Fondamenti della geometria. Con i supplementi di Paul Bernays

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Citation preview

Titolo dell'opera qriginale

Grundlagen der Geometrie decima edizione

©

B.G. Teubner, Stutlgart, 1968 Traduzione dal tedesco di Pietro Canclta

Prima edizione italiana: febbraio 1970 Copyright by

©

Giangiacomo Feltrinelli Editore Milano

DAVID HILBERT

FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA CON I SUPPLEMENTI DI PAUL BERNAYS

Introduzione all'edizione italiana di Carlo Felice Manara

FELTRINELLI

Introduzione all'edizione italiana

l. La crisi della Geometria nel secolo XIX ed il problema dei fondamenti

della lkfatematica

l. Si può pensare che sia un ripetere un luogo comune l'osservare che la .Matematica durante il secolo XIX è passata attraverso una crisi che ha trasformato in modo radicale il StiO assetto. Tuttavia appare necessario ricordare questa circostanza quando ci si accinge a prendere in esame un' opera come i Grundlagen di D. Hilbert, che è ormai entrata tra i classici della lkfatematica. È inoltre abbastanza facile osservare che nella crisi della lkfa­ tematica, di cui abbiamo detto, la crisi della Geometria rappresenta un punto particolarmente delicato. Si potrebbe individuare infatti nella evoluzione della Geometria durante il secolo XIX una delle cause della "crisi dei fondamenti" di tutta la lkfatematica. Per spiegare meglio che cosa intendiamo dire quando parliamo di crisi della Geometria, vorremo osservare che dall'inizio del secolo XIX alla sua ! fine troviamo compiuto un cammino di pensiero che si può valutare come \ molto più importante del cammino percorso durante la evoluzione di tutti i .recoli precedenti. Per accennare soltanto alle tappe essenziali della evoluzione di cui stiamo parlando, potremo ricordare che la lettera di Gauss (a Bessel), nella quale 1:r!,1i diceva di essere in possesso di alcuni risultati di Geometria non-euclidea ( ma non di volerli pubblicare perchè temeva " . . . gli strilli dei beoti" è del 1829 ,. l'opera di G. Bo!Jai (pubblicata in appendice al libro del padre, W. Bo!Jai) l' del 1832; l'opera di N.I. Lobaéevskij è del 1829. La fondamentale IIIt:moria di B. Riemann, che impostava su basi del tutto nuove i fondamenti della Geometria, è del 1854 (e fu pubblicata dopo la sua morte nel 1868); ill/ille la interpretazione che E. Beltrami dà della Geometria non-euclidea dI'I piano su una superficie a curvatura costante è sostanzialmente del 1866, VII

e le memorie di A . Cayley sulla interpretazione proiettiva della Geometria non-euclidea sono degli anni 1859 e seguenti. Come è noto, queste interpreta­ zioni confermavano la non contraddittorietà della Geometria non-euclidea e quindi costringevano i matematici, anzi tutti gli uomini di scienza e di cultura, a guardare la Geometria sotto una luce del tutto nuova. Per comprendere appieno ciò che vogliamo dire vale la pena di osservare che, fino alla crisi di cui parliamo, la Geometria era stata considerata in certo senso come una scienza avente certi contenuti e certi oggetti. Essa espli­ cava il proprio rigore nell'enunciare esplicitamente come postulati (o assiomi che dir si vogliano) tutte le proposizioni che non dimostrava, e nel dimostrare rigorosamente in seguito tutte le altre proposizioni che enunciava sotto forma di teoremi. Tuttavia le proposizioni enunciate come "assiomi" erano consi­ derate come "evidenti," e come prese dalla osservazione della realtà esistente di uno "spazio geometrico" che si pensava costituisse l'oggetto della Geometria. La storia del famoso postulato che viene abitualmente chiamato ''postu­ lato delle parallele" di Euclide e dei tentativi della sua dimostrazione fa vedere che non esisteva il minimo dubbio sul fatto che esso enunciasse delle cose "vere". Si pensava che la realtà osservata, con la sua esistenza, si assumesse - per così dire - la responsabilità di garantire della non contradditorietà dei postulati e sulla possibile esistenza di contraddizione negli enunciati, anche di quelli pronunciati senza dimostrazione. Inoltre l'insieme delle proposizioni da enunciare sotto forma di postulali era pensato in certo modo come determinato dalla realtà e dalla sua evidenza e quindi non soggetto a scelte. Per dire il vero la storia mostra che, nei tentativi di dimostrazione del postulato euclideo delle parallele, vari autori avevano assunto certe proposi­ 'zioni (in modo più o meno esplicito e cosciente) come "più evidenti" del postu­ lato stesso ed avevano tentato di dimostrare quest'ultimo come teorema. Questo fatto tuttavia non aveva stimolato alcun ricercatore, prima del secolo XIX, a avanzare il dubbio che la scelta degli assiomi potesse, in certa misura al­ meno, essere libera e non determinata dalla "evidenza" di una realtà osservata. Questo dubbio non aveva forse neppure mai sfiorato i geometri che vissero prima del sec. XIX,. invece dovette essere preso necessariamente in conside­ razione quando la costruzione delle Geometrie non-euclidee e la dimostrazione della loro perfetta compatibilità logica posero il problema di precisare quale fosse l'aggancio con la realtà che è tipico della Geometria e quindi quale fosse la stabilità del fondamento di "evidenza" sul quale si era pensato fino ad allora di fondare tale scienza. VIII

Non vogliamo addentrarci ora nella analisi delle dimostrazioni di com­ patibilità, ma ci limitiamo ad osservare che alcune di esse presentano un aspetto molto interessante che è dato dalfatto che esse sono basate sulla costruzione di "modelli" immersi in un ambiente euclideo. Di conseguenza si potrebbe dire che la stessa Geometria euclidea, quando sia supposta valida, fornisce gli strumenti per dimostrare che essa non è la sola Geometria che si può costruire. 2. È immediato osservare che la crisi della Geometria, di cui abbiamo detto sommariamente, non si limitava a questa scienza, ma tendeva a coinvol­ gere tutta la Matematica, perchè poneva il problema di determinare che cosa fosse veramente l'oggetto di una teoria matematica e come questa dovesse essere considerata dal punto di vista epistemologico. Invero quello che veniva a cadere, con la crisi della Geometria, era il con­ cetto di un oggetto specifico di questa scienza, perchè ovviamente se esiste un oggetto ben determinato e se è possibile fare una scienza di esso, questa dcv! risultare coerente ,. se invece è possibile costruire delle teorie diverse e contraddi­ torie di un medesimo "oggetto" allora è legittimo il dubbio che tale oggetto non abbia una esistenza, almeno nella accezione comune del termine. Ora, se si mette in dubbio la esistenza di un oggetto della Geometria, viene a cadere di conseguenza la sicurezza che tale oggetto garantisca la in­ contradditorietà dei postulati che si assumono come iniziali per lo svolgimento della scienza; e viene anche a cadere la convinzione che l'insieme dei postulati sia - per così dire - determinato dalla evidenza della osservazione. La situazione di grave crisi nasceva quindi dalfatto che era assolutamente necessario assumere un nuovo atteggiamento nei riguardi della Geometria e che tale atteggiamento doveva necessariamente prendere le mosse dalla constatazione della impossibilità di mantenere la concezione classica. Tutti questi fatti ponevano dei problemi logici che trascendevano i pro­ blemi singoli della Geometria per investire, come abbiamo detto, tutta la problematica logica della Matematica in generale. 3. Prima di presentare la situazione come era verso lafine del sec. XIX, va ricordato che nel corso del secolo erano spuntati dei nuovi rami sul vetusto tronco della Geometria classica. Ci limitiamo a ricordare la Geometria proiet­ tiva, la quale, sorta per opera di]. V. Poncelet e di G.K. C. v. Staudt, per­ mise tra l'altro di impostare in maniera unitaria certi problemi che erano considerati della Geometria euclidea come separati e distanti} e permise di da­ re alle trattazioni geometriche un carattere di grande eleganza e generalità. Nascevano poi anche altre"Geometrie" e questa nascita poneva il proble­ ma della ricerca dei fondamenti e della specificazione dell'oggetto di queste scienze,. inoltre, veniva confermato il fatto che la Geometria euclidea non è IX

la unica possibile trattazione razionale delle esperienze spaziali dell'uomo. Vogliamo infine ricordare che un grande passo verso la analisi di questi problemi fu fatto da F. Klein con la famosa dissertazione (comunemente conosciuta fome "Programma di Erlangen") nella quale egli utilizzava certe strutture algebriche relativamente recenti (la teoria dei gruppi, intesa come teoria dei gruppi di trasformazioni) per dare una visione unitaria delle varie Geometrie che stavano nascendo dalla fantasia e dal raziocinio dei matematici. 4. Per considerare più davvicino la nuova concezione della Geometria, quale essa appare dalla trattazione dei Grundlagen, conviene forse fissare l 'attenzione sui procedimenti che hanno permesso ai geometri di dimostrare la compatibilità logica delle Geometrie non-euclide. Abbiamo infatti detto sopra che la Geometria euclidea può fornire dei modelli per garantire la com­ patibilità delle Geometrie non-euclidee. Avvertiamo che il termine "modello" viene preso qui nella accezione abituale, quale ci è fornita dal linguaggio comune ,. tuttavia anche senza aver precisato il termine in modo rigoroso, la nozione di"modello" richiede che si sia stabilito, in modo più o meno esplicito e preciso, il concetto di teoria come .ri$t§.!lJ.-Cf;!!..�:f.!!1,f'!:.t�j.2!!!;Zj/� ! �4ui'!4!. in particolare richiede che si sia acquisito t c l i{ , .gt !..C!. ttl.f. lft� iff::.t:!-�,S��lt{t,��qjP�!;f tj�q�de4f;1!�ivo. Infatti per gzùngere allanozione di modello occorre concepire le proposizioni di una teoria· come delle proposizioni del tutto"vuote" ed occorre consi­ derare i nomi degli enti che si presentano come dei puri"segna-posti", destinati soltanto a distinguere un ente dall'altro e a chiarirne le proprietà attraverso quel procedimento che viene chiamato di"definizione implicita". In tal modo la teoria è passibile di applicazione a diversi oggetti concreti, setJza specificarne alcuno. In particolare per giungere alla dimostrazione della compatibilità delle Geometrie non-euclidee è stato necessario ricorrere a dei" modelli " nei quali le parole"punto "," retta ","piano " ed altre (insomma le parole abituali della Geometria) avessero significati diversi da quelli abituali e si riferissero ad altri oggetti, diversi da quelli che la abitudine plurisecolare aveva consi­ derato come designati dalle parole stesse. Ne è scaturita sostanzialmente la verifica di una coerenza formale di certe teorie che prima si adattavano male ad essere interpretate dalla im­ maginazione abituale. Va tuttavia ricordato che questo procedimento (e quindi la implicita nozione di sistema puramente formale) era già stato elaborato in Geometria proiettiva, con quella che viene abitualmente indicata come" legge di dualità " ,. precisamente si era già osservato che le proposizioni della Geometria proiettiva

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conservano la loro validità quando si scambino tra loro, mediante opportune leggi che non stiamo a ripetere qui, certe parole che costituiscono gli enunciati dei teoremi e le loro dimostrazioni. In altri termini già la Geometria proiettiva aveva messo in evidenza il fatto che le parole con le quali si enuncia una teoria possono anche non designare univocamente oggetti determinati,. pertanto era diventata ovvia la osservazione che altra era la questione della verità degli enunciati (intesa nella accezione comune di rispondenza alla realtà esistente fuori di noi) altra la nozione di coerenza logica della teoria in sè. 5. In conseguenza della crisi logica ed epistemologica che abbIamo cercato di presentare brevemente, la Geometria viene oggi considerata in modo essen­ zialmente diverso da quello in cui era concepita secondo la impostazione clas­ sica, cioè viene concepita come sistema ipotetico-deduttivo. Secondo questa con­ cezione le proposizi011i iniziali (gli"assiomi ") non vengono più enunciate con la pretesa di chi siano assolutamente apodittiche e accettate in forza della loro evidenza,. perchè tale "evidenza " sarebbe fornita dalla osservazione della proprietà fondamentali di un certo ipotetico oggetto per es. " lo spazio geo­ metrico " che non può esistere (almeno come lo si pensava secondo le concezioni classiche), perchè ammetterebbe delle teorie contradditorie. Quindi gli assiomi sono enunciati semplicemente come" ipotesi " che servono a fondare la tratta­ zione successiva. La scelta di tali assiomi è, a rigore, arbitraria, salve certe condizioni fondamentali di cui diremo subito. Di fatto tuttavia, se si vuole che la teoria che si costruisce possa ancora con qualche legittimità chimarsi Geometria, cioè abbia una certa continuità storica con la teoria che durante i secoli è stata chiamata con questo nome, gli assiomi vengono suggeriti dalle esperienze che noi compiamo nello spazio e con gli enti estesi. Tuttavia è so­ pratutto importante che questi assiomi siano soltanto suggeriti dalla esperienza, non imposti dalla evidenza di questa come non refutabili. 6. Va tuttavia osservato che la concezione della Geometria come sistema ipotetico-deduttivo pone in essere il gravissimo problema di garantire la non contradditorietà delle proposizioni iniziali (assiomi), assunte come ipotesi di ragionamento, sulle quali si basa tutta la trattazione stlccessiva. La non esistenza infatti di una realtà oggettiva che imponga con la sua evidenza i contenuti delle proposizioni iniziali toglie la garanzia di coerenza interna di queste proposizioni,. rimane quindi il dubbio fondamentale che queste proposizioni, anche se visibilmente non contengono contraddizioni palesi, siano però tali da dar luogo a contraddizioni quando se ne deducano delle conseguenze in numero adeguato. È questa, per esempio la posizione presa da G. Saccheri S. J. il qua­ le, volendo dimostrare la validità del postulato euclideo della parallela,

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procedette per assurdo, supponendo valida la negazione del postulato stesso e procedendo poi alla deduzione di tante conseguenze quante a suo parere basta­ vano per giungere ad una conclusione che egli considerava come assurda. In altro campo, ma con lo stesso spirito, anche le dimostrazioni della compatibi­ lità logica delle Geometrie non-euclidee sono state conseguite con la costruzione di" modelli" di tali Geometrie, come si è detto ripetutamente; in altre pa­ role si è escogitata, nell'universo della Matematica, una" realtà" che potesse " riemPire" le teorie costruite e pertanto garantisse, con la sola ostensione del fatto, la compatibilità delle teorie stesse. Si deve subito osservare che con questa operazione il problema viene sol­ tanto spostato e che il procedimento non può essere ripetuto indefinitamente ; si è quindi condotti ad un certo momento a domandarsi di garantire la validità di ogni ragionamento della Matematica e la fondatezza delle basi stesse di questa scienza. 7. 11 nuovo modo di concepire la Geometria, come sistema ipotetico­ deduttivo, conduce necessariamente con sè anche un nuovo modo di considerare la definizione degli oggetti della Geometria. A questo proposito può essere molto interessante il confronto tra le proposizioni con le quali iniziano gli Elementi di Euclide e i Grundlagen di D. Hilbert; questo confronto dà /'idea della distanza che intercede tra le due trattazioni ed i due modi di con­ cePire la Geometria. Come è noto, gli Elementi di Euclide, iniziano con la famosa frase: " II punto è ciò che non ha parte". L'analisi del significato di questa frase ha dato luogo a discussioni che sono iniziate fino dall' epoca della Geometria greca; tuttavia molti sono stati coloro che hanno considerato questa frase come una definizione del punto, in linea con il canone classico che voleva che si defi­ nisse all'inizio di una teoria l'oggetto della teoria stessa. La trattazione di D. Hilbert inizia con la ben nota " spiegazione" che dice: " Consideriamo tre sistemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema . . . ecc. ". È evidente che in questa impostazione si rinuncia del tutto a precisare la natura delle cose che si prendono in considerazione; o meglio ancora, si ri­ nuncia a precisare tale natura all'inizio del discorso; essa viene precisata, ma non univocafl,ente, dagli assiomi che vengono enunciati e non dai nomi che ven­ gono dati alle cose nè da un richiamo alla esperienza ad alla realtà esteriore. A ben guardare questo atteggiamento si tiene anche quando si inventa un gioco, per es. un gioco di carte; invero in questo caso la" vera natura" delle carte viene precisata dalle regole di gioco, più che dalle figure stampate sulle carte stesse: è evidente infatti che la carta segnata Q è diversa a seconda che XII

si giochi per es. a bridge piuttosto che a poker,' la sua "vera " natura è precisata dalle regole del gioco che si vuole giocare ,. la sua definizione quindi è data implicitamente dalla enunciazione delle regole del gioco e non da una frase che ne precisi la natura "per genus et differentiam " come volevano le regole della logica classica. In questo ordine di idee quindi quell'ente chiamato" retta " dalla Geo­ metria euclidea non è lo stesso ente che viene chiamato con lo stesso nome dalla Geometria non-euclidea e ciò per la semplice ragione che gli assiomi dell'una sono diversi dagli assiomi dell'altra Geometria,. e sono precisamente gli assiolfJ; che ci dànno le " regole del gioco " con qttesti " enti " che chiamiamo con i nomi della geometria classica. Tali assiomi dànno la definizione implicita degli enti che trattiamo, così come le regole del gioco delle carte dànno di volta in volta la definizione implicita delle carte che si usano nel gioco. 8. A questo punto si presenta spontaneamente il problema del valore di conoscenza che può avere una teoria la quale - come la Geometria nell'aspetto secondo cui la presentiamo qui - si pone come "gioco " logico, alla stregua di un divertimento fatto con le carte o con gli scacchi. A questo proposito va detto che accanto a un aspetto di " gioco " o di sistema ipotetico-deduttivo di cui abbiamo parlato, la Geometria ha anche l'aspetto di teoria scientifica per la conoscenza della realtà fisica,. in questo senso abbiamo detto poco sopra che gli assiomi si accettano come assiomi geo­ metrici in quanto suggeriti dalle osservazioni che noi facciamo sull'universo che circonda. Tuttavia non si accettano tali assiomi come imposti dalla realtà con una sua" evidenza," nè si pretende con le proposizioni enunciate di esaurire tutta la possibile conoscenza della realtà fisica. In questo ordine di idee quindi la Geometria si presenta come" Primo capitolo della fisica ", secondo una arguta definizione. Ma sotto questo secondo aspetto, pur avendo un indubbio valore conoscitivo, essa è sottoposta a tutte le limitazioni che hanno le teorie fisiche: in particolare ed in primo luogo i suoi concetti sono tali da rendere la realtà soltanto in misura necessariamente approssimate. Per fare un esempio e per fissare le idee possiamo ricordare che, come è chiaro anche dalla etimologia della parola" Geometria ", questa dottrina può servire per descrivere e per inquadrare logicamente le nostre esperienze che rigtlardano per es. la figura della Terra. Ma in questo campo avviene per es. che nell'ordine di approssimazione di qualche km quadrato e per i fini della Topografia, la superficie terrestre venga descritta mediante lo schema astratto della figura geometrica che viene chiamata"piano " mentre è ben nota che la superficie della Terra non è aPPlicabile sul piano. Eppure nesstlno trae scanXIII

dalo dal fatto che si usino delle " carte topografiche " ,. queste sono ovviamente errate, nel senso che non rendono tutta la realtà che vogliono rappresentare (nella fattispecie una parte della superficie terrestre) ma sono sufficientemente approssimate per l'uso che se ne vuole fare, perchè gli errori che si commettono sono ampiamente trascurabili. 9. Ciò che abbiamo detto fin qui non vuole avere come conseguenza la estromissione della Geometria dal novero delle scienze, per relegarla definiti­ vamente nel paese dei giochi e delle fantasticherie,. il nostro discorso invece vuole dare alla Geometria il posto che le spetta, sottraendole quel falso carat­ tere di certezza e chiarezza che alcuni ancora le attribuiscono. Infatti la certezza conseguita " more geometrico " è semplicemente rigore di deduzione dalle proposizioni primitive, e non vuole in alcun modo essere certezza inconfutabile nei riguardi della realtà fisica. Vogliamo infine osservare che la caratteristica della Geometria come si­ stema formale ipotetico-deduttivo, ha dato la spinta alla analisi di tutte le implicazioni che derivano dalle possibili scelte di assiomi, scelte divenute con­ sapevolmente arbitrarie, anche se sottoposte alla garanzia di incottradditorietà. Questa analisi ha portato alla costruzione di quelle che vengono chiamate le " Geometrie-non " . Questi sistemi teorici, che in senso lato vengono chiamati " Geometrie " sono stati costruiti negando qualcuna delle proposizioni iniziali della Geo­ metria euclidea oppure della Geometria proiettiva classica. Abbiamo cos} le Geometrie non archimedee, le Geometrie non pascaliane, le Geometrie non arguesiane, le Geometrie finite e cos} via. Occorre rilevare che queste costruzioni non hanno affatto il carattere di puro " divertimento " logico che qualcuno potrebbe attribuire loro, in base ad una impressione superficiale ed ad una analisi affrettata. Invero da una parte esse costituiscono uno degli aspetti della analisi logica della Geometria, mettendo in evidenza fino al fondo le conseguenze che si pos­ sono trarre dalla ammissione o dalla negazione di certe premesse e la equiva­ lenza logica di alcuni enunciati che appaiono distanti tra loro. D'altra parte il loro studio ha costituito uno stimolo importante per mettere in evidenza quella stretta interdipendenza tra la Geometria (o meglio le varie Geometrie) e le strutture algebriche che è una delle basi della impostazione attuale della Matematica e che era stata intuita da F. Klein. È questo un ulteriore esempio delfatto che la Geometria, anche se appare smembrata come dottrina (quando sia vista con i canoni euclidei), anche se appare a qualcuno destituita dal suo trono di scienza inconfutabile e assolu­ tamente certa (quando sia vista con i canoni di un ingenuo fisicismo geoXIV

metrizzante) è tuttavia in grado di fornire preziose idee alle altre scienze. Ritorneremo su questo argomento nella terza parte di questa presenta­ zione ,. ci basti qui ricordare che la crisi della Geometria ha preceduto ed ori­ ginato la crisi di una certa mentalità, che si potrebbe chiamare euclideo­ newtoniana, la quale nutriva (in modo più o meno cosciente) la ingenua pretesa di rendere tutta la realtà con la massima precisione : oggi il fisico non pre­ tende di dare valore assoluto alle sue teorie, ma le adotta in quanto adeguate a rendere certi aspetti della realtà e le riforma o le abbandona senza rimpianti quando gli appaiono inadeguate per rendere la massa dei risultati sperimentali. Non si pretende più che la scienza si amplii crescendo soltanto di mole e conservando indefinitamente la propria struttura, cosi come non si pretende più che la Geometria sia semplicemente una deduzione indefinita da certi assiomi - quelli di Euclide - che si pongono come verità inconfutabili. La evoluzione della scienza ci appare oggi come molto più plastica e molto più umile. E se anche questa sola fosse la lezione che la Geometria ha dato alla scienza, ciò basterebbe, a parere di chi scrive, per conferirle un ruolo la cui importanza non sarà mai sujjicientemente valutata.

II. Il programma hilbertiano e i fondamenti della Geometria

1. Nella crisi della Matematica, che abbiamo poco sopra brevemente descritta, ed in particolare nella crisi della Geometria, l'opera e la figura di Hilbert si pongono con un rilievo particolare, a causa della statura dell'uomo, tanto come matematico che come logico. Non stiamo qui a spendere parole per ricordare la fg i ura come matematico e le sue ricerche di Analisi matematica, di Algebra e di Teoria dei numeri. Vorremmo invece soffermarci sulla sua figura di logico matematico perchè ad essa è strettamente collegata l'opera dei Grundlagen e la impostazione di essi. Abbiamo visto prima che la crisi della Geometria ed in generale della Matematica del secolo XIX aveva posto dei gravissimi problemi di logica. Non a caso fiorisce proprio all'inizio del sec. XX l'opera di grandi mate­ matici (G. Peano, G. Frege) i quali sondano i fondamenti della Aritmetica e cercano di stabilire la Matematica su basi inconfutabili,. non a caso troviamo che questi grandi ricercatori costruiscono linguaggi simbolici, per evitare i tra­ nelli del linguaggio comune e per ottenere il massimo rigore nelle dimostrazioni e nelle deduzioni. Pertanto non vi è da stupirsi se la via percorsa da Hilbert xv

come logico matematico passa anch' essa dallo studio di un linguaggio simbolico, che oggi è usato ancora largamente. 2. Come vedremo, la garanzia della compatibilità logica dei postulati di un certo gruppo è data da Hilbert ogni volta costruendo dei modelli, presi da altri rami della Matematica. Ma abbiamo già osservato che, così facendo, si ottiene un procedimento che rimanda, per così dire, la responsabilità di ga­ rantire la compatibilità dei postulati della Geometria alla constatazione della compatibilità logica dei fondamenti e dei procedimenti dell'Algebra e del­ l'Aritmetica. Abbiamo anche detto che ovviamente non si può istituire un procedimento infinito, su queste basi: occorre quindi ad un certo punto fer­ marsi e cercare un punto di appoggio. È pure noto che nella loro maggior parte i procedimenti dell' Analisi matematica (per es. quelli che rendono rigo­ roso il concetto di " continuo geometrico ") fanno uso di insiemi infiniti e di procedimenti infiniti,. questi concetti e questi procedimenti vennero sottoposti a critica e pertanto la struttura della Analisi matematica classica, che su di essi si basava, venne contestata. Da questa problematica, riguardante i fondamenti dell'Aritmetica e del­ l'Analisi matematica, nacque il programma hilbertiano di costruzione di una " Beweistheorie " (o " Teoria della dimostrazione ") ; benchè sia presuntuoso cercare in poche righe di dare un'idea di ciò che si intende indicare con questa espressione, diremo, in poche parole ed in termini grossolani, che si trattava di costruire un sistema di procedimenti logici che giustificassero i procedimenti matematici classici e che fossero atti a farsi giustificare, da parte loro, con procedimenti finiti, assolutamente al riparo da ogni critica : invero ogni pro­ cedimento logico che possa provare la propria compatibilità con un numero finito e concretamente eseguibile di esperimenti concreti poteva venire accettato e considerarsi al disopra delle critiche allora avanzate dai matematici e dai logici. Si trattava, in altre parole, di costruire una I1Jetamatematica, cioè una metateoria che avesse come oggetto la Matematica ed i suoi procedimenti e che procedesse da parte sua in modo assolutamente inattaccabile. È noto che il progetto di costruzione di una " Beweistheorie," formava gran parte del programma di Hilbert sulla ricerca dei fondamenti della Ma­ tematica, fu vanificato da K. Godei con la dimostrazione di un classico Teo­ rema. Rimane tuttavia il fatto che la scuola hilbertiana di logica si sviluppò rigogliosa e che prima di lasciar cadere il programma della" Be2/Jeistheorie " ebbe modo di dare frutti copiosi. 3. Prima di iniziare l'analisi dei Fondamenti vale la pena di fare qualche altra breve osservazione che ha qualche attinenza con la genesi psicolo­ gica dei concetti della Geometria. È stato infatti osservato che la Geometria XVI

euclidea, da questo punto di vista, presenta un aspetto quanto mai composito, perchè utilizza, senza alcuna graduazione e senza distinzione, delle idee che nascono da esperienze concrete le quali hanno un contenuto psicologico talvolta molto distante tra loro. Invero già a proposito della Geometria proiettiva (che da uno dei suoi fondatori, e precisamente da G.K.C. v. Staudt era stata chiamata " Geo­ metrie der Lage," cioè " Geometria di posizione") era stato osservato che vi sono dei concetti geometrici (tipici i concetti di appartenenza che fondano almeno in parte la Geometria proiettiva), che possono essere fatti risalire a sensazioni di tipo visivo (benchè ovviamente idealizzate con una ulteriore elaborazione fantastica). Altri concetti invece, come quelli di uguaglianza, traggono la loro origine da sensazioni molto composite, che ci provengono dal­ le esperienze sul trasporto dei corpi rigidi o meglio di quei corpi che sotto lo sforzo muscolare da noi effettuato non cambiano sensibilmente di forma e di dimensione e che pertanto portano alla elaborazione delle idea di" corpo ri­ gido ", sulla quale lavora poi la Meccanica razionale. Forse una traccia di queste osservazioni e di altre analisi può essere tro­ vata nella suddivisione che Hilbert fa dei suoi assiomi in 5 gruppi, proce­ dendo da quegli assiomi i quali riguardano delle idee che nascono da sensazioni visive e che quindi potrebbero essere atti a costruire la Geometria proiettiva, alle idee che nascono da sensazioni più composite, che nascono da esperienze di trasporto e che quindi conducono a quella che viene abitualmente chiamata Geometria elementare ovvero Geometria metrica. In sintesi, si potrebbe dire che nella presentazione dei fondamenti della Geometria Hilbert sceglie una strada che è quella che si discosta il meno possi­ bile dalla trattazione classica, pur tenendo conto dello stato della critica ai suoi tempi. La sua aderenza alla trattazione euclidea, insieme con l'uso del linguaggio comune nella esposizione e nelle deduzioni, distingue quindi la sua trattazione da quelle della scuola italiana (ricordiamo quelle di G. Pieri e di B. Levi) che in certo senso si potrebbero giudicare superiori come semplicità, eleganza e rigore formale. E questa circostanza è forse una delle ragioni che giustificano la diffusione e la" classicità" ormai accettata, dell'opera hilbertiana. 4. Gli assiomi delprimo gruppo vengono da Hilbert chiamati " Assiomi di collegamento " ; ad essi Hilbert premette quella"Spiegazione" di cui ab­ biamo già parlato, che in sostanza stabilisce esplicitamente la rinuncia a dare la definizione degli enti, nel senso classico, ed invece imposta la definizione impli­ cita degli enti stessi, per mezzo degli assiomi che verranno enunciati in seguito. Gli otto assiomi di collegamento caratterizzano sostanzialmente la rela2

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zione di appartenenza di punti, rette e piani nello spazio trimimensionale. La loro compatibilità è garantita dalla constatazione del fatto che questi assiomi possono trovare la loro interpretazione in un modello costruito me­ diante elementi di un campo numerico (per es. il campo razionale). Come abbiamo già ripetutamente osservato, abbiamo qui non una soluzione del pro­ blema, ma semplicemente un rimando, uno "scaricamento" del problema stesso sulla compatibilità degli assiomi che fondano l'Algebra e l'Analisi ed in definitiva l'Aritmetica. Gli assiomi del secondo gruppo vengono da Hilbert chiamati" Assiomi di ordinamento ". Sostanzialmente mediante questi assiomi si dà la definizione implicita della relazione che collega un punto che sta su una retta"fra" altri due. Dalla enunciazione di questi assiomi Hilbert deduce anche il fatto che su una retta ci sono infiniti punti e esclude così della sua costruzione il caso delle cosiddette " Geometrie finite ". Si collegano poi, mediante un opportuno assioma, le proprietà della retta e le proprietà del triangolo,. si ottiene così anche la trattazione delle proprietà conseguenti la divisione del piano in due semipiani mediante una retta, e dello spazio in due semispazi mediante un piano. Gli assiomi del terzo gruppo vengono chiamati" Assiomi di congruenza" ; viene caratterizzata anzitutto la congruenza tra coppie di segmenti, poi la congruenza tra coppie di angoli,. infine viene dato un assioma che collega la congruenza tra segmenti e quella tra angoli, il che permette sostanzialmente di costruire quella parte della Geometria elementare abituale che si riferisce ai cosiddetti" criteri di uguaglianza dei triangoli ", agli angoli retti, alla deter­ minazione del punto medio di un segmento, alla costruzione della bisettrice (interna) di un angolo ed alle conseguenze di queste costruzioni. Il quarto gruppo di assiomi è costituito dall'unico assioma euclideo delle parallele. fl quinto gruppo di assiomi contiene i due assiomi quello detto" di Ar­ chimede" e quello della continuità. Come è noto l'assioma di Archimede deve necessariamente essere enunciato se si vuole mantenere validità a molte dimostrazioni fondamentali della Geo­ metria elementare, ed Hilbert dedicherà un capitolo apposito (il TV) alla analisi del ruolo che l'assioma stesso ha nelle dimostrazioni riguardanti la equivalenza di poligoni e quindi la possibilità di definire il concetto di" area" di una figura piana. L'assioma di continuità viene da Hilbert enunciato in una forma che può essere considerata come inconsueta per il lettore italiano. XVIII

Invero nella trattatistica italiana abituale il concetto di continuità viene presentato fa,"endo ricorso ad uno dei due classici enunciati, di G. Cantor o di F. Dedekind. È pure noto che mentre la proposizione di Dedekind per­ mette di dimostrare la proposizione di Archimede e quindi di presentarla non più come assioma ma come teorema, la proposizione di Cantor permette di dedurre la proposizione di Dedekind soltanto quando sia stato enunciato anche l'assioma di Archimede. Abbiamo detto che l'assioma di continuità è enunciato da Hilbert in forma in certo modo inconsueta, perchè egli enuncia la non ampliabilità del­ l'insieme di elementi (punti) della retta, che soddisfano a certi assiomi prece­ dentemente enunciati. Per comprendere il significato di questo enunciato, e ricondurlo a quelli più abituali per il lettore italiano, basta pensare che la costruzione dei numeri reali, per esempio, mediante classi contigue o mediante successioni di Cauchy, o mediante partizione della retta razionale, conduce ad un effettivo amplia­ mento del campo dei numeri razionali, ampliamento che non è più conseguibile con gli stessi mezzi quando invece di partire da numeri razionali si parta in­ vece da numeri reali: sussiste infatti il teorema che afferma per es. che una successione di Cauchy di numeri reali ha sempre un limite (reale) oppure che, considerata una partizione del campo reale, una delle due classi ed una sola della partizione ha un massimo (oppure rispettivamente un minimo) e l'altra ha un estremo inferiore (oppure, rispettivamente un estremo superiore). Alla enunCiazione degli assiomi nei vari gruppi ed alla deduzione delle prime conseguenze Hilbert fa seguire la constatazione della compatibilità degli assiomi stessi e della indipendenza degli assiomi di ciascun gruppo da quelli dei gruppi precedenti. La tecnica con la qua�e questa dimostrazione viene conseguita è quella di cui abbiamo già detto, cioè si riduce alla constatazione della esistenza di modelli, costruiti facendo ricorso ad elementi presi da altri campi della Ma­ tematica. Precisamente quando si sia costruito un modello che soddisfa agli assiomi di un certo gruppo e non a quelli dei gruppi successivi si è constatata la compatibilità degli assiomi del primo e la indipendenza dei successivi da quelli precedenti. Rinunciamo ad analizzare partitamente tutti i capitoli dell' opera,. ri­ cordiamo soltanto, come particolarmente interessante, la analisi che Hilbert fa dei " calcoli" di segmenti, che egli costruisce ammettendo o non ammet­ tendo la validità dei teoremi che vengono chiamati di Pascal o di Desargues,. e la analisi delle strutture algebriche che ne scaturisce come conseguenza. Ricordiamo anche che le successive edizioni dell'opera sono state arricchite XIX

da varie appendici e complementi che sostanzialmente rientrano nel programma hilbertiano di costruzione della " Beweistheorie " di cui abbiamo parlato. Tuttavia, come abbiamo già osservato la esposizione di Hilbert viene data in modo non formalizzato; in altre parole per la presentazione dei con­ cetti viene usato il linguaggio comune e viene presupposta la logica comune (chiamiamola per intenderci " logica classica ") ; non è dato quindi un sistema di notazioni formali, nè è enunciato un sistema di assiomi logici e di regole di inferenza secondo i canoni della logica matematica moderna. In breve le que­ stioni logiche sottostanti sono soltanto sfiorate, anche se, come abbiamo cercato di mostrare, restano nello sfondo e costituiscono sostanzialmente la motiva­ zione di tutta l'opera.

