Grundgesetze der Arithmetik [1-2]

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'GRUNDGESETZE DER ARITHMETIK Begriffsschriftlich abgeleitet von

G. FREGE

I. Band

0

~

1966

GEORG OLMS VERLAGSBUCHHANDLUNG HILDESHEIM

Vorwort.

Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Jena 1893 Printed in Germany Herstellung: fotokop, Reprografischer Betrieb GmbH, Darmstadt Best-Nr. 5101328

Man findet in diesem Buche Lehrsatze, auf denen die Arithmetik beruht, mit Zeichen bewiesen, dereu Ganzes ich Begriffsschrift nennc. Die wichtigsten dieser Satze sind am Ende zum Theil mit angeffigter Uebersetzung zusammengestellt. Wie man sieht, sind die negativen, gebrochenen, irrationalen nnd complexen Zahlen hier noch von der Betrachtung ausgeschlossen, ebenso auch Addition, Multiplication u. s. w. Auch die Satze von den Anzahlen sind noch nicht in der zuerst geplanten Vollstandigkeit vorhanden. Insbesondere fehlt noch der Satz, dass die Anzahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstande endlich ist, wenn die Anzahl der Gegenstande endlich ist, die unter einen iibergeordneten Begriff fallen. Aeussere Griinde haben mich bestimmt, dies, sowie die Behandlung der andern Zahlen und der Rechnungsarten einer Fortsetzung vorzubehalten, deren Erscheinen von der Aufnahme abhangig sein wird, die dieser erste Band findet. Was ich hier geboten habe, mag hinreichen, von meiner Weise eine Vorstellung zu geben. Man konnte meinen, dass die Satze iiber die Anzahl Endlos 1) batten fehlen ki:innen. Zur Begriindung der Arithmetik im hergebrachten Umfange sind sie allerdings nicht nothig ; aber ihre Ableitung ist meist einfacher als die der entsprechenden Satze for endliche Anzahlen und kaun als V orbereitung fiir sie dienen. Noch kommen Satze vor, die nicht von Anzahlen handeln, die aber zu den Beweisen gebraucht werdeu. Sie handeln z. B. vom ]'olgen in einer Reihe, von der Eindeutigkeit von Beziehungen, von znsammengesetzten nnd gekoppelten Beziehnngen, von der Abbildung durch Beziehungen u. dergl. Diese Satze ki:innte man vielleicht einer erweiterten Combinationslehre zuwe1sen. Die Beweise sind allein in den mit ,,Aufbau" iiberschriebenen Paragraphen enthalten, wiihrend die mit ,,Zerlegung" Uberschriebenen das Verstandniss erleichtern sollen, indcm sie vorlaufig den Gang des Beweises in groben Umrissen vorzeichnen. Die Beweise selbst enthalten keine W orte, sondern sind alleih mit meinen Zeichen gefiihrt. Sie stellen sich dem Auge dar als eine Reihe von Formeln, die durch ausgezogene oder l) Anz11bl einer abzithlbar unendlicben Menge.

VI

VII

unterbrochene Striche oder andere Zeichen getrennt sind. Jede dieser Formeln ist ein vollstandiger Satz mit allen Bedingungen , die zu seiner Giiltigkeit nothwendig sind. Diese Vollstandigkeit, welche stillschweigend hinzuzudenkende Voraussetzungen nicht duldet, scheint mir fiir die Strenge der Beweisfiihrung unentbehrlich zu sein. Der Fortschritt von einem Satze zum nachsten geht nach den Regelu vor sich, die im § 48 zusammengestellt sind, und kein Uebergang geschieht, der nicht diesen Regeln gemass ware. Wie und nach welcher Regel die Folgerung gemacht wird, deutet das zwischen den Formeln stehende Zeichen an, wahrend - - • - - eine Schlusskette abschliesst. Es muss hierbei Satze geben, die nicht aus andern abgeleitet werden. Solche sind theils die Grundgesetze, die ich im § 4 7 zusammengestellt ha be, theils die Definitionen, die man am Ende in einer Tafel vereinigt findet mit Hinweis auf die Stellen , wo sie zuerst vorkommen. Bei einer Fortsetzung dieses Unternehmens wird immer wieder das Bediirfniss von Definitionen hervortreten. Die Grundsatze, die dabei maassgebend sein miissen, sind im ~ 33 aufgefiihrt. Die Definitionen sind nicht eigentlich schopferisch und diirfen es, wie ich glaube, nicht sein; sie fiihren nur abkiirzende Bezeichnungen (Namen) ein, die entbehrt werden konnten, wenn nicht sonst die Weitlaufigkeit uniiberwindliche iiussere Schwierigkeiten machte. Das Ideal einer streng wissenschaftlichen Methode der Mathematik, das ich hier zu verwirklichen gestrebt habe, und das wohl nach Euklid benannt werden konnte, mochte ich so schildern. Dass Alles bewiesen werde, kann zwar nicht verlangt werden, weil es unmoglich ist; aber man kann fordern, dass alle Satze, die, man braucht, ohne sie zu beweisen, ausdriicklich als solche ausgesprochen werden, damit man deutlich erkenne, worauf der ganze Bau beruhe. Es muss danach gestrebt werden , die Anzahl dieser Urgesetze moglichst zu verringern, indem man Alles beweist, was beweisbar ist. Ferner, und darin gehe ich ftber Euklid hinaus, verlange ich, dass alle Schluss- und Folgerungsweisen, die zur An wen dung kommen, vorher aufgefiihrt werden. Sonst ist die Erfullung jener ersten Forderung nicht sicher zu stellen. Dieses Ideal glaube ich nun im Wesentlichen erreicht zu haben. Nur in wenig Punkten konnte man noch strengere Anforderungen stellen. Um mir mehr Beweglichkeit zu sichern und nicht in iibermassige Breite zu verfallen, habe ich mir erlaubt, von der Vertauschbarkeit der Unterglieder (Bedingungen) und von der Verschmelzbarkeit gleicher Unterglieder stillschweigend Gebrauch zu machen, und habe die Schluss- und Folgerungsweisen nicht auf die geringste Zahl zuri1ckgefiihrt. W er mein Biichlein Begriffsschrift kennt, wird daraus entnehmen konnen, wie man auch hierin den strengsten Anforderungen geniigen konnte, ,,zugleich aber auch, dass dies eine betrachtliche Zunahme des Umfanges n~ch sich zoge. Im Uebrigen, glaube ich, werden die Ausstellungen, die Irtan mit Recht

bei diesem Buche machen kann, nicht die Strenge betreffen, sondern nur die Wahl des Beweisganges und der Zwischenstufen. Oft stehen mehre Wege offen, einen Beweis zu fiihren; ich ha~e .sie nicht ~lle ~u be.treten versucht, und so ist es moglich, ja wahrschemhch, m fiillt' und nicbt ,der Begriff (~)'. Die letzten Worte bezeichnen also eigentlich nicht einen Begriff (in unserem Sinne), obwobl es nach der sprachlichen Form so aussiebt. Ueber die Zwangslage, in der sich hier die Sprache befindet, vergl. meinen Aufsatz Ueber Begriff und Gegenstand.

§ 5. Schon oben ist gesagt, dass in der blosseu Gleichung no ch gar keine Behauptung liegen soll; es ist mit ,2 3 = 5' eben nur ein Wahrheitswerth bezeichnet, ohne dass gesagt ist, welcher von beiden es ist. Auch wenn ich schriebe ,(2 3 = 5) = (2 = 2)' und voraussetzte, man wiisste, dass 2 = 2 das W ahre ist, so wtirde ich 2', 22>2', l2>2' aus

,l ~

2

'1 3 >2

,12 >2

,11 >2

~ : ' dadurch hervorgehen, dass fur ,g' ,3', ,2', ,1' gesetzt warden.

Gebrauchen wir nun das Zeichen ,>' so, dass ,r> LI' das Wahre bedeutet, wenn I' und LI reelle Zahlen sind und I' grosser als LI ist, und dass in allen andern Fallen ,r> LI' das Falsche bedentet; nehmen wir ferner an dass die Bezeichnung ,r~· so erklart sei, dass sie immer eine Bedeutun~ habe, wenn I' ein Gegenstand ist, so ist der Werth der Function

g2>2 >2

lg

25

24 fiir jedes Argument das W ahre; also ~n2>2 a >2, in W orten: w en n etwas grosser als 2 ist, so ist auch sein Quadrat grosser als 2. So auch ~n'=l

'

La2=1,

in W orten : we n n das Quadrat von etwas 1 ist, so ist au ch dessen vierte Potenz 1. Man kann aber auch sagen: j e d e Quadratwurzel aus 1 ist au ch vierte Wurzel aus 1 ; oder : a 11 e Quadratwurzeln aus 1 sind vierte W urzeln ans 1 1 ). Hier haben wir die Un t er or d nun g eines Begriffes unter einen Begriff, einen a 11 gem e in bejahenden Satz. Wir haben Begriff eine Function mit einem Argumente genannt, deren Werth immer ein Wahrheitswerth ist. Solche Functionen sind hier g4 =1 und ; 2 =1; diese ist der u n t erg e or d net e, jene der ii berg e or d n et e Begriff. Aus diesen Begriffen als Merkmalen ist ...,,.. g4 =1 zusammengesetzt. Unter Lg2=1 diesen Begriff fallt z. B. die Zahl - 1 : b(-1) 4 =1 I L(-1)2=1, in Worten: - 1 ist Quadratwurzel aus 1 und vierte Wurzel aus 1.

sind vierte Wurzeln aus 1', wobei aber die Form des Plurals nicht so verstanden werden muss, dass es gerade mehre sein miissen. ~a 4 =1

'

in W orten: es giebt mindestens eine dritte Wurzel aus 1, die auch vierte Wurzel aus 1 ist; oder: e in i g e - oder mindestens do ch eine - dritte Wurzel aus 1 ist vierte Wurzel aus 1. In unsern Zeichen erscheint das Satze verbindende ,und' weniger einfach als der Functionsname wofiir ein einfacher W ortausdruck fehlt.

l ;',

' ~

Das in der W ortsprache vorliegende Verhaltniss scheint leicht das natiirlichere und sachgemassere zu sein, weil es das gewohnte ist. Was aber, vom logischen Standpunkte aus betrachtet, einfacher sei, ist nicht leicht zu sagen: man kann mit ,und' und der Verneinung unser erklaren, aber auch umgekehrt mit dem Functionsnamen das ,und'.

Offenbar besagt z. B.

weniger als

b 2 + 3 = 5' ,'L2+3=4

l ;'

,

~

sich damit das Schliessen darstellt, zu dem wir jetzt iibergehn.

S c h 1 ii s s e u n d F o 1g e r u n g e n. 4

bar heben sich'hier zwei Verneinungsstriche gegenseitig auf: ~n =1. ~

und dem Verneinungsstriche

und konnte darum fiir einfacher gelten. Der eigentliche Grund fiir die Einfiihrung des ist die Leichtigkeit und Uebersichtlichkeit, mit der

' . La 2 =1

Betrachten wir dies no ch von einer andern Seite !

g'

,1~ j... 2 + 3 = 5'

;' 1 , ~

,'L2+2=4

Wir haben in § 8 gesehen, wie das ,es giebt' der W ortsprache wiedergegeben wird. Wir wenden das an, um auszudriicken, dass es etwas giebt, was Quadratwurzel aus 1 und vierte Wurzel aus 1 ist: ~n 4 =1. Offen-

'

Las=l,

La2=1

a4 = 1 ist der

La2=1 Wahrheitswerth davon, dass, wenn etwas Quadratwurzel aus 1 ist, es nicht vierte Wurzel aus 1 sei, oder, wie wir auch sagen konnen, dass k e in e Quadratwurzel aus 1 vierte Wurzel aus 1 sci. Dieser Wahrheitswerth ist das Falsche und folglich: ~ n4 1. Wir haben hier die Verneinung ' . Ln 2 =1

=

eines a 11 gem e in verneinenden Satzes, d. h. einen part i cu 1 a r bejahenden Satz 2 ), fiir den wir auch sagen konnen: , e in i g e Quadratwurzeln aus 1 1) Man verbindet hiermit leicht den Nebengedanken, dass es etwas gebe, was Quadrat-

wurzel aus 1 sei. Dieser muss bier ganz fern gehalten werden. Ebenso ist bier der Nebengedanke abzuwehren, dass es mehr als eine Quadratwurzel aus 1 gebe. 2) Der p art i c u l a r bejahende Satz besagt einerseits zwar Weniger als der a 11 g e m ei n bejahende, andererseits aber auch, was leicht iibersehen wird, mehr, da er das . ,Erfillltsein der Begriffe bebauptet, wahrend die Unterordnung auch bei leeren Begriffen und grade bei diesen immer stattfindet. Manche Logiker scheinen die Begriffe ohne Weiteres als erfiillt anzunehmen und den sehr wichtigen Fall des leeren Begriffes ganz zu iiberseben, vielleicht weil sie leere Begriffe sehr mit Uurecht nicht als berechtigt

§ 14-. Aus den Satzen ~I"' und , ~ .d' kann geschlossen werden: , ~I''; denn, ware

r

nicht das

' .d

wahre,

so ware, da d das

w ahre

ist,

1~ das

Falsche. Ich werde nun jedem in Begriffsschriftzeichen aufgestellten Satze, wenn er spater zu einer weitern Beweisfiihrung gebraucht werden soll, ein Ab z e i ch en geben, um ihn heranziehen zu konnen. W enn nun so der Satz ~I"' das Abzeichen ,a' und .~ d' das Abzeichen ,(J' erhalten hat, so ,d schreibe ich den Schluss entweder so oder so ~d' (a):-

~~'

({J)::-

'

~r

mit Doppelkolon

~r mit einfachem Kolon.

~nerke?nen.. Da~er ~ommt, e~, dass ic~ die Ausdriicke ,Unterordnung', ,allgemein beJahend, ,partic_ular beJahend n~c~t ganz. m demselben Sinne gebrauche, wie jene Logiker, und zu Ausspriichen gelange, die Jene m1t Unrecht .fiir falsch zu 'halten geneigt sein werden,

27

26 Dies ist die einzige Schlussweise, die ich in meiner Begriffsschrift angewendet ha be, und man kann mit ihr auch auskommen. Das Gebot der wissenschaftlichen Sparsamkeit wurde nun eigentlich verlangen, es zu thun; aber dem treten praktische Grunde entgegen , denen ich hier , wo ich lange Schlussketten bilden will, etwas nachgeben muss. Es wurde sich namlich eine zu grosse W eitschweifigkeit ergeben, wenn ich nicht noch einige andere Schlussweisen zulassen wollte, was ich schon in dem V orworte jenes meines W erkchens in Aussicht genommen habe. W enn uns die Satze

WT •

und ,~.d

wo im Schlusssatze die Unterglieder auch anders geordnet sein konnten. Wenn ein Unterglied eines Satzes sich von einem zweiten Satze n ur durch den fehlenden Urtheilstrich unterscheidet, so kann man auf einen Satz schliessen, der aus dem ersten durch Unterdruckung jenes Untergliedes hervorgeht. Wir ziehen auch zwei solche SchlUsse zusammen, wie aus Folgendem zu ersehen ist. Es sei noch gegebender Satz ,~A (e'· Dann schreiben wir den doppelten Schluss so :

(fl'

,t~(r

gegeben sind, so konnen wir nicht unmittelbar wie oben schliessen, sondern erst, nachdem wir, von der Vertauschbarkeit der Unterglieder Gebrauch machend, (/') umgewandelt haben in

~~·· '

l.,.I' I und l.,.J I 1 LL1 (a ,'l 0 (o

d

(fl)::-

~~

konnen

wir

auf

den Satz ~I''

schliessen. I.,. r ist namlich nur dann das Falsche, wenn e das W ahre und I' nicht das Wahre ist. Wenn aber das Wahre ist, so muss auch LI das W ahre sein, weil sonst LI das

e

oder

~LI

e a>e

3

...._,,

!;~ a>es a>e Bei dem Uebergange von einem lateinischen zu einem deutschen Buchstaben muss nocb folgender Fall erwahnt werden. Betrachten w1r den Satz ~©(a)', worin ,r' ein

,' . Lr

Eigenname and , '1>@' ein Functionsname sei! ~;(a) ist das Falsche, wenn die Function

'1>(§) fiir irgend-

1r

ein Argument das Falsche als Werth hat. Das ist dann der Fall , wenn I' das Wahre ist und der Werth

33

der Function -4 e" >4 e >2

1) Die zweite Regel des § 8 verbietet bier nicbt den nochmaligen Gebraucb des Fr e g e, Urundgesetze J.

Es ist klar, dass nur solche Unterglieder aus dem Gebiete des ueu einzufiihrenden deutschen Buchstaben entlassen werden konnen, welche den zu ersetzenden lateinischen Buchstaben nicht enthielten. Ich will solche Uebergange so schreiben:

a 2 >4' 2.a>4 e2 >4 e >2

..._,, 2

h~ .e;!' ~e 2

>4 , e >2 Statt mehre deutsche Buchstaben nach einander einzufiihren, schreiben wir gleich unter das Zeichen ,..._,,' das Endergebniss hin. Wir fassen dies in folgende Regel: Es ist erlau bt, in einem Satze einen lateinischen Buchstaben iiberall, wo er v o rk o mm t, d urch einen und denselben deutschen Buchstaben zu ersetzen. Dieser muss dann. zugleich iiber einer Hohlung vor einem solchen Obergliede angebracht werden, ausserhalb dessen der lateinische Buchstabe nicht vorkommtl). Wenn in diesem Obergliede das Gebiet eines deutschen Buch,e', well ,a' in dem ersten Satze nicbt im Gebiete des ,e' vorkommt. 1) Wenn also der lat. Bucbstabe in jedem Untergliede vorkommt, so muss der ganze Satz ohne den Urtbeilstricb als Oberglied aufgefasst werden, und die Hohlung mit dem deutschen Bucbstaben darf dann von dem Urtheilstricbe nur durcb einen Wagerechten getrennt sein.

35

34 von (I) haben, der auch ohne Erinnerung mit unter (I) verstanden werden soll. - d und ..,. d sind immer verschieden und W ahrheitswerthe. Da nun ebenfalls immer ein ahrheitswerth ist, so muss er entweder mit - d oder mit ..,. d zusammenfallen. Daraus folgt, dass = (- d) immer das ahre § 18. Wir wollen nun mit lateinischen Buchstaben einige allgemeine ..,.d) Gesetze aufstellen , von denen wir ist; denn es wiirde nur dann das spater Gebrauch machen miissen. Falsche sein, wenn -r (-T) = (-rd) das W ahre, d. h. ( - r ) = (..,. d) das Nach § 12 ware r Falsche , und ( - r) = (- d) nicht das W ahre, d. h. das Falsche ware. Mit andern W orten: T ( - r) = (- d) L,.(-I')=( ..,.d) nur dann das Falsche, wenn T und d ware nur dann das Falsche, wenn das w ahre waren, wahrend r nicht sowohl (-I')= ( d), als auch das W ahre ware. Dies ist unmog( T) = (..,. d) das Falsche ware, lich; also was, wie wir eben gesehen, nicht moglich ist. Also (I 1,...(-a)=(-b) Die ,I' ist diesem Satze als Abzeichen 'l,. (-a)=( -rb) (IV (§ 14) gegeben, und so werden auch Auf der rechten Seite des Gleichfernerhin Abzeichen den Satzen beiheitszeichens konnten die Klammern gelegt werden. W enn wir statt ,b' a' schreiben, konnen wir gleiche allenfalls entbehrt werden. Aus der Bedeutung des Functions'Unterglieder verschmelzen, sodass namens \g (§ 11) folgt wir in ~a' einen besondern Fall ~a= \b(a=e) (VI ' a stabeh enthalten ist und in diesem Gebiete der lateinische Buchstabe vorkommt, so muss der fiir diesen einzufiihrende deutsche Buchstabe von jenem verschieden gewahlt werd en (zweite Regel des § 8).

r

c-n "I::c-n=c

w

w

~:

Vokalbuchstaben, da sie ohne den Spiritus lenis nur an solchen Stellen vorkommen, wo auch Eigennamen stehen konnen. Auf einen Functionsbuchstaben folgt iiberall in seinem Gebiete eine K 1 am m e r, deren Innenraum eine Stelle oder zwei durch ein Komma getrennte Stellen enthalt , jenachdem der Buchstabe eine Function mit einem oder mit zwei Argumenten andeuten soll. Eine solche Stelle dient zur Aufnahme des einfachen oder zusammengesetzten Zeichens, das ein Argument bedeutet oder andeutet oder, wie die kleinen griechischen Vokalbuchstaben, die Argumentstelle einnimmt. ·Es ist klar, dass ein Functionsbuchstabe in seinem Gebiete iiberall mit einer oder iiberall mit zwei Argumentstellen vorkommen muss. Das Ge bi e t umfasst bei den lateinischen FunctionsbuchstabenAlles, was ausser dem Urtheilstriche im Satze vorhanden ist, bei den deutschen wird es begrenzt durch eine Hohlung mit dem alleinstehenden deutschen Buchstaben. Hierin stimmt der Gebrauch der Functionsbuchstaben ganz mit dem der Gegenstandsbuchstaben iiberein. Zunachst mag dies an Beispielen erlautert werden.

§ 20.

E r w e i t er u n g d e r A 11 g em e i n h e i t s b e z e i ch n u n g.

§ 19. Bisher ist die Allgemeinheit nur in Hinsicht auf Gegenstande ausgedriickt worden. Um dasselbe fiir Functionen thun zu konnen, sondern wir die Buchstaben ,f', ,g', ,h', F' G' H' und die entsprechenden 'deutschen '' '' als Functionsbuchstaben von den andern ab, die

wir Gegenstandsbuchsta ben nennen 1) , sodass sie nie wie diese Gegenstande , sondern nur Fnnctionen andeuten sollen. Zn den G eg ens tan ds buchsta b en rechnen wir auch die kleinen griechischen 1) mit Ausnahme von ,M', das einem besondem Zwecke vorbehalten bleibt.

~O tionen eines Arguments konnen Argumente unserer Function ~ qi(a) sein. W enn wir sagen ,die Function ~qi( a)', so vertritt ,qi' el;>enso das Argumentzeichen, wie ,§' in dem Ausdrucke ,die Function g2 = 4' einen Eigennamen vertritt, der als Argumentzeichen erscheinen konnte. Ebensowenig wie ,§' im letzten .Falle gehort ,qi' in unserm mit zur Function. Wir nennen nun die Functionen deren Argumente Gegenstande sind,' F u n c t i o n e n e r s t e r S t u f e ; die Functionen dagegen, deren Argumente Functionen erster Stufe sind, mogen F u n c t i o n e n z w e i t e r S t u f e heissen. Der Werth unserer Function ~qi(a) ist immer ein Wahrheitswerth, welche Function

>o

>

s

38

39

erster Stufe wir auch als Argument Dagegen: nehmen mogen. In Uebereinstimmung mit dem Friihern werden wir L.:a 2 =1 sie demnach Begriff nennen, und zwar Begriff zweiter Stufe Eine Function zweiter Stufe haben zum Unterschiede von den Be - wir auch in cp(2). Die W erthe dieg r i f fe n e r st er S t u f e , die Func- ser Function sind theils W ahrheitstionen erster Stufe sind. werthe, wie z. B. fii.r die Argumente Unsere Function ~cp(a) hatte g+g=g.g, g+ 1=4, denen die fiir die vorhin genommenen Argu- Werthe 2+2=2.2 und 2+1=4 mente als Werth das Wahre. Neh- entsprechen, theils andere Gegenmen wir nun als Argument die Func- stande wie z. B. die Zahl 3 fiir das ' tion gs =-1, so erhalten wir Argument g 1. Diese Function >O zweiter Stufe ist von der blossen in a as = - 1 das Falsche, Zahl 2 verschieden, da sie wie alle a >0 Functionen ungesattigt ist. weil es keine positive Oubikwurzel Die Function zweiter Stufe -q;(2) aus - 1 giebt. Ebenso ist der unterscheidet sich von der vorigen Werth unserer Function fiir das Ar- dadurch dass ihr Werth immer ein ' ist. Sie ist also ein gument g 3 das Falsche; denn Wahrheitswerth wir konnen ~a 3 immer er- Begriff zweiter Stufe, den wir Eigensetzen durch ~(-n+3), und schaft der Zahl 2 nennen konnen; dies ist das Falsche, weil der Werth denn jeder Begriff, unter den die der Function - g 3 immer das Zahl 2 fallt, fallt unter diesen BeFalsche ist , wenn wir namlich das griff zweiter Stufe, und alle andern Pluszeichen so erklart voraussetzen, Functionen erster Stufe mit einem dass fiir kein Argument der Werth Argumente fallen nicht unter diesen der Function g 3 das W ahre ist. Begriff zweiter Stufe 1 ). Auch in § 22. Eine andere Function q) U"(V ")q) , V,_;(U")'.\f>q ({J Dieser Satz ist mit (Va) und nach Regel (5) abzuleiten aus dem Satze

(s

(u '"') q)

ur.(wr.)'.\f,q) wn(v r.)q) v "(wr.)'.\f,q)

u r.(v r.)q) v ("' (u r.) '.\f,q)

'

(1.

