Fundamentos de análise funcional [1 ed.]

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Fundamentos de An´alise Funcional Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira

Com 342 exerc´ıcios

Pref´ acio O t´ıtulo deste livro traz duas informa¸co˜es igualmente importantes. A primeira, e mais ´obvia, estabelece que se trata de um livro de An´alise Funcional. A segunda, n˜ao menos ´ necess´ario que isso fique importante, informa que se trata de um texto introdut´orio. E claro desde o primeiro contato do leitor com o livro: trata-se de livro escrito para ´ claro estudantes que n˜ao sabem An´alise Funcional e pretendem aprender a teoria. E que desejamos que o livro se torne uma referˆencia tamb´em para leitores mais experientes, mas isso – se acontecer – ser´a um ganho adicional. O objetivo central em torno do qual o livro foi escrito ´e servir para a instru¸c˜ao de estudantes que n˜ao tenham conhecimento pr´evio do assunto, e servir tamb´em de guia e roteiro para um curso introdut´orio. Para o professor, sugerimos adiante roteiros para cursos de doutorado e de mestrado. ´ Em seu livro [56], Elon L. Lima define, com muita propriedade, a Algebra Linear como o estudo dos espa¸cos vetoriais e das transforma¸c˜ oes lineares entre eles. Seguindo essa linha, podemos definir a An´alise Funcional como o estudo dos espa¸cos vetoriais normados, em especial os espa¸cos de Banach, e dos operadores lineares cont´ınuos entre eles. Essas defini¸co˜es, al´em de precisas, evidenciam as semelhan¸cas e as diferen¸cas entre essas duas teorias matem´aticas. Ambas tratam de espa¸cos vetoriais e de transforma¸c˜oes lineares, e a diferen¸ca central ´e que na An´alise Funcional exigimos ´ tamb´em a continuidade. Por que isso? Por que em Algebra Linear n˜ao nos importamos com continuidade e em An´alise Funcional dela fazemos quest˜ao? O leitor encontrar´a as respostas lendo o texto, mas j´a adiantamos o seguinte: o ponto central ´e que a ´ Algebra Linear, para ter a valiosa ferramenta que s˜ao as matrizes `a disposi¸ca˜o, trata essencialmente de espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita. E como o leitor comprovar´a ao estudar este livro, qualquer que seja a maneira com que um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita ´e normado, as transforma¸co˜es lineares nele definidas s˜ao automaticamente cont´ınuas. Ou seja, em dimens˜ao finita a continuidade ´e consequˆencia autom´atica da linearidade. J´a em dimens˜ao infinita a situa¸ca˜o ´e bem diferente. Nem todo operador linear definido em um espa¸co de dimens˜ao infinita ´e cont´ınuo, e o leitor ter´a v´arias oportunidades ao longo do texto de explorar esse fenˆomeno. Da´ı a necessidade de se considerar e estudar aqueles operadores lineares que s˜ao cont´ınuos, e ´e exatamente isso o que faz a An´alise Funcional. Com muita liberdade e um pouco de picardia, pode-se ´ dizer que a Algebra Linear ´e uma An´alise Funcional em dimens˜ao finita, ao mesmo ´ tempo que a An´alise Funcional ´e uma Algebra Linear em dimens˜ao infinita. E de onde vem essa necessidade de se estudar operadores lineares entre espa¸cos de dimens˜ao infinita? A matem´atica passou por um desenvolvimento vertiginoso entre i

os s´eculos 17 e 19, e uma das consequˆencias foi que a matem´atica passou a resolver uma grande quantidade (e variedade) de problemas que antes n˜ao podiam ser tratados matematicamente de forma satisfat´oria. Muitos desses problemas tˆem fun¸co˜es – e n˜ao n´ umeros ou figuras geom´etricas – como solu¸c˜oes, por exemplo, equa¸c˜oes diferenciais funcionais, ordin´arias ou parciais. Devemos ent˜ao buscar as solu¸c˜oes desses problemas em conjuntos de fun¸c˜oes. Ilustremos essa situa¸ca˜o com um exemplo hist´orico cl´assico. Dentre os v´arios problemas que passaram a ser tratados matematicamente ap´os o advento do C´alculo, um dos mais c´elebres foi o problema da corda vibrante. Chamemos de u(x, t) o deslocamento vertical em rela¸c˜ao `a posi¸ca˜o de repouso sofrido pelo ponto de abscissa x no instante t (deslocamento positivo para cima e negativo para baixo). Em 1747 o eminente matem´atico francˆes Jean-le-Rond d’Alembert concluiu que toda solu¸c˜ao u do problema da corda vibrante satisfaz necessariamente a equa¸ca˜o diferencial parcial ∂ 2u ∂2u − 2 = 0, ∂t2 ∂x e, al´em disso, disse que fun¸c˜oes do tipo u(t, x) = f (x + t) + g(x − t), onde f e g s˜ao fun¸c˜oes reais arbitr´arias de uma vari´avel real, s˜ao solu¸co˜es da equa¸c˜ao diferencial e portanto s˜ao boas candidatas a serem solu¸co˜es do problema original. Na ´epoca de d’Alembert nem o conceito de continuidade existia, mas ao longo do tempo os matem´aticos perceberam que as fun¸c˜oes f e g devem ser buscadas no conjunto das fun¸co˜es que tˆem pelo menos duas derivadas cont´ınuas. Ocorre que o conjunto formado por essas fun¸c˜oes, assim como todos os outros conjuntos de fun¸co˜es que s˜ao u ´teis, s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita. Basta observar que os polinˆomios j´a geram um espa¸co de dimens˜ao infinita. Um segundo exemplo: assim como uma solu¸c˜ao de um sistema linear com n inc´ognitas a coeficientes reais ´e uma n-upla (x1 , . . . , xn ) do Rn , uma solu¸c˜ao de um sistema linear com infinitas inc´ognitas a coeficientes reais ´e uma sequˆencia (xn )∞ umeros reais; e conjuntos de sequˆencias tamb´em s˜ao n=1 de n´ espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita. Em resumo, essa nova abrangˆencia alcan¸cada pela matem´atica colocou os espa¸cos de dimens˜ao infinita em voga, pois ´e neles que s˜ao encontradas as solu¸co˜es dessa grande variedade de problemas. E espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita s˜ao, antes de mais nada, espa¸cos vetoriais, portanto as fun¸c˜oes naturais que devemos considerar entre eles s˜ao as transforma¸co˜es lineares. Por fim, como j´a vimos, no caso de transforma¸co˜es lineares entre espa¸cos de dimens˜ao infinita devemos levar em conta a continuidade, completando a justificativa para o estudo dos operadores lineares cont´ınuos entre espa¸cos de dimens˜ao infinita. A escolha dos t´opicos de um livro nunca ´e tarefa f´acil. No presente livro a situa¸c˜ao n˜ao foi diferente e alguns temas interessantes tiveram que ser preteridos. Sabemos que isso aborrecer´a alguns leitores, na verdade nossa opini˜ao ´e que dado um leitor existe (pelo menos) um t´opico cuja omiss˜ao este leitor n˜ao nos perdoar´a. Dito isso, falemos um pouco dos temas inclu´ıdos. Nossa sele¸ca˜o de t´opicos procurou, al´em dos assuntos obrigat´orios de um curso introdut´orio de An´alise Funcional, incluir alguns t´opicos ii

standard mas n˜ao t˜ao obrigat´orios e tamb´em um esbo¸co de alguns avan¸cos recentes, muitos dos quais imaginamos serem desconhecidos inclusive por muitos profissionais da ´area. Os assuntos obrigat´orios encontram-se dentro dos sete primeiros cap´ıtulos. Ainda dentro dos sete primeiros cap´ıtulos, elencamos os seguintes t´opicos como n˜ao obrigat´orios, e que, portanto, dependendo dos objetivos do professor e/ou do estudante, podem ser omitidos em uma primeira leitura: Corol´ario 2.3.5, Se¸c˜ao 3.2, Proposi¸ca˜o 3.3.3, Teorema 5.4.4, Teorema 6.2.12, Se¸c˜ao 6.5, Se¸ca˜o 6.6, Teorema 7.2.7 e Proposi¸c˜ao 7.2.8. Ap´os estudar o conte´ udo b´asico da disciplina, o estudante tem trˆes poss´ıveis caminhos `a frente: (i) estudar uma teoria mais geral, (ii) aplicar os conte´ udos estudados, (iii) aprofundar o estudo j´a realizado. Os trˆes cap´ıtulos finais do livro, os quais passamos a descrever em seguida, oferecem ao leitor uma op¸ca˜o em cada uma dessas trˆes dire¸c˜oes. No Cap´ıtulo 8 apresentamos uma introdu¸c˜ao aos Espa¸cos Vetoriais Topol´ogicos, teoria esta que ´e a generaliza¸c˜ao natural do estudo dos Espa¸cos Normados e dos Espa¸cos de Banach. Neste cap´ıtulo o leitor verificar´a que muito do que foi estudado anteriormente vale em um ambiente mais abrangente, e que algumas constru¸co˜es anteriores s˜ao casos particulares de constru¸c˜oes mais gerais. O Cap´ıtulo 9, no qual introduzimos o leitor a t´ecnicas de An´alise N˜ao-Linear, ´e uma oportunidade de aplicar os conhecimentos de An´alise Funcional recentemente adquiridos. Em Matem´atica Aplicada, principalmente na Modelagem Matem´atica, normalmente a linearidade n˜ao est´a presente; e neste cap´ıtulo o leitor aprender´a que, mesmo abrindo m˜ao da linearidade, muito pode ser feito com os conceitos e as t´ecnicas da An´alise Funcional. No Cap´ıtulo 10 aprofundamos o estudo dos Espa¸cos de Banach ao introduzir alguns teoremas importantes que n˜ao s˜ao abordados em cursos introdut´orios de An´alise Funcional. Os t´opicos apresentados neste cap´ıtulo exemplificam o alt´ıssimo grau de sofistica¸c˜ao alcan¸cado pela Teoria dos Espa¸cos de Banach ao longo do s´eculo 20, processo este que culminou, no final do s´eculo, com a recente teoria de espa¸cos hereditariamente indecompon´ıveis, devida, principalmente, a W. T. Gowers e B. Maurey. Esta teoria, que rendeu a Gowers uma Medalha Fields em 1994, foi concebida com o objetivo de resolver problemas centrais da teoria dos espa¸cos de Banach, mas acabou rejuvenescendo e fortalecendo toda a An´alise Funcional por meio das novas t´ecnicas introduzidas e, principalmente, por meio das novas conex˜oes estabelecidas com outras ´areas da Matem´atica. A teoria de Gowers–Maurey resolveu problemas c´elebres da An´alise Funcional (detalhes podem ser encontrados em [10]) e os pontos altos da teoria s˜ao o Teorema da Dicotomia de Gowers [10, Teorema 6.3] e a constru¸c˜ao de espa¸cos de Banach que gozam de propriedades ultra-especiais. ´ bem sabido que se uma ´area de pesquisa matem´atica perde conex˜oes com outras E ´areas, corre o risco de se transformar em “arte pela arte” (“art for art’s sake” como escreveu von Neumann em [69]). O objetivo dos trˆes u ´ltimos cap´ıtulos do livro ´e convencer o leitor de que esse certamente n˜ao ´e o caso da An´alise Funcional. Al´em de servir de base para teorias mais gerais, encontrar aplica¸co˜es variadas, e oferecer sustenta¸ca˜o para diversas ´areas, como Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, C´alculo das iii

Varia¸co˜es, Teoria da Aproxima¸c˜ao e An´alise Harmˆonica, a An´alise Funcional tem, hoje, sua beleza intr´ınseca revalorizada e suas conex˜oes com outras ´areas fortalecidas por meio de suas aplica¸co˜es e da repercuss˜ao de seus avan¸cos internos, como bem exemplifica a teoria de Gowers–Maurey, cujas t´ecnicas tˆem car´ater universal. Ainda sobre a organiza¸ca˜o do livro, cada cap´ıtulo termina com duas se¸co˜es, uma de coment´arios e notas hist´oricas e outra de exerc´ıcios. A se¸c˜ao de coment´arios e notas hist´oricas tem v´arios objetivos: contextualizar e relacionar o conte´ udo do cap´ıtulo com outros assuntos, complementar o material apresentado com resultados e exemplos adicionais, comentar aspectos hist´oricos da teoria desenvolvida. A se¸c˜ao de exerc´ıcios ´ resolvendo os exerc´ıcios que o ´e parte integrante e de alta importˆancia no livro. E estudante pode aferir se aprendeu ou n˜ao a teoria estudada. Al´em disso, resolvendo os exerc´ıcios o estudante travar´a conhecimento com resultados e exemplos importantes que n˜ao couberam no texto. Por exemplo, a teoria de espa¸cos quocientes est´a desenvolvida nos exerc´ıcios ao longo dos cap´ıtulos. Os exerc´ıcios marcados com * s˜ao especialmente dif´ıceis e/ou trabalhosos. Algumas (poucas) vezes usaremos resultados contidos nos exerc´ıcios. No final do livro h´a uma se¸c˜ao – Apˆendice D – de dicas para alguns exerc´ıcios selecionados. Como de praxe alertamos que o estudante deve consultar a dica de um exerc´ıcio apenas ap´os v´arias tentativas de resolvˆe-lo, caso contr´ario o ganho auferido na resolu¸ca˜o dos exerc´ıcios estar´a comprometido. Antes de sugerir roteiros para cursos, cabe um esclarecimento. Ao escrever este ´ livro procuramos nos distanciar ao m´aximo do modelo notas de aula compiladas. E claro que nos beneficiamos dos cursos de An´alise Funcional que ministramos em nossas universidades, mas o foco deste livro ´e o estudante. Confiamos que o professor tenha maturidade para adaptar o texto `as suas aulas; enquanto que o estudante, na maioria das vezes, ainda n˜ao est´a pronto para seguir um texto mais ´arido como normalmente – ou talvez for¸cosamente – s˜ao as notas de aula. Da´ı nossa op¸c˜ao por um texto mais explicativo e recheado de coment´arios em detrimento de outro mais direto e econˆomico. Dito isso, para um primeiro curso de An´alise Funcional em n´ıvel de doutorado sugerimos que o professor siga os sete primeiros cap´ıtulos, eventualmente omitindo os itens listados acima como n˜ao obrigat´orios. Para um curso de mestrado, sugerimos os cap´ıtulos 1 (exceto Se¸c˜ao 1.6), 2, 3 (exceto Se¸co˜es 3.2 e 3.3), 4, 5 e as trˆes primeiras se¸co˜es do Cap´ıtulo 6, naturalmente omitindo os t´opicos listados acima como n˜ao obrigat´orios. Os cap´ıtulos 8, 9 e 10 podem servir de n´ ucleo para um segundo curso de An´alise Funcional em n´ıvel de doutorado, e, al´em disso, s˜ao adequados para servir de base para projetos com estudantes. Falemos um pouco dos pr´e-requisitos para estudar este livro. Sup˜oe-se que o leitor ´ tenha conhecimentos s´olidos de An´alise na Reta no n´ıvel de [30, 54] e de Algebra Linear no n´ıvel de [16, 56]. No Apˆendice A o leitor encontrar´a o que ser´a necess´ario sobre o Lema de Zorn. Em rela¸ca˜o `a Topologia, o leitor deve dominar a teoria dos Espa¸cos M´etricos para estudar os primeiros cap´ıtulos e rudimentos de Topologia Geral a partir do Cap´ıtulo 6. Conhecimentos mais avan¸cados de Topologia apenas s˜ao necess´arios para a boa compreens˜ao dos cap´ıtulos 8, 9 e 10. O Apˆendice B ´e um resumo do que se necessita de Topologia. Exemplos importantes e alguns teoremas demandam conhecimento de iv

Teoria da Medida e Integra¸ca˜o, no n´ıvel e na extens˜ao do que se encontra no Apˆendice C. Agradecimentos ...

Uberlˆandia, Jo˜ao Pessoa, Fortaleza Dezembro de 2011.

v

Sum´ ario Sum´ ario

vi

1 Espa¸cos Vetoriais Normados 1.1 Defini¸c˜oes e primeiros exemplos . . . . . . . . . . . . 1.2 Os espa¸cos Lp (X, Σ, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 O espa¸co L∞ (X, Σ, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Espa¸cos de sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Conjuntos compactos em espa¸cos vetoriais normados 1.6 Espa¸cos normados separ´aveis . . . . . . . . . . . . . 1.7 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . . . . . . . . . 1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 6 9 11 12 15 18 20

2 Operadores Lineares Cont´ınuos 2.1 Caracteriza¸c˜oes dos operadores lineares 2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 O Teorema de Banach–Steinhaus . . . 2.4 O Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta . . . . 2.5 O Teorema do Gr´afico Fechado . . . . 2.6 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . 2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . .

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24 25 27 28 32 34 36 38

3 Teoremas de Hahn–Banach 3.1 O teorema da extens˜ao de Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vers˜oes vetoriais do Teorema de Hahn–Banach . . . . . . . . . . 3.3 Aplica¸c˜oes do Teorema de Hahn–Banach para espa¸cos separ´aveis 3.4 Formas geom´etricas do Teorema de Hahn–Banach (caso real) . . 3.5 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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43 43 47 50 52 58 59

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63 63 66 67 72

4 Dualidade e Espa¸cos Reflexivos 4.1 O dual dos espa¸cos Lp . . . . 4.2 Os duais dos espa¸cos `p e c0 . 4.3 Bidual e espa¸cos reflexivos . . 4.4 Coment´arios e notas hist´oricas

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cont´ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.5

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Espa¸cos de Hilbert 5.1 Espa¸cos com produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Conjuntos ortonormais em espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Processo de ortogonaliza¸c˜ao e suas consequˆencias . . . . . . . . . . . . 5.5 Funcionais lineares em espa¸cos de Hilbert: o Teorema de Riesz–Fr´echet 5.6 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 81 84 91 94 97 98

6 Topologias Fracas 6.1 A topologia gerada por uma fam´ılia de fun¸co˜es 6.2 A topologia fraca em um espa¸co normado . . . 6.3 A topologia fraca-estrela . . . . . . . . . . . . 6.4 Compacidade fraca e reflexividade . . . . . . . 6.5 Metrizabilidade e separabilidade . . . . . . . . 6.6 Espa¸cos uniformemente convexos . . . . . . . 6.7 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . . . . . 6.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Teoria Espectral de Operadores Compactos e Autoadjuntos 7.1 Espectro de um operador linear cont´ınuo . . . . . . . . . . . . 7.2 Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Teoria espectral de operadores compactos . . . . . . . . . . . . 7.4 Operadores autoadjuntos em espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . 7.5 Teoria espectral de operadores autoadjuntos . . . . . . . . . . 7.6 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Espa¸cos Vetoriais Topol´ ogicos 8.1 Exemplos e primeiras propriedades . . 8.2 Espa¸cos localmente convexos . . . . . . 8.3 Seminormas e topologias . . . . . . . . 8.4 Revisitando Hahn–Banach e Goldstine 8.5 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . 8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Introdu¸c˜ ao ` a An´ alise N˜ ao-Linear 9.1 Continuidade na topologia da norma 9.2 Continuidade na topologia fraca . . . 9.3 Problemas de minimiza¸c˜ao . . . . . . 9.4 Teoremas do ponto fixo . . . . . . . . 9.5 Operadores n˜ao-lineares compactos . vii

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103 103 105 111 115 119 122 128 130

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134 135 137 141 146 149 154 155

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159 160 166 171 176 181 182

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187 187 189 192 194 197

9.6 9.7 9.8 9.9

Elementos do c´alculo diferencial em Integra¸c˜ao vetorial . . . . . . . . . Coment´arios e notas hist´oricas . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . .

espa¸cos de . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Elementos da Teoria dos Espa¸cos de Banach 10.1 S´eries e o Teorema de Dvoretzky–Rogers . . . 10.2 A desigualdade de Grothendieck . . . . . . . . 10.3 Bases de Schauder e sequˆencias b´asicas . . . . 10.4 O princ´ıpio de sele¸c˜ao de Bessaga–PeÃlczy´ nski . 10.5 Coment´arios e notas hist´oricas . . . . . . . . 10.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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202 206 211 213

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217 217 227 232 242 250 251

A O Lema de Zorn

255

B No¸c˜ oes de Topologia Geral

258

C No¸co ˜es de Medida e Integra¸ c˜ ao

265

D Respostas/dicas para exerc´ıcios selecionados

272

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

294

´Indice Remissivo

300

viii

Cap´ıtulo 1 Espa¸cos Vetoriais Normados Em espa¸cos vetoriais sabemos somar seus elementos e multiplicar seus elementos por escalares, enquanto que em espa¸cos m´etricos sabemos calcular a distˆancia entre dois de seus elementos. Espa¸co normado ´e a estrutura matem´atica na qual tudo isso pode ser feito em um mesmo ambiente.

1.1

Defini¸c˜ oes e primeiros exemplos

O s´ımbolo K denotar´a, indistintamente, o corpo R dos n´ umeros reais ou o corpo C dos n´ umeros complexos. Os elementos de K s˜ao chamados de escalares. A fun¸c˜ao m´odulo – ou valor absoluto – a ∈ K 7→ |a| ∈ R satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: • |a| ≥ 0 para todo a e |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. • |a · b| = |a| · |b| para todos a e b. • |a + b| ≤ |a| + |b| para todos a e b. Por isso, o n´ umero |a − b| ´e interpretado como a distˆancia entre a e b. Seja E um espa¸co vetorial sobre K. Qualquer fun¸c˜ao que reproduza as condi¸co˜es acima servir´a para induzir uma no¸c˜ao de distˆancia em E. Mais precisamente, uma fun¸ca˜o k · k : E −→ R ´e uma norma se as seguintes propriedades estiverem satisfeitas: (N1) kxk ≥ 0 para todo x ∈ E e kxk = 0 ⇐⇒ x = 0. (N2) kaxk = |a| · kxk para todo escalar a e todo x ∈ E. (N3) kx + yk ≤ kxk + kyk para quaisquer x, y ∈ E. Um espa¸co vetorial munido de uma norma ser´a chamado de espa¸co vetorial normado, ou simplesmente espa¸co normado. Assim como no caso do corpo dos escalares, um espa¸co normado ´e um espa¸co m´etrico com a m´etrica dada por d(x, y) = kx − yk . 1

(1.1)

Nesse caso dizemos que a m´etrica d ´e induzida pela norma k · k. Portanto toda a teoria de espa¸cos m´etricos (veja Apˆendice 2) se aplica aos espa¸cos normados. Em particular, uma sequˆencia (xn )∞ co normado E converge para o vetor x ∈ E se n=1 em um espa¸ lim kxn − xk = 0.

n→∞

Nesse caso dizemos que x ´e o limite da sequˆencia (xn )∞ n=1 e escrevemos x = lim xn ou n xn −→ x. O que torna compat´ıveis as estruturas alg´ebrica e topol´ogica de um espa¸co normado ´e o fato de que, em um espa¸co normado, as opera¸co˜es alg´ebricas s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas (veja Exerc´ıcio 1.8.13). Um espa¸co normado E ´e chamado espa¸co de Banach quando for um espa¸co m´etrico completo com a m´etrica induzida pela norma. Dos cursos elementares de An´alise sabemos que (R, | · |) e (C, | · |) s˜ao espa¸cos de Banach. A proposi¸ca˜o abaixo evidencia a importˆancia dos subespa¸cos fechados de um espa¸co de Banach. Proposi¸c˜ ao 1.1.1 Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co vetorial de E. Ent˜ ao F ´e um espa¸co de Banach, com a norma induzida de E, se, e somente se, F ´e fechado em E. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha F Banach e tome (xn )∞ encia em F tal que n=1 uma sequˆ ∞ xn −→ x ∈ E. Ent˜ao (xn )n=1 ´e de Cauchy em F , e portanto convergente pois F ´e completo por hip´otese. Existe ent˜ao y ∈ F tal que xn −→ y. Da unicidade do limite temos x = y ∈ F , provando que F ´e fechado em E. Reciprocamente, suponha F fechado em E e seja (xn )∞ encia de Cauchy n=1 uma sequˆ em F . Logo (xn )∞ ´ e de Cauchy em E, e portanto existe x ∈ E tal que xn −→ x. n=1 Como F ´e fechado segue que x ∈ F , o que prova que F ´e completo. Exemplo 1.1.2 Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Uma fun¸c˜ao f : X −→ K ´e limitada se sua imagem for um subconjunto limitado de K, ou seja, se existe M ≥ 0 tal que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ X. O conjunto B(X) de todas as fun¸c˜oes limitadas f : X −→ K, que ´e um espa¸co vetorial com as opera¸co˜es usuais de fun¸co˜es, torna-se um espa¸co de Banach com a norma kf k∞ = sup |f (x)| . x∈X

De fato, ´e f´acil ver que k · k∞ ´e uma norma. Para mostrar a completude, tomase uma sequˆencia (fn )∞ n=1 de Cauchy em B(X) e verifica-se que, para todo x ∈ X, a e de Cauchy em K. O resultado segue facilmente sequˆencia correspondente (fn (x))∞ n=1 ´ da completude de K.

2

Exemplo 1.1.3 Como [a, b] ´e compacto em R, o conjunto C[a, b] de todas as fun¸co˜es cont´ınuas de [a, b] em K ´e um subespa¸co vetorial do espa¸co de Banach B[a, b], e portanto ´e um espa¸co normado com a norma kf k∞ = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]} = max{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Mais ainda, C[a, b] ´e um espa¸co de Banach. De fato, pela Proposi¸ca˜o 1.1.1 basta provar que C[a, b] ´e um subespa¸co fechado de B[a, b]. Para tanto, observe que se fn −→ f em C[a, b], ent˜ao (fn )∞ e cont´ınua por ser n=1 converge uniformemente para f . Segue que f ´ o limite uniforme de fun¸co˜es cont´ınuas. Dos seus estudos de C´alculo, o leitor sabe que fun¸co˜es com certas propriedades de diferenciabilidade s˜ao muito u ´teis nas aplica¸co˜es. Um dos principais objetivos do C´alculo ´e o estudo da taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de uma fun¸ca˜o real f . Essa taxa de varia¸ca˜o ´e chamada de derivada de f e denotada por f 0 . Aprendemos no C´alculo que se f e g s˜ao diferenci´aveis, ent˜ao (f + g) ´e uma fun¸ca˜o diferenci´avel e (f + g)0 = f 0 + g 0 e se λ ∈ R, (λf )0 = λf 0 . Em nossa linguagem isso significa que o conjunto de todas as fun¸c˜oes diferenci´aveis possui uma estrutura natural de espa¸co vetorial. Estudamos no pr´oximo exemplo os espa¸cos de fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis. Exemplo 1.1.4 Definimos o espa¸co das fun¸co˜es continuamente diferenci´aveis por : C 1 [a, b] := {f : [a, b] −→ R : f ´e diferenci´avel em [a, b] e f 0 ∈ C[a, b]} . De forma usual, nos extremos do intervalo consideramos os limites laterais correspondentes. Como vimos acima, C 1 [a, b] ´e subespa¸co vetorial de C[a, b]. Entretanto, conforme comprovaremos no Exemplo 2.4.4, C 1 [a, b] n˜ao ´e fechado em C[a, b], e portanto n˜ao ´e completo na norma k · k∞ pela Proposi¸c˜ao 1.1.1. Vejamos que a norma kf kC 1 = kf k∞ + kf 0 k∞ , faz de C 1 [a, b] um espa¸co de Banach. Deixamos para o leitor a verifica¸ca˜o dos axiomas de norma. Provemos que (C 1 [a, b], k · kC 1 ) ´e completo. De fato, dada uma sequˆencia 1 0 de Cauchy (fn )∞ n=1 em (C [a, b], k · kC 1 ), como kf k∞ ≤ kf kC 1 e kf k∞ ≤ kf kC 1 , segue 0 ∞ ao de Cauchy em C[a, b]. Do exemplo anterior que as sequˆencias (fn )∞ n=1 e (fn )n=1 s˜ sabemos que C[a, b] ´e completo, logo existem f, g ∈ C[a, b] tais que fn −→ f e fn0 −→ g uniformemente. Pelo Teorema Fundamental do C´alculo podemos escrever Z x fn (x) − fn (a) = fn0 (t)dt a

para todos x ∈ [a, b] e n ∈ N. Tomando o limite quando n −→ ∞ conclu´ımos que f ∈ C 1 [a, b] e que f 0 = g. Segue que fn −→ f em C 1 [a, b]. Sabemos ainda do C´alculo que a segunda derivada fornece informa¸c˜oes sobre concavidade ou convexidade local da fun¸ca˜o. Podemos tamb´em tratar fun¸c˜oes duas 3

vezes diferenci´aveis na linguagem de espa¸cos normados. Definimos assim o espa¸co das fun¸c˜oes duas vezes continuamente diferenci´aveis por: © ª C 2 [a, b] := f : [a, b] −→ R : f ´e diferenci´avel em [a, b] e f 0 ∈ C 1 [a, b] . De forma an´aloga, C 2 [a, b] se torna um espa¸co de Banach com a norma kf kC 2 = kf k∞ + kf 0 k∞ + kf 00 k∞ . Indutivamente, definimos o espa¸co das fun¸co˜es k vezes continuamente diferenci´aveis, k ∈ N, por © ª C k [a, b] := f : [a, b] −→ R : f ´e diferenci´avel em [a, b] e f 0 ∈ C k−1 [a, b] . Como o leitor j´a percebeu, C k [a, b] se torna um espa¸co de Banach com a norma kf kC k = kf k∞ + kf 0 k∞ + · · · + kf (k) k∞ , onde f (j) denota a j-´esima derivada de f . Quanto aos espa¸cos normados de dimens˜ao finita, o leitor provavelmente est´a familiarizado com as normas usuais dos espa¸cos Kn , n ∈ N: k(a1 , . . . , an )k1 = |a1 | + · · · + |an |, 1

k(a1 , . . . , an )k2 = (|a1 |2 + · · · + |an |2 ) 2 , e k(a1 , . . . , an )k∞ = max{|a1 |, . . . , |an |}. Talvez saiba tamb´em que esses espa¸cos s˜ao completos. Nosso objetivo imediato agora ´e mostrar que isso, em essˆencia, ´e dizer que todo espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e completo. Para isso precisamos do Lema 1.1.5 Seja B = {x1 , . . . , xn } um conjunto de vetores linearmente independentes de um espa¸co normado E. Ent˜ao existe uma constante c > 0, que depende do conjunto B, tal que ka1 x1 + · · · + an xn k ≥ c (|a1 | + · · · + |an |) , para quaisquer escalares a1 , . . . , an . Demonstra¸ c˜ ao. Primeiro relembremos da An´alise no Rn que, dadas duas normas k · ka e k · kb em Rn , existe uma constante c > 0, que depende das normas, tal que kxka ≤ ckxkb para todo x ∈ Rn . O mesmo, com demonstra¸ca˜o totalmente an´aloga, vale para Cn . Voltemos ent˜ao para o caso em que K = R ou C. O leitor n˜ao ter´a dificuldade em verificar que a correspondˆencia ° ° n ° °X ° ° (a1 , . . . , an ) ∈ Kn −→ ° aj xj ° ∈ R ° ° j=1

´e uma norma em Kn . O resultado segue pois, conforme vimos acima, a express˜ao k(a1 , . . . , an )k1 = |a1 | + · · · + |an | tamb´em ´e uma norma em Kn . 4

Teorema 1.1.6 Todo espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e um espa¸co de Banach. Consequentemente, todo subespa¸co de dimens˜ao finita de um espa¸co normado E ´e fechado em E. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam E um espa¸co normado de dimens˜ao n e {β1 , . . . , βn } uma base normalizada (isto ´e, os vetores tˆem norma 1) de E. Dada uma sequˆencia de ´nicos escalares ak1 , . . . , akn tais que Cauchy (xk )∞ k=1 em E, para cada k ∈ N existem u xk = ak1 β1 + · · · + akn βn . Dado ε > 0, podemos tomar n0 ∈ N tal que kxk − xm k < c · ε sempre que k, m ≥ n0 , onde c ´e a constante do Lema 1.1.5 para o conjunto linearmente independente {β1 , . . . , βn }. Segue ent˜ao que ° ° n n ° 1 °X X 1 ° ° k m |akj − am | ≤ (a − a )β ° j ° = kxk − xm k < ε, j j j ° c c ° j=1 j=1 sempre que k, m ≥ n0 . Segue que, para cada j = 1, . . . , n, a sequˆencia de escalares (akj )∞ e de Cauchy, portanto convergente. Digamos bj = lim akj , j = 1, . . . , n. Nesse k=1 ´ k P caso temos lim nj=1 |akj − bj | = 0. Definindo x = b1 β1 + · · · + bn βn temos x ∈ E e k

° ° n n °X ° X ° ° k lim kxk − xk = lim ° (aj − bj )βj ° ≤ lim |akj − bj | = 0 k k ° k ° j=1

j=1

provando que xk −→ x e completando a demonstra¸c˜ao de que E ´e Banach. A segunda afirma¸c˜ao segue da primeira e da Proposi¸ca˜o 1.1.1. Como j´a era de se esperar, existem espa¸cos normados, de dimens˜ao infinita, ´e claro, que n˜ao s˜ao completos. Vejamos um exemplo: Exemplo 1.1.7 Por c0 denotamos o conjunto de todas as sequˆencias de escalares que convergem para zero, ou seja, fixado K = R ou C, c0 = {(ak )∞ k=1 : ak ∈ K para todo k ∈ N e ak −→ 0}. ´ claro que c0 ´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes usuais de sequˆencias (opera¸c˜oes E ´ f´acil comprovar que a express˜ao coordenada a coordenada). E k(ak )∞ k=1 k∞ = sup{|ak | : k ∈ N} torna c0 um espa¸co normado. O motivo do subscrito ∞ ficar´a claro na Se¸c˜ao 1.4 . Seja encia de Cauchy em c0 . Digamos que xn = (akn )∞ (xn )∞ n=1 uma sequˆ k=1 para cada n ∈ N. Para cada j ∈ N, a desigualdade |ajn − ajm | ≤ sup{|akn − akm | : k ∈ N} = kxn − xm k∞ e de Cauchy em K, logo convergente. deixa claro que a sequˆencia de escalares (ajn )∞ n=1 ´ n→∞ ao ´e dif´ıcil checar que Digamos ajn −→ aj para cada j ∈ N. Chamando x = (aj )∞ j=1 n˜ 5

x ∈ c0 e que xn −→ x em c0 . Conclu´ımos ent˜ao que c0 ´e um espa¸co de Banach. Chame agora de c00 o subespa¸co de c0 formado pelas sequˆencias eventualmente nulas, isto ´e, c00 = {(ak )∞ k=1 ∈ c0 : existe k0 ∈ N tal que ak = 0 para todo k ≥ k0 }. Considere os seguintes vetores de c00 : µ ¶ µ ¶ 1 1 1 x1 = (1, 0, 0, 0, . . . , ), x2 = 1, , 0, 0, . . . , . . . , xn = 1, , . . . , , 0, 0 . . . , , . . . . 2 2 n ´ claro que (xn )∞ ´e uma sequˆencia em c00 . Tomando x = ( 1 )∞ ∈ c0 , de E n=1 k k=1 1 kxn − xk∞ = n+1 −→ 0, conclu´ımos que xn −→ x em c0 . Como x ∈ / c00 segue que c00 ´e um subespa¸co n˜ao-fechado de c0 . Da Proposi¸ca˜o 1.1.1 resulta que c00 ´e um espa¸co normado incompleto.

1.2

Os espa¸cos Lp(X, Σ, µ)

Nesta se¸ca˜o e na pr´oxima usaremos os conceitos e a terminologia da Teoria da Medida, os quais o leitor pode encontrar no Apˆendice C. Os pr´oximos exemplos envolvem fun¸c˜oes integr´aveis, e alguns resultados preliminares s˜ao necess´arios. Estabeleceremos as desigualdades de H¨older e Minkowski para integrais, que ser˜ao u ´teis adiante. Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida e 1 ≤ p < ∞. O conjunto de todas as fun¸c˜oes mensur´aveis de X em K tais que µZ kf kp :=

p

|f | dµ

¶ p1

1 tais que 1 + 1q = 1 e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Se f ∈ Lp (X, Σ, µ) e g ∈ Lq (X, Σ, µ), p ent˜ ao f g ∈ L1 (X, Σ, µ) e kf gk1 ≤ kf kp · kgkq . Demonstra¸ c˜ ao. O caso kf kp = 0 ou kgkq = 0 ´e simples. Suponha ent˜ao kf kp 6= 0 6= kgkq . Primeiro ´e conveniente mostrar que, para quaisquer a e b n˜ao-negativos, temos 1

1

ap · bq ≤

a b + . p q

(1.2)

Para tanto, considere, para cada 0 < α < 1, a fun¸ca˜o f = fα : (0, ∞) −→ R dada por f (t) = tα − αt. Note que f tem um m´aximo em t = 1 e portanto tα ≤ αt + (1 − α) para todo t > 0. Fazendo t = ab e α = p1 obt´em-se (1.2). Tomando 6

a=

|f (x)|p kf kpp

e b=

|g(x)|q kgkqq

em (1.2), o resultado segue. Teorema 1.2.2 (Desigualdade de Minkowski para integrais) Sejam 1 ≤ p < ∞ e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Se f, g ∈ Lp (X, Σ, µ), ent˜ao f + g ∈ Lp (X, Σ, µ) e kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .

(1.3)

Demonstra¸ c˜ ao. Se p = 1 ou kf + gkp = 0, o resultado ´e claro. Podemos ent˜ao supor kf + gkp 6= 0 e p > 1. Perceba que, para todo x ∈ X, temos |f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x)| + |g(x)|)p ≤ (2max{|f (x)|, |g(x)|})p = 2p (max{|f (x)|, |g(x)|})p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) , e da´ı segue que f + g ∈ Lp (X, Σ, µ). Agora vamos provar (1.3). Observe primeiro que |f (x) + g(x)|p = |f (x) + g(x)| ·|f (x) + g(x)|p−1 ≤ |f (x) + g(x)|p−1 · (|f (x)| + |g(x)|) = |f (x)| ·|f (x) + g(x)|p−1 + |g(x)| ·|f (x) + g(x)|p−1

(1.4)

para todo x ∈ X. Tomando q > 1 tal que 1/p + 1/q = 1 temos (p − 1)q = p, e portanto p |f + g|p−1 = |f + g| q ∈ Lq (X, Σ, µ). Da desigualdade de H¨older, temos µZ

Z |f | · |f + g|

p−1

p

|f | dµ

dµ ≤

X

µZ

Z

|g| · |f + g|

p−1

X p

dµ ≤

|g| dµ

¶ p1 µZ

¶ p1 µZ

X

X

|f + g|

(p−1)q

dµ

X

|f + g|

(p−1)q

dµ

¶ 1q

¶ 1q

, .

X

Somando as duas desigualdades acima e combinando com (1.4) temos ¶ p1 # µZ ¶ 1q "µZ ¶ p1 µZ Z + |g|p dµ , |f + g|p dµ ≤ |f + g|p dµ |f |p dµ X

X

X

X

µZ p

e dividindo ambos os membros por

|f + g| dµ

¶ 1q

, o resultado segue.

X

Note que k · kp n˜ao ´e, em geral, uma norma em Lp (X, Σ, µ), pois pode acontecer kf kp = 0 para f n˜ao identicamente nula. De modo geral, se (X, Σ, µ) ´e um espa¸co de medida, introduzimos uma rela¸ca˜o de equivalˆencia dizendo que duas fun¸c˜oes f, g : X −→ K s˜ao equivalentes se f = g µ-quase sempre, isto ´e, se existe um conjunto 7

A ∈ Σ tal que µ(A) = 0 e f (x) = g(x) para todo x ∈ / A. Denotando a classe de equivalˆencia de uma fun¸c˜ao f por [f ], ´e imediato que no conjunto quociente Lp (X, Σ, µ) := {[f ] : f ∈ Lp (X, Σ, µ)}, as opera¸co˜es [f ] + [g] = [f + g] e c[f ] = [cf ] est˜ao bem definidas e tornam Lp (X, Σ, µ) um espa¸co vetorial. Al´em disso, definindo k[f ]kp := kf kp , corrigimos o que faltava para k·kp ser uma norma. Assim (Lp (X, Σ, µ), k·kp ) ´e um espa¸co vetorial normado. A seguir, mostraremos que Lp (X, Σ, µ) ´e um espa¸co de Banach. Devemos ter em mente que os vetores de Lp (X, Σ, µ) s˜ao classes de equivalˆencia, mas no cotidiano as classes de equivalˆencias s˜ao omitidas e escrevemos f no lugar de [f ]. Faremos, propositalmente, a demonstra¸ca˜o a seguir escrevendo [f ] para que o leitor perceba que este ´e um preciosismo desnecess´ario. Teorema 1.2.3 Se 1 ≤ p < ∞, ent˜ao Lp (X, Σ, µ) ´e um espa¸co de Banach com a norma ¶ p1 µZ p |f | dµ . k[f ]kp = X

Demonstra¸ c˜ ao. J´a sabemos que Lp (X, Σ, µ) ´e um espa¸co normado. Resta provar que ´e um espa¸co completo. Para isso seja ([fn ])∞ encia de Cauchy em Lp (X, Σ, µ). n=1 uma sequˆ Ent˜ao, dado ε > 0 existe M = M (ε) ∈ N tal que Z |fn − fm |p dµ = kfn − fm kpp < εp sempre que m, n ≥ M. X

−k Seja (gk )∞ encia de (fn )∞ para todo k ∈ N. n=1 tal que kgk+1 − gk kp < 2 k=1 uma subsequˆ Considere a fun¸ca˜o

g : X −→ R ∪ {∞} , g(x) = |g1 (x)| +

∞ X

|gk+1 (x) − gk (x)| .

k=1

Sabemos que g ´e mensur´avel e n˜ao-negativa. Al´em disso, !p à n X |gk+1 (x) − gk (x)| . |g(x)|p = lim |g1 (x)| + n→∞

k=1

Pelo Lema de Fatou (veja Teorema C.17), segue que !p Z Z Ã n X |g|p dµ ≤ lim inf |g1 | + |gk+1 − gk | dµ. X

n→∞

X

k=1

8

(1.5)

Elevando ambos os membros a µZ |g|p dµ X

¶ p1

1 p

e usando a desigualdade de Minkowski, obtemos Ã

≤ lim inf n→∞

kg1 kp +

n X

! kgk+1 − gk kp

≤ kg1 kp + 1.

(1.6)

k=1

Ent˜ao, definindo A = {x ∈ X : g(x) < ∞} , de (1.6) podemos concluir que µ(X − A) = 0. Logo a s´erie em (1.5) converge exceto talvez no conjunto de medida nula X − A, isto ´e, a s´erie converge µ-quase sempre. Segue que a fun¸ca˜o g · χA ∈ Lp (X, Σ, µ), onde χA ´e a fun¸ca˜o caracter´ıstica de A (veja o Apˆendice C). Defina ent˜ao f : X −→ K por  ∞   g (x) + X (g (x) − g (x)) , se x ∈ A, 1 k+1 k f (x) = k=1   0, se x ∈ / A. Como gk = g1 + (g2 − g1 ) + (g3 − g2 ) + · · · + (gk − gk−1 ), temos |gk (x)| ≤ |g1 (x)| +

k−1 X

|gj+1 (x) − gj (x)| ≤ g(x)

j=1

para todo x e gk (x) −→ f (x) para todo x ∈ A, isto ´e, a sequˆencia (gk )∞ k=1 converge para f µ-quase sempre. Pelo Teorema da Convergˆencia Dominada (veja Teorema C.21), segue que f ∈ Lp (X, Σ, µ). Como |f − gk |p ≤ (|f | + |gk |)p ≤ (2g)p · χA µ-quase sempre e lim |f − gk |p = 0 µ-quase sempre,

k→∞

novamente pelo Teorema da Convergˆencia Dominada temos Z Z p |f − gk | dµ = 0 dµ = 0. lim k→∞

X

X

Da´ı conclu´ımos que gk −→ f em Lp (X, Σ, µ), e portanto [gk ] −→ [f ] em Lp (X, Σ, µ). e uma sequˆencia de Cauchy que tem uma subsequˆencia ([gk ])∞ Assim ([fn ])∞ n=1 ´ k=1 que converge para [f ]. Segue imediatamente que [fn ] −→ [f ] em Lp (X, Σ, µ).

1.3

O espa¸co L∞(X, Σ, µ)

Seja L∞ (X, Σ, µ) o conjunto de todas as fun¸co˜es mensur´aveis que s˜ao limitadas µ-quase sempre, isto ´e, existem um conjunto N ∈ Σ e um n´ umero real K tais que µ(N ) = 0 e |f (x)| ≤ K para todo x ∈ / N . Se f ∈ L∞ (X, Σ, µ) e N ∈ Σ ´e um conjunto de medida nula, definimos Sf (N ) = sup {|f (x)| : x ∈ / N} e 9

kf k∞ = inf {Sf (N ) : N ∈ Σ e µ(N ) = 0} .

(1.7)

Note que, novamente, pode acontecer kf k∞ = 0 com f n˜ao identicamente nula. Para contornar esse problema, tamb´em recorremos `as classes de equivalˆencia. Como na se¸c˜ao anterior, dizemos que duas fun¸c˜oes s˜ao equivalentes (pertencem `a mesma classe de equivalˆencia) se coincidem µ-quase sempre. O conjunto L∞ (X, Σ, µ) ´e o conjunto de todas as classes de equivalˆencia das fun¸co˜es mensur´aveis f : X −→ K que s˜ao limitadas ´ claro que L∞ (X, Σ, µ) ´e um espa¸co vetorial com as mesmas opera¸c˜oes µ-quase sempre. E da se¸ca˜o anterior. Se [f ] ∈ L∞ (X, Σ, µ), definimos k[f ]k∞ = kf k∞ .

(1.8)

No Exerc´ıcio 1.8.23 o leitor provar´a que se a medida µ ´e finita e f ∈ L∞ (X, Σ, µ), ent˜ao f ∈ Lp (X, Σ, µ) para todo p ≥ 1 e lim kf kp = kf k∞ . Isso justifica a nota¸ca˜o p→∞

L∞ (X, Σ, µ). Deixamos a cargo do leitor a demonstra¸c˜ao de que k · k∞ est´a bem definida e ´e uma norma em L∞ (X, Σ, µ). Vejamos que se [f ] ∈ L∞ (X, Σ, µ), ent˜ao |f (x)| ≤ kf k∞ µ-quase sempre.

(1.9)

Com efeito, pela defini¸c˜ao de kf k∞ existe uma sequˆencia (Nn )∞ n=1 de conjuntos de medida nula tais que lim Sf (Nn ) = kf k∞ e |f (x)| ≤ Sf (Nn ) para todo x ∈ / Nn .

n→∞

Logo, tomando N =

∞ S

Nn resulta que N tem medida nula e

n=1

|f (x)| ≤ Sf (Nn ) para todo x ∈ / N. Fazendo o limite com n −→ ∞ obtemos (1.9). Teorema 1.3.1 L∞ (X, Σ, µ) ´e um espa¸co de Banach. Demonstra¸ c˜ ao. S´o resta mostrar que o espa¸co ´e completo. Para isso, seja ([fn ])∞ n=1 uma sequˆencia de Cauchy em L∞ (X, Σ, µ). Por (1.9), para cada j ∈ N existe Mj ∈ Σ tal que µ(Mj ) = 0 e |fj (x)| ≤ kfj k∞ para todo x ∈ / Mj . ∞ S Tomando M0 = Mj , temos j=1

|fj (x)| ≤ kfj k∞ para todo x ∈ / M0 . Mais ainda, para cada par (n, m) ∈ N2 existe Mn,m ∈ Σ com µ(Mn,m ) = 0 e |fn (x) − fm (x)| ≤ kfn − fm k∞ para todo x ∈ / Mn,m . 10

µ Seja M = M0 ∪

∞ S

¶ Mn,m . Ent˜ao µ(M ) = 0 e para quaisquer m, n ∈ N,

n,m=1

½

|fn (x)| ≤ kfn k∞ para todo x ∈ /M e |fn (x) − fm (x)| ≤ kfn − fm k∞ para todo x ∈ / M.

(1.10)

Ent˜ao, para cada x ∈ / M , a sequˆencia (fn (x))∞ e de Cauchy em K, portanto n=1 ´ convergente. Podemos ent˜ao definir ( lim fn (x), se x ∈ /M n→∞ f : X −→ K , f (x) = 0, se x ∈ M. Segue que f ´e mensur´avel. Por (1.10) e como ([fn ])∞ e de Cauchy, dado ε > 0 existe n=1 ´ n0 ∈ N tal que sup |fn (x) − fm (x)| ≤ ε sempre que m, n ≥ n0 . Fazendo m −→ ∞ segue que

x∈M /

sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε

(1.11)

x∈M /

sempre que n ≥ n0 . Assim, (fn )∞ e uniformemente convergente para f em X − M. n=1 ´ De (1.11) segue que fn − f ∈ L∞ (X, Σ, µ) para n suficientemente grande. Da´ı, como f = fn − (fn − f ), segue que [f ] ∈ L∞ (X, Σ, µ). Assim, podemos reescrever (1.11), concluindo que k[fn ] − [f ]k∞ = kfn − f k∞ ≤ sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε x∈M /

sempre que n ≥ n0 . Portanto ([fn ])∞ n=1 converge para [f ] em L∞ (X, Σ, µ) Nota¸ c˜ ao. A ocorrˆencia mais frequente dos espa¸cos Lp (X, Σ, µ) se d´a quando X = [a, b] ⊆ R, Σ ´e a sigma-´algebra dos conjuntos Lebesgue-mensur´aveis (que cont´em os borelianos) e µ ´e a medida de Lebesgue. Nesse caso escrevemos Lp [a, b].

1.4

Espa¸cos de sequˆ encias

J´a estudamos os espa¸cos de sequˆencias c0 e c00 . Nesta se¸ca˜o estudaremos outros espa¸cos not´aveis de sequˆencias. Para cada n´ umero real p ≥ 1, definimos ( ) ∞ X `p = (aj )∞ |aj |p < ∞ . j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e j=1

Considerando o conjunto P(N) das partes de N e a medida de contagem µc em P(N), n˜ao ´e dif´ıcil verificar que `p ´e na verdade o espa¸co Lp (N, P(N), µc ). Ainda mais, nesse caso as opera¸c˜oes usuais de fun¸co˜es se transformam nas opera¸c˜oes usuais de sequˆencias e a norma k · kp se transforma em Ã∞ ! p1 X ° ° p °(aj )∞ ° = . |aj | j=1 p

j=1

11

Dessa forma resulta que `p ´e um espa¸co de Banach com as opera¸co˜es usuais de sequˆencias e com a norma k · kp . Em particular, dos Teoremas 1.2.1 e 1.2.2 temos: Proposi¸c˜ ao 1.4.1 (Desigualdade de H¨older para sequˆencias) Sejam n ∈ N e p, q > 1 tais que p1 + 1q = 1. Ent˜ao n X

à |aj bj | ≤

j=1

n X

! 1q ! p1 Ã n X · |bj |q |aj |p j=1

j=1

para quaisquer escalares a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn . Proposi¸c˜ ao 1.4.2 (Desigualdade de Minkowski para sequˆencias) Para p ≥ 1, temos à n X j=1

! p1 |aj + bj |p

à ≤

n X

! p1 |aj |p

+

j=1

à n X

! p1 |bj |p

j=1

para quaisquer n ∈ N e escalares a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn . Para p = ∞, definimos `∞ como o espa¸cos das sequˆencias limitadas de escalares, ou seja: ½ ¾ ∞ `∞ = (aj )j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e sup |aj | < ∞ . j∈N

Podemos concluir que `∞ ´e um espa¸co de Banach com as opera¸c˜oes usuais de fun¸co˜es e com a norma k(aj )∞ j=1 k∞ = sup{|aj | : j ∈ N} por duas maneiras: observando que `∞ = L∞ (N, P(N), µc ) ou que `∞ = B(N) (Exemplo 1.1.2). O fato de toda sequˆencia convergente ser limitada implica que c0 ´e subespa¸co de `∞ ; e por ser Banach, c0 ´e subespa¸co fechado de `∞ pela Proposi¸ca˜o 1.1.1.

1.5

Conjuntos compactos em espa¸cos vetoriais normados

A compacidade, al´em de ser um dos invariantes topol´ogicos mais importantes, desempenha papel fundamental na An´alise. Por exemplo, um resultado central – e muito u ´til – da an´alise elementar diz que toda fun¸ca˜o cont´ınua definida em um compacto ´e limitada e assume m´aximo e m´ınimo. Al´em de sua importˆancia natural, na An´alise Funcional a compacidade ganha ainda mais relevo pois representa uma forte ruptura entre as dimens˜oes finita e infinita. Veremos adiante que a bola unit´aria fechada em um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita ´e sempre compacta. J´a em dimens˜ao infinita, ser´a provado que a bola nunca ´e compacta na topologia da norma. Para contornar esse problema da 12

n˜ao compacidade da bola unit´aria em dimens˜ao infinita, estudaremos no Cap´ıtulo 6 as topologias fraca e fraca estrela, que, por terem menos abertos, facilitam a ocorrˆencia de conjuntos compactos. Por defini¸ca˜o, um subconjunto K de um espa¸co topol´ogico ´e compacto se toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita. Em espa¸cos m´etricos, vale a seguinte caracteriza¸c˜ao: um subconjunto K de um espa¸co m´etrico ´e compacto se, e somente se, ´e sequencialmente compacto, isto ´e, toda sequˆencia formada por elementos de K admite uma subsequˆencia que converge para um elemento de K (veja [53, Proposi¸ca˜o 8.5.7]). Proposi¸c˜ ao 1.5.1 Se E ´e um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita, ent˜ao os compactos em E s˜ao precisamente os conjuntos limitados e fechados. Demonstra¸ c˜ ao. Conjuntos compactos em espa¸cos m´etricos s˜ao sempre fechados e limitados (veja [53, Proposi¸c˜oes 8.1.1 e 8.1.2]). Basta ent˜ao provar que todo conjunto limitado e fechado K ⊆ E ´e compacto. Suponha que dim E = n e seja {e1 , . . . , en } uma base normalizada de E. Como estamos em espa¸cos m´etricos, basta mostrar que toda sequˆencia em K admite subsequˆencia convergente em K. Seja portanto (xm )∞ m=1 uma n P (m) (m) (m) aj ej . sequˆencia em K. Para cada m existem escalares a1 , . . . , an tais que xm = j=1

Como K ´e limitado, existe L > 0 tal que kxm k ≤ L para todo m. Consideremos em Kn a norma da soma k · k1 . Pelo Lema 1.1.5 existe c > 0 tal que ° ° Ã n ! n °X ° ¯ ¯ X ° ° ¯ ¯ (m) (m) (m) L ≥ kxm k = ° aj ej ° ≥ c ¯aj ¯ = c · k(a1 , . . . , a(m) n )k1 ° ° j=1

j=1

´∞ ³ (m) (m) ´e limitada em para todo m ∈ N. Assim a sequˆencia (a1 , . . . , an ) m=1 n K ´∞de Bolzano–Weierstrass esta sequˆencia possui uma subsequˆencia ³ . Pelo Teorema (mk ) (mk ) (a1 , . . . , an ) que converge para um certo b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Kn . De k=1

° ° n n n ¯ °X ° X ¯ °³ ° ´ X ° ° ¯ (mk ) ¯ ° (m ) ° (m ) k) bj ej ° ≤ − bj ¯ = ° a1 k , . . . , a(m − b ° aj k ej − ° −→ 0, ¯aj n ° ° 1 j=1

j=1

conclu´ımos que xmk −→

j=1

n P

bj ej . Por K ser fechado sabemos que

j=1

n P

bj ej ∈ K.

j=1

Seja E um espa¸co normado. O conjunto BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1} ´e chamado de bola unit´aria fechada de E. Corol´ ario 1.5.2 A bola unit´aria fechada em um espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e compacta. 13

A seguir apresentamos um famoso resultado, devido a F. Riesz, que ser´a u ´til para mostrar que a bola unit´aria fechada em espa¸cos de dimens˜ao infinita nunca ´e compacta. Lema 1.5.3 (Lema de Riesz) Seja M um subespa¸co fechado pr´oprio de um espa¸co normado E e seja θ um n´ umero real tal que 0 < θ < 1. Ent˜ao existe y ∈ E − M tal que kyk = 1 e ky − xk ≥ θ para todo x em M . Demonstra¸ c˜ ao. Seja y0 ∈ E − M e considere o n´ umero d = dist(y0 , M ) := inf ky0 − xk . x∈M

Como M ´e fechado e y0 ∈ / M , temos d > 0. De fato, supondo d = 0 existiria uma sequˆencia de elementos de M convergindo para y0 , e nesse caso ter´ıamos y0 ∈ M pois M ´e fechado. Como dθ > d, podemos escolher x0 ∈ M tal que d ky0 − x0 k ≤ . θ Vejamos que escolhendo

y0 − x0 , ky0 − x0 k ´ claro que y tem norma 1 e n˜ao pertence a as condi¸co˜es requeridas est˜ao satisfeitas. E M . Seja x ∈ M . Como M ´e subespa¸co vetorial, (x0 + ky0 − x0 k x) ∈ M , e portanto d ≤ ky0 − (x0 + ky0 − x0 k x)k. Por fim ° ° ° y 0 − x0 ° ky0 − (x0 + ky0 − x0 k x)k d ° ky − xk = ° − x° ≥ ≥ θ. = ° ky0 − x0 k ky0 − x0 k ky0 − x0 k y=

Teorema 1.5.4 Um espa¸co normado E tem dimens˜ao finita se, e somente se, a bola unit´ aria fechada de E ´e compacta. Demonstra¸ c˜ ao. O Corol´ario 1.5.2 garante uma das implica¸co˜es. Resta-nos provar que se a bola ´e compacta, ent˜ao o espa¸co tem dimens˜ao finita. Suponha que E tenha dimens˜ao infinita. Escolha x1 ∈ E com norma 1. Como dim E = ∞, subespa¸co [x1 ] gerado por x1 ´e um subespa¸co pr´oprio de E. Por ter dimens˜ao finita, [x1 ] ´e subespa¸co fechado de E pelo Teorema 1.1.6. Pelo Lema de Riesz, com θ = 21 , existe x2 ∈ E − [x1 ] de norma 1 tal que 1 kx2 − x1 k ≥ . 2 Aplicando novamente o argumento para o subespa¸co [x1 , x2 ] gerado por {x1 , x2 }, que continua sendo um subespa¸co fechado pr´oprio pelas mesmas raz˜oes, existe x3 ∈ E − [x1 , x2 ] de norma 1 tal que kx3 − xj k ≥

1 para j = 1, 2. 2 14

Podemos continuar esse procedimento indefinidamente pois em todas as etapas teremos um subespa¸co de dimens˜ao finita de E, logo fechado e pr´oprio. Procedendo dessa forma, constru´ımos uma sequˆencia (xn )∞ n=1 em BE tal que kxm − xn k ≥

1 2

e uma sequˆencia em BE que n˜ao possui subsequˆencia sempre que m 6= n. Assim, (xn )∞ n=1 ´ convergente, o que impede que BE seja compacta.

1.6

Espa¸cos normados separ´ aveis

Ao longo do seu treinamento matem´atico, o leitor certamente passou por diversas situa¸c˜oes em que a densidade do conjunto dos n´ umeros racionais na reta desempenha papel crucial. Da mesma forma, a presen¸ca de um subconjunto enumer´avel e denso em um espa¸co normado ´e u ´til em diversas situa¸co˜es. Ocorre que, como veremos em breve, nem todo espa¸co normado cont´em um subconjunto enumer´avel e denso. Por isso destacamos a classe dos espa¸cos que gozam dessa propriedade: Defini¸ c˜ ao 1.6.1 Um espa¸co normado E que cont´em um subconjunto enumer´avel e denso em E ´e dito separ´ avel . Mais geralmente, um espa¸co m´etrico M ´e separ´avel quando cont´em um subconjunto denso e enumer´avel. Exemplo 1.6.2 Espa¸cos normados de dimens˜ao finita s˜ao separ´aveis. Seja E um espa¸co normado de dimens˜ao n. Escolha {x1 , . . . , xn } uma base de E e, no caso real, considere o conjunto ( n ) X A= aj xj : a1 , . . . , an ∈ Q , j=1

das combina¸co˜es lineares dos vetores da base com escalares racionais. No caso complexo substitua Q por Q + iQ = {p + iq : p, q ∈ R}. O leitor pode comprovar facilmente que A ´e enumer´avel e denso em E. O Lema a seguir ser´a muito u ´til na demonstra¸ca˜o de que v´arios dos espa¸cos com que estamos trabalhando s˜ao separ´aveis. Dado um subconjunto A de um espa¸co vetorial E, por [A] estamos denotando o subespa¸co de E gerado por A, isto ´e, o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares (finitas) de elementos de A. Lema 1.6.3 Um espa¸co normado E ´e separ´ avel se, e somente se, existe um subconjunto enumer´ avel A ⊆ E tal que [A] ´e denso em E. Demonstra¸ c˜ ao. Se A for enumer´avel e denso em E, ent˜ao E = A ⊆ [A] ⊆ E, e portanto [A] ´e denso em E. Reciprocamente, suponhamos que exista um subconjunto enumer´avel A ⊆ E tal que [A] = E. Chamemos de B o conjunto formado por todas as 15

combina¸co˜es lineares finitas de elementos de A com coeficientes em QK , onde QR = Q e QC = Q + iQ, ou seja: B = {a1 x1 + · · · + an xn : x1 , . . . , xn ∈ A, a1 , . . . , an ∈ QK e n ∈ N}. ´ f´acil ver que B ´e enumer´avel: como QK ´e enumer´avel, para cada n ∈ N, o conjunto das E combina¸co˜es lineares de n elementos de A com coeficientes em QK ´e enumer´avel. Segue que B ´e enumer´avel por ser a uni˜ao enumer´avel de conjuntos enumer´aveis. Provaremos agora que B ´e denso em E. Para isso sejam x ∈ E e ε > 0. Como [A] = E, existe y0 ∈ [A] tal que kx−y0 k < 2ε . Digamos y0 = b1 x1 +· · ·+bk xk , onde k ∈ N, b1 , . . . , bk ∈ K e x1 , . . . , xk ∈ A. Como QK ´e denso em K, existem a1 , . . . , ak ∈ QK tais que µ

|aj − bj |
k k ° ° j=1

∞

j→∞

pois aj −→ 0, e segue que

k P

k→∞

aj ej −→ x em c0 . Como

k P

aj ej ∈ [e1 , e2 , . . .] j=1 (aj )∞ j=1 ∈ `p , como

j=1

para todo

k, do Lema 1.6.3 segue que c0 ´e separ´avel. Dado x = ° ° ∞ k ° ° X X ° ° |aj |p = 0, aj ej ° = lim k(0, 0, . . . , 0, ak+1 , ak+2 , . . .)kp = lim lim °x − k k k ° ° j=1

j=k+1

p

16

pois a s´erie

∞ P

|aj |p ´e convergente, o mesmo argumento mostra que `p ´e separ´avel.

j=1

Exemplo 1.6.5 `∞ n˜ao ´e separ´avel. Suponha que `∞ contenha uma sequˆencia (xn )∞ n=1 ∞ densa. Para cada n ∈ N, escrevamos xn = (anj )∞ . Seja y = (b ) a sequˆ e ncia definida j j=1 j=1 j j j ´ por bj = 0 se |aj | ≥ 1 e bj = aj + 1 se |aj | < 1. E claro que y ∈ `∞ pois |bj | < 2 para todo j. Da densidade da sequˆencia (xn )∞ n=1 existe n0 ∈ N tal que ky − xn0 k∞ < 1. Mas ky − xn k∞ = sup{|b1 − an1 |, |b2 − an2 |, . . . , |bn − ann |, |bn+1 − ann+1 |, . . .} ≥ |bn − ann | ½ ½ n |0 − ann | se |ann | ≥ 1 |an | se |ann | ≥ 1 = = ≥1 |ann + 1 − ann | se |ann | < 1 1 se |ann | < 1 para todo n ∈ N – contradi¸ca˜o. Segue que `∞ n˜ao ´e separ´avel. Para provar a separabilidade do espa¸co C[a, b] precisamos de um teorema cl´assico cujo caso real ´e demonstrado em livros de An´alise na Reta (veja, por exemplo, [30, Teorema 9.17]). Na linguagem da An´alise na Reta esse resultado diz que toda fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] pode ser uniformemente aproximada por polinˆomios. Na nossa linguagem diz que o conjunto dos polinˆomios ´e denso em C[a, b]: Teorema 1.6.6 (Teorema da Aproxima¸ca˜o de Weierstrass) Seja f : [a, b] −→ K uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ao para todo ε > 0 existe um polinˆ omio P : K −→ K tal que |P (x) − f (x)| < ε para todo x ∈ [a, b]. Exemplo 1.6.7 C[a, b] ´e separ´avel. Para cada n ∈ N consideremos a fun¸c˜ao t ∈ [a, b] 7→ fn (t) = tn ∈ K. Tomando A = {fn : n ∈ N} temos A ⊆ C[a, b] e [A] ´e o conjunto de todos os polinˆomios. Segue do Teorema 1.6.6 que [A] = C[a, b] e portanto C[a, b] ´e separ´avel pelo Lema 1.6.3. Exemplo 1.6.8 Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞, ´e separ´avel. Sejam f ∈ Lp [a, b] e ε > 0. Conforme veremos no Teorema 1.7.1, o conjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas ´e denso em Lp [a, b], e portanto existe g ∈ C[a, b] tal que kf − gkp < 2ε . Do Teorema 1.6.6 existe um polinˆomio ε P tal que kg − P k∞ < 2(b−a) . Assim, kf − P kp ≤ kf − gkp + kg − P kp
0 tal que |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α , ∀ x, y ∈ [a, b]} . Para f ∈ C 0,α [0, b] definimos kf kC 0,α = sup |f (t)| + t∈[a,b]

|f (x) − f (y)| . |x − y|α x,y∈[a,b],x6=y sup

Verifica-se que k · kC 0,α define uma norma em C 0,α [a, b] e, com algum trabalho, pode-se constatar que (C 0,α [a, b], k · kC 0,α ) ´e um espa¸co de Banach. O caso limite α = 1 representa o espa¸co das fun¸c˜ oes Lipschitz cont´ınuas e ´e denotado por Lip[a, b]. O caso α > 1 ´e desinteressante pois, neste caso, C 0,α [a, b] tem dimens˜ao 1. Muitas situa¸co˜es pr´aticas nos conduzem ao estudo dos espa¸cos C k,α := {f ∈ C k : k D f ∈ C 0,α }. Conforme deixa claro o teorema a seguir, os espa¸cos de fun¸co˜es H¨older cont´ınuas s˜ao particularmente importantes para a teoria das equa¸c˜oes diferenciais parciais el´ıpticas: Teorema 1.7.4 (Teorema de Regularidade de Schauder) Sejam B1 e B1/2 as bolas abertas no Rn de raios 1 e 1/2, respectivamente, centradas na origem. Seja u : B1 −→ R uma fun¸c˜ ao satisfazendo n X ∂ 2u ∆u := = f em B1 . 2 ∂x i i=1 ¡ ¢ 0,α 2,α Se f ∈ C (B1 ), ent˜ao u ∈ C (B1/2 ) e kukC 2,α (B1/2 ) ≤ C kukL∞ (B1 ) + kf kC 0,α (B1 ) , onde C depende apenas da dimens˜ao n. O teorema acima, cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [34, Theorem 4.6], tem car´ater fundamental no estudo de equa¸c˜oes diferenciais parciais e ´e ´otimo em v´arios aspectos. Por exemplo, se f for meramente cont´ınua, n˜ao podemos garantir que u ∈ C 2 (B1/2 ), o que mostra que o espa¸co das fun¸co˜es H¨older cont´ınuas ´e o ambiente apropriado para a teoria de regularidade em problemas el´ıpticos de segunda ordem. O Lema 1.5.3 foi provado por F. Riesz em 1918. No Exerc´ıcio 1.8.33 o leitor comprovar´a que o lema se estende para θ = 1 no caso de espa¸cos normados de dimens˜ao finita. E ver´a no Exerc´ıcio 1.8.34 que o mesmo n˜ao ocorre, em geral, em espa¸cos de dimens˜ao infinita. O termo espa¸co separ´ avel foi cunhado, no contexto de espa¸cos topol´ogicos, por Fr´echet em 1906, no mesmo artigo em que introduziu os espa¸cos m´etricos. N˜ao conseguimos apurar com fidedignidade o motivo que o levou a escolher exatamente este termo. 19

1.8

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1.8.1 Complete os detalhes do Exemplo 1.1.2. Exerc´ıcio 1.8.2 Mostre que o conjunto {f ∈ C[a, b] : f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b]} ´e aberto em C[a, b]. Exerc´ıcio 1.8.3 Duas normas k · k1 e k · k2 em um espa¸co vetorial E s˜ao ditas equivalentes se existirem constantes positivas c1 e c2 tais que c1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ c2 kxk1 para todo x ∈ E. Prove que se E ´e um espa¸co normado de dimens˜ao finita, ent˜ao quaisquer duas normas em E s˜ao equivalentes. R1 Exerc´ıcio 1.8.4 Prove que a correspondˆencia f ∈ C[0, 1] 7→ 0 |f (t)| dt ∈ R ´e uma norma em C[0, 1] que n˜ao ´e equivalente `a norma k · k∞ . Exerc´ıcio 1.8.5 Dˆe exemplo de um espa¸co vetorial E e de uma m´etrica d em E que n˜ao est´a associada a uma norma pela igualdade (1.1). Exerc´ıcio 1.8.6 Mostre que se 0 < α1 < α2 ≤ 1, ent˜ao C 1 [a, b] C α1 [a, b] C[a, b].

C α2 [a, b]

Exerc´ıcio 1.8.7 Mostre que ´e poss´ıvel definir uma norma em qualquer espa¸co vetorial. Exerc´ıcio 1.8.8 Se A e B s˜ao subconjuntos de um espa¸co normado E, mostre que aA = aA para todo escalar a e A + B ⊆ A + B. Exerc´ıcio 1.8.9 Seja E um espa¸co normado. Um subconjunto A ⊆ E ´e dito limitado se existir M > 0 tal que kxk ≤ M para todo x ∈ A. Se A for limitado em um espa¸co normado E, mostre que A tamb´em ´e limitado. Exerc´ıcio 1.8.10 Se E ´e um espa¸co de Banach e G ´e subespa¸co de E, mostre que o fecho G de G tamb´em ´e subespa¸co de E. Exerc´ıcio 1.8.11 Prove que subespa¸cos pr´oprios de espa¸cos normados tˆem interior vazio. Exerc´ıcio 1.8.12 (Espa¸co produto) Sejam E1 , . . . , En espa¸cos normados. (a) Prove que as express˜oes k(x1 , . . . , xn )k1 = kx1 k + · · · + kxn k, 1 k(x1 , . . . , xn )k2 = (kx1 k2 + · · · + kxn k2 ) 2 , e k(x1 , . . . , xn )k∞ = max{kx1 k, . . . , kxn k}, definem normas equivalentes no produto cartesiano E1 × · · · × En . n ∞ encias em E1 , . . . , En , respectivamente. Prove que (b) Sejam (x1j )∞ j=1 , . . . , (xj )j=1 sequˆ ¢∞ ¡ n 1 xj −→ x1 ∈ E1 , . . . , xj −→ xn ∈ En se, e somente se, (x1j , . . . , xnj ) j=1 converge para (x1 , . . . , xn ) em E1 × · · · × En munido de alguma (e portanto todas) das normas acima. (c) Prove que E1 × · · · × En munido de uma (e portanto todas) das normas acima ´e Banach se, e somente se, E1 , . . . , En s˜ao Banach. 20

Exerc´ıcio 1.8.13 Seja E um espa¸co normado. qualquer uma das normas do Exerc´ıcio 1.8.12. (a) Prove que as opera¸c˜oes alg´ebricas de E:

No produto cartesiano considere

(x, y) ∈ E × E 7→ x + y ∈ E e (x, a) ∈ E × K 7→ ax ∈ E, s˜ao fun¸co˜es cont´ınuas. (b) Prove que a norma x ∈ E 7→ kxk ∈ R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. Exerc´ıcio 1.8.14* (Espa¸co quociente) Sejam E um espa¸co normado e M um subespa¸co de E. Dados x, y ∈ E, dizemos que x ∼ y se x − y ∈ M . Para cada x ∈ E, definimos [x] = {y ∈ E : x ∼ y}. Definimos tamb´em E/M = {[x] : x ∈ M }. Prove que (a) ∼ ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia. (b) As opera¸co˜es [x] + [y] = [x + y] e a[x] = [ax] est˜ao bem definidas e tornam E/M um espa¸co vetorial. (c) Se M ´e fechado em E, ent˜ao a express˜ao k[x]k = dist(x, M ) = inf{kx − yk : y ∈ M } define uma norma em E/M . (d) Se E ´e espa¸co de Banach, ent˜ao E/M tamb´em ´e espa¸co de Banach. Exerc´ıcio 1.8.15 Seja E um espa¸co vetorial. Um subconjunto A ⊆ E ´e dito convexo se sempre que x, y ∈ A, o “segmento fechado” {ax + (1 − a)y : 0 ≤ a ≤ 1} estiver inteiramente contido em A. Mostre que o conjunto {x ∈ E : kxk ≤ r}, chamado de bola fechada centrada na origem de raio r > 0, ´e convexo. Exerc´ıcio 1.8.16 Mostre que um subconjunto C de um espa¸co vetorial ´e convexo se, e n n P P somente, se ai xi ∈ C sempre que x1 , . . . , xn ∈ C e a1 , . . . , an ≥ 0 satisfazem ai = 1. i=1

i=1

Exerc´ıcio 1.8.17 Seja A um subconjunto de um espa¸co vetorial E. O conjunto conv(A), chamado de envolt´ oria convexa de A, ´e definido como a interse¸ca˜o de todos os subconjuntos convexos de E que cont´em A. Mostre que (a) A envolt´oria convexa de qualquer subconjunto de E ´e um conjunto convexo. (b) Para qualquer A ⊆ E, ) ( n n X X λi = 1, com λn ≥ 0, xi ∈ A, i = 1, . . . , n e n ∈ N . λi xi : conv(A) = i=1

i=1

Exerc´ıcio 1.8.18 Sejam A e B subconjuntos convexos e compactos do espa¸co normado E. Prove que conv(A ∪ B) ´e compacto. 21

Exerc´ıcio 1.8.19 Prove que o fecho de um subconjunto convexo de um espa¸co normado ´e convexo. Exerc´ıcio 1.8.20 Seja 1 ≤ p < ∞. (a) Prove que a express˜ao

µZ

kf kp =

b

|f (x)|p dx

¶ p1

a

´e uma norma no espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas f : [a, b] −→ K. (b) Mostre que espa¸co normado do item (a) n˜ao ´e completo. Exerc´ıcio 1.8.21 Mostre que L∞ (X, Σ, µ) ⊆ L1 (X, Σ, µ) se, e somente se, µ(X) < ∞. Exerc´ıcio 1.8.22 Se (X, Σ, µ) ´e um espa¸co de medida finita e 1 ≤ r ≤ p, ent˜ao Lp (X, Σ, µ) ⊆ Lr (X, Σ, µ) e kf kr ≤ kf kp µ(X)s onde s = 1r − p1 . Exerc´ıcio 1.8.23 Sejam (X, Σ, µ) um espa¸co de medida finita e f ∈ L∞ (X, Σ, µ). Mostre que f ∈ Lp (X, Σ, µ) para todo p ≥ 1 e que lim kf kp = kf k∞ . p→∞

Exerc´ıcio 1.8.24 (Desigualdade de H¨older generalizada) Sejam n ∈ N, p, q, s > 0 tais que p1 + 1q = 1s . Prove que à n X

! 1s |aj bj |s

≤

à n X

j=1

! p1 Ã |aj |p

j=1

·

n X

! 1q |bj |q

j=1

para quaisquer escalares a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn . Exerc´ıcio 1.8.25 Mostre, sem passar pelo espa¸co L∞ (X, Σ, µ), que `∞ ´e um espa¸co de Banach. Exerc´ıcio 1.8.26 Um elemento (aj )∞ e chamado de fun¸ca˜o simples se j=1 ∈ `∞ ´ {aj : j ∈ N} for finito. Mostre que o conjunto das fun¸co˜es simples forma um subconjunto denso de `∞ . Exerc´ıcio 1.8.27 Considere ¾ ½ ∞ c = (aj )j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e lim aj existe em K , j→∞

o conjunto de todas as sequˆencias convergentes formadas por elementos de K. Mostre que c ´e subespa¸co fechado de `∞ . Exerc´ıcio 1.8.28* Seja K um subconjunto relativamente compacto, isto ´e K ´e compacto, de `1 . Prove que K ´e limitado e que para todo ε > 0 existe nε ∈ N tal que à ! X sup |an | ≤ ε. (an )∞ n=1 ∈K

n≥nε

22

Exerc´ıcio 1.8.29 Determine c00 em c0 . Exerc´ıcio 1.8.30 Determine c00 em `p . Exerc´ıcio 1.8.31 Mostre que {e1 , e2 , . . .} n˜ao ´e base alg´ebrica (ou de Hamel) de `p , 1 ≤ p ≤ ∞. Exerc´ıcio 1.8.32 Prove se verdadeiro ou dˆe um contraexemplo se falso: Se K ´e um subconjunto fechado de um espa¸co normado, ent˜ao o subespa¸co [K] gerado por K tamb´em ´e fechado. Exerc´ıcio 1.8.33 Sejam E um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita e M um subespa¸co pr´oprio de E. Mostre que existe y0 ∈ E com ky0 k = 1 e ky0 − xk ≥ 1 para todo x ∈ M . Exerc´ıcio (Limita¸ca˜oodo Lema de Riesz) Sejam E = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0} n 1.8.34 R1 e F = f ∈ E : 0 f (t)dt = 0 . (a) Prove que E ´e subespa¸co fechado de C[0, 1]. (b) Prove que F ´e subespa¸co fechado de E. (c) Mostre que n˜ao existe g ∈ E tal que kgk = 1 e kg − f k ≥ 1 para toda f ∈ F . Exerc´ıcio 1.8.35* (O cubo de Hilbert) Chame de cubo de Hilbert o subconjunto de `2 1 formado pelas sequˆencias (aj )∞ j=1 tais que |aj | ≤ j para todo j ∈ N. Prove que o cubo de Hilbert ´e compacto em `2 . Exerc´ıcio 1.8.36 Mostre que s˜ao equivalentes para um espa¸co de Banach E: (a) E ´e separ´avel. (b) A bola unit´aria fechada BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1} ´e separ´avel. (c) A esfera unit´aria SE = {x ∈ E : kxk = 1} ´e separ´avel. Exerc´ıcio 1.8.37 Prove que L∞ [a, b] n˜ao ´e separ´avel. Exerc´ıcio 1.8.38 Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e F um subespa¸co fechado de E. Prove que E/F ´e separ´avel. Exerc´ıcio 1.8.39* (Rec´ıproca da desigualdade de H¨older) Sejam (X, Σ, µ) um espa¸co de medida σ-finita e p, q ≥ 1 tais que p1 + 1q = 1. Chame de S o conjunto de todas as fun¸c˜oes simples mensur´aveis f que se anulam fora de um conjunto de medida finita, isto ´e, existe um conjunto A ∈ Σ tal que µ(A) < ∞ e f (x) = 0 para todo x ∈ Ac . Seja g : X −→ R uma fun¸ca˜o mensur´avel tal que: (i) f g ∈©¯ LR1 (X, Σ, S, ¯ µ) para toda f ∈ ª ¯ ¯ (ii) sup f g : f ∈ S e kf kp = 1 ©¯ 0 existe δ > 0 tal que kT (x) − T (x0 )k < ε sempre que x ∈ E e kx − x0 k < δ. O conjunto de todos os operadores lineares cont´ınuos de E em F ser´a denotado por ´ claro que L(E, F ) ´e um espa¸co vetorial sobre K com as opera¸c˜oes usuais L(E, F ). E de fun¸c˜oes. Quando F ´e o corpo dos escalares, escrevemos E 0 no lugar de L(E, K), chamamos esse espa¸co de dual topol´ ogico de E, ou simplesmente dual de E, e dizemos que seus elementos s˜ao funcionais lineares cont´ınuos. Seguindo a linha de que os morfismos entre espa¸cos normados s˜ao os operadores lineares cont´ınuos, dizemos que dois espa¸cos normados E e F s˜ao topologicamente isomorfos, ou simplesmente isomorfos, se existir um operador linear cont´ınuo bijetor T : E −→ F cujo operador inverso T −1 : F −→ E – que ´e sempre linear – ´e tamb´em cont´ınuo. Tal operador T ´e chamado de isomorfismo topol´ ogico, ou simplesmente isomorfismo. Um fun¸c˜ao f : E −→ F – n˜ao necessariamente linear – tal que kf (x)k = kxk para todo x ∈ E ´e chamada de isometria. Um operador linear T : E −→ F que ´e uma isometria ´e chamado de isometria linear . Observe que toda isometria linear ´e injetora e cont´ınua. Um isomorfismo que ´e tamb´em uma isometria ´e chamado de isomorfismo isom´etrico, e nesse caso dizemos que os espa¸cos s˜ao isomorfos isometricamente.

24

2.1

Caracteriza¸c˜ oes cont´ınuos

dos

operadores

lineares

Relembremos duas classes importantes de fun¸c˜oes no contexto de espa¸cos m´etricos: uma fun¸c˜ao f : M −→ N entre espa¸cos m´etricos ´e • lipschitziana se existe uma constante L > 0 tal que d(f (x), f (y)) ≤ L · d(x, y) para todos x, y ∈ M ; • uniformemente cont´ınua se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(f (x), f (y)) < ε sempre que x, y ∈ M e d(x, y) < δ. Sabe-se que para fun¸co˜es entre espa¸cos m´etricos, as implica¸co˜es lipschitziana =⇒ uniformemente cont´ınua =⇒ cont´ınua =⇒ cont´ınua em um ponto s˜ao verdadeiras e que, em geral, todas as implica¸co˜es inversas s˜ao falsas. O pr´oximo resultado, que remonta aos trabalhos de F. Riesz, mostra que todos esses conceitos s˜ao equivalentes no contexto de operadores lineares entre espa¸cos normados. Ou seja, a linearidade, ou em u ´ltima instˆancia a estrutura alg´ebrica, simplifica o comportamento topol´ogico. Al´em disso provaremos outras equivalˆencias que muito u ´teis ser˜ao no decorrer do texto. Teorema 2.1.1 Sejam E e F espa¸cos normados sobre K e T : E −→ F linear. As seguintes condi¸c˜ oes s˜ao equivalentes: (a) T ´e lipschitziano. (b) T ´e uniformemente cont´ınuo. (c) T ´e cont´ınuo. (d) T ´e cont´ınuo em algum ponto de E. (e) T ´e cont´ınuo na origem. (f) sup{kT (x)k : x ∈ E e kxk ≤ 1} < ∞. (g) Existe uma constante C ≥ 0 tal que kT (x)k ≤ Ckxk para todo x ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. As implica¸c˜oes (a)=⇒(b) =⇒(c) =⇒(d) s˜ao v´alidas no contexto de espa¸cos m´etricos, isto ´e, n˜ao dependem da linearidade de T . (d)=⇒(e) Suponha T cont´ınuo no ponto x0 ∈ E. Seja ε > 0. Ent˜ao existe δ > 0 tal que kT (x) − T (x0 )k < ε sempre que kx − x0 k < δ. Tome x ∈ E tal que kx − 0k = kxk < δ. Ent˜ao k(x + x0 ) − x0 k = kxk < δ. Portanto kT (x) − T (0)k = kT (x) − 0k = kT (x)k = kT (x) + T (x0 ) − T (x0 )k = kT (x + x0 ) − T (x0 )k < ε, provando que T ´e cont´ınuo na origem. (e)=⇒(f) Da continuidade de T na origem existe δ > 0 tal que kT (x)k < 1 sempre que kxk < δ. Se kxk ≤ 1, k 2δ xk < δ, e ent˜ao 2δ kT (x)k = kT ( 2δ x)k < 1. Isso prova que sup{kT (x)k : x ∈ E e kxk ≤ 1} ≤ 2δ < ∞. 25

(f) =⇒(g) Para x ∈ E, x 6= 0, temos ° µ ¶° kT (x)k ° x ° ° ° ≤ sup{kT (y)k : kyk ≤ 1}, = °T kxk kxk ° e portanto kT (x)k ≤ (sup{kT (y)k : kyk ≤ 1})kxk para todo x 6= 0. O resultado segue pois essa desigualdade ´e trivialmente verificada para x = 0. (g) =⇒(a) Dados x1 , x2 ∈ E, kT (x1 ) − T (x2 )k = kT (x1 − x2 )k ≤ C kx1 − x2 k , e portanto T ´e lipschitziano com constante C. Corol´ ario 2.1.2 Seja T : E −→ F um operador linear bijetor entre espa¸cos normados. Ent˜ ao T ´e um isomorfismo se, e somente, se existem constantes C1 , C2 > 0 tais que C1 kxk ≤ kT (x)k ≤ C2 kxk para todo x ∈ E. Observa¸ c˜ ao 2.1.3 Da condi¸ca˜o (f) do Teorema 2.1.1 segue que os operadores lineares cont´ınuos s˜ao exatamente aqueles que transformam conjuntos limitados no dom´ınio em conjuntos limitados no contradom´ınio. Por isso os operadores lineares cont´ınuos s˜ao muitas vezes chamados de operadores lineares limitados. Apesar de ser uma terminologia amplamente difundida, n˜ao a adotaremos por ser inconsistente com a no¸c˜ao de fun¸ca˜o limitada do Exemplo 1.1.2. L´a uma fun¸ca˜o ´e limitada se sua imagem ´e limitada; aqui um operador ´e limitado se transforma conjuntos limitados em conjuntos limitados. Para evitar ambiguidade seguiremos com o termo operador linear cont´ınuo e com a no¸c˜ao de fun¸c˜ao limitada como aquela que tem imagem limitada. Por outro lado, a mesma condi¸c˜ao (f) nos ensina como normar o espa¸co L(E, F ) dos operadores lineares cont´ınuos de E em F : Proposi¸c˜ ao 2.1.4 Sejam E e F espa¸cos normados. (a) A express˜ ao kT k = sup{kT (x)k : x ∈ E e kxk ≤ 1} define uma norma no espa¸co L(E, F ). (b) kT (x)k ≤ kT k · kxk para todos T ∈ L(E, F ) e x ∈ E. (c) Se F for Banach, ent˜ao L(E, F ) tamb´em ´e Banach. Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos (a) e (b) a cargo do leitor. Provemos (c). Seja (Tn )∞ n=1 uma sequˆencia de Cauchy em L(E, F ). Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que kTn − Tm k ≤ ε sempre que n, m ≥ n0 . Logo kTn (x) − Tm (x)k = k(Tn − Tm )(x)k ≤ kTn − Tm k · kxk ≤ εkxk

(2.1)

e para todos x ∈ E e n, m ≥ n0 . Segue que para cada x ∈ E, a sequˆencia (Tn (x))∞ n=1 ´ de Cauchy em F , logo convergente pois F ´e Banach. Podemos ent˜ao definir T : E −→ F , T (x) = lim Tn (x). n→∞

26

A linearidade de T segue das propriedades dos limites. Fazendo m −→ ∞ em (2.1) obtemos k(Tn − T )(x)k = kTn (x) − T (x)k ≤ εkxk (2.2) para todos x ∈ E e n ≥ n0 . Em particular, k(Tn0 − T )(x)k = kTn0 (x) − T (x)k ≤ εkxk para todo x ∈ E, o que nos garante que (T − Tn0 ) ∈ L(E, F ). Portanto T = (T − Tn0 ) + Tn0 ∈ L(E, F ). De (2.2) segue tamb´em que kTn − T k ≤ ε para todo n ≥ n0 , e assim segue que Tn −→ T em L(E, F ). No Exerc´ıcio 2.7.8 o leitor provar´a v´arias express˜oes alternativas para kT k. Uma que ser´a especialmente u ´til ´e a seguinte: kT k = inf{C : kT (x)k ≤ Ckxk para todo x ∈ E}. No caso de funcionais lineares, a norma de operadores se transforma em kϕk = sup{|ϕ(x)| : x ∈ E e kxk ≤ 1} para todo espa¸co normado E e todo funcional ϕ ∈ E 0 . Da Proposi¸ca˜o 2.1.4(c) temos Corol´ ario 2.1.5 O dual E 0 de qualquer espa¸co normado E ´e um espa¸co de Banach.

2.2

Exemplos

´ claro que, em qualquer espa¸co normado E, a identidade em E ´e um operador linear E cont´ınuo de norma 1, e que, entre dois espa¸cos normados quaisquer, o operador nulo ´e um operador linear cont´ınuo de norma 0. Tamb´em ´e muito simples verificar que se ϕ ∈ E 0 e y ∈ F , ent˜ao ϕ ⊗ y : E −→ F , ϕ ⊗ y(x) = ϕ(x)y, ´e um operador linear cont´ınuo de norma kϕk·kyk. Vejamos alguns exemplos em espa¸cos espec´ıficos: Exemplo 2.2.1 Seja 1 ≤ p < ∞. Escolha uma sequˆencia (bj )∞ j=1 ∈ `p e considere o operador ∞ T : `∞ −→ `p , T ((aj )∞ j=1 ) = (aj bj )j=1 . A linearidade de T ´e imediata. De Ã∞ !1/p à ∞ !1/p X X ° ° °T ((aj )∞ ° |aj bj |p ≤ |bj |p · sup |aj | j=1 ) p = j=1

j=1

° ° ° ° ∞ ° ° ° = °(bj )∞ · (a ) j j=1 p j=1 ∞ 27

j

ımos que T ´e cont´ınuo e que kT k ≤ k(bj )∞ para toda sequˆencia (aj )∞ j=1 ∈ `∞ , conclu´ j=1 kp . Tomando x = (1, 1, 1, . . . , ) ∈ `∞ temos kxk∞ = 1 e kT (x)k = k(bj )∞ k , j=1 p logo ∞ kT k = k(bj )j=1 kp . Este operador T ´e chamado de operador diagonal pela sequˆencia (bj )∞ j=1 . Exemplo 2.2.2 Transportando o exemplo acima para os espa¸cos de fun¸co˜es, considere 1 ≤ p < ∞ e escolha uma fun¸ca˜o g ∈ Lp [0, 1]. Assim como antes, o operador T : C[0, 1] −→ Lp [0, 1] , T (f ) = f g, ´e linear, cont´ınuo e kT k = kgkp . Neste caso T ´e chamado de operador multiplica¸c˜ ao pela fun¸ca˜o g. No Exerc´ıcio 2.7.2 o leitor comprovar´a que todo operador linear definido em um espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e cont´ınuo. Veremos a seguir, e com mais ˆenfase ainda no Exerc´ıcio 2.7.3, que nem sempre operadores lineares em espa¸cos de dimens˜ao ´ infinita s˜ao cont´ınuos. Essa ´e a diferen¸ca b´asica entre Algebra Linear e An´alise Funcional. Se o leitor imagina que para um operador linear ser descont´ınuo ele deve ser algo muito complicado, certamente se surpreender´a com a simplicidade do exemplo a seguir. Exemplo 2.2.3 Considere o subconjunto P[0, 1] de C[0, 1] formado pelas fun¸co˜es ´ claro que P[0, 1] ´e um subespa¸co vetorial de C[0, 1], polinomiais (ou polinˆomios). E ´ claro tamb´em que logo ´e um espa¸co normado com a norma k · k∞ herdada de C[0, 1]. E o operador deriva¸ca˜o T : P[0, 1] −→ P[0, 1] , T (f ) = f 0 = derivada de f, ´e linear. Suponha que T seja cont´ınuo. Nesse caso existe C tal que kT (f )k∞ ≤ Ckf k∞ para todo polinˆomio f ∈ P[0, 1]. Para cada n ∈ N tome fn ∈ P[0, 1] a fun¸ca˜o dada por fn (t) = tn . Ent˜ao n = kfn0 k∞ = kT (fn )k∞ ≤ Ckfn k∞ = C para todo n ∈ N, e isso configura uma contradi¸c˜ao, logo T ´e descont´ınuo.

2.3

O Teorema de Banach–Steinhaus

Um dos principais motivos do sucesso da An´alise Funcional ´e a existˆencia de um conjunto de teoremas estruturais que, ao mesmo tempo em que flexibilizam a teoria e permitem sua intera¸ca˜o com diversas outras ´areas, a tornam repleta de exemplos interessantes. Come¸caremos a descrever e demonstrar esses teoremas nesta se¸ca˜o e terminaremos apenas no pr´oximo cap´ıtulo com o Teorema de Hahn–Banach e suas aplica¸c˜oes. Muitos dos principais teoremas em an´alise est˜ao associados a algum tipo de controle uniforme baseado em hip´oteses pontuais. Um exemplo cl´assico ´e o fato de que fun¸c˜oes 28

cont´ınuas em conjuntos compactos s˜ao uniformemente cont´ınuas. O principal resultado desta se¸c˜ao, o Teorema de Banach–Steinahaus, garante que uma fam´ılia de operadores lineares cont´ınuos ´e uniformemente limitada sempre que for pontualmente limitada. Importantes consequˆencias deste teorema ser˜ao vistas a seguir e tamb´em em v´arios outros pontos do texto. Para sua demonstra¸ca˜o precisamos do seguinte cl´assico da topologia dos espa¸cos m´etricos: Teorema 2.3.1 (Teorema de Baire) Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico completo e ∞ S Fn . Ent˜ao (Fn )∞ encia de subconjuntos fechados de M tais que M = n=1 uma sequˆ n=1

existe n0 ∈ N tal que Fn0 tem interior n˜ao-vazio.

Demonstra¸ c˜ ao. Denotemos por int(A) o interior de um subconjunto A de M . Fa¸camos por absurdo, e para isso suponhamos que int(Fn ) = ∅ para todo n. Chamando An = (Fn )c = (M − Fn ), cada An ´e aberto e An = (Fn )c = (int(Fn ))c = ∅c = M para todo n. Em particular, cada An ´e n˜ao-vazio. Escolha x1 ∈ A1 e use o fato de A1 ser aberto para garantir a existˆencia de 0 < δ1 < 1 tal que a bola fechada de centro x1 e raio δ1 , denotada por B[x1 , δ1 ], est´a contida em A1 . De A2 = M temos A2 ∩ B(x1 , δ1 ) 6= ∅, onde B(x1 , δ1 ) denota a bola aberta de centro x1 e raio δ1 . E como A2 ∩ B(x1 , δ1 ) ´e aberto, existem x2 ∈ A2 e 0 < δ2 < 12 tais que B[x2 , δ2 ] ⊆ A2 ∩B(x1 , δ1 ) ⊆ A2 ∩B[x1 , δ1 ]. Continuando o processo constru´ımos uma sequˆencia (xn )∞ encia n=1 em M e uma sequˆ ∞ (δn )n=1 de n´ umeros reais tais que 1 e B[xn+1 , δn+1 ] ⊆ An+1 ∩ B[xn , δn ] n para todo n. Dado ε > 0 escolha n0 ∈ N tal que n0 > 2ε . Se m, n ≥ n0 , como B[xn , δn ] ∩ B[xm , δm ] ⊆ B[xn0 , δn0 ], temos 0 < δn
0 tal que sup kTn k ≤ c. Segue ent˜ao que n∈N

kTn (x)k ≤ kTn k · kxk ≤ c kxk para todos x ∈ E e n ∈ N. Fazendo n −→ ∞ obtemos kT (x)k ≤ c kxk para todo x ∈ E, o que completa a demonstra¸c˜ao de que T ´e cont´ınuo. Para apreciar a pr´oxima aplica¸ca˜o do Teorema de Banach–Steinhaus, lembremos um exemplo cl´assico do C´alculo: a fun¸c˜ao f : R2 −→ R , f (x, y) = 30

x2

xy , f (0, 0) = 0, + y2

´e separadamente cont´ınua, isto ´e, f (x, ·) : R −→ R e f (·, y) : R −→ R s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas para quaisquer x, y fixos. Entretanto f n˜ao ´e cont´ınua: tomando y = tx t com x 6= 0, f (x, tx) = 1+t ao existe o limite lim f (x, y). A seguir 2 , portanto n˜ (x,y)→(0,0)

verificamos que para aplica¸c˜oes bilineares, o fenˆomeno acima n˜ao ocorre, mesmo em dimens˜ao infinita. Defini¸ c˜ ao 2.3.4 Sejam E1 , E2 e F espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸ca˜o B : E1 ×E2 −→ F ´e dita bilinear se B(x1 , ·) : E2 −→ F e B(·, x2 ) : E1 −→ F s˜ao operadores lineares para quaisquer x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 fixados. Corol´ ario 2.3.5 Sejam E1 , E2 e F espa¸cos vetoriais normados, E2 completo e B : E1 × E2 → F uma aplica¸c˜ ao bilinear. Suponha que B seja separadamente cont´ınua, isto ´e, B(x, ·) : E2 −→ F e B(·, y) : E1 −→ F s˜ao operadores lineares cont´ınuos para quaisquer x ∈ E1 e y ∈ E2 fixados. Ent˜ao B : E1 × E2 −→ F ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao. Considere F = {B(x, ·) : x ∈ E1 , kxk ≤ 1} ⊆ L(E2 , F ). Por hip´otese, B(·, y) ´e linear e cont´ınuo para cada y ∈ E2 , portanto, para todo x ∈ E1 , kxk ≤ 1, temos kB(x, y)k ≤ kB(·, y)kL(E1 ,F ) =: Cy . Assim a fam´ılia F ´e pontualmente limitada e, pelo Teorema de Banach–Steinhaus, existe uma constante C tal que sup sup kB(x, y)k < C. kxk≤1 kyk≤1

Segue da bilinearidade de B que kB(x, y)k ≤ Ckxk · kyk para todos x ∈ E1 e y ∈ E2 . A continuidade de B segue agora do Exerc´ıcio 2.7.25. Finalizamos esta se¸c˜ao verificando a necessidade da completude do dom´ınio no enunciado do Teorema de Banach–Steinhaus. Exemplo 2.3.6 Para cada n ∈ N, considere o funcional linear cont´ınuo ϕn : c00 −→ K , ϕn ((aj )∞ j=1 ) = nan . ´ claro que (ϕn )∞ ⊆ (c00 )0 e kϕn k = n para todo n. Dada uma sequˆencia (aj )∞ ∈ c00 , E j=1 n=1 ) = 0 para todo n ≥ j0 . tomando j0 tal que aj = 0 para todo j ≥ j0 , segue que ϕn ((aj )∞ j=1 Assim, sup |ϕn (x)| < ∞ para todo x ∈ c00 mas sup kϕn k = ∞. n

n

31

2.4

O Teorema da Aplica¸c˜ ao Aberta

O Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta ´e mais um resultado famoso da An´alise Funcional, devido a Banach (1929), e garante que se E e F s˜ao espa¸cos de Banach, ent˜ao todo operador linear cont´ınuo e sobrejetor T : E −→ F ´e uma aplica¸c˜ ao aberta, isto ´e, T (A) ´e aberto em F sempre que A for aberto em E. Para demonstr´a-lo, precisamos do seguinte lema. Por BE (x0 ; r) denotaremos a bola aberta em E centrada em x0 de raio r, isto ´e, BE (x0 ; r) = {x ∈ E : kx − x0 k < r}. Lema 2.4.1 Sejam E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e T : E −→ F um operador linear cont´ ¡ınuo. ¢ Se existirem R, r > 0 tais que T (BE (0; R)) ⊇ BF (0; r), ent˜ao r T (BE (0; R)) ⊇ BF 0; 2 . Demonstra¸ c˜ ao. Como para todo subconjunto M ⊆ E e todo escalar a ∈ K tem-se aM = aM (Exerc´ıcio 1.8.8), segue da hip´otese que T (BE (0; aR)) ⊇ BF (0; ar) (2.4) ¡ ¢ ¡ ¢ para todo a ∈ R positivo. Seja y ∈ BF 0; 2r . ¡Por ¢(2.4) existe x1 ∈ BE 0; R2 tal que ky −¡ T (x¢1 )k < 4r , isto ´e, y − T (x1 ) ∈ BF 0; 4r . Novamente por (2.4), existe x2 ∈ BE 0; R4 tal que r k(y − T (x1 )) − T (x2 )k < . 8 Como (2.4) vale para todo a > 0, podemos continuar esse procedimento ¡ indefinidamente ¢ ∞ de forma a construir uma sequˆencia (xn )n=1 em E tal que xn ∈ BE 0; 2Rn e ky − T (x1 ) − · · · − T (xn )k < para todo n ∈ N. A s´erie

∞ P n=1

r

(2.5)

2n+1

kxn k ´e convergente pois kxn k
n→∞ ° ° xj ° ≤ kxj k −→ 0, ° ° ° j=n

à e portanto a sequˆencia

n P

j=n

!∞ ´e de Cauchy em E. Como E ´e Banach, existe x ∈ E

xj

j=1

n=1

para o qual essa sequˆencia converge. Segue ent˜ao que ° ° n ∞ n ° ° X X X ° ° kxj k = kx1 k + kxn k xj ° ≤ lim kxk = ° lim ° n→∞ °n→∞ n=2 j=1 ∞ X

j=1 ∞ X

∞

XR R R R < + kxn k ≤ + = = R, 2 n=2 2 n=2 2n 2n n=1 32

e portanto x ∈ BE (0; R). Fazendo n −→ ∞ em (2.5) obtemos ° Ã !° n ° ° X ° ° ky − T (x)k = °y − T lim xj ° = lim ky − T (x1 ) − · · · − T (xn )k n→∞ ° ° n→∞ j=1

≤ lim

n→∞

r 2n+1

= 0,

e consequentemente y = T (x). Da´ı y ∈ T (BE (0; R)) e o resultado est´a provado. Teorema 2.4.2 (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta) Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E −→ F linear, cont´ınuo e sobrejetor. Ent˜ao T ´e uma aplica¸c˜ ao aberta. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach ´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. De E =

∞ S

BE (0; n) e da sobrejetividade de T segue que

n=1

F = T (E) =

∞ S

T (BE (0; n)) =

n=1

∞ S

T (BE (0; n)).

n=1

Pelo Teorema 2.3.1 existe n0 ∈ N tal que T (BE (0; n0 )) tem interior n˜ao-vazio. Assim existem b ∈ F e r > 0 tais que BF (b; r) ⊆ T (BE (0; n0 )) . Como T (BE (0; n0 )) = −T (BE (0; n0 )), resulta que BF (−b; r) = −BF (b; r) ⊆ T (BE (0; n0 )). Como x = 12 (b + x) + 12 (−b + x), 1 1 BF (0; r) ⊆ BF (b; r) + BF (−b; r) 2 2 1 1 ⊆ T (BE (0; n0 )) + T (BE (0; n0 )) = T (BE (0; n0 )), 2 2 onde a u ´ltima igualdade decorre da convexidade do conjunto T (BE (0; n0 )). Pelo Lema 2.4.1 sabemos que T (BE (0; n0 )) ⊇ BF (0; ρ) para ρ = 2r , e portanto T (BE (0; cn0 )) ⊇ BF (0; cρ) para todo real positivo c. Vejamos que T (BE (x; cn0 )) ⊇ BF (T (x); cρ) para todo x ∈ E e todo c > 0. De fato, BE (x; cn0 ) = x + BE (0, cn0 ), e ent˜ao T (BE (x; cn0 )) = T (x) + T (BE (0; cn0 )) ⊇ T (x) + BF (0; cρ) = BF (T (x); cρ). Agora podemos provar que T (U ) ´e aberto em F para cada U aberto em E. Sejam x ∈ U e c > 0 tais que BE (x, cn0 ) ⊆ U. Ent˜ao T (U ) ⊇ T (BE (x; cn0 )) ⊇ BF (T (x); cρ), 33

provando que T (U ) ´e aberto em F . A segunda afirma¸c˜ao ´e consequˆencia imediata da primeira. A sobrejetividade do operador ´e hip´otese essencial no Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta, pois toda aplica¸c˜ao linear aberta T : E −→ F entre espa¸cos normados ´e necessariamente sobrejetora. Com efeito, dada uma bola aberta centrada na origem de E, sua imagem por T , por ser aberta, cont´em uma bola centrada na origem de F . A sobrejetividade segue facilmente da linearidade de T . O pr´oximo exemplo mostra que a hip´otese dos espa¸cos serem completos tamb´em ´e essencial. Exemplo 2.4.3 Seja T : c00 −→ c00 o operador linear dado por T ((an )∞ n=1 ) = a2 a3 (a1 , 2 , 3 , . . .). No Exerc´ıcio 2.7.28 o leitor comprovar´a que T ´e linear, bijetor e cont´ınuo, mas que o operador inverso T −1 n˜ao ´e cont´ınuo. Exemplo 2.4.4 (Subespa¸cos fechados de C[0, 1]) Vejamos que todo subespa¸co fechado F de dimens˜ao infinita de C[0, 1] cont´em uma fun¸c˜ao que n˜ao pertence a C 1 [0, 1]. Isso prova, em particular, que C 1 [0, 1] n˜ao ´e fechado em C[0, 1]. Suponha, com prop´osito de contradi¸ca˜o, que F ⊆ C 1 [0, 1]. Como F ´e fechado em C[0, 1], os espa¸cos E1 := (F, k·k∞ ) e E2 := (F, k · kC 1 ) s˜ao ambos completos. A aplica¸ca˜o identidade i : E2 −→ E1 ´e ´ tamb´em cont´ınua pois, para toda g ∈ F , claramente bijetora e linear. E ki(g)kE1 = kgk∞ ≤ kgk∞ + kg 0 k∞ = kgkE2 . Assim, o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta garante a existˆencia de uma constante C > 0 tal que kg 0 k∞ ≤ Ckgk∞ para toda fun¸ca˜o g ∈ F . Seja (fn )∞ encia na bola unit´aria de E1 , isto ´e, n=1 uma sequˆ max |fn (t)| ≤ 1 para todo n. Pela desigualdade acima, max |fn0 (t)| ≤ C para todo n. t∈[0,1]

t∈[0,1]

O conjunto formado pelas fun¸co˜es fn , n ∈ N, satisfaz ent˜ao as condi¸c˜oes (a) e (b) do Teorema de Ascoli (Teorema B.7 do Apˆendice 2); e portanto seu fecho ´e compacto em C[0, 1]. Obtemos assim uma subsequˆencia (fnj )∞ ca˜o f ∈ C[0, 1] tais que j=1 e uma fun¸ fnj −→ f em C[0, 1]. Sabemos que f ∈ F pois F ´e fechado. Provamos ent˜ao que a bola fechada unit´aria de E1 ´e compacta. Pelo Teorema de Riesz (Teorema 1.5.4), F teria obrigatoriamente dimens˜ao finita, o que contradiz nossa hip´otese inicial.

