Geometrie: manual pentru clasa a VII-a

Table of contents :
00000001_2R
00000002_2R
00000003_1L
00000003_2R
00000004_1L
00000004_2R
00000005_1L
00000005_2R
00000006_1L
00000006_2R
00000007_1L
00000007_2R
00000008_1L
00000008_2R
00000009_1L
00000009_2R
00000010_1L
00000010_2R
00000011_1L
00000011_2R
00000012_1L
00000012_2R
00000013_1L
00000013_2R
00000014_1L
00000014_2R
00000015_1L
00000015_2R
00000016_1L
00000016_2R
00000017_1L
00000017_2R
00000018_1L
00000018_2R
00000019_1L
00000019_2R
00000020_1L
00000020_2R
00000021_1L
00000021_2R
00000022_1L
00000022_2R
00000023_1L
00000023_2R
00000024_1L
00000024_2R
00000025_1L
00000025_2R
00000026_1L
00000026_2R
00000027_1L
00000027_2R
00000028_1L
00000028_2R
00000029_1L
00000029_2R
00000030_1L
00000030_2R
00000031_1L
00000031_2R
00000032_1L
00000032_2R
00000033_1L
00000033_2R
00000034_1L
00000034_2R
00000035_1L
00000035_2R
00000036_1L
00000036_2R
00000037_1L
00000037_2R
00000038_1L
00000038_2R
00000039_1L
00000039_2R
00000040_1L
00000040_2R
00000041_1L
00000041_2R
00000042_1L
00000042_2R
00000043_1L
00000043_2R
00000044_1L
00000044_2R
00000045_1L
00000045_2R
00000046_1L
00000046_2R
00000047_1L
00000047_2R
00000048_1L
00000048_2R
00000049_1L
00000049_2R
00000050_1L
00000050_2R
00000051_1L
00000051_2R
00000052_1L
00000052_2R
00000053_1L
00000053_2R
00000054_1L
00000054_2R
00000055_1L
00000055_2R
00000056_1L
00000056_2R
00000057_1L
00000057_2R
00000058_1L
00000058_2R
00000059_1L
00000059_2R
00000060_1L
00000060_2R
00000061_1L
00000061_2R
00000062_1L
00000062_2R
00000063_1L
00000063_2R
00000064_1L
00000064_2R
00000065_1L
00000065_2R
00000066_1L
00000066_2R
00000067_1L
00000067_2R
00000068_1L
00000068_2R
00000069_1L
00000069_2R
00000070_1L
00000070_2R
00000071_1L
00000071_2R
00000072_1L
00000072_2R
00000073_1L
00000073_2R

Citation preview

neasca trei segm.ente a, b ti c ea sa se poatl construi din ele un triunghi. In Geometria pentru clasa a VI-a acest lucru s-a dat farA demonstratie (6;1.1). De fapt, nici aici nu s-a dat nici o demonstrape. Toate rezultatele au fost deduse din figurl.

iJ f¼

::-::: :-;. l,, 1Nms�c���IS::-..lN C::ER f.� _-;-;u�m;-n..,.; �

t. Ungbiurl tl aree. In oele oe urmea�a vom stabili . unele relatii tntre unghiuri , fi arce. Daca unghiurfle ti ar�le se maSQ.V.l In. grade...r11fou� ti secunde_ !'8 spune 43! un unghi es_te eg_al_c-g 1111��-cjica.. amtn.doul._au @..@lMinumar de _gr_!det.:J!'.linute ti seeunde. De exemplu, daca on arc A1J �. 35° ,i. on unghi C are de uem;��356 "• A se spune ea unghiul �.este egal cu areul AB ti se scrie C = AB. Aioi nu este vorba de egalitatea a doua figuri, ci de egalitatea a doua numere. 2. {!nghi fol'lllat _de o. tapgeqtJ. � () ��tMi_e_M _?'_�!��..!l:��.M,,V · >_!8_f?�� g. wiui cerc (fig. 31). lntre U:Oghiul 1 format de ele ti arcul AM -pe oare-1 subtntinde secanta exisia relatie simplL Unioi eentrul_ 0 cu punctul M, ducem raza 0B perpendicular pe MA ti fie A . A OBn MA= C. t + 3 = 90°, cloi raza OM _este perpendiculari pe tangenta; fi A A· A A 2 + 3 = 90°, olci triunghiul OMC este dreptunghic. Rezultl cl f 2, oloi an

AM1' ....:.

o.

