Gestion financière - Recueil de solutions [4 ed.]

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ÉDITION

FINANCIERE Stephen A. ROSS • Randolph W. WESTERFIELD • Bradford D. JORDAN • Gordon S. ROBERTS Recueil de solutions David KOSLOWSKY Adaptation française Christian BOUTET • Patrick FOURNIER

Chapitre 1 Une introduction à la finance d’entreprise Solutions aux questions et problèmes Notions de base 1. La décision d’investissement (décider par exemple s’il faut agrandir ou non une usine), la décision de financement (déterminer la structure du capital ou la structure financière, c’est-à-dire établir la meilleure combinaison de fonds propres et de dettes) et la gestion du fonds de roulement (par exemple modifier la politique de crédit des clients). 2. Les inconvénients de l’entreprise individuelle : 1) la responsabilité illimitée ; 2) la durée de vie de l’entreprise est limitée à celle de son propriétaire ; 3) les difficultés dans le transfert de la propriété ; 4) la collecte difficile de nouveaux capitaux. Les avantages : 1) elle est plus simple et moins réglementée ; 2) les gestionnaires sont aussi les propriétaires ; 3) parfois le taux d’imposition sur les revenus des particuliers est moins élevé que celui sur les revenus des entreprises. 3. Le principal inconvénient de la société par actions est la double taxation des actionnaires sur la distribution des bénéfices et des dividendes. Les avantages sont notamment la responsabilité limitée, la facilité dans le transfert de la propriété, la capacité de réunir des capitaux et la durée de vie illimitée. 4. Le service de gestion de trésorerie et le service du contrôle font directement rapport au vice-président aux finances. Le contrôleur est responsable de la comptabilité analytique et financière, de la gestion fiscale et du système d’information de gestion. Pour sa part, le trésorier est responsable de la gestion de la liquidité et du crédit, des décisions d’investissement et de la planification financière. Par conséquent, l’étude de la finance des entreprises concerne la gestion de la trésorerie. 5. Le gestionnaire financier devrait maximiser la valeur au marché des actions de l’entreprise (que celle-ci soit publique ou privée). 6. Dans une société par actions, les actionnaires sont les propriétaires. Les actionnaires nomment les directeurs qui, à leur tour, désignent les gestionnaires. Cette séparation entre les propriétaires et les gestionnaires peut engendrer des problèmes d’agence (aussi connus sous le nom de « problèmes principal-agent »). Les gestionnaires peuvent agir dans leur propre intérêt plutôt que dans l’intérêt des actionnaires. Si cette éventualité se vérifie, les gestionnaires s’éloignent de leur objectif principal qui consiste à maximiser la valeur des actions. 7. Il s’agit d’une transaction sur un marché primaire. 8. Dans un marché à la criée comme le New York Stock Exchange (NYSE), les courtiers et les agents se rencontrent dans un lieu physique (la Bourse) pour établir le lien entre les acheteurs et les vendeurs d’actifs. Un marché de négociants comme le Nasdaq regroupe les courtiers qui négocient sans se retrouver dans un lieu physique commun. Ces négociateurs achètent et vendent eux-mêmes les actifs en communiquant par réseau informatique ou à travers le marché de gré à gré. Le marché opéré par le Toronto Stock Exchange (TSX) est Chapitre 1 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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l’endroit où se transigent la plupart des titres des grandes compagnies canadiennes (il y a aussi des titres de compagnies étrangères). Le TSX a offert pendant un certain temps la possibilité de transiger à la fois sur le parquet (à la criée) et par l’intermédiaire d’une plate-forme électronique, d’où son caractère hybride. Notons cependant que les transactions sur le parquet ont cessé définitivement en avril 1997.

Notions intermédiaires 9. De telles organisations poursuivent souvent des objectifs politiques ou sociaux. Un objectif fréquemment cité est celui qui consiste à minimiser les revenus, c’est-à-dire à fournir tout bien ou service au coût le plus bas possible pour la société. Une meilleure approche serait de considérer que même une société à but non lucratif possède des fonds propres. Donc, un objectif approprié pourrait être celui de la maximisation de la valeur des fonds propres. 10. La valeur courante d’une action est supposée refléter tous les flux monétaires futurs, que ces derniers soient à court terme ou à long terme. Elle tient aussi compte des risques inhérents à ces flux monétaires et des moments auxquels ils vont survenir. L’affirmation est donc fausse. 11. On pourrait fournir des arguments en faveur des deux positions. D’un côté, on pourrait soutenir que dans une économie de marché tous ces aspects sont considérés. Donc, un niveau optimal est atteint du point de vue éthique ou légal qui est inclus dans l’évaluation d’une action. D’un autre côté, on peut affirmer qu’il ne s’agit pas de problèmes économiques et que les instances politiques devraient s’en occuper. Une question classique, qu’on utilise souvent pour illustrer ce débat : « Une entreprise a estimé que le coût d’amélioration de la sécurité sur un de ses produits est de 30 millions de dollars. Par ailleurs, l’entreprise pense que l’amélioration de la sécurité réduira les frais juridiques à la suite de procès de seulement 20 millions de dollars. Qu’est-ce que la firme devrait faire ? » On peut aussi imaginer le cas d’un fabricant d’automobiles qui est au courant de l’existence d’un défaut de fabrication pouvant causer des accidents et qui refuse d’effectuer le rappel prétextant que le montant des poursuites éventuelles seront inférieures au coût du rappel. Ce type d’analyse sous-estime le coût réel d’une telle décision puisque la perte de réputation découlant des poursuites éventuelles se fera certainement sentir sur les ventes de véhicules. En fait, le marché fera payer très cher ce type de décision et il en coûtera des sommes importantes pour regagner la réputation perdue. 12. Le but serait le même, mais les moyens pour atteindre cet objectif pourraient être modifiés à cause de différentes institutions politiques, sociales et économiques. 13. L’objectif des gestionnaires devrait être de maximiser le prix des actions. Si les gestionnaires pensent qu’ils peuvent améliorer la rentabilité de l’entreprise de sorte que le cours des actions dépasse les 35 $, alors ils devraient combattre l’offre venant de l’autre entreprise. Si les gestionnaires pensent que l’entreprise en question ou d’autres entreprises payeront plus que 35 $ par action pour acheter les titres, alors les gestionnaires devraient toujours s’opposer à l’offre. Par contre, s’ils ne sont pas capables de faire augmenter la valeur de l’entreprise au-delà de la valeur offerte, et qu’aucune autre offre ne se présente, en s’opposant à l’offre ils n’agissent pas dans l’intérêt des actionnaires. Étant donné que les gestionnaires de l’entreprise qui se fait acheter sont la plupart du temps remplacés, ils ont souvent intérêt à s’opposer à de telles offres. 14. On s’attend à ce que les coûts d’agence soient moins importants à l’étranger à cause du petit pourcentage de propriété individuelle. Un nombre réduit de propriétaires devrait en principe minimiser le nombre d’opinions concernant les objectifs de l’entreprise. Un pourcentage élevé d’actions concentré dans les mains d’institutions financières devrait conduire à un meilleur consensus entre les propriétaires et les gestionnaires concernant des projets risqués. Aussi, du fait de son expérience et de ses ressources, une institution financière est plus qualifiée pour exercer des contrôles sur les gestionnaires qu’un simple individu. L’augmentation du nombre d’institutions financières responsables du capital des entreprises aux États-Unis et le rôle actif de plusieurs groupes

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d’actionnaires devraient réduire les problèmes d’agence dans ces entreprises. Enfin, le marché pour le contrôle des entreprises devrait devenir plus efficient. 15. Les grandes institutions financières •

Les banques à charte acceptent des dépôts, accordent des crédits aux entreprises, des crédits commerciaux, personnels et des hypothèques.

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Les sociétés de fiducie acceptent des dépôts, accordent des crédits, mais elles s’engagent aussi dans des activités fiduciaires comme la gestion d’actifs immobiliers, les REER, etc.

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Les banques d’investissement sont des institutions qui assistent les entreprises dans l’émission de titres.

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Les caisses de retraite investissent les contributions des employeurs et des employés dans des titres offerts par le marché financier. Les caisses de retraite regroupent les investissements individuels pour acheter un portefeuille diversifié.

Les principaux marchés •

Le marché monétaire est un marché des capitaux où des titres de créance à court et à moyen terme sont achetés ou vendus.

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Le marché des capitaux est un marché financier où des titres de fonds propres ou des dettes à long terme sont soit achetés, soit vendus. Le marché primaire est le marché où les titres sont vendus pour la première fois ; le marché secondaire est le marché où les titres déjà émis sont négociés.

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Le marché des produits dérivés est un marché où les options, contrats à terme et autres produits dérivés sur des titres ou des commodités sont échangés.

16. Dans le cas du financement direct, les fonds sont transférés des bailleurs de fonds vers les demandeurs de fonds de manière directe, sans l’intervention d’un intermédiaire financier. Dans le cas du financement indirect, les fonds sont transférés des bailleurs de fonds vers les demandeurs de fonds par les intermédiaires financiers. 17. Les tendances •

L’ingénierie financière est la création de nouveaux instruments et procédés financiers.

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Les produits dérivés comme les options et les contrats à terme, et tous les autres actifs dont la valeur dépend de la valeur d’un autre actif (qualifié de « sous-jacent »). Par exemple, un contrat à terme standardisé pour l’achat d’huile peut fixer aujourd’hui le prix d’achat ou de vente d’une transaction qui aura lieu dans l’avenir. La valeur de ce contrat dépend du niveau du prix de l’huile.

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Il règne un climat de dialectique de réglementation, qui représente les pressions entre les institutions financières et les organismes de réglementation (comme l’Autorité des marchés financiers au Québec). Il est primordial d’établir un bon niveau de réglementation, qui est souvent un compromis. Une réglementation moindre est souvent perçue comme une opportunité de croissance pour les institutions financières, mais des règles inexistantes ou trop laxistes peuvent causer des problèmes, par exemple les problèmes de levier financier trop élevé qui ont mené à la crise financière et économique de 2007-2009.

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Toutes ces nouvelles tendances rendent la gestion financière de plus en plus complexe.

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Chapitre 2 Les états financiers, les impôts et les flux monétaires Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. Un bilan ACT AIN AT

5 100 $ 23 800 28 900 $

DCT DLT FP DT + FP

4 300 $ 7 400 ? 28 900 $

FP = AT – DCT – DLT = 28 900 $ – 7 400 $ – 4 300 $ = 17 200 $ FRN = ACT – DCT = 5 100 $ – 4 300 $ = 800 $ 2. Un état des résultats Ventes Coûts BAAII Amortissement BAII Intérêts BAI Impôts (35 %) BN

586 000 $ 247 000 339 000 $ 43 000 296 000 $ 32 000 264 000 $ 92 400 171 600 $

3. Bénéfice net = Dividendes + Bénéfices non répartis ; BNR = BN – D = 171 600 $ – 73 000 $ = 98 600 $ 4. BPA = Bénéfice net / Nombre d’actions = 171 600 $ / 85 000 = 2,019 $ par action DPA = Dividendes / Nombre d’actions = 73 000 $ / 85 000 = 0,86 $ par action 5. FRN = ACT – DCT ; ACT = FRN + DCT = 380 000 $ + 1,1 M $ = 1,48 M $ Valeur aux livres des ACT = 1,48 M$

Valeur marchande des ACT = 1,60 M$

Valeur aux livres de l’AIN = 3,7 M$

Valeur marchande de l’AIN = 4,9 M$

Valeur aux livres = 1,48 M$ + 3,7 M$ = 5,18 M$

Valeur marchande = 1,6 M$ + 4,9 M$ = 6,5 M$

6. Impôts à payer : 0,19 × 236 000 $ = 44 840 $

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7. Taux marginal d’imposition = Taux moyen d’imposition = 44 840 $ / 236 000 $ = 19 % Le taux d’imposition marginal est le taux d’imposition sur le prochain 1 $ de revenu. Étant donné que les entreprises canadiennes possèdent un taux d’imposition unique, le taux d’imposition marginal est égal au taux d’imposition moyen. 8. Ventes Coûts Amortissement BAII Intérêts versés BAI Impôts (35 %) BN

27 500,00 $ 13 280,00 12 300,00 11 920,00 $ 11 105,00 10 815,00 $ 3 785,25 7 029,75 $

FME = BAII + Amortissement – Impôts = 11 920 $ + 2 300 $ – 3 785,25 $ = 10 434,75 $ 9. Dépenses d’investissement nettes = AINfin – AINdébut + Amortissement = 4,2 M$ – 3,4 M$ + 385 000 $ = 1,185 M$ 10. Dépenses FRN = FRNfin – FRNdébut Dépenses FRN = (ACTfin – PCTfin) – (ACTdébut – PCTdébut) Dépenses FRN = (2 250 $ – 1 710 $) – (2 100 $ – 1 380 $) Dépenses FRN = 540 $ – 720 $ = −180 $ 11. Flux monétaire affecté aux créanciers = Intérêts payés – Nouvel endettement net = 170 000 $ – (DLTfin – DLTdébut) = 170 000 $ – (2,9 M$ – 2,6 M$) = 170 000 $ – 300 000 $ = −130 000 $ 12. Flux monétaire affecté aux actionnaires = Dividendes payés – Augmentation nette des fonds propres = 490 000 $ – (AOfin – AOdébut) = 490 000 $ – (815 000 – 740 000) = 415 000 $

Notions intermédiaires 13. Flux monétaire provenant de l’actif = Flux monétaire affecté aux créanciers + Flux monétaire affecté aux actionnaires = −130 000 $ + 415 000 $ = +285 000 $ Flux monétaire provenant de l’actif = +285 000 $ = FME – DFRN – Dépenses d’investissement nettes = FME – (–85 000 $) – 940 000 $ Flux monétaire d’exploitation = +285 000 $ – 85 000 $ + 940 000 $ = 1 140 000 $

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14. État des résultats Ventes CMV MB Autres frais BAAII Amortissement BAII Intérêts BAI Impôts (35 %) Bénéfice net Dividendes Augmentation des BNR

196 000 $ 104 000 92 000 $ 6 800 85 200 $ 9 100 76 100 $ 14 800 61 300 $ 21 455 39 845 $ 10 400 29 445 $

a) FME = BAII + Amortissement – Impôts = 76 100 $ + 9 100 $ – 21 455 $ = 63 745 $ b) FMC = Intérêts versés – Nouvel endettement net = 14 800 $ – (–7 300 $) = 22 100 $ c) FMA = Dividendes – Augmentation nette des FP = 10 400 $ – 5 700 $ = 4 700 $ d) FMT = FMC + FMA = 22 100 $ + 4 700 $ = 26 800 $ 26 800 $ = FME – Dépenses d’investissement nettes – Dépenses FRN Dépenses d’investissement nettes = AINfin – AINdébut + Amortissement = 27 000 $ + 9 100 $ = 36 100 $ Dépenses (ou ajout) FRN = FME – Dépenses d’investissement nettes – FMT = 63 745 – 36 100 – 26 800 = 845$ Dépenses FRN = 26 800 $ – 63 745 $ + 36 100 $ = –845 $ Le signe positif indique une augmentation du fonds de roulement net. 15. Pour résoudre cette question, il faut refaire l’état des résultats à partir du bénéfice net : BN = Div. + BNR = 1 500 $ + 5 100 $ = 6 600 $ BAI = BN / (1 – Taux d’impôt) = 6 600 $ / 0,65 = 10 153,85 $ BAII = BAI + Intérêts = 10 153,85 $ + 4 500 $ = 14 653,85 $ Ventes – Coûts = BAAII = 41 000 $ – 19 500 $ = 21 500 $ Amortissement = BAAII – BAII = 21 500 $ – 14 653,85 $ = 6 846,15 $ 16. Le bilan Encaisse Comptes clients Stocks Actif à court terme Brevets et droits d’auteur Actif immobilisé net Actif total

195 000 $ 137 000 264 000 596 000 $ 780 000 2 800 000 4 176 000 $

Comptes fournisseurs Notes à payer Dette à court terme Dette à long terme Dette totale Fonds propres Actions ordinaires Bénéfices non répartis Total dette fonds propres

405 000 $ 160 000 565 000 $ 1 195 000 1 760 000 $ ? 1 934 000 4 176 000 $

Actions ordinaires = AT – DT – BNR = 4 176 000 $ – 1 760 000 $ – 1 934 000 $ = 482 000 $ Chapitre 2 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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17. La valeur marchande des fonds propres ne peut être zéro ou négative. Fonds propres = Maximum [(AT – DT), 0] Si AT = 8 400 $, FP = 1 100 $. Si AT = 6 700 $, FP = 0 $. 18. a) X : Impôts = 0,19 × 88 000 $ = 16 720 $ Y : Impôts = 0,269 × 8,2 M$ = 2 205 800 $ b) Les entreprises ont des taux marginaux différents. La société X paie un montant additionnel de 1 900 $ en raison de son taux marginal de 19 % sur chaque dollar additionnel, alors que la société Y en paie 2 690 $ en raison de son taux marginal de 26,9 %. 19. État des résultats Ventes CMV Marge brute Autres dépenses BAAII Amortissement BAII Intérêts BAI Impôts

730 000 $ 580 000 150 000 $ 105 000 45 000 $ 135 000 (90 000 $) 75 000 (165 000 $) 0$

a) BN = (165 000 $) b) FME = BAII + Amortissement – Impôts = −90 000 $ + 135 000 $ – 0 $ = 45 000 $ c) Le bénéfice net est négatif, car l’amortissement et les dépenses en intérêts sont déductibles des revenus. Néanmoins, le flux monétaire d’exploitation est positif, puisque l’amortissement n’est pas un flux monétaire réel mais plutôt une écriture comptable. De plus, les intérêts sont des dépenses de financement et non des dépenses d’exploitation.

20. Une entreprise peut verser des dividendes même si son bénéfice net est négatif. Elle doit simplement s’assurer d’avoir suffisamment de liquidité pour payer ces dividendes. Dépenses (ajouts) au FRN = Dépenses d’investissement nettes = Nouveau capital-actions = 0 (donnée du problème) FMT = FME – Dépenses d’investissement nettes – Dépenses du FRN = 45 000 $ FMT = FM affecté aux créanciers + FM affecté aux actionnaires FMA = Dividendes versés – Nouveaux fonds propres = 25 000 $ – 0 $ = 25 000 $ FMC = 45 000 $ – 25 000 $ = 20 000 $ 20 000 $ = Intérêts – Nouveaux emprunts nets Nouveaux emprunts nets = 75 000 $ – 20 000 $ = 55 000 $ 21. État des résultats Ventes Coûts BAAII Amortissement BAII Intérêts BAI Impôts (34 %) a) BN

22 800 $ 16 050 6 750 $ 4 050 2 700 $ 1 830 870 $ 295,80

574,20 $

b) FME = BAII + Amortissement – Impôts = 2 700 $ + 4 050 $ – 295,80 $ = 6 454,20 $ Chapitre 2 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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c) Dépenses du FRN = (FRNfin – FRNdébut) = (ACTfin – DCTfin) – (ACTdébut – DCTdébut) = (5 930 $ – 3 150 $) – (4 800 $ – 2 700 $) = 680 $ Dépenses d’investissement nettes = AINfin – AINdébut + Amortissement = 16 800 $ – 13 650 $ + 4 050 $ = 7 200 $ FM = FME – Dépenses du FRN – Dépenses d’investissement nettes = 6 454,20 $ – 680 $ – 7 200 $ = –1 425,80 $ Le flux monétaire provenant de l’actif peut être positif ou négatif, car il indique si une entreprise a reçu des fonds ou si elle en a plutôt distribué (sur une base nette). Dans ce cas, même si le flux monétaire d’exploitation est positif, l’entreprise a beaucoup investi en actif immobilisé et en fonds de roulement. Pour effectuer ce type d’investissement, elle a eu besoin de collecter 1 425,80 $ auprès des actionnaires et des créanciers. d) Flux monétaire affecté aux créanciers = Intérêts – Nouvel endettement net = 1 830 $ – 0 $ = 1 830 $ Flux monétaire affecté aux actionnaires = FM – FMC = – 1 425,80 $ – 1 830 $ = –3 255,80 $ = Dividendes – Nouveaux fonds propres NFP = 1 300 $ – (–3 255,80) $ = 4 555,80 $ L’entreprise avait des bénéfices nets et un flux monétaire d’exploitation positif. Elle a investi 680 $ en fonds de roulement et 7 200 $ en actif immobilisé. Pour ce faire, elle a eu besoin de 1 425,80 $ collectés auprès de ses bailleurs de fonds, ce qui a été possible grâce à l’investissement de 4 555,80 $ sous forme de nouveaux fonds propres. Après avoir payé 1 300 $ aux actionnaires sous forme de dividendes et 1 830 $ aux créanciers sous forme d’intérêts, il restait 1 425,80 $ pour satisfaire les besoins de l’entreprise en ce qui concerne le flux monétaire. 22. a) AT 2014 = 653 $ + 2 691 $ = 3 344 $ ; DT 2014 = 261 $ + 1 422 $ = 1 683 $ FP 2014 = 3 344 $ – 1 683 $ = 1 661 $ AT 20015 = 707 $ + 3 240 $ = 3 947 $ ; DT 2015 = 293 $ + 1 512 $ = 1 805 $ FP 2015 = 3 947 $ – 1 805 $ = 2 142 $ b) FRN 2014 = ACT 2014 – DCT 2014 = 653 $ – 261 $ = 392 $ FRN 2015 = ACT 2015 – DCT 2015 = 707 $ – 293 $ = 414 $ DFRN = FRN 2015 – FRN 2014 = 414 $ – 392 $ = 22 $ c) Dép. d’invest. nettes = AIN 2015 – AIN 2014 + Amortissement = 3 240 $ – 2 691 $ + 738 $ = 1 287 $ Dép. d’invest. nettes = AI achetés – AI vendus 1 287 $ = 1 350 $ – AI vendus ; AI vendus = 1 350 $ – 1 287 $ = 63 $ FME 2015 = BAAII – Impôts = 8 280 $ – 3 861 $ – [(0,35) × (8 280 $ – 3 861 $ – 738 $ – 211 $)] = 3 204,50 $ FM = FME – DFRN – Dép. d’invest. nettes = 3 204,50 $ – 22 $ – 1 287 $ = 1 895,50 $ d) Nouvel emprunt net = DLT 2015 – DLT 2014 = 1 512 $ – 1 422 $ = 90 $ FMC = Intérêts – Nouvel emprunt net = 211 $ – 90 $ = 121 $ Nouvel emprunt net = Dette émise – Dette remboursée 90 $ = 270 $ – Dette remboursée ; Dette remboursée = 180 $

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23. Bénéfice Impôts sur le bénéfice de la compagnie (35 %) Montant distribué aux détenteurs de parts Impôts sur dividendes (23 %) Impôts personnels sur le revenu (48 %) Montant net reçu par les détenteurs de parts

Dividendes 500 000 $ 175 000 $ 325 000 $ 74 750 $ 250 250 $

Revenus de fiducie 500 000 $ 500 000 $ 240 000 $ 260 000 $

Il semble que l’investisseur pourrait bénéficier de cette conversion. Pour chaque part détenue, un investisseur gagnerait (260 000 $ – 250 250) / 10 000 = 0,975 $. Pour un investisseur qui détient 2 000 parts, cette conversion représente un gain de 1 950 $ (2 000 × 0,975 $).

Problèmes complexes 24. Dépenses en investissement nettes = AINfin – AINdébut + Amort. = (AINfin – AINdébut) + (Amort. + Amort. cumulé au début) – Amort. cumulé au début = (AINfin – AINdébut) + ACfin – ACdébut = AINfin + ACfin – (AINdébut + ACdébut) = AIfin – AIdébut 25.

Bilan au 31 décembre 2014 Encaisse Comptes clients Stock ACT AIN AT

3 972 $ 5 021 8 927 17 920 $ 31 805 49 725 $

Comptes fournisseurs Effet à payer DCT DLT FP DT + FP

État des résultats – 2014 Ventes CMV Marge brute Autres dépenses BAAII Amortissement BAII Intérêts BAI Impôts (34 %) BN D Augm. BNR

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7 233,00 $ 2 487,00 4 746,00 $ 591,00 4 155,00 $ 1 038,00 3 117,00 $ 485,00 2 632,00 $ 894,88 1 737,12 $ 882,00 855,12 $

Bilan au 31 décembre 2015

3 984 $ 732 4 716 $ 12 700 $ 32 309 49 725 $

Encaisse Comptes clients Stock ACT AIN AT

4 041 $ 5 892 9 555 19 488 $ 33 291 52 779 $

Comptes fournisseurs Effet à payer DCT DLT FP DT + FP

4 025 $ 717 4 742 $ 15 435 $ 32 602 52 779 $

État des résultats – 2015 Ventes CMV Marge brute Autres dépenses BAAII Amortissement BAII Intérêts BAI Impôts (34 %) BN D Augm. BNR

8 085,00 $ 2 942,00 5 143,00 $ 515,00 4 628,00 $ 1 085,00 3 543,00 $ 579,00 2 964,00 $ 1 007,76 1 956,24 $ 1 011,00 $ 945,24 $

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26. FME = BAII + Amort. – Impôts = 3 543 $ + 1 085 $ – 1 007,76 $ = 3 620,24 $ Dépenses FRN = FRNfin – FRNdébut = (19 488 $ – 4 742 $) – (17 920 $ – 4 716 $) = 1 542 $ Dép. d’invest. nettes = AINfin – AINdébut + Amort. = 33 291 $ – 31 805 $ + 1 085 $ = 2 571 $ FM = FME – DFRN – Dép. d’invest. nettes = 3 620,24 $ – 1 542 $ – 2 571 $ = −492,76 $ FMC = Intérêts – Nouveaux emprunts nets Nouveaux emprunts nets = DLTfin – DLTdéb FMC = 579 $ – (15 435 $ – 12 700 $) = –2 156 $ Nouveaux FP = Actions ordinairesfin – Actions ordinairesdébut = Actions ordinaires + Bénéfices non répartis = FP totaux Nouveaux FP = (FP – BNR)fin – (FP – BNR)début = FPfin – FPdébut + BNRdébut – BNRfin BNRfin = BNRdébut + Augm. BNR Nouveaux FP = FPfin – FPdébut – Augm. BNR = 32 602 $ – 32 309 $ – 945,24 $ = –652,24 $ FMA = D – Nouveaux FP = 1 011 $ – (–652,24 $) = 1 663,24 $ Pour vérifier : FM = FMC + FMA = –2 156 $ + 1 663,24 $ = –492,76 $ 27. Dividendes + 18 % Impôt fédéral (29 %) Crédit d’impôt sur dividendes (11,02 %) Impôt fédéral net Impôt provincial (10 %) Crédit d’impôt sur dividendes (7,05 %) Impôt provincial net Impôts totaux à payer Intérêts Intérêts Impôt fédéral (29 %) Impôt provincial (10 %) Impôts totaux à payer Gains en capital Gains en capital Impôt fédéral (½ × 29 %) Impôt provincial (½ × 10 %) Impôts totaux à payer

40 000 $ 7 200 $ 47 200 $ 13 688 $ –5 201 $ 8 487 $ 4 700 $ –3 328 $ 1 372 $ 9 859 $ 20 000 $ 5 800 $ 2 000 $ 7 800 $ 20 000 $ 2 900 $ 1 000 $ 3 900 $

Flux monétaire avec les dividendes = 40 000 $ – 9 859 $ = 30 141 $ Flux monétaire avec les intérêts = 20 000 $ – 7 800 $ = 12 200 $ Flux monétaire avec les gains en capital = 20 000 $ – 3 900 $ = 16 100 $ Note : On suppose ici un crédit d’impôt provincial sur dividende de 7,05 %.

Chapitre 2 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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28. a) Rendement des dividendes après impôts

30 141 $ / 75 000 $ = 40,19 %

b) Rendement des intérêts après impôts

12 200 $ / 75 000 $ = 16,27 %

c) Rendement des gains en capital après impôts

16 100 $ / 75 000 $ = 21,47 %

Abréviations ACT : actif à court terme

Dép. : dépenses

AI : actif immobilisé

DFR : dépense en fonds de roulement

AIN : actif immobilisé net

DFRN : dépense en fonds de roulement net

Amort. : amortissement

Div. : dividendes DLT : dette à long terme

AO : actions ordinaires

DPA : dividende par action

AT : actif total

DT : dette totale

Augm. : augmentation

FM : flux monétaire

BAI : bénéfices avant intérêts

FMA : flux monétaire affecté aux actionnaires

BAAII : bénéfice avant amortissement, intérêts et impôts

FMC : flux monétaire affecté aux créanciers

BAII : bénéfices avant intérêts et impôts

FME : flux monétaire d’exploitation

BN : bénéfice net

FMT : flux monétaire total

BNR : bénéfices non répartis

FP : fonds propres

BPA : bénéfice par action

FRN : fonds de roulement net

CMV : coût des marchandises vendues

MB : marge bénéficiaire nette

DCT : dette à court terme

NFP : nouveaux fonds propres

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Chapitre 3 L’utilisation des états financiers Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. FR = ACT – DCT = 1 570 $ ; ACT = 1 370 $ + 3 720 $ = 5 090 $ Ratio du fonds de roulement = ACT / DCT = 5 090 $ / 3 720 $ = 1,37 Ratio de trésorerie = (ACT – Stocks) / DCT = (5 090 $ – 1 950 $) / 3 720 $ = 0,84 2. Ratio de marge bénéficiaire nette = BN / Ventes BN = Ratio de marge bénéficiaire nette × Ventes = 0,08 × 29 M$ = 2,32 M$ Rend. actif = BN / AT = 2,32 M$ / 17,5 M$ = 13,26 % Rend. FP = BN / Avoir des actionnaires = BN / AT – DT = 2,32 M$ / (17,5 M$ – 6,3 M$) = 20,71 % 3. Coefficient de rotation des comptes clients = Ventes / Comptes clients = 3 943 709 $ / 431 287 $ = 9,14 fois Délai moyen de recouvrement des créances = 365 jours / Coefficient de rotation des comptes clients = 365 / 9,14 = 39,93 jours. En moyenne, un client règle son compte en 40 jours environ. 4. Coefficient de rotation des stocks = CMV / Stocks = 4 105 612 $ / 407 534 $ = 10,07 fois Délai moyen de rotation des stocks = 365 jours / Coefficient de rotation des stocks = 365 / 10,07 = 36,25 jours En moyenne, une unité de stock reste en entrepôt pendant un peu plus de 36 jours. 5. Ratio d’endettement total = 0,63 = DT / AT = DT / (DT + FP) 0,63(FP) = 0,37(DT) ; Dette totale / Fonds propres = 0,63 / 0,37 = 1,70 Ratio actif-fonds propres = 1 + DT / FP (ou D / FP) = 2,70 6. BN = Augmentation des bénéfices non répartis + Dividendes = 430 000 $ + 175 000 $ = 605 000 $ BPA = BN / Nombre d’actions = 605 000 $ / 210 000 = 2,88 $ par action DPA = Dividendes / Nombre d’actions = 175 000 $ / 210 000 = 0,83 $ par action Valeur comptable par action = Valeur nette des actionnaires / Nombre d’actions = 5,3 M$ / 210 000 = 25,24 $ par action Ratio valeur marchande-valeur comptable = Prix par action / Valeur comptable par action = 63 $ / 25,24 $ = 2,50 fois Ratio cours-bénéfice (C / B) = Prix par action / BPA = 63 $ / 2,88 $ = 21,875 fois Ventes par action = Chiffre d’affaires / Nombre d’actions = 4,5 M$ / 210 000 = 21,43 $ Ratio cours-ventes (C / V) = Prix par action / Ventes par action = 63 $ / 21,43 $ = 2,94 fois 7. Rend. FP = MB × TRA × A / FP= 0,055 × 1,15 × 2,80 = 17,71 % Chapitre 3 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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8. Rend. FP = 0,1827 = 0,068 × 1,95 × A / FP ; A / FP = 1,38 ; D / FP = A / FP – 1 = 0,38 9. La diminution des stocks est une source de liquidité. La diminution des comptes fournisseurs est une utilisation de liquidité. Une augmentation des effets à payer est une source de liquidité. La diminution des comptes clients est une source de liquidité. Changement dans les liquidités = Sources – Utilisation = 375 $ + 210 $ + 105 $ – 190 $ = 500 $ La liquidité a augmenté de 500 $. 10. Coefficient de rotation des comptes fournisseurs = CMV / Comptes fournisseurs = 28 834 $ / 6 105 $ = 4,72 fois Délai moyen de remboursement des comptes fournisseurs = 365 jours / Coefficient de rotation des comptes fournisseurs = 365 / 4,72 = 77,33 jours L’entreprise rembourse ses dettes auprès des fournisseurs en moyenne après 77,33 jours. Une valeur élevée de cette mesure pourrait indiquer que l’entreprise a des problèmes de liquidité ou qu’elle a pu négocier des délais de remboursement très avantageux auprès de ses fournisseurs. 11. Investissement net en AI = (AINfin – AINdébut) + Amortissement = 835 $ + 148 $ = 983 $ L’entreprise a acheté pour 983 $ de nouveaux actifs immobilisés, ce qui est une utilisation de la liquidité. 12. A / FP = 1 + D / FP = 1,65 Rend. FP = RA × A / FP = 0,085 × 1,65 = 14,025 % Rend. FP = BN / FP ; BN = 0,14025 × 540 000 $ = 75 735 $ 13 à 15. 2014 Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stocks Total

no 13

8 436 $ 21 530 38 760 68 726 $

2,86 % 7,29 13,12 23,27 %

Actif immobilisé Usines et équipement Total de l’actif

226 706 $ 295 432 $

76,73 % 100 %

Passif Dette à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total

43 050 $ 18 384 61 434 $

14,57 % 6,22 20,79 %

25 000 $

8,46 %

Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

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40 000 $ 13,54 % 168 998 57,21 208 998 $ 70,75 % 295 432 $ 100 %

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13

no 13

no 14

no 15

3,13 % 7,21 13,14 23,48 %

1,2040 1,0871 1,1004 1,1089

1,0944 0,9890 1,0015 1,0090

248 306 $ 76,52 % 324 519 $ 100 %

1,0953 1,0985

0,9973 1,0000

2015 Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stocks Total

10 157 $ 23 406 42 650 76 213 $

Actif immobilisé Usines et équipement Total de l’actif Passif Dette à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

46 821 $ 17 382 64 203 $

14,43 % 5,36 19,79 %

1,0876 0,9455 1,0450

0,9903 0,8617 0,9519

32 000 $

9,86 %

1,2800

1,1655

40 000 12,32 188 316 58,03 228 316 $ 70,35 % 324 519 $ 100 %

1,0000 1,1143 1,0925 1,0985

0,9099 1,0143 1,0126 1,0000

Pour déterminer le bilan en chiffres relatifs, on divise chaque poste par le total de l’actif. Par exemple, pour l’encaisse de 2014 : 8 436 $ / 295 432 $ = 2,86 %, ce qui signifie que l’encaisse représente 2,86 % de l’actif total. Pour déterminer le bilan selon l’année de référence, on divise la valeur de chaque poste de 2015 par la valeur du même poste de 2014. Par exemple, pour l’encaisse : 10 157 $ / 8 436 $ = 1,2040, ce qui signifie que l’encaisse de 2015 est 1,2040 fois plus importante que celle de 2014 ou qu’elle a augmenté de 20,4 %. Pour déterminer le bilan en combinant les chiffres relatifs avec ceux de l’année de référence, on divise le pourcentage (chiffres relatifs) de chaque poste de 2015 par le pourcentage du même poste de 2014. Par exemple, pour l’encaisse : 3,13 % / 2,86 % = 1,0944, ce qui signifie que l’encaisse, en pourcentage de l’actif de 2015, a augmenté de 9,44 % par rapport à l’année précédente. 16. 2014

Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stocks Total Actif immobilisé Usines et équipement Total de l’actif

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Provenance ou utilisation de l’encaisse

2015

8 436 $ 21 530 38 760 68 726 $

+1 721 $ U +1 876 +3 890 +7 487 $ U

10 157 $ 23 406 42 650 76 213 $

226 706 $ 295 432 $

+21 600 $ U +29 087 $ U

248 306 $ 324 519 $

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Passif Dette à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

43 050 $ 18 384 61 434 $

+3 771 $ P −1 002 $ U +2 769 $ P

46 821 $ 17 382 $ 64 203 $

25 000 $

7 000 $ P

32 000 $

40 000 168 998 208 998 $ 295 432 $

0 +19 318 P +19 318 $ P +29 087 $ P

40 000 188 316 228 316 $ 324 519 $

L’entreprise a utilisé 29 087 $ pour acquérir de nouveaux actifs. Les fonds nécessaires pour cet achat ont été fournis au moyen d’une augmentation du côté gauche du bilan. Plus particulièrement, l’entreprise s’est financée de l’intérieur à l’aide des bénéfices non répartis. 17. a) Ratio FRN 14 = 68 726 $ / 61 434 $ = 1,12 fois Ratio FRN 15 = 76 213 $ / 64 203 $ = 1,19 fois b) Ratio trésorerie 14 = (68 726 $ – 38 760 $) / 61 434 $ = 0,488 fois Ratio trésorerie 15 = (76 213 $ – 42 650 $) / 64 203 $ = 0,523 fois c) Ratio liquidité immédiate 14 = 8 436 $ / 61 434 $ = 0,137 fois Ratio liquidité immédiate 15 = 10 157 $ / 64 203 $ = 0,158 fois d) FRN / AT 14 = (68 726 $ – 61 434 $) / 295 432 $ = –2,47 % FRN / AT 15 = (76 213 $ – 64 203 $) / 324 519 $ = 3,7 % e) D / FP 14 = (61 434 $ + 25 000 $) / 208 998 $ = 0,41 D / FP 15 = (64 203 $ + 32 000 $) /228 316 $ = 0,42 Ratio A / FP 14 = 1 + D / FP = 1,41 Ratio A / FP 15 = 1 + D / FP = 1,42 f) Ratio de dette totale 14 = (61 434 $ + 25 000 $) / 295 432 $ = 0,293 Ratio de dette totale 15 = (64 203 $ + 32 000 $) / 324 519 $ = 0,296 Ratio d’endettement à long terme 14 = 25 000 $ / (25 000 $ + 208 998 $) = 0,107 Ratio d’endettement à long terme 15 = 32 000 $ / (32 000 $ + 228 316 $) = 0,123

Notions intermédiaires 18. RFP = 0,15 = (MB × TRA × Ratio A / FP) = (MB) × (Ventes / AT) × (1 + D / FP) MB = [RFP × AT] / [(1 + D / FP) × Ventes] = [(0,15 × 3 105 $)] / [(1 + 1,40) × (5 276 $)] = 0,0368 MB = 0,0368 = BN / Ventes BN = 0,0368 × 5 276 $ = 194,16 $ 19. MB = BN / Ventes = 0,087 ; Ventes = BN / MB = 218 000 $ / 0,087 = 2 505 747 $ Les ventes à crédit représentent 70 % des ventes, donc 70 % × 2 505 747 $ = 1 754 023 $

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Coefficient de rotation des comptes clients = Ventes à crédit / Comptes clients = 1 754 023 $ / 132 850 $ = 13,20 fois Délai moyen de recouvrement des créances = 365 / Coefficient de rotation des comptes clients = 365 / 13,20 = 27,65 jours 20. Ratio FR = ACT / DCT = 1,25 ; ACT = Ratio FR × DCT = 1,25 × 875 $ = 1 093,75 $ Pour déterminer l’actif total, on additionne le passif total et les fonds propres. Trouvons d’abord les fonds propres : MB = BN / Ventes = 0,095 ; BN = MB × Ventes = 0,095 × 5 780 $ = 549,10 $ RFP = BN / FP = 0,185 ; FP = BN / RFP = 549,10 $ / 0,185 = 2 968,11 $ Maintenant, on détermine la dette à long terme : Ratio endettement à long terme = DLT / (DLT + FP) = 0,45. On fait la réciproque des deux côtés et on obtient : 1 + (FP / DLT) = 1 / 0,45 = 2,222. On soustrait 1 de chaque côté et DLT = 2 968,11 $ / 1,222 = 2 429 $. DT = DCT + DLT = 875 $ + 2 429 $ = 3 304 $ AT = DT + FP = 3 304 $ + 2 968 $ = 6 272 $ Actif immobilisé net = AT – ACT = 6 272 $ – 1 094 $ = 5 178 $ 21. Enfant : Marge bénéficiaire = BN / Ventes = 3 $ / 50 $ = 6 % Magasin : Marge bénéficiaire = BN / Ventes = 22,5 M$ / 750 M$ = 3 % La publicité fait référence à la marge du magasin. Néanmoins, une mesure plus appropriée de rentabilité pourrait être le RFP. Donc, RFP = BN / FP = BN / (AT – DT) = 22,5 M$ / (420 M$ – 280 M$) = 16,07 %. 22. Firme A DT / AT = (AT – FP) / AT = 0,35 (AT / AT) – (FP / AT) = 1 – (FP / AT) = 0,35 ; FP / AT = 0,65 ; donc, FP = (0,65) (AT). En utilisant la formule du taux de rendement de l’actif : RA = BN / AT = 0,12 ; BN = (0,12)(AT) RFP = BN / FP = (0,12)(AT) / (0,65)(AT) = 0,12 / 0,65 = 18,46 % Firme B DT / AT = (AT – FP) / AT = 0,30 (AT / AT) – (FP / AT) = 1 – (FP / AT) = 0,30 ; FP / AT = 0,70 ; donc, FP = (0,70) (AT). En utilisant la formule du taux de rendement de l’actif : RA = BN / AT = 0,11 ; BN = (0,11)(AT) RFP = BN / FP = (0,11)(AT) / (0,70)(AT) = 0,11 / 0,70 = 15,71 % 23. BN = (1 – t) × BAI ; BAI = BN / (1 – t) = 13 168 $ / 0,66 = 19 951,52 $ BAII = BAI + Intérêts payés = 19 951,52 $ + 3 605 $ = 23 556,52 $ BAAII = BAII + Amortissement = 23 556,52 $ + 2 382 $ = 25 938,52 $ Couverture des intérêts = BAAII / Intérêts = 25 938,52 $ / 3 605 $ = 7,195 fois 24. Ratio FR = ACT / DCT = 1,4 ; ACT = DCT × Ratio FR = 365 000 $ × 1,4 = 511 000 $ Ratio de trésorerie = (ACT – Stocks) / DCT = 0,85 ; Stocks = ACT – (Ratio de trésorerie × DCT) = 511 000 $ – (0,85 × 365 000 $) = 200 750 $ Coefficient de rotation des stocks = CMV / Stocks = 5,8 ; CMV = 5,8 × 200 750 $ = 1 164 350 $

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25. MB = BN / Ventes = –13 482 £ / 138 973 £ = –9,71 % Tant que les bénéfices et les ventes sont mesurés dans la même devise, il n’y a aucun problème. À l’exception de quelques ratios d’évaluation comme le BPA, aucun des ratios qui ont été analysés n’est mesuré en unités monétaires. C’est une des raisons pour lesquelles l’analyse au moyen des ratios financiers est utilisée pour comparer les filiales des firmes multinationales. La perte en dollars canadiens équivaudrait au même pourcentage des ventes : –9,71 % × 274 213 000 $ = –26 626 355 $ 26. Ratios de solvabilité à court terme : a) Ratio FR 14 = ACT / DCT = 56 260 $ / 38 963 $ = 1,44 fois Ratio FR 15 = 60 550 $ / 43 235 $ = 1,4 fois b) Ratio de trésorerie 14 = (ACT – Stocks) / DCT = (56 260 $ – 23 084 $) / 38 963 $ = 0,85 fois Ratio de trésorerie 15 = (60 550 $ – 24 650 $) / 43 235 $ = 0,83 fois c) Ratio de liquidité immédiate 14 = Encaisse / DCT = 21 860 $ / 38 963 $ = 0,56 fois Ratio de liquidité immédiate 15 = 22 050 $ / 43 235 $ = 0,51 fois Ratios de gestion de l’actif : d) Taux de rotation de l’actif = Ventes / Actif total = 305 830 $ / 321 075 $ = 0,953 fois e) Taux de rotation des stocks = CMV / Stocks = 210 935 $ / 24 650 $ = 8,56 fois f) Taux de rotation des comptes clients = Ventes / CC = 305 830 $ / 13 850 $ = 22,08 fois Ratios de solvabilité à long terme : g) Ratio de l’endettement 14 = (Actif total – FP) / Actif total = (290 328 $ – 176 365 $) / 290 328 $ = 0,39 Ratio de l’endettement 15 = (321 075 $ – 192 840 $) / 321 075 $ = 0,40 h) D / FP 14 = Dette totale / FP = (38 963 $ + 75 000 $) / 176 365 $ = 0,65 D / FP 15 = (43 235 $ + 85 000 $) / 192 840 $ = 0,66 i) Ratio A / FP 14 = 1 + D / FP 14 = 1,65 Ratio A / FP 15 = 1 + D / FP 15 = 1,66 j) Ratio de la couverture des intérêts = BAII / Intérêts = 68 045 $ / 11 930 $ = 5,70 fois k) Ratio de la couverture intérêts avant amortissement = (68 045 $ + 26 850 $) / 11 930 $ = 7,95 fois Ratios de rentabilité : l)

MB = BN / Ventes = 36 475 $ / 305 830 $ = 11,93 %

m) RA = BN / Actif total = 36 475 $ / 321 075 $ = 11,36 % n) RFP = BN / FP = 36 475 $ / 192 840 $ = 18,91 % 27. RFP = (MB × TRA × A / FP) = 0,1193 × 0,953 × 1,66 = 18,87 % 28. Coûts d’exploitation moyens journaliers (CEMJ) = CMV / 365 jours = 210 935 $ / 365 = 577,90 $ par jour ACT / CEMJ = 60 550 $ / 577,90 $ = 105 jours

Chapitre 3 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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29. État des flux monétaires au 31 décembre 2015 Encaisse (en début d’année) 21 860 $ Activités d’exploitation : Bénéfice net 36 475 $ Plus : Amortissement 26 850 Augm. des comptes fournisseurs 3 530 Augm. des autres dettes à court terme 1 742 Moins : Augm. des comptes clients (2 534) Augm. des stocks (1 566) Flux monétaire net d’exploitation 64 497 $ Activités d’investissement : Achat net d’actifs (53 307 $) Flux monétaire net d’investissement (53 307 $) Activités de financement : Dim. des effets à payer (1 000 $) Dividendes payés (20 000) Augm. de la DLT 10 000 Flux monétaire net de financement (11 000 $) Flux monétaire net 190 Encaisse (en fin d’année) 22 050 $ 30. BPA = BN / Nombre d’actions = 36 475 $ / 25 000 actions = 1,46 $ par action Ratio C / B = Prix de l’action / BPA = 43 $ / 1,46 $ = 29,45 fois DPA = Dividendes / Nombre d’actions = 20 000 $ / 25 000 actions = 0,80 $ par action Valeur comptable par action = FP / Nombre d’actions = 192 840 $ / 25 000 actions = 7,71 $ par action Ratio valeur marchande-valeur comptable = 43 $ / 7,71 $ = 5,57 fois

Abréviations A : actif

CMV : coût des marchandises vendues

ACT : actif à court terme

D : dette

AI : actif immobilisé

DCT : dette à court terme

AIN : actif immobilisé net

DPA : dividende par action

AT : actif total

DT : dette totale

B : bénéfice

FP : fonds propres

BAI : bénéfices avant intérêts

FR : fonds de roulement

BAII : bénéfices avant intérêts et impôts

FRN : fonds de roulement net

BN : bénéfice net

MB : marge bénéficiaire

BPA : bénéfice par action

RA : rendement de l’actif

C/V : cours-ventes

RFP : ratio des fonds propres

CEMJ : coûts de l’exploitation moyens journaliers

TRA : taux de rendement de l’actif

Chapitre 3 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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Chapitre 4 La planification financière à long terme et la croissance des entreprises Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice net

Bilan prévisionnel

26 450 $ 19 205 7 245 $

Actif Total

18 170 $ _______ 18 170 $

Dette Fonds propres Total

5 980 $ 12 190 18 170 $

Les fonds propres n’augmentent pas directement en fonction des ventes. Pour balancer les comptes, les fonds propres doivent augmenter à : Actif – Dette = 18 170 $ – 5 980 $ = 12 190 $. Le bénéfice net est de 7 245 $, mais les fonds propres n’ont augmenté que de 1 590 $. Par conséquent, un dividende de 5 655 $ a été payé. Le poste tampon est donc le compte des dividendes. Bilan prévisionnel

2. État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

26 450 $ 19 205 7 245 $ 3 622,50 3 622,50

Actif Total

18 170 $ ______ 18 170 $

Dette Fonds propres Total

5 200 $ 14 222,50 19 422,50 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 18 170 $ – 19 422,50 $ = –1 252,50 $ On n’a pas besoin de financement externe. Au contraire, on pourrait se permettre de verser plus de dividendes ou de rembourser de la dette pour un montant total de 1 252,50 $. 3. Taux de croissance = (7 434 $ – 6 300 $) / 6 300 $ = 18 % État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice net

Bilan prévisionnel

7 434,00 $

Actif

4 590,20 2 843,80 $

Total

21 594 $ Dette 12 400,00 $ ______ Fonds propres 8 743,80 (5 900 + 2 843,80) 21 594 $ Total 21 143,80 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 21 594 $ – 21 143,80 $ = 450,20$

Chapitre 4 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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4.