III. La visione moderna della Geometria nell'ambito del pensiero mate­ matico l. Abbiamo detto che i " Fondamenti " di Hilbert si presentano come un' opera ormai classica, nella quale l'Autore ha trovato modo di con­ ciliare i dati della critica con una trattazione della Geometria elementare che si discostasse di poco dalla linea classica euclidea. Abbiamo tuttavia anche osservato che i " Fondamenti " non sono total­ mente formalizzati: in essi viene usato il linguaggio comune e viene applicata la logica abituale, senza precisazione di leggi di inferenza e di assiomi logici; infine viene presupposto tutto un patrimonio di conoscenze matematiche per le dimostrazioni di indipendenza e di compatibilità degli assiomi. Tuttavia l'opera non si riduce alla ricostruzione degli " Elementi " di Euclide secondo i canoni della critica recente: nei capitoli nei quali presenta le cosiddette " Geometrie-non " Hilbert inizia in certo senso una corrente di pensiero e di ricerca che stabilisce un interessante parallelo tra le strutture algebriche e le varie Geometrie. In questo senso si potrebbe dire che l'opera di Hilbert chiude una certa epoca della storia della Geometria e ne inizia un'altra, che conduce sostanzial­ mente alla Geometria di oggi. È ben noto che, secondo certe correnti di pensiero, la Geometria come scienza deve essere considerata morta. Non si può dare torto a chi pronuncia condanne di questo genere, se si intende la Geometria nel senso in cui era intesa dai classici; ma questa Geometria - potremmo dire - è già morta di morte naturale con la crisi che abbiamo descritta. E se fosse ancora in vita, mori­ rebbe certamente, a causa di tutte le estensioni che il vocabolo " Geometria " xx

ha avuto negli ultimi decenni. Invero abbiamo avuto una Geometria degli iper­ spazi, che ovviamente era basata su estensioni formali di linguaggio, ma senza la pretesa di rendere una certa realtà fisica esistente ,. abbiamo avuto una Geo­ metria algebrica, che era sostanzialmente una traduzione con linguaggio geo­ metrico delle proprietà di certe funzioni di variabile complessa. I cultori delle Geometria algebrica tuttavia, avvertivano esplicitamente che il linguaggio geo­ metrico era soltanto un pretesto per rendere in forma intuitiva le proprietà di cui parlavano, ma che tale modo di esprimersi costituiva anche un fortissimo aiuto per la scoperta delle proprietà e per la loro visualizzazione. Analoghe con­ siderazioni si potrebbero fare a proposito delle varie" Geometrie-non ". Vo­ lendo sintetizzare ciò che abbiamo detto fin qui in forma abbastanza pittoresca, si potrebbe dire che la Geometria è morta quando sono nate " le Geometrie ". 2. Vorremmo tuttavia osservare come oggi appaia chiaro che la Geo­ metria euclidea classica fosse in stretto parallelismo con la struttura algebrica del campo reale. In questo ordine di idee quindi si potrebbe dire che lo studio di strutture algebriche diverse ha segnato in certo senso la morte della Geo­ metria tradizionale, ma ha dato luogo alla nascita di altre specie di Geometrie. In questo senso anche l'opera di Hilbert, con il mettere in evidenza lo stretto collegamento tra la scelta degli assiomi delle Geometrie e le strutture algebriche che ne conseguono, e con il mettere in evidenza le caratteristiche alge­ briche dei" calcoli " di segmenti che scaturiscono dalle" Geometrie-non " ha un sapore di grande modernità,. essa infatti costituisce un ulteriore passo sulla strada che porta ad abbandonare la vecchia concezione della Geometria fon­ data su esperienze traducibili con le strutture del campo reale, per fondare direttamente sulle strutture algebriche il processo logico che costruisce la Geometria. 3. La Matematica di oggi ha visto lo sviluppo di due grandi rami, l'uno classico e l'altro relativamente nuovo ,. vogliamo parlare dell'Algebra e della Topologia. Per quanto riguarda quest'ultima, essa ha avocato a sè lo studio del con­ cetto di continuità, che era considerato una volta campo della Geometria, ed ha conferito a questo studio una grande generalità, una estrema eleganza formale. Il linguaggio adoperato da questa dottrina è ancora geometrico : si parla di" spazi " e di"punti ", ma ovviamente il riferimmto agli enti studiati una volta dalla Geometria è puramente verbale : i "punti " di uno spazio topologico possono essere per esempio delle funzioni, e per quanto riguarda il concetto di" continuità " esso ha perso il necessario riferimento al fatto della " vicinanza " spaziale che faceva appello alla intuizione ed alla esperienza rielaborata dalla immaginazione. Invero, una volta stabilita la nozione di XXI

" copertura " di uno spazio mediante insiemi" aperti ", la nozione di con­ tinuità di una corrispondenza tra due spazi viene stabilita con la richiesta che la antiimmagine di un aperto sia ancora un aperto. Questa nozione com­ prende dentro di sè quella stabilita della Analisi matematica classica, nel senso che per gli spazi topologiei che siano anche in particolare spazi metrici qllesta nozione di continuità si ricollega con la nozione classica di" vicinanza ". Tuttavia la nozione stessa è passibile di una estrema generalizzazione, nella quale ovviamente la nozione classica scompare. È interessante tuttavia osservare che la Topologia, in certi suoi rami, riprende la tradizione della Geo1JJetria classica, per utilizzare le nozioni ed i concetti che le sono offerti dall'Algebra ,. tuttavia queste nozioni provengono pure dall'Algebra più moderna. 4. Come conseguenza della esistenza dei nuovi rami che si sono svilup­ pati nella Matematica, abbiamo oggi delle correnti di pensiero che vorreb­ bero vedere nella Geometria soltanto un modello di certe strutture algebriche, e vogliono che si distingua, anche nell'insegnamento, quanto è dovuto alle strutture stesse e quanto invece è dovuto alla Topologia. Pertanto oggi è solitamente studiato anzitutto lo spazio in quanto modello di uno spazio vettoriale, costruito sul campo reale o sul campo razionale. In questo studio (volendo utilizzare la nomenclatura classica) si ottengono le pro­ prietà affini dello spazio, cioè quelle che riguardano le nozioni di allineamento, appartenenza, e di parallelismo, con esclusione delle nozioni che riguardano la misura dei segmenti e degli angoli, intesa come invariante rispetto al gruppo dei movimenti rigidi. Queste ultime proprietà vengono conseguite in un secondo tempo, insieme con le proprietà topologiche. Insomma si cerca di realizzare quell'ideale di scienza geometrica che un matematico contemporaneo ha sinte­ tizzato con la frase, abbastanza pittoresca :" A bas le triangle, à bas Eu­ clide! ". Tutto ciò ha sapore di grande eleganza e di grande semplicità logica, perchè si va dallo studio dell'Algebra, considerato come prioritario, alle illu­ strazioni geometriche delle strutture algebriche, di volta in volta sempre più complesse. È lecito tuttavia nutrire qualche dubbio sulla e./ftcacia didattica di questa impostazione ed in fin dei conti anche sulla opportunità di demolire una struttura che è anziana di secoli e la cui sopravvivenza nei secoli ha pure un qualche signifi­ cato. Infatti è ben vero che la trattazione euclidea, come ci siamo sforzati di mette­ re in evidenza, parte da esperienze composite, che vengono idealizzate e schema­ tizzate in vari modi, a seconda delle sensazioni da cui esse fanno riferimento. Si potrebbe tuttavia osservare che certe esperienze concrete possono avere XXII

carattere composito se considerate dal punto di vista della logica pura e possono invece essere considerate come molto elementari se giudicate dal punto di vista della psicologia: per fare un esempio, la esperienza che si fa trasportando un regolo rigido per misurare un segmento, e che viene considerata come elementare, sarebbe forse giudicata più complicata se si imponesse al segmento stesso la limitazione di muoversi soltanto "scorrendo" su una retta, invece di lasciar libero l'operatore di muoverlo comunque nello spazio a suo piacere ,. considerazioni abbastanza simili si possono fare a proposito della verifica del fatto che certi punti sono allineati, oppure certi altri appartengono ad un unico piano. Considerazioni analoghe potrebbero essere fatte a proposito della scelta degli assiomi. Invero non è sempre detto che quegli assiomi che appaiono come i più semplici dal punto di vista della logica siano più facilmente accettati dalla intuizione. In questo campo la ricerca dell'equilibrio è spesso un problema che si risolve non soltanto con la logica, ma anche con il gusto e con l'esperienza. Si potrebbe addirittura dire che esistono anche delle" mode" in Matematica, pur senza voler dare al termine " moda" il carattere di criterio puramente estetico e irrazionale che si suole attribuire alla espressione analoga nel lin­ guaggio comune. Le" mode" dei matematici conseguono molto frequentemente alle scoperte geniali, ed alla impostazione elegante di qualche problema data da qualche autore,. e del resto anche l'aggettivo " elegante" dato a qualche teoria o a qualche risultato fa capire quanto grande sia l'importanza della psicologia nella ricerca, anche in una scienza che sembrerebbe il paradigma della astrattezza fredda e del rigore scostante. Di eleganza la Geometria, intesa nel senso classico o nel senso più mo­ derno, non ha mai mancato,. anzi la trattazione dei problemi matematici dal punto di vista geometrico è sempre stata particolarmente ejJicace ed attraente proprio per quel carattere di semplicità, di immediata intuibilità, e per la facilità con la quale permette spesso di superare calcoli tediosi o ragionamenti complicati. Pertanto giustamente gli autori più moderni, mentre proclamano la morte della Geometria come scienza, ne riconoscono tuttavia contemporanea­ mente la insuperabile capacità di suggestione per la ricerca. E ciò conferma del resto che la Geometria in ogni suo campo ha mante­ nuto quel carattere misto di logica e di fantasia, di rigore e di intuizione, di deduzioni rigorose e di slancio che le dànno il suo fascino immortale.

Carlo Felice Manara XXIII

Prefazione alla decima edizione

L'ultima edizione, comparsa durante la vita di Hilbert, dei suoi Grund­ lagen der Geometrie fu la settima. Per quanto riguarda questa settima edizione si riporta quanto segue dalla prefazione di Hilbert: "La presente settima edizione del mio libro Fondamenti della Geometria porta, in confronto alle precedenti edizioni, miglioramenti ed ampliamenti rilevanti e, precisamente, in parte tratti dalle mie lezioni posteriori su questo argo­ mento, in parte come essi sono stati ottenuti in seguito ai progressi raggiunti nel frattempo da altri autori. In corrispondenza il testo della parte princi­ pale del libro è stato rifatto. Per questo, uno dei miei scolari, H. Arnold Schmidt, mi ha validamente aiutato. Non solo mi ha assistito mentre pro­ cedeva il lavoro, ma egli è l'autore anche di numerose osservazioni ed aggiunte originali,. in particolare la nuova redazione dell'Appendice seconda è stata fatta da lui in modo indipendente. lo quindi gli esprimo qui i miei piu cordiali ringraziamenti per il suo aiuto." Si richiama poi ancora l'attenzione sulla sintesi storica di A. Schmidt nel secondo volume di Hilberts Gesammelten Abhandlungen (Berlino, 1933) Sulla fondazione di Hilbert della Geometria, p. 404-414. Le edizioni 8-10 non portano veri e propri rifacimenti. Al testo ori­ ginario sono state apportate solo alcune correzioni e piccoli ampliamenti. Delle Appendici I-X della settima edizione sono state conservate solamente quelle di carattere geometrico I-V. Gli ampliamenti apportati nei supplementi sono stati in gran parte do­ vuti alle osservazioni che H. Freudenthal ha dedicato nel suo articolo Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie, Nieuw Archief voor Wiskunde (4), V, 105-142(1957), al libro di Hilbert e alla sua 8a edizione, in partico­ lare alla sua critica dei/'esposizione, là data, della teoria della estensione superficiale e delle successive applicazioni. Per quel che riguarda il contenuto dei supplementi, nel Supplemento xxv

I sono stati aggiunti complementi ai paragrafi 3 e 4 del testo, riguardanti le conseguenze degli assiomi di connessione ed ordinamento. In particolare è stata fatta qui un'osservazione all'articolo (là citato) di Van der Waerden De logische Grondslagen der EukIidische Meetkunde. Nel Supple­ plemento 1-2 sono state raccolte alcune dipendenze all'interno del sistema di assiomi per i numeri reali che prima erano citate nell'Appendice VI. Il Supplemento II porta una nuova enunciazione semplificata della teoria delle proporzioni, la cui trattazione precedente è stata conservata nel testo ai paragrafi 14-16. Il Supplemento III porta delle riflessioni sulla teoria della estensione superficiale. Il Supplemento IV, 1 , concerne la possibilità della eliminazione degli assiomi di ordinamento nelle considerazioni del capitolo quinto, il IV, 2 una osservazione di D. Kijne sul teorema 65 (nel paragrafo 37) relativo a problemi di costruzione. Il Supplemento V, 1 contiene osservazioni relative alle due geometrie " non-pitagoriche " esposte da Hilbert nella Appendice II. Il Supplemento V, 2 è essenzialmente una riedizione di un'aggiunta alla Appendice II della quinta edizione, riguardante la deducibilità del­ l'assioma di congruenza piu amPio da quello piu ristretto, con l'aggiunta di un assioma di inclusione, dove è stata rettificata una dimostrazione. Sono state aggiunte alcune indicazioni sulla letteratura piu recente. Paul Bernays Zurigo, febbraio 1 968.

XXVI

So fangl denn alle menschliche Erkennt­ nis mit Anschauungen an, geht von da :(.14 Begrijfen und endigl mit Ideen. KANT, Kritik der reinen Vernunft,

mentarlehre, parte 2, capitolo 2.

Ele­

Introduzione

La geometria richiede - come anche l'aritmetica - per venire fondata in modo coerente, solo poche, semplici proposizioni fonda­ mentali. Queste proposizioni fondamentali si chiamano gli assiomi della geometria. L'esposizione degli assiomi della geometria e l'in­ dagine sui loro mutui rapporti costituiscono un problema che è stato discusso sin dai tempi di Euclide, in numerosi ottimi trattati della letteratura matematica. Il problema indicato porta all'analisi logica della nostra intuizione dello spazio. La presente ricerca è un nuovo tentativo di stabilire per la geo­ metria un sistema di assiomi completo ed il piu semplice possibile e dedurre dai medesimi le proposizioni geometriche piu importanti, in modo tale da mettere chiaramente in luce il significato dei diversi gruppi di assiomi e la portata delle conseguenze da trarre dai singoli assiomi.

1

(7ajbitolo jbri�o

I cinque grupPi di assiomi

1 . Gli ele�enti della geo�etria ed i cinque grujbjbi di assio�i Sjbiegazione. Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti : chia­ miamo jbunti gli oggetti del p r i m o sistema e li indichiamo con ; chiamiamo rette gli oggetti del s e c o n d o sistema A, B, (7, e li indichiamo con a, b, c, . . ; chiamiamo jbiani gli oggetti del t e r­ z o sistema e li indichiamo con a, {3, y, . ; i punti si chiamano an­ che gli ele�enti della geo�etria della retta, i punti e le rette gli ele�enti della geo�etria jbiana, i punti, le rette ed i piani gli ele�enti della geo­ �etria solida o dello sjbazio. Noi consideriamo punti, rette e piani in certe relazioni reciproche ed indichiamo queste relazioni con parole come " g i a c e r e ", " f r a ", " c o n g r u e n t e " ; la descrizione esatta e completa, ai fini matematici, di queste relazioni segue dagli assio�i della geo�e­ tria. Noi possiamo suddividere gli assiomi della geometria in cinque gruppi ; ciascuno di questi gruppi esprime certi fatti fondamentali omogenei della nostra intuizione. Indicheremo questi gruppi di as­ siomi nel seguente modo : -

•

.

.

.

.

1.

II.

.

1-8. Assiomi di collega�ento, 1-4. Assiomi di ordina�ento,

III. 1 -5. Assiomi di congruenza, IV. V.

Assioma delle jbarallele, 1 -2. Assiomi di continuità.

2. Il primo gruppo di assiomi : assiomi di collegamento

Gli assiomi di questo gruppo stabiliscono un collegamento tra gli oggetti sopra introdotti : punti, rette e piani, e suonano come segue : I 1. Per due punti A, B c'è sempre una retta a che appartiene ad ognuno dei due punti A, B. I 2. Per due punti A, B c'è al massimo una retta che appartiene ad ognuno dei due punti A, B. Qui, come in seguito, per due, tre, . . . punti o, rispettivamente, rette o piani, si deve sempre intendere punti o, rispettivamente, rette o piani d i s t i n t i. Useremo, invece di " a p p a r t e n e r e ", anche altre locu­ zioni, per esempio a p a s s a p e r A e p e r B, a c o n g i u n ­ g e A e, o v v e r o c o n, B, A g i a c e s u a, A è u n p u n t o d i a, c ' è u n p u n t o A s u a, e cosi via. Quando A giace sulla retta a ed inoltre anche su un'altra retta b, usiamo le locuzioni : l e r e t t e a e b s i i n t e r s e c a n o i n A, h a n n o i n c o m u n e i l P u n t o A, ecc . . 1 3. Su una retta ci sono sempre almeno due punti. Ci sono almeno tre punti che non giacciono su una retta. I 4. Per tre punti qualsiasi A, B, C, che non giacciano su una stessa retta, c'è sempre un piano a che appartiene ad ognuno dei tre punti A, B, C, Per ogni piano c'è sempre un punto che gli appartiene. Usiamo anche le locuzioni : A g i a c e i n a, A è u n p u n­ t o d i a, ecc . . I 5. Per tre punti qualsiasi A , B, C che non giacciano su una medesima retta, c'è al massimo un piano che appartiene a ciascuno dei tre punti A, B, C. I 6. Se due punti A, B di una retta a giacciono in un piano a, allora ogni punto di a è nel piano a. In questo caso diciamo : l a r e t t a a g i a c e n e l p i a n o a, ecc . . 1 7. S e due piani a, fJ hanno in comune un punto A, allora hanno in co­ mune almeno un altro punto B. I 8. Ci sono almeno quattro punti che non stanno in un piano. L'assioma 1 7 mette in luce che lo spazio non ha piti di tre di4

mensioni, al contrario l'assioma 1 8 che lo spazio non ha meno di tre dimensioni. Gli assiomi 1 1-3 possono venire chiamati gli assiomi piani del gruppo I, per distinguerli dagli assiomi I 4-8 che indico come gli assiomi spaziali del gruppo I. Fra i teoremi che seguono dagli assiomi 1 1 -8 menzioniamo sol­ tanto i due seguenti : Teorema 1 . - Due rette di un piano hanno o un punto in comune o non ne hanno alcuno ; due piani o non hanno punti in comune ovvero hanno in comune una retta e nessun punto fuori di essa ; un piano ed una retta, che non giaccia su di esso, o non hanno punti in comune, ovvero ne hanno uno. Teorema 2. - C'è sempre un piano ed uno solo che passa per una retta e per un punto che non giaccia su questa, come pure per due rette aventi un punto in comune.

3. II secondo gruppo di assiomi : assiomi di ordinamento!

Gli assiomi di questo gruppo definiscono il concetto " f r a " e rendono possibile, sulla base di questo concetto, 1'ordinamento dei punti su una retta, in un piano e nello spazio. Spiegazione. - I punti di una retta stanno fra loro in una certa relazione, per la cui descrizione ci serve particolarmente la parola "fra ". II 1. Se un punto B giace fra un punto A ed un punto C, allora A, B, .A

c

B

C sono tre punti distinti di una retta e B giace pure fra C ed A. II 2. Per ogni due punti A e C, c'è sempre almeno un punto B, sulla retta AC, tale che C giace fra A e B . .A I

c •

.B •

1 M. Pasch ha studiato per primo dettagliatamente questi assiomi nelle sue Vor­ II 4 risale per il "

le!ungen iiber neuere Geometrie ", Lipsia, 1 882. In particolare l'assioma contenuto a M. Pasch.

5

II 3. Di tre punti qualsiasi di una retta ce n'è al massimo uno che giace fra gli altri due. Oltre a questi assiomi lineari di ordinamento ci occorre ancora un assioma piano di ordinamento. Spiegazione. - Consideriamo due punti A e B su una retta a ; chiamiamo segmento il sistema dei due punti A e B e l o indichiamo con AB ovvero con BA. I punti tra A e B si dicono punti del seg­ mento AB ovvero posti all'interno del segmento AB ; i punti A, B si chiamano estremi del segmento AB. Tutti i punti rimanenti della retta a si dicono posti all'esterno del segmento AB. II 4. Siano A, B, C tre punti non allineati ed a una retta delpiano ABC che non passi per alcuno dei punti A, B, C: allora, se la retta a passa per un punto del segmento AB, essa passa certamente anche per un punto del seg­ mento AC ovvero per un punto del segmento Be.

.A. �-----jL----->B

Detto in maniera intuitiva : se una retta entra nell'interno di un triangolo, essa ne esce pure. Si può dimostrare (cfr. Supplemento I 1 ) che i due segmenti A C e BC non possono venire intersecati entrambi dalla retta a. 4. Conseguenze degli assiomi di collegamento ed ordinamento

Dagli assiomi I e II derivano i seguenti teoremi. Teorema 3. - Per ogni due punti A e C c'è sempre almeno un punto D sulla retta A C che giace fra A e e. Dimostrazione. - Per l'assioma 1 3 c'è un punto B esterno alla retta AC e per l'assioma II 2 c'è su AB un punto F tale che B è un punto del segmento AF. Per lo stesso assioma e per l'assioma 6

II 3 c'è su FC un punto C che non giace sul segmento FC. Per l'as­ sioma II 4 la retta EC deve dunque intersecare il segmento AC in un punto D. F

A (}

Teorema 4. Di tre punti A, B, C di una retta, ce n'è sempre uno che giace fra gli altri due. -

Dimostrazione.2 A non sia fra B e C e cosi pure C non sia fra A e B. Congiungiamo un punto D, non giacente sulla retta AC, con B e scegliamo, per l'assioma II 2, sulla retta congiungente, un punto C tale che D stia fra B e C. L'applicazione dell'assioma II 4 -

c

A al triangolo BCC ed alla retta AD dà che le rette AD e CC si inter­

secano in un punto E fra C e C; nello stesso modo si ha che le rette CD e AC si intersecano in un punto F fra A e C. Se si applica ora l'assioma II 4 al triangolo AEC ed alla retta CF si mostra che D sta tra A ed E e, applicando il medesimo assioma al triangolo AEC ed alla retta BC, si riconosce che B giace tra A e C.

Teorema 5. Se sono dati quattro punti qualsiasi di una retta, essi possono sempre venire indicati con A, B, C, D, in modo tale che il punto indicato con B stia fra A e C e anche fra A e D e inoltre che il punto indicato con C stia fra A e D e anche fra B e D. 3 -

2 Questa dimostrazione risale ad A. Wald.

3

E. H. Moore, " Trans. Math. Soc.

",

1902, ha riconosciuto che questa proposi7

Dimostrazione. Siano A, B, C, D quattro punti di una retta g. Dimostriamo in primo luogo : 1 . Se B sta sul segmento AC e C sul segmento BD, i punti B e C giacciono sul segmento AD. Per gli assiomi 1 3 e II 2 scegliamo un punto E non giacente su g ed un punto F, tale che E sia tra C e F. Applicando ripetutamente gli assiomi II 3 e 4, si ottiene che i seg-

D

menti AE e BF si intersecano in un punto C e inoltre che la retta CF interseca il segmento CD in un punto H. Poiché H è sul seg­ mento CD, mentre E, per l'assioma II 3, non è sul segmento A C, per l'assioma II 4 la retta EH interseca il segmento AD, cioè C giace sul segmento AD. Esattamente nello stesso modo si dimostra, simmetricamente, che anche B giace su questo segmento. 2. Se B giace sul segmento AC e C sul segmento AD, allora C sta pure sul segmento BD e B sul segmento AD. Scegliamo un punto C, fuori di g, e un altro punto F tale che C stia sul segmento BF. Per gli assiomi I 2 e II 3 la retta CF non interseca né il segmento AB né il segmento BC, quindi, per l'assioma II 4, nemmeno il seg­ mento A C. Ma siccome C sta sul segmento AD, la retta CF interse­ ca il segmento CD in un punto H. Ora la retta FH, ancora per gli assiomi II 3 e 4, interseca il segmento BD. Dunque C giace sul segmento BD. Il resto dell'affermazione 2 segue dalla 1 . Siano ora dati quattro punti qualsiasi di una retta. Scegliamo tre di essi e indichiamo con Q quello di essi che per il teorema 4 e l'as­ sioma II 3, giace tra gli altri due, e gli altri due con P e R e infine l'ultimo dei quattro punti dati con S. Si ottiene allora, ancora sulla zio ne, data come assioma nelle prime edizioni, è una conseguenza degli assiomi piani della connessione e dell'ordinamento. Cfr. anche i lavori, che giungono alla medesima conclusione, di Veblen, " Trans. Math. Soc. ", 1904, e di Schweitzer, " American Jour­ nal ", 1909. Una esauriente ricerca sui sistemi indipendenti di assiomi lineari di ordina­ mento, che stabiliscano l'ordinamento sulla retta, si trova in E. v. Huntington, A New Sei oj POilulaleijor BelweenneJS wilh Prooj oj Complete lntkpendençe " Trans. Math. Soc. ", 1924 cfr. anche " Trans. Math. Soc. ", 1917. 8

base dell'assioma II 3 e del teorema 4, che si possono distinguere le seguenti cinque possibilità per la posizione di S : ovvero ovvero ovvero ovvero

R P S S P

giace giace giace giace giace

fra P e S, fra R e S, fra P e R e, contemporaneamente, Q fra P e S, fra P e Q, fra Q e S.

Le prime quattro possibilità rientrano nelle ipotesi di 2, l'ultima in quella di 1 . Quindi il teorema 5 è dimostrato. Teorema 6 (generalizzazione del teorema 5). - Se è dato un qual­ siasi numero finito di punti su una retta, questi si possono sempre indicare con A, B, C, D, E, . . . , K, in modo tale che il punto in­ dicato con B stia fra A, da una parte, e C, D, E, . . . , K dall'altra, che poi C stia fra A, B, da una parte, e D, E, . . . , K dall'altra, che, ancora, D stia fra A, B, C da una parte, ed E, . . . , K dall'altra, A

.B

C

n

E

K

ecc. Oltre a questo modo di contrassegnare i punti c'è solo quello in ordine inverso, K, . . . , E, D, C, B, A, che ha la stessa proprietà. Teorema 7. - Tra due punti qualsiasi di una retta ci sono sempre infiniti punti.

Teorema 8. - Ogni retta a, che giaccia in un piano a, divide i punti di questo piano a, che non stanno su di essa, in due regioni con la seguente proprietà : ogni punto A di una regione definisce con ogni punto B dell'altra un segmento AB internamente al quale giace un punto della retta a ; al contrario, due punti A, A' di una stessa regione definiscono un segmento AA I che non contiene punti di a.

Spiegazione. - Noi diciamo : i punti A ed A' stanno nel piano a da una stessa parte della retta a, ed i punti A, B giacciono nel piano a da parti opposte rispetto alla retta a. Spiegazione. - Siano A, A', O, B quattro punti di una retta

a 9

tali che O stia fra A e B, ma non fra A ed A' ; diciamo allora : i punti A, A ' giacciono sulla retta a da una medesima parte rispetto al punto O, ed i punti A, B giacciono sulla retta a da parti opposte rispetto A' A

al punto O. Tutti i punti della retta a che stanno da una stessa parte di O si dicono anche una semiretta avente origine in O ; quindi ogni punto di una retta la divide in due semirette. A I

A' I

o I

B I

Spiegazione. Un sistema di segmenti AB, BC, CD, . . . , KL si chiama una spezzata che congiunge fra loro i punti A ed L ; questa spezzata verrà pure indicata brevemente con ABCD . . . KL. I punti interni ai segmenti AB, BC, CD, . . . , KL, come pure i punti A, B, C, D, , K, L si chiamano, tutti insieme, i punti della spezzata. Se tutti i punti A, B, C, D, . . . , K, L stanno, in particolare, in un piano ed inoltre il punto L coincide con il punto A, la spezzata verrà chiamata poligono ed indicata come poligono ABCD . . . K. I segmenti AB, BC, CD, . . . , KA si chiamano anche i lati del poligono. I punti A, B, C, D, . . . , K si chiamano i vertici del poligono. Poligoni con tre, quattro, . . . , n vertici si chiamano triangoli, quadrangoli, . . . , n-angoli. -

"

'

Spiegazione. Se tutti i vertici di un poligono sono distinti, se nessun vertice del poligono capita interno ad un lato e se due lati del poligono non hanno punti in comune, il poligono si dice semplice. Con l'aiuto del teorema 8 perveniamo ora ai seguenti teoremi (v. le indicazioni bibliografiche alla fine del Supplemento I 1 ) . -

Teorema 9. Ogni poligono semplice posto in un piano a di­ vide quei punti del piano a, che non appartengono alla spezzata del -

10

poligono, in due regioni, una interna ed una esterna, con la seguente proprietà : se A è un punto di quella interna (p u n t o i n t e r n o) e B un punto di quella esterna (p u n t o e s t e r n o), allora ogni spezzata giacente in a, che congiunga A con B, ha almeno un punto

in comune con il poligono ; se invece A ed A' sono due punti in­ terni e B e B' due punti esterni, ci sono sempre spezzate in a che congiungono A con A' e B con B' e che non hanno punti in comu­ ne con il poligono. Se si contrassegnano opportunamente le due re­ gioni, ci sono sempre in a delle rette che sono interamente all'esterno del poligono, mentre non vi è nessuna retta che stia interamente al­ l'interno del poligono.

Teorema 10. Ogni piano a divide i rimanenti punti dello spazio in due regioni con la seguente proprietà : ogni punto A di una re­ gione definisce con ogni punto B dell'altra un segmento AB nel cui interno giace un punto di a, mentre due punti qualsiasi A ed A' di una stessa regione definiscono sempre un segmento AA' che non contiene punti di a. -

Spiegazione. Utilizzando la nomenclatura di questo teorema 1 0, diremo : i punti A, A ' stanno nello spazio da una medesima parte del piano a ed i punti A, B stanno nello spazio da parti opposte del piano a. Il teorema 1 0 mette in evidenza i fatti pili importanti nei riguardi dell' ordinamento degli elementi nello spazio ; questi fatti sono dun­ que conseguenza soltanto degli assiomi fin qui trattati e nel gruppo II non occorre nessun nuovo assioma spaziale. -

11

5. Il terzo gruppo di assiomi : assiomi di congruenza

Gli assiomi di questo gruppo definiscono il concetto di con­ gruenza e quindi anche quello di movimento. Spiegazione. I segmenti stanno fra loro in una certa relazione per la cui descrizione ci servono le parole " congruente " oppure " uguale " . III 1 . Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A ' è un punto sulla stessa retta ovvero su un'altra a', si può sempre trovare un punto B', da una data parte della retta a' rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A ' B' ,. in simboli : -

AB

==

A'B'.

