Fondements de la gestion financière 9782765055822, 2765055823

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RECUEIL DE SOLUTIONS CHAPITRE 1 Une introduction à la finance Questions Q1.1 L’objectif de la gestion financière est la maximisation de la richesse des actionnaires, c’est-à-dire celle de la valeur marchande totale des actions ordinaires de l’entreprise ( voir la sous-section 1.2.1, p. 3 du manuel). Q1.2 Oui, les coûts d’agence peuvent être une limite à l’atteinte de l’objectif de l’entreprise. L’objectif de la maximisation de la richesse des actionnaires, propriétaires de l’entreprise, implique que les gestionnaires décident uniquement et toujours dans l’intérêt fondamental des propriétaires. Toutefois, les gestionnaires peuvent agir pour d’autres motifs. En d’autres termes, ils pourraient chercher à réaliser leurs propres objectifs au détriment de ceux des actionnaires. Par exemple, certains gestionnaires ayant une rémunération liée au volume des ventes pourraient se fixer pour objectif la maximisation du chiffre d’affaires de l’ent reprise. Une telle pratique ne conduit pas nécessairement à la maximisation de la richesse des actionnaires ( voir la sous-section 1.2.2, p. 3 du manuel). Q1.3 Le marché primaire est celui de l’émission de nouveaux titres financiers (introduction d’une entreprise en Bourse, par exemple). Le marché secondaire, pour sa part, concerne l’achat et la revente ultérieurs de titres déjà en circulation. Il met en relation acheteurs et vendeurs, et leur permet d’effectuer des transactions. Enfin, le marché monétaire est essentiellement un

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marché primaire, où il existe peu de transactions secondaires. On n’y échange que des titres à revenu fixe très liquides, considérés comme des équivalents de la monnaie. Ces titres sont généralement peu risqués et leur échéance est courte, inférieure à une année (voir la soussection 1.4.4, p. 7 du manuel, et la figure 1.2, p. 8 du manuel). Q1.4 a) Vrai. La forme semi-forte est présente lorsque toute l’information publique disponible (rapports

annuels,

journaux

financiers,

rubans

d’information

financière,

etc.)

est

immédiatement intégrée dans les cours (voir la sous-section 1.6.1, p. 14 du manuel). b) Faux. L’efficience ne force pas les prix du marché à refléter la valeur fondamentale des actions en tout temps. Elle implique uniquement que les déviations de la valeur fondamentale sont imprévisibles et aléatoires (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel). c) Faux. Un marché efficient ne veut pas dire que l’on peut arriver à des prévisions exactes ou que la manière d’investir importe peu. En effet, le concept d’efficience indique seulement que les cours reflètent en moyenne toute l’information accessible et que, par conséquent, il nous protège contre les erreurs de façon systématique (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel). d) Faux. Le principe de maximisation des profits ne tient pas compte de l’évolution dans le temps de la position de risque de l’entreprise (voir la sous-section 1.2.1, p. 3 du manuel). e) Vrai. Les variations des cours sont purement aléatoires et, par conséquent, l’analyse technique est inutile (voir la sous-section 1.6.1, p. 14 du manuel). Q1.5 Oui, il est possible de battre le marché. Si les marchés ne sont pas efficients, les prix des actions peuvent dévier de leurs valeurs fondamentales, impliquant ainsi le fait que certaines stratégies pourraient battre le marché (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel).

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Q1.6 a) Vrai. En effet, une telle baisse sans explication est contraire à l’hypothèse des marchés efficients. Les anomalies sont également nombreuses, et plusieurs recherches ont démontré que les marchés financiers ne sont pas efficients, au moins sous la forme semi-forte. On peut citer, par exemple, la sous-évaluation initiale des nouvelles émissions d’actions, le rendement élevé des entreprises de petite taille par rapport aux entreprises de grande taille, ainsi que les réactions anormales des investisseurs aux annonces de bénéfices, aux distributions de dividendes et aux fractionnements d’actions (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel). b) Vrai. La controverse à propos de l’efficience est bien connue mais l’interprétation adéquate qu’il faut en faire est maintenant généralement acceptée. Le concept signifie ainsi que les cours reflètent en moyenne toute l’information accessible, et non pas que l’on peut arriver à des prévisions exactes ou que la manière d’investir importe peu (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel). c) Faux. Un marché est efficient lorsque les prix du marché reflètent exactement les informations disponibles. Voilà pourquoi, dans un marché de valeurs mobilières efficient, il n’y a aucune raison de croire que le cours est trop bas ou trop élevé (voir la sous-section 1.6.1, p. 14 du manuel). d) Vrai. La décision d’investissement consiste à injecter de façon efficace des ressources rares dans des investissements risqués en vue de maximiser la valeur de l’entreprise ou de son action sur le marché et, de façon ultime, à assurer l’enrichissement des actionnaires ( voir la soussection 1.1.1, p. 2 du manuel). Q1.7 a) Vrai. Sur le marché monétaire, on n’échange que des titres à revenu fixe qui sont très liquides (considérés comme des équivalents de la monnaie). Ces titres sont en général peu

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risqués et leur échéance est courte (inférieure à une année). Les bons du Trésor sont un exemple de ce type de titres (voir la sous-section 1.4.4, p. 7 du manuel). b) Faux. Le marché primaire est celui où sont émis les nouveaux titres financiers ( voir la soussection 1.4.4, p. 7 du manuel). c) Faux. Un marché est efficient lorsque les prix du marché reflètent exactement les informations disponibles (voir la sous-section 1.6.1, p. 14 du manuel). Q1.8 En effet, on peut dire que l’analyse technique est inutile, car selon l’hypothèse d’efficience des marchés, les prix reflètent déjà toute l’information disponible. Toutefois, certaines poches d’inefficience, souvent temporaires, peuvent exister sur les marchés financiers. Généralement, ces poches d’inefficience sont rapidement éliminées par les opérateurs (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel). Q1.9 Deux solutions sont possibles : 1) ajouter aux salaires fixes destinés aux gestionnaires une prime de performance indexée à la valeur des actions; et 2) émettre de la dette (voir la soussection 1.2.2, p. 3 du manuel). Q1.10 L’efficience des marchés ne protège pas l’investisseur du mauvais choix qu’il pourrait avoir fait en ne diversifiant pas son portefeuille. Il n’est jamais bon de mettre tous ses œufs dans le même panier (voir la sous-section 1.6.2, p. 16 du manuel). Q1.11 Les initiés (cadres supérieurs des entreprises, actionnaires détenant plus de 10 % des actions d’une entreprise) peuvent faire des profits anormalement élevés sur la base de l’information privilégiée qu’ils détiennent. Par contre, les investisseurs individuels qui n’ont pas accès cette information pourraient ne pas en faire. Les transactions d’initiés sont interdites

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et remettent donc en question le concept d’efficience des marchés sous sa forme forte (voir la sous-section 1.6.1, p. 14 du manuel). Q1.12 Dans un marché efficient, le prix des actions doit refléter l’information disponible sur la situation actuelle de la société. Si le marché accepte l’analyse que fait l’entreprise de la rentabilité de son nouveau produit, le prix des actions de l’entreprise augmentera au moment de l’annonce publique de son lancement. Si le marché est efficient, le prix des actions de l’entreprise s’ajustera rapidement à cette nouvelle information. Si le marché n’est pas efficient, soit il mettra beaucoup de temps à assimiler entièrement l’information divulguée au moment de l’annonce publique (réaction différée), soit il réagira de manière excessive avec un retour au prix correct par la suite (réaction excessive). La figure illustrant la réaction du prix du titre de l’entreprise Vallée verte à l’annonce d’une bonne nouvelle montre les trois types d’ajustements possibles du prix des actions de l’entreprise. Le jour 0 correspond à celui de l’annonce de la bonne nouvelle. La ligne foncée représente le comportement du prix d’une action dans un marché efficient. On constate que le prix s’ajuste rapidement à la nouvelle et ne subit aucune autre variation par la suite (scénario 1). La ligne claire montre la réaction différée, qui a duré cinq jours, pour que l’information soit entièrement assimilée par le marché (scénario 2). Enfin, la ligne pointillée représente une réaction excessive (scénario 3) (voir la sous-section 1.6.1, p. 14 du manuel).

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CHAPITRE 2 Les mathématiques financières : concepts et applications Questions Q2.1 On parle de la valeur temporelle de l’argent car une somme d’argent change de valeur au fil du temps. Par exemple, un montant de 100 $ qui sera gagné dans un an vaut moins actuellement en raison, entre autres, du taux d’inflation et du niveau de risque sur le marché. Aussi, un montant de 100 $ investi actuellement vaudra plus cher dans un an. Le rendement engrangé est possible grâce à la valeur temporelle de l’argent (voir la section 2.1, p. 22 du manuel). Q2.2 Le taux d’intérêt simple s’applique sur la somme investie seulement. Le taux d’intérêt composé s’applique sur la somme investie plus les rendements (intérêts) réalisés sur les périodes précédentes (voir la section 2.1, p. 22 du manuel). Q2.3 La fréquence des capitalisations est la périodicité du calcul des intérêts. Plus cette fréquence est importante, plus le taux d’intérêt nominal est composé pendant l’année. Cela a une incidence sur le taux d’intérêt effectivement perçu ou payé. Une relation positive relie la fréquence des capitalisations et ce dernier (voir la section 2.1, p. 22 du manuel). Q2.4 La valeur actuelle est la valeur présente de un ou de plusieurs flux monétaires futurs. Elle est obtenue par l’actualisation de ces flux. La valeur future est la valeur à une certaine date T dans le futur de un ou de plusieurs flux monétaires présents et futurs. Elle est obtenue par la capitalisation de ces flux (voir la sous-section 2.3.1, p. 26 et la sous-section 2.3.2, p. 29 du manuel).

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Q2.5 Une annuité constante est un ensemble fini de flux monétaires périodiques constants payés ou perçus jusqu’à la date T (voir la section 2.3, p. 25 du manuel). Q2.6 Une perpétuité constante est un ensemble de flux monétaires périodiques constants payés ou perçus jusqu’à l’infini (voir la sous-section 2.7.1, p. 54 du manuel). Q2.7 Les conditions nécessaires pour simplifier l’équation de la perpétuité croissante sont les suivantes : 1) FM constant jusqu’à l’infini; 2) r constant jusqu’à l’infini; 3) r > g (voir la sous-section 2.7.2, p. 55 du manuel). Q2.8 En termes de calculs, il faut toujours multiplier la formule de la valeur future d’une annuité de fin de période par (1 + r) afin de calculer la valeur future d’une annuité de début de période (voir la sous-section 2.5.2, p. 41 du manuel). Q2.9 On peut recourir à l’interpolation linéaire dans laquelle on suppose une relation linéaire entre la valeur actuelle d’une annuité et le taux d’intérêt effectif (voir l’équation 2.12, p. 37 du manuel). Q2.10 La mensualité d’un emprunt hypothécaire est l’équivalent d’une annuité constante de périodicité mensuelle. Le calcul du solde d’un emprunt hypothécaire est donc un calcul de valeur actuelle d’une annuité constante considérant la mensualité à payer et le nombre de paiements restants jusqu’à l’échéance de l’emprunt (voir l’équation 2.25, p. 60 du manuel).

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Exercices E2.1 12

1

1/12  r   r  a) 1 + mens.  = 1 + ann.  , donc rmens. = (1 + 12 % ) − 1 12 = 11,39 %   12  1   

2 4  8 % 4/2   r   r  b) 1 + sem.  = 1 + trim.  , donc rsem. = 1 +  − 1  2 = 8, 08 % 2   4  4    

12 4  10 % 4/12   rmens.   rtrim.  = 1 + , donc rmens. = 1 + c) 1 +  − 1 12 = 9,92 % 12  4  4     

26

 rquin.   rquot.  d) 1 +  = 1 +  26    365 

365

 12 % 365/26  , donc rmens. = 1 + − 1  26 = 12, 03 %  365   

2

 r e) R = 1 +  − 1 = 1, 062 − 1 = 12,36 %  2

f) 2

 12 %  i) 1 +  − 1 = 12,36 % 2   4

 12 %  ii) 1 +  − 1 = 12,55 % 4   12

 12 %  iii) 1 +  − 1 = 12, 68 % 12  

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E2.2 1/4

 7 000  5 000 = , donc r =   4 (1 + r )  5 000  7 000

− 1 = 8, 78 %

E2.3  11 %  1 500   1 +  2  

2 T

= 3 000 $

 3 000  log   1 500   T= = 6, 47 années  11 %  2  log  1 +  2  

E2.4 4

 8% Taux d’intérêt effectif annuel offert par la banque A = 1 +  − 1 = 8, 24 % 4   2

 8, 25 %  Taux d’intérêt effectif annuel offert par la banque B = 1 +  − 1 = 8, 42 % 2  

Le taux proposé par la banque A est le plus intéressant.

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E2.5  10 %  Proposition 1 : 80 000  1 +  4  

4 4

 10, 2 %  Proposition 2 : 80 000   1 +  2  

= 118 760, 45 $

2 4

= 119 100 $

Proposition 3 : (80 000 − 225)  (1 + 10,5 % ) = 118 936,71$ 4

La deuxième proposition est la meilleure offre.

E2.6 2

 9% Taux d’intérêt effectif annuel = 1 +  − 1 = 9, 20 % 2  

 (1 + 9, 20 % )11 − 1   1 − (1 + 9, 20 % )−4   = 14 000    Ainsi, on a : FM       9, 20 % 9, 20 %      1 − (1 + 9, 20 % )−4   14 000     9, 20 %   = 2 544,11 $ FM =  (1 + 9, 20 % )11 − 1      9, 20 %   Avec la calculatrice : 1) 4 N 9.2 I/Y − 14000 PMT 0 FV CPT PV 45157.68 2) 11 N 9.2 I/Y − 1 PMT 0 PV CPT FV 17.75 3) FM =

45 157, 68 = 2 544,11 $ 17, 75

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E2.7

 1 − (1 + R )−5  12   a) 20 000 = 500  (1 + R )     R   où R est le taux de rendement effectif mensuel. 1re méthode : Interpolation linéaire 1. R( ) = 2 %, donc VA(0 ) = 17 728,05 $ 1

1

2. R( ) = 1%, donc VA(0 ) = 22 702, 29 $ 2

2

3. R =

VA0 − VA(01) 20 000 − 17 728, 05  R( 2) − R(1) + R(1) =  (1 % − 2 % ) + 2 % = 1,54 % ( 2) (1) 22 702, 29 − 17 728, 05 VA0 − VA0

(

)

Taux de rendement effectif annuel = (1 + 1,54 %) − 1 = 20,13 % 12

2e méthode : Avec la calculatrice en mode BGN •

60 N − 20000 PV 500 PMT 0 FV CPT I/Y 1.50%

•

Taux de rendement effectif annuel = (1 + 1,50 %)12 − 1 = 19,56 %

b) Taux de rendement effectif mensuel = (1 + 15 %)

1/12

− 1 = 1,17 %

500 1,17 % VA0 = = 37 548,37 $ (1 + 1,17 %)11

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E2.8

 1 − (1 + R )−35   a) 100 000 = 6 000     R   Taux d’intérêt effectif semestriel = R = 4,86 % Avec la calculatrice : 35 N − 6000 PMT 100000 PV 0 FV CPT I/Y 4.86 b)

r = 4,86 % 2

r = 4,86 %  2 = 9,72 %

c) Taux d’intérêt effectif semestriel = (1 + 10, 25 % )

1/2

−1 = 5 %

 1 − (1 + 5 % )−35   100 000 = FM     5%   FM =

100 000  1 − (1 + 5 % )−35      5%  

= 6 107,17 $

Avec la calculatrice : 35 N 5 I/Y − 100000 PV 0 FV CPT PMT 6107.17

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E2.9

VA0 =

17 000

(1 + 8 % )

1

+

+

17 000

(1 + 8 % )

2

+

19 000

(1 + 12 % ) (1 + 8 % ) 2

5

17 000

(1 + 8 % )

3

+

+

22 000

(1 + 8 % )

4

19 000

(1 + 12 % ) (1 + 8 % ) 3

5

+ +

41 000

(1 + 8 % )

5

+

19 000

(1 + 12 % ) (1 + 8 % ) 1

5

19 000

(1 + 12 % ) (1 + 8 % ) 4

5

= 127 161, 43 $

VF10 = 17 000  (1 + 8 % )  (1 + 12 % ) + 17 000  (1 + 8 % )  (1 + 12 % ) + 17 000  (1 + 8 % )  (1 + 12 % ) 4

5

3

5

+ 22 000  (1 + 8 % )  (1 + 12 % ) + 41 000  (1 + 12 % ) + 19 000  (1 + 12 % ) 1

5

5

2

5

4

+ 19 000  (1 + 12 % ) + 19 000  (1 + 12 % ) + 19 000  (1 + 12 % ) 3

2

1

= 329 279,19 $

E2.10 2

 10 %  a) Option 1 :  1 +  − 1 = 10, 25 % 2   4

 9, 75 %  Option 2 :  1 +  − 1 = 10,11 % 4   12

 9, 25 %  Option 3 :  1 +  − 1 = 9, 65 % 12  

b) Option 1 : 10 000  (1 + 10, 25 % ) = 13 401$ 3

Option 2 : 10 000  (1 + 10,11 % ) = 13 350 $ 3

Option 3 : 10 000  (1 + 9, 65 % ) = 13 183 $ 3

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Problèmes P2.1 a) i) (1 + 10 %) − 1 = 61, 05 % 5

Valeur accumulée = 5 000 1,6105 = 8 052,55 $

 10 %  ii) 1 +  2  

25

− 1 = 62,89 %

Valeur accumulée = 5 000 1,6289 = 8144, 47 $

 10 %  iii) 1 +  4  

45

− 1 = 63,86 %

Valeur accumulée = 5 000 1,6386 = 8193,08 $ 12  5

 10 %  iv) 1 +  12  

− 1 = 64,53 %

Valeur accumulée = 5 000 1,6453 = 8 226,54 $

La différence dans les fréquences de capitalisations pendant l’année engendre une importante différence des sommes accumulées à l’échéance. Plus le nombre de capitalisations est grand, plus l’intérêt effectif annuel est élevé.  12 %  b) 5 000  (1 + 10 %)   1 +  2   2

23

= 8 582, 04 $

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c) 5 000  (1 + 12 %) = 20 000 $ n

(1 + 12 %) n=

n

=4

log ( 4) log (1,12 )

= 12,23 années

 12 %  d) 5 000   1 +  2  

25

= 8 954, 24 $

e) 5 000  (1 + R ) = 10 000 $ 5

(1 + R )

5

=2

R = 21/5 − 1 = 14,87 %

P2.2

1 − (1 + 11 % )−5   = 1108, 77 $ a) 300   11 %   12

 12 %  b) Taux d’intérêt effectif annuel = 1 +  − 1 = 12, 68 % 12  

1 − (1 + 12, 68 % )−5  300    = 1 063, 46 $ 12, 68 %   1 − (1 + 15 % )−4  600 = 1154,80 $ + c) 300   5 15 %   1,15

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P2.3 a) Taux d’intérêt effectif trimestriel =

10 % = 2,5 % 4

 (1 + 2,5 % )4  5 − 1 FM    = 15 000 $ 2,5 %   FM =

15 000  (1 + 2,5 % )4  5 − 1   2,5 %  

= 587, 21 $

Avec la calculatrice : 20 N 2.5 I/Y 0 PV 15000 FV CPT PMT 587.21 4

2  10 %  b) 1 +  = (1 + Taux dintérêt effectif semestriel ) 4  

Taux d’intérêt effectif semestriel = 1,0252 − 1 = 5,06 %

 (1 + 5, 06 % )2  5 − 1 FM    = 15 000 $ 5, 06 %   FM =

15 000  (1 + 5, 06 % )2  5 − 1    5, 06 %  

= 1189, 23 $

Avec la calculatrice : 10 N 5.06 I/Y 0 PV 15000 FV CPT PMT 1189.23

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 (1 + 10 % )5 − 1  = 15 000 $ c) FM  (1 + 10 %)   10 %   FM =

15 000

1 = 2 223, 60 $  (1 + 10 % ) − 1  (1 + 10 % )   10 %   

5

Avec la calculatrice : 1) Il faut s’assurer que BGN est affiché. 2) Il faut calculer le versement : 5 N 10 I/Y 0 PV 15000 FV CPT PMT 2233.60

P2.4

 1 − (1 + 5 % )−15    1   a) 30 000 = FM      (1 + 5 % )4  5%     ou encore

30 000  (1 + 5 % )

4

 1 − (1 + 5 % )−15   = 36 465 = FM     5%  

FM = 3 513 $ Avec la calculatrice : 15 N 5 I/Y − 36465 PV 0 FV CPT PMT 3513 19

b) 30 000 =  t =1

FMt

(1 + r )

t

4

0

t =1

(1 + r )

=

19

t

+ t =5

2 900

(1 + r )

t

 1 − (1 + r )−15   30 000 =  4  r (1 + r )   2 900

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17

Il s’agit de calculer le taux d’actualisations des flux monétaires nuls de t = 1 jusqu’à t = 4, en plus des flux de 2 900 $ de t = 5 jusqu’à t = 19, d’un investissement initial de 30 000 $. • Première méthode : en mode CF CF0 − 30000 CF1 0 (4 fois) CF5 2900 (15 fois) CPT IRR 3.23% • Deuxième méthode : interpolation linéaire 1) r ( ) = 3 %, donc VA(0 ) = 30 759, 43 $ 1

1

2) r ( ) = 4 %, donc VA(0 ) = 27 561,73 $ 2

3) r =

2

VA0 − VA(01) 30 000 − 30 759, 43 ( 2) (1) (1)  r − r + r =  ( 4 % − 3 % ) + 3 % = 3, 24 % 2 1 27 561, 73 − 30 759, 43 VA(0 ) − VA(0 )

(

)

4

 5% c) Taux d’intérêt effectif annuel = 1 +  − 1 = 5, 09 % 4  

30 000  (1 + 5, 09 % )

4

 1 − (1 + 5, 09 % )− n = 2 900    5, 09 % 

  = 36 590  

Avec la calculatrice : 5.09 I/Y 36590 PV 0 FV − 2900 PMT CPT N 20.7 Nombre de versements = 20,7 (ou 21 ans)

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18

P2.5 a) Taux d’intérêt nominal à capitalisation mensuelle 1 % Taux d’intérêt effectif mensuel = = = 0, 08 % 12 12

Nombre de périodes (mois) = 2512 = 300 mois

  1 % 12  25  −1   1 +  12     = 6 778 $ VF = 20    1%       12    Avec la calculatrice : 0,08 I/Y 0 PV 300 N − 20 PMT CPT FV 6778 b)

  1 % 12  25  −1   1 +  12     100 000 = FM    1%       12    FM =

100 000   1 % 12  25  −1   1 +  12      1%       12   

= 295 $

Avec la calculatrice : 0,08 I/Y 0 PV 300 N − 100000 FV CPT PMT 295

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19

c)

  1 % 12  9    1, 25 % 12  16  −1  −1   1 +  1 + 12  16   12  12   1, 25 %        FV = 20   1+ + 20        12  1%   1, 25 %           12   12     

1, 25 % = 0,10 % et Taux d’intérêt effectif mensuel 1 : 0,08 % 12

Taux d’intérêt effectif mensuel 2 : Avec la calculatrice : 1)

−20 PMT 108 N 0.08 I/Y 0 PV CPT FV 2255.12 à capitaliser sur 192 mois au taux de

0,10 % 2)

−20 PMT 192 N 0.10 I/Y 0 PV CPT FV 4231.1

d) 12  ( n − 9)

100 000 = 11 276  (1, 0010)

12  ( n − 9)

100 000 = 11 276  (1, 0010)

12  ( n − 9)

100 000 = 11 276  (1,0010 )

 (1, 0010)12  ( n − 9) − 1   + 100     0,10 %  

 100   100  12  ( n − 9) + −   (1, 0010 )   0,10 %   0,10 % 

12  ( n − 9)

100 000 = 111 276  (1,0010 )

