Fondamenti di Dinamica e Vibrazione delle Strutture - Vol. 1 Sistemi discreti [Vol. 1] 9788893853743

Table of contents :
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FONDAMENTI DI DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE - Volume Primo: Sistemi discreti
Indice
Prefazione
1. Oggetto, finalità e modelli della dinamica delle strutture
1.1. INTRODUZIONE ALL'ANALISI DINAMICA DELLE STRUTTURE
1.2. MODELLAZIONE MATEMATICA DEL PROBLEMA DINAMICO
1.3. MODELLO GEOMETRICO O STRUTTURALE
1.4. MODELLO DELLE AZIONI ESTERNE
1.5. MODELLO MECCANICO O REOLOGICO DEL MATERIALE
1.6. MODELLAZIONE DI UN SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ
1.7. IDENTIFICAZIONE STRUTTURALE, PROBLEMI DIRETTO ED INVERSO
1.8. CENNI INTRODUTTIVI ALLA DINAMICA ALEATORIA
2. Richiami e formulazione unificata dei problemi
2.1. VETTORI SPOSTAMENTO, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE
2.2. RICHIAMI SUI MOTI ARMONICI
2.3. RAPPRESENTAZIONI SUL PIANO COMPLESSO
2.4. SECONDA LEGGE DI NEWTON
2.5. PENDOLO COMPOSTO
2.6. MOTO NELLO SPAZIO DEI CORPI RIGIDI
2.7. FORMULAZIONE UNITARIA DEI PROBLEMI
2.8. CORPO RIGIDO GIREVOLE ATTORNO AD UN ASSE FISSO
2.9. ESERCIZI
3. Moto libero dell'oscillatore ad un grado di libertà
3.1. PREMESSA E SOMMARIO
3.3. IDENTIFICAZIONE STRUTTURALE
3.4. OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO
3.5. UNITÀ DI MISURA DELLE GRANDEZZE
3.6. ESERCIZI
4. Eccitazione armonica dei sistemi ad un grado di libertà
4.1. OSCILLATORE SEMPLICE NON SMORZATO
4.2. CONDIZIONE DI RISONANZA IN ASSENZA DI SMORZAMENTO
4.3. ECCITAZIONE ARMONICA IN PRESENZA DI SMORZAMENTO
4.4. RISPOSTA IN FREQUENZA
4.5. METODO SIMBOLICO E FUNZIONI DI TRASFERIMIENTO
4.6. DIAGRAMMA VETTORIALE DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO
4.7. DIAGRAMMI DELLE PARTI REALE ED IMMAGINARIA DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO
4.8. MOTO IMPRESSO AL SUPPORTO
4.9. ISOLAMENTO DELLE VIBRAZIONI
4.10. SQUILIBRIO ROTANTE
4.11. ESERCIZI
5. Smorzamento nei sistemi ad un grado di libertà
5.1. TIPI DI SMORZAMENTO
5.2. SMORZAMENTO VISCOSO
5.3. SMORZAMENTO ISTERETICO O STRUTTURALE
5.4. SMORZAMENTO PER ATTRITO O DI COULOMB
5.5. SMORZAMENTO VISCOSO EQUIVALENTE
5.6. DIAGRAMMA VETTORIALE DELLA RISPOSTA IN PRESENZA DI SMORZAMENTO ISTERETICO
5.7. METODI PER DETERMINARE LO SMORZAMENTO
5.8. ESERCIZI
6. Cenni sui metodi dell'energia
6.1. GENERALITÀ
6.2. INTRODUZIONE AI METODI DELL'ENERGIA
6.3. EQUAZIONE DI LAGRANGE PER IL SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ
6.4. PRINCIPIO DI HAMILTON
6.5. ESERCIZI
7. Sistema generalizzato ad un grado di libertà
7.1. GENERALITÀ
7.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
7.3. EQUAZIONE DEL MOTO PER IL CORPO RIGIDO BIDIMENSIONALE
7.4. RIDUZIONE DEL SISTEMA CONTINUO ALL'OSCILLATORE SEMPLICE
7.5. MENSOLA CON MASSA CONCENTRATA IN SOMMITÀ E MOTO IMPRESSO ALLA BASE
7.6. ESERCIZI
8. Eccitazione periodica ed analisi armonica
8.1. INTRODUZIONE
8.2. FUNZIONI PERIODICHE E SERIE DI FOURIER
8.3. FUNZIONI PARI E FUNZIONI DISPARI
8.4. SERIE DI FOURIER IN FORMA COMPLESSA
8.5. ANALISI ARMONICA
8.6. DETERMINAZIONE DELLA RISPOSTA A REGIME DEI SISTEMI DINAMICI
8.7. INTEGRALE O TRASFORMATA DI FOURIER
8.8. FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
8.9. FUNZIONE DI DENSITÀ SPETTRALE
8.10. DENSITÀ DI POTENZA SPETTRALE DELL'ECCITAZIONE E DELLA RISPOSTA
8.11. TEOREMA DI PARSEVAL
8.12. VALORE QUADRATICO MEDIO DELLA RISPOSTA DELL'OSCILLATORE DEBOLMENTE SMORZATO
8.13. ESERCIZI
9. Forzanti generiche e carichi impulsivi
9.1. INTRODUZIONE
9.2. IMPULSO E QUANTITÀ DI MOTO
9.3. ECCITAZIONE IMPULSIVA
9.4. ECCITAZIONE ARBITRARIA
9.5. CONDIZIONI DI CARICO PARTICOLARI
9.6. RISPOSTA DELL'OSCILLATORE SMORZATO ALLA FORZANTE A GRADINO
9.7. ECCITAZIONE IMPRESSA AL VINCOLO
9.8. ILLUSTRAZIONE GRAFICA DELL'OPERAZIONE DI CONVOLUZIONE
9.9. PROPRIETÀ DEL PRODOTTO DI CONVOLUZIONE
9.10. ANALISI NEI. DOMINI DEL TEMPO E DELLA FREQUENZA
9.11. ESERCIZI
10. Sistemi a due gradi di libertà
10.1. PREMESSA
10.2. SCRITTURA E SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO
10.3. METODO DELLE EQUAZIONI DI LAGRANGE
10.4. SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO LIBERO NON SMORZATO
10.5. MOTO FORZATO ARMONICO IN ASSENZA DI SMORZAMENTO
10.6. SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO LIBERO SMORZATO
10.7. MOTO FORZATO ARMONICO IN PRESENZA DI SMORZAMENTO
10.8. CORPO RIGIDO SU VINCOLI CEDEVOLI
10.9. ANALISI MODALE
10.10. MATRICI DI IMPEDENZA E DI RECETTANZA
10.11. ASSORBITORE DINAMICO DELLE VIBRAZIONI
10.12. ESERCIZI
11. Sistemi ad N gradi di libertà
11.1. EQUAZIONI DEL MOTO
11.2. VIBRAZIONI LIBERE
11.3. ORTOGONALITÀ DEI MODI NORMAlLI DI VIBRARE
11.4. CONDIZIONI INIZIALI NON OMOGENEE
11.5. SISTEMA SMORZATO AD N GRADI DI LIBERTÀ
11.6. RIDUZIONE ALLA FORMA CANONICA
11.7. MOTO IMPRESSO AI VINCOLI DEL SISTEMA
11.8. DISCHI RIGIDI CALETTATI SU UN ALBERO
11.9. ESERCIZI
12. Sistemi generalizzati a più gradi di libertà
12.1. METODO DEI COEFFICIENTI DI INFLUENZA
12.2. SCHEMA DI TRAVE APPOGGIATA CON CARICO CONCENTRATO
12.3. ESEMPIO DI CALCOLO DELLA MATRICE DI FLESSIBILITÀ
12.4. ESEMPIO DI CALCOLO DELLA MATRICE DI RIGIIDEZZA
12.5. CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI RIGIDEZZA
12.6. TELAIO A PIÙ PIANI SOLLECITATO A TAGLIO
12.7. METODO DEI MODI ASSUNTI
12.8. RAPPORTO DI RAYLEIGH
12.9. ESERCIZI
Note Bibliografiche
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L’autore

1. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 1 Strutture isostatiche e geometria delle masse 2. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2 Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza 3. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 3 Introduzione all’analisi probabilistica delle strutture 4. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 4 Temi d’esame 5. Scienza delle Costruzioni 1 Teoria dell’elasticità 6. Scienza delle Costruzioni 2 Teoria della trave 7. Lezioni di Scienza delle Costruzioni 8. Fondamenti di analisi matriciale delle strutture 9.  FONDAMENTI DI DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE 1 10. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 2 11. Teoria delle strutture 1 12. Teoria delle strutture 2

ISBN 978-88-9385-374-3

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Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 1

Collana di Scienza delle Costruzioni:

Collana di Scienza delle Costruzioni di

Erasmo VIOLA

E. Viola 

Erasmo VIOLA Laureatosi con lode in Ingegneria Civile, all’Università degli Studi di Napoli il 30 luglio 1973, dal 1° novembre dello stesso anno ha ricoperto ruoli diversi presso l’Istituto di Scienza delle Costruzioni dell’Università di Bologna: Borsista, Assistente Ordinario, Prof. Associato e Prof. Ordinario. È stato per circa 25 anni Coordinatore dei Dottorati di Ricerca in Meccanica delle Strutture, prima, e di Ingegneria Strutturale ed Idraulica dopo. Nel periodo 2002- 2017 ha svolto anche la funzione di Responsabile Scientifico del Centro di Ricerche CIMEST dell’Università di Bologna. Nel corso degli anni ha svolto una intensa attività didattica e di ricerca. I risultati scientifici conseguiti sono ampiamente riconosciuti anche in ambito internazionale.

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Fondamenti di DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE Volume Primo: Sistemi discreti

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Collana di Scienza delle Costruzioni di Erasmo Viola

Erasmo VIOLA

Fondamenti di DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE Volume Primo: Sistemi discreti

ISBN  © Copyright 2023. Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

Layout copertina: Carlotta Lenzi Stampato da: Digital Team – Fano (PU) Printed in Italy

Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso di Porta Romana, n. 108 - 20122 Milano e-mail: [email protected] - sito: http://www.clearedi.org.

«Ho indagato i contorni di un 'isola,

ma ciò che volevo scoprire erano i confini del
'oceano». LUDWIG

WITTGENSTEIN ( 1889-1951)

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

1. OGGETTO, FINALITÀ E MODELLI DELLA DINAMICA DELLE STRUTTURE .. 1. 1. Introduzione all'analisi dinamica delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7. 1.8.

Modellazione matematica del problema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modello geometrico o strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Schematizzazioni di un serbatoio sopraelevato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Schematizzazioni di un autoveicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modello delle azioni esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Carichi statici e carichi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Carichi periodici e carichi non periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modello meccanico o reologico del materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Molle in serie e molle in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Smorzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5. Combinazione dei dispositivi ............... ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellazione di un sistema ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l.6.2. Modello analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Modello matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identificazione strutturale, problemi diretto ed inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cenni introduttivi alla dinamica aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Struttura modellata da un sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Segnali deterministici ed aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3.2. Traiettoria di un processo stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3.3. Spazio campione dell'esperimento casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 2 4 4 6 8 8 9 11 Il 13 16 17 18 19 19 19 21 22 24 24

25 27 27 29 30

2. RICHIAMI E FORMULAZIONE UNIFICATA DEI PROBLEMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.

Vettori spostamento, velocità e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 31

VI

2.:'..

2.:1.

2A.

2..5.

2.5.

2.7.

2. 8.

2.1.3. Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. l.4. Accele:razione tangenziale e normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. l.5. Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richiami sui moti armonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Spostamento, velocità ed accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Periodo e frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Equazione differenziale dei moti armonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Illustrazione dell'angolo di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2:.5. Moti armonici in accordo di fase e sfasati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2:.6. Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappresentazioni sul piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Forma cartesiana e forma polare di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Derivata ed integrale di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Rappr,esentazione di vettori rotanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1:conda legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Moto di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Principio di D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Moto piano dei c:orpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3.1. Moto di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3.2. Moto di rotazione ............ . 2.4.4. Corpo rigido girevole attorno ad un asse .. . 2.4.5. Energia cinetica .............................. . Pendolo composto ................................. . 2.5.1. Equazione del moto .......................... . 2.5.2. Condizioni iniziali ................................................ . Moto nello spazio dei corpi rigidi ......................................... . 2.6.1. Moto di traslazione ................................................ . 2.6.2. Moto di·un corpo rigido con un punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Bilancio del momento della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Equazioni di definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2:.6.4.1. Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2:.6.5.1. Energia cinetica di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 2:.3 .................... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulazione unitaria dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Classiificazione delle grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Equazioni di una teoria fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4. Schema delle variabili e delle equazioni ................ ·. . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5. Equazione del moto del punto m. ;.;riale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.6. Problema generale della dinamica del punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corpo rigido girevole attorno ad un asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2.8.1. Equa.done di definizione e variabili cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 36 37 38 40 40 42 44 45 46 48 49 49 51 52 53 53 55 55 56 58 59 61 61 61 63 64 64 64 66 67 67 69 69 70 72 74 74 74 74 75 76 79 79 79

VII 2.8.2. Equazione costitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3. Equazione di bilancio e variabili dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4. Variabile energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. MOTO LIBERO DELL'OSCILLATORE AD UN GRADO DI LIBERTÀ 3.1. 3.2.

3.3.

3.4.

3.5. 3.6.

81 81 82 82

...........

89

Premessa e sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillatore semplice non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Soluzione dell'equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Frequenza e periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Ampiezza e fase del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identificazione strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Cenni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Oscillatore equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 3.2 ..................................................... Oscillatore semplice smorzato ............................................. 3.4.1. Forze viscose e coefficiente di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Soluzione dell'equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Sistema criticamente smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Sistema sovrasmorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6. Sistema sottosmorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unità di misura delle grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 91 91 93 95 97 98 98 101 102 106 107 107

108 110 111 112 114 116 118

4. ECCITAZIONE ARMONICA DEI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ ........ 127

4.1.

Oscillatore semplice non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Eccitazione armonica in assenza di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Soluzione del moto oscillatorio forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Illustrazione dell'ampiezza e della fase della risposta a regime . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Funzione di risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Condizione di risonanza in assenza di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Soluzione particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Il fenomeno dei battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Eccitazione armonica in presenza di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Soluzione a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Coefficiente di amplificazione dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Risposta in frequenza ..............•.................................... 4.4.1. Diagrammi del coefficiente di amplificazione dinamico e della fase ......... 4.4.l.1. Zona quasi statica ......................................... 4.4.1.2. Zona di risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.3. Zona sismografica

127 127 129 131

132 132 132

133 136 136 137

139 141 141 141 142 143

VIII

4.~i.

4.6.

4.'7.

4. ~.

4. 9.

4.1 O. 4.11.

4.4.2. Diagrammi di Bode ............................................... 4.4.3. Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodo simbolico e funzioni dii trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Il metodo simbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Forze agenti durante il moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Ampiezza complessa e cedibilità dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. l. Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Altre fonzioni di trasferimento ....................................... 4.5.4.1. Mobilità ................ ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4.2. Inertanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5. Diagrammi di Bode in fonna unitaria .................................. Diagramma vettoriale delle funzioni di trasferimento ........................... 4.6.1. Cedibilità dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Mobilità . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Inertanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammi delle parti reale ed immaginaria delle funzioni di trasferimento . . . . . . . . . 4. 7.1. Le tre rappresentazioni grafiche della funzione! di trasferimento . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Recettanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. Mobilità ed inertanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moto impresso al supporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Soluzione in tennini di spostamento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Ampiezze della risposta e del moto impresso alla base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Soluzione in tennini di spostamento assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isolamento delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. Trasmissibilità della forza e del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Eccitazione mediante forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Squilibrio rotante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 144 144 144 147 148 150 151 151 153 153 155 155 158 159 159 159 160 160 162 162 166 167 169 171 171 174 177 179

5. SMORZAMENTO NEI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTÀ .................. 187

5.1. 5.2.

Tipi di smorzamento ..................................................... Smorzamento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Premessa ........................................................ 5.2.2. Energia dissipata dallo smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1. Energia immagazzinata dalla molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.2. Lavoro compiuto dalla forza viscosa .......................... 5.2.2.3. Rappresentazione del ciclo viscoso ........................... 5 3. Smorzamento isteretico o strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Smorzamento per attrito o di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Premessa ...... ·.................................................... 5.4.2. Equazioni del moto della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Caratteristiche dello smorzamento coulombiano ......................... 5.4.4. Ciclo di isteresi per attrito coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Smorzamento viscoso equivalente .........................................

187 188 188 189 190 191 191 193 194 194 195 197 197 199

IX 5.5. l. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Smorzamento strutturale equivalente allo smorzamento viscoso ............ Esempio 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Diagramma vettoriale della risposta in presenza di smorzamento isteretico ......... 5.6.1. Equazione del moto del sistema con rigidezza complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2. Soluzione dell'equazione del moto ................................... 5.6.3. Funzioni di trasferimento in termini di smorzamento strutturale . . . . . . . . . . . . 5.7. Metodi per determinare lo smorzamento ..................................... 5.7.l. Premessa ........................................................ 5.7.2. Decremento logaritmico ............................................ 5.7.2.l. Smorzamento viscoso ...................................... Esempio 5.2 ..................................................... 5.7.2.2. Smorzamento strutturale .................................... 5.7.3. Curva di risposta alla risonanza ...................................... 5.7.4. Metodo dell'ampiezza di banda ...................................... 5.7.5. Metodo di Nyquist ................................................ 5.8. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199 199 202 204 204 206 207 210 210 211 211 214 215 217 218 221 223

6. CENNI SUI METODI DELL'ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.1. 6.2.

Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduzione ai metodi dell'energia ......................................... 6.2. l. Principio di conservazione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Metodo di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Equazione di Lagrange per il sistema ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Il metodo degli equilibri dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Energia cinetica e potenziale della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4. Energia elastica di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5. Energia di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.6. Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Principo degli spostamenti virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Variazioni dell'energia cinetica e potenziale ............................ 6.4.4. Forza esterna conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5. Problema statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6. Altra forma dell'equazione di Lagrange ............................... 6.5. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. SISTEMA GENERALIZZATO AD UN GRADO DI LIBERTÀ 7.1. 7.2.

227 228 228 230 231 234 234 234 234 235 235 236 237 239 239 240 242 243 244 245 246

259

Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

X

73.

7.4.

7.:'i.

7.'5.

7.2.1. Enunciato del principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Forze attive e reattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Forze e coppie d'inerzia ............................................ 7.2.4. Spostamenti virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5. Equazione di equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione del moto per il corpo rigido bidimensionale ............. ·. . . . . . . . . . . . 7.3.1. Diagrammi delle componenti di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Equazione di equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Osservazione .................................................... Riduzione del sistema continuo all'oscillatore semplic:e ......................... 7.4.1. Funzione di forma e coordinata generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Massa generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Rigidezza generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Forza generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.. 5. Coefficiente di smorzamento generalizzato ............................. 7.4.6. Rigidezza geometrica generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.7. Equazione del moto dell'oscillazione semplice equivalente ................ 7.4.8. Espressione del carico critico ........................................ Mensola con massa concentrata in sommità e moto impresso alla base . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Forze agenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Calcolo dei lavori virtuali .......................................... 7.5.3. Determinazione dei parametri generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260 262 262 264 264 266 266 268 269 270 270 271 272 273 274 274 276 276 277 277 278 279 280

8. EtCCITAZIONE PERIODICA ED ANALISI ARMONICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

8.1. 8.2.

8.3.

8.4.

8.5. 8.6.

Introduzione ........................................................... Funzioni periodiche e serie di Fourier ....................................... 8.2.1. Frequenza fondamentale e coefficienti di Fourier ........................ 8.2.2. Intervallo fondamentale e prolungamento della funzione periodica . . . . . . . . . . 8.2.3. Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funzioni pari e funzioni dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Proprietà delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Prolungamenti periodici di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serie di Fourier in forma complessa ............ . Esempio 8.5 ........................... Analisi annonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Spettro di una funzione periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinazione della risposta a regime dei sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Spettri della forzante e della risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2. Rappresentazione degli spettri delle ampiezze e delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.16.3. Relazioni nei domini del tempo e della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301 301 301 303 305 306 309 311 313 313 316 317 319 320 321 321 324 324 328 331

Xl

8. 7.

Integrale o trasfonnata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 7.1. Proprietà della trasfonnata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Funzione di autocorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Funzione di densità spettrale .............................................. 8.10. Densità di potenza spettrale dell'eccitazione e della risposta ..................... 8.11. Teorema di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 LI. Valore quadratico medio dell'eccitazione e della risposta .................. 8.12. Valore quadratico medio della risposta dell'oscillatore debolmente smorzato ........ 8.13. Esercizi ..............................................................

33 I 332 334 336 339 341 343 343 344 348

9. FORZANTI GENERICHE E CARICHIIMPULSIVI ............................ 361

9.1. 9.2. 9.3.

Introduzione ........................................................... Impulso e quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eccitazione impulsiva ................................................... 9.3.1. Impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Funzione di risposta all'impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Impulso applicato all'istante iniziale .................................. Esempio 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4. Trasfonnata di Fourier della funzione delta di Dirac ...................... 9.3.5. Relazione tra la funzione di risposta in frequenza e la funzione di risposta all'impulso ........................................................... 9.4. Eccitazione arbitraria .................................................... 9.5. Condizioni di carico particolari ............................................ 9.5.1. Forza costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. Impulso rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 9.2 ..................................................... 9.5.3. Impulso triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Risposta dell'oscillatore smorzato alla forzante a gradino ....................... 9.6.1. Equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2. Coefficiente di amplificazione dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.3. Istante del valore di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Eccitazione impressa al vincolo ........................................... 9. 7.1. Spettro di risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Illustrazione grafica dell'operazione di convoluzione ........................... 9.9. Proprietà del prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1. Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10. Analisi nei domini del tempo e della frequenza ............................... 9.10.1. Relazioni nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10.2. Relazioni nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. SISTEMI A DUE GRADI DI LIBERTÀ

361 362 363 363 365 367 368 370 370 371 374 374 375 377 380 382 382 384 385 385

387 387 389 390 391 391 393 394

405

1O. I. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

XII l O.2. Scrittura e soluzione delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Metodo dell'equilibrio dinamico ..................................... 10.2.2. Equazioni del moto in notazione matriciale ............................. 10.2.3. Forma generale delle equazioni del moto ............................... 10.3. Metodo delle equazioni di Lagrange ........................................ 10.4. Soluzione delle equazioni del moto libero non smorzato ........................ 10.4.1. Determinazione delle frequenze proprie del sistema ...................... 10.4.2. Calcolo dei vettori modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3. Condizioni iniziali ............................................... Esempio I0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 0.5. Moto forzato armonico ìn assenza di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 10.2 .................................................... 10.6. Soluzione delle equazioni del moto libe:ro smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 0 . 6.1. Radici reali e negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 0 . 6.2. Radici complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . 6.3. Radici reali e radici complesse ....................................... 10.7. Moto forzato armonico in presi:nza di smorzamento ........................... 10.7.1. Rappr,esentazione delle ampiezze nella forma c:sponenziale ................ IC.8. Corpo rigido su vincoli cedevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1. Coordinate: indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.2. Scrittura d,!lle equazioni del moto mediante il metodo degli equilibri dinamici . I 0.8.3. Scrittura delle equazioni del moto mediante le equazioni di Lagrange . . . . . . . . l I .8.3.1. l vari termini di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.3.2. Prima equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.3.3. Seconda equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 0.8.4. Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9. Analisi modale ......................................................... 10.9.1. Preme:ssa ......................................................... 10.9.2. Oscillazioni in assenza di smorzamento ............................... 10.9.3. Matrice modale .................................................. 10.9.4. Coordinate principali .............................................. 10.9.5. Matric:i di massa e di rigidezza modali ................................ 10.9.6. Matrice spettrale .................................................. 10.9.7. Proprietà di ortogonalità dei modi normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IO. IO.Matrici di impedenza e di recettanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 0.11. Assorbitore dinamico delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12.Esercizi ................................................................

11. SISTEMI AD N GRADI DI LIBERTÀ ............ . 11.1. Equazioni de:! moto ................................ 11.2. Vibrazioni libere .................................. 11.2.1. Problema agli autovalori ...................... 11.2.2. Spettro delle frequenze e forme modali ........... I l.2.3. Equazioni orarie .............................

407 407 410 412 412 414 414 417 419 421 424 429 432 434 435 436 437 440 442 442 442 446 446 447 448 448 449 449 450 451 453 454 455 456 458 464 466 469 487

. . . . .

487 491 491 495 496

XIII Esempio 1I. 1 .................................................... 11.3. Ortogonalità dei modi nonnali di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 .1. Relazioni di ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2. Massa e rigidezza generalizzata ...................................... 11.3.3. Condizione di ortonormalizzazione ........................ , .......... 11.3.4. Teorema di espansione ed analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. Condizioni iniziali non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1. Equazioni normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2. Determinazione delle costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3. Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Sistema smorzato ad N gradi di libertà ...................................... 11.5.1. Premessa ........................................................ 11.5.2. Equazioni nonnali per il sistema smorzato ............................. 11.5.3. Fonnulazione matriciale ........................................... 11.5.4. Strutture debolmente smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.5. Smorzamento proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6. Riduzione alla fonna canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7. Moto impresso ai vincoli del sistema ....................................... 11.7.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 7.2. Equazioni differenziali del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 7.3. Pulsazioni naturali e fonne modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 7.4. Grandezze generalizzate o modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.5. Equazioni disaccoppiate del moto .................................... 11.7.6. Risposta nello spazio modale ........................................ 11.7.7. Risposta modale .................................................. 11.7.8. Reazioni elastiche ................................................ 11.8. Dischi rigidi calettati su un albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.2. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.2.1. Energia cinetica ed energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.2.2. Energia di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.2.3. Potenziale dei carichi esterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.2.4. Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.3. Metodo dell'equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9. Esercizi ..............................................................

496 500 500 502 504 505 508 512 512 516 517 518 518 518 521 522 523 524 528 530 530 532 533 534 535 536 537 538 539 539 540 540 541 542 542 545 548

12. SISTEMI GENERALIZZATI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ ....................... 555 12.1. Metodo dei coefficienti di influenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1. Premessa ........................................................ 12.1.2. Matrice di flessibilità e teorema di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3. Matrice di rigidezza ............................................... 12.2. Schema di trave appoggiata con carico concentrato ............................ 12.3. Esempio di calcolo della matrice di flessibilità ................................

555 555 555 558 559 560

XIV

12.3.1. Sistema discreto a tre gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2. Modello discreto di un sistema continuo ............................... Vi:.4. Esempio di calcolo della matric:e di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1. Applic;azione del metodo diretto ..................................... 12.4.2. Osservazione .................................................... 12.4.3. Teorema di Castigliano ................................ ·............ 12.4.4. Sistema di due molle in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Calcolo dei coefficienti di rigidezza ........................................ 12.5.1. Prima colonna della matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.2. Soluzione mediante il metodo delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.3. Seconda colonna della matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4. Terza colonna della matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1:t.6. Telaio a più piani sollecitato a taglio ........................................ 12.6.1. Deduzione delle equazioni del moto .................................. 12.6.2. Pareti sollecitate a taglio ........................................... I:!.7. Metodo dei modi assunti .................................................. 12:. 7.1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12:.7.2. Energia di deformazione elastica ..................................... 12:.7.3. Energia cinetica .................................................. 12.7.4. Potenziale delle forze generalizzate ................................... 12.7.5. Equazioni del moto ................................................. 12.7.6. Vibrazioni naturali ................................................... Esempio 12.1 ...................................................... t:?.8. Rapporto di Rayleigh ...................................................... 12.8.1. Equazioni: generatrice dei modi naturali di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2. Stima delle pulsazioni naturali ....................................... Esempio 112.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.3. Rapp,orto di Rayleigh generalizzato ................................... 12.8.3.1. Deduzione alternativa del rapporto di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9. Esercizi ................................................................

BIBLIOGRAFIA

560 563 564 564 569 570 572 574 574 578 579 581 583 583 586 587 587 590 592 594 595 595 597 601 601 602 604 606 606 609 625

Prefazione

Questi due volumi scaturiscono dall'esperienza didattica maturata dallo scrivente nel corso di Dinamica delle Strutture che, a più riprese durante gli anni, ha tenuto per supplenza presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università degli Studi di Bologna. li titolo medesimo, Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture, illumina il tema trattato e la prospettiva seguita nella scrittura di questo dittico di libri. È una selezione e una rielaborazione di appunti e schemi che, come un seme depositato nel terreno del tempo e delle opere dell'uomo, sono germogliati, cresciuti e ramificati nell'arco temporale di due lustri. Al momento, strappandoli alla fragilità degli appunti, sono ormai pronti per essere affidati alla maggiore stabilità del libro. Complessivamente, la materia è strutturata in 18 capitoli. li primo volume è composto da 12 capitoli, il secondo da 6. L'idea principale che percorre le pagine del libro, si propone di schematizzare una struttura reale attraverso un appropriato modello analitico. Applicando, poi, a quest'ultimo le leggi della Fisica, si intende ricavare il modello matematico del sistema oggetto di studio. A partire da questa triplice azione, retta dai verbi schematizzare, applicare e ricavare, scaturisce poi la risposta strutturale, che costituisce la sintesi di qualsiasi processo di progettazione e di verifica strutturale. li testo si apre con i lineamenti generali riguardanti la trattazione dell'analisi dinamica delle strutture, Soggette a forze variabili nel tempo. Tale analisi consente la determinazione degli spostamenti dei punti della struttura, nonché il calcolo della deformazione e degli sforzi che la pervadono. Sono definiti l'oggetto, le finalità, le ipotesi ed i modelli della disciplina in narrativa. In altri termini, alle soglie di questo viaggio ideale all'interno dei temi della Dinamica delle Strutture, il cap. I vuole offrire uno sguardo globale, dall'alto, dell'itinerario sviluppato in due tappe consecutive. Oltre ai richiami di cinematica e di dinamica del punto materiale e del corpo rigido, ed alle rappresentazioni sul piano complesso, nel cap. 2 l'attenzione viene concentrata sulla formulazione unitaria dei problemi. li percorso è segnato dalla presenza di argomenti su cui si fissa maggiormente l'attenzione e che, perciò, devono anche brillare nella lettura dei due Volumi. Ecco innanzitutto l'oscillatore semplice, la cui trattazione, che si sviluppa sulla scia dei contenuti del cap. 2, occupa i successivi capp. 3 e 4. L'oscillatore elementare consente di introdurre in modo semplice alcuni concetti fondamentali della dinamica delle vibrazioni, ma anche di descrivere il comportamento di particolari strutture, al fine di ricavare indicazioni orientative in vista delle applicazioni. Va osservato che, al modello matematico dell'oscillatore semplice, si riduce anche l'analisi dei sistemi a più gradi di libertà, nonché quella dei sistemi continui, qualora si impieghi il procedimento dell'analisi modale. Questo primo argomento che entra in scena, fa anche da sfondo a tutti i restanti temi trattati. I capp. 5- 7 sono dedicati alla trattazione, nel!' ordine, dello smorzamento, dei metodi del!' energia e dei sistemi generalizzati ad un grado di libertà. L'eccitazione periodica e l'analisi armonica sono i temi principali del cap. 8, mentre il cap. 9 è dedicato alle forzanti generiche ed ai carichi impulsivi. I sistemi discreti, il cui modello matematico risulta espresso da equazioni differenziali ordinarie, dominano in tutto il primo volume. In particolare, negli ultimi tre capitoli con cui si chiude la prima parte del lavoro, l'attenzione si concentra sui sistemi a più gradi di libertà. Nella seconda tappa di questo unico itinerario che si sta seguendo, scandita in sei percorsi, il pro-

XVI tagonista principale è il sistema continuo. Quest'ultimo, di volta in volta, assume le sembianze di un elemento strutturale, ad esempio di trave, di fune, di membrana, di piastra, oppure di telaio, di strato di terreno, di parete, e così via Il comportamento dinamico di tali sistemi è sempre descritto da equazioni differenziali alle derivate parziali, poiché le variabili coinvolte nelle equazioni di equilibrio, di congmenza e di legarne elastico, dipendono sia da variabili spaziali, che da variabili temporali. Il volume secondo inizia con le vibrazioni longitudinali delle travi e prosegue con la trattazione unificata d·1 differenti sistemi continui. Nei due capitoli successivi, vengono analizzate le piccole oscillazioni trasversali delle travi, delle membrane e delle piastre, nell'intorno della configurazione di equilibrio stabile. Il principio di Hamilton attraversa idealmente i primi quattro capitoli del secondo volume e permette la deduzione dell'equazione fondamentale per i vari elementi strutturali esaminati (trave, fune, membrana, piastra). L,: variabili e le equazioni dei suddetti modelli strutturali sono raccolte nello schema delle teorie fisich1:, denominato anche diagramma di Tonti, in onore dello studioso e scopritore che lo portò alla luce. Il diagramma di Tonti consente la trattazione unificata delle teorie strutturali, dell' elettromagnetismo, ,lei calore, e così via, sulla base di analogie che nascono dalla naturale associazione delle grandezze fisich•! agli elementi geometrici fondamentali: punto, linea, superficie, volume. Anche il principio di ortogonalità dei modi naturali di vibrare, viene dimostrato per tutti gli elementi strutturali innanzi menzionati. Lil determinazione delle matrici di rigidezza e di massa dell'elemento trave, poggia sulla formulazione debole dell'equazione del moto, oppure sul metodo che impiega le 1!quazioni di Lagrange. Si giunge così al cap. 5 della seconda parte del lavoro, ove viene trattata la Dinamica aleatoria. Qui i parametri dei modelli sono considerati incerti, per cui la risposta dell'oscillatore, ad esempio, riveste carattere aleatorio. Opportuno spazio è dedicato alle nozioni di probabilità, di variabile aleatoria e di processo stocastico. Tranne che in questo capitolo, nei restanti, i parametri che caratterizzano i vari modelli che intervengono nell'analisi dinamica sono deterministici, ossia definibili con certezza Pertanto, la soluzione corrii:pondente è conosciuta istante per istante ed è rappresentata da una legge matematica li tema centrale dell'ultimo capitolo del secondo volume, riguarda l'identificazione dei parametri di un sii;tema. li legame tra le variabili di ingresso e di uscita viene descritto seguendo le indicazioni della Teoria dei Sistemi. la quale coinvolge i modelli spaziale, modale e delle funzioni di trasferimento. I contenuti dei due libri rappresentano la fondazione, che precede e sostiene ogni ulteriore applicazione. I suggerimenti fomiti negli esercizi proposti costituiscono una guida per innervare ed alimentare le riflessioni del lettore sul tema trattato e sulle conseguenti applicazioni. Ritengo che questo contributo alla didattica, maturato nell' ambito dell'attività finora svolta nella glori,:,sa e prestigiosa Alma Mater Studiorum - Università di Bologna, si presenti completo nelle sue linee portanti. Mi auguro che esso, come un seme, germogli. cresca. si ramifichi e fruttifichi . f'rima di concludere, mi è gradito esprimere il mio più vivo apprezzamento agli lngg. Barbara Bonzione figlic,li, P, · -'-'· "'--' • ._ ____ ., __ • ._ _____ · r-L.,_., __ ,.. __._ _, -·-- ._ __ ,. _L_

.

delle bozze. nonché all"èqu1pe della casa ed1tnce Pitagora, che ha promosso e realizzato il lavoro. Colgo anche l'occasione per ringraziare mia moglie e i miei tre figli, Rossella, Antonella e Luca, che mi hanno sempre consentito di svolgere il presente lavoro in un clima di comprensione e di serenità. Senza il loro costante e tacito sostegno, non sarebbe stato possibile arrivare alla conclusione. L'AUTORE

1

Oggetto, finalità e modelli della dinamica delle strutture

«Per compiere grandi passi, non dobbiamo solo agire, ma anche sognare; non solo pianificare, ma anche credere». ANATOLE FRANCE ( 1844-1924)

1.1. INTRODUZIONE ALL'ANALISI DINAMICA DELLE STRUTTURE

Una struttura (o più in generale un sistema) può essere intesa come un insieme di elementi, tra di loro interconnessi ed in grado di reagire con l'ambiente circostante. Ogni struttura viene concepita per esplicare determinate funzioni. Per garantire la sicurezza e l'attitudine al servizio di una struttura, occorre prevedere il suo comportamento in funzione degli stimoli cui potrà essere sottoposta durante la sua vita. Il comportamento della struttura viene studiato attraverso l'impiego di modelli, che servono a semplificare il problema reale, il quale si presenta generalmente complesso. I modelli risultano appropriati solo se, le conseguenze derivanti dalle ipotesi formulate, sono in accordo con i risultati sperimentali. In questo capitolo vengono introdotti i lineamenti generali riguardanti la trattazione dell'analisi dinamica delle strutture (1), soggette a forze variabili nel tempo. Tale analisi consente la determinazione degli spostamenti dei punti della struttura, nonché il calcolo delle deformazioni e degli sforzi che la pervadono. Detti effetti costituiscono la risposta strutturale, anch'essa variabile con il tempo t.

( 1) Le strutture sono. generalmente. sistemi complessi. In particolare, lo sono i sistemi dinamici, a causa del fenomeno di interazione delle vibrazioni dei vari componenti. È da osservare, però, che le vibrazioni dei vari clementi non sempre sono ugualmente importanti. Il problema può essere così semplificato, considerando solamente quegli elementi che principalmente caratterizzano la risposta del complesso.

2

seconda dello spostamento rispetto al tempo) i quali, a loro volta, sono influenzati dall'intensità de!Je forze d'inerzia. L'analisi dinamica costituisce la fase essenziale del processo di progetto e di verifica di ogni sistema, meccanico o strutturale, sollecitato da forzanti esterne variabili nel tempo.

1.2. MODELLAZIONE MATEMATICA DEL PROBLEMA DINAMICO Gli aspetti più significativi del fenomeno vibratorio oggetto di studio, possono essere rappresentati sostituendo la struttura reale (sistema reale o complesso reale) con un sistema fisico immaf;inario, detto modello della struttura. Il sistema fisico immaginario deve possedere caratteristiche inerziali, di smorzamento e di rigidezza il più possibile equivalenti a quelle del sistema reale che rappresenta. Non esistono regole generali per costruire un modello adeguato a descrivere il sistema reale, .n grado di cogliere tutti gli aspetti del fenomeno. J!I sistema può essere schematizzato attraverso l'impiego di vari tipi di modelli, come illustrato nello schema di fig. 1.1. Le considerazioni che seguono possono riferirsi sia ad un sistema meccanico, sia ad un generico sistema str,utturale.

L'idealizzazione ( detta anche la schematizzazione) del problema connesso con la struttura reale, riichiede la precisazione di ipotesi (modelli) riguardanti k dimensioni geometriche, le condizioni di vincolo, le proprietà meccaniche dei materiali, l',!ccitazione, la velocità in gioco, e così via. Si parla, pertanto, di modello geometrico o strutturale, di modello mecc,mico o reologico (c:he fa parte delle leggi della fisica) e di modello delle azioni esterne. I suddetti modelli concorrono a definire il modello matematico delproblema o del fenomeno fisico, che può essere rappresentato da un'equazione differenziai,!, da un sistema di equazioni diffen!nziaJ,i (ordinarie o alle derivate parziali), oppure da un sistema di equazioni algebriche. Se si applicano al modello analitico (che comprende il modello strutturale e quello delle azioni esterne) le leggi della fisica, si ricava il modello matematico (2) ossia il sistema differenziale delle equazioni del moto che descrive in linguaggio matematico il modello analitico. Il modello matematico consente di calcolare la risposta della stnittura per varie eccitazioni. Nota la risposta dalla soluzione delle equazioni del modello matematico, occorre eseguire la verifica. Quest'ultima viene condotta in modo diverso, a seconda c:he si tratti di una struttura esistente, oppure di una struttura da progettare. In fig. I. I sono indicate anche le tre fasi di studio sopra menzionate:

(=) Il :.11odello matematico viene. a volte. denominato

modello numerico, oppure modello di calcolo.

3

Struttura reale

Progetto

I---------------

Modello strutturale 1- -

-

-

-

-

-

-

r - - -

.J

,----------, I

I I I I

I

I

Modello delle azioni

, ___________

Leggi della fisica

I I ..__ _ _ _ _ ____.

/

Analisi Modello matematico

Risposta

NO

NO Verifica

Figura I. I. Modelli e fasi dell'analisi dinamica.

I) progetto 2) analisi 3) verifica per un problema strutturale. Giova rilevare che le tre fasi in narrativa sono comuni sia all'analisi statica che a quella dinamica.

4

X, U

o~--

Traverso

I

h

1/Ritto

~-r

A I

I

Fondazione

I

,~---------- Vincoli ---------. ,' 1/

a) Struttura reale

1/

b) Modello strutturale

Figura 1.2. Rappresentazione di una struttura reale e di un suo modt:llo strutturale.

1.3. MODELLO GEOMETRICO O STRUTTURALE Le dimensioni dei vari elementi, le disposizioni dei vincoli e le varie schematizzazioni impiegate per rappresentare la struttura reale definiscono il modello geometrico della struttura, detto anch,e modello strutturale. È indicato sinteticamente con © S consideri la stmttura reale di fig. 1.2.a e la sua schematizzazione strutturale di fig. 1.2.b.

L'altezza h del ritto, l'area A della sua sezione trasversale, le condizioni di vincolo alla base dei ritti, nonché ia rappresentazione della copertura mediante un traverso infinitamente rigido a flessione, costituiscono il modello strutturale. "fale modello strutturale (3) è un sistema ad un solo grado di libertà, poiché la sua configurazi01e è completamente determinata dallo spostamento u del traverso secondo la direzione dell'asse :ic (fig. 1.2.b).

1.3.1. Sch,ematizzazioni di un serbatoio sopraelevato Il mod1ello strutturale può essere continuo, oppure discreto.

Si consideri, ad ,esempio, come struttura reale un Sf:rbatoio sopraelevato di massa M, quando la vasca è piena di liquido, ossia è nella condizione di pieno carico (fig. 1.3.a).

(J) I 1·itti del telaio di tìg. 1.2.b sono travi, ossia elementi strutturali monodimensionali. In alcuni casi, la schematizzazione può avvenire con elementi strutturali bidimensionali piani (lastre e piastre), oppure curvi (volte).

5

X

Vasca

v(t)

ll

M

M

•

I I

I I

I I

Stelo

I

/

I

o a)

y b)

e)

Figura 1.3. Struttura reale e relativi modelli strutturali.

Lo stelo può essere schematizzato mediante una trave a mensola (fig. 1.3.b), ossia mediante un modello continuo ad infiniti gradi di libertà. La configurazione della sezione di ascissa x ed al tempo t è definita dalla funzione v( x, t). Nel modello continuo in narrativa la massa dello stelo, detto anche fusto, è supposta distribuita lungo l'altezza della mensola. Il valore della funzione v( x, t) per x = L, ossia 1/ = v( L, t) descrive lo spostamento della massa concentrata M, istante per istante. La fig.1.3.c illustra un sistema discreto con cinque gradi di libertà v 1( t), v 2 (t), v3 ( t), v4 ( t), v 5 ( t). Le prime quattro coordinate sono relative alle ~zioni in cui è stata concentrata la massa dello stelo. In fig. 1.3.d la struttura reale è idealizzata attraverso un modello ad un sol grado di libertà, descritto dalla coordinata Lagrangiana v( t). Se la massa dello stelo è trascurabile rispetto alla massa del serbatoio M, quest'ultima rappresenta la massa del sistema. In caso contrario, la massa concentrata del sistema ad un grado di libertà può rappresentare la massa complessiva dello stelo e del serbatoio. Per l'analisi dinamica della struttura di fig. 1.3.a, il modello ad infiniti gradi di libertà (fig. 1.3.b) è il più accurato dei tre in narrativa. li modello ad un grado di libertà (fig. 1.3.d) è il più semplice, ma anche il meno rappresentativo. Come verrà mostrato nei capitoli seguenti, il modello matematico dei sistemi còntinui è rappresentato da equazioni differenziali alle derivate parziali (modello continuo), mentre il modello matematico dei sistemi discreti risulta espresso da equazioni differenziali ordinarie (modello discreto).

6

1.3.2. Schematizzazioni di un autov€:icolo

La schematizzazione più semplice di un autoveicolo in transito su una struttura da ponte, è costi1uita dà una massa sospesa ad un sistema elastico smorzato (fìg. I .4). In realtà, la struttura portante di un autoveicolo comprende elementi strutturali deformabili di vario tipo, come travi, lastre, piastre, e così via. Per esaminare il comportamento del sistema spaziale in narrativa, occorrerebbe impiegare un modello strutturale con varie centinaia di gradi di liber1à. Tuttavia, volendo ad esempio studiare le caratteristiche delle sospensioni, si può considerare il sistema costituito dalla carrozzeria e dalla struttura resistente come un unico corpo rigido dotato di sei gradi di libertà (fig. 1.5.a). Tre gradi di libertà ua, v0 e ·wc descrivono la traslazione del baricentro G del sistema, secondo le direzioni degli assi x, y e z e tre gradi di libertà 'Px, ipY, ip 2 rappresentano le rotazioni attorno agli assi medesimi. Nel caso interessi soltanto il moto piano del sistema, i gradi di libertà si riducono ai tre seguenti uc, w 0 , 'P, come illustrato in fig. 1.5.b. Le ,·igidezze e i coefficienti di smorzamento k., c. e kp, cp, da considerare nel modello a tre gradi di libertà (fìg. 1.5.b). sono equivalenti ai corrispondenti parametri k 1 , c 1 ,e k 1 , c 1 delle molle e degli smorzatori ddla parte anteriore e posteriore dell'autovettura di fìg. 1.5.a. Se :;i vuole studiare la vibrazione dell'autoveicolo secondo la sola direzione verticale, i tre gradi di libertà del modello di fìg. 1.5.b si riducono ad uno: quello che definisce lo, spostamento u = uc della massa i;econdo la direzione detrasse x. L'oscillatore lineare ad un grado di libertà si può rappresentare in uno dei modi illustra.ti in fìg. 1.5.c. La rigidezza k della molla e la costante di smorzamento e dello smorzatore in fìg. 1.5.c: sono rappresentativi delle caratteristiche dell'intero veicolo.

Rigidezza delle sospensioni ~ - - - - - , - -.... ---- Massa dell'intero veicolo

'.

J'--,_ " Smorzatore

I

Struttura da ponte

Figuri 1.4. Schematizzazione di un autoveicolo in transito su una struttura.

