Géotechnique: Exercices et problèmes corrigés de mécanique des sols, avec rappels de cours 2100720473, 9782100720477

Table of contents :
Sommaire / TDM
Identification des sols
Hydraulique des sols
États de contrainte dans les sols
Résistance au cisaillement
Tassements
Soutènement
Pente et talus
Fondations
Annexes
Index

Citation preview

Clément Desodt Philippe Reiffsteck

Géotechnique Exercices et problèmes corrigés de mécanique des sols, avec rappels de cours

Illustration de couverture : Road Damaged by Landslide © Yali Shi - Fotolia

© Dunod, 2015 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-072896-1

Table des matières

CHAPITRE 1 • IDENTIFICATION DES SOLS 1.1

Description d’un sol

1

1.2

Classification des sols

5

EXERCICES

7

SOLUTIONS

12

CHAPITRE 2 • HYDRAULIQUE DES SOLS 2.1

Écoulements en un milieu granulaire

21

2.2

Hydraulique des puits

24

EXERCICES

30

SOLUTIONS

38

CHAPITRE 3 • ÉTATS DE CONTRAINTE DANS LES SOLS 3.1

Contraintes totales et effectives

51

3.2

Influence du chargement

56

EXERCICES

58

SOLUTIONS

65

CHAPITRE 4 • RÉSISTANCE AU CISAILLEMENT 4.1

Élastoplasticité

77

4.2

Essais de laboratoire

83

4.3

Essais in situ

87

EXERCICES

93

SOLUTIONS

101

CHAPITRE 5 • TASSEMENTS 5.1

Consolidation

117

5.2

Compressibilité

122

EXERCICES

126

SOLUTIONS

133

Géotechnique

VI

CHAPITRE 6 • SOUTÈNEMENT 6.1

Types d’ouvrages de soutènement

151

6.2

États limites

152

6.3

Murs-poids

155

6.4

Rideaux

157

EXERCICES SOLUTIONS

160 165

CHAPITRE 7 • PENTE ET TALUS 7.1

Mouvements de terrains

173

7.2

Calcul de stabilité

174

EXERCICES SOLUTIONS

178 183

CHAPITRE 8 • FONDATIONS 8.1

Technologie de fondations

196

8.2

Méthodes de calcul

198

EXERCICES SOLUTIONS

215 225

ANNEXES A.

Distribution de contraintes dans un massif - abaques

239

B.

Coefficient de consolidation

241

C.

Coefficient de poussée/butée

243

INDEX

245

Avant-propos

L’étude des sols est un point-clé des projets de construction. Les travaux associés présentent un coût important, et les risques engendrés en cas de problèmes peuvent être conséquents. La mécanique des sols est une science complexe nécessitant de bonnes connaissances théoriques et pratiques. La diversité des situations, des phénomènes, et la variabilité des paramètres peuvent effrayer l’étudiant. L’acquisition de méthodes de raisonnement dans la résolution d’exercices appliqués confèrera une efficacité et une adaptabilité face aux problématiques rencontrées. Ce livre d’exercices corrigés s’adresse aux étudiants préparant leur BTS, DUT, licence, master et diplôme d’ingénieur. Il est adapté à la préparation des concours d’entrée en école d’ingénieurs, et des concours de recrutement des professeurs (agrégation, CAPET, etc.). Trois niveaux de difficultés sont proposés : : socle de connaissances. : connaissances approfondies (à partir de bac+2). : connaissances avancées (master, cycle avancé d’école d’ingénieurs, CAPET, agrégation). À chaque début de chapitre, des rappels de cours permettront d’avoir une synthèse des différentes méthodologies, des notations et des conventions utilisées. Ces rappels se limitent à l’essentiel et il est conseillé de se munir de ses cours et éventuellement d’un ouvrage de référence adapté au niveau d’étude.

VIII

Géotechnique

Les résolutions omettent volontairement des cas particuliers et certaines étapes normatives parfois lourdes afin de se focaliser sur la démarche et les méthodes de calcul. Néanmoins, les exercices ont été traités dans le cadre de l’Eurocode 7 et des normes d’application en vigueur. Le chapitre Identification des sols est essentiel pour définir les caractéristiques de base d’un sol. Les exercices visent à familiariser l’étudiant avec ces nombreux paramètres, et à comprendre leurs intérêts dans des applications concrètes. Le chapitre Hydraulique des sols traite de cas concrets en lien avec les mouvements d’eau dans les aquifères, tels que l’exploitation d’un réseau d’écoulement, l’évaluation d’un débit de pompage ou d’un rabattement de nappe. Le chapitre États de contrainte dans les sols présente des exercices permettant de déterminer en tout point d’un massif, et en fonction des charges appliquées, la distribution des contraintes totales et effectives. Le chapitre Résistance au cisaillement s’intéresse aux problèmes de rupture des sols, essentiels pour aborder l’étude du comportement des ouvrages. De nombreux exercices exploitent des résultats d’essais in situ et de laboratoire. Le chapitre Tassements permettra à l’étudiant d’estimer, par différentes méthodes, les valeurs des tassements, globaux ou différentiels, en fonction du temps. Les derniers chapitres Soutènement, Pente et talus et Fondations présentent de nombreux problèmes en lien avec l’interaction sol/structure. Les calculs de résistance des matériaux structuraux ne seront pas traités. Des exercices supplémentaires sont également téléchargeables sur : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100720477

Chapitre 1

Identification des sols

1.1 DESCRIPTION D’UN SOL 1.1.1. Un milieu triphasique Un sol est défini par trois phases : gazeuse, liquide et solide (cf. figure 1.1). À partir des proportions volumiques et pondérales, on définit des paramètres géométriques et hydriques tels que : • Porosité : n =

Vv V

• Degré de saturation : Sr = • Indice des vides : e =

Vw Vv

Vv Vs

Ww Ws emax − e • Indice de compacité : Id = emax − emin • Teneur en eau (pondérale) : w =

Avec emax indice des vides correspondant au sol dans son état le plus lâche, et emin dans son état le plus dense.

1 • Identification des sols

2









  

 § 



 

 

  



         









Ȗ

Ȗ

F IGURE 1.1 Description d’un sol - États de saturation

Un sol est caractérisé également par différents poids volumiques : • apparent : γ =

W V

• du squelette : γs = • sec : γd =

Ws Vs

Ws V

• de l’eau : γw =

Ww Vw

  Ȗ

1.1

Description d’un sol

3

• déjaugé : γ  = γsat − γw D’après la figure 1.1, le poids volumique apparent γ est égal à γd pour un sol sec, à γsat pour un sol saturé, et à γh (pour « humide ») dans les autres cas.

1.1.2. Granulométrie La distribution dimensionnelle des grains des sols (granularité) peut être appréciée en laboratoire en construisant la courbe granulométrique (cf. figure 1.2). Cette courbe, utilisée pour les classifications des sols, représente les pourcentages de tamisats cumulés en fonction de l’ouverture des tamis. On appelle tamisat, la masse de matériau passant à travers un tamis donné, et refus la masse de matériau retenue par ce tamis. La somme des tamisats et des refus cumulés donne toujours la masse total du matériau testé. Pour les sols très fins pour lesquels le tamisage n’est pas possible, la granulométrie est déterminée par sédimentométrie.  

  !"" #

%$

09)(:

()*+,



90=):

;00)((+?@F;

 





   



 

   





  & '    #%







F IGURE 1.2 Courbes granulométriques de six sols différents

Le coefficient d’uniformité (ou de Hazen) Cu et le coefficient de courbure Cc permettent d’apprécier la forme de la courbe granulométrique (cf. figure 1.3) : Cu =

D60 D10

Cc =

2 D30 D10 .D60

Avec D10 , D30 et D60 , les diamètres pour lesquels les pourcentages de tamisats cumulés sont respectivement de 10 %, 30 % et 60 %.

1 • Identification des sols

4

  " G "   

   !   G "     G "

 !" G "    

   G "   J G "

F IGURE 1.3 Interprétation des coefficients Cu et Cc

1.1.3. Plasticité La consistance d’un sol fin peut être modifiée en faisant varier sa teneur en eau. Par séchage progressif, les argiles et limons passent de l’état liquide à plastique puis à l’état solide. Les limites d’Atterberg de liquidité wL et de plasticité wP , déterminées expérimentalement, permettent de séparer ces trois états. ; 

O  L"

(L"

 !

" !  =     N "

"   " K #$% KO

K(

F IGURE 1.4 Limites d’Atterberg

À partir de ces limites, on définit les indices de plasticité Ip et de consistance Ic : wL − wP Ic = I p = wL − w P Ip

1.1.4. Optimum Proctor L’essai Proctor permet de déterminer les caractéristiques de compactage d’un sol. Garantir un compactage suffisant permet, entre autres, d’assurer une bonne portance. Le poids volumique sec γd correspond au poids de squelette placé dans un certain volume. Il constitue donc un bon indicateur de la compacité. Les trois paramètres qui contrôlent la variation de poids volumique sec γd sont : • la granulométrie, • l’énergie de compactage, • la teneur en eau. Pour un sol à granularité et à énergie de compactage fixées, le poids volumique sec γd atteint une valeur maximale pour une certaine valeur de teneur en eau : l’optimum Proctor wOP . Ce paramètre se détermine pour différentes énergies de compactage (cf. figure 1.5).

1.2

Classification des sols

5

Les courbes γd = f (w) sont asymptotiques à la courbe de saturation d’équation (avec Sr = 1) : γd =

Sr .γs w.γs Sr + γw

Ȗ #S,UV% WG  !  ! G       

Ȗ

Ȗ Ȗ

Ȗ





 +O +O +O +O

 #

%$F IGURE 1.5 Diagramme Proctor - γd = f (w)

1.2 CLASSIFICATION DES SOLS Les principes de classification permettent de regrouper les sols en classes présentant des compositions et des propriétés géotechniques similaires, et en fonction de leur convenance aux usages qui leur sont destinés par l’ingénierie. Les sols sont classés en groupes de sols en fonction de leur nature, qui correspond à leur composition uniquement, indépendamment de leur teneur en eau ou de leur compacité, en tenant compte de la granularité, de la plasticité, de la teneur en matière organique et de leur origine.

1.2.1. Classification USCS-LCPC 1 Cette classification se base sur la granulométrie des trois composantes : graviers (Gr), sables (Sa) et fines (cf. tableau 1.1 et figure 1.6). On distingue les sols grenus et fins selon que le pourcentage d’éléments < 0, 08 mm est inférieur ou supérieur à 50 %. La différenciation en limon et argile est faites à partir des caractéristiques de plasticité. On utilise pour cela le diagramme de Casagrande qui permet de classer la fraction argileuse selon sa sensibilité à l’eau ou sa plasticité.

1. USCS : Unified Soil Classification System - LCPC : Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.

1 • Identification des sols

6

ϲϬ

)!    !  )

ϱϬ

>Y " +Y

ϰϬ ϯϬ

>) " +)

ϮϬ ϭϬ

>(V;(

;Y " +Y

>( " +( ; " +

Ϭ 







   (   L"  X( #

%$







F IGURE 1.6 Diagramme de Casagrande pour la classification des sols fins Cl : argile, Si : limon, Or : sol organique - L : peu plastique, I : plastique, H : très plastique

Tableau 1.1 Classification des sols grenus

,0 / +,/

#$ !%ʅ * k   ^  

* k   _  

#$ %ʅ  j $  j $  j $  j $

$ $

&'($$

)*

>" ^ 



 _ >! _     " 

G 0 " 

G 0 >" ^ 



 _ >! _     " 

G 0 " 

G 0

9 N   J G " 9 N     G " 9 N  " 9 N G" ; J   J G " ; J     G " ; J  "` ; J G"`

9X 9O 9 !9 ; X ; O ;

!;

1.2.2. Autres classifications Certains types d’études nécessitent une classification particulière. À titre d’exemple, le GTR 2 est un guide de classification des matériaux de remblais et de couches de forme d’infrastructures routières. Les sols sont classifiés en fonction de leur nature (granularité, limites d’Atterberg, valeur au bleu), de leur état (teneur en eau, optimum Proctor), et de leur comportement mécanique (valeurs Los Angeles et Micro Deval). Une autre classification basée sur les essais en place sera présentée au chapitre 4.

2. GTR : Guide des Travaux Routiers.

Exercices

7

EXERCICES Pour l’ensemble des exercices suivants, le poids volumique de l’eau est considéré connu : γw = 10 kN.m-3.

Exercice 1.1. Démontrer les relations suivantes : (1) e =

Solution p. 12

n γ γs w.γs n.γw (2) γd = = (3) Sr = (4) wsat = 1−n 1+w 1+e γw .e γsat − n.γw

Exercice 1.2.

Solution p. 12

(1) Trouver la relation reliant le poids volumique saturé γsat avec les poids volumiques γd , γw et γs .

Exercice 1.3. Solution p. 12 Un limon saturé est caractérisé par un poids volumique saturé γsat et une teneur en eau wsat . (1) Déterminer l’expression littérale de l’indice des vides e, de la porosité n et du poids volumique du squelette γs en fonction des paramètres connus. (2) En considérant 1 m3 de limon, déterminer les expressions des volumes respectifs d’air Va , d’eau Vw et de solide Vs .

Exercice 1.4.

Solution p. 13

(1) En sachant que γd = 17, 7 kN.m-3, w = 4 % , γs = 26, 5 kN.m-3, déterminer le poids d’eau à ajouter à 1 m3 de sol afin d’atteindre 95 % de degré de saturation.

Exercice 1.5. Solution p. 13 Un échantillon de sol a un poids volumique apparent γ1 = 16, 9 kN.m-3 et de γ2 = 17, 9 kN.m-3 pour des degrés de saturation respectifs de Sr,1 = 50 % et Sr,2 = 72 %. (1) Déterminer l’indice des vides e et le poids volumique spécifique γs . Solution p. 14 Exercice 1.6. Deux échantillons de sable fin ont été prélevés, l’un sous le niveau de la nappe phréatique (Échantillon 1), l’autre au-dessus (Échantillon 2). Le tableau 1.2 présente les mesures effectuées. (1) Déduire pour chaque échantillon le poids volumique apparent γ, le poids volumique sec γd et la teneur en eau w.

1 • Identification des sols

8

Tableau 1.2 Mesures des poids et de volume sur sable fin :;$$ :;$$" 

9















9





Un essai au pycnomètre a été réalisé afin de déterminer le poids volumique des particules solides γs (voir figure 1.7). On suppose que ce poids volumique est le même pour l’ensemble de la couche de sable fin. Les masses mesurées sont : M1 = 1200, 1 g, M2 = 55, 1 g et M3 = 1234, 9 g.

'

'

: "  

: "  

0$

>

 0

0

F IGURE 2.2 Perméamètre à charge constante et variable

La résolution de ces équations peut se faire analytiquement (cas simple), ou numériquement. Pour chaque résolution, les conditions limites doivent être définies. Ces dernières peuvent être de différentes natures : • Surface imperméable ou surface libre de normale n −→ condition de Neumann : ∂h/∂n = 0. • Surface équipotentielle −→ condition de Dirichlet : h = cte. • Surface de suintement −→ condition de Neumann : ∂h/∂n > 0. Les courbes d’équipotentielles (EQ) et les lignes de courant (LC) se visualisent sur un réseau d’écoulement (cf. figure 2.3).


& 0

:

F IGURE 2.3 Réseau d’écoulement et conditions limites (AB, DE : surface équipotentielle ; BC : surface libre ; AE : surface imperméable ; CD : surface de suintement)

2 • Hydraulique des sols

24

2.1.5. Gradient critique et boulance Lorsque la projection du gradient hydraulique sur la verticale est dirigée vers le haut (écoulement ascendant), les grains sont susceptibles d’être entraînés pas l’eau, c’est le phénomène de boulance. −−→ Les forces d’écoulement ΔFe appliquées à un volume de sol ΔV s’expriment : −−→  ΔFe = i.γw .ΔV Ainsi, lorsqu’elles sont dirigées vers le haut, elles s’opposent aux forces gravitaires, et peuvent soulever les particules. Le gradient hydraulique est dit « critique » lorsque la résultante de ces forces s’annule. Il s’exprime : ic =

γ γw

L’effet Renard est un phénomène d’érosion progressive d’un massif de sol ayant pour conséquence la création de manière régressive d’un conduit où l’eau s’engouffre de plus en plus facilement.

2.2 HYDRAULIQUE DES PUITS 2.2.1. Notions d’hydrogéologie a) Carte piézométrique

Une carte piézométrique est une retranscription cartographique du niveau piézométrique des nappes d’eau. Sa lecture permet de connaître les niveaux et mouvements des nappes sur une zone donnée (cf. figure 2.4). Un piézomètre mesure sur site le niveau piézométrique en un point de la carte.

< 

 N'

F IGURE 2.4 Carte piézométrique - Isovaleurs de charge hydraulique (ou niveau piézométrique)

2.2

Hydraulique des puits

25

b) Nappes et aquifères

Un aquifère est une formation géologique suffisamment poreuse, pouvant stocker ou libérer de l’eau en nappe. Une nappe est la partie saturée en eau du sol, qui peut s’écouler à travers sa porosité. On distinguera deux types de nappe (cf. figure 2.5) : • Nappe libre : la pression d’eau interstitielle est nulle en surface. Cette surface, dite « libre », correspond au niveau piézométrique et son niveau est variable en fonction des entrées (précipitation) ou sorties d’eau (pompage, sécheresse). • Nappe captive : la nappe est confinée entre deux surfaces faiblement perméables. La pression interstitielle en surface est non nulle. La surface n’est plus libre, son niveau est fixe. En revanche, son niveau piézométrique peut varier en fonction des entrées ou sorties d’eau.

)   

0L"' )    > "! "  J

,  J ,  !  N

F IGURE 2.5 Nappes libre et captive

2.2.2. Bilan en eau d’aquifère a) Hypothèse de Dupuit

L’étude des mouvements d’eau d’un aquifère revient à résoudre une équation de diffusivité, exprimée en charge hydraulique, sur une zone donnée avec des conditions limites définies. La cote basse de la nappe se note zb et la cote haute de la nappe se note zu . Dans le cas d’une nappe libre, la différence zu − zb est variable en fonction du niveau piézométrique et est égale à la charge h si l’origine des z est choisie en zb (zb = 0). Dans le cas d’une nappe captive, la différence zu − zb est fixée par la hauteur de l’aquifère confiné, notée b. L’hypothèse de Dupuit traduit le fait que, lors de mouvements de nappe, la charge hydraulique varie peu en fonction de la profondeur. Ainsi, on exprime qu’en tout point d’une nappe libre ou captive : ∂h =0 ∂z

2 • Hydraulique des sols

26

Les surfaces équipotentielles correspondent à des cylindres d’axe vertical. b) Équation de diffusivité

L’équation de diffusivité, exprimée en charge hydraulique h, s’écrit :     h ∂h ∂ ∂ ∂h Tx + Ty =S + Qr ∂x x ∂y ∂y ∂t Avec : • Tx et Ty : transmissivité, fonction du coefficient de perméabilité suivant x et y :

zu

zu kx .dz et Ty = ky .dz Tx = zb

zb

• S : coefficient d’emmagasinement, noté SY ou Sc respectivement dans le cas d’une nappe libre ou captive. • Qr : débit de recharge par unité de surface (positif en cas d’injection, négatif en cas de pompage). Dans le cas d’un massif homogène et isotrope, cette expression se simplifie :   2 ∂h 2 • nappe libre : Δ(h) = SY . + Qr k ∂t   1 ∂h • nappe captive : Δh = Sc . + Qr T ∂t Avec T = k.b en milieu isotrope.