2.5

O Teorema do Gr´ afico Fechado

Sejam E e F espa¸cos normados e T : E −→ F um operador linear. O gr´ afico de T ´e o conjunto G(T ) = {(x, y) : x ∈ E e y = T (x)} = {(x, T (x)) : x ∈ E} ⊆ E × F.

34

Note que G(T ) ´e um subespa¸co vetorial de E×F (que ser´a munido com qualquer uma das normas equivalentes do Exerc´ıcio 1.8.12). Em geral G(T ) pode ser um subconjunto fechado de E × F ou n˜ao. Vejamos que, para operadores lineares entre espa¸cos de Banach, a continuidade de T ´e equivalente ao fato de G(T ) ser fechado. Teorema 2.5.1 (Teorema do Gr´afico Fechado) Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E −→ F um operador linear. Ent˜ao T ´e cont´ınuo se, e somente se, G(T ) ´e fechado em E × F . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha T cont´ınuo. Ent˜ao a fun¸c˜ao f : E × F −→ R , f (x, y) = kT (x) − yk ´e cont´ınua, e portanto G(T ) = f −1 ({0}) ´e fechado por ser a imagem inversa do fechado {0} pela fun¸ca˜o cont´ınua f . Reciprocamente, suponha G(T ) fechado. Do Exerc´ıcio 1.8.12 sabemos que E × F ´e espa¸co de Banach com a norma k · k1 . A fun¸ca˜o π : G(T ) −→ E , π(x, T (x)) = x, ´e claramente linear e bijetora. Al´em disso, π ´e cont´ınua pois kπ(x, T (x))k = kxk ≤ kxk + kT (x)k = k(x, T (x))k1 . Do Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta segue ent˜ao que π −1 ´e cont´ınua e portanto existe C > 0 tal que k(x, T (x))k1 ≤ C kxk para todo x ∈ E. Logo kT (x)k ≤ kT (x)k + kxk = k(x, T (x))k1 ≤ C kxk para todo x ∈ E. Isso prova que T ´e cont´ınuo. No Teorema 2.6.1 e no Exerc´ıcio 2.7.34 o leitor se certificar´a de que uma e apenas uma das implica¸c˜oes do Teorema do Gr´afico Fechado continua v´alida para operadores entre espa¸cos normados n˜ao-completos. A grande utilidade do Teorema do Gr´afico Fechado reside na seguinte observa¸ca˜o: para mostrar a continuidade de um operador T : E −→ F (linear ou n˜ao) via defini¸c˜ao, devemos provar que, para toda sequˆencia convergente xn −→ x em E, ´e verdade que: e convergente em F , isto ´e, existe y ∈ F tal que T (xn ) −→ y; (a) (T (xn ))∞ n=1 ´ (b) y = T (x). e uma tarefa dif´ıcil, Em geral, provar (a), isto ´e, provar que (T (xn ))∞ n=1 converge, ´ especialmente em dimens˜ao infinita. O Teorema do Gr´afico Fechado nos fornece, no caso em que T ´e linear e atua entre espa¸cos de Banach, o item (a) gratuitamente, ou seja, podemos supor a convergˆencia de (T (xn ))∞ n=1 , restando apenas verificar (b). O exemplo a seguir ilustra o que acabamos de dizer:

35

Exemplo 2.5.2 Sejam E um espa¸co de Banach e T : E −→ E 0 um operador linear sim´etrico, isto ´e, T ´e linear e T (x)(y) = T (y)(x) para todos x, y ∈ E. Mostremos que T ´e cont´ınuo. Em vista do Teorema do Gr´afico Fechado, basta verificar que G(T ) ´e fechado. Para isto, seja (xn )∞ encia convergindo para x em E e n=1 uma sequˆ 0 suponha que T (xn ) −→ ϕ em E . Fixado y ∈ E, tomando o limite quando n −→ ∞, ϕ(y) ←− T (xn )(y) = T (y)(xn ) −→ T (y)(x) = T (x)(y), o que nos permite concluir que T (x)(y) = ϕ(y). Como y ∈ E foi escolhido arbitrariamente, segue que ϕ = T (x), e portanto G(T ) ´e fechado.

2.6

Coment´ arios e notas hist´ oricas

Seja T : E −→ F um operador linear cont´ınuo. Da Proposi¸c˜ao 2.1.4(b) sabemos que na express˜ao kT k = inf{C : kT (x)k ≤ Ckxk para todo x ∈ E}, ´ natural ent˜ao imaginar que na express˜ao o ´ınfimo ´e atingido. E kT k = sup{kT (x)k : x ∈ E e kxk = 1}, o supremo tamb´em ´e atingido. Entretanto, como o leitor verificar´a no Exerc´ıcio 2.7.11, isso nem sempre acontece e o assunto ´e bem mais delicado do que pode parecer `a primeira vista. Diz-se que um operador linear cont´ınuo T : E −→ F atinge a norma se existe x ∈ E com norma 1 tal que kT (x)k = kT k . Um resultado profundo, conhecido como Teorema de Bishop–Phelps, garante que, se E e F s˜ao espa¸cos normados (sobre os reais), ent˜ao o conjunto dos funcionais lineares cont´ınuos que atingem a norma ´e denso em E 0 . A monografia [23] ´e uma boa referˆencia em portuguˆes sobre o assunto. Para outras vers˜oes do Teorema de Bishop–Phelps e rela¸co˜es com m´etodos variacionais e aplica¸co˜es `as equa¸co˜es diferenciais parciais el´ıpticas sugerimos o livro [29]. O Teorema de Baire tem v´arias formula¸c˜oes equivalentes (veja, por exemplo [53, Se¸c˜ao 7.7]). Enunciamos no Teorema 2.3.1 aquela que ´e mais conveniente para os nossos prop´ositos. A demonstra¸c˜ao que apresentamos ´e a que aparece em [75]. O Teorema 2.3.2 foi provado por Banach e Steinhaus em um artigo conjunto publicado em 1927. O Corol´ario 2.3.3 tamb´em ´e chamado de Teorema de Banach– Steinhaus, e ambos s˜ao tamb´em conhecidos como Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme. S˜ao conhecidas algumas demonstra¸c˜oes do Teorema de Banach–Steinhaus que n˜ao utilizam o Teorema de Baire – veja, por exemplo [17, 14.1] e [39]. S. Banach e H. Steinhaus s˜ao personagens centrais da An´alise Funcional e da j´a lend´aria escola polonesa de matem´atica do s´eculo 20. A parte da ´arvore geneal´ogica (matematicamente falando) de Banach e Steinhaus exibida abaixo, em que todos – 36

exceto Hilbert, ´e claro – s˜ao matem´aticos poloneses de grande renome internacional, ´e prova da influˆencia da matem´atica polonesa ao longo de todo o s´eculo 20 e deste in´ıcio de s´eculo 21 (o s´ımbolo A → B indica que A foi orientador de B):                 Hilbert → Steinhaus →

         

    Banach →                    

Kac Schauder Orlicz → Ciesielski → Kwapien Ulam    Tomczak-Jaergerman     Figiel PeÃlczy´ nski →     Wojtaszczyk Mazur → Bessaga     Rolewicz    Zelazko

Para fazer justi¸ca `a matem´atica polonesa devemos mencionar que a ´arvore acima ilustra apenas um lado da escola polonesa, a saber, o ramo de Lw´ow, ou o ramo de An´alise Funcional. T˜ao importante quanto o ramo de Lw´ow ´e o ramo de Vars´ovia, que inclui, entre outros nomes ilustres, os seguintes matem´aticos: Zaremba, Sierpi´ nski, Mazurkiewicz, Kuratowski, Saks, Borsuk, Zygmund, Tarski, Marcinkiewicz e Janiszewski. O Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta e o Teorema do Gr´afico Fechado foram publicados por Banach em 1932 no livro [7], que ´e normalmente considerado como o marco da funda¸c˜ao da An´alise Funcional como disciplina matem´atica. A primeira demonstra¸ca˜o do Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta ´e devida a J. Schauder em 1930. No Teorema do Gr´afico Fechado, a implica¸ca˜o ‘T cont´ınuo =⇒ gr´afico de T fechado’ vale em um contexto muito mais geral, que ser´a demonstrada e utilizada no Cap´ıtulo 6 (veja Lema 6.2.8): Teorema 2.6.1 Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos com Y de Hausdorff. Se a fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e cont´ınua, ent˜ao o gr´afico de f ´e fechado em X × Y . Uma das li¸co˜es centrais deste cap´ıtulo ´e o fato de que propriedades alg´ebricas afetam, de forma significativa, o comportamento topol´ogico das fun¸c˜oes entre espa¸cos normados. H´a um exemplo not´avel, devido a S. Mazur e S. Ulam (1932), de como propriedades topol´ogicas tamb´em podem afetar o comportamento alg´ebrico: Teorema 2.6.2 Sejam E e F espa¸cos normados reais e f : E −→ F uma fun¸c˜ ao sobrejetora tal que f (0) = 0 e kf (x) − f (y)k = kx − yk para quaisquer x, y em E. Ent˜ao f ´e linear. Uma demonstra¸ca˜o pode ser encontrada em [84, Chapitre X, Lecture 1]. 37

2.7

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.7.1 (a) Prove que todo espa¸co normado de dimens˜ao finita n sobre K ´e isomorfo ao espa¸co euclidiano (Kn , k · k2 ). (b) Prove que se E e F s˜ao espa¸cos normados, sobre o mesmo corpo, de mesma dimens˜ao finita, ent˜ao E e F s˜ao isomorfos. Exerc´ıcio 2.7.2 Todo operador linear cujo dom´ınio ´e um espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e cont´ınuo. Exerc´ıcio 2.7.3 Mostre que para todo espa¸co normado de dimens˜ao infinita E e todo espa¸co normado F 6= {0}, existe um operador linear descont´ınuo T : E −→ F . Exerc´ıcio 2.7.4 Seja E um espa¸co normado sobre C. Se ϕ ´e um funcional linear descont´ınuo em E, mostre que {ϕ(x) : x ∈ E e kxk ≤ 1} = C. Exerc´ıcio 2.7.5 Sejam E um espa¸co normado, F um espa¸co de Banach e G um subespa¸co de E. Se T : G −→ F ´e linear e cont´ınua, mostre que existe uma u ´nica extens˜ao linear cont´ınua de T ao fecho de G. Mostre tamb´em que a norma da extens˜ao coincide com a norma de T e que se T ´e uma isometria linear, ent˜ao a extens˜ao tamb´em ´e. Exerc´ıcio 2.7.6 Sejam E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e T ∈ L(E, F ) uma isometria linear. Mostre que T (E) ´e fechado em F . Exerc´ıcio 2.7.7 (a) Prove que se um espa¸co normado E ´e isomorfo a um espa¸co de Banach, ent˜ao E ´e espa¸co de Banach. (b) Mostre que o item (a) n˜ao vale em espa¸cos m´etricos, isto ´e, existem espa¸cos m´etricos homeomorfos M e N com M completo e N n˜ao-completo. (c) Como vocˆe explica a discrepˆancia entre os itens (a) e (b)? Exerc´ıcio 2.7.8 (a) Sejam E e F espa¸cos normados e T : E −→ F linear e cont´ınuo. Mostre que kT k = sup x6=0

kT (x)k = sup kT (x)k = sup kT (x)k kxk kxk=1 kxk 0, existe y ∈ E tal que π(x) = π(y) e kyk ≤ kπ(x)k + ε. (c) A imagem da bola unit´aria aberta de E por π ´e a bola unit´aria aberta de E/M . (d) π ∈ L(E, E/M ), ker(π) = M e π ´e uma aplica¸c˜ao aberta. (e) Se M 6= E, ent˜ao kπk = 1. (f) Para todo espa¸co normado F e todo operador linear cont´ınuo T : E −→ F existe um u ´nico operador linear cont´ınuo T˜ : E/M −→ F tal que T = T˜ ◦ π. Mais ainda, kT k = kT˜k. Exerc´ıcio 2.7.15 (Teorema do Isomorfismo) Sejam E e F espa¸cos de Banach e T ∈ L(E, F ). Prove que se T (E) ´e fechado em F ent˜ao T (E) ´e isomorfo a E/ker(T ). Exerc´ıcio 2.7.16 Sejam E e F espa¸cos normados. Se T ∈ L(E; F ) e existe c > 0 tal que kT (x)k ≥ c kxk para todo x ∈ E, mostre que o operador inverso T −1 existe e ´e cont´ınuo. Exerc´ıcio 2.7.17 Sejam E e F espa¸cos normados. Mostre que um operador linear T : E −→ F ´e cont´ınuo se, e somente, se T (A) ´e limitado em F sempre que A for limitado em E (veja a defini¸ca˜o de conjunto limitado no Exerc´ıcio 1.8.9). Exerc´ıcio 2.7.18 Sejam E e F espa¸cos normados. Mostre que se T : E −→ F ´e isomorfismo isom´etrico, ent˜ao kT k = 1. Por outro lado, encontre um espa¸co de Banach E e um isomorfismo topol´ogico T : E −→ E com kT k = 1, que n˜ao ´e isomorfismo isom´etrico. 39

Exerc´ıcio 2.7.19 Mostre que quaisquer dois espa¸cos dentre os espa¸cos (Rn , k · k1 ), (Rn , k · k2 ) e (Rn , k · k∞ ) n˜ao s˜ao isomorfos isometricamente. Exerc´ıcio 2.7.20 (Operadores de posto finito) Diz-se que um operador linear cont´ınuo T : E −→ F ´e de posto finito se a imagem de T ´e um subespa¸co de dimens˜ao finita de F. (a) Prove que T ´e de posto finito se, e somente, se existem n ∈ N, ϕ1 , . . . , ϕn ∈ E 0 e y1 , . . . , yn ∈ F tais que T = ϕ1 ⊗ y1 + · · · + ϕn ⊗ yn . (b) Prove que o conjunto dos operadores lineares cont´ınuos de posto finito de E em F ´e um subespa¸co vetorial de L(E, F ). Fechado? Exerc´ıcio 2.7.21 Diz-se que um subespa¸co M de um espa¸co vetorial E tem deficiˆencia finita se existir um n´ umero finito de vetores x1 , . . . , xn em E − M tais que E = [M ∪ {x1 , . . . , xn }]. Mostre que o n´ ucleo de um funcional linear n˜ao-nulo T : E −→ K tem (em E) deficiˆencia finita com n = 1. Exerc´ıcio 2.7.22 Sejam 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Mostre que `p ⊆ `q e que a inclus˜ao `p ,→ `q ´e um operador linear cont´ınuo. Determine a norma dessa inclus˜ao. Exerc´ıcio 2.7.23 Considere o conjunto ( cs =

(aj )∞ j=1

) ∞ X : aj ∈ K para todo j ∈ N e aj converge . j=1

(a) Mostre que cs ´e um espa¸ ¯ co ¯normado com as opera¸co˜es usuais de sequˆencias e com n ¯X ¯ ° ° ¯ ¯ ∞ ° ° a norma (aj )j=1 = sup ¯ aj ¯ . ¯ n∈N ¯ j=1

(b) Prove que cs ´e isomorfo isometricamente ao espa¸co c das sequˆencias convergentes definido no Exerc´ıcio 1.8.27. Exerc´ıcio 2.7.24 Considere o conjunto ( bs =

(aj )∞ j=1

¯ ¯ ) n ¯X ¯ ¯ ¯ : aj ∈ K para todo j ∈ N e sup ¯ aj ¯ < ∞ . ¯ n∈N ¯ j=1

(a) Mostre que bs ´e um espa¸ ¯ n co ¯normado com as opera¸c˜oes usuais de sequˆencias e com ¯X ¯ ° ° ¯ ¯ ° = sup a norma °(aj )∞ ¯ aj ¯ . j=1 ¯ n∈N ¯ j=1

(b) Prove que bs ´e isomorfo isometricamente a `∞ . Exerc´ıcio 2.7.25 Sejam E, F, G espa¸cos normados e A : E × F −→ F uma aplica¸ca˜o bilinear. Considere em E × F qualquer uma das normas do Exerc´ıcio 1.8.12. Prove que as seguintes condi¸co˜es s˜ao equivalentes: 40

(a) A ´e cont´ınua. (b) A ´e cont´ınua na origem. (c) sup{kA(x, y)k : x ∈ BE , y ∈ By } < ∞. (d) Existe C ≥ 0 tal que kA(x, y)k ≤ Ckxk · kyk para todos x ∈ E e y ∈ F . Exerc´ıcio 2.7.26 Seja 1 ≤ p < ∞. Se (bj )∞ e uma sequˆencia num´erica tal que j=1 ´ ∞ P 1 1 ∞ aj bj < ∞ para toda sequˆencia (an )∞ n=1 ∈ `p , mostre que (bn )n=1 ∈ `p∗ , onde p + p∗ = 1.

j=1

Exerc´ıcio 2.7.27 Sejam E, F espa¸cos de Banach e T, T1 , T2 , . . . , operadores em L(E, F ) tais que Tn (x) −→ T (x) para todo x ∈ E. Mostre que, para todo compacto K ⊆ E, sup kTn (x) − T (x)k −→ 0. x∈K

Exerc´ıcio 2.7.28 Complete os detalhes do Exemplo 2.4.3. Exerc´ıcio 2.7.29* Prove a seguinte vers˜ao mais forte do Lema 2.4.1: Sejam E espa¸co de Banach, F espa¸co normado e T ∈ L(E; F ). Se existirem R, r > 0 tais que T (BE (0; R)) ⊇ BF (0; r), ent˜ao T (BE (0; R)) ⊇ BF (0; r). Exerc´ıcio 2.7.30 Sejam k · k1 e k · k2 duas normas em um espa¸co vetorial E tais que (E, k · k1 ) e (E, k · k2 ) s˜ao completos. (a) Suponha que kxn k1 −→ 0 sempre implique que kxn k2 −→ 0. Prove que as duas normas s˜ao equivalentes (veja defini¸ca˜o no Exerc´ıcio 1.8.3). Em particular, a convergˆencia de uma sequˆencia (n˜ao necessariamente para zero) em uma das normas implica em convergˆencia (para o mesmo limite) na outra norma. (b) Se existe c tal que kxk1 ≤ c kxk2 para todo x ∈ E, ent˜ao as duas normas s˜ao equivalentes. (c) Se a topologia gerada pela norma k · k1 est´a contida na topologia gerada por k · k2 , ent˜ao as duas normas s˜ao equivalentes. Em particular, as topologias geradas pelas duas normas coincidem. Exerc´ıcio 2.7.31 Sejam E um espa¸co de Banach e T : E −→ E 0 um operador linear tal que T (x)(y) = T (y)(x) para todos x, y ∈ E. Prove que T ´e cont´ınuo. Exerc´ıcio 2.7.32* Sejam E um espa¸co de Banach e T : E −→ E 0 um operador linear tal que T (x)(x) ≥ 0 para todo x ∈ E. Prove que T ´e cont´ınuo. Exerc´ıcio 2.7.33 Verifique que, no Teorema do Gr´afico Fechado, a implica¸ca˜o T cont´ınuo =⇒ G(T ) fechado em E × F continua v´alida para operadores lineares entre espa¸cos normados n˜ao necessariamente completos.

41

Exerc´ıcio 2.7.34 Prove que o operador linear descont´ınuo T −1 do Exemplo 2.4.3 tem gr´afico fechado. Conclua que, no Teorema do Gr´afico Fechado, a implica¸ca˜o G(T ) fechado em E × F =⇒ T cont´ınuo n˜ao continua v´alida para operadores lineares entre espa¸cos normados n˜ao necessariamente completos. Exerc´ıcio 2.7.35 Sejam E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e T : E −→ F um operador linear de gr´afico fechado. Mostre que se o operador inverso T −1 existe e ´e cont´ınuo, ent˜ao a imagem Im(T ) ´e subespa¸co fechado de F . Exerc´ıcio 2.7.36 Seja (xj )∞ encia no espa¸co de Banach E tal que j=1 uma sequˆ ∞ ∞ P P |ϕ(xj )| < ∞ para todo ϕ ∈ E 0 . Mostre que sup |ϕ(xj )| < ∞. j=1

kϕk≤1 j=1

42

Cap´ıtulo 3 Teoremas de Hahn–Banach ´ dif´ıcil mensurar a importˆancia do Teorema de Hahn–Banach na An´alise Funcional, E tantos s˜ao seus corol´arios e suas aplica¸co˜es. Encontra tamb´em aplica¸co˜es em outras ´areas da matem´atica; por exemplo, An´alise Complexa, Teoria da Medida, Teoria do Controle, Programa¸ca˜o Convexa e Teoria dos Jogos (para referˆencias precisas veja [67, p´agina 194]). Aplica¸co˜es recentes `a An´alise Combinat´oria podem ser encontradas em [36]. Na verdade, seu alcance ultrapassa os limites da matem´atica, veja, por exemplo, uma aplica¸ca˜o `a Termodinˆamica em [27]. Provaremos neste cap´ıtulo v´arias formas do Teorema da Hahn–Banach, come¸cando com resultados puramente alg´ebricos, passando por resultados topol´ogicos, primeiro no caso real e depois no caso complexo, e culminando nas formas geom´etricas do teorema, tamb´em chamadas de teoremas de separa¸c˜ao. Algumas primeiras consequˆencias dessas diversas formas do Teorema de Hahn–Banach tamb´em ser˜ao exploradas.

3.1

O teorema da extens˜ ao de Hahn–Banach

A essˆencia do Teorema de Hahn–Banach, em sua vers˜ao para espa¸cos normados, ´e que funcionais lineares cont´ınuos definidos em um subespa¸co G de um espa¸co normado E podem ser estendidos a todo o espa¸co E preservando linearidade, continuidade e at´e mesmo o valor da norma. A pe¸ca fundamental da demonstra¸ca˜o do Teorema de Hahn– Banach ´e um argumento alg´ebrico que mostra que tal extens˜ao ´e poss´ıvel de G para G ⊕ [v] com v ∈ / G. Em seguida o Lema de Zorn ´e aplicado como instrumento t´ecnico de indu¸c˜ao, que pode ser substitu´ıdo por um argumento canˆonico de indu¸ca˜o finita no caso em que E for separ´avel. Para acompanhar a demonstra¸ca˜o do teorema abaixo, o leitor pouco familizariado com o Lema de Zorn deve consultar o Apˆendice A. Teorema 3.1.1 (Teorema de Hahn–Banach – caso real) Sejam E um espa¸co vetorial sobre o corpo dos reais e p : E −→ R uma fun¸c˜ ao que satisfaz p(ax) = ap(x) para todo a > 0 e todo x ∈ E, e 43

(3.1)

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ E. Sejam tamb´em G um subespa¸co vetorial de E e ϕ : G −→ R um funcional linear tal que ϕ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ G. Ent˜ao existe um funcional linear ϕ e : E −→ R que estende ϕ, isto ´e ϕ(x) e = ϕ(x) para todo x ∈ G, e que satisfaz ϕ(x) e ≤ p(x) para todo x ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. Considere a seguinte fam´ılia P de funcionais lineares definidos em subespa¸cos de E que cont´em G:    φ : D(φ) ⊆ E −→ R : D(φ) ´e subespa¸co vetorial de E,  φ ´e linear, G ⊆ D(φ), φ(x) = ϕ(x) para todo x ∈ G . P=   e φ(x) ≤ p(x) para todo x em D(φ) Em P, definimos a rela¸c˜ao de ordem parcial φ1 ≤ φ2 ⇐⇒ D(φ1 ) ⊆ D(φ2 ) e φ2 estende φ1 , isto ´e φ2 (x) = φ1 (x) para todo x ∈ D(φ1 ). Note que P ´e n˜ao-vazio pois ϕ ∈ P. Vejamos que todo subconjunto totalmente ordenado de P admite uma cota superior. Com efeito, dado Q ⊆ P totalmente ordenado, defina φ : D(φ) −→ R por S D(φ) = D(θ) e φ(x) = θ(x) se x ∈ D(θ). θ∈Q

´ imediato que φ ∈ Note que a boa defini¸c˜ao de φ decorre da ordena¸c˜ao total de Q. E P e que φ ´e cota superior para Q. Podemos ent˜ao usar o Lema de Zorn e concluir que P admite um elemento maximal, que ser´a denotado por ϕ. e Observe que para obter o resultado basta mostrar que D(ϕ) e = E. Para isso suponha que D(ϕ) e 6= E. Nesse caso e −→ R por podemos escolher x0 ∈ E − D(ϕ) e e definir φe : D(φ) e = D(ϕ) e + tx0 ) = ϕ(x) D(φ) e + [x0 ] e φ(x e + tα, onde α ´e uma constante que ser´a escolhida posteriormente de forma a garantir que φe ∈ P. Queremos, por enquanto, que α satisfa¸ca as seguintes desigualdades: e + x0 ) ≤ p(x + x0 ) para todo x ∈ D(ϕ) ϕ(x) e + α = φ(x e e e − x0 ) ≤ p(x − x0 ) para todo x ∈ D(ϕ). ϕ(x) e − α = φ(x e Para tanto basta escolher α de modo que sup {ϕ(x) e − p(x − x0 )} ≤ α ≤ inf {p(x + x0 ) − ϕ(x)}. e x∈D(ϕ) e

x∈D(ϕ) e

Felizmente tal escolha ´e poss´ıvel pois para x, y ∈ D(ϕ) e temos ϕ(x) e + ϕ(y) e = ϕ(x e + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + x0 + y − x0 ) ≤ p(x + x0 ) + p(y − x0 ), 44

e consequentemente ϕ(y) e − p(y − x0 ) ≤ p(x + x0 ) − ϕ(x) e para quaisquer x, y ∈ D(ϕ). e Est´a estabelecido ent˜ao que ´e poss´ıvel escolher α atendendo `aquelas duas exigˆencias iniciais. Feito isso, conclu´ımos que: • Para t > 0, ´´ ³x ´ ³ ³x e e e + x0 = tφ + x0 φ(x + tx0 ) = φ t t´ ³ ³x ´ ³ xt ´ =t ϕ e + α ≤ tp + x0 = p(x + tx0 ). t t • Para t < 0, µ µ ¶¶ µ ¶ x x e e e φ(x + tx0 ) = φ −t − x0 = −tφ − x0 −t −t µ µ ¶ ¶ µ ¶ −x −x − α ≤ −tp − x0 = p(x + tx0 ). = −t ϕ e t t • Para t = 0,

e + tx0 ) = φ(x) e φ(x = ϕ(x) e ≤ p(x) = p(x + tx0 ).

e Como isso fere a maximalidade de ϕ, Segue ent˜ao que φe ∈ P, ϕ e ≤ φe e ϕ e 6= φ. e temos D(ϕ) e = E e o teorema est´a provado. A seguir demonstraremos a vers˜ao do Teorema de Hahn–Banach que tamb´em ´e v´alida para espa¸cos vetoriais complexos: Teorema 3.1.2 (Teorema de Hahn–Banach) Sejam E um espa¸co vetorial sobre o corpo K = R ou C e p : E −→ R uma fun¸c˜ ao que satisfaz p(ax) = |a| p(x) para todo a ∈ K e todo x ∈ E, e

(3.2)

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ E.

(3.3)

Se G ⊆ E ´e um subespa¸co vetorial e ϕ : G −→ K ´e um funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ G, ent˜ao existe um funcional linear ϕ e : E −→ K que estende ϕ a E e que satisfaz |ϕ(x)| e ≤ p(x) para todo x ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. Antes de tudo, vejamos que de (3.2) e (3.3) segue que p(x) ≥ 0 para todo x ∈ E, fato este que ser´a usado na parte final da demonstra¸ca˜o. Com efeito, de (3.3) resulta que p(0) = p(0 + 0) ≤ 2p(0), e consequentemente p(0) ≥ 0. De (3.2) segue que p(x) = p(−x) e assim, para todo x ∈ E, 2p(x) = p(x) + p(−x) ≥ p(x + (−x)) = p(0) ≥ 0. Tratemos primeiro o caso real, isto ´e K = R. Nesse caso a hip´otese nos garante que ϕ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ G. O Teorema 3.1.1 garante a existˆencia de um funcional 45

linear ϕ e : E −→ R que estende ϕ a E e que satisfaz ϕ(x) e ≤ p(x) para todo x ∈ E. Dessa desigualdade e de (3.2) temos −ϕ(x) e = ϕ(−x) e ≤ p(−x) = |−1| p(x) = p(x), para todo x ∈ E. Logo |ϕ(x)| e ≤ p(x) para todo x ∈ E. Fa¸camos agora o caso complexo K = C. Nesse caso E ´e um espa¸co vetorial complexo e ϕ toma valores em C. Definindo ϕ1 , ϕ2 : E −→ R por ϕ1 (x) = Re(ϕ(x)) e ϕ2 (x) = Im(ϕ(x)), ´e claro que ϕ1 e ϕ2 s˜ao lineares, tomam valores reais e ϕ = ϕ1 + iϕ2 . Como artif´ıcio, chamemos de ER e GR os espa¸cos vetoriais reais subjacentes a E e G (isto ´e, como conjunto o respectivo espa¸co ´e o mesmo, a opera¸ca˜o de adi¸ca˜o ´e a mesma e a multiplica¸c˜ao por escalar ´e feita apenas com escalares reais). Ent˜ao ϕ1 e ϕ2 s˜ao funcionais lineares sobre GR . Para x ∈ GR , obtemos ϕ1 (x) ≤ |ϕ1 (x)| ≤ |ϕ(x)| ≤ p(x). Pelo Teorema 3.1.1 existe ent˜ao um funcional linear ϕ f1 : ER −→ R que estende ϕ1 a ER e que satisfaz ϕ f1 (x) ≤ p(x) para todo x ∈ ER . Estudemos agora o caso de ϕ2 . Note que para x ∈ G, i (ϕ1 (x) + iϕ2 (x)) = iϕ(x) = ϕ(ix) = ϕ1 (ix) + iϕ2 (ix). Portanto ϕ2 (x) = −ϕ1 (ix) para todo x ∈ G. Definindo ent˜ao ϕ e : E −→ C , ϕ(x) e =ϕ f1 (x) − if ϕ1 (ix), segue que ϕ(x) e = ϕ(x) para todo x ∈ G. Vejamos que ϕ e ´e um funcional linear no ´ espa¸co complexo E. E imediato que ϕ(x e + y) = ϕ(x) e + ϕ(y) e para todos x, y ∈ E. Dados (a + bi) ∈ C e x ∈ E, ϕ((a e + bi)x) = ϕ f1 (ax + ibx) − if ϕ1 ((i(a + bi)x)) = af ϕ1 (x) + bf ϕ1 (ix) − i (af ϕ1 (ix) − bf ϕ1 (x)) = (a + bi) (f ϕ1 (x) − if ϕ1 (ix)) = (a + bi)ϕ(x). e Mostremos finalmente que |ϕ(x)| e ≤ p(x) para todo x ∈ E. Se ϕ(x) e = 0, ent˜ao a desigualdade ´e ´obvia pois p(x) ≥ 0. Tome x ∈ E tal que ϕ(x) e 6= 0. Ent˜ao existe θ tal que ϕ(x) e = |ϕ(x)| e eiθ . Segue que |ϕ(x)| e = e−iθ ϕ(x) e = ϕ(e e −iθ x). Como |ϕ(x)| e ´e real, por (3.2), temos ¯ ¯ |ϕ(x)| e = ϕ(e e −iθ x) = ϕ f1 (e−iθ x) ≤ p(e−iθ x) = ¯e−iθ ¯ p(x) = p(x).

Para ser coerente com a terminologia consagrada pela literatura, chamaremos a seguinte consequˆencia imediata tamb´em de Teorema de Hahn–Banach. 46

Corol´ ario 3.1.3 (Teorema de Hahn–Banach) Seja G um subespa¸co de um espa¸co normado E sobre K = R ou C e seja ϕ : G −→ K um funcional linear cont´ınuo. Ent˜ ao existe um funcional linear cont´ınuo ϕ e : E −→ K cuja restri¸c˜ ao a G coincide com ϕ e kϕk e = kϕk . Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar o Teorema 3.1.2 com p(x) = kϕk · kxk . A partir de agora voltamos ao procedimento anterior no qual um espa¸co normado significa um espa¸co normado sobre K = R ou C. Corol´ ario 3.1.4 Seja E um espa¸co normado. Para todo x0 ∈ E, x0 6= 0, existe um funcional linear ϕ ∈ E 0 tal que kϕk = 1 e ϕ(x0 ) = kx0 k . Demonstra¸ c˜ ao. Aplique o Corol´ario 3.1.3 para G = [x0 ] e ϕ(ax0 ) = akx0 k. A pr´oxima aplica¸ca˜o do Teorema de Hahn–Banach ser´a utilizada v´arias vezes ao longo do texto. Corol´ ario 3.1.5 Sejam E um espa¸co normado, E 6= {0}, e x ∈ E. Ent˜ao kxk = sup{|ϕ(x)| : ϕ ∈ E 0 e kϕk ≤ 1} e o supremo ´e atingido. Demonstra¸ c˜ ao. Para cada funcional ϕ ∈ E 0 , kϕk ≤ 1, ´e imediato que |ϕ(x)| ≤ kϕk · kxk ≤ kxk. Isso mostra que o supremo ´e menor ou igual a kxk. O fato do supremo ser atingido ´e garantido pelo Corol´ario 3.1.4.

3.2

Vers˜ oes vetoriais do Teorema de Hahn–Banach

Em vista do Teorema de Hahn–Banach, ´e natural especular se operadores lineares cont´ınuos podem ser estendidos para espa¸cos maiores. Mais precisamente, se G ´e um subespa¸co do espa¸co normado E e T ∈ L(G, F ), ser´a que sempre existe um operador Te ∈ L(E, F ) que coincide com T em G? Para tratar dessa quest˜ao precisamos dos conceitos de proje¸c˜ao e subespa¸co complementado. Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Seja E um espa¸co de Banach. Um operador linear cont´ınuo P : E −→ ´ claro que se P 6= 0 ´e uma proje¸ca˜o, ent˜ao E ´e uma proje¸c˜ ao se P 2 := P ◦ P = P . E kP k ≥ 1. Proposi¸c˜ ao 3.2.2 Seja F um subespa¸co do espa¸co de Banach E. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes: (a) Existe uma proje¸c˜ ao P : E −→ E cuja imagem coincide com F . Neste caso dizemos que P ´e uma proje¸c˜ ao de E sobre F . (b) F ´e fechado e existe um subespa¸co fechado G de E tal que E = F ⊕ G, isto ´e, E = F + G e F ∩ G = {0}. Neste caso F = {x ∈ E : P (x) = x} e G = ker(P ). 47

Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Provemos primeiro a igualdade F = {x ∈ E : P (x) = x}. Se x ∈ F , tomando y ∈ E tal que P (y) = x segue que x = P (y) = P (P (y)) = P (x). Se x = P (x), ent˜ao claramente x ∈ Im(P ) = F . Consequentemente, chamando de idE o operador identidade em E, ´e verdade que F = {x ∈ E : P (x) = x} = {x ∈ E : (P − idE )(x) = 0} = (P − idE )−1 ({0}), que ´e fechado como a imagem inversa do fechado {0} pela fun¸ca˜o cont´ınua P − idE . ´ claro que G ´e subespa¸co fechado de E. Para todo x ∈ E Tome agora G = ker(P ). E vale que (x − P (x)) ∈ G, P (x) ∈ F e x = (x − P (x)) + P (x). Se x ∈ G ∩ F , temos x = P (x) pois x ∈ F e P (x) = 0 pois x ∈ G. Segue que x = 0. (b) =⇒ (a) Para cada x ∈ E, existem u ´nicos x1 ∈ F e x2 ∈ G tais que x = x1 + x2 . ´ E imediato que o operador P : E −→ E dado por P (x) = x1 est´a bem definido, ´e linear, P 2 = P , Im(P ) = F , ker(P ) = G e F = {x ∈ E : P (x) = x}. Resta provar que P ´e cont´ınuo. Para isso seja (xn )∞ encia em E tal que xn −→ x e n=1 uma sequˆ P (xn ) −→ y. Para cada n, escreva xn = yn + zn com yn ∈ F e zn ∈ G. Ent˜ao zn = xn − yn = xn − P (xn ) −→ x − y. Como G ´e fechado, x − y ∈ G, e portanto P (x) = P (y). Por outro lado, yn = P (xn ) −→ y. Como F ´e fechado, y ∈ F . Assim y = P (y) = P (x). Pelo Teorema do Gr´afico Fechado resulta que o operador linear P ´e cont´ınuo. Defini¸ c˜ ao 3.2.3 Um subespa¸co F do espa¸co de Banach E ´e complementado se satisfaz as condi¸c˜oes equivalentes da Proposi¸ca˜o 3.2.2. Dizemos que F ´e λ-complementado, λ ≥ 1, se F ´e complementado por uma proje¸ca˜o de norma igual a λ. Segue da Proposi¸ca˜o 3.2.2 que todo subespa¸co complementado de um espa¸co de Banach ´e fechado. Exemplo 3.2.4 (a) Todo subespa¸co de dimens˜ao finita de um espa¸co de Banach ´e complementado. Seja F um subespa¸co de dimens˜ao n do espa¸co de Banach E e {e1 , . . . , en } uma base para F µ . Para cada ¶ j = 1, . . . , n, considere o funcional linear n P cont´ınuo ϕj ∈ F 0 dado por ϕj ak ek = aj . Pelo Teorema de Hahn–Banach existe k=1

ϕ ej ∈ E 0 extens˜ao de ϕj a E, j = 1, . . . , n. O leitor n˜ao ter´a dificuldade em checar que n P o operador P := ϕ ej ⊗ ej ´e uma proje¸ca˜o de E sobre F . j=1

(b) Sejam E e F espa¸cos de Banach. Por meio da proje¸ca˜o (x, y) ∈ E × F 7→ (x, 0) ∈ E × F , vemos que E = E × {0} ´e 1-complementado em E × F . (c) J´a sabemos que um subespa¸co n˜ao-fechado de um espa¸co de Banach n˜ao ´e complementado. Por exemplo, c00 n˜ao ´e complementado em c0 . Acredita-se que a existˆencia de subespa¸cos fechados n˜ao-complementados foi provada pela primeira vez em 1937 por Murray [65], que provou que para todo 2 6= p > 1, `p cont´em um subespa¸co fechado n˜ao-complementado. Em 1940, Phillips [72] provou que c0 n˜ao ´e complementado em `∞ . 48

´ f´acil ver que os operadores definidos em subespa¸cos complementados podem ser E estendidos (mantendo a continuidade) ao espa¸co todo: Proposi¸c˜ ao 3.2.5 Sejam G um espa¸co de Banach, F um subespa¸co complementado do espa¸co de Banach E e T ∈ L(F, G). Ent˜ao existe Te ∈ L(E, G) extens˜ ao de T a E. Demonstra¸ c˜ ao. Tome P uma proje¸c˜ao de E sobre F e defina Te = T ◦ P . Entretanto, quando o subespa¸co n˜ao ´e complementado a situa¸ca˜o pode se alterar radicalmente. Vejamos que, ao contr´ario dos funcionais lineares cont´ınuos, operadores lineares cont´ınuos nem sempre podem ser estendidos. Ou seja, n˜ao existe uma vers˜ao vetorial do Teorema de Hahn–Banach: Proposi¸c˜ ao 3.2.6 Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co n˜aocomplementado de E. Ent˜ao n˜ao existe operador linear cont´ınuo T : E −→ F tal que T (x) = x para todo x ∈ F , ou seja, o operador identidade em F n˜ao pode ser estendido continuamente a E. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que exista um operador linear cont´ınuo T : E −→ F tal que ´ claro que a inclus˜ao iF : F −→ E ´e linear e cont´ınua, logo T (x) = x para todo x ∈ F . E iF ◦ T ´e um operador linear cont´ınuo de E em E. Como T (x) ∈ F para todo x ∈ E, segue que T 2 (x) = T (T (x)) = T (x) para todo x ∈ E. Assim iF ◦ T seria uma proje¸ca˜o sobre F , o que contradiz o fato de F n˜ao ser complementado em E. Mesmo n˜ao havendo vers˜ao vetorial do Teorema de Hahn–Banach, est´a aberta a possibilidade de operadores lineares cont´ınuos em determinados espa¸cos serem estend´ıveis. Por exemplo, operadores lineares cont´ınuos tomando valores em `∞ podem sempre ser estendidos: Teorema 3.2.7 (Teorema de Phillips) Sejam F um subespa¸co do espa¸co normado E e T ∈ L(F, `∞ ). Ent˜ao existe Te ∈ L(E, `∞ ) extens˜ ao de T a E. Mais ainda, kTek = kT k. Demonstra¸ c˜ ao. Para cada n ∈ N, considere o funcional linear cont´ınuo de norma 1 dado por ¡ ¢ ϕn : `∞ −→ K , ϕn (aj )∞ j=1 = an . Ent˜ao ϕn ◦T ∈ F 0 para todo n e T (x) = ((ϕn ◦T )(x))∞ n=1 para todo x ∈ F . Pelo Teorema de Hahn–Banach, para cada n existe ϕ fn extens˜ao de ϕn ◦ T a E com kϕn ◦ T k = kf ϕn k. ´ E f´acil ver que o operador Te : E −→ `∞ , Te(x) = (f ϕn (x))∞ n=1 ,

49

´e linear, cont´ınuo e estende T . Por fim, relembrando que BG denota a bola unit´aria fechada do espa¸co normado G, temos kTek = sup kTe(x)k = sup sup |ϕ en (x)| = sup sup |ϕ en (x)| x∈BE

x∈BE

n

n

x∈BE

= sup kϕ en k = sup kϕn ◦ T k = sup sup |ϕn (T (x))| n

n

n

x∈BF

= sup sup |ϕn (T (x))| = sup kT (x)k = kT k. x∈BF

n

x∈BF

Corol´ ario 3.2.8 Se `∞ ´e subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach E, ent˜ao ´e 1complementado em E. Demonstra¸ c˜ ao. Aplique o Teorema 3.2.7 para o operador identidade em `∞ para obter um operador T : E −→ `∞ que estende a identidade e kT k = 1. Chamando de i a inclus˜ao de `∞ em E segue que i ◦ T ´e uma proje¸ca˜o de E sobre `∞ de norma 1.

3.3

Aplica¸c˜ oes do Teorema de Hahn–Banach para espa¸cos separ´ aveis

Como j´a hav´ıamos adiantado, os espa¸cos separ´aveis gozam de propriedades especiais que tornam a teoria dos espa¸cos separ´aveis bem mais rica que a teoria geral. Veremos nesta se¸ca˜o os primeiros ind´ıcios deste fenˆomeno. Relembre que se A ´e um subconjunto de um espa¸co normado E e x ∈ E, ent˜ao dist(x, A) = inf{kx − yk : y ∈ A}. Proposi¸c˜ ao 3.3.1 Sejam E um espa¸co normado, M um subespa¸co fechado de E, y0 ∈ E − M e d = dist(y0 , M ). Ent˜ ao existe um funcional linear ϕ ∈ E 0 tal que kϕk = 1, ϕ(y0 ) = d e ϕ(x) = 0 para todo x ∈ M . Demonstra¸ c˜ ao. Seja N = M + [y0 ]. Ent˜ao, para z ∈ N existem u ´nicos a ∈ K e x ∈ M tais que z = x + ay0 . Defina ϕ0 : N −→ K , ϕ0 (x + ay0 ) = ad. ´ claro que ϕ0 ´e linear, ϕ0 (M ) = {0} e que ϕ0 (y0 ) = d. Provemos que kϕ0 k = 1. Seja E z = x + ay0 ∈ N . Para a 6= 0, ° ° ° x ° ° ≥ d |a| = |ϕ0 (z)| , kzk = kx + ay0 k = |a| · ° − y 0 ° −a ° e para a = 0 a desigualdade kzk ≥ |ϕ0 (z)| ´e ´obvia. Segue que kϕ0 k ≤ 1. Dado ε > 0, y0 − xε . Ent˜ao zε ∈ N, existe xε ∈ M tal que d ≤ ky0 − xε k ≤ d + ε. Seja zε = ky0 − xε k kzε k = 1 e d d ϕ0 (zε ) = ≥ . ky0 − xε k d+ε 50

Como ε > 0 ´e arbitr´ario, segue que kϕ0 k ≥ 1, e portanto kϕ0 k = 1. Pelo Teorema de Hahn–Banach existe ϕ ∈ E 0 que estende ϕ0 a E tal que kϕk = kϕ0 k = 1. Teorema 3.3.2 Se E 0 ´e separ´ avel, ent˜ao E tamb´em ´e separ´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. Seja SE 0 a esfera unit´aria de E 0 , ou seja, SE 0 = {ϕ ∈ E 0 : kϕk = 1}. Conforme j´a mencionamos antes, subconjunto de espa¸co m´etrico separ´avel ´e tamb´em separ´avel, logo SE 0 ´e separ´avel. Seja {ϕn : n ∈ N} um subconjunto enumer´avel e denso de SE 0 . Para cada n ∈ N podemos tomar xn ∈ SE tal que |ϕn (xn )| ≥ 21 . Chamemos M = [x1 , x2 , . . .] e provemos que M = E. Para tanto, suponhamos que M seja diferente de E e escolhamos y0 ∈ E − M. Pela Proposi¸c˜ao 3.3.1 existe um funcional ϕ ∈ E 0 com kϕk = 1 tal que ϕ(y0 ) = d = dist(y0 , M ) e ϕ(x) = 0 para todo x ∈ M . Ent˜ao 1 kϕ − ϕn k = sup |(ϕ − ϕn )(x)| ≥ |(ϕ − ϕn )(xn )| = |ϕn (xn )| ≥ . 2 x∈BE Mas isso ´e um absurdo pois {ϕn : n ∈ N} ´e denso em SE 0 . Portanto M = E e a separabilidade de E segue do Lemma 1.6.3. Veremos na Observa¸c˜ao 4.2.2 que a rec´ıproca do Teorema 3.3.2 n˜ao ´e verdadeira. ´ surpreendente a existˆencia de um espa¸co de Banach dentro do qual podemos E encontrar todos os espa¸cos separ´aveis. Mais surpreendente ainda ´e o fato de que esse super-espa¸co ´e um dos nossos velhos conhecidos: Proposi¸c˜ ao 3.3.3 Todo espa¸co normado separ´ avel ´e isomorfo isometricamente a um subespa¸co de `∞ . Demonstra¸ c˜ ao. Sejam E um espa¸co normado separ´avel e D = {xn : n ∈ N} um subconjunto enumer´avel denso em E. Podemos claramente supor que 0 ∈ / D. Pelo 0 Corol´ario 3.1.4, para cada n ∈ N existe um funcional linear ϕn ∈ E tal que kϕn k = 1 e ϕn (xn ) = kxn k . Considere o operador T : E −→ `∞ , T (x) = (ϕn (x))∞ n=1 . ´ claro que |ϕn (x)| ≤ kϕn k kxk = kxk para todos n ∈ N e x ∈ E, portanto T est´a E em disso, T ´e bem definido no sentido de que (ϕn (x))∞ n=1 ∈ `∞ para todo x ∈ E. Al´ claramente linear e kT (x)k = sup{|ϕn (x)| : n ∈ N} ≤ kxk , (3.4) o que prova, em particular, que T ´e cont´ınuo. Note que kT (xk )k = sup{|ϕn (xk )| : n ∈ N} ≥ |ϕk (xk )| = kxk k

(3.5)

para todo k ∈ N. De (3.4) e (3.5) resulta que kT (xk )k = kxk k para todo k ∈ N. Da densidade do conjunto {xn : n ∈ N} e da continuidade da fun¸ca˜o x ∈ E 7→ kT (x)k ∈ R segue que kT (x)k = kxk para todo x em E. Assim T ´e um isomorfismo isom´etrico entre E e T (E) ⊆ `∞ . 51

3.4

Formas geom´ etricas do Teorema de Hahn– Banach (caso real)

Nesta se¸ca˜o demonstraremos dois teoremas, conhecidos como primeira e segunda formas geom´etricas do teorema de Hahn–Banach. Esses resultados dizem, essencialmente, que se A e B s˜ao subconjuntos do espa¸co normado real E que n˜ao s˜ao muito entrela¸cados (em um sentido que ficar´a claro no momento apropriado), ent˜ao existe um funcional linear cont´ınuo em E tal que ϕ(x) < ϕ(y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Sob determinadas condi¸co˜es sobre A e B pode-se ir mais longe e garantir que sup{ϕ(x) : x ∈ A} < inf{ϕ(x) : x ∈ B}. Podemos interpretar esses resultados sob a perspectiva de que o funcional ϕ separa os conjuntos A e B. Por isso, esses resultados s˜ao tamb´em chamados de teoremas de separa¸c˜ ao. A abordagem desses resultados demanda algumas defini¸co˜es e resultados preliminares. Por simplicidade trataremos apenas o caso real, embora existam resultados parecidos para o caso complexo (veja Exerc´ıcio 3.6.27). Assim, ao longo desta se¸c˜ao todos os espa¸cos vetoriais s˜ao reais, isto ´e, K = R. No Cap´ıtulo 8 as formas geom´etricas de Hahn–Banach ser˜ao tratadas num contexto mais geral. Defini¸ c˜ ao 3.4.1 Seja V um espa¸co vetorial n˜ao-nulo. Um hiperplano de V ´e um subespa¸co W 6= V tal que se W1 ´e subespa¸co de V e W ⊆ W1 , ent˜ao W1 = V ou W1 = W. Vejamos que os hiperplanos s˜ao exatamente os n´ ucleos dos funcionais lineares: Proposi¸c˜ ao 3.4.2 Sejam V um espa¸co vetorial, V 6= {0}, e W um subespa¸co de V . Ent˜ ao W ´e um hiperplano de V se, e somente se, existe um funcional linear n˜ao-nulo ϕ : V −→ R tal que ker(ϕ) = W . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que W seja hiperplano de V . Como W 6= V , podemos escolher v0 ∈ V − W. Tomando W1 = [W ∪ {v0 }], como W ⊆ W1 e W 6= W1 , temos W1 = V. Assim segue facilmente que cada v ∈ V se escreve de modo u ´nico como ´ v = u + av0 com u ∈ W e a ∈ R. E imediato que o funcional ϕ : V −→ R , ϕ(u + av0 ) = a, ´e n˜ao-nulo, linear e ker(ϕ) = W . Reciprocamente, seja ϕ : V −→ R um funcional linear n˜ao-nulo tal que ker(ϕ) = W . ´ claro que ker(ϕ) 6= V pois ϕ 6= 0. Seja W subespa¸co de V tal que ker(ϕ) ⊆ W . Basta E ´ exatamente isso que vamos fazer! Suponha mostrar que se ker(ϕ) 6= W , ent˜ao W = V. E 52

ent˜ao ker(ϕ) 6= W e escolha v0 ∈ W − ker(ϕ). Dado v ∈ V , tomando u = v − temos u ∈ ker(ϕ) ⊆ W. Agora segue que v = u +

ϕ(v) v ϕ(v0 ) 0

ϕ(v) v ϕ(v0 ) 0

∈ W.

Se H ´e um hiperplano de V e v0 ∈ V, o conjunto v0 + H = {v0 + v : v ∈ H} ´e chamado hiperplano afim de V . Da Proposi¸ca˜o 3.4.2 segue que os hiperplanos afins de V s˜ao precisamente os conjuntos da forma {v ∈ V : ϕ(v) = a}, onde ϕ ´e um funcional linear n˜ao-nulo em V e a ´e um n´ umero real. De agora em diante chamaremos os hiperplanos afins simplesmente de hiperplanos. Proposi¸c˜ ao 3.4.3 Seja H = {x ∈ E : ϕ(x) = a} um hiperplano de um espa¸co normado E, onde ϕ ´e um funcional linear em E e a ∈ R. Ent˜ao o hiperplano H ´e fechado se, e somente se, o funcional linear ϕ ´e cont´ınuo. Demonstra¸ c˜ ao. Supondo ϕ cont´ınuo, o hiperplano H = ϕ−1 ({a}) ´e fechado como imagem inversa de conjunto fechado por fun¸c˜ao cont´ınua. Reciprocamente, suponha que H seja fechado. Ent˜ao E − H ´e aberto e n˜ao-vazio, logo existem x0 ∈ E − H e r > 0 tais que BE (x0 ; r) ⊆ E − H. Como ϕ(x0 ) 6= a, podemos supor, sem perda de generalidade, que ϕ(x0 ) < a. Afirma¸c˜ ao. ϕ(x) < a para todo x ∈ B(x0 ; r). 1 )−a De fato, se existisse x1 ∈ B(x0 ; r) com ϕ(x1 ) > a, tomando t = ϕ(xϕ(x ter´ıamos 1 )−ϕ(x0 ) tx0 + (1 − t)x1 ∈ B(x0 ; r) e ϕ(tx0 + (1 − t)x1 ) = tϕ(x0 ) + (1 − t)ϕ(x1 ) µ ¶ ϕ(x1 ) − a ϕ(x1 ) − a = ϕ(x0 ) + 1 − ϕ(x1 ) = a. ϕ(x1 ) − ϕ(x0 ) ϕ(x1 ) − ϕ(x0 ) A afirma¸c˜ao segue pois isso contradiz o fato de que BE (x0 ; r) ⊆ E − H. Portanto, ϕ(x0 ) + rϕ(z) = ϕ(x0 + rz) < a para todo z ∈ E com kzk < 1. Como k − zk = kzk, segue que a − ϕ(x0 ) ϕ(x0 ) − a < ϕ(z) < , r r para todo para todo z ∈ E com kzk < 1. Isso implica que kϕk ≤ a continuidade de ϕ.

a−ϕ(x0 ) , r

o que garante

Introduziremos a seguir o funcional de Minkowski, que no momento nos ser´a u ´til na obten¸ca˜o das formas geom´etricas do Teorema de Hahn–Banach, mas que no Cap´ıtulo 8 desempenhar´a um papel central na constru¸ca˜o da teoria de Espa¸cos Vetoriais Topol´ogicos. 53

Defini¸ c˜ ao 3.4.4 Seja C um subconjunto convexo, aberto e que cont´em a origem do espa¸co normado E. A aplica¸ca˜o n o x pC : E −→ R , pC (x) = inf a > 0 : ∈ C , a ´e chamada funcional de Minkowski de C. Proposi¸c˜ ao 3.4.5 O funcional de Minkowski goza das seguintes propriedades: (a) pC (bx) = bpC (x) para todo b > 0 e todo x ∈ E. (b) C = {x ∈ E : pC (x) < 1}. (c) Existe M > 0 tal que 0 ≤ pC (x) ≤ M kxk para todo x em E. (d) pC (x + y) ≤ pC (x) + pC (y) para quaisquer x, y ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. (a) pC (bx) = inf{a > 0 : bx ∈ C} = b · inf{a > 0 : xa ∈ C} = bpC (x). a (b) Como C ´e aberto, para todo x ∈ C existe ε > 0 tal que (1 + ε)x ∈ C. Assim x ∈ C e portanto pC (x) ≤ (1 + ε)−1 < 1. Reciprocamente, se pC (x) < 1, ent˜ao (1+ε)−1 x da defini¸ ¡ x ¢ca˜o de ´ınfimo existe 0 < a < 1 tal que a ∈ C. Como C ´e convexo temos x = a a + (1 − a) · 0 ∈ C. x (c) Seja r > 0 tal que B(0; r) ⊆ C. Para 0 < s < r temos s kxk ∈ C para todo x ∈ E, ´ claro que x 6= 0. De (a) e (b) segue que pC (x) ≤ kxk para todo x ∈ E n˜ao-nulo. E s essa u ´ltima desigualdade tamb´em vale para x = 0, e consequentemente o resultado est´a provado com M = 1/s. x (d) Sejam x, y ∈ E e ε > 0 dados. Vejamos que pC (x)+ε ∈ C. Com efeito, por (a), ¶ µ x 1 pC = pC (x) < 1, pC (x) + ε pC (x) + ε x ∈ C. Da mesma pC (x)+ε pC (x)+ε < 1, temos pC (x)+pC (y)+2ε

e por (b) segue que tomando 0 < t :=

forma,

y pC (y)+ε

∈ C. Como C ´e convexo,

x+y x y =t + (1 − t) ∈ C. pC (x) + pC (y) + 2ε pC (x) + ε pC (y) + ε De (a) e (b) conclu´ımos que 1 pC (x + y) = pC pC (x) + pC (y) + 2ε

µ

x+y pC (x) + pC (y) + 2ε

¶ < 1,

e portanto pC (x + y) < pC (x) + pC (y) + 2ε. O resultado segue fazendo ε −→ 0. A essa altura o leitor j´a deve ter percebido que a ideia ´e aplicar o Teorema de Hahn–Banach com o funcional de Minkowski fazendo o papel do funcional p. Lema 3.4.6 Seja C um subconjunto convexo, aberto, pr´oprio e n˜ao-vazio do espa¸co normado E e seja x0 ∈ E − C. Ent˜ao existe um funcional linear ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(x) < ϕ(x0 ) para todo x ∈ C. 54

Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que 0 ∈ / C. Escolha z0 ∈ C, considere D = {x − z0 : x ∈ C} e chame y0 = x0 − z0 . Temos assim que y0 ∈ / D, 0 ∈ D e D ´e convexo e aberto. Podemos ent˜ao considerar o funcional de Minkowski pD de D. Definindo G = [y0 ] e g(ty0 ) = t · pD (y0 ) para todo t ∈ R temos g(x) ≤ pD (x) para todo x ∈ G. De fato, para t > 0, g(ty0 ) = t · pD (y0 ) = pD (ty0 ) pela Proposi¸ca˜o 3.4.5(a). E para t ≤ 0, g(ty0 ) = t · pD (y0 ) ≤ 0 ≤ pD (ty0 ), pois pD (x) ≥ 0 para todo x ∈ E. Pelo Teorema de Hahn–Banach existe um funcional linear ϕ : E −→ R tal que ϕ(x) = g(x) para todo x ∈ G e ϕ(x) ≤ pD (x) para todo x ∈ E. Pela Proposi¸ca˜o 3.4.5(c), existe M > 0 tal que ϕ(x) ≤ pD (x) ≤ M kxk para todo x ∈ E, o que garante a continuidade de ϕ. Da Proposi¸c˜ao 3.4.5(b) segue que ϕ(y) ≤ pD (y) < 1 para todo y ∈ D. Como pD (y0 ) ≥ 1 pois y0 ∈ / D, ϕ(y) < 1 ≤ pD (y0 ) = g(y0 ) = ϕ(y0 ) = ϕ(x0 − z0 ) para todo y ∈ D. Da desigualdade anterior e da defini¸c˜ao de D segue que ϕ(x) = ϕ(x − z0 ) + ϕ(z0 ) < ϕ(x0 − z0 ) + ϕ(z0 ) = ϕ(x0 ) para todo x em C. Se 0 ∈ C, basta tomar z0 = 0. Ou ´ltimo ingrediente que nos falta ´e uma propriedade interessante dos funcionais lineares cont´ınuos em espa¸cos normados: Lema 3.4.7 Sejam E um espa¸co normado, ϕ ∈ E 0 um funcional n˜ao-nulo e A um subconjunto convexo, aberto e n˜ao-vazio de E. Ent˜ao ϕ(A) ´e um intervalo aberto (n˜ao necessariamente limitado). Demonstra¸ c˜ ao. Em primeiro lugar observe que como ϕ 6= 0, ent˜ao ϕ ´e sobrejetor, pois sua imagem ´e um subespa¸co vetorial de R. Da linearidade de ϕ e da convexidade de A segue facilmente que ϕ(A) ´e um subconjunto convexo de R, ou seja, um intervalo. No caso em que o intervalo ϕ(A) for limitado superiormente, chamemos de a sua extremidade superior. Suponhamos que a ∈ ϕ(A). Ent˜ao existe x ∈ A tal que ϕ(x) = a e ϕ(y) ≤ a para todo y ∈ A. Como A ´e aberto existe ε > 0 tal que a bola aberta de centro x e raio ε est´a contida em A. Seja z ∈ E um vetor n˜ao-nulo. De ° ° ° ° °x + ε · z − x° = ε · kzk = ε < ε ° 2kzk ° 2kzk 2 ε · z pertence a A. Nesse caso, 2kzk µ ¶ ε ε ε a≥ϕ x+ · z = ϕ(x) + · ϕ(z) = a + · ϕ(z), 2kzk 2kzk 2kzk

segue que x +

55

o que nos leva a concluir que ϕ(z) ≤ 0. Como z ´e um vetor n˜ao-nulo arbitr´ario em E, isso viola a sobrejetividade de ϕ, e portanto a ∈ / ϕ(A). Analogamente prova-se que se ϕ(A) for limitado inferiormente ent˜ao ϕ(A) n˜ao cont´em sua extremidade inferior. Est´a completa a demonstra¸ca˜o de que o intervalo ϕ(A) ´e aberto. Para simplificar a nota¸c˜ao, o hiperplano H = {x ∈ E : ϕ(x) = a} ser´a denotado pelo s´ımbolo [ϕ = a]. Teorema 3.4.8 (Primeira forma geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach) Sejam A e B subconjuntos convexos, n˜ao-vazios e disjuntos do espa¸co normado E. Se A ´e aberto, ent˜ ao existem um funcional ϕ ∈ E 0 e a ∈ R tais que ϕ(x) < a ≤ ϕ(y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Neste caso diz-se que o hiperplano fechado [ϕ = a] separa A e B. Demonstra¸ c˜ ao. Chame S C = A − B. Note que (i) C ´e aberto, pois C = (A − {b}). b∈B

(ii) C ´e convexo, pois para x1 , x2 ∈ A, y1 , y2 ∈ B e 0 < t < 1, t(x1 − y1 ) + (1 − t)(x2 − y2 ) = (tx1 + (1 − t)x2 ) − (ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ A − B. (iii) ∅ 6= C 6= E, pois A e B s˜ao disjuntos e n˜ao-vazios. Como 0 ∈ / C, pois A ∩ B = ∅, pelo Lema 3.4.6 existe ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(z) < ϕ(0) = 0 para todo z ∈ C. Logo ϕ(x) = ϕ(x − y) + ϕ(y) < ϕ(y) (3.6) para todos x ∈ A e y ∈ B. Por B ser n˜ao-vazio, a := sup ϕ(x) ´e um n´ umero real. x∈A

Obviamente ´e verdade que ϕ(A) ⊆ (−∞, a] e de (3.6) segue que a ≤ ϕ(y) para todo y ∈ B. Do Lema 3.4.7 sabemos que ϕ(A) ´e um intervalo aberto, logo ϕ(A) ⊆ (−∞, a), isto ´e, ϕ(x) < a para todo x ∈ A. Teorema 3.4.9 (Segunda forma geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach) Sejam A e B subconjuntos convexos, n˜ao-vazios e disjuntos do espa¸co normado E. Se A ´e fechado e B ´e compacto, ent˜ao existem um funcional ϕ ∈ E 0 e a, b ∈ R tais que ϕ(x) ≤ a < b ≤ ϕ(y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Para c ∈ (a, b) diz-se que o hiperplano fechado [ϕ = c] separa A e B estritamente. Demonstra¸ c˜ ao. Vejamos que ´e poss´ıvel escolher ε > 0 de modo que A + B(0; ε) e B + B(0; ε) sejam abertos, convexos e disjuntos: (i) Para qualquer escolha de ε > 0, os conjuntos A + B(0; ε) e B + B(0; ε) s˜ao abertos. De fato, S S A + B(0; ε) = (α + B(0; ε)) = B(α; ε), α∈A

α∈A

56

e o mesmo ocorre para B + B(0; ε). (ii) Para qualquer escolha de ε > 0, como A, B e B(0; ε) s˜ao convexos, ´e imediato que os conjuntos A + B(0; ε) e B + B(0; ε) s˜ao convexos. (iii) Basta ent˜ao provar que ´e poss´ıvel escolher ε de modo que A + B(0; ε) e B + B(0; ε) sejam disjuntos. Suponha que isso n˜ao seja poss´ıvel. Nesse caso, para cada n ∈ N, temos ¡ ¡ ¢¢ T ¡ ¡ ¢¢ A + B 0; n1 B + B 0; n1 6= ∅. ¡ 1¢ ∞ ∞ ∞ Logo existem (xn )∞ tais que n=1 ⊆ A, (yn )n=1 ⊆ B e (zn )n=1 , (wn )n=1 ⊆ B 0; n xn + zn = yn + wn para todo n ∈ N. Assim kxn − yn k = kzn − wn k
0 tal que A+B(0; ε) e B +B(0; ε) sejam disjuntos. Pelo Teorema 3.4.8 existe um hiperplano fechado [ϕ = c] de E que separa A + B(0; ε) e B + B(0; ε). Logo, para x ∈ A e y ∈ B, ϕ(x) + sup ϕ(z1 ) ≤ c ≤ ϕ(y) + inf ϕ(z2 ), kz2 k 0. Prove que existe um funcional ϕ ∈ E 0 tal que kϕk = 1 e inf ϕ(A) = sup ϕ(B) + δ. Exerc´ıcio 3.6.27 (Caso complexo das formas geom´etricas do Teorema de Hahn– Banach) Sejam E um espa¸co normado complexo e A e B subconjuntos disjuntos, n˜aovazios e convexos de E. (a) Se A ´e aberto, ent˜ao existem um funcional ϕ ∈ E 0 e um n´ umero real a tais que Re(ϕ(x)) ≤ a ≤ Re(ϕ(y)) para todos x ∈ A e y ∈ B. (b) Se A ´e fechado e B ´e compacto, ent˜ao existem um funcional ϕ ∈ E 0 e n´ umeros reais a e b tais que Re(ϕ(x)) < a < b < Re(ϕ(y)) para todos x ∈ A e y ∈ B. Exerc´ıcio 3.6.28 Um semi-espa¸co fechado em um espa¸co normado real E ´e um conjunto da forma ϕ−1 ([a, ∞)) = {x ∈ E : ϕ(x) ≥ a}, onde ϕ ∈ E 0 e a ∈ R. Prove que todo subconjunto fechado e convexo de um espa¸co normado real ´e a interse¸ca˜o de todos os semi-espa¸cos fechados que o cont´em. Exerc´ıcio 3.6.29 (a) Prove que o operador ∞ ∞ T : `∞ −→ L(`2 , `2 ) , T ((aj )∞ j=1 )((bj )j=1 )) = (aj bj )j=1

´e uma isometria linear. (b) Conclua que L(`2 , `2 ) n˜ao ´e separ´avel. Exerc´ıcio 3.6.30 Prove que um subespa¸co vetorial M do espa¸co normado E ´e denso em E se, e somente se, o u ´nico funcional ϕ ∈ E 0 que se anula em M ´e o funcional nulo. Exerc´ıcio 3.6.31 Sejam x e (xi )i∈I vetores de um espa¸co normado E. Prove que x ∈ [xi : i ∈ I] se, e somente se, ϕ(x) = 0 para todo ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(xi ) = 0 para todo i ∈ I. Exerc´ıcio 3.6.32 Sejam K1 , . . . , Kn subconjuntos fechados e convexos do espa¸co normado real E, cada um deles contendo a origem, e sejam tamb´em c1 , . . . , cn n´ umeros reais positivos. Prove que se x ∈ E e x n˜ao pode ser escrito da forma c1 x1 + · · · + cn xn com xi ∈ Ki para todo i = 1, . . . , n, ent˜ao existe ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(x) > 1 e ϕ(y) ≤ c1i para todos i = 1, . . . , n e y ∈ Ki . 62

Cap´ıtulo 4 Dualidade e Espa¸cos Reflexivos Come¸caremos este cap´ıtulo mostrando que ´e poss´ıvel descrever todos os funcionais lineares cont´ınuos em alguns dos espa¸cos cl´assicos com os quais vimos trabalhando. A caracter´ıstica relevante dessa descri¸ca˜o dos espa¸cos duais ´e que os funcionais s˜ao descritos como objetos pertencentes `a mesma classe dos elementos do espa¸co, a saber, funcionais lineares cont´ınuos em espa¸cos de fun¸c˜oes ser˜ao descritos como fun¸c˜oes e funcionais lineares cont´ınuos em espa¸cos de sequˆencias ser˜ao descritos como sequˆencias. Ainda no contexto da dualidade, ao tomarmos o dual do dual de um espa¸co normado, `as vezes nos vemos de volta ao espa¸co original. Esses s˜ao os espa¸cos reflexivos, tema da Se¸ca˜o 4.3. O estudo dos espa¸cos reflexivos nos proporcionar´a uma excelente oportunidade para introduzir e aplicar a importante no¸ca˜o de adjunto de um operador linear cont´ınuo.

4.1

O dual dos espa¸cos Lp

A partir de agora, dado 1 < p < ∞, por p∗ denotaremos o (´ unico) n´ umero maior que 1 1 1 ∗ ∗ tal que p + p∗ = 1. Para p = 1 tomaremos p = ∞. Diz-se que p ´e o conjugado de p e vice-versa. Vejamos primeiramente como elementos de Lp∗ geram funcionais lineares em Lp : Exemplo 4.1.1 Sejam 1 ≤ p < ∞ e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Dada uma fun¸c˜ao g ∈ Lp∗ (X, Σ, µ), considere o funcional Z ϕg : Lp (X, Σ, µ) −→ K , ϕg (f ) = f g dµ. X

Da desigualdade de H¨older 1.2.1 segue que ¯ Z ¯Z ¯ ¯ ¯ |f g| dµ ≤ kgkp∗ · kf kp |ϕg (f )| = ¯ f g dµ¯¯ ≤ X

X

para toda f ∈ Lp (X, Σ, µ). Isso garante que ϕg est´a bem definida e, como nesse caso a linearidade ´e clara, segue tamb´em que ϕg ∈ Lp (X, Σ, µ)0 e kϕg k ≤ kgkp∗ . 63

Para provar a igualdade kϕg k = kgkp∗ precisamos dividir a demonstra¸c˜ao em dois casos. Se g = 0 em Lp∗ (X, Σ, µ), n˜ao h´a o que fazer. Podemos ent˜ao supor kgkp∗ 6= 0. Suponhamos primeiro que p > 1. Nesse caso p∗ < ∞ e portanto est´a bem definida a fun¸c˜ao ∗ |g(x)|p −1 · g(x) se g(x) 6= 0 e f (x) = 0 se g(x) = 0. f (x) = ∗ kgkpp∗ −1 · |g(x)| Como (p∗ − 1)p = p∗ segue que f ∈ Lp (X, Σ, µ) e kf kp = 1. Uma conta r´apida fornece |ϕg (f )| = kgkp∗ , e portanto kϕg k = kgkp∗ . Para o caso p = 1, suponhamos que a medida µ seja σ-finita, isto ´e, existem conjuntos ∞ S An . Seja 0 < c < kgk∞ . (An )∞ n=1 em Σ, todos de medida finita, tais que X = n=1

Tomando A = {x ∈ X : |g(x)| > c}, da defini¸c˜ao de k · k∞ segue que µ(A) > 0. De ∞ S X = An resulta que µ(A ∩ An ) > 0 para algum n. Chamando B = A ∩ An segue n=1

que 0 < µ(B) < ∞ e |g(x)| > c para todo x ∈ B. Definindo g(x) se x ∈ B e f (x) = 0 se x ∈ / B, µ(B)|g(x)| R |g| temos kf k1 = 1 e portanto kϕg k ≥ |ϕg (f )k = B µ(B) dµ ≥ c. Como isso vale para todo 0 < c < kgk∞ segue que kϕg k ≥ kgk∞ . f (x) =

Sabemos ent˜ao que a correspondˆencia Z 0

g ∈ L (X, Σ, µ) 7→ ϕg ∈ Lp (X, Σ, µ) , ϕg (f ) = p∗

f g dµ, X

´e uma isometria linear (logo injetora); com a ressalva de que a medida deve ser σ-finita no caso p = 1. Para que os espa¸cos Lp∗ (X, Σ, µ) e Lp (X, Σ, µ)0 sejam isometricamente isomorfos falta verificar que essa correspondˆencia ´e sobrejetora, isto ´e, que todo ´ exatamente isso funcional em Lp (X, Σ, µ) prov´em de uma fun¸c˜ao de Lp∗ (X, Σ, µ). E que diz o pr´oximo teorema, um dos v´arios resultados conhecidos como Teorema da Representa¸c˜ ao de Riesz . No caso de escalares reais e 1 < p < ∞, uma demonstra¸ca˜o essencialmente independente da Teoria da Medida ser´a apresentada no Teorema 6.6.13. Teorema 4.1.2 Sejam 1 ≤ p < ∞ e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. No caso p = 1 supomos que µ seja uma medida σ-finita. Ent˜ao a correspondˆencia g 7→ ϕg estabelece um isomorfismo isom´etrico entre Lp∗ (X, Σ, µ) e Lp (X, Σ, µ)0 em que a rela¸c˜ ao de dualidade ´e dada por Z ϕg (f ) = f g dµ para toda f ∈ Lp (X, Σ, µ). X

Demonstra¸ c˜ ao. Demonstraremos neste momento apenas o caso em que a medida µ ´e σ-finita e 1 ≤ p < ∞. Isso engloba os espa¸cos de medida mais usados, inclusive nas 64

aplica¸c˜oes. De toda forma, o caso em que p > 1 e µ ´e uma medida arbitr´aria ser´a demonstrado no Apˆendice C. De nossa discuss˜ao pr´evia basta provar que dado um funcional ϕ ∈ Lp (X, Σ, µ)0 , existe g ∈ Lp∗ (X, Σ, µ) tal que ϕg = ϕ. Suponhamos primeiramente que a medida µ seja finita. N˜ao ´e dif´ıcil checar que a correspondˆencia A ∈ Σ 7→ ϕ(XA ), onde XA ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica de A, ´e uma medida (note que XA ∈ Lp (X, Σ, µ) pois estamos supondo µ finita). Como ϕ(0) = 0 temos ϕ(XA ) = 0 para todo A ∈ Σ tal que µ(A) = 0. Pelo Teorema de Radon–Nikod´ ym (veja Teorema C.0.31) existe uma R R fun¸c˜ao g ∈ L1 (X, Σ, µ) tal que ϕ(XA ) = A g dµ para todo A ∈ Σ. Portanto, ϕ(f ) = X f g dµ para toda fun¸ca˜o simples f . Assim, para toda fun¸ca˜o simples f temos f g ∈ L1 (X, Σ, µ) e ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f g dµ¯ = |ϕ(f )| ≤ kf kp · kϕk. ¯ ¯ X

Segue da rec´ıproca da desigualdade de H¨older (Exerc´ıcio 1.8.39) que g ∈ Lp∗ (X, Σ, µ). Como o conjunto das fun¸co˜es simples ´e denso em Lp (X, Σ,Rµ) [31, Proposition 6.7], da linearidade e da continuidade de ϕ segue que ϕ(f ) = X f g dµ para toda f ∈ Lp (X, Σ, µ), isto ´e, ϕg = ϕ. Fa¸camos agora o caso em que µ ´e σ-finita. Nesse caso podemos considerar uma sequˆencia crescente (An )∞ aveis tal que 0 < µ(An ) < ∞ para n=1 de conjuntos mensur´ ∞ S An . Para cada n ∈ N, chamando Σn = {A ∩ An : A ∈ Σ} e µn = µ|Σn , todo n e X = n=1

resulta que (An , Σn , µn ) ´e um espa¸co de medida finita. Definindo ϕn por fn ∈ Lp (An , Σn , µn ) −→ ϕn (fn ) = ϕ(fn XAn ), temos ϕn R∈ Lp (An , Σn , µn )0 . Pelo caso anterior existe gn ∈ Lp∗ (An , Σn , µn ) tal que ϕn (fn ) = An fn gn dµn para toda fn ∈ Lp (An , Σn , µn ). Mais ainda, kgn kLp∗ (An ,Σn ,µn ) = kϕn k(Lp (An ,Σn ,µn ))0 ≤ kϕkLp (X,Σ,µ)0 . Tal gn ´e u ´nica (sugerimos que o leitor verifique isso. Se tiver em mente Lp∗ ao inv´es de Lp∗ , o leitor poder´a interpretar que gn ´e u ´nica a menos de conjuntos de medida nula, isto ´e, outra fun¸c˜ao com as mesmas propriedades de gn coincide com gn a menos de um conjunto de medida nula). Podemos estender gn a X fazendo gn (x) = 0 para todo x∈ / An . Como a sequˆencia (An )∞ e crescente, segue que se n < m ent˜ao gn = gm n=1 ´ µ-quase sempre em An . Est´a ent˜ao bem definida e ´e mensur´avel a fun¸ca˜o g dada por g(x) = gn (x) se x ∈ An . Pelo Teorema da Convergˆencia Mon´otona conclu´ımos que kgkLp∗ (X,Σ,µ) = lim kgn kLp∗ (An ,Σn ,µn ) ≤ kϕkLp (X,Σ,µ)0 , n→∞

o que nos garante que g ∈ Lp∗ (X, Σ, µ). Para cada f ∈ Lp (X, Σ, µ), pelo Teorema da Convergˆencia Dominada sabemos que kf XAn − f kp −→ 0, isto ´e, f XAn −→ f em Lp (X, Σ, µ). A continuidade de ϕ implica que ϕ(f ) = lim ϕ(f XAn ) = lim ϕn (f |An ) n→∞ n→∞ Z Z Z = lim f gn dµn = lim f gdµ = f g dµ, n→∞

An

n→∞

65

An

X

onde a pen´ ultima desigualdade ´e consequˆencia da defini¸ca˜o de µn e g e a u ´ltima igualdade ´e mais uma aplica¸ca˜o do Teorema da Convergˆencia Dominada. Isso prova que ϕg = ϕ.

4.2

Os duais dos espa¸cos `p e c0

Seja 1 ≤ p < ∞. Relembre que `p = Lp (X, Σ, µ) para X = N, Σ = partes dos naturais, µ = medida de contagem, e que a medida de contagem nas partes dos naturais ´e σ´ imediato que a finita. Sendo assim, podemos aplicar o Teorema 4.1.2 a esse caso. E rela¸c˜ao de dualidade, aplicada a esse caso, se transforma em b=

(bj )∞ j=1

0

∈ `p∗ 7→ ϕb ∈ (`p ) ,

ϕb ((aj )∞ j=1 )

=

∞ X

aj bj para toda (aj )∞ j=1 ∈ `p .

(4.1)

j=1

O Teorema 4.1.2 se transforma ent˜ao em Proposi¸c˜ ao 4.2.1 Para 1 ≤ p < ∞ a correspondˆencia b ∈ `p∗ 7→ ϕb ∈ (`p )0 estabelece um isomorfismo isom´etrico entre `p∗ e (`p )0 em que a rela¸c˜ ao de dualidade ´e dada por (4.1). ` luz da informa¸ca˜o de que o dual de `1 ´e isomorfo isometricamente Observa¸ c˜ ao 4.2.2 A a `∞ , conclu´ımos que a rec´ıproca do Teorema 3.3.2 n˜ao ´e verdadeira, pois `1 ´e separ´avel enquanto que `∞ ´e n˜ao-separ´avel. A mesma rela¸c˜ao de dualidade acima descreve tamb´em o dual de c0 : Proposi¸c˜ ao 4.2.3 Os espa¸cos `1 e (c0 )0 s˜ao isomorfos isometricamente por meio da rela¸c˜ ao de dualidade b=

(bj )∞ j=1

0

∈ `1 7→ ϕb ∈ (c0 ) ,

ϕb ((aj )∞ j=1 )

=

∞ X

aj bj para toda (aj )∞ j=1 ∈ c0 .

(4.2)

j=1

Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos ao leitor a verifica¸ca˜o de que a correspondˆencia est´a bem definida, ´e linear e kϕb k∞ ≤ kbk1 . Vejamos que ´e sobrejetora e kϕb k∞ ≥ kbk1 . Seja ∞ ao os vetores unit´arios ϕ ∈ (c0 )0 . Considere a sequˆencia b = (ϕ(ej ))∞ j=1 , onde (en )n=1 s˜ canˆonicos (veja Exemplo 1.6.4). Devemos mostrar que b ∈ `1 , ϕb = ϕ e kbk1 ≤ kϕk. Para isso, para cada n ∈ N considere a sequˆencia (αj )∞ j=1 onde αj =

ϕ(ej ) se ϕ(ej ) 6= 0 e j ≤ n , αj = 0 caso contr´ario. |ϕ(ej )|

´ claro que |αj | ≤ 1 para todo j. Seja j ≤ n tal que ϕ(ej ) 6= 0. Ent˜ao E αj ϕ(ej ) =

ϕ(ej ) · ϕ(ej ) = |ϕ(ej )|. |ϕ(ej )| 66

´ claro tamb´em que αj ϕ(ej ) = |ϕ(ej )| se ϕ(ej ) = 0. Ent˜ao αj ϕ(ej ) = |ϕ(ej )| para todo E j ≤ n. Portanto ° ° Ã n ! n n n °X ° X X X ° ° αj ej ° |ϕ(ej )| = αj ϕ(ej ) = ϕ αj ej ≤ kϕk · ° ° ° j=1

j=1

j=1

j=1

= kϕk · max{|α1 |, . . . , |αn |} ≤ kϕk. Como isso vale para todo n, fazendo n −→ ∞ obtemos kbk1 =

∞ X

|ϕ(ej )| ≤ kϕk.

j=1

o que mostra que b ∈ `1 e kbk1 ≤ kϕk. Seja x = (aj )∞ j=1 ∈ c0 . No Exemplo 1.6.4 vimos, n P entre outras coisas, que x = lim aj ej . Segue ent˜ao que n→∞ j=1

à ϕ(x) = ϕ

lim

n→∞

= lim

n→∞

n X j=1

n X

! aj ej

j=1

aj ϕ(ej ) =

= lim ϕ n→∞

∞ X

à n X

! aj ej

j=1

aj ϕ(ej ) = ϕb ((aj )∞ j=1 ) = ϕb (x),

j=1

provando que ϕb = ϕ. Em vista do que provamos nesta se¸ca˜o e na anterior, ´e usual escrever (Lp (X, Σ, µ))0 = Lp∗ (X, Σ, µ), (`p )0 = `p∗ para 1 ≤ p < ∞, e (c0 )0 = `1 , sendo que cada igualdade deve ser entendida a menos do isomorfismo isom´etrico correspondente.

4.3

Bidual e espa¸cos reflexivos

Para todo espa¸co normado E, podemos considerar seu dual E 0 , que j´a sabemos ser um espa¸co de Banach. Podemos ent˜ao considerar o dual de E 0 , chamado de bidual de E e denotado por E 00 . Ou seja, E 00 = (E 0 )0 . Come¸camos esta se¸ca˜o mostrando que todo espa¸co normado E pode ser encontrado dentro do seu bidual E 00 da forma mais natural poss´ıvel: Proposi¸c˜ ao 4.3.1 Para todo espa¸co normado E, o operador linear JE : E −→ E 00 , JE (x)(ϕ) = ϕ(x) para todos x ∈ E e ϕ ∈ E 0 , ´e uma isometria linear, chamado de mergulho canˆ onico de E em E 00 .

67

Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos a cargo do leitor a verifica¸c˜ao de que JE est´a bem definido (isto ´e, JE (x) ∈ E 00 para todo x ∈ E) e ´e linear. Para cada x ∈ E, de kJE (x)k = sup |J(x)(ϕ)| = sup |ϕ(x)| = kxk , ϕ∈BE 0

ϕ∈BE 0

onde a u ´ltima igualdade segue do Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.5, conclu´ımos que JE ´e uma isometria linear. Observa¸ c˜ ao 4.3.2 (a) Se o espa¸co normado E cont´em um subespa¸co isomorfo ao espa¸co normado F , dizemos que E cont´em uma c´opia isomorfa de F . E se E cont´em um subespa¸co isomorfo isometricamente a F , dizemos que E cont´em uma c´opia isom´etrica de F . Da Proposi¸ca˜o 4.3.1 temos, em particular, que para todo espa¸co normado E, seu bidual E 00 cont´em uma c´opia isom´etrica de E. Nesta linguagem, a Proposi¸ca˜o 3.3.3 diz que `∞ cont´em uma c´opia isom´etrica de todo espa¸co separ´avel. (b) Como E e JE (E) s˜ao isometricamente isomorfos, ´e comum identificar os dois espa¸cos e a ambos se referir simplesmente como E. Ou seja, em um contexto em que E seja visto como subespa¸co de E 00 , estaremos cometendo o abuso de nota¸ca˜o de escrever E onde dever´ıamos ter escrito JE (E). Como uma primeira aplica¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.3.1, damos abaixo uma demonstra¸ca˜o curt´ıssima de que todo espa¸co normado admite um completamento. O leitor deve lembrar-se que a demonstra¸ca˜o do teorema do completamento em espa¸cos m´etricos ´e longa e trabalhosa. Al´em disso, adapt´a-la para espa¸cos normados, no sentido de mostrar que o completamento de um espa¸co normado ´e tamb´em um espa¸co normado (logo um espa¸co de Banach), agrega mais trabalho ainda `a tarefa. b Proposi¸c˜ ao 4.3.3 Para todo espa¸co normado E existe um um espa¸co de Banach E b que cont´em uma c´opia isom´etrica de E que ´e densa em E. b = JE (E) ⊆ E 00 . Demonstra¸ c˜ ao. Dado E, tome E b ´e chamado de completamento do espa¸co normado E. O leitor n˜ao deve O espa¸co E se iludir com a simplicidade da demonstra¸ca˜o acima, pois nela embutida encontra-se o Teorema de Hahn–Banach, usado na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.3.1. Para que o mergulho canˆonico JE de E no seu bidual E 00 seja um isomorfismo isom´etrico falta apenas que seja sobrejetor. Essa propriedade caracteriza uma classe importante de espa¸cos: Defini¸ c˜ ao 4.3.4 Um espa¸co normado E ´e dito reflexivo se o mergulho canˆonico JE : E −→ E 00 for sobrejetor, ou seja, JE (E) = E 00 . Neste caso JE ´e um isomorfismo isom´etrico, e o abuso de nota¸c˜ao E = JE (E) se transforma em E = E 00 . O pr´oximo resultado mostra que n˜ao h´a perda de generalidade em definir reflexividade exclusivamente em espa¸cos de Banach: 68

Proposi¸c˜ ao 4.3.5 Todo espa¸co normado reflexivo ´e um espa¸co de Banach. Demonstra¸ c˜ ao. Um espa¸co normado reflexivo ´e isomorfo isometricamente ao seu bidual, que ´e Banach por ser um espa¸co dual (Corol´ario 2.1.5). Exemplo 4.3.6 (a) Espa¸cos normados de dimens˜ao finita s˜ao reflexivos. De fato, se E tem dimens˜ao ´ finita n, sabemos da Algebra Linear que seu dual alg´ebrico E ∗ tamb´em tem dimens˜ao n e, pelo Exerc´ıcio 2.7.2, o dual alg´ebrico coincide com o dual topol´ogico. Repetindo o argumento resulta que E 00 tamb´em tem dimens˜ao n e segue facilmente que JE ´e sobrejetora, e portanto E ´e reflexivo. (b) Espa¸cos normados incompletos, por exemplo c00 , n˜ao s˜ao reflexivos (Proposi¸ca˜o 4.3.5). (c) c0 n˜ao ´e reflexivo. J´a sabemos das Proposi¸co˜es 4.2.1 e 4.2.3 que (c0 )00 = ((c0 )0 )0 = (`1 )0 = `∞ . ´ f´acil verificar que o mergulho canˆonico Jc0 : c0 −→ (c0 )00 = `∞ ´e na verdade a inclus˜ao E de c0 em `∞ , que obviamente n˜ao ´e sobrejetora. O passo natural agora ´e investigar a reflexividade dos espa¸cos `p . Dividiremos essa an´alise em trˆes etapas: p = 1, 1 < p < ∞ e p = ∞. Cada uma delas sair´a como consequˆencia de resultados que s˜ao interessantes por si mesmos e que ter˜ao outras aplica¸c˜oes ao longo do texto. Come¸camos com o caso p = 1: Proposi¸c˜ ao 4.3.7 Se E ´e separ´ avel e reflexivo, ent˜ao E 0 ´e separ´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. Como E ´e isomorfo isometricamente a E 00 , sabemos que E 00 tamb´em ´e separ´avel. Pelo Teorema 3.3.2 segue ent˜ao que E 0 ´e separ´avel. Exemplo 4.3.8 `1 n˜ao ´e reflexivo. De fato, como `1 ´e separ´avel (Exemplo 1.6.4) e seu dual `∞ n˜ao ´e separ´avel (Exemplo 1.6.5), pela Proposi¸ca˜o 4.3.7 segue que `1 n˜ao ´e reflexivo. Aproveitamos a oportunidade do estudo da reflexividade dos espa¸cos `p , 1 < p < ∞, para introduzir a no¸c˜ao de operador adjunto: Defini¸ c˜ ao 4.3.9 Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e T ∈ L(E; F ) um operador linear cont´ınuo. Definimos o operador T 0 : F 0 −→ E 0 por T 0 (ϕ)(x) = ϕ(T (x)) para todos x ∈ E e ϕ ∈ F 0 . O operador T 0 ´e chamado adjunto de T .

69

Exemplo 4.3.10 Dado 1 ≤ p < ∞, considere o operador ‘shift para tr´as’ T : `p −→ `p , T ((a1 , a2 , a3 , . . . , )) = (a2 , a3 , . . .). ´ f´acil ver que T ´e linear e cont´ınuo. Por defini¸ca˜o, o operador adjunto T 0 vai de (`p )0 E em (`p )0 . Fa¸camos a identifica¸c˜ao de (`p )0 com `p0 , isto ´e, enxergaremos um funcional ca˜o do funcional ϕ sobre os elementos ϕ ∈ (`p )0 como uma sequˆencia (bn )∞ n=1 ∈ `p0 e a a¸ de `p se d´a pela rela¸c˜ao de dualidade (4.1): ϕ ((an )∞ n=1 )

=

∞ X

an bn para todo (an )∞ n=1 ∈ `p .

j=1 ∞ Assim procedendo, dados ϕ = (bn )∞ n=1 ∈ `p0 e x = (an )n=1 ∈ `p ,

T 0 (ϕ)(x) = ϕ(T (x)) = ϕ ((a2 , a3 , . . . , )) = b1 a2 + b2 a3 + · · · = 0a1 + b1 a2 + b2 a3 + · · · = ψ (x) , onde ψ := (0, b1 , b2 , . . .) ∈ `p0 . Isso revela que T 0 (ϕ) = ψ, ou seja, o operador adjunto T 0 ´e o ‘shift para frente’ T 0 : `p0 −→ `p0 , T 0 ((b1 , b2 , b3 , . . . , )) = (0, b1 , b2 , . . .). ´ interessante observar que no caso p = 2 tem-se T ◦ T 0 = id`2 mas T 0 ◦ T 6= id`2 . E Proposi¸c˜ ao 4.3.11 Seja T ∈ L(E, F ). Ent˜ao T 0 ∈ L(F 0 , E 0 ) e kT 0 k = kT k. Mais ainda, se T ´e um isomorfismo (isom´etrico), ent˜ao T 0 tamb´em ´e um isomorfismo (isom´etrico). Demonstra¸ c˜ ao. O leitor deve verificar que T 0 est´a bem definido (isto ´e, T 0 (ϕ) ∈ E 0 para cada ϕ ∈ F 0 ) e ´e linear. Para cada ϕ ∈ F 0 temos kT 0 (ϕ)k = sup |T 0 (ϕ)(x)| = sup |ϕ((T (x))| ≤ kϕk · sup kT (x)k = kϕk · kT k , x∈BE

x∈BE

x∈BE

o que mostra que kT 0 k ≤ kT k. Por outro lado, para cada x ∈ E, pelo Corol´ario 3.1.5 temos kT (x)k = sup |ϕ(T (x))| = sup |T 0 (ϕ)(x)| ≤ kxk · sup kT 0 (ϕ)k = kxk · kT 0 k , ϕ∈BF 0

ϕ∈BF 0

ϕ∈BF 0

provando que kT k ≤ kT 0 k. Suponha agora que T seja um isomorfismo. Vejamos que T 0 ´e sobrejetor. Para isso seja ϕ ∈ E 0 . Considere φ ∈ F 0 dado por φ(z) = ϕ(T −1 (z)) e perceba que T 0 (φ) = ϕ, provando que T 0 ´e sobrejetor. Vejamos que T 0 ´e injetor. Se ψ ∈ ker(T 0 ), ent˜ao ψ(T (x)) = T 0 (ψ)(x) = 0 para todo x ∈ E. 70

Como T ´e sobrejetor segue que ψ = 0. Supondo que T seja um isomorfismo isom´etrico, basta mostrar que kT 0 (ϕ)k = kϕk para todo ϕ ∈ F 0 . Como T ´e isomorfismo isom´etrico, x ∈ BE se, e somente se, T (x) ∈ BF , e portanto kT 0 (ϕ)k = sup |T 0 (ϕ)(x)| = sup |ϕ(T (x))| = x∈BE

x∈BE

sup |ϕ(T (x))| = sup |ϕ(z)| = kϕk . T (x)∈BF

z∈BF

Proposi¸c˜ ao 4.3.12 Para 1 < p < ∞, os espa¸cos Lp (X, Σ, µ) e `p s˜ao reflexivos. Demonstra¸ c˜ ao. Basta fazer o caso de Lp (X, Σ, µ). Chame de T : Lp∗ (X, Σ, µ) −→ 0 (Lp (X, Σ, µ)) e S : Lp (X, Σ, µ) −→ (Lp∗ (X, Σ, µ))0 os isomorfismos isom´etricos do Teorema 4.1.2. Logo T −1 ´e tamb´em um isomorfismo isom´etrico e pela Proposi¸ca˜o 4.3.11 segue que seu adjunto (T −1 )0 : (Lp∗ (X, Σ, µ))0 −→ (Lp (X, Σ, µ))00 ´e um isomorfismo isom´etrico tamb´em. Logo o operador (T −1 )0 ◦ S : Lp (X, Σ, µ) −→ (Lp (X, Σ, µ))00 ´e um isomorfismo isom´etrico. Basta ent˜ao provar que (T −1 )0 ◦ S = JLp (X,Σ,µ) . Para isso sejam f ∈ Lp (X, Σ, µ), ϕ ∈ (Lp (X, Σ, µ))0 e g = T −1 (ϕ) ∈ Lp∗ (X, Σ, µ). Ent˜ao ¡ −1 0 ¢ (T ) ◦ S (f )(ϕ) = (T −1 )0 (S(f ))(ϕ) = S(f )((T −1 )(ϕ)) = S(f )(g) Z = f g dµ = T (g)(f ) = ϕ(f ) = JLp (X,Σ,µ) (f )(ϕ), X

completando a demonstra¸ca˜o. Finalmente, para o caso p = ∞ usaremos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 4.3.13 Um espa¸co de Banach E ´e reflexivo se, e somente se, seu dual E 0 tamb´em ´e reflexivo. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que E seja reflexivo. Ent˜ao o mergulho canˆonico JE : E −→ 00 E ´e sobrejetor. Mostremos que o mergulho canˆonico JE 0 : E 0 −→ E 000 tamb´em ´e sobrejetor. Seja x000 ∈ E 000 . Pela Proposi¸ca˜o 4.3.11 sabemos que (JE )0 : E 000 −→ E 0 ´e um isomorfismo isom´etrico. Chame x0 = (JE )0 (x000 ) ∈ E 0 . Provemos que JE 0 (x0 ) = x000 . Para cada x ∈ E, temos JE 0 (x0 )(JE (x)) = JE (x)(x0 ) = x0 (x) = (JE )0 (x000 )(x) = x000 (JE (x)). Da´ı, como JE (E) = E 00 , conclu´ımos que JE 0 (x0 ) = x000 . Suponhamos agora que E 0 seja reflexivo. Por absurdo, suponhamos que E n˜ao seja reflexivo. Ent˜ao JE : E −→ E 00 n˜ao ´e sobrejetor. Como JE : E −→ JE (E) ´e uma isometria linear, resulta que JE (E) ´e fechado em E 00 e n˜ao coincide com E 00 . Pela Proposi¸c˜ao 3.3.1, existe 0 6= ϕ ∈ E 000 = JE 0 (E 0 ) tal que ϕ(JE (E)) = {0}. Como E 0 ´e reflexivo, ϕ = JE 0 (φ) para algum φ ∈ E 0 . Assim, para todo x ∈ E, 0 = ϕ(JE (x)) = (JE 0 (φ))(JE (x)) = JE (x)(φ) = φ(x). Isso prova que φ = 0 e portanto ϕ = JE 0 (φ) = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. 71

Exemplo 4.3.14 `∞ n˜ao ´e reflexivo. Segue da n˜ao reflexividade de `1 (Exemplo 4.3.8), da igualdade (`1 )0 = `∞ (Proposi¸c˜ao 4.2.1) e da Proposi¸c˜ao 4.3.13. Outros exemplos e propriedades dos espa¸cos reflexivos ser˜ao vistos nas Se¸co˜es 6.4 e 6.5. Mostraremos, em particular, que os espa¸cos C[a, b], L1 [a, b] e L∞ [a, b] n˜ao s˜ao reflexivos.

4.4

Coment´ arios e notas hist´ oricas

Existe tamb´em uma vers˜ao do teorema da representa¸c˜ao de Riesz que descreve os funcionais lineares cont´ınuos no espa¸co (C(K), k ·k∞ ), em que K ´e um espa¸co topol´ogico compacto de Hausdorff, da seguinte forma: a cada funcional ϕ ∈ C(K)0 corresponde uma medida de Radon µ nos borelianos de K tal que Z f dµ para toda f ∈ C(K). ϕ(f ) = K

Detalhes podem ser encontrados em [31, 7.3]. No caso de C[a, b], os funcionais lineares s˜ao representados por fun¸c˜oes de varia¸ca˜o limitada, e a rela¸c˜ao de dualidade ´e dada pela integral de Riemann–Stieltjes. Para maiores detalhes veja [40, Se¸ca˜o II.9] ou [68, Theorem 7.4.4]. A no¸c˜ao de reflexividade surgiu com Helly, que em 1921 constatou que o mergulho canˆonico do espa¸co c das sequˆencias convergentes com a norma k · k∞ no seu bidual n˜ao ´e sobrejetor. Diante desse exemplo tornou-se necess´ario separar a classe dos espa¸cos para os quais o mergulho canˆonico ´e sobrejetor, e isso foi feito por Hahn em 1927. Hahn chamou tais espa¸cos de regulares, um termo infeliz pois aparece in´ umeras vezes em outros contextos. Felizmente E. Lorch cunhou o termo espa¸co reflexivo em 1939. O estudo que fizemos da reflexividade ´e claramente incompleto, por exemplo, n˜ao tocamos na quest˜ao de se subespa¸co fechado de espa¸co reflexivo ´e tamb´em reflexivo (no Exerc´ıcio 4.5.30 o leitor provar´a este fato usando espa¸cos quocientes). O estudo da reflexividade ser´a retomado no Cap´ıtulo 6 e a quest˜ao acima, bem como v´arias outras, ser˜ao respondidas satisfatoriamente. Vimos que se um espa¸co normado E ´e reflexivo, ent˜ao E ´e isomorfo isometricamente ao seu bidual E 00 por meio do mergulho canˆonico JE . Se E for isom´etrico 00 isometricamente a E por meio de outro isomorfismo isom´etrico, ser´a ent˜ao E necessariamente reflexivo? A resposta ´e n˜ao: em 1950, R. C. James [42] construiu um espa¸co, a partir de ent˜ao conhecido como espa¸co de James, que ´e isomorfo isometricamente ao seu bidual mas n˜ao ´e reflexivo. O espa¸co de James encontrou muitas outras aplica¸c˜oes e muitos outros espa¸cos relacionados, com propriedades muito especiais, foram constru´ıdos. A monografia [28] ´e uma excelente referˆencia para o espa¸co de James, suas propriedades, suas aplica¸co˜es e seus espa¸cos relacionados. Na Se¸ca˜o 2.6 comentamos sobre operadores que atingem a norma, e no Exerc´ıcio 2.7.11 vimos que nem mesmo funcionais lineares cont´ınuos sempre atingem a norma. 72

Por outro lado, no Exerc´ıcio 4.5.27 veremos que funcionais lineares cont´ınuos em espa¸cos reflexivos atingem a norma. A rec´ıproca foi provada pelo mesmo R. C. James em [43]: um espa¸co de Banach E ´e reflexivo se, e somente se, todo funcional linear cont´ınuo ϕ ∈ E 0 atinge a norma. Para uma demonstra¸ca˜o veja [26, Corollary 3.56].

4.5

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 4.5.1 Sem passar pelos espa¸cos Lp , prove que, para 1 < p < ∞, a rela¸ca˜o de dualidade (4.1) de fato estabelece um isomorfismo isom´etrico entre (`p )0 e `p0 . Exerc´ıcio 4.5.2 Seja 1 < p < ∞. Prove, sem usar reflexividade, que todo funcional linear cont´ınuo em `p atinge a norma, isto ´e, para todo ϕ ∈ (`p )0 existe x ∈ `p tal que kxkp = 1 e kϕk = |ϕ(x)|. Exerc´ıcio 4.5.3 Sejam a = (an )∞ encia de escalares e p ≥ 1. Suponha que, n=1 uma sequˆ ∞ P para toda sequˆencia (bn )∞ an bn seja convergente. Prove que a ∈ `∞ erie n=1 ∈ `p , a s´ se p = 1 e a ∈ `p0 se p > 1.

n=1

Exerc´ıcio 4.5.4 Chame de c o espa¸co das sequˆencias escalares que s˜ao convergentes munido da norma do supremo k · k∞ (veja Exerc´ıcio 1.8.27). Prove que c ´e isomorfo a c0 , conclua que c0 ´e isomorfo a `1 e descreva a rela¸ca˜o de dualidade obtida. Exerc´ıcio 4.5.5 Seja ϕ ∈ (`∞ )0 . Prove que a s´erie soma ´e menor ou igual a kϕk.