Questo assioma consente la p o s s i b i l i t à d e l trasporto d i s e g m e n t i. La u n i c i t à di quest'ultimo verrà dimostrata piu avanti. Il segmento era stato definito semplicemente come sistema di due punti A, B ed era stato indicato con AB, ovvero con BA. Dunque nella definizione non si teneva conto dell' ordine di enuncia­ zione dei due punti ; quindi le formule AB

=

A'B',

AB

=

B'A',

BA

=

A'B',

BA

=

B'A'

hanno lo stesso significato III 2. Se un segmento A'B' ed un segmento A "B" sono congruenti ad uno stesso segmento AB, allora anche il segmento A'B' è congruente al segmento A " B" ,. ovvero, brevemente : se due segmenti sono congruenti ad un terzo, essi sono congruenti fra loro. Poiché la congruenza, ovvero uguaglianza, viene introdotta al­ l'inizio della geometria solo mediante questi assiomi, non è affatto ovvio in primo luogo che o g n i s e g m e n t o s i a c o n­ g r u e n t e a s e s t e s s o ; ma questo fatto segue da entrambi i primi assiomi di congruenza, se trasportiamo il segmento AB su una qualsiasi semi retta, per esempio congruente ad A' B', e quindi applichiamo l'assioma III 2 alle congruenze AB = A' B', AB == A' B' Sulla base di quanto detto, si ottiene poi, applicando l'assioma 12

III 2, la simmetria e la ,fransitività della congruenza di segmenti, cioè la validità dei teoremi : AB = A 'B',

Se è è pure se è

A'B'

==

AB ;

AB

==

A'B',

A 'B' = A"B",

ed anche

AB = A "B" .

è pure

A causa della simmetria della congruenza di segmenti, possiamo usare il modo di dire : due segmenti sono " congruenti fra loro ". III 3. Siano AB e BC due segmenti senza punti in comune su una retta a ed A 'B' e B'C' due segmenti sulla stessa retta o su un'altra retta a', semA

B

c

A'

.B ' I

c'

I

I

I

I

a'

pre senza punti in comune,. allora, se è AB è pure

==

A'B'

e

BC = B'C',

AC = A'e'.

Questo assioma esprime la condizione di a d d i z i o n a b i­ l i t à dei segmenti. Il trasporto degli angoli viene trattato esattamente nello stesso modo del trasporto dei segmenti. Oltre alla p o s s i b i l i t à del trasporto degli angoli deve, veramente, venirne richiesta assiomati­ camente anche la u n i c i t à ; jnvece la transitività e l'addizionabilità saranno dimostrabili.

Spiegazione. Sia a un qualsiasi piano ed h, k due qualsiasi se­ mirette distinte in a, aventi origine in uno stesso punto O, che ap­ partengano a rette d i v e r s e. Chiamiamo angolo il sistema di queste due semirette h, k e lo indichiamo con m segue la disuguaglianza

" < � = e e, d'altra par2 r -l m te, che dalla disuguaglianza " > � segue la � > �. Quin2 2 r-l 2' di, sulla base della transitività del confronto degli angoli, vale la (v. p. 24 )

a

2'


E2• Dunque in uno di questi punti si presentano due -

43

angoli adiacenti uguali (nella figura accanto nel punto El) ; cioè ii quattro angoli uguali sono retti. Teorema 38. - Se in un quadrangolo tutti gli angoli sono retti" in o g n i quadrangolo con tre angoli retti è retto anche il quarto angolo. Dimostrazione. Sia A' B' C' D' un quadrangolo con quattro angoli retti, ABCD un qualsiasi quadrangolo con tre angoli retti in in A, B, D. Costruiamo quel quadrangolo AB I CI D I congruente ad A'B' C'D', il cui angolo retto in A coincida con quello del qua­ drangolo ABCD. Se B coincide con BI ovvero D con D I> la tesi coincide con ' quella del teorema 37. Se B sta fra A e BI e D I fra A e D segue -

D

l

A

(J F

Cl

B

dal teorema dell'angolo esterno, come nella dimostrazione del teo­ rema 36, che i segmenti BC e CI D I si intersecano in un punto F. Il teorema 37 insegna poi che in F, e quindi anche in C, si presenta un angolo retto. Si ottiene la tesi in modo analogo per gli altri possibili ordina­ menti dei punti A, B, BI e A, D, D I . Con l'aiuto del teorema 38 si può dimostrare il secondo teorema di Legendre. Teorema 39 (s e c o n d o t e o r e m a d i L e g e n d r e). - Se in un q u a l s i a s i triangolo la somma degli angoli è uguale a due angoli retti, in o g n i triangolo la somma degli angoli è uguale a due angoli retti. Dimostrazione. Noi possiamo associare ad ogni triangolo ABC� avente la somma degli angoli uguale a 2w, un quadrangolo che ab­ bia tre angoli retti e il cui quarto angolo sia uguale a w. A questo -

44

scopo congiungiamo i punti medi D ed E dei lati AC e BC ed ab­ bassiamo sulla congiungente le perpendicolari AF, BG e CH dai punti A, B e C. Dalla congruenza dei triangoli AFD e CHD C

e da quella dei triangoli BGE e CHE segue, indifferentemente, se uno degli angoli

a,

c >

b.

Dagli assiomi lineari di congruenza III 1-3 , otteniamo facil­ mente che per l'addizione cosi definita di segmenti, vale la legge associativa a + (b + c) = (a + b) + c 4 È interessante anche l'applicazione che trova il teorema sul punto comune di in­ tersezione delle altezze di un triangolo a fondare il teorema di Pascal e, rispetrivamente, la teoria delle proporzioni. Si confronti al riguardo F. SCHUR, " Math. Ann. ", voI. 57 e J. MOLLERUP, Studier over den pIane geometris Aksiomer, Kopenhagen, 1903. 61

come pure la legge c o m m u t a t i v a

a + b = b + a.

b

Per definire geometricamente il prodotto di un segmento a per un segmento b, ci serviamo della seguente costruzione : scegliamo , innanzitutto un segmento arbitrario che rimanga il medesimo in tutta la trattazione e lo indichiamo con 1 . Trasportiamo ora su un lato di un angolo retto di vertice ° il segmento 1 e, sempre dal ver­ tice 0, il segmento b; poi sull'altro lato trasportiamo il segmento a. Congiungiamo gli estremi dei segmenti 1 ed a mediante una retta e tracciamo la parallela a questa retta passante per l'estremo del seg­ mento b ; questa intersechi sull'altro lato il segmento c; allora chia­ miamo questo segmento c prodotto del segmento a per il segmento b e lo indichiamo con c = ab. Vogliamo dimostrare prima di tutto che per la moltiplicazione di segmenti definita sopra, vale la legge commutativa

ab = b'r. A questo scopo costruiamo in primo luogo il segmento ab nella ma­ niera sopra stabilita. Trasportiamo poi sul primo lato dell'angolo retto il segmento a e sull'altro lato il segmento b, congiungiamo l'estre­ mo del segmento 1 con l'estremo di b b sull'altro lato con una retta e per l'estremo di a sul primo lato tracciamo la parallela a tale retta : questa interseca ab sull'altro lato il segmento ba ; di fatto questo segmento ba, come mostra la figura, coincide col segmento ab co­ struito prima, per il parallelismo delle rette tratteggiate, conseguenza del teob a o 62

rema di Pascal (teorema 40). Viceversa, come si vede subito, dalla validità della legge commutativa nel nostro calcolo coi segmenti se­ gue pure che il caso speciale del teorema di Pascal, citato a pagina 58 vale certamente per questa figura in cui le semirette OA ed OA' determinano un angolo retto. Per dimostrare la legge a s s o c i a t i v a per la nostra mol­ tiplicazione coi segmenti : a(bc) = (ab)c,

trasportiamo su un lato dell'angolo retto dal vertice O i segmenti 1 e b e sull'altro lato i segmenti a e c, sempre da O. Costruiamo quindi i segmenti d = ab ed e = cb e trasportiamo questi segmenti d e e sul . e -cb

,

"

d-ab

,

,

"

,

"

,

,

,

"

,

,

,

,

, .,

,

,

,

,

,

,

"

e

primo lato dell'angolo da O. Se costruiamo poi ae e cd, gli estremi di questi segmenti coincidono, ancora per il teorema di Pascal, come è ovvio della figura accanto, cioè è ae = cd

ovvero a(cb) = c(ab),

e di qui, con l'aiuto della legge commutativa, a(bc) = (ab)c. 5 5 Si confrontino al riguardo che sono stati dati nel frattempo III, voI. 2, e da J. MOLLERUP, " geomelris Aksiomer, Kopenhagen,

anche i metodi per fondare la teoria delle proporzioni da A. KNESER, " Archiv. fiir Math. und Phys. " , serie Math. Ann. " voI. 56, come pure Studier over den piane 1903 con i quali viene proposta l'equazione delle pro63

Come si vede, in quanto precede, abbiamo usato per la dimo­ strazione sia della legge commutativa sia di quella associativa della moltiplicazione, soltanto di quel caso speciale del teorema di Pascal, la cui dimostrazione da pagina 58 a pagina 59 (paragrafo 14) riu­ sciva in modo particolarmente semplice, applicando una sola volta il teorema sui quadrangoli inscritti. R i a s s u m e n d o q u e s t i r a g i o n a m e n t i, P e r v e­ n i a m o a l l a s e g u e n t e fo n d a z i o n e d e l l e l e g g i d e I l a m o l t i P l i c a z i o n e n e l c a l c o l o c o i s e g m e n­ t i c h e m i s e m b r a l a p i u s e m p l i c e d i t u t t i i m o­ d i fi n q u i n o t i P e r fo n d a r l a: Su un lato di un angolo retto si trasportino dal vertice O i seg­ menti a = OA e b = OB ed inoltre, sull'altro lato, il segmento unità 1 = OC. La circonferenza passante per A, B, C intersechi ulterior­ mente il secondo lato dell'angolo nel punto D. Il punto D si ottiene

facilmente senza l'uso della circonferenza, soltanto sulla base degli assiomi di congruenza, abbassando dal centro della circonferenza la perpendicolare su OC e prendendo il simmetrico del punto C rispetto ad essa. Per l'uguaglianza degli angoli -t OCA e -t OBD e per la definizione di prodotto di due segmenti (v. p. 62) si ha OD = ab,

e, per l'uguaglianza degli angoli -t ODA e -t OBC, per la stessa porzioni. F. SCHUR, Zur Proportionenlehre, " Math. Ann. ", voI. 57, osserva che già KUPF­ FER (" Sitzungsber. der Naturforschergesellschaft zu Dorpat ", 1893) ha dimostrato correttamente la legge commutativa della moltiplicazione. Tuttavia l'ulteriore fonda­ zione della teoria delle proporzioni di Kupffer è da riguardarsi come insufficiente. 64

definizione, è

OD = ba.

La legge commutativa della moltiplicazione che segue di qui ab = ba dimostra ora, per un' osservazione di pagina 62, che vale il caso spe­ ciale del teorema di Pascal citato a pagina 58 per i lati di un angolo retto e di qui segue ancora, per quanto si è detto a pagina 63, la legge associativa della moltiplicazione a(bc) = (ab)c.

Infine, nel nostro calcolo coi segmenti, vale anche la legge di­ stributiva a(b + c) = ab + ac. Per dimostrarla costruiamo i segmenti ab, ac, e a(b + c) e tracciamo quindi per l'estremo del segmento c (guardare la figura qui sotto ) una parallela all'altro lato dell'angolo retto. La congruenza dei due

triangoli rettangoli tratteggiati in figura e l'applicazione del teorema sull'uguaglianza dei lati opposti in un parallelogrammo forniscono allora la desiderata dimostrazione. Se b e c sono due segmenti qualsiasi, c'è sempre un segmento a c tale che (. = ab ; questo segmento a verrà indicato con b e chiamato quoziente di c per b.

16. Le proporzioni ed i teoremi sulla similitudine Con l'aiuto del calcolo con i segmenti sopra esposto si può fon­ dare la teoria delle proporzioni di E u c J.i d e in modo irrepren­ sibile e senza l'assioma di Archimede nel modo seguente : 65

Spiegazione. - Se a, b, a', b' sono quattro segmenti qualsiasi, la proporzione a : b = a' : b'

non dovrà significare altro che l'uguaglianza di segmenti ab' = ba'. Spiegazione. - Due triangoli si dicono simili quando in essi gli angoli corrispondenti sono congruenti. Teorema 41 . - Se a, b ed a', b' sono lati corrispondenti in due triangoli simili, vale la proporzione a : b = a' : b'. Dimostrazione. - Consideriamo in primo luogo il caso parti­ colare in cui gli angoli limitati da a e b e da a' e b', nei due triangoli, siano retti e pensiamo di aver trasportato i due triangoli in un me­ desimo angolo retto. Trasportiamo allora dal vertice su un lato il segmento 1 e dall'estremo di questo segmento 1 tracciamo la paral­ lela alle due ipotenuse ; questa intersechi sull'altro lato il segmento I; allora, per la nostra definizione di prodotto di segmenti, è b = ea,

b' = ea' ;

quindi abbiamo ab' = ba',

cioè a : b = a' : b'.

Torniamo ora al caso generale. Costruiamo in ciascuno dei due triangoli simili il punto di intersezione S e, rispettivamente, S' del­ le tre bisettrici, la cui esistenza si deduce facilmente dal teorema 25,

66

ed abbassiamo da questi le tre perpendicolari r e, rispettivamente, r' sui lati dei triangoli ; indichiamo i segmenti intersecati su questi con

e,

rispettivamente, con

Il caso particolare del nostro teorema dimostrato piu sopra fornisce allora le proporzioni ab : r = a;' : r'

be : r = b� : r'

ae : r = a� : r'

ba : r = b� : r' ;

da queste, mediante la legge distributiva, concludiamo a : r = a' : r',

b : r = b' : r'

b'ar' = b'ra',

a'br' = a'rb'.

e di qui Queste equazioni, con l'aiuto della legge commutativa della moltiplicazione, forniscono a : b = a' : b'.

Dal teorema 41 deduciamo facilmente il teorema fondamentale della teoria delle proporzioni che suona come segue : Teorema 42. Se due rette parallele intersecano sui lati di un qualsiasi triangolo i segmenti a, b e, rispettivamente, a', b', allora vale la proporzione -

a : b = a' : b'. Viceversa, quando quattro segmenti a, b, a', b' soddisfano a questa proporzione ed a, a' e b, b' vengono trasportati rispettivamente sui lati di un triangolo qualsivoglia, allora le rette congiungenti gli estremi di a, b e, ri­ spettivamente, di a', b' sono fra loro parallele. 17. Le equazioni della retta e del piano

Al sistema di segmenti considerato finora aggiungiamo un ana­ logo sistema di segmenti. Sulla base degli assiomi di ordinamento è infatti possibile facilmente distinguere su una retta un verso " po67

sitivo " ed uno " negativo ". Indichiamo ora un segmento AB, che finora veniva chiamato a, ancora soltanto con a se B sta dalla parte positiva di A , altrimenti lo indichiamo con - a. Indichiamo un punto come segmento O. Il segmento a si chiama " positivo " o, rispettiva­ mente, maggiore di 0, in simboli a > O ; il segmento - a si chiama " negativo " o, rispettivamente, minore di 0, in simboli : - a < O. In questo calcolo ampliato coi segmenti valgono allora tutte le regole di calcolo 1-16 per i numeri reali, che sono state raccolte nel paragrafo 1 3. Mettiamo in evidenza i seguenti fatti speciali : È sempre a . 1 = 1 . a= a

e

a · ° = ° . a = O.

Se ab = 0, allora o è a = 0, ovvero è b = O. Se a > b e c > 0, ne se­ gue sempre ac > be. Se poi Ah A 2, A a, , An-h An sono n punti di una retta, allora la somma dei segmenti AIA 2 ' A 2Aa, . . . , An-lAm AnAI è uguale a O. Prendiamo ora in un piano a due rette, fra loro perpendicolari in un punto 0, come assi ortogonali, e trasportiamo i segmenti ar­ bitrari x, y da ° su ciascuna delle due rette ; innalziamo quindi le perpendicolari negli estremi dei segmenti x, y e determiniamo l'in­ tersezione P di queste perpendicolari : i segmenti x, y si chiamano le coordinate del punto P. Ogni punto del piano è definito univoca­ mente mediante le sue coordinate x, y che possono essere segmenti positivi o negativi o O. Sia I una qualsiasi retta nel piano a che passi per ° e per un punto C con le coordinate a, b. Se x, y sono allora le coordinate di un qualsiasi punto P di I, dal teorema 42 troviamo facilmente •

y

•

•

a : b = x :y

ovvero bx - try = °

come equazione della retta I. Se l' è una retta parallela ad I, che inter­ --:J�--!:--=-��-�.X seca sull'asse x il segmento c, perveniamo all'equazione della retta l' sostituendo nell'equazione della retta I il segmento x mediante il segmento x - c ; l'equazione desiderata risulta dunque bx - try - be = O. 68

Da questi sviluppi concludiamo facilmente, in un modo che è indipendente dall'assioma di Archimede, che ogni retta in un piano viene rappresentata mediante un'equazione lineare nelle coordinate .x, y e viceversa che ogni equazione lineare di tale tipo rappresenta una retta, dove i coefficienti della stessa siano segmenti che com­ paiano nella corrispondente geometria. Si dimostrano in modo altrettanto facile i risultati corrispon­ ,denti nella geometria dello spazio. L'ulteriore costruzione della geometria da qui in poi può ve­ nire fatta secondo i metodi che si applicano comunemente nella geo­ metria analitica. Sin qui, in questo terzo capitolo, non abbiamo usato in alcun modo l'assioma archimedeo ; se ora supponiamo la validità dello stesso, possiamo ai punti di una retta qualsiasi nello spazio associare numeri reali e precisamente nel modo seguente : Scegliamo sulla retta due punti arbitrari ed associamo a questi i numeri O ed 1 ; dimezziamo quindi il segmento O 1 , da essi deter­ minato, ed indichiamo con ì il punto medio, poi il punto medio del segmento O ì con ! e cosi via ; dopo aver applicato n volte questo procedimento, perveniamo ad un punto cui è associato il numero

1 2n

1 2n

-. Trasportiamo ora il segmento 0 - dal punto O, sia dalla parte del punto 1 che dall'altra,

m

volte una dopo l'altra ed attribuia­ m

mo ai punti che cosi nascono i valori numerici -

rispettiva-

mente, - �. Dall'assioma archimedeo si può facilmente conclu2n dere che sulla base di questa corrispondenza si può associare a qual­ sivoglia punto della retta, in un modo definito univocamente, un numero reale e, precisamente, in modo che questa corrispondenza abbia la seguente proprietà : se A, B, C sono tre punti qualsiasi della retta ed a, {J, y sono i numeri reali corrispondenti e se B sta fra A e C, allora questi numeri soddisfano sempre alla disuguaglianza a < < {J < y ovvero alla a > {J > y. Dagli sviluppi del secondo capitolo, paragrafo 9, appare chiaro che là, per ogni numero che appartiene al corpo numerico algebrico Q, deve necessariamente esistere un punto della retta a cui esso è associato. Se anche ad ogni altro numero reale corrisponda un pun-

2n

e,

69

to, dipende dal fatto che nella geometria considerata valga o meno l'assioma di completezza V 2. Al contrario, se si suppone in una geometria la validità dell'as­ sioma archimedeo, è sempre possibile ampliare il sistema dei punti, rette e piani mediante elementi " i r r a z i o n a l i " in modo tale che su ogni retta della geometria che ne nasce, ad ogni sistema di tre numeri reali, soddisfacente alla sua equazione, sia associato senza eccezioni un punto. Mediante convenzioni adeguate si può ottenere nello stesso modo che nella geometria ampliata siano validi t u t t i gli assiomi I-V. Questa geometria ampliata (con l'introduzione de­ gli elementi irrazionali) non è altro che l'usuale geometria analitica cartesiana dello spazio, in cui vale anche l'assioma di completezza. V 2.6

6

70

Cfr. le osservazioni alla fine del paragrafo 8.

Capitolo quarto

La teoria dell' equivalenza nel piano

18. La equiscomponibilità e la equiampliabilità dei poligoni

Alla base delle ricerche del presente quarto capitolo poniamo gli stessi assiomi posti alla base del terzo, cioè gli assiomi lineari e piani di tutti i gruppi, fatta eccezione degli assiomi di continuità, quindi gli assiomi I 1 -3 e II-IV. La teoria delle proporzioni discussa nel terzo capitolo ed il cal­ colo coi segmenti quivi introdotto, ci mettono nelle condizioni di fondare la teoria euclidea dell'equivalenza mediante gli assiomi ci­ tati, cioè nel piano ed indipendentemente dagli assiomi di continuità. Poiché, secondo gli sviluppi del terzo capitolo, la teoria delle proporzioni si fonda essenzialmente sul teorema di Pascal (teorema 40), questo vale pure per la teoria dell'equivalenza ; il fondare in tale modo la teoria dell'equivalenza mi sembra una delle piu notevoli applicazioni del teorema di Pascal nella geometria elementare. Spiegazione. Se si congiungono due punti di un poligono semplice P mediante una qualsiasi spezzata che stia tutta all'interno del poligono e che non possegga punti doppi, ne nascono due nuovi poligoni semplici P1 e P2, i cui punti interni giacciono tutti entro P ; diremo : P s i s c o m p o n e i n PI e P2 ovvero P è s c o m p o ' s t o i n P1 e P2, ovvero P1 e P2 insieme c o m p o n g o n o P. -

Spiegazione.

-

Due poligoni semplici si dicono equiscomponibili

71

se possono venir scomposti in un numero finito di triangoli che sia­ no a coppie congruenti fra loro. Spiegazione. Due poligoni semplici P e Q si dicono equiam­ pliabili se si può aggiungere ad essi un numero finito di poligoni P', Q' ; P", Q" ; . . . ; P"', Q"', a coppie equiscomponibili, in modo tale che i due poligoni P + p' + P" + . . . + P"' e Q + Q' + + Q" + . . + Q"', composti in questo modo, siano fra loro equi­ scomponibili. -

.

Da questa spiegazione segue immediatamente : per riunione di poligoni equiscomponibili nascono poligoni ancora e q u i s c o m­ p o n i b i l i e, se si tolgono poligoni equiscomponibili da poligoni equiscomponibili, i poligoni rimanenti sono e q u i a m p l i a b i l i (cfr. Supplemento III). Valgono inoltre i seguenti teoremi : Teorema 43. Se due poligoni P1 e P2 sono equiscomponibili con un terzo poligono P3' allora essi sono equiscomponibili tra loro. Se due poligoni sono equiampliabili con un terzo, sono pure equi­ ampliabili fra loro. -

Dimostrazione. 72

-

Per ipotesi si può dare una scomposizione,

sia per Pl sia anche per P2 in triangoli, tali che a ciascuna di queste ' due scomposizioni corrisponda una scomposizione del poligono P3 in triangoli congruenti. Prendendo in considerazione contempora­ neamente entrambe queste decomposizioni di Pa, in generale ogni triangolo di una scomposizione verrà scomposto in poligoni dai segmenti che appartengono all'altra decomposizione. Aggiungiamo ora ancora tanti segmenti quanto bastino perché ciascuno di questi poligoni si decomponga di nuovo in triangoli e riportiamo quindi le due decomposizioni corrispondenti in triangoli in P1 ed in P2 ; allora ovviamente questi due poligoni Pl e p2 si decompongono in un numero uguale di triangoli a coppie fra loro congruenti e quindi sono, secondo la definizione, tra loro equiscomponibili. La dimostrazione della seconda affermazione del teorema 43 si ottiene ora senza difficoltà (cfr. Supplemento III). Definiamo nel modo usuale i concetti : rettangolo, base ed altezza di un parallelogrammo, base ed altezza di un triangolo.

19. Parallelogrammi e triangoli con basi ed altezze uguali Il noto ragionamento di E u c l i d e, illustrato nella sottostante figura, fornisce il teorema : Teorema 44. Due parallelogrammi, con basi ed altezze uguali, sono fra loro equiampliabili. -

Vale inoltre il noto fatto : Teorema 45. Ogni triangolo ABC è sempre equiscomponibile con un certo parallelogrammo avente ugual base e altezza la metà. -

Dimostrazione. Se si dimezza AC in D e BC in E e si prolunga quindi DE di un segmento uguale a se stesso fino a F, i due trian­ goli DCE ed FBE sono congruenti fra loro e di conseguenza il triangolo ABC ed il parallelogrammo ABFD sono fra loro equi­ scomponibili. -

73

Dai teoremi 44 e 45, con l'aggiunta del teorema 43, segue im­ mediatamente : Teorema 46. Due triangoli, con basi ed altezze uguali, sono e q u i a m p l i a b i l i fra loro. -

c

fy

A

B

Come tutti sanno, si mostra facilmente, come indica la figura accanto, che due parallelogrammi e quindi, per i teoremi 43 e 45, anche due triangoli, con basi ed altezze uguali, sono e q u i s c o m­ p o n i b i l i. Osserviamo, tuttavia, che questa dimostrazione non è possibile senza l'uso dell'assioma archimedeo ; difatti in ogni geometria

non-archimedea (se ne veda una per esempio, nel secondo capitolo, paragrafo 12), si possono dare due triangoli tali che abbiano basi ed altezze uguali e che quindi, per il teorema 46, sono e q u i a m­ p l i a b i l i, ma che tuttavia n o n s o n o e q u i s c o m p o n i­ b i l i. In una geoemetria non-archimedea siano infatti portati su una semiretta due segmenti AB = e ed AD = a, tali che non soddisfino per alcun numero intero n alla relazione : n · c ;;;;:' a.

Si innalzino negli estremi del segmento AD le perpendicolari AC e DC' di lunghezza e. I triangoli ABC e ABC' sono equi­ ampliabili per il teorema 46. Dal teorema 23 segue che la somma di 74

due lati di un triangolo è maggiore del terzo lato, dove la somma di due lati va intesa nel senso del calcolo con i segmenti introdotto nel terzo capitolo.

:��'

A,

e

.B

.

a

jJ

Dunque è BC < e + e = 2e. Inoltre si può dimostrare, senza uso della continuità, il teorema : un segmento, che giaccia intera­ mente all'interno di un triangolo, è minore del lato maggiore di esso. Quindi anche ogni segmento giacente all'interno del triangolo ABC è minore di 2e. Supponiamo ora che sia data una scomposizione dei triangoli ABC ed AB C' in un numero finito, per esempio k, di triangoli .congruenti a coppie. Ogni lato di un triangolo parziale usato nella -decomposizione del triangolo ABC giace o nel triangolo ABC ov­ vero su uno dei suoi lati, cioè è minore di 2e. Dunque il perimetro di ogni triangolo parziale è minore di 6e ; la somma di tutti questi perimetri è quindi minore di 6k . e. La scomposizione dei triangoli ABC e AB C' deve fornire la stessa somma di perimetri ; dunque anche la somma dei perimetri dei triangoli parziali, usati nella scom­ posizione del triangolo ABC' deve essere minore di 6k . e. Ma in 'questa somma è certamente contenuto per intero il lato AC', cioè -deve valere : AC' < 6k . e, e quindi, per il teorema 23, a maggior ragione : a < 6k . e. Questo contraddice la nostra ipotesi nei riguardi ,dei segmenti e ed a. L'ipotesi della possibilità di una scomposizione dei triangoli ABC ed ABC' in triangoli parziali a coppie congruenti ha cod portato ad una contraddizione. I teoremi piti importanti della geometria elementare sulla equiam­ pliabilità dei poligoni, in particolare il teorema di Pitagora, sono semplici conseguenze dei teoremi ora dimostrati. Menzioniamo an­ cora il teorema : Teorema 47. Per un qualsiasi triangolo e quindi anche per un qualsiasi poligono semplice può venire sempre costruito un triangolo rettangolo che abbia un cateto 1 e che sia equiampliabile col trian­ golo o, rispettivamente, col poligono. -

75

Per i triangoli la tesi segue facilmente dai teoremi 46, 42 e 43� Per i poligoni la tesi si ottiene come segue. Sc omponiamo il dato poligono semplice in triangoli per i quali definiamo i triangoli ret­ tangoli equiampliabili, ciascuno con un cateto 1 . Assumendo i ca­ teti di lunghezza 1 come altezze di questi triangoli, una riunione di essi (v. p. 72) conduce alla tesi, ancora con l'aiuto dei teoremi 43 e 46. Ma per l'ulteriore sviluppo della teoria dell'equivalenza incon­ triamo una difficoltà essenziale. In particolare tutte le nostre tratta­ zioni fin qui fatte lasciano indeciso se t u t t i i P o l i g o n i non siano fra loro equiampliabili. In tale caso tutti i teoremi fin qui espo­ sti sarebbero inconcludenti e senza significato. Con questo è in rap­ porto la domanda se due rettangoli equiampliabili con un lato in comune debbano necessariamente coincidere anche nell'altro lato. Come mostra la precedente riflessione, occorre, per rispondere alle domande sollevate, l'inversione del teorema 46, che suona nel modo seguente : Teorema 48. - Se due triangoli equiampliabili hanno basi uguali, hanno anche altezze uguali. Questo teorema fondamentale, il 48, si trova nel primo libro degli Elementi di Euclide come teorema 39 ; tuttavia, per la dimo­ strazione dello stesso, Euclide si appella alla proposizione generale sulle grandezze : " XOC( 't'ò l)Àov 't'oli (.Lépouç (.LE��6v È:(J't'LV " (il tutto è maggiore di una sua parte) - procedimento che va a cadere nella introduzione di un nuovo assioma geometrico sulla equiamplia­ bilità. 1

O r a s i r i e s c e a f o n d a r e s e n z a u n t a l e n u o­ vo assioma il teorema 48 e quindi la teoria d e l l ' e q u i v a l e n z a n e l m o d o c h e c i s i a m o p r o­ p o s t i, c i o è s o l t a n t o c o n l ' a i u t o d e g l i a s s i o m i p i a n i e s e n z a l ' u s o d e I l ' a s s i o m a a r c h i m e d e o� Per riconoscere questo abbiamo bisogno del concetto di area.

l Di fatto, nell'Appendice II, verrà costruita una geometria in cui sono soddisfatti tutti gli assiomi I-IV posti qui alla base, fatta eccezione dell'assioma III 5 per il quale là è stato scelto un enunciato pili ristretto, ma nella quale il teorema 48 e quindi anche la proposizione " il tutto è maggiore di una sua parte " non sono validi ; cfr. pp. 156 e sg. 76

20 . L'area dei triangoli e dei poligoni

Spiegazione. - Una retta AB divide i punti della geometria piana, che non giacciono su di essa, in due regioni. Diciamo che una di queste regioni è posta a destra della semiretta AB uscente da A o, rispettivamente, del " segmento orientato AB " e a sinistra della semi­ retta BA uscente da B o, rispettivamente, del " segmento orientato BA " e l'altra regione a sinistra della semiretta AB e a destra della semiretta BA. In relazione a due segmenti orientati AB ed AC, la stessa regione è posta a destra se B e C giacciono su una stessa semi­ retta uscente da A (e viceversa). Se per una semiretta g, uscente da un punto O, è già stata definita la regione destra e da O in questa regione esce una semiretta h, allora quella regione, rispetto ad h, che contiene g, la diciamo posta a s i n i s t r a di h. Si riconosce che in tal modo, partendo da una determinata semiretta AB, resta­ no univocamente definiti il lato destro e quello sinistro rispetto ad o g n i semiretta o, rispettivamente, rispetto ad ogni segmento orien­ tato di una geometria piana. I punti interni (v. p. 1 1 ) di un triangolo ABC o giacciono a sini­ stra dei lati AB, BC, CA, ovvero a sinistra di CB, BA, AC. Nel primo caso diciamo : ABC (o, rispettivamente, BCA o CAB) è il verso positivo di percorrenza e CBA (ovvero, rispettivamente, BAC o ACB) il verso negativo di percorrenza del triangolo ; nel secondo caso diciamo : CBA è il verso positivo ed ABC il verso negativo del triangolo. Spiegazione. - Se in un triangolo ABC con i lati a, b, c costruia­ mo le due altezze ha = AD, hb = BE, segue dalla similitudine dei c

A

triangoli BCE ed ACD, per il teorema 41 , la proporzione a :

hb = b : ha

cioè 77

quindi in ogni triangolo il prodotto di una base per la rispettiva altezza è indipendente da quale lato del triangolo si scelga come base. Dunque il semiprodotto della base per l'altezza è per il triangolo ABC un segmento caratteristico a. Sia per esempio positivo, nel triangolo ABC, il verso ABC. Il segmento p o s i t i v o a (se­ condo la definizione a p. 68) si chiama ora l'area del triangolo ABC percorso positivamente e verrà indicato con [ABC] ; il segmento n e ­ g a t i v o - a si chiama l'area del triangolo ABC percorso negativa­ mente e verrà indicato con [CBA] . Vale allora il semplice teorema Teorema 49. - Se un punto O giace fuori del triangolo ABC, allora per l'area del triangolo vale la relazione : [ABC]

=

[OAB] + [OBC] + [OCA] .

Dimostrazione. - Facciamo in primo luogo l'ipotesi che i seg­ menti AO e BC si intersechino in un punto D. Allora dalla defi-

.A

nizione di area si ottengono, con l'aiuto della proprietà distributiva del nostro calcolo coi segmenti, le relazioni : [OAB]

[ODB] + [DAB],

[OBC] = - [OCB] = - [OCD] - [ODB], [OCA]

[OCD] + [CAD] .

La somma dei segmenti che compaiono in questa equazione dà, usando un teorema citato a pagina 68, [OAB] + [OBC] + [OCA] = [DAB] + [CAD],

e ne segue quindi, ancora per la proprietà distributiva, [OAB] + [OBC] + [OCA] 78

=

[ABC].

