ety, holomorphes en tout point de D, sauf peut-être sur la variété V. Mais elles sont aussi holomorphes sur V, car on a, au voisinage de V, X.,(.x, y)==

F(:1:, .r)

..,,. [l" '(:1:, y). G ( ..c,

m1 q,,J

.rn,

[F(x, y) G(.:1:, y)fû

y i(m,y )= - - -G(.x,y) -~

Pi

lli'[I'( a·(_.1:,y)I. . 1 • x,y)

[F(x, y) G(a:, y)] ,ï

En outre, X 1 (x, y) n'est pas nulle sur V 17 et Y 1 (x, y) n'est pas nulle sur V 2 • Le domaine ô s'est transformé en 81 par

Le point O s'est transformé en un point 0.1 intérieur à 01 • On a, en effet ( théorème XIV), X (

X 1 , Y1 ) ==

I

X't fn ( ll 1 ) +

I n=I

216

Y~1 g n{ll1 ) ,

LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

77

les fonctions /,i( u1 ), gn( lli ), h.,i( u 1 ), kn( u,) sont méromorphes au point O,; en outre, X~1 f,i(u1), Y~tgn(ui), X7hn(u,), Y'.'kn(11 1) ne deviennent pas infinies. Or-, si le point ( x, y) est sur V 1 , X, n'est pas nul; donc les/,z(u 1 ) et les h,i(u 1 ) restent finies au point 0,; de même, six, y est sur V 2 , Y 1 n'est pas nul, donc les g,i( u 1 ) et les k11 ( u.1 ) restent finies en O 1 • La convention [B l est respectée sur V, et V 2 • Elle l'est aussi sur V 3, • • • , sinon l'on aurait X,= Y 1 = o sur ces variétés; mais alors x(X 1 , Y 1 ) et y (X,, Y 1 ) auraient des valeurs bien déterminées, ce qui serait précisément contraire à l'hypothèse. Ainsi, au moyen de la transformation ( 15), la convention [B] se trouve respectée sur la variété V tout entière. Le raisonnement s'achève alors comme dans le cas d'un domaine semi-cerclé.

a.

CoMPLÉl\lENTS AU TIIÉOltÈME :FONDAMENTAL. Soit D un domaine borné qui admet une infinité de transformations en lui-même, laissant fixe un point intérieur 0, supposé à l'origine. Comme plus haut, nous admettrons, dans ce qui suit, que le point On 'est pas un point de ramification pour le doma,:ne D. Soient G le groupe de toutes les transformations de D en lui-même, qui laissent fixe O, et r le groupe linéaire associé. On peut effectuer sur D une affinité analytique convenable, de façon que r rentre dans l'une des catégories énumérées au théorème XXIII. Comme on l'a vu au paragraphe 3, on peut alors effectuer une transformation

y =G(.'C, y)-=y + ...

X== F(.c, y) =.r +- ... ,

du domaine Den un domaine (m, p) cerclé bomé .i. Si le groupe G dépend d'un seul paramètre, il n'y a rien à dire de plus. Supposons maintenant que G dépende de deux paramètres exactement; alors r contient toutes les substitutions (') Y'== Y ei~.

et, en particulier, les substitutions ( 18)

Y'== Ye;rJ_

X'=XeïO,

( 1 ) Toujours à conditio11 d"effectuer s1u· Dune affinitt·~ ro11ve11nhl cos 9 - y ei, c,>', cp ),

y'= g( x, y; r,>, c,/, ? )

les transformations correspond.antes du groupe G. Nous allons former un système de deux fonctions Y= G ( .:r, y) =. y

( '.). f)

+ ... ,

qui subissent la substitution linéaire ( 19) lorsqu'on effectue sur x et y la transformation ( 20 ). Le domaine â, engendré par ces fonctions, sera donc invariant par toutes les substitutions ( 1 g); ce sera forcément une hypersphère. Je dis que la transformation ( 21) respectera la convention [BJ; en effet, si l'on avait F(..r,y)==a,

G(x,y)==b

en tous les points d'une variété V intérieure à D, on aurait forcément a= b = o (raisonnement déjà fait au paragraphe 4); l'hyper-

218

LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

79

sphère  devrait admettre l'origine comme point frontière, ce qui est absurde. Puisque D peut se représenter sur une hypersphère, le groupe G c. Q. F. D. dépend de quatre et non de trois paramètres. Il nous reste à former les fonctions F(x, y) et G(x, y) annoncées. Observons d'abord que l'on obtient toutes les transformations ( 19) en faisant varier indépendamment w de o à 21t, w' de o à 21t, et cp de o

à;· Si nous posons x==x + ix 1

nées du point transformé de x sont:

2,

y==y1 + 1:y 2 , les quatre coordon-

= 1, y== o

par la transformation (19)

. cp, y 1 == cosw ' sm

x 1 == cosw coscp, x 2 == sin w coscp,

. w ' sin . cp. y 2 ==- sm

On obtient ainsi une représentation paramétrique de l'hypersphère

L'élément de surface ( à trois dimensions) de cette hypersphère est donné par dr(,,>, ,,)', cp)==sincpcoscpdwdw'clc.p_.

Il est in variant par toute transformation ( 19 ), car la surface de l'hypersphère n'est pas changée par une rotation autour du centre. L'élément d~ n'est d'ailleurs autre que l'élément de volume inP.ariant qui existe toujours dans l'espace d'un groupe linéaire clos (1 ). Désignons par T le volume total, d'ailleurs facile à calculer. Cela posé, envisageons la substitution inverse de ( 19)

+ y 1eiW' SÎil (fi., y == - x' e-iw' sin cp + y' eiw cos cp, X== X' e-lco> CüScp

et le5 intégrales F{.1:, y)==

'f f 1·1[

e-i0tcos~/(.x, y;

+

G(.r, y)==

ei°'' sin~ g( x,

y;

oi:, oi:', ~)

oc, oi:', ~)] d1:( oc, oc', 'f ),

Tf f f [-- e-i0t'sintjl /(te, y; oc, oc', tjl)

+·ei.

Avant de résumer tous les résultats obtenus, observons que la méthode qu'on vient d'employer est tout à fait générale : étant donné un domaine borné D,, non ramift'é à l'origine, dam l'espace d'un nombre quelconque de variables complexes, on peut tr01wer un système de fonctions holomorphes dans D X=F(x·,y, z)==x+ ... , Y=G(x·,y, z):::=y+ . .. , Z= H(x, y, ,z) =::.z + ... ,

telles que toutes les transformations de Den lui-même, qui laissent fixe l'origine, se traduisent par des substitutions linéaires sur les fonctions F, G, H. En effet, si les transformations envisagées sont en nombre infini, elles forment un groupe clos (1 ), et l'on se sert de l'élément de volume invariant du groupe linéaire clos associé. Si les transformations sont en nombre fini, on remplace les intégrales par des moyennes arithmétiques. Résumons maintenant les résultats ol,tenus dans le présent paragraphe, en les combinant avec le théorème XX. XXV. - Si un domaine borné D admet une injinité de transformations analytiques biunivoques en lui-même, laissant .fixe un point intérieur (2) 0, ces transformations dépendent de un, deux ou quatre paramètres. Si elles dépendent d'un seul paraml'lre, le domaine D peut se rf'préTHÉORÈME

( 1 ) Le théorème XXI s'étend évidemment au cas d'un nombre quelco1111uc de variables complexes. ( 2 ) On s,est borné au cas oü O n'est pas un point. de ramification.

220

LES FONC.TIONS DE DEUX VA.RIA.BLES COMPLEXES.

81

senter sur un domaine ( m, p) cerclé. borné à, le poi"nt O venant au centre dei. s,: elles dépendent de deux paramètres, le domaine U peut se représenter sur un domaine de Reinhardt borné 4, le point O venant au centre dei. Si elles dépendent de quatre paramètres, le domaine D peut se représenter sur une hypersphère de rayon fini, .et admet par conséquent des transformat,:ons en lw:-mêmequi dépendent de huit paramètres, le point 0 · pouvant être amené en un point quelconque de D.

Nous avons vu C) qu'un domaine (m, p) cerclé borné (m-=/-= p) ne peut pas, en général, se représenter sur un domaine de Reinhardt, l'origine restant fixe. Cette proposition est encore vraie si m = p, car un domaine cerclé borné ne peut se transformer en un domaine de Reinhardt que par une affinité analytique, au moins si l'origine reste fixe. En tenant compte du théorème XXV, on voit que, en général, les transformations d'un domaine (m, p) cerclé borné en lui-même, qui laissent fixe le centre, dépendent d'un seul paramètre (2). 6. RETOUR AUX GROUPES CLOS DE SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. - Partons du Corollaire du théorème XXIII. Cherchons tous les groupes clos de substitutions linéaires qui contiennent un sous-groupe donné de la forme x'==xeim6,

y'==yeïPO.

Nous distinguerons deux cas suivant que m = p ( = 1), ou m ':;é p. THÉORÈME XXVI. Étant donné un groupe clos de substi"tutions linéaires homogènes complexes à deux variables, qui contient· le sousgroupe

x'==xeï6,

y'==yeïfl

( 0 réel quelconque),

(1) Chap. III, § 11. (

2

)

Voir, au paragraphe 7, des propositions plus précises ( théorèmes XXVIII

et XXX).

.

221

HENRI CARTAN.

on peut effectuer sur les vart'ables une substitution linéaire telle que le groupe transformé rentre dans l'une des catégories suimntes: Groupes à un paramètre : groupe résultant de la combinaison des substitutions ( 22) avec les substitutions d'un groupe de substitutions unimodulaires en nombre fini. l

0

2°

Groupes à deux paramètres .• groupe des substitutions x'=xeii:x,

y'==yei~

( o: et ~ réels quelconques),

éventuellement combinées avec Ja substitution x'==-y,

y'=x\

3° Groupes à quatre paramètres : groupe de toutes les substitutions qui laissent invariante la forme xx+ Pour établir Je théorème XXVI, il suffit de passer en revue les cas énumérés au théorème XXIII. Nous allons maintenant démontrer le théorème suivant :

yy.

THÉORÈME XX VII. Tout groupe clos de substitutions linéaires homogènes complexes à deux variables, qui contient un sous-groupe donné

x'=xeim6,

y'= yeiPfJ

(m ~p)

rentre dans l'une des catégon:es suivantes: 1° Groupes à un paramètre: groupe résultant de la combinaison des substitutions (23) avec celles d'un groupe

2/•1t

.x'==,ve

y'=ye

",

2/1t n

( n entier fixe, k entier quelconque), et éventuellement ( mais seulement dans le cas où m = - p) avec une substitution de la forme ~

x'=Rye

l-

n,

I

y'= R.xe

'Tt

i-

n

(R>o)

[l'entier n est le même que dans la substitution ( 24) ]. 2° Groupes à deux paramètres : groupe des substitutions x'=xeta.,

y'==yei~

( o: et ~ réels quelconques),

222

LES FONCTIO~S DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

83

éventuellement combinées avec une substitution de la forme :r:'=== Ry,

3° (Seulement dans le cas où m =:;:. groupe de substitutions de la forme

-

p) Groupes à trois paramètres :

x'==- xeiwcoscp -- Ryetw'sincp, y'==-

( w,

w',

~ x e-iw' sin 9 + y e~-i cos cp,

cp réels quelconques, R.> o fixe),

éventuellement combinées avec les substitutions d'un groupe de la forme (24). Ir Groupes à quatre paramètres : groupe de la forme O

.v'=== .x·ei(O+w)coscp y'===

( 0,

(ü,

i.

xei\O-w') sin cp

Ryei(O+w'JsinO,

éventuellement combinées a"·ec des substitutions, en nombre fini, de la forme ;:c' == :x e

2i~ 11

2/1t

+ . ~ .,

y'=::: ye

"

+ ...

( n fixe, k variable), -

et peut-être aussi ( mais seulement dans le cas oû m = substitution de la forme .1t

z-

.:r:'::::::::. Rye n

+ ....

y'==

I

-

p) avec une

1t i-

R. xe n+ .. ..

En effet, dire que D ne peut pas se représenter sur un domaine de Reinhardt dans une transformation qui laisse fixe l'origine, c'est dire ( théorème XXV) que les transformations de D en lui-même, qui laissent fixe l'origine, dépendent d'un seul paramètre. Il suffit alors de leur appliquer le théorème XXVII. c. Q. F. n.

227

88

HENRI CARTAN.

En tenant compte des résultats du Chapitre III, on

Corollaire.

voit que:

~.:;:-1,~=,d . Si mp o ( m ~ p ), les transformations d'un domaine ( m, p) cerclé borné D en lui-même, qui laissent fixe le centre, ont la forrne 1°

>

x'=xe

y'= ve V

i

(m8+ 2 k'lt) nJ

,

i(p8+:!.'lt) n

V

'

à moins que D ne soit un domaine de Reinhardt. 2° Les transformations d'un domaine semi-cerclé borné D en luimême, qui laissent fixe l'origine, ont toutes la forme

x'= j(x),

y'=yg(x),

sauf peut-être dans le cas où D peut se représenter sur un domaine de Reinhardt avec conservation de l'origine. 3° Les transformations d'un domaine inversement cerclé borné D en lui-même, qui laissent fixe le centre; ont la forme x'=xf(xy),

y'==y g(xy),

,c'=y f 1 (xy),

y'==

ou la forme X

g1 (xy),

sauf peut-être dans le cas où D peut se représenter sur un domaine de Reinhardt avec conservation de l'origine.

4° Si mpo,p=-p',m~p'), les transformations d'un domaine ( m, p) cerclé borné Den lui-même, qui laissentfixe le centre, ont toutes la forme ,c'= x j(xP'ym),

y'== y g( ajP'ym ),

sauf peut-être dans le cas où D peut se représenter sur un domaine de Reinhardt, avec conservation de l'origine. Pour trouver la forme des transformations d'un domaine (m, p) cc-rclé borné D en lui-même, qvi laissent fixe l'origine, dans le cas où D peut se représenter sur u~ domaine de Reinhardt, il suffit de combiner les résultats du Chapitre III avec le théorème XXIX. Nous laissons ce soin au lecteur.

228

LBS FONCTI()NS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

89

TetORÈME XXXI. s,: un domaine ( m, p) cerclé borné D peut se transformer en un doma,,"ne ( m', p') cerclé D', l'origine restant fixe, et si l'on a

mp'-pm'~o,

alors D peut se transformer en un domaine de Reinhardt ( l'origine restant fixe), sauf peut-itre si, mm' - pp' étant nul, la transformation a la forme y == a' ~JJ -1- ...

X==by+ .. . ,

Nous pouvons supposer m ~ p et m' ~ p'; nous avons vu en effet (Chap. III) que si un domaine (m;p) cerclé peut se représenter sur un domaine cerclé (l'un au moins des deux domaines étant borné), il peut se représenter sur un doinaine de Reinhardt (1 ). Cela posé, soit X== >. Nous dirons qu'un domaine  non ramifié est maximum au sens large si, étant donné un point frontière quelconque x 0 , y O de Â, il existe une fonction f ( x, y) holomorphe dans .:i et non holomorphe en x 0 ,y 0 • THÉORÈME XLII. - 5,ï un domaine borné D non rami.fié admet une infinité de transformations en lui-même laissant fixe un 'point intérieur, et s'il est maximum au sens large, il est maximum. En effet, il existe un plus petit domaine maximum  contenant D ; en raisonnant comme pour le théorème XL, on montre que  est identique à D.

â. LES DOMAINES MAJORABLES. - Nous dirons qu'un domaine D est majorable, /il n'est pas ramifié, et s'il existe un domaine .:i, non ramifié, maximum au sens large, qu,; contient D et jouit de la propriété suivante: toute fonction f ( x, y) holomorphe dans D est auss,; holomorphe dans .:i. On voit sans peine que si un domaine .:i' jouit vis-à-vis de D de la même propriété que .:i, .:i' est identique à Â. Le domaine  sera dit associé au domaine D. Tout domaine maximum au sens large, et a fortiori tout domaine

247

108

HENRI CAHTAX.

maximum, esl évidemment majorable. Tout domaine ( m, p) cerclé èst majorable. T11É0Rh1E XLIII. - Soient Dun domaine majorable, et  le domaine associé. Si une transformation

(G)

:c'= .f (::c, y),

transforme D en un domaine D' non rami.fié, D' est lu,:-même majorable, et le domaine A' associé à D' n'est autre que le transformé de A par (6).

En effet, f(x, y) et g(x, y), étant holomorphes dans D, sont holomorphes dans Â. En outre, la fonction D( f, g) D(x, y)'

qui est holomorphe ét non nulle dans D, est holomorphe et non nuJle dans Â. La transformation (6) transforme donc  en un domaine non ramifié A'. Soit (7)

y=G(x',y')

x= F(x', y'),

la transformation inverse. Il faut montrer : 1° Que toute fonction (f) ( x', y') holomorphe dans D'est holomorphe dans A'; 2° Que A' est maximum au sens large.

Le premier point s'établit à l'aide d'une méthode déjà utilisée pour le théorème XLI. Pour montrer que A' est maximum au sens large, raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un point frontière x~, y~ de A' jouis-' sant de la propriété suivante : toute fonction holomorphe dans A' est holomorphe en x~,y~. Alors ;F(x',y') et G(x',y') seraient holomorphes en x~,y~; en outre,

~(

qui laisse fixe le point O et transforme D en un domaine intérieur M' son transformé. Je dis que l'on a

à D (•). Soient M un point quelconque intérieur à D. d(M')~d(M). ( 1)

Voir le n° 1 de cet article, et, en particulier, la note ( 1 ) de la page

262

2.

-~Soit en effet 9(x, y) une fonction holomorphe dans D, null~ en 0, dont le module est plus petit que un dans D et égal à d(M') au point M'. La fonction ~(x, y)=== qi[.f (x, y):. g(x, y)]

est holomorphe et de module plus petit que un dans D; elle est nulle en 0, et son module est ég·al à d(M') au point M. Ona donc.; d'après la définition de d(M), d(M)~d(M'). C. Q.

F.

D.

Plaçons-nous, en particulier, dans le cas où D est l'hypersphère

le point O étant à l'origine. On a alors

x et y désignant les coordonnées du point M. Par conséquent, si une transformation de la forme (6) laisse fixe l'origine et transforme l'hypersphère en un domaine intérieur, on a ( 1 ) l

.f(.x, YW+ 1 g(.x, y)

1

2

~

1

;z:J 2 +

1

Y J2 •

Revenons à un domaine borné quelconque D, univalent ou non. Soit O un point intérieur à D, que nous supposerons n'être'pas un point de ramification, et que nous prendrons pour origine des coordonnées. Soit I une hypersphère de centre O complètement intérieure à D. En tout point de I ou de sa périphérie r, d(M) est différent de zéro, sauf au point O; en effet, si la constante 'k est assez petite, les fonctions kx et ky ont leurs modules inférieurs à un dans D, et l'une au moins d'entre elles n'est pas nulle au point M. Donc d(M) n'est pas nul. Cela posé, lorsque M décrit r, d(M) admet une borne inférieure p qui est atteinte en un point de f, puisque d(M) est une fonction continue. Donc p n'est pas nul. Soit alors r un nombre positif inférieur à p, et soit D,. l'ensemble des points M de I pour lesquels on a d(M) ~ r. (1) Nous avions annoncé cette proposition au

263

0°

2 du présent article.

-JO-

Dr est un domaine fermé complètement intérieur à l., et, a fortiori, complètèment intérieur à D. Si D,. n'est pas connexe, il se compose .de domaines connexes dont l'mi  contient le point O à son intérieur. En tout point intérieur à Â, on a d(M)

< r,

sans égalité possible, puisque d(M) n'a.dmet aucun maxrnrnm relatif. Je dis que, dans toute transfom1ation analy1ique du domaine D en un domaine intérieur à D, qui laisse fixe l'origine, l'ïntérieur de  se transforme en un domaine intérieur à Â. Dans le cas contraire en effet, il existerait au moins un point 1VI intérieur à  dont le transformé M' serait un point frontière de Â; on aurait donc

> d(M°>,

d(M')

ce qui est impossible, comme nous l'avons vu. Je dis en outre que le domaine  jouit de la propriété suivante: LEMME 3. Etant donné un ensemble infini quelconque de transformations analytiques dont chacune .laisse fixe le point O et transforme le domaine D en un domaine intérieur à D, les transformés d'un point quelconque ·Mo, interieur à A, non seulement sont tous intérieurs à Â, mais ont tous leurs points limites intérieurs à Â.

En effet, soit M 0 un point intérieur à Â, et soit d(M 0 )

Soit

Â1

l'ensemble des points de

=l< Â

r.

pour lesquels on a

d(M)~l;

est un domaine fermé complètenient intérieur à Â. Or, considérons l'une quelconque des transformations envisagées dans l'énoncé du lemme; elle transforme M 0 en un point M'0 pour lequel on a Â1

d(M'0 )~d(Mo)

=

l;

les transformés de l\1 0 appartiennent donc tous à .1 1 ; par conséquent, leurs points limites sont tous intérieurs à Â. C.

264

Q. F.

D.

-HLe théorème l bis va se déduire immédiatement du lemme 3. Reprenons en effet les notations de son énoncé; tant que le point x, y est intérieur à â, le point/(.x,y), g(x, y) estaussi intérieur à â, d'après ce qui précède. Appliquons alors le théorème I au domàine 4 et à la transformation j(x,y)==x+ ... ,

g(x,y)==y+ ... ;

on voit que l'on a, dans â, f (.T 7 y)=: x,

Or f et g sont holomorphes dans le domaine D tout entier; les identités précédentes ont donc lieu dans le domaine D tout entier. Le théorème I bis est ainsi établi. 5. Il nous faut encore établir un lemme avant de démontrer le théorème li.

4. -

Soit une suite infinie de couples de fonctions /,i(x, .r), gn(:;r, y), holomorphes dans un domaine quelconque D; supposons que, pour chaque valeur de n, le domaine Dn engendre par/net gn soit intérieur à D, et supposons en outre que l'on ait lim/n(x,y) == :1.:, LEMME

n~oc

limgn_(x,y) ==-Y, l!~X>

la convergence étant uniforme au voisinage de tout point inté...rieur à D. A lors, étant donné un point P quelconque intérieur à D" le domaine D 11 contient le point P à son intérieur pour toutes les valeurs den ù partir d'un certain rang. En effet, supposons d'abord que P ne soit pas un point de ramification pour le domaine D, et soit .I une hypersphère de centre P inté6eure à D. Le déterminant fonctionnel D(fn, gn) D(x,y)

converge uniformément vers un dans .I et, par suite, ne s'y annule pas si n est assez grand. Le nombre des solutions du système

265

-

12-

d'équations 8n(x,y)

=

b,

intérieures à l'., est alors donné par l'intégrale triple de Kronecker étendue à la périphérie de l.. Prenons pour a et b précisé-ment les coordonnées du point P. Sin augmente indéfiniment, /n(x, y) et g 11 ( x, y) convergent uniformément vers x et donc la valeur de l'intégrale de Kronecker tend vers le nombre dés solutions du système

·y;

a:= a.

y=b,

intérieures à .I, c'est-à-dire vers un. Par conséquent, si n est assez grand, le système ( 7) a une solution intérieure à l,; le domaine D.,i contient donc le point P à son intérieur. c. Q, F', n. Si P est un point de ramification pour D, il suffit de transformer le voisinag·e de P en un voisinage univalent, et l'on retombe sur le raisonnement précédent. Le lemme est donc établi. H. Démonstration du théorème II. - La première partie dn théorème a déjà été établie ( corollaire du lemme 1 ). Il reste à montrer que, si 1

ab'--"- ba'

1

=

1:

la transformation ( 1) est une transformation biunivoque du domaine D en lui-même. Or, d'après le lemme 2, on peut supposer que la transformation a la forme g(x 1 y) =yei~+ .. .. (Cl. et·~ réels).

(.3)

Désignons cette transformation par S. Pour montrer que S est une transformation biunivoque de Den lui-même, je ferai voir:

a. Que deux points distincts quelconques de D sont transformés par S en deux points distincts de D; b. Que tout point de D est transformé d'un certatn point de D par S. La

ni•nne

itérée de S a évidemment la formP

/11(.r,y)

~-~

.reinCf. __:- .. ·:

/f11(x, y) =yein~+ .. ..

Deux cas sont donc à distinguer.

266

-

-13-

Premier cas. - oc et~ sont tous deux commensurables avec 1r. Alors il existe un entier p tel que l'on ait fp(x,y)

::=....:;

x + ... ,

Gp(x,y) ==-Y+ ... '

et, par suite, d'après le théorème I, fp(x,y)

== x,

Kp(x,y) ==y.

Autrement dit, SP est Ja transformation identique. Cela posé:

a.· Soient M et M' deux points quelconques distihcts de D; si leurs transformés par S étaient confondus en un même point de D, leurs transformés par SP == Sp-t S ( 1 ) seraient aussi confondus, ce qui n'est pas, puisque SP est la transformation identique. b. Si un point P de D n'était transformé d~aucnn point de D par S, il ne serait transformé d'aucun point de D par SP== SSP- 1 , ce qui est absurde. S est donc bien une transformation biunivoque de D en lui-même.

Deuxième cas. - L'un an nwins des nombres oc et (3 est incommensurable avec rr. Un raisonnement classique montre que l'on peut alors trouver une suite infinie d'entiers p 1 , • • • , p 11 , • • • telle que l'on ait limeifl,.°'= limeifJ,.~= n:~ :r.

1.

n-r,.,

D'autre part, on peut extraire de la suite Pn une nouvelle suite infinie q,, telle qne l'on ait limfq,.(,x~y) ==f(:r,y)-:=:i.: + ....

n~..,

limg,,,.(.i::y) == g(.r,y) ==-Y+ ... :

n r "°

la convergence étant uniforme au voisinage de tout point intérieur à D. D'après le théorème Ibis, on a ;r(.1·:.Y) ==Y·

( 1 ) A et B désignant deux transformations, je dèsigne par AB le produit de ces deux: transformations, la transformation B..étant effectuée la première.

267

-14Cela posé :

a. Soient M et M' deux points quelconques distincts de D; si leurs transformés par S étaient confondus, leurs transformés par Sqn== Sqn- 1 S seraient aussi confondus. Or S"n(M) tend vers lVl, et Sqn(M') tend vers M'. Il y a contradiction. b. Si un point P de D n'était transformé d'aucun poi:O:t de D par S, il ne serait transformé d'aucun point de D par S'Tn == SS 11 n - 1 • Mais ceci est en contradiction avec le lemme 4. S est donc bien une transformation biunivoque de D en luimême, et le théorème II se trouve enfin complètement démontré.

Remarque. -

Si D est un domaine cerclé borné, et si 1

ab' - ba'

1

= 1,

alors les fonctions f(x, y) et g(x, y") sont nécessairement linéaires; on sait en effet que toutes les transformations d'un domaine cerclé borné en lui-même, qui laissent fixe le centre, sont linéaires ( t ) •

7. Étude de quelques cas d'application du théorème II : TuioRÈME HL - Soit Dun domaine borné contenant l'origùœ, et non ramifié à l'origine. Supposons que les fonctions

j(x,y) == a.c + by + ... '.

g ( .r, y)

== a' x +

b',r

+ ...

transforment D en un domaine intérieur à D; supposons de plus qu'un certain domaine D., contenant l'origine, intérieur à 'D et univalent par rapport à .D, soit transformé en lui-même de manière biunivoque par la transformation ( 1) . .A lors cellt~ dernière définit aussi une transformatr:on biunivoque de Den lui-mê11te. En effet, puisque le domaine D 1 est transfor;:né en lui-mème, on a 1

ab' - ba' 1 ~ 1 :

( 1 ) Voir [A] Cbai'itre II, n° 6, théorème VI. Voir aussi ma Nole aux Comptes rendus déjà citée ( t. 190, 1930, p. 718).

268

-

15-

mais la transformation inverse montre que l'on a aussi 1

ab'-ba'

1~1,

et, par sui Le, 1 ab' -

ba'

1

= 1.

Le théorème Il s'applique alors. THÉORÈME

C. Q• F. D.

IV. - Soien·t

.f(x,y) == x 0 + ax + by _:_ ... ,

g(:t,y) ==y0 +a' x

+ b'y+ ...

deux fonctions holomorpltes dans l'hypersphère

1X ri+ I.Y 12< 1, et ·satisfaisant à f inégalité On a alors

:,

1ab' -

ba'

1;; (1- XoXo-Yo.Yof,

et, si l'égalité est atteinte, les fonctfons /(x,J·) et g(x,y) définissent une transformation biunivoque de l'hypersphère en elle-même, et, par suite, sont homographiq_ues. Soit en effet Y= G(.x,y)

une transformation biunivoque de l'hypersphère en-elle-même, qui amène le point

= ,l'o,

~Y=J'o

X=o,

Y=o.

:r:

au ccnlre On peut prendre par exemple . I -;- ..,(· . ·) _ XX.1+ Y.Yo-(.xo.xo+ YoYo) V XoXo-!--.VoYo 1 :X'.). = _ _ , 1-XXo-YYo ./ ~ . , (,ro.Y.;._YoX)\/1-xo.xo-j"oYo VXoXo.-YoYoG(x,.:vJ== _ • 1-xxo-.YYo

Je considère les fonctions

/1 (:,·1y)== F [f(.r: y),

,.;,·(:.t' 0, 4>1, ... , 41tn_ 1 étant des fonctions de x, uniformes et méromorphes au voisinage de x == o. Ces fonctions sont même holomorphes, car les intégrales (i=o·i 1, ... , n-1)

restent finies pour x

= o, puisque J cp(M)dx reste finie.

Or, effectuons la division de Q(y, x), polynome en y, par

y - Yi ; il vient Q(y,x) -_yn-t+b 1 -yn-2 , .. ·

y-y1

.

288

• •

+b n-t,

-Ules bi étant des pol:ynomes en .14, à coefficients holomorphes en x. Multiplions les relations ( 4) respectivement par bn_ 1 , bn- 2 , ... , b 1 , 1 et ajoutons: il vient

+ b1 J,.7- 2 +

... + bn-1) cp(M1) cl>n-1 + b, n-2+, .. bn.-1 o

(y'i1-i

=

+

= q( x, Y1 ),

= o, .Y1 = o: c'est

q(x, y 1 ) étant holomorphe au voisinage de x même un poly.nome en y· 1 ; d'ailleurs n-1

Yi

b

n-2

+ 1Y1

Ainsi

a

Qi,

+. · .+

b

x) cp( M)

n-1

=

=

aQ(y1,

q (.x,

d),·

x)

•

.Y>·

Or F ( x, y)== Q (y, x) eI'(.r,Y),

r ( x, y) étant holomorphe au voisinage de l'origine ( théorème de Weierstrass). Donc

sur la courbe F == o. On a enfin

F:,. 9(M) = q(.r., y) eI' = p(x, y). Le théorème VI est donc établi.

9. Les adjointes. - Nous en donnerons une définition transcendante. Une fonction entière P(x, y) sera dite adjointe (et la courbe P = o courbe adjointe) si l'intégrale

f

P(.x', y) d.).: F'y

est de première espèce. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que cette intégl'ale reste finie en chaque point ,rwltiple de la courbe C. On a en effet P(.x, y) dy F':r:

P(J:: y) dx

F'.r puisqu'on a, sur la courbe C,

289

'

-

H> -

Donc, quelle que soit la fonction entière P(.x, y), l'intégrale envisagée reste finie en tout point simple de la courbe C. La définition des adjointes est invariante par rapport aux changements de coordonnées; car si l'on pose ( ab' - ba' ~ o) ;c == a X+ b Y,

y=a'X+b'Y,

P(x., y) devient Q(X, Y), F(x, ~Y) devient G(X, Y), et l'on a, sur C, P ( x, }'') dx _ ( b' b , ) Q ( X, Y) -a-a , dX • , F .r Gv

Il existe une infinité d'adjointes; par exemple tonte fonction de la forme R

== AF~+ HF\.~~-- CF,

A, B, C étant des fonctions entièœs de x et

.r,

est une adjointe,

car on a Rdx

-F'- = .r

=

-l dy .

+ H d:.c .

sur la courbe F o. On peut se proposer de chercher des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction entière P(x, y) soit une adjointe, conditions qui fassent intervenir le « comportement » de P au voisinage de chaque point. multiple. On vérifie sans peine que, en un point multiple d'ordre m à tangentes distinctes, P(x, y) doit s'annuler ainsi que ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre m - 2 inclus; cette condition nécessaire est aussi su"ffisante. Dans le cas d'un point multiple quelconque, les p1·emiers coefficients du développement de P au voisinage de ce point doivent satisfaire à un nombre fini de relations linéaires homogènes; en tout cas, il suffit que la courbe P o admette le point considéré comme point multiple d'ordre suffisamment grand.

=

to. Les fonctions ltolomorphes sur la courbe. - Si cp(M) uniforme et holomorphe,

est

f cp(M) dx est une intégrale de première

espèce. On peut donc écrire 11,f) -

9 ( 1,.. -

P(x, y)

F' .r

'

P ( x, y) étant une adjointe. Inversement, pour que

290

P(x Y) ~

F:

.r

reste

-16-

finie sur C, il ne suffit pas que P soit une adjointe : on doit encore exprimer que, en un point multiple ( t) comme en un point où

F'r= o(F'.r ~ o ), F1:y reste finie sur C. . THÉORÈME Vil. -- Q ( x, y) étant une adjointe arbitraire, toute fonction 9 (M), uniforme et holomorphe sur la courbe, peut

se mettre sous la Jorme adjointe.

~~::~~' P(x, y)

étant une autre

En effet, l'intégrale

reste évidemment finie sur la courhe. On peut donc écrire . M . Q(x, y) 9 (_ l ) V'

=

l'y

P(x, y) F'

y

,

P(x, .r) étant une adjointe, ce qui démontre le théorème. ll se peut d'ailleurs que les courbes P = o et Q = o aient une partie commune.

Cas particulier. - Si la courbe C n a pas de points multiples, la constante un peut être considérée comme une adjointe; donc toute fonction uniforme et holomorphe sur C peut se mettre sous la forme d'une/onction entière P(x, y). Cette proposition 1

résultait d'ailleurs de l'étude faite lors de la démonstration du théorème 1.

Anplication. - Soient, dans le plan de la variable complexe x, des points a,, en nombre fini ou infini (lim a 11 = oo dans ce dernier cas). Formons une fonction (f ( .'.l') admettant ces points pour pôles, et holomorphe partout ailleurs à distance finie. Considérons la variété ( 1)

Prenons par exemple la courbe y

2

x 3 = o; x est une adjointe, o x et y sont des fonctions de z, uniformes et

Hi. Dans le second cas, où z

quand M décrit C 1 , holomorphes pour z 2 > o, quise reproduisent par les substitutions d'un groupe fuchsien ou fuchsoïde G. Il en sera ainsi toutes les fois que C ne sera pas simplement connexe, ni représentable sur une sphère privée de deux points. Considérons l'expression z111

3 .z" 2 z' - ; .z':!'

=

où z', z", z"' désignent les dérivées successives de z q>{ M) par rapport à x ~ .z étant considéré comme fonction de x sur la courbe C. Cette expression est invarj.ante par rapport à toute transformation homographique effectuée sur z; c'est donc une fonctio11 uni-

296

..;_ 22 -

forme sur C, et l'on peut écrire z 111 3 z" 2 - 1 -- R(x,, y) ' z' - '.l- .z'

R(x,_y) étant une fonction méromorphe partout

à distance finie.

Exemple. - Soit la courbe entière (5)

e,1; -!-· eY

=

1.

Posons

Il vient /C

=

y= I0g(1- u).

logu,

Soit u(.z) une fonction qui effectue la représentation confo1·me o sur la surface de recouvrement du pJan u privé des points o, 1 et ao. Les formules (6)

x

=

y= log[r- u(z)J

log u(z},

donnent une représentation paramétrique de la courbe ( 5); x et y reprennent toutes deux la même valeur si z subit les transformations d'un certain sous-grouper du groupe modulaire G. Le groupe G peut être défini par les deux substitutions fondamentales (S)

Z=-z-, 2z+1

(T)

Z=z+'.l.

Le grouper est le groupe des substitutions de la forme sa.1T~tS0ttT~• ... S°'nT~",

où les a.; et les (3; sont des entiers positifs, négatifs ou nuls, assujettis aux conditions ~-1

+

~2+, •

,+ ~n =

~l

+

~s+,,

.+ ~n =

O.

L'étude, du groupe f n'est pas sans intérêt. Il est impossible de lui donner un nombre fini de substitutions fondamentales. On a un système de substitutions fondamentales, en nombre infini, en prenant toutes les substitutions de la forme TP Sm TS-m T-p-1

297

-

23 -

( m et p étant des entiers arbitl'aires positifs, négatifs ou nuls) .et leurs inverses. Il n'existe aucune relation entre ces substitutions fondamentales. On a un domaine fondamental Â, limité par une infinité de demi-circonférences ayant leurs centres sur l'axe réel et tangentes extérieurement deux à deux; les extrémités de ces demi-circonfé... rences sont tous les points de l'axe réel d'a·bscisses I

'l.JJ+,;_ (p et n entiers positifs ou négèltifs, n :,t: o ).

Ces demi-circonférences sont conjuguées deux à deux; la circonférence (

2

p

I I ) +--·-,:!. 2m-1 p +21n

est conjuguée de la circonférence (.

1 ' l . p - 2 + - --

:~,n +

1

7

2p-2+-'-)· 2,n-

Au domaine fondamental  et à sa frontière les formules (6) font correspondre une fois et une seule la courbe (5) tout entière munie d'une infinité de coupures allant de l'infini à l'infini. Ces coupures rendent la courbe simplement connexe; sans les coupures, elle est mnltiplement connexe d'ordre infini. l\T. -

LES TRANSFORMATIONS BIM~~ROMORl!HES DE COURBE A COURBJ En,

pour une certaine valeur de n ( sinon M serait intérieur à â ). On peut supposer q~'un tel point est intérieur à S. En résum·é, on a l/11 1> E11 en un point de S, et 1./~t 1~ En en tout point de D 1 .. Comme / appartient à la famille ~~: le théorème est démontré. 11

12. Plaçons-nous dans l'espace de deux variables complexes x ety. TuitottÈME VII bis. Si une série de fonctions holomorphes ians un domaine ~ corwerge uniformément ( vers une fonction finie) au voîsinal{e d'un point O intérieur ù 1., le domaine de convergence uniforme de la série est convexe relativement à 1..

Il suffit en effet d'appliquer le théorème Vll au cas envisagé.

VII bis. -Si un domaine D est convexe relativement à, un domaine ~,c'est le domaine de conrer- · gence uniforme d'une certaine série de fonctions holomorphes dans 1.. · RécIPROQUE nu THÉORÈME

Considérons en effet une suite infinie de domaines fermés D 1 , ••• , Dp, ... , complètement intérieurs à D, dont chacun est complètement intérieur au suivant, tout point intérieur à D étant intérieur à l'un d'entre eux ( et par suite à tous les suivants). Donnons-nous aussi une suite infinie de points M 1 , ••• , Mp, ... , intérieurs à l., appartenant à la frontière de D, et admettant comme points limites tous les points frontières de D intérieurs à l.. A chaque Mp associons une hypersphère Sp, intérieure à l., de centre Mp et de rayon pP (lim pp= o). P~"'

Par hypothèse, il existe une fonction fp(x, y), holomorphe dans l., telle que la borne supérieure rJ.p de son module dans Dp soit plus petite que la borne supérieure (3p de son module dans Sp; en multipliant au besoin/µ par une constante, on peutsupposer(3p= 1.

319

-

18 -

Soit alors k,, un eptier tel que la série

I (rx.,,)kP soit convergente. p=·I

La série converge uniformément au voisinage de tout point intérieur à D . .Je dis qu'elle ne converge uniformément au voisinage d'aucun point frontière de D. Soient en effet P un tel point~ et K. une hypersphère de centre P; il existe une infinité d'hypersphères Sp intérieures à K~ et, par suite, il existe une infinité de fonctions fp dont le module est égal à. un en un point de K ( ce point peut varier avec la fonction/~). La converg·ence n'est donc pas uniforme dans K. C. Q, :F. D.

13. li est à peine besoin de rappdPr que la somme d'une série de fonctions holomorphes est une fonction holomorphe dans le domaine de convergence uniforme (puisqu'on a exclu l'hypothèse de la convergence vers l'infini). Faisons encore la remarque suivante : une série de fonctions holomorphes dans .I étant supposée converger uniformément au voisinage d'un point 0, l'ensemble des points de .I où cette famille est normale constitue un domaine; la partie connexe D' qui con-

tient O est identique au [f(œ, y), g(x, y)].

La fonction ~ (.1:, y) est holomorphe dans D, donc dans A. On en déduit aussitôt que fl>(X, Y) est: holomorphe dans A'. c.

Q• }',

1).

Remarqlle. - Si D est strictement majorable, D'est strictement majorable. En effet,  étant maximum. son transformé Â. 1 est maximum (n° 9). CoaoLLAIIŒ nu THÉoai-~ME X V. - Toute transformation ana(ytique biunivoque d'un domaine majorable en lui-même est en même temps une transformation ana(ytique biunivoque du domaine associé en lui-même.

Remarquons enfin que tout domaîne qui contient un domaine majorable D et est contenu dans le domaine associé  est lui-même majorable et admet  comme domaine associé. A l'aide de cette remarque et du corollaire précédent, j'ai indiqué dans mon Mémoire [C] (Chap. V,§ 5) un procédé général de construction de domaines qui n'admettent aucune transformation analytique en eux-:-mêmes. 17. La notion de domaine normal est susceptible de généralisation. Par définition, un domaine D, intérieur à un domaine .I, sera dit normal relativement à l., si toute fonction holomorphe dans Dy est développable en série uniformément convergente de fonctions holomorphes dans l.. Les domaines normaux considérés plus haut se présentent alors comme les domaines normaux relativement à tout l'espace à distance finie ( 1 ). THÉORÈME XVI. - Soit Dun domaine normalrelatù ement à un domaine l.. Soit Â. le plus petit domaine convexe ( relatfrement à .I) contenant D. Le domaine Â. est normal, et toute fonction holomorphe dans D est aussi holomorphe dans Â.. 1

( 1 ) Il est clair, en effet, que si .une fonction est développable en série uniformément convergente de fonctions entières,. elle est rléveloppable en série uniformément convergente de polynomes.

325

-!4-

En effet, soit/( x, y) une fonction holomorphe dans D. Elle y admet un développement en série de fonctions holomorphes dans I. Cette série admet un domaine de convergence uniforme â' qui contient D ( pàr hypothèse) et est convexe relativement à .I ( théorème Vil bis). Il contiéht donc 4. (théorème 1), et /(x, y) est holomorphe dans Â. Le domaine  est normal, car toute fonction holomorphe dans  est a fortiori ,holomorphe dans D, et, par suite, admet un développement en série de fonctions holomorphes dans I, qui converge uniformément dans D, donc dans 4.. c. Q.

F. D.

TetoaÈMK XVII. - Soient l'i un domaine strictement convexe, et D un domaine complètement intérieur à .I. Si D est normal relativement à l'i, D est strictement majorable. Soit en effet 4. le plus petit domaine convexe ( relativement à I.) éontenant D. D'après le théorème IV (n° 7), 4. est complètement intérieur à I, donc strictement convexe (théorème II)~ et, en particulier, maximum. D'après le théorème XVI, toute fonction holomorphe dans D est aussi holomorphe dans 4.. C. Q• J.maines de Reinhardt (2), c'est:..à-dire des dômaines qui admettent les transformations x'=xei6,

y'=ye'f

( 0 et

qi

réels quelconques).

2. Nous avons résolu le problème posé et avons établi les théorèmes qui vont suivre. a désignant un nombre réel quelconque compris entre o et 1 (a~ r), désignons par Âa le domaine cerclé constitué par l'ensemble des points x, y en lesquels sont simultanément vérifiées les inégalités suivantes : y-_x 1 0, M fini ou infini),·

14) En ce qui concerne cette notion et la propriété utilisée deux lignes plus loin, voir [ d ], chapitre V. Rappelons ici que tout domaine semi-cerclé maximum est complet. 15) Le présent théorème a énoncé dans la Note [g] sous une forme incomplète, qui le rend inexact.

342

Transformations des domaines cerclés et semi-cerclés.

547

3 ° D est équivalent à un domaine X-X

l max I f(?So) 1- 13)

Die zu Anfang des Paragraphen gefundene Eigenschaft emes Regularitatsbereiches besagt j etzt: Folgerung 1 des Fundamentalsatzes. 1st der Bereich 58 der Regularitàtsberei·c~ ,.~~ einer Funkti'on f, und St eine f enthaltende, in 58 regulare Klasse,·so i~t;"~, Sf-konvex. Ebenso fi.ndet man: Folgerung 2. Der Durëhstknitt 5B einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Regularitàtsbereichen ist ·Sr-konvex; St bedeutet hierbei die Klasse aller in 58 reguliiren Funktionen (folgt unmittelbar aus dem ersten Teile des Fundamentalsatzes). Folgerung 3. 1st der Bereich 58 der Durchschnitt einer endlichen oder unendlichen A.nzahl von Sf:-konvexen Bereichen, 80 ist ~ Sr-konvex; Sr bedeute irgendeine in 58 regulâre oder meromorphe Klasse. Beweis. 8 sei der Durchschnitt der Regularitatsbereiche (Meromorphiebereiche) der 'Klasse Sr; 58 ist ein Teilbereich von B. Wir haben also nur .die zweite Eigenschaft der St- konvexen Bereiche ( Definition 8 ) nachzuweisen. >8 0 sei irgendein ganz im Innern von 58 liegender ·Bereich, r sei die Minimaldistanz von 580 in bezug auf 58. Es sei ferner M ein Punkt aus 58 mit der Eigenschaft, dail für jede (in ~o beschrankte) Funktion f aus Sr gilt: f(M) 1 < max I f(5Bo) J. J

Wir werden zeigen, dail die Randdistanz eines solchen Punktes M in bezug auf >8 grô.f3er oder gleich r ist ( woraus dann offenbar die Behauptung folgt). Es ist namlich die Minimaldistanz von 58 0 in bezug auf irgendeinen der gegebenen St- konvexen Bereiche mindestens gleich r und daher nach Definition 8 die Randdistanz von M in bezug auf jeden dieser Bereiche mindestens r; es muB also der Polyzylinder S ( M, r) im Innern von ~, des Durchschnitts aller dieser Bereiche liegen, w. z. b. w.

Die Sl-konvexe Hülle eines Bereiches $. Sf sei eine in 58 regulare Klasse, 8 der Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der Funktionen aus Sr. 8 enthalt 58 und ist Sr- konvex (Folgerung 1 und 3). ) Hat f (bei einer meromorphen Klasse) in M einen Pol, so gibt es in beliebiger Nachbarschaft von M Punkte M', in denen f noch regular, aber beliebig hohe Werte annimmt, also sicherlich auch 1((M') [>max If (ÇJj 0 ) 1erfüllt ist. 13

389

Singularitaten von Funktionen mehrerer Veranderlichen.

631

Der Durchschnitt 58' aller St-konvexen Bereiche, die 5B enthalten ( es exi~tiert wenigstens ein solcher Bereich, namlich 8), ist selbst wieder · Sl'-konvex ( Folgerung 3) . 5B' ist nach Definition der klein8te 58 enthaltende St-konvexe Bereich; wir nennen 58' die i-konvexe Hülle von 5B 14 ). Man erkennt leicht, daB für jede in m· be8chrânkte Funktion f au8 Sf gilt max If(~') 1 = max I f(58) j. § 3.

Hau pteigenschaft. der Si • konvexen Bereiche. Wir werden jetzt die wichtige Umkehrung von Folgerung 1 des Fundamentalsatzes beweisen: Sa t z 4. Sf 8ei eine in dem Bereiche 58 regulâre ( meromorphe) Kla88e. 18t 58 Sf-konvex, 80 i8t 58 ein Überlagerung8bereich eine8 Regularitât8bereiche8 ( Meromorphiebereiche8) . Exi8tiert ferner ein Bereich 8, der 58 al8 Teilbereich enthâlt und zugleich Durch8chnitt von Regularitât8bereichen i8t, 80 i8t 5B ein Regularitiit8berei"ch ( Meromorphiebereich) . Folgerung. ]8t eine in 5B reguliire Kla88e und 5B Sf-konvex, 80 i8t 5B ein Regularitiit8bereich. ( Als Bereich 8 wahle man den Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der Funktionen aus Sf .) Beweis von Satz 4. 1. Die Punktmenge M1 , M'!, ... , Mi, ... sei ein kanonisches System @, von Randpunkten ·des Bereiches 5S. Wir werden zunachst eine in 58 regulare ( meromorphe) Funktion f konstruieren, die in samtlichen Mi wesentlich singular wird, womit nach Satz 1 a der erste Teil des Satzes bewiesen ist. Hierzu wahlen wir eine im Innern von 5B liegende Punktfolge: P1 , P2 , ••• , P,,, ... , die in 5S keinen Haufungspunkt besitzt, sich aber gegen j eden Punkt Mi des kanonischen Systems ® hauft. Ferner sei 58 1 , 582 , ••• , 58m, ... eine Folge von Bereichen mit den beiden Eigenschaften: 1. jedes 58m liegt ganz im lnnern von 58 und 5Bm+1 und ist ein Teilbereich von 56 (m = 1, 2, .... ); 2. zu jedem ganz im lnnern von 5S liegenden Bereiche 580 gibt es ein m 0 , so da.f3 alle 58m mit m > m 0 580 enthalten; bezeichnet man mit r m die Minimaldistanz von 5Bm in bezug auf 5B, so ist insbesondere lim r = 0 .

sr

m~oo m

Es sei nun e,, die Randdistanz von P,, (v = 1, 2, ... ) in bezug auf 58 (es ist lim Q,,= 0). Zu jedem Y (von einem gewissen "'o ab) existiert Y~CXl

ein grô.f3tes m - es sei mit m,, bezeichnet - , so da.f3 e,, < rm,,· Wir setzen zur Vereinfaohung m,, = v voraus. 14

)

~

braucht nicht schlicht in bezug auf ~' zu sein.

390

· H. Cartan und P. Thullen.