=

2 = '!m (un� ,la cen�) ;i MB = � • clci raza �ndi· c�lari pe eoarda MA lmparte arenl MA In doui piJ1i egale. Din ..LV7' == 2 ti acela,i complement.

2

A

rezultl = MA 2

. . SA -

ealeulim

,.;....

........... MA , 2 . ,,,,,,,,....._ = 180° - ,.t = 180° - Ml = a60° . - :iiA ungh1ul AMS. AMS

oi AMT = - •

-

.·�

MD1

-:-;-

2

�

Dar 360° - MA = MDA, dec1 AMS -:- - -• 2 canta care trece prin punctrzl ei de �iul format de o tangenta II u 11 arcului sublntins de secanta.

scurt, un,,ld inscri

1 ... �. 1.31

p

Fig. 1.36

Fig. 1.31

Dael

J·> 90\ ea in, figura 34-b, trebuie considerat unghiul ne�onvex, mai mare decit. 180° , format de razele OB ,i OC. 2. In figura ·35 11e viid mai multe unghiuri M,.N... inscrise in acelai;i cerc ,i care cuprind intre laturi acel�i arc AB. Fiec!lre din aceste unghiuri este egal cu jumatate din . e laturi acela,i arc s [ 7 3. AceAt a oviir B'? ennntii �i sub alta forma: Din punctul M (fig. 35) segme�tul ungbiul JV. AB se ved4:1 sul> uQ.°ghiul M, din punctul N, ace.Ia,i segment ae vech

sub

Dar M = N; rezult.a ci din.M i;i N aegmentul AB se vede sub al'e�i unghi.·Acelafi ._ luol"i,1 .se poate · ne i co · · I · ' etc. ..inoate u i M (; _ • . m p� tn_. coarda A ft arc AMB, I �,1�e�=r:i���:;:;,;;, ;:· a '1f·-.P1·��--!l'1�JIUI� ite ill ace A

A

.

r-·

nscrr.se

s

. D ,11., AB f'af.e uQ-diameti-11 al ceroulm1 deoi segmentul lfe � !litu� dtN11,ra dFftp�, 4 8 eate nn aemi�ero i;i ungbiul A JIB eate tnwi11 bltr-Ull eemfoeTC. 4"lQI .ACB eup.rins eate o jumitate de 681'6, deci llNl 186". . tntre laturi!Q unghiului ° = 90 adjcl va fi dre L. lhi . . -ii:-PJngl&i · #n,scris micerc este 1m, unghi ep . 0

Q · .·

•

.(?> I. Patrulaterol in�ptiblf·'j�,

'

ie oil orioirut �r1�ng i i se pHte cireumserie l Ull nf»'C. P1mem prol1 ema LJrm4t.qare, FHDd dl\t am pat.Pulat61', i so peate l'linrulftBerie 1n1 PlilJ'(l? Cij alf.& 1JUvwte ,. Hili!ti un ce,o r.Q.ra al tr,llol- � t,f)ptft vh'furile !lflle? Jn eazul p�tmlateruhii din figura ·37'· ac�t li1eru 11!1te po11,bi1 i ui cpuf pat.rulat.erQJni A BeD din figura 38, nu, ciiei e:iilti n� sipgur oom oa,e f.NOfl p,ip. vt,ftJ,, rmi A,, R.,ti I), tfaoe11t nel'(l IJU t�tWe priJJ vtr-lltl C. .Daoi ui1t,4, · uu r,ro am &:awe v,mtute x!tfugla ppu; rstr:Jatr v gun, .. 'ii aoel patruJater ,,te -Bf¥ Pa�la�J'Ql dot fitur•.-� A,._,_,....._.__..,...__, eate-inscript,ihfi, oe). din figura:38 nu este insoriptibil. Danli eonstrui� F· I �-ei cercul care. treoe prin toale vtrlurile p�

ae

r

.·

2

/'