∞ P n=1

|ϕ(en )| ´e convergente e que sua

Exerc´ıcio 4.5.6 Prove, sem usar reflexividade, que c0 e `p , 1 < p < ∞, n˜ao cont´em subespa¸co isomorfo a `1 . Exerc´ıcio 4.5.7 Sejam 1 < p < ∞ e (En )∞ encia de espa¸cos de Banach. n=1 uma sequˆ Defina   Ã∞ ! p1   X P ∞ ∞ p ( En )p = (xn )n=1 : xn ∈ En para todo n ∈ N e k(xn )n=1 kp = kxn k 0 segue que kyk2 kxk2 − |hx, yi|2 = hy, yihx, xi − |hx, yi|2 ≥ 0, o que prova a desigualdade desejada. Passemos agora `a segunda afirma¸ca˜o. Se os vetores x e y s˜ao linearmente dependentes ´e f´acil ver que vale a igualdade. Por outro lado, suponha que a igualdade seja verdadeira, ou seja, |hx, yi| = kxk · kyk. Neste caso, tomando novamente a = hy, yi e b = hx, yi, obtemos |b|2 = hx, xia. De (5.3) podemos concluir que hax − by, ax − byi = a2 hx, xi − |b|2 hy, yi = 0. Do axioma (P4) obtemos ax − by = 0. Se y = 0, ent˜ao os vetores x e y s˜ao obviamente linearmente dependentes. Se y 6= 0, ent˜ao a > 0 e portanto y = ab x, provando que tamb´em neste caso os vetores x e y s˜ao linearmente dependentes. Agora sim podemos provar que o produto interno induz uma norma no espa¸co: Corol´ ario 5.1.3 Seja E um espa¸co com produto interno. A fun¸c˜ ao p k · k : E −→ R , kxk = hx, xi ´e uma norma em E. Demonstra¸ c˜ ao. Provaremos apenas a desigualdade triangular, uma vez que a verifica¸ca˜o dos demais axiomas ´e imediata. Para todos x, y ∈ E, usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz obtemos kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 = kxk2 + hx, yi + hx, yi + kyk2 = kxk2 + 2Re(hx, yi) + kyk2 ≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk·kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 . 79

Extraindo a raiz quadrada a desigualdade triangular segue. Sempre que nos referirmos a um espa¸co com produto interno E, estaremos automaticamente considerando em E a norma induzida e a consequente estrutura topol´ogica. Uma segunda aplica¸ca˜o da desigualdade de Cauchy–Schwarz garante que o produto interno convive bem com essa estrutura topol´ogica: Proposi¸c˜ ao 5.1.4 Sejam E um espa¸co com produto interno e y ∈ E um vetor fixado. Ent˜ ao as fun¸c˜ oes x ∈ E 7→ hx, yi ∈ K e x ∈ E 7→ hy, xi ∈ K s˜ ao cont´ınuas. Demonstra¸ c˜ ao. Seja x0 ∈ E. De |hx, yi − hx0 , yi| = |hx − x0 , yi| ≤ kx − x0 k · kyk, segue a continuidade da primeira fun¸c˜ao. Em vista de (5.1), o caso da segunda fun¸ca˜o ´e an´alogo. Defini¸ c˜ ao 5.1.5 Um espa¸co com produto interno que ´e completo na norma induzida pelo produto interno ´e chamado de espa¸co de Hilbert. Em particular, um espa¸co de Hilbert ´e um espa¸co de Banach com a norma induzida pelo produto interno. Exemplo 5.1.6 Como j´a sabemos que `2 e L2 (X, Σ, µ) s˜ao completos nas suas respectivas normas, do Exemplo 5.1.1 segue que esses espa¸cos s˜ao espa¸cos de Hilbert com seus respectivos produtos internos. Vejamos alguns resultados u ´teis que relacionam o produto interno com a norma por ele induzida: Proposi¸c˜ ao 5.1.7 Seja E um espa¸co vetorial com um produto interno. Ent˜ao, para quaisquer x, y ∈ E, (i) (Lei do Paralelogramo) ¡ ¢ kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 . (ii) (F´ormula de Polariza¸ca˜o, caso real) hx, yi =

¢ 1¡ kx + yk2 − kx − yk2 . 4

(iii) (F´ormula de Polariza¸ca˜o, caso complexo) hx, yi =

¡ ¢¤ 1£ kx + yk2 − kx − yk2 + i kx + iyk2 − kx − iyk2 . 4 80

Demonstra¸ c˜ ao. Somando as igualdades ½ kx + yk2 = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 , kx − yk2 = kxk2 − hx, yi − hy, xi + kyk2 obtemos (i); e, no caso real, subtraindo-as obtemos (ii). Provemos (iii). Subtraindo as igualdades ½ kx + iyk2 = kxk2 + hx, iyi + hiy, xi + kyk2 = kxk2 − ihx, yi + ihy, xi + kyk2 , kx − iyk2 = kxk2 + hx, −iyi + h−iy, xi + kyk2 = kxk2 + ihx, yi − ihy, xi + kyk2 obtemos

kx + iyk2 − kx − iyk2 = −2ihx, yi + 2ihy, xi.

Subtraindo novamente as duas igualdades usadas na demonstra¸c˜ao dos itens (i) e (ii), segue que kx + yk2 − kx − yk2 = 2hx, yi + 2hy, xi. Combinando essas duas u ´ltimas igualdades, ¡ ¢ kx + yk2 − kx − yk2 + i kx + iyk2 − kx − iyk2 = 2hx, yi + 2hy, xi + 2hx, yi − 2hy, xi = 4hx, yi, completando a demonstra¸ca˜o.

5.2

Ortogonalidade

Diz-se que o produto interno geometriza o estudo dos espa¸cos vetoriais pois ´e por meio dele que definimos o conceito de vetores ortogonais. Iniciemos recordando que em R2 a ortogonalidade ´e um conceito geom´etrico e que dois vetores x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) de R2 s˜ao ortogonais se, e somente se, x1 y1 + x2 y2 = 0. Em outras palavras, dois vetores do R2 s˜ao ortogonais se, e somente se, o produto interno entre eles ´e igual a zero. Essa ´e a chave para se definir ortogonalidade em espa¸cos vetoriais com produto interno: Defini¸ c˜ ao 5.2.1 Seja E um espa¸co com produto interno. Dizemos que os vetores x e y de E s˜ao ortogonais se hx, yi = 0. Neste caso escrevemos x ⊥ y. Para se convencer de que o produto interno introduz de fato um vi´es geom´etrico no estudo, o leitor pode facilmente demonstrar o Teorema de Pit´ agoras: Se x e y s˜ao vetores ortogonais em um espa¸co com produto interno, ent˜ao kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . O teorema abaixo ´e central no estudo dos espa¸cos normados. Em breve o leitor entender´a por que ele ´e, `as vezes, chamado de teorema da proje¸ca˜o ortogonal. 81

Teorema 5.2.2 Seja E um espa¸co com produto interno e seja M um subespa¸co completo de E. Para todo x ∈ E existe um u ´nico p ∈ M tal que kx − pk = dist(x, M ) := inf kx − yk . y∈M

Demonstra¸ c˜ ao. Chamemos d = dist(x, M ). Da defini¸ca˜o de ´ınfimo podemos tomar uma sequˆencia (yn )∞ n=1 de vetores de M tal que 1 (5.4) n para todo n. Sejam m, n ∈ N. Aplicamos a Lei do Paralelogramo para os vetores x − yn e x − ym para obter d ≤ kx − yn k < d +

2 kx − ym k2 + 2 kx − yn k2 = kx − yn + x − ym k2 + kx − yn − x + ym k2 . Como M ´e subespa¸co vetorial,

yn +ym 2

∈ M , da igualdade acima e de (5.4) segue que

kyn − ym k2 = 2 kx − ym k2 + 2 kx − yn k2 − k2x − (yn + ym )k2 °2 ° ° yn + ym ° 2 2 ° ° = 2 kx − ym k + 2 kx − yn k − 4 °x − ° 2 µ ¶2 µ ¶2 1 1 ≤2 d+ +2 d+ − 4d2 −→ 0 se m, n −→ ∞. m n Isso prova que a sequˆencia (yn )∞ e de Cauchy no espa¸co completo M , logo convergente n=1 ´ para um certo p ∈ M . Como yn −→ p, fazendo n −→ ∞ em (5.4) conclu´ımos que kx − pk = d. Para provar a unicidade, seja q ∈ M tal que kx − qk = d. Aplicando a Lei do Paralelogramo para os vetores x − p e x − q obtemos 4d2 = 2d2 + 2d2 = 2kx − pk2 + 2kx − qk2 = kx − p + x − qk2 + kx − p − x + qk2 ° °2 ° ° p + q 2 2 ° + kp − qk2 . = k2x − p − qk + kp − qk = 4 ° x − ° 2 ° Como

p+q 2

∈ M , disso segue que ° °2 ° ° p + q 2 2 ° 0 ≤ kp − qk = 4d − 4 ° °x − 2 ° ≤ 4d − 4d = 0, 2

2

o que ´e suficiente para concluir que p = q. Defini¸ c˜ ao 5.2.3 Sejam E um espa¸co com produto interno e A um subconjunto de E. Denominamos o subconjunto A⊥ = {y ∈ E : hx, yi = 0 para todo x ∈ A} de complemento ortogonal de A. 82

As seguintes propriedades s˜ao facilmente verificadas: • A ⊆ (A⊥ )⊥ , E ⊥ = {0} e {0}⊥ = E. • A⊥ ´e um subespa¸co fechado de E, mesmo que A n˜ao seja nem subespa¸co (o fato de ser fechado decorre da Proposi¸ca˜o 5.1.4). ½ {0}, se 0 ∈ A, • A ∩ A⊥ = ∅, se 0 ∈ / A. Observa¸ c˜ ao 5.2.4 A nota¸ca˜o A⊥ parece estar em conflito com a nota¸c˜ao M ⊥ dos Exerc´ıcios 3.6.14 e 4.5.14. Em breve o Teorema 5.5.2 mostrar´a que essas nota¸c˜oes s˜ao consistentes. Teorema 5.2.5 Sejam E um espa¸co com produto interno e M um subespa¸co completo de E. Ent˜ao (a) E = M ⊕ M ⊥ , isto ´e, cada x ∈ E admite uma u ´nica representa¸c˜ ao na forma x = p + q com p ∈ M e q ∈ M ⊥ . Al´em disso, kx − pk = dist(x, M ). O vetor p ´e chamado de proje¸c˜ ao ortogonal de x sobre M. (b) Os operadores P, Q : E −→ E, P (x) = p e Q(x) = q s˜ ao proje¸c˜ oes, isto ´e, s˜ao lineares, cont´ınuos e P 2 = P e Q2 = Q. Mais ainda, P (E) = M , Q(E) = M ⊥ , kP k = 1 se M 6= {0} e kQk = 1 se M 6= E. O operador P ´e chamado de proje¸c˜ ao ortogonal de E sobre M . (c) P ◦ Q = Q ◦ P = 0. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Dado x ∈ E, pelo Teorema 5.2.2 existe um u ´nico vetor p ∈ M tal que kx − pk = dist(x, M ). Tomando q = x − p segue imediatamente que x = p + q. Basta ent˜ao provar que q ∈ M ⊥ . Para todo y ∈ M e todo escalar λ, o vetor p + λy pertence a M , logo kqk2 = kx − pk2 = dist(x, M )2 ≤ kx − (p + λy)k2 = kq − λyk2 = hq − λy, q − λyi = kqk2 − λhy, qi − λhq, yi + λλ kyk2 . Disso conclu´ımos que

0 ≤ |λ|2 kyk2 − 2 Re (λhy, qi) .

Escreva hy, qi na forma polar |hy, qi| eiθ e para cada t ∈ R chame λ = te−iθ . Da desigualdade acima segue que 0 ≤ t2 kyk2 − 2t |hy, qi| para todo t ∈ R, 83

e consequentemente o discriminante do binˆomio ´e menor ou igual a zero. Isso nos d´a |hy, qi| = 0, e portanto q ∈ M ⊥ . Para provar a unicidade, suponha que p + q = p1 + q1 com p, p1 ∈ M e q, q1 ∈ M ⊥ . Como M e M ⊥ s˜ao subespa¸cos, p − p1 = q1 − q ∈ M ∩ M ⊥ = {0}. Segue que p = p1 e q = q1 . (b) Segue de (a) e da Proposi¸ca˜o 3.2.2 que P e Q s˜ao lineares, cont´ınuos e proje¸c˜oes. Para cada x ∈ E, pelo item (a) podemos escrever x = p + q com p ⊥ q. Pelo Teorema de Pit´agoras, kxk2 = kp + qk2 = kpk2 + kqk2 , e portanto

kP (x)k2 = kpk2 ≤ kxk2 e kQ(x)k2 = kqk2 ≤ kxk2 .

Da´ı conclu´ımos que kP k ≤ 1 e kQk ≤ 1. As desigualdades inversas seguem do fato, por n´os j´a conhecido (veja Defini¸ca˜o 3.2.1) de que proje¸c˜oes n˜ao-nulas tˆem normas maiores ou iguais a 1. (c) Essas afirma¸co˜es s˜ao de f´acil verifica¸c˜ao, por isso s˜ao deixadas a cargo do leitor. ´ interessante observar que mesmo o item (a) do teorema anterior Observa¸ c˜ ao 5.2.6 E n˜ao ´e v´alido, em geral, sem a hip´otese de M ser um subespa¸co completo. Como exemplo tome E = `2 e M = [ej : j ∈ N]. No Exerc´ıcio 5.7.4 o leitor comprovar´a que M ⊥ = {0}, e assim est´a claro que neste caso E 6= M ⊕ M ⊥ . O corol´ario a seguir ´e imediato a partir do Teorema 5.2.5. Optamos por enunci´a-lo por se tratar de uma das propriedades fundamentais dos espa¸cos de Hilbert. Corol´ ario 5.2.7 Todo subespa¸co fechado n˜ao-nulo de um espa¸co de Hilbert ´e 1complementado.

5.3

Conjuntos ortonormais em espa¸cos de Hilbert

O fato de todo espa¸co vetorial ter base (Proposi¸ca˜o A.4) garante que todo vetor de um espa¸co vetorial pode ser escrito como combina¸ca˜o linear dos vetores da base. Em dimens˜ao finita o leitor est´a acostumado com isso e seguramente convencido das vantagens de se ter tal tipo de representa¸c˜ao. Entretanto, em dimens˜ao infinita essa representa¸ca˜o em geral n˜ao tem utilidade alguma. Nesta se¸c˜ao veremos uma maneira extremamente u ´til de representar vetores de um espa¸co Hilbert como somas (nem sempre finitas) de m´ ultiplos de vetores convenientemente escolhidos. Isso aproxima ainda mais os espa¸cos de Hilbert dos espa¸cos euclidianos.

84

Defini¸ c˜ ao 5.3.1 Seja E um espa¸co com produto interno. Um conjunto S ⊆ E ´e dito ortonormal se para todos x, y ∈ S, ½ 0, se x = 6 y, hx, yi = 1, se x = y. Um conjunto ortonormal S tal que S ⊥ = {0} ´e chamado de sistema ortonormal completo. Exemplo 5.3.2 A base canˆonica {(1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)} do Kn ´e um sistema ortonormal completo. O conjunto {en : n ∈ N} dos vetores unit´arios canˆonicos ´e um sistema ortonormal completo em `2 . O leitor n˜ao ter´a dificuldade em verificar que todo conjunto ortonormal em um espa¸co com produto interno ´e linearmente independente. Na verdade acreditamos que ´ isso j´a tenha sido feito no curso de Algebra Linear. Para simplificar a nota¸ca˜o introduzimos agora o delta de Kronecker: dados um conjunto qualquer I e i, j ∈ I, definimos ½ 0, se i 6= j, δij = 1, se i = j. Dessa forma, um conjunto {xi : i ∈ I} de vetores de um espa¸co com produto interno ´e ortonormal se, e somente se, hxi , xj i = δij para todos i, j ∈ I. J´a vimos no Teorema 5.2.2 que quando M for um subespa¸co completo de um espa¸co com produto interno E, todo vetor x de E admite uma (´ unica) melhor aproxima¸ca˜o em M . O resultado seguinte fornece uma descri¸c˜ao dessa melhor aproxima¸ca˜o de x em um subespa¸co de dimens˜ao finita de um espa¸co com produto interno. Proposi¸c˜ ao 5.3.3 Sejam E um espa¸co com produto interno e {x1 , . . . , xn } um conjunto ortonormal finito em E. (a) Se M = [x1 , . . . , xn ] e x ∈ E, ent˜ao ° ° n ° ° X ° ° hx, xi ixi ° = dist(x, M ). °x − ° ° i=1

(b) Para todo x em E,

n P

|hx, xi i|2 ≤ kxk2 .

i=1

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Pelo Teorema 5.2.5 podemos tomar p ∈ M e q ∈ M ⊥ tais que x = p + q e kx − pk = dist(x, M ). Como p ∈ M , existem escalares α1 , . . . , αn tais que p = α1 x1 + · · · + αn xn . E como x − p = q ∈ M ⊥ , temos (x − p) ⊥ xj para todo j = 1, . . . , n. Segue ent˜ao que 0 = hx − p, xj i = hx, xj i − αj , 85

isto ´e, αj = hx, xj i, para todo j = 1, . . . , n. O item (a) est´a provado. (b) Dado x ∈ E, sejam α1 , . . . , αn como em (a). Assim, como hxi , xj i = δij para todos i, j = 1, . . . , n, * + n n X X 0≤ x− hx, xi ixi , x − hx, xi ixi 2

i=1 n X

= kxk −

i=1 2

|hx, xi i| −

i=1

n X

2

|hx, xi i| +

i=1

n X

|hx, xi i|2 ,

i=1

e o resultado segue. Observa¸ c˜ ao 5.3.4 A express˜ao

n P

hx, xi ixi ´e, por motivos ´obvios, chamada de melhor

i=1

aproxima¸c˜ ao de x em M = [x1 , . . . , xn ]. Caminharemos agora na dire¸c˜ao de estabelecer duas rela¸c˜oes fundamentais da teoria dos espa¸cos de Hilbert, a saber, a desigualdade de Bessel e a identidade de Parseval. Para isso precisamos do: Lema 5.3.5 Seja S = {xi : i ∈ I} um conjunto ortonormal no espa¸co com produto interno E. Ent˜ao, para cada 0 6= x ∈ E, o conjunto J = {i ∈ I : hx, xi i 6= 0} ´e finito ou enumer´avel. Demonstra¸ c˜ ao. Para cada k ∈ N definimos ½ ¾ 1 Jk = i ∈ I : |hx, xi i| > k para obter J =

∞ S

Jk . Basta ent˜ao mostrar que cada Jk ´e finito. Da Proposi¸ca˜o 5.3.3(a)

k=1

sabemos que para todo subconjunto finito J0 de J ´e verdade que X |hx, xi i|2 ≤ kxk2 . i∈J0

Em particular, dado um n´ umero finito de elementos i1 , . . . , in de Jk , 1 1 n = 2 + · · · + 2 < |hx, xi1 i|2 + · · · + |hx, xin i|2 ≤ kxk2 . 2 k k k Consequentemente n ≤ k 2 kxk2 . Isso significa que o n´ umero de elementos de qualquer subconjunto finito de Jk n˜ao excede k 2 kxk2 . Segue que Jk ´e finito. 86

Teorema 5.3.6 (Desigualdade de Bessel) Seja S = {xi : i ∈ I} um conjunto ortonormal no espa¸co com produto interno E. Ent˜ao, para todo x ∈ E, X |hx, xi i|2 ≤ kxk2 , i∈J

onde J = {i ∈ I : hx, xi i 6= 0}. Demonstra¸ c˜ ao. Sabemos pelo Lema 5.3.5 que J ´e finito ou enumer´avel. A Proposi¸ca˜o 5.3.3 resolve o caso em que J ´e finito. Basta ent˜ao fazer o caso em que J ´e enumer´avel. Como todos os termos da s´erie s˜ao positivos, n˜ao importa a ordem em que fazemos a soma da s´erie. Podemos ent˜ao considerar uma enumera¸ca˜o qualquer i1 , i2 , . . . dos elementos de J. Para cada n ∈ N, a Proposi¸ca˜o 5.3.3 garante que n X

|hx, xik i|2 ≤ kxk2 .

k=1

Agora basta fazer n tender a infinito nesta desigualdade para obter X i∈J

|hx, xi i|2 =

∞ X

|hx, xik i|2 ≤ kxk2 .

k=1

Nosso objetivo ´e mostrar que todo vetor em um espa¸co de Hilbert pode ser escrito como uma soma de m´ ultiplos de vetores de um conjunto ortonormal. Como em geral essa soma n˜ao ´e finita, precisamos explorar o conceito de s´eries em espa¸cos normados. Esse assunto ser´a tratado em detalhes na Se¸ca˜o 10.1. No momento nos restringimos apenas `as defini¸co˜es necess´arias e a um resultado auxiliar. Defini¸ c˜ ao 5.3.7 Seja (xn )∞ encia no espa¸co normado E. Dizemos que n=1 uma sequˆ ∞ P xn ´e convergente se existe x ∈ E tal que a sequˆencia das somas parciais a s´erie

(

n P j=1

n=1 ∞

xj

)

n=1

converge para x. Nesse caso dizemos que x ´e a soma da s´erie e escrevemos

x=

∞ X

xn .

n=1

Diz-se que a s´erie

∞ P

xn ´e incondicionalmente convergente se for convergente em

n=1

qualquer ordena¸c˜ao em que considerarmos suas parcelas; mais precisamente, se para ∞ P toda fun¸ca˜o bijetora σ : N −→ N a s´erie xσ(n) for convergente. n=1

87

De acordo com essas defini¸co˜es est´a aberta a possibilidade de uma s´erie incondicionalmente convergir para limites diferentes considerando ordena¸co˜es diferentes ´ importante estabelecer neste momento que isso n˜ao ocorre: de N. E Proposi¸c˜ ao 5.3.8 Seja

∞ P

xn uma s´erie incondicionalmente convergente em um

n=1

espa¸co normado E. Se σ1 , σ2 : N −→ N s˜ ao fun¸c˜ oes bijetoras, ent˜ao ∞ X

xσ1 (n) =

n=1

∞ X

xσ2 (n) .

n=1

Demonstra¸ c˜ ao. Seja ϕ ∈ E 0 . Da continuidade de ϕ ´e claro que a s´erie num´erica ∞ P ϕ(xn ) ´e incondicionalmente convergente. Mas s´eries num´ericas incondicionalmente n=1

convergentes convergem para mesmo limite independentemente da ordem das parcelas (veja, por exemplo, [54, Teorema IV.22]), logo Ã∞ ! Ã∞ ! ∞ ∞ X X X X ϕ xσ1 (n) = ϕ(xσ1 (n) ) = ϕ(xσ2 (n) ) = ϕ xσ2 (n) . n=1

n=1

n=1

n=1

Como isso vale para todo ϕ ∈ E 0 , o resultado segue do Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.5 (ou, se preferir, do Exerc´ıcio 3.6.3). Queremos mostrar que se {xi : i ∈ I} for um sistema ortonormal completo em E, ent˜ao todo vetor x de E pode ser escrito na forma X x= hx, xi ixi , (5.5) i∈I

fato este que evidencia o papel central desempenhado pelos sistemas ortonormais completos na teoria de espa¸cos de Hilbert. Como sabemos pelo Lema 5.3.5 que {i ∈ I : hx, xi i 6= 0} ´e finito ou enumer´avel, fica claro que a soma que aparece em (5.5) denota, na verdade, uma soma finita ou uma soma em um conjunto enumer´avel de ´ındices, ou seja, uma s´erie. Entretanto, ainda n˜ao est´a clara a convergˆencia da s´erie e menos ainda a convergˆencia incondicional. O pr´oximo lema demonstra esse fato. Lema 5.3.9 Seja S = {xi : i ∈ I} um conjunto ortonormal no espa¸co de Hilbert H. Ent˜ ao, para cada x ∈ H, denotando Ix = {i ∈ I : hx, xi i 6= 0}, a s´erie X hx, xi ixi i∈Ix

´e incondicionalmente convergente.

88

Demonstra¸ c˜ ao. N˜ao h´a o que fazer no caso em que Ix ´e finito. Suponha que Ix seja infinito e tome (yj )∞ c˜ao qualquer de Ix . Para cada n ∈ N, j=1 uma enumera¸ n ∞ P P defina Sn = hx, yi iyi . Da desigualdade de Bessel sabemos que a s´erie |hx, yn i|2 ´e n=1

i=1

convergente. Como hyi , yj i = δij , °2 ° n n ° ° X X ° ° 2 |hx, yi i|2 hx, yi iyi ° = kSn − Sm k = ° ° ° i=m+1

i=m+1

para n > m, e portanto a sequˆencia (Sn )∞ e de Cauchy em H, logo convergente. n=1 ´ Resolvida a quest˜ao da convergˆencia podemos provar (5.5): Teorema 5.3.10 Seja S = {xi : i ∈ I} um conjunto ortonormal no espa¸co de Hilbert H. As seguintes afirma¸c˜ oesPs˜ao equivalentes: (a) Para cada x ∈ H, x = hx, xi ixi . i∈I

(b) S ´e um sistema ortonormal completo. (c) [S] = H. P (d) Para cada x ∈ H, kxk2 = |hx, xi i|2 . (Identidade de Parseval) i∈I P (e) Para todos x, y ∈ H, hx, yi = hx, xi ihy, xi i. i∈I

Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Seja x ∈ S ⊥ . Como hx, xi i = 0 para todo i ∈ I, de (a) segue imediatamente que x = 0. Assim S ⊥ = {0} e S ´e completo. (b) =⇒ (a) Seja x ∈ H. Tratemos do caso em que J := {i ∈ I : hx, xi i 6= 0} ´e infinito, e portanto enumer´avel. Seja {i1 , i2 , . . .} uma enumera¸ca˜o qualquer de J. Do Lema 5.3.9 e da Proposi¸c˜ao 5.3.8 sabemos que ∞ X X hx, xi ixi = hx, xij ixij . j=1

i∈I

Seja i ∈ I. Se i ∈ / J, ent˜ao *

∞ X x− hx, xij ixij , xi

+ = 0.

j=1

E se i ∈ J, existe k ∈ N tal que i = ik . Nesse caso, como hxij , xik i = δij ik = δjk , + + * * ∞ ∞ X X hx, xij ixij , xik hx, xij ixij , xi = x − x− j=1

j=1

= hx, xik i −

∞ X hx, xij ihxij , xik i = 0. j=1

89

Como S ´e completo segue que ∞ X X x− hx, xi ixi = x − hx, xij ixij = 0. j=1

j∈I

O argumento acima se adapta facilmente ao caso em que J ´e finito. (b) =⇒ (c) Chamemos M = [S]. Por S ser subconjunto de M segue que M ⊥ ´e subespa¸co de S ⊥ = {0}, logo M ⊥ = {0}. Mas H = M ⊕ M ⊥ pelo Teorema 5.2.5, e da´ı conclu´ımos que H = M = [S]. (c) =⇒ (d) Sejam x ∈ H e ε > 0. Por (c) existe yε ∈ [S] tal que kx − yε k < ε.PComo yε ∈ [S], existem um subconjunto finito Jε de I e escalares (ai )i∈Jε tais que yε = ai xi . i∈Jε P Da Proposi¸c˜ao 5.3.3 sabemos que o vetor hx, xi ixi ´e a melhor aproxima¸c˜ao de x em i∈Jε

[xi : i ∈ Jε ], portanto ° ° ° ° ° ° ° ° X X ° ° ° ° hx, xi ixi ° ≤ °x − ai xi ° = kx − yε k < ε. °x − ° ° ° ° i∈Jε

i∈Jε

Como Jε ´e ortonormal, kxk2 −

X

* |hx, xi i|2 =

i∈Jε

X X x− hx, xi ixi , x − hx, xi ixi i∈Jε

+

i∈Jε

° °2 ° ° X ° ° = °x − hx, xi ixi ° < ε2 . ° ° i∈Jε

Combinando isso com a desigualdade de Bessel obtemos X X kxk2 < |hx, xi i|2 + ε2 ≤ |hx, xi i|2 + ε2 ≤ kxk2 + ε2 . i∈Jε

i∈I +

O resultado segue fazendo ε −→ 0 . (d) =⇒ (e) Sejam x, y ∈ E e a um escalar. Por (d), X X hax + y, ax + yi = kax + yk2 = |hax + y, xi i|2 = hax + y, xi ihax + y, xi i, i∈I

i∈I

e da´ı, |a|2 kxk2 +ahx, yi+ahy, xi+kyk2 = hax + y, ax + yi X¡ 2 ¢ |a| |hx, xi i|2 + ahx, xi ihxi , yi + ahy, xi ihxi , xi + |hxi , yi|2 = i∈I

X X X (∗) X = |a|2 |hx, xi i|2 + ahx, xi ihxi , yi + ahy, xi ihxi , xi + |hxi , yi|2 i∈I 2

2

= |a| kxk +

X i∈I

i∈I

ahx, xi ihxi , yi +

X

i∈I

i∈I 2

ahy, xi ihxi , xi + kyk .

i∈I

90

A passagem (∗) est´a justificada pois cada uma das quatro s´eries ´e convergente: a primeira e a u ´ltima por (d) e a segunda e a terceira pela desigualdade de H¨older. Ent˜ao X X ahx, yi + ahy, xi = ahx, xi ihxi , yi + ahy, xi ihxi , xi i∈I

i∈I

Ã

!

X =a hx, xi ihy, xi i

Ã

! X +a hy, xi ihx, xi i .

i∈I

i∈I

Escolhendo primeiro a = 1 e depois a = i, obtemos à ! à ! X X Rehx, yi = Re hx, xi ihy, xi i e Imhx, yi = Im hx, xi ihy, xi i , i∈I

i∈I

e o resultado segue. (e) =⇒ (b) Seja x ∈ S ⊥ . Logo hx, xi i = 0 para todo i ∈ I. Usando (e) com x = y obtemos hx, xi = 0 e consequentemente x ´e o vetor nulo.

5.4

Processo de consequˆ encias

ortogonaliza¸c˜ ao

e

suas

Na se¸ca˜o anterior vimos que um sistema ortonormal completo ´e algo muito desej´avel em um espa¸co de Hilbert. O objetivo desta se¸ca˜o ´e mostrar que todo espa¸co de Hilbert cont´em sistemas ortonormais completos. Iniciamos mostrando como transformar um conjunto linearmente independente em um conjunto ortonormal com boas propriedades de preserva¸ca˜o dos subespa¸cos gerados. Qualquer semelhan¸ca com o processo de Gram–Schmidt que todos conhecemos da ´ Algebra Linear n˜ ao ´e mera coincidˆencia. Proposi¸c˜ ao 5.4.1 (Processo de ortogonaliza¸ca˜o de Gram–Schmidt) Sejam E um espa¸co com produto interno e (xn )∞ encia de vetores linearmente n=1 uma sequˆ independentes em E. Existe uma sequˆencia ortonormal (en )∞ n=1 em E tal que para todo n ∈ N, [x1 , . . . , xn ] = [e1 , . . . , en ] ´ Demonstra¸ c˜ ao. Supomos que, do curso de Algebra Linear, o leitor j´a conhe¸ca a constru¸c˜ao. Por isso apenas indicaremos os passos a serem seguidos. Primeiro definimos e1 = kxx11 k e escrevemos x2 = hx2 , e1 ie1 +v2 com v2 ∈ [e1 ]⊥ . Definimos ent˜ao e2 = kvv22 k para obter [x1 , x2 ] = [e1 , e2 ]. Prosseguindo por indu¸c˜ao, suponha que tenhamos constru´ıdo vetores ortonormais e1 , . . . , en tais que [x1 , . . . , xn ] = [e1 , . . . , en ]. 91

Escrevemos xn+1 = hxn+1 , e1 ie1 + · · · + hxn+1 , en ien + vn+1 com vn+1 ∈ [e1 , ..., en ]⊥ . Definindo en+1 = kvvn+1 ´e verdade que os vetores e1 , . . . , en+1 n+1 k s˜ao ortonormais e [x1 , . . . , xn+1 ] = [e1 , . . . , en+1 ].

encia de Corol´ ario 5.4.2 Sejam E um espa¸co com produto interno e (xn )∞ n=1 uma sequˆ vetores linearmente independentes em E. Existe uma sequˆencia ortonormal (en )∞ n=1 tal que [xn : n ∈ N] = [en : n ∈ N]. Demonstra¸ c˜ ao. Seja (en )∞ encia obtida na Proposi¸ca˜o 5.4.1. Dado v ∈ [xn : n=1 a sequˆ n ∈ N] podemos tomar k ∈ N tal que v ∈ [x1 , . . . , xk ]. Pela constru¸ca˜o do processo de ´ claro que [e1 , . . . , ek ] ⊆ [en : Gram–Schmidt sabemos que [x1 , . . . , xk ] = [e1 , . . . , ek ]. E n ∈ N], logo v ∈ [en : n ∈ N], e consequentemente [xn : n ∈ N] ⊆ [en : n ∈ N]. A outra inclus˜ao ´e obtida analogamente. N˜ao precisamos de mais nada para provar que espa¸cos de Hilbert separ´aveis admitem sistemas ortonormais completos: Teorema 5.4.3 Um espa¸co de Hilbert H de dimens˜ao infinita ´e separ´ avel se, e somente se, existe em H um sistema ortonormal completo enumer´avel. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que S = {xn : n ∈ N} seja um sistema ortonormal completo em H. Pelo Teorema 5.3.10, todo x em H pode ser escrito na forma x=

∞ X

hx, xi ixi .

i=1

Isso garante, em particular, que [S] ´e denso em H. A separabilidade de H segue do Lema 1.6.3. Reciprocamente, suponha que H seja separ´avel. Seja D = {xn : n ∈ N} um subconjunto enumer´avel denso em H. Podemos extrair de D uma base B para [D] (o leitor em d´ uvida neste ponto deve consultar a Proposi¸c˜ao A.4 no Apˆendice A). Suponha que essa base B ⊆ D seja finita, digamos B = {v1 , . . . , vn }. Nesse caso, como [D] tamb´em ´e denso em H (por conter D que ´e denso) e como subespa¸cos de dimens˜ao finita de espa¸cos completos s˜ao fechados, temos H = [D] = [v1 , . . . , vn ] = [v1 , . . . , vn ]. Mas isso n˜ao pode acontecer pois H tem dimens˜ao infinita. Conclu´ımos que a base B de [D] ´e infinita. Mas B ⊆ D e D ´e enumer´avel, logo B tamb´em ´e enumer´avel, 92

digamos B = {vn : n ∈ N}. Pelo processo de ortogonaliza¸ca˜o de Gram–Schmidt existe um conjunto ortonormal S em H tal que [S] = [vn : n ∈ N]. Assim, [S] = [vn : n ∈ N] = [D] = H, e pelo Teorema 5.3.10 conclu´ımos que S ´e sistema ortonormal completo. A existˆencia de um sistema ortonormal completo enumer´avel engessa de tal forma a estrutura do espa¸co que – surpreendentemente – o u ´nico espa¸co de Hilbert separ´avel de dimens˜ao infinita, a menos de isomorfismo isom´etrico, ´e o nosso velho conhecido `2 : Teorema 5.4.4 (Teorema de Riesz–Fischer) Todo espa¸co de Hilbert separ´ avel de dimens˜ ao infinita ´e isometricamente isomorfo a `2 . Demonstra¸ c˜ ao. Seja H um espa¸co de Hilbert separ´avel de dimens˜ao infinita. Pelo Teorema 5.4.3 existe um sistema ortonormal completo enumer´avel S = {xj : j ∈ N} em H. Da desigualdade de Bessel sabemos que, para todo x ∈ H, (hx, xn i)∞ ao n=1 ∈ `2 . Ent˜ est´a bem definido o operador T : H −→ `2 , T (x) = (hx, xn i)∞ n=1 . ´ f´acil verificar que T ´e linear, Al´em disso, pelo Teorema 5.3.10 sabemos que todo x E em H ´e representado pela s´erie x=

∞ X

hx, xi ixi ,

i=1

e assim a identidade de Parseval revela que kT (x)k = kxk. Em particular, T ´e injetora. Resta provar que T ´e sobrejetora. Para isso seja (aj )∞ j=1 ∈ `2 . Vejamos primeiramente k ∞ P P que a s´erie aj xj converge em H. De fato, escrevendo, para cada k ∈ N, Sk = a j xj , j=1

j=1

do Teorema de Pit´agoras resulta que, para n > m, ° °2 n n n ° X ° X X ° ° 2 2 kSn − Sm k = ° aj xj ° = kaj xj k = |aj |2 . ° ° j=m+1

Como a s´erie

∞ P j=1

j=m+1

j=m+1

e uma sequˆencia de Cauchy |aj |2 ´e convergente, segue que (Sn )∞ n=1 ´

em H, portanto converge. Logo x :=

∞ P

aj xj ∈ H est´a bem definido e da condi¸ca˜o

j=1

hxj , xn i = δjn segue imediatamente que T (x) = (aj )∞ j=1 . Para o caso n˜ao-separ´avel do Teorema de Riesz–Fischer veja o Exerc´ıcio 5.7.33. Com um pouco mais de teoria provaremos na pr´oxima se¸c˜ao que os espa¸cos de Hilbert s˜ao reflexivos. Mas para o caso separ´avel j´a temos teoria suficiente: 93

Corol´ ario 5.4.5 Espa¸cos de Hilbert separ´ aveis s˜ao reflexivos. Demonstra¸ c˜ ao. Seja H um espa¸co de Hilbert separ´avel. Pelo Teorema de Riesz– Fischer sabemos que H ´e isomorfo a `2 . Como `2 ´e reflexivo, do Exerc´ıcio 4.5.26 segue que H ´e reflexivo. Para provar a existˆencia de um sistema ortonormal completo em espa¸cos de Hilbert n˜ao-separ´aveis precisamos recorrer ao Lema de Zorn, aquele mesmo usado na demonstra¸c˜ao do Teorema de Hahn–Banach. Reiteramos que o leitor pouco familizarizado com essa ferramenta deve consultar o Apˆendice A. A demonstra¸ca˜o abaixo ´e similar `a demonstra¸c˜ao do fato de que todo conjunto gerador de um espa¸co vetorial cont´em uma base do espa¸co (veja Proposi¸ca˜o A.4). Teorema 5.4.6 Sejam H um espa¸co com produto interno e S0 um conjunto ortonormal em H. Ent˜ao existe um sistema ortonormal completo em H que cont´em S0 . Demonstra¸ c˜ ao. Chame de F a fam´ılia de todos os conjuntos ortonormais em H que contˆem S0 . Note que F 6= ∅ pois S0 ∈ F . Consideramos F com a ordem parcial dada pela rela¸ca˜o de continˆencia: S1 , S2 ∈ F , S1 ≤ S1 se, e somente S se, S1 ⊆ S2 . Seja {Si : i ∈ I} um subconjunto de F totalmente ordenado. Vejamos Si ∈ F. De i∈I S fato, se x, y ∈ Si , ent˜ao existem i1 , i2 ∈ I tais que x ∈ Si1 e y ∈ Si2 . Se x = y i∈I

ent˜ao hx, yi = hx, xi = 1 pois Si1 ´e ortonormal. Suponhamos agora que x 6= y. Como {Si : i ∈ I} ´e totalmente ordenado, temos Si1 ⊆ Si2 ou Si2 ⊆ Si1 . Portanto, x, y ∈ Si1 ou x, y ∈ Si2 . Em ao ortogonais. 1 como Si2 s˜ S ambos os casos x ´e ortogonal a y,´pois tanto SiS Segue que Si ´e um conjunto ortonormal. E claro que Si ´e uma cota superior i∈I

i∈I

para o conjunto {Si : i ∈ I}, portanto todo conjunto parcialmente ordenado tem cota superior. O Lema de Zorn garante a existˆencia de um conjunto ortonormal S ∈ F que ´e maximal. Resta mostrar que S ´e completo. Supondo que S n˜ao seja completo, existe z ∈ H n˜ao-nulo tal que z ∈ S ⊥ . Nesse caso o conjunto ¾ ½ z 1 S := S ∪ kzk ´e ortonormal, distinto de S e S ≤ S 1 . Mas isso contradiz a maximalidade de S, e portanto S ´e completo.

5.5

Funcionais lineares em espa¸cos de Hilbert: o Teorema de Riesz–Fr´ echet

Obteremos nesta se¸c˜ao uma descri¸ca˜o de todos os funcionais lineares cont´ınuos em um espa¸co de Hilbert. Vejamos primeiramente que ´e muito f´acil criar tais funcionais: 94

Exemplo 5.5.1 Seja H um espa¸co de Hilbert. Para cada y ∈ H, o funcional ϕy : H −→ K , ϕy (x) = hx, yi ´e claramente linear. Da desigualdade de Cauchy–Schwarz segue que ϕy ´e cont´ınuo e que kϕy k ≤ kyk. Para y = 0 ´e imediato que kϕy k = kyk, e para y 6= 0 isso tamb´em vale pois ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ |ϕy (y)| y ¯ϕy ¯= = kyk. ¯ kyk ¯ kyk Em resumo, ϕy ∈ H 0 e kϕy k = kyk. O pr´oximo resultado, um cl´assico devido a Riesz e Fr´echet, garante que todos os funcionais lineares cont´ınuos em um espa¸co de Hilbert s˜ao da forma descrita no exemplo anterior. Teorema 5.5.2 (Teorema de Riesz–Fr´echet) Sejam H um espa¸co de Hilbert e ϕ : H −→ K um funcional linear cont´ınuo. Ent˜ao existe um u ´nico y0 ∈ H tal que ϕ(x) = hx, y0 i para todo x ∈ H. Al´em disso, kϕk = ky0 k . Demonstra¸ c˜ ao. Se ϕ ´e o funcional identicamente nulo, basta tomar y0 = 0. Consideremos agora o caso em que ϕ n˜ao ´e identicamente nulo. Nesse caso o n´ ucleo de ϕ, M := {x ∈ H : ϕ(x) = 0}, ´e um subespa¸co fechado pr´oprio de H. Do Teorema 5.2.5(a) sabemos que M ⊥ 6= {0}, e ent˜ao podemos escolher x0 em M ⊥ de norma 1 (lembre-se que M ⊥ ´e subespa¸co vetorial). Provemos que y0 := ϕ(x0 )x0 ´e o vetor procurado. Dado x ∈ H, µ ¶ ϕ(x) ϕ(x) x= x− x0 + x0 , ϕ(x0 ) ϕ(x0 ) ³ ´ ϕ(x) ϕ(x) onde x − ϕ(x x ∈ M e ϕ(x x0 ∈ M ⊥ . Como y0 ∈ M ⊥ e kx0 k = 1, 0 0) 0) ¿ À ¿ À ϕ(x) ϕ(x) hx, y0 i = x − x0 , y0 + x0 , y 0 ϕ(x0 ) ϕ(x0 ) E ϕ(x) D ϕ(x) hx0 , y0 i = x0 , ϕ(x0 )x0 = ϕ(x). =0+ ϕ(x0 ) ϕ(x0 ) Da desigualdade de Cauchy–Schwarz temos kϕk ≤ ky0 k. A igualdade |ϕ(x0 )| = ky0 k garante a desigualdade inversa e portanto kϕk = ky0 k. A unicidade segue de (5.2). Seja H um espa¸co de Hilbert. Combinando o Exemplo 5.5.1 com o Teorema 5.5.2 segue que a correspondˆencia y ∈ H ←→ ϕy ∈ H 0 (5.6) ´ tamb´em linear no caso real, isto ´e, quando K = R. Portanto ´e bijetora e isometria. E temos o 95

Corol´ ario 5.5.3 Todo espa¸co de Hilbert real ´e isometricamente isomorfo ao seu dual por meio da correspondˆencia (5.6). No Exerc´ıcio 5.7.33 o leitor verificar´a que um espa¸co de Hilbert complexo tamb´em ´e isometricamente isomorfo ao seu dual, mas n˜ao por meio da correspondˆencia (5.6). Por enquanto fiquemos com mais algumas consequˆencias interessantes do Teorema de Riesz–Fr´echet. Os dois resultados a seguir s˜ao imediatos no caso de espa¸cos de Hilbert separ´aveis; entretanto nosso contexto envolve tamb´em o caso n˜ao-separ´avel: Proposi¸c˜ ao 5.5.4 O dual de um espa¸co de Hilbert ´e tamb´em um espa¸co de Hilbert. Demonstra¸ c˜ ao. Seja H um espa¸co de Hilbert. Como H 0 ´e completo, basta mostrar que a norma em H 0 ´e induzida por um produto interno. Dados ϕ1 , ϕ2 ∈ H 0 , pelo Teorema 5.5.2 existem u ´nicos y1 , y2 ∈ H tais que ϕ1 (x) = hx, y1 i e ϕ2 (x) = hx, y2 i para todos x ∈ H, kϕ1 k = ky1 k e kϕ2 k = ky2 k. ´ f´acil verificar que a express˜ao E hϕ1 , ϕ2 i := hy2 , y1 i

(5.7)

define um produto interno em H 0 (n˜ao ´e um erro de digita¸c˜ao; a ordem de apari¸ca˜o dos yj na defini¸ca˜o acima tem que ser invertida mesmo, pois na ordem natural o axioma (P2) n˜ao seria satisfeito no caso complexo). De hϕ1 , ϕ1 i = hy1 , y1 i = ky1 k2 = kϕ1 k2 segue que esse produto interno induz a norma em H 0 . Corol´ ario 5.5.5 Espa¸cos de Hilbert s˜ao reflexivos. Demonstra¸ c˜ ao. Seja H um espa¸co de Hilbert. Dado Φ ∈ H 00 , como H 0 ´e um espa¸co de Hilbert pela Proposi¸ca˜o 5.5.4, do Teorema de Riesz–Fr´echet sabemos que podemos tomar ϕ ∈ H 0 tal que Φ(ψ) = hψ, ϕi para todo ψ ∈ H 0 . Uma segunda aplica¸c˜ao do Teorema de Riesz–Fr´echet nos fornece um vetor y ∈ H tal que ϕ(x) = hx, yi para todo x ∈ H. Seja ψ ∈ H 0 . Usando o Teorema de Riesz–Fr´echet pela terceira vez, existe z ∈ H tal que ψ(x) = hx, zi para todo x ∈ H. De (5.7) sabemos que hψ, ϕi = hy, zi. Dessa forma, JH (y)(ψ) = ψ(y) = hy, zi = hψ, ϕi = Φ(ψ). Como isso vale para todo ψ ∈ H 0 , segue que JH (y) = Φ, provando que H ´e reflexivo. Veremos na Se¸ca˜o 6.6 que os espa¸cos de Hilbert satisfazem uma propriedade mais forte que a reflexividade. 96

5.6

Coment´ arios e notas hist´ oricas

D. Hilbert usou em 1906 a bola unit´aria fechada de `2 como dom´ınio de formas lineares, bilineares e quadr´aticas. Por isso o termo espa¸co de Hilbert foi cunhado por Schoenflies em 1908. Por algum tempo entendia-se por espa¸co de Hilbert o espa¸co `2 ou sua bola unit´aria fechada. O conceito abstrato de espa¸co de Hilbert apareceu com a axiomatiza¸c˜ao de von Neumann em 1927. A defini¸c˜ao de von Neumann exige a separabilidade, e a raz˜ao disso ´e o processo de Gram–Schmidt. Em dimens˜ao finita, esse processo remonta a Laplace e Cauchy, e o caso de dimens˜ao infinita veio com Gram em 1883 e Schmidt em 1908. Mas a demonstra¸ca˜o de Schmidt funciona apenas no caso separ´avel, da´ı a defini¸ca˜o de von Neumann. Apenas em 1934 F. Riesz forneceu uma demonstra¸ca˜o que n˜ao exige a separabilidade, e s´o a partir da´ı espa¸cos de Hilbert foram considerados na generalidade que conhecemos hoje. Schmidt tamb´em ´e lembrado, junto com F. Riesz, por trazer a linguagem da geometria euclidiana (desigualdade triangular, Teorema de Pit´agoras, etc) para a teoria dos espa¸cos normados e espa¸cos de Hilbert. A hist´oria da desigualdade de Cauchy–Schwarz ´e longa e envolve v´arios personagens. As primeiras vers˜oes remontam a Lagrange e Cauchy no caso de R2 e Rn . A vers˜ao com integrais foi provada por Buniakowsky em 1859 e por Schwarz em 1885. O caso de `2 foi provado por Schmidt em 1908 e a vers˜ao abstrata por von Neumann em 1930. Apesar de Buniakowsky ter precedido Schwarz em mais de 25 anos, a literatura ocidental usualmente esquece seu nome e consolida a express˜ao desigualdade de Cauchy–Schwarz. ´ usual que resultados gerais mantenham o nome do descobridor de um caso E ´ o particular, mesmo que o caso particular esteja muito distante da vers˜ao geral. E que acontece com a identidade de Parseval (1799) e a desigualdade de Bessel (1828). O fato de todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert ser complementado (Corol´ario 5.2.7) na verdade caracteriza os espa¸cos de Hilbert a menos de isomorfismos: J. Lindenstrauss e L. Tzafriri [59] provaram em 1971 que quando todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach E ´e complementado, E ´e isomorfo a um espa¸co de Hilbert. As s´eries incondicionalmente convergentes desempenham um papel central na teoria dos espa¸cos de Banach. Na Se¸c˜ao 10.1 exploraremos esse conceito de forma adequada. Os sistemas ortonormais completos s˜ao tamb´em chamados de bases hilbertianas ou sistemas ortonormais maximais. A igualdade do Teorema 5.3.10(a) justifica o termo base hilbertiana e o Exerc´ıcio 5.7.22 justifica o termo maximal. Os sistemas trigonom´etricos dos Exerc´ıcios 5.7.5 (caso real) e 5.7.6 (caso complexo) s˜ao sistemas ortonormais completos em L2 [0, 2π] (veja [81, Theorem 4.6] e [17, Theorem 5.2]). Na verdade, no caso separ´avel essas bases hilbertianas s˜ao casos particulares do conceito de base de Schauder, que ser´a tratado na Se¸ca˜o 10.3. Sejam {xi : i ∈ I} um sistema ortonormal completo no espa¸co de Hilbert H e x ∈ H. Os n´ umeros hx, xi i s˜ao muitas vezes chamados de coeficientes de Fourier de x, e a s´erie P x = hx, xi ixi do Teorema 5.3.10(a) ´e chamada de expans˜ ao de Fourier de x ou s´erie i∈I

de Fourier de x. A teoria dos operadores compactos e autoadjuntos em espa¸cos de Hilbert ser´a 97

abordada no Cap´ıtulo 7. A seguir damos sugest˜oes de leituras para alguns t´opicos cl´assicos da teoria dos espa¸cos de Hilbert n˜ao tratados neste livro: os Teoremas de Stampacchia e Lax–Milgram ([12, 5.3] e [70, Teorema 19.10]), polinˆomios ortogonais [49, 3.7], operadores normais e C*-´algebras [17, Chapters VIII e IX], An´alise de Fourier ([81, 4.3] e [76, 6.10]), operadores lineares ilimitados (descont´ınuos)([49, Chapter 10] e [85, Section 22]), operadores de Hilbert–Schmidt ([20, Chapter 4] e [88, VI.6]) e o Teorema de Hille–Yosida [12, Chapter 7].

5.7

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.7.1 Mostre que a fun¸ca˜o produto interno (de E × E em K) ´e cont´ınua. Exerc´ıcio 5.7.2 (a) Seja E um espa¸co vetorial real com produto interno. Prove que a vale a rec´ıproca do teorema de Pit´agoras: se kx + yk2 = kxk2 + kyk2 ent˜ao x ⊥ y. (b) Vale o mesmo no caso complexo? Exerc´ıcio 5.7.3 Prove que, para p 6= 2, `p n˜ao ´e um espa¸co com produto interno. Exerc´ıcio 5.7.4 Mostre que S = {ej : j ∈ N} ´e um sistema ortonormal completo em `2 . Exerc´ıcio 5.7.5 Verifique que no caso real o conjunto formado pelas fun¸c˜oes 1 1 1 f0 (t) = √ , fn (t) = √ cos(nt), gn (t) = √ sen(nt), n ∈ N, π π 2π ´e um sistema ortonormal em L2 [0, 2π]. Exerc´ıcio 5.7.6 Prove que no caso complexo o conjunto formado pelas fun¸c˜oes fn (t) = √1 eint , n ∈ Z, ´ e um sistema ortonormal em L2 [0, 2π]. 2π Exerc´ıcio 5.7.7 (a) Sejam E um espa¸co vetorial real com produto interno. Prove que o operador T : E −→ E 0 , T (x)(y) = hx, yi para todos x, y ∈ E, est´a bem definido (isto ´e, T (x) ∈ E 0 para todo x ∈ E), ´e linear cont´ınuo e isometria. (b) Vale o mesmo no caso complexo? E se definirmos T (x)(y) = hy, xi? Exerc´ıcio 5.7.8 Sejam E e F espa¸cos com produto interno e T : E −→ F um operador linear. Prove que T ´e uma isometria linear se, e somente se, hT (x), T (y)i = hx, yi para todos x, y ∈ E. Exerc´ıcio 5.7.9 (a) Sejam E um espa¸co vetorial complexo com produto interno e T : E −→ E um operador linear. Prove que se hT (x), xi = 0 para todo x ∈ E ent˜ao T = 0. (b) Vale o mesmo no caso real? 98

Exerc´ıcio 5.7.10 Seja E um espa¸co normado. Prove que a norma de E ´e induzida por um produto interno se, e somente se, vale a Lei do Paralelogramo. Exerc´ıcio 5.7.11 Demonstre, sem usar reflexividade, que as normas de `1 e C[a, b] n˜ao s˜ao induzidas por produtos internos. ∞ Exerc´ıcio 5.7.12 Sejam (xn )∞ encias na bola unit´aria fechada de um n=1 e (yn )n=1 sequˆ espa¸co de Hilbert. Prove que se hxn , yn i −→ 1 ent˜ao kxn − yn k −→ 0.

Exerc´ıcio 5.7.13 Prove que em (R2 , k·k∞ ) existem um subespa¸co fechado M e x ∈ /M tais que n˜ao ´e u ´nico o vetor p ∈ M com kx − pk = dist(x, M ). Exerc´ıcio 5.7.14 (a) Sejam E um espa¸co com produto interno e A um subconjunto n˜ao-vazio, completo e convexo de E. Prove que para cada x ∈ E existe um u ´nico p ∈ A tal que kx − pk = dist(x, A). (b) Mostre que em todo subconjunto n˜ao-vazio, fechado e convexo de um espa¸co de Hilbert existe um u ´nico vetor de menor norma. Exerc´ıcio 5.7.15 (Teorema de Hellinger–Toeplitz) Sejam H um espa¸co de Hilbert e T : H −→ H um operador linear tal que hT (x), yi = hx, T (y)i para todos x, y ∈ H. Prove que T ´e cont´ınuo. Exerc´ıcio 5.7.16 Verifique que em todo espa¸co vetorial V pode ser definido um produto interno. Mais ainda, para cada base de Hamel B de V pode-se definir um produto interno em V de modo que os vetores de B sejam ortogonais. Exerc´ıcio 5.7.17 Prove, sem usar reflexividade, que se M ´e um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert, ent˜ao M = (M ⊥ )⊥ . Exerc´ıcio 5.7.18 Seja M = {p : p ´e polinˆomio com coeficientes reais e grau menor ou igual a 1} como subespa¸co de L2 [−1, 1]. Determine a melhor aproxima¸ca˜o de f (x) = ex em M . ∞ ao enumera¸co˜es de {xi : i ∈ Ix } no Lema 5.3.9, Exerc´ıcio 5.7.19* Se (yj )∞ j=1 e (zj )j=1 s˜ mostre diretamente (sem usar a Proposi¸ca˜o 5.3.8) que ∞ ∞ X X hx, yi iyi . hx, zi izi = i=1

i=1

Exerc´ıcio 5.7.20 Seja E um espa¸co com produto interno. Sejam S1 = {xn : n ∈ N} e S2 = {yn : n ∈ N} conjuntos ortonormais em E tais que [x1 , . . . , xn ] = [y1 , . . . , yn ] para cada n natural. Mostre que existe uma sequˆencia (an ) de escalares com m´odulo 1, tais que yn = an xn para todo n. 99

Exerc´ıcio 5.7.21 Sejam E um espa¸co com produto interno e S um conjunto ortonormal infinito em E. Prove que S n˜ao ´e compacto, mas ´e fechado e limitado. Exerc´ıcio 5.7.22 Seja S = {xi : i ∈ I} um conjunto ortonormal no espa¸co de Hilbert H. Prove que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes: (a) S ´e um sistema ortonormal completo. (b) Se ϕ ∈ E 0 ´e um funcional que se anula em todos os xi , i ∈ I, ent˜ao ϕ = 0. (c) S ´e maximal no sentido de que nenhum outro conjunto ortonormal o cont´em propriamente. (d) Se x ∈ H ´e ortogonal a todos os xi , i ∈ I, ent˜ao x = 0. Exerc´ıcio 5.7.23 Seja (xn )∞ co de Hilbert n=1 um sistema ortonormal completo no espa¸ ∞ H. Prove que para toda sequˆencia (an )n=1 ∈ `2 existe x ∈ H tal que an = hx, xn i para todo n e kxk = k(an )∞ n=1 k2 . Exerc´ıcio 5.7.24 Enuncie e demonstre resultado an´alogo ao do Exerc´ıcio 5.7.23 para espa¸cos de Hilbert de dimens˜ao finita. Exerc´ıcio 5.7.25 Prove que todo espa¸co de Hilbert de dimens˜ao n ´e isomorfo isometricamente a (Kn , k · k2 ). Conclua que dois espa¸cos de Hilbert de dimens˜ao finita sobre o mesmo corpo tˆem a mesma dimens˜ao se, e somente se, s˜ao isomorfos isometricamente. Exerc´ıcio 5.7.26 Prove que, no caso separ´avel, a representa¸ca˜o do Teorema 5.3.10(a) ∞ P bn xn , ent˜ao bn = hx, xn i para todo n ∈ N. ´e u ´nica, isto ´e, se x = n=1

Exerc´ıcio 5.7.27 (Lei do Paralelogramo Generalizada) Seja H um espa¸co de Hilbert. Prove que para todo n ∈ N e todos x1 , . . . , xn ∈ H, ° °2 n n ° X ° X X ° ° n ε x = 2 kxj k2 . ° j j° ° ° ε =±1 j

j=1

j=1

Exerc´ıcio 5.7.28 Considere o caso ϕ 6= 0 na demonstra¸ca˜o do Teorema de Riesz– Fr´echet. A unicidade do vetor y0 pode parecer contradit´oria com a liberdade de escolha do vetor x0 . O que est´a por tr´as disso ´e que M ⊥ tem dimens˜ao 1. Prove isso. Exerc´ıcio 5.7.29 Sejam H um espa¸co de Hilbert, F um espa¸co de Banach, G um subespa¸co de H e ϕ : G −→ F um operador linear e cont´ınuo. Mostre que existe um operador linear e cont´ınuo ϕ e : H −→ F que estende ϕ e preserva a norma. Exerc´ıcio 5.7.30 Mostre que a extens˜ao do exerc´ıcio anterior, em geral, n˜ao ´e u ´nica.

100

Exerc´ıcio 5.7.31 (O Teorema de Hahn–Banach para espa¸cos de Hilbert) Sejam H um espa¸co de Hilbert, F um subespa¸co de H e ϕ ∈ F 0 . Prove, sem usar o Teorema de Hahn–Banach, que existe um u ´nico funcional ϕ e ∈ H 0 que estende ϕ e preserva a norma. Exerc´ıcio 5.7.32 (a) Suponha F = K e G fechado na situa¸ca˜o do Exerc´ıcio 5.7.29. Definindo e ∈ H0 : ϕ e ´e extens˜ao (cont´ınua) de ϕ}, F = {ϕ encontre uma express˜ao (se necess´ario em fun¸ca˜o da cardinalidade de G) para a cardinalidade de F. (b) No caso em que F ´e um espa¸co de Banach, definindo G = {ϕ e : H −→ F : ϕ e ´e extens˜ao (linear) de ϕ} e H = {ϕ e : H −→ F : ϕ e ´e extens˜ao (n˜ao necessariamente linear) de ϕ}, encontre uma express˜ao (se necess´ario em fun¸c˜ao da cardinalidade de F e/ou G ou conjuntos relacionados) para as cardinalidades de G e H. Exerc´ıcio 5.7.33* Sejam I um conjunto qualquer e 1 ≤ p ≤ ∞. Chamemos de F a cole¸c˜ao dos subconjuntos finitos de I. Dada uma cole¸ca˜o de escalares (aj )j∈I indexada por I, escrevemos à !1/p X k(aj )j∈I kp = sup |aj |p se p < ∞ e k(aj )j∈I k∞ = sup |ai |. A∈F

i∈I

j∈A

(a) Prove que `p (I) := {(aj )j∈I : ai ∈ K para todo i ∈ I e k(aj )j∈I kp < ∞} ´e um espa¸co vetorial no qual k · kp ´e uma norma. (b) Prove que (`p (I), k · kp ) ´e um espa¸co de Banach. (c) Prove que, para 1 ≤ p < ∞, (`p (I))0 ´e isometricamente isomorfo a `p0 (I), p1 + p10 = 1, 10 = ∞. (d) Seja {xi : i ∈ I} um sistema ortonormal completo no espa¸co de Hilbert H. Prove que H ´e isometricamente isomorfo a `2 (I). (e) Prove que todo espa¸co de Hilbert ´e isometricamente isomorfo ao seu dual. Exerc´ıcio 5.7.34 (Fun¸c˜oes de Rademacher) A fun¸ca˜o sinal ´e definida por   1, se x > 0, 0, se x = 0, sgn : R −→ R , sgn(x) =  −1, se x < 0. Para cada n ∈ N a n-´esima fun¸ca˜o de Rademacher ´e a fun¸c˜ao rn (t) = sgn(sen(2n πt)) para todo t ∈ [0, 1]. Prove que: e ortonormal em L2 [0, 1]. (a) O conjunto (rn )∞ n=1 ´ n˜ a o ´ e um sistema ortonormal completo em L2 [0, 1]. (b) (rn )∞ n=1 101

encia das fun¸co˜es de Rademacher. Prove que Exerc´ıcio 5.7.35* Seja (rn )∞ n=1 a sequˆ para todos inteiros positivos n1 < n2 < · · · < nk e p1 , . . . , pk , vale que ½ Z 1 1, se cada pj ´e par, p1 pk rn1 (t) · · · rnk (t)dt = 0, caso contr´ario. 0 Exerc´ıcio 5.7.36* Sejam (X1 , Σ1 , µ1 ) e (X2 , Σ2 , µ2 ) espa¸cos de medida σ-finitas tais ∞ que L2 (µ1 ) e L2 (µ2 ) s˜ao separ´aveis. Sejam (fn )∞ n=1 e (gn )n=1 sistemas ortonormais completos em L2 (µ1 ) e L2 (µ2 ), respectivamente. Prove que definindo hmn (x, y) = fm (x) · gn (y) tem-se que (hmn )∞ e um sistema ortonormal completo em L2 (µ1 ⊗ µ2 ), m,n=1 ´ onde µ1 ⊗ µ2 ´e a medida produto.

102

Cap´ıtulo 6 Topologias Fracas No Teorema 1.5.4 provamos que a bola unit´aria fechada de um espa¸co normado de dimens˜ao infinita n˜ao ´e compacta. Este forte contraste com a dimens˜ao finita indica que a existˆencia de compactos que n˜ao est˜ao contidos em subespa¸cos de dimens˜ao finita ´e uma quest˜ao delicada. Exemplos existem, vimos no Exerc´ıcio 1.8.35 que o cubo de Hilbert ´e compacto em `2 . A quest˜ao n˜ao ´e apenas a existˆencia ou n˜ao de muitos compactos; o ponto central ´e que aqueles conjuntos que gostar´ıamos que fossem compactos, ou seja as bolas fechadas, n˜ao o s˜ao. Para contornar esta situa¸c˜ao recorremos a um expediente topol´ogico cl´assico, chamado de enfraquecer a topologia e descrito na Se¸c˜ao 6.1. A seguir, na Se¸c˜ao 6.2, aplicaremos este expediente ao caso dos espa¸cos normados em geral e, na Se¸ca˜o 6.3, ao caso dos espa¸cos duais. Ainda na Se¸ca˜o 6.3, e tamb´em na Se¸c˜ao 6.4, comprovaremos que o ganho de compactos ´e real: em espa¸cos reflexivos a bola unit´aria fechada ´e compacta na topologia fraca e em espa¸cos normados duais quaisquer a bola unit´aria fechada ´e compacta na topologia fraca-estrela. No tratamento das topologias fracas usaremos o instrumento topol´ogico conhecido como redes (veja Apˆendice B). Essa op¸ca˜o se justifica no fato de que os argumentos usando redes s˜ao muito semelhantes aos argumentos usando sequˆencias, com os quais o leitor certamente est´a familiarizado. Al´em disso, ao aprender a usar redes o estudante ganhar´a uma ferramenta a mais para seus estudos posteriores, uma vez que redes tˆem muitas aplica¸c˜oes nas mais variadas ´areas da An´alise (veja, por exemplo, [1, 13, 86]). Na Se¸ca˜o 6.6 estudaremos os espa¸cos uniformemente convexos, uma classe de espa¸cos normados muito usados nas aplica¸co˜es. Veremos que os espa¸cos uniformemente convexos formam uma classe intermedi´aria entre os espa¸cos de Hilbert e os espa¸cos reflexivos, gozando assim – de forma parcial, ´e claro – das propriedades dos espa¸cos de Hilbert e da generalidade dos espa¸cos reflexivos.

6.1

A topologia gerada por uma fam´ılia de fun¸c˜ oes

Por se tratar de assunto t´ıpico e cl´assico da Topologia Geral, omitiremos as demonstra¸c˜oes desta se¸ca˜o. O leitor pouco acostumado com os conceitos de Topologia 103

Geral deve consultar o Apˆendice B. Dizemos que uma topologia tem menos abertos que uma outra se estiver contida propriamente nesta outra. A express˜ao menos abertos ser´a usada sempre nesse contexto, sem conex˜ao com a ideia de cardinalidade. O princ´ıpio b´asico ´e que quanto menos abertos tiver um espa¸co, maior a chance de determinado conjunto ser compacto, pois menos ser˜ao suas coberturas abertas. A ideia inicial ent˜ao ´e considerar topologias com menos abertos, e ´e isso o que significa a express˜ao enfraquecer a topologia. O cuidado a ser tomado ´e que, considerando topologias com menos abertos em determinado espa¸co, ao mesmo tempo em que h´a chance de ganharmos compactos, diminui a chance de fun¸c˜oes nele definidas serem cont´ınuas. E pagar o pre¸co de perder a continuidade de determinadas fun¸co˜es pode n˜ao compensar o (eventual) ganho com compactos. Deve-se ent˜ao escolher as fun¸co˜es que devem ser (ou permanecer) cont´ınuas e procurar a menor topologia que garanta a continuidade das fun¸c˜oes previamente escolhidas. M˜aos `a obra: Sejam X um conjunto, (Yi )i∈I uma fam´ılia de espa¸cos topol´ogicos e (fi )i∈I uma fam´ılia de fun¸c˜oes fi : X −→ Yi para cada i ∈ I. Queremos definir em X a menor topologia que torna todas as fun¸c˜oes fi cont´ınuas. Para cada i ∈ I e cada aberto Ai em Yi considere o conjunto fi−1 (Ai ) = {x ∈ X : fi (x) ∈ Ai }. Chame de Φ a cole¸ca˜o dos subconjuntos de X que podem ser escritos como interse¸c˜oes finitas de conjuntos da forma fi−1 (Ai ). Proposi¸c˜ ao 6.1.1 Existe uma topologia τ em X que tem Φ como base, isto ´e, os elementos de τ s˜ ao uni˜oes de elementos de Φ. Defini¸ c˜ ao 6.1.2 A topologia τ da Proposi¸c˜ao 6.1.1 ´e chamada de topologia gerada pela fam´ılia de fun¸c˜ oes (fi )i∈I . Apesar de todas as demonstra¸co˜es serem elementares, algumas at´e beirando a tautologia, ´e conveniente listar as propriedades da topologia que acabamos de definir: Proposi¸c˜ ao 6.1.3 Seja τ a topologia em X gerada pela fam´ılia de fun¸c˜ oes (fi )i∈I . Ent˜ ao: (a) Para cada i ∈ I a fun¸c˜ ao fi : X −→ Yi ´e cont´ınua. (b) τ ´e a menor topologia em X tal que vale (a). (c) τ ´e a interse¸c˜ ao de todas as topologias em X em rela¸c˜ ao `as quais todas as fi s˜ ao cont´ınuas. (d) Para cada x ∈ X, os conjuntos da forma fi−1 (A1 ) ∩ · · · ∩ fi−1 (An ) onde n ∈ n 1 N, i1 , . . . , in ∈ I e Aj ´e vizinhan¸ca de fij (x), j = 1, . . . , n, constituem uma base de vizinhan¸cas para x. (e) Seja (xλ ) uma rede em X. Ent˜ao xλ −→ x em (X, τ ) se, e somente se, fi (xλ ) −→ f (x) em Yi para todo i ∈ I. (f) Sejam Z um espa¸co topol´ ogico e f : Z −→ (X, τ ). Ent˜ao f ´e cont´ınua se, e somente 104

se, fi ◦ f : Z −→ Yi ´e cont´ınua para todo i ∈ I. (g) Suponha que todos os Yi sejam espa¸cos de Hausdorff. Ent˜ao a topologia τ ´e de Hausdorff se, e somente se, a fam´ılia (fi )i∈I separa pontos de x, isto ´e, para todos x, y ∈ X, x 6= y, existe i ∈ I tal que fi (x) 6= fi (y).

6.2

A topologia fraca em um espa¸co normado

Apliquemos a constru¸c˜ao da se¸ca˜o anterior a um espa¸co normado E. As fun¸co˜es que queremos manter cont´ınuas s˜ao os funcionais lineares cont´ınuos ϕ ∈ E 0 . Defini¸ c˜ ao 6.2.1 A topologia fraca no espa¸co normado E, denotada por σ(E, E 0 ), ´e a topologia gerada pelos funcionais lineares cont´ınuos ϕ ∈ E 0 . Quando uma sequˆencia w (xn )∞ n=1 em E converge para x ∈ E na topologia fraca escrevemos xn −→ x. As primeiras propriedades da topologia fraca seguem, basicamente, da constru¸ca˜o geral que fizemos na se¸ca˜o anterior: Proposi¸c˜ ao 6.2.2 Seja E um espa¸co normado. Ent˜ao: (a) Funcionais lineares cont´ınuos s˜ao fracamente cont´ınuos, isto ´e, para todo ϕ ∈ E 0 , ϕ : (E, σ(E, E 0 )) −→ K ´e cont´ınuo. (b) Para cada x0 ∈ E, os conjuntos da forma VJ, ε = {x ∈ E : |ϕi (x) − ϕi (x0 )| < ε para todo i ∈ J}, onde J ´e um conjunto finito, ϕi ∈ E 0 para todo i ∈ J e ε > 0, formam uma base de vizinhan¸cas abertas de x0 para a topologia fraca. w encia em E. Ent˜ao xn −→ x se, e somente se, ϕ(xn ) −→ ϕ(x) (c) Seja (xn )∞ n=1 uma sequˆ para todo ϕ ∈ E 0 . (d) A topologia fraca σ(E, E 0 ) ´e de Hausdorff. (e) Sejam Z um espa¸co topol´ ogico e f : Z −→ (E, σ(E, E 0 )) uma fun¸c˜ ao. Ent˜ao f ´e 0 cont´ınua se, e somente se, ϕ ◦ f : Z −→ K ´e cont´ınua para todo ϕ ∈ E . Demonstra¸ c˜ ao. Os itens (a), (c) e (e) seguem imediatamente da Proposi¸ca˜o 6.1.3. (b) Seja U uma vizinhan¸ca de x0 na topologia fraca. Pela Proposi¸c˜ao 6.1.3(d) existem um conjunto finito J, funcionais ϕj ∈ E 0 e abertos Vj em K contendo ϕj (x0 ), j ∈ J, T −1 tais que ϕj (Vj ) ´e um aberto da topologia fraca contendo x0 e contido em U . Como j∈J

J ´e finito e ϕj (x0 ) ∈ Vj para todo j ∈ J, existe ε > 0 tal que B(ϕj (x0 ), ε) ⊆ Vj para todo j ∈ J. Disso segue que VJ, ε = {x ∈ E : |ϕj (x) − ϕj (x0 )| < ε para todo j ∈ J} T −1 T −1 = ϕj (B(ϕj (x0 ), ε)) ⊆ ϕj (Vj ) ⊆ U, j∈J

j∈J

105

e portanto os conjuntos da forma VJ, ε formam uma base de vizinhan¸cas abertas de x0 para a topologia fraca. (d) O fato de que E 0 separa pontos de E segue facilmente do Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.4. O resultado segue ent˜ao da Proposi¸ca˜o 6.1.3(g). w

Corol´ ario 6.2.3 Em um espa¸co normado E, se xn −→ x ent˜ao xn −→ x. Demonstra¸ c˜ ao. Se xn −→ x, da continuidade dos funcionais de E 0 segue que w ϕ(xn ) −→ ϕ(x) para todo ϕ ∈ E 0 . Da Proposi¸ca˜o 6.2.2(c) segue que xn −→ x. Um exemplo simples mostra que convergˆencia fraca n˜ao implica convergˆencia em norma: Exemplo 6.2.4 Considere a sequˆencia (en )∞ a¢rios n=1 formada pelos vetores¡ unit´ ∞ canˆonicos de c0 . Dado ϕ ∈ (c0 )0 sabemos que existe (aj )∞ ∈ ` tal que ϕ (b ) 1 j j=1 = j=1 ∞ P aj bj para toda sequˆencia (bj )∞ j=1 ∈ c0 . Em particular, ϕ(en ) = an −→ 0 = ϕ(0) j=1

pois an ´e o termo geral de um s´erie convergente. Da Proposi¸ca˜o 6.2.2(c) resulta que w en −→ 0. Como ken+1 − en k = 1 6−→ 0, a sequˆencia (en )∞ ao ´e de Cauchy, e portanto n=1 n˜ n˜ao converge em norma. Sequˆencias fracamente convergentes podem at´e n˜ao ser convergentes, mas felizmente s˜ao limitadas: Proposi¸c˜ ao 6.2.5 Seja E um espa¸co normado. w (a) Se xn −→ x em E, ent˜ao a sequˆencia (kxn k)∞ e limitada e kxk ≤ lim inf kxn k . n=1 ´ n

w

0

(b) Se xn −→ x em E e ϕn −→ ϕ em E , ent˜ ao ϕn (xn ) −→ ϕ(x) em K. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Para todo ϕ ∈ E 0 , ϕ(xn ) −→ ϕ(x) pela Proposi¸ca˜o 6.2.2(c). Logo a sequˆencia (ϕ(xn ))∞ e limitada para todo ϕ ∈ E 0 . Do Exerc´ıcio 3.6.13 segue que o n=1 ´ conjunto {xn : n ∈ N} ´e limitado em E, provando a primeira afirma¸c˜ao. Seja novamente ϕ ∈ E 0 . De ϕ(xn ) −→ ϕ(x) e |ϕ(xn )| ≤ kϕk · kxn k para todo n, segue que |ϕ(x)| = lim |ϕ(xn )| = lim inf |ϕ(xn )| ≤ lim inf kϕk · kxn k = kϕk · lim inf kxn k . n

n

n

n

Do Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.5 conclu´ımos que ³ ´ kxk = sup |ϕ(x)| ≤ sup kϕk · lim inf kxn k = lim inf kxn k . kϕk≤1

n

kϕk≤1

n

(b) Dado ε > 0, das convergˆencias ϕn −→ ϕ e ϕ(xn ) −→ ϕ(x) existe um n´ umero natural n0 tal que kϕn − ϕk < ε e |ϕ(xn ) − ϕ(x)| < ε para todo n ≥ n0 . 106

Pelo item (a) existe C > 0 tal que kxn k ≤ C para todo n. Portanto, |ϕn (xn ) − ϕ(x)| = |(ϕn − ϕ)(xn ) + ϕ(xn − x)| ≤ kϕn − ϕk kxn k + |ϕ(xn ) − ϕ(x)| ≤ Cε + ε para todo n ≥ n0 . Isso prova que ϕn (xn ) −→ ϕ(x). O Exemplo 6.2.4 mostra, em particular, que em c0 a topologia da norma n˜ao coincide com a topologia fraca. Vejamos que isso na verdade caracteriza os espa¸cos de dimens˜ao infinita: Proposi¸c˜ ao 6.2.6 Seja E um espa¸co normado. (a) A topologia fraca est´a contida na topologia da norma. (b) As topologias da norma e fraca coincidem se, e somente se, E tem dimens˜ao finita. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Basta observar que os funcionais ϕ ∈ E 0 s˜ao cont´ınuos na topologia da norma e que a topologia fraca ´e a menor topologia em E que mant´em esses funcionais cont´ınuos. (b) Suponha que E tenha dimens˜ao finita. Do item (a) j´a sabemos que todo aberto da topologia fraca ´e tamb´em aberto da topologia da norma. Basta ent˜ao provar que abertos da topologia da norma s˜ao abertos da topologia fraca. Sejam ent˜ao U um aberto n˜ao-vazio da topologia da norma e x0 ∈ U. Para provar que U ´e aberto na topologia fraca basta mostrar que x0 ´e ponto interior de U para a topologia fraca. Em outras palavras, devemos encontrar um aberto V na topologia fraca contendo x0 e contido em U . Para isso escolha r suficientemente pequeno de modo que B(x0 , r) ⊆ U e fixe uma base {e1 , . . . , en } de E com kej k = 1 para todo j = 1, . . . , n. Para cada j = 1, . . . , n, considere o funcional n X ϕj : E −→ K , x = xi ei 7→ ϕj (x) = xj . i=1

Note que cada ϕj ´e linear e cont´ınuo pois E tem dimens˜ao finita. Pela Proposi¸c˜ao 6.2.2(b) sabemos que o conjunto n o r V = x ∈ E : |ϕj (x) − ϕj (x0 )| < , j = 1, . . . , n 2n n P ´e um aberto na topologia fraca contendo x0 . Mais ainda, dado x = xj ej ∈ V , escrevendo x0 =

n P j=1

j=1 (0) xj ej ,

° ° n ¯ n ¯ ° X °X ¯ ° ° (0) ¯ (0) kx − x0 k = ° (xj − xj )ej ° ≤ ¯ xj − xj ¯ ° ° j=1

j=1

n X

n X r r = |ϕj (x − x0 )| ≤ = < r. 2n 2 j=1 j=1

107

Logo V ⊆ B(x0 , r) ⊆ U , como quer´ıamos. Suponha agora que E tenha dimens˜ao infinita. Seja S = {x ∈ E : kxk = 1} ´ claro que S ´e fechado na topologia da norma. Basta ent˜ao a esfera unit´aria de E. E mostrar que S n˜ao ´e fechado na topologia fraca. Para tanto mostraremos que o conjunto {x ∈ E : kxk < 1} est´a contido no fecho de S na topologia fraca. Seja x0 ∈ E tal que kx0 k < 1 e seja V um aberto na topologia fraca contendo x0 . Para mostrar que x0 ´ claro que pertence ao fecho de S na topologia fraca, basta mostrar que S ∩ V 6= ∅. E basta considerar V como sendo um aberto da base de vizinhan¸cas de x0 . Neste caso existem ε > 0 e funcionais ϕ1 , . . . , ϕn em E 0 tais que V = {x ∈ E : |ϕi (x) − ϕi (x0 )| < ε, i = 1, . . . , n}. Vejamos que existe y0 ∈ E − {0} tal que ϕi (y0 ) = 0 para todo i = 1, . . . , n. De fato, caso contr´ario o operador linear T : E −→ Kn , T (z) = (ϕi (z))ni=1 , seria injetor, mas isso n˜ao ocorre pois E tem dimens˜ao infinita. Podemos ent˜ao considerar a fun¸ca˜o r(t) = kx0 + ty0 k para todo t ∈ R. Como r ´e cont´ınua, r(0) = kx0 k < 1 e lim r(t) = ∞, o Teorema do Valor Intermedi´ario garante a existˆencia t→∞

de um n´ umero real t0 tal que kx0 + t0 y0 k = r(t0 ) = 1. Portanto x0 + t0 y0 ∈ S ∩ V. Ao passar da topologia da norma para a topologia fraca, n˜ao perdemos funcionais lineares cont´ınuos pela Proposi¸ca˜o 6.2.2(a) e tampouco os ganhamos pela Proposi¸ca˜o ´ melhor deixar isso registrado. Denotemos por (E, σ(E, E 0 ))0 o conjunto 6.2.6(a). E formado pelos funcionais lineares em E que s˜ao cont´ınuos quando E est´a munido da topologia fraca. Corol´ ario 6.2.7 E 0 = (E, σ(E, E 0 ))0 para todo espa¸co normado E. Com o caso de funcionais lineares resolvido, voltamos nossa aten¸c˜ao para os operadores lineares. Como a topologia fraca est´a contida na topologia da norma, ´e claro que se o operador linear T : E −→ F ´e cont´ınuo, ent˜ao T : E −→ (F, σ(F, F 0 )) tamb´em ´e cont´ınuo. Por outro lado, o operador identidade idc0 : c0 −→ c0 ´e cont´ınuo mas do Exemplo 6.2.4 sabemos que idc0 : (c0 , σ(c0 , `1 )) −→ c0 n˜ao ´e cont´ınuo. Na verdade, pela Proposi¸c˜ao 6.2.6(b) isso ocorre em qualquer espa¸co de dimens˜ao infinita. Resta o caso em que trocamos de topologia no dom´ınio e no contradom´ınio. Para tratar este caso precisamos demonstrar o Teorema 2.6.1: Lema 6.2.8 Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos com Y de Hausdorff. Se a fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e cont´ınua, ent˜ao o gr´afico de f ´e fechado em X × Y com a topologia produto. Demonstra¸ c˜ ao. Seja (xλ , f (xλ ))λ uma rede no gr´afico de f convergindo para (x, y) ∈ X × Y . Como as proje¸co˜es (t, w) ∈ X × Y 7→ t ∈ X e (t, w) ∈ X × Y 7→ w ∈ Y 108

s˜ao cont´ınuas, xλ −→ x em X e f (xλ ) −→ y em Y . Da continuidade de f segue que f (xλ ) −→ f (x) em Y , e como Y ´e de Hausdorff temos f (x) = y, isto ´e, (x, y) pertence ao gr´afico de f . Proposi¸c˜ ao 6.2.9 Sejam E e F espa¸cos de Banach. Um operador linear T : E −→ F ´e cont´ınuo se, e somente se, T : (E, σ(E, E 0 )) −→ (F, σ(F, F 0 )) ´e cont´ınuo. Demonstra¸ c˜ ao. Para tornar a nota¸c˜ao mais precisa, denotemos T : (E, σ(E, E 0 )) −→ 0 (F, σ(F, F )) por Tσ . Suponha T : E −→ F cont´ınuo. Para cada ϕ ∈ F 0 , ϕ ◦ Tσ ∈ (E, σ(E, E 0 ))0 pela Proposi¸ca˜o 6.2.2(a). Como isso vale para todo ϕ ∈ F 0 , o resultado segue da Proposi¸c˜ao 6.2.2(e). Reciprocamente, suponha Tσ : (E, σ(E, E 0 )) −→ (F, σ(F, F 0 )) cont´ınuo. Neste caso o Lema 6.2.8 revela que o gr´afico de Tσ ´e fechado em E × F na topologia produto das topologias fracas (E, σ(E, E 0 )) e (F, σ(F, F 0 )). Mas essas topologias fracas est˜ao contidas nas respectivas topologias das normas, e consequentemente o gr´afico de T ´e fechado em E × F com a topologia induzida pelas normas. A continuidade de T : E −→ F segue do Teorema do Gr´afico Fechado. Observa¸ c˜ ao 6.2.10 A Proposi¸c˜ao 6.2.9 vale tamb´em para operadores entre espa¸cos normados. Veja [63, Theorem 2.5.11]. Da Proposi¸ca˜o 6.2.6(b) sabemos que, em dimens˜ao infinita, existem conjuntos fechados que n˜ao s˜ao fechados na topologia fraca. Ao impormos uma condi¸c˜ao alg´ebrica – a convexidade – esta possibilidade desaparece: Teorema 6.2.11 (Teorema de Mazur) Sejam E um espa¸co normado e K um subconjunto convexo de E. Ent˜ao o fecho de K na topologia da norma coindice com o fecho de K na topologia fraca. Em particular, um conjunto convexo ´e fechado na topologia fraca se, e somente se, ´e fechado na topologia da norma. Demonstra¸ c˜ ao. Fa¸camos o caso real. Como a topologia da norma ´e descrita k·k σ(E,E 0 ) por sequˆencias, do Corol´ario 6.2.3 segue que K ⊆ K . Suponha que exista σ(E,E 0 ) k·k k·k x0 ∈ K \K . Neste caso {x0 } ´e convexo e compacto, K ´e convexo (Exerc´ıcio k·k 1.8.19) e fechado e {x0 } ∩ K = ∅; ent˜ao, pelo Teorema 3.4.9, existem um funcional 0 ϕ ∈ E e a ∈ R tais que ϕ(x0 ) > a > ϕ(x) para todo x ∈ K

k·k

.

(6.1)

σ(E,E 0 )

Entretanto, como x0 ∈ K existe uma rede (xλ ) em K convergindo para x0 na topologia fraca. Da continuidade de ϕ na topologia fraca segue que (ϕ (xλ )) converge para ϕ(x0 ). Como cada xλ ∈ K, isso contradiz (6.1) e completa a demonstra¸ca˜o. O caso complexo ´e an´alogo usando o Exerc´ıcio 3.6.27. Vimos no Corol´ario 6.2.3(c) que sequˆencias convergentes em norma s˜ao fracamente convergentes e na Proposi¸ca˜o 6.2.6(b) que em dimens˜ao infinita as topologias fraca e 109

da norma nunca coincidem. Como nem toda topologia ´e descrita pela convergˆencia de sequˆencias, esses dois fatos n˜ao impedem que, em algum espa¸co de dimens˜ao infinita, as sequˆencias fracamente convergentes sejam convergentes em norma. Na verdade, ´e exatamente isso o que ocorre em `1 : Teorema 6.2.12 (Teorema de Schur) Em `1 uma sequˆencia converge fracamente se, e somente se, converge na topologia da norma. Demonstra¸ c˜ ao. Do Corol´ario 6.2.3 basta provar que toda sequˆencia fracamente ´ claro que basta provar que toda convergente ´e tamb´em convergente em norma. E sequˆ fracamente convergente para zero converge em norma para zero. Seja ent˜ao ¡ (n)e¢ncia ∞ z uma sequˆencia em `1 que converge fracamente para zero. Suponhamos ¡n=1 ¢ (n) ∞ que z n˜ao convirja para zero em norma. Neste caso existem ε > 0 e uma n=1 ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ subsequˆencia x(n) n=1 de z (n) n=1 tal que kx(n) k1 ≥ 5ε para todo n ∈ N. Escrevamos ³ ´∞ (n) (n) x = xj para cada n ∈ N. Como essa subsequˆencia converge fracamente para j=1

zero, da dualidade (`1 )0 = `∞ tem-se que lim

n→∞

∞ X

(n)

bj xj

= 0 para toda sequˆencia b = (bj )∞ j=1 ∈ `∞ .

(6.2)

j=1 (n)

Como os vetores unit´arios canˆonicos ej pertencem a `∞ , segue que lim xj n→∞

= 0 para

todo j ∈ N. Defina indutivamente duas sequˆencias estritamente crescentes (mk )∞ k=1 e ∞ (nk )k=1 formadas por n´ umeros naturais da seguinte maneira: m0 = n0 = 1 e, para k ≥ 1, nk ´e o menor inteiro maior que nk−1 de modo que X ¯¯ (n ) ¯¯ ¯xj k ¯ < ε;

mk−1

j=1

e mk ´e o menor inteiro maior que mk−1 satisfazendo ∞ ¯ ¯ X ¯ (nk ) ¯ ¯xj ¯ < ε. j=mk

Definimos uma sequˆencia (bj )∞ j=1 ∈ `∞ da seguinte maneira: para mk−1 < j ≤ mk , tome    bj =

 

0 (nk )

(nk )

=0

(nk )

6= 0.

, se xj

x ¯ ¯ j ¯ (nk ) ¯ ¯ ¯x ¯ ¯ j

, se xj

110

Note que |bj | ≤ 1 para todo j. Logo ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ ∞ ¯ ∞ ∞ ³¯ ¯X ¯ ¯X ¯¯ ¯X ¯ ¯X ¯ ´¯ ¯ (nk ) ¯ ¯ ¯ ¯ (nk ) ¯¯ ¯ ¯ (n ) ¯ (n ) ¯ (n ) ¯ 5ε − ¯ bj xj k ¯ ≤ ¯ ¯xj ¯ − bj xj k ¯ ¯xj ¯¯ − ¯ bj xj k ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j=1 j=1 j=1 j=1 ¯ ¯ ¯mk−1 ³¯ ¯ m ∞ k ¯ ¯ ¯ ´ ´ ´ ³¯ ³¯ X X ¯ (n ) ¯ ¯ X ¯ (nk ) ¯ ¯ ¯ ¯ (n ) (n ) (n ) (n ) k k k k k ¯ = ¯¯ + + ¯xj ¯ − bj xj ¯ xj ¯ − b j xj ¯xj ¯ − bj xj ¯ ¯ j=1 ¯ j=mk−1 +1 j=mk +1 ¯ ¯m ∞ k−1 ³¯ ¯ ¯ ¯X ´ ´¯ ³¯ X ¯ (nk ) ¯ ¯ (nk ) ¯ ¯ (nk ) (nk ) ¯ − b x + − b x x x =¯ ¯ ¯ j ¯ ¯ j ¯ j j j j ¯ ¯ j=1 mk−1 ³¯

j=mk +1

∞ ¯ ¯ ¯´ ³¯ X ¯ (n ) ¯¯ ¯¯ (n ) ¯¯´ X ¯ (nk ) ¯ ¯ (nk ) ¯ k k ≤ ¯xj ¯ + ¯bj xj ¯ + ¯xj ¯ + ¯bj xj ¯ ≤ 2ε + 2ε = 4ε, j=1

j=mk +1

para todo k. Fazendo k −→ ∞ a desigualdade acima entra em contradi¸c˜ao com (6.2) e completa a demonstra¸ca˜o.

6.3

A topologia fraca-estrela

No dual E 0 de um espa¸co normado E, at´e o momento podemos considerar a topologia da norma e a topologia fraca σ(E 0 , E 00 ), que ´e a topologia gerada pelos elementos de E 00 . Ocorre que, considerando o mergulho canˆonico JE : E −→ E 00 , o conjunto JE (E) tamb´em forma um conjunto not´avel de fun¸co˜es definidas em E 0 . Veremos no transcorrer deste cap´ıtulo que ´e muito proveitoso considerar em E 0 a topologia gerada pelos elementos de JE (E). Defini¸ c˜ ao 6.3.1 A topologia fraca-estrela no dual E 0 do espa¸co normado E, denotada por σ(E 0 , E), ´e a topologia em E 0 gerada pelas fun¸co˜es pertencentes ao conjunto JE (E) = {JE (x) : x ∈ E}, isto ´e, pelas fun¸co˜es ϕ ∈ E 0 7→ JE (x)(ϕ) = ϕ(x) ∈ K, onde x ∈ E. 0 0 Quando uma sequˆencia (ϕn )∞ n=1 em E converge para ϕ ∈ E na topologia fraca∗ w estrela escrevemos ϕn −→ ϕ. Como no caso da topologia fraca, as primeiras propriedades da topologia fracaestrela seguem da Proposi¸c˜ao 6.1.3: Proposi¸c˜ ao 6.3.2 Seja E um espa¸co normado. Ent˜ao: (a) Para todo x ∈ E, JE (x) : (E 0 , σ(E 0 , E)) −→ K ´e cont´ınuo. (b) Para cada ϕ0 ∈ E 0 , os conjuntos da forma WJ, ε = {ϕ ∈ E 0 : |ϕ(xi ) − ϕ0 (xi )| < ε para todo i ∈ J}, onde J ´e um conjunto finito, xi ∈ E para todo i ∈ J e ε > 0, formam uma base de vizinhan¸cas abertas de ϕ0 para a topologia fraca-estrela. 111

w∗

(c) Seja (ϕn )∞ encia em E 0 . Ent˜ao ϕn −→ ϕ se, e somente se, ϕn (x) −→ n=1 uma sequˆ ϕ(x) para todo x ∈ E. (d) A topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) ´e de Hausdorff. (e) Sejam Z um espa¸co topol´ ogico e f : Z −→ (E 0 , σ(E 0 , E)). Ent˜ao f ´e cont´ınua se, e somente se, JE (x) ◦ f : Z −→ K ´e cont´ınua para todo x ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. Os itens (a), (c) e (e) seguem imediatamente da Proposi¸c˜ao 6.1.3. Para o item (d) basta combinar o Exerc´ıcio 4.5.11 com a Proposi¸c˜ao 6.1.3(g). O item (b) ´e obtido a partir de uma adapta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 6.2.2(b). Com rela¸ca˜o `a convergˆencia de sequˆencias temos: Proposi¸c˜ ao 6.3.3 Seja E um espa¸co normado. w w∗ (a) Se ϕn −→ ϕ em E 0 ent˜ ao ϕn −→ ϕ. w∗ (b) Se E ´e Banach e ϕn −→ ϕ em E 0 ent˜ ao a sequˆencia (kϕn k)∞ e limitada e n=1 ´ kϕk ≤ lim inf kϕn k . n

w∗

(c) Se E ´e Banach, ϕn −→ ϕ em E 0 e xn −→ x em E, ent˜ao ϕn (xn ) −→ ϕ(x) em K. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Segue das Proposi¸c˜oes 6.2.2(c) e 6.3.2(c). (b) Segue de uma adapta¸ca˜o da demonstra¸ca˜o da Proposi¸ca˜o 6.2.5(a) usando o Teorema de Banach–Steinhaus. ´ consequˆencia de uma adapta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao da Proposi¸ca˜o 6.2.5(b). (c) E Novamente um exemplo simples mostra que convergˆencia fraca-estrela n˜ao implica convergˆencia fraca: Exemplo 6.3.4 Considere a sequˆencia (en )∞ arios n=1 formada pelos vetores unit´ canˆonicos de `1 = (c0 )0 . Dado x = (xn )∞ ∈ c , e (x) = x −→ 0, o que 0 n n n=1 w∗ pela Proposi¸c˜ao 6.3.2(c) garante que en −→ 0 em `1 . Por outro lado, tomando f = (−1, 1, −1, 1, . . .) ∈ `∞ = (`1 )0 , f (en ) = (−1)n para todo n, logo a sequˆencia (f (en ))∞ ao converge, e portanto pela Proposi¸c˜ao 6.2.2(c) a sequˆencia (en )∞ ao n=1 n˜ n=1 n˜ converge fracamente em `1 . Denotemos por (E 0 , σ(E 0 , E))0 o espa¸co formado pelos funcionais lineares de E 0 em K que s˜ao cont´ınuos na topologia fraca-estrela σ(E 0 , E). Pela Proposi¸ca˜o 6.3.2(a) sabemos que JE (E) ⊆ (E 0 , σ(E 0 , E))0 . Para provar a inclus˜ao inversa precisamos de um resultado ´ auxiliar da Algebra Linear: Lema 6.3.5 Sejam V um espa¸co vetorial e ϕ, ϕ1 , . . . , ϕn funcionais lineares em V tais n n T P que ker(ϕi ) ⊆ ker(ϕ). Ent˜ao existem escalares a1 , . . . , an tais que ϕ = ai ϕi . i=1

i=1

112

Demonstra¸ c˜ ao. Considere as transforma¸co˜es lineares T : V −→ Kn , T (x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)), e U : T (V ) −→ K , U (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)) = ϕ(x). Vejamos que U est´a bem definida. Se (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)) = (ϕ1 (y), . . . , ϕn (y)), ent˜ao n T (ϕ1 (x−y), . . . , ϕn (x−y)) = (0, . . . , 0), e neste caso (x−y) ∈ ker(ϕi ). Isso implica que i=1

e : Kn −→ K (x−y) ∈ ker(ϕ) e portanto ϕ(x) = ϕ(y). A linearidade de U ´e ´obvia. Seja U uma extens˜ao linear de U . Da representa¸ca˜o matricial das transforma¸c˜oes lineares entre espa¸cos de dimens˜ao finita existem escalares a1 , . . . , an tais que e (z1 , . . . , zn ) = U

n X

aj zj para todos z1 , . . . , zn ∈ K.

j=1

Em particular, e (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)) = ϕ(x) = U (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)) = U

n X aj ϕj (x), j=1

para todo x ∈ V . Proposi¸c˜ ao 6.3.6 Sejam E um espa¸co normado e f : (E 0 , σ(E 0 , E)) −→ K um funcional linear e cont´ınuo. Ent˜ao existe x ∈ E tal que f = JE (x). Em outras palavras, (E 0 , σ(E 0 , E))0 = JE (E). Demonstra¸ c˜ ao. Como f ´e cont´ınuo na topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) e f (0) = 0, existe uma vizinhan¸ca V da origem em E 0 na topologia fraca-estrela tal que |f (ϕ)| < 1 para todo funcional ϕ ∈ V . Da Proposi¸ca˜o 6.3.2(b) podemos tomar V da forma V = {ϕ ∈ E 0 : |ϕ(xi )| < ε, i = 1, . . . , n}, onde ε > 0 e x1 , . . . , xn ∈ E. Se JE (xi )(ϕ) = ϕ(xi ) = 0 para todo i = 1, . . . , n, temos claramente que ϕ ∈ V. Neste caso, para todo natural k ´e verdade que (kϕ)(xi ) = 0 para todo i = 1, . . . , n, e portanto kϕ ∈ V . Isso implica que |f (kϕ)| < 1, ou seja, |f (ϕ)| < k1 para todo k natural, e portanto f (ϕ) = 0. Acabamos de mostrar n T que ker(JE (xi )) ⊆ ker(f ). Pelo Lema 6.3.5 existem escalares a1 , . . . , an tais que i=1 µn ¶ n P P f = ai JE (xi ) = JE ai xi . i=1

i=1

Corol´ ario 6.3.7 (E 00 , σ(E 00 , E 0 ))0 = JE 0 (E 0 ) para todo espa¸co normado E. Podemos agora estabelecer com precis˜ao a rela¸c˜ao entre as topologias fraca e fracaestrela: 113

Proposi¸c˜ ao 6.3.8 Seja E um espa¸co normado. (a) Em E 0 , a topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) est´a contida na topologia fraca σ(E 0 , E 00 ). (b) As topologias fraca σ(E 0 , E 00 ) e fraca-estrela σ(E 0 , E) coincidem em E 0 se, e somente se, E ´e reflexivo. Demonstra¸ c˜ ao. (a) A topologia fraca σ(E 0 , E 00 ) mant´em cont´ınuos todos os funcionais de E 00 , em particular mant´em cont´ınuos os funcionais da forma JE (x) com x ∈ E. Como a topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) ´e a menor topologia que mant´em esses u ´ltimos 0 0 00 funcionais cont´ınuos, segue que σ(E , E) ⊆ σ(E , E ). (b) Se E ´e reflexivo, σ(E 0 , E) e σ(E 0 , E 00 ) coincidem com a menor topologia em E 0 que mant´em cont´ınuos os funcionais da forma JE (x) com x ∈ E, logo coincidem entre si. Reciprocamente, suponha que E n˜ao seja reflexivo. Neste caso existe f ∈ E 00 , f ∈ / JE (E). Ent˜ao f ´e cont´ınuo na norma de E 0 , e portanto ´e cont´ınuo na topologia fraca σ(E 0 , E 00 ) pelo Corol´ario 6.2.7. Mas pela Proposi¸ca˜o 6.3.6 sabemos que f n˜ao ´e cont´ınuo na topologia fraca-estrela σ(E 0 , E), o que prova que as duas topologias n˜ao coincidem. ´ tempo de mostrar que com essas topologias fracas ganhamos a compacidade das E bolas fechadas. Fazemos agora o caminho inverso: come¸camos com a topologia fracaestrela para depois chegarmos na topologia fraca. Relembre que, dado um espa¸co normado E, BE representa a bola unit´aria fechada de E, isto ´e, BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1}. Em forte contraste com o fato de que, em dimens˜ao infinita, BE nunca ´e compacta na topologia da norma, temos o Teorema 6.3.9 (Teorema de Banach–Alaoglu–Bourbaki) Para todo espa¸co normado E, a bola BE 0 ´e compacta na topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) de E 0 . Demonstra¸ c˜ ao. Considere o produto cartesiano generalizado Y :=

Q

K, ou seja, os

x∈E

elementos de Y tˆem a forma ω = (ωx )x∈E com ωx ∈ K para todo x ∈ E. Para cada x ∈ E considere a fun¸c˜ao πx : Y −→ K , πx (ω) = ωx . De modo simplificado, podemos dizer que πx ´e a proje¸ca˜o na x-´esima coordenada. Munimos Y com a topologia produto, que ´e a menor topologia em Y que torna cont´ınuas as fun¸co˜es (πx )x∈E . Considere a fun¸c˜ao Ψ : (E 0 , σ(E 0 , E)) −→ Y , Ψ(ϕ) = (ϕ(x))x∈E . Para cada x ∈ E, πx ◦ Ψ = JE (x), que ´e cont´ınua na topologia fraca-estrela; ´ evidente que Ψ ´e logo, da Proposi¸ca˜o 6.1.3(f), conclu´ımos que Ψ ´e cont´ınua. E 114

injetora. Para provar que Ψ ´e um homeomorfismo sobre sua imagem falta mostrar que Ψ−1 : Ψ(E 0 ) −→ (E 0 , σ(E 0 , E)) ´e cont´ınua. Para isso seja x ∈ E. De ¡ ¢ JE (x) ◦ Ψ−1 ((ϕ(y))y∈E ) = JE (x) Ψ−1 ((ϕ(y))y∈E ) = JE (x)(ϕ) = ϕ(x), conclu´ımos que JE (x) ◦ Ψ−1 ´e a restri¸ca˜o de πx a Ψ(E 0 ), e portanto cont´ınua. Assim JE (x) ◦ Ψ−1 ´e cont´ınua para todo x ∈ E, o que nos permite garantir, pela Proposi¸ca˜o 6.3.2(e), que Ψ−1 ´e cont´ınua. Provamos ent˜ao que Ψ : (E 0 , σ(E 0 , E)) −→ Ψ(E 0 ) ´e um homeomorfismo. Em particular, (BE 0 , σ(E 0 , E)) ´e homeomorfo a Ψ(BE 0 ) com a topologia produto. Basta ent˜ao provar que Ψ(BE 0 ) ´e compacto em Ψ(E 0 ) na topologia ´ claro que basta mostrar que Ψ(BE 0 ) ´e compacto em Y. Como |ϕ(x)| ≤ kxk produto. E Q para todos x ∈ E e ϕ ∈ BE 0 , Ψ(BE 0 ) ⊆ BK [0, kxk]. Cada bola fechada BK [0, kxk] x∈E Q ´e compacta em K, logo BK [0, kxk] ´e compacto em Y pelo Teorema de Tychonof. x∈E

Resta provar que Ψ(BE 0 ) ´e fechado em Y . Essa ´e, entretanto, uma tarefa f´acil. Para isso considere ϕλ ∈ BE 0 para todo λ e uma rede (Ψ(ϕλ )) em Ψ(BE 0 ) que converge na topologia produto para w = (ωx )x∈E ∈ Y. Pela Proposi¸c˜ao 6.1.3(e) sabemos que λ

ϕλ (x) = πx ((ϕλ (x))x∈E ) = πx (Ψ(ϕλ )) −→ πx (w) = wx , para todo x ∈ E. Definamos ϕ : E −→ K , ϕ(x) = ωx . A linearidade de ϕ segue da continuidade das opera¸co˜es de espa¸co vetorial. Para a continuidade de ϕ, como |ϕλ (x)| ≤ kxk para todo λ e todo x ∈ E, da continuidade do m´odulo segue que |ϕ(x)| = |ωx | = lim |ϕλ (x)| ≤ kxk, λ

´ claro que ω = Ψ(ϕ) ∈ Ψ(BE 0 ). para todo x ∈ E. Isso prova que ϕ ∈ BE 0 . E

6.4

Compacidade fraca e reflexividade

Um dos principais resultados envolvendo compacidade em An´alise Funcional ´e o fato de que a bola unit´aria fechada de um espa¸co reflexivo ´e compacta na topologia fraca. Esse resultado ´e uma consequˆencia imediata do Lema abaixo e do Teorema de Banach– Alaoglu–Bourbaki. Lema 6.4.1 Seja E um espa¸co de Banach. O mergulho canˆ onico JE ´e um homeomorfismo de (E, σ(E, E 0 )) sobre sua imagem JE (E) com a topologia induzida pela topologia fraca-estrela de E 00 . Isto ´e, a fun¸c˜ao JE : (E, σ(E, E 0 )) −→ JE (E) ⊆ (E 00 , σ(E 00 , E 0 )) ´e um homeomorfismo. 115

´ claro que a fun¸ca˜o ´e bijetora. O fato de ser cont´ınua e ter inversa Demonstra¸ c˜ ao. E cont´ınua segue do fato de que, para toda rede (xλ )λ em E, w

xλ −→ x em E ⇐⇒ ϕ(xλ ) −→ ϕ(x) para todo funcional ϕ ∈ E 0 ⇐⇒ JE (xλ )(ϕ) −→ JE (x)(ϕ) para todo funcional ϕ ∈ E 0 w∗

⇐⇒ JE (xλ ) −→ JE (x) em E 00 w∗

⇐⇒ JE (xλ ) −→ JE (x) em JE (E). A primeira equivalˆencia decorre de uma aplica¸ca˜o da Proposi¸ca˜o 6.1.3(e) para a topologia fraca, a segunda ´e ´obvia, a terceira decorre de uma nova aplica¸ca˜o da Proposi¸c˜ao 6.1.3(e), agora para a topologia fraca-estrela, e a u ´ltima do fato de que em JE (E) estamos considerando a topologia induzida pela topologia fraca-estrela de E 00 . Teorema 6.4.2 Para todo espa¸co reflexivo E, a bola BE ´e compacta na topologia fraca σ(E, E 0 ). Demonstra¸ c˜ ao. Por E ser reflexivo, JE (E) = E 00 , logo JE : (E, σ(E, E 0 )) −→ (E 00 , σ(E 00 , E 0 )) ´e homeomorfismo pelo Lema 6.4.1. O Teorema de Banach–Alaoglu– Bourbaki garante que BE 00 ´e compacta na topologia σ(E 00 , E 0 )), portanto BE = JE−1 (BE 00 ) ´e compacta na topologia σ(E, E 0 ). Trabalharemos agora no sentido de provar que a rec´ıproca do resultado acima ´e v´alida, isto ´e, apenas em espa¸cos reflexivos a bola unit´aria ´e compacta na topologia fraca. Para isso precisamos de alguns resultados preparat´orios. Lema 6.4.3 (Lema de Helly) Sejam E um espa¸co de Banach real, ϕ1 , . . . , ϕn ∈ E 0 funcionais fixados e a1 , . . . , an ∈ R escalares fixados. As seguintes condi¸c˜ oes s˜ao equivalentes: (a) Para todo ε > 0 existe x ∈ BE tal ¯ que |ϕ¯ j (x)° − aj | 0, tome x ∈ BE de acordo com (a). Ent˜ao ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n n n n ¯ ¯ ¯X ¯ ¯X ¯X X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ bj ϕj (x)¯ bj aj − bj ϕj (x)¯ + ¯ bj aj ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j=1 j=1 j=1 j=1 ° ¯ ¯ à n à ! ! ° n n n ° ¯ °X ¯ X X X ° ¯ ° ¯ bj ϕj ° , |bj | + ° bj ϕj (x)¯ ≤ ε ≤ (|bj | · |ϕj (x) − aj |) + ¯ ° ¯ ° ¯ j=1

j=1

j=1

j=1

pois kxk ≤ 1. Como isso ´e verdade para todo ε > 0, basta fazer ε −→ 0 para obter (b). 116

(b) =⇒ (a) Considere o operador linear cont´ınuo T : E −→ Rn , T (x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)) . Observe que (a) ´e equivalente a dizer que (a1 , . . . , an ) ∈ T (BE ). Suponhamos que (a) n˜ao seja v´alido, isto ´e, (a1 , . . . , an ) ∈ / T (BE ). Neste caso, em Rn o conjunto convexo e compacto {(a1 , . . . , an )} ´e disjunto do conjunto convexo e fechado T (BE ). Pela forma geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach (Teorema 3.4.9), existem um funcional ϕ ∈ (Rn )0 e um n´ umero real r tais que ϕ(T (x)) < r < ϕ((a1 , . . . , an )) para todo x ∈ BE . Podemos tomar b1 , . . . , bn ∈ R tais que ϕ(x1 , . . . , xn ) = Rn . Da´ı,

n P

bj xj para todo (x1 , . . . , xn ) ∈

j=1 n X

bj ϕj (x) < r
0 e funcionais ϕ1 , . . . , ϕn ∈ E 0 tais que V = {g ∈ E 00 : |g(ϕi ) − f (ϕi )| < ε, i = 1, . . . , n}. Para todos b1 , . . . , bn ∈ R, ° ° ° ° ¯ ¯ Ã ¯ !¯ n n n n ° ° °X °X ¯ ¯ ¯ ¯X X ° ° ° ° ¯ ¯ ¯ ¯ bi ϕi ° . bi ϕi ° ≤ ° bi ϕi ¯ ≤ kf k · ° bi f (ϕi )¯ = ¯f ¯ ° ° ° ° ¯ ¯ ¯ ¯ i=1

i=1

i=1

i=1

Pelo Lema 6.4.3 existe x ∈ BE tal que |JE (x)(ϕi ) − f (ϕi )| = |ϕi (x) − f (ϕi )| < ε para todo i = 1, . . . , n. Isso prova que JE (x) ∈ JE (BE ) ∩ V e completa a demonstra¸ca˜o. Estamos agora em condi¸co˜es de caracterizar os espa¸cos reflexivos como aqueles nos quais a bola unit´aria fechada ´e fracamente compacta: Teorema 6.4.5 (Teorema de Kakutani) Um espa¸co de Banach E ´e reflexivo se, e somente se, a bola unit´aria fechada BE ´e compacta na topologia fraca σ(E, E 0 ). Demonstra¸ c˜ ao. Uma das implica¸c˜oes j´a foi provada no Teorema 6.4.2. Para a implica¸c˜ao inversa, suponha que BE seja compacta na topologia fraca. Como fun¸ca˜o cont´ınua leva compactos em compactos, do Lema 6.4.1 segue que JE (BE ) ´e compacto na topologia fraca-estrela. Mas a topologia fraca-estrela ´e de Hausdorff (Proposi¸ca˜o 6.3.2(d)), portanto JE (BE ) ´e fechado na topologia fraca-estrela pois compactos em σ(E 00 ,E 0 )

espa¸cos de Hausdorff s˜ao fechados. Isso quer dizer que JE (BE ) = JE (BE ) , e do Teorema de Goldstine segue que JE (BE ) = BE 00 . Da linearidade de JE conclu´ımos que JE (E) = E 00 . Corol´ ario 6.4.6 Se E ´e reflexivo, ent˜ao todo subespa¸co fechado de E ´e reflexivo. ´ f´acil verificar (cf. Exerc´ıcio Demonstra¸ c˜ ao. Seja F um subespa¸co fechado de E. E 0 6.8.4) que a topologia fraca σ(F, F ) de F ´e precisamente a topologia induzida em F pela topologia fraca σ(E, E 0 ) de E. Como BF ´e convexa e fechada em F , pelo Teorema 6.2.11 BF ´e fechada na topologia fraca σ(F, F 0 ). Assim, BF ´e um subconjunto de BE fechado na topologia fraca σ(E, E 0 ). Como BE ´e compacta nesta topologia σ(E, E 0 ) pelo Teorema 6.3.9 e como fechados dentro de compactos s˜ao compactos, resulta que BF ´e tamb´em compacta na topologia fraca σ(E, E 0 ) e consequentemente na topologia σ(F, F 0 ). O Teorema 6.4.5 revela que F ´e reflexivo.