632

Nach Definition 8 gibt es dann zu jedem P,, eine [in m,, und P,, a) noch regulare und beschrankte J Funktion f,, der Klasse Sf, so da13

/ f,,(P,,) / >max/ {,,(m,,) /. Wir dürfen ohne Einschrankung der Allgemeingültigkeit annehmen, da13

f,,(P,,) = 1,

(6) also

max I f,,(m,,)

( 6a)

1

1) komplexen Veranderlichen gilt. Es sei namlich Q3 ein schlichter, beschrankter und einfach-zusammenhangender Hartogsscher Bereich mit nicht-schlichter Proj ektion - solche Hartogssche Sf bedeu tet die Klasse der z l f (w). Der Rungesche Satz besagt: Ist m8, so. ist die Minimaldistanz von 8 0 in bezug au/ B mindestens gleich r. 31 ) Beweis. Ist M irgendein Punkt aus B 0 , so gilt nach Satz 2 für jede m 8 regulare Funktion f ; f(M) I < max j ((580 ) i; es sind also nach dem ersten Teile des Fundamentalsatzes alle diese Funktionen noch in S (M, r) regular. Da B ein Regularitatsbereich ist, mu.13 S (M, r) im Innern von 8 liegen, w. z. b. w. Es sei nun eine interessante unmittelbare Folgerung angegeben: Sa tz 14. ~r sei die Gesamtheit aller Punkte des Bereiches 58, deren Randdistanz in bezug au/ ?S gro{Jer als die f este Zahl r ist. ~r ist entweder leer oder zerfâllt in ein oder mehrere Teilbereiche 58;1), 58/>, ... , 58?), ... von 58. 1st 58 ein Regularitâtsbereich, so ist auch jeder Bereich 58?) ( i = 1, 2, ... , l, ... ) ein Regularitâtsbereich. 30

Vgl. Compt. Rend. 192 (1931), S.1077-1079. DaB die Minimaldistanz von 8 0 in bezug auf B grof3er r sein kann, laBt sich an einfachen Beispielen nachweisen. 31

)

)

402

644

H. Cartan und P. Thullen.

lm folgenden setzen wir ~ um schlechthin von Randpunkten sprechen zu kônnen - ,den gegebenen Bereich als schlicht und beschrânkt voraus. Aus Satz 13 fo1gt dann sofort die gesuchte· notwendige Bedingung für echte Regularitatshüllen. Satz 15. Der Regularitatsbereich 8 sei die Regularitâtshülle eines von ihm verschiedenen Teilbereiches 5B. 1st M ein Randpunkt von 8, j erner f eine beliebige in B regulâre, in M singulare Funktion, so ist f notwendig auch in mindestens einem Randpunkte M' von 5B singulâr. Beweis. Ist M zugleich Randpunkt von 5B, so ist die Aussage des . Satzes trivial - man setze M == M'. Ist M kein Randpunkt von 5B - solche Punkte existieren nach Voraussetzung sicher - , so betrachte man den Regularitatsbereicn B' der Funktion f. Ware der Satz falsch, so hatte der Bereich 5B, nach Satz 13 also auch 8, eine Minimaldistanz r > 0 in bezug auf 8 ', was der Voraussetzung widerspricht. Folgerung. Gibt es zu jedem Randpunkte M eines Regularitatsbereiches 8 eine in 8 reguliire Funktion f, die in M singular, aber in jedem anderen Randpunkte von 8 reguliir ist, so ist 8 keine echte Regularitiitshülle. 2

+

+ ... +

2

Beispiele sol cher Bereiche sind die H yperkugel I z1 1 1 z2 l 2 1 zn 1 < 1 oder - im Raume zweier komplexen Veranderlichen w, z - die Bereiche 1 w I a+ 1 z j 2 < 1 ( a reell ), ferner alle vollkommen-konvexen Bereiche (konve:x im gewôhnlichen Sinn des W ortes ). Bemerkt sei, da/3 siimtliche Siitze dieses Paragraphen ganz allgemein für Sr-konvexe Hüllen gelten - Sr bedeute eine beliebige regulâre Klasse. § 2.

Eine Erweiterung der Theorie der

~ - konvexe:o.

Bereiche.

Der Theorie der Sr-konvexen Bereiche lag der zu Anfang mit Hilfe der Polyzylinder eingeführte Begriff des Abstandes zweier Punkte zugrunde ( vgl. auch die Begriffe ,,Randdistanz" und ,,Minimaldistanz" ). Wir werden bald sehen, da.B sich ganz parallele Theorien aufbauen lassen, wenn man von einem Distanzbegriff ausgeht, der durch einen beliebig vorgegebenen, schlichten und beschrankten Kreiskôrper - z. B. durch eine H yperkugel definiert ist, wenn man also etwa, wie üblich,

f

lzp> - z?) l

2

als Abstand

i~l

der Punkte M1 und M2 einführt. Die g~nze Theorie der Sr- konvexen Bereiche la.Bt sich dann auf Grund einer Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes ohne Schwierigkeit übertragen. Allerdings müssen wir dabei den Begriff der ,,Klasse" etwas verengen, indem wir eine neue Bedingung - wir nennen sie die ,,Eigenschaft [A]" - hinzufügen: Ist f eine Funk-

403

Singularitaten von Funktionen mehrerer Veranderlichen.

645

tion der gegebenen Klasse, so sollen samtliche Funktionen n

~, L, i=l

.!1_ a; oz.

( ai beliebige Konstante)

•

zur Klasse gehôren. Diese Bedingung erfüllt z. B. die Klasse der homogenen Polynome, nicht aber die Klasse der Monome. Bezeichnung. 1st L1 irgendein beschrankter Kreiskôrper mit dem Nullpunkt O als Mittelpunkt, so bezeichnen wir mit LI (M) den durch -'),-

Parallelverschiebung O M aus A entstehenden Bereich; insbesondere gilt L1 (0) ==LI; LI (M) ist ein Kreiskôrper mit M als Mittelpunkt. Die Bereiche 58~Lf> (vgl. S. 627). 580 sei ein ganz im Innern des Bereiches 58 liegender Bereich, L'I irgendein schlichter, beschrankter Kreiskorper mit dem Mittelpunkte 0, der nur der Bedingung genügt, daB samtliche Bereiche L1 (M) - M sei ein beliebiger Punkt aus 58 0 - im Innern von 58 liegen. Unter 58~J> verstehen wir dann die Gesamtheit aller Punkte P aus 58, zu denen es in 580 mindestens einen Punkt M gibt, so daB P im Innern von L1 (M) liegt. >B~Lf > ist ein Teilbereich von 58. Satz 16. (Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes.) 58 0 sei irgendein ganz im lnnern des Bereiches 58 liegender Bereich, Sf sei eine in 58 reguliire ( meromorphe) Klasse mi·t der Eigenschaft [A]. Gilt dann in einem Punkte M0 aus 58 für jede ( in M0 und 58 0 noch beschriinkte) Funktion f aus Sf 1f(Mo) 1 < max I f(Ç]jo) 1, und ist ferner il ein beliebiger Kreiskorper mit der Ez"genschaft, da/3 der Bereich 58~.1 > noch ganz im lnnern von 58 liegt, so gilt für jede ( in 586J > beschrânkte) Funktion f aus Sf : 1. f ist in dem Bereiche L1 (M0 ) regulâr und

2. max If(L1 (M0 ))J < max If(58~Lf>) J. Den Fundamentalsatz erhalten wir, wenn wir statt L1 einen Polyzylinder S ( 0, e) wahlen - es sei e < r und r die Minimaldistanz von 580 in bezug auf 58 - ; es ist dann mJLl > == 58JQ> und L1 (M 0 ) == S (M 0 , e). Wir führen den Beweis von Satz 16 zunachst für sternartige Kreiskôrper. Hi lf.s sa t z. 1st P0 ein beliebiger Punkt ei'nes sternartigen Kreiskorpers L1, so kann man stets durch eine homogene lineare Transformation n Z1c

=

~ aki

Zi

(k=l,2, ... ,n)

i=1

A so au/ einen Berei'ch A' 32 ) abbilden, da/3 der Bildpunkt P; von P0 3 ~)

,1'

ist selbst wieder ein sternartiger Kreiskorper.

404

H. Ca.rtan und P. Thullen.

646

im lnnern eines Polyzylinders S ( 0, (}) 1

zi 1
K 2 ) tel que, pour tout k > K 3 , le domaine Sk (Ll 1 ) soit non seulement intérieur à D', mais encore univalent par rapport à D'.· Or, admettons qu'un tel nombre K:~ n'existe pas. On pourrait trouver une suite infinie croissante d'entiers À.1' ••. , Î,k, ... et une suite correspondante de couples de points distincts Mi.,.- et Pï.k du domaine Ll 1 tels que les points S>." (MA,.-) et S;." (AJ fussent confondus en un même point de D'. On pourrait, en extrayant au besoin de la suite 21' ... , À.k, •.• 8 ) Ces deux hypothèses équivalent à la suivante: le jacobien de S ne s'annule pas dans D.

412

766

H. Cartan.

une nouvelle suite, supposer que les points M;.k et A" tendent respectivement vers deux points M0 et P 0 , intérieur au domaine D. Les points transformés S (M0 ) et S (P0 ) seraient confondus en un même point de D', ce qui exigerait que P 0 fût confo!].du avec M0 • Cela posé, soit ~ une hypersphère complètement intérieure à D et dont le centre est en M 0 ; nous supposerons en outre le rayon de~ assez petit pour que le domaine S (2,) soit univalent. Le nombre des solutions de l'équation en M

S;.k(M) =-S;."(M;.J qui sont intérieures à ~ est au moins égal à deux si lk est assez grand; or ce nombre est égal à une certaine intégrale (intégrale de Kronecker) étendue à la frontière de ~- Lorsque À.k augmente indéfiniment, la valeur de cette intégrale tend, à cause de la convergence uniforme, vers la valeur de l'intégrale donnant le nombre des solutions de l'équation S (M) = S (M0),

c'est-à-dire vers un. Nous arrivons ams1 a une contradiction. C. Q. F. D. La troisième partie du théorème 1 se démontre d'une manière analogue, toujours à l'aide de l'intégrale de Kronecker. Corollaire du théorème 1. Les notations du théorème 1 étant conservées, les transformations S 7/ convergent uniformément vers s- 1 dans le domaine D'. Remarquons d'abord que la transformation S-i/ n'est pas forcément défi.nie dans le domaine D' tout entier; mais, étant donné arbitrairement un sous-domaine L1' complètement intérieur à D ', le théorème I montre que L1' est un sous-domaine de Sk (D) pour toutes les valeurs de k plus grandes qu'un certain nombre K(L1'); par suite, dès que k > K(A.'), la transformation S:;;1 est défi.nie dans L1'. Cela posé, le corollaire, tel qu'il est énoncé, signifie que, dans tout sous-domaine L1' complètement intérieur à D ', les transformations S 7;1 (qui sont bien défi.nies à partir d'un certain rang) convergent uniformément vers s- 1 . § 4.

Transformations intérieures et transformations biunivoques d'un domaine. Définition. Nous dirons qu'une transformation S, analytique dans un domaine D, transiorme D en un domaine intérieur à D' s'il existe une correspondance continue qui associe à chaque point M de D un point M' de D' et un seul ayant les mêmes coordonnées que S (M). La définition précédente s'applique aussi bien aux transformations exceptionnelles, ou même dégénérées, qu'aux transformations topologiques. Elle s'applique en particulier au cas où le domaine D' est identique au domaine D: toute transformation analytique S qui transforme D en un

413

Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.

767

domaine intérieur à D sera dite, par abréviation, transformation intérieure du domaine. D . Lemme 1. Soient D et D' deux domaines. Considérons une suite de transformations analytiques S 1 , •• • , Sk, ... dont chacune transforme D en un domaine intérieur à D'; supposons que les Sk convergent uniformément dans D vers une transformation S non dégénérée. Alors on peut trouver un sous-domaine univalent Z de D et un sous-domaine univalent ~' de D ', tels que S établisse une correspondance biunivoque ( topologique) entre ~ et Z'. En effet, les transformés par S des points de D, étant limites de points intérieurs à D ', sont des points intérieurs à D' ou des points frontières de D'. Mais, S n'étant pas dégénérée, ces points ne sont pas tous des points frontières. Soit donc· A un point de D dont le transformé A'= S (A) est intérieur à D'; tous, les points de D suffisamment voisins de A sont transformés par S en des points intérieurs à D'. Parmi eux, il en est au moins un, soit O, qui n'est pas un point de ramification pour D et en lequel le jacobien de S ne s'annule pas. Soit alors ~ un hypersphère de centre O et de rayon assez petit pour que la transformation S soit topologique dans Z et transforme ~ en un domaine univalent ~, intérieur à D'. L'existence de Z et ~' démont;e le lemme. C. Q. F. D. Lemme 2. Soient D et D' deux domaines. Soient S une transformation analytique qui transforme D en un domaine intérieur à D', et S' une transformation analytique qui transforme D' en un domaine intérieur à D. Si la transformation S' S 9 ) est une transformation biunivoque de D en lui-même, alors on a

D' =B(D),

D = S'(D').

10 )

Montrons d'abord que S est topologique dans D et transforme D en un sous-domaine de D '. II suffit de montrer que deux points distincts M 1 et M 2 du domaine D sont toujours transformés par S en deux points distincts de D '. Or, supposons les points S (M1 ) et S (M2 ) confondus en un même point de D'; les points S' S (M1 ) et S' S (M2 ) seraient confondus en un même point de D; autrement dit, M1 et M2 seraient confondus en un même point de D. C. Q. F. D. Cela posé, soit n; = S (D). La transformation S' est topologique dans n; (pour la même raison qui veut que S soit topologique dans D); d'autre part, puisque S' S est une transformation biunivoque de D en 11 ) La notation S' S indique que la transformation S est effectuée d'abord, la transformation S' ensuite. 10 ) Au sujet de cette notation, voir la fin du paragraphe 2 de ce travail.

414

768

H. Cartan.

lui-même, S' transforme biunivoquement n; ·en D. Je dis· que n; n'a aucun point frontière intérieur à D '; en effet, si un tel point M' existait, son transformé S'(M') serait bien déterminé; d'autre part, à cause de

D = S'(D;), le point S' (M') serait un point frontière de D, ce qui est contraire au fait que S' transforme D' en un domaine intérieur à D. Ainsi, le domaine D~ est un sous-domaine de D' et n'a aucun point frontière intérieur à D'; il est donc identique à D ', ce qui démontre le lemme. Corollaire. Si le produit de deux transformations intérieures d'un domaine D est une transformation biunivoque de D en lui-même, chacune des transformations envisagées est une transformation biunivoque de D en lui-même. Théorème 2. Si une suite de transformations biuni·voques S1 , •.. , SP, ... d'un domaine borné D en lui-même converge uni formémént vers une transformation limite S, et s'il existe dans D au moins un point intérieur A dont les transformés A;= SP(A) tendent vers un poi"nt intérieur à D, alors S est une transformation biunivoque de D en lui-même 11). Montrons d'abord que la transformation S n'est pas dégénérée. Il existe, dans le domaine D, un certain voisinage V du point A, tel que, 0 étant un point quelconque de V, les transformés 0~ = Sp ( 0) tendent vers un point O' intérieur à D. Cela étant, on peut choisir O de façon que 0 ne soit pas un point de ramification pour D, ni O'. Pour montrer que S n'est pas dégénérée, il suffit de montrer que les modules des jacobiens des transformations SP admettent, au point 0, une borne inférieure non nulle ( au moins à partir d'une certaine valeur de p ). Or cela résulte du fait que les transformations s; 1 forment une famille normale dans D (puisque D est borné); par s~ite, les jacobiens des s;1 admettent, au voisinage de O', une borne supérieure fixe. C. Q. F. D. Ainsi, S n'est pas dégénérée. Avant d'aller plus loin, faisons une remarque: il résulte de ce qui précède que si une suite de transformations biunivoques d'un domaine borné D converge uniformément vers une transformation dégénérée S, S transforme D en une variété analytique tracée sur la frontière de D; donc, s'il n'exz·ste aucune variété analytique sur la frontière de D, S transforme D en un point unique. C'est le cas, d'ailleurs connu, de l'hypersphère. Terminons maintenant la démonstration du théorème 2. Il suffit de démontrer le lemme: 11 ) Cf. [b ], Satz 10. Notre théorème 2 s'applique aux domaines non univalents, même s'ils contiennent des variétés de ramification.

415

Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.

769

Lemme 3. Si une suite de transformations biunivoques S 1 , ••• , SP, ... d'un domaine borné D en lui-même converge uniformément vers une transformation limite S non dégénérée, la transformation S est biunivoque. D'après ce qui précède, il existe à l'intérieur de D un point O qui n'est pas un point de ramification et dont le transformé 0' = S(O) est intérieur à D et n'est pas un point de ramification. Désignons par Z un sous-domaine univalent de D, contenant le point 0, et assez petit pour que son transformé Z' par S soit univalent. D'après le corollaire du 1 théorème 1 (§ 3 ), les transformations convergent uniformément vers 1 dans Z'; comme elles constituent une famille normale dans D, elles convergent uniformément dans le domaine D tout entier 12). Soit S' la t_ransformation-limite; S' est définie dans D, et d'ailleurs identique à s- 1 dans Z'. Si nous prouvons que S et S' sont des transformations intérieures du domaine D, alors la transformation S' S sera bien définie dans D tout entier; comme S' S n'est autre que la transformation identique dans Z, S' S sera aussi la transformation identique dans D; en particulier, S' S sera une transformation biunivoque de D en lui-même. En vertu du corollaire du lemme 2, nous pourrons conclure que S est bien une transformation 1 · biunivoque du domaine D en lui-même. Il suffit donc de montrer que S est une transformation intérieure du domaine D (le raisonnement sera le même pour S') 13). Admettons que S ne soit pas une transformation intérieure: on pourrait trouver une courbe O, intérieure à D, partant de O et aboutissant en un point intérieur P, telle que la transformée 0' de O par S fût intérieure à D, exception faite pour le point p' = S (P) qui serait un point frontière de D. Nous allons montrer qu'une telle éventualité est à rejeter. L'indice k restant fixe, et p augmentant indéfiniment, les transformations Si' 1 Sp forment une famille normale dans D, et, dans Z, elles convergent uniformément vers la transformation s-; 1 S; elles convergent donc uniformément dans D vers une transformation Tk qui est identique à Si' 1 S dans Z. Il résulte de là que le transformé Tk(M) d'un point M qui décrit la courbe O tend vers une limite quand le point M tend vers P; d'ailleurs, Si' 1 étant une transformation biunivoque de D en lui-même, le point Tk (P) est nécessairement un point frontière de D.

s;

s-

12

) Ceci, en vertu du théorème connu: si une suite de fonctions, appartenant à une famille normale dans un domaine L'.I, converge uniformément dans un sousdomaine de L'.I, elle converge uniformément dans L'.I. 13 ) La démonstration qui va suivre est calquée surcelledu théorème XXI (page 58) de mon mémoire: Les fonctions de deux variables complexes, etc., Journal de Math. (10) 9 (1931), p. 1-114.

416

770

H. Cartan.

Faisons maintenant croître k indéfiniment. Les transformations Tk forment une famille normale dans D, et, dans Z, elles convergent uniformément vers s- 1 S, c'est-à-dire vers la transformation identique. Donc Tk oonverge uniformément vers la transformation identique dans le domaine D; en particulier, le point Tk (P) tend vers P. Mais nous arrivons à une contradiction, car un point P intérieur à D ne saurait être limite de points frontières Tk (P). Le lemme 3, et par suite le théorème 2, est donc complètement démontré. § 5.

Sur l'itération des transformations intérieures d'un domaine borné. Théorème 3. Soit S une transformation intérieure d'un domaine D. Si une suite de puissances de cette transformation, soit S). S;.1;, ... ( les exposants positifs ).k étant bornés ou non) ·converge uni/ ormément dans D vers une transformation biunivoque T de D en lui-même, alors S est une transformation biunivoque de D en lui-même. Si les exposants ).k sont bornés, il existe une puissance SP qui est une transformation biunivoque de D en lui-même. Le lemme 2, appliqué à s et à s' = sp-1, permet de conclure que s est biunivoque. Dans le cas général, on peut raisonner de la façon suivante: 1° S est topologique dans D et transforme D en un sous-domaine li de D. Pour le prouver, il suffit de montrer que deux points distincts M 1 et M 2 du domaine D ont toujours deux transformés distincts S (M1 ) et S(M2 ). En effet, si S(M1 ) et S(M2 ) étaient confondus, S;·k(M1 ) et S;."(M2 ) seraient confondus, et, à la limite, T(M1 ) et T(M2 ) seraient confondus; T étant biunivoque, M 1 et M 2 seraient confondus. C. Q. F. D. 2° Le domaine L'.I est identique à D. Il suffit de montrer que tout point de D appartient aussi à il. Or, si un point M 0 de D n'appartenait pas à il= S(D), il n'appartiendrait pas aux domaines S).k(D) =S. SÂ1;- 1 (D). On serait donc en contradiction avec la troisième partie du théorème 1 (§ 3). C. Q. F. D. Théorème 4 (théorème fondamental). Soit S une transf9rmation intérieure d'un domaine borné D. Si' une suite de puissances SPi, ... , S 11 k, . . . (p1 < P-2 < ... pk < ... ) converge uniformément dans D vers une transformation T non dégénérée, alors la suite SP1;+ 1 -vk converge uniformément dans D vers la transformation identique. En particulier, S est une transformation biunivoque de D en lui-même ( en vertu du théorème 3), et T également ( en vertu du lemme 3 ). Corollaire. La limite d'une suite uniformément convergente de puissances croissantes d'une transformation intérieure d'un domm:ne borné D 1

,

417

••• ,

Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.

771

est une transformation biunivoque de D en lui-même ou une transformation dégénérée. Démonstration du théorème 4. En vertu du lemme 1, on peut trouver deux sous-domaines univalents 2 et 2' du domaine D, tels que la transformation T soit topologique dans ~ et transforme biunivoquement 1 ~ en .2'. En vertu du corollaire du théorème I, les transformations (SPk )1 convergent uniformément vers r- dans ~'; par suite, les transformations SPk+1-pk = (SPk)- 1 • SPk+1

convergent uniformément dans 2 vers la transformation identique. Comme ces transformations appartiennent à une famille normale dans D, elles convergent uniformément dans D vers la transformation identique. C. Q. F. D. Le théorème précédent est tout à fait fondamental. Il peut servir dans bien des problèmes. Indiquons-en, à titre d'exemples, deux applications intéressantes. Première application du théorème fondamental. Soit D un domaine borné, et soit O un point intérieur autre qu'un point de ramification. Si une transformation S intérieure du domaine D laisse fixe O, et si le module, au point 0, du jacobien de S est égal à un, S est une transformation biunivoque de D en lui-même. Cette proposition, qui faisait l'objet essentiel de l'article [a], peut maintenant se démontrer de la façon suivante: de la suite S, S':J, ... , SP, ... , qui est normale, on peut extraire une suite uniformément convergente; le module, au point 0, de la transformation limite T étant égal à un, T n'est pas dégénérée. Donc (théorème 4) S est biunivoque. C. Q. F. D. Deuxième application du théorème fondamental. Bornonsnous, pour simplifier, au cas d'une seule variable complexe z. Soit, dans le plan z, un domaine borné D multiplement connexe ( d'ordre fini ou infini). Soit d'autre part S une transformation intérieure de D. Pour qu'on puisse affirmer que S est une transformation biunivoque du domaine D en lui-même, il su/fit que l'une ou l'autre des deux circonstances suivantes se trouve réalisée: a) Il existe dans D une courbe fermée particulière C, non topologiquement équivalf:,nte à zéro et non réductible à un point 14), telle que la courbe C' transformée de C par S soit topologiquement équivalente à C; 14 ) Nous disons qu'une courbe fermée I', intérieure à D et non topologiquement équivalente à zéro, est réductible à un point, s'il existe un point frontière M 0 du domaine D, tel que dans un voisinage arbitraire de M 0 on puisse trouver une courbe fermée intérieure à D et topologiquement équivalente à I'. Si D n'admet aucun point frontière isol'ê, aucune courbe fermée non topologiquement équivalente à zéro n'est réductible à un point.

418

772

H. Cartan.

{J) D n'admet aucun point frontière isolé, et il n'existe,· dans le domaine D, aucune courbe fermée non topologiquement équivalente à zéro dont la transformée par S soit topologiquement équivalente à zéro. Démonstration. Aucune suite uniformément convergente extraite de la suite S, S 2 , ••• , SP, ... ne peut avoir pour limite une transformation dégénérée, à cause de l'hypothèse a) ou de l'hypothèse fJ). Donc (théorème fondamental) S est biunivoque. C. Q. F. D. Comme application, proposons-nous de retrouver un théorème de M. Carathéodory ( [ b], Satz 14). Soit D un domaine borné multiplement connexe ( d'ordre fini ou infini), et soit O un point intérieur à D, autre qu'un point de ramification (nous pouvons supposer O à l'origine z = 0). Il existe alors un nombre positif .Q, plus petit que un, qui dépend seulement de D et du point O, et qui jouit de la propriété suivante: toute transiormation intérieure du domaine D

(S)

z' = f(z),

pour laquelle on a

f(O) = 0,

jf'(O) 1 > .Q,

est nécessairement une transi ormation biunivoque de D en lui-même ( et, par suite, on a I f' (0) 1 = 1). Supposons en effet qu'un tel nombre .Q n'existe pas. On pourrait alors trouver une suite de transformations intérieures non biunivoques

pour lesquelles on aurait

fp(O) = 0,

lim I t:'p (0 ) 1 = 1.

p-+ro

Or, on peut supposer que les transformations SP convergent ùniformément vers une transformation limite S (sinon, il suffi.rait d'extraire de la suite des SP une suite partielle uniformément convergente). Soit donc

(S)

z' = f(z)

la transformation limite; on a

f(O) = 0,

J((O)j=l.

S, n'étant pas dégénérée, est topologique ( car nous sommes dans le cas d'une seule variable complexe). Puisque S est topologique et est limite de transformations intérieures, S est une transformation intérieure du domaine D; S est donc une transformation biunivoque de D en lui-même. Cela posé, de deux choses l'une. Ou bien D possède au moins un point frontière isolé M 0 ; dans ce cas la fonction fP est holomorphe en M 0 , puisqu'elle est holomorphe en tous les points voisins et bornée; comme,

419

Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.

773

d'autre part, les transformations s- 1 SP sont intérieures et convergent vers la transformation identique, elles laissent fixe le point M 0 à partir d'une certaine valeur de p. Or elles laissent aussi fixe le point O; elles sont donc biunivoques ( on s'en assure en considérant les itérées de chacune d'elles et en appliquant le théorème fondamental 4). Ou bien il existe dans D au moins .une courbe fermée O non topologiquement équivalente à zéro et non réductible à un point. Alors, à partir d'une certaine valeur de p, toutes les transformations s- 1 SP se trouvent dans le cas a) (page 771); elles sont donc biunivoques, et l'on arrive encore à une contradiction. L'existence du nombre Q est donc démontrée dans tous les cas. La détermination effective de Q semble assez facile dans le cas où D est une couronne circulaire. Il va sans dire que, moyennant quelques précautions, les derniers énoncés qui précèdent peuvent être étendus au cas de plusieurs variables complexes. (Eingegangen am 15. Dezember 1931.)

420

25. Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions holomorphes données Mathematica (Cluj) 7, 5-29 (1933)

Reçu le 3 septembre 1932.

Introduction. Je me propose de développer ici le contenu d'une Note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (1). Rappelons d'abord une inégalité fondamentale de R. NxvANLiftN'A. Cette inégalité concerne la théorie des fonctions méromorphes d'une variable complexe. Soit f(œ) une fonction méromorphe pour I x 1 < R (R peut être infini), et soient a1 , a2 , ••• , aq q nombres complexes distincts ; on a, pour toute valeur de r inférieure à R; q

(q-2)T(r,f) < ~ N1 (r,a;) +S(r).

(1)

i=l

Voici la signification de$ symboles utilisés: T (r, f) désigne la fonction de croissance de NEVANLINNA, définie par la relation

. + 1 ) (2) 1 (271" + T(r, f)= 2,. )o log If(re' 8) 1d O- log If(O) 1+N (r, f • Dans le second membre de (1), N1 (r, at) est une abréviation pour N1 (r,f-a;)(2). Enfin, S{r) désigne une fonction der dont R. NEVANLINNA{3) (') 189, 1929, p. 727. ( 2) ip(œ) étant une fonction méromorphe, nous désignons par N (r, p) combinaisons linéaires homogènes à coefficients constants de ces p fonctions; dési. gnons ees combinaisons pur F, (x) (i= 1, 2, ... , q), et supposons-les linéairement distinctes p à p. Désignons enfin par Np-1 (r, F1) la somme ~ + r ~ logf);l

étendue aux zé1·0;; Àk de la fonction F;(x), chaque zéro étant compté autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité si celui-ci est inférieur à p-1, et p -1 fois dans le cas contraire. Cela posé, nous établirons (§ 2) l'inégalité fondamentale q

(q-p) T(r)

(3)

< ~ Np-t (r, F1) + S (r)

(r

< R),

t= l

dans laqueUe le reste S (r) jouit des mêmes propriétés que plus haut, condition de remplacer, dans les inégalités (2) et (2)', T (r, f) par T (r)Pour p=2, cette inégalité se réduit à l'inégalité (1). Pour p > 2, l'inégalité (8) est appelée à rendre, dans la théorie des systèmes de p fonctions holomorphes, les mêmes services que l'inégalité de NEVANLINNA dans la théorie tles fonctions méromorphes. Nous l'appliquerons notamment au cas où les fonctions g1 (x) sont entières (voir § 4). Auparavant, nous nous occuperons des fonctions algébroïdes ,,du type général" (§ 3), pour lesquelles l'inégalité (8) fournit une inégalité plus précise que celles connues auparavant. Les paragraphe~ 5 et 6 seront consacrés à quelques applications de l'inégalité (3) à· des problèmes d'unicité. à

1. La fonction de croissance T (r). Soient données p fonctions g1 (x), ... , gp (x) holomorphes pour Supposons une fois pour toutes qu'il n'existe aucune valeur de x annulant simultanément toutes ces fonctions; supposons en outre, dans le but de simplifier les calculs qui suivront, qu'aucune de ces fonctions ne s'annule pour x=O (5). Désignons par u (x) la fonction réelle qui, pour chaque valeur de x, est égale à la plus grande des p quantités log 19i (x) 1 ( i = 1, 2, ... , p ), et posons, pour r < R, 1x 1

< R.

1 (2,r T (r) = 27e u (re1 8) dt)-u (0).

Jo

(4) ( 11 )

Cette hypothèse n'a rien d'essentiel, et il serait facile de s'en affranchir,

423

H.CARTAN

8

La fonction T (r) ainsi définie est une fonction convexe de log r; en effet, elJe est égale à· la valeur moyenne, sur la circonférence I x 1 = r, d'une fonction sous-harmonique (6), à savoir la fonction u (x). Il est clair, d'autre part, que T (r) ne change pas si l'on multiplie toutes les g, (x) par une même fonction holomorphe sans zéros ro (x); en effet u (x) se trouve remplacé par

u (x) + log I ro (x) 1 , et T (,) se trouve augmenté de

1 (2,r 8 2~ )o log I ro (reÏ ) 1 d8 - log I co (0) 1= 0 • C. Q. F. D. On peut donc dire que T (r) dépend seulement des quotients mutuels des fonctions u1(x). Plus généralement, étant données p fonctions c/>, (x), ••• , c/>p (x) méromorphes pour I x 1 R, il est possible de trouver une fonction (x), méromorphe pour I x 1 R, de façon que les p fonctions




4> (x) c/>1(x) == g1 (x) soient holomorphes pour Ir 1< R, et qu'il n'existe aucun zéro commun à toutes les gJ (x). Comme fonction de croissance attaché6 à l'ensemble des c/>1 (x), nous prendrons la fonction T (r) définie plus haut pour les g1 (x) ; cette fonction est parfaitement déterminée et dépend seulement des quotients mutuels des c/>1(x). Revenons aux fonctions g1(x) considérées au début de ce paragraphe, et à la fonction T (r) tiéfinie par (4). Je dis que si l'on effectue sitr les gJ une substitution linéaire homogène à coefficients constants, de déterminant non nul, la now,elle fonction de croissance T1 (r), attachée au système des p nouvelles fonctions G1, ne diffère de T (r) que par une quantité qui reste inférieure à un nombre fixe M quel que soit r. (M dépend seulement des coefficients de la substitution envisagée). En effet, soit p

G1 (x) == ~

A: gk (x)

k=l

la substitution envisagée, et soit D

g1(x)= ~ a~ Gk(x) k=l

la substitution inverse. Remarquons tout d'abord qu'il n'existe aucun (8) On invoque ici un théorème de P. MONTEL (Sur les fonctions convexes et les fonctions sous-harmoniques, Journal de Math,. pures et appliquées, 9e série, 7. 1928, p. 29-60).

424

9

COMBINAISONS DE FONCTIONS HOLOMORPHES

zéro commun à toutes les Gi(x). Cela étant, soit A une borne supérieure du module des aJ et des Af. Si l'on désigne par U (x) la plus grande des quantités log I Gi (x) 1, on a. évidemment les deux inégalités

U (x) ~ log (p A)+ u (x). :S log (p A)+ U (x),

u (x)

d'où 1U(x)

- u (x) 1 < log (p A),

et, en prenant la valeur moyene de U (x) - u (x) le long de la circonférence I x 1 = r, 1 f1 (r) - T (r) 1:S 2 log (p A), ce qui suffit à établir la proposition annoncée. Nous allons maintenant justifier le nom de fonction de croissance donné à T(r). Montrons d'abord que, dans le cas p = 2, T(r) se confond avec la fonction T(r, f) de NEVANLINNA (7), en désignant par f lX) le

quotient;:

~:i

(S). On a en effet, dans ce cas, u(x)- 1!g 1 ;:~:~

1

+ log Ig2(x) 1,

et, par suite, (271" + + )o u(reio)d6-u(O) = 2~ )o log I f(reio) 1d6 :-log If (0) 1

c11" (5)

T(r)= ~ 2

r271"

+ ;" ~o log Ig2(reiB) 1d6-log Ig (0) 1. 2

Or on a (9)

1(271" )o log l ,q2(rei0) l d6 - log l g2(0) 1= N{r, g2) = N (r, 71) ,

211:

ce qui donne, en portant dans (5), T(r) == T(r, f).

C. Q. F. D. Si maintenant on effectue la substitution linéaire

G1{x) = a.g1(x)

+ ~g2(x)

G2{x) = yg1(x)

+ ôg2(x)

(ϙ-~y =t= 0),

(7) Voir l'introduction. (S) J'ai signalé ce fait pour la première fois dans une Note aux

dus (188, 1929, p, 1374). (9) [a], p. a, formule C,

425

Com,pte~ Re,.,

H. CARTAN

10

on aura, d'après ce qui a été vu plus haut,

1T1(r)-T(r) 1< M~ ce qui donne rx,f

+ ~)

T (r, yf + ô - T(r, f)

< M.

Nous retrouvons ainsi m;i théorème de R. NEVANLINNA. ( 10) Revenons au cas où p est quelconque, et montrons que la fonc tion T(r) fournit une limite supérieure de la croissance de tous les quotients mutuels gh(x) · d'une façon précise on a gk(x) ' ' T

(r, ::) < T{r} + K,

K étant une constante qui dépend seulement des valeurs des g;(x) pour x = O. En effet, on peut mettre gh(x) et gk(x) sous la forme

gh(x)

e

fo(x) rohk(x) , gk(x) = Gk(x) Whk (x) ,

Whk(x) étant holomorphe, Gh et Gk étant aussi holomorphes et n'ayant aucun zéro commun. On a alors T

(r, ;:} = T (r, t} = i" ~:\,, (reio)- log 1"'••(reio) 1] d6

-u1(0) + log I rohk(Ü) 1, en désignant par u 1(x) la plus grande des quantités log l gh(x) 1 et log Igk(x) 1. On a de plus · u 1(x)-< u(x),

~ ~:.-log IWhk(reill) J - log 1"'••(O) 1= N(r, "'h•), (9) 2 d'où (6)

T

(r, ;:)




p

F,(x)

= ~ ~ g;(x)

(i

i:::

1, 2, ... , q).

/=l

ai

Supposons que tous les déterminants d'ordre p du tableau des soient différents de zéro. Rangeons, pour chaque valeur de x, les fonctions F;(x) par ordre de modulea non croissants, Fa1(x), .•• , F«q (x) [t% 1 , ••• , œq sont donc des entiers qui dépendent de x]. On a alors quel que soit j < p, et quel que soit i < q - p + 1,

l g1(x) l < K l F«l,;) l, K étant un nombre positif qui dépenà des constantes ni des fonctions g1(x) envisagées. ('') On suppose, pour simplifier, F(O) =J= O.

427

af , mais non de x

H. CARTAN

12

En effet, considérons, pour chaque valeur de x, les p-1 fonctions F«q-p+ 2 , •• , Faq. Si i désigne l'un quelconque des q-p+l premiers nombres entiers, on peut exprimer les 9i (x) linéairement à l'aide de Fa;, Faq-p+ 2 , ••• , Faq; comme les coefficients qui interviennent ainsi dépendent seulement des af, le lemme se trouve démontré. COROLLAIRE I. - Pour chaque 11aleur de x, il y a au moins q-p+ 1 fonctions F, qui ne sont pas nulles. COROLLAIRE II. --- Désignons par ~1 , ~ 2 , ••• , ~q-p q- p entiers distincts pris d'une façon quelconque parm·i les q premiers entiers, et soit v( x) la plus grande de toutes les quantités

log I F,s1 (x). F,s1 (x) .. , F,sq-p(x) 1.

On a

1

(8)

(q -p) T(r)

(2,r

< 27t Jo v(reio) d0 + 0(1)

.

En effet, on a, d'après le lemme, (q-p) log lg;(x)I


o, jouissant de la propriété suivante : quels que soient les nomb,-es complexes s,, satisfaisant à I si J < s, le système

n'a, dans :E', qu'un nombre fini de solutions. Pour démontrer ce théorème, établissons d'abord un LEMME. Soient p fonctions g 1 (xu ... , xn), ... , gp(x 0 ••• , xn), holomorphes dans une hypersphère :E' et sur sa frontière. Si le système d'équations g;= o (i = 1, ••• , p) a une infinité de solutions dans :E', il a au moins une solution sur la frontière de :E'.

Sinon, en effet, on pourrait trouver une hypersphère ~", concentrique à E' et intérieure à E', qui jouirait de la p:ropriété suivante : les solutions du système g. = o auraient un point d'accumulation M sur la frontière de :E", et le système n'aurait qu'un nombre fini de solutions extérieures à :E" et intérieures à E'. Mais alors les équations g;, o définiraient, au voisinage de M, une ou pLusieu:rs variétés analytiques irréductibles passant par M, et dont tons les points veisi·ns

=

448

-4-

La détermination effective des points exceptionnels d'un système de p fonctions de n variables a un intérêt particulier dans le cas p= n; si l'on considère la transformation analytique ( ou encore pseudo-conforme, suivant la terminologie actuelle) (i=I, , .. , n)

(2)

elle établit une correspondance entre les points de l'espace (x,1 , ... , x,.) et ceux de l'espace (y., ... , Yn), On sait que, au voisinage de chaque point non exceptionnel du système des /ï, les formules ( 2) établissent une cortespondance biuniroque entre le voisinage du point envisagé de l'espace (x,., ... , xn), et un voisinage à un ou plusieurs feuillets du point correspondant de l'espace (y,., ... , ,Yn) (i). En un point exceptionnel, les choses se passent tout autrement. On conçoit donc qu'il soit intéres_sant d'étudier de plus prês la nature de l'ensemble des points exceptionnels. C'est ce que nous allons faire, eu nous placant d'ailleurs tout de suitn dans le cas général p ~ n. 2. Rappelons d'abord' comment on peut écrire les équations d'une variété analytique V à k dimensions (complexes), passant par l'origine, et irréductible à l'origine ( 2 ). Il est toujours possible, en effectuant sur les coordonnées x 1 , ••• , Xn une substitution linéaire convenable, de faire en sorte que la variété V soit définie par n - k rel,ations de la forme (3)

' l

Xi

P(Xk+1; X1, ... , Xk)

dP(xk+1; .l

Xt, ••• ,

uXk+t

xk)

=

Q ( i

= o, -.

X k+i ; X1' .. •' X k)

(i=k+2., ... ,n).

de M seraient intérieur& à ~" ou sur sa frontière; ~,, étant une hypersphère, on sait qu'une telle éventualité est impassible. Le lemme est donc établi. Le théorème en résulte de la façon suivante : si les équations

avaient une infinité de solutions dans ~', elles auraient au moins une solution sur la frontière de E'. Si cette circonstance se présentait pour des valeurs des E, de plus en plus petites, on trouverait, en passant à la limite, un point, situé sur la frontière de ~', et où les fi s'annuleraient simultanément. Or ceci est contraire à l'hypothèse. c. Q. F. n. ( 1 ) Pour plus de précision, voir par exemple Osaoon, loc. cit., p. 139-140. ( 2 ) Voir par exemple 0SGoon, loc. cit., p. n3-120.

449

-op désigne un polynome en

où A 1 ,

Xk+i

Aœ sont des fonctions holomorphes au voisinage de nulles pour X-1==, •. ==xk==o; en outre, le polynome P est supposé irréductible ( -i ). Quant aux Qi, ce sont des polynomes en Xk+-1, de degrés inférieurs à ex, à coefficients holomorphes en X-1, · ••. , xk, nuls pour x 1 == ... ==xk== o. Les points dP . . ' == o constituent une ou p 1usieurs var1'é tes de 1a var1.é te' V ou' _-

x 1 ==·

••• ,

. .==xk==o,

1

uXk+1

à k --

dimensions; en ces points, les formules ( 3) sont illusoires, mais cela n'a pas d'importance pour ce qui suit. Au vo_isinage d'un 1

point de V où

.l

dP

uXk+1

~ o,

morphes (uniformes) de

Xk+-i, ••• ,

x 11 sont des fonctions holo-

x-1, ..• , Xk,

3. Soient données p fonctions / 1 , ••• , fp de n variables c.omplexes x.1 , • • • , Xn, holomorphes au voisinage de l'origine O. Proposons-nous d'abord de trouver des conditions nécessaires pour qu'un point ( a-1, •.• , an) voisin de O soit un point exceptionnel pour le système des /i· Si ( a 1 , ••• , a,l) est exceptionnel, il existe au moins une variété analytique, passant par ce point, et sur laquelle les fonctions /ï sont constantes; donc le système

(4)

(i::;:::: 1,

••• '

p ),

où l'on fait x 1 == a-1, •.. , Xn == an, peut être considéré comme un système de p équations linéaires homogènes à n inconnues dx 1 , ••• , dxn, qui admet une solution autre que dx 1 == ... == dxn== o. Il en résulte que tous les déterminants d'Qrdre n du tableau

11:::11 sont nuls au point ( a1 , ••• , an) ( 1). Ces déterminants sont des fonctions de x 1 , ••• , Xn, holomorphes au voi~inage del' origine, et que nous désignerons par cp,i, ••• , cpq. (1)

ÛSGOOD,

p. I03-I05,

450

-6-

Considérons le système d'équations (5)

Cflt = o, ... , (f)q= o.

Il doit être vérifié en chaque point exceptionnel voisin de l'origine. Deux cas sont possibles : 1 ° Le système ( 5) n'est pas vérîfié identiquement. Réservons l'examen de ce cas pour tout à l'heure; 2° Les équations ( 5) sont toutes vérifiées identiquement. Dans ce cas, je dis que tout point voisin de O est exceptionnel. En effet, on pourra évidemment trouver n fonctions holomorphes F-1(x 1 , ~ •• , Xn), .. . , Fn(x 4 , •• • , xn), non toutes identiquement nulles, telles que le système ( 4) soit vérifié lorsqu'on y fait

(6)

dx-i _ _ dxn F1(X1, ... , Xn) - • · · - Fn{xi, .. . , Xn) •

Supposons par exemple F-1 non identiquement nulle, et montrons que tout point où F 1 est différente de zéro est un point exceptionnel; il en résultera que tout point où F-1 = o est aussi exceptionnel C,1 ). Au voisinage d'un point (a 1 , • • • , an) tel que F,. ( a-1, ••• , an)~ o, le système ( 6) peul s'intégrer et donne (7)

(j =

2, •.• ,

p),

les Àj( x 1 ) étant des fonctions holomorphes au voisinage de x-1 = a 1 , et telles que Àj{ a,.)= aj ( ceci, en vertu d'un théorème classique sur les systèmes d'équations différentielles du premier ordre). Les équations ( 7) représentent une variété analytique (à une' dimension complexe) passant par le point ( a 1 , ••• , an), et sur laquelle / 1 , ••• , /n sont constantes, puisque le système ( 4) s'y trouve vérifié. Donc le point (a,., ... , an) est exceptionnel. c. Q. F. n. 4. Nous devons nous occuper maintenant du cas où le système ( 5) n'est pas vérifié identiquement. Écartons tout de suite le cas ( 1 ) En particulier, si p = n, on obtient la propos1t10n connue : en un point exceptionnel d'une transformation pseudo-conforme, le déterminant fonctionnel de la transformation est nul. ( 2 } On a vu, en effet, que tout point limite de points exceptionnels est un · point exceptionnel.

451

-7-

où le système ( 5) n'admettrait pas de solution voisine de l'origine en dehors, éventuellement, de l'origine. Dans ce cas, en effet, aucun point voisin de l'origine O n'est exceptionnel; par conséquent, le point O lui-même n'est pas exceptionnel, et le problème de la recherche des points exceptionnels voisins de O est résolu. Si le système (5) admet une infinité de soluttons voisines de l'origine, les équations ( 5) définissent une. ou plusieurs variétés analytiques irréductibles passant par 0, et c'est sur ces variétés que doiçent être cherchés les points exceptionnels voisins de 0, s'il y en a. Désignons ces variétés par V 1 , V 2 , ••• , V,.. Soit d'abord Mun point qui appartienne à V 1 mais n'appartienne à aucune des variétés V 2 , • • • , V r· Si M est exceptionnel, les variétés associées à M font partie -de V 1 , pnisqu' elles sont constituées de points exceptionnels, et que ceux-ci doivent se trouver sur l'une au moins des vaciétés V 1 , • • • , V,.. Cette circonstance va nous permettre de trouver de nouvelles conditions nécessaires pour qu'un point de V.,, qui n'appartient à aucune des variétés~, ... , V,,, soit exceptionnel. En effet, représentons la variété V., par des équations de la forme ( 3 ). On en tire k

rJP -,- - dxi

iJXk+l

=

~ u.l:. ôx · J

t

(t

= k+

I, •.. ,

p ),

Î=l

les u{ étant des fonctions de x 1, ... , xk, xk+f, holomorphes au voisinage de x 1 = ... _;_ x1.:= X!.:i--r = o. Tirons de là les dxi (i=k+ 1, .•. , n), portons-les dans les équations (4), et chassons le ' . rJP . ' d e l a .c10rme d enom1nateur a--; on ob tient un systeme ,Xk+I

k

(8)

~ u(2-e),

ce qui n'est autre chose que l'inégalité (2). C.Q.J'.D. Pour terminer, signalons que tout ce qui précède reste valabk si l'on remplace les polycylindres par des hypersphère.Y, à condition d'appeler distance de. deux points (z1 , ••• , Zn) et (z~, ... , z~) la quantité "

(Reçu le 10 novembre 1983.)

467

30. Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 199, 925-927 (1934)

Rappelons le résultat classique : dans J'espace de deux variables complexes x et y, le domaine n'admet pas d'autre transformation pseudo-conforme(2)biunivoque en luimême que les transformations x-+S(x),

y-+T(y),

combinées avec la transformation x-+y,

2 ( ) L'usage s'est établi d'appeler ainsi une transform11tion définie, dans l'espace de n v11riables complexes, par n fonctions analytiques des n vari11bles complexes.

468

. 926

ACADÉMIE DES SCIENCES.

S(x) lou T(y)] désigne la transformation (homographique) la plus générale du domaine I x 1 I [ ou jy 1 1] en lui-même. On peut généraliser de la façon suivante. Plaçons-nous dans l'espace de n variables complexes, et partageons ces variables en deux groupes x.1 , ••• , trP et Y1, ... , y q ( n = p + q ). Toute transformation pseudo-conforme sera désignée par la notation


i: cp1 est supposé holom01phe et jamais nul. On se propose de trouçer une fonction , holomorphe dans D, et telle que, dans chaque D;, le quotient : q;i soit holomorphe et non nul. Si uil domaine D est tel que le premier ( ou le deuxième) problème de Cousin a une solution quelles que soient les données, nous dirons que « le premier théorème de Cousin ( ou le deuxième) est vrai pour le domaine D ».

( 1) Acta mathematica, 19, 1895, p. 1-6:J.

471

1286

ACADÉMIE DES SCIENCES.

ll est évident que si le deuxie'me théorème de Cousin est vrai pour un domaine, le théorème de Poincaré est vrai pour ce domaine. Mais la proposition réciproque n'est pas exacte. Grâce à la terminologie précédente, nous pouvons résumer comme suit les résultats de Cousin : Si D est le produit topologique den domaines univalents, situés respectivement dans les plans des n variables complexes, le premier théorème de Cousin est vrai pour D. Si en outre tous les domaines composants sont simplement connexes (2') ( sauf peut-être Pun d'entre eux), le deuxième théorème de Cousin est vrai, et, a fortiori, le théorème de Poincaré. :!. Bornons~nous désormais aux domaines 11nù1alents à deux variables complexes x et y. Lorsqu'on cherche à résoudre les problèmes de Cousin pour des domaines plus généraux que ceux considérés par Cousin, on s'aperçoit queJes théorèmes de Cousin ne sont pas vrais pour tous les domaines, même simplement connexes. Il est alors naturel de chercher des conditions nécessaires et suffisantes pour que les théorèmes de Cousin soient vrais. Commençons par le premier. THÉORÈME 1.. Si le premz"er théorème de Cousin est vrai pour D, D est un domaine d'lwlom01phie ( c'est-à-dire le domaine total d'existence d'une certaine fonction holomorphe). On a ainsi une condition nécessaire. Voici une condition suffisante; THÉORÈME 2. Si un domaine D est conrexe ( 1 ) par rapport aux polynomes ou aux fonction.f rationnelles en x, y, le premier théorème de Cousin est vrai pour D. Ce résultat, qui dépasse de beaucoup celui de Cousin, s'obtient par une méthode analogue à la sienne ; mais il faut se servir de l'intégrale d'André Weil (2) (pour les fonctions d.e plusieurs variables) tandis que Cousin utilisait seulement l'intégrale. classique de Cauchy (pour les fonc;_ tions d'une variable).

C') C'est M. Gronwall qui a montré que cette restriction est nécessaire; fait qui semblait avoir échappé à l'attention de Cousin (Amer. Math. Soc: Trans., 18, 1917, p. 5o-64). (l) Voir H. CARTAN et P. TuuLLBN, Math. Annalen, 106, (2-) Comptes rendus, 19r.,, 1932, p. 1304.

472

1932,

p. 617-647.

St~NCE DU

3 DtCEMBRE 1934.

Pour certains types de domaines [ domaines cerclés (a), domaines de Hartogs (4)], les conditions des théorèmes 1 et 2 sont équivalentes (1 ). On a donc, pour ces domaines, une condition nécessaire et suffisante pour que le premier théorème de Cousin soit vrai. 3. Passons au deuxième théorème de Cousin. La question est moins avancée; citons simplement le l'ésultat suivant : THÉORÈME :1. Soit b un domaine pour lequel le premier théorème de Cousin est vrai ( voir théorème 2). Si en outre B est étoilé, ou encore si D est un domaine de Hartogs, le deuxième théorème de Cousin est vraipourD, Le théorème 3, combiné avec certaines propriétés des domaines de méromorphie, conduit au résultat sui.va-nt : TnÉORÈM·E 4. Le théorème de Poincaré est vr,ai pour tous les domaines -cerclés et tous les domaines de Hartogs, même quand les théorèmes de Cousin ile sorit pas vrais. En particulier, le théorème de Poincaré est vrai pour l'hypersphère, ainsi d'ailleurs que les deux théorèmes de Cousin.