-

�•--

� �

17

, . 3. Fie OA ti OB doua raze_ ale wui -0ere ti M A

ti N rnijloacelc lor. 0 = 74°. SA se afle llnghiorile OMN,i ONp� �. \ t"l fotr-un cerc -cti raza de 3 cm se due douii i I ruY:'(M ti O JJ c,re iao_ \IJl. �, · -� 60'\ Ce l'Lllll- . gime.are coarda AB? o:>lRt · ·· ft\ lntr-un cerc se duu o coardA A JI ,;g11bl eu n1M11i. Fie O oentNJI eereulii'L SA-11e afla,unghiuFig. 1_55 .rile tri�ghiuJui OA JJ. _ . . . . . {.i:\Fie AB un Jiametru Su se· o��uleze al unui . o�. �i OC. · o razil, �-:- r,Q°. \ � '\ un urile triunghiului BOC. �f)j,__�,: · 7. (o) & �otisfderli un cerc ·ou raza de 5 cm ,i s� notoaz4_ uu O ,mntrul lnit.1rpoi 11ft illU pqnotele A ,. B, C Ji D unde O.A = 2,8 cm, 08 = 6,3 om, OC :=;: 7 cm, OD= 4,9 om. Care din -aceste puncte este to interiOl'ul oerouJui 11i uttre iD exte­ rior? .fi:\.corourile �,in tigura -SS- siAL.cgll}!l,� �}�_�o�pare_ �-•·�� A J18 cu arcul ;". " Q-l__ .Alrd. \..'.tl.J.,'_!..l � ....·· .-._· - -�·., .. ·-_, ..--,... . ... -. "'.. · @In figura Q6 centru� �e�ului mi° apar\ine oereului mare. Sii ae COJllpare aroul OA nu a.roul 0/1. · � •� @. Cerourile din ��- Bklt egale. ti fiee&N t.Nce. pnn o�trul celuilalt . •.'ctte �de a.u aroele AMP ti ANB. U� SI • demonatielie ell diametrul mnii 'l8ffl e&te !hi' mare deolt oriet � oa:te _uu t.rece· priil,centtu.t ���-· , · · _- :;:;·· I

f .;

... ,;:

),. $tim ell AA'II BB'II CC' ... oi AB ==BC= er,==·­ ti trebui� sl de:tnonstram Cil A' B' = B'C' = C'/J' = ... Dueem prin A' ,i ll' cite o paralel4 la d( M e B B', N E CC') ei consideram tri• unghiurile A'MB' oi B'NC'. Ele slnt dreptunghice. A'M = AB (paralele cuprinee fntte paralele), AB = BC (prit ipotezlt), BC= B'N (paralele cuprm&tl tntr6 para(unghiuri coreapondea\e, A' MIIB'N). lele), deci A' M - B'N. Apoi Aceste triunghiur1 stnt egale (ULU), deci A'B' = B'C'. ra acelqi fel se demonstreaza c, B'C' = C'D', C'D' = D'E' ,.a.m;d. tame detennind pe otice aeciml4 se,111MH egal& epte par,' ec1p • • 7-o) A'B' a B'C' = C'II' = ..., pU"alelele alnt echi� tallte, oricare ar fi lnclinarea 9808Jltt;i d'. P�tru a demoriatra aoeu'-, lu&m din IM.>1I triungbiarile A' JI ti ll'_CN. (�.,.... Ele ldat dr.eptunghiee ,1.au A'B' B'C( (prih i�I}, J)Olldate A'M ff B'N), deoi ole sllat eple (ULU}., ,��-'::,,· l-7. Rezult� cl A;M = B'N. Dar A.'M =tt' == .AB, B'N = ec··- (paralefo cuprinae · · 'd lntre paralele), deci AB = BC, .ceea 138 tJI , d A tmeamnA cA distanta dinf.nl primale doui \---- A paralele este egall cu distaa"8 dintn - ::.8"--..:::-�--'-=+--"""{ paralelele a dou(l ti a tteia. Se �� �-"'( "- --- :::.'+---=�r- continua tn acel8fi feL � .-!_ �li :4__ _ ---'C �I d mai mrilte drq,t. pa,akle deter- :.1-----i: .:;:.F+-- --�:: F @ pe o 8eC41Ull oartcare � eple, 6 dnt ecAitlis•-_.· -- . ---"C'" !.l--_;.. 6 Tienma Jui TaJesl. Couiderlm on �w . tri. unpi ABC (fig. 8). Lulin pe latura AB

A'= B'