12  ( n − 9 )

+ 100 000  (1,0010)

− 100 000

−100 000 12  ( n − 9)

100 000 + 100 000 = 111 276  (1,0010 ) 200 000 12  ( n − 9 ) = (1, 0010 ) 111 276

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20

log (1,80) = 12  ( n − 9)  log (1,001)

( n − 9) =

log (1,8)

12  log (1, 001)

= 49

n = 58

P2.6 a) Valeur actuelle de l’offre : PV =

FM 5 000 = = 33 333 $ r 15 %

b) Valeur de l’offre avec le nouveau scénario : 7 000  1 − (1 + 15 % )−9  15 % + PV = 5 000   = 37 124 $   (1 + 15 % )9 15 %  

−5000 PMT 9 N 15 I/Y 0 FV CPT PV

23 858

13 266

0 PMT 9 N 15 I/Y − 46667 FV CPT PV

c) Valeur de l’offre avec le troisième scénario :  1 − (1 + 15 % )−11   7 000     15 %  1 − (1 + 15 % )−9    = 34 272 $ + PV = 5 000   9   15 % (1 + 15 % )  

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21

Problèmes préparatoires aux examens 2.1  2, 25 %  a) 1 +  2  

2/4

− 1 = 0,56 %

2

 4, 25 %  b) 1 +  − 1 = 4,30 % 2  

 (1 + 0,56 % )25  4 − 1   = 66 780 $ c) 500   0,56 %   Avec la calculatrice : 500 +/− PMT 0.56 I/Y 100 N 0 PV CPT FV 66780

 (1 + 0,56 % )25  4 − 1  1 − (1 + 4,30 % )−15   = 7 000    d) FM   0,56 % 4,30 %     1 − (1 + 4,30 % )−15  7 000    4,30 %   76 221 FM = = = 571 $ 25  4 133,56  (1 + 0,56 % ) − 1   0,56 %   Avec la calculatrice : 1) 7000 +/− PMT 4.3 I/Y 15 N 0 FV CPT PV 76221 2) 0 PV 0.56 I/Y 100 N 76221 +/− FV CPT PMT 571

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22

 3% e) Taux d’intérêt trimestriel = 1 +  2  

2/4

− 1 = 0, 75 %

 (1 + 0,56 % )9  4 − 1   (1 + 0, 75 % )16  4 − 1  164   (1 + 0, 75 % ) + 500    VF = 500       0,56 % 0, 75 %     Avec la calculatrice : 1) 500 +/− PMT 0.56 I/Y 36 N 0 PV CPT FV 19881 2) 19881 +/− PV 0.75 I/Y 64 N 0 PMT CPT FV 32072 3) 500 +/− PMT 0.75 I/Y 64 N 0 PV CPT FV 40879 Donc : VF = 32 072 + 40 879 = 72 951 $

2.2 a) VF10 = 10 000  (1 + 10 %) = 25 937, 42 $ 10

 (1 + 10 % )10 − 1   b) VF10 = FM     10 %   Donc : FM =

32 736, 26  (1 + 10 % )10 − 1      10 %  

= 2 054, 05 $

 (1 + 10 % )t − 1   c) 10 000  (1 + 10 % ) = 2 054, 05     10 %   t

t 10 000  10 %  (1 + 10 % ) − 1   =  (1 + 10 % )t  2 054, 05  

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23

1 000 = 1 − 1,1−t 2 054, 05 1,1−t = 1 −

1 000 = 0,51 2 054, 05

−t  log (1,1) = log ( 0,51)

t=−

log ( 0,51) log (1,1)

= 7, 06 années  7 années

2.3 a) Taux d’intérêt mensuel =

12 % =1% 12

Nombre de versements = 12 20 = 240  1 − (1 + 1 % )−240   = 136 229,12 $ Prix de la maison = VA0 = 1 500     1%   b) Il faut d’abord calculer le taux d’intérêt effectif trimestriel. 12

 12 %  Taux d’intérêt effectif annuel =  1 +  − 1 = 12, 68 % 12   Taux d’intérêt effectif trimestriel = (1 + 12,68 % )

1/4

− 1 = 3, 03 %

Ensuite, il faut calculer le versement trimestriel : annuité constante étalée sur 80 trimestres (4 trimestres par année  20 années).

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 1 − (1 + 3, 03 % )−80   136 229,12 $ = FM     3, 03 %   FM =

136 229,12  1 − (1 + 3, 03 % )−80      3, 03 %  

= 4 545,15 $

 1 − (1 + 1 % )−240 + 24   = 132 514, 64 $ c) VA0 = 1500     1%  

2.4 a) (1 + 4,5 % )

1/12

− 1 = 0,37 %

b) Principal = 289 999  0,9 = 260 910 $

1 − (1 + 0,37 % )−20  12  260 910 = FM    0,37 %   Mensualité = FM =

260 910 1 − (1 + 0,37 %)  0,37 % 

−20  12

  

=

260 910 = 1 642 $ 158,88

Avec la calculatrice : 260910 +/− PV 0.37 I/Y 240 N 0 FV CPT PMT 1642

1 − (1 + 0,37 %)− n  12   c) 260 910 = (1 642  2)   0,37 %   Avec la calculatrice : 260910 +/− PV 0.37 I/Y 3284 PMT 0 FV CPT N 94.25 Donc : n =

94, 25 = 7,85  8 ans 12

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1 − (1 + 0,37 %)− nN  3 284    0,37 % 1 − (1 + 0,37 %)−4  12    d) 260 910 = 1 642   + 4  12 0,37 %   (1 + 0,37 %) 1 − (1 + 0,37 % )− Nn  3 284    0,37 % 1 − (1 + 0,37 %)−4  12    260 910 − 1 642   = 4  12 0,37 %   (1 + 0,37 %)

1 − (1 + 0,37 % )− Nn  3 284    0,37 %   188 818 = 4  12 (1 + 0,37 %)

188 818 (1 + 0,37 %)

4  12

1 − (1 + 0,37 % )− Nn  = 3 284    0,37 %  

1 − (1 + 0,37 % )− Nn  225 440 = 3 284    , donc n = 79 0,37 %   Avec la calculatrice : 1) 1642 +/− PMT 0.37 I/Y 48 N 0 FV CPT PV 72092 2) 260910 − 72092 = 188818 3) 188818 +/− PV 0.37 I/Y 48 N 0 PMT CPT FV 225440 4) 225440 +/− PV 0.37 I/Y 3284 PMT 0 FV CPT N 79 Réponse : 48 + 79 = 127 mois e) Taux d’intérêt effectif mensuel = (1 + 3,5 %)

1/12

− 1 = 0, 29 %

1 − (1 + 0, 29 % )−20  12  260 910 = FM    0, 29 %   Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

26

FM =

260 910 1 − (1 + 0, 29 % )  0, 29 % 

−20  12

  

=

260 910 = 1 510 $ 172, 73

Avec la calculatrice : 260910 +/− PV 0.29 I/Y 240 N 0 FV CPT PMT 1510

2.5

  12 % −10   1 − 1 +   2   a) 150 000 $ = FM    12 %     2   FM =

150 000   12 % −10   1 − 1 +   2     12 %     2  

= 20 380,19 $

  14 % −10   1 − 1 +   2     b) 150 000 $ = FM  14 %     2   FM =

150 000   14 % −10   1 − 1 +   2     14 %     2  

= 21 356, 63 $

FMpayé = 21356,63 $ − 30 $ = 21326, 63 $

c) L’option 1 est meilleure, car les versements sont d’un montant inférieur.

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d) Taux d’intérêt trimestriel =

3% = 0, 25 % 12

 (1 + 0, 25 % )6 − 1   = 20 380,19 $ VF6 = FM mensuel     0, 25 %   FMmensuel =

20 380,19  (1 + 0, 25 %)6 − 1      0, 25 %  

= 3 375,53 $

e) Valeur actuelle du prix de revente =

200 000

(1 + 10 %)

5

= 124184, 27 $

Prix d’acquisition = 150 000 $

L’achat du chalet n’est pas rentable.

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CHAPITRE 3 Le choix des projets d’investissement Questions Q3.1 Les différentes catégories de projets d’investissement qui s’offrent à une entreprise sont celle des projets indépendants, celle des projets mutuellement exclusifs et celle des projets contingents (voir la sous-section 3.1.2, p. 76 du manuel). Q3.2 Les deux inconvénients majeurs du délai de récupération sont qu’il ne tient pas compte de la chronologie des flux monétaires ni de leur répartition dans le temps (voir la sous-section 3.2.1, p. 79 du manuel). Q3.3 Le délai de récupération actualisé ne représente qu’une légère amélioration du délai de récupération non actualisé, puisque lui non plus ne tient pas compte des flux monétaires une fois que la mise de fonds a été récupérée. Le choix de la période limite à respecter pour les projets indépendants reste également arbitraire. Il est difficile, dans ce cas, de déterminer ce qu’est un bon délai de récupération (voir la sous-section 3.2.1, p. 79 du manuel). Q3.4 La VAN considère la valeur actualisée des flux monétaires futurs générés par un projet. Elle tient donc bien compte de leur répartition dans le temps : un flux monétaire plus éloigné aura moins d’impact sur la VAN qu’un flux monétaire de même montant arrivant plus tôt dans le temps. Ainsi, en tenant compte de la valeur temporelle de l’argent, la VAN considère qu’un dollar aujourd’hui vaut plus qu’un dollar demain (voir la sous-section 3.2.3, p. 82 du manuel). Q3.5 Non, on n’aboutit pas toujours à la même décision selon que l’on considère le critère de la VAN ou celui du TRI. On aboutit à la même décision à la condition, d’une part, que

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l’investissement initial soit négatif et que tous les flux monétaires consécutifs et subséquents soient positifs et, d’autre part, que les projets soient indépendants. Si l’une de ces deux conditions n’est pas remplie, des cas litigieux entre critères risquent de survenir (voir la sous-section 3.2.4, p. 85 du manuel). Q3.6 Les inconvénients de l’indice de rentabilité sont étroitement liés à ceux de la VAN. De plus, les indices de rentabilité de deux projets ne sont pas additionnables, contrairement à leurs VAN (voir la sous-section 3.2.5, p. 88 du manuel). Q3.7 En cas de conflit entre la VAN et le TRI, l’utilisation du TRII est recommandée (voir la sous-section 3.2.6, p. 88 du manuel). Q3.8 La VAN fournit généralement de bonnes estimations, sauf dans deux situations : en cas de projets ayant des durées différentes et en cas de rationnement du capital. Malgré tout, la VAN reste le critère par excellence, même s’il faut effectuer des ajustements dans ces deux situations (voir la sous-section 3.2.7, p. 94 du manuel). Q3.9 Oui, l’inflation a un impact sur le choix d’investissement car le taux d’actualisation des flux monétaires futurs en est affecté (voir la sous-section 3.3.6, p. 107 du manuel). Q3.10 Dans le cas de projets ayant des durées de vie différentes, plusieurs solutions sont envisageables (voir la sous-section 3.2.7, p. 94 du manuel). La solution la plus simple est de supposer que les projets seront répétés afin d’obtenir des horizons d’investissement identiques. Q3.11 a) Vrai b) Faux c) Faux Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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d) Faux e) Faux f) Faux

Exercices E3.1 a)

Année

Amortissement (en dollars)

1 2 3 4 5

8 750,00 15 312,50 11 484,38 8 613,28 6 459,96

Année 0 1 2 3 4 5

Économie d’impôts (en dollars) 2 625,00 4 593,75 3 445,31 2 583,98 1 937,99

Revenus Flux d’exploitation nets monétaires nets (en dollars) (en dollars) 14 000,00 16 625,00 14 000,00 18 593,75 14 000,00 17 445,31 14 000,00 16 583,98 14 000,00 15 937,99

Flux monétaires nets actualisés (en dollars) 15 537,38 16 240,50 14 240,57 12 651,84 11 363,57

Reste à récupérer (en dollars) 70 000 53 375 34 781,25 17 335,94 751,95 Fraction = 0,05

Délai de récupération = 4 + 0,05 = 4,05 années

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b)

Année 1 2 3 4 5

Flux monétaires nets actualisés (en dollars) 15 537,38 16 240,5 14 240,57 12 651,84 11 363,57

Reste à récupérer 54 462,62 38 222,12 23 981,54 11 329,70 Fraction = 0,997

Le délai de récupération actualisé est égal à quasiment la totalité des cinq années.

E3.2 a)

Année

Revenus nets d’impôt

FNACC

1,00 2,00 3,00 4,00

1 800,00 1 800,00 1 800,00 1 800,00

10 000,00 8 500,00 5 950,00 4 165,00

Année

Reste à récupérer

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

7 600,00 4 780,00 2 266,00 Fraction = 0,99

Amortissement d’après les formules du tableau 3.4 1 500,00 2 550,00 1 785,00 1 249,50

Économie d’impôts (en dollars) 600,00 1 020,00 714,00 499,80

Flux monétaires nets (en dollars) 2 400,00 2 820,00 2 514,00 2 299,80

Le délai de récupération est de 3,99 années.

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b)

Année 1 2 3 4 5

Flux monétaires nets actualisés (en dollars) 2 222,22 2 417,70 1 995,69 1 690,42 1 463,16

Reste à récupérer 7 777,78 5 360,08 3 364,39 1 673,97 210,81

D’après le délai de récupération actualisé, l’investissement ne sera pas récupéré en totalité à la fin du projet; il restera à récupérer 1 673,97 − 1 463,16 = 210,81 $. Donc, le délai de récupération actualisé est supérieur à cinq ans.

Problèmes P3.1 En début de projet L’acquisition des actifs : 100 000 (bâtiment) + 200 000 (terrain) + 50 000 (machinerie) = −350 000 $ L’investissement en fonds de roulement : −15 000 $ TOTAL = −365 000 $ En cours de projet (des années 1 à 15) La VA des bénéfices d’exploitation des années 1 à 15 inclusivement :

1 − (1 + 16 % )−15  73 660 (1 − 25 % )   = +308 016 $ 16 %   Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

33

Les économies d’impôts sur amortissement de l’année 1 jusqu’à l’infini pour les deux biens amortissables :

100 000  5 %  25 %  1 + (16 % / 2 )  Bâtiment =    1 + 16 %  = +5 542 $ 5 % + 16 %     50 000  20 %  25 %  1 + (16 % / 2 )  Machinerie =    1 + 16 %  = +6 466 $ 20 % + 16 %    La VA de l’investissement en fonds de roulement à l’année 1 : −10 000

(1 + 16 % )

1

= −8 621 $

La VA des réparations aux trois années :

5 000 (1 − 25 % )

(1 + 16 % )

3

+

5 000 (1 − 25 %)

(1 + 16 %)

6

+

5 000 (1 − 25 % )

(1 + 16 %)

9

+

5 000 (1 − 25 % )

(1 + 16 % )

12

= −5 559 $

TOTAL = 305 844 $ En fin du projet (année 15) La VA de la revente d’actifs :

( 415 000 + 210 000 + 1 500) = +67 616 $ 15 (1 + 16 %) Les pertes des économies d’impôts de l’année 16 à l’infini :

Bâtiment =

Minimum ( 210 000, 100 000 )  5 %  25 %

Machinerie =

( 5 % + 16 % )(1 + 16 %)

15

2474  20 %  25 %

( 20 % + 16 %)(1 + 16 %)

15

= −642 $

= −37 $

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34

Note : La FNACC de la machinerie après 15 années se calcule ainsi : FNACC15 = 50 000 × (1 − 0,5 × 20 %) × (1 − 20 %)15−2 ≈ 2 474 $ L’incidence fiscale des reventes Terrain : impôts à payer sur le gain en capital :

( 415 000 − 200 000 )  0,5  25 % = −2 901$ 15 (1 + 16 %) Bâtiment : impôts à payer sur le gain en capital :

( 210 000 − 100 000 )  0,5  25 % = −1 484 $ 15 (1 + 16 %) Machinerie : impôts sur la perte terminale :

( 2 474 − 1 500 )  25 % = +26 $ 15 (1 + 16 % ) TOTAL = 62 578 $ La VAN sera alors égale à : VAN = −365 000 + 305 844 + 62 578 = +3 422 $ Le projet serait théoriquement acceptable. En pratique, toutefois, la VAN est trop faible, ce qui devrait nous inciter à pousser davantage l’analyse.

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35

P3.2 Les flux monétaires au tout début du projet Le coût des investissements : −225 000 $ Les flux monétaires en cours de projet La VA des BAII et BE :

1 − (1 + 16 % )−4  95 000 (1 − 40 % )   = +159 496 $ 16 %   Les économies d’impôts liées à l’ACC de l’année 1 jusqu’à l’infini :

 225 000  30 %  40 %  1 + (16 % / 2 )     1 + 16 %  = +54 648 $ 16 % + 30 %    Les flux monétaires à la fin du projet La VA de la revente d’actifs : 85 000

(1 + 16 % )

4

= +46 945 $

Les pertes des économies d’impôts de l’année 10 à l’infini : 93 712  30 %  40 %

( 30 % + 16 %) (1 + 16 % )

4

= −13 502 $

Note : la FNACC de la machinerie après quatre années se calcule ainsi : FNACC4 = 225 000 × (1 − 0,5 × 30 %) × (1 − 30 %)4−2 ≈ 93 712 $

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36

Le montant à recevoir pour la récupération :

( 93 712 − 85 000)  0, 4 = +1 925 $ 4 (1,16 ) La VAN sera alors égale à : VAN = +24 512 $ Par conséquent, le projet serait intéressant pour la société.

P3.3 Les flux monétaires au début du projet L’acquisition des actifs : −150 000 $ L’investissement en fonds de roulement : −200 000 $ TOTAL = −350 000 $ Les flux monétaires en cours de projet La VA des flux monétaires des années 1 à 5 inclusivement :

1 − (1 + 14 % )−5   = −20 598 $ ( 0 − 10 000)(1− 40 % )  14 %   Les économies d’impôts de l’année 1 jusqu’à l’infini :

100 000  5 %  40 %  1 + (14 % / 2 )  Bâtiment =    1 + 14 %  = +9 880 $ 5 % + 14 %    TOTAL = −10 718 $

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37

Les flux monétaires à la fin du projet La VA de la revente d’actifs : 250 000

(1 + 14 % )

5

= +129 842 $

La VA de la récupération du fonds de roulement : 200 000

(1 + 14 % )

5

= +103 874 $

Les pertes des économies d’impôts de l’année 5 à l’infini : Immeuble =

83 594  5 %  40 %

( 5 % + 14 % )(1 + 14 %)

5

= −4 570 $

Note : La FNACC de la machinerie après cinq années se calcule ainsi : FNACCt = A × (1 − ½ × d) × (1 − d)t − 2 (si t ≥ 2) FNACC5 = 100 000 × (1 − ½ × 5 %) × (1 − 5 %)5 − 2 ≈ 83 594 $ L’incidence fiscale des reventes Le montant d’impôts à payer sur le gain en capital :

( 250 000 − 150 000 )  0,5  40 % = −10 387 $ 5 (1 + 14 % ) Le montant d’impôts à payer pour récupération :

(100 000 − 83 594)  0, 4 = −3 408 $ 5 (1 + 14 % ) TOTAL = 215 351 $ La VAN aurait alors été égale à −145 367 $, et le projet n’aurait donc pas été retenu. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

38

P3.4 Les flux monétaires au début du projet Le coût des investissements : −425 000 $ Les flux monétaires en cours de projet La VA du BAII des années 1 à 3 inclusivement :

1 − (1 + 14 % )−5  275 000 (1 − 45 % )   = +519 253 $ 14 %   Les économies d’impôts de l’année 1 jusqu’à l’infini :

 425 000  6 %  45 %  1 + (14 % / 2 )     1 + 14 %  = +53 852 $ 6 % + 14 %    Les flux monétaires à la fin du projet La VA de la revente d’actifs : 500 000

(1 + 14 % )

5

= +259 684 $

Les pertes des économies d’impôts de l’année 5 à l’infini :

Minimum ( 425 000, 500 000 )  6 %  45 %

( 6 % + 14 % )(1 + 14 % )

5

= −29 799 $

L’incidence fiscale des reventes Le montant d’impôts à payer sur le gain en capital :

( 500 000 − 425 000 )  0,5  45 % = −8 764 $ 5 (1 + 14 % ) La VAN = 369 226 $ > 0; le projet serait donc retenu. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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P3.5 Les flux monétaires au début du projet Le coût des investissements : −100 000 + 5 000 = −95 000 $ Les flux monétaires en cours de projet La valeur actualisée des BAII ou BE des années 1 à 5 inclusivement :

1 − (1 + 14 % )−5   = +24 718 $ (10 000 + 2 000)(1 − 40 %)  14 %   Les économies d’impôts de l’année 1 jusqu’à l’infini :

 95 000  20 %  40 %  1 + (14 % / 2 )     1 + 14 %  = +20 980, 40 $ 20 % + 14 %    Les flux monétaires à la fin du projet La VA de la revente d’actifs : 10 000

(1 + 14 % )

5

= +5193, 69 $

Les pertes d’économies d’impôts de l’année 5 à l’infini : 10 000  20 %  40 %

( 20 % + 14 %)(1 + 14 % )

5

= −1 222, 04 $

VAN = −95 000 + 24 718 + 20 980,40 − 1 222,04 + 5 193,68 = −45 329,95 $ Comme la VAN est négative, ce remplacement n’est donc pas rentable.

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P3.6 a) Les flux monétaires au début du projet Le coût des investissements : 100 000 (terrain) + 300 000 (bâtiment) + 900 000 (équipement) + 50 000 (fonds de roulement) TOTAL = −1 350 000 $ Les flux monétaires en cours de projet La VA des flux monétaires des années 1 à 10 inclusivement :

1 − (1 + 18 % )−10   = +1 065 098, 45 $ ( 700 000 − 75 000 − 230 000)(1− 40 % )  18 %   Les économies d’impôts de l’année 1 jusqu’à l’infini :

 900 000  20 %  40 %  1 + (18 % / 2 )  Équipement =    1 + 18 %  = +175 022,30 $ 20 % + 18 %     300 000  5 %  40 %  1 + (18 % / 2 )  Bâtiment =    1 + 18 %  = +24 097, 27 $ 5 % + 18 %    Les flux monétaires à la fin du projet La VA de la revente d’actifs :

Terrain =

150 000

= +28 659, 67 $

(1 + 18 % )

Bâtiment =

10

200 000

(1 + 18 %)

10

= +38 212,89 $

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41

Les pertes d’économies d’impôts de l’année 10 à l’infini :

Bâtiment =

200 000  5 %  40 %

( 5 % 18 % )(1 + 18 %)

10

= −3 322,86 $

Quant à l’équipement, il aurait une valeur résiduelle nulle. Récupération du fonds de roulement =

50 000

(1 + 18 %)

10

= +9 553, 23 $

L’incidence fiscale des reventes

Impôts sur le gain en capital (terrain) =

(150 000 − 100 000)  0,5  40 % = −1910, 64 $ 10 (1 + 18 %)

La VAN sera alors égale à −14 589,69 $; le projet ne serait donc pas retenu. b) Le traitement des subventions dans le calcul de la VAN est très simple. Il s’agit de réduire le coût d’acquisition de 300 000 $. L’amortissement se fait également sur le coût net de l’actif (c’est-à-dire 900 000 $ − 300 000 $), et non sur le coût brut de 900 000 $.