1 (' )

Uu domaine est cercli s'i] contient x ~y= o et admet les transformations

x'=xeiO,

y'=yeïO

( 0 réel).

( t) Nous réservo~s le nom de domaine$ de Hartog6 aux domaines de la forme : x iJltérieur à un domaine univalept 0 1 \y 1 < R(a-:), R(,x) étant U.ne fonction positive définie dans

o.

473

32. Sur les groupes de transformations analytiques Collection à la mémoire de Jacques Herbrand. Hermann, Paris, 1936

INTRODUCTION des problèmes fondamentaux des mathématiques modernes est de savoir si tous les groupes continus abstraits (à p paramètres) sont des groupes de Lie, c'est-à-dire s'il est possible, étant donné un groupe abstrait, d'y choisir les paramètres de façon que la loi de composition s'exprime analytiquement par rapport aux paramètres. Dans cet ordre d'idées, J. voN NEUMANN (1) a récemment démontré que tout groupe continu abstrait qui est compact est un groupe de Lm ; mais la démonstration fait intervenir les propriétés du groupe dans son ensemble, alors qu'on peut penser que seules les propriétés locales doivent jouer un rôle (autrement dit, seules les transformations voisines de la transformation identique devraient entrer en jeu, ce qui supprimerait, du même coup, la distinction entre groupes compacts et groupes ouverts). Précisément, Cl. CHEVALLEY (2) a émis l'hypothèse que tout groupe continu abstrait qui ne contient pas de sous-groupes arbitrairement petits ( 3 ) est un groupe de Lie. Le présent travail est une contribution à l'étude des problèmes .précédents. Je n'ai pas borné mes recherches aux groupes abstraits ; par contre, je les ai bornées aux groupes de transformations analytiques ; plus particulièrement, dans le cas des N

( 1 ) Die Einführung analytischer Parameter in topologischen Gruppen (Annals of Math., 2'8 série, 34, 1933, pp. 170-190). 2 ( ) Comptes Rendus, 196, 1933, p. 744. Dans cette note, Cl. CHEVALLEY

donne le résultat comme démontré; mais il m'a communiqué depuis que les démonstration sont insuffisantes. La proposition citée n'est donc encore qu'une hypothèse. 3 ( ) C'est-à-dire : tout groupe continu abstrait dans lequel il existe un voisinage de la transformation identique qui ne contient aucun sous-groupe.

474

4

GROUPES

groupes de transformations pseudo-conformes (c 'est"à-dire de transformations analytiques dans fodomaine complexe), j'ai obtenu des résultats qui semblent à peu près définitifs. Je ne me sers ni des résultats de von Neumann, ni de ceux de Chevalley, et la lecture de ce mémoire suppose seulement la connaissance des éléments de la théorie de Lm. Deux des résultats essentiels de ce travail ont déjà été publiés, sans démonstration, dans une note aux Comptes Rendus (1). Ils s'énoncent ainsi : L - Tout groupe continu de transformations pseudo-conf ormes est un groupe de Lie. 2. - Etant donné, dans l'espace de n variables complexes Z1, ••• , z,u un domaine borné D, le groupe G de toutes les transformations pseudo-conformes biunivoques de D en lui-même se compose d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable de familles continues, dont l'une est un groupe de Lie, invariant dans G ; il n'y a exception que si G est proprement discontinu ( auquel cas G ne contient qu'un nombre fini ou une infinité dénombrable de transformations) . Le sens précis qu'il faut donner à ces énoncés sera expliqué en temps utile. Ces deux propositions résultent de théorèmes plus généraux. Voici d'ailleurs le plan de ce travail: les paragraphes 1, 2, 3 et 4 sont consacrés à une série de définitions, indispensables pour la compréhension exacte de ce qui suit. La notion de groupe de transformations ( envisagé du point de vue local) est précisée au paragraphe 1 ; nous avons, on le verra, imposé des restrictions à la notion de groupe. Ces restrictions se trouveront justifiées par la suite. Après avoir défini ce qu'il faut entendre par groupe iocalement fermé, nous disons quelques mots des groupes de transformations envisagés du point de vue global (ceci dans le seul cas où il s'agit de transformations biunivoques d'un domaine en lui-même). Les définitions relatives aux groupes continus se trouvent au paragraphe 2 : groupes continus abstraits (point de vue global), groupes continus abstraits (point de vue local) , groupes continus de transformations ( point de vue 1 ( )

Sur les groupes de transformations pseudo-conformes, 196, 1933,

p. 993.

475

DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES

5

local, puis point de vue global); on remarquera qu'il y a deux définitions possibles (non équivalentes) d'un groupe continu de transformations envisagé du point de vue global: sens restreint, et sens étendu. C'est au paragraphe 3 qu'on trouvera la notion de groupe quasi continu de transformations, plus générale que celle de groupe continu ; on a fa proposition suivante : « Le groupe des. transformations pseudo-conformes biunivoques d'un domaine borné en lui-même, envisagé du point de vue local, est quasi continu. » Au paragraphe 4 se trouvent toutes les définitions relatives aux groupes de Lie (point de vue local et point de vue global). Les paragraphes 5, 6, 7, 8 sont consacrés aux groupes de transformations analytiques, envisagés du poirit de vue local. Aux paragraphes 5 et 6 il est question de « groupe admettant une transformation infinitésimale », et l'on donne une condition suffisante pour qu'un groupe admette une transformation infi.,. nitésimale donnée. On y montre aussi qu'un groupe localement fermé de transformations analytiques ne peut admettre deux transformations infinitésimales sans admettre leur crochet et leurs combinaisons linéaires ( ce qui généralise une proposition de la théorie classique de Lie). Au paragraphe 7, on envisage les groupes qui jouissent d'une certaine propriété, dite propriété [P], et l'on montre que cette propriété est nécessaire et suffisante pour qu'un groupe quasi continu de t;ransformations analytiques soit un groupe de Lie (point de vue local). On· retrouve notamment ainsi deux théorèmes connus: « tout sous-groupe continu d'un groupe de Lie est un groupe de Lie»; et: « tout sous-groupe d'un groupe de Lie G, fermé dans G, est un groupe de Lie». Enfin, au paragraphe 8, on montre que tout groupe de transformations pseudoconformes (envisagé du point de vue local) possède la propriété [P], d'où résulte le théorème fondamental suivant (théorème 11): Tout groupe quasi continu de transformations pseudo-conformes est un groupe de Lie (point de vue local). Les deux théorèmes énoncés plus haut sont des conséquences de ce théorème fondamental. Le paragraphe 9 est consacré à l'étude globale du groupe des transformations pseudo-conformes d'un domaine borné en lui~ même. Un dernier paragraphe 10 porte le titre : 1< Applications et compléments». 476'

1. -

Groupes de transformations

Nous nous bornerons à envisager des transformations continues dans un espace à un nombre fini de dimensions. Soit 6, un espace abstrait à n dimensions réelles (1) , et soit D un domaine dans cet espace, c'est-à-dire un ensemble connexe de points de&, dont chacun est intérieur à un voisinage dont tous les points font partie de D. Désignons par une lettre chaque point de &. Nous envisagerons des transformations M'=cp(M),

(1)

dont chacune fait correspondre à chaque point M intérieur à D un point bien déterminé M' de l'espace &, cette correspondance étant continue. Il sera commode (2) d'introduire une métrique dans l'espace &,, c'est-à-dire une loi qui associe, à chaque couple de points de&, un nombre positif ou nul, appelé distance de ces deux points, et satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1° la distance est nulle lorsque les deux points sont confondus, et dans ce cas seulement; 2° la distance de deux points est une fonction continue par rapport à l'ensemble de ces deux points. Etant donnée une transformation de la forme (1), définie et continue dans le domaine D, et étant donné un domaine Il. complètement intérieur à D (3), la distance du point M à son transformé cp (M) admet, lorsque M décrit le domaine Il., une borne ( 1 ) C'est-à-dire un ensemble d'éléments, appelés points, dans lequel ont été définis -des voisinages satisfaisant aux conditions de HAUSDORFF (y compris la séparabilité), chaque voisinage étant homéomorphe à une hypersphère de l'espace à n dimensions. (2) Mais cela n'a pas une importance essentielle. On pourrait se passer de cette hypothèse, ce qui compliquerait l'exposé. (3) C'est-à-dire tel que tout ensemble infini de points de A ait au moins un point d'accumulation intérieur à D.

477

8

GROUPES

supérieure finie, que nous appellerons l'écart de la transformation (1) dans le domaine â. Plus généralement, étant données deux transformations et

M'1=(M; s) la transformation de G qui correspond à la transformations de g, la fonction «I> est continue par rapport à l'ensemble des variables Mets; 2° Au produit de deux transformations de g correspond le produit des transformations correspondantes de G ( en particulier, à la transformation identique de g correspond la transformation identique de G). Il est clair que tout groupe continu au sens étendu est continu au sens restreint; la· réciproque n'est pas vraie, comme le prouve le groupe continu à un paramètre t (réel) x'

== x + t

y'== y+ at (mod. 1),

(mod. 1) ,

486

DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES

17

a désignant un nombre réel irrationnel : ce groupe de transfor-

mations d'un tore (1) en lui-même est continu au sens étendu, mais non au sens restreint, car la condition 2° du sens restreint n'est pas remplie. On remarquera que tout groupe continu au sens restreint est localement fermé (au sens du § 1); il n'en est pas toujours de même pour un groupe continu au sens étendu. Notons que la distinction entre le sens restreint et le sens étendu (2) n'a lieu d'être faite que pour les groupes continus envisagés du point de vue glob.al. Signalons, sans démonstration,. le théorème suivant: « Soit g un groupe continu (point de vue local) de transformations biunivoques d'un domaine borné D en lui-même. Plus exactement, désignons par g l'ensemble des transformations du groupe qui sont associées aux points d'une hypersphère de l'espace des paramètres, cette hypersphère contenant le point représentatif de la transformation identique. Etant donné un nombre quelconque de transformations quelconques de g, soient s·1, s2, ... , s10 effectuons successivement, sur le domaine D, ces transformations; le résultat est encore une transformation biunivoque de D en luimême. L'ensemble de toutes les transformations que l'o.n peut obtenir ainsi constitue un groupe continu G (point de vue global).» En général, on pourra seulement affirmer que Gest continu au sens étendu; néanmoins si on sait par ailleurs que toutes les transformations de G, dont l'écart est plus petit qu'un nombre fixe, font partie de g, alors il est clair que G est un groupe continu au sens restreint. Groupes continus de transformations analytiques. - Si un groupe G (envisagé soit du point de vue local, soit du point de vue global) est à la fois un groupe de transformations analytiques, et un groupe continu de transformations ( sens restreint ou sens étendu) , nous dirons que G est un groupe continu de transformations analytiques. On définirait de même ce qu'il faut entendre par groupe continu de transformations pseudo-conformes.

1 ( ) ~ tore en question est le lieu des systèmes de deux nombrés réels ~,. y, définis modulo 1. C') J'ai été amené à faire cette distinction à la suite d'une conversation avec M. E. CARTAN.

487

18

GROUPES

3. - Groupes quasi-continus de transformations Définition. - Soit G un groupe de transformations d'un espace &, définies et continues dans un domaine D de cet espace (Cf. § 1); G peut être envisagé soit du point de vue local, soit du point de vue global, mais la quasi-continuité qui va être définie est une propriété locale de G. Nous dirons que G est quasicontinu d'ordre au plus égal à q, si on peut établir, entre les transformations de G qui appartiennent à un certain voisinage de la transformation identique, et les points d'un certain ensemble (e), intérieur à l'espace euclidien à q dimensions (réelles), borné et fermé dans cet espace, une correspondance biunivoque (1 ) satisfaisant à la condition suivante: si l'on désigne par M'=(M; m) la transformation de G qui correspond au point m de l'ensemble (e:), la fonction doit être co.ntinue par rapport à l'ensembJe des variables M et m, lorsque M varie dans D et m dans (e). On n'exclut pas le cas où l'ensemble (e) serait réduit à un seul point. Il est clair qu'un groupe quasi-continu de transformations est localement fermé ( § l) . Il est clair aussi que tout groupe continu (point de vue local) est quasi-continu. On a le théorème important suivant :

Théorème 1.. -

Etant donné, dans l'espace de n variables complexes Z1, ••• , z11 , un domaine borné D, le groupe G de toutes les transformations pseudo-conformes biunivoques de D en luimême est quasi-continu d'ordre au plus égal à 2 n(n+ 1) ( 2 ) . Démonstration. - Chaque transformation S de G est définie par n fonctions z'1, ... , z'11 holomorphes en z1, ... , z11 dans le domaine D. A une telle transformation on peut attacher un système de 2 n(n+l) nombres réels, en procédant de la façon suivante: choisissons une fois pour toutes un point O intérieur à D ; puis,

(1) Voir la note 3 de la page 14. 2 ( ) Cet énoncé n'a rien de définitif ; nous verrons en effet plus loin (S 8) que G est un groupe continu (et même un groupe de Lie) à n (n 2) paramètres au plus, - à moins que G ne contienne qu'une infinifé dénombrable de transformations.

+

488

DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES

19

étant donnée la transformation S de G, considérons d'une part les valeurs (complexes) de z11, ... , z'. au point 0, d'autre part les valeurs (complexes) des n 2 dérivées partielles de z11, . . . , z'n par rapport à z1, ... , .z,., prises au point O. Cela fait bien 2 n,(n+ 1) nombres réels, ou, si l'on veut; un point bien déterminé de l'espace euclidien & à 2 n ( n l) dimensions. Cela posé, choisissons une hypersphère fermée ( 1 ) ~ de c~ntre 0, complètement intérieure à D. Désignons par g l'ensemble des transformations de G qui amènent O en un point de ~ ; il est clair que g constitue un « voisinage de la transformation identique» dans G. Je dis que deux transformations distinctes de g ont toujours pour associés dans l'espace & deux points distincts ; en effet, cela résulte d'une proposition connue de la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes (2). Soit alors (e) l'ensemble des points de & associés aux transformations de g. L'ensemble (e) est borné et fermé, comme cela résulte d'un autre théorème connu (3). Enfin, si l'on désigne par

+

M'=(M; m)

la transformation de g à laquelle est associé le point m de l'espace &, la fonction cfJ est continue par rapport à l'ensemble des variables M et m, lorsque M varie dans D et m dans ( e) ; on le démontre facilement comme conséquence des deux théorèmes qui viennent d'être rappelés [ C,.) et (3)]. Il e~t donc établi que G est quasicontinu d'ordre au plus égal à 2n(n+l). La démonstration vaut pour tout domaine D borné, que D soit univalent ou ne le soit pas ; dans ce dernier cas, il suffit d'avoir soin de prendre pour O un point qui ne soit pas un point de ramification (') pour le domaine D.

1 ( J C'est-à-dire l'ensemble des points intérieurs à l'hypersphère et des points frontières. 2 ( ) Voir, par exemp1e, H. CARTAN, Les fonctions de deux variables complexes, etc. (Journal de Math., oe série, t. 10, 1931, pp. 1-114), théorème VII, p. 30. La démonstration vaut pour n variables. 3 ( ) H. CARTAN, Sur les fonctions de plusieurs variables complexes, etc. (Math. Zeitschrift, 35, 1932, pp. 760-773) ; théorème 2, p. 768. (') Voir par exemple, dans l'article cité à la note (3) de cette page, les SS 1 et 2.

489

20

GROUPES

4. - Groupes de Lie Commençons par le point de vue local. Cas d'un groupe de transformations analytiques. - Un groupe G de transformations analytiques est un groupe de Lie (point de vue local) si c'est un groupe continu (à p paramètres) du point de vue local, et si en outre on peut choisir la loi de correspondance entre les transformations de G et les points del 'hypersphère a (de l'espace à p dimensions) de façon que les coordonnées du point M'=(M; m) soient des fonctions analytiques par rapport à l' e_nsemble de toutes les variables: les coordonnées de M et celles de m. Dans le cas particulier d'un groupe de transformations pseudo-conformes, il s'agira de choisir la loi de correspondance de façon que les coordonnées complexes du point

M' = (M; m) soient des fonctions analytiques par rapport à l'ensemble de toutes les variables, à savoir les coordonnées complexes de Met les coordonnées réelles de m. Cas plus général d'un groupe de transformations continues.Supposons simplement que les transformations d'un groupe G soient continues. G se~a nommé groupe de Lie (point de vue local) si G est un groupe continu du point de vue local, et si en outre on peut choisir, au voisinage de chaque point de l'espace tl, dans lequel opère G, un système de coordonnées convenable, et choisir la loi de correspondance entre les transformations de G et les points de l'hypersphère a, de façon que les coordonnées du point M'=rp(M; m) soient analytiques par rapport à l'ensemble de toutes les variables: les coordonnées de M et celles de m. On a vu que tout groupe continu abstrait (point de vue local) peut être considéré comme un groupe de transformations. En conséquence, un groupe continu abstrait sera un groupe de

490

DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES

2

Lie s'il est localement identique à un groupe continu abstrait dans lequel les transformations m!=cp(m; s) (1)

seraient analytiques (par rapport à l'ensemble des coordonnées des points m et s). Dans la théorie classique de Lie, on démontre la proposition suivante: Si un groupe de transformations Gest un groupe de Lie du point de vue local, le groupe des paramètres (2 ) du groupe G ( qui est un groupe continu abstrait g) est aussi un groupe de Lie. En particulier, si un groupe de transformations analytiques est un groupe de Lie, le groupe des paramètres est un groupe de Lie. Il est naturel de se demander si cette dernière proposition admet une réciproque : «Siun groupe G de transformations analytiques· est tel que le groupe des paramètres soit. un groupe de Lie, G est un groupe de Lie.» Cette réciproque n'a jamais été démontrée; on n'a jamais non plus, du moins à ma connaissance, trouvé un exemple la mettant en défaut. II y a donc là un problème intéressant. Je signale simplement que ce problème est résolu dans le cas particulier des groupes de transformations pseudo-conformes ; on peut en effet démontrer facilement (3) la proposition suivante : Soit G un groupe continu de transformations pseudo-conformes ( point de vue local); si le groupe des paramètres de G est un groupe de Lie, le groupe Gest lui-même un groupe de Lie. Malgré la simplicité de la démonstration, nous ne la reproduirons pas ici ; nous établirons en effet plus loin une proposition encore plus générale, à savoir : Tout groupe continu de transformations pseudo-conformes (point de vue local) est un groupe de Lie. Comme nous l'avons rappelé dans l 'Introduction, la question

(1) Se reporter à la définition d'un groupe continu abstrait (point de vue local). (2) Cf. § 2. 3 ( ) H. CARTAN, Sur les groupes de transformations pseudo-conformes (Comptes Rendus, 196, 1933, p. 669). Au sujet de la démonstration donnée dans cette note, je signale un défaut d'exposition qui pourrait faire croire que les fonctions envisagées doivent être supposées dév"'Ioppables en séries de Fourier, alors qu'il suffit de les supposer continues ; de toute façon, les coefficients de Fourier existent.

491

22

GROUPES

est toujours pendante de savoir s'il existe des groupes continus abstraits (point de vue local) qui ne soient pas des groupes de Lie. Mais, comme conséquence de notre théorème, nous pouvons affirmer ceci : s'il existe un groupe continu abstrait g qui ne soit pas un groupe de Lie, il est impossible de trouver un groupe de transformations pseudo-conformes dont g soit le groupe des paramètres. Abordons maintenant le point de vue global. Définition. - Un groupe de transformations G (point de vue global) est un groupe de Lie du point de vue global si: 1° G est continu du point de vue global ; 2° G est un groupe de Lie du point de vue local. Suivant que G est continu au sens restreint, ou au sens étendu, nous dirons que Gest un groupe de Lie au sens restreint, ou au sens étendu. En particulier, un groupe continu abstrait (point de vue global) est un groupe de Lie, si, envisagé du point de vue local, c'est un groupe de Lie. Comme conséquence d'une proposition signalée à la fin du § 2, nous pouvons signaler ceci: « Soit g un groupe (point de vue local) de transformati9ns analytiques biunivoques d'un domaine D en lui-même ; supposons que g soit un groupe de Lie du point de vue local, et, plus précisément, désignons par g l'ensemble des transformations du groupe qui sont asso:ciées aux points de l'hypersphère a. Etant donné un nombre quelconque de transformations de g, effectuons successivement, sur le domaine D, ces transformations: le résultat est encore une transformation analytique biunivoque de D en lui-même. L'ensemble de toutes les transformations ainsi obtenues constitue un groupe de Lie du point de vue global.»

5. - Transformations infinitésimales d'un groupe de transformations analytiques Dans ce paragraphe, ainsi que dans les trois suivants, il ne sera question que de groupes de transformations analytiques envisagés du point de vue local. Définition. - Soit G un groupe de transformations analytiques. Nous ne supposons pas que G soit un groupe de Lie, ni même

492

DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES

23

que G soit ,continu. Nous dirons que G admet la transformation infinitésimale

:~ = 4 (M) (4 étant analytique)

(2)

si G contient les transformations finies enge.ndrées par cette transformation infinitésimale, tout au moins celles qui correspondent à des valeurs assez petites de It Cette définition appelle quelques explications. Par hypothèse, G est un groupe de transformations analytiques dans un domaine D de l'espace à n dimensions (réelles ou complexes). La notation 4(M) désigne n fonctions des n coordonnées (réelles ou complexes) du point M, fonctions supposées définies et analytiques lorsque M est intérieur à D. La notation J .

dM

dt

= 4 (M)

désigne un système de n équations différentielles à n fonctions inconnues (réelles ou complexes) de la variable t. Cela posé, choisissons arbitrairement un domaine flo complètement intérieur à D; les théorèmes classiques d'existence nous apprennent que le système différentiel dM'

dt

= t;;,

(M')

admet une solution et une seule M'=W(M;t)

(3)

qui satisfasse aux conditions suivantes : 1° Les coordonnées du point M' sont analytiques par rapport à l'ensemble de toutes les variables (savoir: les coordonnées de M et le paramètre réel t) lorsque M est intérieur à âo, et t inférieur, en valeur absolue, à un nombre assez petit ( soit "t' ce nombre) ; 2° On a l'identité lf(M ;O)=M

pour tout point M intérieur à flo. Si nous revenons à notre groupe G, les transformations de G sont analytiques dans âo, puisqu'elles sont, par hypothèse, analytiques dans D. Dire que G admet la transformation infinitési-

493

24

GROUPES

male (2), c'est dire qu'il existe un nombre positif 't' pour chaque t satisfaisant à

< -r

tel que,

ltl.

Nous aurons à nous servir du lemme suivant :

1. - Soit  un domaine qui contient l'hypersphère de centre O et de rayon r ~ mais est intérieur à l'hypersphère de centre O et de rayon R ( 0 désigne un point fixe quelconque LE1\IME

526

-4-

de  ). Tant que la distance euclidienne d'un point variable M au point O reste au plus égale à un certain nombre p ( qui ne dépend que de r et R ), la pseudo-distance d,1(0; M)

est une fonction monotone ( au sens strict) quand M décrit une demi-droite quelconque issue de O. Prenons en effet O comme origine des coordonnées, et choisissons les axes de façon que, sur la demi-droite OM envisagée, toutes les coordonnées (complexes) soient nulles sauf une, que nous appellerons z, et que nous supposerons réelle et positive sur la demi-droite· OM. Posons d.1(0; M)

fonction définie pour o :S z


ci-dessus. Voici comment. On , aurait, sur Â' n "1.", :X

les i,x étant holomorphes sur '1' n Â", el les C,.:x sur .1' U .l", avec les identités pour tuul

0(.

Or, d'aprt\S un thc!oriHne classique, les À:x peuvent se mettre sous Ja forme Àx=À~ -

575

À;,

HENRI CARTAN.

160

les ). . a. étant holomorphes sur Â', et les c',,_

À: sur Â

11 •

En posant

, = ,.,"\,,c ~r,a. b.,

= ~ À cb., 1

ck

a,

a.

on obtient des c~ holomorphes sur Â' et y satisfaisant à~ c~/"'= o, des c~ holok

morphes SUr  et Ysatisfaisant à~ C~./,; : 11

O,

et l'on a, S"ùr  1 n Â",

k

Les fonctions ak égales, sur .1', à a~-_ c~, et, sur m9rphes ·sur là réunion Â' U Â" et y satisfont à

Â",

à

a; - c;, sont holo-

f=~ak/k, k

ce qui résout le « problème élémentaire >>. t:L Ainsi, tout l'effort doit se porter, scmhle-t-il, sur le problème IV, dont la solution entraînerait celle de tous les autres. Or le problème IV so1dève une question préliminaire : les /,.- étant holomorphes sur Â, associons à chaque point :x de  le module ponctuel JTt(/,., x) formé des systèmes de p fonctions c1; (holomorphes au point x) telles que~ c,J,.-= o; ces modules ponctuels formentk.

i1s un .~ystènw cohérent? Or c'est là une question que je ne suis pas encore parvenu i1 résoudre. Serait-elle résolue, que le problème l V ne le serait pas t•ncore; pour y parvenir, on aur.ait besoin de la solution >.

Définition. - Les entiers net q étant donnés., unfaisceau 5i est une fonction qui, à chaque sous-ensemble ouvert non vide XC (!!,n, associe un module q-dimensionnel dans X, noté Six, de manière q_ue, si XC Y, le module engendré par ~'ii"y dans X soit contenu dans :!Px, Un faisceau 5i permet d'attacher à toute partie non vide A de (:!,n un module !!FA ( sous-module de '9'.{), de la manière suivante : ~'FA est la réunion des modules engendrés ( dans A) par les ffex relatifs aux voisinages ouverts X de A. Si Ac B, .

2 ( ) Mémoire cité dans l'introduction (Voir ce Yolume du Bulletin). Oka introduit cette notion au paragraphe 2 de son Mémoire, sous le nom de « idéal hol,rn1orphe de domaines indéterminés ». Nous adoptons ici une terminologie et une présentation différentes, mais le fond de la n·otion est le même. (3) C. R. Ar:ad. Sc., 222, rg4G, p. 1366-,.368.

622

-

:V.1,-

!!FA contient le module engendré par ffeB dans A. On notera que si @'x= 0x. pour tout X ouvert, alors SiA = C:\ pour toute partie non vide A. Intersection de deux faisceaux : soient ffe et qJ., deux faisceaux q-dimensionnels dans e 11 • Posons, pour tout X ouvert (non vide), aex=3'xr. 'Jx; les Xx définissent un faisceau ae, appelé l'intersection des faisceaux 5' et 9],! et l'on vérifie que aeA = f,FA r. '};,A pour tout A non vide.

Faisceau sur un ensemble ouvert A. - Nous généraliserons comme suit la définition d'un faisceau. Soit A un ensemble ouvert non vide de (:;, 11 ; un faisceau sur A ( ou A-faisceau) est une fonction qui, à chaque énsemblc ouvert non vide X contenu dans A, associe un module :!Px dans X, de telle manière que, si X c Y c A, le module engendré par. 5'x dans X soit contenu dans !ÊFx.. Le cas défini antérieurement était celui où A= Dans le cas général, on définit de même !ÊFx pour toute partie non vide X contenue dans A. On définit également l'intersection de deux A-faisceaux·. Tout faisceau ff. sur e,n définit un faisceau sur A : il suffit de n'envisager que les Si'x relatifs aux parties X de A. Inversement, un faisceau 5 ·sur A définit canoniquement un faisceau qj., sur (:!,n : Çfx se compose des fonctions de (._')~ dont la restriction à X n A appartient à 3'x.nA·

en.

5. PROPOSlTION i. - Étant donné un A.-faisceau :!F, tout point x de A. possède un voisinage ouoert X tel que :::îi.r soit engendré par ::Fx_. Cela résulte du fait que 5'.,· admet un système fini de générateurs. CoaoLLAIRE. - La collection des modules ponctuels ~'ii.,. définis par un faisceau :-."F satis/ait à la condition :

(a) si une fonction f holomorphe dans un votsmage d'un point x, appartient(-') au module ::ïi"."' elle appartient aussi au module ;:T,J' pour tout point y d'un voisinage de x (voisinage qui dépend évidemment _de f).

La collection des modules ponctuels ~f,r (relatifs aux points x d'un ensemble ouvert A) ne suffit pas à reconstituer le A-faisceau 5'. Toutefois. toute collection de modules ponctuels qui satisfait à la condition ( a) définit_ un A-faisceau

5

que

voici : pour tout X ouvert non vide contenu dans A, ~x se compose des fonctions/ de (9i_ qui, en chaque point x de X, appartiennent au module ~'îi.,. associé à ce point. Grâce à la condition (a), on constate alors que le module 3'v que le faisceau ~ associe à une partie non vide quelcemque Y contenue dans A se compose aussi des fonctions de (9~ qui, en chaque point x d~ Y, appartiennent au module fF x associé à x. En particulier, tfi .i: = tF :r pour tout point x de A. Il J a donc correspondance biunivoque entre les collections de modules ponctuels ( attachés ( 4)

Nous disons, par abus de langage, qu'une fonction f appartient

restricti6n au point x appartient à ce module.

623

~1

un module au point x, si :.a

-

35 -

aux différents points de A ouvert) qui satisfont à la condition ( a), et les A-faisceaux 9, possédant la propriété suivante : ( b) pour qu'une f de (9f appartienne à g,x ( X partie non vide de A), il faut et il suffit que f E 9-x pour tout point x e X. Un faisceau satisfaisant à ( b) sera dit complet. Il est évident que l'intersection de deux faisceaux complets est un faisceau complet. Étant donné un A-faisceau quelconque$, soit, comme ci-dessus, 5 le faisceau complet défini par la collection des modules ponctuels ffen. que Si attache aux points x E A; il est clair què $ x:, $ x pour toute partie X non vide de A. Le faisceau 5i sera dit le faisceau complété de$. 6. Exemples de faisceaux. - Exemple 1.. ,- Soit A un ensemble ouvert non vide, donné une fois pour toutes, et soit Jlt un module ( q-dimensionnel) dans A. Pour chaque partie ouverte X de A, soit Six le module engendré par Jlt dsns X ( cf. n° 2). On définit ainsi un A-faisceau Si; on vérifie que, pour toute partie X non vide de A, ffex est le module engendré par Jlt dans X. Le faisceau 5 est dit engendré par le module Jlt. Il n'est pas certain, a priori, qu'un tel fais.eeau soit complet; à ce sujet, voir plus loin (théorèmes 4, 4 bis et 4 ter). D'autre part, soient J1t et .'Jl deux modulès q-dimensionnels dans A ouvert; il n'est pas certain que le faisceau engendré par l'intersection Jlt n 9t soit identique à l'intersection des faisceaux engendrés par Jlt et .'Jl respectivement; à ce sujet, voir plus loin ( théorèmes D: 5 bis et o ter).

Exemple 2. - Soient p fonctions fi ( 1 L. i L. p) holomorph.es dans un ensemble ouvert A, et à valeurs dans (:!,ri. Pour chaque ensemble ouvert non vide X contenu dans A, considérons les systèmes de p fonctions c 1 : • • • , Cp holomorphes dans X et telles que ~ c;fi soit identiquement nulle dans X. Un tel système (ci) sera considéré comme un élément de cJi; l'ensemble de ces systèmes constitue un module dans X, que nous noterons 6lx(f), et appellerons module des relations entre les f;, dans X. Les 6lx(/) définissent un faisceau CR.(/), appelé faisceau des relations entre les f;,. Pour toute partie non vide Y de A (non nécessairement ouverte), on vérifie que 6lx (/) se compose des éléments ( c;,) de (9Ç tels que· ~ cJi soit l'élément nul de

ei.

Ceci vaut, en particulier, lorsque Y est réduit

un point x( .i; e A); on écrira, dans ce cas, 6lx(f), et l'on parlera du «. module des relations entre les f; au point x ». Enfin, on notera que, en vertu de la définition même, tout faisceau de relations est un faisceau complet.

à

Exemple 3. - Soit V une variété analytique dans un ensemble ouvert A ( cf. n° 3). Pour chaque ensemble ou~ert non vide X contenu dans A, consi'dérons l'idéal tFx( V) des fonctions scalaires, holomorphes dans X, qui s'annulent en tout point J.. 22. Nous allons maintenant montrer que, en gros, un domaine polyédral peut être assimilé à une variété analytique dans un polycylindre compact d'un espace.à un plus grand nombre de dimensions ( 18 ). Considérons l'espace 0). _La donnée du système cohérent des la est équivalente à la donnée, dans B, d'une famille de sous-variétés analytiques de dimension -n - 1, affectées d'ordres de multiplicité (cette famille pouvant être infinie, pourvu que chaque sous-ensemble compact de B n'en rencontre qu'un nombre fini). C'est ce qu'on appelle une "donnée de Cousin" dans B. Supposons que B soit un domaine d'holomorphie; alors, d'après les résultats généraux de la théorie des idéaux, il existe dans B un idéal fermé l, et un seul, qui engendre la en chaque point z de B. Mais le "problème de Cousin" consiste à chercher une fonction unique, holomorphe dans B, et qui, en chaque point z, engendre l'idéal la (c'est-à-dire s'annule sur chaque va.riété avec l'ordre de multiplicité voulu, et pas ailleurs). En d'autres termes, on exige que l'idéal l soit un idéal principal. Or cette nouvelle exigence ne peut pas toujours être satisfaite, même si B est un domaine d'holomorphie: comme nous allons le voir, elle pose des conditions de nature topologique. Avant d'en parler, rappelons que le problème précédent avait été résolu par l'affirmative par Cousin, dès 1895,13 dans le cas où B est un polycylindre, produit de domaines Zk E Bk supposés tous simplement connexes sauf un au plus. Cousin avait étudié ce problème à la suite de Poincaré qui s'était préoccupé de mettre une fonction méromorphe dans l'espace en sous la forme du quotient de 2 fonctions entières, premières entre elles. Pour étudier l'aspect topologique du problème, plaçons-nous d'abord dans le cas général où B est une variété quelconque, à structure analytique-complexe. The theory and applications of harmonie integrals, Cambridge, 1941. -Voir A. Weil, Comment. Math. Helv. t. 20 (1947) pp. 110-116. 12 Résultat de H. Cartan, non encore publié; des cas particuliers en étaient connus auparavant, notamment lorsque B est une surface de Riemann étalée dans le plan d'une variable complexe. 18 Acta Math. t. 19 (1895) pp. 1-62. 10 11

662

THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES

161

Une donnée de Cousin dans B définit un nouvel espace topologique E que voici: un poi_nt de E sera, par définition, un couple (z, f) formé d'un point z de B et d'un élément générateur f de l'idéal principal I. attaché au point z; on identifiera les couples (z, f) et (z', f') si z = z' et si le quotient f /!'. (qui est holomorphe et ~ 0 au point z) est égal à un au point z. Faisons opérer, dans cet espace E, le groupe multiplicatif C* des nombres complexes ~ 0, comme suit: un nombre complexe a ~ 0 transforme (z, f) en (z, af). Le groupe C*, en opérant ainsi dans E, définit une relation d'équivalence; les classes d'équivalence, ou fibres, sont isomorphes à C*, et l'espace quotient de E par la relation d'équivalence n'est autre que l'espace B. Dans le langage de la topologie moderne, E est un espace fibré principal, de groupe C*, ayant B _pour espace de base. L'hypothèse suivant laquelle les idéaux I. forment un système cohérent exprime que chaque fibre de E possède un voisinage isomorphe au produit U X C* d'un ensemble ouvert U de B par la fibre C*; ceci permet de définir, sur E, une structure de variété analytique-complexe. Ainsi, une donnée de Cousin, sur une variété analytique B de dimension n, définit une ·variété analytique E de dimension n + 1, qui est un espace fibré principal de base B et de groupe C*. On voit aussitôt qu'une solution du problème de Cousin définit une section analytique de cet espace fibré, et réciproquement (une section analytique est une application analytique de B dans E, qui transforme chaque point z de B en un point de la fibre correspondant à z). Ainsi: pour que le problème de Cousin ait une solution, il faut et il suffit que l'espace fibré E ait une section analytique, ou, ce qui revient au même, qu'il soit isomorphe au produit B X C* (il s'agit d'isomorphisme au sens analytique-complexe). Dans le langage de la théorie des espaces fibrés, notre espace fibré E doit être trivial; mais non pas trivial au sens topologique, ni même au sens de la structure différentiable, mais au sens analytique-complexe. Les remarques qui précèdent sont dues à André Weil, qui attira récemment mon attention sur cette intervention de la notion d'espace fibré dans ce problème bien connu de la théorie des fonctions analytiques. Ainsi, on peut appliquer au problème de Cousin les résultats donnés par la théorie topologique des espaces fibrés: pour que l'espace fibré E défini plus haut soit topologiquement trivial, il faut et il suffit que la classe caractéristique de cet espace fibré, qui est un· élément u du deuxième groupe de cohomologie H2(B) à coefficients entiers, soit nulle. C'est donc là une condition nécessaire pour que l'espace soit analytiquement trivial, mais peut-être pas suffisante. Or Oka, dès 1939,14 a montré que si B est un domaine d'holomorphie, et si le problème de Cousin peut être résolu dans le champ des fonctions continues, alors il admet aussi une solution dans .le champ des fonctions analytiques. Cela revient à dire que si l'espace fibré E défini par la donnée de Cousin est topologiquement trivial, il est analytiquement trivial. Par conséquent, si B est un domaine d'holomorphie, la nullité de l'élément u E· H2(B) défini par la donnée de Cousin est nécessaire et suffisante pour que le problème de Cousin ait une solution. 14

Journal_ of Science of the Hirosima Universitv (1939) pp. 7-19.

663

162

HENRI CARTAN

En fait" dès 1941, Stein15 avait explicité des conditions de nature homologique pour la résolubilité du problème de Cousin, sans faire appel à la théorie des espaces fibrés. Indépendamment de tout problème de Cousin, on peut se demander si tout espace fibré analytique E, de groupe C*, qui est topologiquement trivial, est analytiquement trivial. Or il en est bien ainsi quand l'espace de base B est un domaine d'holomorphie. Ce dernier résultat peut être utilisé pour le problème de Cousin généra1isé, dans lequel on se donne un système cohérent de fonctions f&, non plus holomorphes, mais méromorphes; cela revient à se donner, dans B, une famille de sous-variétés analytiques M;, de dimension n - 1, affectées ér,ordres de multiplicité p; qui sont des entiers de signe quelconque; dans le langage de la géométrie algébrique, on se donne un "diviseur", combinaison linéaire, à coefficients entiers Pi, de sous-variétés analytiques de dimension n - l. Une donnée de Cousin généralisée définit encore un espace fibré principal de base B et de groupe C*; sa classe caractéristique u E H2(B) est facile à interpréter à l'aide du cycle de dimension réelle 2n - 2 défini par le diviseur. Lorsque B est un domaine d'holomorphie, la nullité de la classe d'homologie définie par le "diviseur" est nécessaire et suffisante pour que le problème de Cousin généralisé soit résoluble. Le problème de Cousin dont nous venons de parler est appelé, par les spécialis:tes, "deuxième problème de Cousin". Le premier problème de Cousin consiste à chercher une fonction méromorphe dans B, dont la partie principale est donnée en chaque point de B. On voit facilement que la donnée de ces parties principales définit un espace fibré de base B, dont le groupe est cette fois le groupe additif C des nombres complexes. Un tel espace est toujours topologiquement trivial. La démonstration qu'a donnée Oka du fait que le premier problème de Cousin a toujours une solution quand Best un domaine d'holomorphie, prouve en réalité le théorème suivant: lorsque B est un domaine d'holomorphie, tout espace fibré de base B et de groupe C est analytiquement trivial. Nous voudrions maintenant dire quelques mots des problèmes précédents dans le cas où B est une variété compacte, kahlérienne. Alors, il n'est plus vrai qu'un espace fibré de base B et de groupe C soit toujours analytiquement trivial: un tel espace possède un invariant (de sa structure fibrée analytique-complexe), qui est un élément du premier groupe de cohomologie de B à coefficients réels; la nullité de cet invariant est nécessaire et suffisante pour que l'espace soit analytiquement trivial. Interprétons cet invariant lorsque la .structure fibrée de groupe C provient de la donnée des parties principales d'une fonction méromorphe inconnue (premier problème de Cousin): il n'existe pas, en général, de fonction méromorphe f admettant ces parties principales; mais si on tolère une fonction f multiformè, on peut lui imposer de se reproduire augmentée d'une constante réelle par tout lacet dans B, et alors le problème a toujours une solution et une seule. Les "périodes" réelles de cette solution définissent l'invariant homologique cherché. 15

Math. Ann. t. 117 (1941) pp. 727-657

664

THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES

163

Revenons au deuxième problème de Cousin généralisé, toujours dans le cas où B est une variété compacte kahlérienne. Si on se donne un "diviseur", la nullité de l'élément u E H 2 (B) qu'il définit assure seulement l'existence d'une fonction méromorphe multiforme admettant ce diviseur; on peut imposer à cette fonction d'être multipliée par une constante > 0 par tout lacet dans B. Si on tolère

des multiplicateurs qui soient des constantes complexes, il n'est même plus nécessaire que u soit nul: dans ce cas, il faut et il suffit que l'intersection du "diviseur" avec tout cycle à 2 dimensions réelles soit nulle; et ce résultat vaut aussi bien lorsque B est une variété compacte kahlérienne (A. Weil, Kodaira16 ) que lorsque B est un domaine d'holomorphie. Dans un cas comme dans l'autre, on peut astreindre les multiplicateurs à être des nombres complexes de valeur absolue égale à un; si B est kahlérienne compacte, cette restriction entraîne l'unicité de la solution, à un facteur constant près. Il resterait à parler du deuxième problème de Cousin dans le cas général où il n'existe même pas de solution non uniforme admettant des multiplicateurs constants. C'est le problème que l'on rencontre dans la théorie classique des fonctions thêta de n variables: B est alors le quotient de en par un sous-groupe r engendré par 2n éléments indépendants ("périodes"); étant donnée une fonction méromorphe dans en = Î3 et admettant les 2n périodes, les p6les d'une telle fonction définissent un "diviseur"; il est certain que l'élément u. E H 2(B) défini par ce diviseur n'est pas nul (en vertu d'un théorème connu,17 une sous-variété analytique d'une variété kahlérienne compacte n'est jamais homologue à zéro). Mais il existe toujours une "fonction thêta" qui admette un diviseur arbitrairement donné: c'est une fonction holomorphe dans B et qui, par tout lacet dans B, est multipliée par e,p(z>, où cp est une fonction primitive d'une différentielle de première espèce de B (dans le cas présent, ceci implique que la fonction cp(z) est linéaire dans l'espace en). Enoncé sous cette forme, ce résultat a été généralisé par Kodaira16 à toutes les variétés compactes kahlériennes, de la manière suivante: si l'élément du deuxième groupe de cohomologie réel défini par le "diviseur" est une somme de produits d'éléments du premier groupe de cohomologie, alors ce diviseur est celui d'une "fonction thêta généralisée". Or il est remarquable que des fonctions analogues aient été considérées par Stein en 1941 18 dans le cas, fort différent, où B est un polycylindre de la forme Z1

E B1 ,

• ' • , Zn

E

Bn ,

L'invariant u E H2(B) défini par une·donnée de Cousin est alors caractérisé par la loi d'intersection du diviseur avec les produits 'Y; X 'Yk d'un cycle 'Y; E H1(B ;) et d'un cycle 'Yk E H1(Bk), Le résultat de Stein, que j'énonce pour simplifier dans le cas n = 2, est le suivant: le problème de Cousin possède une solution holomorphe 16 A. Weil, loc. cil. en (11); K. Kodaira, Chapter V du cours de G. De Rham sur les int.égrnles harmoniques, Institute for Advanced Study, Princeton, 1950. 17 Voir B. Eckmann et H. Guggenheimer, C. R. Acad. Sei. Paris t. 229 (4) (1949) pp. 577-

579. 18

Voir §4 du mémoire cité en 15.

665

HENRI CARTAN

164

f (z1 , z2), uniforme par rapport à z1 (z2 étant fixé), et qui, pour z1 fixé, est multipliée par un facteur f.rCz1) (holomorphe, uniforme, et ;= O) quand z2 décrit un cycle 'Y·

De plus, Stein montre qu'il existe toujours une donnée de Cousin dont l'invariant u E H2(B) soit un élément arbitrairement donné de H2(B), contrairement à ce qui se passe pour les fonctions thêta: dans le cas d'une fonction thêta, la loi d'intersection du diviseur qu'elle définit, avec les produits 'Y; X 'Yk , donne naissance à une forme bilinéaire alternée à 2n variables réelles qui. n'est pas quelconque, car elle doit être la partie imaginaire d'une forme quadratique hermitienne positive à n variables complexes. Dans cet ordre d'idées, il se pose de nombreux problèmes que je ne puis même pas mentionner. Je serai heureux si j'ai réussi à vous montrer que de nouveaux domaines s'ouvrent aujourd'hui à la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables. Les résultats déjà obtenus sont encourageants, mais encore assez fragmentaires pour exciter notre curiosité. Dans les recherches qu'ils ne manqueront pas de susciter, l'algèbre moderne aussi bien que la topologie auront leur rôle à jouer. Ainsi s'affirmera, une fois de plus, l'unité de la mathématique. UNIVERSITY OF PARIS,

p ARIS,

FRANCE.

666

40. Sur une extension d'un théorème de Rado MathematischeAnnalen 125, 49-50 (1952)

Dans votre article intitulé »Modifikation komplexer Mannigfaltigkeiten und RIEMANNscher Gebiete« [Math. Ann. 124, 1-16 (1951) ], vous démontrez une extension à n variables (votre Satz 1, page 11) d'un théorème classique de Rad6, dont P. THULLEN avait donné une démonstration à l'occasion de l'étude des singularités des sous--variétés analytiques complexes de dimension maximum [Math. Ann. 111, 137-157 (1935)]. En énonçant votre théorème sous une forme voisine, on peut facilement ramener le cas de n variables à celui d'une seule, et traiter ce dernier sans se servir du théorème de Rad6, mais en usant de. considérations assez élémentaires de la théorie des fonctions sous-harmoniques d'une variable complexe. D'une façon précise, je vais démontrer ceci: Théorème. - Soit @ une variété analytique-complexe (,,RIEMANNsches Ge-

biet" dans votre terminologie). Soit g une fonction à valeurs complexes, définie dans @, et satisfaisant aux deux conditions suivantes; a) g est continue en tout point de @ ; b) g est holomorphe en tout point de @ où g est + 0. Alors g est holomorphe en tout point de @ sans exception. Lorsque la dimension n de @ est égale à un, le théorème de Rado résulte de celui-ci: il suffit, avec vos notations de la page 9, de poser g (z) = f (z) pour z E @', g (z) = 0 pour z E @', puis d'appliquer notre théorème à cette fonction g. Notre théorème étant de nature locale, il suffit de faire la démonstration au voisinage de chaque point de @; on peut donc supposer que @ est un polycylindre (1) iz1 \ < 1, ... , lzn\ < I de l'espace de n variables complexes zi. De plus, il suffit de prouver le théorème pour n = I: en effet, supposons que g satisfasse aux conditions a) et b) dans le polycylindre (1); fixons toutes les variables sauf une, soit zi; alors g devient une fonction de zi qui, si notre théorème est vrai pour n = I, est holomorphe dans le cercle I zi \ < 1. Ainsi g est holomorphe séparément par rapport à chaque variable, donc, en vertu d'un théorème classique de HARTOGSOsooon1), est une fonction holomorphe des n variables complexes dans le polycylindre (1). Il reste à démontrer le théorème dans le cas d'une seule variable complexez. La fonction u (z) = log \g (z)\ est sous-harmonique; car elle est continue (à valeurs ~ - oo et < + oo), harmonique en tout point où u (z) est fini, et, en chaque point z0 de l'ensemble. fermé E des points où g s'annule, sa valeur - oo est au plus égale à sa moyenne le long des circonférences de centre z0 et de rayon assez petit. Alors, de deux choses l'une: ou bien u (z) est identique *) Auszug aus einem Briefe von Herrn HENRI CARTAN an H. BEHNKE und K. STEIN'. Herr CARTAN gibt darin einen neuen einfachen Beweis einer Verallgemeinerung eines Satzes von TIBOR RAn6, die (in etwas anderer Fassung) in der Arbeit: ,,Modifikation komplexer Mannigfaltigkeiten und RIEMANNscher Gebiete" benutzt wurde. Herr CARTAN hat seinen Beweis 1941 aufgestellt, jedoch bisher noch nicht veroffentlicht. 1 ) En réalité, on n'a même pas besoin de la partie fine du théorème de HARTOGSOsooon, puisqu'on a supposé la fonction g continue.

667

50

HENRI CARTAN:

Sur un théorème de Rad6.

à la constante - oo, donc g (z) == 0 (et le théorème est démontré dans ce cas); ou bien u (z) $ - oo. Plaçons-nous désormais dans cette dernière hypothèse. L'ensemble E des infinis de u (z) est alors de capacité nulle, d'après un théorème classique. De plus, d'après un. théorème de LEBESGUE (voir par ex. BRELOT, J. de Math. 19, 319-337 (1940); voir théorème D, p. 334), chaque point z0 de E est centre de circonférences de rayons arbitrairement petits, qui ne rencontrent pas E. Considérons· la distribution µ de masses positives qui, d'après la théorie de F. Rrnsz, est attachée à la fonction sousharmonique u; dans le langage des distributions de SCHWARTZ, la >>distri-

bution« µ n'est autre que le laplacien de ~ u: 2 1

/l = 2n L1 u .

(2)

Les masses de fl sont portées par E, puisque it est harmonique en dehors de E. Si une courbe régulière fermée I' ne rencontre pas E, le total des masses deµ qui sont situées à l'intérieur de I' est égal à l'intégrale curviligne (3)

I :2 n

J8xdy-8ydx. ôu

ôu

r Comme ici u (z) = log Ig (z) 1, cette intégrale est égale au quotient par 2 n de la variation de l'argument de g (z) le long de I', donc est égale à un nombre entier. Appliquons ce résultat à des circonférences de rayons de plus en plus petits, centrées en un point· quelconque z0 ; on voit que, sauf éventuellement une masse ponctuelle (entière) portée par le point z0 , la distribution µ ne comporte aucune m~sse dans un cercle asrnz petit de centre z0 • Ainsi µ se compose de masses ponctuelles, placées en des points isolés; et E est l'ensemble de ces points isolés. Puisque la fonction g est holomorphe en dehors de ces points, et bornée au voisinage de chacun d'eux, g est aussi holomorphe aux points de E, ce qui démontre notre théorème. On notera que si un point z0 porte une masse égalé-à l'entier k, z0 est un zéro d'ordre k de la fonction holomorphe g. (Eingegangen am 31. Dezember 1951.)

