Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Teil 3 Grundzüge und Anwendungen Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und analytische Geometrie der Ebene [6., unveränd. Aufl., Reprint 2022] 9783112683248

Table of contents :
Vorwort zur ersten Auflage
Vorwort zur zweiten Auflage
Inhaltsübersicht
Erster Teil. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung
Erster Abschnitt. Einführung in die Differentialrechnung
Zweiter Abschnitt. Anwendungen der Differentialrechnung
Zweiter Teil. Analytische Geometrie der Ebene.
Erster Abschnitt: Punkt und Gerade
Zweiter Abschnitt: Der Kreis
Dritter Abschnitt: Die Parabeln
Vierter Abschnitt: Die Ellipse
Fünfter Abschnitt. Die Hyperbel
Sechster Abschnitt. Lageänderung des Koordinatensystems und Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades
Siebenter Abschnitt: Verwandtschaftliche Beziehungen und Polargleichungen der Kegelschnitte
Tafel

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r—

.......... ............\ Mehler- Schulte-Tigges

Elementar - Mathematik Ausgabe B

Oberstufe III.

Hauptsätze der

Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. F. G. Nchl-r. Bearbeiter von A. Schulte-Tlgge», Direktor del Realgymnasium» zu €*flel.

Ausgabe B. Oberstufe Z. Teil. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mir graphischer Darstellung und Analytische Geometrie der Ebene.

Berlin und Leipzig 1920 Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter be^CBruy vormals G. I. Göfchen'fche Verlagshandlung — I. Guttentag, Verlags­ buchhandlung — Georg Reimer — 'Rarl I. Trübner — Veit Sc (omp.

Grundzüge und Anwendungen der

Differentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung und

Analytische

Geometrie der Ebene Für die oberen Rlassen höherer Lehranstalten bearbeitet von

A. Schulte-Tiggee, Direktor des Realgymnasiums zu (affe!.

Sechste unveränderte Auflage

Berlin und Leipzig 1920 Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter & Lo. vormals G. I- Göschen'sche. Verlagshandlung — I- Guttentag/ Verlags­ buchhandlung — Georg Reimer — Rarl I- Trübner — Veit & Lomp

Vorwort zur ersten Auflage. Mit dem vorliegenden dritten Teil der Oberstufe, der übrigens auch als selbständiges Werk benutzt werden kann, ist die als Aus­ gabe B erschienene Neuausgabe der Schellbach-Mehlerschen Elementar­ mathematik abgeschlossen. Die ursprünglich getrennt gedachte Be­ handlung der graphischen Darstellung ist mit Rücksicht auf die in der Unterstufe enthallene Einsührung mit den Gruudzügen der Differerttialrechnung verschmolzen worden, doch enthalten die zu­ gehörigen Aufgaben mancherlei Stoff zur weiteren Ausführung der ersteren insbesondere hinsichtlich der Theorie der Gleichungen. Bei der Differenttalrechnung ist nach Mögttchkeit die sinnlich-geometrische Anschauung in den Vordergrund gestellt und alles vermieden worden, was begriffliche oder andere Schwierigkeiten bieten könnte. Es werden daher auch schwächere Schüler recht wohl imstande sein, den Dar­ legungen zu folgen, besonders wenn man sie daran gewöhnt, wie es hier geschehen ist, dem Laus der Kurven mit den Augen gleitend zu folgen. Die zahlreichen und mannigfachen Anwendungen sind sicher geeignet, das Verständnis zu vertiefen und das Jntereffe zu erhöhen. Der aufängttche Plan, auch die Grundzüge der Integralrechnung aufzunehmen, ist noch nicht ausgeführt worden, da die eigenartigen Schwierigkeiten einer schulgemäßen Darstellung dieser Lehre noch nicht genügend gehoben werden konnten. Das Prinzip der Integration aber kommt verschiedentlich, ohne als solches genannt zu sein, nament­ lich in den Übungen zur Anwendung.