P3.7 a) VAN(CBA Alpha)

= −9 000 + 12 000(1,14 )−1

= 1 526,32 $

VAN(CBA Bêta)

= −9 000 + 15 870(1,14)−3

= 1 711,80 $

VAN(CBA Bêta) > VAN(CBA Alpha)

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42

b) VAN(CBA Alpha)

= −9 000 + 12 000(1 + TRI)−1 = 0

TRI(CBA Alpha)

= 33,33 %

VAN(CBA Bêta)

= −9 000 + 15 870(1 + TRI)−3 = 0

TRI(CBA Bêta)

= 20,81 %

TRI(CBA Bêta) < TRI(CBA Alpha) c) Le taux de réinvestissement r est tel que VF(CBA Alpha) = VF(CBA Bêta) −9 000(1 + r)3 + 12 000(1 + r)2 = −9 000(1 + r)3 + 15 870 12 000(1 + r)2 = 15 870 $ r = 15 %

P3.8 I0 = 45 000 $ 0

Année 0 1 2 3 4 5

10 000 $ 1

10 000 $ 2

15 000 $ 3

Flux monétaires (en dollars) −45 000 10 000 10 000 15 000 15 000 26 000

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15 000 $ 4

15 000 $ + 11 000 $ 5

Flux monétaires cumulés (en dollars) 10 000 20 000 35 000 50 000 76 000

43

a) Le délai de récupération se situe entre trois et quatre ans. Par interpolation linéaire, on détermine le délai de récupération :

Délai de récupération − 3 45 000 − 35 000 = 4−3 50 000 − 35 000 Délai de récupération = 3,67 années b) Afin de tenir compte de la valeur temporelle de l’argent, il faut calculer le délai de récupération actualisé. Il se trouve entre quatre et cinq ans. Année

Flux monétaires actualisés (en dollars) −45 000 10 000× (1 + 10 %)−1 = 9 090,90 10 000× (1 + 10 %)−2 = 8 264,46 15 000× (1 + 10 %)−3 = 11 269,72 15 000× (1 + 10 %)−4 = 10 245,20 26 000× (1 + 10 %)−5 = 16 143,95

0 1 2 3 4 5

Flux monétaires cumulés (en dollars) 9 090,90 17 355,37 28 625,09 38 870,29 55 014,25

Délai de récupération actualisé − 4 45 000 − 38 870, 29 = 5−4 55 014, 25 − 38 870, 29

Délai de récupération actualisé = 4,38 années c)

−45 000 +

10 000

(1 + TRI )

1

+

10 000

(1 + TRI )

2

+

15 000

(1 + TRI)

3

+

15 000

(1+ TRI )

4

+

26 000

(1 + TRI )

5

=0

En utilisant les calculatrices financières Texas Instruments BA II Plus ou Sharp EL-738C, le TRI = 17,07 %. Le projet est intéressant selon le critère du TRI (17,06 % > 10 %).

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d) Calcul de la valeur finale (VF) de l’investissement : VF = 10 000 × (1 + 10 %)4 + 10 000 × (1 + 10 %)3 + 15 000 × (1 + 10 %)2 + 15 000 × (1 + 10 %) + 26 000 VF = 88 601 $

45 000 =

88 601

(1 + TRII )

5

TRII = 14,5 %

P3.9 En début de période : Achat d’une nouvelle machine : Vente de la machine actuelle :

1 000 000 (−) 100 000 (+)

Frais d’installation :

20 000 (−)

Besoin en fonds de roulement :

60 000 (−)

Total des investissements de départ :

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980 000 (−)

45

En cours de période : VA des flux monétaires :

1 − (1 + 0,12)−10  200 000  (1 − 0, 40 )    = 678 026, 76 0,12  

678 026,76 (+)

VA des économies d’impôts liées à l’amortissement VAEI :

920 000  0, 20  0, 40 1 + 0,5  0,12    = 217 678,57 0,12 + 0, 20  1 + 0,12 

217 678,57 (+)

VA de la sortie de fonds en cours de période (3e année) :

−50 000  (1 + 0,12) + −3

50 000  0, 20  0, 40 1 + 0,5  0,12  −3   (1 + 0,12 ) = −27 168, 40  0,12 + 0, 20  1 + 0,12  27 168,40 (−)

En fin de période : VA de la revente : (81 500 − 20 000) × (1 + 0,12)−10 = 19 801,35

19 801,35 (+)

VA des économies d’impôts perdues :

(81500 − 20 000 )  0, 20  0, 40  0,12 + 0, 20

(1 + 0,12 )

−10

= 4 950,34

Récupération du fonds de roulement : 60 000 × (1 + 0,12)−10 = 19 318,39 VAN

4 950,34 (−)

19 318,39 (+) = 77 293,67 (−)

Comme la VAN est négative, notre recommandation est de ne pas retenir ce projet de remplacement d’équipement.

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46

P3.10 En début de période : Achat du terrain

100 000 (−)

Construction du bâtiment

300 000 (−)

Vente des actifs existants : Terrain

100 000 (+)

Bâtiment

75 000 (+)

Besoin en fonds de roulement :

10 000 (−) = 235 000 (−)

En cours de période : VA des flux monétaires :

1 − (1 + 0,12)−10  60 000  (1 − 0, 40 )    = 203 408 0,12   1 − (1 + 0,12)−10  −10 35 000  (1 − 0, 40 )     (1 + 0,12 ) = 38 204 0,12  

203 408 (+)

38 204 (+)

VA des économies d’impôts liées à l’amortissement VAEI :

( 300 000 − 75 000)  0, 05  0, 40 1 + 0,50  0,12  = 25 053  

0,12 + 0, 05

1 + 0,12

 

25 053 (+)

Sortie de fonds évitée à la 10e année :

100 000  (1 + 0,12 )

−10

−

100 000  0, 05  0, 40 1 + 0,5  0,12  −10   (1 + 0,12 ) = 28 612  0,12 + 0, 05  1 + 0,12  28 612 (+)

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En fin de période : VA de la revente du bâtiment : (70 000 − 10 000) × (1 + 0,12)−20 = 6 220

6 220 (+)

VA de la revente du terrain : (200 000 − 200 000) × (1 + 0,12)−20 = 0 VA des économies d’impôts perdues :

( 70 000 − 10 000)  0, 05  0, 40  0,12 + 0, 05

(1 + 0,12 )

−20

= 732

Récupération du fonds de roulement : 10 000(1 + 0,12)−20 = 1 037 VAN

732 (−)

1 037 (+) = 66 802 (+)

La VAN du projet est positive. Par conséquent, le projet est rentable, et nous le recommandons.

Problèmes préparatoires aux examens 3.1 a) Investissement en début de projet = Auto + Dépenses (après impôts) + Fonds de roulement TOTAL = −200 000 − 2 500 (1 − 35 %) − 9 000 = −210 625 $

 (1 − 1,12)−4  b) VARN = 20 000 (1 − 35 %)   = 39 485,54  0,12   12 %  1+ 200 000  30 %  35 %  2  = 47 321, 43 VAEI =   30 % + 12 %  1 + 12 %    TOTAL = 39 485,54 + 47 321,43 = 86 806,97 $

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c) Revente

290 000

Gain en capital

−15 750 (= 90 000 × 0,5 × 35 %)

Fonds de roulement

9 000 283 250

VA de 283 250 =

283 250 = 180 010,50 (1,12)4

Comme 290 000 $ > 200 000 $, alors : VAEIP =

200 000  30 %  35 % (1 + 12 %)−4 = 31 775,90 $ 30 % + 12 %

TOTAL = 180 010,49 − 31 775,90 = 148 234,60 $ d) VAN = 24 416,57 > 0; le projet est donc rentable. e) Amortissement 1 = 200 000 × (0,30) × (50 %) = 30 000 $ Amortissement 2 = (200 000 − 30 000) × (0,30) = 51 000 $ VAEI 1 et 2 =

30 000  35 % 51 000  35 % + 1,12 (1,12)2

= 23 604,91 $

f) Flux monétaires (année 3) FM3 : Amortissement (année 3) : A3 = (200 000 − 30 000 − 51 000) × (0,3) = 35 700 $ Flux monétaires (année 3) : FM3 = 20 000 × (1 − 35 %) + 35 700 × (0,35) = 25 495 $

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3.2 a) Délai de récupérationA = 1 + 100/200 = 1,5 année Délai de récupérationB = 2 + 180/500 = 2,36 années Aucun projet ne sera accepté avec un délai de récupération maximal de un an. b) VANA = −500 + 400(1 + 12 %)−1 + 200(1 + 12 %)−2 + 100(1 + 12 %)−3 = 87,76 $ VANB = −500 + 20(1 + 12 %)−1 + 300(1 + 12 %)−2 + 500(1 + 12 %)−3 = 112,91 $ Le projet B devrait être accepté. c) 500 = 400(1 + TRIA)−1 + 200(1 + TRIA)−2 + 100(1 + TRIA)−3, d’où TRIA = 24,86 % 500 = 20(1 + TRIB)−1 + 300(1 + TRIB)−2 + 500(1 + TRIB)−3, d’où TRIB = 21,35 % Le projet A devrait être accepté. d) VANA = VANB −500 + 400(1 + i)−1 + 200(1 + i)−2 + 100(1 + i)−3 = −500 + 20(1 + i)−1 + 300(1 + i)−2 + 500(1 + i)−3 0 = −380(1 + i)−1 + 100(1 + i)−2 + 400(1 + i)−3, d’où i = 16,60 % e) i) Vrai ii) Faux iii) Faux iv) Vrai v) Faux (le TRI est indépendant du taux de rendement exigé) Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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3.3 En début de projet : Achat de la nouvelle machine

−500 000 $

Vente de la vieille machine

100 000 $

Diminution du fonds de roulement Investissement TOTAL

80 000 $ −320 000 $ (sortie d’argent)

En cours de projet :

1 − (1,1) −7  VA des flux monétaires (FM) = 60 000 $ (1 − 40 %)   = 175 263 $ (entrée d’argent)  0,1  VAEI =

(500 000 − 100000)(0, 2)(0, 4) 1 + 0, 05   1 + 0,1  = 101 818 $ (entrée d’argent) 0,1 + 0, 2  

Réparation capitalisable : • VA (réparation) = 20 000(1 + 0,1)−5 = −12 418 $ (sortie d’argent)

• Économies d’impôts perdues (amortissement) =

20 000(0, 2)(0, 4)  1 + 0, 05  −5  1 + 0,1  (1 + 0,1) 0,1 + 0, 2  

= 3 161 $ (entrée d’argent) Sortie d’argent évitée : • Coût de rénovation = 5 000(1 + 0,1)−3 = 3 756,57 $ (entrée d’argent)

• Économies d’impôts perdues =

5 000(0, 2)(0, 4) 1 + 0, 05  (1 + 0,1)−3 = 956,22 $ (sortie   0,1 + 0, 2  1 + 0,1 

d’argent) TOTAL = 270 624 $ Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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En fin de projet : Vente des machines VA = (50 000 − 20 000)(1 + 0,1)−7 = 15 395 $ (entrée d’argent) Récupération FR = 80 000(1 + 0,1)−7 = 41 053 $ (sortie d’argent) À la fin de l’an 7, le solde de la classe diminuera de 30 000 $ (50 000 $ − 20 000 $) Pertes d’économies d’impôts =

30 000(0, 2)(0, 4) (1 + 0,1)−7  = 4 105 $ (sortie d’argent) 0,1 + 0, 2

TOTAL = −29 763 $ VAN = −79 138 $ La VAN est négative, donc le projet n’est pas rentable.

3.4 En début de projet : • Construction du bâtiment

−1 000 000

• Achat des équipements

−400 000

• Achat du terrain

−200 000

TOTAL = 1 600 000 $

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En cours de projet : • Fonds de roulement −300 000(1,15)−1

−260 869,57

• Réparation des équipements −10 000(1 − 40%)(1,15)−5

−2 983,06

• Économie d’impôts

 10 %  40 %   1, 075  Bâtiment : VAEI = + 1 000 000    = +149 565, 22  10 % + 15 %   1,15   25 %  40 %   1, 075  Équipement : VAEI = + 400 000    = +93 478, 26  25 % + 15 %   1,15  • Flux monétaires

 1 − (1,15)−12  130 000(1 − 40 %)   = +422 808, 28  15 %  TOTAL = 401 999 $

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En fin de projet : • Revente Terrain : +300 000 (1,15)

−12

Bâtiment : +600 000 (1,15)

= +56 072,15

−12

= +112144, 29

Équipements : +100 000 (1,15)

−12

= +18 690, 72

• Récupération du fonds de roulement +300 000 (1,15)

−12

= +56 072,15

• Pertes d’économies d’impôts

 10 %  40 %  −12 Bâtiment : VAEIP = −600 000    (1,15) = −17 943, 09 10 % 15 % +  

 25 %  40 %  −12 Équipement : VAEIP = −100 000    (1,15) = −4 672, 68  25 % + 15 %  • Montant d’impôts à payer sur gain en capital pour le terrain

−(300 000 − 200 000)  2 3  (40 %)  (1,15)−12 = −4 984,19 TOTAL = 215 379,35 $ VAN = −982 621,65 $ Nous avons une VAN négative, donc le projet n’est pas rentable.

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3.5 a) TRI(X) = 15 %, le taux d’actualisation qui donne la VAN de X = 0. b) Le taux d’actualisation de 10 %, car les VAN de X et d’Y = 2 000 $. c) Notons que la moyenne des flux est égale à la somme des flux (moins l’investissement) divisée par le nombre de flux. Avec un taux d’actualisation = 0 %, la somme des flux monétaires de X = 4 500 $ et celle d’Y = 3 500 $. Comme la somme des flux monétaires de X est supérieure à celle d’Y et que le nombre de flux et l’investissement sont les mêmes, alors la moyenne des flux monétaires du projet Y est la plus faible.

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CHAPITRE 4 L’évaluation des actifs financiers et les modes de financement à long terme Questions Q4.1 Toutes choses étant égales par ailleurs, il existe une relation négative entre le prix d’une obligation et son taux de rendement à l’échéance (TRE). Les taux d’intérêt tels que le TRE des obligations dépendent beaucoup de l’état de l’économie et fluctuent sur le marché. Étant donné que les obligations à taux de coupon fixe paient le même pourcentage de leur valeur nominale au fil du temps, une hausse des taux les rend moins désirables, à moins que le prix ne baisse. A contrario, une baisse des taux les rend plus attrayantes, ce qui entraîne une hausse des prix. C’est en raison de ce mécanisme que le prix des obligations varie inversement selon les taux d’intérêt (voir la sous-section 4.1.1, p. 122 du manuel). Q4.2 Une augmentation des taux d’intérêt entraîne une baisse du prix. Plus l’échéance des obligations est éloignée, plus élevée sera l’incidence de la variation des taux d’intérêt sur le prix. En effet, l’incidence du taux d’actualisation est d’autant plus forte que les flux monétaires sont éloignés dans le temps (voir la sous-section 4.1.1, p. 122 du manuel). Q4.3 On considère les actions privilégiées comme des titres hybrides entre les obligations et les actions ordinaires car les actions privilégiées possèdent à la fois des caractéristiques des actions ordinaires et des caractéristiques des obligations. En effet, comme les actions ordinaires, les actions privilégiées sont des titres de propriété, n’ont pas d’échéance, paient des dividendes non déductibles d’impôts, et le non-paiement de ces dividendes n’entraîne pas la faillite. Par contre,

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les actions privilégiées paient des dividendes privilégiés qui sont fixes comme les coupons des obligations. De plus, comme les obligations, elles ont une valeur nominale, ne donnent aucun droit de vote et ont une préséance sur les actions ordinaires pour la distribution des dividendes et en cas de faillite (voir la section 4.3, p. 167 du manuel). Q4.4 Le risque de prix correspond au risque de baisse du prix des obligations, comme c’est le cas à la suite d’une hausse des taux d’intérêt. Si elles détiennent leurs obligations jusqu’à échéance, Karine et Clara ne courent aucun risque de prix et vont percevoir la valeur nominale à l’échéance. Par contre, dans le cas où l’horizon d’investissement de Karine et de Clara dans ces obligations serait plus court que la durée de vie complète des obligations, Clara est la plus sujette à un risque de prix : le prix des obligations qu’elle détient baissera plus fortement advenant une hausse des taux d’intérêt. En effet, les obligations ayant une longue échéance sont plus touchées par une variation de taux que celles dont l’échéance est plus courte (voir la sous-section 4.1.4, p. 141 du manuel). Q4.5 Les actionnaires ordinaires sont considérés comme des créanciers résiduels car ils sont les derniers payés sur la liste de tous ceux qui ont des créances sur les actifs et les revenus de l’entreprise. Par exemple, dans le cas d’une faillite et d’une liquidation des actifs, les actionnaires ordinaires n’ont droit qu’aux fonds résiduels, s’il y en a, après le paiement de tous les autres créanciers. Ils sont également rémunérés après tous les autres créanciers dans le cours normal des activités de l’entreprise. Ils ne peuvent s’octroyer de dividendes ordinaires qu’après le paiement de toutes les créances exigibles de l’entreprise : impôts, intérêts sur la dette, dividendes privilégiés, etc. (voir la sous-section 4.2.1, p. 157 du manuel). Q4.6 Les caractéristiques des obligations (échéance, valeur nominale, taux de coupon) sont spécifiées d’avance dans le contrat d’obligation. Les actions ordinaires, pour leur part, n’ont pas Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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de date d’échéance et paient des dividendes variables, ce qui complique leur évaluation. L’élaboration d’hypothèses simplificatrices sur l’évolution des dividendes ordinaires qui en résulte, est, en effet, plus complexe (voir la sous-section 4.2.3, p. 158 du manuel). Q4.7 Non. Le prix des actions ne peut pas être négatif. Au pire, le prix sera égal à zéro, ce qui veut dire que l’entreprise est en faillite (voir la sous-section 4.2.3, p. 158 du manuel).

Exercices E4.1 a) Le montant des coupons est C = 5 % / 2 × 1000 = 25 $. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus : PV 900

FV −1000.00

N 30

PMT I/Y −25.00 COMP

Le taux semestriel obtenu est rs = 3,01 %. Le taux de rendement à l’échéance nominal capitalisé semestriellement des obligations Coconut est donc ra = rs × 2 = 6,02 %. b) kOB = (1 + rs)2 − 1 = 6,11 % Le taux effectif annuel des obligations Coconut est donc de 6,11 %. c) Dans 5 ans, les obligations auront une durée de vie de 10 ans; on aura donc N = 20. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus FV −1000.00

N 20

PMT −25.00

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I/Y 3.01

PV COMP 58

L’écran affiche 924.19. Le prix des obligations Coconut dans cinq ans sera donc de 924,19 $. (On obtient une précision différente lorsque le taux est réellement arrondi à 3,01%.)

E4.2 Le montant des coupons est C = 5 % / 2 × 1000 = 25 $. Le TRE semestriel = 4 % / 2 = 2 %. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus FV −1000.00

N 20

PMT −25.00

I/Y 2

PV COMP

L’écran affiche 1081.76. Ces obligations vont donc se vendre à un prix (P0) de 1 081,76 $ sur le marché.

E4.3 Le montant des coupons est C = 6 % / 2 × 1000 = 30 $. Il faut ensuite calculer le taux semestriel de rendement à l’échéance: (1 + rs)2 = (1 + kOB) → rs = (1 + kOB)1/2 − 1 = 5,00 % On peut maintenant calculer le prix des obligations : Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus FV −1000.00

N 16

PMT −30.00

I/Y 5.00

PV COMP

L’écran affiche 783.24. On accepterait de payer un prix (P0) de 783,24 $ pour ces obligations.

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E4.4 Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

A B C D

FV −1000.00 −1000.00 −1000.00 −1000.00

Touche PMT −40.00 −50.00 −15.00 −25.00

N 20 10 50 20

I/Y 1.50 6.00 2.50 6.00

Affichage (P0) 1429.22 926.40 716.38 598.55

PV COMP COMP COMP COMP

E4.5 Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche A B C D

PV

FV

N

PMT

I/Y

950 1050 960 1100

−1000.00 −1000.00 −1000.00 −1000.00

20 10 50 50

20.00 60.00 60.00 25.00

COMP COMP COMP COMP

TRE semestriel (rs) Affichage 2.32 5.34 6.26 2.17

TRE annuel ra = rs × 2 (ra) 4,63 % 10,68 % 12,53 % 4,34 %

E4.6 Une obligation se vend : • au pair si le rendement à l’échéance (ra) = taux de coupon (c); • à prime si le rendement à l’échéance (ra) < taux de coupon (c); • à escompte si le rendement à l’échéance (ra) > taux de coupon (c). Par conséquent : A À prime

B À escompte

C Au pair

D À escompte

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E4.7 Quatre étapes pour résoudre cet exercice : Étape 1 : Calculer le nombre de jours jusqu’à la prochaine date de paiement de coupons et le nombre de jours d’intérêts courus (nj). Rappelons que, par convention, au Canada, on inclut le premier jour, mais on exclut le dernier jour. De plus, on considère que l’année comporte 365 jours, et donc que le semestre comporte 182,5 jours. Avril Mai 30 31

Juin Juillet Août Sept. Oct. Nov. Déc. Janv. Févr. Mars 30 31 31 30 31 30 31 31 28 31

Mois de la prochaine date de paiement de coupons Mois du dernier coupon Nombre de jours dans le mois de paiement du prochain coupon Nombre de jours dans le mois de paiement du dernier coupon Nombre de jours jusqu’à la date du prochain coupon Nombre de jours écoulés depuis le dernier coupon (nj)

A Août Février

B Août Février

C Juin Décembre

D Août Février

14

24

17

26

14

4

14

2

119 62

129 52

61 121

131 50

Étape 2 : Calculer le prix juste après le paiement du dernier coupon. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche A B C D

FV

N

PMT

I/Y

PV

100.00 100.00 100.00 100.00

76 47 57 51

2.00 3.06 2.30 2.12

1.500 2.105 2.300 2.169

COMP COMP COMP COMP

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Affichage P0 juste après le paiement du dernier coupon 122.582 (avec arrondis effectués) 128.326 (avec arrondis effectués) 100.000 (avec arrondis effectués) 98.497 (avec arrondis effectués)

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Étape 3 : Calculer la capitalisation jusqu’à la date d’évaluation. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche

A B C D

PV

I/Y

N (= nj/182,5)

PMT

FV

−122.582 −128.326 −100.000 −98.497

1.500 2.105 2.300 2.169

0.33973 0.284932 0.663014 0.273973

0 0 0 0

COMP COMP COMP COMP

Affichage Valeur à la date d’évaluation (V0) Prix de règlement 123.204 129.090 101.519 99.070

Étape 4 : Calculer les intérêts courus et le prix affiché IC = Coupons semestriels × nj/182,5 Prix affiché = V0 − IC

A B C D

Coupon

nj/182,5

2.00 $ 3.06 $ 2.30 $ 2.12 $

0.33973 0.284932 0.663014 0.273973

Intérêts courus 0.68 $ 0.87 $ 1.52 $ 0.58 $

Prix de règlement (V0) 123.204 $ 129.090 $ 101.519 $ 99.070 $

Prix affiché 122.524 $ 128.220 $ 100.000 $ 98.490 $

On peut donc remplir le tableau avec les valeurs que nous venons de calculer.

Obligation

Date d’échéance

Taux de coupon

A B C D

2055-02-15 2040-08-25 2045-06-18 2042-08-27

4% 6,11 % 4,60 % 4,24 %

Rendement à l’échéance 2,996 % 4,209 % 4,600 % 4,338 %

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Prix affiché

Intérêts courus

122.524 $ 128.220 $ 100.000 $ 98.490 $

0,68 $ 0,87 $ 1,52 $ 0,58 $

Valeur (prix de règlement) 123.204 $ 129.090.$ 101.519 $ 99.070 $

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E4.8 a) Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instrument BA II Plus

X Y Z

FV −1000.00 −1000.00 −1000.00

N 30 30 30

Touche PMT −30.00 −60.00 −20.00

I/Y 3.00 3.00 3.00

Affichage (P0) 1000.00 1588.01 804.00

PV COMP COMP COMP

b) • L’obligation X se vend au pair, puisque son prix est égal à sa valeur nominale. • L’obligation Y se vend à prime, puisque son prix est supérieur à sa valeur nominale. • L’obligation Z se vend à escompte, puisque son prix est inférieur à sa valeur nominale. c) Ces trois obligations ont la même échéance et proviennent du même émetteur. Elles ont donc le même rendement à l’échéance et le même risque. Toutes choses étant égales par ailleurs, plus le taux de coupon est élevé, plus le prix des obligations est élevé. L’obligation Y ayant le taux de coupon le plus élevé se vend donc plus cher que l’obligation X, suivie de l’obligation Z.