118

6.5

Metrizabilidade e separabilidade

J´a vimos que em dimens˜ao infinita as topologias fraca e fraca-estrela nunca coincidem com a topologia da norma. O m´aximo ent˜ao que podemos esperar dessas topologias fracas ´e que sejam metriz´aveis. O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que essa possibilidade est´a intimamente relacionada com a separabilidade do espa¸co. Proposi¸c˜ ao 6.5.1 Se E ´e separ´ avel ent˜ao (BE 0 , σ(E 0 , E)) ´e metriz´avel. Demonstra¸ c˜ ao. Seja Y = {yn : n ∈ N} um subconjunto enumer´avel e denso em E. Defina X = {xn ∈ Y : xn ∈ BE }, note que X ´e denso em BE e considere d : BE 0 × BE 0 −→ [0, +∞) , d (ϕ, ψ) =

∞ X 1 |ϕ (xn ) − ψ (xn )| . n 2 n=1

´ f´acil ver que d est´a bem definida e ´e uma m´etrica. Para mostrar que a topologia E em BE 0 induzida pela m´etrica d coincide com a topologia fraca-estrela devemos provar que, para cada ϕ0 ∈ BE 0 , toda vizinhan¸ca de ϕ0 na topologia fraca-estrela est´a contida em uma bola aberta centrada em ϕ0 segundo a m´etrica d e vice-versa. Para isso seja ϕ0 ∈ BE 0 . Comecemos com uma vizinhan¸ca V de ϕ0 na topologia fraca-estrela. Pela Proposi¸c˜ao 6.3.2(b) existem ε > 0 e z1 , . . . , zm ∈ E tais que V = {ϕ ∈ BE 0 : |ϕ (zi ) − ϕ0 (zi )| < ε, i = 1, . . . , m} . ´ claro que podemos supor que os vetores zi s˜ao n˜ao-nulos. E max{kz1 k, . . . , kzm k}, δ = Mε e yi = kzzii k para i = 1, . . . , m. Ent˜ao

Chame M

=

V 0 := {ϕ ∈ BE 0 : |ϕ (yi ) − ϕ0 (yi )| < δ, i = 1, . . . , m} ´e tamb´em uma vizinhan¸ca de ϕ0 na topologia fraca-estrela, V 0 ⊆ V e kyi k = 1 para i = 1, . . . , m. Para cada i = 1, . . . , m, da densidade © de X em BE existe ª ni ∈ N tal que kxni − yi k < 4δ . Escolha r > 0 tal que r < min 2niδ+1 : i = 1, . . . , m . Dessa forma r · 2ni < 2δ para todo i = 1, . . . , m. Se ϕ ∈ BE 0 e d (ϕ, ϕ0 ) < r, ent˜ao 1 |ϕ (xni ) − ϕ0 (xni )| < r para todo 1 ≤ i ≤ m. 2ni Neste caso, |ϕ (yi ) − ϕ0 (yi )| = |ϕ (yi − xni ) − ϕ0 (yi − xni ) + ϕ (xni ) − ϕ0 (xni )| ≤ kϕ − ϕ0 k · kyi − xni k + |ϕ (xni ) − ϕ0 (xni )| δ δ δ < (kϕk + kϕ0 k) + r · 2ni ≤ 2 · + = δ 4 4 2 para todo i = 1, . . . , m, e portanto ϕ ∈ V 0 . Provamos ent˜ao que B(ϕ0 , r) = {ϕ ∈ BE 0 : d (ϕ, ϕ0 ) < r} ⊆ V 0 ⊆ V. 119

Reciprocamente consideremos a bola aberta B(ϕ0 , r0 ) = {ϕ ∈ BE 0 : d (ϕ, ϕ0 ) < r0 }, ∞ P 1 onde ϕ0 ∈ BE 0 e r0 > 0. Como a s´erie converge, podemos tomar m ∈ N 2i suficientemente grande a ponto de

i=1

Ã

∞ X 1 2 2i i=m+1

Escolha agora 0 < ε
0 tal que ° ° °x + y ° ° ° ° 2 ° ≤ 1 − δ sempre que x, y ∈ BE e kx − yk ≥ ε. Como dois pontos de BE distam no m´aximo 2 entre si, ´e suficiente mostrar a condi¸ca˜o acima para 0 < ε ≤ 2. Alguns livros mais recentes empregam o termo espa¸co uniformemente redondo (uniformly rotund space), que de fato traduz melhor a ideia geom´etrica subjacente. 122

Exemplo 6.6.2 Todo espa¸co de Hilbert H ´e uniformemente convexo. Com efeito, dados x, y ∈ BH e 0 < ε ≤ 2, da Lei do Paralelogramo (Proposi¸ca˜o 5.1.7(a)), resulta que se kx − yk ≥ ε ent˜ao ° ° ° x + y °2 kxk2 kyk2 kx − yk2 ε2 ° ° = + − ≤1− . ° 2 ° 2 2 4 4 1

Basta ent˜ao tomar δ = 1 − (1 − ε2 /4) 2 > 0. Exemplo 6.6.3 Os espa¸cos (R2 , k · k∞ ) e (R2 , k · k1 ) n˜ao s˜ao uniformemente convexos. De fato, dado 0 < ε < 1, basta tomar dois vetores que est˜ao no mesmo segmento de reta da esfera unit´aria e distam ε um do outro. Completando com zero nas demais coordenadas, transformamos esses pares ordenados em sequˆencias, o que prova que os espa¸cos c0 , `1 e `∞ n˜ao s˜ao uniformemente convexos. Observa¸ c˜ ao 6.6.4 Como (R2 , k · k2 ) ´e Hilbert, os exemplos acima mostram, em particular, que espa¸co isomorfo a espa¸co uniformemente convexo nem sempre ´e uniformemente convexo. Trabalharemos agora no sentido de provar que espa¸cos uniformemente convexos s˜ao reflexivos, o que, por um lado garante uma boa propriedade aos espa¸cos uniformemente convexos e, por outro lado, fornece muitos exemplos de espa¸cos que n˜ao s˜ao uniformemente convexos. Seja (I, ≤) um conjunto dirigido. Em I × I consideramos a dire¸ca˜o natural dada por (α1 , α2 ) ≤ (β1 , β2 ) se, e somente se, α1 ≤ β1 e α2 ≤ β2 . Lema 6.6.5° Seja E ° um espa¸co uniformemente convexo. Se (xα )α∈I ´e uma rede em BE ° xα +xβ ° tal que lim ° 2 ° = 1, ent˜ao (xα )α∈I ´e uma rede de Cauchy, isto ´e, para todo ε > 0 (α,β)

existe α0 ∈ I tal que kxα − xβ k < ε para todos α, β ∈ I com α, β ≥ α0 . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que a rede (xα )α∈I n˜ao seja de Cauchy. Neste caso existe 0 < ε ≤ 2 tal que para todo ´ındice α0 ∈ I correspondem ´ındices α, β ≥ α0 tais que kxα − xβ k ≥ ε. Tomemos o n´ umero δ > 0 que corresponde a este ε > 0 de acordo com a defini¸ca˜o de espa¸co uniformemente convexo. Temos, em particular, que ° ° ° xα + xβ ° ° ° ° 2 ° ≤ 1 − δ. ° ° ° x +x ° O resultado segue pois isso contradiz a convergˆencia lim ° α 2 β ° = 1. (α,β)

Teorema 6.6.6 (Teorema de Milman–Pettis) Espa¸cos de Banach uniformemente convexos s˜ao reflexivos. 123

Demonstra¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co de Banach uniformemente convexo. Dado um funcional f ∈ E 00 , kf k = 1, pelo Teorema 6.4.4 existe uma rede (xα )α∈I em BE tal que w∗

JE (xα ) −→ f. Vejamos que, com a dire¸ca˜o natural em I × I, µ ¶ 1 w∗ JE (xα + xβ ) −→ f. 2

(6.3)

Para isso considere uma vizinhan¸ca W de f na topologia fraca-estrela. No Exerc´ıcio 6.8.14 o leitor comprovar´a que existe uma vizinhan¸ca W0 da origem na topologia fracaestrela tal que W = f + W0 . Seja V = {g ∈ E 00 : |g(ϕi )| < δ, i = 1, . . . , m} uma vizinhan¸ca b´asica da origem na topologia fraca-estrela contida em W0 , onde δ > 0 e ϕ1 , . . . , ϕm ∈ E 0 . Ent˜ao ½ ¾ δ 00 V0 := g ∈ E : |g(ϕi )| < , i = 1, . . . , m 2 ´e uma vizinhan¸ca da origem na topologia fraca-estrela e V0 + V0 ⊆ V ⊆ W0 . Como ¡ xα ¢ w ∗ f f f −→ 2 , existe α1 ∈ I tal + V ´ e vizinhan¸ c a de na topologia fraca-estrela e J 0 E 2 2 2 que ³x ´ f α JE ∈ + V0 sempre que α ≥ α1 . 2 2 Logo, ¶ µ ¶ ³x ´ ³x ´ µf f α β JE + JE ∈ + V0 + + V0 ⊆ (f + W0 ) = W 2 2 2 2 sempre que (α, β) ≥ (α1 , α1 ). Isso comprova (6.3). Seja ε > 0. Da defini¸ca˜o de kf k existe ϕ0 ∈ E 0 tal que kϕ0 k = 1 e |f (ϕ0 )| > kf k − ε. De (6.3) segue que ¯ µ ¯ ¶ ¯ ¯ 1 lim ¯¯JE (xα + xβ ) (ϕ0 )¯¯ = |f (ϕ0 )| > kf k − ε, (α,β) 2 e portanto existe (αε , βε ) ∈ I × I tal que ¯ ¯ µ ¶ ¯ ¯ ¯JE 1 (xα + xβ ) (ϕ0 )¯ > kf k − ε sempre que (α, β) ≥ (αε , βε ). ¯ ¯ 2 ° ° Como ° 12 (xα + xβ )° ≤ 1 e JE ´e uma isometria, ° µ ¯ ¶° ¯ µ ¶ ° ° ¯ ¯ 1 1 ° ¯ ¯ 1≥° °JE 2 (xα + xβ ) ° ≥ ¯JE 2 (xα + xβ ) (ϕ0 )¯ > kf k − ε = 1 − ε sempre que (α, β) ≥ (αε , βε ). Decorre ent˜ao que ° ° µ ° ¶° ° ° ° °1 ° (xα + xβ )° = °JE 1 (xα + xβ ) ° −→ 1. ° ° ° °2 2 124

Segue do Lema 6.6.5 que (xα )α ´e uma rede de Cauchy em E. Como E ´e completo existe x0 ∈ E tal que xα −→ x0 (veja Exerc´ıcio 6.8.24), e portanto JE (xα ) −→ JE (x0 ). Mas w∗ convergˆencia em norma implica convergˆencia fraca-estrela, logo, JE (xα ) −→ JE (x0 ). O fato da topologia fraca-estrela ser de Hausdorff implica que JE (x0 ) = f , provando que E ´e reflexivo. Antes de seguir em frente vejamos mais uma consequˆencia interessante do Lema 6.6.5: Proposi¸c˜ ao 6.6.7 Sejam E um espa¸co de Banach uniformemente convexo e (xn )∞ n=1 w uma sequˆencia em E. Se xn −→ x e kxn k −→ kxk, ent˜ao xn −→ x. Demonstra¸ c˜ ao. N˜ao h´a o que fazer no caso em que x = 0. Suponhamos ent˜ao x 6= 0. Neste caso, de kxn k −→ kxk > 0 podemos tomar n0 ∈ N tal que kxn k > 0 para todo w x ´ imediato que yn −→ n ≥ n0 . Chamemos y = kxk e yn = kxxnn k para todo n ≥ n0 . E y. Como y 6= 0, pelo Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.4 existe ϕ ∈ E 0 com kϕk = 1 e ϕ (y) = kyk = 1. Para todos n, m ≥ n0 , ¯ ¯ µ ° ¯ ¶¯ ° ¯ ° yn + ym ° kyn k kym k ¯ ϕ(yn ) ϕ(ym ) ¯ ¯ y + y n m ¯ ¯ ¯≤° °≤ ¯ + = 1. ¯ ° ° ¯ 2 + 2 ¯ = ¯ϕ 2 2 2 2 ° ° m° Desta desigualdade e da convergˆencia ϕ (yn ) −→ ϕ (y) = 1 decorre que lim ° yn +y = 1. 2 m,n

O Lema 6.6.5 nos diz que a sequˆencia (yn )∞ e de Cauchy, logo convergente na topologia n=1 ´ da norma, e por conseguinte na topologia fraca, para um certo z. Como a topologia fraca ´e de Hausdorff, ´e claro que z = y. O resultado segue pois kxn − xk = kkxn k yn − kxk yk ≤ kkxn k yn − kxn k yk + kkxn k y − kxk yk = kxn k · kyn − yk + |kxn k − kxk| · kyk −→ 0. Do Teorema 6.6.6 e do Corol´ario 6.5.6 conclu´ımos que L1 (X, Σ, µ) e L∞ (X, Σ, µ) n˜ao s˜ao uniformemente convexos. O objetivo agora ´e mostrar que os espa¸cos Lp (X, Σ, µ) s˜ao uniformemente convexos para 1 < p < ∞. Para isso provaremos as desigualdades de Clarkson. Lema 6.6.8 Sejam 2 ≤ p < ∞ e a, b ∈ R. Ent˜ao |a + b|p + |a − b|p ≤ 2p−1 (|a|p + |b|p ) . Demonstra¸ c˜ ao. Use a desigualdade de H¨older (Proposi¸ca˜o 1.4.1) para obter 1

1

1

(|a + b|p + |a − b|p ) p ≤ ((a + b)2 + (a − b)2 ) 2 = (2a2 + 2b2 ) 2 ¢1 ¢1 1 ¡ 1 ¡ = 2 2 |a|2 + |b|2 2 = 2 2 |a|2 · 1 + |b|2 · 1 2 ¸ 12 ·³ ¡ 2 ¢ p2 ¡ 2 ¢ p2 ´ p2 p−2 1 + |b| ≤ 22 · (1 + 1) p |a| 1

1

1

1

= 2 2 · 2 2 − p (|a|p + |b|p ) p = 2 125

p−1 p

1

(|a|p + |b|p ) p .

Eleve os dois lados a p para obter o resultado. Proposi¸c˜ ao 6.6.9 (Primeira desigualdade de Clarkson) Sejam 2 ≤ p < ∞ e f, g ∈ Lp (X, Σ, µ). Ent˜ao ³ ´ kf + gkpp + kf − gkpp ≤ 2p−1 kf kpp + kgkpp . Demonstra¸ c˜ ao. Basta fazer a = f (t) e b = g(t) no Lema 6.6.8 e integrar. O caso 1 < p < 2 ´e um pouco mais trabalhoso. Assim como no caso anterior precisamos de um lema aritm´etico. Por simplicidade denotaremos por q o conjugado do n´ umero p > 1, isto ´e, p1 + 1q = 1. Lema 6.6.10 Seja 1 < p ≤ 2. Ent˜ao |a + b|q + |a − b|q ≤ 2 (|a|p + |b|p )q−1 para todos a, b ∈ R. Demonstra¸ c˜ ao. Considere a fun¸ca˜o f : [0, 1] × [0, 1] −→ R dada por f (α, t) = (1 + α1−q t)(1 + αt)q−1 + (1 − α1−q t)(1 − αt)q−1 . Note que (1 − α−q ) ≤ 0 e (1 + αt)q−2 − (1 − αt)q−2 ≥ 0 pois q ≥ 2. Logo £ ¤ ∂f = (q − 1)t(1 − α−q ) (1 + αt)q−2 − (1 − αt)q−2 ≤ 0. ∂α Como tp−1 ≤ 1, (1 + t)q + (1 − t)q = f (1, t) ≤ f (tp−1 , t) = 2 (1 + tp )q−1 , provando que (1 + t)q + (1 − t)q ≤ 2 (1 + tp )q−1 para todo 0 ≤ t ≤ 1.

(6.4)

Sejam a, b ∈ R. Como a desigualdade que queremos provar ´e sim´etrica em a e b, podemos supor a ≤ b. O caso a = b ´e imediato, ent˜ao podemos na verdade supor a < b. Dividamos em casos. Caso a, b > 0. Basta aplicar (6.4) para t = ab para obter a desigualdade desejada. Caso a, b < 0. Aplique o caso anterior para −b e −a. Caso a < 0 e b > 0. Aplique o primeiro caso para −a e b (ou b e −a). Proposi¸c˜ ao 6.6.11 (Segunda desigualdade de Clarkson) Sejam 1 < p ≤ 2 e f, g ∈ Lp (X, Σ, µ). Ent˜ao ³ ´q−1 kf + gkqp + kf − gkqp ≤ 2 kf kpp + kgkpp . 126

Demonstra¸ c˜ ao. kf + gkqp + kf − gkqp = k|f + g|q kp−1 + k|f − g|q kp−1 ≤ k|f + g|q + |f − g|q kp−1 1 µZ ¶ p−1 q q p−1 = (|f + g| + |f − g| ) dµ X

µZ p (p−1)(q−1)

p

≤2

(|f | + |g| ) µZ

X

Z p

=2

p

|f | dµ + X

|g| dµ X

dµ

1 ¶ p−1

1 ¶ p−1

³ =2

kf kpp

+

kgkpp

´q−1

.

p Na primeira passagem usamos que khkqp = k|h|q kp−1 pois q = p−1 ; na segunda usamos a desigualdade de Minkowski invertida (Teorema 1.7.2) pois 0 < p − 1 < 1; na terceira usamos a defini¸ca˜o de k · kp−1 ; na quarta usamos o Lema 6.6.10 para a = f (t) e b = g(t); na quinta e na sexta usamos que (p − 1)(q − 1) = 1.

Teorema 6.6.12 Lp (X, Σ, µ) ´e uniformemente convexo para todo 1 < p < ∞. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam 0 < ε ≤ 2 e f, g ∈ BLp (X,Σ,µ) tais que kf − gkp ≥ ε. Fa¸camos primeiro o caso 2 ≤ p < ∞. Da Proposi¸ca˜o 6.6.9 decorre que ³ ´ p p p p−1 kf + gkp ≤ 2 kf kp + kgkp − kf − gkpp ≤ 2p−1 (1 + 1) − εp = 2p − εp . Portanto

° ° ³ ³ ´p ´ p1 °f + g ° ° ° ≤ 1− ε . ° 2 ° 2 p ¡ ¡ ¢p ¢ p1 Basta tomar δ = 1 − 1 − 2ε . Para 1 < p < 2, da Proposi¸c˜ao 6.6.11 decorre que kf + gkqp ≤ 2(1 + 1)q−1 − kf − gkqp ≤ 2q − εq . ¡ ¡ ¢q ¢ 1q De forma an´aloga ao caso anterior basta tomar δ = 1 − 1 − 2ε . Conforme prometido no Cap´ıtulo 4, exibiremos a seguir uma demonstra¸ca˜o alternativa do Teorema 4.1.2 para o caso de escalares reais e 1 < p < ∞. Naquela ocasi˜ao obtivemos a reflexividade dos espa¸cos Lp (X, Σ, µ), 1 < p < ∞, a partir do Teorema 4.1.2. Observe que acabamos de provar, sem usar o Teorema 4.1.2 ou alguma de suas consequˆencias, que Lp (X, Σ, µ), 1 < p < ∞, ´e uniformemente convexo, portanto reflexivo. Temos assim uma demonstra¸ca˜o da reflexividade de tais espa¸cos ´ exatamente isso que nos permitir´a dar agora uma que independe do Teorema 4.1.2. E nova demonstra¸ca˜o do Teorema 4.1.2 para 1 < p < ∞ no caso real: Teorema 6.6.13 Sejam K = R, 1 < p < ∞ e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Ent˜ao a correspondˆencia g 7→ ϕg estabelece um isomorfismo isom´etrico entre Lp∗ (X, Σ, µ) e Lp (X, Σ, µ)0 em que a rela¸c˜ ao de dualidade ´e dada por Z ϕg (f ) = f g dµ para toda f ∈ Lp (X, Σ, µ). X

127

Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Exemplo 4.1.1 basta mostrar que o operador linear Z 0 T : Lp∗ (X, Σ, µ) −→ Lp (X, Σ, µ) , T (g)(f ) = f g dµ, X

´e sobrejetor. A imagem de T ´e fechada por ser isometricamente isomorfa ao espa¸co de Banach Lp∗ (X, Σ, µ). Logo ´e suficiente mostrar que T (Lp∗ (X, Σ, µ)) ´e denso em Lp (X, Σ, µ)0 . Argumentando por absurdo, suponhamos que n˜ao seja denso. Neste caso existe ϕ ∈ Lp (X, Σ, µ)0 − T (Lp∗ (X, Σ, µ)). Pelo Corol´ario 3.4.10 existe ψ ∈ Lp (X, Σ, µ)00 tal que kψk = 1 e ψ(h) = 0 para toda h ∈ T (Lp∗ (X, Σ, µ)). Em particular, ψ(T (g)) = 0 para toda g ∈ Lp∗ (X, Σ, µ). Como Lp (X, Σ, µ) ´e reflexivo, existe f ∈ Lp (X, Σ, µ) tal que ψ = JLp (X,Σ,µ) (f ). Assim, Z f g dµ = T (g)(f ) = JLp (X,Σ,µ) (f )(T (g)) = ψ(T (g)) = 0 X

para toda g ∈ Lp∗ (X, Σ, µ). Tomando g = |f |p−2 · f ∈ Lp∗ (X, Σ, µ), segue que µZ f · |f |

0= X

p−2

· f dµ

¶ p1

µZ p

|f | dµ

=

¶ p1

X

= kf kp = kJLp (X,Σ,µ) (f )k = kψk = 1.

Essa contradi¸c˜ao completa a demonstra¸ca˜o.

6.7

Coment´ arios e notas hist´ oricas

A topologia gerada por uma fam´ılia de fun¸co˜es tamb´em ´e chamada de topologia induzida (ou topologia fraca induzida) pela fam´ılia de fun¸c˜oes. Isso porque se considerarmos um subconjunto Y do espa¸co topol´ogico X, a topologia induzida em Y por X coincide com a topologia gerada pela inclus˜ao Y ,→ X. O termo topologia inicial ´e usado pelo grupo Bourbaki [11] e seus seguidores. Como vimos na demonstra¸c˜ao do Teorema 6.3.9, essa topologia est´a intimamente relacionada com a topologia produto no produto cartesiano generalizado. Uma boa discuss˜ao sobre isso pode ser encontrada em [90, Section 8]. Sequˆencias fracamente convergentes foram estudadas primeiramente por Hilbert em L2 [0, 1], por Riesz em Lp [0, 1] e por Schur em `1 , mas a compreens˜ao de que se tratava de uma topologia – e muito u ´til – veio apenas com von Neumann na d´ecada de 1930. O Teorema 6.2.12 foi provado por I. Schur em 1921. Por causa deste teorema, um espa¸co no qual toda sequˆencia fracamente convergente ´e convergente em norma ´e chamado de espa¸co de Schur (algumas vezes se diz que o espa¸co tem a propriedade de Schur). Entre os espa¸cos de dimens˜ao infinita com os quais temos trabalhado neste livro, apenas `1 ´e de Schur. O outro candidato natural seria L1 [0, 1], que n˜ao ´e de Schur por conter uma c´opia de `2 (veja [20, Theorem 1.2]), e de acordo com o Exerc´ıcio 6.8.21 espa¸cos que cont´em subespa¸cos reflexivos de dimens˜ao infinita n˜ao s˜ao de Schur. O Cap´ıtulo 11 de [52] ´e inteiramente dedicado ao estudo dos subespa¸cos reflexivos de L1 (µ). 128

Em 1928 Banach provou que bola unit´aria do dual de um espa¸co normado separ´avel ´e sequencialmente compacta na topologia fraca-estrela. A forma geral do Teorema 6.3.9 foi provada por L. Alaoglu em 1940. O Teorema 6.4.5 tamb´em foi provado inicialmente por Banach para o caso separ´avel e compacidade sequencial. Vers˜oes mais abstratas foram provadas sucessivamente por S. Kakutani, V. I. Smulian e W. F. Eberlein. No Teorema 6.2.12 vimos que, mesmo em um espa¸co de dimens˜ao infinita, pode acontecer das sequˆencias convergentes em norma coincidirem com as sequˆencias fracamente convergentes. Em trabalhos independentes publicados em 1975, B. Josefson e A. Nissenzweig provaram que isso nunca ocorre com a topologia fraca-estrela: Teorema 6.7.1 (Teorema de Josefson–Nissenzweig) Todo espa¸co de Banach dual de w∗ dimens˜ ao infinita admite uma sequˆencia (xn )∞ n=1 tal que xn −→ 0 e kxn k = 1 para todo n. Para a demonstra¸ca˜o veja [19, Chapter XII]. A Proposi¸ca˜o 6.5.1 induz ao questionamento sobre a metrizabilidade da topologia fraca-estrela em E 0 e tamb´em da topologia fraca em E. Em dimens˜ao finita a resposta ´e obviamente verdadeira, ao contr´ario da dimens˜ao infinita: Proposi¸c˜ ao 6.7.2 [63, Propositions 2.5.14 e 2.6.12] (a) Se E ´e um espa¸co normado de dimens˜ao infinita, ent˜ao a topologia fraca em E n˜ao ´e metriz´avel. (b) Se E ´e um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita, ent˜ao a topologia fraca-estrela em E 0 n˜ao ´e metriz´avel. Em espa¸cos m´etricos, em particular na topologia da norma de um espa¸co normado, um conjunto K ´e compacto se, e somente se, toda sequˆencia em K admite subsequˆencia convergente em K. A compreens˜ao de que a topologia fraca goza dessa propriedade come¸cou em 1940 quando V. L. Smulian provou toda sequˆencia em um subconjunto fracamente compacto K de um espa¸co de Banach admite subsequˆencia fracamente convergente em K. Em 1947 W. F. Eberlein provou a rec´ıproca: Teorema 6.7.3 (Teorema de Eberlein–Smulian) Um subconjunto K de um espa¸co de Banach ´e fracamente compacto se, e somente se, toda sequˆencia em K admite subsequˆencia fracamente convergente em K. A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [19, Chapter III]. Combinando este resultado com o Teorema 6.4.5 obtemos a rec´ıproca do Teorema 6.5.4. Resultado an´alogo ao Teorema de Eberlein–Smulian para a topologia fraca-estrela n˜ao ´e verdadeiro (veja [19, Exercise III.1]). A no¸ca˜o de espa¸co uniformemente convexo foi introduzida por J. A. Clarkson em 1936, no mesmo trabalho em que demonstrou o Teorema 6.6.12. O Teorema 6.6.6 foi demonstrado, de forma independente, por D. P. Milman (1939), B. J. Pettis (1939) e S. Kakutani (1939).

129

Nenhuma das implica¸co˜es E uniformemente convexo ⇐⇒ E 0 uniformemente convexo ´e verdadeira. O exemplo a seguir foi comunicado aos autores por V. Ferenczi, a quem agradecemos publicamente. Chame de C o subconjunto de R2 formado pela interse¸c˜ao do disco aberto centrado em 1 e raio 2 com o disco aberto centrado em -1 e raio 2. Chamando de k · kC o funcional de Minkowski de C (veja Defini¸ca˜o 3.4.4 e Exerc´ıcio 3.6.24), (R2 , k · kC ) ´e uniformemente convexo mas seu dual n˜ao ´e. A no¸ca˜o dual ao conceito de espa¸co uniformemente convexo ´e a no¸ca˜o de espa¸co uniformemente suave. Para maiores informa¸co˜es veja o Cap´ıtulo 5 de [63]. Os exemplos que vimos de espa¸cos reflexivos que n˜ao s˜ao uniformemente convexos s˜ao todos de dimens˜ao finita (Exemplo 6.6.3). N˜ao ´e tarefa f´acil exibir um espa¸co reflexivo de dimens˜ao infinita que n˜ao ´e uniformemente convexo. Para isso veja [26, p´agina 294], [68, Exercise 16.205] ou [87, Example 3, p. 166]. A Proposi¸c˜ao 6.6.7 foi provada primeiramente para os espa¸cos Lp (X, Σ, µ) por J. Radon em 1913 e F. Riesz em 1928. Por isso diz-se que um espa¸co no qual vale o resultado tem a propriedade de Radon–Riesz. Ou seja, a Proposi¸c˜ao 6.6.7 comprova que espa¸cos de Banach uniformemente convexos tˆem a propriedade de Radon–Riesz. Na literatura esta propriedade tamb´em ´e chamada de propriedade de Kadets–Klee e de propriedade (H). O conceito de espa¸co estritamente convexo foi mencionado – sem chamar a aten¸ca˜o para a terminologia – no in´ıcio da Se¸ca˜o 6.6. Este conceito ser´a formalmente introduzido e explorado nos exerc´ıcios. Para um exemplo de espa¸co estritamente convexo que n˜ao ´e reflexivo veja [63, Example 5.1.8]. Diz-se que uma propriedade dos espa¸cos de Banach ´e uma propriedade anal´ıtica se ´e invariante por isomorfismos. J´a uma propriedade geom´etrica ´e aquela que ´e invariante apenas por isomorfismos isom´etricos. Ou seja, uma propriedade geom´etrica tem a ver com a norma do espa¸co enquanto que uma propriedade anal´ıtica tem a ver apenas com a topologia induzida pela norma. Por exemplo, reflexividade ´e propriedade anal´ıtica (Exerc´ıcio 4.5.26) e convexidade uniforme ´e propriedade geom´etrica (Observa¸c˜ao 6.6.4 e Exerc´ıcio 6.8.25). Nas u ´ltimas d´ecadas a geometria dos espa¸cos de Banach, ou seja, o estudo das propriedades geom´etricas dos espa¸cos de Banach, tem sido uma das ´areas mais efervescentes dentro da An´alise Funcional, culminando com os avan¸cos espetaculares descritos na Introdu¸ca˜o deste livro. A atividade na ´area pode ser comprovada pelos dois (pesados) volumes do manual da geometria dos espa¸cos de Banach [45, 46].

6.8

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 6.8.1 Demonstre a Proposi¸ca˜o 6.1.1. Exerc´ıcio 6.8.2 Demonstre a Proposi¸ca˜o 6.1.3. 130

encia Exerc´ıcio 6.8.3 Sejam F um subespa¸co do espa¸co normado E e (xn )∞ n=1 uma sequˆ w w em F . Prove que xn −→ x em F se, e somente se, xn −→ x em E. Exerc´ıcio 6.8.4 Seja F um subespa¸co do espa¸co normado E. Prove que a topologia fraca σ(F, F 0 ) de F ´e a topologia induzida em F pela topologia fraca σ(E, E 0 ) de E. Exerc´ıcio 6.8.5 Analise a convergˆencia fraca da sequˆencia (en )∞ n=1 formada pelos vetores unit´arios canˆonicos nos seguintes espa¸cos: c00 , `1 , `p com 1 < p < ∞ e `∞ . Exerc´ıcio 6.8.6 Prove que toda sequˆencia ortonormal em um espa¸co de Hilbert converge fracamente para zero. w

Exerc´ıcio 6.8.7 (a) Prove que se xn −→ x e yn −→ y em um espa¸co com produto interno, ent˜ao hxn , yn i −→ hx, yi. w w (b) Dˆe um exemplo em que xn −→ x, yn −→ y mas (hxn , yn i)∞ ao ´e convergente. n=1 n˜ ´ poss´ıvel adaptar a demonstra¸ca˜o do Teorema 6.2.12 para provar Exerc´ıcio 6.8.8 E que redes fracamente convergentes em `1 s˜ao convergentes em norma? Exerc´ıcio 6.8.9 Prove que todo conjunto n˜ao-vazio e aberto na topologia fraca de um espa¸co de dimens˜ao infinita ´e ilimitado. Use isso para dar outra demonstra¸c˜ao de que as topologias fraca e da norma nunca coincidem em dimens˜ao infinita. w

Exerc´ıcio 6.8.10 Seja (xn )∞ encia no espa¸co de Banach E tal que xn −→ n=1 uma sequˆ x ∈ E. Prove que existem combina¸c˜oes convexas (yn )∞ n=1 do conjunto {x1 , x2 , . . .} tais que yn −→ x. (Uma combina¸ca˜o convexa do subconjunto A de um espa¸co vetorial ´e um m P vetor da forma aj zj onde m ∈ N, a1 , . . . , an ≥ 0, a1 + · · · + am = 1 e z1 , . . . , zm ∈ A.) j=1

Exerc´ıcio 6.8.11 Demonstre o item (b) da Proposi¸c˜ao 6.3.2. Exerc´ıcio 6.8.12 Demonstre os itens (b) e (c) da Proposi¸ca˜o 6.3.3. Exerc´ıcio 6.8.13 Considere o funcional linear ϕ : `1 −→ K ,

ϕ((aj )∞ j=1 )

=

∞ X

aj .

j=1

Mostre que ´e cont´ınuo em norma mas n˜ao ´e cont´ınuo na topologia fraca-estrela de `1 = (c0 )0 . Conclua que a Proposi¸c˜ao 6.2.9 n˜ao vale para a topologia fraca-estrela. Exerc´ıcio 6.8.14 Seja E um espa¸co normado. Prove que se W ´e uma vizinhan¸ca de f ∈ E 00 na topologia fraca-estrela, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca W0 da origem na topologia fraca-estrela tal que W = f + W0 . 131

co normado E ´e denominada Exerc´ıcio 6.8.15 Uma sequˆencia (xn )∞ n=1 em um espa¸ sequˆencia fracamente de Cauchy se para cada ϕ ∈ E 0 , a sequˆencia (ϕ(xn ))∞ n=1 for de Cauchy em K. Diz-se que E ´e fracamente sequencialmente completo se toda sequˆencia fracamente de Cauchy em E for fracamente convergente. (a) Mostre que toda sequˆencia fracamente de Cauchy ´e limitada. (b) Prove que espa¸cos reflexivos s˜ao fracamente sequencialmente completos. Exerc´ıcio 6.8.16 Prove que, para 1 < p < ∞, `p n˜ao cont´em c´opia isomorfa de nenhum dos seguintes espa¸cos: c0 , `∞ e `1 . Exerc´ıcio 6.8.17 Seja F um subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach reflexivo E. Prove que E/F ´e reflexivo. Exerc´ıcio 6.8.18 Conforme comentado na Se¸ca˜o 4.4, um teorema muito delicado devido a R. C. James afirma que em todo espa¸co de Banach n˜ao-reflexivo E existe ϕ0 ∈ E 0 tal que ϕ0 (x) < kϕ0 k · kxk para todo x ∈ X. Prove a rec´ıproca do Teorema 6.5.4 usando este resultado de James. Exerc´ıcio 6.8.19* Sejam E um espa¸co de Banach e 1 ≤ p < ∞. Para a defini¸ca˜o do espa¸co `p (E) veja o Exerc´ıcio 4.5.8. Prove que: (a) `p (E) cont´em c´opias isom´etricas 1-complementadas de `p e de E. (b) Para todo espa¸co de Banach E, `1 (E) n˜ao ´e reflexivo. (c) Para um dado espa¸co de Banach E, as seguintes afirma¸co˜es s˜ao equivalentes: (i) E ´e reflexivo. (ii) `p (E) ´e reflexivo para todo 1 < p < ∞. (iii) `p (E) ´e reflexivo para algum 1 < p < ∞. Exerc´ıcio 6.8.20 Prove que a fun¸ca˜o d da demonstra¸ca˜o da Proposi¸c˜ao 6.5.1 est´a bem definida e ´e uma m´etrica. Exerc´ıcio 6.8.21 Relembre que um espa¸co normado E ´e de Schur se sequˆencias fracamente convergentes em E convergem em norma. Prove que: (a) Subespa¸co de espa¸co de Schur ´e de Schur. (b) Espa¸co que ´e isomorfo a um espa¸co de Schur ´e tamb´em de Schur. (c) Um espa¸co normado reflexivo ´e de Schur se, e somente se, tem dimens˜ao finita. (d) Um espa¸co que cont´em um espa¸co reflexivo de dimens˜ao infinita n˜ao ´e de Schur. Exerc´ıcio 6.8.22 Prove que `1 n˜ao tem subespa¸co reflexivo de dimens˜ao infinita. Exerc´ıcio 6.8.23* Um espa¸co de Banach E ´e fracamente compactamente gerado se existe um subconjunto fracamente compacto K de E tal que E = [K]. Prove que: (a) E ´e fracamente compactamente gerado se, e somente se, existe um subconjunto K de E que ´e convexo, sim´etrico (isto ´e, −x ∈ K se x ∈ K) e fracamente compacto tal que E = [K]. (b) Espa¸cos reflexivos s˜ao fracamente compactamente gerados. (c) Espa¸cos separ´aveis s˜ao fracamanete compactamente gerados. 132

Exerc´ıcio 6.8.24 Prove que toda rede de Cauchy (veja defini¸ca˜o no enunciado do Lema 6.6.5) em um espa¸co de Banach ´e convergente. Exerc´ıcio 6.8.25 Se um espa¸co uniformemente convexo cont´em uma c´opia isom´etrica do espa¸co normado E, prove que E ´e uniformemente convexo. Exerc´ıcio 6.8.26 Prove que um espa¸co normado E ´e uniformemente convexo se, e somente se, E 00 ´e uniformemente convexo. Exerc´ıcio 6.8.27 Seja E um espa¸co normado. Prove que as implica¸co˜es E uniformemente convexo =⇒ E 0 uniformemente convexo, e E 0 uniformemente convexo =⇒ E uniformemente convexo, s˜ao equivalentes, e portanto basta um contraexemplo para uma delas para concluir que ambas s˜ao falsas. Exerc´ıcio 6.8.28 Prove que todo espa¸co normado que ´e isomorfo a um espa¸co de Banach uniformemente convexo ´e reflexivo. Exerc´ıcio 6.8.29* Mostre que as seguintes afirma¸co˜es s˜ao equivalentes para um espa¸co de Banach E: (a) E ´e uniformemente convexo. ¡ ¢ (b) Se xn , yn ∈ E para todo n ∈ N, lim 2 kxn k2 + 2 kyn k2 − kxn + yn k2 = 0, e (xn )∞ n=1 n→∞

´e limitada, ent˜ao lim kxn − yn k = 0. n→∞

(c) Se xn , yn ∈ BE para todo n ∈ N e lim kxn + yn k = 2, ent˜ao lim kxn − yn k = 0. n→∞

n→∞

Exerc´ıcio 6.8.30* Prove que as seguintes afirma¸co˜es s˜ao equivalentes para um espa¸co normado E: (a) Se x, y ∈ E, kxk = kyk = 1 e kx + yk = 2, ent˜ao x = y. (b) Se x, y ∈ E e kx + yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 , ent˜ao x = y. (c) Se x, y ∈ E, x 6= y e kx + yk = kxk + kyk, ent˜ao x ´e um m´ ultiplo positivo de y. Diz-se que E ´e estritamente convexo quando satisfaz as condi¸c˜oes equivalentes acima. Exerc´ıcio 6.8.31 Mostre que todo espa¸co uniformemente convexo ´e estritamente convexo. Exerc´ıcio 6.8.32 Mostre que os espa¸cos (R2 , k·k∞ ), (R2 , k·k1 ), c0 `1 e `∞ n˜ao s˜ao estritamente convexos. Exerc´ıcio 6.8.33 (Um espa¸co estritamente convexo que n˜ao ´e uniformemente convexo) Para f ∈ C[0, 1], defina ¡ ¢1 kf k0 = kf k2∞ + kf k22 2 , onde k · k∞ ´e a norma do sup usual de C[0, 1] e k · k2 ´e a norma usual de L2 [0, 1]. (a) Prove que k · k0 ´e uma norma em C[0, 1] equivalente `a norma usual k · k∞ . (b) Prove que (C[0, 1], k · k0 ) ´e estritamente convexo. (c) Prove que (C[0, 1], k · k0 ) n˜ao ´e uniformemente convexo. 133

Cap´ıtulo 7 Teoria Espectral de Operadores Compactos e Autoadjuntos ´ Assim como na Algebra Linear, na An´alise Funcional ´e muito u ´til o estudo dos autovalores e autovetores de um operador linear e cont´ınuo. Os seguintes conceitos certamente s˜ao familiares ao leitor: Defini¸ c˜ ao. Sejam V um espa¸co vetorial e T : V −→ V um operador linear. Um autovalor de T ´e um escalar λ para o qual existe um vetor n˜ao-nulo x ∈ V tal que T (x) = λx. O subespa¸co Vλ = {x ∈ V : T (x) = λx} ´e chamado de autoespa¸co associado ao autovalor λ e seus elementos s˜ao chamados de autovetores de T associados ao autovalor λ. Por simplicidade, neste cap´ıtulo denotaremos o operador identidade em um espa¸co vetorial por I. Suponha que V tenha dimens˜ao finita. Neste caso, λ ´e autovalor de T ⇐⇒ ker(T − λI) 6= {0} ⇐⇒ T − λI n˜ao ´e injetora ⇐⇒ T − λI n˜ao ´e bijetora ⇐⇒ n˜ao existe (T − λI)−1 : V −→ V. Ou seja, em dimens˜ao finita os autovalores s˜ao exatamente os escalares λ para os quais T − λI n˜ao ´e invert´ıvel. Em dimens˜ao infinita esse argumento n˜ao funciona e, al´em disso, quando (T − λI)−1 existir, devemos levar em conta sua continuidade. Essa necessidade nos levar´a ao conceito de espectro de um operador linear. Estudaremos neste cap´ıtulo os autovalores, os autovetores e o espectro de duas classes importantes de operadores, a saber, os operadores compactos entre espa¸cos normados e os operadores autoadjuntos entre espa¸cos de Hilbert.

134

7.1

Espectro de um operador linear cont´ınuo

Sejam E um espa¸co normado, T ∈ L(E, E) e λ um escalar que n˜ao ´e um autovalor de T . Ent˜ao ker(T − λI) = {0} e faz sentido considerar o operador (T − λI)−1 : (T − λI)(E) ⊆ E −→ E, que ´e injetor e linear. Nada sabemos, entretanto, sobre a continuidade de (T − λI)−1 e a sobrejetividade de (T − λI). Essas preocupa¸co˜es nos levam `a seguinte defini¸ca˜o: Defini¸ c˜ ao 7.1.1 O escalar λ ´e um valor regular do operador T se (T − λI) ´e bijetora e (T − λI)−1 : E −→ E ´e cont´ınua. O conjunto dos valores regulares de T ´e chamado de conjunto resolvente de T e denotado por ρ(T ). Seu complementar (K − ρ(T )) ´e chamado de espectro de T e denotado por σ(T ). Se E ´e um espa¸co de Banach, do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta sabemos que ρ(T ) = {λ ∈ K : (T − λI) ´e bijetora}. Em espa¸cos normados a continuidade da inversa (T − λI)−1 n˜ao segue sempre da continuidade de (T − λI) (veja Exemplo 2.4.3). Da defini¸c˜ao segue que todo autovalor de T pertence ao espectro de T . O exemplo a seguir mostra que nem sempre o espectro coincide com o conjunto dos autovalores: Exemplo 7.1.2 No Exemplo 4.3.10 estudamos o operador linear e cont´ınuo T : `2 −→ `2 , T ((a1 , a2 , a3 , . . . , )) = (0, a1 , a2 , . . .). Observe que T n˜ao possui autovalores. Por outro lado, T ´e injetor mas n˜ao ´e bijetor, portanto a origem pertence ao espectro de T mesmo n˜ao sendo um autovalor de T . O objetivo principal desta se¸ca˜o ´e provar a compacidade do espectro de um operador linear cont´ınuo em um espa¸co de Banach. O resultado a seguir ser´a de grande ajuda. (n)

Para T ∈ L(E, E) e n ∈ N, escrevemos T n = T ◦ · · · ◦T e T 0 = I. Proposi¸c˜ ao 7.1.3 Sejam E um espa¸co de Banach e T ∈ L(E, E) com kT k < 1. Ent˜ao 1 ∈ ρ(T ) e, em particular, (I − T ) tem inversa cont´ınua e −1

(I − T )

=

∞ X

T j ∈ L(E, E).

j=0

135

Demonstra¸ c˜ ao. Como kT j k ≤ kT kj para todo j e que

∞ P

∞ P

kT kj < ∞ pois kT k < 1, segue

j=0

kT j k < ∞. Dados naturais m > n, de

j=0

° ° ° ° m n m m ° °X ° °X X X ° j° ° ° ° j j j° °T ° −→ 0 se m, n −→ ∞, T − T °=° T °≤ ° ° ° ° ° j=0 j=0 j=n+1 j=n+1 Ã !∞ n P conclu´ımos que a sequˆencia Tj ´e de Cauchy no espa¸co de Banach L(E, E), logo j=0

n=1

convergente. Isso quer dizer que a s´erie

∞ P

T j converge, digamos S =

j=0

∞ P

T j ∈ L(E, E).

j=0

Um c´alculo simples revela que (I − T ) ◦ (I + T + · · · + T n ) = I − T n+1 = (I + T + · · · + T n ) ◦ (I − T ) para todo n ∈ N. Fazendo n −→ ∞, como T n+1 −→ 0 uma vez que kT k < 1, obtemos (I − T ) ◦ S = I = S ◦ (I − T ). Isso mostra que (I − T ) ´e invert´ıvel e que (I − T )−1 = S, provando o resultado. Teorema 7.1.4 Sejam E um espa¸co de Banach e T ∈ L(E, E). Ent˜ao o espectro de T ´e um compacto contido no disco (caso complexo) ou intervalo (caso real) {λ ∈ K : |λ| ≤ kT k}. Demonstra¸ c˜ ao. Seja λ ∈ ¡K com |λ| > kT k. Ent˜ao k λ1 T k < 1, e portanto da ¢ 1 Proposi¸c˜ao 7.1.3 temos 1 ∈ ρ λ T . Disso decorre que λ ∈ ρ(T ), mais precisamente, Ã∞ µ ¶! µ ¶−1 j X 1 1 1 1 (T − λI)−1 = − I− T =− T ∈ L(E, E). λ λ λ j=0 λ Provamos que {λ ∈ K : |λ| > kT k} ⊆ ρ(T ), logo σ(T ) ⊆ {λ ∈ K : |λ| ≤ kT k}. Em particular o resolvente ´e n˜ao-vazio e o espectro ´e limitado. Para completar a demonstra¸c˜ao basta provar que σ(T ) ´e fechado. Para isso mostraremos que ρ(T ) ´e aberto. J´a sabemos que ρ(T ) 6= ∅. Seja λ0 ∈ ρ(T ). Ent˜ao (T − λ0 I)−1 ∈ L(E, E), e em particular k(T − λ0 I)−1 k > 0. Seja λ ∈ K com |λ − λ0 | < k(T −λ10 I)−1 k . De ¡ ¢ T − λI = T − λ0 I − (λ − λ0 )I = (T − λ0 I) ◦ I − (λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 , chamando U = I − (λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 temos T − λI = (T − λ0 I) ◦ U . Como k(λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 k = |λ − λ0 | · k(T − λ0 I)−1 k < 1, a Proposi¸c˜ao 7.1.3 nos garante que U tem inversa cont´ınua definida em todo E. Assim U −1 ◦ (T − λ0 I)−1 = ((T − λ0 I) ◦ U )−1 = (T − λI)−1 n o existe e ´e cont´ınua, provando que λ ∈ ρ(T ). Ent˜ao λ ∈ K : |λ − λ0 | < k(T −λ10 I)−1 k ´e uma vizinhan¸ca de λ0 inteiramente contida em ρ(T ), provando que ρ(T ) ´e aberto. 136

7.2

Operadores compactos

Sejam E um espa¸co normado de dimens˜ao infinita e T : E −→ F um operador linear cont´ınuo. Sabemos que BE n˜ao ´e compacto em E, logo se T (BE ) for compacto em F , o operador T ter´a a grande vantagem de ‘consertar’ a n˜ao compacidade da bola unit´aria. Apesar de sempre ser limitado, T (BE ) pode n˜ao ser fechado, logo ´e razo´avel pedir apenas que seu fecho seja compacto: Defini¸ c˜ ao 7.2.1 Um operador linear T : E −→ F entre espa¸cos normados ´e dito compacto se T (BE ) ´e compacto em F . O pr´oximo resultado cont´em alguns exemplos e contraexemplos. Proposi¸c˜ ao 7.2.2 (a) Todo operador compacto ´e cont´ınuo. (b) Todo operador linear cont´ınuo de posto finito ´e compacto. (c) Um espa¸co normado E tem dimens˜ao finita se, e somente se, a identidade em E ´e um operador compacto. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Seja T : E −→ F um operador compacto. Por ser subconjunto do compacto T (BE ), o conjunto T (BE ) ´e limitado, e portanto T ´e cont´ınuo pela Proposi¸ca˜o 2.1.1(f). (b) Conjuntos fechados e limitados em espa¸cos de dimens˜ao finita s˜ao compactos (Proposi¸c˜ao 1.5.1). (c) Segue do Teorema 1.5.4. As seguintes caracteriza¸co˜es s˜ao simples mas muito u ´teis. Proposi¸c˜ ao 7.2.3 Sejam E e F espa¸cos normados. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para um operador linear T : E −→ F . (a) T ´e compacto. (b) T (A) ´e compacto em F para todo limitado A em E. encia (T (xn ))∞ (c) Para toda sequˆencia limitada (xn )∞ n=1 tem n=1 em E, a sequˆ subsequˆencia convergente em F . Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Seja A limitado em E, digamos kxk ≤ C, com C > 0 para todo x ∈ A. Ent˜ao C1 A ⊆ BE , e portanto C1 T (A) = C1 T (A) ⊆ T (BE ). Segue que 1 T (A) ´e compacto por ser um fechado dentro de um compacto. A compacidade de C T (A) ´e agora imediata. (b) =⇒ (c) Segue do fato de que em espa¸cos m´etricos, em particular em espa¸cos normados, toda sequˆencia em um compacto tem subsequˆencia convergente.

137

encia em T (BE ). Para cada n podemos tomar xn ∈ BE (c) =⇒ (a) Seja (yn )∞ n=1 uma sequˆ tal que 1 kT (xn ) − yn k < . n ∞ Por hip´otese (T (xn ))n=1 possui subsequˆencia convergente, digamos T (xnj ) −→ y ∈ F . De 1 j−→∞ + kT (xnj ) − yk −→ 0, kynj − yk ≤ kynj − T (xnj )k + kT (xnj ) − yk ≤ nj segue que ynj −→ y. Isso prova que T (BE ) ´e compacto. O exemplo a seguir ´e muito utilizado nas aplica¸co˜es. Exemplo 7.2.4 (Operadores integrais) Seja K : [a, b] × [c, d] −→ C uma fun¸c˜ao cont´ınua. Considere o operador Z b T : C[a, b] −→ C[c, d] , T (f )(t) = K(s, t)f (s) ds para todo t ∈ [c, d]. a

Deixamos ao leitor a tarefa de provar que T est´a bem definido, isto ´e, T (f ) ∈ C[c, d] para toda f ∈ C[a, b], e que T ´e linear. Queremos mostrar que o operador T ´e compacto, ou seja, T (BC[a,b] ) ´e compacto em C[c, d]. Para isso usaremos o Teorema de Ascoli (Teorema B.7 do Apˆendice B). Devemos provar que T (BC[a,b] ) satisfaz as condi¸c˜oes (a) e (b) do Teorema B.7. (a) Sejam t0 ∈ [c, d] e ε > 0. Como [a, b] × [c, d] ´e compacto e K ´e cont´ınua conclu´ımos que K ´e uniformemente cont´ınua. Existe ent˜ao δ > 0 tal que ε |K(s, t1 ) − K(s, t2 )| < para todos s ∈ [a, b] e t1 , t2 ∈ [c, d] com |t1 − t2 | < δ. b−a Assim, se f ∈ BC[a,b] e |t − t0 | < δ, ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ |T (f )(t) − T (f )(t0 )| = ¯ K(s, t)f (s) − K(s, t0 )f (s) ds¯¯ a Z b ≤ |K(s, t) − K(s, t0 )| · |f (s)| ds a Z b ε (b − a) = ε. ≤ |K(s, t) − K(s, t0 )| ds ≤ b−a a Isso prova que T (BC[a,b] ) ´e equicont´ınuo em C[c, d]. (b) Sejam t0 ∈ [c, d] e f ∈ C[a, b], kf k∞ ≤ 1. Ent˜ao Z b Z b |T (f )(t0 )| ≤ |K(s, t0 )| · |f (s)| ds ≤ |K(s, t0 )| ds. a

a

Segue que o operador T ´e compacto. A fun¸ca˜o K ´e chamada de n´ ucleo do operador integral T . 138

Denotamos por K(E, F ) o conjunto dos operadores compactos de E em F . Proposi¸c˜ ao 7.2.5 Sejam E e F espa¸cos normados. Ent˜ao K(E, F ) ´e subespa¸co vetorial de L(E, F ). Se F ´e espa¸co de Banach ent˜ao K(E, F ) ´e fechado em L(E, F ). Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos para o leitor provar que K(E, F ) ´e subespa¸co vetorial de L(E, F ). Suponhamos F completo e provemos que K(E, F ) ´e fechado em L(E, F ). Para isso seja (Tn )∞ encia de operadores compactos tal que Tn −→ T em L(E, F ). n=1 uma sequˆ A demonstra¸c˜ao estar´a completa ao provarmos que T ´e compacto. Seja (xm )∞ m=1 uma sequˆencia limitada em E, digamos kxm k ≤ C para todo m e algum C > 0. Pelo encia convergente em F . Teorema 7.2.3 basta mostrar que (T (xm ))∞ m=1 possui subsequˆ ∞ ∞ e Como T1 ´e compacto, (xm )m=1 tem subsequˆencia (x1,m )m=1 tal que (T1 (x1,m ))∞ m=1 ´ ∞ de Cauchy em F . Pelos mesmos motivos, a sequˆencia (x1,m )m=1 possui subsequˆencia ∞ (x2,m )∞ e de Cauchy em F . Em cada passo desse processo a m=1 tal que (T2 (x2,m ))m=1 ´ sequˆencia constru´ıda ´e limitada e o operador seguinte ´e compacto, portanto o processo pode ser repetido indefinidamente. Podemos assim considerar a sequˆencia diagonal (ym )∞ m=1 = (x1,1 , x2,2 , x3,3 , . . .), que ´e subsequˆencia de (xm )∞ c˜ao de que (Tn (ym ))∞ e uma sequˆencia m=1 e satisfaz a condi¸ m=1 ´ de Cauchy em F para todo n natural. Temos, em particular, que kym k ≤ C para todo m. Seja ε > 0. Como Tn −→ T podemos tomar n0 ∈ N tal que ε . kT − Tn0 k < 3C Por (Tn0 (ym ))∞ m=1 ser de Cauchy, existe n1 ∈ N tal que ε para todos j, k > n1 . kTn0 (yj ) − Tn0 (yk )k < 3 Por fim, kT (yj ) − T (yk )k ≤ kT (yj ) − Tn0 (yj )k + kTn0 (yj ) − Tn0 (yk )k + kTn0 (yk ) − T (yk )k ε ε ε ε C+ + C=ε ≤ kT − Tn0 k kyj k + + kTn0 − T k kyk k < 3 3C 3 3C para todos j, k > n1 . Isso mostra que (T (ym ))∞ e de Cauchy e portanto convergente m=1 ´ em F . Proposi¸c˜ ao 7.2.6 (Propriedade de ideal) Sejam E0 , E, F, F0 espa¸cos normados e S : E0 −→ E, T : E −→ F e U : F −→ F0 operadores lineares com S e U cont´ınuos e T compacto. Ent˜ao U ◦ T ◦ S ´e compacto. Demonstra¸ c˜ ao. Provaremos a compacidade de U ◦ T ◦ S usando a condi¸ca˜o (c) encia limitada em E0 . Como operadores da Proposi¸ca˜o 7.2.3. Seja (xn )∞ n=1 uma sequˆ lineares cont´ınuos transformam conjuntos limitados em conjuntos limitados, a sequˆencia e limitada em E. Da compacidade de T segue que (T (S(xn )))∞ (S(xn ))∞ n=1 tem n=1 ´ subsequˆencia convergente em F , digamos T (S(xnk )) −→ y ∈ F . A continuidade de U revela que U (T (S(xnk ))) −→ U (y) ∈ F0 , provando a compacidade de U ◦ T ◦ S. 139

Teorema 7.2.7 (Teorema de Schauder) Sejam E e F espa¸cos normados e T ∈ L(E, F ). Ent˜ao T ´e compacto se, e somente se, T 0 : F 0 −→ E 0 ´e compacto. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha T compacto. Dada uma sequˆencia (ϕn )∞ n=1 em BF 0 devemos provar que a sequˆencia (T 0 (ϕn ))∞ tem subsequˆ e ncia convergente em E 0 . Chamando n=1 K = T (BE ) temos da compacidade de T que K ´e um espa¸co m´etrico compacto. Para cada n chame de fn a restri¸ca˜o de ϕn a K, fn = ϕn |K ∈ C(K). Ent˜ao A := {fn : n ∈ N} ´e um subconjunto de C(K). Vejamos que as condi¸co˜es (a) e (b) do Teorema de Ascoli (Teorema B.7 do Apˆendice B) est˜ao satisfeitas: (a) Dados t0 ∈ K e ε > 0, tome δ = ε. Se t ∈ K ´e tal que kt − t0 k < δ, ent˜ao sup |fn (t) − fn (t0 )| = sup |ϕn (t − t0 )| ≤ sup kϕn k · kt − t0 k ≤ kt − t0 k < δ = ε. n

n

n

(b) Para todo t ∈ K, sup |fn (t)| = sup |ϕn (t)| ≤ sup kϕn k · ktk ≤ ktk. n

n

n

Do Teorema de Ascoli segue que A ´e compacto em C(K), e portanto existem uma ∞ subsequˆencia (fnk )∞ k=1 de (fn )n=1 e f ∈ C(K) tais que ϕnk |K = fnk −→ f em C(K). Essa convergˆencia quer dizer que sup |T 0 (ϕnk )(x) − f (T (x))| = sup |ϕnk (T (x)) − f (T (x))| ≤ sup |ϕnk (t) − f (t)|

x∈BE

x∈BE

t∈T (BE )

= kfnk − f k∞ −→ 0 se k −→ ∞. Da desigualdade triangular conclu´ımos que kT 0 (ϕnk ) − T 0 (ϕnj )k = sup |T 0 (ϕnk )(x) − T 0 (ϕnj )(x)| −→ 0 se k, j −→ ∞, x∈BE

provando que a subsequˆencia (T 0 (ϕnk ))∞ e de Cauchy no espa¸co de Banach E 0 , logo k=1 ´ convergente. Reciprocamente suponha T 0 compacto. Pelo que acabamos de provar sabemos que o operador T 00 : E 00 −→ F 00 ´e compacto. E do Exerc´ıcio 4.5.19 sabemos que T = JF−1 ◦ T 00 ◦ JE , logo T ´e compacto pela Proposi¸ca˜o 7.2.6. Terminamos esta se¸ca˜o caracterizando os operadores compactos definidos em espa¸cos reflexivos como sendo exatamente aqueles que transformam sequˆencias fracamente convergentes em sequˆencias convergentes. Proposi¸c˜ ao 7.2.8 Sejam E e F espa¸cos normados e T ∈ L (E, F ). (a) Se T ´e compacto, ent˜ao vale a implica¸c˜ ao w

xn −→ x em E =⇒ T (xn ) −→ T (x) em F. (b) Se E ´e reflexivo, ent˜ao T ´e compacto se, e somente se, vale (7.1). 140

(7.1)

w

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Da hip´otese xn −→ x e da implica¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 6.2.9 que w n˜ao exige completude segue que T (xn ) −→ T (x). Suponha que (T (xn ))∞ ao convirja n=1 n˜ em norma para T (x). Neste caso existem ε > 0 e uma subsequˆencia (T (xnk ))∞ k=1 tais que kT (xnk ) − T (x)k ≥ ε para todo k. (7.2) w

De xnk −→ x segue que (xnk )∞ e limitada, e portanto, pela compacidade de T , k=1 ´ ∞ (T (xnk ))k=1 admite subsequˆencia (T (xnkj ))∞ j=1 convergente, digamos T (xnkj ) −→ y ∈ F. w

Por maior raz˜ao T (xnkj ) −→ y e, como a topologia fraca ´e de Hausdorff, conclu´ımos que T (x) = y. Ent˜ao T (xnkj ) −→ T (x), o que contradiz (7.2). (b) Suponha E reflexivo e que valha (7.1). Dada uma sequˆencia limitada (xn )∞ n=1 em E, pelo Teorema 6.5.4, podemos extrair uma subequˆencia fracamente convergente, digamos w xnk −→ x ∈ E. Por hip´otese T (xnk ) −→ T (x) e portanto T ´e compacto pela Proposi¸ca˜o 7.2.3.

7.3

Teoria espectral de operadores compactos

O objetivo desta se¸ca˜o ´e descrever o espectro de um operador compacto. Come¸camos mostrando que os autoespa¸cos associados aos autovalores n˜ao-nulos de um operador compacto s˜ao todos de dimens˜ao finita. Proposi¸c˜ ao 7.3.1 Sejam E um espa¸co de Banach, T : E −→ E um operador compacto e λ um escalar n˜ao-nulo. Ent˜ao: (a) Vλ := ker(T − λI) tem dimens˜ao finita. (b) (T − λI)(E) ´e fechado em E. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Pelo Teorema 1.5.4 basta mostrar que a bola unit´aria fechada BVλ ´e compacta. Para isso seja (xn )∞ encia em BVλ . Da compacidade de n=1 uma sequˆ ∞ T podemos extrair de (T (xn ))n=1 uma subsequˆencia convergente, digamos T (xnk ) −→ x ∈ E. Como cada xn ∈ ker(T − λI), T (xn ) = λxn e portanto xn k =

1 1 T (xnk ) −→ x. λ λ

´ claro que 1 x ∈ BV pois BV ´e fechado. Segue que a bola BV ´e compacta. E λ λ λ λ (b) Pelo item (a) sabemos que Vλ tem dimens˜ao finita, logo ´e complementado em E (veja o Exemplo 3.2.4). Da Proposi¸c˜ao 3.2.2 existe um subespa¸co fechado M de E tal que E = Vλ ⊕ M . Considere o operador linear cont´ınuo S : M −→ E , S(x) = T (x) − λx. 141

Como M ∩ ker(T − λI) = M ∩ Vλ = {0}, segue que S ´e injetora. O operador (T − λI) se anula em Vλ , logo S(M ) = (T − λI)(E) e portanto basta provar que S(M ) ´e fechado. Vejamos que existe r > 0 tal que rkxk ≤ kS(x)k para todo x ∈ M.

(7.3)

Suponha que (7.3) n˜ao seja v´alida. Neste caso, para cada n ∈ N podemos tomar 0 6= zn ∈ M tal que kS(zn )k < n1 kzn k. Chamando xn = kzznn k temos kS(xn )k < n1 para todo n. Assim kxn k = 1 para todo n e S(xn ) −→ 0. Da compacidade de T podemos extrair de (T (xn ))∞ encia convergente, digamos T (xnk ) −→ x0 ∈ E. n=1 uma subsequˆ Assim λxnk = T (xnk ) − S(xnk ) −→ x0 . (7.4) Como M ´e subespa¸co fechado segue que x0 ∈ M . Mais ainda, S(x0 ) = lim S(λxnk ) = λ lim S(xnk ) = 0. k

k

Da injetividade de S obtemos x0 = 0. Por outro lado, (7.4) nos informa que kx0 k = lim kλxnk k = |λ| > 0 k

pois kxn k = 1 para todo n. Essa contradi¸ca˜o prova a existˆencia de r > 0 satisfazendo (7.3). Seja agora (S(yn ))∞ encia de Cauchy em S(M ). De n=1 uma sequˆ 1 1 kym − yn k ≤ kS(ym − yn )k = kS(ym ) − S(yn )k r r conclu´ımos que a sequˆencia (yn )∞ e de Cauchy em M , logo convergente, digamos n=1 ´ yn −→ y ∈ M . Da continuidade de S segue que S(yn ) −→ S(y) ∈ S(M ). Isso prova que S(M ) ´e completo, portanto fechado. Observa¸ c˜ ao 7.3.2 N˜ao se deve esperar que a Proposi¸c˜ao 7.3.1(a) funcione para λ = 0. Um exemplo extremo ´e o operador identicamente nulo em um espa¸co de dimens˜ao infinita, que ´e compacto e para o qual V0 tem dimens˜ao infinita por coincidir com o espa¸co todo. O seguinte lema elementar ser´a u ´til para a demonstra¸ca˜o do Lema 7.3.4, que ´e o ingrediente principal para a demonstra¸c˜ao da Alternativa de Fredholm: Lema 7.3.3 Sejam A um conjunto qualquer e f : A −→ A uma fun¸c˜ ao injetora que n˜ ao ´e sobrejetora. Ent˜ao f (f (A)) ´e subconjunto pr´oprio de f (A). ´ claro que f (f (A)) ⊆ f (A). Como f n˜ao ´e sobrejetora, podemos Demonstra¸ c˜ ao. E ´ claro que f (x) ∈ f (A). Suponha que f (x) ∈ f (f (A)). Neste tomar x ∈ (A − f (A)). E caso existe y ∈ A tal que f (x) = f (f (y)). Como f ´e injetora segue que x = f (y) ∈ f (A). Esse absurdo mostra que f (x) ∈ / f (f (A)), logo f (f (A)) ´e subconjunto pr´oprio de f (A).

142

Lema 7.3.4 Sejam E um espa¸co de Banach, T : E −→ E um operador compacto e λ ∈ K, λ 6= 0. Ent˜ao o operador (T − λI) ´e injetor se, e somente se, ´e sobrejetor. Demonstra¸ c˜ ao. Se E tiver dimens˜ao finita, o resultado ´e imediato. Tratemos ent˜ao do caso em que E tem dimens˜ao infinita. Suponha que (T − λI) seja injetor mas n˜ao sobrejetor. Neste caso E1 := (T − λI)(E) ´e um subespa¸co pr´oprio de E. Da Proposi¸ca˜o 7.3.1(b) sabemos que E1 ´e um espa¸co de Banach. Al´em disso, dado x ∈ E1 existe y ∈ E tal que x = T (y) − λy. Chamando z = T (y) ∈ E, T (x) = T (T (y)) − λT (y) = T (z) − λz ∈ (T − λI)(E) = E1 , ´ claro que a restri¸ca˜o de operador compacto ´e um operador provando que T (E1 ) ⊆ E1 . E compacto, logo a restri¸c˜ao de T a E1 , T |E1 : E1 −→ E1 , ´e um operador compacto e definido no espa¸co de Banach E1 . Ent˜ao E2 := (T − λI)(E1 ) = (T − λI)2 (E) ´e subespa¸co fechado de E1 pela Proposi¸c˜ao 7.3.1(b). Como (T − λI) ´e injetora, pelo Lema 7.3.3 temos E2 6= E1 . Procedendo desta forma constru´ımos uma sequˆencia estritamente decrescente (En )∞ cos fechados n=1 de subespa¸ n de E onde En = (T − λI) (E) para todo n. Pelo Lema de Riesz (Lema 1.5.3) podemos construir uma sequˆencia (xn )∞ n=1 tal que cada xn ∈ En , kxn k = 1 e 1 dist(xn , En+1 ) ≥ . 2 Por um lado, a sequˆencia (T (xn ))∞ encia convergente por T ser n=1 admite subsequˆ compacto. Por outro lado, para n > m temos (T (xn ) − λxn ) ∈ En+1 ⊆ Em+1 , (T (xm ) − λxm ) ∈ Em+1 e λxn ∈ En ⊆ Em+1 , e portanto 1 [(T (xn ) − λxn ) − (T (xm ) − λxm ) + λxn ] ∈ Em+1 . λ Disso segue que kT (xn ) − T (xm )k = k(T (xn ) − λxn ) − (T (xm ) − λxm ) + λxn − λxm k ° µ ¶° ° ° 1 ° λ =° [(T (x ) − λx ) − (T (x ) − λx ) + λx ] − x n n m m n m ° ° λ ° ° °1 ° ° = |λ| · ° [(T (x ) − λx ) − (T (x ) − λx ) + λx ] − x n n m m n m °λ ° |λ| ≥ |λ| · dist(xm , Em+1 ) ≥ 2 encia para todos n > m. Isso claramente contradiz o fato de (T (xn ))∞ n=1 ter subsequˆ convergente e completa a demonstra¸c˜ao de que a injetividade de (T − λI) implica em sua sobrejetividade. 143

Reciprocamente suponha (T − λI) sobrejetor, isto ´e (T − λI)(E) = E. Como o adjunto da identidade em E ´e a identidade em E 0 , ker(T 0 − λI) = ker((T − λI)0 ) = ((T − λI)(E))⊥ = E ⊥ = {0} (veja Exerc´ıcio 4.5.23). Da´ı conclu´ımos que (T 0 − λI) ´e injetor. Mas T 0 ´e compacto pelo Teorema 7.2.7; ent˜ao a primeira parte da demonstra¸ca˜o nos informa que (T − λI)0 = (T 0 − λI) ´e sobrejetor. Usando novamente o Exerc´ıcio 4.5.23, ker(T − λI) =

⊥

((T − λI)0 )(E 0 ) =

⊥

(E 0 ) = {0},

o que prova que (T − λI) ´e injetor. Apliquemos o Lema 7.3.4 para o escalar λ = 1. A condi¸ca˜o (T − I) ser injetor quer dizer que T n˜ao tem ponto fixo n˜ao-nulo, e a condi¸ca˜o (T − I) ser sobrejetor quer dizer que a equa¸ca˜o T (x) − x = y tem solu¸ca˜o para todo y ∈ E. Temos ent˜ao o Teorema 7.3.5 (Alternativa de Fredholm) Sejam E um espa¸co de Banach e T : E −→ E um operador compacto. Ent˜ao uma e apenas uma das possibilidades abaixo ocorre: (a) T tem um ponto fixo n˜ao-nulo. (b) A equa¸c˜ ao T (x) − x = y tem solu¸c˜ ao para todo y ∈ E. Usaremos agora o Lema 7.3.4 para provar que, com a poss´ıvel exce¸ca˜o da origem, o espectro de um operador compacto ´e formado apenas por autovalores. Teorema 7.3.6 Sejam E um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita e T : E −→ E um operador compacto. Ent˜ao S σ(T ) = {0} {λ ∈ K : λ ´e autovalor de T }. ´ claro que 0 ∈ σ(T ), pois se fosse 0 ∈ ρ(T ), T −1 ∈ L(E, E) e Demonstra¸ c˜ ao. E −1 ent˜ao I = T ◦ T seria compacto pela Proposi¸ca˜o 7.2.6, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pela Proposi¸ca˜o 7.2.2(c). O fato de todo autovalor pertencer ao espectro decorre das defini¸c˜oes. Reciprocamente, suponha λ ∈ σ(T ), λ 6= 0. Ent˜ao o operador (T − λI) n˜ao ´e injetor ou n˜ao ´e sobrejetor. Mas, se for injetor, pelo Lema 7.3.4 ser´a tamb´em sobrejetor. Resta ent˜ao apenas a possibilidade de (T − λI) n˜ao ser injetor, e isso quer dizer exatamente que λ ´e um autovalor de T . Ou ´ltimo resultado desta se¸ca˜o diz, essencialmente, que o espectro de um operador compacto se comporta como uma sequˆencia cujas u ´nicas subsequˆencias convergentes, caso existam, convergem para zero. Teorema 7.3.7 O espectro de um operador compacto T : E −→ E em um espa¸co de Banach E ´e enumer´avel, podendo ser finito, e o u ´nico ponto de acumula¸c˜ ao poss´ıvel ´e o zero. 144

Demonstra¸ c˜ ao. Em vista do Teorema 7.3.6 basta mostrar que para todo ε > 0, o conjunto dos autovalores λ tais que |λ| ≥ ε ´e finito. Suponha que isso n˜ao aconte¸ca. Neste caso existe ε0 > 0 tal que o conjunto dos autovalores λ tais que |λ| ≥ ε0 ´e infinito. Podemos ent˜ao considerar uma sequˆencia (λn )∞ n=1 formada por autovalores distintos de T tais que |λn | ≥ ε0 para todo n. Logo, para cada n existe xn 6= 0 tal que T (xn ) = λn xn . ´ Desde o curso de Algebra Linear o leitor sabe que autovetores associados a autovalores distintos s˜ao linearmente independentes, portanto o conjunto {x1 , x2 , . . .} ´e linearmente independente. Para cada n considere o espa¸co n-dimensional Mn = [x1 , . . . , xn ]. Ent˜ao cada z ∈ Mn tem representa¸c˜ao u ´nica na forma n X aj xj , onde a1 , . . . , an ∈ K. z= j=1

Assim (T − λn I)(z) =

n X

n n n n−1 X X X X aj T (xj ) − λn aj xj = aj λj xj − λn aj xj = aj (λj − λn )xj ,

j=1

j=1

j=1

j=1

j=1

e consequentemente (T − λn I)(z) ∈ Mn−1 para todo z ∈ Mn .

(7.5)

Cada Mn ´e obviamente fechado; portanto usando o Lema de Riesz (Lema 1.5.3) constru´ımos uma sequˆencia (yn )∞ n=1 tal que para todo n, 1 yn ∈ Mn , kyn k = 1 e dist(yn , Mn−1 ) ≥ . 2 De uma maneira muito similar ao que fizemos na demonstra¸ca˜o da Proposi¸ca˜o 7.3.4 mostraremos que ε0 kT (yn ) − T (ym )k ≥ para todos n > m, 2 o que estar´a em clara contradi¸ca˜o com a compacidade de T . Comece observando que T (Mn ) ⊆ Mn pois cada xj ´e autovalor de T . Sejam m, n inteiros positivos com n > m. Como ym ∈ Mm ⊆ Mn−1 , T (ym ) ∈ T (Mn−1 ) ⊆ Mn−1 . Como yn ∈ Mn , de (7.5) segue que λn yn − T (yn ) = −(T − λn I)(yn ) ∈ Mn−1 . Logo (λn yn − T (yn )) + T (ym ) ∈ Mn−1 . Decorre ent˜ao que kT (ym ) − T (yn )k = kλn yn − T (yn ) + T (ym ) − λn yn k ° µ ¶° ° ° 1 ° = °λ n [(λn yn − T (yn )) + T (ym )] − yn ° ° λ °n ° °1 ° ° = |λn | · ° ° λn [(λn yn − T (yn )) + T (ym )] − yn ° ε0 ≥ |λn | · dist(yn , Mn−1 ) ≥ , 2 145

para todos n > m. A demonstra¸c˜ao est´a completa.

7.4

Operadores autoadjuntos em espa¸cos de Hilbert

Seja H um espa¸co de Hilbert. Chamemos de uH : H −→ H 0 a aplica¸ca˜o dada por uH (x)(y) = hy, xi para todos x, y ∈ H, que do Teorema de Riesz–Fr´echet (Teorema 5.5.2) sabemos ser bijetora e satisfazer a condi¸c˜ao kuH (x)k = kxk para todo x ∈ H. Em particular, uH ´e cont´ınua. No caso real uH ´e um isomorfismo isom´etrico (Corol´ario 5.5.3), mas no caso complexo uH n˜ao ´e linear, uma vez que uH (λx) = λ · uH (x). (7.6) Se H1 e H2 s˜ao espa¸cos de Hilbert reais e T ∈ L(H1 , H2 ), sabemos que o operador adjunto T 0 : H20 −→ H10 ´e linear cont´ınuo e tem a mesma norma que T (Proposi¸c˜ao 4.3.11). Vejamos que a cadeia uH

T0

u−1 H

1 2 H1 H2 −→ H20 −→ H10 −→

nos ensina a reconhecer o adjunto de T como operador de H2 em H1 : Proposi¸c˜ ao 7.4.1 Sejam H1 e H2 espa¸cos de Hilbert e T ∈ L(H1 , H2 ). Definindo −1 ∗ T := uH1 ◦ T 0 ◦ uH2 ´e verdade que: (a) T ∗ ∈ L(H2 , H1 ). (b) hT (x), yi = hx, T ∗ (y)i para todos x ∈ H1 e y ∈ H2 . (c) T ∗ ´e o u ´nico operador em L(H2 , H1 ) satisfazendo (b). (d) A correspondˆencia T ∈ L(H1 , H2 ) 7→ T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) ´e bijetora e kT k = kT ∗ k. No caso real esta correspondˆencia ´e um isomorfismo isom´etrico. Demonstra¸ c˜ ao. Para a linearidade de T ∗ falta apenas provar a homogeneidade, isto ´e, T ∗ (λx) = λT ∗ (x). Como λ = λ, homogeneidade de T ∗ segue da linearidade de T 0 e da ∗ aplica¸c˜ao de (7.6) para u−1 e cont´ınuo por ser a composi¸c˜ao H1 e para uH2 . O operador T ´ de aplica¸co˜es cont´ınuas. Dados x ∈ H1 e y ∈ H2 , hx, T ∗ (y)i = uH1 (T ∗ (y))(x) = [(uH1 ◦ T ∗ )(y)](x) = [(T 0 ◦ uH2 )(y)](x) = T 0 (uH2 (y))(x) = uH2 (y)(T (x)) = hT (x), yi. Por um lado, −1 0 0 0 kT ∗ (y)k = ku−1 H1 ◦ T ◦ uH2 (y)k = kuH1 (T ◦ uH2 (y))k = kT ◦ uH2 (y)k

≤ kT 0 k · kuH2 (y)k = kT k · kyk, provando que kT ∗ k ≤ kT k. Por outro lado, procedendo analogamente para a igualdade 0 ∗ T 0 = uH1 ◦ T ∗ ◦ u−1 H2 obtemos kT k = kT k ≤ kT k. Deixamos as demais informa¸co˜es como exerc´ıcio. 146

Defini¸ c˜ ao 7.4.2 Seja H um espa¸co de Hilbert. Um operador T ∈ L(H, H) ´e chamado de autoadjunto se T = T ∗ . ´ claro que o operador nulo e o operador identidade em um espa¸co Exemplo 7.4.3 (a) E de Hilbert s˜ao autoadjuntos. (b) O que provamos no Exemplo 4.3.10 nos diz que o operador ‘shift para tr´as’ T : `2 −→ `2 , T ((a1 , a2 , a3 , . . . , )) = (a2 , a3 , . . .), n˜ao ´e autoadjunto. (c) Sejam (X, Σ, µ) um espa¸co de medida e g ∈ L∞ (µ). Como |g| ≤ kgk∞ µ-quase sempre, o operador multiplica¸c˜ao Tg : L2 (µ) −→ L2 (µ) , Tg (f ) = f g, ´e linear e cont´ınuo (kTg k ≤ kgk∞ ). Vejamos sob quais condi¸c˜oes o operador Tg ´e autoadjunto. Sabemos que Z 0 uL2 (µ) : L2 (µ) −→ L2 (µ) , uL2 (µ) (h)(f ) = f h dµ, e X

Tg0 :

0

0

L2 (µ) −→ L2 (µ) ,

Tg0 (ϕ)(f )

Observe que Tg∗ (f )

−1

= (uL2 (µ) )

(Tg0 (uL2 (µ) (f )))

−1

= (uL2 (µ) ) µ ¶ Z −1 = (uL2 (µ) ) h 7→ hgf dµ .

= ϕ(f g).

µ µ ¶¶ Z 0 Tg h 7→ hf dµ X

X

Aplicando uL2 (µ) segue que

µ

uL2 (µ) (Tg∗ (f ))

=

¶

Z h 7→

hgf dµ , X

isto ´e,

Z uL2 (µ) (Tg∗ (f ))(h)

=

hgf dµ. X

Impondo a condi¸c˜ao Tg∗ (f ) = Tg (f ) resulta que Z Z Z ∗ hTg (f ) dµ = hgf dµ = uL2 (µ) (Tg (f ))(h) = uL2 (µ) (Tg (f ))(h) = hf g dµ X

X

X

para toda h ∈ L2 (µ). Assim Tg∗ = Tg ⇐⇒ Tg∗ (f ) = Tg (f ) para toda f ∈ L2 (µ) Z Z ⇐⇒ hgf dµ = hf g dµ para todas f, h ∈ L2 (µ) X

X

⇐⇒ g = g em L2 (µ) ⇐⇒ g(x) ∈ R µ−quase sempre. Em palavras, Tg ´e autoadjunto se, e somente se, a fun¸ca˜o g assume valores reais µ-quase sempre. No caso real Tg sempre ´e autoadjunto. 147

No caso complexo ´e f´acil identificar os operadores autoadjuntos: Proposi¸c˜ ao 7.4.4 Sejam H um espa¸co de Hilbert complexo e T ∈ L(H, H). Ent˜ao T ´e autoadjunto se, e somente se, hT (x), xi ∈ R para todo x ∈ H. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha T autoadjunto. Para todo x ∈ H, hT (x), xi = hx, T ∗ (x)i = hx, T (x)i = hT (x), xi. Reciprocamente, supondo que hT (x), xi ∈ R para todo x ∈ H, temos hT (x), xi + λhT (x), yi + λhT (y), xi + |λ|2 hT (y), yi = hT (x + λy), x + λyi = hT (x + λy), x + λyi = hT (x), xi + λhy, T (x)i + λhx, T (y)i + |λ|2 hT (y), yi, e portanto λhT (x), yi + λhT (y), xi = λhy, T (x)i + λhx, T (y)i, para todos x, y ∈ H e λ ∈ C. Tomando λ = 1 e λ = −i obtemos hT (x), yi + hT (y), xi = hy, T (x)i + hx, T (y)i e hT (x), yi − hT (y), xi = −hy, T (x)i + hx, T (y)i. Somando as duas equa¸c˜oes temos hT (x), yi = hx, T (y)i para todos x, y ∈ H. O item (c) da Proposi¸c˜ao 7.4.1 revela que T ∗ = T . O pr´oximo resultado fornece uma caracteriza¸c˜ao u ´til da norma de um operador autoadjunto. Teorema 7.4.5 Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H, H) um operador autoadjunto. Ent˜ao kT k = sup {|hT (x), xi| : kxk = 1} . Demonstra¸ c˜ ao. Se T = 0, o resultado ´e imediato. Suponhamos T 6= 0. Note que, da desigualdade de Cauchy–Schwarz (Proposi¸c˜ao 5.1.2), |hT x, xi| ≤ kT (x)k · kxk ≤ kT k · kxk2 para todo x ∈ H, e portanto sup {|hT (x), xi| : kxk = 1} ≤ kT k . Resta provar a desigualdade inversa. Como T 6= 0, podemos tomar x0 ∈ H com kx0 k = 1 e T (x0 ) 6= 0. Chamemos 1

1

x := kT (x0 )k 2 · x0 e y = kT (x0 )k− 2 · T (x0 ). 148

´ claro que hT (x), yi = kT (x0 )k2 e, como T ´e Ent˜ao kxk2 = kyk2 = kT (x0 )k. E autoadjunto, hT (y), xi = hy, T (x)i = hT (x), yi = kT (x0 )k2 , provando que

hT (x), yi = hT (y), xi = kT (x0 )k2 .

Definindo u = x + y e v = x − y, e subtraindo as equa¸co˜es hT (u), ui = hT (x), xi + hT (x), yi + hT (y), xi + hT (y), yi hT (v), vi = hT (x), xi − hT (x), yi − hT (y), xi + hT (y), yi, obtemos

hT (u), ui − hT (v), vi = 2hT (x), yi + 2hT (y), xi = 4 kT (x0 )k2 .

Escrevamos C = sup {|hT (z), zi| : kzk = 1} para simplificar a nota¸ca˜o e vejamos que |hT (w), wi| ≤ C kwk2 para todo w ∈ H. De fato, para w = 0 o resultado ´e imediato, e para w 6= 0, ¯¿ µ ¶ À¯ ¯ ¯ 1 w w ¯ ≤ C. ¯ T · |hT (w), wi| = , ¯ kwk2 kwk kwk ¯ Usando a Lei do Paralelogramo e lembrando que hT (w), wi ∈ R para todo w ∈ H (Proposi¸c˜ao 7.4.4), temos 4 kT x0 k2 = hT (u), ui − hT (v), vi ≤ |hT (u), ui| + |hT (v), vi| ≤ C kuk2 + C kvk2 = C kx + yk2 + C kx − yk2 ¡ ¢ = 2C kxk2 + kyk2 = 4C kT (x0 )k . Como T (x0 ) 6= 0 conclu´ımos que kT (x0 )k ≤ C. Isso vale para todo x0 ∈ H tal que kx0 k = 1 e T (x0 ) 6= 0. Ent˜ao, kT k = sup{kT (x0 )k : kx0 k = 1} = sup{kT (x0 )k : kx0 k = 1 e T (x0 ) 6= 0} ≤ C.

7.5

Teoria espectral de operadores autoadjuntos

Exploraremos nesta se¸c˜ao as propriedades espectrais dos operadores autoadjuntos e tamb´em dos operadores que s˜ao simultaneamente compactos e autoadjuntos. Come¸camos mostrando que os autovalores de um operador autoadjunto s˜ao sempre reais e que autovetores associados a autovalores distintos s˜ao ortogonais:

149

Proposi¸c˜ ao 7.5.1 Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H, H) um operador autoadjunto. Ent˜ao: (a) Os autovalores de T s˜ao n´ umeros reais. (b) Se λ e µ s˜ ao autovalores distintos de T ent˜ao Vλ ⊥ Vµ , isto ´e, hx, yi = 0 para quaisquer x ∈ Vλ e y ∈ Vµ . Demonstra¸ c˜ ao. (a) Dado um autovalor λ de T tome x0 um autovetor n˜ao-nulo associado a λ. Da Proposi¸c˜ao 7.4.4 sabemos que hT (x0 ), x0 i ∈ R, logo λ=

1 1 · hλx0 , x0 i = · hT (x0 ), x0 i ∈ R. 2 kx0 k kx0 k2

(b) Por (a) sabemos que λ e µ s˜ao n´ umeros reais. Ent˜ao, para x ∈ Vλ e y ∈ Vµ , λhx, yi = hλx, yi = hT (x), yi = hx, T (y)i = hx, µyi = µhx, yi. Logo (λ − µ)hx, yi = 0, e portanto hx, yi = 0 pois λ 6= µ. Nosso pr´oximo objetivo (Teorema 7.5.3) refinar´a a informa¸c˜ao acima e provar´a que todo o espectro de um operador autoadjunto ´e real. Proposi¸c˜ ao 7.5.2 Sejam H um espa¸co de Hilbert, T ∈ L(H, H) um operador autoadjunto e λ ∈ K. Ent˜ao λ ∈ ρ(T ) se, e somente se, existe C > 0 tal que kT (x) − λxk ≥ C kxk para todo x ∈ H. Demonstra¸ c˜ ao. Se λ ∈ ρ(T ), ent˜ao T −λI : E −→ E ´e bijetora, logo ´e um isomorfismo pelo Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta. Ent˜ao kxk ≤ k(T − λI)−1 k · kT (x) − λxk para todo x ∈ H e o resultado segue. Reciprocamente suponha que exista C > 0 tal que kT (x) − λxk ≥ C kxk para todo x ∈ H. Devemos provar que T −λI ´e bijetora. A injetividade ´e simples: se T (x)−λx = 0 ent˜ao 0 ≤ Ckxk ≤ kT (x) − λxk = 0, provando que x = 0. Para a sobrejetividade basta provar que (T − λI)(H) ´e fechado e ⊥ denso em H. Suponha que exista 0 6= x0 ∈ (T − λI)(H) . Ent˜ao para todo x ∈ H, 0 = hT (x) − λx, x0 i = hT (x), x0 i − λhx, x0 i. Como T ´e autoadjunto segue que hx, T (x0 )i = hT (x), x0 i = λhx, x0 i = hx, λx0 i para todo x ∈ H, provando que T (x0 ) = λx0 . Isso quer dizer que λ ´e um autovalor do operador autoadjunto T , logo λ ´e um n´ umero real pela Proposi¸c˜ao 7.5.1(a). Neste caso 0 = kT (x0 ) − λx0 k ≥ Ckx0 k > 0, 150

⊥

absurdo este que nos garante que (T − λI)(H) = {0}. Do Teorema 5.2.5(a) conclu´ımos que ⊥ H = (T − λI)(H) ⊕ (T − λI)(H) = (T − λI)(H), e portanto (T − λI)(H) ´e denso em H. Sejam agora y ∈ (T − λI)(H) e (yn )∞ encia em (T −λI)(H) que converge n=1 uma sequˆ para y. Para cada n podemos tomar xn ∈ H tal que yn = T (xn ) − λxn . Logo 1 1 kT (xn − xm ) − λ(xn − xm )k = kyn − ym k C C para todos naturais n, m. Da convergˆencia da sequˆencia (yn )∞ ımos que a n=1 conclu´ sequˆencia (xn )∞ ´ e de Cauchy, portanto convergente, digamos x −→ x ∈ H. A n n=1 continuidade de T − λI revela que kxn − xm k ≤

yn = (T − λI)(xn ) −→ (T − λI)(x) ∈ (T − λI)(H). Isso prova que (T − λI)(H) ´e fechado. Teorema 7.5.3 Seja H um espa¸co de Hilbert. autoadjunto T ∈ L(H, H) ´e real.

O espectro σ(T ) de um operador

Demonstra¸ c˜ ao. Basta mostrar que se λ = a + ib com a e b reais e b 6= 0, ent˜ao λ ∈ ρ(T ). Seja ent˜ao λ desta forma. Dado 0 6= x ∈ H, da Proposi¸ca˜o 7.4.4 sabemos que hT (x), xi ∈ R. Subtraindo as equa¸co˜es h(T − λI)(x), xi = hT (x), xi − λhx, xi, h(T − λI)(x), xi = hT (x), xi − λhx, xi = hT (x), xi − λhx, xi, obtemos −2iIm(h(T − λI)(x), xi) = h(T − λI)(x), xi − h(T − λI)(x), xi = (λ − λ)hx, xi = 2ib kxk2 . Logo |b| · kxk2 = | Im(h(T − λI)(x), xi)| ≤ |h(T − λI)(x), xi| ≤ k(T − λI)(x)k · kxk . Dividindo por kxk obtemos |b| kxk ≤ kT (x) − λxk para todo x 6= 0. Como esta desigualdade vale trivialmente para x = 0, da Proposi¸ca˜o 7.5.2 conclu´ımos que λ ∈ ρ(T ). J´a vimos que tanto operadores compactos como operadores autoadjuntos tˆem espectros com propriedades especiais. Natural ´e ent˜ao esperar que operadores que s˜ao simultaneamente compactos e autoadjuntos tenham uma teoria espectral ainda mais rica. De fato isso acontece: vamos agora em busca da decomposi¸ca˜o espectral dos operadores compactos e autoadjuntos, que nos dir´a que se T ∈ L(H, H) ´e compacto e autoadjunto, ent˜ao H admite um sistema ortonormal completo formado exclusivamente por autovetores de T . Neste caso todo vetor de H poder´a ser escrito como uma soma (eventualmente infinita) de autovetores. Para provar este resultado precisamos da 151

Proposi¸c˜ ao 7.5.4 Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H, H) um operador n˜aonulo, compacto e autoadjunto. Ent˜ao kT k ou − kT k ´e um autovalor de T associado ao qual existe um autovetor x ∈ H tal que kxk = 1 e |hT (x), xi| = kT k. Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Teorema 7.4.5 podemos tomar uma sequˆencia de vetores unit´arios (zn )∞ encia (hT (zn ), zn i)∞ e ent˜ao n=1 tais que |hT (zn ), zn i| −→ kT k. A sequˆ n=1 ´ ∞ ´ claro limitada, e portanto admite uma subsequˆencia (hT (xn ), xn i)n=1 convergente. E ∞ que |hT (xn ), xn i| −→ kT k, logo (hT (xn ), xn i)n=1 converge para kT k ou para −kT k. Isso quer dizer que definindo λ = limhT (xn ), xn i, temos λ = kT k ou λ = − kT k . Devemos n

ent˜ao provar que λ ´e autovalor de T . Como kxn k = 1 para todo n, 0 ≤ kT (xn ) − λxn k2 = hT (xn ) − λxn , T (xn ) − λxn i = kT (xn )k2 − λhT (xn ), xn i − λhxn , T (xn )i + λ2 kxn k2 ≤ kT k2 − 2λhT (xn ), xn i + λ2 −→ λ2 − 2λ2 + λ2 = 0. Segue que T (xn ) − λxn −→ 0. Como T ´e compacto, da sequˆencia (T (xn ))∞ n=1 podemos ∞ extrair uma subsequˆencia convergente (T (yn ))n=1 . Logo T (yn ) − λyn −→ 0 e portanto (λyn )∞ em converge, digamos λyn −→ y. Note que y 6= 0 pois kyn k = 1 para n=1 tamb´ todo n e λ 6= 0. Por um lado ´e claro que T (yn ) −→ y; por outro lado, da continuidade de T temos λT (yn ) = T (λyn ) −→ T (y). Isso nos permite concluir que T (y) = λy, provando que λ ´e autovalor de T . Verifica-se facilmente que o autovetor λy satisfaz as condi¸c˜oes desejadas. Corol´ ario 7.5.5 Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H, H) um operador compacto e autoadjunto. Ent˜ao: (a) σ(T ) 6= ∅. (b) Se σ(T ) = {0} ent˜ ao T = 0. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Se T = 0 ent˜ao 0 ´e autovalor de T . Se T 6= 0, ent˜ao T tem um autovalor pela Proposi¸ca˜o 7.5.4. (b) Se T fosse n˜ao-nulo, T teria um autovalor n˜ao-nulo pela Proposi¸ca˜o 7.5.4. ´ Da Algebra Linear o leitor se recorda que quando V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, uma transforma¸ca˜o linear T : V −→ V ´e diagonaliz´avel se, e somente se, V admite uma base formada por autovetores de T . Nesse sentido, substituindo convenientemente a no¸ca˜o de base alg´ebrica, o teorema abaixo diz que operadores compactos e autoadjuntos em espa¸cos de Hilbert s˜ao diagonaliz´aveis. Teorema 7.5.6 (Decomposi¸c˜ao espectral de operadores compactos e autoadjuntos) Sejam H um espa¸co de Hilbert e T : H −→ H um operador compacto e autoadjunto. Ent˜ ao H admite um sistema ortonormal completo formado por autovetores de T . Mais

152

ainda, existem sequˆencias (finitas ou infinitas) de autovalores (λn )n de T e de vetores (vn )n tais cada vn ´e autovetor associado a λn e X λn hx, vn ivn T (x) = n

para todo x ∈ H. Demonstra¸ c˜ ao. Do Teorema 7.3.7 sabemos que T tem no m´aximo uma quantidade enumer´avel de autovalores. Seja ent˜ao (α1 , α2 , . . .) uma enumera¸ca˜o dos autovalores distintos e n˜ao-nulos de T . Note que essa sequˆencia pode ser finita ou infinita. Chamamos α0 = 0 e definimos E0 = ker(T ) e En = Vαn = ker(T − αn I), n ≥ 1. Por ser subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert, E0 tamb´em ´e um espa¸co de Hilbert, logo admite um sistema ortonormal completo B0 pelo Teorema 5.4.6. A Proposi¸c˜ao 7.3.1(a) nos diz que 0 < dim(En ) < ∞ para todo n ≥ 1, portanto podemos considerar um sistema ortonormal completo finito Bn em cada En , n ≥ 1. Da Proposi¸c˜ao 7.5.1(b) sabemos que os subespa¸cos E0 , E1 , E2 , . . . s˜ao dois a dois ortogonais, logo o conjunto formado pelos vetores de B0 , B1 , B2 , . . ., ´e ortonormal e cont´em apenas autovetores de T . Definindo S := B0 ∪ B1 ∪ B2 ∪ · · · , pelo Teorema 5.3.10 basta provar que [S] ´e denso em H. Como todo elemento de [S] ´e uma combina¸c˜ao linear de autovetores de T , ´e imediato que T (S) ⊆ T ([S]) ⊆ [S]. Dados x ∈ S ⊥ e y ∈ S, como T (y) ∈ [S], hT (x), yi = hx, T (y)i = 0, ´ claro que restri¸c˜ao de operador compacto ´e compacto provando que T (S ⊥ ) ⊆ S ⊥ . E e restri¸ca˜o de operador autoadjunto ´e autoadjunto, logo T0 := T |S ⊥ : S ⊥ −→ S ⊥ ´e compacto e autoadjunto. Suponha que exista λ ∈ σ(T0 ), λ 6= 0. Neste caso, pelo Teorema 7.3.6 sabemos que λ ´e um autovalor de T0 , e portanto existe x ∈ S ⊥ , x 6= 0, tal que T (x) = T0 (x) = λx. Por ser um autovalor n˜ao-nulo de T , λ = αn para algum n ≥ 1. Assim x ∈ En ∩ S ⊥ ⊆ [S] ∩ S ⊥ , e portanto x = 0. Esta contradi¸ca˜o nos informa que σ(T0 ) ⊆ {0}, e portanto σ(T0 ) = {0} pelo Corol´ario 7.5.5(a). Do Corol´ario 7.5.5(b) conclu´ımos que T0 = 0. Consequentemente, S ⊥ ⊆ ker(T ) = [B0 ] ⊆ [S], ⊥

o que, pela continuidade do produto interno, nos d´a S ⊥ = {0}. Como [S] ⊆ S ⊥ , temos ⊥ ⊥ [S] = {0}. Do Teorema 5.2.5(a) sabemos que H = [S] ⊕ [S] , logo [S] ´e denso em H. Isso completa a demonstra¸ca˜o de que B0 ∪ B1 ∪ B2 ∪ · · · ´e um sistema ortonormal completo para H formado por autovetores de T . Como En tem dimens˜ao finita para todo n ≥ 1, podemos tomar uma base (finita ou enumer´avel) (vn )n para o espa¸co ´ claro que cada vn ´e autovetor de T . Tomamos tamb´em λn , gerado por E1 , E2 , . . .. E n ≥ 1, autovalor de T ao qual vn ´e associado. Dado x ∈ H, pelo Teorema 5.3.10 temos 153

x = x0 +

P

hx, vn ivn onde x0 ∈ E0 = ker(T ). Suponha que existam infinitos v1 , v2 , . . . .

n

Como T ´e linear e cont´ınuo, à ! Ã∞ ! à ! ∞ n X X X T (x) = T x0 + hx, vn ivn = T hx, vn ivn = T lim hx, vj ivj n=1

= lim T n→∞

à n X j=1

hx, vj ivj

n→∞

n=1

! = lim

n→∞

n X

∞ X

j=1

n=1

hx, vj iT (vj ) =

j=1

λn hx, vn ivn .

No caso em que a sequˆencia (vn )n ´e finita basta a linearidade de T para obter, mutatis mutandis, esta mesma f´ormula.

