Formulas de antípoda para el álgebra de Hopf natural de un operad conjuntístico [version 22 Oct 2013 ed.]

Table of contents :
Resumen......Page 5
Agradecimientos......Page 6
Introducción......Page 7
1.1. Categorías, ejemplos de categoría y morfismos.......Page 11
1.2. Functores y categorías de functores......Page 13
1.3. Especies combinatorias......Page 14
1.4. Suma, producto, substitución, derivada y apuntamiento de una especie......Page 17
1.5. Monoides y Operads conjuntístico......Page 24
1.6. Álgebras y Coálgebras......Page 37
1.7. Álgebras de Hopf......Page 41
2. El álgebra de Hopf natural de un operad conjuntístico......Page 45
2.1. Formula de la antípoda en términos de árboles......Page 47
2.2. Pesos sobre una especie......Page 51
3. El álgebra de Faá di Bruno y la formula de inversión de Lagrange......Page 54
4. El álgebra de Hopf natural asociada al operad libre FN, N una especie.......Page 59
5. La familia de álgebras de Hopf NAN, N monoide......Page 62
5.1. El álgebra de Hopf NA......Page 64
5.2. El álgebra de Hopf de Connes y Kreimer......Page 74
5.3. La subálgebra de Hopf de Connes Moscovici......Page 78
5.4. El caso general AN......Page 85
5.5. El álgebra de Hopf NGc......Page 88
6. El álgebra de Hopf NGc......Page 91
7. El álgebra de Hopf de incidencia natural......Page 96
Referencias......Page 98

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Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Postgrado en Matem´atica

´ FORMULAS DE ANT´IPODA PARA EL ALGEBRA DE HOPF NATURAL DE UN OPERAD CONJUNT´ISTICO

Autor: Liendo Barcasnegras, Jean Carlos. Tutor: M´endez Miguel.

Tesis Doctoral Presentada ante la ilustre Universidad Central de Venezuela Para optar al t´ıtulo de Doctor en Ciencias Menci´on Matem´atica

Caracas, 12/9/2013

2

Jurado de la Tesis Doctoral Estudiante: Liendo Barcasnegras, Jean Carlos. Tutor: M´endez Miguel.

Jurado sugerido, para ser nombrado por el Consejo de Facultad: Principal 1:

Instituci´on:

Principal 2:

Instituci´on:

Suplente 1:

Instituci´on:

Suplente 1:

Instituci´on:

Jurado sugerido, para ser nombrado por el Consejo de Estudios de Postgrado: 1:

Instituci´on:

2:

Instituci´on:

3:

Instituci´on:

4:

Instituci´on:

5:

Instituci´on:

6:

Instituci´on:

3

Dedicado a Dulce, Jeannymar y Eunice.

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Contenido Resumen

5

Agradecimientos

6

Introducci´on

7

1. Preliminares te´ oricos

11

1.1. Categor´ıas, ejemplos de categor´ıa y morfismos.

11

1.2. Functores y categor´ıas de functores

13

1.3. Especies combinatorias

14

1.4. Suma, producto, substituci´on, derivada y apuntamiento de una especie

17

1.5. Monoides y Operads conjunt´ıstico ´ 1.6. Algebras y Co´algebras

24 37

´ 1.7. Algebras de Hopf

41

2. El ´ algebra de Hopf natural de un operad conjunt´ıstico

45

2.1. Formula de la ant´ıpoda en t´erminos de ´arboles

47

2.2. Pesos sobre una especie

51

3. El ´ algebra de Fa´ a di Bruno y la formula de inversi´ on de Lagrange

54

4. El ´ algebra de Hopf natural asociada al operad libre FN , N una especie.

59

5. La familia de ´ algebras de Hopf NAN , N monoide

62

5.1. El a´lgebra de Hopf NA

64

5.2. El a´lgebra de Hopf de Connes y Kreimer

74

5.3. La sub´algebra de Hopf de Connes Moscovici

78

5.4. El caso general AN

85

5.5. El a´lgebra de Hopf NGc•

88

6. El ´ algebra de Hopf NGc

91

7. El ´ algebra de Hopf de incidencia natural

96

Referencias

98

5

Resumen Un operad conjunt´ıstico es un monoide en la categor´ıa de las especies combinatorias con respecto a la operaci´on de substituci´on. Desde un operad conjunt´ıstico construimos un ´algebra de Hopf conmutativa y no co-conmutativa, a la que llamaremos ´algebra de Hopf natural de el operad. En [16] se obtiene una f´ormula combinatoria para su ant´ıpoda en t´erminos de ´arboles de Schr¨oder, que generaliza a la f´ormula de Haiman-Schmitt [8] para el ´algebra de Hopf de Fa´a di Bruno. La f´ormula cl´asica de inversi´on de Lagrange es obtenida usando la ant´ıpoda del ´algebra de Hopf natural del operad de las particiones punteadas. Utilizando una t´ecnica de coloraci´on sobre los v´ertices internos de un ´arbol de Schr¨oder y ciertas biyecciones, obtenemos formulas de ant´ıpoda para las ´algebras de Hopf naturales correspondientes a los operads de los grafos conexos, ´arboles con ra´ız y para su generalizaci´on el operad de los a´rboles enriquecidos con un monide. Utilizando las coloraciones construimos un epimorfismo que va desde el ´algebra de Hopf natural asociada al operad de los a´rboles con ra´ız, a el ´algebra de Connes y Kreimer. Cuando el operad es cancelativo a izquierda, construimos una familia de conjuntos parcialmente ordenados. El ´algebra de Hopf natural tambi´en es obtenida como un ´algebra de Hopf de incidencia reducida, tomando una apropiada relaci´on de equivalencia sobre los intervalos que define el orden parcial.

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Agradecimientos Agradezco a dios por darme todo la necesario para continuar trabajando. Tambi´en estoy muy agradecido con el Consejo de Desarrollo Cient´ıfico y Human´ıstico de la Universidad Central de Venezuela por financiar este proyecto de investigaci´on. Existen tres personas muy importantes en mi vida que me han dado todo el apoyo emocional y afectivo en estos momentos tan dif´ıciles que vive la academia venezolana, creo que sin ellas es imposible terminar mi doctorado a tiempo. Estas tres personas son: mi madre EUNICE, mi hija JEANNYMAR y mi esposa DULCE ANDREINA las amo mucho y les agradezco todo lo bonito que me dan sin pedir nada a cambio. Por u ´ltimo quiero agradecer al Dr. Miguel M´endez a quien admiro y respeto por toda su gran trayectoria como investigador en el ´area de la combinatoria dentro del pa´ıs. Todas las ideas principales de este trabajo forman parte de algunas interrogantes que surgen de su Tesis Doctoral del a˜ no 1989. La paciencia, la perseverancia y las grandes ideas caracterizan a este investigador, es para mi un lujo tener el respaldo acad´emico de Miguel M´endez que sin duda alguna ha contribuido significativamente en mi formaci´on como matem´atico.

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´n Introduccio Heinz Hopf, uno de los pioneros de la topolog´ıa algebraica introdujo la estructura de ´algebra de Hopf en conexi´on con la homolog´ıa de los grupos de Lie en 1939. Despu´es de varios a˜ nos ´estas han ganado mucha importancia debido a sus aplicaciones en ramas de la f´ısica tales como los grupos cu´anticos, la renormalizaci´on y la geometr´ıa no conmutativa. La topolog´ıa algebraica gradualmente ha contribuido al incremento de una variedad compleja de nuevas a´lgebras de Hopf. Por otra parte, la combinatoria comenz´o a acumular una serie de impresionantes construcciones de ciertas estructuras, las cuales hoy en d´ıa se sumergen en el mundo de las ´algebras de Hopf. Los primeros en abrir el puente de conexi´on entre las ´algebras de Hopf y ciertos problemas combinatorios fueron Joni y Rota en [25], quienes inspirados en la idea de armar y desarmar piezas de objetos construyeron de manera natural co´algebras y bi´algebras sobre espacios generados por ciertos tipos de estas piezas. Los operads conjunt´ısticos, cuya redacci´on al ingl´es es set operads son familias de estructuras combinatorias que generalizan la idea de armar y desarmar estructuras de manera asociativa o coasociativa. La operaci´on de substituci´on de especies formaliza la noci´on de insertar objetos combinatorios dentro de otros objetos combinatorios, la cu´al est´a presente en muchas construcciones. Luego, la descripci´on informal e intuitiva de una especie combinatoria como una familia de estructuras combinatorias que es cerrada por cambio de etiquetas, puede ser extendida a lo que describe un operad conjunt´ıstico. Por esta raz´on es apropiado pensar a un operad conjunt´ıstico M, como una de estas familias junto con un producto o mecanismo de reproducci´on η : M(M) −→ M que ensambla un conjunto de estructuras (piezas) usando una estructura externa (modelo o patr´on) con la finalidad de obtener una mas grande. η satisface los axiomas de asociatividad y existencia de identidad. Formalmente un operad conjunt´ıstico es un monoide en la categor´ıa monoidal de las especies positivas bajo la operaci´on de substituci´on. Todos los operads de este trabajo son conexos, es decir, si una estructura de M tiene una sola etiqueta, entonces esta debe ser u ´nica salvo isomorfismo. De esta manera la unidad del operad quedar´a completamente caracterizada. Sea K un cuerpo de caracter´ıstica cero y NM la K-´algebra conmutativa libremente generada por los tipos de isomorfismos de la especie M, es decir, los generadores de NM son las estructuras de M sin etiquetas. Usando el producto η, M. Mendez en [9] define un coproducto

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y una counidad para NM . Luego ´el obtiene que NM es una bi´algebra extendiendo multiplicativamente el coproducto y la counidad. NM se denomina bi´algebra natural asociada al operad M. En [16] se obtiene que NM es en efecto un ´algebra de Hopf, presentando una f´ormula para la ant´ıpoda en t´erminos de ´arboles de Schr¨oder M-enriquecidos, tal como se definen en [10]. Esta f´ormula es una generalizaci´on de la ant´ıpoda de Haiman y Schmitt [8] para el ´algebra de Hopf de Fa`a Di Bruno. NM recibe el nombre de ´algebra de Hopf natural asociada al operad M. NM es en general no co-conmutativa. En [23] se construyen de manera similar ´algebras de Hopf desde cooperads algebraicos no sim´etricos. Tambi´en en [7] se construye el ´algebra de Hopf de funciones sobre el grupo de las series formales asociadas a el operad M. Se puede ver que esta versi´on es isomorfa a NM . La especie uniforme positiva E+ es el operad de las particiones de un conjunto. Probaremos que la formula de ant´ıpoda de NE+ es equivalente a la formula de inversi´on de Lagrange para series formales. La especie uniforme punteada E • es el operad de las particiones punteadas de un conjunto. Desde la ant´ıpoda del ´algebra NE • obtenemos la formula cl´asica de inversi´on de Lagrange presentada por Chen en [27]. Las especies combinatorias junto a la operaci´on producto y la especie caracter´ıstica del vac´ıo es una categor´ıa monoidal. Partiendo de un monoide N, en esta categor´ıa, estudiamos el operad de los ´arboles N-enrriquecidos AN presentado en [9] y [19]. Para el caso en que el monoide es la especie uniforme (N = E) obtenemos el NAP operad (non associative permutative operad), es decir, el operad de los a´rboles con ra´ız A. Presentamos una reformulaci´on de la ant´ıpoda de NA usando una t´ecnica de coloraci´on sobre las profundidades que tienen los v´ertices internos de los ´arboles de Schr¨oder y ciertas biyecciones presentadas en [11]. Estas coloraciones nos permiten caracterizar a las sub´algebras de NA . Obtenemos un resultado interesante: NA se proyecta sobre el ´algebra HR de Connes y Kreimer [2]. De esta manera HR es un cociente de NA . Explicamos con generadores y relaciones este cociente. Este resultado fue presentado por Chapoton y Livernet en [7], sin embargo la demostraci´on presentada en este trabajo es directa y sencilla debido a que utiliza la novedosa t´ecnica de las coloraciones. Usando ´arboles crecientes, presentamos una construcci´on combinatoria de la sub´algebra de δ Hopf de Connes Moscovici HCM , estudiada en [2] como sub´algebra de HR . Pensando a HR

como un cociente de NA , utilizamos la t´ecnica de coloraciones para presentar formulas para el

9

δ δ coproducto y la ant´ıpoda de HCM , y desde estas f´ormulas se demuestra que HCM es isomorfa

a NE+ . Usando la proposici´on 2.1 de [11] generalizamos la t´ecnica de las coloraciones del operad A a el operad AN para cualquier monoide N, obteniendo una formula general de la ant´ıpoda de NAN en t´erminos de coloraciones factorizadas por el monoide N. A partir de esta se consiguen formulas para las ant´ıpodas de las ´algebras NGc• y NAL asociadas a el operad de los grafos conexos punteados Gc• y el operad de los ´arboles planares AL . El u ´ ltimo ejemplo que se estudia en este trabajo es el operad de los grafos conexos simples, Gc , cuyo producto est´a relacionado con los m´odulos de un grafo y la descomposici´on modular de un grafo, conceptos relevantes en [13], [14]. Usando la misma t´ecnica de las coloraciones obtenemos una formula de ant´ıpoda para el ´algebra NGc . La construcci´on del ´algebra NM tambi´en puede realizarse en el contexto de las ´algebras de Hopf de incidencia excepto que se necesita la propiedad de cancelaci´on a izquierda sobre el producto del operad M. A continuaci´on damos una peque˜ na introducci´on: los conjuntos formados por estructuras de un operad M, se denominan asambleas. Una asamblea a1 divide a otra asamblea a2 , si cada estructura de a2 , es el resultado ensamblar un subconjunto de estructuras de a1 usando el producto η. Cuando el operad tambi´en satisface la ley de cancelaci´on a izquierda, M. Mendez en [9] demuestra que la relaci´on divisi´on de asambleas es un orden parcial. Un operad conjunt´ıstico que satisface la ley de cancelaci´on a izquierda se denomina operad cancelativo (c-operad). La construcci´on de familias de conjuntos parcialmente ordenados desde c-operads y las ´algebras de Hopf de incidencia natural asociadas a estas familias fueron introducidas en [9] (ver tambi´en [19], [15], [10], [17], para la construcci´on de conjuntos parcialmente ordenados desde c-operads, y [7] para una construcci´on silmilar e independiente de las a´lgebras de Hopf de incidencia desde operads). Los intervalos de estos conjuntos parcialmente ordenados forman una familia hereditaria en el sentido de Schmitt [24], y cualquier relaci´on de Hopf sobre esta familia de intervalos permite construir un ´algebra de Hopf de incidencia reducida. A partir de un c-operad M y el orden parcial definido por la divisi´on entre asambleas se define naturalmente una relaci´on de Hopf sobre la familia de intervalos que se obtienen de este orden parcial. El ´algebra de Hopf de incidencia reducida resultante, es igual a NM , es decir, est´a generada libremente por los tipos de isomorfismo de las estructuras combinatorias de M.

10

Una vez m´as la formula de ant´ıpoda presentada en [16] le da estructura de ´algebra de Hopf a NM , esta recibe el nombre de ´algebra de Hopf de incidencia natural asociada al c-operad M. Chapoton y Livernet en [7], usan el orden parcial divisi´on entre asambleas y la relaci´on isomorfismo de intervalos ≡ para construir el ´algebra de Hopf de incidencia reducida est´andar HM , la cual est´a libremente generada por las clases de isomorfismos de intervalos. En [7] se demuestra que cuando M = A, entonces HA es el ´algebra de Connes y Kreimer. HM es en general mas restrictiva que el ´algebra de incidencia natural NM . Probaremos que NM se proyecta sobre HM . Muchos de los ejemplos de operads y ´algebras de Hopf de este trabajo fueron introducidos en [9] y el presente trabajo da respuestas a ciertas preguntas formuladas hace m´as de 20 a˜ nos.

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Preliminares te´ oricos

1.

En esta secci´on presentamos la teor´ıa b´asica que antecede a la investigaci´on, la cual es fundamental en los objetivos de la misma. 1.1.

Categor´ıas, ejemplos de categor´ıa y morfismos. Una categor´ıa C consiste de:

1. Una clase de objetos Obj(C). 2. Para cada par (W, V ) de objetos, un conjunto HomC (W, V ), siendo dichos conjuntos disjuntos. Los elementos de HomC (W, V ) lo llamaremos morfismos de W en V . En algunas ocasiones escribiremos al elemento f ∈ HomC (W, V ) como f : W −→ V . 3. Para cada terna W ,V ,Z de objetos en la categor´ıa C, una aplicaci´on llamada composici´on de morfismos: ξ : HomC (V, Z) × HomC (W, V ) −→ HomC (W, Z) definida por ξ(f, g) = f ◦ g, y que debe cumplir las siguientes condiciones: a) La composici´on de morfismos es asociativa cuando tenga sentido; es decir, si g es un elemento de HomC (V, Z), h ∈ HomC (Z, W ), y f ∈ HomC (W, Y ), entonces: f ◦ (h ◦ g)) = (f ◦ h) ◦ g

b) Para cada objeto V de la categor´ıa, existe un morfismo idV : V −→ V que act´ ua como identidad por la izquierda y por la derecha respecto a la composici´on de morfismos: f ◦ idV = f , para todo morfismo f : V −→ W . idV ◦ g = g, para todo morfismo g : W −→ V . Este morfismo idV : V −→ V es u ´ nico y se llama identidad de V . De esta manera el concepto de categor´ıa nos permiten recoger y precisar a los grupos, anillos, ´algebras, conjuntos, espacios topol´ogicos, espacios vectoriales; a trav´es de su informaci´on estructural y sus morfismos, es decir, las categor´ıas proporcionan los ambientes donde desarrollamos nuestros estudios de matem´atica. Se hace ´enfasis en que existen categor´ıas cuyos objetos no son conjuntos, aunque en la mayor´ıa de los casos esto no ocurra.

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Ejemplo 1.1.1. La categor´ıa de los conjuntos (Sets), sus objetos son los conjuntos, sus morfismos son las aplicaciones entre conjuntos. Ejemplo 1.1.2. La categor´ıa de los grupos (Gr), sus objetos son los grupos, sus morfismos son los homomorfismos de grupos. De igual manera tenemos las categor´ıas de anillos, m´odulos, y ´algebras. Ejemplo 1.1.3. La categor´ıa de los espacios topol´ogicos (Top), sus objetos son los espacios topol´ogicos, sus morfismos son las aplicaciones continuas entre espacios topol´ogicos. Ejemplo 1.1.4. Si (P, ≤) es un conjunto pre-ordenado; es decir, la relaci´on ≤ es reflexiva y transitiva, entonces se puede mirar a P como una categor´ıa en la que: 1. obj(P ) = P 2. P (i, j) = ∅, cuando i  j, e I(i, j) = {fij } (conjunto con un solo elemento), cuando i ≤ j. 3. La composici´on de morfismos est´a dada por: fjk ◦ fij = fik , cada vez que i ≤ j ≤ k. Ejemplo 1.1.5. Para cada anillo conmutativo y unitario R, el conjunto MatrR formado por todas las matrices rectangulares con entradas en R es una categor´ıa en donde los objetos son todos los enteros positivos m, n, ... y cada matriz A de orden m × n es considerada como un morfismo A : m −→ n. De esta manera la composici´on de morfismos en MatrR viene dada por la multiplicaci´on usual de matrices. Ejemplo 1.1.6. Si G es un grupo, entonces G puede ser considerado como una categor´ıa con un solo objeto, G. Sea Hom(G, G), el conjunto de los elementos de G, la composici´on de morfismos a, b es simplemente el producto ab dado por la operaci´on binaria en G. De esta manera idG es el elemento identidad e ∈ G. Definici´ on 1.1.1. Dada una categor´ıa C y un morfismo f : V −→ W . Diremos que f es: 1. Monomorfismo (resp. epimorfismo) si se cumple la cancelaci´on a la izquierda (resp. a la derecha), es decir: f ◦ g = f ◦ h =⇒ g = h (resp. g ◦ f = h ◦ f =⇒ g = h), siempre que las composiciones tengan sentido.

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2. Secci´on (resp. retracci´on) si tiene inverso a la izquierda (resp. a la derecha). Es decir, si existe un morfismo g : W −→ V tal que g ◦ f = idV (resp. f ◦ g = idW ). 3. Un isomorfismo si existe g : W −→ V de manera tal que g ◦ f = idV y f ◦ g = idW . En este caso diremos que los objetos V y W son isomorfos y escribiremos V ∼ = W. Ejemplo 1.1.7. La identidad de cualquier objeto de una categor´ıa C es un isomorfismo, el inverso de un isomorfismo es un isomorfismo, y la composici´on de isomorfismos, cuando tenga sentido, es un isomorfismo. Ejemplo 1.1.8. En Sets se tiene que monomorfismo, aplicaci´on inyectiva y secci´on son equivalentes. Epimorfismo, aplicaci´on sobreyectiva y retracci´on son equivalentes. Adem´as aplicaci´on biyectiva es igual a isomorfismo. An´alogamente en Gr monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo, corresponden a homomorfismos que son inyectivos, sobreyectivos, y biyectivos respectivamente. 1.2.

Functores y categor´ıas de functores.

Definici´ on 1.2.1. Sean C y C dos categor´ıas. Dar un functor covariante F : C −→ C es asignar a cada objeto V de C un objeto F [V ] de C , y a cada morfismo f : V −→ W de C un morfismo F [f ] : F [V ] −→ F [W ] de C , de modo que se verifiquen las siguientes condiciones: 1. F [idV ] = idF [V ] , para todo objeto V de C. 2. F [f ◦ g] = F [f ] ◦ F [g], para cualquier par de morfismos g : V −→ W , f : W −→ Z de la categor´ıa C. Ejemplo 1.2.1. Dada una categor´ıa C, el functor identidad idC : C −→ C es el functor covariante que transforma cada objeto de C en ´el mismo, y a cada morfismo de C en s´ı mismo. Ejemplo 1.2.2. Sea C cualquiera de las categor´ıas Top, Gr, R − Mod o de manera general una categor´ıa cuyos objetos son conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismo son las aplicaciones que conservan dicha estructura. Se define el functor covariante Olv de C en Sets, dado por Olv[W ] = W y W es considerado como un conjunto sin estructura. Para cada morfismo f : V −→ W , Olv[f ] = f . Olv se denomina el functor olvido de C a Sets. En teor´ıa de conjuntos es f´acil decidir cu´ando dos aplicaciones son iguales. Si pensamos que los functores se comportan como aplicaciones entre categor´ıas se podr´ıa esperar que una

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identificaci´on entre functores parecida a la de morfismos sea simple. Sin embargo, en la pr´actica ocurre raramente que dos functores sean id´enticos, pero no es tan inusual que tengan una relaci´on entre ellos que nos permita tratarlos como si fueran id´enticos. Para llegar a ello necesitamos la siguiente definici´on: Definici´ on 1.2.2. Dados dos functores F, G : C −→ D, llamaremos transformaci´on natural de F a G a una clase τ := (τV : F [V ] −→ G[V ])V ∈Obj(C) de morfismos en D de manera tal que para cada morfismo f : V −→ W en C el diagrama: F [V ]

τV

/

G[V ]

F [f ]

G[f ]



F [W ]

τW

/



G[W ]

es conmutativo. Si para cada objeto V de C, se tiene que τV es un isomorfismo, entonces τ se denomina isomorfismo natural entre los functores F y G. Cuando esto ocurra se dir´a que los functores F y G son isomorfos o iguales. 1.3.