Um den Sinn hiervon besser zu erkennen, verwandeln wir es durch Wendung in

Des bequemern Ausdrucks halber sage ich nun statt ,Begriff, dessen Umfang durch angedeutet wird ,u-Begriff', statt ,Beziehung, deren Umfang durch ,p' angedeutet wird' ,p-Beziehung', statt ,durch die p-Beziehung werden die unter den wBegriff fallenden Gegenstande den unter den u-Begriff fallenden eindeutig zugeordnet' ,die p-Beziehung bildet den w-Begriff in den u-Begriff ab'. Wir konnen nun (x) so in Worten wiedergeben:

l

Dieser Satz stimmt nahezu mit (o) iiberein. Um (o) aus (s) nach Regel (7) abzuleiten, bediirfen wir des Satzes I,. un (vn) '.lf..'.lf.q>' ,'Lur.(vn)q) (YJ Wir suchen also zunachst den Satz (e) zu beweisen. Er geht q)

u n(wn),'.\f.q) W"(V n)q) v n(wn),'.\f.q) vn(ur-).'.\f.q) ' - - - U n(v n)_'.\f.'.lf.q)

a) Beweis des Satzes

der nach Regel (5) folgt aus

rrTTl"'-"TTW"(U

rrrrro__,.,,. W n (U n ) q)

un(vn)q) v n(un)'.\f,q)

nu=nv ' un(vn)q) v n(un )'.\f,q)

dcr mit (IVa) zu beweisen ist. Wir bcdLirfen dazu der Satze

Wenn wir in (e) ,u' mit ,v' vertauschen und fur 4 ,_'.$.q' schreiben, so crhalten w1r

A. Beweis des Satzes nu=nv

(y

(:t

,W enn die Umkehrung der p-Beziehung den u-Begriff in den w-Begriff abbildet und die p-Beziehung den w-Begriff in den u-Begriff abbildet, wenn ferner die q-Beziehung den u- Begriff in den v- Begriff und die '.\f,q-Beziehung den v-Begriff m den u-Begriff abbildet, so giebt es

72 einc Beziehuug, die den w-Begriff iu den v-Begriff und deren Umkehrung den v-Begriff in den w-Begriff abbildet'. Eine solche Beziehung ist offenbar eine aus der p-Beziehung und aus der q-Beziehung zusammengesetzte 1 ), wie folgendes Bild anschaulich macht w-u-v p q Ich fiihre nun fur den U mfang einer aus der p-Beziehung und aus der q-Beziehung zusammengesetzten Beziehung die abgekiirzte Bezeichnung ,p ....... q' ein, indem ich definire

.Es wird nun auf den Satz ankommen

-

-

~

,

vn(wn)*(p ....... q))'

un(wn).'.\f.p) V n lU n) '.{;.q)

(ft

der auf (A) zuriickgefiihrt werden kann mit dem Satze ,p~(p ....... q)=-lf.q ....... -lf.p'

(v

Wir versuchen zunachst den Satz (A) 1) Vergl. Grundlagen S. 86.

~

,

und zweitens ~I(p ....... q)'

[Iq Ip

(o

(g) geht hervor aus

E

,

~:~a n(p ....... q))' ,

''(U") p)

U n (V

n) q)

Lt r.(mr.q)

((!

zu verwandeln. Sagen wir nun statt ,Gegenstand, der durch ,d' angedeutet wird' kurz ,d', so lautet unser Satz in W orten so : ,W enn d unter den w - Begriff fallt und wenn der w-Begriff durch die p-Beziehung in den u-Begriff abgebildet wird und wenn der u-Begriff durch die q-Beziehung in den v-Begriff abgebildet wird, so giebt es einen Gegenstand, der unter den v-Begriff fallt und zu dem d in der (p ........ q)-Beziehung steht'.

f\a)=b ' g(a) =b i/(e) = eg(e)

(('1

'

f(a) =b ' g(a) =b ef(e)=eg(e)

,~f(a)=anef(e)'

~f(a)=\a(~g(a) =a ,

Lef(e)=eg(e)

(cp

)'

g

L

(r'

Schreiben wir nun (II b) in der Form

f(a) =b ' ef(e) = ef(e) g(a) =b ef(e) = eg(e)

'

so sehen wir, dass hieraus mit (III e) 1 (/) folgt. Der Satz ((:1 ) folgt durch Wendung aus

g(a) =b ' ef(e)=eg(e) r(a)=b

,

(o'

und dies nach Regel (5) aus

ex

Das muss mit (VIa) geschehen und mit dem Satze ~(

'

(v

denn die linke Seite der Definitionsgleichung (B) ist ein Doppelwerthverlauf. (v) ist auf den Satz

1

von denen der erste durch Wen dung nach Regel (3) folgt aus

(-&

zuriickzufiihren, der aus der Definition (A) abzuleiten ist. Nach dieser ist zu beweisen

dnw W

(a'

und

~ dr.(t r.p))=dn(mr.(p......, q))'

,~f(a, b)=ar.(br.aef(e, a))'

(n:

Mg(a)=b , ef(e) = eg(e) , f(a) =b

L..:

(

x:i)

gg -

-

-

-

-

- : : (m;)

(bvv)v . t b (avl)vq a (avJ,)vq (bit v -') v v

x

(bvv)v l b (avl)vq l (b')tv-')vv (avJ,)v q - - - - -:('llII) (b')tv -')vvl, (bvv)v -'i {;(;

-

84

l,.U" (V") .\f-_lf,q)' ,'Lu"(V") q)

(a

Nach (11) haben wir dazu die Satze

-

§ 63. Aufbau. l,.dn(a".lf.-lf-q) 'lan(dn.'.Jf.q)

: ::

'

-

-

-

-

(a

-

(?'

l,.dn(an.'.lf.-lf-q) 'La,-,(anq)

b " (a ".'.lf.-lf-q)

u" (v ") q)

oder

22

(22):: b

((3

(Ila):- -

und

-

-

(2fi

-

Nun haben wir nach (13)

~

-

~=~anq)

zu beweisen. (5) hervor aus

dn(an-'lf,.'.lf.q)

a "V d n (an.'.lf..lf,q)

::: E

(o

(8): -

r::: , l~dn(a"q)

-

-

-

&i[ir: n~anq)]) '

Cr;

1•°C"'[t: rnq)])' 0

I

, d"(a"q)

(x

was leicht mit (I) und (36) geschehen kann. Dann muss noch abgeleitet werden

~a"8(L:" ~)'

a=C

b"u

1: "~)"[s(1:" :)")lq]

&(

cn(a"lq)

e(l: /"\ ;)

=

1: ":)"[ L: "~r) q]

b" (a"q)

a"

Von diesem gelangen w1r leicht durch Wendung zu unserm Satze fiir den Fall - d b, nachdem wir bewiesen. haben

und dann den Satz

a

(~

((3

, --!,.,.cn(an)lq)

8 (

-

(o

,la"v (:f

(A.

aus (I a) in der Form

Schreiben w1r zu diesem Zwecke (II a) in der Form (fl

ableiten. Um jenen mit (11) zu beweisen, bediirfen wir zunachst des Satzes

und dem Satze

1-rrr-~d"U

1-.-F(.... a" e(.... f(e)))'

a r.v

,'l F(-f(a))

(v

der aus ,~(-f(a)) =(.... a" 8(.... f(e)))'

(e

so miissen wir beweisen

(s

folgt. Dieser Satz ist aus (1) mit (!Vb) leicht zu beweisen.

-

105

104

§ 79. Aufbau.

Ia

§ 80. Zerlegung.

~a=c anv a" v

IVb ~(-f(a))=(-rrf(a)) (III c): - - - - - 1.r (-f(a))= (..,.ar.e(..,.f(e))) 'l(..,.f(a))=a"e(..,.f(e)) (a

~

§ 81. Aufbau. IHe ~c=c

Wir beweisen nun den Satz

(I):-

~: ~ Ic=c

(1): : - - - - - - - H-fia))=(..,.ar.e(..,.f(e))) (57

(Ia):- - -

(III c): - - - - - - 1.r F(..,.a" e(..,.f(e))) 'LF(-f(a)) (58

--·--

der mit (60) verbunden zu dem Satze (e) § 78 ffihrt. Rchreiben wir (II a) in der Form

~(-f(a))=(..,.ar.e(..,.f(e)))

57

(Illa):-------

1...F(-f(a)) 'l F(..,.ar.e(..,.f(e)))

(59

--·--

dT"&i[t: A~aAq)])

~d "(ar-.q)

I

ar.e( e=c) 1e=v dr.(ar.q)

a

d=b a=c d "(ar.q)

'.

(36):- - - - -

dAC&i[t: A~aAq)])

1

(Ila): -

-

-

-

(a -

~f ~(~:·~:I[

-

-

-

_ _t: !

-

-

-

-

-

-

-

-

1: A('""'[ir: ArAq)J)

(Ila)'-,

-A: - -- - -- -

A

(60):: - _ - - _ - -

-

a"e(1 :" !)

-

e "(ar.q)l)

-

(36):- - - - -

~~("'[t: rq)])(µ ~~ ~ i·A"'[t: Ar"q)])

so ist noch (8): -

dr.(a"q)

-

d n (cr.q). d=b c=c d=b

dAC"'[t: A~aAq)])

I

1(~ I

(59),-

abzuleiten, was mit (36) folgt aus

~~1~ ~:tr~1 ~ ':.:tqi

,

d" (cnq)' d=b c=c d=b

x co

Dieser Satz ergiebt sich aus (I a) in der Form

(GO

(I) und (III e).

_ _ _ _

107

106

e=b

e f"\ (d'"' q)' e=b

a=c

d=c

e "(ar.qy

e=b

e " (df"\q) e=b

a=C

d=c

e "(a"'q)' und

(11): -

Dabei treten zunachst die Unterglieder = b' und = b' auf.

Le

------------

Le

, a=c

, d=c

Diese konnen mit (I) in den Formen

~:

~'

und

,l:e =b

~

,

e=b'

d=c e=b

durch , .... e = b' ersetzt werden.

§ 83. Aufbau. 13 (61

I

§ 82. Zerlegung.

d=a

IJ

,

IOi

(t: oroq)

(a

(vergl. § 78, y). Um diesen mit (34) zu fiihren, bedftrfen wir des ~atzes

d=a e=b e "(dr.q) e=b

b " (a "q)

den wir aus den Satzen

Iq

(I, I):::

d=c e=b

== = ==

: , (a

a=c ·

nach Regel (8) beweisen. (y) folgt aus (13) mit (I) in den Formen

Schreiben wir nun (I) in der }'orm

b ,..., (a"q)' b=b

a=c

a=c e " (dr.q)

d=c Iq

(fl

a=C b "(ar.q) b=b (y

so konnen wir darauf (Ia) in der }'orn1

e=b

({I

"~a

"q. )' b "(anq) b=b

d=a

co

(a

beweisen konnen, der zunachst folgt aus

e=b e f"\ (af"\q) e=b

e=b

d=c Iq

e=b a=c e=b

e=b d=c

"""...-- d = a b "(a'"'q)

(a '•q)

e " (a" q)

d=c e "(df"\q)

und

a=c e r-(dnq)

a=c

4

(y

e "(a'•q) e=b

e " (a 0 q)

a=c

d=a

d=c

br.(ar.q)

den Wahrheitswertl1 davon anileut.et, dass I' zu .d in der q - Beziehnng stehe, oder dass 1 · mit b und d mit c zusarnmenfalle. Wenn wir fiir 1 · nun b nehmen, so kann Yon diesen beiden Fallen nur der letzte eintreten, wenn es keinen Gegenstand giebt, zu dem b in der q-Beziehung steht; d. h. es muss dann d mit c zusammenfallen. Demnach wird mau den Satz

b "

e=b a=c e f"\ (ar.q) e=b a=c e=b

e=b

Iq

1" "(dr-q)' r=b 1 ' .d=c

=====

a=c e "(dr.q)

Iq

Um nun den Satz (o) des § 82 zu beweiseu, bemerken wir, dass

e f"\ (dr.q) lq

(I, I): :

e=b e '"'(a,.,q) e=b

Es fehlt uns der Beweis des · Satzes

~d=a e " (anq)

§ 84. Zerlegung.

(62

~

,

b=b'

a=c a=c

-

109

108

~

(o)::- -

~b=b a=c .. a=c

!

-

~aAq)

b (ar.q) b=b a=c

(a

x b r. (aAq) b n (aAq) b=b

:

A

a

A

'-----..;,.Clrr

-

21 ~rr.(ar.q)=an(rA-lf.q) (IIIh):--------

f( t::~•

-

-

(Illa):

I

bA

(an q) (:t

(t:

r=b r~· a=c

0

-

-

a=c r=b

-

-

-

-

(IVa):

(a

0

~)

--·--

e "' (b "f)

((3

pt

u

ne(le=a)=e d=a e " (anf)

------

(71

--·--

t"U

(68) :- -

(a

(16):

nu=d

(fJ

(70

~b=a e " (anf)

"--'

"----rnv=a

!)= r.pe( C"B(l; ";) n

~d=a e " (a"f) e " (dnf)

(a

"--' n

d=a e "(ar.f)

,ne(l; "~)=e

(65

(64):-----

1:

ne(1:

(o

x

C"'V ,

'-' tn-r-........~IT nu= a

(58):---

"f)

nv=d

C"'V

(I):--

"(d"f) d=a e "(a"f)

x

nu=a bnu ne(l; "!)=e rnv=a

C"fJ

r.pe(

(a

(illc): - - - - - - - - - -

br.u

-·-

t"V

C"'V

~e

ne(l; ":)=e nv=d

ne(le=b)= rne(le= c)

;)

'I/JU= r.JV

c

b"U t'"'U

113

e " (a" f) d=a

nu=a nv=a

ne(l; "!)= ne(l;" ;) bne(l; "!) C"f(1 ; n

-

112

(y

1: Bewels des Satzes

(67

--·--

,~I~f'

a) Beweis des Satzes

nu=

nv

~ "'(1: n!)=" bnu

§ 88. Zerlegung.

1

(1: n:) ~6

C"fJ

(illa): - - - - -

- -

-

- -

1

(69

Wir wollen jetzt den Satz beweisen, dass es zu jeder Anzahl nicht mehr als eine gebe, die ihr unmittelbar in der Anzahlenreihe vorhergehe. Dies fiihrt zuriick auf den Satz F re g •, Grundgesetze J,

~= n ~nf);

,[d" (enf)

(a

Fiihren wir hier die aus der Definition (H) folgenden Ausdriicke ein, so haben wir

115

114 ,

rn----d=a mu= e

e(1 : "' ~)-Begriff

.......u.,,..,..a'"""TIJT

Qf'"\U

rne(i:"' :)=a ....,.._u,.._al"Tl'T

rn u =

e

Qf'"\U

ns(1 :

f'"\

:)=d (fl

einen Satz, der )'

(:Jo (t

1md

i(T ~~~ )= ;;(T1 ~~? )' , 1

-

116 -

h(e)

h(e)

0

f(a) g(a)

; )}

h(a)

durch

(o

(y)::---------

,'(1: ;(1: 0

0

~(T~~~))=(T:~?)

; )) '

1h(a)

ersetzen zu konnen. Diese Satze leiten wir zunachst ab.

§ 89. Aufbau.

1

f(a)

1.,. F(a'"'ef(e)) 'L F(f(a))

l F(l[~~~l)

(a

x

13

§ 90. Zerlegung.

(72

--·--

g(a) f(a)

1 ~f(a)=a'"'ef(e) (IIIh) : - - - - -

h(a)

~g(a, f(a))=g(a,a'"'ef(e))

f(a) g(a) ((:J

f(a) g(a)

h(a) g(a) f(a) (y

~g(a,fta))

=

g(a,

(~

al"\ ef1e)) ((:J (Va):-------~eg(e, f(e))=eg(e,e'"'ef(e)) (73 (III a ) : - - - - - - - j.,. F( eg(e, f(e))) 'LF(lg(e, e'"'ef(e))) (74

--·--

73

~eg(e,

{(e))= eg(e, e'"'ef(e))

(Ille):--------

(77

--·--

1

Fn~~~l)

g(a) f(a) g(a)

h(a) (IVa):---

1 ~f(a)=a"'ef(e) (III c): - - - -

h(e) h(e) (r; (IIIa):---------

h(a)

e(1 : '"' : )- Begriff

§ 91. Aufbau.

p(T~~~)= (-rlj~;?)

-

x

(e

8

h(a)

h(a)

y

fiele. Aber dieser Fall ist durch die Unterglieder ,-b'"'(nnq)' und ,l'."\f..q' ausgeschlossen.

~(1[f(a) )=(~gla)) g(a) f( a)

g(a)

h(a)

1

der unter den

h(a) h( a) (~ (Va):---------

If !g(a) h(a)

(I):- -

1h(a)

: '"' : )- Begriff fallt. W enn nun unter den e( : '"' ! Begriff ein 1 ri (

Gegenstand fiele, der zu n in der q-Beziehung stande, so brauchte es keinen Gegenstand zu geben, zu dem er in der q-Beziehung stande, und

h(a) 0

v-Begriff fallt n, das nicht unter deu

(75

--·--

g(a) f(a)

(x

um

.'(1: ;(1:

I.,. F( ig(e, e'"' ef(e))) 'LF(eg(e, f(e)))

~i~))=(T i(q) o; a=e; i

den wir mit dem ~atze

~

'

beweisen konnen. Dieser folgt aus (.S).

~e(mr.(xr.e))=m;

-

-

-

m=c x=d C =C d=d m; x=c; d

(Id):- -

-·--

x

l.re(mr.(xr.e)) = c; d 'lm; x=c; d (III a ) : - - - - - -

(r;

218 ~m=c

x=d m; x=c; d

(a (I b) : - -

- - ..,.. -

(a

~

f(m,

X)=f\C, d) m; x=c; d x=d

(219)::- - - -

-

((3

- -

i-rftm, x)=f(c, d) 'lm; x=c; d

~

--·--

(H 222

(218

- - - f(c, d) f(m, x) m; x=c; d

(221

(Ille):- -

- - - -

l.rx=d 'lm; x=c; d

(220

-

i.rf(m, x)=f(c, x) 'lm; x=c; d

-

m=c x=d m; x=c; d

(III e): - - - - - (a

-

,Lm; x=c; d :S

(IIIh):- - - -

(III e): - - - - - -

(Ille, III e):: ====

§ 149. Aufbau.

m'"'(O'"'P)

x n(ar.q)

m=c x=d C =C d=d m; x=c; d

(82) : - - - - - - - -

((3

l.rm=c 'lm; x=c; d

(III a): - - - - - - - - - -

~q"e(or.(ar.e))=qr.(o;

D=c;d d ,... (ar.q) A=o;a A=o;a

(33):------------

~ (i:; ~)=(i:~ ~) lm;x=c;d (~

(Illh): - - - - -

~llc ,... (or.p)

a

-

(33):

-

a

--·-

h----"T"A=o; a (la):- -

- - - -

-

~Dr. (.A.r.0(q~f))

x

(a

(321

n(x; y£q)=&'

~xn(ynoq)

y r.(y".!.. q)

'

Iq

(A

(a

mit (97), (271), (265) und dem Satze ~xn(yn0q) '

({J

der aus (269) und (270) mit dem Satze

~Xl"\(yl"\0q)' Xl"\(dl"\0q) ' dr.(yl"\0q)

i

= = =

~x "(y" .!.,q) dn(x; y £q)

(le):- -

- -

(323

(y

folgt, den wir mit (144) beweisen.

-

-

(321): ·-·-·-·-·-·-··-·-· (R25 ~ & ( n(x; y £q)nd) ~ & "(ntA£q)"d) [A=x;y

(a

11:

-

(f1

Y"(Y".!..q) Iq d"(X j y £ q) Iq (265)::- - - - - -

x tA=x;y & "(n(A£q)nd) (I a): - - - - - - - -

~·x

->X p

o " )) a (c '"'P) a ("'\(n'"'..!.,q)

1·

e

1•

("'\(e

0

b("'\~'"'0 s ("'\(b f"'l.!.,q) r '"'(e r>.!.,(.$p~q~p)) b n(e ("'\p) b r.(n'"'.!.,q)

e

f"'l!.-($p~q~p))

d r.(c '"'JJ) (I)::- -

~i:._n~q:(~("'\~~

- _ (o

r f"'l(C'"'!.-('.lf.p~q~p))

~=~~~~i)q)

J

tn'"'(dr>.!_,q) b ("'\(m; n£q) a f"'\(C '"'P)

1·

d,..,~,..,0

a r.(nf"'l.!.,q) e r '"'(c r..!_,(.$p~q~p))

dr.~,-,~

sr.~r>~

d r.(n'"'.!.,q) m; nS,qr.(u'"')p) (e (285)::- - - - - - - - - -

s '"'(n'"'.!.,q) m'"'(S '"'.!.,f b '"'(m;n_q) m; n£qr.(u'"')P) s '"'(af"'l.!.,q)

'"'(C'"'.!.,('.\£.p~q~p))

a '"'(c ("'\p) a r.(nr..!.,q) cl '"'(a'"'q) 11V'(d,-,.!_,q) e r ("'\(e 0 .!., '.lf.p~q~p)) d '"'(e '"'P) - d '"'(nn.!.,q) b r.(m; nS,q) - - m ; n£q'"'(W' )p) (t (322)::- - - - - - - - - ITmr-n-rrr

L e

ar>(C'"'p) a r.(n'"'.!.,q) d '"'(a'"'q) s r>(dr..!_,q)

r '"'(e r>.!.,(.$p~q~p)) d ("'\(e '"'P)

(t

(I)::- - - - - - - - - - -

r '"'(e r.!_,(,$p~q~p)) a n(c f"'lp) a n(nf"'l.!.,q) r '"'(e r..!.,(.$p~·q~p)) s r.(c r.p) m("'\(s ,-,.!_,q) b '"'(m; n£q) m;nS,q 0 (u'"')P) s r.(a0!.-q)

'"'(C f"'l0(,$p~q~p))

d r.(n("'\0q) m("'\(s f"'l.!_,q) b r.(m; nS,q) - - - m ; n£q("'\(u 0 )p) ,,,_.,

'"'(C f"'l.!.,($p~q~p))

a("'\~("'\~

d ,..,(n'"'.!.,q) r '"'(c f"'l.!.,('.\£.p~q~pl)

!Trr--rrn-r

(.'J

(152):- - - - - - - - - - e

(x.

(182)::---------e r '"'(e r>.!.,(.$p~q~p)) a '"'(e '"'P) a r.(nf"'l.!.,q) s r.(r ("'\p) --m'"'(S f"'l.!.,q) b ("'\(m; nS,q) m; n£"q("'\(ur.)p) 8 ("'\(ar..!.,q)

(I) (II a): -

-

-

-

-

-

-

-

r "(cr.0($p ....... q~p)) a("'\(cr.p) a ("'\(nf"'l..!.,q) s "(r r-.p) -mf"'l(S f"'l.!_,q) b r-.(m; n£ q) m; n£q("'\(u("'\)PJ s ("'\(a'"'!,q)

-

(/,,, -

-

c ("'\(x; y£(:.\f,.p ....... q ....... p)) Xf"'l(Cf"'l..!.,(_lf.p ....... u I">

u

(122

Eins ist die Anzahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstande, wenn es einen Gegenstand giebt, der unter diesen Begriff fallt, und wenn jeder unter den Begriff fallende Gegenstand mit jedem Gegenstande zusammenfallt, der unter den Begriff fallt. (110

Wenn Null die Anzahl der unter einen ersten Begriff fallenden Gegenstande ist, so ist Null auch die Anzahl der Gegenstande, die unter einen dem ersten untergeordneten Begriff fallen.