=

A'• W

©

r

©

1 Tales din MiJet este unul dinhe prlniii matematkJieni �i ean, au adlll coalrlbatlf lltpor­ tao te la dezvoltarea geometriei. El a tr.Ut In jorul anulm 600 t.e.n. Lui i se atribule, letre allele, urmiitoarele descoperiri: IUl({hiurile de la bua unui triu�i isoicel stnt egale, Wl anrbi •�"Cris lntr-un semicerc esle drept (v. cap. I); constructia unui triunghi clnd ae C\IDOIC ,> laturl fl ue,hiurile aliturate cu aplicape la an11ea unor di&tan� (v. Oeometria cl. a VI-a) 1,a. Talea este important fi oa filozof. El a lost supranllDlit .,ln'9leptul din Mil�".

d

c,

.,; 4

·o,

Fig. 11.17

vtrfol A3, virfului B1 ti coresp�de wful B3 ,.a.m..d. Aceaata cotetponden}l 11 poate reda prin tabelol , Ai Bi C1 Di B1 11 A1 B1 C1 D1 E1 F1

· In rtndul lntli figureazl vtrfurile poligonolui I ti tn rlndul al· doilea, � fiecare, vtrful coreapunzltor al poligonului II. Fiecirui unghi al polip� � Ii eore&punde otte un unghi al poligonului I I ti fieol:rei latmi a poJ:iBonulu1 I_ ti co�spunde oite o laturl a poligonnlui U, ti anume: unghiului ..4. 1 Ii coresp��. tu1gbiul A 1t ungb.iului Bt Ii oore■punde ungliiul_ B1 ,.a.m.d.; laturii A1B1 li �pnade latura .A 9B1, la.turii B1C1 ti ooreepunde latva. B,,C,. -f.a.m.d •• Clte do� ·ughiuri 11.n laturi oorespunzlto� ■e nomeso ungbhuj,aau laturi o� Aceate poligoane 1hlt .8.llfN'.Dellea. · daloritl fap\wui el o��. . · aceutl . . : ltoa:re IU'Jb . llftl fnlutirile A A � A A ,._ f, :1 � �- A A .,, · A1 = Az, ll1 = Bi,, C1 = Cz, 1 = ll2, l!1 == ·-"! · ti Jf1 .YaUnghinrile corespunz.atoare slnt egale do11;a cite dollJ,. · Apoi

=

.A,Bt = .!. A1 B1; a

.,.

BJ:1 = -,!.' B1C1 , . C,!)2 - !. a C1Di.· f.a.:dl· .4.. s

i

Fiec1mt lattui. a poligonului al �oilea este din la.tutt om.olo� ffll ta mului poligon'. De aioi rezulta ci A: B2 BiC2 2 --= 2 , __ C2D2 .,.._ -�.a. 2 - -, m.. d 3 B1C1 3 C1D1 3 A1B1

a· pri·

Toate rapeart.ele a cite dona laturi o�oloage sint egalc cu !. ; deci stnt egelt . a ID.tte ele:

--------- ...•

A,B2

A1B1

B1C1 B1C1

C,D1

C1D1

F:,A1 _�,, ll'1..A1

(�i.neta��

· ce lnMIIIIIll cl laturile celor doul poligo�e &hlt J>l'9Portionale. :-eat.e nmnai 11.ll exemplu; raportul poate Ii ..!. sau -1 - aau drice alt numir-} u too