Especies combinatorias. Denotamos por B a la categor´ıa de conjuntos finitos y

biyecciones y por F a la categor´ıa de los conjuntos finitos y funciones. Una especie combinatoria es cualquier functor covariante M : B −→ F. Las especies combinatorias junto con las transformaciones naturales como morfismos, forman una categor´ıa. Decimos que M = N si M y N son especies isomorfas. Los elementos de M[U] se denominan M-estructuras sobre el conjunto de etiquetas U. Dos M-estructuras m1 ∈ M[U1 ] y m2 ∈ M[U2 ] son isomorfas si existe una biyecci´on σ : U1 −→ U2 tal que m2 = M[σ](m1 ) := σm1 . La biyecci´on σ es un isomorfismo entre las M-estructuras m1 y m2 . Los tipos de isomorfismos de M-estructuras son llamados usualmente M-estructuras no etiquetadas. Denotamos por T(M) al conjunto formado por todos los tipos de isomorfismos de M-estructuras. Para una M-estructura m, τM (m) = τ (m) ∈ T(M) denota el tipo de isomorfismo de m. De esta manera τ puede ser entendida como la proyecci´on can´onica:

τ:

∞  n=0

M[n] −→ T(M)

15

que env´ıa a m ∈ M[n] = M[{1, 2, 3..., n}] en τ (m) ∈ T(M) Denotaremos a los elementos de T(M) con letras griegas α, β, γ, ... Para cada m ∈ M[U] Aut(m) es el conjunto formado por todas las biyecciones σ : U −→ U tales que σm = m. Si τ (m) = α, entonces aut(α) es el cardinal del conjunto Aut(m). T(M)[n] denotar´a al conjunto imagen τ (M[n]). Definici´ on 1.3.1. Una especie que env´ıe al conjunto vac´ıo en el conjunto vac´ıo se denomina especie positiva. Para una especie M, M+ denotar´a la especie positiva de M, es decir: ⎧ ⎪ ⎪ M[U] si |U| ≥ 1 ⎪ ⎨ M+ [U] = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∅ en otro caso. en general, para un entero positivo k, ⎧ ⎪ ⎪ M[U] si |U| ≥ k ⎪ ⎨ Mk+ [U] =

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∅

en otro caso.

y ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ M[U] si |U| = k Mk [U] =

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∅

en otro caso.

A continuaci´on damos varios ejemplos de especies combinatorias: Ejemplo 1.3.1. a. La especie singular: ⎧ ⎪ ⎪ U si |U| = 1 ⎪ ⎨ X[U] =

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∅

x

en otro caso.

b. La especie uniforme: 1

E[U] = {U}

b 3 2

16

c. La especie de las particiones: Π[U] = {π : π es una partici´on de U} 4

b 3

1

6

2 5 7

d. La especie de identidad del vac´ıo: ⎧ ⎪ ⎪ {U} si U = ∅ ⎪ ⎨ 1[U] =

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∅

en otro caso.

e. La especie L de los ordenes lineales: L[U] = {l : l : [n] −→ U, l es una biyecci´on n = |U|}

d

c

4

f. La especie de las endofunciones:

End[U] = {h : h : U −→ U, h es una funci´on} La especie de las permutaciones Per cuyas estructuras sobre un conjunto finito U son biyecciones de U en U. g. La especie de los grafos simples G. Un grafo simple es un par g = (U, E(g)), en donde U es el conjunto subyacente de g denominado v´ertices del grafo y E(g) es un subconjunto de {{v, w} : v, w ∈ U, y v = w} denominado lados de g. An´alogamente tenemos la especie de los grafos conexos Gc cuyas estructuras son grafos simples g = (U, E(g)), tales que cada par de v´ertices u, v est´an conectados por un camino formado por lados de E(g). La especie de los a´rboles A tiene como estructuras a los grafos simples conexos T = (U, E(T )) tales que E(T ) no contiene caminos cerrados, es decir, E(T ) no contiene recorridos de la forma {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v3 , v4 }, ..., {vn−1 , vn }, {vn , v1 }. La especie de los ´arboles con ra´ız A, tiene como estructuras a los pares de la forma (T, r), en donde T ∈ A y r es un elemento del conjunto subyacente de T denominado la ra´ız de T . La ra´ız r y los lados de T permiten orientar todos los caminos de T desde la ra´ız r. De esta manera, un v´ertice u2 es un hijo de un v´ertice u1 si y s´olo si u2 es un sucesor inmediato de u1 .

17

u es un v´ertice interno de T si y solo si u tiene por lo menos un hijo en T , en caso contrario u es una hoja de T . La fibra de un v´ertice u es el conjunto formado por todos los hijos que tiene u en el a´rbol T . La profundidad de un v´ertice u es el n´ umero de lados del u ´ nico camino que va de la ra´ız r hasta u. La altura de T es el n´ umero de lados del camino mas largo entre la ra´ız y una de sus hojas.

7 2

4 9

1

8 11 3 5 6

2

4 9

10

Grafo simple

8 11 10 3 5

8 11 3 5

1

6

Grafo simple conexo

10

Árbol

6 Árbol con raíz

Definici´ on 1.3.2. La funci´on generatriz exponencial de una especie M es la serie: (1)

M(x) =

∞ 

|M[n]|

n=0

xn n!

en donde M[n] = M[{1, 2, ..., n}]. Por functorialidad, |M[n]| es igual a |M[U]| para cualquier conjunto U que tenga cardinal 1 . n. Desde esta definici´on se obtiene que: X(x) = x, E(x) = ex , 1(x) = 1, Per(x) = L(x) = 1−x k  x ser´a denotado por: El t´ermino fn de la funci´on generatriz exponencial F (x) = k≥0 fk k! n

x F (x). n! Note que si dos especies M y N son isomorfas, entonces M(x) = N(x). Sin embargo el

rec´ıproco no es en general cierto, pues Per no es isomorfa a L y Per(x) = L(x) = 1.4.

1 . 1−x

Suma, producto, substituci´ on, derivada y apuntamiento de una especie.

Definici´ on 1.4.1. Una k-descomposici´on de un conjunto finito U es una k-tupla (U1 , U2 , ..., Uk ) de subconjuntos disjuntos de U cuya uni´on es U. Definimos ahora operaciones entre especies (suma, producto, substituci´on, derivada y apuntamiento) que corresponden homom´orficamente a las respectivas operaciones entre funciones generatrices. Las operaciones entre especies combinatorias simulan conjunt´ısticamente las operaciones entre series generatrices.

18

Definici´ on 1.4.2. La suma de especies M y N se define como la especie que asocia a cada conjunto finito U la uni´on disjunta de los conjuntos M[U] y N[U]. En s´ımbolos: (M + N)[U] = M[U] + N[U] = (M[U] × {1}) ∪ (N[U] × {2}). La funci´on generatriz de la suma de especies es igual a la suma de las funciones generatrices de cada especie. Es decir: (M + N)(x) =

∞ 

(M[n] + N[n])

n=0

xn = M(x) + N(x) n!

Definici´ on 1.4.3. El producto de dos especies My N est´a definido por:

M.N[U] =



M[U1 ] × N[U2 ]

U1 +U2 =U

La sumatoria de arriba es la uni´on de todos los conjuntos M[U1 ] × N[U2 ] en donde U1 , U2 es una descomposici´on de U. Las estructuras de M.N[U] son de la forma (U1 , U2 , m, n), donde m ∈ M[U1 ], n ∈ N[U2 ] y U1 + U2 = U es la uni´on disjunta de los subconjuntos U1 y U2 . La funci´on generatriz del producto de especies es igual al producto de las funciones generatrices de cada especie. Es decir:

  n ∞ xn xn   n |M[k]||N[n − k]| = = M(x)N(x) |M.N[n]| (M.N)(x) = k n! n! n=0 k=0 k=0 n 

El coeficiente

n k

cuenta el n´ umero de descomposiciones (U1 , U2 ) del conjunto {1, 2, ..., n}

tales que el cardinal de U1 es k. Ejemplo 1.4.1. Si consideramos la especie de los desarreglos: D[U] = {ψ : ψ ∈ Per[U], ψ(x) = x ∀x ∈ U}, entonces las especies Per, D, y E satisfacen la siguiente igualdad combinatoria: Per = E.D Esto se debe a que toda permutaci´on ψ ∈ Per[U] descompone al conjunto U en dos conno uno de ψ y U2 son los ciclos de tama˜ no juntos U1 , U2 , en donde U1 son los ciclos de tama˜ mayor o igual a dos de ψ. La siguiente figura ilustra la igualdad:

19

= Per

D

E

Utilizando este isomorfismo entre especies se puede determinar la funci´on generatriz D(x), en efecto: 1 = Per(x) = E(x)D(x) = ex D(x) 1−x e−x y por lo tanto D(x) = 1−x El producto finito de especies combinatorias se define de manera an´aloga. Si N1 , N2 , ..., Nk son especies, entonces:



k 

 Ni

[U] =

i=1

k 



N[Ui ]

U1 +U2 +···Uk =U i=1

La sumatoria de arriba es la uni´on de todos los conjuntos de la forma

k i=1

N[Ui ], en donde

(U1 , U2 , ..., Uk ) es una k-descomposici´on de U. Utilizando un razonamiento an´alogo al caso k = 2 se obtiene que:



k 

 Ni

(x) =

i=1

k 

Ni (x)

i=1

La operaci´on producto de especies combinatorias es conmutativa y asociativa, es decir, si N1 , N2 y N3 son especies, entonces: N1 .N2 = N2 .N1 , (N1 .N2 ).N3 = N1 .(N2 .N3 ). La especie identidad del conjunto vac´ıo: 1, es la unidad con respecto a la operaci´on producto de especies: 1.N = N Definici´ on 1.4.4. Dada dos especies M y N, tal que N es positiva, la operaci´on de substituci´on es definida por: M(N)[U] =





π∈Π[U ]

p∈π

N[p] × M[π]

Los elementos de M(N)[U] son pares de la forma (a, mπ ) configurados de la siguiente manera: π es una partici´on de U, y para cada bloque p ∈ π existe np ∈ N[p] tal que a es igual  al conjunto {np : p ∈ π}, el cual es un elemento de p∈π N[p], es decir, a es una asamblea de

20

N-estructuras sobre π, y mπ ∈ M[π]. La partici´on π del conjunto U se denomina la partici´ on subyacente de la asamblea a. La funci´on generatriz de la substituci´on de especies es igual a la substituci´on de las funciones generatrices de las correspondientes especies. Como N[∅] = ∅, entonces |M(N)[0]| = |M[0]| y este es el coeficiente independiente de la funci´on generatriz M(N(x)). Por otra parte cada partici´on π del conjunto {1, 2, 3, ..., n} es una descomposici´on no vac´ıa y desordenada del conjunto {1, 2, 3, ..., n}. Si π tiene tama˜ no k, ordenando de todas las posibles maneras los bloques de π obtenemos k! tuplas de la forma (U1 , U2 , ..., Uk ) tales que π = {Ui }ki=1 . Por lo tanto:

  π∈Πk [n]

 1  1 |N[p]| = k! |N[p]| = k! k! p∈π p∈π π∈Πk [n]

U1 +U2 +···+Uk =[n]



xn N k (x) |N[Ui ]| = n! k! i=1

k 



Luego:

n



x M(N)(x) = |M(N)[n]| = n!

 k≥1

⎛ ⎝



 

⎞ |N[p]|⎠ |M[k]|

π∈Πk [n] p∈π

xn N k (x) |M[k]| = n! k! k≥1 n  n

N k (x) x x |M[k]| = = M(N(x)) n! k≥1 k! n! Estas igualdades nos dicen que M(N)(x) = M(N(x)). La especie uniforme E es usualmente utilizada para definir a partir de una especie positiva M, las asambleas de M-estructuras a trav´es de la substituci´on E(M). En efecto, para cada conjunto finito U las estructuras de E(M)[U] son de la forma (a, {π}), en donde π es la partici´on subyacente de la asamblea a. En este trabajo se har´a uso de la identificaci´on: (a, {π}) := a. Algunas veces a M se le conoce como la especie conexa de E(M), un ejemplo claro de este hecho es el siguiente: si Gc es la especie de los grafos conexos, entonces es muy f´acil ver que la especie de los grafos simples G, es igual a la especie E(Gc ). La siguiente figura ilustra esta igualdad.

21

G

E(Gc)

=

Si consideramos la especie uniforme positiva E+ , entonces las estructuras de E(E+ )[U] son asambleas de la forma {{p}}p∈π en donde π es una partici´on de U. Eliminando las llaves internas se obtiene la partici´on π. Por esta raz´on la especie E(E+ ) es igual a la especie de las particiones Π. De esta manera E(E+ )[n] se puede identificar con el conjunto formado por todas las particiones de {1, 2, 3, ..., n}. Usando estas igualdades podemos hallar la funciones un k ≥ 1. En efecto: generatrices: Πn (x), Π(x) y Ek (E+ )(x) para alg´ ex −1

Π(x) = E(E+ )(x) = e



xn = Bn n! n≥0

umeros de Bell. en donde los coeficientes |E(E+ )[n]| = Bn son los n´ xn xn Πn (x) = |E(E+ )[n]| = Bn = n! n!



n  k=1

 S(n, k)

xn n!

umero de Stirling de segundo tipo. El coeficiente |Ek (E+ )[n]| = S(n, k) se conoce como n´ Adem´as:  xn  xn  xn (ex − 1)k = Ek (E+ )(x) = = = |Ek (E+ )[n]| |Ek (E+ )[n]| S(n, k) k! n! n! n! n≥0 n≥k n≥k Como toda permutaci´on se descompone como un producto de ciclos disjuntos, se tiene f´acilmente que la especie de las permutaciones Per es igual a la especie de E(C), en donde C es la especie de las permutaciones c´ıclicas. Tomando series generatrices: eC(x) = P er(x) =

1 , 1−x

1 de donde C(x) = log( 1−x ), como era de esperarse. Otra igualdad importante es la siguiente:

la especie de los a´rboles con ra´ız A es igual a el producto de especies X.E(A), esto se debe a que despu´es de suprimir la ra´ız r de un a´rbol (T, r) ∈ A y todos los lados incidentes a r se obtiene de manera natural una asamblea ar = {Tx }x∈Ir , en donde Ir es el conjunto de todos los hijos de r en el ´arbol T y para cada x ∈ Ir , Tx es el sub´arbol de T cuyos v´ertices son

22

todos los descendientes de x, considerando a x como la ra´ız de Tx . La asamblea ar es vac´ıa cuando Ir es vac´ıo. De esta manera el ´arbol (T, r) se identifica con el par (r, ar ) ∈ X.E(A). La siguiente figura ilustra lo anteriormente explicado:

4 1

k 2 b

a

=

r

4 1

k 2 b

a

r

X

E(A)

La operaci´on de substituci´on sobre la clase de las especies positivas, es asociativa, es decir, si M, N, R son especies positivas, entonces M(N(R)) = (M(N))(R), adem´as la especie singular X se comporta como la identidad con respecto a la substituci´on, es decir: X(M) = M(X) = M. Definici´ on 1.4.5. Sea M una especie. La especie derivada de M, denotada por M  se define como: M[U] = M[U + {∗}] en donde ∗ es un elemento adicional que a˜ nadimos al conjunto U. En forma m´as general, para un natural n ≥ 2, se define la derivada n-´esima de una especie M por: M (n) [U] = {U + {∗1 , ∗2 , ..., ∗n }} nadimos a U. en donde {∗1 , ∗2 , ..., ∗n } es un conjunto adicional que a˜ La funci´on generatriz de la derivada de una especie es igual a la derivada de la funci´on generatriz de la especie correspondiente. Es decir: ∞  xn xn−1 = |M[n + 1]| |M[n]| M (x) = n! (n − 1)! n=0 n=1 

∞ 

∞ 

xn−1 = n|M[n]| = n! n=0



∞ 

xn |M[n]| n! n=0

 = (M(x))

Es f´acil ver que E  = E, como era esperarse ya que (ex ) = ex . La derivada C  de la especie de las permutaciones c´ıclicas es igual a la especie L de los ordenes lineales. Esto se

23

debe a que el ciclo (∗ σ(∗) σ 2 (∗) ... σ n (∗)) ∈ C[U + {∗}] se identifica con el orden lineal (σ(∗), σ 2 (∗), ..., σ n (∗)) ∈ L[U], la siguiente figura ilustra la igualdad:

* d

b

=

d

b a

a C

L

Cuando se calculan las correspondientes funciones generatrices se tiene: 

 log

1 1−x



= C  (x) = L(x) =

1 1−x

como era de esperarse. Un razonamiento an´alogo nos permite decir que L = L.L. Esto se debe a que cada orden lineal f = (f (1), f (2), ..., f (k), ∗, f (k + 2), ..., f (n)) ∈ L[U + {∗}] se descompone a trav´es del v´ertice ∗ en dos ordenes lineales fk = (f (1), f (2), ..., f (k)) y fn−k−1 = (f (k + 2), ..., f (n)). Esto permite identificar a f ∈ L [U] con el par (fk , fn−k−1) ∈ L.L[U]. De esta manera:   1 1 = L (x) = L2 (x) = 1−x (1 − x)2 Proposici´ on 1.4.1. Sean M y N especies combinatorias. Las siguientes igualdades se satisfacen: a. (M.N) = M  .N + M.N  b. Si N es positiva, se tiene la regla de la cadena: (M(N)) = M  (N).N  Sea (U1 , U2 , m, n) ∈ M.N[U + {∗}]. Si ∗ ∈ U1 , entonces (m, n) ∈ M  .N[U], an´alogamente si ∗ ∈ U2 , entonces (m, n) ∈ M.N  [U]. De la uni´on de los dos casos se tiene el item a. Sea ({np }p∈π , mπ ) ∈ (M(N))[U + {∗}]. Denotamos por p∗ al bloque de π que contiene al elemento ∗. p∗ descompone al conjunto U + {∗} en dos subconjuntos (U1 , p∗ ), en donde U1 es la uni´on de todos los bloques de π que no contienen al elemento ∗. Si π1 = π − {p∗ }, entonces mπ ∈ M[π1 + {p∗ }] = M  [π1 ]. De esta manera el par ({np }p∈π , mπ ) se identifica con (U1 , p∗ − {∗}, (({np }p∈π1 , mπ ), np∗ ) ∈ M  (N).N  [U]. Esto verifica que se cumple el item b.

24

Definici´ on 1.4.6. Sea M una especie. La especie apuntada de M, denotada por M • est´a definida por: M • [U] = M[U] × U Las estructuras de M • [U] son las estructuras de M[U] en las cuales se ha distinguido un elemento de U, es decir, pares de la forma (m, u), en donde m ∈ M[U] y u ∈ U La especie apuntada de M se relaciona con la derivada de M a trav´es de la ecuaci´on combinatoria: M • = X.M 

(2)

esto se debe a que cada par (m, u) ∈ M • [U] se identifica con ({u}, U −{u}, u, m) ∈ X.M  [U] considerando el hecho de que m ∈ M[U − {u} + {u}]. De esta manera se tiene que M • (x) = xM  (x) Desde la ecuaci´on (2) se sigue que A• = A, es decir, el apuntamiento de la especie de los ´arboles es la especie de los ´arboles con ra´ız. Si se combinan las ecuaciones de la proposici´on (1.4.1) y la ecuaci´on (2) se obtienen las igualdades: (M.N)• = M • .N + M.N • ,

(M(N)) = M • (N).N 

Cualquier otra informaci´on acerca de la teor´ıa de especies se recomienda ver [6]. 1.5.

Monoides y Operads conjunt´ıstico.

Definici´ on 1.5.1. Un monoide con respecto al producto entre especies es un par (N, ν) que cumple con las siguientes condiciones: 1. | N[∅] |= 1 2. ν es una transformaci´on natural de N.N en N asociativa, es decir, el diagrama: (3)

N(N.N) 

=

/

(N.N).N

ν.idN

/

N.N ν

idN .ν

N.N

ν

/



N

es conmutativo. ν es el producto del monoide N y el elemento e0 del conjunto N[∅] se comporta como la unidad de N con respecto al producto ν. Para n ∈ N, se tiene ν(n, e0 ) = n = ν(e0 , n) = n

25

Ejemplo 1.5.1. Los ejemplos que a continuaci´on se mencionan aparecen el [19]. La especie de los ordenes lineales L es un monoide, en este caso el producto ν se define como la concatenaci´on de ordenes lineales y la unidad e0 de L es el orden lineal vac´ıo. La especie uniforme E es un monoide, el producto ν est´a definido por: ν(U1 , U2 ) = U1 ∪ U2 y la unidad es e0 = ∅. Note que E es conmutativo pero L no lo es. 1 + Gc , tambi´en es un monoide, cuyo producto ν se define de la siguiente manera: si e0 = ∅, entonces ν(e0 , g) = g = (g, e0). Si (g1 , g2 ) es un par de grafos conexos cuyos conjuntos subyacentes son U1 y U2 , entonces ν(g1 , g2 ) es el grafo conexo con v´ertices en U1 ∪ U2 cuyo conjunto de lados es resultado de unir los lados de g1 , los lados de g2 , y todos los posibles lados que se forman al conectar todos los elementos U1 con todos los elementos de U2 . Si M es una especie positiva, entonces E(M) es un monoide, en este caso el producto ν es la uni´on de asambleas y la unidad es la asamblea vac´ıa e0 = ∅. Definici´ on 1.5.2. Un operad conjunt´ıstico conexo es un par (M, η) que cumple las siguientes condiciones: 1. M es una especie positiva tal que |M[{∗}]| = 1 2. η es una transformaci´on natural de M(M) en M asociativa, es decir, el diagrama: (4)

=

M(M(M)) 

/

M(M)(M)

η(idM )

/

M(M) η

idM (η) η

M(M)

/



M

es conmutativo. η es el producto del operad M y el elemento e∗ del conjunto M[{∗}] se comporta como la unidad de M con respecto al producto η. Si m ∈ M[U], se tiene que: (5)

η({eu }u∈U , m ) = m = η({m}, eU )

en donde m = M[σ](m) y σ es la biyecci´on definida por σ(u) = {u} para cada u ∈ U. El tipo de isomorfismo de e∗ se denotar´a con un punto, es decir τ (e∗ ) = •. Ejemplo 1.5.2. Grafos Conexos simples La especie Gc de los grafos conexos simples es un operad (ver [9] y [19]). Para cada elemento ({gp }p∈π , gπ ) en Gc (Gc )[U], η({gp}p∈π , gπ ) es el grafo g con v´ertices sobre U cuyos lados se construyen como sigue: sobre cada bloque p ∈ π los lados de g son los de gp , y si {p, p } es un

26

lado del grafo externo gπ , conectamos todos los v´ertices de p con todos los v´ertices de p . La siguiente figura ilustra lo anteriormente expuesto:

c

c

k

b

η

k

b

d

d v l

v l

´ rboles con ra´ız Ejemplo 1.5.3. a La especie A de los ´arboles con ra´ız, es un operad. Para cada elemento ({Tp }p∈π , Tπ ) en A(A)[U], η({Tp }p∈π , Tπ ) es el a´rbol T ∈ A[U] construido como sigue: 1. Los elementos de {Tp }p∈π son sub´arboles de T . Si {p, q} es un lado del ´arbol externo Tπ , insertamos un lado que conecta a las correspondientes ra´ıces de los a´rboles internos Tp y Tq . 2. Si p es la ra´ız del a´rbol externo Tπ , entonces la ra´ız de T es la ra´ız del a´rbol interno Tp . La siguiente figura ilustra la definici´on de η :

10

8

11

5

9 12 13

4

2

3

11

10

7 6

8

9 12 13 4 5

η

7 2

3 6 1

1

´ rboles enriquecidos Ejemplo 1.5.4. La especie de los a A continuaci´on presentamos el operad de los a´rboles enriquecidos. Esta construcci´on fue realizada por M. Mendez en [9] y es una generalizaci´on del operad A y de otros operad definidos por a´rboles que ser´an estudiados en otras secciones. Sea N una especie. La especie de los a´rboles N-enriquecidos, AN est´a definida como sigue: un a´rbol TN ∈ AN [U] es de la forma (T, {nu }u∈U ), en donde T ∈ A[U] es un ´arbol con ra´ız y nu es una N-estructura sobre la fibra del v´ertice u. La especie AN satisface la ecuaci´on

27

combinatoria: AN = X.N(AN )

(6)

Sea (N, ν, e0 ) un monoide, en donde ν, es el producto y e0 es la unidad de N. Un elemento (a, TN ) de AN (AN )[U] es de la forma: (a, TN ) = ({(Tp , {nu }u∈p ) : p ∈ π}, (Tπ , {np }p∈π )) donde π es la partici´on asociada a la asamblea a. Se define el producto ην (a, TN ) = (T, {nu }u∈U ) como sigue: el ´arbol T es el producto η({Tp }p∈π , Tπ ) del operad A en el ejemplo 1.5.3. Las fibras de T est´an enriquecidas por:

nu =

⎧ ⎪ ⎪ ν(nu , np ) si u es la ra´ız del a´rbol Tp ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ nu

en otro caso.

donde np = N[f ](np ) y f es la biyecci´on que env´ıa a un hijo q de p en la ra´ız del a´rbol Tq . La siguiente figura ilustra el producto ην : a

j

d

k

n3

n2 4

3

6

9

n2

n3

3

5

1

ην

b 2

k 9

ν(n2, n2) n4

n1

a

4

1

6

d

5

j

ν(n3, n3)

b 2

7

8

ν(n1, n1)

n4

7

n1 8

Se demuestra en [9] que AN junto al producto ην es un operad. Si consideramos el monoide (E, ν) se obtiene que (AE , ην ) es el operad de los ´arboles con ra´ız definido en el ejemplo (1.5.3). Si consideramos el monoide (L, ν), entonces (AL , ην ) es el operad

28

de los ´arboles planares, aunque en [9] este se denomina el operad de las parentesizaciones. La siguiente figura ilustra el producto ην del operad AL

k d

9 k 6

8

1

b

b

3

ην 7

9

6

5 1

4 7

d

8

4

5

2

3 2

Ejemplo 1.5.5. La especie uniforme positiva E+ es un operad, η est´a definida por: η({{p}}p∈π , {π}) := {∪p∈π p}.