Die Anzahl Eins folgt in der Anzahlenreihe unmittelbar auf die Anzahl Null.

~

a"

(111

(275

b '"'(ar.q) F(b) '----at'">(bl'">Lq)

--·-

(123

W enn ein Gegenstand auf einen Gegenstand in einer Reihe folgt, so giebt es einen Gegenstand, der zu dem ersten in der reihenden Beziehung steht.

Der Anzahl Null geht nichts in der Anzahlenreihe vorher. at'">(br.Lq) \)'

-%(b) %(a) ar.(ar.q) b

a

%(a) b n(a"q)

'i5(b)

--·-

(127

(131 Ein erster Gegenstand geht einem zweiten in einer Reihe vorher, wenn er zu ihm in der reihenden Beziehung steht.

Die Anzahl Null ist von der Anzahl Eins verschieden.

1,t,

nu='l d f"\ u

F(a)

(126

(99

d=a

h-r--.--- F(b)

_rr-..a.JT F1. a)

a=c

a" u c I"> u

245

ar-.(at'">q)

nu='l

b

a=&

nu=a

-

(133 (117

W enn Eins die Anzahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstande ist und wenn ein erster Gegenstand unter diesen Begriff fallt und ehenso

(113

Wenn Eins die Anzahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstande ist, so giebt es einen unter diesen Begriff fallenden Gegenstand.

W enn ein Gegenstand auf einen zweiten in einer Reihe folgt und zu einem dritten in der reihenden Beziehung steht, so folgt auch der dritte auf den zweiten in dieser Reihe.

W enn ein Gegenstand auf einen zweiten in einer Reihe folgt und einem dritten in dieser Reihe vorhergeht, so folgt auch der dritte auf den zweiten in dieser Reihe.

--·-

1--·-dr.(cr..Lq) dr.(al'">q) ar.(cr-.Lq)

(129

1-,.n r.(mr-L.ip) 'Lmr.(n "'.!.p)

(302

1-,.mr.(n "'.!.p) 'Ln r.(mn.!..'.lf.p)

(299

--·--

Ein Gegenstand folgt auf einen zweiten in der Reihe einer Beziehung, wenn der zweite auf den ersten in der Reihe der umgekehrten Beziehung folgt.

--·-(200

W enn ein Gegenstand einer mit einem zweiten anfangenden Reihe angehort, so fallt er entweder mit ihm zusammen oder er folgt auf ihn in dieser Reihe.

1 --·--

xr.(y" .!. q) xr.(dl'">Lq) dn (yr.,!_,' q)

(276

247

246 -

(280

--·-1 - r r - -.....

F(b) F(a)

~dn(yn0q)

..._,..,.._,.,.F(a) b n(a n q) F(b) .._-.-an(br.!_,_q)

zugleich der mit einem dritten (x) anfangenden Reihe derselben Beziehung angehort, so gehort der zweite ebenfalls der mit dem dritten anfangenden Reihe an. dn(anq) an(yn0q)

(144

--·--

--·-~an

(bn0q)

b=a

-·--

~~an(mnLq) e n(mnq) an(e n0q)

~an(an!.,q)

(134 W enn ein Gegenstand einer rnit einern zweiten anfangenden Reihe angehort und zu einem dritten in der reihenden Beziehung steht, so folgt der dritte auf den zweiten in dieser Reihe.

(285

(139

(140

J eder Gegenstand gehort der mit ihm selbst anfangenden Reihe irgendeiner Beziehung an.

an(mn.L q)

--·--

( 13li

(145

Keine endliche Anzahl folgt auf sich selbst in der Anzahlenreihe (8. 137 u. 144).

i... b n

n(b n d) n :!') 'l&n(bn!.,:f') (

(155

Die Anzahl der Glieder der mit einer end lichen Anzahl (b) endenden Anzahlenreihe folgt in der Anzahlenreihe unmittelbar auf diese Anzahl (b).

Zu jeder endlichen Anzahl giebt es ein unmittelbar folgendes Glied der Anzahlenreihe. l.,.n n(mn0-¥.p) 'lmn(n n0p)

(132

~[an(mn0q)

h,.b n(br-L:f') 'L&n(bn!.,f)

(157

--·-W enn ein Gegenstand einer mit einem zweiten endenden Reihe angehort und wenn ein dritter zu ihm m der reihenden Beziehung steht, so folgt der zweite auf den dritten in dieser Reihe.

den 13eziehung steht und welcher der mit dem zweiten (a) anfangenden Reihe dieser Beziehung angehort (8. 143).

(303

--·--

r n(nn0p) n n(r n.!.p) mn(nn0p)

Ip mn(rn0p)

(243

W enn ein Gegenstand (r) der mit einem zweiten (m) anfangenden Reihe angehort, deren reihende Beziehung eindeutig ist und wenn derselben Reihe ein dritter Gegenstand (n) angehort, so gehort dieser (n) der mit dem ersten (r) anfangenden Reihe dieser Beziehung an oder geht diesem in der Reihe vorher.

(306 W enn ein Gegenstand auf Null in der Anzahlenreihe folgt, so gehOrt er der mit Eins anfangenden Anzahlenreihe an.

l.,.mn(n n!.,p)

--·--

F(b) F(a) ""-J'"n-.rr F( a) b n(anq) -an(b n.'..,q) --F(b) 1.---an(bn0q)

dritten (a) in dieser Beziehung steht, so gehort der zweite (n) der mit dem dritten (a) anfangenden Reihe dieser Beziehung an.

'ln n(mn0-¥.p)

l

(152

(304

Ein Gegenstand (n) gehort der mit einem zweiten (m) anfangenden Reihe einer (p-)Beziehung an, wenn der zweite (m) der mit dem ersten (n) anfangenden Reihe der umgekehrten Beziehung angehort.

(307 W enn ein Gegenstand der mit einer endlichen Anzahl endenden Anzahlenreihe angehort, so ist er selber eine endliche Anzahl.

~--·--

--·-

~

(137

e n(bnq) an(bn.Lq)

xn(yn0q)

xn(dn0q) dn(yr-0q)

(322

W enn em Gegenstand (d) der mit einem zweiten (y) endenden und

(296

an(en!-q) (141

(242

W enn ein Gegenstand (b) anf einen zweiten (a) in einer Reihe folgt, so giebt es einen Gegenstand, welcher zu dem ersten (b) in der reihen-

W enn ein Gegenstand (d) einem zweiten (n) in einer Reihe vorhergeht, deren reihende Beziehung eindeutig ist, und wenn er zu einem

Wenn ein Gegenstand (y) einer mit einem zweiten (i) anfangenden Reihe angehOrt, deren reihende Beziehung eindeutig ist, und wenn der zweite Gegenstand (i) auf sich selbst in der Reihe dieser Beziehung folgt,

-

so folgt auch der erste (y) auf sich selbst,

--·--

(165

Endlos folgt auf sich selbst unmittelbar in der Anzahlenreihe.

W enn Endlos die Anzahl emes Begriffes ist und wenn die Anzahl eines andern Begriffes endlich ist, so ist Endlos die Anzahl des Begriffes unter den ersten oder unter den zweiten Begriff fallend (S. 154). ~()r1(.;:;vr1!..,f)

(167

Endlos ist keine endliche Anzahl. ~er1(ar1q)

er1(ar1(u.q))

(188

--·-~I(u0q)

lq

(189

--·--

~ X"(Y "J. q) x" (y" J. (u .c:o q))

--·--

(194

(201

--·--

~?f"U

dr1(yr1(u.q))

--·--

.',

~do(ao(oDq)) dr1(ar1q) a"'U

--·--

~.;..rrrr~ e(-e "U) =a"'¥.!.., q

br1u br1(er1q) --.....rri n(ir1J.q) o.----Iq b

-----cv= I/JU

1.r F(o; a) 'LF(e(o"'(a"'e)))

(191

~

o=e (251 a=i W enn ein Ge gen stand mit einem zweiten und ein dritter Gegenstand mit einem vierten zusammenfallt, so fallt das aus dem ersten und dritten bestehende Paar zusammen mit dem aus dem zweiten und vierten bestehenden. ~or1(ar1q)=qr1(0; a)

(215

l.rx=d

'Lm; x=c;

d

(219

W enn ein Paar mit einem zweiten zusammenfallt, so fallt das zweite Glied des ersten mit dem zweiten Gliede des zweiten zusammen.

1.rm=c 'Lm; x=c; d

(220

l.rf(m, x)=f(c, d) d

(221

'Lm; x=c;

--·--

·~~

c

"(Ar1(p~q))

(224

c " (o "P) D=c;b

--·-(225

--·--

--·-1-rr--....---F(n, y)

(o

F(o,a)

a

'-'Mx r1(ar1q) Lm"'(O"'P) F( o, a)

1 ...._.......J"l"'._,..r-a"T

b "'(ar.q) c r.(or1p) --F(c, b)· L - - - - - - m ; X"'(n; ynJ.(p~q))

(231

--·-

(249

i

--·-

(197

(207

--·-o; a=e;

1,.---rD

249

b r1(a r.q) A=o; a (213

W enn Endlos die Anzahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstande ist, so konnen diese in eine unverzweigte Reihe geordnet werden, die mit einem bestimmten Gegenstande anfangt und, ohne in sich zuriickzukehren , endlos fortlauft (S. 160).

--·--

~xr1(yr10q).

X" (yr10(U. q))

-

248

l...xr1(dr1J. q) dr1J.(p~q))

'Lm; xr1(c;

(234

(233

W enn ein Paar auf ein zweites in der Reihe einer gekoppelten Beziehung folgt, so folgt das zweite Glied des ersten Paares (d) auf das zweite Glied des zweiten Paares (x) in einer Reihe , deren reihende Beziehung das zweite Glied der gekoppelten Beziehung ist.

--·-(244

~

--·mn(br10p) [m; xn(b; dr.c.,(p~q))

(246

--·--

i--------.. F(n, y) F(m, x) ~..........,.._"'a"""'"F(o, a) br1(a"'q) C"'(O"'P) o.----F(c, b) ' - - - - - - - m ; xr1(n; yr.0(p~q))

~

I(p~q)

Ip Iq

-·-

(257

(252

Wenn eine Beziehung eindeutig ist und ebenso eine zweite, so ist die aus der ersten und zweiten Beziehung gekoppelte ebenfalls eindeutig.

250 ~~c; d"'(o; a"'(p~q)) d"'(a"'q) C"'(onp)

(208

Wenn ein Gegenstand (c) zu einem zweiten (o) in einer (p-)Beziehung steht und wenn ein dritter Gegenstand (d) zu einem vierten (a) in einer zweiten (q-)Beziehung steht, so steht das aus dem ersten und dritten Gegenstande bestehende Paar ( c; d) zu dem aus dem zweiten und vierten bestehenden Paare (o; a) in der aus der ersten und zweiten Beziehung gekoppelten Beziehung.

~ --·--

An(o; a"'.!..(p~q))

d

0 (a 0 q) c r.(o"'p) A"'(C; d"'.!..(p~q))

l.rx; m"'(y;

-

--·--

•~::~:~~oq

h------c::,,

J...F(A"'(b; dn0t)) 'LF(b n(dn(A ~t)))

(247

--·--

--·--

--·--J... F(o" (a" (A"'\ tJ))

(253

'LF(A"'(o; a"'.!..t))

(210

~m"'(X"'(m; x ~t))

(238

--·---·--

--·--

~~ O n(a"'(A "'\(p~ q))) d"'(a"'q) C"(O"'p) c "'(d"'(A ~ q)Reihe ist, falls m in der mit x anfangenden q-Reihe zuerst unter den v-Begriff fallt und die q-Beziehung einde ,ig ist und kein Gegenstand in, der q-Reihe auf sich selbst folgt. Dies ist der in unserer Ueberschrift aufgefiihrte Satz. Wir beweisen (a) mit (144).

§ 8. Aufbau. T

x,..,(y'"'(v.co0q))

i f"\(i,..,.Lq)

(14): - - - - - - - - - - - - -

x,..,(a,..,(vaq))

Iq

(358a

1.n. d,.., (a,.., (vi'> q)) '[ d,..,(a,.., (VD.L q~ .L q)) La'"'(af'\(v.o.L q))

l,..d'"'(a,..,(VD.L{j)) 'La,..,(a,..,(vi'>q)) (188): - - -

'Lr d'"'(a,..,(VD.Lq))

(359

x

- - -

l,..df'\(af'\.Lq)

1-r.. df'\(a,..,(vi'> q)) (356

(361

(360

(Ia):: - - - - - - -

--·-

Begriff fallenden Glieder der mit x anfangenden q-Reihe ordnen konnen wie dort angegeben war:

(T

Xf"\(y,..,(VD.!-(j)) YI"\ (Y" .L q)

x

--

......,_... xf'\(yf'\.!-q) yf'\v ef'\(x;y£q) e f'\V yf'\(yf'\.Lq)

Wir kniipfen nun an § 1 wieder an, indem wir eine Beziehung definiren, mit der wir die unter den v-

(355): ·-·-·-·-·-·-·

e ,..,(x; y£q) e ,..,v

e '"'V

(a

-Iq

(353) : - - - - - - -

x,..,(af'\(vaq)) X,.., (y,..,.!- q)

§ 7. Zerlegung.

(Ila):: - - - - -

(t

- - -

e ,..,(x; x£q) e f'\V x,..,(a,..,(vaq))

Xf'\(y,..,.!-q) yf'\(x;y £q) YI'\ (y,.., .L q)

Iq

ef"\(x;x£q)

(Ila):: - - -

187

-

(a

'Lal'\ (a"(vi'> q)) (280) : - - - - - -

(362

-

8

~$n(anLq) X'"'(d,-.,.!_,q) d'"'(a'"'(voq))

361

~dr.(a,..,(v.c.Lq))

. d,..,(a,..,(voq)) (a

('191}: -- -

(136): - - - - - -

-

-

-

~a"'V

d~(a,...(voq))

~$n(anuq) X"'(d'"' J..,q) ' d'"'(a,..,(voq))

(363

~$n(an(vnuq)) X'"'(d,-.,.!_,q) d'"'(a,..,(vo ..q)) a'"'V

~$n(a n (vnuq))

d,..,(a,..,(voq)) X'"'(d,..,(v.cJ..,q))

-·-(-rr8'"'

(a

'-' ~$n(an(vnbq))

(a

b '"'(a'"'(voq)) x,.., (b,.., (v.c J.., q))

(188): - - - .,.. - - -

~$n (a n(vn b q)) X'"'(d'"'(V.c.,!,q)) d,..,(a,..,(voq)) a'"'V

(365

(364): - - - - - -

(197): - - - - - -

~ &e

-

((:J

(144): ~$ n(cn(vnuq))

(364

m'"'(c,..,J..,(voq)) x '"'(m,..,(v.c-!.. q))

-·-

(366

(6): - - - - - - - - - x,..,(m'"'( v.cJ..,q~.L q)) 1,.x,..,(m'"' (v.o-!.. q)) X'"'(m'"'(V.c.,!,q)) 'Lxn(m,..,(vaq)) x,....(m,..,(v~q)) (367 (366): - - - - - - (Id): - - - - - - -

r

mit c endenden q-Reihe giebt, von dem gilt, dass jedes Glied der von m bis c laufenden q-Reihe, das unter den v-Begriff fallt, der von m bis zu diesem Gliede laufenden (vo q)-Reihe angehort. Aus diesem Satze schliessen wir dann, dass c, wenn es unter den v-Begriff fallt und der mit m anfangenden q-Reihe angehort, auch der mit m anfangenden (v o q)-Reihe angehore. Die Bedingungung, dass c der mit m anfangenden q-Reihe angehore, kann ersetzt werden durch die, dass es der mit x anfangenden q-Reihe angehore, wenn m das erste Glied der mit x anfangenden q-Reihe ist, das unter den v-Begriff fallt. Den Satz (a) beweisen wir nun mit (152) und bediirfen dazn des Satzes ITl"MMT'-..rn'\.J"TT'

(a,..,(v.cJ..,q ~.L q))) = vaa Le,..,(a'"' (v.oJ..,q))

(368

9

e ,.., (m ; n £(v oq))' e "(m; dS, q) e '"'V

Um diesen abzuleiten, unterscheiden wir die Falle, dass a unter den vBegriff fallt und den entgegengesetzten. In diesem haben wir den Satz

e "(m; nS,p)' e "(m; aS,q)

e

e '"'V

§ 10. Aufbau.

~a=e

§ 9. Zerlegung.

e '"'(m; dS,q) e '"'(m; aS,q) d '"'(a'"'q)

e

U'"'(a,..,J..,q) llL-----ra r.(a"L q) JL------Iq

rrm~.,......""""'e "'(m; nS(voq))'

e '"'(m; cS,q) e '"'V n '"'(C,..,!.,q) '-----rC '"'(C'"'l.q) "'----Iq

....__ _ _ m,..,v

(a - - - - - m" (c ,-.,.!_, q) ab; d. h. wir zeigen, dass es uuter gewissen Bedingungen ein Glied der

'"'V

a '"'V

m"(d,..,.,!,q)

({J

Um den Satz ((:J) des § 7 zu beweisen, leiten wir zuerst den Satz

er.v a'"'V

(280b): -

e '"'V (369

(y

worin ,p' statt ,vo q' geschrieben ist. Dieser folgt leicht aus (280b ).

Illb

n '"'(d,..,.,!,q) ---d,..,(a,..,q) ----m,..,(d,..,-'-:q) .......,_,.,,__,...,..e '"'(m; nS,(voq)) e '"'(m; aS,q)

'"'V

d,.., (anq) a '"'V m'"' (d n.f.., q) e'"'(m;n£p) e '"'(m; dS,q)

I (Ila)= _

e '"'(m;nS,p) e '"'(m; aS,q) e '"'V d '"'(a,..,q) a '"'V m '"'(dn!_,q) e '"'(m;nS,p) e '"'(m; dS,q) e nv

(a

10 ,.,..,.~rrre

.... c '"'(m ;n£(voq))'

(m;n£p)

0

...,,..TTT'l"~

e A(m;a£q) e v

Zuro Beweise des Satzes ({J) des

§ 9 fassen wir nun den Fall ins Auge, dass a unter den v-Begriff fallt, und beweisen den Satz

(y

C AV

x

e A(m; dS,q) e AV

e A ( m ; n £ p) e nm; d£q) e AV

d n(aAq) •'---a r\(ar\Lq) ....___ mr\(dn0q)

..___ mA(dn.!_,q)

e e

n(m;n£p) r.(m; a£q) r.v

._____ n r\(dr\0q)

(o

,.,._.,.,........._"""e A(m; n£p) e A(m; d £q) e AV 0

(a"q)

a AV

(e

(137):: h-"nTl'T'-"TT

e r. (m ; n £ p) e r\(m; d£q) e AV n r.(d,..,0q) dr.(anq)

AV

n n(ar.!-q)

Iq

(y

mr.(m; dS,q) d r.(dnJ..q) mr.(d00q)

!

Iq

(370

((1

wo ,p' die Stelle von ,(voq)' vertritt, und

(371

(279):: - - - - -

-

mn(m; d£q) d n(ar.q)

t

Iq

ar.(anJ..q) mr-(dn!..q)

(271,265)::= =

=

(372

= =

mn(m;

~--·--

d£q) d n(anq) e r.(m; a£ q) mr.(dr.0q)

(o

n(m; a£p)'

e r.(m;a£q) mr-(dn.!_,q) e r.v en(m;n£p) e r.m; d£q) e nv a n(ar.J..p) '----n n(ar.p)

e r.v d A(anq) mr.(dr.!-q) ___........__,..... e r.(m; n£p) e n(m; a£ q)

L - - - - n n(ar.p) '-----mr.v

h-n--n"nTe

~x

d A(dnJ..q) mr.(m; d£q)

269

a=e

n A(an!_.q) i - - - - -.... a A(anJ..p)

ra...--aAV

.................... an(m;a£p)' nn(ar.p) d n(ar.q) e r.(m; a£q) mr. (dn.!_,q) mnv e n(m; n£p) c r.(m; d£q) e nv a r.(ar.J..p)

mr.(d 0 !..q)

342

d n(anq)

A (

C "V

'----mn(dA.!.,q) n e n(m; n£p) e n(m; a£q)

e

(a ·

m ; n £p )' e n(m; d£q)

""""""'"-rrr...:..rrr e

AV

n A(an.!_,q)

'-----a AV n e e A(m;n£(voq)) e r.(m; a£q) e r\ v , n r\(aA.!.,q)

Indem wir den Fall, dass n zu a in der (v oq)-Beziehung steht, von dem entgegengesetzten unterscheiden, beweisen wir die beiden Satze

--m"(dr..!_,q) '----n n(ar.!-q) ...._n'"IT'..J""Tr e r. (m; n £p) e A(m; a£q)

e

§ 12. Aufbau.

..__ _ mAV

(Ila):: -

d

Iq '---.... a r.(anJ..q) L---m n (d n .f., q) '"---mr\v '----....n n(an(voq)) '-----n n(dr.0q) " - - - - a AV

Zurn Beweise von ({J) unterscheiden wir wieder den Fall, dass e mit a zusammenfallt vom entgegengesetzten. Wir haben mithin die Satze

Iq

d n(aAq) a nv ......."--'""TT"e

h-mTrm~"" e A(m; n£(vo q))'

zeigen dazu, dass m der von m bit; n laufenden p-Reihe angehort, woraus folgt, dass n der mit m anfangenden p-Reihe angehort (269).

en(m;d£q) e r.v d n(anq)

§ 11. Zerlegung.

0

d "(anq) a r.v m"(dr·0q) --.._,.-rrC r.(m; n£p) e A(m;d£q)

MTl'"'-"TT

11

(137): -

l.,.mr.(nn!..p) 'Lmn(m; n£p) -

~ (e

zu beweisen. Jener ist auf (344) zuriickzufiihren, und wir miissen zu dem Zwecke zeigen, dass unter unsern V oraussetzungen a der mit m anfangenden p-Reihe angehOrt. Wir

(373

-

- -

-

mn(an0p)

n r.(anp) mr.(m; n£p)

(a

(344): - - - - - a r.(m; a£p)

n n(anp) mr.(m; n£p) a 0 (ar.J..p)

I (265)::

_

~p-

((3 __ _

12

-

13

des § 11. Dazu dient uns der Satz (280b) und der Satz (y

(Ila):: - - - - - -

(a

a r.(m; a£p) n r.(ar.p) mr.(m; d£q) mr.v er.(m;n£p) e r.(m; d£q)

e

der leicht mit (137) abzuleiten ist.

