Geometría y trigonometría [Segunda edición.] 9786073230643, 6073230648

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Geometría y trigonometría

Geometría y trigonometría B EN J A MÍN G A RZ A O LVERA

Revisión técnica Juan Ramón López Váldez Secretario de Academia Estatal Centro de Bachillerato Tecnológico industrial y de Servicios No.157 "Gral. Vicente Ramón Guerrero Saldana" (CBTIS 157) Villa de Álvarez, Colima, México

Daniel Chagoya Gallardo Jefe del Departamento de Servicios Docentes Centro de Estudios Tecnológicos Industrial y de Servicios No. 166 “Carmen Serdán Alatriste” (CETIS 166) Distrito Federal, México

Juan Antonio Jiménez Gallegos Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del IPN

Datos de catalogación Autor: Garza Olvera, Benjamín. Geometría y trigonometría Matemáticas II, educación media superior 2a Edición Pearson Educación de México, S.A. de C.V., 2015 ISBN: 978 607 32 3064 3 Área: Bachillerato/Matemáticas Formato: 21 u 27 cm

Páginas: 264

Geometría y trigonometría El proyecto didáctico Geometría y trigonometría es una obra colectiva creada por encargo de la editorial Pearson Educación de México, S.A. de C.V. por un equipo de profesionales en distintas áreas, que trabajaron siguiendo los lineamentos y estructuras establecidos por el Departamento Pedagógico de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Especialistas en geometría y trigonometría responsables de los contenidos y su revisión técnico-pedagógica: Obra original: Benjamín Garza Olvera Revisión técnico-pedagógica: Juan Ramón López Váldez, Daniel Chagoya Gallardo y Juan Antonio Jiménez Gallegos Dirección general: Sebastián Rodríguez „ Dirección de contenidos y servicios digitales: Alan Palau „ Gerencia de contenidos K-12: Jorge Luis Íñiguez „ Gerencia de arte y diseño: Asbel Ramírez „ Coordinación de bachillerato y custom: Lilia Moreno „ Edición sponsor: Berenice Torruco „ Coordinación de arte y diseño: Mónica Galván „ Supervisión de arte y diseño: Enrique Trejo „ Asistencia editorial: José Huerta „ Edición de desarrollo: Kenyi Casillas „ Corrección de estilo: Juan Carlos Hurtado „ Lectura de pruebas: Demetrio Alemán „ Diseño de portada: Pulso Comunicación „ Diagramación: Ediciones OVA.

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ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-3064-3 ISBN E-BOOK: 978-607-32-3070-4 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-3069-8

D.R. © 2015 por Pearson Educación de México, S. A. de C. V. Avenida Antonio Dovalí Jaime # 70. Torre B, Piso 6, Colonia Zedec Ed Plaza Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón, México, Distrito Federal C. P. 01210

Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 17 16 15 14

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

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Contenido Geometría y trigonometría PRESENTACIÓN, xi UNIDAD 1

Silogismos, 10 EJERCICIO 3, 11

Introducción a la geometría euclidiana, 1

Finalidad de los procesos inductivo y deductivo, 12 Razonamiento inductivo, 12 Razonamiento deductivo, 13 EJERCICIO 4, 13

Evaluación diagnóstica, 2 Introducción a la geometría euclidiana, 4 Definición de geometría, 4 División de la geometría, 4

Conceptos básicos de la geometría euclidiana, 14 Conceptos no definidos, 14 Cuerpo físico y cuerpo geométrico, 14 Superficie, 15

Geometría plana, 4

EJERCICIO 5, 15

Geometría del espacio o espacial, 4 Geometría analítica, 4

Los axiomas y postulados de la geometría, 16 Proposiciones matemáticas, 16 Axioma, 16 Postulado, 16 Definición, 17

Geometría descriptiva, 4 EJERCICIO 1, 4

Antecedentes históricos de la geometría, 5 Sumerios y babilonios, 5 Egipcios, 5 Griegos, 5 Tales de Mileto, 5

EJERCICIO 6, 18

Deducción de teoremas, corolarios y lemas, 19 Teorema, 19 Corolario, 20 Lema, 20 Teorema recíproco, 20

Teorema de Tales de Mileto, 6

Pitágoras de Samos, 6 Euclides de Alejandría, 6 Libro I, 6 Libro II, 6

Teorema directo, 21

Libro III, 6

Teorema recíproco, 21

Libro IV, 6

Explicación, 21

Libro V, 6

Demostración de teoremas, 21

Libro VI, 6

Teorema, 21

Libros VII, VIII y IX, 6

EJERCICIO 7, 22

Libro X, 6

Autoevaluación, 23

Libros XI y XII, 6 Libro XIII, 6

UNIDAD 2 Rectas, 25

Platón, 7 Los tres problemas más famosos de la geometría antigua, 7

Arquímedes de Siracusa, 7 Apolonio de Perga, 7 Herón de Alejandría, 7

Evaluación diagnóstica, 26 Algunos conjuntos de puntos, 28 Concepto de punto, 28 Línea, 28

EJERCICIO 2, 8

Línea recta, 28 Notación, 28

Las relaciones y los silogismos, 9 Relaciones, 9

Línea curva, 29

v

CONTENIDO

Segmento, 44

Línea quebrada o poligonal, 29

EJERCICIO 11, 45

Curva simple cerrada, 29 Poligonal simple cerrada, 29

Medida de los segmentos rectilíneos, 46 Segmentos orientados (vectores), 46 Segmentos consecutivos, 46 Medida de segmentos, 46

Línea mixta, 29 Plano, 29 Puntos colineales, 30 Puntos coplanares, 30

EJERCICIO 12, 47

Semiplano, 31 Postulado de la división del plano, 31 Intersección de planos, 31 EJERCICIO 8, 31

Posición relativa de dos rectas en el plano, 34 Posición relativa de una recta y un plano, 34 Representación gráfica de las posiciones relativas de una recta y un plano, 34

Posición relativa de dos rectas y un plano, 34 Representación gráfica de las posiciones relativas

Congruencia de segmentos, 48 Igualdad y desigualdad de segmentos, 48 Congruencia de segmentos, 48 Caracteres de la igualdad de segmentos, 48 Carácter idéntico o reflejo, 49 Carácter recíproco o simétrico, 49 Carácter transitivo, 49

Trazo de segmentos congruentes, 49 EJERCICIO 13, 49

Operaciones con segmentos, 50 Suma de segmentos, 50

de dos rectas y un plano, 34

Posiciones relativas de dos planos, 35 EJERCICIO 9, 35

Definición I, 50

Rectas perpendiculares, paralelas y oblicuas, 36 Definición de rectas perpendiculares, 36 Carácter recíproco de la perpendicularidad, 36 Mediatriz, 36 Teorema, 36 Recíproco, 37

Definición II, 50

Sustracción de segmentos, 51 Multiplicación de un segmento (producto de un segmento por un escalar), 51 Postulado de Arquímedes, 51 División de un segmento, 52 EJERCICIO 14, 53

Postulado, 37

Autoevaluación, 55

Teorema, 37 Recíproco, 37

Distancia de un punto a una recta, 38 Definición de rectas oblicuas, 38

UNIDAD 3 Ángulos, 57 Evaluación diagnóstica, 58

Corolarios, 38

Definición de rectas paralelas, 39

Definición y notación de ángulo, 60 Definición de ángulo, 60 Nomenclatura de ángulo, 60 Bisectriz del ángulo, 61 Trazo de la bisectriz del ángulo, 61 Generación de los ángulos, 62

Carácter recíproco del paralelismo, 39 Carácter idéntico del paralelismo, 39 Postulado de Euclides, 39 Corolario primero, 39 Corolario segundo, 39 Corolario tercero, 40

EJERCICIO 15, 62

Teorema, 40

Sistemas empleados en la medida de ángulos, 63 Medidas de ángulos, 63

Corolario, 40 EJERCICIO 10, 41

Distinción y notación de segmento, rayo y recta, 44 Recta, 44 Semirrecta o rayo, 44

Sistema sexagesimal, 64 Sistema centesimal, 64 Sistema circular, 64 EJERCICIO 16, 65

vi

CONTENIDO

Conversión de grados a radianes y viceversa, 66 Relación entre grado sexagesimal y el radián, 66 Equivalencias de uso común, 66 Solución de problemas, 67 EJERCICIO 17, 69

Medición y trazo de ángulos, 70 Introducción, 70 Medición, 71 Trazo, 71 EJERCICIO 18, 72

Congruencia de ángulos, 75 Ángulos congruentes, 75 Trazo de ángulos congruentes, 75 EJERCICIO 19, 76

Clasificación de los ángulos, 77 Ángulos convexos y cóncavos, 77 Clasificación de los ángulos por sus medidas, 77 Ángulo agudo, 77

Ángulos correspondientes, 85 EJERCICIO 22, 86

Demostración de teoremas sobre ángulos, 87 Teorema I, 87 Teorema 2, 88 Teorema 3, 88 Teorema 4, 89 Teorema 5, 89 Teorema 6, 90 Teorema 7, 91 Teorema 8, 91 Teorema 9, 92 Teorema 10, 93 Teorema 11, 93 Teorema 12, 94 Teorema 13, 94 Teorema 14, 95 EJERCICIO 23, 95

Autoevaluación, 97

Ángulo recto, 77 Ángulo obtuso, 77

UNIDAD 4 Triángulos, 99

Ángulo colineal o llano, 78 Ángulo entrante, 78

Evaluación diagnóstica, 100

Ángulo perígono, 78

Definición, notación y clasificación de triángulos, 102 Definición de triángulo, 102 Notación de triángulos, 102 Clasificación de los triángulos, 102

Diferentes clases de ángulos, 78 Ángulos consecutivos, 78 Ángulos adyacentes, 79 Ángulos opuestos por el vértice, 79 EJERCICIO 20, 79

Clasificación de acuerdo a sus lados, 102

Ángulos complementarios, suplementarios y conjugados, 81 Ángulos complementarios, 81

Equiláteros, 102 Isósceles, 103 Escalenos, 103

Complemento de un ángulo, 81

Clasificación de acuerdo a sus ángulos, 103

Ángulos suplementarios, 81

Acutángulos, 103

Suplemento de un ángulo, 81

Rectángulos, 103

Ángulos conjugados, 81

Obtusángulos, 104

Conjugado de un ángulo, 81

EJERCICIO 24, 104

EJERCICIO 21, 82

Ángulos que determinan dos rectas cortadas por una transversal (secante), 84 Ángulos interiores o internos, 84 Alternos internos, 84 Colaterales internos, 84

Ángulos exteriores o externos, 85 Alternos externos, 85 Colaterales externos, 85

vii

Rectas y puntos notables del triángulo, 105 Incentro, 105 Bisectriz del ángulo, 105 Circuncentro, 105 Mediatriz, 106 Ortocentro, 106 Altura del triángulo, 106 Gravicentro, baricentro o centro de gravedad, 107

CONTENIDO

EJERCICIO 30, 131

Mediana, 107 EJERCICIO 25, 108

Teoremas para ángulos internos y externos de un triángulo, 108 Teorema para ángulos internos de un triángulo, 108 Corolario, 109 Teoremas para ángulos externos de un triángulo, 109 Teorema, 110 EJERCICIO 26, 110

Igualdad o congruencia de triángulos, 112 Congruencia de triángulos, 112 Criterios empleados en la congruencia de triángulos, 112 Criterios empleados en la congruencia de triángulos rectángulos, 113 Propiedades de los triángulos congruentes, 115 Aplicaciones de la igualdad de triángulos, 115 EJERCICIO 27, 115

Teorema de Tales y sus aplicaciones, 117 Teorema de Tales, 117 Aplicación del teorema de Tales a los triángulos, 118 EJERCICIO 28, 119

Semejanza de triángulos, 120 Concepto de semejanza, 120 Triángulos semejantes, 120 Caracteres de la semejanza de triángulos, 120 Teorema fundamental de la semejanza de triángulos, 120 Teorema recíproco del fundamental de la semejanza de triángulos, 121 Casos de la semejanza de triángulos, 121 Casos de semejanza de triángulos rectángulos, 124 Proporcionalidad de las alturas de dos triángulos semejantes, 125 Teorema, 125 EJERCICIO 29, 125

Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones, 127 Teorema de Pitágoras, 127 Aplicaciones del teorema de Pitágoras, 129 Clasificación de un triángulo al conocer los tres lados, 130

viii

Área, perímetro y semiperímetro de triángulos, 133 Área, 133 Área del triángulo, 133 Cálculo de las alturas de un triángulo, 133 Área del triángulo en función de sus lados (fórmula de Herón), 134 Área de un triángulo equilátero en función del lado, 134 Perímetro, 134 Semiperímetro, 134 EJERCICIO 31, 136

Autoevaluación, 138

UNIDAD 5 Polígonos, 139 Evaluación diagnóstica, 140 Definición, notación y clasificación de polígonos, 142 Definición de polígono, 142 Notación, 142 Poligonal abierta, 143 Poligonal cerrada, 143 Clasificación de los polígonos, 143 EJERCICIO 32, 145

Diagonales y ángulos de un polígono, 147 Suma de ángulos interiores, 147 Teorema, 148 Corolario, 148 Suma de ángulos exteriores (teorema), 148 Corolario, 148 Número de diagonales (teorema), 148 Teorema, 148 EJERCICIO 33, 151

Cuadriláteros: propiedades, clasificación y trazos, 153 Definición de cuadrilátero, 153 Notación, 153 Propiedades de los cuadriláteros, 153 Representación gráfica de las propiedades, 154 Clasificación de cuadriláteros, 154 Trazos en cuadriláteros, 157 EJERCICIO 34, 158

Autoevaluación, 160

CONTENIDO

UNIDAD 6

Circunferencia y círculo, 161

Evaluación diagnóstica, 162 Definición, notación y elementos en una circunferencia, 164 Definición de circunferencia, 164 Definición de círculo, 164 Puntos interiores y exteriores de la circunferencia, 164 Notación, 164 Elementos de la circunferencia, 165 Arco, 165 Cuerda, 165 Diámetro, 165 Flecha o sagita, 165 EJERCICIO 35, 166

Trigonometría plana, 178 Trigonometría esférica, 178 Diferencias generales entre la geometría y trigonometría, 178 Las relaciones trigonométricas, 178 Las funciones trigonométricas en el círculo, 179 Definición de las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares, 180 EJERCICIO 38, 181

Aplicaciones de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos, 182 Primera aplicación, 182 Segunda aplicación, 184 Uso de las tablas de valores naturales, 185 Funciones trigonométricas inversas, 186 Tercera aplicación, 187 EJERCICIO 39, 189

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia, 167 Secante, 167 Tangente, 167 Exterior, 168

Funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud, 193 El ángulo de cualquier magnitud, 193 Signos de las funciones trigonométricas, 194 Resumen de los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos que limitan los cuadrantes, 197 Funciones trigonométricas de ángulos notables en el primer cuadrante (30°, 45°, 60°), 197 Funciones trigonométricas de ángulos notables en el segundo cuadrante (120°, 135°, 150°), 199 Funciones trigonométricas de ángulos notables en el tercer cuadrante (210°, 225°, 240°), 200 Funciones trigonométricas de ángulos notables en el cuarto cuadrante (300°, 315°, 330°), 202

EJERCICIO 36, 168

Figuras y ángulos en el círculo, 169 Figuras en el círculo, 169 Segmento circular, 169 Semicírculo, 169 Sector circular, 169 Cuadrante circular, 169 Corona circular, 170 Trapecio circular, 170

Ángulos en el círculo, 170 Ángulo central, 170

EJERCICIO 40, 203

Ángulo inscrito, 170 Ángulo excéntrico, 171

Relaciones numéricas entre las funciones trigonométricas, 205 Sistema de coordenadas rectangulares, 205 Gráfica de los puntos, 205 Relación numérica entre las funciones, 207

Ángulo exterior, 171 EJERCICIO 37, 171

Autoevaluación, 173

UNIDAD 7 Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo, 175 Evaluación diagnóstica, 176 Definición de trigonometría y relaciones trigonométricas, 178 Definición de trigonometría, 178

EJERCICIO 41, 209

Identidades trigonométricas, 211 Definición de identidad trigonométrica, 211 Funciones trigonométricas recíprocas, 211 Fórmulas fundamentales o identidades principales, 212 Aplicaciones, 213

ix

CONTENIDO

Aplicación de la ley de los cosenos, 222 Ley de las tangentes, 225 Demostración de la ley en un triángulo acutángulo, 225 Aplicación de la ley de las tangentes, 227

Resumen de las funciones, 214 Comprobación de identidades trigonométricas, 214 EJERCICIO 42, 216

Relaciones trigonométricas en triángulos oblicuángulos (leyes de senos, cosenos y tangentes), 217 Ley de los senos, 218 Aplicación de la ley de los senos, 219 Ley de los cosenos, 221 Demostración de la ley en un triángulo obtusángulo, 222

EJERCICIO 43, 229

Autoevaluación, 232

Respuestas de algunos reactivos de los distintos ejercicios propuestos, 233

x

Presentación

E

ste libro se escribió pensando en estudiantes de bachillerato tecnológico que han completado un primer curso de matemáticas. El objetivo principal fue escribir una obra que ustedes los estudiantes pudieran leer, entender y disfrutar. A lo largo del libro se utiliza un lenguaje claro y preciso que propicia la generación de conocimientos que, por lo general, resultan difíciles de entender y aprender. Se utilizan oraciones cortas, explicaciones claras y muchos ejemplos resueltos a detalle. La didáctica que se desarrolla en el texto se fundamenta en una exposición de conceptos introductorios y ejemplos demostrativos, así como, una diversificación en el planteamiento del problema. Los problemas, ejercicios y prácticas que se desarrollan a lo largo de las unidades utilizan distintos tipos de reactivos, lo cual permite tener una evaluación continua del proceso enseñanza-aprendizaje. Se hace énfasis en el incremento gradual de la complejidad de cada ejercicio hasta lograr el cambio de la memorización por un razonamiento más analítico en el planteamiento y desarrollo del proceso de solución de un problema determinado. El verdadero éxito de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas, consiste en analizar y comprender su interrelación con las demás asignaturas, así como, su aplicación con el medio cotidiano en el que nos desarrollamos. Los contenidos de este libro tienen como propósito facilitar el estudio de las matemáticas, asimismo este material apoya a los doctores y facilita la unificación de criterios de enseñanza, elevando así, la calidad de aprendizaje. He escrito diversos textos que se caracterizan por presentar diversos elementos que faciliten los métodos y técnicas de enseñanza-aprendizaje, mediante secuencias programadas y estructuradas con temas que permiten dar respuestas sólidas y concretas a las múltiples interrogantes de los estudiantes, induciendo de forma natural al aprendizaje y ejercitación de la matemática en forma práctica. Agradezco el apoyo de cada uno de los compañeros de academia local, estatal y nacional para la revisión de este material. Asimismo, a todas las autoridades educativas que confiaron en mi esfuerzo y dedicación para lograr contenidos de alta calidad. De igual forma, agradezco al editor por su esmerada atención a la impresión de esta obra. Por último a mis exalumnos y en especial a mi familia a quienes distingo con este mensaje filosófico. “El éxito al igual que el futuro no se espera, se construye con ahínco; no es tanto una meta que se alcanza, sino un camino que se recorre con vigor y energía”.

EL AUTOR Q. I. y Lic. Benjamín Garza Olvera

Metodología para el trabajo con este material El material está dividido en siete unidades, donde se desarrollan los contenidos actuales del programa general de bachillerato tecnológico. Cada unidad cuenta con una evaluación diagnóstica, el desarrollo de los diversos temas y una autoevaluación.

Evaluación diagnóstica Es una serie de ejercicios que sirven como repaso operativo, pero en general se busca desarrollar habilidades de lógica, aritmética y álgebra.

Cuadros de competencias genéricas y disciplinares Se localiza en cada una de las actividades que favorecen el logro de competencias; en este apartado el alumno, con la mediación del maestro, deberá determinar cuáles son las competencias genéricas y las competencias disciplinares que está desarrollando y escribir en el cuadro las que sean pertinentes.

Autoevaluación Es una colección de ejercicios que ayudan a reforzar el trabajo desarrollado a lo largo de la unidad.

Competencias genéricas Categorías

Competencias

Se autodetermina y cuida de sí

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en diversos equipos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.

xii

UN

IDAD

1

Introducción a la geometría euclidiana

Evaluación diagnóstica Realiza lo que se indica en cada caso. 1. ¿Cuáles son las tres proposiciones que integran un silogismo?

2. Es el razonamiento cuya característica es que va de lo general a lo particular.

3. ¿Cuáles son los llamados conceptos fundamentales de la geometría euclidiana?

4. ¿Cómo se clasifican las proposiciones matemáticas?

5. La hipótesis y la tesis son elementos que se encuentran en el enunciado de un:

2

Introducción a la geometría euclidiana Propósito de la unidad

Competencias disciplinares

Que el estudiante: r
$POP[DB
MPT
BOUFDFEFOUFT
IJTUÓSJDPT
EF
MB
geometría, así como, los conceptos básicos de la geometría euclidiana. r
1MBOUFF
DPOKFUVSBT
B
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inductivo. r
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BYJPNBT
Z
QPTUVMBEPT
r
*EFOUJàRVF
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UFPSFNBT
DPSPMBrios y lemas que le permitirán desarrollar el pensamiento crítico para analizar diversas situaciones r
$PNQSFOEB
RVF
MB
HFPNFUSÎB
FTUÃ
QSFTFOUF
en diversas situaciones de su vida cotidiana.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimienUPT
BSJUNÊUJDPT
HFPNÊUSJDPT
Z
WBSJBDJPOBMFT
para la comprensión y análisis de situaciones SFBMFT
IJQPUÊUJDBT
P
GPSNBMFT 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 4. Argumenta la solución obtenida de un proCMFNB
DPO
NÊUPEPT
OVNÊSJDPT
HSÃGJDPT
BOBMÎUJDPT
P
WBSJBDJPOBMFT
NFEJBOUF
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verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 
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Contenidos que aborda la unidad Contenidos conceptuales

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Contenidos procedimentales

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Contenidos actitudinales

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FO
FRVJQP

3

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Introducción a la geometría euclidiana Definición de geometría La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las formas y de los cuerpos; para ello se vale del uso de postulados, definiciones y axiomas, mismos que permiten establecer teoremas.

División de la geometría -B
HFPNFUSÎB
TF
EJWJEF
TFHÙO
TVT
PCKFUPT
EF
FTUVEJP
FO Geometría plana. Estudia las propiedades de las figuras que están en un plano, es decir, las de dos dimensiones. Geometría del espacio o espacial. &TUVEJB
MBT
QSPQJFEBEFT
EF
MPT
DVFSQPT
HFPNÊUSJDPT
DVZPT
QVOUPT
OP
están todos en el mismo plano, es decir, las figuras de tres dimensiones: volumen y superficie de sólidos HFPNÊUSJDPT &YJTUFO
PUSBT
HFPNFUSÎBT
FTQFDJBMJ[BEBT
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EF
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RVF
ÊTUBT
QSFTFOUBO
NFEJBOUF
TJTUFNBT
EF
DPPSEFOBEBT
Z
NÊUPEPT
BMHFCSBJDPT
RVF
TF
SFQSFTFOUBO
DPNP
HSVQPT
OVNÊSJDPT
"TJNJTNP
MBT
àHVSBT
FTUÃO
NPEFMBEBT
QPS
FDVBDJPOFT Geometría descriptiva. Estudia las características de los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones sobre determinados planos. %FTUBDBO
UBNCJÊO
MBT
HFPNFUSÎBT
EF
QSPZFDDJÓO
àOJUB
OP
FVDMJEJBOBT
FUDÊUFSB

EJERCICIO 1 I. Contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.




M
y2VÊ
FTUVEJB
MB
HFPNFUSÎB





y&O
DVÃOUBT
QBSUFT
TF
EJWJEF
MB
HFPNFUSÎB
Z
RVÊ
FTUVEJB
DBEB
VOB
EF
FMMBT 3. Cita otras geometrías especializadas en diferentes campos de las matemáticas.





y2VÊ
FTUVEJB
MB
HFPNFUSÎB
BOBMÎUJDB






*OWFTUJHB
MBT
CBTFT
GVOEBNFOUBMFT
EF
MB
HFPNFUSÎB
OP
FVDMJEJBOB





*OWFTUJHB
MB
EFàOJDJÓO
EF
geometría finita y la de proyección.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas.

4

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

Antecedentes históricos de la geometría 1BSB
RVF
MB
HFPNFUSÎB
BERVJSJFSB
MB
FTUSVDUVSB
QSPQJB
EF
VOB
QSÃDUJDB
DJFOUÎàDB
UVWJFSPO
RVF
QBTBS
NVDIPT
siglos, hasta que la cultura griega ordenara los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre desde UJFNQPT
NVZ
SFNPUPT
SFFNQMB[BOEP
MB
PCTFSWBDJÓO
Z
FYQFSJNFOUBDJÓO
QPS
EFEVDDJPOFT
SBDJPOBMFT
P
MÓHJDBT A continuación recorreremos brevemente los hechos que, en el transcurso de muchos siglos, se acumularon hasta propiciar el nacimiento de la geometría.

Sumerios y babilonios -B
SVFEB
JOWFOUBEB
QPS
MPT
TVNFSJPT

BÒPT
B
$
NBSDB
FO
MB
IJTUPSJB
FM
JOJDJP
EF
MB
DJWJMJ[BDJÓO
BEFNÃT
TV
FTDSJUVSB
MB
BSJUNÊUJDB
RVF
FNQMFBSPO
Z
MBT
DPOTUSVDDJPOFT
EF
TVT
DJVEBEFT
SFWFMBO
DJFSUB
DPNQSFOTJÓO
EF
MBT
àHVSBT
HFPNÊUSJDBT En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los babilonios, herederos de los sumerios; ellos BEBQUBSPO
MB
SVFEB
B
TVT
DBSSPT
EF
HVFSSB
EFTDVCSJFSPO
MBT
QSPQJFEBEFT
EF
MB
DJSDVOGFSFODJB
Z
EFEVKFSPO
el valor de 3 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. %F
BDVFSEP
DPO
TVT
FTUVEJPT
BTUSPOÓNJDPT
DBMDVMBSPO
RVF
FM
BÒP
UJFOF
BQSPYJNBEBNFOUF

días, motivo por el cual dividieron la circunferencia en 360 partes iguales y obtuvieron así el grado TFYBHFTJNBM
5BNCJÊO
UFOÎBO
FM
DPOPDJNJFOUP
EF
DÓNP
USB[BS
VO
IFYÃHPOP
SFHVMBS
JOTDSJUP
FO
FM
DÎSDVMP
conocían una fórmula para hallar el área del trapecio rectángulo.

Egipcios -PT
FHJQDJPT
PCMJHBEPT
QPS
MBT
DPOTUBOUFT
DSFDJEBT
EFM
3ÎP
/JMP
RVF
BÒP
DPO
BÒP
JOVOEBCB
TVT
UJFSSBT
EF
DVMUJWP
UVWJFSPO
RVF
SFIBDFS
MB
EJWJTJÓO
EF
UFSSFOPT
QBSB
DBMDVMBS
MPT
JNQVFTUPT
RVF
DBEB
EVFÒP
UFOÎB
RVF
QBHBS
EF
BDVFSEP
B
MB
TVQFSàDJF
DVMUJWBEB
MB
BQMJDBDJÓO
EF
TVT
DPOPDJNJFOUPT
HFPNÊUSJDPT
TF
FGFDUVÓ
sobre la medida de la tierra, de lo cual se deduce el significado de geometría (medida de la tierra) cuyas raíces griegas son geˆ (tierra) y metrón (medida). 5BNCJÊO
BQMJDBSPO
TVT
DPOPDJNJFOUPT
EF
HFPNFUSÎB
FO
MB
DPOTUSVDDJÓO
EF
QJSÃNJEFT
DPNP
MB
EF
,FPQT
,FGSFO
Z
.FLFSJOPT
RVF
TPO
DVBESBOHVMBSFT
FO
TVT
CBTFT
Z
TVT
DBSBT
MBUFSBMFT
TPO
USJÃOHVMPT
FRVJMÃUFSPT
-PT
DPOPDJNJFOUPT
HFPNÊUSJDPT
EF
MPT
FHJQDJPT
FTUÃO
DPOUFOJEPT
FO
DJODP
QBQJSPT
FM
EF
NBZPS
JOUFSÊT
es el de Rhind, en el que se establecen las reglas para calcular las áreas del triángulo isósceles, del trapecio JTÓTDFMFT
Z
EFM
DÎSDVMP
UBNCJÊO
EFUFSNJOBSPO
FM
WBMPS
EF

DPNP
SFMBDJÓO
FOUSF
MB
DJSDVOGFSFODJB
Z
FM
EJÃNFUSP
EF
VO
DÎSDVMP
WBMPS
NVDIP
NÃT
BQSPYJNBEP
RVF
FM
EF
MPT
CBCJMPOJPT
QBSB
ķ Los egipcios empleaban el cordel (tendedores de cuerda) para sus operaciones de construcción y EJTFÒP
FTUF
JOTUSVNFOUP
GVF
FNQMFBEP
DPNP
SFHMB
DPNQÃT
Z
FTDVBESB

Griegos Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente empíricos, ya que no se cimentaban en VOB
TJTUFNBUJ[BDJÓO
MÓHJDB
EFEVDJEB
B
QBSUJS
EF
BYJPNBT
Z
QPTUVMBEPT En Grecia comenzó la geometría como ciencia deductiva, con las aportaciones de matemáticos como 5BMFT
EF
.JMFUP
)FSPEPUP
1JUÃHPSBT
EF
4BNPT
Z
&VDMJEFT
EF
"MFKBOESÎB
RVJFOFT
GVFSPO
B
&HJQUP
B
iniciarse en los conocimientos de la geometría.

Tales de Mileto 4JHMP
vii
B
$
'VF
VOP
EF
MPT
TJFUF
TBCJPT
Z
GVOEBEPS
EF
MB
FTDVFMB
+ÓOJDB
)J[P
BQPSUBDJPOFT
B
MB
àMPTPGÎB
y a las ciencias, especialmente en la geometría.

5

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Resolvió algunos problemas, como el cálculo de la altura de las pirámides conociendo la sombra que proyectan; la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto; demostró algunos teoremas asociados con la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelos. Teorema de Tales de Mileto 1. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. 
5PEP
EJÃNFUSP
CJTFDB
B
MB
DJSDVOGFSFODJB 3. Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales.

Pitágoras de Samos 4JHMP
vi
B
$
'VF
EJTDÎQVMP
EF
5BMFT
EF
.JMFUP
'VOEÓ
FO
$SPUPOB
*UBMJB
MB
FTDVFMB
QJUBHÓSJDB
4F
MF
atribuye el teorema que lleva su nombre, y que enuncia: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos". 0USP
EF
TVT
UFPSFNBT
FYQSFTB
RVF
la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos. 5BNCJÊO
EFNPTUSÓ
MB
DPOTUSVDDJÓO
EFM
QFOUÃHPOP
Z
QPMJFESPT
SFHVMBSFT
DPNP
UFUSBFESP
IFYBFESP
octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Euclides de Alejandría 4JHMP
iv
B
$
'VF
VOP
EF
MPT
NÃT
EJTUJOHVJEPT
NBFTUSPT
EF
MB
VOJWFSTJEBE
EF
"MFKBOESÎB
1PS
FODBSHP
EF
1UPMPNFP
SFZ
EF
&HJQUP
SFVOJÓ
Z
PSEFOÓ
MPT
UFPSFNBT
Z
EFNÃT
QSPQPTJDJPOFT
HFPNÊUSJDBT
FO
TV
PCSB
llamada Elementos, que ha sobrevivido hasta el presente, por lo que se le considera el padre de la geometría. A continuación se describen los temas abordados en cada uno de los 13 libros: Libro I. Relación de igualdad de triángulos; teoremas sobre paralelas; suma de las áreas de triángulos de un QPMÎHPOP
JHVBMEBE
EF
MBT
ÃSFBT
EF
USJÃOHVMPT
P
QBSBMFMPHSBNPT
EF
JHVBM
CBTF
Z
BMUVSB
UFPSFNB
EF
1JUÃHPSBT Libro II. $POKVOUP
EF
SFMBDJPOFT
EF
JHVBMEBE
FOUSF
ÃSFBT
EF
SFDUÃOHVMPT
RVF
DPOEVDFO
B
MB
SFTPMVDJÓO
HFPNÊUSJDB
EF
MB
FDVBDJÓO
EF
TFHVOEP
HSBEP Libro III. Circunferencia; ángulo inscrito. Libro IV. Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia. Libro V. 5FPSFNB
HFOFSBM
EF
MB
NFEJEB
EF
NBHOJUVEFT
CBKP
GPSNB
HFPNÊUSJDB
OÙNFSPT
JSSBDJPOBMFT Libro VI. 1SPQPSDJPOFT
USJÃOHVMPT
TFNFKBOUFT Libros VII, VIII y IX. "SJUNÊUJDB
QSPQPSDJPOFT
NÃYJNP
DPNÙO
EJWJTPS
Z
OÙNFSPT
QSJNPT Libro X. /ÙNFSPT
JODPONFOTVSBCMFT
RVF
OP
TF
QVFEFO
DPNQBSBS
CBKP
GPSNB
HFPNÊUSJDB
B
QBSUJS
EF
MPT
radicales cuadráticos. Libros XI y XII. Geometría del espacio y, en particular, relación entre volúmenes de prismas y pirámides, cilindro y proporcionalidad del volumen de una esfera al cubo del diámetro. Libro XIII. Construcción de los cinco poliedros regulares.