7.6

Coment´ arios e notas hist´ oricas

A no¸c˜ao de operador compacto remonta aos trabalhos de Hilbert de 1906 sobre a resolu¸c˜ao de sistemas de infinitas equa¸c˜oes lineares. A defini¸ca˜o veio com Riesz em 1918 sob o nome de operador completamente cont´ınuo. Desde 1950, a partir de uma sugest˜ao de E. Hille, o termo operador compacto tem sido usado. O termo operador completamente cont´ınuo ´e reservado para os operadores que transformam sequˆencias fracamente convergentes em sequˆencias convergentes, isto ´e, satisfazem a implica¸ca˜o (7.1). Conforme vimos na Proposi¸ca˜o 7.2.8, para operadores definidos em espa¸cos reflexivos, em particular para operadores entre espa¸cos de Hilbert, essas duas no¸co˜es coincidem. Das Proposi¸co˜es 7.2.2(b) e 7.2.5 segue que todo operador que ´e limite de uma sequˆencia de operadores de posto finito ´e compacto. Em 1931 T. W. Hildebrandt perguntou se a rec´ıproca era verdadeira. Esse problema ficou sem resposta durante v´arias d´ecadas e Pietsch [73, p´agina 54] manifesta que esta foi a pergunta mais importante em toda a hist´oria da teoria dos espa¸cos de Banach. Diz-se que um espa¸co de Banach E tem a propriedade da aproxima¸c˜ ao se todo operador compacto de E em E ´e o limite de uma sequˆencia de operadores de posto finito. A pergunta ent˜ao se transforma em: ´e verdade que todo espa¸co de Banach tem a propriedade da aproxima¸c˜ao? P. Enflo resolveu o problema em 1972 ao provar que para 1 < p < ∞, p 6= 2, `p cont´em um subespa¸co que n˜ao tem a propriedade da aproxima¸c˜ao. O estudo da propriedade da aproxima¸ca˜o e de suas muitas variantes se tornou uma tendˆencia que continua muito ativa at´e nossos dias. Uma boa referˆencia para o assunto ´e [45, Chapter 7]. No Exerc´ıcio 7.7.17 o leitor comprovar´a que espa¸cos de Hilbert tˆem a propriedade da aproxima¸ca˜o. Recentemente os operadores compactos protagonizaram um grande acontecimento no meio matem´atico. Uma das principais perguntas que emergiram ao final da teoria de Gowers e Maurey mencionada na Introdu¸ca˜o deste livro foi a seguinte: ser´a que existe um espa¸co de Banach E de dimens˜ao infinita tal que todo operador T ∈ L(E, E) pode ser escrito na forma T = λ · idE + U, 154

onde U ´e um operador compacto? Em outras palavras: existe um espa¸co de dimens˜ao infinita E tal que todo operador de E em E ´e uma perturba¸ca˜o compacta da identidade? Por motivos ´obvios costuma-se dizer que um tal espa¸co tem pouqu´ıssimos operadores e, de acordo com as palavras de Gowers em seu weblog, tal espa¸co tem quase que nenhuma estrutura n˜ao-trivial. Em 2009, S. Argyros e R. Haydon [4] anunciaram a demonstra¸c˜ao da existˆencia de tal espa¸co, descoberta esta publicada em 2011 na (quase lend´aria) revista Acta Mathematica. O Corol´ario 7.3.5 foi provado primeiramente por I. Fredholm em 1903 para os operadores integrais do Exemplo 7.2.4. Fredholm interpretou as equa¸co˜es integrais como limites de sistemas de equa¸c˜oes lineares considerando as integrais como limites de somas de Riemann e passando ao limite na regra de Cramer para o c´alculo dos determinantes associados a esses sistemas lineares. Os termos conjunto resolvente e espectro foram cunhados por Hilbert em 1906. A teoria espectral dos operadores compactos tamb´em ´e conhecida como teoria de Riesz–Schauder. O objetivo desta teoria iniciada por Riesz em 1918 e completada por Schauder em 1930 era exatamente evitar os ‘determinantes infinitos’ de Fredholm. Os operadores autoadjuntos s˜ao chamados algumas vezes de operadores hermitianos, em homenagem a C. Hermite, matem´atico francˆes do s´eculo 19. Alguns livros usam o termo operador autoadjunto para o caso real e operador hermitiano para o caso complexo. O Corol´ario 7.5.5 vale para operadores que s˜ao apenas autoadjuntos (n˜ao necessariamente compactos). Para uma demonstra¸ca˜o veja [12, Corollary 6.10]. O teorema espectral (Teorema 7.5.6) tem muitas aplica¸c˜oes na teoria de equa¸c˜oes diferenciais; veja, por exemplo, [12, 8.6, 9.8] e [17, II.6]. Os operadores unit´arios e os operadores normais em espa¸cos de Hilbert s˜ao introduzidos nos Exerc´ıcios 7.7.36 e 7.7.37, respectivamente. Os operadores normais gozam de uma decomposi¸ca˜o espectral similar `a decomposi¸ca˜o dos operadores compactos e autoadjuntos que vimos na Se¸c˜ao 7.5. Para maiores detalhes veja [26, Theorem 7.53].

7.7

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 7.7.1 Sejam E um espa¸co de Banach e T ∈ L(E, E). Prove que σ(T ) = σ(T 0 ). Exerc´ıcio 7.7.2 Sejam E um espa¸co Banach, T ∈ L(E, E) e λ ∈ K. Suponha que (i) (T − λI)−1 : (T − λI)(E) −→ E existe; (ii) O operador linear (T − λI)−1 : (T − λI)(E) −→ E ´e cont´ınuo; (iii) (T − λI)(E) ´e denso em E. Prove que (T − λI)(E) = E e portanto λ ∈ ρ(T ). Exerc´ıcio 7.7.3 Sejam E e F espa¸cos normados. Prove que K(E, F ) ´e subespa¸co vetorial de L(E, F ) 155

Exerc´ıcio 7.7.4 Mostre que o operador integral T do Exemplo 7.2.4 est´a bem definido e ´e linear. ³ ´∞ aj Exerc´ıcio 7.7.5 Mostre que o operador T : `2 −→ `2 dado por T ((aj )∞ ) = j=1 j j=1

´e compacto mas n˜ao ´e de posto finito.

Exerc´ıcio 7.7.6 Decida se o operador T : `2 −→ `2 dado por T ((aj )∞ j=1 ) = (a1 , 0, a3 , 0, . . .) ´e compacto ou n˜ao. Exerc´ıcio 7.7.7 Sejam E um espa¸co normado de dimens˜ao infinita e T : E −→ E um operador linear compacto e bijetor. Mostre que o operador inverso T −1 n˜ao ´e cont´ınuo. Exerc´ıcio 7.7.8 Sejam E um espa¸co normado de dimens˜ao infinita e T : E −→ E um operador linear compacto e bijetor. Mostre que E n˜ao ´e completo. Exerc´ıcio 7.7.9 Sejam 1 ≤ p < ∞ e T : (C[a, b], k · kp ) −→ (C[a, b], k · k∞ ) o operador integral definido exatamente como no Exemplo 7.2.4. Prove que T est´a bem definido, ´e linear e compacto. Exerc´ıcio 7.7.10 Prove que K(E, `1 ) = L(E, `1 ) para todo espa¸co reflexivo E. Exerc´ıcio 7.7.11 Prove que K(c0 , E) = L(c0 , E) para todo espa¸co reflexivo E. Exerc´ıcio 7.7.12 Dados um operador compacto T ∈ K(E, E) e n ∈ N, prove que existe um operador compacto S ∈ K(E, E) tal que (I − T )n = I − S. b e Fb os completamentos dos espa¸cos normados E e F , Exerc´ıcio 7.7.13 Sejam E b Fb) a extens˜ao linear e cont´ınua de T T ∈ L(E, F ) um operador compacto e Tb ∈ L(E, b Prove que: a E. b ⊆ F e Tb ´e compacto. (a) T (E) (b) No caso em que E = F , T e Tb tˆem os mesmos autovalores n˜ao-nulos. Exerc´ıcio 7.7.14 Seja (λn )∞ encia de escalares que converge para 0. n=1 uma sequˆ Construa um operador compacto T tal que σ(T ) = {0} ∪ {λn : n ∈ N}. Exerc´ıcio 7.7.15 Mostre que a reflexividade de E ´e hip´otese essencial na Proposi¸ca˜o 7.2.8(b). Exerc´ıcio 7.7.16 Seja E um espa¸co de Banach tal que para todo compacto K ⊆ E e todo ε > 0 existe um operador de posto finito T ∈ L(E, E) tal que sup kx − T (x)k < ε. x∈K

Prove que E tem a propriedade da aproxima¸ca˜o (veja defini¸c˜ao na Se¸ca˜o 7.6). Vale tamb´em a rec´ıproca deste exerc´ıcio – veja [63, Theorem 3.4.32].

156

Exerc´ıcio 7.7.17* Sejam E um espa¸co normado, H um espa¸co de Hilbert e T : E −→ H um operador compacto. Mostre que existe uma sequˆencia de operadores de posto finito que converge para T em L(E, H). Exerc´ıcio 7.7.18 Sejam E e F espa¸cos de Banach. Um operador T ∈ L(E, F ) ´e dito ∞ P 0 ∞ nuclear se existem sequˆencias (ϕn )∞ kϕn k · kbn k < ∞ n=1 ⊆ E e (bn )n=1 ⊆ F tais que e T (x) =

∞ P

n=1

ϕn (x)bn para todo x ∈ E. Prove que todo operador nuclear ´e compacto.

n=1

Exerc´ıcio 7.7.19* Seja E um espa¸co de Banach. Prove que (a) Se T, S ∈ L(E, E) s˜ao tais que T ´e um isomorfismo e kS − T k < kT −1 k−1 , ent˜ao S ´e um isomorfismo e kT −1 k2 · kS − T k kS −1 − T −1 k ≤ . 1 − kT −1 k · kS − T k (b) O conjunto C dos isomorfismos de E em E ´e um subconjunto aberto de L(E, E) e a fun¸ca˜o T −→ T −1 ´e um homeomorfismo de C em C. Exerc´ıcio 7.7.20 Sejam E um espa¸co de Banach e T, S ∈ L(E, E) tais que T ◦ S = S ◦ T . Prove que S ◦ T ´e um isomorfismo se, e somente se, T e S s˜ao isomorfismos. Exerc´ıcio 7.7.21 Sejam E um espa¸co de Banach e T1 , . . . , Tn ∈ L(E, E) tais que Tπ(1) ◦· · ·◦Tπ(n) = T1 ◦· · ·◦Tn para toda bije¸ca˜o π : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}. Mostre que T1 ◦ · · · ◦ Tn ´e um isomorfismo se, e somente se, Ti ´e isomorfismo para todo i = 1, . . . , n. Exerc´ıcio 7.7.22 Sejam E um espa¸co de Banach complexo, T ∈ L(E, E) e n ∈ N. (n)

Prove que σ(T n ) = {λn : λ ∈ σ(T )}. (Lembre-se que T n = T ◦ · · · ◦T ) Exerc´ıcio 7.7.23 Prove o item (c) da Proposi¸ca˜o 7.4.1. Exerc´ıcio 7.7.24 Sejam H1 e H2 espa¸cos de Hilbert e S, T ∈ L(H1 , H2 ). Prove que: (a) (S + T )∗ = S ∗ + T ∗ . (b) (λT )∗ = λT ∗ . (c) kT T ∗ k = kT ∗ T k = kT k2 . (d) Vale o item (d) da Proposi¸ca˜o 7.4.1. Exerc´ıcio 7.7.25 Sejam H um espa¸co de Hilbert complexo, T ∈ L(H, H) e λ ∈ C. Prove que λ ∈ σ(T ) se, e somente se, λ ∈ σ(T ∗ ). Exerc´ıcio 7.7.26 Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H, H). ker(T ) = T ∗ (H)⊥ , e portanto H = ker(T ) ⊕ T ∗ (H).

Prove que

Exerc´ıcio 7.7.27 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S, T ∈ L(H, H). Mostre que (T ◦ S)∗ = S ∗ ◦ T ∗ . 157

Exerc´ıcio 7.7.28 Sejam H1 e H2 espa¸cos de Hilbert, T ∈ L(H1 , H2 ) e M e N subespa¸cos fechados de H1 e H2 , respectivamente. Mostre que T (M ) ⊆ N se, e somente se, T ∗ (N ⊥ ) ⊆ M ⊥ . Exerc´ıcio 7.7.29 Mostre que o operador T : `2 −→ `2 dado por T ((aj )∞ j=1 ) = (a1 , a22 , a33 , . . .), ´e autoadjunto. Exerc´ıcio 7.7.30 Sejam H um espa¸co de Hilbert, T ∈ L(H, H) um operador autoadjunto e n ∈ N. Prove que T n ´e autoadjunto e kT n k = kT kn . Exerc´ıcio 7.7.31 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S, T ∈ L(H, H) operadores autoadjuntos. Mostre que T ◦ S ´e autoadjunto se, e somente se, T ◦ S = S ◦ T . Exerc´ıcio 7.7.32 Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H, H) um isomorfismo audoadjunto. Prove que se T ´e positivo, isto ´e, hT (x), xi ≥ 0 para todo x ∈ H, ent˜ao a express˜ao [x, y] := hT (x), yi, x, y ∈ H, define um produto interno em H cuja norma induzida ´e equivalente `a norma original de H. Exerc´ıcio 7.7.33 Sejam H um espa¸co de Hilbert complexo e T : H −→ H um operador linear cont´ınuo. Mostre que existem u ´nicos operadores autoadjuntos T1 , T2 ∈ L(H, H) tais que T = T1 + iT2 . Exerc´ıcio 7.7.34 Seja H um espa¸co de Hilbert no qual existe um operador T ∈ L(H, H) compacto, autoadjunto e injetor. Prove que H ´e separ´avel. Exerc´ıcio 7.7.35 Sejam H um espa¸co de Hilbert separ´avel e T ∈ L(H, H) um operador compacto e autoadjunto. Prove que σ(T ) ´e o fecho do conjunto dos autovalores de T . Exerc´ıcio 7.7.36 Sejam H1 e H2 espa¸cos de Hilbert. Prove que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um operador T ∈ L(H1 , H2 ): (a) T ´e invert´ıvel, T ◦ T ∗ = idH2 e T ∗ ◦ T = idH1 . (b) T ´e sobrejetor e hT (x), T (y)i = hx, yi para todos x, y ∈ H1 . Neste caso T ´e chamado de operador unit´ario. Exerc´ıcio 7.7.37 Seja H um espa¸co de Hilbert. Prove que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um operador T ∈ L(H, H): (a) T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T . (b) hT (x), T (y)i = hT ∗ (x), T ∗ (y)i para todos x, y ∈ H. Neste caso T ´e chamado de operador normal.

158

Cap´ıtulo 8 Espa¸cos Vetoriais Topol´ ogicos Seja A um subconjunto de um espa¸co normado E. Solicitamos ao leitor um pouco de paciˆencia para nos acompanhar na demonstra¸c˜ao da seguinte implica¸ca˜o: Se A ´e convexo, ent˜ao A tamb´em ´e convexo.

(8.1)

Dados x, y ∈ A e 0 ≤ λ ≤ 1, devemos provar que (1 − λ)x + λy ∈ A. Podemos tomar ∞ sequˆencias (xn )∞ n=1 e (yn )n=1 formadas por elementos de A tais que xn −→ x e yn −→ y. Da convexidade de A sabemos que (1 − λ)xn + λyn ∈ A para todo n ∈ N, e como as opera¸c˜oes alg´ebricas em E – adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar – s˜ao cont´ınuas, (1 − λ)xn + λyn −→ (1 − λ)x + λy. Isso ´e suficiente para concluir que (1 − λ)x + λy ∈ A, provando que A ´e convexo. O que nos interessa no argumento acima ´e o seguinte: em nenhum momento usamos a norma de E, ou seja, em nenhum momento foi necess´ario saber que a cada vetor x ∈ E est´a associado um n´ umero real kxk satisfazendo determinadas condi¸co˜es. A u ´nica informa¸ca˜o que usamos foi o fato das opera¸co˜es alg´ebricas em E serem cont´ınuas quando consideramos em E a topologia induzida pela norma. O ponto central ´e que n˜ao foi a norma que resolveu o problema, e sim o fato da topologia induzida pela norma tornar cont´ınuas as opera¸c˜oes alg´ebricas. O leitor mais atento pode alegar que, para argumentar por meio de sequˆencias, usamos tamb´em o fato da topologia da norma ser metriz´avel. Isso ´e verdade, mas abstraindo a metrizabilidade pode-se substituir sequˆencias por redes de forma que o argumento continue funcionando. Ou seja, de fato o argumento depende apenas da continuidade das opera¸co˜es alg´ebricas. Na verdade j´a passamos por esta situa¸ca˜o antes neste livro (veja, por exemplo, a demonstra¸c˜ao do Teorema 6.3.9). Isso quer dizer que muitas das propriedades dos espa¸cos normados dependem apenas do fato da topologia induzida pela norma tornar cont´ınuas as opera¸co˜es alg´ebricas. O tema deste cap´ıtulo ´e justamente o estudo dos espa¸cos vetoriais munidos de uma topologia em rela¸ca˜o `a qual as opera¸c˜oes de adi¸ca˜o e de multiplica¸c˜ao por escalar s˜ao cont´ınuas. Tais espa¸cos incluem os espa¸cos normados, mas como veremos ao longo do cap´ıtulo, incluem tamb´em muitos espa¸cos interessantes 159

eu ´teis que n˜ao s˜ao espa¸cos normados. No decorrer do cap´ıtulo revisitaremos alguns resultados antes obtidos para espa¸cos normados, por exemplo os teoremas de Hahn– Banach e de Goldstine, e tamb´em as topologias fracas.

8.1

Exemplos e primeiras propriedades

A discuss˜ao acima nos deixou prontos para a seguinte defini¸ca˜o: Defini¸ c˜ ao 8.1.1 Sejam E um espa¸co vetorial sobre o corpo K e τ uma topologia em E. Dizemos que o par (E, τ ) ´e um espa¸co vetorial topol´ ogico se as opera¸co˜es alg´ebricas AD : E × E −→ E , AD(x, y) = x + y e M E : K × E −→ E , M E(a, y) = ay s˜ao cont´ınuas quando consideramos em E × E e em K × E as respectivas topologias produto. Em palavras, em um espa¸co vetorial topol´ogico as estruturas alg´ebrica e topol´ogica s˜ao compat´ıveis. Exemplo 8.1.2 (a) Espa¸cos normados s˜ao espa¸cos vetoriais topol´ogicos. ´ imediato que (b) Considere no espa¸co vetorial E a topologia ca´otica τc = {∅, E}. E (E, τc ) ´e um espa¸co vetorial topol´ogico. Vejamos que este espa¸co n˜ao ´e normado no caso em que E 6= {0}. Suponha que exista uma norma k · k em E que induza a topologia τc . Neste caso, por ser um conjunto aberto, a bola aberta B(0, 1) = {x ∈ E : kxk < 1} coincide com ∅ ou com E. Como a origem pertence `a bola, B(0, 1) = E. Isso claramente n˜ao pode ocorrer pois espa¸cos normados n˜ao-triviais n˜ao s˜ao limitados (tome 0 6= x ∈ E e observe que o conjunto {ax : a ∈ K} ´e ilimitado). (c) Considere no espa¸co vetorial E 6= {0} a topologia discreta τd = {A : A ⊆ E}. Vejamos que (E, τd ) n˜ao ´e um espa¸co vetorial topol´ogico. Seja A = {a} ⊆ E com a 6= 0. Como todo subconjunto de E ´e aberto, ´e claro que A ´e aberto. Vejamos que M E −1 (A) n˜ao ´e aberto. Comprovaremos isso mostrando que (1, a) ∈ M E −1 (A) mas (1, a) n˜ao ´e um ponto interior de M E −1 (A). Isso ´e verdade pois se V ⊆ K × E ´e um aberto contendo (1, a), existem abertos 1 ∈ V1 ⊆ K e a ∈ V2 ⊆ E tais que V1 × V2 ⊆ V . Assim, podemos tomar 1 6= α ∈ V1 , e neste caso (α, a) ∈ V1 × V2 ⊆ V , enquanto que M E(α, a) = αa ∈ / {a} = A. Isso prova que n˜ao existe aberto em K × E contendo (1, a) e contido em M E −1 (A). Portanto (1, a) n˜ao ´e ponto interior de M E −1 (A) e assim a multiplica¸c˜ao por escalar M E n˜ao ´e cont´ınua. (d) Sejam E um espa¸co normado, σ(E, E 0 ) a topologia fraca em E e σ(E 0 , E) a topologia fraca-estrela em E 0 . Ent˜ao (E, σ(E, E 0 )) e (E 0 , σ(E 0 , E)) s˜ao espa¸cos vetoriais 160

w

w

topol´ogicos. Sejam (xλ )λ e (yλ )λ redes em E tais que xλ −→ x e yλ −→ y. Da defini¸c˜ao da topologia fraca sabemos que todo funcional ϕ ∈ E 0 ´e cont´ınuo na topologia fraca, logo ϕ(xλ ) −→ ϕ(x) e ϕ(yλ ) −→ ϕ(y) para todo ϕ ∈ E 0 . Disso, ϕ(xλ + yλ ) = ϕ(xλ ) + ϕ(yλ ) −→ ϕ(x) + ϕ(y) = ϕ(x + y) w

para todo ϕ ∈ E 0 . Da Proposi¸ca˜o 6.2.2(c) conclu´ımos que xλ + yλ −→ x + y. Isso prova que a adi¸c˜ao ´e cont´ınua. Argumento an´alogo prova que a multiplica¸ca˜o por escalar tamb´em ´e cont´ınua, logo (E, σ(E, E 0 )) ´e espa¸co vetorial topol´ogico. Deixamos ao leitor a tarefa de mostrar que (E 0 , σ(E 0 , E)) tamb´em ´e espa¸co vetorial topol´ogico. Conforme vimos na Proposi¸ca˜o 6.7.2, esses dois espa¸cos vetoriais topol´ogicos n˜ao s˜ao sequer metriz´aveis, logo n˜ao s˜ao normados. (e) Para 0 < p < 1, defina `p exatamente como antes, isto ´e: ( ) ∞ X p `p = (aj )∞ |aj | < ∞ . j=1 : aj ∈ K para todo j ∈ N e j=1

Vejamos que `p ´e espa¸co vetorial com as opera¸co˜es usuais de sequˆencias e que dp : `p × `p −→ R ,

¡

∞ dp (aj )∞ j=1 , (bj )j=1

¢

=

∞ X

|aj − bj |p ,

j=1

´e uma m´etrica em `p . Para isso fixe s ≥ 0 e considere a fun¸ca˜o diferenci´avel fs : [0, +∞) −→ R , fs (t) = sp + tp − (s + t)p . A condi¸c˜ao 0 < p < 1 implica facilmente que fs tem derivada n˜ao-negativa, logo ´e mon´otona n˜ao-decrescente em [0, +∞). Como fs (0) = 0, segue que fs (t) ≥ 0 para todo t ≥ 0. Isso revela que (s + t)p ≤ sp + tp para todos s, t ≥ 0.

(8.2)

Disso segue imediatamente que `p ´e fechado para adi¸ca˜o, e como ´e obviamente fechado para multiplica¸ca˜o por escalar, conclu´ımos que `p ´e espa¸co vetorial. A desigualdade triangular para dp segue tamb´em (8.2), e como os demais axiomas de m´etrica s˜ao imediatos, resulta que dp ´e uma m´etrica em `p . Vejamos agora que as opera¸co˜es alg´ebricas em `p s˜ao cont´ınuas em rela¸ca˜o `a ´ claro que a m´etrica dp ´e invariante por transla¸co˜es, topologia induzida pela m´etrica dp . E isto ´e, dp (x + z, y + z) = dp (x, y) para todos x, y, z ∈ `p . ∞ Dados ent˜ao x, y ∈ `p e sequˆencias (xn )∞ n=1 , (yn )n=1 em `p tais que xn −→ x e yn −→ y,

dp (xn + yn , x + y) = dp (xn + yn − x, x + y − x) = dp (xn + yn − x, y) = dp (xn + yn − x − yn , y − yn ) = dp (xn − x, y − yn ) ≤ dp (xn − x, 0) + dp (0, y − yn ) = dp (xn , x) + dp (yn , y) −→ 0 + 0 = 0. 161

Isso prova que xn + yn −→ x + y, e portanto a adi¸ca˜o ´e cont´ınua. Para a multiplica¸c˜ao por escalar usaremos as seguintes propriedades da m´etrica dp , igualmente ´obvias: dp (ax, ay) = |a|p · dp (x, y) para todos x, y ∈ `p e a ∈ K, dp (ax, bx) = |a − b|p · dp (x, 0) para todos x ∈ `p e a, b ∈ K. ∞ Dados ent˜ao x ∈ `p , a ∈ K e sequˆencias (xn )∞ n=1 em `p e (an )n=1 em K tais que xn −→ x e an −→ a,

dp (an xn , ax) ≤ dp (an xn , an x) + dp (an x, ax) = |an |p · dp (xn , x) + |an − a|p · dp (x, 0) −→ 0 + 0 = 0, pois a sequˆencia (|an |p )∞ e limitada (por ser convergente). Isso prova que a n=1 ´ multiplica¸ca˜o por escalar ´e cont´ınua, e portanto (`p , dp ) ´e um espa¸co vetorial topol´ogico metriz´avel. Em breve veremos que, neste caso em que 0 < p < 1, este espa¸co n˜ao ´e normado. ´ f´acil ver que o conjunto (f) Seja X um espa¸co topol´ogico n˜ao-vazio. E ½ ¾ C(X, K) = f : X −→ K : f ´e cont´ınua e sup |f (t)| < ∞ , t∈X

´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes pontuais de fun¸c˜oes. Para f ∈ C(X, K) e n ∈ N, considere o conjuntos ½ ¾ 1 U (n) = g ∈ C(X, K) : sup |g(t)| < e U (n, f ) = {f + g : g ∈ U (n)}. n t∈X Deixamos ao leitor a tarefa de mostrar que, para cada f ∈ C(X, K), os conjuntos (U (n, f ))∞ cas para f , e que C(X, K) torna-se um n=1 formam uma base de vizinhan¸ espa¸co vetorial topol´ogico quando munido da (´ unica) topologia gerada por essas bases de vizinhan¸cas. (g) Sejam (E, τ ) um espa¸co vetorial topol´ogico e M um subespa¸co vetorial de E. Como a topologia produto em M × M coincide com a topologia induzida pela topologia produto em E × E (e o mesmo para K × M ), e como restri¸c˜ao de fun¸ca˜o cont´ınua ´e cont´ınua, M munido da topologia induzida por E ´e espa¸co vetorial topol´ogico. Quando n˜ao houver necessidade nem perigo de ambiguidade, ao nos referirmos a um espa¸co vetorial topol´ogico escreveremos simplesmente E no lugar de (E, τ ). Defini¸ c˜ ao 8.1.3 Sejam E e F espa¸cos vetoriais topol´ogicos. Um homeomorfismo linear T : E −→ F ´e chamado de isomorfismo entre E e F . Neste caso dizemos que os espa¸cos vetoriais topol´ogicos E e F s˜ao isomorfos.

162

Proposi¸c˜ ao 8.1.4 As transla¸c˜ oes e as homotetias s˜ao homeomorfismos em um espa¸co vetorial topol´ ogico. Mais precisamente, se E ´e um espa¸co vetorial topol´ ogico, x0 ∈ E e a ∈ K, a 6= 0, ent˜ao as fun¸c˜ oes x ∈ E 7→ x + x0 ∈ E e x ∈ E 7→ ax ∈ E s˜ ao homeomorfismos. A homotetia ´e tamb´em um isomorfismo. ´ claro que essas fun¸co˜es s˜ao bijetoras. Para a continuidade, basta Demonstra¸ c˜ ao. E enxergar a transla¸ca˜o como a composi¸c˜ao das aplica¸co˜es x ∈ E 7→ (x, x0 ) ∈ E × E 7→ x + x0 ∈ E, e a homotetia como a composi¸c˜ao das aplica¸c˜oes x ∈ E 7→ (a, x) ∈ K × E 7→ ax ∈ E, e observar que a defini¸ca˜o de espa¸co vetorial topol´ogico e a defini¸ca˜o da topologia produto garantem que todas as fun¸c˜oes envolvidas s˜ao cont´ınuas. As fun¸c˜oes inversas tamb´em s˜ao cont´ınuas pois a inversa da transla¸ca˜o por x0 ´e a transla¸c˜ao por −x0 e a inversa da homotetia por a ´e a homotetia por a1 . A linearidade da homotetia ´e clara. Corol´ ario 8.1.5 As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para um subconjunto V do espa¸co vetorial topol´ ogico E: (a) V ´e uma vizinhan¸ca da origem em E. (b) λV = {λx : x ∈ V } ´e uma vizinhan¸ca da origem em E para algum λ ∈ K, λ 6= 0. (c) λV = {λx : x ∈ V } ´e uma vizinhan¸ca da origem em E para todo λ ∈ K, λ 6= 0. (d) x0 + V = {x0 + x : x ∈ V } ´e uma vizinhan¸ca de x0 para algum x0 ∈ E. (e) x0 + V = {x0 + x : x ∈ V } ´e uma vizinhan¸ca de x0 para todo x0 ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. Basta lembrar que homeomorfismos transformam abertos em abertos. Algumas propriedades alg´ebricas desempenham papel relevante na teoria dos espa¸cos vetoriais topol´ogicos. Uma delas, a convexidade, j´a ´e nossa conhecida. Outras duas s˜ao as seguintes: Defini¸ c˜ ao 8.1.6 Um subconjunto A do espa¸co vetorial E ´e dito: (a) absorvente se para todo x ∈ E existe λ0 > 0 tal que x ∈ λA para todo λ ∈ K com |λ| ≥ λ0 . (b) equilibrado se λx ∈ A para todo x ∈ A e todo λ ∈ K com |λ| ≤ 1; isto ´e, λA ⊆ A sempre que |λ| ≤ 1. Proposi¸c˜ ao 8.1.7 Seja U a fam´ılia de todas as vizinhan¸cas da origem do espa¸co vetorial topol´ ogico E. Se U ∈ U, ent˜ao (a) U ´e absorvente. (b) Existe V ∈ U tal que V + V ⊆ U. (c) Existe V ∈ U, V equilibrado, tal que V ⊆ U . 163

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Seja x0 ∈ E. A aplica¸c˜ao f : K −→ E , f (λ) = λx0 , ´e cont´ınua, pois ´e a composi¸ca˜o das aplica¸co˜es cont´ınuas λ ∈ K 7→ (λ, x0 ) ∈ K × E e (λ, x) ∈ K × E 7→ λx ∈ E. Como U ´e uma vizinhan¸ca da origem em E, existe δ > 0 tal que f (λ) ∈ U sempre que |λ| < δ, ou seja, λx0 ∈ U sempre que |λ| < δ, ou ainda, x0 ∈ µU sempre que |µ| > 1/δ. (b) Como a adi¸c˜ao AD : E × E −→ E ´e cont´ınua e AD(0, 0) = 0, existe V ∈ U tal que AD(V × V ) ⊆ U, ou seja, V + V ⊆ U. (c) Seja ∆ = {λ ∈ K : |λ| ≤ 1} o disco fechado em K. Como a multiplica¸ca˜o por escalar M E : K × E −→ E ´e cont´ınua e M E(λ, 0) = 0, para cada λ ∈ ∆ existem Aλ , vizinhan¸ca aberta de λ em K, e Vλ ∈ U tais que µx ∈ U sempre que µ ∈ Aλ e x ∈ Vλ . Da compacidade do disco ∆ podemos tomar λ1 , . . . , λn ∈ ∆ tais que ∆ ⊆ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Tomando W = Vλ1 ∩ · · · ∩ Vλn ∈ U vejamos que µx ∈ U sempre que µ ∈ ∆ e x ∈ W. De fato, se µ ∈ ∆, ent˜ao µ ∈ Aλi para algum i ∈ {1, . . . , n}; e se x ∈ W , ent˜ao x ∈ Vλi . Definindo V = {µx : x ∈ W e µ ∈ ∆}, segue que V ´e equilibrado e V ⊆ U. Mais ainda, V ∈ U pois W ⊆ V . Proposi¸c˜ ao 8.1.8 Seja A um subconjunto de um espa¸co vetorial topol´ ogico E. (a) Se A ´e convexo ent˜ao A tamb´em ´e convexo. (b) Se A ´e equilibrado ent˜ao A tamb´em ´e equilibrado. Demonstra¸ c˜ ao. J´a provamos o item (a) no caso normado ao demonstrar (8.1) no in´ıcio deste cap´ıtulo. Dissemos tamb´em que o caso geral segue de um argumento an´alogo com redes. O leitor ´e convidado a preencher os detalhes no Exerc´ıcio 8.6.10. Provemos o item (b). Pela Proposi¸ca˜o 8.1.4, se λ ∈ K ´e um escalar fixo, a homotetia Mλ : E −→ E , Mλ (x) = λx, ´e um isomorfismo. Assim, se 0 < |λ| ≤ 1, como A ´e equilibrado, λA = Mλ (A) = Mλ (A) = λA ⊆ A, provando que A ´e equilibrado. 164

Proposi¸c˜ ao 8.1.9 Toda vizinhan¸ca da origem em um espa¸co vetorial topol´ ogico cont´em uma vizinhan¸ca fechada e equilibrada da origem. Demonstra¸ c˜ ao. Seja V uma vizinhan¸ca da origem. Dos itens (b) e (c) da Proposi¸ca˜o 8.1.7 podemos tomar uma vizinhan¸ca equilibrada U da origem tal que U + U ⊆ V . Da Proposi¸c˜ao 8.1.8(b) j´a sabemos que U ´e equilibrado, logo basta mostrar que U ⊆ V . Seja x ∈ U . Do Corol´ario 8.1.5 sabemos que x + U ´e vizinhan¸ca de x, ent˜ao (x + U ) ∩ U 6= ∅, isto ´e, existe y ∈ U tal que x + y ∈ U. Como U ´e equilibrado, −y ∈ U , logo x ∈ −y + U ⊆ U + U ⊆ V.

A seguir veremos como se comportam os operadores lineares entre espa¸cos vetoriais topol´ogicos. Lembrando que a essˆencia da defini¸ca˜o de fun¸co˜es uniformemente cont´ınuas entre espa¸cos m´etricos ´e que pontos pr´oximos tˆem imagens pr´oximas; esse conceito pode ser naturalmente generalizado para o ˆambito dos espa¸cos vetoriais topol´ogicos: Defini¸ c˜ ao 8.1.10 Uma fun¸ca˜o f : E −→ F entre espa¸cos vetoriais topol´ogicos ´e uniformemente cont´ınua se para toda vizinhan¸ca U da origem em F existe uma vizinhan¸ca V da origem em E tal que f (x) − f (y) ∈ U sempre que x, y ∈ E e x − y ∈ V . Proposi¸c˜ ao 8.1.11 As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para um operador linear T : E −→ F entre espa¸cos vetoriais topol´ ogicos. (a) T ´e cont´ınuo. (b) T ´e cont´ınuo na origem de E. (c) T ´e cont´ınuo em algum ponto de E. (d) T ´e uniformemente cont´ınuo. Demonstra¸ c˜ ao. As implica¸co˜es (a) =⇒ (b) =⇒ (c) e (d) =⇒ (a) s˜ao ´obvias. Suponha (c) e seja x0 ∈ E um ponto no qual T ´e cont´ınuo. Seja U uma vizinhan¸ca da origem em F . Pelo Corol´ario 8.1.5 sabemos que T (x0 ) + U ´e vizinhan¸ca de T (x0 ). Da continuidade de T em x0 existe uma vizinhan¸ca V de x0 tal que T (V ) ⊆ T (x0 ) + U . Novamente pelo Corol´ario 8.1.5 sabemos que −x0 + V ´e vizinhan¸ca da origem em E. Dados x, y ∈ E com x − y ∈ −x0 + V , da linearidade de T conclu´ımos que T (x) − T (y) = T (x − y) ∈ T (−x0 + V ) = −T (x0 ) + T (V ) ⊆ −T (x0 ) + T (x0 ) + U = U. Isso prova a continuidade uniforme de T e completa a demonstra¸c˜ao. Para funcionais lineares valem algumas caracteriza¸co˜es adicionais que aproximam a teoria ainda mais do caso normado:

165

Proposi¸c˜ ao 8.1.12 As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para um funcional linear ϕ : E −→ K no espa¸co vetorial topol´ ogico E. (a) ϕ ´e cont´ınuo. (b) ker(ϕ) ´e fechado em E. (c) ϕ ´e limitado em alguma vizinhan¸ca da origem de E, isto ´e, existe uma vizinhan¸ca W da origem de E tal que ϕ(W ) ´e limitado em K. Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Esta implica¸c˜ao ´e clara pois o conjunto unit´ario {0} ´e fechado em K. (b) =⇒ (c) Se ker(ϕ) = E n˜ao h´a nada a fazer. Supondo ker(ϕ) 6= E, o conjunto V := E − ker(ϕ) ´e um aberto n˜ao-vazio em E. Tome x ∈ V . Como V ´e uma vizinhan¸ca aberta de x, U := −x + V ´e uma vizinhan¸ca aberta da origem. Pela Proposi¸ca˜o 8.1.7(c) podemos tomar uma vizinhan¸ca equilibrada W da origem contida em U . Assim, W ⊆ U = −x + V, logo x + W ⊆ V , e portanto (x + W ) ∩ ker(ϕ) = ∅.

(8.3)

A linearidade de ϕ garante que ϕ(W ) ´e um subconjunto equilibrado de K. Assim, ϕ(W ) ´e limitado ou ´e o pr´oprio K (veja Exerc´ıcio 8.6.9). Suponha ϕ(W ) = K. Neste caso existe w ∈ W tal que ϕ(w) = −ϕ(x), e da´ı ϕ(x + w) = 0. Por (8.3) sabemos que isso n˜ao ocorre, logo ϕ(W ) ´e limitado, provando (c). (c) =⇒ (a) Por hip´otese existem uma vizinhan¸ca W da origem em E e algum K > 0 tais que |ϕ(v)| < K para todo v ∈ W . Dado ε > 0, temos portanto que |ϕ(x)| < ε sempre que x ∈ Kε W . Como Kε W ´e uma vizinhan¸ca da origem pelo Corol´ario 8.1.5, segue que ϕ ´e cont´ınuo na origem. A continuidade de ϕ segue da Proposi¸c˜ao 8.1.11.

8.2

Espa¸cos localmente convexos

O estudo dos espa¸cos normados foi favorecido pelo fato, garantido principalmente pelo Teorema de Hahn–Banach, de que espa¸cos normados n˜ao-triviais ostentam um belo suprimento de funcionais lineares cont´ınuos. As aplica¸co˜es dos Corol´arios 3.1.3 e 3.1.4 que fizemos ao longo do texto constituem prova evidente disso. Entretanto, como veremos logo abaixo, isso n˜ao se repete no contexto dos espa¸cos vetoriais topol´ogicos. Mantendo a nota¸ca˜o de E 0 para o espa¸co vetorial dos funcionais lineares e cont´ınuos em E, existem espa¸cos vetoriais topol´ogicos E 6= {0} tais que E 0 = {0} (veja Exemplo 8.2.3(e)). Uma maneira de evitar esta situa¸ca˜o desfavor´avel ´e descobrir condi¸co˜es necess´arias para que se tenha E 0 6= {0}, por exemplo: Proposi¸c˜ ao 8.2.1 Seja E um espa¸co vetorial topol´ ogico tal que E 0 6= {0}. Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca convexa da origem V 6= E. 166

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam ϕ ∈ E 0 , ϕ 6= 0, e x0 ∈ E tais que ϕ(x0 ) 6= 0. O conjunto µµ ¶¶ ½ ¾ |ϕ(x0 )| |ϕ(x0 )| −1 V := |ϕ| −∞, = x ∈ E : |ϕ(x)| < , 2 2 ´ claro tamb´em ´e aberto pois a fun¸ca˜o |ϕ| ´e cont´ınua e, obviamente, cont´em a origem. E que x0 ∈ / V , logo V 6= E. Uma conta rotineira mostra que V ´e convexo. Est´a claro ent˜ao que a existˆencia de funcionais lineares cont´ınuos n˜ao-nulos depende da existˆencia de abertos convexos n˜ao-triviais. Por isso estudamos os espa¸cos vetoriais topol´ogicos que cont´em fartos estoques de abertos convexos: Defini¸ c˜ ao 8.2.2 Um espa¸co localmente convexo ´e um espa¸co vetorial topol´ogico no qual a origem admite uma base de vizinhan¸cas convexas, ou seja, toda vizinhan¸ca da origem cont´em um aberto convexo contendo a origem. Como as transla¸co˜es s˜ao homeomorfismos (Proposi¸c˜ao 8.1.4) e transformam conjuntos convexos em conjuntos convexos, um espa¸co vetorial topol´ogico E ´e localmente convexo se, e somente se, todo vetor de E admite uma base de vizinha¸cas convexas. Exemplo 8.2.3 (a) Espa¸cos normados s˜ao espa¸cos localmente convexos, uma vez que as bolas abertas (B(0, ε))ε>0 formam uma base de vizinhan¸cas convexas da origem. ´ claro que se E ´e um espa¸co vetorial e τc = {∅, E} ´e a topologia ca´otica, ent˜ao (b) E (E, τc ) ´e espa¸co localmente convexo. (c) Seja E um espa¸co normado. C´alculos elementares mostram que as bases de vizinhan¸cas abertas da topologia fraca σ(E, E 0 ) em E e da topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) em E 0 descritas nas Proposi¸co˜es 6.2.2(b) e 6.3.2(b), respectivamente, s˜ao formadas por conjuntos convexos. Assim, (E, σ(E, E 0 )) e (E 0 , σ(E 0 , E)), que j´a sabemos serem espa¸cos vetoriais topol´ogicos n˜ao-metriz´aveis pelo Exemplo 8.1.2(d), s˜ao espa¸cos localmente convexos. (d) Seja 0 < p < 1. Provaremos agora que o espa¸co vetorial topol´ogico metriz´avel `p do Exemplo 8.1.2(e) n˜ao ´e localmente convexo. Seja r > 0. Ent˜ao a bola aberta B(0, r) = {x ∈ `p : dp (x, 0) < r} ´e uma vizinhan¸ca da origem. Suponha que exista uma vizinhan¸ca convexa da origem V contida na bola B(0, r). Existe ent˜ao ε > 0 tal que B(0, ε) ⊆ V . ¡Escolha ¢0 < δ < ε e considere os vetores unit´arios canˆonicos e1 , e2 , . . . de `p . Como dp δ 1/p en , 0 = δ < ε, segue que δ 1/p en ∈ V para todo n. Por convexidade, n 1 1 δ 1/p X ej = δ 1/p e1 + · · · + δ 1/p en ∈ V · n j=1 n n

para todo n. Mas, Ã ! n n µ 1/p ¶p n X X δ 1/p X δ δ n→∞ dp · ej , 0 = = δn1−p −→ ∞, = p n j=1 n n j=1 j=1 167

pois 0 < p < 1. Isso mostra que V ´e ilimitado, o que ´e uma contradi¸c˜ao pois V ⊆ B(0, r). Conclu´ımos ent˜ao que B(0, r) n˜ao cont´em vizinhan¸ca convexa alguma da origem, provando que o espa¸co vetorial topol´ogico `p , apesar de metriz´avel, n˜ao ´e localmente convexo. Em particular, `p n˜ao ´e normado para 0 < p < 1. (e) Sejam 0 < p < 1 e Lp [0, das (classes de) fun¸co˜es Lebesgue-mensur´aveis R 1] o conjunto p f : [0, 1] −→ R tais que [0,1] |f | dm < ∞, onde m ´e a medida de Lebesgue em [0, 1]. No Exerc´ıcio 8.6.6 o leitor comprovar´a que Lp [0, 1] ´e espa¸co vetorial com as opera¸co˜es usuais de (classes de) fun¸co˜es e que a express˜ao Z dp (f, g) = |f − g|p dm [0,1]

define uma m´etrica em Lp [0, 1] que assim se torna espa¸co vetorial topol´ogico. Seja U uma vizinhan¸ca convexa da origem de Lp [0, 1]. Podemos tomar ε > 0 tal que B(0, ε) ⊆ U . Dada f ∈ Lp [0, 1], f 6= 0, tome n ∈ N tal que dp (f, 0) < n1−p · ε, o que ´e poss´ıvel pois 0 < p < 1. Do Teorema Fundamental do C´alculo (veja [31, Theorem 3.36]), a fun¸ca˜o Z |f |p dm,

F : [0, 1] −→ R , F (t) = [0,t)

´e absolutamente cont´ınua, logo cont´ınua. Como F ´e mon´otona n˜ao-decrescente e n˜aonula, F (1) > 0. Logo F (0) = 0 < n−1 ·F (1) < F (1). Do Teorema do Valor Intermedi´ario n · F (1). Assim, podemos tomar 0 < tn−1 < tn := 1 tal que F (tn−1 ) = n−1 n F (tn ) − F (tn−1 ) = F (1) −

n−1 1 · F (1) = F (1). n n

· F (1) < n−1 · F (1) = F (tn−1 ), novamente pelo Teorema do Valor Como F (0) = 0 < n−2 n n Intermedi´ario existe 0 < tn−2 < tn−1 tal que F (tn−2 ) = n−2 · F (1). Assim, n F (tn−1 ) − F (tn−2 ) =

n−1 n−2 1 · F (1) − · F (1) = F (1). n n n

Chamando t0 = 0, ap´os n passos teremos constru´ıdo uma parti¸ca˜o 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 de [0, 1] tal que Z Z 1 1 p |f | dm = F (tj ) − F (tj−1 ) = F (1) = |f |p dm, n n [0,1] [tj ,tj−1 ) para todo j = 1, . . . , n. Para cada j = 1, . . . , n, relembre que X[tj−1 ,tj ) denota a fun¸ca˜o caracter´ıstica do intervalo [tj−1 , tj ) e considere a fun¸ca˜o fj ∈ Lp [0, 1] dada por fj (t) = nf (t)X[tj−1 ,tj ) (t). Dessa forma, Z dp (fj , 0) = n

Z

p

p

p−1

|f |p dm = np−1 dp (f, 0) < ε,

|f | dm ≤ n [tj−1 ,tj )

[0,1)

168

para todo j = 1, . . . , n. Assim cada fj ∈ B(0, ε) ⊆ U . Como n X 1 1 1 fj = f1 + · · · + fn = f X[t0 ,t1 ) + · · · + f X[tn−1 ,tn ) = f, n n n j=1

e U ´e convexo, segue que f ∈ U , ou seja U = Lp [0, 1]. Provamos ent˜ao que a u ´nica vizinhan¸ca convexa da origem ´e o pr´oprio Lp [0, 1]. Isso nos diz que Lp [0, 1] n˜ao ´e localmente convexo, em particular n˜ao ´e normado. Mais ainda, pela Proposi¸ca˜o 8.2.1 conclu´ımos que Lp [0, 1]0 = {0}. (f) Sejam E um espa¸co localmente convexo e M um subespa¸co vetorial de E. Ent˜ao M munido da topologia induzida por E ´e tamb´em espa¸co localmente convexo. Para espa¸cos localmente convexos vale a seguinte vers˜ao mais forte da Proposi¸c˜ao 8.1.7, que diz que em todo espa¸co localmente convexo a origem tem base de vizinhan¸cas formada por conjuntos equilibrados, convexos e fechados: Proposi¸c˜ ao 8.2.4 Seja U a fam´ılia de todas as vizinhan¸cas da origem do espa¸co localmente convexo E. Se U ∈ U , ent˜ao (a) U ´e absorvente. (b) Existe V ∈ U tal que V + V ⊆ U. (c) Existe V0 ∈ U, V0 equilibrada, convexa e fechada, tal que V0 ⊆ U . Demonstra¸ c˜ ao. As condi¸c˜oes (a) e (b) j´a s˜ao conhecidas. Mostremos (c). Seja U uma vizinhan¸ca da origem. Contida em U existe uma vizinhan¸ca fechada U1 da origem; e contida em U1 podemos considerar uma vizinhan¸ca convexa U2 da origem, pois E ´e um espa¸co localmente convexo. Pela Proposi¸c˜ao 8.1.7(c) sabemos que U2 cont´em uma vizinhan¸ca equilibrada W da origem. Para cada s ∈ K com |s| = 1, temos, pelo fato da vizinhan¸ca W ser equilibrada, que sW ⊆ W e s−1 W ⊆ W. Assim, W = s−1 (sW ) ⊆ s−1 W e W = s(s−1 W ) ⊆ sW, e portanto sW = W = s−1 W para todo escalar s com m´odulo 1. Em particular, para cada tal s, s−1 W = W ⊆ U2 , T sU2 . Assim W ⊆ V ⊆ U2 . Logo V ´e uma e portanto W ⊆ sU2 . Defina V = |s|=1

vizinhan¸ca da origem contida em U2 . Al´em disso, cada sU2 ´e convexo, e como interse¸c˜ao de convexos ´e ainda convexa, segue que a vizinhan¸ca V ´e convexa. 169

Vamos agora mostrar que a vizinhan¸ca V ´e equilibrada. Seja t um escalar com |t| ≤ 1. Se v ∈ V , da defini¸ca˜o de V resulta que v ∈ sU2 para todo escalar s com |s| = 1. Logo, para qualquer tal escalar s, tv ∈ tsU2 = s1 |t| U2 , para s1 = seiθ , onde t = |t| eiθ . Vejamos que s1 |t| U2 ⊆ s1 U2 . De fato, se u ∈ U2 , ent˜ao s1 |t| u = |t| (s1 u) + (1 − |t|)0 ∈ s1 U2 , pois s1 U2 ´e convexo e cont´em a origem, uma vez que U2 ´e convexo e cont´em a origem. Portanto tv ∈ s1 U2 . Como s percorre todos os escalares de m´odulo 1, s1 tamb´em percorre todos esses escalares, logo T tv ∈ s1 U2 = V. |s1 |=1

Assim, encontramos uma vizinhan¸ca convexa e equilibrada V da origem contida em U2 . Da Proposi¸c˜ao 8.1.8 segue que V ´e tamb´em vizinhan¸ca convexa e equilibrada da origem. Como U1 ´e fechado e V ⊆ U2 ⊆ U1 ⊆ U , segue que V0 := V ´e vizinhan¸ca convexa, fechada e equilibrada da origem e V0 ⊆ U1 ⊆ U . Os conjuntos convexos e equilibrados desempenham papel central na teoria dos espa¸cos localmente convexos. Vejamos algumas propriedades de estabilidade de tais conjuntos, cujas demonstra¸co˜es deixamos a cargo do leitor: Proposi¸c˜ ao 8.2.5 (a) Combina¸c˜ oes lineares e interse¸c˜ oes arbitr´arias de conjuntos convexos e equilibrados s˜ao conjuntos convexos e equilibrados. (b) Sejam E e F espa¸cos vetoriais, T : E −→ F linear e A ⊆ E e B ⊆ F conjuntos convexos e equilibrados. Ent˜ao os conjuntos T (A) ⊆ F e T −1 (B) ⊆ E s˜ ao convexos e equilibrados. Como homeomorfismos levam bases de vizinhan¸cas em bases de vizinhan¸cas, o resultado seguinte segue agora imediatamente: Proposi¸c˜ ao 8.2.6 Espa¸co vetorial topol´ ogico isomorfo a espa¸co localmente convexo ´e tamb´em localmente convexo. O pr´oximo resultado generaliza a Proposi¸c˜ao 8.2.1 e refor¸ca a necessidade de vizinhan¸cas convexas para a existˆencia de operadores lineares e cont´ınuos. Proposi¸c˜ ao 8.2.7 Sejam E um espa¸co vetorial topol´ ogico sem vizinhan¸cas convexas pr´ oprias da origem e F um espa¸co localmente convexo de Hausdorff. Ent˜ao o u ´nico operador linear cont´ınuo de E em F ´e o operador nulo. 170

Demonstra¸ c˜ ao. Seja U uma base de vizinhan¸cas convexas e equilibradas da origem T de F . A propriedade de Hausdorff garante que {0} = A. Seja T : E −→ F linear A∈U

e cont´ınuo. Da Proposi¸c˜ao 8.2.5 sabemos que, para cada A ∈ U , T −1 (A) ´e convexo e equilibrado. A continuidade de T implica que T −1 (A) ´e vizinhan¸ca da origem em E. Por hip´otese segue que T −1 (A) = E para todo A ∈ U. Assim, µ ¶ T T −1 −1 −1 ker(T ) = T ({0}) = T A = T (A) = E, A∈U

A∈U

provando que T ´e o operador nulo. Combinando a proposi¸c˜ao acima com o Exemplo 8.2.3(e) obtemos: Corol´ ario 8.2.8 Para 0 < p < 1, o u ´nico operador linear e cont´ınuo de Lp [0, 1] em qualquer espa¸co vetorial topol´ ogico de Hausdorff ´e o operador nulo.

8.3

Seminormas e topologias

Aprenderemos nesta se¸c˜ao um m´etodo muito utilizado para introduzir topologias localmente convexas em espa¸cos vetoriais. Veremos, na verdade, que todo espa¸co localmente convexo pode ser gerado por este m´etodo. Em um espa¸co normado consideramos normalmente a topologia gerada pela norma. Vejamos que fam´ılias de seminormas tamb´em geram topologias, nem sempre normadas mas sempre localmente convexas. Defini¸ c˜ ao 8.3.1 Uma seminorma no espa¸co vetorial E ´e uma fun¸ca˜o p : E −→ R que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (a) p(x) ≥ 0 para todo x ∈ E. (b) p(ax) = |a| p(x) para todos a ∈ K e x ∈ E. (c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ E. Das condi¸co˜es (b) e (c) conclu´ımos que p(0) = 0 e que |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) para todos x, y ∈ E.

(8.4)

´ claro que toda norma ´e seminorma. Sejam E um espa¸co vetorial Exemplo 8.3.2 E e ϕ um funcional linear em E. Ent˜ao a correspondˆencia x ∈ E 7→ |ϕ(x)| ´e uma seminorma em E. Mais geralmente, dados um espa¸co vetorial E, um espa¸co normado F e T : E −→ F linear, a correspondˆencia x ∈ E 7→ kT (x)k ´e uma seminorma em E. Introduziremos agora a topologia determinada em um espa¸co vetorial por uma fam´ılia de seminormas. Seja P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial E. Dados x0 ∈ E, ε > 0, n ∈ N e p1 , . . . , pn ∈ P, definimos V (x0 , p1 , . . . , pn ; ε) = {x ∈ E : pi (x − x0 ) < ε, i = 1, . . . , n}. Para cada x ∈ E, chamamos de Vx a cole¸ca˜o de todos os subconjuntos de E da forma V (x, p1 , . . . , pn ; ε), com n ∈ N, p1 , . . . , pn ∈ P e ε > 0. 171

Teorema 8.3.3 Seja P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial E. Ent˜ao: (a) Existe uma topologia τP em E que, para cada x ∈ E, admite Vx como base de vizinhan¸cas, isto ´e, τP = {G ⊆ E : para cada x ∈ G existe U ∈ Vx tal que U ⊆ G}. (b) (E, τP ) ´e espa¸co localmente convexo. (c) Cada seminorma p ∈ P ´e τP -cont´ınua. (d) (E, τP ) ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, para cada 0 6= x ∈ E existe uma seminorma p ∈ P tal que p(x) 6= 0. A topologia τP ser´a chamada de topologia determinada (ou gerada) pela fam´ılia de seminormas P. Apesar da terminologia, o leitor deve estar atento para o fato de que τP n˜ao ´e a menor topologia em E que torna cont´ınuas as seminormas da fam´ılia P no sentido da Se¸c˜ao 6.1 (veja Exerc´ıcio 8.6.24). No Exerc´ıcio 8.6.27 o leitor entender´a por que n˜ao usamos aqui a constru¸c˜ao da Se¸c˜ao 6.1. Demonstra¸ c˜ ao. O leitor n˜ao ter´a dificuldade em verificar que os conjuntos {Vx }x∈E satisfazem as condi¸co˜es (a)-(c) do Teorema B.15. Isso prova o item (a). Para provar a continuidade da adi¸c˜ao AD : E × E −→ E, sejam (x0 , y0 ) ∈ E × E e W uma vizinhan¸ca de x0 + y0 em E. N˜ao h´a perda de generalidade em considerar W uma vizinhan¸ca b´asica de x0 + y0 . Logo existem n ∈ N, p1 , . . . , pn ∈ P e ε > 0 tais que W = V (x0 +y0 , p1 , . . . , pn ; ε). Definindo U := V (0, p1 , . . . , pn ; ε), temos W = x0 +y0 +U . Ent˜ao V := V (0, p1 , . . . , pn ; ε/2) ´e vizinhan¸ca da origem, e portanto (x0 + V ) × (y0 + V ) ´e vizinhan¸ca de (x0 , y0 ). Como V + V ⊆ U , temos AD((x0 + V ) × (y0 + V )) = x0 + V + y0 + V = x0 + y0 + V + V ⊆ x0 + y0 + U = W, provando a continuidade da adi¸ca˜o AD em (x0 , y0 ). Passamos agora `a verifica¸ca˜o da continuidade da multiplica¸ca˜o por escalar M E : K× E −→ E. Para isso considere (a0 , x0 ) ∈ K × E e W uma vizinhan¸ca b´asica de a0 x0 em E. Como antes, existe uma vizinhan¸ca b´asica da origem, que denotaremos por W0 , tal que a0 x0 + W0 = W . Tamb´em como antes existem n ∈ N, p1 , . . . , pn ∈ P e ε > 0 tais que U := V (0, p1 , . . . , pn ; ε) ⊆ W0 . Para cada j = 1, . . . , n, defina ηj = δ=

ε , η = min{ηj , j = 1, . . . , n}, 2(pj (x0 ) + 1)

ε , A = {a ∈ K : |a| < η} e V = V (0, p1 , . . . , pn ; δ). 2(|a0 | + η)

Sendo assim, (a0 + A) × (x0 + V ) ´e vizinhan¸ca de (a0 , x0 ). Como a0 x0 + U ⊆ a0 x0 + W0 = W, 172

para garantir a continuidade de M E basta provar que M E((a0 + A) × (x0 + V )) ⊆ a0 x0 + U.

(8.5)

De fato isso ocorre pois, dados j ∈ {1, . . . , n}, a ∈ a0 + A e x ∈ x0 + V , pj (ax − a0 x0 ) = pj (ax − ax0 + ax0 − a0 x0 ) ≤ pj (ax − ax0 ) + pj (ax0 − a0 x0 ) = |a| pj (x − x0 ) + |a − a0 | pj (x0 ) ≤ |a| δ + ηpj (x0 ) ε ε + pj (x0 ) ≤ |a| 2(|a0 | + η) 2(pj (x0 ) + 1) ε ε ≤ (|a0 | + η) + pj (x0 ) < ε, 2(|a0 | + η) 2(pj (x0 ) + 1) e da´ı (ax − a0 x0 ) ∈ U , o que implica ax ∈ a0 x0 + U e comprova (8.5). A convexidade dos conjuntos da forma V (x, p1 , . . . , pn ; ε) ´e imediata, e isso nos fornece (b). Para provar (c), sejam p ∈ P, x0 ∈ E e ε > 0. Ent˜ao V (x0 , p; ε) ´e vizinhan¸ca de x0 . Para todo x ∈ V (x0 , p; ε), de (8.4) segue que |p(x) − p(x0 )| ≤ p(x − x0 ) < ε, provando que p ´e cont´ınua em x0 . Finalmente provemos (d). Suponha que E seja um espa¸co de Hausdorff. Ent˜ao, dado x ∈ E, x 6= 0, existe uma vizinhan¸ca b´asica V = V (0, p1 , . . . , pn ; ε) da origem que n˜ao cont´em x. Segue que pj (x) = pj (x − 0) ≥ ε > 0 para algum j ∈ {1, . . . , n}. Reciprocamente, suponha que para cada x ∈ E com x 6= 0, exista p ∈ P tal que p(x) 6= 0. Dados x, y ∈ E, x 6= y, tome p ∈ P tal que p(x − y) > 0. Ent˜ao V (x, p; p(x − y)/2) ´e vizinhan¸ca de x e V (y, p; p(x − y)/2) ´e vizinhan¸ca de y. Da desigualdade triangular segue que V (x, p; p(x − y)/2) ∩ V (y, p; p(x − y)/2) = ∅, consequentemente (E, τP ) ´e espa¸co de Hausdorff. Exemplo 8.3.4 (a) Tendo em vista o Teorema 8.3.3(a) e as Proposi¸c˜oes 6.2.2(b) e 6.3.2(b), fica claro que a topologia fraca σ(E, E 0 ) no espa¸co normado E ´e gerada pela fam´ılia de seminormas (x ∈ E 7→ |ϕ(x))|)ϕ∈E 0 , e que a topologia fraca-estrela σ(E 0 , E) em E 0 ´e gerada pela fam´ılia de seminormas (ϕ ∈ E 0 7→ |ϕ(x))|)x∈E . (b) Sejam X um conjunto qualquer e E um espa¸co vetorial (com as opera¸co˜es usuais de fun¸c˜oes) formado por fun¸co˜es f : X −→ K. Por exemplo, podemos tomar o espa¸co vetorial de todas as fun¸co˜es de X em K. Para cada t ∈ X, a fun¸ca˜o pt : E −→ R , pt (f ) = |f (t)|, ´e uma seminorma em E. Tomando P = {pt }t∈X sabemos que (E, τP ) ´e espa¸co localmente convexo. Vejamos que a convergˆencia de sequˆencias na topologia τP coincide 173

com a convergˆencia pontual de sequˆencias de fun¸co˜es (o mesmo pode ser feito para redes). Isto ´e, dadas (fn )∞ n=1 e f em E, τ

P fn −→ f ⇐⇒ fn (t) −→ f (t) para todo t ∈ X.

(8.6)

τ

P Suponha fn −→ f e tome t ∈ X. Dado ε > 0, V (f, pt ; ε) ´e um aberto em E contendo f . Logo existe n0 ∈ N tal que fn ∈ V (f, pt ; ε) para todo n ≥ n0 . Dessa forma,

|fn (t) − f (t)| = pt (fn − f ) < ε para todo n ≥ n0 , provando que fn (t) −→ f (t). Reciprocamente, suponha que fn (t) −→ f (t) para todo t ∈ X. Dada uma vizinhan¸ca U de f , podemos tomar k ∈ N, t1 , . . . , tk ∈ X e ε > 0 tais que V (f, pt1 , . . . , ptk ; ε) ⊆ U . Para cada j = 1, . . . , k, existe nj ∈ N tal que |fn (tj ) − f (tj )| < ε sempre que n ≥ nj . Tomando n0 = max{n1 , . . . , nk } ´e imediato que τP fn ∈ V (f, pt1 , . . . , ptk ; ε) ⊆ U para todo n ≥ n0 . Isso mostra que fn −→ f . Em vista de (8.6), τP ´e chamada de topologia da convergˆencia pontual. O objetivo agora ´e mostrar que todo espa¸co localmente convexo tem sua topologia gerada por uma fam´ılia de seminormas. Para isso ´e necess´ario estabelecer a rela¸ca˜o, muito pr´oxima, de seminormas com o funcional de Minkowski, por n´os j´a estudado na Se¸c˜ao 3.4. Esse ´e o prop´osito dos dois pr´oximos resultados. Proposi¸c˜ ao 8.3.5 Seja A um subconjunto convexo, equilibrado e absorvente do espa¸co vetorial E. Ent˜ao o funcional de Minkowski de A, definido por pA : E −→ R , pA (x) = inf{λ > 0 : x ∈ λA}, ´e uma seminorma em E. Al´em disso, {x ∈ E : pA (x) < 1} ⊆ A ⊆ {x ∈ E : pA (x) ≤ 1}.

(8.7)

´ claro que Demonstra¸ c˜ ao. A fun¸ca˜o pA est´a bem definida pois A ´e absorvente. E pA (x) ≥ 0. Mostremos primeiramente que p(ax) = |a| p(x) para todos a ∈ K e x ∈ E. Se a = 0, a igualdade desejada segue trivialmente. Suponhamos a 6= 0 e escrevamos a = |a|eiθ . Seja λ > 0 tal que x ∈ λA. Logo ax ∈ aλA = |a|λeiθ A = |a|λA, pois A ´e equilibrado. Assim, pA (ax) ≤ |a| λ sempre que x ∈ λA. Decorre que pA (ax) ≤ |a| · inf{λ > 0 : x ∈ λA} = |a| pA (x). Para a desigualdade inversa, seja λ > 0 tal que ax ∈ λA. Como a 6= 0, x∈

λ −iθ λ λ A= e A= A, a |a| |a| 174

λ . Assim, |a|pA (x) ≤ λ para todo λ > 0 tal |a| que ax ∈ λA. Segue que |a|pA (x) ≤ pA (ax). Provemos agora a desigualdade triangular pA (x + y) ≤ pA (x) + pA (y) para quaisquer x, y ∈ E. Sejam λ, µ > 0 tais que x ∈ λA e y ∈ µA. Logo x + y ∈ λA + µA. Como A ´e λ µ λ µ ≤ 1, ≤1e + = 1, convexo, λ+µ λ+µ λ+µ λ+µ µ µ ¶ ¶ λA + µA λA µA x + y ∈ (λ + µ) = (λ + µ) ⊆ (λ + µ)A. + λ+µ λ+µ λ+µ pois A ´e equilibrado, portanto pA (x) ≤

Portanto pA (x + y) ≤ λ + µ, donde segue a desigualdade triangular. Resta demonstrar (8.7). A segunda inclus˜ao ´e ´obvia. Provemos a primeira. Se pA (x) < 1, ent˜ao existe λ > 0 tal que pA (x) ≤ λ < 1 e x ∈ λA. Ent˜ao x ∈ A pois A ´e equilibrado. Da´ı {x ∈ E : pA (x) < 1} ⊆ A. Vale tamb´em a rec´ıproca: Proposi¸c˜ ao 8.3.6 Seja p : E −→ R uma seminorma no espa¸co vetorial E. Ent˜ao o conjunto A := {x ∈ E : p(x) ≤ 1} ´e convexo, equilibrado, absorvente e pA (x) = p(x) para todo x ∈ E. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam a, b > 0, a + b = 1, e x, y ∈ A. De p(ax + by) ≤ ap(x) + bp(y) ≤ a + b = 1, conclu´ımos que ax + by ∈ A e portanto A ´e convexo. Se |λ| ≤ 1 e x ∈ A, ent˜ao p(λx) = |λ| p(x) ≤ 1, provando que A ´e equilibrado. Da defini¸c˜ao de A e das propriedades de seminorma segue facilmente que se x ∈ λ0 A e |λ1 | ≥ |λ0 |, ent˜ao x ∈ λ1 A. Para mostrar que A ´e absorvente, seja x ∈ E. Fa¸camos primeiramente primeiramente o caso em que x ∈ A. Como x ∈ A = 1A, segue que x ∈ λA sempre que |λ| ≥ 1, o que resolve o problema no caso em que x ∈ A. Fa¸camos x agora o caso em que x ∈ / A. Neste caso p(x) > 1, e portanto x = p(x) p(x) ∈ p(x)A. Consequentemente x ∈ λA sempre que |λ| ≥ p(x). Vamos agora provar que pA (x) = p(x) para todo x em E. Da Proposi¸c˜ao 8.3.5 sabemos que {x ∈ E : pA (x) < 1} ⊆ A ⊆ {x ∈ E : pA (x) ≤ 1}. Seja x ∈ E. Suponha p(x) = 0. A defini¸c˜ao de A nos informa que λx ∈ A para todo λ > 0, e portanto x ∈ λA para todo λ > 0. Segue que pA (x) = 0 = p(x). Suponha rx ∈ / A para todo r > 1. Pela primeira inclus˜ao acima agora p(x) 6= 0. Neste caso p(x) rx conclu´ımos que pA ( p(x) ) ≥ 1, e portanto rpA (x) = pA (rx) ≥ p(x), para todo r > 1. Fa¸ca x x r −→ 1+ para obter pA (x) ≥ p(x). Por outro lado, como p(x) ∈ A, temos pA ( p(x) )≤1 pela segunda inclus˜ao acima. Logo pA (x) ≤ p(x). 175

Vejamos agora que as topologias geradas por fam´ılias de seminormas esgotam todas as topologias localmente convexas. Relembre que todo espa¸co localmente convexo admite base de vizinhan¸cas da origem formada por conjuntos convexos e equilibrados (Proposi¸c˜ao 8.2.4). Teorema 8.3.7 Seja B0 uma base de vizinhan¸cas convexas e equilibradas da origem no espa¸co localmente convexo E. Ent˜ao a topologia de E ´e gerada pela fam´ılia de seminormas P = {pV }V ∈B0 . Demonstra¸ c˜ ao. Cada vizinhan¸ca V ∈ B0 ´e absorvente pela Proposi¸ca˜o 8.1.7, logo pV ´e seminorma em E e {x ∈ E : pV (x) < 1} ⊆ V ⊆ {x ∈ E : pV (x) ≤ 1} pela Proposi¸ca˜o 8.3.5. Disso segue que, para todos V ∈ B0 e ε > 0, {x ∈ E : pV (x) < ε} ⊆ εV ⊆ {x ∈ E : pV (x) ≤ ε} ⊆ {x ∈ E : pV (x) < 2ε}. Basta ent˜ao mostrar que os conjuntos da forma {x ∈ E : pV (x) < ε}, com V ∈ B0 ´ claro que e ε > 0, formam uma base de vizinhan¸cas da origem na topologia τP . E cada conjunto dessa forma ´e uma vizinhan¸ca aberta da origem na topologia τP . Seja 0 ∈ U ∈ τP . Do Teorema 8.3.3 existem ε > 0, n ∈ N e V1 , . . . , Vn ∈ B0 tais que V (0, pV1 , . . . , pVn ; ε) ⊆ U . Como B0 ´e base de vizinhan¸cas da origem, existe V ∈ B0 tal que V ⊆ V1 ∩ · · · ∩ Vn . Da defini¸c˜ao do funcional de Minkowski segue que pVj ≤ pV para todo j = 1, . . . , n, assim {x ∈ E : pV (x) < ε} ⊆ V (0, pV1 , . . . , pVn ; ε) ⊆ U, o que completa a demonstra¸ca˜o. Combine os Teoremas 8.3.3 e 8.3.7 para obter o Corol´ ario 8.3.8 Um espa¸co vetorial topol´ ogico ´e um espa¸co localmente convexo se, e somente se, sua topologia ´e gerada por uma fam´ılia de seminormas.

8.4

Revisitando Hahn–Banach e Goldstine

Para dar uma ideia ao leitor de que partes importantes da teoria dos espa¸cos normados podem ser estendidas aos espa¸cos localmente convexos, provaremos nesta se¸c˜ao algumas vers˜oes localmente convexas do Teorema de Hahn–Banach. E, para saldar um d´ıvida contra´ıda com o leitor na Se¸ca˜o 6.4, provaremos o caso complexo do Teorema de Goldstine. Teorema 8.4.1 (Teorema de Hahn–Banach para espa¸cos localmente convexos) Sejam E um espa¸co localmente convexo e M um subespa¸co vetorial de E. Ent˜ao todo funcional linear e cont´ınuo ϕ0 ∈ M 0 pode ser estendido a E 0 preservando linearidade e continuidade, isto ´e, existe ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(x) = ϕ0 (x) para todo x ∈ M. 176

Demonstra¸ c˜ ao. A continuidade de ϕ0 implica que o conjunto U = {x ∈ M : |ϕ0 (x)| ≤ 1} ´e uma vizinhan¸ca fechada da origem em M . Existe ent˜ao uma vizinhan¸ca aberta W da origem em E tal que U ⊇ int(U ) = M ∩ W, onde int(U ) denota o interior do conjunto U . Como E ´e localmente convexo, existe portanto uma vizinhan¸ca convexa e equilibrada V da origem tal que V ⊆ W . Em ´ claro que V ´e absorvente, pois toda vizinhan¸ca da origem particular, M ∩ V ⊆ U . E ´e absorvente (Proposi¸ca˜o 8.2.4). Da Proposi¸ca˜o 8.3.5 sabemos que o funcional de Minkowski pV ´e uma seminorma em E e {x ∈ E : pV (x) < 1} ⊆ V ⊆ {x ∈ E : pV (x) ≤ 1}. Verifiquemos que |ϕ0 (x)| ≤ pV (x) para todo x ∈ M. ´ ³ x < 1, segue que Sejam x ∈ M e ε > 0. Como pV pV (x)+ε consequentemente x ∈ V ∩ M ⊆ U. pV (x) + ε Da´ı e da defini¸ca˜o de U ,

¯ µ ¯ ¯ϕ0 ¯

(8.8) x pV (x)+ε

∈ V e

¶¯ ¯ x ¯ ≤ 1, pV (x) + ε ¯

e consequentemente |ϕ0 (x)| ≤ pV (x) + ε. Fa¸ca ε −→ 0+ para obter (8.8). Como a seminorma pV satisfaz as condi¸co˜es (3.2) e (3.3), pelo Teorema 3.1.2 existe um funcional linear ϕ : E −→ K que estende ϕ0 a E e |ϕ(x)| ≤ pV (x) = inf{λ > 0 : x ∈ λV } para todo x ∈ E. Disso decorre que, para qualquer δ > 0, |ϕ(x)| ≤ δ para todo x ∈ δV . Mas δV ´e vizinhan¸ca da origem, portanto a continuidade de ϕ segue da Proposi¸ca˜o 8.1.12. A convexidade local entrou em cena na Proposi¸c˜ao 8.2.1 como condi¸c˜ao necess´aria para a existˆencia de funcionais lineares cont´ınuos n˜ao-nulos. Vejamos que, quando acompanhada da propriedade de Hausdorff, a convexidade local ´e tamb´em condi¸ca˜o suficiente: Corol´ ario 8.4.2 Seja E um espa¸co localmente convexo de Hausdorff. Para cada 0 6= x ∈ E existe ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(x) = 1. Em particular, E 0 6= {0} se E 6= {0}.

177

Demonstra¸ c˜ ao. Dado 0 6= x ∈ E, chame de M o subespa¸co 1-dimensional de E gerado por x e considere o funcional ϕ0 : M −→ K , ϕ0 (λx) = λ. A linearidade de ϕ0 ´e ´obvia. Como E ´e espa¸co de Hausdorff, o conjunto {0} = ker(ϕ0 ) ´e fechado em E, logo tamb´em ´e fechado em M . Da Proposi¸c˜ao 8.1.12 segue que o funcional linear ϕ0 ´e cont´ınuo em M . O resultado segue do Teorema 8.4.1. Trabalharemos agora no sentido de demonstrar uma vers˜ao geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach para espa¸cos localmente convexos. Alguns resultados preparat´orios s˜ao necess´arios. Proposi¸c˜ ao 8.4.3 As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para uma seminorma p no espa¸co vetorial topol´ ogico E: (a) p ´e cont´ınua na origem. (b) p ´e cont´ınua. (c) p ´e limitada em alguma vizinhan¸ca da origem. Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Sejam x0 ∈ E e (xα )α uma rede em E convergindo para x0 . Da Proposi¸ca˜o 8.1.4 sabemos que a transla¸c˜ao x ∈ E 7→ x − x0 ∈ E ´e um homeomorfismo, portanto xα − x0 −→ 0. Da continuidade de p na origem segue que p(xα − x0 ) −→ p(0) = 0. Da desigualdade (8.4) temos 0 ≤ |p(xα ) − p(x0 )| ≤ p(xα − x0 ) −→ 0, e portanto p(xα ) −→ p(x0 ). Isso prova a continuidade de p em x0 . (a) =⇒ (c) Como p(0) = 0, por hip´otese existe existe uma vizinhan¸ca U da origem tal que p(U ) ⊆ {t ∈ K : |t| < 1}. Logo p ´e limitada em U . (c) =⇒ (a) Por hip´otese existem uma vizinhan¸ca V da origem e uma constante C > 0 tal que |p(x)| < C para todo x ∈ V . Dado ε > 0, Cε V ´e vizinhan¸ca da origem e |p(x) − p(0)| = |p(x)| < ε para todo x ∈

ε V C

. Isso prova a continuidade de p na origem.

Corol´ ario 8.4.4 Seja A uma vizinhan¸ca convexa e equilibrada da origem de um espa¸co vetorial topol´ ogico. Ent˜ao o funcional de Minkowski pA ´e cont´ınuo. Demonstra¸ c˜ ao. O funcional pA est´a bem definido pois A ´e absorvente pela Proposi¸ca˜o 8.1.7. Como pA (x) ≤ 1 para todo x ∈ A, pA ´e limitado na vizinhan¸ca da origem A, logo cont´ınuo pela Proposi¸c˜ao 8.4.3. 178

Proposi¸c˜ ao 8.4.5 Se V ´e uma vizinhan¸ca convexa e equilibrada da origem do espa¸co vetorial topol´ ogico E, ent˜ao V = {x ∈ E : pV (x) ≤ 1}. Em particular, se V ´e uma vizinhan¸ca convexa, equilibrada e fechada da origem, ent˜ao V = {x ∈ E : pV (x) ≤ 1}. Demonstra¸ c˜ ao. A continuidade de pV garante que o conjunto {x ∈ E : pV (x) ≤ 1} ´e fechado. Como V ´e absorvente por ser vizinhan¸ca da origem, da Proposi¸ca˜o 8.3.5 sabemos que {x ∈ E : pV (x) < 1} ⊆ V ⊆ {x ∈ E : pV (x) ≤ 1}, logo V ⊆ {x ∈ E : pV (x) ≤ 1}. Por outro lado, sejam x0 ∈ E tal que pV (x0 ) ≤ 1 e W ´ f´acil ver que o operador linear uma vizinhan¸ca de x0 . E T : K −→ E , T (a) = ax0 , ´e cont´ınuo. Como T (1) = x0 , existe ε > 0 tal que ax0 = T (a) ∈ W sempre que |a − 1| < ε. Pela Proposi¸ca˜o 8.3.5 sabemos que pV ´e seminorma, logo pV (ax0 ) = |a|pV (x0 ) ≤ |a|. Assim, pV (ax0 ) < 1 – e portanto ax0 ∈ V – sempre que |a| < 1. Tomando ent˜ao a ∈ K tal que |a − 1| < ε e |a| < 1, temos ax0 ∈ V ∩ W . Em particular, V ∩ W 6= ∅, e portanto x0 ∈ V . Al´em de estender as formas geom´etricas do Teorema de Hahn–Banach para o contexto dos espa¸cos localmente convexos, o pr´oximo resultado ser´a u ´til na demonstra¸c˜ao do Teorema de Goldstine. Teorema 8.4.6 (Forma geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach para espa¸cos localmente convexos) Seja A um subconjunto convexo, equilibrado e fechado do espa¸co localmente convexo E, com 0 ∈ A. Para cada b ∈ E, b ∈ / A e c > 0, existe um funcional linear cont´ınuo ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(b) = c > sup{|ϕ(x)| : x ∈ A}. Demonstra¸ c˜ ao. Vejamos que existe uma vizinhan¸ca da origem convexa, equilibrada e fechada U tal que (b + U ) ∩ A = ∅. (8.9) De fato, como A ´e fechado e b ∈ / A, E − A ´e aberto e cont´em b 6= 0. Assim, −b + (E − A) ´e uma vizinhan¸ca aberta da origem (Corol´ario 8.1.5). Pela Proposi¸c˜ao 8.2.4 existe vizinhan¸ca da origem convexa, equilibrada e fechada U tal que 0 ∈ U ⊆ (E − A) − b. 179

Logo b + U ⊆ (E − A), provando (8.9). Vejamos que disso podemos concluir que µ ¶ µ ¶ 1 1 b + U ∩ A + U = ∅. (8.10) 2 2 ¡ ¢ ¡ ¢ Para isso suponha que exista z ∈ b + 12 U ∩ A + 12 U . Neste caso podemos tomar x, y ∈ U e a ∈ A tais que 1 1 b + x = z = a + y, 2 2 e assim temos µ ¶ 1 1 b+ x + (−y) = a ∈ A. 2 2 Como U ´e equilibrado, −y ∈ U ; e como U ´e convexo, 12 x + 12 (−y) ∈ U. Logo µ ¶ 1 1 b+ x + (−y) ∈ (b + U ) ∩ A, 2 2 ¢ ¡ ¢ ¡ o que contradiz (8.9) e, portanto, prova (8.10). Em particular, b ∈ / b + 21 U ∩ A + 21 U , o que nos permite afirmar que 1 b∈ / V := A + U , 2

¡ ¢ pois b + 12 U ´e vizinhan¸ca de b. Como A e U s˜ao convexos e equilibrados, A + 12 U ´e uma vizinhan¸ca convexa e equilibrada da origem. Logo V = A + 12 U ´e uma vizinhan¸ca da origem convexa, equilibrada e fechada pela Proposi¸ca˜o 8.1.8. Da Proposi¸ca˜o 8.4.5, V = {x ∈ E : pV (x) ≤ 1}, e portanto pV (b) > 1 pois b ∈ / V. Considere o funcional linear ϕ0 : [b] −→ K , ϕ0 (λb) = λc, e a seminorma q : E −→ K , q(x) =

cpV (x) . pV (b)

Note que |ϕ0 (λb)| = |cλ| = q(λb) para todo escalar λ. O Teorema 3.1.2 garante ent˜ao a existˆencia de um funcional linear ϕ : E −→ K tal que ϕ(λb) = ϕ0 (λb) para todo escalar λ e |ϕ(x)| ≤ q(x) para todo x ∈ E. A seminorma q ´e cont´ınua pois o funcional de Minkowski pV ´e cont´ınuo pelo Corol´ario 8.4.4. Segue ent˜ao que ϕ ´e cont´ınuo. Observe que A ⊆ V , uma vez que 0 ∈ U . Ent˜ao, para todo x ∈ A, pV (x) ≤ 1, logo |ϕ(x)| ≤ q(x) ≤

c < c = ϕ(b). pV (b)

180

Assim, sup{|ϕ(x)| : x ∈ A} ≤

c pV (b)

< ϕ(b).

Terminamos o cap´ıtulo com uma demonstra¸ca˜o do Teorema de Goldstine que funciona nos casos real e complexo. Relembre que, dado um espa¸co normado E, JE : E −→ E 00 denota o mergulho canˆonico dado por JE (x)(ϕ) = ϕ(x) para todos x ∈ E e ϕ ∈ E 0. Teorema 8.4.7 (Teorema de Goldstine) Seja E um espa¸co de Banach. Ent˜ao JE (BE ) ´e denso em BE 00 na topologia fraca-estrela σ(E 00 , E 0 ) de E 00 . σ(E 00 ,E 0 )

Demonstra¸ c˜ ao. A inclus˜ao JE (BE ) ⊆ BE 00 est´a provada no in´ıcio da demonstra¸c˜ao do Teorema 6.4.4, logo basta provar a inclus˜ao inversa. Pela Proposi¸ca˜o σ(E 00 ,E 0 ) 8.2.5(b), o conjunto JE (BE ) ´e convexo e equilibrado. Logo, o conjunto JE (BE ) ´e convexo e equilibrado pela Proposi¸ca˜o 8.1.8 e, obviamente, ´e fechado na topologia σ(E 00 ,E 0 ) fraca-estrela e cont´em a origem. Seja f ∈ E 00 − JE (BE ) . Como a topologia fraca-estrela ´e localmente convexa, pelo Teorema 8.4.6 existe Φ ∈ (E 00 , σ(E 00 , E 0 ))0 tal que Φ(f ) ∈ R e n o σ(E 00 ,E 0 )

Φ(f ) > sup |Φ(g)| : g ∈ JE (BE )

.

Por maior raz˜ao, Φ(f ) > sup {|Φ(g)| : g ∈ JE (BE )} .

(8.11)

Mas, pelo Corol´ario 6.3.7, (E 00 , σ(E 00 , E 0 ))0 = JE 0 (E 0 ); logo existe ϕ ∈ E 0 tal que JE 0 (ϕ) = Φ. A desigualdade (8.11) pode ent˜ao ser reescrita na forma f (ϕ) > sup {|g(ϕ)| : g ∈ JE (BE )} . Como para cada g ∈ JE (BE ) existe um u ´nico x ∈ BE tal que g = JE (x), f (ϕ) > sup {|ϕ(x)| : x ∈ BE } = kϕk . ³ Portanto f

8.5

ϕ kϕk

´ > 1, o que nos permite concluir que f ∈ / BE 00 .

Coment´ arios e notas hist´ oricas

O tema espa¸cos vetoriais topol´ogicos ´e muito vasto e existem muitos livros tratando especificamente do assunto. Por isso o material visto neste cap´ıtulo deve ser entendido como uma breve introdu¸c˜ao ao tema. Para estudos mais aprofundados sugerimos [44, 68, 82]. O conceito de espa¸co vetorial topol´ogico foi formalizado por A. N. Kolmogorov em 1934. Entretanto, em 1933 S. Mazur e W. Orlicz j´a consideravam espa¸cos vetoriais munidos de topologias metriz´aveis. O primeiro a generalizar para espa¸cos vetoriais munidos de topologias com bases de vizinhan¸cas convexas foi J. von Neumann em 1935. No mesmo ano, A. N. Tychonoff cunhou o termo espa¸co localmente convexo. 181

Conjuntos equilibrados e convexos de espa¸cos vetoriais topol´ogicos s˜ao usualmente chamados de absolutamente convexos. O motivo ficar´a claro no Exerc´ıcio 8.6.11. A Proposi¸c˜ao 8.2.4 diz ent˜ao que em todo espa¸co localmente convexo a origem admite uma base de vizinhan¸cas formada por conjuntos absolutamente convexos e fechados. No Exemplo 8.2.3(e) provamos que Lp [0, 1]0 = {0} para 0 < p < 1, fato este estabelecido por M. M. Day em 1940. Para conhecimento do leitor informamos que o mesmo n˜ao se passa com os espa¸cos `p . Na verdade, para 0 < p < 1, (`p )0 ´e normado, e, em certo sentido, bem grande, pois ´e isomorfo isometricamente ao espa¸co de Banach `∞ pela mesma rela¸ca˜o de dualidade que estabelece a f´ormula (`1 )0 = `∞ (veja [44, Example 6.10B]). Os espa¸cos `p e Lp [a, b], 0 < p < 1, s˜ao casos particulares de uma classe importante de espa¸cos vetoriais topol´ogicos metriz´aveis. Dado 0 < p < 1, uma p-norma no espa¸co vetorial E ´e uma fun¸c˜ao k · k : E −→ R tal que (a) kxk ≥ 0 para todo x ∈ E e kxk = 0 ⇐⇒ x = 0; (b) kaxk = |a| · kxk para todos a ∈ K e x ∈ E; (c) kx + ykp ≤ kxkp + kykp para todos x, y ∈ E. Neste caso a express˜ao dp : E × E −→ R , dp (x, y) = kx − ykp , define uma m´etrica em E e a topologia induzida por esta m´etrica faz de E um espa¸co vetorial topol´ogico. O par (E, k · k) ´e chamado de espa¸co p-normado e, quando for completo na m´etrica dp , ´e chamado de espa¸co p-Banach. Como vimos no texto, esses espa¸cos em geral n˜ao s˜ao localmente convexos. O artigo [48] ´e uma boa leitura sobre o tema. Outras vers˜oes, enunciados equivalentes e aplica¸c˜oes do Teorema de Hahn–Banach em espa¸cos localmente convexos podem ser encontradas em [68, Chapter 7]. Para vers˜oes vetoriais, na linha do que fizemos na Se¸c˜ao 3.2, veja o Cap´ıtulo 10 da mesma referˆencia. Existem vers˜oes dos teoremas de Banach–Steinhaus, do Gr´afico Fechado e da Aplica¸c˜ao Aberta para operadores lineares cont´ınuos entre espa¸cos vetoriais topol´ogicos satisfazendo determinadas condi¸co˜es, muitas delas relacionadas a convexidade local e metrizabilidade. Uma boa referˆencia para o assunto ´e [68, Section 11.9 e Chapter 14]. O Teorema 8.4.7 foi provado por H. Goldstine em 1938.

8.6

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 8.6.1 Seja E um espa¸co normado. Prove que E 0 munido da topologia fracaestrela ´e espa¸co vetorial topol´ogico. Exerc´ıcio 8.6.2 Diz-se que (G, ·, τ ) ´e um grupo topol´ ogico se (G, ·) ´e um grupo e τ ´e uma topologia em G que torna cont´ınuas as fun¸co˜es (x, y) ∈ G × G 7→ x · y ∈ G e x ∈ G 7→ x−1 ∈ G. 182

Seja (E, τ ) um espa¸co vetorial topol´ogico. Prove que (E, +, τ ) ´e um grupo topol´ogico abeliano (comutativo). Exerc´ıcio 8.6.3 Complete os detalhes do Exemplo 8.1.2(f). Exerc´ ıcio 8.6.4 Seja B um subconjunto de um espa¸co vetorial topol´ogico. Prove que T (tB) ⊆ B. t>1

Exerc´ıcio 8.6.5 Sejam E e F espa¸cos vetoriais topol´ogicos reais com F de Hausdorff. Prove que se T : E −→ F ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua tal que T (x + y) = T (x) + T (y) para quaisquer x, y ∈ E, ent˜ao T ´e linear. Exerc´ıcio 8.6.6* Sejam 0 < p < 1 e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Defina R Lp (X, Σ, µ) como o conjunto das fun¸co˜es mensur´aveis f : X −→ R tais que X |f |p dµ < ∞, com a conven¸ca˜o usual de identificar fun¸co˜es que s˜ao iguais µ-quase sempre. Prove que: (a) Lp (X, Σ, µ) ´e espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes pontuais de (classes de) fun¸co˜es. (b) A express˜ao Z |f − g|p dµ

dp (f, g) = X

define uma m´etrica em Lp (X, Σ, µ). (c) O espa¸co m´etrico (Lp (X, Σ, µ), dp ) ´e completo. (d) A topologia induzida pela m´etrica dp torna Lp (X, Σ, µ) um espa¸co vetorial topol´ogico. Exerc´ıcio 8.6.7 Verifique que o espa¸co m´etrico (`p , dp ) do Exemplo 8.1.2(e) ´e completo. Exerc´ıcio 8.6.8 Chame de s o espa¸co vetorial de todas as sequˆencias de escalares com as opera¸co˜es usuais de sequˆencias. Prove que a express˜ao ∞ d ((an )∞ n=1 , (bn )n=1 ) =

∞ X n=1

2−n

|an − bn | , 1 + |an + bn |

define uma m´etrica que faz de s espa¸co vetorial topol´ogico metriz´avel completo. Exerc´ıcio 8.6.9 Prove que se A ⊆ K ´e equilibrado, ent˜ao A ´e limitado ou A = K. Exerc´ıcio 8.6.10 Seja A um subconjunto de um espa¸co vetorial topol´ogico E. Prove que: (a) Se A ´e convexo ent˜ao A tamb´em ´e convexo. (b) Se A ´e subespa¸co vetorial de E ent˜ao A tamb´em ´e subespa¸co vetorial de E.

183

Exerc´ıcio 8.6.11 Um subconjunto A do espa¸co vetorial E ´e dito absolutamente convexo se ax + by ∈ A para quaisquer x, y ∈ A e escalares a, b com |a| + |b| ≤ 1. Mostre que A ´e absolutamente convexo se, e somente se, A ´e convexo e equilibrado. Exerc´ıcio 8.6.12 Considere o conjunto B = {(x, y) ∈ R2 : y > x2 } e chame de X o espa¸co topol´ogico (R2 , τ ) onde τ = {R2 , ∅, B}. (a) Encontre um subespa¸co A de X tal que A n˜ao ´e convexo. (b) O item (a) n˜ao contradiz a Proposi¸c˜ao 8.1.8(a)? Exerc´ıcio 8.6.13 Seja A um subconjunto equilibrado de um espa¸co vetorial. Prove que a envolt´oria convexa de A (veja Exerc´ıcio 1.8.17) tamb´em ´e um conjunto equilibrado. Exerc´ıcio 8.6.14 Exiba um conjunto convexo A ⊆ R2 cuja envolt´oria equilibrada eq(A) = {λx : |λ| ≤ 1 e x ∈ A} n˜ao seja convexa. Exerc´ıcio 8.6.15 Considere C como espa¸co vetorial sobre si mesmo. Mostre que o conjunto {z ∈ C : |Im z| < 1} ´e convexo, absorvente, mas n˜ao ´e equilibrado. Exerc´ıcio 8.6.16 (Espa¸co produto) Sejam E1 , . . . , En espa¸cos vetoriais topol´ogicos. Prove que: (a) E1 × · · · × En munido da topologia produto ´e espa¸co vetorial topol´ogico. (b) E1 × · · · × En ´e espa¸co localmente convexo se, e somente se, E1 , . . . , En s˜ao espa¸cos localmente convexos (fazer, n˜ao tenho certeza). Exerc´ıcio 8.6.17 Prove a Proposi¸ca˜o 8.2.5. Exerc´ıcio 8.6.18 Prove a desigualdade (8.4). Exerc´ıcio 8.6.19 Seja ϕ um funcional linear no espa¸co vetorial E 6= {0}. Prove que a seminorma x ∈ E 7→ |ϕ(x)| ´e uma norma se, e somente se, E tem dimens˜ao 1. Exerc´ıcio 8.6.20 Sejam p1 , . . . , pn seminormas no espa¸co vetorial E, x0 ∈ E e ε > 0. Mostre que V (x0 , p1 , . . . , pn ; ε) = x0 + V (0, p1 , . . . , pn ; ε). Exerc´ıcio 8.6.21 Sejam p1 e p2 seminormas no espa¸co vetorial E. Mostre que p(x) := p1 (x) + p2 (x) e q(x) := max{p1 (x), p2 (x)} s˜ao seminormas em E. Exerc´ıcio 8.6.22 Demonstre o item (a) do Teorema 8.3.3. 184

Exerc´ıcio 8.6.23 Seja P uma fam´ılia de seminormas em um espa¸co vetorial E. Mostre que uma rede (xα )α converge para zero em (E, τP ) se, e somente se, p(xα ) −→ 0 para toda seminorma p ∈ P. Exerc´ıcio 8.6.24 Nas mesmas condi¸c˜oes do exerc´ıcio anterior, mostre que pode ocorrer p(xα ) −→ p(x) para toda seminorma p ∈ P sem que a rede (xα )α seja convergente para x na topologia τP . Conclua que τP nem sempre coincide com a menor topologia em E que torna cont´ınuas as seminormas de P. Exerc´ıcio 8.6.25 Se E ´e um espa¸co normado e B denota a bola fechada de raio r centrada na origem, mostre que pB (x) = kxk para todo x ∈ E. r Exerc´ıcio 8.6.26 Verifique se a topologia em R gerada pela fam´ılia unit´aria P = {p}, composta pela seminorma p(x) = |x| , ´e de Hausdorff. Exerc´ıcio 8.6.27 Chame de τ a menor topologia em R que torna cont´ınua a seminorma p(x) = |x|. Mostre que (R, τ ) n˜ao ´e espa¸co vetorial topol´ogico. Exerc´ıcio 8.6.28 Sejam E e F espa¸cos vetoriais topol´ogicos localmente convexos e T : E −→ F um operador linear. Mostre que T ´e cont´ınuo se, e somente se, para cada seminorma cont´ınua q : F −→ R, q ◦ T ´e uma seminorma cont´ınua em E. Exerc´ıcio 8.6.29 Sejam p e q seminormas no espa¸co vetorial topol´ogico E tais que q ´e cont´ınua e p(x) ≤ q(x) para todo x ∈ E. Prove que p ´e cont´ınua. Exerc´ıcio 8.6.30 Prove que um espa¸co localmente convexo E ´e de Hausdorff se, e somente se, seu dual E 0 separa pontos de E, isto ´e, para todos x, y ∈ E, x 6= y, existe ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(x) 6= ϕ(y). Exerc´ıcio 8.6.31* Em C [0, 1], chame de τ1 a topologia induzida pela m´etrica Z 1 |f (x) − g(x)| d(f, g) = dx, 0 1 + |f (x) − g(x)| e de τ2 a topologia gerada pela fam´ılia de seminormas {px }x∈[0,1] definidas por px (f ) = |f (x)|. Mostre que a identidade (C [0, 1] , τ2 ) −→ (C [0, 1] , τ1 ): τ1 τ2 ´ sequencialmente cont´ınua, isto ´e, fn −→ (a) E f sempre que fn −→ f. (b) N˜ao ´e cont´ınua. Exerc´ıcio 8.6.32* Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida e chame de L0 (X, Σ, µ) o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes mensur´aveis f : X −→ R. (a) Prove que a express˜ao d(f, g) = inf{{1} ∪ {ε > 0 : µ{x ∈ X : |f (x) − g(x)| > ε} < ε}} 185

define uma m´etrica em L0 (X, Σ, µ). (b) Prove que uma sequˆencia em L0 (X, Σ, µ) ´e de Cauchy em rela¸c˜ao `a m´etrica d se, e somente se, ´e de Cauchy em medida. (c) Prove que a convergˆencia no espa¸co m´etrico (L0 (X, Σ, µ), d) coincide com a convergˆencia em medida. (d) Prove que o espa¸co m´etrico (L0 (X, Σ, µ), d) ´e completo. A topologia em L0 (X, Σ, µ) induzida pela m´etrica d ´e chamada de topologia da convergˆencia em medida. A partir de agora consideraremos L0 (X, Σ, µ) munido desta topologia. (e) Prove que a adi¸c˜ao AD : L0 (X, Σ, µ) × L0 (X, Σ, µ) −→ L0 (X, Σ, µ) ´e cont´ınua. (f) No caso da medida de Lebesgue em R escrevemos L0 (R). Encontre uma fun¸ca˜o f ∈ L0 (R) tal que a sequˆencia (n−1 f )∞ ao converge em medida para zero. Conclua n=1 n˜ que, neste caso, a multiplica¸c˜ao por escalar n˜ao ´e cont´ınua e portanto L0 (R) n˜ao ´e espa¸co vetorial topol´ogico. (g) Prove que se µ(X) < ∞, ent˜ao a multiplica¸c˜ao por escalar em L0 (X, Σ, µ) ´e cont´ınua, e portanto L0 (X, Σ, µ) ´e espa¸co vetorial topol´ogico. (h) No caso da medida de Lebesgue no intervalo [0, 1] escrevemos L0 [0, 1]. Prove que a u ´nica vizinhan¸ca convexa da origem em L0 [0, 1] ´e o pr´oprio L0 [0, 1], e conclua que L0 [0, 1] n˜ao ´e espa¸co localmente convexo e tem dual trivial.

186

Cap´ıtulo 9 Introdu¸c˜ ao ` a An´ alise N˜ ao-Linear “...o mundo ´e n˜ao linear”. Neste cap´ıtulo nos distanciamos um pouco da r´ıgida, por´em bastante u ´til, estrutura linear dos cap´ıtulos anteriores, para nos aventurarmos em um mundo n˜ao-linear. O objetivo do presente cap´ıtulo ´e oferecer uma pequena amostra da teoria de operadores n˜ao-lineares entre espa¸cos de Banach, introduzindo algumas ferramentas b´asicas no estudo de problemas n˜ao-lineares, comumente encontrados em modelos matem´aticos. Da Se¸ca˜o 9.1 `a Se¸ca˜o 9.5 exploraremos propriedades de continuidade de operadores n˜ao-lineares. Nas Se¸co˜es 9.6 e 9.7 estenderemos as t´ecnicas do C´alculo Diferencial e Integral para fun¸co˜es entre espa¸cos de Banach. Ao longo deste cap´ıtulo, o corpo dos escalares ser´a sempre o corpo dos n´ umeros reais, embora alguns dos resultados tenham vers˜oes naturais para espa¸cos sobre o corpo dos n´ umeros complexos.

9.1

Continuidade na topologia da norma

Ao longo dos primeiros cap´ıtulos deste livro j´a nos deparamos com alguns exemplos de aplica¸co˜es n˜ao-lineares. Certamente o primeiro exemplo ´e a pr´opria norma de um espa¸co vetorial normado; outro exemplo ilustrativo ´e o produto interno em espa¸cos de Hilbert H, como aplica¸c˜ao de H × H em R. A primeira no¸c˜ao relevante no estudo de aplica¸co˜es entre espa¸cos de Banach ´e a continuidade em rela¸ca˜o `as topologias naturais. A defini¸c˜ao continuidade no contexto geral de espa¸cos topol´ogicos pode ser encontrada no Apˆendice B (Defini¸c˜ao B.22); e, para aplica¸co˜es entre espa¸cos normados, a caracteriza¸ca˜o usual usando ε e δ est´a enunciada no preˆambulo do Cap´ıtulo 2. Discutimos nesta se¸c˜ao a continuidade em rela¸c˜ao `a topologia forte, isto ´e, a topologia gerada pela norma. De acordo com o que fizemos no Exemplo 1.1.2, dizemos que uma aplica¸c˜ao arbitr´aria Φ : M1 −→ M2 entre espa¸cos m´etricos ´e limitada se o conjunto Φ(A) for limitado em M2 sempre que A for limitado em M1 . Do Teorema 2.1.1 sabemos que as no¸c˜oes de limita¸c˜ao e continuidade s˜ao equivalentes para operadores lineares entre espa¸cos normados. Entretanto, em geral, limita¸c˜ao n˜ao implica em continuidade. Por outro 187

lado, qualquer aplica¸ca˜o cont´ınua definida em um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita ´e limitada. Exemplo 9.1.1 Na Se¸ca˜o 2.1 definimos a no¸c˜ao de fun¸ca˜o lipschitziana entre espa¸cos m´etricos. Para o caso particular de espa¸cos normados, ´e claro que uma aplica¸ca˜o Φ : E −→ F ser´a lipschitziana se existir uma constante K > 0 tal que kΦ(x) − Φ(y)k ≤ Kkx−yk para todos x, y ∈ E. Neste caso, o n´ umero inf{K : kΦ(x)−Φ(y)k≤Kkx−yk} ´e chamado de norma Lipschitz de Φ e denotado por kΦkLip . Facilmente verifica-se que toda aplica¸ca˜o lipschitziana ´e uniformemente cont´ınua e limitada. Exemplo 9.1.2 Considere a aplica¸ca˜o m : Lp [0, 1] −→ Lp [0, 1] , m(f )(x) := |f (x)|. Pela desigualdade triangular vemos que km(f ) − m(g)kp ≤ kf − gkp , isto ´e, m ´e lipschitziana e kmkLip = 1. A aplica¸ca˜o estudada no exemplo acima sugere uma classe bastante importante de operadores n˜ao-lineares atuando entre espa¸cos do tipo Lp , conhecidos na literatura como operadores de substitui¸c˜ao ou operadores de Nemytskii, os quais passamos a estudar em seguida. Defini¸ c˜ ao 9.1.3 Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Dizemos que uma aplica¸c˜ao ϕ : X × R −→ R satisfaz a condi¸c˜ao de Carath´eodory se: (a) A fun¸ca˜o ϕ(·, r) : X −→ R, x ∈ X 7→ ϕ(x, r), ´e mensur´avel para todo r ∈ R fixado, (b) A fun¸ca˜o ϕ(x, ·) : R −→ R, r ∈ R 7→ ϕ(x, r), ´e cont´ınua para quase todo ponto x ∈ X, isto ´e, existe A ∈ Σ tal que µ(A) = 0 e ϕ(x, ·) ´e cont´ınua para todo x ∈ / A. A partir de agora escreveremos Lp (X) no lugar de Lp (X, Σ, µ). Teorema 9.1.4 Sejam (X, Σ, µ) um espa¸co de medida, ϕ : X ×R −→ R uma aplica¸c˜ ao satisfazendo a condi¸c˜ ao de Carath´eodory, 1 ≤ p, q < ∞ e k ∈ Lq (X) uma fun¸c˜ao positiva. Suponha que exista uma constante C > 0 tal que ϕ(x, t) ≤ C|t|p/q + k(x) para quase todo x ∈ X e todo t ∈ R. Ent˜ ao o operador de substitui¸c˜ ao Φ : Lp (X) −→ Lq (X) , Φ(f )(x) := ϕ(x, f (x)), est´ a bem definido, ´e limitado e cont´ınuo. 188

Demonstra¸ c˜ ao. Deixamos a cargo do leitor a demonstra¸ca˜o de que Φ(f ) ´e mensur´avel sempre que f for mensur´avel. Note que kΦ(f )kq ≤ C · kf kpq p + kkkq , e assim Φ de fato est´a bem definida como aplica¸c˜ao de Lp (X) em Lq (X) e ´e limitada. Para mostrar a continuidade de Φ, considere uma sequˆencia (fn )∞ n=1 tal que fn −→ f em Lp (X). Suponha que (Φ(fn ))∞ n˜ a o convirja para Φ(f ) em L n=1 ¡ q (X). ¢∞ Neste caso existem uma vizinhan¸ca V de Φ(f ) em Lq (X) e uma subsequˆencia fnj j=1 de (fn )∞ n=1 tais que Φ(fnj ) ∈ / V para todo j. Como f ıcio nj −→ f em Lp (X), sabemos pelo Exerc´ ³ ´∞ ¡ ¢∞ 9.9.1 que existe uma subsequˆencia fnjk de fnj j=1 tal que fnjk −→ f µ-quase k=1

sempre e que existe uma fun¸ca˜o g ∈ Lp (X) tal que |fnjk | ≤ g µ-quase sempre. Assim, |Φ(fnjk )(x)| ≤ C|g(x)|p/q + k(x) ∈ Lq (X), para todo k. Segue do Teorema da Convergˆencia Dominada que Φ(fnjk ) −→ Φ(f ) em Lq (X). Isso contradiz o fato de que Φ(fnj ) ∈ / V para todo j, e portanto Φ(fn ) −→ Φ(f ) em Lq (X), provando a continuidade de Φ.