Taux de croissance = (21 840 – 19 500) / 19 500 = 12 % Taux de distribution des dividendes = 1 400 / 2 700 = 52 % État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice imposable Impôts (40 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

21 840 $ 16 800 5 040 $ 2 016 3 024 $ 1 568 1 456

Bilan prévisionnel Actif Total

109 760 $ _______ 109 760 $

Dette Fonds propres Total

52 500 $ 46 956 (45 500 + 1 456) 99 456 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 109 760 $ – 99 456 $ = 10 304 $ 5. État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice imposable Impôts (34 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

4 830,00 $ 3 795,00 1 035,00 $ 351,90 683,10 $ 273,24 409,86

Bilan prévisionnel ACT AI

4 140 $ 9 085

Total

13 225 $

PCT DLT Fonds propres Total

2 415,00 $ 3 650,00 6 159,86 12 224,86 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 13 225 $ – 12 224,86 $ = 1 000,14 $ 6. RA = BN / AT = 2 262 $ / 39 150 $ = 0,0577 = 5,77 % Ratio de réinvestissement (R) = 1 – 0,3 = 0,7 = 70 % Taux de croissance interne : (RA × R) / [1 – (RA × R)] = (0,0577 × 0,7) / [1 – (0,0577 × 0,7)] = 0,04209 = 4,209 % 7. RFP = BN / FP = 2 262 $ / 21 650 $ = 0,1045 = 10,45 % Ratio de réinvestissement (R) = 1 – 0,3 = 0,7 = 70 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,1045 × 0,7) / [1 – (0,1045 × 0,7)] = 0,0789 = 7,89 % 8. On cherche le taux de croissance soutenable. RFP = BN / FP = 8 910 $ / 56 000 $ = 0,1591 = 15,91 % Ratio de réinvestissement (R) = 1 – 0,3 = 0,7 = 70 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,1591 × 0,7) / [1 – (0,1591 × 0,7)] = 0,1253 = 0,1253 % Augmentation maximale du chiffre d’affaires = 42 000 $ × 0,1253 = 5 264 $ 9. Taux de distribution des dividendes = 5 200 $ / 12 936$ = 40,2 % État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice imposable Impôts (34 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR Chapitre 4 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

45 600,00 $ 22 080,00 23 520,00 $ 7 996,80 15 523,20 $ 6 240 $ 9 283,20 $ Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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10.

Bilan (en dollars)

(en pourcentage)

Actif Actif à court terme Encaisse 3 050 $ Comptes 6 900 clients Stock 7 600 Total 17 550 $ Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

34 500

8,02 18,15

Passif Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer

20,00 46,18

Total Dette à long terme

90,79

52 050 $

(en dollars) (en pourcentage)

136,97

Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

1 300 $ 6 800

3,42 s.o.

8 100 $ 25 000

s.o. s.o.

15 000 $

s.o.

3 950 18 950 $ 52 050 $

s.o. s.o. s.o.

11. État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Bénéfice imposable Impôts (34 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

43 700,00 $ 21 160,00 22 540,00 $ 7 663,60 14 876,40 $ 5 980,00 $ 8 896,40 $ Bilan prévisionnel

Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel

3 507,50 $ 7 935,00 8 740,00 20 182,50 $

Total de l’actif

59 857,50 $

39 675,00

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des FP

1 495,00 $ 6 800,00 8 295,00 $ 25 000,00

15 000,00 $ 12 846,40 (3 950 + 8 896,40) 27 846,40 $ 61 141,40 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 59 857,50 $ – 61 141,40 $ = –1 283,90 $ 12. Ratio de réinvestissement (R) = 1 – 0,20 = 0,80 = 80 % Taux de croissance interne : (RA × R) / [1 – (RA × R)] = (0,08 × 0,80) / [1 – (0,08 × 0,8)] = 0,0684 = 6,84 % 13. Ratio de réinvestissement (R) = 1 – 0,25 = 0,75 = 75 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,15 × 0,75) / [1 – (0,15 × 0,75)] = 0,1268 = 12,68 % Chapitre 4 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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14. RFP = MB × Rotation de l’actif × A / FP = (0,082) × (1 / 0,75) × (1 + 0,4) = 15,31 % R = 1 – (12 000 $ / 43 000 $) = 0,7209 Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,1531 × 0,7209) / [1 – (0,1531 × 0,7209)] = 0,1241 = 12,41 % 15. RFP = MB × Rotation de l’actif × A / FP = (0,078) × (2,5) × (1,8) = 35,10 % R = 1 – 0,6 = 0,4 = 40 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,351 × 0,4) / [1 – (0,351 × 0,4)] = 0,1633 = 16,33 %

Notions intermédiaires 16. Capacité maximale = 550 000 $ / 0,95 = 578 947 $ Croissance des ventes maximale = (578 947 $ / 550 000 $) – 1 = 5,26 % 17. Actif immobilisé / Capacité maximale = 440 000 $ / 578 947 $ = 0,76 Actif immobilisé total = 0,76 × 630 000 $ = 478 800 $ Nouvel actif immobilisé = 478 800 $ – 440 000 $ = 38 800 $. On aura besoin d’acheter pour 38 800 $ d’actif immobilisé. 18. Capacité maximale = 350 000 $ / 0,60 = 583 333 $ Croissance des ventes maximale = (583 333 $ / 350 000 $) – 1 = 66,67 % 19. Capacité maximale = 200 000 $ / 0,94 = 212 766 $ Croissance des ventes maximale = (212 766 $ / 200 000 $) – 1 = 6,38 % 20. R = 1 – 0,3 = 0,7 = 70 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] ; 0,12 = (RFP × 0,7) / [1 – (RFP × 0,7)] ; RFP = 0,1531 = 15,31 % RFP = MB × Rotation de l’actif × A / FP ; 0,1531 = MB × (1 / 0,75) × (2,20) MB = 0,1531 / [(1 / 0,75) × (2,2)] = 0,0522 = 5,22 % 21. R = 1 – 0,3 = 0,7 = 70 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] ; 0,115 = (RFP × 0,7) / [1 – (RFP × 0,7)] ; RFP = 0,1473 = 14,73 % RFP = MB × Rotation de l’actif × A / FP ; 0,1473 = (0,062) × (1 / 0,60) × (A / FP) A / FP = 0,1473 / [(0,062) × (1 / 0,60)] = 1,426 A / FP = 1 + D / FP ; D / FP = 0,426 22. R = 1 – 0,25 = 0,75 = 75 % Taux de croissance interne : (RA × R) / [1 – (RA × R)] ; 0,07 = (RA × 0,75) / [1 – (RA × 0,75)] ; RA = 0,0872 = 8,72 % RA = MB × Rotation de l’actif ; 0,0872 = (0,05) × Rotation de l’actif Rotation de l’actif = 0,0872 / 0,05 = 1,74 23. Ratio du total de la dette = 0,65 = DT / AT ; 1 / 0,65 = AT / DT = (DT + FP) / DT = 1 + (FP / DT) ; D / FP = 1 / [(1 / 0,65) – 1] = 1,86 RFP = MB × TRA × A / FP = 0,048 × 1,25 × (2,86) = 0,1716 = 17,16 %

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RA = MB × TRA = 0,048 × 1,25 = 6,00 % R = 1 – 0,3 = 0,7 = 70 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,1716 × 0,7) / [1 – (0,1716 × 0,7)] = 0,1363 = 13,63 % 24. R = 1 – (9 300 / 17 500) = 0,4686 = 46,86 % RFP = BN / FP = 17 500 / 58 000 = 30,17 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,3017 × 0,4686) / [1 – (0,3017 × 0,4686)] = 0,1647 = 16,47 % Actif total actuel = 86 000 + 58 000 = 144 000 $ Nouvel AT = 1,1647 × 144 000 $ = 167 716,80 $ Nouvelle DT = [D / (D + FP)] × AT = (86 / 144) × (167 716,80 $) = 100 164,20 $ Emprunt additionnel = 100 164,20 $ – 86 000 $ = 14 164,20 $ RA = BN / AT = 17 500 $ / 144 000 $ = 0,1215 Taux de croissance interne : (RA × R) / [1 – (RA × R)] = (0,1215 × 0,4686) / [1 – (0,1215 × 0,4686)] ; RA = 0,06038 = 6,038 % Sans financement externe, elle ne pourra croître qu’à un taux de 6,038 %. 25. Addition aux BNR = BN – Dividendes = 19 000 $ – 2 500 $ = 16 500 $ FP fin = FP début + Addition aux BNR = 135 000 $ + 16 500 $ = 151 500 $ En considérant les FP de fin de période : RFP = BN / FP = 19 000 $ / 151 500 $ = 12,54 % R = Addition aux BNR / BN = 16,500 $ / 19 000 $ = 86,84 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,1254 × 0,8684) / [1 – (0,1254 × 0,8684)] = 0,1222 = 12,22 % Formule abrégée : (RFP × R) = (0,1254 × 0,8684) = 0,1089 = 10,89 % En considérant les FP de début de période : RFP = BN / FP = 19 000 $ / 135 000 $ = 14,07 % Taux de croissance soutenable abrégé : (RFP × R) = (0,1407 × 0,8684) = 0,1222 = 12,22 % En utilisant le RFP de fin de période avec la formule abrégée, le résultat est trop bas. C’est ce qui se produit lorsque les FP augmentent. Si les FP augmentent, le RFP (si on considère les FP de fin de période) est inférieur au RFP (si on considère les FP de début de période). Selon le RFP et le taux de croissance soutenable dans la formule abrégée, on tient compte des FP qui n’existent pas encore au moment de générer le bénéfice. 26. Actif début = Actif fin – Addition aux BNR = 250 000 $ + 16 500 $ = 233 500 $ En considérant l’actif de fin de période, on a : RA = BN / A = 19 000 $ / 250 000 $ = 7,60 % R = Addition aux BNR / BN = 16 500 $ / 19 000 $ = 86,84 % Taux de croissance interne : (RA × R) / [1 – (RA × R)] = (0,076 × 0,8684) / [1 – (0,076 × 0,8684)] = 0,0707 = 7,07 % Formule abrégée : (RA × R) = (0,076 × 0,8684) = 0,066 = 6,60 % En considérant l’actif de début de période, on a : RA = BN / A = 19 000 $ / 233 500 $ = 8,14 % Taux de croissance interne abrégé : (RA × R) = (0,0814 × 0,8684) = 0,0707 = 7,07 % On remarque la même chose.

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27.

TOURS SAINT-LAURENT INC. État des résultats prévisionnels Chiffre d’affaires Coûts Autres dépenses BAII Intérêts versés Bénéfice imposable Impôts (35 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

1 114 800 $ 867 600 22 800 224 400 $ 14 000 210 400 $ 73 640 136 760 $ 41 028 $ (33 735 / 112 450) (136 760) 95 732 $ Bilan prévisionnel

Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

30 360 $ 48 840 104 280 183 480 $ 495 600 679 080 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

81 600 $ 17 000 98 600 $ 158 000

140 000 $ 278 632 (182 900 + 95 732) 418 632 $ 675 232 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 679 080 $ – 675 232 $ = 3 848 $ 28. Capacité maximale = 929 000 $ / 0,8 = 1 161 250 $ Actif immobilisé nécessaire pour le niveau de capacité optimal = 413 000 $ / 1 161 250 $ = 0,35565 Actif immobilisé total = 0,35565 × 1 114 800 $ = 396 480 $ FER = Actif total – Dette et fonds propres = 183 480 $ + 396 480 $ – 675 232 $ = – 95 272 $. Cette solution implique la vente d’actif immobilisé pour obtenir une utilisation des actifs à 100 %. Toutefois, s’il n’y a aucune vente d’actif immobilisé, la solution devient : FER = Actif total – Dette et fonds propres = 183 480 $ + 413 000 $ – 675 232 $ = –78 752 $ 29. D / FP = (85 000 $ + 158 000 $) / 322 900 $ = 0,75255 Nouvel endettement total = 0,75255 × 418 632 $ = 315 044 $ La dette comprend le passif à court terme et à long terme. Or, dans le passif à court terme, il y a les comptes fournisseurs qui augmentent aussi en fonction des ventes. Il faut donc soustraire cette augmentation pour ne pas la considérer deux fois. Augmentation des comptes fournisseurs = 68 000 $ × 0,20 = 13 600 $. Donc, au passif, on trouve : PCT = 68 000 $ + 17 000 $ = 85 000 $ DLT = 315 044 $ – 85 000 $ = 230 044 $ Chapitre 4 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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Par conséquent, l’entreprise a besoin d’un endettement supplémentaire de 230 044 $ – 158 000 $ = 72 044 $. FP = 418 632 $ FER = Actif total – Dette et fonds propres = 679 080 $ – 85 000 $ – 230 044 $ – 418 632 $ = –54 596 $

Problèmes complexes 30.

TOURS SAINT-LAURENT INC. État des résultats prévisionnels Croissance Chiffre d’affaires Coûts Autres dépenses BAII Intérêts versés Bénéfice imposable Impôts (35 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

de 15 % 1 068 350 $ 831 450 21 850 215 050 $ 14 000 201 050 $ 70 367,50 130 682,50 $ 39 204,75 $ 91 477,75 $

de 20 % 1 114 800 $ 867 800 22 800 224 400 $ 14 000 210 400 $ 73 640 136 760 $ 41 028 $ 95 732 $

de 25 % 1 161 250 $ 903 750 23 750 233 750 $ 14 000 219 750 $ 76 912,50 142 837,50 $ 42 851,25 $ 99 986,25 $

Croissance : 15 % Bilan prévisionnel Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

29 095 $ 46 805 99 935 175 835 $ 474 950 650 785 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

78 200 $ 17 000 95 200 $ 158 000

140 000 $ 274 377,75 (182 900 + 91 477,75) 414 377,75 $ 667 577,75 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 650 785 $ – 667 577,75 $ = –16 792,75 $

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Croissance : 20 % Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

30 360 $ 48 840 104 280 183 480 $ 495 600 679 080 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

81 600 $ 17 000 98 600 $ 158 000

140 000 $ 278 632 (182 900 + 95 732) 418 632 $ 675 232 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 679 080 $ – 675 232 $ = 3 848 $ Croissance : 25 % Bilan prévisionnel Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

31 625 $ 50 875 108 625 191 125 $ 516 250 707 375 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

85 000 $ 17 000 102 000 $ 158 000

140 000 $ 282 886,25 (182 900 + 99 986,25) 422 886,25 $ 682 886,25 $

FER = Actif total – Dette et fonds propres = 707 375 $ – 682 886,25 $ = 24 488,75 $ Taux de croissance 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

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Financement externe requis –16 793 $ 3 848 $ 24 289 $ 45 130 $ 15 65 770 $

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On remarque que le financement externe requis est à peu près de zéro lorsque le taux de croissance est à 18 %. La formule du FER est la suivante : FER = –m(V)R + (A – m(V)R) (g), soit : Augmentation de l’actif total – Augmentation des BNR Si FER = 0, g = m(V)R / (A – m(V)R) Cette formule du FER suppose que le passif à court terme ne varie pas en fonction des ventes, tout comme la dette à long terme. Donc, la seule variation du côté droit du bilan se retrouve au poste des bénéfices non répartis. Cependant, dans cette question, il est mentionné que les comptes fournisseurs varient en fonction des ventes. La réponse variera un peu par rapport à celle qui a été précédemment trouvée. 31.

TOURS SAINT-LAURENT INC. État des résultats prévisionnels Croissance Chiffre d’affaires Coûts Autres dépenses BAII Intérêts versés Bénéfice imposable Impôts (35 %) Bénéfice net Dividendes Addition aux BNR

de 20 % 1 114 800 $ 867 800 22 800 224 400 $ 14 000 210 400 $ 73 640 136 760 $ 41 028 $ 95 732 $

de 30 % 1 207 700 $ 939 900 24 700 243 100 $ 14 000 229 100 $ 80 185 148 915 $ 44 674,50 $ 104 240,50 $

de 35 % 1 254 150 $ 976 050 25 650 252 450 $ 14 000 238 450 $ 83 457,50 154 992,50 $ 46 497,75 $ 108 494,75 $

Pour l’hypothèse du taux de croissance soutenable, on doit conserver le même ratio D / FP, soit (158 000 $ + 85 000 $) / 322 900 $ = 0,75255

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Croissance : 20 % et ratio dette-fonds propres = 0,75255 Bilan prévisionnel Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

30 360 $ 48 840 104 280 183 480 $ 495 600 679 080 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

81 600 $ 17 000 98 600 $ 216 443,59* 140 000 $ 278 632 (182 500 + 95 732) 418 632 $ 735 675,59 $

*Nouvelle dette totale = 0,75255 (418 632 $) = 315 043,59 $ Nouvelle dette à long terme = 315 043,59 $ – 98 600 $ = 216 443,59 $ FER = Actif total – Dette et fonds propres = 679 080 $ – 735 675,59 $ = –54 595,59 $ Croissance : 30 % et ratio dette-fonds propres = 0,75255 Bilan prévisionnel Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

32 890 $ 52 910 112 970 198 770 $ 536 900 735 670 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

88 400 $ 17 000 105 400 $ 216 046,71* 140 000 $ 287 140,50 (182 900 + 104 240,50) 427 140,50 $ 748 587,21 $

*Nouvelle dette totale = 0,75255 (427 140,50 $) = 321 446,71 $ Nouvelle dette à long terme = 321 446,71 $ – 105 400 $ = 216 046,71 $ FER = Actif total – Dette et fonds propres = 735 670 $ – 748 587,21 $ = –12 917,21 $

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Croissance : 35 % et ratio dette-fonds propres = 0,75225 Bilan prévisionnel Actif Actif à court terme Encaisse Comptes clients Stock Total Actif immobilisé Actif net, usine et matériel Total de l’actif

34 155 $ 54 945 117 315 206 415 $ 557 550 763 965 $

Passif et fonds propres Passif à court terme Comptes fournisseurs Effets à payer Total Dette à long terme Fonds propres Actions ordinaires et surplus d’apport Bénéfices non répartis Total Total du passif et des fonds propres

91 800 $ 17 000 108 800 $ 215 848,26*

140 000 $ 291 394,75 (182 900 + 108 494,75) 431 394,75 $ 756 043,01 $

*Nouvelle dette totale = 0,75255 (431 394,75 $) = 324 648,26 $ Nouvelle dette à long terme = 324 648,26 $ – 108 800 $ = 215 848,26 $ FER = Actif total – Dette et fonds propres = 763 965 $ – 756 043,01 $ = 7 921,99 $ Taux de croissance 20 % 30 % 35 % 60 % 70 %

Financement externe requis –54 596 $ –12 917,21 $ 7 922 $ 112 118 $ 153 796 $

On remarque que le financement externe requis est à peu près de zéro lorsque le taux de croissance est à 38 %. La formule du FER est la suivante : FER = –m(V)R + [A – m(V)R] (g) soit : Augmentation de l’actif total – Augmentation des BNR. Si FER = 0, g = m(V)R / [A – m(V)R] Cette formule du FER suppose que le passif à court terme ne varie pas en fonction des ventes, tout comme la dette à long terme. Donc, la seule variation du côté droit du bilan se retrouve au poste des bénéfices non répartis. Cependant, dans cette question, il est mentionné que les comptes fournisseurs varient en fonction des ventes. La réponse variera un peu par rapport à celle qui a été précédemment trouvée. 32. RFP = MB × Rotation de l’actif × A / FP = (0,067) × (1 / 1,35) × (1,30) = 0,0645 = 6,45 % Taux de croissance soutenable : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] ; 0,12 = (0,0645 × R) / [1 – (0,0645 × R)] ; R = 1,66 Ratio de distribution des dividendes = 1 – R = 1 – 1,66 = –0,66 Ce résultat correspond à un ratio négatif de 66 %, ce qui est évidemment impossible. Le taux de croissance n’est pas cohérent par rapport aux autres contraintes. Le ratio dividendes-bénéfices le plus bas possible est de 0 %, ce qui correspond à R = 1. Taux de croissance soutenable maximal : (RFP × R) / [1 – (RFP × R)] = (0,0645 × 1) / [1 – (0,0645 × 1)] = 0,0690 = 6,90 %

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Abréviations A ou AT : actif total

g : taux de croissance du chiffre d’affaires

BAII : bénéfices avant intérêts et impôts

MB ou m : marge bénéficiaire

BN : bénéfice net

PCT : passif à court terme

BNR : bénéfices non répartis

R : ratio de réinvestissement

D : total de la dette

RA : rendement de l’actif

DLT : dette à long terme

RFP : taux de rendement des fonds propres

FER : financement externe requis

TRA : taux de rotation de l’actif

FP : fonds propres

V : chiffre d’affaires de l’année précédente

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Chapitre 5 Une initiation à l’évaluation : la valeur de l’argent dans le temps Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. Intérêts Banque de Vancouver : 5 000 $ × 8 % × 10 ans = 4 000 $ Intérêts Banque de Calgary : 5 000 $ × (1,08)10 – 5 000 = 5 794,62 $, donc 1 794,62 $ de plus. 2. VC = 2 250 $ × (1,10)16 = 10 338,69 $ VC = 8 752 $ × (1,08)13 = 23 802,15 $ VC = 76 355 $ × (1,17)4 = 143 080,66 $ VC = 183 796 $ × (1,07)12 = 413 943,81 $ 3. VA = 15 451 $ / (1,07)6 = 10 295,66 $ VA = 51 557 $ / (1,13)7 = 21 914,85 $ VA = 886 073 $ / (1,14)23 = 43 516,90 $ VA = 550 164 $ / (1,09)18 = 116 631,32 $ 4. VC = 307 $ = 240 $ × (1 + r)2 ; r = (307 $ / 240 $)1/2 – 1 = 13,10 % VC = 896 $ = 360 $ × (1 + r)10 ; r = (896 $ / 360 $)1/10 – 1 = 9,55 % VC = 174 384 $ = 39 000 $ × (1 + r)15 ; r = (174 384 $ / 39 000 $)1/15 – 1 = 10,50 % VC = 483 500 $ = 38 261 $ × (1 + r)30 ; r = (483 500 $ / 38 261 $)1/30 – 1 = 8,82 % 5. VC = 1 284 $ = 560 $ × (1,09)t ; t = ln (1 284 $ / 560 $) / ln 1,09 = 9,63 ans VC = 4 341 $ = 810 $ × (1,10)t ; t = ln (4 341 $ / 810 $) / ln 1,10 = 17,61 ans VC = 364 518 $ = 18 400 $ × (1,17)t ; t = ln (364 518 $ / 18 400 $) / ln 1,17 = 19,02 ans VC = 173 439 $ = 21 500 $ × (1,15)t ; t = ln (173 439 $ / 21 500 $) / ln 1,15 = 14,94 ans 6. VC = 280 000 $ = 50 000 $ × (1 + r)18 ; r = (280 000 $ / 50 000 $)1/18 – 1 = 10,04 % 7. Doubler l’investissement : VC = 2 $ = 1 $ × (1,07)t ; t = ln 2 / ln 1,07 = 10,24 ans Quadrupler l’investissement : VC = 4 $ = 1 $ × (1,07)t ; t = ln 4 / ln 1,07 = 20,49 ans 8. VC = 27 958 $ = 21 608 $ × (1 + r)5 ; r = (27 958 $ / 21 608 $)1/5 – 1 = 5,29 % 9. VC = 170 000 € = 40 000 € × (1,034)t ; t = ln (170 000 € / 40 000 €) / ln 1,034 = 43,28 ans

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10. VA = 700 M$ / (1,065) 20 = 198 657 920,24 $ 11. VA = 1 M$ / (1,09)80 = 1 013,63 $ 12. VC = 50 $ × (1,045)102 = 4 454,84 $ 13. VC = 825 000 € = 625 000 € × (1 + r)2 ; r = 14,89 % VC = 825 000 € × (1,1489)4 = 1 437 480 € 14. VA = 485 000 $ / (1,259)67 = 0,10 $ 15. VA = 10 311 500 $ / (1 + r)4 = 12 377 500 $ ; r = –4,46 %

Notions intermédiaires *

16. a) 76,04 $ = 100 $ / (1 + r)7 ; r = 3,99 % b) 76,04 $ = 81 $ / (1 + r) ; r = 6,52 % c) 81 $ = 100 $ / (1 + r)6

**

; r = 3,57 %

17. VA = 170 000 $ / (1,11)10 = 59 871,36 $ 18. VC = 2 000 $ × (1,12)45 = 327 975,21 $ VC = 2 000 $ × (1,12)35 = 105 599,24 $ On peut voir l’effet spectaculaire du temps et des intérêts composés ; l’affirmation selon laquelle il importe de commencer à épargner tôt pour la retraite est en grande partie basée là-dessus. 19. VC = 25 000 $ × (1,079)6 = 39 451,97 $ 20. VC = 100 000 $ = 10 000 $ × (1,011)t ; t = ln (100 000 $/10 000 $) / ln 1,11 = 22,06 ans. Puisque vous ne pourrez investir le montant que dans 2 ans, vous devrez patienter 22,06 ans + 2 ans = 24,06 ans.

Abréviations VA : valeur actualisée VC : valeur capitalisée

*

Notez que l’échéance est en réalité dans 7 années moins 20 jours. L’échéance a été arrondie à 7 ans dans la solution.

**

Notez que l’échéance est en réalité dans 6 années moins 20 jours. L’échéance a été arrondie à 6 ans dans la solution.

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Chapitre 6 La valeur des flux monétaires actualisés Solutions aux questions et problèmes Note 1 : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre. Note 2 : Il faut préciser que par souci de concision, certains taux sont présentés en valeur arrondie. Cependant, toutes les réponses ont été calculées avec les taux réels (sans arrondissement).

Notions de base 1. VA (9 %) = 2 000 $ / 1,09 + 750 $ / (1,09)2 + 1 100 $ / (1,09)3 + 1 500 $ / (1,09)4 = 4 378,16 $ VA (15 %) = 2 000 $ / 1,15 + 750 $ / (1,15)2 + 1 100 $ / (1,15)3 + 1 500 $ / (1,15) 4 = 3 887,14 $ VA (21 %) = 2 000 $ / 1,21 + 750 $ / (1,21)2 + 1 100 $ / (1,21)3 + 1 500 $ / (1,21)4 = 3 485,84 $ 2. X (5 %) : VA = 7 000 $ × [1 – (1 / 1,05)8] / 0,05 = 45 242,49 $ Y (5 %) : VA = 9 000 $ × [1 – (1 / 1,05)5] / 0,05 = 38 965,29 $ X (22 %) : VA = 7 000 $ × [1 – (1 / 1,22)8] / 0,22 = 25 334,87 $ Y (22 %) : VA = 9 000 $ × [1 – (1 / 1,22)5] / 0,22 = 25 772,76 $ Avec 5%, l’investissement X offre une valeur actualisée plus élevée et avec 22%, l’investissement X offre une valeur actualisée plus élevée. 3. VC (7 %) = 600 $ × (1,07)3 + 800 $ × (1,07)2 + 1 050 $ × (1,07) + 1 400 $ = 4 174,45 $ VC (5 %) = 600 $ × (1,05)3 + 800 $ × (1,05)2 + 1 050 $ × (1,05) + 1 400 $ = 4 079,08 $ VC (11 %) = 600 $ × (1,11)3 + 800 $ × (1,11)2 + 1 050 $ × (1,11) + 1 400 $ = 4 371,76 $ 4. VAA (15 ans) : VAA = 4 600 $ × [1 – (1 / 1,08)15] / 0,08 = 39 373,60 $ VAA (40 ans) : VAA = 4 600 $ × [1 – (1 / 1,08)40] / 0,08 = 54 853,22 $ VAA (75 ans) : VAA = 4 600 $ × [1 – (1 / 1,08)75] / 0,08 = 57 320,99 $ VAA (perpétuité) : VAA = 4 600 $ / 0,08 = 57 500,00 $ 5. VAA = 25 000 $ = C $ × [1 – (1 / 1,09)10] / 0,09 ; C = 3 895,50 $ 6. VAA = 65 000 $ × [1 – (1 / 1,085) 8] / 0,085 = 366 546,89 $ 7. VCA (20 ans) = 3 000 $ × [(1,105)20 – 1] / 0,105 = 181 892,42 $ VCA (40 ans) = 3 000 $ × [(1,105)40 – 1] / 0,105 = 1 521 754,74 $ 8. VCA (10 ans) = 80 000 $ = C $ × [(1,065)10 – 1] / 0,065 ; C = 5 928,38 $ 9. VAA = 35 000 $ = C $ × [1– (1 / 1,05)8] / 0,05 ; C = 5 415,26 $

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10. L’annuité est trimestrielle et la capitalisation du taux d’intérêt est mensuelle. On est donc en présence d’une annuité générale. Il nous faut trouver le taux trimestriel équivalent à un taux nominal de 5 % capitalisé mensuellement pour être en mesure d’utiliser une formule d’annuité. [1 + (0,05 / 12)]12 = [1 + (S / 4)]4 ; S / 4 = r = 1,26 % par trimestre VAA = 1 059 $ × {[1 – (1 / 1,0126)24] / 0,0126} × (1,0126) ; C = 22 101,61 $ 11. VA = 20 000 $ / 0,08 = 250 000 $ 12. VA = 280 000 $ = 20 000 $ / r ; r = 7,14 % effectif annuel 13. (Voir formules [6.4] et [6.5]) Taux effectif annuel = [1 + (0,07 / 4)]4 – 1 = 7,19 % Taux effectif annuel = [1 + (0,18 / 12)]12 – 1 = 19,56 % Taux effectif annuel = [1 + (0,10 / 365)]365 – 1 = 10,52 % Taux effectif annuel = e0,14 – 1 = 15,03 % 14. En isolant le taux spécifié « s » dans la formule [6.4], on obtient ; s = m × [(1 + TAE)1/m – 1] et dans la formule [6.5], on obtient ; s = ln (1 + TAE) s = 2 × [(1 + 0,122)1/ 2 – 1] = 11,85 % nominal capitalisé semestriellement s = 12 × [(1 + 0,094)1/12 – 1] = 9,02 % nominal capitalisé mensuellement s = 52 × [(1 + 0,086)1/52 – 1] = 8,26 % nominal capitalisé hebdomadairement s = ln (1 + 0,238) = 21,35 % nominal capitalisé continuellement 15. On doit comparer les taux sur la même fréquence de capitalisation. Pour ce faire, on peut par exemple transformer les différents taux sur une base effective annuelle. TAE offert par la Banque Dominion : [1 + (0,142 / 2)]2 – 1 = 14,70 % TAE offert par la Banque CB : [1 + (0,14 / 12)]12 – 1 = 14,93 % Notons qu’un taux nominal plus élevé ne veut pas nécessairement dire un TAE plus élevé. Le nombre de capitalisations par année influe sur le TAE. Le taux effectif annuel offert par la Banque Dominion est donc plus avantageux pour l’emprunteur. 16. Puisque le TPA est un taux spécifié, on utilise la formule [6.4] : s = 365 × [(1 + 0,14)1/365 – 1] = 13,11 % nominal capitalisé quotidiennement Le taux spécifié de 13,11 % nominal capitalisé quotidiennement est trompeur puisque le taux effectivement payé sur une base effective annuelle par l’emprunteur est en réalité de 14 %. 17. VC = 1 400 $ (1 + 0,096 / 2)40 = 9 132,28 $ 18. VC (5 ans) = 6 000 $ (1 + 0,084 / 365)(5 × 365) = 9 131,33 $ VC (10 ans) = 6 000 $ (1 + 0,084 / 365)(10 × 365) = 13 896,86 $ VC (20 ans) = 6 000 $ (1 + 0,084 / 365)(20 × 365) = 32 187,11 $ 19. VA = 45 000 / [(1 + 0,11 / 365)(6 × 365)] = 23 260,62 $ 20. Le taux nominal (ou TPA) correspond au taux par période multiplié par le nombre de capitalisation annuelle. (s = r × m) Taux nominal capitalisé mensuellement = 0,25 × 12 = 300 % TAE équivalent = [1 + (3 / 12)]12 – 1 = 1 355,19 %

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21. Le taux périodique annuel est un taux nominal capitalisé selon les versements de la situation. Ici les versements sont mensuels. VAA = 61 800 $ = C $ × [1 – {1 / [1 + (0,074 / 12)]60}] / (0,074 / 12) ; C = 1 236,58 $ TAE = [1 + (0,074 / 12)]12 – 1 = 7,66 % 22. VAA = 17 000 $ = 300 $ × {[1 – (1 / 1,009)t] / 0,009} 1 / 1,009t = 1 – [(17 000 $ × 0,009) / 300 $] = 0,49 1,009t = 1 / 0,49 = 2,0408 t = ln (2,0408) / ln (1,009) = 79,62 mois 23. Le taux par période de deux semaines est : 3 $ = 2 $ (1 + r)1; r = 50 % Par conséquent, le TAE = [1 + (0,50)]26 – 1 = 3 787 575 % Le taux par période hebdomadaire : (1,50)0,5 – 1 = 22,47% Taux nominal capitalisé hebdomadairement (ou TPA) = 52 × 22,4745 % = 1 168,67 % 24. 63 000 $ = 1 200 $ / r r = 1,9 % par mois s = (12 × 1,9 %) = 22,86 % nominal capitalisé mensuellement (ou TPA) TAE = [1 + (0,2286 / 12)]12 – 1 = 25,41 % effectif annuel 25. VCA (30 ans) = 250 $ × {[1 + (0,1 / 12)]360 – 1} / (0,1 / 12) = 565 121,98 $ 26. Dans le problème précédent, la fréquence des versements et la fréquence de capitalisation des intérêts coïncidaient (c’est-à-dire ils étaient tous les deux mensuels). Dans ce cas-ci, ils ne coïncident plus puisque la fréquence des versements est maintenant annuelle et la capitalisation des intérêts demeure mensuelle. On est donc en présence d’une annuité générale. Pour être en mesure d’utiliser une formule d’annuité, la fréquence de capitalisation des intérêts doit être ramenée à la même fréquence que celle des versements. On doit donc trouver un taux capitalisé annuellement (c’est-à-dire effectif annuel) équivalant au taux nominal de 10 % capitalisé mensuellement. TAE = [1 + (0,1 / 12)]12 – 1 = 10,47 % effectif annuel VCA (30 ans) = 3 000 $ × [(1+0,1047)30 – 1] / 0,1047 = 539 686,21 $ 27. VAA = 1 500 $ × {1 – [1 / (1,0075)16]} / 0,0075 = 22 536,47 $ 28. Le taux par trimestre « r » est de (0,11 / 4). Donc, VA = 900 $ / [1 + (0,11 / 4)]4 + 850 $ / [1 + (0,11 / 4)]8 1 140 $ / [1 + (0,11 / 4)]16 = 2 230,20 $ De façon équivalente, on peut transformer le taux nominal trimestriel en taux effectif annuel et actualiser par année. On procède alors de cette façon : TAE = [1 + (0,11 / 4)]4 – 1 = 11,46 % effectif annuel VA = 900 $ / (1,1146)1 + 850 $ / (1,1146) 2 + 1 140 $ / (1,1146) 4 = 2 230,20 $ 29. VA = 2 800 $ / (1,0845)1 + 5 600 $ / (1,10845) 3 + 1 940 $ / (1,0845) 4 = 8 374,62 $