6

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

Platón 4JHMP
iv
B
$
&O
MB
QSJNFSB
NJUBE
EF
FTUF
TJHMP
TF
JOJDJÓ
FO
"UFOBT
VO
NPWJNJFOUP
DJFOUÎàDP
B
USBWÊT
EF
MB
"DBEFNJB
EF
1MBUÓO
TV
àMPTPGÎB
FTUBCMFDF
RVF
MB
NBUFNÃUJDB
OP
UJFOF
VOB
àOBMJEBE
QSÃDUJDB
TJOP
simplemente se cultiva con el único fin de conocer; por esta razón se opuso a las aplicaciones de la geoNFUSÎB
%JWJEJÓ
MB
HFPNFUSÎB
FO
elemental y superior. La elemental comprende todos los problemas que se pueden resolver con regla y compás; la superior estudia los tres problemas más famosos de la geometría antigua, no solubles con regla y compás. Los tres problemas más famosos de la geometría antigua 
-B
DVBESBUVSB
EFM
DÎSDVMP
4F
USBUB
EF
DPOTUSVJS
VUJMJ[BOEP
TPMBNFOUF
MB
SFHMB
Z
FM
DPNQÃT
FM
MBEP
EF
VO
cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado. 2. La trisección del ángulo. El problema de dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando como apoyo solamente la regla y el compás; sólo es posible resolverlo para casos particulares, como la división del ángulo de 90q. 
-B
EVQMJDBDJÓO
EFM
DVCP
$POTJTUF
FO
IBMMBS
NFEJBOUF
VOB
DPOTUSVDDJÓO
HFPNÊUSJDB
VO
DVCP
RVF
UFOHB
un volumen doble del de un cubo dado. /P
TF
USBUB
EF
QSPCMFNBT
RVF
FO
MB
BDUVBMJEBE
OP
TF
IBZBO
SFTVFMUP
QSÃDUJDBNFOUF
TJOP
EF
QSPCMFNBT
que tienen una importancia totalmente teórica.

Arquímedes de Siracusa 
B
$
&TUVEJÓ
FO
"MFKBOESÎB
Z
TJO
EVEB
GVF
VOB
EF
MBT
NÃYJNBT
àHVSBT
EF
MBT
NBUFNÃUJDBT
HSJFHBT
%FTQVÊT
EF
HSBOEFT
EJTQVUBT
DPO
&VDMJEFT
TF
SFUJSÓ
B
4JSBDVTB
EPOEF
DVMUJWÓ
UPEPT
MPT
DBNQPT
EF
MBT
NBUFNÃUJDBT
HFPNFUSÎB
Z
BSJUNÊUJDB
QSJODJQBMNFOUF


MB
BTUSPOPNÎB
Z
MB
GÎTJDB $BMDVMÓ
VO
WBMPS
NÃT
BQSPYJNBEP
EFM
ÃSFB
EF
MB
FMJQTF
FM
WPMVNFO
EFM
DPOP
Z
EF
MB
FTGFSB
FTUVEJÓ
MB
llamada espiral de Arquímedes, que se aplicó para la solución de la trisección del ángulo.

Apolonio de Perga 
B
$
&TUVEJÓ
BNQMJBNFOUF
MBT
TFDDJPOFT
DÓOJDBT
RVF

TJHMPT
EFTQVÊT
TJSWJFSPO
B
,FQMFS
FO
sus investigaciones de astronomía, y logró determinar casi todas sus propiedades. &O
TV
PCSB
TF
FODVFOUSBO
UBNCJÊO
MBT
JEFBT
RVF
DPBEZVWBSPO
B
3FOÊ
%FTDBSUFT
B
DSFBS
MB
HFPNFUSÎB
BOBMÎUJDB

TJHMPT
EFTQVÊT

Herón de Alejandría 4JHMP
ii
E
$
4V
PCSB
EFTUBDB
MB
EFNPTUSBDJÓO
EF
MB
GÓSNVMB
RVF
MMFWB
TV
OPNCSF
Z
RVF
TF
FNQMFB
QBSB
calcular el área de un triángulo en función de sus lados.

7

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 2 I. Subraya la respuesta correcta.

1. Cultura que ordenó en un sistema los conocimientos empíricos de la geometría. Egipcia Griega Babilonia Romana




2. Cultura que, basada en sus estudios astronómicos, dividió la circunferencia en 360 partes iguales, Z
PCUVWJFSPO
BTÎ
FM
HSBEP
TFYBHFTJNBM
4VNFSJB Griega Babilonia Egipcia





$VMUVSB
DVZPT
DPOPDJNJFOUPT
HFPNÊUSJDPT
GVFSPO
BQMJDBEPT
B
MB
EJWJTJÓO
EF
FYUFOTJPOFT
UFSSJUPSJBMFT Egipcia




Romana


4VNFSJB

Fenicia

4. Matemático que calculó la altura de una pirámide por medio de la sombra que proyecta.



1JUÃHPSBT

Euclides

Arquímedes





5BMFT
EF
.JMFUP

5. Matemático que estableció el teorema: "La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos". Euclides





)FSÓO





1JUÃHPSBT





1MBUÓO

6. En su obra titulada Elementos sistematizó el conocimiento empírico acerca de la geometría.



5BMFT
EF
.JMFUP




Euclides


1JUÃHPSBT

Arquímedes

7. Filósofo que dividió la geometría en elemental y superior.




1MBUÓO


)FSÓO

Arquímedes


.
BUFNÃUJDP
HSJFHP
RVF
DBMDVMÓ
VO
WBMPS
NÃT
BQSPYJNBEP
EF
S, el área de la elipse, el volumen del cono y de la esfera. Euclides







Apolonio





1MBUÓO

Arquímedes





)FSÓO


4
V
PCSB
TJSWJÓ
DPNP
GVOEBNFOUP
QBSB
RVF
%FTDBSUFT
EFTBSSPMMBSB
MB
HFPNFUSÎB
BOBMÎUJDB

TJHMPT
EFTQVÊT Apolonio




Euclides


1JUÃHPSBT

Arquímedes

10. En su obra destaca la fórmula para calcular el área de un triángulo en función de sus lados. Apolonio

)FSÓO II. Contesta las siguientes preguntas.

Arquímedes





1MBUÓO




M
)FSSBNJFOUB
FNQMFBEB
QPS
MPT
FHJQDJPT
DPNP
SFHMB
DPNQÃT
Z
FTDVBESB





/PNCSF
EF
MPT
NBUFNÃUJDPT
HSJFHPT
RVF
PUPSHBSPO
B
MB
HFPNFUSÎB
FM
DBSÃDUFS
EF
DJFODJB
EFEVDUJWB





$JUB
MPT
USFT
UFPSFNBT
GVOEBNFOUBMFT
EF
5BMFT
EF
.JMFUP

8

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana




1


&TDSJCF
FM
FOVODJBEP
EFM
UFPSFNB
NÃT
JNQPSUBOUF
EF
1JUÃHPSBT
EF
4BNPT

5. ¿Cuáles son los tres problemas más famosos de la geometría antigua?





y%F
DVÃOUPT
MJCSPT
DPOTUB
MB
PCSB
MMBNBEB
Elementos?





y2VÊ
QSJODJQJP
àMPTÓàDP
FTUBCMFDJÓ
1MBUÓO
FO
PQPTJDJÓO
B
MB
BQMJDBDJÓO
EF
MB
HFPNFUSÎB





%FTDSJCF
MPT
DPOUFOJEPT
EF
MPT
MJCSPT
EF
MB
PCSB
MMBNBEB
Elementos.





y2VÊ
DPOPDJNJFOUPT
HFPNÊUSJDPT
FTUÃO
DPOUFOJEPT
FO
FM
QBQJSP
EF
3IJOE



y2VÊ
SB[POFT
QFSNJUJFSPO
B
MPT
HSJFHPT
EBS
MB
FTUSVDUVSB
EF
DJFODJB
B
MB
HFPNFUSÎB

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Las relaciones y los silogismos Relaciones -B
NBZPSÎB
EF
MPT
IFDIPT
HFPNÊUSJDPT
TF
EFUFSNJOBO
QPS
NFEJDJÓO
EJSFDUB
MBT
SFHMBT
Z
QSJODJQJPT
TF
IBDFO
FWJEFOUFT
EFTQVÊT
EF
PCUFOFS
VOBT
DVBOUBT
NFEJEBT
QFSP
B
WFDFT
SFTVMUB
JNQPTJCMF
FGFDUVBS
UPEBT
MBT
NFEJDJPOFT
QBSB
MMFHBS
B
EFDJS
RVF
MBT
SFHMBT
FYJTUFO
-B
NBUFNÃUJDB
TF
WBMF
EF
UÊDOJDBT
QBSB
EFNPTUSBS
TJ
FYJTUFO
P
OP
EJDIBT
SFHMBT
QPS
FKFNQMP
FNQMFB
FM
BOÃMJTJT
Z
MB
MÓHJDB
DPNP
IFSSBNJFOUBT
QBSB
FM
FTUVEJP
de la geometría.

9

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

&O
MPT
TJTUFNBT
NBUFNÃUJDPT
EFTFBNPT
NBYJNJ[BS
FM
OÙNFSP
EF
FOVODJBEPT
EFNPTUSBEPT
TVQPOJFOEP
tan poco como sea posible, ya que la mayoría de las veces lo obvio es lo más difícil y complicado de demostrar; comprobado lo anterior, garantizamos que las relaciones son válidas. 1PS
FKFNQMP
TVQPOHBNPT
RVF
TF
UJFOF
VOB
MMBOUB
EF
BVUP
DPO
VO
EJÃNFUSP
EF

QVMHBEBT
EF
MPOHJUVE
NJEJFOEP
MB
MPOHJUVE
BMSFEFEPS
EF
MB
MMBOUB
FT
EFDJS
MB
DJSDVOGFSFODJB
TF
FODPOUSÓ
BQSPYJNBEBNFOUF

QVMHBEBT
4J
FTUP
TF
SFBMJ[B
DPO
VOB
MMBOUB
EF

QVMHBEBT
EF
EJÃNFUSP
TV
DJSDVOGFSFODJB
NJEF
DBTJ

QVMHBEBT
&O
MPT
EPT
DBTPT
MB
SB[ÓO
EF
MB
DJSDVOGFSFODJB
B
MB
MPOHJUVE
EF
VO
EJÃNFUSP
FT

BQSPYJmadamente. La relación de la circunferencia de un círculo a la longitud de un diámetro, ¿es siempre igual? Resulta imposible medir todos los círculos y calcular esta relación; sin embargo, por razonamientos matemáticos la relación es válida para cualquier círculo. Ejemplo

Una región circular se divide en dos partes si se corta por una recta; dos cortes rectos dividen el círculo FO
DVBUSP
QBSUFT
DPNP
NÃYJNP
USFT
DPSUFT
SFDUPT
EJWJEFO
FM
DÎSDVMP
FO
VO
NÃYJNP
EF
TJFUF
QBSUFT
y1PEFNPT
FODPOUSBS
MB
FYJTUFODJB
EF
VOB
SFMBDJÓO
FOUSF
FM
OÙNFSP
EF
DPSUFT
Z
FM
OÙNFSP
NÃYJNP
EF
divisiones que se pueden obtener? Número de cortes

Número de divisiones

1 2 3 4 5 6 7

2 4 7 11 16 ? ?

n

?

Silogismos Un silogismo es un tipo de argumento que consta de tres proposiciones que son: la mayor, la menor y la conclusión, deducida a partir de la relación lógica que guardan las dos primeras. Ejemplo

a
5PEPT
MPT
SFTJEFOUFT
EF
MB
DJVEBE
EF
3FZOPTB
TPO
DJVEBEBOPT
EFM
FTUBEP
EF
5BNBVMJQBT
1SFNJTB
mayor o enunciado general). b
5PEPT
MPT
DJVEBEBOPT
EF
5BNBVMJQBT
QBHBO
VO
JNQVFTUP
FTUBUBM
TPCSF
MB
SFOUB
1SFNJTB
NFOPS
P
secundaria). c
1PS
UBOUP
UPEPT
MPT
SFTJEFOUFT
EF
3FZOPTB
QBHBO
VO
JNQVFTUP
FTUBUBM
TPCSF
MB
SFOUB
$PODMVTJÓO
o enunciado específico). "OBMJ[BOEP
FM
MFOHVBKF
NBUFNÃUJDP
FOUSF
MBT
relaciones y los silogismos decimos que las relaciones se fundamentan en el razonamiento matemático de la lógica inductiva, mediante observaciones limitadas QPS
BOBMPHÎB
P
QPS
UBOUFP
1PS
PUSP
MBEP
MPT
silogismos se basan en las premisas o hipótesis que se aceptan como parte del análisis matemático de la lógica deductiva, en la que el razonamiento parte de un enunciado general para deducir otro específico.

10

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

EJERCICIO 3

I. Resuelve lo siguiente.

Escribe los números
correspondientes Competencias genéricas


y
4F
QVFEF
QSFEFDJS
FM
OÙNFSP
NÃYJNP
EF
SFDUBT
DPSSFTQPOEJFOUFT
B
DVBMRVJFS
OÙNFSP
EBEP
EF
QVOUPT
y&YJTUF
BMHVOB
SFHMB

Competencias disciplinares

2. En la figura a se muestra un cuadrado. ¿Cuántos cuadrados diferentes se ven en la figura b? Quizá la primera respuesta es 4; sin embargo, si se incluye el cuadrado grande, hay 5 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados hay en c
y&YJTUF
VOB
SFHMB
EFàOJEB a)

Argumenta tu respuesta

b)

c)

3. En la siguiente figura se cuestiona si M es prolongación de N
y1PS
RVÊ M

N

II. En equipo, resuelvan lo siguiente y en plenaria discutan los resultados.





%FTBSSPMMB
USFT
BSHVNFOUPT
TJMPHJTUBT





1SFNJTB
NBZPS






1SFNJTB
NFOPS
Conclusión:





1SFNJTB
NBZPS






1SFNJTB
NFOPS
Conclusión:





1SFNJTB
NBZPS






1SFNJTB
NFOPS
Conclusión:

11

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

2. ¿Cuál es la diferencia entre las relaciones y los silogismos?

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Finalidad de los procesos inductivo y deductivo Razonamiento inductivo El razonamiento inductivo, en su formulación más simple, parte de casos particulares —productos de la PCTFSWBDJÓO‡
Z
B
QBSUJS
EF
FMMPT
GPSNVMB
VOB
QSPQPTJDJÓO
EF
DBSÃDUFS
HFOFSBM
7FBNPT
FM
TJHVJFOUF
FKFNQMP Caso 1. El cuervo x observado es de color negro. Caso 2. El cuervo y observado es de color negro. .. . Caso n. El cuervo n observado es de color negro. 1SPQPTJDJÓO
HFOFSBM
5PEPT
MPT
DVFSWPT
TPO
OFHSPT /P
PCTUBOUF
MB
FYQFSJFODJB
OPT
JOEJDB
RVF
OVFTUSPT
TFOUJEPT
QSJODJQBMNFOUF
MB
WJTUB
Z
FM
UBDUP
OP
siempre resultan confiables para obtener información cierta. -B
JNQPSUBODJB
EFM
FTUVEJP
EF
MB
HFPNFUSÎB
SBEJDB
FO
RVF
WBMJÊOEPTF
EF
SFDVSTPT
DPNP
MPT
TFOUJEPT
MPT
JOTUSVNFOUPT
EF
NFEJDJÓO
MPT
EJCVKPT
Z
MBT
HSÃàDBT
BTÎ
DPNP
MB
JOUFMJHFODJB
EFM
SB[POBNJFOUP
Z
MBT
demostraciones lógicas, tal sesgo en la información sensorial puede solucionarse. &M
NÊUPEP
JOEVDUJWP
TF
VUJMJ[B
QSJODJQBMNFOUF
FO
FM
DBNQP
EF
MB
CJPMPHÎB
àTJDB
Z
RVÎNJDB
RVF
TPO
DJFODJBT
FYQFSJNFOUBMFT
Z
QPS
MP
UBOUP
TF
CBTBO
FO
SFHMBT
Z
MFZFT
HFOFSBMFT
PCUFOJEBT
EF
MBT
PCTFSWBDJPOFT
QBSUJDVMBSFT
DPODMVZFOEP
FO
TJUVBDJPOFT
HFOFSBMFT
UBNCJÊO
TF
MF
MMBNB
método sintético). Ejemplos


4J
PCTFSWBNPT
MBT
TJHVJFOUFT
àHVSBT
inducimos que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero determinan un paralelogramo.


4VNB
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EF
MPT
TJHVJFOUFT
USJÃOHVMPT

108°

55°

75°

40°

32°

47°

12

58°

35°

90°

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

El conocimiento de los casos particulares anteriores nos induce a aceptar que los ángulos interiores de todo triángulo suman 180°. 3. Compara la suma de los cuadrados de los catetos con el cuadrado de la hipotenusa.

4 cm

5 cm

39 cm 15 cm

16 cm

36 cm

3 cm

34 cm

30 cm

Aceptamos por inducción que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual B
MB
TVNB
EF
MPT
DVBESBEPT
EF
MPT
DBUFUPT
UFPSFNB
EF
1JUÃHPSBT  1BSB
MB
FTUSVDUVSBDJÓO
Z
BQMJDBDJÓO
EF
MBT
NBUFNÃUJDBT
OP
QPEFNPT
BUFOFSOPT
TÓMP
B
QSPDFEJmientos directos y razonamientos inductivos para demostrar leyes generales y fórmulas, por lo que FTUF
NÊUPEP
OP
FT
FM
NÃT
JOEJDBEP
QBSB
SFTPMWFS
QSPCMFNBT
Z
IBDFS
EFNPTUSBDJPOFT

Razonamiento deductivo Es el más usado en las ciencias formales, principalmente en la geometría y en lógica. Consta en construir progresiones de conocimientos que se suponen verdaderos, de manera tal que se obtienen nuevos conociNJFOUPT
&O
PUSPT
UÊSNJOPT
BM
QSPDFEFS
EFEVDUJWBNFOUF
TFMFDDJPOBNPT
VOB
QSPQPTJDJÓO
RVF
BDFQUBNPT
DPNP
WFSEBEFSB
QVFEFO
TFS
BYJPNBT
P
EFàOJDJPOFT 
MVFHP
NFEJBOUF
FM
FNQMFP
EF
SFHMBT
EF
USBOTGPSNBDJÓO
obtenemos información que, aunque estaba contenida originalmente en la proposición, no era evidente. %F
FTUF
NPEP
FM
SB[POBNJFOUP
EFEVDUJWP
BTFHVSB
RVF
MB
JOGPSNBDJÓO
PCUFOJEB
UFPSFNBT
DPSPMBSJPT
Z
PUSBT
QSPQPTJDJPOFT
FT
UBNCJÊO
WFSEBEFSB 5BNCJÊO
TF
MF
MMBNB
método analítico o indirecto, cuya característica es que va de lo general a lo particular. Ejemplo

4J
BENJUJNPT
RVF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EF
VO
USJÃOHVMP
TVNBO
ž
TF
deduce que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°. -B
JOUFHSBDJÓO
EFM
SB[POBNJFOUP
JOEVDUJWP
Z
FM
EFEVDUJWP
EBO
MVHBS
BM
NÊUPEP
DJFOUÎàDP
RVF
OPT
lleva a la comprobación y demostración de leyes, principios o reglas formuladas por inducción.

EJERCICIO 4 I. En grupo, con asesoría de su profesor resuelvan lo siguiente. Escribe una "I" si el razonamiento aplicado fue inductivo o una "D" si fue deductivo en la demostración de las siguientes proposiciones.


4VNBOEP
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EF
WBSJPT
USJÃOHVMPT
TF
DPODMVZÓ
RVF
TJFNQSF
TVNBO
q. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Midiendo los catetos (opuesto y adyacente) y la hipotenusa de varios triángulos rectángulos se FODPOUSÓ
MB
SFMBDJÓO
)*1 2
01 2 
"%: 2.

13

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA



%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
TJ
UJFOFO
DPOHSVFOUFT
TVT
IJQPUFOVTBT
Z
VOP
EF
TVT
ángulos agudos.

-B
CJTFDUSJ[
EF
VO
ÃOHVMP
FT
TV
FKF
EF
TJNFUSÎB Escribe los números correspondientes



4J
EPT
SFDUBT
TF
DPSUBO
FOUSF
TÎ
MPT
ÃOHVMPT
PQVFTUPT
QPS
FM
WÊSUJDF
TPO
DPOHSVFOUFT

Competencias genéricas

En todo paralelogramo los ángulos interiores contiguos son suplementarios.

Competencias disciplinares

Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto ni más de un ángulo obtuso.

%PT
TFHNFOUPT
EF
SFDUB
TPO
DPOHSVFOUFT
TJ
DPJODJEFO
TVT
FYUSFNPT

6O
ÃOHVMP
JOUFSJPS
EF
VO
USJÃOHVMP
Z
TV
FYUSFNP
BEZBDFOUF
TPO
TVQMFNFOUBSJPT II. Contesta las siguientes preguntas.





y&O
RVÊ
TF
CBTB
FM
SB[POBNJFOUP
JOEVDUJWP





#BKP
UVT
QSPQJBT
QBMBCSBT
yFO
RVÊ
DPOTJTUF
FM
NÊUPEP
EFEVDUJWP

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Conceptos básicos de la geometría euclidiana Conceptos no definidos 4PO
MMBNBEPT
conceptos fundamentales
Z
DPSSFTQPOEFO
B
UÊSNJOPT
UBMFT
DPNP
punto, línea, superficie y volumen
1VFTUP
RVF
TPO
GÃDJMNFOUF
DPNQSFOTJCMFT
OP
TF
EFàOFO A diferencia de la geometría euclidiana, la geometría moderna evita la conceptualización de aspectos QSJNBSJPT
P
DPODFQUPT
GVOEBNFOUBMFT
"TÎ
QPS
FKFNQMP
MBT
EFàOJDJPOFT
EF
&VDMJEFT
EJDUBO
RVF
punto es lo que no tiene partes, únicamente indica posición y carece de dimensiones; línea o recta es una longitud sin anchura
DBSFDF
EF
MÎNJUFT
EFTDPOPDJÊOEPTF
TV
QSJNFS
Z
ÙMUJNP
FMFNFOUPT

Cuerpo físico y cuerpo geométrico 4PO
DVFSQPT
GÎTJDPT
MBT
DPTBT
RVF
OPT
SPEFBO
DPNP
DVBEFSOPT
TJMMBT
CPMÎHSBGPT
FTDVBESBT
OBWBKBT
FUD
5JFOFO
GPSNB
DPMPS
QFTP
EVSF[B
Z
PDVQBO
VO
MVHBS
FO
FM
FTQBDJP
GÎTJDP
%F
FTUPT
DVFSQPT
MB
HFPNFUSÎB
DPOTJEFSB
TPMBNFOUF
TV
GPSNB
Z
EJNFOTJPOFT
DPO
MP
RVF
NPEFMB
DVFSQPT
HFPNÊUSJDPT
P
TÓMJEPT
B
QBSUJS
EF
FMMPT
QPS
FKFNQMP
MPT
DPOPT
MBT
FTGFSBT
MPT
QSJTNBT
MPT
DJMJOESPT
FUDÊUFSB Los sólidos tienen tres dimensiones, que son: largo, ancho y alto.

14

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

Superficie Es el área delimitada por la longitud del largo y ancho de una figura. La superficie posibilita la distinción FOUSF
VOB
àHVSB
HFPNÊUSJDB
Z
PUSB
BTÎ
DPNP
MB
EJGFSFODJB
EFM
FTQBDJP
FYJTUFOUF
BMSFEFEPS
EF
FMMB &KFNQMPT
EF
TVQFSàDJFT
TPO
MB
TPNCSB
RVF
QSPZFDUB
VO
ÃSCPM
VO
QPTUF
BTÎ
DPNP
MB
DBSB
EF
VO
DVFSQP
HFPNÊUSJDP
SFQSFTFOUBDJPOFT
HSÃàDBT  Ejemplos F

E

G

C

H

Los sólidos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto.

B

A

C

D

D

Las superficies tienen dos dimensiones: largo y ancho. A

B

A

B

Una línea recta tiene una sola dimensión: longitud.

EJERCICIO 5 I. Contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas. Escribe los números
correspondientes

M
0GSFDF
DJODP
FKFNQMPT
EF
DPTBT
QFRVFÒBT
RVF
QVFEBO
DPOTJEFSBSTF
DPNP
QVOUPT 2. ¿Como definió Euclides el punto?

Competencias genéricas

3. ¿Cuántos puntos son suficientes para determinar una recta?

Competencias disciplinares

4. ¿Cuántas rectas pueden pasar por un mismo punto?



&TDSJCF
DJODP
FKFNQMPT
EF
DVFSQPT
GÎTJDPT





y2VÊ
DBSBDUFSÎTUJDBT
UJFOFO
MPT
DVFSQPT
GÎTJDPT





y2VÊ
FT
VO
DVFSQP
HFPNÊUSJDP





&TDSJCF
MBT
DBSBDUFSÎTUJDBT
HFPNÊUSJDBT
EF
MPT
DVFSQPT
TÓMJEPT
P
HFPNÊUSJDPT





y$ÓNP
TF
EFàOF
MB
TVQFSàDJF
HFPNÊUSJDB



%B
USFT
FKFNQMPT
EF
TVQFSàDJF 11. ¿Cuál es la dimensión que tiene una línea? 12. Escribe las dos dimensiones características de una superficie.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 15

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Los axiomas y postulados de la geometría Proposiciones matemáticas El enunciado de una verdad demostrada o que no requiere demostración se denomina proposición. Las proposiciones matemáticas no siempre son consecuencia de otras; algunas se aceptan como verdaderas por sí mismas y sirven como fundamento a la geometría euclidiana. -BT
QSPQPTJDJPOFT
TF
DMBTJàDBO
FO
BYJPNBT
QPTUVMBEPT
EFàOJDJPOFT
UFPSFNBT
Z
DPSPMBSJPT

Axioma En geometría euclidiana, es una proposición tan evidente y sencilla por sí misma que no requiere demosUSBDJÓO
&O
HFPNFUSÎBT
NPEFSOBT
MPT
BYJPNBT
TPO
QSPQPTJDJPOFT
RVF
TF
asumen como verdaderas, es decir, funcionan como hipótesis de trabajo QBSB
BWFSJHVBS
RVÊ
DPODMVTJPOFT
P
JOGPSNBDJÓO
OVFWB
QVFEF
TFS
FYUSBÎEB
B
QBSUJS
EF
FMMBT /P
PCTUBOUF
QPS
BIPSB
OPT
MJNJUBSFNPT
BM
FTUVEJP
EF
MPT
BYJPNBT
FVDMJEJBOPT Ejemplos




l.

El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

2.

El todo es igual a la suma de sus partes. Es decir, si el todo es 10 y sus partes son: 2, 3 y 5, la suma será: 2  3  5 10


4J
B
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
TF
BHSFHBO
P
RVJUBO
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
MPT
SFTVMUBEPT
TPO
JHVBMFT 4J
A







B y

C

?

A C

B D

o

AC

B  D

4J
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
TF
NVMUJQMJDBO
P
EJWJEFO
QPS
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
MPT
SFTVMUBEPT
TPO
JHVBMFT Si A = B

5.

D

y C=D

A C=B D o

A B = C D

Los miembros de una desigualdad pueden permutar sus lugares cambiando el sentido de la desigualdad. A !B

?

B A

Postulado &T
VOB
QSPQPTJDJÓO
DVZB
WFSEBE
TF
BENJUF
TJO
EFNPTUSBDJÓO
BVORVF
OP
UJFOF
MB
FWJEFODJB
EFM
BYJPNB
1BSB
&VDMJEFT
GVFSPO
MB
QJFESB
EF
UPRVF
EF
TV
TJTUFNB
EFEVDUJWP
QVFT
TJSWFO
DPNP
MBT
QSPQPTJDJPOFT
NÃT
elementales a partir de las cuales pueden obtenerse teoremas y corolarios. Ejemplos


1PS
EPT
QVOUPT
EBEPT
QVFEF
IBDFSTF
QBTBS
VOB
SFDUB
Z
TÓMP
VOB A

B

16

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

2. La recta es la distancia más corta entre dos puntos. A

B %JTUBODJB


1PS
VO
QVOUP
QVFEF
QBTBS
VO
OÙNFSP
JOàOJUP
EF
SFDUBT


%PT
SFDUBT
OP
QVFEFO
DPSUBSTF
FO
NÃT
EF
VO
QVOUP A

D O

C

B


5PEP
TFHNFOUP
EF
SFDUBT
QVFEF
QSPMPOHBSTF
JOEFàOJEBNFOUF
FO
BNCPT
TFOUJEPT

A

B

Definición Es una proposición que implica casi siempre una descripción clara y precisa de las características de un PCKFUP
HFPNÊUSJDP Ejemplos

M
¦OHVMPT
PQVFTUPT
QPS
FM
WÊSUJDF
TPO
BRVFMMPT
FO
RVF
MPT
MBEPT
EF
VOP
TPO
QSPMPOHBDJPOFT
EF
MPT
lados del otro. Y

X

+X
PQVFTUPT
QPS
FM
WÊSUJDF
BM
+Y 
¦OHVMPT
BEZBDFOUFT
TPO
EPT
ÃOHVMPT
RVF
UJFOFO
FM
NJTNP
WÊSUJDF
Z
VO
MBEP
DPNÙO
TJUVBEP
FOUSF
ellos. Q P

+P adyacente al +Q

17

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA


1BSBMFMPHSBNP
FT
FM
DVBESJMÃUFSP
RVF
UJFOF
TVT
MBEPT
PQVFTUPT
QBSBMFMPT C

D

A

B

AB CD y AC BD 4. Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. B

n

C

m A

O

El OC es la bisectriz +m = +n

EJERCICIO 6 1. Dadas las siguientes proposiciones, escribe una "A" si es un axioma o una "P" si es un postulado.

La suma de sus partes es igual al todo.

)BZ
JOàOJUPT
QVOUPT

5SJÃOHVMP
FT
VO
QPMÎHPOP
EF
USFT
MBEPT

%PT
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
B
PUSB
TPO
JHVBMFT
FOUSF
FMMBT La distancia más corta entre dos puntos es la recta.

%PT
SFDUBT
OP
QVFEFO
DPSUBSTF
FO
NÃT
EF
VO
QVOUP El todo es mayor que cualquiera de sus partes. El cuadrado tiene cuatro lados. La recta se puede prolongar infinitamente en ambos sentidos. Los miembros de una desigualdad pueden permutar cambiando el sentido de la desigualdad.

18

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

II. Contesta las siguientes preguntas.




M
y2VÊ
QSPQPTJDJPOFT
TPO
MB
CBTF
EF
MB
HFPNFUSÎB





y"
RVÊ
TF
MF
MMBNB
QSPQPTJDJÓO





y$ÓNP
TF
EFàOF
VO
BYJPNB





y2VÊ
TF
FOUJFOEF
QPS
QPTUVMBEP





&YQMJDB
FM
DPODFQUP
EF
EFàOJDJÓO





&TDSJCF
USFT
FKFNQMPT
EF
BYJPNB
QPTUVMBEP
Z
EFàOJDJÓO

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Deducción de teoremas, corolarios y lemas Teorema &T
VOB
QSPQPTJDJÓO
RVF
FYJHF
EFNPTUSBDJÓO
-B
EFNPTUSBDJÓO
DPOTUB
EF
VO
DPOKVOUP
EF
SB[POBNJFOUPT
lógicos que conducen a la evidencia de la proposición a partir de hechos dados o hipótesis incluidos en el enunciado. En el enunciado de todo teorema se distinguen dos elementos, que son la hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis, que es lo que se quiere demostrar. Ejemplos


%PT
SFDUBT
QFSQFOEJDVMBSFT
B
VOB
UFSDFSB
TPO
QBSBMFMBT r1

r2

Hipótesis %PT
SFDUBT
perpendiculares a una tercera son paralelas. A

Tesis Si r1 AB y r2

AB

r1 r2

B


%PT
ÃOHVMPT
PQVFTUPT
QPS
FM
WÊSUJDF
TPO
JHVBMFT p

n

m

q

Hipótesis

Tesis

%PT
ÃOHVMPT
opuestos por el WÊSUJDF
TPO
JHVBMFT

Si +m + +p = 180°

19

y +n + +q = 180°

∴

+m = +n +p = +q

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

3. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (180q). C

A

B

Hipótesis

Tesis

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (180q).

+ A + +B + +C = 180°

Corolario Es una proposición que es consecuencia inmediata de un teorema y cuya demostración requiere un ligero razonamiento, aunque en ocasiones, ninguno. Ejemplos


-B
QSPQPTJDJÓO
%PT
QVOUPT
EFUFSNJOBO
VOB
SFDUB
FT
DPSPMBSJP
EFM
QPTUVMBEP
1PS
EPT
QVOUPT
dados puede hacerse pasar una recta y sólo una". 2. La proposición "Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90q" es corolario del teorema "La suma de los águlos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (180q)". 
-B
QSPQPTJDJÓO
5PEPT
MPT
ÃOHVMPT
SFDUPT
TPO
JHVBMFT
FT
DPSPMBSJP
EFM
QPTUVMBEP
5PEPT
MPT
ÃOHVMPT
de lados colineales son iguales".