Le rimanenti possibili ipotesi nei riguardi della posizione di O portano, in modo analogo, alla tesi del teorema 49. Teorema 50. - Se un triangolo ABC viene scomposto in un qualsiasi modo in un numero finito di triangoli Ll k> allora l'area del triangolo ABC, percorso positivamente, è uguale alla somma delle aree di tutti i triangoli LI k percorsi positivamente. Dimostrazione. - Nel triangolo ABC sia, per esempio, ABC il senso positivo e sia DE un segmento all'interno del triangolo ABC sul quale confinino i due triangoli DEF e DEG della scom­ posizione. Sia, per esempio, DEF il verso positivo del triangolo DEF; allora GED è il verso positivo del triangolo DEG. Se sce­ gliamo ora un punto O esterno al triangolo ABC, valgono, per il teorema 49, le relazioni : [DEF] = [ ODE] + [OEF] + [OFD] , [GED] = [ aGE] + [OED] + [ODG] = [aGE] - [ODE] + [ODG].

Nell'addizione di queste due equazioni segmentarie si elimina, al secondo membro, l'area [ODE]. Costruiamo in questo modo le aree di tutti i triangoli LI " percorsi positivamente e sommiamo tutte le equazioni segmentarie che si ottengono. Allora al secondo membro, per o g n i segmento DE posto all'interno del triangolo ABC, si elimina l'area [ODE] . Se indichiamo i punti usati nella scomposizione del triangolo ABC posti sui lati secondo l'ordine in cui si succedono con A, Al > . . . , 79

A z, B, Bl> . . . , Bm, C, Cl> . . , Cm e se indichiamo la somma di tutte le aree dei triangoli L1 k> percorsi positivamente, brevemente con :E, la somma di tutte le equazioni segmentarie dà, come si rico­ nosce facilmente, :E = [OAA 1] + . . + [OA/B] .

.

+ [OBBI] + . . . + [OBm C] + [O CCI] + . . . + [OCnA] = [OAB] + [OBC] + [O CA],

e quindi, per il teorema 49,

Spiegazione. Se definiamo l'area [P] di un poligono semplice percorso positivamente come la somma delle aree di tutti i triangoli, percorsi positivamente, nei quali esso stesso si scompone per una data scomposizione, si riconosce, sulla base del teorema 50, mediante un procedimento analogo a quello che abbiamo applicato nel para­ grafo 1 8 per la dimostrazione del teorema 43, che l'area [P] è indipen­ dente dal modo di scomposizione in triangoli e quindi è definita in modo univoco soltanto dal poligono. Da questa definizione otteniamo, con l'aiuto del teorema 50, l'enunciato che p o l i g o n i e q u i s c o m p o n i b i l i h a n­ n o a r e e u g u a l i. (Qui e nel seguito bisogna. sempre intendere pei-area.- quelIà per il verso positivo.) Se poi P e Q sono poligoni equiampliabili, allora, per defini­ zione, si devono dare dei poligoni, a coppie equiscomponibili, P', Q' ; . . . ; P", Q", tali che il poligono composto da P, P', . . . , P", cioè P + p' + . . + P", risulti equiscomponibile col poligono composto da Q, Q', . . . , Q" , cioè Q + Q' + . . . + Q" . Dalle equazioni -

.

[P + p' + . . . + P"] = [Q + Q' + . . . + Q"]

[P']

=

[Q']

[P"] = [Q"]

concludiamo facilmente [P]

=

[Q],

cioè P o l i g o n i e q u i a m p l i a b i l i h a n n o a r e e u g u a l i. 80

21. La equiampliabilità e l'area Nel paragrafo 20 abbiamo trovato che poligoni equiampliabili hanno sempre la stessa area. Da questo enunciato deduciamo imme­ diatamente la dimostrazione del teorema 48. Se infatti indichiamo con g le basi uguali dei due triangoli, con h ed h' le altezze corrispondenti, concludiamo, dalla supposta equiampliabilità dei due triangoli, che . gli stessi devono avere aree uguali, da cui segue

1 2

1 2

- gh = - gh'

e, per divisione per 2 g,

1

h = h' ;

e questa è la tesi del teorema 48. Ormai si può anche invertire l'enunciato dato alla fine del para­ grafo 20. Difatti se P e Q sono due poligoni con aree uguali, secondo il teorema 47, costruiamo due triangoli rettangoli L1 ed E con la se­ guente proprietà : ciascuno abbia un cateto 1 ed inoltre il triangolo L1 sia equiampliabile col poligono P ed il triangolo E con il poligono Q. Dal teorema dimostrato alla fine del paragrafo 20 segue allora che L1 ha la stessa area di P e cosi pure E di Q. A causa della uguaglianza delle aree di P e Q ne segue che anche L1 ed E devono avere aree uguali. Ma poiché questi due triangoli rettangoli coincidono nel ca­ teto 1 , devono necessariamente coincidere anche nell'altro cateto, cioè i triangoli L1 ed E sono fra loro congruenti, e quindi, per il teorema 43, i due poligoni P e Q sono tra loro equiampliabili. Riuniamo insieme nel seguente teorema i due enunciati trovati in questo paragrafo e nel precedente. Teorema 51. Due poligoni equiampliabili hanno sempre la stessa area e due poligoni con la stessa area sono sempre equiampliabili. In particolare, due rettangoli equiampliabili, con un lato in comu­ ne, devono coincidere anche nell'altro lato. Segue anche il teorema : -

Teorema 52. Se si scompone un rettangolo con delle rette in triangoli e si trascura anche uno solo di questi triangoli, allora con i triangoli rimanenti non si può piu ricostruire il rettangolo. -

81

Questa proposizione è stata posta come assioma da De Zolt2 e da o. Sto1z3 ed è stata dimostrata con l'aiuto dell'assioma archime­ deo da F. Schur4 e da W. Killing.5 In quanto precede è dimostrato che e s s o v a l e i n m o d o c o m p 1 e t a m e n t e i n d i P e n­ d e n t e d a I l ' a s s i o m a a r c h i m e d e o. Per la dimostrazione dei teoremi 48, 50, e 51 abbiamo essenzial­ mente usato il calcolo coi segmenti introdotto nel capitolo terzo, pa­ ragrafo 1 5 e, poiché questo si fonda in sostanza sul teorema di Pa­ scal (teorema 40), anzi sul caso particolare dello stesso (v. p. 58), il teorema di Pascal appare essere il fondamento pili importante per la teoria dell'equivalenza. Si riconosce facilmente anche che, viceversa, dai teoremi 46 e 48 si può riottenere il teorema di Pascal. Infatti dal parallelismo delle rette CB' e C'B segue, per il teorema 46, la equiampliabilità dei triangoli OBB' ed OCC', cosi pure dal parallelismo delle rette CA' ed AC' segue la equiampliabilità dei triangoli OAA' ed OCC'.

Poiché ne segue che anche i triangoli OAA' ed OBB' sono equi­ ampliabili, il teorema 48 dà che anche BA' ed AB' devono essere parallele. Riconosciamo inoltre facilmente che un poligono, il quale stia per intero all'interno di un altro poligono, ha sempre area minore di questo e quindi, per il teorema 5 1 , non può essere equiscomponi­ bile con esso. Questo enunciato contiene il teorema 52 come caso particolare. 2 Principi dell'eguaglianza dei poligoni preceduti da alcuni cenni critici sulla teoria dell'equi­ valenza geometrica, Milano, Briola, 1881 . Cfr. anche Principi dell'eguaglianza di po/iedri e di poligoni sferici, Milano, Briola, 1883. 3 •

•

82

" Monatshefte fiir Math. und Phys. , anno 5, 1894. " Sitzungsberichte der Dorpater Naturf. Ges. , 1892. " Grundlagen der Geometrie ", voI. 2, sezione 5, paragrafo 5, 1898. "

"

Con ciò abbiamo stabilito le proposizioni essenziali della teoria dell'equivalenza nel piano. Già Gauss aveva richiamato l'attenzione dei matematici sulla corrispondente questione per lo spazio. lo ho espresso l'ipotesi della impossibilità di stabilire in modo analogo la teoria dell'estensione nello spazio ed ho posto il preciso problema6 di indicare due tetra­ edri con ugual superficie di base ed uguali altezze, che non si possano scomporre in nessun modo in tetraedri congruenti e che non si pos­ sano neanche ampliare con l'aggiunta di tetraedri congruenti in po­ liedri, per i quali sia possibile, da parte loro, una scomposizione in tetraedri congruenti. M Dehn7 è riuscito in questa dimostrazione. Egli ha cosi pro­ vato in maniera piu forte l'impossibilità di stabilire la teoria dell'esten­ sione spaziale come si è fatto prima per l'estensione piana. C'erano poi per la trattazione delle analoghe questioni nello spazio altri mezzi, per esempio l'utilizzazione del principio di Ca­ valieri.8 In questo senso W. SiiSS,9 ha stabilito la teoria della estensione nello spazio. W. Siiss chiama due tetraedri, aventi uguali altezze e superficie di base equiampliabili, uguali secondo Cavalieri ; inoltre due poliedri che si possano scomporre in un numero finito di tetraedri a coppie uguali secondo Cavalieri, equiscomponibili secondo Cava­ lieri, ed infine due poliedri che si possono descrivere come diffe­ renze di poliedri equiscomponibili secondo Cavalieri, equiamplia­ bili secondo Cavalieri. Senza l'uso degli assiomi di continuità si può dimostrare che l'uguaglianza dell'estensione e la equiampliabilità se­ condo Cavalieri sono concetti equivalenti, mentre la equiscomponi­ bilità secondo Cavalieri in poliedri di uguale estensione è dimostra­ bile solo con l'aiuto dell'assioma archimedeo. Come risultato piu recente, ottenuto da J. P. Sydler10 si menzio..

6

Cfr. il mio lavoro " Mathematische Probleme ", n. 3. Vber raumgleiche Polyeder, " G6ttinger Nachr.", 1900, come pure Vber den Raum­ inhalt " Math. Ann. ", voI. 55, 1902 ; cfr. inoltre KAGAN, " Math. Ann. ", voI. 57. 8 Soltanto la prima parte del teorema 51 come i teoremi 48 e 52 valgono in modo analogo per lo spazio ; cfr. per esempio SCHATUNOWSKY, Vber den Rauminhalt der Polye­ der " Math. Ann. ", voI. 57. M. DEHN, nella memoria Vber den Inhalt sphiirischer Dreie­ ,ke, " Math. Ann. ", voI. 60, ha mostrato che si può stabilire la teoria dell'equivalenza nel piano anche senza l'assioma delle parallele, solo con l'aiuto dei teoremi sulla conguenza. Cfr. anche FINZEL, Die Lehre von Fliicheninhalt in der allgemeinen Geometrie " Math. Ann. ", volo 72. e Begrilndung der Lehre von Po/yederinhalt, " Math. Ann.", voI. 82. lO Sur la décomposition des polyèdres, " Comm. Helv. ", 16, 266-273, 1943-44. 7

83

na il seguente : il teorema che si ottiene per il piano dal teorema 51 e dalla riflessione a pagina 74 Ca chiusura del teorema 46) che due poligoni equiampliabili sono anche equiscomponibili, può venire esteso ai poliedri dello spazio nella ipotesi dell'assioma archimedeo. Da questo fatto si deduce poi la constatazione che l'insieme delle classi di equivalenza dei poligoni, in relazione alla equiscomponi­ bilità, ha la potenza del continuo.

84

Capitolo quinto

Il teorema di Desargues

22: Il teorema di Desargues e la sua dimostrazione nel piano con l'aiuto degli assiomi di congruenza Degli assiomi esposti nel primo capitolo, quelli dei gruppi II-V sono assiomi in parte lineari, in parte piani : gli assiomi 4-8 del grup­ po I sono i soli assiomi dello spazio. Per mettere in chiaro il significato di questi assiomi spaziali, supponiamo che sia data una qualsiasi geometria p i a n a e cer­ chiamo in generale le condizioni sotto le quali questa geometria piana può venire concepita come una parte di una geometria dello spazio, nella quale siano soddisfatti tutti gli assiomi supposti nella geometria piana ed inoltre gli assiomi spaziali di connessione I 4-8. In questo capitolo e nel seguente non verranno in generale intro­ dotti gli assiomi di congruenza. Conseguentemente l'assioma delle pa­ rallele IV (v. p. 29) deve venire posto qui con un enunciato piti forte : IV* (a s s i o m a d e I l e p a r a I l e l e c o n e n u n c i a t o p i ti f o r t e). - Sia a una qualsiasi retta ed A un punto esterno ad a : allora nel piano determinato da a e da A c'è u n a e d u n a s o l a retta che passa per A e non interseca la a. Sulla base degli assiomi dei gruppi I e IV* è notoriamente pos­ sibile dimostrare il cosiddetto teorema di Desargues ; il teorema di Desargues è un teorema piano riguardante punti di intersezione. Assumiamo in particolare la retta sulla quale devono giacere i punti di intersezione dei lati corrispondenti dei due triangoli come " ret­ ta all'infinito " , come si dice, ed indichiamo il teorema che ne nasce, insieme al suo inverso, semplicemente, come teorema di Desargues ; questo teorema suona come segue : 85

Teorema 53 (t e o r e m a d i D e s a r g u e s). - Se due trian­ goli sono disposti in un piano in modo tale che i lati corrispondenti siano tra loro paralleli, le rette congiungenti i vertici corrispon­ denti passano tutte per uno stesso punto, ovvero sono fra loro pa­ rallele e viceversa. Se due triangoli sono cosi disposti in un piano che le rette con­ giungenti i vertici corrispondenti passano per un punto o sono fra loro parallele e se inoltre due coppie di lati corrispondenti dei trian­ goli sono parallele, anche i terzi lati dei due triangoli sono fra loro paralleli. Come già accennato, il teorema 5 3 è una conseguenza degli as­ siomi I e IV* ; a causa di questo fatto la validità del teorema di De­ sargues in una geometria piana è in ogni caso una condizione neces-

saria affinché questa geometria possa venire considerata una parte di una geometria dello spazio in cui siano soddisfatti tutti gli assiomi dei gruppi I, II, IV*. Supponiamo ora, come nei capitoli terzo e quarto, una geo­ metria p i a n a in cui valgano gli assiomi 1 1-3 e II-IV e suppo­ niamo che sia stato introdotto nella stessa un calcolo coi segmenti secondo il paragrafo 15 : allora si può, come è stato esposto nel pa­ ragrafo 17, associare ad ogni punto del piano un coppia di segmenti (x, y) e ad ogni retta i rapporti di tre segmenti (u : v : w), dove ti e v non siano entrambi nulli, in modo tale che l'equazione lineare'

esprima la condizione di appartenenza di punto e retta. Il sistema di tutti i segmenti della nostra geometria forma per il paragrafo 17 un dominio di numeri per i quali sussistono le proprietà 1-16 elencate al paragrafo 1 3 e quindi possiamo, mediante questo dominio di nu­ meri costruire una geometria dello spazio, analogamente a quello che si è fatto nel paragrafo 9 ovvero nel paragrafo 12 con i sistemi 86

di numeri Q e, rispettivamente, Q (t) ; allo scopo conveniamo che un sistema di tre segmenti (x, y, Z) rappresenti un punto, i rapporti di quattro segmenti (u : v : w : r), nei quali u, v, w non siano contem­ poraneamente nulli, rappresentino un piano, mentre le rette vengano definite come intersezione di due piani ; allora l'equazione lineare ux + 1Y + wZ + r = O

esprima che il punto (x, y, Z) giace sul piano (u : v : w : r). Per quello poi infine che concerne l'ordinamento dei punti su una retta ovvero dei punti in un piano, rispetto ad una retta di esso, o infine l'ordinamento dei punti nello spazio rispetto ad un piano, questi vengono definiti mediante disuguaglianze fra segmenti in modo analogo a quello che si è fatto per il piano nel paragrafo 9. Poiché, introducendo il valore Z = O, ritorniamo alla geometria piana originaria, riconosciamo che la nostra geometria piana può ve­ nire considerata parte di una geometria dello spazio. Ora, per la suddetta costruzione, la validità del teorema di Desargues è una con­ dizione necessaria e quindi segue che, nella supposta geometria pia­ na, deve pur valere il teorema di Desargues. Questo è dunque una conseguenza degli assiomi I 1-3, II-IV. Osserviamo che il fatto ora trovato lo si può dedurre senza fatica anche direttamente dal teorema 42 nella teoria delle propor­ zioni, ovvero dal teorema 61 . 23. La non-dimostrabilità del teorema di Desargues nel piano senza l'aiuto degli assiomi di congruenza Ci poniamo ora la domanda se il teorema di Desargues possa venire dimostrato in una geometria piana anche senza l'aiuto degli assiomi di congruenza e per questo giungiamo al seguente risultato : Teorema 54. - C'è una geometria piana nella quale sono soddisfatti gli assiomi I 1-3, II, III 1-4, IV*, V, cioè tutti gli assiomi lineari e piani, fatta eccezione dell' assioma di congruenza III 5, mentre n o n vale il teorema di Desargues (teorema 53). Quindi il teorema di Desargues n o n può ve­ nire d e d o t t o in generale dagli assiomi citati,. per la sua dimostrazione occorrono necessariamente o gli assiomi dello spazio o l'assioma III 5 sulla congruenza dei triangoli. 87

Dimostrazione. 1 Nella usuale geometria cartesiana piana, la cui possibilità è già stata riconosciuta nel secondo capitolo, paragrafo 9, alteriamo le definizioni di retta e di angolo nel seguente modo. Scegliamo una qualsiasi retta della geometria cartesiana come asse e distinguiamo un verso positivo ed uno negativo su questo asse, come pure un semipiano positivo ed uno negativo rispetto a questo asse. Come rette della nostra nuova geometria intenderemo ora l'asse ed ogni retta ad esso parallela della geometria cartesiana ; inoltre ogni retta della geometria cartesiana, la cui semiretta giacente nel semipiano positivo forma col verso positivo dell'asse un angolo retto ovvero ottuso ; infine ogni sistema di due semirette h, k della geometria cartesiana con la seguente proprietà : l'origine comune di h e k si trovi sull'asse, la semiretta h, giacente nel semipiano positivo formi con il verso positivo dell'asse un angolo acuto a ed il prolun­ gamento k' della semiretta k, che giace nel semipiano negativo, formi con il verso positivo dell'asse un angolo f3 in modo che nella geometria cartesiana valga la relazione -

tan f3 = 2. tan a

--

L'ordinamento dei punti e le lunghezze dei segmenti verranno definite in modo ovvio, come sempre, anche per quelle rette, che si rappresentano nella geometria cartesiana con un sistema di due semirette. Come si riconosce facilmente, valgono nella geometria cosi definita gli assiomi I 1-3 , II, III 1-3, IV* ; per esempio è im­ mediatamente evidente che le rette passanti per un punto ricoprono il piano una volta sola. Del resto valgono anche gli assiomi V. poso

1

Invece della " geometria non-desarguesiana " qui introdotta nelle precedenti edizioni di questo libro, verrà esposta una geometria non-desarguesiana alquanto piti semplice, fondata da Moulton. Cfr. F. R. MOULTON, A Simple Non-desarguesian pIane Geomelry, " Trans. Math. Soc. ", 1902. 88

Tutti gli angoli che non hanno almeno un lato che parta dall'as­ se e vada nel semipiano positivo e formi col verso positivo dell'asse un angolo acuto, verranno misurati, come di solito, nella geometria cartesiana. Se al contrario, almeno un lato di un angolo w è una semi­ retta h con l'appena citata proprietà, definiremo come grandezza del­ l'angolo w nella nuova geometria la grandezza di quell'angolo w' della geometria cartesiana che ha come lato invece di h la corrispon-

dente semiretta k' (cfr. la pagina precedente). La figura a sinistra illustra queste definizioni per due coppie di angoli adiacenti. In base alla nostra definizione di angolo, è valido anche l'assioma III 4 ; in particolare vale per ogni angolo -1: (I, m ) :

-1: (I, m ) = -1: (m, I).

Al contrario, come mostra immediatamente la figura a destra e come si conferma facilmente mediante il calcolo, i 1 t e o r e m a d i D e s a r g u e s n o n è v a l i d o n e l l a n u o v a g e o m e­ t r i a. È del resto altrettanto facile costruire una figura che mostri che non è valido neppure il teorema di Pascal. La geometria piana " non-desarguesiana " qui esposta serve anche come esempio di una geometria piana, in cui sono validi gli assiomi I 1 -3, II, III 1 -4, IV*, V e che non può venire considerata come parte di una geometria dello spazio. 2

2 H. MOHRMANN ha dato ulteriori esempi interessanti di sistemi di linee non-de­ sarguesiani, Festschrift David Hilbert, Berlin, 1922, p. 181.

89

24. Introduzione di un calcolo con i segmenti senza uso degli assiomi di congruenza, sulla base del teorema di Desargues3

Per riconoscere completamente il significato del teorema di De­ sargues (teorema 53) poniamo alla base una geometria piana in cui siano validi gli assiomi 1 1 -3, II, IV* 4 cioè tutti gli assiomi lineari e piani, tranne gli assiomi della congruenza e della continuità, ed in­ troduciamo in questa geometria un calcolo con i segmenti, i n d i­ P e n d e n t e d a g l i a s s i o m i d e I l a c o n g r u e n z a, nel seguente modo : Fissiamo nel piano due rette che si intersechino in un punto O e calcoliamo in seguito soltanto con quei segmenti, di cui O è 1'ini­ zio ed il cui termine giace su una qualsiasi delle due 'rette fissate. Il solo punto O verrà considerato come segmento �ero, in simboli 00 = 0

ovvero

0 = 00.

Siano E ed E' punti su ciascuna delle due rette per O; allora indicheremo i due segmenti OE ed OE' come segmenti 1 , in simboli : OE = OE' = 1

ovvero 1 = OE = OE'.

Chiameremo brevemente la retta EE' r e t t a u n i t à. Se poi A ed A' sono punti sulla retta OE e, rispettivamente, sulla retta OE' 3 G. HESSENBERG dà una derivazione del calcolo con i segmenti, che si collega alla costruzione delle idee della geometria di posizione nel suo lavoro Ober einen geometrischen Kalkul, " Acta Math. ", voI. 29, 1904, Certe parti del lavoro si ottengono piti semplice­ mente se si svolge prima nel piano la somma di vettori sulla base del teorema di Desar­ gues. Cfr. HOLDER, Streckenrechnung und projektive Geometrie, " Leipz. Ber. ", 1 9 1 1 . , S i può introdurre u n nuovo calcolo coi segmenti anche senza l'assioma delle pa­ rallele IV*, enunciando proiettivamente il teorema di Desargues. Circa la superfluità degli assiomi di ordinamento cfr. Supplemento IV,

90

e la retta AA' è parallela alla retta EE', diremo uguali fra loro i due segmenti OA ed OA', in simboli

OA = OA'

ovvero

OA' = OA.

Per definire poi la somma dei segmenti a = OA, b = OB, giacenti su OE, si costruisca AA' parallela alla retta unità EE' e quindi si tracci per A' una parallela ad OE e per B una parallela ad OE'. Queste due parallele si intersecano in un punto A " . Infine si tracci per A " una parallela alla retta unità EE' ; questa intersechi le date rette OE ed OE' rispettivamente in C ed in C' : allora c = = OC = OC' si chiama la somma del segmento a = OA con il segmento b = OB, in simboli : c= a+ b

ovvero

a + b = c.

Sia detto qui che, sotto l'ipotesi della validità del teorema di Desargues (teorema 53), la somma di due segmenti può venire ot­ tenuta in modo piti generale ; il punto C, che definisce la somma ,a + b su quella retta dove giacciono A e B, è infatti indipendente

o

A a.

B li

(J culi

dalla scelta della retta unità EE' presa all'inizio, cioè noi otteniamo 'questo punto C anche con la seguente costruzione : Si scelga sulla retta OA' un qualsiasi punto A' e si tracci per B la parallela ad oA' e per A' la parallela ad OB. Queste due parallele si intersecano in un punto A" . Ora, la parallela ad AA', tracciata per A", interseca la retta OA nel punto C che definisce la somma .a + b. Per la dimostrazione, supponiamo che sia il punto A' sia il punto A", e quindi anche i punti A' ed A", siano stati ottenuti nel modo dato ed il punto C sia stato definito su OA in modo tale che CA" sia parallelo ad AA ' . Allora bisogna dimostrare che an­ che cA" è parallelo ad AA'. I triangoli AA 'A' e CA"A" sono disposti in modo tale che le rette congiungenti i vertici corrispondenti sono parallele e che, oltre a ciò, due coppie di lati corrispondenti, 91

cioè A' A' ed A"A" come AA' e CA", sono parallele. Allora, per la seconda parte dell'enunciato del teorema di Desargues, anche i terzi lati AA' e CA" sono effettivamente fra loro paralleli. Per definire il prodotto di un segmento a = O A per il segmento b = OB ci serviamo esattamente della costruzione data nel para­ grafo 1 5, soltanto che, invece dei lati dell'angolo retto, prendiamo in considerazione le due rette date OE ed OE'. La costruzione è allora la seguente : si definisca su OE' il punto A' in modo tale che

AA' sia parallelo alla retta unità EE', si congiunga E con A' e si tracci da B la parallela ad EA' ; questa parallela interseca la data retta OE' in un punto C' ; allora c = OC' si chiama il prodotto del ' segmento a = OA per il segmento b = OB, in simboli : c = ab

ovvero

ab = c.

25. Le leggi commutativa ed associativa del/'addizione nel nuovo calcolo con i segmenti Come si riconosce facilmente, per il nostro nuovo calcolo con i segmenti, sono valide tutte le proposizioni sulla composizione esposte nel paragrafo 13 ; cerchiamo ora quale delle regole di calcolo là espo­ ste sia valida di per sé, se poniamo alla base una geometria piana in cui siano soddisfatti gli assiomi I 1-3, II, IV* e p e r d i P i ti v a 1g a i l t e o r e m a d i D e s a r g u e s. Prima di tutto vogliamo dimostrare che per l'addizione di seg­ menti, definita nel paragrafo 24, vale la legge c o m m u t a t i v a � a + b = b + a.

Siano a = OA = OA ', b = OB = OB', 92

dove, d'accordo con la nostra convenzione, AA' e BB' sono paral­ lele alla retta unità. Costruiamo ora i punti A l i e B", tracciando A'A", come pure B'B", parallele ad OA ed inoltre AB" e BAl i parallele a d OA'. Come si vede subito, la nostra tesi dice allora che la retta congiungente A"B" è parallela ad AA'. Riconosciamo la correttezza di questa affermazione nel seguente modo, sulla base

del teorema di Desargues (teorema 53) : indichiamo con F il punto di intersezione di AB" ed A' A l i e con D quello di BA l i e B' B" ; allora nei triangoli AA' F e BB' D i lati corrispondenti sono fra loro paralleli. Per il teorema di Desargues ne concludiamo che i tre punti O, F, D sono allineati. In conseguenza di questo fatto, i due triangoli OAA ' e DB"A" sono disposti in modo tale che le congiungenti i vertici corrispondenti passano per lo stesso punto F e poiché inol­ tre due coppie di lati corrispondenti, cioè OA e DB" come pure OA' e DAl i sono tra loro parallele, per la seconda parte dell'enun­ ciato del teorema di Desargues (teorema 53) anche i terzi lati AA' e B" Ali sono paralleli fra loro. Da questa dimostrazione segue pure che è indifferente da quale delle due rette date si parta per la costruzione della somma di due segmenti. Inoltre vale la legge a s s o c i a t i v a della addizione a + (b + c) = (a + b) + c.

Siano dati sulla retta OE i segmenti a = OA,

b = OB,

c = OC.

Sulla base della regola generale dell'addizione data nel precedente paragrafo, le somme a + b = OG,

b + c = OB',

(a + b) + c = OG' 93

si possono costruire nel seguente modo : scegliamo un punto D sul­ la retta OE' a caso e congiungiamolo con A e con B. La parallela ad OA, tracciata per D, verrà intersecata dalle due parallele ad OD per B e C, rispettivamente, in F ed in D'. Le parallele ad AD per F e a BD per D' intersecano ora la retta OA nel sopracitato punto C e, rispettivamente, in B' e la parallela, tracciata per D', a CD inter­ seca poi la retta OA nel pure menzionato punto C'. Si otterrà infine la somma a + (b + c) tracciando prima la parallela per B' ad OD che verrà intersecata dalla retta DD' in un punto F' e quindi traccian­ do per F' la parallela ad AD. Rimane dunque da dimostrare che C' F' è parallela ad AD. Se ora indichiamo l'intersezione delle rette B F e CD con H e l'intersezione delle rette B' F' e C' D' con H', nei triangoli BDH e B'D'H' i lati corrispondenti sono paralleli fra loro

e siccome poi le due rette BB' e DD' sono tra loro parallele, per il teorema di Desargues, anche la retta HH' è parallela a queste due rette. Possiamo quindi applicare la seconda parte dell'enunciato del teorema di Desargues ai triangoli CFH e C'F'H' e riconoscere quindi che C'P' è parallela a CF e quindi anche ad AD. 26. La legge associativa della moltiplicazione e le due leggi distributive nel nuovo calcolo con i segmenti

Nelle nostre ipotesi vale pure la legge a s s o c i a t i v a per la moltiplicazione con i segmenti. a(bc) = (ab)c.

Siano dati sulla prima delle due rette fissate per O i segmenti 1 = OA,

b = OC,

c = OA'

e sull'altra i segmenti a = OC 94

e

b = OB.

Per costruire, secondo la regola del paragrafo 24, successivamente i segmenti bc = OB' e bc = DC', ab = OD (ab)c = OD'

tracciamo A'B' parallela ad AB, B'C' parallela a BC, CD parallela ad AG come pure A'D' parallela ad AD ; come si riconosce subito, la nostra tesi equivale a dire che anche CD deve essere parallela a C'D'. Se indichiamo ora l'intersezione delle rette AD e BC con F, e l'intersezione delle rette A'D' e B'C' con F', allora nei due trian­ goli AB F e A' B' F' i lati corrispondenti sono fra loro paralleli ; allora, per il teorema di Desargues, i tre punti O, F, F' sono allineati. Per questa circostanza, possiamo applicare la seconda parte dell'enunciato del teorema di Desargues ai due triangoli CDF e C'D' F' e ri­ conoscere che effettivamente CD è parallelo a C'D'. Dimostriamo infine per il nostro calcolo con i segmenti sulla base del teorema di Desargues le due leggi distributive a(b + c) = ab + ac

e (b + c) a = ba + ca.

Per la dimostrazione della p r i m a l e g g e d i s t r i b u t i v a a(b + c) = ab + ac

supponiamo : siano dati sulla prima delle due rette fissate i segmenti 1 = DE,

b = OB,

c = DC 95

e sull'altra retta il segmento a = OA.

Le parallele alla retta BA, tracciate per B e C, intersecano la retta OA rispettivamente nei punti D ed F. Allora, per la regola della moltiplicazione del paragrafo 24, OD = ab,

OF = ac.

Per la regola piu generale di addizione del paragrafo 24, otte­ niamo la somma OH = b + c, tracciando per C la parallela ad O D e per D la parallela ad OC e poi, per l'intersezione G di queste due rette, la retta parallela a BD

che interseca OC nel sopracitato punto H ed OD in un punto K. Poiché OH = b + c, per la regola della moltiplicazione è OK = a(b + c).

A causa della regola piu generale dell'addizione e della inter­ cambiabilità delle rette fissate OB ed OB' nella costruzione della somma dimostrata a pagina 93, si può infine costruire la somma ac + ab nel seguente modo : tracciamo per un qualsiasi punto di OB per esempio C, la parallela CG ad OD, poi la parallela DG per D ad OC ed infine per G la parallela GK a CF.

È dunque

96

OK = ac + ab.

e ne segue, per la legge commutativa dell'addizione, la prima legge distributiva. Per dimostrare infine la s e c o n d a l e g g e d i s t r i b u t i v a supponiamo : siano dati sulla prima delle due rette fissate i segmenti

1 = OB,

a = OA

e sull'altra retta i segmenti b = OB,

c = OC.