7

Sistema con sei gradi di libertà

ll o

a)

I

,...... .._

I I

... ...

...

(f!

e-- . . . ...

... ...

... ... UG

WG

G

... (j;' ' '

...

... ...

... ...

b)

... ...

... I

I

... ., I Sistema con tre gradi di libertà

Sistema ad un solo grado di libertà x u

~

c m

m c)

k k

c

Figura 1.5. Differenti schematizzazioni di un veicolo.

8

1.4. MODELLO DELLE AZIONI ESTERNE 1.4.1. Carichi statici e carichi dinamici Il :nodello delle azioni esterne, indicato sinteticamente con (D, definisce i carichi agenti sulla iitruttura. Secondo la loro natura, le azioni possono essere statiche o dinamiche. I carichi dinamici variano con il tempo e generano accelerazio111i significative sulla struttura. Pertanto, il moto della struttura è accompagnato da 1'òrze d'inerzia, che sono proporzionali al le masse in movimento, ed alle accelerazioni delle stesse.

La. fig. 1.6 illustra una trave appoggiata agli estremi, sollecitata da un carico uniformemente distribuito sulla trave. Nel caso di fig. 1.6.a, le ordinate del diagramma di carico sono da considerare costanti nel tempo ed il carico si dice statico. Il momento flettente e lo sforzo tagliante sono indipendenti dal tempo. In fig. 1.6.b, invece, l'ordinata q = q( t) è funzione del te:npo, per cui si è in presenza dii un carico esterno dinamico. Le forze d'inerzia che si sviluppano hanno il verso apposto alle azioni sollecitanti. Pertanto, in presenza di sollecitazione dinamica, le componenti dell'azione interna, ossia lo sforzo di taglio T( x, t) ed il momc:nto flettente M ( x, t) nella sezione di ascissa x devono equilibrare, istante per istante, la risultante delle: forze esterne e di quelle d'inerzia.

q = cost

Carico statico

1 l l l l

l l l

~

~

Of--x a)

q = q(t)

Carico dinamico

l l l I Il l l ~~I I~ Forze d'inerzia

b) Fi1■ r1

1.6. Trave sollecitata da carico statico e da carico dia■ mico.

9

Le equazioni indefinite di equilibrio dinamico sono ricavate, per la trave inflessa. nel cap. 3 del Voi. 2, dedicato ai sistemi continui. Per i sistemi continui e discreti, ie equazioni del moto possono essere ricavate attraverso

i metodi qui di seguito specificati: J) principio di d 'Alembert e seconda legge della Dinamica;

2) principio dei lavori virtuali; 3) principio di Hamilton; 4) equazioni di Lagrange. In un problema pratico di vibrazioni, le forze esterne, le forze d'inerzia. le reazioni elastiche e le reazioni viscose variano tutte con il tempo. In alcuni problemi, individuata la sorgente di eccitazione dinamica. si detennina la risposta della struttura mediante carichi statici equivalenti a quelli dinamici. L'effetto dell'eccitazione dinamica dipende dalla struttura su cui agisce.

I più comuni carichi dinamici sono prodotti da:

-

terremoti macchinari vento veicoli in movimento esplosioni.

1.4.2. Carichi periodici e carichi non periodici

I carichi dinamici possono dividersi in due grandi categorie: carichi periodici e carichi

non periodici. Le figg. 1.7.a,b illustrano esempi di carichi periodici, le figg. 1.7.c,d esempi di carichi non periodici. Un carico periodico è descritto da una funzione p( t) che assume gli stessi valori ad uguali intervalli di tempo, ciascuno dei quali è denominato periodo T. In fig. 1.7.a è rappresentato un carico periodico sinusoidale prodotto, ad esempio, da un

eccitatore meccanico (vibrodina), situato sul traverso del portale. L'eccitatore è costituito da due dischi che ruotano in un piano alla stessa velocità, ma in senso opposto. Durante il moto, si sviluppa una forz.a sinusoidale a causa di due masse eccentriche, opportunamente disposte sui dischi in rotazione. La fig. l. 7.b mostra un carico periodico complesso rappresentato, ad esempio, dalla pressione idrodinamica generata dall'elica di una nave. .

In base ali' analisi di Fourier (cfr. cap. 8, Voi. l ), qualsiasi funzione periodica può decomporsi nella somma di una serie di componenti armoniche. Pertanto, quando la sollecitazione generica complessa agisce su un sistema lineare, la risposta può essere ottenuta dalla somma degli effetti associati alle singole componenti armoniche.

10

p(t)

Carico periodico sinusoidale

Vibratore meccanico

\

C:::::J a)

Portale

T

p(t)

Nave

Carico periodico complesso

b)

p(t)

/

Carico impulsivo

□□ Modello del carico

po

... _/ "

□□

DO

d c)

s(t)

Eccitazione sismica Serbatoio

d)

d

s(O

Fig11ra 1.7. Esempi di carichi periodici e di carichi non periodici.

Onda di pressione

Il

In fig. 1. 7 .c è rappresentato un carico impulsivo, associato alle onde di pressione generate da una esplosione. Tale carico è detto di breve durata ed è illustrato dalla linea continua. Ai fini dell'analisi dinamica, detto carico può essere·modellato con un impulso triangolare di ampiezza P 0 , pari al valore massimo del carico impulsivo. La durata d di un carico impulsivo è di qualche frazione di secondo. La fig. 1.7.d riporta l'eccitazione sismica alla base di un serbatoio sopraelevato. I carichi associati alle accelerazioni sismiche sono detti di lunga durata, poiché sono applicati per una durata media di 15-20 secondi, molto più grande rispetto a quella dei carichi impulsivi. I carichi dinamici intervengono anche nei settori delle centrali nucleari, delle piattaforme marine e delle strutture in cui è predominante l'azione del vento (antenne, grattacieli). In alcuni casi, le azioni dinamiche vengono modellate mediante variabili aleatorie, oppure mediante processi stocastici. Le nozioni di variabile aleatoria e di processo stocastico verranno accennate nel par. 1. 9 di questo volume. Una trattazione matematica più estesa degli argomenti in narrativa è riportata nel cap. 5 del Voi. 2.

1.5. MODELLO MECCANICO O REOLOGICO DEL MATERIALE Il modello meccanico o reologico del materiale, indicato schematicamente con

®, de-

scrive il comportamento del materiale sotto l'azione dei carichi esterni. Tale comportamento, che in generale si presenta sotto vari e complessi aspetti, può essere definito dalle relazioni che intercorrono tra le azioni sollecitanti e la deformazione, oppure tra le azioni sollecitanti e la velocità di deformazione. Le suddette relazioni prendono il nome di

leggi costitutive del materiale, oppure legame costitutivo del materiale. Qui di seguito si farà riferimento alle relazioni costitutive elastiche, viscose e viséoelastiche, in occasione della rassegna dei dispositivi convenzionali impiegati nella dinamica delle strutture. Difatti, i modelli impiegati per semplificare, descrivere e rappresentare i componenti delle strutture, si compongono di dispositivi convenzionali come la molla, la massa, lo

smorzatore. 1.5.l. Molla La molla (Spring) rappresenta l'elasticità della struttura. li legame tra la forza so//ecitante

F5 e lo spostamento relativo u = u 2 - u 1 (fig. 1.8.b), come illustrato in fig. 1.8.a, dipende dalla rigidezza k della molla ed è espresso dalla relazione analitica (l.5.1) Dalla (1.5.1) si rileva che F5 = k per u = 1, ossia la rigidezza rappresenta la forza capace di produrre uno spostamento relativo unitario. La rigidezza si chiama anche rigidità o costante elastica della molla, mentre F5 prende il nome di forza elastica o forza di richiamo.

12

F

• k = rigidezza

1\/WvV\IV',

Molla indeformata

F1

o

F8

+--1\/1/VV\/VVVVVVI/Vl/l/v--+

u'

MoHa deformata

a)

b)

Figura 1.8. Legame elastico-lineare tra forza Fs e spostamento u. -La ( 15. l) è denominata equazione costitutiva lineare. Misurando la fou.a in Newton (N) e lo spostamento in metri (m), la rigidezza ha le dimensioni di N(:wton diviso metro (N/m). Il dispositivo che si sta esaminando richiama anche !"energia e:lastica della struttura. Difatti, quando la molla viene deformata, accumula una quantità di energia elastica :

I

= - ku2 2

(L52)

in vittù del teorema di Clapeyron (4). .

Nelle (l.5.1) e (1.5.2), la rigidezza k è la caratteristica meccanica di una molla lineare,

poiché la relazione tra la forza applicata

F5 e l'ampiezza u dello spostamento risulta essere

lineare.

,.

(~) li lavoro Le compiuto dalla forza F8, gradualmente crescente dal valore nullo a quello finale Fs, per ddormare I~ molla di u = u l - u 1 , vale Le

I

=2

Fsu

I

=2

, ku- =

Tale !lavoro viene immagazzinato nella molla sotto forma di energia di deformazione «I>_ Se i valori finali della forza e dello spostamento sono indicati da F~ e u', renergia di deformazione elastica è rappresentata dall'area del triangolo tratteggiata in fig. I .8.a.

13

Figura 1.9. Legami elastici non lineari.

Il comportamento di una molla può essere, oltre che lineare (cfr. fig. 1.8.a), anche nonlineare. In fig. 1.9 sono rappresentati due legami Fs - u non lineari, relativi ad una molla rigida e ad una molla tenera. Nel primo caso (molla rigida), la forza capace di produrre un dato spostamento diviene progressivamente maggiore all'aumentare della deformazione. Nel caso della molla tenera, invece, poiché la curva corrispondente presenta la convessità nella direzione positiva dell'asse delle ordinate, al crescere delle deformazioni si richiedono forze via via minori per produrre un dato incremento di spostamento. Per semplificare i calcoli, talvolta si usa la molla lineare anche quando il comportamento della struttura è non-lineare. È da rilevare che l'ipotesi di comportamento elastico lineare è sufficientemente valida, allorché risultano di piccola entità gli spostamenti della struttura prodotti da forze o perturbazioni esterne.

1.5.2. Molle in serie e molle in parallelo Le molle possono essere combinate in serìe, o in parallelo. Per due molle in parallelo, aventi rigidezze k 1 e k1 , si supponga che la forza totale F applicata in modo statico produca uno spostamento u uguale per entrambe (fig. 1.1 O.à). Pertanto, indicando con u I e u 1 gli spostamenti degli estremi delle due molle, l'equazione di congruenza assume l'aspetto

( 1.5 .3)

14

f--u b)

a)

Figura 1.10. Equilibrio e congruenza per molle in parallelo.

La ~ondizione di equilibrio (fig. 1.1 O.b) si scrive

(1.5.4) essendo F 1 e F 1 le forze che sollecitano le molle (I) ,e (2), rispettivamente. Alle ,equazioni di congruenza (1.5.3) e di equilibrio (1.5.4), va aggiunta l'equazione di legame ( 1.5. I), qui di seguito riscritta per comodità nella forma: (1.5.5)

F = ku

Per le (1.5.3) e (1.5.5), la (1.5.4) prende la forma

( 1.5 .6) ovvero ( 1.5 .7)

F = k.u

essendo

( I 5 .8) la costante elastica equivalente o ngidezza equivalente del sistema di due molle in parallelo. Per la ( L5. 7), infatti, ke denota la forza capace di produrre uno spostamento unitario del sistema di fig. 1.1 O.a. In ge:nerali:, per un sistema di n molle in parallelo, risulta n

( l.5 .9)

15

a)

F = F2 A

B

F

.--~----+ (2)

b)

Figura 1.ll. Equilibrio e congruenza di molle disposte in serie.

ossia, la rigidezza equivalente è pari alla somma delle rigidezze k, delle singole molle. Per due molle disposte in serie (fig. I. I I .a), indicate con u I e u 2 le variazioni di lunghezza delle due molle (I) e (2) e con u = ut lo spostamento del punto B. l'equazione di

congruenza assume l'aspetto (1.5.10) Per l'equilibrio dei singoli elementi, deve aversi

(1.5.11) ove F1 e F2 sono gli sforzi nelle molle in questione. Dall'equazione di legame F = ku e dalla ( 1.5 .11) risulta

(1.5.12) La sostituzione delle ( 1.5.12) nella (1.5.1 O) fornisce la relazione

(1.5.13)

F

-+ k1

F

-=u

k2

t

ovvero

F -k = u t

(1.5.14)

e

essendo

( 1.5 .15) la rigidezza equivalente.

I

I

I

-=-+ke k1 k2

16

111 generale, per n molle disposte in serie, si ha

( I .5. I 6) Dalla ( 1.5. I 6) si deduce che l'inverso della costante elastica equivalente è pari alla somma delle inverse delle singole rigidezze k,. lr. generale, l'inverso della rigidc:zza k prende il nome di flessibilità, oppure cedibilità, ovvero cedevolezza:

( 1.5 17) La ( 1.5.5) può scriversi

F

.

u = - = bF

( 1.5 18)

k

Dalla. ( 1.5.18) appare che la cedibilità b denota lo spostamento indotto da una forza unitaria. Difatti, per F = I, risulta u

0

=

b.

Per quanto sopra affennato, la ( 1. 5.16) si può enunciare anche nella fonna:«La cedibilità

equivalente be di un sistema di n molle disposte in sené è pari alla somma delle cedibilità delle singole molle». In fonnula, si ha ( 15 .19)

1.5.3. Smorzatore Quando le strutture si defonnano, oltre che accumulare energia, possono anche dissiparla. Il dispositi;vo atto a rappresentare le caratteristiche di attrito e le perdite di energia del sistema (stru1ura) prende il nome di smorzatore (Damper), dissipatore o ammortizzatore viscoso. Le forze corrispondenti prendono il nome di forze viscose. Si suppone che la forza viscosa FD sia proporzionale alla velocità ù = d

u/ d t

definita

dalla derivata temporale dello spostamento relativo (1.520)

U

= U~

~ U

I

attraverso la costante e ·

( I .5 2 I) che !,i chiama coefficiente di smorzamento viscoso. oppure costante viscosa. Misurando la forza in Newton (N) e la velocità in metro al secondo (m:sec), il coefficiente di smorzamento si misura in N sec/m. Per la forza viscosa e io smorzatore (fig. 1.12) si possono fare considerazioni analoghe a quel le relative alla forza elastica e alila molla (fig. 1.8).

17

FD Non deformato

1

-~ I

I

~ -+ ___, I F

o

Deformato

u a)

0

b)

Figura 1.12. Legame lineare tra forza viscosa F0 e velocità ù ..

1.5.4. Massa Un altro dispositivo convenzionale è la massa m, che rappresenta le caratteristiche di in'erzia della struttura. La massa si misura in kg e si indica con un rettangolino nella schematizzazione dell'oscillatore semplice (fig. 1.13). Si vuol far rilevare che la massa è stata inserita in questo punto del volume. unitamente ai restanti due dispositivi convenzionali, ossia alla molla e allo smorzatore. poiché i para-

metri fisici del sistema, che verrà studiato nei capitoli seguenti, sono proprio la massa m , la rigidezza k e il coefficiente di smorzamento c. Per due di questi dispositivi, sono state considerate le relazioni costitutive ( 1.5.5) e ( 1.5.21 ). La massa m può essere considerata la costante dell'equazione costitutiva F = ma, che esprime la seconda legge della dinamica, essendo a l'accelerazione della massa m, ed F la risultante delle forze agenti sulla massa medesima.

m

Figura 1.13. Schematizzazione della massa dell'oscillatore sem pi ice.

18

I tr,e parametri dell'oscillatore semplice smorzato m, e e k sono detti anche parametri caratteristici del sistema lineare oggetto di studio.

1.5.5. Combinazione dei dispositivi Parecchi materiali manifestano un comportamento misto di caratteristiche elastiche e di caratteristiche viscose. Il modello analitico di un simile comportamento risulta dall'assemblaggio di molle e di smorzatori. I modelli più sempl_ici sono quelli di Maxwell (fig. 1.14.a) e di Kelvin (fig. 1.14.b), costituiti da una molla ed un ammortizzatore, disposti rispettivamente in serie ed in parallelo. Oc,;orre rilevare che questi semplici modelli non bastano a riprodurre completamente il comportamtmto dei materiali reali. Nel modello di Maxwell, la variazione di lunghezza tra i punti A. e B è pari alla somma dell'allungamento u 8 = F/ k della molla (deformazione elastica) e dello spostamento u D dello smorzatore, tale che

uD = F / e :

( 1.5 .22)

Dalla O.5.22), si ricava J,°7

F

u=u s +u D =k- + -e

( 1.5 .23)

ove il :Junto sopra la grandezza denota la derivata della stessa rispetto al tempo. Come appare dalla (1.5.23), nell'equazione costitutiva lineare F = u 8 • k, solo F e u 8 sono considerati dipendenti dal tempo, poiché è supposta la rigidezza k = costante.

Kelvin

Maxwell e

..!-~AA f A •v--i.c:

-~ F

B

a)

Figura 1.14. Combinazioni di molla e smorzatore.

ACJB

...,____ F

~

b)

_,. F

19

Nel modello di Kelvin, la combinazione in parallelo della molla e dello smorzatore fornisce la relazione (1.5.24)

F == Fs + F D == ku +

cu

essendo la forza esterna F ripartita tra la forza elastica Fs == ku == ku 5 e quella viscosa

FD ==

cu.

Le (1.5.23) e ( 1.5.24) prendono il nome di equazioni costitutive viscoelastiche ad una sola dimensione.

1.6. MODELLAZIONE DI UN SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ

1.6. I. Generalità L'oscillatore elementare consente di introdurre in modo semplice alcuni dei concetti fondamentali della dinamica delle vibrazioni. Il modello matematico dell'oscillatore semplice ad un grado di libertà, permette di descrivere in modo sufficientemente accurato la dinamica di strutture abbastanza semplici. Esso può essere impiegato anche per sistemi più complessi. al fine di ricavare indicazioni orientative in vista delle applicazioni. Va anche osservato che attraverso lo studio dei modi principali di oscillazione, trattati nei capp. 11 e 12, è possibile ridurre l'analisi dei sistemi a più gradi di libertà, e persino di quelli continui, a quella dei sistemi ad un solo grado di libertà. Nelle pagine immediatamente seguenti, si fa riferimento alla schematizzazione di una struttura reale (fig. 1.15.a), attraverso il suo modello analitico ad un grado di libertà (fig. 1.15.b ). Si intende, alla fine, pervenire al modello matematico della struttura reale oggetto di studio. 1.6.2. Modello analitico

L'oscillatore di fig. 1.15.b si dice ad un solo grado di libertà, poiché la massa m può traslare solo secondo la direzione dell'asse x. Nel moto vibratorio attorno alla posizione di equilibrio, detta massa è sottoposta ali 'azione della forzante esterna p( t) e delle reazioni F E ed F 0 esercitate dalla molla di rigidezza k e dallo smorzatore viscoso avente costante di smorzamento c. In generale, la molla rapprtst:ma gii elementi elastici, mentre lo smorzatore simula le varie dissipazioni di energia che possono verificarsi nel sistema reale. In fig. 1.15.a il sistema reale è costituito da un motore di massa rn sospeso elasticamente attraverso i tasselli di gomma di rigidezza k. Lo spostamento della massa inerziale è inibito da ammortizzatori viscosi. Le masse in moto alterno (oppure lo squilibrio del motore) generano le forze dinamiche che costituiscono la forzante p( t) (modello delle azioni).

20

,---------------------------------~

I

Massa inerziale

\

I

o

T

Tassello di

X, U

/ /

/

I

Basamento

'Ammortizzatore

a) Struttura reale

Q

X

~

Molla

\k

Massa

T p(t)

~m

Forzante

b) Modello analitico

Figu1·a 1.15. Schematizzazione della struttura (sistema) reale attrav,!rso il suo modello analitico.

I: comportamento dinamico del sistema reale di fig. 1.15.a può essere rappresentato attraverso il modello analitico di fig. 1.15.b. Se si applicano al modello analitico le leggi della fisica, si ricava il modello matt~matico del sistema, come qui di seguito illustrato.

21

1.6.3. Modello matematico

Per ricavare il modello matematico a partire dal modello analitico di fig. 1.15.b, si supponga che la massa m nel suo moto vibratorio sia individuata dallo spostamento u( t) , a partire dalla posizione di quiete (fig. 1.16.a), detta anche posizione di equilibrio statico. Lo spostamento u = u( t) rappresenta la variabile indipendente del sistema, ossia la coordinata Iagrangiana. Nella generica posizione (fig. 1.16.b), le forze agenti sulla massa sono la reazione elastica FE della molla, quella Fv dello smorzatore, la forza d'inerzia F 1 e la forzante esterna p( t) , dipendente soltanto dal tempo. Alla massa sono applicate anche la forza di gravità mg, equilibrata dalla reazione R. Queste ultime due forze non intervengono nell'equazione di equilibrio dinamico. Per il principio di d' Alembert (5), istante per istante si fanno equilibrio le forze agenti e le forze d'inerzia. Se si scrive l'equilibrio alla traslazione secondo l'asse x per il sistema di fig. 1.16.b, si ricava: ( 1.6.1) Per descrivere matematicamente il modello analitico, alla legge della fisica ( 1.6.1 ), che esprime un bilancio, occorre associare le equazioni costitutive, dette anche equazioni feno-

menologiche:

u(t)

k

m

01---------------X Fe

p(t)

----.

___m__ _

-+---•

I

F1 -+--- 1

..,___, _____ I

F

.

I p(t) 1 mg 1 - - - - . ♦ I

{' t W///.1/f.//& I

o

•R=mg I

a) Posizione di quiete

b) Posizione generica

Figura 1.16. Massa dell'oscillatore nella posizione di quiete ed in quella generica.

(5)Jean Le Ronde D'Alembert (1717-1783).

22

= ku(t)

( 1.6 .2)

FB

( 1.6d)

FD = cu(t) = cdt

(1.6.4)

u F = mu.. ( t ) = md -2 1 d t2

.

du

La ( 1. 6.2) esprime il legame elastico lineare tra la forza dastica l"e e lo spostamento u( t) della molla di rigidezza k. La ( 1.6.3) rappresenta la relazione lineare tra la forza viscosa FD e la v1!locità it( t) dello smorzatore di costante e . Nella forma F = mii( t), la (1.6..4) costituisce la seconda legge della dinamica, essendo ii( t) l' acc1~lerazione . La sostiituzione delle (1.6.2) - (1.6.4) nella (1.6.1) pennette di pervenire all'equazione del moto del sistema, detta pure equazione di equilibrio dinamico: ( 1.6 .5)

mii(t) + cù(t) + ku(t)

= p(t)

L'equazione differenziale del secondo ordine (1.6.5) rappresenta il modello matematico del probl,!ma oggetto di studio. Le costanti m, e e k sono denominiate parametri del modello matematico. St: si indica con ( 1.6 .6)

d2 d L=m-+c-+k dt 2 dt

I' operatorti differenziale lineare del secondo ordine, la (1.6.5) ammette la rappresentazione ( 1.6 .7)

Lu(t)

'= p(t)

oppure

Lu= p

1.7. IDENTIFICAZIONE STRUTTURALE, PROBLEMI DIRETTO ED INVERSO Il moddlo matematico (1.6.5) dell'oscillatore semplic:e consenlte di ridurre il problema vibrant,~ considerato nei paragrafi precedenti a quello di un sistema, la cui grandezza di ingresso (input) è la forzante p( t), detta anche azione, oppure sollecitazione (fig. 1.17). La grandezza in uscita (output), ossia la risposta del sistema, rappresenta lo spostamento u( t) della massa dalla sua posizione: di quiete. Il sistema è descritto dall'operatore differenziale lineare L (l . 6.6). L:1. rappresentazione sistemistica (fig. 1.17) del problema dell'oscillatore ad un grado di libertà, consente una formulazione sintetica dei seguenti tre probkmi: l) problema diretto; 2) problema inverso; 3) problema di identificazione.

23

Sistema

Azione

mi.i +cu+ku -p(t) oppure

p(t)

Lu=p

Risposta u(t)

Figura 1.17. Rappresentazione della forzante e della risposta come grandezze in ingresso e in uscita di un sistema.

Problema diretto Nel problema diretto è noto il modello matematico (1.6.5) ed è assegnata la sollecitazione p( t). Si può ricavare la risposta u( t) del sistema, ossia la legge di variazione dello spostamento u( t) della massa. Questo problema verrà risolto nei capp. 3, 4, 9 per i sistemi smorzati ( cf- O) e non smorzati ( e = O), considerando sia il moto libero perturbato ( p( t) = O) sia il moto forzato, dovuto a forzanti esterne p( t) di vario tipo. Formalmente, si può scrivere

(l.7.1) essendo L- 1 l'operatore inverso di L.

Problema inverso Nel problema inverso si conoscono la risposta u(t) ed il modello matematico (l.6.5), ed occorre risalire alla causa p( t) che ha prodotto la risposta u( t). Questo problema è meno importante degli altri e formalmente più semplice, poiché occorre calcolare p( t) come sommadelletreforze FE = ku.,Fv = cu, e F1 = mii.. Formalmente, lasoluzione p(t) del problema inverso, risulta essere ( 1.7 .2)

p

= Lu

Problema di identificazione strutturale Nel problema di identificazione strutturale, sono note la risposta u.(t)

= u.*(t) e la sol-

lecitazione p( t) = p*( t). Si richiede di determinare i parametri m, k e e del modello matematico ( 1.6.5) che fanno corrispondere alta grandezza di ingresso p*( t), la grandezza in uscita u. •( t).

I tre problemi delineati sopra possono essere illustrati anche nel caso di sollecitazione statica.

24

L

a) Modello analiticc,

b) Modello matematico

Figur:1 1.18. Modelli della trave a mensola sollecitata da un carico concentrato.

Pt:r la mensola a sezione costante, sollecitata da una forza F' concentrata all'estremo libero, lo spostamento del suo punto di applicazione si calcola attraverso il seguente modello matematico (fig. 1.18):

FL 3

( 1.7 .3)

'r/ = 3EI

ove B denota il modulo di elasticità del materiale ed I il momento d'inerzia della sezione retta della trave. Se si introduce la rigidezza k

k = 3EI L3

(1.7.4)

si può scrivere la relazione (1.7.3) nella forma

F' = kr,

( 1.7 .5) Ebbene, noti F e k si ricava r, ed r,

la determinazione di F'

.

= F / k, ossia si risolve il problema diretto. Assegnati k

= k·!/

.

costituisce la soluzione del problema inverso. Se si

misurano F ed r,, si identifica la rigidezza k = F/r, del modello matematico (1.7.5). Il problema dell'identificazione dinamica verrà trattato nel cap. 6 del Voi. 2.

1.8. CENNI INTRODUTTIVI ALLA DINAMICA ALEATORIA 1.8.1. Premessa Finora, i parametri che caratterizzano i vari modelli che intervengono nell'analisi dinamica sono stati tacitamente assunti detenninistici, ossia definibili con cc:rtezza.

25

Nel par. 1.7 si è detto che la soluzione del problema diretto dell'oscillatore semplice consiste nel ricavare la risposta u( t), una volta assegnata la forzante p = p( t) ed il modello matematico (1.8.1)

mii(t) + cù(t) + ku(t) = p(t)

Se i parametri dei modelli sono deterministici, la soluzione della ( 1.8.1) è una funzione continua del tempo. Detta soluzione u( t), denominata anche segnale, oppure segnale di uscita, si dice detenninistica, poiché il suo valore u( t) è conosciuto istante per istante ed è descritto da una legge matematica. Quando i parametri m, e, k del modello matematico sono incerti (si dice anche che sono aleatori, oppure casuali, oppure affetti da incertezza), ossia non si possono esprimere mediante singoli numeri, la risposta dell'oscillatore non può essere più descritta da una funzione continua, poiché risulta aleatoria. Anche quando non si riesce a prevedere esattamente le determinazioni della forzante p = p( t), la risposta del modello è casuale, oppure stocastica. In tali casi si può determinare, ad esempio, la probabilità a che, al generico istante t, la risposta u( t) sia compresa in un intervallo di estremi u 1 e u 2 ( 1.8 .2) ovvero, la probabilità /3 che lo spostamento u( t) sia inferiore ad un prestabilito valore U dello spostamento stesso: ( 1.8 .3)

/3 = P( u( t) < U)

Il concetto di probabilità verrà introdotto nel par. 5.2 del Voi. 2. In quello successivo, invece, verranno trattate le funzioni di densità e di distribuzione di probabilità. È da notare che, nella realtà, le varie grandezze geometriche e meccaniche sono sempre affette da incertezza. Anche la sollecitazione spesso è una grandezza casuale. Le incertezze possono essere ridotte con accurate misure, ma non eliminate. Il cap. 5 del Voi. 2 è interamente dedicato al tema dell'analisi aleatoria. 1.8.2. Struttura modellata da un sistema lineare

Sotto determinate ipotesi, la struttura può essere trattata come un sistema lineare. La variabile d'ingresso (denominata anche, a sec;onda dei contesti in cui si opera, causa,

azione, input) è indicata con x( t) in fig. I.I 9. La variabile di uscita (detta anche effetto, risposta, output) è indicata genericamente con y(t).

Nel caso particolare dell'oscillatore ad un grado di libertà, invece, la variabile di ingresso è la forzante p( t), mentre la risposta u( t) denota la variabile di uscita (fig. 1.19).

26

_P_(t)_=_x_(t)• Btruttura _Y(_t)_=_u_(t)• Ingresso (Input)

Uscita (Output)

Figura 1.19. Struttura modellata come sistema lineare.

Per indicare che l'effetto y( t) è associato alla causa x ( t) si può usare una delle notazioni ( l.8 .4)

A[x(t)] = y(t)

oppure

A.x = y

Il simbolo A rappresenta la legge (la trasformazione, oppure l'operatore) che alla funzione x( t) fa corrispondere la funzione y( t). Tale operatore caratterizza il sistema. Con riferimento all"oscillatore semplice, è da notare che l'operatore ;l risolve il problema diretto. La generica. forzante p = p(t) appartiene al dominio '.2'(.A) dell'operatore A, mentre la corrispondente risposta u == Ap è un elemento del codominio R( A) dell'operatore, detto anche rango dell'operatore. Nel problema diretto, infatti. sono noti il modello matematko, qui rappresentato dall'operatore A, e la forzant,e esterna p = p( t). La risposta u = u( t) del sistema, ossia la soluzione del problema diretto, è il irisultato della trasformazione A(p( t)] = Ap, essendo p = p( t) la grandezza di ingresso.

P ~r introdurre il c:oncetto di operatore lineare, si considerino le risposte y 1 ( t) ed y 2 ( t) associate alle sol.lecitazioni x 1( t) ed x 2 ( t), rispettivamente. Fo1malmente, si può scrivere 1

( 1.8 5) Indicate con a I e a 2 due costanti arbitrarie, il sistema si dice lineare se alla causa x( t) = a 1x 1 ( t) + a 2 x 2 ( t) corrisponde l'effetto y( t) = a 1y 1(t) + a 2 :c 2 ( t). Dal punto di. vista form.de, l'operatore A si dice lineare se vale la relazione di linearità: ( l.8 .6) per natte le funzioni :e 1 = x 1( t) e x 2 = x 2 ( t) e per tuttt: le coppie! a I e a 2 di numeri reali. Per le (l.8.5), la (l.8.6) assume l'aspetto ( 1.8 .7)

27 Nel caso dell'oscillatore semplice smorzato, di parametri m, e e k e sollecitato dalla forzante p( t) , l'equazione differenziale del moto è stata scritta nella forma ( 1.6. 7) qui di seguito riscritta per comodità:

Lu= p

( 1.8 .8)

= u( t) è la risposta ed L è l'operatore differenziale lineare del secondo ordine. Le funzioni u = u( t) in uscita definiscono il dominio q; ( L) dell'operatore L, mentre quelle in ingresso p = p(t) appartengono al codominio R(L) dell'operatore L in narrativa. come è illustrato nel par. 1.6.3. Nella (1.8.8) u

1.8.3. Segnali deterministici ed aleatori 1.8.3.1. Generalità Si dà il nome di segnale ad una generica grandezza fisica variabile nel tempo, come la corrente, la pressione, lo spostamento. Il segnale si dice determinato, oppure deterministico, quando è noto l'andamento in ogni istante della sua durata. Quando non si conosce a priori la sua legge di variazione, il segnale viene denominato aleatorio. I segnali aleatori, caratterizzati da variazioni imprevedibili nel tempo, possono presentare caratteristiche di regolarità. La teoria dei segnali sviluppa modelli matematici atti a rappresentare i segnali fisici, facendo astrazione della loro natura. I segnali deterministici si rappresentano mediante funzioni reali di variabile reale, nel caso di segnali continui. La fig. 1.20.a illustra un segnale continuo x( t). La fig. 1.20.b, invece,

X= X(t)

x(t)

Segnale continuo

Segnale discreto

o a)

Figura 1.20. Segnali deterministici: a) continuo e b) discreto.

b)

28 rappr,esenta un segnale discreto nel tempo, poiché la funzione x = x( t) assume i valori soltanto in corrispondenza dei valori discreti t 1 , t 2 , ••• , t 7 , della variabile tempo. Pertanto, il modello matematico dei segnali determinati è costituito da funzioni reali di variabile continua, oppure discreta.

•

t = t,

T

----------+ Figura 1.21. Famiglia di funzioni casuali del tempo.

29

i. 8.3.2. Traiettoria di un processo stocastico Il modello matematico comunemente impiegato per descrivere un segnale aleatorio (oppure casuale) è il processo aleatorio, detto anche processo casuale, oppure processo stocastico. Il processo stocastico può essere definito da una famiglia di funzioni del tempo. Ciascuna funzione della famiglia è detta storia, oppure realizzazione, oppure traiettoria del processo stocastico. La fig. 1.21 illustra una famiglia di funzioni casuali del tempo, dette funzioni campiona-

rie. Ciascuna funzione della famiglia viene anche denominata con il termine inglese « time history». Dette funzioni possono rappresentare la collezione di registrazioni casuali. L'attributo casuale deriva dal fatto che le «time histories» sono ottenute ripetendo lo stesso esperimento nelle medesime condizioni. Ciascuna funzione non è specificata, ossia non si conosce la legge y = y( t), altrimenti si ricadrebbe nel segnale deterministico. Per fissare le idee, si supponga di misurare l'ampiezza di vibrazione del punto B di un ponte autostradale avente lo schema strutturale riportato in fig. 1.22. Misurando ad intervalli di I O minuti lo spostamento v 8 = y( t) in funzione del tempo, per una durata di 20 secondi, si possono registrare 24 «time histories» a partire dalle ore 1O del primo giorno di agosto di un anno prestabilito. Dette registrazioni y 1( t), ... , y 24 ( t) saranno l'una differente da li 'altra. Se si suppone che negli anni successivi, nel medesimo orario e operando con le stesse modalità, una qualsiasi registrazione sia rappresentata da un elemento dell'insieme illustrato in fig. 1.21, si dice che la famiglia di funzioni ( n = 24) :

( 1.8 .9) definisce un processo stocastico. Detto processo stocastico è discreto, poiché i membri della famiglia sono ventiquattro, ma a parametro continuo, essendo la generica «time history» una funzione continua del tempo.

w--,---_zs:--..------------_zs:------~B

Figura 1.22. Modello geometrico di struttura.

30

Giova rilevare che, nelle ipotesi in argomento, non si conosce la realizzazione del processo prima dell'esecuzione dell'esperimento. In altre parole, pur conoscendo che la traiettoria sarà una delle funzioni di fig. 1.21, solo al termine della prova si conoscerà l'effettiva determinazione.

1.8. 3.3. Spazio campione dell'esperimento casuale :~i dice che le funzioni del tempo ( 1.8.9) costituiscono lo spazio campione del processo stocastico, mentre la generica funzione campionaria Y;( r), i = I , ... , 24 rappresenta uno dei pos!iibili risultati dell'esperimento casuale. Pertanto, lo spazio campione può essere definito corr.e l'insieme delle possibili determinazioni di un espeirimento casuale. l~e suddette funzioni possono essere caratterizzate da propriet,1 statistiche come, ad esempio, dalla probabilità che in un certo istante t = t 1 le ampiezze istantanee dei vari membri siano inferiori ad un valore prefissato. Un'altra proprietà statistica è la probabilità congiunta che all'istante t = t 1 le ampiezze siano inferiori ad un certo valore ed all'istante t:

•=

t2,

siano inferiori ad un altro determinato valore. La conoscenza di tutte le probabilità di questo tipo definisce completamente il processo stocastico. Nel cap. 5 del Voi. 2 viene determinata la risposta di un osdllatore semplice smorzato all'azione! di una eccitazione casuale (fig. 1.23). Come: già affermato in precedenza, l'eccitazione deterministica è rappresentata da una fumione p = p( t) nota del tempo. Tale funzione pennette di c:onoscere la sua determinazione in anticipo, prima del generico istante t considerato. Quando non è possibile prevedere esattamente le sue dete1minazioni, l'eccitazione si dice casuale.

p(t)

k

Fig1ua 1.23. Oscillatore semplice eccitato da forzante casuale.

Eccitazione casuale

2

Richiami e formulazione unificata dei problemi

«Non esistono formule che possano spiegare la verità, l'armonia, la semplicità del mondo». JOHN BARROW ( 1764-1848)

2.1. VETTORI SPOSTAMENTO, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE 2.1.1. Premessa In questo capitolo verranno prima richiamati concetti di cinematica e di dinamica, presentati nelle varie notazioni. Alla fine del capitolo, poi, l'attenzione viene concentrata sulla formulazione unitaria dei problemi. Vengono esposti i criteri per classificare e rappresentare le grandezze e le equazioni di una teoria fisica. In modo particolare, si farà riferimento al punto materiale e al corpo rigido con un asse fisso: Notevole importanza viene data anche alle rappresentazioni sul piano complesso, trattate nel par. 2.3. Dopo aver discusso la forma cartesiana e polare di un numero complesso, si passa alla rappresentazione dei vettori rotanti. Degne di nota sono le operazioni di derivazione e di integrazione di un numero complesso e la loro traduzione sul piano complesso.

2.1.2. Velocità Si supponga che un punto materiale si muova su una traiettoria o curva I'.'.' dello spazio. Sia r = r( t) = P - O il vettore posizione del punto P al tempo t·, e (2.1.1)

r( t + t,. t) = r + t,. r

il vettore posizione del punto A al tempo t + t,. t, essendo t,. r = A - P (fig. 2.1 ). Per la (2.1.1 ), risulta lecito immaginare che il vettore posizione r( t), congiungente l'origine O di un sistema di coordinate Oxyz con il generico punto P, descriva con il suo punto finale la curva I'.'.', al variare del parametro t.

p A

M

r

Traiettoria V r+M

y

Figura 2.1. Vettori posizione dei puntii P ed A della cun'a Y, dello !,pazio.

La deriivata del vettore posizione r( t) rispetto al parametro t è la velocità istantanea del punto P: V 0=

( 2 .1.2)

~ = lim ~ = lim r(t+ ~t) - r(t) dt

t>t-~o ~t

t>t-o

~t

La derivata del vettore posizione rispetto al tempo t. che denota la velocità con cui il punto finale di r descrive la curva -t;, è rappresentata da un vettore tangente alla traiettoria Y, in P. Indicate con x = x( t), y = y( t), z = z( t) le coordinate del punto P, il vettore posizione del punto può esprimersi nella fonna cartesiana

r = x(t)i + y(t)j + z(t)k

(2 1.3)

ove i, j e k sono i versori degli assi x, y e z. rispettivamente. Le (2. l .2) e (2.1.3) consentono di scrivere

( 2 1.4)

t'

-

=

V

d( . . k) dx. dy. dz Xl+ YJ + z = - • + -J + --k dt dt dt dt = .i:i + yj + ik

= -

avendo denotato con il punto la derivata temporale

( 2. I .5)

:n Il modulo lv I = v della velocità è denominato velocità scalare ed è fornito da

(2.1.6)

lvi=

v

ds dt

=

ovvero

v·' ., .,

lvi= v = -ds = x - + y- + zdt

( 2. l. 7)

ove

ds = ✓dx 2 + dy 2 + dz 2

(2 .1.8)

denota la lunghezza infinitesima dell'arco e vx, vy, v, le componenti del vettore velocità v secondo gli assi x, y e z. 2.1.3. Accelerazione La derivata della velocità rispetto al tempo, definisce l'accelerazione istantanea del punto

P: (2 .1.9)

a = -

3

= dv = lim v ( t + ~ t) - v ( t) dt

~t-o

~t

In funzione del vettore posizione (2.1.3), la (2.1.9) prende la forma

(2.1.10)

in virtù della (2.1.2). Le componenti del vettore accelerazione (2.1.1 O) sono le derivate seconde delle coordinate del punto P rispetto al tempo:

( 2. I .11)

..

d2y

y

= d t2

'

.. d2z z= - d t2

Nelle (2.1.1 O) e (2.1.11) con i due puntini sono indicate le derivate seconde rispetto al tempo. Se si indicano con t·I. vY e v, le componenti del vettore velocità secondo gli assi x, y e z. rispettivamente. si può scrivere ( 2 .1.12)

34 Se si indicano con ax, ay e az, nell'ordine, le componenti del vettore accelerazione a rispetto agli assi J:, y, z, si ha la seguente rappresentazione cartesiana (2.1 13) Confrontando le (2.1. l O), (2.1 . 11) e (2.1.13) risulta 2

2

(2.1.14)

a = x

d X x= -dt2 '

a

d z =z=-z d t2

2.1.4. Acceleraziomi tangenziale e normale Si supponga che il punto materiale P si muova lungo la curva 3". di fig. 2.2. Si consideri nel punto P l'origine di un sistema di coordinate ortogonali (mobile con il punto) definito dal versore~ tangente t , dal v-ersore normale principale n e dal versore binormale b alla curva 3" in parola. Detto 1r il vettore posizione del punto P valgono le relazioni [SI], [S2], [S3]:

( 2 .1.15)

dr t=t =-

-

dt

n = n = R- _b ds' ds'

=

b

=t

x n

ove R è il raggio di curvatura di W nel punto P ed s de:nota la lunghezza dell'arco misurata a par:ire da un punto assunto come origine su ~. li simbolo x denota il prodotto vettoriale.

z

y

Figura 2.2. Rappresentazione dei versori tangente t, normale n e binormale b, unitamente al vettore posizione P - O.

35 L'accelerazione a della particella che si muove lungo la curva zf' con velocità v ammette la rappresentazione

a

( 2 .1. 16)

=

v2

dv

- t + -n dt R

=

a t+a n n

t

La componente dv/ d t secondo la direzione della tangente prende il nome di accelerazione

tangenziale at, mentre la componente v2 / R secondo la normale principale è detta accelerazione normale o centripeta an = acLa derivata d t / d s del vettore t , tangente alla curva, è normale al versore stesso; cioè il prodotto scalare dei predetti vettori è nullo (1):

(2 .1..17)

Essendo

t

x=

dt

·-=o ds

1 / R la curvatura, la seconda delle (2.1.15) può anche porsi nella forma dt ds

xn= -

(2 .1.18)

Per quanto concerne l'espressione (2.1.16), si osservi che quando la particella si muove sulla curva dello spazio con velocità v, si può scrivere V= vt

( 2. l.19)

ove v è il modulo del vettore v e t il versore tangente. Se si calcola l'accelerazione dv d dv dt a= - = -( vt) = - t + v dt dt dt dt

( 2. l.20) e si osserva che ( 2. l.21)

dt dtds ds = - - = xn- = dt dsdt dt

-

XVD

v R

= -A

la sostituzione della (2.1.21) nella (2.1.20) fornisce la (2.1.16).

( 1) Siccome t è un versore, il prodotto scalare di t con se stesso è uno, cioè si ha t . t rispetto ad s risulta

dt dt dt t--+--t=2t--=O ds ds ds La (I) dimostra che t è perpendicolare a d t / d s.

(I)

= I . Derivando

36

2.1.5. Moto circolare Quando il punto materiale P si muove sulla circonferenza C di raggio R (fig. 2.3), ,,--...._

siano s la lunghezza dell'arco SP, misurata a partire dal punto S, e t9 il corrispondente angolo al centro. Si ha s = Rt9. I moduli della velocità tangenziale v e dell'accelerazione corrispondente sono fomiti da

v = c: 1

(2 .1.22)

(2.1.23)

a

1

=

v = -dv dt

d2s

= -

d t2

d 2 t9

= R -,d t2

=

Ra

Nelle (2.1.22) e (2.1.23) sono state indicate con w ed a, rispettivamente la velocità angolare e l'accelerazione angolare (2.1.24)

dt9

d 2 t9 .. a == t9 2 dt

.

w=--=t9 dt l

L'acc:elerazione normale, oppure centripeta an, prende la forma

,

v-

,

R = w- R

a = -

( 2 .1.25)

n

in viltù delle (2.1.16) e (2.1.22).

y

s

o

s

)(

Figura 2.3. Parametri del moto circolare uniforme.

37

Esempio 2.1

Una particella si muove lungo una curva avente equazioni parametriche ( 1)

= 2 e - 31 ,

x

y

= 4 sen t,

z

= 5 cos 2 t

dove il parametro t indica il tempo. a) Calcolare la velocità e l'accelerazione della particella. b) Detenninare i valori della velocità e del] 'accelerazione della particella al tempo t = O, nonché i loro moduli. Soluzione Per le (1) il vettore posizione r della particella assume l'aspetto (2)

r = xi + yj + zk = 2 e- 31 i + 4 sen tj + 5 cos 2 tk

e la velocità v prende la fonna ( 3)

v =

~ = -6e- 31 i + 4 cos tj dt

- IO sen 2tk

Nelle (2) e (3) i, j, e k denotano i versori degli assi della tema cartesiana ortogonale di riferimento. La (3) avverte che le componenti di velocità ammettono la rappresentazione

X=

V

X

= -6e-Jt '

y = vY = 4 cos t z = v, = - IO sen 2 t

( 4)

Derivando rispetto al tempo la (3), si ricava il vettore accelerazione ( 5)

dv d2r _ 31 • a = -d = - d = 18 e 1 1

t

t-

•

-

4 sen t J - 20 cos 2 t k

La (5) fornisce le componenti del vettore accelerazione

( 6)

aX =

x=

l8e- 31

aY =

ii

-4 sen t

a,=

z = -20 cos2t

=

b) Al tempo t =O, dalle (3) e (5) si ricavano nell'ordine ( 7)

I

6" 4· v =dr =-t+J d t i~o

38 a = -dvi

( 8)

dt

18 i - 20 k

= t~O

I moduli di v e di a al tempo t == O valgono d3 dt

=

lv I =

modulo della velocità = v' 6 2 + 4 2 = 2 v13

la\ =

modulo dell'accelerazione

=

J18 2 + 20 2 = 2 \/'181

Esempio 2.2 S/ consideri la curva I".;. dello spazio descritta dal vettore posizione

r = 2 cos 3 ti + 2 sen 3 tj + ( 8 t - 2) k

( 1)

Calcolare in ogni punto della curva: 1) il versore tangente t; 2) la curvatura x ed il raggio di curvatura R; 3) il v1~rsore n della nomiale principale; 4) l'accelerazione di una particella che si muove sulla curva in accordo al suo vettore posizione. Soluzione

Il vettore velocità ( 2)

v =

dr dt

.