Lema Es una proposición que hay que demostrar antes de establecer el teorema, es decir, es como un teorema preliminar a otro que se considera más importante. Ejemplo

"Un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes" es el lema previo de la demostración del volumen de una pirámide.

Teorema recíproco El recíproco de un teorema es otro en el que la hipótesis se convierte en tesis y la tesis en hipótesis. Ejemplos

1. Teorema directo. "La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (180q)". Teorema recíproco. 4J
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EF
VO
QPMÎHPOP
FT
JHVBM
B
EPT
SFDUPT
(180q), el polígono se denomina triángulo". Hipótesis del teorema recíproco. 1PMÎHPOP
DVZPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
TVNFO
EPT
SFDUPT
q). Tesis del teorema recíproco. "El polígono es un triángulo".


/P
TJFNQSF
VO
UFPSFNB
SFDÎQSPDP
FT
WFSEBEFSP
DVBOEP
MP
FT
MB
IJQÓUFTJT
Z
MB
UFTJT
TPO
FRVJWBMFOUFT


20

UNIDAD Introducción a la geometría euclidiana

1

2. Teorema directo. 4J
VO
OÙNFSP
EJWJEF
PUSPT
EPT
UBNCJÊO
EJWJEF
B
TV
TVNB Teorema recíproco. 4J
VO
OÙNFSP
EJWJEF
MB
TVNB
EF
EPT
OÙNFSPT
UBNCJÊO
EJWJEF
B
PUSPT 4 + 6 10 Explicación. 4J
FM
OÙNFSP

EJWJEF
BM

Z
BM

Z
UBNCJÊO
EJWJEF
MB
TVNB
= = 5; pero no 2 2 es WFSEBEFSP
RVF
QPS
EJWJEJS
B

EJWJEF
B

Z

DVZB
TVNB
UBNCJÊO
FT
 Es decir, el teorema recíproco no es cierto en general, aunque pueda serlo en algunos casos.

Demostración de teoremas -B
EFNPTUSBDJÓO
HFPNÊUSJDB
EF
VO
UFPSFNB
DPOTJTUF
FO
FM
SB[POBNJFOUP
EFEVDUJWP
FO
FM
RVF
B
QBSUJS
de ciertas proposiciones (hipótesis) se llega a probar una conclusión (tesis). En los distintos pasos de la EFNPTUSBDJÓO
TF
FODBEFOBO
DPODFQUPT
DPOPDJEPT
Z
WFSEBEFSPT
DPNP
EFàOJDJPOFT
UFPSFNBT
BYJPNBT
postulados y propiedades. Los elementos o partes de la demostración son: a) La figura. Es la ilustración gráfica de la proposición que se desea demostrar; debe contener los USB[PT
GVOEBNFOUBMFT
Z
MPT
BVYJMJBSFT b) La hipótesis. Es lo que sin discusión se acepta como verdadero y que sirve de punto de partida al razonamiento. c) La tesis. Es lo que sostiene como verdadero. d) El razonamiento. Es la serie de afirmaciones y razones que ligan a la hipótesis con la tesis, y permite deducir la tesis de la hipótesis. e) La conclusión. Es la tesis, una vez que ya ha sido demostrada por medio del razonamiento. Ejemplo

Teorema: %PT
ÃOHVMPT
PQVFTUPT
QPS
FM
WÊSUJDF
TPO
JHVBMFT x b

a

Hipótesis

Tesis

Los ángulos a y b son PQVFTUPT
QPS
FM
WÊSUJDF

+a

+b

Razonamiento

Conclusión

Fundamentos o reglas de inferencia

1. +a + +x = 180°

+a = +b

1PS
TFS
BEZBDFOUFT
TVQMFNFOUBSJPT 1PS
MB
NJTNB
SB[ÓO
BOUFSJPS

2. +b + +x = 180° 3.

+a + +x = +b + +x

4.

+a = +b

4J
MPT
TFHVOEPT
NJFNCSPT
EF
EPT
JHVBMEBEFT
TPO
JHVBMFT
MPT
QSJNFSPT
NJFNCSPT
UBNCJÊO
MP
TPO 4J
B
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
TF
SFTUBO
DBOUJEBEFT
iguales, los resultados son iguales.

21

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 7 I. Constesta las siguientes preguntas.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares




M
y2VÊ
FT
VO
UFPSFNB 
y2VÊ
FMFNFOUPT
TF
EJTUJOHVFO
FO
FM
FOVODJBEP
EF
VO
UFPSFNB 3. Escribe cinco teoremas.





y2VÊ
FT
VO
DPSPMBSJP





&TDSJCF
DJODP
FKFNQMPT
EF
DPSPMBSJP





y2VÊ
FT
VO
MFNB





&TDSJCF
FKFNQMPT
EF
MFNB





y"
RVÊ
TF
MF
MMBNB
UFPSFNB
SFDÎQSPDP





&YQMJDB
VO
FKFNQMP
EF
UFPSFNB
SFDÎQSPDP 10. ¿Cuáles son los elementos requeridos en la demostración de un teorema? II. Escribe en el paréntesis de la izquierda el número que corresponde a la respuesta correcta.

( ) "Las diagonales de un rectángulo se cortan en su punto medio" es un:

1. La conclusión




%PT
QVOUPT
EFUFSNJOBO
VOB
SFDUB
FT
VO

2. La figura




1SPQPSDJÓO
RVF
TF
EFNVFTUSB
BOUFT
EF
FTUBCMFDFS
FM
UFPSFNB







5FPSFNB
FO
RVF
MB
IJQÓUFTJT
TF
DPOWJFSUF
FO
UFTJT
Z
MB
UFTJT
FO
IJQÓUFTJT


%
FNPTUSBDJÓO
de teoremas 4. Corolario




*MVTUSBDJÓO
HSÃàDB
EF
MB
QSPQPTJDJÓO
RVF
TF
EFTFB
EFNPTUSBS





)JQÓUFTJT



4
FSJF
EF
BàSNBDJPOFT
Z
SB[POFT
RVF
MJHBO
B
MB
IJQÓUFTJT
DPO
MB
UFTJT





"YJPNB 7. Lema

( ) Es lo que se sostiene como cierto o verdadero al demostrar un teorema.


4JSWF
EF
QVOUP
EF
QBSUJEB
BM
SB[POBNJFOUP ( ) Resultado de la demostración de un teorema por medio del razonamiento.

$
POKVOUP
EF
SB[POBNJFOUPT
EFEVDUJWPT
FO
FM
RVF
B
QBSUJS
EF
DJFSUBT
proposiciones se llega a probar una conclusión.

8. La tesis



5FPSFNB



5
FPSFNB
recíproco 1l. El razonamiento

III. En equipo de dos personas, demuestren los siguientes teoremas.

1. En todo triángulo los ángulos interiores suman 180q



%PT
ÃOHVMPT
BEZBDFOUFT
TPO
TVQMFNFOUBSJPT 3. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. 4. Cuando dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales.





-B
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
FYUFSJPSFT
EF
VO
USJÃOHVMP
FT
EF
DVBUSP
SFDUPT

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 22

Autoevaluación Realiza lo que se indica en cada caso.

1. Escribe un argumento silogista e indica cuál es cada una de sus proposiciones.

2. ¿Cuál es la diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo?

3. &OVODJB
MB
EJGFSFODJB
FOUSF
VO
DVFSQP
GÎTJDP
Z
VO
DVFSQP
HFPNÊUSJDP

23

1

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

4. &O
MB
TJHVJFOUF
QSPQPTJDJÓO
FTDSJCF
TJ
FT
BYJPNB
QPTUVMBEP
DPSPMBSJP
MFNB
P
UFPSFNB


5PEPT
MPT
ÃOHVMPT
SFDUPT
TPO
JHVBMFT
FOUSF
TÎ

5. %FNVFTUSB
FM
TJHVJFOUF
UFPSFNB La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

24

UN

IDAD

Rectas

2

Evaluación diagnóstica Realiza lo que se indica en cada caso. 1. ¿Cuántos y cuáles son los tipos de línea?

2. ¿Cuál es la diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo?

3. ¿Qué posiciones puede ocupar una recta con relación al plano?

4. ¿Cuál es la diferencia entre dos rectas perpendiculares y dos rectas oblicuas?

5. ¿Cuáles son los caracteres de igualdad de los segmentos?

26

Rectas Propósito de la unidad

Competencias disciplinares

Que el estudiante: r
$POP[DB
BMHVOPT
DPOKVOUPT
EF
QVOUPT r
*OUFSQSFUF
MB
QPTJDJÓO
SFMBUJWB
EF
EPT
SFDUBT
en el plano. r
%Ê
MB
EFàOJDJÓO
EF
SFDUBT
QFSQFOEJDVMBSFT
paralelas y oblicuas. r
%JTUJOHB
MB
OPUBDJÓO
EF
TFHNFOUP
SBZP
Z
recta. r
$POP[DB
DÓNP
NFEJS
TFHNFOUPT
SFDUJMÎOFPT
y congruencia de segmentos. r
3FBMJDF
PQFSBDJPOFT
DPO
TFHNFOUPT

1. Construye e interpreta modelos deterministas mediante la aplicación de problemas algebraicos y geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 
1SPQPOF
GPSNVMB
EFàOF
Z
SFTVFMWF
EJGFSFOUFT
UJQPT
EF
QSPCMFNBT
NBUFNÃUJDPT
aplicando diferentes enfoques. 4. Argumenta la solución obtenida de un proCMFNB
DPO
NÊUPEPT
OVNÊSJDPT
HSÃàDPT
Z
BOBMÎUJDPT
NFEJBOUF
MFOHVBKF
WFSCBM
Z
NBtemático. 
$VBOUJàDB
SFQSFTFOUB
Z
DPOUSBTUB
FYQFSJmental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. 
*OUFSQSFUB
UBCMBT
HSÃàDPT
NBQBT
UFYUPT
DPO
TÎNCPMPT
NBUFNÃUJDPT
Z
DJFOUÎàDPT

Contenidos que aborda la unidad Contenidos conceptuales

Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales

r
r
r
r
r
r
r


"MHVOPT
DPOKVOUPT
EF
QVOUPT 1PTJDJÓO
SFMBUJWB
EF
EPT
SFDUBT
FO
FM
QMBOP 3FDUBT
QFSQFOEJDVMBSFT
QBSBMFMBT
Z
PCMJDVBT %JTUJODJÓO
Z
OPUBDJÓO
EF
TFHNFOUP
SBZP
Z
SFDUB .FEJEB
EF
MPT
TFHNFOUPT
SFDUJMÎOFPT $POHSVFODJB
EF
TFHNFOUPT 0QFSBDJPOFT
DPO
TFHNFOUPT

r
*EFOUJàDBSÃ
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB
DPNP
QVOUP
MÎOFB
Z
QMBOP r
%JTUJOHVJSÃ
FOUSF
TFHNFOUP
SBZP
Z
SFDUB r
3FTPMWFSÃ
QSPCMFNBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
EF
TFHNFOUPT
SFDUJMÎOFPT r
&YQSFTBSÃ
JEFBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB r
"QSFOEFSÃ
B
WBMPSBS
FM
USBCBKP
EF
TVT
DPNQBÒFSPT
BM
SFTPMWFS
QSPCMFNBT r
"SHVNFOUBSÃ
NFEJBOUF
MPT
QSPDFTPT
EFEVDUJWP
F
JOEVDUJWP
MPT
BYJPNBT
Z
QPT tulados. r
$POUSJCVJSÃ
DPO
JEFBT
EF
NBOFSB
DSÎUJDB
Z
BDDJPOFT
SFTQPOTBCMFT
B
MB
IPSB
EF
USBCBKBS
FO
FRVJQP

27

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Algunos conjuntos de puntos Concepto de punto 1VFTUP
RVF
FM
QVOUP
FT
FM
DPODFQUP
NÃT
GVOEBNFOUBM
EF
MB
HFPNFUSÎB
DMÃTJDB
OP
FT
QPTJCMF
EBS
VOB
EFàOJDJÓO
EF
ÊTUF
1PS
FM
DPOUSBSJP
FT
B
QBSUJS
EFM
DPODFQUP
EF
QVOUP
RVF
PUSBT
àHVSBT
QVFEFO
TFS
EFàOJEBT
como es el caso de la línea. Por eso decimos que el punto es un primitivo de la geometría euclidiana. /P
PCTUBOUF
QBSB
GJOFT
EJEÃDUJDPT
QPEFNPT
PGSFDFS
VOB
EFTDSJQDJÓO
JOUVJUJWB
EFM
QVOUP
1PS
FKFNQMP
es razonable postular que el punto es la figura geométrica más elemental puesto que carece de dimensiones Z
QPS
UBOUP
EF
MPOHJUVE
ÃSFB
Z
WPMVNFO
5BNCJÊO
FT
DPSSFDUP
TPTUFOFS
RVF
FM
QVOUP
JOEJDB
VOB
QPTJDJÓO
en el espacio dentro de un sistema de coordenadas dado. -B
SFQSFTFOUBDJÓO
EF
QVOUPT
HFPNÊUSJDPT
TF
DBSBDUFSJ[B
QPS
MB
IVFMMB
RVF
EFKB
VO
MÃQJ[
CJFO
BGJMBEP
FO
el papel; su notación se efectúa por letras mayúsculas. Ejemplos

⋅G

B

Punto G

Punto B

Línea -B
MÎOFB
UBNCJÊO
VO
DPODFQUP
GVOEBNFOUBM
TF
EFàOF
DPNP
VOB
TVDFTJÓO
DPOUJOVB
EF
QVOUPT
FO
VO
NJTNP
QMBOP
P
EJNFOTJÓO
&T
QPTJCMF
EJTUJOHVJS
FOUSF
EPT
UJQPT
EF
MÎOFB
MB
MÎOFB
SFDUB
Z
MB
MÎOFB
DVSWB Línea recta. &T
VOB
TVDFTJÓO
JOGJOJUB
EF
QVOUPT
RVF
TF
QSPMPOHB
EF
NBOFSB
JOEFGJOJEB
FO
BNCPT
TFOUJEPT
por lo que podemos decir que no comienza ni termina. Propiedades de la recta





-B
EJTUBODJB
NÃT
DPSUB
FOUSF
EPT
QVOUPT
FT
MB
SFDUB

2.

Por dos puntos pasa una recta y solamente una.







1PS
VO
QVOUP
QVFEFO
QBTBS
VOB
JOàOJEBE
EF
SFDUBT







%PT
SFDUBT
OP
QVFEFO
UFOFS
NÃT
RVF
VO
TPMP
QVOUP
DPNÙO

Notación. -B
SFDUB
QPS
MP
HFOFSBM
TF
SFQSFTFOUB
DPO
FM
TÎNCPMP
lencima de las literales de los puntos  ( AB); también se representa por rayas que se denotan con letras minúsculas. A

B m

28

UNIDAD Rectas

2

Línea curva. &T
MB
RVF
FTUÃ
HFOFSBEB
QPS
VOB
DPOUJOVJEBE
EF
QVOUPT
RVF
DBNCJBO
EF
EJSFDDJÓO
GSFDVFOtemente; también se dice que es aquella que no tiene una sola parte recta.

Línea quebrada o poligonal. &TUÃ
DPNQVFTUB
EF
TFHNFOUPT
DPOUJOVPT
RVF
TJHVFO
EJGFSFOUFT
EJSFDDJPOFT G

D A

B H C E

F

Curva simple cerrada. &T
BRVFMMB
RVF
BM
USB[BSTF
FNQJF[B
Z
UFSNJOB
FO
FM
NJTNP
QVOUP
&KFNQMPT
EF
ella son la elipse y circuferencia.

Poligonal simple cerrada. &T
BRVFMMB
RVF
BM
USB[BSTF
DPO
MÎOFBT
RVFCSBEBT
FNQJF[B
Z
UFSNJOB
FO
FM
NJTNP
punto. Los polígonos regulares están formados por este tipo de línea. C

C

L M

B D B

A

A

K

E N

Línea mixta. &T
BRVFMMB
RVF
FTUÃ
GPSNBEB
QPS
VOB
QBSUF
SFDUB
Z
PUSB
QBSUF
DVSWB

A C

B

Plano. 6OB
TVQFSàDJF
DPNP
VOB
QBSFE
FM
QJTP
MB
DVCJFSUB
EF
VOB
NFTB
MPT
FTQFKPT
GPSNBO
VO
QMBOP
+VOUP
DPO
MB
SFDUB
Z
FM
QVOUP
FT
VOP
EF
MPT
FMFNFOUPT
GVOEBNFOUBMFT
EF
MB
HFPNFUSÎB
1VFEF
EFàOJSTF
DPNP
VO
PCKFUP
HFPNÊUSJDP
EF
EPT
EJNFOTJPOFT
RVF
DPOUJFOF
JOàOJUPT
QVOUPT
Z
SFDUBT
&M
QMBOP
OP
UJFOF
MÎNJUFT
QBSB
TV
FYUFOTJÓO
BVORVF
QBSB
SFQSFTFOUBSMP
TF
IBDF
B
USBWÊT
EF
VO
QBSBMFMPHSBNP
RVF
NVFTUSF
su posición; con frecuencia se emplean letras minúsculas para designar un plano.

29

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Ejemplos

y

x Plano x

z

Plano y

Plano z

$POTJEFSBOEP
MPT
DPODFQUPT
EF
QVOUP
MÎOFB
Z
QMBOP
FTUPT
ÙMUJNPT
OPT
QFSNJUFO
FNQMFBS
VOB
OPNFODMBUVSB
BQSPQJBEB
QBSB
TV
SFMBDJÓO
QPS
FKFNQMP
un punto P permanece a una recta ℓ
UBNCJÊO
ℓ pasa por P
&TUBT
TJUVBDJPOFT
OPT
QFSNJUFO
GPSNVMBS
MBT
TJHVJFOUFT
EFGJOJDJPOFT Puntos colineales. Son aquellos que están contenidos sobre una misma línea recta. Puntos coplanares. Son aquellos que están ubicados sobre un mismo plano. D

Son colineales A y B; también B y C
FUDÊUFSB E

Son coplanares A
B y D; también B
C y D, etcétera.

C A B

%PT
QSPQJFEBEFT
JNQPSUBOUFT
EF
MPT
QMBOPT
TPO a) Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno. B

x

A

C

b
%BEPT
EPT
QVOUPT
DVBMFTRVJFSB
EF
VO
QMBOP
MB
SFDUB
RVF
MPT
VOF
FTUÃ
DPOUFOJEB
FO
FM
QMBOP  B A

x

-B
HFPNFUSÎB
QMBOB
RVF
FTUVEJB
MBT
àHVSBT
DVZBT
QBSUFT
FTUÃO
UPEBT
FO
VO
NJTNP
QMBOP
TF
EJGFSFODJB
EF
MB
HFPNFUSÎB
EFM
FTQBDJP
RVF
FTUVEJB
MBT
QSPQJFEBEFT
EF
MBT
àHVSBT
DVZBT
QBSUFT
OP
FTUÃO
UPEBT
FO
VO
mismo plano.

30

UNIDAD Rectas

2

Semiplano. 4F
EFàOF
DPNP
DBEB
QBSUF
SFTVMUBOUF
EF
USB[BS
VOB
SFDUB
RVF
EJWJEF
VO
QMBOP P

C

D

 PQ es una recta; AP y QD son semiplanos. x A

Q

B

Postulado de la división del plano. 5PEP
QMBOP
EJWJEF
FM
FTQBDJP
FO
EPT
SFHJPOFT
TJUVBEBT
B
VOB
Z
PUSB
QBSUF
EFM
QMBOP
EF
UBM
NBOFSB
RVF
OP
QVFEF
QBTBSTF
EF
VOB
B
PUSB
TJO
BUSBWFTBSMP %PT
QVOUPT
EF
VO
NJTNP
TFNJQMBOP
EFUFSNJOBO
VO
TFHNFOUP
RVF
OP
DPSUB
B
MB
SFDUB
RVF
EB
PSJHFO
B
MPT
EPT
TFNJQMBOPT
Z
EPT
QVOUPT
EF
EJTUJOUP
TFNJQMBOP
EFUFSNJOBO
VO
TFHNFOUP
RVF
DPSUB
B
MB
SFDUB Intersección de planos. 4J
EPT
QMBOPT
UJFOFO
VO
QVOUP
DPNÙO
UJFOFO
VOB
SFDUB
FO
DPNÙO
FT
EFDJS
TJ
EPT
QMBOPT
TF
DPSUBO
TV
JOUFSTFDDJÓO
FT
VOB
SFDUB

N Q

K

C

D

 PQ es la recta de intersección de los dos planos ABCD y KLMN.

B

A M

P L

EJERCICIO 8 I. En equipo, respondan las siguientes preguntas y en plenaria socialicen sus respuestas. Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares

1. ¿Cuál es tu concepto intuitivo de punto?





y$ÓNP
TF
EFàOF
MB
MÎOFB





%FàOF
Z
DJUB
FKFNQMPT
EF
MÎOFB
SFDUB





&TDSJCF
USFT
QSPQJFEBEFT
DBSBDUFSÎTUJDBT
EF
MB
SFDUB





%FàOF
Z
DJUB
FKFNQMPT
EF
MÎOFB
DVSWB 7. ¿Qué es una línea quebrada o poligonal? 8. ¿Qué es una curva simple cerrada? 9. ¿A qué se le llama línea poligonal simple cerrada?



%FàOF
Z
DJUB
FKFNQMPT
EF
MÎOFB
NJYUB

y$ÓNP
TF
EFàOF
FM
QMBOP

31

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA



&YQMJDB
MBT
EPT
QSPQJFEBEFT
NÃT
JNQPSUBOUFT
EF
MPT
QMBOPT 14. ¿Qué es un semiplano?

%FTDSJCF
MB
JOUFSTFDDJÓO
EF
QMBOPT II. Resuelve los siguientes problemas gráficos.

1. ¿Cómo se representa gráficamente un punto y cuál es su notación?

2. Representa gráficamente una línea recta y escribe cuál es su notación.





&O
FM
FTQBDJP
SFQSFTFOUB
HSÃàDBNFOUF
MP
RVF
TF
JOEJDB a) Una línea curva.

b) Una línea quebrada o poligonal.

c) Una línea simple cerrada y poligonal simple cerrada.

d
6OB
MÎOFB
NJYUB

e
6O
QMBOP
FO
FM
FKF
III.

f ) Los puntos colineales y coplanares.

32

UNIDAD Rectas

2

g) Un semiplano.

h) La intersección de dos planos.

III. Identifica y anota el nombre de las siguientes figuras.

X

Y a

D

E

B

F

C

H

A

G

E D

A C a B

y x z a

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 33

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Posición relativa de dos rectas en el plano Posición relativa de una recta y un plano Una recta con relación a un plano puede ocupar alguna de las siguientes posiciones: 1. La recta está contenida en el plano; se dice que el plano pasa por la recta (la recta y el plano son coplanares). 2. La recta corta (atraviesa) el plano al cual es secante
&O
FTUF
DBTP
MB
SFDUB
Z
FM
QMBOP
UJFOFO
VO
QVOUP
FO
DPNÙO
TJ
VOB
SFDUB
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
VO
QMBOP
FM
QMBOP
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
MB
SFDUB
QPS
MP
UBOUP
TPO
QFSQFOEJDVMBSFT
FOUSF
TÎ
Recta oblicua a un plano es toda recta que no es perpendicular ni paralela al plano; la intersección de una secante con un plano se denomina pie de la secante. 3. La recta y el plano son paralelos cuando no tienen ningún punto en común. Representación gráfica de las posiciones relativas de una recta y un plano m

m

m

O

x

x

x

(1)

(2)

(3)

Posición relativa de dos rectas y un plano %PT
SFDUBT
DPO
SFMBDJÓO
B
VO
QMBOP
QVFEFO
PDVQBS
MBT
TJHVJFOUFT
QPTJDJPOFT 
%PT
SFDUBT
DPQMBOBSFT
TPO
concurrentes
DVBOEP
UJFOFO
EPT
QVOUPT
DPNVOFT
FT
EFDJS
TJ
FTUÃO
FO
VO
mismo plano y se cortan. 
%PT
SFDUBT
DPQMBOBSFT
TPO
paralelas cuando están en un mismo plano y no tienen ningún punto en DPNÙO
FT
EFDJS
OP
TF
DPSUBO 
%PT
SFDUBT
DPQMBOBSFT
TPO
secantes cuando tienen un punto común en el cual se intersecan. Representación gráfica de las posiciones relativas de dos rectas y un plano B

n

m

m

A

O

n x

m (1)

(2)

34

n

x (3)

UNIDAD Rectas

Posiciones relativas de dos planos %PT
QMBOPT
FO
FM
FTQBDJP
QVFEFO
TFS
TFDBOUFT
Z
QBSBMFMPT a) Son secantes cuando tienen una recta común. b) Son paralelas cuando no tienen ningún punto en común. a)

b)

x

x

y

y

EJERCICIO 9

I. En equipo, respondan en su cuaderno las siguientes preguntas.

Escribe los números correspondientes





&YQMJDB
MBT
QPTJDJPOFT
RVF
VOB
SFDUB
QVFEF
PDVQBS
DPO
SFMBDJÓO
B
VO
QMBOP

Competencias genéricas





&YQMJDB
MBT
QPTJDJPOFT
RVF
EPT
SFDUBT
QVFEFO
PDVQBS
DPO
SFMBDJÓO
B
VO
QMBOP





&YQMJDB
MBT
QPTJDJPOFT
EF
EPT
QMBOPT
FO
FM
FTQBDJP

Competencias disciplinares

II. Representa gráficamente y socializa tus respuestas.

1. Las posiciones relativas de una recta y un plano.

2. Las posiciones relativas de dos rectas y un plano.

3. Las posiciones relativas de dos planos en el espacio.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 35

2

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Rectas perpendiculares, paralelas y oblicuas Definición de rectas perpendiculares %PT
SFDUBT
TPO
QFSQFOEJDVMBSFT
DVBOEP
BM
DPSUBSTF
GPSNBO
DVBUSP
ÃOHVMPT
JHVBMFT
ÃOHVMPT
BEZBDFOUFT
iguales). A

+a = +b = +c = +d = 90° b

+a y +b son adyacentes

a

+c y +d son adyacentes

B c

∴

xx ⊥ yy

+a y +d son adyacentes

d

+b y +c son adyacentes &M
TÎNCPMP
EF
MB
QFSQFOEJDVMBS
FT
A.

Carácter recíproco de la perpendicularidad

        4J
VOB
SFDUB
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
PUSB
ÊTUB
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
MB
QSJNFSB
&T
EFDJS
xx ⊥ yy y yy ⊥ xx . Cuando dos rectas se cortan determinando cuatro ángulos se dice que las dos rectas son perpendiculares entre sí. Mediatriz. Se entiende por mediatriz o perpendicular bisectriz de un segmento a la perpendicular trazada a EJDIP
TFHNFOUP
QPS
TV
QVOUP
NFEJP y

Demostración yz es la mediatriz del segmento AB
z es el punto medio del segmento AB . A

∴

yz ⊥ AB

B

z

Teorema. 5PEP
QVOUP
EF
MB
NFEJBUSJ[
EF
VO
TFHNFOUP
FRVJEJTUB
EF
MPT
FYUSFNPT
EF
FTUF
TFHNFOUP Demostración

y P

P es un punto de la mediatriz yz. z es el punto medio del segmento AB.

A

z

B

Az = zB ∴ P equidista de MPT
FYUSFNPT
A y B. AP = BP (oblicuas)

36

∴

yz ⊥ AB

UNIDAD Rectas

2

Recíproco. &T
UPEP
QVOUP
FRVJEJTUBOUF
EF
MPT
FYUSFNPT
EF
VO
TFHNFOUP
P
VO
QVOUP
EF
MB
NFEJBUSJ[
EF
ÊTUF

  Las rectas AP y BP
TPO
JHVBMFT
TVT
QJFT
FRVJEJTUBO
EFM
QJF
EF
MB
QFSQFOEJDVMBS
yz (mediatriz) y P es un QVOUP
EF
EJDIB
NFEJBUSJ[
NJTNB
àHVSB
BOUFSJPS  Postulado. 1PS
VO
QVOUP
GVFSB
EF
VOB
SFDUB
FO
VO
QMBOP
QBTB
VOB
QFSQFOEJDVMBS
B
EJDIB
SFDUB
Z
TÓMP
VOB C

G E

P

Demostración

B

A D

F

 AB y P (un punto fuera de ella). Sólo una de todas las rectas  que pasan por P y cortan a la recta AB
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
FMMB
 FT
EFDJS
CD ⊥ AB.

H

Teorema. 4J
EFTEF
VO
QVOUP
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
USB[BNPT
VOB
QFSQFOEJDVMBS
Z
WBSJBT
PCMJDVBT
B
EJDIB
SFDUB
se observa que: a) La perpendicular es menor que cualquier oblicua. b) Las oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son iguales. c
%F
EPT
PCMJDVBT
MB
RVF
NÃT
TF
BMFKB
EFM
QJF
EF
MB
QFSQFOEJDVMBS
FT
NBZPS Demostración Sea PX ⊥ AB; PC , PD, PE son oblicuas.

P

a) PX < PC = PD < PE b) XC = XD ∴ PC = PD c) PE > PD A

E

D X

P′

C

B

$POTUSVDDJÓO
BVYJMJBS

 %PCMFNPT
MB
àHVSB
QPS
MB
SFDUB
AB (postulado del movimiento). &M
QVOUP
P ocupará la posición Pc de manera que: PX = P ′X y P ′E = PE P ′D = PD P ′C = PC

Recíproco. 4J
EFTEF
VO
QVOUP
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
TF
USB[BO
B
ÊTUB
VOB
QFSQFOEJDVMBS
Z
WBSJBT
PCMJDVBT
TF
observa que: a

&M
NFOPS
EF
UPEPT
MPT
TFHNFOUPT
DPNQSFOEJEPT
FOUSF
FM
QVOUP
Z
MB
SFDUB
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
ÊTUB b

4J
EPT
TFHNFOUPT
PCMJDVPT
TPO
JHVBMFT
TVT
QJFT
FRVJEJTUBO
EFM
QJF
EF
MB
QFSQFOEJDVMBS

37

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

c
4J
EPT
TFHNFOUPT
PCMJDVPT
TPO
EFTJHVBMFT
FM
QJF
EFM
TFHNFOUP
NBZPS
EJTUB
NÃT
EFM
QJF
EF
MB
perpendicular que el pie del segmento menor.

Distancia de un punto a una recta &T
MB
MPOHJUVE
EF
MB
QFSQFOEJDVMBS
USB[BEB
EFTEF
FM
QVOUP
B
MB
SFDUB
FTUF
TFHNFOUP
UJFOF
MB
QSPQJFEBE
EF
ser único y el de menor longitud posible. P

 AB es la recta; P es el punto desde el cual  se traza la A a la recta AB.

d es la longitud de un punto P a una recta AB .

d

A

X

B

Definición de rectas oblicuas %PT
SFDUBT
TPO
PCMJDVBT
DVBOEP
BM
DPSUBSTF
OP
TPO
QFSQFOEJDVMBSFT
FT
EFDJS
OP
GPSNBO
DVBUSP
ÃOHVMPT
iguales (ángulos adyacentes desiguales). a = c Por ese ángulo opuesto.

b

b = d Por el vértice. c

a

Su igualdad es evidente porque: a + b = 180°

d

a + d = 180°

+a < +b

b + c = 180°

+c < +d

b + a = 180°

∴

b= d

∴

a= c

Corolarios a
%FTEF
VO
QVOUP
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
TÓMP
TF
QVFEFO
USB[BS
EPT
PCMJDVBT
JHVBMFT b) Las oblicuas iguales forman ángulos iguales con la perpendicular y con la recta. P

PX ⊥ AB Rectas perpendiculares entre sí. β′ α′ A

D

PC = PD Rectas oblicuas iguales.

β

XC = XD Segmentos equidistantes.

α X

- PCX

B

C

- PDX.

38

Los ángulos α y α′ al igual que los ángulos β y β ′
QPS
QFSUFOFDFS
B
USJÃOHVMPT
JHVBMFT

UNIDAD Rectas

2

 5BNCJÊO
B
MPT
QVOUPT
C y D que intersecan a la recta AB se les llama pies de las oblicuas; al punto X se le denomina pie de la perpendicular.