E4.9 a) Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

FV Casanova 3 % −1000.00 Casanova 6 % −1000.00 Casanova 9 % −1000.00

N 30 30 30

Touche PMT −30.00 −30.00 −30.00

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I/Y 1.50 3.00 4.50

PV COMP COMP COMP

Affichage (P0) 1360.24 1000.00 755.67

63

b) • Avec un taux de rendement à l’échéance de 3 % (inférieur au taux de coupon de 6 %), l’obligation Casanova se vend à prime. Son prix est supérieur à sa valeur nominale. • Avec un taux de rendement à l’échéance de 6 % (égal au taux de coupon de 6 %), l’obligation Casanova se vend au pair. Son prix est égal à sa valeur nominale. • Avec un taux de rendement à l’échéance de 9 % (supérieur au taux de coupon de 6 %), l’obligation Casanova se vend à escompte. Son prix est inférieur à sa valeur nominale. c) Ces trois obligations proviennent du même émetteur, paient le même coupon, ont la même échéance et le même risque. Le seul aspect qui change est le taux de rendement à l’échéance. Ainsi, toutes choses étant égales par ailleurs, plus le taux de rendement à l’échéance est élevé, plus le prix des obligations est faible. L’obligation Casanova ayant un rendement de 9 % aura donc un prix plus faible que celle avec un rendement de 6 %, elle-même moins chère que celle avec un rendement de 3 %.

E4.10 a) Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

FV Brille 15 −1000.00 Brille 10 −1000.00 Brille 5 −1000.00 Brille 1 −1000.00

N 30 20 10 2

Touche PMT −25.00 −25.00 −25.00 −25.00

I/Y 4.00 4.00 4.00 4.00

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PV COMP COMP COMP COMP

Affichage (P0) 740.62 796.15 878.34 971.71

64

b) Toutes choses étant égales par ailleurs, plus l’échéance d’une obligation est courte, plus sa valeur est élevée, se rapprochant de sa valeur nominale. De plus, le taux de rendement à l’échéance est ici supérieur au taux de coupon. Dans ce cas d’une obligation à escompte, le prix augmente vers la valeur nominale à mesure que l’obligation se rapproche de son échéance.

E4.11 a) Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

Lumineuse 15 Lumineuse 10 Lumineuse 5 Lumineuse 1

FV −1000.00 −1000.00 −1000.00 −1000.00

N 30 20 10 2

Touche PMT −35.00 −35.00 −35.00 −35.00

I/Y 2.00 2.00 2.00 2.00

PV COMP COMP COMP COMP

Affichage (P0) 1335.95 1245.27 1134.74 1029.12

b) Toutes choses étant égales par ailleurs, plus l’échéance d’une obligation est courte, plus sa valeur est élevée, se rapprochant de sa valeur nominale. De plus, le taux de rendement à l’échéance est ici inférieur au taux de coupon. Dans ce cas d’une obligation à prime, le prix diminue vers la valeur nominale à mesure que l’obligation se rapproche de son échéance.

E4.12

P0 =

D1 + P1 , donc P1 = P0 (1 + rAO ) − D1 (1 + rAO ) = 75  (1,10) − 3 = 79,50 $

On peut espérer vendre les actions ABC au prix de 79,50 $.

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E4.13 Sur N périodes, nous avons : P0 =

D3 D1 D2 + + + 2 (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO )3

+

Dn + Pn

(1 + rAO )

n

Sur deux périodes, nous avons : P0 =

D1 D + P2 5 7,5 + 75 + 2 = + 2 (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO )2

50 =

5 82,5 + (1 + rAO ) (1 + rAO )2

Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires1 Revenir à l’affichage initial en mode normal Calculer le taux

Touche CFi 2ndF CA +/− 50 ENT 5 ENT 82.5 ENT

Sharp EL-738C Affichage 0.00 DATA SET : CF 0.00 DATA SET : CF 1.00 DATA SET : CF 2.00

ON/C 2ndF CFi 2ndF CA COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 33.55

L’écran affiche 33.55. Le taux de rendement est donc de 33,55 %.

1.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro.

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66

Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires (les dividendes)2 Calculer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 50 +/− ENTER CF0 = −50.00 5 ENTER CO1 = 5.00 F01 = 1.00 82.5 ENTER CO2 = 82.50 FO2 = 1.00 IRR I = 0.00 CPT I = 33.55

L’écran affiche 33.55. Le taux de rendement est donc de 33,55 %.

E4.14 Calcul du taux de croissance du dividende : 1/ N

D  g = N   D0 

1/5

 0,90  −1 =   − 1 = 8, 45 %  0, 6 

Calcul du prix :

P0 =

D0 (1 + g ) D1 0,9  (1, 0845) = = = 27, 49 $ ( rAO − g ) ( rAO − g ) (0,12 − 0, 0845)

L’action de Papineau devrait se vendre 27,49 $.

2.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro.

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67

E4.15 Calcul du dividende de la dernière année sans le fractionnement : D0 sans fractionnement = D0 avec fractionnement × Ratio de fractionnement = 0,65 × 3 =1,95 $ Calcul de taux de croissance : 1/ N

D  g = N   D0 

1/5

 1,95  −1 =   − 1 = 19,51 %  0,8 

Le taux de croissance du dividende serait de 19,51 %.

E4.16 Calcul du dividende de la dernière année sans le regroupement : D0 sans regroupement =D0 avec regroupement/Ratio de regroupement = 0,90/4 = 0,225 $ Calcul de taux de croissance : 1/ N

D  g = N   D0 

1/5

 0, 225  −1 =   − 1 = 8, 45 %  0,15 

Le taux de croissance du dividende serait de 8,45 %.

E4.17

P0 =

D0 (1 + g ) D1 0, 25  (1, 015) = = = 50, 75 $ ( rAO − g ) ( rAO − g ) (0, 02 − 0, 015)

L’action de CTC devrait se vendre 50,75 $.

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68

E4.18 Calcul du taux de rendement requis : rao =

D1 0,5 +g= + 0, 0125 = 2,917 % P0 30

Rendement trimestriel requis de 2,917 % : Rendement nominal annuel = Rendement trimestriel × 4 = 2,917 % × 4 = 11,67 % Le rendement nominal annuel est de 11,67 %.

E4.19

P0 =

D0 (1 + g ) D1 0, 75 = = = 25, 00 $ ( rAO − g ) ( rAO − g ) (0, 08 − 0, 05)

L’action de CHP devrait se vendre 25 $.

E4.20 Il faut d’abord calculer D5, D6, D7 et D8 : D5 = D4 × (1 + g1) = 1,25 × 1,30 = 1,63 $ D6 = D5 × (1 + g1) = 1,63 × 1,30 = 2,11 $ D7 = D6 × (1 + g1) = 2,11 × 1,30 = 2,75 $ D8 = D7 × (1 + g2) = 2,75 × 1,05 = 2,88 $ On peut ensuite calculer P7 :

P7 =

D8 2,88 = = 28,80 $ ( rAO − g 2 ) (0,15 − 0, 05)

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69

Puis, on peut calculer P0 : P0 =

D3 D1 D2 + + + 2 (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO )3

Valeur actualisée au taux de 15 %

+

DN + PN

(1 + rAO )

n

1 D1 0

2 D2 0

3 D3 0

4 D4 1,25 $

5 D5 1,63 $

6 D6 2,11 $

7 D7 + P7 31,55 $

0

0

0

0,71 $

0,81 $

0,91 $

11,86 $

P0 = Somme des valeurs actualisées = 14,29 $ avec les arrondis ou 14,31 $ avec plus de précision. Le prix de l’action serait actuellement de 14,29 $ (14,31 $ avec plus de précision). Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)3

Revenir à l’affichage initial en mode normal Entrer le taux d’actualisation

Touche CFi 2ndF CA 0 ENT 0 ENT 0 ENT 0 ENT 1.25 ENT 1.63 ENT 2.11 ENT 31.58 ENT

Sharp EL-738C Affichage 0.00 DATA SET : CF 0.00 DATA SET : CF 1.00 DATA SET : CF 2.00 DATA SET : CF 3.00 DATA SET : CF 4.00 DATA SET : CF 5.00 DATA SET : CF 6.00 DATA SET : CF 7.00

ON/C 2ndF CFi 2ndF CA 15 ENT COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 15.00 NET_PV = 14.31

L’écran affiche 14.31, ce qui correspond au prix de l’action, soit 14,31 $. 3.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro.

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Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)4

Entrer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 0 ENTER CF0 = 0.00 0 ENTER CO1 = 0.00 F01 = 1.00 0 ENTER CO2 = 0.00 FO2 = 1.00 0 ENTER CO3=0.00 F03 = 1.00 1.25 ENTER CO4=1.25 F04 = 1.00 1.63 ENTER CO5=1.63 F05 = 1.00 2.11 ENTER CO6=2.11 F06 = 1.00 31.58 ENTER CO7 = 31.58 F07 = 1.00 NPV I = 0.00 14 ENTER I = 14 CPT NPV = 14.31

L’écran affiche 14.31, ce qui correspond au prix de l’action, soit 14,31 $.

E4.21 On veut calculer rAP : P0 =

DAP D 4 , donc rAP = AP = = 10 % rAP P0 40

Le rendement requis sur les actions privilégiées est de 10 %.

4.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro.

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71

E4.22 On veut calculer P0 : P0 =

DAP 6 = = 66, 67 $ rAP 0,09

Le prix des actions privilégiées devrait être de 66,67 $.

E4.23 Il faut d’abord calculer le rendement (rAP) trimestriel : P0 =

DAP D 1 , donc rAP = AP = = 3,125 % rAP P0 32

Le rendement trimestriel requis sur les actions privilégiées est de 3,125 %. Il faut maintenant calculer le taux effectif : (1 + rAP)4 − 1 = 13,10 % Le taux effectif annuel est 13,10 %.

Problèmes P4.1 a) Il y a 5 ans, les obligations avaient 20 ans d’échéance. Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

PV 823.9

Touche FV N PMT −1000.00 40 −50.00

I/Y COMP

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Affichage (rs) 6.20

72

rs = 6,20 % semestriel ra = rs × 2 = 12,40 % Le taux de rendement à l’échéance des obligations BB était de 12,40 %. b) Il reste 15 ans avant l’échéance. On aura donc N = 30. Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus FV −1000.00

N 30

PMT −50.00

I/Y 2.00

PV COMP

L’écran affiche 1671.89. Cinq ans plus tard, Emma a donc vendu ses obligations au prix de 1 671,89 $. c) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Emma aura gardé les obligations 5 ans, soit 10 semestres, avant de les revendre. On a donc N = 10. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 10

PMT 50.00

I/Y 0.00

FV COMP

L’écran affiche 500.00. La valeur future des coupons est donc de 500 $.

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Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 500 + 1 671,89 = 2 171,89 $ Au total, Emma aura dépensé un montant de 823,90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de 10 semestres une somme totale (STfuture) de 2 171,89 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

PV 823.9

Touche FV N −2171.89 10

PMT 0

I/Y COMP

Affichage 10.18

ra_r

ra_r_e

20,36 % 20,36 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 10,18 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 20,36 % (ra_r = rs_r × 2). En ce qui concerne le taux effectif, nous considérons qu’il est égal au taux nominal, puisque les coupons n’ont pas été réinvestis. d) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 10

PMT 50.00

I/Y 2.00

FV COMP

L’écran affiche 547.49. La valeur future des coupons est donc de 547,49 $.

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74

Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 547,49 + 1 671,89 = 2 219,38 $ Au total, Emma aura dépensé un montant de 823,90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de 10 semestres une somme totale (STfuture) de 2 219,38 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche PV FV N PMT 823.9 −2219.38 10 0

I/Y COMP

Affichage 10.42

ra_r ra_r_e 20,83 % 21,92 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 10,42 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 20,83 % (= rs_r × 2) et un taux effectif annuel de 21,92 %. Notons que ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,1042)2 − 1 = 21,92 %. On constate que le rendement réalisé par Emma est différent aussi bien du taux de rendement à l’échéance à l’achat de ses obligations que du taux en vigueur au moment de leur revente. Ainsi, un investisseur réalise un taux de rendement différent du taux de rendement à l’échéance si les taux changent entre le moment de l’achat et le moment de la revente, même si les coupons ont été réinvestis au taux de rendement à l’échéance en vigueur au moment de la revente.

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75

e) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 10

PMT 50.00

I/Y 4.50

FV COMP

L’écran affiche 614.41. La valeur future des coupons est donc de 614,41 $. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 614,41 + 1 671,89 = 2 286,30 $ Au total, Emma aura dépensé un montant de 823,90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de 10 semestres une somme totale (STfuture) de 2 286,30 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche PV FV N PMT I/Y 823.9 −2286.30 10 0 COMP

Affichage 10.75

ra_r

ra_r_e

21,49 % 22,65 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 10,75 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 21,49 % (= rs_r × 2) et un taux effectif annuel de 22,65 %. Notons que ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,1075)2 − 1 = 22,65 %.

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f) Taux d’impôt sur les revenus d’intérêts Proportion du gain en capital imposable Coupons après impôts Gain en capital Impôt sur le gain en capital Valeur de revente nette de l’impôt sur le gain en capital

25 % 0,5 37,50 $ 847,99 $ 212,00 $ 1 459,90 $

= Coupon × (1 − Taux d’impôt) = Prix de vente − Prix d’achat = Gain en capital × Taux d’impôt = Prix de vente − Impôt sur le gain en capital

Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II plus PV 0

N 10

PMT 37.50

I/Y 4.50

FV COMP

L’écran affiche 460.81. La valeur future des coupons est donc de 460,81 $. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 460,81 + 1 459,90 = 1 920,71 $ Au total, Emma aura dépensé un montant de 823,90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de 10 semestres une somme totale (STfuture) de 1 920,71 $.

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Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

PV 823.9

Touche FV N −1920.71 10

PMT 0

I/Y COMP

Affichage 8.83

ra_r

ra_r_e

17,66 % 18,45 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 8,83 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 17,66 % (= ra_r = rs_r × 2) et un taux effectif annuel de 18,45 %. Notons que ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,0883)2 − 1 = 18,45 %. Par rapport à la question e), on voit que l’impôt a diminué le rendement d’Emma, qui est passé d’un taux effectif annuel de 22,65 % à 18,45 %, soit un écart de −4,20 %.

P4.2 a) Il y a quatre ans, les obligations avaient cinq ans d’échéance. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 1162.22

FV −1000.00

N 10

PMT −60.00

I/Y COMP

L’écran affiche 4.00. rs = 4,00 % semestriel ra = rs × 2 = 8,00 % Le taux de rendement à l’échéance des obligations de Grandpas était donc de 8 %.

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78

b) Il ne reste qu’une année avant l’échéance. On a donc N = 2. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus FV −1000.00

N 2

PMT −60.00

I/Y 4.00

PV COMP

L’écran affiche 1037.72. Le prix de vente quatre ans après l’acquisition est de 1 037,72 $. c) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. N = 8. Césario aura gardé les obligations quatre ans, ou huit semestres, avant de les revendre. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 8

PMT 60.00

I/Y 0.00

FV COMP

L’écran affiche 480.00. La valeur future des coupons est donc de 480,00 $. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 480 + 1 037,72 = 1 517,72 $ Au total, Césario aura dépensé un montant de 1 162,22 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de huit semestres une somme totale (STfuture) de 1 517,72 $.

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Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche PV FV N PMT I/Y COMP 1162.22 −1517.72 8 0

Affichage

ra_r

3.39

6,78 %

ra_r_e 6,78 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est rs_r = 3,39 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 6,78 % (= ra_r = rs_r × 2). En ce qui concerne le taux effectif, nous considérons qu’il est égal au taux nominal, puisque les coupons n’ont pas été réinvestis. d) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 8

PMT 60.00

I/Y 4.00

FV COMP

L’écran affiche 552.85. La valeur future des coupons est donc de 552,85 $. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 552,85 + 1 037,72 = 1 590,57 $ Au total, Césario aura dépensé un montant de 1 162,22 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de huit semestres une somme totale (STfuture) de 1 590,57 $.

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Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche PV FV N 1162.22 −1590.58 8

PMT I/Y COMP 0

Affichage 4.00

ra_r

ra_r_e

8,00 % 8,16 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 4 % (= rs_r), ce qui donne un rendement nominal annuel de 8 % (= ra_r = rs_r × 2) et un taux effectif annuel de 8,16 %. Notons que ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,04)2 − 1 = 8,16 %. On constate que le rendement réalisé par Césario est exactement le même que le taux de rendement à l’échéance à l’achat et à la vente. Ainsi, un investisseur réalise un taux de rendement identique au taux de rendement à l’échéance si le taux ne change pas entre le moment de l’achat et le moment de vente, et si les coupons ont été réinvestis au taux de rendement à l’échéance. e) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 8

PMT 60.00

I/Y 2.00

FV COMP

L’écran affiche 514.98. La valeur future des coupons est donc de 514,98 $.

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Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 514,98 + 1 037,72 = 1 552,70 $ Au total, Césario aura dépensé un montant de 1 162,22 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de huit semestres une somme totale (STfuture) de 1 552,70 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche PV FV N PMT I/Y 0 COMP 1162.22 −1552.70 8

Affichage 3.69

ra_r

ra_r_e

7,38 % 7,52 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 3,69 % (= rs_r), ce qui donne un rendement nominal annuel de 7,38 % (= ra_r = rs_r × 2) et un taux effectif annuel de 7,52 %. Notons que ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,0369)2 − 1 = 7,52 %. f) Taux d’impôt sur les revenus d’intérêts Proportion du gain en capital imposable Coupon après impôts Perte en capital Récupération d’impôt sur la perte en capital Valeur de revente nette de l’impôt sur le gain en capital

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40 % 0,5 36,00 $ = Coupon × (1 − Taux d’impôt) −124,50 $ = Prix de vente − Prix d’achat = Perte en capital × Taux d’impôt × −24,90 $ Proportion imposable du gain en capital = Prix de vente + Récupération 1 062,62 $ d’impôt sur la perte en capital

82

Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 8

PMT 36.00

I/Y 2.00

FV COMP

L’écran affiche 308.99. La valeur future des coupons est donc de 308,99$. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 308,99 + 1 062,62 = 1 371,61 $ Au total, Césario aura dépensé un montant de 1 162,22 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de huit semestres une somme totale (STfuture) de 1 371,61 $ Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus Touche PV FV N 1162.22 −1 371,61 8

PMT I/Y 0 COMP

Affichage

ra_r

ra_r_e

2.36

4,72 %

4,78 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance est de 2,09 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 4,18 % (= ra_r = rs_r × 2) et un taux effectif de 4,22 %. Notons que ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,0209)2 − 1 = 4,22 %. Par rapport à la question e), on voit que, malgré la perte en capital, l’impôt a diminué le rendement de Césario, qui est passé d’un taux effectif annuel de 7,52 % à 4,22 %, soit un écart de −3,3 %. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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P4.3 a) g1 = 25 % g2 = 6 % Il faut d’abord calculer D1, D2, D3 et D4 : D1 = D0 × (1 + g1) = 1,88 $ D2 = D1 × (1 + g1) = 2,34 $ D3 = D2 × (1 + g1) = 2,93 $ D4 = D3 × (1 + g2) = 3,11 $ Ensuite, on peut calculer P3 :

P3 =

D4 3,11 = = 38,88 $ ( rAO − g 2 ) (0,14 − 0, 06)

Puis, on peut calculer P0 : P0 =

D +P D1 D2 + + 3 33 2 (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO )

Valeur actualisée au taux de 14 %

1 D1 1,88 $ 1,65 $

2 D2 2,34 $ 1,80 $

3 D3 + P3 41,81 $ 28,22 $

P0 = Somme des valeurs actualisées = 1,65 + 1,80 + 28,22 = 31,67 $ Le prix de l’action serait actuellement de 31,67 $ (en tenant compte des arrondis).

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84

Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires (les dividendes)5 Revenir à l’affichage initial en mode normal Entrer le taux d’actualisation

Touche CFi 2ndF CA 0 ENT 1.88 ENT 2.34 ENT 41.75 ENT

Sharp EL-738C Affichage 0.00 DATA SET : CF 0.00 DATA SET : CF 1.00 DATA SET : CF 2.00 DATA SET : CF 3.00

ON/C 2ndF CFi 2ndF CA 14 ENT COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 14.00 NET_PV=31.63

L’écran affiche 31.63, ce qui correspond au prix de l’action, soit 31,63 $. Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)6

Entrer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 0 ENTER CF0 = 0.00 1.88 ENTER CO1 = 1.88 F01 = 1.00 2.34 ENTER CO2 = 2.34 FO2 = 1.00 41.75 ENTER CO3 = 41.75 F03 = 1.00 NPV I = 0.00 14 ENTER I = 14 CPT NPV = 31.63

L’écran affiche 31.63, ce qui correspond au prix de l’action, soit 31,63 $.

5. 6.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro.

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85

b) g1 = −5 % g2 = 8 % Il faut d’abord calculer D1, D2, D3 et D4 : D1 = D0 × (1 + g1) = 1,43 $ D2 = D1 × (1 + g1) = 1,35 $ D3 = D2 × (1 + g1) = 1,29 $ D4 = D3 × (1 + g2) = 1,39 $ Ensuite, on peut calculer P3 :

P3 =

D4 1,39 = = 23,17 $ ( rao − g2 ) (0,14 − 0, 08)

On peut ensuite calculer P0 : P0 =

D +P D1 D2 + + 3 33 2 (1 + rao ) (1 + rao ) (1 + rao )

Valeur actualisée au taux de 14 %

1 D1 1,43 $ 1,25 $

2 D2 1,35 $ 1,04 $

3 D3 + P3 24,46 $ 16,51 $

P0 = Somme des valeurs actualisées = 1,125 + 1,04 + 16,49 = 18,80 $ Le prix de l’action serait actuellement de 18,80 $ (en tenant compte des arrondis).

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86

Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires (les dividendes)7 Revenir à l’affichage initial en mode normal Entrer le taux d’actualisation

Sharp EL-738 C Touche Affichage CFi 2ndF CA 0.00 0 ENT DATA SET : CF 0.00 1.43 ENT DATA SET : CF 1.00 1.35 ENT DATA SET : CF 2.00 24.44 ENT DATA SET : CF 3.00 ON/C 2ndF CFi 2ndF CA 14 ENT COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 14.00 NET_PV = 18.78

L’écran affiche 18.78, ce qui correspond au prix de l’action, soit 18,78 $. Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)8

Entrer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 0 ENTER CF0 = 0.00 1.43 ENTER CO1 = 1.43 F01 = 1.00 1.35 ENTER CO2 = 1.35 FO2 = 1.00 24.44 ENTER CO3 = 24.44 F03 = 1.00 NPV I = 0.00 14 ENTER I = 14 CPT NPV = 18.78

L’écran affiche 18.78, ce qui correspond au prix de l’action, soit 18,78 $.

7. 8.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro.

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87

c) g1 = 40 % g2 = 0 % Il faut d’abord calculer D1, D2, D3 et D4 : D1 = D0 × (1 + g1) = 2,10 $ D2 = D1 × (1 + g1) = 2,94 $ D3 = D2 × (1 + g1) = 4,12 $ D4 = D3 × (1 + g2) = 4,12 $ Ensuite, on peut calculer P3 :

P3 =

D4 4,12 = = 29, 40 $ ( rao − g2 ) (0,14 − 0)

Puis, on peut calculer P0 : P0 =

D +P D1 D2 + + 3 33 2 (1 + rao ) (1 + rao ) (1 + rao )

Valeur actualisée au taux de 14 %

1 D1 2,10 $ 1,84 $

2 D2 2,94 $ 2,26 $

3 D3 + P3 33,52 $ 22,62 $

P0 = Somme des valeurs actualisées = 1,84 + 2,26 + 22,62 = 26,72 $ Le prix de l’action serait actuellement de 26,72 $ (en tenant compte des arrondis)

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88

Avec la calculatrice financière Sharp EL-738 C Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires (les dividendes)9 Revenir à l’affichage initial en mode normal Entrer le taux d’actualisation

Sharp EL-738 C Touche Affichage CFi 2ndF CA 0.00 0 ENT DATA SET : CF 0.00 2.10 ENT DATA SET : CF 1.00 2.94 ENT DATA SET : CF 2.00 33.52 ENT DATA SET : CF 3.00 ON/C 2ndF CFi 2ndF CA 14 ENT COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 14.00 NET_PV= 26.73

L’écran affiche 26.73, ce qui correspond au prix de l’action, soit 26,73 $. Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)10

Entrer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 0 ENTER CF0 = 0.00 2.10 ENTER CO1 = 2.10 F01 = 1.00 2.94 ENTER CO2 = 2.94 FO2 = 1.00 33.52 ENTER CO3=33.52 F03 = 1.00 NPV I = 0.00 14 ENTER I = 14 CPT NPV = 26.73

L’écran affiche 26.73, ce qui correspond au prix de l’action, soit 26,73 $.