"i

13

Allt8te poligoane stnt.asemenea pentru cl unghiurile lor stnt.egale doull otte doul ti laturikl lor sint proportionale. Daca una sau alta din aceste eondi\ii nu este fnde­ · plinitii., poligoanele nu slnt asemenea. Astfel, 11i intre poligoanele I ,i III se poate stabili o corespondcnta ea cea de mai A a = BaCa == C,Da 8118• . Ctte dom1 unghllll'i corespunzaioare sint · egale; apoi 3 A1B1 . B101 , C1D1 . D.Ea ;..L. 2 '1• F,A a -r- 2 ' d8J' · D );" . "' A . 2• . • Ea1J, �--- -,- ..,.. - -'-&£1'1 I)1E1 fl r a-na == F. 1A1; d801 /J . E 1"' 1 3 3, F1A,. 3 1 E1 Lat_urile aoestor poligoane nu stnt proportionale, poligo�ul HJ nu este &.Mlmenea co pobgonul I. Ctt despre poligonul IV, el nu seamlna Mloc o� primul. Unghiurile aoesto,. poli­ goane nu sint egale '1i laturile lor nu sint prop�rtionale. Definijie. Doud ele· i oane stnt asemenea astfel tnci c te doua un iun tur · e cor rin71-'oare ie propor/ionale. ,,, Raportul a dona latur1 omoloage se nume,te raportul de asemanare a celor doui poligoane. In cazu] poligoanelor I ti II din figu;a 17, raportul de asemlnare este ! . 3 . . Pentru a scrie cl doua figuri sfnt asemenea; se folo86fte1 semnul ..... ; de e mplu, A1B1C1D1E1F1 ...:., A 2B2C.JJ.fial"a· 3. Observiri. J. Rela\ia de asemlnare nu se deosebette mult de .... �a� er!i­ tate. In ambe]e oazuri se poate stabili o ooresponden\a intre oele ouA f1 1. 1� · Oazul egalitll.\ii a doull. poligoane, cite doua respunzl are stnt gale ,1 o�te doua laturi oorespunzAtoare Jint egale, · ceasta rela · pitJt aza un urile ti d18t;ant,ele; ,i tn cazul asemlnlrii cite doua nghiuri coN!I , , DmJJAtoare t �gale · dec1 aa�mln,a.rea pbtreazA · �ghiurile, dar la i!e corespun mu �tnt egale doui cite doui, asemii.narea nu· pllstreazl antele. · _2, Coneider4m doµa poligoane egale A1B1C1D1... ,1 .T!FBreap...ta AL imparte patr.atul oonstrui_t pe )pd�nuza tn douA dreptunghiuri, I §i II. _Dreptunghiul I are baza CH, care este egala cu a,�i tnlltimea NC, care este egalA cU: m, deci aria sa este a· m. La fel se \·ede cii aria dreptunghiului II este a · · Teorema oatetei apJioata oatetei AC · . ne ·arata cii F ·' b2 = a·m.

'

n.

b 2 este aria pli.tratului I Ji a • m este aria dreptungbiului I, deci aria piitratului I = aria dreptun­ ghiµlui I. Tot teorema. c'atetei, aplicatA, catetei AB, ne dA c:? = a· n, deci · . F aria piitratului II at'ia dreptun­ ghiului II. . Rezult.ii ea suma ariilor patratelor I §i II, construite pe catete, este egalli cu suma ariilor dreptunghiurilor I �i II. Dar dreptunghiuriJe I �i II for­ m�az4. pa.tratul oonstruit pe ipotenuzi. Deci aria pAtratului construit pe ipote­ nuza esie egala cu suma ariilor. pltra­ tetor coilettllite . pe ·oatete, · adrea .

·

==

t

a:.1 _.., b�:+ ·o"-. \

\'

\

/

79

· •--"--�--· ----------· --•�----�--iJe•..--......= AB-·-· + .Ac•. ------ - ---.. , E;do,. · . . . . . . ---xc;-asta 2

..

.

:·

rl'ntr-r¥!, lli,uudJi ¥!:l'l�hi,c '"'•��-�-{'� �•I i;� sruna pltraie��

e1\e . ttt>rtma ltn Pitli601'a1• · 2. Apllcaty. '!i,�lll� lui )?itagP,J � �t,e-sii dJbl o l1t-tJJJ4 � 9JlP.i triutJghi dreptunghi�n�liid ounoa,teQl ()elel�te 4�li, d11pli. CUJI!. iie vit vedea 1n exemplele urmatoare. 1. Catetele umii triunghi dreptungluc stnt b = 3 m, t-=i:-4 •· Be '-"' ip�te,-uza trianghiului ·(lig. 7}. Teorema lui Pitagora dl.: all

_

bZ + c

9

= 3a + 42 = 9 ,+ 16 = 25;

a= V25 = 5.

.Jl;

_ . · Ip_otenuza acestui triunghi esie de 5 m. Diagonala unui dreptunghi este .de _13 cm # lufigimea dreptu�kiulu� _esfe de - . • 12 �m. Se cer� llJlimea dreptunghiului (fig, 8j., TeorP-ma Jui Pitagora, aplicata 1n triunghiul Af!C.., di: .t1.C3 = A.82 + BC3• hlneuind Ap �i AB prin vlllorile Ior, ebtinem: 13:i = 122 B(JZ. De aioi rezultl cli

+

v•

s etn. . _

/ =¥ Bc2 • ·132...:.. 12:; = 100 � 144_,g 25; Bo ;;..1 �Sa se a.fle latura fi apotema patratului·tnscris tntr-un cerc c11 raza de- & c� �trullfl iln eerc CU raza da5 cm 'i dnoem',doi diametrfpei'pendiculari, AC ,i BD ffig. 9). Patruh.Jertil ABCD_ este un patrat tnse-ris bi�; Dttcem OM perpen­ �ar pe 4B; OM este apotema ·acestui patrat.

e b

Fig. 111.7 .