Definición de rectas paralelas %PT
P
NÃT
SFDUBT
DPQMBOBSFT
FT
EFDJS
TJUVBEBT
FO
VO
NJTNP
QMBOP
TPO
paralelas cuando no llegan a UFOFS
OJOHÙO
QVOUP
FO
DPNÙO
QPS
NÃT
RVF
TF
MFT
QSPMPOHVF
UBNCJÊO
TF
EJDF
RVF
EPT
SFDUBT
TPO
QBSBMFMBT
DVBOEP
TPO
FRVJEJTUBOUFT
FT
EFDJS
DVBOEP
UPEPT
MPT
QVOUPT
EF
VOB
EF
MBT
SFDUBT
FTUÃO
B
JHVBM
EJTUBODJB
de los puntos de la otra recta. Se utiliza el símbolo ||
QPS
MB
QBMBCSB
QBSBMFMB
P
MB
FYQSFTJÓO
es paralela a. A

B

P

Q

C

D

R

S

T

  AB  CD

   PQ  RS  TU

U

Carácter recíproco del paralelismo. 4J
VOB
SFDUB
FT
QBSBMFMB
B
PUSB
ÊTUB
B
TV
WF[
FT
QBSBMFMB
B
MB
QSJNFSB Carácter idéntico del paralelismo. 5PEB
SFDUB
FT
QBSBMFMB
B
TÎ
NJTNB Postulado de Euclides. 1PS
VO
QVOUP
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
TÓMP
TF
QVFEF
USB[BS
VOB
QBSBMFMB
B
FTUB
SFDUB
La discusión de este postulado dio origen a la geometría no euclidiana. Corolario primero. %PT
SFDUBT
QBSBMFMBT
B
VOB
UFSDFSB
TPO
QBSBMFMBT
FOUSF
TÎ

E

Demostración

F P

C

D

A

B

(Carácter transitivo del paralelismo)     Si CD y EF no fueran AB  CD   paralelas se cortarían AB  EF en un punto P.   ∴ CD  EF

Corolario segundo. 4J
EPT
SFDUBT
TPO
QBSBMFMBT
UPEB
SFDUB
RVF
DPSUB
VOB
EF
FMMBT
DPSUB
UBNCJÊO
MB
PUSB

Q P

A

B

R C

D

39

Demostración   AB  CD   RQ corta a AB en P   ∴ RQ también corta a CD

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

  Si RQ no dos corta a CD 
FOUPODFT
TFSÎB
QBSBMFMB
B
FMMB
MP
DVBM
FT
JNQPTJCMF
ZB
RVF
UFOESÎBNPT
QPS
P  paralelas a CD; ∴ RQ también corta a CD . Corolario tercero. 4J
EPT
SFDUBT
TPO
QBSBMFMBT
UPEB
QFSQFOEJDVMBS
B
VOB
EF
FMMBT
FT
QFSQFOEJDVMBS
B
MB
PUSB M

Demostración A

B

  AB  CD  MN ⊥ AB

Q

C R

 ∴ MN ⊥ CD

D N

      Si MN ⊥ AB también MN ⊥ CD : si P es la intersección de MN con CD y no son perpendiculares        FOUSF
TÎ
QPS
P se traza RQ ⊥ MN y RQ  AB, es EFDJS
QPS
P pasarán dos paralelas a AB, las CD y RQ;   DPNP
FTUP
FT
JNQPTJCMF
∴ MN ⊥ CD. Teorema. %PT
SFDUBT
QFSQFOEJDVMBSFT
B
VOB
UFSDFSB
TPO
QBSBMFMBT
FOUSF
TÎ A

C

    AB ⊥ MN y CD ⊥ MN   ∴ AB  CD

P

M

N B

D

  Suponiendo que AB no es paralela a CD
UFOESÎBO
VO
QVOUP
DPNÙO
QPS
FKFNQMP
P
Z
EFTEF
FTUF
QVOUP
   pasarían dos perpendiculares a MN
MP
DVBM
SFTVMUB
JNQPTJCMF
∴ AB  CD.  Corolario. 1PS
VO
QVOUP
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
QBTB
VOB
QBSBMFMB
B
EJDIB
SFDUB
TFB
P
VO
QVOUP
FYUFSJPS
Z
AB     VOB
SFDUB
EBEB
USB[BNPT
QPS
P una recta MN ⊥ AB. Por el mismo punto se traza la recta CD ⊥ MN ; por   FM
UFPSFNB
BOUFSJPS
SFTVMUB
RVF
AB ⊥ CD. M P

C

A

D

B

N

40

UNIDAD Rectas

2

EJERCICIO 10 I. En equipo, respondan en su cuaderno las siguientes preguntas y en plenaria socialicen sus respuestas. Escribe los números correspondientes




2. ¿Qué es la mediatriz?

Competencias genéricas Competencias disciplinares


%FàOF
MBT
SFDUBT
QFSQFOEJDVMBSFT





&TDSJCF
Z
EFNVFTUSB
FM
UFPSFNB
EF
MB
NFEJBUSJ[





&YQMJDB
MB
EJTUBODJB
EF
VO
QVOUP
B
VOB
SFDUB 5. ¿Qué son las rectas oblicuas?





&TDSJCF
MPT
DPSPMBSJPT
EF
MBT
SFDUBT
PCMJDVBT





%FàOF
MBT
SFDUBT
QBSBMFMBT





&OVODJB
FM
QPTUVMBEP
EF
&VDMJEFT
QBSB
FM
QBSBMFMJTNP





&TDSJCF
Z
EFNVFTUSB
MPT
USFT
DPSPMBSJPT
EFM
QBSBMFMJTNP




%FNVFTUSB
FM
TJHVJFOUF
UFPSFNB
dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. II. Resuelve los siguientes problemas gráficos.





5SB[B
VOB
QFSQFOEJDVMBS
FO
FM
QVOUP
NFEJP
EF
VO
TFHNFOUP





5SB[B
VOB
QFSQFOEJDVMBS
FO
VO
QVOUP
DVBMRVJFSB
EF
VOB
SFDUB





5SB[B
VOB
QFSQFOEJDVMBS
FO
VO
FYUSFNP
EF
VO
TFHNFOUP
TJO
QSPMPOHBSMP

41

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

4. Por un punto P
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
EBEB
USB[B
B
ÊTUB
VOB
QBSBMFMB





5
SB[B
MB
NFEJBUSJ[
EF
VO
TFHNFOUP
EBEP
Z
MBT
PCMJDVBT
DVZPT
QJFT
FRVJEJTUFO
EFM
QJF
EF
MB
mediatriz.





5SB[B
EPT
SFDUBT
QBSBMFMBT
DPSUBEBT
PCMJDVBNFOUF
QPS
VOB
TFDBOUF

III. En grupo, con asesoría de su profesor realiza las siguientes demostraciones.





%FNVFTUSB
FM
DBSÃDUFS
SFDÎQSPDP
EF
MB
QFSQFOEJDVMBSJEBE





%
FNVFTUSB
FM
QPTUVMBEP
RVF
FTUBCMFDF
por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha recta y sólo una.

42

UNIDAD Rectas




2



4J
EFTEF
VO
QVOUP
FYUFSJPS
B
VOB
SFDUB
USB[BNPT
VOB
QFSQFOEJDVMBS
Z
WBSJBT
PCMJDVBT
B
EJDIB
SFDUB
se observa que: a) La perpendicular es menor que cualquier oblicua. b) Las oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son iguales. c

%F
EPT
PCMJDVBT
MB
RVF
NÃT
TF
BMFKB
EFM
QJF
EF
MB
QFSQFOEJDVMBS
FT
NBZPS





%FNVFTUSB
MBT
PCTFSWBDJPOFT anteriores del teorema.





%FNVFTUSB
FM
DBSÃDUFS
SFDÎQSPDP
JEÊOUJDP
Z
USBOTJUJWP
EFM
QBSBMFMJTNP





%FNVFTUSB
FM
DPSPMBSJP
por un punto exterior a una recta pasa una paralela a dicha recta.

IV. Realiza lo siguiente.

1. Representa los símbolos y notación de: a) Rectas perpendiculares. b) Rectas paralelas. c) Rectas oblicuas.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 43

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Distinción y notación de segmento, rayo y recta Recta Línea recta es aquella que tiene todos sus puntos en una misma dirección; la notación de recta está dada por dos de sus puntos y el símbolo l sobre ellos. Ejemplo

 Notación de la recta AB

B

A

5PEPT
MPT
QVOUPT
QFSUFOFDJFOUFT
B
VOB
SFDUB
QVFEFO
TFS
PSEFOBEPT
FO
EPT
GPSNBT
EJTUJOUBT
RVF
TF
conocen como ordenamientos naturales los cuales son opuestos. Ejemplo

A

B

C

D

E

ler. ordenamiento: A, B, C, D, E… 2do. ordenamiento: E D C
B
A

Semirrecta o rayo Al marcar en una recta cualquiera un punto O
MMBNBEP
origen
MB
SFDUB
RVFEB
EJWJEJEB
FO
EPT
QBSUFT
DBEB
parte forma una semirrecta o rayo. La notación de semirrecta o rayo está dada por dos de sus puntos (uno de ellos es el origen de la semirrecta o rayo) y el símbolo o sobre ellos. Ejemplo

P

O

 Semirrecta OQ con origen en O que contiene al punto Q y todos los que sigan ese ordenamiento natural.  Notación dela semirrecta OQ Semirrecta OP con origen en O que contiene al punto P y todos los que sigan ese ordenamiento natural.  Notación de la semirrecta OP

Q

Cualquier punto de una recta es origen de dos semirrectas opuestas; al mismo punto se le denomina frontera de las semirrectas
MB
VOJÓO
EF
EPT
TFNJSSFDUBT
EFUFSNJOB
VOB
SFDUB

Segmento Si en una recta cualquiera se marcan dos puntos X y Y
UPEPT
MPT
QVOUPT
DPNQSFOEJEPT
FOUSF
FMMPT
GPSNBO
el segmento de recta; la notación de segmento está dada por dos de sus puntos y el símbolo sobre ellos.

44

UNIDAD Rectas

2

Ejemplo Y

X

Notación del segmento XY

Los puntos límites X y Y se llaman extremos del segmento; el punto X se denomina extremo inicial u origen
NJFOUSBT
RVF
BM
QVOUP
Y se le denomina extremo final
4J
MPT
FYUSFNPT
EFM
TFHNFOUP
DPJODJEFO
éste es nulo
FT
EFDJS
TV
MPOHJUVE
P
EJTUBODJB
FT
DFSP

EJERCICIO 11 I. Escribe en el paréntesis de la izquierda el número que corresponda a la respuesta correcta, tomándolo de la lista de la derecha.




$POKVOUP
EF
QVOUPT
RVF
TF
FYUJFOEF
TJO
MÎNJUFT
FO
VOB
misma dirección.

1. Segmento nulo

(

2. Línea curva

) Cuando la recta se divide en dos partes cada parte recibe este nombre.




&T
FM
QVOUP
PSJHFO
EF
EPT
TFNJSSFDUBT (

) Lo forman todos los puntos comprendidos entre dos puntos que delimitan una recta.




4F
EFàOF
DPNP
MB
DPJODJEFODJB
EF
MPT
FYUSFNPT
EFM
segmento.

3. Línea recta 4. Frontera 5. Semirrecta o rayo 6. Segmento

II. Contesta las siguientes preguntas.





&TDSJCF
MPT
TÎNCPMPT
EF
OPUBDJÓO
P
SFQSFTFOUBDJÓO
EF a) Línea recta b) Semirrecta o rayo c) Segmento 2. ¿Cuáles son las formas en que los puntos pertenecientes a una recta pueden ser ordenados? 3. ¿Qué nombre tiene la unión de dos semirrectas? 4. ¿Cómo se llaman los puntos límite de un segmento?





&MBCPSB
MB
HSÃàDB
EF
VOB
MÎOFB
SFDUB
TFNJSSFDUB
P
SBZP
Z
VO
TFHNFOUP

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas.

45

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Medida de los segmentos rectilíneos Segmentos orientados (vectores) Un segmento cualquiera AB se dice orientado cuando los puntos A y B
DPOTFSWBO
DJFSUP
PSEFO
FT
EFDJS
 A es el punto inicial y B
FT
FM
QVOUP
àOBM
%JDIP
TFHNFOUP
SFDUJMÎOFP
orientado se indica por AB ; en el  caso contrario será BA. &O
UPEP
TFHNFOUP
SFDUJMÎOFP
PSJFOUBEP
FM
QVOUP
JOJDJBM
TF
MMBNB
origen
Z
FM
QVOUP
àOBM
TF
EFOPNJOB
extremo. La dirección FT
MB
RVF
UJFOF
MB
SFDUB
B
MB
RVF
QFSUFOFDF
BTÎ
DPNP
MB
EF
UPEBT
MBT
QBSBMFMBT
B
FMMB
La medida que depende de la unidad utilizada es conocida como intensidad o magnitud; el sentido EFQFOEF
EFM
QVOUP
RVF
TF
UJFOF
DPNP
PSJHFO
5PEP
TFHNFOUP
PSJFOUBEP
EFUFSNJOB
VO
WFDUPS
FYBDUBNFOUF
con sus mismas características.

Segmentos consecutivos %PT
TFHNFOUPT
PQ y QR de una misma recta se denominan consecutivos cuando tienen solamente un FYUSFNP
DPNÙO
Z
OJOHÙO
PUSP
QVOUP
FO
DPNÙO Ejemplo Q

P

Segmentos consecutivos PQ y QR

R

&YUSFNP
DPNÙO
Q

Medida de segmentos Para medir un segmento se establece una comparación entre el que se desea medir y otro que sirve de VOJEBE
QBSB
FTUF
àO
TF
FNQMFBO
MBT
VOJEBEFT
EF
MPOHJUVE
EFM
TJTUFNB
NÊUSJDP
EFDJNBM
P
EFM
TJTUFNB
JOHMÊT
los principales instrumentos que se usan son las reglas y cintas graduadas. Las medidas del segmento AB se obtienen colocando la regla o cinta de tal manera que el origen P
DFSP
EF
MB
FTDBMB
DPJODJEB
DPO
VO
FYUSFNP
EFM
TFHNFOUP
MVFHP
TF
PCTFSWB
IBTUB
RVÊ
QVOUP
EF
MB
SFDUB
numérica llega el segmento. A 7

8

B 9

10

11

12

13

14

∴

15

AB = 6 cm

4J
MB
SFHMB
P
DJOUB
EF
NFEJS
OP
QVFEF
IBDFSTF
DPJODJEJS
DPO
FM
TFHNFOUP
TF
UPNB
TV
MPOHJUVE
DPO
VO
DPNQÃT
EF
QVOUBT
P
CJFO
DPO
VO
DPSEFM
Z
ÊTUB
TF
USBOTQPSUB
BM
JOTUSVNFOUP
EF
NFEJEB
QBSB
PCUFOFS
TV
MFDUVSB

A

B 8

9

10

11

12

13

14

"M
FGFDUVBS
MB
NFEJDJÓO
EFCF
BDUVBSTF
DPO
FYBDUJUVE
Z
QSFDJTJÓO
DPO
FM
àO
EF
FWJUBS
FSSPSFT
EFCJEPT
B
la imperfección del instrumento de medición o del operador (generalmente errores visuales).

46

UNIDAD Rectas

2

EJERCICIO 12 I. Contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas. Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares

1. ¿Qué es un segmento orientado?



&YQMJDB
RVÊ
TPO
MPT
TFHNFOUPT
DPOTFDVUJWPT





%FTDSJCF
MPT
NÊUPEPT
QBSB
MB
NFEJDJÓO
EF
TFHNFOUPT II. En el espacio, realiza lo que se te indica y socializa tus respuestas.





%JCVKB
VO
TFHNFOUP
PSJFOUBEP
WFDUPS


TFÒBMBOEP
TV
PSJHFO
FYUSFNP
EJSFDDJÓO
NBHOJUVE
Z
TFOUJEP





5SB[B
USFT
TFHNFOUPT
DPOTFDVUJWPT
EF
EJGFSFOUF
NBHOJUVE
TFÒBMB
FM
FYUSFNP
DPNÙO

3. Si B es el punto medio del segmento AD
C es el punto medio de BD y AD = 30 cm
EFUFSNJOB
MBT
longitudes de los segmentos AB, BC y CD.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 47

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Congruencia de segmentos Igualdad y desigualdad de segmentos Si tenemos dos segmentos AB y CD
Z
IBDFNPT
DPJODJEJS
MPT
FYUSFNPT
A y C
QVFEF
TVDFEFS a
2VF
FM
FYUSFNP
B
DPJODJEB
DPO
FM
FYUSFNP
D
EFM
PUSP
TFHNFOUP
FO
DVZP
DBTP
AB y CD son iguales. A

B

∴ C

AB = CD

D

b
2VF
FM
FYUSFNP
B se sitúe en un punto interior del segmento CD
FO
DVZP
DBTP
AB y CD son desiguales. A

B

AB ≠ CD ∴ C

AB < CD o CD > AB

D

c
2VF
FM
FYUSFNP
B
TF
TJUÙF
FO
VO
QVOUP
FYUFSJPS
EFM
TFHNFOUP
CD
FO
DVZP
DBTP
AB y CD son desiguales. A

B

AB ≠ CD ∴ C

AB > CD o CD < AB

D

Congruencia de segmentos &O
MPT
USFT
DBTPT
BOUFSJPSFT
TF
PCTFSWB
RVF
FO
FM
QSJNFS
DBTP
AB y CD son JHVBMFT
QVFT
TVT
NFEJEBT
TPO
FYBDUBNFOUF
JHVBMFT
&O
HFPNFUSÎB
TF
EJDF
RVF
FM
TFHNFOUP
AB es congruente con el segmento CD
MP
cual se representa: AB ≅ CD. &O
MPT
DBTPT
TFHVOEP
Z
UFSDFSP
OP
FYJTUF
MB
DPOHSVFODJB
EF
TFHNFOUPT
ZB
que AB ≠ CD
MP
DVBM
TF
representa como AB ≅ CD.

Caracteres de la igualdad de segmentos $PNP
UPEB
JHVBMEBE
MPT
TFHNFOUPT
JHVBMFT
P
DPOHSVFOUFT
HP[BO
EF
MPT
DBSBDUFSFT
idéntico o reflejo
recíproco o simétrico y transitivo.

48

UNIDAD Rectas

2

Carácter idéntico o reflejo. 5PEP
TFHNFOUP
FT
JHVBM
B
TÎ
NJTNP
AB = AB. Carácter recíproco o simétrico. 4J
VO
TFHNFOUP
FT
JHVBM
B
PUSP
FM
TFHVOEP
FT
JHVBM
BM
QSJNFSP
AB = CD ∴ CD = AB.

Carácter transitivo. 4J
VO
TFHNFOUP
FT
JHVBM
B
PUSPT
Z
ÊTUF
B
TV
WF[
FT
JHVBM
B
VO
UFSDFSP
FM
QSJNFSP
Z
FM
tercero son iguales: AB = CD y CD = EF

∴

AB = EF.

Trazo de segmentos congruentes Para trazar dos o más segmentos congruentes al propuesto AB, se procede como sigue. 
$PO
BZVEB
EF
MB
SFHMB
TF
EFUFSNJOB
FM
WBMPS
EFM
TFHNFOUP
AB
Z
TF
USB[B
FYBDUBNFOUF
DPO
MB
NJTNB
longitud el segmento CD donde convenga. A

B

AB ≅ CD C

D


6UJMJ[BOEP
FM
DPNQÃT
TF
IBDFO
DPJODJEJS
TVT
EPT
QVOUPT
DPO
MPT
FYUSFNPT
A y B del segmento proQVFTUP
Z
TF
USB[B
VOB
TFNJSSFDUB
EPOEF
TF
WB
B
EJCVKBS
FM
OVFWP
TFHNFOUP
CD; sin mover la abertura EFM
DPNQÃT
TF
IBDF
DPJODJEJS
VOB
EF
MBT
QVOUBT
FO
FM
QVOUP
C y la otra sobre la semirrecta para marcar el punto D. A

B C

D


&O
MVHBS
EF
MB
SFHMB
Z
EFM
DPNQÃT
UBNCJÊO
TF
QVFEF
VUJMJ[BS
FM
CPSEF
EF
VOB
IPKB
EF
QBQFM
P
DBSUÓO
Z
seguir un procedimiento análogo.

EJERCICIO 13 I. Resuelve los siguientes problemas gráficos. Escribe los números
correspondientes


4
F
UJFOFO
EPT
TFHNFOUPT
AB = 12 cm y CD
EF
NBHOJUVE
EFTDPOPDJEB
"M
IBDFS
DPJODJEJS
MPT
FYUSFNPT
A y C
EFNVFTUSB
MB
JHVBMEBE
Z
EFTJHVBMEBE
EF
TFHNFOUPT

Competencias genéricas Competencias disciplinares

49

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA





%BEP
FM
TFHNFOUP
AB = 7 cm, traza un segmento congruente al dado.





%FNVFTUSB
MPT
DBSBDUFSFT
EF
MB
JHVBMEBE
EF
TFHNFOUPT

II. En tu cuaderno, contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.

1. ¿Qué es la congruencia de segmentos? 2. ¿Cuáles son los caracteres de la igualdad de segmentos?



y&O
RVÊ
DPOTJTUF
FM
DBSÃDUFS
JEÊOUJDP
P
SFáFKP





&YQMJDB
FM
DBSÃDUFS
SFDÎQSPDP
P
TJNÊUSJDP 5. ¿Qué es el carácter transitivo?





%FTDSJCF
MPT
NÊUPEPT
QBSB
USB[BS
TFHNFOUPT
DPOHSVFOUFT 7. ¿Cuál es la notación simbólica de la congruencia?

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Operaciones con segmentos Suma de segmentos Definición I. Se llama suma de varios segmentos consecutivos BM
TFHNFOUP
RVF
UJFOF
QPS
FYUSFNPT
BM
QSJNFSP
Z
BM
ÙMUJNP
EF
MPT
FYUSFNPT
EF
MPT
TFHNFOUPT
EBEPT A

B

C

D

AB + BC + CD = AD Definición II. Se llama suma de varios segmentos cualesquiera
EBEPT
FO
VO
DJFSUP
PSEFO
B
PUSP
TFHNFOUP
RVF
FT
TVNB
EF
PUSPT
UBOUPT
TFHNFOUPT
DPOTFDVUJWPT
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBMFT
B
MPT
EBEPT A C

P

D

b

E A

B

a

a′

B

a + b + c = a ′ + b ′ + c′ = PQ

b = b′

AB + BC + EF = PQ

c = c′

F

c

a = a′

b′

C

E D

50

c′

F Q

UNIDAD Rectas

2

Sustracción de segmentos Se llama resta o diferencia entre un segmento AB (minuendo) y otro CD (sustraendo) menor que BRVÊM
BM
TFHNFOUP
F tal que sumando al segmento sustraendo dé por resultado el primer segmento AB. B

A

B

A

D

C

Minuendo

C

D Sustraendo

AB − CD = DE

∴

Si DE + CD = AB

E Diferencia

AB − CD = DE

Multiplicación de un segmento (producto de un segmento por un escalar) Se llama producto de un segmento AB
QPS
VO
FTDBMBS
NBZPS
RVF
VOP
BM
TFHNFOUP
RVF
FT
TVNB
EF
n
TFHNFOUPT
JHVBMFT
BM
EBEP
FT
EFDJS
AB ⋅ n = AB + AB +…+ AB … 

Cuando n ! 1 n Ejemplo

%BEP
FM
TFHNFOUP
AB, multiplicarlo por 6: AB ⋅ 6 = PQ

A

1

BA

2

BA

BA

3

4

BA

5

BA

B

6

P

Q

&M
TFHNFOUP
PQ es múltiplo del segmento AB.

Postulado de Arquímedes %BEPT
EPT
TFHNFOUPT
EFTJHVBMFT
FYJTUF
TJFNQSF
VO
NÙMUJQMP
EF
VOP
EF
FMMPT
RVF
FT
NBZPS
RVF
FM
PUSP Ejemplo

%BEPT
MPT
TFHNFOUPT
AB y PQ
EFNVFTUSB
FM
QPTUVMBEP
EF
"SRVÎNFEFT

A

P

B

AB < PQ

Q

51

A

B A

B A

BA

P

X

X′

X′′

AB × 1 = PX < PQ AB × 2 = PX < PQ AB × 3 = X < PQ AB × 4 = PX > PQ

B Q

X′′′

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

División de un segmento %JWJEJS
VO
TFHNFOUP
FOUSF
VO
OÙNFSP
OBUVSBM
FRVJWBMF
B
PCUFOFS
PUSP
TFHNFOUP
UBM
RVF
NVMUJQMJDBEP
QPS
EJDIP
OÙNFSP
OBUVSBM
TFB
JHVBM
BM
TFHNFOUP
QSPQVFTUP Ejemplo

AB ÷ 5 = PQ, ya que: PQ ⋅ 5 = AB P

1

QP

QP

2

QP

3

QP

4

A

5

Q B

P

Q

Un segmento se puede dividir en cualquier número de partes iguales mediante un sistema de paralelas. 1PS
FKFNQMP
B
QBSUJS
EF
VOP
EF
MPT
FYUSFNPT
EFM
TFHNFOUP
QSPQVFTUP
AB
TF
USB[B
VOB
TFNJSSFDUB
AB con cualquier inclinación; sobre AX y a partir de A
TF
NJEF
VO
TFHNFOUP
EF
DVBMRVJFS
MPOHJUVE
z


UBOUBT
WFDFT
DPNP
JOEJDB
FM
EJWJTPS
&M
FYUSFNP
EFM
ÙMUJNP
TFHNFOUP
z) se une con B y se trazan paralelas al segmento Bn (donde n indica el número de veces en que se divide el segmento propuesto). La relación de la operación se indica de la siguiente forma: z=

AB n

Ejemplo

%JWJEF
FM
TFHNFOUP
AB en 7 partes iguales.

A

z 1

z

z

z

z

z

z

B

2 3 4 5 6 7

X

Las operaciones anteriores se efectúan midiendo los segmentos y operando con las medidas obtenidas.

52

UNIDAD Rectas

2

EJERCICIO 14 I. En el espacio, realiza lo que se indica y socializa tus respuestas.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas


%JCVKB
MPT
TFHNFOUPT
Z
TÙNBMPT
HSÃàDBNFOUF a ) AB = 3 cm b ) CD = 4 cm

c) EF = 6 cm

d ) GH = 2 cm

Competencias disciplinares





%JCVKB
MPT
TFHNFOUPT
AB = 11 cm (minuendo) y CD = 5 cm
TVTUSBFOEP 
SÊTUBMPT
HSÃàDBNFOUF





.VMUJQMJDB
FM
TFHNFOUP
AB = 2 cm
QPS

Z
FMBCPSB
MB
HSÃàDB
DPSSFTQPOEJFOUF





%JWJEF
FM
TFHNFOUP
AB = 6 cm
FO

QBSUFT
JHVBMFT
Z
FMBCPSB
MB
HSÃàDB
DPSSFTQPOEJFOUF

53

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA





%BEB
MB
TJHVJFOUF
àHVSB
EFNVFTUSB
RVF AI + IH + HG + GF > BC + CD + DE G

H I

F A C

D E

B





%
BEP
FM
TJHVJFOUF
TFHNFOUP
Z
BQMJDBOEP
FM
NÊUPEP
EFM
USB[P
EF
MBT
QBSBMFMBT
EJWÎEFMP
FO
6 partes iguales.

A

B

 À

54

Autoevaluación Realiza lo que se indica en cada caso. 
3FQSFTFOUB
HSÃàDBNFOUF
VOB
MÎOFB
DVSWB
Z
VOB
MÎOFB
NJYUB


3FQSFTFOUB
HSÃàDBNFOUF
EPT
QMBOPT
FO
FM
FTQBDJP
RVF
TFBO
TFDBOUFT


%BEP
FM
TFHNFOUP
CD = 12 cm
USB[B
VO
TFHNFOUP
DPOHSVFOUF
B
ÊTUF

55

2

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA


%JCVKB
MPT
TFHNFOUPT
PQ = 9 cm (minuendo) y RS = 3 cm
TVTUSBFOEP
Z
SÊTUBMPT
HSÃàcamente.


%JWJEF
FM
TFHNFOUP
DE = 15 cm
FO
USFT
QBSUFT
JHVBMFT
Z
FMBCPSB
MB
HSÃàDB
DPSSFTQPOEJFOUF

56

UN

IDAD

Ángulos

3

Evaluación diagnóstica Realiza lo que se indica en cada caso. 1. En un ángulo a qué se le denomina vértice.

2. ¿Cuándo un ángulo es negativo y cuándo es positivo?

3. Según sus medidas, los ángulos se clasifican en:

4. ¿Cuánto vale la suma de dos ángulos suplementarios y qué tipo de ángulo forman?

5. ¿Cómo se clasifican los ángulos interiores y exteriores?

58

Ángulos Propósito de la unidad Que el estudiante: r
$POP[DB
MB
EFàOJDJÓO
Z
OPUBDJÓO
EF
ÃOHVMP r
.BOFKF
MPT
TJTUFNBT
BOHVMBSFT r
0QFSF
MBT
DPOWFSTJPOFT
BOHVMBSFT r
$POP[DB
MB
DPOHSVFODJB
EF
ÃOHVMPT r
$POP[DB
MB
DMBTJàDBDJÓO
EF
MPT
ÃOHVMPT r
*EFOUJàRVF
MPT
ÃOHVMPT
RVF
TF
EFUFSNJOBO
con dos rectas paralelas cortadas por una transversal (secante). r
3FBMJDF
EFNPTUSBDJPOFT
EF
UFPSFNBT
TPCSF
ángulos.

Competencias disciplinares 1. Construye e interpreta modelos deterministas NFEJBOUF
MB
BQMJDBDJÓO
EF
QSPCMFNBT
BMHFCSBJDPT
Z
HFPNÊUSJDPT
QBSB
MB
DPNQSFOTJÓO
y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve difeSFOUFT
UJQPT
EF
QSPCMFNBT
NBUFNÃUJDPT
aplicando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados PCUFOJEPT
NFEJBOUF
QSPDFEJNJFOUPT
NBUFmáticos y los contrasta con modelos estaCMFDJEPT
DPO
TJUVBDJPOFT
SFBMFT 
"SHVNFOUB
MB
TPMVDJÓO
PCUFOJEB
EF
VO
QSPCMFNB
DPO
NÊUPEPT
OVNÊSJDPT
HSÃàDPT
Z
BOBMÎUJDPT
NFEJBOUF
MFOHVBKF
WFSCBM
Z
NBtemático. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. 
*OUFSQSFUB
UBCMBT
HSÃàDPT
NBQBT
UFYUPT
DPO
TÎNCPMPT
NBUFNÃUJDPT
Z
DJFOUÎàDPT

Contenidos que aborda la unidad Contenidos conceptuales

r
r
r
r
r
r
r
r
r


%FàOJDJÓO
Z
OPUBDJÓO
EF
ÃOHVMP 4JTUFNBT
FNQMFBEPT
FO
MB
NFEJEB
EF
ÃOHVMPT $POWFSTJÓO
EF
HSBEPT
B
SBEJBOFT
Z
WJDFWFSTB .FEJDJÓO
Z
USB[P
EF
ÃOHVMPT $POHSVFODJB
EF
ÃOHVMPT $MBTJàDBDJÓO
EF
MPT
ÃOHVMPT ¦OHVMPT
DPNQMFNFOUBSJPT
TVQMFNFOUBSJPT
Z
DPOKVHBEPT ¦OHVMPT
RVF
EFUFSNJOBO
EPT
SFDUBT
DPSUBEBT
QPS
VOB
USBOTWFSTBM
TFDBOUF  %FNPTUSBDJÓO
EF
UFPSFNBT
TPCSF
ÃOHVMPT

Contenidos procedimentales

r
r
r
r
r


%JTUJOHVJSÃ
MPT
EJGFSFOUFT
TJTUFNBT
FNQMFBEPT
FO
MB
NFEJEB
EF
ÃOHVMPT *EFOUJàDBSÃ
MPT
EJGFSFOUFT
UJQPT
EF
ÃOHVMPT
Z
TJ
FYJTUF
P
OP
DPOHSVFODJB
FYJTUFOUF
FOUSF
FMMPT %FCBUJSÃ
TJ
VO
ÃOHVMP
FT
DPNQMFNFOUBSJP
TVQMFNFOUBSJP
P
DPOKVHBEP %FNPTUSBSÃ
UFPSFNBT
TPCSF
ÃOHVMPT 3FTPMWFSÃ
QSPCMFNBT
CBTBEPT
FO
MPT
BYJPNBT
BQSFOEJEPT

Contenidos actitudinales

r
r
r
r


&YQSFTBSÃ
JEFBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB "QSFOEFSÃ
B
WBMPSBS
FM
USBCBKP
EF
TVT
DPNQBÒFSPT
BM
SFTPMWFS
QSPCMFNBT "SHVNFOUBSÃ
NFEJBOUF
MPT
QSPDFTPT
EFEVDUJWP
F
JOEVDUJWP
MPT
BYJPNBT
Z
QPTUVMBEPT $POUSJCVJSÃ
DPO
JEFBT
EF
NBOFSB
DSÎUJDB
Z
BDDJPOFT
SFTQPOTBCMFT
B
MB
IPSB
EF
USBCBKBS
FO
FRVJQP

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Definición y notación de ángulo Definición de ángulo Se denomina ángulo
B
MB
BCFSUVSB
DPNQSFOEJEB
FOUSF
EPT
TFNJSSFDUBT
P
SBZPT
RVF
QBSUFO
EF
VO
QVOUP
común llamado vértice
MBT
TFNJSSFDUBT
P
SBZPT
SFDJCFO
FM
OPNCSF
EF lados del ángulo. X → Lado YX

Ángulo

Z

Y

Vértice

→ Lado YZ

Nomenclatura de ángulo -B
OPUBDJÓO
EF
VO
ÃOHVMP
QVFEF
TFS
HSÃàDB
P
TJNCÓMJDB
EF
BDVFSEP
DPO
MB
OFDFTJEBE
EF
QSFTFOUBSMP (SÃàDBNFOUF
TF
JOEJDB
DPO
VO
QFRVFÒP
BSDP
Z
BEFNÃT
TF
EFTJHOB
QPS a) Una letra mayúscula situada en el vértice.