668

41. Variétés analytiques complexes et cohomologie Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles 41-55 (1953)

La théorie globale des idéaux de fonctions analytiques, due à K. Oka [ 10] et H. Cartan [2, 3, 4 J, vaut non seulement pour les domaines d'holomorphie, mais pour une classe plus vaste de variétés analytiques complexes introduite par K. Stein [ 11] , et qui comprend notamment toutes les sousvariétés· analytiques sans singularité, de dimension quelconque p, de l'espace numérique complexe de dimension quelconque n>p. Les théorèmes fondamentaux de cette théorie se formulent bien dans le langage de la cohomologie, qui suggère des généralisations et fournit un outil commode en vue de l'exploitation des résultats. Dans cette conférence, nous exposerons d'abord les notions de base : celle de faisceau, et celle de cohomologie à coefficients dans un faisceau. Puis nous énoncerons les théorèmes fondamentaux. Enfin, nous ferons des applications à des problèmes globaux concernant leR variétés de Stein; d'autres applications seront données dans la conférence de J .-P. Serre.

1.

FAISCEArx SUR UN ESPACE TOPOLOGIQUE

(1)

Soit X un espace to.pologique. Un faisceau de groupes abéliens sur X, ou simplement fa.isceau, est défini par la donnée : (1) La notion de faisceau a été introduite par J. Leray à l'occasion de l'étude des propriétés homologiques d'une application continue. Voir J. LERAY, Journ. de Math. pures et appliquées, 29, 1950, pp. 1-139; c'est dans cet ouvrage que l'on trouve (bas de la page 75) Une définition de la cohomologie à coefficients dans un faisceau, limitée à vrai dire au cas d'un espace X localement compact (et il s'agissait de la cohomologie cc à supports compacts »). La définition des faisceaux adoptée ici est un peu différente; elle est due à Lazard et a été exposée dans mon Séminaire polycopié de l'E. N. S. 1950:1951, où la théorie de la cohomologie à coefficients dans un faisceau a été développée (exposés XIV à XX).

669

42

VARIÉTÉS ANALYTIQUES COMPLEXES

1° D'une fonction x-+ flix qui, à chaque point x EX, associe un groupe abélien flix (qu'on notera additivement); 2° D'une topologie (non nécessairement séparée) dans la réunion fJi des ensembles fJi x • Avant de formuler les axiomes auxquels ces données sont astreintes, notons p l'application de fJi sur X qui, à chaque a. E fli, associe le point x tel que rx E flix. On pose les deux axiomes: (Fr) l'application rx-+- rx qui, à chaque rt. E fli, associe l'opposé de rt. dans le groupe flip , est une application conti-nue de fJi dans fJi. L'application (rt., ~)-+ rt. définie sur l'ensemble~ des couples (a.,~) tels que p(rt.)=p(~), et qui associe à un tel couple la somme rt. ~ dans le groupe fJip(a> , est une application continue de la partie ~ de fJi X fJi dans fJi.

+ ~'

+

CFu) l'application p est un homéomorphisme local, i.e.: tout· élément rt. E Si possède un voisinage ouvert V tel que la restriction de p à V soit un homéomorphisme de V sur un ouvert de X. Si U est une partie de X, la collection des fJi x pour x E U, munie de la topologie induite par celle de fJi, est évidemment un faisceau sur U ; on le notera fJi (U), et on l'appellera le faisceau induit par fJi sur U.

Exemple. - Soit G un groupe abélien. Soit fJi le produit G X X, muni de la topologie-produit (G étant muni de la topologie discrète). Le sous-ensemble flix des couples (g, x), où g parcourt G, est évidemment muni d'une structure de groupe abélien (isomorphe à G). On vérifie aussitôt les axiomes (Fr) et (Fu). Ce faisceau s'appelle le « faisceau constant» défini par G, et se note aussi G. Soit fJi un faisceau quelconque sur X. On appdle section de fJi au-dessus d'un ouvert U C X une application continue s: U-+ fJi telle que p os soit l'identité ; s est alors un homéomorphisme de U sur son image s (U). L'axiome CFu) implique ceci : si deux sections sont égales en un point x E U, elles sont égales en tous points d'un voisinage de x. L'application s qui, à chaque x E: U, associe l'élément neutre O.r E flix, est une section [ en vertu de (Fr) J; on l'appelle la section nulle. L'ensemble f(U, fli) des sections de fJi au-dessus de U est muni d'une structure de groupe abélien, grâce à (Fr), rt la sect.ion nulle est l'élément neutre de ce groupe. Si ll et V sont deux ouverts tels que V C U, toute section au-dessus de U induit une section au-dessus de V. Le groupe flix est la limite inductive des groupes f (U, fli) relatifs aux voisinages ouverts U de x.

670

ET COHOMOLOGIE

43

Dans la pratique, un faisceau sur X est souvent défini de la mnnière suivante.: on se donne des groupes abéliens Siu attachés à certains ouverts U C X, formant un système fondamental d'ouverts de la topologie de X; et, pour tout couple (U, V) tel que V CU, on se donne un homomorphisme /vu: Siu-+ Siv, de manière que, pour W C V C U, on ait /wu= fwv O /vu. On prend alors pour Six la limite· inq.uctive des Siu pour les ouverts. U contenant x ; et, sur la réunion Si des Six, on ~éfinit la topologie 'i; que voici·: pour tout ouvert U el tout a. E Siu, soi_t [a.] l'ensemble des images de a. dans les Six associés aux points x E U ; par définition, les sousensembles [a.] de Si constituent un système fondamental d'ouverts de la topologie 'i;, Les axiomes (F1 ). et (Fu) sont satisfaits. On a un homomorphisme évident: Siu-+ r (U, Si), mais ce ·n'est pas nécessairement un isomorphisme. Deux modes de définition distincts peuvent ainsi définir un même faisceau. Pour que l'homomorphisme Siu-+ r (U, Sf) soit un isomorphisme, il faut et il suffit que, pour tout système d'ouverts Ui de réunion U, et tout. système d'éléments a.i E Si Vï tels que ,,,a.i et a.; aient même image dans Si eïn u; , il existe un a. E Siu et un seul, tel que /uiu(a.)= a.i pour tout i.

Exemple. - Soit Siu le groupe additif des fonctions numériques réelles (resp. complexes) définies et continues dans U. Si V CU, l'homomorphisme Siu-+ Siv sera celui qui associe à une fonction définie sur U sa restriction à V. Alors Six est le groupe additif des germes de fonctions continues au point x; et Si s'appelle le faisceau des germes de fonctions continues réelles (resp. complexes). Siu est isomorphe au groupe des sections de Si au-dessus de U. Remarque. - On a défini des faisceaux de groupes abéliens; mais il est clair que des définitions analogues peuvent être données pour n'importe quelle structure algébrique. 2.

Sous-FAISCEAU, HOMOMORPHISME, FAISCEA'V-QPOTIEJ\T

Soit Si un faisceau sur X. Soit (J, un sous-ensemble de Si, tel qu~, pour tout. x E X, (J, n Six=

0-+ 1-JO(V, lR.)

~

I-JO(V,

(:)P)

~H 0 (V, ~) -+ o

est exacte. Munissons.H 0 (V, r. au point a, et que U(x) soit d'ordre >r aux points sa:1=a (seG). Le produit V des transformés de U par G(a) jouit des mêmes propriétés. Le polynôme R - RV est d'ordre > r en a, et RV est d'ordre >r aux points sa#:a. Comme RV est invariant par G(a), l'ensemble Ga des classes s • G( a) (où se G) opère dans RV; la somme Q des transformés de RV par Ga. répond à la question. Appliquons la Proposition 2 au point a et au groupe G(a), et tenons compte de Lemme l; on obtient: THÉORÈME 1. Soit a=(a1 , ... ,an)eKn. Toute sèrie formelle en les xk-ak (k= 1, ... , n), invariante par le groupe d'isotropie G(a), s'exprim~ commesérieformelleenles Qi(x)-Qi(a), en désignant par (Qi) un système fini de générateurs homogènes de l'algèbre sa.

689

QUOTIENT DtUN ESPACE ANALYTIQUE

93

2. L'espace quotient Kn/G comme variété algébrique affine L'application lfr: X-+ (Qix)) de Kn dans K« passe au quotient suivant G, et définit une application

di. D'après le Théorème 3, il existe un ouvert U contenant x 0 , stable par G(x0 ), tel que les J,,, restreintes à U, induisent un homéomorphisme de W = p( U) sur un sous-ensemble analytique normal N d'un ouvert del'espace numérique or (r désignant le nombre des f,1,). On peut de plus choisir U assez petit pour qu'il existe, pour tout multiple massez grand de q(x0 ), une g e Lm-mo et une f E Lm qui soient -:/= 0 en tout point de p~1 ( W) (cf. Proposition 5). Alors, pour chaque tel m, les fonctions gf,i (1 ~ i ~ r) et f sont. dans Lm, et leurs rapports mutuels définissent un isomorphisme de W sur un sous-ensemble analytique normal d'un ouvert de l'espace projectif. PARIS

REFERENCES [l] W. L. BAILY, On the quotîent of an analytic manifold by a group of analytic homeomorphisms, Proc. Nat. Acad. Sei., U.S.A., 40 (1954), pp. 804-808. [2] H. BERNKE und K. STEIN, Modifikation komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannscher Gebiete, Math. Ann., 124 (1951), pp. 1-16. [3] H. CARTAN, Séminaire E.N.S. 1951-52, Exposé XIII, [4] H. CARTAN, Séminaire E.N.S. 1953-54. [5] W. L. CHow, On compact analyti~ varieties, Amer. J. Math., 71 (1949), pp. 49-50. [6] I. S. COHEN and A. SEIDENBERG, Prime ideals and integral independence, Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), pp. 252-261. [7] M. HERVÉ, Sur les Jonctions fuchsiennes de deux variables complexes, Ann. Ecole Norm., 69 (1952), pp. 277-302. [8] J. IousA, On the structure of a certain class of Kaehler varieties, Amer. J. Math., 76 (1954), pp. 669-678; cf. Theorem 3. [9] K. KODAIRA, On Kahler varieties of restricted type, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A., 40 (1954), pp. 313-316. [10] W. KRULL, Beitra(je zur Arithmetik kommutativer lntegritiitabereiche, III, Math. Zeit., 42 (1937), pp. 745-766. [ 11] K. ÛKA, Sur les Jonctions analytiques de plusie?J/f!B-variables, VIII, J. Ma.th. Soc. Japan, 3 (1951), pp. 204-278. [12] C. L. SIEGEL, Analytic fonctions of several complex variables, Princeton, 1948-49. [13] O. ZARISKI, Sur la normalité analytique des variétés normales, Ann. Institut Fourier, 2 (1950), pp. 161-164.

6:99

44. Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes Bulletin de la Société mathématique de France 85, 77-99 (1957)

J:avais annoncé sans démonsLL·ation, en 1953 [ o], quelques résultats concernant les sous.-variétés analytiques réelles de l'espace numérique Rn; il s'agissait de théoi·èmes sur la cohomologie à coefficients dans un faisceau analytique cohérent, analogues à ceux qui concernent les variétés de Stein dans le cas analytique-complexe. L'un des buts de cet article est de donner des démonstrations de ces résultats ( voir notamment les théorèmes 2 et 3 ci-dessous). Pour cela on a besoin de sa voir que l'espace '.'.'éel Rn, considéré comme plongé dans l'espace complexe Cn, possède un système fondamental de voisinages ouverts dont chacun est un domaine d'holomorphie (prop. 1 ci-dessous) ; on utilise aussi une extension des théorèmes fondamentaux relatifs à la cohomologie des variétés de Stein ( voir le théorème 1 ci-dessous). Le théorème 3 met en évidence l'intérêt de la notion de sous-ensemble analytique « cohérent ». Ceci amène à étudier un peu systématiquement les sous-ensembles analytiques (au-sens analytique-réel); cette étude n'a guère été entreprise jusqu'ici (voir cependant [2], p. 120-122); elle fait l'objet des paragraphes 8 et 9. Dans les paragraphes 10 et 11, on cherche à caractériser, parmi les sous-ensembles analytiques de Rn, ceùx qui sont définissables globalement par un nombre fini d'équations analytiques. Il serait intéressant d'avoir des critères p~rmettant de reconnaître si une variété analytique réelle V ( réunion dénombrable de compacts) peut être réalisée comme sous-variété analytique d'un espace numérique Rn. D'après B. MALGRANGE [ 10], il suffit pour cela que V admette un ds 2 analytique. Le présent travail devait être écrit pour le Volume jubilaire du Journal de _'/li/athématiques pures et appliquées en l'honneur de M. Arnaud DENJOY. U n'a pu malheureusement être prêt à temps. Que Monsieur DENJOY veuille bien, malgré ce retard, l'accepter comme un hommage de ma respectueuse admiration.

700

H. CARTAN.

1. Voisinages de Rn dans

e

11

•

PROPOSITION-1. - L'espace numérique réel Rn,plongé dans l'espace numérique complexe Cn, pos.çède un système fondamental de voisinages ouverts do~t chacun est un domaine d'holomorphie. DÉtlONSTRATION. - Soient ZF= xk+ iyk( 1 L.. k L. n) les n variables complexes de Cn, le sous-espace Rn étant défini par les équations }'k-:::::::::::. o. Soit SO( n) le groupe orthogonal réel à n variables, et notons G le groupe-produit SO(n) >< SO(n); faisons opérer G sur en associant à chaque couple (s, t) d'élément~ de SO (n) la tt·ansformation (x, y)-+ (sx, ty) de C,i [ on note x, resp. y, un point (xk), resp. (J'k), de Rn]. Le sous-espace fermé Rn de est stable par les opérations de G, et comme G est compact, Rn posséde un système fondamental de voisinages ouverts stables par G. Il s'ensuit que Rn possède un système fondamental de voisinages (ouverts) dont chacun a la forme

en

en

: ; (y,)'

o, décroissante et indéfiniment dérivable, qui satisfasse en outre aux deux conditions suivantes : (1)

g(t)L.f(t) pour tout t::::::::,,.o;

(2)

l'ouvert;

(yk)'> subsistent, i. e. :

(A) Pour tout point x E A et tout faisceau analytique cohérent F sur A, F.-x: est engendré [ comme module sur 0:t·(A )] par l'image de l'application naturelle 11° (A, F) ~ F:r; ( B) Pour tout entier q:::::::,,.. 1, et tout faisceau analytique cohérent F sur À, on a /Jq(A, F) == o. REMARQUE. La démonstration qui suivra(§'") montrera que dans l'énoncé précédent, on pourrait remplacer « variété analytique-complexe » par « espace analytique », et « ,une variété de Stein » par « holomorphiquement complet »; les assertions (A) et ( B) restent vraies dans ce cas plus général.

3. Prolongement d'un faisceau cohérent donné sur un fermé. - Avant de démontrer le théorème 1, nous avons besoin d'un théorème de prolongement des faisceaux cohérents : PROPOSITION 2. - Soit A un sous-espace fermé d'un espace analytique X. Supposons que .,.Y soit réunion dénombrable de compacts. Si un faisceau analytique G, sur A, est é) ( A )-cohérent, alors G est induit par un faisceau é) ( U)-cohérent F sur un voisinage ouvert convenable U de A.

Il s'agit, d'une manière plus précise, de trouver un voisinage U de A, un faisceau cohérent F sur U, et un isomorphisme (analytique) de G sur le faisceau F(A) induit par F sur le sous-espace A. Avant de prouver la proposition 2, nous établirons plusieurs lemmes : LEMME 2. - Soient F et F' deux faisceaux analytiques cohérents sur un sous-espace fermé A d'un espace analytique X, et soient f et g deux homomorphismes analytiques F--+ F'; pour x E A,· soient J-c et gx les homomorphfrrnes F x--+ F:c induits par f et g.. A lors l'ensemble des x E A tels que J-c== gx est ouvert dans A.

( 4)

La démonstration suivra en gros celle donnée d'ans [ 4], exposé XIX, pour le cas où le sous-espace fermé A est compact.

704

H. CARTAN.

DÉMONSTRATION. - Soit .x un point de A tel que f.r==g.-,:; on veut montrer que f.r == g.,. pour tout point y e A assez voisin de x. Or il existe un nombre fini de sections ui de Fau-dessus d'un voisinage U de x dans A, telles que, po~r tout y e U, les Uï engendrent F.r comme module sur l'anneau (:>y (A). D'autre part, pour chaque i, il existe un voisinage ouvert Ut de x, contenu dans U, et des sections vi ( resp. Wt) de F' au-dessus de Ui, telles que, pour toutyEUt, Vt (resp. Wt) induise un élément de F~. égalàf,·(Ut) [resp. égal g.,.(u1 )]. Puisque J-c(ui) ==gx(uï), Jes sections Vt et wi coïncident dans un voisinage de x; on a donc /.r (ut) == g,, ( uï), quel que soit i, pour tout y e A assez voisin de x; or ceci entraîne l'égalité des homomorphismes /y et gr, ce qui démontre le lemme. LEMME 3. - Soient F et F' deitx faisceaux analytiques cohérents sur un espace analytique X, réunion dénombrable de compacts. Soit A un sousespace fermé de X, et soit f: F ( A ) -+ F' (A) un homomorphisme analytique des faisceau.-r induits sur A par F et F'. Alors il existe un v·oisinage V de A et un lwmomorplzisme analytique g: F( V)-+ F' (V),. qui prolonge f.

DÉMONSTRATION. - Considérons d'abord Je cas où A est réduit à un point x

e X; alors/ est simplement un homomorphisme F.-r-+ F~ pour les struc-

tures de modules sur 0,'l·(X). Soient llt des sections de F au-dessus d'un Yoisinage de x, en nom'bre fini, qui engendrent le 0.,.(X)-module Fr en chaque point· y assez voisin de x; et soient "i des sectious de F' au-dessus d 1un voisinage de x, en nombre fini, qui engendrent en chaque point y assez voisin de x. Le faisceau F étant cohérent, le « faisceau des relations » entre les sections Ut est. engendré par un nombre fi ni de · systèmes (ai) (k==1, 2, •.• ) holomorphes au voisinage de x. On a donc, pour chaque k,

F;. 0

I. a~

U(==

o au voisinage de x; et, pour tout système de fonctions bl, holo-

morphes en un point y assez voisin de a:, et satisfaisant à voisinage de y, il existe des

)..,k

Î/i llt== o

holomorphes en y, telles que bi==

I.

)..,k

au

ai pour

k

. tout i. Cela dit, chaque/( Ut) e F"x peut s'écrire comme combinaison· linéaire ~ À{ v i à coefficients ).{ holornophes au voisinage de x; et l'on a

i.j

au voisinage de .x. Soil alors y un poinl assez voisin de

.1::;

montrons qu'il

existe un ~,-homomo11,hisme .fr:Fy-+ F~l. tel que/y(11i) =~À{

705

''i·

11 suffit

83

VARIÉTÉS ANALYTIQUES.

de vérifier que s1 des bl holomorphes en y satisfont à ~ bl U(== o, on a ~ bt À{ vi == o; or cela résulte du fait que c'est vrai s1 li==

ai,

quel que

t,j

soit k. Les homomorphismes fr étant 1naintenant définis, iJ est clair que la collection de ces iJ. définit un homomorphisme analytique F( U)-+ F' ( U) pour un voisinage ouvert U as.sez petit de x. Et ceci démontre le lemme 3 dans Je cas particulier où A est réduit à un point. Passons au cas général. D'après ce qu'on vient de démontrer, pour chaque point x e A il existe un voisinage ouvert U de x et un homomorphisme analytique h:F( U)-+ P ( U), de manière que l'homomorphisme hx:Fx-+F:r: induit par h soit égal à l'homomorphisme fx induit par f:F(A )-+ F' (A). En vertu du lemme 2, on peut choisit· U assez petit pour que h y== fr en tout point y e A(\ U. Si à chaque x E A on associe un tel ouvert U, ces ouverts et X - .A constituent un recouvrement ouvert dl de Àr; puisque X est paracompact, il existe deux recouvrements ouverts ( Ut) et ( Vi), plus· fins que (il, dont chacun est localenient fini, et tels que

Vi C Ut, Soit B la réunion de

ceux des Vi qui rencontrent A; B est un voisinage fermé de A dans À'. D'autre part, pour. chaque i tel que Ut rencontre A, on a un homomorphisme analytique gt: F(Ut)-+ F' ( Ut) qui induit un homomorphisme F(A f'\ Ut) -'>--F' (.A f'\ Ut)

égal à celui induit parf:F(A )-+ F' (A); il s'ensuit que, pour ..:ç E .A(\ Ui (\ Uj, les homomorphismes (gi).-c et (gi).-c induits par gt et gi sont égaux. Soit alors xeB; l'ensemble /(x) des i tels que xe f\ est fini, et l'on a /(y)c/(x) pour y e B assez voisin de a:. Le lemme 2 montre que l'ensemble des x e B tels que l'on ait (gt)x== (gi)x pour tout couple (i, j) d'indices i et j appartenant à /(x), est ouvert dans B; comme il contient A, c'est un voisinage V de A. Si x e V, soit g x la valeur commune des (gi )x pour les i e / (x) ; il est immédiat que la collection des g,7.·, pour .x eV, définit un homomorphisme analytique g:F( V)-'>--F'( V), et que g prolonge f. La démonstration du lemme 3 est achevée.

Dt.MONSTRATIO~ DE LA PROPOSITIO.N 2. - Soit x E A ; il résulte de la définition d'un faisceau cohérent qu'il existe un ouvert U ( dans X) contenant x, un faisceau cohérent F sur U, et un isomorphisme analytique de G (A() U) sur le faisceau F(A f'\ U). Si à chaque x e A on associe un tel U, ces ouverts U et l'ouvert Àr - A constituent un recouvrement ouvert lR. de x. Puisque X est paracompact, il existe deux recouvrements ouverts (Ut) et ( Vi), plus fins que (R., dont chacun est localement fini, et tels que Vt C Ui. Pour chaque i tel que Ut rencontre A, on a un faisceau analytique cohérent Fi sur Ut et un isomorphisme analytique p du faisceau G(A (\ Ut) sur Fi (A(\ Ut)• Pour

706

H. CARTAN.

cliaquc couple ( i, j) Lei que . ·.f l"l U; f'l l!i ne soit pas vi c u,i; en effet, tout point xeA possède un voisinage ouvert W(x) qui ne rencontre .qu'un nombre fini des Vi; pour chaque couple ( i, j) Lei que V 1 et Vi rencontrent ·w(x), U1rest un ouvert contenant x; l'intersection de ces U1i (en nombre fini) et de W ( x) est un ouvert contenant x; la réunion des ouverts ainsi attachés aux points xe A est l'ouvert W cherché. Soit maintenant V l'ense,mble des points .r E W tels que

quels que soient i, j, k tels que y e f\ n Vir\ 1\. L'ensemble V contient A et est ouvert. Soit enfin U la réunion des V r\ Vi : c'est un ouvert c'ontenant A. On va définir tin faisceau F sur U, par « recollement » : sur Ur\ Vi, oii prend le faisceau Fi( U f'\ V;); dans U f'\ Vif'\ Vh qui est contenu dans U1i (puisque U C W), on a un homomorphisme analytique Fi ( U f'\ Vif'\ Vi)--+ F 1 ( U f'\ Vif'\ Vi ), induit par g 1i; notons-le encore g 1i. Dans Un Vin Vi ri Vk, on a g 1i ogik==. gik, puisque U c V; il en résulte notamment ( pour k == i) que est un isomorphisme. Soit F le faisceau, sur U, obtenu en recollant les Fi ( U f'\ Vi) parles isomorphismes transitifs g 1i; il est cohérent, puisque les Fi (Ur\ Vi) le sont. Le faisceau F (A) induit par F sur A est obtenu par recollement des F 1(A f'\ Vi) au moyen des isomorphismes jii, qui sont précisément induits par les gïi, Or jii-;::::::.jio(ji)-1, fi étant un isomorphisme

gii

G(A n Vi)-+ Fi(A

n Vi).

Il en résulte que la collection de ces f 1 définit un isomorphisme f du faisceau G sur le faisceau F (A) induit par F sur A. Et ceci achève la démonstration de la proposition 2. RE1'IARQUE. Le faisceau G étant donné sur A. comme dans la proposition 2, on a trouvé un triple ( U, F, j) formé d'un ouvert U contenant A, d'un fàisceau cohérent F sur U, et d'un isomorphisme analytique f de G sur le faisceau induit F(A ). Une telle solution ( U, F, j) est unique à un isomorphisme près, dans le sens suivant : si ( U', F', j') est une autre solution, il existe un voisinage ouvert U" de A, contenu dans U f'\ U', et un isomor-

707

85

VARIÉTÉS ANALYTIQUES.

phisme h du faisceau induit F( U") sur le faisceau induit F' ( U'), tel que

f' == hAof, en notant hA l'isomorphisme F (A) -r F (A') induit par h. Cette assertion est une conséquence facile des lemmes 2 et 3. !,.. Démonstration du théorème 1. · proposition préliminaire :

Nous avons encore besoin d'une

PROPOSITION 3. Soit X un espace paracompact, F un faisceau de groupes abéliens sur X, et A une partie fermée de X. Pour chaque entier q"::::::..o, le groupe abélien Hq(A, F) est limite directe des groupes abéliens Hq ( U, F) relatifs aux ouverts U contenant A.

Pour q == o, c'est bien connu : toute section de Fau-dessus de A fermé se prolonge en une section de Fau-dessus d'un voisinage ouvert U de A : et si deux sections de Fau-dessus d'un ouvert U contenant A coïncident sur A, elles coïncident dans tout un voisinage de A. Pour passer de là au cas où q est quelconque, on utilise une « résolution fine » de F, c'est-à-dire une suite exacte de faisceaux o-+ F-r F 0 -+F'-r ... -+Pt ... ,

où les Fi (i ~ o) sont des faisceaux .fins. On sait (5) qu'on a un isomorphisme canonique entre Hq(X, F) et le q'émc groupe d'homologie du complexe formé de la suite de groupes abéliens o -r r

(x,

cfO

po) -+ r

> défini par l'équation P = o, les coordonnées d'un point de E sont des fonctions analytique:_;;, à valeurs réelles quand x 1 , • • • , xp, xP r1. sont réels; de plus, si  désigne le discriminant de P, tout point de E où  ~ o appartient à Vp(E ), et l'ensemble de ces points est dense dans Vp( E ). Appliquons le lemme à l'ensemble des points ( x 1, ... , xP) où  ~ o; en raisonnant alors comme dans le lemme, on obtient le théorème.

(xt, • • ., X11-1)EU et P(z;

Jt :

:3. Soit G" l'ensemble de tous les germes analytiques irréductibles de dimc11sio11 p situ(~S aux diver~ points J.e U; munissons GP de la topologiè dans

724

( 3 ) laquelle un système.fondamental d'ouverts r(U, E) est obtenu comme suit pour tout couple (U, E) · formé d'un ouvert U C Q et d'un sous-ensemble E analytique de U et de dimension p, f(U, E) désigne l'ensemble de tous les composants irréductibles de dimension p de E aux divers points de E. Soit GP l'espace analogue, relatif aux germes analytiques-complexes ( irréductibles et de dimension p) situés aux points (réels) de Q; on sait ( 7 ) que la topologie de GP est séparée. Soit G~, la partie formée des éléments de G,, qui coupent Rn suivant un élément de· Gr Alors G~, est fermé dans G,,, et l'application G~ ~ GP est un homéomorphisme; donc la topologie de G,, est séparée. De plus, le théorème 1 entraîne que GJJ estlocalementconnexepararcs. Si E est un sous-ensemble analytique (réel) de dimension L p dans O, l'ensemble Gp(E) des composants irréductibles de E en tous ses points est un sous-espace ourert et fermé de Gw TnÉORÈME 2. Soit E un sous-ensemble analytique de 0, et soit a e E. Il existe un voisinage ouçert U de a jouissant de la propriété suiçante : si un sous-ensemble ana(ytique F de Q induit en a un germe Fa contenant E alors F contient E n U. 0 ,

Prouvons le théorème 2 par récurrence sur la dimension p de E; il est évident pour p = o. Soit h 1 , • • • , /t'-' les composants irréductibles de dimension p de Ea; il existe un voisinage ouvert !l' de a, et des sous-ensembles analytiques W, .. . , Hk, S de O', tels que (Hi)a=k, dimS Sa entraîne F::,S. Alors si Fa::>Ea, Gp(E n F) contient k et est ouvert et fermé dans Gp, qui est localement connexe; donc O' contient un voisinage ouvert Ui de a, indépendant de F, tel que F ::> Vp(Hi) n Ui; d'où le théorème en posant U = U 1 n ... n U1;. CoROLLAiRE 1. Soit (Et) une famille filtrante décroissante de sous-ensem,bles analytiques de Q. Tout point a E Q possède un voisinage ouvert U tel que la famille (Et n U) soit stationnaire.

(En effet, la famille des germes (Et ) est stationnaire). 0

COROLLAIRE 2. !.,'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles analytiques de .Q est un sous-ensemble analytique de O.

(On applique le corollaire 1 à la famille des intersections finies.) Dans une Note ultérieure, nous appliquerons les résultats précédents au problème di· la décomposition (globale) d'un ensemble analytique en« composantes irréductibles >>.

725

( 4) ( •) Séance du , 1 février 1 957. 1 ( ) Parce que l'anneau des germes de fonctions analytiques est nœthérien. 2 ( ) F. BRVHAT, Bull. Soc. Math. Fr., sr. , 1956, P· 97-205; voir§ 3, n° 1. (3) IL CARTAN, Bull. Soc. Math. Fr., 85, 1957. (4-) Voir une Note ultérieure. 5 ( ). Voir BocnNER-1\fARTIN, SePeral complex variables (chap. IX), et Sémin. H. CARTAN, 1931-19:32, exposé X. 6 ( ) Voir par exemple Sémin. H. CARTAN, 1953-19'>4, exposés VII à IX d'où l'on déduit aisément les compléments nécessaires ici pour le cas réel. (7) Séminaire JI. C.rnTAN, 19;:ir-r952, exposé XlV, th. 7.

726

46.

(avec F. Bruhat) Sm les composantes irréductibles d'un sous-ensemble analytique réel Comptes Rendus del' Académie des Sciences de·Paris 244, 1123-1126 (19.57)

Cette Note fait suite à une Note antérieure ( 1 ) à laquelle nous renvoyons pour les définitions. 1. Soit ü une variété analytique-réelle; dans toute la suite, K désigne un fermé de ü, et E un sous-ensemble analytique de ü. La relation F =KG (resp .. F C KG) entre sous-ensembles de ü signifiera qu'il existe un ouvert U ::> K tel que FnU=GnU (resp. FnUcGnU). Si FcE, on notera é\(F; E) le plus petit sous-ensemble analytique G de ,a tel que E - F CK G [cf. corollaire1 du théorème 2 de (1 )]. On a E =,\FU é\(F; E). Définition. - E est K-irréductible ( dans ü) si En K ~ 0 et si, chaque fois que deux sous-ensembles analytiques F et F' de ü satisfont à E ="FU F', on a EcF ou EcF'. Alors EcKFuF' entraîne EcF ou EcF'. Si Kc K', tout sous-ensemble K-irréductible est K'-irréductible. PROPOSITIOX 1.. - Soit g un germe analytique irréductible en un point a En; soit k l'intersection des sous-ensembles analytiques den contenant g; l{ est un sousensemble analytique K-irréductible de U, quel que soit le fermé K tel que a E K.

2. Définition. - On appelle K-composante irréductible ( ou K-composante) de E ( dans U) tout sous-ensemble analytique F CE tel que :

a. F soit K-irréductible dans n; b. Fct:é\(F; E). Il est clair que si E =KE', E et E' ont les mêmes K-composantes. PROPOSITION 2. - Soit F une K-composante de E; les K-composantes de E autres que F ne sont pas contenues dans F; ce sont exactement les K-composantes de

é\(F; E). l)émonstration. - Soit F' une K-composante de E distincte de F. Si on avait F' c F, on aurait F ct:F' donc F C eK(F'; E), d'oü F' C eK(F', E), ce qui n'est pas. Donc F' ct:F et par suite F' c eK(F; E)., De plus eK(F'; é\(11"'; E))c e/F'; E), par suite F'ct:eK(F'; eK(F; E)), et F' est une composante de eK(F; E).

727

(

2

)

Héciproquement, soit F' une K-composante de eK(F; E). On a F' q: F, sinon on aurait eK(F'; eK(F; E)) = eK(F; E). Donc F' q:F U t'K(F'; é?K(F; E)), a fortiori F' q: eK (F'; E), et F' est une K-composante de E. Remarquons que eK(FuF'; E)=eK(F'; eK(F; E)). 3. Soit I l'ensemble des K-composantes Fi de E. Pour toute partie finie .J c I, soit F·' la réunion des Fi pour i e J. Les Fi telles que i $ J sont les K-composantes de eK (FJ; E). à

Définition. - On appelle K-résidu de E l'intersection des eK(FJ; E) relatifs toutes les parties finies J de 1. E est= K à la réunion de ses K-composantes et de son K-résidu.

THÉORÈME i. - Si le K-rési·du de E est vide, chaque compact CC K ne rencontre qu'un nombre fini de K-composantes. irréductibles Fi de E, et E est = K à la réunion des Fi. Réciproquement, si E est= K à la réunion d'une famille (Gi) d'ensembles K.-irréductibles distincts telle que chaque compact CC K ne rencontre qu'un nombre fini de G 1, alors le K-résidu de E est vide et ( après suppression des G.i tels qu'il existe un i ~ j apec G.i C Gi) les Gi sont exactement les K-composantes irréductibles de E.

Démonstration. - Si le K-résidu de E est vide, il existe une partie finie J de I telle que eK(P; E)nC=0, donc PnC~0 pour iEf:J. La réciproque est immédiate. Remarque. - Si KcK' et si le K'-résidu de E est vide, toute K-composante de E est contenue dans une K'-composante de E. THÉORÈME 2. Si K est compact, le K-résidu de E est vide, les K-compo.mntes irréductibles de E sont en nombre fini, et chacune d'elles est de la forme fr' (où g est un germe irréductible de E en un point de K).

En effet, à chaque germe g, composant irréductible de E en un point quelconque de En K, associons l'ensemble k, qui est K-irréductible (prop. 1 ). D'après le théorème 2 de (i ), et en vertu de la compacité de K, on peut trouver un nombre fini de germes gi tels que E =KU g·i; il suffit alors d'appliquer le théorème 1. 4. EXEMPLES. - Dans les exemples qui suivent, on prend O = K = R 1 ( espace numérique avec coordonnées x, y, z).

>

Exemple 1. _, Pour tout entier n o, soit S 11 l'ensemble analytiroblhnes otœerts. - (I). Peut-on trouver un germe irréductible g te] que g soit un germe composant de k, mais que dimk> dim g? (II). Est-il possible quekch, k-=/=h, dimk=dimh?

(

1

)

Comptes renclus, 2M.. , 195j, p. 988.

730

47. Fonctions automorphès et séries de Poincaré Journal d' Analyse Mathématique 6, 169-175 (1958)

Dans mon Séminaire consacré à la théorie des fonctions automorphes et des espaces analytiques {année 1953-54, Exposé 1), j'ai formulé des théorèmes concernant l'existence de séries de Poincaré q u i a d m e t t e n t des développements limités donnés en des points donnés (Théorèmes 2 et 2 bis, 3 et 3 bis); ces théorèmes ont été utilisés à plusieurs reprises dans la littérature,

mais leur démonstration est incorrecte, comme

me l'a signalé récemment R. Godement. Les énoncés des théorèmes sont néanmoins corrects;

je me propose d'en donner ici une démonstration,

d'ailleurs valable pour un cas un peu plus général que dans !'Exposé cité.

X désigne un domaine borné (connexe) de l'espace numérique complexe C", et G un groupe discret d'automorphismes (analytiques complexes) de X. Soit Jg (x) un facteur d'auto m orphie: pour chaque gE G, )g(x) est une fonction holomorphe et non nulle de xe X, et on a

(1)

}cg' (x) = Jg (g' · x)]c• (x) pour g, g' E G et x EX.

Plus généralement, soit F un espace vectoriel complexe de dimension finie ; on considère un facteur d'automorphie pg (x), qui pour chaque g E G, est 1. Je profite de cette occasion pour rectifier un lapsus dans mon article : "Quotient d'un espace analytique pat: un groupe d'automorphismes" (Algebraic Geometry and Topology, A Symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Univ. Press 1957). Page 99 (dernière ligne} et pagt> 100 (3 premières lignes), l'énoncé (ii) est incorrect;. on doit remplacer (page 100, ligne 2) les mots et invariante par O (Xo) par ceux-ci: et satisfaisant à h (sx) (Js (x))m = h (x) pour s E O (X 0 ) • Cette modification entraîne les changements suivants dans la démonstration de 1a Proposition 7 (page 102): - ligne 9, 1 ire: telle que l'ordre de /;, - /Qi au point X 0 soit >di, en notant / une fonction de Lmo telle que / (x 0 ) = 1 (cf, (i)). - ligne 10, au 1 i eu de: tel que les /;,, I ire: tel que les /;J/. - ligne 15, supprimer: et une /E lm. - ligne 17, remplacer / par gf.

170

HENRI CARTAN

une fonction holomorphe de x E X

à valeurs dans le groupe GL (F) des

automorphismes (linéaires complexes} de F, et satisfait à (2)

pgg' (x)

=

pg (g' · x) · pg, (x),

où, dans le second membre, le produit désigne la composmon des automorphismes de F. Une fonction holomorphe {resp. méromorphe) dans X, à valeurs dans F, est une f o r m e au t o m o r p h e (relativement au groupe

G et au facteur d' automorphie p) si on a

(3)

(g · x)

= pg (x) · (x) identiquement, pour tout

g E G.

Dans ce qui suit, nous supposerons qu'il existe un entier mo > 0 tel que les deux séries

L ug cx)ro gE

L c1g => V°'. Etant donnés deux cocycles (fi;), (Yi;) de t.W, on leur associe les cocyles 'Prx.{J

de

= f A(oc),A(fJ)'

'f/Joc{J

=

gA(oc),A({J)

-,,r. Supposons qu'il existe une cochaîne (roc) de "f"", telle que

on définit alors une cochaîne (ci) de o// satisfaisant à (2), comme suit: pour x choisissons un « tel que x E V°'' et considérons

E

Ui,

fuc.oc){x) Ya(x)gA(oc),ix);

ceci ne dépend pas du choix de «, et définit une section x ~ cAx) de Fau-dessus de U,, qui satisfait à (2). Compte tenu de la remarque précédente, on voit que pour prouver que (1) est bijective, on doit démontrer les deux théorèmes suivants (qui expriment que (1) est injective. resp. surjective):

756

102

HENRI CARTAN

THÉORÈME A. Soit (Ui) un recouvrement ouvert de X holomorphiquement complet. Soient deux cocycles holomorphes f ii : U i.i ----+ E'

gi.i : U ii----+ E.

S'il existe des sections continues ci : Ui----+ E satisfaisant à (2), il existe aussi des sections holomorphes satisfaisant aux mimes relations. THÉORÈME B. Soit un recouvrement de X holomorphiquement complet par ·âe8 ouverts U i holomorphiquement complets. Soit un cocycle continu fu : U ii ~ E. Alors il existe des sections continues ci : Ui---+ E telles que le cocycle. gii

=

(ci)-1/i;C;

soit holomorphe.

3. Homotopie entre sections d'un espace E-principal Laissons d'abord de côté le Théorème B. On va transformer l'énoncé du Théorème A, en interprétant les cochaînes (ci) qui satisfont à (2) comme les sections d'un

espace fibré auxiliaire. Le relation (2) s'écrit en effet ci= fi;e,(gi.i)- 1 = fï,c.igii; définissons un automorphisme (Jii de l'espace des sections Ui;---+E en associant à chaque section c la section/i;cg;i (cet automorphisme ne respecte pas la structure de groupe des fibres). Il est clair que l'on a (Jii O,k = (Jik dans l'espace des sections Ui;k---+ E; donc, en recollant les p-1 (Ui) c E au moyen des automorphismes (JiJ, un obtient un nouvel espace fibré Q, de base X; toute cochaîne (c,) satisfaisant à (2) définit une section de Q, et réciproquement. Plus précisément, les sections holomorphes de Q correspondent aux cochaînes (ci) holomorphes qui satisfont à (2); de même pour les cochaînes continues. · De plus, soient (ci) et (c;) deux telles cochaînes; on a O

(ci)-1c;

=

gii((c,)-lc;)(gii)-1;

cela signifie que la cochaîne (c, 1c;) définit une section de l'espace fibré Efl déduit de E en recollant les p-1 ( U i) par les transformations X---+

gi.i(p(x)}

•X•

(gii(p(x)))-l

qui respectent la structure de groupe des fibres de E; ainsi E fi est un fibré analytique dont les fibres sont des groupes de Lie (isomorphes, mais non canoniquement, aux fibres de E), et le quotient (c, 1c;) de deux sections holomorphes (resp. continues) de Q définit une section holomorphe (resp. continue) de E,,. Comme ce raisonnement vaut non seulement pour X, mais pour tout ouvert U de l'espace de base X, on voit que (même lorsque Q n'a pas de section globale au-dessus de X), Q est un espace Eflprincipal. ' Il est maintenant clair que le Théorème A résultera du théorème plus précis: THÉORÈME 1. Soit P un espace E-principal analytique, dont la base X est holomorphiquement complète. Alors toute section continue de P est homotope à une section holomorphe de P. (REMARQUE. On munit l'ensemble des sections continues de P de la topologie de

757

ESPACES FIBRÉS ANALYTIQUES

103

la "convergence compacte" ("compact-open topology"); une homotopie dans l'ensemble des sections continues de P n'est pas autre chose qu'un chemin dans cet espace topologique). Le Théorème 1 implique évidemment que, s'il existe une section continue, il existe aussi une section holomorphe; appliquons ce résultat en remplaçant E par Eg, et P par Q: on obtient le Théorème A. On établira aussi un théorème d'approximation: THÉORÈME 2. Soit P un espace E-principal analytique, dont la base X est /wl,o. morphiquement complète; soit U un ouvert de' X, X-convexe, et soit s une section holomorphe U-+ P. Si s peut être arbitrairement approchée (dans l'espace des sections continues au-dessus de U) par la restriction à U de sections continues X-+ P, awrs B peut être arbitrairement approchée par la restriction à U de sections holomorphes X-+ P. On notera que, même dans le cas trivial où P = E et où E est un produit X X G, les Théorèmes 1 et 2 ne sont nullement évidents. Le Théorème 1 dit alors que toute application continue de X dans un groupe de Lie complexe Gest homotope à une application holomorphe X-+ G. Et le Théorème 2 dit que la possibilité d'approcher arbitrairement une application holomorphe U-+ G par les restrictions à U d'applications holomorphes X-+ G est un problème dont l'obstruction est purement topologique .. Nous allons renforcer les deux théorèmes précédents: E et Payant la même signification que dans les Théorèmes 1 et 2, nous introduisons. un sous-espace analytique Y de la base X (X est toujours supposé holomorphiquement complet): THÉORÈME 1 bis. Soit J: X-+ P une section continue du fibré P, tel"le que la restriction g: Y-+ P de f à Y soit holomorphe. Awrs, dans l'espace de toutes les · sections continues de P qui prolongent g, f est homotope à une section lwwmorphe X-+P. COROLLAIRE nu THÉORÈME 1 bis. Si une section howmorphe Y-+ P peut être prolongée en une section continue X-+ P, elle peut aussi être prolongée en une section holomorphe X---+ P. · THÉORÈME 2 bis. Soit U un ouvert X-convexe de X. Soit f: U-+ P une section holomorphe, et soit g : Y-+ P une section hol,omorphe telle que J et g coïncident sur Y n U. Si f peut être arbitrairement approchée par des sections continues X-+ P qui prolongent g, alors f peut être arbitrairement approchée par des sections holomorphes X---+ P qui prolongent g. Le corollaire du Théorème 1 bis va entraîner un autre résultat: THÉORÈME 3. L'espace X étant toujours supposé lwl,omorphiquement complet, soient f, f' : X-+ P deux sections holomorphes. Supposons que f et f' soient homotopes dans l'espace de toutes les sections continues X---+ P. Alors il existe une application holomorphe h : X X 1-+ P (où 1 désigne le segment [O, 1] de la droite réelle, considéré comme plongé dans le plan complexe 0), telle que h(x, 0) = f(x), h(x, 1) = /' (x) pour x EX, { p(h(x, t)) = x pour x EX, t E J. en nof,ant p l,a projection P-+ X.

758

104

HENRI CARTAN

(En particulier, f et f' sont homotopes dans l'espace des sections howmorphes de P; mais le théorème dit davantage, puisque l'homotopie définie par h(x; t) dépend analytiquement du paramètre de déformation t E 1). DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 3. Nous admettons le Théorème 1 bis, qui sera démontré plus loin, ainsi que le Théorème 2 bis. Soit U un disque ouvert dans le plan Ode la variable complexe t; supposons que U contienne les points t = O et t = 1, et identifions I à un fermé de U. D'après l'hypothèse de l'énoncé, il existe une section continue

(3)k=> (l)k+l· Montrons d'abord que (1) 0 est vraie: dans ce cas, K se réduit à un point x0 e X, et il s'agit de montrer q_ue toute section de /F" au voisinage de x0 peut, dans un voisinage ouvert U assez petit de x 0 , être déformée dans la section neutre. Considérons d'abord une section de§' au-dessus du point x 0 (et non dans tout un voisinage de x 0); c'est une application continue t-+-J(x0 , t) de O dans la fibre de Eau-dessus de x 0 , qui est neutre pour t E N (la condition d'holomorphie en x pour t E H n'intervient pas, puisque x reste fixe, au point x 0). Comme, par hypothèse, N eat un rétracte de déformation de 0, cette application est homotope à l'application neutre; on a donc une application continue (t, u)-+-g(t, u) de O X I dans la fibre de E au-dessus de x 0 , telle que g(t, u) = e pour t EN, g(t, 0)

1

= f (x0 ,

g(t, 1) _:

t) pour t E 0,

e pour t

E

0,

avec la condition supplémentaire g(t, u) =eau cas où le point x0 appartiendrait au sous-espace Y de X. Il existe un voisinage ouvert U de x 0 tel que, au-dessus de U, le fibré E soit trivial, c'est-à-dire isomorphe au produit U X G, chaque fibre étant identifiée au groupe de Lie G; alors les sections de Eau-dessus de U s'identifient aux applications U-+ G, et en particulier la fonction g(t, u) peut être considérée comme prenant ses valeurs dans G. De même la section donnée f (x, t) du faisceau§', au voisinage de x 0, peut être considérée comme prenant ses valeurs dans G; par suite (/(x0 , t))-1/(x, t) est défini; en outre, si U a été choisi assez petit, (J(x 0 , t))-1/(x, t) e~t voisin de l'élément neutre, et se trouve donc dans la région du groupe G où l'on peut identifier G et son algèbre de Lie A(G) au moyen de l'application exponentielle. On peut alors définir le produit de (J(x 0 , t))-1/(x, t) par un scalaire pas trop grand. Posons G(x, t, u)

=

g(t, u) • ((1 - u)(f(x 0 , t)-1/(x, t)), pour O

< u < 1.

On a G(x, t, 0) = f(x, t), G(x, t, 1) = e, ce qui démontre l'assertion (1) 0 • Montrons que (I)k entraîne (2)k: en effet, soit Kun compact le-spécial (i.e. réalisé comme sous-ensemble analytique d'un cube compact de dimension réelle k). L'assertion (l)k entraîne que tout élément f E H 0(K, ffe') est produit d'un nombre fini d'éléments de H 0 (K, ffe') arbitrairement voisins de l'élément neutre. A chacun d'eux on applique la Proposition 1; on obtient ainsi (2)k. Montrons que (2)k entraîne (3)k; soit (K, K', K") une configuration spéciale, telle que K' n K" soit k-spécial. Soit donné f E H 0 (K' n K", ffe'); d'après (2}k, on peut écrire f = g •/ 1 , où / 1 E H 0 (K' n K", ffe') est arbitrairement voisin de l'élément neutre et g E H 0 (K', ffe'). D'après la Proposition 2, on a !1

= j' •r-1, avecf' E H0 (K', ffe'),f"

On en déduit f = (g · f') · j"-1 , ce qui prouve (3)k.

765

E

H 0 (K", ffe').

lll

ESPACES FIBRÉS ANALYTIQUES

Montrons enfin que (I)k et (3)k entraînent (l)k+l: soit K un compact (le+!)spécial, et soit f E H 0 (K, :IF) une section de :IF au-dessus d'un voisinage de K. Chaque point Â. du premier côté du (le+ 1)-cube compact dans lequel K est réalisé a pour image réciproque, dans K, un compact le-spécial K 1 , auquel on peut appliquer l'assertion (1 )k. Donc K 1 possède un voisinage V1 ( dans K) tel que la restriction de f à V1 soit homotope à la section neutre; on peut recouvrir K avec un nombre fini de tels V1i, et on peut supposer que les V1, sont des (le+ 1)-cubes compacts tels ,que l'intersection V1i n V1Hl soit un cube de dimension le. Ecrivons désormais Ki au lieu de V 1 ,, et soit Jiu) E H 0 (Ki, :IF) une section au-dessus d'un voisinage de Ki, dépendant c~ntinûment d'un paramètre u E [O, l], telle quef,(O) soit la section induite par la section donnée f, et que fi(l) soit la section neutre. Ces homotopies Jiu) (i = 1, 2, · · ·) ne concordent pas dans les intersections Kin Ki+ 1 , qui sont des compacts le-spéciaux. On va maintenant les modifier successivement, de manière à les faire concorder, ce qui établira (l)1c+1· On est ramené à un problème élémentaire, du type suivant: soit (K, K 1 , K 2 ) une configuration spéciale, telle que K 1 n K 2 soit le-spécial; soit donné f E H 8(K,/F), et soient données des homotopies fiu) E H 0 (Ki, :IF) (i = 1, 2) telles que Ji(O) soit la restriction de f, et fi(l) = e. On cherche g(u) E H 8 (K, :IF) telle que g(O) =Jet g(l) = e. Or (f1 (u))-¼(u) E H 0 (K 1 n K 2 , :IF) est une homotopie de e à e dans le groupe H 0 (K 1 n K 2 , :IF). C'est un élément de H 0 (K 1 n K 2 , :IF'), où /F' est un nouveau faisceau, relatif aux espaces compaéts N' c H' c O' définis par O' = 0 X J,

N' = (N X 1) U (0 X {O}) U (0 X {l }),

H'

=

(H X J) UN'.