In die analytische Geometrie der Ebene sind nur ganz kleine Abschnitte des Stammbuches unverändert übergegangen; alles übrige ist völlig neu dargestellt und nach verschiedenen Richtungen erweitert worden. In den beigefügten Aufgaben, die durchweg neu gebildet

VI

sind — in der Differentialrechnung sind einige wenige den Jahres­ berichten der höheren Schulen von 1907 entnommen —, wurden die Zahlenbeispiele bevorzugt und solche allgemeineren Beispiele, die nicht unwichtige theoretische Ergebnisse liefern. Zum Abschluß der Ausgabe B möge noch darauf hingewiesen werden, daß der größere Umfang dieser Ausgabe sich erklärt durch die Beifügung zahlreicher Aufgaben, die durch die Rücksichtnahme auf die realistischen Bollanstalten gebotene Erweiterung des Lehrstoffes wie auch dlmh die mehrfache Ausführung einzelner Abschnitte des letzteren zugunsten einer größeren Bewegungsfreiheit des Lehrprs. Demgegenüber braucht wohl nicht besonders betont zu werden, daß es nicht die Meinung des Herausgebers ist, es müffe nun unbedingt auch der ganze Stoff den Schülern dargeboten werden. Cassel, im September 1909.

A. Schulte-Tigges.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auflage ist ein unveränderter Abdruck der ersten, in dem nur eine Reihe Druckfehler berichtigt worden sind. Cassel, im Februar 1912.

A. Schulte TtgAeo.

Inhaltsübersicht. Seite

Erster Abschnitt: Grundzüge und Anwendungen der Diffe­ rentialrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung. 1. Einführung in die Differentialrechnung....................................... 1 2. Anwendungen der Differentialrechnung. A. Maxima und Minima................... •..................................... 23 B. Unendliche Reihen . ...................................................................33 C. Auswertung von Quotienten und Ermittelung von Wurzeln numerischer Gleichungen............................................................. 40 D. Ermittelung der Gleichungenvon Kurventangenten ... 41 E. Geschwindigkeit und Beschleunigung.......................................... 43 F. Krümmung der Kurven..............................................................44 Zweiter Abschnitt: Analytische Geometrie der Ebene. 1. Punkt und Gerade.................................................................................46 2. Der Kreis...............................................................................................53 3. Die Parabel...........................................................................................57 4. Die Ellipse................................................................................................63 5. Die Hyperbel...........................................................................................71 6. Lageänderung des Koordinatensystems und Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades.................................................................. 77 7. Verwandtschaftliche Beziehungen und Polargleichungen der Kegel­ schnitte ............................................................................................... 82

Erster Teil. Grundzüge und Anwendungen der Differenttalrechnung in engster Verbindung mit graphischer Darstellung. Erster Abschnitt.

Einführung in die Differenttalrechnung. § 1 *). Wenn eine Größe (z/) sich mit einer anderen Größe ($) ändert, so nennt man die erste von der zweiten abhängig oder eine Funktion der zweiten. Beispiele: 1. (Aus dem praktischen Leben.) ändert sich mit der Zeit.

Der Preis einer Ware

2. (Aus der Arithmetik.) a) Die dritte Potenz einer Zahl ändert sich mit der Zahl; b) der Logarithmus einer Zahl ändert sich mit der Zahl. 3. (Aus der Planimetrie.) mit der Quadratseite.

Der Flächeninhalt eines Quadrats ändert sich

4. (Aus der Stereometrie.) ihrem Halbmesser.

Der Rauminhalt einer Kugel ändert sich mit

5. (Aus der Trigonometrie.) Der Sinus eines Winkels ändert sich mit dem Winkel. (Trigonometrische „Funktionen".) 6. (Aus der Wärmelehre.) a) Die Spannkraft des (gesätttgten) Wasser­ dampfes ändert sich mit der Temperatur, desgl. b) die Dichte des Wassers.