Notions intermédiaires 30. Supposons un investissement de 1 $ dans chacune des deux banques. On cherche donc le taux d’intérêt effectif annuel « r » qui nous donnera la même valeur capitalisée avec la Banque Complexe qu’avec la Banque Simplex. VC du placement à la Banque Simplex = VC du placement à la Banque Complex 1 $ (1 + 0,06 × 10) = 1 $ (1 + r )10 ; r = (1,6)1 / 10 – 1 = 4,81 % effectif annuel Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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31. Taux périodique = r = s / m s = 2 × [(1 + 0,18)1/2 – 1] = 17,26 % nominal capitalisé semestriellement, donc r = (0,1726 / 2) = 8,63 % périodique semestriel s = 4 × [(1 + 0,18)1/4 – 1] = 16,90 % nominal capitalisé trimestriellement, donc r = (0,1690 / 4) = 4,22 % périodique trimestriel s = 12 × [(1 + 0,18)1/12 – 1] = 16,67 % nominal capitalisé mensuellement, donc r = (0,1667 / 12) = 1,39 % périodique mensuel 32. Le solde après 6 mois sera de : 5 000 $ [1 + (0,025 / 12)]6 = 5 062,83 $ Le solde après 1 an sera de : 5 062,83 $ [1 + (0,17 / 12)]6 = 5 508,70 $ Intérêts accumulés sur la dette = (5 508,70 $ – 5 000 $) = 508,70 $ 33. Étape 1 : Calcul du montant total accumulé dans 30 ans VCA (30 ans) compte actions = 600 $ × {[1 + (0,12 / 12)]360 – 1} / (0,12 / 12) = 2 096 978,48 $ VCA (30 ans) compte obligations = 300 $ × {[1 + (0,07 / 12)]360 – 1} / (0,07 / 12) = 365 991,30 $ Montant total accumulé = (2 096 978,48 $ + 365 991,30 $) = 2 462 969,78 $ Étape 2 : Calcul de l’annuité mensuelle de fin de période pouvant être versée dans 30 ans, pendant 25 ans. VAA (T = 30 ans) = 2 462 969,78 $ = C $ × [1 – {1 / [1 + (0,09 / 12)]300}] / (0,09 / 12) ; C = 20 669,15 $ par mois 34. Supposons un investissement de 1 $ : VC (1 an) = 1 $ (1,0108)12 = 1,14 $ VC (2 ans) = 1 $ (1,0108)24 = 1,29 $ De façon équivalente, on peut transformer le taux effectif mensuel en taux effectif annuel et actualiser par année. On procède alors de cette façon : TAE = (1,0108)12 – 1 = 13,76 % effectif annuel VC (1 an) = 1 $ (1,1376)1 = 1,14 $ VC (2 ans) = 1 $ (1,1376)2 = 1,29 $ 35. VCA (40 ans) = 1 M$ = C × {[1 + (0,11 / 12)]480 – 1} / (0,11 / 12) ; C = 116,28 $ VCA (30 ans) = 1 M$ = C × {[1 + (0,11 / 12)]360 – 1} / (0,11 / 12) ; C = 356,57 $ VCA (20 ans) = 1 M$ = C × {[1 + (0,11 / 12)]240 – 1} / (0,11 / 12) ; C = 1 155,22 $ Notons que le fait de réduire de moitié la période de versements (c’est-à-dire de 40 à 20 ans) a pour effet de multiplier par 9 le montant de l’annuité. 36. VC (1 an) = 3 $ = 1 $ (1 + r)12/3 = 31,60 % De façon équivalente, on peut chercher le rendement effectif mensuel : VC (1 an) = 3 $ = 1 $ (1 + r)12 = 9,59 % ; et le transformer en rendement effectif trimestriel : (1,0959) 12 = (1 + r)4 ; r = 31,60 % par trimestre 37. L’annuité est annuelle et la capitalisation du taux d’intérêt est mensuelle. On est donc en présence d’une annuité générale. Il faut donc trouver le taux effectif annuel équivalant à un taux de 12 % nominal capitalisé mensuellement pour être en mesure d’utiliser une formule d’annuité. TAE = [1 + (0,12 / 12)]12 – 1 = 12,6825 % effectif annuel Option 1 : VAA = 80 000 $ × {1 – [1 / (1,126825)2]} / 0,126825 = 134 001 $ Option 2 : VAA = 30 000 $ + 61 000 $ × {1 – [1 / (1,126825)2]} / 0,126825 = 132 176 $ Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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On devrait donc choisir la première option. On cherche aussi le taux d’intérêt qui donnerait la même VA pour les deux options. Isolons donc « r » dans l’égalité suivante : 80 000 $ × {1 – [1 / (1 + r)2]} / r = 30 000 $ + 61 000 $ × {1 – [1 / (1 + r)2]} / r ; par itération, on trouve r = 17,3178 % effectif annuel 38. VA = 1 000 000 $ / (0,09 – 0,05) × [1 – (1,05 / 1,09)25] = 15 182 293,68 $ 39. Prochain salaire (dans exactement 1 an) = 50 000 $ × 1,04 = 52 000 $. À ce moment-là, vous commencerez à épargner un montant de (0,02 × 52 000 $) = 1 040 $ croissant de 4 % par année : VCA = 1 040 $ × (1 + 10 %)40 / (10 % – 4 %) × [1 – ((1 + 4 %) × 1 + 10 %))40] = 701 276,07 $ 40. La valeur présente d’une annuité diminue à mesure que le taux d’actualisation augmente (et inversement). La valeur capitalisée d’une annuité augmente à mesure que le taux d’actualisation augmente (et inversement). VAA (à 10 %) = 7 000 $ × {1 – [1 / (1,1)10] / 0,1]} = 43 011,97 $ VAA (à 5 %) = 7 000 $ × {1 – [1 / (1,05)10] / 0,05} = 54 052,14 $ VAA (à 15 %) = 7 000 $ × {1 – [1 / (1,15)10] / 0,15} = 35 131,38 $ 41. VCA = 20 000 $ = 225 $ × {[1 + (0,09 / 12)] t – 1} / (0,09 / 12) ; En isolant « t », on trouve 1,0075t = 1 + [20 000 $ / 225 $ × (0,09 / 12)] ; t = ln(1,66666) / ln(1,0075) = 68,37 versements 42. VAA = 55 000 $ = 1 120 $ × [1 – (1 / 1 + r)60] / r ; Par itération ou avec la calculatrice financière, on trouve r = 0,6818 % par mois, ce qui correspond à un taux de (12 × 0,6818 %) = 8,18 % nominal capitalisé mensuellement (ou TPA). 43. C’est une annuité de début de période dont le premier versement est effectué le 1 er juillet 2015 et le dernier le 1 er septembre 2018, ce qui totalise 39 versements. VAA (1/ 07 / 2010) = 1 800 $ × [1 – {1 / [1 + (0,08 / 12)]39}] / (0,08 / 12) × [1 + (0,08 / 12)] = 62 047,27 $ 44. Le solde actuel de l’emprunt correspond à la valeur présente de ses remboursements. Donc, en additionnant la VA des 360 versements de 1 100 $ et la VA du dernier versement forfaitaire « F », on obtient le solde actuel, soit 220 000 $. Étant donné qu’il s’agit d’une hypothèque, le taux doit être considéré sur une base semestrielle : 1

Taux = (1 + 0, 068 / 2) 6 − 1 = 0,5588% VAA = 220 000 $ = 1 100 $ × [1 – {1 / [1,005588)]360}] / (0,005588) + F / [1+(0,005588)]360; on trouve F = 368 947 $ 45. Supposons que « Z » correspond au flux monétaire manquant : VA = 7 000 $ = 1 300 $ / (1,1) + 2 100 $ / (1,1)2 + Z $ / (1,1)3 + 2 750 $ / (1,1)4 ; Z = 2 933,99 $ 46. VA = 1 M$ + 1,4 M$ / (1,09)1 + 1,8 M$ / (1,09)2 + 2,2 M$ / (1,09)3 + 2,6 M$ / (1,09)4 + 3 M$ / (1,09)5 + 3,4 M$ / (1,09)6 + 3,8 M$ / (1,09)7 + 4,2 M$ / (1,09)8 + 4,6 M$ / (1,09)9 + 5 M$ / (1,09)10 = 19 733 830, 26 $ 47. Le montant de l’emprunt est de (0,8 × 2 400 000 $) = 1 920 000 $. VAA = 1 920 000 $ = 13 000 $ × {1 – [1 / (1 + r)360]} / r ; Par itération ou avec la calculatrice financière, on trouve r = 0,598 % par mois, ce qui correspond à un taux nominal capitalisé mensuellement (TPA) de (0,598 % × 12) = 7,17 % TAE = (1,00598)12 – 1 = 7,42 % effectif annuel Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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48. Par « profit », il faut comprendre ici « profit économique » ou « création de valeur ». En fait, on dit qu’il y a profit économique si le projet rapporte plus que le rendement minimal requis. Profit = VA des rentrées de fonds – VA des sorties de fonds = 145 000 $ / 1,133 – 94 000 $ = 6 492,27 $ Le taux d’intérêt seuil correspond au taux d’actualisation qui rend nul le profit économique. 0 $ = 145 000 $ / (1 + r)3 – 94 000 $ ; r = 15,54 % effectif annuel 49. On est en présence d’une annuité différée. Il est à noter qu’en utilisant la formule de VAA [6.1], on trouve toujours une VAA une période avant le premier flux monétaire de l’annuité. Ici on a une série de 17 versements dont le premier est effectué à t = 9 ans. En utilisant la formule [6.1], on trouvera donc un solde à t = 8 : VAA (t = 8 ans) = 2 000 $ × {1 – [1 / (1,1)17]} / 0,1 = 16 043,11 $ Il reste à actualiser ce montant unique de 8 périodes pour le ramener à t = 0 avec la formule VA = VC / (1 + r)t : VA (t = 0) = 16 043,11 $ / (1,1)8 = 7 484,23 $ 50. Puisque le taux d’actualisation change dans le temps, il n’est pas possible d’actualiser les flux monétaires à l’aide d’une seule formule d’annuité. Il faudra actualiser par sections de taux et additionner ensuite les VAA des différentes sections. VAA (à t = 0) des versements des 7 premières années : 1 500 $ × [1 – {1 / [1 + (0,13 / 12)84]}] / (0,13 / 12) = 82 453,99 $ VAA (à t = 7) des versements des années 8 à 15 : 1 500 $ $ × [1 – {1 / [1 + (0,1 / 12)96]}] / (0,1 / 12) = 98 852,23 $ Note : Comme pour le problème précédent, en utilisant la formule [6,1], on trouve une VAA une période avant le premier versement de l’annuité. Puisque le premier versement de l’annuité a lieu à 7 ans et 1 mois et qu’une période correspond à 1 mois, on a trouvé une VAA exactement à 7 ans. Il ne reste qu’à actualiser ce montant unique de 84 périodes (7 ans) pour le ramener à t = 0 en utilisant le taux applicable pendant ces 84 périodes. VA (t = 0) des versements des années 8 à 15 = 98 852,23 $ / [1 + (0,13 / 12)]84 = 39 985,62 $ VA à t = 0 de tous les versements = 82 453,99 $ + 39 985,62 $ = 122 439,61 $ 51. VCA (15 ans) pour l’investissement A : 1 000 $ × {[1 + (0,095 / 12)]180 – 1} / (0,095 / 12) = 395 948,63 $ Enfin, il faut trouver le montant qui sera consacré à l’investissement B qui procurera une VA de 395 948,63 $ dans 15 ans. VC (15 ans) pour l’investissement B = 395 948,63 $ = VA e0,09(15) ; VA = 102 645,83 $ 52. Une perpétuité est en fait une annuité perpétuelle. Donc, de la même façon que pour le calcul d’une VAA (voir la formule 6.1), en calculant la VA d’une perpétuité, on trouve une VA une période avant le premier versement de la perpétuité. VA (t = 14) = 5 000 $ / 0,057 = 87 719,30 $ Enfin, il faut reculer de 7 périodes pour obtenir la VA à t = 7. VA (t = 7) = 87 719,30 $ / (1,057)7 = 59 507,30 $ 53. VAA = 10 000 $ = 950 $ × {1 – [1 / (1 + r)12]} / r. Par itération, on trouve r = 2,07574 % par mois, ce qui correspond en fait à un taux de (2,07574 % × 12) = 24,91 % nominal capitalisé mensuellement. C’est ce taux qui devrait être affiché. Le TAE correspondant est [1 + (0,0207574)]12 – 1 = 27,96 % effectif annuel. On pourrait aussi résoudre ce problème en comparant les versements. 54. On est donc en présence d’une annuité générale, puisque la capitalisation du taux d’intérêt est mensuelle et que les versements sont semestriels. Il faut premièrement trouver le taux effectif semestriel équivalant à un taux de 10 % nominal capitalisé mensuellement pour être en mesure d’utiliser une formule d’annuité. Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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[1 + (0,1 / 12)]12 = [1 + (S / 2)]2 ; S / 2 = r = 5,1053 % par semestre VAA (t = 5) = [6 000 $ × {1 – [1 / (1,051053)10]} / 0,051053] × 1 / (1,051053) 8 = 30 949,21 $ VAA (t = 3) = 30 949,21 $ / (1,051053)4 = 25 360,08 $ VAA (t = 0) = 25 360,08 $ / (1,051053)6 = 18 810,58 $ 55. a) 1er versement à t = 1 : VAA = 950 $ × {1 – [1 / (1,095)8]} / 0,095 = 5 161,76 $ b) 1er versement à t = 0 : VAAdébut = 950 $ × [{1 – [1 / (1,095)8]} / 0,095] × 1,095 = 5 652,13 $. De façon équivalente, 5 161,76 $ × 1,095 = 5 652,13 $. 56. VAAdébut = 61 000 $ = C $ × [1 – {1 / [1 + (0,0815 / 12)]60}] / (0,0815 / 12) × [1 + (0,0815 / 12)] ; C = 1 232,87 $ 57. VAA = 36 000 $ = C $ × {1 – [1 / (1,09)5]} / 0,09 ; C = 9 255,32 $ Année 1 2 3 4 5

Solde début 36 000,00 $ 29 984,67 $ 23 427,96 $ 16 281,15 $ 8 491,13 $

Versement 9 255,32 $ 9 255,32 $ 9 255,32 $ 9 255,32 $ 9 255,32 $

Intérêts 3 240,00 $ 2 698,62 $ 2 108,52 $ 1 465,20 $ 764,20 $

Capital 6 015,33 $ 6 556,71 $ 7 146,81 $ 7 790,02 $ 8 491,13 $

Solde fin 29 984,67 $ 23 427,96 $ 16 281,15 $ 8 491,13 $ 0,00 $

Les intérêts payés pour la troisième année correspondent au solde au début de l’année multiplié par le taux d’intérêt de la période. (23 427,96 $ × 9 %) = 2 108,52 $ Pour calculer le total des intérêts payés sur toute la durée du prêt, on peut : 1) Additionner les montants dans la colonne « Intérêts » : [3 240,00 $ + 2 698,62 $ + 2 108,52 $ + 1 465,20 $ + 764,20 $] = 10 276,64 $ 2) Utiliser le raisonnement qui veut que le versement total corresponde à la somme des intérêts payés et du capital remboursé. De cette façon, le versement total = (5 × 9 255,32 $) = 46 276,60 $, et le capital remboursé est de 36 000 $. Le montant total des intérêts payés est donc de (46 276,60 $ – 36 000 $) = 10 276,60 $ (la différence de 0,04 $ vient de l’arrondissement). 58. Année 1 2 3 4 5

Solde début 36 000,00 $ 28 800,00 $ 21 600,00 $ 14 400,00 $ 7 200,00 $

Versement 10 440,00 $ 9 792,00 $ 9 144,00 $ 8 496,00 $ 7 848,00 $

Intérêts 3 240,00 $ 2 592,00 $ 1 944,00 $ 1 296,00 $ 648,00 $

Capital 7 200,00 $ 7 200,00 $ 7 200,00 $ 7 200,00 $ 7 200,00 $

Solde fin 28 800,00 $ 21 600,00 $ 14 400,00 $ 7 200,00 $ 0,00 $

Intérêts payés dans la troisième année = 1 944,00 $ Intérêts payés pendant la durée du prêt = (3 240 $ + 2 592 $ + 1 944 $ + 1 296 $ + 648 $) = 9 720 $

Problèmes complexes 59. Certains flux monétaires ont une fréquence mensuelle, alors que les taux sont exprimés sur une base effective annuelle. Il faut donc procéder à des équivalences de taux pour trouver des taux effectifs mensuels : s = 12 × [(1 + 0,11)1/12 – 1] = 10,4 % nominal capitalisé mensuellement s = 12 × [(1 + 0,08)1/12 – 1] = 7,72 % nominal capitalisé mensuellement Premièrement, on doit calculer ses besoins financiers au moment de prendre sa retraite (c’est-à-dire à T = 30 ans). À ce moment-là, le placement accumulé devra être suffisant pour permettre un revenu de 20 000 $ Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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à la fin de chaque mois pendant 240 mois et un montant unique de 750 000 $ en même temps que le dernier versement. VAA (revenus mensuels) = 20 000 $ × [1 – {1 / [1 + (0,0772 / 12)]240}] / (0,0772 / 12) = 2 441 554,61 $ VA (montant unique) = 750 000 $ / (1,08)20 = 160 911,16 $ Bilbo doit donc avoir accumulé un montant de (2 441 554,61 $ + 160 911,16 $) = 2 602 465,77 $ Calcul de la VC des placements mensuels des 10 premières années : VCA (10 ans) = 2 000 $ × {[1 + (0,1048 / 12)]120 – 1} / (0,1048 / 12) = 421 180,66 $ Ce montant accumulé dans 10 ans servira en partie pour absorber le coût du chalet et l’excédent, soit (421 180,66 $ – 325 000 $) = 96 180,66 $, pourra être placé jusqu’à la retraite et financer une partie des besoins. VC (t = 30 ans) du placement = 96 180,66 $ (1,11)20 = 775 438,44 $ Bilbo doit donc accumuler un montant de (2 602 465,77 $ – 775 438,44 $) = 1 827 027,33 $ entre les années 10 et 30. Calcul de l’épargne mensuelle requise entre t = 10 ans et t = 30 ans : VCA (30 ans) = 1 827 027,33 $ = C $ × {[1 + (0,1048 / 12)] 240 – 1} / (0,1048 / 12) ; C = 2 259,65 $ 60. Pour répondre à cette question, on doit comparer la VA de chacune des options. La meilleure option sera celle qui procurera la plus petite VA. Pour la VA des paiements de location, on utilise le même taux d’actualisation que pour l’emprunt parce que ce taux d’intérêt correspond au coût d’opportunité du capital. Notons que dans l’option de location, on ne tient pas compte de la valeur de revente de la voiture puisqu’à la fin de la période, il faut remettre la voiture au locateur. Les versements étant mensuels, le TPA sera aussi avec une base capitalisée mensuellement. VA (location) = 1 $ + VAA (paiements de location) VA (location) = 1 $ + 380 $ × [1 – {1 / [1 + (0,08 / 12)]36}] / (0,08 / 12) = 12 127,49 $ Dans le cas de l’achat, la VA correspond au prix courant de la voiture moins à VA du prix de vente dans 3 ans. VA (achat) = 28 000 $ – 15 000 $ / [1 + (0,08 / 12)]36 = 16 191,18 $ L’option de location est donc moins dispendieuse. Le prix de revente qui nous inciterait à changer d’avis (ou le prix de revente d’indifférence) correspond au prix qui nous donne la même VA selon les deux options. VA (location) = VA (achat) 12 127,49 $ = 28 000 $ – Prix de revente d’indifférence / [1 + (0,08 / 12)] 36 Prix de revente d’indifférence = 20 161,86 $ 61. Premièrement, on doit trouver la valeur du contrat en calculant la valeur actuelle des sommes offertes par l’équipe. Équivalence de taux : TAE = [1 + (0,044 / 365)]365 – 1 = 4,498 % effectif annuel VA = 6 M$ + 3 M$ / (1,04498)1 + 4 M$ / (1,04498)2 + 4,7 M$ / (1,04498)3 + 5,2 M$ / (1,04498) 4 + 8 M$ / (1,04498)5 = 27 433 834 $ Le joueur veut que la valeur du contrat augmente de 600 000 $ et en touchant une prime de signature de 7,5 M$. Il suffit donc de répartir mensuellement : (27 433 834 $ – 7 500 000 $ + 600 000 $) = 20 533 834 $ Calcul du versement mensuel [1 + (0,044 / 365)]365 = [1 + (S / 12)]12 ; S / 12 = r = 0,3673 % par mois VAA = 20 533 834 $ = C $ × {1 – [1 / (1,003673)60]} / 0,003673 ; C = 381 952 $ par mois 62. a)

Le montant du prêt serait de (17 679 $ – 2 500 $ – 1 000 $) = 14 179 $. Les versements seraient de : VAA = 14 179 $ = C $ × [1 – {1 / [1 + (0,109 / 12)]48}] / (0,109 / 12). C = 365,78 $

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VA des sorties de fonds avec un taux d’actualisation de 9 % nominal capitalisé mensuellement : VA = 2 500 $ + 365,78 $ × [1 – {1 / [1 + (0,09 / 12)] 48}] / (0,09 / 12) = 17 198,79 $ b) Le montant du prêt serait de (17 679 $ – 2 500 $) = 15 179 $ Les versements serait de : VAA = 15 179 $ = C $ × [1 – {1 / [1 + (0,015 / 12)]48}] / (0,015 / 12) ; C = 326,01 $ VA des sorties de fonds avec un taux d’actualisation de 9 % nominal capitalisé mensuellement : VA = 2 500 $ + 326,01 $ × [1 – {1 / [1 + (0,09 / 12)]48}] / (0,09 / 12) = 15 600,64 $ L’option b) est plus rentable. 63. Dans ce type de prêt, le taux d’intérêt indiqué est seulement utilisé pour déterminer le montant des intérêts qui sera payé au total sur l’emprunt. Le montant à rembourser dans un an est de 20 000 $ pour un emprunt de 17 200 $ aujourd’hui. Le taux d’intérêt sur le prêt est en réalité de 17 200 $ (1 + r) = 20 000 $ ; r = 16,28 % effectif annuel. 64. Ce problème consiste à additionner la valeur aujourd’hui des flux monétaires passés et futurs. Le taux est effectif annuel et l’annuité est mensuelle, il faut donc transformer le taux pour trouver le taux effectif mensuel. s = 12 × [(1,09)1/12 – 1] = 8,65 % nominal capitalisé mensuellement r = s / m = 8,65 % / 12 = 0,721 % par mois a)

Valeur aujourd’hui des 2 dernières années de salaire : VCA (salaire d’il y a 2 ans) = (44 000 $ / 12) × {[(1,00721)12 – 1] / 0,00721} × 1,09 = 49 907,57 $ VCA (salaire d’il y a 1 an) = (46 000 $ / 12) × [(1,00721)12 – 1] / 0,00721 = 47 867,98 $

b) Valeur aujourd’hui des 5 prochaines années de salaire : VAA = (49 000 $ / 12) × {1 – [1 / (1 + 0,00721)60} / 0,00721 = 198 332,55 $ c)

Le montant de 100 000 $ est déjà en VA.

d) Le montant de 20 000 $ est déjà en VA. Valeur du dédommagement aujourd’hui : [49 907,57 $ + 47 867,98 $ + 198 332,55 $ + 100 000 $ + 20 000 $] = 416 108,10 $ En tant que plaignant, vous devriez préférer un taux d’intérêt plus faible. Un taux d’actualisation plus faible a pour effet d’augmenter la VA et de diminuer la VC. Dans ce problème, on effectue à la fois des VA et des VC, mais le poids relatif des flux monétaires futurs à actualiser est largement supérieure à celui des flux monétaires passés qu’il faut capitaliser. 65. Comme pour le problème 63, si on veut trouver le taux d’intérêt, il faut regarder les flux monétaires de l’emprunt. Montant à rembourser = 10 000 $ (1,09) = 10 900 $ Le montant que vous recevez aujourd’hui correspond au capital diminué de 3 points de base : Montant reçu = 10 000 $ (1 – 0,03) = 9 700 $ Calculons maintenant le taux d’intérêt du prêt : 9 700 $ (1 + r)1 = 10 900 $ ; r = 12,37 % effectif annuel 66. Montant à rembourser = 10 000 $ (1,12) = 11 200 $ Le montant que vous recevrez aujourd’hui correspond au capital diminué de 2 points de base : Montant reçu = 10 000 $ (1 – 0,02) = 9 800 $ Calculons maintenant le taux d’intérêt du prêt : 9 800 $ (1 + r)1 = 11 200 $ ; r = 14,29 % effectif annuel Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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67. Puisque les frais sont remboursables à la Banque Insecure Trust, il faut inclure les frais dans le TPA. Il faut emprunter 221 500 $ pour obtenir 220 000 $ une fois les frais déduits. On peut donc trouver le paiement selon ces circonstances de cette façon : VAA = 221 500 $ = C $ × [1 – {1 / [1 + (0,072 / 12)]360}] / (0,072 / 12) ; C = 1 503,52 $ On peut alors utiliser ce paiement avec le montant original d’emprunt et résoudre pour « r ». VAA = 220 000 $ = 1 503,52 $ × {1 – [1 / (1 + r)360] / r ; r = 0,6057 % par mois, ce qui correspond à un taux nominal capitalisé mensuellement (TPA) de (12 × 0,6057 %) = 7,27 %. TAE = (1 + 0,006057)]12 – 1 = 7,52 % effectif annuel Puisque les frais ne sont pas remboursables à la Banque Pingre et fils, il ne faut pas inclure les frais dans le TPA. Taux nominal capitalisé mensuellement (TPA) = 7,20 % TAE = [1 + (0,072 / 12)]12 – 1 = 7,44 % effectif annuel 68. En fait, le taux serait effectivement de 13 % effectif annuel si le capital et les intérêts étaient remboursés dans un seul versement à l’échéance. Le fait de rembourser avant l’échéance a pour effet d’augmenter le rendement du prêt. Démonstration : VAA = 1 000 $ = 40,08 $ × {1 – [1 / (1 + r)36]} / r ; r = 2,13 % par mois, ce qui correspond à un taux nominal capitalisé mensuellement de (12 × 2,13 %) = 25,60 %. TAE = [1 + (0,2560 / 12)]12 – 1 = 28,83 % effectif annuel On parle d’intérêts sur le montant prêté parce que le montant des intérêts sur l’emprunt est ajouté au capital avant que soit calculé le montant des versements. 69. Calcul du montant qui doit être accumulé à 68 ans pour combler les besoins de retraite. VAA = 40 000 $ × {[1 – [1 / (1,06) 17]} / 0,06 = 419 090 $ a)

VCA (68 ans) = 419 090 $ = C $ × [(1,06)38 – 1] / 0,06 ; C = 3 083,72 $

b) VA (31 ans) = 419 090 $ / (1,06)37 = 48 527,76 $ c)

VCA (68 ans : provenant du RPDB) = 2 000 $ × [(1,06)38 – 1] / 0,06 = 271 808 $ VC (68 ans : provenant de la fiducie) = 10 000 $ (1,06)28 = 51 117 $ Ces deux montants viennent donc réduire le manque à gagner à 68 ans. Le montant supplémentaire qui doit maintenant être épargné est de [419 090 $ – 271 808 $ – 51 117 $] = 96 165 $. Calculons maintenant l’épargne annuelle nécessaire afin d’accumuler ce montant à 65 ans : VCA (65 ans) = 96 165 $ = C × [(1,06)38 – 1] / 0,06, C = 707,59 $

70. Calcul du nombre de mois nécessaires si on ne tient pas compte des frais de transfert : Avec un taux nominal de 18,2 % capitalisé mensuellement VAA = 10 000 $ = 200 $ × [1 – {1 / [1 + (0,182 / 12)]t}] / (0,182 / 12) ; t = 94,35 mois Avec un taux nominal de 8,2 % capitalisé mensuellement VAA = 10 000 $ = 200 $ × [1 – {1 / [1 + (0,082 / 12)]t}] / (0,082 / 12) ; t = 61,39 mois Calcul du nombre de mois nécessaires si on considère les frais de transfert : Avec un taux nominal de 8,2 % capitalisé mensuellement VAA = 10 200 $ = 200 $ × [1 – {1 / [1 + (0,082 / 12)]t}] / (0,082 / 12) ; t = 62,92 mois Notez qu‘il est inutile de calculer le temps nécessaire pour rembourser avec les frais de transfert à un taux de 18,2 %. En effet, à ce taux, il s’agit du scénario dans lequel il n’y a pas de transfert.

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71. Pour résoudre ce problème, il faut vérifier si le client obtiendrait plus de 350 000 $ en plaçant lui-même son argent plutôt que de l’investir dans la police. VC (t = 6 ans) = 800 $ (1,11)5 + 800 $ (1,11)4 + 900 $ (1,11)3 + 900 $ (1,11)2 + 1 000 $ (1,11)1 + 1 000 $ = 7 012,26 $ VC (65 ans) = 7 012,26 $ (1,07)59 = 379 752,72 $ La police est donc moins rentable. Le client aurait avantage à investir lui-même les sommes à 11 % effectif annuel pendant 6 ans et à 11 % effectif annuel par la suite jusqu’à 65 ans. On aurait aussi pu comparer la valeur présente des versements avec celle du 350 000 $ pour vérifier lequel des deux scénarios offre le plus de valeur. VA (des versements) = 800 $ / (1,11)1 + 800 $ / (1,11)2 + 900 $ / (1,11) 3 + 900 $ / (1,11) 4 + 1 000 $ / (1,11)5 + 1 000 / $ (1,11)6 = 3 749,04 $ VA (capital de la police) = 350 000 $ × 1 / (1,07) 59 × 1 / (1,11)6 = 3 455,31 $ Encore une fois, on peut vérifier que les flux monétaires (primes) ont plus de valeur que le capital offert par la police. En fait, lorsque l’on compare deux options, celle qui offre le plus de valeur à un certain moment dans le temps a aussi plus de valeur à n’importe quel moment dans le temps. Si on pousse un peu plus loin… En investissant la différence de valeur à t = 0 (c’est-à-dire 3 749,04 $ – 3 455,31 $ = 293,73 $) à 11 % pendant 6 ans et à 7 % par la suite jusqu’à 65 ans, on obtiendra une valeur équivalente à la différence entre la valeur obtenue dans les deux scénarios à 65 ans (c’est-à-dire 379 752,72 $ – 350 000 $ = 29 752,72 $). Preuve : 293,73 $ × (1,11)6 × (1,07)59 = 29 752,72 $ 72. Notez ici que la capitalisation du taux d’intérêt est mensuelle puisque l’on indique que ce taux est un TPA et que les versements sont mensuels. Par ailleurs, la loi exige que les taux hypothécaires soient toujours spécifiés sous une forme nominale semestrielle. Taux = (1 + 0, 085 / 2)

1

6

− 1 = 0, 6961%

VAA = 450 000 $ = C $ × [1 – {1 / [1,006961)]360}]/(0,006961) ; C = 3 413,40$ Après 8 ans, le solde du prêt doit être entièrement remboursé. Le solde d’un prêt correspond à la VA des versements qu’il reste à effectuer. Par conséquent, le paiement forfaitaire final à t = 8 ans sera de : VAA = 3 413,40$× [1 – {1 / [1+(0,006961)]264}] / (0,006961) = 411 805,56 $ 73. On doit trouver le taux d’intérêt qui rend égal à la même date (c’est-à-dire 18 ans), la VC des épargnes et la VA des versements effectués par le programme. VC des épargnes à 18 ans = VA des versements du programme à 18 ans 5 000 $ × [(1 + r)6 – 1] / r = 15 000 $ × {1 – [1 / (1 + r)4]} / r ; Par itération, on trouve r = 14,52 % effectif annuel. 74. On trouve donc le taux d’intérêt qui fait en sorte que les deux scénarios soient équivalents. VA perpétuité = VA annuité 15 000 $ / r = 20 000 $ × {1 – [1 / (1 + r)10]} / r Isolons « r » : 15 000 $ / 20 000 $ = 1 – [1 / (1 + r)10] r = 14,87 % effectif annuel

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75. La perpétuité est aux 2 ans (0,5 fois par année), et la capitalisation du taux d’intérêt est quotidienne. On est donc en présence d’une perpétuité générale. Il faut donc trouver le taux nominal capitalisé 0,5 fois par année équivalant à un taux de 11 % nominal capitalisé quotidiennement pour être en mesure d’utiliser la formule de perpétuité. [1 + (0,11 / 365)]365 = [1 + (S / 0,5)]0,5 ; S / 0,5 = r = 24,60 % effectif par 2 ans Si le premier versement est effectué dans 1 an (soit dans 0,5 périodes de 2 ans) : VA (à t = – 1 an) = 7 500 $ / 0,246 = 30 483,41 $ Il est important de rappeler qu’en utilisant une formule de perpétuité de fin de période (ou d’annuité de fin de période), on trouve une VA une période avant le premier versement. Dans cet exemple, une période correspond à 2 ans et le premier flux monétaire de la perpétuité se situe à t = 1. On vient donc de trouver une VA une période de 2 ans avant t = 1, soit à t = (– 1). Il faut donc capitaliser de 1 an pour ramener à t = 0 : VC (à t = 0) = 30 483,41 $ (1 + 0,11 / 365)365 = 34 027,40 $ (Notez qu’on aurait aussi pu capitaliser de 0,5 périodes de 2 ans au taux de 24,6 %.) Si le premier versement est effectué dans 4 ans (soit dans 2 périodes de 2 ans) : VA (à t = 2 ans) = 7 500 $ / 0,246 = 30 483,41 $ Il faut actualiser ce montant sur 2 ans : VA (à t = 0) = 30 483,41 $ / (1 + 0,11 / 365)365(2) = 24 464,32 $ (Notez qu’on aurait aussi pu actualiser d’une période de 2 ans au taux de 24,6 %.) 76. En contexte de valeur actualisée : VAAfin =

C C C + + ... + 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )t

VAAdébut = C +

C C + ... + (1 + r ) (1 + r )t - 1

 C C C = (1 + r )  + + ... + 2 + r (1 ) (1 ) (1 + r + r )t 

  

Donc, VAAdébut = (1 + r) VAAfin En contexte de valeur capitalisée : VCAfin = C + C(1 + r) + C(1 + r)2 + … + C(1 + r)t – 1 VCAdébut = C(1 + r) + C(1 + r)2 + … + C(1 + r)t = (1 + r)[C + C(1 + r) + … + C(1 + r)t – 1] Donc : VCAdébut = (1 + r) VCAfin 77. Supposons que « Z » est le pourcentage de votre salaire à épargner. On peut travailler soit en valeur actualisée, soit en valeur capitalisée. Travaillons premièrement en valeur capitalisée : VC = 1 M$ = [(Z × 55 000 $) × (1,1)30 / (0,1 – 0,03)] × [1 – (1,03 / 1,1)30] VC = 1 M$ × (0,07) / {[1 – (1,03 / 1,1)30] × (1,1)30} = (Z × 55 000 $) Z = 8,47 % De façon équivalente, en valeur actualisée : VA = [1 M$ / (1,1)30] = [(Z × 55 000 $) / (0,1 – 0,03)] × [1 – (1,03 / 1,1)30] VA = [1 M$ / (1,1)30] × {(0,07) / [1 – (1,03 / 1,1)30]} = (Z × 55 000 $) Z = 8,47 % Chapitre 6 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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78. a) Le taux nominal capitalisé hebdomadairement (TPA) est de (52 × 8 %) = 416 %, ce qui correspond à un TAE de [1 + 8 %] 52 – 1 = 5 370,60 % b) Dans un prêt à intérêts escomptés vous recevez le montant emprunté moins l’escompte et vous repayez le plein montant emprunté (c’est-à-dire le capital). Avec un escompte de 8 %, vous recevrez 9,20 $ pour chaque 10 $ emprunté. Par conséquent, le taux d’intérêt effectif par semaine est de : 10 $ = 9,20 $ (1 + r) ; r = 8,70 % ce qui correspond à un taux nominal capitalisé hebdomadairement (TPA) de (52 × 8,70 %) = 452,40 % et à un taux effectif annuel de [1 + 8,70 %] 52 – 1 = 7 538,94 %. c) En utilisant les flux monétaires de l’emprunt, on peut trouver le taux d’intérêt de l’emprunt : VAA = 68,92 $ = 25 $ × {1 – [1 / (1 + r)4]} / r ; par itération, on trouve r = 16,75 % par semaine, ce qui correspond à un taux nominal capitalisé hebdomadairement (TPA) de (52 × 16,75 %) = 871 % et à un taux effectif annuel de [1 + 16,75 %]52 – 1 = 314 215,72 %. 79. Pour répondre à cette question, on doit utiliser un diagramme pour représenter les flux monétaires de la perpétuité. (Notez que l’indice qui accompagne le « C » ne sert qu'à différencier le temps du flux monétaire. Tous les flux monétaires sont du même montant.)

C3

C1

C2

C2

C1

C1

……

Par conséquent, chacun des flux monétaires est une perpétuité en soi. On peut donc réécrire de cette façon :

C1 / r

C2 / r

C3 / r

C4 / r

.…..

On peut donc considérer les flux monétaires comme étant la VA d’une perpétuité, et une perpétuité de :

C2 / r

C3 / r

C4 / r

……

La VA de cette perpétuité est : VA = (C / r) / r = C / r2. Par conséquent, la VA d’une perpétuité qui augmente d’un montant « C » à chaque période est : VA = C / r + C / r2.

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80. On est seulement concerné par le temps nécessaire pour qu’un placement double. Par conséquent, le montant en argent n’est pas pertinent. On peut donc écrire la VC d’un montant unique de cette façon : VC = VA (1 + r)t 2 $ = 1 $ (1 + r)t En isolant « t » on obtient (**) : ln(2) = t [ln(1 + r)] t = ln(2) / ln(1 + r) Puisque « r » est exprimé en pourcentage, on peut réécrire : t = ln(2) / ln(1 + r / 100) Pour simplifier l’équation, on peut utiliser une expansion de Taylor : ln(1 + r) = r – r2 / 2 + r3 / 3 – … Puisque « r » est petit, on peut tronquer la série après le premier terme et réécrire ainsi : ln(1 + r) = r En remplaçant « ln(1 + r) = r », dans l’équation « t = ln(2) / ln(1 + r / 100) », on obtient : t = 100 ln(2) / R t = 69,3147 / R Il s’agit de l’expression exacte, puisque 69,3147 n’est pas facilement divisible, on substitue par 72. 81. 1 $ = 2 $ ert 2 = ert rt = ln(2) rt = 0,693147 t = 0,693147 / r Puisque nous avons utilisé un taux d’intérêt exprimé sous une forme décimale, pour transformer l’expression afin de l’exprimer en pourcentage, on multiplie par 100. t = 69,3147 / r 82. On calcule premièrement la VA (ou valeur réelle) du contrat initialement offert par les Devils. VA du salaire des 10 premières années : VAA = 9,5 M$ × {1 – [1 / (1,06)10]} / 0,06 = 69 920 826,99 $ VA du salaire des années 13 à 17 : VAA = 550 000 $ {1 – [1 / (1,06)5] / 0,06} / (1,06) 12 = 1 151 378,66 $ Pour les années 11 et 12, on doit supposer que c’est le montant qu’il reste qu’on répartit également entre les deux années, soit 102M – 95M – (5 x 550 000) = 4 250 000$ / 2 = 2 125 000$ VA du salaire des années 11 et 12 : VAA = 2 125 000 $ {1 – [1 / (1,06)2] / 0,06} / (1,06)10 = 2 175 483,39 $ Valeur du contrat initial = [69 920 826,99 $ + 2 175 483,39 $ + 1 151 378,66 $] = 73 247 689,04 $ Paiements équivalents pour un nouveau contrat de 10 ans : VAA = 73 247 689,04 $ = C $ {1 – [1 / (1,06)10] / 0,06}; C = 9 952 013,95 $

Abréviations VA : valeur actualisée

VAA : valeur actualisée des annuités

TAE : taux annuel effectif

VC : valeur capitalisée

TPA : taux périodique annuel

VCA : valeur capitalisée des annuités

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Chapitre 7 La valeur des obligations et les taux d’intérêt Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. Le rendement à l’échéance (RAE) est le rendement exigé sur une obligation, exprimé sous forme de taux d’intérêt nominal. Pour des obligations sans option de rachat, le RAE et le taux de rendement exigé sont deux termes interchangeables. À l’opposé du RAE et du taux de rendement exigé, le taux de coupon n’est pas un taux utilisé pour actualiser les flux monétaires d’une obligation. Le taux de coupon est un pourcentage fixe de la valeur nominale de l’obligation qui sert seulement au calcul du montant des coupons. Ici, lorsque l’obligation est vendue aujourd’hui, le taux de coupon correspond au RAE (10 % dans les deux cas), parce que l’obligation s’est vendue au pair. Dans 2 ans, le taux de coupon sera toujours de 10 % (il ne change pas dans le temps), mais le RAE sera de 7 %.

2. Le prix et le taux de rendement d’une obligation évoluent dans des directions opposées. Si le taux d’intérêt chute, le prix de l’obligation augmente. En effet, quand le taux de rendement exigé diminue, la valeur actualisée de la série de flux monétaires augmente. Par conséquent, l’obligation prend de la valeur (son prix augmente) si le taux d’intérêt chute à 3 %.

3. Le coupon est payable semestriellement. Donc, C = (10 % / 2) × 1000 $ = 50 $ Le taux de rendement semestriel est : 8 % ∕ 2 = 4 % L’échéance en semestre : 15 × 2 = 30 semestres Le prix de l’obligation est donc :  =�

4.

1 − (1 + )− 1 − (1,04)−30  1 000 = 50  = 1 172,92$ + +  (1 + ) (1,04)30  0,04

1 − (1 + r ) − t  VN 1 − (1 + r ) −9  1 000 + ; 1 080 = 70 ×    + (1 + r )9 ⇒ r = 5, 83 % t r r   (1 + r )  

P = C×

Notez qu’il est impossible de résoudre ce problème mathématiquement. Mais en utilisant la calculatrice financière ou par essais et erreurs, on obtient 5,83 %. Pour tenter de résoudre par essais et erreurs, il faut choisir un taux de rendement pour amorcer le processus.

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Il existe une formule approximative afin d’évaluer le taux de RAE :

 VN − P  70 +  1 000 − 1 080     t 9  =   = 5, 88 %  VN + P   1 000 + 1 080      2  2   

Coupon +  RAE =

Ce taux est très près du véritable RAE cherché ici (5,83 %).

5.

1 − (1 + )− 1 − (1,08)−9  1 000  = � ; 920 = �  ⇒ � = 67,19 $ + +  (1,08)9  (1 + ) 0,08

Le coupon annuel étant de 67,19 $, le taux de coupon est donc 67,19 $ / 1 000 $ = 6,719 %.

6. L’année dernière, l’échéance de l’obligation était de 11 ans. Aujourd’hui, l’échéance est donc de 10 ans ou 20 semestres. Le coupon semestriel est : (7,8 % / 2) × 1000 $ = 39 $ Le taux de rendement à l’échéance semestriel : (8,6 % / 2) × = 4,3 % Le cours de l’obligation est donc :

1 − (1 + r ) -t  VN 1 − (1, 043)−20  1 000 + = 39 × + = 947, 05 $    t 20 r   (1 + r )  0, 043  (1, 043)

P = C×

7. Il y a 3 ans, l’échéance de l’obligation était de 15 ans. Aujourd’hui, l’échéance est donc de 12 ans ou 24 semestres. Une cote de 105 % représente 105 % de la valeur nominale. Avec une valeur nominale de 1 000 $ par défaut, la valeur de l’obligation est de 1000 $ × 105 % = 1 050 $. Le coupon semestriel est : (9,2 % / 2) × 1000 $ = 46 $  = �

1 − (1 + )− 1 − (1 + )−24  1 000 ; 1 050 = 46  ⇒  = 4,2632 % + + (1 + )24  (1 + ) 

Puisque les coupons sont payables semestriellement, le rendement à l’échéance trouvé en appliquant la formule est aussi semestriel. Le taux de rendement annuel est donc : Taux de RAE (RAE) = 2 × 4,2632 % = 8,53 %

8. Les coupons sont payables semestriellement. L’échéance en semestre est : 14,5 × 2 = 29 semestres. Le taux de rendement semestriel est : 6,8 % / 2 = 3,4 %

1 − (1 + r ) -t  VN 1 − (1, 034) −29  1 000 + ; 1 136, 50 = C × + ⇒ C = 41, 48 $    t 29 r   (1 + r )  0, 034  (1, 034)

P = C×

Coupon annuel = 2 × 41,48 $ = 82,95 $ ; taux de coupon = 82,95 $ / 1 000 $ = 8,30 %

9. Taux approximatif : R = r + h ; r = 0,08 – 0,045 = 0,035 Taux exact : (1 + R) = (1 + r) × (1 + h) ; r = [(1,08) / (1,045)] – 1 = 0,0335 ; r = 3,35 %

10.

(1 + R) = (1 + r) × (1 + h) ; R = (1,04) × (1,058) – 1 = 10,03 %

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11.

(1 + R) = (1 + r) × (1 + h) ; h = [(1,15) / (1,07)] – 1 = 0,0748 ; h = 7,48 %

12. (1 + R) = (1 + r) × (1 + h) ; r = [(1,142) / (1,053)] – 1 = 0,0845 ; r = 8,45 % 13. Cette obligation a été sélectionnée parce que la date qui la concerne et celle du coupon sont très rapprochées. On peut donc utiliser aisément la formule bien connue pour calculer le prix d’une obligation. Lorsque la date actuelle n’est pas une date de versement de coupons, on peut approximer la valeur de l’obligation en calculant l’échéance en décimales, mais la réponse pourra différer quelque peu de la vraie réponse. Avec l’obligation Bell Canada qui vient à échéance en 2035 (coupon 6,1%) : Le coupon semestriel est : (6,1 % / 2)×1000 = 30,5$ Le taux de rendement à l’échéance semestriel : r = (4,16 % / 2) = 2,08 % L’échéance en semestre est : (2035 – 2015) × 2 = 40 semestres Le prix de l’obligation est donc :  =�

 1 000 1 − (1 + )− 1 − (1,0208)−40 = 30,50  = 1 261,66$ + +  (1 + ) (1,0208)40  0,0208

On obtient une cote de 126,17 %, très près de la valeur trouvée dans la figure 7.4 du manuel (voir la page 212). [le tout petit écart peut être expliqué par le fait que l’échéance n’est pas exactement de 20 ans].