~e'"'(a'"'.!.,p) nr.(a'"'p) er.(n'"'.!.,P)

'"'V

a r.(a'"'LP)

(o

~

ar.(m;a£p) nr.(ar.p) d r.(ar.q) e r.(m; a£q) mr.(dr.!..,q) mr.v e "(m; n£p) e r.(m; d£q)

~

n '"'(a'"'p) d r.(ar.q) e r.(m; a£q) mr.(dr..!.,q) mr.v e r.(m; n£p) e '"'(m; d£q)

(a

- -

§ 13. Zerlegung. Wir beweisen nun den Satz (e)

e r.(m; d£q) e '"'V

'"'V

d "'(ar.q) •'---m'"'(dr..!.,g_) ,____ a '"'(a '"'.!.,q) ........,n..,.,.._..-rr e ,... (m; n£p) e n(m; a£q)

e '"'V

rrrnrrr--..-rr e

(375

e '"'V n '"'(ar..!.,g_)

(y

ar.(a'"'LP) n'"'(a'"'p) (280b):: - - - - - - -

e r.(m;a£q) e '"'V r.(a'"'q) mn(dr..!.,q) e '"'(m;n£p) er.(m;d£q)

r.(a'"'LP) ---nr.(ar.p)

x

cs

d '"'(ar.q) m'"'(d'"'.!.,q) 1...._nJ'ft._,,. e '"'(m; n£p) e '"'(m; a£q)

e '"'V

(a

a '"'(a'"'LP)

......,........,..,...._-'TT'e '"'(m;n£p) e '"'(m; d£q) e ,... "

11111'--d

---m'"'V

'-----r

...____ n '"'(a'"'p) '-----m'"'V

(140):: - - - - - - -

'"' (m; a £p)

11 .__--ra

er.(m;n£p) e '"'(m; d£q) C'"''V

·'•

m..,.....,.,...........-rr e "(m; n£p)

d r.(ar.q) mr.(dr..!.,q) e '"'(m; n£p) e r.(m;d£q)

1 i . - - - n "(ar.p) '----mnv

(e

(Ila):: - -

= ===

e '"'(m;a£p) e'"'(m;n£p) ar.(ar.Lp) n'"'(a'"'p)

'----,.a '"'(ar.Lp) ' - - - - n r.(a'"'p) '----mr.v

a '"'(a'"'LP)

rrrr-rre '"'(m; a£p) e"(m;d£q)

(374

(fJ

e ,... (m; a $.p) e r.(m; a£q)

e

(Ila): : - - - - - -

e '"'V

e nf)

Ip (270,265):::

'"'(m; a £p)

a r.(a'"'LP) a=e

n'"'(a'"'p) e'"'(m;n£p) e r.(m; a£p) m'"'(e'"'!..,p) a '"'(a'"'LP) n '"'(a'"'p) e '"'(m; n£p)

(e

(Ille): - - - - - m...,,.,.,rr e

er.(ar..!.,p)

(274): - - - -

e '"'V a "(ar.Lp)

trni,_..,,-rr

e '"'(m; n£p) e '"'(m; d£q) e r.v

d r.(ar. q) m'"'(dr..!.,q) --......,.rre '"'m; a&,p) e '"'(m; a£q)

(374): ·-·-·-·-·-·-·-·

(269) : : - - - - -

(373) : : - - - - - - -

""TTTl._-rr

e '"'V e "(m;n£p) e r.(m; d&,q) e "v a '"'(a'"'LP) n r.(a'"'p)

§ 14. Auf bau. 137

hTr-rrrrre r.(m;a&,p) e'"'(m;a£q) d r.(a'"'q) a=e mr. (dr.!..,q)

-

(o

e '"'V n '"'(a'"'.!.,q) ---"Ta r.(a'"'LP) ' - - - - - n '"'(a'"'p)

'-----m'"'V

(376

14

§ 16. Zerlegung. Es ist jetzt der Satz (r) des § 11 zu beweisen. Dazu brauchen wir den Satz

~

,

n'"'(an(voq))

-

schliessen. Um Cr) zu beweisen, leiten wir mit (144) und (363) den Satz

(a

nr.(a'"'!.,q) 'n'"'("l'"'.t.q) 1 r '"'(a 0 .t.q)

t 363

m'"'V

e '"'(m; n£ (vo q)) e '"'(m; di,q) e '"'V

n'"'("l'"'Lq) rr.(a'"'.t.q)

h-r'"'(n'"'0q)

q)

r'"'(a'"'.t.q)

(378

-·-

Da nun nach der Annahme n dem r in der q-Reihe vorherginge, so miisste n auf sich selbst in der qReihe folgen, ein Fall, den wir aus-

Iq a r. (ar. L q) mr.(dr.0q) mr.v e r.(m; n£(vo q)) e ·""(m;d£q) e r.v n r. (rr. L q) r r.(a"'Lq)

(381

m'"'(nr.0q) n '"'(r'"'.t.q)

1

(136): - - - - -

1

(382 .................... ar.(a'"'.t.q) nr.(rr..Lq) d r.(ar.q)

(380) : : - - - - -

(144):

m'"'(rr.0q) m'"'(m;n£(voq)) 1 n r.(r'"'.t.q)

Iq

(a

a n(ar..Lq) mr.(dr.0q)

(Ira):: - - - - - -

m'"'V e r.(m;n£(voq)) e r.(m;d£q) e r.v r r.(ar..Lq) r r.v

m'"'(r 0q) mr.(m; dS,q) 0

'lr'"'(nr.0(voq))

(379

(269): : - - - - - h-r'"'(nr.0q) 'lr'"'(m; n£(voq))

(276): - - - - - - -

e '"'(m;n£(voq))

e '"'(m; d4q) e '"'V (380

n '"'("l'"'Lq)

(372):: - - - - - -

(o

(381): - - - - - - -

m'"'("1'"'0q)

h.rr.(n'"'0q)

(r

................... r r.(m; di,q) d r.(ar.q)

280 1m'"'(r'"'.t.q)

r'"'(a'"'0q) d'"'(a'"'(voq)) r'"'(d'"'0q)

(r

(352): - -

e '"'(m; ni,(voq)) e f"'\(m; d£q) e '"'V Iq

m'"'(nr.0q) n '"'(r'"'.t.q)

'

((3

(377

Dann wiirde r aber auch der von m bis n laufenden (v oq)-Reihe angehoren und mithin auch der mit n endenden q-Reihe nach dem zu beweisenden Satr.e

,'Lr'"'(m; n£ (voq))

.L

---..... a'"'(a'"'L q) n'"'(r'"'.t.q) r'"'(m; d£q)

'-'

((3

ar.(a'"'.t.q) m'"'(d 0 0q) m0 v e r.(m; nS,(voq)) e r.(m; d£q) e r.v n r.(rr..t.q)

(Ila) : : - - - - - - -

:~~:=~~~ Iq

--·--

Iq

n r.(r'"'.t.q) r f"'\(a'"' L q)

r '"' (a A

(:J96): - - - -

................... r '"'(m; di,q) d '"'(af"'\q) a '"'(a'"'.t.q) mf"'\(df"'\0q)

Iq

Iq

136 h.nr.(a'"'0q) (275):: - - - -

wegzuschaffen. Man muss also zeigen, dass es kein Glied geben kann, das auf n in der q-Reihe folgt und dem a m der q-Reihe vorhergeht und unter den v-Begriff fallt. Ware r ein solches Glied, so miisste es unter unsern Voraussetzungen der von m bis d laufenden q-Reihe angehoren:

(a

r'"'(m;ni,(voq))

§ 16. Auf bau. 'ln'"'(a'"'.t.q)

,Tn'"'(a'"'(V.!::>L q'--'.t.q))'

m'"'(rr-..!.,q) dr.(ar.q)

::~:=~:?

ab.

der leicht aus (T) abzuleiten ist. Es bleibt bier das Unterglied

-

(378): - - - - - - -

'

n'"'(af"'\(v.c:;,..! q~.t.q)) n'"'(a'"'(v.c:;,.t.q))

n'"'(n'"'.t.q) nr. (r'"'L q) 1 r'"'(m; n £(voq))

15

((3

(188, 191)::

=====

(e

-

16

-

-

a r.(ar-.Lq) n r.(rr.(v0Lq)) d r.(ar.q)

n n(rr.(v0.Lq)) r r.(ar..Lq) d r. (ar. q)

lq

Iq

ar.(a,...,.Lq) m"(dr.0q) mr.v e ,... (m; n£ (vi'> q)) e "(m; d£q) e r.v rr.(ar..Lq)

ar.(ar..Lq) mr.(d n.1.,q) mnv e n(m;n£(vi'>q) e r.(m;d£q) C "V

.....,._,...,,..n r.(ar.(vi'>q)) d ,..,(a"q) ar.(an.Lq) mr. (dn0q)

(r;

l...xn(y,..,.L q) ' ,'lxn(yn.L(vi'>q))

({1

d ,..,(a,..,q)

i.,.xn(y,..,(v0.Lq))'

lq

,'lxn(yn.L(voq))

L---a n(a,..,.Lq) ..__ _ m,..,(dn.1.,q)

den wir spitter brauchen werden. Die Ableitung ist ahnlich der von

i..----..n n(an(vi'>q)) L - - - - n ,..,(d,..,0q)

(383

--·--

'------a ,.., v

T

§ 16• .Aufbau.

Cr

361

(376): ·-·-·-·-·-·-·-·-· i . -.......~Jo..TC

(10): - - - - - · - - - - - - -

(a

(If):: - - - - - - - -

q))

nn 1..a'"' (v0 .L q ........ .L q)) nn(ar.(v0.Lq))

(197) : : - - - - - - - nr.(ar.(vi'>q)) nr.(ar.(v,c;,.Lq ........ .L q)) nr.(ar..L q) ar.v

(15):: - - - - - - - - -

§

nr.(an(vi'>q)) nr.(rr.(v0.L q)) rn(ar..Lq) nr. (ar. .L q) ar.v

(a

~x,..,(an(v0.Lq))

' .. lxn(an(voq))

-·-

C '"'V

d ,..,(a,..,q) 362

lq (385

" - - - a n(a,..,.Lq) l'----mn(d,..,0q) L---m,..,v

~

L - - - n f"l(df"l.!.,q)

n f"l(iJ,n.!_,q) (a

t - - - -... a n(ar.1.(voq))

-

xn(a"'.Lq)

dr.(a,..,(vi'> q))

Xf"l(d,..,.Lq) (197): - - - - - -

C f"IV

(386

~

Fr e g e , Grundgesetze II.

({1

x,..,(an(v 0.L q))

dn(an(voq) a;n(dn.Lq) a,..,v

~6~18~:= = = = = =

(383):: - - - - - - - -

(a

l...dr-(an.Lq) 'La,..,(a,..,(vi'>q))

(275): - - - - -

"----a,..,v ......::..r-rr..:..rn-C n(m; n£(vi'>q)) e ,.., (m; aG,q)

.......,____ nr. (ar.(vi'> q)) nr.(rr.(v0.L q)) rr.(a"'.Lq) dr.(ar.q) n,..,(dn0q) ,___a,..,v

l...x,..,(an(v0.Lq)) 'Lx,..,(an(vo q))

'-" n(m; n£(vi'>q))

e "(m;d£q)

(134): :- - - - - - - (384

(y

(366).

e n(m; d£q)

nr. (a" (v0 .L q ........ .L q)) nn(a'"'(V0.L q))

(f1

zuriickzufiihren ist. Dieser folgt mit (123). Wir beweisen aber besser zunachst den etwas inhaltreicheren Satz

C ,..,V

-~--e n(m; n£(vi'>q))

(a

der auf den Satz

e n(m; d£q)

"----m'"'V

!

n,..,(dn0q) a ""V

h-n-i'""'~..... c r.(m ;n£(vi'>q))

....___ mn(dn.1.,q)

~

~an(a'"'.L(vi'>q))'

,·~a"'(a'"'.Lq)

C '"'V

lq •'----a n(a".Lq)

nn(ar.(vi'>

,"Tan(a,..,.L (vi'> q))'

e n(m; nG,(vi'>q)) e ,..,(m;d£q)

Lr

nn(ar.(vi'>q))

Zerlegung .

weg mit dem Satze

n ,... (t'"' (v 0 .L q)) r.(an.Lq) d n(ar-.q)

C '"'V

lo.

Wir schaffen aus (386) noch das Unterglied

x ~""""t_,.

~

§

lq

(~

x

17

-n-'"'-""rr e r. (m ; n £ (v oq)) e "(tn; mS,q) e nv n "(m,..,0q) -----.....mr.(m,..,Lq)

----mnv ------mn(cn0q) (~

'------mnv

§ 17. Zerlegung. Wir beweisen nun den Satz

"'(m;n4(voq)) e ,..,(m; d S,q)

e nv n n(d,..,0q) " - - - - a "(a,..,Lq)

.............,............... e n(m;nS,(voq))'

e n(m;m£q) e nv n ,..,(m,..,0q) • ' - - -... mn(m,..,Lq)

1'-------Iq

L-----m,..,v

n n(dn0q) '-----rd l"'l(dn.L q) L----Iq

...._,.,

..._...:..n~_,......e

(a

er.(m;n£(voq))

""1I e r.(m; cS,q) Le r.v

e n(m; aS,q) e nv

,___ _ _ Jq

n "(a,..,0q) ' - - - - d ,..,(a,..,q) ._____ m,.., (d,..., 0 q)

C l"'IV

( ri

(152):- - - - - - - - - - 11 rrrnTT',.,. e

e n(m; n£(voq))

n n(Lq))

x

(391): - - - -

e (m;m£(voq)) 0

e"(m;m£q)

e '"'V

(6

..._,

(/1

(398) : : - - - - - - - - -

0

e

e '"'(m; mS,q) e "'V m" (m".Lq)

--Iq

(o

I

,

(398

(6

Iq

~F(n)

G(n) F(n) (Ila)::- - -

G(n) F(n).

..._,

e "(m;nS,(voq)) e "(m;mS,q) e ,.., v n '"'(m"0q) mr.(m"Lq)

(/'

(390): - - - - - - - - e

'QF(n)

--------Iq

e

~e (m;m5(v0q))

(a

e "(m; n£(voq)) e n(m; cS,q) e ,... v n '"'(C"' !.,q) C '"'(C"Lq)

Iq

~I(voq)

(394

e"(m;m£q) e "v nr.(mn-!.-q)

o(m;m,!(vOq))

Iq

"-"

(I):: - - - - - - - - -

e r.(m; nS,(voq))

Co

e "(m;mS,q) e "V m"(m"'Lq)

(/'

r=· CTb=·

(392

~eo(ao(vOq)) e'"' (a" (V£::> L q~ .L q)) e'"'(a'"'(V£::>Lq))

e"'(a'"'(V~Lq._.Lq))

t'

(a

x

(I): - - - - - - - -

(396) : : - - - - - - -

~e,..,((lr.0q)

nn(m"-!.-q)

o(m; m,S(vOq))

e "(m;mS,q)

a'"'(d'"'Lq) e "(a"(vo q)) e "(dr.(voq))

(362):: - - - - -

Cr

Iq

(/1

Iq

n

mr.(m "Lq)

~d=•

(391

~e"(d,..,0q) er.(d"'Lq)

e"(d'"'(Vo q))

(a

(130):

m"(m"LP)

e r.(m; mS,(voq)) er.(m;m£q) e "'V e r.(m; n£(voq)) e r.(m;mS,q) e "'V

o(m;m,S(vOq))

e=m

(399

140 ~m,..,(m"-!.-q) (Ila)::

(282) : : - - - - - - - -

====

Iq

!' !'

(fJ

Iq

(Illa):

G(n)

--·--

Iq

e l"'\(a"(voq)) e r.(d"(voq))

~mo(m;m,!p)

~F(n)

(a

mr.(mr.Lq)

!ao(d""·q)

~m"(mn-!.-p)

Ip

(396

Iq

Co

~r~F(n)

~mo(m; m!(vOq)) m"(mr·.!. q)

ar.(d"-!.-q) e n(a"(voq)) e "(dr.(voq)) e"(dr.0q)

' Iq nothig, der aus (243) und dem Satze ~do(ao,q) ' e r.(ar. (vo q)) , e "(d"(vo q))

Iq (389) : : - - - - - - - -

~do(ao,q)

(243):

~I(vo q)'

(395

(361)::-------

den wir aus (344) und (282) ableiten. Wir haben dazu noch den Satz

-

~ mo(m; mi(vO q)) m'"'(m"L(voq))

~d,..,(a'"'Lq)

(m;m!(v0q))'

21

(397

RF(n) G(n) ....,.. F(n)

x

((1

mr.v m"(C"-!.-q)

(399): - - - - - - - - -

(o

22 ,.,.,.,.,..........,.,..._J'TT e "~m;

-

23

wegzuschaffen, bediirfen wir dann noch des Satzes

n £ (v 0 q))

e "(m; c£q) C "V

"(C"Lq) '----Iq .._---m"V '-----m"(C"0q)

-m"(C"0q) x ,..,(m"(vn0q ........ Lq)) x "(C"(vn0q)) X "(C"0q) Iq x "(m,..,0q)

111'----..C

-·-

(400

368 ~[X"(m"(vn0q))

der aus (243) folgt. glieder

x,..,(m"(vaq))

(188): - - - - - -

, 1X" (m" (v n 0

~ X"(m,-,0q)

[x"(m"(vaq))

-·-

(401

1-,.m,-,V 'Lx ,..,(m"(vaq))

e ,..,(m; c£q) e f"\V

-·-

..__ _ C "(C"Lq)

"'---Iq - - - - - x "(m,..,(vaq)) '-----m,..,(C"0q) (403

Um mit (403) · den Satz (fl) des § 7 abzuleiten, brauchen wir den Satz ---m"(c,..,0(voq)) ' c "(m; c£q)

"(m;n£(voq))

er.(m;c£q)

, -m" (c" 0 q)'

t "(l'"'Lq) Iq

5

(a

~

-·-

(a

...._,,

(407

Iq

(406

_,..,.,.m ("\ (cn0 (vo q))

_

x ("\(mn(vaq)) x r.(cr,(vn0q)) Iq i n(tf"I.!. q)

Xf"l(m

("\(vn0q..._,L q)) Cf"l(mf"ILq) Xf"l(Cf"l(vn0q))

-C"V

x

(a

(191):: - - - - - - - mn (cn0(vo q))

x ,..,(cn(vn0q))

c n(m;c£q) '"---m"(cr-.0(voq))

mn(cf"l0q)

x ("\(m'"'(va q)) x f"l(C'"'(v00q))

(406) : - - - - - - -

e ,..,(m;c£q) e "V

.,.._~......,,.e "(m;n£(voq))

Um das Unterglied

~

_

c r.v - x r.(mr.(va q))

C "V

x

(405

m....--..mn(c,..,0(vo q)) mr.(c00q)

tTm..-TTe "(m;n£(voq))

e "V

(Ila) : : - - - - - -

l

(y

( 188):: - - - - - - -

x ,..,(mn(vaq))

(404

f"l(Cf"l(vn0q))

Iq

C "V

(Ila)::- - - - __

e "(m;n£(voq)) e ,..,(m; c£q) e nv

t

X

x ("\(cr·0q)

Iq

m"(c"0(voq)) c "(m; c£q)

§ 19. Zerlegung.

mr.(cn0q) xr.(mr.(vaq))

mr.(c"0(vo q)) mr.(cr.0q) C n(C'"'Lq)

270 I,. m" (c n.!, (vo q))

'Le

(401,404)::= = = = = = = =

(o

(403,344)::= = = = = = = =

X"(m"(Vn0q)) X" (m" (Va q))

I,,. X" (m " (VD!, q '--'.!. q)) 'Lx"(m"(vaq))

((3

..........~"!Te "(m;n£(voq))

(le): - - - - - - - -

e "(m; c£q) e "v

Iq x r.(m("\0q)

q ..._, L q))'

367 ~X"(m"(Vn.!,q ........ Lq))

'""""'......_,.,..._J'TTe "(m;n£(voq))

mf"l(Cf"l0q) x ("\(m,..,(vn0q..._,Lq)) x f"l(Cf"l(vn0q)) X r.(cn0q)

c n(m; c£q)

§ 20. Aufbau.

(400): - - - - - -

(a

(243): - - - - - - - - -

_ _ _ m,..,(c"0(voq))

Die Unter-

,-x,..,(m,..,0q)'

(402

Cf"l(mr.Lq)

x,...,(m("\(vn0q..._,Lq)) X'"'(Cf"l(Vn0q))

x

({J

'Lx,..,(m"(vaq))

(191): - - - - - -

~

e ,..,(m; n£(voq)) e ,..,(m; c£q) e ,..,,J

" ' - - - c n(m; c£q)

sind durch ,-x"(m"(vaq))' zu ersetzen.

368 l,.x"(m,..,(vn0q))

1Tn""-oJ'"!"-"1T

-

((J

CT

x "(m"(vaq))

Iq

t ,-,(t"Lq) (IV a): - - - - - - - -

({J

-

24

[-x"(c"(v.o.!-q))] x "(mr.(ve q)) Iq i "(l".!.q)

-

-

= [- m" (c"0(vo q))l

xn (mn(veq)) an(en(v.o.!.q)) xn (an0q) "---Iq --._!,.... i "(tn.!.q) ~~rr

(r

(369):: - - - - - - - - - - - - - - - - [-x"(cr. (v.00q))] = [-m" (c"0(vo q))]

D

§ 21. Zerlegung.

X"(m"(vaq))

Iq i "(tr-.!. q)

(o

(22): - - - - - - - - - - - - - - -

(e (22): - - - - - - - - - - - - - - -

(~

[-a"(X".'.\f.(v D-!-q))]=[-a"(m" _'.\f. 0(v o q))] x"(m"(ve q)) Iq i "(l".!. q)

Um nun von (408) aus zu dem Satze zu gelangen,

- - --

Iq ar.(nr.(v.co.!.,q~Lq))

....._,

bdr.(nr.(v.c:>..!. q~Lq))

((3 (t

dn(tn(V.c:>..!.q)) rn(nn..!.q) dr.(ar.q)

~dr.(t"(V.c:>..!.q))

r r.(nr.Lq)

Iq

Das geschieht mit (5):

und ((3) .

~f[ dr.(nr.(v.c:>..L q))

Lar.(nr.(v ~0q))

x zu beweisen, von deuen (?') leicht aus (132) folgt. (o) ist mit (15) ab· zuleiten:

(~

dr.(ar.q)

(5): - - - - - - -

und

d 0 (nr.(v.c:>..!. q)) dr.(ar.q) ar.(nr..!,q) nr.v

(188, 191)::= = = = =

Iq

1

(197): - - - - -

!

Iq

-·~

dr.(n"..!. q) dr. (a r. q) ar.(nr.0q)

Iq

~~ ar'(nr.(v.c:>.r_,q ,_,J._ q)) rr.(nr...Lq) dr.(ar.q)

ar.(nn(v.c:>.r_,q.__,..!. q)) rr.(nr...Lq) ar.(r" (v.c:> .!.,q))

1

(188, 191)::= = = = = =

~~dr.(nr. (vo q)) dr.(nr. (v D ..!. q~..L q)) dr.(nr.(v::o..!. q)) und haben nun die Satze

132

(e

ar.(nr.(v.c:>0q (15):

Lq))

Cr

(x

(o

(}.,

- - - - - - -

dr.(nr.(v.co ..!. q~ ..!. q)) dr.(ar.q)

Iq ar.(nr.(v.co.r_,q.__,Lq)) (384): - - - - - - - - -

-

'1±:

~·A(QA(V~q)) d"(a"q) Iq d'"'(ef"l(voq)) (358): - - - - - - -

m x

~rr.(d'"'.L.'.\f.q) dr.(ef"lq)

x -r'"'(d".L.'.\f.q) (v

(;

(o

(11:

l!~~~(A Ila

(412

~d"(anq) dl"\(e"q)

...__,

(a

e I

(413

(a

e

x

E

e

(fl I

dA(rA(Vn,q))

d"(rr-(v:::;,.L q)) d"(e"(voq)) r"(rf"l.Lq) Iq (lg): - - - - - - - -

~·A (rA(V n, q)) d"(e"(vo q)) rl"\(r".Lq) Iq (Ila)::- - - - - - - ~ dA(rA(Vn,q)) d"(ef"l(voq)) i "(ir..Lq) Iq

(a

d"(e"(voq)) lf"l(lf"l.!q) Iq

x

ar.(a"Lq)

(r;

~ar.(a".L(voq))

df"l(e"(Voq)) X"(m".!..,q) d"(ml"\¥.!_,(voq)) af"l(e"("::;;,.Lq)) X"(llf"l.!..,q) t r.(i".Lq) Iq

i "(i".Lq) '-' ~ i"(i"L(voq)) l"(if"l.Lq)

(262):

-------

dl"\(m'"'¥.!..,(voq)) dr-(ef"l(voq)) Xf"l(m".!..,q) a" (e'"' (v:::;,.L q)) X"(ll".!..,q) i f"l(l".Lq) Iq

Cr Q

e I

(a

(415

br-(mf"l.'.\f..!-(voq)) bf"l(e"(vo q)) I (vi'> q) i f"I (i ".L q)

(a

------

(414,397) .. .. - - - - - - - -

.::::v= n (ml"\¥.!_,(voq)) X"(mf"l.!..,q) e

(i I

'-' e

(a

~'-"= n(mA:ir.~cv;q)) (~

x

b '"'(mr.¥.!..,(voq)) b "(en(voq)) Xf"l(m".!..,q) a "(e"(v:::;,.Lq)) Xf"l(ll".!-q) if"l(if"l.Lq) Iq (414

-·-

ar.(er.(v::;;,.Lq)) X"(ll".!..,q) Iq i f"l(i f"I.!. q)

(fl

(401)::- - - - - - - - - .::::v= n(ml"\¥.!_,(voq)) x"(ml"\(vaq~) e

I

ll"(ef"l(V::;;,.Lq)) X"(llf"l.!-q) Iq i l"\(if"l.Lq)

Cr

(408): - - - - - - - - - 'IJi(Xf"l'.\f.(v:::;,.!_,q)) x"(m'"'(vaq)) a l"\(el"\(v:::;,.Lq)) Xf"l((lf"I.!.., q) Iq i I"\ (i f"I .! q)

..:AJ=

e

(e

'-' ~ dn (en (vn, q))

(22): ~al"\(df"l¥q) dl"\(el"\q)

t::d"(e"q) d"(rl"\(v:::;,.L q))

dl"\(er.q) (412):: - - - - - - -

'-'

-·-

e

~ d"(rr.(v :::;,.!. q))

~dA(OAq) r "(rf"l.L q)

df"l(ef"l(voq)) Iq c·A q) rl"\(r".Lq) di"\ (r" (v:::;, .L q))

Cr

~ar.(a'"'.L(vo q))

(Ila) : .: - - - - - - -

(410)::- - - - - - - -

(302)::- - - - - -

t::d"(er.q) d" (r".L q) (188)::- - - - - -

x d"(e"(voq)) Iq df"l(r"(Vr..Lq))

(fl

389

d'"' (e" (v:::;, .L q)) if"l(i".Lq) Iq

~,.&rdr.(e"q)

l!~:~rA !-q)) C"'V 0 (22): - - - - - - - - - -

Q

~ 23

(-C"V)=(-Cl"l(X"'.'.\f. (VD!-q))) Xl"l(C,...(V.!-q)) C,...V ~

-·-

~

(fl

Cr

(IIIa): - - - -

E

E

ll"'U ll"'V

6,..,(nv"'M)

(427

x

i"'(i"'.!.q)

6"'(nvl"\M) GJ=nv GJ=nu ll"'U

ll"'V

'----61"1(nv"0f)

(lf'"ltl

(A

(428

'-" N. ~

Bewels des Satzes

E

6"'(nv,..,0f)' ll"'U ll"'V

,

§ 29. Zerlegung.