9.

La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. 10. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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d) g1 = ? g2 = 2 % Il faut d’abord calculer D1, D2, D3 et D4 : D1 = 2,00 $ D2 = 2,75 $ D3 = 3,75 $ D4 = D3 × (1 + g2) = 3,83 $ Ensuite, on peut calculer P3 :

P3 =

D4 3,83 = = 31,92 $ ( rAO − g 2 ) (0,14 − 0, 02)

Puis, on peut calculer P0 : P0 =

D +P D1 D2 + + 3 33 2 (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO )

Valeur actualisée au taux de 14 %

D1 2,00 $ 1,75 $

D2 2,75 $ 2,12 $

D3 + P3 35,67 $ 24,08 $

P0 = Somme des valeurs actualisées = 1,75 + 2,12 + 24,05 = 27,95 $ Le prix de l’action serait actuellement de 27,95 $ (en tenant compte des arrondis).

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Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires (les dividendes)11 Revenir à l’affichage initial en mode normal Entrer le taux d’actualisation

Touche CFi 2ndF CA 0 ENT 2 ENT 2.75 ENT 35.63 ENT

Sharp EL-738C Affichage 0.00 DATA SET : CF 0.00 DATA SET : CF 1.00 DATA SET : CF 2.00 DATA SET : CF 3.00

ON/C 2ndF CFi 2ndF CA 14 ENT COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 14.00 NET_PV = 27.92

L’écran affiche 27.92, ce qui correspond au prix de l’action, soit 27,92 $. Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)12

Entrer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 0 ENTER CF0 = 0.00 2 ENTER CO1 = 2.00 F01 = 1.00 2.75 ENTER CO2 = 2.75 FO2 = 1.00 35.63 ENTER CO3 = 35.63 F03 = 1.00 NPV I = 0.00 14 ENTER I = 14 CPT NPV = 27.92

L’écran affiche 27.92, ce qui correspond au prix de l’action, soit 27,92 $.

11. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. 12. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

91

P4.4 a) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des dividendes à la fin de la quatrième année. Taux de réinvestissement = 0 % D1 2,00 $ 2

Valeur future (fin année 4)

D2 3,00 $ 3

D3 0 0

D4 0 0

Valeur totale = 2 + 3 = 5,00 $ Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des dividendes + Prix de revente = 5 + 80 = 85,00 $ Au total, Théoden aura dépensé un montant de 90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de quatre ans une somme totale (STfuture) de 85 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé (rAO). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 90.00

FV 85.00

N 4

PMT 0

I/Y COMP

L’écran affiche −1.42. Théoden aura réalisé un rendement annuel (rAO) négatif de −1,42 %.

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b) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des dividendes à la fin de la quatrième année. Taux de réinvestissement = 10 % 3 D1 2,00 $ 2,66 $

Valeur future (fin année 4)

2 D2 3,00 $ 3,63 $

1 D3 0 0

0 D4 0 0

Valeur future totale = 2,66 + 2,63 = 6,29 $ Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des dividendes + Prix de revente = 6,29 + 80 = 86,29 $ Au total, Théoden aura dépensé un montant de 90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de quatre ans une somme totale (STfuture) de 86,29 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé (rAO). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 90.00

FV 86.29

N 4

PMT 0

I/Y COMP

L’écran affiche −1.05. Théoden aura réalisé un rendement annuel (rAO) négatif de −1,05 %.

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c) 35 % 0,5 45 %

Taux d’impôt sur les dividendes Proportion du gain en capital imposable Taux d’impôt sur le gain en capital

= Dividende × (1 − Taux d’impôt sur les dividendes) −10,00 $ = Prix de vente − Prix d’achat = Perte en capital × Taux d’impôt × Proportion du gain en capital −2,25 $ imposable = Prix de vente − Impôt sur le gain 82,25 $ en capital

Dividende après impôts Perte en capital Récupération d’impôt sur la perte en capital Valeur de revente nette de l’impôt sur le gain en capital

Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des dividendes après impôts à la fin de la quatrième année. Taux de réinvestissement = 10 %

Valeur future (fin année 4)

3 D1 1,30 $ 1,73 $

2 D2 1,95 $ 2,36 $

1 D3 0 0

0 D4 0 0

Valeur future totale des dividendes = 1,73 + 2,36 = 4,09 Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des dividendes + Prix de revente = 4,09 + 82,25 = 86,34 $ Au total, Théoden aura dépensé un montant de 90 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de quatre ans une somme totale (STfuture) de 86,34 $.

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Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé (rAO). Avec les calculatrices financières Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 90.00

FV 86.34

N 4

PMT 0

I/Y COMP

L’écran affiche −1.03. Théoden aura réalisé un rendement annuel négatif (rAO) de −1,03 %. L’impôt sur le dividende a été plus que compensé par la récupération d’impôt sur la perte en capital.

Problèmes préparatoires aux examens 4.1 a) Il faut d’abord calculer D1, D2, D3, D4 et D5 : D0 = 1,50 $ D1 = D0 × (1,10) = 1,65 $ D2 = D1 × (1,08) = 1,78 $ D3 = D2 × (1,06) = 1,89 $ D4 = D3 × (1,04) = 1,96 $ D5 = D4 × (1,02) = 2,00 $ On peut ensuite calculer P4 :

P4 =

D5 2, 00 = = 16, 67 $ ( rAO − g2 ) (0,14 − 0, 02)

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Puis, on peut calculer P0 : P0 =

D3 D1 D2 D +P + + + 4 44 2 3 (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO ) (1 + rAO )

Valeur actualisée au taux de 14 %

1 D1 1,65 1,45

2 D2 1,78 1,37

3 D3 1,898 1,28

4 D4 + P4 18,63 $ 11,03 $

P0 = Somme des valeurs actualisées = 1,45 + 1,37 + 1,28 + 11,03 = 15,13 $ Le prix de l’action devrait normalement être de 15,13 $ (en tenant compte des arrondis). On peut obtenir le même résultat en utilisant l’une ou l’autre des calculatrices auxquelles on fait référence dans cet ouvrage. Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C Instruction Remettre la mémoire à zéro Entrer les flux monétaires (les dividendes)13 Revenir à l’affichage initial en mode normal Entrer le taux d’actualisation

Touche CFi 2ndF CA 0 ENT 1.65 ENT 1.782 ENT 1.88892 ENT 18.66 ENT

Sharp EL-738C Affichage 0.00 DATA SET : CF 0.00 DATA SET : CF 1.00 DATA SET : CF 2.00 DATA SET : CF 3.00 DATA SET : CF 4.00

ON/C 2ndF CFi 2ndF CA 14 ENT COMP

0.00 RATE (I/Y) = 0.00 RATE (I/Y) = 14.00 NET_PV = 15.14

L’écran affiche 15.14, ce qui correspond au prix de l’action, soit 15,14 $.

13. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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Avec la calculatrice financière Texas Instruments BA II Plus Instruction Remettre la mémoire à zéro

Entrer les flux monétaires (les dividendes)14

Entrer le taux d’actualisation

Texas Instruments BA II Plus Touche Affichage CF 2ND CLR WORK CA CF0 = 0.00 0 ENTER CF0 = 0.00 1.65 ENTER CO1 = 1.65 F01 = 1.00 1.782 ENTER CO2 = 1.782 FO2 = 1.00 1.88892 ENTER CO3 = 1.88892 F03 = 1.00 18.66 ENTER CO4 = 18.66 F04 = 1.00 NPV I = 0.00 14 ENTER I = 14 CPT NPV = 15.14

L’écran affiche 15.14, ce qui correspond au prix de l’action, soit 15,14 $. b) L’action est sous-évaluée, puisqu’elle se vend moins cher sur le marché (10 $ < 15,14 $).

4.2 On commence par déterminer le nombre de coupons et l’échéance des obligations en utilisant l’obligation 1. 1) Échéance : Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV −788.12

FV 1000.00

PMT 50.00

I/Y 7

N COMP

L’écran affiche 20. Ces obligations paieront 20 coupons; elles ont donc une échéance de 10 ans. 14. La calculatrice commence toujours par la période zéro. Nous entrons zéro, car nous n’avons pas à tenir compte du dividende de la période zéro. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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2) Prix de la seconde obligation : Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus FV 1000.00

N 20

PMT 60.00

I/Y 7

PV COMP

L’écran affiche 894.06. La seconde obligation vaut 894,06 $.

4.3 a) i) Le taux de rendement exigé au moment de l’achat est supérieur au taux de coupon, car le prix est inférieur (950,91 $) à la valeur nominale (1 000 $). En effet, étant donné la relation inverse entre le prix et le taux de rendement, quand le prix est inférieur (supérieur) à la valeur nominale, le taux de rendement est supérieur (inférieur) au taux de coupon. ii) Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 950.91

FV 1000.00

N 20

PMT 30.00

I/Y COMP

L’écran affiche 3.34. Le taux semestriel (rs) étant de 3,34 %, le taux de rendement à l’échéance des obligations d’AHB est donc de 6,68 % (ra = 6,68 % = rs × 2). iii) Hypothèse 1 : Elle a pu réinvestir les coupons au taux de rendement calculé à la sousquestion ii).

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On peut calculer le rendement réalisé en trois étapes : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 20

PMT 30.00

I/Y 3.34

FV COMP

L’écran affiche 834.62. La valeur cumulée des coupons est donc de 834,58 $. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 834,58 $ + 1 000 $ = 1 834,58 $ Au total, Léa aura dépensé un montant de 950,91 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de 20 semestres une somme totale (STfuture) de 1 834,58 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel et annuel (rs_r et ra_r). Avec la calculatrice Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 950.91

FV 1834.62

N 20

PMT 0

I/Y COMP

L’écran affiche 3.34. Le taux de rendement semestriel à l’échéance (rs_r) est de 3,34 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 6,68 % (ra_r = rs_r × 2 = 6,68 %) et un taux effectif annuel de 6,79 % (ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,0334)2 − 1 = 6,79 %).

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Hypothèse 2 : Elle a réinvesti les coupons perçus à un taux de rendement nominal de 4 % (2 % semestriel). Tout comme pour l’hypothèse 1, on peut calculer le rendement réalisé en trois étapes : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des coupons. Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 0

N 20

PMT 30.00

I/Y 2.00

FV COMP

L’écran affiche 728.92. La valeur cumulée des coupons est donc de 728,92 $. Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des coupons + Prix de revente = 728,92 $ + 1 000 $ = 1 728,92 $ Au total, Léa aura dépensé un montant de 950,91 $ qui lui aura permis de cumuler au bout de 20 semestres une somme totale (STfuture) de 1 728,92 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé : semestriel (rs_r) et annuel (ra_r). Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus

PV 950.91

Touche FV N 1728.92 20

PMT I/Y 0 COMP

Affichage 3.03

ra_r

ra_r_e

6,07 % 6,16 %

Le taux de rendement semestriel à l’échéance (rs_r) est de 3,03 %, ce qui donne un rendement nominal annuel de 6,07 % (ra_r = rs_r × 2 = 6,07 %) et un taux effectif annuel de 6,16 % (ra_r_e = (1 + rs_r)2 − 1 = (1,0303)2 − 1 = 6,16 %). Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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b) Lorsqu’elle réinvestit ses coupons au taux de rendement à l’échéance (TRE) en vigueur au moment de l’achat des obligations, soit un taux semestriel de 3,34 % (hypothèse 1), Léa réalise un taux de rendement sur son investissement exactement égal à ce TRE. Ainsi, Léa réalise le taux de rendement à l’échéance promis au moment de l’achat de ses obligations lorsqu’elle réinvestit ses coupons et que les taux ne bougent pas entre la date d’achat et la date de revente ou d’échéance de l’obligation. Le rendement réalisé par Léa d’après l’hypothèse 2 est, en comparaison, plus faible. En effet, le taux de réinvestissement des coupons est dans ce cas plus faible que le taux de rendement à l’échéance en vigueur.

4.4 a) i) Trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des dividendes à la fin de la cinquième année. Taux de réinvestissement = 0 %

Valeur future (fin de l’année 5)

D1 5,00 5

D2 6,00 6

D3 7,00 7

D4 8,00 8

D5 9,00 9

Valeur future totale = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35 $

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Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des dividendes + Prix de revente = 35 + 55 = 90,00 $ Au total, on aura dépensé un montant de 60 $ par action pour accumuler au bout de cinq ans une somme totale (STfuture) de 90 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé (rAO). Avec la calculatrice Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 60.00

FV 90.00

N 5

PMT 0

I/Y COMP

L’écran affiche 8.45. Le rendement réalisé sur les actions de Lumière est de 8,45 %. ii) Encore une fois, on procède en trois étapes pour calculer le rendement réalisé : Étape 1 : Calculer la valeur accumulée ou la valeur future des dividendes à la fin de la cinquième année. Taux de réinvestissement = 7 %

Valeur future (fin année 5)

D1 D2 D3 D4 D5 5,00 $ 6,00 $ 7,00 $ 8,00 $ 9,00 $ 4 3 2 1 5 × (1,07) 6 × (1,07) 7 × (1,07) 8 × (1,07) 9 × (1,07)0 = 6,55 = 7,35 = 8,01 = 8,56 = 9,00

Valeur future totale = 6,55 + 7,35 + 8,01 + 8,56 + 9,00 = 39,47 $

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Étape 2 : Calculer la valeur future totale (STfuture). STfuture = Valeur future des dividendes + Prix de revente = 39,47 + 55 = 94,47 $ Au total, on aura dépensé un montant de 60 $ par action pour accumuler au bout de cinq ans une somme totale (STfuture) de 94,47 $. Étape 3 : Calculer le taux de rendement réalisé (rAO). Avec la calculatrice financière Sharp EL-738C ou Texas Instruments BA II Plus PV 60.00

FV 94.47

N 5

PMT 0

I/Y COMP

L’écran affiche 9.51. Le rendement réalisé sur les actions de Lumière serait de 9,50 %, compte tenu du taux de réinvestissement des dividendes, qui est de 7 %. b) Enzo a tort de soutenir qu’il a réalisé un rendement supérieur à 10 % (9,50 % < 10 %). Il y serait parvenu s’il avait pu réinvestir les dividendes à un taux supérieur à 10 %.

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CHAPITRE 5 Le coût du capital Questions Q5.1 Le calcul du coût des fonds propres se fait suivant le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) d’après l’équation 5.1 (voir la sous-section 5.1.1, p. 186 du manuel) ou alors suivant le modèle de Gordon d’après l’équation 5.2 (voir la sous-section 5.1.2, p. 188 du manuel). Q5.2 Il s’agit du taux de rentabilité minimal que les actionnaires doivent exiger des projets d’investissement de sorte qu’au pire, la valeur sur le marché des actions reste inchangée. Ainsi, un projet d’investissement sera recommandé si son taux de rendement excède son coût de capital de 15 %, par exemple (voir la section 5.2, p. 189 du manuel). Q5.3 Le modèle du MEDAF est un point de départ commode pour estimer le coût des fonds propres, mais il est souvent et fortement remis en cause (voir la sous-section 5.1.2, p. 188 du manuel). Q5.4 Le calcul du coût de la dette se fait à l’aide des équations 5.4 lorsqu’il s’agit d’une dette bancaire (taux d’intérêt effectif requis net d’impôt) et 5.5 lorsqu’il s’agit d’obligations (déduction du taux i dans la formule du prix en considérant les frais d’émission et l’impôt) (voir les soussections 5.2.1 et 5.2.2, p. 191 du manuel). Q5.5 Le calcul du CMPC se fait en se servant de l’équation 5.3 (voir la section 5.2, p. 189 du manuel). Le CMPC est la moyenne des coûts des différentes sources de capital employées par l’entreprise pondérée par le poids de chacune de ces sources dans l’entreprise.

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Q5.6 Le CMPC tient compte non seulement des fonds propres, mais aussi de la dette de l’entreprise (voir la section 5.2, p. 189 du manuel). Q5.7 En l’absence de dette, le coût des fonds propres est équivalent au CMPC (voir la section 5.2, p. 189 du manuel). Q5.8 Une entreprise qui ne tient pas compte des dettes à court terme dans le calcul du CMPC ne peut déterminer correctement le rendement exigé par ses investisseurs dans la sélection des projets. Si les engagements à court terme font partie, de façon permanente, de la structure de capital, ils doivent donc être considérés dans le calcul du CMPC. Toutefois, si ces engagements, par exemple des emprunts bancaires, ne répondent qu’à des besoins particuliers et temporaires, ils ne doivent pas être pris en compte (voir la sous-section 5.2.1, p. 191 du manuel). Q5.9 Le coût des actions privilégiées se calcule au moyen de l’équation 5.6, en tenant compte des dividendes fixes à recevoir à perpétuité, des frais d’émission et de l’impôt (voir la soussection 5.2.3, p. 193 du manuel). Q5.10 Le risque d’exploitation du projet doit être identique à celui de l’entreprise, car si le risque d’exploitation du projet est plus faible (ou plus élevé) que celui de l’entreprise, on risque de refuser (ou d’accepter) à tort le projet si on l’actualise au CMPC (voir la sous-section 5.2.5, p. 194 du manuel).

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Exercices E5.1 kAO = [(3 × 1,05)/60] + 0,05 = 10,25 % On suppose ici que les frais d’émission sont nuls.

E5.2 D : dividendes et FP : fonds propres En proportion : D/FP = 1,5 et D = 1 − FP. Ainsi, on a : (1 − FP)/FP = 1,5, soit 1/FP − 1 = 1,5 et 1/FP = 2,5. Au final : FP = 1/2,5 = 0,4 et D = 1 − 0,4 = 0,6. a) CMPC = 0,1052 = (0,4 × 0,18) + [0,6 × (1 − 35 %) × kD]; kD = 8,51 % b) CMPC = 0,1052 = (0,4 × kAO) + (0,6 × 0,075); kAO = 15,05 %

E5.3 Source de financement Actions privilégiées Actions ordinaires Dette

Poids (en pourcentage) 35 10 55

Coût (en pourcentage) 8 15 6

Poids × Coût (en pourcentage) 2,8 1,5 3,3

Le CMPC est donc de 2,8 % + 1,5 % + 3,3 % = 7,6 %.

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E5.4 Le coupon est égal à 0,10/2 × 1 000 = 50 $. Le nombre de coupons est égal à 20 × 2 = 40. Par conséquent, le taux de rendement de l’obligation est donné par :

1 − (1 + kOB sem. )−40  −40 1 000 = 50 (1 − 0,3)   + 1 000 (1 + kOB sem. ) kOB sem.   kOB sem. = 3,5 % semestriel Le taux effectif annuel est donc le suivant : kOB annuel = (1 + kOB sem.)2 −1 = (1 + 3,5 %)2 − 1 = 7,1225 %.

E5.5 kAP = 10/(80 − 0,02 × 80) = 10/78,40 = 12,76 %

E5.6 kD = 12 % × (1 − 37,5 %) = 7,5 %

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Problèmes P5.1 Le coût du financement interne :

25 =

1 + 10 % kAO − 10 %

0 0,50 0, 75 1 + + + + 2 3 1 + kAO (1 + kAO ) (1 + kAO ) (1 + kAO )4 (1 + k AO )4

L’interpolation linéaire : Intérêt k1 = 13 % k* k2 = 12,75 %

Prix P1 = 24,01 $ P* = 25,00 $ P2 = 26,29 $

k* − k2 P2 − P* = k1 − k2 P2 − P1 On obtient k* = 12,89 %. Le coût de financement externe (nouvelle émission) : Si les frais d’émission sont de 10 % et que T = 10 %, le prix net des frais est de : 25 − (25 × 10 %)(1 − 0,1) = 22,75 $ De la même façon, on obtient : Intérêt k1 = 13,25 % k* = 13,16 % k2 = 13 %

Prix P1 = 20,09 $ P* = 22,75 $ P2 = 24,01 $

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P5.2 Afin de trouver le taux de coupon semestriel des nouvelles obligations, calculons le taux de rendement exigé par les investisseurs pour détenir des obligations de MNO, à partir des obligations existantes :

1 − (1 + i )−14  −14 800 = 40   + 1 000 (1 + i ) i   i = 6,18 %, le taux de coupon semestriel des nouvelles obligations.

1 − (1 + i )−14  −14 1 000 − 30 (1 − 0,38) = 61,80 (1 − 0,38)   + 1 000 (1 + i ) i   i = 4,00 % Le taux effectif annuel est de kOB = (1,04)2 − 1 = 8,16 %. La croissance historique du dividende est donnée par (0,13/0,07)1/4 − 1 = 16,74 %. Le dividende de l’année suivante est donné par D1 = D0(1 + g) = 0,13(1,1674).

kAO =

0,13(1,1674 ) 30 − 30  4 %

+ 0,1674

kAO = 17, 27 % Le CMPC est donc de 17,27 % × 0,5 + 8,16 % × 0,5 = 12,715 %.

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P5.3 Le coupon semestriel est de 1 000 × 11,5 %/2 = 57,50 $.

  TRE A −26  −26 1 −  1 +   2    TRE A    936,54 = 57,5 + 1 000  1 +  TRE A   2     2   En entrant les données suivantes dans la calculatrice financière : N = 26; PMT = 57.5; FV = 1000 ; PV = −936.54, on obtient

TREA = 6, 25 % semestriel. 2

Soit TREA = 6,25 % × 2 = 12,5 % et TREB = 12,5 % + 0,5 % = 13 % Les coupons à verser sur les obligations de série B seront donc de 65 $ = 1 000 × 13 %/2.