14. Il y a une relation négative entre le taux de RAE et le prix de l’obligation. Si le gestionnaire de portefeuille pense que le rendement des obligations va baisser, il devrait acheter les titres aujourd’hui. En effet, si ses prévisions sont correctes, le prix de ces titres à revenu fixe augmente, et le gestionnaire réalise donc un gain en capital. Dans cet exemple, on devrait acheter les obligations du Québec avant la chute prévue de leur taux de rendement pour profiter de la hausse de prix.

Notions intermédiaires 15. Obligation XAV :

1 − (1, 07) −13  1 000 = 1 167,15 $ + 13  0, 07  (1, 07) 1 − (1, 07) −12  1 000 P1 = 90 ×  = 1 158, 85 $ + 12  0, 07  (1, 07) 1 − (1, 07) −10  1 000 P3 = 90 ×  = 1 140, 47 $ + 10  0, 07  (1, 07) P0 = 90 × 

1 − (1, 07) −5  1 000 = 1 082, 00 $ + 5  0, 07  (1, 07)

P8 = 90 × 

1 − (1, 07) −1  1 000 = 1 018, 69 $ + 1  0, 07  (1, 07)

P12 = 90 × 

P13 = 1 000 $

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Obligation SEB :

1 − (1, 09) −13  1 000 = 850, 26 $ + 13  0, 09  (1, 09) 1 − (1, 09) −12  1 000 P1 = 70 ×  = 856, 79 $ + 12  0, 09  (1, 09) P0 = 70 × 

1 − (1, 09) −10  1 000 = 871, 65 $ + 10  0, 09  (1, 09) 1 − (1, 09) −5  1 000 P8 = 70 ×  = 922, 21 $ + 5  0, 09  (1, 09) P3 = 70 × 

1 − (1, 09) −1  1 000 P12 = 70 ×  = 981, 65 $ + 1  0, 09  (1, 09)

1 200 $ 1 150 $ 1 100 $ 1 050 $ 1 000 $ 950 $ 900 $ 850 $ 800 $

Obligation à prime Obligation à escompte

14

12

10

8

6

4

2

Prix

P13 = 1 000 $

0

Années avant l'échéance

Toutes choses égales par ailleurs, la prime par rapport à la valeur nominale décline quand la maturité approche. Similairement, plus on approche de l’échéance, plus l’escompte par rapport à la valeur nominale diminue. Les prix des obligations ont tendance à évoluer vers leur valeur nominale. Dans tous les cas, les plus grandes variations (en pourcentage) dans les prix des obligations s’observent quand il reste peu de temps avant d’atteindre l’échéance.

16. Si les deux obligations se négocient à la valeur nominale (au pair), le RAE équivaut au taux de coupon, c’est-àdire à 8 %. Si le taux de rendement exigé augmente à 10 %, on obtient :

1 − (1, 05)−4  1 000 = 964,54 $ PTHO = 40 ×  + 4  0, 05  (1, 05) 1 − (1, 05)−30  1 000 PNAT = 40 ×  = 846, 28 $ + 30  0, 05  (1, 05) ∆PTHO % = ∆PNAT % =

( 964,54 $ – 1 000 $ ) / 1 000 $ (846, 28 $ – 1 000 $ ) / 1 000 $

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= – 3,55 % = – 15,37 %

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Si le taux de rendement exigé diminue à 6 %, on obtient :

PTHO PNAT

1 − (1, 03)−4  1 000 = 40 ×  = 1 037,17 $ + 4  0, 03  (1, 03) 1 − (1, 03)−30  1 000 = 40 ×  = 1 196, 00 $ + 30  0, 03  (1, 03)

(1 037,17 $ (1 196, 00 $

∆PTHO % = ∆PNAT % =

– 1 000 $ ) / 1 000 $ = 3, 72 % – 1 000 $ ) / 1 000 $ = 19, 60 %

Toutes choses égales par ailleurs, plus la maturité est longue, plus la sensibilité du prix de l’obligation par rapport aux changements dans les taux d’intérêt est grande. On dit alors que le risque de taux d’intérêt est plus grand pour les obligations qui possèdent une échéance plus éloignée.

17. Obligation FRA, coupon semestriel est : 6 % / 2 × 1000 $ = 30 $ Obligation CAN, coupon semestriel est : (12 % / 2) × 1000 $ = 60 $ Le taux de rendement à l’échéance semestriel est : 8 % / 2 = 4 % L’échéance en semestre : 10 × 2 = 20 semestres Au début, les prix des deux obligations sont : � = 30 

1 − (1,04)−20 1000 = 864,10 $ + (1,04)20 0,04

1000 1 − (1,04)−20 � = 60  = 1 271,81 $ + (1,04)20 0,04

Si les taux d’intérêt passent de 8 % à 10 % (5 % semestriel) : � = 30 

1 − (1,05)−20 1 000 = 750,76 $ + (1,05)20 0,05

1 000 1 − (1,05)−20 = 1 124,62 $ � = 60  + (1,05)20 0,05

∆� % = ∆� % =

750,76 $ − 864,10 $ = −13,12% 864,10 $ 1 124,62 $ − 1 271,81 $

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1 271,81 $

= −11,57%

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Si les taux d’intérêt passent de 8 % à 6 % (3 % semestriel) : � = 30 

1 − (1,03)−20 1 000 = 1 000 $ + (1,03)20 0,03

� = 60 

∆� % = ∆� % =

1 000 1 − (1,03)−20 = 1 446,32 $ + (1,03)20 0,03

1000 $ − 864,10 $ = 15,73% 864,10 $ 1 446,32 $ − 1 271,81 $ 1 271,81 $

= 13,72%

Toutes choses égales par ailleurs, plus le taux de coupon est faible, plus la sensibilité du prix des obligations par rapport aux changements dans les taux d’intérêt est grande.

18. Rendement courant = Cannuel / Prix = 84 $ / 955 $ = 8,80 % Avec la calculatrice financière, par interpolation ou essais et erreurs, le taux de rendement à l’échéance est donné par : coupon semestriel est : 8,4 % / 2 × 1000 $ = 42 $ L’échéance en semestre est : 9 × 2 = 18 Le prix en dollars est : 95,5 / 100 × 1000 $ = 955 $

1 − (1 + r )-t  VN 1 − (1 + r ) −18  1 000 + ; 955 = 42 ×  (1 + r )t   + (1 + r )18 ⇒ r = 4, 572 % r r    

P = C×

r = 4,572% est le taux de rendement à l’échéance semestriel. Le taux annuel est donc : Taux de RAE = 2 × 4,572 % = 9,14 % Rendement annuel effectif = (1,04572) 2 – 1 = 9,35 %

19. La société BDJ devrait fixer le taux de coupon au même niveau que le taux de rendement exigé par le marché sur ses obligations en circulation. Le taux de RAE peut se calculer avec la calculatrice financière, par interpolation ou essais et erreurs : La société CAT désire vendre les nouvelles obligations à leur valeur nominale, soit au pair. Dans ce cas, le taux de coupon est fixé au même niveau que le taux de rendement exigé par le marché sur ce type d’obligation. À partir des informations données sur les obligations déjà émises sur le marché et qui sont semblables aux nouvelles obligations, on peut calculer le taux de rendement exigé par le marché. On a donc : C semestriel des obligations existantes est : (7 % / 2) × 1000 $ = 35 $ L’échéance en semestre est : 15 × 2 = 30 Le prix est : 1044 $

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Le taux de rendement est donné par l’équation suivante :  =�

 1 000 1 − (1 + )− 1 − (1 + )−30 ; 1 044 = 35  ⇒  = 3,268 % + +  (1 + )30  (1 + ) 

r = 3,268 % (semestriel). Le taux de rendement annuel est donc : Taux de RAE = 2 × 3,268 % = 6,54 % Puisque RAE = taux de coupon, le taux de coupon pour la nouvelle émission d’obligation est donc 6,54%.

20. Prix affiché = Prix payé – Intérêts courus Intérêts courus = (86 $ / 2) × (1 / 6) = 7,17 $ Prix affiché = 1 090,00 $ – 7,17 $ = 1 082,83 $

21. Prix payé = Prix affiché + Intérêts courus Intérêts courus = (75 $ / 2) × (3 / 6) = 18,75 $ Prix payé = 865 $ + 18,75 $ = 883,75 $

22. Rendement courant = 0,071 = 90 $ / P ; P = 90 $ / 0,071 = 1 267,61 $ 1 000 1 − (1,063)−  = 90  = 1 267,61 $ + (1,063) 0,063

On peut procéder ainsi : 1 267,61(1,063) = 1 428,57(1,063) − 1 428,57 + 1 000 428,57 = 160,96(1,063) 2,6626 = (1,063)  = ln(2,6626) /ln(1,063) t = 16,03

23. Avec la calculatrice financière, par interpolation ou essais et erreurs, on a : coupon semestriel est : (8,4 %/2)×1000 $ = 42 $ L’échéance en semestre : (2018 – 2010) × 2 = 16 semestres Le prix en dollars : (84,35/100)×1000 $ = 843,50 $

1 − (1 + r ) −16  1 000  + (1 + r )16 ⇒ r = 5, 72 % r  

P = 843, 50 = 42 × 

r = 5,72% (semestriel). Le taux de rendement à l’échéance annuel est donc : Taux de RAE = 2 × 5,72 % = 11,44 % Rendement courant = Cannuel / P = 84 $ / 843,50 $ = 9,96 % 24. a) Le cours (ou le prix) d’une obligation est la valeur actualisée des flux monétaires que le titre offre à son détenteur. Le RAE équivaut au taux d’intérêt utilisé pour actualiser les flux monétaires lorsqu’on évalue une obligation. b) Si le taux de coupon est supérieur au taux de rendement exigé, l’obligation se vend à prime. En effet, l’obligation offre un paiement de coupon supérieur à celui qui est demandé pour les autres obligations Chapitre 7 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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semblables sur le marché. Si le taux de coupon est inférieur au taux de rendement exigé, l’obligation se vend à escompte. Dans ce cas, l’obligation offre un montant de coupon inférieur à celui qui est attendu pour les autres obligations semblables sur le marché. Pour une obligation à prime, le taux de coupon excède le taux de RAE. Pour des obligations à escompte, le taux de coupon est inférieur au taux de RAE. Pour une obligation qui se vend au pair, le taux de coupon et le taux de RAE sont équivalents. c) Le rendement courant équivaut au ratio du coupon annuel par rapport au prix de l’obligation. Pour des obligations se vendant à prime, le rendement courant est supérieur au RAE. Par contre, pour des obligations à escompte, le rendement courant est inférieur au RAE. Pour des obligations se négociant au pair, il y a équivalence entre le rendement courant et le RAE. En règle générale, le rendement courant augmenté du taux de gain en capital attendu doit être égal au taux de RAE. 25. a)

P0 = 1 000 $ / (1,07)30 = 131,37 $

b) P1 = 1 000 $ / (1,07)29 = 140,56 $ ; déduction d’intérêt année 1 = 140,56 $ – 131,37 $ = 9,20 $ P19 = 1 000 $ / (1,07) = 934,58 $ ; déduction d’intérêt année 19 = 1 000 $ – 934,58 $ = 65,42 $ c)

Intérêts totaux = 1 000 $ – 131,37 $ = 868,63 $ Déduction annuelle d’intérêt = 868,63 $ / 30 = 28,95 $

d) La société préférera la méthode linéaire lorsque c’est permis parce que les déductions d’intérêt se produisent plus tôt dans la vie de l’obligation.

Problèmes complexes 26. a) L’obligation a un taux de coupon de 7 %, ce qui correspond au taux de 7 % exigé par le marché, donc l’obligation sera vendue au pair ; nombre d’obligations = 20 M$ / 1 000 = 20 000 obligations. Pour les obligations à coupons détachés, P0 = 1 000 $ / (1,07)30 = 131,37 $ ; 20 M$ / 131,37 $ = 152 242 obligations qui seront émises. b) Obligations avec coupons : remboursement du dernier coupon et de la VN = 20 000 × (1 070 $) = 21,4 M$ Remboursement de la VN des obligations à coupons détachés = 152 242 × (1 000 $) = 152 242 000 $ c)

Obligations à coupons : (20 000) (70 $) (1 – 0,35) = 910 000 $ en flux monétaires négatifs Obligations à coupons détachés : P1 = 1 000 $ / 1,0929 = 140,56 $ ; déduction d’intérêt année 1 = 140,56 $ – 131,37 $ = 9,19 $ (152 242) (9,19 $) (0,35) = 489 686 $ en flux monétaires positifs. Le flux monétaire est positif, car l’entreprise peut déduire les intérêts du point de vue fiscal, ce qui permet à l’entreprise de sauver de l’impôt. Pendant la durée de vie de l’obligation, l’obligation à coupon détaché génère des flux monétaires pour la firme sous forme d’économie fiscale sur la dette. C’est pour cette raison qu’elle est plus avantageuse.

27. L’échéance est indéterminée. Une obligation au pair peut avoir n’importe quelle échéance. 28. (1 + R) = (1 + r) × (1 + h) ; r = [(1,11) / (1,045)] – 1 = 0,0622 ; r = 6,22 %

 (1 + r )t − 1   (1, 0622) 40 − 1  ⇒ 1 000 000 = C ×   0, 0622  ⇒ C = 6 112, 95 $ r    

VCA = C × 

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29. Il faut d’abord trouver le prix de ces obligations : 1 − (1,08)−5 1 000  = 100  = 1 079,85 $ + (1,08)5 0,08 � = 50 

1 000 1 − (1,08)−5 = 880,20 $ + (1,08)5 0,08

Rendement courant P = 100 $ / 1 079,85 $ = 9,26 % Rendement courant E = 50 $ / 880,20 $ = 5,68 % ; Prix à la fin de la prochaine année : 1 − (1,08)−4 1 000  = 100  = 1 066,24 $ + (1,08)4 0,08 � = 50 

1 000 1 − (1,08)−4 = 900,64 $ + (1,08)4 0,08

Rendement sur le gain en capital P = (1 066,24 $ – 1 079,85 $) / 1 079,85 $ = –1,26 % Rendement sur le gain en capital D = (900,64 $ – 880,20 $) / 880,20 $ = + 2,32 % Toutes choses égales par ailleurs, les obligations à prime offrent un coupon élevé, mais leur prix diminue quand l’échéance approche. Les obligations à escompte n’offrent pas un coupon très élevé, mais leur prix augmente quand on approche de la maturité. Pour les deux titres à revenu fixe, le rendement total est de 8 %. Ce rendement est distribué de façon différente entre les revenus de coupons et les gains en capital selon les caractéristiques de l’obligation. 30. a)

Avec la calculatrice financière, par interpolation ou essais et erreurs :

1 − (1 + r ) −10  1 000  + (1 + r )10 ⇒ r = 6, 54 % , ce qui correspond au taux de rendement que r   l’investisseur prévoit gagner quand il achète l’obligation. P = 1 105 = 80 × 

b)

1 000 1 − (1, 0554) −8   + (1, 0554)8 = 1 155, 58 $ 0, 0554  

P = 80 × 

Pour trouver le taux de rendement durant la période de détention, on procède ainsi : 1 − (1 + r ) −2  1 155, 58 P = 1 105 = 80 ×   + (1 + r ) 2 ⇒ r = 9, 43 % r   Le rendement réalisé est supérieur au rendement attendu, ce qui s’explique par la hausse du prix de l’obligation à la suite de la baisse de 1 % du taux d’intérêt. On suppose également que les coupons ont été réinvestis à ce taux d’intérêt.

31. La société offre des coupons de 1500$ semestriellement pendant 4 ans (donc 8 semestres). Le taux de rendement exigé semestriel est : (9 %/2) = 4,5 %.

Chapitre 7 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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55

Pour les 6 ans suivants, les coupons seront versés annuellement. On aura besoin d’un taux annuel qui est donné par :

(1,045)2 – 1 = 9,2025 % 1 − (1,045)−8 1 − (1,092025)−6 10 000  = 1 500   (1,045)−20 + 3 300   (1,045)−28 + (1,045)40 0,045 0,092025  = 4 102,41 $ + 4 290,34 $ + 1 719,29 $ = 10 112,03 $

� =

20 000 = 3 438,57 $ (1,045)40

Abréviations RAE : rendement à l’échéance VN : valeur nominale

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Chapitre 8 L’évaluation du capital-actions Solutions aux questions et problèmes Veuillez prendre note que par souci de concision, certains calculs sont présentés avec des valeurs arrondies. Cependant, toutes les réponses ayant été calculées avec un tableur Excel sont présentées sans arrondissement.

Notions de base 1. P0 = D0(1 + g) / (r – g) = 1,95 $ (1,06) / (0,11 – 0,06) = 41,34 $ P3 = D3(1 + g) / (r – g) = D0(1 + g)4 / (r – g) = 1,95 $ (1,06)4 / (0,11 – 0,06) = 49,24 $ P15 = D15(1 + g) / (r – g) = D0(1 + g)16 / (r – g) = 1,95 $ (1,06)16 / (0,11 – 0,06) = 99,07 $ Il y a une autre propriété au modèle à croissance constante du dividende : le prix de l’action croît au même rythme que le dividende. P3 = P0(1 + g)3 = 41,34 $ (1,06)3 = 49,24 $ P15 = P0(1 + g)15 = 41,34 $ (1,06)15 = 99,07 $ 2. r = D1 / P0 + g = 2,10 $ / 48 $ + 0,05 = 9,375 % 3. Rendement des dividendes = D1 / P0 = 2,10 $ / 48 $ = 4,375 % ; rendement des gains en capital = 5 % 4. P0 = D1 / (r – g) = 3,04 $ / (0,11 – 0,038) = 42,22 $ 5. r = Rendement des dividendes + Rendement des gains en capital = 0,063 + 0,052 = 11,5 % 6. Rendement des dividendes = 1 / 2 × (0,11) = 0,055 = Rendement des gains en capital Sachant que le rendement des dividendes = D1 / P0 , On a donc D1 = rendement des dividendes × P0 = 0,055 × 47 $ = 2,585 $ ; D0(1 + g) = D1 ; D0 = 2,585 $ / 1,055 = 2,45 $ 7. P0 = 9,75 $ {1 – [1 / (1,1)11]} / 0,1 = 63,33 $ 8. rP = DP / P0 = 5,50 $ / 108 $ = 5,09 %

Notions intermédiaires 9. P6 = D6(1 + g) / (r – g) = D0(1 + g)7 / (r – g) = 3,5 $ (1,05)7 / (0,10 – 0,05) = 98,50 $

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57

4

3, 50 $ (1, 05)

P3 =

+

1,12 3, 50 $ (1, 05)

P0 =

1,12

5

+

2

3, 50 $ (1, 05)2

+

1,14

3, 50 $ (1, 05)

1,14

+

2

3, 50 $ (1, 05) 1,12

6

3, 50 $ (1, 05)3 1,14

+

3

+

3

98, 50 $ 1,12

3

80,81 $ 1,14

3

= 80,81 $

= 63, 47 $

10. P9 = D10 / (r – g) = 10 $ / (0,14 – 0,05) = 111,11 $ ; P0 = 111,11 $ / 1,149 = 34,17 $ 11. P0 =

10 $ 1,11

+

14 $

+

2

1,11

18 $ 3

1,11

+

22 $ 4

1,11

+

26 $

= 63, 45 $

1,115

12. P4 = D4(1 + g) / (r – g) = 2 $ (1,05) / (0,12 – 0,05) = 30 $ P0 =

11 $ 1,12

+

8$ 1,12

+

2

5$ 1,12

3

+

(30 $ + 2 $) 1,124

= 40, 09 $

13. Soit g1 =30% et g2 = 6% g1 = 30% est applicable pour les 3 premières années Donc D3 = D0(1+g1)3 g2 =6% est le taux de croissance applicable à partir de la 4ème année jusqu’à l’infini. Donc, on a : P3 = D3(1 + g2) / (r – g2) = D0(1 + g1)3 (1 + g2) / (r – g2) P3 = 1,80 $ (1,30) 3(1,06) / (0,13 – 0,06) = 59,88 $

P0 =

1,80 $ (1, 30) 1,13

+

1,80 $ (1, 30) 2 1,13

2

+

1,80 $ (1, 30) 3

+

3

1,13

59,88 $ 3

1,13

= 48, 69 $

On peut aussi utiliser la formule de croissance : 0 = P0 =

�0 1 + 1   − 1

1,80 (1, 30)

1 + 1

1 −  

1+

 1, 30    1,13 

× 1 − 

(0,13 − 0, 30) 

3



 +

�+1

 − 2 (1 + )

 1,80 (1, 30)3 (1, 06) 1 × = 48,69 $ + 0,13 − 0, 06 (1,13)3 

14. Soit g1 = 25% ; g2 =15% et g3 = 8% D3 = D0 × (1,25)3 ; D4 = D0 × (1,25)3 × (1,15) P4 = D4(1 + g3) / (r – g3) = D0(1 + g1)3 × (1 + g2) × (1 + g3) / (r – g3) = D0(1,25)3 × (1,15) × (1,08) / (0,13 – 0,08) = 48,52D0  1, 25

P0 = 76 $ = D0 × 

+

(1, 25) 2

2

+

(1, 25) 3

3

3

4



+ ((1, 25 × 1,15) + 48, 52) / 1,13  = 34,82 D0

1,13  1,13 1,13 D0 =76 $ / 34,82 = 2,18 $ ; D1 = (2,18 $) (1,25) = 2,73 $



15. P0 = D0(1 + g) / (r – g) = 10,46 $ (1− 0,04) / (0,115 – (−0,04) = 10,46 $ (0,96) / (0,115 + 0,04) = 64,78 $ 16. P0 = 64 $ = D0(1 + g) / (r – g) ; D0 = P0 (r – g) / (1 + g) ; D0 = 64 $ × (0,10 – 0,045) / (1,045) = 3,37 $ 17. P19 = 20 $ / 0,064 = 312,50 $ ; P0 = 312,50 $ / (1,064)19 = 96,15 $

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18. Rendement des dividendes = D0 / P0 ; 0,092 = 2,16 $ / P0 ; P0 = 2,16 $ / 0,092 = 23,48 $ Le changement net par rapport à la journée précédente est de +0,03 $. Donc, le prix de clôture hier était : 23,48 $ − 0,03 $ = 23,45 $. C / B = Prix / BPA = 10,21 ; BPA = 23,48 $ / 10,21 = 2,30 $ ; BPA = BN / Nombre d’actions. Donc, BN = 2,30 $ × 232 455 = 534 646 $. Cette valeur est approximative, compte tenu de l’arrondissement des calculs. 19. Soit g1 =28% et g2 = 6% Selon la formule de croissance à taux différents. On a : P0 =

1, 25 (1, 28)



 1, 28    1,13 

8

× 1 − 

(0,13 − 0, 28) 

 1, 25 (1, 28)8 (1, 06) 1 × = 69,55 $ + 0,13 − 0, 06 (1,13)8 

20. Soit g1 = 25% et g2 =6% Selon la formule de croissance à taux différents. On a : P0 =

1, 74 (1, 25)



11 11 1  1, 25   1, 74 (1, 25) (1, 06) + × = 142,14 $   0,12 − 0, 06 (1,12)11  1,12  

× 1 − 

(0,12 − 0, 25) 

Problèmes complexes 21. W : P0 = D0(1 + g) / (r – g) = 4,50 $ (1,1) / (0,19 – 0,1) = 55,00 $ Rendement des dividendes = D1 / P0 = (4,50 $ × 1,1) / 55 $ = 9 % Rendement des gains en capital = 0,19 – 0,09 = 10 % X : P0 = D0(1 + g) / (r – g) = 4,50 $ / (0,19 – 0) = 23,68 $ Rendement des dividendes = D1 / P0 = 4,50 $ / 23,68 $ = 19 % Rendement des gains en capital = 0,19 – 0,19 = 0 % Y : P0 = D0(1 + g) / (r – g) = 4,50 $ (0,95) / (0,19 + 0,05) = 17,81 $ Rendement des dividendes = D1 / P0 = (4,50 $ × 0,95) / 17,81 $ = 24 % Rendement des gains en capital = 0,19 – 0,24 = –5 % Z : P2 = D2(1 + g) / (r – g) = D0(1 + g1)2 × (1 + g2) / (r – g) = 4,50 $ (1,2)2(1,12) / (0,19 – 0,12) = 103,68 $ P0 =

4, 50 $ × 1, 2 1,19

+

4, 50 $ × (1, 2)2 1,19

2

+

103, 68 $ 1,19

2

= 82, 32 $

Rendement des dividendes = D1 / P0 = (4,50 $ × 1,2) / 82,32 $ = 6,56 % Rendement des gains en capital = 0,19 – 0,0656 = 12,44 % Dans tous les cas, le rendement exigé est de 19 %, mais ce rendement est réparti différemment entre le revenu des dividendes et les gains en capital. Pour les actions avec une croissance élevée, les gains en capital sont supérieurs à la composante de revenu des dividendes. Par contre, pour les actions de sociétés à croissance modérée (ou négative), la composante revenu des dividendes est bien plus élevée que la composante des gains en capital. 22. a) P0 = D0(1 + g) / (r – g) = 3,20 $ (1,06) / (0,12 – 0,06) = 56,53 $

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b) Les quatre prochains dividendes : (3,20 $ × 1,06) / 4 = 0,848 $ Taux effectif trimestriel : s / 4 = [(1 + 0,12)1/4 – 1] = 2,87 % par trimestre D1 = Équivalent annuel des dividendes trimestriels = VCA (t = 1) = 0,848 $ × [(1 + 0,0287)4 – 1] / 0,0284 = 3,54 $ P0 = 3,54 $ / (0,12 – 0,06) = 59,00 $ Il faut noter qu’on ne peut pas calculer les taux de rendement et de croissance trimestriels pour trouver le prix de l’action, car cela impliquerait que la croissance des dividendes est trimestrielle, ce qui n’est pas le cas. 23. P3 = D4 / (r – g) = 2,45 $ (1,20)(1,15)(1,1)(1,05) / (0,11 – 0,05) = 65,08 $ P0 = D1 / (1 + r)1 + D2 / (1 + r)2 + D3 / (1 + r)3 + P3 / (1 + r)3 P0 = 2,45(1,2) / 1,11 + 2,45(1,2)(1,15) / 1,112 + 2,45(1,2)(1,15)(1,1) / 1,113 + 65,08 $ / 1,113 = 55,70 $ 24. P0 = 63,82 $ = 2,45(1,2) / (1 + r) + 2,45(1,2)(1,15) / (1 + r)2 + 2,45(1,2)(1,15)(1,1) / (1 + r)3 + [2,45 $ (1,20)(1,15)(1,1)(1,05) / (r – 0,05)] / (1 + r)3 Par itération, on trouve r = 9,54 % effectif annuel. 25. Même si cette question concerne une action comportant un dividende croissant à un taux constant, on doit commencer la démonstration avec le modèle comportant deux taux de croissance : D0 (1 + g1 )   1 + g1   Pt 1 −   + r − g1   1 + r   (1 + r )t t

P0 =

On peut développer cette équation de cette façon : D0 (1 + g1 )   1 + g1    1 + g1  D0 (1 + g 2 ) 1 −   +  r − g1   1 + r    1 + r  r − g 2 t

P0 =

t

Puisque le taux de croissance est constant, (c’est-à-dire que g1 = g2), alors : t t D0 (1 + g )   1 + g    1 + g  D0 (1 + g ) + 1 −      r − g   1 + r    1 + r  r − g

P0 =

Puisqu’on veut trouver le nombre de périodes « t » nécessaires afin d’obtenir un prix équivalant à 0,5 fois le prix actuel, on peut faire égaler les deux termes du côté droit de l’équation, ce qui donne : D0 (1 + g )   1 + g  1 −   r − g   1 + r 

Et puisque le terme

t

  1 + g t D0 (1 + g ) =    1 + r  r − g

D0 (1 + g ) apparaît des deux côtés de l’équation, on peut l’éliminer. Il reste donc : r−g

  1 + g t   1 + g t 1 −   =    1 + r    1 + r  En résolvant l’équation pour déterminer « t », on obtient : t

t

 1+ g   1+ g   1+ g   +  = 2  1 + r 1 + r      1+ r 

t

1= 1 2

 1+ g    1+ r 

t

=

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 1+ g    1+ r 

ln(0, 5) = t ln 

t=

ln(0, 5)  1+ g  ln    1+ r 

Cette équation nous donne le nombre de périodes nécessaires afin d’augmenter le prix du titre de 50 % par rapport à sa valeur actuelle.

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61

Chapitre

9

La valeur actualisée nette et les autres critères d’investissement Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. Délai de récupération = 2 + (1 900 $ / 2 800 $) = 2,68 ans 2. Délai de récupération1 = 3 000 $ / 860 $ = 3,49 ans Délai de récupération2 = 5 000 $ / 860 $ = 5,81 ans Délai de récupération3 = Les rentrées de fonds n’arrivent pas à compenser le coût du projet puisqu’après 8 ans d’exploitation, seulement (8 × 860 $) = 6 880 $ des 7 000 $ investis ont été récupérés. 3. A : Délai de récupération = 1 + (15 000 $ / 21 000 $) = 1,71 an B : Délai de récupération = 3 + (2 000 $ / 240 000 $) = 3,008 ans En adoptant une période de récupération limite de trois ans, on devrait accepter le projet A et rejeter le projet B. 4. VA du flux monétaire de l’année 1 : 6 500 $ / 1,141 = 5 701,75 $ VA du flux monétaire de l’année 2 : 7 000 $ / 1,142 = 5 386,27 $ VA du flux monétaire de l’année 3 : 7 500 $ / 1,143 = 5 062,29 $ VA du flux monétaire de l’année 4 : 8 000 $ / 1,144 = 4 736,64 $ Coût = 8 000 $ : Délai de récupération actualisé = 1 + (8 000 $ – 5 701,75 $) / 5 386,27 $ = 1,43 an Coût = 13 000 $ : Délai de récupération actualisé = 2 + (13 000 $ – 5 701,75 $ – 5 386,27 $) / 5 062,29 $ = 2,38 ans Coût = 18 000 $ : Délai de récupération actualisé = 3 + (18 000 $ – 5 701,75 $ – 5 386,27 $ – 5 062,29 $) / 4 736,64 $ = 3,39 ans 5. r = 0 % : Délai de récupération actualisé = Délai de récupération = 4 + (200 $ / 3 700 $) = 4,05 ans ; r = 5 % : 3 700 $ / 1,05 + 3 700 $ / (1,05)2 + 3 700 $ / (1,05)3 + 3 700 $ / (1,05)4 = 13 120,02 $ ; après 4 ans, il y a donc 13 120,02 $ qui sont récupérés en VA ; la VA du flux monétaire de l’année 5 est : 3 700 $ / (1,05)5 = 2 899,05 $ Délai de récupération actualisé = 4 + (15 000 $ – 13 120,02 $) / 2 899,05 $ = 4,65 ans.

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62

r = 15 % : 3 700 $ / 1,15 + 3 700 $ / (1,15)2 + 3 700 $ / (1,15)3 + 3 700 $ / (1,15) 4 + 3 700 $ / (1,15)5 + 3 700 $ / (1,15)6 = 14 002,59 $. La VA des flux monétaires du projet ne permet pas de rembourser son coût initial. 6. Bénéfice net moyen = (1,632 M$ + 2,1065 M$ + 1,9417 M$ + 1,298 M$) / 4 = 1 744 500 $ RCM = Bénéfice net moyen / Valeur comptable moyenne de l’investissement = 1 744 500 $ / [(18 000 000 $ + 0 $) / 2] = 19,38 % 7. 0 = –30 000 $ + 13 000 $ / (1 + TRI) + 19 000 $ / (1 + TRI)2 + 12 000 $ / (1 + TRI)3 TRI = 22,06 % > r = 18 % ; donc, on accepte le projet. 8. VAN (r = 11 %) = –30 000 $ + 13 000 $ / (1,11) + 19 000 $ / (1,11) 2 + 12 000 $ / (1,11) 3 = 5 906,83 $ ; VAN > 0 Donc, on accepte le projet. VAN (r = 30 %) = –30 000 $ + 13 000 $ / (1,3) + 19 000 $ / (1,3) 2 + 12 000 $ / (1,3) 3 = Donc, on rejette le projet.

–3 295,40 $ ; VAN < 0

9. VAN (r = 8 %) = –110 000 $ + 24 000 $ × {1 – [1 / (1,08)9]} / 0,08 = 39 925,31 $ ; on accepte le projet si r = 8 %. VAN (r = 20 %) = –110 000 $ + 24 000 $ × {1 – [1 / (1,2)9]} / 0,2 = – 13 256,80 $ ; on rejette le projet si r = 20 %. 0 $ = – 110 000 $ + 24 000 $ × {1 – [1 / (1 + TRI)9]} / TRI ; TRI = 16,15 % ; on est indifférent au projet si r = 16,15 % puisqu’à ce taux de rendement interne, la VAN sera nulle. 10. 0 = –15 000 $ + 4 700 $ / (1 + TRI) + 5 500 $ / (1 + TRI)2 + 6 800 $ / (1 + TRI)3 ; TRI = 6,13 % 11. VAN (r = 3%) = −15 000 $ + 4 700 $ / (1,03) + 5 500 $ / (1,03)² + 6 800 $ / (1,03)3 = 970,35 $ VAN (r = 13%) = −15 000 $ + 4 700 $ / (1,13) + 5 500 $ / (1,13)² + 6 800 $ / (1,13)3 = −1 820,66 $ VAN (r = 23%) = −15 000 $ + 4 700 $ / (1,23) + 5 500 $ / (1,23)² + 6 800 $ / (1,23)3 = −3 889,25 $ VAN (r = 33%) = −15 000 $ + 4 700 $ / (1,33) + 5 500 $ / (1,33)² + 6 800 $ / (1,33)3 = −5 466,51 $ Notez qu’à mesure que le taux d’actualisation augmente, la VAN diminue. Cette relation inverse est toujours vraie lorsque les flux monétaires sont conventionnels (c’est-à-dire le premier est négatif et que les suivants sont positifs). 12. a) A : 0 $ = –37 000 $ + 19 000 $ / (1 + TRI) + 14 500 $ / (1 + TRI)2 + 12 000 $ / (1 + TRI)3 + 9 000 $ / (1 + TRI)4 ; TRI = 20,30 % B : 0 $ = –37 000 $ + 6 000 $ / (1 + TRI) + 12 500 $ / (1 + TRI)2 + 19 000 $ / (1 + TRI)3 + 23 000 $ / (1 + TRI)4 ; TRI = 18,55 % TRIA > TRIB. Donc, en utilisant la méthode du TRI, on accepterait le projet A (en supposant que le rendement minimal exigible est inférieur à 20,30 %). Cette décision pourrait ne pas être très pertinente, car on sait que la méthode du TRI présente un problème de classement en ce qui concerne les projets mutuellement exclusifs. Pour vérifier si le résultat du TRI est correct, il faudrait évaluer le projet à l’aide de la VAN. b) VAN (A) = – 37 000 $ + 19 000 $ / (1,11) + 14 500 $ / (1,11)2 + 12 000 $ / (1,11)3 + 9 000 $ / (1,11)4 = 6 588,52 $ VAN (B) = –37 000 $ + 6 000 $ / (1,11) + 12 500 $ / (1,11)2 + 19 000 $ / (1,11)3 + 23 000 $ / (1,11)4 = 7 594,13 $ VANB > VANA. Donc, selon la méthode de la VAN, on accepte le projet B.

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c)

Pour trouver le taux d’indifférence, on soustrait les flux monétaires d’un des projets de celui de l’autre projet pour trouver les flux monétaires différentiels. (On a choisi ici de soustraire B de A.) Par la suite, on trouve le TRI de ces flux monétaires différentiels : Taux d’indifférence : 0 = – 0 $ + 13 000 $ / (1 + TRI) + 2 000 $ / (1 + TRI)2 – 7 000 $ / (1 + r)3 – 14 000 $ / (1 + r)4 ; TRI = 14,25 % Une façon équivalente de procéder consiste à trouver le TRI des projets qui procurent la même VAN : –37 000 $ + 19 000 $ / (1 + TRI) + 14 500 $ / (1 + TRI)2 + 12 000 $ / (1 + TRI)3 + 9 000 $ / (1 + TRI)4 = –37 000 $ + 6 000 $ / (1 + TRI) + 12 500 $ / (1 + TRI)2 + 19 000 $ / (1 + TRI)3 + 23 000 $ / (1 + TRI)4 ; TRI = 14,25 % Au taux de 14,25 %, on est indifférent entre le choix du projet A ou du projet B. Pour des taux supérieurs à 14,25 %, on choisit le projet A. Pour des taux d’actualisation inférieurs à 14,25 %, on choisit le projet B.

13. VAN (X) = 0 $ = –10 000 $ + 5 400 $ / (1 + TRI) + 3 400 $ / (1 + TRI)2 + 4 500 $ / (1 + TRI)3 ; TRI = 16,41 % VAN (Y) = 0 $ = –10 000 $ + 4 500 $ / (1 + TRI) + 3 600 $ / (1 + TRI)2 + 5 400 $ / (1 + TRI)3 ; TRI = 16,08 % Taux d’indifférence : 0 = 900 $ / (1 + r) – 200 $ / (1 + r)2 – 900 $ / (1 + r)3 ; r = 11,73 % r%

VANX

VANY

0

3 300,00 $

3 500,00 $

5

2 114,03 $

2 215,74 $

10

1 099,92 $

1 123,22 $

15

225,36 $

185,75 $

20

–534,72 $

–625,00 $

25

–1 200,00 $

–1 331,20 $

14. a)

VAN = –27 M$ + 46 M$ / (1,10) – 6 M$ / (1,10)2 = 9 859 504,13 $ ; VAN > 0. Donc, on accepte le projet.

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b) VAN = 0 $ = –27 M$ + 46 M$ / (1 + TRI) – 6 M$ / (1 + TRI)2 ; TRI = 56,14 % ou –85,77 % Les flux monétaires non conventionnels causent un problème de TRI multiples. Lorsqu’on a plusieurs TRI, la règle de décision est ambiguë. Les deux TRI sont théoriquement corrects puisque ces deux taux d’actualisation procurent une VAN nulle, mais ils ne sont pas pertinents en pratique. Si on doit choisir d’accepter ou non le projet, la méthode du TRI ne devrait pas être utilisée dans ce contexte. 15. IR1 = [6 200 $ / (1,1) + 5 600 $ / (1,1)2 + 3 900 $ / (1,1)3] / 12 000 $ = 1,100 IR2 = [6 200 $ / (1,15) + 5 600 $ / (1,15)2 + 3 900 $ / (1,15)3] / 12 000 $ = 1,016 IR3 = [6 200 $ / (1,22) + 5 600 $ / (1,22)2 + 3 900 $ / (1,22)3] / 12 000 $ = 0,9160 Il faudrait refuser le projet si le taux d’actualisation est de 22 %, car l’indice de rentabilité est inférieur à 1. 16. a)

IR1 = 18 000 $ × [{1 – [1 / (1,1)3]} / 0,1] / 40 000 $ = 1,119 IR2 = 6 100 $ × [{1 – [1 / (1,1)3]} / 0,1] / 12 000 $ = 1,264 La méthode de l’indice de rentabilité porte à choisir le projet 2, car IR2 > IR1.

b) VAN1 = – 40 000 $ + 18 000 $ × [{1 – [1 / (1,1)3]} / 0,1] = 4 763,34 $ VAN2 = – 12 000 $ + 6 100 $ × [{1 – [1 / (1,1)3]} / 0,1] = 3 169,80 $ La méthode de la VAN indique que le projet 1 a une rentabilité supérieure, car VAN1 > VAN2. c) Lorsque l’on compare des projets mutuellement exclusifs avec la méthode de l’IR, on peut obtenir des résultats ambigus, car l’amplitude des flux monétaires pour les projets sont très différents. Dans ce problème, le projet 1 est environ trois fois plus important que le projet 2 et procure une VAN supérieure. Par contre, l’IR indique le projet 2 comme étant celui qu’il convient de choisir. Comme le but de la firme est de maximiser l’avoir des actionnaires, on veut créer le plus de valeur possible (en dollars), et c’est la VAN qui nous permet de le faire correctement. L’indice de rentabilité ne devrait pas être utilisé lorsque les projets sont mutuellement exclusifs. 17. a)

Délai de récupération (MRS) = 2 + (17 000 $ / 50 000 $) = 2,34 ans Délai de récupération (PRS) = 2 + (304 000 $ / 500 000 $) = 2,61 ans La méthode du délai de récupération indique que vous devriez opter pour le projet MRS, puisque ce dernier nécessitera moins de temps pour couvrir le coût initial.

b) Pour MRS : 11 000 $ / (1,12) + 12 000 $ / (1,12)² = 19 387,76 $ 50 000 $ / (1,12)3 = 35 589,01 $ Délai de récupération actualisé (MRS) = 2 + (40 000 $ − 19 387,76 $) / 35 589,01 $ = 2,58 ans Pour PRS : 35 000 $ / (1,12) + 36 000 $ / (1,12)² = 59 948,98 $ 500 000 $ / (1,12)3 = 355 890, 12 $ Délai de récupération actualisé (MRS) = 2 + (375 000 $ − 59 948,98 $) / 355 890,12 $ = 2,89 ans La méthode du délai de récupération actualisé indique que le projet MRS est celui pour lequel vous devriez opter puisque, de nouveau, la valeur actuelle des flux monétaires permet de couvrir le coût initial plus rapidement. c)

VAN (MRS) = −40 000 $ + 11 000 $ / (1,12) + 12 000 $ / (1,12)² + 50 000 $ / (1,12)3 = 14 976,77 $ VAN (PRS) = −375 000 $ + 35 000 $ / (1,12) + 36 000 $ / (1,12)² + 500 000 $ / (1,12)3 = 40 839,10 $ D’après le critère de la VAN, vous devriez choisir le projet PRS, puisque sa valeur est supérieure.

d)

Pour MRS : 0 = −40 000 $ + 11 000 $ / (1 + TRI) + 12 000 $ / (1 + TRI)² + 50 000 $ / (1 + TRI)3 ; donc TRI = 27,68%.

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Pour PRS : 0 = −375 000 $ + 35 000 $ / (1 + TRI) + 36 000 $ / (1 + TRI)² + 500 000 $ / (1 + TRI)3 ; donc, TRI = 16,25%. D’après le TRI obtenu, vous devriez choisir le projet MRS, car ce TRI est supérieur. e)

Pour MRS : IR = 54 976,77 $ / 40 000 $ = 1,374 Pour PRS : IR = 415 839,10 $ / 375 000 $ = 1,109 L’indice de rentabilité indique que vous devriez choisir le projet MRS.

f) Toutes les méthodes, sauf la VAN, suggèrent qu’on devrait choisir le projet MRS. Cependant, la décision finale devrait être basée sur le critère de la VAN, puisque celle-ci ne soulève pas tous les problèmes associés aux autres techniques. Le choix final devrait donc être le projet PRS. 18. VAN (r = 0 %) = –724 860 $ + 324 186 $ + 375 085 $ + 354 302 $ + 205 680 $ = 534 393 $ VAN (r = ∞ %) = –724 860 $ + 0 $ = –724 860 $ VAN = 0 = –724 860 $ + 324 186 $ / (1 + TRI) + 375 085 $ / (1 + TRI)2 + 354 302 $ / (1 + TRI)3 + 205 680 $ / (1 + TRI)4 ; TRI = 28,25 %

19. Approche par actualisation : Avec l’approche par actualisation, on actualise les différentes sorties de fonds à t = 0 pour ensuite les additionner. En les regroupant à t = 0, on peut ainsi les traiter comme un seul flux monétaire négatif. De cette façon, on peut travailler comme si on était en présence de flux monétaires conventionnels. VA des sorties de fonds = –12 000 $ – 4 300 $ / (1,1)5 = –14 669,96 $ 0 $ = – 14 669,96 $ + 5 800 $ / (1 + TRIM)1 + 6 500 $ / (1 + TRIM)2 + 6 200 $ / (1 + TRIM)3 + 5 100 $ / (1 + TRIM)4 ; TRIM = 22,63 %

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Approche par réinvestissement : Selon cette approche, on trouve la valeur capitalisée à la fin du projet de tous les flux monétaires, sauf le premier, pour ensuite traiter cette VC comme un flux monétaire unique. VC(t = 5) = 5 800 $ (1,1)4 + 6 500 $ (1,1)3 + 6 200 $ (1,1)2 + 5 100 $ (1,1)1 – 4 300 $ = 25 955,28 $ 0 $ = – 12 000 $ + 25 955,28 $ / (1 + TRIM)5 ; TRIM = 16,68 % Approche combinée : Avec l’approche combinée, on trouve la VA des sorties de fonds à t = 0 et la VC des rentrées de fonds à la fin du projet. VA (sorties de fonds à t = 0) = –12 000 $ – 4 300 $ / (1,1)5 = –14 669,96 $ VC (rentrées de fonds à t = 5) = 5 800 $ (1,1)4 + 6 500 $ (1,1)3 + 6 200 $ (1,1) 2 + 5 100 $ (1,1)1 = 30 255,28 $ 0 $ = –14 669,96 $ + 30 255,28 $ / (1 + TRIM)5 ; TRIM = 15,58 %

Notions intermédiaires 20. Si on décrit l’indice de la VAN comme étant la

VAN

, et sachant que l’indice de rentabilité peut s’exprimer de

Coût

cette façon, IR =

VAN

+ 1, alors on peut aussi décrire l’indice de la VAN comme étant l’indice de rentabilité –1.