Mediante le parallele AB' ad BB ed AC' ad BC, restano definiti i segmenti OB' = ba, OC' = ca. Costruiamo i segmenti OF = b + c,

OF' = ba + ca

ancora sulla retta fissa OB secondo la regola piti generale di addi­ zione come segue : tracciamo per C la parallela ad OB e per B la parallela ad OC. Queste si intersecano in un punto D per il quale

tracciamo la parallela ad BB che viene intersecata da OA nel citato punto F. Cosi tracciamo per A la parallela ad OC' e per C' la paral­ lela ad OA. Queste si intersecano in un punto D', per il quale trac97

ciamo la parallela ad AB' che verrà intersecata da OA nel punto chiamato P'. Per la regola della moltiplicazione, la seconda legge distribu­ tiva sarà dimostrata quando si sia mostrato che AP' è parallela ad EP. Nei triangoli ECD ed AC' D' i lati corrispondenti sono paral­ leli fra loro ; allora, per il teorema di Desargues, i tre punti O, D, D' sono allineati. Possiamo quindi applicare la seconda parte dell'enun­ ciato del teorema di Desargues ai due triangoli ED P ed AD' p' e riconoscere che effettivamente A P' è parallelo ad EP. 27. L'equazione della retta sulla base del nuovo calcolo con i segmenti

Dal paragrafo 24 al paragrafo 26, mediante l'assioma introdotto nel paragrafo 24 e nell'ipotesi della validità del teorema di Desargues, abbiamo introdotto nel piano un calcolo con i segmenti nel quale, oltre alle leggi di composizione elencate nel paragrafo 1 3, sono va­ lide la legge commutativa dell'addizione, le leggi associative dell'ad­ dizione e della moltiplicazione, come pure le due leggi distributive. Riconosceremo nel paragrafo 33 che la legge commutativa della moltiplicazione non è necessariamente valida. In questo paragrafo vogliamo mostrare in qual modo sia possibile, sulla base di questo calcolo con i segmenti, una rappresentazione analitica dei punti e delle rette nel piano. Spiegazione. Chiameremo le due rette prese per O gli assi X ed Y e considereremo qualsiasi punto P del piano definito mediante i segmenti x, y che si ottengono rispettivamente sugli assi X e Y quando si traccino per P le parallele a questi assi. Questi segmenti x ed y si chiamano le coordinate del punto P. Sulla base del nuovo calcolo con i segmenti e con l'aiuto del teorema di Desargues, perveniamo al seguente enunciato : -

Teorema 55. Le coordinate x, y del punto di una qualsiasi retta sod­ disfano sempre ad una equazione segmentaria della forma -

ax + Iry + c = O ; in questa equazione i segmenti a e b stanno necessariamente a s i n i s t r a 98

delle coordinate x, y,. i segmenti a, b non sono mai entrambi nulli e c è qualsiasi segmento.

un

Viceversa : ogni equazione segmentaria del tipo descritto rappresenta sempre una retta nella geometria piana posta alla base. Dimostrazione. L'ascissa x di ogni punto P dell'asse Y o di una retta ad esso parallela non dipende dalla scelta del punto P sulla retta considerata, cioè una tale retta è rappresentabile nella forma x = c. -

In corrispondenza a c c'è un segmento c tale che è c+ c = O

e quindi vale la x + c = O.

Questa equazione è del tipo desiderato. Sia ora I una retta che intersechi l'asse Y in un punto S. Trac­ ciamo per un punto qualsiasi P di questa retta la parallela all'asse Y y

che verrà intersecata dall'asse X in un punto Q. Il segmento OQ = x è l'ascissa di P. La parallela per Q ad I interseca sull'asse Y un seg­ mento OR e per la definizione della moltiplicazione è OR = ax, dove a è un segmento che dipende solo dalla posizione di I, ma non dalla scelta del punto P su I. Si chiami y la ordinata del punto P. Secondo la definizione ampliata di somma data nelle pagine 91 -92, e per la possibilità, già dimostrata a pagina 93, di costruire una som99

ma anche partendo dall'asse Y, il segmento 05 dà la somma ax + y. Il segmento 05 = c è un segmento definito solo dalla posizione di I. Dall' equazione ax + y = c segue ax + y + c = 0, dove ancora c è il segmento definito dall'equazione c + c = O. L'equa­ zione di retta, citata per ultima, è del tipo desiderato. Si riconosce facilmente che le coordinate di un punto che non giace su I non soddisfano a questa equazione. Cosi pure è facile dimostrare la validità della seconda parte del­ l'enunciato del teorema 55. Se è data infatti un'equazione segmentaria a' x + b'y + c' = °

in cui a', bi non sono entrambi nulli, moltiplichiamo l'equazione, a sinistra, nel caso in cui bi = 0, per il segmento a definito dalla rela­ zione aa' = 1 , nel caso bi -:::j:: 0, per il segmento b definito dall'equa­ zione bb' = 1 . In base alle regole di calcolo otteniamo allora una delle equazioni di retta sopra derivate e possiamo facilmente costruire, nella geometria piana posta alla base, una retta che soddisfa a questa equazione. Si osservi ancora espressamente che nelle nostre ipotesi un' equa­ zione segmentaria della forma xa + yb + c = °

in cui i segmenti a, b s t a n n o a d e s t r a delle coordinate x, y, non rappresenta in generale una retta. Nel paragrafo 30 faremo un'importante applicazione del teo­ rema 55. 28. L'insieme dei segmenti inteso come un sistema complesso di numeri

Abbiamo già osservato che per il nostro nuovo calcolo con i segmenti, fondato nel paragrafo 24, sono soddisfatte le proposizioni 1 -6 del paragrafo 13. Inoltre nei paragrafi 25-26 abbiamo riconosciuto, con l'aiuto 1 00

O, ogni volta che, nella espressione 5 che lo rappresenta, il primo coefficiente ro di To risulta < ovvero > o. Se sono dati due numeri qualsiasi a e b del sistema complesso di numeri, si dice a < b o, rispettivamente, a > b a seconda che è a b < O ovvero, rispettivamente, > O. Risulta immediatamente chiaro che, mediante queste convenzioni, sono valide anche le re­ gole 13-1 6 del paragrafo 1 3, cioè Q(s, t) è un sistema di numeri de­ sarguesiano (cfr. paragrafo 28). La legge 12 del paragrafo 13 non è soddisfatta per il nostro sistema complesso di numeri Q(s, t), come lo mostra l'equazione (1 ) e con questo è riconosciuta completamente la correttezza del teore­ ma 60. D'accordo con il teorema 59, la proposizione archimedea (pro­ posizione 17 del paragrafo 1 3) non vale per il sistema di numeri Q(s, t) or ora presentato. -

111

34. Dimostrazione dei due teoremi sul teorema di Pascal (geometria non­ pascaliana) Quando in una geometria dello spazio sono soddisfatti tutti gli assiomi I, II, IV*, vale anche il teorema di Desargues (teorema 53) e quindi, per l'ultimo teorema del paragrafo 28, è possibile l'intro­ duzione in questa geometria di un calcolo con i segmenti su ogni coppia di rette che si intersecano, per il quale siano valide le leggi 1 -1 1 , 13-1 6 del paragrafo 1 3. Se premettiamo ora l'assioma archi­ medeo V 1 *, nella nostra geometria, vale ovviamente per il calcolo con i segmenti la proposizione archimedea (proposizione 1 7 del pa-

ragrafo 1 3) e quindi, per il teorema 59, anche la legge commutativa della moltiplicazione. Usando della figura accanto è immediatamente ovvio che la legge commutativa della moltiplicazione non significa altro che il teorema di Pascal per entrambi gli assi. E con ciò che si riconosce la validità del teorema 57. Per dimostrare il teorema 58, teniamo presente il sistema desar­ guesiano di numeri D(s, t) esposto nel paragrafo 33 e costruiamo con l'aiuto del medesimo, nel modo descritto nel paragrafo 29, una geo­ metria dello spazio in cui siano soddisfatti tutti gli assiomi I, II, IV*. Ma in questa geometria non vale il teorema di Pascal, perché nel si­ stema di numeri desarguesiano D(s, t) non sussiste la legge com­ mutativa della moltiplicazione. La geometria " non-pascaliana " co­ si costruita, d'accordo con il teorema 57 sopra dimostrato, è ne­ cessariamente nello stesso tempo anche una geometria " non-archi­ medea ". È ovvio che non si può dimostrare il teorema di Pascal mediante le nostre ipotesi anche se si considera la geometria dello spazio come una parte di una geometria ad un numero arbitrario di dimen­ sioni, in cui, accanto ai punti, rette e piani, siano a disposizione an1 12

che ulteriori elementi e per questi sia posto alla base un corrispon­ dente sistema di assiomi di connessione ed ordinamento, come pure l'assioma delle parallele.

35. Dimostrazione di un qualsiasi teorema su punti di intersezione me­ diante il teorema di Pascal

Dimostriamo in primo luogo il seguente fatto importante : Teorema 61 . Il teorema di Desargues (teorema 53) è deducibile dal teorema di Pascal (teorema 40) soltanto con l'aiuto degli assiomi 1 1-3, II, IV*, quindi senza l'uso degli assiomi di continuità. -

Dimostrazione.l Evidentemente i due enunciati parziali dei quali consta il teorema 53 seguono immediatamente uno dall'altro. Basta dunque, per esempio, dimostrare la seconda parte dell'enun­ ciato del teorema 53. In primo luogo conduciamo la dimostrazione sotto certe ipotesi ausiliarie. Due triangoli ABC e A' B'C' siano cosi disposti che le con­ giungenti i vertici corrispondenti passino per un punto O e che, -

inoltre, AB sia parallelo ad A'B' e AC parallelo ad A'C'. Suppo­ niamo poi ancora che né la retta OB' sia parallela ad A'C', né OC' ad A'B'. Tracciamo ora da A la parallela ad OB' che venga interse­ cata dalla retta A' C' in un punto L e dalla retta OC' in un punto M. La retta LB' non sia poi parallela né ad OA né ad OC. Le rette l Il teorema 61 è stato dimostrato da G. HESSENBERG (Beweis des Desarguessçhen

Sal!(p aus

dem

Pasça/sçhen,

"

Math. Ann.

",

voI. 61) nel modo accennato in seguito.

1 13

AB e LB' non sono certamente parallele, cioè si intersecano in un punto N che congiungiamo con M e con O. In conformità alla costruzione, il teorema di Pascal è applicabile alla configurazione ONALA'B' e fa riconoscere che ON è parallelo ad A' L e quindi anche a CA. È ormai possibile l'applicazione del teorema di Pascal anche alle configurazioni ONMACB e ONMLC'B' e dà che MN è parallela sia a CB sia a C'B'. Dunque i lati CB e C'B' sono effettivamente paralleli fra loro. Le ipotesi accessorie fatte durante la dimostrazione possono ve­ nire rimosse una dopo l'altra. La dimostrazione di queste riduzioni viene qui tralasciata. Sia ora data una geometria piana in cui valga il teorema di Pascal, oltre agli assiomi I 1 -3, II, IV*. Il teorema 61 ci insegna che in questa geometria è valido anche il teorema di Desargues. Possiamo quindi introdurre in essa un calcolo con i segmenti d'accordo con il paragrafo 24 ed in questo calcolo con i segmenti, per il paragrafo 34, con il teo­ rema di Pascal, vale anche la legge commutativa della moltiplicazione, cioè in essa valgono tutte le regole di calcolo 1-12 del paragrafo 13. Se indichiamo una figura cui corrisponda il contenuto del teo­ rema di Pascal o, rispettivamente, di quello di Desargues, come una configurazione pascaliana ovvero, rispettivamente, desarguesiana, il risultato dei paragrafi 24-26 e 34 può venire riunito nel seguente modo : ogni applicazione delle regole di calcolo (proposizioni 1-12 del pa­ ragrafo 13) nel nostro calcolo con i segmenti, risulta una combina­ zione di un numero finito di configurazioni pascaliane e desargue­ siane e, poiché la configurazione desarguesiana, per la dimostrazione del teorema 61, può venire rappresentata, mediante la costruzione di opportuni punti e rette ausiliari, come combinazione di configu­ razioni pascaliane, ogni applicazione delle citate regole di calcolo nel nostro calcolo con i segmenti risulta una combinazione di un numero finito di configurazioni pascaliane. Secondo il paragrafo 27 e sulla base della legge commutativa della moltiplicazione, in questo calcolo con i segmenti, un punto è rappresentato mediante una coppia di numeri reali (x, y) ed una retta mediante i rapporti di tre numeri reali (u : v : w), dei quali i primi due non si annullino contemporaneamente. La posizione unita di punto e retta è contraddistinta mediante un'equazione uX + fDI + w = O 114

ed il parallelismo di due rette (u : v proporzione u : v = u'

: w)

e (u '

: v

'

: w ')

mediante la

' : v .

Nella geometria cosi data, sia ora proposta una proposizione puramente di intersezioni. Per una proposizione puramente di in­ tersezioni intendiamo qui un teorema che contenga un enunciato sulla posizione unita di punti e rette e sul parallelismo di rette, senza usare altre relazioni, come, per esempio, congruenze e perpendicola­ rità. Ogni teorema puramente di intersezioni di una geometria piana può venire messo nelle seguente forma : Si scelga in primo luogo un sistema arbitrario di un numero finito di punti e di rette, quindi si traccino nel modo prescritto delle parallele a certune di queste rette, si scelgano dei punti su certe rette e si traccino per dei punti delle rette ; quando si costruiscano nel modo prescritto rette congiungenti, punti di intersezione e parallele per i punti già dati, si perviene infine ad un sistema determinato di un numero finito di rette delle quali il teorema dice che passano per lo stesso punto o che sono parallele. Consideriamo in primo luogo come parametri PI> . . . , Pn, le coordinate dei punti e delle rette scelti in modo del tutto arbitrario ; alcune delle coordinate dei punti e delle rette scelti in modo non del tutto arbitrario possono venire considerati come ulteriori parametri Pn+l' . . . , P,; gli altri vengano espressi mediante i parametri PI> . . . , Pro Le coordinate di tutte le rette congiungenti punti di intersezione e parallele, che verranno poi costruite, saranno allora espressioni ra­ zionali A (pI> . . . , P r) dipendenti da questi parametri e l'enunciato del teorema proposto sulle intersezioni verrà rappresentato mediante l'affermazione che certune di tali espressioni danno per valori coin­ cidenti dei parametri valori coincidenti ; cioè il teorema sulle inter­ sezioni enuncerà che determinate espressioni R(PI> . . . , p,), dipen­ denti razionalmente da certi parametri PI> . . . , P" si annullano sem­ pre non appena sostituiamo al posto di questi parametri qualche ele­ mento del calcolo con i segmenti introdotto nella geometria proposta. Poiché il dominio di questi elementi è infinito, concludiamo, per un noto teorema di algebra, che le espressioni R(PI> . . . , p,) devono, sulla b a s e d e I l e r e g o l e d i c a l c o l o 1-12 del paragrafo 1 3, annullarsi i d e n t i c a m e n t e. Ma per dimostrare nel nostro calcolo con i segmenti l'annullarsi identico delle espressioni R(p!> . . . , 115

p,), secondo quello che noi abbiamo dimostrato piu sopra per l'ap­ plicazione delle leggi di calcolo, basta l'applicazione del teorema di Pascal e quindi riconosciamo : Teorema 62. Ogni teorema puramente di intersezioni che vale in una geometria piana in cui siano validi gli assiomi I 1-3, II, IV* ed il teorema di Pascal risulta, mediante la costruzione di opportuni punti e rette ausi­ liarie, una combinazione di un numero finito di configurazioni di Pascal. Per la dimostrazione della validità del teorema su intersezioni non ci occorre quindi risalire, oltre all'uso del teorema di Pascal, agli assiomi di congruenza e di continuità. -

116

Capitolo settimo

Le costruzioni geometriche sulla base degli assiomi I-IV

36. Le costruzioni geometriche con riga e compasso ad apertura fissa Sia data una geometria dello spazio in cui valgano tutti gli as­ siomi I-IV ; per semplicità teniamo presente in questo capitolo solo una geometria p i a n a che sia contenuta in questa geometria dello spazio e studiamo la questione circa quali problemi elementari di co­ struzione (presupposti opportuni strumenti pratici) si possano ne­ cessariamente fare in una tale geometria. Per gli assiomi I, II, IV i seguenti problemi sono sempre risolu­ bili : Problema 1 . Congiungere due punti con una retta e trovare il punto di intersezione di due rette, nel caso in cui queste non siano parallele. Per gli assiomi di congruenza III è possibile il trasporto di seg­ menti ed angoli, cioè nella geometria proposta si possono risolvere i seguenti problemi : -

Problema 2. Trasportare un dato segmento su una data retta da una data parte di un punto. -

Problema 3. Trasportare un dato angolo su una data retta in un dato punto da una data parte ovvero costruire una retta che in­ tersechi una retta data in un dato punto sotto un dato angolo. Riconosciamo che, prendendo per base gli assiomi I-IV, sono risolubili soltanto quei problemi di costruzione che possono venir ricondotti ai problemi 1 -3 ora nominati. Aggiungiamo ai problemi fondamentali 1-3 ancora i seguenti due : -

117 [Q

Problema 4. - Tracciare per un punto dato la parallela ad una retta. Problema 5. - Tracciare una perpendicolare ad una retta data ..

Riconosciamo immediatamente che questi due problemi possono venire risolti mediante i problemi 1 -3 in diversi modi. Per la risoluzione del problema 1 abbiamo bisogno della r i g a. Per la risoluzione dei problemi 2-5 ci basta, come verrà mostrato in seguito, usare, oltre alla riga, il c o m p a s s o ad a p e r t u r a f i s s a, strumento che rende possibile il trasporto di un solol seg­ mento determinato, per esempio del segmento unità. Perveniamo con questo al seguente risultato : Teorema 63. - Quei problemi geometrici di costruzione che sono riso­ lubili prendendo per base gli assiomi I-IV, possono necessariamente venire risolti con riga e compasso ad apertura fissa.

4

Dimostrazione. - Per risolvere il problema 4, congiungiamo il dato punto P con un qualsiasi punto A della retta data a e traspor­ tiamo da A su a due volte, una dopo l'altra, mediante il compasso ad apertura fissa, il segmento unità, per esempio, fino a B e C. Sia D un qualsiasi punto su AP, distinto da A e da P, e per il quale BD non sia parallelo a Pc. Allora CP e BD si intersecano in un pun­ to B ed AB e CD in un punto F. Secondo Steiner, PF è la parallela ad a cercata. Risolviamo il problema 5 nel seguente modo : sia A un punto

1

Che qui basti postulare il trasporto di un solo segmento è stato osservato da J. KiiRSCHAK ; cfr. la sua nota Das Streçkenab/ragen, Math. Ann. voI. 55, 1902. "

118

",

qualsiasi della data retta ; trasportiamo da A su questa retta, da tutte e due le parti, mediante il compasso ad apertura fissa, i segmenti unità AB e AC e definiamo quindi, su due altre rette qualsiasi passanti l'

.B

per A, i punti E e D, in modo tale che anche i segmenti AD ed AE siano uguali al segmento unità. Le rette BD e CE si intersecano in un punto F, le rette BE e CD in un punto H e FH è la perpendicolare cercata. Infatti : gli angoli -1: BDC e -1: BEC sono angoli retti per­ ché angoli inscritti in una semicirconferenza di diametro BC e quindi, per il teorema sul punto di intersezione delle altezze di un triangolo applicato al triangolo BCF, anche FH è perpendicolare a Be. Sulla base dei problemi 4 e 5 è sempre possibile su una data retta a da un punto D, che non giaccia su di essa, abbassare una perpen­ dicolare ovvero innalzare la perpendicolare ad essa in un punto A che stia su essa stessa. Ora possiamo facilmente risolvere il problema 3 anche solo con riga e compasso ad apertura fissa ; battiamo, per esempio, la seguente strada che richiede solo il tracciamento di parallele e la costruzione

A

di perpendicolari : sia {l l'angolo da trasportare ed A il vertice di questo angolo. Tracciamo la retta J per A parallela alla retta data, sulla quale deve venir trasportato il dato angolo {l. Da un qualsiasi punto B di un lato di {l abbassiamo le perpendicolari all'altro lato dell'angolo 1 19

{l e ad I. I piedi di queste perpendicolari siano D e C. C e D sono fra loro distinti ed A non giace su CD. Possiamo quindi mandare da A la perpendicolare a CD ; sia E il suo piede. Per la dimostrazione fatta a pagina 56, è -1= CAE = {l. Se scegliamo B sull'altro lato dell'an­ golo dato, E cadrebbe sull'altra parte di I. Tracciamo per il punto dato sulla data retta la parallela ad AE; il problema 3 è con questo risolto. Per risolvere infine il problema 2 usiamo della seguente semplice costruzione data da J. Kiirschak : sia AB il segmento da trasportare e P il punto dato sulla data retta I. Si tracci da P la parallela ad AB e si trasporti sulla stessa, mediante il compasso ad apertura fissa, a

partire da P, da quella parte di AP da cui giace B, il segmento unità, per esempio, fino a C; si trasporti poi su I, sempre a partire da P, dalla data parte, il segmento unità fino in D. La parallela ad AP, tracciata per B, interseca PC in Q e la parallela, tracciata per Q, a CD interseca I in E : allora è PE = AB. Se I coincidesse con PQ e Q non stesse dalla data parte, si può modificare la costruzione in modo semplice. Resta quindi dimostrato che i problemi 1 -5 sono tutti risolubili con riga e compasso ad apertura fissa e quindi il teorema 63 resta di­ mostrato completamente.

37. Criterio per la possibilità delle costruzioni geometriche con riga e com­ passo ad apertura fissa Oltre ai problemi geometrici elementari trattati nel paragrafo 36, c'è ancora una lunga serie di altri problemi per la cui soluzione sono unicamente necessari il tracciamento di rette ed il trasporto di seg­ menti. Per poter abbracciare con lo sguardo il dominio di tutti i pro120

blemi risolubili in questo modo, poniamo alla base dell'ulteriore trat­ tazione un sistema di coordinate ortogonali e consideriamo le coor­ dinate dei punti, nel modo usuale, come numeri reali ovvero come funzione di certi parametri arbitrari. Per rispondere alla domanda sulla totalità dei punti costruibili, facciamo la seguente riflessione : Sia dato un sistema di punti determinati ; costruiamo a partire dalle coordinate di questi punti un campo di razionalità R ; questo contiene certi numeri reali ed un certo parametro arbitrario p. Con­ sideriamo ora la totalità di quei punti che sono costruibili mediante il tracciamento di rette ed il trasporto di segmenti a partire dal dato sistema di punti. Il dominio che verrà costruito dalle coordinate di questi punti si chiama il (R) ; questo contiene certi numeri reali e funzioni del parametro arbitrario p. Le nostre considerazioni del paragrafo 17 mostrano che il trac­ ciamento di rette e di parallele sigriliica analiticamente l'applicazione di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione di segmenti; inoltre la nota formula esposta nel paragrafo 9, per le rotazioni, in­ segna che il trasporto di segmenti su una retta arbitraria non dà altra operazione analitica che l'estrazione di radice da una somma di due quadrati, le cui basi siano già state costruite. Viceversa, sulla base del teorema pitagorico, con l'aiuto di un triangolo rettangolo, si può sempre costruire la radice quadrata della somma di due qua­ drati di segmenti, mediante il trasporto di segmenti. Da queste considerazioni risulta che il dominio il (R) contiene tutti e soli quei numeri reali e funzioni del parametro p che pro­ vengono dai numeri e dai parametri in R per un numero finito di applicazioni delle cinque operazioni di calcolo, cioè le quattro ope­ razioni elementari ed una quinta operazione, quando si consideri tale l'estrazione della radice quadrata della somma di due quadrati. Enun­ ciamo questi risultati nel seguente modo : Teorema 64. - Un problema geometrico di costruzioni è risolu­ bile mediante tracciamento di rette e trasporto di segmenti, cioè con riga e compasso ad apertura fissa, se e solo se, trattando analiti­ camente il problema, le coordinate dei punti cercati sono funzioni delle coordinate dei punti dati, la cui espressione richieda solo ope­ razioni razionali e l'operazione di estrazione di radice quadrata della somma di due quadrati - e, precisamente, solo un numero finito di applicazioni di queste cinque operazioni. 121

Da questo teorema possiamo dedurre subito che non ogni pro­ blema risolubile mediante il compasso può venire risolto anche me­ diante solo la riga ed il compasso ad apertura fissa. A questo scopo poniamo alla base quella geometria che è stata costruita nel para­ grafo 9 con l'aiuto del dominio algebrico di numeri D ; in questa geometria ci sono solamente quei segmenti che sono costruibili con riga e compasso ad apertura fissa, cioè i segmenti definiti mediante i numeri del dominio D . Ora, se Q) è un qualsiasi numero in D, riconosciamo facilmente dalla definizione del dominio D, che in D deve stare anche ogni nu­ mero algebrico coniugato di Q) e, poiché ovviamente i numeri del dominio D sono tutti reali, ne segue che il dominio D può contenere solo quei numeri algebrici reali i cui coniugati sono ancora reali, cioè i numeri del dominio D sono totalmente reali. Poniamo ora il problema di costruire un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 ed un cateto 1 v'2" I - 1 . Ora il numero algebrico

V2 1v'2 1 - 2, che esprime il valore numerico dell'altro cateto, non compare nel dominio di numeri D, poichè il suo coniugato V 2 1 v'2 1 - 2 risulta immaginario.

Quindi il problema proposto non è risolubile nella geometria posta alla base e non può quindi in generale essere risolubile con riga e compasso ad apertura fissa, seb­ bene la costruzione con il compasso sia immediata. La nostra considerazione è anche invertibile, cioè vale il teorema : Ogni numero totalmente reale ottenibile da numeri razionali me­ diante radici quadrate razionali sta nel dominio D. Quindi ogni seg­ mento definito mediante un tale numero è costruibile mediante riga e compasso ad apertura fissa. Otteniamo la dimostrazione di questo teorema da una considerazione piu generale. Si riesce infatti a trovare un criterio il quale permette, per un problema geometrico di costru­ zione che sia risolubile con riga e compasso, di giudicare immediata­ mente, dalla natura analitica del problema e delle sue soluzioni, se la costruzione sia fattibile anche soltanto con la riga ed il compasso ad apertura fissa. Questo verrà fornito dal seguente teorema : -

Teorema 65. Sia dato un problema geometrico di costruzione del tipo in cui si possano trovare, mediante trattazione analitica dello stesso, le coor­ dinate dei punti cercati da quelle dei punti dati unicamente mediante opera­ zioni razionali ed estrazioni di radici quadrate,. sia n il minimo numero di -

1 22

radici quadrate che bastano in questo caso al calcolo delle coordinate dei punti; allora, condizione necessaria e sufficiente affinchè il problema di costruzione proposto possa venire risolto soltanto mediante tracciamento di rette e tra­ sporto di segmenti, è che il problema geometrico, con l'introduzione degli ele­ menti impropri, possegga esattamente 2n soluzioni reali2 e questo per t u t t e le posizioni dei punti dati, cioè per tutti i valori dei parametri arbitrari che figurano nelle coordinate dei punti dati. Sulla base delle considerazioni esposte all'inizio di questo pa­ ragrafo appare immediatamente la necessità del criterio enunciato. L'affermazione che il criterio è anche sufficiente, porta al seguente teorema :

Una funzione f (Pl> . . . , Pn) dei parametri II , . . . , Pn Teorema 66. sia costruita mediante operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate. Quando questa esprima, per o g n i sistema di valori reali dei parametri, un numero totalmente r e a I e essa appartiene al dominio Q (R) che si ot­ tiene da 1 , PI , . . . , Pn mediante le operazioni elementari di calcolo e l'estra­ zione di radici quadrate d i u n a s o m m a d i d u e q u a d r a t i. -

Premettiamo l'osservazione che nella definizione del dominio Q (R) può venire eliminata la limitazione alla somma di due quadrati.

Infatti le formule

V e va 2 + b2)2 + c 2 Va 2 + b2 + c 2 + d2 = V eva 2 + b2 + C2)2 + d2, Va 2 + b2 + c 2 =

mostrano che, in generale, l'estrazione di radice quadrata di una som­ ma di quanti si vogliano quadrati è sempre riconducibile alla ripeti­ zione di estrazioni di radici quadrate di due quadrati. Corrispondentemente, nella trattazione dei campi di razionalità che nascono uno dopo l'altro per aggiunte successive alle radici quadrate che stanno già all'interno nella costruzione della funzione f (II , . . . , Pn), basta dimostrare che il radicando di ciascuna di que­ ste radici quadrate si rappresenta nel campo di razionalità precedente come una somma di due quadrati. Per questa dimostrazione ci ap­ poggiamo al seguente teorema algebrico : •

Cfr. inoltre Supplemento IV 2. 123

Teorema 67. - Ogni funzione razionale e(Pl' . . " Pn) con coejjicienti razionali che, per valori reali dei parametri, non assume mai valori negativi, può venire espressa come somma di quadrati di funzioni razionali delle va­ riabili h , . . . , Pn con coejjicienti razionali. 3 A questo teorema diamo il seguente enunciato :

Teorema 68. - Nel campo di razionalità definito da 1 , h , . . " Pn> ogni funzione che non sia mai negativa, che cioè non sia negativa per nessun sistema di valori reali delle variabili, è una somma di quadrati. Sia ora data una funzione f (Ph . . . , Pn) con le proprietà citate nel teorema 66. Estendiamo allora l'ultima affermazione a quei campi che si ottengono per successiva aggiunta di quelle radici quadrate di cui si ha bisogno per la costruzione della funzione j. Per questi campi vale che ogni funzione che, insieme alle sue coniugate, non sia mai negativa, può venire rappresentata come somma di quadrati di funzioni del campo considerato. Daremo la dimostrazione per induzione completa. Consideriamo in primo luogo un campo che nasce da R per aggiunta di una radice quadrata che sia la piu interna della funzione. Il radicando di questa radice quadrata è una funzione r a z i o n a l e fl( h , . . . , Pn)' Sia che nasce per flpb . . . , Pn) una funzione del dominio (R, l'aggiunta, la quale, insieme alle sue coniugate, non assuma mai valori negativi ed anche non si annulli identicamente ; questa ha la forma a + b dove a e b, come pure fl' sono funzioni razionali. Dalle ipotesi fatte su f2 segue che la somma rp ed il prodotto tp delle ' funzioni a + b a - b v'h non prendono mai valori negativi. Le funzioni rp = 2a,

v'h),

v'h,

v'h,

sono inoltre razionali, dunque sono rappresentabili, per il teorema 68, come somme di quadrati di funzioni di R. Inoltre rp non può annullarsi identicamente. Dall' equazione che vale per f2 f� - rpf2 +

tp

= O

3 Per u n a variabile il problema è stato trattato da me per la prima volta, mentre E. LANDAu ha portato a termine la dimostrazione del teorema per una variabile in modo completo e con l'uso di lemmi pia semplici ed elementari : " Math. Ann. ", voI. 57, 1 903. La dimostrazione completa è stata ottenuta da ARTIN, " Hamburger Abhand­ lungen ", voI. 5, 1927. 124

otteniamo Per le cose dette su rp e '1/1, anche 12 si rappresenta come una somma di quadrati di funzioni del campo (R, Vh). Il risultato qui ottenuto per iI campo (R, "/h) corrisponde al teorema 68 che vale per il campo R. Se ripetlamo ora il procedimento per le ulteriori aggiunte, perveniamo infine al risultato che in ognuno dei campi, ai quali giun­ giamo nella costruzione della funzione f, ogni funzione che, insieme alle sue coniugate, non è mai negativa, è una somma di quadrati di funzioni del corrispondente campo. Consideriamo ora una qualsiasi radice quadrata che compaia in f. Questa è sempre reale insieme alle sue coniugate e quindi iI radicando è, nel campo in cui si rappresenta, una funzione, insieme alle sue coniugate, mai negativa e quindi è in tale campo rappresentabiIe come somma di quadrati. Con questo il teorema 66 è dimostrato ; il criterio dato nel teorema 65 è dun­ que anche sufficiente. Come esempio di applicazione del teorema 65 possono servire i poligoni regolari costruibili con il compasso : in questo caso non compare un parametro arbitrario p ; inoltre le espressioni da costruire rappresentano tutte numeri algebrici. Si vede facilmente che iI cri­ terio del teorema 65 è soddisfatto e si ottiene quindi che si può co­ struire ognuno di quei poligoni regolari anche soltanto con il trac­ ciamento di rette e con iI trasporto di segmenti - risultato che può venire dedotto direttamente dalla teoria della ciclotomia. Per quanto concerne ulteriormente i noti problemi di costru­ zione della geometria elementare, menzioniamo qui soltanto che iI problema di Malfatti può venire risolto con riga e compasso ad aper­ tura fissa, ma non quello dei contatti di Apollonio. 4

• Per quanto riguarda altre costruzioni geometriche con riga e compasso ad apertura fissa, cfr. M. FELDBLUM , Uber e!ementargeometrische Konstruktionen, dissertazione inaugurale, Gottingen, 1899.

125

Conclusione

La discussione precedente è un esame critico dei principi della geometria ; in questo esame ci ha guidato il principio di discutere ogni questione che si presentava in modo da provare allo stesso tempo se la risposta ad essa fosse possibile in una maniera prescritta con certi mezzi limitati. Mi sembra che questo principio contenga una legge generale e naturale ; infatti quando ci imbattiamo in un problema o supponiamo un teorema nelle nostre riflessioni matematiche, il nostro impulso alla conoscenza resterà soddisfatto sia che ci riesca la completa risoluzione di quel problema e la corretta dimostrazione di questo teorema, sia quando ci sia apparso chiaro il fondamento della impos­ sibilità della riuscita e quindi, nello stesso tempo, la necessità dell'in­ successo. Cosi nella matematica moderna ha una parte eminente la questio­ ne relativa all'i m p o s s i b i l i t à di certe soluzioni o di certi pro­ blemi, e lo sforzo per rispondere ad una questione di questo tipo è stato spesso motivo per la scoperta di nuovi e piu fecondi campi di ricerca. Ricordiamo soltanto la dimostrazione di Abel della impossi­ bilità della risoluzione delle equazioni di quinto grado mediante estrazioni di radici ed ancora il riconoscimento della non-dimo­ strabilità dell'assioma delle parallele ed il teorema di Hermite e di Lindemann sull'impossibilità di costruire in modo algebrico i nu­ meri e e :n. Il principio fondamentale, secondo il quale si devono sempre discutere i principi sulla possibilità delle dimostrazioni, è anche in strettissimo rapporto con la richiesta della " rigorosità " dei metodi di dimostrazione, che è stata avanzata con energia da molti mate­ matici. Questa richiesta, in fondo, non è altro che un enunciato sog­ gettivo del citato principio. Infatti la ricerca geometrica precedente 126

cerca' di dare in generale un chiarimento circa quali assiomi, ipotesi o mezzi siano necessari per la dimostrazione di una verità geometrica elementare e rimane quindi scelto ogni volta il modo di giudicare quale metodo di dimostrazione sia da preferire dal punto di vista assunto or ora.