Ce faisceau :IF' satisfait aux hypothèses du Théorème principal, car N'est rétracte de déformation de O' (vérification immédiate). On peut donc appliquer à /F' l'assertion (3)k; elle montre que (f1 (u))-½(u)

= J'(u) (J"(u))-1,

où f'(u) E H 0 (K 1 , :IF) et f"(u) E H 0(K 2 , :IF) dépendent du paramètre u E [O, l], et sont neutres pour u = 0 et u = 1. Il suffit alors de poser g(u) = f 1 (u)J'(u) au voisinage de K 1 , et = f 2 (u)J"(u) au voisinage de K 2 , pour obtenir la déformation cherchée g(u) E H 0 (K, :IF); ceci résout le "problème élémentaire," et par suite l'assertion (1 )k+1 est démontrée. Ainsi les assertions (1), (2), et (3) sont maintenant établies. Il reste à en déduire les assertions (i), (ii), et (iii) du Théorème principal ( §4). Tout d'abord, (il) résulte immédiatement de (2). DÉMONSTRATION DE (i). On s·ait que X est réunion d'une suite croissante de compacts spéciaux K n• tels que K n soit contenu dans l'intérieur V n+l de K n+l. Soit f e H 0 (X, :IF); d'après (1 ), l'image f n de f dans H 0( V n• :IF) est homotope à l'élément neutre dans H 0 (Vn, :IF); soit fn(u) une telle homotopie, telle que fn(O) =fn, fn(I) = e. Alors Un(u))-1Jn+1(u), au-dessus de Vn, est en fait un élément de H 0 (Vn, /F'), où :IF' désigne le faisceau défi.ni plus haut, et relatif aux espaces N' c H' c O'. En appliquant l'assertion (2) à ce faisceau, on voit que- Un(u))- 1f n+i(u) peut être

766

112

HENRI CARTAN

uniformément approché, au-dessus du compact Kn-l c V n• par des éléments de de H 0 (Vn+l• :F'). Ainsi, sans changer fn(u), on peut modifier fn+1(u) de manière que (fn(u))-1fn+1(u) soit arbitrairement voisin de la section neutre au-dessus de Kn-l· Nous pouvons donc faire en sorte que la suite des f n(u) converge dans X, uniformément sur tout compact; soit alors f(u) la limite: f(u) fournit l'homotopie désirée entre la section donnée f E H 0(X, ~) et la section neutre. DÉMONSTRATION DE (iii). On veut montrer que H 1(X, !F) = O. Or (3) entraîne facilement que H 1(K, /F) = 0 pour tout compact spécial K. Il reste maintenant à "passer à la limite". Soient (Kn) et (V n> des suites comme ci-dessus; étant donné un recouvrement ouvert (Ui) de X, et un cocyle (jii) à valeurs dans .?F, on a, pour chaque n, des sections cf E H 0 (Ui n vn, !F) telles que fu = (c1)-1c; dans Uii n V n· On a donc cf+l(cf)-1 = c.f+1 (c;)-1 dans Uu n V"' et par suite les c~1 (cf)-1 définissent une section 0 de telle sorte que :I ei g" soit analytique-réelle sur X'; elle est F-plsb.,

+

°

+

i

Ui

tend vers oo à l'infini sur X', et le raisonnement s'achève comme ci-dessus. (c') entraîne (b): soit g une fonction continue plsh. dans X - K (K compact), tendant vers oo à l'infini de X; soit d'autre 1mrt 1,, une fonction continue et F-plsh. dans X - K; on peut supposer 1,, 0 (sinon, la remplacer par eh); alors g h = f est continue et F-plsh. dans X - K, et tend vers oo à l'infini de X. Pour a. assez grand, l'ensemble Xa, complémentaire (dans X) de l'ensemble des points de X - K où .f (x) ~ a, est holomorphiquement convexe, d'après le théorème 3. Donc X est holomorphiquement convexe. Tout sous-espace ~nalytique compact et connexe de X, de dimension > o, est contenu dans un compact fixe de X, sinon la fonction .f atteindrait sur un tel sous-espace sa borne supérieure en un point où elle est .F-plsh., ce qui est impossible. De là résulte que X se déduit de X' par éclatement d'un nombre fini de points.

+

>

+

+

REMARQUE. - La démonstration précédente prouve en outre ceci: si X est un espace de S1.'EIN, il existe sur X une./ analyti816

6

HEN'RI CAR1'AN -

Problèuws d'a1>p·tox·imaUon cto.

[29]

+

que-réelle, F~plsb., qui tend vers oo à l'infini; réciproquement, s'il existe sur un espace analytique X une fonction continue, E'-plsh., qui tend vers oo à l'infini, X est de Sï'EIN.

+

llIBLIOGRAPIIIN

Quotients of complex spa.ces (Contribution to Function 'fheory, p. 1-16; Tata Inst. of Fund. Res., Bombay 1960).

[1] H.

CARTAN1

[2] F.

DOCQUIER

[3] H.

GRA UEitT,

[4] H.

GRAUERT

[5] R.

NARASIMHAN,

[6] R.

NARASIMHAN,

und H. GRA.UERT, Levisches Pt·o'tilem und Rm,gescher Satz fiir 1'eilgebiete Steinsche1· Mannigfaltigkeiten (M.ath. Ann., HO, 1960, p. 94-123),

On Levi's p1·oblem and the iuibedding of t·eal-analytic manifolds (Ann. of Math., 68, 1958, p. 460-472).

und R. RKMMER'l', Pliirisubharmonische l!'unktionen in komplexen Baumen (Math. Zeit., 65, 19-56, p. 175-194:). Imbedding of holonwrphically complete complex s1>aces (A.mer. J. Math., 82, 1960, p. 917-934). ~J:he Levi pt·oblem fot· complex spaces II (Math. Ann., 142, 1961, p. 355-365).

[7] H. Rossi, Analytio spaoes with compact stibva1·ieties (Math. A.un., 146, 1962, p. 129-14:5). Note rajoutée à la correction des épreuves~ d'ajouter:

[8] H.

-

A cette bibliographie, il convient

Über Modi,jikationen, und exzeptionelle analyt-isch.e Mengen (Math. Ann., 146, 1962, p. 331-368).

GRAUERT,

817

53. Faisceaux analytiques cohérents Leçons faites en 1963 au Centro Intemazionale Matematico Estivo, Varenna

1. Théorème des syzygies pour l'anneau des séries convergentes à n .variables Soit Kun corps (commutatif) valué complet, non discret. On note K{x 1 , ••• , xn} l'anneau des séries entières convergentes à n variables x 1 , . • . , xn, c'est-à-dire des séries qui convergent au voisinage de l'origine. C'est un anneau intègre et noethérien; de plus, c'est un anneau local: l'unique idéal maximal m(A) de l'anneau A = K{x 1 , ••• , xn} se compose des séries dont le terme constant est nul, c'est-à-dire des éléments non-inversibles de A. L'idéal m(A) est engendré par Xi, . . . , Xn, et l'on a la propriété: (Pn) Si Jk désigne (pour O ::::; k ~ n) l'idéal engendré par x 1 , . • . , xk, alors, pour O ::::; k ::::; n - I, xk+ 1 n'est pas diviseur de zéro dans l'anneau A/Jk. (En effet, A/Jk s'identifie à K{xk+ 1 , . • . , xn}, qui est un anneau intègre.) Pour tout anneau A, on a la notion de résolution libre d'un A-module M: c'est une suite exacte (infinie à gauche) (1.1)

formée de A-modules et d'applications A-linéaires, les Xi étant des A-modules libres. Il existe toujours de telles· résolutions (pour un M donné); en effet, M est quotient d'un module libre, donc on a une suite exacte

puis on a une suite exacte

et ainsi de suite; en mettant bout à bout ces suites exactes, on obtient la suite (1.1). On dit que la résolution (1.1) est de longueur ~Psi Xn = 0 pour n > p. Si A est noethérien, et si M est un module de type fini, il existe une résolution libre de type.fini, c'est-à-dire dans laquelle les modules libres Xi ont chacun une base finie: en effet on peut choisir pour X 0 un module libre de base finie, et alors Y1 est .de type fini (car tout sous-module d'un module de type fini est lui-même 818

de type fini quand l'anneau est noethérien). On peut ensuite choisir pour X 1 un module libre de base finie, et ainsi de suite. On se propose de montrer les deux théorèmes: Théorème 1.1. Soit A un anneau local noethérien satisfaisant à la condition (Pn). Tout A-module de type fini possède une résolution libre, de type fini, et de longueur ::::;;n. Plus précisément, pour toute suite exacte

où les Xi sont de base finie, le noyau de f est un module libre (de base finie). [Lorsque n = l,f désigne l'application X 0 -+ M.]

Théorème 1.2. Soit A un anneau comme dans le théorème 1.1. Si un Amodule M de type fini possède une résolution libre de longueur ~p, alors, pour toute suite exacte

où les Xi sont libres de base finie, le noyau de f est libre.

Ces théorèmes s'appliqueront notamment à l'anneau K{x 1 , ••• , xn}, ainsi qu'à l'anneau des séries formelles K[[x 1 , . . . , xn]]. On démontre, en fait, que les anneaux locaux pour lesquels le théorème 1 est vrai (pour un n convenable) sont les anneaux locaux réguliers, c'est-à-dire dont le complété est isomorphe à un anneau de séries formelles (cf. [15]). On va donner, des théorèmes 1 et 2, une démonstration qui utilise les foncteurs Tor1(A, B), où A et B désignent deux A-modules, et n un entier ~O. (cf. [5]). On a seulement besoin de savoir ici que Tor1(A, B) est, pour chaque n, un A-module, foncteur covariant de A et B; que Tori(A, B) = 0 lorsque n ~ 1 et que l'un au moins des modules A et Best libre; que Tort(A, B) n'est autre que le produit tensoriel A ®AB; que, pour toute suite exacte de A-modules: 0

-+

A' -+ A -+ A" -+ 0,

(1.2)

on a des applications linéaires ·c\: Tor~(A", B)-+ Tor:f_i(A', B) qui dépendent fonctoriellement de la suite exacte (2); et que la suite illimitée ... -+

Tor1(A', B)-+ Tor1(A, B)-+ Tor1(A", B) ~ Tor1_ i(A', B)

-+ ... -+

Tor1(A", B)-+ A' ®AB-+ A ®AB-+ A" ®AB-+ 0

est une suite exacte. Propriété analogue lorsqu'on travaille sur la variable B, et qu'on considère une suite exacte 819

0

~

B'

~

B

~

B"

~

O.

La démonstration des théorèmes 1 et 2 va -alors résulter de plusieurs lemmes: Lemme 1 ("lemme de Nakayama"). Soit A un anneau local, d'idéal maximal m, et soit K = A/m le corps résiduel, considéré comme A-module. Soit Mun Amodule de type-fini; si

M ®A K

=

M/m·M

est nul, alors M = O. Par l'absurde: soit (x 1 , . • . , xk) un système minimal de générateurs du Amodule M; puisque M = m · M, on a

d'où

Or 1 - Â. 1 a un inverse dans l'anneau local A, donc x 1 est combinaison linéaire de x 2, ... , xk, contrairement à l'hypothèse de minimalité. Corollaire du lemme 1. Soient xi E M des éléments en nombre fini, dont les images çi dans l'espace K-vectoriel M ®A K = M/m·M engendrent cet espace vectoriel. Si le A-module M est de type.fini, les xi l'engendrent. En effet, soit M' le sous-module de M engendré par les xi; on a une suite exacte

et puisque f est surjective par hypothèse, on a (M/ M') ® A K = 0, donc M/ M' = 0 d'après le lemme 1, puisque M/M' est de type fini. Lemme 2. Soit A un anneau local, de corps résiduel K. Pour qu'un A-module Y, de type fini, soit libre, il faut et il suffit que Tor1(Y, K) = O. La condition est évidemment nécessaire. Pour voir qu'elle est suffisante, on choisit des y i E Y dont les images 'Y/ i E Y (8) A K forment une base de cet espace vectoriel; les Yi sont en nombre fini, et engendrent Y (corollaire du lemme 1). Soit X le A-module libre ayant pour base des éléments xi en correspondance bijective avec les Yi; on a donc une application linéaire surjective X ..L Y, qui par passage aux quotients induit un isomorphisme X ® A K -4 Y ® A K. Soit N le noyau de f La suite exacte des foncteurs Tor donne ici:

Tor1(Y, K) ~ N ®A K ~ X ®A K

L

Y ®A K.

Puisque g est un isomorphisme, et que Tor1(Y, K) = 0 par hypothèse, on obtient N ® A K = 0, donc (lemme 1) N = 0; par suite,/: X ~ Y est un isomorphisme, et puisque% est libre, Y est libre. C.Q.F.D.

820

Lemme 3. Soit A un anneau local satisfaisant à la condition (Pn). Alors on a, pour tout A-module M, Torf(M, A/Jk)

=

0 pour

i > k,

=

=

et en particulier, pour k

n, (Jn

(1.3)

m(A)):

Tor1+ 1(M, K) = O.

(1.4)

En effet, considérons, pour chaque entier k tel que 1

~

k

~

n, la suite exacte (1.5)

où vk est l'application canonique de A/Jk-l sur son quotient A/Jk, et uk désigne la multiplication par xk, qui par hypothèse est une injection. La suite exacte des Tor

nous donne ici des suites exactes (1.6)

On va alors prouver (1.3) par récurrence sur k: c'est trivial si k = 0, car = 0 pour i > O. Si (1.3) est vrai pour k - l(k ~ 1), et si i > k, les deux termes extrêmes de la suite exacte (1.6) sont nuls, donc le terme médian est l)ul. C.Q.F.D. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1.1. Nous avons, par hypothèse, des suites exactes

Torf(M, A)

0 ---+- Y1

~

X0

~

M

~

0

~

X1

~

Y1

~

0

0

---+-

Y2

0

---+-

yn ~ xn- 1 ---+-

où X 0 ,

••• ,

yn-1

---+-

0

Xn-i sont libres de base finie. On en déduit des suites exactes

Tor1+iCX0 , K) ~ Tor:+ 1 (M, K)---+- Tor:(Y1 , K) ~ Tor:(X0 , K) Tor1+ 1 (X1 , K) ~ Tor:(Y1 , K) ~ Tor:_ 1 (Y2 , K) ~ Tor:_i(X1 , K)

Dans chacune de ces lignes, les termes extrêmes sont nuls, puisque les Xi sont des modules libres; on obtient donc Tor1+ i(M, K) ~ Tor1(Y1 , K) ~ Tor1- 1 (Y2 , K) ~ ... ~ Tor1(Ym K). Or, d'après le lemme 3, Tor:+ i(M, K) = O. Donc Tor1(Yn, K)=O,

et comme Yn est de type fini, ceci entraîne que Yn est libre (lemme 2). Ceci démontre le théorème 1.1. 821

Démontrons enfin le théorème 1.2. Supposons l'existence de suites exactes 0 ---+ B 1 ---+ A O ---+ M ---+ 0

0

---+

B2

---+

A1

---+

B1

---+

0

où A 0 , ••• , AP_ 1 et BP sont libres (non nécessairement de type fini). En raisonnant comme ci-dessus, on trouve Tor:+ 1 (M, K) ~ Tor:(B 1 , K) ~ ... ~ Tor1(Bp, K) = O. Donc Tor:+ 1 {M, K) = O. Soit maintenant une suite exacte Gomme dans l'énoncé du théorème 2 (les Xi, pour i ~ p - 1, étant libres de base finie), et soit YP le noyau de Xp-l ---+ XP_ 2 (resp. de X 0 ---+ M sip = 1). Le même raisonnement que ci-dessus montre que Tor:+ i(M, K) ~ Tor1(Yp, K), et par suite Tor1(Yp, K) = O; d'après le lemme 2, YP est libre, et le théorème 1.2 est démontré.

2. Préfaisceaux, faisceaux et espaces étalés On rappelle ici succinctement les notions essentielles; pour plus de détails on renvoie au livre de Godement [7]. T désigne un espace topologique, donné une fois pour toutes. Unpréfaisceau G de groupes abéliens sur Test défini par la donnée, pour chaque ouvert U c T, d'un groupe abélien G(U), et pour tout couple d'ouverts (V, U) tel que V c U, d'un homomorphisme (f)vu: G(U)---+ G(V); on suppose que (f)uu est l'identité, et que, pour W c V c U, (f)wu = (f)wv (f)vu· Un préfaisceau G est donc simplement un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de T (les morphismes étant les inclusions) dans la catégorie des groupes abéliens. Si G et G' sont deux préfaisceaux, un morphisme f: G ---+ G' est défini par la donnée, pour chaque ouvert U, d'un homomorphismef(U): G(U)---+ G'(U), de telle manière que, si V c U, le diagramme O

G(U) f(U)

l~vu G(V) f(V)

G'(U)

l~~u G'(V)

soit commutatif; f est donc un morphisme du foncteur contravariant G dans le foncteur contravariant G'. Ces définitions s'appliquent aussi bien à d'autres catégories que celles des groupes abéliens; on peut notamment considérer des préfaisceaux d'anneaux (à

822

élément unité), étant entendu que, dans la catégorie des anneaux, les homomorphismes d'anneaux doivent transformer l'élément unité en l'élément unité. L'image d'un x E G( U) par m), on voit que l'espace analytique du corollaire est de dimension

/: 0./-?"U/ (where U/3f(a)), the map 0 assez petit, F est holomorphe sur le compact L'I (r, 0) et on a F(x, 0, ... , 0) =p O pour O


0 ( ne

sup IQ(x, x1, ... , Xn)I :::;: ex· sup IA(x, x1, ... , Xn)I, LI (r, r')

LI (r, r')

Ce théorème a une conséquence intéressante. A vam de l'énoncer, il sera commode d'introduire quelques notations. Pour tout point a de l'espace numérique en nous avons l'anneau (?a des germes (au point a) de fonctions holomorphes au voisinage de a. Pour chaque fonction f holomorphe dans un voisinage de a, nous noterons Ya (/) son germe au point a. Ces notations étant posées, considérons un système de fonctions Ji, ... ,fp holomorphes dans un ouvert V C en, et soit a E V; nous dirons qu'un ouvert U tel que a E U C V est privilégié pour (11 , ... ,fp) si, pour toute fonction/ holomorphe dans U et telle que ra(!) appartienne à l'idéal de ('.?a engendré par ')'a(f1), ... , ra(fp), il existe c1, ... , Cp holomorphes dans p

U et telles que f =

L

ctft dans U. Alors le théorème de division, tel qu'il

i=1

-

a été précisé ci-dessus, permet de prouver [8], par récurrence sur n, que

le point a possède un système fondamental de voisinages privilégiés pour (Ji, .. .,fp),

880

Sur le théorème de préparation de WeierstraB

161

S. Quelques applications du théorème de WeierstraB. Deux d'entre elles sont déjà explicitées dans le mémoire de Lasker [4]: 1) l'anneau K {x1, ... , x n} des séries convergentes à coefficients dans un corps valué complet K, non discret, est noethérien; en d'autres termes, tout idéal de cet anneau admet un système fini de générateurs ; 2) l'anneau K {xi, ... , xn} est factoriel; en d'autres termes, c'est un anneau intègre dans lequel tout idéal principal 0 s'écrit d'une seule manière comme produit d'idéaux principaux irréductibles.

+

Pour l'une des propriétés comme pour l'autre, la démonstration se fait par récurrence sur n, et la récurrence utilise le théorème de préparation; celui-ci permet notamment de ramener la factorialité de K {x1 , ... , Xn} au théorème de GauB, qui dit que l'anneau des polynomes à une variable, à coefficients dans un anneau factoriel, est lui-même factoriel. Bien entendu, on a deux théorèmes analogues pour l'anneau des séries formelles K [[ x 1 , ... , x n]] (à coefficients dans un corps quelconque K) : cela résulte du théorème de préparation pour les séries formelles (on peut d'ailleurs s'en passer pour montrer que cet anneau est noethérien). Le théorème de préparation sert aussi à une étude plus approfondie des idéaux de l'anneau A= K {x1, ... , Xn}, Nous allons munir l'anneau A d'une topologie très faible: un élément de A est une série convergente, déterminée par la donnée de ses coefficients; donc A s'identifie (comme espace vectoriel sur K) à un sous-espace de K 1 , où/ désigne Nn (N désignant l'ensemble des entiers naturels > 0). Munissons K de la topologie définie par la valeur absolue, et K 1 de la topologie-produit; elle induit sur A la topologie de la convergence simple des coefficients. Il est remarquable que tout idéal de K {x 1 , ... , x n} est fermé pour cette topologie (et est doné fermé pour toute topologie plus fine) [9]. Pour le voir, on se sert du théorème de division. Voici comment on procède: considérons, plus généralement, un A-module M de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments); le choix d'un système de p générateurs de M définit un isomorphisme de M avec un quotient du module AP (somme directe de p exemplaires de A); la topologie-quotient de celle de AP définit sur M une topologie qui, en fait, ne dépend pas du choix des générateurs. Toute application A-linéaire cp: M--+ M' de A-modules de type fini est alors continue, et si en outre cp est surjective, la topologie de M' est quotient de celle de M. Il reste à montrer que si N est un sous-module d'un module de type fini M, N est fermé dans M (ce qui généralise la propriété énoncée

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Henri Cartan

162

pour les idéaux de A). Tout revient à prouver que la topologie du module quotient M /N est séparée. D'une manière générale, montrons que la topologie èle tout module de type fini M est séparée: soit f: AP -+ M une application A-linéaire surjective; il suffit de montrer l'existence d'une application Klinéaire continue g: M-+ AP telle que f o g soit l'identité; or l'existence de g se prouve par récurrence sur le nombre n des variables de l'anneau A= K {x1 , ... , Xn}, et la récurrence utilise précisément le théorème de division. 6. Le théorème de préparation permet aussi de passer de propriétés ponctuelles aux propriétés locales. Nous allons l'expliquer sur un exemple: le théorème d'Oka [10] sur la «cohérence» du «faisceau structural» d'une variété analytique complexe. Plaçons-nous (ce qui ne restreint pas la généralité) dans un ouvert U de l'espace numérique Cn. Soient/1 , .. . ,fp des fonctions holomorphes dans U, en nombre fini; pour chaque a E U, considérons le sous-module Ra de (rJa)P formé des systèmes (c1, ... , cp) r

de germes de fonctions holomorphes au point a, tels que

L

ci ra(fi)

= 0

i=1

(Ra est le «module des relations holomorphes entre les fonctions fi au point a»). Le théorème d'Oka affirme que le «faisceau» des sous-modules RaC ((!)a)P est «cohérent», ce qui signifie ceci: prenons, dans un voisinage V de a, q sytèmes de p fonctions holomorphes dans V:

tels que d'une part

L c/ f; =

0 au voisinage de

a (pour

1 < j < q),

i

d'autre part, les q systèmes

(ra(cl)), ... , (ra(cm engendrent le rJa-module Ra. Alors le théorème d'Oka affirme que, pour tout x E U assez voisin de a, les q systèmes

(rx(cl)), ... , (rx(cl)) engendrent le Ôx-module Rx. La démonstration utilise de façon essentielle le théorème de préparation de Weierstra.B. Observons que ce théorème d'Oka est valable si on remplace le corps complexe C par n'importe quel corps valué complet non discret.

H82

Sur le théorème de préparation de WeierstraB

163

Un autre théorème dont la démonstration nécessite le théorème de WeierstraB est le suivant: considérons, dans un ouvert U C Cn (ici, il est essentiel d'avoir affaire au corps algébriquement clos C), l'ensemble M des points x E U qui annulent des fonctions Ji, ... , f p holomorphes dans U. Pour chaque point a EU~ soit la l'idéal de l'anneau C'a formé des germes de fonctions holomorphes qui s'annulent identiquement sur Mau voisinage de a (observons que si a f/= M, on a la= C'a, et réciproquement). On démontre [11] que le faisceau des idéaux la est «cohérent»: si des fonctions g 1 , .• . ,gq holomorphes au voisinage de a sont telles que ra(g1), ... , Ya (gq) engendrent l'idéal la, alors, pour tout point x assez voisin de a, rx(g1), ... , rx(gq) engendrent l'idéal lx. 7. Une généralisation du théorème de division. Introduisons d'abord la notion de K-algèhre analytique (K désignant toujours un corps valué complet, non discret). C'est, par définition, une K-algèbre A, non réduite à 0, telle qu'il existe un entier n > 0 et un homomorphisme surjectif d'algèbres K {x1 , . . . , Xn} _,.. A. Il est clair qu'une telle algèbre A est une algèbre locale dont l'idéal maximal m(A) est l'image de l'idéal maximal de K {xi, ... , Xn}• On a le théorème suivant [12] :

Théorème. - Soient A et B deux K-algèbres ana(ytiques, et soit u: A_,.. B un homomorphisme d'algèbres. Soient bi E B des éléments en nombre ftni; alors les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) les images des bi dans le K-espace vectoriel B/m(A) · B engendrent cet espace vectoriel; (ii) les bi engendrent B pour sa structure de A-module définie par u. ( m (A) · B désigne le sous-espace vectoriel de B engendré par les éléments de la forme u(m) b, où m E m (A) et b E B). A priori, il est évident que (ii) entraîne (i). La réciproque a pour conséquence le théorème de division, comme on va le voir: soient F(x, xi, ... , x n) et l'entier p comme dans le théorème de W eierstraB, et soit B l'algèbre quotient de K { x, x 1 , ... , Xn} par l'idéal engendré par F. Prenons A= K {x1 , ... , Xn}, et soit u: A_,.. B l'homomorphisme composé de l'injection canonique K {x1 , . . . , Xn} _,.. K {x, xi, ... , xn} et de l'application canonique de K {x, x 1 , ... , xn} sur son quotient B. L'espace vectoriel

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Henri Cartan

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B/m(A) · B s'identifie évidemment au quotient de l'algèbre de polynomes K[x] par l'idéal engendré par xP, et a donc pour base les images de 1, x, ... , xP- 1 dans B/m(A) · B. Appliquons alors le théorème précédent, en prenant pour éléments biles images de 1, x, ... , xP-1 dans B. On trouve que ces éléments engendrent B comme A-module, ce qui exprime précisément le théorème de division.

Corollaire: Si le K-espace B/m(A) ·Best de dimension finie, l'algèbre Best un A-module de rype fini. 8. Etude locale des sous-ensembles analytiques. Bornons-nous, ce qui ne restreint pas la généralité, au cas où l'on étudie, au voisinage de l'origine O E en, l'ensemble M des solutions d'un système d'équations fi,(x)

=

(1 < i < p),

0

où: les fi sont holomorphes au voisinage de O. D'une façon précise, on se propose d'étudier le «germe» M 0 de Mau point O. En principe, si l'on en croit Osgood [1 ], c'est à WeierstraB lui-même que remonterait le théorème suivant: Mo est, d'une seule manière, réunion finie de germes irréductibles d'ensembles analytiques; en outre, une description géométrique précise d'un germe irréductible est donnée, dans laquelle intervient notamment la notion de dimension d'un tel germe. En fait, en me reportant à la référence de WeierstraB donnée par Osgood, je n'ai pas réussi à trouver une étude complète dans le cas général, et je crois que le mérite de celle-ci revient à Rückert [5]. En fait, il s'agit d'étudier le germe d'ensemble analytique (au · point 0) défini par un idéal/ de l'anneau C {x1 , ... , xn}, compte tenu du fait que cet idéal est de type fini. (On trouvera un exposé d'ensemble de cette question dans [13].) On étudie d'abord le cas où/ est un idéal premier, en considérant l'anneau quotient C{x1 , .. . , xn}/1, qui est alors intègre. Grâce au théorème de préparation de WeierstraB, on prouve un lemme de «normalisation» analogue à celui qui est si utile dans la théorie des var_iétés algébriques: en faisant au besoin sur les coordonnées x1, ... , x n de l'espace ambiant une transformation linéaire, on se ramène au cas où, pour un entier k convenable, l'homomorphisme composé de l'injection naturelle C { x1, ... , xk} --+ C { x1, ... , x n} et de l'application canonique de C {x 1 , ... , x n} sur son quotient C{x1 , .. . , xn}/1 est une injection telle que C{x1, ... , xn}/1 soit un

884

Sur le théorème de préparation de WeierstraB

165

module de type fini sur C {xi, ... , xk}· (k est alors la dimension du germe irréductible Mo défini par l'idéal /.) A partir de là, il reste à décrire la structure géométrique du germe irréductible M O, puis à montrer que tout germe de fonction holomorphe qui s'annule identiquement sur Mo appartient à l'idéal/. Ensuite, il suffit de puiser dans l'arsenal purement algébrique de la théorie des anneaux pour prouver que, dans le cas d'un idéal / quelconque, tout germe de fonction holomorphe qui s'annule identiquement sur le germe d'ensemble analytique défini par/ a une puissance qui appartient à / ( «Nullstellensatz » de Hilbert). Dans ce qui précède, le fait que le COlJ)S C est algébriquement clos joue un rôle essentiel. Néanmoins, le théorème de préparation p_ermet aussi une description des germes de sous-ensembles analytiques définis sur le corps réel R; une étude fine a conduit Lojasiewicz (voir [14]) à l'important résultat suivant: soit f une fonction analytique-réelle dans un ouvert U C Rn, soit M l'ensemble des x tels que f(x) = 0, et soit d(x, M) la distance de x E U à l'ensemble M; alors, pour tout compact K C u, il existe ex > 0 et fJ > 0 tels que 1/(x) 1> cx(d(x, M))l3 pour tout x E K

Eu_

(On peut dire, très grossièrement, que si x f/= M, f(x) n'est pas «trop petit».) Ce résultat a permis à Lojasiewicz de résoudre le problème de la division d'une «distribution» par une fonction analytique-réelle non identiquement nulle. Il joue d'autre part un rôle important dans la démonstration (fort délicate) qu'a donnée récemment Malgrange [15] du «théorème de préparation différentiable», dont je voudrais maintenant dire quelques mots. 9. Le théorème de préparation différentiable. Il ne s'agit plus de l'algèbre K {x1 , ... , Xn} des séries convergentes, mais de la R-algèbre _~ (x 1 , . . . , x n) des germes de fonctions différentiables. Précisons : x 1 , ... , x n désignant maintenant n variables réelles (coordonnées dans l'espace Rn), une fonction f (x 1 , ... , x n), à valeurs réelles, définie et différentiable (c'est-à-dire indéfiniment différentiable) dans un voisinage de l'origine (0, ... , 0), définit un germe à l'origine; l'ensemble ff (x 1 , . . . , x n) de tous · ces gèrmès a une structure d'anneau (définie par l'addition et la multiplication des fonctions), ou plus précisément d'algèbre sur le corps réel R. On identifie l'algèbre ff (x1, ... , Xn-1) à une sous-algèbre de ?f (xi, ... , x 11 ), à savoir la sous-algèbre des germes de fonctions indépendantes· de x n. On a alors le

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166

Henri Cartan

Théorème de division de Malgrange: soit FE g'(x1 , ... , xn), telle que F(O, ...., 0) = 0, F(O, ... , 0, Xn) = (xn)PG(xn), G différentiable, G(O) =+= O. Alors pour toute A E g7(x1, ... , xn) il existe une Q E g7(x1, ... , Xn) telle que A-FQ=R soit un po!Jnome en Xn, de degré

0 convenable) d'un homomorphisme surjectif de R-algèbres Â:

fr(x1, ... , Xn)

~

A.

Il est clair que A est alors une algèbre locale dont l'idéal maximal m (A) est l'image de l'idéal maximal de fr (xi, ... , xn)• Les algèbres différentiables sont les objets d'une catégorie dont les morphismes sont définis comme suit: un morphisme de (Â: fr(x1, ... , xn) ~ A) dans (µ: fr(y1, .. . ,yp) ~B) est un homomorphisme d'algèbres u: A ~ B tel qu'il existe des germes d'applications différentiables (1 < i < n)

(*)

rendant commutatif le diagramme

B

A

où cp* est l'homomorphisme défini par le changement de variables (*). Nous pouvons maintenant énoncer le

Théorème de Malgrange: Soient (Â : fr (x1, ... , x n) ~ A) et (µ : g7 (y1, ... , J'p) ~ B) deux algèbres différentiables, et soit u: A ~ B un morphisme de la première dans la seconde. Soient bi E B des éléments en nombre fini; alors les deux assertions suivantes sont équivalente~ : (i) les i111ages des bi dans le R-espace vectoriel B /m (A) · B engendrent cet espace vectoriel; (ii) les bi en._gendrent B pour sa structure de A-module définie par l'homomorphisme u. Comme

au n° 7, on montre que ce théorème entraîne le théorème de

dh·ision.

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168

Henri Cartan

Il est bon d'ajouter que c'est Thom qui a le premier conjecturé le «théorème de préparation différentiable», laissant à Malgrange le soin de le démontrer. Aujourd'hui ce théorème est en train de devenir un outil essentiel en topologie différentielle, dans l'étude des germes d'applications différentiables f d'une variété M dans une variété M' (il s'agit de germes en un point (x, x') E Mx M'). Dans cet ordre d'idées, on connaissait déjà des résultats isolés: celui de M. Morse concernant le cas où M' = R, f admettant en x un «point critique non-dégénéré»; ceux de Whitney [16] concernant certains types d'applications dégénérées. D'une manière générale, on voudrait, dans la mesure du possible, classifier tous ces germes d'applications (c'est-à-dire trouver, dans chaque classe, une forme canonique pour/ moyennant un choix convenable des coordonnées locales dans M et dans M'). Il semble probable que, grâce au théorème de Malgrange, cette classification sera possible au moins dans le cas où l'algèbre des germes (en x) de fonctions différentiables sur M est, au moyen de f, un module de type fini sur l'algèbre des germes (en x') de fonctions différentiables sur M'. Comme on le voit, le théorème de préparation de WeierstraB continue à être une source d'inspiration pour les mathématiciens contemporains, et ce fait justifie, à mes yeux, la place privilégiée qu'avec le recul du temps on doit lui attribuer dans l'ensemble de son œuvre.

BIBLIOGRAPHIE [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] · [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]

F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, II. Wirtinger, Crelle's Journal, 158, 1927, 260-267. Brill, Math. Annalen, 69, 1910, 538,549. Lasker, Math. Annalen, 60, 1905, 20-116. Rückert, Math. Annalen, 107, 1933, 259-281. Spiith, Journ. f. r. u.a. Math., 161, 1929, 95-100. P. Salmon, Bull. Soc. Math. de France, 92, 1964, 385-410. H. Cartan, Annales E.N.S., 61, 1944, 149-197. H. Cartan, Faisceaux analytiques cohérents (Centro Int. Mat. Estivo, Roma 1963). K. Oka, Bull. Soc. Math. de France, 78, 1950, 1-28. H. Cartan, Bull. Soc. Math. de France, 78, 1950, 29-64. C. Houzel, Sém. Cartan 1960/61, exposé 18. M. Hervé, Several complex variables, local theory (Oxford Univ. Press 1963). B. Malgrange, Sém. Schwarz 1959/60, exposé 22. B. Malgrange, Sém. Cartan 1962/63, exposés 11, 12, 13 et 22. H. Whitney, Annals of Math. 62, 1955, 374-410.

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56. Sur l'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach Séminaire sur les espaces analytiques, Editions del' Académie de la République socialiste de Roumanie, Bucarest, 129-135 (1971)

Ce premier exposé est destiné à servir d'introduction à l'exposé de Pierre MAZET. Il est essentiellement consacré à quelques résultats obtenus par J. P. Ramis (Voir Thèse à paraître dans la Collection des > ). On pourra aussi consulter un exposé de H. Cartan ·au Séminaire Bourbaki (n° 354, février 1969). 1. LE THÉORÈME DE PRÉPARATION DE WEIERSTRASS

Soit E un espace de Banach sur le corps complexe C; le cas classique est celui où E est de dimension finie, mais on ne fait pas cette hypothèse ici. Un germe de fonction holomorphe à l'origine 0 de E est défini par une série

où / n : E -+ C est un polynôme homogène de degré n, continu, de manière que la série converge normalement dans un voisinage de O. -Cette dernière condition signifie qu'il existe r > 0 · tel que ~ suplfn (œ)I n~O

\œ'.~r


à un polj'llôme distingué P (X) de degré p, c'est-à-dire que f

=

hP,

avec h E e (E), h inversible, et P unitaire de degré p, les coefficients de P (X) éta,nt tous, sauf celui de XP, dans l'idéal maximal de qui intervient dans la deuxième partie de cet énoncé généralise la notion classique en dimension finie, et fournit ainsi une description géométrique d'un germe d'ensemble analytique irréductible quelconque (puis que l'idéal ;J(X) d'un tel germe X est premier).

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134

H. CARTAN

Pour être pre01s, nous allons détailler cette notion. En réalité, c'est d'un germe de revêtement ramifié qu'il s'agit d~n;; l'énoncé du théorème 2. Voici la définition précise d'un revêtem3nt ramifié, relativement à une décomposition E = E' EB E". Soit U un ouvert connexe de E'; un revêtemimt ra111ifié de ba,~e U, rela,tivement à la projection p: E ~ E', est défini p:1r la donnéB d'un sous-ensemble XC p- 1 ( U) tel que l'application p: X~ U possède les propriétés suivantes : il existe un sous-ememble anJilytique principal Ac U (c'est-à-dire un sous-ememble ferm3 A C U qui, au voisinage de chacun de ses points, est définissable p.11' l'annulation d'une fonction holomorphe scalaire non identiquem3nt nulle), tel que X' = p- 1( U - A) soit un revêtement de U - A à un nom'lra fini de feuillets (soit d leur nombre), que X' soit dense dam X, que, en outre, au voisinage de chaque point œ' e X', X' soit le graphe d'une application holomorphe, à valeurs dans E", définie dans un voisinage de p( œ') dans U, et enfin que, pour tout a e A, il existe un ouvert V de U, contenant a, et un compact K C E", tels que p- 1 (V) n X' soit contenu dans V x K. L'entier d s'appelle alors le degré du revêtement ramifié; il ne dépend pas du choix de A. On démontre que, sous les hypothèses précédentes, il existe un système fini de fonctions holomorphes dans l'ouvert p- 1( U) CE, (en fait, ce sont des polynômes en les coordonnées de E'' à coefficients holomorphes dans U), dont l'annulation simultanée définit exac· tement X. Ceci entraîne que X est bien un sous-ensemble analytique p- 1( U), et X définit alors, à l'origine de E, un germe de sous-en· semble analytique, qui est un >. On observera que X, au voisinage de chaque point de l'ouvert dense X' = p- 1 ( U - A), est une sous-variété analytique de E, de codi· mension égale à la dimension p du sous-espace E' '. Ceci précise la structure de germe analytique de X à l'origine, et donne une inter· prétation de la dimension de E" (c'est-à-dire, lorsque E' œ E" est une décomposition normale pour un idéal premier p, une interpréta· tion géométrique de la hauteur de p ). Ici se termine notre exposé introductif. Signalons toutefois que, dans l'exposé de Mazet qui lui fait suite, on prouvera un THÉORÈME 3. Boit p un idéal premier de fJ (E). S'il existe mi idéal de type fini I tel que p = d((l) (l)), alors l'idéal p est de hau· teur finie.

894

SUR L'ANNEAU DES GERMES DE FONCTIONS HOLOMORPHES

135

Ce théorème, joint aux théorèmes 1 et 2 qui précèdent, per· mettra de conclure que, pour un idéal premier p Ce (E), les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) p est de hauteur finie; (b) il existe une décomposition normale E = E' ~ E" pour l'idéal p; (c) il existe un germe d'ensemble analytique X (nécessaire· ment irréductible) tel que d(X) = p. En outre, lorsqu'il en est ainsi, la hauteur de p est égale à la dimension de E", et à la codimension ,de X en chacun des points > de X (un point étant > si X est, au voisinage d'un tel point, une sous--variété analytique).

895

57. Sur les travaux de K. Stein Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universitat Münster (1973)

Les travaux de Karl Stein s'échelonnent sur plus de 30 années. Au cours de ce temps, la théorie des fonctions analytiques de variables complexes a connu un développement considérable; les idées ont évolué et de nouveaux concepts ont été introduits. Ep. relisant !'oeuvre de Stein, on revit l'histoire de cette évolution. Il ne saurait être question de faire ici une analyse détaillée de ces travaux, article par article; nous allons plutôt essayer de dégager quelques points essentiels et de marquer de quelle manière Karl Stein a contribué à faire éclore les idées nouvelles. 1. Je passe rapidement sur la première période (1937-1940), qui est celle d'une étroite collaboration du jeune Stein et de son maître Heinrich Behnke. Enveloppes d'holomorphie de sous-ensembles sans point intérieur, problèmes d'approximation, approche classique des deux problèmes de Cousin sont les sujets étudiés ensemble par le maître et l'élève. Un autre sujet est celui de la convergence des suites de domaines d'holomorphie dans en, qu'ils soient univalents ou étalés; mentionnons simplement le classique théorème de Behnke-Stein. Naturellement, la collaboration de Stein avec Behnke se prolongera bien au-delà de 1940, en fait jusqu'en 1954. Mais à partir de 1940 environ la personnalité de Stein s'affirme. Son "Habilitationsschrift", paru aux Mathematische Annalen en 1941 sous le titre "Topologische Bedingungen für die Existenz analytischer Funktionen komplexer Veranderlichen zu vorgegebenen Nullstellenfüichen" [10], marque une date décisive: ce travail consacre en effet l'entrée de la Topologie algébrique dans I' Analyse complexe. Comme on l'a deviné, il s'agit du "deuxième problème de Cousin" et des questions topologiques qui y sont liées. On s~ place, bien entendu, dans un domaine d'holomorphie, puisqu'à cette époque on n'avait pas encore pris l'habitude de penser aux variétés analytiques complexes au sens abstrait; les "variétés de Stein" n'avaient pas encore été inventées. Elles le seront en 1950-51, lorsque Stein, revenant sur le même sujet dix ans plus tard, observera que les résultats de son mémoire de 1941, établis pour le cas d'un domaine d'holomorphie, restent valables pour ce qu'il appelle un ouvert "R-convexe" d'une variété complexe. Un ouvert U est dit "Rconvexe" s'il possède les trois fameuses propriétés que tout le monde connaît aujourd'hui: (i) les fonctions holomorphes dans U séparent les points de U; (ii) tout point de U possède un système de coordonnées locales formées de fonctions holomorphes dans U tout entier; (iii) U est "holomorphiquement convexe".

896

2. Permettez-moi d'analyser le contenu des trois mémoires parus en 1941, puis en 1950 et 1951 sur le second problème de Cousin. Rappelons qu'une donnée de Cousin consiste en un recouvrement de la variété complexe X par des ouverts Ui (qu'on peut supposer connexes), dans chacun desquels on s'est donné une fonction holomorphe fi non identiquement nulle, de manière que le quotient fdfj soit, dans Ui n Uj, une fonction holomorphe g ii partout =/= O. Le deuxième problème de Cousin consiste à trouver, si possible, une f holomorphe dans X telle que, dans chaque Ui, le quotient flfï soit holomorphe et partout =I= O. Une telle donnée revient à celle d'un "diviseur" V sur X (c'est-à-dire d'une famille localement finie d'hypersurfaces affectées chacune d'un ordre de multiplicité qui _est un entier > 0); et l'on cherche alors une fonction holomorphe dans X qui admette V comme diviseur (notons que V est l'initiale de "Verteilung"). En 1939, K. Oka avait montré que si X est un domaine d'holomorphie, la condition pour qu'il existe une f holomorphe admettant un diviseur donné V est de nature purement topologique: si le problème de Cousin peut être résolu avec une fonction continue (à valeurs complexes), il admet aussi une solution holomorphe. Ce résultat fondamental était pourtant loin d'épuiser la question: il restait à définir explicitement les obstructions topologiques à l'existence d'une solution continue (resp. holomorphe). Et il était alors nécessaire de rebâtir une démonstration d'existence, le résultat théorique de Oka étant de peu de secours. Tel est le problème auquel Stein s'attaque dans son mémoire de 1941 [10]. Nous savons aujourd'hui que la donnée d'un diviseur V sur X définit un élément u E H 2 (X; 1:'.) du second groupe de cohomologie de X à coefficients entiers; on peut par exemple considérer u comme l'élément qui correspond, dans la "dualité de Poincaré", à la classe d'homologie du (2n-2)-cycle défini par V (n désigne la dimension complexe de X); u est aussi la classe de Chern du fibré en droites complexes défini par le diviseur V. Mais en 1940 la cohomologie était une notion encore pratiquement inconnue ... Dans son Habilitationsschrift [10], Stein définit les nombres d'intersection du diviseur V avec les classes d'homologie de dimension 2 de X (non seulement les classes entières, mais aussi les classes modulo m, m entier quelconque). Il prouve que le problème de Cousin ne peut avoir une solution que si tous ces nombres d'intersection sont nuls. Cette condition nécessaire est-elle suffisante? Stein montre que si X est un domaine d'holomorphie, et si tous les nombres d'intersection de V sont nuls, alors pour tout ouvert U relativement compact de X il existe dans U une solution du problème de Cousin pour le diviseur V restreint à U. Mais il ne peut pas conclure que le problème de Cousin a une solution dans X tout entier; et il s'avérera en effet plus tard qu'en général il n'en a pas. Dès 1941, Stein observe que si le groupe d'homologie H 1 (X; 1:'.) est libre (c'est-à-dire abélien-libre), alors la nullité des nombres d'intersection est suffisante pour la solution du problème de Cousin. Dans le mémoire [10] de 1941 il y a d'autres résultats: puisqu'on n'est pas toujours assuré de l'existence d'une solution du second problème de Cousin, la question se pose de savoir s'il existe des solutions non uniformes. En 1941, Stein se borne à considérer le cas où X est un polycylindre, et il montre alors que tout diviseur V est le diviseur d'une fonction holomorphe qui, par chaque lacet de X, se reproduit multipliée par un facteur .holomorphe partout =/= 0, facteur que l'on peut d'ailleurs astreindre à des conditions supplémentaires.

_897

Dans un mémoire paru en 1950 aux Acta Mathematica [13], et intitulé "Primfunktionen und multiplikative automorphe Funktionen auf nichtgeschlossenen Riemannschen Flachen und Zylindergebieten", Stein reprend la question de l'existence de solutions non uniformes du problème de Cousin, dans le cas particulier du produit R x R' de deux "surfaces de Riemann" connexes et non compactes. Mais ce travail va être éclipsé par le célèbre mémoire paru aux Mathematische Annalen en 1951 [15], qui est d'ailleurs celui où l'on trouve pour la première fois la notion de variété de Stein, sous une autre dénomination évidemment. Je voudrais maintenant parler plus en détail des résultats de ce travail fondamental, car il illustre à merveille la façon dont progressent les mathématiques. Soit X une variété complexe. On introduit les deux notions de fonction additivement automorphe et de fonction multiplicativement automorphe, comme suit: soit X le revêtement universel de X, et notons p: X~ X l'application canonique. Soit II = ni(X, x 0 ) le groupe fondamental de X, qui opère dans X ("Decktransformationen"). Une fonction additivement automorphe est une F holomorphe dans X telle que, pour tout a E II, F(a·x) - F(x)

soit de la formefo.(p(x)), oùfu est holomorphe dans X. L'application O' 1-+ fu est un homomorphisme du groupe II dans le groupe additif I'(X, Ox) des fonctions holomorphes dans X, et induit donc un homomorphisme (1)

B 1 (X)~ I'(X, Ox),

où Bi(X) désigne le premier groupe de Betti de X, quotient du groupe d'homologie Hi(X) = H 1(X; Z) par le sous-groupe de torsion T-ors H 1 (X). Les éléments de I'(X, Ox), images de l'homomorphisme (1), s'appellent les périodes (additives) de F. De même, une fonction multiplicativement automorphe est, par définition, une fonction holomorphe dans X et telle que (O' • x)

= (x) · (f)u(p(x)),

où q>u E I'(X, O_i) est holomorphe dans X et partout définit un homomorphisme

=f::

O. Alors l'application

ai-+ q>u

(2)

du groupe d'homologie H 1 (X) dans le groupe multiplicatif I'(X, O_i). Cette fois, (2) ne définit pas, en général, un homomorphisme de B 1 (X) dans I'(X, O,i), car I'(X, O_i) possède des éléments d'ordre fini autres que la constante 1, par exemple les racines de l'unité. Il est clair qu'une fonction multiplicativement automorphe définit un diviseur V( ) sur X. Ayant introduit ces notions, Stein prouve, entre autres, les résultats suivants (en supposant, bien entendu, que X soit une "variété de Stein"): (i) Etant donné arbitrairement un homomorphisme du type (1), il existe une fonction F additivement automorphe qui donne naissance à cet homomorphisme; F admet donc des "périodes" arbitrairement données.

898

(ii) Soit donné un diviseur V sur X; pour qu'il existe une fonction multiplicativement automorphe admettant le diviseur V, et dont .les périodes soient des constantes, racines de l'unité, il faut et il suffit que l'invariant u E H 2 (X; &'.) du diviseur V ait une intersection nulle avec tous les éléments de HiX; Z) (classes d'homologie entières). Cette condition exprime que l'image de u dans H 2 (X; ([)) est nulle, ou, ce qui revient au même en utilisant le théorème des coefficients universels, que u est dans Ext 1 (H1 (X); &'.). Les périodes de définissent alors un élément de Hom (H1 (X), Q/l) dont l'image canonique dans Ext 1(H1(X), Z) est précisément u. (iii) Si de plus on exige que les périodes multiplicatives de soient nulles sur Tors H 1 (X), alors une condition nécessaire et suffisante est que les intersections de u avec les 2-cycles (mod m) soient nulles pour tout entier m =I= O. Ces conditions expriment très exactement que u est non seulement dans Ext 1 (H1 (X), Z) mais dans Ext 1 (B 1 (X), Z); ce dernier groupe n'est autre que celui des éléments divisibles de H 2 (X; l). C'est justement la situation rencontrée dix ans plus tôt dans [10]; on comprend maintenant pourquoi, lorsque Bi(X) est libre, le problème de Cousin admet une solution uniforme chaque fois que les "nombres d'intersection" du diviseur donné V sont tous nuls. Dans le même travail [15], Stein annonce le résultat suivant: il existe toujours, dans C 2 , un domaine d'holomorphie X dont le groupe de Betti B 1 (X) soit un groupe dénombrable arbitrairement donné. Chemin faisant, il prouve un curieux résultat d'algèbre: pour qu'un groupe abélien dénombrable G soit libre, il faut et il suffit que Ext 1 (G, Z) = O; de plus, si G supposé dénombrable n'est pas libre, le groupe Ext 1 (G, Z) a la puissance du continu. (iv) Enfin, Stein montre qu'étant donné arbitrairement un homomorphisme cp: B 1 (X)~ Q(ll.., il existe toujours une fonction multiplicativement automorphe (x))- 1 est une application holomorphe d'un voisinage U de O dans .ec (E, E). On peut la considérer comme une 1-forme différentielle ,w sur U, à valeurs dans E. Or on a d w = 0 parce que les crochets '[Yi;, Y,,] sont nuls. D'après le «théorème de Poincaré», il existe, dans un voisinage V de 0, · une f holomorphe V E telle que f (0) = 0, d f = w ; on a f' (0) = idE, donc f définit un changement de carte an voisinage de O. La relation d f = w exprime que f (x) · Y 1; (x) = ,e pour x voisin de 0, donc le changement de carte transforme le champ Y 1; dans le champ constant C. Q. F. D.

e.