Coût

21. a) Pour avoir un DR égal à la durée de vie du projet, étant donné que C est un flux monétaire constant pour N années, C = I / N. b) Pour avoir une VAN positive, I < C (VAAr % ; N) ; donc, C > I / (VAAr % ; N). c) Bénéfices = C × (VAA r % ; N) = 2 × Coûts = 2I C = 2I / (VAA r % ; N) 22. Approche par actualisation : VA des sorties de fonds = – 12 000 $ – 4 300 $ / (1,11)5 = –14 551,84 $ 0 $ = –14 551,84 $ + 5 800 $ / (1 + TRIM)1 + 6 500 $ / (1 + TRIM)2 + 6 200 $ / (1 + TRIM)3 + 5 100 $ / (1 + TRIM)4 ; TRIM = 23,08 % Approche par réinvestissement : VC(t = 5) = 5 800 $ (1,08)4 + 6 500 $ (1,08)3 + 6 200 $ (1,08)2 + 5 100 $ (1,08)1 – 4 300 $ = 24 518,64 $ 0 $ = –12 000 $ + 24 518,64 $ / (1 + TRIM)5 ; TRIM = 15,36 % Approche combinée : VA (sorties de fonds à t = 0) = – 12 000 $ – 4 300 $ / (1,11) 5 = –14 551,84 $ VC (rentrées de fonds à t = 5) = 5 800 $ (1,08)4 + 6 500 $ (1,08)3 + 6 200 $ (1,08)2 + 5 100 $ (1,08)1 = 28 818,64 $ 0 $ = –14 551,84 $ + 28 818,64 $ / (1 + TRIM)5 ; TRIM = 14,64 %

Problèmes complexes 23. Étant donné le délai de récupération de 8 ans, le pire scénario serait le cas où tous les flux monétaires rentrent à l’année 8. Dans ce scénario : VAN = −625 000 $ + 625 000 $ / (1,15) 8 = –420 686,39 $ Chapitre 9 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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Dans le meilleur des scénarios, il y a des flux monétaires infinis après le délai de récupération de 8 ans. Dans ce cas, la VAN est elle aussi infinie. 24. 0 $ = – 756 $ + 4 293 $ / (1 + TRI)1 – 9 105 $ / (1 + TRI)2 + 8 550 $ / (1 + TRI)3 – 3 000 $ / (1 + TRI)4 On trouve des TRI de 25 %, de 33,33 %, de 42,86 % et de 66,67 %. Il faut choisir le projet ayant une VAN positive pour une rentabilité entre 25 % et 33,33 % ou entre 42,86 % et 66,67 %. 25. a) VAN = −800 000 $ + 50 000 $ / (0,12 – 0,07) = 200 000 $ Avec un taux de rendement exigé de 12%, la société ObonPain inc. devrait accepter le projet. b) 0 = −800 000 $ + 50 000 $ / (0,12 − g) Ainsi, g = 5,75%. 26. 0 $ = 64 000 $ – 30 000 $ / (1 + TRI) – 48 000 $ / (1 + TRI)2 ; TRI = 13,16 % VAN (r = 12 %) = 64 000 $ – 30 000 $ / (1,12) – 48 000 $ / (1,12)2 = –1 051,02 $ VAN (r = 0 %) = 64 000 $ – 30 000 $ – 48 000 $ = –14 000 $ VAN (r = 24 %) = 64 000 $ – 30 000 $ / (1,24) – 48 000 $ / (1,24)2 = 8 588,97 $ Les flux monétaires du projet ne sont pas conventionnels. Puisque le premier flux monétaire est positif et les autres négatifs, la décision relative au TRI n'est pas valable. Le profil de la VAN a une pente positive, ce qui implique que plus le taux d’actualisation est grand, plus le projet est rentable.

27. 0 $ = 20 000 $ – 36 000 $ / (1 + TRI) + 13 000 $ / (1 + TRI)2 Puisqu’il y a deux changements de signe, on devrait s’attendre à ce qu’il y ait jusqu'à deux TRI. Pour résoudre cette équation quadratique de façon à isoler le TRI, il faut extraire la racine de la façon suivante :

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

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Dans notre cas, l’équation est : �=

−(−36 000) ∓ (−36 000)2 + 4(20 000)(13 000) 2(20 000)

On obtient les deux valeurs possibles du TRI, 30 % et −50 % (les solutions de cette équation sont 1,3 et 0,5, c'est-à-dire (1 + TRI), donc TRI = 30 % et −50%). Si les TRI sont multiples, il faut rappeler que le TRI n'est pas fiable ; on ne devrait pas utiliser cette méthode. 28. Puisque le gouvernement bloque les flux monétaires générés par le projet, la disponibilité de ces derniers est retardée d’un an. Ces flux monétaires rapportent cependant un rendement de 4 % pendant la période de blocage. Flux monétaire année 0 = –450 000 $ Flux monétaire année 2 = 165 000 $ (1,04) = 171 600 $ Flux monétaire année 3 = 190 000 $ (1,04) = 197 600 $ Flux monétaire année 4 = 205 000 $ (1,04) = 213 200 $ Flux monétaire année 5 = 183 000 $ (1,04) = 190 320 $ VAN = –450 000 $ + 171 600 $ / (1,11)2 + 197 600 $ / (1,11)3 + 213 200 $ / (1,11)4 + 190 320 $ / (1,11)5 = 93 316,82 $ 0 $ = –450 000 $ + 171 600 $ / (1 + TRI)2 + 197 600 $ / (1 + TRI)3 + 213 200 $ / (1 + TRI)4 + 190 320 $ / (1 + TRI)5 ; TRI = 16,95 % Le TRI calculé est en fait le vrai TRI puisque les flux monétaires sont conventionnels. En fait, même si les flux monétaires sont capitalisés d’une période, l’équation prend en compte la valeur du flux monétaire au moment ou celui-ci devient disponible pour la firme.

Abréviations DR : délai de récupération

TRIM : taux de rendement interne modifié

IR : indice de rentabilité

VA : valeur actualisée

RCM : rendement comptable moyen

VAA : valeur actualisée de l’annuité

TRI : taux de rendement interne

VAN : valeur actualisée nette

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Chapitre 10 La prise de décision en matière d’investissement Solutions aux questions et problèmes Note 1 : Il convient de préciser qu’à des fins de simplification, la règle de la demi-année n’est pas utilisée dans le solutionnaire lorsque l’amortissement est linéaire. Note 2 : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. Les 7 M$ pour l’acquisition du terrain il y a 6 ans est un coût irrécupérable. La valeur du terrain aujourd’hui (7,7 M$) est un coût d’opportunité, puisque le terrain pourrait être vendu s’il n’était pas utilisé pour le projet. La sortie d’argent de 10,5 M$ est un flux monétaire nécessaire pour la construction de la boutique. Les frais d’aménagement de 400 000 $ sont aussi des flux pertinents. L’étude réalisée au coût de 3 000 $ n’est pas pertinente, c’est un coût irrécupérable. Par conséquent, le flux monétaire pertinent pour l’année zéro dans l’évaluation du projet est 7,7 M$ + 10,5 M$ + 400 000 $ = 18 600 000 $ (négatif, c’est une sortie de fonds). 2. Les ventes rattachées à la nouvelle cellule habitable atteignent 19 000 × (12 000 $) = 228 M$. L’accroissement des ventes des autocaravanes à cause du nouveau produit est de 4 500 × (45 000 $) = 202,5 M$. Par contre, on s’attend à une diminution des ventes de cars; donc, on prévoit perdre 900 × (85 000 $) = 76,5 M$ en ventes. Le montant des ventes net à utiliser dans l’évaluation de l’investissement est donc de 228 M$ + 202,5 M$ − 76,5 M$ = 354 M$. 3. Chiffre d’affaires 1 Coûts variables Coûts fixes ACC2 BAII Impôts de 27 % Bénéfice net

1 2

740 000 $ 444 000 173 000 75 000 48 000 $ 16 800 31 200 $

On utilisera de façon équivalente les termes «chiffre d’affaires», «ventes» ou «V». On utilisera de façon équivalente les symboles «A», «ACC» ou le terme «amortissement».

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4. Chiffre d’affaires 876 400 $ Coûts variables 547 300 ACC 128 000 BAII 201 100 $ Impôts de 34 % 68 374 Bénéfice net 132 726 $ FME = BAII + A − Impôts = 201 100 $ + 128 000 $ − 68 374 $ = 260 726 $ Économie d’impôts attribuable à l’ACC = Tc × A = 0,34 × 128 000 $ = 43 520 $ 5. Chiffre d’affaires Coûts variables ACC BAII Impôts de 35 % Bénéfice net

96 000 $ 49 000 4 500 42 500 $ 14 875 27 625 $

a) FME = BAII + A – Impôts = 42 500 $ + 4 500 $ − 14 875 $ = 32 125 $ b) FME = V − C − Impôts = 96 000 $ − 49 000 $ − 14 875 $ = 32 125 $ c) FME = (V − C)(1 − Tc ) + (Tc × A) = (96 000 $ − 49 000 $) (1 − 0,35) + 0,35 (4 500 $) = 32 125 $ d) FME = BN + A = 27 625 $ + 4 500 $ = 32 125 $ 6. Chiffre d’affaires Coûts variables Coûts fixes ACC BAII Impôts de 35 % Bénéfice net

860 000 $ 395 600 162 000 108 000 194 400 $ 68 040 126 360 $

7. FM de l’année 0 = −925 000 $ FM des années 1 à 5 = 490 000 $ × (1 − 0,4) = 294 000 $ VA (EIACC) =

925 000 $(0,3)(0,4) [1 + 0,5(0,12)] × = 250 127,55 $ 0,12 + 0,30 1 + 0,12

Notez qu’on ne calcule pas de VAEIP dans ce cas-ci, puisque la catégorie demeure ouverte à la fin du projet (rien ne nous dit le contraire) et qu’il n’y a pas de réduction de la catégorie, car l’actif n’a plus de valeur après 5 ans.

 1 − (1,12 )−5   + 250 127,55 $ = 384 931,75 $ VAN = −925 000 $ + 294 000 $ ×   0,12    8. FM de l’année 0 = −925 000 $ − 36 200 $ = −961 200 $ FM d’exploitation des années 1 à 5 = 490 000 $ × (1 − 0,4) = 294 000 $ Récupérations à la fin de l’année 5 = 100 000 $ + 36 200 $ = 136 200 $

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VA (EIACC) =

925 000 $(0,3)(0,4) [1 + 0,5(0,12)] 100 000 $(0,3)(0, 4) 1 × − × 0,12 + 0,30 1 + 0,12 0,12 + 0,3 1,125

= 233 915,36 $

 1 − (1,12 )−5   + [136 200 $ / (1,12)5] + 233 915,36 $ = 409 803,10 $ VAN = −961 200$ + 294 000 $ ×   0,12    9. La VAN sera moins élevée, car l’ACC est plus petit. VA (EIACC) =

925 000 $(0,25)(0,4) [1 + 0,5(0,12)] 100 000 $(0, 25)(0, 4) 1 × − × 0,12 + 0,25 1 + 0,12 0,12 + 0, 25 1,125

= 221 271,28 $ Par conséquent, avec un taux d’ACC de 25 %, on a : VAN = 409 803,10 $ + (221 271,28 $ − 233 915,36 $) = 397 159,02 $ 10. Aucun des deux n’a raison. En fait, il faudrait considérer le coût d’opportunité de l’utilisation du terrain, c’est-àdire le prix auquel on pourrait vendre le terrain aujourd’hui. En utilisant le terrain pour le projet, on renonce à l’argent de la vente de cet élément. 11. FNACC au début de l’année « N » = FNACCN = Coût × (1 − d/2) × (1 − d)N – 2 où d = Taux d’amortissement. FNACC6 = 565 000 $ (1 − 0,2 / 2) (1 − 0,2)6 - 2 = 208 281,60 $. Ce montant représente la valeur comptable de l’actif au moment de la vente, soit au début de la 6e année (fin de la 5 e année). Puisque l’actif est vendu à un prix inférieur à la FNACC et qu’il n’y a pas de fermeture de catégorie, il n’y a pas d’effet direct sur les impôts. Par conséquent, le flux monétaire après impôts découlant de la vente = 75 000 $. Notez que s’il y avait eu fermeture de catégorie (par exemple si l’actif vendu était le dernier bien de la catégorie), il y aurait eu perte finale de (208 281,60 $ − 75 000 $) = 133 281,60 $. Cette perte finale aurait diminué le revenu imposable de l’entreprise et, de ce fait, permis de réaliser un gain fiscal de (133 281,60 $ × 35 %) = 46 648,56 $. Par conséquent, le flux monétaire après impôts provenant de la vente de cet actif aurait été de 75 000 $ + 46 648,56 $ = 121 648,56 $. 12. Les comptes clients ont baissé de 5 140 $, et les stocks ont augmenté de 3 640 $. Donc, l’actif à court terme a diminué de 1 500 $. Le passif à court terme a augmenté de 5 930 $. ∆FRN3 = ∆(ACT − PCT) = −1 500 $ − 5 930 $ = −7 430 $ FM net = V − C − ∆FR = 67 000 $ − 28 500 $ − (−7 430 $) = 45 930 $ 13. ACC1 = 0,3 (4,7 M$ / 2) = 705 000 $ ; ACC2 = 0,3 (4,7 M$ – 705 000 $) = 1 198 500 $ ; ACC3 = 0,3 (4,7 M$ – 705 000 $ – 1 198 500 $) = 838 950 $. ACC4 = 0,3 (4,7 M$ – 705 000 $ – 1 198 500 $ − 838 950) = 587 265 $. FME1 = (V – CV) (1 – Tc) + Tc × A = (3,75 M$ – 0,999 M$) (1 – 0,39) + 0,39 ( 705 000 $) = 1 953 060 $ FME2 = (V – CV) (1 – Tc) + Tc × A = (3,75 M$ – 0,999 M$) (1 – 0,39) + 0,39 (1 198 500 $) = 2 145 525 $ FME3 = (V – CV) (1 – Tc) + Tc × A = (3,75 M$ – 0,999 M$) (1 – 0,39) + 0,39 (838 950 $) = 2 005 300,50 $ FME4 = (V – CV) (1 – Tc) + Tc × A = (3,75 M$ – 0,999 M$) (1 – 0,39) + 0,39 (587 265 $) = 1 907 143,35 $

3

On utilisera de façon équivalente les termes « fonds de roulement net », « FRN » ou « FDR ». Notez que le fonds de roulement net correspond à « ACT – PCT ».

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14. FM net année 0 = –4,7 M$ FM net années 1 à 4 = (V – CV) (1 – Tc ) = (3 750 000 $ – 999 000 $) (1 – 0,39) = 1 678 110 $ FNACC à la fin de l’année 4 : 4,7 M$ (1 − 0,5 × 0,3) (1 − 0,3)3 = 1 370 285 $ FM net en fin de projet (année 4) = Valeur de revente = 1 370 285 $ �� =

4 700 000$(0,3)(0,39) [1 + 0,5(0,12)] 1 370 285 $(0,3)(0,39) 1 − × (0,12 + 0,3) (0,12 + 0,3) (1,12)4 1 + 0,12

= 996 554,02 $ 1 − (1,12)−4 � = −4 700 000 $ + 1 678 110 $   + 996 554,02 $ + 1 370 285 $(1,12)−4 0,12 = 2 264 401,22 $

15. FM net année 0 = –4,7 M$ – 0,3 M$ = –5 M$ FM net années 1 à 4 = (V – CV) (1 – Tc ) = (3 750 000 $ – 999 000 $) (1 – 0,39) = 1 678 110 $ FM net en fin de projet (année 4) = Valeur de revente + Récupération du FDR = 210 000 $ + 300 000 $ = 510 000 $ Note : Il est à noter qu’on ne dispose d’aucune indication au sujet des autres biens dans la catégorie 10. On suppose que la catégorie reste ouverte après déduction du montant de 210 000 $. �� =

4 700 000$(0,3)(0,39) [1 + 0,5(0,12)] 210 000 $(0,3)(0,39) 1 − × (0,12 + 0,3) (0,12 + 0,3) (1,12)4 1 + 0,12

= 1 201 967,60 $ 1 − (1,12)−4 � = −5 000 000 $ + 1 678 110 $   + 1 201 967,60 $ + 510 000 $(1,12)−4 0,12 = 1 623 088,13 $

16. FM0 = −715 000 $ − 140 000 $ = −855 000$ FM1 à 5 = (70 000 (130$−110$) − 195 000)(1 − 0,35) = 783 250 $ FM additionnel à la période 5 = 140 000 $ VA (EIACC) =

715 000$(0,25)(0,35) [1 + 0,5(0,19)] × = 130 836, 40 $ 0,19+0,25 1 + 0,19

Note : Il est à noter que nous n’avons pas d’indications au sujet des autres biens dans la catégorie. Nous supposons que la catégorie reste ouverte à la fin du projet.

1 − (1,19 )−5  VAN = −855 000 $ + 130 836,40 $ + 783 250 $   + 140 000 $/(1,19)5 = 1 729 395,84 $  0,19  Étant donné que la VAN est positive, le projet est un bon investissement. 17. 9 200 $ − 5 500 $ = 3 700 $ 18. Étant donné que chaque projet peut être financé avec des fonds propres ou de la dette sans que la structure du capital de l’entreprise ne soit changée, les coûts de financement ne sont pas pertinents dans l’évaluation des investissements.

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19. Les 7,5 M$ dépensés il y a 8 ans pour acquérir le terrain sont un coût irrécupérable. Les 999 000 $, qui correspondent à l’évaluation actuelle de la valeur marchande, représentent un coût d’opportunité si on veut utiliser le terrain plutôt que le vendre. Les 22 M$ sont une sortie d’argent nécessaire pour la construction de l’usine. L’entreprise devra aussi effectuer des aménagements sur le terrain si elle entreprend le projet de construction à un coût de 525 000 $. Par conséquent, le flux monétaire pertinent pour l’année zéro est de 22 M$ + 0,999 M$ + 0,525 M$ = 23,524 M$ (négatif, c’est une sortie de fonds). 20. L’entreprise vend en ce moment (23 000 × 11 850 $) + (35 200 × 41 800 $) = 1 743,91 M$. Avec le lancement de la nouvelle voiture, les ventes seront de (32 500 × 11 850 $) + (29 000 × 41 800 $) + (24 500 × 30 600 $) = 2 347,025 M$. Le montant correspondant aux ventes additionnelles provoquées par la mise en marché de la nouvelle berline atteindra (2 347,025 M$ – 1 743,91 M$) = 603,115 M$. C’est donc ce montant qu’il faudrait considérer dans l’évaluation du projet. 21. FM0 = – 540 000 $ − 44 000 $ = – 584 000 $ FM1 à 10 = 145 000 $ × (1 – 0,34) = 95 700 $ FM additionnels à la période 10 = 40 000 $ + 44 000 $ = 84 000 $ �� =

540 000$(0,2)(0,34) [1 + 0,5(0,12)] 40 000$(0,2)(0,34) 1 − × (0,12 + 0,2) 1 + 0,12 (0,12 + 0,2) (1,12)10

= 105 865,91 $ 84 000 $ 1 − (1,12)−10 � = −584 000 $ + 105 865,91 $ + 95 700 $  = 89 638 $ + (1,12)10 0,12

22. FM0 = –840 000 $ + 125 000 $ = –715 000 $ FM1 à 5 = 330 000 $ × (1 − 0,35) = 214 500 $ FM additionnels à la période 5 = 260 000 $ − 125 000 $ = 135 000 $ VA (EIACC) = 240 000 $

1 − (1 + TRI )−5  VAN = 0 = −715 000 $ + 240 000 $ + 214 500 $   + 135 000 $ / (1 + TRI)5 TRI   TRI = 38,42 % 23. Cas avec économies de coûts de 380 000 $ : FM0 = –840 000 $ + 125 000 $ = –715 000 $ FM1 à 5 = 380 000 $ × (1 − 0,35) = 247 000 $ FM additionnels à la période 5 = 260 000 $ − 125 000 $ = 135 000 $ VA (EIACC) =

840 000 $(0,30)(0,35) [1 + 0,5(0, 2)] 260 000 $(0,30)(0,35) 1 × × – 0,2 + 0,30 1 + 0, 2 0,2 + 0,30 (1, 2)5

= 139 757,48 $

1 − (1, 2 )−5  VAN = −715 000 $ + 139 757,48 $ + 247 000 $   + 135 000 $ / (1,2)5 = 217 692,16 $  0, 2  Il faut donc accepter le projet puisqu’il crée de la valeur.

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Cas avec économies de coûts de 280 000 $ : FM0 = –840 000 $ + 125 000 $ = –715 000 $ FM1 à 5 = 280 000 $ × (1 − 0,35) = 182 000 $ FM additionnels à la période 5 = 260 000 $ − 125 000 $ = 135 000 $ VA (EIACC) =

840 000 $(0,30)(0,35) [1 + 0,5(0, 2)] 260 000 $(0,30)(0,35) 1 × × – 0,2 + 0,30 1 + 0, 2 0,2 + 0,30 (1, 2)5

= 139 757,48 $

1 − (1, 2 )−5  VAN = −715 000 $ + 139 757,48 $ + 182 000 $   + 135 000 $ / (1,2)5 = 23 302,37 $ 0, 2   Niveau d’économie de coûts requis (ECR) pour obtenir une VAN nulle : FM0 = –840 000 $ + 125 000 $ = –715 000 $ FM additionnels à la période 5 = 260 000 $ − 125 000 $ = 135 000 $ VA (EIACC) = 139 757,48 $ FM (après impôts)1 à 5 = ECR

1 − (1, 2 )−5  VAN = 0 = −715 000 $ + 139 757,48 $ + ECR (1 – 0,35)   + 135 000 $ / (1,2) 5  0, 2  ECR = 268 012,56 $ 24. Le prix de vente minimal dans une soumission est celui qui permet d’obtenir une VAN nulle (seuil de rentabilité économique).

1 − (1 + r )− n  VAN = 0 = –I0 – Inv. FDR + Nbre magasins (P – CV) (1 – Tc )   r   + VA (EIACC) + Récupération du FDR (1 + k)–N + Valeur revente (1 + k)–N

1 − (1, 2 )−3  VAN = 0 = −1 M$ − 220 000 $ + 75 (P − 80 000 $) (1 − 0,36)    0, 2  1 M $(0,2)(0,36) [1 + 0,5(0, 2)] 500 000 $(0,20)(0,36) 1 × × – + + 220 000 $ × (1,2)–3 0,2 + 0,2 1 + 0, 2 0,2 + 0,2 (1, 2)3 + 500 000 $ × (1 + 0,2)–3 En isolant P, on trouve : P = 86 828 $. Le prix de vente devrait donc être de 86 828 $. 25. a) BAII = V – C – A = 225 000 $ – 92 000 $ – (0,2 × 250 000 $) = 83 000 $ b) FME = (V – C – A) (1 – Tc) + A = (83 000 $)(1– 0,35) + 50 000 $ = 103 950 $ c) FME = (V – C) (1 – Tc) + A × Tc = (225 000 $ – 92 000 $)(1– 0,35) + 50 000 $ × 0,35 = 103 950 $ 26. Calcul de l’amortissement : 240 000 $ × 50 % × 25 % = 30 000 $ Méthode de haut en bas : FME = (V – C) – (V – C – A) × Tc = (450 000 $ – 290 000 $) – (450 000 $ – 290 000 $ – 30 000 $) × 0,38 = 110 600 $

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Méthode de l’économie d’impôts : FME = (V – C) (1 – Tc) + A × Tc = (450 000 $ – 290 000 $) (1 –0,38) + 30 000 $ × 0,38 = 110 600 $

1 − (1,13 )−3  27. VAN, méthode 1 = –6 200 $ – 400 $   = –7 144,46 $  0,13 

1 − (1,13 )−4  VAN, méthode 2 = –9 100 $ – 620 $   = –10 944,17 $  0,13  Différence = 3 799,71 $ en faveur de la première méthode. Sans remplacement: Sur cette base, il faut savoir si le bénéfice d’une année d’utilisation additionnelle est suffisant pour compenser le coût additionnel de 3 799,71 $. Avec remplacement: Il faut calculer l’annuité équivalente (AE)

1 − (1,13 )−3  Méthode 1: –7 144,46 $ = AE   ; AE = – 3025,84 $  0,13 

1 − (1,13 )−4  Méthode 2: –10 944,17 $ = AE   ; AE = –3 679,37 $  0,13  La méthode 2 coûte plus cher. 28. Méthode I : FM0 = −6 200 $ VA (EIACC) = 1 499,28 $ =

6 200 $(0,25)(0,39) [1 + 0,5(0,13)] × 0,13 + 0,25 1 + 0,13

FM1 à 3 = −400 $ (1 − 0,39) = - 244 $

1 − (1,13 )−3  VAN = −6 200 $ + 1 499,28 $ − 244 $   = −5 276,84 $  0,13  1 − (1,13 )−3  Calcul de l’AE : −5 276,84 $ = AE   ; AE = −2 234,86 $  0,13  Méthode II : FM0 = −9 100 $ FM1 à 4 = −620 $(1-0,39) = −378,20 $ VA (EIACC) = 2 200,56 $ =

9 100 $(0,25)(0,39) [1 + 0,5(0,13)] × 0,13 + 0,25 1 + 0,13

1 − (1,13 )−4  VAN = − 9 100 $ + 2 200,56 $ − 378,20 $   = −8 024,38 $  0,13  1 − (1,13 )−4  Calcul de l’AE = −8 024,39 $ = AE   ; AE = −2 697,75 $  0,13  La méthode 2 coûte plus cher.

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1 − (1,11)−5  29. VAN = −240 000 $ − 20 000 $ − 32 000 $   + 20 000 $ / 1,115 = −366 399,68 $  0,11  1 − (1,11)−5  Calcul de l’AE : −366 399,68 $ = AE   ; AE = −99 136,87 $  0,11  30. Techron I : FM0 = –330 000 $ FM1 à 3 = –41 000 $ × (1 – 0,35) = –26 650 $ FM3 = 20 000 $ VA (EIACC) =

330 000 $(0,20)(0,35) [1 + 0,5(0,14)] 20 000 $(0,20)(0,35) 1 × × – 0,14 + 0,20 1 + 0,14 0,14 + 0,20 (1,14) 3

= 60 990,06 $

1 − (1,14 )−3  VAN = –330 000 $ + 60 990,06 $ – 26 650 $   + 20 000 $/(1,14)3 = –317 382,00 $  0,14  1 − (1,14 )−3  Calcul de l’AE : −317 382 $= AE   ; AE = −136 706,42 $  0,14  Techron II : FM0 = –480 000 $ FM1 à 3 = –33 000 $ × (1 – 0,35) = –21 450 $ FM3 = 20 000 $ VA (EIACC) =

480 000 $(0,20)(0,35) [1 + 0,5(0,14)] 20 000 $(0,20)(0,35) 1 × – × 0,14 + 0,20 1 + 0,14 0,14 + 0,20 (1,14) 5

= 90 616,84 $

1 − (1,14 )−5  VAN = –480 000 $ + 90 616,84 $ – 21 450 $   + 20 000 $ / (1,14)5 = –452 635,37 $ 0,14   1 − (1,14 )−5  Calcul de l’AE = −452 635,37 $ = AE   ; AE = −131 845,24 $  0,14  Les deux machines ont des durées de vie différentes. Donc, elles peuvent être comparées que si on les exprime sur une base annuelle équivalente. Par conséquent, on préfère Techron II, car celle-ci a le coût annuel le plus bas (le moins négatif). 31. Segments préfabriqués Données : Coût initial = 6 M$; amortissement (d) = 4 %; taux d’actualisation (k) = 12 %; taux d’imposition (Tc) = 33 %; valeur de récupération (R) = 0,3 × 6 M$ = 1,8 M$; durée (n) = 25

�� =

6 000 000$(0,04)(0,33) [1 + 0,5(0,12)] 1 800 000$(0,04)(0,33) 1 − × (0,12 + 0,04) (0,12 + 0,04) (1,12)25 1 + 0,12

= 459 746,88 $

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En supposant qu’il s’agit de coûts de fin d’exercice, on a :

1 − (1,12 )−25  VA totale (Coûts) = 6 000 000 $ − 459 746,88 $ − 1 800 000 $ / (1,12) 25 + 100 000 $ (1− 0,33)   0,12   = 5 959 861,49 $

1 − (1,12 )−25  Calcul de l’AE = 5 959 861,49 $ = AE   ; AE = Coût de 759 882,16 $ 0,12   Technologie de fibre de carbone Données : Coût initial = 8 M$; amortissement (d) = 4 %; taux d’actualisation (k) = 12 %; taux d’imposition (Tc) = 33 %; valeur de récupération (R) = 0,3 × 8 M$ = 2,4 M$; durée (n) = 40

�� =

8 000 000$(0,04)(0,33) [1 + 0,5(0,12)] 2 400 000$(0,04)(0,33) 1 − × (0,12 + 0,04) (0,12 + 0,04) (1,12)40 1 + 0,12

= 622 514,99 $ En supposant qu’il s’agit de coûts de fin d’exercice, on a : VA totale (Coûts) = 8 M$ − 622 514,99 $ − 2,4 M$ / (1,12)40 + 450 000 $ (1− 0,33) / (1,12)10 + 450 000 $ (1− 0,33) / (1,12)20 + 450 000 $ (1− 0,33) / (1,12)30 + 450 000 $ (1− 0,33) / (1,12)40 = 7 493 326,76 $

1 − (1,12 )−40  Calcul de l’AE = 7 493 326,76 $ = AE   ; AE = Coût de 908 967,70 $ 0,12   La technologie de segments préfabriqués constitue le meilleur choix, il revient moins cher par année.

Notions intermédiaires 32. On peut évaluer la valeur actualisée des coûts d’exploitation sous forme d’annuité en croissance à taux constant. Le premier coût d’exploitation annuel après impôts = C = 15 000 $ (1 − 0,35) = 9 750 $. On sait que VA (annuité à valeur croissante) =

C r–g

7   1 + g T  9 750 $   1 + 0, 02   1 – = 1 –         = 46 089,14$   1 + r   0,125 − 0, 02   1 + 0,125  

VA (EIACC) =

350 000 $(0,15)(0,35) [1 + 0,5(0,125)] 95 000 $(0,15)(0,35) 1 × × – 0,125 + 0,15 1 + 0,125 0,125 + 0,15 (1,125)7

= 55 153,95 VA (Coûts) = 350 000 $ + 46 089,14 $ − 55 153,95 $ − 95 000 $ / (1,125)7 =299 281,26 $

1 − (1,125 )−7  Calcul de l’AE : 299 281,26 $ = AE   ; AE = Coût de 66 620,93 $  0,125  33. FM0 = −840 000 $ − 75 000 $ = –915 000 $ FMnet :1 – 5 = ? VA (EIACC) =

840 000 $(0,30)(0,35) [1 + 0,5(0,12)] 60 000 $(0,30)(0,35) 1 × × = 190 238, 60 $ – 0,12 + 0,30 1 + 0,12 0,12 + 0,30 (1,12) 5

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1 − (1,12 )−5  VAN = 0 = –915 000 $ + 190 238,60 $ + FMnet   + (75 000 $ + 60 000) / (1,12)5  0,12  FMnet = 179 805,55 $ = [(P − v) Q − CF] (1 − Tc) 179 805,55 $ = [(P – 8,5 $) 160 000 $ − 290 000 $] (1 − 0,35) P = 12,04 $ 34. FM0 = −530 000 $ − 2 000 $ = −550 000 $ FM1 à 4 = 205 000 $ (1 – 0,35) − 3 000 $ = 130 250 $ FM4 (récupération fin du projet) = 90 000 $ + 20 000 $ + (4 × 3 000 $) = 122 000 $ VA (EIACC) =

530 000 $(0,20)(0,35) [1 + 0,5(0, 09)] 90 000 $(0,20)(0,35) 1 × × = 107 259,55 $ – 0,09 + 0,20 1 + 0, 09 0,09 + 0,20 (1, 09) 4

1 − (1, 09 )−4  VAN = –550 000 $ + 107 259,55 $ + 130 250 $   + 122 000 $ / (1,09)4 = 65 660,94 $  0, 09  On accepte donc le projet. 35. FM0 = −22 M$ − 1,5 M$ = −23,5 M$ L’augmentation du FDR annuelle correspond à 15 % (Ventes année prochaine – Ventes année courante) Calcul de la VA des flux monétaires (excluant l’investissement initial et la VA des (EIACC)

Ventes Coûts variables Coûts fixes BAII Impôts (35 %) BN ∆FDR Récup. FDR Valeur de revente FM ($) VA (FM)($) VA (EIACC) =

1 29,92 M$ −21,12 M$ −0,85 M$ 7,95 M$ −2,7825 M$ 5,1675 M$ −0,408 M$

4 759 500 4 033 475

2 32,64 M$ −23,04 M$ −0,85 M$ 8,75 M$ −3,0625 M$ 5,6875 M$ −0,663 M$

5 024 500 3 608 518

3 37,06 M$ −26,16 M$ −0,85 M$ 10,05 M$ −3,5175 M$ 6,5325 M$ −0,459 M$

6 073 500 3 696 520

4 40,12 M$ −28,32 M$ −0,85 M$ 10,95 M$ −3,8325 M$ 7,1775 M$ 1,173 M$

8 290 500 4 276 148

5 32,3 M$ −22,8 M$ −0,85 M$ 8,65 M$ −3,0275 M$ 5,6225 M$ 1,857 M$ 4,4 M$ 11 879 500 5 192 639

22 000 000 $(0,20)(0,35) [1 + 0,5(0,18)] 4 40 000 $(0,20)(0,35) 1 × × – 0,18 + 0,20 1 + 0,18 0,18 + 0,20 (1,18)5

= 3 389 244,04 $ VAN = −23,5 M$ + 3 389 244,04 $ + 4 033 475 $ +3 608 518 $ + 3 696 520 $ + 4 276 148 $ + 5 192 639 $ = 696 542 $; donc, on accepte le projet.

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36. Coût pour la nouvelle excavatrice = 650 000 $, mais l’ancienne excavatrice peut être revendue pour 40 000 $. Donc, ∆FME0 = –610 000 $. ∆FME1 à 10 = 70 000 $ et ∆VR10 = 105 000 $ − 5 000 $ = 100 000 $. VA (EIACC) =

610 000 $(0,25)(0,35) [1 + 0,5(0,13)] 100 000 $(0,25)(0,35) 1 = 125 597,65 $ × – × 0,13 + 0,25 1 + 0,13 0,13 + 0,25 1,1310

1 − (1,13 )−10  VAN = –610 000 $ + 125 597,65 $ + 70 000 $ (1 – 0,35)   + 100 000 $ / (1,13)10 = –208 049,44 $ 0,13   Il ne faut pas remplacer l’excavatrice actuelle. 37. ∆FME0 = –14 000 $ + 400 $ = – 13 600 $; ∆VR4 = 2 700 $ − 150 $ = 2 550 $; ∆FME1 à 4 = 7 000 $ �� =

13 600 $(0,25)(0,23) [1 + 0,5(0,15)] 2 550$(0,25)(0,23) 1 − × (0,15 + 0,25) (0,15 + 0,25) (1,15)3 1 + 0,15

= 1 586,48 $ 1 − (1,15)−3 2 550 $ � = −13 600 $ + 1 586,48 $ + 7 000 $(1 − 0,23)  = 1 969,73 $ + (1,15)3 0,15

L’étudiant devrait acheter le nouvel équipement.

38. Système souterrain : FM0 = –8,5 M$, n = 20, FM1 à 20 = –60 000 $ (1 – 0,39) + (8,5 M$ / 20)(0,39) = 129 150 $

1 − (1,115 )−20  VAN = 129 150 $   − 8,5 M$ = –7 504 277,28 $ 0,115   1 − (1,115 )−20  Calcul de l’AE = –7 504 277,28 $ = AE   ; AE = Coût de 973 340,66 $ 0,115   Système de surface : –5 M$, n = 9, FM1 à 9 = –160 000 $ (1 – 0,39) + (5 M$ / 9) (0,39) = 119 066,67 $

1 − (1,115 )−9  VAN = 119 066,67 $   − 5 M$ = –4 353 341,27 $  0,115  1 − (1,115 )−9  AE = –4 353 341,27 $ = AE   ; AE = Coût de 801 563,19 $  0,115  Le système de surface est la meilleure solution d’un point de vue financier. 39. Notez que le coût d’acquisition de l’immeuble et, par conséquent, l’EIACC y étant rattachées, sont des flux monétaires non pertinents puisque ces coûts sont irrécupérables. Le coût d’opportunité d’utilisation de l’immeuble est négligé dans cette analyse puisqu’il influe sur la rentabilité des trois options de la même façon (c’est-à-dire qu’il a le même impact, peu importe l’utilisation choisie de l’immeuble). Notez aussi que les charges initiales pour les modifications à l’immeuble sont considérées comme des dépenses en capital permettant un amortissement linéaire.

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Gamme de produits A : VA (EIACC) de l’équipement =

366 000 $(0,2)(0,36) [1 + 0,5(0,16)] = 68 151,72 $ × 0,16 + 0,2 1 + 0,16

1 − (1,16 )−15   98 000 $  VA (EIACC) des améliorations locatives =   = 13 113,47 $  × 0,36 ×  0,16  15    VA (EIACC) totale = 81 265,19 $

1 − (1,16 )−15  VAN = –366 000 $ – 98 000 $ + 81 265,19 $ + (302 100 $ – 169 700 $)(1 – 0,36)   − 15 200 $ 0,16   (1 – 0,36) / (1,16)15 = 88 657,13 $ Gamme de produits B : VA (EIACC) de l’équipement =

426 000 $(0,2)(0,36) [1 + 0,5(0,16)] = 79 324,14 $ × 0,16 + 0,2 1 + 0,16

1 − (1,16 )−15   180 250 $  VA (EIACC) des améliorations locatives =   = 24 119,42 $  × 0,36 ×  15 0,16     VA (EIACC) totale = 103 443,56 $

1 − (1,16 )−15  VAN = –426 000 $ – 180 250 $ + 103 443,56 $ + (377 000 $ – 209 700 $) (1–0,36)  − 0,16   15 113 250 $ (1 – 0,36) / (1,16) = 86 346,25 $ Continuer à louer 15 ans : 1 − (1,16 )−15  VAN = 55 000 $ × (1 − 0,36)   = 196 256,06 $ 0,16   Il faudrait continuer à louer l’immeuble. Si le loyer perdu à cause des rénovations était comptabilisé en tant que coût d’opportunité dans l’évaluation des projets A et B, les VAN seraient négatives. Par conséquent, l’entreprise devrait abandonner les deux projets et continuer à louer. 40. V = 750 000 $ / 0,185 + (1 700 000 $ – 1 100 000 $) = 4 654 054,05 $. Par conséquent, P = 4 654 054,05 $ / 275 000 actions ordinaires =16,92 $ par action. 41. FMEA = –120 000 $ (1 − 0,27) = −87 600 $ �(�) =

420 000 $(0,3)(0,27) [1 + 0,5(0,11)] (0,11 + 0,3) 1 + 0,11

VA (EIACC) = 78 864,21 $ 1 − (1,11)−5 �� = −420 000 $ + 78 864,21 $ − 87 600 $   = −664 896,37 $ 0,11

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FMEB = − 110 000 $ (1 − 0,27) = −80 300 $ �(�) =

500 000 $(0,3)(0,27) [1 + 0,5(0,11)] (0,11 + 0,3) 1 + 0,11

VA (EIACC) = 93 885,96 $ 1 − (1,11)−6 � = −500 000 $ + 93 885,96 $ − 80 300 $   = −745 826,23 $ 0,11

Si le système n’est pas remplacé quand il est usé, alors on devrait choisir le système A puisqu’il a une VAN plus élevée (c’est-à-dire moins négative; il coûte moins cher). 42. Calcul de l’AE du système A : 1 − (1,11)−5 −664 896,37 $ = �   ; � = −179 901,22 $ 0,11

Calcul de l’AE du système B : 1 − (1,11)−6 −745 826,23 $ = �   ; � = −176 295,84 $ 0,11 Il faudrait donc choisir le système B, puisque les coûts annuels sont inférieurs. 43. Coût d’opportunité du terrain = 1,5 M$ Impôts sur le gain en capital = (1,5 M$ – 1 M$) (0,5) (0,34) = 85 000 $ Coût d’opportunité net = 1,5 M$ – 85 000 $ = 1,415 M$ Valeur de revente = 680 000 $ Ajout FRD0 = 500 000 $ Ajout FRD1 à 4 = 50 000 $ �� =

3 800 000 $ − 680 000 $ 1 − (1,12)−5 (0,34)   = 764 789,32 $ 0,12 5

VAN = –1,415 M$ – 3,8 M$ – 500 000 $ + [500 000 $ + (4 × 50 000 $)] / (1,12)5 + 680 000 $ / (1,12) 5 + 1 − (1,12 )−5  1 − (1,12 )−5  764 789,32 $ – 50 000 $   + FME1 à 5   (VAA12 % ; 5) = 0  0,12   0,12  On trouve FME1 à 5 = 1 206 011,19 $ FME = [(P – V) Q – CF] (1 – Tc ) FME = 1 206 011,19$ = [(P – 0,005) × 100 M – 900 000 $] (1 – 0,34) P = 0,0323 $

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Problèmes complexes 44. SAL 5000 12 ordinateurs Coût / Machine = 15 800 $ Frais d’entretien = 1 750 $ par an VR6 = 1 100 $

DET 1000 10 ordinateurs Coût / Machine = 18 000 $ Frais d’entretien = 1 400 $ par an VR4 = 0 $

1 − (1,16 )−6  VANSAL 5000 = [–15 800 $ – 1 750 $   + 1 100 $ / (1,16)6] × (12) = –261 561,62 $ 0,16   1 − (1,16 )−4  VANDET 1000 = [–18 000 $ – 1 400 $   ] × (10) = –219 174,53 $  0,16  Annuités équivalentes : SAL 5000 :

1 − (1,16)−6 −261 561,62 $ = �   ; � = −70 985,17 $ 0,16

DET 1000 :

1 − (1,16)−4 −219 174,53 $ = �   ; � = −78 327,51 $ 0,16

Donc, si la société Cobol remplace l'ordinateur, à la fin de vie utile de celui-ci, par un ordinateur de même modèle (chaîne de remplacement), l’entreprise devrait choisir le modèle SAL 5000. 45. X C0 = 625 000 $ ∆FME = 205 000 $ n=6

Y C0 = 950 000 $ ∆FME = 247 000 $ n = 10

1 − (1,135 )−6  VANX = 205 000 $   − 625 000 $ = 183 213,43 $  0,135  1 − (1,135 )−10  VANY = 247 000 $   − 950 000 $ = 363 920,80 $ 0,135   Avec une chaîne de 5 remplacements (tous les 6 ans) pour X (donc pendant 30 ans): VANX = 183 213,43 $ + 183 213,43 $ / (1,135)6 + 183 213,43 $ / (1,135) 12 + 183 213,43 $ / (1,135)18 + 183 213,43 $ / (1,135)24 = 336 523,48 $ Avec une chaîne de 3 remplacements (tous les 10 ans) pour Y (pendant 30 ans): VANY = 363 920,80 $ + 363 920,80 $ / (1,135)10 + 363 920,80 $ / (1,135) 20 = 495 410,15 $ On choisit Y. 46. a) Abandon dans 4 ans FM0 = –6 M$ – 1 M$ = –7 M$ FM1 à 4 = (4 M$ – 1,5 M$) (1 – 0,39) = 1,525 M$ FM4 (récupération du FDR) = 1 M$ Chapitre 10 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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VA (EIACC) =

6 M$(0,4)(0,39) [1 + 0,5(0,14)] = 1 626 900,59 $ × 0,14 + 0,4 1 + 0,14

1 − (1,14 )−4  VAN = –7 M$ + 1 626 900,59 $ + 1,525 M$   + 1 M$ / (1,14)4 = –337 607,87 $  0,14  b) Abandon dans 3 ans FM0 = –6 M$ – 1 M$ = –7 M$ FM1 à 3 = (4 M$ – 1,5 M$) (1 – 0,39) = 1,525 M$ FM3 (récupération du FDR) = 1 M$ VA (EIACC) =

6 M$(0,4)(0,39) [1 + 0,5(0,14)] 1, 6 M$(0,4)(0,39) 1 = 1 314 913,75 $ × – × 0,14 + 0, 4 1 + 0,14 0,14 + 0, 4 1,143

1 − (1,14 )−3  VAN = –7 M$ + 1 314 913,75 $ + 1,525 M$   + 1 M$ / (1,14)3 + 1,6 M$ / (1,14)3  0,14  = –389 671,47 Abandon dans 2 ans FM0 = –6 M$ – 1 M$ = –7 M$ FM1-2 = (4 M$ – 1,5 M$) (1 – 0,39) = 1,525 M$ FM2 (récupération du FDR) = 1 M$ VA (EIACC) =

6 M$(0,4)(0,39) [1 + 0,5(0,14)] 3,54 M$(0,4)(0,39) 1 = 839 991,79 $ × – × 0,14 + 0, 4 1 + 0,14 0,14 + 0, 4 1,14 2

1 − (1,14 )−2  VAN = –7 M$ + 839 991,79 $+ 1,525 M$   + 1 M$ / (1,14) 2 + 3,54 M$ / (1,14)2 0,14   = –155 468,35 $ Abandon dans 1 an FM0 = –6 M$ – 1 M$ = –7 M$ FM1 = (4 M$ – 1,5 M$) (1 – 0,39) = 1,525 M$ FM1 (récupération du FDR) = 1 M$ VA (EIACC) =

6 M$(0,4)(0,39) [1 + 0,5(0,14)] 4 M$(0,4)(0,39) 1 = 613 225,36 $ × × – 0,14 + 0, 4 1 + 0,14 0,14 + 0, 4 1,141

VAN = –7 M$ + 613 225,36 $+ 1,525 M$ / (1,14) + 1 M$ / (1,14) + 4 M$ / (1,14) = –663 090,43 $ La VAN pour le projet est maximisée après 2 ans d’exploitation. Ce problème montre que la durée économique et la durée physique d’un projet n’ont pas la même signification. Pour des actifs qui gardent leur valeur sur le marché, des projets à court terme sont souvent préférables à des projets à long terme. 47. FM0 = –330 000 $ FM1 à 5 = (29 000 $ + 25 000 $) (1 − 0,33) + (330 000 $ / 6) (0,33) = 54 330 $ � = −330 000 $ + 54 330 $ 

1 − (1,15)−6  = −124 389,06 $ 0,15

Il ne faut pas rénover.