1 − (1 + kOB sem. )−30  −30 1 000 − 40 (1 − 0, 4 ) = 65 (1 − 0, 4 )   + 1 000 (1 + kOB sem. ) kOB sem.   1 − (1 + kOB sem. )−30  −30 976 = 39   + 1 000 (1 + kOB sem. ) kOB sem.   et kOB sem. = 4,04 %, d’où kOB annuel = (1 + 4,04 %)2 − 1 = 8,24 %

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P5.4 Dette bancaire : kD = 11,5 %(1 − 35 %) = 7,48 % Valeur marchande de la dette : 5,4 millions de dollars Obligations :

1 − (1 + k )−40  1 000 kOB: 1 015 − (1 015  0, 03  (1 − 0,35) ) = 40 (1 − 0,35)  + 40 k   (1 + k ) 1 − (1 + k )−40  1 000 995, 20 = 26  + 40 k   (1 + k ) kOB : 0,0262 par semestre Taux effectif : (1 + 0,0262)2 − 1 = 0,0531 Valeur marchande des obligations :

Actions privilégiées : kAP =

10 000 000  1 015 = 10150 000 = 10,15 millions de dollars 1 000

0,50 = 2, 66 % 18, 75

Taux effectif : (1 + 0,0266)4 − 1 = 11,07 %

Valeur marchande des actions privilégiées : Actions ordinaires : kAO =

6 600 000 19,5 = 6 435 000 = 6, 435 millions de dollars 20

0,50(1, 08) + 8 % = 10,80 % 20 − 1,12 − (1 − 0,35)

Valeur marchande des AO : 20 × 250 000 = 5 000 000 $ Valeur marchande totale : 5,4 + 10,15 + 6,435 + 5 = 26,985 millions de dollars CMPC =

5, 4 10,15 6, 435 5  7, 48 % +  5,31 % + 11, 07 % +  10,80 % = 8,13 % 26,985 26,985 26,985 26,985

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Problèmes préparatoires aux examens 5.1 Coût des nouvelles obligations (OB) :

1 − (1 + i )−40  −40 1 000 − [(1 000  0, 03)(1 − 40 %)] = (5 %  1 000)(1 − 40 %)   + 1 000 (1 + i ) i   En utilisant la calculatrice financière, vous entrez les données suivantes : PV = 982; PMT = 30; N = 40; FV = 1000 i = 3,08 % kOB = (1 + i ) − 1 = (1 + 3,08 %) − 1 = 6, 25 % 2

2

Nombre d’obligations en circulation : 10 000 000/1 000 = 10 000 Prix des obligations en circulation :

1 − (1 + 0, 05 )−40  −40 P = (0, 08  1 000)   + 1 000 (1 + 0, 05 ) = 828, 41$ 0, 05   Valeur marchande des obligations (VM) : 10 000 × 828,41 = 8 284 100 $ Coût trimestriel des actions privilégiées (AP) : kAP =

2,5 = 2, 75% 91

Coût effectif annuel des AP : (1 + 0,0275)4 − 1 = 11,46 % Valeur marchande des AP : 95 × 45 000 = 4 275 000 $

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Coût des actions ordinaires (AO) : Dividende en 2016 : D2016 = D2012(1 + g)4 1/4

 1, 75  g =   1 

− 1 = 15, 02%

70 − 2 (1 − 40 %) =

kAO =

1, 75(1 + 15, 02 %) kAO − 15, 02 %

1, 75(1 + 15, 02 %) + 15, 02 % = 17,95% 70 − 2 (1 − 40 %)

kAO = 17,95 % Valeur marchande des AO : 70 × 5 000 000 = 350 000 000 $ Poids (W) :

WOB =

8 284100 = 2, 2849 % 350 000 000 + 4 275 000 + 8 284100

WAO =

350 000 000 = 96,5360 % 362 559100

WAP =

4 275 000 = 1,1791 % 362 559100

Le coût moyen pondéré du capital (CMPC) de l’entreprise XYZ se calcule comme suit : 2,2849 % × 6,25 % + 1,1791 % × 11,46 % + 96,5360 % × 17,95 % = 17,61 %

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5.2 a) Coût des obligations (OB) :

1 − (1 + i )−40  −40 1 000 − 4,5 % (1 − 0, 4)  1 000 = 70 (1 − 0, 4 )   + 1 000 (1 + i ) i   En utilisant la calculatrice financière, vous entrez les données suivantes : PV = −973; PMT = 42; N = 40, FV = 1000 i = 4,34% kOB = (1 + i)2 − 1 = (1 + 4,34 %)2 − 1 = 8,87 % Coût des actions privilégiées (AP) :

32 − 2 =

3 3 , donc kAP = = 10 % kAP 30

Coût des actions ordinaires (AO) :

kAO =

2 + 5,348 % = 18 % 16 − 2 % 16 (1 − 0, 4 )

Coût du bénéfice non réparti (BNR) :

kBNR =

2 + 5,348 % = 17,85 % 16

Poids (W) : Valeur marchande des obligations (OB) : 930 

40 000 000 = 37 200 000 $ 1 000

Valeur marchande des actions privilégiées (AP) : 32 × 350 000 = 11 200 000 $ Valeur marchande des (AO) : 16 × 2 500 000 = 40 000 000 $ Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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WOB =

37 200 000 = 42, 081 % 37 200 000 + 11 200 000 + 40 000 000

WAP =

11 200 000 = 12, 670 % 88 400 000

WAO =

40 000 000 = 45, 249 % 88 400 000

CMPC avant rupture : 42,081 % × 8,87 % + 12,670 % × 10 % + 45,249 % × 17,85 % = 13,08% b) CMPC après rupture : 42,081 % × 8,87 % + 12,670 % × 10 % + 45,249 % × 18 % = 13,14% c) Taux de croissance du dividende : 1/4

 1, 464 10  g =  1  

− 1 = 10%

D2017 = D2016 (1 + g ) = 1, 46410 (1 + 0,10 ) D2017 = 1,610 51 $ d) Point de rupture =

BNR prévu WAO

D2017 = BPA2017  (1 − 65%) donc BNR prévu (par action) = BPA 2017  0, 65 =

D2017  0, 65 1 − 65 %

D2017  0, 65  nombre d’actions ordinaires en circulation 1 − 65 % = 7 477 367,86 $

BNR prévu =

Point de rupture =

7 477 367,86 = 16 524 935, 05 $ 45, 249 %

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5.3

1 − (1 + i )−30  −30 a) 1 000 − 5 % (1 − 0, 4 ) 1 000 = 50   (1 − 0, 4 ) + 1 000 (1 + i ) i   En utilisant la calculatrice financière, vous entrez les données suivantes : PV = 970; PMT= 30; N = 30; FV = 1000 i = 3,16 % kOB = (1 + i)2 − 1 = (1 + 3,16 %)2 − 1 = 6,42 % b) 52 − 2 =

2,5 2,5 , donc kAP = =5% kAP 50

c) 30 − 2 %  30 (1 − 0, 4 ) =

2 kAO − 7, 25 %

kAO = 14,00 % d) 30 =

2 = kBNR = 13,92 % kBNR − 7, 25 %

Poids (W) : Valeur marchande des obligations (OB) : 950 

50 000 000 = 47 500 000 $ 1 000

Valeur marchande des actions privilégiées (AP) : 52 × 250 000 = 13 000 000 $ Valeur marchande des (AO) : 30 × 3 500 000 = 105 000 000 $

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WOB =

47 500 000 = 28, 701% 47 500 000 + 13 000 000 + 105 000 000

WAP =

13 000 000 = 7,855 % 165 500 000

WAO =

105 000 000 = 63, 444 % 165 500 000

e) CMPC avant rupture : 28,701 % × 6,42 % + 7,855 % × 5 % + 63,444 % × 13,92 % = 11,07 % f) CMPC après rupture : 28,701 % × 6,42 % + 7,855 % × 5 % + 63,444 % × 14 % = 11,12 %

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CHAPITRE 6 La relation entre le risque et le rendement Questions Q6.1 Une prime de risque rattachée à un investissement risqué est une rémunération additionnelle par rapport au rendement offert par un titre sans risque (voir l’introduction, p. 208 du manuel). Q6.2 Le rendement exigé par un investisseur sur un titre financier risqué est estimé à l’aide de l’espérance de rendement de ce titre (voir la sous-section 6.1.1, p. 209 du manuel). Q6.3 Oui. Le rendement moyen périodique est le meilleur estimateur linéaire non biaisé du rendement espéré d’un titre risqué (voir la sous-section 6.1.1, p. 209 du manuel). Q6.4 La mesure de risque la plus usuelle pour un titre financier est l’écart type de ses rendements, qui constitue la racine carrée de la variance de ses rendements (voir la sous-section 6.1.2, p. 211 du manuel). Q6.5 Non. La relation entre le rendement et le risque d’un investisseur est toujours positive. Plus le risque encouru par l’investisseur est élevé, plus le rendement exigé l’est également en conséquence (voir l’introduction, p. 208 du manuel). Q6.6 Le coefficient de corrélation des rendements de deux titres est le degré de dépendance linéaire entre ces rendements (voir la sous-section 6.2.2, p. 219 du manuel). Q6.7 Le rendement exigé sur un portefeuille de n titres risqués est la moyenne des rendements exigés respectifs de chaque titre, pondérée par les poids investis dans chacun d’entre eux (voir la sous-section 6.3.2, p. 227 du manuel).

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Q6.8 Non. La diversification d’un portefeuille à deux titres n’est pas optimale si le coefficient de corrélation entre les rendements des deux titres est égal à +1. Dans ce cas de figure, le risque du portefeuille est à son maximum (voir la sous-section 6.3.1, p. 223 du manuel). Q6.9 Oui. La diversification d’un portefeuille à deux titres est optimale si le coefficient de corrélation entre les rendements des deux titres est égal à −1. Dans ce cas de figure, le risque du portefeuille est minimal (voir la sous-section 6.3.1, p. 223 du manuel). Q6.10 Si un portefeuille est formé de n titres, il y a n  ( n − 1) termes représentant les covariances des rendements des titres, considérés deux à deux, lors du calcul de la variance des rendements (voir la sous-section 6.3.2, p. 227 du manuel).

Exercices E6.1 3

a) E ( RT ) =  p j  R j , T j =1

E ( RT ) = 0, 25  5 % + 0, 25 15 % + 0,50  20 % = 15 % b) E ( RT ) =

P2 − P1 P1

P2 − P1 = 15 % P1 P1 =

30 = 26, 09 $ 15 % + 1

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119

E6.2 a) 4

E ( RX ) =  pi  Ri , X = 0, 2  20 % + 0, 4  5 % + 0, 2 10 % + 0, 2  25 % = 13 % i =1

4

E ( RY ) =  pi  Ri , Y = 0, 2  20 % + 0, 4  8 % + 0, 2  6 % + 0, 2 10 % = 10, 40 % i =1

4

E ( RZ ) =  pi  Ri , Z = 0, 2  40 % + 0, 4  12 % + 0, 2  4 % + 0, 2  24 % = 18, 40 % i =1

b)

X =

4

p  ( R

i, X

i

i =1

− E ( RX ) )

2

= 0, 2  ( 20 % − 13 %) + 0, 4  ( 5 % − 13 % ) + 0, 2  (10 % − 13 % ) + 0, 2  ( 25 % − 13 % ) 2

2

2

2

= 8,12 %

Y =

4

p  ( R

i, Y

i

i =1

− E ( RY ) )

2

= 0, 2  ( 20 % − 10, 4 % ) + 0, 4  ( 8 % − 10, 4 % ) + 0, 2  ( 6 % − 10, 4 % ) + 0, 2  (10 % − 10, 4 % ) 2

2

2

2

= 4,96 %

Z =

4

p  ( R i

i =1

i, Z

− E ( RZ ) )

2

= 0, 2  ( 40 % − 18, 4 % ) + 0, 4  (12 % − 18, 4 % ) + 0, 2  ( 4 % − 18, 4 % ) + 0, 2  ( 24 % − 18, 4 % ) 2

2

2

= 12,55 %

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120

2

c) Covariance entre les titres X et Y : 4

 X, Y =  pi  ( Ri , X − E ( RX ) )  ( Ri , Y − E ( RY ) ) i =1

= 0, 2  ( 20 % − 13 % )  ( 20 % − 10, 4 % ) + 0, 4  ( 5 % − 13 % )  ( 8 % − 10, 4 % ) + 0, 2  (10 % − 13 % )  ( 6 % − 10, 4 % ) + 0, 2  ( 25 % − 13 % )  (10 % − 10, 4 % ) = 0, 002 28 Covariance entre les titres X et Z : 4

 X, Z =  pi  ( Ri , X − E ( RX ) )  ( Ri , Z − E ( RZ ) ) i =1

= 0, 2  ( 20 % − 13 % )  ( 40 % − 18, 4 % ) + 0, 4  ( 5 % − 13 % )  (12 % − 18, 4 % ) + 0, 2  (10 % − 13 % )  ( 4 % − 18, 4 % ) + 0, 2  ( 25 % − 13 % )  ( 24 % − 18, 4 % ) = 0, 007 28 d) Coefficient de corrélation entre les titres X et Y :

X, Y =

 X, Y 0, 002 28 = = 0,57  X   Y 8,12 %  4,96 %

Coefficient de corrélation entre les titres X et Z : X, Z =

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 X, Z 0, 007 28 = = 0, 71  X   Z 8,12 % 12,55 %

121

E6.3 a) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 0, 4  E ( RA ) + 0, 6  E ( RB ) = 19 % i =1

b)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A,B   A   B = 0, 42  20 %2 + 0, 62  40 %2 + 2  0, 4  0, 6  0,3  20 %  40 % = 27, 48 %

c)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A,B   A   B = 0, 42  20 %2 + 0, 62  40 % 2 + 2  0, 4  0, 6  ( −0, 6 )  20 %  40 % = 20, 24 % Conclusion : Lorsque la corrélation entre les deux titres composant le portefeuille P est négative, le risque inhérent à ce dernier est plus faible, même si les proportions investies restent inchangées.

E6.4 Rendement espéré de chaque titre : 4

E ( RA ) =  pi  Ri , A = 0,3 20 % + 0, 2  0 % + 0, 4  ( −10 % ) + 0,1 8 % = 2,8 % i =1

4

E ( RB ) =  pi  Ri , B = 0,3 40 % + 0, 2  4 % + 0, 4  ( −24 % ) + 0,112 % = 4, 4 % i =1

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122

Risque de chaque titre : 4

p  ( R

A =

i, A

i

i =1

− E ( RA ) )

2

= 0,3  ( 20 % − 2,8 % ) + 0, 2  ( 0 % − 2,8 % ) + 0, 4  ( −10 % − 2,8 % ) + 0,1 (8 % − 2,8 % ) 2

2

2

2

= 12,59 %

4

p  ( R

B =

i

i =1

i, B

− E ( RB ) )

2

= 0,3  ( 40 % − 4, 4 % ) + 0, 2  ( 4 % − 4, 4 % ) + 0, 4  ( −24 % − 4, 4 % ) + 0,1 (12 % − 4, 4 % ) 2

2

2

= 26, 62 %

Covariance entre les rendements des titres A et B : 4

 A, B =  pi  ( Ri , A − E ( RA ) )  ( Ri , B − E ( RB ) ) i =1

= 0,3  ( 20 % − 2,8 % )  ( 40 % − 4, 4 % ) + 0, 2  ( 0 % − 2,8 % )  ( 4 % − 4, 4 % ) + 0, 4  ( −10 % − 2,8 % )  ( −24 % − 4, 4 % ) + 0,1 ( 8 % − 2,8 % )  (12 % − 4, 4 % ) = 0, 03 Coefficient de corrélation entre les rendements des titres A et B :

A, B =

 A, B 0, 03 = = 0,99  A   B 12,59 %  26, 62 %

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123

2

Cas 1 : L’investisseur place 60 000 $ dans le titre A et 40 000 $ dans le titre B : n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = i =1

60 000 40 000  E ( RA ) +  E ( RB ) = 3, 44 % 100 000 100 000

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A,B   A   B = 0, 62  12,59 %2 + 0, 42  26, 62 % 2 + 2  0, 6  0, 4  0, 03 = 18,18 %

Cas 2 : L’investisseur place 40 000 $ dans le titre A et 60 000 $ dans le titre B : n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = i =1

40 000 60 000  E ( RA ) +  E ( RB ) = 3,76 % 100 000 100 000

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A,B   A   B = 0, 42  12,59 %2 + 0, 62  26, 62 % 2 + 2  0, 4  0, 6  0, 03 = 20,99 %

E6.5 a) 5

E ( RA ) =  pi  Ri , A i =1

= 0,1 ( −20 % ) + 0, 25  20 % + 0,3  15 % + 0, 25  10 % + 0,1  35 % = 13,5 % 5

E ( RB ) =  pi  Ri , B i =1

= 0,1 ( −5 % ) + 0, 25  0 % + 0,3  10 % + 0, 25  20 % + 0,1 15 % =9%

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124

b)

A =

5

p  ( R i

i, A

i =1

− E ( RA ) )

2

0,1 ( −20 % − 13,5 % ) + 0, 25  ( 20 % − 13,5 % ) + 0,3  (15 % − 13,5 % ) 2

=

2

+0, 25  (10 % − 13,5 % ) + 0,1 ( 35 % − 13,5 % ) 2

2

2

 A = 13,14 %

B =

5

p  ( R i

i =1

i, B

− E ( RB ) )

2

0,1 ( −5 % − 9 % ) + 0, 25  ( 0 % − 9 % ) + 0,3  (10 % − 9 % ) 2

=

2

+ 0, 25  ( 20 % − 9 % ) + 0,1  (15 % − 9 % ) 2

2

2

 B = 8,60 % c) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 0,5  E ( RA ) + 0,5  E ( RB ) = 11, 25 % i =1

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125

d)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A, B   A   B Nous avons besoin de calculer A, B ou  A, B , comme suit : 5

 A, B =  pi  ( Ri , A − E ( RA ) )  ( Ri , B − E ( RB ) ) i =1

= 0,1 ( −20 % − 13,5 % )  ( −5 % − 9 % ) + 0, 25  ( 20 % − 13,5 % )  ( 0 % − 9 % ) + 0,3  (15 % − 13,5 % )  (10 % − 9 % ) + 0, 25  (10 % − 13,5 % )  ( 20 % − 9 % ) + 0,10  ( 35 % − 13,5 % )  (15 % − 9 % ) = 0, 0036

 P = 0,52 13,14 %2 + 0,52  8, 60 %2 + 2  0,5  0,5  0, 0036

 P = 8,93 % e) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 0, 25  E ( RA ) + 0, 75  E ( RB ) = 10,13 % i =1

 P = 0, 252 13,14 %2 + 0,752  8,60 %2 + 2  0, 25  0, 75  0, 0036

 P = 8,12 %

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126

E6.6 a) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xA 15 % + xB  20 % = 17 % i =1

E ( RP ) = xA 15 % + (1 − xA )  20 % = 17 %

( −5 %)  xA + 20 % = 17 % xA =

−3 % = 0, 6 et xB = 1 − xA = 0, 4 −5 %

b)

 P = 0,62  25 %2 + 0, 42  30 %2 + 2  0,6  0, 4  A, B  25 %  30 % = 19, 21 %  P = 0, 0369 + 0,036  A, B = 19, 21 %

A, B =

19, 21 %2 − 0, 0369 =0 0, 036

Problèmes P6.1 a) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 0, 6  5 % + 0, 4  7,5 % = 6 % i =1

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127

b)

 P = 0,62  2 %2 + 0, 42  3 %2 + 2  0,6  0, 4  A, B  2 %  3 % avec A, B = 0  P = 0, 62  2 %2 + 0, 42  3 %2 = 1, 70 % c)

 P = xA 2  2 %2 + (1 − xA )  3 %2 + 2  xA  (1 − xA )  A, B  2 %  3 % 2

Comme

A, B = 1

Alors :  P = xA 2  2 %2 + (1 − xA )  3 %2 + 2  xA  (1 − xA )  2 %  3 % 2

 P = xA  2 % + (1 − xA )  3 % = xA  ( −1 % ) + 3 % = 1, 7 % − xA = −1,3 ou − xA = −4,7 %

xA = 130 % et xB = −30 %

(E ( RP ) = 1,3 5 % − 0,3 7,5 % = 4, 25 %)

d) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xC  6,5 % + xD  1 % = 5 % i =1

xC  6,5 % + (1 − xC ) 1 % = 5 % xC  5,5 % + 1 % = 5 % xC =

4% = 72, 73 % 5,5 %

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128

e)

 P =  A = xC2   C2 + xD2  0 %2 + 2  xC  xD  C, D   C  0 % Ainsi :  P =  A = xC   C xC =

A 2% = = 72, 73 % , donc xD = 1 − xC = 1 − 72,73 % = 27, 27 %  C 2,75 %

P6.2 a) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 0,5  4 % + 0,5  9 % = 6,5 % i =1

b)

 P = 0,52 1 %2 + 0,52  3 %2 + 2  0,5  0,5  A, B 1 %  3 % Comme A, B = 0 Alors :  P = 0,52 1 %2 + 0,52  3 %2 = 1,58 % c)

 P = xA2 1 %2 + xB2  3 %2 + 2  xA  xB  A, B 1 %  3 % Comme A, B = −1 Alors :  P = xA 1 % − xB  3 % = 1,58 %

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129

 P = xA 1 % − (1 − xA )  3 % = 1,58 % 4 %  xA − 3 % = 1,58 % ou 4 %  xA − 3 % = −1,58 % xA = 1,15 ou xA = 0,36 Comme la vente à découvert n’est pas permise pour ces titres, alors xA = 0,36 et

xB = 1 − xA = 1 − 0,36 = 0,64 . d) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xC  6 % + xD  2 % = 6,5 % i =1

xC  6 % + (1 − xC )  2 % = 6,5 % xC =

4,5 % = 1,13 4%

Donc xD = 1 − xC = −0,13 e)

 P = 1,58 % = xB2   B2 + xD2  0 %2 + 2  xB  xD  B, D   B  0 % Ainsi :  P = xB   B = 1,58 % xB =

1,58 % = 0,53 , donc xD = 1 − xB = 0, 47 3%

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130

f) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xB  9 % + xD  2 % = 4 % i =1

xB  9 % + (1 − xB )  2 % = 4 % xC =

2% = 0, 29 7%

Donc xD = 1 − xC = 0,71

P6.3 a) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 60 %  8 % + 40 %  6,5 % = 7, 4 % i =1

b)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A, B   A   B  P = 0, 62  3,5 %2 + 0, 42  2 %2 + 2  0,6  0, 4  0%  3,5 %  2 %

 P = 2, 25 % c)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A, B   A   B

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131

Si A, B = 1 Alors :  P = xA   A + xB   B = 2, 25 %

xA  3,5 % + (1 − xA )  2 % = 2, 25 % xA =

0, 25 % = 0,16 1,5 %

Ainsi, xA = 0,16 et xB = 1 − 0,16 = 0,84 d) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xC  6 % + xD 1 % = 7 % i =1

xC  6 % + (1 − xC ) 1 % = 7 % xC =

6% = 1, 2 5%

Donc xD = 1 − xC = −0, 20 e)

 P =  B = xC2   C2 + xD2  0 %2 + 2  xC  xD  C, D   C  0 % Ainsi :

xC   C =  B xC =

2% = 0,8 2,5 %

Donc xD = 1 − xC = 0, 2

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132

P6.4

 M = 0,52   2 + 0,52   2 + 2  0,5  0,5  0, 65      M = 2  0,52   2 + 2  0,52   2  0, 65  M = (2  0,52   2 )(1 + 0, 65) = 0,825   2

 M = 0,908  N = 0,52   2 + 0,52   2 + 2  0,5  0,5  0,3      N = 2  0,52   2 + 2  0,52   2  0,3

 N = (2  0,52   2 )(1 + 0,3) = 0, 65   2

 N = 0,806  S = 0,52   2 + 0,52   2 + 2  0,5  0,5  ( −0,85)      S = 2  0,52   2 + 2  0,52   2  (−0,85)

 S = (2  0,52   2 )(1 − 0,85) = 0, 075   2

 S = 0, 274 Le portefeuille S est le moins risqué.

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133

Problèmes préparatoires aux examens 6.1 a) 3

E ( RA ) =  p j  R j , A = 0,3 20 % + 0, 4  5 % + 0,3  ( −20 % ) = 2 % j =1

3

E ( RB ) =  p j  R j , B = 0,3 25 % + 0, 4  6 % + 0,3  ( −25 % ) = 2, 4 % j =1

b)

A =

3

p  ( R j

j, A

j =1

− E ( RA ) )

2

= 0,3  ( 20 % − 2 % ) + 0, 4  ( 5 % − 2 % ) + 0,3  ( −20 % − 2 % ) 2

2

2

= 15, 68 %

B =

3

p  ( R j

j =1

j, B

− E ( RB ) )

2

= 0,3  ( 25 % − 2, 4 % ) + 0, 4  ( 6 % − 2, 4 % ) + 0,3  ( −25 % − 2, 4 % ) 2

2

2

= 19,59 % c) Sur la base du critère de l’écart type des rendements, le titre B est le plus risqué. Il est aussi relativement plus risqué sur la base du critère du coefficient de variation.