Q"'U

'-"

(l1"1f1 '----B (-B"'U)=x,..,_'.\f.!-q (K

(µ

GJ=nu GJ=nv

ll"'U

(o

E

Q1"1f1 i1 (__enu)=X"'.'.\f.!-q

ll"'U

GJ=n.v

(-cr-.v)=(-cr-.(xr-.'.\f.(v.c::>!-q)))

.•,

ll"'V

'-----6"'(nv"M) (426): - - - - - - - -

Iq

Qf'"IU

j... xr-.(c,...!-q)

~GJ=nv 4 1'----..:... ...-lll"IU

.____ B(-B"'U)=X"'.'.\f.!.,q

ar-.v i1 (-er-.u)=x"'.'.\f.!-q (~ (('J): - - - - - - - -

'L c,...(x,....'.\f.0q)

(t

x

X"'(C"'(V.!-q))

Cl"IU e(_tl"IU)=X"'.'.\f.!-q cnv (Ha)::- - - - - - - - x,....(c,...(v.0q)) C"V

ll"'V

.........--.-6"'(nv"'M) GJ=nv i "'(if'"I.!. q) Iq

~ (-e,..,u)=ll"'.lf.0q

i1 ( - e ,.., u) = a,..,.$. 0 q i"(i"'.!.q) Iq

(425) : - - - - - - -

i

X"(C"!-q) c "'B(-B"U) e (-B"U)=V'.'.\f.!-q (77)::- - - - - - - - Xl"l(C"'!-q) C"U i1(-e"'u)=x,.....'.\f.!-q (197):- - - - - - - - -

E

n........,.,T'-'....

ll"'U

B(-B"'U)=X".'.\f.!-q

i1 (-er-.u) =ll"'.'.\f.0q

i "'(il"l.!.q) C1q (206): - - - - - - - - - - - - -

- - - -

nv=n(x,..,.'.\f.(v.!.,q))

'-'....-~b"'U b "'(el"lq) 1 .... i ,... (i,.., .!. q) ---.._,, '---Iq ---..;.,,T'-a,.,.

(:t

(96): - - - - - -

'-" m.;:,,.,,,r--.......rr

-

(-a"'v)=(-a"' (x"'.'.\f.(v:;:,0q)))

i1 (-B"'U)=a"'.'.\f.!-q --..b"'U

hTrr--.......,... b

37

(r;

6"'(nu,..,0r)

Wir beweisen nun den Satz, dass einem Begriffe eine endliche Anzahl zukommt, wenn einem ihm iibergeordneten Begriffe eine endliche Anzahl zukommt. Es sei der u-Begriff der iibergeordnete, der v-Begriff der untergeordnete. Wir haben am Schlusse

des I. Bandes gesehen, dass sich die unter den u-Begriff fallenden Gegenstande in eine Reihe ordnen lassen, die von einen bestimmten Gegenstande bis zu einem bestimmten Gegenstande lauft, wenn die Anzahl des u-Begriffes endlich ist. Wir setzen daher zunachst statt des uBegriffes die von x bis c laufende

-

q-Reihe und fassen den Fall ins Auge, dass iiberhaupt. Gegenstande unter den v-Begriff fallen. Dann sei in unserer Reihe m das Glied, das zuerst, und n das Glied, das zuletzt unter den v-Begriff fallt. Wir benutzen nun unsern Satz (422), aus dem wir zunachst ,m' mit (357) wegsohaffen. Wir ersetzen die Unterglieder ,_xr.(cr..!.q)', ,_xr.(an.!.q)' und ,~cr.(er.(va.!.q))'

0"[n (xnl(va.!.q))n.!.±]' a"V U" (x; cS, q) anv (a

Fur, n(x"l(va.!.q))' ist dann einzufiihren mit dem Satze

b

,nv'

(fl

folgt.

§ 30. Aufbau. 296 ~cn(C"'.!.q) a"(a"Lq) Iq a"(C".!.q)

x

~

C"(C".!. q) C"(an.!.q) a"(x; cS,q)

-

x xr.(mr.(vaq)) Or.[n (xnl (v a.!.q))r..!.f] Iq C n(C"'.!. q) c r.(e"(v a.t.q)) X"'(Cn.!.q)

(276): - - - - -

(a

a "(x; cS,q)

a"(x; cS,q) C"(ar.Lq)

(fl

(Ig): - - - - - l,...ar.(x;cS,q) 'L cn(a"'.!.q)

(430

k ar.(x; cS,q) 'L cr.(a"{Va.!.q))

X"(an(vaq)) On[n(x"'l (va.!.q))".!.±] Iq cn(cr.Lq) cn(en(va.!q)) i.---xn(cn.!.q.)

(fl

(357): - -

(a

x

xr.(an.!.q) ar.v ar.(ar..t.q) Iq On[n (x"':tf, (va!..q))n.!.±] cn(cn.!. q) c "(er.(va.!. q)) xr.(cn.!.q)

({J

(Ila):: - - - - - - -

h

(a

i....r.~

(188): - - - - -

cr.(an(va.!.q))

I ~ L:~~x; cS,q) ~ar.v

xr.(an(va.!.q))'

,

.

'L ar.(x; cS,q)

der mit (IVa) aus (191) und dem Satze a"v a r.(x; cS, q) a nv

-·-

h. a"(cr..!.q) 'L a"(x; cS,q)

39

O" [n (xr.l (va.!. q))" M] xn(mn(vaq)) Iq cr.(cr.Lq) cn(er.(va.!.q)) xn(cr..!.q)

(429

l,... c n (ar.(va.!. q))

nv= n(xnl(va.!.q))'

~ a"(x; cS,q) , anv

269

~

a U"(x; cS,q)' ,Lanv

So erhalten wir den Satz

,

422

(272): - - - - --

durch die Unterglieder ,-ar.v' und

-

38

Cr

Cr

(429) : : - - - - - - - -

(192): ·-·-·-·-·-·-·-·

(r

c n(an(va.!.q)) an(x; cS,q) ar.v

C n(C".!. q) Iq ar.(cr..!.q) On[n (xnl (va.!.q)) ".!.±] cr.(er-(vaLq)) X"(cr..t_,q)

(431

"-'

c n(er.(va.!.q)) an(x;cS,q) ar.v

-·-

(432 (271, 269)::

======== =

Co

-

-

40

b

41

-

(-anv)=(-xn(ar.(vo.!_,q)))

~ af'l(x; c£q)

anv

a"(x; cS,q)

Iq

a" [n (x" .'.\}. (vo.t., q))"M) c "(e" (vo..L q)) XI' (C"!-q)

(e

(e

··------------

"-' (_anv)= (-an(a;r-,$ (v.c>.t.,q))) af'l(x; cS,q)

(265 ' 323)" - - - - - - - - - - - X"(a"!-q)

a"V

m

anv

a"(x;cS,q) 6"[U (X" .lf:. (vo.t.,q)) r..t.,fJ

(96): - - - - - - - - - - - - - - ab. Um endlich noch ,a' wegznnv= n(xn.'.\}.(vo,!.,q)) schaffen, benutzen wir den ans (97) af'l(x; c&,q) anv (434 folgenden Satz

c "(e"(vo..Lq))

x

6" (9j (X" .lf. (v o.,!, q)) r..t., f] a"V a"(x; cS,q) Xf'l(a".t.,q) Cf'l(e"(V..c>..!.q)) .. - - - - - (432 ' 270) ..

(433): - - - - - - - - - Gn(nvf'IM) anv a'"'(x;c,\q) a,...v (435

------------

270

6" [U (xr..lf. (v o.!_, q)) "M]

- - -

~ Xf'l(a".t.,q)

§ 31. Zerlegung.

'l a"(x; c£q)

a"V a" (x; cS, q) a"(x; cS,q) a"V

Das untere Unterglied in (435) ersetzen wir durch

(197): - - - - -

~

~

(Ha)::- - - - ... - - - - -

a" [n (x "¥ (v o.!_, q)) ".!_, t]

X"(af'l(vo,!., q)) a"V a" (x; c £q)

,Lanv und (a

a"V an (x; cS, q)

a" v (IIIa):---------

a"[nv"'"':i!] a"V tl"(Xi cS,q) a"V

nv= n(x".lf:.(v.c>!-q)) (433

~

,-8(-enu)=x; c£q'

191

an(x; c£q)

E

'l X"(a"(V o,!., q)) (!Va):-----

(y

E

,

44~ a"(x; cS,q) ar.u 8 (-e"u)=x; c£ q

(Ila):: - - - - - - -

E E

(436

"-'

0f'IU

(a

8(-ef'lu)=b;a£q'

0f'IV

e(_e,...,u)=x; cS,q

((3

(a

(435) :- - - - - - - - -

a,.., (nv,...,.!-f)

L

0'"'U

Gf'l(nunM)

§ 32. Aufbau.

af'IV

der aus (44) folgt. Es sind dann ,x', ,c' und ,q' wegzuschaffen. Da (345) hierzu nicl1t ganz geeignet ist, leiten wir aus (345) den Satz

~ a"'V

({J):: - - - - - - - - - - - - -

anv 8 (-e nu)=x; c£q

Cr

ar.(x;cS,q)

a'"'U

-·-

(-a"v)=(-X"(af'l(vo.!-q))) X"(a"(vo.t.,q)) a"V

'

af'lv

,

·~ af'lv

'

e

Dazu brauchen wir den Satz

X" (a" (v o.t.,q)) a"V a"(x; cS,q) a"V

(i

h-- Gr.(nvr.d)'

an(x;c£q) anv ar.u anv (-enu)=x; c£q

anu'

a

(Ha):: - - - - - - -

E -·-

(o

(22): - - - - - - - - - - - -

a,-,V ar.u anv F.(-ef'lu)=.'c; c£q

x

((J

42

8

~

a

43

-

a'"'V

'l& 8 (-e'"'u)=m;n£q

0'"'U

(Ila):: - - - - - -·-:- - -

0'"'V

o'"' cn v'"' !, ±)

m

IIa h--..8(-er.u)=m;nS,q

8 (-e'"'u)=x; cS,q

·~ 8 (-e'"'u)=m;a£q (a

b

, 8(-enu)=m; nS,q

l~ 8(-enu)=b; aS,q

(fl

(Illd): - - - - - - - - -

A=m;n · e(-enu) =A£q 8(-enu)=b; aS,q (Ia): -

-

i-r--...-rrr

On(nnd) -

-

- -

a '"' (n n

(y

b

a q

--·--

(o

a

q

il(-enu)=b;a£q

r-r~~_:_e,..,u)=A{q ~8(-e'"'U)=b;a{q

(a

- - -

__.,

ar.u E(-6'"'U)=A£q

-·-

e(-8'"'U)=b;a£q

(489

I

x

rc::::::::::-c a

n

01"\(n V"!,f)

a,..u

u

~e(_e,..,u)=b;

fl~anu L_=-:__= o" (n ur' 0 t >

Ql"\V

(fl

On(nu'"'!,/) Ql"\V

(~

(r;

(441

--·--

a£q ( 440

140

~On(Or-M)

(IIIa):---

(437): - - - - - - - - a"V

1..- On(nvnd) 'l nv=O

0'"'(!QU"0f)

(a

(97):: - - - - -

al"\v

(e

(y

x

~e(-e"u)=b;a£q

-r

(46): - - - - - - - - - -

(Ila):~ -

(A.

Ql"\U

an(AS,q) 8 (-er.u)=A£q ~e(-er.u)=b;aS,q

0"V

- On(nu"0t) On(nv,..,M)

B(-e,..,u)= ~£ q a'"' u

!('l

~~a ~=:

(1t

x e(-8"U)=b; a£q

"~-

(266): - - - - - - - - -

x

ll"U

e(-8'"'U)=b;a£q

ll"U

.___ _ 8 (-F'U)=A£q b

a q

i......,,--._,.

mn(an !,q) n '"'(nn.t.q) A=m;n

Ha

~

~

'"""""""".rrrrr a '"' (n '"' 0 q) (438

o,..,cn v,..,!,f)

(438)::- - - - - - - - -

-

1..- n(i;nH)=n 'Lon(n"·d)

O"(nu,..,M).

L=--.:= n(i; n uS,f)= nu

!, q)

8(-enu)=b; a£q

a

e

- - - - -

l-A=m;n s(-enu)=A£q

~[ n= n (i; n£±)

(IIIf) : -

-

Qf"IV

(345):: - - - - - - - - - -

m'"'(an0q) n '"'(nn.t. q)

--·-314

- -

a,..,u (i

~~w &8(-e,..,u)=~£q

(Ila) : : - - - - - - - - - -

I

a'"'V

.....,.~8(-er-u)=b;a£q

!,--.. 8 (-enu)=m; nS,q

Cr

8 (-e'"'U)=A£q ar-u

(a

On(nv"d)

h-- O'"'(n vr-d) ·~ar-v

(442

(441): ·-·-·-·-·-·-·

(439): ·-·-·-·-·-·-·-·

ts -

On(nv'"'0t) 0'"'U

ll'"'V

On(nun!,f)

(443

44

45

-

:S. Bewels des Satzes

(j}B(TB".Z) L,.er.v n.z=nu

=

keinem Gegenstande in der q-Beziehung stehe, und das Entsprechende muss von der p-Beziehung gelten. Um den Satz der Nebeniiberschrift aus (49) abzuleiten, zeigen wir, dass die .'lf. (.z .a'.\f, q)-Beziehung die verlangten Eigenschaften hat, wenn die q-Beziehung den .z-Begriff in den u-Begriff, und wenn ihre Umkehrung diesen in jenen abbildet. Wir beweisen danach die Satze

fJJB(TB"U )' L,. er.w

'IJV='IJW a l'"'l.Z ar.v anu 0'"'W

a) Beweis des Satzes

~~ dn (ar..lf. (.z .a .'lf. q)) dn(ar.q) (444

d"'fJ

(lla) : - - - - - -

~=~:nq) dnz 0'"'U

dr.(a".l}.(z.a-lf.q))

(a

Qr>U

l,..z ""(un) '.\f, (.z .a'.\f, q))' ,'l.zn(ur.)q)

dn(ar.q) dr. fJ

(a

I,. U"' (.z n) '.\f, :if. (.z .a .lf. q))'

,'l W' (.z n) .lf. q) § 33. Zerlegung. ,,Die Summe von zwei Anzahlen ist durch diese bestimmt", in diesem Ausdrucke ist der Gedanke des Satzes unserer Hauptuberschrift am leichtesten zu erkennen, und darum mag er angefiihrt sein, obwohl der bestimmte Artikel beim Subject die Aussage der Bestimmtheit eigentlich vorwegnimmt und obwohl

e,....(a'"'.'.\f. (zD-lf. q)) e,....(d,....q)

26 (a

(446) : : - - - - - - - -

0'"'Z d'"'(0"*-lf.(zD-lf.q)) (fl

~ dn(a,.....'.\f..'.\f.(z0.'.\f.q))

Iq

(fl

e,.... (a,....-$ (zD -lf. q)) e,....(br--lf.(zD'.\f. q)) Iq (y

d,....(a'"'.'.\f..'.\f. (ZD:\f.q))

~ans d,.... (a,....-$ q)

(a

(445): - - - - ~

t

x

(448

Sf'"\(U'"'}q)

z,....(ur.}-lf. (z.!:>.'.\f. q))

§ 36. Zerlegung.

(449

·"

E""· Qf"IZ

,

d'"'(af"\-lf.-lf.(z.!:>.'.\f.q)) Uf'"\(Zf"I} .'.\f. q) (a

l:t"•

'-_.-'

a,....z

bf"'l(a'"'.'.\f.¥(z.!:>'.\f.q))

(11): - - - - - - -~- - -

(451)::- - - - - - - - - -

Z"(U'"') '.\f. (ZD -lf. q)) U'"'(z,....)-lf. q) z,....(u,....)q) U,....(zr.) .'.\f. q) O'"'(e,....q)

(~

e

a

a0 z (451

(449): - - - - - - - - -

Uf'"\(s,....).'.\f.q) S"(u,....)q) U'"'(zr.) -lf.q) a,....(e'"'q) 0'"'Z

..._,

(452

x

(Ila):

(0

(a

L a

e

(fl

Z'"'(u,....)q) U'"'(z,....}.'.\f.q) Z '"'(U,....} q) u0(z,....)-$ q) a,....(e,....o) 0'"'Z

(8

(1;

(49): - - - - - - -

~n•=n• ,Zf.]J(Uf"'l}q)

0'"'Z df"l(af"'l-lf.-lf.(z.!:>-'lf.q)) Uf"l(z,....}.'.\f.q) (o

.U'"'(z,....).'.\f.q)

('fJ

(y

Z'"'(u,....)q)

ta'"'(e,.....'.\f.(z.!:>'.\}.q)) ar-z

a,....z

----------

tsbnu .

Um den Satz (fl) des § 33 zu beweisen, bediirfen wir des Satzes

ar.z

~ a,....(e,....-lf.(zc:o'.\f.q))

dn(a,....-lf.-lf.(z0-lf.q)) (y (8):

a'"'(e'"'q)

(22):

a,....z

z,....(u,....)-lf.(z0-lf.q)) Zf'"\(u,....}q)

-·-

..._,

'-_.-'

~ I-lf.(zc:o.'.\f.q)

~ U'"'(Z'"').'.\f.'.\f.(zD-'lf. q)) ur.(z'"').'.\f.q)

~a,....z a'"'(e'"'-lf.(z0-lf.q))

Q/'"\,Z d,.... (a,....-lf.-lf. (z ~-, i q)) (fl

-

z,....(u0)q)

(a

~aos d,....(a,....-lf. q)

(447

~ u o (so) 1j::jf. (s n 1j: q)) un(z,....)-lf. q) I (z .!:> .'.\f. q)

191 ~ a'"'Z e ,....(a'"'(ZD.'.\f.q))

(Ila): ·-·-·-·-·-·-·-·-·

~I'.\f.(z0-lf.q)

- - -

(450

ro · d"(a,....-lf.q)

(16): - - - - - - - - - - -

(29):: - - - - - - - -

(18):: - - - - - - - -

x

"-'

W 14 r.(uf"\}q) V "(W")p) a "(er.q) a("\ 14 a "(er.p)

(1)

(:J-

a "V

(40):: - - - - - - - - - - - - -

und Schluss des Abschnittes :S.

§ 41. Zerlegung. Um einen Satz mit dem Obergliede

(~

(T)::

Hf· &e(TB" (a"q)) = -lf. q"-lf. p

zu erhalten, setzen wir in (463) fiir ,q' ,-lf. q', fiir ,p' ,-lf. p' und vertauschen ,14' mit ,u' und ,v' mit ,w'. Wir brauchen dann den Satz

(a

t,. B"(tx"p)

(t

(Ille): - - - - - - - - - 1,. .$.(q "P) =-'\). q" -lf.p

'L & e(T B"(a"q)) = q"P i,. B'"'(anp)

(x

(T):: (464

-

54

-

C::::a~u

leo.;:::n'(-~:::) 8

·

a'"'U

anz ~ Wir brauchen dazu

Ila

::~anq)' (fJ

Q

Z'"'(U'"')q) a" (e'"' q) a'"'Z

a'"' u

::7b'"'q) (a

~=7a'"'q)

Q

en(a'"'q)

({J e

(468 (32): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ne ( 8

(r

({J

e "Z e '"'(a" q)

Iq

a"U Z'"'(U'"')q) a'"'(e'"' q) a'"'Z

--·--

a'"'U

(r

464 ~ -lf..(q"'p)=.iq"'-lf..P (Illa):-------

i:::)

=

ne

(i:::)

(i:::) '"' (8(i:::) '"')(q"'P))

U'"'(Z'"').iq) wn(vn)-lf..p)

a'"'(C'"'-lf..q)

- - - - - -

'"'(U'"')q) '"'(W'"')P) a'"'(C'"'q) a'"'Z a'"'(e'"'p)

S

a'"'U

..._...

'"')i (q"'p))

V

a

Z"(U'"')q) a'"' (e'"' q) a'"'z

cc:::)'"' (e(i:::)

({J

U '"'(Z'"')-lf.. q) W'"'(V'"'}.ip) a'"'U a'"'W

(a

a,....(e'"'.'.\f.q)

Iq

(18):: - - - - -

8

(22):

e'"'(a'"'q)

Z "(U'"') q)

'"')i (q"'P))

==================

a'"'U

a=b

(13):: - - - -

(8):

a'"'(C'"'q) a'"'Z

(467, 467)::

e'"'(a'"'q)

~ b'"' u

Iq a" u

e'"'(a'"'q) e'"'Z

(466): ·-·-·-·-·-·-·

§ 44. A.ufbau.

..._...

8

·~ e'"'(e'"'q)

Q

z '"'(u'"') q)

a'"'u

cc:::)'"' ( (i:::)

h--r e'"'(a'"'q)

(Ila):: - - - - -

den wir mit (13) beweisen.

Ille

(a

a '"'U

--·--

'"'(U'"')q) a"(e'"'q)

a'"'U

(.lf.F.lf.P)J

'"'(Z'"').iq) W"(V'"')ip)

Z

!

)

U

a'"'(e'"' '.\f. q)'

,

0

(q"'p))

(463):: - - - - - - - - - - - - - - - - -

das wir mit dem Satze

' wegschaffen. den Satz

-

~ 8( ~ :::),.... (8 (~ :::) '"') i

§ 4:8. Zerlegung. Indem wir in (463) die Veranderungen machen, die im § 41 angegeben sind, erhalten wir ein Unterglied ~ e a'"'(e'"'i q)'

,

55

a'"'U a'"'W S

"(U")q)

v '"'(W")P)

(467 a

e

a '"'(C'"'q)

a

e

a"(e"p)

a"Z (a (463: : - - - - - - - - - - - - - - - - -

x

- - - - - - - - - - - -

:i... v avu J

b « einsetzen mi:ige. W enn man aber solche Zeichep.verbindungen z. B. nur fiir den Fall erkliirt, dass fiir » a « und fiir » b « Zeichen reeller ganzer Zahlen genommen werden, so hat man eigentlich nur solche Verbindungen erkliirt, nicht aber das Additionszeichen und hat dabei gegen den noch zu behandelnden zweiten Grundsatz des Definirens verstossen. Und doch bildet man sich nun unwillktirlich ein, die Bedeutung des Additionszeichens sei bekannt, und behandelt es demgemiiss auch m solchen Fiillen, fiir die keine Erkliirung gegeben ist. Sobald man Allgemeinheit in den Siitzen anstrebt, wird man in den 1) Man vergl. des Verfassers Brief an Hemi G. Peano, Revue de Mathematiques, Tome VI, S. 53 u. ff.