2.2.3. Puits de pompage La figure 2.6 présente la coupe d’une zone de pompage. L’écoulement est radial et le problème est considéré axisymétrique. Le rabattement, noté s(r, t), correspond à la différence entre le niveau piézométrique initial h(r, 0) = H et le niveau piézométrique actuel h(r, t) : s(r, t) = H − h(r, t) Le rayon d’action R correspond à la distance à partir de laquelle le pompage n’a plus d’effet sur le niveau piézométrique. Ce rayon est évalué à partir de mesures piézométriques√in situ ou à partir de formules empiriques (formule de Sichardt : R = 3000.sw . kx ). a) Régime permanent

En régime permanent, le débit de pompage q dans le puits s’exprime de la manière suivante : πk(H 2 − h2w )   • nappe libre : q = ln rRw

2.2

Hydraulique des puits

27

O"    „  K &J    K

{| Y {|

K

J 

;" ! …  L"    ;" ! …  L" ! "

WL"  

F IGURE 2.6 Pompage de nappe libre (à gauche) et captive (à droite) - Notations

• nappe captive : q =

2πT (H − hw )   ln rRw

La charge hydraulique h(r, t) a pour expression :    q R 2 • nappe libre : h(r) = H − ln πk r   R q ln • nappe captive : h(r) = H − 2πT r

 J  {| #%

Dans le cas d’une nappe captive, en représentant sur un graphique semi-log le rabattement s(r) en fonction du rayon r (cf. figure 2.7), la pente obtenue, notée αp , peut être reliée à la transmissivité T :     0, 366.q 0, 366.q q R R = et T = s(r) = ln log 2πT rw T rw αp

 K  

Į

  

K



  „  #%





F IGURE 2.7 Évolution du rabattement en fonction du rayon en régime permanent

2 • Hydraulique des sols

28

b) Régime transitoire

Dans le cas de nappe captive, le rabattement s(r, t) se détermine à partir de la solution de Theis et du changement de variable suivant : q s(r, t) = W (u) 4πT S.r 2 S.r 2 S.r 2 t= dt = − du 4T.t 4T.u 4T.u2 Avec W (u) fonction de Theis (cf. figure 2.8). Avec : u =

† !     X{"|





 











F"

F IGURE 2.8 Fonction de Theis

Selon des hypothèses sur les valeurs de r et t, l’approximation de Cooper-Jacob permet également de déterminer le rabattement s(r, t) :   S.r 2 0, 183.q 2, 25T.t ∀ t  25. ou 1/u  100 s(r, t) = log T T S.r 2   2,25T Ou encore : s(r, t) = 0,183.q log t + log T S.r 2 En reportant sur un graphique semi-log l’évolution du rabattement en fonction du temps, la pente et l’ordonnée à l’origine permettent de déterminer successivement T et S (cf. figure 2.9). c) Groupe de puits

Si n puits sont à proximité les uns des autres, on superpose les actions des puits en écrivant que le rabattement total stot est la somme des rabattements partiels si dus à chaque puits, à condition que le rayon d’action R soit grand par rapport à la distance entre puits : n si stotal = i

2.2

Hydraulique des puits

29

 J  { | #%

    0 `    > Vˆ ! J  





 #%





F IGURE 2.9 Approximation de Cooper-Jacob

d) Limite de réalimentation

Si l’aquifère se situe en bordure d’une réserve d’eau (bassin, lac, mer, etc.), le rayon d’action varie en fonction de la position au puits. La méthode du puits « image » permet de déterminer la valeur du rabattement dans cette configuration. On considère pour cela un puits fictif W  injectant un débit q à équidistance de la limite de réalimentation avec le puits réel W , pompant un débit q (cf. figure 2.10). Le rabattement en tout point est obtenu en ajoutant les rabattements de chaque puits : s(r, t) = sW (r, t) + sW  (r, t) 0`  „  O"   X

O"  !  XŠ

L

L

(      

="  ! " 

Š ="  "

F IGURE 2.10 Méthode du puits image - limite de réalimentation

Ainsi par l’approximation de Cooper-Jacob, en régime transitoire : 0, 183q s(r, t) = T



2, 25T.t 2, 25T.t − log log S.r 2 S.r 2

 =

0, 183.q r 2 log 2 T r

2 • Hydraulique des sols

30

EXERCICES Exercice 2.1. Solution p. 39 Un sol est composé de plusieurs couches superposées, chacune d’épaisseur ei , et de coefficient de perméabilité isotrope ki . (1) Démontrer l’expression des perméabilités équivalentes horizontale kh et verticale kv . (2) Le milieu équivalent étant anisotrope, réaliser une transformation géométrique afin de le rendre isotrope.

Exercice 2.2. Solution p. 39 La colonne présentée en figure 2.11 est de section variable (S1 = 0, 1 m2 et S2 = 0, 05 m2), elle est remplie avec deux sols saturés de coefficients de perméabilité différents (k1 = 1.10−4 m.s-1 et k2 = 6, 2.10−4 m.s-1). Les niveaux d’eau en A et G sont maintenus et le régime permanent est atteint.



0








…













&

;   †

;!   ;

;   ;!   ;











;   9



F IGURE 2.11 Colonne à deux sols

(1) Déterminer la relation qui relie le débit de passage avec les paramètres géométriques et hydriques. Déterminer le débit. (2) En déduire les pressions interstitielles et les charges en chaque point.

Exercices

31

Exercice 2.3. Solution p. 40 Un canal et une rivière contiennent de l’eau à des niveaux piézométriques différents. Entre ces deux zones, séparées d’une distance L = 80 m, une couche de sable est le siège d’un écoulement. Cette couche, de hauteur H = 8 m et de perméabilité isotrope kS = 5.10−4 m.s-1, est piégée entre deux couches d’argile quasi imperméables. Une coupe est présentée en figure 2.12. }

}

>0,0( ; J {  Š "| )=)

F IGURE 2.12 Interaction canal-rivière

(1) Évaluer le débit d’eau transporté du canal à la rivière dans la couche de sable, pour un mètre d’épaisseur de sol. Une analyse plus fine montre en réalité que le sable se divise en deux couches. La couche supérieure est composée d’un sable grossier (ks1 = 2.10−3 m.s-1 sur H1 = 5 m), la couche inférieure d’un sable fin (ks2 = 8.10−5 m.s-1 sur H2 = 3 m). (2) Déterminer la perméabilité équivalente keq de la couche de sable. (3) Réévaluer le débit transporté dans la couche de sable.

Exercice 2.4.

Solution p. 41

(1) Démontrer l’expression de la perméabilité à partir d’un essai au perméamètre à charge constante. (2) Démontrer l’expression de la perméabilité à partir d’un essai au perméamètre à charge variable. Pour cette question, le régime n’est pas permanent, on fait l’hypothèse que la loi de Darcy est applicable à chaque intervalle de temps élémentaire.

2 • Hydraulique des sols

32

Exercice 2.5. Solution p. 41 Un barrage poids repose sur une formation sablo-limoneuse de coefficient de perméabilité kSL = 4, 5.10-6 m.s-1 et de poids volumique saturé γsat = 21 kN.m-3. L’ensemble repose sur un substratum rocheux imperméable. La figure 2.13 représente le réseau d’écoulement (lignes de courant LC et équipotentielles EQ). L’intervalle entre chaque équipotentielle d’une part, et le débit dans chaque tube de courant d’autre part, sont constants.  



 

 

 



F IGURE 2.13 Barrage poids - Réseau d’écoulement

(1) Déterminer les valeurs de charges en amont et en aval du barrage. (2) Déterminer la différence de charge δh entre chaque équipotentielle. (3) Isoler une maille carrée sous le barrage et en déduire le débit dans un tube de courant (pour une tranche d’un mètre de profondeur). (4) Déterminer le débit total sous le barrage. (5) Évaluer le risque de boulance à l’aval. Afin de limiter le risque de boulance, un écran vertical imperméable est ajouté en aval du barrage. La figure 2.14 représente le réseau d’écoulement correspondant. (6) Réévaluer le risque de boulance à l’aval. (7) Déterminer l’évolution des pressions interstitielles u en amont et en aval de l’écran.

Exercices

33

 



 

 

 



F IGURE 2.14 Barrage poids et écran vertical - Réseau d’écoulement

Exercice 2.6.

Extrait de l’agrégation de Génie civil 2003

Solution p. 43

On étudie la zone en figure 2.15. Les marnes sont imperméables tandis que le banc gréseux, poreux, fracturé, et saturé a une perméabilité élevée. La zone d’éboulis, également très perméable, est le siège d’un écoulement. La position de la nappe dans les éboulis est inconnue.  " 



   

 =$ ?



=$

F IGURE 2.15 Coupe de la zone étudiée - les points noirs correspondent aux positions des prises de pression

Trois sondages S1, S2, S3 ont été équipés de piézomètres qui ont permis de mesurer, en régime permanent, les pressions interstitielles reportées dans le tableau 2.1. (1) Déterminer les valeurs des charges hydrauliques au point des prises de pression. (2) À partir des mesures dans la couche d’éboulis, déterminer la hauteur de la nappe, en supposant que le niveau de la nappe est parallèle à la pente.

2 • Hydraulique des sols

34

Tableau 2.1 Résultats piézomètres - Pressions interstitielles u [kPa] 



""j



""f

"





""` """ ""

 

 

(3) À partir des mesures restantes, décrire le régime hydraulique dans la couche de grès. On étudie à présent le tronçon de limon séparant le grès des éboulis (cf. figure 2.16). La perméabilité de cette couche est kL = 3.10−7 m.s-1. > &

0

 "!  

F IGURE 3.16 Excavation et construction

(1) À partir des abaques fournis en annexe A., déterminer la contrainte verticale au point A après excavation puis après construction (q2 = 20 kPa).

Solutions des exercices

65

SOLUTIONS DES EXERCICES Solution 3.1. (1) Dans le sable, la contrainte verticale totale s’exprime : σz (z) = γ1 .z ∀z ∈ [0; 6] La contrainte verticale à l’interface sable/gravier vaut σv (z = 6 m) = 114 kPa. Dans le gravier, la contrainte verticale totale vaut : σv (z) = 114 + γ2 .z ∀z ∈ [6; 10]

 

ıN #SO %

 





F IGURE 3.17 Profil des contraintes totales

(2) D’après le principe de Terzaghi : σv = σz + u La pression interstitielle s’exprime u(z) = γw .(z − 2) La contrainte totale s’exprime de la même façon que précédemment (en considérant le changement de poids volumique). La contrainte effective se déduit du principe de Terzaghi, où se calcule directement en considérant les poids volumiques déjaugés dans les zones saturées : γ1 = γsat,1 − γw = 10, 5 kN.m-3 et γ2 = γsat,2 − γw = 12 kN.m-3

Solution 3.2. (1) La pression interstitielle au point P s’exprime u(Hw ) = γw .Hw La contrainte verticale totale au point P vaut : σv (Hw ) = γsat .Hw + γ.(H1 − Hw ) ∀Hw ∈ [0; H1 ] ∀Hw ∈ [H1 ; H2 ] σv (Hw ) = γsat .H1 + γw .(Hw − H1 )

3 • États de contrainte dans les sols

66

ıN #SO %

ı“N #SO %

" #SO %

  







 









F IGURE 3.18 Profils des contraintes totales, effectives et des pressions interstitielles

La contrainte effective se déduit par soustraction σv = σv − u ∀Hw ∈ [0; H1 ] σv (Hw ) = γsat .Hw + γ.(H1 − Hw )   ∀Hw ∈ [H1 ; H2 ] σv (Hw ) = γ .H1 = 30 kP a

ıN #SO %

ı“N #SO %

" #SO %  



  

 

YK #%

YK #%

YK #%

F IGURE 3.19 Évolutions des contraintes et pressions d’eau au point P en fonction du niveau de la nappe

La contrainte effective reste donc constante quand le niveau de la nappe est supérieur à celui du massif (cf. figure 3.19).

Solution 3.3. (1) La pression interstitielle dans la couche d’argile devient négative au-dessus de la nappe. L’effet de capillarité dans l’argile étant important, la pression interstitielle évolue linéairement jusqu’au sommet de la couche. Le principe de Terzaghi s’applique en considérant que la pression interstitielle est négative en zone de remontée capillaire.

Solutions des exercices

67

ıN #SO %

ı“N #SO %

 

" #SO %





V

 

 

 









F IGURE 3.20 Profils des contraintes totales, effectives et des pressions interstitielles

Solution 3.4. (1) La démarche consiste successivement à : • déterminer la pression interstitielle u et la contrainte verticale totale σv à partir des poids volumiques de l’eau et des couches de sol ; • en déduire l’évolution de la contrainte verticale effective par la loi de Terzaghi σv = σv − u ; • déterminer la contrainte horizontale effective à partir des coefficients des terres au repos σh = K0 .σv ; • en déduire l’évolution de la contrainte horizontale totale par la loi de Terzaghi σh = σh + u.

 

ıN #SO % 







   

 



   

 





   





ı“ #SO % 







ı“ #SO %

ı“N #SO %

" #SO %





… #%

… #%







… #%

… #%

… #%

F IGURE 3.21 Profils des contraintes totales, effectives et des pressions interstitielles

3 • États de contrainte dans les sols

68

Les résultats sont présentés en figure 3.21. On constate que les profils des contraintes horizontales totales et effectives présentent des sauts (théoriques) au niveau des intercouches où le coefficient des terres au repos varie.

Solution 3.5. (1) Le cercle de Mohr (cf. figure 3.22) se dessine aisément en considérant un cercle de centre d et de rayon r : σI + σII σI − σII d= = 8 kPa et r = = 10, 2 kPa 2 2

߬ #SO % 





V 



ı #SO %



V

F IGURE 3.22 Cercle de Mohr et valeurs à θ = 30°

(2) La contrainte tangentielle maximale correspond au rayon du cercle de Mohr (propriété des cercles de Mohr) : τmax = 8 kP a (3) Les contraintes sur la facette inclinée se déterminent analytiquement à partir du centre et du rayon : σI + σII σI − σII + cos(2θ) = 13, 1 kPa 2 2 σI − σII sin(−2θ) = −8, 8 kPa = 2

σ(θ) = τ(θ)

Solution 3.6. (1) Les facettes représentées sur la figure étant inclinée 90° l’une de l’autre, les points correspondants aux facettes sur le cercle de Mohr se retrouvent opposés par rapport au centre d. On détermine ainsi le centre : σx + σy = 76 kPa d= 2

Solutions des exercices

69

On détermine ensuite la position d’un point sur le cercle pour avoir le rayon, par exemple : σx = 42 kPa et τxy = 60 kPa. On peut tracer le cercle et connaître graphiquement les contraintes principales (cf. figure 3.24). Outre la méthode graphique, les contraintes principales se déterminent par diagonalisation de  la matrice:     σx τxy 42 60 145 0 = = ← τyx σz (x,y) 60 110 (x,y) 0 7 (I,  II)  Enfin les contraintes principales se déterminent aussi par les expressions analytiques :   σx + σy σx − σy 2 2 = 145 kPa + + τxy σI = 2 2   σx + σy σx − σy 2 2 = 7 kPa σII = − + τxy 2 2 (2) Les directions principales correspondent aux directions des facettes dont la com2τxy posante tangentielle des contraintes est nulle. Analytiquement : tan 2θ = σy − σx On en déduit ainsi l’angle entre la facette de normale y et la facette de normale  soit θ = 30, 2°. La seconde direction principale est inclinée de 90° par rapport I, à la première.

„ 

`

F IGURE 3.23 Directions principales

(3) Graphiquement : la facette AB est inclinée de −22° par rapport à la facette de normale extérieure  y , ce qui correspond dans le plan de Mohr à un angle de +44°. On retrouve ainsi aisément l’état de contrainte en se reportant sur le cercle (cf. figure 3.24). σI + σII σI − σII Analytiquement : σ(θ) = + cos(2θ) = 142 kPa 2 2 σI − σII sin(2θ) = −19, 5 kPa τ(θ) = − 2

3 • États de contrainte dans les sols

70

߬ #SO %















ı #SO %



V

V 

F IGURE 3.24 Cercle de Mohr et valeurs particulières

Solution 3.7. (1) La direction de la normale à la facette où la contrainte de cisaillement est nulle est, par définition, une direction principale. En connaissant les composantes de contraintes sur deux facettes, deux points peuvent être placés dans le plan de Mohr. Ces deux points se trouvent sur le cercle, à équidistance du centre. Le rayon et le centre se déterminent ainsi aisément (cf. figure 3.25). σI = 39, 5 kPa et σII = 0 kPa ߬ #SO % 





ȕ

ı #SO %



F IGURE 3.25 Cercle de Mohr et valeurs particulières

Solutions des exercices

71

(2) L’angle obtus β du triangle isocèle correspond à l’angle entre le point (30,17) et le point (0,0). Attention au sens de rotation. 180 − β = 30, 25° β = 119, 5° et α = 2

Solution 3.8.

ϭ͕ϲ  ϭ͕ϳ  ϭ͕ϴ ϭ͕ϵ   Ϯ Ϯ͕ϭ  Ϯ͕Ϯ Ϯ͕ϯ  Ϯ͕ϰ Ϯϱ

ϭϴ͕ϰ ϭϴ͕Ϯ ϭϳ͕ϳ  #SO % ϭϲ͕ϵ ϭϱ͕ϴ  ϭϰ͕ϲ >     N !  ǻı ϭϲ͕ϯ ϭϲ͕Ϯ ϭϱ͕ϴ ϭϱ͕ϭϭϰ͕ϯ  ϭϯ͕ϯ ϭϰ͕ϱ ϭϰ͕ϰ ϭϯ͕ϭ ƌсϭŵϭϯ ϭϭ͕ϴ ƌсϮŵϭϭ͕ϳ ϭϬ͕ϳ ϭϬ͕ϲ ϵ͕ϳϰ ϵ͕ϲϵ ϴ͕ϵϭ ϴ͕ϴϳ ϴ͕ϭϴ ϴ͕ϭϱ ϳ ϱϰ ϳ ϱϭ

ϭϰ͕ϭ ϭϯ͕ϲ ϭϮ͕ϳ ƌсϬŵϭϮ͕ϯ ϭϭ͕ϱ ϭϭ͕ϭ ϭϬ͕ϰ ϭϬ͕Ϯ ϵ͕ϱϰ ϵ͕ϯ ϴ͕ϳϰ ϴ͕ϱϰ ϴ͕Ϭϰ ϳ͕ϴϳ ϳ ϰϮ ϳ Ϯϴ

>     N !  ǻıN >N3D@

O  "  #%

(1) L’expression par Boussinesq, est la suivante :  de la contrainte verticale,  3 F 1 Δσv = 2 . z 2π [(r/z)2 + 1]5/2 La figure 3.26 présente l’évolution de la contrainte verticale en fonction de la profondeur z. La contrainte tend logiquement vers l’infini lorsque la profondeur z et le rayon r tendent vers 0.

ϭϮ͕ϵ ϭϭ͕ϳ ϭϬ͕ϳ ϵ͕ϳϳ ϴ͕ϵϴ ϴ͕Ϯϳ ϳ͕ϲϰ ϳ Ϭϴ

ϭϮ͕ϭ 

 ϭϭ ϭϬ͕ϭ  ϵ͕ϯϭ  ϴ͕ϱϴ  ϳ͕ϵϰ   ϳ͕ϯϲ ϲ ϴϰ

ϭϯ͕Ϯ ϭϭ͕ϵ ϭϬ͕ϱ ϭϮ͕Ϯ ϭϭ ϵ͕ϴϵ ϭϭ͕Ϯ ϭϬ͕Ϯ ϵ͕Ϯϳ ϭϬ͕ϯ ϵ͕ϱ ϴ͕ϲϴ njсϮŵ ϵ͕ϱ ϴ͕ϴϯ ϴ͕ϭϯ ϴ͕ϳϴ ϴ͕Ϯϭ ϳ͕ϲϮ ϴ͕ϭϰ ϳ͕ϲϱnjсϰŵ ϳ͕ϭϰ ϳ͕ϱϲ ϳ͕ϭϰ ϲ͕ϳ ϳ͕Ϭϯ ϲ͕ϲϳ ϲ͕Ϯϵ  „   #% ϲ ϱϱ ϲ Ϯϰ ϱ ϵϭ

ϵ͕Ϯϲ ϴ͕ϳϵ ϴ͕ϯϯ ϳ͕ϴϳ ϳ͕ϰϯ ϳ͕Ϭϭ ϲ͕ϲϭ ϲ͕Ϯϰ ϱ͕ϴϵ ϱ ϱϲ

F IGURE 3.26 Évolution de la contrainte verticale en fonction de la profondeur (à gauche) et du rayon (à droite)

(2) L’expression précédente reste inchangée. En revanche la profondeur z est fixée. La figure 3.26 présente l’évolution de la contrainte verticale en fonction du rayon.

Solution 3.9. (1) Le poids du réservoir se répartit uniformément sous la fondation sur une surface P = 79, 6 kPa. égale à S = 2πR = 31, 4 m2. La charge vaut donc q = R (2) L’abaque en annexe A.1 permet de déterminer les contraintes verticales à partir des rapports r/R et z/R. Le tableau 3.1 résume les valeurs des contraintes verticales et des rapports associés. La contrainte δσv se calcule en fonction du coefficient d’influence I par la relation Δσv = q.I.