Chapitre 10 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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48. a) VA (EIACC) =

540 000 $(0,2)(0,35) [1 + 0,5(0,12)] = 111 796,88 $ × 0,12 + 0,2 1 + 0,12

1 − (1,12 )−5  VAN = 0 = −540 000 $ + 111 796,88 $ + FM   ; FM = 118 787,71 $  0,12  FM = Économie de coûts (1 − 0,35) = 118 787,71 $ ; donc les économies de coûts = 182 750,32 $. b) VA (EIACC) =

540 000 $(0,2)(0,35) [1 + 0,5(0,12)] 60 000 $(0,2)(0,35) 1 = 104 349,40 $ × – × 0,12 + 0, 2 0,12 + 0,2 1 + 0,12 1,125

1 − (1,12 )−5  VAN = 0 = −540 000 $ + 60 000 $ / (1,12)5 + 104 349,40 $ + FM   ; FM = 111 409,13 $  0,12  FM = Économie de coûts (1 − 0,35) = 111 409,13 $ ; donc les économies de coûts = 171 398,67 $. 49. FM0 = −75 M$ − 7 M$ − 15 M$ − 3 M$(1 − 0,39) = −98 830 000 $ FM1 à 8 = [(200 500) (1 450 $ − 720 $) – 22 000 000 $] × (1 − 0,39) = 75 862 650 $ Récupérations à la fin du projet = (20,2 M$ + 7 M$ + 15 M$) = 42,2 M$ VA (EIACC) Catégorie 3 � (�) =

15 000 000$(0,05)(0,39) [1 + 0,5(0,16)] 7 000 000 $(0,05)(0,39) 1 − × (0,16 + 0,05) (0,16 + 0,05) (1,16)10 1 + 0,16

= 1 149 453,69 $ VA (EIACC) Catégorie 8 � (�) =

60 000 000$(0,20)(0,39) [1 + 0,5(0,16)] 13 200 000 $(0,20)(0,39) 1 − × (0,16 + 0,20) (0,16 + 0,20) (1,16)10 1 + 0,16

= 11 455 133,17 $ � = −98 830 000 $ + 75 862 650 $ 

1 − (1,16)−10  + 1 149 453,69 $ + 11 455 133,17 $ 0,16

+42,2 M$(1,16)−10 = 290 002 079,49$

La VAN est positive. Donc, on devrait entreprendre le projet.

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50. Année 0 Nombre d’unités Prix par unité Coût par unité Ventes ($) CV ($) CF ($) FM brut Impôts (40 %) FM après impôts (0,6 M) ∆FDR Dépenses en capital (16,7 M) VA (EIACC) 2,485406 M FM total (14,814594 M)

1 96 000 345 260 33,12 M (24,96 M) (0,17 M) 7,99 M (3,196 M)

2 103 000 345 260 35,535 M (26,78 M) (0,17 M) 8,585 M (3,434 M)

3 105 000 345 260 36,225 M (27,3 M) (0,17 M) 8,755 M (3,502 M)

4 117 000 345 260 40,365 M (30,42 M) (0,17 M) 9,775 M (3,91 M)

5

4,794 M (0,966 M)

5,151 M (0,276 M)

5,253 M (1,656 M)

5,865 M

3,034 M 3,498 M 5,01 M

3,828 M

4,875 M

3,597 M

5,865 M

11,5425 M

61 500 345 260 21,2175 M (15,99 M) (0,17 M) 5,0575 M (2,023 M)

VAN23 % = 115 174 $ Le TRI correspond au taux d’actualisation qui rend la VA des flux monétaires égale à zéro. Ici, puisque la VAN est positive, on sait que le TRI > Coût du capital. En fait, par itérations (ou à l’aide d’une calculatrice financière ou d’un tableur Excel), on trouve TRI = 23,31%. 51. FM0 = –600 000 $ – 21 000 $ = –621 000 $

1 − (1,135 )−5  FM1 à 5 = (V – C) × (1 – 0,36) ×    0,135  Récupération à la fin du projet = 85 000 $ + 21 000 $ = 106 000 $ VA (EIACC) =

600 000 $(0,20)(0,36) [1 + 0,5(0,135)] 85 000 $(0,20)(0,36) 1 × – × 0,135 + 0,20 1 + 0,135 0,135 + 0,20 1,1355

= 111 587,07 $

1 − (1,135 )−5  VAN = 0 = –621 000 $ + 111 587,07 $ + (V – C ) × (1 – 0,36) ×   + 106 000 $ / 1,1355  0,135  (V – C) = 203 763,51 $ 52. a) VA (EIACC) du nouvel ordinateur =

230 000 $(0,30)(0,38) [1 + 0,5(0,14)] 135 000 $(0,30)(0,38) 1 = 37 765,72 $ × – × 0,14 + 0,30 1 + 0,14 0,14 + 0,30 1,145

1 − (1,14 )−2  VA (EIACC) de l’ancien ordinateur = (120 000 $ × 0,38)   = 75 087,72 $  0,14  Différence dans les VA (EIACC) = –37 322 $ FM0 = –230 000 $ + 190 000 $ – 37 322 $ = –77 322 $ FM1-3-4-5 = 130 000 $ × (1 – 0,38) = 80 600 $ FM2 = 80 600 $ – 95 000 $ = –14 400 $ Récupération dans 5 ans = 135 000 $

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VAN = -77 322 $ + 80 600 $ (1,14)-1 + -14 000 $ (1,14)-2 +80 600 $ (1,14)-3 +80 600 $ (1,14)-4 + (80 600 $ + 135 000 $) (1,14)-5 = 196 707,47 $ VAN = 196 707,47 $. Il faut remplacer le vieil ordinateur. b) Les flux monétaires du nouvel ordinateur en ce qui concerne l’annuité équivalente sont : FM0 = –230 000 $ FM1 à 5 = 130 000 $ (1 – 0,38) = 80 600 $ FM5 = 135 000 $ VA (EIACC) = 37 765,72 $

1 − (1,14 )−5  VAN = –230 000 $ + 37 765,72 $ + 80 600 $ ×   + 135 000 $/(1,14)5 = 154 586,82 $  0,14  1 − (1,14 )−5  Calcul de l’AE : 154 586,82 $ = AE   ; AE = 45 028,60 $  0,14  La décision d’acheter le nouvel ordinateur aujourd’hui ou d’attendre 2 ans a un effet uniquement sur les flux monétaires des 2 prochaines années.

1 − (1,14 )−2  Si on achète aujourd’hui le nouvel ordinateur, la VAN du projet sur 2 ans est 45 028,60 $    0,14  = 74 146,82 $. Si on choisit de conserver le vieil ordinateur encore 2 ans, la VAN du projet est : FM0 = –190 000 $ (coût d’opportunité) FM1-2 = 120 000 $ (0,38) = 45 600 $

1 − (1,14 )−2  VAN = –190 000 $ + 45 600 $   + 95 000 $ / (1,14)2 = –41 812,87 $  0,14  Il serait donc préférable d’acheter le nouvel ordinateur, la VAN est plus élevée.

53. Pour les trois cas, les FM0, FM5 et VA (EIACC) sont identiques à ceux du problème 33. FM0 = −840 000 $ − 75 000 $ = –915 000 $ FMnet :1-5 = ? VA (EIACC) = 190 238,60 $ FM5 (récupération) = 60 000 $ + 75 000 $ = 135 000 $ a) Supposons un prix de vente de 13 $ / boîte FM net après impôts = [(P − v) Q − CF] (1 − Tc) = [(13 − 8,5)(160 000) − 290 000](0,65) = 279 500 $

1 − (1,12 )−5  VAN = –915 000 $ + 190 238,60 $ + 279 500 $   + (135 000) / (1,12)5 = 359 376,17 $  0,12  b) Supposons un prix de vente de 13 $ / boîte. On cherche Q. FM net après impôts = [(P − v) Q − CF] (1 − Tc) = [(13−8,5)(Q) −290 000](0,65) =

1 − (1,12 )−5  VAN = 0 = –915 000 $ + 190 238,60 $ + [(13 − 8,5)(Q) − 290 000](0,65)   + (135 000) / (1,12)5  0,12  Q = 125 916 boîtes (chiffre arrondi) Chapitre 10 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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c) Supposons un prix de vente de 13 $ / boîte. On cherche CF. FM net après impôts = [(P − v) Q − CF] (1 − Tc) = [(13−8,5)(160 000) − CF](0,65) 1 − (1,12 )−5  VAN = 0 = –915 000 $ + 190 238,60 $ + [(13 − 8,5)(160 000) − CF](0,65)   + (135 000) /  0,12  (1,12)5 CF = 443 376 $ 54. Année 1 2 3 4 5

FNACC au début 250 000 $4 437 500 $ 328 125 $ 246 094 $ 184 571 $

ACC (25 %) 62 500 $ 109 375 $ 82 031 $ 61 523 $ 46 143 $

FNACC à la fin 187 500 $ 328 125 $ 246 094 $ 184 571 $ 138 428 $

Année 1 2 3 4 5

FNACC au début 500 000 $5 900 000 $ 720 000 $ 576 000 $ 460 800 $

ACC (20 %) 100 000 $ 180 000 $ 144 000 $ 115 200 $ 92 160 $

FNACC à la fin 400 000 $ 720 000 $ 576 000 $ 460 800 $ 368 640 $

Année 1 2 3 4 5 6

FNACC au début 50 000 $6 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $ 29 155 $ 408 $

ACC (30 %) 15 000 $ 25 500 $ 17 850 $ 12 495 $ 8 747 $ 122 $

FNACC à la fin 35 000 $ 59 500 $ 41 650 $ 29 155 $ 20 408 $ 286 $

55.

56.

Si la vente a lieu au début de la sixième année, on devra soustraire à la FNACC de la sixième année le coût rajusté de cession de 20 000 $. Si la classe d’actif continue d’exister, il n’y aura pas de conséquences du point de vue fiscal, le montant de 408 $ continuera de s’amortir même si le bien a été vendu. Le revenu après impôts de la vente sera de 100 000 $ × 0,2 = 20 000 $. Par contre, si la vente du bien entraîne une fermeture de catégorie, il y aurait une perte finale de 408 $ et une récupération d’impôt pour un montant de 408 × 40 % = 163 $. Le revenu après impôts de la vente sera de 20 000 $ + 163 $. 57. ACC pour l’équipement Année 2008 2009

FNACC au début 2 100 000 $7 3 780 000 $

ACC (20 %) 420 000 $ 756 000 $

FNACC à la fin 1 680 000 $ 3 024 000 $

4

50 % de 500 000 $ 50 % de 1 000 000 $ 6 50 % de 100 000 $ 7 50 % de 4,2 M$ (y compris les frais d’installation) 5

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ACC pour les bâtiments Année 2008 2009

FNACC au début 2 000 000 $8 3 900 000 $

ACC (5 %) 100 000 $ 195 000 $

FNACC à la fin 1 900 000 $ 3 705 000 $

ACC pour 2008 = 420 000 $ + 100 000 $ = 520 000 $ ACC pour 2009 = 756 000 $ + 195 000 $ = 951 000 $ 58. Année 2005 2006 2007 2008 2009

FNACC au début 170 000 $9 255 000 $ 127 500 $ 741 250 $10 1 048 125 $11

ACC (50 %) 85 000 $ 127 500 $ 63 750 $ 370 625 $ 524 063 $

FNACC à la fin 85 000 $ 127 500 $ 63 750 $ 370 625 $ 524 063 $

59. a) Impôt fédéral = 0,29 (57 000 $) (0,05) = 826,50 $ Impôt provincial = 0,10 (57 000 $) (0,05) = 285 $ Revenu après impôts = (57 000 $) (0,05) – 826,50 $ – 285 $ = 1 738,50 $ b) Impôt fédéral sur les dividendes = 1,45 (25 $) (250) (0,29 – 0,1898) = 908,06 $ Impôt provincial sur les dividendes = 1,45 (25 $) (250) (0,10 – 0,0740) = 235,63 $ Revenu après impôts = 25 $ (250) – 908,06 $ – 235,63 $ = 5 106,31 $ On suppose un crédit d’impôt provincial sur dividende de 7,4 % c) Impôt fédéral sur les gains en capital = 15 $ (500) (0,5) (0,29) = 1 087,50 $ Impôt provincial sur les gains en capital = 15 $ (500) (0,5) (0,10) = 375 $ Revenu après impôts = 15 $ (500) – 1 087,50 $ – 375 $ = 6 037,50 $ 60. L’entreprise peut reporter ses pertes de trois ans en arrière et le reste peut être reporté maintenant jusqu’à 20 ans. Total des reports = 116 $ + 140 $ + 168 $ + 40 $ + 40 $ + 40 $ = 544 $, ce qui laisse (600 $ – 544 $) pour le report dans l’avenir. Cela réduit le revenu imposable à zéro pour toutes les années jusqu’en 2009. À cette date, le report restant est de 56 $. 61. a) FNACC0 = 99 200 $ (1 / 2) = 49 600 $ ACC1 = 14 880 $ FNACC1 = 84 320 $ FNACC5 = 84 320 $ (1 – 0,30)4 = 20 245 $ b) Étant donné que l’actif n’a pas de valeur et que la classe d’actif ne cesse pas d’exister, il n’y a pas de conséquences du point de vue fiscal.

8

50 % de 4 M$ 50 % de 340 000 $ 10 50 % de (1 500 000 $ – 145 000 $) + 63 750 $ 11 50 % de (1 500 000 $ – 145 000 $) + 370 625 $ 9

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Abréviations A : amortissement

FM : flux monétaire

CF : coûts fixes

FME : flux monétaire provenant de l’exploitation

ACC : amortissement du coût en capital

FNA C C : fraction non amortie du coût en capital

ACT : actif à court terme

FR N : fo nds de roulement net

AE : annuité équivalente

PC T : passif à court terme

BAII : bénéfice avant intérêts et impôts

V : chiffre d’affaires ou ventes

CV : coûts variables

VA : valeur actualisée

EIACC : économies d’impôts attribuables à l’amortissement du coût en capital

VAEIP : valeur actuelle des économies d’impôts perdues

EIP : économies d’impôts perdues

VAN : valeur actualisée nette

FD R : fonds de roulement

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Chapitre 11 L’analyse de projets et l’évaluation Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. a) Coût variable unitaire total = 5,73 $ + 2,13 $ = 7,86 $ Coûts totaux = Coûts variables + Coûts fixes = 7,86 $ × 300 000 + 700 000 $ = 3 058 000 $ b) Q = (CF + FME) / (P − v) Point mort de trésorerie : Qt = (700 000 $) / (24,99 $ − 7,86 $) = 40 864 unités Point mort : Q = (700 000 $ + 220 000 $) / (24,99 $ − 7,86 $) = 53 707 unités 2. Coûts totaux = (24,86 $ + 14,08 $) × (120 000) + 1 550 000 $ = 6 222 800 $ Coût marginal = Coût de production d’une unité additionnelle (24,86 $ + 14,08 $) = 38,94 $ Coût moyen = Coût total / Quantité totale = 6 222 800 $ / 120 000 = 51,86 $ Revenu minimal acceptable = 5 000 × (38,94 $) = 194 700 $ Des unités additionnelles devraient être produites seulement si leur coût de production unitaire peut être couvert par le revenu tiré de leur vente. 3. Unités vendues Prix par unité Coûts variables par unité Coûts fixes

Scénario de base 90 000 1 850 $ 250 $ 4 000 000 $

Pire scénario 81 000 1 665 $ 275 $ 4 400 000 $

Meilleur scénario 99 000 2 035 $ 225 $ 3 600 000 $

4. Une estimation de l’effet des variations du prix sur la rentabilité du projet peut être effectuée à l’aide d’une analyse de sensibilité de la VAN par rapport au prix. On peut calculer cette mesure en prenant la VAN à deux niveaux de prix et en établissant le ratio de la différence entre ces paramètres (∆VAN / ∆P). Quand on recourt à une analyse de sensibilité, toutes les autres variables sont constantes, et leur valeur est équivalente à leur valeur dans le scénario de référence (ou scénario de base). 5. a) Point mort : Q = (CF + A) / (P − v) ; A = 724 000 $ / 8 = 90 500 $ par année Q = (780 000 $ + 90 500 $) / (43 $ − 29 $) = 62 179 unités CLE = 1 + (CF / FME) = 1 + (CF / A) = 1 + (780 000 $ / 90 500 $) = 9,619

Chapitre 11 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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91

b) FMEbase = [(P − v) × Q − CF] × (1 − t) + t × A = [(43 $ − 29 $) × (90 000) − 780 000 $] (0,65) + 0,35 × (90 500 $) = 343 675 $  1 − (1,15)  VANbase = –724 000 $ + 343 675 $ ×   = 818 180 $  0,15  −8

Supposons que Q = 95 000 : FME = [(43 $ − 29 $) × (95 000) − 780 000 $] (0,65) + 0,35 × (90 500 $) = 389 175 $  1 − (1,15)  VAN = –724 000 $ + 389 175 $ ×   = 1 022 353 $  0,15  −8

∆VAN / ∆V = (1 022 353 $ − 818 180 $) / (95 000 − 90 000) = 40,83 $ Si les ventes diminuent de 500 unités, alors la VAN diminue de 40,83 $ × 500 = 20 415 $. c) Supposons que v = 30 $ : FME = [(43 $ − 30 $) × (90 000) − 780 000 $] (0,65) + 0,35 × (90 500 $) = 285 175 $ ∆FME / ∆v = (285 175 $ − 343 675 $) / (30 $ − 29 $) = –58 500 $ Si les coûts variables diminuent de 1 $, les FME augmentent de 58 500 $. 6. FMEmeilleur = {[(43 $ × 1,1) − (29 $ × 0,9)] × (90 000 × 1,1) − (780 000 $ × 0,9)} × 0,65 + (0,35 × 90 500 $) = 939 595 $  1 − (1,15)  VAN = −724 000 $ + 939 595 $ ×   = 3 492 265 $  0,15  −8

FMEpire = {[(43 $ × 0,9) − (29 $ × 1,1)] × (90 000 × 0,9) − (780 000 $ × 1,1)} × 0,65 + (0,35 × 90 500 $) = −168 005 $  1 − (1,15)  VAN = −724 000 $ − 168 005 $ ×   = −1 477 892 $  0,15  −8

Les prix de vente sont arrondis au centième près. 7. Point mort de trésorerie Qt = CF / (P − v) et point mort Q = (CF + A) / (P − v) a) Qt = 14 M$ / (3 020 $ − 2 275 $) = 18 792 ; Q = (14 M$ + 6,5 M$) / (3 020 $ − 2 275 $) = 27 517 b) Qt = 73 000 $ / (38 $ − 27 $) = 6 637 ; Q = (73 000 $ + 150 000 $) / (38 $ − 27 $) = 20 273 c) Qt = 1 200 $ / (11 $ − 4 $) = 172 ; Q = (1 200 $ + 840 $) / (11 $ − 4 $) = 292 8. Point mort Q = (CF + A) / (P − v) a) Q = 112 800 = (820 000 $ + A) / (41 $ − 30 $) ; A = 420 800 $ b) Q = 165 000 = (3,3 M$ + 1,15 M$) / (P − 43) ; P = 69,36 $ c) Q = 4 385 = (160 000 $ + 105 000 $) / (98 $ − v) ; v = 37,57 $ 9. Point mort Q = (CF + A) / (P − v) = [10 000 $ + (15 000 $ / 5)] / (45 $ − 27 $) = 722 ; point mort de trésorerie Qt = CF / (P − v) = 10 000 $ / (45 $ − 27 $) = 556 ; seuil de rentabilité financière : VAN = 0 implique que

15 000 $ = � 

1−1,12 −5  0,12

FME = 4 161,15 $ Qf = (10 000 $ + 4 161,15 $) / (45 $ − 27 $) = 787 ; CLE = 1 + (10 000 $ / 4 161,15 $) = 3,4 Chapitre 11 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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10. Point mort de trésorerie Qt = CF / (P − v) ; 13 200 = 140 000 $ / (P − 24 $) ; P = 34,61 $ Point mort Q = (CF + A) / (P − v) ; 15 500 = (140 000 $ + A) / (34,61 $ − 24 $) ; A = 24 455 $ I = A × N ; I = 5 × (24 455 $) = 122 275 $  1 − (1,16)   1 − (1,16)  FME = I /   = 122 275 $ /  0,16  = 37 343,93 $ 0,16     −5

−5

Seuil de rentabilité financière Qf = (140 000 $ + 37 343,93 $) / (34,61 $ − 24 $) = 16 715 11. CLE = ∆ % FME / ∆ % Q ; ∆ % FME = 1,4 [(6 000 − 5 000) / 5 000] = 28 % Le nouveau niveau du levier d’exploitation sera plus faible, car le CF / FME diminue. 12. CLE = 1 + (CF / FME) = 1 + (73 000 $ / 87 500 $) = 1,8343 ; ∆ % Q = (8 500 − 8 000) / 8 000 = 6,25 % ∆ % FME = CLE × (∆ % Q) = 1,8343 × 0,0625 = 11,46 % FME2 = 87 500 $ × (1,1146) = 97 531 $ CLE à 8 500 unités = 1 + (73 000 $ / 97 531 $) = 1,7485 13. CLE = 2,35 = 1 + (CF / FME) ; CF = (2,35 − 1) × 43 000 $ = 58 050 $ ∆ % Q = (11 000 − 10 000) / 10 000 ou (9 000 − 10 000) / 10 000 = ±10 % ∆ % FME = 2,35 × (±10 %) = 23,50 % FME à 11 000 unités = 43 000 $ × 1,235 = 53 105 $ FME à 9 000 unités = 43 000 $ × (1 − 0,235) = 32 895 $ 14. CLE à 11 000 unités = 1 + (58 050 $ / 53 105 $) = 2,0931 CLE à 9 000 unités = 1 + (58 050 $ / 32 895 $) = 2,7647

Notions intermédiaires 15. a) Au point mort, TRI = 0 % ; DR = N années  1 − (1 + r )  VAN = I × [(1 / N) ×   − 1] r   -n

1 1 − (1 + )− � =     − 1  

b) TRI = –100 % ; DR = ∞ ; VAN = –I c) TRI = r % ; DR < N années ; VAN = 0, par définition 16. FME = [(P − v) × Q − CF] × (1 − TC) + TCA FME à 110 000 unités = [(32 $ − 19 $) × (110 000) − 210 000 $] × (0,66) + 0,34 × (490 000 $ / 4) = 846 850 $ FME à 111 000 unités = [(32 $ − 19 $) × (111 000) − 210 000 $] × (0,66) + 0,34 × (490 000 $ / 4) = 855 430 $ Sensibilité = ∆FME / ∆Q = (855 430 $ − 846 850 $) / (111 000 − 110 000) = 8,58 $ Les FME vont augmenter de 8,58 $ pour chaque unité additionnelle vendue. 17. CLE = 1 + (CF / FME) ; CLE à 110 000 unités = 1 + (210 000 $ / 846 850 $) = 1,2480 Point mort Q = (CF + A) / (P − v) = [210 000 $ + (490 000 $ / 4)] / (32 $ − 19 $) = 25 577 CLE à 25 577 unités = 1 + (210 000 $ / 490 000 $ / 4) = 2,7143 Chapitre 11 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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18. a) Ventes = 1 500 × (1 ± 0,15) = 1 725 (limite supérieure) ; 1 275 (limite inférieure) Coûts variables = 11 200 $ × (1 ± 0,15) = 12 880 $ ; 9 520 $ Coûts fixes = 500 000 $ × (1 ± 0,15) = 575 000 $ ; 425 000 $ FME = [(P − v) × Q − CF] × (1 − TC) + TCA  1 − (1 + r )  VAN = − I + FME ×   r   -n

FMEbase = [(17 000 $ − 11 200 $) × 1 500 − 500 000 $] × 0,65 + 0,35 × (700 000 $ / 4) = 5 379 000 $ � = −700 000 $ + 5 379 000 $ 

1 − 1,10−5  = 14 637 902,14 $ 0,10

FMEpire = [(17 000 $ − 12 880 $) × 1 275 − 575 000 $] × 0,65 + 0,35 × (700 000 $ / 4) = 3 089 700 $ 1 − 1,10−5 � = −700 000 $ + 3 089 700 $   = 7 684 498,28 $ 0,10

FMEmeilleur = [(17 000 $ − 9 520 $) × 1 725 − 425 000 $] × 0,65 + 0,35 × (700 000 $ / 4) = 8 159 700 $ 1 − 1,10−5 � = −700 000 $ + 8 159 700 $   = 23 083 859,46 $ 0,10

b) Supposons que CF = 510 000 $ : FME = [(17 000 $ − 11 200 $) × 1 500 − 510 000 $] × 0,65 + 0,35 × (700 000 $ / 4) = 5 372 500 $ 1 − 1,10−5 � = −700 000 $ + 5 372 500 $   = 14 618 159,36 $ 0,10

∆VAN / ∆CF = (14 637 902,14 $ − 14 618 159,36 $) / (510 000 $ − 500 000 $) = –1,97 $ Pour chaque dollar additionnel de CF, la VAN diminue de 1,97 $. c) Point mort de trésorerie Qt = CF / (P − v) = 500 000 $ / (17 000 $ − 11 200 $) = 86 d) Point mort Q = (CF + A) / (P − v) = [500 000 $ + (700 000 $ / 5)] / (17 000 $ − 11 200 $) = 110 À ce niveau de production, CLE = 1 + (500 000 $ / 138 700 $) = 4,60 Pour 1 % d’augmentation dans les ventes, les FME vont augmenter de 4,60 %.  1 − (1,14)  19. a) VANbase = –3 900 000 $ + 906 250 $ ×   = 1 041 539,30 $  1,14  −11

 1 − (1,14)  b) 2 700 000 $ = 145 $ × Q ×   ; Q = 2 700 000 $ / (145 $ × 5,2161) = 3 570  1,14  −10

Abandon du projet si Q < 3 570 unités.

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c) Les 2 700 000 $ constituent la valeur sur le marché du projet. Si on continue avec le projet l’année suivante, on renonce aux 2 700 000 $ qui auraient pu être utilisés différemment.  1 − (1,14)  20. a) Succès : VA des FM futurs = 145 $ × (7 700) ×   = 5 823 793 $  1,14  −10

 1 − (1,14)  Échec : VA des FM futurs = 145 $ × (3 500) ×   = 2 647 179 $  1,14  −10

Valeur attendue pour le projet à l’année 1 = [(5 823 793 $ + 2 647 179 $) / 2] + 906 250 $ = 5 141 736 $ VAN = − 3 900 000 $ + (5 141 736 $ / 1,14) = 610 295 $ b) Si on ne pouvait pas abandonner le projet, la VA des FM futurs = 145 $ × 3 500  1 − (1,14)  ×   = 2 647 179 $.  1,14  −10

Gain découlant de l’option d’abandon = 2 700 000 $ − 2 647 179 $ = 52 821 $ L’option a 50 % de chances de se réaliser : Valeur = 0,5 × 52 821 $ / 1,14 = 23 167 $.  1 − (1,14)  21. Succès : la VA des FM futurs = 145 $ × (15 400) ×   = 11 647 586 $  1,14  −10

Échec : Selon le problème 20, Q = 3 500 < 3 570. Donc, on abandonne le projet. VA = 2 700 000 $ Valeur attendue du projet à l’année 1 = [(11 647 586 $ + 2 700 000 $) / 2] + 906 250 $ = 8 080 043 $ VAN = −3 900 000 $ + (8 080 043 $ / 1,14) = 3 187 757 $  1 − (1,14)  S’il n’y a pas d’expansion, la VA des FM = 145 $ × (7 700) ×   = 5 823 793 $.  1,14  −10

Gain découlant de l’option d’expansion = 11 647 586 $ − 5 823 793 $ = 5 823 793 $ L’option a 50 % de probabilité de se vérifier : Valeur = 0,5 × 5 823 793 $ / 1,14 = 2 554 295 $.

Problèmes complexes 22. Les coûts de l’étude de marketing et de recherche et développement sont irrécupérables ; on ne doit pas en tenir compte. Chiffre d’affaires : Nouveaux bâtons Bâtons de luxe

800 $ × 45 000

=

1 100 $ × (−10 000) =

Bâtons bon marché 490 $ × 9 500

=

36 000 000 $ −11 000 000 4 655 000 29 655 000 $

Coûts variables : Nouveaux bâtons

300 $ × 45 000

Bâtons de luxe

650 $ × (−10 000) =

Bâtons bon marché 200 $ × 9 500

= =

13 500 000 $ −6 500 000 1 900 000 8 900 000 $

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Voici l’état des résultats prévisionnel lié à ce projet : Chiffre d’affaires Coûts variables Coûts fixes ACC 20 400 000 / 8 = BAII Impôts (35 %) Bénéfice net

29 655 000 $ 8 900 000 8 000 000 2 550 000 10 205 000 $ 3 571 750 6 633 250 $

Pour calculer le délai de récupération avec précision, il faut estimer les flux monétaires provenant de l’exploitation des trois premières années. On procède en se servant de la relation suivante : FME = BN + A = 6 633 250 $ + 2 550 000 $ = 9 183 250 $ Le coût initial se compose des coûts de l’usine et de l’équipement requis ainsi que de l’augmentation du fonds de roulement. = 20 400 000 $ + 1 000 000 $ = 21 400 000 $ Quand les flux monétaires annuels sont constants, on peut procéder ainsi : Délai de récupération = 21 400 000 $/ 9 183 250 $ = 2,33 ans On détermine la VAN : � = −20 400 000 $ − 1 000 000 $ + 9 183 250 $ 

1 − 1,10−8  + 1 000 000 $(1,10)−8 0,10

= 28 058 468 $

Puis on détermine le TRI : � = 0 = −20 400 000 $ − 1 000 000 $ + 9 183 250 $ 

1 − (1 + )−8  + 1 000 000 $(1 + )−8 

TRI = 40,16 % On peut arriver à une valeur plus précise du TRI en utilisant un tableur comme Excel dans lequel les valeurs potentielles du TRI servent d’entrées jusqu’à l’obtention (par tâtonnements) d’une solution. On peut démontrer que la VAN est nulle lorsque le TRI = 40,16%. 23. Nombre d’unités vendues (nouveaux bâtons) Prix unitaire (nouveaux bâtons) Coûts variables (nouveaux bâtons) Coûts fixes Ventes perdues (bâtons de luxe) Ventes additionnelles (bâtons bon marché)

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Hypothèse de base 45 000 800 $ 300 $ 8 000 000 $ 10 000 9 500

Limite inférieure 40 500 720 $ 270 $ 7 200 000 $ 9 000 8 550

Limite supérieure 49 500 880 $ 330 $ 8 800 000 $ 11 000 10 450

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Meilleur scénario Chiffre d’affaires : 880 $ × 49 500

Nouveaux bâtons

=

43 560 000 $

1 100 $ × (−9 000) =

Bâtons de luxe

490 $ × 10 450

Bâtons bon marché

−9 900 000

=

5 120 500 38 780 500 $

Coûts variables : Nouveaux bâtons

270 $ × 49 500

Bâtons de luxe

650 $ × (−9 000) = −5 850 000

Bâtons bon marché

200 $ × 10 450

= 13 365 000 $ =

2 090 000 9 605 000 $

État des résultats prévisionnel : Chiffre d’affaires Coûts variables Coûts fixes ACC BAII Impôts (35%) Bénéfice net

38 780 500 $ 9 605 000 7 200 000 2 550 000 19 425 500 $ 6 798 925 12 626 575 $

FME = BN + A = 12 626 575 $ + 2 550 000 $ = 15 176 575 $ 1 − 1,10−8 � = −20 400 000 $ − 1 000 000 $ + 15 176 575$   + 1 000 000 $(1,10)−8 0,10 = 60 032 415 $

Pire scénario Chiffre d’affaires : Nouveaux bâtons Bâtons de luxe Bâtons bon marché

720 $ × 40 500

=

29 160 000 $

1 100 $ × (−11 000) = −12 100 000 490 $ × 8 550

=

4 189 500 21 249 500 $

Coûts variables : Nouveaux bâtons

330 $ × 40 500

Bâtons de luxe

650 $ × (−11 000) = −7 150 000

Bâtons bon marché

200 $ × 8 550

= 13 365 000 $ =

1 710 000 7 925 000 $

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État des résultats prévisionnel : Chiffre d’affaires Coûts variables Coûts fixes ACC BAII Impôts (35%) Bénéfice net

21 249 500 $ 7 925 000 8 800 000 2 550 000 1 974 500 $ 691 075 1 283 425 $

FME = BN + A = 1 283 425 $ + 2 550 000 $ = 3 833 425 $ 1 − 1,10−8 � = −20 400 000 $ − 1 000 000 $ + 3 833 425$   + 1 000 000 $(1,10)−8 = −482 453 $ 0,10 24. Pour déterminer la sensibilité de la VAN aux variations du prix des nouveaux bâtons, supposons un nouveau prix de 840 $, soit une hausse de 5 % du prix de vente : Chiffre d’affaires : Nouveaux bâtons Bâtons de luxe Bâtons bon marché

840 $ × 45 000 1 100 $ × (−10 000)

=

37 800 000 $

= −11 000 000

490 $ × 9 500

=

4 655 000 31 455 000 $

Coûts variables : Nouveaux bâtons

300 $ × 45 000

Bâtons de luxe

650 $ × (− 10 000) = − 6 500 000

Bâtons bon marché

200 $ × 9 500

= =

13 500 000 $ 1 900 000 8 900 000 $

Voici l’état des résultats prévisionnel lié à ce projet : Chiffre d’affaires Coûts variables Coûts fixes ACC 20 400 000 / 8 = BAII Impôts (35 %) Bénéfice net

31 455 000 $ 8 900 000 8 000 000 2 550 000 12 005 000 $ 4 201 750 7 803 250 $

FME = BN + A = 7 803 250 $ + 2 550 000 $ = 10 353 250 $ 1 − 1,10−8 � = −20 400 000 $ − 1 000 000 $ + 10 353 250$   + 1 000 000 $(1,10)−8 0,10 = 34 300 332 $

ΔVAN / ΔP = (34 300 332 $ − 28 058 468 $) / (840 $ − 800 $) = 156 047 $ Pour chaque augmentation (ou diminution) de 1 $ du prix des bâtons, la VAN augmente (ou diminue) de 156 047 $. Pour déterminer la sensibilité de la VAN aux variations de la quantité vendue des nouveaux bâtons, supposons une nouvelle quantité de vente prévue de 46 000 unités, soit 1 000 unités de plus.

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Chiffre d’affaires : Nouveaux bâtons Bâtons de luxe Bâtons bon marché

800 $ × 46 000

=

36 800 000 $

1 100 $ × (−10 000) = −11 000 000 490 $ × 9 500

=

4 655 000 30 455 000 $

Coûts variables : Nouveaux bâtons

300 $ × 46 000

Bâtons de luxe

650 $ × (− 10 000) = − 6 500 000

Bâtons bon marché

200 $ × 9 500

= =

13 800 000 $ 1 900 000 9 200 000 $

Voici l’état des résultats prévisionnel lié à ce projet : Chiffre d’affaires Coûts variables Coûts fixes ACC 20 400 000 / 8 = BAII Impôts (35 %) Bénéfice net

30 455 000 $ 9 200 000 8 000 000 2 550 000 10 705 000 $ 3 746 750 6 958 250 $

FME = BN + A = 6 958 250 $ + 2 550 000 $ = 9 508 250 $ 1 − 1,10−8 � = −20 400 000 $ − 1 000 000 $ + 9 508 250$   + 1 000 000 $(1,10)−8 = 29 792 319 $ 0,10 ΔVAN / ΔQ = (29 792 319 $ − 28 058 468 $) / (46 000 − 45 000) = 1 733,85 $ Pour chaque augmentation (ou diminution) d’un bâton vendu, la VAN augmente (ou diminue) de 1 733,85 $.