Esto se puede ver gr´aficamente tal y como sigue:

c

a b

j

f e

η

/

e h i

a

c f

j b h

i

Ejemplo 1.5.6. Ordenes lineales La especie positiva de los ordenes lineales, es un operad. En efecto, el producto η se define como la yuxtaposici´on de los ordenes lineales internos seg´ un el orden lineal externo. Formalmente, si ({lp }p∈π , l) es una estructura en L+ (L+ )[U] de manera tal que l = p1 p2 ...pn ,

29

entonces: η({lp }p∈π , l) = lp1 lp2 ...lpn Proposici´ on 1.5.1. Si (M, η) es un operad, entonces M • tambi´en lo es. El producto η • de M • est´a definido por: (7)

η • ( {(mp , up )}p∈π , (mπ , p ) ) = (η({mp }p∈π , mπ ), up )

Demostraci´on. η • consiste en aplicar el producto η prefiriendo al elemento distinguido que se encuentra contenido en el bloque distinguido de la correspondiente partici´on subyacente. Como η cumple con el diagrama de asociatividad (4), entonces η • tambi´en lo satisface. El par (eU , U) es la unidad a la derecha para η • , en efecto: η • ({(m, u)}, (eU , U)) = (η({m}, eU ), u) = (m, u) an´alogamente se tiene que {(eu , u)}u∈U es la unidad a izquierda de η • .



Desde la proposici´on anterior se tiene que E+• , L• , A• y Gc• son operads conjunt´ısticos, as´ı como tambi´en cualquier apuntamiento finito sobre estos. Sin embargo Gc• tiene otra estructura de operad que generaliza el producto definido para A del ejemplo (1.5.3). A continuaci´on se explica tal generalizaci´on: Ejemplo 1.5.7. Grafos conexos simples apuntados La especie de los grafos conexos simples apuntados, Gc• es un operad si se define el producto η como sigue: para un par ({(gp , up )}p∈π , (gπ , p )) ∈ Gc• (Gc• )[U], el correspondiente producto η({(gp , up )}p∈π , (gπ , p )) = (g, up ) es el grafo apuntado con v´ertices en U que consiste en unir todos los lados de la asamblea {gp }p∈π y conectar los v´ertices up con uq siempre que {p, q} sea un lado de gπ . Es decir, {x, y} es un lado de g si satisface una de las siguientes: un un bloque p ∈ π, 1. {x, y} es un lado de gp , para alg´ 2. Existe un lado {p, q} del grafo gπ , tal que x = up , y = uq , los v´ertices distinguidos de los grafos gp y gq . La siguiente figura ilustra el producto η definido anteriormente:

30

c

c

k

b

η

k

b

d

d

v

v

l

l

Los operads: Gc• del ejemplo (1.5.7), A del ejemplo (1.5.3), son casos particulares de una variedad de operads que se definen para una familia de grafos conexos apuntados los cuales son isomorfos a el operad del ejemplo (1.5.4) a trav´es de ciertos argumentos te´oricos que se encuentran en [6] y que a continuaci´on se explican: Ejemplo 1.5.8. Grafos biconexos Un punto de articulaci´ on de un grafo conexo simple g, es un v´ertice v de g que satisface la siguiente propiedad: el grafo g − v, obtenido por suprimir a v y a todos los lados incidentes en v, es disconexo. Un grafo biconexo, es un grafo conexo que no tiene puntos de articulaci´on. Una componente biconexa de un grafo es un subgrafo biconexo maximal. Las componentes biconexas de un grafo conexo g no particionan al conjunto de v´ertices, esto se debe a que dos componentes biconexas diferentes tienen a lo sumo un punto de articulaci´on en com´ un. Por ejemplo en la siguiente figura:

3

3

7

2

r

5 4

8

2

d v

g

k

7

9

1

9

1

r

*

8

v

4

g−5

6

d

k

6

el v´ertice 5 es un punto de articulaci´on de g que es com´ un a las componentes biconexas: 1 2

3 5

4

5

En efecto, sean g1 , g2 componentes biconexas de un grafo g y v, w puntos de articulaci´on de g tales que g1 ∩ g2 es el subgrafo de g cuyo conjunto de v´ertices es {v, w}. Sea g3 = g1 ∪ g2 , es decir el subgrafo de g cuyo conjunto de v´ertices es la uni´on de los v´ertices de g1 con los v´ertices

31

de g2 . Luego g3 − v = (g1 − v) ∪ (g2 − v) es conexo pues w es un v´ertice com´ un a los grafos conexos g1 − v y g2 − v. De manera an´aloga g3 − w es conexo. De esta manera se tiene que g3 es una componente biconexa de g que contiene a g1 y g2 , pero esto es una contradicci´on. Este an´alisis nos permite concluir que las componentes biconexas de g particionan al conjunto de lados de g. Denotamos por B a una familia de componentes biconexas, por ejemplo:





B=

Denotamos por CB a la especie de todos los grafos conexos cuyas componentes biconexas est´an en B. Por ejemplo en las figuras anteriores, las componentes biconexas del grafo g est´an en B. Si B = Bc es la familia de todas las posibles componentes biconexas, entonces CBc es la   especie de los grafos conexos Gc . Ahora si B = K2 = es la familia de grafos completos con dos v´ertices, entonces CK2 = A es la especie de los a´rboles. Para cualquier familia B, la especie CB de los grafos conexos con componentes biconexas en B satisface la siguiente ecuaci´on:

(8)

CB = E(B (C•B ))

La prueba de la igualdad anterior se sigue desde la siguiente descomposici´on: Para un grafo g ∈ CB [U +{∗}] considere el conjunto {gi∗}ni=1 formado por todas las componentes biconexas de g que tienen a ∗ como v´ertice. Sea v un v´ertice del grafo gi∗ − ∗ y giv el subgrafo mas grande de g cuya intersecci´on con gi∗ es {v}. Sea σi la biyecci´on que env´ıa a cada v´ertice v del grafo gi∗ −∗ en el conjunto de v´ertices del grafo giv de manera tal que σi (∗) = ∗. Si ai es la asamblea de C•B -estructuras cuyos elementos son los pares (giv , v), entonces gi∗ se descompone naturalmente en el par (ai , σi gi∗ ) ∈ B (C•B ). De esta manera el isomorfismo natural de la igualdad (8) env´ıa

32

a el grafo g en {(ai , σi gi∗ )}ni=1 . La siguiente figura ilustra dicho isomorfismo: CB

* E(B (C•B))

* *

*

De las ecuaciones (8), (2) se tiene que: C•B = X.CB = X.E(B (C•B )) = X.E(B )(C•B ) Usando la ecuaci´on (6) y el teorema de la especie impl´ıcita se obtiene que: C•B = AE(B)

(9)

Como E(B ) es un monoide, entonces AE(B) es un operad y por consiguiente C•B tambi´en es un operad. En los casos en que B = K2 y B = Bc , recuperamos a los correspondientes operads A y Gc• de los ejemplos (1.5.3), (1.5.7) usando el correspondiente isomorfismo natural que establece la igualdad (9). El isomorfismo natural env´ıa a un grafo conexo apuntado (g, v) ∈ Gc• en el a´rbol (T, {au }u∈U ) definido por la siguiente iteraci´on: (1) La ra´ız de T es v. Sea {giv }ni=1 el conjunto formado por todas las componentes biconexas de g que tienen a v como punto de articulaci´on. Si Uiv es el conjunto de v´ertices del grafo giv − v, entonces la fibra que tiene v en el a´rbol T es la uni´on de los conjuntos Uiv ,

33

la cual est´a enriquecida con la asamblea av ∈ Bc cuyas componentes son los grafos que resultan de cambiar el v´ertice v por ∗ en cada giv . (2) Sea u un elemento perteneciente a la fibra que tiene v en el ´arbol T . Sea g u el subgrafo mas grande de g cuya intersecci´on con av es {u}. Aplique (1) a (g u , u) ∈ Gc• . La siguiente figura ilustra la iteraci´on anterior:

9

Gc• 5

k z

4

d

1

3

2 6

8

7

r

y s

b x z

AE(B) 9

*

* d

k

*

3

4

6

y

* * 2

1

*

s

7

*

5

r

*

*

b x

8

*

*

Note que los v´ertices internos del a´rbol (T, {au }u∈U ) se corresponden con los puntos de articulaci´on del grafo apuntado (g, v) ∈ Gc• , empezando por v que es la ra´ız de T . Luego la fibra de un v´ertice interno w de T est´a enriquecida con la asamblea de componentes biconexas de (g, v) que tienen a w como punto de articulaci´on, excepto que se reemplaza el v´ertice w por ∗ en cada componente de esta asamblea. El lector puede chequear que el producto de operad en AE(Bc ) es equivalente al producto en Gc• , es decir, AE(Bc ) y Gc• son isomorfos como operads.

34

Definici´ on 1.5.3. Sea (M, η) un operad. Un elemento m ∈ M[U] es una estructura prima si y solo si puede ser factorizado trivialmente. Expl´ıcitamente, si m = η(a, mπ ), entonces se cumple una de las siguientes: 1. a = {eu }u∈U y mπ = M[σ](m), en donde σ(u) = {u} para cada u ∈ U. 2. a = {m} y mπ = eU Sea (N, ν) un monoide. Un elemento n ∈ N[U] es una estructura prima si y solo si puede ser factorizado trivialmente. Expl´ıcitamente, si n = ν(n1 , n2 ), entonces se cumple una de las siguientes: 1. n1 = e0 y n2 = n 2. n1 = n y n2 = e0 Las estructuras primas del operad A son los a´rboles cuyo tipo de isomorfismo es

, en

efecto si un ´arbol T ∈ A tiene mas de dos v´ertices, entonces T tiene por lo menos dos lados. Sea (r, x) un lado de T que conecta a la ra´ız de T con uno de sus v´ertices y a la asamblea que resulta de suprimir el lado {r, x} de T . Por construcci´on a tiene por lo menos una componente no trivial sobre una partici´on π definida por dos bloques. Adem´as existe un a´rbol Tπ ∈ A[π] cuyo tipo de isomorfismo es

tal que η(a, Tπ ) = T . Esta factorizaci´on nos dice que T no es

una estructura prima. Desde la definici´on del producto del operad AN , ejemplo (1.5.4) se sigue que las estructuras primas son corolas enriquecidas con estructuras primas del monoide N. Es decir, a´rboles de la forma:

n

en donde n es una estructura prima de N. De la ecuaci´on (9) se obtiene que

las estructuras primas del operad Gc• , ejemplo (1.5.7) son los grafos biconexos. El estudio de estructura prima en el operad de los grafos conexos simples Gc (ejemplo 1.5.2) es relevante en [14]. La noci´on de m´odulo de un grafo es determinante en el estudio de grafos primos y la manera en que estos se anidan en un grafo. Un modulo es una generalizaci´on de una componente conexa de un grafo, sin embargo un m´odulo puede ser un subconjunto de otro, esta noci´on puede ser generalizada a otras estructuras como por ejemplo, grafos dirigidos (relaciones binarias), relaciones k-arias y esta es muy usada en la elaboraci´on de algoritmos para el reconocimiento de algunas clases de grafos, para encontrar orientaciones transitivas de comparaciones de grafos, para la optimizaci´on de problemas sobre grafos, entre otros.

35

Definici´ on 1.5.4. Sea g ∈ G[U]. Un m´odulo de g es un subconjunto no vac´ıo B de U que satisface la siguiente propiedad: si un elemento v ∈ U − B est´a conectado a un v´ertice de B, entonces v est´a conectado a todos los v´ertices de B. Diremos que B es un modulo conexo si el grafo inducido por B, g|B es conexo. B = U y B = {u} para alg´ un u ∈ U se denominan m´odulos triviales de g, que de acuerdo a la definici´on tambi´en son m´odulos conexos siempre que g sea conexo. Si η({gp }p∈π , gπ ) = g, entonces es f´acil ver desde la definici´on de η que cada bloque p de la partici´on π es un m´odulo conexo de g. En [14] π se denomina partici´ on de congruencia y el grafo cociente g/π obtenido al contraer en g todos los bloques de π a un punto, es isomorfo a gπ . Rec´ıprocamente, sea B un m´odulo conexo de g y aB la asamblea de subgrafos de g cuyas componentes son el grafo inducido g|B y los grafos eu ∈ Gc [{u}] para cada u ∈ U − B. De esta manera π = {B} ∪ {{u} : u ∈ U − B} es la partici´on subyacente de aB . Si gπ es el grafo que se obtiene al cambiar el representante de B en el cociente g/π por B y a cada u ∈ U − B por {u}, entonces η(aB , gπ ) = g. Este an´alisis nos permite concluir lo siguiente: Proposici´ on 1.5.2. g es una estructura prima del operad (Gc , η) si y s´olo si g no tiene m´odulos conexos excepto los triviales. Existe una cantidad infinita de estructuras primas en G  los grafos conexos cuyo c , por ejemplo tipo de isomorfismo es un elemento del conjunto J =

son estructuras primas

un si B es la familia de grafos biconexos cuyos del operad (Gc , η) y grafos biconexos, m´as a´ tipos de isomorfismos est´an en J, entonces cualquier elemento de CB es una estructura prima del operad (Gc , η). En efecto, sea g ∈ CB [U] y B ⊂ U. Si B no tiene puntos de articulaci´on, entonces B es una uni´on disjunta de subconjuntos de v´ertices que pertenecen a diferentes componentes biconexas de g. B es un m´odulo conexo de g si y s´olo si tiene cardinal igual a uno. En otro caso B contiene por lo menos un punto de articulaci´on v de g. Si B = {v}, entonces B es un modulo conexo trivial. En caso contrario, sea x ∈ U − B y v ∈ B un punto de articulaci´on de g que se encuentre conectado a x. Sea gx una de las componentes biconexas de g que tiene a x como v´ertice. Si B es un m´odulo conexo de g, entonces x est´a conectado a todos los elementos de B y esto implica que B es un modulo conexo de gx lo que es una contradicci´on.

36

Existe una interesante conexi´on entre operads y monoides la cual se explica a continuaci´on: la derivada es una operaci´on funtorial que env´ıa operads en monoides. Sea (M, η) un operad, por la regla de la cadena se sigue: η  : (M(M)) = M  (M).M  −→ M  y para cada conjunto finito U, ηU = ηU +{∗} . Considerando la inmersi´on: i : M  = M  (X) → M  (M) obtenemos un producto ν : M  .M  −→ M  definido por la composici´on del siguiente diagrama:



M .M

I



/



M .M



i.idM 

/

M  (M).M 

=

/

(M(M))

η

/

M

en donde I(U1 , U2 , m1 , m2 ) = (U2 , U1 , m2 , m1 ) y idM  es la transformaci´on natural identidad de M  . Expl´ıcitamente, para (U1 , U2 , m1 , m2 ) ∈ M  .M  [U]: I(m1 , m2 ) −→ (({ex }x∈U2 , m2 ), m1 ) −→ ({ex }x∈U2 ∪ {m1 }, m2 ) −→ η({ex }x∈U2 ∪ {m1 }, m2 ) en donde m2 = M[σ](m2 ) y σ(x) = {x} si x ∈ U2 , σ(∗) = U1 + {∗}. El producto ν(m1 , m2 ) se conoce como la composici´ on parcial de m1 con m2 a trav´es del v´ertice ∗ y se denota por m1 ◦∗ m2 . Por ejemplo, la derivada del operad E+ (ejemplo (1.5.5)) es el monoide (E, ν) del ejemplo (1.5.1). En efecto, sean ν1 , ν2 los correspondientes productos de los monoides E  y E, el isomorfismo natural Sup∗ : E  −→ E que consiste en suprimir el v´ertice ∗ a las E  -estructuras (Sup∗ ({U + {∗}}) = {U}) es un isomorfismo de monoides, es decir: ν2 ◦ Sup∗.Sup∗ = Sup∗ ◦ ν1 . La siguiente figura ilustra el isomorfismo entre los monoides (E  , ν1 ) y (E, ν2 ):

5 * 7

13 *

ν1

1 η

5 * 7

Sup∗.Sup∗

5 7

3 =

1 3 5 * 7 Sup∗

13

ν2

1 3 5 7

37

La derivada del operad L+ (ejemplo (1.5.6)) define un monoide sobre L = L2 a trav´es de la composici´on del siguiente diagrama: L2 .L2

=

/

ν

L .L

/

=

L

/

L2

Es decir ν(l1 , l2 , l3 , l4 ) = l3 l1 l2 l4 . A partir del ejemplo (1.5.4) se puede construir una cadena infinita de monoides y operads a trav´es de la derivaci´on tal y como sigue: M operad =⇒ M  monoide =⇒ AM  operad =⇒ (AM  ) monoide =⇒ A(AM  ) operad · · · 1.6.

´ Algebras y Co´ algebras. Sea R un anillo conmutativo y unitario y A un R-m´odulo,

supongamos que existe una aplicaci´on R-lineal:

ϑ : A ⊗ A −→ A, de esta manera ϑ es una multiplicaci´on cerrada en A dada por: x.y = ϑ(x ⊗ y), esta multiplicaci´on cumple con las igualdades: z.(x + y) = z.x + z.y, (x + y).z = x.z + y.z

r(x.y) = (rx).y = x.(ry) ∀x, y, z ∈ A, ∀r ∈ R. Note que la multiplicaci´on inducida por ϑ sobre A es asociativa si y s´olo si el diagrama:

(10)

A⊗A⊗A I⊗ϑ



A⊗A

ϑ⊗I

ϑ

/

A⊗A /



ϑ

A

es conmutativo. Esto nos permite decir que la aplicaci´on R-lineal ϑ junto con el diagrama (10) le dan estructura de anillo a A. Finalmente, la existencia del elemento unidad en A es equivalente a la existencia de un homomorfismo de anillos u : R −→ A tal que el siguiente diagrama:

38

(11)

u⊗I

I⊗u

/ A⊗A o A⊗R R⊗A Q QQQ mm m QQQ m QQQ mmm ϑ QQQ mmm ∼ m ∼ m = = QQQ  mmm vm ( A

sea conmutativo. En efecto, u junto al diagrama (11) es equivalente a las igualdades: x = u(1).x = x.u(1) ∀x ∈ A, y por lo tanto u(1) es la unidad de A con respecto a la multiplicaci´on inducida por ϑ. Todo lo anteriormente explicado nos permite enunciar la siguiente definici´on: Definici´ on 1.6.1. Sea R un anillo conmutativo y unitario y A un R-m´odulo. A es una R-´algebra si existe una aplicaci´on R-lineal ϑ : A ⊗ A −→ A tal que el diagrama (10) es conmutativo. En este caso la R-´algebra A tiene una unidad si existe una aplicaci´on R-lineal u : R −→ A tal que el diagrama (11) es conmutativo. Las aplicaciones ϑ y u reciben el nombre de multiplicaci´on y unidad respectivamente. Una R-´algebra A es conmutativa si x.y = y.x para todo x, y ∈ A. Si (A, ϑA ) y (B, ϑB ) son dos R-´algebras, diremos que ϕ : A −→ B es una aplicaci´on de R-´algebras si ϕ es R-lineal, ϕ preserva unidades ϕ ◦ uA = uB y adem´as el diagrama: A⊗A ϑA



ϕ⊗ϕ

/

B⊗B

ϕ

/

A



ϑB

B

es conmutativo. Definici´ on 1.6.2. Sea R un anillo conmutativo y unitario. Una R-co´algebra es un R-m´odulo C junto con dos homomorfismos de R-m´odulos Δ : C −→ C ⊗ C y ε : C −→ R tales que los diagramas:

(12)

C ⊗C ⊗C o

Δ⊗I

O

C ⊗C O

I⊗Δ

C⊗C o

Δ

Δ

C

39

(13)

ε⊗I

I⊗ε

/ C ⊗R R ⊗ C ohQ C⊗C O QQQ m6 m m QQQ mmm QQQ Δ mmm∼ Q m Q m ∼ QQQ = = mm Q mmm C

son conmutativos. Los diagramas (12) y (13) se denominan leyes de coasociatividad y counidad respectivamente. La aplicaci´on Δ se denomina diagonal o comultiplicaci´on y la aplicaci´on ε se denomina counidad. Existen una gran variedad de ejemplos de co´algebras sobre un cuerpo K, entre estas se encuentran las co´algebras que corresponden a los problemas combinatorios sobre como armar y desarmar objetos formados por piezas que tienen un tipo prescrito. Estos objetos en la mayor´ıa de los casos son conjuntos parcialmente ordenados. En [25] S.A. Joni y G.C. Rota presentan algunas de estas co´algebras. Un conjunto parcialmente ordenado, (P, ≤) es localmente finito si todo intervalo de P es finito. Para cualquier conjunto parcialmente ordenado localmente finito P , y para cualquier cuerpo K de caracter´ıstica cero, se define la co´ algebra de incidencia C(P ) como el K-espacio vectorial libremente generado por las indeterminadas [x, y] para todos los intervalos [x, y] en P . La diagonalizaci´on Δ y la counidad ε vienen dadas por:

Δ[x, y] =



[x, z] ⊗ [z, y]

x≤z≤y

y ⎧ ⎨ 1 si x = y ε[x, y] = ⎩ 0 en otro caso Frecuentemente en los problemas de enumeraci´on ocurre que estas co´algebras de incidencias no son las requeridas, mejor dicho, queremos trabajar sobre una familia P de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos. En la mayor´ıa de los casos estas familias son arbitrarias y por lo tanto se consideran ciertas relaciones de equivalencia sobre la colecci´on Int(P) de todos los intervalos de conjuntos parcialmente ordenados en P. De esta manera podr´ıa ocurrir que dos intervalos de diferentes conjuntos en P est´en relacionados bajo una relaci´on de equivalencia fija sobre Int(P). Por conveniencia siempre se consideran relaciones

40

de equivalencia bajo el cual la colecci´on de todas las clases de equivalencias en Int(P) formen un conjunto. Presentamos a continuaci´on la versi´on expuesta por Schmitt en [22] acerca de la co´ algebra de incidencia reducida de una familia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos P: Definici´ on 1.6.3. Una relaci´on de equivalencia ∼ sobre Int(P) se dice que es compatible con el orden si siempre que [x, y] ∼ [u, v] existe una biyecci´on φ de [x, y] en [u, v] que depende en general de [x, y] de manera tal que para todo z ∈ [x, y], [x, z] ∼ [φ(x), φ(z)] y [z, y] ∼ [φ(z), φ(y)]. Uno de los ejemplos mas obvios de una relaci´on de equivalencia que es compatible con el orden es la relaci´on de isomorfismo, es decir, [x, y] ∼ [u, v] si y s´olo si [x, y] y [u, v] son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados. Si P es una familia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos junto con una relaci´on de equivalencia ∼ sobre Int(P) que es compatible con el orden, entonces las clases no vac´ıas de Int(P)/ ∼ se denominan tipos y el conjunto de tipos es denotado por P∼ . Si Q ∈ Int(P), entonces el tipo o clase de Q ser´a denotado por cl(Q). Se define la co´ algebra de incidencia reducida C(P∼ ) de la familia P bajo la relaci´on de equivalencia ∼ como el K-espacio vectorial libremente generado por las indeterminadas zθ , en donde, θ ∈ P∼ y para θ = cl([a1 , a3 ]) la comultiplicaci´on y counidad vienen dadas por: Δ(zθ ) =



zcl([a1 ,a2 ]) ⊗ zcl([a2 ,a3 ])

a2 ∈[a1 ,a3 ]

y ⎧ ⎨ 1 si a = a 1 3 ε(zθ ) = ⎩ 0 en otro caso algeCuando ∼ es la relaci´on de isomorfismo de intervalos, entonces C(P∼ ) se denomina la co´ bra de incidencia reducida est´ andar de P. Si Int(P) es un conjunto y ∼ es la relaci´on trivial,

41

es decir, todo intervalo est´a relacionado s´olo consigo mismo, entonces C(P∼ ) se denotar´a simplemente por C(P) y esta co´algebra se denomina co´ algebra de incidencia de la familia P. Definici´ on 1.6.4. Sea K un cuerpo y C una K-co´algebra. Una subco´algebra de C es un subespacio W tal que Δ(W ) ⊂ W ⊗ W . Un homomorfismo de K-co´algebras de (C, Δ, ε) en (C  , Δ , ε ) es una transformaci´on lineal f : C −→ C  de manera tal que los diagramas: f

/

C Δ



C⊗C

f ⊗f

C Δ



/

C ⊗ C

y f

/ C }} }} } }~ } ε

C @ @

@@ @ ε @@

K

son conmutativos. 1.7.