7. (Aus der Meteorologie») An demselben Ort ändert sich der Luftdruck mit der Zeit, desgl. die Temperatur und die Feuchtigkeit der Luft. *) Die ersten Paragraphen dienen zugleich zur Wiederholung des Anhangs III der Unterstufe. Mehler-Schulte-Tigges, Ausgabe B, Oberstufe HI 6. Aufl.

2

I. Grundzüge und Anwendungen der Differenttalrechnung.

8. (Aus der Mechanik.) a) Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers ändert sich mit der Zeit, b) Die lebendige Kraft eines Körpers (Energie der Bewegung) ändert sich mit der Geschwindigkeit.

Bemerkung. Bei der Abhängigkeit einer Größe von einer anderen im obigen Sinne ist nicht immer die erste die Wirkung, die zweite die Ursache, wie die obigen Beispiele lehren. § 2. Zn vielen Fällen ist die Abhängigkeit so klar erkannt, daß man sie durch eine mathematische Formel (Gleichung) ausdrücken kann, so im Beispiel 2a) durch y = x3; 2b) durch y = log»; 3) durch —a?; 4) durch y — ^nx5) durch y — siu»; 8a) y = gx-y 8b) durch y = fyna‘. Die hierin außer y und x vorkommenden Größen sind den Beispielen entsprechend als unveränderlich (konstant) an­ zusehen; x ist die unabhängige, y die abhängige Veränderliche. Zn andern Fällen- (Beispiel 1, 6a, 6b, 7) ist es nicht möglich oder bis jetzt noch nicht möglich, die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel wiederzugeben. Bemerkungen. 1. Meist steht es stet, die eine oder die andere Veränderliche als unabhängige zu wählen; gegebenenfalls find dann

die Formeln umzukehren, wie in 2 a) x — ]/y, 8a) » —usw. 2. In vielen Fällen ist eine Größe von mehr als einer andem abhängig, wie in den Beispielen 8a) und 8b) wenn auch g und m als veränderlich angenommen werden. Die Gesamtändemng von y kann dann aber in der Weise festgestellt werden, daß man die Veränderungen der einzelnen unabhängigen Veränderlichen nacheinander vornimmt, womit denn diese Aufgabe ans mehrere obiger Art zurück­ geführt ist. Übung.

Suche weitere Beispiele auf und drücke die Abhängigkeit wenn

möglich durch eine mathemattsche Formel aus.

§ 3. In allen Fällen aber läßt sich die Abhängigkeit aus doppelte Weise darstellen, nämlich 1) arithmetisch: durch eine Zahlentabelle, 2) geometrisch: durch eine Zeichnung (graphische Darstellung).

Die Zahlentabelle erhält man, wenn man für die eine Ver­ änderliche bestimmte Werte (meist in wachsender Folge) annimmt und die zugehörigen Werte der andern ermittelt. Als eine solche Zahlen­ tabelle würde sich ergeben für

Einführung in die Differentialrechnung.

Beispiel 6a. Tempe­ ratur ar—

0

Spann­ 4,6 kraft^--

10

9,2

20

30

40

50

60

80

70

90

100

Grad Celsius.

17,4 31,5 54,9 92,0 148,8 233,1 354,6 525,5 760,0 mmQuecksilber.

Beispiel 2a. — 4 1 - 3

— 2

— 1

0

1

2

3

4

— 64 — 27

— 8

— 1

0

1

8

27

64

1

Bemerkung. Ist die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel darstellbar, so kann man für die unabhängige Veränderliche beliebige Werte annehmen und wählt im allgemeinen solche, die gleich­ mäßig zunehmen; in den anderen Fällen muß man sich mit den Werten begnügen, für die die Abhängigkeit tatsächlich ermittelt ist. Übung.

Entwirf zu den angegebenen und weiteren Beispielen Zahlen,

tabellen.