'

fig. 111.8

Fi{r. 111,9

/

f

a.

Piftltora, maieinati�ian ,1 litojpl dni antichita�. a tftit bl ja,ul anulo t.e.n. BI ll _lbtemeiat !a Crotona Ut!lha de Sud) o tc0alli. In cares-a studiat 111atematic11. Teorema care poartc'l lhllDele � Pl&agora it._ IN&, AD4lfSCIIU. In parte lnain\ea lui Pitagon la Bjript f1 tn Chlna. ·1

M

·c A P I T O L U L I V E.LEMENTE DE TBIGON;OIIETRIB · f. Se ftie. tl, atunci otnd ounoatwm un nulllai- suficier..t de elf)inente ale unui \riu.nghi, de exemp1u, 0 latura §i cele doua unghiuri alaturate ei, p11ieIU constrtJi .triunghiul. Triunghiul o data construit, puiem ma.aura celelalte elemente. Ace8t proeedeu · este tnsl foarte putin precis. In cele ce urmeailla, vom lnvita o metoda mai preoisa de\ a determina elementele unui triunghi, mtiLodll hazatl pe oalouL 2. Definitii.. Fie ABC (fig. 1) un tl-iunghi dreptunghio. Considerlm i.lD.W dint'9 unghiurµ, aale ascutite, de exemplu, unghiul C._ Se foloseso lll"mato�ele rapQarte �tre laturile triunghiului, numite functii trigorwmel!ice ale aoestui unghi: .!_ = cateta all.t111'1di J sjn C = ..:, = cateta opusl 1 _ cos C · -·· a ij,oteoud . o ,potenud ·

= �_

tn C .,. ·

6

,

.

.

cateta,opusJ • et C = !_ _ ci.teta alll.turaW • c · ·cateia apail catela alAturatl • g -

.

ill med a.aalog Mt def;B18IO �iile oric�i uqhi lUIOU°tit. De 11;.,aplu, oele patru fUI19Pj 1,rigonomet,rioe unpiului B stnt: . ale . . . B =-, ,, cos B =-C ..... b otg B --. C ·. sm ..6 B = -, 0

• Cl

I:

, '

I,

In ace,te .expresii, a,· b, c repre.zintl mburile laturilor - triunghiului (misurate cu aceeqi unitate, ,:le maB1D'l). o... E :c e m p l u: Sa luam eazul ctnd laturile triUJlghiului ,8 il1.11t: ·6 = 4 ·cm, c = 3 otn, a= 5 em. Ll ace� cu, eel& patru fQnc:pi tripo1X1etrioe ale C unghiului C au valorile: ain C == .!. = 0,6, 001 C .l.. � = 0,8, 5 5 . 4 � tg C = - = 0,75, ctg C-= - = 1,33.. 4 3

C

b

Fig. IV.t

!

./A

1Semnul ain eate o prescurtare pentru sinus. Expresia sin'U se eifette: nnua ,l,e • aaa ata cum se scrie. Sl!Innul - este e pl'8IICW'tare pentni cosinus. Expresia cos use citetl:e: -inu ,l,e u sau .,� se aerie. �l If est e o preac:urta,. peotru taiipntA, Exp,_. tg u ae clkl;te.: tan1mtd ,1,e u.. SelDllul ctg eate o pnacm&aie pentru �tqeata. · !!xpreeia ctg " it citqte: °"1111•

p11t4 ,,,. "·

•

=

AJ1- , de unde A,., 1eo• . · · · ln \·t 2A•", :..--189"� ·-n. ·-· _-...i·,";'-. deoareee �'-' = . R s_·..... . � -� adic"x si,n · Jl n. _ 00 ' l11 �.sin. 1.! • · · · .. . ·.· 180° · · an ,,,....._ OM �in trii.mgh iul AOM, cos AOM = AU _, adicl1 cos -:-,i- . Ji de unde _ _ y,,

-Tot_

*

·

a:.i

.