3 • États de contrainte dans les sols

72

Tableau 3.1 Contraintes verticales sous le réservoir et la chaussée  ƒ'$$ 



}+





*





$





 

}+ 

 ; '

‚KBW

ǻıKZW















}+





‚KBW

ǻıKZW

” 

” 









Solution 3.10. (1) L’abaque en annexe A.3 permet de déterminer la contrainte verticale d’une charge rectangulaire, au niveau d’un des sommets et en fonction de la profondeur. Aussi pour déterminer la contrainte verticale sous le point A, il suffit de déterminer les rapport B/z et L/z et de lire dans l’abaque la valeur du coefficient d’influence. À partir du coefficient d’influence, la contrainte verticale se détermine simplement par la relation Δσv = q.I. Les résultats sont présentés au tableau 3.2. Tableau 3.2 Contraintes verticales sous le point A du radier en fonction de la profondeur KW

0}

}

‚KBW

ǻıKZW



’

’

























(2) Par principe de superposition, la valeur du coefficient d’influence aux points B, C, et D vaut la somme des coefficients d’influence des sous-domaines schématisés en figure 3.27. Les résultats sont présentés au tableau 3.3.

)

)

) )

>




F IGURE 4.32 Cercles de Mohr en contrainte totale et effective - Droite intrinsèque

On détermine graphiquement l’angle de frottement à partir de la pente de la droite de Mohr-Coulomb. AN : ϕ = 31° (2) La cohésion non drainée s’exprime : cu =

σ1 − σ3 2

Ce paramètre varie linéairement en fonction de la contrainte de consolidation σ0 (cf. figure 4.33). La pente de la droite correspond au taux d’accroissement λcu = 0, 36. !" #SO %

   >" z 

ıŠ #SO % 



> 

F IGURE 4.33 Cercles de Mohr en contrainte totale et effective - Droite intrinsèque

Solution 4.9. (1) Le paramètres s et t du repère de Lambe se calcule à partir des relations suivantes : s =

σ1 + σ3 σ  − σ3 et t = 1 2 2

4 • Résistance au cisaillement

108

Les contraintes σ1 et σ3 se déterminent par la relation de Terzaghi : σ1 = σ1 − u et σ3 = σ3 − u Le tableau 4.14 résume les résultats obtenus, et la figure 4.34 présente les courbes relatives à cet essai dans les représentations (s - t ) et (s - t).

Tableau 4.14 Contraintes de la représentation de Lambe İ

\



















ı

Z



















ǻX

Z



















ı



Z



















ı 

Z



















ı

Z



















ƒ

Z



















ƒ

Z





















Z





















Z























ƚ΀ŬWĂ΁



! N

 

  





Ɛ΀ŬWĂ΁







F IGURE 4.34 Chemin des contraintes totales et effectives

Par définition, la cohésion non drainée cu correspond à la valeur maximale de t (ou t). Ainsi, cu = 187 kPa. L’argile étant normalement consolidée, la cohésion c est nulle. L’angle de frottement ϕ est relié à l’angle α de la droite intrinsèque dans le repère de Lambe par la relation : tan α = sin ϕ AN : ϕ = 31, 2°.

Solutions des exercices

109

(2) Le coefficient des terres au repos vaut K0 = 1 − sin ϕ = 0, 48. La figure 4.35 représente la courbe intrinsèque et celle des terres au repos. Les valeurs s et t correspondants à l’état au repos sont : sK0 = 415 kPa et tK0 = 143 kPa

ƚ΀ŬWĂ΁

 Ou encore : σ1,K = 568 kPa et 0

 σ3,K = 272 kPa 0

        









Ɛ΀ŬWĂ΁ F IGURE 4.35 Droite intrinsèque (Mohr-Coulomb) et droite représentative de l’état de pression des terres au repos (K0 )

(3) En considérant qu’il y a homothétie entre le chemin de contrainte de l’essai, situé entre les deux droites, et le chemin de contrainte entre l’état au repos et la rupture cu du sol, on peut déterminer un rapport homothétique rh =  = 0, 34. σ1,K0 Pour déterminer la valeur de cu sur toute la hauteur de la couche d’argile limoneuse, il suffit de multiplier la valeur de contrainte effective verticale in situ σv par le rapport homothétique. Et ceci car le sol est normalement consolidé. σv (z = 12 m) = 36 kPa σv (z = 23 m) = 124 kPa

⇒ cu = 12 kPa ⇒ cu = 42 kPa

Le rapport homothétique correspond au coefficient d’accroissement : λ = 0, 34.

Solution 4.10. (1) Par définition, la déformation volumique εv est définie comme le rapport entre la variation de volume sur le volume initiale de l’éprouvette. En mécanique des sols, le squelette est souvent considéré comme incompressible. En condition drainée, le départ de l’eau est responsable de la perte de volume. Aussi, à partir d’un contrôleur pression-volume connecté à l’intérieur de l’échantillon, la variation de volume d’eau qui s’insère ou s’échappe peut être mesurée aisément.

4 • Résistance au cisaillement

110

(2) En tenant compte de la symétrie de révolution (Δσ2 = Δσ3 ), la loi de comportement de l’élasticité selon Hooke permet d’écrire : Δσ1 − 2νΔσ3 Δσ3 − ν(Δσ1 + Δσ3 ) et ε2 = ε3 = E E (1 − 2ν)(Δσ1 + 2Δσ3 ) εv = ε1 + ε2 + ε3 = E ε1 =

En résolvant ce système d’équation, on exprime E et ν par : 1 εv .Δσ1 − ε1 .(Δσ1 + 2Δσ3 ) (Δσ3 − Δσ1 ).(Δσ1 + 2Δσ3 ) ν= . et E = 2 εv .Δσ3 − ε1 .(Δσ1 + 2Δσ3 ) εv .Δσ3 − ε1 .(Δσ1 + 2Δσ3 ) En considérant Δσ3 = 0, ces expressions se simplifient sous une forme bien connue : ε3 Δσ1 1 εv − ε1 =− et E = ν=− . 2 ε1 ε1 ε1

      



G



 J

G

İ= #$%

L #SO %

(3) Les caractéristiques élastiques sont déterminées par les tangentes à l’origine. Dans le repère (ε1 - q), la pente à l’origine est le module d’Young E puisque Δq = Δσ1 durant l’essai (Δσ3 constant). Dans le repère (ε1 - εV ), la pente à l’origine est égale à 1 − 2ν (cf. figure 4.36).

 

 J

  

 İ #$%  







İ #$%  



F IGURE 4.36 Représentation des pentes évaluées pour le calcul de E et ν

AN : sable : E = 30 MPa et ν = 0, 232, argile : E = 12 MPa et ν = 0, 286.

Solution 4.11. (1) On cherche à représenter, par modélisation, l’évolution du déviateur q et de la déformation volumique εV en fonction de la déformation axiale ε1 . Par définition : q = σ1 − σ3

Solutions des exercices

111

Comportement élastique - La pente initiale de la courbe (q,ε1 ) est égale au module d’Young E. En effet, σ3 ne varie pas. Seule la contrainte principale σ1 fait varier le déviateur. Δq Δσ1 = =E ε1 ε1 La loi de comportement permet de relier les contraintes et déformations principales : ⎧ 1 ⎪ ⎪ (σ1 − ν.σ2 − ν.σ3 ) = ε 1 ⎪ ⎪ E ⎨ 1+ν ν 1 =  − .T r  .I ε2 = (σ2 − ν.σ1 − ν.σ3 ) ⎪ E E E ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ε3 = 1 (σ3 − ν.σ1 − ν.σ2 ) E La déformation volumique correspond à la trace du tenseur des déformations : 1 εV = ε1 + ε2 + ε3 = (σ1 + σ2 + σ3 ) E À nouveau, seule la contrainte σ1 varie durant le chargement, on peut donc écrire : 1 − 2ν dσ1 = (1 − 2ν)dε1 dεV = E Ainsi, en partie élastique, la pente de la courbe (εV ,ε1 ) est égale à 1 − 2ν. Comportement plastique - Au niveau de la frontière du domaine élastique, on peut écrire que : 1 + sinϕ cos ϕ σ3 + 2c − σ3  1 − sin ϕ 1 − sinϕ 2σ3 sin ϕ + 2c cos ϕ = 1 − sin ϕ

q = qmax = σ1 − σ3 = Ou encore : qmax

Le modèle ne prévoit pas d’écrouissage, le déviateur q reste donc constant jusqu’à la fin de l’essai. Il en est de même pour la contrainte σ1 et la déformation volumique élastique εeV : εV = εeV + εpV = εpV La loi d’écoulement est associée : ⎞ ⎛ 0 1 − sin ϕ 0 ∂f ⎠ 0 0 0 = dλ ⎝ d p = dλ ∂  0 0 −1 − sin ϕ dεpV = T r(d p ) = −2dλ sin ϕ

4 • Résistance au cisaillement

112

dε1 = dεe1 + dεp1 = dλ(1 − sin ϕ ) Ainsi en phase d’écoulement plastique (cf. figure 4.37) : dεpV −2 sin ϕ dεV = p = dε1 1 − sin ϕ dεV İ=

L

Vʆ

L ` :

Vij¶ V ij¶

İ

İ

F IGURE 4.37 Modélisation du comportement élastoplastique d’un sol

Solution 4.12. (1) Il faut différencier le comportement en condition drainée de celui en condition non drainée. Condition drainée - Dans le plan (p - q), la pente M est connue et le chemin de chargement se trace en deux phases : • Consolidation isotrope jusqu’à p0 . Seule la contrainte moyenne p évolue positivement. • Chargement déviatorique jusqu’à la plasticité parfaite. Le chemin de contrainte suit une pente de 3/1. On repère les valeurs des contraintes moyennes et déviatoriques sur la droite M . Dans le plan (e - log p ), on trace la droite de plasticité parfaite. Puis, on repère la position des points correspondants aux trois états initiaux des échantillons. Notons que le premier point est dans un état surconsolidé. Connaissant les valeurs des contraintes moyennes à la rupture, on positionne également les points de fin d’essai. Pour tracer l’évolution au cours de l’essai, la tangente initiale doit correspondre au comportement élastique de l’argile. Comme ordre de grandeur, on choisit une pente initiale égale au dixième de la pente de plasticité parfaite. Puis, il suffit de tracer un chemin, non linéaire, vers le point final. Dans le plan (q - ε1 ), le déviateur q évolue de zéro à la valeur finale précédemment déterminée. La pente initiale est égale au module d’Young, ici inconnu. Néanmoins, ce module varie avec la contrainte de consolidation. Pour le point initialement surconsolidé, la valeur de q peut atteindre un pic, non figuré ici.

Solutions des exercices

113

Enfin pour le plan (ε1 - εV ), l’évolution suit celle de l’indice des vides puisque : Δe . εV = 1 + e0

&N " L #SO %

           >      „ ¦ #SO %

    

 >      „

¦ #*O %

     





   &    ` 

İ #

%$



dž

  

 &    N "L" İ= #

%$)!  N





)!  N



&N " L #*O %

Notons que le premier échantillon, surconsolidé, a un comportement dilatant. Les deux autres sont contractants. Les courbes sont tracées en figure 4.38.



   &    ` 

İ #

%$



   &    ` 

İ #

%$

    V V V

F IGURE 4.38 Comportement probable des trois essais sur argile en condition consolidé-drainé

Condition non drainée - Il faut à présent différencier le comportement en contrainte totale et effective. La pression interstitielle évolue durant l’essai. Il n’y a pas de déformation volumique, l’indice des vides reste donc constant. Dans le plan (e - log p ), seul p évolue pour atteindre la droite de plasticité. On note les valeurs finales. Dans le plan (p-q), on trace le chemin des contraintes totales (pente de 3/1). Connaissant les valeurs finales de p , on trace l’évolution des contraintes effectives jusqu’au point final sur la droite M . On note les valeurs finales du déviateur q. L’écart entre les contraintes totales et effectives correspond aux évolutions de pressions interstitielles Δu. Les courbes sont tracées en figure 4.39.

4 • Résistance au cisaillement

)!  N



114

    







&N " L #SO %

&N " L #*O %

>      „

¦ #*O %

   

     

 





















&    ` 

İ #

%$>      „ ¦ #SO %

F IGURE 4.39 Comportement probable des trois essais sur argile

Solution 4.13.

sĂƌŝĂƚŝŽŶĚĞǀŽůƵŵĞ ΀Đŵϯ΁

(1) La figure 4.40 représente les courbes pressiométriques V60 et (V60 -V30 ).         











WƌĞƐƐŝŽŶĚĂŶƐůĂƐŽŶĚĞƉ΀ŬWĂ΁ F IGURE 4.40 Courbe d’étalonnage

La pression de recompression correspond à celle au début de phase linéaire, soit 100 kPa (volume V1 = 105 cm3). Cette valeur doit être corrigée avec la courbe d’étalonnage. Pour un volume de 105 cm3, la pression associée est de 41 kPa donc p1 = 105 − 41 = 59 kPa. L’essai est réalisé à 6, 2 m de profondeur. La contrainte verticale à cette profondeur est de : σv0 = 6, 2.γ = 112 kPa. Le coefficient des terres au repos est égal à : K0 = 1 − sin ϕ = 0, 55.

Solutions des exercices

115

La contrainte horizontale est égale à : σh0 = K0 .σv0 = 61, 8 kPa Cette valeur est très proche de la pression p1 déduite de l’essai pressiométrique. (2) La pression de fluage s’évalue à partir de la dernière rupture de pente de la courbe (V60 -V30 ), soit 340 kPa (volume : V2 = 160 cm3). Après correction, on obtient une pression de fluage de : p2 = 282 kPa. Le module de Ménard a pour expression :    V1 + V2 (p2 − p1 ) EM = 2(1 + ν) Vs + 2 (V2 − V1 ) Le coefficient de Poisson peut être estimé à partir du coefficient des terres au ν repos : K0 = ⇒ ν = 0, 35. 1−ν AN : EM = 7307 kPa La pression limite se détermine sur la courbe pour un volume de Vs +2.V1 = 735 cm3. Elle est égale à 510 kPa, puis après correction : pL = 366 kPa.

Solution 4.14. (1) La formule des Hollandais permet de calculer la résistance de pointe dynamique et s’adapte bien au sol pulvérulent. qd =

M M.g.H . A.e M + M 

Les données sont toutes fournies. Notons toutefois que deux valeurs d’enfoncement moyen peuvent être indiquées pour une même profondeur. On choisira arbitrairement la plus faible des deux. Le tableau 4.15 résume les valeurs d’enfoncement moyen, de masse frappée et de résistance dynamique de pointe. Tableau 4.15 Résistance dynamique de pointe en fonction de la profondeur et des paramètres expérimentaux 































=ƒ

Z(















=













(2) D’après le tableau 4.3, le rapport qc /qd varie entre 1 et 2, 6 donc on obtient une valeur de qc = [4, 43 ; 11, 5] MPa. Le sable est lâche d’après l’énonce, donc le rapport qc /qd tend vers 1.

4 • Résistance au cisaillement

116

Solution 4.15. (1) La variation significative d’un des paramètres est un des indicateurs de changement de couche. La résistance de pointe ne peut, à elle seule, donner suffisamment d’informations sur le sol. Le piézocône permet de mesurer la pression interstitielle u = u0 + Δu générée par la pénétration de la sonde. Une variation significative de la surpression interstitielle Δu est un indicateur de sol fin saturé. Lorsque cette variation est négative, le sol est surconsolidé. Enfin, le rapport de frottement Rf permet de repérer les sols pulvérulents (frottants). Un sol pulvérulent possède généralement un rapport de frottement proche de 1 et une surpression interstitielle nulle. On distingue ici assez aisément les couches suivantes : • [0 ; 4] : sol pulvérulent. • [4 ; 9] : sol fin + passée drainante à 7 m. • [9 ; 12] : sol fin, surconsolidé. • [12 ; 14] : sol pulvérulent à tendance fine ou l’inverse. (2) Il faut utiliser l’abaque de Robertson (cf. figure 4.15). Le tableau 4.16 résume les valeurs des paramètres de l’abaque pour les quatre profondeurs. Tableau 4.16 Paramètres de classification pour l’abaque de Robertson 













=^









]

=









ǻX

Z





V



ı

Z











Z









ı 

Z









+]

B









_

=









0

\





V



‡

V









#+

$









D’après l’abaque de Robertson, la classification est la suivante : • [0 ; 4] : sable propre à sable limoneux (6). • [4 ; 9] : argile à argile limoneuse (3) + passée drainante à 7 m. • [9 ; 12] : limon sablonneux à sable limoneux (5), surconsolidé. • [12 ; 14] : limon sablonneux à sable limoneux (5).

Chapitre 5

Tassements

5.1 CONSOLIDATION 5.1.1. Phénomène de consolidation La consolidation est un phénomène qui se traduit par un tassement progressif des couches de sols fins au cours du temps. La perméabilité de ces sols étant faibles, les surpressions interstitielles, notées Δu et générées par une mise en charge des couches, se dissipent plus ou moins vite. Un transfert de charge de l’eau au squelette est constaté. L’augmentation de contrainte effective est responsable du tassement observé. a) Approche macroscopique

À partir de l’appareil œdométrique, on peut tracer l’évolution du tassement d’une couche de sol fin, saturé et drainé des deux faces, en fonction du temps. La charge appliquée a pour effet d’augmenter la pression interstitielle d’une valeur notée Δu puis progressivement un transfert de charge est réalisé et se traduit par une augmentation de la contrainte effective. Ce phénomène se distingue par une consolidation primaire, causée par la dissipation des pressions interstitielles et le départ de l’eau, puis une consolidation secondaire, causée par un réarrangement progressif du squelette. La consolidation primaire est généralement prépondérante à la seconde hormis pour certains sols organiques (tourbe) et certaines vases.

5 • Tassements

  #%

118

          

O 

;!  

:  O  O  " N  W!   

(L" ŠJJ   < G" §  L" O  "



   #%

,^^ˆ ' 



F IGURE 5.1 Courbe de consolidation (à gauche) - Description de l’appareil œdométrique (à droite)

En un point donné, le degré de consolidation Uv traduit le pourcentage de tassement réalisé. On le définit par : Uv = 1 −

Δu(t) s(t) = Δui s∞

Avec : • Δui : l’augmentation de pression interstitielle initiale due à la charge appliquée, notée Δσv , • Δu(t) : valeur moyenne de la surpression interstitielle, à l’instant t, définie sur toute la hauteur H0 de la couche par :

H0 1 Δu(t) = Δu(t)dz H0 0 • s(t) : tassement à l’instant t, • s∞ : tassement final. Initialement Δu(t) = Δui , donc le degré de consolidation est nul. Après consolidation, les surpressions interstitielles sont nulles, donc le degré de consolidation vaut 100 %. b) Équation de consolidation

La consolidation est un phénomène de diffusion étudié dans la théorie Terzaghi et Fröhlich. Les hypothèses sont les suivantes : • sol homogène et saturé, • écoulement et déformation unidimensionnels, • amplitude des tassements proportionnelle au chargement appliqué, • incompressibilité de l’eau et du squelette, • sol où la loi de Darcy est applicable.

5.1

Consolidation

119

Cette théorie conduit à l’équation de consolidation suivante : ∂ 2 Δu(z, t) ∂Δu(z, t) = Cv ∂t ∂z 2 2 avec Cv coefficient de consolidation (variable entre 1.10-6 et .10-9 m2.s-1). La solution de l’équation de consolidation est : 4 Δu(z, t) = Δσv π

∞ n=1,3,5,...

nπz 1 −n2 π2 .Tv e 4 . sin n 2H

Ou encore : Uv = 1 −

8 π2

∞ n=1,3,5,...

avec : Tv facteur de temps défini par Tv =

1 −n2 π2 .Tv e 4 n

Cv .t . H2

La hauteur H, appelée chemin de drainage, dépend des conditions limites. En cas de drainage par les deux faces, cette hauteur est égale à la moitié de la hauteur de couche. En cas de drainage par une seule face, elle est égale à la hauteur totale. La fonction Uv = f (Tv ) est tracée sur l’abaque de Barron (cf. figure 5.4). Elle peut être approchée par les expressions suivantes :  ∀ Tv < 0, 2827 ou Uv > 60 % : Uv =

π2 4.Tv 8 − Tv sinon Uv = 1 − 2 e 4 π π

À noter que l’on peut exprimer le coefficient de consolidation Cv en fonction de la perméabilité kv et du module œdométrique Eoed par la relation : Cv =

kv .Eoed γw

La détermination expérimentale de ce coefficient est présentée en annexe B..