78

79

arithmetischen Formeln ausser den Zeichen bestimmter Gegenstande den Eigennamen, z. B. » 2 « - auch Buchstaben brauchen, die nur andeuten 1), nicht bezeichnen, und dadurch schon wird man ganz unmerklich iiber das Gebiet hinausgefiihrt, in dem man seine Zeichen erkl!trt hat. Man kann den hieraus entstehenden Gefahren zu begegnen suchen dadurch, dass man diese Buchstaben nicht Gegenst!tnde iiberhaupt andeuten l!tsst, wie wir es gethan haben, sondern nur die eines fest begrenzten Gebietes. N ehmen wir einmal an, der Begriff Zahl sei scharf definirt, und es sei festgesetzt, dass die lateinischen Buchstaben nur Zahlen andeuten sollen, und nur fiir Zahlen sei das Additio:nszeichen erkl!trt. Dann haben wir in dem Satze

2. Grundsatx rler Einfachheit des erktarten Ausdrucks 1).

die Bedingungen hinzuzudenken, dass a und b Zahlen seien ; und diese werden, weil nicht ausgesprochen, leicht in Vergessenheit gerathen 2). Aber nehmen wir uns einmal vor, diese Bedingungen nicht zu vergessen ! Nach einem bekannten Gesetze der Logik konnen wir den Satz ,, wenn a eine Zahl ist, und wenn b eine Zahl ist, so ist a+ b = b+a" umwandeln in den Satz ,,wenn a+b nicht gleich b+a ist, und wenn a eine Zahl ist, so ist b keine Zahl" ; und hier ist es unmoglich, die Beschr!tnkung auf's Gebiet der Zahlen aufrecht zu erhalten. Der Zwang der Sachlage arbeitet unwiderstehlich auf die Durchbrechung solcher Schranken hin. Dann aber hat unser Dedingungssatz ,,wenn a+b nicht gleich b+a ist" bei der unvollst!tndigen Erkl!trung des Additionszeichens keinen Sinn. Wir sehen auch hier wieder, dass die Gesetze der Logik scharf begrenzte Begriffe und damit auch vollst!tndige Erkl!trungen der Functionsnamen - z. B. des Pluszeichens - voraussetzen S). Wir haben dies im ersten Bande so ausgedriickt: jeder Functionsname muss eine Bedeutung haben. Deshalb also sind alle bedingte Definitionen und alles stiickweise Definiren zu verwerfen. J edes Zeichen muss mit einem Schlage vollst!tndig erkl!trt werden, sodass es, wie wir sagen, eine Bedeutung erh!tlt. Alles dies hangt auf's Engste mit einander zusammen und kann als Ausfluss des Grundsatzes der Vollst!tndigkeit der Definitionen angesehen werden. l) Vergl. Hd. I, S. 31 u. 32. Denkt man z. B. bei der Erweiterung des Zahlengebietes wohl immer daran,

2)

dass damit jene ~edingungen .dem Sinne nach gelin~ert werde1?-, dass alle bis da~in bewiesenen allgememen Satze emen andern Gedankenmhalt gewmnen, dass auch die Beweise hinfallig werden ? . . . . . , 3) Es versteht sich von selbst, dass gew1sse Funct10nen wegen 1hrer logischen Emfaehheit nicht definirt werden kilnnen; aber auch diese miissen fiir alle Argumente Werthe haben.

§ 66. Dass durch die Bedeutung eines Ausdrucks und eines seiner Theile die Bedeutung des iibrigen Theils nicht immer bestimmt ist, leuchtet ein. Man darf also ein Zeichen oder Wort nicht dadurch erkl!tren, dass man einen Ausdruck erkl!trt, in dem es vorkommt, w!thrend die iibrigen Theile bekannt sind. Denn es w!tre erst ei::ie Untersuchung nothig, ob die AuflOsung fiir die Unbekannte - ich bediene mich eines wohl verstandlichen algebraischen Bildes - moglich sei, und ob die Unbekannte eindeutig bestimmt werde. Es ist aber, wie oben schon gesagt, unthunlich, die Rechtm!tssigkeit einer Definition von dem Ausfall einer solchen Untersuchung abh!tngig zu machen, die iiberdies vielleicht garnicht einmal durchfiihrbar w!tre. Vielmehr muss die Definition den Charakter einer fiir die Unbekannte aufgelOsten Gleichung haben, auf deren anderer Seite nichts Unbekanntes mehr vorkommt. Noch weniger geht es an, mit einer einzigen Definition zweierlei zu erkl!tren sondern jede Definition muss ein einziges Zeichen enthalten, dessen Bedeutung durch sie festgesetzt wird. Man kann ja auch nicht mit einer einzigen Gleichung zwei Unbekannte bestimmen. Es kommt auch vor, dass man ein gauzes System von Definitionen aufstellt deren jede mehrere zu erkl!trende W orte enthalt, sodass jedes dieser orte in mehren dieser Definitionen vorkommt. Dies gleicht einem System von Gleichungen mit mehreren Unbekannten, wobei dann wieder die Auflosbarkeit und die Eindeutigkeit der Bestimmung vollig fraglich bleibt. Zwar kann man jedes Zeichen, jedes Wort als aus Theilen bestehend ansehen; aber nur dann sprechen wk ihm die Einfachheit ab, wenn nach den allgemeinen Regeln der Grammatik oder der Zeichengebung aus den Bedeutungen der Theile die Bedeutung des Ganzen folgen wiirde, und wenn diese Theile auch in andern Verbindungen vorkommen und als selbst!tndige Zeichen mit eigener Bedeutung behandelt werden. In diesem Sinne also kann man sagen : der erklarte Ausdruck - das erkl!trte Zeichen - muss einfach sein. Sonst konnte es vorkommen, dass die Theile auch einzeln erkl!trt wiirden und dass diese Erkl!trungen der des Ganzen widerspr!tchen. Allerdings konnen Namen von Functionen wegen der ihnen eigenthiimlichen Unges!tttigtheit nicht auf der einen Seite der Definitionsgleichung allein erscheinen; sondern ihre Argumentstellen miissen immer irgendwie ausgefiillt sein. Dies geschieht in der Begriffsschrift, wie wir geseh~n haben 2) durch lateinische Buchstaben, diB dann auch auf der andern Se1te vorkom~en miissen. In der W ortsprache treten unbestimmt andeutende Pronomina und Partikeln (,,etwas", ,,was", ,,es") dafiir ein. Dies ist keine

W

1) Bd. I, § 33, 3. 2) Bd. I, § 33, 5.

80

81

Verletzung unsers Grundsatzes, weil diese Buchstaben, Pronomina, Partikeln nichts bedeuten, sondern nur andeuten.

dann, wenn es auch nur eine Zahl giebt, die einer von beiden angehort, nicht aber der andern. Sachlich ist diese Zeichenverleihung ganz gleichgiiltig; denn ich muss eine Reihe schon irgendwie bezeichnet haben, um sagen zu konnen: dieser so bestimmten Fundamentalreihe gebe ich das Zeichen » b «. Ob ich nun, wenn ich von dieser Reihe sprechen will, das Zeichen » b « oder die urspriingliche Bezeichnung anwende, kann in der Sache gar keinen Unterschied machen, sondern hochstens kann die neue Bezeichnung wegen ihrer grossern Einfachheit bequemer sein.

§ 67. Oft wird gegen unsere beiden Grundsatze des Definirens zugleich gefehlt, indem z. B. das Gleichheitszeichen zusammen mit dem, was rechts und links davon steht, erklart wird. Dabei ist dann das Gleichheitszeichen schon vorher, aber unvollstandig erklart worden. So entsteht ein eigenthiimliches Zwielicht, indem das Gleichheitszeichen halb und halb als bekannt und doch wieder als unbekannt behandelt wird. Einerseits scheint es, dall man sich an jene friihere Definition erinnern und daraus etwas entnehmen solle zur Bestimmung dessen, was nun rechts und links erscheint. Andrerseits reicht doch jene friihere Erklarung fiir den vorliegenden Fall nicht hin. Aehnliches kommt auch bei andern Zeichen vor. Dieses Zwielicht brauchen manche Mathematiker zur Ausfiihrung ihrer logischen Kunststiicke. Zu den Zielen, die so erreicht werden sollen, fiihrt uns in einwandfreier Weise unsere U msetzung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine W erthverlaufsgleichheit nach dem Grundgesetze V (Bd. I, § 3, § 9, § 20). Ohne zu meinen, hiermit eine vollstandige Uebersicht iiber Alles gegeben zu haben, was beim Definiren zu beachten ist, will ich mich mit der Darlegung dieser beiden Grundsatze begniigen, gegen die von den Mathematikern am meisten gefehlt wird. b) Cantors Lehre von den Irrationalzahlen.

§ 68. G. Cantor defii{irt 1) zunachst seine Fundamentalreihe: ,,Jede derartige Menge 2) (a,.), welche durch die Forderung Lim (a,.+µ - a,.)=0 (bei beliebig gelassenem µ) charakterisirt werden V=OO

kann, nenne ich eine Fundamentalreihe und ordne ihr eine durch sie zu definirende Zahl b zu". Es ist ein groller Uebelstand, dass das Wort ,,Zahl" von den Mathematikern schwankend gebraucht wird: bald nennt man die Zahlzeichen, bald ihre Bedeutungen Zahlen. Jeder mathematische Schriftsteller, der das Wort ,,Zahl" gebraucht, sollte eigentlich angeben, wie er es meint 8). So ist man auch hier im Zweifel iiber den Sinn des Cantorschen Satzes. Wenn das Wort ,,Zahl" in der Bedeutung von ,,Zahlzeichen" gemeint ist, wird man den Satz wohl so zu verstehen haben: ich gebe jeder Fundamentalreihe ein gewisses Zeichen » b «1 sodass durch dieses die Reihe bezeichnet wird. Dann werden verschiedene Fundamentalreihen verschiedene Zeichen erhalten miissen. V erschieden sind Fundamentalreihen aber immer 1} Math. Annalen XXI, S. 567. 2 Menge von rationalen Zahlen. 3 Wir haben uns fiir das Zweite entschieden.

§ 69. Nun sagt Cantor weiter: ,,Eine solche Fundamentalreihe bietet . . . drei Falle dar; entweder es sind ihre Glieder (a,.J fiir hinreichend grosse Werthe von v kleiner ihrem absoluten Betrage nach als eine beliebig vorgegebene Zahl; oder es sind dieselben von einem gewissen v an grosser als eine bestimmt angebbare rationale Zahl (.!; oder sie sind von einem bestimmten v an kleiner als eine bestimmt angebbare negative rationale Grosse - fl· In dem ersten Falle sage ich, dass b gleich Null, im zweiten, dass b grosser als Null oder positiv, im dritten, dass b kleiner als Null oder negativ sei." W enn unsere Vermuthung iiber den Sinn jenes ersten Satzes von Cantor richtig ist, so kann dies ohne Benutzung des » b « so ausgesprochen werden: ,,Von einer Fundamentalreihe, deren Glieder a,. ftir hinreichend grosse W erthe von v kleiner ihrem absoluten Betrage nach sind als eine beliebig vorgegebene rationale Zahl, sage ich, sie sei gleich Null; von einer Fundamentalreihe, deren Glieder von einem gewissen v an grosser sind als eine bestimmt angebbare rationale Zahl (.!, sage ich, sie sei grosser als Null oder positiv; von einer Fundamentalreihe, deren Glieder von einem bestimmten v an kleiner sind als eine bestimmt angebbare negative rationale Zahl - e, sage ich, sie sei kleiner als Null oder negativ." Nehmen wir nun diesen Wortlaut oder den urspriinglichen von Cantor an, in beiden Fallen haben wir drei Erklarungen der Ausdriicke ,,gleich Null", ,,grosser alf! Null", ,,kleiner als Null". Diese Definitionen sind fehlerhaft, weil die erklarten Ausdriicke nicht einfach sind, sondern die Worter ,,grosser" und ,,kleiner" enthalten, die als bekannt vorausgesetzt werden miissen, da sie selbst zur Erklarung dienen - Verstoss gegen unsere beiden Grundsatze des Definirens. Aber auch die Worter ,,Null" und ,,gleich" miissen wohl als bekannt vorausgesetzt werden; und dann sind die Ausdriicke ,,gleich Null", ,,grosser als Null", ,,kleiner als Null" vollstandig bekannt und diirfen nicht noch einmal erklart werden. Waren sie es nicht, so waren die friiheren Definitionen unvollstandig gewesen - V erstoss gegen unsern ersten Grundsatz des Definirens.

§ 70. Illigens fasst in seinem Aufsatze ,,Zur W eierstrass-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen" 1) die Cantorsche Lehre so auf, dass unter 1) Math. Annalen XXXIII, S. 155 u. ff. Fr• ge, Grundgesetze II.

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der Zahl b ein Zeichen verstanden werde dafiir, dass durch irgendein Gesetz die Reihe gegeben sei. Hiernach kann es zunachst scheinen, dass die Zahl b einen Satz vertreten solle; aber der spater vielfach gebrauchte Ausdruck ,,Zahlreihezeichen" macht es klar, dass Illigens die Cantorsche Lehre ebenso verstanden habe, wie wir es eben versucht haben. Er wendet dagegen ein, dass ein solches Zahlreihezeichen garnicht wie die rationalen Zahlen eine Quantitat bezeichne, dass die Worter ,,grosser" und ,,kleiner" hier einen ganz andern Sinn haben als bei den rationalen Zahlen; daraus folge dasselbe auch fiir das Wort ,,Grenze" ; durch den blossen Gebrauch des W ortes ,,grosser" konne b nicht zu einem Quantitatszeichen werden, und die rationalen Zahlen gehoren dadurch, dass sie als Zahlreihezeichen gebraucht werden, zwar zu den neuen Zahlen, aber nicht, sofern sie eine Quantitat bezeichnen; der Zweck, die Rationalzahlen als besondere Art der Zahlreihezeichen erscheinen zu lassen, werde also verfehlt. In Illigensens Sinne konnen wir wohl hinzufiigen, dass dann die Rationalzahlen - unser Schriftsteller versteht darunter offenbar Zahlzeichen - dann zweideutig waren, indem sie einerseits Quantitaten, andrerseits Zahlreihen (Fundamentalreihen) bezeichneten. Illigens sagt weiter: ,,Die aufgestellten Zahlreihezeichen vermogen trotz aller Benennungen, die ihnen durch verschiede1rn Definitionen zugelegt werden, keine Quantitatsbegriffe zu werden." Gewiss ! Ein Zeichen kann nie ein Begriff werden. Aber man braucht vielleicht nicht anzunehmen, dass Cantor so Zeichen und Bezeiclmetes verwechselt habe. Dennoch liegt wohl etwas W ahres in diesem Einwande, wenn man ihn so formt, dass die Zahlreihen trotz aller Benennungen, die ihnen durch verschiedene Definitionen zugelegt werden, keine Quantitaten werden.

durch eine Pseudodefinition festsetzen will. Die Fundamentalreihe 1. 42, 1.412, 1. 414 2, . . . muss bei Cantor als etwas Bekanntes vorausge:::etzt werden, ebenso die Zahl 2 und die Bedeutung des Wortes ,,gleich". Ob also jene Fundamentalreihe gleich der Zahl 2 sei, kann nicht Gegen:::tand einer willkiirlichen Festsetzung sein, sondern muss sich ergeben. Dieser Einwand gilt freilich nur unter der Voraussetzung, dass der hier angenommene Sinn von Cantors Lehre richtig ist. Spater werden wir noch eine andere Auffassungsweise versuchen miissen. Illigens meint ferner, dass man bei Cantors Theorie nicht sagen konne, was eine Linie von y2 Meter Lange sei. Es liegt gewiss viel W ahres in diesen Einwanden; aber es wiirde deutlicher hervortreten, wenn Illigens das Wort ,,Zahl" nicht in der Bedeutung Zahlzeichen gebrauchte und wenn er iiberhaupt Zahl und Zahlzeichen scharfer unterschiede; denn wenn er von rationalen Zahlen spricht und eine Zahl grosser als eine andere nennt, so passt das nicht zu der Bedeutung Zahlzeichen. Die Gefahr einer solchen Ungenauigkeit liegt immer vor, wenn man unter ,,Zahl" nicht die Bedeutung eines Zahlzeichens, :::ondern dieses selbst versteht; denn es ist einmal feststehende Meinung, < « hier nicht als vollstandig bekannt vorausgesetzt werden. Als zum Theil bekannt sind sie doch freilich anzunehmen, sodass ein Verstoss gegen unsern ersten Grundsatz des Definirens vorliegen diirfte. Dieser Fehler bewirkt hier eine eigenthiimliche Tauschung. Unser geistiges Gesichtsfeld befindet sich in einem ahnlichen Zustande wie unser leibliches beim W ettstreite der Farben : in einem Augenblicke erscheinen die Worter ,,gleich", ,,grosser", ,,klefuer", ,,Summe", ,,Product" als bekannt, gleich darauf als unbekannt und dann wieder als bekannt. W enn z. B. die W orte ,,grosser als" durch sich selbst erklart werden, erscheinen sie in demselben Satze theils als bekannt - da, wo sie zur Erklarung dienen - theils als unbekannt - da, wo sie erklart werden.

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§ 82. Diese Definitionen der Summe, der Differenz, des Products, des Gleich-, Grosser- und Kleinerseins scheinen nun die neuen Zahlen selbst erst eigentlich zu schaffen, scheinen den Zeichen » b « erst einen Inhalt zu geben. Man schliesst unwillkiirlich aus der als bekannt vorschwebenden Bedeutung des W ortes ,,grosser", dass das Grossere eine Grosse sei, moge sie nun abstract oder concret sein. Da die W orte ,,Summe", ,,Differenz", ,,gleich", ,,grosser" u. s. w. schon erklart oder doch als erklart vorauszusetzen sind, erhalt man den Eindruck, man wisse bereits, was eine Summe, eine Differenz, was gleich und was grosser sei, und durch dieses schon Bekannte verleihe man nun in einer gewissen, freilich unklaren Weise den Zeichen » b « » b' « u. s. w. einen Inhalt, indem man diese in Satzen, wie '» b > b' « » b b' < b" « gebrauche. Was sich zunachst als Erklarung der Zeichen » « » > « u. s. w. darstellt, macht im nachsten Augenblicke den Anspruch, dasjenige naher zu bestimmen, was den Fundamentalreihen nach

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§ 88. Das stiickweise Definiren erzeugt hier das Zwielicht, das zum Gelingen der Tauschung nothig ist. Diese verschwindet sofort, wenn man an Stelle der Worter und Zeichen da, wo sie als unbekannt behandelt warden, ganz neu geschaffene Worter und Zeichen setzt, mit denen nicht schon ein Sinn oder der Schein eines Sinnes verbunden ist. Ersetzen wir so ,,positiv" durch ,,albig", ,,negativ" ,, ,,bebig", ,,gleich" ,, ,,azig", ,,grosser als" ,, ,,bezig", ,,kleiner als" ,, ,,zezig", ,,Null" ,, ,,Poll", ,,Summe" ,, ,,Arung", ,,Differenz" ,, ,,Berung", ,,Product" ,, ,,Asal", die Zeichen » > « ,, » e

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§ 122. Unverstandlich ist auf dem Boden der formalen Arithmetik der Satz von Thomae, dass die Null die Schranke fur das Kleiner und Kleinerwerden einer positiven Zahl bildet. Also eine Zahlfigur andert sich wahrend des Spiels? von selbst? in einer fur ihre Behandlung im S:piele wesentlichen Eigenschaft? Unverstandlich sind auch die Satze, dass es unter den positiven Zahlen keine kleinste giebt, dass eine gemeine Zahl, die nicht negativ, aber kleiner ist als jede angebbare positive Zahl nothwendig Null ist. Welche Null? Es giebt viele Nullfiguren. Ist »' 1-1 « eine Nullfigur? Gleich darauf wird gesagt: ,,In diesem wichtigen Satze wird eine Zahl, die Zahl Null, durch ein negatives Kriterium erkannt."

Die Zahl Null? Welche? ,,Null" wird hier als Eigenname behandelt. Das ist richtig in der iphaltlichen, falsch in der formalen Arithmetik. Was ist in dieser eine gemeine Zahlfigur? was eine positive? was eine negative Zahlfigur? Die angefuhrten Satze werden der Theorie des Spiels angehQren und ans den Spielregeln folgen. Wie und aus welchen, bleibt dunkel. Die Worter ,,gemein", ,,positiv" und ,,negativ" werden Eigenschaften der Zahlfiguren bezeichnen, die bei der Anwendung der Regeln in Betracht kommen, wie etwa ,,schwarz" und ,,weiss" beim Schachspiel. Zufallige kleine Verschiedenheiten der Gestalt oder der Farbe der Figuren, von denen die Regeln nicht handeln, konnen auch fur die Theorie des Spiels nicht in Betracht kommen. Nun frag~n wir: wie lauten die Regeln, die auf die eben genannten Eigenschaften der Figuren Bezug nehmen? Welche Regel macht einen Unterschied zwischen positiven und negativen, gemeinen und nicht gemeinen Zahlfiguren? Keine Antwort ! Wir sehen wohl: der Formalarithmetiker fallt bier wieder einmal aus der Rolle. Die formale Auffassung ist ein Schild, den man vorhalt, so lange Fragen nach der Bedeutung der Zeichen drohen. W enn diese Gefahr voruber, lasst man ihn sinken ; denn lastig ist er im Grunde doch.

§ 123. Thomae meint, man konne von einer Zahl zu immer grossern und grossern fortschreiten, weil der N eubildung mittels Addition durch nichts eine Schranke gesetzt sei. Gewiss ist der Neubildung eine Schranke gesetzt, ebenso wie dem W achsthume einer Stadt. Wir haben weder eine m1endliche Tafelflache, noch une:Qdlich viel Kreide zur Verfugung. Zahlfiguren sind eben Gebilde, welche durch Schreiben erzeugt werden. Eine unstoffliche, unraumliche Zahlfigur ist zu vergleichen mit einem Luftschlosse; aber auch den LuftschlOssern sind Schranken gesetzt. Die Phantasie verleiht Fliigel; aber auch diese werden zuletzt matt. Ob eLie Neubildung von Zahlfiguren mittels Addition stattfinde, mag bezweifelt werden. So entstehen Gruppen von Zahlfiguren und Additionskreuzen. Ob solche Gruppen als Zahlfiguren anzusehen seien, bleibt zweifelhaft, da nirgends gesagt ist, was eine Zahlfigur sei. Wir bemerken, dass Thomae wie bei der Null auch beim Unendlichen die Gefahr von Widerspruchen sieht. Die von ihm selbst angefuhrten Regeln sind sammtlich erlaubende, konnen also nicht in Widerstreit mit einander gerathen, mag man nun nach ihnen Figuren behandeln, welche man wolle, und ob eine Achtfigur liegt oder steht, kann keinen Unterschied machen, wenn nicht noch besondere Regeln von den liegenden Achtfiguren gelten. Von solchen ist aber hier noch keine aufgefiihrt worden. Das Unendliche wird hier ausdriicklich Begriff genannt ohne Angabe eines Grund es. W arum is.t es nicht einfach eine Figur? Das actuelle Unendliche, fiir das G. Cantor mit Recht eintritt, ist allerdings keine Figur und durfte in der formalen Arithmetik iiberhaupt keine Stelle haben.