.

= -6 sen 3 t1 + 6 cos 3 tJ + 8 k

è un vettore tangente alla curva t·. li modulo di tale vettore è ( 3)

drl = -ds =V ( -- 6 sen 3 t )- + ( 6 cos 3 t) - + 8 - = IO l-dt dt O

O

Dalle (2) e (3) si può ricavare il versore tangente a Y :

( 4)

dr/dt dr/dt dr t=---=--=-·-= ldr/dtl ds/dt ds 3 ,,. 3 . 4k = -- - sen ., t 1 + - cos 3 t J + 5 5 · 5

Tenendo conto delle (4) e (3), la (2) assume l'aspetto ( 5)

v=IOt=vt

0

39

cioè la velocità v = d s / d t = I O lungo la curva è costante. La derivata del vettore tangente (4) rispetto a s fornisce

dt ds

dt/dt ds/dt

-(9/5)cos3ti -(9/5)sen3tj 10

-=--=---'--'-------'-'----~ ( 6)

9 cos 3 ti. - 9 sen 3 tJ. = - 50 50

La curvatura

x risulta essere il modulo del vettore (6)

9

( 7)

50

mentre il raggio di curvatura è R = I lx = 50 /9 . Per la seconda delle (2.1.15) si ha l'espressione del versore della normale principale

dt 50 ( --cos3tt--sen3tJ 9 . 9 ·) = n=R-=ds 9 50 50 = - cos 3ti - sen 3tj

( 8)

L'accelerazione è fornita dalla (2.1.16), qui di seguito riscritta per comodità

dv dt

v2

a= - t + -n

(9)

R

Per la (5), la velocità v = IO è costante, per cui l'accelerazione tangenziale a 1 è uguale a zero. L'accelerazione cent:-ipeta o normale ac = an, invece, ammette la rappre~entazione

( 10)

ac

v2

10 2 50/9

= an =a= -n = --(-cos3ti -sen 3tj) R

= -18( cos 3 ti + sen 3 tj)

40

2.2. RICHIAMI SUI MOTI ARMONICI 2.2.1. Spostamento, velocità ed accelerazione Quando ùn punto P si muove con velocità angolare costante w = d ,{) / d t su una circonferenz1 di raggio R e centro O, allora il moto della proiezione del punto P su di un diametro della circonferenza (fig. 2.4.a), prende il nome di moto annonico semplice di ampie2za R e centro O. In fig. 2.4.a sono indicate con A e B le proiezioni del punto P, rispettivamente sulle due rette :e e y tra loro ortogonali, passanti per il centro O della circonferenza di raggio

R.

y

T

v(t) a)

_ Q_,.......---=---------B

s

R

I

CùÌ

i

--=-:1>-----i---L___.._

S'.

0

A

- -. . . . .~_____

S

-·

---------+--------+------+

wt

X

__J _ _ _ _ _

D e) u(t)

2rc • I I

I

b)

/

wt •

Figun1 2.4. Moti armonici relativi a due diametri tra loro ortogonali.

41

Si denotino con u( t) e v( t), nell'ordine, gli spostamenti (2) dei punti A e B sugli assi x e y, nella generica posizione del punto P individuato dalla anomalia {) = wt, essendo w la velocità angolare e {) l'angolo descritto dal raggio vettore P - O, nell'intervallo di tempo [O, t]. All'istante t = O, il punto P coincide con il punto S (fig. 2.4.a) di intersezione della circonferenza con l'asse x delle ascisse. Con le notazioni illustrate in fig. 2.4, al tempo t f- O si ha (2 .2 .1)

OA

(2 .2 .2)

OB = v(t) = Rsen wt

=

u(t)

=

Rcos wt

Le (2.2.1) e (2.2.2) rappresentano le equazioni di due moti annonici relativi agli assi x e y, rispettivamente. Essi sono rappresentati in fig. 2.4.b e fig. 2.4.c. Dalla fig. 2.4 e dalle (2.2.1) e (2.2.2) si rileva che il moto annonico semplice è un moto periodico. Difatti, il moto del punto A sull'asse x (ovvero quello del punto B sull'asse y) si ripete identicamente con tutte le sue caratteristiche, ad intervallo di tempo definito. Tale intervallo di tempo è chiamato periodo del moto e si indica con T. Si dice anche che il periodo del moto è la durata di una oscillazione completa, detta anche vibrazione o ciclo (3). La massima distanza del punto A dal centro O della sua traiettoria, oppure la distanza massima di B da O, prende il nome di ampiezza del moto annonico u( t), ovvero v( t). Con riferimento al moto annonico descritto, ad esempio, dal punto B ed espresso dalla (2.2.2), l'espressione della velocità del punto B si ottiene derivando, rispetto al tempo, la funzione spostamento v( t)

(2 .2 .3)

v(t) = :tv(t) =wRcoswt

Il punto posto sopra lo spostamento v( t) denota l'operazione di derivazione rispetto al tempo t.

(2) In questo paragrafo, con v( t) viene rappresentata una componente di spostamento. Nel par. 2.1, invece, con v = v( t) si è indicato il modulo del vettore velocità. (3) Quando il punto P descrive la circonferenza con moto uniforme (fig. 2.4.a), la sua proiezione

B sull'asse y, ad esempio, si muove sul segmento QD, oscillando fra i punti Q e D. Quando ~

~

P descrive la semicirconferenza DSQ, oppure la semicirconferenza QS' D, si dice che B compie una oscillazione semplice, cioè il percorso rettilineo QD. Una oscillazione completa, costituita da due oscillazioni semplici consecutive, viene compiuta in un intervallo di tempo uguale al periodo T. Il numero f di periodi contenuti nell'unità di tempo si chiama frequenza.

42

Il massimo valore assoluto della velocità

li'max I si ricava dalla (2.2.3) per

cos wt = 1 :

( 2 2 .4) L'accelerazione del punto B in discorso si ricava dalla (2.2.3), derivando la velocità rispetto al tempo, oppure dalla (2.2.2), derivando due volte la funzione spostamento, sempre rispetto al parametro t (4 ): (2.2.S)

ij

d2 dt2

d dt

= - v ( t) = -i:( t) = -w 2 R sen wt

Il mai;simo valore assoluto dell'accderazione sen wr = I :

lv mar I

si desume dalla (2.2.5), allorché è

(2 .2 .5) In fig. 2.5 sono illustrate le tre funzioni (2.2.2), (2.2.3), (2.2.5) ed indicati i valori dello spostame11to v( t), della velocità v( t) e dell'accelerazione ;u( t).

2.2.2. Periodo e frequenza Nelle espressioni dello spostamento (2.2.2), della velocità (2 ..2.3) e dell'accelerazione (2.2.5) compaiono le funzioni periodiche cos wt, oppure sen wt. Per ogni numero n intero, si ha

V

/ ., n1r ·)] sen w t = sen ( w t + 2 mr) = sen [ w + ~-

(2 .2 .7) / ") TI7T -,')] coswt=cos(wt+2n7T) =cos [ w (\t+ -w ossia le fimzioni (2.2. 7) assumono lo stesso valore per t "' t 0 e t = t 0 + 2 mr / w. Pertanto, il punto mobile B (fig. 2.5.a), negli istanti t 0 e t 0 + 2 1Tn/w passa per la stessa posizione, con la stessa velocità e la stessa accelerazione. Il tempo occorrente per una oscillazione completa. prende il nome di periodo T e risulta

2n T=-

(22.8)

w

( 4 ) Va osservato che. talvolta. lo spostamento sull'asse y viene indicat,J con y stesso. In tal caso risulta

v=y,

In modo ana.logo. con

J:

i.=y,

"i=y

si indica lo spostamento sull'asse .r s1:esso.

43

y v

a)

= R sen wt

Q

S'

S

X

D v(t) = spostamento R

b)

o -R

rt/2

wt

-------------v(t) = velocità

wR

v = Rw cos wt c)

o

wt

Jt

--(J)R

--------

v(t) = accelerazione w2R

d)

o

rt/2

3rt/2 ..

--(J)2R

2

v = -Rw sen wt

Figura 2.5. Spostamento, velocità ed accelerazione del moto armonico sull'asse y. //

wt

44 L'inverso del periodo è la frequenza f : (2 .2 .9)

f=

I w -= T 21r

ed esprime il numero di cicli che si verificano nell'unità di tempo. La quantità w dicesi

freqvenza angolare o pulsazione. Il periodo si misura in secondi (sec), la frequenza in Hertz o cicli al secondo, la pulsazione in radianti al secondo (rad/sec) (5). Dalle (2.2.5) e (2.2.2) si ricava la relazione

(2 .2. IO) che l,ega, istante per istante, lo spostamento v( t) e l'accelerazione v( t) nel generico moto armonico di pulsazione w. Con riferimento alla fig. 2.5, si può notare che la velocità massima del punto si verifica all'istante t = O. Quando la derivata dello spostamento rispetto al tempo è nulla (in wt = 1r /2 , ad esempio, ove la tangente alla curva di fig. 2.5.b è orizzontale), allora si annulla la veloc:ità.

2.2.3. Equazione differenziale dei moti armonici L'equazione (2.2. IO) può anche porsi nella forma

(2.2 . 11) e prende il nome di equazione differenziale dei moti armonici. Difatti, ogni moto armonico di pulsE,zione w deve necessariamente soddisfare, istante per istante, l'equazione differenziale (2.2.11).

(5) Il periodo T si misura in secondi (sec), più precisamente in sec/ciclo. La frequenza f = I /T in cicli al secondo (cicli/sec), oppure in Hertz (Hz), essendo 0

I Hz= I ciclo sec La p1,;1lsazione w si misUt"a in radianti al secondo (rad/sec). I cicli iono ..:onvertiti in r~aRti (rad) mediante la relazioni:

( I)

( 2)

I ciclo = 2 1r rad

Pertanto (3)

I Hz= I ciclo= 2-rrrad • sec sec La (3) deriva dalla circostanza che quando il punto P descrive la circonferenza di fig. 2.5.a. la sua proiezione A sul diametro compie un·oscillazione completa.

45

Tutti i moti che soddisfano l'equazione differenziale (2.2.11 ), sono fomiti dal suo integrale generale (cfr. Esercizio 3.1 ): (2.2.12)

v(t) = C 1 coswt+ C 2 senwt

ove C 1 e C2 sono due costanti arbitrarie. La (2.2.12) può anche porsi in una delle forme ( cfr. Esercizio 3.1 ): (2.2.13)

v(t) = Csen(wt - ip)

(2.2.14)

v(t) = Ccos(wt - ip)

(2.2.15)

v(t) = Csen(wt + ip)

( 2 .2 .16)

v(t) = Ccos(wt + ip)

Inversamente, derivando due volte rispetto al tempo una delle (2.2.13)-(2.2.16), la (2.2.11) risulta identicamente verificata. Ciascuno degli angoli ±ip che compaiono nelle (2.2. I 3)-(2.2.16) è detto angolo di fase, oppure fase iniziale o semplicemente, fase del moto armonico. L'angolo wt - ip, ovvero wt + ip, è detto fase attuale. È da notare che nell'equazione (2.2.11) non figurano la fase e l'ampiezza C del moto armonico. Pertanto, la soluzione della (2.2.11) è indipendente dalla fase e dalllampiezza del_. moto armonico.

2.2.4. Illustrazione dell'angolo di fase Se all'istante t = O il vettore P - O forma un angolo ip con l'asse x, all'istante t il vettore in esame è ruotato dell'angolo wt + 'P rispetto alla direzione positiva dell'asse x (fig. 2.6).

y

o

X

Figura 2.6. Illustrazione dell'angolo di fase r.p.

46 La proiezione di P - O sull'asse reale vale:

( 2 .2 .17)

x(t) = u(t) =

IA- OI

= Rcos(wt + ip)

L'angolo formato dal vettore P - O con l'asse reale al tt:mpo t = O prende il nome! di fàse della grandezza annonica, oppure angolo di fàse. s~: il centro C della circonferenza è ubicato sull'asse, x, ma è distante u 0 dall'origine O del riferimento, risultando (fig. 2.7):

OA = OC+ CA

(2 .2 .18)

si ha u(t) = u 0 + Rcos(wt + ip)

(2.2.19)

2.2.S. Moti armonici in accordo di fase e sfasati Si considerino due moti armonici

.✓t I

e Jt 2

(2 .2 .20)

v 2 = Ccos(wt+

(2 .2 .21)

i.p 2 )

y

u(t)

Figur:a 2.7. lllustr·azione dello spostamento iniziale u0 e dell'angolo di fase rp.

47

C1

wt

Figura 2.8. Moti armonici di differenti ampiezze, ma di ugual fase.

aventi la stessa ampiezza C e fasi wt + ip 2 è costante e data da

ip 1

e

ip 2 .

La differenza tra le fasi attuali wt +

ip 1

e

(2 .2 .22)

Per /1 ip = O, si dice che i due moti armonici sono in accordo di fase o semplicemente in fase. Se la differenza /1 ip non è nulla, si dice che Jt I ha su Jt 2 un anticipo di fase o un ritardo di fase di lii ipl radianti, a seconda che Li ip sia positiva, o negativa. La fig. 2.8 mostra due moti armonici

u1

(2 .2 .23)

u2

= 0 1 sen wt = 0 2 sen wt

aventi la medesima pulsazione w, la stessa fase iniziale (zero), ma differenti ampiezze (C1

f- C2)In fig. 2.9 sono rappresentati due moti armonici

Jt 1 ) u 1 = 0 1 sen wt (2 .2 .24)

Jt 2 ) u 2

=

C 2 sen ( wt +

i)

=

C 2 cos wt

aventi la stessa pulsazione ma sfasati tra loro di 90 °. Precisamente, il secondo Jt 2 è in anticipo rispetto al primo Jt 1 , ovvero il primo è in ritardo rispetto al secondo.

48

u, ::

e, sen wt

/

wt

Figura 2.9. Moti armonici sfasati di 90 °.

2.2.6. Osservazioni a) Assumendo come equazione oraria (6 ) del moto annonico . /l I sull'asse x la (2.2.1 ), quella del moto annonico . /t :• sull'asse y prende la forma ( 2 .2 25)

u = R sen wt = R cos 0

(wt -- .2, : :_ !

Si tratta, perciò, di due moti annonici aventi la stessa ampiezza, la stessa pulsazione, ma quello sull'' asse x ha rispetto al moto annonico su y un anticipo di

i,

cioè di un quarto di 1T

periodo. Si può anche dire che il secondo moto annonico è in ritardo rispetto al primo di 2 . 7T) ·rr Risulta, per le (2.2.1) e (2.2.25) Il '{J = 'Pt - 1() 1 = O ~ ( - 2 = :f · 111 sintesi, se il moto del punto P sulla circonferenza '( è uniforme, i moti delle proiezioni

A e 8 su due diame1ri di '(., ortogonali fra di loro, hanno lo stesso centro, la stessa ampiezza

.

e la s:essa pulsazione, ma uno di essi è in ritardo rispetto all'altro cli un quarto cli periodo . b:, li moto annonico rappresenta il tipo più semplice . ma più importante, cli moto oscil-

latono: difatti, una gran parte dei fenomeni vibratori può ,~ssere caratterizzata medianti:: moti anno11ici, in assenza ddle cosiddette resistenze passive.

( 6 ) La leggi: secondo la quale varia con il tempo la tùnzione spostamento u( t) del punto .4 dal centro O, si dice equazione oraria. La rapprt:sentazione grafica di u( t), costituisce il diagramma orario.

49

c) Anche per il moto armonico sull'asse x (fig. 2.4), risultando

(2 .2 .26)

u(t) = Rcoswt = DA

(2 .2 .27)

ù{t) = -wRsen wt

(2 .2 .28)

ii( t) = -w 2 R cos wt = -w 2 u( t)

si ottiene l'equazione differenziale

(2 .2 .29) analoga alla (2.2.11 ).

2.3. RAPPRESENTAZIONI SUL PIANO COMPLESSO 2.3.1. Forma cartesiana e forma polare di un numero complesso Quando il punto P si muove sulla circonferenza di fig. 2.10 con velocità angolare w costante, il vettore P - O spaza l'angolo {} = wt antiorario, supponendo che ali' istante t = O il punto P coincida con S. Con le notazioni della fig. 2.1 O, in ogni istante risulta (2.3.1) ove i segmenti OA ed 0B possono considerarsi i moduli di due vettori A - O e B - O tra loro ortogonali, mentre IP - OI = R è il modulo del vettore P - O con origine (punto iniziale) o primo estremo in O, e secondo estremo o punto finale in P.

iy

,, .,,,. I

,"

u =x =R cos wt v = y = R sen wt

- - - ... B

/4_~' P(x, y) ~

~ l ' t = wt

1 1 I

I

O \

A

.l

,s

X

I

\' __t , '

... ,

,

,, ,,

,

Figura 2.10. Vettore di modulo [P - O[ rotante con velocità angolare w.

50

Se il vettore P -- O viene rappresentato mediante un numero complesso

(2 .3 .2)

p -

o ,= IA - 01 + ilB - 01 = X+ iy

ove i è l'unità immaginaria, x e y le coordinate di P e iy è l'asse immaginario, si può scrivf:re

P - O = R cos wt + iR sen wt .=

(2 .3 .3)

= R( cos taJt + i sen wt) = R( cos {j + i sen {j)

avendo fatto uso della (2.3.2) e delle rel~ioni

IA - 0I = x = u = R cos wt IB - 0I = y = v = R sen wt

(2 .3 4)

Nella (2.3.4) sono state indicate con x e y le coordinate del punto P, oppure con u e v per d1~notare le componenti di spostamento secondo gli assi x e y. In virtù della (2.3.3), il vettore P - O di modulo R, inclinato dell'angolo {j = wt rispetto alla direzione positiva dell'asse x, può essere considerato un vettore rotante con velocità angolare w costante attorno ali' origine O. Le: sue proi1ezioni sull'asse reale e su · quello immaginario forniscono le (2.3.4). Il vettore P--0 in questione, lo si può rappresentare çon il numero complesso z = x+ iy, oppure esprimerlo nella forma polarn z = Reifi = P - O. ln simiboli: P -

( 2 .3 .5)

O=

x + iy = z = Reifi =

= R( cos {j + i sen r))

essendo per la fonnula di Eulero eifi

(2 .3 .6) Nellf1 (2.3.5), :r Re z . mentre y

= cos {j + i sen {j

= Rcos {j prende il nome di parte reale di z e si indica con il simbolo = R sen {) si dice parte immaginaria del numero complesso z e si indica

con !m z. Pertanto, il numero complesso z può scriversi anche nella forma

z = x + iy = Re z + i Im z

(2 .3 .7)

ove !,ono indicate la parte reale x =, Re z e quella immaginaria y immaginaria i

= lm z, nonché l'unità

= ✓=T.

La (2.3.7) è indicata come la fonna cartesiana del numero complesso z.

51

La (2.3.5), invece, è detta forma trigonometrica o polare del numero complesso z = P - O, mentre R e ,9 sono denominate coordinate polari (del punto P ). Il modulo di P - O, uguale ad R, si chiama anche valore assoluto del numero complesso z = P - O, mentre l'angolo ,9 = wt prende il nome di argomento o anomalia. Risulta

lzl = IP - 01 = R =lx+ iyl = vx 2 + y 2 (2 .3 .8)

y lm z tg,J= - = x Re z

A parole, la prima delle (2.3.8) si esprime affermando che il modulo lzl di un numero complesso z è fornito dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue parti reale x = Re z ed immaginaria Im z = y. La seconda delle (2.3.8) stabilisce che il rapporto Im

z/ Re z fornisce la tangente trigo-

nometrica dell'angolo che il vettore P - O, rappresentativo del numero complesso z, forma con la direzione positiva dell'asse reale (fig. 2.1 O). 2.3.2. Derivata ed integrale di un numero complesso Si vuol far rilevare che la (2.3.6) rappresenta un vettore di modulo unitario, inclinato di ,9 rispetto alla direzione positiva di x, tale che tg ,9 = y / x = sen ,9/ cos ,9. Se ,9 = wt, ei" denota il vettore rotante (di modulo unitario) con velocità angolare w attorno al suo punto origine. Se il numero complesso z = P - O = Rei", rappresentato in fig. 2.11 dal vettore P - O, viene moltiplicato per é" si ha il nuovo numero complesso

(2 .3 .9) rappresentato in fig. 2.11 dal vettore Q - O. Difatti, i vettori z = Rei" e z 1 = Q - O = Rei< 1'+o) hanno lo stesso modulo R e sono inclinati rispetto alla direzione positiva di x, rispettivamente di ,9 e ,9 + a.

iy

IP-01 = R P(x, y)

o

X

Figura 2.11. Risultato dell'applicazione dell'operatore e' al numero complesso z = R ei4 . 0

52 Per quanto esposto sopra, si può affermare che la moltiplicazione di un vettore z = P - O per ei°', si traduce in una rotazione antioraria di z di un angolo a. Pertanto, ei°' può essere inteso come un operatore, che agisce su P - O = z producendo una rotazione antioraria dello stesso, di ampiezza e~, se si assume il verso antiorario quale verso positivo delle rotazioni. Nel caso particolare di a

== 1r

/2 , risultando dalla (2.3 .6) . /J

7r

7r

e''" - = cos -

(2 .3 IO)

+ i sen - = i

2

2

per la (2.3.9) segue che, se si moltiplica per l'unità immagi:naria il numero complesso P-0 = Re;,i = x + iy, si ottiene un nuovo numero complesso iRe;,i = i(:r + iy) = Rei(,9+•/ 2), che rappresenta un vettore dello stesso modulo, ruotato di 90 ° rispetto a x + iy = Rei.J. Si dice anche iRei.J è anticipato di 90 ° rispett~ ad Re;,i. Derivando il numero complesso z =

Ré9

rispetto a t, si ha

(2.311)

Per lt (2.3.11 ), la derivata temporale di un vettore lo trasforma in un vettore ruotato in anticipo di 1r /2 radianti e di modulo w volte maggiore (o minore). Ir,tegrando il numero complesso z = Re;,i rispetto al tempo t, si ha

1t

i,J

Re d t = R

(2 .3 12)

1t

0

e

iwt

Rei,J

z

'lW

iuJ

d t = -'.-.- = -:--

O

Pertanto, l'integrazione di un vettor,e si ottiene dividendo per ir.,,1 il vettore stesso. Poiché risulta anclhe

z

-:- =

(2.3 14)

iw

.z

-i-

w

è lecito affermare che l'integrazione del vettore z = Rei"' lo trasforma in un vettore· ritardato

di %

0

e di modulo

w

volte minore (o maggiore).

2.3.3. Rappresentaz:ione di vettori rotanti

SI indichi con X il vettore di modulo R rotante con velocità angolare w attorno al suo punto origine: (2.3 15) Le df:rivate prima X e seconda )é rispetto al tempo della (2.3.1 :5) assumono l'aspetto

(2.316)

~~ = iu.1Re'"' 1 = iwX ~~

= iu.1X = -w 2 Reiwt = ---w 2 X

iy

X

X

..

2

X= -w X

Figura 2.12. Rappresentazione sul piano complesso di vettori rotanti.

L'integrale di X rispetto al tempo prende la forma (2.3.17)

X=

f

Xdt =

f

Re'wtdt = -i~

Per quanto affermato prima, i vettori (2.3.15) - (2.3.17) hanno la rappresentazione illustrata sul piano complesso di fig. 2.12. Le grandezze X, X e X possono rappresentare, rispettivamente, i vettori dello spostamento, della velocità e dell'accelerazione. Per la rappresentazione di fig. 2. 12 si è supposto w > l .

2.4. SECONDA LEGGE DI NEWTON

2.4.l. Moto di una particella La seconda legge di Newton, oppure il secondo principio della dinamica, costituisce lo strumento più immediato per ottenere l'equazione del moto, cioè la legge che descrive lo spostamento di una massa in funzione del tempo. In generale, si può affermare che se F denota la forza esterna agente su una particella di massa m. che si muove con velocità v = v( t), risulta (7) (2.4.1)

(7)

d d . F = - ( mv) = -Q = Q dt · dt

La velocità è la derivata del vettore posizione r della massa rispetto al tempo.

54

ove il vettore

Q =mv

(2.4 .2)

è detto quantità di moto. A parole, si può affennare che la forza F agente su una particella di massa m , che si muove con velocità v temporale della quantità di moto.

= v ( t) uguaglia, istante per istante, la derivata

S€: la massa m non dipende dal tempo, la (2.4. l) prende la forma

F

(2 .4 .3)

0

=

.dv . m - =mv= ma .. dt

essendo v = a = dv/ d t l'accelerazione della particella. È da notare che F dipende, in generale, dalla posizione del punto P x, y , z) , dalla velocità P ±, f;, z) e dal tempo t .

=(

=(

L'equazione vettoriale (2.4.3) può essere proiettata sugli assi :z , y e z di una tema cartesiana ortogonale (fig. 2.13), dando luogo alle tre relazioni scalari

Fx = max

FY = may

(2 .4 .4)

F.= ma.

z

F= mc1

y

X

Figura 2.13. Forza agente su una massa m c0!1tante.

55 essendo Fx , FY , F,, ax, ay, a. le componenti sugli assi x, y e z, rispettivamente dei vettori F e a . Poiché l' accelerazione è definita dalla derivata seconda del vettore posizione, le (2.4.4) sono equazioni differenziali. Come ben noto, le leggi di Newton sono postulate per un sistema di riferimento fisso (8) nello spazio (ipotesi di spazio o moto assoluto) ed applicate a corpi puntiformi, ossia a corpi che possiedono massa ma non volume. Tuttavia, si dimostra che la legge del moto di Newton si può applicare anche a corpi di dimensioni finite sottoposti a moto piano. 2.4.2. Principio di D' Alembert La (2.4.3) è l'espressione familiare della forza, intesa come prodotto della massa per l'accelerazione. La (2.4.3) può anche scriversi nella forma (2.4 .5)

F - ma= O

Il secondo termine al primo membro della (2.4.5)

(2 .4 .6) è denominato forza di inerzia, e si oppone all'accelerazione della massa. Nella (2.4.6) r denota il vettore posizione della massa (fig. 2.13).

Il fatto che una massa m sviluppa una forza d'inerzia F1 = -ma proporzionale alla sua accelerazione a, ma di verso opposto a quello del vettore a, è conosciuto come principio di d'Alembert. Esso consente di esprimere le equazioni del moto come equazioni di equilibrio dinamico. 2.4.3. Moto piano dei corpi rigidi Il moto di un corpo rigido sf dice piano, quando tutti i punti si muovono parallelamente ad un dato piano fisso. Il generico moto piano può essere considerato composto da una traslazione parallela ad un piano fisso, più una rotazione attorno ad un asse opportuno, perpendicolare al piano stesso. Il numero di gradi di libertà per il moto piano è tre, poiché occorrono due coordinate per descrivere il moto di traslazione ed una per descrivere il moto di rotazione.

(8) Se le leggi di Newton sono valide in un sistema di riferimento, sono valide anche in un altro sistema di riferimento che si muova con velocità costante rispetto al primo. Siffatti sistemi di riferimento sono detti inerziali o Newtoniani. Per tutti gli osservatori di un sistema inerziale, la forza che agisce su una particella è la stessa. cioè è un invariante. Questo è il cosiddetto classico principio della relatività.

56

y y

,/

YG - - - - - - - - X

o

X

Figura 2.14. Grandezze relative al moto piano di un corpo rigido.

L'asse cui ci si riferisce è l'asse istantaneo e viene, spesso, scelto in modo che passi per il centn di massa G (9). Il punto in cui l'asse istantaneo interseca il piano fisso, viene chiamato centrcJ istantaneo di rotazione. S.consideriilmotodelcorpoparalleloalpiano x,y (fig. 2.14). Siano X ed Y gli assi paralleli agli assi fissi x e y, rispettivamente, condotti p1!r il baricentro G del corpo. L'asse per G ortogonale al piano X - Y è indicato con Z. Il moto del corpo risulta completamente determinato quando si conoscono le componenti = ic e Yc = vcy della velocità ve del baricentro G e la velocità angolare w = wz con cui il c:orpo ruota attorno all'asse Z.

vcx

0

0

Qui di seguito vengono considerati separatamente il moto di traslazione e quello di rotazione.

2.4.3.1. M'oto di traslazione Le fonnule relative alla particella di massa m, si estendono senza difficoltà al caso del corpo rigido. Infatti, si dimostra che il centro di massa G di un corpo rigido si muove come se la massa totale m e la forza esterna risultante F fossero applicate in questo punto. Ana-

(9) Il centro di massa si chiama anche centro di gravità o baricentro, quando il corpo è immerso in un campJ gravitazionale uniforme.

57 logamente alla (2.4.1 ), si ha

( 2 .4. 7)

d dt

d dt

F = - ( mv ,) = -Q e

ove

(2.4.8) è la quantità di moto del corpo rigido di massa m, il cui baricentro è dotato di velocità va= G. La velocità del baricentro G può esprimersi come derivata temporale del vettore posizione re= G - O rispetto all'origine O del riferimento Oxyz (fìg. 2.14)

(2 .4 .9) Se la massa m del corpo non dipende dal tempo, le (2.4.8) e (2.4.9) consentono di scrivere

(2.4.10) ove

(2.4.11) è l'accelerazione del centro di massa del corpo. La (2.4.7) prende il nome di principio del momento lineare. La proiezione dell'equazione vettoriale (2.4.7) secondo gli assi x e y fornisce le relazioni scalari (2.4.12)

Fx

= mia

FY = rnyc;

ove f~ e FY denotano le componenti delle forze esterne rispetto agi i assi x e y. Se si proietta l'equazione vettoriale (2.4.1 O) sugli assi x e y, si ricavano le equazioni scalari nella fonna:

(2.4.13)

Fx = maGx f~

= mac;y

ove aar e aGy rappresentano le componenti dell'accelerazione del baricentro.

58

Se si introducono le forze di inerzia (2.4.14) le (2.4.13) prendono la forma (2.4.15)

2.4.3.2. Moto di rotazione Indicando con le il momento di inerzia polare del corpo rigido (fig. 2.15) rispetto al centro di massa G, se w è la velocità angolare ed M il momtmto risultante delle forze esterr e rispetto al polo G, risulta (2.4.16) ove k è il versore dell'asse z, ortogonale al piano x - y del moto ed angolare. Essendo il vettore M parallelo all'asse z, deve aversi

w l'accelerazione

( 2 .4 17)

·essendo

w= a

l'accelerazione angolare ed M il modulo di M. Se si introduce la coppia

d'ine.rzia: ( 2 .4 18) dalla (2.4. 117) si ricava ( 2 .4 .19) ·

y

o Figura 2.15. Moto di rotazione attorno al baricentro G.

X

59

In generale, si può scrivere la relazione analoga alla (2.4. 7), che costituisce il principio del momento della quantità di moto d

d

M = -Ucw) = -(A) dt dt

(2 .4 .20)

che assume la forma (2.4.17), per Ic = costante. La quantità (2 .4 .21)

prende il nome di momento angolare, oppure momento della quantità di moto. In forma vettoriale, il principio del momento della quantità di moto assume l'aspetto (2 .4 .22)

d d d M = - A = -(J wk) = -(J w) dt dt C dt C

Indicando con acx = xc e iic = acy, le componenti del vettore accelerazione del centro di massa secondo la direzione degli assi x e y, per le (2.4.12), (2.4.13) e (2.4.17) le equazioni del moto piano assumono l'aspetto

( 2 .4 .23)

Fx FY

=

M

=

=

mxc m iic oppure Icw

Fx Fy M

macx = macy = Ic a =

ove F7 e FY denotano le componenti secondo gli assi x e y della risultante di tutte le forze agenti sul corpo rigido, nel piano x - y del moto. 2.4.4. Corpo rigido girevole attorno ad un asse

Le equazioni precedenti sono applicabili anche al moto del corpo rigido in rowione pura attorno ad un asse fisso AB (fig. 2.16). La terza equazione delle (2.4.23) può scriversi nella forma (2.4 .24) ove Mr e Jr denotano, rispettivamente, il momento delle forze esterne ed il momento d'inerzia della massa rispetto all'asse fisso di rotazione. La quantità a = w è l'accelerazione angolare.

(2 .4 .25)

dw dt

d 2 19 dt 2

a=-=--

60

r-

✓

Figura 2.16. Rotazione del corpo rigido attorno all'asse r con velocità angolare w.

I concetti esposti precedentemente sono illustrati graficamente in fìg. 2.17, in base alle convenzioni assunte in fig. 2.17 .a per gli spostamenti secondo gli assi 1 e y e per lo spostamento angolare t9. L1: equazioni più a destra delle (2 . 4.23) possono scriversi in notazione matriciale

( 2 .4 26)

M

ll,ccelerazione angolare

y

I

Forza d'inerzia F 1

,

AcceileTzione

l'a

. a /

fr

o

X

Spostamento angolare a)

Coppia d'inerzia b)

e)

Figu1:a 2.17. Versi positivi delle accelerazioni a ed or della forza F I e della coppia d'inerzia '1 1 .

61

2.4.5. Energia cinetica L'energia cinetica 0

e =

rr

di un corpo rigido di massa m , che si muove con moto piano

nel piano x - y , assume l'aspetto

(2 .4 .27) ove v1 e vY rappresentano le componenti della velocità v del generico punto del corpo. Se indicano con ±e = vcx e ile = vc y le componenti del vettore velocità Ve del centro di massa e con l e il momento d'inerzia rispetto al baricentro G , dalla (2.4.27) risulta (cfr. esercizio 2.3):

rr = "',,,. c =

(2 .4 .28)

I('

-m v-Cx 2

2 I , + v Gy ) + -1 2 C w-

ove w

d'!9

.

w= -='19 dt

(2 .4 .29)

rappresenta la velocità angolare. li termine m( vbx + vb y) / 2 denota l'energia cinetica di traslazione, mentre l cw 2 / 2 esprime l'energia cinetica di rotazione del corpo rigido attorno all'asse baricentrico.

2.5. PENDOLO COMPOSTO 2.5.1. Equazione del moto Si definisce pendolo composto, un qualsiasi corpo rigido libero di oscillare in un piano verticale, attorno ad un asse orizzontale fisso per il punto O , sotto l'azione della gravità (fig. 2.18). Sia G il centro di massa e si supponga che il piano di oscillazione verticale del pendolo coincida con x - y; l' asse z passante per O ed ortogonale al piano di oscillazione costituisce l'asse orizzontale di sospensione. In fig. 2.18, il vettore posizione del punto G è indicato con r = G - O ed il suo modulo è r= IG - Oj. L'unica forza applicata al corpo è la forza peso

mg= mgj ·

( 2 .5 . I) che agisce verticalmente verso il basso.

Il momento di tale forza rispetto al punto O è fornito dal prodotto vettoriale

(2 .5 .2)

M = M0

= (G -

O) x mgj

=r x

mgj

= rmg sen t9k

62

X

lrl = r

mg= mgj

y Figura 2.18. Corpo rigido con asse di sospensione orizzontale.

ove {j è l' angolo che il segmento OG forma con l'asse verticale y, mentre k è il versore dell'asse z, il cui verso positivo è entrante nel piano del foglio. La componente M, del vettore M0 secondo la direzione di lare 1ispetto all'asse z

M,

(2 .5 .3)

;i

fornisce il momento sca-

= mgr sen {j

La ve1ocità angolare istantanea è (IO):

(2 .5 .4)

w =

-wk

=

d {j --k dt

=

.

---{jk

Indicando con I, il momento d'inerzia del corpo rigido 1ispetto all'asse z, il momento della quantità di moto rispetto allo stesso asse prende la forma vettoriale

(2 .5 .5)

A

z

= -I z w = -Iz Jk

oppure quella scalare (2 .5 .6)

Az

= -I z J = -Iz w

( 10) l.e rotazioni infinitesime possono essere rappresentate da vettori. U11;a tale rappresentazione vettoriale non è possibile per le rotazioni finite, poiché non vale la legge commutativa.

63

Poiché il momento delle forze esterne rispetto all'asse z uguaglia, istante per istante, la derivata temporale di Az, come espresso dalla (2.4.20), le (2.5.3) e (2.5.6) consentono di scrivere

d dt

..

M =mgrsen,{)=-(A)=-J,{)

(2 .5 .7)

z

essendo la velocità angolare w =

J

z

z

e poiché il vettore velocità angolare è diretto nel verso

negativo dell'asse z. Dalla (2.5.7) si ricava ..

mg

T

,{}+--sen,{}=O

(2 .5 .8)

Iz

Per piccole oscillazioni, si può porre sen ,{) '.::::' ,{) per cui la (2.5.8) diventa

(2 .5 .9)

2.5.2. Condizioni iniziali La (2.5.8) è un'equazione differenziale non lineare. È da notare che solo nell'ipotesi di piccole oscillazioni si perviene all'equazione differenziale lineare (2.5.9). Se si indica con € il parametro caratteristico (2 .5 .IO) la (2.5.9) ammette la rappresentazione

(2 .5 .li) Se si introduce la pulsazione naturale (2.5.12) le equazioni differenziali del moto (2.5.8) e (2.5.11) ammettono le rappresentazioni (2.5.13)

,{).. + w-' sen ,{)

= O,

A ciascuna delle equazioni differenziali del moto del pendolo (2.5.13) occorre associare le condizioni iniziali al tempo (2.5.14)

t = O:

64

Nell':potesi di piccole oscillazioni il periodo T è fornito da

(2.5 15) ossia risulta indipendente dalle condizioni iniziali. Per le oscillazioni non lineari, invece, governate dalla prima delle equazioni ditforenziali (2.5.13), il periodo T dipende anche dalle condizioni iniziali. S1! l'ampiezza di oscillazione {) non supera i 40 °, la linearizzazione dell'equazione (2.5.8) comporta un errore del 3- 4%.

2.6. MOTO NELLO SPAZIO DEI CORPI RIGIDI 2.6.L Molo di traslazione li moto generale di un corpo rigido può essere espresso in funzione della traslazione di un suo punto fisso (generalmente il baricentro G ), nonché della rotazione attorno ad un asse pass~nte p,er il punto G. li numiero dei gradi di libertà per il moto generale di un corpo rigido nello spazio è sei. Delle sei coordinate necessarie per caratterizzare il moto, tre vengono scelte per definire la posi2ione del baricentro G e tre, ad esempio gli angoli di Eulero, descrivono la rotazione del corpo rigido attorno al punto. Gli effetti della traslazione possono essere trattati applicando la relazione (2.4.3), qui di seguito riscritta ( 11) per a = a0 :

(2.6.1) Nella (2.6.1) F è la risultante delle forze agenti sul corpo, mentre a 0 denota l'accelerazione del centro di massa G.

2.6.2. Moto di un corpo rigido con un punto fisso Per studiare il moto di rotazione è conveniente riferirsi agli assi principali d'inerzia del corpo, indicati con ~, 7J, (, oppure con I, 2, 3. Tali assi sono fissi nel corpo e ruotano quando l}IOt,1 il corpo.

(II)Quando la (2.6.1) si scrive nella forma ( I)

F=dQ

dt ove Q denota il vettore quantità di moto del corpo. essa prende il nome di prima equazione cardinale

della dinamica.

65

È da ricordare che se un corpo rigido ruota attorno ad un asse principale d'inerzia, la direzione del momento della quantità di moto A è la stessa della velocità angolare w . Risulta allora

A= Iw

(2 .6 .2)

ove I è il momento principale d'inerzia rispetto all'asse principale in questione. Indicando con A 1 , A2 , A3 e con w 1 , w 2 , w3 rispettivamente, i momenti della quantità di moto e le velocità angolari rispetto agli assi principali, si ha (2 .6 .3) Le (2.6.3) possono essere scritte in notazione matriciale estesa

(2 .6 .4)

ove 11 , 12 e 13 sono i momenti principali d'inerzia. Se si introducono i vettori algebrici dei momenti della quantità di moto A A e delle velocità angolari w e&, nonché la matrice d'inerzia 1 I, detta anche tensore d'inerzia

=

=

(2 .6 .5)

A

a

A

a

[

::1

w =e&=

=

o

[ w,

I= 1 =

Wz W3

[:

12

o

;J

la (2.6.4) assume l'aspetto (12) (2 .6 .6)

A

=

I w

oppure

Se e 1 , e2 , e 3 , sono i versori degli assi principali seguenti rappresentazioni cartesiane: w

(2.6.7)

A

=

1 e&

ç, 'f/, ( solidali con il corpo, si hanno le

= w 1e 1 + w2 e2 + w3 e3

A= A1e 1 + A2 e2 + A3 e 3 = J1w 1e 1 + J2 w2 e 2 + J3 w3 e 3

notazione più a sinistra della (2.6.6) è quella che verrà usualmente impiegata nel testo. Quella più a destra, invece, riesce utile per la scrittura di equazioni sulla lavagna, ove non è possibile scrivere i caratteri in grassetto.

( 11) La

66

2.6.3. Bilancio del momento della quantità di moto La seconda equazione cardinale della dinamica può scriversi nella fonna (2.4.22):

d

M=-A dt

(2 .6 8)

La derivata rispetto al tempo del vettore A , relativamente ad un sistema fisso, si calcola mediante la relazione (cfr. [S 1], pag. 264 ):

(2 .6 9)

dA. dt

= dA dt

I

+ w

X

A

M

Il pedice M indica che la derivata rispetto al tempo del vettore A è relativa al sistema in moto Temendo conto delle (2.6.7), si ha

(2 .6 10)

dA I dt-

=e I1w1e1 + I2w2e2 + l3w3e3

M

(2.6.11) A1

A2

A3

+ (w'3A1 -w1A3)e2 + (w1A2 -A1w2)e3 Il momento risultante delle forze estc~me può esprimersi nella forma cartesiana (2.6.12) Sostituendo la (2.6.12) al primo membro della (2 . 6.8), c:alcolando il secondo membro della (2.6.U) attraverso le (2.6.9)- (2.6.11) ed uguagliando le componenti secondo gli assi., si ricava il seg;uente: sistema di equazioni I1w1 + (w2A3 - w3A2) "' M1

(2.6.13)

12 w2 + (w 3 A1 - w 1A3 )

'"'

M2

13 w3 + (w 1 A 2 -A 1w2 )

'"

M3

Tenendo conto delle (2.6.3), le (2 . 6.13) diventano ]\W\ + (13 - J2)W2W3 =e Ml

(2 .6 .14)

I2w2 +(11 - l3)W1W3

:e

M2

l3W3 + (]2 - J\)W\W2

:e

M3

Le ec1uazioni del moto (2.6. l 4 ), che legano le componenti del momento esterno M 1 , M 2 , M 3 alle 1:omponenti w 1 , w2 , w3 della. velocità angolare, sono chiamate equazioni di Eulero.

67 2.6.4. Equazioni di definizione Le componenti w 1 , w2 , w3 , rispetto alla tema solidale al corpo del vettore w di istantanea rotazione, sono legate agli angoli di Eulero (13) dalle equazioni [Fl]:

w2

= tb sen 19 sen C{) + 19 cos

., le cui radici reali (poiché sono autovalori di una matrice simmi!trica) rappresentano i momenti principali: ( 5)

Se si pone À = Ii nelh: (3 ), si ricava un sistema di due equazioni in tre inc:ognite, dal quale si deducono i rapporti w,Jwv,w,Jw,. Questi ultimi forniscono la direzione di Ii. Analogamente, si determinano le direzioni corrispondenti 21 12 e h.

69 2.6.5. Energia cinetica

L'energia cinetica di traslazione di un corpo rigido di massa m è data da (2.6.20) ove vax, vay e va. sono le componenti del vettore va velocità del baricentro del corpo (2.6.21) ove i , j e k sono i versori degli assi di riferimento. Se si indica con Q la quantità di moto (2 .6.22) la (2.6.20) diventa (2 .6 .23)

2.6.5.1. Energia cinetica di rotazione Se si indicano con w1 , w2 , w3 le componenti, rispetto ad una terna principale s~lidale al corpo, del vettore velocità angolare istantanea w (2 .6 .24)

e con A1 , A2 , A3 le componenti del vettore momento angolare rispetto agli assi della predetta terna principale, avente come versori e 1 , e2 , e3 : (2 .6 .25)

A = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3

= I1w1e1 + I2w2e2 + J3w3e3

l'energia cinetica di rotazione può esprimersi nella forma (2.6.26)

($'

e

='T=_!__A 2

·W

Se si esprime il prodotto scalare tra vettori A • w in temtini delle rispettive componenti, la (2.6.26)ammette la rappresentazione (2 .6.27)

70

Esempio 2.3

Detenninare i momenti d'inerzia assiali Ix, Iy, Iz ed i momenti centrifughi Ix., Ixz, Iyz della lamin;J quadrata di lato a e spessore costante (fìg. 2.19) rispetto agli assi x, y e z. La lamina è disposta nel piano yz ed ha densità di massa superficiale µ costante. Soluzione Il momento d'inerzia della massa elementare µd A = µd zd y rispetto all'asse x vale ( I) essendo y 2 + z 2 il quadrato della distanza del baricentro dell'elemento di area d A tratteggiato in fig. 2.19 rispetto all'asse x. Il momento d'inerzia dell'intera lamina è

avendo indicato con M ,= 1w 2 la massa dell'intera lamina. P,~r valutare il momento d'inerzia IY della lamina rispetto all'asse y, si può considerare l'area elementare dA = ad z del rettangolo di ampiezza d z e Iati maggiori paralleli all'asse y, al fine di eseguire il calcolo mediante un integrale semplice.

z dy

dA = dz dy

dA=adz dz

a

z y

o y

dA=ady

Figu,ra 2.19. Lamina quadrata di lato a e spessore costante.