1 27

Appendici

Appendice prima

Sulla linea retta come mtntma congiungente di due puntP (D a

una

[Estratto dal " Math. Ann.", voI. 46.] l e t t e r a i n d i r i z z a t a a l s i g n.

F.

K l e i n.)

Se assumiamo come elementi i punti, le rette e i piani, possono servire per fondare la geometria i seguenti assiomi : 1. G l i a s s i o m i c h e r i g u a r d a n o l e r e l a z i o n i d i q u e s t i e l e m e n t i t r a d i l o r o ; riassumendoli breve­ mente, questi suonano come segue : Due punti A e B qualsiasi definiscono sempre una retta a. - Tre punti A, B, C qualsiasi e non allineati definiscono un piano a. - Se due punti A, B di una retta a stanno in un piano a, la retta a sta per intero nel piano a. Se due piani a, {3 hanno in comune un punto A, essi hanno in comune almeno un altro punto B. - Su ogni retta ci sono almeno due punti, in ogni piano ci sono almeno tre punti non allineati, e nello spazio ci sono almeno quattro punti che non stanno in un piano.

2. G l i a s s i o m i m e d i a n t e i q u a l i v e n g o n o i n t r o d o t t i i l c o n c e t t o d i s e g m e n t o e d i l c o n­ e e t t o d i o r d i n e d e i p u n t i d i u n a r e t t a. Questi assiomi sono stati stabiliti per la prima volta e studiati sistematica­ mente da M. Pasch ;2 questi sono in sostanza i seguenti : Tra due punti A, B di una retta c'è sempre almeno un terzo punto C della retta. - Di tre punti di una retta ce n'è sempre uno ed uno solo che giace fra gli altri due. - Se A, B stanno su una retta a c'è sempre un punto C della stessa retta a, tale che B sta fra A e C. Quattro punti qualsiasi Ah -

1

Riguardo alla formulazione generale di questo problema, si confronti la mia con­ ferenza tenuta al Congresso Internazionale dei Matematici in Parigi, 1900 : Mathematisthe Probleme, Gottinger Nachr. , 1900, n. 4, come pure G. HAMEL, Dissertazione inau­ gurale, Gottinga, 1901 ed il suo lavoro ()ber die Geome/rien, in denen die Geraden die KiIr­ zesten sind, " Math. Ann. , voI. 57, 1903. 2 aro Vorlesungen ilber neuere Geometrie, Teubner, 1882. "

"

"

131

Az, Aa, A4 di una retta a possono venire sempre ordinati in modo tale che in generale A i stia fra Ah ed Ab se l'indice h è minore e l'indice k maggiore di i. - Ogni retta a che stia in un piano a, divide i punti di questo piano a in due regioni con la seguente proprietà : ogni punto A di una regione defi­ nisce con ogni punto A' dell'altra regione un segmento AA' tale che nel suo interno sta un punto della retta a,. invece due punti qualsiasi A e B della stessa regione definiscono un segmento AB che non contiene punti della retta a. 3. L ' a s s i o m a d i c o n t i n u i t à, del quale dò il se­ guente enunciato : Se Ab Az, Aa, . . . sono punti di una successione infinita su una retta a e B è un ulteriore punto di a tale che in generale Ai stia fra Ah e B se l'in­ dice h è minore di i, c'è un punto C che ha la seguente proprietà : tutti i punti della successione infinita A 2, Aa, A 4> . . . stanno fra A l e C, e se Cf è un altro punto che ha tale proprietà, C sta fra A l e C'. Sulla base di questi assiomi si può fondare con perfetto rigore la teoria dei punti armonici e se noi l'usiamo nel modo consueto. come lo fa F. Lindemann, a perveniamo alla seguente proposizione : Ad ogni punto si possono coordinare tre numeri reali finiti x, y, Z e ad ogni piano una relazione lineare fra questi tre numeri x, y, Z' in modo tale che tutti i punti per i quali i tre numeri x, y, Z soddisfano alla relazione lineare, stiano nel relativo piano e che, vi­ ceversa, a tutti i punti in questo piano corrispondano numeri x, y, Z, che soddisfano alla relazione lineare. Se poi x,y, Z vengono interpreta­ ti come coordinate ortogonali di un punto nell'usuale spazio euclideo, ai punti dello spazio originario corrispondono punti interni ad un certo corpo mai concavo dello spazio euclideo e. viceversa, a tutti i punti interni al corpo mai concavo corrispondono punti del nostro spazio originario : il nostro spazio originario è quindi rappresentato sul­ l'interno di un corpo mai concavo dello spazio. In questo caso per un corpo mai concavo è da intendersi un corpo con la proprietà che, se si congiungono fra di loro due punti interni al corpo mediante una retta, la parte di retta posta fra questi due punti risulta interamente interna al corpo. Mi permetto al proposito di farLe notare che il corpo mai concavo qui trattato ha una parte im­ portante anche nelle ricerche sulla teoria dei numeri di H. Minkowski4 3 aro

•

1 32

CLEBSCH-LINDEMANN,

Vorlesungen iiber Geometrie, voI. II, parte I, p. 433 sg.

Cfr. Geometrie der Zahlen, Teubner, 1896 e 1910.

che H. Minkowski ha trovato per lo stesso una semplice definizione analitica. Se viceversa è dato nello spazio euclideo un qualsiasi corpo mai concavo, lo stesso definisce una determinata geometria nella quale sono validi tutti gli assiomi citati : ad ogni punto interno al corpo mai con­ cavo corrisponde un punto in quella geometria ; ad ogni retta e piano dello spazio euclideo, che attraversi !'interno del corpo, corrisponde una retta o, rispettivamente, un piano della geometria generale ; ai punti che stanno sul contorno o fuori del corpo mai concavo ed alle rette ed ai piani dello spazio euclideo che stanno interamente fuori del corpo non corrisponde alcun elemento della geometria generale. Il teorema suddetto sulla rappresentazione dei punti della geo­ metria generale sull'interno di un corpo mai concavo dello spazio euclideo esprime quindi una proprietà degli elementi della geometria generale che, per quel che riguarda iI contenuto, ha perfettamente lo stesso significato degli assiomi esposti all'inizio. Definiamo ora iI concetto di lunghezza di un segmento AB nella nostra geometria generale e, a questo scopo, indichiamo ancora con A e B quei due punti dello spazio euclideo che corrispondono ai punti A e B dello spazio originario ; prolunghiamo allora la retta AB nello spazio euclideo al di là di A e B finché intersechi iI contorno del corpo mai concavo rispettivamente nei punti X, Y e indichiamo in generale la distanza euclidea tra due punti qualsiasi P e Q dello spazio euclideo brevemente con PQ ; allora iI valore reale

e

..---.. AB = log

{

YA XB · YB XA

}

si chiama la lunghezza del segmento AB nella nostra geometria ge­ nerale. Poiché YA XB > 1, = > 1, YB XA -=-

la lunghezza è sempre una grandezza positiva. Le proprietà del concetto di lunghezza che portano necessaria,--.... mente ad un'espressione del tipo dato per AB possono venire facilmente enumerate ; quindi le tralascio per non stancare troppo la Sua attenzione con questa lettera. ,...-.... La forma indicata per AB insegna nello stesso tempo in qual !' AB. Ora, per le lunghezze dei lati del triangolo ABC vale la semplice relazione ....-......-..-

....-..-

....-..-

AB = AC + Be. 134

Per dimostrarlo congiungiamo W con C e prolunghiamo questa retta fino alla sua intersezione D con AB. Per il noto teorema sui birapporti è allora, data la posizione prospettiva delle due sequenze di punti X', A, D, Y' e U, A, C, V, Y'A X'D Y'D X'A

VA VC

UC UA '

e per la posizione prospettiva delle due sequenze di punti Y', B, D, X' e T, B, C, Z è X'B X'D

Y'D Y'B

ZB TC · ZC TB

Moltiplicando tali due uguaglianze si ottiene Y'A X'B Y'B X'A

=

VA VC

UC . ZB TC UA ZC TB '

e questa nuova uguaglianza dimostra la mia affermazione. Dalla precedente ricerca Lei riconosce che, soltanto sulla base degli assiomi elencati all'inizio della mia lettera e della definizione di lunghezza ottenuta di necessità dalle pili semplici proprietà del concetto di lunghezza, vale il teorema generale : In ogni triangolo ! a somma di due lati è maggiore o uguale al terzo lato. È pure chiaro che il caso dell'uguaglianza capita se, e soltanto se, il piano a interseca dal contorno del corpo mai concavo due seg­ menti d i r e t t a UZ e TV. L'ultima condizione si può esprimere anche senza l'aiuto del corpo mai concavo. Se infatti sono date due rette a e b della geometria originaria in un piano a, intersecantisi in un punto C, saranno a disposizione in generale in ognuna delle quattro regioni angolari che nascono in a attorno a C, rette tali che non sono intersecate da nessuna delle due rette a e b ; se però in par­ ticolare in due regioni angolari opposte non esistono rette di tal tipo, la condizione in questione è soddisfatta e ci sono sempre triangoli per i quali la somma di due lati è uguale al terzo. Dunque nel caso considerato è possibile tra certi due punti A e B una strada composta da due segmenti rettilinei la cui lunghezza complessiva è uguale alla distanza diretta dei due punti A e B ; si può dimostrare senza difficoltà che tutti i cammini tra i due punti A e B con la stessa proprietà possono venire 135

composti nella maniera costruita e che i rimanenti cammini che congiungono i punti hanno una lunghezza complessiva maggiore. Lo studio particolare di questa questione sul cammino piti breve può essere fatto facil­ mente e presenta un interesse particolare nel caso in cui sia stato posto alla base come contorno del corpo mai concavo un tetraedro. Per concludere mi permetto di aggiungere che nel precedente svolgimento ho sempre supposto che il corpo mai concavo fosse posto tutto al finito. Se però nella geometria definita dagli assiomi originari sono a disposizione una retta ed un punto con la proprietà che per il punto sia possibile una sola parallela alla retta, allora quella ipotesi non è corretta. È facile riconoscere quali cambiamenti debba allora subire la mia trattazione.

Kleinteich bei Ostseebad Rauschen, 1 4 agosto 1 894.

136

Appendice seconda

Sul teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele

La presente appendice che rappresenta un rifacimento del mio lavoro Sul teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base in un triangolo isoscele,1 riguarda la posizione di questo teorema nella g e o m e t r i a e u c l i d e a p i a n a. Poniamo alla base i seguenti assiomi : I. Gli assiomi p i a n i di collegamento, cioè gli assiomi 1 1 -3 (v. p. 4) ; II. Gli assiomi dell'ordinamento (v. pp. 5-6) ; III. I seguenti assiomi di congruenza. Gli assiomi 111 1 -4 (v. pp. 12-14) con enunciato inalterato, però l'assioma sulla congruenza dei triangoli 111 5 con un enunciato piu ristretto, in quanto poniamo valido lo stesso enunciato in primo luogo solo per triangoli con u g u a l v e r s o d i c o n t o r n o. A pagina 77 è stato definito il senso del contorno di un triangolo in una geometria piana sulla base della distinzione di " d e s t r o " e " s i n i s t r o ". La definizione dei lati destro e sinistro di una retta fa riconoscere immediatamente che dei lati di un qualsiasi angolo uno è sempre da indicarsi, in modo definito univocamente, come il lato destro e l'altro come il sinistro, cioè in modo che il lato destro giaccia dalla parte destra di quella retta che è definita in posi­ zione e direzione dall'altro lato, mentre il lato sinistro sta a sinistra di quella retta che è definita in posizione e direzione dal primo lato. Diciamo che i due lati destri di due angoli sono posti ugualmente in relazione a questi angoli e cosi pure i due lati sinistri.

1

" Proceedings of the London Math. Soc. ", voI. XXXV. 137

L'enunciato piu ristretto dell'assioma di congruenza dei trian­ goli suonerà ora cosi : III 5*. Quando per due triangoli ABC ed A'B'C' valgono le con­ gruenze AB = A 'B',

AC = A'C'

e

-t BAC = O ovvero, rispettivamente, s < O. Se a due punti A e B di una retta corrispondono i valori del parametro Sa ed Sb ( > sa), il segmento AB è rappresentato mediante 141

l'equazione della retta e la condizione aggiunta Sa ::::: S :::;; Sb' Sono ora soddisfatti anche gli assionù II 1 -3 ; per riconoscere poi che è soddisfatto anche l'assioma dell'ordinamento II 4, facciamo la se­ guente convenzione : un punto (xa, Ya) deve giacere da uno ovvero dall'altro lato della retta definita dai punti (Xl> Y1 ) e (X2,Y2) a seconda che il segno del deternùnante

risulta positivo o negativo. Ci si convince che la definizione qui for­ nita di lato rispetto ad una retta non dipende dalla scelta dei punti (Xl> Y1 ) e (X2, Y2) sulla retta e che coincide con la definizione di lato data a pagina 1 0. Poniamo alla base della definizione di congruenza le trasformazio­ ni della forma X' + ti = (x + ty) exp [h9 + (1 + i) T] + A + il-',

che possono venire scritte nella forma

X' + t i = [D, T ; A + il-'] (x + ty)

dove D significhi un qualsiasi numero reale, T un numero infinita­ mente piccolo del sistema T e A e I-' due numeri qualsiasi del sistema T. Chianùamo una trasformazione di questo tipo una rappresentazione congruente. Una rappresentazione congruente in cui A e I-' siano nulli verrà indicata come una rotazione intorno al punto (O, O). La totalità di queste rappresentazioni congruenti forma un g r u p p o ; cioè possiede le quattro proprietà seguenti : 1. C ' è u n a r a p p r e s e n t a z i o n e c h e l a s c i a fe r m i t u t t i i p u n t i:

congruente

[O, O ; O ] (x + ty) = x + ty.

2. S e s i a p p l i c a n o u n a d o p o l ' a l t r a d u e r a p­ p r e s e n t a z i o n i c o n g r u e n t i, i l r i s u l t a t o è a n­ c o r a u n a r a p p r e s e n t a z i o n e c o n g r u e n t e: [192, T2 ; A2 + iI-' 2 J{ [D1 , T 1 ; Al + il-' l ] (X + ty) } = = [19 2 + 191''' 2 + T1 ; A2 + i1-' 2 + Al + il-' l] exp{iD2 + (1 +J) T 2 } (x + il-') ' 1 42

Per ogni rappresentazione c ongruente c'è l a s u a i n v e r s a:

[- i}, - . ; - (A + ift) exp [- ii} -

(1 +

i). n { [i}, . ; A + ift] (x + iy)} x + iy. =

Que3ta proprietà è una conseguenza delle proprietà 1 , 2, 4, S. L ' a p p 1 i c a z i o n e s u c c e s s i v a d e I l e r a p p r e s e n­ t a z i o n i c o n g r u e n t i è a s s oc i a t i v a, c i o è s e i n­ dichiamo tre rappresentazioni congruenti c o n K1 , K2, K3 e l a r a p p r e s e n t a z i o n e c o n g r u e n t e c h e n a s c e d a Kl> K2 , P e r 2 c o n K2Kl> a I l o r a vale sempre

Oltre a queste devono essere messe in rilievo anche le seguenti proprietà della rappresentazione congruente : 3. U n p u n t o v i e n e s e m p r e t r a s f o r m a t o i n u n p u n t o d e I l a n o s t r a g e o m e t r i a. Cioè la coppia di numeri x', y' che si ottiene dalla coppia x, y di T mediante una rappresentazione congruente appartiene ancora al sistema T.

4. U n a r e t t a v i e n e p o r t a t a c o n c o n s e r v a­ z i o n e d e I l ' o r d i n e a n c o r a i n u n a r e t t a. Si calcola infatti facilmente la relazione

in cui, poiché la funzione esponenziale non si annulla, da a + i(3 i= O segue sempre a ' + i(3' i= o. Come conseguenza immediata si ha : due punti distinti verranno sempre portati in due punti ancora distinti. S. C ' è u n a s o l a r a p p r e s e n t a z i o n e c o n g r u e n­

te che porta una data semiretta h in una data s e m i r e t t a h' . h sia data mediante l'equazione x + & = Xo + &0 + (a + i(3)s,

a

+ i(3 i= O,

s >O

143

e h' mediante l'equazione

x' + iy ' = Xo ' + iyo' +

(a' +

i{3' )s ', congruente [ 1), -r;

'

> O. i{3' i= O, À + i,u] , che porti h in

a

'

+

s

Una rappresentazione deve in primo luogo portare l'origine di h nell'origine di h' :

x� + !Y� = (xo + !Yo) exp [i1) +

(1 )

(1 +

Inoltre, per ogni valore positivo di positivo di s ' tale che valga la

x� + !y� + e quindi la

(2)

(a ' +

(a ' +

i{3' )s ' = [D,

i{3' )s ' =

T;

(a +

À+

s

h'

i)-r ] + À + i,u.

ci deve essere un valore

i,u] {xo + !Yo +

(a +

i{3)s}

i{3)s exp [i1) + (1 + i}r].

Viceversa ogni rappresentazione congruente che soddisfi alle equazioni ( 1 ) e (2 ) porta h in h'. Dividiamo l'ultima equazione per la sua immaginaria coniugata (3)

a a

' '

i{3' - i{3'

+

Se poniamo a a

' '

i{3' - i{3'

+

+

i{3

a -

i{3

a -----:.�

a a

.

exp [2t (1) +

- i{3 i{3

+

= �+

-r)] .

i'f} ,

otteniamo � ed 'f}, in quanto numeri di T, siano serie di potenze nel parametro t; uguagliando i coefficienti, deduciamo dall'ultima equazione, poi­ ché in essa non si possono presentare potenze negative del parametro t, che essi sono inoltre rappresentabili nella forma

in cui a, b significano numeri reali ordinari e �' ed 'f} ' numeri infinita­ mente piccoli di T, e che valgono le relazioni a2 + b2 = 1

(4) 144

2 (a� ' + b'f}') + �' 2 + 'f}' 2 = O.

L'equazione (3) exp [2i(00 + -r)] = � + i'fJ può venire ora portata, per la nostra definizione delle funzioni trigo­ nometriche, nella forma

(5)

cos 2(00 + -r) = cos 200 cos 2-r - sin 200 sin 2-r = � = a + �', sin 2(00 + -r) = sin 200 cos 2-r + cos 200 sin 2-r = 'fJ = b + 'fJ'.

Uguagliando i coefficienti, queste equazioni portano alle equa­ zioni cos 200 = a, sin 200 = b, dalle quali, sulla base della validità dell'equazione a 2 + b2 = 1 , può venir definito il numero reale o. a meno di un multiplo intero di 1/:. La sostituzione dei valori cos 200 = a, sin 200 = b nelle equazioni (5) permette di calcolare le relazioni cos 2-r = 1 + a�' + b'fJ',

sin 2-r = a'fJ' - b�'

e poiché, sulla base delle equazioni (4), la somma dei quadrati dei se­ condi membri è 1 , il numero infinitamente piccolo -r resta definito univocamente. Esso può venire calcolato uguagliando i coefficienti di una delle ultime due equazioni. Poiché {} è stato definito a meno di un multiplo intero di 1/:, il fattore exp [iO. + (1 + i)-r] è definito solo a meno del segno. Solo uno dei due segni, come si riconosce facilmente, fornisce nella equa­ zione (2) un valore positivo s ' in corrispondenza ad un s positivo. Quindi il numero reale o. è definito a meno di un multiplo intero di 21/:. La sostituzione dei due valori 00, -r nell'equazione (1 ) fornisce in modo univoco anche i numeri À e l-' in T. Si rifletta infine che le equa­ zioni (1 ) e (3) e quindi i valori trovati per 00, -r, À, l-' non dipendono dalla rappresentazione delle semirette h ed h'.

6. P e r d u e p u n t i A, B c ' è s e m p r e u n a r a p­ presentazione congruente che porta A in B e B i n A. 145

Se i punti A, B hanno rispettivamente le coordinate Xl> YI e X2, Y2, la rappresentazione congruente

fornisce quanto desiderato. 7. S e u n a r a p p r e s e n t a z i o n e c o n g r u e n t e p o r­ t a u n a s e m i r e t t a h i n u n a s e m i r e t t a h' e d u n punto P a destra ovvero a sinistra di h in un p u n t o P', a 1 1 o r a a n c h e P' s t a a d e s t r a o v v e r o a s i n i s t r a d i h' ; b r e v e m e n t e : P e P' s o n o u g u a 1m e n t e p o s t i r i s p e t t o a d h e a d h'. Mostriamo in primo luogo : i determinanti

I

X2 - Xl Y2 - YI

I I

Xa - Xl Ya - YI ,

I

X� - X� Y� - Y� I , , ' Xa - Xl Ya - YI ,

hanno lo stesso segno se, e solo se, i due punti (Xa, Ya) e (x�,YD sono punti ugualmente disposti (v. p. 1 38) rispetto alle rette orientate definite rispettivamente dai punti (Xl> YI), (X2, Y2) e (x� , YD , (x�, Y� ) . Si deduce in primo luogo dalla definizione di " destra " e " sinistra " data a pagina 77 che i punti (xs,Ys) e (X2,Y2) non sono punti ugual­ mente disposti rispetto alle rette orientate definite rispettivamente dai punti (Xl> YI), (X2, Y2) e (XI, YI ), (xa, Ya) . Infatti i corrispondenti de­ terminanti differiscono soltanto per il loro segno. Il fatto affermato

segue oramai in generale dalla circostanza che la difinizione di lato di una retta mediante il segno del dato determinante soddisfa alle proprietà di un lato esposte a pagina 1 0. La proprietà 7 sarà quindi dimostrata se si sarà mostrato che il segno del determinante 146

rimane inalterato per una rappresentazione congruente. Ma il deter­ minante differisce solo per un fattore positivo dalla parte immagina­ ria del quoziente

(X3 + bs)

(x2 + b2)

-

-

(Xl + bI) (Xl + bI )

ed è immediatamente evidente che questo quoziente è invariante per una rappresentazione congruente. Conveniamo ora : un segmento si dice congruente ad un altro segmento se e solo se c'è una rappresentazione congruente che porta il primo nel secondo ed un angolo si dice congruente ad un altro an­ golo se c'è una rappresentazione congruente che porta il primo nel secondo. Dimostriamo : L a d a t a d e f i n i z i o n e d i c o n g r u e n z e d i s e g­ m e n t i e d a n g o l i s o d d i s f a a g l i a s s i o m i III 1 -6 s e l a r a p p r e s e n t a n z i o n e c o n g r u e n t e p o s t a a l­ I a b a s e h a l e p r o p r i e t à d a 1 a 7. La validità dell'assioma III 1 è una conseguenza immediata della proprietà 5. Si ottiene la validità dell'assioma III 2 nel seguente modo. Le rappresentazioni congruenti KI e K2 portino rispettivamente i seg­ menti A'B' e A"B" nel segmento AB. Dalle proprietà 1 , 2, 4, 5, si ottiene che per una rappresentazione congruente K2 c'è sempre la rappresentazione congruente inversa K;.t. La rappresentazione K;'IKI , che esiste per la proprietà 2, porta ora il segmento A'B' in A"B". Dimostriamo ora : se un segmento AB è congruente ad un seg­ mento A' B' la rappresentazione congruente K che porta la semi­ retta AB nella semiretta A'B', porta anche B in B'. La congruenza dei segmenti AB ed A' B' venga ottenuta mediante una rappresenta­ zione congruente KI ' Se KI porta il punto A in A', la rappresentazione congruente KK;1 porta, per la proprietà 4, la semiretta A'B' in se stessa e deve dunque per le proprietà 1 , 5, essere l'identità. Ma se KI porta A in B', ci aiutiamo con la rappresentazione congruente 147

K1 , che esiste per la proprietà 6, che porta A in B e B in A. Ora la rappresentazione congruente K(K2KJl ) porta la semiretta A' B' in se stessa ed è dunque l'identità. Dai fatti qui dimostrati e dalle proprietà 4, 5, segue immediata­ mente la validità dell'assioma III 3 ed altrettanto immediatamente da fatti noti e dalle proprietà 4, 5, 7, segue l'assioma III 5*. Si ottiene infine la validità dell'assiona III 4 nel seguente modo : se sono dati un angolo O

· " .,..;"k���

e risulta dal semiasse positivo delle x mediante la rotazione [#, 'l' ; O ] . D i due semirette aventi origine in O e giacenti nel semipiano delle y positive, come si dimostra facilmente, giace fra l'altra ed il semiasse positivo delle x quella che possiede, modulo 2n, la minor somma # + 'l'. Coincida ora il lato destro h di un angolo con il semiasse positivo delle x ; il lato sinistro k sia rappresentato mediante l'equazione x + iy = s exp [i(#l + 'l' l ) ] ; 1 48

s > O.

Si tracci all'interno di quest'angolo una semiretta h' avente origine in O. C'è allora esattamente una rappresentazione congruente che porta h in h', cioè una rotazione [ # 2 ' ' 2 ; O ] ; questa porta k nella semi­ retta k' di equazione

Ora vale mod 2n ; quindi k' non sta nell'angolo -1: (h, k). Si può dimostrare la validità dell'assioma di vicinanza V 3 nel seguente modo. Si dimostra facilmente, mediante il secondo teorema sulle congruenze e l'assioma IV che si può sempre trovare un seg­ mento congruente ad un altro segmento, posto all'interno di un triangolo, che parta da un vertice e stia su un lato ovvero al­ l'interno. Sulla base dell'assioma III 1 , per un dato segmento AB, c'è esattamente un segmento OB', avente origine in O, e diretto come il semiasse positivo delle x al quale il segmento AB è congruente. In­ dichiamo l'ascissa di B' come lunghezza del segmento AB : AB = (l .

( � 4-V3).

Consideriamo ora il triangolo con i vertici

; [;

0(0: O),

�

C

(� )

,O .

J

Questo triangolo è equila ero ed e uiangOIO come ' , O ; 2 che porta insegna la rappresentazione congruente ' O in C, C in D e D in O. Il secondo estremo F di un segmento che ha il primo estremo in O, che sta su un lato ovvero all'interno del­ l'angolo -1: COD, e che è congruente ad AB, può venire rappresen­ tato nella forma n [ #, ' ; O ]{l, 0 < # + • < 3· D

,

Ma tutti i punti rappresentati in questa forma stanno da quel lato della retta CD da cui non sta O, come si riconosce sostituendo le coordinate di O e di F nel determinante, che per quanto detto a pagina 142, corrisponde a CD, 1 49 '2

1 xa -

\

-0

2 Ya P

Con questo resta dimostrato che non si può trovare all'interno del triangolo OCD nessun segmento congruente ad AB. Concludiamo : Nella nostra geometria valgono tutti gli a s s i o m i e s p o s t i d e I l a u s u a l e g e o m e t r i a p i a­ n a fa t t a e c c e z i o n e d e l l ' a s s i o m a a r c h i m e d e o V l; per questo si deve intendere l ' a s sioma della congruenza dei triangoli nell'enunciato p i u s t r e t t o III 5*. Vale poi il teorema : Ogni angolo è dimezzabile e c'è un angolo retto. Basta mostrare che è dimezzabile ogni angolo avente vertice nel punto O. Sia ['!9, O ; O] la rotazione che porta il lato destro in quello

(�,

)

sinistro ; la rotazione � ; O porta il lato destro nella biset. 2 2 tnce. Si riconoscerà l'esistenza di un angolo retto considerando la rotazione

( ; 0), O;

Introduciamo ora il concetto di riflessione rispetto ad una retta a nel modo seguente : se abbassiamo da un qualsiasi punto A su una

o���----�--

qualsiasi retta a la perpendicolare e la prolunghiamo oltre il piede B di un segmento ad essa uguale fino ad A', A' si chiama l'immagine speculare di A. Prendiamo in primo luogo l'immagine speculare di 150

un punto A con le coordinate a > O, P > O, rispetto all'asse x. Sia {} + -r l'angolo � AOB tra la semiretta OA e il semiasse positivo delle x e precisamente il punto x = y sull'asse delle x vada per la rotazione dell'angolo {} + -r nel punto A, cosicché sia

y exp [i{} +

(1 + i)-r] = a + ip.

L'immagine speculare A' del punto A rispetto all'asse x ha le coor­ dinate a, - p. Se facciamo quindi la rotazione di un angolo {} + -r, dal punto A' proverrà un punto che sarà rappresentato dal numero immaginario

(a - iP) e

p [i{} +

x

(a + i)-r]

a + ip y

= --

(a - iP) =

a2 + p2 y

---

cloe il punto corrispondente giace sul semiasse positivo delle x ; quindi anche l'angolo � A'OB è uguale a {} + -r e coincide quindi con l'angolo � A OB. Enunciamo questo risultato nel modo seguente : S e i n d u e t r i a n g o l i r e t t a n g o l i d i s P o s t i s i m­ metricamente i cateti sono ordinatamente u g u a l i, s o n o p u r e u g u a l i f r a l o r o g l i a n g o l i c o r r i s p o n d e n t i a d i a c e n t i a I l a i p o t e n u s a. Deduciamo, analogamente, il teorema generale : N e l l ' i m m a g i n e s p e c u l a r e d i u n a fi g u r a g l i a n g o l i s o n o s e m p r e u g u a l i a g l i a n g o l i c o r r i­ s p o n d e n t i d e I l a f i g u r a o r i g i n a r i a. Dalla circostanza che nella nostra geometria le rette sono de­ finite mediante equazioni lineari, si deduce senza difficoltà il teorema fondamentale della teoria della proporzioni (teorema 42) come pure il teorema di Pascal (teorema 40). Riconosciamo di qui il fatto : Nella nostra geometria è valida la teoria delle proporzioni ed inoltre in essa valgono t u t t i i t e o r e m i d e I l a g e o m e t r i a a f f i n e (cfr. pa­ ragrafo 35). Per la validità dell'assioma III 7 si può mostrare che gli angoli della nostra geometria si possono confrontare in modo univoco se­ condo la loro grandezza. Con l'aiuto di questo fatto si può dimostrare il t e o r e m a d e I l ' a n g o l o e s t e r n o (teorema 22) e, precisamente, si può trasportare qui la dimostrazione data nelle pagine 25-26, perché 151

nella nostra geometria gli angoli opposti al vertice sono sempre uguali. Dal fatto che nella nostra geometria si può definire univocamente la somma di due angoli, si ottiene, mediante l'assioma IV, il t e 0rema sulla s omma degli angoli in un triangolo (teorema 31). Veniamo ora alla questione essenziale se valga nella nostra geo­ metria il teorema sull'uguaglianza degli angoli alla base di un trian­ golo isoscele (teorema 1 1 ) Da questo teorema e dal teorema dell'angolo esterno si ottiene ora, da un lato, mediante una dimostrazione indiretta, immediata­ mente l'inverso del teorema sugli angoli alla base (teorema 24) e d'altra parte, con l'aiuto di una sola nota dimostrazione di Euclide, il teorema : in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo. Ma nessuno di questi due teoremi, come mostreremo, è però soddisfatto nella nostra geometria ; e con questo sarà dimostrato, nello stesso tempo, che in essa non vale il teorema degli angoli alla base. .

o�-----t p

Consideriamo il triangolo OQP, i cui vertici abbiano le coordi­ nate O, O ; cos t, O ; cos t, - sin t. Si troverà la lunghezza (v. p. 1 50) dei segmenti OP e QP rispettivamente mediante le rappresentazioni congruenti [O, t; O] e

[;

, O ; - cos t . exp i

t2 OP = exp (t) = 1 + t + 2 +

; l Si ottiene

____

t3 QP = sin t = t - 6 + _ . . . , __

t2 OQ = cos t = 1 - 2 + - . . . . ____

Si riconosce sulla base della definizione di ordinamento dei nu­ meri del sistema T che risulta

1 52

Dunque nella nostra geometria non vale il teorema per il quale in ogni triangolo la s o m m a d i d u e l a t i è m a g g i o r e d e l t e r z o. Riconosciamo di qui la diPendenza in modo essenziale di questo teorema dall'assioma sulla congruenza dei triangoli nel senso pitl ampio. Segue pure da questo risultato : Nella nostra geometria non vale il teorema sui triangoli isosceli e quindi nemmeno l'assioma sulla congruenza dei triangoli nel senso piu amPio. Riconosciamo immediatamente che anche l'inverso del teorema degli angoli alla base non è valido sull'esempio del triangolo OPR, dove R è l'immagine speculare di P rispetto alla retta OQ, cioè pos­ siede le coordinate cos t, sin t. Allora, per un teorema dimostrato sopra (v. p. 1 5 1 ) è -1: OPR = -1: ORP.

Ciononostante i lati OP ed OR non sono congruenti fra loro. Infatti, la lunghezza del segmento OR che viene fornita dalla rotazione [O, t; O] è OR = exp (- t) i= OP = exp (t).