5.1.2. Réduction des temps de consolidation L’enjeu consiste généralement à se fixer un degré de consolidation pour un temps donné (ex. : Uv = 90 % pour un temps maximal t = 2 mois). À l’inverse, on peut se fixer un temps, et évaluer les tassements engendrés après le délai écoulé. Lorsque les temps de consolidation sont trop importants, ou que les degrés de consolidation sont trop faibles, diverses méthodes existent pour accélérer la consolidation. Trois de ces méthodes sont détaillées par la suite.

5 • Tassements

120

a) Pré-chargement

Y " "

La cinétique du tassement est indépendante de la valeur de la charge appliquée en surface. En revanche, le tassement final varie en fonction de cette charge. Ainsi, à un temps t donné, deux systèmes de chargement différents donneront des valeurs de tassements différentes. La méthode des surcharges consiste à placer une surcharge sur un massif pendant quelques mois, et ceci avant la construction définitive. Cette surcharge, un remblai de 1 à 3 m de hauteur généralement, a pour effet de démarrer la consolidation, et donc de tasser en partie le sol. La figure 5.2 permet d’illustrer le procédé.

Y } ǻY

Y







Y Y } ǻY ’ ’

F IGURE 5.2 Méthode des surcharges. Le tassement s∞,1 est atteint plus rapidement grâce à la hauteur de remblai supplémentaire ΔHR

b) Drains verticaux

Lorsque la seule consolidation verticale est inefficace, un système de drains verticaux peut être prévu. L’écoulement radial s’ajoute à l’écoulement vertical. Lorsque la distance entre les drains est suffisamment faible, les chemins de drainage se raccourcissent, et les dissipations interstitielles se font plus rapidement.

J  &

&

&  (

( >  & z U(  $ ^

 G"  & z U(

    

F IGURE 5.3 Consolidation par des drains. Diamètre D d’influence

5.2

Consolidation

121

Dans ces conditions, l’équation de consolidation s’écrit :   2 ∂ 2 Δu ∂Δu(z, r, t) ∂ Δu 1 ∂Δu = Cv + Cr . + ∂t r ∂r ∂z 2 2 ∂r 2 2 avec Cr coefficient de consolidation radial (ou horizontal). De manière similaire à la consolidation verticale, la consolidation radiale fait intervenir un degré de consolidation Ur qui évoluera en fonction d’un facteur de temps Tr et d’un facteur n = D/d (avec D zone d’influence et d diamètre des drains). L’abaque de Barron (cf. figure 5.4) trace différentes fonctions Ur = f (Tr , n). Le facteur de temps Tr est relié au coefficient de consolidation radial Cr et au diamètre d’influence des drains par la relation : Cr .t Tr = 2 D On définit un degré de consolidation global U par la relation : (1 − U ) = (1 − Ur )(1 − Uv )

&G  !        #

%$  ? z { | ?N z { N|

       

 









† ! "     

F IGURE 5.4 Abaque de Barron - évolution des degrés de consolidation en fonction des facteurs de temps.

c) Consolidation atmosphérique

La consolidation atmosphérique consiste à utiliser la pression atmosphérique comme surcharge d’un remblai de pré-chargement. On place une membrane étanche en surface du sol et un vide est crée par pompage de l’air sous la membrane. La consolidation est isotrope et l’augmentation de contrainte effective est égale à la pression atmosphérique, au rendement près (soit entre 60 et 80 kPa). Diverses considérations technologiques complexifient le processus, notamment par la remontée de la nappe qui déjauge le remblai.

5 • Tassements

122

5.2 COMPRESSIBILITÉ Ce paragraphe présente les méthodes de détermination du tassement final d’un massif en fonction des charges qui lui sont appliquées. ;  G  { J| Y " "

Y

  





;   {"  J| Y " "

Y

  





F IGURE 5.5 Tassement instantané d’un sol grossier et tassement final après consolidation d’un sol fin

Le tassement total, noté s, se décompose en plusieurs termes : q = si + sc + sα + slat avec : • si : tassement initial instantané. • sc : tassement de consolidation. • sα : tassement de compression secondaire. • slat : tassement dû au déplacement latéral du sol. En général, la majeure partie du tassement est due au tassement de consolidation. La suite de ce paragraphe s’attarde sur les méthodes de détermination de ce tassement.

5.2.1. Essai œdométrique L’essai œdométrique permet de caractériser un sol vis-à-vis de sa compressibilité (ou déformabilité). Cet essai permet d’étudier l’évolution du tassement, ou de l’indice des vides, d’un échantillon de sol en fonction de la charge appliquée en tête. La nature du sol et son état de saturation jouent un rôle important sur la déformabilité. La figure 5.6 montre le comportement d’un sol pulvérulent et celui d’un sol fin. Par convention, on représente l’évolution de l’indice des vides en fonction de la contrainte verticale effective. Pour un échantillon de sol en condition œdométrique, d’indice des vides initial e0 et de hauteur initiale H0 , les variations associées Δe et

5.2

Compressibilité

123

)!  N



)!  N



O  > &! GF! G

O  >!

&! GF! G

ı¶N

ı¶

ı¶N {!  G|

F IGURE 5.6 Courbes œdométrique d’un sol grenu (à gauche) et d’un sol fin (à droite)

ΔH sont reliées par l’expression : ΔH Δe = 1 + H0 1 + e0 a) Paramètres de compressibilité

La courbe œdométrique représentée en figure 5.6 est caractérisée par les paramètres suivants : • Indice de gonflement (ou de recompression) Cs : valeur absolue de la pente moyenne de la zone de décharge/recharge. En cas de sol non remanié, Cs correspond également à la première pente de la courbe. • Indice de compression Cc : valeur absolue de la pente de la zone finale de la courbe (au-delà de σp ). Δe Cs ou Cc = Δ log σ  v • Contrainte de préconsolidation σp : contrainte effective correspondant au point d’intersection P des deux pentes.  : contrainte initiale de l’échantillon in situ. • Contrainte initiale σv0

• Indice des vides e0 : indice des vides initial de l’échantillon in situ.  et σ  permettent de déterminer l’état de consolidation du sol : Les contraintes σv0 p  = σ . • Sol normalement consolidé lorsque σv0 p  < σ  . On définit le rapport de consolidation R • Sol surconsolidé lorsque σv0 oc p

par : Roc =

σp  . σv0

5 • Tassements

124

En exploitant la courbe œdométrique en échelle linéaire (cf. figure 5.6), on peut également définir plusieurs paramètres : • Coefficient de compressibilité av : rapport des variations autour d’un point d’indice des vides et de contrainte verticale effective : av =

Δe Δσv

• Module œdométrique Eoed : pente de la courbe contrainte-déformation σv = f (εv ) : Eoed =

1+e (1 + e0 ).Δσv 1+e Δσ    v  = . = av Δe Cs ou Cc log σv +Δσ v  σv

Ce module n’est pas intrinsèque au matériau et dépend de l’état de contrainte σv et de l’indice des vides e du point considéré.

5.2.2. Calcul des tassements a) Méthode œdométrique

À partir des résultats fournis par des essais œdométriques, le tassement s d’une couche de sol de hauteur H0 soumise à un chargement Δσv se détermine par l’une des expressions suivantes :    H0 σv0 + Δσv • sol normalement consolidé : s = .Cc . log  1 + e0 σv0    σv0 + Δσv H0    • sol surconsolidé avec σv0 + Δσv < σp : s = .Cs . log  1 + e0 σv0  + Δσ  > σ  : • sol surconsolidé avec σv0 v p

       σp H0 σv0 + Δσv . Cs . log s= + Cc . log  1 + e0 σv0 σp b) Couches fictives

Les paramètres de compressibilité d’un sol peuvent varier avec la profondeur. La valeur de la charge verticale Δσv peut également varier avec la profondeur en fonction du chargement (cf. annexe A.). Ainsi, il est conseillé de discrétiser le massif de sol en différentes couches. Celles-ci peuvent être réelles, dans le cas d’un massif hétérogène, ou fictives dans le cas d’un massif homogène mais de grande hauteur. Pour chaque couche, les paramètres en milieu de couches seront pris en compte et considérés constants sur toute la hauteur. Le tassement total correspond à la somme des tassements de chacune des couches considérées.

5.2

Compressibilité

125

c) Autres méthodes

Il existe d’autres méthodes adaptées au type d’ouvrage et aux essais réalisés sur le massif. On peut citer la méthode élastique dans le cadre des fondations superficielles. Le tassement s d’un massif homogène, de paramètres caractéristiques élastiques E et ν, sous une fondation de largeur B, et soumis à la base de la fondation à une charge Δσv s’exprime : 1 − ν2 s = Δσv . .B.Cf E Avec Cf coefficient de la forme et de la rigidité de la fondation, ainsi que de la position du point étudié. Tableau 5.1 Valeurs du coefficient Cf de la méthode élastique

}0  +(   ^

"

@

`

f

k

%

j



`

"

 

           



$

           



0

           



Il existe également des méthodes basées sur les résultats d’essais pressiométriques et pénétrométriques. d) Limites autorisées

L’amplitude absolue du tassement smax doit être limitée mais la distorsion angulaire wd , définie ci-après, fait l’objet d’une attention plus particulière. On définit la distorsion angulaire comme le rapport entre la différence de tassement et la distance qui sépare ces points. Les valeurs admissibles sont fonction du type d’ouvrage et du niveau de désordres autorisés. En guise d’exemple, un bâtiment d’habitation peut tasser au maximum de 2 à 3 cm (maçonnerie) jusqu’à 5 à 10 cm (acier, BA). Pour des constructions industrielles, ce tassement peut dépasser 10 cm, notamment si les éléments de remplissage ne sont pas fragiles. Concernant la distorsion angulaire maximale, elle peut varier de 1/2000 pour les ouvrages sensibles jusqu’à 1/250 pour les ouvrages rigides. Ce ne sont que des ordres de grandeur, et à chaque projet sont définies des exigences particulières.

5 • Tassements

126

EXERCICES Exercice 5.1.

Solution p. 134

Soit un massif composé d’une couche d’argile saturée de 2 m d’épaisseur, drainée par ces deux faces. Suite à un chargement en surface, la couche a réalisée 50 % du tassement final en 85 h. (1) Déterminer le temps nécessaire pour atteindre 70 % du tassement final. (2) Évaluer la degré de consolidation Uv au bout de 10 h.

Exercice 5.2.

Solution p. 134

Soit un massif composé d’une couche d’argile saturée de 3 m d’épaisseur et de coefficient de consolidation Cv = 2.10-7 m2.s-1. Une couche de remblai est déposée en surface de la couche engendrant un tassement final sf = 45 cm. (1) En considérant un drainage par une seule face, tracer l’évolution théorique du tassement moyen de la couche d’argile en fonction du temps.

Exercice 5.3.

Solution p. 135

Soit un massif composé de deux couches, sableuse et argileuse, reposant sur un substratum imperméable (cf. figure 5.7). Dans ce massif est placé un piézomètre crépiné au centre de la couche argile. Le coefficient de consolidation de l’argile est Cv = 2.10-6 m2.s-1. O… ' 

 

 

 



YO

; J   

0G

F IGURE 5.7 Massif à deux couches + piézomètre (état à t = 0+ )

(1) Calculer la hauteur HP dans le piézomètre, juste après application d’une surcharge répartie et infiniment étendue q = 25 kPa en surface. La figure 5.8 présente l’évolution de la surpression interstitielle Δu en fonction du temps et de la profondeur.

Exercices



127





ȴƵ΀ŬWĂ΁





WƌŽĨŽŶĚĞƵƌnj΀ŵ΁





z  ˆ z 

 z  ˆ z 

 

z ˆ z 

 

z } ˆ z 

z  ˆ z 



F IGURE 5.8 Évolution de la surpression interstitielle en fonction du temps. Les valeurs de temps t H sont en jours. Les valeurs de J correspondent aux intégrales 0 Δu.dz (unité : [kPa.m])

(2) Déterminer le degré de consolidation pour chaque temps considéré ainsi que le coefficient de consolidation Cv de l’argile. (3) En considérant que le tassement de la couche à t = 10 j est de 12 cm, évaluer le tassement de l’argile pour chaque temps considéré.

Exercice 5.4.

Solution p. 135

Des mesures de tassement ont été réalisées sur toute la vie d’un ouvrage. Le tassement après trois ans de construction est de s(3 ans) = 12 cm et le tassement final est de sf = 20 cm. Le sol est constitué d’une couche d’argile de 15 m de hauteur confinée entre deux couches de sable drainant, considérées incompressibles (cf. figure 5.9). (1) Par les mesures in situ, déterminer le coefficient de consolidation Cv de l’argile.

 

; J

0G

; J

F IGURE 5.9 Couche argileuse homogène (à gauche) et comportant des passées drainantes (à droite)

O     

5 • Tassements

128

Des mesures en laboratoire ont été réalisées pour évaluer la cinétique de consolidation de cette couche argileuse. Un échantillon d’argile de 23 mm de hauteur est placé dans une cellule œdométrique. Sous chargement constant, les tassements mesurés sont indiqués en tableau 5.2. Tableau 5.2 Essai de consolidation à l’œdomètre  K $'W

 

KW





































k

k

k





















(2) Déterminer le coefficient de consolidation de l’argile par la méthode de Casagrande (cf. annexe B.2.). Comparer. La présence de passées sableuses intercalées tous les 5 m dans l’argile modifie les conditions de drainage (cf. figure 5.9). (3) Les épaisseurs de ces passées étant faibles, évaluer à nouveau le coefficient Cv . Conclure.

Exercice 5.5. Solution p. 137 Soit un massif composé d’une couche de limon argileux de 6 m de profondeur reposant sur un substratum rocheux imperméable. Le coefficient de consolidation Cv est évalué à 2, 5.10-7 m2.s-1. On dépose ensuite un remblai de hauteur HR = 3 m (γR = 19 kN.m-3) pour pré-charger la couche de limon. Le remblai est considéré perméable vis-à-vis de la consolidation du limon. (1) Calculer le temps nécessaire pour obtenir 80 % du tassement final. (2) Afin de diminuer ce temps de moitié, on applique une surcharge. Donner l’épaisseur de remblai supplémentaire. On supposera que l’amplitude du tassement est proportionnelle à la charge appliquée.

 

J 

Y

J 

ǻY Y

( 

G"`

F IGURE 5.10 Remblai de pré-chargement sans surcharge (à gauche) et avec surcharge (à droite)

Une autre solution, en remplacement du remblai supplémentaire, est la consolidation atmosphérique. La pression absolue sous la membrane étanche atteint 60 kPa. Pour rappel, la pression atmosphérique est égale à 1013 hPa.

Exercices

129

 ! L"

*J   ! J 

 

( 

G"`

F IGURE 5.11 Remblai de pré-chargement + pompe à vide

(3) Déterminer le gain de temps apporté par cette solution.

Exercice 5.6. Solution p. 138 Soit deux massifs de sol A et B composés d’une couche d’argile limoneuse de même nature mais d’épaisseur différente. Le massif B est 20 % plus épais que la massif A. On considère un chargement q en surface des deux massifs. Le tassement de la couche du massif A est de 24 cm en 1 an. Son tassement final est de 30 cm. (1) Évaluer le tassement final et celui au bout de 8 mois du massif B. (2) Déterminer les temps nécessaires aux couches des deux massifs pour se tasser de 5 cm et 25 cm. Commenter.

Exercice 5.7. Solution p. 140 Un essai œdométrique a été réalisé sur sol fin saturé, drainé par les deux faces, d’épaisseur H0 = 18 mm et soumis à une charge Δσv = 15 kPa. Les résultats sont présentés dans le tableau 5.3. Tableau 5.3 Essai de consolidation à l’œdomètre KW KW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) Par la méthode de Taylor (cf. annexe B.1.), déterminer le coefficient de consolidation Cv . (2) Évaluer le module œdométrique Eoed,0 en fin de consolidation pour ce palier de chargement, puis en déduire la perméabilité verticale kv .

5 • Tassements

130

Exercice 5.8.

Solution p. 141

Un remblai de grande surface est placé sur un massif composé d’une couche d’argile de 8 m de hauteur située entre deux couches sableuses drainantes. Des essais à l’œdomètre ont permis de déterminer le coefficient de consolidation vertical et radial Cv = 2, 4.10-7 m2.s-1 et Cr = 1, 8.10-7 m2.s-1. Le degré de consolidation exigé doit être au minimum de U = 90 % au bout d’un temps t = 9 mois. (1) Montrer qu’à elle seule, la consolidation verticale ne permet pas d’atteindre cet objectif. Des drains de diamètre d = 25 cm sont ainsi prévus sur toute la hauteur de la couche d’argile. On cherche à déterminer le diamètre de la zone d’influence des drains D, sachant qu’ils sont positionnés en carré. (2) Déterminer le degré de consolidation radial Ur à partir des degrés de consolidation Uv et U . (3) En posant n = D d = 5, et en utilisant l’abaque de Barron, déterminer le facteur de temps radial Tr , puis le diamètre de la zone d’influence D. (4) Calculer le facteur n à nouveau, puis itérer jusqu’à atteindre la convergence. (5) Déterminer la distance minimale entre axes des drains, notée L.

Exercice 5.9.

Solution p. 142



9 N Ȗ  !"# Ȗ$   !"#





Soit un massif de sol composé d’une couche de gravier partiellement saturée et d’une couche d’argile normalement consolidée (cf. figure 5.12). Suite à une forte période de sécheresse, le niveau de la nappe diminue de 2 m dans la couche de gravier.

0G Ȗ$ % !"#  &&' & (& *

F IGURE 5.12 Baisse du niveau de la nappe

Exercices

131

(1) La baisse du niveau de la nappe engendre-t-elle une diminution (tassement) ou une augmentation (gonflement) de l’épaisseur de la couche d’argile ? (2) Évaluer cette variation de hauteur par la méthode œdométrique.

 

; J G"` Ȗ$  & !"# (& &*

 

Exercice 5.10. Solution p. 142 Soit un massif composé de deux couches compressibles et entièrement saturées (cf. figure 5.13). Deux échantillons de sol, très peu remaniés, ont été prélevés au centre de chaque couche puis ont été soumis à un essai de compressibilité à l’appareil œdométrique. Les résultats sont présentés en tableau 5.4.

0G  " Ȗ$ % !"# (& &

F IGURE 5.13 Massif compressible à deux couches saturées

Tableau 5.4 Résultats d’essais œdométriques w   $$

* ( €

,( $ 

Z



























































(1) Tracer les courbes de compressibilité des deux sols puis en déterminer les paramètres Cc , Cs et σp . (2) Les couches sont-elles normalement consolidées ?

5 • Tassements

132

Un remblai, de poids volumique γR = 20 kN.m-3 et de hauteur HR = 3, 5 m, est ensuite déposé sur une grande étendue en surface du massif. (3) Évaluer le tassement du massif après consolidation.

Exercice 5.11.

Solution p. 144

Soit un massif de sol composé d’une couche d’argile limoneuse saturée et normalement consolidée de 15 m d’épaisseur. Son indice de compression est de Cc = 0, 40, considéré constant sur l’ensemble de la couche. Son poids volumique saturé est de γsat = 17 kN.m-3. On étudie le tassement de la couche, après consolidation, soumise à une charge uniformément répartie de Δσv = 120 kPa. (1) Déterminer le tassement moyen de la couche en considérant un indice des vides initial e0 = 1, 4. (2) Réévaluer le tassement du massif en sommant les tassements de trois couches fictives de 5 m de hauteur. Comparer. (3) En considérant que chaque couche fictive possède un indice des vides initial différent, i.e. de haut en bas e0 = [1, 6 ; 1, 4 ; 1, 2]. Déterminer à nouveau le tassement du massif. Comparer.

Exercice 5.12.

Solution p. 145

 

; J Ȗ + !"# Ȗ$   !"#

 

 

Soit un massif composé de deux couches sur lesquelles doit se construire un immeuble d’habitation R + 4. Le tassement de la couche de limon argileux, normalement consolidée, est étudié ici en fonction du phasage suivant :

(  G"` Ȗ$  + !"# ,  &., &&.(&  &%

F IGURE 5.14 Coupe du terrain avant travaux

• Phase 1 : rabattement de nappe de 3 m. • Phase 2 : création d’une fouille sur 4 m de profondeur. • Phase 3 : construction du radier et du sous-sol, soit une contrainte en fond de fouille de 100 kPa. • Phase 4 : relâchement de la nappe.