§ 4. Die Zahlentabelle gibt nur ausgesuchte Werte der Ver­ änderlichen wieder, die sich sprungweise ändern; sie zeigt also nicht lückenlos, wie die abhängige Veränderliche sich ändert, wenn die andere allmählich zunimmt. Dies aber leistet die graphische Dar­ stellung. Hierbei werden beide Veränderliche durch Strecken dargestellt, indem für die Maßeinheit einer jeden eine Strecke von bestimmter Länge (gleichsam als Bild) ausgewählt wird. Es find alsdann die in der Zahlentabelle vorkommenden Größen in solche Strecken umzurechnen. Die erhaltenen ^-Strecken trägt man nunmehr aus einer wagerechten Geraden (der a-Achse) von einem und demselben Punkt (dem Anfangs­ punkt) 0 (oder O) an und zwar nach derselben Richtung (rechts) hin ab und errichtet in den Endpunkten auf der ^-Achse nach oben Lote gleich den betreffenden z/-Strecken. Sind negative ® oder y vorhanden, so wählt man hierfür die entgegengesetzten Richtungen (links bezw. unten). Verfolgt man nun die Lote von links nach rechts, so erkennt man, wie y sich bei wachsendem x ändert, d. h. ob es zu- oder abnimmt oder sich gleich bleibt, auch um wieviel es zu- oder abnimmt usw. § 5. Schaltet man noch mehr Zwischenwerte in die Zahlen­ tabelle ein, so erhält man ebensoviel Zwischenlote, und man kann

1*

L Hrundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

4

schließlich mit einiger Sicherheit die Endpunkte -er Lote durch eine Linie verbinden, die nun die Änderung der z/-Lote lückenlos darstellt

und außerdem derart, daß^ sie mit einem Blick übersehen werden kann.

Auf diese Weise ist Figur 1 und 2 zu Beispiel 6a und 2a ent­ standen, wobei im ersten Falle 10*6 durch cm, 10 mm Quecksilber durch 1 mm, im zweiten Fall die Einheit der x durch i cm und die der y durch £ mm dargestellt worden sind.

Die die Endpunkte der y verbindende Linie soll die z/-Linie ge­ nannt werden; die im Anfangspunkt auf der -»-Achse errichtete Senk­ rechte heißt die »/-Achse, y und x selbst Koordinaten und zwar x die Abszisse und y die Ordinate, das Ganze ein Koordinatensystem. Übung.

Entwirf

zu

den

aufgestellten Zahlentabellen

die zugehörigen

Kurven.

§ 6. 1) Die Betrachtung der auf solche Weise dargestellten Linien ergibt sofort:

Einführung in die Differentialrechnung.

5

Steigt die y--ßinie (stets nach rechts hin betrachtet), so nimmt

Fig. 2. 2) Ist im besonderen die «/-Linie eine gerade Linie, so erkennt man ohne weiteres und kann mathematisch leicht beweisen: a) Wächst x gleichmäßig, so ändert sich auch y gleichmäßig, und

zwar um so stärker, je steiler die Gerade zur ^-Achse geneigt ist. b) Geht die «/-Linie durch den Anfangspunkt, so nimmt y in demselben Verhältnis zu wie x. c) Für den Winkel a, den die Gerade mit der positiven Richtung

der s-Achse bildet, ist stets tg a = ^,

wenn Ay den Zuwachs der

Ordinate bezeichnet, der dem Zuwachs der Absziffe, A®, entspricht. § 7.

Eine Gerade ist die «/-Linie stets, wenn y eine Funktion

ersten Grades von ® ist.