9.2

Continuidade na topologia fraca

Considerando a relevˆancia da compacidade como invariante topol´ogico e considerando a falta de compacidade local na topologia da norma em espa¸cos de dimens˜ao infinita, as topologias fracas tornam-se vitais no estudo de problemas modelados em espa¸cos normados. Assim, a compreens˜ao do comportamento de operadores n˜ao-lineares entre espa¸cos normados em rela¸c˜ao `a convergˆencia fraca ´e fundamental em an´alise n˜ao-linear. O objetivo desta se¸ca˜o ´e apresentar ao leitor alguns resultados sobre continuidade sequencial fraca de operadores n˜ao-lineares, um dos temas de pesquisa mais relevantes da an´alise moderna. Defini¸ c˜ ao 9.2.1 Sejam E, F espa¸cos normados e Φ : E −→ F uma aplica¸ca˜o arbitr´aria. Dizemos que: w (a) Φ ´e sequencialmente fracamente cont´ınua se Φ(xn ) −→ Φ(x) em F sempre que w xn −→ x em E. w (b) Φ ´e demicont´ınua se Φ(xn ) −→ Φ(x) em F sempre que xn −→ x em E. w (c) Φ ´e completamente cont´ınua se Φ(xn ) −→ Φ(x) em F sempre que xn −→ x em E. Aplica¸c˜oes completamente cont´ınuas s˜ao obviamente cont´ınuas e sequencialmente fracamente cont´ınuas. Tamb´em ´e claro que toda aplica¸ca˜o cont´ınua ou sequencialmente fracamente cont´ınua ´e demicont´ınua. A rela¸ca˜o entre continuidade e continuidade sequencial fraca ´e um pouco mais delicada. Para operadores lineares, a Proposi¸c˜ao 6.2.9 garante que continuidade sequencial fraca ´e equivalente `a continuidade; mas, em geral, n˜ao h´a qualquer rela¸ca˜o entre continuidade e continuidade sequencial fraca. 189

Ilustraremos este fenˆomeno no pr´oximo exemplo, para o qual relembramos a seguinte nota¸c˜ao cl´assica: dados um conjunto qualquer X e uma fun¸ca˜o arbitr´aria f : X −→ R, definimos f + : X −→ R , f + (x) := max {0, f (x)} . ´ imediato que a fun¸ca˜o Exemplo 9.2.2 E ϕ : [0, 2π] × R −→ R , ϕ(x, t) = max{0, t}, satisfaz as condi¸co˜es do Teorema 9.1.4, portanto seu operador de substitui¸c˜ao associado p : L2 [0, π] −→ L2 [0, π] , p(f )(x) := f + (x), ´e cont´ınuo. Na verdade ´e simples mostrar que p ´e lipschitziano. Estudemos seu comportamento em rela¸ca˜o `a convergˆencia fraca. Pelo Exerc´ıcio 9.9.2, a sequˆencia de fun¸c˜oes fn (x) = sen(nx) converge fracamente para 0. Usando mudan¸ca de vari´aveis, Z π Z 1 nπ + sen (nx)dx = sen+ (y)dy. n 0 0 Tomando n = 2s − 1 conclu´ımos que Z π s Z (2k+1)π X 2 1 2s p(sen(nx))dx ≥ lim lim inf sen(y)dy = lim = 1. s→∞ n→∞ s→∞ (2s − 1) k=1 2kπ (2s − 1) 0 Portanto o operador de substitui¸ca˜o p(f ) := f + n˜ao ´e sequencialmente fracamente cont´ınuo, mesmo sendo cont´ınua e linear por partes a fun¸ca˜o t 7→ t+ := max{0, t}. Defini¸ c˜ ao 9.2.3 Um espa¸co de Banach E ´e compactamente imerso no espa¸co de Banach F se E ´e subespa¸co vetorial de F e a inclus˜ao i : (E, k · kE ) −→ (F, k · kF ) ´e um operador compacto. A defini¸ca˜o acima s´o tem interesse quando a norma de E n˜ao ´e equivalente `a norma induzida por F , pois caso contr´ario E tem dimens˜ao finita (Exerc´ıcio 9.9.8), caso em que a inclus˜ao ´e automaticamente compacta. O teorema principal desta se¸c˜ao, embora com car´ater elementar, mostra-se muito u ´til em v´arias aplica¸c˜oes. Para demonstr´a-lo precisamos do seguinte lema topol´ogico elementar: encia em X e x ∈ X. Lema 9.2.4 Sejam X um espa¸co topol´ ogico, (xn )∞ n=1 uma sequˆ ∞ encia ao converge para x e toda subsequˆencia de (xn )∞ Se (xn )n=1 n˜ n=1 tem subsequˆ e x = 6 y ∈ X tais que x −→ y. convergente, ent˜ao existem uma subsequˆencia (xnj )∞ nj j=1 Teorema 9.2.5 Sejam F um espa¸co de Banach reflexivo, Φ : F −→ F um operador demicont´ınuo e E um espa¸co de Banach reflexivo compactamente imerso em F . Se Φ(E) ⊆ E e a aplica¸c˜ ao Φ : E −→ E ´e limitada, ent˜ao Φ : E −→ E ´e sequencialmente fracamente cont´ınuo. 190

w

Demonstra¸ c˜ ao. Seja xn −→ x em E. Como sequˆencias fracamente convergentes s˜ao limitadas (Proposi¸c˜ao 6.2.5) e Φ ´e um operador limitado em E, a sequˆencia (Φ(xn ))∞ n=1 ´e limitada em E, e portanto todas as suas subsequˆencias s˜ao limitadas em E. Como E ´e reflexivo, o Teorema 6.5.4 garante que toda subsequˆencia de (Φ(xn ))∞ n=1 admite ∞ subsequˆencia fracamente convergente em E. Suponha que (Φ(xn ))n=1 n˜ao convirja fracamente para Φ(x) em E. Pelo Lema 9.2.4 existem uma subsequˆencia (Φ(xnj ))∞ j=1 e w Φ(x) 6= y ∈ E tais que Φ(xnj ) −→ y em E. Como a inclus˜ao de E em F ´e compacta, E w ´e reflexivo e xnj −→ x em E, segue da Proposi¸ca˜o 7.2.8(b) que xnj −→ x em F . Pela demicontinuidade de Φ em F conclu´ımos que w

Φ(xnj ) −→ Φ(x) em F.

(9.1)

Lembrando novamente que a inclus˜ao de E em F ´e compacta e que E ´e reflexivo, a w condi¸c˜ao Φ(xnj ) −→ y em E implica, usando a Proposi¸ca˜o 7.2.8(b) uma vez mais, que Φ(xnj ) −→ y em F.

(9.2) w

De (9.1) e (9.2) segue que Φ(x) = y. Essa contradi¸ca˜o prova que Φ(xn ) −→ Φ(x) em E e completa a demonstra¸c˜ao. Vejamos a seguir um exemplo de operador completamente cont´ınuo, e portanto sequencialmente fracamente cont´ınuo. Exemplo 9.2.6 Seja T : L2 [0, 1] −→ C[0, 1] um operador linear cont´ınuo. exemplo, escolha uma fun¸c˜ao g ∈ C[0, 1] e defina Z 1 T : L2 [0, 1] −→ C[0, 1] , T (f )(t) := f (s)g(t − s) ds.

Por

0

Vejamos inicialmente que T : L2 [0, 1] −→ L2 [0, 1] ´e um operador compacto. Como L2 [0, 1] ´e reflexivo, pela Proposi¸ca˜o 7.2.8(b) basta provar que T ´e completamente w cont´ınuo. De fato, dada uma sequˆencia fn −→ f em L2 [0, 1], pela Proposi¸ca˜o 6.2.9 segue w ´ claro que, para cada t ∈ [0, 1], a correspondˆencia que T (fn ) −→ T (f ) em C[0, 1]. E g ∈ C[0, 1] 7→ g(t), define um funcional linear cont´ınuo em C[0, 1]. Portanto T (fn )(t) −→ T (f )(t) para todo t ∈ [0, 1]. Pela Proposi¸c˜ao 6.2.5(a) existe K1 > 0 tal que kT (fn )k∞ ≤ K1 para todo n, portanto segue do Teorema da Convergˆencia Dominada de Lesbegue que T (fn ) −→ T (f ) em L2 [0, 1]. Em seguida, considere uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕ : R −→ R qualquer e defina o operador n˜ao-linear Φ : L2 [0, 1] −→ L2 [0, 1] , Φ(f )(x) := ϕ (T (f )(x)) . Vejamos que o operador Φ ´e completamente cont´ınuo, e portanto sequencialmente w fracamente cont´ınuo. De fato, se fn −→ f em L2 [0, 1], ent˜ao, como vimos, T (fn ) −→ T (f ) em L2 [0, 1] e |T (fn (x))| ≤ K1 para todos x ∈ [0, 1] e n ∈ N. Como fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao limitadas em conjuntos limitados, existe K2 > 0 tal que |ϕ(T (fn )(x))| ≤ K2 para todos x ∈ [0, 1] e n ∈ N. Do Teorema da Convergˆencia Dominada de Lesbegue segue que Φ(fn ) −→ Φ(f ) em L2 [0, 1]. 191

9.3

Problemas de minimiza¸c˜ ao

V´arios modelos matem´aticos apresentam-se como problemas de minimiza¸c˜ao de uma determinada fun¸ca˜o ϕ : E −→ R definida em um espa¸co de Banach E. Como sabemos desde o primeiro curso de C´alculo, a existˆencia de m´ınimos e/ou m´aximos est´a intrinsecamente relacionada com propriedades de compacidade. Em espa¸cos de Banach arbitr´arios de dimens˜ao infinita, n˜ao temos sequer garantida a compacidade da bola unit´aria fechada na topologia fraca. Sabemos, pelo Teorema de Kakutani (Teorema 6.4.5), que tal compacidade est´a garantida apenas em espa¸cos reflexivos. Por outro lado, a continuidade fraca de operadores n˜ao-lineares ´e de dif´ıcil verifica¸ca˜o. Estes fatos tornam problemas de minimiza¸ca˜o em espa¸cos de dimens˜ao infinita bastante interessantes. O objetivo desta se¸ca˜o ´e apresentar e aplicar uma t´ecnica de minimiza¸ca˜o de operadores n˜ao-lineares definidos em espa¸cos de Banach. Defini¸ c˜ ao 9.3.1 Seja V um espa¸co vetorial. Uma fun¸ca˜o ϕ : V −→ R ´e convexa se ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), para todos t ∈ [0, 1] e x, y ∈ V. Se a desigualdade for estrita para t ∈ (0, 1), a fun¸c˜ao ´e dita uniformemente convexa. Teorema 9.3.2 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e ϕ : E −→ R uma fun¸c˜ ao cont´ınua e convexa. Suponha que ϕ seja coerciva, isto ´e, lim ϕ(x) = +∞. Ent˜ao, kxk→∞

para todo subconjunto convexo e fechado C de E existe x0 ∈ C tal que ϕ(x0 ) = min ϕ(y). y∈C

Demonstra¸ c˜ ao. Inicialmente observamos que da continuidade e da convexidade de ϕ segue que, para cada λ ∈ R, o conjunto {y ∈ E : ϕ(y) ≤ λ} ´e fechado e convexo. Portanto, pelo Teorema de Mazur (Teorema 6.2.11), o conjunto {y ∈ E : ϕ(y) ≤ λ} ´e fracamente fechado, e assim o conjunto {y ∈ E : ϕ(y) > λ} ´e aberto na topologia fraca w para qualquer λ ∈ R. Suponha xn −→ x0 em E. Dado ε > 0, xn ∈ {y ∈ E : ϕ(y) > ϕ(x0 ) − ε} para n suficientemente grande. Isso nos permite concluir que lim inf ϕ(xn ) ≥ ϕ(x0 ) n→∞

(9.3)

w

sempre que xn −→ x0 em E. Voltemos `a demonstra¸ca˜o do teorema. Dado C ⊆ E convexo e fechado, podemos tomar uma sequˆencia (xn )∞ n=1 em C tal que ϕ(xn ) −→ inf ϕ(y) < +∞. Da coercividade y∈C

de ϕ conclu´ımos que (xn )∞ e uma sequˆencia limitada. Como E ´e reflexivo, pelo n=1 ´ 192

¡ ¢∞ w Teorema 6.5.4 existem uma subsequˆencia xnj j=1 e x0 ∈ E tais que xnj −→ x0 . Aplicando uma vez mais o Teorema de Mazur, agora para o convexo e fechado C, sabemos que C ´e fracamente fechado, logo x0 ∈ C. E como ϕ(xnj ) −→ inf ϕ(y), de y∈C

(9.3) segue que ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xnj ) = lim ϕ(xnj ) = inf ϕ(y) ≤ ϕ(x0 ). j→∞

j→∞

y∈C

Conclu´ımos que ϕ(x0 ) = inf ϕ(y) = min ϕ(y). y∈C

y∈C

Como aplica¸ca˜o oferecemos uma nova demonstra¸c˜ao – que na verdade ´e uma generaliza¸c˜ao – do teorema da proje¸ca˜o ortogonal em espa¸cos de Hilbert (Teorema 5.2.2). Proposi¸c˜ ao 9.3.3 Seja C um subconjunto convexo e fechado do espa¸co de Hilbert H. Para todo vetor x0 ∈ H existe um u ´nico vetor y0 ∈ C tal que dist(x0 , C) = kx0 − y0 k . Al´em disso, o vetor y0 goza da seguinte caracteriza¸c˜ ao geom´etrica: y0 ´e o u ´nico vetor de H tal que hx0 − y0 , x − y0 i ≤ 0 (9.4) para todo x ∈ C. Demonstra¸ c˜ ao. Dado x0 ∈ H, considere a fun¸c˜ao ϕ : H −→ R , ϕ(x) = kx0 − xk2 . A fun¸ca˜o ϕ ´e cont´ınua, convexa e, pela desigualdade triangular, coerciva. Como C ´e convexo e fechado, o Teorema 9.3.2 garante existˆencia de um m´ınimo y0 para ϕ em C, que claramente satisfaz a condi¸c˜ao desejada. A unicidade segue da convexidade uniforme de ϕ. Para verificar a desigualdade 9.4, fixado x ∈ C, definimos a fun¸c˜ao ψx : [0, 1] −→ R , ψx (t) = kx0 − (tx + (1 − t)y0 )k2 . Como t = 0 ´e ponto de m´ınimo de ψx , temos ¯ d ¯ 0 ≤ ψx (t)¯ = −hx0 − y0 , x − y0 i. dt t=0

Observe que, na Proposi¸ca˜o acima, se C ´e um subespa¸co fechado de H, ent˜ao a desigualdade (9.4) ´e equivalente `a condi¸ca˜o (x0 −y0 ) ⊥ C. Isso mostra que a Proposi¸c˜ao 9.3.3 generaliza o Teorema 5.2.2. 193

9.4

Teoremas do ponto fixo

Teoremas do ponto fixo constituem uma ´area cl´assica em An´alise N˜ao-Linear e, como veremos nesta se¸ca˜o e na seguinte, s˜ao muito u ´teis nas aplica¸c˜oes. Defini¸ c˜ ao 9.4.1 Sejam M1 e M2 espa¸cos m´etricos. Uma aplica¸ca˜o Φ : M1 −→ M2 ´e uma contra¸c˜ ao se kΦkLip < 1, isto ´e, se existir uma constante θ < 1 tal que d(Φ(x), Φ(y)) ≤ θd(x, y) para todos x, y ∈ M1 . Por serem lipschitzianas, contra¸c˜oes s˜ao fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas, logo cont´ınuas. Exemplos cl´assicos de contra¸c˜oes s˜ao fun¸co˜es diferenci´aveis f : U ⊆ Rn −→ Rm com kDf (x)k ≤ θ < 1 para todo x ∈ U . Esta observa¸c˜ao ´e consequˆencia da Desigualdade do Valor M´edio para aplica¸c˜oes diferenci´aveis. A seguir apresentamos o famoso Teorema do ponto fixo de Banach, cuja importˆancia seria dificilmente exagerada. Teorema 9.4.2 (Teorema do ponto fixo de Banach) Sejam M um espa¸co m´etrico completo e Φ : M −→ M uma contra¸c˜ ao. Ent˜ao existe um u ´nico ponto x0 ∈ M tal que Φ(x0 ) = x0 . Demonstra¸ c˜ ao. Seja θ < 1 a constante da contra¸ca˜o Φ. Considere o n´ umero n˜aonegativo ι := inf{d(Φ(x), x) : x ∈ M }. Inicialmente verifiquemos que ι = 0. De fato, caso contr´ario ter´ıamos θ−1 ι > ι, e ent˜ao existiria x ∈ M tal que d(Φ(x), x) < θ−1 ι. Ter´ıamos assim d(Φ(Φ(x)), Φ(x)) ≤ θd(Φ(x), x) < ι, o que ´e incompat´ıvel com o fato de ι ser o ´ınfimo. Sabendo que inf{d(Φ(x), x) : x ∈ M } = 0, podemos tomar uma sequˆencia (xn )∞ n=1 em M tal que d(Φ(xn ), xn ) −→ 0. Pela desigualdade triangular podemos estimar d(xn , xm ) ≤ d(Φ(xn ), xn ) + d(Φ(xm ), xm ) + d(Φ(xn ), Φ(xm )) ≤ d(Φ(xn ), xn ) + d(Φ(xm ), xm ) + θd(xn , xm ), para todos n, m ∈ N. Portanto, d(xn , xm ) ≤

1 [d(Φ(xn ), xn ) + d(Φ(xm ), xm )] −→ 0, 1−θ

quando n, m −→ ∞. Isso prova que (xn )∞ e uma sequˆencia de Cauchy e, como M n=1 ´ ´e completo, (xn )∞ converge para um certo x0 ∈ M . Da continuidade de Φ temos n=1 Φ(xn ) −→ Φ(x0 ), e da continuidade da m´etrica segue que d(Φ(x0 ), x0 ) = lim d(Φ(xn ), xn ) = 0, n

194

provando que x0 ´e um ponto fixo para Φ. A unicidade segue da seguinte observa¸ca˜o: se x0 e x1 s˜ao pontos fixos, ent˜ao d(x0 , x1 ) = d(Φ(x0 ), Φ(x1 )) ≤ θd(x0 , x1 ). Teoremas de ponto fixo s˜ao ferramentas muito poderosas na resolu¸c˜ao de problemas n˜ao-lineares. Do ponto de vista computacional, ou num´erico, ´e importante descobrir algoritmos para encontrar pontos fixos e tamb´em estimar a velocidade de convergˆencia de tais algoritmos. Em geral estes questionamentos s˜ao dif´ıceis de serem respondidos satisfatoriamente; entretanto, para contra¸co˜es o Teorema do ponto fixo de Banach nos (n)

garante a seguinte consequˆencia imediata (relembre que Φn = Φ◦ · · · ◦Φ): Corol´ ario 9.4.3 Sejam E um espa¸co de Banach, Φ : E −→ E uma contra¸c˜ ao com constante θ e x0 seu u ´nico ponto fixo. Ent˜ao kΦn (x) − x0 k ≤ θn kx − x0 k para todos x ∈ E e n ∈ N. Em particular, para qualquer x ∈ E, a sequˆencia (Φn (x))∞ n=1 converge para o u ´nico ponto fixo de Φ. Como primeira aplica¸ca˜o do Teorema 9.4.2, generalizaremos para o contexto n˜aolinear o Teorema 7.1.4, que garante que o espectro σ(T ) de um operador linear cont´ınuo T : E −→ E est´a contido no disco {λ ∈ K : |λ| ≤ kT k}. Exemplo 9.4.4 (Teoria espectral de operadores n˜ao-lineares) Sejam E um espa¸co de Banach e Φ : E −→ E uma aplica¸c˜ao lipschitziana. Mantendo a nota¸ca˜o do Cap´ıtulo 7, o operador identidade em E ser´a denotado por I. Vejamos que, para qualquer λ ∈ R tal que |λ| > kΦkLip , a aplica¸ca˜o Φ − λI ´e uma bije¸c˜ao lipschitziana com inversa lipschitziana. De fato, para provar a bijetividade, dado y ∈ E precisamos mostrar que a equa¸ca˜o Φ(x) − λx = y, possui uma u ´nica solu¸c˜ao. Reescrevendo a equa¸c˜ao acima, temos que mostrar que o operador 1 ϕ : E −→ E , ϕ(x) = (Φ(x) − y), λ possui um u ´nico ponto fixo. Como |λ| > kΦkLip , decorre imediatamente que ϕ ´e uma ´ contra¸ca˜o, e a bijetividade de Φ − λI segue do Teorema do ponto fixo de Banach. E −1 claro que Φ − λI ´e lipschitziana. Para verificar que (Φ − λI) ´e lipschitziana, suponha que Φ(xi ) − λxi = yi , i = 1, 2. Subtraindo as equa¸c˜oes, a desigualdade triangular nos fornece |λ| · kx1 − x2 k = k(y1 − y2 ) + (Φ(x2 ) − Φ(x1 ))k ≤ k(y1 − y2 )k + kΦ(x2 ) − Φ(x1 ))k ≤ k(y1 − y2 )k + kΦkLip · kx1 − x2 k. Finalmente, k(Φ − λId)−1 (y1 ) − (Φ − λId)−1 (y2 )k = kx1 − x2 k ≤ 195

1 · ky1 − y2 k. |λ| − kΦkLip

A seguir apresentamos uma c´elebre aplica¸c˜ao do Teorema do ponto fixo de Banach em an´alise aplicada. Suporemos que uma norma k · k em Rn foi escolhida e fixada. Teorema 9.4.5 (Teorema de Cauchy–Picard) Sejam ε > 0, n ∈ N, r > 0, z0 ∈ Rn , t0 ∈ R e f : [t0 − ε, t0 + ε] × B[z0 , r] −→ Rn uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e lipschitziana na segunda vari´avel, isto ´e, kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ L · kx1 − x2 k, para algum L > 0 e todos x1 , x2 ∈ B[z0 , r] e t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]. Ent˜ao a equa¸c˜ao diferencial ordin´ aria ½ 0 x (t) = f (t, x(t)) x(t0 ) = z0 possui uma u ´nica solu¸c˜ ao local x : [t0 − ε0 , t0 + ε0 ] −→ B[z0 , r], para algum 0 < ε0 ≤ ε. Demonstra¸ c˜ ao. Chame K := sup{kf (s, z)k : (s, z) ∈ [t0 − ε, t0 + ε] × B[z0 , r]} e defina

½

r 1 ε = min ε, , K 2L

¾

0

.

Considere agora o conjunto M := {y : [t0 − ε0 , t0 + ε0 ] −→ B[z0 , r] : y ´e cont´ınua}, munido da m´etrica d(y1 , y2 ) := ky1 − y2 k∞ . No Exerc´ıcio 9.9.12 o leitor comprovar´a que o espa¸co m´etrico (M, d) ´e completo. Defina agora a aplica¸ca˜o Z t Φ : M −→ M , Φ(y)(t) = z0 + f (s, y(s))ds. t0

´ claro que Φ(y) ´e cont´ınua para todo y ∈ M e, para t ∈ [t0 − ε0 , t0 + ε0 ], temos E Z t kΦ(y)(t) − z0 k ≤ kf (s, y(s))k ds ≤ ε0 K ≤ r. t0

Portanto, de fato Φ aplica M em M . Mostraremos agora que Φ ´e uma contra¸ca˜o. Para isto, para todo t ∈ [t0 − ε0 , t0 + ε0 ], estimamos Z t kΦ(y1 )(t) − Φ(y2 )(t)k ≤ kf (s, y1 (s) − f (s, y2 (s))k ds t0

1 ≤ Lε0 ky1 − y2 k∞ ≤ ky1 − y2 k∞ . 2 Segue do Teorema do ponto fixo de Banach que Φ possui um u ´nico ponto fixo x ∈ M , que ´e precisamente a solu¸ca˜o da equa¸ca˜o diferencial requerida. 196

9.5

Operadores n˜ ao-lineares compactos

Como j´a vimos nos cap´ıtulos anteriores, muitos dos resultados v´alidos em espa¸cos euclidianos n˜ao s˜ao v´alidos quando exportados para ambientes de dimens˜ao infinita. O vil˜ao ´e quase sempre a falta de compacidade local. No caso linear, vimos no Cap´ıtulo 7 que muito pode ser feito na presen¸ca da compacidade local. Nesta se¸ca˜o veremos que tamb´em no caso n˜ao-linear a compacidade local nos permite ir mais longe. Defini¸ c˜ ao 9.5.1 Sejam E e F espa¸cos de Banach e U ⊆ E. Uma aplica¸c˜ao ϕ : U −→ F ´e compacta se: (a) ϕ ´e cont´ınua com rela¸c˜ao `as topologias das normas, (b) Para todo subconjunto limitado V ⊆ U , ϕ(V ) ´e compacto em F . A motiva¸c˜ao da defini¸ca˜o acima ´e repassar a responsabilidade da compacidade para a aplica¸ca˜o. Vejamos alguns exemplos iniciais. Exemplo 9.5.2 Seja ϕ : E −→ F uma aplica¸ca˜o entre espa¸cos de Banach. (a) Se E e F tˆem dimens˜ao finita, ent˜ao ϕ ´e compacto se, e somente se, ´e cont´ınuo. (b) Se F tem dimens˜ao finita, ent˜ao ϕ ´e compacto se, e somente se, ´e cont´ınuo e limitado. (c) Se E ´e reflexivo, ent˜ao a no¸c˜ao de aplica¸c˜ao compacta ´e a mesma de aplica¸ca˜o completamente cont´ınua, conforme definido em 9.2.1. Em particular, a aplica¸c˜ao do Exemplo 9.2.6 ´e compacta. (d) Operadores lineares compactos foram estudados nas se¸co˜es 7.2 e 7.3 e atendem `a defini¸c˜ao 9.5.1. Por exemplo, o operador integra¸c˜ao, Z t I : C[0, 1] −→ C[0, 1] , I(f )(t) = f (s)ds, 0

´e compacto. Heuristicamente, um operador atuando entre espa¸cos de fun¸co˜es ´e compacto se possuir algum efeito de suaviza¸ca˜o, isto ´e, se o operador melhorar a regularidade das fun¸c˜oes do dom´ınio. Por exemplo, o operador integra¸c˜ao mencionado acima aplica fun¸c˜oes meramente cont´ınuas em fun¸co˜es de classe C 1 . O operador do Exemplo 9.2.6 associa fun¸co˜es de L2 [0, 1] em fun¸co˜es cont´ınuas. Em geral tais aplica¸co˜es s˜ao obtidas como inversas de operadores diferenciais. Exemplo 9.5.3 Sejam a, b, c : R −→ R fun¸c˜oes cont´ınuas com a(x) > γ > 0 para todo x ∈ R. Defina o operador diferencial linear L(f ) := a(x)f 00 + b(x)f 0 + c(x)f. Segue do Teorema de Cauchy–Picard 9.4.5 (veja Exerc´ıcio 9.9.23) que, para qualquer fun¸c˜ao cont´ınua g : [0, 1] −→ R, o Problema de Valor Inicial L(f ) = g,

f (0) = a0 , 197

f 0 (0) = v0 ,

(9.5)

possui uma u ´nica solu¸ca˜o u : [0, 1] −→ R de classe C 2 . O operador Φ definido por Φ : C[0, 1] −→ C[0, 1] , Φ(g) = u, onde u ´e a u ´nica solu¸ca˜o da equa¸ca˜o (9.5), ´e compacto (Exerc´ıcio 9.9.24). Recordemos que um operador linear T : E −→ F tem posto finito se a imagem de ´ natural ent˜ao estender este conceito para fun¸c˜oes T , Im(T ), tem dimens˜ao finita. E arbitr´arias da seguinte forma: Defini¸ c˜ ao 9.5.4 Sejam E e F espa¸cos normados e U ⊆ E. Dizemos que uma aplica¸ca˜o arbitr´aria ϕ : U −→ F tem posto finito se o subespa¸co [ϕ(U )] de F gerado pela imagem de ϕ tem dimens˜ao finita. Na se¸c˜ao 7.6 discorremos sobre a importˆancia do problema de aproxima¸ca˜o de operadores lineares compactos por operadores lineares de posto finito no desenvolvimento da An´alise Funcional. Apresentamos a seguir um resultado sobre aproxima¸ca˜o de operadores n˜ao-lineares compactos por operadores (n˜ao-lineares, ´e claro) de posto finito que ser´a muito u ´til na demonstra¸ca˜o do Teorema do ponto fixo de Schauder. Teorema 9.5.5 Sejam E e F espa¸cos de Banach e U um subconjunto limitado de E. Uma aplica¸c˜ ao ϕ : U −→ F ´e compacta se, e somente se, para todo ε > 0 existe uma fun¸c˜ ao limitada, cont´ınua e de posto finito ϕε : U −→ F tal que kϕ(x) − ϕε (x)k < ε para todo x ∈ U . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha ϕ : U −→ F compacta. Por defini¸c˜ao, ϕ(U ) ´e um subconjunto compacto de F . Assim, dado ε > 0, existem k ∈ N e vetores y1 , y2 , . . . , yk ∈ F tais que k S ϕ(U ) ⊆ B(yi , ε). (9.6) i=1

Seja Gε = [y1 , y2 , . . . , yk ]. Passamos a construir uma parti¸ca˜o da unidade. Para cada i = 1, 2, . . . , k, considere a aplica¸c˜ao λi : U −→ R , λi (x) = max{ε − kϕ(x) − yi k, 0}, e, normalizando, σi : U −→ R , σi (x) =

λi (x) k P j=1

198

λj (x)

.

Observe que

k P

λj (x) > 0 para todo x ∈ U , uma vez que, devido a (9.6), ϕ(x) ∈ B(yj , ε)

j=1

para algum j ∈ {1, 2, . . . , k}. As fun¸c˜oes σi s˜ao cont´ınuas, 0 ≤ σi (x) ≤ 1 e, para todo k P x ∈ U, σi (x) = 1. Finalmente, definimos a aproxima¸ca˜o i=1

ϕε : U −→ Gε ⊆ F , ϕε (x) =

k X

σi (x)yi .

(9.7)

i=1

Facilmente verifica-se que, para todo x ∈ U , kϕ(x) − ϕε (x)k ≤

k X

σi (x) · kϕ(x) − yi k ≤ ε.

i=1

A rec´ıproca ´e clara pois, conforme o leitor comprovar´a no Exerc´ıcio 9.9.13, se (ϕn : U −→ F )∞ e uma sequˆencia de operadores compactos e ϕn −→ ϕ n=1 ´ uniformemente, ent˜ao ϕ ´e compacto. Como exemplificado na se¸ca˜o anterior, teoremas do ponto fixo s˜ao muito importantes em an´alise matem´atica pois fornecem ferramentas poderosas para mostrar a existˆencia de solu¸c˜oes de determinados problemas sem necessariamente constru´ı-las; tarefa esta ´ prov´avel que que em geral ´e muito dif´ıcil ou at´e mesmo imposs´ıvel de ser feita. E o primeiro teorema do ponto fixo que o leitor conheceu seja a seguinte consequˆencia imediata do Teorema do Valor Intermedi´ario: toda fun¸ca˜o cont´ınua f : [a, b] −→ [a, b] tem um ponto fixo. Um dos mais c´elebres teoremas do ponto fixo ´e uma generaliza¸c˜ao espetacular dessa propriedade: Teorema 9.5.6 (Teorema do ponto fixo de Brouwer) Seja C um subconjunto n˜aovazio, fechado, limitado e convexo do Rn . Qualquer aplica¸c˜ ao cont´ınua f : C −→ C tem pelo menos um ponto fixo. Em geral a demonstra¸c˜ao deste teorema repousa em ferramentas avan¸cadas de C´alculo Vetorial ou Topologia Alg´ebrica (veja, por exemplo, [35, Theorem 18.9] ou [55, p´agina 447] para uma vers˜ao menos geral). Passamos a seguir a discutir a validade do Teorema do ponto fixo de Brouwer em ambientes de dimens˜ao infinita. Come¸camos mostrando que apenas com continuidade n˜ao ´e poss´ıvel ir muito longe: Exemplo 9.5.7 Denotando por B a bola unit´aria fechada de `2 , considere a aplica¸ca˜o cont´ınua ´ ¢ ¢ ³¡ ¡ 2 1/2 , a , a , . . . . = 1 − kak f : B −→ B , f a = (aj )∞ 1 2 2 j=1 Observe que 2

2

kf (a)k = 1 − kak +

∞ X j=1

199

a2j = 1.

Verificamos a seguir que f n˜ao possui ponto fixo. De fato, se existisse b ∈ B tal que f (b) = b, ter´ıamos kbk2 = kf (b)k2 = 1 e ent˜ao ³¡ ´ ¢ 2 1/2 (b1 , b2 , . . . , ) = b = f (b) = 1 − kbk2 , b1 , b2 , . . . = (0, b1 , b2 , . . .). Isso implica que b = 0, o que ´e uma contradi¸ca˜o pois kbk2 = 1. Conclu´ımos que f , mesmo sendo cont´ınua, n˜ao tem ponto fixo. O exemplo acima mostra que o Teorema do ponto fixo de Brouwer ´e mais um resultado confinado aos espa¸cos euclidianos. Entretanto, mostraremos a seguir que tal resultado pode ser exportado para espa¸cos de Banach sob a hip´otese correta: a compacidade da aplica¸ca˜o. Teorema 9.5.8 (Teorema do ponto fixo de Schauder) Sejam E um espa¸co de Banach, C ⊆ E um conjunto fechado, convexo e limitado e f : C −→ C uma aplica¸c˜ ao compacta. Ent˜ ao f tem pelo menos um ponto fixo. Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Teorema 9.5.5 existe uma sequˆencia de operadores (fn )∞ n=1 cont´ınuos, limitados e de posto finito que aproximam f uniformemente. Aproveitando a nota¸ca˜o usada na demonstra¸c˜ao do Teorema 9.5.5 e chamando de Cn a envolt´oria convexa do conjunto {y1 , y2 , . . . , yn }, da defini¸ca˜o da aproxima¸ca˜o em (9.7), ´e verdade que fn (C) ⊆ Cn ⊆ C, sendo a u ´ltima inclus˜ao consequˆencia da convexidade de C. Chamando de Gn o subespa¸co gerado por y1 , y2 , . . . , yn , restringindo fn ao conjunto convexo e fechado Cn ⊆ Gn , e lembrando que fn (Cn ) ⊆ Cn , pelo Teorema do ponto fixo de Brower existe xn ∈ Cn tal que fn (xn ) = xn . Como C ´e limitado e f ´e compacta, existem uma subsequˆencia (xnj )∞ ) −→ y. Mas C ´e fechado, j=1 e y ∈ E tais que f (x ¡nj ¢∞ logo y ∈ C. Combinando a convergˆencia uniforme de fnj j=1 para f em C com a convergˆencia f (xnj ) −→ y, a desigualdade kxnj − yk ≤ kxnj − f (xnj )k + kf (xnj ) − yk = kfnj (xnj ) − f (xnj )k + kf (xnj ) − yk, nos permite concluir que xnj −→ y. Da continuidade de f segue que f (xnj ) −→ f (y), e portanto y = f (y). Como aplica¸c˜ao do Teorema 9.5.8, voltamos `a teoria de existˆencia de solu¸c˜ao local do Problema de Valor Inicial ½ 0 x (t) = f (t, x(t)) (PVI) x(t0 ) = z0 O Teorema de Cauchy-Picard, Teorema 9.4.5, garante existˆencia e unicidade de solu¸ca˜o quando f (t, x) ´e lipschitziana na vari´avel x. Em algumas aplica¸c˜oes, n˜ao ´e poss´ıvel garantir tal regularidade do campo f e apenas a continuidade ´e assegurada. Vejamos um exemplo: 200

Exemplo 9.5.9 Considere o problema de valor inicial p x0 (t) = x(t), x(0) = 0. √ O campo referente a este problema ´e f (x) = x, que ´e cont´ınuo mas n˜ao ´e lipschitziano pr´oximo `a origem. Como as fun¸c˜oes x(t) = 0 e x(t) = 41 t2 s˜ao solu¸c˜oes, o problema tem solu¸c˜ao mas a unicidade n˜ao ´e mais garantida. O exemplo acima sugere o questionamento sobre o que podemos dizer a respeito da resolubilidade da equa¸c˜ao diferencial ordin´aria (PVI) quando f ´e meramente um campo cont´ınuo. A resposta ´e dada pelo Teorema de Peano, cuja demonstra¸c˜ao ´e uma simples aplica¸c˜ao do Teorema do ponto fixo de Schauder. Teorema 9.5.10 (Teorema de Peano) Sejam ε > 0, y0 ∈ Rn , t0 ∈ R e f : [t0 − ε, t0 + ε] × B[z0 , r] −→ Rn uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ao, o problema de valor inicial ½ 0 x (t) = f (t, x(t)) x(t0 ) = z0 possui pelo menos uma solu¸c˜ ao local x : [t0 − ε0 , t0 + ε0 ] −→ B[z0 , r], para algum 0 0 < ε ≤ ε. Demonstra¸ c˜ ao. Escolha uma norma k·k em Rn e, como na demonstra¸ca˜o do Teorema 9.4.5, defina K = sup{kf (s, z)k : (s, z) ∈ [t0 − ε, t0 + ε] × B[z0 , r]}. Tome ε0 =

r ε K

e considere o espa¸co de Banach

C ([t0 − ε0 , t0 + ε0 ], Rn ) := {y : [t0 − ε0 , t0 + ε0 ] −→ Rn : y ´e cont´ınua}, munido com a norma do m´aximo. Chamando a imagem da fun¸ca˜o y de Im(y), ´e f´acil ver que o subconjunto M := {y ∈ C ([t0 − ε0 , t0 + ε0 ], Rn ) : Im(y) ⊆ B[z0 , r]} ⊆ C ([t0 − ε0 , t0 + ε0 ], Rn ) ´e fechado, convexo e limitado. A escolha de ε0 garante que a aplica¸c˜ao Z t Φ : M −→ M , Φ(y)(t) = z0 + f (s, y(s))ds, t0

est´a bem definida no sentido de aplicar M em M . A continuidade de Φ ´e imediata. Observe que solu¸c˜oes do problema de valor inicial do enunciado s˜ao exatamente os pontos fixos de Φ. Pelo Teorema do ponto fixo de Schauder basta ent˜ao mostrar que o operador Φ ´e compacto. Sejam V ⊆ M , y ∈ V e t1 , t2 ∈ [t0 − ε0 , t0 + ε0 ]. Podemos estimar Z t2 kΦ(y)(t1 ) − Φ(y)(t2 )k ≤ kf (s, y(s))k ds ≤ K · |t1 − t2 |. t1

Segue que o conjunto Φ(V ) ´e limitado e equicont´ınuo. O Teorema de Ascoli (Teorema B.7) garante que Φ(V ) ´e relativamente compacto em M , provando que o operador Φ ´e compacto. 201

9.6

Elementos do c´ alculo diferencial em espa¸cos de Banach

Nesta se¸ca˜o passamos a discutir a no¸c˜ao de diferenciabilidade de fun¸co˜es f : U ⊆ E −→ F , onde U ´e um aberto e E e F s˜ao espa¸cos de Banach. De acordo com o c´alculo infinitesimal em dimens˜ao finita, iniciamos nossa an´alise buscando aproximar localmente fun¸co˜es n˜ao-lineares f por fun¸co˜es afins: f (x) ∼ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), onde f 0 (x0 ) ´e uma aplica¸ca˜o linear cont´ınua de E em F . Esse objetivo nos conduz `a defini¸c˜ao de fun¸c˜oes Fr´echet-diferenci´aveis: Defini¸ c˜ ao 9.6.1 Sejam E e F espa¸cos de Banach e U um aberto em E. Dizemos que uma fun¸ca˜o f : U −→ F ´e Fr´echet-diferenci´ avel no ponto x0 ∈ U se existe um operador linear cont´ınuo A : E −→ F tal que f (x0 + h) = f (x0 ) + A(h) + R(x0 , h), para todo h tal que x0 + h pertence a uma bola aberta centrada em x0 e contida em U , onde R(x0 , h) = o(khk), isto ´e: kR(x0 , h)k = 0. h→0 khk lim

Neste caso A ´e chamada de derivada de Fr´echet de f em x0 e denotada por A = Df (x0 ). Como ´e usual, dizemos que f ´e Fr´echet-diferenci´ avel se f for Fr´echet-diferenci´avel em todos os pontos de U . Na defini¸c˜ao acima utilizamos a nota¸c˜ao cl´assica o(khk). Abrimos um pequena digress˜ao para discutir um pouco das vantagens desta nota¸c˜ao, conhecida como ‘littleo’. Sejam E e F espa¸cos de Banach. Dadas duas fun¸c˜oes f : U ⊆ E −→ F e g : U ⊆ E −→ [0, ∞), onde U ´e um aberto contendo a origem, dizemos que f = o(g) se kf (x)k = 0. x→0 g(x) lim

A igualdade f = o(g) ´e chamada de igualdade assint´otica. A ideia ´e que, quando x −→ 0, kf (x)k tende para zero mais rapidamente do que g(x). Com essa nota¸ca˜o, dizer que f (x) −→ 0 quando x −→ 0 ´e equivamente a escrever f = o(1). No nosso contexto estamos privilegiando a origem, mas obviamente igualdades assint´oticas podem ser definidas para x −→ x0 com x0 6= 0. Observemos inicialmente que a defini¸c˜ao de Fr´echet-diferenciabilidade pressup˜oe apenas a existˆencia do operador linear continuo A de tal sorte que lim

h→0

kf (x0 + h) − f (x0 ) − A(h)k = 0. khk

Vejamos agora algumas consequˆencias da Fr´echet-diferenciabilidade: 202

Proposi¸c˜ ao 9.6.2 Sejam E e F espa¸cos de Banach e U ⊆ E aberto. Se a fun¸c˜ ao f : U −→ F ´e Fr´echet-diferenci´ avel em x0 ∈ E, ent˜ao a derivada de Fr´echet de f em x0 ´e u ´nica e f ´e cont´ınua em x0 . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que A, B ∈ L(E, F ) sejam tais que f (x0 + h) − (f (x0 ) + A(h)) = o(khk) e f (x0 + h) − (f (x0 ) + B(h)) = o(khk). Subtraindo as igualdades assint´oticas acima conclu´ımos que k(A − B)(h)k = o(khk).

(9.8)

Ora, dado ε > 0 arbitr´ario, existe hε com khε k = 1 tal que, para qualquer δ > 0, kA − Bk ≤ k(A − B)(hε )k + ε =

k(A − B)(δhε )k + ε. kδhε k

Em vista de (9.8), tomando o limite quando δ −→ 0 e posteriormente fazendo ε tender a zero, conclu´ımos a unicidade da derivada de f em x0 . Para verificar continuidade de f em x0 , basta estimar, via desigualdade triangular kf (x0 + h) − f (x0 )k ≤ kDf (x0 )k · khk + kR(x0 , h)k −→ 0, quando h −→ 0 em E. Vejamos alguns exemplos preliminares. Exemplo 9.6.3 (a) Toda fun¸ca˜o constante em um aberto de um espa¸co de Banach ´e Fr´echet-diferenci´avel e tem derivada nula. Para a rec´ıproca desta propriedade, veja o Corol´ario 9.6.7. (b) Toda aplica¸ca˜o linear cont´ınua A : E −→ F ´e Fr´echet-diferenci´avel e DA(x0 ) = A para todo x0 ∈ E. (c) Sejam H um espa¸co de Hilbert e f : H −→ R , f (x) = kxk2 . Ent˜ao f ´e Fr´echet-diferenci´avel e Df (x)(h) = 2hx, hi para todos x, h ∈ H. De fato, kx − hk2 − kxk2 − 2hx, hi = khk2 = o(khk). Mais geralmente, se A : H −→ H ´e uma aplica¸c˜ao linear, ent˜ao a fun¸c˜ao fA : H −→ R , f (x) = hA(x), xi, ´e Fr´echet-diferenci´avel e DfA (x)(h) = h(A + A∗ )x, hi, para todos x, h ∈ H. De fato, de hA(x + h), x + hi = hA(x), xi + hA(x), hi + hA(h), xi + hA(h), hi, segue que fA (x + h) − fA (x) − h(A + A∗ )x, hi = hA(h), hi = o(khk). 203

Proposi¸c˜ ao 9.6.4 Sejam E e F espa¸cos de Banach e U ⊆ E aberto. Se as fun¸c˜ oes f, g : U −→ F s˜ao Fr´echet-diferenci´ aveis em x0 ∈ E e λ ∈ R, ent˜ao a fun¸c˜ ao f + λg ´e Fr´echet-diferenci´ avel em x0 e D(f + λg)(x0 ) = Df (x0 ) + λDg(x0 ). Demonstra¸ c˜ ao. Simplesmente escrevemos (f + λg)(x0 + h) − (f + λg)(x0 ) − (Df (x0 ) + λDg(x0 ))(h) = o(khk) + λo(khk) = o(khk).

A seguir provaremos a regra da cadeia para a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes Fr´echetdiferenci´aveis. Antes observamos o seguinte fato elementar sobre an´alise assint´otica. Sejam E e F espa¸cos de Banach, U ⊆ E um aberto, A : E −→ F um operador linear cont´ınuo e R : U −→ F uma aplica¸ca˜o de ordem R(h) = o(kA(h) + o(khk)k). Ent˜ao R(h) = o(khk). Ou seja R(h) = o(kA(h) + o(khk)k) implica R(h) = o(khk).

(9.9)

De fato, kR(h)k kA(h) + o(khk)k kR(h)k = · khk khk kA(h) + o(khk)k µ ¶ o(khk) kR(h)k ≤ kAk + · −→ 0, khk kA(h) + o(khk)k quando khk −→ 0. Esta observa¸c˜ao ser´a utilizada a seguir. Teorema 9.6.5 (Regra da Cadeia) Sejam E, F, G espa¸cos de Banach, f : U ⊆ E −→ F , g : V ⊆ F −→ G, com U e V abertos e f (U ) ⊆ V . Se f ´e Fr´echet-diferenci´ avel em x0 ∈ U e g ´e Fr´echet-diferenci´ avel em f (x0 ), a aplica¸c˜ ao g ◦ f : U −→ G ´e Fr´echetdiferenci´ avel em x0 e D(g ◦ f )(x0 ) = Dg(f (x0 )) ◦ Df (x0 ). Demonstra¸ c˜ ao. Pela diferenciabilidade de f em x0 , sabemos que f (x0 + h) = f (x0 ) + Df (x0 )(h) + o(khk). Assim, aplicando g e utilizando a diferenciabilidade de g em f (x0 ), obtemos g ◦ f (x0 + h) = g (f (x0 ) + Df (x0 )(h) + o(khk)) = g ◦ f (x0 ) + Dg(f (x0 )) [Df (x0 )(h) + o(khk)] + o(kDf (x0 )(h) + o(khk)k) = g ◦ f (x0 ) + [Dg(f (x0 )) ◦ Df (x0 )](h) + o(khk), em vista de (9.9). 204

Um dos principais objetivos da an´alise n˜ao-linear ´e inferir propriedades de uma aplica¸c˜ao Fr´echet-diferenci´avel f : U ⊆ E −→ F via inspe¸ca˜o quantitativa e qualitativa de sua derivada Df . Por exemplo, uma das interpreta¸c˜oes prim´arias da derivada de uma fun¸ca˜o real g : (a, b) −→ R refere-se `a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao g. Portanto, controlar o m´aximo de |g 0 (x)| ´e estimar o quanto a fun¸c˜ao g pode expandir. De fato este resultado ´e bastante conhecido para fun¸co˜es reais e a seguir o generalizamos para o contexto de fun¸c˜oes entre espa¸cos de Banach. Teorema 9.6.6 (Desigualdade do Valor M´edio) Sejam E e F espa¸cos de Banach, U ⊆ E aberto e f : U −→ F uma aplica¸c˜ ao Fr´echet-diferenci´ avel. Sejam x1 , x2 ∈ U tais que o segmento ` := {tx1 + (1 − t)x2 : 0 ≤ t ≤ 1} est´ a contido em U . Ent˜ao kf (x1 ) − f (x2 )k ≤ sup kDf (x)k · kx1 − x2 k. x∈`

Demonstra¸ c˜ ao. Fixado ϕ ∈ F 0 com kϕk = 1, a fun¸ca˜o real fϕ : [0, 1] −→ R , fϕ (t) = ϕ (f (tx1 + (1 − t)x2 )) , ´e diferenci´avel. Pela Regra da Cadeia (Teorema 9.6.5), d fϕ (t) = ϕ (Df (tx1 + (1 − t)x2 ) · (x1 − x2 )) , dt para todo t ∈ [0, 1]. Pelo Teorema do Valor M´edio para fun¸co˜es reais, sabemos que existe c ∈ [0, 1] tal que d fϕ (1) − fϕ (0) = fϕ (c). dt Portanto podemos estimar |ϕ (f (x1 ) − f (x2 ))| ≤ sup kDf (x)k · kx1 − x2 k. x∈`

Para completar a demonstra¸ca˜o, basta selecionar, via Teorema de Hahn–Banach, um funcional ϕ ∈ F 0 tal que |ϕ (f (x1 ) − f (x2 ))| = kf (x1 ) − f (x2 )k. Corol´ ario 9.6.7 Sejam E e F espa¸cos de Banach e U ⊆ E aberto e conexo. Se f : U −→ F ´e uma aplica¸c˜ ao Fr´echet-diferenci´ avel tal que Df (x) = 0 para todo x ∈ U , ent˜ ao f ´e constante. Demonstra¸ c˜ ao. Seja x0 ∈ U um vetor qualquer. Defina V := {x ∈ U : f (x) = f (x0 )}. ´ E claro que V ´e n˜ao-vazio e, por continuidade (Proposi¸c˜ao 9.6.2), V ´e fechado. Dado y0 ∈ V , escolha r > 0 tal que B(y0 , r) ⊆ U . Pelo Teorema 9.6.6 temos f (z) = f (y0 ) para todo z ∈ B(y0 , r). Isso prova que B(y0 , r) ⊆ V , e portanto V ´e aberto. Por conexidade segue que V = U .

205

9.7

Integra¸c˜ ao vetorial

Nesta se¸ca˜o X ´e um conjunto n˜ao-vazio, Σ ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X e µ ´e uma medida σ-finita em Σ. Relembre que os elementos de Σ s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis e que, para cada conjunto mensur´avel A ∈ Σ, a fun¸ca˜o caracter´ıstica de A ´e denotada por χA . O objetivo desta se¸c˜ao ´e descrever uma teoria de integra¸ca˜o para fun¸c˜oes vetoriais f : X −→ E, em que E ´e um espa¸co de Banach. Nossa primeira miss˜ao, portanto, ´e definir a no¸ca˜o de fun¸co˜es mensur´aveis. Defini¸ c˜ ao 9.7.1 Uma fun¸ca˜o f : X −→ E ´e uma fun¸c˜ ao simples mensur´avel se existem conjuntos mensur´aveis A1 , . . . , Ak ∈ Σ com µ(Aj ) < ∞ para j = 1, . . . , k, tais que Ai ∩ Aj = ∅ sempre que i 6= j, e vetores b1 , . . . , bk ∈ E tais que f=

k X

χAi bi .

i=1

Uma fun¸c˜ao g : X −→ E ´e mensur´avel se existe uma sequˆencia (fn )∞ c˜oes n=1 de fun¸ simples mensur´aveis tal que fn −→ g µ-quase sempre. Para fun¸co˜es a valores no corpo dos escalares, a defini¸c˜ao acima coincide com o conceito de mensurabilidade da teoria cl´assica da medida. Inicialmente ´e v´alido destacar que a imagem de uma fun¸c˜ao simples mensur´avel est´a contida em um subespa¸co de dimens˜ao finita. Assim, se g ´e mensur´avel, ent˜ao existe um conjunto mensur´avel O tal que µ(O) = 0 e g(X − O) ⊆ F ⊆ E, onde F ´e um subespa¸co fechado e separ´avel. Para verificar esse fato, basta observar que se g ´e mensur´avel, ent˜ao existem fun¸c˜oes simples mensur´aveis fn =

kn X

χAni bni ,

i=1

e um conjunto mensur´avel O tais que µ(O) = 0 e fn (x) −→ g(x) para todo x ∈ X − O. Portanto g(x) ∈ [bni : n ∈ N, i = 1, . . . , kn ]. Conclu´ımos portanto que a teoria de integra¸ca˜o vetorial pode ser naturalmente restrita a fun¸co˜es tomando valores em espa¸cos de Banach separ´aveis. Portanto, nesta se¸ca˜o E denotar´a sempre um espa¸co de Banach separ´avel. Ent˜ao, a partir de agora µ ´e uma medida σ-finita em uma σ-´algebra Σ de subconjuntos do conjunto X e E ´e um espa¸co de Banach separ´avel. A seguinte observa¸ca˜o tamb´em segue imediatamente da Defini¸ca˜o 9.7.1: 206

encia de fun¸c˜ oes mensur´aveis e Proposi¸c˜ ao 9.7.2 Seja (fn : X −→ E)∞ n=1 uma sequˆ f : X −→ E. Se fn −→ f µ-quase sempre, ent˜ao f ´e mensur´avel. A princ´ıpio n˜ao ´e f´acil verificar pela defini¸ca˜o se uma dada fun¸ca˜o ´e mensur´avel ou n˜ao. O pr´oximo resultado remedia em parte esta dificuldade. Teorema 9.7.3 (Teorema da mensurabilidade de Pettis) As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para uma fun¸c˜ ao f : X −→ E: (a) f ´e mensur´avel. (b) f ´e fracamente mensur´avel, isto ´e, ϕ ◦ f : X −→ R ´e mensur´avel para todo ϕ ∈ E 0 . (c) kf k : X −→ R ´e mensur´avel. Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Segue imediatamente da Defini¸c˜ao 9.7.1. (b) =⇒ (c) Como E ´e separ´avel, pelo Exerc´ıcio 3.6.11 existem funcionais lineares ϕ1 , ϕ2 , . . . em E 0 tais que kϕi k = 1 para todo i e kyk = sup ϕi (y) para todo y ∈ E. i

Fixado λ ∈ R, por hip´otese os conjuntos Ai := {x ∈ X : ϕi ◦ f (x) ≤ λ}, i ∈ N, s˜ao mensur´aveis. Portanto tamb´em ´e mensur´avel o conjunto {x ∈ X : kf (x)k ≤ λ} = {x ∈ X : sup ϕi (f (x)) ≤ λ} i

= {x ∈ X : ϕi (f (x)) ≤ λ para todo i ∈ N} =

∞ T

Ai .

i=1

Isso prova que a fun¸ca˜o kf k : X −→ R ´e mensur´avel. (c) =⇒ (a) Seja (yi )∞ encia densa em E. Por hip´otese, para cada i ∈ N, a i=1 uma sequˆ fun¸c˜ao τi : X −→ R , τi (x) = kf (x) − yi k, ´e mensur´avel. Portanto, para qualquer n ∈ N fixado, o conjunto ½ ¾ ½ · ¸¾ 1 1 n Xi := x ∈ X : τi (x) ≤ = x ∈ X : f (x) ∈ B yi , n n ´e mensur´avel. Al´em disso, a densidade da sequˆencia (yi )∞ i=1 garante que X =

∞ S i=1

Xin .

aveis disjuntos dois a dois Defina em seguida a sequˆencia (Anj )∞ j=1 de conjuntos mensur´ dados por j−1 S n Xi , j = 2, 3, . . . , An1 = X1n , Anj = Xjn − i=1

e a fun¸ca˜o mensur´avel fn : X −→ E , fn (x) =

∞ X i=1

207

χAni yi .

∞ ∞ ´ claro que S An = S X n = X. Assim, dado x ∈ X, podemos tomar j ∈ N tal que E i i i=1 i=1 ¤ £ x ∈ Anj . Neste caso x ∈ Xjn e fn (x) = yj . Segue que fn (x) = yj e f (x) ∈ B yj , n1 , e portanto 1 kf (x) − fn (x)k = kf (x) − yj k ≤ . n Conclu´ımos ent˜ao que fn (x) −→ f (x) para todo x ∈ X e assim f ´e mensur´avel pela Proposi¸c˜ao 9.7.2.

Corol´ ario 9.7.4 Sejam M um espa¸co m´etrico e µ uma medida nos borelianos de M . Se f : M −→ E ´e cont´ınua, ent˜ao f ´e mensur´avel. Passamos agora `a defini¸ca˜o da integral de uma fun¸ca˜o mensur´avel f : X −→ E. Assim como na teoria de integra¸ca˜o cl´assica, come¸camos definindo a integral de uma fun¸c˜ao simples mensur´avel da forma natural: ! Z ÃX k k X χAi bi dµ := µ (Ai ) bi . X

i=1

i=1

Esta defini¸ca˜o da integral de fun¸co˜es simples mensur´aveis ´e consistente no sentido de que n˜ao depende da representa¸ca˜o da fun¸ca˜o. Entretanto n˜ao seria razo´avel estendˆe-la pontualmente para fun¸c˜oes mensur´aveis arbitr´arias, pois a express˜ao do lado direito da igualdade acima n˜ao tem motivo para ser som´avel quando k −→ ∞. Uma r´apida reflex˜ao nos leva `a seguinte defini¸c˜ao de integral: Defini¸ c˜ ao 9.7.5 Dizemos que a fun¸c˜ao mensur´avel f : X −→ E ´e Bochner-integr´ avel se existe uma sequˆencia de fun¸co˜es simples mensur´aveis fn : X −→ E, n ∈ N, tal que fn −→ f µ-quase sempre e Z lim kf − fn k dµ = 0. (9.10) n→∞

X

Neste caso, para cada conjunto mensur´avel A ∈ Σ, definimos a integral de Bochner da fun¸c˜ ao f sobre A por: Z Z f dµ = lim χA fn dµ. (9.11) A

n→∞

X

Para que a defini¸c˜ao acima seja consistente, ´e necess´ario verificar que o limite em (9.11) existe e que n˜ao depende da sequˆencia de fun¸c˜oes simples mensur´aveis que e uma sequˆencia de fun¸c˜oes simples aproxima f no sentido (9.10). Ora, se (fn )∞ n=1 ´ mensur´aveis satisfazendo (9.10) e A ´e um conjunto mensur´avel, ent˜ao, pela desigualdade triangular, ° Z °Z Z Z ° ° ° ° χA fm dµ − kf − fm k dµ + kf − fn k dµ. χA fn dµ° ≤ ° X

X

X

208

X

¡R ¢∞ Isso ´e suficiente para concluir que a sequˆencia X χA fn dµ n=1 ´e de Cauchy em E, portanto convergente. Verificaremos em seguida que o limite em (9.11) independe da ∞ ∞ sequˆencia (fn )∞ ao sequˆencias de fun¸co˜es simples n=1 . De fato se (fn )n=1 e (gn )n=1 s˜ mensur´aveis, ambas satisfazendo (9.10), ent˜ao ° Z °Z Z Z ° ° ° χA fn dµ − kf − fn k dµ + kf − gn k dµ −→ 0 χA gn dµ° °≤ ° X

X

X

X

quando n −→ ∞. Outra observa¸ca˜o f´acil de ser verificada ´e que se f : X −→ E ´e Bochner-integr´avel, ent˜ao a fun¸c˜ao real kf k : X −→ R ´e Lebesgue-integr´avel: com efeito, se (fn )∞ e uma n=1 ´ sequˆencia de fun¸c˜oes simples mensur´aveis verificando (9.10), ent˜ao ¯ Z ¯ ¯Z Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ kfm k − kfn k dµ¯ ≤ kfm − fn k dµ. ¯kfm k − kfn k¯ dµ ≤ ¯ ¯ X

X

X

Portanto a sequˆencia (kfn k)∞ e de Cauchy no espa¸co de Banach L1 (X). Como n=1 ´ kfn k −→ kf k µ-quase sempre, conclu´ımos que kf k ∈ L1 (X). A rec´ıproca desta observa¸ca˜o ´e verdadeira, o que ´e de grande ajuda na verifica¸ca˜o da Bochner-integrabilidade de uma determinada fun¸ca˜o mensur´avel f : X −→ E: Teorema 9.7.6 Uma fun¸c˜ ao mensur´avel f : X −→ E ´e Bochner-integr´ avel se, e somente se, a fun¸c˜ ao real kf k : X −→ R ´e Lebesgue-integr´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que kf k ∈ L1 (X). Seja (fn )∞ encia de fun¸co˜es n=1 uma sequˆ simples mensur´aveis convergindo µ-quase sempre para f . Para cada n ∈ N, considere o conjunto mensur´avel © ª An := x ∈ X : kfn (x)k ≤ kf (x)k(1 + 2−n ) e a fun¸ca˜o simples mensur´avel gn : X −→ E , gn (x) = fn (x)χAn (x). Como fn −→ f µ-quase sempre, ´e f´acil observar que gn −→ f µ-quase sempre e kgn (x)k ≤ kf (x)k(1 + 2−n ), para todos n ∈ N e x ∈ X. Conclu´ımos a demonstra¸c˜ao aplicando o Teorema da Convergˆencia Dominada para a sequˆencia de fun¸co˜es (kgn − f k)∞ n=1 . Como bˆonus da demonstra¸ca˜o do Teorema 9.7.6 conclu´ımos que se f : X −→ E ´e co˜es simples mensur´aveis Bochner-integr´avel, ent˜ao existe uma sequˆencia (gn )∞ n=1 de fun¸ tal que gn −→ f µ-quase sempre, kgn − f k −→ 0 em L1 (X) ekgn k −→ kf k em L1 (X). O pr´oximo resultado, que pode ser entendido como uma desigualdade triangular para a integral de Bochner, ´e muito u ´til em situa¸co˜es pr´aticas. 209

Corol´ ario 9.7.7 Sejam f : X −→ E uma fun¸c˜ ao Bochner-integr´ avel e A um conjunto mensur´ avel. Ent˜ao °Z ° Z ° ° ° f dµ° ≤ kf k dµ. ° ° A

A

Demonstra¸ c˜ ao. Da observa¸c˜ao acima podemos tomar uma sequˆencia (fn )∞ n=1 de fun¸c˜oes simples mensur´aveis tal que kfn k −→ kf k em L1 (X). A desigualdade triangular garante que a desigualdade que queremos provar ´e verdadeira para fun¸c˜oes simples mensur´aveis, logo ° Z °Z ° ° ° fn dµ° ≤ kfn k dµ, ° ° A

A

para todo n ∈ N. Basta tomar o limite quando n −→ ∞ para concluir a demonstra¸c˜ao. Conclu´ımos esta introdu¸ca˜o `a integra¸ca˜o vetorial estabelecendo a harmonia entre a integral de Bochner e os operadores lineares cont´ınuos: Proposi¸c˜ ao 9.7.8 Sejam f : X −→ E uma fun¸c˜ ao Bochner-integr´ avel e T : E −→ F um operador linear cont´ınuo entre espa¸cos de Banach. Ent˜ao a fun¸c˜ ao T ◦ f : X −→ F ´e Bochner-integr´ avel e ¶ µZ Z f dµ .

T ◦ f dµ = T X

X

Demonstra¸ c˜ ao. A Bochner-integrabilidade T ◦ f ´e consequˆencia da estimativa kT (f (x))k ≤ kT k · kf (x)k, para todo x ∈ X, em combina¸c˜ao com o Teorema 9.7.6. Seja agora (fn )∞ n=1 uma sequˆencia de fun¸co˜es simples mensur´aveis a valores em E tal que fn −→ f µ-quase sempre e kfn − f k −→ 0 em L1 (X). Ent˜ao (T ◦ fn )∞ e uma sequˆencia de fun¸co˜es n=1 ´ simples mensur´aveis a valores em F que converge µ-quase sempre para T ◦ f e Z Z kT ◦ fn − T ◦ f k dµ ≤ kT k · kfn − f k dµ −→ 0, X

X

quando n −→ ∞. Finalmente, da defini¸ca˜o de integra¸ca˜o a Bochner segue que µ ¶ µZ ¶ Z Z Z T ◦ f dµ = lim T ◦ fn dµ = T lim fn dµ = T f dµ . X

n→∞

n→∞

X

210

X

X

9.8

Coment´ arios e notas hist´ oricas

A rec´ıproca no Teorema 9.1.4 foi demonstrada por M. M. Vainberg na d´ecada de 1960: se um operador de substitui¸c˜ao Φ(f ) := ϕ(x, f (x)) aplica Lp (X) em Lq (X), ent˜ao existe uma fun¸ca˜o k ∈ Lq (X) tal que ϕ(x, t) ≤ C|t|p/q + k(x), para quase todo x ∈ X e todo t ∈ R. O Teorema 9.2.5 foi primeiramente demonstrado em [86] com prop´osito de estudar equa¸c˜oes diferenciais parciais envolvendo o operador maximal de Hardy–Littlewood. Os exemplos cl´assicos de pares E, F de espa¸cos de Banach reflexivos para os quais a inclus˜ao E ,→ F ´e um operador compacto s˜ao os espa¸cos de Sobolev E = W 1,p (X) (veja, por exemplo, [12, 8.2]) e F = Lp (X), onde X ´e um aberto limitado. Neste panorama, ´e provado em [86] que o operador maximal de Hardy–Littlewood ´e sequencialmente fracamente cont´ınuo de W 1,p (X) em W 1,p (X). Um outro exemplo did´atico da aplicabilidade do Teorema 9.2.5 ´e o seguinte: Exemplo 9.8.1 Sejam 1 < p < ∞ e ϕ : R −→ R uma fun¸ca˜o lipschitziana com kϕkLip(R) ≤ C. Dado um aberto limitado X do Rn , considere o operador Nϕ : W 1,p (X) −→ W 1,p (X) , Nϕ (f ) = ϕ (f (x)) . Ent˜ao Nϕ ´e sequencialmente fracamente cont´ınuo. De fato, aplicando o Teorema 9.2.5 para F = Lp (X) e E = W 1,p (X), basta verificar que o operador Nϕ : W 1,p (X) −→ W 1,p (X) ´e limitado. Mas isso ´e simples, pois kNϕ (f )kW 1,p (X) = kNϕ (f )kLp (X) + kDNϕ (f )kLp (X) . Agora, kNϕ (f )kLp (X) ≤ C kf kLp (X) e kDNϕ (f )kLp (X) = |Dϕ(f (x)) · Df (x)| ≤ C |Df (x)| . O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, em geral, ´e enunciado para a bola unit´aria fechada do Rn ao inv´es de um conjunto compacto e convexo. Ele foi obtido, para n = 3, por L. E. J. Brouwer em 1909. Um resultado similar, para fun¸co˜es diferenci´aveis, havia sido obtido em 1904 por P. Bohl. O caso geral foi demonstrado por J. Hadamard em 1910 e Brouwer em 1912. O Teorema 9.5.6 ´e `as vezes chamado de vers˜ao forte do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. O Teorema 9.5.8 foi provado por J. Schauder em 1930 seguindo a linha de um resultado anterior de G. D. Birkhoff e O. D. Kellogg para fun¸co˜es cont´ınuas definidas em subconjuntos compactos e convexos de L2 [0, 1]. Para mais detalhes sobre teoremas de ponto fixo, sugerimos [37, 60]. Provamos o Teorema 9.4.5 (Cauchy–Picard) como aplica¸ca˜o do Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema 9.4.2). Entretanto, cronologicamente os fatos ocorreram 211

de maneira invertida. O Teorema 9.4.5 foi provado por E. Picard, em uma s´erie de artigos iniciada em 1890, como um refinamento de t´ecnicas anteriormente aplicadas por Cauchy e por Liouville na primeira metade do s´eculo 19. A t´ecnica de Picard ficou conhecida como m´etodo das aproxima¸c˜ oes sucessivas. O Teorema do Ponto Fixo de Banach, provado por Banach em sua tese, defendida em 1920 e publicada em 1922, ´e uma abstra¸c˜ao estupenda do m´etodo de Picard e muito u ´til na resolu¸ca˜o de equa¸c˜oes de v´arios tipos. O Teorema 9.5.10, publicado por G. Peano em 1890 – ap´os uma demonstra¸ca˜o incorreta publicada em 1886 – tamb´em foi provado usando o m´etodo das aproxima¸co˜es sucessivas. A continuidade do campo f n˜ao ´e hip´otese essencial: existem fun¸co˜es descont´ınuas f – chamadas de fun¸c˜ oes absolutamente cont´ınuas – para as quais vale o Teorema 9.5.10. Este resultado, chamado de Teorema da Existˆencia de Carath´eodory, pode ser demonstrado da mesma forma que o Teorema 9.5.10 usando o fato de que o Teorema Fundamental do C´alculo tamb´em vale para fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas (veja [80, Theorem 7.18]). Sejam E e F espa¸cos normados. Uma aplica¸ca˜o f : U ⊆ E −→ F ´e n˜ ao-expansiva (ou contra¸c˜ ao fraca) se kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk para todos x, y ∈ U . Nos Exerc´ıcios 9.9.19 a 9.9.22 discutimos a existˆencia de pontos fixos de aplica¸c˜oes n˜ao-expansivas. O seguinte exemplo mostra que mesmo aplica¸co˜es n˜ao-expansivas definidas em conjuntos convexos e fracamente compactos podem n˜ao ter pontos fixos: Exemplo 9.8.2 (D. Alspach, 1981) O conjunto ½ Z K := f ∈ L1 [0, 1] : 0 ≤ f ≤ 2,

¾

1

f dt = 1 0

´e convexo e fracamente compacto em L1 [0, 1] e a aplica¸ca˜o ½ min{2f (2t), 2} se 0 ≤ t ≤ 21 T : K −→ K , T (f )(t) := max{0, 2f (2t − 1) − 2} se 21 ≤ t ≤ 1, ´e uma isometria (em particular n˜ao-expansiva) que n˜ao tem pontos fixos. Lembremos que do Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta segue se E e F s˜ao espa¸cos de Banach, ent˜ao um operador linear cont´ınuo T : E −→ F ´e um isomorfismo precisamente quando, para todo y ∈ F , a equa¸c˜ao T (x) = y possui uma u ´nica solu¸ca˜o em E. Esta ´e uma propriedade qualitativa do operador T ; ´e natural, portanto, questionar se o fato da derivada Df (x0 ) de uma fun¸ca˜o diferenci´avel f ser bijetora garante que f seja bijetora em uma vizinhan¸ca de x0 . A resposta ´e dada por um dos principais teorema do c´alculo diferencial: o Teorema da Fun¸ca˜o Inversa, nosso velho conhecido da An´alise no Rn e que pode ser transportado para fun¸co˜es entre espa¸cos de Banach da seguinte forma. Sejam U ⊆ E um aberto e f : E −→ F uma fun¸ca˜o Fr´echet diferenci´avel. Dizemos que f ´e de classe C 1 em U , e neste caso escrevemos f ∈ C 1 (U, F ), se a aplica¸ca˜o derivada Df : U −→ L(E, F ) for cont´ınua. Se O1 e O2 s˜ao abertos em E e F , respectivamente, dizemos que uma fun¸ca˜o f : O1 −→ O2 ´e um difeomorfismo de classe C 1 se f for uma bije¸c˜ao de classe C 1 e f −1 : O2 −→ O1 tamb´em for de classe C 1 . 212

Teorema 9.8.3 (Teorema da Fun¸ca˜o Inversa) Sejam E e F espa¸cos de Banach e f ∈ C 1 (U, F ), onde U ´e um subconjunto aberto de E. Se Df (x0 ) ´e um isomorfismo, ent˜ ao existem vizinhan¸cas O1 de x0 e O2 de f (x0 ) tais que f : O1 −→ O2 ´e um difeomorfismo. Para uma demonstra¸ca˜o veja [79, Theorem 10.39]. Para um tratamento elementar da integra¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas f : [a, b] −→ E, onde E ´e um espa¸co normado, veja [3, 3.2]. A integral de Bochner tamb´em ´e chamada de integral de Dunford e Schwartz e de primeira integral de Dunford. O trabalho pioneiro de S. Bochner foi publicado em 1932, e o mesmo conceito foi reintroduzido por N. Dunford em 1935. A integral de Bochner ´e um caso particular da integral mais geral estudada no cl´assico [25] de N. Dunford e J. T. Schwartz. O Teorema 9.7.3 foi publicado por B. J. Pettis em 1938. Para um estudo mais aprofundado da integral de Bochner, e tamb´em das integrais de Bartle e de Pettis, veja [21, Chapter II].

9.9

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 9.9.1 que se fn −→ f em Lp (X), 1 ≤ p < ∞, ent˜ao existem uma ¡ ¢Mostre ∞ subsequˆencia fnj j=1 e uma fun¸ca˜o g ∈ Lp (X) tais que: (i) f¯nj (x) −→ ¯ f (x) µ-quase sempre, e ¯ (ii) fnj (x)¯ ≤ g(x) µ-quase sempre. Exerc´ıcio 9.9.2 Mostre que a sequˆencia (fn )∞ n=1 em L2 [0, π] dada por fn (x) = sen(nx) converge fracamente para zero. Exerc´ıcio 9.9.3* Sejam f : Rn −→ R uma fun¸c˜ao limitada com suporte compacto, isto ´e, o fecho do conjunto {x ∈ Rn : f (x) 6= 0} ´e compacto, e 0 6= v ∈ Rn . Para cada inteiro positivo m considere a fun¸ca˜o fm (x) := f (x + mv), x ∈ Rn . Mostre que a sequˆencia n (fm )∞ m=1 converge fracamente para zero em L∞ (R ). Exerc´ıcio 9.9.4* Seja Ω um subconjunto aberto e limitado do Rn . Sabendo que toda sequˆencia fracamente convergente em L∞ (Ω) converge quase sempre (para o mesmo limite), prove que toda sequˆencia fracamente convergente em L∞ (Ω) ´e convergente em Lp (Ω) para todo p > 1. Exerc´ıcio 9.9.5* Sejam 1 < q, p < ∞ e ϕ : R −→ R uma fun¸ca˜o cont´ınua satisfazendo |ϕ(t)| ≤ C| t|p/q para todo t ∈ R. Considere o operador de substitui¸c˜ao N : Lp [0, 1] −→ Lq [0, 1] , N (f )(t) = ϕ ◦ f (t). encia limitada em Lp [0, 1] e suponha que fn −→ f quase Seja tamb´em (fn )∞ n=1 uma sequˆ ∞ sempre. Mostre que (N (fn ))n=1 converge fracamente para N (f ) em Lq [0, 1].

213

encia limitada em Lp [0, 1], p > 1, e suponha Exerc´ıcio 9.9.6 Seja (fn )∞ n=1 uma sequˆ que fn −→ f quase sempre, onde f ´e mensur´avel. Mostre que fn −→ f em Lq [0, 1] para todo 1 ≤ q < p. Exerc´ıcio 9.9.7 Demonstre o Lema 9.2.4. Exerc´ıcio 9.9.8 Seja E um espa¸co de Banach compactamente imerso no espa¸co de Banach F . Prove que a norma de E ´e equivalente `a norma induzida por F se, e somente se, E tem dimens˜ao finita. Exerc´ıcio 9.9.9 (a) Exiba uma fun¸ca˜o f : R −→ R coerciva e injetora. (b) Mostre que a fun¸c˜ao do item (a) tem necessariamente um n´ umero infinito de descontinuidades. Na verdade, prove que se E ´e um espa¸co de Banach e f : E −→ R ´e coerciva e injetora, ent˜ao f tem infinitas descontinuidades. Exerc´ıcio 9.9.10 Prove que a completude do espa¸co ´e hip´otese essencial no Teorema do ponto fixo de Banach. Ou seja, exiba um espa¸co m´etrico M (incompleto, ´e claro) e uma contra¸c˜ao f : M −→ M que n˜ao tem ponto fixo. Exerc´ıcio 9.9.11 Seja E um espa¸co de Banach. Sem usar o Teorema do ponto fixo de Banach, prove que toda contra¸c˜ao linear n˜ao-nula de E em E tem um u ´nico ponto fixo. Exerc´ıcio 9.9.12 Prove que o espa¸co m´etrico (M, d) da demonstra¸c˜ao do Teorema 9.4.5 ´e completo. Exerc´ıcio 9.9.13 Sejam E e F espa¸cos normados, U ⊆ E e ϕn , ϕ : U −→ F , n ∈ N. Prove que se cada ϕn ´e compacto e ϕn −→ ϕ uniformemente, ent˜ao ϕ ´e compacto. Exerc´ıcio 9.9.14* Sejam K : [0, 1] × [0, 1] −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua e f ∈ C[0, 1]. Mostre que para todo λ com |λ| ≤ kKk∞ existe uma u ´nica fun¸ca˜o cont´ınua g : [0, 1] −→ R tal que Z 1

g(t) = f (t) + λ ·

K(t, s)u(s) ds, 0

para todo t ∈ [0, 1]. Exerc´ıcio 9.9.15* Sejam E um espa¸co de Banach e A : [0, 1] −→ L(E, E) uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Mostre que existe uma u ´nica fun¸c˜ao X : [0, 1] −→ L(E, E) tal que X(0) = idE e dX (t) = A(t) ◦ X(t), dt para t ∈ (0, 1]. Exerc´ıcio 9.9.16 Sejam X um espa¸co topol´ogico de Hausdorff e f : X −→ X uma fun¸c˜ao cont´ınua. Prove que o conjunto dos pontos fixos de f ´e fechado em X. Conclua que o conjunto dos pontos fixos de f ´e denso em X se, e somente, se f ´e a identidade em X. 214

Exerc´ıcio 9.9.17 Prove que a fun¸c˜ao f do Exemplo 9.5.7 ´e cont´ınua mas n˜ao ´e completamente cont´ınua. Exerc´ıcio 9.9.18* Sejam H um espa¸co de Hilbert separ´avel e Φ : BH −→ BH uma aplica¸c˜ao (n˜ao-linear) sequencialmente fracamente cont´ınua, definida na bola unit´aria fechada BH de H. Mostre que Φ possui um ponto fixo. Exerc´ıcio 9.9.19* Sejam H um espa¸co de Hilbert e ϕ : BH −→ BH uma aplica¸ca˜o n˜aoexpansiva (ou contra¸c˜ ao fraca), isto ´e, kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ kx − yk para todos x, y ∈ BH , definida na bola unit´aria fechada BH de H. Mostre que ϕ possui um ponto fixo. Exerc´ıcio 9.9.20 Exiba uma isometria, em particular uma aplica¸ca˜o n˜ao-expansiva, de Sc0 := {x ∈ c0 : kxk∞ = 1} em Sc0 que n˜ao tem pontos fixos. Exerc´ıcio 9.9.21* Seja C um subconjunto n˜ao-vazio, convexo, fechado e limitado do espa¸co de Banach E com 0 ∈ C. Prove que se f : C −→ C ´e n˜ao-expansiva, ent˜ao existe uma sequˆencia (xn )∞ encia ´e chamada de n=1 ⊆ E tal que lim kxn − f (xn )k = 0. Tal sequˆ n sequˆencia de pontos fixos aproximados para f . Exerc´ıcio 9.9.22 Seja C um subconjunto n˜ao-vazio, convexo, fechado e limitado do espa¸co de Banach E. Prove que se f : C −→ C ´e n˜ao-expansiva, ent˜ao inf{kT (x) − xk : x ∈ C} = 0. Exerc´ıcio 9.9.23 Mostre que, dada uma fun¸ca˜o cont´ınua g : [0, 1] −→ R, o Problema de Valor Inicial (9.5) do Exemplo 9.5.3 possui uma u ´nica solu¸ca˜o de classe C 2 . Exerc´ıcio 9.9.24 Mostre que o operador Φ do Exemplo 9.5.3 ´e compacto. Exerc´ıcio 9.9.25 Sejam E1 , E2 e F espa¸cos de Banach e A : E1 × E2 −→ F uma aplica¸c˜ao bilinear cont´ınua. Prove que A ´e Fr´echet-diferenci´avel e que DA(x1 , x2 )(t1 , x2 ) = A(t1 , x2 ) + A(x1 , t2 ) para todos x1 , t1 ∈ E1 e x2 , t2 ∈ E2 . Exerc´ıcio 9.9.26 Prove que as opera¸c˜oes alg´ebricas – adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar – em um espa¸co de Banach s˜ao Fr´echet-diferenci´aveis. Exerc´ıcio 9.9.27 Sejam E e F espa¸cos de Banach, A um subconjunto aberto, n˜aovazio e convexo de E e f : A −→ F uma aplica¸c˜ao Fr´echet-diferenci´avel tal que Df ´e constante em A. Prove que f ´e a restri¸ca˜o a A de uma aplica¸ca˜o afim cont´ınua, isto ´e, existem T ∈ L(E; F ) e b ∈ F tais que f (x) = T (x) + b para todo x ∈ A. Nos exercicios a seguir, µ ´e uma medida σ-finita em uma σ-´algebra Σ de subconjuntos do conjunto X e E ´e um espa¸co de Banach separ´avel. 215

Exerc´ıcio 9.9.28 Demonstre a Proposi¸ca˜o 9.7.2. Exerc´ıcio 9.9.29 Seja f : X −→ E uma fun¸c˜ao Bochner-integr´avel. Prove que Z f dµ = 0. lim µ(A)→0

A

Exerc´ıcio 9.9.30 Prove que a integral de Bochner ´e σ-aditiva, isto ´e, se f : X −→ E ´e Bochner-integr´avelµe (An )∞ n=1 ¶ ´e uma sequˆencia de conjuntos mensur´aveis dois a dois ∞ S disjuntos tais que µ An < ∞, ent˜ao n=1

Z ∞ S n=1

f dµ = An

∞ Z X n=1

f dµ. An

Exerc´ıcio 9.9.31 (Teorema de Egorov) Seja fn : X −→ E, n ∈ N, uma sequˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis com fn −→ f µ-quase sempre e suponha que µ(X) < ∞. Mostre que dado ε > 0 existe um conjunto mensur´avel Xε tal que µ(X − Xε ) < ε e sup kfn (x) − f (x)k < ε.

x∈Xε

Exerc´ıcio 9.9.32 Seja f : [a, b] −→ E uma fun¸c˜ao cont´ınua. Prove que Z n−1 X f dm = lim f (t∗i )(ti+1 − ti ), n→∞

[a,b]

i=0

onde m ´e a medida de Lebesgue em [a, b], a = t0 < t1 < · · · < tn = b e t∗i ∈ [ti , ti+1 ] para todo i = 0, . . . , n − 1, e lim max{| ti+1 − ti | : i = 0, . . . , n − 1} = 0. n→∞

Exerc´ıcio 9.9.33* Diz-se que uma fun¸ca˜o mensur´avel f : X −→ E ´e fracamente integr´ avel se existe um vetor I ∈ E tal que Z ϕ ◦ f dµ = ϕ(I), X

R para todo ϕ ∈ E 0 . Neste caso escrevemos w− X f d µ =: I. Mostre que se f ´e Bochnerintegr´avel, ent˜ao f ´e fracamente integr´avel e Z Z w− f d µ = f dµ. X

X

Exerc´ıcio 9.9.34* Seja f : X −→ E uma fun¸ca˜o Bochner-integr´avel. Prove que, para todo A ∈ Σ com 0 < µ(A) < ∞, ´e verdade que Z 1 f dµ ∈ conv(f (X)). µ(A) A Veja a defini¸c˜ao da envolt´oria convexa no Exerc´ıcio 1.8.17. 216

Cap´ıtulo 10 Elementos da Teoria dos Espa¸cos de Banach Desde os prim´ordios da An´alise Funcional, nas primeiras d´ecadas do s´eculo XX, a teoria dos espa¸cos de Banach tem se desenvolvido a passos largos tanto no sentido horizontal como no sentido vertical. Por sentido horizontal nos referimos ao alargamento das fronteiras da teoria e ao estabelecimento de conex˜oes com outras ´areas. Exemplos disso s˜ao o Cap´ıtulo 9 sobre An´alise N˜ao-Linear, a cria¸ca˜o da Teoria das Distribui¸c˜oes e suas conex˜oes, as aplica¸co˜es dos espa¸cos de Sobolev `a teoria de Equa¸co˜es Diferenciais ´ Parciais, a teoria de Algebras de Banach (em particular, C*-´algebras) e as aplica¸co˜es do Teorema de Hahn–Banach mencionadas no preˆambulo do Cap´ıtulo 3. Por sentido vertical entendemos desenvolvimentos no sentido de compreender melhor a estrutura dos espa¸cos de Banach, tanto provando teoremas de longo alcance como produzindo exemplos de espa¸cos de Banach com propriedades ultra-especiais, de cujas existˆencias todos duvidaram por muitos anos. Demos v´arios exemplos disso nas se¸c˜oes de coment´arios e notas hist´oricas dos cap´ıtulos precedentes, e o exemplo mais luminoso ´e a teoria de Gowers–Maurey mencionada na Introdu¸ca˜o. O prop´osito deste cap´ıtulo ´e ilustrar esse desenvolvimento vertical da teoria dos espa¸cos de Banach, introduzindo o leitor a alguns conceitos, resultados, t´ecnicas e exemplos centrais dentro da teoria.

10.1

S´ eries e o Teorema de Dvoretzky–Rogers

Da defini¸c˜ao de s´erie convergente de n´ umeros reais fica claro que, para falar de s´eries convergentes, basta saber fazer somas finitas e saber tomar limites de sequˆencias. Em espa¸cos normados podemos fazer as duas coisas, portanto ´e este o ambiente adequado para tratar de s´eries convergentes. J´a definimos s´eries convergentes e incondicionalmente convergentes na Defini¸ca˜o 5.3.7, mas para comodidade do leitor repetimos essas defini¸co˜es: encia no espa¸co normado E. Diz-se que a s´erie Defini¸ c˜ ao 10.1.1 Seja (xn )∞ n=1 um sequˆ 217

∞ P

xn :

Ã

n=1

(a) converge para x ∈ E se a sequˆencia das somas parciais

n P

j=1

x. Neste caso escrevemos

∞ P

!∞ xj

converge para n=1

xn = x.

n=1

(b) ´e absolutamente convergente se

∞ P n=1

kxn k < ∞.

(c) ´e incondicionalmente convergente se a s´erie

∞ P

xσ(n) ´e convergente, qualquer que

n=1

seja a permuta¸ca˜o σ : N −→ N. Neste caso, da Proposi¸ca˜o 5.3.8 sabemos que ∞ P n=1

∞ P n=1

xn =

xσ(n) para toda permuta¸c˜ao σ. ∞ P

xn em um espa¸co de Banach ° ° °P ° °m ° ´e convergente se, e somente se, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ° xj ° < ε sempre °j=n ° que m > n ≥ n0 . Observa¸ c˜ ao 10.1.2 (Crit´erio de Cauchy) Uma s´erie

n=1

Exemplo 10.1.3 Sejam (ej )∞ onicos dos espa¸cos de sequˆencias. O que j=1 os vetores canˆ foi feito no Exemplo 1.6.4 mostra que se x = (aj )∞ j=1 pertence a c0 ou `p , 1 ≤ p < ∞, ∞ P aj ej . ent˜ao x = n=1

Da An´alise na Reta o leitor deve se lembrar que s´eries absolutamente convergentes de n´ umeros reais s˜ao convergentes, e talvez se lembre tamb´em de que a demonstra¸ca˜o desse fato depende da completude da reta. Banach observou que essa propriedade na verdade caracteriza os espa¸cos completos: Proposi¸c˜ ao 10.1.4 As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para um espa¸co normado E: (a) Toda s´erie absolutamente convergente em E ´e incondicionalmente convergente. (b) Toda s´erie absolutamente convergente em E ´e convergente. (c) E ´e um espa¸co de Banach. ´ claro que (a) =⇒ (b) ´e trivial. Demonstra¸ c˜ ao. E encia de Cauchy em E. Dado k ∈ N podemos tomar (b) =⇒ (c) Seja (xn )∞ n=1 uma sequˆ (k) (k) −k n0 ∈ N tal que kxn − xm k < 2 sempre que n, m ≥ n0 . Logo, existem n1 < n2 < · · · tais que ° ° °xn − xn ° < 2−k para todo k. k+1 k 218

Assim,

∞ X ° °x n

k+1

∞ ° X − xn k ° ≤ 2−k = 1.

k=1

Portanto a s´erie

∞ P

k=1

(xnk+1 − xnk ) ´e absolutamente convergente e, por hip´otese, ´e

k=1

convergente. Como

xnk+1 = xn1

k X + (xnj+1 − xnj ) para todo k, j=1

segue que a sequˆencia (xnk+1 )∞ e convergente. Dessa forma (xn )∞ e uma sequˆencia n=1 ´ k=1 ´ de Cauchy que tem subsequˆencia convergente, logo ´e convergente. encia absolutamente convergente em E. Devido a (c) =⇒ (a) Seja (xn )∞ n=1 uma sequˆ um resultado de Dirichlet, sabemos que, para s´eries de n´ umeros reais, convergˆencias absoluta e incondicional coincidem, logo para qualquer bije¸ca˜o σ dos naturais a s´erie ∞ ° ° P °xσ(n) ° converge. Portanto, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n=1

° ° ° ° n m n n ∞ °X ° ° X ° X X ° ° X ° ° ° ° ° ° ° ° °xσ(k) ° < ε xσ(k) ° = ° xσ(k) ° ≤ xσ(k) < ° xσ(k) − ° ° ° ° k=1

k=1

k=m+1

k=m+1

sempre que n > m > n0 . A convergˆencia da s´erie

∞ P n=1

k=n0

xσ(n) segue do crit´erio de Cauchy.

Conforme usamos na demonstra¸ca˜o anterior, s´eries absolutamente convergentes de n´ umeros reais s˜ao precisamente as s´eries incondicionalmente convergentes. Trabalhando com a convergˆencia coordenada a coordenada, esse fato se estende facilmente para espa¸cos de dimens˜ao finita. Entretanto, em espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita a situa¸c˜ao ´e diferente: Exemplo 10.1.5 Sejam (en )∞ arios canˆonicos dos espa¸cos de n=1 os vetores unit´ ∞ P ´ claro que a s´erie sequˆencias e defina xn = enn . E xn n˜ao ´e absolutamente convergente n=1

em c0¡ e `p , 1 ≤¢ p ≤ ∞. Vejamos que essa s´erie converge incondicionalmente para x = 1, 12 , 13 , . . . em c0 : dados uma permuta¸c˜ao σ de N e ε > 0, tome um inteiro ´ claro que para cada j = 1, . . . , N , existe nj ∈ N tal que σ(nj ) = j. Chame N ≥ 1ε . E n P n0 = max{n1 , . . . , nN }. Ent˜ao, para cada n ≥ n0 , o vetor xσ(j) tem suas primeiras j=1

N coordenadas iguais `as de x. Portanto, ° ° n ° °X 1 1 ° ° xσ(j) − x° ≤ < 0 existe nε ∈ N tal que ° xn ° ° < ε sempre que M for um n∈M

subconjunto finito de N com minM > nε . ∞ P (c) A s´erie xn ´e subs´erie-convergente, isto ´e, para qualquer sequˆencia estritamente n=1

crescente (kn )∞ erie n=1 de inteiros positivos, a s´ (d) A s´erie

∞ P

xn ´e sinal-convergente, ou seja,

∞ P

xkn ´e convergente.

n=1 ∞ P

εn xn ´e convergente qualquer que seja

n=1

n=1

a escolha de sinais εn ∈ {−1, 1} , n ∈ N.

Demonstra¸ c˜ ao. (a) =⇒ (b) Suponha, por absurdo, ° que °exista δ > 0 tal que para todo °P ° m ∈ N exista M ⊆ N finito com minM > m e ° xn ° ° ° ≥ δ. Neste caso existe uma n∈M

sequˆencia (Mn )∞ n=1 de subconjuntos finitos dos naturais tais que, para todo n ∈ N, ° ° °X ° ° ° xj ° ≥ δ. minMn > maxMn−1 + 1 e ° ° ° j∈Mn

O s´ımbolo |A| denota o n´ umero de elementos do conjunto finito A. Seja σ : N −→ N uma bije¸c˜ao que leva os inteiros de cada intervalo [minMn , minMn + |Mn |) no conjunto Mn . Isso ´e poss´ıvel pois tanto os intervalos quanto¶os conjuntos Mn s˜ao disjuntos dois µ ∞ n P n˜ao ´e de Cauchy em E. Para a dois. Provemos que a sequˆencia Sn = xσ(k) k=1

n=1

tanto, observe que para todo m ∈ N podemos escolher n ∈ N tal que minMn > m e ° ° ° P ° ° ° xj ° ≥ δ. Tomando p = minMn − 1 e q = minMn + |Mn | − 1, temos q ≥ p + 1 > m ° °j∈Mn ° 220

e

° q ° ° ° °X ° °X ° ° ° ° ° kSq − Sp k = ° xk ° ≥ δ. xσ(k) ° = ° ° ° ° ° k=p+1

Por n˜ao ser de Cauchy, a sequˆencia hip´otese.

k∈Mn

(Sn )∞ n=1

n˜ao ´e convergente, o que contradiz a

(b) =⇒ (a) Seja σ uma permuta¸c˜ao dos naturais Fixe ε > 0 e escolha nε ∈ N de acordo com (b). Seja mε ∈ N tal que {1, . . . , nε } ⊆ {σ (1) , . . . , σ (mε )} . Assim, se q, p ∈ N s˜ao tais que q ≥ p + 1 ≥ mε , ent˜ao σ (p + 1) , . . . , σ (q) > nε , e portanto ° ° q ° ° ° °X ° ° X ° ° ° ° xn ° xσ(k) ° = ° ° ° < ε. ° ° ° ° ° k=p+1

A convergˆencia da s´erie

∞ P n=1

n∈{σ(p+1),...,σ(q)}

xσ(n) segue do crit´erio de Cauchy.

´ claro que (b) =⇒ (c) Seja (kn )∞ encia estritamente crescente de naturais. E n=1 uma sequˆ kn ≥ n para cada n ∈ N. Dado ε > 0, escolha nε ∈ N de acordo com (b). Se q, p s˜ao inteiros positivos com q ≥ p + 1 > nε e M1 = {kp+1 , . . . , kq }, ent˜ao ° q ° ° ° °X ° °X ° ° ° ° ° xkj ° = ° xn ° < ε. ° ° ° ° ° j=p+1

A convergˆencia da s´erie

∞ P n=1

n∈M1

xkn segue do crit´erio de Cauchy.

(c) =⇒ (d) Seja (εn )∞ encia tal que εn = ±1 para todo n. Considere os n=1 uma sequˆ conjuntos S + = {n ∈ N : εn = 1} e S − = {n ∈ N : εn = −1} , ordenados com a ordem herdada de N. No caso em que S + ou S − ´e finito, a convergˆencia ∞ P εn xn decorre imediatamente de (c). No caso em que S + e S − s˜ao infinitos, da s´erie n=1

considere as sequˆencias Sn(1)

=

n X

xk e

Sn(2)

=

k=1

mε ∈ N tal que

P n∈S +

xk , n ∈ N.

k=1

k∈S +

Dado ε > 0, como as s´eries

n X

k∈S −

xn e

P

xn s˜ao convergentes por hip´otese, existe

n∈S −

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° q ° q ° (1) ° °X ° ε ° (2) ° °X ° ε (1) (2) °Sq − Sp ° = ° xk ° xk ° e °Sq − Sp ° = ° °< °< ° ° °k=p+1 ° 2 °k=p+1 ° 2 ° k∈S+ ° ° k∈S− ° 221

sempre que q > p > mε . Dessa forma, ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° q ° ° ° ° q ° ° q ° q q °X ° ° X X X X ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ε k xk ° = ° xk − xk ° ≤ ° xk ° + ° xk ° ° ° p > mε . A convergˆencia da s´erie

∞ P

εn xn segue do crit´erio de Cauchy.

n=1 ∞ (d) =⇒ (b) Suponha, por absurdo, que existam δ > 0 e °uma sequˆ ° encia (Mk )k=1 de ° P ° ° ° subconjuntos finitos de N tais que maxMk < minMk+1 e ° xn ° ≥ δ para todo k. °n∈Mk ° ∞ S Para cada n ∈ N, defina εn = 1 se n ∈ Mk e εn = −1 caso contr´ario. Para cada k=1

inteiro positivo m, escolha km ∈ N tal que m < min Mkm . Logo ° ° ° ° ° max Mkm ° ° ° ° X ° ° X ° ° °=° ° ≥ 2δ. (1 + ε )x 2x j j n ° ° ° ° °j=min Mkm ° °n∈Mkm ° Isso implica, pelo crit´erio de Cauchy, que a s´erie portanto pelo menos uma das s´eries

∞ P

∞ P

xn e

∞ P

(1 + εn )xn n˜ao ´e convergente, e

n=1

εn xn n˜ao converge. O resultado segue

n=1

n=1

uma vez que isso contradiz a hip´otese.

Defini¸ c˜ ao 10.1.7 Seja A = (aij )n×n uma matriz quadrada de ordem n de escalares. O tra¸co de A ´e o n´ umero n X tr(A) := aii . i=1

Analogamente, se V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, β ´e uma base para V , T : V −→ V ´e um operador linear, ent˜ao o tra¸co de T ´e o n´ umero tr(T ) := tr ([T ]β ) , onde [T ]β ´e a matriz de T em rela¸ca˜o `a base β. O Exerc´ıcio 10.6.6 garante que o tra¸co de T est´a bem definido, no sentido de que o n´ umero tr ([T ]β ) independe da base β. Exemplo 10.1.8 Se Pm : Rn −→ Rn ´e a proje¸ca˜o ortogonal de Rn sobre um subespa¸co de Rn de dimens˜ao m ≤ n, ent˜ao tr (Pm ) = m. Os trˆes lemas a seguir, curiosamente enunciados no contexto de espa¸cos de dimens˜ao finita, s˜ao pe¸cas fundamentais para a demonstra¸c˜ao do Teorema de Dvoretzky–Rogers. Por In denotamos a matriz identidade de ordem n. 222

Lema 10.1.9 Seja A = (aij )n×n uma matriz (quadrada de ordem n) de escalares. Ent˜ ao para todo escalar ε existe um escalar cn (ε) tal que |cn (ε)| = 0. ε→0 ε Demonstra¸ c˜ ao. Faremos por indu¸ca˜o sobre n. Para n = 2, como det (In + εA) = 1 + εtr(A) + cn (ε) e lim

det (I2 + εA) = (1 + εa11 ) (1 + εa22 ) − ε2 a21 a12 = 1 + εtrA + ε2 (a11 a22 − a21 a12 ) , basta tomar c2 (ε) = ε2 (a11 a22 − a21 a12 ) . Suponhamos que o desejado seja v´alido para qualquer matriz quadrada de ordem n − 1. Dada uma matriz quadrada A = (aij )n×n de ordem n ≥ 3, note que ¯ ¯ ¯ 1 + εa11 εa12 εa13 ··· εa1n ¯¯ ¯ ¯ 1 + εa22 εa23 ··· εa2n ¯¯ εa21 ¯ ¯ εa31 εa32 1 + εa33 · · · εa3n ¯¯ det (In + εA) = ¯ ¯ ¯ .. .. .. .. .. ¯ ¯ . . . . . ¯ ¯ ¯ εan1 εan2 εan3 · · · 1 + εann ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + εa22 εa23 ··· εa2n ¯¯ ¯ ¯ εa32 1 + εa33 · · · εa3n ¯¯ ¯ = (1 + εa11 ) ¯ ¯ + c0 (ε) , .. .. .. ... ¯ ¯ . . . ¯ ¯ ¯ εan2 εan3 · · · 1 + εann ¯ com lim |c0ε(ε)| = 0. Da hip´otese de indu¸c˜ao segue que ε→0

det (In + εA) = (1 + εa11 ) [1 + ε (a22 + a33 + · · · + ann ) + cn−1 (ε)] + c0 (ε) , com lim |cn−1ε (ε)| = 0. Tomando ε→0

cn (ε) = cn−1 (ε) + ε2 a11 (a22 + · · · + ann ) + εa11 cn−1 (ε) + c0 (ε), temos lim |cnε(ε)| = 0 e ε→0

det (In + εA) = 1 + ε (a11 + a22 + a33 + · · · + ann ) + cn (ε) = 1 + εtr(A) + cn (ε) .

A t´ecnica usada na demonstra¸ca˜o do pr´oximo lema ´e conhecida como argumento de perturba¸c˜ao. Lema 10.1.10 Se E ´e um espa¸co normado de dimens˜ao 2n, ent˜ ao existe um isomorfismo u : (K2n , k · k2 ) −→ E de norma 1 tal que ¯ ¡ −1 ¢¯ ¯tr u ◦ v ¯ ≤ 2nkvk para todo operador linear v : (K2n , k · k2 ) −→ E. 223

Demonstra¸ c˜ ao. Fixadas a base canˆonica em K2n e uma base qualquer em E, dado um operador linear v : (K2n , k · k2 ) −→ E, por det(v) entendemos o determinante da matriz de v em rela¸c˜ao `as bases fixadas. Como a fun¸c˜ao ¡¡ ¢ ¢ | det | : L K2n , k · k2 , E −→ [0, ∞) ´e cont´ınua e o conjunto {v ∈ L ((K2n , k · k2 ) , E) : kvk = 1} ´e compacto, podemos tomar u0 ∈ L((K2n , k · k2 ) , E) tal que ku0 k = 1 e © ¡¡ ¢ ¢ ª | det (u0 ) | = max | det (v) | : v ∈ L K2n , k · k2 , E , kvk = 1 . Tome θ0 ∈ [0, 2π) tal que det (u0 ) = | det (u0 ) | eiθ0 e defina ¡ ¢ iθ0 u : K2n , k · k2 −→ E , u (x) = e− 2n u0 (x) . Ent˜ao u ∈ L((K2n , k · k2 ) , E), kuk = ku0 k = 1 e ³ iθ0 ´ ³ iθ0 ´2n det (u) = det e− 2n u0 = e− 2n · det (u0 ) = e−iθ0 | det (u0 ) | eiθ0 = |det (u0 )| © ¡¡ ¢ ¢ ª = max | det (v) | : v ∈ L K2n , k · k2 , E , kvk = 1 > 0. Em particular, u ´e invert´ıvel, e portanto um isomorfismo. Sejam v ∈ L ((K2n , k · k2 ) , E) e 0 6= ε ∈ K. Pela escolha de u temos ¯ ¶¯ µ | det (u + εv) | ¯¯ u + εv ¯¯ = ¯det ≤ det (u) ku + εvk ¯ ku + εvk2n sempre que u + εv 6= 0, ou seja, | det (u + εv) | ≤ det (u) ku + εvk2n ≤ det (u) (kuk + |ε| · kvk)2n = det (u) (1 + |ε| · kvk)2n .

(10.1)

´ claro que a desigualdade (10.1) tamb´em ´e verdadeira para o caso u + εv = 0. Como E u ´e invert´ıvel, ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ | det (u + εv) | = | det u ◦ I2n + ε(u−1 ◦ v) | = | det u) det(I2n + ε(u−1 ◦ v) | ¡ ¢ = det (u) | det I2n + ε(u−1 ◦ v) |. (10.2) Pelo Lema 10.1.9 sabemos que ¡ ¢ ¡ ¢ det I2n + ε(u−1 ◦ v) = 1 + εtr u−1 ◦ v + c2n (ε) com lim |c2nε(ε)| = 0. De (10.2) e (10.1), ε→0

¡ ¢ det (u) | det I2n + ε(u−1 ◦ v) | = | det (u + εv) | ≤ det (u) (1 + |ε| · kvk)2n , 224

(10.3)

e assim de (10.3) segue que ¡ ¢ ¡ ¢ |1 + ε tr u−1 ◦ v + c2n (ε) | ≤ (1 + |ε| · kvk)2n = 1 + 2n|ε| · kvk + O |ε|2 , O(|ε|2 ) ε ε→0

com lim

= 0. Logo, para todo 0 6= ε ∈ K,

¡ ¢ ¡ ¢ |1 + ε tr u−1 ◦ v | − |c2n (ε) | ≤ |1 + ε tr u−1 ◦ v + c2n (ε) | ¡ ¢ ≤ 1 + 2n|ε| · kvk + O |ε|2 .