Il se produit alors un miracle : cette carte locale f : V ---+ E se prolonge d'elle-même en unè application holomorphe D E, qui est un isomorphisme de D sur un domaine cerclé borné D'. La démonstration de ce fait est très sophistiquée, mais le résultat est fort simple .. Ainsi D est isomorphe à un domaine cerclé borné (fait que E. Cartan avait constaté à la fin de sa classification, sans en donner d'explication) ; on pourra donc supposer désormais que D est un domaine cerclé borné. Observons que chaque a E D est l'unique point fixe de la symétrie ·aa. Par ailleurs D, comme domaine homogène, est nécessairement un domaine d'holomorphie. Or tout domaine cerclé d'holomorphie est étoilé par rapport à O. Donc D est homéomorphe à une boule ouverte de E, et en particulier est contractile. La fonction trilinéaire Z: E x E x E ·---+ E attachée à D est très précieuse, et elle caractérise D (voir plus loin). On notera que dans le premier exemple de domaines symétriques donné plus haut ( où D est la boule-unité ouverte de E, sous-espace vectoriel fermé de .e (X, Y) stable par x i----x x* x), on a Z (~. x, .x)

=- x

~* x

pour

916

t

x E .e (X, Y) ;

H.

CARTAN.-00MAINES BORNÉS SYMÉTRIQUES DANS UN ESPACE DE BANACH COMPLEXE

ç et x sont dans E, on a aussi x ~* x -où D = B (K, C), on a

(si

2 (e, .r, x)

=- Î

x2

pour

11

E E). Dans le deuxième exemple,

e,

X

,e e (K, C).

Dans le cas général, la fonction Z permet de caractériser les f E G L (E) ,qui appartiennent au groupe d'isotropie G.0 .(D): ce sont les f telles que

f (Z (e, x, x)) = Z (f ce), f (x~, f (x)). Or un théorème récent de L. Harris et W. Kaup dit que si un sous-groupe -de G L (E) est défini par l'annulation de JR.-polynômes dont le degré est borné, c'est un groupe de Lie (réel). Ici, G0 (D) est défini par l'annulation E soit associée à un domaine -cerclé borné et homogène. C'est ce qu'a fait Vigué, utilisant des résultats de W. Kaup sur les variétés banachiques symétriques.

917

12

CoNFERENCIAs

4.

PRODUITS CONTINUS DE DOMAINES BORNÉS

Reste à savoir ce que devient, en dimension infinie, la notion de domaine borné symétrique irréductible, et par quoi il convient de remplacer la notion de produit (fini) de domaines bornés. Par exemple, dans le cas où D = B (K, C), si l'espace compact K a un nombre fini de points, D n'est autre que le produit d'un nombre fini de disques; dans le cas général, D est une sorte de produit «continu» indexé précisément par l'espace compact K. En ce qui concerne les produits finis, rappelons que, en dimension finie la composante connexe G0 (D 1 x D 2 ) du groupe des automorphismes du · produit de deux domaines bornés D 1 et D2' ne contient rien d'autre que le produit G 0 (D 1 ) x G0 (D 2 ) : en d'autrès termes, tout automorphisme de D 1 x D 2 suffisamment voisin de l'identité est le produit d'un automorphisme de D 1 et d'un automorphisme de D2' (H. Cartan, 1936). Cet énoncé reste vrai en dimension infinie. Il reste à définir la notion de produit continu de domaines bornés (Vigué). On commence par la notion d'espace de Banach au-dessus de S (où S est un espace topologique, qu'on .suppose complètement régulier). C'est défini par la donnée d'un espace topologique 8, d'une applic~tion continue p: 8--. S et, sur chaque fibre p- 1 (s) = 8s, d'une structure d'espace de Banach sur C, la norme qs sur 8s étant la restriction à 8s d'une application continue q: 8 ~ R+. On suppose que la multiplication d'un vecteur par un scalaire est une application continue 8 x C ~ 8, et que l'addition des vecteurs est une application continue 8 x s 8--+ 8. Pour toute section continue f: S ~ 8 (telle donc que p f = ids), on définit une norme O

Il f Il =

sup q (f (s)), SES

et on note r (S, 8) l'espace vectoriel des sections continues f de norme finie; c'est un espace de Banach pour la norme. On fait en outre l'hypothèse suivante: pour chaque s E S, l'application d'évaluation f f----+ f (s) est une appltcation surjective ev 5

:

r (S, 8)-. {;

5

•

C'est alors une application ouverte (théorème de Banach). Si maintenant D est un domaine borné du Banach r (S, 8), l'image evs (D) = Ds est un domaine borné de 8s. Considérons la réunion !D des Ds. On montre que c'est un ouvert de C. Pour qu'une section continue f: S ----.> !D appartienne à D, il faut qu'elle

9.18

fl, CART.\N.-DOMAINES BORNÉS SYM!ÉTRIQUES DANS UN ESPACE DE .BANACH COMPLEXE

13

satisfasse à la condition suivante: 3 e > 0 tel que, pour tout s ·ES, la boule de 8, ayant pour centre f (s) et pour r~yon e est contenue dans D, (cette condition provien~ du fait que D est ouvert). Par définition, on dit que D est produit continu des D, (au-dessus de S) si, réciproquement, toute section .continue f : S !D qui satisfait à cette condition appartient à D. Alors D .est entièrement detérminé par les D,. A cette notion de produit continu au-dessus de S correspond une notion de S-autoniorphisme. O_n dit qu'un automorphisme holomorphe ,q>: D D est un S-automorphisme s'il existe un homéomorphisme 41>: !D !D compatible avec la projection !D S et tel que: V> pour tout s E S, la restriction «l»s de 0

de

(m const18 fixe).

'[f (i)- R] di= 2 mi0

dU. .= - ,;-lR-qi(i] 2 ') -d

.

(qi(z) - R),

d'où,

1

+

2

di

= 2 [qi (i)-.RJ dt< VL [qi (i)-RJ VU,

Vi J,1'

t

[R-f(i) l di,

[R-f (i)] di.

Quand i1 est très grand, le premier membre est de l'ordre de ~i1 et le second membre de l'ordre de i1 • L'inégalité est donc impossible au delà d'une certaine valeur de i1 , ce qu'il fallait démontrer. V. -

D'après III et IV, la courbe qui représente i2 en

923

H.99

DES OSCILLATIONS ENTRETENUES

fonction de i1 a la forme ci-contre; elle est d·abord au-dessus de la bissectrice de l'angle des axes (i2 > i1 ), puis finit par être . '2 au-dessous (i2 < i1)· Les points H 1 , H 2 , H 3 où la courbe coupe la bissectrice ~correspondent à des solutions périodiques (oscillations entretenues) dont l'existence 11 a:c..__ _ _ _ _........,._ _ _ _ _ _ _ _ _

1

est ainsi démontrée. 0 ' Elles sont . périodiques parce qu'en partant d'un mm1mum donné - i1 , le maximum suivant est égal à i1 , par suite le minimum suivant à - i1 , etc. On peul maintenant voir facilement que toute solution ~end vers une solution périodique. Partons d'un minimum initial - i1 compris entre l'abscisse j 1 de H1 et l'abscisse j 2 de H 2 • On aura d'après le graphique j1 < i 2 < i 1 , par suite j 1 < i 3 < i 2 et ainsi de suite ; les maxima et minima successifs vont en décroissant tout en restant supérieurs à j 1 • On a donc des oscillations à amplitudes décroissantes tendant vers l'oscillation entretenue H 1 • Si au contraire on part d'un minimum initial compris entre l'abscisse j 2 de H 2 et l'abscisse j 3 de H 3 , on aura des oscillations à amplitudes croissantes tendant vers l'oscillation entretenue H 3 • Cela prouve de plus que les oscillations entretenues d'ordre· impair H1, H 3 ••• sont stables, tandis que les oscillations entretenues d'ordre pair H 2 (s'il y en a) sont instables. Il y a donc toujours au moins une oscillation entretenue stable. La solution banale Î=o est instable, l'existence d'un courant,. aussi faible soit-il, conduit à l'oscillation entretenue H 1 • CALCUL DE Lil\llTES SUPÉRIEURES ET INFÉRlEURES POUR

1

L AMPLITUDK

ET LA PÉRIODE DE'S OSClLLATlONS ENTRETENUES.

VL -

L'amplitude d'une oscillation entretenue est. certaine-

924

1200 ·

NOTE SUR LA GÉNÉRATION

ment supérieure à i0 (Ill). On peut trouver une limite inférieure meilleure. Considérons une demi-oscillation telle que AB, et l'intégrale

1~it

[q, (i)-RJ di;

-lt

=vif+'· V ~. u+ .• .2

U-

i o-i

C

•C

-it

Entre A et C, ou entre D et B, io'· - i2 teur est plus petit que

V •

/

• 2

U_

i~ ;

< o,

le dénomina-

d'autre part d U

. sous 1e signe . . erieure ' . 1a quantité J- est in{ à

< o;

V . dU

2

•

donc

D' aut re

U-:!!C

part entre C et D, i'0 - i2 > o, le dénominateur est plus grand que

V

•

/

U- ~ , mais d U> o, le résultat est donc le même. • 2

-1 V

Par suite on a·

1.

+it

dU

[q>(i)-R]di 2 mi0

+ ~),

étant un nombre fixe compris entre O et 1 et que nous choisirons tout .à l'heure. On ·aura donc entre E et F E

dVU ~=

1 v'L (cp (i)- R) \/1 -0 s L'accroissement global de VU entre

2

E et F est certainement positif (puisqu'entre A et B il est nul et qu'entre A et E, F et B, il est négatif). On a don?

926

1202

NOTE SUR LA GÉNÉRATION

·+1

1

( qi (

-1

i) .""- R)

v1 -

ou, en augmentant le 1er membre,

21·

6 E2 di >

.f

1

(ee(i)--·R)di-2\/1-E2

0'

(R-qi(i))di> o,

ou enfin

Cette inégalité donne pour I une limite supérieure / 1 bien définie, puisque le premier membre augmente indéfiniment avec la limite supérieure d'intégration. Il en résulte E (i1 -2 mio) < 11, z.1 < 2 mz.0

(6)

+ 1- /

1•

E

La quantité 11 est, en tenant compte de la relation (5), donnée par l'égalité

r

(7)

.

it

[R-q,(i)Jdi=

.;1 0

Elle est donc supérieure à I0 croissante, on a

llo

1 V-. fE2

[R-q;(i)Jdi.

lo

comme la fonction R-qi (i) est

;

JI• [R-q, 1 J lR-~(i)Jdi>.r [ + :: ~:) J'· I 1 -1 0

I1

0 -

•

•.

lo

lo

(i)Jdi,

et par suite

R-~(i)J di> ( 1

[R-f (i)J di.

En portant dans (7), on obtient 11- Zo l --. 2VCLarcsin

.

+~ m

.

i1

•

z.+_2 m lo

,

0

1O"

••

lo

La limite inférieure ainsi obtenue ne fait pas intervenir ramplitudé. IX. - Pour avoir une limite supérieure· de la durée T= Oh d'une demi-oscillation entretenue ACB, nous allons substituer à l'arc AC un autre arc AC 1 , s'étalant davantage, et de même substituer à l'arc BC l'arc BC2 • Chacun de ces arcs auxiliaires correspondra à une solution d'une équation différentielle d2i

di

1.

L-+S-+-z=o R-f (i), et pour l'arc supérieur S < R- f (i). Démontrons par exemple qu'il en sera ainsi pour l'arc inférieur. La courbe donnée et la courbe auxiliaire pointillée sali'Sfont respectivement aux deux équations à

929

1205

DES OSCILLATIONS ENTRETENUES

d2

L

•

d t2 d2

d.

•

dt

C

+(R-tD(i)) ..! -t- !..

_i

.

' '

'

d'

,

d t2

dt

C

L-i+s_!+~=o

=

o

'