´ Algebras de Hopf.

Definici´ on 1.7.1. Sea K un cuerpo. Una K-´algebra A, con multiplicaci´on ϑ y unidad u que simult´aneamente tenga estructura de K-co´algebra (A, Δ, ε) es una K-bi´algebra si Δ y ε son aplicaciones de a´lgebras. Esto significa que Δ, ε preservan unidades y que los diagramas:

(14)

Δ⊗Δ

A⊗A

/

A⊗A⊗A⊗A I⊗T ⊗I



A⊗A⊗A⊗A

ϑ



Δ

A

/



A⊗A

y (15)

A⊗A ϑ



A

ε⊗ε

ε

/

K⊗K /

ϑ⊗ϑ



K

∼ =

42

son conmutativos. En donde I es la aplicaci´on identidad de A en A y T (x ⊗ y) = y ⊗ x para todo x, y ∈ A. Definici´ on 1.7.2. Sean A1 y A2 K-bi´algebras. f : A1 −→ A2 es un homomorfismo de bi´algebras si f es un homomorfismo de ´algebra y co´algebra simult´aneamente. Sea K un cuerpo, (C, Δ, ε) una co´algebra sobre K y (A, ϑ, u) una K-´algebra, cuyo producto es ϑ y unidad u. Si Hom(C, A) es el conjunto de todas las aplicaciones K-lineales de C en A, entonces a Hom(C, A) se le puede dar estructura de K-´algebra junto al producto convoluci´ on definido de la siguiente manera: para cada g, h ∈ Hom(C, A), g ∗ h(c) = ϑ ◦ (g ⊗ h) ◦ Δ(c) ∀c ∈ C. Se puede verificar que la unidad de Hom(C, A) con respecto al producto convoluci´on es u ◦ ε. Definici´ on 1.7.3. Un a´lgebra de Hopf sobre K, es una bi´algebra H que tiene la siguiente propiedad: la aplicaci´on identidad I : H −→ H es invertible con respecto al producto convoluci´on del ´algebra Hom(H, H), es decir, existe un elemento S ∈ Hom(H, H) que satisface la ecuaci´on: S ∗ I = I ∗ S = u ◦ ε, en donde u y ε son las aplicaciones unidad y counidad respectivamente. S es llamada la ant´ıpoda de H. Proposici´ on 1.7.1. Sea K un cuerpo, H una K-´algebra de Hopf con ant´ıpoda S. Entonces: 1. S es antimorfismo de ´algebras. Es decir, si T : H ⊗ H −→ H ⊗ H es la aplicaci´on lineal definida por: T (h1 ⊗ h2 ) = h2 ⊗ h1 , entonces S satisface las ecuaciones: S ◦ ϑ = ϑ ◦ S ⊗ S ◦ T,

S◦u=u

ϑ y u son las respectivas aplicaciones de multiplicaci´ on y unidad de H. 2. Sea (A, ϑA , uA ) una K-´algebra. Sea AlgK (H, A) el subconjunto de Hom(H, A) formado por todos los homomorfismos de K-´algebras de H a A. Los elementos de AlgK (H, A) poseen inverso con respecto al producto convoluci´ on. Mas a´ un para cualquier g ∈ AlgK (H, A) se tiene que g −1 = g ◦ S,

43

En particular si A es conmutativa, entonces AlgK (H, A) junto al producto convoluci´ on es un grupo. 3. Sean H1 y H2 K-´algebras de Hopf cuyas ant´ıpodas son S1 y S2 respectivamente. Si f : H1 −→ H2 es un homomorfismo de bi´algebra entonces S2 ◦ f = f ◦ S1 . Para este caso diremos que f es un homomorfismo de ´algebras de Hopf. Demostraci´on. Considere las aplicaciones N, P : H ⊗ H −→ H definidas por: N = ϑ ◦ S ⊗ S ◦ T,

P =S◦ϑ

Hom(H ⊗ H, H) tiene estructura de ´algebra bajo el producto convoluci´on que definen la co´algebra H ⊗H y el ´algebra H. Sean u la unidad de H y ε la counidad de H ⊗H. Probaremos que P ∗ ϑ = u ◦ ε = ϑ ∗ N. Como u ◦ ε es la unidad de Hom(H ⊗ H, H) esto implica que P = N. En efecto: P ∗ ϑ = S ◦ ϑ ∗ ϑ = ϑ ◦ (S ◦ ϑ ⊗ ϑ) ◦ ΔH⊗H = ϑ ◦ (S ◦ ϑ ⊗ ϑ) ◦ (I ⊗ T ⊗ I ◦ Δ ⊗ Δ) = ϑ ◦ (S ⊗ I) ◦ (ϑ ⊗ ϑ) ◦ (I ⊗ T ⊗ I) ◦ Δ ⊗ Δ = ϑ ◦ (S ⊗ I) ◦ Δ ◦ ϑ diagrama (14) = (S ∗ I) ◦ ϑ = u ◦ ε ◦ ϑ diagrama (15) = u ◦ ε

ϑ ∗ N(g ⊗ h) =



ϑ(g(1) ⊗ h(1) )N(g(2) ⊗ h(2) )

(g),(h)

=



g(1) h(1) S(h(2) )S(g(2) )

(g),(h)

=

 (g)

=

 (g)

⎛ ⎞  g(1) ⎝ h(1) S(h(2) )⎠ S(g(2) ) (h)

g(1) u(ε(h))S(g(2) )

44

=



g(1) ε(h)u(1)S(g(2) )

(g)

= ε(h)



g(1) S(g(2) )

(g)

= ε(h)ε(g)u(1) = ε(g)ε(h)u(1) Conmutatividad de K = u ◦ ε (g ⊗ h)

Como Δ y ε son aplicaciones de ´algebras Δ(u(1)) = u(1) ⊗ u(1) y ε(u(1)) = 1. De estas igualdades se sigue que:

u(1) = u(ε(u(1))) = (u ◦ ε)(u(1)) = (I ∗ S)(u(1)) = S(u(1)) = S ◦ u(1)

Esto demuestra (1). Sea g ∈ AlgK (H, A). Luego:

g ∗ (g ◦ S) = ϑA ◦ [g ⊗ (g ◦ S)] ◦ Δ = ϑA ◦ g ⊗ g ◦ (I ⊗ S) ◦ Δ = g ◦ ϑH ◦ (I ⊗ S) ◦ Δ (g es un morfismo de ´algebra) = g ◦ (I ∗ S) = g ◦ uH ◦ ε = uA ◦ ε (g es un morfismo de ´algebra)

Utilizando un razonamiento an´alogo tambi´en se tiene que (g ◦ S) ∗ g = uA ◦ ε. Si A es conmutativa, es f´acil verificar que ϑA es un homomorfismo de K-´algebras. Luego para cada par f, g ∈ AlgK (H, A) se tiene que f ∗ g = ϑA ◦ f ⊗ g ◦ Δ es una composici´on de homomorfismos de K-´algebras y por lo tanto f ∗ g ∈ AlgK (H, A). Por otra parte desde el item

45

(1) de esta proposici´on se sigue que: (g ◦ S) ◦ ϑH = g ◦ (ϑH ◦ S ⊗ S ◦ T ) = ϑA ◦ g ⊗ g ◦ (S ⊗ S ◦ T ) (g es un morfismo de ´algebra) = ϑA ◦ [(g ◦ S) ⊗ (g ◦ S)] ◦ T = ϑA ◦ [(g ◦ S) ⊗ (g ◦ S)] Conmutatividad de A (g ◦ S) ◦ uH = g ◦ uH = uA Esto demuestra que g ◦ S ∈ AlgK (H, A) obteni´endose as´ı la prueba del item (2). Por otra parte: f ∗ (S2 ◦ f ) = ϑ2 ◦ [f ⊗ (S2 ◦ f )] ◦ Δ1 = ϑ2 ◦ I ⊗ S2 ◦ f ⊗ f ◦ Δ1 = ϑ2 ◦ I ⊗ S2 ◦ Δ2 ◦ f (f es un morfismo de co´algebra) = (I ∗ S2 ) ◦ f = u 2 ◦ ε2 ◦ f = u2 ◦ ε1 (f es un morfismo de co´algebra) An´alogamente se tiene que (S2 ◦ f ) ∗ f = u2 ◦ ε1 . Las igualdades anteriores nos dicen que (S2 ◦ f ) es el inverso de f bajo el producto convoluci´on que tiene AlgK (H1 , H2 ), del item (2) se sigue que S2 ◦ f = f ◦ S1 .



Cualquier informaci´on acerca de co´algebras, bi´algebras y a´lgebras de Hopf se puede encontrar en [26]. 2.

El ´ algebra de Hopf natural de un operad conjunt´ıstico

En esta secci´on construimos el ´algebra de Hopf natural NM , presentada en [16]. Dado un operad conjunt´ıstico (M, η) y K un cuerpo de caracter´ıstica cero, NM denotar´a a la K-´algebra conmutativa libremente generada por el conjunto de indeterminadas {tα : α ∈ T(M2+ )} Identificaremos a la unidad de NM con la variable t• . El correspondiente morfismo unidad u : K −→ NM planteado en la definici´on 1.6.1 est´a definido por u(1) = t• y el producto

46

viene inducido por la yuxtaposici´on conmutativa de las indeterminadas. Para una asamblea a = {mp }p∈π denotamos: ta :=



tτ (mp )

p∈π

Teorema 2.0.1. (NM , Δ, ε) es una bi´ algebra con Δ y ε definidos multiplicativamente por: 

Δ(tτ (m) ) :=

ta ⊗ tτ (m )

η(a,m )=m

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 si τ (m) = • ε(tτ (m) ) :=

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0

en otro caso.

Demostraci´on. Debido a que η es una transformaci´on natural entre los funtores M(M) y M se tiene que Δ est´a bien definida. La coasociatividad de Δ se sigue de la asociativiadad del producto del operad, η. En efecto:

(Δ ⊗ I)(Δ(tτ (m) )) =



Δ(ta ) ⊗ tτ (m )

η(a,m )=m

=



⎛



⎝

η(a,m )=m

{η(ap ,mp )}p∈π =a



=



η({η(ap ,mp )}p∈π ,m )=m

=



=

η(a,m )=m

=



p∈π

tap ⊗

p∈π

tap ⊗ 



⎞ tτ (mp ) ⎠ ⊗ tτ (m )

p∈π

tτ (mp ) ⊗ tτ (m )

p∈π

  ta ⊗ ta  ⊗ tτ (m )

η(a,η(a  ,m ))=m





⎛

ta ⊗ ⎝



⎞ ta  ⊗ tτ (m ) ⎠

η(a  ,m )=m

ta ⊗ Δ(tτ (m ) )

η(a,m )=m

= (I ⊗ Δ)(Δ(tτ (m) ) Desde la ecuaci´on (5) se sigue que ε satisface el diagrama (13) 

47

Para cada m ∈ M[n], β ∈ T(E+ (M)), γ ∈ T(M) se define el conjunto:    Am β,γ = {(a, m ) ∈ M(M)[n] : τ (a) = β, τ (m ) = γ, η(a, m ) = m}

(16)

De esta manera se tiene que:

Δ(tτ (m) ) :=

(17)



|Am β,γ |



β,γ

tβθ θ ⊗ tγ

θ

umero de veces en que aparece una componente de tipo θ en una asamblea en donde βθ es el n´ de tipo β. 2.1.

Formula de la ant´ıpoda en t´ erminos de ´ arboles. En esta subsecci´on presentamos

una formula de ant´ıpoda para NM , la cual es una natural generalizaci´on de la formula de ant´ıpoda de Haiman y Schmitt en [8]. Empezamos introduciendo algunas terminolog´ıas de los ´arboles enriquecidos de Schr¨oder, tal y como se dan a conocer en [9]. Denotaremos por F a la especie de los ´arboles de Schr¨oder, o parentizaciones conmutativas generalizadas. Esta satisface la ecuaci´on impl´ıcita: (18)

F = X + E2+ (F )

Las estructuras de F [U] son ´arboles con ra´ız cuyas hojas est´an etiquetadas con elementos de U y cuyos v´ertices internos no est´an etiquetados. Para un ´arbol T ∈ F [U], denotaremos por Iv(T ) al conjunto de los v´ertices internos de T . Para un v´ertice v ∈ Iv(T ) denotaremos por Tv al sub-´arbol de T que tiene a v como ra´ız y como v´ertices a todos los descendientes de v en T . Sea Uv el conjunto de todos los elementos de U que son descendientes de v, esto permite identificar el v´ertice interno v con Uv , mas aun el conjunto Uv es usado como una etiqueta para v. De la misma manera identificamos a Iv(T ) con el conjunto {Uv : v ∈ Iv(T )}. Sea {v1 , v2 , ..., vk } el conjunto de los hijos de v en T . Denotamos por πv a la partici´on del conjunto Uv definida como la uni´on de los hijos de v que est´an en U y el conjunto de etiquetas de los ´arboles {Tvi : vi ∈ Iv(T )} que preceden a v. En pocas palabras: πv = {Uvi : vi ∈ Iv(T )} ∪ {{vi } : vi ∈ U}

48

La siguiente figura muestra la iteraci´on de la ecuaci´on (18)

g

a

4 d

5

k

l

2

6

b 3

De manera general si M es una especie de la forma:

M = X + M2+ ,

entonces la especie de los a´rboles de Schr¨oder M-enriquecidos es la soluci´on de la ecuaci´on impl´ıcita:

(19)

FM = X + M2+ (FM )

Usando (19), obtenemos la siguiente descripci´on recursiva de FM [U]. Si U es un conjunto unitario, el u ´ nico ´arbol en FM [U] es la hoja etiquetada con el elemento de U. Si |U| ≥ 2, un elemento T de FM [U] es un par ({Tp }p∈πv , mv ), donde para cada bloque p de la partici´on πv , Tp ∈ FM [p] y mv ∈ M2+ [πv ]. Repitiendo esta descripci´on recursivamente se tiene que el conjunto FM [U] est´a dado expl´ıcitamente por:

FM [U] = X[U] +



{T } ×

T ∈F [U ]



M2+ [πv ].

v∈Iv(T )

En otras palabras, un ´arbol T en FM [U] es un ´arbol de Schr¨oder T ∈ F [U] junto con una estructura mv ∈ M[πv ] para cada v´ertice interno v ∈ Iv(T ) = Iv(T).

49

Si U = {b, 4, g, a, 2, 3, 5, l, k, d, 6}, un elemento de FM [U] tiene gr´aficamente la siguiente forma:

g

a

4

m1 ∈ M[{{b, 4, g, a, d}, {3}, {5, l}, {6, k, 2}}] m6 b m5

d

5

2

6 3

m2 ∈ M[{{6}, {k, 2}}]

k

l m4

m3 ∈ M[{k, 2}]

m3

m4 ∈ M[{5, l}]

m2

m5 ∈ M[{{b}, {4, g, a}, {d}}] m6 ∈ M[{4, g, a}]

m1

Si (M, η) es un operad conjunt´ıstico, para cada ´arbol T en FM [U], η(T) es el elemento de M[U] obtenido por la aplicaci´on recursiva de η sobre cada v´ertice interno del ´arbol T. Es decir, si U = {∗}, entonces η(T) es igual a la estructura de M[{∗}]. En otro caso, T es de la forma ({Tp }p∈πv , mv ), donde mv es la estructura adjuntada a la ra´ız v de T y {Tp }p∈πv es la correspondiente asamblea de FM -´arboles cuyas ra´ıces son los hijos de v. Definimos η(T) por:

(20)

η(T) = η({ η(Tp )}p∈πv , mv )

Por ejemplo, si T ∈ FGc tiene la forma:

5 4

6 6 4

5

3

7

2

45 6

7 3

2

1 1 32

45 67

50

Entonces: 1

η(T) =

η

3

1

= η

2

6 4

3

2 6

5

4

η

7 7

1

=

3

5

6

2

4

5 7

Teorema 2.1.1. La ant´ıpoda de NM est´a definida multiplicativamente como sigue: S(t• ) = t• , y para cada m en T(M2+ ) se tiene que: S(tτ (m) ) =

(21)





(−1)|Iv(T)|

T∈FM η (T)=m

tτ ((mv ))

v∈Iv(T)

Demostraci´on. La buena definici´on de S se sigue del hecho de que η es una aplicaci´on recursiva de la transformaci´on natural η. Usando la definici´on recursiva de η se tiene que: 

S(tτ (m) ) =



(−1)tτ (mv )



(−1)tτ (mv )

η(a,mv )=m τ (mv )=•

= −











(−1)|Iv(Tp )|

(−1)|Iv(Tp )|

p∈πv η(Tp )=mp

η(a,mv )=m τ (mv )=•

=



{ η (Tp )}p∈πv =a p∈πv

η(a,mv )=m τ (mv )=•

=



(−1)tτ (mv )

tτ (mw )

w∈Iv(Tp )



tτ (mw )

w∈Iv(Tp )

S(tτ (mp ) )

p∈πv

tτ (mv ) S(ta )

η(a,mv )=m τ (mv )=•

Luego (S ∗ I)(tτ (m) ) = (u ◦ ε)(tτ (m) ). Es f´acil verificar que S 2 ∗ S = u ◦ ε. Luego (S 2 ∗ S) ∗ I = I y por lo tanto S 2 = I, I ∗ S = u ◦ ε.  Por ejemplo, en el ´algebra NGc , el c´alculo S(t Schr¨oder

) se obtiene desde los siguientes a´rboles de

51

c d b d

c

a

b a c

a a

a b c d a c

b d

η(T) = η

=a

c

cd

b c a

b

b

η(T) = η

d

b d

=

c b

c b a

c

a c

b

η(T) = η

a

b d

d

c

a

d

b

a

d d

c

d a d a

c

d

=

b

a c

b

b d

y as´ı: S(t 2.2.

) = −t

+ 3t t

Pesos sobre una especie. Sea M una especie tal que M[∅] = ∅, |M[{∗}]| = 1 y A

una K-´algebra conmutativa cuya unidad identificaremos con 1. Un homomorfismo de a´lgebras, ω : K[tα : α ∈ T(M2+ )] −→ A es llamado un peso sobre M y el par (M, ω) denotado por M ω , una especie pesada. Para un conjunto finito U, el inventario de M ω [U], |M[U]|ω , es definido por:  |M[U]|ω = ω(tτ (m) ) m∈M [U ]

La funci´on generatriz M ω (x), es una serie formal con coeficientes en A y est´a definida por: ∞ 

ω

M (x) = x +

|M[n]|ω

n=2

xn n!

Como el n´ umero de estructuras de tipo α en M[n] es igual a

M ω (x) = x +

∞  n=2

Sean M

ω1

y N

ω2

⎛ ⎝

n! , entonces: aut(α)

⎞



α∈T(M )[n]

ω(tα ) ⎠ n x aut(α)

especies pesadas. La substituci´on M ω1 (N ω2 ), se define como la especie

pesada (M(N), ω3 ), con ω3 definido por:

(22)

ω3 (tτ (a,m) ) = ω2 (ta )ω1 (tτ (m) ) =

  p∈π

 ω2 (tτ (np ) ) ω1 (tτ (m) )

52

y (a, m) = ({np }p∈π , m) es una estructura de M(N). Las series generatrices transforman la operaci´on de substituci´on conjuntista en la operaci´on de substituci´on de series formales.

M ω1 (N ω2 )(x) = M ω1 (N ω2 (x)) En efecto:



n



x M ω1 (N ω2 )(x) = n! =



 (a,m)∈M (N )[n]



ω2 (tτ (np ) ) ω1 (tτ (m) )

p∈π









k≥1 (a,m)∈Mk (N )[n]

=

 k≥1

⎛ ⎝









 ω2 (tτ (np ) ) ω1 (tτ (m) )

p∈π

⎞⎛

ω2 (tτ (np ) )⎠ ⎝

a∈Ek (N )[n] p∈π n



ω2



⎞ ω1 (tτ (m) )⎠

m∈M [k] k

x (N (x)) |M[k]|ω1 n! k! k≥1 n  x (N ω2 )k (x) = |M[k]|ω1 n! k≥1 k!