(10.4)

Seja θv ∈ [0, 2π) tal que tr (u−1 ◦ v) = |tr (u−1 ◦ v) | eiθv . Nos restringimos agora aos escalares ε 6= 0 que est˜ao sobre a reta que liga a origem ao n´ umero e−iθv , isto ´e, ε = |ε| e−iθv . Para tais escalares, ¯ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¢¯ εtr u−1 ◦ v = |ε| e−iθv |tr u−1 ◦ v | eiθv = ¯εtr u−1 ◦ v ¯ . (10.5) De (10.4) e (10.5) segue que, para tais escalares, ¯ ¡ ¢¯ ¡ ¢ |ε| · ¯tr u−1 ◦ v ¯ ≤ 2n |ε| · kvk + |c2n (ε)| + O |ε|2 . Primeiro divida por |ε| e depois fa¸ca ε −→ 0 (ambas as opera¸co˜es podem ser feitas ao longo dos escalares que estamos considerando) para obter o resultado. Lema 10.1.11 Seja E um espa¸co normado de dimens˜ao 2n. Ent˜ao existem n vetores y1 , . . . , yn em E tais que 21 ≤ kyj k ≤ 1 para j = 1, . . . , n, e ° ° à !1/2 n n °X ° X ° ° 2 |aj | ° aj yj ° ≤ ° ° j=1

j=1

quaisquer que sejam os escalares a1 , . . . , an . Demonstra¸ c˜ ao. Seja u : (K2n , k · k2 ) −→ E o operador cuja existˆencia ´e garantida pelo Lema 10.1.10. Se P : (K2n , k · k2 ) −→ (K2n , k · k2 ) ´e a proje¸ca˜o ortogonal de (K2n , k · k2 ) sobre um subespa¸co de (K2n , k · k2 ) de dimens˜ao m ≤ 2n, ent˜ao, pelo Exemplo 10.1.8, ¡ ¢ m = tr (P ) = tr u−1 ◦ u ◦ P ≤ 2n ku ◦ P k . Como kuk = 1, existe z1 ∈ (K2n , k · k2 ) tal que kz1 k = 1 e ku (z1 )k = 1. Seja P1 a proje¸ca˜o ortogonal de (K2n , k · k2 ) sobre [z1 ]⊥ . Por [z1 ]⊥ ter dimens˜ao 2n − 1, ku ◦ P1 k ≥

2n − 1 . 2n

Existe ent˜ao z2 ∈ [z1 ]⊥ tal que kz2 k = 1 e ku (z2 )k = ku (P1 (z2 ))k ≥ de P2 a proje¸ca˜o ortogonal de (K2n , k · k2 ) sobre [z1 , z2 ]⊥ , segue que ku ◦ P2 k ≥ 225

2n − 2 . 2n

2n−1 . 2n

Chamando

Existe ent˜ao z3 ∈ [z1 , z2 ]⊥ tal que kz3 k = 1 e ku (z3 )k = ku (P2 (z3 ))k ≥ 2n−2 . Ap´os n 2n aplica¸c˜oes desse procedimento obtemos n vetores ortonormais z1 , . . . , zn em (K2n , k · k2 ) tais que ku(zj )k ≥ 2n−j+1 para todo j = 1, . . . , n. Defina yj = u (zj ) para obter 2n 1 2n − j + 1 ≤ ≤ ku (zj )k = kyj k = ku (zj )k ≤ kuk · kzj k = 1, 2 2n para todo j = 1, . . . , n. Al´em disso, lembrando que kuk = 1 e que {z1 , . . . , zn } ´e um conjunto ortonormal, do Teorema de Pit´agoras temos ° Ã n ° ° Ã n ° n !1/2 !1/2 Ã n !° ° n ° ° °X ° ° °X X X X ° ° ° ° ° ° = |aj |2 , kaj zj k2 aj zj ° ≤ ° aj zj ° = ° aj yj ° = °u ° ° ° ° ° ° j=1

j=1

j=1

j=1

j=1

para quaisquer escalares a1 , . . . , an . Finalmente estamos em condi¸co˜es de mostrar que, no contexto dos espa¸cos de Banach, a dimens˜ao infinita ´e caracterizada pela existˆencia de s´eries absolutamente convergentes n˜ao-absolutamente convergentes. Teorema 10.1.12 (Teorema de Dvoretzky–Rogers) Seja E um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita. Ent˜ao para qualquer sequˆencia (an )∞ erie n=1 ∈ `2 existe uma s´ ∞ P xn em E tal que kxn k = |an | para todo n ∈ N. Em incondicionalmente convergente n=1

particular, se

(an )∞ n=1

∈ `2 −`1 , ent˜ao a s´erie correspondente

convergente mas n˜ao-absolutamente convergente.

∞ P n=1

xn ´e incondicionalmente

∞ Demonstra¸ c˜ ao. Dada (an )∞ encia crescente de inteiros n=1 ∈ `2 , seja (nk )k=1 uma sequˆ positivos tais que X |an |2 ≤ 2−2k (10.6) n≥nk

para todo k ∈ N. Como E tem dimens˜ao infinita, para cada k ∈ N podemos tomar um subespa¸co vetorial Ek de E com dim Ek = 2 (nk+1 − nk ). Pelo Lema 10.1.11 existem (nk+1 − nk ) vetores ynk , ynk +1 , . . . , ynk+1 −1 com normas entre 1/2 e 1 tais que ° Ã N ° N !1/2 ° °X X ° ° |bn |2 (10.7) bn yn ° ≤ ° ° ° n=nk

n=nk

para todo inteiro N entre nk e nk+1 − 1 e para quaisquer escalares bnk , . . . , bN . Para a y ´ claro que kxn k = |an | para todo n ≥ n1 . Observe ainda j ≥ n1 , defina xj = kyj j kj . E que para toda escolha de sinais εn = ±1, de (10.7) e (10.6) temos, para todo inteiro N entre nk e nk+1 − 1, que ° ° N ° N ° Ã N !1/2 Ã N !1/2 ° °X ε a y ° °X X |εn |2 |an |2 X ° ° ° n n n° 2 ε n xn ° = ° ≤2 |an | ≤ 2−k+1 . ° °≤ 2 ° ° ° ° ky k ky k n n n=nk n=nk n=nk n=nk 226

Veja tamb´em que se nk < n < m < nk+1 , fazendo bnk = 0, . . . , bn−1 = 0, bn = εn , . . . , bm = εm , novamente de de (10.7) e (10.6) segue que ° m ° ° m ° ° ° m °X ° °X ° °X b a y ° ° ° ° ° ° j j j° b j xj ° = ° ° εj xj ° = ° ° ° ° ° ° ° kyj k ° j=n j=nk j=nk à m !1/2 à m !1/2 X |bj |2 |aj |2 X ≤ ≤2 |aj |2 ≤ 2−k+1 . 2 kyj k j=nk j=nk Dado ε > 0, seja k0 = k0 (ε) um inteiro positivo tal que

∞ P k=k0

2−k+1 < ε. Para m > n > nk0

existem um inteiro n˜ao-negativo t e um inteiro k ≥ k0 tais que nk ≤ n ≤ nk+1 − 1 e nk+t ≤ m ≤ nk+t+1 − 1. Se t = 0, o que j´a foi provado revela que ° ° ∞ m ° °X X ° ° −k+1 < 2−k+1 < ε. ° ε j xj ° ≤ 2 ° ° j=n

k=k0

E se t > 0, ent˜ao ° ° ° ° ° °n −1 ° ° ° ° X ° X nk+2 −1 m m ∞ °X ° ° k+1 ° ° X X ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ε j xj ° + ° ε j xj ° + · · · + ° ε j xj ° ≤ 2−k+1 < ε. ° ε j xj ° ≤ ° ° ° ° ° ° ° ° ° j=n

j=n

j=nk+1

Pelo crit´erio de Cauchy a s´erie

∞ P

j=nk+t

k=k0

εn xn converge, e assim a s´erie

n=n1

∞ P

xn ´e

n=n1

incondicionalmente convergente pelo Teorema 10.1.6. Para completar a demonstra¸ca˜o basta tomar x1 , . . . , xn1 −1 ∈ E satisfazendo kxj k = |aj | para todo j = 1, . . . , n1 − 1.

10.2

A desigualdade de Grothendieck

Em algumas ´areas da Teoria dos Espa¸cos de Banach, por exemplo, Ideais de Operadores, Normas Tensoriais, Teoria Local, Operadores Absolutamente Somantes, tornou-se lugar comum dizer que determinada ideia ou resultado encontra-se implicitamente no R´esum´e. Trata-se de um trabalho de A. Grothendieck [38], publicado em 1953, que nas d´ecadas seguintes revolucionou a teoria dos espa¸cos de Banach. O resultado principal do R´esum´e, chamado por Grothendieck de Teorema fundamental da teoria m´etrica de produtos tensoriais, ´e conhecido hoje como Desigualdade de Grothendieck. Em 1968, J. Lindenstrauss e A. PeÃlczy´ nski [58] reescreveram muitos dos resultados de Grothendieck, inclusive o teorema fundamental, tornando-os mais acess´ıveis e compreens´ıveis. A partir de ent˜ao as ideias do R´esum´e de Grothendieck tornaram-se universalmente conhecidas, admiradas, generalizadas e aplicadas. Nesta se¸ca˜o demonstraremos a desigualdade de Grothendieck, bem como sua interpreta¸ca˜o na linguagem dos operadores absolutamente somantes, que diz que todo operador linear cont´ınuo de `1 em `2 ´e absolutamente somante, resultado conhecido como Teorema de Grothendieck. 227

Lema 10.2.1 Para uma fun¸c˜ ao f : [0, 1] −→ R, defina ½ min {f (t) , 1} , se f (t) ≥ 0 b b f : [0, 1] −→ R , f (t) = max {f (t) , −1} , se f (t) < 0. f (t)2 Ent˜ ao |fb(t)| ≤ 1 e |f (t) − fb(t)| ≤ para todo t ∈ [0, 1]. 4 ´ claro que |fb(t)| ≤ 1. A segunda desigualdade ´e Demonstra¸ c˜ ao. Seja t ∈ [0, 1]. E ´obvia se f (t) = fb(t). Suponhamos ent˜ao que f (t) 6= fb(t). Vejamos primeiramente que |f (t) − fb(t) | = |f (t)| − 1.

(10.8)

De fato, se f (t) ≥ 0, ent˜ao fb(t) = 1 < f (t) e, neste caso, |f (t) − fb(t) | = |f (t) − 1| = f (t) − 1 = |f (t)| − 1. Por outro lado, se f (t) < 0, ent˜ao fb(t) = −1 > f (t) e portanto |f (t) − fb(t) | = |f (t) + 1| = −f (t) − 1 = |f (t)| − 1. Como a − 1 ≤ a2 /4 para qualquer n´ umero real a, de (10.8) segue que f (t)2 b |f (t) − f (t) | = |f (t)| − 1 ≤ . 4

Teorema 10.2.2 (Desigualdade de Grothendieck) Existe uma constante positiva KG tal que, para todo espa¸co de Hilbert H, todo natural m ∈ N, toda matriz quadrada de escalares (aij )m×m e quaisquer vetores x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ∈ BH , ´e verdade que ¯ ¯ ¯ (¯ m ) m ¯X ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ aij hxi , yj i¯ ≤ KG sup ¯ aij si tj ¯ : |si | , |tj | ≤ 1 . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i,j=1

i,j=1

Demonstra¸ c˜ ao. Fa¸camos a demonstra¸c˜ao do caso real. Para cada m fixado, ´e claro que qualquer conjunto de vetores x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym est´a contido em um subespa¸co de dimens˜ao 2m de H. Como todos os espa¸cos de Hilbert de mesma dimens˜ao finita s˜ao isomorfos isometricamente por meio de isomorfismos que preservam o produto interno (Exerc´ıcios 5.7.25 e 5.7.8), temos liberdade para trabalhar em um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao n = 2m espec´ıfico. Trabalharemos com o subespa¸co Hn = [r1 , . . . , rn ] de L2 [0, 1] gerado pelas fun¸c˜oes de Rademacher r1 , . . . , rn (veja Exerc´ıcio 5.7.34). Chame ¯ ¯ ) ) (¯ m (¯ m ¯ ¯X ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ aij hzi , wj i¯ : zi , wj ∈ BH . e α e = sup ¯ aij si tj ¯ : |si | , |tj | ≤ 1 α = sup ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i,j=1

i,j=1

228

Sejam x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ∈ BHn . Do Lema 10.2.1 sabemos que |xbi (t)|, |ybj (t)| ≤ 1 para todos i, j = 1, . . . , m, e t ∈ [0, 1]. Logo ¯ ¯ ¯ ¯ Z ¯ ¯ Z 1 m m m ¯X ¯ ¯X ¯ ¯ 1 ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ aij hb xi , ybj i¯ = ¯ aij x bi (t) ybj (t) dt¯ ≤ aij x bi (t) ybj (t)¯ dt ≤ α. (10.9) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ¯ i,j=1

i,j=1

i,j=1

Por simplicidade denotaremos a norma de Hn ⊆ L2 [0, 1] por k · k. Seja agora n P x = bj rj ∈ Hn = [r1 , . . . , rn ] ⊆ L2 [0, 1] com kxk ≤ 1. Do Lema 10.2.1 e do i=1

Exerc´ıcio 5.7.35, temos Z 1 Z 1 1 2 2 kx − x bk = |x (t) − x b(t)| dt ≤ x (t)4 dt 16 0 !Ã n 0 !Ã n !Ã n ! Z 1 ÃX n X X X 1 = bi ri (t) bj rj (t) bl rl (t) bk rk (t) dt 16 0 i=1 j=1 l=1 k=1 ! Ã n Z 1 X 1 ri (t) rj (t) rl (t) rk (t) dt bi bj bl bk = 16 i,j,l,k=1 0 ! Ã n n n n n n n X X X X X X X 1 bi bj bl bk − 2 b4i bi bj bl bk + = bi bj bl bk + 16 i=j=1 l=k=1 i=1 i=k=1 j=l=1 i=l=1 j=k=1 Ã Ã n ! ! Ã n ! n X X 1 3 X 2 2 = 3 b2i b2j − 2 b4i ≤ bb 16 16 i,j=1 i j i,j=1 i=1 Ã n !2 3 X 2 3 3 = bi = kxk4 ≤ , 16 i=1 16 16 √

° ° ° ° ° xi − xbi ° ° yj − ybj ° 3 ° ° ° e portanto kx − x bk ≤ . Em particular, ° ° √3/4 ° , ° √3/4 ° ≤ 1. Disso, de (10.9) 4 e de kxi k, kybj k ≤ 1, conclu´ımos que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m m m m ¯ ¯ ¯X ¯ ¯X ¯ ¯X ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ aij hxi , yj − ybj i¯ aij hxi − x bi , ybj i¯ + ¯ aij hb xi , ybj i¯ + ¯ aij hxi , yj i¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i,j=1 i,j=1 i,j=1 i,j=1 ¯ ¯ ¯ ¯ √ ¯ m ¿ ¿ À¯ √ ¯ X À m xi − x bi yj − ybj ¯¯ 3 ¯X 3¯ ¯ ≤α+ aij √ aij xi , √ , ybj ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ 4 ¯i,j=1 4 ¯i,j=1 3/4 3/4 ¯ √ √ √ 3 3 3 ≤α+ α e+ α e=α+ α e. 4 4 2 √ 3 Tomando o supremo sobre x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ∈ BHn , obtemos α e ≤ α+ α e, ou 2 µ ¶ 2 2 √ α. Tome KG = √ para obter a desigualdade desejada. seja, α e≤ 2− 3 2− 3 229

A maneira mais simples de obter o caso complexo a partir do caso real ´e fazer a decomposi¸c˜ao usual em partes real e imagin´aria e aplicar o caso real para as matrizes reais resultantes. Procedendo desta forma a constante obtida para o caso complexo ser´a maior que a constante obtida para o caso real. Observa¸ c˜ ao 10.2.3 A menor das constantes KG satisfazendo o Teorema 10.2.2 ´e chamada de constante de Grothendieck, que, conforme visto na demonstra¸c˜ao acima, pode depender do corpo sobre o qual se est´a trabalhando. Para maiores detalhes veja a Se¸ca˜o 10.5. Para provar uma aplica¸c˜ao importante da desigualdade de Grothendieck precisamos introduzir os operadores absolutamente somantes. Seja E um espa¸co de Banach. Nos Exerc´ıcios 4.5.8 e 6.8.19 estudamos o espa¸co `1 (E) das sequˆencias de vetores E que s˜ao absolutamente som´aveis. E no Exerc´ıcio c˜ao 2.7.36 trabalhamos com sequˆencias (xj )∞ j=1 de vetores de E que satisfazem a condi¸ 0 (ϕ(xj ))∞ j=1 ∈ `1 para todo ϕ ∈ E .

Tais sequˆencias s˜ao chamadas de fracamente som´aveis e o espa¸co formado por elas ´e denotado por `w ınuo T : E −→ F , o leitor verificar´a 1 (E). Dado um operador linear cont´ no Exerc´ıcio 10.6.9 que T transforma sequˆencias absolutamente (fracamente) som´aveis em E em sequˆencias absolutamente (fracamente) som´aveis em F , isto ´e, ∞ (T (xj ))∞ j=1 ∈ `1 (F ) sempre que (xj )j=1 ∈ `1 (E) e w ∞ w (T (xj ))∞ j=1 ∈ `1 (F ) sempre que (xj )j=1 ∈ `1 (E).

Segue que T transforma sequˆencias absolutamente som´aveis em E em sequˆencias fracamente som´aveis em F , pois `1 (E) ⊆ `w 1 (E). Vejamos que nem todo operador linear cont´ınuo transforma sequˆencias fracamente som´aveis em sequˆencias absolutamente som´aveis: Exemplo 10.2.4 Vimos no Exerc´ıcio 4.5.5 que a sequˆencia (ej )∞ e fracamente j=1 ´ som´avel em `∞ . Como kej k = 1 para todo j, ´e claro que (ej )∞ n˜ a o ´ e absolutamente j=1 som´avel em `∞ . Isso revela que o operador identidade em `∞ , que ´e linear e cont´ınuo, n˜ao transforma sequˆencias fracamente som´aveis em sequˆencias absolutamente som´aveis. encias fracamente som´aveis Como `1 (E) ⊆ `w 1 (E), um operador que transforma sequˆ em sequˆencias absolutamente som´aveis melhora a convergˆencia de s´eries. Por isso os operadores que gozam dessa propriedade s˜ao estudados: Defini¸ c˜ ao 10.2.5 Um operador T ∈ L (E, F ) entre espa¸cos de Banach ´e absolutamente somante se T transforma sequˆencias fracamente som´aveis em E em sequˆencias absolutamente som´aveis em F , isto ´e, ∞ w (T (xj ))∞ j=1 ∈ `1 (F ) sempre que (xj )j=1 ∈ `1 (E).

230

Vimos acima que o operador identidade em `∞ n˜ao ´e absolutamente somante. Exemplos de operadores absolutamente somantes s˜ao os operadores de posto finito (Exerc´ıcio 10.6.11). Aplicaremos agora a desigualdade de Grothendieck para demonstrar um dos resultados centrais da teoria dos operadores absolutamente somantes, que, em particular, nos fornece exemplos de operadores absolutamente somantes que n˜ao s˜ao de posto finito: Teorema 10.2.6 (Teorema de Grothendieck) Todo operador linear cont´ınuo de T : `1 −→ `2 ´e absolutamente somante. ∞ P

w Demonstra¸ c˜ ao. Seja (xj )∞ j=1 ∈ `1 (`1 ) tal que sup ϕ∈B(`

0 1)

|ϕ(xj )| ≤ 1. Para cada n ∈ N,

j=1

lembre-se do Exemplo 10.1.3 para considerar o operador (proje¸ca˜o nas n primeiras coordenadas) Ã∞ ! n X X Tn : `1 −→ `1 , Tn aj ej = aj ej . i=1

i=1

´ f´acil ver que cada Tn ´e linear cont´ınuo e kTn k ≤ 1. Ent˜ao, para cada ϕ ∈ B(` )0 tem-se E 1 ϕ ◦ Tn ∈ B(`1 )0 , e portanto ∞ X

sup ϕ∈B(`

1)

0

∞ X

|ϕ(Tn (xj ))| ≤ sup ϕ∈B(`

1)

j=1

0

|ϕ(xj )| ≤ 1,

j=1

para todo n. Escrevendo xk = (ajk )∞ j=1 para todo k, temos xk =

∞ X

ajk ej e Tn (xk ) =

j=1

n X

ajk ej ,

j=1

para todos n, k. Para qualquer inteiro positivo N considere escalares s1 , . . . , sN , t1 , . . . , tN em BK . Chamando s = (s1 , . . . , sN ) e considerando o funcional linear ϕs ∈ B(`1 )0 definido por ϕs (ej ) = sj se j ≤ N e ϕs (ej ) = 0 se j > N, temos ¯ ¯ N ¯! ¯ N ¯ ¯ N N Ã N ¯X N ¯ ¯ ¯X ¯ X ¯X X X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ajk ϕs (ej )¯ ajk sj ¯ ≤ |tk | · ¯ ajk sj tk ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j=1 k=1

k=1

=

N X

j=1

k=1

∞ X

|ϕs (Tn (xk ))| ≤ sup ϕ∈B(`

1)

k=1

231

0

k=1

j=1

|ϕ(Tn (xk ))| ≤ 1.

(10.10)

Sejam m, n ∈ N, com n ≥ m. Para cada 1 ≤ k ≤ m, aplicando primeiro o Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.4 e em seguida o Teorema de Riesz–Fr´echet (Teorema 5.5.2), existe yk,n ∈ `2 tal que kyk,n k2 = 1 e kT (Tn (xk ))k2 = hT (Tn (xk )) , yk,n i. Se m < n tomamos y(m+1),n = · · · = yn,n = 0. Dado ε > 0, temos ¯ ¯ ¯ m n ¯ m m ¯ ¯ ¯X X ¯X X ¯ ¯ ¯ ¯ ajk hT (ej ), yk,n i¯ kT (Tn (xk ))k2 = ¯ hT (Tn (xk )), yk,n i¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=1 j=1 k=1 k=1 ¯ ¿ À¯¯ m X n © ª ¯¯X T (ej ) ¯ ajk ≤ max kT (ej )k2 + ε : j = 1, . . . , n · ¯ , yk,n ¯ ¯ ¯ kT (ej )k2 + ε k=1 j=1 ¯ ¯ ¿ À¯ n X n ¯X T (ej ) ¯ ¯ ≤ (kT k + ε) ¯ ajk , yk,n ¯ ¯ ¯ kT (ej )k2 + ε k=1 j=1 ¯ (¯ n n ) ¯X X ¯ ¯ ¯ ≤ (kT k + ε) KG sup ¯ ajk sj tk ¯ : |sj | , |tk | ≤ 1 ¯ ¯ j=1 k=1

≤KG (kT k + ε) , onde a pen´ ultima desigualdade ´e justamente a desigualdade de Grothendieck (Teorema 10.2.2) e a u ´ltima ´e consequˆencia de (10.10). Fazendo ε −→ 0+ temos m X

kT (Tn (xk ))k2 ≤ KG kT k,

k=1 n→∞

para todos n ≥ m. Como Tn (xk ) −→ xk , fazendo primeiro n −→ ∞ e em seguida m −→ ∞ na desigualdade acima conclu´ımos, como quer´ıamos, que (T (xk ))∞ k=1 ∈ `1 (`2 ). w Para uma sequˆencia n˜ao-nula qualquer (zj )∞ ∈ ` (` ), basta aplicar o que 1 j=1 1 zj , j ∈ N. acabamos de fazer para a sequˆencia dada por xj = ∞ P sup

|ϕ(zj )|

ϕ∈B(` )0 j=1 1

10.3

Bases de Schauder e sequˆ encias b´ asicas

Na An´alise Funcional, as bases alg´ebricas (ou bases de Hamel – veja Apˆendice A) dos espa¸cos de Banach tˆem pouca utilidade pois, entre outros motivos, elas nunca s˜ao enumer´aveis: Proposi¸c˜ ao 10.3.1 Bases alg´ebricas de espa¸cos de Banach nunca s˜ao enumer´aveis. ´ claro que as bases alg´ebricas de espa¸cos de dimens˜ao finita s˜ao Demonstra¸ c˜ ao. E finitas. Suponhamos que exista uma base alg´ebrica enumer´avel B = {vj : j ∈ N} de 232

um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita E. Neste caso E =

∞ S n=1

Fn , onde cada Fn

´e o subespa¸co gerado por {v1 , . . . , vn }. Por ter dimens˜ao finita, cada Fn ´e fechado, e portanto pelo Teorema de Baire (Teorema 2.3.1) existe n0 tal que Fn0 tem interior n˜ao-vazio. Isso ´e um absurdo, pois Fn0 6= E por E ter dimens˜ao infinita e subespa¸cos pr´oprios de espa¸cos normados sempre tˆem interior vazio (Exerc´ıcio 1.8.11). Apresentamos agora ao leitor o conceito que substitui as bases alg´ebricas na An´alise Funcional: Defini¸ c˜ ao 10.3.2 Uma sequˆencia (xn )∞ co de Banach E ´e chamada de base n=1 no espa¸ de Schauder de E se cada x ∈ E tem uma representa¸ca˜o u ´nica sob a forma ∞ X x= an xn , n=1

onde an ∈ K para todo n ∈ N. A unicidade da representa¸ca˜o permite considerar os funcionais lineares Ã∞ ! X x∗n : E −→ K , x∗n aj xj = an , j=1

n ∈ N, que s˜ao chamados de funcionais coeficientes (ou funcionais coordenadas ou ainda funcionais biortogonais associados). A unicidade da representa¸c˜ao tamb´em garante que os vetores de uma base de Schauder s˜ao linearmente independentes. Exemplo 10.3.3 (a) Em dimens˜ao finita as bases de Schauder coincidem com as bases alg´ebricas. (b) Do Exemplo 10.1.3 segue facilmente que os vetores unit´arios canˆonicos (ej )∞ j=1 formam uma base de Schauder para c0 e para `p , 1 ≤ p < ∞. (c) Combinando os Teoremas 5.3.10(a) e 5.4.3 com o Exerc´ıcio 5.7.26 conclu´ımos que sistemas ortonormais completos em espa¸cos de Hilbert separ´aveis s˜ao bases de Schauder. (d) Argumento an´alogo ao da demonstra¸ca˜o do Lema 1.6.3 comprova que espa¸cos com base de Schauder s˜ao separ´aveis. Assim, espa¸cos n˜ao-separ´aveis, em particular `∞ , n˜ao tˆem base de Schauder. (e) Vejamos que o espa¸co C [0, 1] possui base de Schauder. Considere a sequˆencia (sn )∞ n=0 de vetores de C [0, 1] dados por sn : [0, 1] −→ R, s0 (t) = 1, s1 (t) = t, e, para n ≥ 2, chame de m o inteiro positivo com 2m−1 < n ≤ 2m e defina  m¡ ¡ ¢¢ − 1 , ¢¢ se 2n−2 − 1 ≤ t < 2n−1 −1  2 t −¡ 2n−2 m 2 ¡ 2m 2m 2n−1 2n 1 − 2m t − 2n−1 − 1 , se − 1 ≤ t < −1 sn (t) = 2m 2m 2m  0, nos demais casos. 233

Verifiquemos que a sequˆencia (sn )∞ e uma base de Schauder de C [0, 1] . Dada n=0 ´ f ∈ C [0, 1], considere a sequˆencia (pn )∞ n=0 em C [0, 1] dada por p0 = f (0) s0 , p1 = p0 + (f (1) − p0 (1)) s1 , p2 = p1 + (f (1/2) − p1 (1/2)) s2 , p3 = p2 + (f (1/4) − p2 (1/4)) s3 , p4 = p3 + (f (3/4) − p3 (3/4)) s4 , p5 = p4 + (f (1/8) − p4 (1/8)) s5 p6 = p5 + (f (3/8) − p5 (3/8)) s6 p7 = p6 + (f (5/8) − p6 (5/8)) s7 p8 = p7 + (f (7/8) − p7 (7/8)) s8 .. . Observe que p0 coincide com f no ponto 0; p1 coincide com f nos pontos 0 e 1 e seu gr´afico ´e um segmento de reta que liga os pontos (0, f (0)) e (1, f (1)); p2 coincide com f nos pontos 0, 1 e 1/2, e seu gr´afico ´e composto por dois segmentos de reta ligando os pontos (0, f (0)), (1/2, f (1/2)) e (1, f (1)), e assim por diante. Ou seja, para todo n ∈ N, a fun¸c˜ao pn coincide com f nos n + 1 primeiros pontos do conjunto D = {0, 1, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, . . .} ⊆ [0, 1], e seu gr´afico ´e uma justaposi¸ca˜o de segmentos de reta cujos extremos tˆem abscissas no conjunto D. Para cada inteiro n˜ao-negativo m, chame de am o coeficiente de sm na express˜ao n P am sm para cada inteiro positivo n. Seja ε > 0, Da que define pm . Assim pn = m=0

continuidade uniforme de f podemos tomar δ > 0 tal que |f (t1 ) − f (t2 )| < ε sempre que t1 , t2 ∈ [0, 1], |t1 − t2 | < δ. Tome inteiros positivos m tal que 21m < 2δ e n0 tal que f e pn0 coincidam no conjunto m {0, 1, 21 , 14 , 34 , 38 , . . . , 2 2m−1 }. Dado t ∈ [0, 1], existe k ∈ {1, . . . , 2m − 1} tal que t − 2km < δ. Ent˜ao ¯ ¯ µ ¶¯ ¯ µ ¶ ¯ ¯ ¯ ¯ k k ¯ + ¯f ¯ − p (t) |f (t) − pn (t)| ≤ ¯¯f (t) − f n ¯ ¯ ¯ 2m 2m ¯ µ ¶ ¯ µ ¶ ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k k k + 1 ¯ ≤ ε + ¯pn ¯ < ε + ¯¯pn − p (t) − p n n ¯ ¯ 2m 2m 2m ¯ ¯ µ ¶ µ ¶¯ ¯ ¯ k k + 1 ¯ < 2ε, = ε + ¯¯f − f 2m 2m ¯ para todo n > n0 . Conclu´ımos que lim kpn − f k∞ = 0, e portanto f = n→∞

Deixamos para o leitor a verifica¸ca˜o da unicidade da representa¸c˜ao. 234

∞ P n=0

an sn .

Nosso pr´oximo objetivo ´e provar a continuidade dos funcionais coeficientes. Para isso vejamos que todo espa¸co com base de Schauder pode ser visto como um espa¸co de sequˆencias. Defini¸ c˜ ao 10.3.4 Dada uma base de Schauder (xn )∞ co de Banach E, chame n=1 do espa¸ de LE o espa¸co vetorial formado pelas sequˆencias de escalares (an )∞ erie n=1 tais que a s´ ∞ P an xn ´e convergente. n=1

Lema 10.3.5 Seja (xn )∞ co de Banach E. Ent˜ao a n=1 uma base de Schauder do espa¸ fun¸c˜ ao ° ) (° n ° °X ° ° ∞ η : LE −→ R , η ((an )n=1 ) := sup ° ai xi ° : n ∈ N , ° ° i=1

´e uma norma em LE e (LE , η) ´e um espa¸co de Banach. Al´em disso, o operador TE : LE −→ E , TE ((an )∞ n=1 ) =

∞ X a n xn , n=1

´e um isomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. Os axiomas de norma s˜ao imediatos e os¡¡deixamos ¢ ¢∞a cargo do leitor. ∞ k ∞ Provemos que o espa¸co (LE , η) ´e completo. Seja (yn )n=1 = an k=1 n=1 uma sequˆencia de Cauchy em (LE , η) . Para todo n ∈ N ´e verdade que ° ° n n−1 °X ° X ¯ k ¯ ° ° j j k ¯an − ajn ¯ · kxn k = ° (aki − a )xi − (ai − ai )xi ° i ° ° i=1 ° i=1 ° ° ° n n−1 °X ° °X ° ° ° ° ° j j k k ≤ ° (ai − ai )xi ° + ° (ai − ai )xi ° ≤ 2η(yk − yj ). ° ° ° ° i=1

i=1

¡ ¢∞ Ent˜ao, para cada n ∈ N, a sequˆencia akn k=1 ´e de Cauchy em K, logo convergente, ∞ digamos an = lim akn . Chamemos y = (an )∞ e de Cauchy n=1 . Dado ε > 0, como (yn )n=1 ´ k−→∞

existe nε ∈ N tal que η(yk − yj ) ≤ 4ε sempre que k, j ≥ nε . Logo, ° ° n ° ε °X ° ° j k para todos n ∈ N e k, j ≥ nε . ° (ai − ai )xi ° ≤ ° 4 ° i=1

Fazendo k −→ ∞ conclu´ımos que ° ° n ° ε °X ° ° j para todos n ∈ N e j ≥ nε . ° (ai − ai )xi ° ≤ ° 4 ° i=1

235

(10.11)

Pela desigualdade triangular segue que ° m ° °X ° ε ° ° para todos n ∈ N e m > n. ° (ai − ani ε )xi ° ≤ ° ° 2 i=n

° ° m °P ° ¡ nε ¢∞ ε nε ° ° Como ynε = aj j=1 ∈ LE , existe n0 ∈ N tal que ° ai xi ° ≤ sempre que 2 i=n m > n > n0 . Assim, se m > n > n0 ent˜ao ° ° ° m ° ° m ° m ° ε ε ° °X ° °X °X ° ° ° ° ° nε ° nε ° ai xi ° ≤ ° (ai − ai )xi ° + ° ai xi ° ≤ + = ε. ° 2 2 ° ° ° ° ° i=n i=n i=n Do crit´erio de Cauchy segue que a s´erie

∞ P

an xn ´e convergente, logo y ∈ LE . De (10.11)

n=1

temos lim yk = y, e portanto (LE , η) ´e completo. k→∞

Como (xn )∞ e base de Schauder, o operador TE ´e claramente linear e bijetor. Mais n=1 ´ ainda, para toda (aj )∞ j=1 ∈ LE , ° ° n °X ° ° ¡ ¢° ° ° ∞ °TE (aj )∞ ° = lim a x ° n n ° ≤ η((aj )j=1 ), j=1 n→∞ ° ° j=1

o que prova a continuidade de TE . Do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta (Teorema 2.4.2) segue que TE ´e um isomorfismo. Teorema 10.3.6 Os funcionais coeficientes associados a uma base de Schauder de um espa¸co de Banach sempre s˜ao cont´ınuos. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam (xj )∞ co de Banach E e n ∈ N. j=1 uma base de Schauder do espa¸ Dado x ∈ E, mantenha a nota¸ca˜o do Lema 10.3.5 e tome uma sequˆencia (aj )∞ j=1 ∈ LE ¡ ¢ ∞ tal que x = TE (aj )j=1 ∈ E. Ent˜ao ° ° n n−1 °X ° X ° ° |x∗n (x)| · kxn k = ° x∗i (x)xi − x∗i (x)xi ° ° ° i=1 ° ° ° ° i=1 n−1 n ° ° °X °X ° −1 ° ¡ ¢ ° ° ° ° ° · kxk , ° ≤ ° ai xi ° + ° ai xi ° ≤ 2η (aj )∞ j=1 ≤ 2 TE ° ° ° ° i=1

i=1

de onde resulta a continuidade do funcional x∗n . co de Banach E. Ent˜ao, Corol´ ario 10.3.7 Seja (xn )∞ n=1 uma base de Schauder do espa¸ para cada n ∈ N, ´e cont´ınuo o operador linear Ã∞ ! n X X a j xj . Pn : E −→ E , Pn aj xj = n=1

236

j=1

Demonstra¸ c˜ ao. Observe que Pn =

n P

x∗j ⊗ xj e aplique o Teorema 10.3.6.

j=1

´ claro que Pn2 = Pn para todo n, por isso os operadores (Pn )∞ E ao chamados de n=1 s˜ proje¸c˜ oes canˆ onicas associadas `a base de Schauder (xn )∞ . Em particular, kPn k ≥ 1 n=1 para todo n. A quest˜ao que resta ´e se as proje¸co˜es canˆonicas s˜ao uniformemente limitadas, isto ´e, ser´a que sup kPn k < ∞? A resposta ´e sim: n

Proposi¸c˜ ao 10.3.8 Sejam (xn )∞ co de Banach E e n=1 uma base de Schauder do espa¸ (Pn )∞ suas proje¸ c o ˜ es canˆ o nicas. Ent˜ a o sup kP k < ∞. n n=1 n

O n´ umero sup kPn k ´e chamado de constante da base (xn )∞ . n=1 e denotado por K(xn )∞ n=1 n

Como kPn k ≥ 1 para todo n, segue que K(xn )∞ ≥ 1. n=1 Demonstra¸ c˜ ao. Sabemos que, para cada x ∈ E, lim Pn (x) = lim

n→∞

n→∞

n X

x∗j (x)xj

j=1

=

∞ X

x∗j (x)xj = x.

j=1

Ent˜ao, por ser convergente, a sequˆencia (kPn (x)k)∞ e limitada para cada x ∈ E. n=1 ´ Como E ´e espa¸co de Banach e os operadores Pn , n ∈ N, s˜ao cont´ınuos pelo Corol´ario 10.3.7, o resultado segue do Teorema de Banach–Steinhaus (Teorema 2.3.2). Corol´ ario 10.3.9 Sejam (xn )∞ co de Banach E e n=1 uma base de Schauder do espa¸ ∗ ∞ (xn )n=1 seus funcionais coeficientes. Ent˜ao, para todo k ∈ N, 1 ≤ kx∗k k · kxk k ≤ 2K(xn )∞ . n=1 Demonstra¸ c˜ ao. Para todo k ∈ N, ° k ° k−1 °X ° X ° ° 1 = x∗k (xk ) ≤ kx∗k k · kxk k = kx∗k ⊗ xk k = ° x∗j ⊗ xj − x∗j ⊗ xj ° ° ° j=1

j=1

= kPk − Pk−1 k ≤ kPk k + kPk−1 k ≤ 2K(xn )∞ . n=1

Antes de seguir em frente vejamos mais uma aplica¸ca˜o interessante do Lema 10.3.5. Defini¸ c˜ ao 10.3.10 Dizemos que a base de Schauder (xn )∞ co de Banach E ´e n=1 do espa¸ ∞ equivalente `a base de Schauder (yn )n=1 do espa¸co de Banach F , e neste caso escrevemos ∞ P ∞ ∞ (xn )∞ ≈ (y ) , se, para qualquer sequˆ e ncia de escalares (a ) , a s´ e rie an xn ´e n n n=1 n=1 n=1 convergente se, e somente se, a s´erie

∞ P

n=1

an yn ´e convergente.

n=1

237

Teorema 10.3.11 Sejam E e F espa¸cos de Banach com bases de Schauder (xn )∞ n=1 ∞ ∞ e (yn )∞ respectivamente. Ent˜ a o (x ) ≈ (y ) se, e somente se, existe um n n=1 n n=1 n=1 isomorfismo T : E −→ F tal que T (xn ) = yn para todo n ∈ N. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que as bases sejam equivalentes. Tomando (Z, (zn )∞ n=1 ) ∈ ∞ {(E, (xn )n=1 ) , (F, (yn )∞ )} , do Lema 10.3.5 sabemos que o operador n=1 TZ : (LZ , ηZ ) −→ Z ,

TZ ((an )∞ n=1 )

∞ X = a n zn , n=1

´e um isomorfismo. Da equivalˆencia das bases resulta que LE e LF coincidem como espa¸cos vetoriais, ou seja, a aplica¸c˜ao identidade id : LE −→ LF ´e linear e bijetora. Deixamos para o leitor a tarefa de mostrar que id tem gr´afico fechado, e como LE e LF s˜ao espa¸cos de Banach pelo Lema 10.3.5, conclu´ımos pelo Teorema 2.5.1 que id ´e cont´ınua. Do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta (Teorema 2.4.2) segue que id ´e um isomorfismo. Portanto o operador T := TF ◦ id ◦ TE−1 : E −→ F tamb´em ´e um isomorfismo. Para cada n ∈ N, ¡ ¡ ¢¢ T (xn ) = TF id TE−1 (xn ) = TF (id(en )) = TF (en ) = yn . Reciprocamente, seja T : E −→ F um isomorfismo com T (xn ) = yn para todo n. ∞ P an xn = x ∈ E, da linearidade e da Dada uma sequˆencia de escalares (an )∞ n=1 com n=1

continuidade de T temos

Ã∞ ! ∞ ∞ X X X T (x) = T an xn = an T (xn ) = an yn , n=1

e disso resulta que a s´erie

∞ P

n=1

n=1

an yn converge. A implica¸c˜ao oposta segue do mesmo modo

n=1

usando o isomorfismo inverso T −1 . Uma sequˆencia (xn )∞ ao ser uma base de Schauder para um espa¸co de n=1 pode n˜ Banach E por [xn : n ∈ N] n˜ao alcan¸car todo o espa¸co E. Neste caso dizemos que Defini¸ c˜ ao 10.3.12 Uma sequˆencia (xn )∞ co de Banach E ´e dita sequˆencia n=1 no espa¸ b´ asica se for base de Schauder de [xn : n ∈ N]. ∞ ´ importante perceber que, nas condi¸co˜es da defini¸ca˜o acima, se x = P aj xj ∈ E, E j=1

ent˜ao aj = x∗j (x) para todo j, onde, neste caso, os funcionais coeficientes x∗j est˜ao definidos em [xn : n ∈ N]. O pr´oximo resultado ´e um crit´erio pr´atico e u ´til para decidir se uma dada sequˆencia ´e b´asica ou n˜ao. 238

Teorema 10.3.13 (Crit´erio de Banach–Grunblum) Uma sequˆencia (xn )∞ n=1 de vetores n˜ ao-nulos de um espa¸co de Banach E ´e b´asica se, e somente se, existe uma constante M ≥ 1 tal que para toda sequˆencia de escalares (an )∞ n=1 , ° ° ° ° m n °X ° °X ° ° ° ° ° (10.12) ° ai xi ° ≤ M ° ai xi ° sempre que n ≥ m. ° ° ° ° i=1

i=1

Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que (xn )∞ encia b´asica e considere suas n=1 seja uma sequˆ . Da Proposi¸ c a ˜ o 10.3.8 sabemos que proje¸co˜es canˆonicas (Pn )∞ n=1 1 ≤ K(xn )∞ = sup {kPn k : n ∈ N} < ∞. n=1 Dada uma sequˆencia de escalares (an )∞ ao n=1 , se n ≥ m, ent˜ ° m ° ° Ã n ° n ° ° n ° !° °X ° ° ° °X ° °X ° X ° ° ° ° ° ° ° ° ai xi ° ≤ kPm k · ° ai xi ° ≤ K(xn )∞ ° ai xi ° = °Pm ° ai xi ° . n=1 ° ° ° ° ° ° ° ° i=1

i=1

i=1

i=1

Reciprocamente, suponha a validade de (10.12) com M ≥ 1. Vejamos que os vetores {x1 , x2 , . . .} s˜ao linearmente independente. De fato, se a1 x1 + · · · + an xn = 0, ent˜ao ka1 x1 k ≤ M ka1 x1 + · · · + an xn k = 0, de onde resulta que a1 = 0, pois x1 6= 0. Logo ka2 x2 k = ka1 x1 + a2 x2 k ≤ M ka1 x1 + · · · + an xn k = 0, de onde resulta, da mesma forma, que a2 = 0. Repetindo esse processo conclu´ımos que a1 = · · · = an = 0. Considere o subespa¸co F = [xn : n ∈ N] e, para cada n, o funcional linear à k ! X ϕn : F −→ K , ϕn aj xj = an , j=1

bem como o operador linear à Tn : F −→ [xn : n ∈ N] , Tn

k X aj xj

! =

n X a j xj , j=1

j=1

admitindo tacitamente que k ≥ n, pois caso contr´ario definimos ak+1 = · · · = an = 0. Por (10.12), temos ° ° k ° ° Ã k !° ° n ° °X ° ° °X ° X ° ° ° ° ° ° aj xj ° = ° aj xj ° ≤ M ° aj xj ° , °T n ° ° ° ° ° ° j=1

j=1

239

j=1

e segue a continuidade de Tn com kTn k ≤ M . Para x =

k P

aj xj ∈ F e n ∈ N.

j=1

lembrando que podemos supor k ≥ n, tem-se |ϕn (x)| = |an |. Assim, se n ≤ k, ent˜ao ° ° n n−1 °X ° X ° ° |ϕn (x)| · kxn k = |an | · kxn k = ° aj xj − a j xj ° ° ° j=1 j=1 ° ° ° ° n−1 n ° ° °X °X ° ° ° ° ≤ ° aj xj ° + ° aj xj ° ≤ 2M kxk. ° ° ° ° j=1

j=1

Disso resulta a continuidade de ϕn . Como K e [xn : n ∈ N] s˜ao espa¸cos de Banach e F ´e denso em [xn : n ∈ N], existem u ´nicas extens˜oes lineares e cont´ınuas de ϕn e Tn ao espa¸co [xn : n ∈ N], denotadas por Φn e Rn , respectivamente. Al´em disso, kϕn k = kΦn k e kTn k = kRn k para todo n ∈ N. n P ϕj (z)xj para todo z ∈ F , ent˜ao Note ainda que, como Tn (z) = j=1 n X Rn (x) = Φj (x)xj para todo x ∈ [xn : n ∈ N].

(10.13)

j=1

Dados x ∈ [xn : n ∈ N] e ε > 0, podemos tomar y =

m P

aj xj ∈ F tal que kx − yk < ε.

j=1

Dessa forma, para todo n > m temos kx − Rn (x)k ≤ kx − yk + ky − Rn (y)k + kRn (y) − Rn (x)k ≤ kx − yk + ky − yk + kRn k · kx − yk < (1 + M ) ε. Disso e de (10.13) conclu´ımos que x = lim Rn (x) = lim n→∞

n→∞

à n X

! Φj (x) xj

j=1

=

∞ X

Φj (x) xj .

j=1

´ suficiente mostrar que se Resta mostrar a unicidade da representa¸c˜ao acima. E ∞ ∞ P P aj xj = 0 ent˜ao an = 0 para todo n ∈ N. Suponha ent˜ao aj xj = 0 e tome j=1

j=1

ε > 0. Escolhendo n0 ∈ N tal que ° ° n ° °X ° ° ° aj xj ° < ε ≤ M ε sempre que n ≥ n0 , ° ° j=1

de (10.12) segue que, ° °n ° ° n 0 ° °X ° °X ° ° ° ° aj xj ° < M ε sempre que n ≤ n0 . ° aj xj ° ≤ M ° ° ° ° ° j=1

j=1

240

Para cada n fixado, ° ° n n−1 °X ° X ° ° |an | · kxn k = ° aj xj − aj xj ° ≤ 2M ε ° ° j=1

j=1

para todo ε > 0. Como xn 6= 0, fazendo ε −→ 0+ segue que an = 0. Corol´ ario 10.3.14 Toda subsequˆencia de uma sequˆencia b´asica em um espa¸co de Banach ´e tamb´em uma sequˆencia b´asica. O crit´erio de Banach–Grunblum tamb´em ´e u ´til para o c´alculo da constante da base: Corol´ ario 10.3.15 Seja (xn )∞ encia b´asica no espa¸co de Banach E. Ent˜ao n=1 uma sequˆ K(xn )∞ = inf{M : M satisfaz (10.12)}, n=1 e o ´ınfimo ´e atingido. Demonstra¸ c˜ ao. Na primeira parte da demonstra¸ca˜o do Teorema 10.3.13 vimos que K(xn )∞ satisfaz (10.12), logo o ´ınfimo ´e menor ou igual a K(xn )∞ . Para a desigualdade n=1 n=1 ∞ P aj xj ∈ [xn : n ∈ N], temos restante, suponha que M satisfa¸ca (10.12). Dado j=1

° Ã ° ° ° !° ° n ∞ m ° ° °X ° °X ° X ° ° ° ° ° ° P a x = a x ≤ M a x ° n ° ° j j ° j j° j j ° sempre que m ≥ n. ° ° ° ° ° ° j=1

Logo

j=1

j=1

° Ã ° ° ° ° !° ∞ m ∞ ° ° °X ° °X ° X ° ° ° ° ° ° aj xj ° ≤ M · lim ° aj xj ° = M ° aj xj ° °Pn m→∞ ° ° ° ° ° ° j=1

j=1

j=1

para todo n ∈ N. Resulta que K(xn )∞ = sup {kPn k : n ∈ N} ≤ M. n=1 Tomando o ´ınfimo sobre as constantes M que satisfazem (10.12) obtemos a desigualdade que faltava. Uma vez estabelecida a igualdade, o ´ınfimo ´e atingido pois, conforme j´a vimos, K(xn )∞ satisfaz (10.12). n=1 Em um primeiro momento o leitor pode suspeitar que qualquer subconjunto linearmente independente e enumer´avel de um espa¸co de Banach ´e uma sequˆencia b´asica. Uma segunda aplica¸ca˜o do crit´erio de Banach–Grunblum mostra que isso n˜ao acontece em geral:

241

Exemplo 10.3.16 Considere a sequˆencia (xn )∞ n=1 em `p , 1 < p ≤ ∞, definida por x1 = e1 , xj = −

1 1 ej−1 + ej para j ≥ 2. j−1 j

´ f´acil checar que os vetores x1 , x2 , . . . s˜ao linearmente independentes. Por outro lado, E para todo inteiro positivo n ´e verdade que ° ° n ° °X 1 ° ° ° xj ° = . ° ° n j=1 p

N˜ao existe ent˜ao constante M que satisfa¸ca (10.12), portanto a sequˆencia (xn )∞ ao n=1 n˜ ´e b´asica em `p pelo crit´erio de Banach–Grunblum.

10.4

O princ´ıpio de sele¸c˜ ao de Bessaga–PeÃlczy´ nski

Na p´agina 238 do livro [7] que inaugurou a An´alise Funcional, Banach afirma, sem demonstra¸c˜ao e em apenas duas linhas, que em todo espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita existe um subespa¸co de dimens˜ao infinita com base de Schauder. Ou, equivalentemente, que todo espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita cont´em uma sequˆencia b´asica infinita. Em um c´elebre artigo [8] de 1958, C. Bessaga e A. PeÃlczy´ nski obt´em este resultado como uma aplica¸c˜ao de seu resultado principal, atualmente conhecido como princ´ıpio de sele¸c˜ ao de Bessaga–PeÃlczy´ nski. A essˆencia de um “princ´ıpio de sele¸c˜ao” ´e a possibilidade de extrair sequˆencias b´asicas com propriedades especiais a partir de certas sequˆencias em espa¸cos de Banach. O objetivo da presente se¸c˜ao ´e demonstrar o princ´ıpio de sele¸c˜ao de Bessaga–PeÃlczy´ nski e aplic´a-lo na obten¸c˜ao de sequˆencias b´asicas em espa¸cos de Banach arbitr´arios. Alguns conceitos e resultados preparat´orios s˜ao necess´arios. Defini¸ c˜ ao 10.4.1 Um subconjunto N do dual E 0 de um espa¸co de Banach E ´e dito normante para E se kxk = sup {|ϕ(x)| : ϕ ∈ N e kϕk ≤ 1} para todo x em E. O Teorema de Hahn–Banach na forma do Corol´ario 3.1.5 diz que E 0 ´e normante ´ imediato para E. Segue da Proposi¸c˜ao 4.3.1 que E = JE (E) ´e normante para E 0 . E que todo conjunto N normante para E separa pontos de E, isto ´e, para todos x, y ∈ E, x 6= y, existe ϕ ∈ N tal que ϕ(x) 6= ϕ(y). Lema 10.4.2 Sejam N um conjunto normante para o espa¸co de Banach E e (xn )∞ n=1 uma sequˆencia em E tais que inf kxn k > 0 e n

lim ϕ (xn ) = 0 para todo ϕ ∈ N.

n→∞

242

Ent˜ ao, para cada 0 < ε < 1, cada inteiro positivo k e cada subespa¸co de dimens˜ao finita F de E, existe um inteiro n ≥ k tal que ky + axn k ≥ (1 − ε) kyk para todos y ∈ F e a ∈ K. ´ simples verificar que basta provar a desigualdade desejada para Demonstra¸ c˜ ao. E vetores unit´arios y ∈ F . Suponha, por absurdo, que o resultado n˜ao seja verdadeiro. Neste caso existem ε ∈ (0, 1), k inteiro positivo e F subespa¸co de dimens˜ao finita de E com a seguinte propriedade: para todo n ≥ k existem um vetor unit´ario yn ∈ F e um escalar an tais que kyn + an xn k < 1 − ε. Como F tem dimens˜ao finita, por compacidade existe uma subsequˆencia de (ynj )∞ j=1 ´ claro que o vetor y0 tamb´em ´e unit´ario. De que converge para um certo y0 ∈ F . E ¯ ¯ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¯an ¯ · °xn ° = °an xn ° ≤ °yn + an xn ° + °yn ° < (1 − ε) + °yn ° = 2 − ε, j j j j j j j j j segue que, para todo nj ≥ k, ¯ ¯ 2−ε ¯an ¯ < °2 − ε° ≤ . j °x n ° inf {kxi k : i ≥ k} j ¡ ¢∞ A sequˆencia anj j=1 ´e ent˜ao limitada. Disso, da hip´otese e da convergˆencia ynj −→ y0 segue que ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ lim ϕ ynj + anj xnj = ϕ (y0 ) + lim ϕ anj xnj = ϕ(y0 ) + lim anj ϕ xnj = ϕ (y0 ) j→∞

j→∞

j→∞

para todo ϕ ∈ N . Como N ´e normante para E e ky0 k = 1, existe ϕ0 ∈ N tal que kϕ0 k ≤ 1 e |ϕ0 (y0 ) | > 1 − ε. Por outro lado, ° ° ¯ ¡ ¢¯ 1 − ε > °ynj + anj xnj ° = sup |ϕ(ynj + anj xnj )| ≥ ¯ϕ0 ynj + anj xnj ¯ ϕ∈BE 0

para todo nj ≥ k, logo ¯ ¡ ¢¯ 1 − ε ≥ lim ¯ϕ0 ynj + anj xnj ¯ = |ϕ0 (y0 )| > 1 − ε, j→∞

contradi¸ca˜o esta que completa a demonstra¸c˜ao. Teorema 10.4.3 (Bessaga–Mazur) Sejam N um conjunto normante para o espa¸co de Banach E e (xn )∞ encia em E tais que inf kxn k > 0 e n=1 uma sequˆ n

lim ϕ (xn ) = 0 para todo ϕ ∈ N.

n→∞

Ent˜ ao (xn )∞ em uma subsequˆencia b´asica (xnk )∞ n=1 cont´ k=1 com xn1 = x1 . 243

Demonstra¸ c˜ ao. Tomemos uma sequˆencia (εn )∞ umeros reais com 0 < εn < 1 n=1 de n´ para todo n ∈ N satisfazendo 0
n1 tal que ka1 xn1 + a2 xn2 k ≥ (1 − ε1 ) ka1 xn1 k para escalares a1 , a2 quaisquer. n1 < n2 < · · · < nk tais que

Indutivamente, suponha a existˆencia de inteiros

° ° ka1 xn1 + · · · + ak xnk k ≥ (1 − εk−1 ) °a1 xn1 + · · · + ak−1 xnk−1 ° para escalares a1 , . . . , ak quaisquer. Ent˜ao, chamando Fk = [xn1 , . . . , xnk ] , ε = εk , k = nk , pelo Lema 10.4.2 existe nk+1 > nk tal que ° ° °a1 xn1 + · · · + ak+1 xn ° ≥ (1 − εk ) ka1 xn1 + · · · + ak xn k . k+1 k A subsequˆencia (xnk )∞ a ent˜ao constru´ıda, resta mostrar que ´e b´asica. Para todos k=1 est´ k, m ∈ N e escalares a1 , . . . , ak+m , ´e verdade que ° ° ° ° ° ° k °k+m ° °k+m−1 ° °X ° °X ° ° X ° ° ° ai xni ° ≥ (1 − εk+m−1 ) ° ai xni ° ≥ (1 − εk+m−1 ) · · · (1 − εk ) ° ai xni ° ° ° ° ° ° ° ° i=1 i=1 i=1 ° Ã∞ !° k °X ° Y ° ° ≥ (1 − εn ) ° ai xni ° . ° ° n=1 i=1

µ Tomando M =

∞ Q

¶−1 (1 − εn ) no crit´erio de Banach–Grunblum (Teorema 10.3.13)

n=1

segue que a subsequˆencia (xnk )∞ e b´asica. k=1 ´ Defini¸ c˜ ao 10.4.4 Sejam (xn )∞ co de Banach E e n=1 uma base de Schauder de um espa¸ ∞ (kn )n=0 uma sequˆencia estritamente crescente de inteiros positivos, com k0 = 0. Uma sequˆencia de vetores n˜ao-nulos (yn )∞ n=1 em E definida por yn =

kn X

b i xi ,

i=kn−1 +1

em que cada bi ∈ K, ´e chamada de sequˆencia de blocos b´asica relativa a (xn )∞ n=1 . O pr´oximo resultado justifica o adjetivo “b´asica” na defini¸c˜ao acima: 244

Proposi¸c˜ ao 10.4.5 Sejam (xn )∞ co de Banach E e n=1 uma base de Schauder do espa¸ ∞ (yn )∞ uma sequˆ e ncia de blocos b´ a sica com rela¸ c a ˜ o a (x ) . Ent˜ ao (yn )∞ e uma n n=1 n=1 n=1 ´ ∞ ∞ sequˆencia b´asica em E e K(yn )n=1 ≤ K(xn )n=1 . Demonstra¸ c˜ ao. Sejam m e k inteiros positivos e a1 , . . . , am+k escalares. Do Corol´ario 10.3.15 resulta que ° ° ° ° m ° k1 k2 km ° ° °X X X X ° ° ° ° ° a2 bi xi + · · · + a m b i xi ° ° ai yi ° = ° a1 bi xi + ° ° ° ° ° i=1 i=1 i=k1 +1 i=km−1 +1 ° ° ° ° k1 km+k km X X °X ° ° ∞ ≤ K(xn )n=1 ° a1 bi xi + · · · + a m b i xi + · · · + am+k bi xi ° ° ° ° i=1 i=km−1 +1 i=km+k−1 +1 ° ° °m+k ° X ° ° = K(xn )∞ ai yi ° . ° n=1 ° ° i=1

O crit´erio de Banach–Grunblum garante que a sequˆencia (yn )∞ e b´asica e a defini¸c˜ao n=1 ´ ∞ ∞ da constante da base garante que K(yn )n=1 ≤ K(xn )n=1 . Mais um resultado ´e necess´ario para a demonstra¸ca˜o do princ´ıpio de sele¸ca˜o. Precisamos antes do seguinte lema elementar, cuja demonstra¸ca˜o deixamos a cargo do leitor. Lema 10.4.6 Sejam (xn )∞ co de Banach E, (yn )∞ n=1 base de Schauder do espa¸ n=1 uma sequˆencia b´asica de E e T : E −→ E um isomorfismo com T (xn ) = yn para todo n. Ent˜ ao (yn )∞ e base de Schauder de E. n=1 ´ Teorema 10.4.7 (Bessaga–PeÃlczy´ nski) Sejam E um espa¸co de Banach, (xn )∞ n=1 uma ∞ ∗ ∞ sequˆencia b´asica em E e (xn )n=1 seus funcionais coeficientes. Se (yn )n=1 ´e uma sequˆencia em E tal que ∞ X kxn − yn k · kx∗n k =: λ < 1, (10.14) n=1

(yn )∞ n=1

ent˜ ao ´e uma sequˆencia b´asica em E equivalente a (xn )∞ em disso, se n=1 . Al´ ∞ ∞ (xn )n=1 ´e base de Schauder de E, ent˜ao (yn )n=1 tamb´em ´e base de Schauder de E. Demonstra¸ c˜ ao. Dada uma sequˆencia (an )∞ n=1 de escalares, de ¯ Ã ° ° ° ° !¯ Ã n ! n n ¯ n n ¯ ° X ° °X °X X X ¯ ¯ ° ° ° ° ∗ ∗ aj xj ¯ · kxi − yi k aj xj (xi − yi )° ≤ ¯xi ° ai (xi − yi )° = ° xi ¯ ¯ ° ° ° ° j=1 i=1 i=1 j=1 i=1 ° ° °Ã ° ! n n n ° °X ° X °X ° ° ° ° kx∗i k · kxi − yi k ≤ λ ° ai xi ° , ≤ ° a j xj ° ° ° ° ° j=1

i=1

i=1

245

resulta que ¯° n ° ° n °¯ ° n ° ° n ° n ¯°X ° °X °¯ °X ° °X ° X ¯° ° ° °¯ ° ° ° ° ai yi ° ≤ λ ° ai xi ° . ¯° ai xi ° − ° ai yi °¯ ≤ ° ai xi − ¯° ° ° °¯ ° ° ° ° i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

Consequentemente, ° ° ° ° ° ° n n n ° °X ° ° °X °X ° ° ° ° ° ° (1 − λ) ° ai xi ° ≤ ° ai yi ° ≤ (1 + λ) ° ai xi ° ° ° ° ° ° ° i=1

(10.15)

i=1

i=1

para todo n ∈ N. Como (xn )∞ e sequˆencia b´asica, pelo crit´erio de Banach–Grunblum n=1 ´ (Teorema 10.3.13) existe M ≥ 1 tal que se m ≥ n ent˜ao ° ° ° ° ° ° ° ° n n m m °X ° °X ° °X ° (1 + λ)M °X ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ai yi ° ≤ (1 + λ) ° ai xi ° ≤ (1 + λ)M ° ai xi ° ≤ ° ai yi ° . ° ° ° ° ° ° ° (1 − λ) ° i=1

i=1

i=1

i=1

Usando mais uma vez o crit´erio de Banach–Grunblum conclu´ımos que (yn )∞ e n=1 ´ sequˆencia b´asica de E. De (10.15) e do crit´erio de Cauchy (Observa¸c˜ao 10.1.2) segue ∞ ∞ P P an yn converge, ou seja, (xn )∞ an xn converge se, e somente se, imediatamente que n=1 n=1

n=1

´e equivalente a (yn )∞ n=1 . Suponha agora que (xn )∞ a n=1 seja uma base de Schauder de E. Como λ < ∞, est´ bem definido o operador linear ∞ X T : E −→ E , T (x) = x∗j (x)(xj − yj ). j=1

Mais ainda, kT k ≤ λ < 1, e com isso a Proposi¸ca˜o 7.1.3 garante que o operador (idE − T ) : E −→ E ´e um isomorfismo. Como (idE − T )(xn ) = yn para todo n ∈ N, segue do Lema 10.4.6 que (yn )∞ e base de Schauder de E. n=1 ´ Agora estamos em condi¸co˜es de provar o resultado principal da se¸ca˜o: Teorema 10.4.8 (Princ´ıpio de sele¸ca˜o de Bessaga–PeÃlczy´ nski) Sejam (xn )∞ n=1 uma ∞ ∗ base de Schauder de um espa¸co de Banach E e (xn )n=1 seus funcionais coeficientes. Se (yn )∞ e uma sequˆencia em E tal que inf kyn k > 0 e n=1 ´ n

lim x∗i (yn ) = 0 para todo i ∈ N,

n→∞

ent˜ ao (yn )∞ em uma subsequˆencia b´asica equivalente a uma sequˆencia de blocos n=1 cont´ b´ asica relativa a (xn )∞ n=1 .

246

Demonstra¸ c˜ ao. Para simplificar a nota¸c˜ao chamaremos de M a constante da base (xn )∞ . Chame ε = inf kyn k, n1 = 1 e escolha m1 ∈ N tal que n=1 n

µ

° ¶° ∞ ° ° X 4M ° 1 ° ∗ xi (yn1 ) xi ° < 3 . ° ° ° 2 ε i=m +1 1

Escolha agora um inteiro n2 > n1 tal que ° µ ¶ °X m1 ° 1 4M ° ° ° ° x∗i (yn2 ) xi ° ≤ 3 . ° ° 2 ε i=1 Isso ´e poss´ıvel pois lim x∗i (yn ) = 0 para todo i ∈ N, e em particular para todo n→∞ i = 1, . . . , m1 . Selecionamos ent˜ao um inteiro m2 > m1 tal que ° µ ¶° X ∞ ° 4M ° 1 ° ° ∗ xi (yn2 ) xi ° < 4 . ° ° ° 2 ε i=m2 +1

∞ Continuando esse processo obtemos sequˆencias crescentes (nk )∞ k=1 e (mk )k=1 de inteiros positivos tais que ° ° µ ¶° X µ ¶° mk ∞ °X ° ° ¡ ¢ 4M ° 4M 1 1 ° ° ° ° x∗i (ynk ) xi ° < k+2 e ° ° x∗i ynk+1 xi ° ≤ k+2 . (10.16) ° ° ° 2 ° 2 ε ε i=1 i=m +1 k

Definindo, para cada k ∈ N, mk+1

zk =

X

¡ ¢ x∗i ynk+1 xi .

i=mk +1

segue que ynk+1

mk X ¡ ¢ = x∗i ynk+1 xi + zk + i=1

∞ X

¡ ¢ x∗i ynk+1 xi .

(10.17)

i=mk+1 +1

Como M ≥ 1, de (10.17) e (10.16) segue que ° ° ¢ ° ¡ ∗ xi ynk+1 xi ° ° ° i=mk+1 +1 ε ε ε ≥ ε − k+4 − k+5 ≥ . 2 2 2

° ° °m ° k ° ° ° °X ∗ ¡ ° ¢ ° ° kzk k ≥ °ynk+1 ° − ° xi ynk+1 xi ° − ° ° ° ° ° i=1

ε ε ≥ε− − 4M 2k+2 4M 2k+3

∞ X

(10.18)

Resulta que zk 6= 0 para todo k e portanto (zk )∞ e uma sequˆencia de blocos b´asica k=1 ´ ∞ com rela¸ca˜o a (xn )n=1 . Da Proposi¸c˜ao 10.4.5 sabemos que a sequˆencia (zk )∞ e b´asica. k=1 ´

247

encia b´asica Chamando de (zk∗ )∞ k=1 os funcionais coeficientes e de M1 a constante da sequˆ (zk )∞ , do Corol´ a rio 10.3.9 e da Proposi¸ c ˜ a o 10.4.5 segue que k=1 1 ≤ kzk∗ k · kzk k ≤ 2M1 ≤ 2M, e de (10.18) temos kzk∗ k ≤

2M 4M ≤ kzk k ε

para todo k ∈ N. Finalmente, da desigualdade acima e de (10.17), temos ° ° ° ¶ °X mk ∞ ∞ ∞ µ X X X ° ° ° ° ¡ ¢ ¡ ¢ 4M ∗ ∗ ∗ ° ° xi y n x + x y x kzk k · °zk − ynk+1 ° ≤ i n i i k+1 k+1 ° ° ε ° i=1 ° i=mk+1 +1 k=1 k=1 Ã ! µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∞ k+2 k+3 X 4M ε ε 1 1 ≤ + ε 4M 2 4M 2 k=1 Ã ! µ ¶ µ ¶ ∞ k+2 k+3 X 1 1 ≤ + < 1. 2 2 k=1 ¡ ¢∞ Pelo Teorema 10.4.7 conclu´ımos que ynk+1 k=1 ≈ (zk )∞ k=1 . Como consequˆencia obtemos um princ´ıpio de sele¸ca˜o com enunciado mais econˆomico: Corol´ ario 10.4.9 Sejam E um espa¸co de Banach e (yn )∞ encia em E com n=1 uma sequˆ w ∞ inf kyn k > 0 e yn −→ 0. Ent˜ao (yn )n=1 admite uma subsequˆencia b´asica. n

Demonstra¸ c˜ ao. Considere o subespa¸co [yn : n ∈ N] de E, que ´e separ´avel pelo Lema 1.6.3. Pelo Teorema de Banach–Mazur (Teorema 6.5.5) existe uma isometria linear T : [yn : n ∈ N] −→ C [0, 1]. Observe que inf kT (yn )k = inf kyn k > 0. Sejam n

n

∗ ∞ (xn )∞ n=1 uma base de Schauder de C [0, 1] – Exemplo 10.3.3(e) – e (xn )n=1 os funcionais w w coeficientes associados. De yn −→ 0 e da Proposi¸c˜ao 6.2.9 conclu´ımos que T (yn ) −→ 0. Logo lim x∗k (T yn ) = 0 para todo k ∈ N. n→∞

Pelo princ´ıpio de sele¸ca˜o de Bessaga–Peà nski existe uma subsequˆencia b´asica ³ lczy´ ´ ∞ ∞ −1 (T (ynk ))k=1 de (T (yn ))n=1 . Como T : T [yn : n ∈ N] −→ [yn : n ∈ N] ´e isomorfismo ∞

−1 (T (ynk )))k=1 ´e sequˆencia b´asica. isom´etrico, segue que (ynk )∞ k=1 = (T

Para concluir aplicamos o princ´ıpio de sele¸ca˜o na obten¸c˜ao de sequˆencias b´asicas em espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita arbitr´arios: Teorema 10.4.10 (Banach–Mazur, Bessaga–PeÃlczy´ nski, Gelbaum) Todo espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita cont´em um subespa¸co de dimens˜ao infinita com base de Schauder. 248

Demonstra¸ c˜ ao. Como todo espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita cont´em um subespa¸co separ´avel de dimens˜ao infinita (verifique!), basta provar o resultado para espa¸cos separ´aveis. Conforme fizemos na demonstra¸c˜ao anterior, com a ajuda do Teorema 6.5.5 podemos supor que E ´e um subespa¸co de C[0, 1] de dimens˜ao infinita. Ainda como na demonstra¸c˜ao anterior, denotemos por (xn )∞ n=1 uma base de Schauder ∗ ∞ de C [0, 1] e por (xn )n=1 seus funcionais coeficientes. Para cada inteiro positivo k, defina Nk = {x ∈ E : x∗1 (x) = · · · = x∗k (x) = 0} =

k ¡ T j=1

¢ ker(x∗j ) ∩ E .

´ claro que cada Nk ´e subespa¸co fechado de E. Mais ainda, como Nk ´e o n´ E ucleo do operador linear x ∈ E 7→ (x∗1 (x), . . . , x∗k (x)) ∈ Kn , ´ claro que e Kn tem dimens˜ao n, segue que Nk tem dimens˜ao infinita para k ≥ 1. E · · · ⊆ N 3 ⊆ N2 ⊆ N1 . Suponha que essa sequˆencia (Nk )∞ aria a partir de algum ´ındice, ou seja, k=1 fique estacion´ suponha que exista n0 ≥ 1 tal que Nj = Nn0 para todo j > n0 . Vejamos que, neste caso, Nn0 = {0}. De fato, dado x ∈ Nn0 , por defini¸ca˜o de Nn0 temos x∗1 (x) = · · · = x∗n0 (x) = 0. Seja j > n0 . Como Nj = Nn0 , x ∈ Nj , e portanto x∗j (x) = 0. Assim x∗j (x) = 0 para todo j. Da express˜ao ∞ X x= x∗j (x)xj , j=1

conclu´ımos que x = 0. Como Nn0 tem dimens˜ao infinita, n˜ao ocorre Nn0 = {0}, e portanto a sequˆencia (Nk )∞ aria. Isso significa que existe uma k=1 nunca fica estacion´ infinidade de ´ındices j1 < j2 < j3 < · · · tais que as inclus˜oes · · · ⊆ Nj3 ⊆ Nj2 ⊆ Nj1 s˜ao todas estritas. Para cada k ∈ N, tomando yk ∈ Njk − Njk+1 , a sequˆencia (yk )∞ e k=1 ´ ´ formada por vetores distintos de E. E claro que podemos supor kyj k = 1 para todo j. Sejam n, k ∈ N com k ≥ n. Ent˜ao jk ≥ jn ≥ n, e portanto y k ∈ Nj k ⊆ Nj n ⊆ Nn . Disso segue que x∗n (yk ) = 0, ou seja, x∗n (yk ) = 0 para todo k ≥ n, o que revela que lim x∗n (yk ) = 0 para todo n ∈ N.

k→∞

Pelo princ´ıpio de sele¸c˜ao de Bessaga–PeÃlczy´ nski existe uma subsequˆencia b´asica (yki )∞ i=1 ∞ [(y ) de (yk )∞ . Logo ] ´ e subespa¸ c o de dimens˜ a o infinita de E com base de Schauder. k i i=1 k=1 249

10.5

Coment´ arios e notas hist´ oricas

Foi em 1837 que G. P. G. L. Dirichlet provou que convergˆencias absoluta e incondicional coincidem para s´eries de n´ umeros reais. A Proposi¸c˜ao 10.1.4 foi provada por Banach em sua tese de 1922 e se constituiu em um dos primeiros ind´ıcios de que a completude ´e de fato uma propriedade importante para o estudo da convergˆencia de s´eries. Banach e seus companheiros de Lw´ow (ent˜ao na Polˆonia e hoje na Ucrˆania) tinham o h´abito de discutir matem´atica em um bar chamado Scottish Caf´e. Como escreviam em mesas e guardanapos, muita coisa se perdia a cada encontro. L Ã ucja, esposa de Banach, providenciou ent˜ao um livro, que se tornou conhecido como Scottish Book [62], que ficava no bar e no qual os participantes tomavam notas, principalmente de problemas propostos e suas solu¸co˜es, bem como de prˆemios oferecidos por suas solu¸co˜es. Prˆemios singelos, normalmente uma garrafa de vinho, mas um caso ficou particularmente conhecido. Em 1936, S. Mazur ofereceu um ganso vivo para quem solucionasse um problema – Problema 153 do Scottish Book – que A. Grothendieck mostrou em 1955 estar intimamente relacionado ao problema da aproxima¸ca˜o mencionado na Se¸ca˜o 7.6. Ap´os resolver o problema em 1972, P. Enflo viajou a Vars´ovia para receber o ganso das m˜aos de Mazur, o qual mataram e comeram na mesma noite em um belo repasto na casa de W. Zelazko (a foto de Enflo recebendo o ganso das m˜aos de Mazur ´e c´elebre, veja, por exemplo, [81, p´agina 122]). O problema da caracteriza¸ca˜o da dimens˜ao infinita por meio da existˆencia de s´eries incondicionalmente convergentes mas n˜ao-absolutamente convergentes foi um dos problemas do Scottish Book e tamb´em foi mencionado por Banach em [7, p´agina 240]. O problema se mostrou especialmente dif´ıcil, e mesmo o caso de `1 teve que esperar at´e 1947 para ser resolvido por M. S. Macphail. A solu¸ca˜o geral de A. Dvortezky e C. A. Rogers foi publicada em 1950. O R´esum´e [38], que cont´em a desigualdade de Grothendieck, foi concebido, escrito e publicado durante o per´ıodo em que Grothendieck trabalhou no Brasil, mais especificamente na Universidade de S˜ao Paulo, de meados de 1952 ao final de 1954. Foi publicado no n´ umero 8, ano de 1953, do Boletim da Sociedade Matem´atica de S˜ao Paulo. Sociedade e revista estas que foram extintas para dar lugar `a atual Sociedade Brasileira de Matem´atica e ao seu atual Boletim. Um relato da passagem de Grothendieck pelo Brasil pode ser encontrado em [5]. O valor exato da constante de Grothendieck ainda n˜ao ´e conhecido. Na verdade, os valores n˜ao s˜ao conhecidos, pois sabe-se que as constantes no caso real e no caso complexo, denotadas por KGR e KGC , respectivamente, s˜ao distintas. A demonstra¸c˜ao que demos pode dar a impress˜ao de que KGR ≤ KGC , mas na verdade, de acordo com as estimativas conhecidas descritas abaixo, o que ocorre ´e o seguinte: 1, 338 ≤ KGC ≤ 1, 4049 . . . < 1, 66 ≤ KGR ≤ 1, 782 . . . . Isso em nada conflita com o que fizemos, mostra apenas que o argumento que usamos na demonstra¸c˜ao est´a longe de obter as melhores constantes. Para maiores detalhes e 250

cr´editos para as estimativas acima, veja [74]. A classe dos operadores absolutamente somantes, que, como n˜ao poderia deixar de ser, tem suas origens no R´esum´e de Grothendieck, foi formalmente isolada por A. Pietsch em 1967, e ganhou relevˆancia j´a em 1968 com o j´a citado trabalho [58] de Lindenstrauss e PeÃlczy´ nski. O livro [20] ´e todo dedicado `a teoria dos operadores absolutamente somantes. As bases de Schauder foram introduzidas por J. Schauder, membro do c´ırculo de Banach em Lw´ow, em 1927. Neste mesmo trabalho Schauder construiu a base de C[0, 1] exibida no Exemplo 10.3.3(e). As fun¸c˜oes dessa base j´a haviam sido estudadas por G. Faber em 1909, da´ı o uso eventual da express˜ao base de Faber–Schauder. Em 1928 Schauder provou que o sistema de Haar (veja, por exemplo, [63, Example 4.1.27]) ´e uma base de Schauder para Lp [0, 1], 1 ≤ p < ∞. Em sua defini¸ca˜o original, Schauder exigia a continuidade dos funcionais coeficientes; exigˆencia esta que, de acordo com o Teorema 10.3.6 – devido a Banach – se mostrou desnecess´aria. O Teorema 10.3.6 e uma das implica¸co˜es do Teorema 10.3.13 foram provados por Banach em seu livro [7] de 1932. A outra implica¸ca˜o do Teorema 10.3.13 foi provada por M. Grunbum em 1941. Este crit´erio se tornou ferramenta corrente na teoria de bases de Schauder a partir da men¸ca˜o a ele feita no artigo cl´assico de Bessaga e PeÃlczy´ nski [8] de 1958, que deu origem a toda a teoria da Se¸ca˜o 10.4. O Teorema 10.4.3 ´e usado por PeÃlczy´ nski [71] para demonstrar que se todo subespa¸co com base de Schauder de um espa¸co de Banach E for reflexivo, ent˜ao E ´e reflexivo. Al´em do que foi visto no texto, o princ´ıpio de sele¸ca˜o de Bessaga–PeÃlczy´ nski – formulado originalmente em [8] no ano de 1958 – tem v´arias aplica¸c˜oes not´aveis, por exemplo: se E 0 cont´em uma c´opia de c0 , ent˜ao E cont´em uma c´opia de `1 [63, Lemma 4.4.17]; se 1 ≤ q < p < ∞, ent˜ao todo operador linear cont´ınuo de `p em `q ´e compacto (este ´e o Teorema de Pitt – veja, por exemplo, [26, Proposition 6.25]). Outras aplica¸co˜es do princ´ıpio de sele¸c˜ao podem ser encontradas em [19]. Expliquemos a atribui¸ca˜o de cr´edito m´ ultiplo no Teorema 10.4.10. Como j´a vimos, este resultado apareceu sem demonstra¸c˜ao no livro de Banach [7] de 1932. As primeiras demonstra¸c˜oes aparecerem em dois trabalhos publicados em 1958, o j´a citado artigo de Bessaga e PeÃlczy´ nski e outro de B. Gelbaum, este u ´ltimo publicado nos Anais da Academia Brasileira de Ciˆencias. Em 1962 PeÃlczy´ nski [71] apresenta nova demonstra¸ca˜o e atribui a ideia a Mazur. Acredita-se ent˜ao que Banach conhecia esse argumento de Mazur.

10.6

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 10.6.1 Prove que convergˆencias absoluta e incondicional coincidem para s´eries em espa¸cos normados de dimens˜ao finita. Exerc´ıcio 10.6.2 Demonstre o crit´erio de Cauchy enunciado na Observa¸c˜ao 10.1.2.

251

encia que est´a em `p mas Exerc´ıcio 10.6.3 Sejam 1 < p < ∞ e (an )∞ n=1 uma sequˆ ∞ P n˜ao est´a em `1 . Prove que a s´erie an en converge incondicionalmente mas n˜ao n=1

absolutamente em `p .

Exerc´ıcio 10.6.4 Demonstre a Proposi¸ca˜o 5.3.8 usando o Teorema 10.1.6. Exerc´ıcio 10.6.5 Prove que se A e B s˜ao duas matrizes quadradas de escalares de ordem n, ent˜ao tr (AB) = tr (BA). Exerc´ıcio 10.6.6 Sejam E um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T : E −→ E um operador linear. Prove que o tra¸co de T , tr (T ), independe da base escolhida para E. Exerc´ıcio 10.6.7 Prove o caso complexo da desigualdade de Grothendieck (Teorema 10.2.2) a partir do caso real. Exerc´ıcio 10.6.8 Prove que o espa¸co `w encias fracamente som´aveis no 1 (E) das sequˆ espa¸co de Banach E ´e um espa¸co de Banach com a norma (∞ ) X k(xj )∞ |ϕ(xj )| : ϕ ∈ BE 0 . j=1 kw = sup j=1

Considere sempre a norma k · kw no espa¸co `w 1 (E). Exerc´ıcio 10.6.9 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T ∈ L(E, F ). Prove que: ∞ (a) O operador (xj )∞ a bem definido, ´e linear j=1 ∈ `1 (E) 7→ (T (xj ))j=1 ∈ `1 (F ) est´ cont´ınuo e tem a mesma norma que T . ∞ w w (b) O operador (xj )∞ a bem definido, ´e linear j=1 ∈ `1 (E) 7→ (T (xj ))j=1 ∈ `1 (F ) est´ cont´ınuo e tem a mesma norma que T . Exerc´ıcio 10.6.10 Prove que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um operador linear cont´ınuo T : E −→ F entre espa¸cos de Banach: (a) T ´e absolutamente somante. (b) Existe uma constante C > 0 tal que n X j=1

kT (xj )k ≤ C sup

ϕ∈BE 0

n X

|ϕ(xj )|,

j=1

para todos n ∈ N e x1 , . . . , xn ∈ E. ∞ w a bem definido, ´e linear (c) O operador (xj )∞ j=1 ∈ `1 (E) 7→ (T (xj ))j=1 ∈ `1 (F ) est´ cont´ınuo. Exerc´ıcio 10.6.11 Prove que todo operador linear cont´ınuo de posto finito entre espa¸cos de Banach ´e absolutamente somante. 252

Exerc´ıcio 10.6.12 Dados espa¸cos de Banach E e F , chame de Π(E, F ) o subconjunto de L(E, F ) formado pelos operadores absolutamente somantes. Prove que: (a) Π(E, F ) o subespa¸co vetorial de L(E, F ). (b) (Propriedade de ideal) Se T ∈ L(E0 , E), U ∈ Π(E, F ) e V ∈ L(F, F0 ), ent˜ao V ◦ U ◦ T ∈ Π(E0 , F0 ). ¯ ¯ ¯P ¯ ∞ ¯ an ¯¯ ≤ 1 para Exerc´ıcio 10.6.13* Seja (an )n=1 uma sequˆencia de escalares tal que ¯ ∞ P

todo conjunto finito M ⊆ N. Prove que

n∈M

|an | ≤ 4.

n=1

Exerc´ıcio 10.6.14 Dado um espa¸co de Banach E, defina o n ∞ w (E) : lim k(x ) k = 0 . ∈ ` `u1 (E) = (xn )∞ n n=k w 1 n=1 k→∞

Prove que: (a) `u1 (E) ´e subespa¸co fechado de `w 1 (E). u (b) Uma sequˆencia (xn )∞ erie n=1 pertence a `1 (E) se, e somente se, a s´

incondicionalmente convergente.

∞ P

xn ´e

n=1

Exerc´ıcio 10.6.15 Prove que os vetores de uma base de Schauder de um espa¸co de Banach s˜ao linearmente independentes. Exerc´ıcio 10.6.16 Prove a unicidade da representa¸c˜ao em rela¸c˜ao `a base de Schauder de C[0, 1] exibida no Exemplo 10.3.3(e). Exerc´ıcio 10.6.17 Prove que, para todo espa¸co de Banach E, η ´e uma norma em LE . Exerc´ıcio 10.6.18 Mostre que todo espa¸co com base de Schauder ´e separ´avel. Exerc´ıcio 10.6.19 Prove que todo espa¸co de Banach com base de Schauder tem a propriedade da aproxima¸ca˜o (veja defini¸ca˜o na Se¸ca˜o 7.6). Exerc´ıcio 10.6.20 Mostre que (e1 , e2 −e1 , e3 −e2 , e4 −e3 , . . .) ´e base de Schauder de `1 . Mostre tamb´em que a convergˆencia da s´erie que representa um vetor de `1 em rela¸ca˜o a essa base nem sempre ´e incondicional. co de Banach E Exerc´ıcio 10.6.21 (a) Sejam (xn )∞ n=1 uma base de Schauder do espa¸ ∞ ∞ e (an )n=1 uma sequˆencia de escalares n˜ao-nulos. Prove que (an xn )n=1 tamb´em ´e base de Schauder de E. (b) Prove que se o espa¸co de Banach E tem base de Schauder, ent˜ao E admite uma e, kxn k = 1 para todo n. base de Schauder (xn )∞ n=1 normalizada, isto ´ Exerc´ıcio 10.6.22 Prove que o operador id : LE −→ LF da demonstra¸c˜ao do Teorema 10.3.11 tem gr´afico fechado. 253

Exerc´ıcio 10.6.23 Sejam (xn )∞ co de Banach E e n=1 uma base de Schauder do espa¸ (x∗n )∞ seus funcionais coeficientes. Prove que n=1 sup kxn k < ∞ ⇐⇒ inf kx∗n k > 0 e inf kxn k > 0 ⇐⇒ sup kx∗n k < ∞. n

n

n

n

Exerc´ıcio 10.6.24 Prove que todo espa¸co de Banach separ´avel admite um conjunto normante enumer´avel. Exerc´ıcio 10.6.25 Demonstre o Lema 10.4.6. Exerc´ıcio 10.6.26* Seja (xn )∞ co de Hilbert tal que n=1 uma base de Schauder de um espa¸ ∗ ∞ kxn k = kxn k = 1 para todo n. Prove que (xn )n=1 ´e um sistema ortonormal completo. Exerc´ıcio 10.6.27* Sejam 1 ≤ p < ∞ e (yn )∞ encia de blocos b´asica com n=1 uma sequˆ rela¸c˜ao `a base (en )∞ de ` . Prove que: p n=1 (a) [yn : n ∈ N] ´e isometricamente isomorfo a `p . ∞ (b) Se 0 < inf kyn k ≤ sup kyn k < ∞, ent˜ao (yn )∞ n=1 ≈ (en )n=1 . n

n

Exerc´ıcio 10.6.28 (Teorema de Krein–Milman–Rutman) Sejam E um espa¸co de Banach com base de Schauder e D um subconjunto denso de E. Prove que existe uma base de Schauder de E formada apenas por elementos de D. Exerc´ıcio 10.6.29 Seja 1 ≤ p ≤ ∞. (a) Para cada t ∈ (0, 1), seja xt = (t, t2 , t3 , . . .) Mostre que o conjunto {xt : 0 < t < 1} ´e linearmente independente em `p . (b) Mostre que dim(`p ) = c, onde c ´e a cardinalidade do cont´ınuo, isto ´e, a cardinalidade de R. Exerc´ıcio 10.6.30* Dado um espa¸co de Banach E 6= {0}, considere o subespa¸co © ª c00 (E) = (xj )∞ j=1 ∈ `∞ (E) : existe n0 ∈ N tal que xj = 0 para todo j ≥ n0 do espa¸co de Banach (`∞ (E), k · k∞ ) (veja Exerc´ıcio 4.5.8). Responda: (a) c00 (E) ´e denso em `∞ (E)? (b) c00 (E) ´e completo com a norma k · k∞ ? (c) Qual ´e a dimens˜ao de c00 = c00 (K)? (d) Exiba uma base de Hamel de c00 . (e) Estendendo a defini¸ca˜o de base de Schauder para espa¸cos normados, existe base de Schauder para c00 ? Em caso positivo, exiba uma tal base. (f) Qual ´e a dimens˜ao de c00 (E)?

254

Apˆ endice A O Lema de Zorn Defini¸ c˜ ao A.1 (a) Uma ordem parcial no conjunto P ´e uma rela¸c˜ao ≤ em P que satisfaz as seguintes propriedades: • x ≤ x para todo x ∈ P (reflexiva). • Se x, y ∈ P , x ≤ y e y ≤ x, ent˜ao x = y (antissim´etrica). • Se x, y, z ∈ P , x ≤ y e y ≤ z, ent˜ao x ≤ z (transitiva). Neste caso diz-se que (P, ≤) ´e um conjunto parcialmente ordenado. No que segue (P, ≤) ´e um conjunto parcialmente ordenado fixado. (b) Uma cota superior de um subconjunto Q de P , se existir, ´e um elemento q ∈ P tal que p ≤ q para todo p ∈ Q. (c) Um elemento maximal de P , se existir, ´e um elemento m ∈ P tal que se p ∈ P e q ≤ p para todo q ∈ P , ent˜ao m = p. (d) Um subconjunto Q de P ´e dito totalmente ordenado se para todos p, q ∈ Q, ´e verdade que p ≤ q ou q ≤ p. Teorema A.2 (Lema de Zorn) Todo conjunto parcialmente ordenado, n˜ao-vazio, e no qual todo subconjunto totalmente ordenado tem cota superior, tem elemento maximal. O Lema de Zorn ´e equivalente ao Axioma da Escolha. A demonstra¸ca˜o dessa equivalˆencia pode ser encontrada em qualquer bom livro de Teoria dos Conjuntos, por exemplo em [18, Cap´ıtulo 7]. Como j´a dissemos na Se¸c˜ao 3.5, a demonstra¸c˜ao de M. Zorn apareceu em 1935. Entretanto, o mesmo resultado j´a havia sido provado por K. Kuratowski em 1922. Apesar da anterioridade, o cr´edito a Kuratowski ´e usualmente omitido. Uma aplica¸c˜ao simples e bastante conhecida do Lema de Zorn garante que todo espa¸co vetorial possui uma base (veja, por exemplo, [16, Teorema 2.8.1]). Neste livro utilizamos uma propriedade um pouco mais forte: Defini¸ c˜ ao A.3 Seja V um espa¸co vetorial. (a) Um gerador de V ´e um subconjunto A de V tal que todo elemento de V pode ser escrito como combina¸ca˜o linear (finita) de elementos de A. (b) Um subconjunto B de V ´e linearmente independente se todo subconjunto finito de 255

B ´e formado por vetores linearmente independentes. (c) Uma base (ou base alg´ebrica, ou base de Hamel) de V ´e um gerador linearmente independente de V . Proposi¸c˜ ao A.4 Se A ´e um gerador de um espa¸co vetorial V 6= {0}, ent˜ao existe uma base de V contida em A. Demonstra¸ c˜ ao. Considere o conjunto F = {(W, B) : W ´e subespa¸co de V e B ⊆ A ´e linearmente independente e gera W } munido da ordem parcial (W, B), (W1 , B1 ) ∈ F, (W, B) ≤ (W1 , B1 ) ⇐⇒ W ⊆ W1 e B ⊆ B1 . Tomando x ∈ A temos ([x], {x}) ∈ F, e portanto F ´e n˜ao-vazio. Seja G um subconjunto totalmente ordenado µ ¶ de F, digamos G = (Wi , Bi )i∈I . Argumentos rotineiros mostram S S Wi , Bi pertence a F e ´e cota superior de G. Pelo Lema de Zorn, F tem que i∈I

i∈I

f , B). e Basta mostrar que W f = V. Suponha, por absurdo, que um elemento maximal (W f 6= V . Observe que, nesse caso, A n˜ao est´a contido em W f , pois se A ⊆ W f ter´ıamos W f] = W f ⊆ V, V = [A] ⊆ [W f 6= V . Podemos ent˜ao tomar x0 ∈ A − W f e definir o que contradiz a suposi¸ca˜o de que W f ⊕ [x0 ] , BN = B e ∪ {x0 }. WN = W e gera W f , tanto os elementos de [BN ] como os elementos de WN tˆem a forma Como B f . Portanto a1 x1 + · · · + an xn + a0 x0 , onde n ∈ N, a1 , . . . , an , a0 ∈ K e x1 , . . . , xn ∈ W e [BN ] = WN . A independˆencia linear de BN ´e clara, pois B ´e linearmente independente f . Por fim, de B e ⊆ A e x0 ∈ A conclu´ımos que BN ⊆ A, e portanto e x0 ∈ / W f, B) e ≤ (WN , BN ). (WN , BN ) ∈ F. Das defini¸co˜es de WN e de BN fica claro que (W f , B) e implica que (W f, B) e = (WN , BN ). Em particular, W f = WN , A maximalidade de (W f . Esta contradi¸c˜ao garante que W f = V e completa a demonstra¸ca˜o. logo x0 ∈ W Conclu´ımos este apˆendice com uma aplica¸c˜ao interessante aos espa¸cos de Banach: Proposi¸c˜ ao A.5 Seja E um espa¸co de Banach separ´ avel de dimens˜ao infinita. Ent˜ao todo subconjunto denso e enumer´avel de E admite um subconjunto linearmente independente e enumer´avel. ´ claro que D ´e Demonstra¸ c˜ ao. Seja D um subconjunto denso e enumer´avel de E. E gerador de [D]. Pela Proposi¸ca˜o A.4 existe uma base B de [D] contida em D. Suponha, 256

por um momento, que B seja finita. Neste caso [D] tem dimens˜ao finita, logo [D] ´e fechado em E. Como D ´e denso em E, temos E = D ⊆ [D] = [D] ⊆ E, o que prova que E = [D], e portanto E tem dimens˜ao finita. Como isso contradiz a hip´otese, segue que a base B de [D] ´e infinita. Por ser base de [D], B ´e linearmente independente, e por ser infinita e estar contida no conjunto enumer´avel D, B ´e enumer´avel.

257

Apˆ endice B No¸c˜ oes de Topologia Geral Espa¸cos m´ etricos Defini¸ c˜ ao B.1 Um espa¸co m´etrico ´e um par ordenado (M, d) formado por um conjunto M e uma fun¸ca˜o d : M ×M −→ R, chamada m´etrica, satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes para quaisquer x, y, z em M : (a) d(x, y) ≥ 0, (b) d(x, x) = 0, (c) d(x, y) = 0 implica x = y, (d) d(x, y) = d(y, x), (e) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Se E e F s˜ao subconjuntos de M, a distˆ ancia entre E e F ´e definida por dist(E, F ) = inf{d(x, y) : x ∈ E e y ∈ F }. Defini¸ c˜ ao B.2 Seja (xn )∞ encia no espa¸co m´etrico (M, d). n=1 uma sequˆ ∞ (a) A sequˆencia (xn )n=1 converge para x ∈ M se lim d(xn , x) = 0.

n→∞

Neste caso escrevemos x = lim xn = lim xn ou xn −→ x. n

n→∞

e dita convergente se existe x ∈ M tal que xn −→ x. Caso (b) A sequˆencia (xn )∞ n=1 ´ contr´ario ´e dita divergente. e uma sequˆencia de Cauchy se (c) A sequˆencia (xn )∞ n=1 ´ lim d(xm , xn ) = 0.

m,n→∞

´ imediato que toda sequˆencia convergente ´e de Cauchy. E (d) O espa¸co m´etrico (M, d) ´e um espa¸co m´etrico completo se toda sequˆencia de Cauchy em M convergir para um elemento de M .

258

Defini¸ c˜ ao B.3 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. (a) Dados a ∈ M e ε > 0, o conjunto B(a, ε) = {x ∈ M : d(x, a) < ε} ´e chamado de bola aberta com centro a e raio r. (b) Um subconjunto A ⊆ M ´e aberto se para cada x ∈ A existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊆ A. (c) Um subconjunto F ⊆ M ´e fechado se seu complementar F c := M − F ´e aberto. Defini¸ c˜ ao B.4 Sejam (M, d) um espa¸co m´ Setrico e A ⊆ M . (a) O interior de A ´e o conjunto int(A) = {B ⊆ M : B ´e aberto e B ⊆ A}. T (b) O fecho de A ´e o conjunto A = {F ⊆ M : F ´e fechado e A ⊆ F }. (c) Diz-se que A ´e denso em M se A = M . Proposi¸c˜ ao B.5 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico, x ∈ M e A, B ⊆ M . Ent˜ao (a) int(A) ´e um conjunto aberto e A ´e um conjunto fechado. (b) A ´e aberto se, e somente se, A = int(A). (c) A ´e fechado se, e somente se, A = A. (d) Se A ⊆ B, ent˜ao A ⊆ B. (e) A ∪ B = A ∪ B (f) x ∈ A se, e somente se, existe uma sequˆencia (xn )∞ n=1 em A tal que xn −→ x. (g) A ´e denso em M se, e somente se, para todos x ∈ M e ε > 0, tem-se A∩B(x, ε) 6= ∅. Quando n˜ao houver necessidade de explicitar a m´etrica, escrevemos apenas M para denotar o espa¸co m´etrico (M, d). Defini¸ c˜ ao B.6 Um espa¸co m´etrico M ´e compacto se para toda cole¸ca˜o de abertos n S S (Ai )i∈I tais que M = Ai , existem n ∈ N e i1 , . . . , in ∈ I tais que M = Aik . i∈I

k=1

Neste livro usamos dois teoremas fundamentais da teoria dos espa¸cos m´etricos. O primeiro ´e o Teorema de Baire, enunciado e demonstrado no Teorema 2.3.1. O segundo ´e o Teorema de Ascoli, enunciado abaixo, que caracteriza os subconjuntos relativamente compactos do espa¸co m´etrico completo C(K) das fun¸co˜es cont´ınuas f : K −→ K, onde K ´e um espa¸co m´etrico compacto, com a m´etrica d(f, g) = sup{|f (t) − g(t)| : t ∈ K}. Teorema B.7 (Teorema de Ascoli) Sejam K um espa¸co m´etrico compacto e A um subconjunto de C(K). Ent˜ao A ´e compacto em C(K) se, e somente se, as seguintes condi¸c˜ oes est˜ao satisfeitas: (a) A ´e equicont´ınuo, isto ´e, para todos t0 ∈ K e ε > 0, existe δ > 0 tal que |f (t) − f (t0 )| < ε para todos t ∈ K com d(t, t0 ) < δ e f ∈ A. (b) O conjunto {f (t) : f ∈ A} ´e limitado em K para todo t ∈ K. Em [41, Teorema III.2.1] o leitor encontra a demonstra¸ca˜o de uma forma do Teorema de Ascoli mais geral que a enunciada acima. 259

Espa¸cos topol´ ogicos Defini¸ c˜ ao B.8 Uma topologia em um conjunto X ´e uma cole¸ca˜o τ de subconjuntos de X, chamados conjuntos abertos, satisfazendo as seguintes propriedades: (a) Qualquer uni˜ao de elementos de τ ´e um elemento de τ . (b) Qualquer interse¸ca˜o finita de elementos de τ pertence a τ . (c) X e ∅ pertencem a τ . Neste caso dizemos que (X, τ ) ´e um espa¸co topol´ ogico, que naturalmente abreviaremos para X quando n˜ao houver perigo de ambiguidade ou de imprecis˜ao. Um subconjunto F de X ´e chamado de conjunto fechado se seu complementar for aberto, isto ´e, se Fc = X − F ∈ τ. Proposi¸c˜ ao B.9 Em um espa¸co topol´ ogico valem as seguintes propriedades: (a) Qualquer interse¸c˜ ao de conjuntos fechados ´e um conjunto fechado. (b) Qualquer uni˜ao finita de conjuntos fechados ´e um conjunto fechado. (c) X e ∅ s˜ao conjuntos fechados. Os conjuntos abertos – segundo a Defini¸ca˜o B.3(b) – de um espa¸co m´etrico M ´ formam uma topologia em M , chamada de topologia em M induzida pela m´etrica. E neste sentido que um espa¸co m´etrico ser´a entendido como espa¸co topol´ogico. Um espa¸co topol´ogico X ´e dito metriz´ avel se existe uma m´etrica em X que induz sua topologia. O interior int(A), o fecho A e a densidade de um subconjunto A de um espa¸co topol´ogico X s˜ao definidos exatamente como na Defini¸ca˜o B.4. Os itens (a)–(e) da Proposi¸c˜ao B.5 permanecem v´alidos exatamente como l´a enunciados. Al´em disso: Proposi¸c˜ ao B.10 Sejam A e B subconjuntos de um espa¸co topol´ ogico X. Ent˜ao: (a) int(A) = X − X − A e X − A = int(X − A). (b) Se A ⊆ B, ent˜ao int(A) ⊆ int(B). (c) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).

Vizinhan¸cas Defini¸ c˜ ao B.11 Uma vizinhan¸ca de um elemento x do espa¸co topol´ogico X ´e um subconjunto U de X que cont´em um aberto V contendo x, isto ´e, x ∈ V ⊆ U . A cole¸c˜ao Ux de todas as vizinhan¸cas de x ´e chamada de sistema de vizinhan¸cas de x. Proposi¸c˜ ao B.12 O sistema de vizinhan¸cas Ux de x em um espa¸co topol´ ogico X tem as seguintes propriedades: (a) Se U ∈ Ux , ent˜ao x ∈ U. (b) Se U, V ∈ Ux , ent˜ao U ∩ V ∈ Ux . (c) Se U ∈ Ux , ent˜ao existe V ∈ Ux tal que U ∈ Uy para cada y ∈ V. (d) Se U ∈ Ux e U ⊆ V , ent˜ao V ∈ Ux . (e) A ⊆ X ´e aberto se, e somente se, A cont´em uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos. 260

Proposi¸c˜ ao B.13 Se a cada ponto x de um conjunto X ´e associada uma cole¸c˜ ao n˜aovazia Ux de subconjuntos de X satisfazendo (a)–(d) da Proposi¸c˜ ao B.12, ent˜ao a cole¸c˜ ao τ = {A ⊆ X : para todo x ∈ A existe U ∈ Ux tal que x ∈ U ⊆ A} ´e uma topologia para X na qual Ux ´e o sistema de vizinhan¸cas de x para todo x ∈ X. Defini¸ c˜ ao B.14 Uma base de vizinhan¸cas de um elemento x de um espa¸co topol´ogico X ´e uma subcole¸ca˜o Bx de Ux tal que cada U ∈ Ux cont´em algum V ∈ Bx . Neste caso Ux est´a determinado por Bx da seguinte forma: Ux = {U ⊆ X : V ⊆ U para algum V ∈ Bx }. Os elementos de Bx s˜ao chamados de vizinhan¸cas b´asicas de x. Teorema B.15 Seja X um espa¸co topol´ ogico e, para cada x ∈ X, seja Bx uma base de vizinhan¸cas em x. Ent˜ao: (a) Se V ∈ Bx , ent˜ ao x ∈ V. (b) Se V1 , V2 ∈ Bx , ent˜ao existe V3 ∈ Bx tal que V3 ⊆ V1 ∩ V2 . (c) Se V ∈ Bx , ent˜ao existe V0 ∈ Bx tal que se y ∈ V0 , ent˜ao existe W ∈ By com W ⊆ V. (d) A ⊆ X ´e aberto se, e somente se, A cont´em uma vizinhan¸ca b´asica de cada um de seus pontos. Reciprocamente, se a cada elemento x de um conjunto X ´e associada uma cole¸c˜ ao Bx de subconjuntos de X satisfazendo as condi¸c˜ oes (a)-(c) acima, ao usarmos (d) para definir conjuntos abertos obtemos uma topologia em X na qual Bx ´e uma base de vizinhan¸cas para cada x ∈ X.

Bases Defini¸ c˜ ao B.16 Uma base do espa¸co topol´ogico (X, τ ) ´e uma subcole¸ca˜o B de τ tal que todo conjunto aberto pode ser escrito como uma uni˜ao de elementos de B. Proposi¸c˜ ao B.17 Uma cole¸c˜ ao B de subconjuntos do espa¸co topol´ ogico X ´e uma base para X se, e somente se, para todo aberto A ⊆ X e todo x ∈ A existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ A. Teorema B.18 Uma cole¸ ao B de subconjuntos de X ´e base para uma topologia em X S c˜ se, e somente se, X = B e ´e verdade que se B1 , B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2 , ent˜ ao existe B∈B

B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 . Teorema B.19 Uma cole¸c˜ ao B de abertos do espa¸co topol´ ogico X ´e uma base para X se, e somente se, {B ∈ B : x ∈ B} ´e uma base de vizinhan¸cas de cada x ∈ X.

261

Subespa¸cos Defini¸ c˜ ao B.20 Sejam (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. A cole¸ca˜o τA := {B∩A : B ∈ τ } ´e uma topologia em A, chamada topologia relativa ou topologia em A induzida por τ . Com esta topologia, dizemos que A ´e um subespa¸co de X. Teorema B.21 Seja A um subespa¸co de um espa¸co topol´ ogico X. Ent˜ao: (a) C ⊆ A ´e aberto em A se, e somente se, C = B ∩ A para algum B aberto em X. (b) F ⊆ A ´e fechado em A se, e somente se, F = K ∩ A para algum K fechado em X. (c) Se C ⊆ A, ent˜ao o fecho de C em A coincide com A ∩ C. (d) Se x ∈ A, ent˜ao V ⊆ X ´e uma vizinhan¸ca de x em A se, e somente se, V = U ∩ A para alguma vizinhan¸ca U de x em X. (e) Se x ∈ A e Bx ´e uma base de vizinhan¸cas para x em X, ent˜ao {B ∩ A : B ∈ Bx } ´e uma base de vizinhan¸cas para x em A. (f) Se B ´e uma base de X, ent˜ao {B ∩ A : B ∈ B} ´e base de A.