6

1. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Beweis, Die Funktion sei y — am 4- b. Ist also w —0, so ergibt sich y = b, und für x = 1 ist y — a + b. Durch die End­ punkte der beiden ermittel­ ten y, A und C, legt man die Gerade AC und zieht AF^ OB; dann ist tga

= ÄF=Ä=a-

x

ern

beliebiges drittes x, OD — c, ist nun y oder DE = ac + b. Verlängert man AF biö G, so ist EG — ac

und

tg EAG = y = a

— tga, d. h. E liegt auf der Geraden AC. Die Gleichung y — ax+b stellt also stets eine Gerade dar, und zwar ist a die trigonometrische Tangente ihres Winkels mit der ^-Achse (ge­ messen im Sinne einer Drehung der positiven w-Achse zur positiven y-Achse) und b das auf der positiven y-Achse abgeschnittene Stück. Fig- 3.

§ 8. Ist die y-Linie eine krumme Linie und will man wissen, wie sich y in einem bestimmten Punkt der Kurve gegen -en Wert in einem früheren Punkt geändert hat, so verbindet man beide Punkte durch eine Sehne und urteilt nach § 6, 1) und 2). Für den Winkel dieser Sehne mit der positiven Richtung der w-Achse ist auch hier tga. =

(Differenzenquotient),

wenn man unter Ay und Ax wiederum den Zuwachs der OrdiO X nate und der Abszisse versteht. Dieses Urteil sagt aber nichts Fig. 4. aus über die Veränderung, die y zwischen den beiden ausgewählten Punkten erfahren hat. Soll also die Änderung von y lückenlos verfolgt werden, so müssen die beiden betrachteten Punkte ___________ I A B

Einführung in die Differentialrechnung.

7

immer näher aneinander gerückt werden, bis sie unmittelbar zusammen liegen, wobei dann aus der Sehne die Tangente wird. jy und zto werden in diesem Falle unendlich klein*) und mit dy und dx bezeichnet i für die Tangente gilt alsdann die Gleichung tg a —

(Differenttalquotient), toortn der Quotient

noch

näher

bestimmt werden muß, da er der Zahlentabelle nicht entnommen werden kann. Diese Bestimmung ist bei solchen Kurven, die aus mathematischen Gleichungen hervorgegangen find, auf arithmetischem Wege möglich und soll weiter unten ausgeführt werden. Es ist aber nicht zu vergeffen, daß a zeichnerisch durch Anlegung der Tangente und nachfolgende Messung (oder Schätzung) näher be­ stimmt werden kann. § 9. Das Verhalten einer Kurve in unmittelbarer Nähe eines ihrer Puntte ist daher nach der Lage der Tangente in diesem Punkte zu beurteilen und das Gesamtverhalten einer durch eine Kurve dar­ gestellten Funktion nach dem Verhalten der an ihr gleitend gedachten Tangente. Aus einer solchen Bettachtung der in den Figuren öa—k dar­ gestellten z/-Linien und ihrer Tangenten erhellen nachstehende Er-

*) Es wird wenigstens im folgenden stets vorausgesetzt, daß mit dx auch -is unendlich klein wird, d. h. daß die Funktion — wenigstens in unmittelbarer

Nähe des betrachteten Punktes — stetig ist.

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

8

Bei a wächst y zunächst weniger stark, zuletzt aber stärker; „ b „ „ , stärker , , weniger stark;

„

c nimmt „

,

„

«b,

„

„

,

;

„ d „ „ „ weniger stark, , „ stärker ab. e setzt sich aus b und d zusammen, dazwischen erreicht y ein Maximum da, wo die Tangente wagerecht liegt oder a —0 ist; f setzt sich ent­ sprechend aus c und a zusammen und weist füry ein Minimum auf. g besteht aus b und a, h aus a und b, i aus c und d, k aus d und c; bei g—k tritt ein Wendepunkt

da auf, wo die Tangente beim Gleiten aus der Drehung nach der einen Richtung in die entgegen­ gesetzte übergeht,

wo die Kurve also aus verschiedenen Seiten der

Tangente liegt. Andere Kurven können aus a und c, d und

Bemerkung:

a und d, b und c, c und b, d und a zusammengesetzt werden.