Ángulo cuyo vértice es A A

b

6OB
MFUSB
NJOÙTDVMB
EFOUSP
EFM
ÃOHVMP
HFOFSBMNFOUF
TF
FNQMFB
VOB
MFUSB
EFM
BMGBCFUP
HSJFHP

α

a

Ángulo cuyo valor es α

Ángulo cuyo valor es a

c) Tres letras mayúsculas de manera que quede en el medio la letra que está situada en el vértice del ángulo. C

¦OHVMP
EFàOJEP
QPS CAB o BAC B

A

60

UNIDAD Ángulos

3

4JNCÓMJDBNFOUF
MB
OPUBDJÓO
TF
SFBMJ[B
BOUFQPOJFOEP
B
MB
MFUSB
FM
TÎNCPMP
+,
P
CJFO
DPMPDBOEP
VO
QFRVFÒP
ÃOHVMP
TPCSF
MB
MFUSB Ejemplo

+z o zˆ se lee ángulo z + o φˆ  se lee ángulo φ p o BAC p se lee ángulo CAB o 4J
MB
OPUBDJÓO
TF
IBDF
DPO
MBT
MFUSBT
EFM
ÃOHVMP
UFOFNPT
RVF
CAB ángulo BAC.

Bisectriz del ángulo Es la semirrecta que, partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales. X P

 YP  es   la   bisectriz   del  +XYZ .

Z

Y

Trazo de la bisectriz del ángulo 1BSB
FM
USB[BEP
EF
MB
CJTFDUSJ[
EF
VO
ÃOHVMP
TF
QSPDFEF
EF
MB
TJHVJFOUF
GPSNB a
$PO
VOB
BCFSUVSB
DVBMRVJFSB
Z
IBDJFOEP
DFOUSP
FO
FM
WÊSUJDF
TF
USB[B
VO
BSDP
EF
DJSDVOGFSFODJB
RVF
corta los lados del ángulo en dos puntos A y B. b
$PO
MB
NJTNB
BCFSUVSB
IBDJFOEP
DFOUSP
FO
A y B, se trazan arcos que se cortan en un punto P. c
-B
CJTFDUSJ[
EFM
ÃOHVMP
TF
PCUJFOF
VOJFOEP
DPO
VOB
SFHMB
FM
WÊSUJDF
Y con el punto P. X

 . YP   es   la   bisectriz   del   XYZ

P A

Y

B

Z

 Si el ángulo es entrante
MB
CJTFDUSJ[
EF
FTUF
ÃOHVMP
FT
MB
TFNJSSFDUB
PQVFTUB
B
YP. X A P′

P

Y B

 YP es la bisectriz del ángulo entrante XYZ .

61

Z

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Generación de los ángulos Un ángulo se considera generado por dos semirrectas
EF
MBT
DVBMFT
VOB
QFSNBOFDF
àKB
Z
MB
PUSB
HJSB
BMSFEFEPS
EF
VO
QVOUP
àKP
EF
MB
QSJNFSB
TFNJSSFDUB
WÊSUJDF
EFM
ÃOHVMP  4J
FM
TFOUJEP
FT
DPOUSBSJP
BM
HJSP
EF
MBT
NBOFDJMMBT
EFM
SFMPK
el ángulo es positivo; si gira en el mismo TFOUJEP
RVF
MBT
NBOFDJMMBT
EFM
SFMPK
el ángulo es negativo. X′

X

X′′

X′

z

Y

z

Y X′

X′′ X′

X Ángulo negativo

Ángulo positivo

EJERCICIO 15 I. Contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas. Escribe los números
correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares


%FàOF
ÃOHVMP 2. Gráficamente, ¿cuál es la notación de ángulo?





4JNCÓMJDBNFOUF
yDVÃM
FT
MB
OPUBDJÓO
EF
ÃOHVMP





y2VÊ
FT
MB
CJTFDUSJ[
EFM
ÃOHVMP





&YQMJDB
FM
QSPDFEJNJFOUP
QBSB
USB[BS
MB
CJTFDUSJ[
EFM
ÃOHVMP





4J
FM
HJSP
EFM
ÃOHVMP
FT
DPOUSBSJP
BM
HJSP
EF
MBT
NBOFDJMMBT
EFM
SFMPK
yRVÊ
TJHOP
UJFOF II. Resuelve los siguientes problemas gráficos y en plenaria discutan los resultados.





&O
FM
FTQBDJP
EJCVKB
VO
ÃOHVMP
JOEJDBOEP
MBT
QBSUFT
EFM
NJTNP





&TDSJCF
MB
OPUBDJÓO
HSÃàDB
QBSB
MPT
TJHVJFOUFT
ÃOHVMPT a)

B

C

O

62

UNIDAD Ángulos

3

b)

K

c)

θ





5SB[B
MB
CJTFDUSJ[
EF
MPT
TJHVJFOUFT
ÃOHVMPT a)

A

C

B

b)

A

B

C

4. En el espacio, representa gráficamente la generación de ángulos positivos y negativos.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Sistemas empleados en la medida de ángulos Medidas de ángulos -B
NBHOJUVE
EF
VO
ÃOHVMP
OP
EFQFOEF
EF
MB
MPOHJUVE
EF
TVT
MBEPT
TJOP
EF
MB
BCFSUVSB
P
TFQBSBDJÓO
RVF
IBZ
FOUSF
FMMPT
FT
EFDJS
MB
NFEJEB
EF
VO
ÃOHVMP
TF
PCUJFOF
DPNQBSBOEP
MB
BNQMJUVE
EFM
ÃOHVMP
DPO
MB
amplitud de otro considerado como unidad patrón. Para medir un ángulo se conocen tres sistemas diferentes de unidades angulares.

63

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Sistema sexagesimal. Es un sistema tradicional de uso común, creado por los sumerios, quienes conociendo el círculo y la circunferencia, los dividieron en 360 partes iguales, mismas que corresponden a DBEB
VOP
EF
MPT
EÎBT
EFM
BÒP
DBEB
EJWJTJÓO
SFDJCF
FM
OPNCSF
EF
grado. Un ángulo de un grado es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados pasan por dos divisiones consecutivas. 1 Cada grado es igual a del ángulo de una vuelta de la circunferencia; corresponde decir que un 360 1 del ángulo recto; un grado dividido en 60 partes iguales da lugar a los minutos y un minuto grado es 90 dividido en 60 partes iguales da lugar a los segundos
-B
TJNCPMPHÎB
QBSB
DBEB
VOB
EF
FTUBT
VOJEBEFT
FT Grado (q) .JOVUP
c) Segundo (s) 1°

60c

1c

60s

3600s

Para casos que requieren mayor exactitud se utilizan los décimos y centésimos de segundo. Sistema centesimal. Para este sistema se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, denominadas grados centesimal; cada grado centesimal tiene 100 minutos centesimales y un minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales. -B
TJNCPHÎB
QBSB
DBEB
VOB
EF
FTUBT
VOJEBEFT
FT Grado centesimal (g) .JOVUP
DFOUFTJNBM
N

Segundo centesimal (s) 1g

100m

1m

100s

10 000s

Sistema circular. La unidad fundamental de este sistema es el radián, el cual se define como el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. A r

Longitud del arco AB es igual al radio (r) de la circunferencia.

r B r

∴

p AOB = 1radián

La longitud de la circunferencia es 2S; por lo tanto, para un ángulo de 360q la equivalencia es 2S radianes, es decir 6.2832 radianes, donde S tiene el valor de 3.1416 radianes. %F
MB
SFMBDJÓO
SBEJÃO
= 1 radián

57.295777q

1 radián

57q17c44s

360 se tiene que: 2π

64

UNIDAD Ángulos

3

EJERCICIO 16 I. En tu cuaderno, contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas. Escribe los números
correspondientes Competencias genéricas


y$VÃM
FT
FM
OPNCSF
EF
MPT
TJTUFNBT
FNQMFBEPT
QBSB
NFEJS
ÃOHVMPT 2. Explica los principios del sistema sexagesimal.




Competencias disciplinares


y$VÃM
FT
FM
OPNCSF
Z
TÎNCPMP
EF
MBT
VOJEBEFT
EFM
TJTUFNB
TFYBHFTJNBM 4. Explica los principios del sistema centesimal.





y$VÃM
FT
FM
OPNCSF
Z
TÎNCPMP
EF
MBT
VOJEBEFT
EFM
TJTUFNB
DFOUFTJNBM 6. ¿Cómo se define un radián? II. En equipo de dos personas, resuelvan los siguientes problemas de equivalencia y en plenaria discutan sus resultados.

1. Si un grado sexagesimal es igual a 60 minutos, ¿13qcuántos minutos son?

2. Si un minuto sexagesimal es igual a 60 segundos, ¿27ccuántos segundos son?

3. ¿A cuántos segundos sexagesimales equivalen 48q59c?

4. ¿A cuántos grados y minutos sexagesimales equivalen 94q380s?

5. ¿A cuántos radianes equivale la longitud de cualquier circunferencia?

6. ¿Cuál es el resultado de la relación

360° ? 2π

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 65

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Conversión de grados a radianes y viceversa Relación entre grado sexagesimal y el radián Si 2S radianes equivalen a 360°, ¿un radián a cuántos grados sexagesimales equivaldrá? Para dar respuesta FT
OFDFTBSJP
FTUBCMFDFS
MB
TJHVJFOUF
SFMBDJÓO 2Sradianes o360° 1 radián oX (grados sexagesimales) %FTQFKBOEP
UFOFNPT X (grados sexagesimales) =

Simplificando: X ° =

180° π

( 360°) (1 radián) 2π radianes

Fórmula para convertir radianes a grados sexagesimales.

4J
FTUBCMFDFNPT
MB
TJHVJFOUF
SFMBDJÓO 360° o2S radianes 1° oX radianes %FTQFKBOEP
Z
TJNQMJàDBOEP
UFOFNPT
X radianes =

( 2 π radianes)( 1° ) π radianes = 180° 360°

&O
BNCBT
GÓSNVMBT
TF
UPNB
S

Fórmulas para convertir grados sexagesimales a radianes.

3.1416 radianes.

Equivalencias de uso común π radianes 18 π 30° = radianes 6

10° =

120° =

2π radianes 3

135° =

3π radianes 4

150° =

5π radianes 6

45° =

π radianes 4

60° =

π radianes 3

180q

2S radianes

90° =

π radianes 2

210° =

7π radianes 6

66

UNIDAD Ángulos

225° =

5π radianes 4

330° =

11π radianes 6

240° =

4π radianes 3

360°

2Sradianes

270° =

3π radianes 2

1° =

π = 0.0174533 radianes 180

300° =

5π radianes 3

1′ =

π = 0.0002909 radianes 10 800

315° =

7π radianes 4

1′′ =

π = 0.000004848 radianes 648 000

Ejemplos

EJEMPLOS

Solución de problemas 1

Expresa en grados sexagesimales un ángulo de 4.36 radianes.

X° =

(180°)(4.36 radianes ) 784.8° = 249.8090145° = π radianes 3.1416 ∴

X ° = 249.8090145°

Expresado en grados, minutos y segundos sexagesimales: ∴

2

Expresa

X° = 249°48′32′′

3π radianes en grados sexagesimales. 8 ⎛ 3π ⎞ (180°) ⎜⎜ radianes ⎟⎟⎟ ⎝8 ⎠ (180°)(3 π ) 540° = = X° = = 67.5° π radianes 8π 8

Expresado en grados, minutos y segundos sexagesimales: Xq

3

67q30c0s

Expresar 108q en radianes.

X radianes =

(π   radianes)(108° ) (3.1416   radianes)(108) = = 1.88496 radianes 180 180 °

67

3

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

4

Expresa 74q47c en radianes. Primero se convierten los minutos en grados. Si 60 ′ → 1° 47′ → X ° (47′)(1°) 60 ′ X ° = 0.783333° X° =

∴

74°47′ = 74.783333° (π   rad)(74.783333 ° ) 180 ° (3.1416   rad)(74.783333) X rad = = 1.3052184 rad 180

X radianes =

5

Expresa 143q52c36sen radianes. Primero se convierten los segundos en minutos y éstos a su vez en grados. Si 60′′ → 1′ 36′′ → X ′ X′ =

(52.6 ° )(1′) 60 ″

X ′ = 0.6′ Si 60′ → 1′′ 52.6′ → X ° X° =

(36 ′ )(1°) 60 ′

X ° = 0.876666° ∴ 143°52′36′′ = 143.876666° (π   rad)(143.876666 ° ) 180 ° (3.1416   rad)(143.876666) X rad = 180 X rad = 2.5111274 rad

X rad =

68

UNIDAD Ángulos

6

3

Expresa 1.437526 en grados, minutos y segundos sexagesimales.

X° =

(180°)(1.4367526 rad ) 258.75468° = = 82.36398014° 3.1416 π rad

Si 1° → 60′ 0.36398014° → X ′ X′ =

(60′)(0.36398014 ° ) 1°

X ′ = 21.83880822′

Si 1° → 60′′ 0.83880822′ → X ′′ X ′′ =

(60′′)(0.83880822 ′ ) 1′

X ′′ = 50.3284932′′

0SEFOBOEP
MPT
HSBEPT
NJOVUPT
Z
TFHVOEPT
UFOFNPT
q21c50s Nota: Se recomienda emplear la calculadora científica en apoyo a las operaciones indicadas, así como para MB
DPNQSPCBDJÓO
EF
EJDIBT
DPOWFSTJPOFT
FO
MPT
QSPCMFNBT

EJERCICIO 17 I. En grupo, con asesoría de su profesor resuelvan los siguientes problemas sobre la conversión de grados a radianes y viceversa.

Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares

1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos. a) 5.63 radianes

c) 7.81 radianes

b) 2.49 radianes

d) 9.4248 radianes

2. Expresa los siguientes ángulos en radianes. a) 38q

c)

b) 147°

d) 660q

255q

3. Expresa en grados, minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos. a) 0.79483 radianes

c) 2.96571 radianes

b) 1.25869 radianes

d) 3.54209 radianes

69

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

4. Expresa en radianes los siguientes ángulos.

5.

a) 41q20c54s

c) 219°05c36s

b) 171q29c43s

d)

327q53c12s

Si +KOL = 2 x, +LOM = 6 x y +MON = x, ¿cuánto mide cada ángulo?

L M

6x 2x x

N

K

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Medición y trazo de ángulos Introducción

130 70

120 80

110 90

100

90 110

80 120

70 130

60 14 0

200 0 210 390

220 380

290 310

270 330

3 15 0 0

26 34 0 0 2 5 35 0 0

20 160 10 170

310 300 290

280 320

170 180 0 10

320 280

160 20

0 180

36 24 0 0

0 15 30

0 24 0 36

0 40

4 14 0 0

14

230 370

0

330 270

50

13

380 37 220 230 0

120 60

50

13

100 80 7110 0

340 260

90

0 35 0 25

90

390 210

80 100

0 200

0

70 0 1 60 0 1 12

10 190

190 10

20 180

180 20

30 170

170 30

40 0 16

16 40 0

0 14 60

50 0 15

15 50 0

Para la medición de ángulos se emplea un instrumento denominado transportador, el cual puede ser circular o semicircular. Como el sistema de uso común es el sexagesimal, el transportador está dividido en grados. El transportador circular es un círculo dividido en 360 partes iguales, se confecciona de material transparente, en el DVBM
TF
IB
NBSDBEP
DPO
UPEB
FYBDUJUVE
FM
DFOUSP
Z
VO
EJÃNFUSP
EF
ž
B
ž
FM
USBOTQPSUBEPS
TFNJDJSDVMBS
es un semicírculo dividido en 180 partes, igualmente marcados con toda precisión y claridad el centro y el diámetro de 0° a 80°.

O

Transportador semicircular

Transportador circular

70

UNIDAD Ángulos

3

Medición 1BSB
NFEJS
MPT
ÃOHVMPT
NFOPSFT
EF
ž
TF
FNQMFB
FM
USBOTQPSUBEPS
TFNJDJSDVMBS
FM
DVBM
TF
NBOFKB
EF
MB
TJHVJFOUF
NBOFSB
FM
DFOUSP
EFM
USBOTQPSUBEPS
TF
IBDF
DPJODJEJS
DPO
FM
WÊSUJDF
EFM
ÃOHVMP
Z
MB
EJWJTJÓO
RVF
JOEJDB
ž
DPO
VOP
EF
MPT
MBEPT
TPCSF
MB
FTDBMB
TF
PCUJFOF
MB
MFDUVSB
FO
MB
NBSDB
RVF
DPJODJEB
DPO
FM
PUSP
lado del ángulo. Para ángulos mayores de 180° se emplea el transportador circular, el cual se opera de la misma manera que el transportador semicircular.

90°

60°

120°

A

25° 0°

150°

360°

O

180° 90°

220° 225°

45°

280°

35° 15°

B

0°

180°

Trazo Cuando se conoce el valor de un ángulo, expresado en grados, su trazo se realiza con el auxilio de regla Z
USBOTQPSUBEPS
TFNJDJSDVMBS
P
DJSDVMBS


BDUVBOEP
EF
MB
TJHVJFOUF
NBOFSB
TF
USB[B
VOB
TFNJSSFDUB
IPSJ[POUBM
TF
IBDF
DPJODJEJS
FM
DFOUSP
EFM
USBOTQPSUBEPS
DPO
FM
QVOUP
EF
PSJHFO
EF
MB
TFNJSSFDUB
Z
MB
EJWJTJÓO
RVF
NBSDB
ž
TPCSF
MB
NJTNB
TPCSF
MB
FTDBMB
TF
CVTDB
FM
WBMPS
OVNÊSJDP
QSPQVFTUP
IBDJFOEP
VOB
QFRVFÒB
marca, la cual por medio de la regla se une al punto origen de la semirrecta. Ejemplo

Traza un ángulo de l20°

A A 90° 120°

30°

150° 180°

60°

O

O

0°

B

71

B

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 18 I. En tu cuaderno, contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares


y$VÃM
FT
FM
OPNCSF
EFM
JOTUSVNFOUP
FNQMFBEP
FO
MB
NFEJDJÓO
EF
ÃOHVMPT 2. ¿Cuáles son las características del transportador semicircular y circular?





#BKP
UVT
QSPQJBT
QBMBCSBT
yDÓNP
FOVODJBSÎBT
FM
QSPDFTP
EF
NFEJDJÓO
EF
ÃOHVMPT
NFOPSFT
EF
ž 4. ¿Cuál es el proceso para trazar un ángulo sexagesimal? II. En equipo de dos personas, resuelvan los siguientes problemas gráficos y en plenaria discutan sus respuestas.

1. Haciendo uso del transportador circular o semicircular, mide los siguientes ángulos sexagesimales. a)

B

p  BGO

O

G

b)

B

p  BGO

O

G

c)

B

p  BGO

G

d)

O

B

p  BGO G

O

72

UNIDAD Ángulos

e) G

O

p  BGO

B

f) G

O

p  BGO

B

2. Con auxilio de regla y transportador traza los siguientes ángulos sexagesimales. a) 35°

b) 120°

c) 225°

73

3

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

d) 260°

e) 315°

f ) 355°

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 74

UNIDAD Ángulos

3

Congruencia de ángulos Ángulos congruentes %PT
ÃOHVMPT
RVF
UJFOFO
VOB
NJTNB
NFEJEB
TPO
congruentes, es decir, que la congruencia de ángulos es una relación de equivalencia.

A

O

P

∴ +AOB ≅ +PQR

B

Q

R

$PNP
UPEB
JHVBMEBE
MB
DPOHSVFODJB
EF
ÃOHVMPT
HP[B
EF
MPT
DBSBDUFSFT
EF
JEÊOUJDP
P
SFáFKP
SFDÎQSPDP
o simétrico y transitivo.

Trazo de ángulos congruentes Si se tiene +AOB y se desea trazar el congruente +PQR, se desarrollan los pasos siguientes:  a) Se traza la recta QR marcando los puntos Q y R. b) Con apoyo del compás en el +AOB
IBDJFOEP
DFOUSP
FO
O se traza un arco de circunferencia de   DVBMRVJFS
BCFSUVSB
RVF
DPSUF
B
MBT
TFNJSSFDUBT
OA y OB .  c
$PO
FM
DPNQÃT
IBDJFOEP
DFOUSP
FO
Q
Z
DPO
MB
NJTNB
BCFSUVSB
TF
USB[B
VO
BSDP
RVF
DPSUF
B
QR en el punto T. d) Nuevamente con el compás se determina la amplitud del arco que corta al anterior en el punto P. e) Con la ayuda de la regla se une P con Q
Z
BTÎ
TF
PCUJFOF
FM
ÃOHVMP
EFTFBEP

A

∴ +AOB ≅ +PQR

A

P

Q O

B

R

B

Un método práctico consiste en emplear papel transparente para trazar un ángulo que quede TVQFSQVFTUP
BM
ZB
EJCVKBEP
Z
MMFWBSMP
QBSB
TV
USB[P
B
EPOEF
TF
EFTFF
BTÎ
TF
PCUJFOF
MB
DPOHSVFODJB
EF
ángulos deseados.

75

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 19 I. Contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Qué son los ángulos congruentes? 2. ¿Goza la congruencia de ángulos del carácter transitivo de la igualdad? 3. ¿Cuál es el proceso para trazar ángulos congruentes? II. Resuelve los siguientes problemas gráficos.





%BEPT
MPT
TJHVJFOUFT
ÃOHVMPT
USB[B
TVT
SFTQFDUJWPT
ÃOHVMPT
DPOHSVFOUFT a)

B

G

b)

O

G

O

B

c)

B

G

O

d)

O

G

B

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 76

UNIDAD Ángulos

3

Clasificación de los ángulos Ángulos convexos y cóncavos   Si en un plano se trazan dos rectas AB y PQ que se cruzan en un punto O, el plano queda dividido en cuatro partes, cada una de las cuales es un ángulo convexo. P

A

Ángulo convexo

Ángulo convexo

Ángulo convexo O Ángulo convexo

Q

B

Considerando sólo un ángulo convexo, el punto O es el vértice del ángulo y las semirrectas que lo limitan son los lados del ángulo. Si consideramos la parte exterior del ángulo convexo, se tiene un ángulo cóncavo. P

A Ángulo convexo A

P

O

O Ángulo cóncavo

  OA y OP lados. O vértice. 1PS
UBOUP
FM
ÃOHVMP
DPOWFYP
FT
BRVFM
RVF
UJFOF
MBT
QSPMPOHBDJPOFT
EF
TVT
MBEPT
IBDJB
FM
FYUFSJPS
A). &M
ÃOHVMP
DÓODBWP
FT
BRVFM
RVF
UJFOF
MBT
QSPMPOHBDJPOFT
EF
TVT
MBEPT
IBDJB
FM
JOUFSJPS
B). A B

Clasificación de los ángulos por sus medidas Ángulo agudo. Es todo ángulo cuya medida está comprendida entre 0° y 90°, es decir, menor que un recto (90°). Ángulo recto. Es aquel cuya medida es 90°, por lo tanto, es la mitad de un ángulo llano (180°). Ángulo obtuso. Es todo ángulo cuya medida es mayor que un ángulo recto (90°), y menor que un ángulo llano (180°), es decir, su medida está comprendida entre 90° y 180°.

77

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

A

A A > 0° AOB < 90° O

AOB = 90°

B

AOB

> 90° 180° 90° Tesis: +PQR  +PcQcRc

180°

 Construcción auxiliar: Prolongación de R ′Q ′
IBTUB
RVF
TF
GPSNF
FM
+a. Demostración: (1) +PQR +a
QPS
UFOFS
MBEPT
QFSQFOEJDVMBSFT
Z
TFS
BNCPT
ÃOHVMPT
BHVEPT (2) +PcQcRc  +a 180°, por ser ángulos adyacentes. Conclusión: Haciendo la sustitución de (1) en (2) resulta +PcQcRc  +PQR

180°.

Teorema 14 Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales. P

P′ a Q′

a

R′ Q

R

    Hipótesis: Q ′R′ ⊥ QR;  Q ′P ′ ⊥ QP; +PQR > 90°°; +P ′Q ′R′ > 90° Tesis: +PQR

+PcQcRc

  Construcción auxiliar: Prolongando RQ y R′Q ′ se forman los +a y +ac, que son iguales por ser agudos y tener sus lados respectivamente perpendiculares. Demostración: (1) +PQR  +a (2) +PcQcRc  +ac (3) +ac

180°, por ser ángulos adyacentes; transponiendo: +PQR

180°  +a.

180°, por ser ángulos adyacentes; transponiendo: +PcQcRc

180°  +a.

+a, por ser ángulos agudos y tener lados perpendiculares.

(4) Haciendo la sustitución de (3) en (2), tenemos +PcQcRc

180°  +a.

Conclusión: Comparando (4) y (1) y aplicando el carácter transitivo, tenemos +PQR

+PcQcRc.

EJERCICIO 23 I. En equipo, resuelvan los siguientes problemas aplicando la demostración de teoremas sobre ángulos y en plenaria discutan sus resultados. Escribe los números correspondientes

    1. Si RQ R′Q ′; QR Q ′R′ ; si +TQcS

Competencias genéricas

R

60°, encuentra +PQR.

R′

Competencias disciplinares

S 60° Q

P′

Q′ T

P

95

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

    2. Si AN CS; MN CB ; si +MNA A

60°

C

60°, determina +BCS.

B

S M

N

3. Si TV ⊥ PQ, ST ⊥ QR ; si +STV R

120°, encuentra +PQR.

S T 120°

Q

V

P

 À

96

Autoevaluación Realiza lo que se indica en cada caso.

1. ¿A cuántos grados, minutos y segundos sexagesimales equivalen 54q 856s?

2. Expresa 256°39cs en radianes.

3. Traza un ángulo de

3π radianes. 4

97

3

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

4. %FUFSNJOB
FM
ÃOHVMP
DPNQMFNFOUBSJP
EFM
ÃOHVMP
žc25s.

5. "QMJDB
MB
EFNPTUSBDJÓO
EF
UFPSFNBT
TPCSF
ÃOHVMPT
QBSB
SFTPMWFS
FM
TJHVJFOUF
QSPCMFNB Si BC ⊥ B′C ′ ; BA ⊥ B′A′; si +ABC, encuentra .

A

C′ A′

β = 60°

B′

B

98

C

UN

IDAD

Triángulos

4

Evaluación diagnóstica Realiza lo que se indica en cada caso.

1. ¿Cuál es la diferencia entre un triángulo isósceles y un escaleno?

2. Los puntos notables de un triángulo se clasifican en:

3. Enuncia el teorema de Pitágoras.

4. ¿Cómo se expresa matemáticamente el área de un triángulo?

5. ¿Para qué se utiliza la fórmula de Herón y en qué términos?

100

Triángulos Propósito de la unidad

Competencias disciplinares

Que el estudiante: r
$POP[DB
MB
EFàOJDJÓO
OPUBDJÓO
Z
DMBTJàDBDJÓO
EF
USJÃOHVMPT r
*EFOUJàRVF
MBT
SFDUBT
Z
QVOUPT
OPUBCMFT
EFM
USJÃOHVMP r
$POP[DB
MPT
UFPSFNBT
QBSB
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
Z
FYUFSOPT
EF
VO
USJÃOHVMP r
*EFOUJàRVF
MB
DPOHSVFODJB
EF
USJÃOHVMPT r
%FàOB
FM
UFPSFNB
EF
5BMFT
Z
TVT
BQMJDBDJPOFT r
*EFOUJàRVF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT r
$POP[DB
FM
UFPSFNB
EF
1JUÃHPSBT
Z
TVT
BQMJDBDJPOFT r
$BMDVMF
FM
ÃSFB
QFSÎNFUSP
Z
TFNJQFSÎNFUSP
EFM
USJÃOHVMP


$POTUSVZF
F
JOUFSQSFUB
NPEFMPT
EFUFSNJOJTUBT
NFEJBOUF
MB
BQMJDBDJÓO
EF
QSPCMFNBT
BMHFCSBJDPT
Z
HFPNÊUSJDPT
QBSB
MB
DPNQSFOTJÓO
Z
BOÃMJTJT
EF
TJUVBDJPOFT
SFBMFT
P
GPSNBMFT 
1SPQPOF
GPSNVMB
EFàOF
Z
SFTVFMWF
EJGFSFOUFT
UJQPT
EF
QSPCMFNBT
NBUFNÃUJDPT
BQMJDBOEP
EJGFSFOUFT
FOGPRVFT 
1SPQPOF
FYQMJDBDJPOFT
EF
MPT
SFTVMUBEPT
PCUFOJEPT
NFEJBOUF
QSPDFEJNJFOUPT
NBUFNÃUJDPT
Z
MPT
DPOUSBTUB
DPO
NPEFMPT
FTUBCMFDJEPT
DPO
TJUVBDJPOFT
SFBMFT 
*OUFSQSFUB
UBCMBT
HSÃàDPT
NBQBT
UFYUPT
DPO
TÎNCPMPT
NBUFNÃUJDPT
Z
DJFOUÎàDPT

Contenidos que aborda la unidad Contenidos conceptuales

r
r
r
r
r
r
r
r


%FàOJDJÓO
OPUBDJÓO
Z
DMBTJàDBDJÓO
EF
USJÃOHVMPT 3FDUBT
Z
QVOUPT
OPUBCMFT
EFM
USJÃOHVMP 5FPSFNB
QBSB
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
Z
FYUFSOPT
EF
VO
USJÃOHVMP *HVBMEBE
P
DPOHSVFODJB
EF
USJÃOHVMPT 5FPSFNB
EF
5BMFT
Z
TVT
BQMJDBDJPOFT 4FNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT 5FPSFNB
EF
1JUÃHPSBT
Z
TVT
BQMJDBDJPOFT ¦SFB
QFSÎNFUSP
Z
TFNJQFSÎNFUSP
EF
USJÃOHVMPT

Contenidos procedimentales

r
r
r
r


/PUBSÃ
MBT
EJGFSFODJBT
FOUSF
MPT
EJGFSFOUFT
USJÃOHVMPT *EFOUJàDBSÃ
MPT
QSJODJQBMFT
QVOUPT
Z
SFDUBT
OPUBCMFT
EFM
USJÃOHVMP 3FTPMWFSÃ
Z
QSPCMFNBT
DPO
CBTF
B
MPT
UFPSFNBT
BQSFOEJEPT 3FTPMWFSÃ
QSPCMFNBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB

Contenidos actitudinales

r
r
r
r


&YQSFTBSÃ
JEFBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB "QSFOEFSÃ
B
WBMPSBS
FM
USBCBKP
EF
TVT
DPNQBÒFSPT
BM
SFTPMWFS
QSPCMFNBT "SHVNFOUBSÃ
NFEJBOUF
MPT
QSPDFTPT
EFEVDUJWP
F
JOEVDUJWP
MPT
BYJPNBT
Z
QPTUVMBEPT $POUSJCVJSÃ
DPO
JEFBT
EF
NBOFSB
DSÎUJDB
Z
BDDJPOFT
SFTQPOTBCMFT
B
MB
IPSB
EF
USBCBKBS
FO
FRVJQP

101

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Definición, notación y clasificación de triángulos Definición de triángulo &T
VOB
àHVSB
DFSSBEB
P
QPMÎHPOP
GPSNBEB
QPS
USFT
SFDUBT
RVF
TF
DPSUBO
EPT
B
EPT
FO
USFT
QVOUPT
OP
DPMJ OFBMFT 
FT
FM
QPMÎHPOP
P
àHVSB
HFPNÊUSJDB
GPSNBEB
QPS
USFT
MBEPT
RVF
B
TV
WF[
GPSNBO
FOUSF
TÎ
USFT
ÃOHVMPT
1PS
UBM
SB[ÓO
FM
USJÃOHVMP
FT
VO
TVCDPOKVOUP
EF
MPT
QPMÎHPOPT B b

Vértices: A
B y C.

c

Lados: AB, BC y AC o c
a y b
SFTQFDUJWBNFOUF

a A

¦OHVMPT
JOUFSOPT +A
+B y +C o +a
+b y +c.

a

/PUBDJÓO
-ABC

c b

C

-PT
QVOUPT
EF
JOUFSTFDDJÓO
TPO
MPT
WÊSUJDFT
EFM
USJÃOHVMP
ABC. Cada uno de los segmentos AB, BC y AC
TPO
MPT
MBEPT
EFM
USJÃOHVMP
RVF
QPS
MP
HFOFSBM
TF
EFTJHOB
DPO
VOB
MFUSB
NJOÙTDVMB
F
JHVBM
B
MB
EFM
WÊSUJDF
PQVFTUP
BTÎ
FM
MBEP
AB se denomina c
ZB
RVF
FM
WÊSUJDF
C es FM
PQVFTUP
B
EJDIP
MBEP
BC = a y AC = b. -PT
MBEPT
GPSNBO
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
RVF
TF
EFTJHOBO
QPS
MBT
MFUSBT
EF
MPT
WÊSUJDFT
P
QPS
NJOÙTDVMBT
de los mismos. ?
6O
USJÃOHVMP
UJFOF

ÃOHVMPT

MBEPT
Z

WÊSUJDFT

Notación de triángulos -B
NBOFSB
NÃT
DPNÙO
EF
OPNCSBS
B
MPT
USJÃOHVMPT
FT
DPMPDBS
MBT
MFUSBT
EF
MPT
WÊSUJDFT
NBZÙTDVMBT
FO
TFHVJEB
EFM
TÎNCPMP
-
%F
MB
àHVSB
BOUFSJPS
-ABC.