Solutions des exercices

133

• Phase 5 : construction du reste de l’immeuble, soit une contrainte supplémentaire en fond de fouille de 200 kPa. On considérera que la distribution des contraintes est uniforme pour chaque phase (fouille et emprise du bâtiment étendues) et que le temps de chaque phase est suffisamment long pour atteindre la fin de consolidation. (1) Évaluer le tassement, ou gonflement, moyen de la couche de limon argileux pour chaque phase. (2) Représenter la courbe de compressibilité du sol.

Exercice 5.13.

Solution p. 147

Les éoliennes sont fondées généralement sur des semelles circulaires (avec ou sans pieu). On étudie les tassements générés par une éolienne de 1100 t (poids de la fondation superficielle compris) et de diamètre à la base D = 10 m (cf. figure 5.15). Cette dernière se trouve à proximité d’une chaussée existante de largeur B = 7 m. Le tassement maximal sous la chaussée est limité à s = 20 mm. La distorsion angulaire entre les deux bords de la chaussée est limitée à wd = 5.10-4.

   

> " ; J G"` Ȗ + !"# , &.(& &% 9 N  "` Ȗ + !"# ,  &&+.(&  & %

 

W 

(  G"` Ȗ$ % !"# ,  & .(&  &%

F IGURE 5.15 Coupe du terrain (éolienne + chaussée)

Les couches sont normalement consolidées. Le calcul des tassements devra considérer que la couche de limon est discrétisée en deux couches fictives de 2 m de hauteur et de mêmes caractéristiques. La chaussée apporte une contrainte verticale en tête de massif de qc = 25 kPa. Le projet prévoit de placer l’éolienne à une distance entre axes r = 11 m de la chaussée. (1) Déterminer les valeurs des contraintes verticales effectives initiales nécessaires pour le calcul des tassements. (2) Évaluer les tassements moyen et différentiel. (3) Les limites de tassement sont-elles dépassées ? Si oui, proposer différentes solutions.

5 • Tassements

134

SOLUTIONS DES EXERCICES Solution 5.1. (1) Le temps de consolidation se détermine à partir de la relation : t =

Tv .H 2 Cv

Avec : • Tv : facteur de temps déterminé partir de la courbe Tv = f (Uv ). • H : chemin de drainage, égal ici à la moitié de l’épaisseur de la couche car le drainage se réalise par les deux faces. Ainsi H = 1 m. • Cv : coefficient de consolidation. Le coefficient de consolidation se détermine à partir des valeurs à Uv = 50 %. En effet, dans cet état, le facteur de temps vaut Tv = 0, 196 et le coefficient de consolidation : Cv =

Tv .H 2 = 6, 4.10-7 m2.s-1 t

Pour un degré de consolidation Uv = 70 %, le facteur de temps vaut Tv = 0, 403, ainsi le temps de consolidation est de t = 175 h. (2) Au bout de 10 h, le facteur de temps est égal à Tv =

Cv .t = 0, 023 H2

On en déduit le degré de consolidation : Uv = 17 %

Solution 5.2. (1) On relie le tassement au temps par l’intermédiaire du degré de consolidation et du facteur de temps. Tv .H 2 s(t) = Uv .sf et t = Cv Ainsi, la figure 5.4 trace la fonction reliant le facteur de temps Tv au degré de consolidation Uv , l’évolution temporelle du tassement se trace aisément. Cette fonction n’étant pas linéaire, il est conseillé de choisir une échelle adaptée pour le temps. La figure 5.16 trace cette évolution avec une échelle logarithmique.

Solutions des exercices

:} 

135

KW :}

:}

:}

:}

KW

    

F IGURE 5.16 Évolution du tassement de la couche en fonction du temps

Solution 5.3. (1) En considérant que l’augmentation de pression interstitielle dans la couche est instantanée, on peut écrire qu’en tout point de l’argile : Δu(t = 0+ ) = q = 25 kPa Cette augmentation de pression se traduit par une augmentation de hauteur dans Δu le piézomètre HP = = 2, 5 m. γw (2) Le degré de consolidation, déterminé pour chaque temps considéré (cf. tableau 5.5), s’exprime en fonction de la surpression interstitielle par la relation suivante : H Δu.dz J Uv = 1 − 0 =1− H.Δσv H.q Tableau 5.5 Degré de consolidation en fonction du temps 



}









…

B











Le coefficient de consolidation de l’argile se détermine par la relation : Tv .H 2 Cv = t En prenant t = 10 j = 8, 64.105 s, le degré de consolidation correspondant est égal à Uv = 25 % ce qui équivaut à un facteur de temps : π.Uv2 Tv = = 0, 04 4 Le chemin de drainage H est égal ici à la hauteur totale de la couche (drainage par une seule face). Ainsi : Cv = 2, 02.10-6 m2.s-1.

5 • Tassements

136

Solution 5.4. (1) À partir des mesures fournies, le degré de consolidation au bout de trois ans est de : s(3 ans) Uv = = 60 % sf À partir de la relation Tv = f (Uv ), le facteur de temps est égale à Tv = 0, 286. Enfin, les conditions de drainage imposant un chemin de drainage H égal à la moitié de la hauteur de la couche, le coefficient de consolidation se détermine Tv .H 2 par la théorie de Terzaghi Cv = = 1, 70.10-7 m2.s-1. t (2) L’évolution du tassement, lors de l’essai œdométrique, est représentée en figure 5.17. Par la méthode de Casagrande, les paramètres à déterminer graphiquement sont s100 = 95, 8.10-2 mm et sc = 1, 0.10-2 mm.

:} 

:}

:}

KW :} :}

:}

:}

:}



KW

     

F IGURE 5.17 Construction graphique par la méthode de Casagrande à partir de l’évolution des tassements œdométriques en fonction du temps

Par calcul, la moyenne des tassements précédents donne s50 = 47, 4.10-2 mm ce qui correspond, par lecture sur la courbe d’essai, à un temps t50 = 1260 s. La hauteur de l’éprouvette au temps t50 est égal à 22, 53 mm, le chemin de drainage vaut donc H = 11, 3 mm. Ainsi, le coefficient de consolidation est estimé par cette méthode à : 0, 197.H 2 Cv = = 1, 98.10-8 m2.s-1 t50 La différence entre les deux valeurs de coefficient est très forte. La valeur tirée de l’essai œdométrique est environ égale au dixième de la première valeur.

Solutions des exercices

137

(3) La présence de passées sableuses contribue à diminuer fortement les chemins de drainage. Chaque sous-couche fait 5 m d’épaisseur. En considérant un drainage par les deux faces, le chemin de drainage vaut H = 2, 5 m (au lieu de H = 7, 5 m précédemment). Les couches d’argiles sont toutes de même nature et épaisseur. Aussi, la cinétique de consolidation sera identique pour les trois couches. Le tassement final est de 20 cm donc chaque couche se tasse au final de 6, 7 cm. De même, au bout de trois ans, chaque couche se tasse de 4 cm. Le degré de consolidation et le facteur de temps au bout de trois ans restent égaux à Uv = 60 % et Tv = 0, 286. Ainsi en prenant en compte l’effet des passées drainantes, le coefficient de consolidation est égal à Cv = 1, 89.10-8 m2.s-1. Cette valeur est en adéquation avec l’essai œdométrique, l’erreur est de 5 % environ.

Solution 5.5. (1) Le degré de consolidation étant égal à U1 = 80 %, on calcule le facteur de temps (Uv,1 < 60 %) :  2  π 4 (1 − Uv,1 ) = 0, 57 Tv,1 = − 2 ln π 8 Tv,1 .H 2 Cv Avec Cv = 2, 5.10-7 m2.s-1et H = 6 m (couche drainée sur une seule face). Puis le temps t1 à partir de la relation suivante : t1 =

AN : t1 = 8, 16.107 s = 945 j Le tassement au temps t1 et le tassement final seront notés respectivement s1 et sf,1 . (2) On cherche à diminuer ce temps par deux, donc à obtenir un tassement égal à s1 en un temps t2 = 4, 08.107 s. Cv .t2 Ce temps correspond à un facteur de temps de Tv,2 = = 0, 28 puis un H2 degré de consolidation de Uv,1 = 59, 7 %. En considérant que l’amplitude du tassement est proportionnelle à la charge appliquée en surface (hypothèse forte), le tassement final après surcharge s’exprime : HR + ΔHR sf,2 = .sf,1 HR s1 HR + ΔHR s1 Ou encore : = . Uv,2 HR Uv,1

5 • Tassements

138

On détermine  ainsi la hauteur  de la surcharge ΔHR : Uv,1 − 1 = 1, 02 m ΔHR = HR . Uv,2 (3) La diminution de pression dans le remblai permet de se servir de la pression atmosphérique pour charger le sol. La différence de pression Δp entre l’extérieur et l’intérieur du remblai correspond à la surcharge appliquée : p = (1, 013 − 0, 60).105 = 0, 41.105 Pa Cette pression est équivalente à une hauteur de surcharge de : p ΔHR = = 2, 2 m γR En suivant le cheminement inverse à la question précédente, on remonte au degré de consolidation, noté Uv,3 : HR .Uv,1 = 46, 4 % Uv,3 = HR + ΔHR Le facteur de temps associé est égal à Tv,3 = 0, 169 et le temps t3 nécessaire pour atteindre le tassement s1 s’exprime : Tv,3 .H 2 = 2, 43.107 s = 282 j t3 = Cv

Solution 5.6. (1) Le sol est de même nature dans les deux massifs, aussi le coefficient Cv est identique. Ce dernier est inconnu, tout comme l’épaisseur de la couche. En considérant que l’amplitude du tassement final est proportionnelle à l’épaisseur de la couche, le tassement final du massif B est égal à : sB,∞ = 1, 2.sA,∞ = 36 cm On peut calculer le rapport αA = αA =

Cv 2 à partir des données fournies : HA

Tv,A Cv = 2 tA HA

La massif A a tassé en 1 an de sA,(tA =1 an) = 24 cm et son tassement final est de sA,∞ = 30 cm donc son degré de consolidation à 1 an est égal à : sA,(tA =1 an) = 80 % Uv,A = sA,∞ Ce degré de consolidation correspond à un facteur de temps Tv = 0, 54. On détermine enfin le coefficient αA = 1, 71.10-8 s-1. On définit ensuite le paramètre αB : Cv Cv αA = = 1, 19.10-8 s-1 αB = 2 = 2 (1, 2.HA ) 1, 22 HB

Solutions des exercices

139

Grâce à ce paramètre, on peut évaluer la cinétique de tassement du massif B. Au bout de 8 mois, le facteur de temps Tv,B est égal à : Cv .tB Tv,B = 2 = αB .tB = 0, 56 HB  4.Tv,B Ce facteur de temps correspond à un degré de consolidation UB = = 56 %. π Le tassement au bout de 8 mois est donc de : sB,(tB =8 mois) = Uv,B .sB,∞ = 20, 3 cm (2) Pour un tassement de sA,(tA ) = sB,(tA ) = 5 cm, les degrés de consolidation des massifs sont égaux à : sB,(tA ) sA,(tA ) = 16, 7 % et Uv,B = = 13, 9 % Uv,A = sA,∞ sB,∞ Les facteurs de temps associés valent respectivement Tv,A = 2 π.Uv,B

2 π.Uv,A

4

= 0, 022

et Tv,B = = 0, 015. Cette dernière relation peut être utilisée lorsque 4 Tv < 0, 28 ou encore U < 60 % ce qui est le cas ici. Ainsi on détermine les temps associés à partir des relations suivantes : Tv,A Tv,B tA = = 14, 7 j et tB = = 14, 7 j αA αB Si l’on suit le même raisonnement pour un tassement sA,tA = sB,tA = 25 cm, on obtient successivement : sA,tA sB,tA UA = = 83, 3 % et UB = = 69, 4 % sA,∞ sB,∞ Le degré de consolidation étant supérieure à 60 %, le facteur de temps se détermine par la relation   2 : 4 π Tv = − 2 ln (1 − U ) π 8 Ainsi Tv,A = 0, 64 et Tv,B = 0, 40 ce qui correspond aux temps de consolidation suivants : Tv,A T tA = = 433 j et tB = αv,B = 384 j B αA En commentaire, on peut constater que : • Pour de faibles valeurs de tassements les temps de consolidation sont identiques. En effet la fonction Uv = f (Tv ) peut être approchée à une fonction racine carrée pour de faibles degrés de consolidation. En revanche, en fin de consolidation, cette relation n’est plus valable, les temps obtenus sont donc différents. • La couche la moins épaisse met plus de temps pour atteindre 25 cm de tassement. Ceci est logique, compte tenu du fort degré de consolidation Uv = 83, 3 %. En fin de consolidation, le tassement évolue très lentement.

5 • Tassements

140

Solution 5.7. (1) La √ méthode de Taylor impose de tracer l’évolution du tassement en fonction de t (cf. figure 5.18). }" K}"W 











 

KW

     

F IGURE 5.18 Construction graphique par la méthode de Taylor à partir de l’évolution des tassements œdométriques en fonction de la racine carrée du temps

Graphiquement, la droite D1 a pour origine corrigée sc = 0, 082 mm et une 1 pente 0, 084 mm.s- /2 . D’après la méthode, la droite D2 a une pente 15 % 1 plus faible, soit 0, 073 mm.s- /2 . La temps à 90 % de consolidation vaut ainsi t90 = 412 = 179, 6 s. On en déduit ainsi le coefficient de consolidation : 0, 848.H 2 Cv = t90 L’échantillon étant drainé par ses deux faces, le chemin de drainage est égal à la moitié de la hauteur de l’échantillon H = H20 = 9 mm. AN : Cv = 3, 83.10-7 m2.s-1 (2) Le module œdométrique initial Eoed,0 s’exprime : Eoed,0 =

Δσv ΔH H0

Le tassement final pour ce palier de chargement est approximativement de ΔH = 1, 2 mm. Ainsi, le module est égal à : Eoed,0 = 225 kPa. La perméabilité verticale est déduite de la théorie de la consolidation, par la relation : Cv .γw kv = = 1, 7.10-11 m.s-1 Eoed,0

Solutions des exercices

141

Solution 5.8. (1) À partir du temps fixé t = 9 mois, du degré de consolidation Cv = 2, 4 m2.s-1 et du chemin de drainage H = 4 m (drainage par les deux faces), on détermine le facteur de temps Tv : Cv .t = 0, 089 Tv = H2 Le degré de consolidation correspondant à ce facteur est égal à Uv = 33, 5 % ce qui est largement inférieur à l’objectif fixé. (2) Le degré de consolidation, dans le cas d’un massif avec drains, s’exprime : (1 − U ) = (1 − Ur )(1 − Uv ) Avec U = 90 % et Uv = 33, 5 % donc : Ur = 85 % (3) L’abaque de Barron permet de lire la valeur du facteur de temps radial Tr en fonction du degré de consolidation radial Ur et de du facteur n : Tr = 2, 2 % Le facteur de temps et le diamètre d’influence des drains sont également reliés par la relation :  Cr .t Cr .t = 1, 39 m Tr = 2 ou encore : D = D Tr (4) La procédure itérative consiste à calculer successivement le facteur n, le facteur de temps Tr et le diamètre d’influence des drains D. Le tableau 5.6 donne les valeurs de ces paramètres jusqu’à convergence.

Tableau 5.6 Itérations successives de n, Tr et D $ _ &

Ͳ Ͳ ŵ





















    

(5) Lorsque les drains sont positionnés en carré, le diamètre d’influence des drains est égale à 1, 13 fois la distance entre axes des drains L. On en déduit ainsi cette distance : L=

D ⇒ L = 1, 17 m 1, 13

5 • Tassements

142

Solution 5.9. (1) Lorsque la contrainte effective verticale augmente, le sol se tasse. À l’inverse, il gonfle lorsque cette contrainte diminue. Les contraintes verticales totales au centre de la couche d’argile avant (σv0 ) et après (σv ) valent : σv0 = 117 kPa et σv = 111 kPa Les pressions interstitielles valent u0 = 50 kPa et u = 30 kPa. Ainsi, par la formule de Terzaghi σ  = σ − u, les contraintes effectives sont  = 67 kPa et σ  = 80 kPa. estimées à : σv0 v Ainsi la baisse du niveau de la nappe fait augmenter la contrainte verticale effective de Δσv = 27 kPa, donc le sol se tasse. (2) Dans le cas d’un sol normalement consolidé, le tassement s de la couche de hauteur initiale H0 = 4m s’exprime  par :     + Δσ  σv0 σv H0 H0 v .Cc . log .Cc . log = = 6, 3 cm s=   1 + e0 σv0 1 + e0 σv0

Solution 5.10. (1) La courbe de compressibilité représente l’évolution de l’indice des vides d’un sol en fonction de la contrainte effective verticale (échelle semi-logarithmique). Pour chaque palier de chargement l’indice des vides se détermine à partir de la relation suivante : Δe ΔH = H 1+e Ainsi, après le premier palier (σv = 10 kPa), l’indice des vides e1 s’exprime : H0 − H1 e1 = e0 − (1 + e0 ). H0 Hi−1 − Hi Ou plus généralement : ei = ei−1 − (1 + ei−1 ). Hi−1 Le tableau 5.7 résume les valeurs des indices des vides des deux échantillons. La figure 5.19 représente les courbes de compressibilité. Les indices de gonflement Cs et de compression Cc se déterminent graphiquement, par régression linéaire sur les deux portions des courbes. Le tableau 5.8 résume les résultats obtenus.

Solutions des exercices

143

Tableau 5.7 Indices des vides des deux échantillons ‚$    $$

* ( €

,( $ 

Z

\

\























































ϭ͕Ϯ ϭ Ğ

Ϭ͕ϴ

0G  "

Ϭ͕ϲ Ϭ͕ϰ

; J G"`

Ϭ͕Ϯ Ϭ ϭ

ϭϬ

(ʍΖǀ ΀ŬWĂ΁

ϭϬϬ

ϭϬϬϬ

F IGURE 5.19 Courbes de compressibilité

Tableau 5.8 Indices de gonflement, de compression et contrainte de préconsolidation * ( €

,( $ 

\







\





ıƒ^

Z







(2) Pour connaître l’état de consolidation, il faut évaluer les contraintes effectives au niveau du point de prélèvement des échantillons. Pour le sable argileux, la contrainte effective verticale au centre de la couche est  = 30 kPa. La couche est donc surconsolidée puisque la contrainte de égale à σv0 préconsolidation vaut σp = 89 kPa.

5 • Tassements

144

Pour l’argile, la contrainte effective verticale au centre de la couche est égale à  = 95 kPa. Ainsi, la contrainte de préconsolidation valant σ  = 175 kPa, la σv0 p couche est également surconsolidée. (3) La couche de remblai est suffisamment étendue, donc elle crée une augmentation de contrainte Δσv , identique au sein des deux couches du massif, égale à : Δσv = γR .HR = 70 kPa  +Δσ  , Les contraintes effectives après mise en place du remblai, exprimée σv = σv0 v sont égales à 100 kPa pour le sable argileux et 165 kPa pour l’argile. Le tassementde la couche   de   se  sable argileux détermine par la relation : σc σv H0 . Cs . log + Cc . log = 3, 3 cm s=  1 + e0 σv0 σc

La contrainte effective dans la couche d’argile ne dépasse pas la contrainte de préconsolidation, ainsi s’exprime par :   le tassement H0 σc s= = 1, 6 cm .Cs . log  1 + e0 σv0 Soit un tassement total : s = 4, 9 cm

Solution 5.11. (1) La couche d’argile fait 15 m de hauteur. Il faut s’attendre à de fortes erreurs si l’on ne considère qu’une seule couche. À mi-hauteur, la contrainte effective initiale est égale à :  = 7, 5.γ  = 52, 5 kPa σv0 La couche est normalement consolidée, donc le tassement se détermine par la relation :    H0 σv0 + Δσv s= .Cc. log  1 + e0 σv0 La charge se transmet uniformément dans le massif et la phase de consolidation est terminée, donc Δσv = Δσv . AN : s = 1, 29 m (2) En considérant trois couches fictives de même nature, seules les contraintes initiales varient. Hormis cela, la démarche est identique et les résultats sont présentés dans le tableau 5.9. Le tassement total est égal à la somme des tassements : s = 1, 48 m Soit plus de 10 % d’erreur par rapport à la première étude. À noter que ce calcul est également une approximation. Dans ces conditions, avec une infinité de couches fictives, le tassement est environ égal à 1, 6 m.