-

Desumiamo di qui che, i n g e n e r a l e, i n d u e t r i a n g o­ li rettangoli simmetricamente disposti con c a t e t i c o i n c i d e n t i l e i p o t e n u s e r i s u l t a n o d i­ v e r s e f r a l o r o e q u i n d i c h e, p e r r i f l e s s i o n e r i s p e t t o a d u n a r e t t a, i s e g m e n t i d e I l ' i m m a g i­ ne speculare non sono necessariamente uguali a q u e I l i d e 1 1 a f i g u r a o r i g i n a r i a. N e l l a n o s t r a g e o m e t r i a, c o m e h a m o s t r a t o W. R o s e m a n n 4 n o n v a l e i l t e r z o t e o r e m a s u 1 1 a c o n g r u e n z a (t e o r e m a 1 8), n e m m e n o c o n u n enunciato limitato ai triangoli ugualmente d i s P o s t i. Per veder ciò si rifletta in primo luogo che i punti A

=

( �)

0, B = t, C = t exp i

determinano un triangolo equi­

latero. Se consideriamo poi il punto •

Der Aufbau der ebenen Geometrie ohne

das

Symmetrieaxiom, Dissertation G6ttingen

1 922, " Math. Ann. ", voI. 90. Là è pure dimostrata per la prima volta l'indipendenza

della validità degli assiomi III 1-6 da certe proprietà della rappresentazione congruente. 1 53

D=

-

I exp [(1 + ;)/]

-,------,-----

1

riconosciamo che è AD == BD e quindi che la rappresentazione congruente [O, I; I] porta D in se stesso ed A in B. Si osservi ancora che i punti A e B stanno dallo stesso lato della retta CD. Di qui si D

ottiene, in primo luogo, che i triangoli ACD e BCD, aventi tutti i Iati ordinatamente uguali, sono triangoli ugualmente disposti e in secondo luogo che essi non possono avere tutti gli angoli ordinata­ mente uguali. Discutiamo ora nella nostra geometria la teoria euclidea della estensione superficiale dei poligoni. Questa teoria è stata costruita nel paragrafo 20 sul concetto di area di un triangolo. La dimostrazione che quest'area, semiprodotto della base per l'altezza, è indipendente da quale lato del triangolo si prenda come base, è stata ottenuta ap­ plicando l'assioma della congruenza dei triangoli a triangoli sim­ metricamente disposti. Poiché senza quest'enunciato piti ampio del­ l'assioma essa non può venire dimostrata, riconosciamo sull'esempio del triangolo OQR di pagina 1 52 che QR è l'altezza rispetto ad OQ. Si otterrà la lunghezza QR sin I =

mediante la rappresentazione congruente

[- ;

(

, O ; - cos I . exp - i

; )l

e poiché è OQ = cos I, l'area dovrebbe essere da una parte

]

1 54

:= -----:2 -

cos I · sin I

-

Calcoliamo d'altra parte il piede S della perpendicolare abbassata da Q su OR : s = cos I + i exp (il) sin I . cos I. Ora si otterrà mediante la rappresentazione congruentel

{- ;

[

, - I ; - cos I · exp - i

la lunghezza QS e

siccome OR

=

exp (

-

;

- (1 + i) 1

J}

I) sin I cos I;

= exp ( I), si otterrebbe per l'area il valore J = exp (- I) exp (- I) cos I sin I -

���--����------2 •

che è sicuramente minore del valore cos I . sin I 2

Mentre il concetto di area senza l'enunciato piu ampio III 5 dell'as­ sioma sulla congruenza dei triangoli perde il suo significato, i con­ cetti di equiscomponibililà e di equiampliabililà dei poligoni possono venir definiti esattamente come nel paragrafo 1 8. Si ottiene allora, esattamente come nel paragrafo 1 9 il teorema 46 che enuncia la e q u i­ ampliabilità di due triangoli aventi ugual b a s e e d u g u a l a l t e z z a. Si riconosce poi che sulla base dell'assioma ristretto III 5* 5 si può costruire su ogni segmento un quadrato, cioè un rettangolo con lati uguali. Nella n o s t r a g e o m e t r i a v a l e o r a a n­ e h e i l t e o r e m a p i t a g o r i c o, p e r i l q u a l e i d u e quadrati sui cateti di un qualsiasi triangolo r e t t a n g o l o s o n o, i n s i e m e, e q u i a m p l i a b i l i c o n i l q u a d r a t o s u I l ' i P o t e n u s a. Infatti nella dimostrazione euclidea del teorema pitagorico viene usata soltanto la congruenza 6

Si richiederanno anche l'assioma delle parallele e l'esistenza dell'angolo retto. 1 55

di triangoli ugualmente disposti e quindi soltanto l'assioma della congruenza dei triangoli nel senso ristretto.6 L'applicazione del teorema pitagorico ai triangoli OQP ed OQR di pagina 1 52 dà, con l'aiuto del teorema 43, che i q u a d r a t i

.

et

costrUltl sui segmenti OP ed OR s o n o e q u i a m p l i a b i l i, s e b b e n e q u e s t i s e g m e n t i, c o m e c a l c o l a t o s o­ p r a, n o n s i a n o u g u a l i f r a d i l o r o. L'interdipendenza di questa circostanza con il teorema 52 appa­ re chiara6 e si riconosce di qui : i l t e o r e m a f o n d a m e n t a l e d i E u c l i d e, p e r i l q u a l e d u e t r i a n g o l i e q u i a m­ pliabili con basi uguali hanno sempre uguali altezze non ha alcuna validità nella nostra g e o m e t r i a. Infatti questo teorema 48 è stato dimostrato nei paragrafi 20, 21 mediante l'uso essenziale del concetto di area. La nostra geometria ci porta dunque alla seguente nozione :

È impossibile fondare sull'assioma della congruenza dei triangoli nel

senso ristretto la teoria euclidea dell'estensione superficiale, anche se si aggiun­ ga come ipotesi la validità della teoria delle proporzioni. Poiché nella nostra geometria non vale la nota relazione tra l'ipo­ tenusa ed i cateti di un triangolo rettangolo che si deduce nella geo­ metria ordinaria dal teorema pitagorico, possiamo chiamare la nostra geometria una geometria non-pitagorica. Riassumiamo i principali risultati della nostra geometria non­ pitagorica nel modo seguente :

Se intendiamo l'assioma sulla congruenza dei triangoli nel senso ristretto e se supponiamo valido fra gli assiomi di continuità solamente l'assioma di •

156

Vedi al riguardo il Supplemento V 1 .

vicinanza, allora il teorema sull'uguaglianza degli angoli alla base in un trian­ golo isoscele non è dimostrabile nemmeno quando si supponga valida la teoria delle proporzioni. Non segue nemmeno la teoria euclidea dell'estensione super­ ficiale,. anche il teorema per il quale in un triangolo la somma di due lati ri­ sulta maggiore del terzo e il terzo criterio di congruenza per triangolo ugual­ mente disposti non sono conseguenze necessarie delle ipotesi fatte. Vogliamo costruire anche un'altra g e o m e t r i a n o n - p i­ t a g o r i c a che si distingua da quella ora tratta perché in essa è valido l'assioma archimedeo V 1 e non l'assioma di vicinanza V 3. Alla base di questa geometria si porrà quel sottodominio D dei numeri reali che consiste di tutti i numeri che si ottengano dai nu­ meri 1 e T tg 1 , quando si applichino un numero finito di volte le operazioni di calcolo : addizione a h + W2, sottrazione Wl - W2, molti­ plicazione Wl W2, divisione Wl : W2 (purché W2 =1= O) ed elevamento a potenza Wl W, . 7 Qui Wl ' w2 devono significare numeri che si siano già ottenuti mediante tali cinque operazioni dai numeri 1 e T . Per ottenere il numero W a partire da 1 e T le cinque operazioni siano state applicate rispettivamente nl volte, n2 volte, . , n5 volte. I numeri W del dominio D possono quindi venire contati per somme crescenti nl + n2 + . . . + ns· Su questo sistema di numeri costruiamo una geometria piana con le stesse convenzioni con cui abbiamo costruito la prima geometria non-pitagorica a pagina 141 sul sistema di numeri T; e riconosciamo, come là, dal fatto che in D valgono tutte le regole di calcolo 1-16 del paragrafo 1 3, definendo l'ordinamento in modo naturale, la vali­ dità nella nostra geometria degli assiomi 1 1 -3, II, IV. Per ogni numero W del dominio D, ampliato con il numero 00, ci sono infiniti numeri {} che soddisfano all'equazione =

•

.

{}

=

.

arctg w.

La totalità di tutti i numeri {} ottenuti da D sulla base di questa equa­ zione formano un dominio e che non coincide con D ma è numera­ bile come D. Poniamo alla base un qualsiasi modo di contare gli elementi di e. In questo c'è un primo numero che non è un multiplo razionale di 1/: ; si chiami {} kl • Indichiamo, nel caso che esista, con {}k. il primo numero di e che non sia rappresentabile nella forma l 7 Elevamento a potenza solo per Wl positivi. Invece di Wlw, basta del resto Wl /k (k numero naturale). 157

{} = rn + r1 {} k1 , dove r, r1 sono numeri razionali qualsiasi. Proce­ dendo in questo modo, indichiamo con {}kn+1 il primo numero {} di e che non sia rappresentabile nella forma sempre che tale numero ci sia. Resta con questo definita una succes­ sione {} k1, {} k., {}ks' • • che contiene sicuramente un termine, even­ tualmente infiniti. Ora ogni numero {} di e può venir rappresentato in modo u n i v o c o nella forma •

dove {}k1, {}k., , {}k" sono i primi n termini della successione sopra definita e r, r1 , r2, , rn sono numeri razionali qualsiasi. Definiamo ora la congruenza di segmenti e di angoli mediante una r a p p r e s e n t a z i o n e c o n g r u e n t e esattamente come a pagina t47 per la prima geometria non-pitagorica. Indichiamo qui con rappresentazione congruente ogni trasformazione della forma .

•

.

•

•

•

X' + ty ' =

2'1 exp (i{})(x + ty) + A + i{t ,

dove {} è un numero di e, r1 il numero razionale che si presenta nella precedente rappresentazione di {} e A, {t sono numeri qual­ siasi di D. Le rappresentazioni congruenti formano un gruppo, come si ri­ conosce facilmente, e dunque posseggono le proprietà t e 2 intro­ dotte a pagina t42. Si ottiene la proprietà 3 dal fatto che i numeri cos

{} =

vt

t + tg2

{}

,

. Sln {} =

tg

{}

----:;====

vt + tg2 {}

sono numeri del dominio D. Si ottiene la proprietà 5 nel seguente modo : La dimostrazione verrà ricondotta, analogamente a quanto fatto a pagina t43, alla definizione univoca a meno di un multiplo intero di 2 n di un {} del dominio e dall' equazione

2'1 exp (i{}) 158

=

'

+ a +

a

i(3' i(3 .

Si s

-

Dividiamo la parte immaginaria per quella reale :

ap' pa' tg O = ---:-aa' + PP'

Nel sistema numerico 8, O resta definito da quest'equazione a meno di un multiplo intero di :n. La determinazione a meno di un multiplo intero di 2:n accade come nella prima geometria non-pita­ gorica (v. p. 143-146). Esattamente come là diamo poi le dimostra­ zioni delle proprietà 4, 6 e 7. Cosi, dalle sette proprietà dimostrate della rappresentazione con­ gruente, segue, sulla base della dimostrazione generale di pagina 147, che nella nostra geometria sono soddisfatti gli assiomi III 1 -6. La validità dell'assioma III 7 segue in modo evidente, analogamente a come si è fatto nella prima geometria non-pitagorica. Con l'aiuto della definizione dell'ordinamento e della congruenza, segue la validità dell'assioma archimedeo V 1 dalla circostanza che il dominio Q è un sottoinsieme del dominio dei numeri reali. Si ottiene nel seguente modo che invece l'assioma di vicinanza V 3 non è soddisfatto. Per ogni triangolo se ne può trovare uno con­ gruente OAB con i vertici O = (O, O), A = (a, O), B = (f3, y), dove a e y significano numeri positivi. Basta allora mostrare che in ciascuno di tali triangoli si trova un segmento avente, per esempio, lunghezza 1 . La semiretta OB può venire rappresentata, indifferente­ mente se p si annulli o no, nella forma

. (. - PI

x + ry = exp ·

t

arctg

y

).

T

S

dove con s indichiamo un parametro positivo in Q. Possiamo ora trovare, poiché ay e l a + y sono positivi, un numero r1 intero, non necessariamente positivo, che soddisfi la disequazione (1 )

2'1


O, ci sono certamente Ora per i numeri dati r1, Ok1 , arctg due numeri interi a, b che soddisfano la disequazione

(2) 1 59

Dalla formula tg riconosciamo che della tangente,

f) 2

- 1 ± V 1 + tg2 f) tg f)

- = ------"---

;b ' e quindi anche, per il teorema di addizione

sono numeri del dominio e. Dalla disequazione (2) segue che la semiretta s>O x + fy = exp (if)) . s, sta all'interno dell'angolo - 2'1

I

- a I - 2'1y + ay

p sono entrambi positivi, l'ultimo per la disequazione (1 ). Quindi C sta all'interno del triangolo OAB ; quindi all'interno di questo trian­ golo c'è un segmento di lunghezza L Esattamente come nella prima geometria non-pitagorica si ot160

tiene la dimezzabilità di un angolo e l'esistenza di un angolo retto ; cosi pure riconosciamo come validi i teoremi introdotti a pagina 151 e a pagina 1 53 sulle immagini speculari, come pure tutti i teoremi della teoria delle proporzioni e della geometria affine. Tutti gli angoli della nostra geometria compaiono anche nella geometria euclidea e 1'ordi­ namento per grandezza è lo stesso che là. Ne segue allora la validità del teorema sull'angolo esterno (teorema 22) e del teorema sulla somma degli angoli di un triangolo (teorema 31). Invece non vale il teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base in un triangolo iso­ scele. Da questo teorema segue infatti immediatamente, mediante il teorema dell'angolo esterno, come è già stato menzionato a pagina 1 52, il suo inverso. Ma si riconosce che nella nostra geometria que­ sto inverso non è soddisfatto, per esempio, considerando il triangolo OPR con i vertici O = (O, O), P = (cos # k1, - sin #k), R = (cos #k1, + sin #k) che gli angoli in P e R sono uguali mentre le lunghezze OP = 2 e OR = 2-1 non coincidono. Anche la teoria euclidea dell'estensione superficiale non è valida. E cosi pure non è valido il teorema che in un tiangolo la somma di due lati è maggiore del terzo ; infatti da questo teorema seguirebbe immediatamente che ogni segmento, posto entro un triangolo, sa­ rebbe minore del perimetro e quindi varrebbe l'assioma di vicinanza V 3. Le geometrie non-pitagoriche considerate ci portano alla nozione : Per la dimostrazione della validità del teorema della uguaglianza degli angoli alla base in un triangolo isoscele non sono superflui nè l'assioma archi­ medeo V 1 nè l'assioma di vicinanza V 3. Ampliamenti a questa appendice si trovano nel supplemento V 1 e V 2.

161

Appendice terza

Un nuovo modo di fondare la geometria di Bo(yai-Lobaéevskij [Estratto da " Math. Ann.", voI . 57.]

Nella mia pubblicazione Grundlagen der Geometrie (c. I, p. 2-32),1 ho esposto un sistema di assiomi per la geometria euclidea e ho quindi mostrato che è possibile fondare la geometria euclidea piana sempli­ cemente sulla base di quella parte di questi assiomi che riguardano il piano, anche se si evita l'applicazione degli assiomi di continuità. Nello studio seguente sostituisco l'assioma delle parallele con un postulato corrispondente della geometria di Bolyai-Lobacevskij e mostro quindi che è possibile fondare la geometria di Bo!Jai-Lobaéesvk!i nel piano esclusivamente sulla base degli assiomi piani, senza applicare gli assiomi di continuità. 2 Questo nuovo modo di fondare la geometria di Bolyai-Loba­ cevskij non mi sembra che sia inferiore, anche riguardo alla sua sem­ plicità, ai modi di fondarla fin qui noti, cioè quelli di Bolyai e di Lo­ bacevskij , che usano entrambi della sfera limite e quello di F. Klein, mediante il metodo proiettivo. I modi di fondare la geometria citati usano in modo essenziale sia dello spazio sia della continuità. Per facilitare la comprensione raccolgo qui, nel modo seguente, l Confronta anche il mio lavoro ()ber den SatZ von der G/eichheit der Basiswinke/ im g/eichschenkligen Dreieck, " Proceedings of the London Mathematical Society ", voI. 35,

1 903 (Appendice seconda di questo libro). • Frattanto il corrispondente teorema è stato studiato anche indipendentemente dal­ l'assioma contraddistinto come IV (p. 165) della geometria di Bolyai-Lobacevsky. In primo luogo M. Dehn, nel lavoro ()ber den lnha/t spharischer Dreiecke, " Math. Ann. ", voI. 60, ha fondato la teoria, dell'estensione superficiale per la geometria ellittica piana senza applicare gli assiomi di continuità ; quindi G. Hessenberg è riuscito, nel lavoro Begrllndung der e//iplischen Geometrie, " Math. Ann. ", voI. 61, sotto le medesime ipotesi, a dare anche la dimostrazione dei teoremi sui punti di intersezione per la geometria el­ littica piana e, infine, J. Hjelmslev, nel lavoro Neue Begrundung der ebenen Geometrie, " Math. Ann. ", voI. 64, ha mostrato che la geometria piana può venire costruita senza gli assiomi di continuità e persino senza qualsiasi ipotesi su rette che si intersechino o che non si intersechino. 162

gli assiomi della geometria piana di cui si farà uso in seguito, d'ac­ cordo con la mia pubblicazione Grundlagen der Geometrie. 3 I. Assiomi di collegamento I 1 . Per due punti A e B c 'è sempre una retta a che appartiene ad ognu­ no dei due punti A, B. I 2. Per due punti A, B c'è al m a s s i m o una retta che appartiene ad ognuno dei due punti A, B. 1 3. Su ogni retta ci sono sempre almeno due punti. Ci sono almeno tre punti che non giacciono su una retta. II. Assiomi di ordinamento II 1 . Se un punto B giace fra un punto A ed un punto C, allora A, B, C sono tre punti distinti di una retta e B giace pure fra C ed A. II 2. Per ogni due punti A e C c'è sempre almeno un punto B, sulla retta AC, tale che C giace fra A e B. II 3. Di tre punti qualsiasi di una retta ce n'è al massimo uno che giace fra gli altri due. Spiegazione. I punti posti fra i punti A e B si chiamano anche i punti del segmento AB ovvero BA. II 4. Siano A, B, C tre punti non allineati ed a una retta del piano A, B, C che non passi per alcuno dei punti A, B, C: allora, se la retta a passa per un punto del segmento AB, essa passa certamente anche per un punto del segmento BC ovvero per ud punto del segmento AC. -

III. Assiomi di congruenza Spiegazione. Ogni retta è divisa da uno qualsiasi dei suoi punti in due semirette ovvero metà. -

111 1 . Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A' è un punto di una retta a' si può sempre trovare su una data metà della retta a', definita da A', un punto B' tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A'B', in simboli : AB == A'B'. 3

L'enunciato degli assiomi I-III è desunto dala presente edizione. 163

III 2. Se un segmento A'B' e un segmento A"B" sono congruenti ad un medesimo segmento AB, allora anche il segmento A' B' è congruente al seg­ mento A" B". III 3. Siano AB e BC due segmenti senza punti in comune su una retta a ed A'B' e B'C' due segmenti senza punti in comune sulla stessa retta o su un 'altra retta a ' ,. allora, se AB = A'B' e BC = B'C', èpure A C = A'C'. Spiegazione. Chiamiamo angolo una coppia di semirette h, k, aventi origine nello stesso punto A e che insieme non formino una retta, e lo indichiamo con -

K2, Ka della vera circonferenza " che K2 sta o non sta fra K1 e Ka a seconda che la cop­ pia di punti K1, Ka è separata o no dalla coppia K2, Koo. Supponiamo, in contraddizione con la precedente affermazione, che K e K' siano due punti della vera circonferenza " che non siano separati da nessuna coppia di punti ; segue allora, secondo la nostra convenzione, che tra gli stessi non sta alcun punto di ". Potremo poi supporre che ci sia un punto Kl tale che la coppia di punti K1, K' venga separata dalla coppia di punti Koo, K; infatti, altrimenti, scam­ bieremmo fra loro, nel seguente svolgimento, i compiti di K e K'. Scegliamo poi una successione infinita R di punti della vera circon­ ferenza " che converga al punto K e congiungiamo pure K con K' mediante una curva che stia all'interno di kk, come pure mediante 1 93

una curva che stia all'esterno di kk. Mettendo insieme queste due curve otteniamo una curva chiusa di Jordan K1K' che separa Koo da K e che quindi deve separare necessariamente anche K da infiniti punti della successione R che converge a K. Sia K2 uno di questi punti della successione R. Poiché K2 sta fra Kl e K' e non può stare fra K e K', K2 sta necessariamente fra Kl e K. Analogamente congiungiamo ora K2 con K' mediante una curva chiusa di Jordan K2K' pervenendo cosi ad un punto Ka della successione R che giace fra Ka e K, e cosi di seguito. Otteniamo in questo modo una successione infinita di punti Kb K2, Ka, , tale che ognuno dei suoi punti sta fra il precedente e K e che converge al punto K. Facciamo ora una rotazione intorno al punto M per la quale K vada in uno dei punti Kb K2, Ka, , per esempio in Ki. Per questa rotazione il punto K' vada nel punto Ki . Siccome, per la nostra ipotesi, K e K' non sono separati da alcun punto, lo stesso caso si verifica per la coppia di punti Ki, Ki. In conseguenza Ki deve o coincidere con Ki-1 o con Ki +1' ovvero giacere fra Ki-1 e Ki +1 ; in ogni caso K[, sta dunque fra Ki-2 e Ki+2' cosicché anche la succes­ sione infinita di punti Kh K�, Ks, K;, K9, K{l' . . . , ha certamente la proprietà che ogni punto di questa successione è posto fra il punto precedente e iI punto K. Vogliamo ora mostrare che anche i punti K�, K;, K{l' . . . , devono convergere al punto K. Infatti se i punti K�, K;, K{h . . . , avessero come punto di accumulazione un punto Q distinto da K, si scelga fra essi un punto K{. Poiché K{ +4' K{ +8, K{ +12, stanno tutti fra K{ e K, c'è una curva chiusa di Jordan K{K che separa il punto Koo dai punti K{ +4 K{ +8, K{ + 12, e quindi anche da Q, cioè Q sta necessariamente fra K{ e K. A causa dell'ordinamento dei punti Ki, rispetto ai punti K{ ne segue che Q sta pure fra tutti i punti K1, Ks, Kg, da una parte e K dall'altra. La curva chiusa di Jordan QKoo dovrebbe quindi separare tutti i punti Kh K6, Kg, , da K; ma allora i punti Kh Ks, K9, non potrebbero convergere a K, come essi devono. Consideriamo ora i punti Ka, K7, Kw . . . , che convergono a K ed i punti K�, K;, K{l' . . . , che, per la dimostrazione ora fatta, convergono pure a K. Poiché per una rotazione intorno a M iI punto K va in Ki, e cosi pure K' in Ki, ci deve essere, per l'assioma terzo, anche una rotazione che porti K e anche K' nel punto comune di con•

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vergenza K. Ma questo contraddice alla definizione di rotazione che è stata data. Quindi il teorema esposto all'inizio di questo paragrafo 6 è completamente dimostrato per confutazione della ipotesi fatta. 7. Avuto riguardo delle convenzioni fatte all'inizio del para­ grafo 6, consideriamo la vera circonferenza �, con l'esclusione del punto Koo, come un insieme ordinato di punti nel senso di Cantor : allora questo insieme di punti possiede il tipo d'ordine del continuo lineare. Per dimostrarlo definiamo in primo luogo un insieme numera­ bile 5 di punti della vera circonferenza �, i cui punti di accumula­ zione formino la vera circonferenza � stessa. Un tale insieme 5 pos­ siede secondo Cantorl I il tipo di ordinamento di tutti i numeri ra­ zionali secondo il loro ordine naturale, cioè è possibile coordinare i numeri razionali ai punti del sistema 5 in modo tale che, se A, B, C sono tre punti qualsiasi di 5, dei quali B stia fra A e C, dei tre nu­ meri razionali a, b, c ad essi associati, il numero b stia sempre, se­ conno la sua grandezza, fra a e c. Sia ora K un punto qualsiasi della vera circonferenza � che non appartenga al sistema 5 ; se poi A e B sono punti di 5, diremo che A, B sono da parti opposte o dalla stessa parte di K a seconda che K stia o no fra A e B. Se trasportiamo questa convenzione dai punti del sistema 5 ai numeri razionali ad essi associati, otteniamo per mezzo del punto K una determinata sezione, nel senso di Dedekind, nel sistema dei numeri razionali : associamo al punto K il numero irra­ zionale definito da questa sezione. Non ci possono essere due punti distinti K e K' su � cui risulti associato lo stesso numero irrazionale. Infatti, se costruiamo una curva chiusa di J ordan KK' e se H è un punto qualsiasi di � posto fra K e K' e quindi all'interno di KK', siccome H è un punto di ac­ cumulazione dei punti del sistema 5 deve esserci certamente anche un punto A in 5 che stia internamente a KK' e quindi anche fra K e K'. Il numero razionale a, corrispondente ad A, fornisce quindi in ogni caso una differenza fra le intersezioni che nascono per l'intervento di K e K'. Vogliamo infine mostrare che, viceversa, per ogni numero ir11 Beitriige zur Begrundung der transftniten Mengen/ehre, " Math. Ann. ", 46, para­ grafo 9; per quanto riguarda le ulteriori conclusioni del testo, si confronti in parti­ colare il paragrafo 1 1 .

195

razionale a c'è un punto K su x cui questo è associato. A tale scopo sia ab a2, a3, , una successione di numeri crescenti e bb b2, ba, . . . , una successione di numeri decrescenti che convergano entrambe ad a. Si costruiscano i punti Ab A 2, A3, , e Bl> B2, Ba, . . . , che corrispondono rispettivamente a questi numeri e si indichi con K un qualsiasi punto di accumulazione di questi punti Al' A 2, Aa, . . . , Bl> B2, Ba, . . . . Al punto K corrisponde allora necessariamente il numero a . Allora, se costruiamo in generale una curva chiusa di Jordan AiBi, i punti Ai+I' Ai+2' Ai + a, . . . , Bi+I' Bi + 2 ' Bi +a, . . . , e quindi anche il punto di accumulazione, stanno all'interno di AiBi, cioè fra i punti Ai,Bi. La sezione che nasce per l'intervento di K non è quindi altro che quella che definisce il numero a. Se consideriamo ora i punti sulla circonferenza di un cerchio numerico ordinario di raggio 1 e se associamo ad uno di questi punti il simbolo ± 00 ed il punto K", ed invece agli altri punti tutti i numeri reali in successione continua e a questi poi associamo i punti corrispondenti della vera circonferenza x, perveniamo al seguente risultato : i punti della vera circonferenza x possono venire rappresentati in modo biunivoco, con conservazione del loro ordinamento, slli punti della cir­ conferenza di un usuale cerchio numerico di raggio l . •

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"

'

8. Per raggiungere lo scopo indicato nel paragrafo 4, rimane sol­ tanto da mostrare la continuità della rappresentazione ottenuta, cioè l'assenza di lacune della vera circonferenza x . A questo scopo pen­ siamo che i punti della vera circonferenza x, siano definiti mediante le coordinate x, y del piano numerico e, d'altra parte, i punti della circonferenza numerica di raggio 1 siano definiti mediante l'arco t a partire da un punto fisso : dobbiamo allora dimostrare che x, y sono funzioni continue di t. Siano ora tl> t2, ta, , valori di una successione qualsiasi con­ vergente a t*, o tutti crescenti o tutti decrescenti e KI, K2, Ka, siano i punti della vera circonferenza x, associati a questi valori del parametro, mentre il valore t* corrisponda ad un punto K* su x. Sia poi Q un punto di accumulazione dei punti KI, K2, K3, Se costruiamo in generale una curva chiusa di J ordan KiK*, i punti Ki+I' Ki+2' Ki+3' e quindi anche il loro punto di accumulazione Q, stanno necessariamente all'interno di KiK*, cioè anche il punto Q sta fra Ki e K* ; quindi anche il valore del parametro t che corrisponde •

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a Q deve trovarsi fra ti e t*. L'ultima contraddizione si risolve ora se Q e K* coincidono ; quindi i punti K1, K2, Ka, , convergono al punto K*. Con questo la continuità delle funzioni x, y del parametro t è completamente dimostrata e ne segue un fatto che abbiamo posto -come primo scopo importante della nostra esposizione, cioè il se­ ,guente teorema : •

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La vera circonferenza x è, nelpiano numerico, una curva chiusa dilordan. 9. Sappiamo che i punti della vera circonferenza x appartengono tutti ai punti di kk ; si mostrerà anche che questi ultimi punti stanno tutti su x, cosicché vale il seguente teorema che ci porta innanzi : La vera circonferenza x è identica con i punti di kk ,. i punti che sono

interni a x sono pure punti interni a kk e i punti esterni a punti esterni a kk.

x

sono parimenti

Per riconoscere la validità di questo teorema, mostriamo in primo luogo che il punto M, " centro " della vera circonferenza x, può venire congiunto con ogni punto l, interno a x mediante una Cul va continua senza che per questo la vera circonferenza x venga >oltrepassata. Se tracciamo infatti nel piano numerico per l una qualsiasi retta ordinaria, una cosiddetta " retta numerica ", siano K1 e K2 i primi punti di questa retta numerica che stanno su x, presi dalle due parti di J. Poiché K1 e K2 sono punti anche di kk, possono venir congiunti -con M ciascuno con una curva di Jordan MK1 e, rispettivamente, MK2, che sta interamente all'interno di kk e che quindi non oltrepas­ sano certamente le vera circonferenza x . Se una di queste curve di J ordan interseca il segmento di retta K1K2, per esempio nel punto B, l'arco di curva MB con il segmento lB forma insieme il cammino congiungente richiesto. Nel caso opposto MK1 e MK2 insieme al segmento di retta K1K2 formano una curva chiusa y di Jordan . Poiché questa curva y è tutta interna alla circonferenza numerica f (paragrafo 1 ), certamente non si può congiungere il punto A, posto all'interno della circonferenza numerica � con un punto in­ terno a y, senza che con questo venga raggiunto un punto della curva y. La curva y consiste solo di punti interni a kk, da punti su kk e da punti interni a x. Poiché gli ultimi punti possono venire raggiunti da A soltanto superando un punto di x che è pure un punto di kk, tutta la regione interna a y è necessariamente interna anche a kk. 197