=

Si (M, η) es un operad. De la proposici´on 1.7.1 se tiene el conjunto AlgK (NM , A) tiene estructura de grupo con el producto convoluci´on. La siguiente proposici´on establece una interesante conexi´on entre la substituci´on de series formales y la estructura de grupo que tiene AlgK (NM , A). Proposici´ on 2.2.1. Sean (M, η) un operad, A una K-´algebra conmutativa. Para cualquier par de A-pesos ω1 , ω2 , se tiene que: M ω1 (M ω2 )(x) = M ω2 ∗ω1 (x) Demostraci´on. Basta con probar que para cada n, |M[n]|ω2 ∗ω1 = |M(M)[n]|ω3 , en donde ω3 es el peso definido en la ecuaci´on (22). En efecto:

53

|M[n]|ω2 ∗ω1 =



(ω2 ∗ ω1 )(tτ (m) )

m∈M [n]

=





ω2 (ta )ω1 (tτ (m ) )

m∈M [n] η(a,m )=m

=



ω2 (ta )ω1 (tτ (m ) ) = |M(M)[n]|ω3

(a,m )∈M (M )[n]

 La proposici´on anterior puede ser reformulada como sigue: Proposici´ on 2.2.2. Sea (M, η) un operad y A una K-´algebra conmutativa con unidad. El conjunto de todas las series M-generatrices con coeficientes en el a´lgebra A es un grupo con respecto a la operaci´on de substituci´ on. Este grupo es anti-isomorfo a el grupo Alg(NM , A) bajo el producto convoluci´ on. Esta es una generalizaci´on de una proposici´on presentada en [25] que relaciona el a´lgebra de Hopf de Fa´a di Bruno con la substituci´on de series formales exponenciales. Denotamos por (f (x)) −1 a la inversa con respecto a la substituci´on de la serie generatriz f (x). Desde la proposici´on anterior obtenemos el siguiente corolario. Corolario 2.2.1. Sea I la funci´ on identidad de NM en NM y S la ant´ıpoda. Entonces M S (x) = (M I (x)) −1 En general, para cualquier peso ω sobre M, M ω◦S (x) = (M ω (x)) −1 Desde el corolario, como M I (x) = x + M2I+ (x), entonces: M I (M S (x)) = M S (x) + M2I+ (M S (x)) = x y por lo tanto M S (x) satisface la ecuaci´on impl´ıcita: S M S (x) = x − M2I+ (M S (x)) = x + M2−I + (M (x))

Desde esta ecuaci´on impl´ıcita podemos recuperar la formula de la ant´ıpoda del teorema 2.1.1.

54

3.

El ´ algebra de Fa´ a di Bruno y la formula de inversi´ on de Lagrange

Si consideramos el operad (E+ , η) del ejemplo 1.5.5 entonces NE+ es el ´algebra de Hopf de Fa´a Di Bruno. Los tipos de isomorfismos de las E+ -estructuras pueden ser identificados con los enteros positivos, es decir los cardinales de los conjuntos finitos no vac´ıos. Entonces NE+ = (K[t2 , t3 , t4 , ...], ε, ΔE+ ). La comultiplicaci´on ΔE+ est´a definida de la siguiente manera: ⎛ (23)

ΔE+ (tn ) =

⎜ ⎝

=





n!

j1 +2j2 +3j3 +···=n j1 +j2 +···=k

k

(24)

⎞ 1!j1 j1 !2!j2 j2 !3!j3 j3 !

· ··

⎟ tj22 tj33 · ··⎠ ⊗ tk

Bn,k (1, t2 , t3 , ..., tn ) ⊗ tk

k

donde,

n! 1!j1 j1 !2!j2 j2 !3!j3 j3 !

· ··

es el n´ umero de diferentes particiones de [n] que tienen ji bloques

de cardinal i, (25)

Bn,k (t1 , t2 , t3 , ..., tn ) =

  π∈Π[n] |π|=k



t|B| =

j1 +2j2 +3j3 +···+njn =n j1 +j2 +···+jn =k

B∈π

n! tj1 tj2 ···tjnn 1!j1 j1 !2!j2 j2 !3!j3 j3 ! · · · n!jn jn ! 1 2

es el polinomio parcial de Bell. La serie: E+I (x)

= x+

∞  n=2

tn

xn n!

representa a una delta serie generatriz de tipo exponencial, y:

E+S (x)

= x+

∞  n=2

S(tn )

xn n!

es su inversa con respecto a la operaci´on de substituci´on. De esta manera se tiene que la formula de la ant´ıpoda S es equivalente a la formula de inversi´on de Lagrange (ver [25]). En [11] M. M´endez y R. Ehrenborg demuestran lo siguiente: Proposici´ on 3.0.3. Si N es una especie tal que N[∅] = ∅ y |N[{∗}]| = 1, entonces existe (k)

una biyecci´ on φ entre el conjunto FN [n] de a´rboles N-enriquecidos de Schr¨oder con hojas en {1, 2, ..., n} y exactamente k-v´ertices internos y el conjunto Ek (N2+ )[n + k − 1] de todas las no k sobre el conjunto [n + k − 1]. asambleas de N2+ -estructuras de tama˜

55

(k)

Demostraci´on. Sea T ∈ FN [n]. Para v ∈ Iv(T) denotamos por K(v) al conjunto formado por los hijos de v. Asignamos la etiqueta l(w) ∈ {n + 1, n + 2, ..., n + k} a cada v´ertice interno w en T usando el siguiente procedimiento recursivo. Empezamos colocando la etiqueta l(v1 ) = n + 1 al v´ertice interno v1 para el cual K(v1 ) ⊆ [n] y: m´ax{j : j ∈ K(v1 )} = m´ın{m´ax{j : j ∈ K(w)} : w ∈ Iv(T), K(w) ⊆ [n]} Supongamos que hemos asignado las etiquetas {n+1, n+2, ..., n+r −1}, 1 ≤ r ≤ k, asignamos la etiqueta l(vr ) = n + r al v´ertice interno vr para el cual el n´ umero: m´ax({j : j ∈ [n] ∩ K(vr )} ∪ {l(w) : w ∈ K(vr )}), es el m´ınimo del conjunto: {m´ax({j : j ∈ [n] ∩ K(w)} ∪ {l(w) : w ∈ K(w)}) : w ∈ Iv(T), K(w) ⊆ [n + r − 1]} Es f´acil ver que la sucesi´on de etiquetas en cada camino desde una hoja de T a la ra´ız es creciente. Observe que la ra´ız tiene la etiqueta n + k. Construimos una partici´on π sobre el conjunto [n+k −1]. Sobre el ´arbol T previamente etiquetado se define π = {K(v) : v ∈ Iv(T)}. Claramente π tiene k partes. Ahora sobre cada bloque de π colocamos la correspondiente Nestructura que ten´ıa el ´arbol T cambiando el conjunto subyacente πv por K(v). φ(T) est´a definida por esta asamblea. Para probar que φ es una biyecci´on construimos la inversa ψ de φ. Supongamos que tenemos la asamblea a = {n1 , n2 , ..., nk } ∈ Ek (N2+ )[n + k − 1]. Sean Di el conjunto subyacente de ni . Luego los conjuntos Di forman una partici´on π del conjunto [n + k − 1]. M´as a´ un supongamos que m´ax(Di ) > m´ax(Dj ) si i < j, de esta manera tenemos el orden lineal: Dk < Dk−1 < · · · < D2 < D1 Ahora construimos una secuencia de a´rboles con ra´ız T0 , T1 , ..., Tk . T0 es el ´arbol puntual cuya ra´ız est´a etiquetada con n + k. Para 1 ≤ r ≤ k sea Tr el ´arbol Tr−1 excepto que el conjunto Dr cuelga desde la hoja n + k − r + 1 en Tr−1 . Por inducci´on se puede ver que Tr−1 contiene una hoja con la etiqueta n + k − r + 1. Se define ψ(a) como el ´arbol de Schr¨oder que resulta de suprimir sobre Tk las etiquetas n + k, n + k − 1, ..., n + 2, n + 1 y de enriquecer la fibra de n + k − i cada con la N-estructura N[σi ](ni ). σi es la biyecci´on que existe entre Di y la partici´on subyacente del v´ertice interno n + k − i.

56



La siguiente figura ilustra la biyecci´on de la prueba anterior:

10

9

10

9

4

7 2

4 8

n6

5

7

l

n5

n4

3

φ

2

6

11

n3

5

n6

n3

l n4

8

6

14

ψ

n2

11

n1

13 n5

n2

3

12

16

15 n1

10

9 4

8

n6

5

14

2

6

11 n5

7

l

3 16

12

n4

13 15

n3

n2

17 n1

La biyecci´on φ de la proposici´on anterior generaliza el resultado obtenido por Haiman y Schmitt en [8]. Desde la construcci´on en [11] es f´acil ver que φ preserva naturalmente los pesos (k)

(k)

sobre FN [n] y Ek (N2+ )[n + k − 1] respectivamente. Es decir, sea ω1 el peso sobre FN [n] que  asigna a cada ´arbol T el monomio v∈Iv(T) tτ (nv ) , y ω2 el peso sobre Ek (N2+ )[n + k − 1] que asigna el monomio ta a la asamblea a. Entonces:

ω2 (φ(T)) = ω1 (T),

(k)

para cada a´rbol T ∈ FN [n]. Siguiendo este razonamiento y la proposici´on 3.0.3 se obtiene que la ant´ıpoda de NE+ est´a dada por:

57

S(tn ) =

 T∈FE [n] + η (T)={[n]}

=

n−1 



(−1)|Iv(T)|

t|πv |

v∈Iv(T)





(−1)k

k=1 T∈F (k) [n] E

t|πv |

v∈Iv(T)

+

=

n−1 

(26)

=



t|B|

π∈Ek (E2+ )[n+k−1] B∈π

k=1 n−1 



(−1)k

(−1)k Bn+k−1,k (0, t2 , t3 , ...)

k=1

esta es la formula de la ant´ıpoda obtenida por Haiman y Schmitt en [8]. Sea (E • , η) el operad del ejemplo (1.5.1), entonces NE • es el ´algebra de Hopf de Fa´a di Bruno punteada. Los tipos de E • tambi´en son identificados con los enteros positivos. El ´algebra subyacente de NE • tambi´en es K[t2 , t3 , ...]. Como E • [n] tiene n conjuntos punteados, entonces coproducto ΔE • es obtenido como sigue:

nΔE • (tn ) =

=





m∈E • [n]

η(a,m )=m

n 



k=1 π∈Ek

(27)

=

n 

ta ⊗ tτ (m ) ⎛ ⎝

(E • )[n]



⎞ t|B| ⎠ ⊗ ktk

(B,b)∈π

Bn,k (1, 2t2 , 3t3 , ...) ⊗ ktk

k=1

NE • es isomorfa a el ´algebra de Hopf de Fa´a di Bruno NE+ haciendo el cambio tn −→ ntn . Por otra parte:

(28)

Bn,k (0, 2t2 , 3t3 , 4t4 , ...) =

n k

k!Bn−k,k (t2 , t3 , t4 ...)

Esta identidad es f´acil de probar: el lado izquierdo es la suma de todos los monomios



(B,b)∈π t|B| ,

en donde π es una partici´on punteada sobre [n] que no tiene bloques de tama˜ no 1. El lado n derecho es la misma suma, esto es debido a que existen k formas diferentes de elegir los elementos distinguidos de los bloques de cada partici´on punteada, Bn−k,k (t2 , t3 , ...) es la suma

58

de todos los monomios de la forma



B∈π t|B|+1 ,

en donde π es una partici´on ordinaria con

tama˜ no k sobre [n − k]. Finalmente, k! es el n´ umero de todas las permutaciones de los elementos distinguidos, uno en cada bloque de la partici´on ordinaria. La siguiente figura ilustra lo anteriormente explicado.

Partición ordinaria sobre [12−3]

Partición punteada sobre [12]

12

() 3

maneras de elegir los elementos distinguidos de cada bloque

3! permutaciones de los elementos distiguidos sobre los bloques de la partición punteada

La funci´on generatriz (E • )I (x) es igual a:   ∞  xn xn =x 1+ (E ) (x) = x + ntn tn+1 n! n! n=2 n=1 ∞ 

• I

por el corolario 2.2.1, nS(tn ) es el coeficiente de

xn n!

en la inversa de (E • )I (x). Usando la

formula de la ant´ıpoda (26), la identidad (28) y la proposici´on 3.0.3: nS(tn ) =

=

n 



i=1

T∈FE • [n] η (T)=({[n]},i)



=

=

k=1

=

n−1  k=1



(−1)|Iv(T)| 

(−1)k

t|πv |

v∈Iv(T)



(−1)k

k=1 T∈F (k) [n] E• n−1 

t|πv |

v∈Iv(T)

T∈FE • [n] n−1 



(−1)|Iv(T)|

t|πv |

v∈Iv(T)





π∈Ek (E •+ )[n+k−1] 2

(B,b)∈π

t|B|

(−1)k Bn+k−1,k (0, 2t2 , 3t3 , 4t4 , ...)

59

=

=

=

=

=

 n+k−1 (−1) k!Bn−1,k (t2 , t3 , t4 , ...) k k=1 k   n−1  n−1 ∞ j  n + k − 1 x x (−1)k tj+1 k (n − 1)! j! j=1 k=1 k n−1    n−1  ∞ j x −n x tj+1 (n − 1)! k=1 k j! j=1 −n n−1  ∞  x xj tj+1 1+ (n − 1)! j! j=1 n−1  • I −n x (E ) (x) (n − 1)! x n−1 



k

la cual es la formula cl´asica de inversi´on de Lagrange presentada por Chen [27].

4.

El ´ algebra de Hopf natural asociada al operad libre FN , N una especie.

Sea N una especie tal que N[∅] = ∅, | N[{u}] |= 1, es decir, N satisface la ecuaci´on: N = X + N2+ . En [10] la especie de los a´rboles N-enriquecidos de Schr¨oder FN , es el operad libre generado por N. El producto η : FN (FN ) −→ FN se llama grafting en la literatura. La t´ecnica grafting consiste en insertar la ra´ız de un ´arbol en el tallo o tronco de otro ´arbol de tal manera que ambas partes queden unidas. Formalmente, para cada ({Tp }p∈π , T  ) ∈ FN (FN )[U], η({Tp }p∈π , T  ) se obtiene de la siguiente manera: 1. Para cada p ∈ π se reemplaza la hoja p de T  por el ´arbol Tp permitiendo que la ra´ız de cada ´arbol Tp sea un nuevo v´ertice. 2. Si v ∈ Iv(T  ), la N-estructura nv se reemplaza por N[σv ](nv ) = nv , en donde σv es la aplicaci´on que env´ıa a cada bloque B ∈ πv en: ⎧ ⎨ ⎩

B q∈B

si q otro

La siguiente figura muestra la definici´on de η:

|B| = 1 caso

60

7

6

5 n4

4

2

7

n5

1

3 8

n6

n5

1

η

9

3 8 9

n6

n2

n3

n4

4

2

6

5

n2

n3

10 10 n1

n1

Definici´ on 4.0.1. Una coloraci´ on admisible sobre un ´arbol T ∈ FN [U] es una funci´on c, del conjunto de los lados de T en los enteros positivos, que satisface las siguientes propiedades: 1. Sea v ∈ Iv(T). Si l1 , l2 son lados de T que conectan a v con dos de sus hijos, entonces c(l1 ) = c(l2 ). 2. Si l1 , l2 , ..., lk es la sucesi´on de lados de un camino que comienza en la ra´ız de T y finaliza en una hoja, entonces c(l1 ) = 1 y para cada i ∈ {1, 2, 3, ..., k − 1}, c(li+1 ) = c(li ) o c(li+1 ) = c(li ) + 1. ac (i) denotar´a a la correspondiente asamblea de sub´arboles de T que tienen color i. Adm(T) se define como el conjunto formado por todas las coloraciones admisibles sobre el ´arbol T. Note que ac (1) es un sub´arbol de T que contiene a la ra´ız. La siguiente figura muestra la representaci´on de una coloraci´on admisible:

v s w 4 3 n11

r

3

3

3

3

q z 2 x2

h n5

2

y

g

2

2 2 n4

1 1

2

n6 1

m

n9 2

2

e

i 4 n10

d b 1

1

n3 1 1 n1

n2 1

a

1

f 2

2 2

n7 2

o

2 n8 2

j k

p

61

Proposici´ on 4.0.4. Sea T ∈ FN [U]. El conjunto η−1 (T) = {T  ∈ FFN [U] : η(T  ) = T} est´ a en correspondencia biyectiva con Adm(T). Demostraci´on. Sea c ∈ Adm(T), definimos el a´rbol Tc ∈ FFN [U] como sigue: un v´ertice interno v ∈ Iv(Tc ) con profundidad i − 1, es el resultado de contraer los lados de un a´rbol Tv ∈ ac (i) cuyos extremos son v´ertices internos de T. Sobre la correspondiente partici´on subyacente πv colocamos el ´arbol Tv . De esta manera η(T) es el resultado de insertar un ´arbol Tw ∈ ac (i + 1) sobre la hoja w de Tv , para todo v ∈ Iv(Tc ) que tenga profundidad i−1. Claramente η(Tc ) = T. Sea ρ la aplicaci´on que env´ıa a c en Tc , por construcci´on se tiene que ρ es inyectiva. Supongamos que η(T  ) = T, para cada v ∈ Iv(T  ) etiquetamos todos los lados del correspondiente a´rbol Tv ∈ FN [πv ] con el sucesor de la profundidad que tiene v sobre el ´arbol T  . Despu´es de aplicar el producto η a T  , el a´rbol T queda decorado con una coloraci´on admisible c, tal que ρ(c) = Tc = T  .



La siguiente figura ilustra la biyecci´on anterior:

v

i v s w 4 3 n11

r

3

3

h

q

z 2 x2

n5

2

y

g

2

2 2 n4

1

2

2 n6 1

1

m

n9

2

e

i 4 n10

3

3

w r s

d b 1

1

n3 1 1 n1

n2 1

a

1

2

f 2 2

n7 2

2 n8 2

j k

p

x

ρ

q z h

y z q x

n5

r

e

n9

mo 2

d b

e

y n4

s w

g

n6

2

n10

4

n11

g h3

o

i v

1

db

n3

p

f

j

k m o 2 p a f n8 j n7 k

n2

a n1

Para un a´rbol T ∈ FN [U] se denotar´a por Adm2 (T) al conjunto formado por todas las bicoloraciones admisibles sobre T, es decir, si c ∈ Adm2 (T), entonces c−1 (i) es vac´ıo para todo i ≥ 3 y el conjunto c−1 (2) es diferente de vac´ıo. Usando la proposici´on (4.0.4) se obtiene que

62

el coproducto y la ant´ıpoda de NFN quedan redefinidos de como sigue: Si |U| ≥ 2,  tτ (ac (2)) ⊗ tτ (ac (1)) (29) Δ(tτ (T) )) = tτ (T) ⊗ t• + t• ⊗ tτ (T) + c∈Adm2 (T)

(30)

S(tτ (T) ) =





(−1)|ac (i)| tτ (ac (i))

c∈Adm(T) i≥1

en donde, | ac (i) | es el n´ umero de sub´arboles de T que tienen color i. En otro caso, S(t• ) = t• , Δ(t• ) = t• ⊗ t• . 5.

La familia de ´ algebras de Hopf NAN , N monoide

En esta secci´on estudiaremos otras formas de la ant´ıpoda para las ´algebras de Hopf correspondientes a los operads A, AL , Gc• . Empezando por el operad A, desde donde obtendremos a trav´es de una proyecci´on el a´lgebra de Hopf de Connes y Kreimer y la sub´algebra de Hopf de Connes Moscovici. En los ejemplos (1.5.7), (1.5.4) se explica que estos operads son casos particulares del operad AN , en donde N es un monoide. Todas las formulas de ant´ıpodas son obtenidas de (21) usando la misma t´ecnica: Los v´ertices internos de un ´arbol de Schr¨oder son coloreados con el sucesor de su profundidad, empezando por la ra´ız que tiene color 1. Cada v´ertice interno es la instrucci´on que lleva a cabo un producto del operad. El resultado final es obtenido despu´es de ejecutar todos los productos finalizando con la ra´ız. Como todos estos ejemplos de operads son grafos con una estructura extra, el resultado final es un cierto tipo de grafo, y cada producto en la construcci´on de este grafo es obtenido por la conexi´on de algunos v´ertices con nuevos lados. De esta manera el ´arbol de Schr¨oder codifica el grafo que se obtiene de su producto coloreando sus lados, recordando que el color es el sucesor de la profundidad que tiene el v´ertice interno en donde estos fueron creados. El razonamiento anterior est´a fundamentado en una proposici´on presentada por M. Mendez y R. Ehrenborg en [11]. Su enunciado es el siguiente: Proposici´ on 5.0.5. Sea M una especie tal que M[∅] = ∅, entonces la especie de los a´rboles de Schr¨ oder enrriquecida con la especie X.M, FX.M es isomorfa a la especie AL(M ) . Demostraci´on. Sea T ∈ FX.M [U], cada v´ertice interno v de T tiene asociado un par (pv , mv ) perteneciente al conjunto X.M[πv ], en donde πv es la partici´on subyacente de v, pv es el bloque de πv elegido por la especie singular X y mv ∈ M[πv −{pv }]. pv se denomina el bloque preferido

63

de v. La ra´ız del sub´arbol de T cuyas hojas son los elementos de pv es el hijo preferido de v. De esta manera podemos construir un u ´ nico camino comenzando por la ra´ız de T hasta una hoja, permitiendo que el sucesor de un v´ertice interno sea su hijo preferido. Este camino se denomina la espina dorsal de T. Cada v´ertice interno en la espina de T tiene una M-asamblea de estructuras de FX.M que cuelga sobre dicho v´ertice. La estructura sobre los v´ertices internos de la espina de T es un orden lineal que tiene como elemento m´ınimo a la ra´ız de T. Esto prueba que: FX.M = X · L(M(FX.M )) = X · L(M)(FX.M ) en donde X elige la hoja sobre el camino. Como esta es la misma ecuaci´on que satisface la especie AL(M ) , desde el teorema de la especie impl´ıcita [6] existe un isomorfismo: χ : FX.M −→ AL(M )  La siguiente figura ilustra la descripci´on de la prueba anterior:

9 4

X

2

10

X.M

11

X.M 1 X.M

M

5

4 8 X.M M 7 3 X.M M 2

=

6

X.M 8 X.M 7 M X.M M

3

9

11

5

6

10

L

3

2 X.M 1 X.M

1 M

FX.M = X.L(M )(FX.M )

El isomorfismo χ entre FX.M y AL(M ) esta definido recursivamente como sigue: 1. Para un a´rbol T ∈ FX.M , la ra´ız de χ(T) es la hoja r del a´rbol T que se obtiene como el resultado de contraer los lados de la espina dorsal T. 2. La fibra que tiene r en el ´arbol χ(T) es el conjunto formado por todas las ra´ıces de los ´arboles χ(T  ), en donde T  es un a´rbol de Schr¨oder que cuelga sobre uno de los v´ertices internos de la espina de T. La fibra de r est´a enriquecida con la correspondiente

64

L-asamblea de M-estructuras adjuntadas a los v´ertices internos que pertenecen a la espina de T. La siguiente figura ilustra la definici´on de χ:

8

7

9 5

6

M 4

6 5

6 M

5 M

χ

4

8

3

M 1

9

2

2 M

1

4

3 3

M

5 M

2 2

4

M

M

3

10

5.1.