Solutions des exercices

145

Tableau 5.9 Valeurs de contraintes effectives verticales et tassements par couche  ;

 ;"

 ;

]$  



#  ©  %

#  ©  %

#  ©  %

ʍƒ

Z







_$









(3) Séparer en couches fictives permet de prendre en compte les différences de caractéristiques géométriques ou mécaniques, qui peuvent évoluer avec la profondeur. Ici à titre d’exemple, l’indice est différent en fonction des couches. Le tableau 5.10 présente les résultats. Tableau 5.10 Valeurs de contraintes effectives verticales, d’indice des vides, et de tassements par couche.  ;

 ;"

 ;

]$  



#  ©  %

#  ©  %

#  ©  %

ʍƒ

Z









\







_$









Le tassement total vaut ainsi s = 1, 46 m, soit moins de 2 % d’erreur par rapport à la configuration précédente.

Solution 5.12. (1) Afin d’évaluer le tassement moyen de la couche de limon argileux pour chaque phase, il faut évaluer l’augmentation ou la diminution de contrainte effective verticale au centre de la couche. Phase 0 : avant rabattement de nappe, la contrainte effective verticale se calcule avec le poids des terres.  = 2.γ +4.γ  +1, 5.γ  = 2.γ +4.(γ σv0 1 1 sat,1 −γw )+1, 5.(γsat, −γw ) = 96, 3 kPa 1 2

Cette valeur est proche de la contrainte de pré-consolidation σp = 96 kPa, le limon est donc normalement consolidé. Phase 1 : le rabattement modifie la hauteur de sable déjaugé.  = 5.γ + 1.γ  + 1, 5.γ  = 120, 3 kPa σv1 1 1 2

146

5 • Tassements

Cette augmentation de contrainte engendre un tassement qui, lorsque le sol est normalement consolidé, par la relation suivante :  s’évalue  H0 σv1 .Cc . log s1 = = 2, 4 cm  1 + e0 σv0 Après tassement, la hauteur de la couche est égale à : H1 = H0 − s1 = 2, 976 m L’indice des vides diminue également   : σv1 e1 = e0 − Δe = e0 − Cc . log = 0, 785  σv0 Phase 2 : le déblaiement de la fouille soulage la couche de limon donc engendre  est égale à la contrainte préun gonflement. La contrainte verticale effective σv2 cédente à laquelle on retire le poids de 4 m de sol humide.  = σ  − 4.γ = 44, 3 kPa σv2 1 v1    H1 σv2 .Cs . log = −2, 2 cm D’où le gonflement : s2 =  1 + e1 σv1 H2 = H1 − s2 = 2, 997 m    σv2 = 0, 798 e2 = e1 − Δe = e1 − Cs . log  σv1 La sol est surconsolidé après cette étape. La contrainte de pré-consolidation est  = 120, 3 kPa égale à la valeur maximale, évaluée précédemment σp = σv1 Phase 3 : la distribution de contrainte de charge étant uniforme, la contrainte effective verticale, après construction d’une partie du bâtiment, est égale à :  = σ  + 100 = 144, 3 kPa σv3 v2 Le sol, surconsolidé avant cette étape, subit une charge dépassant la contrainte de pré-consolidation. Le tassement s’exprime donc :    σp H2 σv3 s3 = Cs . log  + Cc . log  = 4, 2 cm 1 + e2 σv2 σp H3 = H2 − s3 = 2, 956 m    σp σv3 = 0, 773 e3 = e2 − Δe = e2 − Cs . Cs . log  + Cc . log  σv2 σp Phase 4 : le relâchement de la nappe a pour unique effet de déjauger le sol sableux sur 1 m. Ainsi la contrainte effective verticale dans le limon est de :  = 100 + 2.γ  + 1, 5.γ  = 136, 3 kPa σv4 1 2 Le relâchement de la  nappeengendre un gonflement, d’où l’expression :  H3 σv4 = −0, 1 cm s4 = .Cs . log  1 + e3 σv3 H4 = H3 − s4 = 2, 957 m    σv4 = 0, 774 e4 = e3 − Δe = e3 − Cs . log  σv3

Solutions des exercices

147

Le sol est surconsolidé après cette étape. La contrainte de pré-consolidation  = 144, 3 kPa devient σp = σv3 Phase 5 : la fin de construction de l’ouvrage fait augmenter uniformément la contrainte dans le massif.  = σ  + 120 = 156, 3 kPa σv5 v4 Cette contrainte dépasse la contrainte de pré-consolidation donc le tassement engendré s’exprime :    σp σv5 H4 s5 = Cs . log  + Cc . log  = 6, 4 cm 1 + e4 σv4 σp H5 = H4 − s5 = 2, 957 m   σp σ = 0, 736 e5 = e4 − Δe = e4 − Cs . log  + Cc . log v5 σv4 σp (2) La courbe de compressibilité (cf. figure 5.20) représente l’évolution de l’indice des vides moyen de la couche en fonction de la contrainte verticale à mi-hauteur.  







Ğ



 

      

ůŽŐʍΖǀ΀ŬWĂ΁



F IGURE 5.20 Courbes de compressibilité

Solution 5.13. (1) Pour déterminer les tassements, il faut évaluer l’évolution de la contrainte verticale effective dans les couches. Le tassement maximal se produira logiquement sous le bord de la chaussée à proximité de l’éolienne. La distorsion angulaire correspond au rapport entre la différence de tassement entre les deux bords de la chaussée et sa largeur. Ainsi les contraintes effectives verticales seront déterminées sous les deux bords. L’état initial des contraintes dans le massif s’évalue à partir du poids des terres  dans et de la chaussée. Le poids des terres apporte des contraintes uniformes σv1

5 • Tassements

148

le massif. La chaussée est répartie sur une largeur donnée, ainsi elle apporte une contrainte variable en fonction de la profondeur. L’abaque A.3 permet de déterminer les coefficients d’influence en fonction de la géométrie donnée. Le rapport L/z tend vers l’infini tandis que B/z varie. La chaussée est supposée infiniment longue donc le coefficient d’influence totale I est égal au double de la valeur indiquée dans l’abaque.  = σ  + σ  les contraintes verticales effectives initiales au centre On notera σv0 v1 v2 des quatre couches (cf. tableau 5.11).

Tableau 5.11 Valeurs de contraintes verticales effectives initiales 

ı 

0}

‚

ı "

ı 



Z

\

B

Z

Z

















































(2) La fondation apporte un poids de 11000 kN sur une surface circulaire de diamètre D = 10 m. La contrainte qe sous la fondation est donc égale à : 11000 qe = π.D2 = 140 kPa 4

À partir de l’abaque A.1, on évalue les contraintes verticales Δσv apportées par l’éolienne au centre de chaque couche et au niveau des deux bords de la chaussée. Le tassement des couches normalement consolidées s’évalue à partir de la relation :    H0 σv0 + Δσv s= .Cc . log  1 + e0 σv0 Le tableau 5.12 résume les valeurs des contraintes et tassements pour chaque couche. (3) Le tassement maximal total est égal smax = 39, 2 mm. La distorsion angulaire (39, 2 − 2, 8).10-3 est égale à wd = = 5, 2.10-3. 7 Le tassement maximal total et la distorsion angulaire dépassent leur limite. Les solutions possibles pour pallier ce problème : • Éloigner l’éolienne : en augmentant le coefficient r/R la contrainte Δσv diminue. • Enfouir l’éolienne : en diminuant le coefficient z/R, la contrainte Δσv diminue. Une profondeur hors gel est de toute façon nécessaire en réalité.

Solutions des exercices

149

Tableau 5.12 Contraintes verticales effectives finales et tassements par couche *  1, 5 : la stabilité est toujours assurée. La géométrie de la surface de rupture est souvent inconnue. L’idée générale consiste à rechercher la surface qui correspond au coefficient de sécurité le plus faible. Notons que la fiabilité de ce coefficient de sécurité est impactée par les hypothèses et méthodes de résolutions choisies.

7.2.1. Glissement plan a) Pente infinie

Une pente de dimension infinie peut être étudiée en isolant une tranche ABCD de largeur b, ou dx. La figure 7.2 représente les caractéristiques géométriques de la pente, la surface de rupture, et, si elle existe, la position de la nappe dont les lignes de courants sont parallèles à la pente. On considère généralement que les forces sur les faces latérales opposées s’équilibrent. L’expression générale du poids de la tranche comportant n couches de poids volumique γi et de hauteur hi a pour expression : W = b.

n 0

γi .hi

7.2

Calcul de stabilité

175

0

0

ȕ


Y{` } `|

X

! >

ij



F IGURE 7.2 Pente infinie et représentation des forces agissant sur une tranche

La projection de cette force sur la surface de glissement donne une force normale N et une force tangentielle motrice T = Tmot d’expression : N = W. cos β et T = W sin β On peut également définir les contraintes correspondantes à ces deux efforts qui se répartissent sur une surface d’aire 1 × cosb β : 2

σ = cos β

n

γi .hi et τmot = sin β cos β

n

0

γi .hi

0

La pression interstitielle u en tout point de la surface s’exprime u = γw .hw . cos2 β. Le critère de Coulomb permet de définir la contrainte de cisaillement maximale que peut subir l’interface : τres = c + σ tan ϕ Avec : • c : cohésion le long du plan de glissement (c en drainé, cu en non drainé). • ϕ : angle de frottement le long du plan de glissement (ϕ en drainé, ϕu en non drainé). Ceci permet donc de calculer le coefficient de sécurité. À long terme, en condition drainée, son expression est la suivante :  c + Tres τres F = = = Tmot τmot

n

 γi .hi − γw .hw

0

sin β cos β

n

cos2 β. tan ϕ γi .hi

0

Le coefficient de sécurité d’une pente diminue lorsque le niveau de la nappe augmente.

7 • Pente et talus

176

b) Pente ou talus de dimensions finies

Lorsque les dimensions du massif en mouvement sont finies, il convient de réaliser un équilibre global. Ainsi, des efforts de poussée Fa et de butée Fp peuvent participer à l’équilibre 1 (cf. figure 7.3). 0 †Š

X & ȕ < †Š >

F IGURE 7.3 Glissement plan d’un massif aux dimensions finies

On note respectivement Fa et Fp les composantes des efforts de poussée Fa et butée Fp suivant la direction de la pente. La résultante des forces de pressions sur la longueur L est notée U . Le bilan des forces motrices et résistantes permet de déterminer le coefficient de sécurité suivant :

F =

c .L + (W cos β − U ) tan ϕ + Fp Tres = Tmot W sin β + Fa

7.2.2. Glissement rotationnel Le glissement rotationnel est une instabilité qui peut apparaître dans de nombreuses situations : des pentes plus ou moins raides, des talus, des remblais sur sol compressibles, etc. La méthode des tranches est couramment employée pour déterminer le facteur de sécurité vis-à-vis du basculement. Les étapes de la méthode sont résumées ci-dessous : • définir un cercle quelconque de centre O et de rayon R, • découper le massif en m tranches verticales, • étudier l’équilibre de chaque tranche j de largeur bj et d’inclinaison αj à la base (cf. figure 7.4), • déterminer les moments moteurs et stabilisateurs par rapport au centre O, • calculer le coefficient de sécurité F , • itérer en changeant la position et/ou le rayon du cercle. 1. Se reporter au chapitre 6.

7.2

Calcul de stabilité

177

+

=k Yk Yk}

X Įk

f

ij

Į

Ȗ

;   ¢ !Š ij¶

Ȗ



Jk

`

;   ¢ !Š ij¶

=k}

!

@ Į

"  Į Į

Į

Į

F IGURE 7.4 Méthode des tranches

Chaque tranche repose sur une partie du plan de glissement, caractérisée par la cohésion ci et l’angle de frottement ϕi de la couche i cisaillée. Le poids de la tranche Wj se décompose en un effort normal Nj = Wj cos αj et un effort tangentiel moteur Tj = sin αj . La longueur de l’arc en glissement est confondue avec la corde : lj =

bj cos αj

En présence de nappe, et éventuellement d’un écoulement, on définit par tranche u.bj . l’effort résultant des pressions interstitielles Uj = cos αj Concernant les efforts latéraux, deux hypothèses sont couramment définies : • Hypothèses de Fellenius : Vj = Vj+1 et Hj = Hj+1 • Hypothèse de Bishop : Vj = Vj+1 Ainsi le coefficient de sécurité F , à long terme, s’exprime : m (ci .lj + (Nj − Uj ). tan ϕi )

F =

j=1 m

Fellenius Tj

j=1

1 F = m j=1

m (Wj − uj .bj ) tan ϕi + ci .bj . tan ϕi j=1 cos α + sin α . j j Tj F

Bishop simplifié

7 • Pente et talus

178

La méthode Bishop simplifiée impose de déterminer ce coefficient par itérations successives mais donne des résultats plus réalistes que par la méthode de Fellenius. Toutefois, cette dernière va dans le sens de la sécurité en donnant des coefficients de sécurité plus faible. On notera que d’autres méthodes plus récentes existent et notamment les méthodes aux éléments finis qui s’adaptent bien au géométries complexes.

EXERCICES Exercice 7.1. Solution p. 183 Soit une pente infinie d’inclinaison β et reposant sur un substratum rocheux parallèle. Le sol est composé d’un limon argileux surconsolidé (γ = 20, 5 kN.m-3) avec des caractéristiques mécaniques au pic (cp = 10 kPa, ϕp = 26 °) et résiduelles (cr = 0 kPa, ϕr = 20 °). (1) Exprimer les contraintes normale et tangentielle sur une facette parallèle à la pente, à la profondeur z. (2) Pour des valeurs d’inclinaison (en degrés) β = [10 ; 20 ; 30], déduire le coefficient de sécurité de la pente naturelle en considérant soit les caractéristiques au pic, soit celles résiduelles.

Exercice 7.2. Solution p. 184 Des désordres ont été observés sur un chemin départemental au bas d’une colline (cf. figure 7.5). 9 !!" 

)! '   ȕ z 

Ϯ

< "

:L"  

9 !!"   

F IGURE 7.5 Coupe de glissement de terrain

Une reconnaissance géologique et géotechnique du site a été organisée. La mise en place de tubes inclinométriques permet de mesurer la rotation d’une sonde lors de son passage dans le tube.

Exercices

179

La surface de glissement a été estimée sur la base des résultats inclinométriques, en tenant compte des fissures d’arrachement observées au sommet du glissement et du bourrelet de pied visible en contrebas. Cette surface coïncide avec le contact d’une couche superficielle de matériaux d’éboulis et d’un substratum plus résistant. Le poids volumique des éboulis est égal à γe = 18 kN.m-3 au dessus de la nappe et de γe,sat = 21 kN.m-3 dans la nappe. La surface libre est à la profondeur hw = 3 m (verticalement) par rapport au substratum. Des essais à la boîte de cisaillement ont montré que le critère de plasticité de Coulomb est adapté aux éboulis, avec une cohésion c = 0 kPa et un angle de frottement ϕ = 30 °. Tableau 7.1 Résultats des mesures inclinométriques $$( ɽK W

]$  

‚$$?‚

‚$$?‚"



‰ ~

‰f~

‰ ~

‰f~

g`

V:V

V:V

V:V

V:V

g`

:V

V:V

:V

:V

"g`

V:V

V:V

V:V

V:V

g`

V:V

V:V

V:V

V:V

@g`

:V

:V

:V

:V

`g`

:V

:V

:V

:V

fg`

:V

:V

:V

:V

kg`









,  ¢



V 

 

"  G""   z   ©



V  "   ! " "  '  j          "U

(1) À partir des mesures inclinométriques (cf. tableau 7.1) donner approximativement la hauteur H de la couche sujette au glissement. (2) En supposant la pente infinie, déterminer les contraintes normales totales et effectives et la pression interstitielle en tout point de la surface de glissement. (3) Déterminer le coefficient de sécurité vis-à-vis du glissement. On supposera que l’interface de glissement a les mêmes caractéristiques que les éboulis.

Exercice 7.3.

Solution p. 186

Soit un talus en bordure de canal (cf. figure 7.6) composé d’un sable limoneux de poids volumique sec γd = 18, 5 kN.m-3 et d’angle de frottement ϕ = 33 ° et de cohésion c = 0. Sa teneur en eau varie de w = 6 % (canal vide) à w = 17 % (canal rempli). On supposera dans la première partie que le sol est homogène. Un remblai, de poids volumique γR = 20 kN.m-3, est construit en tête de talus.

7 • Pente et talus

180

+

J 

 

`

@



f



Į z 

 

W!

Į z 







"

Į z  Į z 

Į z 



Į z 

F IGURE 7.6 Rupture circulaire - Représentation des tranches et valeurs des hauteurs d’interfaces

Alors que le canal est vide, une rupture circulaire est constatée lorsque le remblai atteint une hauteur de 1, 5 m de hauteur. (1) À partir du mode de rupture constaté, déterminer la cohésion non drainée cu du massif. (2) Déterminer le coefficient de sécurité à court terme du massif sans remblai. (3) Déterminer le coefficient de sécurité à long terme du massif sans remblai et avec présence de l’eau du canal.

Exercice 7.4. Solution p. 188 Soit un ouvrage constitué d’un remblai de sable retenu par un mur de soutènement reposant sur une couche de limon argileux de 6 m d’épaisseur qui, elle-même, repose sur une couche de sable (cf. figure 7.7). Les caractéristiques des couches sont indiquées dans le tableau 7.2. Le poids volumique du mur est γb = 25 kN.m-3.

Exercices

181

 

 

 

 

 

 

0

@Š

 

 @

:

< >

*

&

,

†

*

 

* *

 ! 

, *

, ,

 ! 

,

 ! 

 

 ! 

«

F IGURE 7.7 Rupture circulaire et plane - Réseau d’écoulement - Représentation des tranches

Tableau 7.2 Caractéristiques des couches - Talus et remblai *  *

Ȗ Ȗ

$ ( €

Z9}





Z9}

 {!|

 { "|

ƒ

Z





ij

('







Z





On étudie tout d’abord la stabilité globale du talus le long de la ligne XY (glissement plan). La surface de rupture est inclinée de β = 19, 7 °. Le sable de remblai est considéré dans un état de poussée sur la ligne XX’. (1) En utilisant le réseau d’écoulement, déterminer les pressions interstitielles aux points X, M1, M2, M3, M4, M5, Y. En déduire la force qui s’exerce sur XY. Les équipotentielles ont été tracées de façon à ce que la différence entre deux équipotentielles successives soit constante. (2) Déterminer le coefficient de sécurité à court terme. (3) Déterminer le coefficient de sécurité à long terme.

7 • Pente et talus

182

On s’intéresse à présent à la stabilité du massif suivant un cercle de glissement passant par les points X et Y et de rayon 18 m. L’effet de la poussée sur la ligne XX’ sera à présent négligé. (4) Déterminer les pressions interstitielles aux points N1, N2, N3, N4, N5. (5) Déterminer le coefficient de sécurité à long terme.

Exercice 7.5. Solution p. 190 Soit un massif de limon de 15 m d’épaisseur reposant sur un substratum rocheux. Un trajet routier nécessite de mettre en place un remblai infiniment long et dont les caractéristiques sont indiquées en figure 7.8.  

 

 

 

 

 

J  Ȗ z  S,UV

O'N

(  Ȗ z  S,UV !Š z  SO

ijŠ z  !" ı¶

F IGURE 7.8 Coupe du terrain - Remblai et massif

Un prélèvement de limon a été réalisé à 9, 2 m de profondeur puis testé à l’œdomètre et à l’appareil triaxial (condition CU+u). La contrainte de préconsolidation est évaluée à σp = 80 kPa. (1) Évaluer l’évolution de la cohésion non drainée en fonction de la profondeur. (2) Montrer que la cohésion non drainée moyenne du sol peut être estimée à cu = 29 kPa. La mise en place du remblai sur ce sol compressible présente un risque d’instabilité au glissement. La figure 7.9 présente le mécanisme de ruine à considérer.