71

Siha I= { z 2 µdA= {° z 2 µ(adz) =µa{° z 2 dz=

( 3)

" lA

lo

µa 4

Ma 2

3

3

lo

=-=--

In maniera analoga, si valuta

( 4)

Il momento d'inerzia centrifugo I11 z si valuta a partire dal momento centrifugo della massa elementare µdA = µdzdy dI11 z = yzµdA = µyzdydz

( 5)

La somma di tutti questi contributi elementari fornisce il momento centrifugo cercato

( 6)

Iz=Iz=µ 11"

1a1a oo

yzdydz=µ

1a

a2y µa4 }.1a2 -dy=-=--

o2

4

4

Dato che la lamina è disposta nel piano yz, i suoi punti sono,caratterizzati dall'avere la prima coordinata x = O, Pertanto, si ha

( 7)

Ixz = Izx =

i

xzµdA = O,

I 11 x = Ixy =

i

xyµ.dA

=O

I momenti d'inerzia possono essere raccolti nella matrice d'inerzia

( 8)

I= 1 =

l

1xy

1, 1xy

I"

1,, I11z

IIZ

Iyz

I,

j

2

,

3 Ma-

o

o

o

1 , -Ma-

1 , -Ma4

o

3 1 , -Ma4

I

.,

,

:;--Ma-

72

Esempio 2..4

Pff la lamina dell'esempio 2.3,. ricavare: a) i momenti principali d'inerzia; b) le direzioni degli assi principali. Soluzione In base alle considerazioni riportate nell'osserviJZione del par. 2.6.4.l e tenendo conto del tensore d'inerzia (8) iricavato nell'est:mpio 2.3, i momenti principali d'inerzia sono le radici dell'equazione caratteristica:

( l)

det

2 ? -Ma- --À 3

o

o

o

l 2 -Ma - ). 3 I -Ma 2 4

1 ? --Ma4

o

=O

I ' - ). -Ma3

La (l) può scriversi nella forma

=O

(2)

La (2) assume l'aspe1to

( 3)

2 , -- À) (' À ( .-Ma3 ,

2-

2

2 7 , --Ma À + --M-a 3 144

4)

=O

Se si pone il primo fattore uguale a zero, si ricava ). =, À 1 = 2 M a 2 /3. L'equazione di secondo grado, che si ottiene uguagliando a zero il secondo fattorn, fornisce le restanti due radici .\ 2 == Ma 2 / 12 e .\ 3 = 7 M a 2 / 12. Pertanto i momenti principali d'inerzia sono:

( 4)

Ma 2 I2 = 12'

Per determinare le direzioni principali occorre risolvere il sist1!ma (3) dell'osservazione 2.6.4.1, quii di seguito riscritto per comodità

(I, -- ),}wx + Ixywy + JxzW'z = O (5)

1x11 wx + (I11

-

>.)w11 + I 11 zwz = O

Ixzwx + 111zw11 + (Iz - >.)wz

=O

73

Per trovare la direzione corrispondente a 12 , occorre particolarizzare il sistema (5) ponendo

>. = 12 = M a 2 / 12 e tenendo presente che il tensore d'inerzia che si vuole diagonalizzare risulta espresso dalla (8) dell'esempio 2.3. Pertanto, si può scrivere 2 ( '!:.._Ma 3

(6)

-

Ma 2 )w +Ow +ow. =O }2 X Il z

1 2 Ow + ( -Ma X 3

-

Ma 2 ) w + --w Ma 2 = O 12 I/ 4 Z

--

2 2) Ma 2 + (Ma MaOw X + --w -3- - wZ 4 I/ 12

=O

Dalla prima èquazione delle (6) si ricava wx = O. Le restanti due equazioni delle (6) equivalgono all'unica equazione w11 + wz = O, da cui si ricava w11 = -wz. Tenendo conto di questi risultati, il vettore w ammette la rappresentazione (7)

Dato che la direzione dell'asse principale è la stessa del vettore velocità angolare, dalla (7) appare che la direzione principale corrispondente a 12 è quella del vettore k - j (cfr. fig. 2.20). Procedendo in maniera analoga, è immediato verificare che il vettore k + j definisce la direzione principale corrispondente a 13 , mentre il restante asse principale ha la direzione del versore i .

z

k y

Figura 2.20. Illustrazione della direzione principale corrispondente all'autovalore 12 e fornita dal vettore k - j.

74 2.7. FORMULAZIONE UNITARIA DEI PROBLEMI

2. 7.1. Premessa Di verse teorùi fisiche mostrano una struttura matematica comune, poiché le proprietà e le relazioni tra le grandezze di una teoria sono analoghe a quelle di un'altra teoria. L'c!sistenza di una struttura formale comLilne a diverse teorie fisiche, consente di unificare le trattazioni mediante la formulazione di una teoria tipo, in grado di cogliere gli aspetti salienti dei principi generali. Ndle pagine seguenti verranno evidenziate alcune equazioni e proprietà comuni ad ogni teoria fisica. Per il punto materiale e per il corpo rigido girevole attorno ad un asse, le varie equazioni verranno scritte! nello schema delle teorie fisiche in argomento. Lo schema è il medei,imo per la trasmissione del calore, l'ellettromagnetismo, la teoria dell'elasticità, come pure per altre teorie, come sottolineato da Tonti [TI ]-[T2].

2.7.2. Classificaziomi delle grande:n:e fisiche In ogni teoria fisica è possibile distinguere le variabili di configurazione, che descrivono la configurazione del sistema fisico, t: le variabili di sorgente, che caratterizzano le sorgenti del fenomeno. Ad est:mpi.o, il vettore posizione r è la variabile di configurazione del punto materiale, mentre la forza F rapprese:nta la variabile di sorgente, detta anche forza impressa. Accanto alle prede:tte variabili di configurazione e di sorgente esistono anche coppie di variabili intermedie·. Ad esempio, la velocità v e la quantità di moto Q = mv, nella dinamica del punto materiale, sono variabili intermediie. Precisam(:nte, la velocità v prende il nome di variabile prima/e o di prima specfo, mentre Q è detta variabile secondaria o di seconda

specù~. Il legame tra le suddette variabili è specificato da equazioni di vario tipo. Nel seguito si farà c,!nno anche alle cosiddette variabili ent:Tgetiche.

2.7.3. Equillzioni di una ,teoria fisica Le equazioni di base ricorrenti in tutte le teorie fisiche sono di tre tipi:

equazioni di definizione.; b) equazioni di bilancio; c) equirzioni costitutive o fènomenologiche.

a)

Dalla combinazione di queste tre equazioni si ricava l'equazione fondamentale, che rappresenta il legame tra la variabile di configurazione e la variabile di sorgente. Nelle teorie meccaniche l'equazione fondamentale pre:nde il nome di equazione del moto. Lt: equazioni di definizione, dette anche equazioni cinematiche,. definiscono le grandezze di prima specie in termini di variabili di configurazione. Lt: equazioni di bilancio legano la variabile di sorgente a qualche variabile secondaria. Le equazioni di bilancio sonio equazioni lineari nelle variabili di seconda specie, anche quando le equazioni di cfofinizion,e non sono lineari.

75 Le equazioni costitutive stabiliscono il legame tra le variabili di tipo configurazione e le variabili di tipo sorgente. In esse intervengono i parametri del mezzo, oppure le costanti fisiche o geometriche.

2.7.4. Schema delle variabili e delle equazioni La fig. 2.21 illustra lo schema delle equazioni e delle variabili di una teoria fisica. In realtà si può notare [V 1] che tale schema rappresenta solo una parte delle equazioni e delle variabili. Per il momento è importante rilevare che all'interno dell'ellisse verranno rappresentate le variabili di configurazione e di sorgente, mentre le variabili prima/e e secondaria saranno poste all'interno della circonferenza. In tal modo, a colpo d'occhio appare la distinzione tra le varie coppie di variabili duali.

Equazione fondamentale

Equazione di definizione

Equazione di bilancio

Equazione costitutiva Variabile secondaria

Variabile primale

Figura 2.21. Schema delle equazioni e delle variabili di una teoria fisica (Diagramma di Tonti).

76

In maniera analoga, le equazioni di definizione, di bilancio, costitutive e fondamentali apparirarul.o sempre come nello schema di fig. 2.21. Ni!gli schemi relativi ai problemi del moto di un punto materiale (cfr. par. 2.7.5) e di un corpo rigido girevole attorno ad un asse fisso (cfr. par. 2.8), verranno indicate solamente le variabili specifiche del problema, poiché le indicazioni dello schema di fig, 2.21 sono valide in entrambi i problemi in argomento. 2.7.S. Equazione del moto del punto materiale Lii equazioni che intervengono nella dinamica di un punto materiale di massa m, sono state dcavate in precedenza e vengono qui di seguito riscritte per comodità

(2.7 l)

dQ = F

(2 .7 .2)

dr v=dt

(2.7.3)

Q =mv

dt

( Equazione di bilancio) ( Equazione di definizione) ( Eqùuione costitutiva)

essendo Q == quantità di moto del punto materiale di massa m; F' = forza agente (impressa); v = vettore velocità della particella materiale; r = vettore posizione del punto materiale. Delle suddette grandezze, r rappresenta la variabile di configurazione, v la grandezza di prim,1 spede (variabile primale), Q la variabile secondaria oppure la grandezza di seconda specie, F la sorgente del fenomeno, oppure la forza impressa. Le variiabili e le equazioni in parola sono riportate in fig. 2.22. Combinando le (2.7.2) e (2.7.J) si ricava il legame tra Q ed r, ossia tra la variabile secondaria e quella di configurazione:: dr

Q=mdt

(2 .7 .4)

la sostituzione della (2.7.4) nell'equazione di bilancio fornisce l't~quazione fondamentale: (2 .7 .5)

_! dt

(m dr)= F dt

Se la massa m (che costituisce il parametro) non dipende dal tempo, la (2.7.5) ammette la rappresentazione 1(2.7.6)

d2r m-=F

dt 2

77

Vettore posizione

Variabile energetica dr dt

V=-

Q=mv

Quantità di moto

Massa

Velocità

Figura 2.22. Variabili ed equazioni della dinamica del punto materiale.

Il primo membro della (2.7.5), oppure della (2.7.6), rappresenta la forza indotta

p nd ,

mentre F è la forza impressa. Anche l'equazione (2.7.5) è riportata nello schema della teoria tipo (diagramma di Tonti), come illustrato in fig. 2.22. Nello schema di fig. 2.22 è indicata anche la variabile energetica

rr =

ff e

fornita, in generale, dalla metà del prodotto scalare delle variabili di prima e di

seconda specie. Nel caso in esame è

(2 .7 .7)

78 La derivata della variabile energetica, rispetto alla variabile prima/e, fornisce l'equazione

costitutiva: (2.7.8) Pertanto, l'energia cinetica costituisce il potenziale della quantitll di moto e rappresenta la fonn,Jlazione alternativa dell'equazione di I,egame. Se si indicano con i, .i e k i versori degli assi x, y e z della tema cartesiana ortogonale di riferimento, il vettore posizione ammette la rappresentazione cartesiana

(2.7.9)

r =xi+ yj + zk

Quando gli assi della suddetta tema sono indicati con x 1 , x 2 , x 3 , si ha

(2.7.10) essendo k;( i = 1, 2, 3) il versore dell'asse: xi. Giova rilevare che, per la (2.7.9), la (2.7.6) diventa

(2.7.111) L'espressione cartesiana della fora impressa è

{2.7.12) Per le (2.7.11) e (2.7.12), se il punto è vincolato a muoversi sull'asse x, si ha

(2.7.13) Se si indica con L l'operatore differenziale

(2.7.14)

la (2.7.5) prende la forma

( 2. 7. I 5)

Lr = F

79

2.7.6. Problema generale della dinamica del punto libero Per un punto materiale di massa m, di cui si conosce la posizione iniziale r0 di componenti ( x 0 , y0 , z0 ) e la velocità iniziale v 0 di componenti (2 .7 .16)

il problema fondamentale della dinamica è quello di determinare il moto del punto, una volta

=(

assegnata la forza F Fx, FY, F,). Il moto del punto è descritto dalle tre equazioni parametriche (2.7.17)

x

= x(t),

y

= y(t),

z

= z(t)

e si determina dalle tre relazioni differenziali

( 2 .7 .18) e dalle condizioni iniziali sopra indicate. Il problema in narrativa si dice diretto, poiché si parte dalla variabile sorgente F e si ricava la variabile di configurazione r. Se la forza generalizzata dipende solo dal tempo, ossia è F = F ( t), il problema inverso è semplicissimo. In tal caso occorre determinare la forza

=

F(t) [F7 (t),Fy(t),F,(t)] necessaria a produrre un certo moto del punto materiale di massa m. Le componenti di F = F ( t) si ricavano derivando due volte le equazioni orarie: x = x( t), y = y( t), z = z( t) : (2 .7 . 19)

Nel problema inverso, dunque, si segue il verso delle frecce indicato in fig. 2.22, poiché si parte dalla variabile di configurazione e si arriva a determinare la forza generalizzata.

2.8. CORPO RIGIDO GIREVOLE ATTORNO AD UN ASSE FISSO 2.8.1. Equazione di definizione e variabili cinematiche Si consideri un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso. Il sistema ha soltanto un grado di libertà e, pertanto, è richiesta una sola coordinata lagrangiana per definire la posizione del corpo. Si supponga che l'asse di rotazione coincida con l'asse z di un sistema cartesiano ortogonale O xy z . Per descrivere il moto del corpo si indichi con iJ t. La velocità angolare w

(2 .8.1)

= wk assume l'aspetto w

= dt?k oppure dt

d t?

w=-

dt

= iJ( t) l'anomalia al tempo

80

d / dtt\ dt \ 1dt/

=M

Momento risultante esterno

Anomalia

~ ---

'\ t}

Variabile energetica

dA -- sM dt

dtt

j iC = 'T = e

ù)

= dt

.!1c/

2

A= lw

---( w

... Momento della quantiità di moto

Momento d'inerzia

Velocità angolare

Figura :i.2;t Variabili ed tiquazioni del corpo 1rigido girevole attorno ad un asse fisso.

ove i I vettore k denota il versore df:ll'asse z. Dato che il vettore velocità angolare w è sempre diretto nel verso dell'asse z, si può anche fare riferimento alla sua proiezione w sull'asse z in esame. Analoga assunzione verrà fatta per i due vettori assiali A ed M, che vemnno introdotti più avanti. La funzione ,J = ,J( t) svolge il ruolo di variabile di confìgunrzione, mentre la relazione (2.8. l) prende il nome di equazione di definizione, oppure equazione cinematica. La velocità angolare (4' è detta grandezza di prima specie, oppure variabile prima/e. Le grandezze ,J e 1AJ si chiamano anche: variabili cinematiche. L'equazione di ddìnizione e le variabili cinematiche sono riportate nella colonna di destra delle, schema di fig. 2.23.

81

2.8.2. Equazione costitutiva

Come ben noto dalla Meccanica Razionale, e visto in precedenza, il momento della quantità di moto A per il corpo rigido in rotazione attorno all'asse z assume l'aspetto

(2.8.2)

A = Jw k

oppure

A = Jw

ove I indica il momento d'inerzia del corpo rigido rispetto all'asse z e k il versore dell'asse z. È da notare che, essendo I > O, i vettori A ed w hanno la stessa direzione ed il medesimo verso. La (2.8.2) è detta equazione costitutiva, equazione fenomenologica, oppure equazione materiale, in cui interviene la proprietà I del sistema. Tale relazione lega la grandezza di prima specie w a quella di seconda specie A (fig. 2.23). 2.8.3. Equazione di bilancio e variabili dinamiche

Il momento della quantità di moto, detto anche momento angolare, interviene nell'equazione di bilancio (2.8.3)

dA =M dt

oppure

dA -=M dt

ove il simbolo M esprime il momento risultante di tutte le forze rispetto all'asse di rotazione. La coppia M rappresenta la sorgente o causa del fenomeno oggetto di studio. Le equazioni e le variabili introdotte sono illustrate nello schema di fig. 2.23. In Meccanica Razionale, la (2.8.3) viene denominata seconda equazione fondamenta/e della dinamica, oppure principio del momento della quantità di moto. Le grandezze A ed M sono dette variabili dinamiche, e sono duali delle variabili cinematiche w e ,'J. Con riferimento alle relazioni scalari, le (2.8.1) e (2.8.2) consentono di esprimere il momento della quantità di moto in funzione della variabile di configurazione ,'J :

(2.8.4)

d ,J A = J-

dt

oppure

A = J,O

Nella formula più a destra delle (2.8.4) si è indicato con il punto la derivata rispetto al tempo. La sostituzione della (2.8.4) nell'equazione di bilancio (2.8.3) del momento della quantità di moto, fornisce la relazione tra la variabile sorgente M e l'anomalia {):

(2.8.5)

i_ dt

(1d~) = dt

M

La (2.8.5) esprime l'equazione differenziale del moto di un corpo rigido con un asse fisso privo di attrito e costituisce l'equazione fondamentale del problema.

82 Alla (2.8.5) vanno associate le condizioni al tempo t = t 0 , dette condizioni iniziali: (2.8.6) Se il momento d'inerzia J non dipende dal tempo e si indica con ci = ~, = d 2 ,{) / d t 2 , la (2.8.5) ammette la rappresentazione

,9 l'accelerazione angolare

M = J;j = fo

(2 .8 .7)

La (2.8. 7) esprime la seconda legge della dinamica per i corpi rigidi in rotazione attorno ad un as ,e fisso.

In sintesi, nello schema di fig. 2.23 sono illustrate le variabili cinematiche ti e w e quelk dimrmiche M, A , unitamentf: alle equazioni di definizione (2.8. l ), costitutiva (2.8.2) e di bilancio (2.8.3). 2.8.4. Variabile energetica

In tale schema è indicata anche l'energia cinetica lf e del corpo rigido in rotazione attorno ali' asse fisso: cr

(2 .8 .8)

'T=r.~

e

l ? =-Jw2

Dal punto di vista formale, la (2.8.8) si ricava moltiplicando scalarmente i vettori duali A ed

i.;, ,

che rappresentano le grandezze di prima e seconda specie, secondo la formula

(2.8.9) Si può osservare che 'T

'l

_,

==

I

= o c = -A · 2 é

e

w1

I,

I,

= -Jw-k · k = -Jw2 2

costituisce il potenziale del momento angolare A

a:-s

Iw = A 8w La (2 .8. l O) rappresenta la fonnuliizione alternativa dell' equazioni~ di legame.

(2.8.10)

__ e=

2.9. JESERCIZJ

Eserdzio 2.1

Se una particella mantiene la distanza R da un asse fisso attorno al quale ruota con velocità angolare Lv = d {) / d t = J, essendo ,{) = {)( t) l'ascissa angolan:, verificare che l'acceleraziomi a può esprimersi nella fonna ( I)

a= RJt + RJ 2 n

ove u et rappresentano i versori della nom1ale principale e della tangente, rispettivamente.

83

Suggerimento Basta applicare la relazione (2.1 .16), dopo aver notato che v

= w R = JR .

Esercizio 2.2

Una particella si muove in modo che il suo vettore posizione r risulta essere

r = 2 cos wti + 2 sen wtj

( I)

Verificare che: 1) la velocità v della particella è perpendicolare ad r; 2) l'accelerazione a è diretta verso l'origine ed ha modulo proporzionale alla distanza dal
'origine;

3) il vettore r x v è costante.

Esercizio 2.3

Per un corpo rigido di massa m, che si muove nel piano xy, verificare che l'energia cinetica 'T = ;(e è fornita da: ( I)

ove vGx e vGy sono le componenti della velocità del baricentro, mentre w e l a denotano la velocità angolare ed il momento d'inerzia rispetto all'asse baricentrico ortogonale al piano xy .

Soluzione Se con vx e vv si indicano le componenti della velocità del generico punto P del corpo, l'energia cinetica 'T = ;e'c assume l'aspetto ( 2)

Se si indica con w piano xy, si ha

( 3)

= wç la velocità angolare attorno all'asse baricentro Z

=( ortogonale al

vx = vax - Yw vy = vcy,+ Xw

Per la dimostrazione delle (3) si consideri una rotazione infinitesima. di ampieua ,'J, del corpo rigido ( fig. 2.24) attorno al!" asse z per G ortogonale al piano xy . In corrispondenza di tale rotazione

84

Corpo rigido

~~ y

/

P,

y

P 1 P = dfr PG=d

\

PH=Y HG=X

) H

G

X

o

X

J I , il sistema si dice sovrasmorzato. Per i sistemi sottosmorzati, la soluzione generale della (3.1.2) può scriversi nella forma ( 3 .1.6) ove

( 3 .1.'ì)

,:.,JD=w~

prendi! il nome dì pulsazione smorzata, oppure pulsazione ridotta. Se sono assegnate le condizioni iniziali di spostamento e di velocità della massa (3.1.:n

u( t == O)

= u0 ,

ù( t

= O) = ù0

riesce possibile detenninare le costanti C 1 e C 2 della (3 .1.6). che ammette, in tal modo, la rappresentazione (3 .1.9)

Per l',:,scillatore semplice non smorzato è (3.1.10)

e le

e--vwt

11

= O, per cui risulta

= I,

WD

=w

Cd .6) e (3.1.9) si trasfonnano, rispettivamente, nelle soluzioni della (3.1.1) Ci

+ C2 sen ~-t

(3.1.11)

u( t)

( 3 .1.12)

u( t) = Uo COS wt + Ùo Seri wt w

=°

C05 wt

0

È da notare che le vibrazioni dì cui si parla sono supposte di piccola :1mpiezza, nel senso che gli spostamenti sono dello stesso ordine di grandezza di quelli considerati nella teoria lineare delle strutture.

91

3.2. OSCILLATORE SEMPLICE NON SMORZATO 3.2.1. Equazione del moto

L'oscillatore elementare (') viene introdotto, prima di affrontare lo studio di strutture più complesse, per analizzare i sistemi ad un sol grado di libertà. L'oscillatore semplice è costituito da una massa m, che può traslare secondo una sola direzione x, legata ad una molla di rigidezza k. Come illustrato anche nel seguito, lo spostamento della massa nella direzione x viene indicato con u; a volte x stesso può denotare lo spostamento.

Il sistema in esame è ad un sol grado di libertà, poiché lo spostamento u è l'unico parametro sufficiente a caratterizzare la posizione della massa (fig. 3.1.b ), rispetto a quella di riposo (fig. 3.1.a).

Il parametro u = u( t) in parola risulta essere funzione del tempo e costituisce l'elemento fondamentale della risposta del modello. Difatti, nota la funzione u = u( t) si può descrivere il moto dell'oscillatore, ossia valutare lo spostamento, la velocità ù( t)

. . d u( t) u(t) = u = - -

(3.2.1)

dt

oppure l'accelerazione i.i(t) 2 u(t) _ u .. _-du.. (t) -d t2

( 3 .2 .2) al generico istante t.

x,u

►, - -

{

-~9-

I

◄

I

FE= ku

a) Posizione di riposo

1

-,~--r,-'

b) Posizione generica

Figura 3.1. Forze agenti nella posizione generica dell'oscillatore non smorzato.

( 1) L'oscillatore elementare è detto anche oscillatore armonico

I I

semplice o lineare.

92

Quando la molla si allunga della quantità u (fig. 3.1.b) esercita una forza di richiamo F E: ( 3 .2 3) L'equazione vettoriale (3.2.3) presenta il segno meno al secondo membro, poiché il vettore

FE ha ili verso opposto al versore i dell'asse x. In forìna scalare, la (3.2.3) assume l'aspetto (3 .2 4)

FE = -ku = -ku(t)

In fig. 3.1.b, la forza elastica di richiamo è indicata con F E = ku, poiché ci si riferisce al suo moddo. Lacomponentedelvettore F secondoladirezioneorienta.tadi x, ossia FE = -ku, viene desunta dalla figura. Per determinare l'equazione del moto occorre applicare la seconda legge della dinamica (2.4.:,) che, nel caso in esame, si riduce alla prima delle (2.4.4): ( 3 .2 5) La forza p,eso mg e la reazione R del caffello non intervengono nell'equazione del moto, poict.é si suppone nullo l'attrito. L'accelerazione ii,= ax è espressa dalla (3.2.2), mentre F = F 7 è espressa dalla (3.2.4). Pertanto, la (3.2.5) assume l'aspetto (2) (.. 3 .2 .6)

d2 u( m - ,O - -- - k u ( t ) d t•

Con le posizioni

(3 .2 .7) peraltro già impiegate nelle (3.2.1) e (3.2.2), l'equazione del moto (3.2.6) prende la forma

(3 .2 .8)

mii.+ ku = O

La (2 .2.8) è l'equazione del moto vibratorio libero dell'oscillatore non smorzato.

(2) Se si suppone che la massa si muove nella direzione positiva di x, con velocità u( t) crescente, allora. l'acc,elerazione i'.!( t) è positiva. La forza d"inerzia Fr è rivolta secondo la direzione negativa di x, o!sia

( O)

Fr=-mu(t)i

Per il principio di D' Alembert, essendo FE = -ku( t) i , deve risultare (00)

FE+F1=0

da cui si ricava l'equazione del moto vibratorio (3.2.8). In realtà. quando la massa si muove verso destra, la vel.ocità decresce a causa della reazione elastica della molla. Pertanto u( t) < O e, quindi. la forza d'inerzia è rivolta nella direzione positiva di x, ossia fa equilibrio a FE Il segno della derivata u( t) prov11ede a questo cambiamento.

93

3.2.2. Soluzione dell'equazione differenziale del moto La (3.2.8) è un'equazione differenziale del secondo ordine, lineare ed omogenea (è nullo il secondo membro della (3.2.8)), a coefficienti costanti, poiché si suppongono k ed m indipendenti dal tempo. Con la posizione

( 3 .2 .9) l'equazione (3.2.8) del moto si scrive ii+ w 2 u = O

(3 .2 .IO)

La (3.2.10) è l'equazione differenziale del moto annonico di pulsazione w, essendo del tipo (2.2.11). Pertanto, il moto dell'oscillatore semplice è armonico con frequenza angolare w espressa dalla (3.2.9). La soluzione generale della (3.2.10) può porsi, ad esempio, nella forma (cfr. esercizio 3.1): ( 3 .2 .11)

oppure in quella equivalente (3.2.12)

u = u( t) =

C 1 cos wt + C 2 sen wt

ovvero, in una delle forme

(3.2.13)

± ip) = e sen(wt ± '{))

u = u(t) = Ccos(wt

u

= u(t)

ové (3.2.14) sono costanti arbitrarie. Con riferimento alle (3.2.13), l'angolo 'P prende il nome di angolo di fase o fase iniziale, mentre C denota l'ampiezza. Se la massa m , ai tempo t = O, occupa una posizione prestabilita

( 3 .2 .15)

u( t

= O) = u 0

94 e pos:;iede una determinata velocità ù( t = O)= ù 0

( 3 .2 .16)

si possono esprimere le costanti, ad esempio C 1 e C2 della (3.2. ll2), in funzione delle condizioni iniziali (3.2.15) e (3.2.16). Combinando le (3.2.12) e (3.2.115), si ricava

( 3 .2 .17) essendo cos wO

,= l e s{:n wO = O.

Pt:r detc~nninare la costante C2 , occorre anzitutto derivare la (3.2.12) rispetto al tempo:

( 3 .2 .18)

u(t) = ù = -wC1 sen wt + wC2 cos wt

Le (3 2.16) e (3 .2.18) consentono di cletenninare la restante costante: (3.2.19) che p lò porsi nella fonna 1

(3 .2 .20) La sostituzione delle (3.2.17) e (3.2.20) nella (3.2.12) fomisce (3 .2 .21)

u( t)

=0

u 0 cos wt + ùo sen wt w

La (3.2.21) rappresenta la soluzione della (3.2.10) con le condizioni iniziali (3.2.15) e (3.2.16). Essa esprime la legge di variaziorne dello spostamento dell'oscillatore elementare non smorzato in funzione del tempo. Poiché u0 determina la posizione della massa al tempo t = O e u0 la sua velocità iniziale, ed ogni moto dell'oscillatore deve soddisfare la (3.2. lO), comunque si assegnino u 0 e ù 0 , tra i moti che l"oscillatON? può ,compiere ve n'è uno ed ttno soltanto nel quale, al tempo t = O, la massa occupi la posizione u 0 con velocità ù 0 . La (3 .2.21) è illustrata graficamente in fig. 3 .2. Se la massa viene spostata dalla posizione di riposo della quantità u 0 , ed abbandonata a se stessa con velocità nulla, la (3 .2.2 I) prende la forma (3.2.22)

u(t) = u 0 cos wt

essendo ù 0 = O. Quando la massa viene sottoposta ad un impulso pari a mù 0 nella sua posizione di riposo ( u 0 =, O), la (3.2.21 )i si riduce alla (3 .2 23)

u(t)

= uo sen wt w

Le (3.2.22) e (3.2.23) sono rappresentate in llìg. 3.3.a e in fig. 3.3.b, rispettivamente.

95

u(t)

Figura 3.2. Risposta dell'oscillatore libero non smorzato con spostamento iniziale u 0 e velocità iniziale ùo .

3.2.3. Frequenza e periodo Il moto descritto dalla (3.2.21) è un moto armonico e, quindi, un moto periodico (3). Il periodo T della massa, che oscilla attorno alla propria posizione di equilibrio x = O, è fornito dalla (2.2.8) (3 .2 .24)

T=21r=21r {m w

VT

essendo

(3 .2 .25) la frequenza angolare, detta anche frequenza circolare o pulsazione. La frequenza w in discorso si misura in radianti al secondo (rad/sec), mentre il periodo T in secondi (sec) e, più precisamente, in secondi/cicli. È importante rilevare dalla (3.2.24) che il periodo proprio di vibrazione T cresce con la massa e diminuisce con la rigidezza.

(l) Le funzioni sen wt e cos wt sono funzioni periodiche. Anche la loro combinazione lineare espressa dalla (3.2.2 l) risulta essere ancora una funzione periodica. Il moto descritto dalla (3.2.21) è armonico, poiché essa è soluzione dell'equazione differenziale del moto armonico (3.2.10).

96

Spostamento iniziale u0

,.

O

u(t)

a)

Velocità iniziale u0

,.

O

u(t)

b)

Figura 3.3. Soluzioni relative allo spostamento iniziale ed alla velocitìi iniziale.

Qualora si conoscano due delle tre grandezze legate dalla (3.2.24) è possibile detenninare la restante. La frequenza f del moto è fornita da

(3 .2 .26)

e si misura in cicli/secondi (c/sec) o in Hertz (Hz). Dalla (3.2.26) segue che la frequenza f decresce con la massa m ed incrementa con la rigidezza k. Ù da notare che nel caso in esame, in cui si stanno trattando le oscillazioni naturali o proprie del sistema, poiché esso vibra liberamente e senza attrito, si usano sovente i simboli Tn, ~,n e f n, in luogo di T, w e f per indicare, rispettivamente, il periodo naturale Tn, la pulsazione naturale wn e la frequenza naturale fn.

Comeapparedalle(3.2.24)-(3.2.26) T,w,f dipendonodaiparametri me k de/sistema e risultano essere indipendenti dalle condizioni iniziali.

97

3.2.4. Ampiezza e fase del moto

L'ampiezza del moto oscillatorio è stata definita come la massima distanza della massa dalla posizione di equilibrio durante il moto. Per i risultati dell'esercizio 3.1, la soluzione dell'equazione del moto (3.2.21) può porsi in una delle forme (3 .2 .27)

u(t) = Ccos(wt

± 1), la risposta u( t) è simile al movimento del sistema criticamente smorzato, ma il ritorno verso la posizione neutra richiede un tempo via via maggiore all'aumentare dell'indice di smorzamento v (fig. 3.13). li moto ora esaminato si dice aperiodico smorzato.

È da notare che lo smorzamento critico ( v = I) rappresenta una transizione tra le condizioni oscillatorie e quelle non oscillatorie. Giova rilevare che un sistema con smorzamento pari al valore critico ( v = I). perturbato nell'intorno della condizione di quiete, ritorna nella posizione di riposo in un tempo inferiore rispetto al sistema ipersmorz.ato ( v > l) ma, come verrà illustrato più avanti, anche rispetto al sistema debolmente smorzato v < I .

114

3.4.6. Sistema sottosmorzato Se il coefficiente di smorzamento e è inferiore a

ccr'

ossia l'indice v di smorzamento

è inferiore all'unità, le radici )1 1 e )., 2 dell'equazione caratteristica (3.4.13) sono complesse coniugate con parte reale negativa:

( 3 .4 32)

), 1 =

( 3 .4 33)

À2

-vw + i w ~ ~

= -vw -- iwJI---=-;1 2

= vr=-f è l'unità immaginaria. È questo il caso che maggiormente si riscontra nella pratica, ove v = e/ ccr è molto piccolo.

ove

i

Irdicando con w D la frequenza dell'oscillazione smorzata, detta semplicemente pulsa-

ziom· smorzata, oppure pulsazione ridotta

(3 .4 34)

w D =Vw I - ~ v~

la soluzione generale del sistema sottosmorzato è fornita (cfr. esercizio 3.7) da (3.4.35) Il fattore tra le parentesi della (3.4.35) indica che la massa oscilla intorno alla posizione di equilibrio con moto armonico . Il tennine (3.4.36) che diminuisce al crescere di t, per vw = c/2 m = costante, indica che l'ampiezza del moto decresce continuamente, anche se le oscillazioni si verificano ad intervalli di tempo TD uguali. Difatti, per la (3.4.34),, il periiodo TD dell'oscillazione smorzata vale ( 3 .4 .37) Essendo T

= 2 1r / w il periodo proprio di vibrazione del sistema non smorzato, si ha anche

(3.4.38) La (~•.4.35) può anche porsi, ad esempio, nella forma (cfr. esercizio 3.8) (3.4.39) ovvero

( 3 .4 .40)

115

u(t) ce-vmt

e o

Figura 3.14. Moto oscillatorio con ampiezza decrescente del sistema vibrante debolmente smorzato.

ove le costanti arbitrarie sono C e rp : (3.4.41)

tg rp =

e

e~

ed w è la pulsazione della vibrazione naturale. La (3.4.35) che è rappresentabile anche in altre forme (cfr. esercizio 3.8), è illustrata graficamente in fig. 3.14. Le costanti C e rp della (3.4.41 ), oppure le costanti C 1 e C 2 che compaiono nella (3.4.35), vengono determinate in base alle condizioni iniziali (3.4.42)

u( t

= O) = u 0 ,

ù( t = O) = ù 0

Applicando le (3.4.42) alla (3.4.35), risulta ( 3 .4 .43)

u 0 =u(t=O)=C 1

da cui si ricava ( 3 .4 .44)

Per le (3.4.44). le (3.4.41) prendono la forma ( 3 .4 .45)

Ùo

+

lJWUo

C1 = - - - -

116

( 3 .4 46) Le (3.4.44) consentono di esprimere la (3.4.35) in funzione dello spostamento iniziale u 0 e della velocità u0 all'istante t = O :

(3 .4 47) Per k (3.4.45) e (3.4.46), anche la (3.4.40) può essere scritta in funzione dei parametri u 0 e u0 all'inizio del moto. S vuol far rilevare che il valore del coefficiente di smorzamento e nelle strutture reali è molto inferiore al coefficiente critico ccr• e il rapporto di smorzamento assume valori compresi tra il 2% e il 20%. Sostituendo il massimo di tali valori ( .!I = O, 2) nella (3.4.34), si ha (7 ): wv = 0,98w

( 3 .4 .48)

Per tale motivo, la frequenza 1» D dli un sistema smorzato può essere assunta pari alla frequen:m naturale del corrispondente sistema 11011 smorzato. Un discorso analogo vale anche i periodi naturali di vibrazione T e Tv.

3.5. UNITÀ DI MISURA DELLE GRANDEZZE

Dal punto di vista dimensionale, la forza F (elastica, viscosa oppure d'inerzia) si misura in Newton, e si indica col simbolo N . A parole, il Newton è la forza che, agendo sulla massa di 1 kg, imprime ad 1essa un'accelerazione di I metro su sec 2 • Si può scrivere (3.5.1)

I Newton=

I kg· lm 1 1sec-

oppure

kg -m N=-sec2

ove rn denota «metro» e non massa. Dal contesto, volta per volta, occorre discernere il significato di «massa», oppure di «metro,>.

(7) 1\el sistema oscillante ad un grado di libertà, in assenza di forze esterne. la vibrazione libera alla sua frequ~nza propria diminuirà gradatamente di ampiezza a causa dell"energia dissipata durante il moto. La frequenza naturale del sistema. che dipende dalla rigidezza k della molla e dalla massa m, è solo mininamente influenzata dallo smorzamento. Per tale motivo. nel calcolo della frequenza propria si trascura lo smorzamento. È da notare che le vibrazioni di cui si parla sono supposte di piccola ampiezza. nel senso che gli spostamenti sono dello stesso ordine di grandezza di quelli considerati nella teoria lineare delle strutture.

117 Dalla (3.5.1) si ricava 2 k g= N • sec

(3 .5 .2)

m

La rigidezza k, essendo il rapporto tra la forza F e lo spostamento u, si misura in Newton su metro. In simboli

F

( 3 .5 .3)

per

k= u'

CUI

N

[k]

= -

m

kg sec 2

= -

Nell'ultima uguaglianza della (3.5.3) si è utilizzata la (3.5.1). La pulsazione naturale w si misura in radianti al secondo. Difatti, se T è il periodo, espresso in secondi per ciclo sec_ondi sec [ T] = - - = -=sec ciclo e

(3 .5 .4) si ha

( 3 .5 .5)

er cui

w = 21r

T

p

[w] = rad/ciclo = rad sec / ciclo sec

La frequenza f è l'inverso del periodo e ha le dimensioni di cicli per secondo, ossia la frequenza si misura in Hz (Hertz). In simboli, si ha

( 3 .5 .6)

1 f = -

per

T

. CUI

[

cicli secondo

e sec

f] = Hz = - - -

Il coefficiente di viscosità e è il rapporto tra la forza F e la velocità ù. Risulta (3.5.7)

F

e= -:u

per

. CUI

[

N • sec N sec e] = - - - = - -

m Se si impiega l'uguaglianza più a destra della (3.5.3), il coefficiente di dissipazione e (3.5.7) m

ha le dimensioni kg [e]= sec

( 3 .5 .8)

L'indice di smorzamento v (3.4.8) è adimensionale. Difatti, se si osserva che (3.5.9)

~ =kg· ✓ -N- = ~g2 [Ymiì:] = -kg sec 2

metro

sec

in virtù della (3.5.1 ), segue che (3.5.10)

e ] [ v] = [ - ~

=

kg/sec -/k g ~ec

=

.

.

ad1mens10nale

Giova rilevare che i termini mi.i, cù, ku della (3.4.7) hanno la dimensione di una forza (espressa in Newton), mentre quelli della (3.4.9) i.i, 2 vwit, w 2 u hanno la dimensione di una accelerazione ( m / sec 2 ).

118

3.6. ESERCIZI

Esercizio 3. I

Mostrare che l'integrale generale dell'equazione diflèrenziale dell'oscillatore annonico semp/ice ( 1)

può e,;;primersi nelle tre fanne del tipo:

= A. 1eiwt + A. 2 e-iwt • oppure u(t) = 0 1 coswt + 0 2 sen wt

(2)

u(t)

(3)

u(t)=Ccos(1.c.1t--ip)

oppure

u(t)=Ccos(wt+ip)

( 4)

u( t) =

e sen ( wt -- 1P)

oppure

u(t) = Csen(u)t + ip)

SolU2ione La (I) è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Si supponga che la funzione u(t)=u=e>-.t

( 5)

dove .\ è un parametro costante, sia una soluzione dell'equazione (1). Risultando per (5) ù = >, é 1 , u: = .\ 2 e>-.t = .\ 2 u, la (I) assume l'aspetto 0

( 6) Esserdo

e'1 f

O per ogni valore di t, la (6) indica che ), deve soddisfare all'equazione

( 7) Dalla (7) si ricava

.\ = ±iw

( 8) ove i =

(9)

J=T

è l'unità immaginaria. Per le (5) e (8) le funzioni

119

sono soluzioni della (1). Anche A 1eiwt ed A 2 e-iwt sono soluzioni della (1), ove A 1 e A 2 sono costanti arbitrarie. Pertanto, la funzione ( 10)

è l'integrale generale dell'equazione differenziale (1). Risultando per le formule di Eulero eiwt

= cos wt + i sen wt

( 11)

= cos wt - i sen wt

e-iwt

la soluzione (1 O) può anche esprimersi nella forma

(12)

u( t)

= C 1 cos wt +

C 2 sen wt

ove le nuove costanti C 1 e C 2 sono legate alle precedenti: ( 13)

Si vuol far rilevare che le costanti A 1 e A 2 , come pure C 1 e C 2 , possono essere sia reali che complesse, poiché la loro derivata temporale è comunque nulla. A partire dalla relazione (12) si possono ottenere varie rappresentazioni dell'integrale generale. Ponendo nella ( 12) ( 14)

cl = -C sen 'P,

C2 = C ccis

I{)

risulta ( 15)

u(t)

= Csen(wt

- cp)

essendo in generale ( 16)

sen ( :r

± y)

= sen x cos y

± sen y cos x

Con le posizioni ( 17)

cl=

Csen cp,

C2

= Ccos cp

la (12) assume l'aspetto

( 18)

u(t)

= Csen(wt + ip)

120 Sostituendo poi nella (12)

cl=

( 19)

Ccos 'P,

C2 = -Csen

ip

si ric~.va

(20)

u(t)

= Ccos(wt+ cp)

mentre per

(21)

CI = C cos

I{),

C2 = C sen

I{)

la (12) consente di scrivere

(22)

u(t) = Ccos(wt- cp)

Nei passaggi precedenti, si è fatto anche uso della relazione

(23)

cos( x :±: y) = cos x cos y =F sen x sen y

Esercizio J.2

Con rifèrimento al telaio dell'esempio 3. I, valutare il periodo di vibrazione della struttura, supponendo il carico q quattro volte superiore, ossia q = 160kN /m

Soluzione Il periodo proprio di vibrazione della struttura può porsi nella forma (3.2.24):

( 2)

T= 21r-(iil

La massa m corrispondente al carico complessivo agente sulla stmttura

( 3)

Q = 160 · 5 = 800 kN = 8 · I O5 N

è qua.ttro volte quella relativa all'esempio 3.1: ( 4)

Q 8-10 5 8-10 5 4 rn=--==---'.:::::'.---=8-10 k11 g 9,81 10 ,,

Pertanto, il periodo cli vibrazione della struttura in esame risulta essere il doppio di quello del portale di fig. 3.8, in corrispondenza dei medesimi valori della larghezza b e dell'altezza h del pilastro.

121

m

□

a)

~

b)

m

El= cost

D

El=oost~

~~ m

~~□ r

e)

m d)

~

□

El =cost

~f----------,,-~-~

f/2

e)

El= cost

El=

oo

m

El

_ _ _ _h_ _-+~ + j - - - h_ __

om

f)

EA=cost

~;t--------------

i~- _:~

Deformazione assiale

Figura 3.15. Rigidezze dell'oscillatore elementare di massa m.

122

Eserci.zio 3.3 Determinare la rigidezza k della molla dell'oscillatore semplice non smorzato, di massa m, con cui si può modellare ciascuno dei sistemi a)-I) di fìg. 3.15.

Eserciizio 3.4 Una massa di 50 kg colpisce l'estremo libero di una trave a mensola supposta priva di massa, con una velocità di 0,5 m/sec. La massa rimane attaccata alla mensola e vibra con essa. La trave in acciaio ( E = 21 O • I O9 N / m 2 ) di lunghezza L = 3m, ha la sezione a doppio T illustrata in fìg. 3. 16 con un momrnto d'inerzia I = I,.I = 2 • 1O- 5 m 4 . a) Modellare il sistema con un oscillatore semplice di massa m = 50 kg e rigidezza k = 3 E I/ L 3 ':::'. 4 , 7 • I O5 N /m e calcolare la frequenza natural,e w = delle sue oscill.izioni liben~. b) Se il sistema fosse in equilibrio statico, si avrebbe il valore dello spostamento dell'estremo libero del.fa mensola (fìg. 3.16.a):

Jk/m

u 0 = u( O) = L\.,1 == mg/k,

essendo

g

= 9. 81 m /sec 2 .

Dalla conoscenza di u 0 , ù 0 e w, scrivere l'equazione del moto nelle varie forme (I)

u(t) = Ccos(wt - ip),

u(t) = Csen(wt - ip),

u(t) = Ccos(wt+ ip),

u(t) = Csen(wt+ ,p)

specificando sempre l'ampiezza C e la fase ,p.

!

v = 0,5 m/sec

}+---L

i

[3-m=50kg

}=15cm

y

u(o)

=_3_m_ ___,l.,__

x, u(t) X

a)

b)

Sezione di spessore sottile

Figura 3.16,. Trave a mensola sollecitata da impulso.

123

c) Calcolare il momento massimo

Mmax

all'incastro osservando che

(2)

.. essendo umax = w-1c. d) Mediante la fonnula di Navier della flessione retta, valutare la tensione massima (J

-

max

Mmax

B

J

2

---·-

y

Esercizio 3.5

Un cilindro di legno di raggio R ed altezza h è immerso in una vasca di liquido per una profondità u (cfr. fig. 3.17). Supponendo il cilindro sempre nella posizione verticale, ed indicando con ì il peso specifico del legno, detenninare: a) l'equazione differenziale del moto; b) la frequenza propria di oscillazione del cilindro, nell'ipotesi che il cilindro venga leggermente abbassato e poi lasciato libero. Assumere Ìa = 1kg/ dm 3 come peso specifico del liquido, con Ìa > ì. Risposta a) mii+ ku

=

O oppure 1rR;h1 u + 1 0 1rR 2 u

=

O

b) w = Jg1 0 /h1-

2R

Cilindro

h

Figura 3.17. Cilindro di legno parzialmente immerso in una vasca di liquido.

124

Esercizio 3.6 Risolvere il problema 3.S nell'ipotesi che il fluido della vasca abbia peso specifico 1 0 = 12 kN / m 3 , essendo lo spostamento u del cilindro misurato in dm.