B /

~~~/

~?' / I

I / I

0

I

r------'----,,...----,.---"'-----t

/~

~

U

I /

/c,

I

/

.,.//t\

A

di ou encore, en posan t dt

d~ L dii

Ld

1 1 di pour a re, dt

+ R-

di'i L di

d'où

.,

=l

. cp (i) + ~ i

.,

=l 1

1

·!

=

I d pour a secon e :

o,

1

+ s + C • i'1 = o,

(i';;: i't) + (R-cp (i)-S) + f ·i/-·i' ., ., -

o.

l l t

Au point A, on a i'=i't=o, i'-i11 =o. La fonction i-i't de la variable i ne peut pas commencer par décroître, car chacun des trois termes du premier membre serait négatif; donc i' -i't commence par être positif. Cette fonction ne peut jamais (i variant entre - i1 et o) s'annuler, car la première fois qu'elle ' . . d ( i'"- i't) . , . . s annulerait dt seralt negatif, les deux premiers termes de

930

1206

NOTE SUR LA GÉNÉRATlON

l'équation seraient donc négatifs et le dernier serait nul. On a donc constamment, pour une même valeur quelconque de i, i' i'i, par suite

>

La démonstration serait analogue pour l'arc supérieur. Nous pourrons prendre : sur l'arc inférieur S = R, sur l'arcsupérieurS= R-r.p (o). Pour calculer maintenant OC1 , par exemple, partons de la solution de l'équation d2 i di i S dt C= 0 L dt 2

+

+

qm. pour t =o correspon d a· i.= 1

i=-i,e -,sL ( coswt +

2

· dt di

-

On t rouve

= o.

i 1,

f.., sinwt),

1

w=/c L

-

4:, ·

La valeur OC= t1 est donnée par tgw t 1 = _

7i

OC1 =t1 = ~

2Lw

-~,

w=v CL1 -

2 Lw

f

. /

-:; arctg --g-,

R" S 4V,

=· R

On trouve de même pour l'arc supérieur :

1 2Lw' C,.b=t 2 = w' arctg -gr-

,

,

A

f

/

w=ycL-

( ~ (0 ) - R) 2

4L2

S'=cp (o)-R. Par suite:

T

TC

1

(J}

(J}

< - _,.. -

2L w arc tg -R

Dans le cas particulier où T

~

qi

(J}

(o)- R=R, on a simplement

< ,. /_1__

V CL

+ -;1 arc tg cp (2,o L) - w' R .

R2

4 L'

9,31

= 1t ~

/

V

ver'R 1

_

.

C

4L

2 •

DES OSCILLATIONS ENTRETENUES

1207

On pourra toujours pratiquement se ramener à ce cas simple en remplaçantR par le plus grand des deux. nombres R. et ip(io)-R. Le calcul suppose néanmoins R2


des filtres appartenant à toutes les tl>i est prfri1égiée, et, en part,:cul,:er, n'est pas vide. satisfait évidemment à P -1. Montrons qu'elle satisfait à P- Il. Supposons que l'ensemble des i ait été bien ordonné; à chaque F et à chaque ,: associons un filtre i (F) qui appartient à i et est plus fin que F. Soit alors donné un F O quelconque; on peut, d'une seule manière, associer à chaque i un filtre Fi de manière que 1° si-iestlepremierdes indices, Fi-"'."",:(F 0 ) ; 2° si,: a un antécédentj, Fi= i(Fi); 3° si ,: n'a pas d1 antécédent, Fi= filtre-réunion des 'F\ pour j (cf.théorème 2 de la Note citée). Cela fait, le filtre-réunion de tous les Fi est plus fin que F O et appartient à cf>. c. o. r. D. Corollafre. - Les filtres appartenant à toutes les familles privilégiées forment une famille privilégiée 0 • On vérifie : pour que F appartienne

>

111

11

11

aient lieu en tout point x qui appartient à I et à V ( x 0 ) . S. Mandelbrojt et moi-même (2) avons résolu, pour un intervalle fini I, le problème posé par Carleman : à quelles conditions doivent satisfaire deux suites An et Bn pour que la classe {An }r soit contenue dans la classe {Bn }x? Il y a une solution pour le cas où I est ouvert, une autre lorsque I est fermé ou semi-ouvert. Or on peut simplifier une partie de l'exposé et obtenir un résultat plus précis : le théorème ci-après (§ 3) fournit les conditions auxquelles doivent satisfaire des nombres An pour qu'il existe une / ( x) indéfiniment dérivable dont les dérivées successives aient des maxima qui soient exactement de l'ordre de An pour chaque entier n. 2. Rappelons d'abord les deux procédés de régularisation qui servent à résoudre le problème de Carleman. Supposons une fois pour toutes qu'il existe une infinité de An (o) 1 ~ p." A~

(pour n=1,

1

2, ..• ),

p. étant un nombre positif conçenable. De même, il existe une g( x) qui appartient à la classe {A!} sur l'interoalle __, 1 ;Sx;S+ 1, et dont les dériçées satis/ont aux inégalités 1 g."l(

1) 1 ~v"A!:

(pour n

= 1, 2,

... ),

v étant un nombre positif conçenable.

. La construction de ces deux fonctions est automatr:que : lorsque la suite An: est donnée, les fonctions S(r) et U (r) sont connues et f~urnissent les coefficients de deux séries de polynomes de Tchebycheff répondant à la question. Rappelons quelques propriétés des polynomes · · T,,(x)

= cos(n arc cosx).

Désignons par E(q) la partie entière d'une quantité Z,,(x)

q> o, et posons

= (- xtm T,,(x) + (- 1)E(";-') Tn-1 (.x).

Pour tout entier p;S n, on a . T1Pl( 1)

(3)

n

~(

(4)

1 Tlfl(x) 1

(5)

1 ZWl(x) 1 ~

~ 2

KP

)p n

~ ( - l 2ep,

y

2 Z\fl(o) ~ (- 1)E(!!.)

2 P,

~.x~-

n 2P

pour -

nP

pour - oc~x~+ oc

1

(n)l' ; ,

1,

(oc 1; I 1-- o tel que l'on ait

Théorème II1°.

(1)'

S (r) ~ S';. (r).

Pour cela, nous montrerons le

Lemme. De toute suite infinie croissante d'enfier8 on peut extrairf ww suife {ni} pour laquelle existe un µ .fini > o fel que l'on ait

Le théorème en résultera; en effet, il existera tout d'abord un  tel que (1)' ait lieu pour toutes les valeurs enti1'res de r, sinon on pourrait définir une suite croissante d'entiers pour la

I

+ 2) A'P·

tel que n1!

J < PA' S(nJ) - µ P·

Cette inégalité vient d'être démontrée pour 1lj-1

(x) 1 Mp sur cet intervalle. Considérons le polynôme


p. =

1, re-

00

Y.

l f, 2P 2p! =- 22(P -1) e2P - 1 ·

Le log du second membre, lorsque k tend vers l'infini, est asymptotiquement égal à ou encore 1007

2pyp 10g 2.

22

PONCTIONS DÉFINIES PAR DES INÉGALITÉS

n (En effet~

n

= (nk) 2k+i+ 1 p quel que soit e > 0, on a

(27) lf(P)(1)1

augmente indéfiniment avec k.) Donc,

> 2( 2 -is)pVp

pour p

=

(nk) 2

+1

(k assez grand).

II est maintenant facile de montrer que la fonction f(x) n'est analytique en aucun point de l'intervalle [- 1, + 1]. En effet, posons x = cos fJ ; on a 00

/(cos 6)

= ~ 2- 2 (ni) Î=

si on change 0 en 0

9

cos (nk+i 6);

0

+ !7, tous les termes de la série, à partir du

rang i, restent invariable_s, car ni+i est un multiple de n,. Donc si.f(cos G) était analytique pour une valeur de 0, elle serait analytique (et périodique) quel que soit 0. Mais alors /(x) serait analytique dans l'intervalle fermé (13) [-1, + 1]. Or, c'est en contradiction évidente avec l'inégalité (27). Cela étant, il est facile de construire une suite A" telle que : 1

1° An n tende vers + oo avec n ; 2° An = + oo sin n'est égal à aucun des n,;




2( 2 -

.. )p VP

polir

p

=

(nk) 2

la fonction g(x) n'appartient pas à la classe

(k assez grand),

IBn I au point x = 1. C. Q. F. D.

1009

TROISIÈME PARTIE CLASSE D'UNE FONCTION COMPOSÉE

7. -

Nous allons démontrer le théorème suivant. THÉORÈME III. Soit I Bn j une classe régulière (cf § 5), et soit I A" j une classe quelconque contenant la classe I Bn 1· Si f est

I

une fonction de la classe An

j,

1 Bn

j,

et si g est une fonction de la classe

la fonction composée f(g) appartient à la classe I An j sur

tout interçalle où elle a un sens. D'une façon précise : soit I un intervalle fermé fini sur lequel la fonction g(x) appartient à la classe f Bn l et prend des valeurs

qui appartiennent à un intervalle fermé fini I' tel que la fonction f appartienne à la classe IAn I sur I'. Nous allons limiter, sur I, les dérivées successives F(x) de la fonction F(x)

=

f(g(x)).

Pour cela, nous pourrons supposer que l'on a, pour tout n ' \ fn)(y) 1 ~ An ~ jg(x}I - 1,

I', I;

s'il n'en était pas ainsi, il suffirait de multiplier An par pn et Bn par p'n (p et p' convenables) pour faire en sorte que les inégalités (28) fussent remplies. Nous pourrons en outre supposer (14 ) pour tout

(29) (14)

n>1,

En effet, la classe l An ! contient par hypothèse la classe ! Bn (, donc 1

(An)n >O

I. ~ Bn

et par suite on peut, en multipliant au besoin An par kn (k> 1), faire en sorte que Bn.

An~

1010

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES INÉGALITÉS

25

puisque par hypothèse la classe IAn I contient la classe IBnl. Enfin, désignant par À la longueur de l'intervalle I ', nous supposerons n-1An - (30) pour n;;?: 1, ), r > n - 1 ! 1

ce qui ·peut toujours être réalisé puisque la classe j An I contient la classe analytique ; en effet elle contient une classe régulière. Nous allons démontrer, moyennant ces hypothèses, l'inégalité

1F(n)(x) 1-::( 2en (1 + VeA1 ) 2n An

(31)

(n

> 1)

pour tout x de l'intervalle 1. Le théorème III en résultera évidemment. La dérivée p(n)(x) est égale au produit par n ! du coefficient de (~ - x)n dans le développement de Taylor de F(~) au point ç = x. On l'obtient en écrivant (32)

F(ç)

=

f(y)

f(p)(y)

+ f'(y) (g-y) + ... + - pl

(g-y)P

(on a posé g(x) = y), et en remplaçant dans (32) la quantité (g (33)

g-

y

=

g'(x) (ç -

x)

+ ... + ç 0 hm l --

ni

·

'

la condition 1

-(A)n lim -~ < + oo n.

(37)

équivaut à l'ensemble des deux conditions (38)

- (An·)l -i n,. < + oo ,

.Iim

i--+oo

}im Ï----),oo

lli+I

ni

< + 00 •

Pour la démonstration, on peut supposer A,,,, ~ n !, en multipliant au besoin A,,,, par pn (p > 0 convenable), ce qui ne change 1016

31

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES INÉGALITÉS

ni la condition (37) ni les conditions (38). Il nous faut montrer est borné ; et que réciproquement, ni si les deux conditions (38) sont remplies, la condition (37) est, vérifiée. Supposons (37) remplie. On aura a fortiori que si (37) est remplie,

ni+i

(39)

A'' 1im ( n

1

I

1)" < + oo ,

en posant

Na = \ n ! ~

+

si n est l'un des n;,, oo dans le cas contraire.

Or, la condition (39) exige que la suite

ni+..1 ni

soit bornée : on le

voit par un calcul élémentaire relatif à la fonction factorielle. Réciproquement, supposons

&+1

n;,

(A'}! est borné.

borné. Alors ~ .ni

n

Si de plus (p

>

0 couvenable},

alors on a évidemment, pour tout n, An~ pnA~,

donc la condition (37) est remplie. C. Q. F. D.

De là on déduit : Condition d' équic,alence ac,ec la classe analytique : Pour qu'une classe I An I soit identique à la classe analytique, il faut et il suffet (quel que soit le type d'intervalle considéré) que l'on ait 1

> O,

lim (~; )-;n~oo

n.

et qu'il existe une suite d'entiers ni telle que

ni+l

ni

soit borné et que

1.

(~i)"' soit borné. On remarquera que l'existence d'une suite ni telle que soit borné et que

(Arti)t nd 1017

lli+i

n,

1

32

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES INÉGALITÉS

soit borné entraîne le fait que toutes les fonctions de la classe I An 1 sont analytiques. Cela résulte de la démonstration ci-dessus, et aussi, directement, de l'inégalité (14)' du lemme 2. · Par contre il serait faux de croire que si une classe An est contenue dans la classe analytique, il existe une suite ni telle que

I I

lli+i

ni

soit borné et que

(!7)l soit borné. En efîet, une condition nécessaire et suffisante pour qu'une classe I An I soit contenue dans la classe I n ! 1 a été donnée par Mandelbrojt (17 ) ; elle est remplie pour la classe I An I que voici : donnons-nous une suite infinie arbitraire d'entiers croissants n,, et posons A n

l+

si n = n. oo si n est différent ~ous les

(ni+1)nïe-ni+1

=

d;

llï.

Toutes les fonctions de la classe f An f sont analytiques, en vertu du critère de Mandelbrojt. Mais on remarquera que si ni+l n'est ni

pas borné, cette classe ne contient pas toutes les fonctions analytiques. Pour terminer, montrons que la proposition 2 subsiste en partie quand on y remplacv la classe I n ! 1 par une classe >

f Bn 1, c'est-à-dire telle que

log(!;) soit une fonction convexe de n. D'une façon précise, on a : PROPOSITION 1

3. -

I I

Soit Bn une classe régulière. Si une suite

An ! satis/ait aux deux conditions

et 1

-(A);;, lim B: < + oo,

(40)

(1 7)

MANDELBROJT,

loc. cit., p. 97-100.

1018

33

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES INÉGALITÉS

lt! quotient ~

1

est borné. Comme plus haut, la suite I n, 1 désigne

celle des entiers n pour lesquels An == A,,,. La démonstration est semblable à celle de la proposition 2. On peut supposer A. >, B., en multipliant au besoin An par pn (p > 0 convenable). Si (40) est vérifiée, on a a fortiori 1

lim(~t < + ~.

(41)

en posant A~

= ) Bn

? + oo

si n est l'un des n,, dans le cas contraire.

Or, on a Bn = n ! C,u et log Cn est une fonction convexe de n; la condition (41) exige donc que n,+i soit borné, en vertu des lli

propriétés de la fonction factorielle.

'

c.

Q. F. D.

C'est cette proposition_ 3 que nous avons utilisée par anticipation pour énoncer le théorème II ( §§ 1 et 5). (26 Janvier 1939.)

1019

69.

Sur la mesure de Haar Comptes Rendus del'Académie des Sciences de Paris 211, 759-762 (1940)

1. Soit G un groupe localement compact C). Toutes les démonstrations connues de l'existence d'une mesure z"nçariante par les translations à gauche font appel à l'axiome du choix : choix dénombrable si l'on fait sur G des hypothèses convenables de dénombrabilité (Haar), choix ·général sans ces hypothèses [Banach, A. Weil ( 2 )]. L'unicité de la mesure (à un facteur constant près) est démontrée ensuite. On peut lever ce paradoxe et prouçer existe.nce et unicité sans l'axiome du choix. Elles découlent d'une proposition qui n'est pas nouvelle, mais que nous démontrerons sans faire appel à l'existence d'une mesure invariante; la voici : THÉORÈME o'APPROXIMATlON. Soit f Ee (3), E un nombre> o, et V unvois-inage de l'unité ( dans G) tel que entraîne 1/(.x)-/(y)!~e.

> > o,

Soi"ent g Ee, telle que g = o en dehors de V. Alors, pour tout a peut trouçer des si EG en nombre fini, et des constantes c; manière que fon ait, pour tout x EG, ( I)

i,

on de

1/(x)- ~c;g(si 1 x)/~~

2. Rappelons d'abord quelques résultats connus (2). Soit Si la famille des fonctions/ bornées et ~o, telles que l'ensemble o soit relativement compact, et qu'il existe o et un ensemble ouvert sur lequel on a /~YJ· Si/ EfJt et f EfJt, on désigne par (/:(f) la borne inférieure (non nulle)

J>

Y)>

1 ( ) Pour la terminologie, voir N. BouRBA.KI, Éléments de Mathématique, livre III, Topologie générale, chap. I (Actualités scientifiques, fasc. 858, 1940 ). ( 2 ) Voir A. WEIL, L'intégration dans les groupe.; topologiques (Actualités scient., fasc. 869, 1940 ). Nous renvoyons, pour la bibliographie, à cet ouvrage dont nous adoptons les notations et dont nous nous sommes inspiré pour les démonstrations. ( 3 ) e désignera la famille des fonctions définies sur G, continues et~ o, non identiquement nulles, et telles que l'ensemble f> o soit relativement compact.

1020

SÉANCE DU

3o DÉCEMBRE 1940.

des c>o tels qu'il existe des siEG et des ci>o(~:Ci=c)satisfaisantà /(x)

;{!i c1 cp (sï

1

x)

pour tout

x

EG.

On a 1/(g:/)$.(f:cp )/(g:

>

La limite 1(/) sera alors une fonction addziiçe de/, en vertu du lemme. Or, soient donnés / Ee et 1 o; déterminons, par le théorème d'approximation, une g Ee, des si et des ci qui satisfassent à ( 1) pour un ex< 1 ; puis, d'après le lemme, un U tel que cp E5u entraîne

>

Opérons de même avec / 0 telle que Iep(/0 ) = 1 pour toute 2 dimensions ( le cas du potentiel logarithmique dans· le plan étant ici laissé de côté). Or la fonction r 2- " n"est pas seule à jouir de ces propriétés : Marcel R1Esz a reconnu qu'une grande partie de la théorie du potentiel subsiste lorsqu'on remplace la fonction r 2 -n par ra.-n, oc étant un exposant positif quelconque inférieur à n. La théorie des « potentiels d'ordre oc» a été développée par M. Riesz et Frostman ( 2 ). Mais si l'on analyse de plus près les fondements, on voit que l'espace euclidien lui-même ne joue pas un rôle essentiel, bien ( 1 ) Voir notamment : DE LA VALLÉE Pouss1N, Les nouvelles méthodes de la théorie du potentiel, etc. (Actualités scient. et industr., n° 578, Paris 1937); O. FROSTIIAN, · Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles (Thèse, Lund 1935); M. RIESZ, Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels (Acta S.ze.ged, t. 9, 1938, p. 1-42). On trouvera une bibliographie dans l'exposé de G. C. EVANS, Dirichlet problems (Amer. math. Soc., 1938, p. 185-226). ( 2 ) Voir les deux Ouvrages cités, et aussi FROSTlUN, Sur le balayage des masse, (Acta s~eged, t. 9, 1938, p. 43-51).

1023

-

:2 -

que les démonstrations de M. Riesz et Frostman fassent intervenir soit la notion de dérivabilité ( par considération du laplacien), soit les propriétés classiques du potentiel newtonien (a). Nous verrons qu'on peut s'en passer. Que la théorie soit susceptible d'être transportée dans un espace topologique plus général, c'est là une idée qu'avait déjà eue Marcel Brelot; je lui dois de vifs remerciements pour m1avoir àimablement communiqué des notes et des résultats obtenus sur ce sujet par lui-même et J. Dieudonné. En réalité, c'est la formule de composition due à M. Riesz ( i) qui me parait jouer un rôle de premier plan. Aussi me placerai-je dans l'espace d'un groupe topologique localement compact, pour avoir une opération de composition. J'ignore si une telle généralisation est susceptible de futures applications. Sije l'entreprends, c'est surtout pour mettre en lumière le mécanisme de départ qui rend possible une théorie du potentiel; c'est pour donner, des faits essentiels, das démonstrations aussi pures que possible, ne faisant pas appel à des contingences secondaires ou fortuites. Le présent exposé contient, outre une démonstration nouvelle du fait qu'un même potentiel ne peut provenir de deux distributions de masses différentes, un théorème que je crois nouveau, même dans le cas newtonien (Théorème IV); ce théorème nous fournira, de la possibilité du balayage, ou de l'existence d'une « distribution capacitaire », une démonstration nouvelle, complètement indépendante de tout axiome de choix. Les deux premiers paragraphes sont consacrés à des rappels relatifs aux mesures de Radon dans un espace localement compact, et aux groupes topologiqnes. A ce sujet, on pourra consulter !'Ouvrage de A. Weil (L'intégration dans les groupes topologiques et ses appUcations; n° 869 des Actualités scientifiques, Paris 1940 ).

I. Mesures de Radon ou distributions de masses. - Plaçons-nous dans un espace topologique E localement compact, c'est-à-dire

( •) Par exemple page 32 de la Thèse de Frostman, lors de la démonstration du théorème fondamental relatif à l'intégrale d'énergie des potentiels d'ordre a.

1024

-

:{

-

dont tout point possède un v01smage compact (" ). L'espace euclidien rentre, bien entendu, dans cette catégorie; rappelons que les sous-ensembles compacts de l'espace euclidien sont les sous-ensembles bornés et fermés. Nous désignerons par e+ l'ensemble des fonctions à valeurs réelles~ o, définies et continues en tout point de E, et nulles en dehors d'un ensemble compact ( cet ensemble n'est pas fixé à l'avance : chaque fonction de la famille e+ est assujettie à la condition qu'il existe un ensemble compact tel qu'elle soit nulle en tout point de son complémentaire). Par définition, une mesure de Radon positive, ou distribution de masses positives, est une fonctionnelle p.(/), définie et additive sur l'ensemble e+, et à valeurs~ o. On montre facilement que l'on a. pour toute constante c ~ o, :J.(c/)

= q1.(j);

cela, joint à l'additivité, exprime que p. est une fonctionnelle linéaire. Une telle fonctionnelle se prolonge d'une manière et d'une seule en une fonctionnelle linéaire sur l'ensemble e des différences de fonctions de e+, c'est-à-dire sur l'ensemble des fonctions continues réelles, nulles en dehors d'un compact. Une mesure de Radon positive permet de définir une intégrale de Lebesgue-Stieltjes, de la manière suivante. Désignons par /J l'ensemble des fonctions réelles ~ o, semi-continues inférieurement ( 0 ) en tout point de E; par ~ l'ensemble des fonctions réelles ~ o, nulles en dehors d'un compact, et semi-continues supérieurement (His) en tout point de E. Posons, pour /e /J, p.(/)

= sup

p.(g) pour les g e e+ telles que g ~f;

( 4 ) Rappelons qu'un espace topologique est dit compact ( bicompact dans la terminologie d' Alexandroff-Urysohn) s'il est séparé (deux points distincts possèdent toujours deux voisinages sans point commun) et s'il possède la propriété de Borel-Lebesgue ( tout recouvrement de l'espace avec une famille d'ensembles ouverts contient un recouvrement fini). Pour toutes ces notions de topologie, et pour la terminologie adoptée ici, voir N. BOURBAKI, Élément, de Mathématique, Livre III, Topologie gênérale (Hermann, 1940). (') Il s'agit ici de fonctions pouvant prendre la valeur+ ex,. 5 ( bis) Il s'agit de fonctions à valeurs essentiellement finies.

1025

-4-

p.(/) peut être infini. De même, posons, pour /e "S, µ.(/)

= inf

µ. (g) pour les g e

e+ telles

que g

çJ.

Une fonction/"'?:, o quelconque, pouvant éventuellement prendre la valeur + oo, sera dite sommable pour la mesure p., ou p.-sommable, si la borne inférieure des p.(g) (g parcourant l'ensemble des fonctions de lf qui sont °'?:,/) est finie et égale à la borne supérieure des p.(h) (h parcourant l'ensemble des fonctions de"$ qui sont$_/). La valeur commune de ces bornes sera notée p.(/), ou encore

f f(œ)dµ.(œ), et nommée l'intégrale de/ pour la mesure p.. Toute fonction de "$ est sommable; toute fonction de lf dont le p. est fini est sommable. L'intégrale p.(/) est une fonctionnelle linéaire sur l'ensemble des fonctions "'?:,_ o et sommables; ses valeurs sont "'?:_ o et essentiellement finies. Cette fonctionnelle se prolonge en une fonctionnelle linéaire sur l'ensemble des diflérences de fonctions sommables "'?:_o; une fonction réelle est dite sommable si elle est la différence de deux fonctions ~ o et sommables. Pour qu'une fonction/ soit sommable, il faut et il suffit que/+ et J- soient sommables [/+ désigne sup (/, o ), /- désigne sup ( - /, o.)]. Un ensemble A (il s'agit d'un sous-ensemble de E) est mesurable pour la mesure p., si sa fonction caractéristique/ est p.-sommable; l'intégrale de/ se nomme alors la mesure de l'ensemble, et se note p.( A); c'est une quantité essentiellement finie. On dit aussi que p. (A) mesure la masse portée par A dans la distribution p.. Sur la famille des ensembles mesurables, p.( A) est une fonction additive. Parmi les ensembles ouverts de mesure nulle (pour une mesure de Radon donnée), il en est un qui contient tous les autres; son complémentaire est fermé et porte le nom de noyau fermé de masses. D'une manière générale, nous dirons qu'un ensemble porte toutes les masses de la distribution p. si son complémentaire est de mesure nulle. Observons encore que, pour toute mesure p., tout ensemble compact est mesurable; tout ensemble ouvert contenu dans un ensemble compact est mesurable; plus généralement, tout ensemble dit « borélien », s'il est contenu dans un compact, est mesurable. Un ensemble ouvert a toujours un p. déter-

1026

-~miné, fini ou infini; pour qu'un ensemble quelconque A soit p.-mesurable, il faut et il suffit que la borne inférieure des p. des ouverts qui contiennent A soit finie et égale à la borne supérieure des p. des compacts contenus dans A. Outre les distributions positives, nous considérerons des distributions de signe quelconque, ou mesures de Radon réelles. Une telle distribution est définie par une fonctionnelle linéaire p. sur e+, qui puisse se mettre sous la forme de la différence de deux distributions positives p.,s et p. 2 • S'il en est ams1, posons, pour /e e+,

= sup p. (g) µ-(!) = sup [- µ(h)]

µ+(/)

pour les g e e+ telles que g

'5:.f,

pour les hee+ telles que h~f;

on a p.+(/)~p.-1(/), p.-(J)~p. 2 ( / ) pour toute/ee+; p.+ et p.sonl aussi des distributions positives dont la différence est égale à p.. Par définition, une fonction est sommable pour p. si elle est sommable pour p.+ et pour p.-, ou, ce qui revient au même, pour p.++ p.-; son intégrale pour p. est la différence de ses intégrales pour p.+ et pour p.-. Le noyau fermé de la distribution p. est la réunion des noyaux fermés. de p.+ et de p.-. Définissons maintenant une topologie 'l9 sur l'ensemble J1l des mesures de Radon positives (pour les mesures de signe quelconque, cela entraînerait des complications dans le détail desquelles il est inutile d'entrer ici). Pour chaque/ e e, p.(/) peut être considéré comme une fonction de p. e Jlt. La topologie 'l9 sera, par définition, la moins fine (6 ) rendant p.(/) continue sur Jll, pour chaque/ E e. En d'autres termes, pour qu'un ensemble V contenu dans Jll soit un « voisinage » d'une p. 0 e Jlt, il faut et il suffit qu'on puisse trouver des /i e e en nombre fini et une quantité E > o, telles que l'ensemble des p. satisfaisant aux inégalités

soit contenu dans V . ( on pourrait se borner à prendre E = 1 et /i e e+)· On peut dire, d'une manière imagée, quoiqu(• un peu

( 8)

Voir

BOURBAKI,

loc. cit., p.

41.

1027

-6-

vague (' ), qu'une /J, e Jlt varie d'une manière continue s1, pour chaque fonction fixe/ e e, l'intégrale

f

f(x) dµ(x)

varie d'une maniëre continue. Nous dirons aussi qu'une mesure p. non nécèssairement positive varie d'une manière continue si p.+ et /J,- varient d'une manière conttnue. Voici, pour terminer, deux propositions relatives au cas où l'espace E est compact. e est alors l'ensemble des foncttons réelles continues sur E. Mettons sur e la topologie de la convergence uniforme fla « distance » de deux fonctions / 1 et / 2 étant supj/,.(x)-/,.1(x)I]; les mesures de Radon de signe xEE

quelconque ne sont autres que les fonctions linéaires continues sur Appliquons alors à e un théorème bien connu ( 8 ) relatif aux espaces vectoriels normés; il vient ici :

e.

1. - Si @ est un ensemble linéaire de fonctions continues, non partout dense dans e, il existe au moins une mesure de Radon p., non identiquement nulle, telle que l'i"ntégrale PR0Pos1TI0N

.r

soit nulle pour toute f e

f(x)dµ(x)

@.

Nous aurons aussi à faire usage du résultat suivant : PaoPOSITION 2. Si une suite de distributions positives p. est telle que, pour toute f d'un ensemble partout dense de jonctions continues, 11

lim jf(x) dµn(x)

n~..,

existe, cette suite P.n a pour limite, au sens de la topologie t;~ (') Il est possible de donner à ce langage vague un sens mathématique précis, en utilisant la notion de filtre ( BouRBAKI, loc. cit., p. 20 et suiv. ). (') Voir par exemple S. BANACH, Théorie des opérations linéaires ( Varsovie, 193:i), p. 5j.

1028

-1-

une distribution positfre p.. On a donc, pour toute f E

e,

J f(x) dµ(x) = lim jf(x) dp.n(x). n*"oo

li. Groupes localement compacts. -- Soit G un groupe abstrait, commutatif ou non. xy désignera le « produit » des éléments x et y de G; x- 1 désignera l'inverse de x. Nous emploierons donc la notation multiplicative pour Fopération du groupe. Un groupe topologique est un groupe abstrait dans lequel a été définie une topologie telle que xy- 1 soit une fonction conLinue par rapport à l'ensemble des variables x et y. Les éléments de G seront appelés points. Tout ce que nous allons dire s'applique en particulier à l'espace euclidien, considéré comme espace du groupe de ses translations; dans ce cas les éléments x, y, .z, ... peuvent être considérés comme des vecteurs d'origine fixe; xy désigne la somme des vecteurs x et y, x-• le vecteur opposé à x. D'une, manière génMale, dans un groupe quelconque, la notation e désignera l'élément-unité. On appelle translation à gauche définie par un élément se G, la transformation biunivoque el bicontinue qui, à chaque x e G~ fait correspondre sx. Étant donnée une fonction/ sur G, on appelle translatée à gauche de f pars la fonction /s définie par fs(x) =.f(.ç- 1 x).

La symétrie est la transformation biunivoque et bicontinue qui, à chaque x e G, fait correspondre x- 1 • La symétrique d'une fonction f est. la fonction f" définie par

Nous considérerons désormais un g~oupe topologique G localeme11t compact. Sur un tel groupe on sait ( 9 ) qu'il existe une mesur o. Si Ut est presque partout nul, l'énergie d'ordre oc

f U~(x)cp(x) dx = J[Ut /.z)]2 d.z 1

est nulle, et par suite le potentiel d'ordre

i est nul presque partout.

En répétant ce raisonnement, on voit de proche en proche quel' on a [ ,,, cp(x) dx]

pour (,

=o

= a.n, quel que soit l'entier n; et comme [ e~, p.] a pour 2

limite p. quand (3 tend vers zéro, on trouve bien que la distribution cp( x) d:c est nulle; donc la fonction q, est identiquement nulle. Dans le cas général, sans aucune restriction sur p., montrons encore que [ eœ, p.] = o entraîne p.= o. Régularisons p. par une cp e e+ (cf. fin du paragraphe II). Il vient [ 'ex,

fJ,,

cp dx]

= o,

c'est-à-dire (12)

[,ex, 4(x)dx]=o

a\rec 4(x) dx =[1-1, cp da].

Mais \fie

e, donc la relation (12) entraîne~= o, d'après ce qu'on

vient de démontrer. Ainsi on a [µ., cp dx] = o, quelle que soit cp e e+, et, -par suite (§ Il), p.= o. Le théorème II est donc entièrement démontré. Il prouve que les valeurs d'un potentiel ( d'ordre oc) déterminent entièrement la

1039 ·

-

18 -

distribution qui lui donne naissance. Ce théorè1ne de la déter ... mination des masses par les potentiels peut être corn piété comme suit ~ THÉORÈME II bis. Si deux distributions positiçes p. 1 et p. 2 , dont les masses sont portées par un même ensemble compact K, donnent naissance à deux potentiels (d'ordre oc) presque partout égaux sur un ensemble ouvert contenant K, elles sont identiques.

On commence par montrer que si p., et p. 2 ont une énergie finie, il suffit que U~ et U~ soient égaux sur un ensemble portant toutes les masses de p. 1 et de fl-2, pour qu'on puisse conclure p. 1 = p. 2 • Cela résulte en effet du lemme : LEMME, -

Si, 11-,· et fJ-2 étant positives d'énergie finie, on a

U~•(x)~ U~(x) sur un noyau de la distribution µ1,

U~1 (x) ~ U~(x)

alnrs p. 1 =

EJ, 2 ,

sur un noyau de la distribution µ2,

En effet, les hypothèses entraînent

f

[U~1 (x)- U~(x)] (dµ 1 -

dµ 2 ) ~o,

et, par suite, d'après le théorème I, JJ- 1 - p. 2 = o. Cela posé, pour obtenir le théorème II bis dans le cas général, on régularise p.1 et EJ- 2 par une même cp e e+, ce qui ramène au cas particulier déjà étudié, et perm,et de conclure par un raisonnement analogue à celui employé pour le théorème II. Dorénavant oc sera fixé une fois pour toutes. Le potentiel U~ sera noté simplement U(J, et appelé potentiel de la distribution fJ-· TetoRÈME III. Soit K un ensemble compact fixe. Toute fonction réelle définie et contlnue sur K peut être uniformément approchée, sur K, par des potentiels de distributions continues [c'est-à-dire de la forme cp ( x) dx avec cp e e; rappelons que de tels potentiels sont continus, et en particulier continus sur K ]. On peut d'ailleurs astreindre ces distributions à açoir toutes leurs mfl,Sses sur un ensemble ouçert arbitraire fixe, pourvu que cet ensemble contienne K.

1040

-

f9 -

Soit en effet @ l'ensemble des potentiels de distributions de la forme q>(x) dx, où q> est continue et s'annule en dehors d'un ensemble ouvert fixe K' contenant K. Si le théorème à démontrer était faux, il existerait (§ I, proposition 1) une distribution v non nulle, portée par K, telle que . / U!L(x)dv(x)

=

o

pour tout potentiel UtJ. e

(!).

Cette relation s'écrit aussi (loi de réciprocité) . / Uv(x) cp(x)dx

=o

pour toute q> e e qui s'annule en dehors de K'. Ceci exprime que la mesure Uv ( x) dx ne comporte pas de masses sur K'; mais alors la distribution v, portée par K, est nulle d'après le théorème II bis. Cette contradiction achève la démonstration.

L'espace des distributions d'énergie finie. ac étant toujours fixé, notons Il p. Il la racine carrée de l'énergie d'une distribution µ., supposée d'énergie finie. On a, d'après (11), et

Si à p. on fait correspondre son potentiel d'ordre~, Il p. li n'est-autre 2

chose que la norme dans l'espace ae des fonctions de carré sommable. L'espace 8, des distributions d'énergie finie apparaît ainsi comme isomorphe à un sous-espace d'un espace de Hilbert réel. Or l'espace est complet; autrement dit, si une suite de fonctions /11 e ae. est telle que

ae

lim

n*" oo

ll/,1-fpl/= o

(suite de Cauchy),

P*- ,x;

alors il existe une/ e af ( et une seule à un ensemble de mesure nulle près), telle que lim/1/-/n ri= o. ll~OO

1041

-

20-

L'espace & lui-même, muni de la norme-énergie JJP-11 ( qui définit comme « distance » de deux. distributions /J,t et p.2 la quantité IIJJ-t-/J,2rt, cette distance n~tant nulle que si µ.,.=p.2), est-il complet? C'est peu probable. Toutefois, en nous bornant aux distributions positives sur un compactfae, nous allons démontrer le théorème suivant : TeÉORÈME IV. L'espace &K des distributions positir,es, d'énergie finie, dont toutes les masses sont portées par un compact fixe K, est complet lorsqu'on le munit de la normeénergie.

Pour le voir, prenons une suite de Cauchy µ.11 • Les fonctions /n(a:)

= U~is(x)~o

ae,

forment une suite de Cauchy dans l'espace qui est complet. Soit /f o la fonction-limiie ( au sens de la norme). Pour toute fonction g de carré sommable, on a ( continuité du produit scalaire dans un espace de Hilbert)

J f(a:)g(x)dx = lim jfn'(x)g(x)dx. n~oo

En particulier, si g e e, la quantité

f U~Mx)g(x)dx ~

a pour limite

Jf(x) g(:c) dx. On trouve donc, par la loi dé réci-

procité, et en désignant par v la mesure g(:c) dx, que

limfu~,lx) d

n-roo

fJ,n(x) existe et est égale à r/(x) g(x) dx.

J•

Or, sur K, toute fonction continue peut être uniformément approchée par des u:,i( théorème III), donc (§ I, proposition 2), les f'n ont une limite ( t t) p. au sens de la topologie t; ( qu'il ne faut pas confondre avec la topologie déduite de la norme-énergie). Les. ( 11 ) Ici l'hypothèse que les p.11 sont po1iti11e1 joue un rôle essentiel, car la proposition 2 cesserait d'être exacte si on l'appliquait à des distributions non positives.

1042

-

21 -

masses de p. sont évidemment portées par K. Reste à voir que p. est aussi limite des P,n au sens de la distance Il p.- ftnll· On a en tout cas

f

u:12(x) d .,.(x)

=

!~m...!u:,2(.x) dftn(x) =Jf(x) g(x) dx,

c'est-à-dire (loi de réciprocité)

f V~

12 g(x) dx

=

J

f(:r:) g(x) dx

pour toute

g e e.

.

u:,

Ceci signifie que les mesures 2 (.x) dx et/(.x) dx sont identiques, donc que U~,2 = / presque partout. Ainsi U!12 est limite de Utj2 au sens de la norme dans af., donc p. est limite de P.n au sens de la norme-énergie. c. Q. F. n.

Remarque. - Cette démonstration prouve en même temps que, sur&&, la topologie définie par la norme-énergie est plus fine que la topologie t; : tout t;..voisinage d'une p. 0 est a fortiori voisinage · de l'-o selon la norme-énergie. V. Le balayage. - Le théorème qui vient d'être démontré joue un rôle fondamental dans le problème du« balayage » d'une distribution de masses positives, supposée d'énergie finie. Soit Kun ensemble compact fixe. L'ensemble &K des distributions positiPes, d'énergie finie, portées par K, est un sous-ensemble convexe de l'espace & de toutes les distributions d'énergie finie; autrement dit, si ftt et p. 2 appartiennent à&&, ap. 4 + bp. 2 appartient à ~ quelles que soient les constantes positives a et b telles

a+b=1. D'autre part, le théorème lV affirme que l'ensemble&.. est non seulement convexe, mais complet. Cela étant, une méthode bien connue, due à F. Riesz (Acta Szeged, t. 7, 1934), permet de démontrer qu'étant donnée une distribution positive quelconque p. d'énergie finie, il existe dans &it une p.' et une seule pour laquelle la distance Il p.-p.'II est minimum. L'opération qui fait passer de p. à p.' s'appelle ici balayage de la dlstribution p. sur l'ensemble compact K. Rappelons en quelques mots en quoi consiste la méthode de F. Riesz. On prend une suite de distribdtions fl~, e &.. telles que

1043

-

2':!-

leur distance à fJ- ait pour limite le minimum de la distance de fJ- à un élément de &K. On prouve que c'est une suite de Cauchy, grâce à la relation 11-P..~ ~ i -~11 2 = 211' p..;,-ii-11 2 +

2

llii-~-1-L1l 2 - 41[

p.'/): ii~l -

iilr·

p.~ converge donc au sens de la norme vers une fl-' e &K (puisque &K est complet). Cette fl-' réalise le minimum de la distance; l'unicité résulte encore de l'identité ci-dessus. Empruntant le langage de l'espace de Hilbert, appelons produit scalaire de deux distributions ( d'énergie finie) l'énergie mutuelle de ces distributions [ cf. relation ( 1 o) du § III]. Le minimum de la distance d'un point fJ- à un ensemble convexe &K étant atteint pour un point t,J-1 E &K, ce point est caractérisé par la propriété que le vecteur ayant ce point p.' comme origine et un point arbitraire de &K pour extrémité, a, avec le vecteur d'origine fl-' et d~extrémité t,J-, un produit scalaire négatif ou nul. Le résultat p.' du balayage de fJ- sur K est donc caractérisé par la condition

f (UIL- UIL') ( dv -

dp.') ~ o

autrell\ent dit, on doit avoir

pour toute distribution À sur K, telle que la distribution À+ p.' soit positive. Or une telle À est la différence de deux distributions positives ).+ et À- ( sur K ), telles que la seconde soit~ p.' (i 2 ). La condition ( 13) équivaut donc aux deux suivantes

~o

pour toute

Àe

61t,

j(UIL- UIL') dÀ f o

pour toute

Àe

6.K. telle tiue ,,

j(UP.- UIL') d),

~

p..'.

Dans la seconde condition, on peut, en tenant compte de la première, remplacer ~ o par == o. Ces deux conditions sont, à leur tour, équivalentes aux suivantes : ( 12 )

En effet,-À~µ.' entraine À-~1'-'·

1044

-

23-

1 ° On a UW ( x) ~ UtJ. ( x) pour tout x e K, sauf sur un ensemble dont la mesure est nulle pour toute distribution positive d'énergie finie; nous dirons que l'inégalité a lieu quasi-partout sur K; 2° On a UW(x) = UlJ.(x) sur un noyau de masses de la distribution p.'.

Nous venons de démont11er le théorème suivant :

V. - Soient donnés une distribution posltive p., d'énergie finie, et un ensemble compact K. Parmi les distributions positives p.' d'énergie finie portées par K, il en existe une et une seule qui satisfait aux conditions 1 ° et 2° ci-dessus. C'est celle qui minimise l'énergie Il p. - p.'11 2 • TeÉORÈME

Remarque. - Comme il est bien connu, p.' minimise en même temps l'intégrale

f (UW-

2

UtJ.) dp.'. Cette remarque permet

d'étendre le procédé ci-dessus à des cas où l'on part non plus d'un potentiel UtJ., mais d'une fonction positive plus générale. Appliquons maintenant le théorème IV à la recherche de la distribution dite « capacitaire » sur un ensemble compact K. Si, pour toute distribution positive d'énergie finie, K a une mesure nulle, nous dirons que l'ensemble compact K est de capacité nulle. Écartons cc cas; alors l'ensemble des distributions positives d'énergie finie, de masse totale égale à un portée par K, n'est pas vide et est convexe; d'après le théorème IV, il est complet pour la norme-énergie. Donc ( méthode de F. Riesz) il existe une distribution p. et une seule qui minimise l'énergie. c désignant le minimum ( non nul) de l'énergie, la distribution capacitaire I . est v == ë p.; on montre facilement qu'elle est caractérisée par les deux conditions : 1°

2°

Uv ( x) ~ 1 quasi-partout sur K; U1 (x) == 1 sur un noyau de masses de la distribution v ( 13 ).

( 13 ) On peut préciser cette condition 2°. En effet, U 11 (x) est une fonction semicontinue inférieurement, donc l'ensemble des x tels que U11 ( x) > r est ouflert. D'après 2°, il est de mesure nulle pour v; donc le noyau fermé ( cf. § J) de la distribution v est contenu dans l'ensemble des a; tels que uv (x) ~ 1. Comme il est aussi contenu dans K, on voit, d'après 1°, que l'on a uv (x) = r quasipartout sur le noyau fermé de v.

1045

-24-

=

La quantité (finie) ~ y se nomme la capacité de l'ensemble compact K; elle mesure la masse portée par K dans la distribution capacitaire. On voit facilement que la capacité y est égale lJ

la borne supérieure de la masse portée par K pour toute, 1't1 distrlbutions de la famille ~; ~ désigne l'ensemble des di,tri~ butions positives À telles que le potentiel U). soit ~ 1 1ur le noyau fermé de À. Cette nouvelle définition s'applique aussi au cas où K. est de capacité nulle; elle a l'avantage de mettre en évidence le fait que la capacité de la réunion de deux ensembles compacts est au plus égale à la somme de leurs capacités, puisque la famille~ est indépendante de K. On remarquera aussi que cette ·définition es~ valable indépendamment du « principe du maximum » ( voir le paragraphe suivant). Notons enfin que la distribution capacitaire est la seule distribution de la famille~ pour laquelle toute la masse est portée par K et égale à y. Cela résulte aussi du fait que la distribution capacitaire minimise l'intégrale (U"-2 )dv parmi les v posi-

J

tives portées par K (cf.DE L.i. V .ULÉE Pouss1N, Mémoire cité en ( 4)]• Nous développerons dans un autre travail des considérations plus détailtées sur la capacité des ensembles, compacts ou non, et en particulier sur les ensembles de capacité nulle, en relation avec la notion de « quasi-partout ». VI. Le principe du maximum. - Le lecteur a déjà observé que nous n'avons pas obtenu, pour le problème du balayage ou celui de la distribution capacitaire, tous les résultats valables dans le cas classique du potentiel newtonien. On sait que, dans ce cas, et plus généralement dans le cas des potentiels d'ordre oc~ 2 de M. Riesz, la distribution p.' obtenue par balayage de p. satisfait aux deux conditions suivantes, plus précises respectivement que 1° et 2°: 1

2

bis. On a UtL'(x) == UtL(x) quasi-partout sur K ; bis. On a UW(x)~UtJ.(x) en tout point x de l'espace ( 44 ).

( 14 ) p. positive d'énergie finie étant donnée, ·il ne peut exi1ter qu'une distribution positive µ.' portée par K et satisfaisant à I bis et 2 bis; car 2 bis entraine que l'énergie de p.' est finie puisque

JutJ.'dp.' ensuite

1

~fu""dp.'=JuP.'dp.~Ju~d(L;

bis entraîne les conditions

1°

et

2•

du théorème V, qui assurent l'unicité.

1046

-

2?S -

· De même, la distribution capacitaire "' a un potentiel égal à 1 quasi-partout sur K, et ~1 partout; on l'appelle alors « distribution d'équilibre ». Le fait que les résultats du balayage peuvent être précisés est intimement lié à ce que nous appellerons le « principe du maximum», principe qui est exact, par exemple, dans le cas des potentiels de Riesz d'ordre oc ~2, et qui ne l'est pas dans le cas des potentiels déduits de la loi de probabilité de Gauss ( volr début du paragraphe III).

Principe du maximum. Étant données deux distributions posltives fL• et fL 2 ( fLt étant d'énergie finie), si l'on a Oils ( x) ~ UtJ.s (a:) en tout pofot d'un noyau de masses de fL•, on a la méme inégalité en tout point de l'espace. Si ce principe est vrai, il entraîne le théorème du balayage sous sa forme précise: car 2 bis résulte de 2° et du principe du maximum, puis I bis résulte de 2 bis et de 1 °. Inversement, le théorème du balayage sous sa forme précise me semble entraîner le principe du maximum, ou en tout cas un principe d'une forme très voisine. Sans nous attarder à cette question sur laquelle nous reviendrons peut-être dans un autre travail, notons ici l'intérêt qu'il y aurait à étudier de près les circonstances dans lesquelles est valable le principe du maximum. Dans cet ordre d'idées, nous montrerons simplement que le principe du maximum est vrai chaque fois que se trouve remplie la condition suivante : fL• et fL 2 désignant deux distributions positives sur un com-

pact, la fonction V(x) = inf(Ullt, UtJ.s), égaleenchaquepointx à la plus petite des quantités Ul' (x) et UtJ.s(x), est le potentiel d'une distribution positive. 1

Cette hypothèse se trouve vérifiée, par exemple, dans le cas du potentiel newtonien; elle est liée à la représentation potentielle des fonctions surharmoniques (u). [D'ailleurs, d·'une manière générale, 111 ( ) Voir F. Rrnsz, Sur les fonctions subhàrmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel (Acta Math., 48, 1926, p. 329-343, et 54, 1930, p. 321-360).

1047

-26-

la possibilité d'une théorie des fonctions dites« surharmoniques» semble liée à la validité du principe du maximum {t 6 ) . ] Montrons que l'hypothèse ci-dessus entraîne le principe du maximum. Supposons que l'on ait U!lt(x)~Ullot(x) sur un noyau de la dîstribuiion /l-t d'énergie finie, et soit /J- la distribution dont le potentiel est inf(U!lt, lJ!L L'énergie de /J- est finie, d'après 1

JU!L(x)

d µ(x)~

f U!lt(x)

).

dµ(.x)

=

f UtJ-(x)

dµ 1 (x)~

JU!lt{x)

dfJ.1 (X:),

/J- et /J-• sont donc deux distributions positives d'énergie finie qui

vérifient UtJ.(.x) ~ U!L1(x) partout (et en particulier sur un noyau deµ); U!L1(x) = Uµ. (x) sur un noyau de fJ- 1 (par hypothèse). Ceci entraîne (§ IV, lemme) /J- = f'-t, et U(J,= Uµ. c'est-à-dire 1

,

ou encore C, Q, F, D,

Remarque. -- On pourrait appeler maximum» le principe suivant:

«

principe restreint du

Si une distribution positive /J- est telle que l'on ait U!L( x) ~ 1 sur un noyau de masses de /J-, l'inégalité a lieu partout. Lorsque ce principe est valable, la distribution capacitaire devient une distribution d'équilibre. ( H) Voir FROSTMAN, Sur les fonctions surharmoniques d'ordre fractionnaire (Arkiv for Matematik, 26, 1938).

1048

71. La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes Bulletin des Sciences Mathématiques 66, 126-132 et 136-144 (1942)

Dans un Mémoi1:e récent ( i) j'ai montré que l'essentiel * désignent les symétriques des mesures f.,. el v (cf. § 2), Ia symétricpie de j.1. ~ n'est autre que v* f.,.*. On a la formule d'associativité (pour t.i. et v invariantes par î')

*

*

*

( si l'un des niembres a un sens, !'"autre a un sens et lui est égal).

Si é désigne, comme plus haut, la mesure unitaire sud], on Yérific facilement les formules

ii*i=p.

( p.

Ë:*;IJ=V

(v inYariante par y).

quelconque),

On a une autre formule d'associativité, eu relation avec la oomposition à gauche (3')

(À est une mesure sur G, ,û. et v sont des mesures sur (,, la dernière v étant supposée invariante par y). Dans le cas où v a la forme h(i) di (h étant une densiLé sommable sur tout compact et invariante par 1 ), la rnestli'e p. v a la forme/(i) di, f étant donnée par l'intégrale

*

(5)

f(.è)

=

f

h(y-1:C) d p.(j).

Au •ujet de cette formule, il faut remarquer que:

h(_y- 1 .i) est une fonction de .v invariante à droite par y, donc peut ètre considérée comme une fonction de f e G; 2° cette fonction est sommable pour :l, sauf pour des i dont l'ensemble est de mesure d.i: nulle. La formule ( 5) définit alors une fonction f ( .i) sommable sur tout compact (pour la mesure di).

1058

1°

-USi l'on suppose, en outre: que ,û. a la forme g(i) di, on a f(x)= jh(y- 1 :C)g(.f)dJ'= fh*(y)g(xj)dy

(6)

( ce qui prourn, nn particulier, que si g E ë, f est continue). La formulé ( 6) définit un produit de « composition » entre fonctions g et h sur

d,

lorsque h est invariante par y. On en déduit

(ô')

Examinons le cas particulier où g et h sont toutes deux invariantes par y; alors/ l'est aussi. Définissons les fonctions dè deux variables i et j :

J

l

/(!c, y)= A{!c)f(y- 1 :i:), g_(x, J) = .l(:C) g(y- 1 x), h(x, = A(x) h(.y-1 x);

n

alors ( 6') donne la formule de composition (8)

f(x, z)

=

J

h(x,

y) g(y,

z)

A1t),

formule qui joue un rôle fondamental dans la théorie du potentiel.

4. Théorie générale du potentiel. - On part d'une mesure symétrique ( § 2) de la forme/ ( :ë) di. La fonct.Îoll / est supposée sommable sur tout compact et semi-continue inférieurement ( c'est une fonction essentiellement positive); on l'appelle fonction fondamentale, ou fonction de base, de la théorie. D'après la formule ( 7) il lui correspond une fonction de deux variables f(x,

y)= A(x)f(y-1 x).

Cette fonction est relatù;ement invariante par le groupe G sis E G, j(sx, sy) = A(s)f(â:, y).

En outre,/ est symétrique en i et j : on a

J(x, y) =f(y, x). Cela tient à ce que, la mesure /(i) di étant symétrique, on a

10.59

-

cf. (fin du§ 2) f(x-té)

12 -·

= tl.(x)/(xë),

d'où 6.(x)/(y-: 1x)

= A.(x)/(y-1 xé) = tl.(y)/(x-1yé) = A.(y)/(x-1y).

Dans le cas où le groupe G,est unimodul(lire, f(i,j) est non seulement symétrique, mais inrnrianle par G: par exemple, si Gest l'espace euclidien et G le groupe des déplacements, /(i,j) est fonction de la distance des points i et j. Désignons une fois pour toutes par p la mesure f(i) di. Pour définir le potentiel d'une distribution de masses Ji.;nous supposons que la mesure composée Ji. pexiste (ce qui est le cas, notamment, si {.1. a ses masses sur un ensemble compact), et nous la mettons

*

sous la forme U ( .i) A.r;:). La fonction U est, par définition, le potentiel de la distribution {;.; d'après les formules ( 5) -et ( 7 ), il est donn.é par la formule U(x)

= JJ ( x) dx, avec 9 e e ; alors À p. 1 et À p. 2 ont respectivement la forme g, ( i) dl: et g'J(x)di (cf.§ 3), donc, d'après (10) et ce qu'on vient de dire, g,. g 2 • Ainsi, on a À* ÏJ. 1 =À* {l. 2 pour toute À de la forme 9 ( x) dx; faisons converger « vaguement » ( 1 :; ) ). vers la distribution unitaire ë : alors on vérifie sans peine que Î. p. 1 et À* fÏ- 2 convergent vaguement vers tl, et lj·'.!. respectivement. D'où la conclusion finale P.t = p. 2 •

*

*

=

*

II entraine Ill. La démonstration est identique à celle donnée dans le Mémoire déjà cité (démonstration du théorème 111 de ce Mémoire).

111 ~ntratne 1. Soient p. 1 cl [j_'.!. deux distributions pos1t1 ms d'énergie finie, portées par un compact K. telles que l'énergie 1p. 1 - p. 2 11 2 soit nulle. Alors, en vertu de Finég-alitô de Schwarz 1 l'énergie mutuelle (11)

( u) Voir note (12 ) la définition de la convergence ..-agui!.

1062

-

HS-

pour toute v, différence de deux distributions positives d'énergie finie; en pnrliculier, pour to~te ÏJ de la forme g(i) di (g continue réelle, nulle en dehors d'un compact). Comme les potentiels U (:i, v) correspondants peuvent approcher uniformément, sur K, toute fonction continue, ( 1 1) entraîne que les distributfons p. 1 et p. 2 sonl identiques. c. Q, F. o. Ainsi nous avons prouvé que les théorèmes I, II, III sont équivalents; ils seront tous vrais chaque fois que l'un d'eux sera vrai, par exemple le théorème I; et même la démonstration ci-dessus prouve qu'on n'a besoin du théorème I que pour les distributions g(i) di ( où g est différence de deux fonctions de ê) : le tout s'ensuit alors. Il y a un cas important où la validité des théorèmes fondame·ntaux I, li, Ill est assur,~e : c'est celui où la mesure de base/(i) di fait. partie d'une famille à un paramètre de mesures symétt·iques Pa. de la forme /a. (i) di dépendant continûment ( u) du paramètre ::x ( o < oc~ 1); on suppose que/ correspond, par exemple, à la valeur I du paramètre oc, et que la mesure /a. (i) di converge « vaguement » vers la mesure unitaire ê quand ac tend vers zéro. On suppose enfin que l'on a pour ex + ~ ~ I.

Dans ces condilions, désignons par Ua. le potentiel relatif à la fonction de base / œ· Si une distribution est différence de deux distributions p. 1 et p. 1 de la forme g 1 (i) di et g 2 (i) di (où g 1 et g 2 E ë), et si son énergie est nulle (pour la fonction de base /t), son potentiel U112 est presque partout nul, donc son énergie est nulle pour la fonction de base / 11'!., donc son potentiel U114 est presque partout nul, etc. On voit que l'on a

pour toutes les valeurs de oc de la forme 2-n; à la limite, on a donc p. 1= p.2, Et ceci démontre le théorème fondamental I sous sa

( ift) Au sens de la convergence vague.

1063

-

f6-

forme restreinte; les t.rois théorèmes fondamentaux s'ensuivent alors, comme il a été dit plus haut. D'autre part, les mêmes hypothèses(' 7 ) entraînent un quatrième théorème, fort important :

IV. - Si, dans l'ensemble ~K des distributions positives d'énergie finie portées par un ensemble compact fl.re K, on définit la distance de deux éléments p. 4 et p. 2 par li~, -[j,2 li (racine carrée de l'énergie de [li-fi.~), l'espace métrique ainsi obtenu est complet. THÉORÈME

La démonstration est la même que dans le Mémoire cité, et les conséquences que l'on en tire sont aussi le-s mêmes. 17 ( est composée ) Il suffit, en fait, ,:le supposer que la fonction de base / d'une fonction f' par elle-même, et que les théorèmes 1,, II, III sont valables p,rnr Ja fonction de base f'.

10:64

72. Capacité extérieme et suites convergentes de potentiels Comptes Rendùs del' Académie des Sciences de Paris 214, 944-946 (1942)

>

L Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans l'espace euclidien à n 2 dimensions, et considérons le potentiel newtonien défini par la fonction f(x,y) = r2 -n(x et y désignent deux points, r leur distance). Les résultats qui suivent, et dont la démonstration sera publiée ailleurs, vaudront dam~ d'autres cas, par exemple pour /(x, y)= ,.œ-n(n~ 2, o

J Il )

n'est question ici que de potentiels dus à des masses positù,es. Comptes rendus, 207; 1938, p. 836. Brelot envisage, plus généralement, des fonctions

surharmoniques supérieures à un nombre fixe ( en fait, Brelot raisonne dans· 1e cas sousharmo.nique); mais l'étude des fonctions surharmoniques se -ramenant linalement à celle des potentiels, je me borne ici au cas des potentiels. ( ~) "' ( x) est surharmonique; on peut, dans certains cas, affirmer que P est un potentiel : par exemple si les Un sont majorés par un potentiel fixe, ou si la masse totale de la distribution donnant naissance à Un est inférieure à un nombre fixe. e·-) Il en résulte que P(x) lim inf u(y) en tout point X.

=

_r7.?'

1066

946

ACADÉMIE DES SCIENCES.

Le théorème 2 vaut non seulement pour d'es suites dénombrables, mais pour des familles quelconques (ordonnées filtrantes). Ainsi la borne inférieure d'une famille quelconque de potentiels est toujours égale à un potentiel sauf sur un ensemble polai"re. Quant à la démonstration du théorème 2, elle repose sur le LEMME. - Étant données deux distributions positù/es p. et v, d'énergie finie, l'ensemble des points où UP--- U" oc(oc >..o) a une capacité extérieure ~ex- 2 li p.-vl 2 • 4. Définissons, dans l'ensemble .J1t des distributions positi{)es, d'énergie finie, la distance de p. et v par Il p.- v 11· En relation avec l'étude des suiteJ de potentiels, je démontre le théorème fondamental ( 5 ) : THÉORÈME 3. - L'espace .J1t est complet. Ce théorème est l'analogue du théorème de Fischer-Riesz pour l'espace des fonctions de carré sommable. Il est appelé à jouer un rôle décisif en théorie du potentiel.

>

_( •). J'a~ais déj~ .~rouvé, sous dès hypothèses plus générales, qu-e le sous-espace des distnbutwns posttwes portées par un en.'iemble compact fixe est complet (Bull.Soc. Matit. de France, 69, 1941, p. 71-9G).

1067

995 ne charge pas les ensembles de capacité nulle; cette restriction est, en fait, inutile. Pour prouver le lemme i, on montre que la régularisée v de u = lim infUll-n est identique à U11; pour cela il .suffit de prouver que ç = l 11SÉANCE DU 2·9 JUIN 1942.

n~.,

'

presque partout ( au sens .de Lebesgue), ce qui est aisé. LEMME 2. Etant donné un ensemble K compact (c'est-à-dire borné fermé) de capaâté nulle, il existe une distribution dt' masses ponctuelles rationnelles posi"ti~es dont la somme des masses est arbitrairement petite, et dont le potentiel est ~ I en tout point de K ( s). En effet, soit A un ensemble ouvert borné contenant K. et dont la capacité y est arbitrairement petite. On sait ( de La Vallée Poussin) qu,il existe une distribution positive portée par la frontière A' de A, de masse totale y, et dont le potentiel est I en tout point de A. On peµt (


U"'(x) + oc est ouvert et

rn

contient A; sa capacité est au plus égale à~ hJ. ex

v'l

2

,

d'après ce

qui précède. Donc la capacité extérieure de A est au plus égale

v' t2 ; et comme I p. - v' Î peut voisin de IEA- - v Il, le lemme est démontré. à -; 1· P. Œ.

.

1095

être arbitrairement

-26-

Faisons tout de suite une application : Pnopos1TI0N o. - Pour toute distribution posÜiPe p. de potentiel Uµ. non identiquement infini, on peut retrancher de l'esp(,l,ce un ensemble ouPert de capacité arbitrairement petite; de manière que, prise sur l'ensemble fermé restant, la fonction UtJ- soit continue. Supposons d'abord p. d'énergie finie. e >-o étant donné, il existe une distribution positive /J-n d'énergie finie, de potentiel continu L UtJ-, et telle que l'ensemble (ouvert) Bn des points où UtJ-(x)- UtJ-n(x) >.!...soit de capacité 2n

L-=-.. Hors la réunion B'

-2n

des Bn, dont la capacité est au plus égale à E, la fonction UtJ-(x) est limite uniforme de la suite des fonctions continues UtJ-n(x ), et par suite UtJ-, considérée c'Omme fonction sur l'ensemble fermé complémentaire de B, est continue. Reste à examiner le cas général. Il suffit d' examinér le cas. où p. est portée par un ensemble compact. Or, d'après le lemme 4 (§ 7), il existe un entier p tel que le potentiel = inf(UtJ., p) soit égal à UtJ- en dehors d'un ensemble ouvert de capacité arbitrairemeQt petite; et comme v est d'énergie fi.nie, on peut lui appliquer le résultat déjà obtenu. Ceci a.chève de démontrer la proposition 5. Abordons maintenant l'étude des familles décroissantes de potentiels.

uv

4. - Soit une suite décroissante ( ou plus généralement un ensemble filtrant décroissant) de potentiels Uµn (P.n distributions positives de potentiels non identiquement infinis). Il existe une distribution positive p. et une seu-le dont. le potentiel est partout au plus égal à la borne inférieure V (x) des UtJ-n(x), et quasi-partout égal à V (x). Le potentiel UIL est la fonction Uµ.( x) + e est donc de capacité extérieure nulle. L'ensemble des points où V (x) > Uµ.(x) apparaît alors comme réunion dénombrable d'ensembles de capacité extérieure nulle : c'est un ensemble de capacité extérieure nulle. Et ceci (n) Cf. P.

LELONG,

Ann. Éc. Norm. sup., 58, 1941, p. 83-177;· voir p. 97.

1097

-

28-

démontre entièrement le théorème 4 d'ans le cas où l'énergie des /J-n est finie. Nous allons ramener le cas général à ce cas-là : soit ac une distribution positive fix.e d'énergie finie; posons, pour chaque entier p, inf(U(J,n, pU1 ) =UVn,p. p restant fixe, les vn,p ont pour limite forte une soit partout au plus égal el qu.asi-parlout égal à

inf(V, p UOC)

vp,

telle que {Jvp

= infn Uvn,p.

Lorsque p v·arie, les U"P forment une suite croissante de potentiels _majorés par V, donc(§ 3,, théor. 1) ont pour )imite un potentiel U(J, L:::. V. Enfin, hors d'un ensemble de ·capacité extérieure nulle, Ull est ég~l à la limite de la suite des inf( V, p Uœ), limite qui est précisément V. La démonstration du théorème4 est ainsi achevée, à cela près qu'il reste à vérifier que la distribution p. que nous venons d'obtenir est bien limite vague des /J-n, Pour l'établir, il suffit ( Cf. lemme 3, § 2) de montrer que, pour toute distribution À de la forme Ea,r, on a

J

(4)

U[J.c/À

= li!11 f

U[J.nd'À.

C'est évident si les U(J,,. forment une suite décroissante, car alors le théorème de Lebesgue sur l'intégrale de la linii te d'une suite décroissante est applicable; mais pour le cas généraLd'un ensemble filtrant décroissant de U(J,n·, le résultat n'est plus évident, et nécessite une démonstration spéciale, que vo~ci. Nous allons montrer que la relation ( 4) vaut pour toute distribution positive À telle que tout potentiel (non identiquement infini) soit sommable par rapport à À ( en particulier, l'énergie de À est finie). Désignons par U~ un potentiel fixe supérieur aux U(J,n; étant donné E > o, il existe un entier p tel que

f

[U~-inf(Ù~, pUOC)J dÀ ~ E

Ju~

(cela tient à ce que dÀ est.fini). En conservant les notations ci-dessus, inf(U(J,, plJcx) n'est autre que uvP, puisque tous deux sont quasi-partout égaux à inf(V, pUo:). Écrivons désormais p.~

1098

-

29 -

au lieu de vn,p, et p.' au lieu de vr Puisque p.' est limite forte de p.~, et que 1 est d'énergie finie, on a

f

UW d)..

= 1~m

f

UtJ.~d)..;

or donc et

]i,!11

f

UIJ.n a), Lli!°

f

U!L~d).. + E =

f

Ufl-' dÀ·+ EL

f

U!Ld)..

+

E;

comme e a pu être choisi arbitrairement petit, on a li°,!11

f

Vil-na). L

f

Ul'ir.D..

L'inégalité inverse est évidente, puisque 011-n:::::,._ OIL. C. Q• F. D.

Remarque. - Une autre démonstration de l'inégalité· (4) résulterait du fait suivant : dans l'ensemble filtrant décroissant des 011-n, on peut trouver une suite décroissante dont la limite est quasi-partout. la borne inférieure des 011-n. CoROLLAIRE nu T HtoRÈME 4. Étant donné une famille quelconque de distributions positives, la borne inférieure de leurs potentiels est quasi-partout égale au potentiel d'une distribution positive, et partout au moins égale à ce potentiel.

En effet, les bornes inférieures d'un nombre fini quelconque de potentiels de la famille forment un enseinble. filtrant décroissant de potentiels, auquel on applique le théorème 4.

9. Limite inférieure d'une suite de potentiels. -

Voici une

conséquence du théorème 4 :

o. -

Étant donnée une suite ( 26 ) quelconque de potentiels UtJ.n ( non nécessairement décroissante), il existe une THÉORÈME

( 28 ) Le fait qu'il s'agit d'une suite dénombrable eat essentiel, contrairement à ce qui avait lieu pour le théorème 4.

1099

-30-

/onction surharmonique rp(x)

q>

telle que l'on ait

= lim infUtJ.n(x)

quasi-partout,

n~ao

rp(x) L. lim infUtJ.n(x)

partout.

n~ao

En effet, lim infUILn est limite de la suite croissante des n~ao

fonctions Vp(x) == infUILn(x). D'~près le corollaire du théorème-4, n"?,p

il existe une distribution positive U"r(x)

vp

= Vp(a;_)

Ü"P ( x) L.

VP ( x)

telle que quasi-partout, partout.

Les U"P forment une suite croissante; leur borne supérieure

soit un potentiel de distribution positive, il suffit que .l'une ou l'autre des conditions suivantes soit vérifiée : 1 ° les U!Ln sont majorés par un potentiel fixe ( non identiquement infini); 2° les distributions /J-n sont de masse totale finie, uniformément bornée.

Pour 1 °, c'est évident, car alors les U"P sont majorés par un potentiel fixe. Pour .2°,. nous allons montrer que le critère de la proposition 1 (9 3) est alors rempli : on a

Mr désignant le maximum de Ue'.r, et

m une borne supérieure de

la masse totale de /J-p ( valable quel que soit p ). Ceci ayant lieu pour tout p, on a, à la limite,

f

ip

dEr~m.Mr,

et comme Mr tend vers o quand r tend vers R, le critère de la proposition 1 est bien vérifié.

1100

-31 -

Voici un complément intéressant au théorème

o:

Soit une suite de distributions positiCJes fl-n de masse totale· uniformément bornée; si cette suite conCJerge vaguement vers une distribution fJ-, on a THÉORÈME

6 ( 27 ).

-

U!L(x)

= lim inf U!Ln(x)

quasi-partout,

n~oo

U!L ( x) L lim inf U!Ln ( x)

partout.

n~oo

( Autrement dit, la fonction ·q> du théorème o n'est autre que le potentiel de la distrlbution limite fi-·) Posons V (x) = lim inf UY.n ( x); il est bien connu que n-),-oe

U!L(x) L V(x)

partout. Reste à montrer que U!L est identique à la « régularisée semi-continue inférieurement » de V ( qui est précisément la fonction q> du théorème o); pour cela, il suffit de montrer que U!L et V sont égaux presque-partout ( au sens de Lebesgue). Or soit g une fonction continue positive telle que g(x) tende vers zéro quand Ix I tend vers R. On voit facilement que

J

g(x) d1-1-(x)

= n~oo lim fg(x)

d1-1-n(x).

Appliquons ceci au cas où g est le potentiel d'une distribution ta,r; il vient