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§ 124. Wie wird nun das Irrationale in die formale Arithmetik eingeftihrt? Auf den ersten Anblick ganz wie bei Cantor, dessen Fundamentalreihen den Zahlreihen Heines und den Zahlenfolgen Thomaes entsprechen. Aber die Glieder der Cantorschen Fundamentalreihen sind nicht sichtbare, greifbare Figuren, sondern unsinnlicher Art, wie es scheint, wohingegen die Zahlreihen Heines und die Zahlenfolgen Thomaes offenbar aus sinnlichen Figuren bestehen sollen. W enn diese Auffassung richtig ist, so ist jene Aehnlichkeit der Theorien nur ausserlich und unwesentlich. Obwohl klare Ausspruche dicscr Schriftstcllcr, wie es scheint, daruber fehlen, dtlrfen wir wohl vcrmuthen, dass die reihende Bezichung bei Heine und Thomae raumlich ist. Wir nehmen an, dass eine Hcincsche Zahlenreihe ebenso wie einc Thomaesche Folge von Zahlen cine Gruppe von Zahlfiguren sei, die von links nach rechts in nicht zu grossen Abstanden nebcneinander geschrieben sind, und dass jede dicser Figuren ein Term dieser Folge genannt werde. Man wird noch hinzufugcn mussen, dass zwischen den einzelnen Termen nur lcere Tafelflachc sichtbar sein durfe. Nun ist der Heineschcn Darstellung zu entnehmen, dass eine solche Reihe ins Unendliche fortlaufen solle. Um sie herzustellen, brauchten wir aber eine unendlich langc Tafel, uncndlich viel Krcidc und unendlich lange Zeit. Man mag es als unerhort grausam schclten, einen so hohen Gcistesflu" durch cinen so hausbackencn Einwand niederschlagen zu wollen; abcr da:iit wird dieser. nicht widerlegt. W enn man die Zahlen zu greifbaren Figuren macht und sich auf diese ihre Greifbarkeit stutzt, um ihrer Existenz sicher zu sein, nun dann muss man sic auch allen Bedingungen eines solchen stofflichen Dascins nnterwerfen. Hier erkennen wir ein sonderbares Verhangnis, dass bei Heine grade durch die Greifbarkeit der Zahlen die Existcnz der Zahlenreihen und damit. zugleich die der irrationalen Zahlen vernichtet wird, die doch durch eben diese Greifbarkeit gewahrleistet werden sollte. Heine stellt nun die Forderung auf, einer jeden Zahlenreihe ein Zeichen hinzuzufugen, und sagt: ,,Man fiihrt als Zeichen die Reihe selbst ein, diese in eckige Parenthesen gesetzt, sodass z. B. das zur Reihe a, b, e etc. gehorende Zeichen [a, b, e etc.] ist." Um hiervon Gebrauch machen zu konnen, musste man erst die Kunst erfinden, eine ins Unendliche fortlaufende Reihe in Parenthesen zu setzen.

·'•

Heine definirt weiter: ,,Allgemeinere Zahl oder. Zahlzeichen heisst das zu einer Zahlreihe gehorende Zeichen." Demnach ware eine in eckige Parenthesen gesetzte Zahlenreihe, falls es eine solche gabe, eine allgemeinere Zahl. Wir erkennen hieraus, dass die Zahlenreihen nicht in ihrer ursprunglichen N ac1.theit, sondern in ihrer

:Bekleidung mit eckigen Klammern den eigentlichen Gegenstand der Heineschen Betrachtung bilden sollen 1).

§ 125. Thomae sucht die Schwierigkeit, die das Fortlaufen einer Reihe ins Unendliche fur die formale Arithmetik hat, durch eine Definition der unendlichen Folge zu umgehen. Er sagt im § 5 : ,,Eine Folge von (zunachst gemeinen) Zahlen (a 1 a 2 a 3 •• an ..) heisst cine unendliche Folge, wenn kein Term in ihr ein letzter ist, sondern wenn nach einer zu gebenden Vorschrift immer wieder neue und neue Terme gebildet werden konnen." W enn wir nicht wussten, wohinaus Thomae wollte, konnten wir an eine in sich zurucklaufende Anordnung von Zahlfiguren denken. Da dies offenbar nicht gemeint ist, so muss eine Folge von Zahlfiguren immer zwei Enden haben, und ein Term wird immer der letzte sein. W egen des letzten mit ,,sondern" anfangenden Satzes ist jedoch anzunehmen, dass ,,letzter" bier nicht im gewohnlichen Sinne zu nehmen ist. Ich setze bier unten eine Zahlenfolge 2) bin 2 3 5 nnd frage : ist sie nach Thomae eine unendliche? W enn die Zweifigur erster 'l'erm genannt wird, so wird nach dem Sprachgebrauche die Fiinffigur letzter Term zu nennen sein. Danach batten wir keine unendliche Folge. Aber der Nachdruck liegt in der Thomaeschen Erklarung auf dem Konnen. Die Funffigur ist nach Thomae nicht letzter Term, wenn nach einer zu gebenden Vorschrift immer neue und neue Terme gebildet werden konnen. Es ist aber dazu nicht nothig, dass immer neue und neue Terme wirklich gebildet werden; die Moglichkeit geniigt; die Folge braucht, solange sie besteht, nie mehr als jene drei Terme zu enthalten und ware doch eine unendliche, wenn jene Moglichkeit bestande. Besteht sie? Fur einen allmachtigen Gott, ja; fur einen Menschen, nein. Wir stossen hier auf den schwierigen Begriff des Moglichen, sehen aber, dass es fur die Entscheidung unserer Frage ganz gleichgiiltig ist, ans welchen Termen unsere Folge besteht. Die Folgen werden hierdurch nicht eingetheilt in endliche und unendliche, sondern entweder werden sie sammtlich endlich, oder sammtlich unendlich sein, je nach dem Sinne, den wir mit dem Worte ,,konnen" verbinden. Wir haben einen ahnlichen Fall bei einer Hauserreihe, die sich von einer Stadt aus allmahlich ins Feld verlangert. Wir konnen definiren: ,,Eine Reihe von Hausern heisst eine unendliche Reihe, wenn kein Haus in ihr ein letztes ist, sondern wenn nach einer zu gebenden Vorschrift immer neue und neue Hauser gebaut werden konnen." Setzen wir dabei 1) Uebrigens ist der bestimmte Artikel vor ,,zu einer Zahlenreihe gehllrende Zeichen" auffallend, da man ja verschiedene Zeichen derselben Zahlenreihe zuordnen kann, von welcher Miiglichkeit Heine auch Gebrauch maoht. 2) Im Folgenden mag sie die Folge F heissen.. Sie soil in den folgenden Betrachtungen als Beispiel zu Grunde gelegt werden. Fr e g e , Grundgesetze II.

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:tnenschliches Konnen voraus und verstehen wir das Wort ,,immer" im strengsten Sinne, so wird hiernach keine Hlluserreihe eine unendliche sein. Unter denselben Voraussetzungen und aus demselben Grunde ist keine Folge von Zahlfiguren eine unendliche; denn wir sehen voraus, dass die Moglichkeit der Fortsetzung einmal aufhoren wird. Wir erkennen wohl, wie vergeblich es ist, uns' durch eine Definition iiber ,die Beschrllnktheit unseres Konnens tlluschen zu wollen.

W enn von einer noch so kleinen Zahl O' die Rede ist, mlissen wir uns erinnern, dass ,,Zahl" hier soviel wie ,,Zahlfigur" bedeutet, dass auf der ganzen Erde nur eine endliche Menge von Zahlfiguren vorhanden ist und ,class wir daran durch Hinschreiben neuer Zahlfiguren nichts llndern konnen. Man weise nicht auf unendlich viele mogliche Zahlfiguren hin ; denn nur die wirklichen sind ,Zahlfignren. Eine blos mogliche ist gar keine Zahlfigur. Vielleicht haben wir eine Vorstellung einer Zahlfigur und halten es auch fiir moglich, eine solche hinzuschreiben; aber dann haben wir eben nur eine Vorstellung, keine Zahlfigur. Ferner ist es sehr zweifelhaft, ob es moglich sei, unendlich viele Zahlfiguren zu bilden. Von einer unbegrenzten Annllherung an die Nullfiguren kann hier also garnicht die Rede Bein, selbst wenn wir eine Beziehung zwischen Zahlfiguren zugeben wollten, die durch die Worte ,,absolut kleiner als" bezeichnet wiirde.

§ 126. Aber zu welchem Zwecke brauchen wir denn unendliche Zahlenfolgen? Aus der Beantwortung dieser Frage wird sich vielleicht deutlicher erkennen lassen, was wir unter diesem Ausdrucke zu verstehen haben. Thomae schreibt: ,,Eine Folge (o 1 o2 o3 . . heisst eine Nullfolge, es wird ihr die Zahl Null durch das Gleichheitszeichen zugeordnet

on .. )

0

o o

=

(01 02 03 ..

on ..

on . .),

§ 127. Beim W orte ,,alle" macht Thomae folgende Anmerkung:

wenn die Zahlen 1 2 •• mit wachsendem Index beliebig klein werden, sodass fiir jede noch so kleine Zahl O' ein n so gefunden werden kann, dass alle Terme on on+ 1 on,+ 2 • • • absolut genommen kleiner als O' sind." Hier storen die Bezeichnungen. Wir wissen z. B. noch nicht, was ein Index bei einer Zahlenfolge ist. In dem Gebilde »(o 1 o2 0 8 •• )« sieht man zwar Indices; aber diese V ereinigung von Buchstaben, Ziffern, Pl'.inktchen und Klammern ist keine Zahlenfolge. Wir werden wohl nicht fehlgehen, wenn wir unter dem Index eines Terms einer Folge eine Ordnungszahl verstehen, die angiebt, der wievielste dieser Term in der Folge ist. Das n, von dem in der Thomaeschen Erklllrung die Rede ist, wird also nicht eine Zahlfigur, sondern eine Zahl sein. N ehmen wir an, wir hlltten als solches n in einem Falle gefunden 9 (9 9) ! Diirfen wir nun die W orte ,,der 9 (9 9) te Term der Folge Ji'' gebrauchen? Nicht eher, als wir wissen, dass die Folge 9 (9 9) Terme enthalte. Sonst ist ,,der 9 (9 9) te Term der Folge ]?" ein Eigenname ohne Bedeutung, weil ein 9 (9 9) ter Term einen (9 (9 9) - 1) ten voraussetzt. Dabei ist zu beachten, dass Terme, die nicht hingeschrieben sind, nicht vorhanden sind; denn die 'ferme sind Zahlfiguren, und Zahlfiguren sind durch Schreiben erzeugte Gebilde. Konnten wir aber nicht vom 9 (9 9) ten Terme der Folge F sprechen mit dem Zusatze ,,falls er vorhanden wllre"? Ja, ebenso wie vom llltesten Manne, der auf dem hundertsten Grade ni:irdlicher Breite wohnt, falls er vorhanden wllre. Man mag von solchem interessant fabuliren; aber in die Wissenschaft gehiirt es nicht hinein. Wenn also Thomae unter »On« den nten Term einer Folge versteht, so begiebt er sich ins Reich der Dichtung, sobald die Zahl n so gross ist, dass nicht mehr mit , Sicherheit ~as Vorhandensein sovieler Terme angenommen werden kann.

on ..

,,Da alle Terme nicht angeschrieben werden konnen, so ist unter ,,,,alle'"' hier wie in llhnlichen Fllllen zu verstehen, soviel man auch Terme bilden mag, oder, um negativ zu reden, von einem bestimmten Index ab ist kein Term > O'." Hierbei ist einiges zu erinnern. Die Nullfolgen sollen ohne Zweifel unendlich sein; d. h. es soll moglich sein, immer neue und neue Terme zu bilden, d. h. hinzuschreiben. Nun wird hier gesagt, dass alle Terme nicht angeschrieben werden konnen. Daraus ist zu entnehmen, dass eine Nullfolge nach Thomae besteht erstens aus Termen, die angeschrieben sind, zweitens aus Termen, die nicht angeschrieben sind, aber angeschrieben werden konnen, und, wie es scheint, drittens ans Termen, die nicht angeschrieben werden konnen. Dem entsprechend wiirde etwa eine unendliche Hlluserreihe bestehen erstens aus Hllusern, die gebaut sind, zweitens ans solchen, die nicht gebaut sind, aber gebaut werden konnen, und drittens aus Hllusern, die weder gebaut sind, noch gebaut werden konnen. Eine solche Hlluserreihe wiirde also, im Wirklichen anfangend, sich durch das Reich des blos Moglichen bis ins, Unmogliche erstrecken. Eine merkwiirdige Hlluserreihe !

§ 128. Sollte nicht der Formalarithmetiker hier wieder seinem Plane untreu geworden sein? Wir wissen, wie nahe das liegt, weil wir nun einmal gewohnt sind, die Zahlfiguren als Zahlzeichen zu betrachten, nllmlich als Eigennamen, die etwas bezeichnen. Daher wirkt das Hlluserbeispiel so befreiend, weil die Erinnerung an die inhaltliche Arithmetik hier wegfallt, wllhrend kein Unterschied besteht, der fiir unsere Frage in Betracht kllme; denn sowohl Hlluser, als auch Zahlfiguren sind Erzeugnisse zweckbewusster menschlicher Thatigkeit, und darauf allein kommt es an. Konnte man doch die Hlluser selbst statt der Zahlfiguren verwenden. Das Bauen entsprllche

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dem Hinschreiben, das Niederreissen dem Ausliischen. Hinschreiben und Ausloschen sind ja die Spielhandlungen im Rechenspiele. Man konnte also leicht alle Spielregeln diesem Falle anpassen.

§ 129. Denken wir an folgenden Fall! Uns se1• ei'ne V orsch rift V . gegeben zur Fortsetzung unserer Folge Ji'. Wir konnen nun , n eh men wu· an, ohne etwas iiber die zukiinftige Lange unserer Folge zu wissen aus der Beschaffenheit der Vorschrift den Satz folgern, dass alle Terme, 'wenn es einmal solche geben sollte, welche nach unserer Vorschrift. hingeschrieben und durch einen Index grosser als hundert zu kennzeichnen waren, kleiner sein werden als eine Einsfigur. W enn nun ein solcher Satz zu folgern ist fiir jede positive Zahlfigur er statt der Einsfigur, wobei nur statt der Zahl hundert eine andere zu nehmen ware, so wird Thomae die Folge wohl fiir eine Nullfolge erklaren. Hierbei muss jedoch immer im Auge behalten werden, dass die Menge der positiven Zahlfiguren eine endliche ist und stets bleiben wird. Ferner bomerken wir, dass die Moglichkeit solcher Folgerungen von der Vorschrift hauptsachlich abhangt, diese aber durch die Folge F, wie sie uns vor Augen steht, garnicht bestimmt ist. Das wtirde eher zur Definition einer Nullvorschrift als zu der einer Nullfolge berechtigen.

In der inhaltlichen Arithmetik hat es ja nichts Befremdliches, zu sagen dass alle Terme einer Folge nicht hingeschrieben werden konnen; den~ was da hingeschrieben wird, sind Zeichen der Terme. Hierdurch werden die Terme selbst nicht geschaffen, und deren Bestand wird durch das Hinschreiben oder Nichthinschreiben garnicht beriihrt. Ganz anders im Rechenspiele ! Hier sind die Zahl:figuren selbst die Terme. Nicht hingeschriebene Zahlfiguren sind so wenig vorhanden wie nicht gebaute Hauser. W enn nur drei Terme angeschrieben sind, so besteht die Folge auch nur aus di.·ei T.ermen. Wie .konnte man hier noch sagen, dass alle Terme der Folge mcht angeschrieben werden konnen ! Was kann im Rechenspiele eine Zahlenfolge anderes sein als ein Ganzes, eine Gruppe, bestehend aus geschriebenen Figuren? W enn eine solche Gruppe nicht angeschrieben werden kann, so kann sie nicht entstehen. Und da es solche Zahlenfolgen nicht von Ewigkeit her giebt, so giebt es dann iiberhaupt keine und wird es . keine geben. W enn aber eine Zahlenfolge hingeschrieben wird, so werden alle ihre Terme hingeschrieben; denn nur in ihnen hat sie ihren Bestand. Thomae gebraucht in seiner Anmerkung den Ausdruck ,,soviele man auch Terme bilden mag"; wenn hier statt ,,bilden mag" stande ,,gebildet hat und bilden wird", so ware nichts dagegen zu sagen. Aber Terme, welche nur moglich sind, aber nie hingeschrieben werden, sind in der formalen Arithmetik keine Terme. Ebensowenig wie zu beftirchten steht, dass die Baume in den Himmel wachsen, konnen die Zahlenfolgen ohne Ende fortgesetzt werden. J ede wird einmal ihre grosste Lange erreicht haben. Betrachten wir unsere Folge F in diesem Augenblicke ! Die Anzahl ihrer Terme sei dann n · der ' (n- l)te Term sei eine Zweifigur, der nte eine Einsfigur. Wir werden dann vielleicht sagen konnen: alle auf den (n - 2) ten folgenden Terme sind kleiner als eine Dreifigur; ebenso auch: alle auf den (n - 1) ten folgenden Terme sind kleiner als eine Zweifigur, und endlich : alle auf den n ten folgenden Terme sind kleiner als eine Einsfigur; da namlich auf den n ten kein Term folgt noch folgen wird. N egativ konnen wir auch sagen : Kein auf den n-Term folgender ist grosser als eine Einsfigur. Danach wltre also unsere Folge eine Nullfolge. Mit demselben Rechte freilich konnten wir beha11pten: kein auf den nten Term folgender ist kleiner als eine Neunfigur. Denn da es iiberhaupt keinen auf den nten Term folgenden giebt, giebt es auch keinen solchen, der kleiner ware als eine Neunfigur. Das ist die Weise, wie Thomaes W orte streng genommen verstanden werden miissen ; aber offenbar sollen sie nicht so verstanden werden.

§ 130. Aber auch eine Nullvorschrift wiirde sich so nicht definiren lassen. Dass der Satz ,,alle nach der Vorschrift V gebildeten Terme, deren Index grosser als hundert ist, sind kleiner als eine Einsfigur" ans dem W esen der Vorschrift V folge, kann nicht als Merkmal gebraucht werden. Es ginge noch, wenn er ganz formal folgte, etwa wie aus dem Satze ,,A ist ein B" folgt ,,es giebt ein B'' ganz unabhangig von den Bedeutungen von »A« und » B «, nur vorausgesetzt, dass diese Zeichen etwas bedeuten. Aber das ist hier offenbar nicht der Fall. Wir kennen zwar nicht die Bedeutung der W orte ,,kleiner sein als" in der Theorie des Rechenspiels, aber jedenfalls wird sie hier in Betracht kommen, und Satze werden heranzuziehen sein, welche die Beschaffenheit dieser Beziehung ins Licht setzen, Satze, die wir hier freilich nicht kennen, deren Geltung wir aber annehmen miissen. Man muss vielleicht noch Satze hinzunehmen, die uber die in der Vorschrift etwa erwahnten Gegenstande, Begriffe , Beziehungen nil.here Auskunft geben. Und diese Satze werden vielleicht von andern Gegenstanden, Begriffen, Beziehungen handeln, die ihrerseits andere Satze heranzuziehen nothigen. Vielleicht befindet sich unter ihnen der zu beweisende Satz selber. Da also die Vorschrift allein nicht hinreicht, und da nicht genau anzugeben ist, welche Satze noch heranzuziehen waren, hat es eigentlich keinen Sinn, zu sagen, aus der Vorschrift folge das und das. Wir miissen es daher aufgeben, den Umstand, dass ein Satz aus der Vorschrift V folge, zur Definition zu gebrauchen. Wir konnen nur den Satz selbst so verwenden, den Satz etwa, dass es fiir jede positive Zahlfigur er einen Index n giebt der Art, dass ein Term einer Folge kleiner ist als er, wenn er nach der Vorschrift V gebildet ist und wenn sein Index grosser als n ist. Aber ein hypothetischer Gedanke ist immer wahr, wenn die Bedingung nie erfiillt ist. So kann man immer mit W ahrheit beha upten: wenn ein

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135 Mann ohne N ahrung tausend J ahre alt geworden ist, bekommt er grline Haare. Es kann uns bier also zur Definition der Nullfolge nichts nlitzen, dass wir angeben, was unter Bedingungen stattfinden wlirde, die nicht erfiillt sind und nie erfiillt sein werden.

§ 131. Wir erkennen bier das unheilbare Missverhaltnis zwischen dem, was die Einfiihrung des Irrationalen erfordert, und dem, was die formale Arithmetik bieten kann. Um das Irrationale einzufiihren, brauchen wir unendlich viele Zahlen, und die formale Arithmetik hat von Zahlfiguren nur eine endliche Menge. Daran konnen alle Definitionen, kann alles Dreben und W enden nichts andern. In der That setzt ja auch Thomae unendlich viele Terme seiner Folgen voraus, indem er Zeichen wie »on« ohne obere Grenze. fur n als Vertreter bedeutungsvoller Eigennamen gebraucht, obwohl es in unendlich vielen Fallen nichts giebt, was durch ein solches Zeichen bezeichnet werden konnte. W enn eine unendliche Zahlenfolge aus Zahlfiguren und weiter nichts besteht, wenn Zahlfiguren durch Schreiben erzeugte Gebilde sind, so kann auch eine solche Zahlenfolge hingeschrie ben werden. Man thue es! Was wird man erhalten? Eine Reihe, die mit einer Figur anfangt und mit einer Figur endet. Nun kann man ja eine Definition geben, nach der diese so hingeschriebene Folge dennoch eine unendliche ist; aber was niitzt es? Die Unendlichkeit, welche wir zur Einfiihrung des Irrationalen brauchen, erhalten wir so doch nicht. Was nlitzt uns das Wort ,,unendlich", wenn uns die Sache fehlt, auf die es ankommt ! Da die Wirklichkeit nicht hinreicht, soll die Moglichkeit oder gar die Unmoglichkeit aushelfen, wie wir gesehen haben, vergebens. W enn blos miigliche Figuren ein Ersatz for wirkliche sein konnten, brauchten wir die wirklichen nicht.

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Dieser Sachverhalt wird dadurch verhiillt, dass die inhaltliche Arithmetik immer unwillkiirlich zur Erganzung herangezogen wird. Sie schimmert in der That iiberall so deutlich durch die Hiille der formalen, dass wir sie manchmal allein zu sehen glauben. Man bedenkt aber dabei nicht, dass Vieles, was in der inhaltlichen Arithmetik seinen guten Grund hat, in der formalen unberechtigt ist. Man vergisst immer wieder die tief greifenden Unterschiede. Mancher Leser hat vielleicht unsere Einmischung der Zeit als ganz unmathematisch verdammt, dass wir z. B. von einer .Folge angenommen haben, ihre Lange andre sich in der Zeit. Dieser Tadel ware auf dem Standpunkte der eigentlichen oder inhaltlichen Arithmetik ganz berechtigt; in der formalen aber wird durch die Sache selbst die Zeit eingefiihrt; denn wahrend die eigentlichen Zahlen zeitlos sind, entstehen und vergehen die Zahlfiguren in der Zeit, in ihr geschehen auch die Spielhandlungen.

§ 132. Thomae schreibt : ,,Die einfachste Nullfolge ist natiirlich (0 0 O .• o ..)." Wir fragen nun: bezeichnet diese Figurengruppe eine Zahlenfolge, oder ist sie eine? N ach dem sonst gewohnten Zeichengebrauche miissten wir jenes annehmen; da aber die Nullfiguren bier keine Zeichen sind, sondern eben Figuren, so miissen wir uns wohl dafiir entscheiden, dass jene Figurengruppe nach Thomaes Absicht eine Zahlenfolge sei. Ist sie das aber wirklich? Wir haben angenommen, dass die Zahlenfolgen aus Zahlfiguren und weiter nichts bestehen; bier aber sehen wir noch Piinktchen und Klammern. Die Letzten mogen wir vielleicht als blosse Bekleidung abrechnen diirfen. Was haben aber die Piinktchen mit der Zahlenfolge zu thun? Sollen sie Nullfiguren vertreten? Aber warum stehen dann die vertretenen Nullfiguren nicht selber da? Das ware einfacher. Wir batten dann eine Folge bestehend aus acht Nullfiguren. Ob wir dann freilich eine Nullfolge im Thomaeschen Sinne batten, mag bezweifelt werden. So haben wir nicht einmal eine Folge von Zahlfiguren, sondern eine Reihe, die theils aus Zahlfiguren, theils aus Piinktchen besteht. Nur die Gruppe der ersten drei Nullfiguren konnen wir als Folge von Zahlfiguren fassen; die vierte Nullfigur wird schon, weil durch Piinktchen von jenen getrennt, nicht mehr hinzugerechnet werden konnen. Sollen die Piinktchen dazu auffordern, sich noch unbestimmt viele Nullfiguren vorzustellen? Vorstellungen von Nullfiguren sind keine Nullfiguren, und eine V orstellung von unbestimmt vielen Nullfiguren ist jedenfalls sehr verschwommen. Dann stande jene gauze Figurengruppe nicht fiir sich selber da wie eine Gruppe von Schachfiguren, sondern die durch sie erweckten V orstellungen waren die Hauptsache. Wir batten dann doch wieder etwas wie ein Zeichen. Ware nun die damit verkniipfte V orstellung eine N ullfolge? Bestande sie aus Zahlfiguren? Schwerlich ! Wie wir uns auch drehen und wenden mogen, wir gelangen nicht zu einer Auffassung unserer Figurengruppe, die mit dem Grundgedanken der formalen Arithmetik vertraglich ware.