Esercizio 3. 7 Dimostrare che la soluzione generale del sistema sottosmorzato è fornita da (I)

Soluzione In funzione della frequenza wD ,= wJI=7 del sistema smorzato, le radici (3.4.32), (3.4.33) dell'equazione caratteristica (3.4.13), si scrivono

(2)

À1

=

-vw

+ ÌWD

À2

= -VW

- ÌWD

ove 1,1 è la pulsazione naturale del sistema non smorzato. Sostituendo le (2) nell'integrale generale (3 .4.16), si ha ( 3)

In virtù delle formule di Eulero

e±iy = cos y

( 4)

± i sen

y

risulta ( 5)

( 6) Per k (5) e (6), la (3) prende la forma u( t)

( 7)

= A. 1e--vwt( cos w Dt + 1i sen w Dt) + A 2 e-v.Jt( cos :,; Dt

= e-vwi[(A 1 + A 2 )

Introducendo le nuove costanti ( 8)

la (7) assume l'aspetto della (I).

coswDt

+ i(A 1 - A 2 ) sen

w 0 t]

-

i sen w Dt) =

125

Esercizio 3.8 Dimostrare che l'integrale generale ( I)

può porsi nella fonna ( 2) ove

e = ✓c2I + c22 ,

( 3)

tg O, 5. Ma valori di v > O, 5 sono difficilmente riscontrabili nelle situazioni concrete, ove mediamente v è compreso tra 0,05 e O, I. Segue che il coefficiente di amplificazione dinamico può assumere il valore D = I/ ( 2 . O, 05) = I O in risonanza. In condizioni di risonanza, dal diagramma di fig. 4.8 risulta un angolo di fase

ip

= 90 ° ,

indipendentemente dal valore dello smorzamento. Pertanto, la risposta risulta sfasata di 90 ° rispetto alla forzante. Per un valore nullo dello smorzamento ( v = O), l'ampiezza della vibrazione U =

U81 /2 v tende all'infinito. Anche se nei casi concreti lo smorzamento è sempre vf O, in condizioni di risonanza lo stato di sollecitazione è notevolmente più elevato rispetto a quello calcolato in condizioni statiche (6). In sintesi, nella zona di risonanza il comportamento del sistema è regolato dallo smorzamento.

4.4. 1.3. Zona sismografica La terza zona dei diagrammi di fig. 4. 7, la cosiddetta zona sismografica, è caratterizzata dai valori del rapporto di frequenza r = Q

/w

molto maggiori di uno. In tale zona il coefficiente

di amplificazione dinamico D è inferiore all'unità, e decresce all'aumentare di r. L'effetto dinamico, dunque, riduce l'ampiezza di oscillazione. Questo risultato viene sfruttato nei problemi di isolamento delle fondazioni. In altri termini, la forza trasmessa dalla molla e dallo smorzatore diminuisce quando si realizza un sistema con una frequenza propria w molto più bassa rispetto alla frequenza Q della forzante. La risposta e la forzante sono in questa zona in opposizione di fase, poiché dal diagramma di fig. 4.8 risulta che la fase 'P tende a 180 °. Nella zona sismografica il comportamento del sistema è regolato, principalmente, dalla massa.

4.4.2. Diagrammi di Bode Il fattore di amplificazione dinamico D in funzione del rapporto di frequenza r = Q

/w

può essere rappresentato adottando la scala logaritmica sugli assi. Anche la dipendenza dell'angolo di fase

tp

in funzione di r può essere illustrata con riferimento alla scala logaritmica

sull'asse delle ascisse. I grafici in narrativa prendono il nome di diagrammi di Rode.

(6) Quando le ampiezze diventano elevate, si manifestano effetti non lineari che comportano maggiori dissipazioni di energia. Per piccole ampiezze, invece, è possibile trascurare l'effetto dello smorzamento.

144

Rispttto ai grafici delle figg. 4. 7-4.8, quelli in scala logaritmica consentono di rappresentare i parametri D e t.p su un intervallo più ampio del rapporto di frequenza. 4.4.3. Oss1:rvazioni

a) In base ai risultati precedentemente illustrati, che si riferiscono al diagramma di fig. 4. 7, si può ritenere che l'oscillatore semplice smorzato, con vibrazione armonica forzata, operi c:ome un fìltro di frequenze . Tale filtro amplifica le armoniche con pulsazione Q prossima a quella propria w del sistema, lascia praticamente inalterata quelle con Q drasticamente l'dfetto di quelle aventi pulsazione Q ~ ,.,;.

~

w, e 1iduce

b) Le informazioni derivanti dai diagrammi di figg. 4.7-4.8, costituiscono la risposta in freqLJenza del sistema. c;, La risposta u = u( t) del sistema, data dalla somma della soluzione generale (risposta transitoria) uc e di quella particolare (risposta pennanente) up, ammette la rappresentazione

(4.4.1)

in vi1tù delle (4.3.10), (4.3.12) e (4.3.21). Le costanti C 1 e C 1 vanno determinate in base alle condizioni iniziali.

4.5. METODO SIMBOLICO E FUNZIONI DI TRASFERIMIENTO 4.5. 1. Il metodo simbolico

1' el par. 2.3 sono stati introdotti i vettori rotanti e la loro rappre,sentazione nel piano complesso. Ciò suggerisce un artificio molto comodo, per eseguire certe operazioni matematiche mlle grandezze sinusoidali. Tale artificio è denominato metodo simbolico, poiché una grandezza armonica viene rappresentata con un vettore simbolico, ossia un vettore espresso attraverso un esponenziale complesso funzione del tempo t (vettore rotante).

Il metodo simbolico consente di determinare, in maniera se!Tlplice e diretta, la vibrazione a regime di un sistema smorzato con eccitazione armonica. Difatti, nei problemi in narrativa di vibrazione forzata con forzante armonica, anche la soluzione a regime risulta annonica e della stessa frequenza della forzante. Qui di seguito wngono giustificati i risultati del par. 4.3.2, per la vibrazione forzata. Si consideri iii vettore della forzante complessa (fig. 4.9)

(4.5.1)

p

==

P0 eii:2t = P0 ( cos Qt + i sen Qt)

145

iy

forzante

i

\,

:ostamento

Qt-

vlw, sia nell'isolamento attivo che nell'isolamento passivo.

177

I

'm

s

--~'I

o

Figura 4.22. Oscillatore semplice smorzato con forzante prodotta da squilibrio rotante.

4.10. SQUILIBRIO ROTANTE

Quando una massa m 1 ruota attorno ad un asse fisso con una eccentricità e, nasce una forza variabile periodicamente che diventa la sorgente della forza eccitante del sistema (fig. 4.22). Con riferimento alle notazioni della fig. 4.22, sia e l'eccentricità della massa m 1 , che ruota con velocità angolare costante Q, mentre il prodotto della massa m 1 per l'eccentricità e denota lo squilibrio. Lo spostamento verticale della massa _m 1 è dato da (4.IO.l)

s = u(t) + esen Qt

ove u( t) denota lo spostamento verticale della massa m - m 1 non rotante, dalla sua posizione di equilibrio. La massa totale del sistema (motore), compresa la massa sbilanciata m 1 , è indicata con m. Le forze agenti durante il moto sono: a) la forza d'inerzia F1 relativa alla massa m - m 1 non rotante e applicata nel baricentro: (4.10.2) b) la forza applicata alla massa m 1 sbilanciata che, per la (4.1 O. I), prende la forma ( 4. IO .3)

c) la risultante della forza elastica FE e di quella viscosa FO ( 4. IO .4)

du(t) FE + F0 = -ku(t) - c d t

= -ku(t)

:

. - cu(t)

178

--·--·-------

--

'

F5

= le u(t)

F0 = e ù(t)

77 7777/7 7 7 7777 7 7 7 7 7 . ~

Figura 4.23. Forze agenti durante il moto.

Le forze (2) - (4) in argomento, sono illustrate in fig. 4.23. L'equazione del moto si ottiene sommando le forze, lungo la direzione x, nello schema di equilibrio di fig. 4.23: (4.10.5)

La (4.10.5), per le (4.10.2)-(4.10.4), assume l'aspetto (4.10.6)

ove si è omessa la dipendenza dello spostamento, della velocità e dell'accelerazione dal parametro tempo t. 'La (4.10.6), può anche scriversi nella forma ( 4. IO .7)

Con la posizione ( 4. IO .8)

la (4.10.7) diventa (4.10.9)

mii+ cù + ku = P0 sen t"lt

La (4.10.9) rappresenta l'equazione del moto dell'oscillatore semplice smorzato, eccitato armonic:amente dalla forza di ampiezza P0 (4.10.8). Giova rilevare 1:he la (4.10.8) rappresenta il modulo della componente della forza centrifuga della massa sbilanciata m 1 •

179

4.11. ESERCIZI

Esercizio 4.1

Dimostrare che la parte reale e la parte immaginaria della mobilità scritta nella forma (4.5.38) ( I)

V

cQ 2 + iQ(k - mQ 2 )

( Q) -

iQ - k - mQ 2 + icQ

( k - mQ 2 ) 2 + ( cQ) 2

definiscono una circonferenza di centro C e raggio R dati da

I 2c

R=-

( 2)

essendo

e

il coeflìciente di viscosità.

Soluzione Se si fanno le posizioni

a= k - mQ 2 ,

( 3)

b = cQ

la (I) può esprimersi nella forma ( 4)

Le parti reale ed immaginaria, della quantità complessa denominata mobilità, assumono l'aspetto ( 5)

x=ReV(Q)=VR=,

( 6)

y

bQ

b' =17b

a-+ -

Qa

= lm V ( Q) = V = - - = 17a I

a2

+

b2

avendo posto ( 7)

Q

77 =

a2

+

b2

Dalle uguaglianze x = rib e y = ria delle (5) e (6), risulta ( 8)

X

y

-=-=11 b a

180 nonché

(9)

x2+y2 =(a2+b2)i/ =(a2+b2)

g2 (a2+b2)2

Nelle uguaglianze (9) si è impiegata la posizione (7). Per le (8) e (9) si può scrivere ,

( 10)

:r- + Y

( 11)

.1:-

,

2

Qx

= - b '. bf O Qy

2

+ y = -, a

af O

La (IO) può scriversi nella forma equivalente

(12) Se si osserva che, per la (3), si ha

(13)

Q 2b

Q 2cQ

-=--==-

2c

dalla (12) si ricava l'1equazione della circonferenza cercata: ( 14)

+y2 = (-.!.··)2 (x-_!_)2 2c 2c

Anche la (I I) rappresenta l'equazione di una circonferenza [V2].

Esercizio 4.2

Il vibr1J1tore mecc.rmico a masse eccentriche rotanti (Vi"brodina o Eccitatore) in versi opposti, è usato per produrre delle oscillazioni forzate su una struttura. Le masse sono posizionate in modo t1J1le che le fòrze centrifughti si sommano in una direziom~ ( y in figura) e si elidono in quella ortogonale ( x in figura). 1) Indicata con e l'eccentricità della massa m 0 = m 1 + m 1 mobile e Q la velocità di rotazione impressa da un motore elettrico, verificare che la forza erogata p( t) risulta espressa da ( I)

2) Se la vibrodina viene montata sulla massa M sospesa elasticamente come in fig. 4.24.b, ricavare l'equazione differenziale del moto della massa M e scrivere la soluzione are8ime. 3) Variando la velocità di rotazione si supponga di individuare l'ampiezza di 1isonanza. Discutere le possibilità di detenninare lo spostamento.

181

Vibrodina

0

ly

y,m,tm'o

(0 M

__ )!_ _/\~---~

k 2

p(t)

!e

k 2

b)

a)

Figura 4.24. Schema di funzionamento della vibrodina.

Esercizio 4.3 Risolvere l'esempio 4.1, nell'ipotesi che la lunghezza del ciclo sia dimezzata

L = I ciclo = 6 m

( I)

e tutti i restanti dati rimangano inalterati.

Esercizio 4.4 Risolvere l'esempio 4.1, variando la sola rigidezza k del sistema, per il quale si assume kN

k = 40 -

( 1)

m

4

N

= 4 · IO m

Esercizio 4.5 Risolvere l'esempio 4.1, variando la sola massa m del veicolo, per la quale si assume ( I)

m

= 500kg

182

Eserchio 4.6

1) In base alle notazioni del par. 4.8 determinare le espressioni della forza trasmessa al suppo1to F'I' in termini di spostamento assoluto s = s( t) ,~ di spost,imento relativo u = u( t) della massa. 2) Verificare che la trasmissibilità Tr = F;,/ kZ ammette la rappresentazione (1)

3) Osservare che alla risonanza ( w = Q , oppure r vale Tr=

(2)

F,*

=

0

I) il rnpporto di trasmissibilità

VI+ 4v 2 2v

_I_=----

kZ

Suggerimento Per rispondere alla 2), occorre valutare l'espressione della forza dinamica esercitata sul supporto da parte della molla e dello smorzatore.

Esercizio 4. 7 Una macchim1 di peso W spostamento statico di 1Ocm: (1)

W

4000 N è montata su una fondazione, producendo uno

= 4000N,

Ust

=

[;st

= :IO cm

Si oss1~rva che la macchina vibra con un 'ampiezza S = 2 cm, quando la fondazione è sottoposta ,11la vibrazione i1rmonica z(t) = Zcos Qt = 0,5 coswt

( 2)

di ampiezza. Z = O, 5 cm in condizioni di risonanza ( w = Q , oppure r = 1) . Determinare: a) la costante di smorzamento della fondazione; b) l'ampiezza di spostamento della macchina relativo alla base del supporto; c) la forza massima Fi trasmessa al supporto, sempre in condizione di risonanza. 0

Suggerimenti La rigidezza k della fondazione è (3)

W 4000 ,1 N k=-=--=4-10 [;st O, IO m

183

In condizioni di risonanza, dalla (4.8.38) risulta per r = 1 : 2 2 __ 4 __ ~+4v -S ___ 2 Z O, 5 4v '

( 4)

da cui

v = O, 129

La costante e di smorzamento vale ( 5)

e=

N~

~

lJCCT

= v2 v Km= 2(0, 129)\1'4 · 10 4 ( 4000 /9, 81) = 1041, 95-m

L'ampiezza U dello spostamento relativo si valuta dalla (4.8.23). Per r = 1 si ricava

Z

( 6)

0,005

U= 2 v = 2( 0 , 129 ) =0,01938m= 191 38mm

La forza massima

F;.

trasmessa al supporto si valuta dalla (2) dell'esercizio 4.6 F;. = kZTr = kS = 4 · 10 4 (0,02) = 800N

( 7)

.

Esercizio 4.8

Una pompa a stantuffo (alternativa) del peso W = 1000 N è montata nel punto medio di una trave in acciaio, di lunghezza e = 2m , appoggiata agli estremi, la cui sezione retta è indicata in fìg. 4.25.a.

p(t) = P0 cos Qt

/Macchina

Trave;;,

[ml

e;

1=2m

f Sezione sottile

m

:G: I I I

I I I

b=1cm

Modello analitico

a)

Figura 4.25. Pompa alternativa montata su trave in acciaio.

b)

184

Il pist:Jne della macchina idraulica produce, durante il suo funzionamento, una forza armonica ( I)

p(t) = P0 cos Ot = 500 cos 48t

di ampiezz,il P0 = 500 N e pulsazione Q = 48 rad/sec. a) Valutare la rigidezza k dell'oscillatore (.ig. 4.25.b) con cui viene modellato il sistema

(2) assumendo per l'acciaio il valore E = 2, I • 10 5 N/mm 2 del modulo elastico e trascurando il peso della trave. b) Calcolare l'ampiezza di vibrazione secondo la fomwla 0

u ,=

( 3)

F.o le( I - r 2 )

che si' deduce dalla (4.9.6) per 11 =, O. c) Con riferimento al modello analitico di .ig. 4.25 valutare· l'ampiezza massima e la fase c/el moto della massa, nell'ipotesi che l'indice di smorzamento sia del I 0%, oppure del 20% • ( 4)

v

=

O, IO

oppure

v

=

O , 20

d) Calcolare la forza trasmessa alla base in assenza ed in presenza di smorzamento. e) Ripetere i calcoli a) - d) quando la trave di fìg. 4.25.a risultil incastrata agli estremi.

Eserdzio 4.9 Dimostrare che l'espressione della forza trasmessa al sostegno per effetto del
'eccitazione armo.riica della massa: ( I)

FT = k U cos ( Q t - e la funzione di dissipazione q: risultano essere

( 6)

1 ., 1 u2 'I= -mu- + - I 2 2 e R2

'

cl>

1

2 = -ku 2 '

..

1 .2

y: = -cu 2

ricavare la (5) mediante l'equazione di Lagrange (6.3.13). Esercizio 6.13

Una massa concentrata m è disposta all'estremità B di un'asta rigida di lunghezza L, incernierata all'altro estremo A. Una molla di rigidezza k, distante b da/l'estremo A, esercita l'azione di richiamo come illustrato in fìg. 6.13. Trascurando la massa dell'asta AB e nell'ipotesi di piccole oscillazioni, detenninare l'equazione del moto della massa mediante i metodi:

254

\\

1

~ \ L ,Asta rigida

~~ k 1fr I

B

'x

m

Figura 6.13. Asta rigida incernierata1 ad un esltremo con massa concentrata all'altro estremo.

;:,) de/l'equilibrio dinamico; b) dell'energia; ,) dell'equazione di Lagrange; d) del principio dei lavori virtuali. ci) Ricavare la pulsazione propria del sistema.

1) Scrivere l'equazione del moto nel caso di moto in grande, ossia di oscillazioni non

piccole. Sug'?erimento ,1) Dall'equazione della dinamica , lt I = I A ;j si ricava

b-c) L'energia potenziale che si può considerare in questo caso è quella totale

( 2)

I

,

II = + V= -k( i9b)- -,- mgL( I -- cos, 1J) 2

ossia occorre considerare anche il potenziale del carico esterno mg. Sviluppando in serie cos i9 ( 3) si ricava 1 - cos i9 = 192 /2 e la (2) diventa

( 4)

1 , , 1f II= -kb-iJ- + mgL·-

2

2

255

Cilindro

Figura 6.14. Sistema costituito dal cilindro di massa M e dall'asta rigida priva di massa, portante la massa concentrata m.

L'energia cinetica del sistema assume l'aspetto

r-: c = rr=

( 5)

I . , -m(L1'J)-

2

I 2

, .,

= -mL-1')-

t) Nell'ipotesi di oscillazioni non piccole, l'allungamento della molla è b sen 1'J. La reazione della molla agisce con braccio b cos 1'J rispetto al polo A. L'equazione del moto diventa mL 2 J + ( mgL + kb 2 cos 1'J) sen 1'J = O

( 6)

Per piccole oscillazioni è sen 1'J '::::' 1'J, cos ,,J '::::' 1 e la ( 6) prende la fonna (I).

Esercizio 6.14

Un 'asta rigida priva di massa e di lunghezza L porta all'estremità inferiore B la massa concentrata m. L'altro estremo è fissato rigidamente al centro G di un cilindro omogeneo di raggio R e massa M. Ricavare l'equazione del moto, supponendo che il cilindro rotoli senza strisciare, facendo ricorso ai metodi: a) dell'equilibrio dinamico; b) dell'energia; e) dell'equazione di Lagrange; d) del principio dei lavori virtuali. e) Detenninare la pulsazione naturale del sistema. Suggerimento In qualsiasi istante le masse M e m ruotano attorno al punto C, che risulta essere il centro di istantanea rotazione.

256

li momento d'inerzia l e del sistema assume l'aspetto

essendo

b2

(2)

= }Jc2 = L 2 + R 2 -2RLcc,s,J

Per piccole oscillazioni è cos ,J ~: l, sen ,J

le=

(3)

3

2

~

,J

+ V)

la funzione di Lagrange, espressa come differenza tra l'energia cinetica 'T e la somma de/l'energia elastica e del potenzia/e dei carichi V (lavoro virtuale cambiato di segno}. Definire le ipotesi che consentono di passare dalla (1) alla {2). I',) Partire da/l'equazione di Lagrange nella fo1ma (6.4.39), qui di seguito riscritta per com0 a; = p( t)

e pr:~cisare le ipotesi che consentono di ricavare la (2) dalla (4).

257 Esercizio 6.16

Un 'asta rigida di lunghezza 4 L, ha massa m distribuita per unità di lunghezza e massa M concentrata nell'estremo libero B. La rotazione della trave attorno al punto A è contrastata dalla molla torsionale di rigidezza kr, mentre lo spostamento in C fa insorgere le reazioni FE ed FD, rispettivamente della molla di rigidezza k e dello smorzatore lineare di costante e (fìg. 6.15). Nell'ipotesi che agisca il carico concentrato P, ricavare l'equazione del moto facendo uso dei metodi: a) dell'equilibrio dinamico; b) del principio dei lavori virtuali; c) dell'equazione di Lagrange.

p M

e

m

B

A k

L

2L

e

L

Figura 6.15. Asta rigida dotata di massa distribuita e di massa concentrata ad un estremo.

Esercizio 6.17

Ilcorporigido BCADE (fìg. 6.16)puòrootareattomoalpunto A. In B ein D sono concentrate le masse M 1 ed M 2 , mentre in G è fissato un disco di massa m e momento d'inerzia Ic rispetto all'asse baricentrico. Tenendo conto dei sistemi di molle e smorzatori illustrati in fìg. 6. 16, ricavare l'equazione del moto attraverso i metodi: a) dell'equilibrio dinamico; b) del principio dei lavori virtuali; c) delle equazioni di Lagrange.

258

D

L

L

L

E

L

Figura 6.16. Masse concentrate e disco solidali al corpo rigido BCADE.

7

Sistema generalizzato ad un grado di libertà

«L'uomo può capire tutto con l'aiuto di quello che non capisce». GILBERT CHESTERTON

(1874-1936)

7.1. GENERALITÀ

Nei paragrafi precedenti è stato trattato l'oscillatore semplice in vibrazione libera e forzata. In questo capitolo verrà mostrato che a tale modello possono ricondursi anche le strutture composte da un insieme di corpi rigidi, con proprietà elastiche e viscose concentrate in poche sezioni. Se si suppone, poi, che la deformata elastica di un sistema continuo possa essere descritta mediante un singolo parametro lagrangiano, a partire da una prefissata forma della funzione degli spostamenti, anche per il sistema ad infiniti gradi di libertà si può determinare l'oscillatore semplice equivalente, detto anche sistema generalizzato ad un grado di libertà. Nelle pagine seguenti verrà determinata, per i sistemi di'corpi rigidi, l'equazione differenziale del moto dell'oscillatore semplice equivalente nella forma (7.1.1)

oppure in notazione equivalente ( 7 .1.2)

l*-0 + C*J + K*rJ = p*(t)

quando il grado di libertà è descritto dal parametro libero '-P = '-P( t) , oppure ,'J = -i?( t) , che denota l'angolo di rotazìone. Se lo spostamento v = v( x, t) della sezione della trave deformabile, posta all'ascissa x ed al tempo t, si può esprimere come prodotto ( 7. !.3)

v(x,t) = V(x)q(t)

260

di una. funzione V = V ( x) della sola variabile spaziale :1; e di una funzione q = q( t) della sola variabile temporale t, l'equazione del moto dell'oscillatore generalizzato ad un grado di libertà assumerà l'aspetto (7.1.4)

M*ij(t) + C*q(t) + K•q(t) "= p*(t)

La funzione V ( x) nella (7 .1.3) è detta funzione di fomm. L(: quantità che compaiono m:lle (7.1.1)-(7.1.4), le c:ui espressioni analitiche verranno determinate per alcuni sistemi discreti e continui neHe pagiine che s(:guono, prendono il nome: I"= Momento d'inerzia generalizzato M • = Massa generalizzata K* = Rigidezza generalizzata C • = Smorzamento generalizzato p'' ( t) = Forzante esterna geneJ•alizzata rp( t), 19( t), q( t) = Coordinate generalizzate l parametri generalizzati di massa, di rigidezza, di smorzamt:nto e di forzante esterna, vengono denominati anche parametri equivalenti del sistema originario.

7.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 7.2.1. Enunciato del principio dei l&vori virtuali

Il principio dei lavori virtuali costituisce un metodo alternativo alla seconda legge della dinamica per la determinazione dt:lla legge del moto. Il principio in parola si rivela particolarmente utile allorché il sistema strutturale Y da esaminare è complesso. Per un corpo rigido, il principio dei lavori virtuali (I) può così enunciarsi: «Condizione necessaria e sufficiente affinché la posizione Yo del sistema .'.T, a vincoli fissi, bilaterali e privi di attriti sia in equilibrio, è che risulti nullo il lavoro virtuale delle forze agenti (comprese le forze d'inerzia): ( 7 .2 I)

c5 W

= O oppure · W '" O

per ogni spostamento virtuale di ~~ eseguito a partire da Yo ». Si: definisce spostamento virtw1le uno spostamento infinitesimo compatibile con i vincoli.

(l) li Principio dei lavori virtuali è applicabile ad un sistema di forze in 1!quilibrio statico. Il! principio di D' Alembert ne consente l'estensione ai sistemi dinamici. Infatti, includendo tra le forze agenti anche ie forze d'inerzia, la condizione 8W = O esprime l'eqv1ilibrio dinamico.

261

=P0sen Qt r r l

p(t)

l

s

D

G

H

m1

T a)

2k

k

L

+

L

L

+

I'

+

J;,

=R

L

L

+

Fi=MvA

b)

L/4

+

+

l

= l,'P Q(t) = p(t) L

A G

B

s RH Configurazione deformata

~ = e~ G

Figura 7.1. Forze e spostamenti relativi al sistema generalizzato ad un grado di libertà.

Dal punto di vista operativo, come verrà mostrato nel seguito, si possono calcolare le reazioni elastiche e viscose, nonché le forze e le coppie d'inerzia associate alla configurazione deformata definita da uno o più parametri lagrangiani. Le equazioni di equilibrio alla rotazione e alla traslazione, scritte per il sistema delle forze esterne e delle forze sopra menzionate, consentono la determinazione delìe equazioni del

moto. Come esempio di applicazione si consideri il sistema illustrato in fig. 7.1.a, costituito da una trave non deformabile flessionalmente (trave rigida), vincolata in S e D mediante due molle elastiche (prive di massa), rispettivamente di rigidezze 2 k e k, in H con un appoggio fisso e in G mediante uno smorzatore viscoso, avente costante di smorzamento c. Sul tratto

GT agisce il carico distribuito ( 7 .2 .2)

p(t) = P0 sen Ot

262

mentre in corrispondenza di B è applicato un disco 1igido di massa m 1 e momento d'inerzia 11 rispetto al suo asse. Si indichi con m =, cost la mas.sa per unità di lunghezza della trave. Il sistema in esame è una volta labile, poiché la sua configurazione deformata è definita da una sola coordinata Jagrangiana, adl esempio dall'angolo \O= ip(t) di rotazione della trave attorno ad H (fig. 7.1.b ). Pertanto la sua risposta dinamica viene ad essere espressa con una sola equazione del moto.

7.2.2. Forze attive e reattive In ,:orrispondenza della generica configurazione deformata di fig. 7.1.b sono illustrate la risulta:1te Q delle forze attive Q(t) =, Q = p(t) L = P0 Lsen Qt

( 7 .2 .])

e le fo·ze reattive che, procedendo da sinistra a destra, intervengono nell'equazione del moto: (7 .2 .4)

(7.2.5)

( 7 .2 .6)

Re= cvc = cLcp

Supponendo la rotazione infinitesima ip, nelle (7.2.4)-(7.2.6) si è posto (fig. 7.1.b) ( 7 2. 7)

Le reazioni elastiche R 8 e Rv e la reazione viscosa Re risultano espresse, quindi, in funzione del parametro lagrangiano rp.

7.2.3. Forze e coppie d'inerzia Occorre ancora considerare le forze inerziali che insorgono a causa delle accelerazioni della massa m distribuita lungo la trave e della massa m 1 del disco rigido. La massa complessiva M della trave vale M = 5mL

( 7 .2 .8)

e può supporsi concentrata nel punto medio A del segmento H C. La forza d'inerzia corrispondente ( 7 .2 9)

Fr

vale

A,...v = M ( -L ,r.. ) = -·· 5 L, .. F I = •:v1 A 2,... 2 m - ,n ,...

263

essendo vA = Lt.p/2. Nelle (7.2.6) e (7.2.9) 'P e (p denotano, rispettivamente, la velocità angolare e l'accelerazione angolare, mentre ve designa la velocità scalare della sezione G. La coppia d'inerzia J6 I corrispondente alla massa distribuita m per unità di lunghezza della trave è ( 7 .2 .10)

ove I H è il momento d'inerzia della massa distribuita rispetto al punto H. Avendo indicato con A il baricentro del segmento S B = 5 L si può scrivere (7.2.11) Il momento d'inerzia della massa m distribuita per unità di lunghezza rispetto al baricentro A è (2) (7.2.12)

I

A

I 125 = -m(5L) 3 = -mL 3 12

12

Per le (7.2.8) e (7.2.12) e per la posizione AH= L/2, la (7.2.10) diventa

( 7 .2 .13) Il disco rigido in B è sottoposto all'azione della forza d'inerzia F 8 = Fn data da (7.2.14) essendo(fig. 7.1.b) v 8 = 3Lt.p. La coppia d'inerzia .16 8 associata al disco rigido assume l'aspetto ( 7 .2. 15)

Il termine all'interno della parentesi quadra della (7.2.15) esprime il momento d'inerzia del disco di massa m 1 , collocato in B, rispetto al centro di rotazione H. Il prodotto m 1 -( 3 L)2

(:) P..:r un segmento di lunghezza h su cui risulta distribuita una massa m per unità di lunghezza, il momento d'inerzia della massa elementare md y rispetto al baricentro O vale ( md y)y 1 , ove y denota la distanza da O della generica massa elementare. Pertanto, il momento d'energia Io vale:

1

l

+hj1

( I)

Io=

-h/1

my 1 dy

= -mh 3 12

264 denota il tem1ine di trasporto, essendo I 1 il momento d'inerzia della massa del disco rispetto ali' asi;e baricentrico

R2 m L2 I=m - = - -11 2 1 32

( 7 .2 .16)

ed es1endo m 1 = µnR 2 , ove µ denota la massa per unità di area. P~,r la (7.2.16), la (7.2.15) diventa ( 7 .2 .17)

m 1L2 o') AtB = ( --32 + 9m1L-,

ip""

=

289

o..

32m, r-, 'P

7.2.4. Spostamenti virtuali Giova rilevare che, nel valutare le forze reattive ed inerziali, gli spostamenti verticali delle varie sezioni della trave sono stati espressi mediante il prodotto della rotazione 'P = ip( t) per le distanze dei vari punti dal centro di rotazione H, essendo la rotazione 'P di piccola ampiezza. Inoltre, ipotizzando l'accelerazione angolare ip > O, le forze d'inerzia F 1 ed F8 e le coppie d'inerzia ./t 1 e j t 8 hanno il verso illustrato in fig. 7.1.b. Nella figura medesima la deformata rigida della trave, definita dal parametro lagrangiano 'P = O, e + ~ per n < O. Le affermazioni sulla fase '{)n sono precisate dalle consiterazioni relative alli formula (8.5.4), riportate nel par. 8.5.1. La forma (8.4.9) della serie di Fourier ha il vantaggio della semplicità, se paragonata ali' equivalente serie trigonometrica, ed è utilizzata particolarmente nell'analisi armonica di un'assegnata funzione p( t) e per determinare la risposta dinamica dei sistemi.

8.5. ANALISI ARMONICA 8.5.1. Spettro di una funzione periodica Data una funzione p( t), periodica di periodo T, si dice che si fa l'analisi annonica di p( t), quando si determinano i coefficienti della sua serie di Fourier associata, ovvero quando si precisa il contributo delle annoniche (8.2.4) alla composizione della funzione. La denominazione è chiaramente di origine musicale e si riferisce alla possibilità di scomporre una vibrazione sonora in una somma di vibrazioni sinusoidali fondamentali. Ammesso che la serie converga, la funzione p( t) è definita quando i coefficienti sono noti e risulta dalla sovrapposizione di infiniti termini sotto la forma +oo

( 8 .5. I) n=-oo

I termini della serie sono le annoniche, a ciascuna delle quali corrisponde un numero d'ordine ( n). Il massimo valore dell'ennesima armonica è !Ani, che si chiama ampiezza, mentre nQ è la sua frequenza. Un grafico che porti, in corrispondenza dei valori (discreti) delle frequenze, il corrispondente valore di IAn [, si dice spettro della funzione p( t). È chiaro che se la serie converge rapidamente, i valori di IAnl vanno rapidamente diminuendo al crescere della frequenza. Questo significa che le annoniche superiori hanno poca importanza, rispetto alle annoniche inferiori, nello studio della funzione.

322

o.o

I

3Q

Q

fiQ

(nQ)

Figura 8.18. Spettro della forzante periodica di fig. 8.7.

Come illustrazione, si consideri per semplicità lo sviluppo di Fourier che si ottiene dall'Esempio 8.1, nel caso in cui --A=B=P0 . Risulta

( 8 .5 .2)

p( t) =

:o [

:!_

sen Q t +

½sen 3 Q t + 1sen 5 !;H + ...]

In questo caso si ha:

( 8 .5 .3)

IA n I =

0

4P. A n = -nn0 '

n = I, 3, 5, ...

Lo spettro dc!lla funzione p( t), ossia la rappresentazione grafica delle ampiezze IAn I delle varie armoniche in cui può c:onsiderarsi decomposta p( t), in corrispondenza delle frequenze, è illustrato in fig. 8.18. Occorre ricordare che in generale An è un numero complesso, per cui potrà scriversi (8.5.4) ove 'Pn è la fàse corrispondente ali' n -esima armonica. La (8.5.1) prende anche la forma (cfr. (8.4.8)) oc

( 8 .5 .5)

p(t)

= Ao +

L (Anei..Ot + .4.~e-•"°t) n=l

323

essendo per la (8.4.7) ( 8 .5 .6)

Prescindendo dal valore medio A 0 della funzione p( t), che può essere considerato separatamente, e riferendosi esclusivamente alle frequenze positive per cui si eseguono le misure sperimentali, la (8.5.5) si trasforma nella seguente 00

p( t)

= Re

L Ane'"°t n=

( I)

=

I

½f (Anei.Ot + A~e-,.Ot) n=I

essendo la parte reale R.X di una quantità complessa X pari alla semisomma di X e della sua complessa coniugata X' : R.X =(X+ X')/2

( 2)

Nel caso in esame risulta X = Anei.Ot, X' = A~e-'"° 1 , ove A~ denota il complesso coniugato di An Mediante la (8.8.5), verrà data la seguente definizione di valore quadratico medio della funzione p = p( t) :

j T

T/2

p 2 ( t) = (p 2 ( t)) = lim _!__ T-oo

p 2 (Od t = -T/ 2

,f

,

La sostituzione della (I) nella (3) consente di scrivere

( 4)

Essendo 00

( 5)

n=I

e risultando

( 6)

00

L (Ane'"°t + A~e-i..Qt )2 = L (A~

ei2.0t

+ 2 AnA~ + A~2 e-,2.0t)

324 la (4) diventa ----

p2(t)

= 1/_,2 =

]

T-oo

( 7) =

•T/2

lim - )

T

--TI"

'°' L... oo

- n=l

f: A1~ f =

wl

00

An2A:dt = ~. AnA~ lim _!__ L.,. 2 T-oo T tFI

lT/1 dt -T/i

½IAnl 2

n=l

"°

Difatti, gli integrali (6) sono nulli per T -> oo, poiché il numeratore ,e'ti2 1 varia tra --1 e +I, qualunque sia il valore di t. La (7) avverte che il valore quadratico medio di una funzione periodica è la metà della somma dei quadrati delle ampiezze delle singole armoniche presenti nel segnale.

8.6. DETERMINAZIONE DELLA RISPOSTA A REGIME DEI SISTEMI DINAMICI 8.6.1. Spettri della forzante e della risposta

Come applicazione della serie di Fourier, viene determinata la risposta a regime (stato stazionario) di un sistema dinamico ad un grado di libertà, quando la forza esterna è periodica. Il primo ,esempio considerato è l'oscillatore s,emplice non smorzato, sottoposto ad una forza esterna periodica del tipo onda quadra (fig. 8.19).

p(t)

---, -T/2

1

r----

o

1

T/2

Figura 8.19. Oscillatore lineare non smorzato eccitato da (orzante perìodica.

I

325

Lo sviluppo in serie di Fourier del tennine forz.ante p(t) è già stato ottenuto in precedenza, (cfr. Esempio 8.1) ed è: 00

(8.6.1)

p(t)

=

L

b" sen(m2t)

IFI

ove

( 8.6 .2)

b

"

={

4Po - , n d"1span• mr

O,

npari

D'altra parte, è noto dalla (4.1.23) che la risposta a regime dell'oscillatore semplice non smormto, ad una form esterna sinusoidale A sen Q t = P0 sen Q t = p( t) è: (8.6.3).

_ Asen '2t _ U0 u(t) - k( I - r2) - (1 - r2) sen Qt

ove (8.6.4)

essendo k la rigidezza dell'elemento elastico, m la massa, mentre w denota la pulsazione naturale del sistema. Allora, ad ogni annonica b"sen(m2t) del tennine forz.ante p(t), corrisponde unarisposta a regime del tipo:

(8.6.5)

ove

r

(8.6.6)

m2

"

=-

w

Applicando il principio di sovrapposizione si detennina la risposta a regime del sistema, che tiene conto del contributo relativo ad ogni annonica formnte: -~ - ~ b"sen(m2t) u(t) - L..J u"(t) L..J k( l - r2) ( 8.6 .7)

IF)

IFI

00

=E rt

U,. sen(nilt)

n

326

~~

4;:,o

~~;-{

Forzante (ù

'!

3Q

5Q

6Q

7Q

9Q

-

n~2

n dispari

O,

n pari

=Qn

itkUn

nklJ, -{

4P0

-n

4P0

1 11[1-rn/]'

n dispari

O,

n pari

Risposta

70 !:"2

5Q

30

9Q

-

n!:2

=on

Figur:t 8.20. Spettri della for;;,..ante e della risposta relativi all'oscillatore semplice non smorzato.

ove:

ndispari (8.6.8)

npari Nel caso particolare di w = 6 Q, gli spettri della funzione fo12ante e della risposta sono illustrati in fig. 8.20. in fonna adimensionale, a paitire dalle (8.6.2) e (8.6.8). 0

La detem1inazione della risposta a regime del sistema dinamico visto precedentemente, può essere ottenuta anche tramite le serie di Foun"t:r complesse. Occorre ricordare che la risposta a regime dell'oscillatore am10nico per un tem1ine forzante del tipo:

( 8 .6 .9)

327 è esprimibile nel modo seguente ( 1)

(8 6.10) ove: ( 8 .6 11)

è chiamata funzione della risposta in frequenza (2 ).

Quando la forza esterna è periodica, di periodo T, essa può rappresentarsi tramite lo sviluppo di Fourier complesso (8.4.9), qui di seguito riscritto per comodità +oo

(8.6.12)

p(t) =

I:

p n e"'•H

n=--oo

( 1) Derivando due volte rispetto al tempo la funzione

( I) e sostituendo nell'equazione del moto mii+ ku = p( t), si ricava (2)

Dalla (2) si deduce ( 3)

Po

Po

U(Q) = (-mQ" + k)

essendo k/m = w 2 . Per la (3), la (I) diventa ( 4)

u(t)=

A0 ,e 1 Q 1 =H(Q)Poe'Q 1 =H(Q)p(t) k- mQ-

La relazione u( t) = H ( Q) p( t) vale anche nel caso più generale di sistema smorzato, ove la funzione di risposta in frequenza ammette la rappresentazione ( 5)

Nel caso di oscillatore armonico smorzato, la funzione della risposta in frequenza è una grandezza complessa che può anche esprimersi nella forma: ( 2)

O\'C

v è l'indice di smorzamento.

328

La (8.6. I O) consente di affennare che, per ogni tennine for:l.8Dte è:

( 8 .6 .13)

u.,(t)

P., ei..Ot , la risposta a regime

= U.,(O)inat = H.,('2).P.,ei..ot

==

= JI( nQ )P.,einat

Pertanto, la risposta a regime «complessiva» è: +oo

(8.6.14)

u(t)

=

I:

+oo

u.,(t)

=

ff=-00

L

H.,(IQ)P.,ein!Jt

fl'"-OC>

ove: (8.6.15)

8.6.2. Rappriesentazione degli spettri delle ampic..azze e delle fasii Nc:1 caso in cui p(t) sia l'onda quadra rappresentata in fig. 8.19, è noto dall'esempio 8.5

che (8.6.16)

A.,= P., = {

.2Po -i--,

n d'1span.

O,

npari

n7r

Nel caso particolare di w = 6 '2 , dalle (8.6.13)-(8.6.16) risulta ndispari (8.6.17)

npari A qm:sto punto occorre ricordare che si ha a che fare con numeri complessi e che n può assumere anche valori negativi. Si osservi che si può scrivere: (8.6.18)

quancl!o

329

1 Spettro delle ampiezze ro=60

n a)

-9

-7

-5

-3

-1 O 1

3

7

5

9

I

Spettro delle fasi

l! 2

b)

-9

-7

1

-5

-3

-1

3

5

o

n

I I

7

9

-2" -(I)

;=;-5g

O)

,,;5g

Figura 8.21. Spettri delle ampiezze e delle fasi.

Le prime disuguaglianze sono verificate per n > O, n < 6 , ossia per n = I , 3 , 5 , mentre le seconde sono verificate quando: n < O, lnl > 6, ossia per n = - 7, -9, .... Inoltre, si può osservare che

(8.6.19)

-----=----n[ I - (n/6) 2 ] n[ I - (n/6) 2 ]

quando n[ 1 - ( n/6) 2 ] < O. Si può facilmente verificare che questo avviene se

n= -1,-3,-5 n=7,9, ...

:no Concludendo, si può riscrivere la (8.6.17) nel modo segui!nte:

{ n[I ~-;:;6 f],

br

--u (Q) 2P n

( 8 6 20)

=

n= 1,3,5, -7, -9, ...

eirr;~

0

n[ 1 _ ( n/ 6) ~] ,

n = -1, -3, --5, 7, 9, ...

Dalla (8.6.20) si può notare: come le ampiezze complesse;: ammettano fasi diverse, a seconda del!' armonica cui si riferiscono. In fig. 8.21.a è riportato lo spettro delle ampiezze: (8.6.21) in fig. 8.21.b, lo spettro delle fasi. Difatti, dalla (8.6.21) si ricavano i valori 36 A I = A -I = -35 = I , 029 J\ 3

= A_ 3 =

4

9 = O. 444

36 i\ 5 = J\_ 5 = 55 = 0,655

( 8 .6 22)

36 A 7 = A -7 = -91 = O, 396

4 A9 = A -9 = -45 = O, 089 Per quanto riguarda lo spettro delle fasi di fig. 8.21.b, le (8.6.17), (8.6.18) e (8.6.19) avvertono che la fase delle singole armoniclhe vale n /2, oppure -n /2. Dalla (8.6.20), appare che la fase è - n / 2 per n

=

I , 3 , 5 , - 7 , - 9 , . . . mentre è n / 2 per n

p(t)

Sistema ·dinamico

Dominio del tempo

p

J,

Dominio della frequenza

f1, I Q)

p(t}

u(t) = u(t}

Un (Q)e ,nQt

I , - 3 , - 5 , 7 , 9 , ....

u(t)

1 lo + T -1r,Qt n( Q) = T lo p(t)e dt

I

= -

l

Un(Q) = Hn(ffPn(Q) Lln(Q)

Fig1ura 8.22. Rappresentazione sintetica delle relazioni tra forzante e risposta nei domini del tempo e ddla frequenza.

DI

8.6.3. Relazioni nei domini del tempo e della frequenza Si può riassumere il procedimento seguito per ottenere la risposta a regime di un sistema dinamico sotto l'azione di una forza esterna periodica, mediante lo schema illustrato in fig. 8.22. Si può quindi pensare al problema in termini di trasformazioni dal dominio del tempo al dominio della frequenza (spettro) e dal dominio della frequenza al dominio del tempo (risposta).

8.7. INTEGRALE O TRASFORMATA DI FOURIER

Si è visto che una funzione periodica di periodo T può essere rappresentata da una serie di Fourier, ovvero da una somma infinita di funzioni armoniche di frequenza ( m2), con Q = 2 1r /T frequenza fondamentale. Se T ------, oo, la funzione non è più periodica. In questo processo al limite, le frequenze discrete si avvicinano sempre più l'una alraltra fino a diventare un'unica variabile continua e la serie di Fourier diventa un integrale di Fourier. Il procedimento analitico per ottenere l'integrale di Fourier, a partire dalla serie di Fourier nella sua forma complessa. viene esaminato qui di seguito. La (8.4.9) viene riscritta per comodità +oo

( 8 7. I)

p(t) =

I:

ove:

2 1T

Q=T'

(8.72)

La coppia (8. 7.1 )-(8.7.2) è chiamata trasfonnata discreta di Fourier. Se si introduce la seguente notazione: ( n + I) Q - m2

(8.7.3)

=

le (8. 7. I) e (8. 7 .2) si possono riscrivere nel modo seguente: +oc

(8.7.4)

p(t)

=

I: n=- OC,

(8.7 .5)

2 1T T

Q = -

=

~Q

"

332

Se si ,considera il limite per '.r - oo e si elimina l'indice :ri, in modo che la variabile discreta Q" diventi la. variabile continua Q , si può sostituire la somma con l'integrazione ed ottenere: (8.7.6) essendo (8.7 .7) In si111tesi, per T - oo, l'intervallo tra le armoniche che c:ompongono la sommatoria tende a · zero 1~ la sommatoria (8.7.4) tende all'integrale (8.7.6). La rappresentazione della p( t) mediante un int1~grale è possibile purch6 l'integrale (8.7.6) sia converge11te. Per le (8.7 . 6) e (8.7.7) si possono fare le seguenti affermazioni generali. Una funzione p( t) definita per -oo < t < +oo, chi, soddisfa in tale dominio le condizioni di Dirista. Le (8.7.9) e (8.7.10) possono essere introdotte anche per via assiomatica, senza farle derivare dalle (8.7.4) e (8.7.5) rispettivamente.

Esempio8.6

Detenn~nare la trasformata di Fourier dell'impulso nittangolm-e di .ig. 8.23, di ampiezza Po (1)

O, t < -T { p(t) P0 , -T oo : (8.10.10)

S (Q) = lim P(Q)P*(Q) P

T--oo

T

= lim IP(~~!.[_ T--oo

T

Analogamente, la densità spettrak del segnale di uscita ammette la definizione (8.10.11)

Nel par. seg111ente viene introdotto il teorema di Parseva1, che pone in relazione gli integrali della variabile tempo t con gli integrali della variabile ,.1 (dominio della frequenza).

343

8.11. TEOREMA DI PARSEVAL Se x( t) e y( t) sono due funzioni reali della variabile t, ed X ( Q) e Y ( Q) le rispettive trasformate di Fourier, risulta (cfr. Esercizio 8.4)

J-oo+oo x(t)y(t)dt = 2Jn J+oo -oo X*(Q)Y((i)dQ

(8.11.1)

L'uguaglianza (8.11.1) costituisce il teorema di Parseval. Nella (8.11.1) si è indicato con X*( Q) il complesso coniugato di X ( Q) .