7

M

6

1

1

M

10

M

El ´ algebra de Hopf NA . En esta secci´on estudiaremos la formula de la ant´ıpoda (21)

del ´algebra de Hopf natural asociada al operad AE = A del ejemplo 1.5.3. Como: A = A• = X.A , el isomorfismo natural χ que env´ıa a un ´arbol T ∈ FA2+ en T  = χ(T) ∈ AL(A+ ) . Cada v´ertice interno v de T  corresponde al v´ertice final de una espina dorsal w1 w2 ...wk v del ´arbol T. La fibra de v, est´a enriquecida con la correspondiente tupla (Tw 1 , Tw 2 , ..., Tw k ) ∈ L(A+ ), de tal manera que, Twi = (Tw i , v) es un ´arbol con ra´ız. Coloreando los lados del ´arbol Twi con el sucesor de la profundidad que tiene wi sobre T, obtenemos lo que se denominamos coloraci´on admisible. Expl´ıcitamente: Definici´ on 5.1.1. Sea T ∈ A. Una coloraci´on admisible sobre T es una funci´on c, del conjunto de los lados de T en los enteros positivos, que satisface las siguientes propiedades: 1. Existe al menos un lado l de T tal que c(l) = 1 2. c es d´ebilmente creciente en cualquier camino que comienza en la ra´ız de T y finaliza en una hoja. Es decir si l1 , l2 , ..., lk es la correspondiente sucesi´on de lados de un camino de T que comienza en la ra´ız y finaliza en una hoja, entonces c(li ) ≤ c(li+1 ). 3. Para i ≥ 2, si Ti es un sub´arbol conexo de T cuyos lados pertenecen a c−1 (i), entonces existe al menos un lado l incidente a la ra´ız de Ti tal que l ∈ c−1 (i − 1).

65

ac (i) denotar´a a la correspondiente asamblea de sub´arboles de T que tienen color i. Adm(T ) se define como el conjunto formado por todas las coloraciones admisibles sobre el ´arbol T . Adm2 (T ) denotar´a al conjunto formado por todas las bicoloraciones admisibles sobre T , es decir, si c ∈ Adm2 (T ), entonces c−1 (i) es vac´ıo para todo i ≥ 3 y el conjunto c−1 (2) es diferente de vac´ıo. La siguiente figura muestra la representaci´on de una coloraci´on admisible:

8

7 3

11 10 1 12 2

3

3

9 3

4

5

3

2

2

3 1

6

2

2

1 Proposici´ on 5.1.1. Sea T ∈ A[U]. El conjunto η−1 (T ) = {T ∈ FA2+ [U] : η(T) = T } est´ a en correspondencia biyectiva con Adm(T ). Demostraci´on. Sea  : AL(A+ ) [U] −→ A[U] la funci´on que env´ıa a T  ∈ AL(A+ ) [U] en el ´arbol que resulta de aplicar sobre T  la siguiente operaci´on: si v es un v´ertice interno de T  y (T1 , ..., Tk ) es la L(A+ )-estructura que enriquece a la fibra de v, se reemplaza el elemento fantasma ∗ de cada Ti por v, asumiendo a v como la ra´ız de (T  ). Sea T ∈ FX.A+ [U] y w un v´ertice interno de T. La correspondiente partici´on subyacente πw est´a enriquecida con un ´arbol Tw = (Tw , pw ), en donde pw es el bloque preferido de w y Tw ∈ A+ [πw − {pw }]. Denotamos por Tw al ´arbol peque˜ no de FX.A+ [πw ] con ra´ız w, y cuyas hojas est´an enriquecidas con Tw . Si v la ra´ız de T, entonces: η(Tp )}p∈πv ,  ◦ χ(Tv )) η(T) = η({ η (Tp )}p∈πv , Tv ) = η({ El producto η aplicado al par ({ η (Tp )}p∈πv , Tv ) consiste en reemplazar el v´ertice p de Tv por la ra´ız del a´rbol η(Tp ). Iterando sobre la igualdad anterior obtenemos que: η(T) =  ◦ χ(T) Sea T ∈ η−1 (T ). Para cada w ∈ Iv(T) coloreamos todos los lados de Tw con el sucesor de la profundidad de w, luego el ´arbol  ◦ χ(T) = η(T) = T tiene inducida una coloraci´on admisible

66

cT que se obtiene de no olvidar el color que tienen los lados de cada a´rbol Tw despu´es de haber aplicado  ◦ χ a T. La aplicaci´on T −→ cT es la biyecci´on requerida. De esta manera: | −1 (T )| = | η −1 (T )| = |Adm(T )|  La siguiente figura ilustra la prueba anterior:

y

s o

*

6

*

5

y 6

6

k

h

6

*

χ

f 3

b 2

g

k

s

3

3

*

*

1

2

h

4

b

2

2

*

1

3

b

o

a

g

f

o

a

g f

*

*

b 2

4 h

s 5

f g

3

d

y

k h4 4

*

4

k

y

3

*a a 1

d

*



* y

η

6

s

k

4

h

f

5 4 3

o b

g 3

a

2 2 1

d

Usando la proposici´on (5.1.1) se obtiene que el coproducto y la ant´ıpoda de NA quedan redefinidos como sigue: Para T ∈ A2+ , (31)

Δ(tτ (T ) )) = tτ (T ) ⊗ t• + t• ⊗ tτ (T ) +



tτ (ac (2)) ⊗ tτ (ac (1))

c∈Adm2 (T )

(32)

S(tτ (T ) ) =



 (−1)|ac (i)| tτ (ac (i))

c∈Adm(T ) i≥1

En otro caso, S(t• ) = t• , Δ(t• ) = t• ⊗ t• .

67

En la siguiente figura se muestran todas las coloraciones admisibles del ´arbol: 3

4

T =

5

2 1

3 2

4 1

3 1

4 1

1

1

1 1 3 1

4 1

5

2 1

5

2

2

1

2

5

2 2

2

= −t

⊗t

1 1

⊗ t• + t• ⊗ t

+t t

S t

1

+ 2t ⊗ t

+ t

+ 2t

t

3 3

4 3 5

2

1

1

(33)

5

5

2 1

2

2 1

1

1

3 2

5

1

2

3 2

4 3

2

5

1 1

3 3

4 2

1

2 1

2 2

1

De esta manera:   = t Δ t

1

1

1 1

2

5

4 3

1

3 2

4 2

2

3 3

4 2

1

5

2

5

2

1

3 1

4 2

1

3 2

1

1 1

3 2

4 1

1 4 2

1

1 1

3 2

4 3

3 3

4 2

5

2

5

2

5

2

5

2

3 2

4 2

3 1

4 2

5

2 2

1

2

1

+ t

5

2

1 1

⊗t

3 3

4 4

3 4

4 3

+ t ⊗t

5

2 2

1 1

+ 2t2 ⊗ t

⊗t

+ t2

− 4t

t2 + 2t

t

− 4t t2 + 4t4

Aunque la formula (32) no es cerrada, esta es u ´ til para calcular la ant´ıpoda de ciertos tipos de ´arboles tales como: corolas, palmeras y ordenes lineales. Un orden lineal es un a´rbol T ∈ A formado por un camino orientado partiendo desde la ra´ız de T . Denotaremos por ln al tipo de isomorfismo de cualquier orden lineal que tenga n lados. Sea c una coloraci´on admisible

68

sobre un orden lineal T cuyo tipo es ln con n ≥ 1. Si Im(c) = {1, 2, 3..., k}, entonces para cada i ∈ Im(c), la correspondiente asamblea ac (i) esta formada por un suborden lineal Ti de T . De  esta manera ki=1 tac (i) = tlj1 · · · tljk , en donde ji es el n´ umero de lados que tiene Ti . Para este caso identificaremos a l0 = • y t• = 1. De las f´ormulas (32), (31) se siguen: 

Δ(tln ) =

(34)

tlj1 ⊗ tlj2

j1 +j2 =n

(35)

S(tln ) =

n 



(−1)k

j1 +j2 +···jk =n ji ≥1

k=1

tlj1 tlj2 · · · tljr

Denotamos por L a la sub´algebra de NA generada por {tln : n = 0, 1, 2...}. Las ecuaciones (34), (35) nos dicen que L es una sub´algebra de Hopf de NA . L es isomorfa a el ´algebra de Hopf de las potencias divididas (ver [25]). El ´algebra dual L∗ es isomorfa a el ´algebra de las series de formales ordinarias. Por otra parte: 

∞ 

 S(tln )xn

n=0

∞ 

 tln xn

=

n=0

∞  n=0

=

∞ 





 S(tlj1 )tlj1

xn

j1 +j2 =n

(S ∗ I)(tln )xn

n=0

= 1 Es decir, ∞

1

n n=0 tln x

=

∞ 

S(tln )xn

n=0

como era de esperarse. Una corola es un a´rbol T ∈ A que tiene altura igual a uno. Denotaremos por Cn al tipo de isomorfismo que tiene una corola con n lados (n ≥ 1), asumiremos que C0 = • y que t• = 1. Sea c una coloraci´on admisible sobre una corola T cuyo tipo es Cn . Si |Im(c)| = k, entonces para cada i ∈ Im(c) la correspondiente asamblea ac (i) est´a formada por una subcorola Ti de T .  De esta manera ki=1 tac (i) = tCj1 · · · tCjk , en donde ji es el n´ umero de lados que tiene el a´rbol Ti . Si pi es el conjunto formado por las hojas de Ti , entonces πc = {pi }ki=1 es una partici´on

69

ordenada del conjunto de hojas de la corola T tal que ji = |pi |.

p2 p1 2 2 2

1

k

pk

k

1

k

De las ecuaciones (31), (32) se siguen:

Δ(tCn ) =

(36)

n 

⎛ ⎝

n 

=

⎠ tCk ⊗ tCn−k



(−1)k

{pi }ki=1 ∈Lk (Π)[n]

k=1 n 

n k

k=0

S(tCn ) =

⎞

(−1)k k!

  π∈Π[n] |π|=k

k=1

tC|p1 | · · · tC|pr |

tC|p|

p∈π

Desde la definici´on del polinomio parcial de Bell (ecuaci´on (25)) se obtiene:

S(tCn ) =

(37)

n 

(−1)k k!Bn,k (tC1 , tC2 , ...)

k=1

Denotamos por C a la sub´algebra de NA generada por {tCn : n = 0, 1, 2...}. Las ecuaciones (36), (37) nos dicen que C es una sub´algebra de Hopf de NA . C es isomorfa a el ´algebra de Hopf binomial (ver [25]). El ´algebra dual C ∗ es isomorfa a el ´algebra de las series de formales de tipo exponencial. Por otra parte: 

∞  n=0

n

S(tCn )

x n!



∞  n=0

n

tCn

x n!

 =

∞  n=0

=

∞  n=0

= 1

⎛ ⎝

n  k=0

⎛ ⎝

⎞

⎞ n

n

⎠ S(tCk )tCn−k ⎠ x n! k

(S ∗ I)(tCn )

xn n!

70

Es decir, ∞

1

n=0 tCn

xn n!

=

∞ 

S(tCn )

n=0

xn n!

como era de esperarse. Una palmera es un ´arbol T ∈ A cuyas hojas est´an conectadas al u ´ ltimo v´ertice de un orden lineal orientado desde la ra´ız de T . La siguiente figura muestra cierto tipos de palmeras:

Denotaremos por Pn,m al tipo de isomorfismo de una palmera que tiene n lados en el orden lineal y m hojas. Sea c una coloraci´on admisible sobre una palmera T cuyo tipo es Pn,m . Sea x el u ´ ltimo v´ertice sobre el orden lineal de T y j el m´ınimo elemento del conjunto formado por todos los n´ umeros de la forma c(l), en donde l es un lado incidente a x. La correspondiente asamblea ac (i) es: 1. Una palmera de color j, si i = j 2. Un orden lineal de color i, si i < j 3. Una corola de color i, si i > j

j+1

j j j j−1

y por lo tanto:

71

(38)

S(tPn,m ) =

n 

S(tln−r )

r=0

m  k=1

−

m k

tPr,k S(tCm−k )

Sea P la sub´algebra de NA generada por las variables tPn,m . Usando los mismos argumentos se puede comprobar f´acilmente que P es una sub´algebra de Hopf de NA . Cualquier sub´algebra de Hopf de NA est´a caracterizada por una familia de estructuras de A que es cerrada bajo coloraciones admisibles y que contiene a el ´arbol puntual. Expl´ıcitamente: Definici´ on 5.1.2. Sea R una subespecie de A, es decir, para cada conjunto finito U: R[U] es igual a A[U] si |U| = 1, en caso contrario R[U] es un subconjunto de A[U] . R es cerrada bajo coloraciones admisibles, si para cada T ∈ R y c ∈ Adm(T ) la correspondiente asamblea ac (i) es una estructura de E(R). Como ejemplo tenemos los casos en donde R es: orden lineal, corolas, palmeras. Proposici´ on 5.1.2. H es una sub´algebra de Hopf de NA si y solo si, H = K[tα : α ∈ T(R)], en donde R es una subespecie de A cerrada bajo coloraciones admisibles. Demostraci´on. Sea H una sub´algebra de Hopf de NA . Se define la especie R de la siguiente manera: R[∅] = ∅, si U es un conjunto de cardinal n ≥ 1, R[U] = {T ∈ A[U] : tτ (T ) ∈ H}. Como Δ(H) ⊆ H ⊗ H, S(H) ⊆ H, de las ecuaciones (31), (32) se sigue que R es cerrada bajo coloraciones admisibles. El rec´ıproco se sigue inmediatamente de las ecuaciones (31), (32).  Usando la formula (32) se pueden calcular los inversos del grupo Alg(NA , K). A continuaci´on presentamos algunos ejemplos: sea ωC ∈ Alg(NA , K), definida como sigue: para n ≥ 1, ωC (tCn ) = aut(Cn ) = n!, ahora si T ∈ A no es una corola, entonces ωC (tτ (T ) ) = 0. Sea T ∈ A, ωC anula a todos los monomios de S(tτ (T ) ) que contengan un factor tτ (T  ) en donde T  es un sub´arbol de T que no es una corola, por lo tanto si {u1 , u2 , ..., un } es el conjunto formado por todos los hijos que tiene la ra´ız de T , y Ti es el sub´arbol de T cuyos v´ertices son todos los descendientes de ui , incluyendo a ui como la ra´ız de Ti , entonces de la ecuaci´on (37) se sigue:  ωC (S(tτ (T ) )) =

n  k=1

 (−1) k!Bn,k (1!, 2!, 3!, ...) ωC ◦ S k



n  i=1

 tτ (Ti )

72

Por otra parte:

k j x (−1)k k!Bn,k (1!, 2!, 3!, ...) = j! − n! j! j=0 k=1 k=1  ∞ k n  n  x − = xj n! k=1 j=1 n

x (−x) = n! n n

 x

n 

Luego obtenemos que: ωC (S(tτ (T ) )) =



∞ 

 n 

 xn tτ (Ti ) (−x)ωC ◦ S n! i=1

La ecuaci´on anterior nos dice que ωC (S(tτ (T ) ) es igual a cero cuando T no es un orden lineal, y para τ (T ) = lj se obtiene que ωC (S(tlj )) = (−1)j . Luego la aplicaci´on ωL ∈ Alg(NA , K) definida por ωL (tlj ) = (−1)j y ωL (tτ (T ) ) = 0 si T no es un orden lineal, es el elemento inverso de ωC en el grupo Alg(NA , K). Otro ejemplo es el siguiente: sea ωZ ∈ Alg(NA , K) definida por ωZ (tα ) = 1 para todo α ∈ T(A). De la ecuaci´on (37) se sigue que: ωZ ◦ S(tCn ) =

n 

(−1)k k!Bn,k (1, 1, 1...)

k=1

=

=

= =

k

 ∞ n j x x (−1)k n! j! j=1 k=1 k  ∞ n  n  xj x − n! k=1 j! j=1 n  n x (−ex + 1)k n! k=1 n

x (e−x − 1) = (−1)n n!

n 



Sea T un ´arbol cuya ra´ız es r, y supongamos que T no es una corola. Sea Vr = {v1 , v2 , ..., vn } el conjunto formado por todos los hijos que tiene r y lj el lado de T que conecta a r con vj . Toda coloraci´on admisible c, sobre el ´arbol T induce una partici´on ordenada r(c) = {pi }ki=1 sobre el conjunto Vr , en donde pi = {vj : c(lj ) = i}. Usando r(c) se define la k- tupla (T1 , T2 , ..., Tk )

73

de sub´arboles de T de la siguiente manera: r es la ra´ız de cada Ti , la fibra que tiene r en Ti es pi y el resto de los v´ertices de Ti son los descendientes que tiene cada elemento de pi en el ´arbol T . Para cada i = 1, 2, ..., k se define una coloraci´on admisible ci sobre Ti de la siguiente manera: c1 es la restricci´on de c sobre los lados de T1 , c2 = c − 1, c3 = c − 2,..., ck = c − k + 1. Es f´acil ver que la aplicaci´on c −→ (r(c), {ci }ki=1 ) es una biyecci´on. Como r(ci ) = {pi }, de la ecuaci´on (32) se sigue: ωZ ◦ S(tτ (T ) ) =



 (−1)|ac (i)|

c∈Adm(T ) i≥1



=

⎛ k  ⎜ ⎜ ⎝

{pi }ki=1 ∈L(E+ )[Vr ] i=1

⎞  c ∈Adm(Ti ) r(c )={pi }

 ⎟ (−1)|ac (j)| ⎟ ⎠ j≥1

En el lado derecho de la igualdad anterior, la primera suma tiene como rango a todas las particiones ordenadas {pi }ki=1 del conjunto Vr , y la segunda suma tiene como rango a todas las coloraciones admisibles c , sobre el ´arbol Ti tales que r(c ) = {pi }. Para cada v ∈ pi denotaremos por Tv al sub´arbol de Ti cuyos v´ertices son los descendientes que tiene v sobre Ti incluyendo a v como su ra´ız. Sea Wi el conjunto formado por los ´arboles no singulares de {Tv }v∈pi , si el cardinal de Wi es s, entonces:  c ∈Adm(Ti ) r(c )={pi }

    (−1)|ac (j)| = − ωZ ◦ S(tτ (Tv ) ) + ωZ ◦ S(tτ (Tv ) ) Tv ∈Wi v∈pi

v∈pi

j≥1



−



ωZ ◦ S(tτ (Tv ) ) + · · ·

{Tv ,Tv }⊂Wi v∈pi

=

 v∈pi

ωZ ◦ S(tτ (Tv ) )

 s  l=0

(−1)l+1

 s l

= 0 En el lado derecho de esta u ´ ltima igualdad, el primer sumando se corresponde con todas las coloraciones admisibles c sobre el ´arbol Ti , con r(c ) = {pi } tales que los ´arboles de Wi tienen color mayor o igual a dos sobre sus lados. El segundo sumando se corresponde con todas las coloraciones admisibles c sobre el ´arbol Ti , con r(c ) = {pi } tales que solo un ´arbol de Wi admite color igual a 1 sobre el conjunto de sus lados, siguiendo de esta manera, el u ´ ltimo sumando se corresponde con todas las coloraciones admisibles c sobre el ´arbol Ti , con

74

r(c ) = {pi } tales que todos los a´rboles de Wi admiten color igual a 1 sobre el conjunto de sus lados. De esta forma se obtiene que μ ∈ Alg(NA , K) definido por: μ(tτ (T ) ) = 0 si T no es una corola y μ(tCn ) = (−1)n para una corola con n-lados, es el inverso de ωZ bajo el producto convoluci´on.

5.2.

El ´ algebra de Hopf de Connes y Kreimer. El ´algebra de Hopf HR , de los ´arboles

con ra´ız es construida por Connes y Kreimer en [2]. HR es igual a la K-´algebra conmutativa libremente generada por el conjunto T(A), es decir, HR = K[α : α ∈ T(A)]. Un corte C de un ´arbol T ∈ A es un subconjunto de lados de T . Luego de suprimir los lados de T que pertenecen a C se obtiene un bosque denotado por W C (T ). Note que si C es vac´ıo entonces W C (T ) = T . Denotamos por ω C (T ) al tipo de isomorfismo que tiene el bosque W C (T ). El corte C es admisible si cada camino orientado en el ´arbol tiene a lo sumo un lado que pertenece a C. Para un corte admisible C, el tipo de isomorfismo del a´rbol en bosque W C (T ) que contiene a la ra´ız de T es denotado por RC (T ) (tronco) y el tipo de isomorfismo de la asamblea formada por el resto de los ´arboles en el bosque W C (T ) es denotado por P C (T ) (ramas). Denotaremos por Admc(T ) al conjunto formado por todos los cortes admisibles de T . La siguiente figura muestra un posible corte admisible:

11

10

Corte admisible C 8

9 12 13

4 5 7 3

2

6 1

10

11

8

12 13

C

2

W (T ) =

4 7

3 6

9 1 ω C (T ) =

RC (T ) =

P C (T ) =

5

75

El coproducto de HR est´a definido como el u ´ nico morfismo de ´algebra de HR en HR ⊗ HR tal que para cada ´arbol T ∈ A, con τ (T ) = α

 Δ(α) =α⊗1 + 1⊗α +

(39)



P C (T ) ⊗ RC (T )

C∈Admc(T )

La counidad ε : HR −→ K, est´a definida multiplicativamente por la igualdad:

ε(α) = δ1,α

(40)

Sea B + la aplicaci´on K-lineal de HR en HR definida como sigue: B + (1) es el tipo de isomorfismo de un ´arbol con un solo v´ertice. Si a = {Tp }p∈π ∈ E+ (A), entonces B + (τ (a)) es el tipo de isomorfismo del ´arbol que resulta de conectar el v´ertice π con la ra´ız de cada ´arbol Tp , asumiendo como ra´ız al nuevo v´ertice π.

 B

+

 =

 tambi´en se puede definir multiplicativamente a trav´es de la ecuaci´on El coproducto Δ recursiva:

 ◦ B + = B + ⊗ 1 + (id ⊗ B + ) ◦ Δ  Δ

(41)

La ecuaci´on anterior significa que la aplicaci´on lineal B + es un cociclo de la cohomolog´ıa de Hochschild asociada a la co´algebra HR . Connes y Kreimer prueban que HR es la soluci´on universal a un problema en cohomolog´ıa de Hochschild. En [5] se puede encontrar la prueba del siguiente teorema: Teorema 5.2.1. Sea A un ´algebra conmutativa y L : A −→ A una aplicaci´ on K-lineal. 1. Existe un u ´nico morfismo de a´lgebra φ : HR −→ A, de manera ta que φ ◦ B + = L ◦ φ. 2. Si A es un ´algebra de Hopf y L satisface (41), entonces φ es un morfismo de ´algebra de Hopf.

76

Note que la parte (1) del teorema 5.2.1 prueba que el par (HR , B + ) es un objeto inicial en la categor´ıa de las ´algebras conmutativas con una aplicaci´on lineal.  = 1, y para cada T ∈ A La ant´ıpoda de HR , est´a definida como sigue: S(1)

 (T )) = S(τ

(42)



(−1)|C|+1 ω C (T )

C

en donde el rango de la suma anterior est´a dado sobre todos los cortes C, del ´arbol T , y | C | es el cardinal del conjunto C. Sea T ∈ A y r la ra´ız de T . Si τ (T ) = α, entonces B − (α) es el tipo de isomorfismo de la asamblea que resulta de suprimirle a T , la ra´ız r, y todos los lados que se conectan con r.