CVA =

CVB =

A

=

15, 68 % = 7,84 2%

B

=

19,59 % = 8,16 2, 4 %

E ( RA )

E ( RB )

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134

d) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 0,5  2 % + 0,5  2, 4 % = 2, 2 % i =1

e)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A, B   A   B  P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB   A, B Calculons : 3

 A, B =  p j  ( R j , A − E ( RA ) )  ( R j , B − E ( RB ) ) j =1

= 0,3  ( 20 % − 2 % )  ( 25 % − 2, 4 % ) + 0, 4  ( 5 % − 2 % )  ( 6 % − 2, 4 % ) +0,3  ( −20 % − 2 % )  ( −25 % − 2, 4 % ) = 0, 0307

 P = 0,52 15, 68 %2 + 0,52 19,59 %2 + 2  0,5  0,5  0,0307 = 17, 64 % f) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xA  2 % + xB  2, 4 % = 2,15 % i =1

xA  2 % + (1 − xA )  2, 4 % = 2,15 % xA  2 % + 2, 4% − xA  2, 4 % = 2,15 % xA  (2 % − 2, 4 %) = 2,15 % − 2, 4% = −0, 25 xA =

−0, 25 % = 0, 63 , donc xB = 1 − xA = 0,37 −0, 4 %

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135

6.2 a) 3

E ( RA ) =  p j  R j , A = 0, 25 15 % + 0,5 1,5 % + 0, 25  ( −15 % ) = 0, 75 % j =1

3

E ( RB ) =  p j  R j , B = 0, 25  20 % + 0,5  2 % + 0, 25  ( −20 % ) = 1 % j =1

b)

A =

3

p  ( R j

j, A

j =1

− E ( RA ) )

2

= 0, 25  (15 % − 0, 75 % ) + 0,5  (1,5 % − 0, 75 % ) + 0, 25  ( −15 % − 0, 75 % ) 2

2

2

= 10, 63 %

B =

3

p  ( R j

j =1

j, B

− E ( RB ) )

2

= 0, 25  ( 20 % − 1 % ) + 0,5  ( 2 % − 1 % ) + 0, 25  ( −20 % − 1 % ) 2

2

2

= 14,18 % c) Sur la base du critère de l’écart type des rendements, le titre B est le plus risqué. Par contre, sur la base du critère du coefficient de variation, il n’est pas relativement plus risqué que le titre A.

CVA =

CVB =

A

=

10, 63 % = 14,18 0, 75 %

B

=

14,18 % = 14,18 1%

E ( RA )

E ( RB )

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136

Le choix entre les deux titres sera décidé en fonction de la tolérance au risque de l’investisseur et du rendement du titre désiré. d) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = 60 %  0, 75 % + 40 %  1 % = 0,85 % i =1

e)

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB  A, B   A   B  P = 0, 62 10,63 %2 + 0, 42 14,18 %2 + 2  0, 6  0, 4  1 10,63% 14,18% = 12,05 % Ou avec la covariance :

 P = xA2   A2 + xB2   B2 + 2  xA  xB   A, B 3

 A, B =  p j  ( R j , A − E ( RA ) )  ( R j , B − E ( RB ) ) j =1

= 0, 25  (15 % − 0, 75 % )  ( 20 % − 1 % ) + 0,5  (1,5 % − 0, 75 % )  ( 2 % − 1 % ) +0, 25  ( −15 % − 0, 75 % )  ( −20 % − 1 % ) = 0, 0151

 P = 0,62 10,63 %2 + 0, 42 14,18 %2 + 2  0,6  0, 4  0, 0151 = 12,05 % f) n

E ( RP ) = xi  E ( Ri ) = xA  0, 75 % + xB 1 % = 0,9 % i =1

xA  0,75 % + (1 − xA ) 1 % = 0,9 % xA  0,75 % + 1% − xA 1% = 0,9 % Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

137

xA  (0,75 % − 1 %) = 0,9 % − 1% xA =

−0,1 % = 0, 4 −0, 25 %

Donc xB = 1 − xA = 0,6

6.3 a) Nous allons utiliser les données historiques collectées par Emma afin d’estimer le rendement quotidien moyen respectif de chaque titre et d’évaluer l’écart type de ses rendements. i) Afin de calculer le rendement quotidien moyen de chaque titre, nous appliquons l’équation 6.2 (voir p. 210 du manuel) : Ri =

1 T  Ri , t T t =1

Donc : RBKR =

RWT =

1 10  RBKR, t = 0,15 % 10 t = 1

1 10  RWT, t = 0,16 % 10 t = 1

RPBN =

1 10  RPBN, t = 0,14 % 10 t = 1

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138

ii) Afin d’estimer l’écart type des rendements de chaque titre, nous appliquerons la racine carrée de la variance des rendements historiques qui, à son tour, est calculée avec l’équation 6.5 (voir p. 213 du manuel) :

 i2 =

T 1   Ri , t − Ri T −1 t = 1

(

)

2

Donc :

 BKR =

 WT

1 10   RBKR, t − RBKR 9 t =1

(

1 10 =   RWT, t − RWT 9 t =1

(

 PBN =

)

2

1 10   RPBN, t − RPBN 9 t =1

(

)

)

2

= 2, 40 %

= 1,93 %

2

= 2, 27 %

b) i) L’estimateur du rendement espéré du portefeuille P est égal à la moyenne de ses rendements historiques, dont le calcul s’effectue comme suit : n

RP = xi  Ri i =1

Donc :

RP = 13  RBKR + 13  RWT + 13  RPBN = 0,15 %

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ii) Pour estimer le risque, nous calculons la racine carrée de la variance des rendements du portefeuille P. L’équation 6.16 (voir p. 228 du manuel) permet de calculer la variance comme suit : n

n

n

 P2 = xi2   i2 + xi  x j  i , j   i   j i =1 j =1 i j

i =1

Les intrants de cette équation sont les suivants : • Les proportions investies dans chaque titre (33,33 %); • Les écarts types respectifs (calculés à la question a) ii) • Les coefficients de corrélation entre les titres, considérés deux par deux. Nous calculons le troisième intrant avec l’équation 6.9 (voir p. 219 du manuel) :

1, 2 = corr ( R1 , R2 ) =

 1, 2 1   2

où

 1, 2 =

T 1   R1, t − R1  R2, t − R2 T −1 t =1

(

) (

)

Donc :

 BKR, WT  BKR   WT

BKR, WT =

BKR, PBN =

 WT, PBN =

1 10   RBKR, t − RBKR  RWT, t − RWT 9 t =1 = = 0,98  BKR   WT

(

 BKR, PBN  BKR   PBN

 WT, PBN  WT   PBN

) (

)

1 10   RBKR, t − RBKR  RPBN, t − RPBN 9 t =1 = = 0,97  BKR   PBN

(

) (

)

1 10   RWT, t − RWT  RPBN, t − RPBN 9 t =1 = = 0,96  WT   PBN

(

) (

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)

140

En incluant les trois intrants à l’équation 6.16 (voir p. 228 du manuel) et en appliquant la racine carrée, nous arrivons à un écart type des rendements historiques qui est de 2,18 %. c) i) Les pondérations du portefeuille Q sont sujettes aux contraintes suivantes :

RQ = xBKR  RBKR + xWT  RWT + xPBN  RPBN = 0,15 %

xBKR + xWT + xPBN = 100 % xWT = 50 % Donc :

xBKR  0,15 % + 50 %  0,16 % + ( 50 % − xBKR )  0,14 % = 0,15 % Ainsi, le portefeuille Q est composé des trois titres répartis comme suit :

xBKR = 0 % ; xWT = 50 % et xPBN = 50 % ii) L’écart type du portefeuille Q est calculé en appliquant la racine carrée sur l’équation 6.16 (voir p. 228 du manuel) et en incorporant les nouvelles pondérations, comme suit : 2 2  Q = 0,52   WT + 0,52   PBN + 2  0,5  0,5  WT, PBN   WT   PBN

Ce qui donne un risque de 2,08 %. Nous constatons qu’avec un même rendement quotidien moyen (0,15 %), le changement des pondérations permet de réduire le risque total (2,18 % comparativement à 2,08 %).

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CHAPITRE 7 La théorie de portefeuille Questions Q7.1 L’écart type mesure le risque total d’un titre. Or, dans le cadre du modèle d’évaluation des actifs financiers, seul le risque systématique est pertinent pour l’évaluation des titres individuels en raison du principe de diversification. Par conséquent, avec un écart type identique, les titres A et B n’auront pas nécessairement le même rendement espéré, sauf s’ils ont également le même risque systématique, c’est-à-dire le même bêta (voir la section 7.5, p. 262 du manuel). Avec un écart type moindre, la société C pourrait avoir un rendement plus élevé si son risque systématique est plus élevé que celui des sociétés A et B. Q7.2 Seul le risque systématique importe dans le cas d’un portefeuille bien diversifié. Puisque les titres X et Y ont le même risque systématique, soit le même bêta, ils doivent donc avoir le même rendement espéré. Par conséquent, on pourrait suggérer l’un ou l’autre de ces deux titres à notre client, puisqu’il dispose déjà d’un portefeuille bien diversifié. Il faudrait considérer le risque total (l’écart type) dans le cas où le portefeuille de notre client ne serait pas diversifié. Notre réponse serait donc différente, et nous suggérerions à notre client d’acquérir le titre Y, qui offre un rendement identique, mais avec un risque total moindre que celui du titre X (voir la sous-section 7.5.1, p. 262 du manuel). Q7.3 La frontière efficiente définie par Markowitz est une courbe et concerne uniquement les titres risqués. Avec la possibilité de prêt et d’emprunt au taux sans risque, la frontière efficiente devient une droite. Un investisseur peut, selon son degré d’aversion au risque, se positionner sur

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n’importe quel point de cette droite en combinant le titre sans risque avec le portefeuille efficient

 E ( RM ) − RF  ayant la pente,   , la plus élevée parmi toutes les combinaisons possibles du titre M   sans risque et d’un portefeuille de titres risqués (voir la section 7.3, p. 250 du manuel). Q7.4 Le théorème de séparation stipule une séparation entre la décision d’investissement et celle de financement. Tout d’abord, pour investir de façon efficiente, les investisseurs doivent avoir un portefeuille de titres risqués positionné sur la droite du marché des capitaux (DMC), ce qui implique un investissement dans le portefeuille de marché; c’est la décision d’investissement. Ensuite, en fonction de leur degré d’aversion au risque, ils peuvent prendre la décision de financement, c’est-à-dire de prêter ou d’emprunter pour atteindre n’importe quelle position sur la frontière efficiente de la DMC; c’est la décision de financement (voir la section 7.4, p. 261 du manuel). Q7.5 Le portefeuille de marché est, en principe, un portefeuille efficient et bien diversifié dans le sens où il comprend tous les titres disponibles sur le marché. Dans le contexte du modèle d’évaluation des actifs financiers, il s’agit du portefeuille compris dans l’ensemble des

 E ( RM ) − RF  portefeuilles efficients ayant la pente,   , la plus élevée parmi toutes les M   combinaisons possibles du titre sans risque et d’un portefeuille de titres risqués. C’est le portefeuille dont le rendement excédentaire ( E ( RM ) − RF ) par unité de risque est le plus élevé (voir la sous- section 7.3.3, p. 256 du manuel). Q7.6 La droite du marché des capitaux (DMC) et la droite d’équilibre des titres (DET) décrivent toutes les deux une relation linéaire entre le rendement et le risque. La différence fondamentale entre la DMC et la DET est la mesure de risque utilisée. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

143

La DMC utilise le risque total, c’est-à-dire l’écart type, comme mesure de risque. Elle ne s’applique donc qu’au portefeuille bien diversifié, c’est-à-dire au portefeuille efficient, puisque dans ce cas, la question du choix de la mesure de risque (risque total par rapport à risque systématique, ou risque spécifique) ne se pose pas, le risque spécifique étant éliminé par la diversification (voir la sous- section 7.3.2, p. 252 du manuel). Dans le cas de la DET, le risque systématique mesuré par le bêta est considéré comme mesure de risque. En effet, sous certaines conditions, les auteurs Sharpe (1964), Lintner (1965) et Mossin (1966) ont montré de façon indépendante qu’à l’équilibre, seul le risque systématique est pertinent à l’évaluation des titres. Cette droite s’applique donc autant aux portefeuilles efficients ou non efficients qu’aux titres individuels (voir la sous- section 7.5.3, p. 265 du manuel). Q7.7 La droite d’équilibre des titres peut servir comme mesure de référence à des fins de comparaison avec des prévisions de rendement obtenues d’autres sources. Si les prévisions de rendement sont plus élevées que les rendements requis selon la DET, on dira que les titres sont sous-évalués. Dans le cas contraire, on considérera les titres comme surévalués (voir la section 7.7, p. 270 du manuel). Q7.8 Dans le cadre du modèle d’évaluation des actifs financiers, le bêta (βi) représente la mesure du risque systématique d’un titre individuel. Le bêta mesure la sensibilité du titre par rapport au portefeuille de marché dans son ensemble. Il s’agit donc d’une mesure relative du risque qui correspond au pourcentage de variation du rendement d’un titre, comme à la suite d’une variation de 1 % du portefeuille de marché (voir la section 7.6, p. 267 du manuel). Q7.9 Le risque total comporte à la fois le risque systématique et le risque spécifique. Tandis que le risque systématique est lié à l’économie dans son ensemble et ne peut pas être éliminé par la diversification, le risque spécifique concerne le risque lié à un titre (une entreprise) en particulier. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

144

Ce risque peut donc être éliminé si on combine plusieurs titres dans notre portefeuille. Par exemple, une catastrophe naturelle ou une hausse des taux d’intérêt affectent toutes les entreprises de l’économie. Il s’agit donc d’un risque systématique. Par contre, une grève ou une panne d’un équipement essentiel à la fabrication dans une entreprise est un risque spécifique (voir la sous- section 7.5.1, p. 262 du manuel).

Exercices E7.1 • Calcul du bêta et du rendement espéré de chacun des titres qui composent le portefeuille : Avec l’équation 7.9 (voir p. 266 du manuel), nous savons que :

i =

A =

B =

C =

i , M i i , M i M cov(Ri , RM ) = = M  M2  M2 cov(RA , RM )



2 M

cov(RB , RM )



2 M

cov(RA , RM )



2 M

=

0, 008 = 0,8 0,1 0,1

=

0, 012 = 1, 2 0,1 0,1

=

0, 019 = 1,9 0,1 0,1

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145

• Calcul du rendement espéré de chaque titre : Avec l’équation 7.10 (voir p. 266 du manuel), nous savons que :

E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i

E ( RA ) = RF +  E ( RM ) − RF  A = 3 % + (12 % − 3 %)  0,8 = 10, 20 % E ( RB ) = RF +  E ( RM ) − RF  B = 3 % + (12 % − 3 %) 1, 2 = 13,80 % E ( RC ) = RF +  E ( RM ) − RF  C = 3 % + (12 % − 3 %) 1,9 = 20,10 % • Bêta et rendement espéré du portefeuille : – Bêta du portefeuille Avec l’équation 7.11 (voir p. 268 du manuel), nous avons : n

 P =  xi i = xA  A + xB  B + xC C = (0, 20  0,8) + (0, 20 1, 2) + (0, 60 1,9) = 1,54 i =1

– Rendement espéré du portefeuille : Avec l’équation 7.10 (voir p. 266 du manuel), nous savons que :

E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i Par conséquent, E ( RP ) = RF +  E ( RM ) − RF  P = 3 % + (12 % − 3 %) 1,54 = 16,86 % . Nous pouvons également calculer le rendement espéré du portefeuille comme une moyenne pondérée des titres qui le composent : n

E ( RP ) =  xi E ( Ri ) = xA E ( RA ) + xB E ( RB ) + xC E ( RC ) i =1

= (0, 20  0,102) + (0, 20  0,138) + (0, 60  0, 201) = 16,86 %

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146

E7.2 n

 P =  xi i = xA  A + xB  B = (0,5  0,8) + (0,5 1, 4) = 1,1 i =1

E7.3 La bonne réponse est b), soit 20 %. Dans le cadre du MEDAF, seul importe le risque systématique, mesuré par le bêta. Par conséquent, puisque le titre de MTN a un bêta identique à celui du marché, son rendement devrait également être identique à celui du marché. Notons que le bêta du marché est toujours égal à 1.

E7.4 On peut utiliser le MEDAF pour résoudre cet exercice.

E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i 6 % = 2 % + 12 % − 2 %  i 6 % − 2 % = 10 %  i

i =

4% = 0, 4 10 %

Nous conseillons à Magalie de construire un portefeuille ayant un bêta de 0,4. Pour ce faire, il faudrait investir une proportion correspondant à xM dans le portefeuille de marché, et le reste dans le titre sans risque.

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n

 P =  xi i i =1

0, 4 = ( xM   M ) +  (1 − xM )   RF  0, 4 = ( xM  1) +  (1 − xM )  0 0, 4 = xM 1 − xM = 1 − 0, 4 = 0, 6 Magalie doit donc investir 40 % dans le portefeuille de marché et 60 % dans le titre sans risque.

E7.5 On peut utiliser le MEDAF pour résoudre cet exercice. E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i E ( Ri ) = 4 % + 12 % − 4 %  2 = 20 %

Selon le MEDAF, on doit exiger un rendement de 20 % sur les actions de la société AGO.

E7.6 On peut utiliser le MEDAF pour résoudre cet exercice. E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i E ( Ri ) = 2,5 % + 12 % − 2,5 %  1,5 = 16, 75 %

Selon le MEDAF, le rendement espéré des actions de Cocorico est de 16,75 %.

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E7.7 a)

 E(RM ) − RF  = (12 % − 5 %) = 7 % La prime de risque de marché est de 7 %. b)

E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i = 5 % + (7 % 1, 25) = 13,75 % Le rendement espéré des actions de Sucral serait de 13,75 %.

Problèmes P7.1 a) Le portefeuille A constituerait le titre sans risque, puisque son écart type (risque) est de zéro. Le rendement de ce portefeuille est de 4 %. Par conséquent, RF = 4 %. b) Les portefeuilles suivants ne feraient pas partie de la frontière efficiente : • Le portefeuille D. Il offre le même rendement (14 %) que le portefeuille C, mais avec un écart type plus élevé (0,08 comparativement à 0,06). • Le portefeuille E. Pour un même écart type de 12 %, le portefeuille F offre un rendement supérieur (18 % pour le portefeuille F comparativement à 15 % pour le portefeuille E). • Le portefeuille G. Il offre un rendement inférieur au portefeuille F en plus d’avoir un écart type supérieur au portefeuille F.

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c) Afin de pouvoir répondre à cette question, il vous faut calculer la pente de chaque droite combinant le titre sans risque avec un portefeuille de titres risqués.

Portefeuille

Rendement [E(R)]

Risque (σ)

A B C D E F G

4% 8% 14 % 14 % 15 % 18 % 17 %

0 0,04 0,06 0,08 0,12 0,12 0,15

 E ( R ) − RF    σ   _ 1,00 1,67 1,25 0,92 1,17 0,87

Le portefeuille C a la pente la plus élevée et sera donc considéré comme celui procurant la meilleure combinaison avec le titre sans risque. Dans ce problème, la droite [A, C] sera donc considérée comme étant la frontière efficiente, puisqu’elle domine toutes les autres combinaisons possibles en ce qui a trait au rendement et au risque. Le rendement du portefeuille C est de 14 %, et son écart type est de 6 %. d) On pourrait être tenté de suggérer le portefeuille F à notre investisseur. Il pourrait alors s’attendre à un rendement de 18 % pour un écart type de 12 %. Toutefois, avec la question c), on sait que la droite [A, C] représente la frontière efficiente. Une combinaison du titre sans risque A avec le portefeuille risqué C devrait donc nous donner un meilleur résultat. La DMC nous donne le résultat de cette combinaison.

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150

Dans ce problème, E ( RM ) et  M représentent respectivement le rendement et l’écart type du portefeuille C, tandis que RF est le rendement du portefeuille A. Nous avons donc :

 E ( RM ) − RF  E ( RP ) = RF +  P M    0,14 − 0, 04  0,18 = 0, 04 +    P = 0, 04 + 1, 67 P  0, 06 

0,18 − 0,04 = 0,14 = 1,67 P

P =

0,14 = 8, 4 % 1, 67

En investissant une portion de son argent dans le titre sans risque et l’autre portion dans le portefeuille C, notre investisseur atteint son objectif d’un rendement espéré de 18 %, mais avec un risque moindre, c’est-à-dire 8,4 % au lieu de 12 %. Que doit-il faire exactement ? Avec l’équation 7.5 (voir p. 252 du manuel), on sait que :

 P = xM M Par conséquent, 8, 4 % = xM  0, 06

xM =

8, 4 % = 1, 4 6%

Notre investisseur devra donc investir 140 % de son argent dans le portefeuille de marché. Pour ce faire, il devra emprunter l’équivalent de 40 % (1 − xM ) au taux sans risque.

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151

Vérification : S’il suit vos conseils, il investira 140 % dans le portefeuille C en empruntant 40 % au taux sans risque. Son rendement sera de :

E( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = (1, 4 14 %) + ( −0, 4  4 %) = 0,196 − 0,016 = 18 % On obtient bien un rendement attendu de 18 % pour un écart type plus faible :

 P = xM M = 1, 4  6 % = 8, 4 % e) Encore une fois, on pourrait être tenté de suggérer le portefeuille F à notre investisseur. Il pourrait alors s’attendre à un rendement de 18 % pour un écart type de 12 %. Toutefois, avec la question c), on sait que la droite [A, C] représente la frontière efficiente. Une combinaison du titre sans risque A avec le portefeuille risqué C devrait donc nous donner un meilleur résultat. La DMC nous donne le résultat de cette combinaison. Dans ce problème, E ( RM ) et  M représentent respectivement le rendement et l’écart type du portefeuille C, tandis que RF est le rendement du portefeuille A. Nous avons donc :  E ( RM ) − RF  E ( RP ) = RF +  P M  

 0,14 − 0,04  E ( RP ) = 0, 04 +    0,12 = 0, 04 + 1, 67  0,12 = 24 %  0, 06  Avec un écart type de 12 %, le rendement espéré en combinant le portefeuille C avec le titre sans risque est de 24 %, ce qui est de loin supérieur au rendement espéré de 18 % du portefeuille F pour le même écart type. Que doit-on faire exactement ?

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Avec l’équation 7.5 (voir p. 252 du manuel), on sait que :

 P = xM M Par conséquent, 12 % = xM  0, 06

xM =

12 % =2 6%

Notre investisseur devra donc investir 200 % de son argent dans le portefeuille de marché. Pour ce faire, il devra emprunter l’équivalent de 100 % (1 − xM ) au taux sans risque. Vérification : S’il suit vos conseils, il investira 200 % dans le portefeuille C en empruntant 100 % au taux sans risque. Son rendement sera de :

E ( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = ( 2 14 %) + ( −1 4 %) = 0, 28 − 0,04 = 24 % On obtient bien un rendement espéré de 28 % pour un écart type plus faible :

 P = xM M = 2  6 % = 12 %

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153

P7.2 a) Calculons d’abord les proportions investies dans le portefeuille de marché et dans le titre sans risque par rapport à la mise de fonds de notre client. Libellé

Montant

Montant investi dans le portefeuille de marché Montant investi dans le titre sans risque (emprunt) Mise de fonds

8 000 000 $ −3 000 000 $

Proportion par rapport à la mise de fonds 8 000 000/5 000 000 = 1,6 −3 000 000/5 000 000 = −0,6

5 000 000 $

i) E ( RP ) = xM E ( RM ) + (1 − xM ) RF = (1,6  0,1) + ( −0,6  0,04) = 13, 60 % ii) P = xM M + (1 − xM )F = (1,6 1) − (0,6  0) = 1,6 b) S’il vise un rendement de 14,5 %, il peut soit acheter le titre SPVO, soit investir dans une combinaison du portefeuille de marché et du titre sans risque pour obtenir le même rendement. Voyons ce qui est optimal. Combinaison du portefeuille de marché et du titre sans risque :

E ( RP ) = RF +  E ( RM ) − RF  P 14,5 % = 4 % + (10 % − 4 %)  P = 4 % + (6 %  P )

P =

14,5 % − 4 % = 1, 75 6%

Pour avoir un rendement de 14,5 %, il devra accepter un bêta de 1,75 en combinant le portefeuille de marché et le titre sans risque. L’entreprise SPVO lui offre le même rendement pour un risque (bêta) moindre, soit un bêta de 1,4. On conseillerait donc à notre client de choisir le titre SPVO.