Solutions des exercices

183

 

  + Į

F IGURE 7.9 Mécanisme de rupture considéré

(3) En négligeant la résistance propre du remblai, évaluer la stabilité à court terme du massif. (4) Compte tenu de la géométrie du cercle de rupture, et de la distribution de la cohésion non drainée, réévaluer la cohésion non drainée moyenne et le coefficient de sécurité. Afin d’améliorer la stabilité de l’ouvrage, un géotextile est disposé entre le remblai et le massif. (5) Calculer l’effort à reprendre par le géotextile afin d’avoir un coefficient de sécurité de F = 1, 5.

SOLUTIONS DES EXERCICES Solution 7.1. (1) On considère l’équilibre d’une tranche de sol de largeur b, d’un mètre d’épaisseur, et dont les réactions sur les faces latérales s’équilibrent. Le poids de sol compris entre la surface et la profondeur z s’exprime : W = γ.b.z. En considérant une facette inclinée à la profondeur z, le poids a pour composantes normale et tangentielle : N = γ.b.z. cos β et T = γ.b.z. sin β. Ces efforts se répartissent sur la surface, de largeur b/ cos β à la profondeur z, pour donner les contraintes normales et tangentielles : σ(z) = γ.z. cos2 β et τ (z) = γ.z. cos β sin β

7 • Pente et talus

184

(2) Le facteur de sécurité F correspond au rapport entre forces résistantes et forces motrices. En contraintes, et à H = 10 m, cela correspond à : τres c + σ. tan ϕ = F = τmot τ cp + γ.z. cos2 β tan ϕp tan ϕr et Fr = Fp = γ.z. cos β sin β tan β Le coefficient de sécurité au pic varie en fonction de la hauteur de la couche. Le coefficient de sécurité le plus faible est obtenu pour la profondeur la plus grande : z = 10 m. Les valeurs sont indiquées en tableau 7.3. Tableau 7.3 Coefficient de sécurité en fonction de l’inclinaison de la pente ȕ



"



#^







#







Solution 7.2. (1) La sonde fait une longueur de l = 1 m ce qui signifie que la différence de déplacement relatif δ entre le haut et le bas est : δ = l. arctan θ

O  " … #%

La figure 7.10 représente les valeurs de δ. Le pic observé autour de 5, 5 m de profondeur indique qu’il y a un mouvement relatif donc un glissement entre couches. La hauteur de la couche en glissement sera prise égale à H = 5, 5 m (verticalement).

V         



& !   į #%   





F IGURE 7.10 Différence de déplacement δ en fonction de la profondeur

(2) En supposant que la pente est infinie, on peut se restreindre à l’étude d’un tronçon de pente de largeur dx (cf. figure 7.11). On considère que les efforts horizontaux et verticaux sur les faces latérales du tronçon se compensent : H(x) = H(x+dx) et V (x) = V (x + dx).

Solutions des exercices

185

ȕ z 

={`| Y{`|

0 Y{` } `| X …K ȕ

={` } `| J

< `

F IGURE 7.11 Équilibre d’un tronçon avec a =

dx dx et b = cos β cos2 β

Le poids du tronçon (pour un mètre d’épaisseur) est égal à : W = [γe .(H − hw ) + γe,sat .hw ].dx = 108.dx kN En projection sur la pente, on définit un effort normal N et un effort tangentiel T : N = W. cos β et T = W. sin β. dx L’aire de la surface de glissement du tronçon est exprimée (pour un mètre cos β d’épaisseur). Les contraintes totales sur la surface de glissement sont donc : W cos2 β W. sin β. cos β σ= = 88, 7 kPa et τ = = 41, 4 kPa dx dx La pression interstitielle se détermine à partir du réseau d’écoulement. En faisant l’équilibre des charges hydrauliques hA = hB sur une des équipotentielles (cf. figure 7.11). Le point A est sur la surface libre donc la pression uA est nulle : uB uA + zA = + zB ⇒ uB = γw .(zA − zB ) = 24, 6 kPa γw γw On peut ainsi exprimer les contraintes effectives par le principe de Terzaghi σ  = σ − u = 64, 1 kPa et τ  = τ = 41, 4 kPa (3) Le coefficient de sécurité correspond au rapport entre les forces résistantes Tres et motrices Tmot : Tres F = Tmot Seule la force T est motrice dans notre cas : Tmot = T = W. sin β.

7 • Pente et talus

186

Seule la force de frottement à l’interface apporte de la résistance vis-à-vis du glissement. Elle s’estime à partir du critère de Coulomb.  cos β dx   = c + σ  . tan ϕ et Tres = . c + σ  . tan ϕ dx cos β Ainsi le coefficient de sécurité se simplifie : σ  . tan ϕ F = = 0, 89 [γe .(H − hw ) + γe,sat .hw ]. sin β cos β

 =T τres res .

Le coefficient de sécurité étant inférieur à 1, la rupture est quasi inévitable. Les mouvements constatés in situ sont donc logiques.

Solution 7.3. (1) La méthode des tranches consiste à évaluer l’impact de chaque tranche sur la stabilité vis-à-vis du glissement circulaire. La formule

générale du

coefficient de sécurité dans ce cas est : c. li + tan ϕ (Wi + Qi ) cos αi

F = (Wi + Qi ) sin αi Pour déterminer la cohésion non drainée, on considère le comportement à court terme (c = cu et

ϕ = ϕu = 0) : cu . li F = (Wi + Qi ) sin αi Le poids Wi se détermine à partir du volume d’une tranche d’un mètre d’épaisseur et du poids volumique du sol : Wi = γ.Vi = γd (1 + w).Vi Le poids Qi correspond au poids du remblai situé au dessus de chaque tranche. Le tableau 7.4 résume les valeurs de calcul en fonction des tranches. Tableau 7.4 Caractéristiques des tranches - Valeurs à court terme _$;





‡

Į



Z9

('





Z9









V



"







V













@











`











f











Solutions des exercices

187

Pour se rapprocher au mieux de la réalité, on fixe le coefficient de sécurité à 1. La cohésion

non drainée s’exprime ainsi : (Wi + Qi ) sin αi

= 15, 6 kPa cu = li (2) Le coefficient de sécurité à court terme se détermine de la même façon mais en considérant des charges de remblais Qi nulles : cu . li = 1, 38 F = (Wi ) sin αi (3) À long terme, il est nécessaire de choisir les paramètres de résistance au cisaillement effectifs. Le coefficient

de sécurité a pour expression : c . li + tan ϕ ( (Wi + Qi + Pi ) cos αi − ui .li

F = (Wi + Qi + Pi ) sin αi Avec Pi le poids de l’eau au-dessus de chaque tranche et ui la pression interstitielle sur la surface de rupture au centre de chaque tranche. Pour le poids des tranches Wi , on considèrera que le massif est entièrement saturé (effet de la capillarité). Le poids volumique saturé vaut : γsat = γd (1 + wsat ) = 21, 6 kN.m-3 Le tableau 7.5 résume les valeurs de calculs. Tableau 7.5 Caractéristiques des tranches - Valeurs à long terme _$;





‡



Į





Z9

Z9

('



Z



Z9











V





"









V



















@















`















f















AN : F = 0, 93 Le canal est susceptible à lui seul de provoquer une rupture circulaire à long terme. Notons toutefois que le calcul est réalisé suivant l’hypothèse de Fellenius, qui peut engendrer une erreur non négligeable.

7 • Pente et talus

188

Solution 7.4. (1) Afin de déterminer les pressions dans la couches de limons, on utilise le réseau d’écoulement qui permet d’obtenir la charge hydraulique h en tout point. D’après la définition de la charge, l’expression de la pression interstitielle est : ui = γw (h − z) La différence de charge Δh entre l’amont et l’aval s’évalue à partir des charges au point B (amont) et I (aval). Ces points se situent sur la surface libre donc les pressions interstitielles uB et uI sont nulles : uB uI + zB = zB = 6 m et hI = + zI = zI = 4, 75 m hB = γw γw Δh = hB − hI = 1, 25 m soit entre chaque équipotentielle : δh = 0, 25 m Tableau 7.6 Pressions interstitielles sur la surface de rupture plane $ @

Ž=

;=

=

=

…







Z

Z9









V

*











*











*











*











*











«











Le tableau 7.6 présente les résultats des calculs menant aux pressions interstitielles. Les efforts U correspondent aux résultantes normales à la surface de rupture dues à la pression interstitielle. De manière simplifiée, elles sont calculées en faisant la moyenne des pressions entre le point de ligne et son précédent, puis en la multipliant par la distance qui les sépare. (2) Le calcul du coefficient de sécurité vis-à-vis du glissement plan a pour expression : Tm F = Tr Avec : • Tm effort moteur évalué à partir du bilan des forces motrices (cf. figure 7.12). • Tr effort résistant apporté par la cohésion.

Solutions des exercices

189

@Š O @



X X* X(

«

F IGURE 7.12 Bilan des forces motrices

1 2 Ka .γR .HR = 18, 7 kN 2 Avec Ka coefficient  de poussée évalué à partir de l’angle de frottement  π ϕ Ka = tan2 − = 0, 26 4 2

P =

WR = VR .γR = 18x16 = 288 kN WM = VM .γb = 162, 5 kN (poussée d’Archimède négligée) WL = VL .γsat = 389, 5 kN L’effort vertical global est égal à W = WR + WM + WL = 840 kN. On constate que l’effort horizontal P est très faible comparé aux autres efforts, il sera négligé par la suite. En supposant que les forces verticales se répartissent uniformément sur la surface de rupture, l’effort moteur T vaut : T = Fv . sin(β) = 282, 5 kN. Le calcul à court terme fait intervenir la cohésion non drainée cu sur la surface de rupture. La longueur de rupture est évaluée graphiquement à L = 15, 7 m. En considérant le critère de Coulomb, et pour un mètre d’épaisseur de talus, l’effort résistant vaut : Tr = cu .L = 942 kN. AN : F = 3, 33 (3) À long terme, les efforts moteurs ne changent pas. En revanche, l’expression du critère de Coulomb fait intervenir à présent des paramètres effectifs. Tr = c .L + (Fv . cos(β) − AN : F = 1, 6

(U ).L) tan ϕ = 451, 6 kN

(4) Les pressions interstitielles se détermine, de la même façon que précédemment, sur la surface de rupture et au centre de chaque tranche (cf. tableau 7.7).

7 • Pente et talus

190

Tableau 7.7 Pressions interstitielles sur la surface circulaire ;=

$

=

=





Z

@







,







,







,







,







,







«







(5) L’expression du coefficient de sécurité vis-à-vis du glissement circulaire est :

4  [c .li + (Wi cos αi − Ui ) tan ϕ ] = 1, 26 F = 1

4 1 (Wi sin αi ) Le tableau 7.8 résume les valeurs de calcul par tranche. Tableau 7.8 Caractéristiques des tranches - Valeurs à long terme _$;

Į





…

=g

+g

 g



('



Z

Z9

Z9

Z9

Z9

Z9































  















 















 

Solution 7.5. (1) La cohésion non drainée dépend de l’état de consolidation. La contrainte de préconsolidation du sol est égale à σp = 80 kPa à 9, 2 m de profondeur. La contrainte verticale effective, avant mise en place du remblai, vaut à cette profondeur : σv0 = 9, 2.γsat − (9, 2 − 2).γw = 79, 8 kPa Ce calcul suppose qu’il y a saturation par capillarité sur les 2 m au-dessus de la nappe. Le sol est donc normalement consolidé. L’évolution de la cohésion non drainée en fonction de la profondeur s’exprime :  (z) cu (z) = 6, 4 + 0, 34.σp (z) = 6, 4 + 0, 34.σv0

La figure 7.13 représente les distributions de contraintes verticales, de pression interstitielle et de cohésion non drainée.

Solutions des exercices

 

191







O  " #%

 



          ıN ıŠN #SO % " !"





    









  , u et c avec la profondeur. F IGURE 7.13 Évolution de σv0 , σv0 u

(2) En première approche, la valeur de la cohésion non drainée moyenne peut être évaluée en intégrant la distribution de cohésion non drainée sur l’ensemble de la couche :    17,6+46,2 + 13. 2. 6,4+17,6 2 2 = 29 kPa cu = 15 (3) L’étude de stabilité en glissement revient à calculer un coefficient de sécurité s’exprimant : F =

Mres Mmot

À court terme, le moment résistant est apporté par la cohésion qui agit sur toute la surface de rupture passant à travers le limon. Le remblai étant infiniment long dans la direction hors plan, la surface de rupture s’exprime S = α.R par mètre de massif. Géométriquement, on trouve aisément la valeur de l’angle α = 120 °. Le moment résistant, en mécanisme circulaire, s’exprime donc : Mres = (cu .α.R).R = 6074 kN.m En dessinant un axe vertical passant par le centre du cercle, on constate un équilibre entre le poids de limon à gauche et celui à droite de l’axe. Ainsi seule la partie en remblai engendrera un moment. On peut évaluer ce moment en divisant en trois parties le remblai en mouvement (cf. figure 7.14).

7 • Pente et talus

192

J J J +

" 

F IGURE 7.14 Découpage en tranche du remblai

Chaque bloc i pèse Wi = Vi .γR , engendrant un moment en fonction du bras de levier li . Le tableau 7.9 résume les valeurs de calculs.

Tableau 7.9 Caractéristiques des tranches - Ici sont indiquées les valeurs exactes. Une simplification en triangle pour le bloc 3 permet de trouver une valeur approchée acceptable. _$;





*

=



Z9



Z9[











"

















Ainsi : Mmot = 4349 kN.m et F = 1, 4 (4) La cohésion drainée moyenne engendre une erreur importante dans la mesure où le cercle de rupture ne se situe que sur une hauteur de 5 m de limon (et non 15 m). De plus, l’intégration doit se faire suivant la ligne de rupture, ici cirπ π culaire. Soit l’angle θ ∈ [ ; +α], exprimé en fonction de la profondeur z par : 6 6   z+5 θ = arcsin R

Solutions des exercices

193

+ ʌ

ș

Į

F IGURE 7.15 Calcul de cu - Angle θ

L’expression de cu (z) change au passage dans la nappe :   17, 6 − 6, 4 .z z ∈ [0 ; 2] : cu (z) = 6, 4 + 2 π θ ∈ [ ; 0, 77] : cu (θ) = 21, 6 + 56 sin θ 6   46, 2 − 17, 6 z ∈ [2 ; 5] : cu (z) = 17, 6 + (z − 2) 13 π θ ∈ [0, 77 ; ] : cu (θ) = 2, 2 + 22 sin θ 2 Le glissement dans la couche de limon présente un plan de symétrie. La cohésion moyenne peut ainsi être évaluée sur une moitié seulement :



0,77

cu =

π/ 2

21, 6 + 56 sin θR.dθ +

2, 2 + 22 sin θR.dθ 0,77

π/ 6

Ainsi : cu = 20 ⇒ F = 0, 96 (5) En cas de glissement circulaire, le géotextile se déformera de façon à travailler en traction (cf. figure 7.16). En effet, il ne présente pas de rigidité flexionnelle ni tangentielle. 9 ` 

F IGURE 7.16 Géotextile

7 • Pente et talus

194

L’effort de traction, noté Fg , est donc tangent à la surface de glissement. Le coefficient de sécurité s’exprime : F =

Mres + Fg .R = 1, 5 ⇒ Fg = 233, 4 kN Mmot

Il faut toutefois vérifier que le géotextile adhère à l’interface remblai/limon. En notant L la longueur d’ancrage du géotextile, le critère de Mohr-Coulomb impose : Fg < c + σ  tan ϕ L Les valeurs minimales de cohésion et d’angle de frottement sont choisies par sécurité c = 0 et ϕ = 32, 4 °. La contrainte normale effective correspond au poids du remblai σ  = 5.γR . La longueur d’ancrage du géotextile doit être au minimum de L > 3, 7 m, ce qui est réaliste au vu de la géométrie.

Chapitre 8

Fondations

On définit communément trois types de fondations (cf. figure 8.1) : • les fondations superficielles : De /B < 1, 5, • les fondations semi-profondes : 5 < De /B < 1, 5, • les fondations profondes : De /B > 5.

F IGURE 8.1 Les différents types de fondations - D hauteur d’encastrement, De hauteur d’encastrement équivalente (cf. section 8.2.1.)

En pratique, on appellera fondation profonde une fondation où l’on tiendra compte d’une réaction latérale (dans une certaine mesure). De nos jours, plus de vingt techniques de fondation peuvent être proposées par les entreprises.

8 • Fondations

196

8.1 TECHNOLOGIE DE FONDATIONS 8.1.1. Fondations superficielles On distingue trois types de fondations superficielles : • les semelles filantes, généralement de largeur B modeste et de longueur L (L/B>10 pour fixer les idées) ; les semelles de murs de soutènement en font partie, • les semelles isolées dont les dimensions en plan B et L sont toutes deux au plus de quelques mètres ; cette catégorie inclut les semelles carrées (B/L=1) et les semelles circulaires (de diamètre B) ; • les radiers ou dallages de dimension B et L importantes ; cette catégorie inclut les radiers généraux.

8.1.2. Fondations semi-profondes Pour ce cas, et en fonction de son projet, l’ingénieur choisit de prendre en compte ou non les frottements axiaux. Ce type de fondation est utilisé pour la reprise d’efforts horizontaux. On peut citer les fondations d’éoliennes, de piles de ponts, etc. On distingue principalement les puits creusés à la main ou mécaniquement et dont les parois sont soutenues par un blindage, des micropieux ou des colonnes de jet, des caissons mis en place par havage et généralement réalisés sous air comprimé.

8.1.3. Fondations refoulant le sol lors de la mise en place Une large panoplie de pieux est mise en place par refoulement du sol. Les pieux peuvent être en bois, métal ou béton. Ils ne sont classés dans cette catégorie que si leur base est obturée, sinon ils font partie des pieux particuliers. Leurs sections sont de différentes formes (cf. figure 8.2).

F IGURE 8.2 Sections courantes de pieux

Les pieux en béton sont armés ou non, préfabriqués ou coffrés à l’avancement, ou composés d’éléments tubulaires en béton légèrement armé assemblés par précontrainte. La mise en place peut être réalisée par battage, vérinage et/ou vibrage, vissage

8.1

Technologie de fondations

197

ou lançage, voire havage du pieu ou d’un élément (fermé ou non) servant de moule et récupéré après bétonnage.

8.1.4. Fondations ne refoulant pas le sol à la mise en place Les pieux et barrettes non refoulants sont mis en place dans un forage exécuté dans le sol par des moyens mécaniques tels que tarière, benne, etc. Ce procédé peut nécessiter un soutènement des parois, lorsque les sols ne sont pas suffisamment cohérents et situés sous la nappe phréatique. On utilise une boue de forage bentonitique ou composée de polymères, ou une tarière creuse permettant l’injection du béton simultanément à l’extraction de terrain. Les pieux de petit diamètre, constitués d’une âme métallique, scellés au terrain par un mortier gravitairement ou sous pression, sont dénommés micropieux et clous.

8.1.5. Synthèse Les pieux forés représentent une part de marché estimée pour le marché français à 75 %. Les pieux sont classés selon leur technique de mise en œuvre suivant le tableau 8.1. Tableau 8.1 Classes et catégories de pieux (NF P94-262) 

'(  "



"

@ ` f k * %

@ ` f k % j   "  @ ` f k % j "

7HFKQLTXHGHPLVHHQ°XYUH †   {"`  J  | †  J " {"`  J  | †  "J {N  "| †  "J {N  !"| †   " J " N!  " G " "  †  ' !"     "  "J    =  " = "J < " J   JL" " !    %DWWXHQUREpEpWRQ±PRUWLHU±FRXOLV < "  " < " !  < " ! "N O  Y J " O  Y J " k!  O  ! J " *! " „ ) *! " „ )) O" " ! " k!    )9? { „ )))| O" " ! " k!    ); { „ )=|

,*'$ †; †< † O †  †; † † >& =* =

 — †   — >  —

        

/€^$ Z^ *                 

Z^        

Pour les semelles rectangulaires, la relation à utiliser est :   B B + kp, B =1 . kp, B = kp, B =0 . 1 − L L L L L c) Détermination des tassements

Deux méthodes sont principalement utilisées pour estimer les tassements prévisibles : • les méthodes basées sur des solutions en élasticité utilisant les modules d’élasticité déterminés lors des essais de laboratoire ou plus rarement d’essais en place (cf. chapitre 4) ; • les méthodes semi-empiriques reliant directement le tassement à la caractéristique mesurée par l’essai.