B−

= B−( ) = 1

Note que: (43)

B − (B + (α)) = B + (B − (α)) = α

Teorema 5.2.2. El a´lgebra de Hopf natural NA se proyecta sobre el ´algebra de Hopf de Connes y Kreimer HR . Es decir, la aplicaci´on B − : NA −→ HR definida multiplicativamente por: B − (tα ) = B − (α) es un epimorfismo de ´algebras de Hopf. Demostraci´on. Es claro que B − es un morfismo de K-´algebra. Se define la aplicaci´on K-lineal,  + : HR −→ NA B como sigue: si a es una asamblea de ´arboles con ra´ız con tipo de isomorfismo θ, entonces  + (θ) = tB+ (θ) . Sea T ∈ A[U] tal que α = τ (T ) = B + (θ). De la ecuaci´on (31) se obtiene: B (44)

 + (α) = tB+ (α) ⊗ t• + t• ⊗ tB+ (α) + Δ◦B



tτ (ac (2)) ⊗ tτ (ac (1))

c∈Adm2 (T + )

En donde T + es el a´rbol que resulta de conectar el v´ertice {U} con la ra´ız de T , asumiendo como ra´ız a {U}. De esta manera todas las bicoloraciones c de T + asignan color 1 al u ´ nico lado que es incidente a {U}, el cual denotaremos por lU . Sea E(T ) el conjunto formado por los

77

lados de T y f : Adm2 (T + ) −→ Adm2 (T ) ∪ {lU } la aplicaci´on que env´ıa a cada c ∈ Adm2 (T + ) en: 1. c|E(T ) , la restricci´on de c en E(T ), si c−1 (1) = {lU } 2. lU , si c−1 (1) = {lU } f es claramente una biyecci´on. Luego la ecuaci´on (44) queda de la siguiente manera:

(45)



 + (α) = tB+ (α) ⊗ t• + t• ⊗ tB+ (α) + tα ⊗ t + Δ◦B

tτ (ac (2)) ⊗ tB+ (τ (ac (1)))

c∈Adm2 (T )

Aplicando B − ⊗ B − en la igualdad anterior y usando la ecuaci´on (43) se obtiene que:  + )(α) = α ⊗ 1 + 1 ⊗ α + θ ⊗ • + (B − ⊗ B − ◦ Δ ◦ B



B − (τ (ac (2))) ⊗ τ (ac (1))

c∈Adm2 (T )

= B (θ) ⊗ 1 + (id ⊗ B ) ◦ (B − ⊗ B − )(Δ(tα )) +

+

 + )(θ) = B + (θ) ⊗ 1 + (id ⊗ B + ) ◦ (B − ⊗ B − ◦ Δ ◦ B

 + = Δ.  Como B − ◦ B  + = id , entonces De la ecuaci´on (41) se sigue que B − ⊗ B − ◦ Δ ◦ B HR B − es sobreyectivo, adem´as:  ◦ B − (tα ), B − ⊗ B − ◦ Δ(tα ) = Δ como B − ( ) = 1, entonces ε ◦ B − = ε. Esto demuestra que B − es un morfismo de bi´algebra. De la proposici´on (1.7.1) se sigue el resultado.



 + no es la inversa de B − con respecto a la composici´on de funciones. Note que B Corolario 5.2.1. La ant´ıpoda S de NA y la ant´ıpoda S de HR est´an relacionadas por la ecuaci´ on: (46)

+ S = B − ◦ S ◦ B

El a´lgebra de Hopf cociente NA /Ker(B − ) es isomorfa a HR . Usando la igualdad (33) se tiene que:

78

S







  + = B− ◦ S ◦ B = B− ◦ S t  − + 2t t + t2 − 4t t2 + 2t = B −t = − =

2

+ 2 − 2

2

4

+

+

− 4

4

+ 2

− 4

 t 2

− 4t t

+ 4

2

4

+ 4t

4

4

Ker(B − ) es el ideal de NA generado por los elementos de la forma tα − tγ en donde α, γ son elementos de T(A) tales que B − (α) = B − (tα ) = B − (tγ ) = B − (γ). De esta manera si un ´arbol T tiene tipo de isomorfismo α, entonces la clase de tα en NA /Ker(B − ) se identifica con el producto B + (α1 )B + (α2 ) · · · B + (αk ), en donde los αi son los tipos de isomorfismos de los sub´arboles de T que se conectan con la ra´ız de T . Por ejemplo la clase de t

en NA /Ker(B − )

. Esto nos dice que NA /Ker(B − ) es el ´algebra conmutativa libremente generada por ! − : NA /Ker(B − ) −→ HR inducido por el conjunto {B + (α) : α ∈ T(A)}. El isomorfismo B ! − (B + (α)) = α y su inversa es ρ ◦ B  + en donde ρ es la la aplicaci´on B − est´a definido por B

es

proyecci´on de NA en NA /Ker(B − ).

5.3.

La sub´ algebra de Hopf de Connes Moscovici. En el contexto de la geometr´ıa no

conmutativa, Connes y Moscovici definen en [3] el a´lgebra de Hopf, HCM la cual est´a generada como a´lgebra por las variables X, Y y δn , con n = 1, 2, ..., bajo las relaciones: XY − Y X = [Y, X] = X, [X, δn ] = δn+1 , [Y, δn ] = nδn , [δn , δm ] = 0 Note que HCM no es conmutativa, la unidad ser´a denotada por 1 := δ0 . La estructura de co´algebra est´a definida multiplicativamente sobre los generadores de la siguiente manera: ΔCM (Y ) = Y ⊗ 1 + 1 ⊗ Y, ΔCM (X) = X ⊗ 1 + 1 ⊗ X + δ1 ⊗ Y, ΔCM (δ1 ) = 1 ⊗ δ1 + δ1 ⊗ 1

79

La relaci´on sobre los generadores y la igualdad ΔCM (bc) = ΔCM (b)ΔCM (c), permite efectuar de manera recursiva el c´alculo del coproducto sobre cualquier elemento de HCM . Por ejemplo:

Δ(δ2 ) = Δ([X, δ1 ]) = Δ(X)Δ(δ1 ) − Δ(δ1 )Δ(X) = δ2 ⊗ 1 + 1 ⊗ δ2 + δ1 ⊗ δ1

El a´lgebra generada por el conjunto {δn : n ≥ 0} es una sub´algebra de Hopf conmutativa de δ HCM , denotada por HCM que recibe el nombre de sub´ algebra de Hopf de Connes Moscovici. δ La sorpresa viene cuando Connes y Kreimer demuestran en [2] que HCM es una sub´algebra de

HR . Utilizaremos la t´ecnica de las coloraciones admisibles y la proyecci´on B − para calcular δ δ el coproducto y la ant´ıpoda de HCM , luego demostraremos que HCM es isomorfa a el ´algebra

de Fa´a di Bruno NE+ . Expl´ıcitamente, sea I : HR −→ HR la aplicaci´on lineal definida como sigue: I(1) = •, para T ∈ A[U],

I(τ (T )) =



* τ(

u

◦u T )

u∈U

* en donde, ∗ es un elemento que no pertenece a U y

u

◦u T es la composici´on parcial del

operad (A, η). I es conocida como el incremento natural , esto se debe a que un sumando de I(T ) es el tipo de isomorfismo del a´rbol que resulta de agregarle a T el nuevo v´ertice ∗ como un hijo de alg´ un v´ertice u ∈ U. Por ejemplo:

I(

*

* ) =

+ 2

Aplicando varias veces I sobre 1, se define:

δn := In (1),

80

en donde In es la composici´on n-veces de I. De esta manera: δ0 = I0 (1) = 1 δ1 = I(1) = τ (

1

) = •

2

δ2 = I(•) = τ ( 1 ) = 3 2

3

2

δ3 = I(δ2 ) = τ (1 ) + τ (

1

δ4 = I(δ3 ) = I( ) + I(

) =

+

) 4

3

3

2 4

2

= τ(1

= 3

) + τ(1

+

4

3

4

2

3 4 2

) + τ( 1 ) + τ(

1

+

2

) + τ(

4

3 1

2

) + τ(

3 1

)

+

Sea U = {u1 , u2 , ..., un } un conjunto totalmente ordenado. Un ´arbol T ∈ A[U] es creciente si los v´ertices de cualquier camino sobre T que comience en la ra´ız y finalice en una hoja est´an ordenados de manera ascendente. Denotaremos por A↑ [U] al conjunto formado por todos los a´rboles T ∈ A[U] que son crecientes. En [6], A↑ es un ejemplo de una especie lineal, es decir, A↑ es un funtor entre la categor´ıa L de los conjuntos finitos totalmente ordenados y biyecciones crecientes y la categor´ıa F de los conjuntos finitos y funciones. Un elemento ({Tp }p∈π , Tπ ) ∈ A↑ (A↑ )[U] est´a definido de la siguiente manera: 1. Una partici´on π de U que est´a ordenada como sigue: para cada par de bloques p, q ∈ π, p ≤ q si min(p) ≤ min(q). 2. Para cada p ∈ π, Tp ∈ A↑ [p]. 3. Tπ ∈ A↑ [π]. Haciendo inducci´on sobre n ≥ 2 se puede ver que: δn =

 T ∈A↑ [n]

τ (T ),

81

considerando a [n] = {1, 2, 3, ..., n} con su orden natural. En [2] se demuestra que: 

ΔCM (δn ) =

(47)

 (T )) Δ(τ

A↑ [n]

Usaremos la ecuaci´on (45) y el teorema (5.2.2) para presentar una f´ormula cerrada del coproδ . En efecto para n ≥ 2: ducto del a´lgebra HCM

ΔCM (δn ) =

 T ∈A↑ [n]

=



 (T )) = Δ(τ



T ∈A↑ [n]

⎛

⎛

= δn ⊗ 1 + 1 ⊗ δn + ⎝ ⎛



⎝

T ∈A↑ [n]

c∈Adm2 (T )

⎛



B−(

({Tp }p∈π ,Tπ )∈A↑ (A↑ )[n] 2≤|π|≤n−1

= δn ⊗ 1 + 1 ⊗ δn + ⎝

+

k=2

⎝

+

k=2







B−(

{Tp }p∈π ∈Ek (A↑ )[n]

⎛ ⎝

τ (Tp )) ⊗ τ (Tπ ) 

π∈Π[n−1] p∈π

= δn ⊗ 1 + 1 ⊗ δn + n−1 

τ (Tp )⎠ ⊗ δ1

p∈π

⎛

n−1 



⎞

{Tp }p∈π ∈E(A↑ )[n−1] p∈π



⎛

⎞

B − (τ (ac (2))) ⊗ τ (ac (1))⎠

= δn ⊗ 1 + 1 ⊗ δn + ⎝ +

B − (τ (T ))⎠ ⊗ δ1

T ∈A↑ [n]



B − (τ (ac (2))) ⊗ τ (ac (1))⎠

c∈Adm2 (T )

⎞



⎞



⎝τ (T ) ⊗ 1 + 1 ⊗ τ (T ) + B − (τ (T )) ⊗ • +

T ∈A↑ [n]

+

 + (τ (T )) B− ⊗ B− ◦ Δ ◦ B

 n−1 



{Tp }p∈π ∈Ek (A↑ )[n]

⎝



⎞⎞ τ (T )⎠⎠ ⊗ δ1

T ∈A↑ [p]

⎞

⎛

τ (Tp ))⎠ ⊗ ⎝

p∈π



Bn−1,r (δ1 , ..., δn−1 )

r=1



⎛

B−(

 p∈π

⎞ τ (Tp ))⎠ ⊗ δk



T ∈A↑ [k]

⊗ δ1

⎞ τ (T )⎠

82

= δn ⊗ 1 + 1 ⊗ δn +

 n−1 

 ⊗ δ1

Bn−1,r (δ1 , ..., δn−1 )

r=1

⎛ ⎞⎞ ⎛ n−1     ⎝ +⎝ B − (τ (T ))⎠⎠ ⊗ δk k=2 π∈Πk [n] p∈π

= δn ⊗ 1 + 1 ⊗ δn +

+

 n−1 

T ∈A↑ [p]

 n−1 



Bn−1,r (δ1 , ..., δn−1 )

⊗ δ1

r=1

Bn,k (δ0 , δ1 , δ2 +

k=2

= δn ⊗ 1 +



δ12 , ...,

n−1 

 Bn−1,k (δ1 , ..., δn−1 ))

⊗ δk

r=1 n 

Bn,k (δ0 , δ1 , δ2 + δ12 , ...,

n−1 

 Bn−1,k (δ1 , ..., δn−1 ))

⊗ δk

r=1

k=1

 xn note que n−1 Considere la serie D(x) = n=1 δn r=1 Bn−1,k (δ1 , ..., δn−1 ) = n! por lo tanto el coproducto ΔCM se puede reformular de la siguiente manera: ∞



xn " D(x) , e n!

k

n n " D(x) k  ) x xn x ( e ⊗ ΔCM (δn ) = D(x) ⊗ 1 + D(x) n! n! k! k! k=1

(48)

Usaremos esta igualdad para demostrar lo siguiente: δ son isomorfas. Proposici´ on 5.3.1. Las a´lgebras de Hopf NE+ y HCM δ Demostraci´on. Sea θ : HCM −→ NE+ el morfismo sobre los generadores n de´algebra definido  x d I E (x) , en donde de la siguiente manera: para n ≥ 1, θ(δn ) = log n! dx +

E+I (x)

=x+

∞  n=2

tn

xn , n!

I es la aplicaci´on identidad de NE+ en NE+ , en otro caso, θ(1) = 1. Si aplicamos θ ⊗ θ en ambos lados de la ecuaci´on (48) nos queda: θ ⊗ θ ◦ ΔCM (δn ) =

 k

   n n

 x (E+I (x))k d I x d I xn log E (x) ⊗ 1 + ⊗ log E (x) n! dx + n! k! k! dx + k=1

83

δ Si denotamos por ∗CM al producto convoluci´on de Hom(HCM , NE+ ) y ∗F B al producto con-

voluci´on de Hom(NE+ , NE+ ) se obtiene que:

θ ∗CM θ(δn ) = = = = = =

=

=

 n



  xn x d I d I I log log E (x) + (E )(E+ (x)) n! dx + n! dx + n      d I x d I I log E (x) + log (E )(E+ (x)) n! dx + dx +   n

d I d x I I log E (x). (E+ )(E+ (x)) n! dx + dx   n

d I I x log E (E (x)) n! dx + +  n

 d I∗F B I x log E (x) n! dx +   n

∞  xr x I ∗F B I(tr+1 ) log 1 + n! r! r=1  k ∞ xr n  ∞ r=1 I ∗F B I(tr+1 ) x r! k (−1) (k − 1)! n! k=1 k! n 

(−1)k (k − 1)!Bn,k (I ∗F B I(t2 ), I ∗F B I(t3 ), ..., I ∗F B I(tn+1 ))

k=1

= I ∗F B I



n 

 (−1)k (k − 1)!Bn,k (t2 , t3 , ..., tn+1 )

k=1

 = I ∗F B I

  d I xn log E (x) n! dx +

= I ∗F B I(θ(δn ))

como el producto en ambas ´algebras es la multiplicaci´on conmutativa de variables se sigue que: θ ⊗ θ ◦ ΔCM = ΔE+ ◦ θ 

84

δ δ Corolario 5.3.1. Para n ≥ 2, la ant´ıpoda SCM : HCM −→ HCM est´a definida sobre los

generadores de la siguiente manera: SCM (δn ) =

(49)

n 

(−1)

k−1

(k − 1)!Bn,k (−δ1 , −δ2 +

2δ12 , ...,

k=1

xn+1 (n + 1)!

# eD(x) )

en donde:

xn+1 (n + 1)!

# D(x)

e

=

n 

r

(−1) Bn+r,r (0, δ1 , δ2 +

δ12 , ...,

l−1 

r=1

Bl−1,s (δ1 , ..., δl−1 ), ...)

s=1

Demostraci´on. SE+ denotar´a a la ant´ de NE+ . La inversa del isomorfismo θ est´a definido nıpoda

" x eD(x) . Por otra parte, de la siguiente manera: θ−1 (tn ) = n! log(1 + x) =

∞ 

(−1)k−1 (k − 1)!

k=1

xk k!

De las proposiciones (1.7.1) y (5.3.1) se sigue: 

 xn d I E (x) SCM (δn ) = θ SE+ log n! dx +   

∞ n n  x x = θ−1 SE+ log 1 + tn+1 n! n! n=1   n  = θ−1 SE+ (−1)k−1 (k − 1)!Bn,k (t2 , t3 , ..., tn+1 ) 

−1

k=1

=

n 

(−1)k−1 (k − 1)!Bn,k (θ−1 SE+ (t2 ), θ−1 SE+ (t3 ), ..., θ−1 SE+ (tn+1 ))

k=1



n

" xn x θ −1

−1 El corolario (2.2.1) nos dice que θ SE+ (tn ) = = (E+ (x)) ( eD(x) ) −1 . Usann! n! do la ecuaci´on (26): −1

−1

θ SE+ (tn+1 ) =

n  r=1

r

(−1) Bn+r,r (0, δ1 , δ2 +

δ12 , ...,

l−1 

Bl−1,s (δ1 , ..., δl−1 ), ...)

s=1

Substituyendo esta u ´ ltima igualdad en la anterior se tiene el resultado.



85

El caso general AN . Ahora extenderemos los resultados anteriores para el caso del

5.4.

operad AN del ejemplo (1.5.4) en donde (N, ν) es un monoide. Como AN = X.N(AN ), el isomorfismo F(AN )2+ = FX.N+ (AN )

χ

/

AL(N+ (AN )) de la proposici´on (5.0.5) act´ ua como el

producto del operad A, excepto que este guarda la informaci´on de la profundidad de los v´ertices internos del a´rbol de Schr¨oder original sin ejecutar los productos del monoide ν : N.N −→ N. Por lo tanto, los elementos de AL(N+ (AN )) se denominar´an ´arboles coloreados factorizados por → N. Un ´arbol coloreado y factorizado, T ∈ A [U] es una terna (T, c, {− n } ), en Nf

L(N+ (AN ))

v v∈Iv(T )

donde: 1. T ∈ A[U], 2. c es una coloraci´on admisible sobre los lados de T , → 3. para cada v´ertice interno v de T , − n v es una L(N+ )-estructura sobre la fibra que tiene el v´ertice v en el ´arbol T , 4. Para cada color i, las componentes conexas de ac (i) son ´arboles N-enriquecidos. Denotaremos por ν a la extensi´on del producto ν : N.N −→ N a L(N+ ), ν : L(N+ ) −→ N, definida recursivamente como sigue: ν(n) = n, en donde n es un elemento de N ⊂ L(N+ ) y para k ≥ 2: ν(n1 , n2 , ..., nk ) = ν(n1 , ν(n2 , n3 , ..., nk )). Ahora extendemos a ν sobre AL(N+ (AN )) aplicando ν sobre todas las tuplas de N+ -estructuras que enriquecen a las fibras de los v´ertices del ´arbol TNf . Esta transformaci´on ser´a denotada por ν, y as´ı: → → n v }v∈Iv(T ) ) = (T, {ν(− n v )}v∈Iv(T ) ) ν(TNf ) = ν(T, c, {−

y

x

l o

3

3

h2

j

n2e 3

g

f

3

3 n1u

n1e

i

2

z

q n2z

2

n1d 2

e n2u

3

3 n1z

ni

2

1

u

w n2d

d c 1 n3u

1

b

y

x

l o q

ni

ν

j

1

h

ν(n1e , n2e )

g

i

z

ν(n1z , n2z )

w e

f u

1 , n2 ) d ν(n c d d

b ν(n1u , n2u, n3u)

86

Proposici´ on 5.4.1. Sea TN ∈ (AN )2+ [U]. ην −1 (TN ) = {T ∈ F(AN )2+ [U] : ην (T) = TN } est´ a en correspondencia biyectiva con {TNf ∈ AL(N+ (AN )) : ν(TNf ) = TN }. Demostraci´on. Supongamos que TN = (T, {nu }u∈U ), en donde T ∈ A2+ [U] y nu es una N+ estructura que enriquece a la fibra que tiene cada v´ertice interno u de T . Sea T ∈ ην −1 (TN ), asumiendo que v es la ra´ız de T podemos escribir: T = ({Tp }p∈πv , (Tπv , {np }p∈πv )), en donde, πv es la partici´on subyacente de v, (Tπv , {np }p∈πv ) ∈ AN [πv ] y Tp ∈ FAN [p]. Luego: ην ({Tp }p∈πv , (Tπv , {np }p∈πv )) = ην ({ην (Tp )}p∈πv , (Tπv , {np }p∈πv )) Si ην (Tp ) = (Tp , {nu }u∈p ), entonces de la definici´on del producto del operad ην (ejemplo (1.5.4)) se sigue: ην (T) = (η({Tp }p∈πv , Tπv ), {nu }u∈U ), en donde η es el producto del operad A, nu = ν(nu , np ) si u es la ra´ız de Tp , en caso contrario nu = ν(nu ). Si Iteramos el mismo razonamiento sobre cada Tp y usamos la proposici´on (5.1.1) →} se sigue que existe un u ´ nico ´arbol coloreado y factorizado TNf = (T, c, {− n u u∈Iv(T ) ) que se corresponde con T, tal que: TN = ην (T) = ν(TNf )  Teorema 5.4.1. Sea TN = (T, {nu }u∈U ) ∈ (AN )2+ [U]. El coproducto y la ant´ıpoda para el ´algebra de Hopf NAN est´an dadas por las f´ ormulas: Δ(tτ (TN ) ) = tτ (TN ) ⊗ t• + t• ⊗ tτ (TN ) +

S(tτ (TN ) ) =





tτ (ac (2)) ⊗ tτ (ac (1)) ,

ν (TN )=TN f c∈Adm2 (T )

 (−1)|ac (i)| tτ (ac (i)) ,

ν(TNf )=TN i≥1

el rango de la suma en el coproducto es {TNf ∈ AL(N+ (AN )) : c ∈ Adm2 (T ), ν(TNf ) = TN }, el rango de la suma en la ant´ıpoda es {TNf ∈ AL(N+ (AN )) : ν(TNf ) = TN }. En otro caso, Δ(t• ) = t• ⊗ t• , S(t• ) = t• .

87

La prueba de este teorema se sigue de la proposici´on (5.4.1). Si consideramos el caso N = L, es decir, el monoide de los ordenes lineales (ejemplo 1.5.1) obtenemos el operad de los a´rboles planares AL . Desde el teorema (5.4.1) se obtiene que la ant´ıpoda y el coproducto de NAL son iguales a las ecuaciones (32) y (31), excepto que las coloraciones admisibles tambi´en son d´ebilmente creciente de derecha a izquierda. Expl´ıcitamente: Definici´ on 5.4.1. Sea T ∈ AL . Una coloraci´on admisible sobre T es una funci´on c, del conjunto de los lados de T en los enteros positivos, que satisface las siguientes propiedades: 1. Existe al menos un lado l de T tal que c(l) = 1 2. c es d´ebilmente creciente en cualquier camino que comienza en la ra´ız de T y finaliza en una hoja. Es decir si l1 , l2 , ..., lk es la correspondiente sucesi´on de lados de un camino de T que comienza en la ra´ız y finaliza en una hoja, entonces c(li ) ≤ c(li+1 ). 3. c es d´ebilmente creciente de derecha a izquierda, es decir, si v1 , v2 , ..., vk son los hijos que tiene un v´ertice interno v de T y lj es el lado de T que conecta a v con vj , entonces c(lj ) ≤ c(lj−1 ). 4. Para i ≥ 2, si Ti es un sub´arbol conexo de T cuyos lados pertenecen a c−1 (i), entonces existe al menos un lado l incidente a la ra´ız de Ti tal que l ∈ c−1 (i − 1). Por ejemplo:

y

y

3

q

x 2

2

1

d

q

x 2

y

y

2

1

q

x

1

1

d

1

d

q

x 1

1

d

y as´ı:

⊗ t• + t• ⊗ t

Δ(t

) = t

S(t

) = −t3 + t t

+t t

+ t ⊗t −t

+ t ⊗t

88

5.5.