Clasificación de los triángulos -PT
USJÃOHVMPT
TF
DMBTJàDBO
EF
BDVFSEP
B
MB
MPOHJUVE
EF
TVT
MBEPT
Z
EF
BDVFSEP
B
MB
NBHOJUVE
EF
TVT
ÃOHVMPT Clasificación de acuerdo a sus lados Equiláteros. 4PO
MPT
RVF
UJFOFO
TVT
USFT
MBEPT
JHVBMFT

C

b

AB = BC = AC o c = a = b

a

∴ - ABC , es un triángulo equilátero. A

c

B

102

UNIDAD Triángulos

4

Isósceles. 4PO
MPT
RVF
UJFOFO
EPT
MBEPT
JHVBMFT B

AB = BC ≠ AC o c = a ≠ b

a

c

∴ -ABC es un triángulo isósceles. A

C

b

Escalenos. 4PO
MPT
RVF
UJFOFO
TVT
USFT
MBEPT
EFTJHVBMFT B

AB ≠ BC ≠ AC o c ≠ a ≠ b

a

c

∴ -ABC es un triángulo escaleno. A

C

b

Clasificación de acuerdo a sus ángulos Acutángulos. 4PO
MPT
RVF
UJFOFO
TVT
USFT
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
BHVEPT B

+A, +B y +C < 90° ∴ +A, +B y +C son ángulos agudos. A

C

Rectángulos. 4PO
MPT
RVF
UJFOFO
VO
ÃOHVMP
SFDUP
MPT
MBEPT
RVF
GPSNBO
FM
ÃOHVMP
SFDUP
TF
EFOPNJOBO
catetos y el lado opuesto se llama hipotenusa. +A = 90°

B

∴ +A es un ángulo recto +B y +C < 90° ∴ +B y +C son ángulos agudos. 90° A

AB y AC son los catetos. C

103

BC es la hipotenusa.

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Obtusángulos. 4PO
MPT
RVF
UJFOFO
VO
ÃOHVMP
PCUVTP B

+A > 90° ∴ +A es un ángulo obtuso +B y +C < 90° C

A

∴ +B y +C son ángulos agudos.

Los triángulos acutángulos y obtusángulos se denominan también triángulos oblicuángulos debido a que ninguno de sus ángulos internos es un ángulo recto. &M
ÃOHVMP
SFDUP
TF
TFÒBMB
QPS
NFEJP
EF
VO
DVBESBEP
FO
FM
WÊSUJDF B

90° A

C

EJERCICIO 24 I. En tu cuaderno, contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.


Escribe los números correspondientes


%FàOF
USJÃOHVMP 2. ¿Qué elementos forman un triángulo?

Competencias genéricas

3. ¿Cuál es la notación de triángulo?

Competencias disciplinares

4. Cita la clasificación de los triángulos de acuerdo al número de lados y ángulos.



.FODJPOB
VOB
DBSBDUFSÎTUJDB
EFM
USJÃOHVMP isósceles.





&OVODJB
VOB
DBSBDUFSÎTUJDB
EFM
USJÃOHVMP
BDVUÃOHVMP





.FODJPOB
VOB
DBSBDUFSÎTUJDB
EFM
USJÃOHVMP
FTDBMFOP





&OVODJB
VOB
DBSBDUFSÎTUJDB
EFM
USJÃOHVMP
PCUVTÃOHVMP 9. ¿Qué otro nombre identifica a los triángulos acutángulos y obtusángulos? 10. ¿Cuál es la notación del ángulo recto en el triángulo? II. Resuelve los siguientes problemas gráficos.





*EFOUJàDB
MPT
FMFNFOUPT
Z
TV
OPUBDJÓO
EFM
TJHVJFOUF
USJÃOHVMP X

y

z

Y

x

Z

104

UNIDAD Triángulos

4

2. Clasifica y representa gráficamente el tipo de triángulos de acuerdo al número de lados.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Rectas y puntos notables del triángulo -PT
QVOUPT
OPUBCMFT
EF
VO
USJÃOHVMP
TPO
MPT
QVOUPT
EF
JOUFSTFDDJÓO
EF
MBT
SFDUBT
OPUBCMFT
TF
DMBTJàDBO
FO
CJTFDUSJDFT
NFEJBUSJDFT
BMUVSBT
Z
NFEJBOPT
EF
VO
USJÃOHVMP

Incentro Es el punto de intersección de las bisectrices
EF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EFM
USJÃOHVMP
FT
EFDJS
FM
DFOUSP
EF
la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son tangentes a la circunferencia.

Bisectriz del ángulo &T
MB
TFNJSSFDUB
JOUFSJPS
BM
ÃOHVMP
RVF
MP
EJWJEF
FO
EPT
QBSUFT
P
ÃOHVMPT
JHVBMFT

A

AO, BO y CO = Bisectrices O

AO ∩ BO ∩ CO = 0 O es el incentro.

B

C

En cualquier triángulo el incentro es interior al triángulo.

Circuncentro Es el punto de intersección de las mediatrices
EF
MPT
MBEPT
EFM
USJÃOHVMP
BEFNÃT
FT
FM
DFOUSP
EF
MB
circunferencia circunscrita.

105

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Mediatriz &T
MB
SFDUB
QFSQFOEJDVMBS
RVF
DPSUB
FM
QVOUP
NFEJP
EF
VO
TFHNFOUP
BM
USB[BS
VO
DÎSDVMP
DFOUSBEP
FO
FM
circuncentro y de radio igual a la magnitud del segmento OB
TF
PCTFSWB
RVF
EJDIP
DÎSDVMP
FT
DJSDVOTDSJUP
al triángulo.

B

L

M

L

KO, LO y MO = Mediatrices

K

B

C O

KO ∩ LO ∩ MO = 0

O

M

A

O es el circuncentro. C

A K

Es un triángulo acutángulo el circuncentro es interior al triángulo.

En un triángulo rectángulo u obtusángulo el circuncentro es exterior al triángulo.

Ortocentro Es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo.

Altura del triángulo Es el TFHNFOUP
EF
SFDUB
USB[BEP
EFTEF
VO
WÊSUJDF
QFSQFOEJDVMBSNFOUF al lado opuesto.

B

L

AL ⊥ BC

M

BK ⊥ AC

O

CM ⊥ AB AL, BK y CM = Alturas C

A K

En el triángulo acutángulo el ortocentro es interior al triángulo.

106

AL ∩ BK ∩ CM = 0

UNIDAD Triángulos

4

AB ⊥ AC

B

AC ⊥ AB

D

AD ⊥ BC AB, AC y AD = Alturas C

AO

AB ∩ AC ∩ AD = 0 O es el ortocentro.

En el triángulo rectángulo el ortocentro DPJODJEF
DPO
FM
WÊSUJDF
EFM
ÃOHVMP
SFDUP B

AO ⊥ BC

D

BO ⊥ AC

C

A

DO ⊥ AB AO, BO y DO = Alturas AO ∩ BO ∩ DO = 0 O

O es el ortocentro.

En el triángulo obtusángulo el ortocentro es exterior al triángulo y es el punto de intersección de las prolongaciones de las alturas.

Gravicentro, baricentro o centro de gravedad Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo.

Mediana &T
FM
TFHNFOUP
USB[BEP
EF
VO
WÊSUJDF
BM
QVOUP
NFEJP
EFM
MBEP
PQVFTUP
&M
HSBWJDFOUSP
TJFNQSF
FT
JOUFSJPS
al triángulo. B L

M

AL , BK y CM = Medianas

O A

AL ∩ BK ∩ CM = O O es el gravicentro.

C K

107

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 25 I. Escribe dentro del paréntesis el número que corresponde a la respuesta correcta, tomándolo de la lista de la derecha:




*OUFSTFDDJÓO
EF
MBT
CJTFDUSJDFT
EF
MPT
ÃOHVMPT
interiores del triángulo.





"MUVSB
EFM
USJÃOHVMP 2. Mediana




*OUFSTFDDJÓO
EF
MBT
NFEJBUSJDFT
EF
MPT
MBEPT
del triángulo.





*ODFOUSP




*OUFSTFDDJÓO
EF
MBT
USFT
BMUVSBT
EFM
USJÃOHVMP


*OUFSTFDDJÓO
EF
MBT
NFEJBOBT
EF
MPT
MBEPT
EFM
triángulo.


1FSQFOEJDVMBS
RVF
DPSUB
FM
QVOUP
NFEJP
EF
un segmento.

4
FHNFOUP
EF
SFDUB
USB[BEP
EFTEF
VO
WÊSUJDF
perpendicular al lado opuesto.


4FHNFOUP
USB[BEP
EF
VO
WÊSUJDF
BM
QVOUP
NFdio del lado opuesto.




4.

Bisectriz

5.

Ortocentro

6.

Mediatriz

7.

Circuncentro



(SBWJDFOUSP

II. Contesta las siguientes preguntas.

1.

¿Cuál es la ubicación del circuncentro en el triángulo rectángulo u obtusángulo?

2.

¿Cuál es la ubicación del ortocentro en un triángulo rectángulo?

3.

¿Cuál es la ubicación del incentro en cualquier triángulo?

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Teoremas para ángulos internos y externos de un triángulo Teorema para ángulos internos de un triángulo -PT
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
EF
DVBMRVJFS
USJÃOHVMP
TVNBO
EPT
ÃOHVMPT
SFDUPT
q). T

Q

x y P

R

Hipótesis: +p
+q y +r son los ángulos internos del -PQR. Tesis: +p  +q  +r

180q

108

S

UNIDAD Triángulos

4

Construcción auxiliar: 1PS
FM
WÊSUJDF
R se traza RT PQ formando el ángulo x y RS
QSPMPOHBDJÓO
EF
PR
GPSNB
FM
ÃOHVMP
y. Demostración: M

+r  +x  +y llano.

180q
QPS
TFS
ÃOHVMPT
DPOTFDVUJWPT
Z
GPSNBS
VO
ÃOHVMP
DPMJOFBM
P






+y

+p
QPS
TFS
ÃOHVMPT
DPSSFTQPOEJFOUFT





+x

+q
QPS
TFS
ÃOHVMPT
BMUFSOPT
JOUFSOPT






4VTUJUVZFOEP

Z

FO
M


UFOFNPT
RVF
+r  +q  +p todo valor puede ser sustituido por su igual.

Conclusión: +p  +q  +r

180q
QPS
FM
BYJPNB


180q

%F
FTUF
UFPSFNB
TF
EFEVDF
FM
TJHVJFOUF
DPSPMBSJP

Corolario &O
VO
USJÃOHVMP
SFDUÃOHVMP
TVT
ÃOHVMPT
BHVEPT
TVNBO
VO
ÃOHVMP
SFDUP
q). Como el triángulo rectánHVMP
UJFOF
VO
ÃOHVMP
SFDUP
q


MPT
PUSPT
EPT
EFCFSÃO
TVNBS
q para cumplir con el teorema anterior. "TÎ
NJTNP
TF
FTUBCMFDF
FO
VO
USJÃOHVMP
FRVJMÃUFSP
DBEB
VOP
EF
TVT
ÃOHVMPT
UJFOF
VO
WBMPS
JHVBM
B
q.

Teoremas para ángulos externos de un triángulo 5PEP
ÃOHVMP
FYUFSJPS
EF
VO
USJÃOHVMP
FT
JHVBM
B
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
OP
BEZBDFOUFT

B b d a A

c

C

Hipótesis: En el -ABC sus ángulos internos son +a
+b y +c; el +d es su ángulo externo. Tesis: +d

+b  +c.

Demostración: 
+a  +b  +c

180q
QPS
TFS
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
EF
VO
USJÃOHVMP





+d  +a

180q
QPS
TFS
ÃOHVMPT
BEZBDFOUFT
Z
GPSNBS
VO
ÃOHVMP
DPMJOFBM
P
MMBOP





+d  +a

+a  +b  +c
QPS
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP
EF
MB
JHVBMEBE






+d +b  +c
BQMJDBOEP
FM
BYJPNB
TJ
B
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
TF
TVNBO
P
SFTUBO
DBOUJEBEFT
JHVBMFT
MPT
SFTVMUBEPT
TPO
JHVBMFT

Conclusión: +d

+b  +c.

109

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Teorema -B
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
FYUFSOPT
EF
DVBMRVJFS
USJÃOHVMP
TPO
DVBUSP
ÃOHVMPT
SFDUPT
q).

B

y

b c

a

A

z

C x

Hipótesis: En el -ABC sus ángulos internos son +a
+b y +c; sus ángulos externos son +x
+y y +z. Tesis: +x  +y  +z

360q

Demostración: M

+a  +x 180q
+b  +y 180q
+c  +z formar ángulos colineales o llanos.

180q; por ser ángulos adyacentes y






+a  +b  +c  +x  +y  +z sumarse miembro a miembro.






+a  +b  +c






4VTUJUVZFOEP

FO



UFOFNPT
+x  +y  +z  180q 540q; aplicando el axioma: un número se puede sustituir por su igual en cualquier operación.






+x  +y  +z

180q; por ser ángulos internos de un triángulo.

540q 180q
USBTQPOJFOEP
UÊSNJOPT
JOEFQFOEJFOUFT ?

Conclusión: +x  +y  +z

540q; por el axioma: dos o más igualdades pueden

+x  +y  +z

360q

360q

EJERCICIO 26 I. En equipo, aplicando los teoremas para ángulos internos y externos de un triángulo, resuelvan los siguientes problemas y en plenaria discutan sus resultados. Escribe los números
correspondientes


y$VÃOUP
WBMF
VO
ÃOHVMP
EF
VO
USJÃOHVMP
FRVJMÃUFSP

Competencias genéricas Competencias disciplinares

110

UNIDAD Triángulos




4


%
PT
ÃOHVMPT
EF
VO
USJÃOHVMP
NJEFO
q y 30q
SFTQFDUJWBNFOUF
yDVÃOUP
NJEF
FM
UFSDFS
ÃOHVMP
Z
DBEB
uno de los ángulos externos?

3. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles miden 35q
DBEB
VOP
yDVÃOUP
NJEF
FM
ÃOHVMP
PQVFTUP
a la base?

4. Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 40q
FO
FM
WÊSUJDF
yRVÊ
ÃOHVMPT
GPSNBO
MBT
CJTFDUSJDFT
EF
los otros dos ángulos?





4
J
FM
+z es igual a 40q y +TQR
FT
SFDUP
EB
Z
SFQSFTFOUB
HSÃàDBNFOUF
MPT
WBMPSFT
EF
MPT
ÃOHVMPT
+QPR +PRQ y +PQR.

II. Contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.

1. Enuncia el teorema para los ángulos internos de un triángulo. 2. ¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? 3. Enuncia el teorema para los ángulos externos de un triángulo.

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 111

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Igualdad o congruencia de triángulos Congruencia de triángulos 1BSB
DPOPDFS
TJ
EPT
USJÃOHVMPT
TPO
JHVBMFT
TF
BQMJDB
FM
NÊUPEP
EF superposición
1PS
FKFNQMP
BM
MMFWBS
el -PQR sobre el -PcQcRc
TF
PCTFSWB
RVF
DBEB
VOP
EF
MPT
WÊSUJDFT
EFM
QSJNFS
USJÃOHVMP
DPJODJEF
DPO
MPT
EFM
TFHVOEP
USJÃOHVMP
Z
RVF
UBNCJÊO
DPJODJEFO
TVT
MBEPT
QPS
MP
UBOUP
IBZ
DPOHSVFODJB
FOUSF
MPT
EPT
triángulos superpuestos.

Q

Q′

PQ = P ′Q ′ QR = Q ′R ′ PR = P ′R ′ +p = +p ′

P

R

P′

R′ P′Q′R′

PQR

+q = +q ′ +r = +r ′

Q′ Q

P′ P

R′ R

∴ PQR ≅ P′Q′R′ Un triángulo es congruente cuando sus lados y ángulos de uno TPO
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBMFT
B
MPT
MBEPT
Z
ÃOHVMPT
EFM
PUSP

/P
PCTUBOUF
QBSB
EFNPTUSBS
RVF
EPT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
OP
FT
OFDFTBSJP
EFNPTUSBS
MB
JHVBMEBE
EF
MPT
USFT
MBEPT
P
EF
MPT
USFT
ÃOHVMPT
ZB
RVF
MB
QSÃDUJDB
IB
DPNQSPCBEP
RVF
DPOPDJFOEP
ÙOJDBNFOUF
BMHVOPT
EF
TVT
FMFNFOUPT
QPS
MP
NFOPT
MPT
RVF
TF
SFàFSFO
B
MPT
MBEPT
OFDFTBSJBNFOUF
TF
DVNQMFO
MBT
otras condiciones.

Criterios empleados en la congruencia de triángulos $PNP
FO
UPEB
JHVBMEBE
MB
DPOHSVFODJB
EF
USJÃOHVMPT
TBUJTGBDF
MPT
DBSBDUFSFT
EF
JEÊOUJDP
P
SFáFKP
SFDÎQSPDP
P
TJNÊUSJDP
Z
USBOTJUJWP

112

UNIDAD Triángulos

4

%F
MP
BOUFSJPS
TF
FTUBCMFDFO
MPT
TJHVJFOUFT
DSJUFSJPT
TPCSF
MB
JHVBMEBE
EF
USJÃOHVMPT M
%PT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
JHVBM
VO
ÃOHVMP
Z
MPT
EPT
MBEPT
RVF
DPOGPSNBSPO
EJDIP
ángulo. Q′

Q

α P

R

α′

P′

R′

Si + α = + α′, PQ = P ′Q ′, PR = P ′R′

∴ -PQR ≅ -P ′Q ′R′


%PT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
EPT
ÃOHVMPT
JHVBMFT
Z
FM
MBEP
BEZBDFOUF
B
FMMPT

Q

α

Q′

β′

α′

β

P

R

Si PR = P ′R′, + α = + α′, +β = +β ′

R′

P′

∴ -PQR ≅ -P ′Q ′R′


%PT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
SFTQFDUJWBNFOUF
VOP
B
VOP
TVT
USFT
MBEPT

Q

P

Q′

P′

R

Si PQ = P ′Q ′, QR = Q ′R′, PR = P ′R′

R′

∴ -PQR ≅ -P ′Q ′R ′

Criterios empleados en la congruencia de triángulos rectángulos 4J
TF
USBUB
EF
EPT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
MPT
USFT
DSJUFSJPT
BOUFSJPSFT
TF
TJNQMJàDBO
QVFT
MPT
USJÃOHVMPT
ZB
UJFOFO
VO
ÃOHVMP
JHVBM
QPS
MP
RVF
TF
QVFEFO
DPOTJEFSBS
MPT
TJHVJFOUFT
DSJUFSJPT

113

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

M
%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
JHVBMFT
MPT
EPT
DBUFUPT

Q′

Q

90°

90° P

P′

R

R′

Si PR = P ′R′ y PQ = P ′Q ′ entonces, -PQR es igual a -P ′Q ′R′ por tener dos lados iguales F
JHVBM
FM
ÃOHVMP
DPNQSFOEJEP
ZB
RVF
+p +pc 90q 
%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBMFT
VO
DBUFUP
Z
VO
ángulo. a) Un cateto y el ángulo adyacente.

Si PR = P ′R′ y +β = +β ′

Q′

Q

∴ - PQR ≅ -P ′Q ′R′ por tener un lado igual e 90°

90°

B

P

R

B′

iguales los dos ángulos

P′

R′

adyaacentes.

b) Un cateto y un ángulo opuesto. Q

Q′

α

Si PR = P ′R′ y + α = + α′ ∴ - PQR ≅ - P ′Q ′R′

α′

P

por tener un lado igual e iguales

90°

90° R

P′

R′

los dos ángulos adyacentes.


%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
JHVBM
MB
IJQPUFOVTB
Z
VOP
EF
MPT
DBUFUPT Q

Q′

Si QR = Q ′R′ y PR = P ′R′ ∴ - PQR ≅ - P ′Q ′R ′

90° P

90° R

P′

114

por tener tres lados iguales. R′

UNIDAD Triángulos

4


%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
DVBOEP
UJFOFO
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBM
MB
IJQPUFOVTB y un ángulo.

Q

Si QR = Q ′R′ y +β = +β ′

Q′

∴ - PQR ≅ - P ′Q ′R′ B P

por tener iguales un lado y

B′ R

P′

R′

los dos ángulos adyacenttes.

Propiedades de los triángulos congruentes 
&O
EPT
USJÃOHVMPT
DPOHSVFOUFT
B
ÃOHVMPT
JHVBMFT
TF
PQPOFO
MBEPT
JHVBMFT
Z
SFDÎQSPDBNFOUF
&TUPT
MBEPT
Z
ÃOHVMPT
TF
MMBNBO
IPNÓMPHPT 
&O
VO
USJÃOHVMP
VO
MBEP
FT
NFOPS
RVF
MB
TVNB
EF
MPT
PUSPT
EPT
Z
NBZPS
RVF
MB
EJGFSFODJB 
&O
VO
USJÃOHVMP
B
NBZPS
MBEP
TF
PQPOF
NBZPS
ÃOHVMP
Z
SFDÎQSPDBNFOUF 
&O
EPT
USJÃOHVMPT
RVF
UJFOFO
EPT
MBEPT
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBMFT
Z
EFTJHVBM
FM
ÃOHVMP
DPNQSFOEJEP
B
mayor ángulo se opone mayor lado. 5. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también mediana y bisectriz del triángulo.

Aplicaciones de la igualdad de triángulos l. Para demostrar que dos segmentos son congruentes suele ser útil demostrar que se oponen a ángulos iguales en triángulos iguales. 
1BSB
EFNPTUSBS
RVF
EPT
ÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
TVFMF
TFS
ÙUJM
EFNPTUSBS
RVF
EJDIPT
ÃOHVMPT
TF
PQPOFO
a lados iguales en triángulos iguales.

EJERCICIO 27 I. Contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Cuándo existe la congruencia de triángulos? 2. Escribe los criterios que establecen la congruencia de triángulos. 3. Escribe los criterios aplicados en la congruencia de triángulos rectángulos. 4. Enuncia las propiedades de la congruencia de triángulos. 5. Cita las aplicaciones de la congruencia de triángulos.

115

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

II. Escribe la letra F si el enunciado es falso o V si el enunciado es verdadero.




M
%PT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
TJ
UJFOFO
MPT
USFT
MBEPT
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBMFT
. . . . . . . .





&
O
VO
USJÃOHVMP
VO
MBEP
FT
NBZPS
RVF
MB
TVNB
EF
MPT
PUSPT
EPT
MBEPT
Z
NFOPS
que la diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





%
PT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
TJ
UJFOFO
JHVBMFT
EPT
MBEPT
Z
FM
ÃOHVMP
DPNQSFOEJEP
entre ellos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





%PT
USJÃOHVMPT
TPO
DPOHSVFOUFT
TJ
TVQFSQVFTUPT
DPJODJEFO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





&O
VO
USJÃOHVMP
B
NBZPS
MBEP
TF
PQPOF
NFOPS
ÃOHVMP
Z
WJDFWFSTB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Resuelve los siguientes problemas gráficos.


Escribe los números correspondientes


5SB[B
MPT
USJÃOHVMPT
DPOHSVFOUFT
B
MPT
USJÃOHVMPT
EBEPT a)

Competencias genéricas Competencias disciplinares

b)

c)

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 116

UNIDAD Triángulos

4

Teorema de Tales y sus aplicaciones Teorema de Tales 4J
VO
TJTUFNB
EF
SFDUBT
QBSBMFMBT
DPSUBO
B
EPT
USBOTWFSTBMFT
ÊTUBT
EFUFSNJOBO
FO
FMMPT
TFHNFOUPT
DPSSFTpondientes proporcionales. P

P′ A′

A x

x′ B′

B x

x′

x

x′

x

x′ C′

C

   Hipótesis: AA′ BB′ CC ′; P y Pc
TPO
MBT
USBOTWFSTBMFT
AB y BC son segmentos correspondientes de P y A ′B ′ y B ′C ′ son segmentos correspondientes de Pc. Tesis:

AB A ′B ′ . = BC B′C ′

′ Construcción auxiliar: %JWJEJNPT
MPT
TFHNFOUPT
AB y BC por un segmento unidadxx  que  esté  conUFOJEP
VO
OÙNFSP
FYBDUP
EF
WFDFT
QPS
MPT
QVOUPT
RVF
TF
EFUFSNJOBO
TF
USB[BO
QBSBMFMBT
AA ′, BB ′ y CC ′; para el segmento AB lo contiene m
WFDFT
EPT
Z
BC lo contiene n
WFDFT
DVBUSP  Demostración: 
AB = m( xx ′); por la construcción auxiliar.




BC = n ( xx ′); por la construcción auxiliar. AB m 

= ; por la razón de dos segmentos es el cociente de sus medidas con la misma n BC unidad. Dos igualdades pueden dividirse miembro a miembro, dando lugar a otra igualdad.




1PS
MBT
NJTNBT
SB[POFT
UFOFNPT
QBSB
MPT
TFHNFOUPT





A ′B ′ = m( xx ′)





B ′C ′ = n( xx )




′ ′ 
A B = m B ′C ′ n

117

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA


"M
BQMJDBS
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP B
MB
JHVBMEBE
FO

Z



TF
UJFOF Conclusión:

AB A ′B ′ = . BC B ′C ′ &TUF
UFPSFNB
EF
5BMFT
TF
WFSJàDB
QBSB
DVBMRVJFS
OÙNFSP
EF
QBSBMFMBT
Z
TJO
JNQPSUBS
MB
QPTJDJÓO
RVF
QVFEBO
UFOFS
MPT
USBOTWFSTBMFT

Aplicación del teorema de Tales a los triángulos $PNP
DPOTFDVFODJB
EFM
UFPSFNB
EF
5BMFT
Z
BQMJDBEP
BM
DBTP
EF
USJÃOHVMPT
TF
UJFOF
FM
TJHVJFOUF
teorema: Teorema: Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados, en segmentos proporcionales.

Q A

B

X

Y

P

R

  Hipótesis: Es el PQR, XY PR.

Tesis:

QX QY = . XP YR

   Construcción auxiliar: Por Q se traza AB XY PR.    Demostración: 
AB XY PR, por construcción auxiliar.



QP y QR
TPO
USBOTWFSTBMFT

Conclusión: "M
BQMJDBS
FM
UFPSFNB
EF
5BMFT
TF
UJFOF


118

OX QY = . XP YR

UNIDAD Triángulos

4

EJERCICIO 28 I. Resuelve los siguientes problemas gráficos y en plenaria discute tus resultados. Escribe los números
correspondientes


%FNVFTUSB
RVF


CB CD de la siguiente figura cumple que BD AE . = BA DE

Competencias genéricas Competencias disciplinares

C

D

B

E

A





&O
MB
àHVSB
TJ
BD AE y CB = 2 AB,
yRVÊ
WBMPS
UJFOFO
CD y DE ?

C

B

A

D

E






&O
MB
NJTNB
àHVSB
EFM
QSPCMFNB
BOUFSJPS
TJ
BD AE , CB = 7 cm, BA = 3 cm y CD = 5 cm, ¿qué WBMPS
UJFOF
DE ?





&TDSJCF
Z
EFNVFTUSB
FM
FOVODJBEP
EFM
UFPSFNB
EF
5BMFT

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 119

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Semejanza de triángulos Concepto de semejanza 4F
EFOPNJOB
TFNFKBO[B
B
MBT
DBSBDUFSÎTUJDBT
Z
DPOEJDJPOFT
HFPNÊUSJDBT
QBSB
SFQSPEVDJS
MBT
àHVSBT
DPO
UPEPT
TVT
EFUBMMFT
BM
IBDFS
WBSJBS
ÙOJDBNFOUF
TV
UBNBÒP
Z
DPOTFSWBS
TV
GPSNB
&M
TÎNCPMP
EF
MB
TFNFKBO[B
FT
.

Triángulos semejantes %PT
USJÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
SFTQFDUJWBNFOUF
TVT
ÃOHVMPT
JHVBMFT
VOP
B
VOP
Z
TVT
MBEPT
son proporcionales. B B′

Son lados proporcionales: AB y A ′B ′; BC y B ′C ′; AC y A ′C ′.

A

C

A′

C′

AB BC AC = = 4J
+a +ac+b +bc y +c +cc;
MBEPT
QSPQPSDJPOBMFT
P
SB[ÓO
EF
TFNF′B′ B′C ′ A′C ′ A KBO[B


FOUPODFT
-ABC -AcBcCc.

Caracteres de la semejanza de triángulos -B
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT
FT
VOB
SFMBDJÓO
EF
FRVJWBMFODJB
Z
QPS
MP
UBOUP
TBUJTGBDF
MPT
DBSBDUFSFT
EF a) Idéntico o reflejo
5PEP
USJÃOHVMP
FT
TFNFKBOUF
B
TÎ
NJTNP
-PQR  -PQR. b) Recíproco o simétrico
4J
VO
USJÃOHVMP
FT
TFNFKBOUF
B
PUSP
ÊTUF
FT
TFNFKBOUF
BM
QSJNFSP
-PQR  -PcQcRc también -PcQcRc  -PQR. c) Transitivo
%PT
USJÃOHVMPT
TFNFKBOUFT
B
VO
UFSDFSP
TPO
TFNFKBOUFT
FOUSF
TÎ -PQR  -PsQsRs y -PcQcRc  -PsQsRs;FOUPODFT -PQR  -PcQcRc.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos Toda paralela a un lado de un triángulo, forma como los otros lados un triángulo semejante al original. Q

X P

Y

Z

120

R

UNIDAD Triángulos

4

Hipótesis: En el - PQR
XY PR. Tesis: - XQY  -PQR. Construcción auxiliar: Por el punto Y se traza YZ PQ y se forma el -RYZ. Demostración: En los - PQR y - XQY
TF
UJFOF
+q +q por ser un ángulo común. +x +p y +y +r por ser ángulos correspondientes. XQ YQ =
TPO
MBEPT
QSPQPSDJPOBMFT
QPS
TFS
XY PR
UFPSFNB
EF
5BMFT  PQ RQ





M














$PNQBSBOEP

Z



UFOFNPT






PZ = XY , por ser lados opuestos del paralelogramo PZXY.





4VTUJUVZFOEP

FO



UFOFNPT


YQ PZ =
TPO
MBEPT
QSPQPSDJPOBMFT
TJFOEP
YZ QP con base en la construcción RQ PR auxiliar UFPSFNB
EF
5BMFT 

Conclusión: +q = +q, +x = +p, +y = +r y

XQ YQ PZ = =
BQMJDBOEP
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP PQ RQ PR

XQ YQ XY = = . PQ RQ PZ

XQ YQ XY = = PQ RQ PZ

∴ XQY ∼ PQR.

Teorema recíproco del fundamental de la semejanza de triángulos Todo triángulo semejante a otro es igual a uno de los triángulos que pueden obtenerse trazando una paralela a la base de éste.

Casos de la semejanza de triángulos 1BSB
EFUFSNJOBS
MB
TFNFKBO[B
FOUSF
EPT
USJÃOHVMPT
OP
FT
OFDFTBSJP
DPOPDFS
MB
JHVBMEBE
EF
UPEPT
MPT
ÃOHVMPT
Z
MB
QSPQPSDJPOBMJEBE
EF
MPT
MBEPT
IPNÓMPHPT
UBM
Z
DPNP
MP
JOEJDB
FM
UFPSFNB
GVOEBNFOUBM
SB[ÓO
RVF
QFSNJUF
FTUBCMFDFS
MPT
TJHVJFOUFT
DBTPT
EF
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT 
%PT
USJÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
EPT
ÃOHVMPT
SFTQFDUJWBNFOUF
JHVBMFT Q Q′

X

Y

P

R

121

P′

R′

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Hipótesis: +p

+pc; +q

+qc.

Tesis: -PQR  -PcQcRc   Construcción auxiliar: 5PNFNPT
XQ = P ′Q ′ y tracemos XY PR, formando el -XQY. Demostración: En los -XQY y -PcQcRc
UFOFNPT XQ = P ′Q ′,

QPS
DPOTUSVDDJÓO
BVYJMJBS
+q +qc
QPS
IJQÓUFTJT
+x +p por ser ángulos correspondientes y +p +pc QPS
IJQÓUFTJT
FOUPODFT
+x +pc al BQMJDBS
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP



M

- XQY

-PcQcRc
QPS
UFOFS
JHVBMFT
VO
MBEP
Z
MPT
EPT
ÃOHVMPT
BEZBDFOUFT





- PQR  - XQY
BQMJDBOEP
FM
UFPSFNB
GVOEBNFOUBM
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT

Conclusión: "M
DPNQBSBS

Z

Z
BQMJDBS
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP
TF
UJFOF
- PQR  - PcQcRc. 
%PT
USJÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
EPT
MBEPT
QSPQPSDJPOBMFT
F
JHVBM
FM
ÃOHVMP
DPNQSFOEJEP

Q Q′

X

Y

R

P

Hipótesis: +q = +q ′;

P′

R′

PQ RQ = . P ′Q ′ R ′Q ′

Tesis: PQR ∼ P ′Q ′R′.   Construcción auxiliar: Tomemos XQ = P ′Q ′ al trazar XY PR, se forma el XQY ∼ PQR. Demostración: En el -XQY y -PcQcRc:




XQ PcQc
QPS
DPOTUSVDDJÓO
BVYJMJBS
+q -XQY.