8. 11.1. Valore quadratico medio dell'eccitazione e della risposta Se x(t) = y(t)

=

p(t) e quindi X(Q) = Y(Q) = P(Q), ove P(Q) denota la

trasformata di Fourier dell'eccitazione p( t), la (8.l I.I) consente di scrivere

( 8 .11.2)

J +oo p2(t)dt = -00

J 27T

J+oo IP(Q)l2dQ -00

La (8.11.2) può anche porsi nella forma

(8.11.3)

) J+T/ 2p

lim -

T-oo T

2 (t)dt

-T/2

I = lim 2n

T-oo

JT/ 2 IP( Q) IJ- dQ -T/2

T

Il primo membro della (8.11.3) rappresenta il valore quadratico medio della funzione p( t) nell'intervallo T, per T--> oo, o potenza media della funzione p( t)

(8.11.4)

(p2 ( t) ) =

) JT/2 p t) d t T-oo T -T/2 . lim -

2(

Per la (8.11.4) e per la definizione (8.1 O. I O) di densità spettrale di potenza, la (8.11.3) ammette la seguente rappresentazione

(8.11.5)

(p 2 (t)) = -2J

f+oo SpCQ)dQ = -J

7T

-00

7T

1

00

SpCQ)dQ

0

La (8.11.5) è stata già ottenuta in (8.9.4) e (8.9.8). Dalla (8.11.5) risulta che la potenza media del segnale p( t) è fornita, a meno del fattore 2 7T, dall'integrale dello spettro di potenza di p( t), ossia dalla somma continua della densità di potenza spettrale relativa a ciascuna armonica. Se si pone nella (8.1 I. I) x( t) = y( t) = u( t) e si indicano con U( Q), S,.( Q), la trasformata di Fourier e la densità spettrale della risposta u( t), rispettivamente, si perviene alla seguente espressione del vaiore quadratico medio della risposta

(8.11.6)

JT/2 u2 (t)dt = - I J+oo S,.(Q)dQ 2 T-oo -T/2 -oo I

(u 2 (t)) = lim -T

1T

344

seguendo gli sviluppi analoghi a quelli relativi alla funzione p( t). :Se si sostituisce la (8.10.9) nella (8.11.6)., si determina la relazione (8.11.7) che fornisce la potenza media della risposta, in funzione della densità spettrale dell'eccitazione Sp( Q) e del quadrato del modulo della funzione di trasferimento H ( Q).

8.12. VALORE QUADRATICO MEDIO DELLA RISPOSTA DELL'OSCILLATORE DEBOLMENTE SMORZATO Si conside:ri l'equazione del moto deÌl'oscillatoire smorzato mii+ cù + ku == p(t)

(8.12.1)

illustrato in fig. 8.29.a, eccitato dalla forzante p( t), che risulta caratterizzata dalla densità di potenza spettrale rappresentata in fig. 8.29.b. È da notare che, quando l'eccitazione contiene tutte le amioniche con pari potenz.a, essa prende il nome di rumon: bianco. Lo spostamento della massa m secondo la direzione d1~ll'asse :r è indicato con u = u( t). La forzante è p = p(t) mentre e e k denotano, nell'ordiine, il coefficiente di smorzamento e la rigidezza della molla. La sollecitazione esterna sia del tipo

(8.12 .2) ove P0 denota l'ampiezza, Q la frequenza della forzante ed i l'unità immaginaria. In regime stazionario la risposta assume l'aspetto

(8.12 .3)

Rumore bianco

Smorzatore

~

f--!

i*. 71:l~) I - , ✓"'

Molla

a)

Massa

o lt>)

Figura 8.29. Oscillatore sem11lice smorzato eccitato dal rumore bianco.

345

essendo U0

= U e~i,p l'ampiezza complessa. Derivando la (8.12.3) rispetto al tempo si pos-

sono ricavare la velocità

u e l'accelerazione

ii(t) :

(8.12.4) La sostituzione delle (8.12.3) e (8.12.4) nella (8.12. l) fornisce la relazione (8.12.5) ovvero (8.12.6)

[-mQ 2 + iwc+ k]u(t)

= p(t)

in virtù delle posizioni (8.12.2) e (8.12.3). La costante complessa che moltiplica la funzione u( t) nella (8.12.6) è detta impedenza del sistema e si indica con Z = Z( Q). Si indichi con H(Q)

( 8 .12. 7)

I

H ( Q) =

Z=

I -[--m-Q-.2,..--+_k_+-ic_w_]

la funzione di trasferimento, conosciuta anche come funzione di risposta in frequenza, oppure funzione del sistema. Più propriamente, la (8.12. 7) definisce la recettanza del sistema. Per la (8.12.7), la (8.12.6) ammette la rappresentazione ( 8 .12 .8)

u(t) = H(Q)p(t)

Per le (8.10.9) e (8.12.7), la densità spettrale della risposta

( 8 .12 .9)

ove

S/ Q)

S/ Q)

assume l'aspetto

2 S/Q) S,.(Q) - IH(Q)I SpCQ) - I - mQ2 + k + icw12

rappresenta la densità spettrale dell'eccitazione.

Dalla (8.12. 7) appare che, per piccoli valori dello smorzamento e, il quadrato del modulo IH(Q)i 2 di H(Q) assumeilvaloredipiccoquando -mQ 2 +k=O, cioèper

(8.12.10)

Q 1 =k/m=w 2

L'ultima uguaglianza della (8. 12. 10) deriva dalla posizione (3.2.9). In altri tennini, quando la frequenza della forzante esterna Q uguaglia la frequenza propria del sistema w, si ha la rappresentazione schematica illustrata in fig. 8.30.b per la funzione jH( Q) 12 .

346

Spettro effettivo dell'eccitaziorn~

/ spettro approssimato . / _ so f--------~-.....,...._,_...,,_,-_______ ---------I

--- --- ---

o

(ù

a)

Q

IH(Q)l 2 IH(Q)I = Guadaiino del sistema

b)

o

(ù

Q

Densità spettrale della risposta

e)

o

(ù

Q

Figura 8.30. Illustrazione delle de111sità spettrali dell'eccita,~ione e della risposta, nonché del quadrato del guadagno IH( Q

)i

del sistema.

In fig. U.30.a la linea disegnata a tratti rappresenta lo spettro effettivo dell'eccitazione SP( !~), mentre la linea continua parallela all'asse delle: ascisse e definita dall'ordinata S0

indica il rumore bianco:

(8.12.11)

347

Per le (8.12.9) e (8.12.11 ), la densità spettrale della risposta ha l'andamento illustrato in fig. 8.30.c. Se il sistema è debolmente smorzato, vale l'uguaglianza (4) 1[

(8.12.12)

kc

(4) Per facilitare il calcolo del valore quadratico medio della risposta, si possono utilizzare le tabulazioni riportate in letteratura [C 1]. per alcune espressioni della funzione di risposta in frequenza H( Q). Ad esempio, se ( I)

risulta ( 2)

Nel caso in cui

I

( 3)

H(Q)= k-mQ 1 +icQ

il confronto con la (I) porge ( 4)

Per le (4), la (2) diventa ( 5)

f

+oo

m/k

,

IH< r.n1-dn

1T

= 1r- = -

-00

cm

ck

7r

=

,

2vm-w 3

L'ultima uguaglianza delle (5) discende dalle posizioni ( 6)

k = mw 1 ,

e= 2vmw

Quando l'oscillatore viene eccitato da un moto impresso alla base, la funzione di risposta in frequenza ( cfr. [CI]) ammette la rappresentazione ( 7)

Confrontando la (7) con la ( 1). si ha ( 8)

Per le (8), la (2) diventa ( 9)

-m H(Q) = k-mQ 1 +icQ

348

Per le (8.11. 7), (8.12.11 ), (8.12.12), il valore quadratico medio della risposta prende la forma 1

(8.12.13)

1

(u-(t)/

1

= 211:

!+oo l -oo Sp(Q)jH(Q)j·;, dQ"' ~~;So 2vm2w3 7T

8.13. ESERCIZI

Eserdzio 8.1 R ;cavare la funzione di autocorrelazione R( r} ed il valore quadratico medio ( x 2 ( t)) della funzione armonica r( t) = p( t) = A sen ( Q t + ip)

( l)

Soluzione La definizione (8.8.2) della funzione di autoconrelazione applicata alla ( 1) fornisce R(r)

] !T/2

= Rz(r) = lim -;-

( 2)

T-oo ']

-T/2

11

JT/2

T-oo 1

-T/2

= lim -:;-

x(t)x(t + r)dt

=

A 2 sen(Qt + p) sen[f.!(t + r) + ip]dt

Essendo la funzione ( l) periodica, di periodo T = 2 1r / Q, la (2) diventa R( T)

A2

;•T/2

T A2

--T/2 ;•T/2

T

--T/2

=-

( 3)

=Risultando

!

se:n Q t sen Q ( t + T) d t

. ( cos Q T sen 2 Q t + sen Q T sen Q t cos Q t) d t

-T/2

= 2,

!

R( T) =

T

T

T/2

( 4)

sen 2 Qtdt •

T/2

sen

-T/}

,u cos Qtdt = O

dalla (3) si ricava ( 5)

A2 cos Q T

Per la (8.8.5), il valore quadratico medio (x 2 ( t)) della funzione ( 1) prende la forma

(6)

A2 A2 (:r 2 (t)) = R(O) = Tc:os(0,2) = T

349

Esercizio 8.2

Verificare che la trasfonnata di Fourier P( Q) deJJa funzione p( t) è uguale aJJa complessa coniugata di P( -Q), ossia che risulta P(Q)=P*(-Q)

( I)

oppure

P*(Q)=P(-Q)

Soluzione La trasformata di Fourier della funzione p( t), per definizione, risulta essere ( 2)

Essendo ( 3)

e±iQt

= cos Qt ± i sen Qt

la (2) prende la forma

P( Q) =

( 4) =

f~ 00

p( t )( cos Q t - i sen Q t) d t

[~oc: p(

t) cos Q td t - i

[~oc

=

p( t) sen Q td t

Se si indicano con a( Q) e b( Q) rispettivamente, la parte reale e quella immaginaria della funzione a valori complessi P( Q) : a(Q) = P 1(Q) = Re P(Q) =

1~

p(t) cos Qtdt

b(Q) = P](Q) = Im P(Q) =

[~oc

p(t) sen Qtdt

( 5)

la (4) ammette la seguente rappresentazione ( 6)

Se si valuta P( -Q) ( 7)

00

350

per le (3), (5) e (6), risulta

J

J+oo

+cx,

P(-Q) =, _00 p(t) cos Qtdt + i _00 p(t) sen Qtdt

( 8)

=• a( Q)

=

+ ib( Q) = P*{ Q)

ove l'asterisco su P( Q) denota il complesso coniugato. Considerando il complesso coniugate, di entrambi i membri dell'uguaglianza P( -Q) = P*( Q), la (8) assume l'aspetto P*(-Q)

(9)

= P(Q)

esse:ndo ( l'*( Q)) * = P( Q), ossia il complesso coniugato ciel complesso coniugato di P( !:l) coincide proprio con P( Q). Se la funzione p( t) è reale, i valori a( Q) e b( Q) definiti dalla (5) sono reali e risulta la s1eguente espressione del quadrato del modulo di P( U) :

( IO)

Esercizio S;.J Dimostrare che la trostònnata di Fourier della funzione di autocorrelazione R( T) di p( t) è la densità di potenza spettrale definita dalla (8.9.2). Dimostrazione Se

I r+T/2 RpCT) = R(r) = lim -T p(t)p(t + r)dt r .....oo -T/2

J

( I}

è la funzione di autocorrelazione di p( t), la trasformata di Fourier di

+oo R(r)e-mrdr=' lim fT/2 R(r)e-mrdr= -oo T ..... oo, -T/2 . [ lim-l +T/2 p(t)p(t+r)dt dr =, J +oo e-,or -oo r .....oo T ' -T/2

.7{R(r)] = (2),

PolÌché risulta (3)

Rp( r) vale

J

f

l

351

si possono ordinare i termini e scrivere la (2) nella forma

( 4)

.97{R(r)]

= lim -I T--+oo

[!

T

+T/2

p(t)e'.01 dt •

f

-T/2

+T/2

. ] p(t+ r)e-•O(t+r)dr

-T/2

Il primo integrale al secondo membro della (4) è la trasformata di Fourier P( -Q)

!

T/2

P( -Q)

(5)

= lim

p(t)em 1dt

T--+oo -T/2

in virtù della (7) dell'Esercizio 8.2. Con la posizione ,P = t + T,

(6)

da cui risulta d ,p

= dr, l'integtale più a destra della (4) diventa

!

T/2

lim

(7)

p(,p)e-iO,J,d,p = P(Q)

T--+oo -T/2

La (7) denota la trasformata di Fourier P( Q) della funzione p( ,p). Omettendo il limite per T-+ oo, le (4), (5) e (7) consentono di scrivere §"{R(r)} = P(-Q)P(Q) = IP(Q)j 2

(8)

T

T

La formula più a destra della (8) deriva dall'uguaglianza P(-0)

= P*(Q), per la (I)

dell'Esercizio 8.2, e dal risultato relativo al prodotto di un numero complesso per il suo coniugato. La formula (8) in parola costituisce la definizione di densità spettrale di potenza S/ Q) = S(Q) di p(t).

Esercizio 8.4.

Dimostrare il teorema di Parseval. Soluzione Se x( t) e y( t) sono due funzioni reali e X ( Q) , Y ( Q) le rispettive trasformate di Fourier, si può scrivere ( 1)

x(t)y(t)

I

roo

= x(t) 2 ,r }_

00

Y(Q)eiDtdQ

ove 1;( t) è stata scritta come antitrasformata di Fourier di Y ( Q). Integrando ambo i membri della(l)sullavariabile t tra --oo e +oo, risulta

/ •oo x(t)y(t)dt

( 2)

r). Pertanto, la (9. l . l) dà la risposta di un sistema di caratteristiche dinamiche assegnate, ad una eccitazione di forma qualsiasi, come la sovrapposizione delle risposte di una successione continua di impulsi. Si può dire che l'integrale di Duhamel definisce un legame diretto tra la forzante p(t), detta anche azione, input, eccitazione oppure segnale di ingresso e la risposta u( t) , denominata anche segnale di uscita, oppure output. Ad ogni funzione p( t) la (9. l. l) fa corrispondere una funzione u( t) , essendo h( t - T) assegnata. La funzione di risposta h( t) all'impulso unitario, applicato al tempo

T

= O, caratterizza

il sistema lineare. La fig. 9.1 illustra schematicamente come il sistema fornisca la risposta u(t) filtrando l'azione p(t) con la sua funzione h(t).

( 1)

Il simbolo

II

denota l'indice di smorzamento v = e/e,, essendo e il coefficiente di smorzamento

e e, il valore critico di c. In numerosi testi di Dinamica e Vibrazione di strutture, si adopera ( in

luogo di v per indicare l'indice di smorzamento.

362

Sistema p(t)

---~

u(t)

Azione

Risposta

Fig~1ra 9.1. Rappresentazione schematica dell'azione, della rispost:1 e del sistema attraverso la fum:ione h( t) di risposta all'impulso unitario.

!È da noltare che, nella maggioranza dei casi che interessano, l'integrale di convoluzione non può essere risolto in forma chiusa. Occorre allora rkorrere a metodi numerici per l'integrazione delle equazioni del moto.

9.2. IMPULSO E QUANTITÀ DI MOTO

Si chiama impulso elementare di una generica forza p = p( t) nell'intervallo di tempo [ t, 1: + d t] , il vettore d I : ( 9 .2. I)

di = pdt

Si definisce impulso della forza p = p(t) relativo all'intervallo di tempo [t 1 , t 2 ], il vetltore (9 .2 .2)

Si chiama quantità di moto di un elemento materiale di massa m in movimento, al generico istante t, il vettore Q ( t) (9 .2 .3)

Q(t)

= mu(t)

espresso dal prodotto della massa m per la sua velocità ti = ti ( t') ali' istante t considerato. Scrivendo la seconda legge della dinamica nella forma ( 9 .2 .4)

j__{mli) = p dt

dQ dt

oppure · - = p

ed integrando rispetto al tempo nell'intervallo [ t 1 , t 2 ], si ha

(9.2.5)

363

La (9.2.5) affenna che la variazione della quantità di moto uguaglia, in qualsiasi intervallo di tempo [ t 1 , t 2 ], l'impulso I della forza p( t) agente nel medesimo intervallo di tempo. La (9.2.5) è conosciuta come teorema de/l'impulso. La (9.2.4), invece, costituisce il teorema della quantità di moto e si enuncia: «La derivata rispetto al tempo della quantità di moto è uguale, istante per istante, alla risultante delle forze agenti». In realtà, le (9.2.4) e (9.2.5) costituiscono due enunciati dello stesso teorema. Giova rilevare che, in questo paragrafo, sono state impiegate le lettere in grassetto per sottolineare il carattere vettoriale della velocità, della forzante, dell'impulso e della quantità di moto. Per non appesantire la notazione, nel seguito si impiegheranno, generalmente, i caratteri nonnali per le grandezze vettoriali in narrativa.

9.3. ECCITAZIONE IMPULSIVA 9.3.1. Impulso unitario Le forze di intensità molto grandi, agenti per un tempo E molto breve (2), ma con integrale rispetto al tempo finito, prendono il nome di forze impulsive (fig. 9.2). Il loro integrale viene indicato con I :

(9.3.l)

I=

1r+E p(t)dt ~ p(r)E

ed è rappresentato geometricamente dall'area del rettangolo tratteggiato in fig. 9.2.a. Al diminuire della base E del rettangolo in argomento, l'altezza I/ E cresce a parità di area I. Al limite, per E --+ O, tali forze tendono all'infinito. Quando I è uguale all'unità ed E --+ O (3), la forza prende il oome di impulso unitJJrio, fùnzione delra, oppure delta di Dirac, e viene indicata con il simbolo lì( t - r). La funzione delta ha le seguenti proprietà:

(9 .3 .2)

0( t - r)

= 0,

t "f T

( 9 .3 .3)

(2) Indicato con T il periodo di vibrazione della struttura, l'intervallo di tempo agisce è molto minore di T ( E ~ T). (3) Dal punto di vista formale, l'impulso unitario è definito dalla relazione

..... [ •-O lim

T

p(t)dt

=I

E

durante cui il carico

364

Impulso p(t)

a)

o

,:

u t'=t-,:

b)

Hisposta all'impulso du(t)

--L

~

o

Figura 9.2. aJ Impulso di durata durata dr=

(9 .3 .4)

E.:

d T all'istante r. b) Risposta all'impulso p( r)d r di

E.

(°o

Jo

p(t)cS(t - r)dr

= p(r)

La relazione (9.3.4), che costituisce la proprietà di filtro, pennette di considerare la forzante del sistema, r:appresentata dalla funzione generica :o( t), come un insieme continuo di delta di Dirac modulato, istante per istante, dal valore di p( t). Pertanito, l'eccitazione continua p( O può essere intesa come una serie di impulsi infinitesimi di valore p( T)d-r. Ulteriori considerazio1mi sulla funzione impulsiva 6( t - r) sono riportate nel par. 9.9 .

365

9.3.2. Funzione di risposta all'impulso Se l'impulso I = p( r)d r all'istante r agisce su un corpo in quiete di massa m, produce una improvvisa variazione di velocità ù 0 , senza un apprezzabile cambiamento di posizione, tale che

( 9 .3 .5) in virtù del teorema dell'impulso. Se un oscillatore semplice non smorzato ed inizialmente fermo viene eccitato da un impulso, le vibrazioni che ne derivano costituiscono, al generico istante t, la risposta u( t) del sistema all'impulso. Essendo la forza impulsiva di breve durata rispetto al periodo proprio

T di vibrazione della struttura, la risposta dell'oscillatore all'impulso può essere derivata da quella relativa alla vibrazione libera, a causa della velocità iniziale ù0 . Nel par. 3.2.2 si è visto che il sistema massa-molla non smorzato ha la legge (3.2.21) di variazione dello spostamento, qui di seguito riscritta u( t)

(9 .3 .6)

= u 0 cos wt + ~ sen wt w

ove u 0 e ù0 sono, rispettivamente, Io spostamento e la velocità iniziali, mentre w

= .;rr;;;,

designa la pulsazione propria o naturale. Nel caso dell'impulso in argomento, lo spostamento u 0 è nullo, poiché si è considerato l'oscillatore inizialmente a riposo, mentre la velocità ù 0 si ricava dalla (9.3.5):

u 0 = O,

( 9 .3. 7)

.

u

I

o = -m

La risposta u( t) dell'oscillatore all'impulso, applicato al tempo r, si deduce dalla (9.3.6), e, per quanto espresso dalle (9.3.7), risulta (9 .3 .8)

u( t)

= (

:w) sen w( t - T)

Dalla (9.3.8) appare che il contributo dell'impulso I = p( T)d T (applicato al tempo T) alla risposta al tempo t si ottiene sostituendo nella (9.3.6) il parametro t con t' = t -

T,

che rappresenta l'intervallo di tempo trascorso dal termine dell'impulso, ovvero dall'inizio dell'impulso stesso, essendo d T infinitesimo. La risposta (9.3.8) all'impulso è illustrata graficamente in fig. 9.2.b. In presenza dello smorzamento, l'equazione della vibrazione libera per un sistema debolmente smorzato è fornita dalla (3.4.47): (9 .3 .9)

u( t)

u0 + vwu 0 sen w t] = e-uwt [ u O cos wD t + ~-----W D D

366

ove

(9.J .10) è la pulsazione smorzata. Sostituendo la (9 .3.1 O) niella (9.J.9) e tenendo presente che, nel caso che si sta esaminando è u 0 = O, mentre ù 0 è fornita dalla (9..3 .7), si ricava il contributo delr impulso I = p( T) d T alla risposta u( t) al tempo t : u(t)

= e-vw(t-r) ~ sen WD(t

-

T)

==

WD

(9,].11) I

e-vw(t-r)

sen

VI -

v 2 w(t - T)

mwJI - v 2

essendo t --- T l'intervallo di tempo trascorso dal termine dell'impulso. Ponendo nella (9.3.8) 1 = I, si ottiene la funzione di rispost;.r, o semplicemente la risposta, ali' impulso unitario, indicata con h( t - T) :

h(t - T) = - 1- stm w(t - T)

(9.3.12)

mw

per un sistema non smorzato. Nel caso dell'oscillatore smorzato,, la funzione di risposta all'impulso si ricava dalla (9.3.11), per I= I:

(9.3.13)

h(t ·-

T)

=

J

e-vw(t-r:,

sen

VJ -- v 2 w(t -

T)

mw~

Per la (9.3.10), la (9.3.13) ammette la rappresentazione

(9.3.14)

h( t - T)

1 = --e-vw(t-r) sen w mw D

D

(t

- T)

Per le (9.3.12) e (9.3.13), l'equazione della risposta all'impulso può esprimersi, sia per il caso smorzato (9.3.11), che per quello non smorzato (9.3.8), nella fonna

( 9 .3 .15)

u(t)

= Ih(t -

T)

Essendo

(9.3.16) l'espressione (9.3.11) dello spostamento u( t) può porsi nella forma adimensionale

( 9 .3 .17)

367

p

a)

o~~----l r- = di: E

Figura 9.3. Funzione di risposta all'impulso unitario applicato all'istante iniziale all'oscillatore lineare smorzato.

9.3.3. Impulso applicato all'istante iniziale Quando l'impulso viene applicato all'istante iniziale r diventano rispettivamente (9.3.18) (9.3.19)

(9 .3 .20)

8(t-0)=8(t)=O,

1 1

00

00

= O (fig. 9.3.a), le (9.3.2)-(9.3.4)

tfO

8( t) d t = I

p(t)8(t)dt = p(O)

Le funzioni di risposta all'impulso unitario h( t), applicato all'istante r

= O, ammettono le

rappresentazioni qui di seguito indicate. Per l'oscillatore semplice non smorzato dalla (9.3.12) si ricava (9.3.21)

h(t)

I sen wt mw

=-

368

LI~

1

I

2

4

10

6

1')

·-

14

16

18

Influenza dell'indice di smorzamento, v sullo spostamento adimensionalizzato

Figura 9.4.

uvmk/I. Ponendo

T

= O nella (9.3.14) si ricava l'espn!ssione: di h(t) nell'ipotesi di oscillatore

lineare smorzato h(t)

(9 .3 .22)

1

= - - e - 11"' 1 sen t..' t mwv

D

La funzione di risposta all'impulso unitario, appliìcato all'istante r = O ed espressa dalla (9.3 ..22), è illustrata graficamente in fig. 9.3.b. Il valore massimo h• si ricava, approssimativamente:, quando sen 1..;Dt = l, ossia per t...'vt = n/2 oppure per t = n/2wv. In corrispondenza di tale istante si ha: h•

(9.J.23) Per r

= O,

= _e-11w1rf2wv _ __ mwD

Ila (9.3 .17) ammette 121 rappresentazione

(9 .3 .24)

l I' ~ -u,/ mie ____ ---===e -llw · sen 'V I - 11- t.1t I ~

Lo spostarne,nto adimensionalizzato u-✓,;;k/ I è rappres,entato in funzione di wt in fig. 9.4, per i tre valo,ri ( 11 = O, 05 }, ( 11

= O, 2 ). ( 11

= O, 7 ) dell'indice di smorzamento.

Esempio 9.11

Determinare la risposta dell'oscillatore semplice smorzato (tig. 9.5.a) detenninata dall'impulso (trg. 9.5.b) di ampiezza P0 = 9 kN °= 9000 N e dw·ata E = ~ t = 0,005 sec, applicato alJ"istante iniziale~ T = O.

369

p(t)

Po

/

p(t)

o

/

E=

.it

a)

b)

Figura 9.5. Risposta dell'oscillatore semplice smorzato determinata dall'impulso applicato all'istante iniziale.

Si assumano i seguenti valori dei parametri dell'oscillatore ( 1)

m = 10 kg,

k = 9000 N /m,

e= 18 Nsec/m

Soluzione L'impulso I è dato dalla (9.2.2) e prende la fonna ( 2)

I=

10,005

t2

p(t)dt=

[

o

t,

P 0 dt=0,005P0 =45Nsec

La pulsazione naturale del sistema è fornita da ( 3)

Il coefficiente di smorzamento critico cc vale Nsec e = 2 mw = 2 · 1O · 30 = 600 - -

( 4)

m

e

Il fattore di smorzamento è ( 5)

11

e 18 = - = = O 03 cc 600 '

La pulsazione naturale smorzata risulta essere ( 6)

wv = w ~

= 30Jl

-(0,03) 2

= 29,986

rad/sec

370

La risposta del sistema all'impulso (2) è fornita dalla (9.3.11). Ponendo in tale espressione v 2 , T = 0 Si può scrivere

WD 0= W ~

u(t)

( 7)

=

I

--e-vwt sen wot mwD

Sostituendo nella (7) i valori delle quantità note si ha u(t)

45 ( 10)(29, 986)

=0 - - - - - e - ( O , O } ) ( J O ) t

( 8)

=e

•·en 29 986t ,, '

o' 15 e- 0 ·91 sen 29 '9g6t

9.3.4. Trasformata di Fourier della funzione del1ta di Dirac In base alle considerazioni svolte nel par. 8.7. la trasformata di Fourier X(Q) di una funzione x(t) assume l'aspetto (93.25) Se si indica con,o(t) la funzione delta di Dirac, che esprime l'impulso applicato all'istante iniziale t = O, per la proprietà (9.3.20), si ha ( 9 .3 .26)

!

+oc

x(t)b(t)dt =

100 x(t)8(t)dt = x(O) 0

-00

Se si pone x( t) = 8( t), si può calcolare la trasfmmata cli Fourier d ( Q) funzione delta di Dirac, in base alla (9.3.25): (9.3.27)

d(Q) = .J7{6{t)]

=

!

=

.7{ 6( t)] della

+oo

-oo

6(t)e-• 01 dt

= e-iUO =

I

Il risultato che si consegue deriva dalla {9.3.26), ed avverte che la trasformata di Fourier della funzione di Dirac è uguale ad uno, per qualsiasi frequenza Q .

9.3.5" RelazioH tra la funzione di risposta in frequem:a e la funzione di risposta all'impulso La formula (8. 7.17), qui di seguito riscritta per comodità { 9 .3 .28)

U( Q)

= H(Q )P(Q)

esprime la relazione tra le trasformate di Fourier F'( Q) e U( Q), rispettivamente dell'eccitazione p( t) e della corrispondente risposta u( t), per il sistema caratterizzato dalla funzione

371

di risposta in frequenza H ( Q), espressa dalla (8. 7 .18). La trasformata di Fourier del!' eccitazione, ad esempio, è: ( 9 .3 .29) Quando l'eccitazione è l'impulso unitario 6( t) applicato ali' istante T = O, si è visto attraverso la (9.3.27) che risulta ( 9 .3 .30) Le (9.3.28) e (9.3.30) consentono di scrivere (9.3.31)

U(Q)

= H(Q)ii(Q) = H(Q)

La (9 .3 .31) avverte che la funzione di risposta in frequenza H ( Q) è la trasformata di Fourier

U( Q) deJJa funzione di risposta aJJ 'impulso unitario u( t) = h( t) : ( 9 .3 .32) L'antitrasformata di H( Q) fornisce la funzione di risposta all'impulso (9.3.33)

h(t)

J+oo H(Q)eiQtdQ

= -i

2 7T

-CX)

9.4. ECCITAZIONE ARBITRARIA

Se la legge di variazione della forzante esterna p( t) risulta essere arbitraria (fig. 9.6.a), essa può essere decomposta in una serie di impulsi elementari di durata d T. In fig. 9.6.a, l'area p( T) d T tratteggiata al disotto della funzione p( t) denota l'impulso elementare al tempo T, durante l'intervallo di tempo d T La risposta d u( t) dell'oscillatore non smorzato all'impulso d I = p( T) d T è fornita dalla (9.3.8) che, per le notazioni testé introdotte, può porsi nella forma (9.4.1)

du(t) = (

!~)

sen w(t - T)

Se il sistema è lineare, ossia risulta valido il principio di sovrapposizione degli effetti, la risposta totale u( t) al tempo t può considerarsi la somma delle risposte d u( t) relative a tutti gli impulsi elementari che si verificano prima dell'istante t. Dalla (9.4.1) si ha: (9.4.2)

u(t)

=-I

mw

1 1

0

p(T) sen w(t - T)dT

372

p(t) Impulso di durata eh

--p(,:)

o

,:

eh

+--+ u(t)

b)

----~ --.. ----!~ du(t)

, ,.

....

o

Figura 9.6. a) Legge di carico p( t) ed impulso di durata d T. b) Ris11>osta d u(t) all'impulso d I e risp,osta complessiva u( t) al tem11>0 t.

essendo d I = p( T)d T. La (9.4.2) fornisce lo spostamento u( t) dell'oscillatore non smorzato dovuto all'azione continua di p( t) nell'inte1vallo di tempo [O, t]. La (9.4.2) include sia la componente transitoria del moto, sia quella pennanente. Per la (9.J.11 ), la risposta d u( t) dell'oscillatore smorzato all'impulso d J = p( T)d T, assume l'aspetto ( 9 .4 .3)

du(t) =

cl!

1 e-vw(t-r)

,---;:sen 'v' i - v2 r,J(t -

T)

mwvl - v-

Nell'ipotesi di validità del principio di sovrapposizione degli effe:tti, dalla (9.4.3) la risposta

373

u( t) del sistema smorzato al tempo t risulta essere

(9.4.4)

u( t)

= -Imwv

1' o

p( r)e~vw(t-r) sen w 0 (t - r)d T

ove w v = w ~ è la pulsazione smorzata. La (9.4.4) è detta «integrale di Duhamel» per il sistema smorzato, mentre la (9.4.2) è denominata «integrale di Duhamel» per il sistema non smorzato. Le (9.4.2) e (9.4.4) sono anche denominate, rispettivamente, fonna non smorzata e fonna smorzata dell'integrale di Duhamel. È da notare che, per le posizioni (9.3.12) e (9.3.14), le (9.4.2) e (9.4.4), possono esprimersi nell'unica forma u(t) =

( 9 .4 .5)

1t

p(r)h(t - r)dr

Pertanto, risulta che le espressioni dell'integrale di Duhamel sono fomite dal!' integrale di convoluzione (9.4.5), il quale, come già affermato, è valido solo per sistemi lineari. Le (9.4.2) e (9.4.4) vengono impiegate per determinare la risposta dell'oscillatore semplice, inizialmente in quiete, ed eccitato dinamicamente dalla generica legge di carico p( t). Se l'oscillatore elementare possiede, all'istante t -= O lo spostamento iniziale u. 0 e la velocità iniziale ù0

( 9 .4 .6)

u( t -= O) = u 0 ,

ù( t = O) = ù 0

tali effetti possono essere inclusi nella risposta complessiva u( t). Per un sistema non smorzato, risulta u(t) ( 9 .4 .7)

= _l_ ('p(r)senw(t-r)dr + mw lo

+ u 0 cos wt + uo sen wt w

in virtù delle (9.4.2) e (9.3.6). Per un sistema ad un sol grado di libertà, smorzato e con le condizioni iniziali (9.4.6), la risposta complessiva u( t) si ricava dalle (9.4.4) e (9.3.9):

( 9 .4 .8)

Giova rilevare che per risolvere gli integrali d1 Duhamel, può risultare conveniente far uso della seguente identità trigonometrica

(9.4 9)

sen w( t - r) .. sen wt cos wr - cos wt sen wr

374

La (9.4.8) rappresenta la soluzione più generale dell'equazione differenziale del moto di un oscillatore elementare smorzato, soggetto alla geneirica forzante di legge oraria p{ T) e che, all'istante t

=

0

O, parte con condizioni iniziali u( t = O)

0

~

u 0 e 11( t = O)

00

ù0

.

La rispo-

sta u( t) può essere considerata come somma di tre aliquote. La prima dipende solamente dall'effetto dello spostamento iniziale u 0 e la seconda dalla velocità iniziale ù 0 . La terza aliquota, invece, è quella dovuta al Ila forzante p{ T) con condizioni iniziali nulle .

9.5. CONDIZIONI DI CARICO PARTICOLARI 9.5.1. Forza costante Si consideri l'eccitazione: p( t) di aR1piezza costante P0 applicata improvvisamente, al tempo t =O. ad un oscillatore libero non smorzato di massa m e rigidezza k (fig. 9.7.a). Se al tempo t = O risultano nUtlli sia la velocità ù 0 , che lo spostamento iniziale u 0 , la risposta u( t) alla funzione di carico p( t) a gradino è fornita dalla: (9.4.7) e prende la forma

p{t) p(t)

---+

o a)

b)

Figurn 9.7. Oscillatore elementare non smorzato eccitato da una forza, costante.

u(t)

-------------~----- - - - - - -- - - - -

-/-

\_

--_

-

T

Figura 9.8. Risposta di un sistema non smorzato acl un sol grado di libertà per l'applicazione improvvisa di una forza costante.

375

u(t) = - I mw

(9.5.1)

1t

P0 sen w(t - T)dT

0

..;rr;;;

ove m è la massa dell'oscillatore e w = la sua pulsazione naturale. Risolvendo l'integrale al secondo membro della (9.5.1 ), si ricava

P. cos w( t - T) u( t) = ~

(9 .5 .2)

essendo k

mw-

= mw 2

I = u.t< I t

cos wt)

0

la rigidezza della molla e U0

=

U, 1 = P0 / k lo spostamento statico.

La (9.5.2) è rappresentata in forma adimensionale in fig. 9.8. È da rilevare che lo spostamento massimo u( Omar = u• dell'oscillatore, prodotto dalla forza costante p( t) = P0 applicata improvvisamente, è due volte lo spostamento U0 = U, 1 :

( 9 .5 .3)

u•

=

u(t)mar = 2U0 = 2U, 1

che la forza P0 produrrebbe se fosse applicata staticamente. Quando P0 = I l'eccitazione a gradino di fig. 9.7.b prende il nome di gradino unitario, oppure funzione di Heaviside (Unit Step Function).

9.5.2. Impulso rettangolare La forzante applicata all'oscillatore elementare non smorzato, di massa m e rigidezza k (fig. 9.9.a) sia costituita dall'impulso rettangolare di ampiezza P0 , durata t 1 ed istante centrale t 0 = t 1 /2 (fig. 9.9.b).

p(t) p(t)

A= po i-----.----.

o a)

b)

Figura 9.9. Oscillatore elementare eccitato da impulso rettangolare.

376

Fino al tempo

t:;; t 1

(9.5.4)

vale l'equazione (9.5.2) per lo spostamento:

u(t)

= u.t( I

- coswt)

= : 0 ( I - coswt)

ove u.1 = Pc,/ k ed w = Vk/m è la pulsazione naturak del sistema. Dalla (9.5.4) si ricava l'espressione della velocità

d u( t)

P

.

0 -d = u( t) = wU•t sen wt = --w sen 1A.1t t k

(9.5.5)

In co1Tispondenza di t = t I si ricavano i valori ddlo spostamento u 1 = u( t velocità u1 = u( t = t 1 ) :

= t 1 ) e della

0

= U, 1( I - coswt 1 ) i. 1 = wU.t sen v..•t, u1

(9.5.6)

Dopo l'istante t = t 1 la risposta u(t) è quella della vibrazioni! libera, con le condizioni iniziali espresse dalle (9.5.6). Dalla (9.4. 7), essendo p( r) = O, considerando u 0 = u 1 , u 0 = u I e sostituendo t con t' = t - t 1 , si ha:

( 9 .5 7)

u(t)I

= u 1 cosw(t- t 1)

+

u, w

senw(t- t 1)

Per k (9.5.6), la (9.5.7) diventa ( 9 .5 .8)

La (9.5.8) si riduce alla (9 .5 .9)

per t -- t 1 ?. O, oppure per t ?. t 1 . Se si introduce il fattore di carico dinamico al 1tempo t, definito dal rapporto: (9.5.10)

R(t)= u(!.2_

u.i

tra lo spostamento u(t) elospostamentostatico di scrivere (9.5.11)

R == I - coswt

( 9 .5. Il')

R == cos ..,(t - t 1)

u.1 = P0 /k,

t:;; t 1 per t?. t 1

pc~r -

cos1.it,

le(9.5.4)e(9.5.9)consentono

377

Se si vuole esprimere nelle (9.5.11) e ( 9 .5 .11 ') il tempo in fonna adimensionale, basta

= 2 1r / w :

sostituire la pulsazione naturale w con il periodo T

t

(9.5.12)

R

= 1 - cos 2 7T T , t ::; t 1

(9.5.13)

R

= cos 2 1r ( .!_ - ~) - cos 2 7T .!_ T

T

T'

Dalle (9.5. 12) e (9.5.13) riesce possibile valutare il massimo fattore di carico dinamico R*, per ogni valore del rapporto tra la durata t I di applicazione del carico costante ed il periodo naturale T del sistema (4). Dalla (9.5.12) si ricava che il massimo fattore di carico dinamico, per durate t 1 /T 2 O, 5 è R• = 2 e si verifica nell'intervallo t s t 1 . Si vuol far rilevare che per il carico di breve durata, lo smorzamento non ha effetto significativo sulla risposta del sistema. Per durate t 1 < O, 5 T, il massimo fattore di carico dinamico R• si verifica durante la fase di vibrazione libera e vale:

R • = -u• = 2 sen

(9.5.14)

u.,

t1 1r-

T

Dalla (9.5.14) si ricava il valore dello spostamento massimo u• (9.5.15)

u•

t

= 2 U sen 1r-1. ~

T

2 P.0 t = -sen 7r-1.

k

T

Esempio 9.2 Dctenninare la risposta dinamica della massa m = 2400 kg concentrata all'estremità della mensola di rigidezza k = 4 • 10 6 N/m. Si trascuri la massa del/a mensola (fig. 9.1 O.a) e si consideri come modeJ/o analitico del sistema fisico l'oscillatore semplice smorzato di massa m e rigidezza k (lìg. 9. 10.b). Si assuma come foaante esterna l'impulso l'ettangoiare di ampiezza P0 = 8000 N, di durata t 1 = O, 06 sec ed istante centrale t 0 = O, 03 sec. Soluzione La pulsazione naturale o frequenza angolare del sistema è fornita da ( l)

w

=

/k =

V:; ;_

V

4 . IO6 = 40 82 rad 2400 · ' sec

(•) I grafici che danno la massima risposta per un sistema ad un sol grado di libertà per una data funzione di carico prendono il nome di grafici di risposta spettrale.

378

u(t)

~-

~---.

m\

\-; Modello analitico

Sistema fisico

k

a)

b)

Forzante

p(t)

PO = 8000 N - - - - - - ,

o

11 = 0,06 sec

ta c)

Figuira 9.10. Mensola con massa concentrata all'estremità.

Il periodo naturale T e la frequenza f assumono i valori

T

( 2)

=

0

21T -

w

21T 40, 82

= --

=

. O I', sec ' -

I I f = - = - - = 6 67 Hz T O. 15 '

( 3)

Lo spostamento statico Ust della massa vale P

( 4)

ust ,=

T0

8000

= ~ =

o, 002 m

La legge ora.ria u( t) del la ma'iSa durante l'applicazione dell'impulso rettangolare è data dalla (9.5.4). Per le (I) e (4) si può scrivere ( 5)

u( t)

=

Po -k( I

- cos wt)

= O, 002( I -- cos{ 40, 82 t)]

379

per t -:; t 1 = O , 06 sec. La derivata rispetto al tempo di u( t) espressa dalla (5) dà la velocità:

( 6) per

ù( t) =

t::; t 1 =

( 7)

T

Pw

sen wt = O, 002 w sen wt

O .06 sec. Per la (2), le (5) e (6) ammettono le rappresentazioni: u( t) = O , 002 ( 1 - cos 2 7f

f) , t ::,'.: t

1

( 8) Lo spostamento massimo si verifica quando ù( t) = O, ossia per i valori nulli della funzione seno che compare nella (8). Se si esclude t = O, la predetta funzione seno è uguale a zero quando, in generale, è 2 nt/T = nn, con n = I, 2, ... ,. Nel caso in esame, poiché

t 1 = O, 06 sec
t 1 , cioè nella fase di vibrazione libera. Al tempo t = t 1 = 0,06 secsiha wt 1 = (40,82)(0,06) = 2,45 rad. Pertanto risulta coswt 1 = cos(2,45) = -0,77

( 10)

senwt 1 = sen(2,45) = 0,64 Per le (5), (6) e (IO) i valori dello spostamento u I e della velocità ù 1 al tennine dell'applicazione del carico costante sono: ( 11) ( 12) Per t

ù 1 = u(t

= t 1 ) = 0,002(40,82)(0,64) = 0,052m/sec

> t 1 = O, 06 sec, ossia nella fase di oscillazione libera l'equazione oraria della risposta

è data dalla (9.5.9). Con i risultati precedentemente ricavati, la (9.5.9) assume l'aspetto ( 13)

u(t) =0,002[cos(40,82t-2,45)-cos40,82t]

per t ~ t 1 . Il valore massimo u• della risposta u( t) si può calcolare mediante la (9.5.15): ( I 4)

u • = 2 Ust sen n

essendo t 1 /T = 0,06/0,15 2

u.t,

=

f = 2( O, 002) sen ( O , 4 n) = 3 , 8 • IOt

0,4

3m

Dalla(l4)apparecheper t 1 /T = 0,5 siha u•

ossia si deduce il massimo fattore del carico dinamico R

=

2

=

=

u• /U. 1 .

In conclusione, per l'impulso rettangolare che si è considerato, non viene mai raggiunto il valore della risposta massima u • = 0,004 m = 4 mm compatibile con tale tipo di sollecitazione.

J80

9.5.3. lmpul:m triangolare

Si consideri l'oscillatore semplice non smorzato (fig. 91• I I .a), inizialmente a riposo e soggetto alla foua p( t)

p(t) =.{

( 9 5 16)

..!._) ,

Po ( I -

0 ~; t S t 1

t,

o

t? t,

linea,mente decrescente dal valore iniziale P 0 fino a zero al tempo t 1 (fig. 9.11.b). La risposta può essere c:alcolata in base all'equazione (9.4.7). Quando O s;; l'espressione della forza è fornita dalla (9.5.16) e k condizioni iniziali sono u( t

(9 5 17)

s;;

t 1,

= O) = u 0 = O

ù( t = O) =

u0 = O

Per I,: (9.5.ltii)e (9.5.17), la (9.4.7) prende la forma, ~D u( t) = -

( 9 .5 .18)

mw

1t (

T) sen

I - -

t1

O

wi_r t

-

r )d r

Risolvendo l'integrale (9.5.118), si perviene alla seguente espressione della risposta (cfr. Esercizio 9.3) per O ::; t s; t 1 : (9.5.19) essendo

u(t) mw?

(9 .5 .20) ove

P0 , 1 -- coswt) = -1, k

P0 + -:-

(

t 1k

sen wt ) --- - t w

= k, la rigidezza della molla. Il fattore di carico dinamico assume l'aspetto u( t) R(t) = - -

u.t

t

I

t,

wt,

= I - - -coswt+ -senwt

l" = 21r/T e u.1 = P0 /k.

l~

p(t) _ __...

m

:%

/

p(t) PO ~ . Impulso triangolare

~,

o~--------1·

a)

t, b)

Figura 9.11. Carito triangola1re applicato all'ostillatore sem11>lite di massa m e rigidezza k.