180� = R cos.----.

Aceste doua · forinule dau latura· �i apotema oricarui poligon regulat lnscris in cere.. E :e em p l u. Pentru n = 15, se obtine 1 0 lt� = 2R sin � = 2Rsin 12° ='2R •.0,208=-0,4f6 R, 1a

410 ·

180� = R cos 12 = R • 0,978 = 0,9,8 R;. = R · CO!! 15 · . 0

.

.

-

9. Aplieaffi. 1. Un sttlp inalt de 4 m (fig. 7) arunca -o umbra lunga de 2,50 m. Ce . . • unghi (ormeadii razele soarelui .;U orit.ontala? . In triunghiul ABC cunoa�tem catetele: AB · 4 m, AC= 2,50 m. Se cere ungbiul C pe care-I Cac razele soarelui CU orizontala. tg C

=

= ..i... :__t6. ' · 2,50

. Tabla dii: C 58° . ° 2. l'hlr-un cerc (fig. 8) se due �ua raze OA 1i OB care formea1,0, un ungki de 70 . Raza cercului- este de 5 m. Se cere coarda A B. · Din centrul cercului coborim. perpendiculara pe AB. Se formeazii triunghlul 1

OA,D, in care c�oqteui: OA

= 5 m, AOD = 70° : 2 = 35°. Putem afla eateta AD.

· . AD SID AOD = -. OA lnlocuind sin AOD �i OA prin l"alorile lor, ob\inem: _. r D 0,574 A · AD= 0,574 •a= AB = 2,87 · 2 2 87· . 5 • , ,

= 5,74 m.

B

f'ig. IV.7

94

Fig. IV.8.

12. O aoarl dubll are o-tnaltime de 2 m. Ctnd scan. este desfloutl, d�aJili==-" dintre picioarele ei e�te de 80 cm. Sa ee c¥culeze unghiul fo�� de cele daua · , plrti ale ecarii. __ , 23. La sistemul_ biela-m�vell _{fig. U,), �are este ?Ioarea cea mai mare pe _ x? Datele se vo/ lua�in figura. care o poate lua µnghiul 24.. Un pilon este sus\inut do doua. ancore, c�i in figura 19. Se 9tie cl AD = ...........

= 5 m, Q.AD ""7 70° ti C eate mijlocul lui BD. .

.

.

.

Se core ungbiul CAD. A

26. SA 'se construiasca un triunghi dreptunghic tn care B,_ a) Notatiile fiind cele· din figura IV.1 1 ce eete rn:ai mare sin B sau cos B? b) Aceeavi lntreA . "' bare daca B > 45°. c) De asemenea daca B = 45°. S4 se verifice rlspunsm:ile cu A

A

ajutorul tahlei lujnd penti:u B cite o valoare arbitrara, de exemplu B � 35° P ·A

B = 50°. A A 26. Sa se demonstreze ea, dace. B< 45°, tg B 45°, tg B >i. Verificare cu ajntorul tablei. 27. a) Notatiilefiindcele din figura 1, sa se cafculeze sin B 9i cosC, apoi cosB fi sin C. Tintnd seam.a de faptul ·ea unghiurile B ,i C sint compfomcntaro, sii se completeze: Daca doua unghiuri sint complcmentare, sinueul unuia este egal cu... celuilalt. b) S4 se calculeze tg B ,i otg C, apoi ctg B ,i tg C �i sa se completeze: Dacl doua unghiuri sint complementare, t-angen�a tmuia este egalli cu. . celuilalt. Sa '8 verifiee aceasta cu aj1\t0ful tabJci, Jutnd la �ttmplare doua unghiuri complementare, de • uemplu 27° 9i 63°. · ; 28. Notatiile fiind eele din fig\}ra IV.1, sa se ca,leuleze,tg B, ct.g B �i produsul }Qr. Sa se complete­ •: Oricare ar fi unghiul B, tg B • otg B = ... Sl se verifice aceasta CU ajutorul tablei, lutnd pentru B o valoare oarecate.

/

'.'

Fig. IV.18

I

B

Fig. IV.19

,,,,....

R. - 22. 23°. 23. 22"30'. 24:. DB= 4,iO m, BA·= 1,�1 m; CAD=== • b oosB=r ; dacii B ,,.,