Ceci prouve que la fonction positive V - U!L a pour moyenne o sur toute sphère dont l'intérieur .appartient à l'espace de base E. Il en résulte bien qu'elle est presque-partout nulle. ( 21 ) Ce théorème a déjà été donné par Brelot [lemme III de la Note citée en ( 1.)], mais avec la restriction ( en fait inutile) que les ensembles de capacité nulle soient de mesure nulle pour p.; en outre, l'ensemble des points où

UIL(x)

< lim infUIL"(x),

dont nous démontrons qu'il est de capacité extérieure nulle, était seulement donné, par Brelot, comme un ensemble de capacité intérieure nulle.

1101

-

32 -

10. Familles de fonctions surharmoniques. - Les résultats du paragraphe précédent conduisent à des propriétés des familles de fonctions surharmoniques dans un ensemble ouvert quelconque. TutoRÈME 7. Soit -une famille quelconque de fonctions surharmoniques positives dans un ensemble ouvert A. Si

([3], [5]) (2) ; la même opération a aussi été étudiée par A. F. MONNA [1.2]. L'opération de balayage a été introduite pour la première fois par H. POINCARÉ en vue du problème de Dirichlet. Mais Poincaré procédait en une suite infinie d'étapes, sans chercher ce que devenaient à la limite les masses balayées. C'est DE LA VALLÉE Pouss1N (Annales de l'Institut H. Poincaré, 1930, p. 171-.232) qui semble avoir vu le premier que· la distribution de masses limite donnait la solution du problème de Dirichlet (à donnée continue), tout au moins lorsqu'on faisait des hypothèses restrictives sur les frontières. En fait, ces hypothèses éLaient superflues, comme l'ont monh·é FRosTMAN ([8]. [9]) et DE LA VALLÉE Pouss1N lui-même [ 15 J, avec leur théorie générale du balayage sur ensembles fermés ; la solution du problème de Dirichlet pour un ensemble ouvert s'obtient en balayant une masse ponctuelle sur le complémentaire de cet ensemble. Le« balayage )) étudié ici s'applique à des ensembles quelconques. La théo1·ie qui va être exposée englobe plusieurs théories antérieures d'aspects divers, qui s'étaient peu à peu constituées de manière plus (1) Une partie de cet exposé a fait l'objet d'une conférence à l'Université de Zürich, le 28 mai 1946. (2) Les numéros entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette introduction.

1104

222

HENlU CARTAN

ou moins autonome, et dont chacune avait ses notions et .sa terminologie : notions de point régulier ou irrégulier, de point stable ou instable (2 bis). L'ensemble était d'autant plus hétéroclite que, sur ces questions, la terminologie varie avec les auteurs; cela tient notamment au fait que certains fixent plutôt leur attention sur l'ensemble A sur lequel s'effectue le balayage, d'autres sur le complémentaire de A (3)(comme il est naturel dans l'étude du problème de Dirichlet). Il était donc impossible, dans le présent travail, d'adopter une terminologie qui fût en accord avec toutes celles utilisées auparavant. Celle qui a été choisie est cohérente; elle est, en gros, conforme à celle de DE LA VALLÉE Pouss1N l16], bien que cet auteur n'utilise pas le terme de balayage dans un sens aussi général que celui qui est adopté ici (son c< opération régularisante >> est un cas particulier de notre balayage). Les problèmes envisagés ici sont au fond les mêmes que ceux traités par M. BRELOT dans un mémoire récent [5J, dont la conception est d'ailleurs contemporaine de celle du présent travail. Mais les points de vue sont différents: au lieu d'opérer directement sur les distributions de masses, Brelot opère sur les potentiels (plus généralement, sur les fonctions surharmoniques o; ou plutôt il se place au point de vue opposé des fonctions sousharmoniques o), et il axe sa théorie sm· une propriété extrémale (3 bis) que nous donnerons ci-dessous (n° 19, corollaire des théorèmes I et I bis). Toutefois, si différents que soient les points de vue initiaux, il existe nécessairement de nombreuses interfërences entre le mémoire de Brelot et le mien, notamment aux paragraphes V et VI ci-dessous. Je saisis d'ailleurs cette occasion pour remercier M. Brelot qui m'a aimablement tenu au courant de ses recherches et de ses résultats, et

>

-
) (a< 2) que pour le potentiel newtonien. C'est seulement pour alléger l'exposé que j'ai préféré, au paragraphe I, me placer dans le cas « newtonien >) pour établir les notions de base; le ca~ des « potentiels d'ordre r1. >) nécessiterait des modifications ' dans les démonstrations de ce paragraphe. Même en se bornant au cas newtonien, il importe de ne pas perdre de vue que la « fonction fondamentale >> servant à définir le potentiel (n° 2) pourrait être remplacée parla « fonction de Green >) relative à un ensemble ouvert !.2, en même temps que {l deviendrait l"'espace dans lequel sont envisagés distributions et potentiels. Les potentiels pris par rapport à la fonction de Green jouissent, eux aussi, des propriétés de base qui permettent une théorie du « balayage » et de la «capacité>>. Si néanmoins je me suis abstenu d'en traiter explicitement, c'est parce que la notion de fonction de Green est elle-même subordonnée au balayage dans le cas du potentiel newtonien classique. Enfin, le lecteur désireux d'étendre la validité de la théorie à des ensembles ouverts O pouvant contenir le « point à l'infini » que M. BRELOT adjoint à l'espace euclidien, pourra se reporter au mémoire fondamental de cet auteur [ 4]. D'ailleurs, dans son mémoire ultérieur [5 ], consacré au problème de l'extrémisation, BnELOT se place précisément dans le cas général d'un ensemble ouvert Q pouvant contenir le point à l'infini. BIBLIOGRAPHIE ('i)

[ 11 M. BRELOT, C1·itères de régularité et de stabilité (Bull. Acad. Roy. de Belgique, 1939, p. 125-137). [2

J M.

BRELOT, Points irréguliers et transformations continues en théorie du potentiel (Journal de Math., 19, 1940, p. 319-337).

(!•) Cette bibliographie sommaire ne saurait évir)emment avoir la prétention d'être complète sur un pareil sujet. Nous nous sommes efforcé de citer, parmi les travaux relativement récents, les plus- caractéristiques; notre rôle n'est pas de faire une histoire ency-, clopé.diqne du développement de la théorie dai1s tous ses menus détails.

1107

THÉORIE GÉNÉRALE DU BALAYAGE EN POTENTIEL NEWTONIEN

225

[3] M. BRELOT, Sur les ensembles effilés (Bull. Sciences Math., 2e série, 68, I 944' P· T 2-36). [4] M. BRELOT, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Ann. E. ,V. 8., 3e série, 61, 1944, p. 301-332). [5) M. BRELOT, Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités (Journal de Math., 24, 1945, p. 1-32). [6] H. CARTAN, Sur les fondements de la théorie du potentiel (Bull. Soc. Math. France, 69, 1941, p. 71-96). [7] H. CARTAN, Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de , potentiels (Bull. Soc. Math. France, 73, 194:=,, p. 74-rn6). [8] O. FaosTMAN, Thèse (Lund, 1935). [9] O. FaosTMAN, Sur le balayage des masses (Acta Szeged, 9, 1938, p. 43-51 ). [ 10) O. FnosTMAN, Sur les fonctions surharmoniques d'ordre fractionnaire (Arkiv for Mat., Asir. och Fysik, 26 A, 1939). rII] A. F. MoNNA, Sar la capacité des ensembles (Proc. Kon. Ned. Akad. V. Wetensch., Amsterdam, 43, 19!,o, p. 81-86). [ 1 2 J A. F. MoNNA, Extension du problème de Dirichlet pour ensembles quelconques (ibid., 43, 1940, p. 497..;511). [ 13] A. F. MoNNA, Sur un principe de variation dû à Gauss, etc. (ibid., 4g, I 946, P· 54-62 ). [ 14] M. RIEsz, Intégrales de Hiemann-Liouville et potentiels (Acta Szeged, 9, 1938, p. 1-42). [15] DE LA VALLÉE PoussIN, Les nouvelles méthodes de la théorie du potentiel, etc. (Aclual. scient. et ind., Jase. 578, Hermann, q)37). [ 16] DE LA VALLÉE Pouss1N, Points irréguliers, détermination des masses par ]es potentiels (Bull. Ac. Royale de Belgique, 1938, p. 368-384 et p. 672689). [ 17] F '. V ASILEsco, Sur la notion de capacité d'un ensemble borné quelconque (Bull. Sciences Math., 2e série·, 67, 1943, p. 49-68). Enfin, pour les notions de topologie générale utilisées dans ce travail, nous renvoyons le lecteur au Traité de N. Bourbaki, dont nous adoptons la terminologie : [18J N. BounRAKI, Topologie générale, chap. , et 11 (Actualités scient. el ind., fascicule 858, 1940).

NOTIONS PHÉLIMINAIRES

1. 1.

-

Distributions de masses.

Nous nous plaçons une fois pour toutes dans l'espace eudidien à n dimensions R 11 (n entier quelconque >, 3), ou (dans le cas de deux dimensions) dans le cercle I z 1 du plan de la variable complexe z. Dans un cas comme dans l'autre, on a affaire à un 1

1108




quelles que soient les fonctions lement

f

1

et· f 2 de f

+.

'

d'où résulte faci-

11.(af) == a11.(f) pour toute constante a > o. Il est essentiel de préciser que le nombre -t- oo est exclu aussi bien des valeurs que peuvent prendre les fonctions de +, que des valeurs que peut prendre p.(f). Par contre, lorsqu'on considère l'ensemble ~1+ des fonctions sem,icontinues inférieurement o, on n'exclut pas la valeur -t- x de l'ensemble des valeurs que peuvent prendre ces fonctions. Ces fonctions ne sont autres que les limites croissantes de fonctions de f +. Pour gE~) +, on définit

e

>

f gd11.,

Jg(x)dp.(œ),

noté aussi

comme la borne supérieure ( finie ou infinie) de :1.(f) pour toutes les fonctions f de f + telles que f o quel-

THÉORIE GÉNÉRALE DU llALAYAGE E:N PO'fENTIEL NEWTONIEN

227

conque (à valeurs finies ou infinies) comme la borne inférieure de + qui sont

J9d:1. lorsque 9 parcourt l'ensemble des fonctions de ~1 > h ; on la note ou f h(x)dp.(x). On voit facile~ent que

f(h 1 +h2 )dp.~fhA,.+ jh,A1. (propriété de « convexité >>). Lorsque h est la fonction caractéristique d'un ensemble A (fonction égale à I en tout point de A, à o ailleurs), j'hdp. s'appelle la mesure extérieure de l'ensemble A. On appelle ensemble de mesure nulle ·(pour p.) tout ensemble dont la mesure extérieure est nulle. La réunion d'une famille finie ou dénombrable d'ensembles de mesure nulle est ~n ensemble de mesure nulle. Pour que l'inté-

>

grale supérieure .J'hd:1. d'une fonction h o quelconque soit nulle, il faut et il suffit que l'ensemble des points x où h(x) > o soit de mesure nulle; on dit alors que h est nulle presque partout (pour p.). On dit qu'une distribution l'· est portée par un ensemble B (ou que B est un noyau de p.) si le complémentaire de B est de mesure nulle pour :1.. Parmi les ensembles fermés F tels que p. soit portée par F, il en est un contenu dans tous les autres (c'est le complémentaire du plus grand ensemble ouvert de mesure nulle); on l'appelle le noyau fermé de la distribution I'·· Nous ne revenons pas ici sur la théorie de l'intégrale des fonctions numériques ( « sommables » pour :1.), ou de la mesure des ensembles ( >, définie de la manière suivan te : pour fH" ... , on pose

jfdp.A == jfcpAd(l.,

1110

HENRI CARTAN

rpA désignant la fonction caractéristique de l'ensemble A. L'intégrale

f fdp~A se note aussi J/dp..

Rappelons encore que la masse totale d'une distribution positive p. est la mesure de l'espace, cm, ce qui revient au mêrrie·, l'intégrale dp. de ]a constante 1 ; elle est finie ou infinie. Enfid, on dit qu'une mesure :1. est la somme de deux mesures p.' et /J· SI pour toute JEe +, ffdp.== ffdp.'+ ffd:1.''

J

If

•

ce qui entraîne la même relation pour toute f de J +.

Potentiel newtonien.

2. -

Rappelons quelques définitions et propriétés classiques (voir [ 7 ]). Dans l'espace Rn (n 3), on considère la « fonction fondamentale >)

>

q:i(œ, y) ==lœ-yl2-n du couple de points œ, y [on note œ-y le vecteur d'origine œ et d'extrémité y, et lœ-yl la longueur euclidienne de ce vecteur]. Dans le cas du cercle z 1 < 1 ( n == 2), on prend comme « fonction fondamentale >)

7(œ, y) =iogl

~-=-;'1

(lœl < I, IY! < 1)

(x désigne le nombre complexe conjugué de œ). Dans un cas comme dans l'autre, la fonction fondamentale cp(œ, y) est symétrique f9(œ, y)== ;o(y, œ)"]; pour chaque y, c'est une fonction de œ, harmonique pour œ=/=y, infinie pour œ==y, et « nulle à l'infini)> [pour chaque y, ona lim q>(œ, .r) == o

SI

n

jxl~x

lim 9(œ, y)== o

> 3,

SI

jxf-;.-1

Le potentiel d'une distribution positive V· est la fonction de- œ Ul\x) ==

Jqi(x, y)d:1.(y),

qui a une valeur bien déterminée (> o, finie ou infinie) en chaque point x. C'est ,me fonction snni-ronlinue inférieurement de œ.

1111

THÉORIE GÉNÉHALE DU BALAYAGE EN POTENTIEL NEWTONIEN

229

Rappelons la définition de l'énergie mutuelle de deux distributions positives p. et li : on a l'égalité (loi de réciprocité), car chacune de ces intégrales est égale .à l'intégrale double

f f cp(œ, y)di;.(œ)dli(y). Leur valeur commune (qui est finie ou infinie) s'appelle l'énergie mutuelle de p. et li. Nous appellerons distribution sphérique toute distribution positive répartie uniformément sur une sphère ( 6 ) ~ , c'est-à-dire telle que l'intégrale d'une fonction JEe + soit proportionnelle à la valeur moye~ne de f sur ~; le coefficient de proportionnalité, indépendant de f, est la masse totale m de la distribution sphérique .. Le potentiel d'une telle distribution est constant. à l'intérieur de ~. et, à l'extérieur, c'est le même que celui d'une masse m placée au centre C) de ~Le potentiel U:1. d'une distribution positive I'· peut être la constante + oo. Hors ce cas, c'est une fonction hannonique ( et, en particulier, finie) dans tout ensemble ouvert ne portant pas de masses de :J. (c'està-dire de mesure nulle pour :;.). Pour qu'un potentiel U:1. ne soit pas identiquement infini, il faut et ilsujfit que l'énergie mutuelle U).d/J· soit FINIE pour toute distribution sphérique À; d'ailleurs, si celte énergie mutuelle est finie pour une distribution sphérique particulière (non nulle), elle l'est pour toute distribution sphérique. PROPOSITION 1. -

f

La condition est évidemment suffisante, car si Jut1.d'À estfini pour une ). sphérique particulière (non nulle), UP- ne peut être ident.iquement infini. Reste à montrer que si UP- n'est pas identiquement infini, Uldp. est fini pour toute distribution sphérique À. Considérons une sphère ~' concentrique à la sphère · ~ qui porte À, et de rayon plus grand; soient :;.' la restriction de (J· à la boule fermée

f

(6) Nous appelons sphère de centre a et de rayon p l'ensemble des points x tels que boule fermée de centre a et de rayon p l'ensemble des points x tels que

lx - al= p; !x-a!::(p.

(7) On dit qu'une distribution p. est formée d'une masse m placée en un point a si

f Jdp. =

mf(a) pour toute

JEe+~

et par suite pour toute JEJ+.

1112

230

HENRI CARTAN

limitée par~'., et p." la restriction de p. à l'extérieur de cette boule. On a UÀdp. == UÀdp.' + UÀd/'.

.f

f

.f

La première intégrale du second membr~ est finie (puisque UÀ est une fonction continue bornée) ; la seconde est égale à JUP."d'),, c'està-dire proportionnelle à la moyenne, sur ~, de la fonction UP.'' qui est harmonique à l'intérieur de ~'; elle est donc finie. C. Q. F. D. Désotmais, nous concentrerons notre intérêt sur les distributions positives (J· dont le potentiel n'est pas identiquement infini, c'est~àdire par rapport auxqueHes les potentiels UÀ (À sphérique) sont sommables (d'intégrale finie). Nous désignerons par 'llt l'ensemble de ces distributions. On remarquera que toute distribution de masse totale finie appartient à 'ITT, d'après la proposition 1; en eflet, UÀ est une fonction bornée si À est une distribution sphérique. On désigne par ï l'ensemble des distributions positelles que l'énergie mutuelle soit flrJ,ie pour toute p.E'llt.

DÉFINITION. -

tives

À

JutJ.d'),

Les distributions sphériques appartiennent à la famiJle :i. PROPOSITION 2. Pour qu'une distribution lJ appartienne à '.l'., i faut et il suffit qu'il existe une distribution sphérique dont le poteriliel majore le potentiel U".

Montrons, d'une façon précise: soit l une distribution sphérique donnée à l'avance (non nulle); pour que llEÏ, il faut et il suffit qu'il eœiste une constante k o telle que

>

U"(x) ~ kU\x)

pour tout x.

La condition est évidemment suffisante, car elle entraîne

JU"dp. ~ kfDÀdp.

> quand p augmente indéfiniment, ou bien il ~xiste une sous-suite infinie de x 11 situés dans un sous-ensemble compact de l'espace. Dans la deuxième éventualité, U" n'est pas borné, et il existe une suite de points Jp

1113

THÉORIE GÉNÉRALE DU BALAYAGE EN POTENTIEL NEWTONIEN

231

tels· que. Uv(yP) ~ 2P; la distribution p. obtenue en plaçant une masse 1·/2P en chaque point yP est telle que Juvdp.==+ oo, et elle appartient à 'llt puisque sa masse totale est finié. Dans la· première éventualité,. plaçons une masse 1 / uv (œp) en œP ; l'ensemble de ces masses constitue une distribution p., car il n'y en a qu'un nombre fini sur chaque ensemble compact; on a dp. + oo, et p. appartient à 'llt, car JU).d:1.== ~U\œp)/U''(œp)-¾ ~1/2P

>

>

>

> >

uv.

V>

uv.

>

(9 Voir par exemple I7], proposition 1, p. 83. Je profite de cette occasion pour rectifier une incorrection dans la démonstration: lignes 4 et 5 du bas de la p. 83, il faut, au lieu de l< comme sa moyenne sur la sphère de centre O et de rayon p tend vers zéro quand p tend vers R », lire cc comme sa limite inférieure, quand \xi tend vers R, est o ». Signalons encore que la caractérisation dont il s'agit vaut encore pour les « potentiels d'ordre et» de M. Rrnsz (on trouvera en [14], p. 37, des indications sur la possibilité de cette extension).

1115

THÉORIE GÉNÉRALE DU BALAYAGE EN POTENTIEL NEWTONIEN

5. -

233

Énergie.

On a défini (n° .2) l'énergie mutuelle de deux distributions positives p. et li. Lorsque li== 11., on obtient l'énergie d'une distribution

Nous désignerons par 8 l'ensemble des distributions positives dont l'énergie est finie. On remarquera que la famille 1 (n° .2) est contenue + oo pour toute p.E'llt, et en pardans 8; car si llEÏ, on a Juv dp.


, o. _ Nous désignerons par 8 f ensemble des différences 11. - li ( où p.Et~ 11E&), où l'on identifie p. - 11 et p.' - 11' si p.+,/== 11-t- :1.'. L'ensemble 0 est pourvu d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres réels, d'une manière évidente; en outre, on peut y définir un produit scalaire (oc, 0!1) de la manière suivante: si o:==p.-11, oc'==p.' -./, on.pose ( oc,

f

,l) == (UP- - UV)(d:1.' - dll')

==JUILd:1.'+ Juvd./-.fUt\t,/- Juvd:1.'. (~,~')est une jo'!:_ction bilinéaire de 7.· et oc', symétrique [( o:, 7.1) == (oc', 7..)], et, pour tout ocES, (a:, o:) est> o. Nous définissons la norme :17..1 d'un élément~ de S, par

(9) Voir une démonstration de cette inégalité dans [14], p. 5.

1116

HENRI CA-RTAN

On a l'inégalité dite « de Schwarz >> :

(5, 1)

1(0!, oc')l o. De (5, 1) résulte facilement

(5, 2)

[[oc+ oc'![¾ [[x ll+llr/.'[\. Montrons que la norme llocll ne peut être nulle que si cx==o. (C'est

le théorème classique, suivant lequel l'énergie de p. - v ne peut être nulle que si l'· et 11 sont identiques.) En effet, soient deux distributions 11,ES et,.,ES telles que'[ p. -111! == o; l'inégalité (5, 1) prouve que

(p. -11, À)==o pour toute distribution ÀEo, c'est-à-dire

f ü>..dp.== Ju)..d11. Cet.te égalité ayant lieu notamment chaque fois que). est une « distribution sphérique>>, il.s'ensuit (cf. n> (DE LA VALLÉE Pouss1N). Si on identifie un point de l'espace Rn (n 2) à la distribution formée d'une masse -t- 1 en ce point, l'espace Rn est identifié à une partie del' ensemble des distributions positives; la convergence vague induit donc, sur Rn, un mode de convergence, qui d'ailleurs n'est autre que la convergence au sens dela topologie habituelle de Rn.

J

>-

Remarque. - Si F est un sous-ensemble fermé de Rn, toute distribution :1.0 qui est limite vague de distributions portées par F, est

1118

HENRI CARTAN

elle-même portée par F ; autrement dit, l'ensemble des distributions portées par F constitue un sous-ensemble fermé (pour la topologie vague) de l'ensemble de toutes les distributions. Nous dirons: -Vaguement fermé. Pour que p. converge vaguement vers p. 0 , il su(!it que l'on ait

(6, 1) pour chaque « distribution sphérique >> ), (voir lemme 3 du mémoire [7]). Cela tient au fait que l'ensemble ill (défini au n° 3) est total dans e+. Deuxième mode de convergence : convergence fine des distributions de la famille 'lfl. Ici, il s'agit seulement de distributions positives p. dont le potentiel n'est pas identiquement infini ( cf. ci-dessus, n° 2 ). Alors l'intégrale {'UÀd11. est finie pour toute ÀE:Î. Par définition, 11,0E'llt est limite fine

de

11·

variable (tJ.E'llt) si on a

. J~u dtJ, j .u,).dv,o == hm À

(6, 2)

pour chaque ÀE~.

I"

En particulier, cette relation a lieu pour chaque distribution sphé1-ique ),, et la condition (6, 1) est donc remplie. Ainsi: la convergence fine entraîne la convergence vague (ou, comme on dit, elle est « plus fine>> que la convergence vague, d'où précisément son nom). A titre d'exemple, supposons qu'un potentiel U1J. (p.E'llt) soit limite d'une suite croissante de potentiels UtJ.p; dans ces conditions, tJ· est limite fine de la suite (tJ.p), et, à fortiori, limite vague de la suite (l'•p)· En effet, on a évidemment

J~UtJ.d). == lim JUP·Pd).

pour ).E~,

J,..UÀd!J. == lim {UÀd:1-v

pour lE~.

p.,-.oo

cc qui s'écrit aussi

•

~ex,•

Si nous identifions, comme plus haut, chaque point de l'espace

Hn à la distribution formée d'une masse -t- 1 en ce point, l'espace Rn est identifié à une partie de 9lt, et se trouve ainsi muni d'une topologie fine. En explicitant la définition, on voit que la topologie fine de lP est 1a moins fine des topologies rendant continues (1 3) toutes (1 3) Voir N. llou1:niAK1 ([18], chap. 1).

1119

'l'HÉORIE GÉNJ

(a) (h)

J(UP·K -

u:i.)âA

J(utJ.

>o

1 '-

pour toute distribution ÀE&K;

UP)drK == o.

(a) entraîne: l'ensemble des points œEK où U:\œ) > UP·1·(œ) est de mesure nulle pour· toute distribution Y de 0K; car si '11t:&K, soit À la

1126

HENRI CARTAN

restriction de li à cet ensemble; on a ÀE&K, et (a) prouve que l'ensemble envisagé est de mesure nulle pour À, donc pour li. Nous dirons ( définition provisoire, qui sera reprise au n° 16) qu'une propriété des points de l'espace euclidien a lieu à peu près partont sur K (en abrégé: à p. p. p. sur K) si l'ensemble des points de K où elle n'a pas lieu est de mesure nulle pour toute distribution d'énergie finie. On vient de prouver que l'on a U'"(x) ~ UP-K(x) à peu près partout sur K. Mais (b) prouve alors que l'on a UP-K(x) == UP.(x) sur un noyau de P·K, et par suite (cf. fin du n° 5) UP-1-(œ) UP.(x) en tout point sans exception. Résumons: On a UP.•{x) ~ UP.(x) partout, et UP-K(x)== U\œ) à peu près partout sur K. Ces conditions sont caractéristiques pour !J·K (parmi les distributions de &K), car elles entraînent (a) et (b); d'une façon plus précise, elles entraînent pour toute 1E8K,


> de iJ. sur &~, et on dira que !J·~ est obtenue par balayage intérieur de !J· relativement à l'ensemble A. Cette distribution 1.1·~ n'est pas nécessairement portée par A; on peut seulement affirmer que toute distribution de &~ est portée par l'adhérence A de A, mais cette propriété ne suffit pas à caractériser les distributions de la famille &~. La signification de cette famille s'éclaircira plus tard avec la notion de « point intérieurement régulier >>, qu'elle contient en germe ( voir n° 23). 2) Balayage extérieur : on prend pour 5i l'ensemble, que nous noterons_ t~, intersection des ensembles &~ relatifs aux ensembles ouverts B contenant A. C'est bien un sous-ensemble fermé convexe de &. Pour chaque [J.E&, on notera 1,1{ la « projection >> de tJ. sur 8i, et on dira que µ.~ est obtenue par balayage extérieur de 1,1. relativement à l'ensemble A. La distribution !J.~, comme toutes celles de g~, est portée par A, car elle est portée par l'adhérence B de n'importe quel ouvert B contenant A. La signification de la famille &i s'éclaircira avec la notion de« point extérieurement régulier>>. ' Il est clair que les distributions p. de 0~ (resp. de 81) sont précisément celles telles que 1,1. == 1,1.~ (resp. !J· == 1,1.~). D'autre part, si AcB, on a &~c&~ et &~c&~. On en déduit aussitôt&~ c &~ pour tout ensemble A. Lorsque les familles &~ et&~ sont identiques, on les note &A simplement; on a alors 1,1.~ ==µ.~pour toute µ., et on note !J·A l'unique distribution balayée. Ceci est le cas, notamment,J lorsque A est ouvert, d'après les définitions; c'est aussi le cas lorsque A est fermé, car alors &~ n'est autre que l'ensemble (fermé) des distributions portées par A.:_et d'autre part, on a vu· que toute distribution de &1 est portée par A, donc ici par A, d'où C.Q.F.D.

1 2. -

Propriétés des distributions balayées.

Appliquons les propositions 3 et 3 bis. ( n° 8) aux familles &~ et &~ respectivement. Tout d'abord, puisque &~ est l'adhérence de la réunion des &K relatifs aux compacts K contenus dans A, la proposition 3 bis montre que IJ,i est limite forte des distributions 11-K relatives

1128

HENRI CARTAN

aux compacts K contenus dans A. Cela signifie, d'une façon précise : pour tout o existe un compact H c A. tel que, pour tout compact K tel que HcKcA, on ait 111'·~-l'·K\l>

J

==

on a même, à vrai dire, l'égalité. On voit que ci(A) ¾ ce(A), et que si l'égalité est atteinte, les deux distributions capacitaires y~ et y~ sont identiques. Dans ce cas, on note IA l'unique distribution capacitaire, et on note c(A) la valeur commune de ci(A) et c\A), qui prend le nom de capacité (tout court) de l'ensemble A. Lorsque &~ &1, on est sûr que y~ yi, et par suite ci( A) c\ A) ; c'est notamment le cas si A est ouvert ( 21 ) ou fermé (2 2 ). D'~près la fin du n° g et les résultats du n° 12, on voit que: ci(A) est égale à la borne supérieure des capacités c(K) des compacts K contenus dans A; c\A) est égale à la borne inférieure des capacités c(B) des ouverts B contenant A; si un compact K est l'intersection d'une famille filtrante décroissante de compacts KP' c(K) est égale à la borne inférieure des c(KP); si un ouvert B est la réunion d'une famille filtrante croissante d'ouverts BP et satisfait à la condition Cpe, c(B) est égale à la borne supérieure des c(Bp). La capacité intérieure cï(A) n'a encore été définie que pour les ensembles A satisfaisant à la condition Cl; elle est donc toujours finie, puisque ci(A)==l/r~/12. Mais nous pouvons maintenant donner, de c\A), une nouvelle définition qui soit valable pour tout ensemble A : la capacité intérieure c\A) sera, par définition, la borne supérieure des capacités des ensembles compacts contenus dans A (2 3) . Cette

==

==

==

( 21 ) La distribution capacitaire d'un ensemble ouvert a été considérée en premier lieu par DE LA. VALLÉE Pouss1N, au moins dans le cas d'un ensemble ouvert borné ([16],

p. 685). ( 22) Cas classique envisagé depuis longtemps ; on a étudié initialement le cas des ensembles fermés bornés à frontière suffisamment régulière. (2 3) C'est au fond la définition de DE LA. VALLÉE PoussIN, et c'est celle donnée explicitement par MONNA. [u] et BRELOT [2], qui définissent aussi la capacité extérieure, comme on va le faire à la fin de ce n° 14.

1132

HENRI CARTAN

définition est justifiée, puisque, pour un A qui satisfait à C/, elle est en accord avec la définition antérieure. Mais nous allons montrer: Pour qu'un ensemble A satisfasse à /,a condition Ci, il faut et il suffit que sa capacité intérieure ci(A) ·soit finie. En effet, on vient de voir que la condition est nécessaire. Réciproquement, supposons c\A) fini, et considérons la famille filtrante croissante des compacts contenus dans A ; si K et H sont deux compacts tels que H c K, on a, d'après (9, 6),

llrK-YttW' o, il existe un compact H c A tel que c(H)

> ci(A)- a;

donc pour tout compact K tel que H cK c A, on a 2

IIYK -rttll o, et comme UP-(œ) ¾ 1 partout, on voit que UP-(x) est égal à I sauf aux points d'un ensemble qui est de mesure nulle pour toute ),œ:v L'existence d'une telle [J. exprime précisément que A satisfait à la condition Ci; il en résulte d'ailleurs que cette tJ. n'est autre que la distribution capacitaire intérieure î'~. De la même manière, on peut définir, pour tout ensemble A, la capacité extérieure c\A) comme la borne inférieure des capacité.~ des ensembles ouverts contenant A (2 3 bis). Cette définition est en accord avec celle antérieurement donnée dans le cas où A satisfait à Cpe. Et ( 23 bis) Définition donnée tont , o, il existe une fonction W surharmonique seule qui satisfasse à

>-

(18, 3)

pour toute ÀE0.

En effet W, si elle existe, est unique, car .fWdÀ a une valeur déterminée pour toute À sphérique; et l'on sait que, en un point a, W(a) est limite des moyennes de W sur des sphères de centre a dont les rayons tendent vers zéro. Reste à prouver l'existence d'une W satisfaisant à (18, 3). Or V est limite d'une suite croissante· de potentiels UP.P, avec p.PE& (2 7) ; la suite des potentiels des (p.p)~ est croissante (n° 13), donc sa limite W est surharmonique; et W satisfait à ( 18,, 3), qui résulte de jU(P.p)~dÀ ==

juP·Pa).i

par un passage à la limite. L'unique fonction W surharmonique >, o qui satisfait à ( 18, 3) se notera V~. D'après ce qui précède, V~(x) V(x) partout. Lorsque V est un potentiel UP-(µE'llt), V~ est le potentiel de la distribution balayée µ.~. Tout ce qui précède peut se transposer au cas du balayage extérieur. On aura ainsi les relations caractéristiques




V~¾W~

et

Vi

THÉORÈME 1. On a V~< V partout, el V~(x) == V( x) à p. p. p. sur A. Toute fonction W surharmonique o qui satisfait à

>

W(x) > V(x)

à p. p. p. sur A

> V~(x)

partout.

satisfait à W(x)

1141

THÉORIE GÉNERALE DU BALAYAGE EN POTENTIEt NEWTONIEN

259

V peut être considérée comme limite d'une suite croissante de potentiels UP.P (tJ·/&) ; alors V~ est limite de la suite croissante des (UP.P)~. Une fois le théorème I démontré pour les potentiels UP-P 1 il s'ensuivra pour V, d'une manière évidente (28 ). Démontrons donc le théorème I lorsque V est le· potentiel UP. d'une !J,E&. La première partie du théorème résulte de la proposi~ tion 8. De plus, si W surharmonique >, o satisfait à U:"'"(x) '¾ W(x) à p. p. p. sur A, on a, pour tout compact K contenu dans.A, UP.K(x), o qui satisfait à

W(x)>, V(x)

quasi partout sur A,

W(x) >, Vi(x)

partout.

satisfait à

Ici encore, il suffira de faire la démonstration lorsque V est le potentiel UP. d'une 11,E&. On pourra même se borner au cas où U:J. est une fonction continue, puisque tout potentiel est limite d'une suite croissante de potentiels continus. La première partie du théorème résulte de la proposition 8 bis (2 8 bis). Soit alors B l'ensemble des points x de A où UP.(x) < W(x); puisque A- B est, par hypothèse, de capacité extérieure nulle, on a :J.i == p.~ (n° 16, prop. 7). Nous voulons montrer que l'on a U 11 ~(x) o; désignons (28) Le seul point un peu délicat consi~te à montrer que V~= V à p. p. p. sur A. Or, l'ensemble des points de l'espace où VÀ(x) < V(x) est contenu dans la réunion B des ensembles (boréliens) Bp où le potentiel de (p.p)i est< Ut~p. D'après (15,6), on a

c;(A (\ B) ,
,. o, et soit B l'ensemble des x tels que V(x) W(x). Supposons que l'ensemble A - (A(\ B) soit de capacité intérieure nulle et montrons qu'il est de capacité extérieure nulle. Or, c'est la réunion des Ap - (Ap (\ B), dont chacun est de capacité intérieure nulle, donc de capacité extérieure nulle, puisque pour Ap les .deux balayages coïncident.

>

1146

lIENRI CARTAN

pour toute distribution sphérique À ( cf. n° 3). Il suffit même d'exprimer cette condition pour une famille dénombrable convenable de\ (par exemple les distributions sphériques dont le centre a des coordonnées rationnelles et le rayon est rationnel), car alors on aura

f f dµ. == f f dµ.~ pour des Jee

+

formant un ensemble total (cf.

n° 3). Il suffit donc d'écrire (21, I)

pour des ÀP convenables (p == 1, 2, ... ). Choisissons des constantes numériques aP > o telles que ~aP~P appartienne à ï, ce qui est possible d'après la proposition 2 (n° 2). Soit oc la distribution obtenue; la relation

jVl1-dx == jul1-i.doc




,>

>

inf (UP., U")

> inf (

U")

1,

a lieu à p. p. p. sur A, donc (prop. 9, n° 23) en tout point de Aï. Comme cette inégalité n'a pas lieu au point a, a est intérieurement irrégulier. Remarque. - La proposition 12 montre le caractère local de l'irrégularité (intérieure ou extérieure) d'un point a pour un ensemble A: pour que a soit irrégulier intérieurement (resp. extérieurement) pour A, il faut et il suffit que a le soit pour A f"I B, B désignant un voisinage. particulier, d'ailleurs quelconque, de a. i~

Dans le cas d'un point eœlérieurement(régulier, on peut renforcer le résultat précédent: pour que a soit extérieurement(régulier, il faut qu'il existe une boule B de centre a, un potentiel U" fini au point a, et un nombre p > o tels que l'on ait U\œ) U"(a) + p en tout point de A f"I B, sauf éventuellement au point a. (On_ peut astreindre 11 à être dans ~-) Bien entendu, cette condîtion est suffisante, d'après la proposition 12. Pour voir qu'elle est nécessaire, considérons une 11. telle que UP-(x) UP-(a) + p quasi partout sur A f"I B; on obtiendra la 11 cherchée en ajoutant à p. une distribution À (qu'on peut choisir dans~) telle que l'on ait U\JJ) UP-(a) sur l'ensemble C des points de A f"I B où UP-(œ) < UP-(a) + p, sauf au point a où l'on astreint UÀ à être arbitrairement petit. C'est parce que C est de capacité eœté-

>

>

>

1155

THÉORIE GÉNÉRALE DU BALAYAGE EN POTENTIEL NEWTONIEN

.273

rieure nulle, qu'on peut facîlement construire un tel potentiel LJÀ (3 2). Le résultat qu'on vient d'obtenir, et le critère d'effilement du n° 26, prouvent: · Pour qu,un point a soit extérieurement irrégulier pour A, il faut et il suffit que A soit effilé au point a. Par conséquent : il faut et il suffit que a soit un point finement isolé de Av fa J . Ou encore : Pour qu'un point a soit extérieurement régulier pour A, il faut et il suffit que tout ·voisinage fin de .a rencontre A en au moins un point dij]ërent de a. Ceci signifie que l'ensemble Ae des points extérieurement réguliers est l'ensemble des « points d'accumulation fine >J de A (c'est-à-dire des points d'accumulation pour la topologie fine); ou encore, que Ar est l'adhérence fine de l'ensemble obtenu en retranchant de A les points finement isolés de A. Tiorsque A est fermé ( au sens habituel), A est finement fetmé ; Ae == Aï se compose alors des points de A qui ne sont pas finemént isolés.

28. -

Critère de Wiener (3 2 bis).

Nous renvoyons à M. BRELOT ([5], n° 23) pour une démonstration du « critère de Wiener >>, donnant une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble A soit effilé en un point a: Ir désignant un nombre > 1 ( d'ailleurs quelconque), soit SP l'ensemble des points où le potentiel de sa est > kP et ¾ kP + 1 ; pour que A soit effilé au point a, il faut et il suffit que

}:kpce(A (\ SP)

, 3, la « fonction fondamentale » étant \x - y 12 -n { 3 ~). Un point O étant pris une fois pour toutes comme origine, désignons par x- 1 le transformé du point x dans l'inversion de pôle O et de puissance 1. La transformation de LORD KELVIN fait, à toute fonction f(x), correspondre la fonction

f*(x) == !x\2-".f(x-1).

==

Cette transformation est récip,.oque : on a f** J. Elle conserve la g(x) partout, on a f*(x) g*(x) parrelation d'ordre: si J(x) tout. Elle transforme les fonctions surharmoniques >, o en fonctions surharmoniques >, o. Comme l'inversion transforme tout ensemble de capacité intérieure (res p. extérieure) n u1le en un ensemble de même espèce, la transformation de lord Kelvin transforme l'extrémale intérieure (resp. extérieure) de V pour A en l'extrémale intérieure (resp. intérieure) de V* pour l'ensemble A', transformé de A par l'inversion (V désigne une fonction surharmonique>, o).


. On peut donc considérer la transformation de Fourier comme définir, entre parties de L2 et C.i. On va voir qu'en fait cette transformation est prolongeable en un isomorphisme de J_..2 sur [ 2 • Soit une /E ·v 1 ; montrons que la norme 11/11 2 de f dans L 2 est égale à la norme ///il2 de Î dans î>. Plus généralement, si f eV n L2, sa transformée appartùmt à 1) et donc à "J 2 • En effet, la fonction g=f*j est dans ~t, donc sa 2 transformée.~ = est dans -0•; par suite, ./ est de carré sommable pour dx.

IÎl

C') Voir li],§ 2; et [3], IntroducLion, § 4.

1217

9/i

H. CARTAN ET R. GODEMENT.

De plus, la formule d'inversion de fourier appliquée à gdonne g(e), .c'est-à-dire en explicitant

f l/(.v)l dx=Jl.l(x)i dx. 2

f.~(x)dx,

c. (µ 1) et d'une fonction de ©(µ 2); 3° si f E'1>(µ) et si J. EE, l'énergie mutuelle (µ, l) est égale à l'intégrale

f fdl;

4° si une suite de mesures µn EE converge fortement 8) vers une µ EE> et si fn Ew(µn), il existe une suite partiel-le telle que les fonctions /nk convergent q. p. vers une fonction /E f à p.p.p. sur F, Uµ = f presque partout pour µ;

cette mesure µ est, parmi les mesures vEEF, celle qui rend minimum l'intégrale: I,(v) = (U' -2/)dv. 10)

J

Si f = U\ avec .i EE, l'opération qui fait passer de .i à µ est appelée dans [5] le "balayage imprécis de .i sur F". Si .i admet une balayée l' sur F (au sens donné au § 1), on a µ=l'. Si F est compact, la constante 1 satisfait aux hypothèses du lemme 3. La mesure µ correspondante coïncide avec la distribution d'équilibre dans le cas où celle-ci existe.

3. Classes de fonctions associées au noyau. Dans ce paragraphe et le suivant, on ne considère que des fonctions f positives jouissant de la propriété suivante: la restriction de f à tout compact est sommable pour toute mesure d'énergie finie. Un potentiel d'énergie finie, une fonction continue positive, vérifient cette condition. Parmi ces fonctions, on va considérer trois classes de plus en plus restreintes, qui toutes contiennent trivialement la constante O. F o n c t i o n s d e I a c 1a s se a. Une fonction f est dans la classe a si, pour tout compact C, il existe une mesure µ EEc telle que Uµ = f à p. p. p. sur C. Les fonctions de la classe a jouissent des propriétés suivantes: (i) La mesureµ associée à une te11e·tonction f et à un compact quelconque C satisfait à uu ~! à p. p. p. dans l'espace. En effet cette mesure satisfait aux conditions du lemme 3 et par conséquent est unique; soit alors c un compact en tout point duquel on ait Uµ> f, et v la mesure (unique) de EF telle que Uv=f à p. p. p. sur l'ensemble fermé F= CUc; puisque µEEF, on a µ = v (lemme 3), ce qui exige que c soit de capacité nulle. (i i) La somme de deux fonctions de la classe a est dans la classe a. 10) Sous différentes formes ce lemme est d'un usage courant en théorie du potentiel (cf. notamment [5], p. 66, et [1], § V). L'existence et l'unicité de la mesure minimisant "l'intégrale de GAuss" I,(v) résultent facilement de ce que l'espace EF est convexe et complet (application d'un théorème bien connu de F. R1Esz).

12:36

.86

Henri Cartan et Jacques Deny

Fonctions de la c I asse /'l. Une fonction f est dans la classe {J si a) sur tout compact, f est majorée par un potentiel d'énergie finie 11), b) pour toute µEE à support compaèt Fµ, la relation Uµ-.:::;f à p. p.p. sur Fµ entraîne Uµ ~f à p. p. p. dans l'espace. ,Observons qu'on obtient encore la classe fi en substituant à b) la condition en apparence plus forte : b') Pour toute µ EE la relation U1t ~ f presque partout pour µ, entraine

Uµ~f à p.p.p. dans tout l'espace. Il suffit évidemment de montrer que toute fonction f de la classe {J satisfait à b'): soit en effet µ une mesure de E (à support quelconque), avec Uu ~! presque partout pour µ. Il existe une suite croissante de compacts En contenus dans l'ensemble des points où U1" ~ / , et tels que µ soit limite des restrictions µn de µ aux ensembles En. D'après le lemme 4, on a Uµ= lim Uµ,. q. p. Or on a uun~J à p. p. p. dans l'espace (d'après b)), donc, à la ·limitet Uµ ~f à p. p. p. Par suite f satisfait à b'). Les fonctions de la classe fi jouissent des propriétés suivantes: (i) La borne inférieure de deux fonctions de la classe fi est dans la classe fi. (ii) Si une fonction de la classe fi est majorée par un potentiel d'énergie finie, elle est à p. p. p. égale à un potentiel d'énergie finie. (i i j) La restriction d'une fonction de la classe {J à un compact C est égale à p. p. p. sur C au potentiel d'une mesure de Ec. (i) est évident; quant aux propriétés (ii) et (iii), elles s'obtiennent très simplement à l'aide du lemme 3 et de la propriété b'), en prenant pour l'ensemble F qui figure dans }'·énoncé du lemme 3 soit l'espace Rm tout entier,. soit le compact C. La prop.riété (iii) exprime que la classe fJ est contenue dans

la classe a. Fonctions de I a c I asse y. Une fonction f est dans la classe r si elle vérifie la condition a) et s;, pour toute mesure µ, EE, la fonction inf ( U1", f) est à p. p. p. égale à un potentiel d'énergie finie. Les fonctions de la classe r jouissent des propriétés évidentes : {i) La borne inférieure de deux fonctions de la classe r est dans la classe y. {i i) Si une fonction de la classe r est majorée par un potentiel d'éner-gie finie, elle est à p. p. p. égale à un potentiel d'énergie finie. La classe r est contenue dans la classe fi (et a fortiori dans la classe a):: il suffit de montrer que toute fonction f de la classe r satisfait à b'; or soit!" une mesure de E telle que U'"~f presque partout pour µ; posons. 11 )

si on a

Si / et g sont deux fonctions définies à p. p. p., on dit que / est majo.rée par K

J:.;,_g à p. p. p.

1237

Le principe du maximum en théorie du potentiel.

87

inf(U"', f)= U" à p. p. p.; comme U"' est majorée par U"' et U"' ~ Uu presque

f

partout pourµ,, on a: llµ-vjl 2 = (U"'-U"')dµ,µ, = v, ce qui entraîne U"' ;;;,f à p. p. p.

f (U"'--U"')dvK(O)); la condition (c) est aussi satisfaite. 3°) Si K = K(r) est une fonction continue de la seule distance !xi= r, strictement positive, décroissante pour r>O, avec K(r)-+O pour r-++oo, la condition {b) est satisfaite.

+

Not a t ion. Si F désigne un ensemble quelconque, on notera Fx l'ensemble déduit de F par la translation x; de même µ,x sera la mesure déduite de la mesure µ, par cette translation. Le m m ,e 4. Dans un voisinage de O la valeur moyenne Ks(x) de K sur le compact e; est majorée par AK(x), où A est une constante indépendante de s (suffisamment grand). 16)

Esquissons brièvement la démonstration: on observe d'abord que, pour

s assez grand, Ks(0)~2hs/(l--2h-m); pour cela désignons par lk. l'ensemble des points x définis par K(2kx)>s, K(2k+ 1x)t, d'après

f

la convexité et la symétrie des es); on a K(y)dy /mes(e:) ~ t ~ 2h K(x) {dans li''

tous les cas);

f K(y)dy/mes(e:)=0 pour s>t, sinon cette quantité est, d'après F

la première partie de la démonstration, ~ 2ht /{1-2h-m); on a donc bien Ka(x)~AK(x), en prenant A=2\t +2h/(1-2h-m)). Suivant l'usage classique, nous appellerons potentiel engendré par une

f

mesure (positive) quelconque µ, la fonction K(x-y)dµ,(y), qui est définie pour tout x (à valeurs finies ou infinies) et semi-continue inférieurement (s. c. i.). Désignons-la provisoirement par (x). Il faut vérifier que cette définition du potentiel est en accord avec celle donnée dans la première partie (§ 2},

v.u

16) Ce lemme a été établi par O. d'ordre a.

FROSTMAN

1241

([5], p. 27) dans le cas des potentiels.

Le principe du maximum en théorie du potentiel.

gr,

autrement dit que la fonction Vµ est dans la classe w(µ), lorsque µ est une mesure d'énergie finie. Le théorème 2 ci-dessous -montrera qu'il en est bien ainsi. Avant de le démontrer, il nous faut étudier la fonction Vµ dans le cas où Ja mesure µ est à support compact; si K(O) < + oo, Vµ est alors continue, et par suite appartient à Ja classe w(µ). On peut donc se borner au cas où. K(O) = + oo; dans ce cas: Le m m e 5. Soit µ une mesure à support compact; en tout point x la valeur moyenne Vf(x) de Vµ sure; converge vers Vµ(x) lorsque s tend vers+oo. Ce lemme est évident si Vµ (x) = + oo (grâce à la s. c. i.); sinon il existe· un voisinage de x tel que, si µ' est la restriction de µ à ce voisinage, v.u· (x) soit arbitrairement petit. Il suffit alors d'appliquer le lemme 4, qui entraîne V{(x)~A V't'(x) pour s assez grand, et de tenir compte de la contifluité de v.u-.u' au voisinage de x. Remarque. Le lemme 5 exprime que Vµ est partout limite de ses régularisées par les fonctions 't/Jn/mes (en), où 1/Jn est la fonction caractéristique de e". Vµ est également limite de ses régularisées par une suite de fonctions continues cp,,.~ 0, ne dépendant que de K(x), s'annulant, pour n assez grand, en dehors de voisinages de plus en plus petits de l'origine, et telles enfin

J

que cp,,.(x)dx = 1. On peut alors énoncer d'une façon précise: Théorème 2. Pour qu'une mesure µ soit d'énergie finie, il faut et il suffit que l'intégrale

Jf K(x-y) dµ(x)dµ(y)

(1)

soit finie, et alors sa valeur est égale à l'énergie l!µ!i 2 • Dans ce cas la fonction Vµ(x)= K(x-y)dµ(y) est dans la classe 2, 0 < a< 2). on obtient les mesures d'une famille ~ en effectuant la transformation de KELVIN sur les distributions d'équilibre des boules de centre O (cf. [10]). En utilisant cette famille ij pour caractériser les fonctions surharmoniques relatives à un tel noyau, on retrouve une des deux définitions des fonctions "surharmoniques d'ordre a" données par M. RIESZ; elle généralise la définition de F. RIESZ.

x-+

1250

100

Henri Cartan et Jacques Deny: Le principe ctu max'imum en théorie du potentiel.

Signalons rapidement un autre exemple de noyau polir lequel une fa~ est en évidence a priori: il s'agit de la solution élémentaire, bien connue, de l'équation AU - a2 U = 0 (a constante > 0). Par exemple, pour trois dimensions, on obtient le noyau e-ar;r, qui est évidemment régulier; sa transformée de Fourier (a 2 4n 2 r 2f 1 (à un facteur constant positif près) est bien une fonction positive à croissance lente, ainsi que son inverse, de sorte que la fonction e-ar;r est bien le noyau d'une théorie du potentiel. Pour ce noyau, associons à la sphère de centre O et de rayon r la distribution de la masse totale ar/sh ar, répartie uniformément sur la sphère: lorsque r varie on obtient une famille i dont' l'existence prouve que le noyau e-ar/r satisfait au principe complet. Dans un travail ultérieur, nous étudierons plus en détail ce noyau et les fonctions surharmoniques correspondantes.

mille

+

Références bibliographiques~ (1] H. CARTAN, Sur les fondements de la théorie du potentiel, Bulletin de la Société Math. de France, 69 (1941), p. 71-96. (2] H CAR'l'AN, Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels, ibidem, 73 (1945), p. 74-106. [3] H. CARTAN, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien, Annales Université de Grenoble, 22 (1946), p. 221-280. (4] J. DENY, Les potentiels d'énergie finie, Acta Math., 82 (1930), p. 107-183. (4 bis] O. C. EVANS, On potentials of positive mass, Transactions American Math. Society,

37 (1935), p. n6-253. [5] O. FROSTMAN, Potentiels d'équilibre et capacité des ~nsembles, Thèse (Lund, 1935). [6] O. FROSTMAN, Sur le balayage des masses, ces Acta, 9 (1938), p. 43-51. [7] O. FROSTMAN, Sur les fonctions surharmoniques d'ordre fractionnaire, Arkiv fôr Math., Astronomi och Fysik, 26 A ( 1939). (8] A. J. MARIA, The potential of a positive mass and the weight function of Wiener, Pro-

ceedings National Academy of Sciences, USA, 20 (1934), p. 485-489. (9] F. RIESZ, Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel, Acta Math., 54 (1930), p. 321-360. (10] M, RIESZ, lntégra1es de Riemann-Liouville et potentiels, ces Acta, 9 (1938), p. 1-42. (11] F. VASILEsco, Sur la continuité du potentiel à 1ravers les masses, etc., Comptes Rendus Acad. Sei. Paris, 200 (1935), p. 1173-117 4.

(Reçu le 27 octobre 1949)

1251

85.

Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod · Comptes Rendus del'Académie des Sciences de Paris 230, 425-427 (1950)

1. Soient donnés deux groupes abéliens G et G', et une application bilinéaire symétrique ( x, y)·-+/( x, y) de G X G dans G'. Si K est un· complexe· simplicial, notons C( 1(, G) [ resp. C(K, G')] le groupe gradué des cochaînes de K à -valeurs dans G( resp. G'). On sait que N. E. Steenrod (1) associe à/ une suite d'applications bilinéaires (x, y)-+ p;(x, y) de C(K, G) X C(K, G) dans C(K, G') (i entier, p;=o pour i > (D. HILBERT, Über die Theorie der algebraiscben Formen, Math. Annalen 36, 1890, p. 473-534; voir aussi W. GROBNER, M'onatshefte filr Matit. 53, 1949, p. 1-16). Soit A l'algèbre des polynômes à n varialiles sur un corps K; c'est une algèbre graduée: comme espace vectorieJ sur K, A est somme directe de sous-espaces Ah (h entier > 0); le produit d'un élément de .Ah et d'ull' élément de Âk est dans Ak+h (les éléments de Ah sout les polynômes homogèneH de degré li). Soit M. un module sur l'anneau A (par exemple, M peut être un idéal de A); on suppose M gradué: ce1a veut dire que, comme espace vectoriel sur K, M est somme directe de sous-espaces vectoriels Alk (k entier >.0), et que le produit du produit tens.oriel; dont nous allons dire quelques mots; nous renvoyons, pour un exposé général et détaillé, à un mémoire de H. CARTAN et S. EILE-Nl3B&G à paraît1·e ·aux Aunais of Mathematics Studies. 1285

4

HkNRI CAR'.l'AN

Ecrivons M au bout d'une suite exacte telle que (1), où les Fp sont dei modules (à droite) libres sur A ; ce q ni est t.oujom·s possible. Alors if cg)A N est un complexe gradué, avec > ; en géné1·al, ses groupes d'homologie Hi, (if c8)A N) ne sont pas nuls. °II est immédiat que H 0 (if (8)A N) s'identifie au produit tensoriel M@A N; pour p :2:: l, le groupe Hi, (if (8)A N) est noté Torp (M, N) (ou simplement Tor (1.ll , N) pour p == 1). Cette notation se justifie par Je fait que Hp (if

K (commutatif avec élément unité; pas même nécessairement un corps); considérons K comme A·mo . Exemple 3: A est l'anneau de ser1es ent-iètes convergentes à n variables à coefficients dans nn corps valué complet K, et I est l'idéal des séries prena.nt la valeut· 0 à l'origine (une série entière est dite « conv-ergeute » si elle converge dans un voisinage de l'origine; sa somme est une fonction, analytique au voisinage de l'origine). Revenons au ca~ général. A cluique A-module à droite M, associons le produit tensoriel M (8)A K, qui est évidemment mnni d'une structure de K-module à droite. Ou pent l'interpréter comme suit: notons M. I le sous-moclule de M, formé des combinaisons linéaires (finies) I mk Â.k d'éléments m,k E M à, coefficients Â.k E I; c.'est l'image k

de M (8)A I dans M quotient ·M/(lll. 1).

= .M c8)A A.

Alors M c8)A K s'identifie au module1287

6

HENRI CAR'l'AN

On va voir que, pour certaines catégories de modules JtI, la relation M (8)A K == 0 entraîne 111 -== 0; autrement dit, ln relation 111 1ll • I entraîne Jl!l 0 • Pour cela, il suffit que M soit sous-module d'un module libre F; car alors M =--= i1l ...IP c F. IP, et l'iute.i·section des Jt1. IP est réduite à zéro. Ou va voir qn' il suffit aussi que ·l'on se trouve dans l'un ou l'autre des deux cas suivants:

==

==

Oas (I): A est un a,nneau graihté, I est l'idéal des éléments dont la composante homogène de degré O est nulle; alors .K s'identifie au sous-anneau de A , formé des éléments de de.gré O • Dans ces conditions, si M est un A-nwdule gradué, la t·elation Jtl == ltl • I entraîne M == 0 • Démonstration: si M =l= 0, considét·er dans M un élément homogène non nul de degré minimum; si M =M. I, on trouve nue contradiction.

Cas (II): l'idéal I satisfait à Ja condition: ponr tout l E I, 1 À. est inversible à droite (ceci exprime que I est contenu dans le radical R de l'anneau A, .et entraîne que 1 À est inversible pot1r tout À. E I). Alors, si 111 est im A-modnle de type fini, la relation Jll. Ili • I entraîne 1J,f == 0 .

+

+

==

La démonstration, facile, se fait par récurrence sur le nombre des génét·atenrs de M. Voir aussi 11:ii article récent de 'l'. NAKAYAMA (A remark on finitely generated modules, Nagoya Math. Journal, 3, 1951, p. 139-140).

Plaçons-nous dans l'un des cas (1) ou (II), et soit f: N - Mun homomorphisme de A-modules à droite. Supposo11s, d'une façon précise, que dans le cas (I), M et N soient gradués et que l'homomorphisme / conserve Jes degrés; et q ne, dans le cas (II), lftl et N soient de t.ype fini. Alors, si l'homomorphisme N (8\, K..,.. M (8)A K défini par / a,pplique N (8)A K sur ...lf@A K, f applique N sur 111 • , LEMME

1. -

Il suffit de considérer l'image N' de N dans M, et le module

M/N'; l'hypotMs implique que (M/N') (X)..4 K est uul, d'où l'on conclut que M/N' est nul. ._,,

4. -

Les théorèmes fondamentaux.

A partir de main tenant, nous supposerons que K est un corps; nous nous placerons toujours dans l'un des cas (1) ou (Il) dn numéro précédent. 1288

Extension du théorème des ._ chaînes de syzygies >

7

Boit Mun A-m,odnle (gradué dans le cas (I), resp. de type ji,11.i dans le cas (II)). Si TorA (M, K) 0, M est un A-111,0. dule libre; de façon plus p'recise: dans le cas (I), tout systè,11,e de générateurs liomogènes de M contirnt une A-base; dai\s le cas (II), tout système fini de génét·ateurs de M contient une A-base. THÉORÈME 1. -

=

Démonstt·a,tion: on observe d'abord que M

où les Mi (0 < i < .,,) sont A-libres (libres gradités dans le cas (!), libres de base finie dans le cas (II)); (r) pour chaque suite exacte Mn-1 - Mn-2 -- • • • -

Mi _.., Jt/0

1ll - 0 ,

-

où les Mi sont A-libt·es pour O < i < n - 1 (libres gradués dans le ca,s (1), libres de base finie dnns le vas (Il)), le noyau de 1llu-i - M 11 _ 2 (resp. de 1J/0 - .l'l si n == 1) est A-Ubre. Démonstration,: d'abo1·d, (r) entraine (/1): il suffit de prouver l'existence d'une suite telle que celle figura.ut dans (r); c'est évident, 1>arce qu'on a supposé que, dans Je cas (II), A est noe.tliérien. (/J) entraîne (œ'), purc.e que la sui te exacte de (/J) fournit un > pour 1lJ. , lequel-· permet de calculer les 1.'orp (M, K), comme il a été dit au § 2. Il est. tl'ivial que (œ') entraîne (œ). Reste à prouver que (œ) entraîne (r): or on voit facilement que (œ) entraîne 1'01· (N ,K)==O, N désignant le noyau de M 11 _ 1 - Mn-'J. (resp. de M 0 - J.l,f si n == 1); d'après le théorème 1, ceci entraîne que N est A-libre. Le théorème 2 est donc entièrement démontré. Les propriétés (/J) et (r) constituent des n); on a alors Tor:+i (M , K) == 0 pour tout A-module M • S'il eu, est ainsi, tout module gm.dué ((fans le cas (I)), tout nwdule. de type fini (dans le cas (II}) sutisfa,it aux conditio1is 1/J) et (r). Telle est la généralisation du théorème de HtLD141RT que nous avions en vue. Il nous 1·este à donner des exemples d'anneaux A satisfaisant à la condition précéde.11 te.

5. -

Etude d'anneaux particuliers.

Nous allons étudier les exemples 1, 2 et 3 donnés au § 3, et prouver que, dans chacun d'eux:, l'anneau K, considéré comme Amodule à gauche, possède un complexe acyclique de dfoiension n (c'est-à-dire pour Jequel Kp == 0 pour p n). Pour le démontrer, il n'est même plus nécessaire {dans les exemples 1 et 2) de supposer que K soit un corps. Nous allons faire une démonstration. unique pour ces trois cas, en nous servant d'une 1>ropriété commune aux trois anneaux en que~tion. Eu effet, dans chacun des 3 cas (an~ nean de polynômes, auueau de séries formelles, anneau de séries convergentes), il est attaché à chaque suite de 11, lettres œ1 : ••• , œ,. un aunea.u A , q ne nous noterons K [:x: 1 , ••• , :x:11 ] , avec les conditions suivantes: 1) pour n == 0 , l'anneau A se réduit à l'anneau K; 2) ponr n > 1, l'anneau K[x 1 , ••• , x,,] contient des éléments .l\ , ;1:2 , ••• , xu qui appartiennent à son centre; 3) pour n > 1, l'anneau K[x 1 , ••• ,.x,,_1] s'identifie à nu sousanneau de K [:x: 1 , ••• , :x:11 ] , et tout élément a de K [:x: 1 , ••• , x,,] s'écrit d'une seule manière

>

a,==

11,

X" +V, où

'lt

E K [x 1 , ••• ,

Xn] et

VE K

Il résulte de là que tout élément u E K [:x: 1 , seule manière sous la forme

[:x:1 ,

••• ,

••• , Xn-1] •

Xn] s'écrit d'une

avec a11 E J( [.v 1 , ••• , xp] . L'idéal I de l'anneau A == K [:x:1 , ••• , x,.] se compose des 'U. pour lesquels a 0 O; l'homomorphisme A - K. est celui qui associe aù à u.

=

1291

10

HKNRI CARTAN

Soit alors ;J( l'alr1èbre e.rtét·-ieure construite sur n lettres y 1 , ••• , y,, et à. coefficients dans A == K [œ 1 , ••• , x,,,] ; munissons-fa de sa graduation naturelle. On a donc 1(0 ·==A; 1C1 est l'ensemble des combinaisons linéaires de y 1 , ••• , y,, à coefficients dans. A; d'une manière générale, Kp est l'ensem b1e des combinai sons linéaires, à co(~f:ficients dans A , des > '!Jk1 Yks • •• Ykp relatifs à toutes les suites stt'ictemeut cro·issantes d'indices k 1 , k 2 , ••• , kp . On a Kp == 0 pour p n . L'opérateur > du complexe ;J( est défini par les homomorphismes dp: Kp - Kp-I (pour 1> > 1) que voici:

>

dp (Yk1 Yk2 • • • Yk)

== ~ (- l)i+i œk; Yk1 · i

-

• · Yki ·,. Yk1>

(où le signe ., ,. . _ iudique qne Je terme correspondant doit être omis). Quant à l'homomorphisme K 0 - K, c'est par définition l'homomorphisme naturel de A== K [.v 1 , ••• , œn] dans K. Il reste seulement à vérifier q ne 1a suite d'homomorphismes 0 - Kn - K,,_1 - ... - K 1

-

K0

....

K- 0

est une suite exacte. D'abord, il est immédiat que le composé de deux homomo1·phismes cousécuti fs est nu1, parce que les a:i sont dans le centre de 1( [œ 1 , ••• , œ,,] . Pour moutrei· que le noyau de chaque homomorphisme est identique à l'image de l'homomorphis!ne })récédent, il suffit de définir des homomorphismes D;: K, ... K;+ 1 satisfaisant à d 1 D 0 (1t) == u -

(3)

l

dp+1 Dp

s (u} l.).onr u. E, K 0 (s désignant l'homom.orphisme

+ Dp-I dp == 1dent1te s nr Kp (p >

1) .

de K 0 (Jans K)

Or on a la solution que voici: si u E K 0 est a 0 on pose

+ a œ + ... + a,i œ,, 1

1

(avec ap E K [œ 1

pour p ~ 1 , on définit Dv (u Yk 1 '!fk2 • • • Ykp), où u, == a0 (avec ai E K [a: 1 , ••• , xi]) comme suit:

+ ... + an œ,, Dp (a;

œ; Yki ••• Ykp) == 0 si j
(A)--+~~~\1>(A) est un isomorphisme pour q ~ 2n. En passant à l'homologie, on voit que Hq(~(A)) --+ Hq + 1 ( ~(A)) est un isomorphisme pour q < 2n, et un épimorphisme pour q = 2n. Pour q = 2n, le noyau se compose des classes des cycles a E ~~n,l(A) dont l'image dans ~~nn~ ?(A) est le bord d'un élément de degré 2n + 2, somme d'éléments de la forme [b, c], où b et c satisfont aux conditions suivantes: b et c sont des éléments de degré n de ~(A), dont le bord est nul pour une raison de degré; de plus, si n = 0, on peut supposer que eh = 0 et ec = 0 (puisque [b, c] = 0 chaque fois que bouc est un scalaire). En utilisant la formule (10) de l'Exposé 3, on trouve

à[b, c] = ( - lt+ 1 [bc]. Ainsi, le noyau de H 2 nC~(n)(A)) --+ .Hzn+ 1 (~(A)) se compose des classes d'homologie des sommes d'éléments de la forme be, où b etc sont des cycles de ~(n)(A) tels que eh == 0, ec = O. Ceci achève la démonstration. 1339

Le théorème 1 s'applique au cas où A = A(II), II étant un groupe abélien. Alors H*(~ 0 et que a - ea est d'augmentation nulle. Proposition 2. Si à l'élément a E p(A 2q) on associe x E M 2 q+i et y E M 2pq+ 2 satisfaisant à (2) et (3), la classe de d-homologie de y est un élément de H 2pq+ 2(N) qui est indépendant des choix de x et y. D'où une application t/J: /A2q)---+ H2pq+zCN). Démonstration: on peut remplacer x par x être remplacé par y + (a - ea)P- 1 x' + dy', y' par y + dy'.

+ dx', x' E M 2 q+Z· Alors y E

peut M 2 pq+ 3 • Donc y est remplacé C.Q.F.D.

Proposition 3. L'application t/1 s'annule sur lesproduits be, où b etc sont des cycles de A (de degrés quelconques, non nécessairement pairs) tels que eh = 0, CP= 0. Démonstration: il existe u E M tel que du = b. Alors d(uc) = be. Prenons donc x = uc; on cherche y tel que dy = (bc)P- 1 x = ±ubP- 1 cP = O. On peut donc prendre y = 0, d'où la proposition. Proposition 4. additive.

Lorsque l'entier premier p est impair, l'application t/1 est

Démonstration: soient a et a' deux éléments de p(A 2q); on peut supposer ea = 0, ea' = 0 (sinon, remplacer a et a' par a - ea et a' - ea'). On va montrer que tf;(a + a') = tf;(a) + tf;(a'). Soient x E Met x' E M tels que dx = a, dx' == a', donc d(x + x') = a + a'. On vérifie la relation

1341

avec w = (aP- 2 - aP- 3 a' + aP- 4 a' 2 + ... - a'P- 2 )xx'. Puisque p ~ 3, l'image w de w dans N est nulle. Soient alors y, y' et éléments de M tels que

z des

On a d(z - y - y' - w) = O; puisque M est acyclique, l'image de dans N est und-bord. Or cette image est z - ji - ji'. C.Q.F.D.

z - y - y' - w

Remarque:- on verra plus tard que

t/1,

pour p = 2, n'est pas additive.

Proposition 5. Soit q un entier ~ 1. Supposons que: (I)q aP =_ 0 pour tout a E A 2 q; (II)q b(db)P- 1 soit le bord d'un élément de A, pour tout b E A 2 q+l· Alors l'application ijJ passe à l'homologie et définit une application

(Cette application sera additive pour p impair, d'après la proposition 4). Démonstration: i/J(a) est défini pour tout a E A 2 q tel que da = O. On veut montrer que i/J(a) ne dépend que de la classe d'homologie de a dans H 2 q(A). Remplaçons a par a' = a + db, b E A 2 q+ 1• Posons x' = x + b; on a bien dx' = a'. On vérifie la relation a'P- 1 x' - aP- 1 x

avec v = b(a'P- 2

= dv + b(db)P-1,

+ a'P- 3 a + a'P- 4 a 2 + ... + aP- 2 )x'.

L'image de v dans N est nulle; d'autre part, d'après l'hypothèse (II), b(db)P- 1 = du, où u E A a une image nulle dans N. Soient alors y E M et y' E M tels que dy = aP- 1 x, dy' = a'P- 1 x'; on a d(y' - y - v - u) = O; puisque M est acyclique, i'image de y' - y - v - u dans N est un d-bord. Or cette image C.Q.F.D. est ji' - ji. Ainsi, lorsque les hypothèses (I)q et (II)q sont remplies (q ~ 1), l'application q,: H 2 q(A)-+ H 2 pq+iCN) est définie; on l'appellera la transpotence. Si on suppose en outre que (I') aP = 0 pour tout a E A de degré > 0, alors, d'après la proposition 3, le noyau de la transpotence contient les éléments décomposables de H 2 q(A), _au moins pour p premier impair (pour que la transpotence soit additive). Voici des cas où la proposition 5 est applicable: Proposition 6. · Si la_ DGA-algèbre A est de la forme Pl(C), où C est anticommutative, alors A vérifie (I'). Si de plus C est anticommutative et vérifie (I'), alors A = Pl( C) vérifie (Il)q pour tout q ~ I.

1342

Démonstration: si A = Pi( C), C anticommutative, on sait que a 2 = 0 pour tout a de degré impair (Exp. 4, th. 4); a fortiori, aP = O. Soit maintenant a E Pl(C) de degré pair ~2; on a d(aP) = 0, d désignant la différentielle dans l'algèbre acyclique 8'(C). Il en résulte (cf. la propriété (B), Exp. 3, th. 3) que aP =·O. Supposons de plus que C satisfasse à (I'); comme Pl( C) y satisfait aussi (d'après ce qu'on vient de démontrer), on a uP = 0 pour tout u E 8'(C) = C (8) Pl(C) de degré pair (car u est une somme d'éléments dont chacun est de la forme c (8) a, avec c E C, a E Pl(C)). Donc si b E Pi(C) est de degré 2q + 1 (q ~ 1), on a (db)P = 0, la différentielle d étant prise au sens de 8'(C). Ainsi b(db)p-l est un cycle de 8'(C), donc son image b(db)p-l dans l'algèbre quotient Pl( C) est un d-bord. Ceci achève la démonstration. -Observons que toute DGA-algèbre A dont tous les éléments sont de degré 0 satisfait trivialement à (I') et à (II)q pour q. ~ 1. De tout ce qui précède résulte: Théorème 3. Soit A une DGA-algèbre commutative de degré 0, sur un anneau A de caractéristique p (p premier). L'application 1/1: PA--+ Hi(81< 1 >(A)) est additive si p est impair. La transpotence