+qc
QPS
IJQÓUFTJT
&O
MPT
-PQR y

PQ RQ =


QPS
TFS
MBEPT
IPNÓMPHPT
EF
EPT
USJÃOHVMPT
TFNFKBOUFT XQ YQ PQ RQ 
4VTUJUVZFOEP

FO



UFOFNPT
= . P ′Q ′ YQ PQ RQ = 



QPS
IJQÓUFTJT P ′Q ′ R ′Q ′

122

UNIDAD Triángulos




4

RQ RQ = YQ R ′Q ′ ( RQ ) ( R′Q ′) despeKBOEP
YQ : YQ = = R′Q ′; entonces, - XQY = -P ′Q ′R′ por tener RQ



$PNQBSBOEP

Z



BQMJDBOEP
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP
UFOFNPT


dos lados iguales e igual el ángulo comprendido. Conclusión: Como -PQR  -XQY
QPS
FM
UFPSFNB
GVOEBNFOUBM
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT
Z -XQY  -PcQcRc
QPS
FM
DBSÃDUFS
JEÊOUJDP
FOUPODFT
-PQR  - PcQcRc
BM
BQMJDBS
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP 
%PT
USJÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
QSPQPSDJPOBMFT
TVT
USFT
MBEPT

Q Q′

X

Y

Hipótesis:

P′

R

P

R′

PQ RQ PR . = = P ′Q ′ R ′Q ′ P ′R ′

Tesis: PQR ∼ P ′Q ′R′   Construcción auxiliar: Tomemos XQ = P ′Q ′ y trazando XY PR, se forma el XQY ∼ PQR Demostración:
M



RQ RQ PR = = , por ser -PQR -XQY en la construcción auxiliar. XQ YQ XY




 Como XQ = P ′Q ′, por construcción.





4VTUJUVZFOEP

FO



UFOFNPT












$PNQBSBOEP

Z

Z
BQMJDBOEP
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP


PQ RQ PR = = . ′ ′ YQ XY PQ

PQ RQ PR = = ,
QPS
IJQÓUFTJT P ′Q ′ R ′Q ′ P ′R ′ RQ PR RQ PR = = = . YQ XY R ′Q ′ P ′R ′

5PNBOEP
MBT
SB[POFT

Z


UFOFNPT ( PQ ) ( P ′Q ′) PQ PQ = despejando XQ : XQ = = P ′Q ′. XQ P ′Q ′ ( PQ )

123

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

5PNBOEP
MBT
SB[POFT

Z



UFOFNPT ( RQ ) ( R′Q ′) RQ RQ = despejando YQ : YQ = = R′Q ′ YQ R′Q ′ ( RQ ) Conclusión: XQ = P ′Q ′, YQ = R′Q ′, demostrado; XY = P ′R ′, por construcción. ? -XQY -PcQcRc
QPS
UFOFS
TVT
USFT
MBEPT
JHVBMFT
DPNP
-PQR -XQY por el teorema GVOEBNFOUBM
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT
-XQY  - PcQcRc
QPS
FM
DBSÃDUFS
JEÊOUJDP ?

-PQR -PcQcRc
QPS
FM
DBSÃDUFS
USBOTJUJWP

Casos de semejanza de triángulos rectángulos $PNP
UPEPT
MPT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
UJFOFO
VO
ÃOHVMP
SFDUP
JHVBM
FOUSF
FMMPT
TV
TFNFKBO[B
TF
DPOEJDJPOB
a los siguientes casos: 
%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
VO
ÃOHVMP
BHVEP
JHVBM +p = +p ′ = 90°

Q

Q′

+r = +r ′ ∴ PQR ∼ PQR

90° P

90° P′

R

R′


%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
MPT
DBUFUPT
QSPQPSDJPOBMFT Q

p = p′ = 90°

Q′

Si 90°

90° R

P

∴ PQR ∼ P ′Q ′R ′

R′

P′

PR PQ = P ′R ′ P ′Q ′


%PT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
TPO
TFNFKBOUFT
DVBOEP
UJFOFO
MB
IJQPUFOVTB
Z
VO
DBUFUP
QSPQPSDJPOBM Q

p = p′ = 90°

Q′

Si 90°

90° P

R

P′

124

R′

RQ PQ = R ′Q ′ P ′Q ′ ∴ PQR ∼ P ′Q ′R ′

UNIDAD Triángulos

4

Proporcionalidad de las alturas de dos triángulos semejantes -BT
BMUVSBT
EF
EPT
USJÃOHVMPT
TFNFKBOUFT
TPO
QSPQPSDJPOBMFT
TJFNQSF
Z
DVBOEP
TFBO
MBT
IPNÓMPHBT
MP
cual conduce al siguiente teorema.

Teorema -BT
BMUVSBT
IPNÓMPHBT
EF
EPT
USJÃOHVMPT
TFNFKBOUFT
TPO
QSPQPSDJPOBMFT
B
TVT
MBEPT
DPSSFTQPOEJFOUFT C C′

A

90°

B

D

A′

90° D′

B′

Los triángulos ACD y AcCcDc
TPO
TFNFKBOUFT
QPS
TFS
SFDUÃOHVMPT
Z
UFOFS
VO
ÃOHVMP
BHVEP
JHVBM
+A +Ac). Luego:

AC CD =


DPNP
TF
FOVODJB
FO
FM
UFPSFNB A′C ′ C ′D ′

EJERCICIO 29 I. En tu cuaderno, contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares


y2VÊ
TF
FOUJFOEF
QPS
TFNFKBO[B





&YQMJDB
DVÃOEP
TPO
TFNFKBOUFT
EPT
USJÃOHVMPT





y$VÃMFT
TPO
MPT
DBSBDUFSFT
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT





&TDSJCF
FM
UFPSFNB
GVOEBNFOUBM
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT





y$ÓNP
TF
FOVODJB
FM
UFPSFNB
SFDÎQSPDP
EFM
UFPSFNB
GVOEBNFOUBM
FO
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT






$JUB
MPT
DBTPT
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT





y$VÃMFT
TPO
MPT
DBTPT
EF
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMP
SFDUÃOHVMPT





&OVODJB
FM
UFPSFNB
TPCSF
MB
QSPQPSDJPOBMJEBE
EF
MBT
BMUVSBT
EF
EPT
USJÃOHVMPT
TFNFKBOUFT II. Resuelve los siguientes problemas gráficos y en plenaria discute tus resultados.


y$VÃM
FT
MB
QSPQPSDJÓO
OFDFTBSJB
QBSB
EFNPTUSBS
MB
TFNFKBO[B
EF
USJÃOHVMPT
FO
MBT
TJHVJFOUFT
àHVSBT 1.

3

10

7

16

125

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

2.

5 6

14 11

3. 12

9

8

14






B
TPNCSB
EF
VO
QPTUF
FT
EF

N
FO
FM
JOTUBOUF
FO
RVF
MB
TPNCSB
EF
VOB
WBSJMMB
EF

N
NJEF

N
TJ
TF
DPMPDBO
QPTUF
Z
WBSJMMB
DPNP
TF
JOEJDB
FO
MB
àHVSB
yDVÃM
FT
MB
BMUVSB
EFM
QPTUF P′ P Poste Varilla Q




R

Q′

R′


6
OB
SFHMB
EF

N
EF
MBSHP
RVF
TF
DPMPDB
WFSUJDBMNFOUF
QSPZFDUB
VOB
TPNCSB
EF

N
FO
FM
NPNFOUP
FO
RVF
VOB
UPSSF
QSPZFDUB
VOB
TPNCSB
EF

N
yRVÊ
BMUVSB
UJFOF
MB
UPSSF

Torre Regla





$BMDVMB
MB
BODIVSB
EFM
SÎP
EBEPT
MPT
EBUPT
EF
MB
TJHVJFOUF
àHVSB B

A

28 m

C

8m

D 15 m E

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 126

UNIDAD Triángulos

4

Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 1JUÃHPSBT
PCTFSWÓ
RVF
QBSB
UPEPT
MPT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT
MPT
DVBESBEPT
DPOTUSVJEPT
TPCSF
MPT
DBUFUPT
BM
TVNBS
TVT
ÃSFBT
UJFOFO
VO
WBMPS
JHVBM
BM
ÃSFB
EFM
DVBESBEP
DPOTUSVJEP
FO
MB
IJQPUFOVTB

c = Hipotenusa (5) 25

a = Cateto opuesto(3)

9

a=3

b = Cateto adyacente (4) c=

∴ c2 = a2 + b2

5

b=4

(5)2 = (3)2 + (4)2 25 = 9 + 16 25 = 25

16

En TFHVJEB
TF
QSFTFOUB
VOB
OVFWB
EFNPTUSBDJÓO
EFM
UFPSFNB
EF
1JUÃHPSBT
UPNBOEP
DPNP
CBTF
MBT
SFMBDJPOFT
EF
BMUVSB
EFM
USJÃOHVMP
SFDUÃOHVMP
Z
MBT
TFNFKBO[BT
EF
USJÃOHVMPT

Q

90°

a

b

x

y

P

R

S c

Hipótesis: El -PQR es rectángulo en Q. Tesis: c2

a2  b2

Construcción auxiliar: "MUVSB
QS ⊥ PR lo que implica que -PQR -PQS y -PQR  -RQS.

127

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Demostración: En los -PQR  -PQS
UFOFNPT c a 

= ,
QPS
TFS
SFTQFDUJWBNFOUF
IJQPUFOVTB
Z
DBUFUP
NBZPS
EF
EPT
USJÃOHVMPT
a x semeKBOUFT









a2






&O
MPT
-PQR  -RQS se tiene





b2





aa2 b2


cx


QSPQJFEBEFT
GVOEBNFOUBMFT
EF
MBT
QSPQPSDJPOFT



c b = ,
QPS
TFS
SFTQFDUJWBNFOUF
IJQPUFOVTB
Z
DBUFUP
b y menor de dos triángulos semeKBOUFT

2


cy


QSPQJFEBEFT
GVOEBNFOUBMFT
EF
MBT
QSPQPSDJPOFT 2

 cx) 
cy


TVNBOEP
NJFNCSP
B
NJFNCSP
MBT
JHVBMEBEFT

Z
 





a  b





x  y)





"M
TVTUJUVJS

FO



UFOFNPT
a2 b2

Conclusión: c2

c x  y


TBDBOEP
B
c como factor en el segundo miembro de la ecuación. c
QPS
DPOTUSVDDJÓO
BVYJMJBS c c).

a2 b2.

%FM
UFPSFNB
BOUFSJPS
TF
EFTQSFOEFO
MPT
TJHVJFOUFT
DPSPMBSJPT 
&O
UPEP
USJÃOHVMP
SFDUÃOHVMP
MB
IJQPUFOVTB
FT
JHVBM
B
MB
SBÎ[
DVBESBEB
EF
MB
TVNB
EF
MPT
DVBESBEPT
EF
MPT
DBUFUPT
c2 a2  b2.


4BDBOEP
SBÎ[
DVBESBEB
FO
BNCPT
NJFNCSPT
EF
MB
FDVBDJÓO
UFOFNPT
c = a 2 + b 2 .


&O
UPEP
USJÃOHVMP
DBEB
DBUFUP
FT
JHVBM
B
MB
SBÎ[
DVBESBEB
EF
MB
EJGFSFODJB
FOUSF
FM
DVBESBEP
EF
MB
IJQPUFOVTB
Z
FM
DVBESBEP
EFM
PUSP
DBUFUP
&T
EFDJS c2

a2 b2

"M
EFTQFKBS
a se tiene: 2

2

"M
EFTQFKBS
b se tiene:

2

c b a a2 = c2 − b2

b2 c2  a2 b2 = c2 − a2

a = c2 − b2

b = c2 − a2

c= Opuesto

c2 − b2

Las fórmulas de los corolarios permiten conocer los siguientes elementos de un triángulo rectángulo.

a=

4

Hi

po

a2

+

b2

ten

usa

Adyacente b=

128

c2 − a2

UNIDAD Triángulos

4

Aplicaciones del teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras permite obtener la medida de uno de los lados de un triángulo cuando los otros dos TPO
DPOPDJEPT
&T
EF
HSBO
JNQPSUBODJB
FO
MB
SFTPMVDJÓO
EF
àHVSBT
HFPNÊUSJDBT
BTÎ
DPNP
QBSB
FM
DÃMDVMP
de problemas trigonométricos.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

%FUFSNJOB
MB
NFEJEB
EFM
MBEP
GBMUBOUF
FO
MPT
TJHVJFOUFT
USJÃOHVMPT
SFDUÃOHVMPT a) c=?

Datos

Fórmula

Sustitución

a=4

c = a2 + b2

c = (4)2 + (8)2

b=8

a=4

c = 16 + 64

c=? b=8

c = 80

Resultado c

8.944

b)

a=?

Datos

Fórmula

Sustitución

c=9

a = c2 − b2

c = (9)2 − (3)2

b=3

c=9

c = 81 − 9

a=?

c = 72

Resultado b=3

a

8.485

c) c = 13 a=6

Datos

Fórmula

Sustitución

a=6

b = c2 − a2

b = (13)2 − (6)2

c = 13 b=? b=?

Resultado b

129

11.532

b = 169 − 36 b = 133

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

2

6O
SFDUÃOHVMP
NJEF

N
EF
MBSHP
Z

N
EF
BODIP
FODVFOUSB
FM
WBMPS
EF
TV
EJBHPOBM

c=?

a=6m

Datos

Fórmula

Sustitución

a=6m

c = a2 + b2

c = (6 m)2 + (10 m)2

b = 10 m

c = 36 m 2 + 100 m 2

c=?

b = 10 m

c = 136 m 2

Resultado c

3

11.661 cm

&ODVFOUSB
MB
BMUVSB
h
EF
VO
USJÃOHVMP
FRVJMÃUFSP
TJ
TF
TBCF
RVF
TVT
MBEPT
NJEFO

DN B

12

cm

cm

12 D 12 cm

Fórmula

Sustitución

AB = c = 12 m

a = c2 − b2

c = (12 m)2 − (6 m)2

AD = b = 6 m

h=? A

Datos

c = 144 m 2 − 36 m 2

BD = h = a = ?

C

c = 108 m 2

Resultado a

10.392 cm

Clasificación de un triángulo al conocer los tres lados 6O
USJÃOHVMP
FT
SFDUÃOHVMP
BDVUÃOHVMP
V
PCUVTÃOHVMP
DVBOEP
FM
DVBESBEP
EFM
MBEP
NBZPS
FT
JHVBM
NFOPS
o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Cuando: +a 


SFDUP


c2

a2  b2

+a 
SFDUP


c2  a2  b2

+a !
SFDUP


c2 ! a2  b2

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Clasifica el triángulo cuyos lados miden c Datos cuadrado del lado mayor:

c2

cuadrado de los otros lados: a2 b2



N
a

3myb

4 m.

25 m2

Sustitución sumando a2  b2

9 m2

tenemos: 25 m2

16 m2

130

?

c2

a2  b2

?

es un triángulo rectángulo.

UNIDAD Triángulos

2

Clasifica el triángulo cuyos lados miden c Datos cuadrado del lado mayor:

3



N
b

10 m y a

8 m.

144 m2

Sustitución sumando a2  b2

cuadrado de los otros lados: a2

64 m2

tenemos: 164 m2

b2

l00 m2

c2

Clasifica el triángulo cuyos lados miden a Datos cuadrado del lado mayor:



DN
b

24 cm y c

?

c 2  a2  b2

?

es un triángulo acutángulo.

30 cm.

2

900 cm

Sustitución sumando a2  b2

2

cuadrado de los otros lados: a

256 cm2

tenemos: 832 cm2

b2

576 cm2

c

2

4

?

c2 ! a2  b2

?

es un triángulo obtusángulo.

EJERCICIO 30 I. Resuelve los siguientes problemas y en plenaria discute tus resultados.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas



"QMJDBOEP
FM
UFPSFNB
EF
1JUÃHPSBT
EFUFSNJOB
MB
NFEJEB
EFM
MBEP
GBMUBOUF
FO
MPT
TJHVJFOUFT
USJÃOHVMPT a) 12 ?

Competencias disciplinares

9

b)

20

?

55

c)

?

24 30

131

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

2. Encuentra la altura de un triángulo isósceles si su base mide 4 cm y sus lados miden 6 cm cada uno.

3. Encuentra el lado de un cuadrado si su diagonal mide 8 m.





%FUFSNJOB
FM
WBMPS
EF
MB
EJBHPOBM
EF
VO
SPNCP
TJ
VO
MBEP
NJEF

DN
Z
MB
PUSB
EJBHPOBM
NJEF

DN





-B
EJBHPOBM
EF
VO
SFDUÃOHVMP
NJEF

DN
EF
MBEP
Z

DN
EF
BODIP
%FUFSNJOB
FM
WBMPS
EF
TV
MPOHJUVE





$MBTJàDB
MPT
USJÃOHVMPT
TJHVJFOUFT
TJ
TVT
MBEPT
TPO a)

c = 85, a

6yb

7

b) c



a

c) c



a

10 y b

l0.5

d) c


M
a

12 y b

l6

5yb

6

132

UNIDAD Triángulos

e) c



a

7yb

4

8

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Área, perímetro y semiperímetro de triángulos Área &T
MB
NFEJEB
EF
VOB
TVQFSàDJF
FT
EFDJS
FM
ÃSFB
TF
SFàFSF
BM
tamaño de la figura. Matemáticamente se representa por la letra A NBZÙTDVMB 
&M
ÃSFB
EF
VOB
àHVSB
QMBOB
FT
MB
NFEJEB
EF
MB
FYUFOTJÓO
EF
EJDIB
àHVSB
FT
EFDJS
MB
SFMBDJÓO
FOUSF
MB
TVQFSàDJF
EF
MB
àHVSB
Z
MB
TVQFSàDJF
FMFHJEB
DPNP
VOJEBE
EF
NFEJEB
4F
FOUJFOEF
QPS
TVQFSàDJF
DPNP
MB
GPSNB
EF
MB
àHVSB
QPS
FKFNQMP
IBZ
TVQFSàDJFT
SFDUBOHVMBSFT
DVBESBEBT
DJSDVMBSFT
FUDÊUFSB

Área del triángulo El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura. Matemáticamente se bh expresa por la fórmula A = donde b es la base del triángulo y h es la altura del mismo. 2

Cálculo de las alturas de un triángulo Para un triángulo -ABC
DVBMRVJFSB
TJ
TF
DPOPDF
MB
MPOHJUVE
EF
TVT
MBEPT
a
b
c


TF
QVFEFO
DBMDVMBS
MBT
MPOHJUVEFT
EF
MBT
BMUVSBT
ha
hb
hc
SFTQFDUJWBT
BTÎ
TF
BQMJDBO
MBT
TJHVJFOUFT
GÓSNVMBT
τ a τ hb = b τ hc = c ha =

%POEF
ha es la altura correspondiente al lado a
hb es la altura correspondiente al lado b
hc es la altura correspondiente al lado c y el término W es: τ=

1 (a + b − c)(a − b + c)(a + b − c)(a + b + c) 2

133

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Área del triángulo en función de sus lados (fórmula de Herón) El área de un triángulo en términos de sus lados a
b y c
FTUÃ
EBEB
QPS
MB
GÓSNVMB
A = p( p − a )( p − b )( p − c); donde p
FT
FM
TFNJQFSÎNFUSP
EFM
USJÃOHVMP

Área de un triángulo equilátero en función del lado El área de un triángulo equilátero de lado C está dada por la fórmula: A = son los lados del triángulo.

3C 2


EPOEF
C 4

a

b

c que

Perímetro Es la suma de las longitudes de los lados de una figura. Matemáticamente se representa por la letra P NBZÙTDVMB  Para determinar el perímetro
EF
DVBMRVJFS
USJÃOHVMP
TF
UJFOF
QPS
GÓSNVMB
P a  b  c.

Semiperímetro &T
MB
TFNJTVNB
EF
MBT
MPOHJUVEFT
EF
MPT
MBEPT
EF
VO
USJÃOHVMP
FT
EFDJS
FT
MB
NJUBE
EFM
QFSÎNFUSP
.BUFmáticamente se representa por la letra p
NJOÙTDVMB  Para determinar el semiperímetro
EF
DVBMRVJFS
USJÃOHVMP
TF
UJFOF
QPS
GÓSNVMB p=

a+b+c p = 2 2

Ejemplos

EJEMPLOS

1

$BMDVMB
FM
ÃSFB
QFSÎNFUSP
Z
TFNJQFSÎNFUSP
EFM
USJÃOHVMP
RVF
TF
GPSNB
DPO
MB
EJBHPOBM
EF
VO
SFDUÃOHVMP
RVF
NJEF

DN
EF
MBEP
Z

DN
EF
BODIP

c = 25 cm a = 9 cm

Datos

Fórmulas

c = 25 cm

b = c2 = a2

a = h = 9 cm b=?

b=? A=? P=? p=?

134

bh 2 P = a+b+c A=

p=

a+b+c p = 2 2

UNIDAD Triángulos

4

Sustitución (23.323 cm)(9 cm) 2 209.907 cm 2 A= 2 A = 104.9535 cm 2

b = (25 cm)2 − (9 cm)2

P = 9 cm + 23.323 cm + 25 cm

A=

b = 625 cm 2 − 81 cm 2 b = 544 cm 2 b = 23.323 cm

P = 57.323 cm 57.323 cm 2 p = 28.6615 cm p=

Resultado b = 23.323 cm A = 104.9535 cm

2

P = 57.3230 cm 2

p = 28.6615 cm

"QMJDBOEP
MB
GÓSNVMB
EF
)FSÓO
DPNQSVFCB
FM
ÃSFB
EFM
QSPCMFNB
BOUFSJPS Datos

Fórmula

p = 28.6615 cm

A=

p( p − a)( p − b)( p − c)

a = 9 cm b = 23.323 cm c = 25 cm A=? Sustitución A = 28.6615cm(28.6615cm − 9 cm)(28.6615cm − 23.323cm)(28.6615cm − 25cm) A = 28.6615cm(19.6615cm)(5.3385cm)(3.6615cm)

3

A = 1105.23707 cm 4

Resultado

A = 104.953 cm 2

A = 104.9530 cm 2

%FUFSNJOB
FM
ÃSFB
EFM
USJÃOHVMP
FRVJMÃUFSP
EF

N
EF
MBEP Datos C

8m

Fórmula A=

3C 4

Resultado

Sustitución

2

A=

2

3(8 m ) 4

A = 3(64 m 2 ) A = 16 3 m 2 A = 27.712 m 2

135

A = 27.7120 m 2

4

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

4

%FUFSNJOB
FM
QFSÎNFUSP
TFNJQFSÎNFUSP
Z
FM
ÃSFB
EF
VO
USJÃOHVMP
DVZPT
MBEPT
NJEFO


Z

N
SFTQFDUJWBNFOUF Datos

Fórmulas

Sustituciones

a = 6m

P = a+b+c

P = 6 m + 8 m + 12 m

b = 8m

p=

c = 12 m

A=

P=?

P = 26 m

P 2 p( p − a)( p − b)( p − c)

p=? A=? A = 13m(13m − 6 m)(13m − 8 m)(13m − 12 m) A = 13m(7 m)(5m)(1m) A = 455m

26 m 2 p = 13m

p=

Resultado A = 21.33 m 2 P = 26 m p = 13m

4

A = 21.33m 2

EJERCICIO 31 I. Contesta las siguientes preguntas.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas


y2VÊ
FT
FM
QFSÎNFUSP





y$ÓNP
TF
EFàOF
FM
TFNJQFSÎNFUSP





%JGFSFODJB
FOUSF
ÃSFB
Z
TVQFSàDJF

Competencias disciplinares

II. En los espacios, resuelve los siguientes problemas y en plenaria discute tus resultados.





$
BMDVMB
FM
ÃSFB
QFSÎNFUSP
Z
TFNJQFSÎNFUSP
EFM
USJÃOHVMP
RVF
TF
GPSNB
DPO
MB
EJBHPOBM
EF
VO
SFDUÃOHVMP
RVF
NJEF

DN
EF
MBEP
Z

DN
EF
BODIP





"QMJDBOEP
MB
GÓSNVMB
EF
)FSÓO
DPNQSVFCB
FM
ÃSFB
EFM
QSPCMFNB
BOUFSJPS

136

UNIDAD Triángulos





%FUFSNJOB
FM
ÃSFB
EFM
USJÃOHVMP
FRVJMÃUFSP
EF

DN
EF
MBEP





%FUFSNJOB
FM
ÃSFB
QFSÎNFUSP
Z
TFNJQFSÎNFUSP
EF
MPT
TJHVJFOUFT
USJÃOHVMPT
DVZPT
MBEPT
NJEFO




a) a



b

24 y c

b) a



b

8yc

c) c



a

21 y b

d) a



b

5yc

l8

7

52

8


"QMJDBOEP
MB
GÓSNVMB
EF
)FSÓO
DPNQSVFCB
FM
ÃSFB
EF
MPT
QSPCMFNBT
BOUFSJPSFT

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 137

4

Autoevaluación Realiza lo que se indica en cada caso.

1. 4J
FM
WBMPS
EF
VO
ÃOHVMP
EF
VO
USJÃOHVMP
SFDUÃOHVMP
FT
JHVBM
B
ž
yDVÃM
FT
FM
WBMPS
EFM
UFSDFS
ÃOHVMP
SFQSFTFOUB
HSÃàDBNFOUF
EJDIP
USJÃOHVMP

2. "QMJDBOEP
FM
UFPSFNB
EF
1JUÃHPSBT
EFUFSNJOB
MB
NFEJEB
EFM
MBEP
GBMUBOUF
FO
FM
TJHVJFOUF
triángulo rectángulo.

c = 20 a = 10

b=?

3. %FUFSNJOB
FM
ÃSFB
FM
QFSÎNFUSP
Z
FM
TFNJQFSÎNFUSP
EF
VO
USJÃOHVMP
JTÓTDFMFT
DVZPT
MBEPT
TPO
a 
b 5 y c 3.

4. %FUFSNJOB
FM
ÃSFB
FM
QFSÎNFUSP
Z
FM
TFNJQFSÎNFUSP
EF
VO
USJÃOHVMP
DVZPT
MBEPT
TPO
a b 4 y c 8.




5. %FUFSNJOB
FM
ÃSFB
FM
QFSÎNFUSP
Z
FM
TFNJQFSÎNFUSP
EF
VO
USJÃOHVMP
SFDUÃOHVMP
DVZPT
DBUFUPT
miden son a 
b 8 y comprueba el área aplicando la fórmula de Herón.

138

UN

IDAD

Polígonos

5

Evaluación diagnóstica Realiza lo que se indica en cada caso. 1. ¿Qué es un polígono?

2. Menciona cinco elementos de un polígono.

3. ¿En qué nos puede ayudar el dividir en triángulos un polígono?

4. Escribe cuatro propiedades de los cuadriláteros.

5. ¿Cómo sabemos si un cuadrilátero es un paralelogramo?

140

Polígonos Propósito de la unidad

Competencias disciplinares

Que el estudiante: r
$POP[DB
MB
EFàOJDJÓO
OPUBDJÓO
Z
DMBTJàDBción de polígonos. r
%FEV[DB
MBT
EJBHPOBMFT
Z
ÃOHVMPT
EF
VO
polígono. r
$POP[DB
MBT
QSPQJFEBEFT
Z
DMBTJàDBDJÓO
EF
cuadriláteros y sus trazos.

1. Construye e interpreta modelos deterministas mediante la aplicación de problemas algebraicos y geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 
1SPQPOF
GPSNVMB
EFàOF
Z
SFTVFMWF
EJGFSFOUFT
UJQPT
EF
QSPCMFNBT
NBUFNÃUJDPT
aplicando diferentes enfoques. 
*OUFSQSFUB
UBCMBT
HSÃàDPT
NBQBT
UFYUPT
DPO
TÎNCPMPT
NBUFNÃUJDPT
Z
DJFOUÎàDPT

Contenidos que aborda la unidad Contenidos conceptuales

Contenidos procedimentales

Contenidos actitudinales

r
%FàOJDJÓO
OPUBDJÓO
Z
DMBTJàDBDJÓO
EF
QPMÎHPOPT r
%JBHPOBMFT
Z
ÃOHVMPT
EF
VO
QPMÎHPOP r
$VBESJMÃUFSPT
QSPQJFEBEFT
DMBTJàDBDJÓO
Z
USB[PT r
*EFOUJàDBSÃ
TJ
VOB
àHVSB
HFPNÊUSJDB
FT
VO
QPMÎHPOP r
3FTPMWFSÃ
Z
BSHVNFOUBSÃ
QSPCMFNBT
EF
EJBHPOBMFT
Z
ÃOHVMPT
EF
QPMÎHPOPT r
3FTPMWFSÃ
QSPCMFNBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
EF
DVBESJMÃUFSPT

r
&YQSFTBSÃ
JEFBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB r
"QSFOEFSÃ
B
WBMPSBS
FM
USBCBKP
EF
TVT
DPNQBÒFSPT
BM
SFTPMWFS
QSPCMFNBT r
"SHVNFOUBSÃ
NFEJBOUF
MPT
QSPDFTPT
EFEVDUJWP
F
JOEVDUJWP
MPT
BYJPNBT
Z
QPTUVlados. r
$POUSJCVJSÃ
DPO
JEFBT
EF
NBOFSB
DSÎUJDB
Z
BDDJPOFT
SFTQPOTBCMFT
B
MB
IPSB
EF
USBCBKBS
FO
FRVJQP

141

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Definición, notación y clasificación de polígonos Definición de polígono &UJNPMÓHJDBNFOUF
MB
QBMBCSB
polígono proviene de las raíces poly´s
RVF
TJHOJàDB
iNVDIPTu
Z
gonía que TJHOJàDB
iÃOHVMPu
QPS
MP
UBOUP
FT
VO
iUSB[P
RVF
DPOUJFOF
NVDIPT
ÃOHVMPTu
5BNCJÊO
TF
EFàOF
DPNP
MB
àHVSB
QMBOB
MJNJUBEB
QPS
VOB
DVSWB
DFSSBEB
MMBNBEB
línea poligonal o contorno.

Notación $PNP
TF
BQSFDJB
FO
MB
àHVSB
MPT
QPMÎHPOPT
TF
OPNCSBO
NFEJBOUF
MFUSBT
NBZÙTDVMBT
TJUVBEBT
FO
MPT
vértices del mismo. 4V
OPUBDJÓO
TF
FGFDUÙB
FTDSJCJFOEP
MBT
MFUSBT
NBZÙTDVMBT
EFTQVÊT
EF
MB
QBMBCSB
polígono o del nombre FTQFDÎàDP
EFM
QPMÎHPOP
P
UBNCJÊO
QPS
TVT
TÎNCPMPT
HSÃàDPT E D

A

Notación: polígono ABCDE ABCDE pentágono ABCDE

C B

&O
VO
QPMÎHPOP
IBZ
RVF
DPOTJEFSBS a) Lados. Son las rectas que limitan al polígono. b) Ángulos internos. Son los formados por dos lados consecutivos. c) Ángulos externos. Son los formados por un lado y la prolongación del lado adyacente.


$BEB
ÃOHVMP
FYUFSOP
FT
TVQMFNFOUP
EFM
ÃOHVMP
JOUFSJPS
BEZBDFOUF

d) Vértices
4PO
MPT
FYUSFNPT
DPNVOFT
EF
DBEB
EPT
TFHNFOUPT
DPOTFDVUJWPT
FT
EFDJS
TPO
MPT
EF
los ángulos internos del polígono. e) Diagonales. Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

En la figura son: E

D

Lados: AB, BC , CD, DE, EF y FA. 4

Ángulos internos: +A, +B, +C , +D, +E y +F C

F

Ángulos externos: +1, +2, + 3, + 4, +5 y +6

3 A

2

Vértices: A, B,, C , D, E y F.

B

Diagonales: AC , AD y AE. Perímetro: AB + BC + CD + DE + EF + FA.

142

UNIDAD Polígonos

5

Poligonal abierta 4PO
MPT
TFHNFOUPT
RVF
OP
QFSUFOFDFO
B
VOB
NJTNB
SFDUB
PSEFOBEPT
EF
NBOFSB
RVF
DBEB
VOP
EF
MPT
JOUFSNFEJPT
UFOHB
VO
FYUSFNP
DPNÙO
DPO
FM
BOUFSJPS
Z
PUSP
DPO
FM
RVF
MF
TJHVF F

D G

A

J

I

D

M

E

C

H

E A

C

K

F G

B

B

L

Poligonal cerrada &T
VOB
QPMJHPOBM
FO
MB
RVF
FM
FYUSFNP
EFM
ÙMUJNP
TFHNFOUP
Z
FM
PSJHFO
EFM
QSJNFSP
DPJODJEFO B

A

B

A

D

C

C

B C A

A

B

F G

F E

C

D

H I

E

K

D

J

Clasificación de los polígonos 4F
IBO
FTUBCMFDJEP
USFT
EJTUJOUBT
DMBTJàDBDJPOFT
EF
MPT
QPMÎHPOPT
RVF
TPO 
4FHÙO
FM
DBSÃDUFS
FOUSBOUF
P
TBMJFOUF
EF
MPT
ÃOHVMPT
EFM
QPMÎHPOP
TF
EJTUJOHVFO a) Polígonos convexos
$VBOEP
UJFOFO
UPEPT
TVT
ÃOHVMPT
TBMJFOUFT
FT
EFDJS
UJFOFO
UPEPT
TVT
ÃOHVMPT
menores que 180q.