8 • Fondations

204

Les dernières méthodes sont apparues du fait de la difficulté de prélever certains matériaux et de réaliser des essais de laboratoire. La méthode pressiométrique propose le calcul du tassement à 10 ans d’une fondation encastrée de largeur B (rajouter 20 % si fondation à encastrement nul) : s10 ans = sc + sd α 2 Avec : sc = (q − γ.D).λc .B et sd = 9.E1 9.Ed Où :



B λd . B0

α .B0

• q : contrainte verticale appliquée par la fondation, • γ : poids volumique du sol, • D : hauteur d’encastrement de la fondation dans le sol, • α : coefficient rhéologique dépendant de la nature du sol et de la consolidation (cf. tableau 8.6), • λc et λd : coefficients de forme (cf. tableau 8.5), • B : largeur ou diamètre de la fondation, • B0 : dimension de référence égale à 0, 6 m, • Ed : module pressiométrique équivalent de la zone déviatorique (cf. figure 8.7).

Tableau 8.5 Valeurs des coefficients de forme

}0 O O

  

'  

"  

`  

 

"  

Tableau 8.6 Valeurs du coefficient rhéologique pour les sols _)^

_ * Į

 $ ' ? ' 9$$ '  \$ ''' $' “;

,( /}^ = ^



$ Į 



*

* ( /}^ = Į

/}^ =

Į

/}^ =

Į

^

F

^

F

^

F

 j 

F

 j 

F

 j 

F

 j 

F

 j 

F

 j 

F

 j 

F

d) Calcul de la contrainte de référence

L’estimation conventionnelle de la contrainte transmise au sol dans le cas de l’excentrement de la charge peut se faire selon deux méthodes principales :

8.2

Méthodes de calcul

&  U< U< U< U< U< U< U< U
B/6) se fait par le calcul d’une contrainte de référence σV,d en supposant la répartition des contraintes linéaire et en négligeant la traction sur les zones décomprimées (cf. figure 8.8) : σV,d =

3σmax + σmin 4

F IGURE 8.8 Définition de la contrainte de référence pour un excentrement e a et b : Meyerhof, c et d : NF P94-261

8 • Fondations

206

Les contraintes σmax et σmin sont calculées de manière à équilibrer la force Vd et le moment Vd .e par rapport au centre.     Vd Vd 6.e 6.e σmax = 1+ σmin = 1− B B B B

8.2.2. Fondations profondes soumises à un effort axial a) Principe de dimensionnement

La capacité portante d’une fondation profonde ou résistance ultime repose sur la mobilisation, d’une part de la réaction offerte par le sol sur la pointe du pieu et, d’autre part d’un frottement latéral le long du fût du pieu. La valeur de portance d’un pieu Rc est calculée par : Rc = Rb + Rs Avec : • Rb : résistance de pointe, • Rs : résistance de frottement axial mobilisée le long du fût du pieu. Cette séparation en deux termes de la capacité portante est une caractéristique commune de toutes les méthodes de conception utilisées dans la pratique : les méthodes analytiques basées sur le frottement (proportionnel à c − ϕ ) et des méthodes empiriques basées sur des essais in situ (CPT, SPT, PMT). La résistance de pointe est liée à une valeur moyenne de la résistance au cisaillement déduite des essais de laboratoire ou des essais in situ, corrigée pour la classe de sol et pour certains effets liés au remaniement induit par la technique d’installation. Le terme de frottement axial représente l’interaction (complexe) pieu-sol et le changement des propriétés du sol dans le voisinage du pieu après qu’il a été installé. Calcul de Rb Rb est obtenu par combinaison de deux termes, la surface A de la pointe du pieu et la contrainte ultime sous la base du pieu : Rb = [q0 + qu ].Ab Avec : qu = kp .p∗Le où : • q0 : pression verticale totale, • p0 : pression totale horizontale, • Ab : surface de la base de la fondation. • kp : facteur de capacité portante, dépendant du type de sol et du mode de mise en œuvre du pieu (cf. tableau 8.7) déterminé comme pour les fondations superficielles.

8.2

Méthodes de calcul

207

Seule la pression limite nette équivalente p∗Le est calculée de manière spécifique ; c’est une moyenne définie par :

D+3a 1 p∗LM (z).dz p∗Le = 3a + b D−b Avec : • a=

B 2

si B > 1 m sinon a = 0, 5 m,

• b = min(a, h) où h est la hauteur de la fondation dans la couche porteuse.

4567 & 

456(


5 : kp (Def /B) = kp,max , • Def /B < 5 : kp (Def /B) = 1, 0 + (kp,max − 1, 0)(Def /B)/5.

D 1 Def = ∗ p∗ (z).dz pLe D−10B LM Avec les valeurs maximales données dans le tableau 8.7.

!   0z



} '  Oz F IGURE 8.10 Section et périmètre des pieux tubulaires et profilés métalliques ouverts à la base

8 • Fondations

208

Les pieux dont la section n’est pas pleine (pieux H, tubes, palplanches) font l’objet d’un abattement de la capacité portante en pointe : Rb = ρp .A.qu Où : A est l’aire de la surface convexe et ρp , un coefficient de réduction tabulé en fonction de la nature du sol et du type de pieu (voir tableaux 8.1 et 8.8). Tableau 8.7 Valeur des coefficients de portance kp,max pour un encastrement effectif De /B > 5 (NF P94-262)  ^ € _)^ 



"

@

`”

f”

k”

%

,(BΠ B

$

 {J|













 {J|

 {J|













 {J|

$'  *g  

 {J|













 {J|

=$\$ €

 {J|













 {J|

+;'' ]($'

 {J|













 {J|

{|  "  "`  „ qnet 150

À l’ELU, E < R =

On peut anticiper vu le profil de sol des tassements de forte amplitude et se développant sur des durées importantes. (2) Le frottement latéral mobilisable dans : • le limon possédant une pression limite inférieure à 0, 4 MPa, on ne considère pas de frottement axial. • les graves-sableuses (courbe Q2) : qs = αpieu−sol .fsol (pLM ) avec : fsol (pLM ) = (a.pLM + b).(1 − e−c.pLM ) = 0, 07 MPa On a déterminé la pression limite avec une moyenne géométrique. αpieu−sol = 1, 4 Soit qs = 0, 098 MPa • la marne (courbe Q4) : fsol (pLM ) = 0, 113 MPa αpieu−sol = 1, 5 Soit qs = 0, 169 MPa Le coefficient de portance en pointe vaut pour un pieu de classe 2 : kp = 1, 6. Le terme de frottement vaut : 2 qsi .Asi = (0, 098 × 4 + 0, 169 × x) × π × 1 = 0, 531 × x + 1, 232 MN Rs = i=1

Le terme de pointe vaut : Rb = (q0 + kp .pLM ).Asi = 0, 0149 × x + 5, 416 MN La charge que doivent reprendre les quatre pieux à ELU est de 22875 MN majorée par un coefficient que l’on prendra ici égal à 1, 4 : 22, 875 × 1, 4 = 0, 5459 × x + 6, 648 MN 4 Ainsi : x = 2, 49 m. Vous pouvez compléter par une vérification aux autres états limites en utilisant les coefficients suivants (ELScara : 1, 1 ; ELSqp : 1, 4). (3) Dimensionnement d’une solution en pieux H ancrés à 5 m dans les marnes : • dans le limon, on ne considère pas de frottement axial. • dans les graves-sableuses : fsol (pLM ) = 0, 07 MPa et αpieu−sol = 1 soit qs = 0, 07 MPa

Solutions des exercices

235

• dans la marne : fsol (pLM ) = 0, 113 MPa et αpieu−sol = 1 soit qs = 0, 113 MPa Le coefficient de portance en pointe vaut pour un pieux de classe 2 : kp = 2, 2 Le terme de frottement (on prend le périmètre développé du H et ρs = 1) vaut :

Rs = 1i=1 qsi .Asi = (0, 070 × 4 + 0, 113 × 5) × 6 × 0, 8 = 4, 056 MN Le terme de pointe (on assimile les marnes aux argiles donc ρp = 0, 5) vaut : Rb = (q0 +kp .pLM ).Asi = ((5+16)×0, 019+2, 2×4, 12)×0, 5×0, 82 = 3, 028 MN À l’ELU :

22875 .1, 4 = 7, 085 MN soit n = 4, 5 arrondi à 5. n

Solution 8.8. (1) La valeur du tassement déterminée à partir de la méthode œdométrique (cf. chapitre 5) et l’application  d’influence (voir annexe A.) est :  d’un coefficient H σv0 + 4.I.Δσv s= .Cc . log 1 + e0 σv0   s = 60 × 0, 197. log

30×15+0,13×25000/240 30×15

= 0, 15 m

25 (2) La charge moyenne par pieu est de : Vsp = Vn = 137 = 0, 18 m Soit 50 % de la charge de rupture de l’essai. Avec les corrélations proposées, on voit que le frottement latéral peut être estimé à qs = 12 kPa et qu = 392 kPa. Rt = Rs + Rb = π.B.D.qs + qu .As = 433 kN

La charge limite est très proche de celle d’essai. (3) Bien que l’entraxe des pieux soit supérieur à trois fois le diamètre, nous allons estimer le tassement à partir de la diffusion de charge à la profondeur de 20 m. La charge s’applique donc sur un disque de 37, 5 m situé  à 40 m de profondeur. 40 × 17 + 0, 25 × 25000/240 s = 40 × 0, 148. log = 0, 097 m 40 × 17 (4) Pour un pieu isolé dans un sol homogène, on peut dire que le tassement total est la somme des tassements du fût et de la pointe. On reste sur le premier segment des courbes de transfert. qb 0, 75 Vt 0, 25 Vt qs . + = + . s = ss + sb = Kt Kp 30 × π × 0, 35 Kt 0, 25 × π × 0, 352 Kp EM EM Avec : Kt = 2. , Kp = 11. B B Vt B.Vt = 0, 0867. Donc s = (0, 0114 + 0, 2362). EM EM

8 • Fondations

236

Prenons le premier palier de chargement de l’essai de chargement, on obtient : EM = 11, 56 MPa. (5) Si l’on assimile le groupe de pieux à un pieu unique on peut estimer à partir du tassement de l’hydrotest le diamètre équivalent. Le rapport profondeur sur diamètre est de 20/17, 5 = 1, 7. On est plus dans le cas d’une fondation superficielle que dans celui d’un pieu. Nous n’allons donc considérer que le tassement de la pointe : B.qb 11.s.EM , soit B = s= = 24, 41 m 11.EM qh Si on utilise la méthode élastique en assimilant le module pressiométrique à un module d’Young (Cf = 1 pour une fondation souple au centre) on obtient : qb .B.(1 − ν 2 ).Cf 0,02×11,56 s.EM , soit B = qb .(1−ν = 25/240×0,89×1 = 2, 49 m. s= 2 ).C f EM Le diamètre est inférieur à la valeur déterminée par les courbes de transfert, car le module pressiométrique sous-estime le module d’Young dans un rapport de presque 10 ici.

Solution 8.9. (1) Le coefficient de portance en pointe vaut pour un pieux de classe 1 : kp = 1, 1. Le terme de pointe vaut : Rb = (q0 + kp .pLM ).Asi = (17 × 0, 019 + 11 × 1, 56) × π × 0, 32 = 0, 576 MN (2) Le frottement latéral mobilisable pour des forés tubés (virole récupérée) dans : • l’argile molle possédant une pression limite inférieure à 0, 4 MPa est négligé, • les graves-limoneuses (courbe Q2) est qs = αpieu−sol .fsol (pLM ) avec : fsol (pLM ) = (a.pLM + b).(1 − e−c.pLM ) = 0, 06 MPa On a déterminé la pression limite avec une moyenne géométrique. αpieu−sol = 1, 4 Soit qs = 0, 083 MPa Le terme de frottement vaut : 1 Rs = qsi .Asi = (0, 083 × 7) × π × 0, 6 = 1, 095 MN. i=1

(3) La charge que peut reprendre un pieu est Rt = Rs +Rb = 0, 576+1, 095 = 1, 678 MN. La contrainte moyenne dans le béton est σ = 5, 93 MPa. La contrainte admissible du béton est σadm = 0, 3 × 35/1, 36 = 7, 69 MPa. Le béton fonctionne en dessous de la contrainte admissible, on pourrait réduire la taille de ceux-ci.

Solutions des exercices

237

π.B 4 = 0, 0064 m2. Le coeffcient de (4) Le moment quadratique du pieu est : Ip = 64 réaction à long terme  vaut donc  : 1 B α α 1, 33 .B0 . 2, 65. + .B = kf 6.EM B0 6.EM Avec EM = 4000 kPa et α = 2/3 pour une argile normalement consolidée : kf = 12, 54 MPa/m et le module de réaction Kf = kf .Bext = 7, 52 MPa  4.E.Ip = 2, 41 m (5) La longueur de transfert s’exprime : l0 = 4 Kf 3 × l0 = 7, 24 > 8 m, le pieu est long et souple sur l’épaisseur de la couche d’argile.   z z − lz 0 (6) La déformée du pieu est donnée par : δ(z) = e . A. cos + B. sin l0 l0 Avec les conditions δ (z = 0) = 0 et T (z = 0) = 0 après dérivation de δ(z), on trouve que A = B = 0. (7) La déformée du sol δs (z) varie linéairement de 10 cm pour z = 0 et 0 à z = 8 m donc δs (z) = 0, 1 + 0, 8.z La pression maximale sol/pieu est : pmax = kf .δmax = 7, 52 × 0, 1 = 0, 75 et rf = B.pf = B.pLM /2 = 0, 12 Le sol n’est plus dans le domaine élastique en tête de pieu.

Annexes

A. DISTRIBUTION DE CONTRAINTES DANS UN MASSIF ABAQUES Les abaques qui suivent permettent de déterminer le coefficient d’influence I en un point d’un massif en fonction de la forme de la charge.



> ! Š"!  #$%  



   

89

  

9

89





 

 



F IGURE A.1 Abaque pour charge circulaire

ǻı

Annexes

240

’





 



> ! Š"!  #

%$





  :8    

$

: 

  ǻı

  





$8



F IGURE A.2 Abaque d’Österberg



’            

 6

> ! Š"!  #

%$  

ǻı

 

 

8





  



68



F IGURE A.3 Abaque de Steinbrenner



Coefficient de consolidation

241

^]$  

B.

F IGURE A.4 Abaque de Newmark (coefficient d’influence n = 0, 005)

B. COEFFICIENT DE CONSOLIDATION B.1. Méthode de Taylor Cette méthode est préconisée par la norme actuelle XP 94-090-1. Dans un premier temps, on trace pour une charge donnée la courbe des tassements en fonction de la racine carrée du temps (cf. Fig B.5). La lecture s0 ne sera pas prise en compte pour la construction ci-après. 







 !

 

&

&

F IGURE B.5 Méthode de Taylor. Évolution du tassement s en fonction de

√

t

Annexes

242

Tracer la droite D1 correspondant à la partie quasi linéaire du début de la consolidation. Cette droite coupe l’axe des ordonnées en un point sc qui est le « zéro corrigé ». De ce point sc , on trace la droite D2, de pente 1,15 fois plus faible que celle de D1. L’intersection avec la courbe donne le point correspondant à 90 % de consolidation primaire (point d’ordonnée s90 ). Vérifier que la fin de la partie linéaire de la courbe de tassement est proche de 60% de consolidation (point d’ordonnée s60 ). Dans le cas contraire, refaire une ou plusieurs linéarisation(s) jusqu’à satisfaire ce critère. Le temps correspondant à 90 % de consolidation est noté t90 . Cv s’obtient finalement par la relation : Cv =

0,848.d2 t90

Avec d le chemin de drainage. Tv = 0, 848 (U = 90%).

B.2. Méthode de Casagrande Il est possible, en dehors du cadre de la norme actuelle, de tracer pour un palier de chargement donné, la courbe des tassements en fonction du logarithme du temps. La construction graphique (cf. Fig B.6) permet de déterminer le tassement s100 . Le tassement conventionnel sc est obtenu en déduisant du tassement obtenu à 0, 1 min, la différence des tassements entre 0, 4 min et 0, 1 min. Le tassement s50 correspond à la moyenne entre s100 et sc . Cv =

0, 197.d2 t50

Avec Tv = 0, 197 (U = 50%). 

   G



!





F IGURE B.6 Méthode de Casagrande - évolution du tassement s en fonction de log(t)

C.

Coefficient de poussée/butée

243

a) Remarques sur les méthodes (source : Méthode d’essai LCPC)

On utilise couramment la méthode de Casagrande, fondée sur la représentation du tassement en fonction du logarithme du temps. Dans bien des cas, cette méthode est difficilement utilisable, la forme de la courbe ne se prêtant pas à une construction graphique aisée (forte compression secondaire, faibles incréments de charge, fortes valeurs de Cv (Cv > 10−7 à 10−6 m2 /s). Il est préférable d’utiliser la méthode de Taylor face à des sols à fortes compression secondaire. Par contre, elle nécessite des mesures précises en début d’essai. Rappelons que cette méthode n’est correctement appliquée que si la linéarisation porte sur 60% de la consolidation. Pour les deux méthodes, les valeurs représentatives du coefficient de consolidation sont celles déterminées pour des charges σ  > σp .

C. COEFFICIENT DE POUSSÉE/BUTÉE 







ȕ 

įij¶ 

įijŠ

ȕij¶



 



































ȕij Š  











įij¶   







ȕij Š  

įij¶   









F IGURE C.7 Coefficients de poussée Ka en fonction de la rugosité δ et de l’inclinaison de la surface en amont du mur β

Annexes

244





ȕ 

įij¶ 





ȕij¶





įij¶ 

 



































įij¶ 





įij¶ 







 















ȕij¶ 









F IGURE C.8 Coefficients de butée Kp en fonction de la rugosité δ et de l’inclinaison de la surface en amont du mur β







Index

Angle de frottement, 79, 84, 153, 157, 158, 160, 175, 177 Anisotropie, 22, 30 Aquifère, 25, 29 Arrangement particules, 117 Bishop, 85 Boîte de cisaillement, 83 Boulance, 24, 32 Boussinesq, 57 Butée, 153, 157 Cam-Clay, 81 CD, 84 Charge hydraulique, 22, 185, 188 Chemin de contrainte, 82 Cisaillement, 53, 77, 82, 83, 89, 153, 174, 206 Classification des sols, 3, 5, 6 Coefficient compressibilité, 124 consolidation, 119, 121 poussée-butée, 154, 243 sécurité, 156, 157, 175, 176, 215 Cohésion, 84, 85, 154, 175, 198 Compressibilité, 122 Condition consolidé/non consolidé, 83, 84 drainé/non drainé, 81, 82, 84, 199, 200 Consistance, 4 Consolidation, 117, 118, 121 Contrainte effective, 54 normale, 53 principale, 53 tangentielle, 53 totale, 54 Contre-butée, 158 Corrélations, 89, 93 Coulomb, 79, 80, 153 CU+u, 84

Déformation, 54, 77, 78 Darcy, 22 Degré de consolidation, 118 Degré de saturation, 1 Dilatance, 80, 113 Dupuit, 25 Écoulement, 22 Élasticité, 77 Éléments finis, 78, 160 Essais in situ, 87 laboratoire, 83 Fondations, 195 Forage, 87, 89 Frottement latéral, 206 Frottement latéral, 88 Glissement plan, 157, 173, 174 rotationnel, 173, 176 Gradient hydraulique, 22, 24 Granulométrie, 3, 4 Indice compacité, 1 des vides, 1, 122 de plasticité, 4 Limites d’Atterberg, 4 Mécanisme de rupture, 156, 182, 198 Meyerhof, 205 Module œdométrique, 124 de réaction, 157, 159 pressiométrique, 91 Mohr-Coulomb, 80 Mur-poids, 151

Géotechnique

246

Nappe, 24, 25

Puits, 26, 28

Œdomètre, 122, 124

Résistance cisaillement, 77 Rankine, 153 Rideaux, 157 Rugosité, 161

Pénétromètre, 87 Pente, 173 Perméabilité, 22 Piézomètre, 24, 33 Pieux, 208 Poids volumique, 2 Pompage, 26, 35 Porosité, 1 Poussée, 153, 155 Préconsolidaion, 123 Pressiomètre, 90 Pression interstitielle, 25, 54, 117 Proctor, 4

Scissomètre, 89 Soutènement, 161 Surface de charge, 78 Talus, 173 Tassement, 117, 203 Teneur en eau, 1, 4 Terzaghi, 54 Triaxial, 84 UU, 94, 102