381

Per t > t 1 , la risposta u(t) dell'oscillatoresideterminaconsiderandocomespostamento iniziale u I il valore di u( t) che si desume dalla (9.5.19) per t = t 1 (9.5.21)

1 P0 (senwt u 1 = u( t = t 1 ) = k ~

-

cos wt 1 )

La velocità iniziale ù 1 per il secondo intervallo t ~ t 1 , si ottiene derivando la (9.5.19) rispetto al tempo e ponendo t = t I nell'espressione della velocità ù( t) : u. = -P0 I k

(9 .5 .22)

(

cos-wt-1 - -1 ) w sen wt + -

t,

ti

I

La risposta u( t) nell'intervallo di tempo t ~ t I si ricava ancora dalla (9 .4. 7), ove le condizioni iniziali u 0 e ù 0 vanno sostituite, rispettivamente, da u 1 e ù 1 espresse dalle (9.5.21) e (9.5.22), nell'ordine. Per quanto concerne la valutazione dell'integrale (9.4.7), risultando p(t) = O per t > t 1 , risulta

(9 .5 .23)

-[+oo P

-1

mw

0

La soluzione u(t) nell'intervallo t ( 9 .5 .24)

(1- ~) senw(t-T)dT= O t1

t,

> t 1,

per le (9.5.23) e (9.4.7), assume l'aspetto:

u ( t) = u I cos w ( t - t 1 ) +

i:J_ sen w ( t - t 1 ) w

ove a t si è sostituito t - t 1 • Sostituendo le (9.5.21) e (9.5.22) nella (9.5.24) e semplificando, si ricava per t ~ t 1 : (9.5.25)

p

O [sen wt - sen w(t - t )] u(t) = - k 1

wt 1

-

p 0 coswt -k

Dividendo ambo i membri della (9.5.25) per lo spostamento statico sione del fattore di amplificazione dinamico

(9 .5 .26)

R(t)

R( t)

l

u.t

wt,

w

= 2 1r /T, la (9.5.26) ammette anche la rappresentazione

t - sen 2 1r ( -t - -t 1 ) ] - cos 2 = -1- [ sen 2 nT T T 2 n.!._ T

per t > t 1 • L'espressione (9.5.20) di R( t), per O ~ t ~ t 1 ,' può anche scriversi

t

(9 .5 .28)

si deduce l'espres-

= - - = -[senwt-senw(t-t 1 )]-coswt

Essendo la pulsazione naturale

(9 .5 .27)

u( t)

u.i,

t t sen2nR(t) = 1 - - - cos 2 n- + T ti T 21r!.i

T

nrt

382

9.6. RISPOSTA DELL'OSCILLATORE SMORZATO ALLA FORZANTE A GRADINO 9.6.1. Equazione differenziale del moto Per determinare la risposta dell'oscillatore semplice smorzato (fig. 9.12.a), eccitato dinamicamente da un carico di ampiezza P0 costante (fig. 9 .12.b ), si supponga che nell'istante

t = O di applicazione del carico, siano uguali a zero sia lo spostamento u 0 che la velocità

( 9 6. I) della massa m dell'oscillatore. Il problema può essere risolto applicando la relazione (9.4.8), che fomisc,e la risposta u( t) dell'oscillatore smorzato. In virtù delle condizioni iniziali (9.6.1 ), ed essendo p( t) = P 0 , la relazione in argomento assume l'aspetto

( 9 .6 2)

La ,i sposta u( t) si ricava risolvendo l'integrale al secondo membro della (9.6.2).

Il problema che si sta trattando può essere anche risolto, più semplicemente, partendo dall'equazione differenziale del moto dell'oscillatore semplice smorzato, con forzante p( t) =

P0

,

che pn:nde la forma

p

ii + 2 vw ù + w 2 u = __Q_

(9.6.3)

ni

ove- w è la pulsazione naturale e v l'indice di smorzamento. La (9.6.3) si desume dalla (4.3.9) ponendo cos Qt = I.

p(t)

p(t)

o a)

b)

Fii:ura 9.U. Forzante a gr.adino di ampiezza P0 applicata all'istante t = O all'oscillatore smorzato.

.18.1

La soluzione della (9.6.3) è fornita dalla somma della soluzione generale uc( t) dell'equazione omogenea associata e del!' integrale particolare u/ t). Quest'ultimo, è dato da

p

u (t) =-¾-

(9.6.4)

mw-

p

mentre l'integrale generale uc( t) può porsi nella forma (3.4.40): ( 9 .6 .5) ove w D = w ~ denota la pulsazione smorzata. Per le (9.6.4) e (9.6.5), la soluzione u(t) dell'equazione differenziale del moto (9.6.3) assume l'aspetto

p

u(t) = Ce~vwt sen(wDt + '{J) +-¾-

( 9 6 6)

Le costanti C e

mw-

'{J

che compaiono nella (9.6.6), devono essere determinate in base alle con-

dizioni iniziali (9.6.1 ). Valutando dalla (9.6.6) la velocità ( 9 .6 .7)

le (9.6.1 ), (9.6.6) e (9.6.7) consentono di scrivere

Ilo = 0 = C sen

(9.6.8)

(9.6.9)

'{J

p + -¾mw-

u0 =O= -vwC sen '{J + w 0 C cos '{J

Dalla (9.6.9) si ricava ( 9 6 IO)

tg'{J=

--= --Wn

~

IJW

Il

mentre dalla (9.6.8) segue che

( 9 6 .11) Sostituendo la (9.6.11) nella (9.6.6) si ricava

(9.6.12)

p [

u(t) = _Q_

k

e-vwt

I - - - sen(wDt + ip) sen ip

]

384

ove si è considerata l'uguaglianza k = mw 2 . S1: il sistema è non smorzato, ossia l'indice di smorzamento

II

è uguale a zero, si ha

( I)

e dalla (9.6.1 O) segue che ( 2)

Essendo, inoltre, sen 'P

( 3)

7r

= sen -2 = I ,

sen(wDt + ip)

= coswt

la (9.6.12) assume l'aspetto ( 4)

u(t)

Po

= k( I -

coswt)

La (41 coincide con la (9.5.2).

9.6.2. Coefficiente di amplificazione dinamico

La fig. 9.13 illustra l'andamento qualitativo della risposta adimensionalizzata R(t) ku( t) / P0 dell'oscillatore semplice smorzato

u(t) u(t)k e-vwt R(t) = = - - = l - - - sen(w 0 t + 'P) Ust P0 sen 'P

(9.6.13)

alla forzante a gradino di ampiezza P0 , in funzione dc!l tempo t. La funzione R( t) u( t) ./ u. 1 pr,!nde il nome di coefficiente di amplifocazionc! dinamico.

2

o Fig111ra 9.13. Risposta dell'oscillatore semplice smorzato alls1 forzante a gradino.

385

Dalla fig. 9.13 appare che il massimo valore della (9.6.13) risulta inferiore a 2. In altri termini, la presenza dello smorzamento impone allo spostamento massimo u • = u( t = t•) = max u( t) di essere inferiore a due volte lo spostamento statico u.t = P 0 / k : (9.6.14)

9.6.3. Istante del valore di picco

Per ricavare l'istante t = t• in corrispondenza del quale si verifica il valore di picco dello spostamento, occorre uguagliare a zero la derivata prima della funzione (9.6.13) (9.6.15) La (9.6.15) può scriversi nella forma (9.6.16)

vw sen(w 0 t + ip) = w 0 cos(w 0 t + ip)

da cui ( 9 .6 .17)

tg(w t+ ip) D

~ = WD - =-IIW

li

Dalla (9.6.17) si ricava il valore di t = t• di massimo della funzione (9.6.13): ( 9 .6 .18)

9.7. ECCITAZIONE IMPRESSA AL VINCOLO Nel par. 4.8.1 è stata ricavata l'equazione del moto dell'oscillatore semplice in termini di spostamento relativo u = u( t) della massa rispetto al supporto: (9.7.1)

mii.(t) + cu(t) + ku(t)

= -mz(t)

Lo spostamento u(t) può scriversi nella forma (fig. 9.14):

( 9 .7 .2)

u(t)

= s(t)

- z(t)

386

OI

s(t) = z(t) + u(t)

~----,I►

m

,

Ì"

u(t)

Of---

m I I I I I

~

y

Q,---

I

l'

I

I I

I

,

z(t)

Figur.a 9.14. Illustrazione del cedimento z( t) del vincolo ie degli spostamenti, assoluto s( t) e relatiYO u( t), della massa.

ove s( t) è lo spostamento assoluto, mentre z( t) è lo spostamento del vincolo. Se si tiene~ conto delle relazioni

~ = 211w

(9 .7 3)

m

'

l'equazione del moto (9.7.1) ammette la rappresenltaziom: (9.7.4)

ii(t) + 211wit(t) + w2 u.(t) = -z(t)

Le equazioni (9.7.1) e (9.7.4) sono simili, rispettivamentt:, alle due! equazioni seguenti:

mii+ cit + ku = p(t)

(9.7.5)

(9 .7 .6)

..

1L

+

2

.

1/WU

p(J'.) + w-~ li = m

387

Pertanto, i risultati del sistema eccitato dalla forzante p( t) possono essere applicati al sistema eccitato dall'accelerazione z( t) del vincolo. Il segno meno nella (9.7.4) può essere omesso. Dalla (9.4.4), ad esempio, sostituendo p( r) / m con z( t) si ricava la soluzione della (9.7.4): (9.7.6) Se il sistema è non smorzato, si ha 11 = O ,w = wD e la (9.7.6) diventa (9.7.7)

1t

1 u(t)=z(r)senw(t-r)dr w o

9.7.1. Spettro di risposta Si definisce spettro di risposta, il grafico della massima risposta in funzione della frequenza naturale w, oppure del periodo T, dell'oscillatore semplice eccitato da una forzante nota. Per «massima risposta» deve intendersi massimo spostamento, massima velocità, massima accelerazione, oppure il massimo di qualsiasi altra quantità. Dato che la «massima risposta» è disegnata al variare di w, oppure di T, lo spettro di risposta fornisce la «risposta massima» di tutti i possibili sistemi lineari ad un grado di libertà. La tecnica dello spettro di risposta riveste notevole importanza nella progettazione delle strutture sottoposte alle azioni sismiche.

9.8. ILLUSTRAZIONE GRAFICA DELL'OPERAZIONE DI CONVOLUZIONE L'operazione di convoluzione può essere interpretata con l'ausilio dei grafici di fig. 9 .15 .a dell'eccitazione p( t) e della risposta h( t) del sistema all'impulso unitario, applicato all'istante iniziale quando il sistema è in quiete. Si supponga che le funzioni p( t) e h( t) siano definite, rispettivamente, negli intervalli temporali [O, A] e [O, BJ. Si tenga fisso il grafico della sollecitazione p( r), che nella rappresentazione di fig. 9.15.b è riferita alla variabile indipendente r, e si inverta il grafico della risposta h( t), ossia si consideri la funzione h( -T), rappresentata dalla curva disegnata a tratti in fig. 9.15.b. Per un fissato valore t 0 = r, poi, si trasli il grafico di h( -T) della quantità t 0 , ottenendo la funzione h( t 0 - r), rappresentata in fig. 9.15.b dalla curva continua più a destra. Se si esegue il prodotto delle ordinate p( r) e h( t0 - r), si definisce una nuova funzione indicata con p( r)h(t 0 - r) in fig. 9.15.c. Detta funzione è diversa da zero solamente in corrispondenza dei punti interni dell'intervallo di estremi C ed A (figg. 9.15.b,c). L'area compresa tra l'asse delle ascisse ed il grafico della curva di fig. 9 .15 .c fornisce la risposta del sistema all'istante t 0 :

(9.8.1)

388

p(t)

Azione

h(t)

Risposta

a)

o

o

A

h(-'t) ' I

t

p(t)

,, b)

B

''

'

. ,,

~

\

I

I I

I

o

:e-- 1A

lo

p(t) h(lo - i:) I

I

I I I I

I I I I

e

A

'(ì'

e)

o u(t)

/

d)

o

A+B

...

Figura 9.15. Interpretazione geometrica del prodotto di convoluzione di p( t) con h( t).

L'ordinata u,(t 0 ) è illustrata graficamente in fig. 9.15.d. Ripetendo le suddette operazioni per tutti i valori t 0 , ossia integrando tra Oe t, si ricava la risposta u(t) del sistema all'istante t :

(9 .8 .2)

Lafunzione u(t) èillustratainfig. 9.15.d,oveappareche u(t) = O per t < O et> A+B.

389

9.9. PROPRIETÀ DEL PRODOTTO DI CONVOLUZIONE

Si è visto che la risposta u( t) del!' oscillatore semplice eccitato dalla forzante p( t) può essere calcolata dall'integrale di convoluzione u(t) = p(t) * h(t) = 1t p(r)h(t - r)dr

(9.9.1)

Il simbolo * nella (9.9. l) esprime la convoluzione di p( t) con h( t). L'uguaglianza più a destra della (9. 9. I) costituisce la definizione del prodotto di convoluzione di p( t) con h( t) . L'operazione di convoluzione gode c!i varie proprietà. 1) Proprietà commutativa

(9 .9 .2)

1tp(r)h(t-r)dr= 1th(r)p(t-r)dr

oppure (9.9.3)

p(t)

* h(t)

= h(t)

* p(t)

La proprietà commutativa si esprime affermando che la convoluzione di p{ t) con h( t) uguaglia la convoluzione di h( t) con p( t). La proprietà commutativa (9.9.2) mostra che la risposta u(t) del sistema può essere interpretata come la risposta ad una forzante h( t) di un sistema, che ha come funzione di risposta ad un impulso unitario p( t). In altri termini, gli integrali di convoluzione (9.9.2) sono simmetrici rispetto alle funzioni di eccitazione p( t) e,di risposta all'impulso h( t). Per due generiche funzioni x( t) e y( t), la proprietà commutativa del prodotto di convoluzione si scrive (9.9.4)

1-oo+00 x(r)y(t-r)dr= 1+00 -oo y(r)x(t-r)dr

oppure nella forma equivalente (9.9.5)

x(t)

* y(t) = y(t) * x(t)

2) Proprietà delle aree

L'area della convoluzione di due funzioni x( t) e y( t) è uguale al prodotto delle aree delle due funzioni (9.9.6)

/ -oo+oo x(r)y(t-r)dr= /+oo -oo x(t)dt· /+oo -oo y(t)dt

390 3) Proprietà di filtro

La convoluzione di una funzione x( t) con la funzione impulsiva 8( t) è uguale alla funzione stessa:

1

+00

(9.9.7)

x(t)

=

-oo

x(r)8(t-r)dr

La proprietà (9.9.7) può esprimersi nella forma simbolica (9 .9 .8)

x(t)

= x(t) * 8(t) = 8(t) * x(t)

9.9.1. Osservazione

In generale, sia x( t) il segnale di ingresso ed: y( t) il segnale di uscita di un sistema lineare individuato dalla funzione di risposta h( t - r) all'impulso unitario 8( t - r), come illustrato scht:maticamente in fig. 9.16. La relazione tra i segnali x( t) e y( t) ammette la rappresenta:zione

(9 .9 .9)

y(t)

=

fo

00

x(t)

x(t)h(t - r)dr

Sistema lineare

j

y(t) ---♦

b(t - ,e) = funzione impulsiva

o h(t-T) Funzione di risposta all'impulso unité1rìo

o Figura 9.16. llùppresentazio1ne schematica della funzione di risposta h( t-r) all'impulso unitario 6( t -· r) su 11n sistema lineare.

391

Entrambi i segnali si suppongono, generalmente, ad energia finita, ossia tali che

(9.9.10)

1-oo+00 lx(t)l 2 dt < oo, 1+00 -oo ly(t)l 2 dt < oo

In base alla proprietà di filtro (9.9.7), il segnale di ingresso x( t) può essere decomposto nella somma di tante componenti impulsive del tipo

x(r)dr8(t - r)

(9.9.11)

In altre parole, il segnale di entrata x( t) può essere considerato come combinazione infinita di funzioni impulsive. La risposta alla generica componente risulta [ x( r) dr] h( t - r)]. La linearità del sistema, poi, consente di ricavare la risposta dalla sovrapposizione delle risposte alle varie componenti in cui viene suddiviso il segnale di entrata, come indicato dall'integrale di convoluzione (9.9.9).

9.10. ANALISI NEI. DOMINI DEL TEMPO E DELLA FREQUENZA 9.10.1. Relazioni nel dominio della frequenza

Si è visto che la risposta u( t) dell'oscillatore semplice, eccitato dalla forzante p( r), può essere calcolata mediante l'integrale di convoluzione

(9.10.l)

u(t) = 1tp(r)h(t-r)dr

ove le funzioni p( r) e h( t - r) sono definite da: ( 9. IO .2)

h(t-r)={O fO

per tr

={

O

fO

per r< O

perr>O

Come discusso nei parr. precedenti, la funzione h( t - r) denota la risposta al tempo t, dovuta ad un impulso unitario applicato al sistema t - r istanti prima. Se si moltiplicano i due membri della (9. l O. I) per e-iQt, e si integra rispetto al tempo t, si ha (9. IO .3)

1-oo+00 u(t)e-i

s:lt dt

=

l+oo -oo [l+oo -oo p(r)h(t -

r)drJ e-iQtdt

Il primo membro della (9.10.3) rappresenta la trasformata di Fourier U( Q) della funzione u( t) : ,-+oo

(9.10.4)

U(Q)

= }_

00

u(t)e-mtdt

392

Invertendo l'ordine di integrazione al secondo membro della (9.10.3), e tenendo conto della (9.10.4), si può scrivere

(9.l0 ..5)

U(Q)

+cxi p(r) = / -cx,

[/+oo -oo h(t -

·,

r)e-iQtdt_ dr

Se si opera un carr.biamento di variabile (9.10.6) da cui risulta che d 1/ = d t, si può anch~ osservare che i limiti di integrazione non variano. Difatti, per t -, ±oo risulta 1/ -> ±oo. Inoltre, essendo t = 1/ + T segue che ( 9. IO .7)

Per le (9. 10.6) e (9.10. 7) e per quanto testè affermato sui limiti di integrazione, la (9. l0.5) ammette la rappresentazione

(9.10.8) I due integrali che compaiono al secondo membro d,a:lla (9.10.8), rappresentano le trasformate di Fourier P( Q) ed H( Q) delle funzioni p( r) e h( 1/), rispettivamente: (9.10.9)

(9.10.10) Per le (9.10.9) e (9.10.1 O), la (9.10.8) diventa (9.10.11)

U(Q) = P(Q)H(Q) = H(Qi)P(Q) 0

0

Dalle (9.1 O. IO) appare che la funzione di trasferimento H( Q) rappresenta la trasformata di Fouri,:r della risposta h( 1/) ad impulso unitario applicato all'istante t = 1/ = O, su un corpo in quiete. II risultato (9.10.11) indica che alla convoluzieine nel dominio del tempo corrisponde la 0

moltiplicazione nel dominio della frequenza.

393

9.10.2. Relazioni nel dominio del tempo La trasfonnata inversa di Fourier della funzione U ( Q) espressa dalla (9. I O. I I), fornisce la risposta u( t) nel dominio del tempo

l+oo U(Q)eiQtdQ = -2nJ 1+_ 2n _

u(t) = - J

(9. IO .12)

00

00

H(Q)P(Q)eiQtdQ

00

Dalla (9.10.10) la funzione di risposta all'impulso unitario h( T) può ricavarsi come antitrasfonnata di Fourier della funzione di trasferimento H ( Q) : h(T) = - 1

(9. IO .15)

l+oo H(Q)emrdQ

2n _00

Se si introducono le notazioni: .7( ) = trasfonnata di Fourier della funzione ( ),

g- 1 (

)

= antitrasfonnata di Fourier della funzione ( ),

le relazioni del presente paragrafo possono essere illustrate sinteticamente in fig. 9.17. Dalla figura appare anche che il passaggio dal dominio della frequenza al dominio del tempo avviene mediante la trasfonnata inversa di Fourier, mentre la trasfonnata di Fourier consente di passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza.

Dominio del tempo

- - - u(t)

+

'._f-1

J

P(Q

J

--G

---U(Q)

Dominio della frequenza

Figura 9.17. Illustrazione schematica delle relazioni nei domini del tempo e della frequenza.

394

9.11. ESERCIZI

Esercizio 9.1

L'oscillatore elementan~ non smorzato, di massa m = 1000 kg e rigidezza k 8 • I O5 N/m, viene eccitato da un.a forzante a gradino di ,3mpiezza ? 0 = 5ÒOO N. Determinare: a) la pulsazione naturale~ w, il periodo T e la frequenza f del sistema; b) la legge oraria della rispost.3; e) gli istanti temporali in corrispondenza dei quali la velocità è nulla e la risposta è massima. Esercizio 9.2

Dimostr.ue che il massùno fàttore di carico dili'amico R* = u* /U.t = u* k/ P0 per l'eccitazione retta'flgolare applicata all'oscillatore semp.lice no.ri smorzato, è dato dall'espressione 2

se !1_>05 T _ ,

2 sen n~

se !.l t,

Soluzione La risposta u{ t) in questione è fornita dalla (9.5.18), qui di seguito riscritta per comodità

(2)

u(t) =

~ t mw Jo

(1 -2-) t

sen w(t - r)dr

1

Sfruttando la relazione trigonometrica

(3)

sen w( t - r)

= sen wt cos wr -

cos wt sen wr

396 la (2) diventa

!__) coswrdT

u(t) = Po sen wt ( w (1 0

lo

k

. ( 4)

+

ti

!__) sen wrd T

-- Po cos wt ( w ( I -k lo ti essendo mw 2 = k. Integrando per parti, risulta (5) 1.,.1

( 5)

J

T

cos wrd T =

J

D( sen wr) rd T = T sen w T 0

-

I

sen w rd T =

COSWT

= rsen wr + - - w

Analogamente, si ha (6)

J

wrsenwrdlr= I·D(-cosw~)rdr= --rcoswr+ se:wr

Risultando anche

J

w cos uJTd T == sen wr;

( 7)

J

w sen wTd T = - cos wr

La (4) prende la forma

F. [.senwt ( senwt- -senwt-t cos wt + - 1 ) + u(t) = _Q_ -

k

( 8)

wt 1

t1

wt 1

t senwt')] -cos1.c.1t ( -,coswt+ I+ -coswt - -t1 wt 1 , Dopo le semJPlificazioni, la (8) porge

P ( t sen wt \ I - - + - - - -- coswt) k tI lvt 1 1

u(t) = __Q_

(9) per O ,s;; t

~~

t 1 . L'espressione (9) può assumere la rappresentazione (9.5.19). La risposta

per t > t I è discussa nel par. 9.5 ..3.

(5) Per le funzioni /( t) e g( t) del tempo, l'integrazione per parti è stabilita dall'uguaglianza

( I)

J

/(t)D[g(t)]dt

= g(t)f(t)

-

J

g(t)D[/(t)]dt

ove al primo membro g( t) è il fattore differenziale ed /( t) il fattore fìriito.

397

p(t)

po .... - - - - - . - - - - - - - - - -

o

t,

Figura 9.18. Forzante a gradino applicata all'istante t 1 •

Esercizio 9.4 Detenninare la risposta dell'oscillatore semplice smorzato di parametri: m = massa dell'oscillatore, k

= rigidezza della molla,

e

= coeflìciente di smorzamento,

soggetto alla forzante a gradino applicata all'istante t

= t I ed illustrata in .ig. 9. 18.

Suggerimento La risposta può essere ottenuta dalla (9.6.12) sostituendo t con t - t 1 .

Esercizio 9.5 Ricavare la risposta dell'oscillatore semplice non smorzato soggetto alla forzante di .ig. 9. 18 di ampiezza P0 , applicata all'istante t 1 > O.

Esercizio 9.6 Il telaio di acciaio di fìg. 9.19.a, con traverso infinitamente rigido, viene modellato mediante un oscillatore elementare (.ig. 9.19.b) non smorzato. La massa, concentrata in corrispondenza del traverso, è m = 2 • I O4 kg. I due ritti, di rigidezza complessiva k

= 6 • IO6 N/m, si suppongono privi di peso.

Si assuma come forzante esterna l'impulso triangolare di .ig. 9.20, detto anche a dente di sega, di durata t 1 =O, 2 sec e valore massimo P0 = 6000 N all'istante t =O.

398

u(t)

1--

Traverse,

___. p(t)

m

k 2

Sistema fisico

~~

1~1:1p(t) Modello analitico

-k2

.

Ritto 1/

a)

b}

Figura 9.19. Telaio modellato mediante l'oscillatore elementare.

p(t)

Po........_ ........_~

For:zante

~~o

t 1 == 0,2 sec

Figura 9.20. Impulso a dente di sega di durata t 1 e valore massimo P0 .

Supponendo il sistema in quic~te all'istante iniziale: ( l)

u( t = O) = u 0 = O,

u( t = O} = u0 = O

deté•nninaré•: ,1) la pulsazione naturale w, la frequenza f ed il periodo T del sistema; b) la risposta u( t) del sistema per O ~ t ~ t 1 e per t ~ t 1 ; e) le espressioni dei coefficienti di amplificazione dinamica w~i predetti intervaJJi; d) i valori massimi delle risposte nelle due fasi di oscillazione forzata e di osciJJazione libera. Esercizio 9.7

Risolvere l'esercizio 9.6, considerando come forzante esterna l'impulso sinusoidale (fìg. 9.2}) esprimibile nella forma ( I)

p(t) = P0 scn Qt

399

p(t)

P0 = 5000 N

t1 = 0,2 sec Q

= 15 rad/sec

o Figura 9.21. Impulso sinusoidale di durata t 1 e valore massimo Po.

essendo Q la pulsazione angolare della forzante.

Esercizio 9.8

Risolvere l'esercizio 9.6 assumendo come forzante l'impulso parabolico di durata t 1 O, 3 sec (.ig. 9.22), valore massimo P0 = 4000 N a/l'istante iniziale e legge oraria p( t)

= Po

( l - tft2)

Soluzione

t? )

P. [( l+w 2 u(t)=-f 2 P0 u(t)=k

{

t2 ] (l-coswt)-tf,

2 2 } ~[cosw(t-t 1 )-coswt]--senw(t-t 1 )-coswt, w-t 1 wt 1

p(t)

Figura 9.22. Impulso parabolico di durata ti e valore massimo Po all'istante iniziale.

400

p(i:)

P0 == 5000 N

Po------.,. . I

o

t1 = O, 1 sec:

t2 = 0,2 sec

Figura 9.23. llmpulso trapezoidale di durata comples:iiva t 2

Eserdzio 9.c> Si consideri l'oscillatore~ semplice non smorzato di massa m =, 3000 kg e rigidezza k = 2 . IO5 N/m, eccitato dall'impulso trapezoidale illustrato in fìg. 9.23. Detenninare le leggi orarie della risposta u( t) nei trn intervalli

Soluzione

p u(t) = -f(l -coswt), u () t

[ t--t senw(t--t 1) ] - -- 1 - coswt - - - -1+ - - - - ~ k t2 - tI w( t 2 - t 1 )

_P0

'

1 u(t)=t-2._{-coswt+ [senw(t-t 1 )--senw(i-t,)]}, k w(t 2 - t 1) -

Esercizio 9.10 Riso/ve11~ l'esercizio 9.9, assumendo come forzante l'impulso tiiangolare illustrato in fìg. 9.24 di durata t 2 = O, 3 se:c.

401

p(t)

= 8000 N t1 = 0,2 sec t2 = 0,3 sec P0

o

~

Figura 9.24. Impulso triangolare di valore massimo Po in t 1 e durata t 2 .

Soluzione

Esercizio 9.11

Un cilindro di raggio R e massa m (fig. 9.25.a) può ruotare senza strisciare su un piano orizzontale. La forzante esterna

p(t) = P0 sen Qt

( I)

agiscesoltantoperunperiodo(.ig. 9.25.b) T = 21r/w. Determinare la risposta del sistema dopo il periodo T. Suggerimento

In fig. 9.25.c sono indicate, tra le altre, la forza elastica FE = ku, la forza d'inerzia F1 = mii, la coppia d'inerzia m 1 = IcJ, la forza d'attrito FA= JN. L'equazione differenziale del moto risulta essere: 3 -mii+ ku = p(t)

2

La risposta è fornita dall'integrale di convoluzione (9.4.5): (2)

u(t)

= 1tp(r)h(t-r)dr

402

X, IJ

O'

m1 =IGtt

F,~ ◄0p~ IQmg lN-T'

p(t)

,~

e

1/.~

T

o

Fe = ku

FA

b)

a)

e)

Figura 9.25. Sistema eccitato da forzante esterna age111te per un periodo.

Nel caso in esame è:

( 3)

Esercizio 9.12

Un serbatoio d'acqua è schematizzato come w,a massa m = 10 5 kg, disposta all'estremità di una trave a mensola di rigidezza k = 2 . I O8 N/m (.ig. 9.26.a). Si suppo.riga che il serbatoio venga investito, in seguito ad un'esplosione, da un'onda di pressione approssimabile mediante un impulso triangolare, come quello illustrato in .ig. 9.26.b, con P 0 = 6 • 10 5 N. a) Ricavare la legge oraria u( t) della massa durante gli intervalli O ~ t ~ t 1 , t 1 ~ t ~

t2 , t ~ t2 . b) Detenninare le ampù:zze agli istanti t 1 = O, 02 ~t:c e t 2 == O, 04 sec. c) Indicare i valori massimi degli spostamenti nei tre intervalli considerati in a), nonché gli istanti nei quali detti mitssimi si verificano.

Esercizio 9.13

Applicare al serbatoio di .ig. 9.26.a 1'impulso parabolico

p( t)

( t2)

= Po I - tf

403

m p(t}

p(t}

+--

k

o a}

~

= 0,04 sec

b}

Figura 9.26. Modellazione di serbatoio investito da un'onda di pressione.

s s

di durata O t t 1 , con P0 = 6 · 1O5 N, t 1 = O, 04 sec. a) Ricavare la legge oraria u = u( t) della massa dell'oscillatore negli intervalli O

sts

t1, ti S t. b) Calcolare i valori massimi dello spostamento nei suddetti intervalli, nonché lo spostamento in corrispondenza dell'istante t = t 1 = O, 04 sec.

10

Sistemi a due gradi di libertà

«Non mi indigno se mi mettono davanti qualcosa che non capisco, ma gioisco che mi si offra l'occasione di imparare». ERASMO DA ROTTERDAM ( 1466-1536)

IO.I. PREMESSA I sistemi a due gradi di libertà sono quelli che richiedono due coordinate indipendenti per individuare la loro posizione. Dette coordinate si dicono anche fisiche, naturali o generalizzate. Lo schema di un sistema a due gradi di libertà può assumere forme differenti (fig. IO. I), in dipendenza del particolare problema che si intende simulare. li sistema lineare di fig. IO.I.a è costituito dalle masse m 1 e m 2 e dal_le molle di rigidezza k 1 e k2 . La sua configurazione è specificata quando sono definite le posizioni delle masse attraverso le coordinate u 1 = u 1(t), u 2 = u 2 (t). li sistema lineare di fig. I O.1.b è un albero su cui sono calettati due dischi, aventi momenti d'inerzia polare IP I , IP 2 . • Le rotazioni assolute 19 1 = 19 1(t) e 192 = 192 (t) possono essere assunte come coordinate generalizzate. Per il corpo di massa m (fig. IO. I.e), sostenuto da due molle di rigidezza k 1 e k 2 , lo spostamento u = u(t) del baricentro del corpo e la rotazione angolare cp = cp(t), rappresentano le due coordinate libere indipendenti scelte per descrivere la configurazione del sistema (1). In fig. I O.1.d è illustrato un pendolo doppio, costituito da due aste di lunghezze L I e L 2 , alle cui estremità sono disposte le masse m 1 e m 2 , rispettivamente. Per specificare

(1) A volte. le coordinate in parola sono denominate libere, lagrangiane oppure geometriche. È da notare che. in questo capitolo, le coordinate in narrauva sono dette generalizzate, poiché i parametri in argomento sono spostamenti e rotazioni. In altri contesti, come nel cap. 5 del Voi. 2. le coordinate generalizzate assumono un significato differente.

406

~

Disco

b)

a)

cl)

e)

Figura 10.1. Configurazioni di sistemi lineari individuati da due coordinate indipendenti.

la configurazione del sistema, in un qualsiasi istante t, sono necessarie le due coordinate lagrangiane 11 1 = 9 1 ( t), 9 2 = 9 2 ( t), oppure u 1 = u 1(t), u 2 = u 2 (t). I sistemi costituiti da una serie di dischi calettati su di un albero, del tipo di quelli di fig. I 0.1.b, verranno trattati nel cap. 1li. Tutte le coordinate indipendenti scelte per descrivere i sistemi di fig. l O. I, si intendono definite a prutire dalla configurazione di equilibrio statico. Pertanto, u( t) e 9( t) in fig. 10. I.e, ad ese:mpio, rapprestmtano la perturbazione del moto nell'intorno di tale posizione di equilibrio statico stabile. Tra i sistt:mi a due gradi di libertà, occorre annoverare anche quelli che derivano dalla discrntizzazione di un sistema continuo. Ad esempio, la risposta dinamica di una trave a mensola (di densità µ e sezione retta di area A) può essere descritta in modo approssimato mediante il sistema discreto, ottenuto dalla sostituzione della massa distribuita

()0.1.1)

m=µAL

407

a}

~ U1

b}

~

m 2

U2

I---+

I---+

o

D~

L

Figura 10.2. Sistema continuo modellato come sistema a due gradi di libertà u 1 , u 2 .

con le masse concentrate m/2 e m/4 applicate, rispettivamente, nella mezzeria ed all'estremo libero della mensola. Dette posizioni sono denominate nodi. I nodi sono supposti connessi da elementi elastici, ma privi di massa. Nello studio delle vibrazioni longitudinali della trave di fig. l 0.2.a, mediante il sistema discreto di fig. 10.2.b, gli spostamenti nodali u I e u 2 sono i gradi di libertà del sistema. Con riferimento al modello analitico di fig. l O. I .a, scelto per rappresentare il sistema di fig. 10.2, risulta (10.l.2}

k =k =2EA I

2

L

Per definire il moto dei sistemi occorre determinare le equazioni differenziali del moto, che permettono di caratterizzare lo stato del sistema in dipendenza delle condizioni iniziali. Per i sistemi a due gradi di libertà perturbati nell'intorno della quiete, nei parr. seguenti le equazioni del moto verranno determinate mediante l'approccio diretto (equilibrio dinamico), oppure mediante le equazioni di Lagrange. Le equazioni del moto assumeranno anche le forme matriciali, estesa e contratta. Quest'ultima consente la trattazione sintetica dei sistemi ad N gradi di libertà, qualora le matrici di massa m, di smorzamento e e di rigidezza k, nonché i vettori degli spostamenti u ( t), delle velocità ti ( t), delle accelerazioni ii ( t) e delle forzanti p( t), vengano intesi di dimensioni N x N e N x 1 , rispettivamente. Il maggiore sforzo verrà rivolto nel seguito ai sistemi definiti positivi, cioè ai sistemi aventi le matrici di massa e di rigidezza reali, simmetriche e definite positive.

10.2. SCRITTURA E SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO 10.2.1. Metodo dell'equilibrio dinamico

Si consideri il sistema vibrante a due gradi di libertà illustrato in fig. I 0.3.a. Le masse m 1

408

u,

f----

a)

b)

FEA

A

Molla

B

Fes

--- ...- ~ v ~ - --k2

e)

c_2_Dt------~ ---

--- A ___ FDA

Smorzatom

Fos

Figura 10.3. a) Sistema smorzato a due gradi di libertà eccitato dalle forzanti esterne p 1( t) e p 2 ( t); b) fon~e agenti sulle masse m 1 e m 2 ; c) ver!m positivo delle forze elastiche e viscose ap-

plicate agli estremi della molla e dello smorzatore compresi tra le masse.

e m 2 sono soggette alle azioni delle due forzanti ,esterne, p 1 nel v,ettore algebrico, detto vettore delle fone esteme:

= p 1( t), p2

=, p 2 ( t), raccolte

(IO .2. I) Siano u 1 = u 1 ( t) e u 2 == u 2 ( t) i due gradi di libert,i del sistema, ossia gli spostamenti assoluti delle masse m 1 e m 2 , valutati a partire dalla configurazione di equilibrio stabile. I due gradi di libertà, ossia le variabili indipendenti u 1 e u 2 possono essere raccolte nel vettore algebrico

( 10.2.2) denominato vettore degli spostamenti. Per ricavare le equazioni del moto con il metodo dell'equilibrio dinamico, occorre separare le due masse ed applicare le forze agenti su ciascuna di esse (fig. 10.3.b).

409 Su ogni massa agisce: a) la forza esterna b) la forza elastica c) la forza viscosa

d) la forza d'inerzia. Dette forze sono state determinate supponendo gli spostamenti u 1 , u 2 , le velocità e le accelerazioni ii 1 , ii 2 delle due masse, quantità positive. Con riferimento alla massa m 2 , la forza d'inerzia di modulo:

u1 , u2 ,

(10.2.3) ha il verso opposto della forzante esterna p 2 (t), in virtù del principio di d' Alembert. La forza elastica F E e la forza viscosa F D (10.2.4)

( IO .2 .5)

agenti sulla massa m 2 , hanno pure il verso opposto di p 2 ( t), nell'ipotesi che si abbia u 2 u 1 > O, u2 - u1 > O. Come appare dalle (I0.2.4) e (10.2.5), le suddette forze FE e FD sono proporzionali alle differenze u 2 - u I e u2 - u1 , rispettivamente. L'equilibrio alla traslazione secondo la direzione delle forze applicate alla massa m 2 assume l'aspetto ( IO .2 .6)

La sostituzione delle (10.2.3)- (10.2.5) nella (10.2.6) fornisce la prima equazione del moto: (10.2.7) Per quanto concerne la massa m 1 , su di essa agiscono la forzante esterna p 1( t), le forze elastiche (10.2.8) esplicate dalle molle di rigidezze k 1 e k 2 , rispettivamente, come pure le forze viscose (10.2.9)

410

degli smorzatori, nonché la forza d'inerzia ( 10.2.10)

Si vuol far rilevare che le forze elastiche F E , oppure quelle viscose F O , esercitate dalla molla e dallo smorzatore compresi tra le masse m 1 ed m 2 , sono da considerarsi uguali ed opposte. Difatti, se si indicano con FEA, FDA e con FEB, FDB le azioni dei dispositivi elastico e viscoso sulle masse m 1 e m 2 , rispettivamente, per il principio di azione e reazione deve aversi la rappresentazione de:lle forze illustrate in fig. l 0.3.c. In altri termini, le forze in fig. 10.3.c sono quelle esercitate dal!le masse m 1 ed m 2 sulla molla e sullo smorzatore di costanti k 2 e c2 . Per ragioni di equilibrio, risulta ( I O.2 .11)

Nella rappresentazione delle forze tra le masse m 1 ed m 2 in fig. 10.3.b, si è tenuto conto del risultato ( 10.2.11 ). L'equilibrio secondo la direzione delle forze applicate alla massa m 1 in fig. 10.3.b, assumt! I' aspe1to ( 10 .2 .12)

Per le ( I 0.2.8) - ( 10.2.1 O), la ( I 0.2.12) diventa (102.13) Le ( 10.2.7) t! (I 0.2.13) possono riscriversi nella forma

1

11

m ii + (c 1 + c2 )ù 1 - c2 ù 2 + (k + k 1 )u 1

(10.2.14)

--

k2 u 2 =-• pi(t)

m2 ii2 - c2 Ù 1 + C2 ù2 - k1 u 1 + k1 U.1 = P1 (t)

10.2.2. Equazioni del moto in notazione matriciale In notazione matriciale, le equazioni del moto (10.2.14) amm1!ttono la rappresentazione

l

([l:~~- 15~ [~11 O

m~

u2

+ [e'+ c2 -c 2

-c2 c2

l

[~11 + [k 1 + u2

k1

-k 2

-k1

k2

l l [p l 1

[u u2

=

1(t) p 2(t)

411

Con le posizioni

( 1O.2 .16)

Matrice delle masse

( IO .2 .17)

Matrice degli smorzamenti

( IO .2 .18)

Matrice delle rigidezze

( IO .2. 19)

fiT

( 10 .2 .20)

uT=[u1 u2l

Vettore delle accelerazioni

= [iii ii2]

Vettore delle velocità

unitamente alle (10.2.1) e (10.2.2), l'equazione di equilibrio dinamico delle due masse espressa dalla (10.2.15), prende la forma matriciale sintetica: ( IO .2 .21)

mii+ cù + ku = p(t)

Le matrici (10.2.16)-( I 0.2.18) si chiamano anche, nell'ordine, matrice di massa (o d'inerzia),

matrice di smorzamento, matrice di rigidezza (oppure elastica). Come appare dalla (10.2.15), le matrici di massa m, di smorzamento e e di rigidezza k, risultano simmetriche, ossia sono uguali alle rispettive trasposte: m = m T, e

= cT, k = k T.

Se il sistema dissipativo è perturbato nell'intorno della posizione di equilibrio stabile, allora le suddette matrici sono anche definite positive. Giova rilevare che i termini al primo membro della (10.2.21) rappresentano, nell'ordine, i vettori ( IO .2 .22) delle forze d'inerzia F1 , delle forze viscose F D e delle forze elastiche FE· Per le (10.2.21) e (10.2.22) si può scrivere ( IO .2 .23) La (10.2.23) avverte che, istante per istante, il vettore delle forze esterne p( t) risulta opposto al vettore risultante delle forze d'inerzia F1 , delle forze. viscose FD e delle forze elastiche

FE.

412

10.2.3. Forma generale deHe equazioni del moto Nella fom1a più generale, le equazioni del moto di un sistema dissipativo a due gradi di libertà ammettono la rappresentazione ( IO .2 .24)

Quando i coeF!ìcienti di massa, o di inerzia, m 11 e m 21 sono dive-rsi da zero, si dice che le variabili u I e u 2 sono dim1micamente accoppiate. Se i coefficienti di rigidezza, detti anche coeflìcienti eJastici k _1 e k 21 sono diversi da zero, le coordinate u 1 e u 2 si dicono elasticamente accoppiate. Con riferimento all'equazione ( I 0.2. I 5), si può dire che le variabili u I e u 2 sono disac-

coppiate dinamicamente, ma accoppiate elasticamente. È da rilevare che le coordinate u I e u 2 presenta.no accoppiamento viscoso quando c21 = c 12 f- O, come nel caso dell'equazione del moto (10.2.24).

10.3. METODO DELLE EQUAZIONI DI LAGRANGE Le, equazioni del moto ricavate: nel par. precedente, possono es.sere desunte anche mediante l'applicazione delle equazioni di Lagrange:

(10.3.1) ove

( 10 .3, .2)

'I

= enf·rgia cinetica

'L1

= fùnzione di dissip,rzione

( IO .3 .5)

2 gradi di libertà, essendo g( t) una funzione del tempo. Volendo, invece, seguire la soluzione dei sistemi ad un grado di libertà, si può assumere u ( t) = U e..,1 .

416

Sostituendo le (10.4.5) e (IQ.4.8) nella (10.4.3), risllllta (10.4.9)

r

per cos( wt -- 'P) O , poiché la ( l 0.4.3) deve valere per tutti gli i5,tanti. La (I 0.4. 9) può scriversi nella notazione estesa

( IO .4. IO)

(k 1 + k 2 -w 2 m 1 )U 1 - k 2 U1 + ( k 2

-

k 2 U2 = O

- w 2 m 2 )U2

=O

La (10.4.9), ovvero le (I 0.4.1 O), costituiscono un sistema liineare omogeneo di due equazioni, nelle due incognite U1 , U2 , denominato problema agli autovalori, oppure problema ai valori caratteristici. li sistema ammette una soluzione diversa da quella banale ( U 1 = U2 = O) se e solo se si annulla il detem1inante della matrice d,ei coeflficienti, dletto determinante caratte-

ristico: ( IO .4 .11)

det(-w 2 m + k)

=O

Tenendo conto delle matrici di massa e di rigidezza clhe intervengono nella (I 0.4.2), la ( l 0.4. l l) prende la forma estesa:

. ( IO .4 .12)

oppure

( IO .4 .13)

k1 + k2 -w2m1

=O

-k2 Sviluppando il determinante ( l 0.4.13) si ricava l' ,~quazione caratteristica, detta anche equa-

zione delle frequenze ( 10.4.14)

poiché le soluzioni della ( 10.4.14) sono i valori caratteristici o le frequenze proprie del sistema. La (l 0.4 . 14) equivale alfa (10.4.15)

417

Con la posizione .À

( 10 .4 .16)

= w2

la ( 10.4.15) diventa (10 .4 . 17)

Ponendo ancora (10.4.18)

la (10.4.17) assume l'aspetto ( IO .4 .19)

a.À

2

+ b>. + e = O

Le radici dell'equazione (10.4.19) sono

( IO .4 .20)

Si può mostrare che >. 1 e >. 2 sono gli autovalori reali della matrice m - I k, che risulta essere simmetrica e definita positiva. Le quantità ( IO .4 .21)

prendono il nome di frequenze naturali, oppure pulsazioni naturali, oppure frequenze circolari. Dalle (10.4.18) - (10.4.20) appare che gli autovalori e le frequenze naturali dipendono dai parametri fisici del sistema, ossia dagli elementi delle matrici di massa e di rigidezza m 1 , m 2 , k 1 , k2 . 10.4.2. Calcolo dei vettori modali

u:

Siano 'l = U 11 e [G Il = U21 i valori di U 1 e U2 corrispondenti alla frequenza w 1 21 1 e siano = U 12 e = U22 i valori di U 1 e U2 corrispondenti alla frequenza w 2 . Dette quantità possono essere raccolte nei vettori algebrici

u:

uf

1

( IO .4 .22)

Uil)=U

'

=

u< [u~'>

I i

l l =

[uu2, li

,

418

e prendono il nome di vettori modali, oppure autovettori del sistema, poiché rappresentano i modi di vibran: del sistema, detti anche modi princ~oali, oppure modi naturali. L'autovettore U 1 , corrispondente ali' autovalor,e ). 1 ( detto anche valore caratteristico, oppure valore proprio), si ricava sostituendo wf = .I. 1 nelle (I 0.4.1 O)

( 10 .4 .23)

(k 1 + k 2 -

-wfm 1 )U} 1l

k1U(I) ,. I

- k2 U:\ 1l = O

1 + (k?_ - w 2I m?)U~ _ _ ) = O

Dato che per w = w 1 si annulla il determinante (10.4.13) della matrice dei coefficienti del sistema ( I 0.4.9), ovvero del sistema (10.4.10), una sola delle equazioni (I 0.4.23) risulta essere linearmente indipendente. Ptirtanto, da ciascuna delle suddlette equazioni si ricava il rapporto delle ampiezze ( IO .4 .24)

Analogament,e, sostituendo nella ( l 0.4.1 O) w = w2 si ricava il rapporto ( 10 .4 .25)

Le ( I0.4.24) e ( I 0.4.25) avvertono che i rapporti delle ampiezze sono definiti in modo univoco. Per le (I 0.4.24) e ( 10.4.25) i modi principali di vibrare ( 10.4.22) ammettono le rappresentazioni

( 10 .4 .26)

u< 1> = u I

( 10 .4 .27)

2 u-2=w2=

30 • IO 3 + V30 2

• 1O6 - 4 • 25 • 4 • 1O6 (' rad ) =1047,41 2 _25 , sec

2

Le frequenze naturali del sistema risultano essere

W1

( 6) Wc=

·

rad sec ,----rad = vJ047,4] = 32,36 sec

= ✓~ = Jt52,78 = 12,36

J'>-1

Per le (I), (2) e (6) i rappo11i delle ampiezze delle masse per il modo principale di vibrare i -esimo ( i = 1 , 2). si valutano conformemente alle ( 10.4.24) e ( I0.4.25):

( 7)

-(32, 36)1 · 5 + 2 · 2 · IO 3

2 . J03

-O, 62

423 Per le (6) e (7) i vettori modali (10.4.26) e (10.4.27) assumono l'aspetto

[ I, I62

( 8)

l [l l l

I [ -0,62

Se si pone U} 1> = ,,,,1, ,f,< 2> = ,,,,2

(9)

u}2> =

"' ( I)

U(I) 1 -

I, I62

u-2Ue;1

La sostituzione delle (10.6.6), (10.6.8), (10.6.9) nell'equazione differenziale del moto ( I 0.6.4) consente di ricavare (10.6.10) La ( I 0.6.1 O) deve valere per tutti gli istanti t. Essendo

e\t

f- O ,

deve risultare

( IO .6 .11) Il sistema lineare, omogeneo (I 0.6.11) di due equazioni nelle due incognite U 1 e U2 può scriversi nella notazione matriciale estesa

(10.6.12)

434 Il sistema ( I 0.6.11) ammette soluzioni diverse da quella banale ( U1 = U2 = O) se e solo se si annulla il d,eterminante della matrice dei coefficienti (10.6.13) Sviluppando iìl determinante (10.6.13) si ricava un'equazione di quarto grado nel parametro \, denominata equazione CEJ'Iatteristica, che può scliversi nella fomrn (3) (10.6.14) ove le costanti a, b, e, d, e dipendono dai parametri di massa, di smorzamento e di rigidezza. ln dipendenza dei coefficienti dell'equazione algebrica (I 0.6.14), si possono verificare tre eventualità per le radici \

1, \ 2 , \ 3 , \ 4

dell'equazione caratteristica.