Noch

andere Formen entstehen, wenn in den Fällen e—k die Tangenten in

den zusammenstoßenden Endpunkten nicht zusammenfallen.

Alle diese

Formen sollen aber von der Betrachtung ausgeschloffen bleiben, da

sich in dem Grenzpunkte die Lage der Tangente (beim Gleiten) sprung­ weise ändert. § 10. Diese Ergebnisse lassen sich in die folgenden Regeln zu­ sammenfassen: (Siehe die Übersicht aus S. 9.)

§ 11.

Ist die Funktion ein mathematischer Ausdruck, so läßt

sich der Differentialquotient rein arithmetisch bestimmen.

Es hat dies

-en Vorzug, daß man die umständliche Zahlentabelle und ihre gra­ phische Darstellung entbehren und sich doch mit Hülfe des ermittelten

Differentialquotienten eine Vorstellung von dem Verlauf der Funktion machen kann.

Auch läßt sich die Betrachtung allgemeiner gestalten.

Es sei zunächst die Funktion ein Ausdruck ersten Grades in x, also y = ax-\-b.

Dann gehören zu den ausgewählten Werten xx

und x2 die Funkttonswerte yx — axx +6 und yt = axt+b, und es ist y3 — yt=a (x, — »,) oder dy = a. zix, d. h. E — a.

Der Differenzenquotient ist also stets gleich a und behält daher auch diesen Wert, wenn

— ®x und damit y, — yx wird (d. h. wenn

die beiden Punkte der y-Linie zusammenrücken). oder

+ 6) — a. dx

Daher ist

— a

________Vordersatz

Nachsatz

Arithmetisch

Geometrisch

a) Ist die Tangente auf- Ist tg«=^ positiv,

”

wärts gerichtet*) (ihr Nei-

gungswinkel**) spitz),

so steigt die Kurve (und so nimmt y mit wachsen­ zwar

um

so

je dem

stärker,

steiler die Tangente),

ab­

Ist tga = ^ negativ,

so

zu

(und

zwar

je größer

fällt die Kurve (und so nimmt y mit wachsendem

zwar

wärts gerichtet*) (ihr Nei­ gungswinkel**) stumpf),

a>

um so stärker,

um

so

stärker,

je ® ab

steiler die Tangente),

(und zwar um so

stärker, je größer, absolut

genommen, tga=^)-

c) Ist die Tangente wage­ Ist tg« = recht gerichtet*) (ihr Nei­

dy dx

gungswinkel**) gleich Null),

so geht die Kurve an diesem so hat y

Punkt entweder a) vom Steigen zum Fallen a) ein Maximum oder oder

b) vom Fallen zum Steigen

b) ein Minimum oder

E inführung in die Differenttalrechnung.

b) Ist die Tangente

Arithmetisch

Geometrisch

über oder sie hat c) einen Wendepunkt im c) y geht beim Zu- oder

Steigen oder im Fallen,

Abnehmen durch einen Ruhepunkt hindurch.

*) Stets von links nach rechts betrachtet.

**) Mit der positiven Richtung der «-Achse im Sinne einer Drehung von der positiven «-Achse zur positiven z,-Achse.

co

10

I. Grnndzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Da der Differentialquotient konstant ist, so folgt dasselbe für -en Neigungswinkel der Tangente; die «/-Linie ist also eine unter einem Winkel a zur «»-Achse geneigte Gerade, für die Iga — a ist

(vergl. § 7). § 12. Ermittelung des Disferentialquotienten eines Ausdrucks zweiten Grades. y = ax2 + bx 4- c; yx — ax\ + bxx + c, y, — ax\ > bx, + c; y, — yt=a(xl — xl)+b (x2—«»,);

Jx du

=——-- = a (x +.z ) 4- b. x, — xt

Daher

, , . d (ax2+bxc) „ , = 2ax + b oder —------ —!—