§ 133. Die Sache wird noch schwieriger, wenn wir statt der Zahlfiguren Buchstaben mit Indices haben. Ueber den Gebrauch der Buchstaben in der formalen Arithmetik ist nichts gesagt, obwohl er von dem in der inhaltlichen abweichen wird. Wie ist z. B. eine Gruppe von Buchstaben mit Indices aufzufassen, welche wir in dem Satze ,,Eine Folge von zunachst gemeinen Zahlen (a 1 a 2 a 3 •• an . .) heisst eine unendliche Folge" haben? Das erinnert an W endungen wie ,,ein Feldherr Caesar". Hier ist ,,Caesar" Eigenname und man konnte auch » (a 1 a 2 a 3 • • an ..) « als Eigennamen einer Zahlenfolge auffassen. Aber offenbar soll hier keine bestimmte Folge bezeichnet werden. Ebenso wenig ist diese Gruppe selbst eine Zahlenfolge. Man kann nun vermuthen, sie deute eine Folge nur an1

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wie man etwa sagt ,,eine Primzahl p". Hier ist der Buchstabe zwar kein Eigenname, vertritt aber einen solchen. Man schreibt Buchstaben statt der Eigennamen, nm der Betrachtung Allgemeinheit zu verleihen. Es ist aber immer moglich, auf einen bestimmten Fall zu kommen, indem man die Buchstaben durch Eigennamen ersetzt, z. B. statt des Buchstaben » p « den Eigennamen » 7 « schreibt. Man beachte wohl: den Eigennamen, nicht die Figur ! W enn man dem entsprechend in unserm Falle » a 1 « » a 2 « u. s. w. als V ertreter von Eigennamen und zwar von Zahlzeichen annahme, so erhielte man beim Uebergange zu einem besondern Falle etwa »(3 7 1 .. 2 ..)«, und hierin bezeichnete jedes Zahlzeichen eine Zahl. Was freilich das Ganze bezeichnen sollte, bliebe unklar, weil dariiber, was eine solche Verbindungsweise von Zeichen bedeute, keine Erklarung vorliegt. J edenfalls befanden wir uns auf dem Boden der inh altlichen Ari thmetik. Aber selbst, wenn wir fehlerhafterweise die Zahlzeichen als Figuren betrachten wollten, bezeichnete die ganze Figurengruppe weder eine Zahlenfolge, noch ware sie eine solche, wie wir oben gesehen ·haben. Wir gelangen demnach zu keiner befriedigenden Auffassung von »(a 1 a 2 a 3 • . an .. )«, wenn wir es in seine Bestandteile auflosen. Wir werden es also ohne Riicksicht auf seine Zusammensetzung annehmen miissen. Dann aber wird ein einzelner Buchstabe dieselben Dienste leisten, und wir werden sagen kiinnen ,,eine Zahlenfolge F"', wie wir etwa sagen ,,eine Primzahl p".

Zweingur, einer Dreifigur und einer Fiinffigur". W enn wir zu irgendeinem Zwecke dieser Folge noch ein anderes Zeichen geben wollen, so steht dem nichts im Wege, und wir konnen z. B. schreiben »H=V« worin das Gleichheitszeichen die Bedeutung des Zusammenfallens, der Identitat, also dessen hat, was wir Gleichheit nennen. Diese Gleichung ergiebt sich ans der Thomaeschen »a=(a 1 a 2 a 3 •• an .. )« dadurch, dass wir links nnd rechts statt der blos andeutenden Zeichen Eigennamen setzen. Nun ist es freilich unwahrscheinlich, dass . hiermit Thomaes Meinung getroffen sei. W ahrscheinlicher ist es, dass er uns anweisen wiirde, links von unserer Folge ein Gleichheitszeichen und davon wieder links unser Zeichen » V « zu schreiben, sodass eine Zeichen- und Figurengruppe von der Form »V=235« entstande. Und hierdurch, wiirde er etwa sagen, werde das Zeichen » V « unserer Folge zugeordnet. Das ware freilich unhaltbar. Zunachst namlich ware die linke Seite der Gleichung » a=(a 1 a 2 a:1 .. rtn . •) ' ganz anders behandelt als die rechte. Links ware fiir » a« ein Eigenname » V « eingesetzt, rechts aber der Gegenstand (die Folge) selbst. Das ware gegen alle Grundsatze des Buchstabengebrauchs in der Mathematik. Und so ware denn ein seltsames Gemisch von Zeichen und Figuren entstanden. Das Gleichheitszeichen ware weder als blosse Figur wie irn Spiele, noch auch so gebraucht, wie Thomae es in der Theorie des Spiels verwendet, noch auch so, wie es in der inhaltlichen Arithmetik gebraucht wird, sondern es sollte besagen, dass das links stohende Zeichen » V « die rechts stehende Folge bezeichnen solle. Die Vertauschbarkeit der linken und der rechten Seite der Gleichung galte hierbei nicht; denn stande die Folge links, » V « aber rechts, so ware die Folge damit als Zeichen fiir die Figur » V « hingestellt, was etwas ganz anderes ist. Ob wir nun hiermit Thomaes Meinung getroffen haben oder nicht, jcdenfalls ist es nicht erlaubt, so willkiirlich mit dem Gleichheitfizeichen nmznspringen, alsob es noch garnicht vorgekommen ware.

§ 134. Nun fahrt Thomae im § 5 fort: ,,Einer solchen Folge ordnen wir ein Zeichen zu nnd driicken die Zuordnung durch das Gleichheitszeichen aus, a=(a 1 a 2 a 3 •• an . .)." Diese Zuordnung eines Zeichens als besonders bedeutsame Handlnng haben wir schon bei G. Cantor gesehen; sie findet sich auch bei Heine. Der links stehende Buchstabe » a« vertritt hier o:ffenbar einen Eigennamen. Dasselbe thut aber die rechte Seite. Wir konnen dafiir wie oben einen einzelnen Buchstaben » F « schreiben

»a=F'«. W enn wir nun auf einen besondern Fall kommen wollen, so miissen wir sowohl fiir » F « als auch fiir » a« einen Eigennamen einsetzen. Dann haben wir aber schon einen Eigennamen der betrachteten Folge, namlich den fiir » F « eingesetzten, und brauchen ihr nicht erst einen zuzuordnen. N ehmen wir einen besondern Fall! Wir schreiben mit Kreide auf eine Tafel von links nach rechts aufeinanderfolgend eine Zweifigur, eine Dreifigur und eine Fiinffigur. Nehmen wir an, das so Erzeugte sei eine unendliche Zahlenfolge nach Thomae. Um von ihr etwas aussagen zu konnen, geben wir ihr als Zeichen oder Eigennamen ein umgekehrtes lateinisches A » V « und konnen nun z. B. schreiben: Die Folge V besteht aus einer

§ 135. Die folgenden Satze scheinen es zu bestatigen, dass wir 'l'hrnnaes Meinung richtig getroffen haben. Sie lanten: ,,Fur dieses Zeichen a neh:rnen wir unter Umstanden eine gemeine Zahl. W enn namlich von einem uestimmten Term ab diesel be Zahl immer wiederkehrt, sodass an+1 =an+2 =an+a =··=a ist, so wahlen wir die Zahl a als Zeichen fur die Folge. Aber anch dann, wenn in (a 1 a 2 a 3 .. an .. ) die Terme sich von der Folge (a a a .. a .. ) nur bez. um die Terme einer Nullfolge unterscheiden die wir sogleich de-

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finiren, ordnen wir die Zahl a als Zeichen der Folge (a 1 a 2 · · n a · ·) d urch das Gleichheitszeichen zu 1 ). Hiergegen ist zu erinnern, dass dabei verschiedene Dinge dasselbe Zeichen bekommen, was gegen alle Grundsatze der Bezeichnung verstosst. Das wird durch die Erinnerung an die inhaltliche Arithmetik freilich verhiillt. Der Gedanke schimmert hier wohl durch, dass alle diese Folgen eine und dieselbe Zahl in unserm Sinne, ein und dasselbe Grossenverhaltnis bestimmen in einer Weise, die hier freilich nicht angebbar ist, wail dazu erst die Fraga ,,was ist ein Grossenverhaltnis ?" beantwortet sein miisste. W enn Thomae nun der Folge ein Zeichen a zuordnet, so will er im Grunde wohl, ohne sich dessen ganz bewusst zu warden, jenem Grossenverhaltnisse das Zeichen zuordnen, und dann ist die Eindeutigkeit deR Zeichens in der That g~wahrt. Diese feierliche Zeichenzuordnung soll ein Ersatz sein fur das, was eigentlich geleistet warden sollte, namlich die Erklarung des Grossenverhaltnisses und den Nachweis, dass es solche giebt. Da man die Frucht nicht hat, bietet man wenigstens die leeren Fruchtschalen dar.

und wir mussten vermuthen, dass ein solches iiberhaupt nie abgeschlossen werden konnte, dass ausser den erlaubenden auch verbietende Regeln anfzustellen waren, woraus dann cine Unsicherheit iiber das entstltnde, wa 8 erlaubt ware, eine Unsicherheit, die auch wohl nie ganz gehoben werden konnte. Die Unklarheit, die ans der mangelnden Unterscheidung de;; Spiele:; selbst von seiner Theorie entstand, suchten wir moglichst zu heben. Aber es schien nicht wohl moglich, eine Theorie des Spiels zu geben, bevor nicht alle Regeln vorlagen. Wir sahen, dass unbesehens und ohne weitere Erklarung Bezeichnungen und Ausdrucke aus der inhaltlichen Arithmetik iibernommen wurden, z. B. ,,grosser" und ,,kleiner", deren Rolle im Rechenspiele dunkel blieb, obwohl sie hochst bedeutsam zu sein schien. Die formale Arithmetik erwies sich als unfahig, das Irrationale zu definiren, weil ihr nur eine endliche Menge von Zahlfiguren znr Verfiigung steht.

§ 136. Am meisten aber warden wir dadurch uberrascht, dass der Plan der formalen Arithmetik hier vollstandig scheitert, indem die Zahlfiguren nun doch als Zeichen gebraucht werden. W enn man Verwirrung stiften wollte, konnte man eigentlich nichts Besseres thun. Beruhte doch in der formalen Arithmetik Alles darauf, dass die Zahlfiguren eben nur Figuren und nicht Zeichen waren. Fur Figuren konnten willkiirliche Regeln aufgestellt warden, bei den Zeichen folgen die Regeln aus den Bedeutungen. Nun erhebt sich die Fraga, ob die Zahlfiguren, die als Terme einer Folge auftreten, als Zeichen anzusehen seien, die selbst wieder Folgen bedeuten. Dann miisste auch die Folge, deren Terme sie sind, etwas bedeuten; aber was denn? Man kame zu einem Riickschreiten ins Unendliche, wenn man die Terme einer Folge immer wieder als Zeichen fiir andere Folgen ansehen wollte. Danach ist wohl anzunehmen, dass die Zahlfiguren, wenn sie Terme sind, nicht als Zeichen aufzufassen sind. Aber es ist fraglich, ob eine solche Scheidung durchfiihrbar sei. J edenfalls ware diese doppelte Verwendungsweise gleichgestalteter Gebilde bedenklich. § 137. Es wird unnothig sein, Thomaes Darstellung waiter durchzunehmen. Dieser V ersuch einer formalen Arithmetik ist als gescheitert anzusehen schon darum, weil er nicht folgerecht durchgefiihrt warden kann. Die Zahlfiguren warden zuletzt doch wieder als Zeichen verwendet. Das von Thomae selbst aufgestellte Verzeichnis der Spielregeln ist unvollstandig, 1) Was bedeutet das Gleichheitszeichen in •an+1=an+2=an+s .. =a«?

CTeber die Tragweite des Grundgedankens der formalen Arithmetik sind wohl viele Mathematiker im Unklaren. Man fasst die formale Arithmetik, wie es scheint, im W esentlichen auf als die inhaltliche vermindert um die Verpflichtung, die Bedeutungen der Zeichen anzugeben. In der That kommt die Auffassung der Zahlen als Figuren eigentlich nur im Anfange zur Geltung, wo jene Verpflichtung driickend ist. Spater gleitet man, ohne es selbst zu merken, in die inhaltliche Arithmetik znriick. Und doch hat jene Auffassung auch Folgen, die lastig werden konnen ; sie bewirkt eine so vollige V eranderung der Arithmetik von Grund ans, dass es kaum zulassig scheint, den Namen ,,Arithmetik" ftir die formale ebem;o wie fiir die inhaltliche zu gebrauchen. Nur dadurch kann sich die formale Arithmetik am Leben erhalten, dass sie sich selbst untreu wird 1). Erleichtert wird ihr dies Scheinleben durch die Eile, mit der die Mathematiker meistens uber die ersten Grundlagen ihrer Wissenschaft, wenn sie sich iiberhaupt damit befassen, hinweggehen, um zu bedeutenderen Gegenstanden zu gelangen. Vieles wird ganz iibergangen, Anderes nur im Fluge beruhrt, nichts im Einzelnen durchgefiihrt. So kann eine Theorie den Schein der Festigkeit annehmen, die bei jedem ernsten Versuche einer wirklichen Durchftihrung sogleich ihre Schwache offenbaren wiirde. Und hiermit ist der W eg der Widerlegung gewiesen. Man muss die nur eben betretenen Gedankenpfade waiter verfolgen, um zu sehen, wohin sie fuhren. Ernst machen mit der formalen Arithmetik, das ist sie iiberwinden; und so haben wir es gemacht 2). 1) Wer Freude am Paradoxen hat, konnte vielleicht sagen: die richtige Auffassung der formalen Theorie besteht darin, dass man sie falsch auffasst. 2) H. v. Helmholtz scheint in seinem Aufsatze Zahlen und Messen erkenntnistheoretisch betrachtet (Philosoph. Aufsatze, Ed. Zeller zu seinem 50-jahr. Doctorjub. gewidmet) einer formalen Theorie anzuhangen, wenn er z. B. sagt: ,,Ich betrachte die Arithmetik oder die Lehre von den reinen Zahlen als eine auf rein psychologische Thatsachen aufgebante Methode, durch die die folgerechte Anwendung eines Zeichensystems (namlich der Zahlen) von unbegrenzter Ausdehnung und unbegrenzter Moglichkeit der Verfeinerung

140 d) Das Schaffen nener Gegenst.aude nach R. Dedekind, H. Hankel, 0. Stolz.

§ 138. Wir wenden um; nun zu der Darlegung, die R. Dedekind in seiner Schrift tiber Stetigkeit und irrationale Zahlen 1) gegebeu hat. Er Bagt, dort im § l, S. 6: ,,Soll ausgedrii.ckt werden, dass die Zeichen a und b eine und dieBelbe rnJionale Zahl bedeuten, so setzt man ::;owohl a=b wie b=a." Hier ist die Scharfe der Unterscheidung zwischen dem Zeichen 1md dem, was es bedeutet, erfreulich und bemerken::;werth, ebenso die Auffassung de::; Gleichheitszeichens, die genau mit unserer tibereim:timmt. Thomae bemerkt dagegen 2) : ,,Denn wenn Gleichheit oder das Gleichheitszeichen = nur die IdeHt.itat bedeuten sollte, so wtirden wir bei der trivialen Erkenntnis, oder, wenn man lieber will, Denknothwendigkeit a ist a (a=a) stehen bleiben." Dies ist ein Irrthum. Die Erkenntnis, dass der Abendstern derselbe ist wie der Morgenstern, ist viol werthvoller als eine blosse Anwendnng p))

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(689 (Das commutative Gesetz im Gebiete einer Positivklasse.)

(669

Nachwort. Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwiinschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschiittert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende naherte. Es handelt sich um mein Grundgesetz (V). Ich habe mir nie verhehlt, dass es nicht so einleuchtend ist, wie die andern, und wie es eigentlich von einem logischen Gesetze verlangt warden muss. Und so habe ich denn auch im Vorworte zum ersten Bande S. VII auf diese Schwache hingewiesen. Ich hatte gerne auf diese Grundlage verzichtet, wenn ich irgendeinen Ersatz dafiir gekannt hatte. Und noch jetzt sehe ich nicht ein, wie die Arithmetik wissenschaftlich begriindet werden konne, wie die Zahlen als logische Gegenstande gefasst und in die Betrachtung eingefiihrt werden konnen, wenn es nicht - bedingungsweise wenigstens - erlaubt ist, von einem Begriffe zu seinem Umfange iiberzugehn. Darf ich immer von dem Umfange eines Begriffes, von einer Klasse sprechen? Und wenn nicht, woran erkennt man die Ausnahmefalle? Kann man daraus, dass der Umfang eines Begriffes mit dem eines zweiten zusammenfallt, immer schliessen, dass jeder unter den ersten Begriff fallende Gegenstand auch unter den zweiten falle? Diese Fragen werden durch die Mittheilung des Herrn Russell angeregt. Solatium miseris, socios habuisse malorum. Dieser Trost, wenn es einer ist, steht auch mir zur Seite; denn Alle, die von Begriffsumfangen, Klassen, Mangen 1) in ihren Beweisen Gebrauch gemacht haben, sind in derselben Lage. Es handelt sich hierbei nicht um meine Begriindungsweise im Besonderen, sondern um die Moglichkeit einer logischen Begriindung der Arithmetik iiberhaupt. Doch zur Sache selbst ! Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden, der nun dargelegt warden mag. Von der Klasse der Menschen wird niemand behaupten wollen, dass sie ein Mensch sei. Wir haben hier eine Klasse, die sich selbst nicht an1) Auch die Systeme des Herrn R. Dedekind geMren hierher.

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gehort. Ich sage namlich, etwas gehore einer Klasse an, wenn es unter den Begri:ff fallt, dessen Umfang eben die Klasse ist. Fassen wir nun den Begri:ff ins Auge Klasse, die sich selbst nicht angeMrt! Der Umfang dieses Begriffes, falls man von ihm reden darf, ist demnach die Klasse der sich selbst nicht angehorenden Klassen. Wir wollen sie kurz die Klasse K nennen. Fragen wir nun, ob diese Klasse K sich selbst angehore ! N ehmen wir zuerst an, sie thue es! W enn et was einer Klasse angehort, so fallt es unter den Begriff, dessen Umfang die Klasse ist. Wann demnach unsere Klasse sich selbst angehOrt, so ist sie eine Klasse, die sich selbst nicht angehOrt. Unsere erste Annahme fi.thrt also auf einen Widerspruch mit sich. Nehmen wir zweitens an, unsere Klasse K gehore sich selbst nicht an, so fallt sie unter den Begri:ff, dessen Umfang sie selbst ist, gehort also sich selbst an. Auch hier wieder ein Widerspruch ! Wie sollen wir uns hierzu stellen? Sollen wir annehmen, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten gelte von den Klassen nicht? Oder sollen wir annehmen, es gebe Falla, wo einem unanfechtbaren Begri:ffe keine Klasse entspreche, die sein Umfang ware? Im ersten Falla sahen wir uns genothigt, den Klassen die volle Gegenstandlichkeit abzusprecben. Denn waren die Klassen eigentliche Gegenstande, so mi.lsste das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten von ihnen gelten. Andrerseits haben sie nichts Ungesattigtes, Pradikatives, wodurch sie etwa als Functionen, Begriffe, Beziehungen gekennzeichnet waren. Das, was wir gewohnt sind, als Naman einer Klasse zu betrachten, z. B. ,,die Klasse der Primzahlen", hat vielmehr das Wesen eines Eigennamens, kann, nicht pradikativ, wohl aber als grammatisches Subjekt eines singularen Satzes auftreten, z. B. ,,die Klasse der Primzahlen umfasst unendlich viele Gegenstande". W enn wir das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten fi.lr die Klassen ausser Kraft setzen wollten, konnten wir daran denken, die Klassen - und wohl die Werthverlaufe fiberhaupt - als uneigentliche Gegens~ande aufzufassen. Diese wfirden dann nicht ffir alle lfonctionen erster Stufe als Argumente auftreten dfirfen. Es gabe aber auch Functionen, die als Argumente sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstande haben konnten. W enigstens die Beziehung der Gleichheit (Identitat) wiirde von dieser Art sein. Man konnte dem zu entgehen suchen, indem man ffir uneigentliche Gegenstande eine besondere Art von Gleichheit annahme. Aber das ist wohl ausgeschlossen. Die Identitat ist eine so bestimmt gegebene Beziehung, dass nicht abzusehen ist, wie bei ihr verschiedene Arten vorkommen konnen. Nun ergabe sich aber eine grosse Mannigfaltigkeit von Functionen erster Stufe, namlich erstens solche, welche als Argumente nur eigentliche Gegen· stande haben dfirften, zweitens solche, welche als Argumente sowohl eigentlich,e, als auch uneigentliche Gegenstande haben konnten, endlich wohl auch solche, welche nur uneigentliche Gegenstande als Argumente haben konnten. ~ine andere Eintheilung ergabe sich aus den W erthen der Functionen.

Danach waren Functionen zu unterscheiden, welche als W 01-~he nur eigentliche Gegenstande hatten, zweitens solche, welche als W erthe sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstande hatten, endlich solche, welche nur uneigentliche Gegenstande als W erthe hatten. Beide Eintheilungen der Functionen erster Stufe bestanden gleichzeitig, sodass man neun Arten erhielte. Diesen entsprachen wieder neun Arten von W erthverlaufen, uneigentlichen Gegenstanden, die logisch zu unterscheiden waren. Die Klassen eigentlicher Gegenstande mfissten von den Klassen von Klassen eigentlicher Gegenstande unterschieden werden, die Relationen zwischen eigentlichen Gegenstanden von den Klassen eigentlicher Gegenstande, von den Klassen von Relationen zwischen eigentlichen Gegenstanden u. s. w. So erhielten wir eine unabsehbare Mannigfaltigkeit von Arten; und im Allgemeinen kCinnten Gegenstande, die verschiedenen dieser Arten angehOrten, nicht als Argumente derselben Functionen auftreten. Es scheint aber ausserordentlich schwierig zu sein, eine vollstandige Gesetzgebung aufzustellen, durch die allgemein entschieden wfirde, welche Gegenstande als Argumente welcher Functionen zulassig waren. Ueberdies kann die Berechtigung uneigentlicher Gegenstande bezweifelt warden. Wann uns diese Schwierigkeiten davon abschrecken, die Klassen und damit die Zahlen als uneigentliche Gegenstande aufzufassen, wenn wir sie aber auch nicht als eigentliche Gegenstande anerkennen wollen, namlich als solche, welche als Argumente jeder Function erster Stufe auftreten kCinnen, so bleibt wohl nur fibrig, die Klassennamen als Scheineigennamen zu betrachten, die also in W ahrheit keine Bedeutung hatten.• Sie waren dann anzusehen als Theile von Zeichen, die nur als Ganze eine Bedeutung batten 1). Man kann es ja ffir irgendeinen Zwack vortheilhaft erachten, verschiedene Zeichen in einem Theile fibereinstimmend zu gestalten, ohne sie dadurch zu zusammengesetzten zu machen. Die Einfachheit eines Zeichens erfordert ja nur, dass die Theile, die man in ihnen etwa unterscheiden kann, nicht selbstandig eine Bedeutung haben. Auch das, was wir als Zahlzeichen aufzufassen gewohnt sind, ware dann eigentlich kein Zeichen, sondern der unselbstandige Theil eines Zeichens. Eine Erklarung des Zeichens >> 2 « ware unmoglich; man hatte statt dessen viele Zeichen zu erklaren, die als unselbstandigen Bestandtheil » 2 « enthielten, aber logisch nicht aus » 2 « und einem andern Theile zusammengesetzt zu denken waren. Es ware dann unzulassig, einen solchen unselbstandigen Theil