10.6.1. Radici reali e negative Quando k radici sono reali e negative

\-.,t

4

Uii)e\t =

L

r;U1ie\,t

I rapporti delle ampiezze ( I0.6. I 7) si ricavano dalla sostituzione delle radici ( 10.6.15) nella (10.6.12). Essendo le radici ( 10.6.15) reali e negative, le soluzioni particolari ( 10.6.16) sono funzioni esponenziali che decrescono con il tempo, senza cambiare segno. Questo è il caso di sistema fortemente smorzato, in cui il sistema perturbato ritorna nella sua posizione di equilibrio senza oscillare. 10.6.2. Radici complesse Quando le radici dell'equazione delle frequenze ( 10.6.14) sono complesse coniugate, con le parti reali negative, esse possono scriversi nella forma >--1 =-a,+

( 10 .6 .20)

)._2

= -al - i/31

À3 = À4

i/31

=

-al

+ i/32

-a2 -

ove a 1 , a 2 • /3 1, /32 sono numeri reali e positivi.

i/32

436

In questo caso la soluzione può esprimersi nella forma u1(t)

= Ul]e>-,t + U12e>-2t + U13e''t +

u2(t)

= U21e>-,t + U22e>-2t-+ U23e)'1t + U24e;.,•1

(10.6.21)

U14e.1•t

in virtù delle (I 0.6. 7) e (I 0.6.20), essendo la soluzione g,enerale (I 0.6.21) esprimibile come combinazione lineare di soluzioni particolari. Se si introduce il rapporto ( I 0.6.17) tra le ampiezze, le ( I 0.6.21) ammettono la rappresentazione

u I (t). = UI] e>-,t + U12 e>- 21 + U 13 e>-,t + U 14 e>-•t ·

( IO .6 .22)

u2(t) =e r1U11e''.t

+ T2U12e>-2t + T3U13e>-,t + T4U14e>-,t

Le due equazioni (10.6.22) contengono quattro costanti U 11 , U 12 , L' 13 , U 14 , che possono essere determinate dalle condizioni iniziali. È anche possibile esprimere le soluzioni u 1 ( t) e u 2 ( t) in tem1ini di funzioni armoniche. Sostituendo le (10.6.20) nelle (10.6.22) ed applicando la formula di Eulero del tipo

e=bQt = cos Qt

( IO .6 .23)

± isen Qt

le ( I 0.6.22) ammettono la rappresentazione ( IO .6 .24)

u 1 (t) =°

C\ 1 e-"' 11 sen(;3 1 t +

u 2 (t)

C 21 e-"' 11 sen(,i3 1 t + -. 3

= -a+ i/3

>-. 4

= -a -- iJ3

gli spostamenti u 1( t) e u:, ( t) delle masse possono scriiversi nella forma ( IO .6 .26)

UI

(t) = [! Il'·.,>-,t + U 12 e>-,t + U LI e(-a,+ì/3)t + U 1-1 '·D(-a,-i/3)1

u2(t) = r1U11e>-,t + r2U12e>-2t +

T3U13/-+i/3)t

+

r4U14e(-a-1/l)t

essendo r 1 , .•. , r 4 i rappm1i delle ampiezze ( I 0.6.17). Le costanti U 11 , U 12 , U 13 , U 14 si determinano in bas,e alle condizioni iniziali.

437

10.7. MOTO FORZATO ARMONICO IN PRESENZA DI SMORZAMENTO L'equazione del moto forzato, di un sistema dissipativo a due gradi di libertà, può esprimersi nella forma generale (10.2.24). Ricordando le matrici di massa m , di smorzamento e e di rigidezza k:

(10.7.l)

ed i vettori degli spostamenti u(t), delle velocità il(t), delle accelerazioni ii(t) e delle forzanti p ( t) :

p(t)

=

[P14, rigido

-r •G

A

a)

m,I

k1

a

b)

e)

Figura I0.12. Rappresentazione schematica di un autoveicolo come sistema a due gradi di libertà.

Con le definizioni riguardanti la coppia viscosa 1

1 : (10 .8.13) (10.8.14) (10 .8 . 15)

Jl',=pa

0 ,

quella elastica 1

E

e quella esterna

445 la (10.8.12) diventa (10.8.16)

.Jt I + .lt D + Jt E = Jt

La sostituzione delle (10.8.9)- (10.8.10) nella (10.8.11) e delle (10.8.13)- (10.8.15) nella ( I 0.8.16), definisce le due equazioni del moto in funzione dei sistemi di coordinate u 1 , u 2 e u, I{) : (10.8.17)

(10.8.18) qualora si impieghi anche la (10.8.7). Se nelle (10.8.17) e (10.8.18) si esprimono gli spostamenti u I e u 2 agli estremi del corpo rigido in funzione delle due coordinate lagrangiane ( I 0.8.1 ), come specificato dalle (10.8.3) e (10.8.4), le equazioni di equilibrio dinamico in narrativa ammettono la rappresentazione

( IO .8 .20)

I(p+(c 1 L 1 -c2 L2 )ù+(c 1 Lf +c2 L~)ip+(k 1 L 1 -k 2 L 2 )u+

+ (k 1 Lf + k2 L~)I{) = pa

Il sistema delle ( I 0.8.19) - ( I 0.8.20) può scriversi nella forma matriciale

( IO .8 .21)

Se si introducono le matrici di massa m, di smorzamento e e di rigidezza k:

( IO .8 .22)

446

unitamente ai vettori degli spostamenti u, delle velocità ù, delle accelerazioni ii e delle forze esterne p:

(10.8.23)

le equazioni del moto (10.8.21) prendono la fonna matriciale contratta

mii+ cti + ku = p(t)

( 10.8.24)

La ( 10.8.24) rappresenta la più generale fonna matriciale del sistema di equazioni differenziali che descrive il moto perturbato del sistema vibrante. È da notare che le matrici (10.8.22) di massa m, di rigidezza k e di smorzamento e sono simmetriche e definite positive. Essendo la matrice di massa diagonale, le equazioni del moto (IO .8.21) sono disaccoppiate inerzialmente. 10.8 . 3. Scrittura delle equazioni del moto mediante le equazio111i di Lagrange

I O. 83.1. I vari tennini di energia Per ricavare le equazioni del moto mediante l'approccio lagrangiano, occorre scrivere le espressioni cieli' energia cinetica 'T, della funzione di dissipazione 'lJ e dell'energia potenziale· totale n . Assumendo come variabili le coordinate fisiche u e 'f, u I e u- illustrate in fig. I 0.12.b, si ha

I ., 1 ., -mu- + -J:p2 2

( IO .8 .25)

'T =

( IO .8 .26)

'D

( 10 8.27)

n = 2k1 ui

I

.,

I

.,

I

,

= 2C1 ui + 2c" U:i 1

,

+ 21;2 U:i ~· P7J

Il primo ed il secondo tem1ine a destra della (10.8.25) rappresentano, nell'ordine, l'energia cinetica di traslazione e l'energia cinetica di rotazione del corpo. Per quanto concerne l'energia potenziale totale, la somma dei primi due tennini al secondo membro della ( 10.8.27) esprime l'energia di defonnazione elastica delle molle, mentre il tennine -· p7J rappresenta il potenziale della forzante esterna p, avendo indicato con 7J lo spostamento del punto di applicazione del carico, nella direzione del carico stesso. Se nelle ( I 0.8.27) si tiene conto delle ( I 0.8.3) e ( 10.8.4) e della relazione (cfr. fig. 10.12.b): ( 10 .8 .28)

447 le due energie 'D e TI possono esprimersi in termini delle due variabili indipendenti u e cp : I

'D

I

= 2 C1(u + L1ip) 2 + 2c2(u - L21P>2 I

= 2 (c 1 + c2 )u 2 +

I

2(c 1 L~

+ c 2 n)ip 2 + (c 1L 1 - c2 L 2 )uip

( IO .8 .29)

= -I u T ku - p( u + acp) 2

10.8.3.2. Prima equazione del moto La prima equazione del moto, corrispondente all'equazione di equilibrio (dinamico) alla traslazione, si ricava dall'equazione di Lagrange: (10.8.31) Per le (I 0.8.25), (I 0.8.29), (I 0.8.30) i vari termini della (I 0.8.3 I) prendono la forma

( IO .8 .32)

éN -=mu

ou

_g_ (

o'T) = _g_( mù) = mi.i at

' at au

( IO .8 .33)

( 10.8.34)

an = (k 1 + k 2 )u + (k 1L 1 .- k L 2 )cp au° 2

p

Per le (10.8.32)-(10.8.34), la (10.8.31) assume l'aspetto (10.8.35)

mi.i+ (c 1 + c 2 )u + (c 1L 1 - c 2 L 2 )ip + (k 1 + k 2 )u+

+ (k1L1 - k2L2)'P = p

La (10.8.35) coincide con la ( 10.8.19).

448

10.8.3.3. Seconda equazione del moto La seconda equazione del moto, che esprime l'c!quilibrio alla rotazione del sistema di fig. 10. 12.c, si rkava dall'equazione di Lagrange:

( 10 .S.36) I vari termini della ( I 0.8.36) si valutano a partire dalle ( I 0.8.25), ( I 0.8.29), (I 0.S.30). Risulta:

( IO .S.37) (10.8 .38)

( IO .8 .39)

ò'lJ ' ' . ÒcjJ = (c 1 Lj + c2 L 2 )((J + (c 1 L 1

an

,

-

.

c2 L 2 )u

,

Ò(() =(k 1 Lj +k 2 Li)((J+(A: 1 L 1 - k2 L 2 )u -- pa

La sostituzione delle (10.8.37)- (10.8.39) nella (10.8.36) porge

( IO .S .40)

l(p+(c 1 L 1 - c 2 L 2 )u+(c 1 Lj +c 2 L~)cjJ+(k 1 L 1 -k 2 L 2 )u+ + (k 1 Li + k 1 L~)((J

= pa

La (10.8.40) coincide con la (10.8.20). 10.8.4. Oss€:rvazioni

I) Si vuol far rilevare che, se si assumono come coordinate indipendenti lo spostamento q I di un punto B , distante b dal baricentro G, e la rota:zione q 2 attorno allo stesso polo, la

matrice delle masse che si ricava non è più diagonale, per cui le equazioni risultano, in questo caso, anche accoppiate inerzialmente. 2) Per quanto concemt: la soluzione delle equazioni del moto (10.8.24), qui di seguito riscritte per comodità:

(108.41)

mii + e li + ku = p( t)

è conveniente seguire l' ordine esposto nei parr. 10.4 - 10.7. Si possono analizzare il moto libero:

(IO .8 .42)

mii+ ku

0

=

O

ed il moto f.'orzato in assenza di smorzamento:

{ IO.8 .43)

mii + ku = p{ t)

449 Successivamente, si può studiare il moto smorzato libero

mii + cli + ku = O

( 10 .8 .44)

ed, infine, il caso più generale (10.8.41) di moto forzato in presenza di smorzamento. 3) Per un sistema a due gradi di libertà, l'equazione del moto può sempre scriversi nella forma generale:

(10.8.45)

[m 11 m21

I parametri fisici del sistema (10.8.45), ossia gli elementi delle matrici di massa smorzamento cij e di rigidezza rigido di fig. I0.12.a: m11 = m,

( 10 .8 .46)

C11 = cl

k 11

=

+

kij,

m22 = C2,

k 1 + k2 ,

di sono legati a quelli del sistema ( 10.8.21 ), per il corpo

I,

m12 = m21 =

C22 -- cl L 2I

k22

=

+ ?

2 C2 L 2, ?

k 1 L 1 + k 2 L 1,

mij,

O C12 = C21 = cl

k 12

=

k 21

=

LI

- C2

L2

k 1 L 1 - k2 L 2

Analogamente, ai vettori dei gradi di libertà q1 e q2 e delle forzanti esterne del sistema ( 10.8.45), corrispondono quelli indicati nel sistema ( I 0.8.21 ):

f 1 (t)

e

f 2 (t)

( 10 .8 .47)

l0.9. ANALISI MODALE l0.9.1. Premessa Nei precedenti paragrafi si è visto che le equazioni del moto, per un sistema a due gradi di libertà, possono essere scritte nella forma generale

45(1

Le coordinate indipendenti u 1 e u 2 prendono il nome di coordinate fisiche, coordinate geometriche, coordinate nodali, oppure coordinate gem~ralizwte. In notazione matriciale contratta la (IO. 9 .1) ammette la rappres,entazione

(10.9.2)

mii+ cli+ ku

0

=

p(t)

ove ii, ti, u, p( t) denotano i vettori, nell'ordine, delle accelerazioni, dellt: velocità, degli spostamenti e delle forzanti ,esterne. Le equazioni (10.9.1) sono accoppiate, poiché le matrici di massa m, di smorzamento ce di rigidezza k sono piene. Si vuol mostrare che per una opportuna scelta del sistema di coordinate indipendenti, le equazioni del moto (10.9.1) possono esst:re disaccoppiate. In tal modo, le (10.9.1) si trasformano in due equazioni indipendenti, ciascuna relativa ad un solo grado di libertà. Il particolare sistema di coordinate indipendenti, che permette cli disaccoppiare le equazioni del moto, definisce le coordir:1ate principali, dette anche coordinate modali, coordinate nonm1Ji, coordinate naturali,. oppure c_oordinate ortogonali. Giova rilevare che le coordinate principali, per un sistema vibrante, non hanno un preciso significato fisico. 10.9.2. Oscillazioni in assenza di smorzamento Prima di risolvere il problema (10.9.1), occorri~ esaminare il sistema forzato non smorzato (6)

(10.9.3)

che può scriv,ersi nella forma matriciale contratta

(10.9.4)

mii(t) + ku(t)

= p(t)i

La parte omogenea del sistema (10.9.3):

(10.9.5)

che prende la forma matriciale sintetica: (10 .9 .6)

(6) Il

mii+ ku = O

sistema forzato e smorzaito (IO. 9.1) verrà trattato con il m,etodo gen,erale illustrato nel par. 11.5.

451

ha la soluzione che può porsi nella forma u 1 = U 1 cos(wt - ip)

( 10 .9 .7)

u 2 = U2 cos(wt - ip)

Le (10.9.7) ammettono la rappresentazione matriciale

(10.9.8)

[ :: ]

a

[ ~:]

cos(wt .. ~)

oppure

u ~ U cos(wt - ~)

Dalla (I 0.9.8) può ricavarsi il vettore delle accelerazioni

(10.9.9)

La soluzione del sistema omogeneo in argomento può anche assumersi del tipo ( 10.9.10)

u = Uei(wt-,p) = U[cos(wt - ip) + isen(wt - ip)]

e fornisce il vettore delle accelerazioni (10.9.11)

ii = -w 2 V

e•(wt-- 2 di tale equazione ( IO .9 .17)

che possono essere ordinate in modo da avere w 1 < w 2 , prendono il nome di autovalon~ valori caratteristici, oppure valori propri, e sono detti anclile valori latenti. Le radici quadrate (10.9.18) sono denominate frequenze· circolari, oppure pulsazioni naturali. La più piccola delle frequenze ( 1O. 9 .18) è denominata frequenza fondamentale, poiché è la più importante. La sostituzione di ciascuna delle radici (10.9.18) nel sistema (10.9.12) consente la determinazione degli autovettori, detti anche vettori caratteristici, oppun! vettori propri V 1 = U :

( IO .9 .19)

w,

-

[uu

2

12 ]

=

uo>

:?2

Gli autovettori U ( 1l e U , 'i>,1

[ 'i>;'m'i>,

f/Jf m'1 I

l[ ':, l :n l [~ ~] m,,

f,,

m22

VJ21

° [

,,rm.,,

"'r m'P2

[m'i>,

1/!22

m1P2]

458

in virtù della condizione di nonnalizzazione ( I 0.949) e continuando a valere la condizione di ortogonalità anche per autovettori nonnalizzati

,p ~ m ,p s = O,

(IO .9 54)

per

r f- s

La condizione ( I0.9.13) è qui di seguito riscritta ptr comodità nella fonna ( 10.9.55)

k

,p, = w; m ,p,,

per

r = I, 2

e consente di ricavare per la ( 10.9.53): (10.9.56) Per le (10.9.54) e (10.9.56), si ha

(IO .9 .57)

La matrice A = Q

2 ( I 0.9.57),

avente sulla diagonale principale i quadrati delle pulsazioni

naturali, risulta essere la m

( 11.7 .33)

T

,J;· r m

,p r

-

1

il coefficiente di partecipazione (11.7.32) assume l'aspetto f r = .,.rml = 'l'r

(11.7 .34)

.,.T T 'l'r

Dalla (11.7.33) appare che l'autovettore normalizzato f/J,, si ricava da Ur dividendo le sue componenti per la radice quadrata della massa modale Mr (l l.7 .35)

•La trasfom1azione lineare ( 11. 7.27) pennette il passaggio dallo spazio nodale delle componenti di u allo spazio dellle componenti di 'I , detto spazio moda/,~. Tale cambiamento semplifica notevolmente la risoluzione del problema, in quanto trasfonna il sistema originario in un sistema disaccoppiato di equazioni differenziali, in cui ogni equaz:ione contiene soltanto una variabile. Dal punto di vista fisico, il disaccoppiamento rende ciascun oscillatore nello spazio modale indipendente da tutti gli altri. Pertanto, il moto globale del sistema nello spazio nodale è dato dalla sovrapposizione delle risposte modali di sistemi ad un sol grado di libertà (sovrapposizione modale).

11.7.(i. Risposta nello spaz'io modale

La soluzione 1/r = 1/r( t) delle: equazioni del moto (11. 7.28) disaccoppiate, si può esprimere nella forma data dall'integralle di Duhamel ( 11.7 .36)

1/r(t)

I = --

lt

M,wDr

O

. '

par(T)e-ll,w,(1.-r)sen1;;Dr(t-T)dT

in virtù del risultato (9.4.8). La risposta (11.7.36) è quella dell'oscillatore r -esimo fermo all'istante t

= O.

Se all'istante iniziale t == O, lo spostamento 1/,.( O) e la velocità itr( O) modali non sono nulli, all'integrale di Duhamel occ:orre aggiungere la risposta in vibrazione libera. Quest'ultima, nella suia forma più generale, risulta essere

(11.7.37)

t)=e-11,w,t ( T/ r (O)+w1/r (O)vr wrs,~nw t+71(0)C0SW t) 1/( r ~or r Dr Dr 1

537 Se si indicano con u ( O) e

u( O)

i vettori degli spostamenti e delle velocità iniziali

( 11.7 .38)

nel riferimento originario delle coordinate geometriche, fisiche, oppure nodali, si ha ( 11.7 .39)

T/r(O)

( 11.7 .40)

7/r(O)

La risposta Tir

= Tir( t)

= V! mu(O)/M, = U!mu(O)/M,

in termini di coordinate modali viene indicata, per semplicità, risposta

modale. 11.7.7. Risposta modale La conoscenza della risposta modale TI ( t) e della matrice modale X , permette il calcolo dello spostamento u ( t) nelle coordinate originarie (ll.7 .41)

u(t)

=X

f/(t)

La (l 1.7.41) può anche scriversi nella forma ( 11.7.42) in cui le coordinate principali Tir( t), per r = l , 2, 3 rappresentano, al generico istante t , i coefficienti moltiplicativi degli autovettori. In notazione estesa la (l l.7.42) diventa

( l l .7.43)

Dalla (11 .7.43) appare che la deformata della struttura si ricava dalla somma dei modi normali di vibrare, alterati dai coefficienti moltiplicativi Tir( t) . In breve, la (11.7.43) costituisce il metodo di sovrapposizione dei modi. Calcolata la storia temporale in termini di coordinate modali Tir, la (11.7.43) consente di risalire alla storia descritta dagli spostamenti nodali ur( t) .

538

11.7.8. Reazioni elastiche Le reazioni elastiche F EI , 1'e2 , F E3 raccolte ni!l vettore algebrico

( 11.7 .44) ed esplicate dai ritti sui traversi di massa m 1 , m 2 , m 3 , rispettivamente, valgono

( ll.7.45)

ove k, denota la rigidezza del piano r -esimo. In termini di coordinate modali, si ha ( 11. 7 .46)

Fe = ku = lkX71 = k[r, 1(t)U 1 + r, 2 (t)U 2 + r, 3(t)U 3] = =r, 1(t)kU 1 +r, 2(t)kU:! +r, 3(t)kU 3

Essendo per la (l 1.3.1) e la posizione À,

=

w; : ,

kU, = w;mU,

( 11.7 .47)

il vettore FE delle reazioni elastiche applicate ai traversi ammette la rappresentazione ( 11. 7 .48)

Fe =

wf mU 1r, 1(t) + w~mU 2 r,2(t) + wjmU 3r, 3 (t)

= m[,:.vfU1111(t) + WiU2112(t) + w~IU3r,3(t)] Potendo scrivere

( l l. 7 .49)

il vettore FE delle reazioni elastiche (11.7.48) prende la forma

( I I. 7 .50)

FE

=

mX O 2 TJ

= mX

wh10

(11.8.7)

à 192 = 192 - 19, > O à 193 = 19 3

-

t94

>O

541

e ki le rigidezze torsionali dei singoli tronchi. La sostituzione delle ( 11.8. 7) nella ( 11.8.6) porge =

(11.8 .8)

=

1

1

2 k1 ~ 191 1

2 k1(l?1

+

1

1

2 k2 ~ 192

+

1

1

2 k3 ~ 193

1

1

- 192)- +

1

2 k2(l?2

- 193)- +

1

1

2 k3(l?3

- 194)-

La ( 11.8.8) ammette anche la rappresentazione matriciale estesa

(11.8.9)

1 =-[19 192 193 194] 2 I

k1

-k1

o

-k1

k1 + k2

o o

-k2

o o

192

-k2

k2 + k3

-k3

193

o

-k3

k3

194

19 I

Dalla ( 11.8.9) appare la matrice di rigidezza del sistema

(11.8 .10)

k =

k1

-k1

o

-kl

k1 + k2

-k2

o o

o o

-k2

k2 + k3

-k3

o

-k3

k3

risulta essere a banda, con larghezza di banda tre, simmetrica e definita non negativa. Per le (11.8.2) e ( 11.8.1 O), la (11.8.9) assume la forma matriciale sintetica (11.8.11)

=½ uTku = ½ t7Tk t7

11.8.2.2. Energia di dissipazione

La funzione di dissipazione è legata all'isteresi strutturale elastica o ad altri fenomeni dissipativi, che possono ricondursi allo smorzamento viscoso equivalente. Seguendo lo sviluppo ( 11.8.6) - ( 11.8.11) dell'energia elastica, anche per la funzione di dissipazione 'IJ si arriva alla rappresentazione (11.8 .12) oppure (11.8.13)

1 . ']J=-[19 J2 J3 J4] 2 I

cl

-Cl

o

-Cl

Cl+ C2

o

o

-C2

o o

J2

-Cz

C2 + C3

-C3

J3

o

-C3

C3

J4

JI -

-I 2

. T

•

t7 e t7

542

ove e denota la matrice di dissipazione

(11.8.14)

e=

e,

-Cl

o

-·e,

Cl+ C2

-C2

o o

-C2

C1 + C3

-C3

o

-C3

C3

o o

11.8.2.3. Potenziale dei carichi esterni Il potenziale H dei carichi esterni, è pari alla somma dei prodotti dei valori finali dei momenti torcenti applicati, raccolti nel vettore algebrico (11.8.15) e delte rotazioni assolute cotTispondenti, illustrate dal vettore ( 11.8.2), e qui di seguito riscritte per comodità (11.8.16) Risulta H = -_/6:r {J =

-{JT_/6

( 11 .8 .17)

= -./t I t9l

-

·

/t 2 t92

-

./t 3 t93

-·

./t 4 t94

11.8.2.4. Equazioni del moto Le equazioni di Lagrange possono scriversi nellla fonna ( 11 .8 .18)

per i = I, 2, 3, 4, essendo per la (11.8.17) (11.8.19) Per ricavare le equazioni de:I moto occorre effettuare le derivate che appaiono nella ( 11.8.18). Le derivate dell'energia: cinetica (11.8.3) assumono l'aspetto ( 11.8 .20)

(i:= I, 2, 3, 4)

543

e rappresentano le coppie d'inerzia. Se si introduce la derivata vettoriale, le (11.8.20) diventano

o o o o I2 o o = o o I3 o o o o l4

JI

I1

(11.8.21)

:t (:;)

i92 =m~ i93 i9 4

ove ~ esprime il vettore delle accelerazioni angolari: .. T

{)

( 11.8 .22)

..

i92 i93 i?d

=[t91

ed m la matrice dei momenti d'inerzia (11.8.5). Le derivate della funzione di dissipazione 'IJ ( 11.8.12) risultano essere

( 11.8 .23)

e rappresentano le forze viscose. Le (11.8.23) ammettono la rappresentazione matriciale cl

(11.8.24)

-Cl

o

+

-C2

o o

+

-C3

8'D

-Cl

aiJ

o

-C2

o

o

Cl

C2

C2

C3

-C3

C3

JI J2

J3 J4

= e iJ

avendo indicato con e la matrice di dissipazione e con

( 11.8 .25)

av [ av av av a1: ] r an - aJ 1 aJ2 aJ3 at?4

la derivata vettoriale della funzione di dissipazione rispetto al vettore Le derivate dell'energia elastica (11.8.8) preridono l'aspetto

( 11.8 .26)

D.

544

e possono porsi nella fonna matriciale

k1

-k1

o

a

-k1

k1 + k2

a"

o o

-·-

(11.8 .27)

-k2

o o

192

-k2

k: 1 + k 3

-k3

193

o

-k3

k3

194

191

= k 1'

essendo la derivata vettorialle dell'energia elastica:

( 11.8 .28) Le derivate ( 11.8.26) esprimono le! reazioni elastiche applicate al sistema. ·Le ( 11.8.20), ( 11.8.23) ti ( l 1.8.26), consentono di scrivere la (Il .8.18) p,er i = I , 2 , 3, 4 nell'ordine:

I1J1 + c1(t9, - t92) + k1(191 -192) '= .lt 1 I2 J2 + c1 ( t92 - t91) + c2 ( t92 ~ t93) + k1 ( t12 - 19,) + k2 ( '32 ·- '33)

= .Jt 2

( 11.8 .29)

I3J3 + c2(t93 - t92) + c3(t93 - t94) + k2(tl3 -192) + k3(.J3 - '34) = ../63 I4J4 + C3(t94 - t93) + k3(.J4 - '33) = .lt4 Le ( I 1.8.29) rappresentano le equazioni differenziali del moto, per le vibrazioni torsionali forzate con smorzamento viscoso, dei quattro dischi rigidi di fig. 11 .6. Se si scrive la ( 11.8.18) nella fonna matriciale contratta ( 11.8 .30) e si tiene conto delle ( 11.8.2 l ), ( 11.8.24), (l 1.8.27) e ( l l .8.15), si perviene alla fonnulazione matriciale sintetica delle equazioni del moto ( 11.8.29):

m;; +c,7 +k1' =.f6

(1_1.8.31)

oppure alla :fonnulazione matriciale estesa

o +

( 11 .8 .32)

o + k2 + k3

o

-k3

o o

---e,

o

o o

./t2

-k:1

. /t 3

k3 .

. /t4

o o

+

545

Le equazioni del moto forzato ( l l .8.32) sono inerzialmente disaccoppiate, ma accoppiate per i termini viscosi ed elastici.

11.8.3. Metodo dell'equilibrio dinamico Può essere utile dare un'occhiata alle equazioni del moto nella forma (l l.8.29), per rappresentare le varie coppie applicate sulle masse rigide calettate sull'albero di fig. 11.6. Con riferimento alla massa di momento d'inerzia 11 , la cui posizione è definita dalla coordinata lagrangiana {) = {) 1( t), in fig. 11.7.a sono illustrate le coppie agenti: (l l.8 .33)

• J/6 I

coppia estema

( 11.8 .34)

•

Mn=I1191

coppia d'inerzia

( 1l.8 .35)

•

MDI

(11.8 .36)

• MEl = k 1( {) 1 -

= c 1( 19 1

-

19 2 ) coppia viscosa {) 2 )

coppia elastica

Le coppie reattive (11.8.34) - (11.8.36) sono rappresentate attraverso i loro moduli, poiché i versi effettivi sono quelli mostrati in fig. 11.7.a, in virtù delle posizioni (l l .8.7) ed avendo considerate positive le rotazioni torsionali antiorarie. Pertanto, la prima delle equazioni ( 11.8.29) può scriversi nella forma (1 l.8 .37)

Se si indica con ( 11.8 .38) il momento reattivo applicato alla massa di momento d'inerzia 11 , risulta, istante per istante ( 11.8 .39) In altre parole, la coppia attiva .J6 1 = .Jt 1 ( t) risulta equilibrata, istante per istante, dalla coppia reattiva M 1 = M 1(t). Per il principio di azione e reazione, a sinistra del tratto di albero di rigidezza k 1 compreso tra le prime due masse è applicato il momento torcente MDI + M El illustrato in fig. 11.7.b. Per l'equilibrio alla rotazione del tratto di albero in parola, il disco di momento d'inerzia J2 deve trasmettere un momento torcente MDI + in discorso, come illustrato in fig. 11. 7.b.

M El

alla sezione di destra del tratto di albero

Di conseguenza, MDI + M El è la coppia torcente esplicata dal tratto di albero sulla massa di momento d'inerzia 12 (fig. 11.7.c), su cui agiscono anche la coppia esterna Jt 2 e la coppia d'inerzia M 12 = 12 192 .

546

a)

b)

-

Albero

Mo, +ME1

I..,___ Mo,+ME1

k, 12, fl-2

Disco

-""' -. j,62

.., ___

c)

Mo1+ME1

d)

.

M12 =l2fr2

Mo2 +ME2

Albero

Mo2 +ME2

1----Mo2 +Me:2

k2 l3, 6-3 Disco

e)

-""' -

..,J/63___ .-.--

Mo2 +ME2

M13 =l3fr"

Mo3 +ME3

Albero

Disco

""' g)

J64

•

Figura 11.7. Illustrazione delle coppie attive ./t ;(i= 1,2, 3 ,4) e reattive Mu, MDi, MEiU = I, 2, 3) appllicate alle masse di momento d'inerzia J;.

547

A destra del secondo disco è applicata la coppia reattiva M E 2 + M v 2 . Le espressioni di M 12 , M 02 , ME 2 sono analoghe a quelle di Mn, Mm, MEI

( 11.8.40)

Mn = l2J2

(11.8.41)

M D2 = C2 ( 192 - 193)

( 11.8 .42)

ME2

= k2( 19 2 - '193)

e rappresentano le coppie d'inerzia, viscosa ed elastica, rispettivamente. Dette coppie sono applicate al disco come reazione d'inerzia, e dal tratto di albero di rigidezza k 2 , rispettivamente. Per l'equilibrio della massa di momento d'inerzia 12 deve risultare (fig. 11.7.c): (11 .8 .43)

Mn - Mm - ME1 + M02 + ME2 = J1't2

Per le ( 11.8.34) - (11.8.36), (11.8.41) - (11.8.43), la ( 11.8.43) diventa

La (11.8.44) coincide con la seconda delle (11.8.29). Se si indica con M 2 il primo membro della (11.8.43), ossia il momento reattivo, si può scrivere ( 11.8 .45) Per il principio di azione e reazione, la massa di momento d'inerzia 12 trasmette all'albero di rigidezza k2 la coppia M 01 + Me 2 illustrata a sinistra di fig. 11.7.d. Per l'equilibrio dell'albero in parola e, nuovamente, per il principio di azione e reazione, a sinistra della massa di momento d'inerzia 13 risulta applicata la coppia M 02 + M El (fig. 11.7.e). Su detta massa agiscono, inoltre, la coppia d'inerzia Mn, unitamente alla coppia esterna "/t 3 ed alle reazioni viscosa M 03 ed elastica M E 3 , applicate alla massa dalla porzione di albero di rigidezza k 3 : ( 11 .8 .46)

Mn = l3J3

( 11 .8 .47)

Mm= c3(193 - 194)

( 11 .8 .48)

ME3 = k/'193 - '194)

L'equilibrio alla rotazione attorno all'asse della massa in narrativa impone che si abbia: ( 11.8 .49) La sostituzione nella ( 11.8.49) fornisce la terza equazione di equilibrio ( 11.8.29).

548

La restanlte equazione differenziale del moto si ricavai dall'equilibrio della massa di momento d'inerzia 14 (fig. 11.7.g),, dopo aver applicato il principio di azione e reazione ed imposto l'equilibrio al tratto di rigidezza k 3 (fig. 11.7.f). Con le notazioni della fig. 11.7.g, risulta ( 11.8 .50)

M14 -

Mv3 -

M,r;_:3

= .ft4

oppure ( 11.8 .51) Indicando con ( 11.8 .52) il momento reattivo agente sulla massa più a destra del sistema, deve risultare istante per istante ( 11.8 .53)

11.9. ESERCIZI

Esercizio li.I Ricavare le equazioni del moto, singolannente, del sistema di 1~. 11.1 con il metodo delle equazioni di Lagrange. Scriverle in notazione usuale prima, ed in ,r1otazione matriciale estesa, dopo.

Esercizio 11.2 Ricavare le equazioni del moto del sistema di lig. I I.I con il metodo degli equilibri dinamici.

Esercizio 11.3 Derivare le equazioni del moto del sistema a quattro gradi di libertà illustrato in fig. 11.8, ove le rigidt.izze di piano sono indicate con ki( i = 1 , 2 , 3 , 4) . Per la derivazione dellt: equazioni del moto impiegme: a) il metodo delle equazioni di Lagrange; b) il metodo degli equilibri dinamici.

549

m4

~ C4 k4

m3

k3 m2

~ C2 k2

m1 k1 1/

Figura 11.8. Sistema a quattro gradi di libertà dotato di 2 smorzatori.

Esercizio 11.4

Le masse m 1 , m 2 , m 3 sono fissate a distanze uguali L ad un filo fortemente teso (fig. 11.9).

Si suppongano gli spostamenti piccoli, in modo da confondere il seno e la tangente di un angolo, con 1'angolo stesso, e si consideri costante la tensione T nel filo.

l T

L

1 T

L

1 T

Figura 11.9. Masse fissate ad un filo fortemtnte teso.

L

l T

L

l T

550

a) Verificare che le equazioni del moto ammettono la rappresentazione m 1 v1

= T(v 2 -v 1 )/L -Tv 1 /L m 2 i: 2 ,= -T(v 2 - v 1 )/L --T(v 2

(1)

1

m 3 i: 3 == T( v 2 1

-

-

v 3 )/L

v 3 ) / L - Tv 3 / L

facendo uso della legge di Newton . b) Supponendo che il moto oscillatorio della generic,1 massa riodico di ampiezza A; e fase ip :

(2)

V;=

m;

(

i = 1, 2, 3) sia pe-

Ai sen(wt + ip)

rilevare che l'equazione delle frequenzf! risulta espressa dal determinante della matrice dei coeffi.cienti Jl 1 , A 2 , A 3 del sistema omogeneo posto ugu.rile a zero:

det

( 3)

l

-TI L

m.1w 2

2T/ L -

-T/L

2T/L - m 2 1,; 2

O

-T/L

e) Se si pone· ( 4)

notare che dall'equazione c;u-atteristica (3) si deducono k pulsazioni naturali

espresse in rnd/sec.

Eserdzio 11.5 Calcolare· le frequenze proprie del sistema illustrato in fìg. 11. i O, facendo uso delle equazioni di Lagrange. Suggerimento

L'energia cinetica del sistema prende la forma ( 1)

L'em:rgia potenziale totale Il assume l'aspetto

ll =+ H =

1

2

3

4

i=]

i=]

' '\""' , ,, kL- L., (t9i+l - t9;)- + 2mgL L-, (1 -cost9;)

551

L

L

I

,,

-' I

' - ,,

m

m

m

m

Figura 11.10. Sistema di pendoli semplici con molle di accoppiamento.

Esercizio 11.6

a) Ricavare le equazioni del moto forzato del sistema (.ig. 11.11), a tre gradi di libertà con i metodi: • degli equilibri dinamici; • delle equazioni di Lagrange.

k1

C1

T

m1

l

k2

P1(t), U1(t)

C2

m2

p2(t), u2(t>f

ks

k3

~

m3

Figura li.li. Sistema smorzato a tre gradi di libertà,

T

P3(t), U3(t)

552 b) Verificare che le matrici di massa m , di smorzamellto e e di rigidezza k ammettono le rappresent,izioni:

c) Ricavare }a risposta in regime stazionario nell'~ootesi di:

k 1 = k2

= k3 = k,

k4

= k5

=,

O

= C2 = C3 = 0 p 1(t) = O, p 2 (t) = p 3 (t) = P0 coswt Cl

Eserdzio 11.7 Eseguire l'analisi dimensionale di tutte le grandezze che inten,engono nell'esempio I 1.3.

Esercizio 11.8 Nel testo scritto in corpo ridotto alla fine del par. 11. 7.4, esprimere le (1) - (3) in termini dell'autovettore

(l) nonnalizzato sulla massa modale unitaria M,

=

l.

Esercizio 11.9 Verificare che lo spostamento e la velocità iniziali (11. 7.39) e (Il. 7.40) in coordinate modali possono esprimersi nella forma

11, (

( I)

O) =

v,; Mmu(O) , T

ove l'autovtittore

t/J,

11,( O) ,=

V';

:ù(

O)

r

è nonnalizzato sulla mass1.1 modale unitaàa M,

= I.

553

Esercizio Il.IO Nel caso di strutture debolmente smorzate o di smorzamento proporzionale, le equazioni differenziali del moto possono scriversi nella forma (11.5.31), qui di seguito riscritte per comodità: ( I)

per r = I, 2, ... , N. a) Impiegando i risultati dei sistemi ad un sol grado di libertà, mostrare che la spluzione generale della (1) assume l'aspetto T/r(t)

(2)

I =--:;Dr

1t

Gr(r)e-v,w,(t-r) senwD,(t - r)dr+

O

+e-v,w,t [ TJ(O)cosw t+ iJ(O)+vwTJ(O) r r rr senw t ] r & W & Dr

essendo T/r( O) lo spostamento iniziale e iir( O) la velocità iniziale dell'oscillatore r -esimo, mentre

( 3)

w Dr = wr( I -

11r2 ) 1/ 2

denota la pulsazione smorzata r -esima. /J) Scrivere l'espressione dell'angolo di fase associato all'oscillatore r -esimo.

12

Sistemi generalizzati a più gradi di libertà

«Quelli che s 'innamoran di pratica senza scienza son come 'l nocchiere ch'entra in navi/io senza timone o bussola, che mai ha la certezza dove si vada». LEONARDO DA VINCI

(1452-1519)

12.1. METODO DEI COEFFICIENTI DI INFLUENZA 12.1.1. Premessa L'equazione del moto di un sistema può essere ottenuta attraverso due formulazioni: quella delle rigidezze e quella delle flessibilità. Nel primo caso, le equazioni di equilibrio sono espresse in termini di coefficienti di rigidezza, nel secondo caso in termini di coefficienti di flessibilità. Nei paragrafi seguenti verranno determinati i coefficienti di flessibilità, raccolti nella matrice di flessibilità. Inoltre, ci si soffermerà ulteriormente sulla matrice di rigidezza, già trattata nei capitoli precedenti. 12.1.2. Matrice di flessibilità e teorema di Maxwell Per illustrare il concetto di matrice di flessibilità, si consideri la struttura di fig. 12.1.a sottoposta all'azione dei tre carichi concentrati F 1 , F2 e F3 , applicati nelle sezioni l, 2, 3, nell'ordine. La deformata elastica prodotta dalla sollecitazione esterna presenta gli spostamenti v 1 , v 2 , v 3 in corrispondenza dei carichi F 1 , F2 , F3 , rispettivamente. Il moto della struttura può essere descritto mediante l'insieme delle coordinate (12. I.I)

Poiché si suppone la validità del principio di sovrapposizione degli effetti, gli spostamenti in parola v 1 , v 2 , v 3 possono valutarsi con riferimento agli schemi di figg. 12.1.b-d. In fig. 12.1.b agisce il carico F1 = I nella sezione I e gli abbassamenti nelle sezioni I, 2, 3 sono indicati con 811 ,8 21 ,831 . Nellefigg. 12.1.c,d,sonoapplicatiicarichi F 2 = I e F 3 = I, rispettivamente nelle sezioni 2 e 3. In generale, nelle figure si è indicato con 8ii lo spostamento nella sezione i, prodotto dal carico F1 = 1 applicato nella sezione j.

556

a)

b)

e)

Figura 12.1. Illustrazione dei coeffkienti di flessibilità ò;1

ti

degli schemi per l'applicazione del

principio di sovrapposizione degli effetti.

Pc!r il principio di sovrapposizione degli effetti, si può scrivere Vi=

(12.1.2)

811F, + 012F:i + 013F3

v2

= 621 F1 + 822 F 2 + 813 F3

V3

= 031F, + 032F? + 033F3

Se si applica il teorema di Betti alle forze e agli spostamenti dei sistemi di figg. 12.1.b, c, si ha (ad esempio, per F1 = F1 = l) :

( 12. l.3) In generale, dall'uguaglianza dei lavori mutui valutati sulle coppie di schemi di figg. 12.1.b-d si ricavano, oltre alla ( l 2.1.3), le due restanti uguaglianze

( 12. l.4)

557

In maniera sintetica, si può scrivere (12.1.5) L'uguaglianza (12.1.5) costituisce il teorema di Maxwell. Le relazioni ( 12.1.2) possono scriversi nella forma matriciale

(12 .1.6)

La matrice ( 3 x 3) che appare nella (12.1.6) prende il nome di matrice di flessibilità, oppure matrice di cedibilità. Se si introduce la notazione sintetica per i vettori algebrici

( 12 .1.7)

-V= V=

r:11 2

,

-F =

F

rFFI2

=

F3

V3

l

delle componenti di spostamento v 1 , v2 , v 3 e dei carichi esterni F1 , F 2 , F3 e per la matrice di cedibilità o di flessibilità

(12 .1.8)

la (12.1.6) ammette la rappresentazione v = 6F

(12.1.9)

1'. =

oppure

6F

Per la (12.1.5) la matrice di cedibilità è simmetrica. La prima colonna della matrice di cedibilità si deduce dalle (12.1.6) ponendo F1 = 1, F 2 = F3 = O. Essa ha come elementi gli spostamenti illustrati nello schema di fig. 12.1.b. Gli elementi della matrice di flessibilità, che a volte si indica anche con fi_- 1 , oppure con k - 1 , prendono il nome di coeflìcienti elastici, detti anche coeflìcienti di flessibilità o coeflìcienti di cedibilità. Nel caso di N carichi concentrati, si può scrivere VI

611

612

ÒIN

F1

V2

621

622

1611 - m2i>1612 - m3ii361:1

(2)

v2

= -mi ii1 621 - m2 ii2 622 - m3 ii3 623

V3

= -m1i>1631

- m2ii2632 - m3v3ò3i

Tene:ndo conto dei valori (12.3.14) dei coefficienti di inlluenza, le (2) ammettono la rappresentazione

-o

·· + Il m2V2 ·.. + 7 m3V3 .. ) + 12 EJ Vi = O (9 m1V1 ( 3)

(llm 1v 1 + 16m 2 v 2

+

llmiv 3 )

+ l~~J 12EI

(7m 1v1 + llm 2 v2 + 9m 3 v3 ) + - 0

v3

v2

=O

=O

Esercizio U.S

Impiega.rido il metodo dei coefficienti di influenza, d'etennina.m le equazioni differenziali del moto per il sistema di lig. 12.24, supponendo la tra1ve priva di peso e di rigidezza E I = costante.

611

f, I m1

~

L

+

m2

m3

•

L

+

L

+

6

L

+

+

Figura 12.24. Sistema discreto a tre gradi di libertà.

Suggerimento Seguire il procedimento dell'esercizio 12.4 considerando, ad esempio, il carico associato alla massa m 1 :

Esercizio 12.6

Calcolare le frequenze proprie del sistema di fig. 12.24, considerando uguali le tre-fflasse concentrate m 1 = m 2 = m 3 = m. Esercizio 12.7

A

B

~ +

I

I

1

2

L

L

+

+

~ L

3 L

+

+

Figura 12.25. Sistema discreto a tre gradi di libertà.

Determinare la matrice di flessibilità della struttura di .ig. 12.25, supponendo co:1centrate le masse nelle sezioni 1, 2 e 3. Esercizio 12.8

Scrivere la matrice di rigidezza per la struttura di .ig. 12.25, raccogliendo i risultati del par. 12.5.

612

Esercizio 12.9

Moltiplic.ue le matrici di flessibilità e di rigidezza degli esercizi 12. 7 e 12.8, nell'ordine. Cosa si può dire del risultato?

Eserc:izio 12.10

Assumendo lo spostamento v 1 e le rotazioni cp;, cp 2 , 10 3 illustrate in fìg. 12.26, verificare che I.1 relazione tra le forze nodali F 1 , ..f6 1 , J/6 2 . ..f6 3 e gli spostamenti nodali corrispondenti (lìg. 12.27.a) ammette la rappresentazione

24 El

Fi

R,3

6EI

j,{I

·7

J/62

·7

( I) ..,/6 3

6EI

6EI R,2

6EI

6EI

6EI

T

T

T

8EI

2EI

R.

R.

2EI

R.

o

Figura 12.26. Deformata elastica dd telaio piano.

VI

o