25. a) Coût total additionnel de la voiture hybride : 10 000 $ + (6 × 400) = 12 400 $ Coût (en essence) par kilomètre pour la voiture traditionnelle : 6,7 L / 100 km × 0,90 $ par litre × 1 / 100 = 0,0603 $ / km Coût (en essence) par kilomètre pour la voiture hybride : 5 L / 100 km × 0,90 $ par litre × 1 / 100 = 0,045 $ / km Économie par kilomètre = 0,0603 $ − 0,045 $ = 0,0153 $ / km Point mort en kilomètres = 12 400 $ / 0,0153 $ / km = 810 457,5 km au total en 6 ans ou 810 457,5 km / 6 ans = 135 076 km / an b) Total de kilomètres = 6 × 20 000 = 120 000 km Économie espérée par kilomètre = 12 400 $ / 120 000 km = 0,1033 $ / km Pour trouver le prix de l’essence par litre qui rendrait les deux voitures équivalentes, on peut résumer ainsi : P / (100 / 6,7) − P / (100 / 5) = 0,1033 $ / km P (6,7 / 100 − 5 / 100) = 0,1033 $ / km P = 6,08 $ par litre  1 − (1,10)  c) Coût total additionnel de la voiture hybride : 10 000 $ + 400 ×   = 11 742 $  1,10  −6

Économie par kilomètre = 0,0603 $ − 0,045 $ = 0,0153 $ / km

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Point mort en kilomètres = 11 742 $ / 0,0153 $ / km = 767 458 km au total en 6 ans  1 − (1,10)  ou 767 458 km /   = 176 214 km / an  1,10  −6

 1 − (1,10)  Total de kilomètres = 20 000 ×   = 87 105 km  1,10  −6

Économie espérée par kilomètre = 11 742 $ / 87 105 km = 0,1348 $ / km Pour trouver le prix de l’essence par litre qui rendrait les deux voitures équivalentes, on peut résumer ainsi : P / (100 / 6,7) − P / (100 / 5) = 0,1348 $ / km P (6,7 / 100 − 5 / 100) = 0,1348 $ / km P = 7,93 $ par litre d) L’hypothèse implicite de l’analyse précédente est que chaque voiture se déprécie de la même valeur chaque année. 26. a) FM par avion = 13 000 000 000 $ / 249 = 52 208 835 $ b) VAperpétuité = C / r ; 13 000 000 000 = C / 0,10 ; C = 1 300 000 000 $ 1 300 000 000 $ / 52 208 835 $ = 24,9 ou 25 avions par année 1−1,10 −20

c) �� = 13 000 000 000 $ =  $ 

0,10

 ;  = 1 526 975 122 $

1 526 975 122 $ / 52 208 835 $ = 29,2 ou 30 avions par année 27. a) FME = [(P − v) × Q − CF] × (1 − t) + t × A ; en réorganisant l’équation, on obtient : (FME − tA) / (1 − t) = (P − v) × Q − CF Q = {CF + [(FME − t × A) / (1 − t)]} / (P − v) b) Point mort de trésorerie Qt = CF / (P − v) = (500 000 $ / (40 000 $ − 20 000 $) = 25 Point mort Q = {500 000 $ + [700 000 $ − (700 000 $ × 0,38) / 0,62]} / (40 000 $ − 20 000 $) = 60  1 − (1, 20)  FMEfin = 3 500 000 $ ×   = 1 170 328,96 $ ; donc, Qf = 99,19  1, 20  −5

Qf = {CF + [(FME − t × A) / (1 − t)]} / (P − v) = {500 000 $ + [1 170 328,96 $ − (700 000 $ × 0,38) / 0,62]} / (40 000 $ − 20 000 $) = 70,22 c) Au point mort, le bénéfice net est de zéro. Donc, FME = BN + A = A. Q = {CF + [(A − tA) / (1 − t)]} / (P − v) = (CF + A) / (P − v) = (CF + FME) / (P − v) 28. CLE = ∆ % FME / ∆ % Q = [(FME1 − FME0) / FME0] / [(Q1 − Q0) / Q0] FME1 = [(P − v) × Q1 − CF] × (1 − t) + tA FME0 = [(P − v) × Q0 − CF] × (1 − t) + tA FME1 − FME0 = (P − v) × (1 − t) × (Q1 − Q0) (FME1 − FME0) / FME0 = [(P − v) × (1 − t) × (Q1 − Q0)] / FME0 [(FME1 − FME0) / FME0] × [(Q1 − Q0) / Q0] = [(P − v) × (1 − t) × Q0] / FME0 = [FME0 − tA + CF × (1 − t)] / FME0 CLE = 1 + [CF × (1 − t) − tA] / FME0

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29. a) Afin de trouver la VAN, on a besoin des flux monétaires après impôts de chaque année, de la valeur actuelle des économies d’impôts liées à l’amortissement, ainsi que des flux monétaires de début et de fin de projet. FM après impôts, année 0 = –3 200 000 $ – 360 000 $ = – 3 560 000 $ FM après impôts, années 1 à 5 = (V – C)(1 – t) = (35 000 × 230 $ – (450 000 + 35 000 × 185 $) (1 – 0,40) = (8 050 000 $ – 6 925 000 $) (1 – 0,40) = 675 000 $ FM fin de projet, année 5 = récup. FDR + Valeur de revente = 360 000 $ + 500 000 $ = 860 000 $ � =

3 200 000$(0,2)(0,40) [1 + 0,5(0,13)] 500 000$(0,2)(0,40) 1 − × (0,13 + 0,2) (0,13 + 0,2) (1,13)5 1 + 0,13

= 665 345 $  1 − (1,13)  5 VAN = –3 560 000 $ + 675 000 $   + 665 345 $ + 860 000 $ / 1,13 = –53 750 $  1,13  −5

L’entreprise ne devrait pas réaliser ce projet.

b) Élément Coût initial Valeur revente Prix ∆FDR

Scénario de base 3 200 000 $ 500 000 230 360 000

Pire scénario 3 680 000 $ 425 000 207 378 000

Meilleur scénario 2 720 000 $ 575 000 253 342 000

ACC1, pire = (3 680 000 $ / 2) (0,2) = 368 000 $. On procède de la même façon afin de calculer l’ACC pour chacune des 4 années restantes. FME1, pire = [(207 $ – 185 $) (35 000) – 450 000 $] (0,60) + 0,40 (368 000 $) = 339 200 $ On procède de la même façon afin de calculer les FME pour les 4 années restantes. Afin de trouver la VAN du pire scénario, on a besoin des flux monétaires après impôts de chaque année, de la valeur actuelle des économies d’impôts liées à l’amortissement, ainsi que des flux monétaires de début et de fin de projet basés sur les hypothèses du pire scénario. FM après impôts, année 0 = −3 680 000 $ – 378 000 $ = −4 058 000 $ FM après impôts, années 1 à 5 = (V – C) (1 – t) = (7 245 000 $ – 6 925 000 $) (1 – 0,40) = 192 000 $ FM fin projet, année 5 = récup. FDR + Valeur de revente = 378 000 $ + 425 000 $ = 803 000 $ VAEI =

–

3 680 000 $ (0,2)(0,40) 0,13 + 0,2

425 000 $ (0,2)(0,40) 0,13 + 0,2

×

×

[1 + 0, 5(0,13)] 1 + 0,13

1 (0,13)

5

= 784 884 $  1 − (1,13)  5 VANpire = –4 058 00 $ – 192 000 $   + 384 884 $ + 803 000 $ / 1,13 = −2 161 972 $ 1,13   −5

ACC1, meilleur = (2 720 000 $ / 2) (0,2) = 272 000 $ Chapitre 11 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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On procède de la même façon pour calculer l’ACC pour les 4 années restantes. FME1, meilleur = [(253 $ – 185 $) (35 000) – 450 000 $] (0,60) + 0,40 (272 000 $) = 1 266 800 $ On procède de la même façon pour calculer les FME pour les 4 années restantes. Afin de trouver la VAN du meilleur scénario, on a besoin des flux monétaires après impôts de chaque année, de la valeur actuelle des économies d’impôts liées à l’amortissement, ainsi que des flux monétaires de début et de fin de projet basés sur les hypothèses du meilleur scénario. FM après impôts, année 0 = –2 720 000 $ – 342 000 $ = –3 062 000 $ FM après impôts, années 1 à 5 = (S – C) (1 – t) = (8 855 000 $ – 6 925 000 $) (1 – 0,40) = 1 158 000 $ FM fin projet, année 5 = récup. FDR + Valeur de revente = 342 000 $ + 575 000 $ = 1 002 500 $ VAEI =

2 720 000 $ (0,2)(0,40)

×

0,13 + 0,2

–575 000 $ (0,2)(0,40) 0,13 + 0,2

×

[1 + 0, 5(0,13)] 1 + 0,13

1 (0,13)

5

= 545 807 $  1 − (1,13)  5 VANmeilleur = –3 062 000 $ + 1 158 000 $   + 545 807 $ + 917 000 $ / 1,13 = 2 054 471 $  1,13  −5

30. Pour déterminer la sensibilité des FME aux variations de la quantité vendue de vis de mécanique, supposons une nouvelle quantité de vente prévue de 36 000 unités. Q = 36 000 : FME1 = [(230 $ – 185 $) (36 000) – 450 000 $] (0,60) + 0,40 (320 000 $) = 830 000 $ Les FME pour chacune des 4 années restantes du projet peuvent être trouvés de la même façon. ΔFME / ΔQ = (830 000 $ – 803 000 $) / (36 000 – 35 000) = 27 $ Pour chaque tonne de vis en plus, les FME augmentent de 27 $. Pour trouver la VAN, on a besoin des flux monétaires après impôts de chaque année, de la valeur actuelle des économies d’impôts liées à l’ACC, ainsi que des flux monétaires de début et de fin de projet. FM après impôts, année 0 = –3 200 000 $ – 360 000 $ = –3 560 000 $ FM après impôts, années 1 à 5 = (V – C)(1 – t) = (36 000 × 230 $ - (450 000 + 36 000 × 185 $))(1-0,40) = (8 280 000 $ – 7 110 000 $) (1 – 0,40) = 702 000 $ FM fin projet, année 5 = récup. FDR + Valeur revente = 360 000 $ + 500 000 $ = 860 000 $ VAEI = 665 345 $.  1 − (1,13)  5 VAN = –3 20 000 $ + 702 000 $   + 665 345 $ + 860 000 $ / 1,13 = 41 215 $  1,13  −5

ΔVAN / ΔQ = (41 215 $ – (–53 750 $) / (36 000 – 35 000) = 94,97 $ Pour chaque tonne de vis en plus, la VAN augmente de 94,97 $. Q ne doit pas passer en-dessous du point où la VAN = 0. 53 750 $ = 94,97 $ (ΔQ) ; ΔQ = 566 ; Qmin = 35 000 + 566 = 35 566 tonnes 31. Pour 1 an : à Qc, FME1 = 0 : CF + Qc =

FME – t × A 1–t P–v

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450 000 $ =

0 – 0, 40(320 000 $) 1 – 0, 40

230 $ – 185 $

= 5 259

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Pour l’année 1 Q = (450 000 $ + 320 000 $) / (230 $ – 185 $) ; Qa = 17 111 À partir du problème 30, on a Q = 35 566. 32. Pour l’année 1 : CLE1 = 1 + [450 000 $ (1 – 0,40) – 0,40 (320 000 $)] / 803 000 $ = 1,1768 Donc, une hausse de 1 % de la quantité mène à une hausse de 1,1768 % des FME. Si Q augmente à 36 000, ∆Q = (36 000 – 35 000) / 35 000 = 2,857 %. Alors %∆FME = 2,857 % (1,1768) = 3,362 %. À partir du problème 30, on a ∆FME / FME = (830 000 $ – 803 000 $) / 803 000 $ = 0,033624. Donc, si Q augmente de 1 unité, les FME augmentent de 3,3624 %.

Abréviations ACC : amortissement du coût en capital

FM : flux monétaire

BAII : bénéfice avant intérêts et impôts

FME : flux monétaire d’exploitation

BN : bénéfice net

P : prix de vente

CF : coûts fixes

TRI : taux de rendement interne

CLE : coefficient de levier d’exploitation

v : coût variable unitaire total

CT : coût total

VA : valeur actualisée

CV : coûts variables

VAEI : valeur actuelle des économies d’impôt

FDR : fonds de roulement

VAN : valeur actualisée nette

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Chapitre 12 Quelques leçons à tirer de l’histoire des marchés financiers Solutions aux questions et problèmes Notions de base 1. R = [2,40 $ + (102 $ – 91 $)] / 91 $ = 14,73 % 2. Rendement des dividendes = 2,40 $ / 91 $ = 2,637 % Rendement des gains en capital = (102 $ – 91 $)] / 91 $ = 12,09 % 3. R = [2,40 $ + (83 $ – 91 $)] / 91 $ = –6,15 % Rendement des dividendes = 2,40 $ / 91 $ = 2,637 % Rendement des gains en capital = (83 $ – 91 $)] / 91 $ = –8,791 % Notez qu’un rendement en dividende ne peut être négatif puisque cela équivaudrait à payer la compagnie pour obtenir le privilège de détenir l’action. 4. a) Le rendement total en dollars est l’augmentation du prix plus le paiement de coupon, donc : Rendement en dollars total = 1 070 $ − 1 040 $ + 70 $ = 100 $ b) Le rendement total en pourcentage de l’obligation = (1 070 $ − 1 040 $ + 70 $) / 1 040 $ = 9,62 % c) En utilisant l’équation de Fisher, le rendement réel est : (1 + R) = (1 + r) (1 + h) r = (1,0962 / 1,0406) – 1 = 5,39 % 5.

a) Selon le tableau 12.2, le rendement moyen annuel des actions canadiennes pour cette période est de 10,08 % nominal. b) En utilisant l’équation de Fisher et sachant que selon le tableau 12.2, le taux d’inflation est de 3,80 %, le rendement réel est : (1 + R) = (1 + r) (1 + h) r = (1,1008 / 1,0380) – 1 = 6,05 %

6. Selon le tableau 12.2, le rendement nominal des obligations à long terme est de 8,43 %. En utilisant l’équation de Fisher et sachant que selon le tableau 12.2, le taux d’inflation est de 3,80 %, le rendement réel est : (1 + R) = (1 + r)(1 + h) r = (1,0843 / 1,0380) – 1 = 4,46 %

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104

7.

 N  (0, 08 + 0, 21 + 0,17 − 0,16 + 0, 09)  ∑ xi  / N = 5  i = 1   N  (0,16 + 0, 38 + 0,14 – 0, 22 + 0, 26) =  ∑ yi  / N = 5  i = 1 

X =

= 7, 80 %

Y

= 14, 40 %

 N  2 σ =  ∑ ( xi − X )  / ( N – 1)  i = 1  2 x

=

1 5 –1

× [(0,08 – 0,078) 2 + (0,21 – 0,078)2 + (0,17 – 0,078)2 + (–0,16 – 0,078)2

+ (0,09 – 0,078)2] = 0,02067



2

σy = 

N

∑

 i = 1

=

1 5 –1

( yi

 − Y ) 2  / ( N – 1) 

× [(0,16 – 0,144) 2 + (0,38 – 0,144)2 + ( 0,14 – 0,144) 2 + (– 0,22 – 0,144) 2

+ (0,26 – 0,144) 2] = 0,05048

σx =

0, 02067 = 14, 37 % ;

σy =

0, 05048 = 22, 47 %

8. Année 1970 1971 1972 1973 1974 1975 Somme

Rendements (actions) –3,57 % 8,01 27,37 0,27 –25,93 18,48 24,63 %

Rendements (bons du Trésor) 6,89 % 3,86 3,43 4,78 7,68 7,05 33,69 %

Prime de risque –10,46 % 4,15 34,94 –4,51 –33,61 11,43 –9,06 %

a) Rendement moyen des actions = 24,63 % / 6 = 4,105 % Rendement moyen des bons du Trésor = 33,69 % / 6 = 5,615 % b) Actions des petites entreprises Variance = 0,034777 ; écart-type = 18,65 % Bons du Trésor Variance = 0,00033001 ; écart-type = 1,82 % c) Prime de risque moyenne = –9,06 / 6 = –1,51 % Variance = 0,03933388 ; écart-type = 19,83 % d) Avant tout, pour la plupart des actifs, la prime de risque est positive. En effet, les investisseurs demandent un rendement supérieur au taux sans risque pour investir dans des actifs risqués. Ensuite, la prime de risque peut être négative si le rendement nominal de l’actif est assez faible ou si le rendement sans risque est assez élevé.

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9.

a) Rendement moyen = (0,07 – 0,12 + 0,11 + 0,38 + 0,14) / 5 = 11,6 % b) Variance = 1 / 4 × [(0,07 – 0,116)2 + (–0,12 – 0,116) 2 + (0,11 – 0,116)2 + (0,38 – 0,116)2 + (0,14 – 0,116)2] = 0,03203 Écart-type = 17,89 %

10. (1 + R) = (1 + r)(1 + h) a) r = (1,116 / 1,035) – 1 = 7,83 % b) RP = R – Rf = 0,116 – 0,042 = 7,4 % 11. rf = (1,042 / 1,035) – 1 = 0,68 % ; rP = r – rf = 7,83 % – 0,68 % = 7,15 % 12. Les rendements des bons du Trésor étaient les plus élevés pendant le début des années 1980. Cela correspond au fait que, pendant cette période, le taux d’inflation était très élevé. Ces observations sont en conformité avec l’effet Fischer.

Notions intermédiaires  1 − (1, 07 )−6  −6 13. P1 = 80 ×   + 1000 (1, 07 ) = 1 047,67 $ 0, 07   R = (80 $ + 1 047,67 $ – 1 030 $) / 1 030 = 9,48 % r = (1,0948 / 1,042) – 1 = 5,07 % 14. Rendement moyen = 10,5 % = 1 / 5 × (7 % – 12 % + 18 % + 19 % + r %) ; r = 20,5 % Variance = 1 / 4 × [(0,07 – 0,105)2 + (– 0,12 – 0,105) 2 + (0,18 – 0,105)2 + (0,19 – 0,105)2 + (0,205 – 0,105)2] = 0,018675 Écart-type = 13,67 % 15. Rendement moyen arithmétique = (0,03 + 0,38 + 0,21 – 0,15 + 0,29 – 0,13) / 6 = 10,5 % Rendement moyen géométrique « r » : (1 + r)6 = [(1 + 0,03)(1 + 0,38)(1 + 0,21)(1 – 0,15)(1 + 0,29)(1 – 0,13)] ; r = [(1,03)(1,38)(1,21)(0,85)(1,29)(0,87)](1/6) – 1 = 8,602 % 16. r1 = (73,66 $ – 60,18 $ + 0,60 $) / 60,18 $ = 23,39 % r2 = (94,18 $ – 73,66 $ + 0,64 $) / 73,66 $ = 28,73 % r3 = (89,35 $ – 94,18 $ + 0,72 $) / 94,18 $ = –4,36 % r4 = (78,49 $ – 89,35 $ + 0,80 $) / 89,35 $ = –11,26 % r5 = (95,05 $ – 78,49 $ + 1,20 $) / 78,49 $ = 22,63 % Rendement moyen arithmétique = (0,2339 + 0,2873 – 0,0436 – 0,1126 + 0,2263) / 5 = 11,825 % Rendement moyen géométrique « r » : (1 + r)5 = [(1,2339) + (1,2873) + (0,9564) + (0,8874) + (1 ,2263)] ; r = [(1,2339) + (1,2873) + (0,9564) + (0,8874) + (1,2263)]1/5 – 1 = 10,58 % 17. On remarque au tableau 12.4 que le rendement moyen des obligations à long terme entre 1957 et 2014 est de 8,43 % avec un écart-type de 9,62 %. Donc, le rendement des obligations à long terme ≈ N (8,43 % ; 9,62 %). En utilisant la statistique « Z » et la table de distribution cumulative de la loi normale, on trouve : Z = (X – µ ) / σ = (–2,2 % –8,43 %) / 9,62 % = –1,105 écarts-types P (Z < –1,1) = 13,57 % Niveau de 95 % : r = µ ± 2σ = 8,43 % ± (2 × 9,62 %) = –10,81 % à 27,67 % Niveau de 99 % : r µ ± 3 σ = 8,43 % ± (3 × 9,62 %) = –20,43 % à 37,29 % Chapitre 12 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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18. On remarque au tableau 12.4 que le rendement moyen des actions de petites entreprises entre 1957 et 2014 est de 13,86 % avec un écart-type de 26,03 %. Donc, le rendement des actions de petites entreprises ≈N (13,86 % ; 26,03 %). On s’intéresse donc à la probabilité que le rendement soit supérieur à 100 % et à 200 % en 1 an. En utilisant la statistique « Z » et la table de distribution cumulative de la loi normale, on trouve : Z = (X – µ ) / σ Pour calculer la probabilité que le rendement soit supérieur à 100 % : Z = (100 % – 13,86 %) / 26,03 % = 3,31 écart-types P (Z > 3,31) = 0,00015 % Pour calculer la probabilité que le rendement soit supérieur à 200 % : Z = (200 % – 13,86 %) / 26,03 % = 7,15 écarts-types P (Z > 7,15) correspond à une probabilité pratiquement nulle. 19. Il est impossible de perdre plus que 100 % d’un investissement. Par conséquent, la distribution des rendements est tronquée à gauche à –100 %. 20. Rendement réel = r = [(1 + R) / (1 + h)] – 1 Année 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 Somme

Rendements (bons du Trésor) 4,78 % 7,68 7,05 9,10 7,64 7,90 11,01 12,23 67,39 %

Inflation 9,36 % 12,30 9,52 5,87 9,45 8,44 9,69 11,20 75,83 %

Rendements réels –4,19 % –4,11 –2,26 3,05 –1,65 –0,5 1,20 0,93 –7,53 %

a) Rendement moyen des bons du Trésor = 67,39 % / 8 = 8,42 % Inflation moyenne = 75,93 % / 8 = 9,48 % b) Variance des bons du Trésor = 1 / 7 [(0,0478 – 0,0842) 2 + (0,0768 – 0,0842) 2 + (0,0705 – 0,0842) 2 + (0,091 – 0,0842)2 + (0,0764 – 0,0842) 2 + (0,079 – 0,0842) 2 + (0,1101 – 0,0842) 2 + (0,1223 – 0,0842) 2] = 0,000546 Écart-type du rendement des bons du Trésor = 2,34 % Variance de l’inflation = 1 / 7 [(0,0936 – 0,0948)2 + (0,123 – 0,0948)2 + (0,0952 – 0,0948) 2 + (0,0587 – 0,0948)2 + (0,0945 – 0,0948) 2 + (0,0844 – 0,0948)2 + (0,0969 – 0,0948)2 + (0,1120 – 0,0948)2] = 0,000358 Écart-type de l’inflation = 1,89 % c) Rendement réel moyen = –7,53 % / 8 = –0,94 % d) L’argument voulant que les bons du Trésor soient considérés comme des titres sans risque repose sur le fait qu’il y a une probabilité très faible que le gouvernement ne soit pas en mesure de rembourser sa dette. Puisque les bons du Trésor sont des outils de financement à court terme, le risque lié aux variations des taux d’intérêts est aussi très faible. Cependant, cet exemple montre que le risque d’inflation est bien réel (c’est-àdire le pouvoir d’achat d’un investisseur peut diminuer dans le temps, même si ce dernier touche un rendement nominal positif).

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Problèmes complexes 21. On remarque au tableau 12.4 que le rendement moyen des actions ordinaires entre 1957 et 2014 est de 10,08 % avec un écart-type de 16,55 %. Donc, le rendement des actions ordinaires ≈ N (10,08 % ; 16,55 %). On cherche : P(r < 0 %). En utilisant la statistique « Z » et la table de distribution cumulative de la loi normale, on trouve : Z = (X – µ) / σ = (0 % – 10,08 %) / 16,55 % = –0,6091 écarts-types P (Z < –0,6091) = 27,12 % 22. µ = 8,43 % ; σ = 9,62 % pour les obligations à long terme µ = 5,85 % ; σ = 3,88 % pour les bons du Trésor a) P (r > 10 %) = 1 – P (r < 10 %) = 1 – 0,5648 = 43,52 % P (r < 0 %) = 19,04 % b) P (r > 10 %) = 1 – P (r < 10 %) = 1 – 0,8576 = 14,24 % P (r < 0 %) = 6,58 % c) P (r < –2,09 % ) = 13,71 % ; P (r > 19,11 %) = 1 – P (r < 19,11 %) = 1 – 0,99968 = 0,03%

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Chapitre 13 Le rendement, le risque et la courbe risque-rendement Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. Valeur totale = (145× 45 $) + (110 × 27 $) = 9 495 $ PoidsA = (145 × 45 $) / 9 495 $ = 0,6872 ; poidsB = (110 × 27 $) / 9 495 $ = 0,3128 2. E(rp) = [2 950 $ / (2 950 $ + 3 700 $)] × 0,08 + [3 700 $ / (2 950 $ + 3 700 $)] × 0,11 = 9,67 % 3. E(rp) = (0,35 × 0,09) + (0,20 × 0,17) + (0,45 × 0,13) = 12,40 % 4. E(rp) = 0,111 = (0,12 × WX) + 0,095 × (1 – WX) ; WX = 0,64 Investissement dans le titre X = 0,64 × 10 000 $ = 6 400 $ Investissement dans le titre Y = (1 – 0,64) × (10 000 $) = 3 600 $ 5. E(r) = (0,30 × – 0,14) + (0,70 × 0,22) = 11,20 % 6. E(r) = [0,2 × (– 0,18)] + (0,5 × 0,11) + (0,3 × 0,29) = 10,60 % 7. E(rA) = (0,20 × 0,05) + (0,55 × 0,08) + (0,25 × 0,13) = 8,65 % E(rB) = [0,20 × (–0,17)] + (0,55 × 0,12) + (0,25 × 0,29) = 10,45 % σ2A = 0,20 × (0,05 – 0,0865)2 + 0,55 × (0,08 – 0,0865)2 + 0,25 × (0,13 – 0,0865) 2 = 0,00076275 σA = (0,00076275)1/2 = 2,76 % σ2B = 0,20 × (–0,17 – 0,1045) 2 + 0,55 × (0,12 – 0,1045)2 + 0,25 × (0,29 – 0,1045) 2 = 0,02380475 σB = (0,02380475)1/2 = 15,43 % 8. E(rp) = (0,15 × 0,08) + (0,55 × 0,14) + (0,3 × 0,18) = 14,30 % On peut espérer un rendement de 14,30 % en détenant ce portefeuille. 9. a) Prospérité : E(rp) = (0,07 + 0,15 + 0,33) / 3 = 0,1833 Récession : E(rp) = (0,13 + 0,03 – 0,06) / 3 = 0,033 E(rp) = (0,65 × 0,1833) + (0,35 × 0,0333) = 13,08 %

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b) Traiter le portefeuille comme un titre individuel Prospérité : E(rp) = (0,2 × 0,07) + (0,2 × 0,15) + (0,6 × 0,33) = 0,242 Récession : E(rp) = (0,2 × 0,13) + (0,2 × 0,03) + (0,6 × – 0,06) = –0,004 E(rp) = (0,65 × 0,242) + (0,35 × –0,004) = 15,59 % σ2P = 0,65 × (0,242 – 0,1559) 2 + 0,35 × (–0,004 – 0,1559)2 = 0,01377 10. a) Prospérité : E(rp) = (0,3 × 0,35) + (0,3 × 0,45) + (0,4 × 0,27) = 0,348 Bon : E(rp) = (0,3 × 0,16) + (0,3 × 0,1) + (0,4 × 0,08) = 0,110 Faible : E(rp) = (0,3 × -0,01) + (0,3 × –0,06) + (0,4 × –0,04) = –0,037 Récession : E(rp) = (0,3 × –0,12) + (0,3 × –0,12) + (0,4 × –0,09) = –0,108 Rendement espéré = (0,348 × 0,15) + (0,11 × 0,55) + (–0,037 × 0,25) + (–0,108 × 0,05) = 9,81 % b) Traiter le portefeuille comme un titre individuel σ2P = 0,15 × (0,348 – 0,0981) 2 + 0,55 × (0,11 – 0,0981)2 + 0,25 × (–0,037 – 0,0981) 2 + 0,05 × (–0,108 – 0,0981)2 = 0,016132 σP = (0,016132)1/2 = 12,70 % 11. Le coefficient bêta d’un portefeuille est la moyenne pondérée des coefficients bêta des titres individuels. βP = (0,35 × 0,84) + (0,25 × 1,17) + (0,30 × 1,11) + (0,1 × 1,36) = 1,06 12. Par définition, le bêta du marché = 1. Puisque le niveau du risque du portefeuille est égal à celui du marché, on cherche donc : bêta du portefeuille = bêta du marché = 1 βP = 1 = (1 / 3 × 0) + (1 / 3 × 1,27) + (1 / 3 × βX) ; βX = 1,73 13. E(ri) = 0,038 + [(0,10 – 0,038) × 1,05] = 10,31 % 14. E(ri) = 0,102 = 0,045 + 0,075 βi ; βi = 0,76 15. E(ri) = 0,124 = 0,042 + [(E(rM) – 0,042) × 1,17] ; E(rM) = 11,21 % 16. E(ri) = 0,133 = rf + [(0,105 – rf) × 1,45] ; rf = 4,28 % 17. a) E(rp) = (0,14 + 0,021) / 2 = 8,05 % b) βP = 0,93 = (XS × 1,25) + (1 – XS) × 0 ; XS = 0,93 / 1,25 = 0,7440 ; Xrf = 0,2560 c) E(rp) = 0,09 = (0,14 × XS) + 0,021 × (1 – XS) ; XS = 0,5798 ; β P = (0,5798 × 1,25) + (1 – 0,5798) × 0 = 0,725 d) βP = 2,5 = (XS × 1,25) + (1 – XS) × 0 ; XS = 2,5 / 1,25 = 2 ; Xrf = –1 Le portefeuille est investi à 200 % dans le titre risqué et à –100 % dans l’actif sans risque. Cela signifie qu’on emprunte au taux sans risque et qu’on investit dans l’actif risqué.

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18. βP = (XW × 1,25) + (1 – XW) × 0 = 1,25XW E(rW) = 0,128 = 0,041 + (Prime de risque du marché × 1,25) ; Prime de risque du marché = 0,087 / 1,25 = 6,96 % E(rp) = 0,041 + 0,0696 × β P ; Prime de risque du marché = Pente de la droite = 0,0696 E(rp) = 0,041 + 0,0696 × βP = 0,041 + 0,0696 (1,25 × XW) = 0,041 + 0,087 XW Xw 0% 25% 50% 75% 100% 125% 150%

E(Rp) 4,10% 6,28% 8,45% 10,63% 12,80% 14,98% 17,15%

Coefficient bêta 0,00 0,31 0,63 0,94 1,25 1,56 1,88

19. E(rI) = 0,055 + 0,068 × βi 0,153 > E(rY) = 0,055 + (0,068 × 1,3) = 0,1434. Le titre rapporte plus que ce qui était prévu, compte tenu du risque. (Le point correspondant au titre Y se trouve au-dessus de la droite risque-rendement.) Donc, le titre est sous-évalué. 0,093 < E(rZ) = 0,055 + (0,068 × 0,7) = 0,1026. Le titre rapporte moins que ce qui était prévu, compte tenu du risque. (Le point correspondant au titre Z se trouve au-dessous de la droite de risque-rendement.) Donc, le titre est surévalué. 20. (0,153 – rf) / 1,3 = (0,093 – rf) / 0,7 ; rf = 2,30 %

Notions intermédiaires 21. P1 = Actions canadiennes + Obligations à long terme E(rP1) = (0,1008 + 0,0843) / 2 = 9,26 % P2 = Actions de petites entreprises + Bons du Trésor E(rP2) = (0,1386 + 0,0585) / 2 = 9,86 % 22. (E(rA) – rf) / βA = (E(rB) – rf) / βB Le numérateur de chaque équation correspond à la prime de risque de l’actif, donc : PRA / βA = PRB / βB ; βB / βA = PRB / PRA 23. a) Prospérité : E(rp) = (0,4 × 0,24) + (0,4 × 0,36) + (0,2 × 0,55) = 0,35 Normale : E(rp) = (0,4 × 0,17) + (0,4 × 0,13) + (0,2 × 0,09) = 0,138 Récession : E(rp) = (0,4 × 0) + [0,4 × (–0,28)] + [0,2 × (–0,45)] = –0,202 E(rp) = (0,2 × 0,35) + (0,55 × 0,138) + (0,25 × – 0,202) = 9,54 % Traiter le portefeuille comme un titre individuel σ2P = 0,2 × (0,35 – 0,0954)2 + 0,55 × (0,138 – 0,0954) 2 + 0,25 × (–0,202 – 0,0954) 2 = 0,036074 ; σP = (0,036074)1/2 = 18,99 % b) PRi = E(ri) – rf = 0,0954 – 0,038 = 5,74 %

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c) Rendement réel espéré approximatif = 0,0954 – 0,035 = 6,04 % Rendement réel espéré exact = E(ri) = (1,0954 / 1,035) – 1 = 5,84 % Prime de risque réelle approximative = 0,0574 – 0,035 = 2,24 % Prime de risque réelle exacte = (1,0574 / 1,035) – 1 = 2,16 % 24. βP = 1 = (XA × 0,95) + (XB × 1,15) + (XC × 1,29) + (Xrf × 0) ; XC = 0,328488. On investit 0,328488 × 1 000 000 $ = 328 488,37 $ dans le titre C. Sachant que la somme des poids des titres dans le portefeuille est égale à 1 et que XA = 0,195 ; XB = 0,34 ; XC = 0,328488, on peut poser : 1 = XA + XB + XC + Xrf On trouve : Xrf = 1 – 0,195 – 0,34 – 0,3248488 = 0,136512 ; on investit donc 0,136512 × 1 000 000 $ = 136 511,63 $ dans le titre sans risque.

Problèmes complexes 25. E(rp) = 0,17 = (WX × 0,148) + [(1 – WX ) × 0,112] WX = 1,6111 et WY = 1 – 1,6111 = –0,6111 Il faut donc vendre à découvert le titre Y pour un montant de (0,6111 × 100 000 $) = 61 111$ et investir un montant de (1,6111 × 100 000 $) = 161 111$ dans le titre X. βP = (1,6111 × 1,35) × (–0,6111 × 0,9) = 1,625 26. E(rI) = (0,25 × 0,02) + (0,5 × 0,21) + (0,25 × 0,06) = 12,50 % ; En utilisant le MEDAF, on trouve : 0,125 = 0,04 + 0,08βI ; βI = 1,0625 σ2I = 0,25 × (0,02 – 0,125) 2 + 0,5 × (0,21 – 0,125) 2 + 0,25 × (0,06 – 0,125) 2 = 0,013825 σI = (0,013825) 1/2 = 11,76 % E(rII) = (0,25 × – 0,25) + (0,5 × 0,09) + (0,25 × 0,44) = 9,25 % En utilisant le MEDAF, on trouve : 0,0925 = 0,04 + 0,08βII ; β II = 0,6563 σ2II = 0,25 × (–0,25 – 0,0925) 2 + 0,5 × (0,09 – 0,0925)2 + 0,25 × (0,44 – 0,0925)2 = 0,059525 σII = (0,059525) 1/2 = 24,40 % L’action II comporte un niveau de risque total supérieur à celui de l’action I puisque l’écart type de ses rendements est supérieur. Néanmoins, en comparant les coefficients bêta des deux actions, on remarque que le risque systématique du titre II est moins élevé. Par conséquent, le titre I présente davantage de risque systématique, alors que le titre II a un niveau de risque non systématique et un niveau de risque total supérieur. Étant donné que le risque non systématique peut être réduit à travers la diversification du portefeuille, l’action I est plus « risquée » que l’action II, même si sa volatilité totale est moins élevée. Le titre I sera accompagné d’une prime de risque et d’un rendement espéré plus élevés. 27. Selon le MEDAF, on a : E(rPete) = 0,129 = rf + 1,15 × PRM ; donc PRM = [0,129 – rf] / 1,15 E(rRepete) = 0,102 = rf + 0,84 × PRM ; donc PRM = [0,102 – rf] / 0,84 On peut réécrire ce qui précède ainsi : [0,129 – rf] / 1,15 = [0,102 – rf] / 0,84 ; on trouve donc rf = 2,88 %. On peut réutiliser le MEDAF pour l’un ou l’autre des deux titres afin de trouver le rendement du marché : 0,129 = 0,0288 + 1,15 × (rm – 0,0288) ; rm = 11,59 % 0,102 = 0,0288 + 0,84 × (rm – 0,0288) ; rm = 11,59 % 28. a) E(rA) = (0,25 × –0,08) + (0,6 × 0,13) + (0,15 × 0,48) = 13,00 % E(rB) = (0,25 × –0,05) + (0,6 × 0,14) + (0,15 × 0,29) = 11,50 %

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b) On peut utiliser les rendements espérés obtenus en a) pour trouver la pente de la droite risque-rendement. On sait que le coefficient bêta de l’action A est de 0,25 supérieur à celui de l’action B. Par conséquent, une augmentation du coefficient bêta de 0,25 provoque une augmentation de rendement de (13,00 % – 11,50 %) = 1,50 %. La pente de la droite risque-rendement est (y2 – y1) / (x2 – x1) = 0,015 / 0,25 = 6 %. Puisque le coefficient bêta du portefeuille de marché est de 1 et que le titre sans risque a un coefficient bêta de 0, la pente de la droite risque-rendement correspond à la prime de risque espérée du marché de 6 %.

Abréviation MEDAF : modèle d’évaluation des actifs financiers

Chapitre 13 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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Chapitre 14 Le coût du capital Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. rE = [(2,75 $ × 1,058) / 59 $] + 0,058 = 10,73 % 2. rE = 0,048 + 1,2 × (0,11 – 0,048) = 12,24 % 3. rE1 = 0,045 + 1,1 × 0,07 = 12,20 % rE2 = [(1,70 $ × 1,06 $) / 39] + 0,06 = 10,62 % rE = (12,20 + 10,62) / 2 = 11,41 % 4. g1 = (1,43 $ – 1,35 $) / 1,35 $ = 0,0593 g2 = (1,50 $ – 1,43 $) / 1,43 $ = 0,0490 g3 = (1,61 $ – 1,50 $) / 1,50 $ = 0,0733 g4 = (1,69 $ – 1,61 $) / 1,61 $ = 0,0497 ga = (0,0593 + 0,0490 + 0,0733 + 0,0497) / 4 = 0,05781 rE = [1,69 $ (1,05781) / 50 $] + 0,05781 = 9,36 % gg = 1,69 $ = 1,35 $ (1 + gg)4 ; gg = (1,69 $ / 1,35 $) 1/4 – 1 = 0,05776 rE = [1,69 $ (1,05776) / 50 $] + 0,05776 = 9,35 % 5. rP = 6 / 92 $ = 6,52 % −36 6. � = 1070 $ = 30 $ 1 − (1 + )  + 1000 0 (1 + )36 

Par interpolation ou par essais et erreurs, on obtient r = 2,694 %. Coût de la dette avant impôts = Taux de rendement à l’échéance = 2 × (2,694 %) = 5,39 % Coût de la dette nette d’impôts = rD = 0,0539 (1 – 0,35) = 3,50 % 7. a)

�0 = 930 $ = 40 $ 

1 − (1 + )−54 1000 + (1 + )54 

Par interpolation ou par essais et erreurs, on obtient r = 4,338 %. Coût de la dette avant impôts = Taux de rendement à l’échéance = 2 × (4,338 %) = 8,68 % b) rD = 0,0868 (1 – 0,35) = 5,64 % c) Le taux après impôts est plus pertinent, car c’est le coût réel de la dette pour la société. Chapitre 14 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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8. VLD = 60 M$ + 35 M$ = 95 M$ VMD = 0,93 (60 M$) + 0,57 (35 M$) = 55,8 M$ + 19,95 M$ = 75,75 M$ PZ = 570 $ = 1 000 $ × (1 + r) -10 ; r = 5,78% ; rZ = 5,78 % (1 – 0,35) = 3,76% rD = 0,0564 × (55,8 / 75,75) + 0,0376 × (19,95 / 75,75) = 5,14% 9. a) CMPC = (0,60 × 0,12) + (0,05 × 0,05) + [0,35 × 0,07 × (1 – 0,35)] = 9,04 % b) Puisque les intérêts sont déductibles, mais non les dividendes, il faut tenir compte du coût de l’endettement après impôts, qui est 0,07 × (1 – 0,35) = 4,55 %. Par conséquent, après impôts, l’endettement est moins coûteux que l’émission d’actions privilégiées. 10. Si D / E = 0,45, alors la valeur totale de l’actif est D + E = E (0,45 + 1). Donc, E / V = 1 / 1,45 = 68,97 % et D / V= 0,45 / 1,45 = 31,03 %. CMPC = (0,6897 × 0,13) + [0,3103 × 0,06 × (1 – 0,35)] = 10,18 % 11. CMPC = 0,096 = 0,12 × (E / V) + 0,079 × (D / V) × (1 – 0,35) Si on multiplie par V / E de chaque côté, on obtient : 0,096 × (V / E) = 0,12 + 0,079 × 0,65 × (D / E) 0,096 × ((D / E) + 1) = 0,12 + 0,05135 × (D / E) ; 0,04465 × D / E) = 0,024 D / E = 0,5375 12. a) VLE = 8 M × 7 $ = 56 M$ ; VLD = 70 M$ + 50 M$ = 120 M$ V = 56 M$ + 120 M$ = 176 M$ ; E/V = 56 M$ / 176 M$ = 0,3182 D/V = 1 – E/V = 0,6818 b) VME = 8 M × 73 $ = 584 M$ ; VMD = (0,97 × 70 M$) + (1,04 × 50 M$) = 119,9 M$ V = 584 M$ + 119,9 M$ = 703,9 M$ ; E/V = 584 M$ / 703,9 M$ = 0,8297 D/V = 1 – E/V = 0,1703 c) La valeur marchande est la plus pertinente, car elle reflète beaucoup mieux la véritable valeur actuelle des instruments financiers utilisés par la société. 13. rE = [(4,10 $ × 1,06) / 73 $] + 0,06 = 11,95 % 1 − (1 + )−42 1000 �0 = 970 $ = 35 $  + (1 + )42 

Par interpolation ou par essais et erreurs, on obtient r1 = 3,641 %. Coût de la première émission avant impôts = 2 × 3,641 % = 7,28 % 1000 1 − (1 + )−12 �0 = 1 040 $ = 40 $  + (1 + )12 

Par interpolation ou par essais et erreurs, on obtient r2 = 3,584 %. Coût de la deuxième émission avant impôts = 2 × 3,584 % = 7,17 % wD1 = (0,97 × 70 M$) / 119,9 M$ = 0,5663, donc wD1 = (1 – 0,5663) = 0,4337 rD = (1 – 0,35) × [(0,5663 × 0,0728) + (0,4337 × 0,0717)] = 0,0470 CMPC = (0,8297 × 0,1195) + (0,1703 × 0,0470) = 10,72 %

Chapitre 14 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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14. Si le ratio D / E = 1,25, D / V = 1,25 / 2,25 = 0,5556 et E / V = 1 / 2,25 = 0,4444, on obtient : a) CMPC = 0,092 = (0,4444 × 0,14) + [0,5556 × (1 – 0,35) × rD] ; rD = 8,25 % b) CMPC = 0,092 = (0,4444 × rE) + (0,5556 × 0,068) ; rE = 15,18 % 15. VMD = 8 000 × 1 000 $ × 1,06 = 8,48 M$ ; VME = 310 000 × 57 $ = 17,67 M$ VMP = 15 000 × 72 $ = 1,08 M$ ; V = 8,48 M$ + 17,67 M$ + 1,08 M$ = 27,23 M$ rE = 0,045 + 1,05 × 0,07 = 11,85 % �0 = 1 060 $ = 32,50 $ 

1000 1 − (1 + )−50 + (1 + )50 

Par interpolation ou par essais et erreurs, on obtient r = 3,016 %. Coût de l’endettement avant impôts = 2 × 3,016 = 6,03 % rD = 0,0603 × (1 – 0,35) = 3,92 % rP = 7,40 / 72 = 10,28 % CMPC = [0,1185 × (17,67 / 27,23)] + [0,0392 × (8,48 / 27,23)] + [0,1028 × (1,08 / 27,23)] = 9,32 % 16. a) VMD = 135 000 × 1 000 $ × 1,14 = 153,9 M$ ; VME = 8,5 M × 34 $ = 289 M$ VMP = 250 000 × 91 $ = 22,75 M$ ; V = 153,9 M$ + 289 M$ + 22,75 M$ = 465,65 M$ D / V = 153,9 / 465,65 = 0,3305 ; E / V = 289 / 465,65 = 0,6206 ; P / V = 22,75 / 465,65 = 0,0489 b) Pour des projets qui présentent un risque similaire à celui d’un projet typique de la société, on devrait utiliser le CMPC comme taux d’actualisation. rE = 0,04 + 1,25 × (0,075) = 13,375 % 1000 1 − (1 + )−30 �0 = 1 140 $ = 37,50 $  + (1 + )30 

Par interpolation ou par essais et erreurs, on obtient r = 3,033 %. Coût de l’endettement avant impôts = 2 × 3,033 % = 6,07 % rD = 0,0607 × (1 – 0,35) = 3,94 % rP = 5 / 91 = 5,49 % CMPC = (0,13375 × 0,6206) + (0,0394 × 0,3305) + (0,0549 × 0,0489) = 9,87 % 17. a) Les projets Y et Z b) Si on utilise le taux du coût du capital comme taux de référence, on choisit les projets Y et Z. Par contre, si on considère le risque en utilisant la courbe rendement-risque, on obtient les résultats suivants : E(W) = 0,04 + 0,6 (0,11 – 0,04) = 0,082 < 0,088 ; donc, on accepte le projet W ; E(X) = 0,04 + 0,85 (0,11 – 0,04) = 0,0995 > 0,095 ; donc, on n’accepte pas le projet X ; E(Y) = 0,04 + 1,15 (0,11 – 0,04) = 0,1205 > 0,119 ; donc, on n’accepte pas le projet Y ; E(Z) = 0,04 + 1,45 (0,11 – 0,04) = 0,1415 < 0,15 ; donc, on accepte le projet Z. c) Le projet W serait rejeté par erreur, alors que le projet Y serait accepté par erreur. 18. a) On devrait examiner le coût pondéré général de l’émission et non pas seulement le coût de l’endettement. b) Si le ratio D / E = 0,60, D / V = 0,60 / 1,60 = 0,375 et E / V = 1 / 1,60 = 0,625, on obtient FÉ = (0,08 × 0,625) + (0,05 × 0,375) = 0,0688.