Fun¸ co ˜es cont´ınuas Defini¸ c˜ ao B.22 Uma fun¸ca˜o f : X −→ Y entre espa¸cos topol´ogicos ´e cont´ınua se −1 f (A) := {x ∈ X : f (x) ∈ A} ´e aberto em X para todo aberto A em Y . Proposi¸c˜ ao B.23 As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para uma fun¸c˜ ao f : X −→ Y entre espa¸cos topol´ ogicos: (a) f ´e cont´ınua. (b) f −1 (F ) ´e fechado em X para todo fechado F em Y . (c) Para todo x ∈ X e toda vizinhan¸ca U de f (x) em Y existe uma vizinhan¸ca V de x em X tal que f (V ) ⊆ U . Se X e Y s˜ao espa¸cos m´etricos, ent˜ao essas afirma¸c˜ oes tamb´em s˜ao equivalentes a: ∞ (d) f (xn ) −→ f (x) para toda sequˆencia (xn )n=1 em X tal que xn −→ x ∈ X. Proposi¸c˜ ao B.24 (a) Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas entre espa¸cos topol´ ogicos, ent˜ao a fun¸c˜ ao composta g ◦ f : X −→ Z ´e cont´ınua. (b) Se A ´e subespa¸co do espa¸co topol´ ogico X e a fun¸c˜ ao f : X −→ Y ´e cont´ınua, ent˜ao a restri¸c˜ ao de f a A, f |A : A −→ Y , ´e cont´ınua. Defini¸ c˜ ao B.25 Um homeomorfismo entre os espa¸cos topol´ogicos X e Y ´e uma fun¸c˜ao f : X −→ Y que ´e cont´ınua, bijetora e tem inversa cont´ınua.

Redes Ao contr´ario do que ocorre em espa¸cos m´etricos, sequˆencias convergentes n˜ao descrevem topologias em geral. Por exemplo, as Proposi¸c˜oes B.5(f) e B.23(d) n˜ao s˜ao verdadeiras em espa¸cos topol´ogicos em geral. Trabalhamos neste livro com o conceito de redes, que 262

´e uma generaliza¸c˜ao do conceito de sequˆencia muito u ´til na descri¸c˜ao de topologias em geral. As redes foram introduzidas por E. Moore e H. Smith em 1922. Defini¸ c˜ ao B.26 Um conjunto dirigido ´e um par (Λ, ≤) em que ≤ ´e uma dire¸c˜ ao no conjunto Λ, isto ´e, ´e uma rela¸c˜ao em Λ tal que: (a) λ ≤ λ para todo λ ∈ Λ. (b) Se λ1 , λ2 , λ3 ∈ Λ, λ1 ≤ λ2 e λ2 ≤ λ3 , ent˜ao λ1 ≤ λ3 . (c) Para todos λ1 , λ2 ∈ Λ existe λ3 ∈ Λ tal que λ1 ≤ λ3 e λ2 ≤ λ3 . Defini¸ c˜ ao B.27 Uma rede em um conjunto X ´e uma fun¸c˜ao P : Λ −→ X, onde Λ ´e um conjunto dirigido. Usualmente se denota P (λ) por xλ , e neste caso nos referimos `a rede (xλ )λ∈Λ . Defini¸ c˜ ao B.28 Dizemos que a rede (xλ )λ∈Λ no espa¸co topol´ogico X converge para x ∈ X, e neste caso escrevemos xλ −→ x, se para cada vizinhan¸ca U de x existe λ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0 . O exemplo a seguir ´e fundamental nas demonstra¸co˜es das propriedades que o seguem e que comprovam que a convergˆencia de redes descreve a topologia do espa¸co. Exemplo B.29 Sejam X um espa¸co topol´ogico, x ∈ X e Bx uma base de vizinhan¸cas de x. A rela¸ca˜o de continˆencia invertida U1 ≤ U2 ⇐⇒ U2 ⊆ U1 torna Bx um conjunto dirigido. Neste caso, escolhendo xU ∈ U para cada U ∈ Bx , temos uma rede (xU )U ∈Bx em X que converge para x. Defini¸ c˜ ao B.30 Um espa¸co topol´ogico X ´e um espa¸co de Hausdorff se para todos x, y ∈ X, x 6= y, existem vizinhan¸cas U de x e V de y tais que U ∩ V = ∅. Teorema B.31 Sejam X, Y espa¸cos topol´ ogicos, A ⊆ X e x ∈ X. (a) (Unicidade do limite) X ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, toda rede em X converge para no m´aximo um ponto. (b) x ∈ A se, e somente se, existe uma rede (xλ )λ∈Λ em X tal que xλ −→ x. (c) A ´e fechado se, e somente se, para toda rede (xλ )λ∈Λ em A com xλ −→ x, tem-se x ∈ A. (d) Uma fun¸c˜ ao f : X −→ Y ´e cont´ınua se, e somente se, f (xλ ) −→ f (x) para toda rede (xλ )λ∈Λ em X tal que xλ −→ x ∈ X.

Compacidade e o Teorema de Tychonoff Defini¸ c˜ ao B.32 Um subconjunto K do espa¸cS o topol´ogico X ´e compacto se para toda cole¸c˜ao (Ai )i∈I de abertos em X tal que K ⊆ Ai , existem n ∈ N e i1 , . . . , in ∈ I tais i∈I

que K ⊆ (Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ). Ou seja, se toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita. 263

Listamos abaixo as propriedades dos compactos importantes neste livro: Proposi¸c˜ ao B.33 Sejam X, Y espa¸cos topol´ ogicos e K ⊆ X. (a) Se X ´e compacto e K ´e fechado, ent˜ao K ´e compacto. (b) Se X ´e Hausdorff e K ´e compacto, ent˜ao K ´e fechado. (c) Se X ´e um espa¸co m´etrico, ent˜ao K ´e compacto se, e somente se, toda sequˆencia em K admite subsequˆencia convergente em K. (d) Se f : X −→ Y ´e cont´ınua e K ´e compacto em X, ent˜ao f (K) ´e compacto em Y . (e) A ⊆ K ´e compacto em K se, e somente se, A ´e compacto em X. (f) Se A ⊆ K, A ´e fechado em X e K ´e compacto, ent˜ao A ´e compacto em X. Defini¸ c˜ ao B.34 Seja (Xα )α∈Γ uma cole¸ca˜o de conjuntos. (a) O produto cartesiano generalizado dos conjuntos Xα , α ∈ Γ, ´e definido como sendo o seguinte conjunto de fun¸c˜oes: ½ ¾ Q S Xα = f : Γ −→ Xα : f (α) ∈ Xα para cada α ∈ Γ . α∈Γ

α∈Γ

Denotando f (α) por xα para cada α ∈ Γ, podemos nos referir ao elemento f ∈ por (xα )α∈Γ . Fixado β ∈ Γ, a fun¸c˜ao Q Xα −→ Xβ , πβ ((xα )α∈Γ ) = xβ , πβ :

Q

Xα

α∈Γ

α∈Γ

´e chamada de proje¸c˜ ao na β-´esima coordenada. Q Xα gerada pelas fun¸co˜es (b) Se cada Xα ´e um espa¸co topol´ogico, a topologia em α∈Γ

(πα )α∈Γ no sentido da Se¸c˜ao 6.1 ´e chamada de topologia produto. Teorema B.35 (Teorema de Tychonoff) Seja (Xα )Q ılia de espa¸cos α∈Γ uma fam´ topol´ ogicos. Ent˜ao o produto cartesiano generalizado Xα ´e compacto na topologia α∈Γ

produto se, e somente se, Xα ´e compacto para todo α ∈ Γ.

264

Apˆ endice C No¸c˜ oes de Medida e Integra¸ c˜ ao Espa¸cos mensur´ aveis e a reta estendida Defini¸ c˜ ao C.1 Uma σ-´algebra no conjunto X ´e uma fam´ılia Σ de subconjuntos de X que satisfaz as seguintes propriedades: (a) ∅, X ∈ Σ. (b) Se A ∈ Σ, ent˜ao AC := X − A ∈ Σ. ∞ S An ∈ Σ. (c) Se An ∈ Σ para todo n ∈ N, ent˜ao n=1

Neste caso o par (X, Σ) ´e chamado de espa¸co mensur´avel . Cada elemento da σ-´algebra ´e chamado de conjunto mensur´avel . Dada uma cole¸ca˜o F de subconjuntos de X, a interse¸c˜ao de todas as σ-´algebras que contˆem F ´e ainda uma σ-´algebra, chamada de σ-´ algebra gerada por F e denotada por Σ(F). Note que Σ(F) ´e a menor σ-´algebra em X que cont´em F. Quando (X, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico, a σ-´algebra Σ(τ ) ´e chamada de σ-´ algebra de Borel de X e denotada por B = B(X). Os elementos de B s˜ao chamados de conjuntos de Borel ou borelianos. Defini¸ c˜ ao C.2 A reta estendida ´e o conjunto R = R ∪ {∞} ∪ {−∞}, tamb´em denotado por [−∞, ∞], onde ∞ e −∞ s˜ao s´ımbolos que tˆem as propriedades que intuitivamente deles esperamos, isto ´e: −∞ < x < ∞ para todo x ∈ R. Operamos aritmeticamente com os s´ımbolos ∞ e −∞ da seguinte forma: para a ∈ R, • a+∞ = ∞+a = ½ ∞, a − ∞ = −∞ + a = −∞, ∞ + ∞ = ∞ e½−∞ + (−∞) = −∞. ∞, se a > 0 −∞, se a > 0 • a·∞=∞·a= e a · (−∞) = (−∞) · a = . −∞, se a < 0 +∞, se a < 0 • ∞ · ∞ = (−∞) · (−∞) = ∞ e ∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞. • 0 · ∞ = 0 · (−∞) = ∞ · 0 = (−∞) · 0 = 0. 265

Observe que, por n˜ao haver op¸c˜ao coerente, as adi¸co˜es ∞ + (−∞) e (−∞) + ∞ n˜ao est˜ao definidas. A multiplica¸ca˜o de 0 pelos s´ımbolos −∞ e ∞ definida acima pode parecer artificial, mas ´e extremamente importante na Teoria da Medida. As seguintes nota¸c˜oes s˜ao usuais: [−∞, a) = {x ∈ R : x < a} ∪ {−∞} e (a, ∞] = {x ∈ R : x > a} ∪ {∞}. Defini¸ c˜ ao C.3 A topologia usual de R induz uma topologia em R considerando como abertos os subconjuntos A ⊆ R da forma: (a) A ⊆ R ´e aberto em R, ou (b) A = [−∞, a) para algum a ∈ R, ou (c) A = (a, ∞] para algum a ∈ R, ou (d) A ´e uma uni˜ao de conjuntos como os de (a), (b) ou (c). Consideraremos R como espa¸co mensur´avel com a σ-´algebra de Borel B(R) relativa a esta topologia.

Fun¸ co ˜es mensur´ aveis Defini¸ c˜ ao C.4 Seja (X, Σ) um espa¸co mensur´avel. Uma fun¸c˜ao f : (X, Σ) −→ R ´e mensur´ avel se f −1 (A) ∈ Σ para todo boreliano A ∈ B(R). O conjunto formado por tais fun¸co˜es ser´a denotado por M (X, Σ). Consideraremos ainda o subconjunto M + (X, Σ) := {f ∈ M (X, Σ) : f (x) ≥ 0 para todo x ∈ X}. No caso em que f (x) ∈ R para todo x ∈ X, f ´e mensur´avel se f −1 (A) ∈ Σ para todo boreliano A de R. Caso f assuma (pelo menos) um dos valores ∞ e −∞, temos: Proposi¸c˜ ao C.5 Uma fun¸c˜ ao f : (X, Σ) −→ R ´e mensur´avel se, e somente se, os conjuntos {x ∈ X : f (x) = −∞} e {x ∈ X : f (x) = ∞} pertencem a Σ e ´e mensur´avel a fun¸c˜ ao ½ f (x), se f (x) ∈ R f0 : (X, Σ) −→ R , f0 (x) = . 0, se f (x) = −∞ ou f (x) = ∞ Proposi¸c˜ ao C.6 Se f, g : (X, Σ) −→ R s˜ ao fun¸c˜ oes mensur´aveis e λ ∈ R, ent˜ao tamb´em s˜ao mensur´aveis as seguintes fun¸co˜es (desde que bem definidas): λf , f + g, f · g, |f |, max{f, g} e min{f, g}. c˜ oes Proposi¸c˜ ao C.7 Dada uma sequˆencia (fn )∞ n=1 em M (X, Σ), as seguintes fun¸ ∗ definidas em (X, Σ) s˜ao mensur´aveis: f (x) = inf fn (x), F (x) = sup fn (x), f (x) = n∈N

n∈N

lim inf fn (x) e F ∗ (x) = lim sup fn (x). Em particular, se lim fn (x) = f (x) para todo n

x ∈ X ent˜ao f ∈ M (X, Σ).

n→∞

n

266

Exemplo C.8 Dados um espa¸co mensur´avel (X, Σ) e A ⊆ X, a fun¸c˜ ao caracter´ıstica de A ´e definida por ½ 1, se x ∈ A χA : X −→ R , χA (x) = . 0, se x ∈ /A ´ claro que χA ´e mensur´avel se, e somente se, A ∈ Σ. Uma combina¸c˜ao linear de fun¸co˜es E caracter´ısticas mensur´aveis ´e chamada de fun¸c˜ ao simples mensur´ avel. Assim, uma fun¸c˜ao simples mensur´avel ´e uma fun¸ca˜o mensur´avel que assume apenas um n´ umero finito de valores. Toda fun¸ca˜o simples mensur´avel ϕ admite uma u ´nica representa¸c˜ao da forma n X ϕ= ai χAi , i=1

onde n ∈ N, a1 , . . . , an s˜ao n´ umeros reais n˜ao-nulos e distintos, e A1 , . . . , An s˜ao conjuntos mensur´aveis n˜ao-vazios e disjuntos dois a dois. Esta ´e a representa¸c˜ao canˆ onica da fun¸ca˜o simples mensur´avel ϕ.

Medidas Defini¸ c˜ ao C.9 Uma medida no espa¸co mensur´avel (X, Σ) ´e uma fun¸ca˜o µ : Σ −→ [0, ∞] que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (a) µ(∅) = 0. (b) Se (An )∞ e uma sequˆencia de conjuntos disjuntos dois a dois de Σ, ent˜ao n=1 ´ µ µ

∞ S

¶ An

∞ X = µ (An ) .

n=1

n=1

A medida µ ´e dita finita se µ(X) < ∞, e ´e dita σ-finita se existirem conjuntos (An )∞ n=1 ∞ S An e µ(An ) < ∞ para todo n. O terno (X, Σ, µ) ´e chamado de em Σ tais que X = espa¸co de medida.

n=1

Proposi¸c˜ ao C.10 Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Se A, B ∈ Σ. Ent˜ao: (a) Se A, B ∈ Σ e A ⊆ B, ent˜ao µ(A) ≤ µ(B). (b) Se A, B ∈ Σ, A ⊆ B e µ(A) < ∞, ent˜ao µ(B − A) = µ µ(B) − µ(A). ¶ ∞ S (c) Se An ∈ Σ para todo n ∈ N e A1 ⊆ A2 ⊆ · · · , ent˜ao µ An = lim µ(An ). n n=1 µ∞ ¶ T (d) Se An ∈ Σ para todo n ∈ N, A1 ⊇ A2 ⊇ · · · e µ(A1 ) < ∞, ent˜ao µ An = lim µ(An ). n

(e) Se An ∈ Σ para todo n ∈ N, ent˜ao µ

n=1

µ

∞ S n=1

267

¶ An

≤

∞ P n=1

µ(An ).

Teorema C.11 (Convergˆencia em medida) As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes para uma sequˆencia (fn )∞ de fun¸ c o ˜ es mensur´ a veis no espa¸ c o de medida (X, Σ, µ): n=1 ∞ (a) (fn )n=1 converge em medida, isto ´e, existe uma fun¸c˜ ao mensur´avel f ∈ M (X, Σ) tal que lim µ ({x ∈ X : |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) = 0 para todo ε > 0. n

(b) (fn )∞ e de Cauchy em medida, isto ´e, lim µ ({x ∈ X : |fn (x) − fm (x)| ≥ ε}) = 0 n=1 ´ n,m

para todo ε > 0. Defini¸ c˜ ao C.12 Sejam (X, Σ, µ) um espa¸co de medida, f, g, fn : X −→ R, n ∈ N. Diz-se que: (a) f ´e igual a g µ-quase sempre se existe A ∈ Σ tal que µ(A) = 0 e f (x) = g(x) para todo x ∈ Ac . Neste caso escreve-se f = g µ-quase sempre ou f = g µ-q.s. (b) (fn )∞ n=1 converge para f µ-quase sempre se existe A ∈ Σ tal que µ(A) = 0 e fn (x) −→ f (x) para todo x ∈ Ac . Neste caso escreve-se fn −→ f µ-quase sempre ou fn −→ f µ-q.s. ou f = lim fn µ-q.s. n

Proposi¸c˜ ao C.13 Se a sequˆencia (fn )∞ c˜ oes mensur´aveis no espa¸co de medida n=1 de fun¸ (X, Σ, µ) converge em medida para a fun¸c˜ ao mensur´avel f ∈ M (X, Σ), ent˜ao existe uma subsequˆencia (fnj )∞ j=1 que converge µ-quase sempre para f .

Integra¸c˜ ao Defini¸ c˜ ao C.14 Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. (a) A integral da fun¸c˜ao simples ϕ ∈ M + (X, Σ), cuja representa¸c˜ao canˆonica ´e m P aj χAj , em rela¸c˜ao `a medida µ ´e definida por ϕ= j=1

Z

m X ϕ dµ = aj µ(Aj ). X

j=1

(b) A integral da fun¸c˜ao f ∈ M + (X, Σ) em rela¸c˜ao `a medida µ ´e definida por ½Z ¾ Z + f dµ = sup ϕ dµ : ϕ ∈ M (X, Σ) ´e simples e 0 ≤ ϕ ≤ f . X

X

(c) Para f ∈ M + (X, Σ) e A ∈ Σ, define-se Z Z f dµ = f χA dµ. A

X

Proposi¸c˜ ao C.15 Sejam f, g R∈ M + (X, Σ) e A, B ∈ Σ. R (a) Se f ≤ g, ent˜ ao X R f dµ ≤ RX g dµ. (b) RSe A ⊆ B, ent˜ ao A f dµ ≤ B f dµ. (c) X f dµ = 0 se, e somente se, f = 0 µ-q.s. 268

encia em Teorema C.16 (Teorema da Convergˆencia Mon´otona) Seja (fn )∞ n=1 uma sequˆ M + (X, Σ) tal que 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ · · · para todo x ∈ X. Z Z (a) Se fn (x) −→ f (x) para todo x ∈ X, ent˜ao f ∈ M + (X, Σ) e f dµ = lim n→∞ Z ZX (b) Se fn −→ f µ-q.s. e f ∈ M + (X, Σ), ent˜ao f dµ = lim fn dµ. n→∞

X

fn dµ. X

X

(fn )∞ n=1

Teorema C.17 (Lema de Fatou) Se ´e uma sequˆencia em M + (X, Σ), ent˜ ao Z Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ. X

n→∞

n→∞

X

Teorema C.0.31 (Teorema de Radon–Nikod´ ym) Sejam (X, Σ, µ) e (X, Σ, λ) medidas σ-finitas tais que λ(A) = 0 sempre que A ∈ Σ e µ(A) = 0. Ent˜ao existe f ∈ M + (X, Σ) tal que Z λ(A) =

f dµ para todo A ∈ Σ. A

Defini¸ c˜ ao C.18 (a) Dada uma fun¸ca˜o f : X −→ R, as fun¸c˜oes f + , f − : X −→ [0, ∞) s˜ao definidas por f + (x) = max{f (x), 0} e f − (x) = − min{f (x), 0}. ´ f´acil ver que f ´e mensur´avel se, e somente se, f + e f − s˜ao mensur´aveis. E (b) Seja (X, Σ, µ) um espa¸coR de medida. Uma c˜ao f ∈ M (X, Σ) ´e dita LebesgueR fun¸ + − integr´ avel (ou integr´ avel) se X f dµ < ∞ e X f dµ < ∞. Neste caso definimos Z Z Z + f dµ = f dµ − f − dµ. X

X

X

Proposi¸c˜ ao C.19 (a) Uma fun¸c˜ ao mensur´avel f : X −→ R ´e integr´ avel se, e somente se, |f | ´e integr´ avel. Neste caso tem-se ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f dµ¯ ≤ |f | dµ. ¯ ¯ X

X

(b) Sejam f, g : X −→ R integr´ aveis e a ∈ R. Ent˜ao af e f + g s˜ao integr´ aveis e Z Z Z Z Z af dµ = a f dµ e (f + g) dµ = f dµ + g dµ. X

X

X

X

X

Defini¸ c˜ ao C.20 Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida. Uma fun¸c˜ao f : X −→ C ´e Lebesgue-integr´ avel (ou integr´ avel) se as fun¸c˜oes f1 , f2 : X −→ R definidas por f1 (x) = Re(f (x)) e f2 (x) = Im(f (x)), s˜ao integr´aveis. Neste caso definimos Z Z Z f dµ = f1 dµ + i f2 dµ. X

X

X

O conjunto de todas as fun¸co˜es integr´aveis f : X −→ K ´e denotado por LK (X, Σ, µ). 269

encia de Teorema C.21 (Teorema da Convergˆencia Dominada) Seja (fn )∞ n=1 uma sequˆ fun¸c˜ oes em LK (X, Σ, µ) que converge µ-quase sempre para uma fun¸c˜ ao f : X −→ K. Se existe g ∈ LK (X, Σ, µ) tal que |fn | ≤ |g| para todo n, ent˜ao f ∈ LK (X, Σ, µ) e Z Z f dµ = lim fn dµ. X

n→∞

X

Caso geral do Teorema da representa¸c˜ ao de Riesz No Teorema 4.1.2 enunciamos o Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz na forma geral e demonstramos apenas o caso em que a medida µ ´e σ-finita. Apresentamos a seguir a demonstra¸c˜ao que falta para completar o que foi enunciado, ou seja, a demonstra¸c˜ao do caso em que p > 1 e µ ´e uma medida arbitr´aria. Demonstra¸ c˜ ao. (Teorema da Representa¸ca˜o de Riesz – Teorema 4.1.2 – no caso p > 1 e (X, Σ, µ) um espa¸co de medida arbitr´ario) O procedimento ´e praticamente uma repeti¸ca˜o do que foi feito na demonstra¸ca˜o do Teorema 4.1.2. Seja ϕ ∈ Lp (X, Σ, µ)0 . Para cada conjunto σ-finito A, definindo ΣA , µA e ϕA nos moldes do que foi feito na demonstra¸ca˜o do Teorema 4.1.2, pelo caso j´a demonstrado existe uma fun¸c˜ao gA ∈ ´nica a menos de R Lp∗ (A, ΣA , µA ), que ´e u conjuntos de medida nula, tal que ϕA (fA ) = A fA gA dµA para toda fA ∈ Lp (A, ΣA , µA ) ´ f´acil verificar que se B ´e um conjunto σ-finito e kgA kLp∗ (A,ΣA ,µA ) ≤ kϕkLp (X,Σ,µ)0 . E que cont´em A, ent˜ao gB = gA µ-quase sempre em A, e portanto kgA kLp∗ (A,ΣA ,µA ) ≤ kgB kLp∗ (B,ΣB ,µB ) . Chame K = sup{kgA kLp∗ (A,ΣA ,µA ) : A ´e σ−finito}. Podemos ent˜ao tomar uma sequˆencia (An )∞ n=1 de conjuntos σ-finitos tal que kgAn kLp∗ (An ,ΣAn ,µAn ) −→ K. ∞ S An resulta que C ´e σ-finito e kgAn kLp∗ (An ,ΣAn ,µAn ) ≤ kgC kLp∗ (C,ΣC ,µC ) Definindo C = n=1

para todo n. Segue imediatamente que kgC kLp∗ (C,ΣC ,µC ) = K. Para todo conjunto σfinito A contendo C, como p∗ < ∞, gA = gC e µA = µA−C em A − C e gA = gA−C e µA = µA−C em A − C, temos Z Z Z Z ∗ p∗ p∗ p∗ p∗ |gC | dµC + |gA−C | dµA−C = |gA | dµA ≤ K = |gC |p dµC , C

A−C

R

A

∗

C

e portanto A−C |gA−C |p dµA−C = 0. Existe ent˜ao um conjunto NA ⊆ (A − C) tal que µ(NA ) = µA−C (NA ) = 0 e gA = gA−C = 0 em A − (C ∪ NA ). Chamemos ainda de gC a extens˜ao ´obvia de gC a X (isto ´e, gC (x) = 0 para x ∈ / C) e vejamos que ϕ = ϕgC . Para isso seja f ∈ Lp (X, Σ, µ). Ent˜ao A := {x ∈ X : f (x) 6= 0} ∪ C ´e um conjunto σ-finito contendo C e podemos considerar seu conjunto NA correspondente. Como f = 0 em X − A, temos ϕ(f X(X−C)∩(X−A) ) = 0. E como µ(NA ) = 0, temos f XNA + f X(X−C)∩(X−A) = f X(X−C)∩(X−A) em Lp (X, Σ, µ), portanto ϕ(f XNA + f X(X−C)∩(X−A) ) = 0. De (X − C) ∩ A = NA ∪ [(X − C) ∩ (A − NA )], sendo

270

que esta u ´ltima uni˜ao ´e disjunta, segue que ϕ(f ) = ϕ(f XC + f XX−C ) = ϕ(f XC ) + ϕ(f XX−C ) = ϕ(f XC ) + ϕ(f X(X−C)∩A + f X(X−C)∩(X−A) ) = ϕ(f XC ) + ϕ(f X(X−C)∩A ) + ϕ(f X(X−C)∩(X−A) ) = ϕ(f XC ) + ϕ(f XNA ) + ϕ(f X(X−C)∩(A−NA ) ) + ϕ(f X(X−C)∩(X−A) ) = ϕ(f XC ) + ϕ(f X(X−C)∩(A−NA ) ). Mas (X − C) ∩ (A − NA ) = A − (C ∪ NA ), logo ϕ(f ) = ϕ(f XC ) + ϕ(f XA−(C∪NA ) ). Como A − (C ∪ NA ) ⊆ A, temos gA−(C∪NA ) = gA = 0 em A − (C ∪ NA ). Por fim, ϕ(f ) = ϕC (f |C ) + ϕA−(C∪NA ) (f |A−(C∪NA ) ) Z Z = f |C gC dµC + f |A−(C∪NA ) gA−(C∪NA ) dµA−(C∪NA ) C A−(C∪NA ) Z Z Z = f |C gC dµC = f gC dµ = f gC dµ, C

C

X

provando que ϕ = ϕgC .

271

Apˆ endice D Respostas/dicas para exerc´ıcios selecionados Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1 • Exerc´ °ıcio 1.8.3. ° Escolha uma base {v1 , . . . , vn } para um espa¸co E de dimens˜ao n e °P ° n P ° n ° defina ° aj vj ° = |aj |. Mostre que k · k1 ´e uma norma e que qualquer outra norma °j=1 ° j=1 1 em E ´e equivalente a k · k1 . A compacidade da bola unit´aria pode ser u ´til. • Exerc´ £ıcio ¤1.8.4. Considere as fun¸co˜es fn ∈ C[0, 1], n ∈ N, dadas por fn (x) = 1 − nx se x ∈ 0, n1 e fn (x) = 0 caso contr´ario. • Exerc´ıcio 1.8.6: Se f ∈ C α2 [a, b], ent˜ao ´e claro que f ∈ C α [a, b] para todo α ≤ α2 . Para a segunda parte basta considerar a fun¸ca˜o f1 (x) = |x − a|α1 ∈ C α1 [a, b] − C α2 [a, b]. Similarmente, a fun¸ca˜o f2 (x) = |x − a|α2 ∈ C α2 [a, b] − C 1 [a, b]. Fixado α1 , a fun¸c˜ao g(x) = |x − a|α1 /2 ∈ C[a, b] − C α1 [a, b]. • Exerc´ıcio 1.8.16. Note que um dos lados ´e claro: se essa propriedade vale, ent˜ao C ´e convexo. Para demonstrar a outra implica¸c˜ao, note que se λ3 6= 1, temos ¶ µ 3 X λ2 λ1 x1 + x2 + λ 3 x3 . λi xi = (λ1 + λ2 ) λ1 + λ2 λ1 + λ2 i=1 Proceda por indu¸c˜ao. • Exerc´ıcio 1.8.22. Mostre primeiramente que |f |r ≤ 1 + |f |p . Para isso, observe que se |f (x)| ≥ 1, ent˜ao |f (x)|r ≤ |f (x)|p ≤ 1 + |f (x)|p . E se |f (x)| < 1, ent˜ao |f (x)|r ≤ 1 ≤ 1 + |f (x)|p . Aplique a desigualdade de H¨older. • Exerc´ıcio 1.8.23. Use (1.9) para mostrar que f ∈ Lp (X, Σ, µ) para todo p ≥ 1 e que lim kf kp ≤ kf k∞ . Para a desigualdade inversa, dado ε > 0, integre |f |p sobre o p→∞

conjunto {x ∈ X : |f (x)| ≥ kf k∞ − ε}, fa¸ca primeiro o limite quando p −→ ∞ e depois o limite quando ε −→ 0. 272

• Exerc´ıcio 1.8.32. Falso: o conjunto K = {en : n ∈ N} ´e fechado em c0 , mas [K] = c00 n˜ao ´e fechado em c0 . • Exerc´ıcio 1.8.33. Use o Lema de Riesz para construir uma sequˆencia (yn )∞ n=1 de vetores 1 unit´arios em E tais que kyn − xk ≥ 1 − n para todo x ∈ M . Extraia uma subsequˆencia (ynk )∞ ca k −→ ∞ na desigualdade acima. k=1 convergente e fa¸ • Exerc´ıcio 1.8.34. Suponha que exista g ∈ E R 1com kgk = R11 tal que kg − f k ≥ 1 para toda f ∈ F. Dada h ∈ E − F, tome λ tal que 0 g(t)dt = λ 0 h(t)dt. Ent˜ao g − λh ∈ F 1 e 1 ≤ kg − (g − λh)k = |λ| · khk. Para cada n tome hn (t) = t n . Ent˜ao hn ∈ E − F, ¯ ¯ R1 ¯ ¯R 1 khn k = 1 e 0 hn (t)dt −→ 1. Conclua que ¯ 0 g(t)dt¯ ≥ 1 e use a continuidade de g em zero para chegar a uma contradi¸ca˜o. • Exerc´ıcio 1.8.37. Considere o conjunto n˜ao-enumer´avel {χA : A ⊆ [a, b] ´e Lebesgue − mensur´avel}. Observe que as bolas abertas B(χA , 21 ) s˜ao disjuntas duas a duas. • Exerc´ıcio 1.8.39. Chame de Mq (g) o supremo do enunciado. Sejam (An )∞ n=1 uma ∞ S An , (ϕn )∞ sequˆencia mon´otona crescente de conjuntos mensur´aveis tais que X = n=1 n=1

uma sequˆencia de fun¸co˜es simples mensur´aveis tais que ϕn (x) −→ f (x) para todo x ∈ X e |ϕn | ≤ |g| para todo n, e defina gn = ϕn χAn . Ent˜ao gn (x) −→ g(x) para todo x ∈ X, g(x) z , onde |z| = 0 se |gn | ≤ |g| e gn ∈ S para todo n. Defina fn = kgn k1−q · |gn |q−1 · |g(x)| q z = 0. Ent˜ao kfn kp = 1 e, do Lema de Fatou, Z Z kgkq ≤ lim inf kgn kq = lim inf |fn gn |dµ ≤ lim inf fn gdµ ≤ Mq (g). n

n

n

X

X

No caso em que q = ∞, para cada ε > 0 considere o conjunto A = {x ∈ X : |g(x)| ≥ M∞ (g) + ε}. Se µ(A) > 0, ent˜ao escolha B ⊆ A com 0 < µ(B) < ∞. Definindo R g(x) 1 f = µ(B) · |g(x)| χB , temos kf k1 = 1 e X f g ≥ M∞ (g) + ε. Esta contradi¸ca˜o prova que µ(A) = 0, e portanto kgk∞ ≤ M∞ (g). A desigualdade inversa segue da Desigualdade de H¨older.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 • Exerc´ıcio 2.7.4. Seja z = reiθ ∈ C arbitr´ario (com r > 0). Como sup{|ϕ(x)| : x ∈ E e kxk ≤ 1} = ∞, ¯ ³ ´¯ ¯ ¯ rx0 existe x0 ∈ E, kx0 k ≤ 1, tal que |ϕ(x0 )| ≥ r. Como ϕ(x0 ) 6= 0, temos ¯ϕ |ϕ(x ¯ = r. 0 )| ³ ´ rx0 Da´ı ϕ |ϕ(x = reiα para algum 0 ≤ α < 2π. Portanto 0 )| µ ϕ

rx0 ei(θ−α) |ϕ(x0 )|

¶ = ei(θ−α) · reiα = reiθ = z. 273

° ° ° 0 ei(θ−α) ° Como ° rx|ϕ(x ° ≤ 1, segue que {|ϕ(x)| : x ∈ E e kxk ≤ 1} = C. 0 )| • Exerc´ıcio 2.7.7. (c) Fun¸co˜es cont´ınuas n˜ao necessariamente levam sequˆencias de Cauchy em sequˆencias de Cauchy, enquanto que operadores lineares cont´ınuos s˜ao uniformemente cont´ınuos, e portanto levam sequˆencias de Cauchy em sequˆencias de Cauchy. • Exerc´ıcio 2.7.13. Dado ϕ ∈ X 0 , existem n´ umeros reais a, b tais que ϕ(x, y) = ax + by para todos x, y ∈ R. Por defini¸c˜ao, kϕkX 0 = max{ax + by : (x4 + y 4 )1/4 = 1}. Defina g(x, y) = x4 + y 4 e f (x, y) = ax + by. Aplicando o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange no ponto de m´aximo (xm , ym ) da fun¸ca˜o f sob o v´ınculo g, tem-se 3 (a, b) = ∇f = λ∇g(xm , ym ) = λ(x3m , ym ). 3 Assim, λx3m = a, λym =be 4 kϕkX 0 = axm + bym = λx4m + λym = λ.

Por outro lado, 4 λ4/3 x4m + λ4/3 ym = |a|4/3 + |b|4/3 . 4 e, como x4m + ym = 1, segue que kϕkX 0 = λ = (|a|4/3 + |b|4/3 )3/4 .

• Exerc´ıcio 2.7.14(f). Use o item (c). • Exerc´ıcio 2.7.15. Use o item (f) do Exerc´ıcio 2.7.14 e o Teorema da Aplica¸ca˜o Aberta. ¢ ¡ • Exerc´ıcio 2.7.18. T : `∞ −→ `∞ dada por T (x) = x21 , x2 , x3 , . . . . • Exerc´ıcio 2.7.20. Para dar um em que n˜a¢o ´e fechado, considere os operadores ¡ exemplo a2 an ∞ un ∈ L(c0 , c0 ), un ((aj )j=1 ) = a1 , 2 , . . . , n , 0, 0, . . . . • Exerc´ıcio 2.7.21. Seja y ∈ / ker(T ). Vamos mostrar que E = [ker(T ) ∪ {y}]. Se z ∈ E, considere os seguintes casos: (i) T (z) = 0. Nesse caso ´e claro que z ∈ [ker(T ) ∪ {y}]. (ii) T (z) 6= 0. Nesse caso existe λ 6= 0 tal que T (z) = λT (y) e da´ı segue que z − λy ∈ ker(T ). Logo z = (z − λy) + λy ∈ [ker(T ) ∪ {y}]. Ã !∞ n ¡ ¢ P • Exerc´ıcio 2.7.24. (b) Defina T : bs −→ `∞ por T (xj )∞ xj e verifique j=1 = j=1

que ´e linear, bijetiva e preserva a norma. • Exerc´ıcio 2.7.26. Para cada n, defina ϕn ∈ (`p )0 por ϕn (x) = cada ϕn ´e linear e cont´ınua. Note que lim ϕn (x) = lim n→∞

274

n P

n P

n=1

´ f´acil ver que xj y j . E

j=1

xj yj , e esse limite existe

n→∞ j=1

(por hip´otese). Logo, pelo Corol´ario 2.3.3, segue que a fun¸ca˜o (linear) ϕ(x) = lim

n→∞

n ∞ X X xj y j = xj yj j=1

j=1

pertence a L(`p , K). Pela caracteriza¸ca˜o do dual de `p segue que y = (yj )∞ j=1 ∈ `p∗ . • Exerc´ıcio 2.7.27. Proceda por contradi¸c˜ao e use o Teorema de Banach–Steinhaus para garantir que sup{kT k, kT1 k, kT2 k, . . .} < ∞. • Exerc´ıcio 2.7.31. Teorema do Gr´afico Fechado. • Exerc´ıcio 2.7.32. Aplique o Teorema do Gr´afico Fechado da seguinte forma: seja xn −→ x ∈ E tal que T (xn ) −→ ϕ ∈ E 0 . Seja y ∈ E. Fazendo n −→ ∞ em (T (xn ) − T (y))(xn − y) = T (xn − y)(xn − y) ≥ 0, segue que (ϕ − T (y))(x − y) ≥ 0. Fazendo z = y − x, obt´em-se (ϕ − T (x + z))(z) ≥ 0 para todo z ∈ E. Segue que (ϕ − T (x))(z) = ϕ(z) − T (x)(z) ≥ T (z)(z) ≥ 0 para todo z ∈ E. Isso implica que ϕ = T (x). • Exerc´ıcio 2.7.36. Defina u : E 0 −→ `1 por u(ϕ) = (ϕ(xj ))∞ otese u est´a bem j=1 . Da hip´ definido, e neste caso ´e linear. Vamos mostrar que u tem o gr´afico fechado. Suponha que ∞ ϕn −→ ϕ em E 0 e que u(ϕn ) −→ y = (yj )∞ j=1 ∈ `1 . Como u(ϕn ) = (ϕn (xj ))j=1 , segue que ϕn (xj ) −→ yj para todo j. Por outro lado, como ϕn −→ ϕ, temos ϕn (xj ) −→ ϕ(xj ) para todo j. Segue que ϕ(xj ) = yj para todo j. Assim, temos ∞ y = (yj )∞ j=1 = (ϕ(xj ))j=1 = u(ϕ).

Portanto u tem gr´afico fechado e segue que u ´e cont´ınuo. A continuidade de u fornece imediatamente o resultado desejado.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3 • Exerc´ıcio 3.6.4. E = `1 , G = {(0, a1 , a2 , . . .) : aj ∈ K para j ≥ 1} e ϕ : G −→ K dado por ϕ(x) = x2 . • Exerc´ıcio 3.6.7. Prove que F ´e isomorfo isometricamente a um subespa¸co fechado de L(E, F ) por meio do operador y ∈ F 7→ ϕ ⊗ y ∈ L(E, F ), onde ϕ ∈ E 0 ´e um funcional de norma 1 cuja existˆencia ´e garantida pelo Exerc´ıcio 3.6.1. encia densa em E. Pelo Corol´ario 3.1.4, • Exerc´ıcio 3.6.11. Seja (xn )∞ n=1 uma sequˆ 0 para cada n existe ϕn ∈ E tal que kϕn k = 1 e ϕn (xn ) = kxn k. Dado x ∈ E, pelo Corol´ario 3.1.5, kxk = sup |ϕ(x)| ≥ sup |ϕn (x)|. Por outro lado, a densidade garante ϕ∈BE 0

n

que x = xj para algum j ou ent˜ao existe uma subsequˆencia xnk −→ x. No primeiro caso, kxk = kxj k = ϕj (xj ) = |ϕj (xj )| ≤ sup |ϕn (xj )| = sup |ϕn (x)|. No segundo caso, n

n

x − xnk −→ 0, e portanto ϕnk (x − xnk ) −→ 0, e ϕnk (xnk ) = kxnk k −→ kxk. Ent˜ao, 275

ϕnk (x) = ϕnk (x−xnk )+ϕnk (xnk ) −→ kxk. Segue que |ϕnk (x)| −→ kxk, o que combinado com a desigualdade kxk ≥ sup |ϕn (x)| fornece a igualdade. n

• Exerc´ıcio 3.6.12. A cada ϕ ∈ F 0 associe uma extens˜ao de Hahn–Banach de ϕ a E. • Exerc´ıcio 3.6.13. Use os teoremas de Banach–Steinhaus e de Hahn–Banach. • Exerc´ıcio 3.6.14. (b) Defina T : E 0 /M ⊥ −→ M 0 por T ([ϕ])(x) = ϕ(x) para todos ϕ ∈ E 0 e x ∈ M . Prove que T est´a bem definido, ´e linear, isometria e sobrejetor. Use o Corol´ario 3.1.3. (c) Defina T : (E/M )0 −→ M ⊥ por T (ϕ)(x) = ϕ([x]) para todos ϕ ∈ (E/M )0 e x ∈ E. Verifique que T est´a bem definido, ´e linear, isometria e sobrejetor. Para a isometria use o Exerc´ıcio 2.7.14(c). • Exerc´ıcio 3.6.15. Use a Proposi¸ca˜o 3.3.1. • Exerc´ıcio 3.6.16. Combine os Exerc´ıcios 1.8.38 e 3.6.14(b). • Exerc´ıcio 3.6.17. Para a convexidade prove que o conjunto em quest˜ao coincide com {ϕ ∈ E 0 : kϕk ≤ kx0 k e ϕ(x0 ) = kx0 k2 } . • Exerc´ıcio 3.6.18. Adapte a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.2.7. • Exerc´ıcio 3.6.19. Use o Teorema do Isomorfismo (Exerc´ıcio 2.7.15). • Exerc´ıcio 3.6.23. (b) Defina Tn ((aj )∞ j=1 ) =

a1 +···+an , n

p(x) = lim sup Tn (x) e aplique Hahn–Banach.

G = {x ∈ `∞ : existe lim Tn (x)}, n

n

• Exerc´ıcio 3.6.24. Seja K > 0 tal que kyk ≤ K para todo y ∈ C. Dado x ∈ E, tome , ent˜ao k xa k > L – absurdo. Logo kxk ≤ LpC (x). a > 0 tal que xa ∈ C. Se a < kxk L • Exerc´ıcio 3.6.25. Chame C = B(0, 1). Se a > 0 ´e tal que xa ∈ C ent˜ao kxk ≤ a; logo pc (x) x k · k ≤ pc . Para todo ε > 0, kxk+ε = pC ( kxk+ε ) < 1, logo pC (x) < kxk + ε. Fazendo ε −→ 0 segue que pC ≤ k · k. • Exerc´ıcio 3.6.26. O conjunto G := B(0, δ)+B ´e aberto, convexo e disjunto de A. Pelo Teorema 3.4.8 existe ϕ ∈ E 0 tal que ϕ(x) < ϕ(y) para todos x ∈ A e y ∈ G. Dividindo por kϕk se necess´ario, podemos supor kϕk = 1. Chame α = inf ϕ(A) e β = sup ϕ(B). Ent˜ao α − β ≤ ϕ(x) − ϕ(y) ≤ kx − yk para todos x ∈ A e y ∈ B, e portanto α − β ≤ δ. Se z ∈ B(0, δ), ent˜ao ϕ(y + z) ≤ α para todo y ∈ B, portanto β ≤ α − ϕ(z) ou ainda ϕ(z) ≤ α − β. Como sup ϕ(B(0, δ)) = δ segue que δ ≤ α − β. • Exerc´ıcio 3.6.27. Use a parte da demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.2 que ensina como estender um funcional que ´e real-linear para um funcional que ´e complexo-linear. • Exerc´ıcio 3.6.28. Seja F um subconjunto fechado e convexo do espa¸co normado real ´ claro que F est´a contido na interse¸ca˜o de todos os semi-espa¸cos fechados que o E. E cont´em. Para a outra inclus˜ao, seja x ∈ / F . Por F c ser aberto, existe δ > 0 tal que a bola aberta BE (x; δ) est´a contida em F c , isto ´e, F ∩ BE (x; δ) = ∅. Pelo Teorema 3.4.8 existem ϕ ∈ E 0 e a ∈ R tais que ϕ(y) < a ≤ ϕ(z) para todos y ∈ BE (x; δ) e z ∈ F . 276

Em particular, ϕ(x) < a, e portanto x n˜ao pertence ao semi-espa¸co fechado ϕ−1 ([a, ∞)) que cont´em F . • Exerc´ıcio 3.6.31. Prove que, para cada ϕ ∈ E 0 , ϕ(xi ) = 0 para todo i ∈ I se, e somente se, ϕ(y) = 0 para todo y ∈ [xi : i ∈ I]. Em seguida aplique o Corol´ario 3.4.11. n P • Exerc´ıcio 3.6.32. Chame K := ci Ki e prove que K ´e fechado e convexo. Como i=1

{x} ´e fechado e compacto e K ∩ {x} = ∅, pela Segunda Forma Geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach podemos tomar c ∈ R e Φ ∈ E 0 tais que Φ(y) < c < Φ(x) para todo ´ claro que 0 ∈ K, logo c > 0. Verifique que ϕ := Φ satisfaz as condi¸co˜es y ∈ K. E c desejadas.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 0 ∞ • Exerc´ıcio 4.5.2. Dada ϕ = (bj )∞ j=1 ∈ `p0 = (`p ) , tome x = (aj )j=1 onde aj = 0 se 0

bj = 0 e aj =

0

· |bj |p kϕk1−p p0 bj

caso contr´ario.

n ¡ ¢ P • Exerc´ıcio 4.5.3. Para cada n, defina ϕn : `p −→ K por ϕn (bj )∞ aj bj , e prove j=1 =

que ϕn ∈ (`p )0 e que kϕn k = max |aj | se p = 1 e kϕn kp = 1≤j≤n

n P

j=1

|aj |p se p > 1. Use a

j=1

hip´otese da convergˆencia para mostrar que a fam´ılia (ϕn )∞ e pontualmente limitada n=1 ´ e o Teorema de Banach–Steinhaus para garantir que ´e uniformemente limitada. ∞ • Exerc´ıcio 4.5.4. (aj )∞ j=1 ∈ c0 7→ (a1 + aj+1 )j=1 ∈ c.

• Exerc´ıcio 4.5.5. Restrinja ϕ a c0 e aplique a Proposi¸ca˜o 4.2.3. • Exerc´ıcio 4.5.6. Combine o Exerc´ıcio 3.6.16 com o fato de `∞ = (`1 )0 n˜ao ser separ´avel. • Exerc´ıcio 4.5.7. Para a primeira parte, o mesmo argumento que funciona para `p funciona nesse caso. Na verdade, `p ´e o caso particular em que En = K para todo n. Para a segunda parte, use o operador ϕ∈

µ³X

´ ¶0 En

p

7→

(ϕn )∞ n=1

onde ϕn ∈

En0

para todo n e

ϕ((xn )∞ n=1 )

=

∞ X

ϕn (xn ).

n=1

• Exerc´ıcio 4.5.8. Fa¸ca En = E para todo n no Exerc´ıcio 4.5.7. • Exerc´ıcio 4.5.9. Considere o subespa¸co Pn ⊆ L1 [0, 1] dos polinˆomios de grau menor ou igual a n. O funcional ϕ(p) := p(0) + p0 (0) − 3p00 (1) ´e linear e cont´ınuo, pois Pn tem dimens˜ao finita. O Teorema de Hahn–Banach garante a existˆencia de uma extens˜ao de ϕ a L[ 0, 1], preservando sua norma. Como funcionais lineares em L1 [0, 1] s˜ao representados por fun¸co˜es de L∞ [0, 1], a primeira parte do exerc´ıcios est´a conclu´ıda.

277

Para a segunda parte, basta usar a primeira parte com as fun¸co˜es pn (t) = para obter Z 1 3n 1 ≤ |ϕ(pn )| = |gn (t)|dt. n+1 n+1 0

tn n+1

∈ L[ 0, 1],

• Exerc´ıcio 4.5.10. Primeiro se conven¸ca de que L ∪ S ⊆ L1 [0, 1]. Verfique que: (i) L ´e convexo e, pelo Teorema de Ascoli, compacto em L1 [0, 1]; (ii) S ´e convexo e fechado em L1 [0, 1]; (iii) L ∩ S = ∅. Para (iii) use que 0 6∈ L e que 100

|g(t) − g(0)| X 1/i−1 = λi t −→ +∞, |t| i=2 a menos que todos os λi sejam nulos. O resultado segue agora pela segunda forma geom´etrica do Teorema de Hanh–Banach. b F ) 7→ T |E ∈ L(E, F ) e Exerc´ıcio 2.7.5. • Exerc´ıcio 4.5.13. T ∈ L(E, • Exerc´ıcio 4.5.14. (b) Pelo item (a) basta mostrar que (M ⊥ )⊥ ⊆ JE (M ). Dado f ∈ (M ⊥ )⊥ , temos f ∈ E 00 e f (ϕ) = 0 para todo ϕ ∈ E 0 tal que ϕ|M = 0. Como E ´e reflexivo, existe x ∈ E tal que JE (x) = f . Assim, ϕ(x) = JE (x)(ϕ) = f (ϕ) = 0 para todo ϕ ∈ E 0 tal que ϕ|M = 0. Segue do Corol´ario 3.4.10 que x ∈ M , logo f = JE (x) ∈ JE (M ). • Exerc´ıcio 4.5.20. Use o Exerc´ıcio 4.5.19. • Exerc´ıcio 4.5.21. Use o Exerc´ıcio 4.5.18. ´ f´acil ver que T 0 ´e proje¸ca˜o se T for proje¸ca˜o. Para a outra • Exerc´ıcio 4.5.22. E implica¸c˜ao, use a implica¸ca˜o anterior e o Exerc´ıcio 4.5.19. T • Exerc´ıcio 4.5.23. (a) ⊥ B = {ker(ϕ) : ϕ ∈ B}. • Exerc´ıcio 4.5.24. (a) (JE )0 ◦ JE 0 (ϕ)(x) = (JE )0 (JE 0 (ϕ)) (x) = JE 0 (ϕ) (JE (x)) = JE (x)(ϕ) = ϕ(x). (b) Use o item (a). (c) A proje¸c˜ao procurada ´e o operador JE 0 ◦ (JE )0 : (JE 0 ◦ (JE )0 )2 = JE 0 ◦ (JE )0 ◦ JE 0 ◦ (JE )0 = JE 0 ◦ idE 0 ◦ (JE )0 = JE 0 ◦ (JE )0 . E de (b) segue que JE 0 ◦ (JE )0 (E 000 ) = JE 0 ((JE )0 (E 000 )) = JE 0 (E 0 ) = E 0 . • Exerc´ıcio 4.5.25. (a) Use o Exerc´ıcio 4.5.13. (b) Use o Exerc´ıcio 4.5.24. • Exerc´ıcio 4.5.26. Sejam E reflexivo e T : E −→ F um isomorfismo. Dado Φ ∈ F 00 , use a Proposi¸ca˜o 4.3.11 duas vezes para assegurar que (T 00 )−1 (Φ) ∈ E 00 . Logo existe x ∈ E tal que JE (x) = (T 00 )−1 (Φ), ou seja, T 00 (JE (x)) = Φ. Basta verificar que JF (T (x)) = T 00 (JE (x)). • Exerc´ıcio 4.5.27. Use o Corol´ario 3.1.5.

278

• Exerc´ıcio 4.5.28. Considere o funcional ϕ ∈ E 0 dado por ϕ(f ) = o Exerc´ıcio 4.5.27.

R1 0

f (t) dt e aplique

• Exerc´ıcio 4.5.29. (a) Considere a norma k · k1 em E × F , a norma k · k∞ em E 0 × F 0 e prove que TE,F (ϕ, ψ)(x, y) = ϕ(x) + ϕ(y) ´e um isomorfismo. (b) JE×F = [(TE,F )0 ]−1 ◦ TE 0 ,F 0 ◦ (JE × JF ). ⊥

• Exerc´ıcio 4.5.30. (c) Exerc´ıcio 4.5.14 e JM = (TM )0 ◦ [T M ]−1 ◦ JE |M . • Exerc´ıcio 4.5.31. (b) Fixe x ∈ E de norma 1 e considere o operador y ∈ F 7→ T (y) ∈ ´ f´acil ver que kT (y)k ≤ kyk. Para provar a (L(E, F 0 )0 dado por T (y)(u) = u(x)(y). E igualdade use o Corol´ario 3.1.4 para considerar funcionais ϕ ∈ E 0 e ψ ∈ F 0 tais que ϕ(x) = kψk = 1 e ψ(y) = kyk. • Exerc´ıcio 4.5.32. Use os Exerc´ıcios 4.5.26, 4.5.30(c) e 4.5.31.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 • Exerc´ıcio 5.7.2. (b) Tome y = ix. • Exerc´ıcio 5.7.3. Use a Lei do Paralelogramo. • Exerc´ıcio 5.7.8. Desenvolva hT (x + λy), T (x + λy)i de duas formas e depois tome λ = 1 no caso real e λ = i no caso complexo. • Exerc´ıcio 5.7.9. (a) Dados x, y ∈ E, desenvolva hT (ax + by), ax + byi e aplique para os casos a = 1, b = i, e a = i , b = 1. (b) Considere a rota¸c˜ao por um ˆangulo de 90 graus em R2 . • Exerc´ıcio 5.7.10. No caso real defina hx, yiR = complexo hx, yiC = hx, yiR + ihx, iyiR .

1 4

(kx + yk2 − kx − yk2 ) e no caso

• Exerc´ıcio 5.7.11. Lei do Paralelogramo. • Exerc´ıcio 5.7.14. (a) Basta retrabalhar a demonstra¸ca˜o do Teorema 5.2.2. Veja que todas as passagens continuam v´alidas com essas novas hip´oteses. (b) Tome x = 0 no item (a). • Exerc´ıcio 5.7.15. Teorema do Gr´afico Fechado. n n P P • Exerc´ıcio 5.7.19. Sejam Sn = hx, yi iyi e Rn = hx, zi izi . Sabe-se que Sn converge i=1

i=1

para um certo s ∈ E e que Rn converge para um certo t ∈ E. Deve-se mostrar que s = t. Dado ε > 0, existem n´ umeros naturais m0 e n0 tais que ∞ X i=m+1 ∞ X

|hx, yi i|2 = kSm − sk2 ≤ ε2 para m ≥ m0 , |hx, zi i|2 = kRn − tk2 ≤ ε2 para n ≥ n0 .

i=n+1

279

Fixando m1 ≥ Pm0 e tomando n1 ≥ n0 tal que {y1 , . . . , ym1 } ⊆ {z1 , . . . , zn1 }, temos Rn1 − Sm1 = hx, yj iyj , onde J ⊆ N − {1, . . . , m1 }. Da´ı j∈J

2

kRn1 − Sm1 k =

X

2

|hx, yj i| ≤

∞ X

|hx, yi i|2 ≤ ε2 .

i=m1 +1

j∈J

Logo kt − sk ≤ kt − Rn1 k + kRn1 − Sm1 k + kSm1 − sk ≤ 3ε. • Exerc´ıcio 5.7.20. Como [x1 ] = [y1 ], segue que y1 = a1 x1 . Como kx1 k = ky1 k = 1, segue que |a1 | = 1. Agora, procedemos por indu¸ca˜o. Suponha que y1 = a1 x1 com |a1 | = 1, . . . , yn = an xn com |an | = 1. Vamos mostrar que yn+1 = an+1 xn+1 com |an+1 | = 1. Como [x1 , . . . , xn+1 ] = [y1 , . . . , yn+1 ], temos yn+1 = λ1 x1 + · · · + λn xn + λn+1 xn+1 .

(D.1)

Para qualquer j = 1, . . . , n, usando a hip´otese de indu¸c˜ao, 0 = hyn+1 , yj i = hλ1 x1 + · · · + λn xn + λn+1 xn+1 , aj xj i = λj aj . Como |aj | = 1, segue que λj = 0. Portanto λ1 = · · · = λn = 0. Assim, de (D.1), conclu´ımos que yn+1 = λn+1 xn+1 . Como kyn+1 k = kxn+1 k = 1, segue que |λn+1 | = 1. • Exerc´ıcio 5.7.27. Indu¸ca˜o em n. • Exerc´ıcio 5.7.28. Considere x, y ∈ M ⊥ e estude o vetor v = ϕ(x)y − ϕ(y)x. • Exerc´ıcio 5.7.30. Considere a inclus˜ao de {(a, 0, 0, . . .) : a ∈ K} em `2 . • Exerc´ıcio 5.7.31. Use o Teorema de Riesz–Fr´echet duas vezes, uma vez para a existˆencia e outra vez para a unicidade. • Exerc´ıcio 5.7.32. Como G ´e espa¸co de Hilbert, pelo Teorema de Riesz–Fr´echet existe gϕ ∈ G tal que ϕ(x) = hx, gϕ i. Seja ϕ e : H −→ K a u ´nica extens˜ao linear e cont´ınua de ϕ que preserva a norma. Pelo Teorema de Riesz–Fr´echet, existe x0 ∈ H tal que G⊥ ϕ(x) e = hx, x0 i. Escreva x0 = xG 0 + x0 . Para x ∈ G, ⊥

G G ϕ(x) = ϕ(x) e = hx, xG 0 + x0 i = hx, x0 i.

ao, card(F) = card(G⊥ ). Calcular a cardinalidade de G ´e mais f´acil. Logo, gϕ = xG 0 . Ent˜ Seja B uma base (de Hamel) de G⊥ . Como H = G ⊕ G⊥ , para definir uma extens˜ao linear de ϕ basta definir ϕ(b) e para b ∈ B. Segue que card(G) =card(F B ). O c´alculo da cardinalidade de H ´e mais f´acil ainda. Como n˜ao se requer sequer a linearidade, card(H) = card(F H−G ). • Exerc´ıcio 5.7.33. (a), (b) e (c): an´alogos ao caso de `p . Para (d) use o Teorema 5.3.10. Para (e) use o item (d). 280

• Exerc´ıcio 5.7.34. (a) Desenhe os gr´aficos de r1 , r2 , r3 . (b) A fun¸ca˜o r1 · r2 ´e ortogonal a rn para todo n. • Exerc´ıcio 5.7.36. Verifique que o sistema (hmn )∞ e ortonormal. Para f ∈ m,n=1 ´ L2 (µ1 ⊗µ2 ), use a condi¸ca˜o do Teorema 5.3.10(a) duas vezes para justificar as passagens ! Ã ∞ X hf, hmn ihmn (x0 , y0 ) m,n=1

=

∞ X ∞ µZ X m=1 n=1

=

ÃZ ∞ X

m=1

=

∞ X

ÃZ

m=1

=

X1 ×X2

∞ X ∞ µZ X

m=1 n=1

=

¶ f (x, y)hmn (x, y)dµ1 (x)dµ2 (y) hmn (x0 , y0 )

X2

X2

∞ µZ X m=1

µZ X2

¶ ¶ f (x, y)fn (x)gm (y)dµ1 (x) dµ2 (y) fn (x0 )gm (y0 ) X1

̰ Z X n=1

ÃÃ

!

!

f (x, y)fn (x)gm (y)dµ1 (x) dµ2 (y) fn (x0 )gm (y0 ) X1

∞ X hf (·, y)gm (y), fn ifn

!

!

!

(x0 ) dµ2 (y) gm (y0 )

n=1

à ∞ ! ¶ X f (x0 , y)gm (y)dµ2 (y) gm (y0 ) = hf (x0 , ·), gm igm (y0 ) = f (x0 , y0 ),

X2

m=1

e uma vez mais para concluir o resultado.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6 • Exerc´ıcio 6.8.7(b). Considere as sequˆencias (e1 , e2 , e3 , . . .) e (e2 , e2 , e4 , e4 , . . .) onde (en )∞ e ortonormal. n=1 ´ • Exerc´ıcio 6.8.9. Use o Lema 6.3.5. • Exerc´ıcio 6.8.10. Considere o fecho da envolt´oria convexa do conjunto {xn : n ∈ N} e use o Teorema de Mazur (Teorema 6.2.11). • Exerc´ıcio 6.8.13. Note que a base canˆonica de `1 converge para zero na topologia fraca-estrela. • Exerc´ıcio 6.8.14. Pode-se supor W = {h ∈ E 00 : |h (ϕi ) − f (ϕi )| < ε, i = 1, . . . , n}, onde ε > 0 e ϕ1 , . . . , ϕn ∈ E 0 . Tome W0 := {h ∈ E 00 : |h (ϕi )| < ε, i = 1, . . . , n} e verifique que W = f + W0 . • Exerc´ıcio 6.8.15. (a) Use o Teorema de Banach-Steinhaus. (b) Mostre que o funcional linear f : E 0 −→ K dado por f (ϕ) = lim ϕ(xn ) ´e cont´ınuo n→∞ e use a reflexividade de E. 281

• Exerc´ıcio 6.8.17. Use o Exerc´ıcio 3.6.14(c) e o Corol´ario 6.4.6. • Exerc´ıcio 6.8.18. Suponha que E n˜ao seja reflexivo. Pode-se supor que kϕ0 k = 1. Neste caso, ´e claro que {x ∈ E : ϕ0 (x) = 1}∩ {x ∈ E : kxk ≤ 1} = ∅. Como 1 = kϕ0 k = 1 sup {ϕ0 (x) : kxk ≤ 1}, existe uma sequˆencia (xn )∞ n=1 tal que 1 > ϕ0 (xn ) ≥ 1 − n para w ∞ todo n. Se existisse uma subsequˆencia (yn )∞ n=1 de (xn )n=1 tal que yn −→ x0 , seria verdade que ϕ0 (x0 ) = 1 e kx0 k ≤ lim inf kxn k = 1. n

• Exerc´ıcio 6.8.19. (c) Para (i) =⇒ (ii) use o Exerc´ıcio 4.5.8, e para (iii) =⇒ (i) use o item (a) e o Corol´ario 6.4.6. • Exerc´ıcio 6.8.21. (c) Use os Teoremas 6.5.4 e 1.5.4. • Exerc´ıcio 6.8.23. (a) Se E = [K], ent˜ao E = [conv(K ∪ −K)]. (b) E = [BE ]. (c) Tome uma sequˆencia (xn )∞ n=1 ¡densa ¢∞na esfera unit´aria SE e o conjunto compacto (logo fracamente compacto) K = n1 xn n=1 ∪ {0}. • Exerc´ıcio 6.8.24. Sejam (I, ≤) um conjunto dirigido e (xλ )λ∈I uma rede de Cauchy no espa¸co de Banach E. Para λ, α ∈ I, a nota¸ca˜o λ < α quer dizer que λ ≤ α e λ 6= α. Escolha λ0 , λ1 ∈ I, λ0 6= λ1 . Como I ´e dirigido, existe λ2 ∈ I tal que λ0 ≤ λ2 e λ1 ≤ λ2 . Ent˜ao λ0 < λ2 ou λ1 < λ2 . Se λ0 < λ2 , chame α1 = λ0 e α2 = λ2 ; caso contr´ario chame α1 = λ1 e α2 = λ2 . Em ambos os casos tem-se α1 < α2 . Como α1 6= α2 , o mesmo procedimento produz α3 ∈ I tal que α1 < α2 < α3 . Repita o processo para construir uma sequˆencia (αj )∞ encia (xαj )∞ j=1 em I tal quej α1 < α2 < · · · . Verifique que a sequˆ j=1 j

α

´e de Cauchy em E, e portanto xαj −→ x ∈ E. Conclua que xα −→ x. • Exerc´ıcio 6.8.26. Para uma implica¸ca˜o use o Teorema 6.6.6 e para a implica¸ca˜o contr´aria use o Exerc´ıcio 6.8.25. • Exerc´ıcio 6.8.27. Use o Exercicio 6.8.26. • Exerc´ıcio 6.8.28. Combine o Teorema 6.6.6 com o Exerc´ıcio 4.5.26. • Exerc´ Sejam xn , yn ∈ E, n ∈ N, com (xn )∞ n=1 limitada e ¡ ıcio 26.8.29. (c)=⇒(b) 2 2¢ lim 2 kxn k + 2 kyn k − kxn + yn k = 0. Disso e de n→∞

2 kxn k2 +2 kyn k2 −kxn + yn k2 ≥ 2 kxn k2 +2 kyn k2 −(kxn k + kyn k)2 = (kxn k − kyn k)2 ≥ 0, e limitada. Passando a uma segue que lim (kxn k − kyn k) = 0, e portanto (yn )∞ n=1 ´ n→∞

subsequˆencia, pode-se supor lim kxn k = lim kyn k = a. Para a = 0 o limite desejado n→∞ n→∞ segue imediatamente. Se a > 0, podemos supor, sem perda de generalidade, xn , yn n˜ao-nulos, e neste caso temos lim kxn + yn k = 2a. Logo n→∞

° ° ° xn ° y n ° ° = 2, lim ° + n→∞ kxn k kyn k ° 282

e de (c) decorre que

° ° ° xn yn ° ° ° = 0. lim − n→∞ ° kxn k kyn k °

• Exerc´ıcio 6.8.30. (a) =⇒ (b) O caso em que x = 0 ou y = 0 ´e trivial. Suponhamos x, y 6= 0. De 0 = 2 kxk2 + 2 kyk2 − kx + yk2 ≥ 2 kxk2 + 2 kyk2 − (kxk + kyk)2 = (kxk − kyk)2 ≥ 0, segue que kxk = kyk . Assim, como 2 kxk2 + 2 kyk2 − kx + yk2 = 0, temos ° °2 ° x y ° ° ° ° kxk + kyk ° = 4. y x Chamando x0 = kxk e y0 = kyk , obtemos 2 = kx0 + y0 k e pelo item (a) conclu´ımos que x0 = y0 , ou ainda x = y. (a) =⇒ (c) Suponha kx + yk = kxk + kyk para x, y 6= 0. Suponha, sem perda de generalidade, kyk ≥ kxk > 0. Ent˜ao ° ° ° ° ° ° ° ° x ° ° y ° ° x y y y ° ° ° ° ° 2≥° ° kxk + kyk ° ≥ ° kxk + kxk ° − ° kxk − kyk ° °µ ¶ ° ° 1 ° 1 1 ° = (kx + yk) − ° − y ° kxk kyk ° kxk µ ¶ 1 1 1 (kxk + kyk) − kyk − = 2. = kxk kxk kyk

Assim

x kxk

=

y kyk

e o resultado segue.

• Exerc´ıcio 6.8.33. (b) Use o Exerc´ıcio 6.8.30. (c) Considere, para todo n ∈ N, fn a fun¸ca˜o constante igual a 1 e gn a fun¸ca˜o que une os pontos (0, 1), ( n1 , 1 ) e (1, 1) por segmentos de reta, e aplique o Exerc´ıcio 6.8.29.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 • Exerc´ıcio 7.7.2. Inspire-se no final da demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 7.5.2. • Exerc´ıcio 7.7.10. Use os seguintes resultados: Teorema 6.5.4, Proposi¸c˜ao 6.2.9, Teorema 6.2.12 e Proposi¸ca˜o 7.2.3. • Exerc´ıcio 7.7.11. Use o Exerc´ıcio 7.7.10 e o Teorema 7.2.7. n n ¡ ¢ ¡ ¢ P P • Exerc´ıcio 7.7.12. (I − T )n = (−1)j nj T j = I + (−1)j nj T j . j=1

j=0

• Exerc´ıcio 7.7.13. Se f ´e cont´ınua ent˜ao f (A) ⊆ f (A). ∞ • Exerc´ıcio 7.7.14. T : `2 −→ `2 , T ((an )∞ n=1 ) = (λn an )n=1 .

283

• Exerc´ıcio 7.7.15. Considere o operador identidade em `1 . ¡ ¡ ¢¢ • Exerc´ıcio 7.7.17. Dado ε > 0, a cole¸c˜ao B y, 2ε y∈T (B ) ´e uma cobertura aberta do E n ¢ ¡ S compacto T (BE ). Existem ent˜ao y1 , . . . , yn ∈ T (BE ) tais que T (BE ) ⊆ B yj , 2ε . j=1

Sejam M = [y1 , . . . , yn ], P a proje¸ca˜o ortogonal de H sobre M (Teorema 5.2.5) e P0 = P ◦ T . Ent˜ao P0 ´e linear, cont´ınuo, tem posto finito e kT − P0 k < ε pois, para todo x ∈ BE , kT (x) − P0 (x)k = kT (x) − P (T (x))k = inf kT (x) − yk ≤ y∈M

• Exerc´ıcio 7.7.18. Prove que T =

∞ P

inf kT (x) − yj k < ε.

j=1,...,n

ϕn ⊗ bn em L(E, F ) e aplique as Proposi¸c˜oes

n=1

7.2.2(b) e 7.2.5.

• Exerc´ıcio 7.7.19. (a) De kT −1 ◦ (T − S)k ≤ kT −1 k · kT − Sk e da Proposi¸c˜ao 7.1.3 segue que I −T −1 ◦(T − S) = T −1 ◦S ´e um isomorfismo, e portanto S ´e um isomorfismo. ∞ P n −1 (T −1 ◦ (T − S)) , logo Mais ainda, (I − T −1 ◦ (T − S)) = n=0

S

−1

−1

= (T − (T − S))

¡

¡

= T ◦ I −T

−1

∞ ¡ −1 ¢n ¢¢−1 X T ◦ (T − S) ◦ T −1 , ◦ (T − S) = n=0

e portanto ∞ ∞ ° −1 ° X °¡ −1 ° ° ° X ° °¢ n ¢ ¡ °S − T −1 ° ≤ ° T ◦ (T − S) n ◦ T −1 ° ≤ °T −1 ° · kT − Sk °T −1 ° . n=1

n=1

(b) Use o item (a). • Exerc´ıcio 7.7.20. Suponha que S ◦ T seja um isomorfismo. Trabalhe com S ◦ T para provar que T ´e injetora, e com T ◦ S para provar que S ´e injetora. Se S n˜ao fosse sobrejetora, ter´ıamos (S ◦ T ) (E) = S (T (E)) ⊆ S(E) 6= X, o que contradiz o fato de S ◦ T ser isomorfismo. O caso de T ´e an´alogo. • Exerc´ıcio 7.7.21. Use o Exerc´ıcio 7.7.20. • Exerc´ıcio 7.7.22. Dado λ ∈ C, sejam λ1 , . . . , λn ∈ C as ra´ızes do polinˆomio tn − λ. Obtenha a fatora¸ca˜o (T n − λI) = (T − λ1 I) ◦ · · · ◦ (T − λn I) e use o Exerc´ıcio 7.7.21. • Exerc´ıcio 7.7.30. Para n = 2 use o Exerc´ıcio 7.7.24(c). Como T ´e autoadjunto, do Exerc´ que T k ´e autoadjunto para todo inteiro positivo k. Decorre ent˜ao ° ıcio°7.7.27 segue k ° k° que °T 2 ° = kT k2 para todo k. Se 1 ≤ n < 2k , ent˜ao kT k

2k

° ° ° ° k k ° 2k ° ° n 2k −n 2k −n ° ≤ kT kn · kT k2 −n = kT k2 . = °T ° = °T ◦ T ° ≤ kT n k · kT k

• Exerc´ıcio 7.7.33. T1 = 21 (T + T ∗ ), T2 = − 21 i(T − T ∗ ). 284

• Exerc´ıcio 7.7.34. Retrabalhe a demonstra¸c˜ao do Teorema 7.5.6. • Exerc´ıcio 7.7.37. T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T ⇐⇒ T (T ∗ (x)) = T ∗ (T (x)) para todo x ⇐⇒ hT (T ∗ (x)), yi = hT ∗ (T (x)), yi para todos x, y ⇐⇒ hT ∗ (x), T ∗ (y)i = hT ∗ (T (x)), yi para todos x, y ⇐⇒ hT ∗ (x), T ∗ (y)i = hy, T ∗ (T (x))i para todos x, y ⇐⇒ hT ∗ (x), T ∗ (y)i = hT (y), T (x)i para todos x, y ⇐⇒ hT ∗ (x), T ∗ (y)i = hT (x), T (y)i para todos x, y.

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 8 • Exerc´ıcio 8.6.5. Verifique que T (0) = 0 e que T (nx) = nT (x) para todo inteiro positivo n. Se p, q s˜ao inteiros com q 6= 0, de µ µ ¶¶ µ ¶ p p pT (x) = T (px) = T q x = qT x , q q ³ ´ segue que T pq x = pq T (x). Dado r ∈ R, tome uma sequˆencia (qn )∞ n=1 de racionais tais que qn −→ r. Logo qn x −→ rx, e portanto T (qn x) −→ T (rx). Por outro lado, T (qn x) = qn T (x) −→ rT (x). Segue que T (rx) = rT (x) pois F ´e de Hausdorff. • Exerc´ıcio 8.6.6(c). Seja (fn )∞ encia de Cauchy em Lp (X, Σ, µ). Para todo n=1 uma sequˆ ε > 0, Z µ ({x ∈ X : |fn (x) − fm (x)| > ε}) = 1dµ {x∈X:|fn (x)−fm (x)|>ε} Z −p ≤ε |fn − fm |p dµ {x∈X:|fn (x)−fm (x)|>ε} −p

≤ ε d(fn , fm ), o que prova que a sequˆencia (fn )∞ e de Cauchy em medida. Pelo Teorema C.11 existe n=1 ´ uma fun¸ca˜o mensur´avel f para a qual (fn )∞ c˜ao n=1 converge em medida. Da Proposi¸ ∞ C.13 existe uma subsequˆencia (fnj )j=1 que converge para f µ-quase sempre. Dado ε > 0 tome um inteiro positivo N0 tal que d(fm , fn ) < ε sempre que m, n ≥ N0 . Se n ≥ N0 , ent˜ao Z Z ¯ ¯p p |fn − f | dµ = lim ¯fnj (x) − f (x)¯ dµ X X j Z ¯ ¯ ¯fn (x) − f (x)¯p dµ = lim inf d(fn , f ) ≤ ε. ≤ lim inf j j j

j

X

Logo f = (f − fN0 ) + fN0 ∈ Lp (X, Σ, µ) e o resultado segue. • Exerc´ıcio 8.6.7. Aplique o Exerc´ıcio 8.6.6 para a σ-´algebra das partes de N com a medida de contagem. • Exerc´ıcio 8.6.10. Dados x, y ∈ A, tome redes da forma (x − xλ )λ e (y − yλ )λ , com xλ , yλ ∈ A, ambas convergindo para zero e indexadas pelo sistema de vizinhan¸cas de zero. 285

• Exerc´ıcio 8.6.22. Use o Teorema B.15. • Exerc´ıcio 8.6.24. Tome um espa¸co normado E munido da topologia fraca σ(E, E 0 ), ∞ n 0 6= x0 ∈ E e a sequˆencia (xn )∞ n=1 = ((−1) x0 )n=1 . n+1 ∞ • Exerc´ıcio 8.6.27. Use as sequˆencias ((−1)n )∞ )n=1 para provar que a n=1 e ((−1) adi¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua.

• Exerc´ıcio 8.6.30. Corol´ario 8.4.2 e Teorema 8.3.3. τ2 ´ claro que fn (x) −→ f (x) para todo • Exerc´ıcio 8.6.31. (a) Suponha fn −→ f. E x ∈ [0, 1]. Para cada n, defina gn ∈ C [0, 1] por gn (x) =

|fn (x) − f (x)| . 1 + |fn (x) − f (x)|

Ent˜ao gn −→ 0 e |gn (x)| ≤ 1 para todos nR ∈ N e x ∈ [0, 1]. Pelo Teorema da 1 Convergˆencia Dominada segue que d(fn , f ) = 0 gn (x)dx −→ 0. (b) Suponha, por contradi¸ca˜o, que seja cont´ınua. Neste caso, dado 0 < ε < 21 existem δ > 0, n ∈ N e x1 , . . . , xn ∈ [0, 1] tais que A := {f ∈ C [0, 1] : |f (xi )| ≤ δ para todo i = 1, . . . , n} est´a contido na bola aberta de centro 0 e raio ε de (C [0, 1] , τ1 ) . Para cada inteiro positivo k defina gk (x) = k(x − x1 ) · · · (x − xn ). Como gk ∈ A para todo k, segue que Z 1 |gk (x)| 1 dx = d(gk , 0) < ε < (D.2) 2 0 1 + |gk (x)| |gk (x)| para todo k. Defina ainda, para cada k, hk (x) = 1+|g . Como hk −→ 1 m-quase k (x)| sempre, onde m ´e a medida de Lebesgue em [0, 1], e |hk (x)| ≤ R 11 para todos Rk1 ∈ N e x ∈ [0, 1], o Teorema da Convergˆencia Dominada garante que 0 hk (x)dx −→ 0 1 = 1. Isso contradiz (D.2).

• Exerc´ıcio 8.6.32. (d) Teorema C.11. (e) Prove que a m´etrica ´e invariante por transla¸c˜oes, isto ´e, d(f + h, g + h) = d(f, g), e proceda como foi feito no Exemplo 8.1.2(e). ∞ P (f) f = kχ[k, k+1) . k=0

encia (g) Suponha an −→ a em K e fn −→ f em L0 (X, Σ, µ). Escolha (bn )∞ n=1 uma sequˆ decrescente de n´ umeros reais positivos convergindo para zero tal que |an − a| ≤ bn para todo n e tamb´em uma constante C tal que |an | ≤ C para todo n. Por [f > δ] denotaremos o conjunto {x ∈ X : f (x) > δ}. Para todos ε > 0 e n ∈ N, [|an fn − af | > ε] ⊆ [|an fn − an f | > ε/2] ∪ [|an f − af | > ε/2]. Fa¸ca n −→ ∞ na desigualdade µ([|an fn − af | > ε]) ≤ µ([|an fn − an f | > ε/2]) + µ([|an f − af | > ε/2]) ≤ µ([C|fn − f | > ε/2]) + µ([bn |f | > ε/2]) = µ([|fn − f | > ε/2C]) + µ([|f | > ε/2bn ]). 286

(h) Dada uma vizinhan¸ca convexa V n˜ao-vazia da origem, tome ε tal que B(0, ε) ⊆ V . Seja f ∈ L0 [0, 1]. Escolha n natural tal que 1/n < ε/2. Para cada j defina fj (t) = nf (t)χ[ j−1 , j ) . De m([|fj | > ε/2]) ≤ 1/n < ε/2 para cada j, segue cada n n n P fj ∈ V . Como V ´e convexa e f = n−1 fj , temos f ∈ V , e portanto V = L0 [0, 1]. j=1

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 9 • Exerc´ıcio 9.9.1. Adapte os argumentos usados na demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2.3. • Exerc´ıcio 9.9.8. Para uma implica¸c˜ao, seja (xn )∞ encia em BE . Como a n=1 uma sequˆ ∞ inclus˜ao em F ´e compacta, existe uma subsequˆencia (xnj )j=1 convergente na norma de F , logo de Cauchy na norma de F . Como as normas s˜ao equivalentes por hip´otese, ´e tamb´em de Cauchy na norma de E, logo convergente em E. Isso prova que a bola BE ´e compacta, e portanto E tem dimens˜ao finita pelo Teorema 1.5.4. Para a outra implica¸c˜ao use o Exerc´ıcio 1.8.3. • Exerc´ıcio 9.9.9(b). Suponha que f tenha apenas um n´ umero finito de descontinuidades. Neste caso existe r > 0 tal que f ´e cont´ınua em E − B(0, r). Ent˜ao a fun¸ca˜o g : R −→ R , g(t) = f (tx0 ), onde x0 ∈ E ´e um vetor unit´ario fixado, ´e cont´ınua em (−∞, −r] e em [r, +∞). Escolha y > max{g(r), g(−r)}. Como lim g(t) = +∞, existe t1 > r tal que g(t1 ) > y; t→+∞

e como lim g(t) = +∞, existe t2 < −r tal que g(t2 ) > y. Da continuidade de g t→−∞

em [r, +∞), como g(r) < y < g(t1 ), existe c1 ≥ r > 0 tal que g(c1 ) = y. E da continuidade de g em (−∞, −r], como g(−r) < y < g(t2 ), existe c2 ≤ −r < 0 tal que g(c2 ) = y. Como c2 < 0 < c1 , ´e claro que c2 x0 6= c1 x0 , e assim a igualdade f (c1 x0 ) = g(c1 ) = y = g(c2 ) = f (c2 x0 ) contraria a injetividade de f . • Exerc´ıcio 9.9.10. f : (0, 1] −→ (0, 1], f (x) = x2 . • Exerc´ıcio 9.9.11. Use a Proposi¸ca˜o 7.1.3. • Exerc´ıcio 9.9.13. Veja a demonstra¸ca˜o da Proposi¸c˜ao 7.2.5. • Exerc´ıcio 9.9.16. Prove e aplique o seguinte resultado mais geral: se X ´e um espa¸co topol´ogico, Y ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff e f, g : X −→ Y s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas, ent˜ao o conjunto dos pontos em que f e g coincidem ´e fechado em X. • Exerc´ıcio 9.9.17. A continuidade da norma garante que a fun¸ca˜o ¡ ¢1/2 g : B −→ R , g(a) = 1 − kak22 , ´e cont´ınua. Dados a ∈ B e ε > 0, tome 0 < δ < 2ε tal que |g(a) − g(x)| < 2ε sempre que x ∈ B e kx − ak2 < δ. Segue que kf (x) − f (a)| < ε sempre que x ∈ B e kx − ak2 < δ,

287

w

provando que f ´e cont´ınua. E f n˜ao ´e√completamente cont´ınua pois en −→ 0 em B mas kf (en ) − f (0)k2 = ken+1 − e1 k2 = 2 para todo n. • Exerc´ıcio 9.9.19. Verifique e use que, para todo t < 1, a aplica¸ca˜o tϕ possui ponto fixo. • Exerc´ıcio 9.9.20. T (x1 , x2 , . . .) = (1, x1 , x2 , . . .). • Exerc´ıcio 9.9.21. Dado 0 < ε < 1, chame Cε = {(1 − ε)x : x ∈ C} e observe que Cε ´e fechado. Dado x ∈ Cε , x = ε · 0 + (1 − ε)y para algum y ∈ C. Como 0, y ∈ C, 0 < ε < 1 e C ´e convexo, segue que x ∈ C. Provamos que Cε ⊆ C e portanto podemos considerar a fun¸ca˜o fε : Cε −→ Cε , fε (x) = (1 − ε)f (x). ´ imediato que fε ´e uma contra¸ca˜o, logo tem um ponto fixo, digamos xε ∈ Cε ⊆ C, E pelo Teorema do ponto fixo de Banach. Ent˜ao kf (xε ) − xε k = kf (xε ) − fε (xε )k = kε · f (xε )k = ε · kf (xε )k. O resultado segue tomando ε = n1 , n ∈ N. • Exerc´ıcio 9.9.22. Escolha x0 ∈ C e aplique o Exerc´ıcio 9.9.21 para a fun¸c˜ao g : x0 − C −→ x0 − C, g(x0 − x) = x0 − f (x). • Exerc´ıcio 9.9.23. Fa¸ca y = f 0 e use o Teorema de Cauchy–Picard. • Exerc´ıcio 9.9.24. Use o Teorema de Ascoli (Teorema B.7). • Exerc´ıcio 9.9.25. Use a norma k · k∞ em E1 × E2 e o Exerc´ıcio 2.7.25. • Exerc´ıcio 9.9.26. A adi¸c˜ao ´e linear e a multiplica¸ca˜o por escalar ´e bilinear, e ambas s˜ao cont´ınuas. • Exerc´ıcio 9.9.27. Use o Corol´ario 9.6.7. R • Exerc´ıcio 9.9.29. Use que lim A kf k dµ = 0 e aplique o Corol´ario 9.7.7. µ(A)→0

• Exerc´ıcio 9.9.30. Prove primeiro que a integral de Bochner ´e finitamente aditiva. Use ∞ R P a σ-aditividade no caso escalar e o Corol´ario 9.7.7 para assegurar que a s´erie f dµ An n=1

´e absolutamente convergente, logo convergente. Da aditividade finita segue que, para todo m, ° ° ° ° ° ° °Z °Z m Z X ° ° ° ° °. °=° ° f dµ f dµ − f dµ n ∞ ° ° ° S ° S A A A ° ° ° ° n n n n=1 n=m+1 n=1 ° ° µ ∞ ¶ °R ° S ° ° f dµ° = 0. Como lim µ An = 0, o Exerc´ıcio 9.9.29 garante que lim ° Sn A m m ° ° n n=m+1 n=m+1

• Exerc´ıcio 9.9.31. Aplique o caso escalar do Teorema de Egorov para a sequˆencia (kfn − f k)∞ n=1 . 288

• Exerc´ıcio 9.9.32. Adapte a demonstra¸c˜ao da caracteriza¸ca˜o da integral de Riemann como limite de somas de Riemann (veja, por exemplo, [54, Teorema IX.15]). • Exerc´ıcio 9.9.34. Suponha que exista A ∈ Σ, com 0 < µ(A) < ∞, n˜ao verificando a tese. Pela Segunda Forma Geom´etrica do Teorema de Hahn–Banach existem ϕ ∈ E 0 e α ∈ R tais que µ ¶ Z 1 ϕ f dµ < α ≤ ϕ(f (x)) µ(A) A para todo x ∈ E. Da Proposi¸ca˜o 9.7.8 segue que Z 1 ϕ ◦ f dµ < α ≤ ϕ(f (x)) µ(A) A para todo x ∈ E. Integrando a segunda desigualdade acima sobre A obtemos a contradi¸ca˜o Z Z Z ϕ ◦ f dµ. α dµ ≤ ϕ ◦ f dµ < αµ(A) = A

A

A

Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 10 • Exerc´ıcio 10.6.5. Sejam A = (aij )n×n e B = (bij )n×n duas matrizes de ordem n P n × n. Ent˜ao AB = (cij )n×n com cij = ail blj . Consequentemente, tr (AB) = n P

n P n P

ckk =

k=1

tr (BA) =

l=1

akl blk . Do mesmo modo BA = (dij )n×n com dij =

k=1l=1 n P

n P n P

l=1

l=1k=1

dll =

n P

bil ajl . Assim

l=1

blk akl e o resultado segue.

• Exerc´ıcio 10.6.6. Sejam α e α0 bases para F . Considere A e A0 as matrizes de ω com respeito a α e α0 , respectivamente. Ent˜ao, existe uma matriz B tal que A0 = B −1 AB. Logo ¡ ¢ ¡ ¢ tr (A0 ) = tr B −1 AB = tr ABB −1 = tr (A) . • Exerc´ıcio 10.6.13. Para cada k ∈ N defina + − MRe = {1 ≤ n ≤ k : Re (an ) > 0} , MRe = {1 ≤ n ≤ k : Re (an ) < 0} , + − MIm = {1 ≤ n ≤ k : Im (an ) > 0} , MIm = {1 ≤ n ≤ k : Im (an ) < 0} ,

para obter k X

|an | ≤

n=1

k X

|Re (an )| +

n=1

=

X

+ n∈MRe

k X

|Im (an )|

n=1

Re (an ) +

X

(− Re (an )) +

− n∈MRe

X + n∈MIm

289

Im (an ) +

X + n∈MIm

(− Im (an )) .

¯ ¯ ¯P ¯ ¯ Como ¯ an ¯¯ ≤ 1 para qualquer M finito, temos n∈M

¯ ¯ ¯  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X X X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Re (an )¯ = ¯Re  a n ¯ ≤ ¯ an ¯¯ ≤ 1. ¯ ¯n∈M + ¯ ¯ ¯ ¯n∈M + ¯ n∈M + Re

Re

Re

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P ¯ P ¯ ¯ P ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (− Im (an ))¯ Im (an )¯ e ¯ Da mesma forma os n´ umeros ¯ (− Re (an ))¯, ¯ ¯ ¯ ¯n∈M − ¯n∈M − ¯ ¯n∈M + Im Im Re s˜ao todos menores ou iguais a 1. O resultado segue uma vez que k ´e arbitr´ario. • Exerc´ıcio 10.6.14(b). Use o Exerc´ıcio 10.6.13. ∞ P an sn ∈ C[0, 1]. Se (bn )∞ e uma sequˆencia de escalares • Exerc´ıcio 10.6.16. Seja f = n=1 ´ tais que f =

∞ P

bn sn , ent˜ao

n=0 ∞ P

(bn − an ) sn (t) n=0 1 1 3 1 3 5 7 , , , , , , ,... 2 4 4 8 8 8 8

n=0

= 0 para todo t ∈ [0, 1]. Vejamos que

usando isso para t = 0, 1, segue que an = bn para todo n. De ∞ P (bn − an ) sn (0) = 0, e portanto b0 − a0 = 0. Decorre da´ı fato, para t = 0 temos que

∞ P n=1

n=0

(bn − an ) sn (t) = 0, e aplicando em t = 1 obtemos

portanto b1 − a1 = 0. Basta continuar o processo.

∞ P n=1

(bn − an ) sn (1) = 0, e

• Exerc´ıcio 10.6.17. ° (° n ) °X ° ° ° η(a) = 0 =⇒ 0 = sup ° ai xi ° : n ∈, N ≥ ka1 x1 k =⇒ a1 = 0. ° ° i=1

Disso segue que ° (° n ) °X ° ° ° 0 = sup ° ai xi ° : n ∈ N ≥ ka1 x1 + a2 x2 k = ka2 x2 k =⇒ a2 = 0. ° ° i=1

Repetindo o procedimento conclu´ı-se que ai = 0 para todo i ∈ N. c˜oes canˆonicas associadas a uma base de • Exerc´ıcio 10.6.19. Sejam (Pn )∞ n=1 as proje¸ Schauder de E. Como Pn (x) −→ x para todo x ∈ E, do Exerc´ıcio 2.7.27 sabe-se que sup kPn (x) − xk −→ 0 para todo compacto K ⊆ E. Use agora o Exerc´ıcio 7.7.16.

x∈K

• Exerc´ıcio 10.6.20. Escolha 1 1 1 1 1 x1 = , x 2 = − , . . . , x n = − , ... 2 2 3 n n+1 ca˜o nessa base de Schauder dada ´e x = Ent˜ao x = (xj )∞ j=1 ∈ `1 e sua representa¸ 1e1 + 12 (e2 − e1 ) + 31 (e3 − e2 ) + · · · . Se essa convergˆencia fosse incondicional, ent˜ao, 290

em particular, a s´erie 1e1 + 13 (e3 − e2 ) + 15 (e5 − e4 ) + · · · seria convergente em `1 , mas isso n˜ao ocorre. • Exerc´ıcio 10.6.22. Considere uma sequˆencia da forma (αn , αn )∞ n=1 ∈ LE × LF ∞ ∞ convergindo para (β, γ) ∈ LE × LF , onde β = (bn )n=1 e γ = (cn )n=1 , isto ´e, lim ηE (αn − β) = 0 = lim ηF (αn − γ) .

n→∞

n→∞

Dado ε > 0, existe¡ nε¢∈ N tal que ηE (αn − β) ≤ ε e ηF (αn − γ) ≤ ε para todo n ≥ nε . ∞ Escrevendo αj = αjn n=1 para cada j, temos ° ° ) ) (° m (° m ° ° °X °X ° ° ° ° (αin − ci ) yi ° : m ∈ N ≤ ε sup ° (αin − bi ) xi ° : m ∈ N ≤ ε e sup ° ° ° ° ° i=1

i=1

para todo n ≥ nε . Da´ı, para todo m natural, temos ° ° m m−1 °X ° X ° ° nε nε nε |αm − bm | · kxm k = ° (αi − bi ) xi − (αi − bi ) xi ° ≤ 2ε, ° ° i=1 ° i=1 ° m m−1 °X ° X ° ° nε nε nε |αm − cm | · kym k = ° (αi − ci ) yi − (αi − ci ) yi ° ≤ 2ε. ° ° i=1

i=1

Para todos m ∈ N e ε > 0 segue que nε nε nε nε |bm − cm | = |bm − αm + αm − cm | ≤ |αm − bm | + |αm − cm | ≤

2ε 2ε + . kxm k kym k

Fazendo ε −→ 0 temos bm = cm para todo m ∈ N, e portanto γ = β. • Exerc´ıcio 10.6.23. Corol´ario 10.3.9. • Exerc´ıcio 10.6.24. Pelo Exerc´ıcio 1.8.36 podemos tomar uma sequˆencia (xn )∞ n=1 densa na esfera unit´aria SE = {x ∈ E : kxk = 1}. Pelo Corol´ario 3.1.4, para cada n ´ existe ϕn ∈ E 0 tal que kϕn k = 1 = kxn k = ϕ(xn ). Seja x ∈ E com kxk = 1. E claro que sup |ϕn (x)| ≤ kxk. Dado ε > 0, tome n0 tal que kx − xn0 k < ε. Ent˜ao n

|kxk − kxn0 k| ≤ kx − xn0 k < ε. Logo kxk − ε ≤ kxn0 k = ϕ(xn0 ). Isso prova que sup |ϕn (x)| = kxk se kxk = 1. A passagem para um elemento qualquer de E ´e imediata. n

• Exerc´ıcio 10.6.26. Suponha que existam k, j tais que hxj , xk i 6= 0. Existe ent˜ao y ∈ E tal que kyk = 1, y ∈ [xk , xj ] e y ⊥ xk . Note que |hxj , yi| > 0. Escrevendo xj = hxj , yiy + hxj , xk ixk , temos 1 = |hxj , yi|2 + |hxk , xj i|2 , e portanto |hxj , yi| < 1. De 1 = |x∗j (xj )| = |hxj , yi| · |x∗j (y)| segue que kx∗j k ≥ |x∗j (y)| > 1.

291

pP j+1

• Exerc´ıcio 10.6.27. (a) Seja yj =

λi ei para todo j ∈ N. Ent˜ao

i=pj +1

°  1/p ° m ° ° m ° pj+1 j+1 m p p °X y ° ° X X X X ° ° |aj | aj ° j ° p λi ei ° = ° aj °=° p |λi | ° ° ° kyj k ° ° j=1 kyj k i=p +1 kyj k ° j=1 j=1 i=pj +1 j 1/p à  ° ! p1 ° m j+1 m m p p p ° °X X X X |a | |a | ° ° j j p p |λ | = a e ky k = = ° i j j° . j p p ° ° ky k ky k j j i=p +1 j=1 j=1 j=1 j

µ (en )∞ n=1

yn kyn k

¶∞

Segue que ≈ . Note que T : F := [yn : n ∈ N] −→ `p dado por n=1 Ã ! ∞ ∞ P P T aj yj = aj kyj k ej ´e uma isometria linear de `p sobre F. j=1

j=1

(b) Suponha 0 < α := inf {kyn k ; n ∈ N} ≤ sup {kyn k ; n ∈ N} := β < ∞. ∞ P

∞ P

∞ P

∞ P yj |aj |p kyj kp < ∞. , segue que kyj k j=1 j=1 j=1 j=1 ∞ ∞ ∞ P P P |aj |p < ∞, aj ej ∈ `p , ent˜ao aj ej ∈ `p . Por outro lado, se Conclua que

Se

aj yj ∈ F ent˜ao, como

aj yj =

j=1

e portanto ∞ P

∞ P

j=1

aj kyj k

j=1

p

p

|aj | kyj k < ∞. Logo

∞ P

aj kyj k

j=1

j=1

aj kyj k ej ∈ `p e por conseguinte

j=1

yj ∞ ∈ F. Segue que (yn )∞ n=1 ≈ (en )n=1 . kyj k

∞ P

aj yj =

j=1

∗ ∞ • Exerc´ıcio 10.6.28. Seja (xn )∞ n=1 uma base de Schauder de E e sejam (xn )n=1 os seus 1 funcionais coeficientes. Para cada k ∈ N, escolha yk ∈ D tal que kxk − yk k ≤ k+1 ∗ . 2 kxk k Logo, ∞ ∞ X X 1 kxk − yk k · kx∗k k ≤ < 1, k+1 2 k=1 k=1

e o Teorema 10.4.7 garante que (yn )∞ e uma base de Schauder de E. n=1 ´ • Exerc´ıcio 10.6.29. (a) Se xt1 , . . . , xtn s˜ao vetores distintos e a1 xt1 + · · · + an xtn = 0, ent˜ao a1 (t1 , t21 , . . .) + a2 (t2 , t22 , . . .) + · · · + an (tn , t2n , . . .) = 0. Logo

 t1 a1 + t2 a2 + · · · tn an = 0    ..  . n n t1 a1 + t2 a2 + · · · tnn an = 0     .. . 292

Para que o sistema infinito tenha solu¸ca˜o, em particular as n primeiras igualdades devem ser satisfeitas. Vejamos que n˜ao h´a solu¸ca˜o n˜ao-trivial para o sistema formado pelas n primeiras igualdades (note que as vari´aveis s˜ao a1 , . . . , an ). S´o haveria solu¸ca˜o n˜ao-trivial se   t1 t21 · · · tn1  t2 t2 · · · t2  2 n  det  .. .. .. ..  = 0. . . . . 2 tn tn · · · tnn Mas



t1 t21 · · ·  t2 t2 · · · 2  det  .. .. .. . . . 2 tn tn

  tn1 1 t1 · · · 1 t 2 · · · t2n    ..  = t1 · · · tn det  .. .. .. . . . . n tn 1 tn

 tn−1 1  tn−1 2  ..  .  tnn−1

´e n˜ao-nulo, pois ´e um determinante de Vandermonde com t1 , . . . , tn distintos. (b) Lembre-se que a dimens˜ao de um espa¸co vetorial ´e a cardinalidade de alguma de suas bases de Hamel (todas as bases de Hamel de um mesmo espa¸co vetorial tˆem a mesma cardinalidade). Do item (a) segue que dim(`p ) ≥ card(R) e use que card(R × R × · · · × · · · ) = card(R). • Exerc´ıcio 10.6.30(f). Para cada x ∈ E e j natural, defina ej (x) = (0, . . . , 0, x, 0, . . .), onde x aparece na j-´esima coordenada. Se A ´e base de Hamel de E, mostre que B = {ej (x) : j ∈ N e x ∈ A} ´e base de Hamel de c00 (E). Conclua que card(B) = card(N) · card(A).

293

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´Indice Remissivo σ-´algebra, 265 p-norma, 182

de Borel ou boreliano, 265 dirigido, 263 equilibrado, 163 adjunto, 69 mensur´avel, 265 Alternativa de Fredholm, 144 normante, 242 anulador, 60 ortonormal, 85 aplica¸c˜ao parcialmente ordenado, 255 aberta, 32 resolvente, 135 bilinear, 31 totalmente ordenado, 255 completamente cont´ınua, 189 constante demicont´ınua, 189 da base, 237 quociente, 39 de Grothendieck, 230 sequencialmente fracamente cont´ınua, contra¸ca˜o, 194 189 convergˆencia em medida, 268 autoespa¸co, 134 cota superior, 255 autovalor, 134 crit´erio de Banach-Grumblum, 239 autovetor, 134 cubo de Hilbert, 23 base alg´ebrica ou de Hamel, 256 de espa¸co topol´ogico, 261 de Schauder, 233 de vizinhan¸cas, 261 equivalente, 237 c´opia isom´etrica, 68 isomorfa, 68 coeficiente de Fourier, 97 complemento ortogonal, 82 conjunto absolutamente convexo, 184 absorvente, 163 compacto, 259 convexo, 21

decomposi¸c˜ao espectral de operadores compactos e autoadjuntos, 152 delta de Kronecker, 85 desigualdade de Bessel, 87 de Cauchy–Schwarz, 78 de Clarkson primeira, 126 segunda, 126 de Grothendieck, 228 de H¨older generalizada, 22 de H¨older para integrais, 6 de H¨older para sequˆencias, 12 de H¨older rec´ıproca, 23 de Minkowski para integrais, 7 de Minkowski para sequˆencias, 12 300

de Young, 18 do valor m´edio, 205 difeomorfismo, 212 elemento maximal, 255 envolt´oria convexa, 21 espa¸co L∞ , 9 Lp , 6 `∞ , 12 `p , 11 co , 5 c00 , 6 bidual, 67 com deficiˆencia finita, 40 com produto interno, 78 compactamente imerso, 190 completamento do, 68 das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas, 19 de Banach, 2 de fun¸c˜oes cont´ınuas, 3 de fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis, 3 de Hausdorff, 263 de Hilbert, 80 de James, 72 de medida, 267 de operadores lineares cont´ınuos, 24 de Schur, 128 dual, 24 estritamente convexo, 133 fracamente compactamente gerado, 132 fracamente sequencialmente completo, 132 localmente convexo, 167 m´etrico, 258 mensur´avel, 265 metriz´avel, 260 normado, 1 produto, 20 quociente, 21 reflexivo, 68

separ´avel, 15 topol´ogico, 260 uniformemente convexo, 122 vetorial topol´ogico, 160 espa¸cos isomorfos, 24 isomorfos isometricamente, 24 espectro, 135 f´ormula de polariza¸c˜ao caso complexo, 80 caso real, 80 fun¸c˜ao Bochner-integr´avel, 208 caracter´ıstica, 267 coerciva, 192 convexa, 192 de Rademacher, 101 Fr´echet-diferenci´avel, 202 integr´avel, 269 limitada, 2 limitada quase sempre, 9 lipschitziana, 25 mensur´avel, 266 simples, 267 separadamente cont´ınua, 31 uniformemente cnt´ınua, 25 uniformemente convexa, 192 funcional de Minkowski, 54 linear cont´ınuo, 24 gr´afico, 34 hiperplano, 52 afim, 53 homeomorfismo, 262 homotetia, 163 identidade de Parseval, 89 integral, 268 isometria linear, 24 isomorfismo, 24 isomorfismo isom´etrico, 24

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lei do paralelogramo, 80 lema de Fatou, 269 de Helly, 116 de Riesz, 14 de Zorn, 255 m´etrica, 258 medida, 267 σ-finita, 267 finita, 267 melhor aproxima¸c˜ao, 86 mergulho canˆonico, 67 norma, 1 induzida pelo produto interno, 78 Lipschitz, 188 normas equivalentes, 20 operador diagonal, 28 multiplica¸ca˜o, 28 operador linear ϕ ⊗ y, 27 absolutamente somante, 230 adjunto de, 69 autoadjunto, 147 compacto, 137 cont´ınuo, 24 de posto finito, 40 imagem de, 39 integral, 138 limitado, 26 n´ ucleo de, 39 norma de, 27 normal, 158 positivo, 158 que atinge a norma, 36 sim´etrico, 36 unit´ario, 158 operador n˜ao-linear compacto, 197 de substitui¸c˜ao ou de Nemytskii, 188 ordem parcial, 255

princ´ıpio da limita¸ca˜o uniforme, 36 de sele¸ca˜o de Bessaga–PeÃlczy´ nski, 246 processo de ortogonaliza¸ca˜o de Gram– Schmidt, 91 produto interno, 77 proje¸ca˜o, 47 canˆonica, 237 ortogonal, 83 propriedade da aproxima¸ca˜o, 154 rede, 263 convergente, 263 de Cauchy, 123 regra da cadeia, 204 s´erie absolutamente convergente, 218 convergente, 87 incondicionalmente convergente, 87 Scottish book, 250 seminorma, 171 sequˆencia b´asica, 238 de blocos b´asica, 244 fracamente de Cauchy, 132 fracamente som´avel, 230 sistema ortonormal completo, 85 subespa¸co complementado, 48 teorema da Aplica¸ca˜o Aberta, 33 da aproxima¸c˜ao de Weierstrass, 17 da convergˆencia dominada, 270 da convergˆencia mon´otona, 269 da fun¸ca˜o inversa, 213 da mensurabilidade de Pettis, 207 da proje¸ca˜o ortogonal, 81 da regularidade de Schauder, 19 da representa¸c˜ao de Riesz, 64 de Ascoli, 259 de Baire, 29 de Banach–Alaoglu–Bourbaki, 114 de Banach–Mazur, 121 302

de

Banach–Mazur, Bessaga– PeÃlczy´ nski, Gelbaum, 248 de Banach–Steinhaus, 29 de Bessaga–Mazur, 243 de Bessaga–PeÃlczy´ nski, 245 de Bishop–Phelps, 36 de Cauchy–Picard, 196 de Dixmier, 75 de Dvoretzky–Rogers, 226 de Eberlein–Smulian, 129 de Goldstine, 117 caso complexo, 181 de Grothendieck, 231 de Hahn–Banach caso complexo das formas geom´etricas, 62 caso real, 43 casos real e complexo, 45 forma geom´etrica para espa¸cos localmente convexos, 179 para espa¸cos localmente convexos, 176 primeira forma geom´etrica, 56 segunda forma geom´etrica, 56 de Hellinger–Toeplitz, 99 de Josefson-Nissenzweig, 129 de Kakutani, 118 de Krein–Milman–Rutman, 254 de Mazur, 109 de Milman–Pettis, 123 de Peano, 201 de Phillips, 49 de Pit´agoras, 81 de Radon–Nikod´ ym, 269 de Riesz–Fischer, 93 de Riesz-Fr´echet, 95 de Schauder, 140 de Schur, 110 de Sobczyk, 61 de Tychonoff, 264 do Gr´afico Fechado, 35 do isomorfismo, 39 do ponto fixo

de Banach, 194 de Brouwer, 199 de Schauder, 200 espectral para operadores compactos e autoadjuntos, 152 topologia, 260 da convergˆencia em medida, 186 da convergˆencia pontual, 174 determinada ou gerada por uma fam´ılia de seminormas, 172 fraca, 105 fraca-estrela, 111 gerada por uma fam´ılia de fun¸co˜es, 104 produto, 264 tra¸co, 222 transla¸c˜ao, 163 valor regular, 135 vetores ortogonais, 81 vizinhan¸ca, 260

303

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