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154

P7.3 a) Calcul du bêta de chacun de ces titres :

i =

i , M i i , M i M cov(Ri , RM ) = = M  M2  M2

X =

X, M X 0, 75  6 % = = 0,5625 8% M

Y =

Y, M Y 0,90  5 % = = 0,5625 8% M

Z =

 Z, M Z 0,80 12 % = = 1, 2 8% M

Calcul du rendement selon le MEDAF pour chacun des titres : On sait que : E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i

E( RX ) = RF +  E ( RM ) − RF  X = 4 % + (10 % − 4 %)  0,5625 = 7,375 % E( RY ) = RF +  E ( RM ) − RF  Y = 4 % + (10 % − 4 %)  0,5625 = 7,375 % E ( RZ ) = RF +  E ( RM ) − RF   Z = 4 % + (10 % − 4 %) 1, 2 = 11, 20 % b) À partir du rendement requis selon le MEDAF et du prix estimé de l’analyste, calcul du prix actuel requis selon le MEDAF : P0e =

P + Dt +1 P1 + D1 ou encore Pt e = t +1 1 + E ( Ri ) 1 + E ( Ri )

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où

P1 = Prix au temps 1; P0e = Prix d’équilibre au temps 0;

Pt +1 = Prix au temps t + 1; Pt e = Prix au temps t et E ( Ri ) = Rendement espéré obtenu avec le MEDAF.

P0,e X =

P0,e Y =

P0,e Z =

P1, X + + D1, X 1 + E ( RX ) P1, Y + D1, Y 1 + E ( RY ) P1, Z + D1, Z 1 + E ( RZ )

c) Re, 1 =

=

18 = 16, 764 $ 1, 073 75

=

10,50 = 9, 779 $ 1,073 75

=

58 + 2 = 53,957 $ 1,112

P1 − P0 + D1 P0

où Re, 1 = Rendement futur estimé (au temps 1) selon les prévisions;

P1 = Prix estimé au temps 1; P0 = Prix actuel au temps 0; D1 = Dividende au temps 1. Dans ce cas, nous n’avons aucune information sur les dividendes. On suppose donc qu’ils sont nuls. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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Re,1, X =

P1 − P0 + D1 18 − 17 = = 5,88 % P0 17

Re,1, Y =

P1 − P0 + D1 10,5 − 9, 78 = = 7,36 % P0 9, 78

Re,1, Z =

P1 − P0 + D1 58 + 2 − 50 = = 20, 00 % P0 50

d) Le tableau ci-dessous récapitule les informations.

Titre

Prix E(R) Prix Rendement actuel selon le d’équilibre estimé (P0) MEDAF (P0, e)

Différence de prix ou de rendement

Col. 1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

X

17 $

5,88 %

7,375 %

16,764 $

Prix Rendement Col. 5 − Col. 3 − Col. 2 Col. 4 −0,236 $ −1,50 %

Y

9,78 $

7,36 %

7,375 %

9,779 $

−0,001 $

−0,01 %

Z

50 $

20 %

11,20 %

53,957 $

3,957 $

8,80 %

Évaluation

Surévalué Correctement évalué Sous-évalué

• On peut conclure que le titre X est surévalué, puisque son rendement estimé par l’analyste (5,88 %) est inférieur au rendement requis selon le MEDAF (7,375 %), eu égard à son risque systématique (bêta). De ce fait, le prix d’équilibre (16,764 $) est inférieur au prix actuel. Suivant le raisonnement d’équilibre du MEDAF, les investisseurs auront tendance à vendre le titre X, ce qui va pousser son prix actuel à la baisse et accroître son rendement vers le point d’équilibre. • Le titre Y semble correctement évalué, puisque la différence entre le rendement estimé et le rendement requis (±0,010 %), soit une différence de prix de 0,001 $, est négligeable.

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• Le titre Z est sous-évalué. Son rendement estimé par l’analyste (20 %) est de loin supérieur au rendement requis selon le MEDAF (11,20 %), eu égard à son risque systématique (bêta). De ce fait, le prix d’équilibre (53,957 $) est largement supérieur au prix actuel (50 $). Suivant le raisonnement d’équilibre du MEDAF, les investisseurs auront tendance à acheter le titre Z. La demande étant supérieure à l’offre, le prix actuel du titre Z va augmenter. Le rendement du titre va descendre vers le point d’équilibre sur la droite d’équilibre des titres. e) On conseillerait à l’investisseur d’acheter le titre Z, qui est sous-évalué. Ce titre offre un rendement supérieur (20 %) au rendement de 11,20 % qui correspond à son risque systématique.

P7.4 a) Le bêta du portefeuille de marché est égal à 1. b) Le bêta mesure le risque. Le bêta du portefeuille sans risque est donc de zéro. c) Proportion investie dans le portefeuille de marché :

xM = 10 000 50 000 = 20 % Proportion investie dans le titre sans risque :

(1 − xM ) = 1 − 0, 20 = 40 000 50 000 = 80 % Calcul du rendement du portefeuille :

E ( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = ( 0, 2 10 %) + ( 0,8  4 %) = 5, 2 % Calcul du bêta du portefeuille : n

 P =  xi i = xM  M + (1 − xM ) R = ( 0, 2  1) + ( 0, 8  0 ) = 0, 2 i =1

F

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d) E ( RP ) = RF +  E ( RM ) − RF  P

8 % = 4 % + 10 % − 4 % P 8 % − 4 % = 10 % − 4 % i

P =

4% = 0, 667 6%

Il faudrait lui conseiller d’avoir un portefeuille ayant un bêta de 0,667, c’est-à-dire : n

 P =  xi i = xM  M + (1 − xM )  R i =1

F

0,667 = ( xM 1) + (1 − xM )  0 xM = 0, 667 (1 − xM ) = 0,333 On va lui conseiller d’investir 0,667 (⅔) dans le portefeuille de marché et 0,333 (⅓) dans le titre sans risque. Le bêta de son portefeuille sera de : n

 P =  xi i = xM  M + (1 − xM )  R = (0,667 1) + (0,333 0) = 0, 667 i =1

F

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P7.5 a) Calcul du rendement du portefeuille :

E( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = ( 0,75 12 %) + ( 0, 25  5 %) = 10, 25 % Calcul du bêta du portefeuille : n

 P =  xi i = xM M + (1 − xM )  R = ( 0, 75 1) + ( 0, 25  0 ) = 0,75 F

i =1

b) Portefeuille ayant un bêta de 0,8 : n

 P =  xi i = xM  M + (1 − xM )  R i =1

F

0,8 = ( xM 1) + (1 − xM )  0 xM = 0,8 (1 − xM ) = 0, 2 On va lui conseiller d’investir 80 % dans le portefeuille de marché et 20 % dans le titre sans risque. Le rendement de son portefeuille sera de :

E( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = ( 0,8 12 %) + ( 20 %  5 % ) = 10,60 %

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160

P7.6 i =

 ( Ri RM ) ( Ri ) = 0, 75  ( RM )

a)  X =

( 0, 4)( 0, 75) = 0, 75

b)  Y =

( 0,8)( 0, 45) = 0,9

0, 4

0, 4

c) P = 40 %X + 50 %Y + 10 %Bons du Trésor = 40 %  0,75 + 50 %  0,9 + 10 %  0 = 0,75 Taux de rendement requis = E ( Ri ) = r + [ E ( RM ) − r ]i d) E(RX) = 0,08 + (0,16 − 0,08)0,75 = 14 % e) E(RY) = 0,08 + (0,16 − 0,08)0,9 = 15,2 % f) E(RP) = 0,08 + (0,16 − 0,08)0,75 = 14 % g) Le titre X est sous-évalué, car E(RX) = 14 % < 15 %. h) Le titre Y est surévalué, car E(RY) = 15,2 % > 12 %.

Problèmes préparatoires aux examens 7.1 a) Proportion investie dans le portefeuille de marché :

xM = 30 000 20 000 = 150 % (1 − xM ) = 1 –1,5 = −10 000 20 000 = −50 %

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Calcul du rendement du portefeuille :

E ( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = (1,50 12 % ) + ( −0,5  5 % ) = 15,5 % Calcul du bêta du portefeuille : n

 P =  xi i = xM  M + (1 − xM ) R = (1, 5 1) + ( −0,5  0) = 1,5 F

i =1

b) E ( RP ) = RF +  E ( RM ) − RF  P

15 % = 5 % + 12 % − 5 % P

15 % − 5 % = 12 % − 5 % P

P =

10 % = 1, 429 7%

Il faudrait lui conseiller d’avoir un portefeuille avec un bêta de 1,429, l’argent étant placé dans le portefeuille de marché et le titre sans risque dans les proportions suivantes : n

 P =  xi i = xM  M + (1 − xM )  R i =1

F

1, 429 = ( xM 1) + (1 − xM )  0 xM = 1, 429 (1 − xM ) = −0, 429 Il va falloir qu’il emprunte 42,9 % de son portefeuille au taux sans risque afin d’investir 142,9 % dans le portefeuille de marché. Le bêta de 1,429 est inférieur à celui du titre XYZ, qui est de 1,8 pour un rendement identique de 15 %. La stratégie proposée est donc meilleure qu’un investissement dans le titre XYZ. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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n

c)  P =  xi i = xM  M + (1 − xM )  RF i =1

2 = ( xM 1) + (1 − xM )  0 xM = 2 (1 − xM ) = −1 On va lui conseiller d’investir 200 %, soit 40 000 $ dans le portefeuille de marché. Tom va donc devoir emprunter 100 % (20 000 $) de son portefeuille au taux sans risque. Le rendement de son portefeuille sera de :

E ( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = ( 2 12 %) − (1 %  5 %) = 19 % Ce rendement est supérieur à celui du titre ABC (19 % > 17 %), mais avec un risque identique. La stratégie proposée est donc meilleure qu’un investissement dans le titre ABC.

7.2 a) E ( RP ) = RF +  E ( RM ) − RF 

E ( RP ) = 0, 08 +

b) i =

P M

0,14  0, 08  P = 0, 08 + 0, 75 P 0, 08

i , M i 0, 70  0,10 = = 0,875 0, 08 M

c) On utilise le MEDAF pour calculer le taux de rendement requis : E ( Ri ) = RF +  E ( RM ) − RF  i = 8 % + (14 % − 8 %)  0,875 = 13, 25 %

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d) Il faut calculer le prix d’équilibre ( P0e ) , c’est-à-dire le prix auquel l’action devrait se négocier actuellement selon le rendement requis : P0e =

P1 + D1 70 = = 61,81$ 1 + E ( Ri ) (1 + 0,1325)

Puisque l’action de la société BBB plus se négocie actuellement à 62,50 $, on peut conclure qu’elle est surévaluée. e) Après l’emprunt de 3 000 $, on dispose d’un montant total de 8 000 $, ce qui veut dire qu’au départ, on avait 5 000 $ (= 8000 $ − 3000 $). Proportion investie dans le portefeuille de marché :

xM = 8 000 5 000 = 160 % (1 − xM ) = 1 −1,6 = −3 000 5 000 = −60 % i) E( RP ) = xM  E ( RM ) + (1 − xM )  RF = (1,60 14 % ) + ( −0,6  8 % ) = 17,60 % n

ii)  P =  xi i = xM  M + (1 − xM )  RF = (1, 6 1) + (−0, 6  0) = 1, 6 i =1

iii) Dans le cas d’une combinaison avec le taux sans risque :

 P = xM M = 1,6  8 % = 12,80 %

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7.3 a) E ( RZ ) = RF +  E ( RM ) − RF   Z

0,14 = 0,05 + 0,12 − 0,05  Z 0,14 − 0,05 = 0,07   Z

Z =

0,14 − 0, 05 = 1, 29 0, 07 n

b)  P =  xi i = 1, 29 = ( xX   X ) +  (1 − xX )   Y  i =1

xX = Proportion investie dans le titre X 1 − xX = xY = Proportion investie dans le titre Y

1, 29 = ( xX  0,8) +  (1 − xX ) 1, 2 1, 29 = ( xX  0,8) + 1, 2 − (1, 2  xX ) 1, 29 − 1, 2 = 0,8xX − 1, 2xX = −0, 4xX xX =

0, 09 = −0, 225 −0, 4

xY = Proportion investie dans le titre Y = 1 − (−0,225) = 1,225 Cela veut dire qu’il faut investir 122,5 % dans le titre Y et −22,5 % dans le titre X. En d’autres termes, il faut emprunter 22,5 % du titre X et le vendre sur le marché. Cela s’appelle une vente à découvert. Les fonds ainsi recueillis serviraient à investir 122,5 % de notre richesse initiale dans le titre Y. Attention, toutefois, car certaines contraintes réglementaires pourraient rendre impossible la mise en place d’une telle stratégie. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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CHAPITRE 8 L’analyse financière avec les ratios Questions Q8.1 Les analystes financiers examinent la solidité financière de l’entreprise et son positionnement concurrentiel à l’aide des ratios financiers, qui sont calculés à partir des états financiers présentés par l’entreprise (voir la section 8.1, p. 285 du manuel). Q8.2 L’utilisation excessive de la dette donne un effet de levier substantiel, et donc augmente le rendement des capitaux propres (voir la section 8.6, p. 298 du manuel). Q8.3 Nous pouvons calculer et analyser le ratio d’endettement et le ratio de couverture des intérêts afin d’étudier la solvabilité d’une entreprise (voir la section 8.2, p. 289 du manuel). Q8.4 Le ratio de liquidité immédiate exclut les stocks des actifs à court terme. Dans le secteur de l’aéronautique, l’écoulement des stocks relève parfois du parcours du combattant, et donc la valeur des stocks peut être élevée sans pour autant représenter un actif très liquide. C’est pour cette raison que nous recourons au ratio de liquidité immédiate par opposition au ratio de liquidité générale (voir la section 8.3, p. 291 du manuel). Q8.5 Les trois ratios sont la marge bénéficiaire nette, la rotation des actifs et l’effet de levier (voir la sous-section 8.6.1, p. 298 du manuel). Q8.6 Le délai de recouvrement des comptes clients est égal à l’inverse du ratio de rotation des comptes clients multiplié par 365 (voir la sous-section 8.4.2, p. 293 du manuel).

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Q8.7 Le ratio de rotation des actifs est égal aux ventes divisées par le total des actifs. Quand il est égal à 1,5, cela signifie que l’entreprise génère un chiffre d’affaires qui s’élève à 150 % des actifs en place (voir la sous-section 8.5.3, p. 296 du manuel). Q8.8 Un ratio de marge bénéficiaire brute inférieur à la moyenne sectorielle peut s’expliquer par les deux situations suivantes : 1) l’entreprise n’arrive pas à contrôler la structure de ses coûts opérationnels comparativement à la concurrence; 2) l’entreprise poursuit une stratégie commerciale audacieuse où elle casse les prix afin de gagner des parts de marché additionnelles (voir la sous-section 8.5.2, p. 295 du manuel). Q8.9 Le rendement des capitaux propres (ROE) est important dans l’analyse de la situation financière d’une entreprise car, grâce à la méthode DuPont, il reflète son positionnement concurrentiel (marge bénéficiaire nette), l’efficacité de l’utilisation des actifs en place (rotation des actifs) et le degré d’utilisation de la dette dans le capital (effet de levier) (voir la section 8.6, p. 298 du manuel). Q8.10 Le ratio de rotation des stocks est égal au coût des marchandises vendues divisé par les stocks. Cependant, lorsque le coût des marchandises vendues n’est pas disponible, nous utilisons les ventes (le chiffre d’affaires) en guise de substitut (voir la sous-section 8.4.1, p. 292 du manuel).

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Exercices E8.1 Effet de levier =

Dette + Capitaux propres 100 % = = 1, 67 Capitaux propres 100 % − 40 %

E8.2 L’entreprise arrive à écouler sa marchandise 4 fois par année, soit selon une cadence trimestrielle.

E8.3 Le ratio de marge bénéficiaire nette de l’entreprise est supérieur à celui de la référence sectorielle. Par conséquent, nous pouvons conclure que l’entreprise ABC est bien positionnée par rapport à la concurrence en matière de rentabilité.

E8.4 ROE = Marge de profit nette  Rotation des actifs  Effet de levier = 7 %  0,80  2 = 11, 2 %

E8.5 Ratio de liquidité immédiate =

Actif de court terme − Stocks Passif à court terme

= Ratio de liquidité générale −

Stocks Passif de court terme

= 0,90 − 0,17 = 0, 73 Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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Problèmes P8.1 • Effet de levier : L’effet de levier a baissé de 2016 à 2017, ce qui implique une utilisation plus faible de la dette dans le capital (1 − 1/1,8 = 44 % en 2017 comparativement à 1 − 1/2 = 50 % en 2016). Malgré cette variation annuelle, l’entreprise SGM reste plus endettée que le benchmark en 2017 : 44 % comparativement à 1 − 1/1,2 = 17 %. On pourrait croire qu’elle a une cote de crédit qui lui permet de faire usage de la dette sans accuser des coûts d’opportunité, si cette stratégie permet à l’entreprise de dégager une rentabilité nette similaire à celle de la concurrence (ses coûts financiers n’affectent pas négativement son bénéfice net). • Rotation des stocks : Ce ratio passe de 6 à 6,5, ce qui peut être considéré comme positif, mais demeure non significatif. L’entreprise écoulait 6 fois par année ses stocks en 2016, et elle a légèrement accéléré la cadence en 2017 avec un ratio de 6,5 (le délai d’écoulement est passé de 61 jours à 56 jours). Cependant, le benchmark présente un ratio de rotation des stocks de 8, ce qui est nettement supérieur à la performance de l’entreprise SGM et signifierait que sa stratégie commerciale n’est pas aussi efficace que celle de ses concurrents. • Rotation des comptes clients : Ce ratio est inchangé d’une année à l’autre. Il montre que les comptes clients sont recouvrés deux fois par année. Comparativement au benchmark, pour lequel le recouvrement se fait trimestriellement, l’entreprise SGM semble offrir plus de flexibilité à ses clients quant au remboursement de leurs créances. Cela pourrait nuire aux liquidités requises servant à honorer les engagements de l’entreprise à court terme. • Marge bénéficiaire nette : Ce ratio a enregistré une amélioration (de 5 % en 2016 à 6 % en 2017) et montre un alignement avec le benchmark en 2017. Donc, même si l’endettement de l’entreprise

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est plus substantiel que celui du benchmark et même si la gestion des opérations financières à court terme ne semble pas lui permettre de se doter du niveau de liquidité dont ce benchmark dispose, l’entreprise SGM arrive à demeurer compétitive relativement à cette capacité à dégager une profitabilité nette égale à celle de la concurrence.

P8.2 a) Ratio de rotation des stocks =

Ventes 12 000 000 = =3 Stocks 4 000 000

Note : Si le coût des marchandises vendues n’est pas disponible, nous utilisons les ventes en guise de substitut. b) Ratio de rotation des comptes clients =

Ventes 12 000 000 = = 1, 6 Comptes clients 7 500 000

c) Comptes clients  365 Ventes 7 500 000  365 = = 228,125 jours 12 000 000

Délai de recouvrement des comptes clients =

d) Non. Nous n’avons pas la tendance des ratios, calculés ci-dessus, dans le temps. De plus, nous ne disposons pas des informations concernant la référence sectorielle.

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P8.3 a) ROE =

Bénéfice net Ventes Actifs   = 10 %  0, 75 1, 25 = 9,375 % Ventes Actifs Capitaux propres

b)

1 500 000 Ventes 10 % Ratio de rotation des stocks = = = 0, 65 Stocks 23 000 000 Note : Si le coût des marchandises vendues n’est pas disponible, nous utilisons les ventes en guise de substitut. c) Ratio de rotation des comptes clients =

Ventes 15 000 000 = =1 Comptes clients 15 000 000

Problèmes préparatoires aux examens 8.1 a) Ratio de fonds du roulement 2016 =

10 700 000 = 1, 64 6 530 000

Ratio de fonds du roulement 2017 =

11 688 000 = 2, 22 5 270 000

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Ratio de liquidité immédiate2016 =

7 700 000 = 1,18 6 530 000

Ratio de liquidité immédiate2017 =

9188 000 = 1, 74 5 270 000

Les ratios de liquidité se sont nettement améliorés. b) Ratio d’endettement 2016 =

17 030 000 = 0,52 33 030 000

Ratio d’endettement 2017 =

14 864 000 = 0, 48 30 712 000

L’utilisation de la dette est d’environ 50 % du capital total. Ratio de couverture des intérêts2016 =

200 000 =1,54 130 000

Ratio de couverture des intérêts2017 =

300 000 = 2, 75 109 000

Le ratio de couverture des intérêts s’est significativement amélioré. c) Rotation des stocks2016 =

8 000 000 = 2, 67 3 000 000

Rotation des stocks2017 =

7 200 000 = 2,88 2 500 000

De l’année 2016 à 2017, il y a eu une amélioration de la rotation des stocks, mais elle reste marginale. Fondements de la gestion financière – Recueil de solutions Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

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Délai de recouvrement 2016 =

6 000 000  365 jours = 219 jours 10 000 000

Délai de recouvrement 2017 =

5 000 000  365 jours = 203 jours 9 000 000

Le délai de recouvrement des comptes clients s’est écourté en 2017 par rapport à 2016. Cela va de pair avec l’amélioration du niveau de liquidité dont dispose l’entreprise GF en 2017 comparativement à 2016. d) Rendement des actifs 2016 =

47 000 = 0,14 % 33 030 000

Rendement des actifs 2017 =

131 000 = 0, 43 % 30 712 000

Le rendement des actifs, bien qu’il se soit amélioré, passant de 0,14 % à 0,43 %, demeure très faible. Pour chaque dollar investi dans les actifs en place, l’investisseur réalise un bénéfice de 0,14 ¢ en 2016 et de 0,43 ¢ en 2017.

8.2 a) ROE2016 =

553 261 000 5 000 000 000 2 914136 000   = 11, 07 %  1, 72  1, 74 = 33,13 % 5 000 000 000 2 914136 000 1 674 836 000

ROE2017 =

495 615 000 5 050 000 000 3 074 079 000   = 9,81 %  1, 64  1, 76 = 28,32 % 5 050 000 000 3 074 079 000 1 746 639 000

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b) La marge bénéficiaire nette devrait augmenter également, ce qui aurait un effet positif sur le ROE. c) ROA2016 =

553 261 000 = 18,99 % 2 914136 000

ROA2017 =

495 615 000 = 16,12 % 3 074 079 000

d) En guise de rappel, ROA = Marge bénéficiaire nette × Rotation des actifs. Nous supposons ici que l’entreprise ne peut augmenter son chiffre d’affaires et ne peut améliorer sa marge bénéficiaire. Ainsi, afin d’améliorer le ROA, il faut travailler sur le taux de rotation des actifs en se délestant de certaines unités ou de certaines immobilisations sans affecter le moteur générateur des ventes.

8.3 a) Ratio de liquidité immédiate2016 =

16 580 000 = 0, 29 58 000 000

Ratio de liquidité immédiate2017 =

33 721 000 = 0, 60 56 000 000

b) Ratio d’endettement 2016 =

137 500 000 = 0,59 232112 000

Ratio d’endettement 2017 =

143 900 000 = 0, 60 239189 000

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c) Délai de recouvrement 2016 =

10 000 000  365 jours = 41 jours 90 000 000

Délai de recouvrement 2017 =

11500 000  365 jours = 44 jours 95 000 000

d) Ratio de marge de profit nette2016 =

6 749 000 = 7,50 % 90 000 000

Ratio de marge de profit nette2017 =

6 292 000 = 6, 62 % 95 000 000

e) ROE2016 =

6 749 000 = 7,13 % 94 612 000

ROE2017 =

6 292 000 = 6, 60 % 95 289 000

f) Liquidité : On constate une amélioration substantielle. Solvabilité : Il n’y a pas de changement notoire. Gestion : Il n’y a pas de changement notoire. Rentabilité : On constate une détérioration. En conclusion, on peut noter un manque de contrôle des coûts (opérationnels et financiers) malgré une meilleure capacité à honorer les engagements à court terme.

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