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c) X (1 – 0,0688) = 15 M$ ; X = Coût = 20 M$ / (1 – 0,0688) = 16 107 383 $ Même si les fonds sont collectés grâce à l’endettement, on devrait utiliser le coût du capital qui tient compte de la structure du capital cible de la société. 19. FÉ = (0,70 × 0,09) + (0,05 × 0,06) + (0,25 × 0,03) = 0,0735 X (1 – 0,0735) = 55 M$ ; X = Coût = 55 M$ / (1 – 0,0735) = 59 363 195 $

Notions intermédiaires 20. Si le ratio D / E = 0,80, D / V = 0,80 / 1,80 = 0,4444 et E / V = 1 / 1,80 = 0,5556, on obtient : CMPC = (0,5556 × 0,12) + (0,4444 × 0,048) = 8,80 %. Taux d’actualisation du projet = 8,80 % + 2 % = 10,80 % VAN = –Coût + VA des flux monétaires futurs VA = [1,8 M$ / (0,1080 – 0,02)] = 20 454 545 $ Le projet devrait être entrepris seulement si son coût est inférieur à 20 454 545 $. 21. Coût total = 14 M$ + 725 000 $ = 14,725 M$ 14,725 M$ × (1 – FÉ) = 14 M$ ;

FÉ = 1 – (14 / 14,725) = 0,0492

FÉ = 0,0492 = [0,07 × (E / V)] + [0,03 × (D / V)] Si on multiplie par V / E de chaque côté, on obtient : 0,0492 × (V / E) = 0,07 + 0,03 × (D / E) 0,0492 × (D / E + 1) = 0,07 + 0,03 × (D / E) ; 0,0192 × (D / E) = 0,0208 D / E = 1,0794

Problèmes complexes 22. Division A : rE = 0,065 + (0,93 × 0,053) = 11,43 % Division B : rE = 0,065 + (1,57 × 0,053) = 14,82 % Les deux divisions possèdent un coût du capital plus faible que celui de l’entreprise (16 % pour l’entreprise). 23. Projet A : coût du capital = 11 % + 3 % = 14 % � = −100 000 $ + 72 164 $ 

1 − (1,14)−4  = 110 265 $ 0,14

Projet B : coût du capital = 11 % – 3 % = 8 % VAN = –100 000 $ + 145 340 $ / 1,083 + 145 340 $ / 1,08 4 = 122 205 $ Les deux projets sont rentables. Toutefois puisqu’ils sont mutuellement exclusifs, il faudrait choisir le projet B parce que sa VAN est plus élevée. 24. Si le ratio comptes fournisseurs-dettes à long terme = 0,15, CF / Dette totale = 0,15 / 1,15 = 0,1304 et DLT / Dette totale = 1 / 1,15 = 0,8696. Si le ratio D / E = 0,80, D / V = 0,80 / 1,80 = 0,4444 et E / V = 1 / 1,80 = 0,5556, on obtient : CMPC = (0,5556 × 0,14) + (0,4444) [(0,1304) CMPC + (0,8696) (0,08) (1 – 0,35)] = 0,07778 + (0,0580 × CMPC) + 0,0201 CMPC – (0,0580 × CMPC) = 0,0979 Chapitre 14 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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0,9420 CMPC = 0,0979 Donc, CMPC = 10,39 %. Frais d’émission = (0,5556 × 0,08) + (0,4444) [(0,1304) (0) + (0,8696) (0,04)] = 0,0599 Coût du projet = 50 000 000 $ / (1 – 0,0599) = 53 186 023 $ VAN = –53 186 023 $ + (6 200 000 $ / 0,1039) = –53 186 023 $ + 59 674 235 $ = 6 488 212 $

Abréviations CF : comptes fournisseurs CMPC : coût moyen pondéré du capital DLT : dette à long terme

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Chapitre 15 La réunion de capitaux Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base 1. a) Nouvelle valeur marchande = (400 000 × 73 $) + (50 000 × 65 $) = 32 450 000 $ b) Nombre de droits nécessaires = 400 000 / 50 000 = 8 droits pour chaque nouvelle action c) PX = 32 450 000 $ / (400 000 + 50 000) = 72,11 $ d) Valeur d’un droit = 73 $ – 72,11 $ = 0,89 $ e) Habituellement, une émission de droits a un coût inférieur à celui d’une offre d’achat au comptant. De plus, l’émission de droits protège les actionnaires d’une sous-évaluation des titres et d’une dilution du pourcentage de propriété. 2. a) Prix de souscription maximal = Prix actuel = 48 $. Le prix minimal peut être n’importe quelle valeur supérieure à zéro. b) Nombre de nouvelles actions = 30 000 000 $ / 43 $ = 697 674,42 actions Nombre de droits nécessaires = 3 900 000 / 697 674,42 = 5,59 droits c) Un actionnaire peut acheter 5,59 droits pour 5,59 × 48 $ = 268,32 $. L’actionnaire peut exercer ses droits pour un montant de 268,32 $ + 43 $ = 311,32 $. Il aura donc 1 + 5,59 = 6,59 actions. Par conséquent, le prix ex-droits est : PX = [(5,59 × 48 $) + 43 $] / 6,59 = 47,24 $ ; valeur d’un droit = 48 $ – 47,24 $ = 0,76 $ d) Avant l’offre : portefeuille = 1 000 actions × 48 $ = 48 000 $ Après l’offre : portefeuille = (1 000 actions × 47,24 $) + (1 000 droits × 0,76 $) = 48 000 $ 3. PX = 63,20 $ = [(N × 65 $) + 35 $] / (N + 1) ; N = 15,67 Nombre de nouvelles actions = 17 M$ / 35 $ = 485 714,29 Nombre d’anciennes actions = 15,67 × 485 714,29 = 7 609 524 $ 4. Si on pouvait recevoir 1 000 actions de chaque type, le bénéfice serait (1 000 × 9 $) – (1 000 × 4 $) = 5 000 $. Bénéfice attendu = (500 × 9 $) – (1 000 × 4 $) = 500 $ 5. X × (1 – 0,08) = 85 M$ ; X = 92 391 304,35 $ Nombre d’actions à émettre = 92 391 304,35 $ / 16 $ = 5 774 456 actions 6. X × (1 – 0,08) = 85 M$ + 900 000 ; X = 93 369 565,22 $ Nombre d’actions à émettre = 93 369 565,22 $ / 16 $ = 5 835 598 actions

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7. Montant net reçu = (15 M × 17,67 $) – 900 000 $ – 320 000 $ = 263,83 M$ Coûts directs totaux = 900 000 $ + (19 $ – 17,67 $) × (15 M) = 20,85 M$ Coûts indirects totaux = 320 000 $ + (23,18 $ – 19 $) × (15 M) = 63,02 M$ Coûts totaux = 20,85 M$ + 63,02 M$ = 83,87 M$ Frais d’émission (en pourcentage) des fonds réunis = 83,87 M$ / 263,83 M$ = 31,79 % 8. Nombre de droits qui sont nécessaires = 175 000 / 30 000 = 5,83 droits par nouvelle action PX = [(5,83 × 68 $) + 68 $] / (5,83 + 1) = 68 $ ; il n’y a pas de changement PX = [(5,83 × 68 $) + 65 $] / (5,83 + 1) = 67,56 $ ; le prix diminue de 0,44 $ par action PX = [(5,83 × 68 $) + 60 $] / (5,83 + 1) = 66,83 $ ; le prix diminue de 1,17 $ par action

Notions intermédiaires 9. a) Nombre d’actions après l’émission = 5 M + 45 M$ / 31 $ = 6 451 613 Nouvelle valeur comptable par action = [(5 M × 7 $) + (1 451 613 × 31 $)] / 6 451 613 = 12,40 $ BPA0 = BN0 / Nombre d’actions0 = 3,2 M$ / 5 M = 0,64 $ Ratio cours-bénéfice = (P / BPA)0 = 31 $ / 0,64 $ = 48,4375 BPA1 = BN1 / Nombre d’actions1 = 4,1 M$ / 6 451 613 = 0,6355 $ ; En supposant que le ratio cours-bénéfice demeure constant, on a P1 = (P/BPA)0 × BPA1 = 48,4375 × 0,6355 $ = 30,78 $. Ratio valeur marchande-valeur comptable = (P / B)0 = 31 $ / 7 $ = 4,42 ; (P / B)1 = 30,78 $ / 12,4 $ = 2,48 Il s’agit d’une dilution comptable, car les nouvelles actions ont été émises quand le ratio de la valeur marchande par rapport à la valeur comptable était inférieur à l’unité. Il y a dilution de la valeur financière, car l’entreprise a financé un projet qui possède une VAN négative. VAN = –45 M$ + [(6 451 613 × 30,78 $) – (5 M × 31 $)] = –1 406 250 $ b) Pour que le prix ne change pas quand le P / E est constant, le BPA doit rester inchangé. BN1 = 6 451 613 × 0,64 $ = 4 129 032 M$ 10. FP = Actif – Passif = 7,5 M$ – 3,1 M$ = 4,4 M$ RFP0 = BN0 / FP0 = 850 000 $ / 4 400 000 $ = 0,1932 = 19,32 % BN1 = RFP0 × FP1 = 0,1932 × (4 400 000 $ + 800 000 $) = 1 004 545 $ BPA0 = 850 000 $ / 40 000 actions = 21,25 $ Nombre de nouvelles actions = 800 000 $ / 76 $ = 10 526 actions BPA1 = 1 004 545 $ / (40 000 + 10 526) = 19,88 $ (P / BPA)0 = 76 $ / 21,25 $ = 3,5765 En supposant que le ratio cours-bénéfice demeure constant, on a P1 = (P / BPA)0 × BPA1 = 3,5765 × 19,88 $ = 71,11 $ : (P / BPA)1 = 71,11 $ / 19,88 $ = 3,577. Valeur comptable par action = VLPA0 = FP0 / Actions0 = 4 400 000 $ / 40 000 = 110 $ VLPA1 = FP1 / Actions1 = (4 400 000 $ + 800 000 $) / 50 526 = 102,92 $ (P / B)0 = 76 $ / 110 $ = 0,691 ; (P / B)1 = 71,11 $ / 102,92 $ = 0,691 VAN = –800 000 $ + [(71,11 $ × 50 526) – (76 $ × 40 000)] = –247 272 $

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Il s’agit d’une dilution comptable, car les nouvelles actions ont été émises quand le ratio de la valeur marchande par rapport à la valeur comptable était inférieur à l’unité. Il y a dilution de la valeur financière, car l’entreprise a financé un projet qui possède une VAN négative. 11. P1 = (P / BPA)0 × BPA1 = 76 $ = 3,58 × BPA1 ; BPA1 = 21,25 $ Nombre de nouvelles actions = 800 000 $ / 76 $ = 10 526 actions BN1 = BPA1 × Nouvelles actions = 21,25 $ × (40 000 + 10 526) = 1 073 684 $ RFP1 = BN1 / FP1 = (1 073 684 $ − 850 000 $) / 800 000 $ = 0,2796 = 27,96 % VLPA1 = FP1 / Actions1 = (4 400 000 $ + 800 000 $) / (40 000 + 10 526) = 102,92 $ Si le prix de l’action après l’émission est de 98 $, alors la VAN du projet est la suivante : VAN = –800 000 $ + [(76 $ × 50 526) – (76 $ × 40 000)] = 0 $ ou près de zéro dû aux arrondissements Il s’agit toujours d’une dilution comptable, car la valeur comptable par action passe de 110 $ à 102,92 $. Par contre, il n’y a pas de dilution de la valeur marchande, car l’investissement possède une VAN. 12. Nombre de nouvelles actions = 50 M$ / S ; N = Nombre d’anciennes actions / Nombre de nouvelles actions = 24 M / (50 M / S) = 0,48 × S Me = Mo + Do ; 83 $ = 89 $ +Do ; Do = 6 $ Do = (Mo – S) / (N + 1) 6 $ = (89 $ − S) / (0,48S + 1) 6 $ × (0,48S + 1) = (89 $ − S) 2,88S + 6 = 89 – S ;

3,88S = 83 ;

S = 21,39 $

13. PX = (N × PRO + PS) / (N + 1) Valeur d’un droit = PRO – PX = PRO – [(N × PRO + PS) / (N + 1)] = [(N + 1) × PRO – (N × PRO – PS) / (N + 1)] = (PRO – PS) / (N + 1) 14. Revenu net = 20 $ × (1 – 0,06) = 18,80 $ Nouvelles actions émises = 4,4 M$ / 18,80 $ = 239 362 actions Nombre de droits nécessaires = 580 000 / 239 362 = 2,42 droits par action PX = [(N × PRO + PS) / (N + 1)] = [(2,42 × 45 $) + 20 $] / 2,42 + 1 = 37,70 $ Valeur d’un droit = 45 $ – 37,70 $ = 7,30 $ Revenu de la vente des droits = 5 000 × 7,30 $ = 36 516 $ 15. PX = [(N × PRO + PS) / (N + 1)] = [(4 × 56 $) + 31 $] / (4 + 1) = 51 $ ; l’action est sous-évaluée. Valeur d’un droit = 56 $ – 49 $ = 7 $ ; les droits sont sous-évalués. On peut réaliser un profit immédiat à la date ex-droits si l’action se vend à 49 $ et que les droits se vendent 3 $ en effectuant la transaction suivante : On achète 4 droits sur le marché pour 4 × 3 $ = 12 $. On utilise ces droits pour acheter une nouvelle action au prix de souscription de 31 $. On vend immédiatement cette même action sur le marché au prix de 49 $, ce qui permet de réaliser un profit de 6 $.

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Abréviations BN : bénéfice net

RFP : rendement des fonds propres

BPA : bénéfice par action

S : prix de souscription

FP : fonds propres

VAN : valeur actualisée nette

Mo : prix des actions ordinaires pendant la période d’émission

VLPA : valeur liquidative par action

N : nombre de droits nécessaire à l’achat d’une nouvelle action

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Chapitre 16 Le levier financier et la structure du capital Solutions aux questions et problèmes * Note : Les abréviations utilisées sont détaillées à la fin du solutionnaire de ce chapitre.

Notions de base Pour les trois premiers numéros, les variations en pourcentage sont toutes calculées ainsi : Récession ou Prospérité – Normale) / Normale. 1. a) Aucune dette et 6 000 actions en circulation BAII Intérêts BN

Récession 16 100 $ 0 16 100 $

BPA ΔBPA (%)

2,68 $ –30 %

Normale 23 000 $ 0 23 000 $ 3,83 $ –

Prospérité 27 600 $ 0 27 600 $

16 100$ = 23 000 – 23 000 × 30% = 23 000(1 – 30%) 27 600 = 23 000 + 23 000 × 20% = 23 000(1 + 20%)

4,60 $ +20 %

b) VM de 180 000 $ / 6 000 actions = 30 $ par action ; 75 000 $ / 30 $ = 2 500 actions rachetées. Il en reste donc 3 500. BAII Intérêts BN

Récession 16 100 $ 5 250 10 850 $

Normale 23 000 $ 5 250 17 750 $

Prospérité 27 600 $ 5 250 22 350 $

BPA ΔBPA (%)

3,10 $ –38,87 %

5,07 $ –

6,39 $ +26,03 %

Intérêts = dette × taux d’intérêt de la dette = 75 000 × 7% = 5 250

2. a) Aucune dette et 6 000 actions en circulation BAII Intérêts BAI Impôts (35 %) BN

Récession 16 100 $ 0 16 100 $ 5 635 10 465 $

Normale 23 000 $ 0 23 000 $ 8 050 14 950 $

Prospérité 27 600 $ 0 27 600 $ 9 660 17 940 $

BPA ΔBPA (%)

1,74 $ –30,12 %

2,49 $ –

2,99 $ +20,08 %

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b) VM de 180 000 $ / 6 000 actions = 30 $ par action ; 75 000 $ / 30 $ = 2 500 actions rachetées. Il en reste donc 3 500. BAII Intérêts BAI Impôts (35 %) BN

Récession 16 100 $ 5 250 $ 10 850 $ 3 797,50 7 052,50 $

BPA ΔBPA (%)

2,015 $ –38,94 %

Normale 23 000 $ 5 250 $ 17 750 $ 6 212,50 11 537,50 $ 3,30 $ –

Prospérité 27 600 $ 5 250 $ 22 350 $ 7 822,50 14 527,50 $ 4,15 $ +25,76 %

Les différences en pourcentage sont les mêmes, peu importe qu’il y ait des impôts ou non. 3. a) Ratio valeur marchande-valeur comptable = P / B = 1. Donc, FP = VM = 180 000 $ ; RFP = BN / 180 000. Récession 16 100 0,0894 –30,12 %

BN RFP ΔRFP (%)

Normale 23 000 0,1278 –

Prospérité 27 600 0,15330 +20,08 %

b) FP = 180 000 $ – 75 000 $ = 105 000 $ ; RFP = BN / 105 000 BN RFP ΔRFP (%)

10 850 $ 0,1033 –38,87 %

17 750 $ 0,1690 –

22 350 $ 0,2128 +25,92 %

c) BN sans endettement

Récession 10 465 $

Normale 14 950 $

Prospérité 17 940 $

RFP sans endettement ΔRFP (%) BN avec endettement

0,0581 –30,12 % 7 052,50 $

0,0831 – 11 537,50 $

0,0997 +20,08 % 14 527,50 $

RFP avec endettement ΔRFP (%)

0,0671 –38,87 %

0,1099 –

0,1384 +25,92 %

La variation en pourcentage du rendement sur les fonds propres est la même que la variation dans le bénéfice par action ; elle est aussi la même, peu importe qu’il y ait des impôts ou non. 4. a) Scénario I : BN = 500 000 $ ; BPA = 500 000 $ / 210 000 actions = 2,38 $ Scénario II : BN = 500 000 $ – (0,08 × 2,28 M$) = 317 600 $ ; BPA = 317 600 $ / 150 000 actions = 2,12 $ Le scénario I a un BPA plus élevé quand le BAII est de 500 000 $. b) Scénario I : BN = 750 000 $ ; BPA = 750 000 $ / 210 000 actions = 3,57 $ Scénario II : BN = 750 000 $ – (0,08 × 2,28 M$) = 567 600 $ ; BPA = 567 600 $ / 150 000 actions = 3,78 $ Le scénario II a un BPA plus élevé quand le BAII est de 750 000 $. c) BAII / 210 000 actions = [BAII – (0,08 × 2,28 M$)] / 150 000 actions ; BAII = 638 400 $

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5.

On s’est endetté de 2,28 M$ pour racheter 60 000 actions. 2,28 M$ / 60 000 actions achetées avec de l’endettement = 38 $ par action V1 = 38 $ × 210 000 actions = 7,98 M$ ; V2 = (38 $ × 150 000 actions) + 2,28 M$ = 7,98 M$

6.

a) BAII Intérêts BN BPA

I 48 000 $ 9 000 39 000 $

II 48 000 $ 19 800 28 200 $

3,90 $

3,71 $

Sans levier 48 000 $ 0 48 000 $ 4,00 $

La structure du capital sans levier a le BPA le plus élevé. Le scénario II a le BPA le plus faible. b) Scénario I avec la structure sans levier : BAII / 12 000 = [BAII – (0,1 × 90 000 $)] / 10 000 ; BAII = 54 000 $ Scénario II avec la structure sans levier : BAII / 12 000 = [BAII – (0,1 × 198 000 $)] / 7 600 ; BAII = 54 000 $ Comme il est indiqué dans la théorie de M&M, le niveau de point mort est le même pour les trois structures du capital. c) [BAII – (0,1 × 90 000 $)] / 10 000 = [BAII – (0,1 × 198 000 $)] / 7 600 ; BAII = 54 000 $ Ce niveau de point mort est équivalent aux autres à cause de la théorie de M&M, proposition I. d) BAII Intérêts Impôts (40 %) BN

I 48 000 $ 9 000 15 600 23 400 $

II 48 000 $ 19 800 11 280 16 920 $

2,34 $

2,23 $

BPA

Sans levier 48 000 $ 0 19 200 28 800 $ 2,40 $

Le scénario sans levier a encore un BPA plus élevé. Le scénario II a le BPA le plus faible. Scénario I avec la structure sans levier : (BAII × 0,60) / 12 000 = {[BAII – (0,1 × 90 000 $)] × 0,60} / 10 000 ; BAII = 54 000 $ Scénario II avec la structure sans levier : (BAII × 0,60) / 12 000 = {[BAII – (0,1 × 198 000 $)] × 0,60} / 7 600 ; BAII = 54 000 $ {[BAII – (0,1 × 90 000 $)] × 0,60} / 10 000 = {[BAII – (0,1 × 198 000 $)] × 0,60} / 7 600 ; BAII = 54 000 $ Le niveau de point mort pour le BAII ne change pas, car les impôts réduisent les bénéfices du même pourcentage dans les trois scénarios. 7. Scénario I : P = 90 000 $ / (12 000 – 10 000) actions achetées avec de l’endettement = 45 $ par action Scénario II : P = 198 000 $ / (12 000 – 7 600) actions = 45 $ Cela démontre que lorsqu’il n’y a pas d’impôts, les actionnaires sont indifférents à la structure du capital de l’entreprise. Cette conclusion respecte la théorie de M&M, proposition I. 8. a) BPA = 27 000 $ / 7 000 = 3,86 $ ; les flux monétaires de Julie Deschênes = 3,86 $ × 100 = 386 $ b) V = 55 $ × 7 000 = 385 000 $ ; D = 0,30 × 385 000 $ = 115 500 $ 115 500 $ / 55 $ = 2 100 actions achetées ; BN = 27 000 $ – (0,08 × 115 500 $) = 17 760 $ BPA = 17 760 $ / (7 000 – 2 100) actions = 3,6245 $ Chapitre 16 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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Les flux monétaires de Julie Deschênes = 3,6245 $ × 100 = 362,45 $ c) Julie Deschênes doit vendre 30 actions (35 % de ses actions) et investir le revenu retiré de cette vente au taux de 8 % : les flux monétaires des intérêts = 30 × 55 $ × 0,08 = 132 $. Les flux monétaires de Julie Deschênes seront maintenant : 3,6245 $ × 70 = 254 $ + 132 $ = 386 $. Il s’agit du même flux monétaire que celui qui a été calculé en a). d) La structure du capital n’est pas pertinente, car les actionnaires peuvent créer un levier de manière à engendrer les flux monétaires qu’ils désirent, peu importe la structure de capital choisie par l’entreprise. 9. a) BN = 68 000 $ – (0,08 × 325 000 $) = 42 000 $ Les flux monétaires de Gabriel Poulin = 42 000 $ × (48 750 $ / 325 000 $) = 6 300 $ Le taux de rendement = 6 300 $ / 48 750 $ = 12,92 % b) Vente des actions de la société XYZ : 48 750 $. Emprunt de 48 750 $ à 8 % : Intérêts = 3 900 $. On utilise les revenus de la vente des actions et de l’emprunt pour l’achat d’actions d’ABC : les flux monétaires de M. Paulin engendrés par la société ABC = 68 000 $ × (97 500 $ / 650 000 $) = 10 200 $ – 3 900 $ = 6 300 $. Le taux de rendement = 6 300 $ / 48 750 $ = 12,92 % c) RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] ABC : RE = RU = 68 000 $ / 650 000 $ = 0,1046 = 10,46 % XYZ : RE = 0,1046 + [(0,1046 – 0,08) × 1 × 1] = 0,1292 d) CMPC = (E / V) × RE + (D / V) × RD × (1 – Tc) ABC : CMPC = (1 × 0,1046) + (0 × 0,08) = 0,1046 XYZ : CMPC = (1 / 2 × 0,1292) + (1 / 2 × 0,08) = 0,1046 Quand il n’y a pas d’impôts, le coût du capital n’est pas touché par la structure du capital, selon la théorie de M&M, proposition I. 10. V = BAII / CMPC ; BAII = CMPC × V = 0,08 × 18 M$ = 1,44 M$ 11. V = VU + Tc × D ; V = 18 M$ = [BAII × (0,65) / 0,08] + 0 ; BAII : 2 215 385 $ ; CMPC = 8 %. À cause des impôts, le BAII pour une entreprise sans levier doit être plus élevé afin que sa valeur soit toujours de 18 M$. 12. Si le ratio D / E est de 1,5 et sachant que V = E + D, on a D = 1,5 E et V = E + 1,5 E = 2,5 E Alors, D / V = 1,5E / 2,5 E = 1,5 / 2,5 et E / V = E / 2,5 E = 1 / 2,5 a) CMPC = (E / V) × RE + (D / V) × RD × (1 – Tc) CMPC = 0,09 = (1 / 2,5) × RE + (1,5 / 2,5) × 0,055 × 0,65 ; RE = 0,1714 = 17,14 % b) RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] 0,1714 = RU + (RU – 0,055) × 1,5 × 0,65 ; RU = 0,1139 = 11,39 % c) RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] RE = 0,1139 + (0,1139 – 0,055) × 2 × 0,65 ; RE = 0,1905 = 19,05 % RE = 0,1139 + (0,1139 – 0,055) × 1 × 0,65 ; RE = 0,1522 = 15,22 % RE = 0,1139 + (0,1139 – 0,055) × 0 × 0,65 ; RE = 0,1139 = 11,39 % 13. a) Sans levier : CMPC = RE = RU = 0,095 = 9,5 % b) RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] = 0,095 + [(0,095 – 0,061) × (0,25 / 0,75) × 0,65] = 0,1024 = 10,24 %

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c) RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] = 0,095 + [(0,095 – 0,061) × (0,5 / 0,5) × 0,65] = 0,1171 = 11,71 % d) CMPCB = (E / V) × RE + (D / V) × RD × (1 – Tc) = (0,75 × 0,1024) + (0,25 × 0,061 × 0,65) = 0,0867 = 8,67 % CMPCC = (0,5 × 0,1171) + (0,5 × 0,061 × 0,65) = 0,0784 = 7,84 % 14. V = VU = BAII(1 – Tc) / RE = (74 000 $ × 0,65) / 0,12 = 400 833 $ V = VU + Tc × D = 400 833 $ + (0,35 × 125 000 $) = 444 583 $ 15. Si VL = D + E, E = VL – D = 444 583 $ – 125 000 $ = 319 583 $ RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] RE = 0,12 + (0,12 – 0,07) × (125 000 $ / 319 583 $) × 0,65 = 0,1327 = 13,27 % CMPC = (E / V) × RE + (D / V) × RD × (1 – Tc) CMPC = 0,1327 × (319 583 $ / 444 583 $) + [0,07 × 0,65 × (125 000 $ / 444 583 $)] = 0,1082 = 10,82 % Quand on tient compte des impôts, le coût du capital de l’entreprise diminue avec l’augmentation du levier dans la structure du capital selon la théorie de M&M, proposition I avec impôts.

Notions intermédiaires 16. VL = VU + Tc × D VU = BAII × (1 – Tc) / RU = (73 000 $ × 0,65) / 0,11 = 431 364 $ VL = 431 364 $ + (0,35 × 145 000 $) = 482 114 $ En utilisant la théorie de M&M, proposition I, avec impôts, la société a augmenté sa valeur en s’endettant. Tant que la théorie de M&M, proposition I, est respectée (il n’y a pas de coûts de faillite), les Fabricants Jetté devraient continuer à augmenter leur ratio dette-fonds propres. Ainsi, ils maximiseraient la valeur de leur société. 17. Pas d’endettement :

V = VU = (19 750 $ × 0,65) / 0,15 = 85 583 $

50 % d’endettement : VL = VU + Tc × D = 85 583 $ + (0,35 × 85 583 $ / 2) ; VL = 100 560 $ 100 % d’endettement : VL = 85 583 $ + (0,35 × 85 583 $) ; VL = 115 538 $ 18. a) Investissement dans Chevalier = 0,05 × 2 050 000 $ = 102 500 $ Investissement dans Samurai = 0,05 × 3 100 000 $ = 155 000 $ Montant à emprunter = 155 000 $ – 102 500 $ = 52 500 $ Flux monétaire de l’investissement dans Chevalier = 0,05 × (500 000 $ – 78 000 $) = 21 100 $ Flux monétaire de l’investissement dans Samurai = 0,05 × 500 000 $ = 25 000 $ Intérêt sur l’emprunt pour investir dans Samurai = 0,06 × 52 500 $ = 3 150 $ Flux monétaire net de l’investissement dans Samurai = 25 000 $ – 3 150 $ = 21 850 $ Pour le même coût, l’investissement dans Samurai est plus avantageux. b) Les deux stratégies ont le même coût initial. Puisque le rendement sur investissement est plus élevé pour Samurai que pour Chevalier, tous les investisseurs devraient investir dans Samurai. Le fait que tous les investisseurs choisissent Samurai et que personne n’investisse dans Chevalier amènera une hausse de la valeur marchande de Samurai et une baisse de la valeur marchande de Chevalier. La différence des rendements entre les deux stratégies sera éliminée, et les investisseurs deviendront indifférents entre investir dans Samurai ou dans Chevalier.

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Problèmes complexes 19. On sait que RE = RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)] et CMPC = (E / V) × RE + (D / V) × RD × (1 – Tc) En incorporant la formule de RE dans celle du CMPC, on obtient : CMPC = (E / V) × (RU + [(RU – RD) × (D / E) × (1 – Tc)]) + (D / V) × RD × (1 – Tc) En simplifiant, on a : CMPC = RU [(E / V) + (E / V) × (D / E) × (1 – Tc)] + RD × (1 – Tc) [(D / V) – (E / V) × (D / E)] CMPC = RU [(E / V) + (D / V) × (1 – Tc)] = RU [((E + D) / V) – ((D / V) × Tc)] CMPC = RU [1 – Tc × (D / V)] 20. On sait que BN = (BAII – RD × D)(1 – Tc). Donc, le RE = RFP = BN / FP = (BAII – RD × D)(1 – Tc) / FP RE = [(BAII)(1 – Tc) / FP]

– (RD × D / FP)(1 – Tc)

– (RD × D / FP)(1 – Tc) RE = [RU × (VL – D × Tc / FP] – (RD × D / FP)(1 – Tc) RE = [RU × (FP + D – (D × Tc) / FP] – (RD × D / FP)(1 – Tc) RE = [RU × VU / FP]

RE = RU + [(RU – RD) × (D / FP) × (1 – Tc)] 21. Selon la théorie de M&M, proposition II, avec RD = Rf : RE = RA + (RA – Rf) × (D / E) MEDAF : RE = Rf + (RM – Rf) × βE ; RA = Rf + (RM – Rf) × βA RE = Rf + (RM – Rf) × βE = [1 + (D / E)] × [βA × (RM – Rf) + Rf] – (Rf × D / E) βE = βA × (1 + D / E) 22. βE = βA × (1 + D / E) Ratio D / E 0 1 5 20

βE 1 2 6 21

Le risque lié aux fonds propres est composé du risque d’entreprise et du risque financier. Même si l’activité de l’entreprise (les actifs) comporte peu de risques, le risque des actionnaires peut être élevé si la société a un ratio dette-fonds propres élevé. Ce haut niveau de risque se traduit par un taux de rendement minimal demandé plus élevé (RE). 23. VAcontinuer = 18 M$ / 0,14 = 128,57 M$ Étant donné que la VA associée à la réorganisation est supérieure à la valeur de liquidation, la société devrait continuer ses opérations. 24. Avec un taux de 10 %, VA = 3,97 M$ / 0,10 = 39,70 M$. Selon cette hypothèse, puisque cette valeur est inférieure à la valeur de liquidation de 43 M$, la société ne devrait pas procéder à une réorganisation. Avec un taux de 20 %, VA = 3,97 M$ / 0,20 = 19,85 M$. Selon cette hypothèse, puisque cette valeur est inférieure à la valeur de liquidation de 43 M$, la société devrait procéder à une liquidation des actifs.

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Le taux qui rendrait le choix indifférent entre ces deux décisions : 43 M$ = 3,97 M$ / r ; r = 9,23 %. Si la société croit vraiment que son coût du capital est inférieur à 9,23 %, elle devrait procéder à une réorganisation et poursuivre ses activités. Dans le cas contraire, elle devrait liquider ses actifs.

Abréviations BAII : bénéfices avant intérêts et impôts

VA : valeur actualisée

BN : bénéfice net

VAN : valeur actualisée nette

BPA : bénéfice par action

VM : valeur marchande

RFP : rendement des fonds propres

Chapitre 16 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

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Chapitre 17 Les dividendes et la politique de dividende Solutions aux questions et problèmes Notions de base 1. Dividende après impôts = 5,10 $ × (1 – 0,15) = 4,34 $ Cours ex-dividende = 93,85 $ – 4,34 $ = 89,51 $ 2. Nouvelles actions en circulation = 20 000 × (4 / 1) = 80 000. Les comptes de fonds propres ne changent pas, sauf pour la valeur nominale de chaque action qui devient égale à 0,25 $ (soit 1 $ / 4). 3. Nouvelles actions en circulation = 20 000 × (1 / 5) = 4 000. Les comptes de fonds propres ne changent pas, sauf pour la valeur nominale de chaque action qui devient égale à 5 $ (soit 1 $ × 5). 4. a) 80 $ × (3 / 5) = 48 $ b) 80 $ × (1 / 1,15) = 69,57 $

c) 80 $ × (1 / 1,425) = 56,14 $ d) 80 $ × (7 / 4) = 140 $

Nombre d’actions en circulation : a) 425 000 × (5 / 3) = 708 333

c) 425 000 × (1,425) = 605 625

b) 425 000 × (1,15) = 488 750

d) 425 000 × (4 / 7) = 242 857

5. P0 = 353 700 $ / 9 000 = 39,30 $ ; PX = 39,30 $ – 1,40 $ = 37,90 $ 1,40 $ × 9 000 actions = 12 600 $ ; les fonds propres et l’encaisse diminuent de 12 600 $. 6. Le rachat d’actions fait diminuer l’encaisse et les fonds propres de 12 600 $. Actions achetées = 12 600 / 39,30 $ = 320,61 (arrondi à 320 actions entières) ; nouvelles actions en circulation = 9 000 – 320 = 8 680. Après le rachat, le prix des actions = (353 700 $ – 12 600 $) / 8 680 = 39,30 $. Le rachat a le même effet que le dividende en espèces, car on détient soit une action de 39,30 $, soit une action qui vaut 37,90 $ plus 1,40 $ en espèces. 7. P0 = 571 000 $ / 14 000 = 40,79 $ ; les nouvelles actions en circulation = 14 000 × 1,25 = 17 500 ; PX = 571 000 $ / 17 500 = 32,63 $ 8. Nouvelles actions en circulation = 385 000 × 1,15 = 442 750 Surplus de capital pour les nouvelles actions = 57 750 × 42 $ = 2 425 500 $ Actions ordinaires (valeur nominale de 1 $) Surplus de capital Bénéfices non répartis Total des fonds propres Chapitre 17 ─ Solutionnaire Gestion financière, 4e édition

442 750 $ 3 271 500 (846 000 $ + 2 425 500 $) 1 236 750 4 951 000 $ Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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9. Les comptes de fonds propres ne changent pas, sauf pour la valeur nominale de chaque action qui devient égale à 0,25$. Dividende cette année = 0,75 $ × (385 000) × (4 / 1 de fractionnement) = 1 155 000 $ C’est une augmentation de 10 % par rapport à l’année dernière, donc : Dividende pour l’année dernière = 1 155 000 $ / 1,10 = 1 050 000 $ Dividende par action pour l’année dernière = 1 050 000 $ / 385 000 = 2,73 $ 10. Fonds propres dans la mise de fonds = 1 400 $ – 420 $ = 980 $ D / E = 1 signifie une structure du capital de 50 % en dette et 50 % en fonds propres. Par conséquent, le nouvel emprunt est de 980 $ ; la mise de fonds totale = 1 960 $. 11. a) Pourcentage de bénéfices distribués sous forme de dividendes = DPA / BPA = 0,50 $ / 8 $ = 0,0625 = 6,25 % b) Fonds propres dans la mise de fonds = 7 M × (8 $ – 0,50 $) = 52,5 M$ D / E = 14 M$ / 52,5 M$ = 0,2667 12. a) Dépense en capital sans émission de nouveaux fonds propres = 145 000 $ + (1,5 × 145 000 $) = 362 500 $ b) Si les dépenses prévues sont de 790 000 $ > 362 500 $, alors aucun dividende ne sera versé et il n’y aura pas d’émission de nouveaux fonds propres. c) Non, Laide Zeppelin ne maintient pas les versements de dividendes constants. Avec une politique de dividende résiduel, le dividende dépend des opportunités d’investissement et des bénéfices. Étant donné que ces deux facteurs varient dans le temps, les versements des dividendes varient en conséquence. 13. a) Investissement maximal sans aucune augmentation de capital = 54 M$ + (1,2 × 54 M$) = 118,8 M$ ; la dette = 118,8 - 54 = 64,8 M$ b) Puisque la valeur de l’entreprise est V = E+D, et sachant que D = 1,2E, on a donc V = E + 1,2E = 2,2 E. La structure du capital est donc de E/2,2E + 1,2 E/2,2E ce qui nous donne 1/2,2 de fonds propres et 1,2/2,2 de dette. D / E = 1,2 signifie une structure du capital avec 1,2 / 2,2 (soit 54,55 %) de dette et 1 / 2,2 (soit 45,45 %) de fonds propres. Partie de fonds propres dans les dépenses en capital = 45,45 % × 74 M$ = 33,64 M$ Dividende résiduel = 54 M$ – 33,64 M$ = 20,36 M$ Dividende par action = 20,36 M$ / 19 M = 1,07 $ c) L’endettement = 74 M$ – 33,64 M$ = 40,36 M$ L’augmentation des bénéfices répartis = 33,64 M$ (calculé en b) d) DPA = 54 M$ / 19 M = 2,84 $ ; il n’y a pas d’endettement.

Notions intermédiaires 14. Puisque la valeur de l’action est égale à la valeur actuelle des flux monétaires futurs, on a donc : P0 = 1,85 $ / (1,15) + 58 $ / (1,15)2 = 45,47 $ 45,47 $ = D / (1,15) + D / (1,15)2 ; D = 27,97 $ P1 = 58 $ / (1,15) = 50,43 $ On veut obtenir 1 000 × 27,97 $ = 27 966 $ dans un an, mais on aura seulement 1 000 × 1,85 $ = 1 850 $.

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Donc, on doit vendre (27 966 $ – 1 850 $) / 50,43 $ = 517,87 actions à la période 1 (arrondi à 518) Flux monétaires à la période 2 = 58 $ × (1 000 – 518) = 27 956 $ 15. On veut obtenir seulement 750 $ à l’année 1 ; donc, on achète (1 850 $ – 750 $) / 50,43 $ = 21,81 actions à la période 1 (arrondi à 22) Année 2 : (1 000 + 22) × (58 $) = 59 276 $ VA = 750 $ / (1,15) + 59 276 $ / (1,15) 2 = 45 473 $ VA = (1 000 × 1,85 $) / (1,15) + (1 000 × 58 $) / (1,15)2 = 45 465 $ (la petite différence est causée par l’arrondissement du nombre d’actions). 16. a) Dividende en espèces : DPA = 11 000 $ / 2 000 actions = 5,50 $ PX = 58 $ – 5,50 $ = 52,50 $ par action. Le patrimoine des actionnaires est égal à une action qui vaut 52,50 $ plus 5,50 $ en espèces = 58 $. Rachat : 11 000 $ / 58 $ = 189,66 actions sont rachetées. Si on décide de vendre les actions, on aura 58 $ en espèces ; si on décide de garder les actions, celles-ci valent toujours 58 $. b) Dividendes : BPA = 1,40 $ ; C / B = 52,50 $ / 1,40 $ = 37,50 Rachat : BPA = (1,40 $ × 2 000) / (2 000 – 189,66) = 1,5467 $ ; C / B = 58 $ / 1,5467 $ = 37,50 c) Un rachat d’actions semble être la meilleure option. On laisse le choix aux actionnaires de vendre. Ainsi, ils peuvent choisir à quel moment réaliser leurs gains et payer les impôts. Ce type d’option n’est pas réalisable quand il y a versement des dividendes.

Problèmes complexes 17. Rendement après impôts = g + D × (1 – t) = 0,15 0,15 = g + [0,04 × (1 – 0,35)] ; Donc, g = 0,1240 = 12,40 %. Rendement avant impôts = g + D = 0,1240 + 0,04 = 0,1640 = 16,40 % 18. (P0 – PX) / D = (1 – TP) / (1 – TG) a) (P0 – PX) = D × (1 – 0) / (1 – 0) ; P0 – PX = D b) (P0 – PX) = D × (1 – 0,15) / (1 – 0) ; P0 – PX = 0,85D c) (P0 – PX) = D × (1 – 0,15) / (1 – 0,30) ; P0 – PX = 1,2143D d) P0 – PX = D × [1 – (0,35 × 0)] / 0,65 = 1,5385D e) Étant donné que les investisseurs sont assujettis à différents taux d’imposition pour les dividendes et les gains en capital, les rendements après impôts varient en fonction du traitement fiscal de chaque individu. Ces différences dans les taux d’imposition permettent principalement d’expliquer l’effet du type de clientèle. 19. Option no 1 Bons du Trésor : Rendement de l’entreprise après impôts : 3 % × (1 – 0,40) = 1,80 % VC = 3 000 000 $ × (1,018)3 = 3 164 933,50 $ FM des actionnaires après impôts : 3 164 933,50 $ × (1 – 0,20) = 2 531 946,80 $

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Actions privilégiées : Les dividendes provenant d’actions privilégiées ne sont pas imposés. Donc, VC = 3 000 000 $ × (1,05)3 = 3 472 875 $ FM des actionnaires après impôts = 3 472 875 $ × (1 – 0,20) = 2 778 300 $ Option no 2 Montant à recevoir aujourd’hui après impôts = 3 000 000 $ × (1 – 0,20) = 2 400 000 $ Investir dans les bons du Trésor : Rendement de l’investisseur après impôts : 3 % × (1 – 0,40) = 1,80 % VC = 2 400 000 $ × (1,018)3 = 2 531 946,80 $ Investir dans les actions privilégiées : Dividende reçu, provenant d’actions privilégiées = 2 400 000 $ × 0,05 = 120 000 $ Dividende reçu après impôts, provenant d’actions privilégiées = 120 000 $ × (1 – 0,40)= 72 000 $ Cela représente un taux de rendement de dividende après impôts de 72 000 $ / 2 400 000 $ = 3,00 %. VC = 2 400 000 $ × (1,03)3 = 2 622 544,80 $ Le flux monétaire de l’investisseur après impôts est à son maximum quand l’entreprise place l’argent dans des actions privilégiées et versent un dividende dans le futur. 20. a) L’argent est versé aux investisseurs : Dividende après impôts = 1 000 $ × (1 – x) FM après impôts des obligations = 1 000 $ × (1 – x) × [1 + 0,06 × (1 – x)] L’entreprise investit l’argent : Revenus de l’entreprise = 1 000 $ × [1 + 0,06 × (1 – 0,35)] Argent remis aux investisseurs = {1 000 $ × [1 + 0,06 × (1 – 0,35)]} × (1 – x) Pour que le choix soit indifférent : 1 000 $ × (1 – x) × [1 + 0,06 × (1 – x)] = {1 000 $ × [1 + 0,06 × (1 – 0,35)]} × (1 – x) [1 + 0,06 × (1 – x)] = 1 + 0,06 × (1 – 0,35) x = 35 % b) Oui, c’est une réponse raisonnable. Cela se produit quand les taux d’imposition de l’entreprise et de l’investisseur sont identiques. c) 1 000 $ × (1 – x) × [1 + 0,09 × (1 – x)] = {1 000 $ × [1 + 0,09(1 + (1 – 1)) × (1 – 0,35)]} × (1 – x) [1 + 0,09 × (1 – x)] = 1 + 0,09[1 + (1 – 1)] × (1 – 0,35) x=0% Seuls les investisseurs qui ne paient pas d’impôts seront indifférents. d) Non, relativement peu d’investisseurs ne paient pas d’impôts, et il faut tenir compte des effets de clientèle. Certains types d’investisseurs (les investisseurs institutionnels comme les fonds de pension, par exemple) aiment bien détenir des actions qui paient des dividendes élevés et réguliers.

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