143

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

D

D

B

A

A E

C

B C

C

B

A

b) Polígonos cóncavos
$VBOEP
UJFOFO
BMHÙO
ÃOHVMP
FOUSBOUF
FT
EFDJS
VOP
P
NÃT
EF
TVT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
TPO
NBZPSFT
RVF
ž
UBNCJÊO
TF
QVFEFO
DSV[BS
TVT
MBEPT
FO
DVZP
DBTP
TF
MFT
DPOPDF
como polígonos estrellados. D

D

E

A

C

F

E

G

A

C

B

B


4FHÙO
MB
SFHVMBSJEBE
EF
TVT
FMFNFOUPT
TF
EJTUJOHVFO a) Polígonos regulares
4PO
BRVFMMPT
RVF
UJFOFO
UPEPT
TVT
MBEPT
Z
ÃOHVMPT
JHVBMFT
FT
EFDJS
RVF
TPO
equiláteros y equiángulos. F C

E

120° A

60°

D 90°

90°

90°

90°

A

120°

120° 120°

60°

60° B

A

B

B

C

120° D

120° C

b) Polígonos irregulares
4PO
BRVFMMPT
RVF
OP
UJFOFO
UPEPT
TVT
MBEPT
Z
ÃOHVMPT
JHVBMFT
FT
EFDJS
cuando no son regulares. C A

B

A

B D

C J

E

G

F

F D

I H

E

144

UNIDAD Polígonos


4FHÙO
FM
OÙNFSP
EF MBEPT
BMHVOPT
QPMÎHPOPT
SFDJCFO
OPNCSFT
FTQFDÎàDPT Número de lados


Nombre del polígono

5SFT _______________________
5SJÃOHVMP Cuatro _____________________ Cuadrilátero Cinco ______________________ Pentágono Seis _______________________
)FYÃHPOP Siete _______________________ Heptágono




0DIP ______________________ Octágono Nueve______________________ Eneágono




%JF[ _______________________
%FDÃHPOP Once ______________________ Endecágono




%PDF ______________________
%PEFDÃHPOP Si el polígono tiene más de 12 lados se denomina de n
MBEPT
1PS
FKFNQMP USFDF
MBEPT
DBUPSDF
MBEPT
FUDÊUFSB

EJERCICIO 32 I. En tu cuaderno, contesta las siguientes preguntas y socializa tus respuestas.


Escribe los números correspondientes Competencias genéricas





&UJNPMÓHJDBNFOUF
yDPNP
TF
EFàOF
polígono? 
&YQMJDB
MB
OPUBDJÓO
EF
MPT
QPMÎHPOPT 3. ¿Qué elementos se consideran en los polígonos?

Competencias disciplinares

4. ¿Cómo se forma un ángulo interno en los polígonos? 5. ¿Qué son las diagonales en un polígono?



$JUB
MB
DMBTJàDBDJÓO
EF
MPT
QPMÎHPOPT 7. ¿Cómo se llama el polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales?





&TDSJCF
FM
OPNCSF
Z
OÙNFSP
EF
MBEPT
EF
MPT
QSJNFSPT
DJODP
QPMÎHPOPT II. Resuelve los siguientes problemas.





*EFOUJàDB
FO
MB
àHVSB
MPT
FMFNFOUPT
EF
VO
QPMÎHPOP L M

K

O

N

145

5

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA





%JCVKB
VOB
QPMJHPOBM
BCJFSUB
Z
VOB
DFSSBEB





y2VÊ
FT
Z
DÓNP
TF
HSBàDB
VO
QPMÎHPOP
DPOWFYP





y2VÊ
FT
Z
DÓNP
TF
HSBàDB
VO
QPMÎHPOP
SFHVMBS





4J
VO
QPMÎHPOP
UJFOF
OVFWF
MBEPT
yDVÃOUPT
WÊSUJDFT
UFOESÃ
y:
DVÃOUPT
ÃOHVMPT





%JCVKB
VO
QPMÎHPOP
JSSFHVMBS
EF
TJFUF
MBEPT





%JCVKB
VO
QPMÎHPOP
DÓODBWP
FO
GPSNB
EF
FTUSFMMB

146

UNIDAD Polígonos




5


%JCVKB
VO
QPMÎHPOP
EF

MBEPT

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas.

Diagonales y ángulos de un polígono Suma de ángulos interiores 1BSB
EFUFSNJOBS
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EF
VO
QPMÎHPOP
FT
OFDFTBSJP
USB[BS
MBT
EJBHPOBMFT
RVF
UFOHBO
QPS
FYUSFNPT
VO
WÊSUJDF
Z
BTÎ
EFUFSNJOBS
DVÃOUPT
USJÃOHVMPT
MP
EJWJEFO
TF
CVTDB
MB
SFMBDJÓO
DPO
FM
USJÃOHVMP
QPS
TFS
FM
QPMÎHPOP
EF
NFOPS
OÙNFSP
EF
MBEPT
Z
DVZPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
TVNBO
EPT
rectos (180q). -B
SFMBDJÓO
RVF
FYJTUF
FOUSF
FM
OÙNFSP
EF
MBEPT
Z
MPT
USJÃOHVMPT
GPSNBEPT
QPS
TVT
EJBHPOBles en un polígono es. El número de triángulos de un polígono es igual al número de lados del polígono disminuido en dos unidades. Fórmula
5SJÃOHVMP


(Lados 2)- n2)

Siendo n
FM
OÙNFSP
EF
MBEPT
EF
DVBMRVJFS
QPMÎHPOP Ejemplos gráficos

3

2 2

6

5

4 3

1 1

2 1

4 lados 2 triángulos

5 lados 3 triángulos

147

8 lados 6 triángulos

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Teorema La suma de los ángulos interiores (6+i) de un polígono es igual al producto de dos ángulos rectos (2R
ž
QPS
FM
OÙNFSP
EF
MBEPT
n
EFM
QPMÎHPOP
NFOPT
 Σ+i = 2 R(n − 2 ) Σ+i = 180°(n − 2 )

Corolario El valor de un ángulo interior (+i) de un polígono regular es igual a la suma de los ángulos interiores (6+i
EJWJEJEB
FOUSF
FM
OÙNFSP
EF
MBEPT
n
EF
EJDIP
QPMÎHPOP +i =

180°(n − 2 ) Σ+i = n n

Suma de ángulos exteriores (teorema) -B
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
FYUFSJPSFT
6+e) de todo polígono es igual a cuatro rectos (4R

360°).

Σ+e = 4 R Σ+e = 360°

Corolario &M
WBMPS
EF
VO
ÃOHVMP
FYUFSJPS
+e
EF
VO
QPMÎHPOP
SFHVMBS
FT
JHVBM
B
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
FYUFSJPSFT
(6+e
EJWJEJEB
FOUSF
FM
OÙNFSP
EF
MBEPT
n
EF
EJDIP
QPMÎHPOP +e =

4 R 360° Σ+e = = n n n

Número de diagonales (teorema) &M
OÙNFSP
EF
EJBHPOBMFT
d
RVF
QVFEFO
USB[BSTF
EFTEF
VO
WÊSUJDF
FT
JHVBM
BM
OÙNFSP
EF
MBEPT
n) del polígono menos 3. d

n3

Teorema Si n
FT
FM
OÙNFSP
EF
MBEPT
EFM
QPMÎHPOP
FM
OÙNFSP
UPUBM
EF
EJBHPOBMFT
D) que pueden trazarse desde todos los vértices del polígono está dado por la fórmula: D=

148

n(n − 3) nd = 2 2

UNIDAD Polígonos

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Datos n = 5 lados

Sustitución

Fórmula

Σ+i = 180°(5 − 2 )

Σ+i = 180°(n − 2 )

Σ+i = ?

Σ+i = 180°( 3) ∴ Σ+i = 540°

2

¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1260°? Datos

Fórmula

Σ+i = 1260°

Σ+i = 180°(n − 2 )

n=?

3

n = 9 lados

1260° +2 180° n = 7+2

El polígono ∴ se denomina eneágono o.

n=

%FUFSNJOB
FM
WBMPS
EF
VO
ÃOHVMP
JOUFSJPS
EF
VO
IFYÃHPOP
SFHVMBS Datos n = 6 lados +i = ?

4

Σ+i 180° Σ+i n= +2 180°

n−2 =

Sustitución

Sustitución

Fórmula +i =

180°(n − 2 ) n

180°(6 − 2 ) 6 180°( 4 ) 720° +i = = 6 6 +i = 120° +i =

%FUFSNJOB
DVÃM
FT
FM
QPMÎHPOP
SFHVMBS
DVZP
ÃOHVMP
JOUFSJPS
WBMF
ž Datos

Fórmula

+i = 135°

180°(n − 2 ) n n+i = 180°n − 360°

n=?

Sustitución

+i =

180°n − n+i = 360° n(180°− +i ) = 360° n=

360° (180°− +i )

149

n=

360° (180°− 135°)

360° 45° n = 8 lado os n=

∴ El polígono se denomina octágono.

5

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

5

$BMDVMB
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
FYUFSJPSFT
EF
VO
IFQUÃHPOP Datos n = 7 lados Σ+e = ?

6

n = 10 lados Σ+e = 360°

Σ+e = 4 R

Σ+c = 360°

Σ+e = 360°

Solución directa por teeorema.

Sustitución

Fórmula +e =

360° 10 ∴ +e = 36°

Σ+e n

+e =

y$VÃM
FT
FM
QPMÎHPOP
SFHVMBS
DVZP
ÃOHVMP
FYUFSJPS
FT
EF
ž Datos +e = 120° Σ+e = 360°

8

Sustitución

&ODVFOUSB
FM
WBMPS
EF
VO
ÃOHVMP
FYUFSJPS
EF
VO
EFDÃHPOP Datos

7

Fórmula

Fórmula

Sustitución

Σ+e n Σ+e n= +e

+e =

n=

∴ El polígono se denomina triángulo.

$BMDVMB
FM
OÙNFSP
EF
EJBHPOBMFT
RVF
TF
QVFEFO
USB[BS
EFTEF
VO
WÊSUJDF
FO
VO
PDUÃHPOP Datos

Fórmula

n = 8 lados

d = n−3

Sustitución d = 8−3

d =?

9

10

360° = 3 lados 120°

∴ d = 5 diagonales

¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice? Datos

Fórmula

Sustitución

d = 6 diagonales

d = n−3

n = 6 + 3 = 9 lados

n=?

n=d+3

∴ El polígono se denomina eneágono.

$BMDVMB
FM
OÙNFSP
UPUBM
EF
EJBHPOBMFT
RVF
TF
QVFEFO
USB[BS
FO
VO
QPMÎHPOP
EF

MBEPT Datos n = 20 lados D=?

Sustitución

Fórmula D=

n(n − 3) 2

20(20 − 3) 20(17) 340 = = 2 2 2 D = 170 diagonales en total. D=

∴

150

UNIDAD Polígonos

11

5

¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total? Datos

Fórmula

D n

n(n − 3) 2 2 D = n 2 − 3n

14 diagonales ?

Sustitución

D=

n=

n − 3n − 2 D = 0 2

fórmula general para las ecuaciones de segundo grado.

⎪⎧⎪ −b ± b 2 − 4 ac ⎨n = ⎪⎪ 2a ⎩

3 ± 9 − 4 (1)(−28 ) 2

3 ± 121 3 ± 11 = 2 2 3 + 11 14 n= = = 7 lados 2 2 n=

∴ El polígono se denomina heptágono.

EJERCICIO 33 I. En equipo, resuelvan en su cuaderno los siguientes problemas y en plenaria discutan sus resultados. Escribe los números correspondientes Competencias genéricas Competencias disciplinares







1. ¿Cuántos triángulos pueden trazarse en los siguientes polígonos? a) cuatro lados

d) pentadecágono

b
IFYÃHPOP

e) 19 lados

c) nueve lados

f ) 25 lados


%FUFSNJOB
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSOPT
EF
MPT
TJHVJFOUFT
QPMÎHPOPT a) tridecágono

d) 18 lados

b
IFQUÃHPOP

e) 17 lados

c) decágono

f ) 22 lados


y"
RVÊ
QPMÎHPOP
DPSSFTQPOEF
DBEB
VOB
EF
MBT
TVNBT
EF
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT a) 1800°

d) 1980°

b) 360°

e) 2880°

c) 720°

f ) 7020°

4. Encuentra el valor de un ángulo interior de los siguientes polígonos. a) pentágono

d) 18 lados

b) octágono

e) 24 lados

c) dodecágono

f ) 30 lados

151

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA











%FUFSNJOB
DVÃM
FT
FM
QPMÎHPOP
SFHVMBS
DVZP
ÃOHVMP
JOUFSJPS
NJEF a) 120°

d) 60°

b) 157.5°

e) 90°

c) 108°

f ) 165°


$BMDVMB
FM
WBMPS
EF
VO
ÃOHVMP
FYUFSJPS
EF
MPT
TJHVJFOUFT
QPMÎHPOPT a) 7 lados

d) 21 lados

b) 11 lados

e) 27 lados

c) 17 lados

f ) 32 lados



$BMDVMB
FM
OÙNFSP
EF
EJBHPOBMFT
RVF
TF
QVFEFO
USB[BS
EFTEF
VO
WÊSUJDF
FO
MPT
TJHVJFOUFT
QPMÎHPOPT a) triángulo

d) pentadecágono

b
IFQUÃHPOP

e) octágono

c) undecágono

f ) 16 lados

8. ¿En qué polígonos pueden ser trazadas las siguientes diagonales?




a

PDIP
EJBHPOBMFT

d) 17 diagonales

b) 11 diagonales

e) 23 diagonales

c) 14 diagonales

f ) 35 diagonales


$BMDVMB
FM
OÙNFSP
UPUBM
EF
EJBHPOBMFT
RVF
TF
QVFEFO
USB[BS
FO
MPT
TJHVJFOUFT
QPMÎHPOPT a) nueve lados

d) 22 lados

b) 13 lados

e) 27 lados

c) 16 lados

f ) 33 lados

10. Encuentra el polígono en el cual se pueden trazar las siguientes diagonales en total. a) 12 diagonales

d) 30 diagonales

b) 20 diagonales

e) 42 diagonales

c) 26 diagonales

f ) 66 diagonales




y"
RVÊ
QPMÎHPOPT
DPSSFTQPOEFO
MPT
TJHVJFOUFT
ÃOHVMPT
FYUFSJPSFT a) 90°

d) 60°

b) 45°

e) 75°

c) 150°

f ) 135°

152

UNIDAD Polígonos

5

12. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a cuatro veces la suma de los ángulos FYUFSJPSFT
EF
EJDIP
QPMÎHPOP
y%F
RVÊ
QPMÎHPOP
TF
USBUB


-B
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
FYUFSJPSFT
EF
VO
QPMÎHPOP
SFHVMBS
FT
JHVBM
B
MB
TVNB
EF
MPT
ÃOHVMPT
JOUFSJPSFT
EF
EJDIP
QPMÎHPOP
y$VÃOUPT
MBEPT
UJFOF

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. Cuadriláteros: propiedades, clasificación y trazos Definición de cuadrilátero Los polígonos limitados por cuatro lados y que además forman entre sí cuatro ángulos se denominan cuadriláteros.

Notación 5PEP
DVBESJMÃUFSP
TF
JOEJDB
QPS
MBT
MFUSBT
NBZÙTDVMBT
EF
TVT
WÊSUJDFT
FTDSJUPT
FOTFHVJEB
EF
TV
SFQSFTFOUBDJÓO
HSÃàDB Ejemplos A

D

C

D

B A

D

C A ∴

B ABCD

B ∴

ABCD

∴

C ABCD

Propiedades de los cuadriláteros 1. Los lados opuestos
TPO
JHVBMFT
Z
OP
UJFOFO
OJOHÙO
WÊSUJDF
FO
DPNÙO 2. Los lados consecutivos
UJFOFO
VO
WÊSUJDF
FO
DPNÙO 3. Los vértices y ángulos opuestos
OP
QFSUFOFDFO
B
VO
NJTNP
MBEP
QFSP
TPO
ÃOHVMPT
JHVBMFT 4. La suma de ángulos interiores es igual a cuatro rectos (360°). 5. Los ángulos adyacentes
B
VO
NJTNP
MBEP
TPO
TVQMFNFOUBSJPT
FT
EFDJS
TVNBO
ž 6. Las diagonales se cortan en su punto medio. 7. El número total de diagonales que pueden trazarse siempre son dos y se cortan en un punto interior. 
%FTEF
VO
WÊSUJDF
TÓMP
QVFEF
USB[BSTF
VOB
diagonal.

153

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Representación gráfica de las propiedades A

B a

b o

c

d

C





 

D

AB y CD ⎫⎪⎪ ⎬ Pares de lados opuestos AC y BD ⎪⎪⎭ 

 

x

A y D ⎪⎫⎪ ⎬ Pares de vértices opuestos B y C ⎪⎪⎭

AB y BD ⎫⎪⎪ Pares de lados ⎬ BD y DC ⎪⎪⎭ consecutivos



⎧⎪ AC y CD ⎪ ⎨ ⎪⎪ DB y BA ⎩

+a y +d ⎪⎫⎪ ⎬ Pares de ángulos opuestos +b y +c ⎪⎪⎭ 

+a = +b = +c = +d = 90° ⎪⎫⎪ ⎬ Suma de los ángulos interiores = 4 R = 360° +a + +b + +c + +d = 360° ⎪⎪⎭ +x
ÃOHVMP
FYUFSJPS


?

+d ángulo interior

+x y +d son ángulos adyacentes y +x +d

180° suplementarios

AD y BC son las diagonales que se intersectan en su punto medio O.


%FTEF
MPT
WÊSUJDFT
A o D
TÓMP
QVFEF
USB[BSTF
VOB
EJBHPOBM
MP
NJTNP
WBMF
QBSB
MPT
WÊSUJDFT
B o C.

Clasificación de cuadriláteros -PT
DVBESJMÃUFSPT
TF
DMBTJàDBO
BUFOEJFOEP
B
TVT
ÃOHVMPT
Z B
MB
GPSNB
EF
TVT
MBEPT
FT
EFDJS
BM
QBSBMFMJTNP
de sus lados opuestos. l. Si los lados opuestos son paralelos entre sí se les denomina paralelogramos. "
TV
WF[
MPT
QBSBMFMPHSBNPT
QVFEFO
TFS a) Cuadrados. Es un polígono regular que tiene sus ángulos y lados iguales. C

D

AB = CD = AC = BD +A = +B = +C = +D = 90°

A

B

154

UNIDAD Polígonos

5

b) Rectángulos
&T
VO
QBSBMFMPHSBNP
RVF
UJFOF
TVT
MBEPT
DPOUJHVPT
EFTJHVBMFT
FT
EFDJS
TPMBNFOUF
TVT
MBEPT
PQVFTUPT
TPO
JHVBMFT
TVT
DVBUSP
ÃOHVMPT
TPO
SFDUPT C

D

A

B

AB ≠ BD

AB = CD

AC ≠ CD

AC = BD

+A = +B = +C = +D = 90°

c) Rombos
1BSBMFMPHSBNPT
RVF
UJFOFO
TVT
MBEPT
JHVBMFT
Z
TVT
ÃOHVMPT
TPO
PCMJDVPT
FT
EFDJS
TVT
ÃOHVMPT
OP
TPO
SFDUPT
TVT
ÃOHVMPT
PQVFTUPT
TPO
JHVBMFT A

D

B

AB = BC = CD = DA +A = +C ≠ 90° +B = +D ≠ 90°

C

d) Romboides
1BSBMFMPHSBNP
RVF
UJFOF
TVT
MBEPT
DPOUJHVPT
EFTJHVBMFT
FT
EFDJS
TPMBNFOUF
TVT
MBEPT
opuestos son iguales y sus ángulos son oblicuos.

A

B

AB ≠ BD

AB = CD

AC ≠ CD

AC = BD

+A = +D > 90° C

+B = +C < 90°

D


4J
ÙOJDBNFOUF
EPT
EF
TVT
MBEPT
PQVFTUPT
TPO
QBSBMFMPT
FT
EFDJS
MPT
RVF
TF
MMBNBO
bases
TF
EFOPNJOBO
trapecios. "
TV
WF[
MPT
USBQFDJPT
QVFEFO
TFS a) Trapecio escaleno. Es aquel que tiene los lados no paralelos desiguales.

A

C

AB ≠ CD AC ≠ BD B

D

155

∴

AB ≠ BD ≠ DC ≠ AC

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

b) Trapecio isósceles
&T
BRVFM
RVF
UJFOF
MPT
MBEPT
OP
QBSBMFMPT
EF
JHVBM
MPOHJUVE
GPSNBOEP
DPO
MBT
bases ángulos adyacentes iguales.

AC = BD C

D

AB y CD son las bases del trapecio +A y +W , +B y +X , +C y +Y , +D y +Z , son ángulos adyacentes. Siendo +A = +B y +C = +D

A

B

+X = +W y +Y = +Z

c) Trapecio rectángulo
&T
BRVFM
RVF
UJFOF
VO
MBEP
QFSQFOEJDVMBS
B
MBT
CBTFT
GPSNBOEP
VO
ÃOHVMP
recto con cada base.

A

B

AB y CD son las bases AC ⊥ AB y AC ⊥ CD C

D

∴ +A = +C = 90°

3. Los cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos entre sí se denominan trapezoides. "
TV
WF[
MPT
USBQF[PJEFT
QVFEFO
TFS a) Trapezoides simétricos. Son los que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente del segundo.

A

D

O

B

BA = AD BC = CD C

BA y AD ≠ BC y CD

156

UNIDAD Polígonos

5

b) Trapezoides asimétricos. Son aquellos que no ofrecen ninguna de las características de un trapezoide simétrico. B

A

AB ≠ BD ≠ DC ≠ CA C D

∴ +A ≠ +B ≠ +C ≠ +D

Trazos en cuadriláteros "M
DPOTJEFSBS
MPT
QBSBMFMPHSBNPT
PCTFSWBNPT
RVF -BT
EJBHPOBMFT
TF
DPSUBO
FO
FM
QVOUP
NFEJP
EF
BNCBT
BM
QVOUP
EF
JOUFSTFDDJÓO
TF
MF
MMBNB
centro de simetría
4J
TF
USBUB
EF
VO
SPNCP
MBT
EJBHPOBMFT
TPO
QFSQFOEJDVMBSFT
FOUSF
TÎ
FO
VO
SFDUÃOHVMP
BNCBT
EJBHPOBMFT
UJFOFO
JHVBM
MPOHJUVE
MBT
EJBHPOBMFT
EF
VO
DVBESBEP
DVNQMFO
DPO
UPEBT
MBT
DPOEJDJPOFT
BOUFSJPSFT A

AC y DB Diagonales del rombo D

B

O

AC ∩ DB = O Centro de simetría AC ⊥ DB Perpendiculares AC y DB Bisectrices de los ángulos cuyos vértices se unen.

C

A

AD y BC Diagonales del rentángulo

C

AD ∩ BC = O Centro de simetría AD = BC Longitudes iguales

O

AD y BC Bisectrices de los B

ángulos cuyos vértices se unen.

D

A

AD y CB Diagonales del cuadrado

B

AD ∩ CB = O Centro de simetría AD ⊥ CB Perpendiculares AD = CB Longitudes iguales

O

AD y CB Bisectrices de los C

ángulos cuyos vértices se unen.

D

157

5

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

En los trapecios se observan los siguientes trazos: Los lados paralelos se llaman bases
Z
DPNP
TPO
EFTJHVBMFT
VOB
TF
JEFOUJàDB
DPNP
base menor y la otra como base mayor. Se llama altura del trapecio
B
MB
EJTUBODJB
FOUSF
MBT
CBTFT
TJFOEP
MB
BMUVSB
VOB
perpendicular común B
EJDIBT
CBTFT "
MB
SFDUB
RVF
VOF
MPT
QVOUPT
NFEJPT
EF
MPT
MBEPT
OP
QBSBMFMPT
EFM
USBQFDJP
TF
EFOPNJOB
paralela media o base media
DVZB
MPOHJUVE
FT
JHVBM
B
MB
semisuma de las bases.

C

AB y CD Bases del trapecio.

D

AB Base mayor, CD Basse menor X

A

CE Altura del trapecio

Y

E

CE ⊥ AB ⎪⎫⎪ ⎬ Perpendiculares CE ⊥ AB ⎪⎪⎭

B

AC y BD
-BEPT
OP
QBSBMFMPT
X y Y son sus puntos medios XY Paralela media o base media XY =

AB + CD Propiedad de los trapecios 2

EJERCICIO 34 I. En tu cuaderno contesta las siguientes preguntas: Escribe los números correspondientes

1. ¿Qué es un cuadrilátero?

Competencias genéricas

2. ¿Cuál es la notación de los cuadriláteros?

Competencias disciplinares

3. Cita las principales propiedades de los cuadriláteros.



&TDSJCF
MB
DMBTJàDBDJÓO
EF
MPT
DVBESJMÃUFSPT 5. ¿Cuál es el polígono regular que tiene sus lados y ángulos iguales? 6. ¿Cuál es el paralelogramo de lados iguales y de ángulos oblicuos?





y
$VÃM
FT
FM
USBQFDJP
RVF
UJFOF
VO
MBEP
QFSQFOEJDVMBS
B
MBT
CBTFT
GPSNBOEP
VO
ÃOHVMP
SFDUP
DPO
cada base? 8. ¿Qué es un trapezoide simétrico?





&YQMJDB
MPT
QSJODJQBMFT
USB[PT
FO
VO
DVBESJMÃUFSP



y$ÓNP
TF
MMBNB
MB
EJTUBODJB
FOUSF
MBT
CBTFT
y2VÊ
FT
QFSQFOEJDVMBS
DPNÙO
B
EJDIBT
CBTFT

158

UNIDAD Polígonos

II. En los espacios realiza lo que se indica y en plenaria discute tus resultados.






%FNVFTUSB
MBT
QSJODJQBMFT
QSPQJFEBEFT
EF
MPT
DVBESJMÃUFSPT
FO
MB
TJHVJFOUF
àHVSB K

L k

l O

m M

n N





&MBCPSB
MB
HSÃàDB
EF
MB
BMUVSB
Z
EF
MB
CBTF
NFEJB
EF
VO
USBQFDJP





&MBCPSB
MB
HSÃàDB
EF
VO
USBQF[PJEF
TJNÊUSJDP
Z
EF
VO
BTJNÊUSJDP

 ÀVerifica tus resultados en la sección de respuestas. 159

5

Autoevaluación Realiza lo que se indica en cada caso. 
%JCVKB
VO
QPMÎHPOP
DÓODBWP
Z
TFÒBMB
a
VO
MBEP
b
VO
ÃOHVMP
JOUFSOP
c
VO
ÃOHVMP
FYUFSOP
d) un vértice y e) una diagonal.

2. Completa las siguientes frases: a) La suma de los ángulos ____________ de un polígono es igual al ____________ de EPT
ÃOHVMPT
@@@@@@@@@@@@
QPS
FM
@@@@@@@@@@@@
EF
@@@@@@@@@@@@
EFM
QPMÎHPOP
menos ____________. b) La suma de los ángulos ____________ de todo polígono es igual a ____________. 3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de: a
ž
b
ž
c) 1980°?


%JCVKB
VO
DVBESJMÃUFSP
SPNCPJEF
Z
TFÒBMB
a
WÊSUJDFT
Z
ÃOHVMPT
PQVFTUPT
b
OÙNFSP
UPUBM
de diagonales.


y$VÃM
FT
MB
EJGFSFODJB
FOUSF
VO
SPNCP
VO
SPNCPJEF
Z
VO
USBQFDJP
FO
UÊSNJOPT
EF
TVT
MBEPT
y ángulos?

160

UN

IDAD

6

Circunferencia y círculo

Evaluación diagnóstica Realiza lo que se indica en cada caso. 1. Define circunferencia.

2. Menciona tres elementos de la circunferencia.

3. Menciona tres figuras en el círculo.

4. Define en qué consiste el cuadrante circular.

162

Circunferencia y círculo Propósito de la unidad

Competencias disciplinares

Que el estudiante: r
$POP[DB
MB
EFàOJDJÓO
OPUBDJÓO
Z
FMFNFOUPT
FO
VOB
DJSDVOGFSFODJB r
*OUFSQSFUF
MBT
QPTJDJPOFT
SFMBUJWBT
EF
VOB
SFDUB
Z
VOB
DJSDVOGFSFODJB r
*OUFSQSFUF
MBT
àHVSBT
Z
ÃOHVMPT
FO
FM
DÎSDVMP


$POTUSVZF
F
JOUFSQSFUB
NPEFMPT
EFUFSNJOJTUBT
NFEJBOUF
MB
BQMJDBDJÓO
EF
QSPCMFNBT
BMHFCSBJDPT
Z
HFPNÊUSJDPT
QBSB
MB
DPNQSFOTJÓO
Z
BOÃMJTJT
EF
TJUVBDJPOFT
SFBMFT
P
GPSNBMFT 
*OUFSQSFUB
UBCMBT
HSÃàDPT
NBQBT
UFYUPT
DPO
TÎNCPMPT
NBUFNÃUJDPT
Z
DJFOUÎàDPT

Contenidos que aborda la unidad Contenidos conceptuales

Contenidos procedimentales

Contenidos actitudinales

r
%FàOJDJÓO
OPUBDJÓO
Z
FMFNFOUPT
FO
VOB
DJSDVOGFSFODJB r
1PTJDJPOFT
SFMBUJWBT
EF
VOB
SFDUB
Z
VOB
DJSDVOGFSFODJB r
'JHVSBT
Z
ÃOHVMPT
FO
FM
DÎSDVMP r
r
r
r


%JGFSFODJBSÃ
FOUSF
DÎSDVMP
Z
DJSDVOGFSFODJB *EFOUJàDBSÃ
MBT
QSJODJQBMFT
QBSUFT
EF
MB
DJSDVOGFSFODJB %JTUJOHVJSÃ
MBT
EJGFSFOUFT
àHVSBT
Z
ÃOHVMPT
FO
VO
DÎSDVMP 3FTPMWFSÃ
QSPCMFNBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
BQSFOEJEPT

r
&YQSFTBSÃ
JEFBT
VUJMJ[BOEP
MPT
DPODFQUPT
CÃTJDPT
EF
MB
HFPNFUSÎB r
"QSFOEFSÃ
B
WBMPSBS
FM
USBCBKP
EF
TVT
DPNQBÒFSPT
BM
SFTPMWFS
QSPCMFNBT r
"SHVNFOUBSÃ
NFEJBOUF
MPT
QSPDFTPT
EFEVDUJWP
F
JOEVDUJWP
MPT
BYJPNBT
Z
QPTUVMBEPT r
$POUSJCVJSÃ
DPO
JEFBT
EF
NBOFSB
DSÎUJDB
Z
BDDJPOFT
SFTQPOTBCMFT
B
MB
IPSB
EF
USBCBKBS
FO
FRVJQP

163

6

UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Definición, notación y elementos en una circunferencia Definición de circunferencia &T
VOB
DVSWB
QMBOB
Z
DFSSBEB
DVZPT
QVOUPT
FRVJEJTUBO
EF
PUSP
QVOUP
JOUFSJPS
MMBNBEP
centro. &M
DFOUSP
EF
MB
DJSDVOGFSFODJB
TF
SFQSFTFOUB
QPS
FM
QVOUP
O; al segmento r
RVF
SFQSFTFOUB
MB
EJTUBODJB
JHVBM
EFM
DFOUSP
B
DBEB
VOP
EF
MPT
QVOUPT
EF
MB
DJSDVOGFSFODJB
TF
MF
EFOPNJOB
radio. X

r

OX = r Radio de la circunferencia.

O

O centro de la circunferencia

Definición de círculo &T
MB
QPSDJÓO
JOUFSJPS
EFM
QMBOP
TFQBSBEP
QPS
MB
DJSDVOGFSFODJB
RVF
TJSWF
EF
frontera
DPO
MB
SFHJÓO
FYUFSJPS &O
MB àHVSB
FM
DÎSDVMP
IB
TJEP
TPNCSFBEP
QBSB
JOEJDBS
RVF
TF
USBUB
EFM
FTQBDJP
JOUFSJPS
B
MB
DJSDVOGFrencia.

Círculo Circunferencia

Puntos interiores y exteriores de la circunferencia -B
DJSDVOGFSFODJB
EJWJEF
BM
QMBOP
FO
EPT
SFHJPOFT
VOB
exterior
Z
PUSB
interior. -PT
QVOUPT
RVF
TF
VCJDBO
B
EJTUBODJBT
NFOPSFT
RVF
FM
SBEJP
TF
MMBNBO puntos interiores Z
FTUÃO
contenidos en el círculo. -PT
QVOUPT
RVF
TF
VCJDBO
B
EJTUBODJBT
NBZPSFT
RVF
FM
SBEJP
TF
MMBNBO
puntos exteriores. P

OP Radio de la circunferencia

r

R

O

Q

OR < r,

∴ R es punto interior

OQ > r,

∴ Q es punto exterior

Notación Una circunferencia o un círculo se denota con las letras del centro O
Z
EFM
SBEJP
r escritas de la siguiente manera: c(O r) 1PS
MP
HFOFSBM
TF
SFFNQMB[BO
MBT
QBMBCSBT
DJSDVOGFSFODJB
P
DÎSDVMP
QPS
FM
TÎNCPMP