El ´ algebra de Hopf NGc• . En el ejemplo (1.5.8) se da una explicaci´on detallada del

isomorfismo de operads: Gc• = AE(Bc )

(50)

en donde Bc es la especie derivada de los grafos biconexos. Usaremos el teorema (5.4.1) para presentar f´ormulas para la ant´ıpoda y el coproducto de NGc• . Definici´ on 5.5.1. Sea (g, v) un grafo apuntado. Una coloraci´on admisible relativa a (g, v) es una funci´on c, del conjunto de los lados de g en los enteros positivos, que satisface las siguientes propiedades: 1. Existe al menos un lado l de g tal que c(l) = 1, 2. todos los lados de una componente biconexa tienen el mismo color, es decir, las componentes biconexas deben ser monocrom´aticas, 3. c es d´ebilmente creciente sobre cualquier secuencia g1 , g2 , ..., gn de componentes biconexas tales que v ∈ g1 , y para cada i = 1, 2, ..., n, gi y gi+1 tienen en com´ un un punto de articulaci´on. (i)

4. Sea a(i) = {gp }p la asamblea de subgrafos conexos de g cuyos lados tienen color i. Si (i)

(i)

i ≥ 2, entonces para cada componente gp de a(i), existe un punto de articulaci´on vp (i)

de g que es com´ un a gp y a una componente biconexa de color i − 1. Una consecuencia de la definici´on anterior es que a(1) es un subgrafo conexo de g. Para i ≥ 2, denotaremos por a• (i) a la asamblea de subgrafos apuntados obtenidos por elegir (i)

(i)

como elementos distinguidos a cada punto de articulaci´on vp de cada grafo gp . Es decir, a• (i) = {(gp , vp )}p . Para el grafo a(1) = g (1) se elige como elemento distinguido el v´ertice v. (i)

(i)

Es decir, a• (1) = (g (1) , v). La siguiente figura muestra una posible coloraci´on admisible y sus correspondientes asambleas: 1

9

k

1 5

2

4 4 s

1

2 3 2 3 3

4 6 r

1

7

1 4

1

1 3

8 4 4 4 y b 4 4 x

z d

2

2

89

9 •

a (1) =

k 4

5

2

a•(2) =

1

3

3

1

a•(3) =

6

7 2

8

8

6

a•(4) =

z

d

r

y

b

s

x

Sea (g, v) un grafo conexo apuntado. Denotaremos por Adm(g, v) al conjunto formado por todas las coloraciones admisibles sobre (g, v). Adm2 (g, v) denotar´a al conjunto formado por todas las coloraciones admisibles c, sobre (g, v) tales que la imagen de c es {1, 2}. Los elementos de Adm2 (g, v) se denominan bicoloraciones del grafo (g, v). La igualdad combinatoria (50) establece que un grafo conexo apuntado (g, v) se corresponde con el par (T, {aw }w ), en donde T es un ´arbol cuya ra´ız es v. Un v´ertice interno w de T es un punto de articulaci´on de g, cuya fibra est´a enriquecida con la asamblea aw ∈ E(Bc ) formada por todas las componentes biconexas de g que contienen al punto de articulaci´on w, excepto que se ha reemplazado w por ∗. Si c ∈ Adm(g, v), entonces c induce una coloraci´on admisible c sobre el ´arbol T , definida por: c (l) = i si los extremos de l corresponden a los v´ertices de una componente biconexa de g de color i. Sean j1 ≤ j2 ≤ j3 · · · ≤ jk los colores asignados por (j ) (j ) (j ) c a los lados que son incidentes a un v´ertice interno w de T . Sea − a→ = (a 1 , a 2 , ..., a k ), w

w

en donde

w

w

(j ) aw i

son las componentes de aw a las que c asigna color ji . Se puede ver sin duda a→ on. La siguiente figura ilustra como alguna que la aplicaci´on c −→ (T, c , {− w }w ) es una biyecci´ est´a definida la biyecci´on anterior: 9 1

k

1 5

2

1 1

2 3 4 6 4

r

4 s

2

3 7

z

1 4

1

1 3

z d 2

*

3 8 4

4 4 y b 4 4 x

1

1

2

5

2

k

9

r

4 4

2 3

4

*

1

7

3

1 1

2

*

* d

*

2

*

Usando la biyecci´on explicada arriba y el teorema (5.4.1) se sigue:

3

6

s

*

y

4 4

b

* *3 8 4 2 * *

x

90

Teorema 5.5.1. Sea (g, v) ∈ Gc• [U]. El coproducto y la ant´ıpoda para el ´algebra de Hopf NGc• est´an dadas por las f´ ormulas: 

Δ(tτ (g,v) ) = tτ (g,v) ⊗ t• + t• ⊗ tτ (g,v) + 



S(tτ (g,v) ) =

tτ (a• (2)) ⊗ tτ (a• (1)) ,

c∈Adm2 (g,v) • (i)|

(−1)|a

tτ (a• (i)) ,

c∈Adm(g,v) i≥1

En otro caso, Δ(t• ) = t• ⊗ t• , S(t• ) = t• . Usando las siguientes coloraciones admisibles:

9 1

1 1

r

1

q

1

1 1

r

1

q

1 2

r

q

2

9 2 1

1 2

9 1

q d

k 3 5

1 2

q

2

9

k 2 5

2 1

1

1

2

r

q

6

1

q d 1

q d 9 2 1

q

2

r 2

9

k 3 5

2

2 1

1

q

6

1

r

k 2 5

d r

q

1

k 3 5

2 1

6

d

k 4 5

9 2 1

2

r

q

6

1

d

2

2

2

d

6

2

9

k 2 5

3 1 2

q

2 1

1

9

d

6

1

2

6 1

r

r

d

1

3

1 1

1

1

2

1

q

k 2 5

d

9

k 2 5

2

2

1

1

6

2

k 1 5

4

1 2

r

2

k 2 5

2

1

9

d

6

1

6

d

r 2

q

r

1 2

1 1

r

1

k 2 5

1

1

9

1

6

1

6

2

1 1

1

1

9

k 1 5

3

1

r

d

6

d 1

3

r 1

k 3 5

2

1

1 1

q

6

1

9

1 1

2

1

2

1

9

k 1 5

6

1

9

d

1

1

3

d

k 3 5

2 1

6

se obtiene que: Δ(t

) = t +t

⊗ t• + t• ⊗ t ⊗t

+t

+ 2t ⊗ t ⊗t

+t

⊗t

+t

t

⊗t

91

S(t

) = −t

+ 2t

+ 2t

t

+t

t

t

t

− 2t

t 6.

− 2t

t2 − 2t2 t

+ 4t2 t2

El ´ algebra de Hopf NGc

En esta secci´on presentaremos una formula para la ant´ıpoda del ´algebra de Hopf natural NGc , asociada al operad de los grafos conexos simples del ejemplo (1.5.2). En este caso la t´ecnica consiste en utilizar un criterio de divisibilidad sobre las asambleas de Gc -estructuras, el cu´al estar´a definido por el producto η. La divisibilidad es equivalente detectar como se anidan los m´odulos conexos de un grafo g ∈ Gc . De esta manera el conjunto de todos los a´rboles de Schr¨oder cuyo producto sea g estar´a en correspondencia biyectiva con el conjunto de todas sucesiones decrecientes de asambleas de grafos conexos g = g(1) ⊇ g(2) ⊇ g(3) ⊇ · · · ⊇ g(k), tales que los bloques de la partici´on subyacente de cada g(i) son m´odulos conexos de g y el cociente g(i − 1)/g(i) es la asamblea de subgrafos conexos de g que enriquecen a las fibras de cada v´ertice interno con profundidad i − 2, i = 2, 3, ..., k. Definici´ on 6.0.2. Un operad (M, η) es cancelativo a izquierda si para cada par de estructuras (a, m1 ) y (a, m2 ) en M(M) se tiene que: η(a, m1 ) = η(a, m2 ) =⇒ m1 = m2 Todos los ejemplos de operads presentados en este trabajo son cancelativos a izquierda. El producto η, puede ser extendido a η! : E+ (M)(M) −→ E+ (M) definido por la composici´on:

E+ (M)(M)

=

/

E+ (M(M))

E+ (η)

/

E+ (M)

Los elementos de E+ (M)(M)[U] son pares de asambleas ({mp }p∈π , {mq }q∈ϕ ), en donde π es una partici´on de U y mp ∈ M[p] para cada p ∈ π. ϕ es una partici´on de π y mq ∈ M[q] para cada q ∈ ϕ. De esta manera la transformaci´on natural η! est´a dada expl´ıcitamente como sigue: η!({mp }p∈π , {mq }q∈ϕ ) := { η({mp }p∈q , mq ) }q∈ϕ . Desde la propiedades del producto η se tiene la siguiente proposici´on: Proposici´ on 6.0.1. Si (M, η) es un c-operad, entonces: 1. η!(! η (a1 , a2 ), a3 ) = η!(a1 , η!(a2 , a3 ))

92

2. η!(a, a1 ) = η!(a, a2 ) =⇒ a1 = a2

Demostraci´on. La parte 1 es un consecuencia inmediata de la ley de asociatividad para η. Como η cumple con la ley de cancelaci´on a la izquierda, entonces se obtiene 2.



Definici´ on 6.0.3. Sean a1 y a2 asambleas de M-estructuras sobre un conjunto finito U. Decimos que a1 divide a a2 si existe una asamblea a2 tal que

η!(a1 , a2 ) = a2 .

Denotaremos la relaci´on de divisibilidad por a1 ≤η a2 , y por a2 /a1 a la asamblea a2 . Esta es u ´ nica debido a la ley de cancelaci´on. M. Mendez en [9], y M. Mendez y J. Yang en [19] demuestran lo siguiente:

Teorema 6.0.2. Si (M, η) es un c-operad. La relaci´ on, ≤η es un orden parcial sobre el conjunto E+ (M)[U].

Si consideramos el operad de los grafos conexos simples, entonces el segmento:

⎡

⎤

3

⎢ ⎣

2

1

2

3

viene representado por la siguiente figura:

4

5

,

1

4 5

⎥ ⎦

93

3 2

4 5

1

3

3 2

4

1

5

5

1

4

3 2

1

1

3 1

2

5

2

2

1

2

3

4

5

2

2 1

4 1

3

5

2

5

4 3

1

4

1

5

4

4

2

4

1

5

3

5

2

4

2

3

3

3

4 5

4 3

5 1

5

Note que: 3 2 1

4 5

3 2 4 5 1

3 2 4

= 1

5

Definici´ on 6.0.4. Sea c una coloraci´on sobre los lados de un grafo conexo, es decir, c es una funci´on del conjunto de los lados de g en los enteros positivos. Para cada i > 1 en la imagen de c, denotamos por g(i) al subgrafo de g obtenido por suprimir todos los lados de color j, 1 ≤ j < i. Para i = 1, denotamos g(1) = g. La coloraci´on c se dice que es admisible si esta satisface: 1. Para cada i ≥ 2 en la imagen de c, g(i) divide a g(i − 1). 2. Si un lado incidente sobre un v´ertice v de g tiene color i ≥ 2, entonces existe al menos un lado de color i − 1 que tambi´en es incidente a v. Note que si la imagen de una coloraci´on admisibles c es {1, 2, 3, ..., r}, entonces g(r + 1) es la asamblea de los subgrafos singulares de g, es decir, si U es el conjunto de v´ertices de g,

94

entonces U = g(r + 1). La siguiente figura muestra una posible coloraci´on admisible junto a sus asambleas y los correspondientes cocientes:

b

1 1

d 2

r b g(1) =

d

k

r

s

d

3

k 2

s

2

b k

d g(3) = r

g(2) =

r

b g(1)/g(2) =

b

2

1 1

s

d k r s

s

b k d g(4) = r s b

b

d g(2)/g(3) =

k

rk

s

d g(3)/g(4) = r

k s

Denotaremos por Adm(g) al conjunto formado por todas las coloraciones admisibles sobre g y a Adm2 (g) al conjunto formado por todas las coloraciones admisibles c, sobre g, tales que la imagen de c es {1, 2}. Teorema 6.0.3. Sea g ∈ Gc [U]. El coproducto y la ant´ıpoda para el a´lgebra de Hopf NGc est´ an dadas por las f´ormulas: Δ(tτ (g) ) = tτ (g) ⊗ t• + t• ⊗ tτ (g) + S(tτ (g) ) =







tτ (g(2)) ⊗ tτ (g/g(2)) ,

c∈Adm2 (g) ∗

(−1)|g(i−1)/g(i)| tτ (g(i−1)/g(i)) ,

c∈Adm(g) i≥2

umero de componentes conexas no singulares del grafo en donde |g(i − 1)/g(i)|∗, denota el n´ g(i − 1)/g(i). En otro caso, Δ(t• ) = t• ⊗ t• , S(t• ) = t• . Demostraci´on. Codificaremos los ´arboles de la formula general (21) en coloraciones admisibles. Para un ´arbol de Schr¨oder T tal que η(T) = g, asignamos color i a los lados obtenidos cuando se aplican los productos sobre T correspondientes a los v´ertices de profundidad i−1. La coloraci´on c obtenida satisface la condici´on 1. En efecto, las componentes conexas no singulares de g(i) son los grafos η(Tv ), en donde v var´ıa sobre todos los v´ertices internos de T con profundidad i − 1, y Tv es el sub´arbol de los descendientes de v. Por definici´on recursiva del producto η:

95

g(i − 1) = η!(g(i), {gv : v ∈ Iv(T), pr(v) = i − 2} ∪ {{u} : u ∈ U, pr(v) ≤ i − 2}), {gv : pr(v) = i − 2} son los grafos que enriquecen a los v´ertices internos de T que tienen profundidad i − 2 y {{u} : u ∈ U, pr(v) ≤ i − 2} es la asamblea formada por los conjuntos unitarios {u} tales que u es una componente singular de g(i) con profundidad menor o igual a i − 2. La condici´on 2 se satisface, debido a que cada v´ertice interno con profundidad i − 1, i ≥ 2 es el hijo de un v´ertice de profundidad i − 2 el cu´al tiene al menos dos hijos. Rec´ıprocamente, sea c una coloraci´on admisible sobre g y πi la partici´on subyacente de la asamblea g(i). El ´arbol de Schr¨oder Tc se construye como sigue: La ra´ız de Tc es el conjunto U, cuyos hijos son los elementos de π2 , la fibra de U quedar´a enriquecida con el grafo cociente g(1)/g(2). Los nuevos v´ertices internos que est´an conectados a la ra´ız U, son los bloques no singulares de π2 , estos v´ertices estar´an enriquecidos con las componentes conexas no singulares de g(2)/g(3). Este procedimiento continua recursivamente sobre todos los v´ertices que corresponden a bloques no singulares de la partici´on πi con i = 3, 4, 5, ..., r, en donde r es el m´aximo elemento de la imagen de c, y finaliza cuando enriquecemos a las fibras de los v´ertices internos del paso r, con las componentes conexas no singulares de g(r)/g(r + 1). La condici´on 2 asegura que todos los v´ertices internos del a´rbol Tc tienen por lo menos dos hijos. La aplicaci´on c −→ Tc es la biyecci´on requerida. Note que Adm2 (g) est´a en correspondencia biyectiva con el conjunto formado por todos los ´arboles de Schr¨oder T, que tienen altura 2 tales que η(T) = g. Luego la formula para el 

coproducto se satisface. La siguiente figura ilustra la biyecci´on que se explica en la prueba anterior: d

b

b d



db

k h 2 3

b

2

2

k3 4

1

1

1

d

1

1

k 

2

y

1

e f

y

e

k b d

h 

f e 

h

f y h k bd

e

f

96

Usando las coloraciones admisibles:

b

1

d 1

1

f

1

b

g

f

b

d 1

1

1

1

g

f

2

d

1

2

2

2

1

b

g

d 2

1

f

1

1

1

g 1

se obtiene que: Δ(t

) = t

S(t

) = −t

7.

⊗ t• + t• ⊗ t

+ 2t

⊗t + t ⊗t

+ 3t t

El ´ algebra de Hopf de incidencia natural

Un operad cancelativo a izquierda es llamado un c-operad. En esta secci´on veremos que si (M, η) es un c-operad, entonces el a´lgebra natural NM tambi´en es un ´algebra de Hopf de incidencia reducida (ver [9]). Para cada conjunto finito U denotaremos por 0U a la asamblea de E+ (M)[U] cuya partici´on subyacente viene dada por los bloques unitarios {u} con u ∈ U. Como |M[{∗}]| = 1, se sigue que 0U es la u ´ nica asamblea en E+ (M)[U] tal que 0U ≤ a para toda asamblea a ∈ E+ (M)[U]. Cuando el conjunto U este impl´ıcitamente dado, escribimos 0 en vez de 0U . Sean PM = {E+ (M)[n]}n≥1 , Int(E+ (M)[n]) el conjunto formado por todos los intervalos del conjunto E+ (M)[n] e Int(PM ) =

n≥1

Int(E+ (M)[n]), luego la relaci´on ∼ definida por:

[a1 , a2 ] ∼ [a3 , a4 ] si y s´olo si τ (a2 /a1 ) = τ (a4 /a3 )  es una relaci´on de equivalencia sobre Int(PM ). Note que: [a1 , a2 ] ∼ [0, a2 /a1 ] ≡ p∈π [0, {mp }],  en donde a2 /a1 = {mp }p∈π , p∈π [0, {mp }] denota el correspondiente producto finito de intervalos y ≡ es el s´ımbolo que denota el isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados. Usando la terminolog´ıa que plantea Schmitt en [24] se tiene que Int(PM ) es una familia hereditaria, ya que est´a formada por productos finitos de intervalos de la forma [0, {m}]. De esta manera podemos identificar a la clase de un intervalo [0, a] bajo la relaci´on ∼ con el producto de los tipos de isomorfismos de las componentes de a, es decir:

cl[0, a] =

 p∈π

tτ (mp )

97

en donde a = {mp }p∈π . La identificaci´on anterior es equivalente a decir que ∼ es reducida. Si [0, a1 ] ∼ [0, a2 ], entonces τ (a2 ) = τ (a1 ). Luego existe una biyecci´on σ entre los conjuntos subyacentes de a1 y a2 tal que E+ (M)[σ](a1 ) = a2 . Para cada a ∈ [0, a1 ] es f´acil verificar que: [0, a] ∼ [0, E+ (M)[σ](a)] y [a, a1 ] ∼ [E+ (M)[σ](a), a2 ], por lo tanto ∼ es una relaci´on de equivalencia que es compatible con el orden ≤η . En [24] ∼ recibe el nombre de relaci´on de Hopf y el ´algebra generada por las clases, K[tα : α ∈ T(M)] tiene estructura de bi´algebra con coproducto y counidad:

Δ(tτ (m) ) = Δ(cl[0, {m}]) =



cl([0, a]) ⊗ cl([a, {m}])

a∈[0,{m}]

=



cl([0, a]) ⊗ cl([0, {m}/a]) =

a∈[0,{m}]

⎧ ⎨ 1 si a = a 1 2 ε(cl[a1 , a2 ]) = ⎩ 0 en otro caso



ta ⊗ tτ (m )

η(a,m )=m

Esta igualdad nos dice que NM es el ´algebra de Hopf de incidencia reducida que se obtiene sobre Int(PM ) a trav´es del la relaci´on de equivalencia ∼ que es compatible con el orden ≤η , excepto que cl([a, a]) es la unidad en el ´algebra NM . Sea HM el a´lgebra de Hopf de incidencia reducida est´andar asociada al orden ≤η . Como la relaci´on ∼ implica isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados, entonces NM se proyecta sobre HM . La proyecci´on P : NM −→ HM ,  est´a definida por: P (cl[0, a]) = [0, a], la clase de [0, a] bajo la relaci´on ≡. Aqu´ı quedan ciertas interrogantes para futuras investigaciones: ¿Se puede obtener una f´ormula ajustada para la ant´ıpoda de HM proyectando la formula general (21)? ¿De que manera se cancelan los t´erminos de la formula (21) cuando la proyectamos? ¿Depender´a esto de como este definido el operad M?. Las repuestas a estas preguntas est´an dadas en este trabajo para el caso del operad de los ´arboles con ra´ız A. M´as a´ un Chapoton y Livernet en [7] demuestran que el ´algebra de Hopf reducida est´andar HA es isomorfa a el ´algebra de Hopf de Connes y Kreimer HR . En nuestro caso P = B − es la proyecci´on de NA en HA .

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Referencias [1] M. Aguiar, Monoidal functors, species and Hopf algebras, vol. 29, CRM Monogr. Ser., 2010. [2] A. Connes and D. Kreimer, Hopf algebras, renormalization and noncommutative geometry, Comm. Math. Phys., 199 (1998), pp. 203–242. [3] A. Connes and H. Moscovici, Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem, Comm. Math. Phys., 198 (1998), pp. 199–246. [4] Comtet L. Advanced Combinatorics, Reidel, Dordrecht, Holland, 1974. [5] Lo¨ıc Fossy. An introduction to Hopf algebras of trees. loic.foissy.free.fr/pageperso/preprint3.pd [6] F. Bergeron, G. Labelle, P. Leroux, Combinatorial Species and Tree-like Structures, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 67, Cambridge University Press, 1998. [7] F. Chapoton and M. Livernet, Relating Two Hopf Algebra Built from An Operad, International Mathematics Research Notices, Vol. 2007, Article ID rnm131, 27 pages. [8] Haiman Mark and Schmitt William, Incidence Algebra Antipodes and Lagrange Inversion in One and Several Variables. Journal of Combinatorial Theory, no A-50, (1989):172-185. [9] M´endez Miguel A. Monoides, C-monoides, Especies de M¨ obius y Co´ algebras. Tesis Doctoral UCV (1989). Ver versi´on electr´ onica en: http://www.ivic.ve/matematicas/documentos/tesisMiguelMendez.pdf [10] M´endez Miguel A. Kozul duality for monoids and the operad of enriched rooted trees, Adv. in Appl. Math. 44 (2010), 261–297. [11] Schr¨ oder Parenthesizations and Chordates, Journal of Combinatorics Theory, Series A 67, 127-139, 1994. [12] Kapranov, M., and Y. Manin. Modules and Morita theorem for operads. American Journal of Mathematics 123, no. 5 (2001): 811-38. Trabajo de Grado de Maestr´ıa UCV (2009). [13] T. Gallai, Transitiv orientierbare Graphen, Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 18 (1967), 25– 66. [14] Bonizzoni P. and MacConnell R. Nesting of prime substructures in k-ary relations. Theoretical Computer Science 259 (2001), 341-357. [15] B. Vallette, Homology of generalized partition posets, J. Pure Appl. Algebra (2001). [16] Liendo B. Jean Carlos, El a ´lgebra de Hopf de un operad conjunt´ıstico. Trabajo de Grado de Maestr´ıa UCV (2009). [17] J-L. Loday and B. Vallet, Algebraic operads, Fundamental Principles of Mathematical Sciences, vol. 346, Springer, Heidelberg, 2012. [18] Mac Lane, S. Categories for the working mathematician, 2nd edition, Springler-Verlag 1998. [19] Mendez M. and J. Yang, M¨ obius Species, Advances In Mathematics, Vol. 85, pp. 83-128, 1991. [20] P. Doubilet, A Hopf Algebra Arising from the Lattice of Partitions of a Set, Journal of Algebra 28 (1974), 127-132

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[21] P. Doubilet, G. Rota, and R. Stanley, On the foundations of combinatorial theory, VI, The idea of generating function, Proceedings, 6th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Vol. II. Probability Theory, pp. 267-318, 1972. [22] Schmitt W. Antipodes and incidence co´ algebras, Ph. D. thesis, M.I.T. 1986. [23] Van der Laan, P. Operads. Hopf algebras and coloured Koszul duality. PhD thesis, Universiteit Utrecht, 2004. [24] Schmitt, W. R. Incidence Hopf algebras. Journal of Pure and Applied Algebra, no. 3 (1994), 299-330. [25] S.A. Joni and Rota G.C. , Co´ algebras and Bi´ algebras in Combinatorics, Studies in Applied Mathematics 61 (1979), 93-139. [26] Sweedler M. , Hopf Algebras, Benjamin, New York, 1969. [27] William Y. C. Chen, A general biyective algorithm for trees, Pro. Natl. Acad. Sci. USA, Vol 87, pp. 9635-9639, December 1990.