Se quindi congiungiamo M con ] mediante un cammino continuo,. svolgentesi all'interno di y, sicuramente questo cammino non in­ terseca la vera circonferenza " ed è quindi del tipo desiderato. Deduciamo poi che M è interno a ", cioè il centro M della vera circonferenza " è interno alla stessa. Poiché ogni punto su kk può venir congiunto con M con una curva di J ordan che si svolge, esclusi gli estremi, tutta internamente a kk e quindi che non interseca certamente ", ogni punto su kk sta necessariamente su " o internamente a ". Se ci fosse un punto P su kk che stesse all'interno di ", il punto A, fuori di � non potrebbe venir congiunto con punti prossimi quanto si vuole a P senza che con questo si passi per un punto di ,, ; ma siccome ogni punto di " appartiene al coperto, P non potrebbe essere un punto su kk ; que­ sta è una contraddizione. Tutti i punti su kk stanno dunque pure su ,,; con ciò la precedente affermazione è completamente dimostrata. 1 0. L'insieme di punti kk è stato ottenuto nel paragrafo 2 con una certa costruzione dalla circonferenza numerica k. Poiché la cir­ conferenza k, come è stato mostrato nel paragrafo 3, ha almeno un punto su kk e per il resto sta tutta su o all'interno di kk e i punti su kk non sono altro, per il paragrafo 9, che la vera circonferenza ",. nella precedente costruzione abbiamo anche un mezzo per costruire, a partire dalla circonferenza numerica k, una vera circonferenza " che è una curva chiusa di Jordan e che racchiude la circonferenza numerica k, essendo tangente esternamente ; qui e nel seguito, di due curve di Jordan tali che una contenga l'altra all'interno ed abbia un punto in comune con essa, diremo che la prima è tangente esterna­ mente alla seconda e che questa lo è internamente. Con un piccolo cambiamento del precedente procedimento, cioè con uno scambio dei compiti che sono stati attribuiti ai punti interni ed esterni a k, possiamo costruire, a partire dalla circonferenza numerica k, ancora un'altra vera circonferenza ; indichiamo ora quei punti del piano numerico, che nascono dai punti esterni o su k per una rotazione intorno ad M come coperti; invece, tutti gli altri punti come scoperti. Se ora si può congiungere un punto scoperto, me­ diante una curva di J ordan che consista di punti tutti scoperti, con M, questo punto si dirà interno a kkk. I punti limite di questi punti interni a kkk si dicono punti su kkk e tutti i punti rimanenti si di­ ranno esterni a kkk. In modo analogo a quanto fatto dal paragra198

fo 3 al paragrafo 9, mostriamo che i punti su kkk formano una vera cir­ conferenza intorno ad M che è una curva di Jordan chiusa, che racchiude il centrò M e che si svolge all 'interno della circonferenza numerica k, essendo tangente internamente a questa. 1 1 . Al posto della circonferenza numerica k si può ora scegliere una qualsiasi curva chiusa di J ordan Z' svolgentesi all'interno di k, che contenga all'interno il punto M : applicando la stessa costruzione, otteniamo allora per questa curva Z' sia una determinata vera circonferenza intorno ad M che la racchiude, che è una curva chiusa di Jordan e che è tan­ gente a Z dall 'esterno, sia una determinata vera circonferenza intorno ad M, interna a Z' che è una curva chiusa di Jordan e che è tangente a Z internamente. Osserviamo ancora che ogni vera circonferenza costruita a par­ tire da una curva Z di J ordan può venire anche generata a partire da una circonferenza numerica : basta scegliere quella circonferenza nu­ merica che, stando all'interno della vera circonferenza proposta, è tangente ad essa internamente ovvero che è tangente esternamente includendola ; infatti due vere circonferenze che siano curve chiuse di J ordan e siano tangenti alla stessa circonferenza numerica, sia che le racchiuda entrambe, sia che sia interamente interna ad entrambe, dovrebbero avere certamente un punto in comune e sarebbero quindi del tutto identiche fra loro. 12. Per di piti possiamo dimostrare senza particolare difficoltà il fatto importante, che ogni vera circonferenza intorno ad M passante per un qualsiasi punto P interno a x, come del resto le vere circonferenze costruite nel paragrafo 1 1 , è una curva chiusa di Jordan che contiene M nel suo interno. Per dimostrarlo teniamo presente da una parte tutte le vere cir­ conferenze intorno a M che sono curve di J ordan e lasciano P al­ l'esterno : esse possono venir chiamate vere circonferenze di primo tipo ; e, d'altra parte, tutte quelle che sono curve chiuse di Jordan e che contengono P all'interno : esse possono venir chiamate vere circonferenze di secondo tipo. Consideriamo in primo luogo la vera circonferenza racchiudente, generata da ogni circonferenza numerica di centro M e teniamo quindi presenti quelle circonferenze numeriche da cui nascono vere circon­ ferenze che siano di primo tipo. Cerchiamo quindi per queste cir­ conferenze numeriche la circonferenza limite g, cioè la minima cir­ conferenza numerica che le contenga tutte. Tutte le circonferenze 1 99

numeriche che sono piti piccole di g danno dunque vere circonferenze di primo tipo. La vera circonferenza y proveniente dalla circonfe­ renza numerica g dovrebbe, poiché non passa per P, lasciare fuori questo punto. Se infatti P fosse interno a y, si tracci una curva chiusa di J ordan tutta interna a y che racchiuda i punti M e P e si generi da questa la vera circonferenza che la racchiude. Questa vera circon­ ferenza, poiché certamente è all'interno della circonferenza numeri­ ca g, può venir generata da una circonferenza numerica che è piti piccola di g; inoltre racchiuderebbe il punto P, il che non è possibile. Poiché abbiamo detto che tutte le vere circonferenze intorno a M, che sono curve chiuse di J ordan, provengono anche da circonferenze numeriche intorno ad M, ovviamente la vera circonferenza prove­ niente da g è una circonferenza di primo tipo che racchiude tutte le altre circonferenze di primo tipo. Se d'altra parte pensiamo generata da quella circonferenza nu­ merica di centro M quella vera circonferenza che lascia fuori quella circonferenza numerica, dimostriamo in modo analogo 1'esistenza di una vera circonferenza di secondo tipo che è racchiusa da tutte le altre vere circonferenze di secondo tipo. Se ora le due vere circonferenze limite trovate non passassero entrambe per P, si potrebbe tracciare una curva di Jordan nel do­ minio anulare posto fra esse che fornirebbe certamente, mediante il nostro procedimento, una vera circonferenza che sarebbe una curva chiusa di Jordan ma che non sarebbe né del primo né del secondo tipo ; questa è una contraddizione e quindi abbiamo dimostrato l'af­ fermazione esposta all'inizio del paragrafo 12. 13. Dopo aver trovato in quanto precede le proprietà principali delle vere circonferenze intorno ad M che passano per punti interni a " ci volgiamo ora alla ricerca dci gruppo di tutti i movimenti che mediante rotazioni del piano intorno ad M portano in sè la vera circonferenza. D'accordo con gli svolgimenti del paragrafo 8, i punti della vera circonferenza " siano rappresentati sui punti t della circonferenza di un cerchio numerico di raggio 1 con conservazione dell' ordina­ mento : allora ad ogni rotazione LI del nostro piano intorno a M corrisponde una determinata trasformazione continua biunivoca dei punti t della circonferenza unità in sé, poiché, secondo il paragrafo 5, per una rotazione l'ordinamento dei punti sulla vera circonferenza e quindi, tenuto conto del paragrafo 7, anche 1'ordinamento dei 200

valori del parametro t, rimane inalterato. Questa trasformazione può venir espressa mediante una formula del tipo t'

=

L1 (t)

dove L1 (t) è una funzione continua che per t crescente o cresce sempre o sempre diminuisce e che, aumentando l'argomento t di 2:rt muta pure di 2:rt. A quelle funzioni L1 (t) che, per argomento crescente, diminui­ scono, corrispondono trasformazioni che alterano il senso di rota­ zione sulla vera circonferenza e, poiché a causa del nostro enunciato del concetto di movimento il senso di rotazione deve restare sempre inalterato per un movimento, ne viene che la funzione L1 (t) deve essere crescente per argomento t crescente. 1 4. Ci domandiamo in primo luogo se in questo gruppo di tutte le ro1:azioni intorno ad M ci può essere una rotazione per la quale rimanga fermo un punto A della vera circonferenza �. Sia t = a il valore del parametro per un tal punto A e questo rimanga fermo pro­ prio per la rotazione L1 espressa dalla formula t ' = L1 (t).

Sia poi B un qualsiasi punto della vera circonferenza con il valore del parametro t = b che per la rotazione L1 alteri la sua posizione ; fac­ ciamo per esempio l'ipotesi b < a, senza perdere perciò in generalità. Sia L1 (t), sia pure la funzione inversa L1 -1 (t) sono tali che cre­ scono per argomenti crescenti. Poiché L1 (a) = a, ne concludiamo che ordinatamente tutti gli enti che vengono rappresentati dalle potenze simboliche L1 (b), L1L1 (b)

=

L12(b), L1 3 (b), . . . , L1 -1 (b), L1 -2(b), L1 -3 (b)

•

.

.

sono minori di a. Ora le grandezze L1 (b),

L12(b),

L1 3 (b), . . . .

se risulta L1 (b) > b, formano una successione di valori costantemente crescenti ; se vale L1 (b) < b la stessa cosa si ha per la successione di enti L1 -1 (b), L1 -2(b), L1 -3 (b), . . . . 201

Da questi fatti deduciamo che nel primo caso la ripetizione di­ retta della rotazione LI applicata a b e " nel secondo caso " le potenze simboliche di LI (b) con esponenti negativi devono avvicinarsi ad un valore limite g che sta fra a e b ovvero coincide con a. Se al numero limite g corrisponde per esempio il punto G sulla vera circonferenza �, le potenze di LI con esponenti positivi o, rispettivamente, negativi danno dei movimenti mediante i quali il punto B va, in definitiva, arbitrariamente vicino a G e per le quali punti di un intorno arbi­ trariamente piccolo di G rimangono in un intorno arbitrariamente piccolo di G. Per l'assioma terzo deve allora esserci un movimento che porta B in G e lascia nello stesso tempo inalterato G; questo contraddice al concetto di movimento. Quindi la rotazione LI che lascia fermo il punto A deve necessariamente essere tale da lasciare fermi tutti i punti della circonferenza � cioè, per questa circonferenza, è l 'identità.

15. Dalla definizione di vera circonferenza appare immediata­ mente chiaro il seguente fatto : C'è sempre una rotazione intorno ad M che porta un punto ° arbitra­ riamente dato sulla vera circonferenza � in un altro punto S, arbitrariamente �to sulla stessa. 16. Introduciamo ora un'altra proprietà del gruppo dei movi­ menti di una vera circonferenza in se stessa. Siano 0, S, T, Z quattro punti della vera circonferenza � tali che quella rotazione intorno a M, per la quale ° va in S, porti il punto T in Z, cosicché la posizione di Z resta definita univocamente dai punti 0, S, T. Se teniamo fermo ° e muoviamo S e T sulla vera cir­ conferenza ne segue che, variando con continuità S, T, anche la variazione di Z è continua. Per dimostrare questo fatto scegliamo una successione infinita di punti SI ' S2 ' S3' , che converga al punto S e una successione infinita di punti TI> T2 , T3, , che converga al punto T. Indichiamo le rotazioni intorno ad M per le quali ° va in SI> S2 ' S 3' . , con Ll I> Ll 2 , Ll 3, e i punti che provengono mediante Ll 1 , Ll 2, Ll 3, , ri­ spettivamente da TI> T2 , T3, siano ordinatamente ZI ' Z2' Z3' . . . ; dobbiamo allora mostrare che i punti ZI ' Z2' Z3' . . . convergono a Z. Sia Z* un punto di accumulazione dei punti ZI> Z2 ' Z3' . . . Per l'assioma c'è allora una rotazione intorno a M per la quale ° va in S •

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202

ed allo stesso tempo T va in Z*. Ma per questo fatto Z* si mostra univocamente definito ed identico a Z 1 7. Nei paragrafi dal paragrafo 1 4 al paragrafo 1 6 abbiamo rico­ nosciuto che il gruppo di tutte le rotazioni della vera circonferenza x in sé possiede le seguenti proprietà : 1 . Oltre alla identità non c'è nessuna rotazione intorno a M che lasci fermo un punto della vera circonferenza x. 2. Se O, S sono due punti qualsiasi della vera circonferenza u c'è certamente una rotazione intorno a M che porta O in S. 3. Per una rotazione intorno a M che muova O verso S, T va in Z; il punto Z, cosi univocamente definito da O, S, T subisce una variazione continua se S e T cambiano in modo continuo su u il loro posto. Queste tre proprietà definiscono completamente la struttura del gruppo delle trasformazioni L1 (t) che corrispondono ai movimenti della vera circonferenza in se stessa. Presentiamo cioè il seguente teorema : Il gruppo di tutti i movimenti della vera circonferenza u in se stessa, che .sono le rotazioni intorno ad M, è isomorfo oloedricamente al gruppo delle usuali rotazioni della circonferenza numerica unitaria attorno ad M. 1 8. Se pensiamo rappresentata mediante la formula di trasforma­ zione t' = L1 (t, s) .quella rotazione intorno a M che porta il punto O della vera circon­ ferenza u di parametro O nel punto S di parametro s, dove supponia­ mo il valore della funzione L1 (t, O) = t, riconosciamo, sulla base delle proprietà trovate del gruppo di rotazioni, che la funzione L1 (t, s) è univoca e continua per tutti i valori delle due variabili t, s. Ne segue pure, poiché s è definito univocamente, a meno di multipli di 2n, da due valori corrispondenti t e t ', che la funzione L1 (t, s) per t co­ stante ed s crescente o cresce costantemente ovvero diminuisce e, poiché per t = O, va in s, si presenta necessariamente il primo caso. Ora è L1 (O, t) = t; L1 (t, t) > L1 (O, t), (t > O) .e

poiché L1 (2n, s)

=

2n + L1 (0, s)

=

2n + s 203

ne segue LI (2n, 2n)

4n.

=

Quindi la funzione LI (t, t) ( > t) di una variabile t ha la proprietà di crescere continuamente da zero a 4n mentre l'argomento t cresce da O a 2n. Da questa circostanza concludiamo immediatamente il seguente fatto : Se è dato un qualsiasi numero positivo t' .;;;; 2n, c'è sempre uno ed un sol numero positivo t tale che sia LI (t, t)

=

t'

ed è t < t'. Il valore t del parametro fornisce un punto della vera: circonferenza tale che, per una certa rotazione intorno ad M, il pun­ to t = O va in t e cosi pure il punto t in t'. Indichiamo ora quel valore t per il quale è

con rp

con rp

con rp

(+)

LI (t, t) , quello per il quale è

( ;2 )

LI (t, t)

=

rp

, quello per il quale è

(; ) 3

=

LI (t, t)

=

rp

2n

(�) ( ;2 )

, . . . , poniamo poi in generale

dove a indica un numero intero ed uguale ad uno e poniamo inoltre rp(O)

=

O,

n

rp(l )

numero intero maggiore od =

2n.

Quindi la funzione rp resta definita senza contraddizioni per tutti gli argomenti razionali il cui denominatore è una potenza di 2. 204

Se ora u è un qualsiasi argomento positivo minore di l , svol­ giamo u in frazioni binarie nella forma dove tutti gli Zl, Z2 , Za, . . indicano o la cifra zero, ovvero la 1 . Poi­ ché i numeri della successione .

non diminuiscono certamente mai e rimangono tutti minori od uguali a ço(l ), essi si avvicinano certamente ad un valore limite ; indichia­ molo con ço(u) . La funzione ço (u) è una funzione che per argomento crescente cresce sempre ; vogliamo dimostrare che essa è anche con­ tinua. Infatti, se non fosse continua per un valore a +1 (J = � + � .= L n n 2 + � + . . . = L 5:... n 2 2 23 n=oo 2 n=oo 2

( )

i due valori limiti

an Lço n 2 n=oo

risulterebbero distinti fra loro e quindi la successione infinita di punti che corrispondono ai parametri

convergerebbe ad un punto diverso da quello della successione dei punti cui corrispondono i parametri

t

=

ço

(

al + 1 2

)

'

t = ço

Ora la stessa rotazione, per la quale il punto t = ço

( 1) ( ;: ) a3 + 23

•

va nel punto 205

t = q;

( ; 1) (_1 ) an

(;n ) (_1_), (_1_), (_1_),

porta nello stesso tempo t = q;

nel punto

e poiché i numeri q; q; q; . . . dimi�4 2 � P nuiscono costantemente e quindi i punti corrispondenti a questi para­ metri devono convergere ad un punto A, riferendoci all'assioma terzo per una deduzione spesso applicata, convergono anche le successioni infinite di punti, precedentemente citate, entrambe allo stesso punto. La funzione q;(a) ha un'inversa univoca e continua poiché è sem­ pre crescente e continua. La rotazione intorno a M per la quale il punto t = O va nel punto t = q;

t = q;

_

( ;: ). ) (

porta nello stesso tempo il punto t = q;

(�: )

in

bm an . . t = q; +· · numero 1ntero. dove con bm Sl· mtende un quaI SlaS1 m n 2 2 Siccome per n = 00 i valori q; convergono a q; (a) e nello

( ;: )

bm bm an . . stesso tempo 1 numen q; +convergono a q; - + a , m m 2 2 2m per l'assioma terzo c'è una rotazione che porta il punto t = O nel punto

(

)

(

t = q; (a) e nello stesso tempo il punto t = q;

t = q;

(�: )

+ a ' cioè è

( �: )

)

nel punto

e, siccome q; è una funzione continua, ne segue in generale, per valori arbitrari T e a del parametro,

LI (q; (T),

q;(a»

=

q;(T + a).

Con questo si è dimostrato che, se introduciamo nella formula di tra­ sformazione t' = LI (t, s ) ,

mediante una certa funzione q; biunivoca, al posto dei t, t', s dei nuovi parametri T, T', a secondo le formule t = q;(T),

206

t'

=

q;(T'),

s

=

q;(a)

la rotazione nei nuovi parametri si esprime mediante la formula .

'

= .

+ a.

Questa affermazione insegna la correttezza dell'affermazione fatta nel paragrafo 17. Poniamo ora al posto del parametro a il parametro w = 211:a e chiamiamo questo parametro w l'angolo ovvero l'arco tra il punto O(a = O) ed il punto S(cioè a) sulla vera circonferenza ,, ; la rotazio­ ne per la quale il punto O(a = O) va nel punto S (cioè a) si chiama una rotazione L1 [w ] dell 'angolo w della vera circonferenza " in sè. 1 9. Con la dimostrazione fatta del teorema del paragrafo 1 7 abbiamo terminato la ricerca sulle rotazioni della vera circonferenza " in sé. Per i paragrafi 1 1 e 12 riconosciamo che le deduzioni fatte dal paragrafo 1 3 al paragrafo 1 8 per la vera circonferenza " e i fatti dimostrati sono validi anche per tutte le vere circonferenze intorno a Mo Volgiamoci ora al gruppo delle trasformazioni di tutti i punti per le rotazioni del piano intorno ad un punto fisso M e dimostriamo successivamente i seguenti teoremi. Di una vera circonferenza f-l intorno ad M si sappia che è una curva chiusa di Jordan nel cui interno sta M; allora, oltre all'identità, non c 'è al­ cuna rotazione del piano intorno ad M che lasci fermo ogni punto della vera circonferenza f-l. � Per la dimostrazione indichiamo una rotazione intorno a M che lasci fermo ogni punto di f-l con M e supponiamo allora in primo luogo, in contraddizione alla tesi, che ci sia su f-l un punto A tale che ci siano dei punti ad esso arbitrariamente prossimi che mutano la loro posi­ zione per una rotazione M. Tracciamo intorno a M, cosa certamente possibile per il paragrafo 12, una vera circonferenza a che passi per un punto variabile per M e sia sufficientemente piccola cosicché si possa applicarle il teorema del paragrafo 14, per la precedente os­ servazione . Se B è un punto di intersezione di questa circonferenza con f-l allora il movimento M si caratterizza pure come una rotazione della circonferenza a in sé per la quale B resta fermo. Ma per una tale rotazione, per il paragrafo 24, tutti i punti su a rimangono fermi, il che non è il caso presente ; la nostra prima ipotesi si mostra quindi inammissibile. 207

Costruiamo allora un sistema di curve chiuse di J ordan intorno a M cui appartenga ft, delle quali o una racchiude completamente l'altra ovvero è racchiusa completamente dall'altra, in modo tale che per ogni punto del piano numerico passi una ed una sola curva del sistema. Supponiamo allora in secondo luogo, in contraddizione alla tesi precedente, che ;. sia una curva di questo sistema o interna o esterna a ft, tale che tutti i punti del dominio anulare tra ft e ;. restino fermi per quella rotazione M, mentre prossimi quanto si vuole alla curva ;. ci siano dei punti che non rimangono fermi per quella rota­ zione. Sia A un punto su ;. tale che, prossimi quanto si vuole ad esso, ci siano dei punti mobili per M; tracciamo allora intorno ad A una vera circonferenza a che passi per uno di questi punti mobili e sia sufficientemente piccola da potersi applicare ad essa il teorema del paragrafo 1 4. Poiché questa circonferenza. se sufficientemente pic­ cola, sta in una parte del dominio anulare che rimane ferma per il movimento M, il movimento M si caratterizza anche come una rota­ zione della circonferenza a in sé per la quale rimangono fermi infiniti punti di a. Allora, per il paragrafo 1 4, per la M devono restare fermi tutti punti di a, il che non è il caso presente. Con questo si è dimostrato \ che per le rotazioni M restano fermi tutti i punti del piano.

20. Enunciamo ora la seguente importante affermazione : Ogni vera circonferenza è una curva chiusa di Jordan,. il sistema di tutte le vere circonferenze intorno ad un qualsiasi punto M riemPie il nostro piano senza lacune, cosicchè ogni vera circonferenza intorno a M è rinchiusa o in­ clude ogni altra tale circonferenza. Tutte le rotazioni LI [w ] del nostro piano intorno a M sono espresse da formule di trasformazione della forma x' = f (x, y ; w),

y' = g(x, y ; w) ;

qui x, y e rispettivamente x', y' sono le coordinate nel piano numerico ed J, g sono funzioni continue nelle tre variabili x, y, w. Inoltre per ogni punto x, y le funzioni J, g hanno, rispetto all'argomento w, il numero 2n come minimo periodo comune, cioè si ottiene ogni punto della vera circonferenza mediante il punto (x, y) una volta ed una volta sola facendo percorrere ad w i valori da O a 2n. Infine, per la composizione di due rotazioni degli angoli w, w', vale la formula LI [w ]LI [w' ] = LI [w + w' ] . 208

21 . Per la dimostrazione dell'affermazione fatta, teniamo presente in primo luogo ancora la vera circonferenza x intorno a M studiata nei paragrafi dal 3 al 1 8, che è una curva chiusa di Jordan, e consi­ deriamo le rotazioni di questa vera circonferenza in sé. Introduciamo, secondo il paragrafo 1 8, l'angolo w tale che dando un valore di w tra O e 2:n; resti definito univocamente un movimento della vera cir­ conferenza x in sé. Ora, ad ogni rotazione della vera circonferenza x in sé corrisponde s o l a m e n t e una definita rotazione del piano intorno a M, poiché, per il paragrafo 1 9, se stanno fermi tutti i punti su x, stanno fermi tutti i punti del piano. Ne segue che nelle formule esposte nel paragrafo 20 per le rotazioni del piano intorno a M, le funzioni f e g sono funzioni univoche per tutti gli x, y, w che hanno, rispetto ad w, il periodo 2n. Dimostriamo ora che j, g sono funzioni continue in x, y, w. A tale scopo sia O un qualsiasi punto di x, inoltre Wl ' w2, wa, w4, sia una successione infinita di valori che converga ad un determinato valore w e Tl> T2, Ta, una successione infinita di punti del nostro piano che converga ad un qualsiasi punto T. Quei punti che provengono da O per applicazione delle rotazioni degli angoli Wl> W2, wa, li indichiamo con SI' S2' Sa, . . . e i punti che nascono, rispettivamente, da Tl> T2, Ta, per le rotazioni Wl> w2, wa, possono venir chia­ mati ordinatamente Zl> Z2 ' Za, . . . Infine i punti che provengono rispettivamente da O e da T per una rotazione dell'angolo w ven­ gano indicati rispettivamente con S e con Z. Si deve ora mostrare che i punti Zl> Z2 ' Za, . . convergono a Z. Poiché i punti Tl> T2, Ta, convergono a T, possiamo defi­ nire un dominio G di J ordan nel cui interno stanno tutti i punti M, T, Tl> T2, Ta, Applichiamo a questo dominio di Jordan quella rotazione intorno a M che porta O in S. Il dominio di Jordan che nasce cosi da G si chiami H; esso contiene certamente i punti M e Z. Costruiamo infine una curva chiusa a di Jordan che contenga all'in­ terno interamente il dominio H, cioè lo circondi senza che un punto giaccia su H. Vogliamo ora mostrare che dei punti Zl> Z2' Za, . certamente soltanto un numero finito sta fuori della curva a. Se, infatti, un nu­ mero infinito di essi, per esempio i punti Zi l ' Zi. , Zia ' . , stesse fuori di a, si pensi M collegato con Ti" mediante una curva l'h di Jordan all'interno di G e quindi applicata a l'h la rotazione dell'angolo wi" . La curva, che nasce in questo modo, congiunge M con ZiI> e quindi •

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209

interseca la curva a certamente in un punto, per esempio Bh ; sia Ah il punto su Yh che, per rotazione dell'angolo mi" va in Bh' Poiché i punti Al, A2, A3, rimangono tutti all'interno di G e i punti Bl> B2, B3, stanno tutti su a, c'è certo una successione infinita di indici hl, h2, h3, tali che Ah I , Ah 2 , Ah 3, . . . convergono ad un punto A interno a G o sul contorno di G e parimenti B hI , B h2 , B h3 , . . . convergono ad un punto B su a. Ora sappiamo che i punti 5 l> 52' 53' . . . convergono a 5 ; riferendoci all'assioma terzo, ci dovrebbe essere quindi una rotazione intorno a M che porti O in 5 ed A in B; ma questo non è possibile. Infatti per questa rotazione A dovrebbe andare in un punto interno ad H o sul contorno di H; mentre B è un punto sulla curva a che contiene nel suo interno per intero il dominio H. Abbiamo quindi riconosciuto che il sistema di punti Zl> Z2' Za, . . . deve stare per intero all'interno di u n certo dominio di J ordan. Sia ora z* un punto di accumulazione dei punti Zl' Z2' Z3' . . . . Poiché i punti 5l> 52' 53' . . . convergono a 5 per l'assioma terzo c'è una rotazione intorno a M per la quale O va in 5 e, contemporanea­ mente, T in Z*. Ma poiché per quella rotazione intorno a M che porta O in 5, T deve andare in Z segue, per l'univocità dimostrata sopra delle funzioni f, g che è necessariamente Z* = Z, cioè i punti Zl' Z2' Z3' . . . convergono soltanto ad un punto, cioè al punto Z. Quindi è dimostrata la continuità delle funzioni f, g in x, y, m. -Poniamo ora in J, g al posto di x, y le coordinate di un qualsiasi punto P del nostro piano che stia entro o fuori della circonferenza x. Le funzionif(m) e g(m) nella variabile m che ne nascono non possono avere periodi simultanei arbitrariamente piccoli . Infatti, poiché sono funzioni continue di m, sarebbero in questo caso delle costanti ; ma allora il punto P resterebbe fermo per tutte le rotazioni del piano in­ torno a M, il che contraddirebbe l'assioma secondo. Il minimo periodo comune di quelle due funzioni f(m), g(m) deve quindi es. . . . sere deIla cIorma --, dove n 1nd'ica un numero mtero pos1tiVO. •

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•

2n n

Ne segue che si ottiene la vera circonferenza che passa per P se si fanno percorrere al parametro m nelle formule x

valori da O a 210

2n

--o

n

=

f(m),

y

=

g(m)

Questa curva è chiusa e priva di punti doppi ;

essa rappresenta quindi la vera circonferenza intorno a M, passante per P. Se poi applichiamo al piano una rotazione dell'angolo 2n . . . . -- , per essa tuttI l puntI di questa vera ctrcon tierenza passante per n P rimangono fermi e quindi dovrebbero restare fermi, per il para­ grafo 1 9, tutti i punti del piano ; ma i punti sulla vera circonferenza " rimangono fermi soltanto per quella rotazione per la quale n = 1 e quindi abbiamo dimostrato l'enunciato del teorema dato nel pa­ ragrafo 20 in tutte le sue parti. 22. Ora riconosciamo facilmente anche la correttezza del se­ guente fatto : Se due punti rimangono fermi per un movimento del piano, rimangono fermi tutti i punti, cioè il movimento è / 'identità. Ogni punto del piano può certamente venir portato con un movimento (cioè due rotazioni) in ogni altro punto del piano. Il primo fatto segue immediatamente, tenendo conto del teo­ rema del paragrafo 20 ; il secondo, se tracciamo attorno ad ognuno dei punti la vera circonferenza che passa per l'altro, col che queste circonferenze devono necessariamente intersecarsi. 23. Il nostro ulteriore e piu importante scopo consiste nell'in­ trodurre nella nostra geometria il concetto di vera retta e nello sviluppare le proprietà di questo concetto necessarie per la costruzione della geometria. A questo scopo fissiamo in primo luogo le seguenti denomina­ zioni : se A, B ed A', B' sono due coppie di punti immagine tali che si possa con un movimento portare A in A' ed allo stesso tempo B in B', diremo che il (vero) segmento AB è congruente (in simboli = ) al (vero) segmento A' B'. Diciamo inoltre congruenti due vere circonferenze se c'è un movimento che porti uno nell'altro i centri e nello stesso tempo esse stesse una nell'altra . Intenderemo per semirotazione H intorno ad un punto M una ro­ tazione dell'angolo n, cioè una rotazione che applicata una seconda volta dà l'identità. Se A, B, C sono tre punti tali che A va, per una semirotazione intorno a B, in C e quindi anche per questa semirota­ zione C va in A, B si chiama il punto medio del segmento AG. Se C è un punto interno ovvero esterno alla vera circonferenza tracciata intorno a A per B, diciamo che il segmento AC è rispetti211

vamente, minore ovvero maggiore del segmento AB. Per definire in modo analogo il concetto di " minore " e " maggiore " per seg­ menti qualsiasi e per circonferenze qualsiasi, si applichi il movimento che porta il punto iniziale del segmento ovvero il centro della circon­ ferenza nei punti corrispondenti. 24. Un vero segmento AC ha al massimo un punto medio ; se infatti ci fossero per AC due punti medi ed indicassimo con Hl ed H2 le semirotazioni intorno a questi punti medi, la sostituzione composta 2 HIH;, rappresenterebbe un movimento che lascerebbe fermo ognu­ no dei punti A e C e ne dedurremmo quindi, per il paragrafo 22, indicando simbolicamente l'identità con 1 ,

quindi coinciderebbero anche i punti medi. I n particolare deducia­ mo di qui quest'altro fatto : Se due segmenti sono congruenti fra loro, sono congruenti fra loro anche le loro metà. 25. Per gli ulteriori sviluppi ci occorre il seguente lemma : I punti Al' A 2, Aa, . . . convergano al punto A e i punti MI > M2, Ma, . al punto M; allora se, facendo la semi rotazione intorno a Mi il punto Ai va in Bi' anche i punti Bl> B2, Ba, . . . convergono e precisamente a quel punto B che si ottiene da A con la semirota­ zione intorno a M. In primo luogo si può certamente trovare un dominio di J ordan nel cui interno sia posto il sistema di punti BI, B2, Ba, . . . Ci accer­ tiamo di questo mediante lo stesso ragionamento che è stato appli­ cato nel paragrafo 21 al sistema di punti Zl> Z2, Za, . . . . Indichiamo ora con B* un punto di accumulazione dei punti BI> B2, Ba, . . . Sulla base dell'assioma terzo ci deve allora essere un movimento che porti ordinatamente i punti A, M, B* nei punti B*, M, A ; cioè B* proviene da A per la semirotazione intorno a M. Ma siccome anche B proviene da A per semirotazione intorno ad M, ne segue B* = B e quindi si è ottenuta la voluta dimostrazione. .

.

26. Sia M ilpunto medio di un certo segmento AB ; vogliamo allora mo­ strare che ogni segmento AC che è minore di AB, ha pure un punto medio N. A tale scopo tracciamo da A a M una qualsiasi curva y continua 212

·e cerchiamo per ogni punto M' di questa curva

y il punto B' tale che M' sia il punto medio di AB' ; allora il Ìuogo del punto B', come possiamo concludere dal lemma dimostrato nel paragrafo 25, è una -curva continua y ' . Questa curva y ' termina certamente in A quando il punto M' va in A sulla curva y. Infatti, se cosi non fosse, suppo­ niamo che MI> M;� Ma, . . . sia una successione infinita di punti su y -che converga ad A e BI, B2, Ba, . . . i punti corrispondenti sulla -curva y ' . Se ora BI, B2 , Ba, . . . avessero un punto di accumulazione A* distinto da A, ne dedurremmo che ci sarebbe un movimento ·che lascerebbe punti arbitrariamente vicini ad A, ancora arbitraria­ mente vicini a A e che porterebbe il punto A in un punto arbitra­ riamente vicino a A*. Ma allora, sulla base dell'assioma terzo, per un ·certo movimento, A dovrebbe restar fermo e nello stesso tempo andare in A* il che è impossibile . Poiché ora, per la nostra ipotesi, AC è minore di AB, la vera circonferenza tracciata intorno ad A per C deve intersecare la curva -continua y ' congiungente A con B in un certo punto B'. Il punto M' corrispondente a questo punto su y è il punto medio del vero seg­ mento AB' e siccome AC = AB', si trova, con un'opportuna rota­ -zione intorno ad A, il punto medio cercato N di AC da M'. Poiché il segmento AC, per una semirotazione intorno al suo punto medio M, va nel segmento CA, dal teorema testè dimostrato segue : Il segmento AC è sempre congruente al segmento CA sup­ posto che il segmento AC sia minore del determinato segmento AB posto alla base all'inizio di questo paragrafo 26. Nello stesso modo riconosciamo che se i punti CI> C2 , Ca, . . -convergono al punto A, anche i punti medi NI> N2, Na, dei :segmenti ACI ' A C2, ACa, . . . convergono ad A. -

.

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•

•

27. Per i nostri ulteriori sviluppi ci sono necessari alcuni teo­ remi su vere circonferenze che si toccano e precisamente viene in primo luogo il seguente : costruire due circonferenze congruenti fra loro .che si tocchino l'una con l'altra esternamente in uno ed un sol punto. A tale scopo scegliamo una circonferenza ,,' cosi piccola che al­ l'interno della stessa non ci sia nessun segmento che sia congruente al segmento AB definito e posto alla base nel paragrafo 26 ; il teorema del paragrafo 1 1 mostra che questo è certamente possibile perché .altrimenti i punti A e B potrebbero venir mossi contemporaneamente 213

in una posizione arbitrariamente vicina a M. Sia poi " una circon­ ferenza interna a ,,' ed avente lo stesso centro di ,,'. Prendiamo ora sulla circonferenza " due punti qualsiasi e tracciamo intorno a questi due circonferenze a e f3 fra loro congruenti, cosi piccole che due punti

di " interni ad a, non possano mai venire separati, nel senso dell' ordi-­ namento dei punti su ", da due punti qualsiasi di " interni a f3. Le circonferenze a, f3 siano poi scelte cosi piccole da stare completa­ mente all'interno della circonferenza ,,'. Prendiamo allora un punto p' interno ad a ed esterno a " ed un punto R' interno a f3 ed interno a ", e tracciamo intorno a p' e ad R' due circonferenze congruenti fra loro n' e e ' cosi piccole che n ' sia tutto interno ad a e esterno a " e e ' tutto interno a f3 e interno a ". Si faccia ora una rotazione intorno al centro di a in modo che la circonferenza n ' vada in una circon­ ferenza n " che tocchi la circonferenza " dall'esterno : i punti di con-­ tatto formano un sistema di punti che indicheremo con S. Si faccia poi una rotazione intorno al centro di f3 in modo che la circonferenza ' e vada in una circonferenza e che tocchi la circonferenza " dall'in­ terno. I punti di contatto formano un sistema di punti che indiche­ remo con T. Poiché, per la scelta delle circonferenze a e f3, nessuna coppia di 214

punti del sistema S è separata su " da una coppia di punti del sistema T, è certamente possibile per una rotazione del piano intorno al centro della circonferenza " portare uno dei punti estremi di S su " a coincidere con uno degli estremi di T su " in modo tale che i ri­ manenti punti di S vadano in punti che siano tutti distinti dai punti del sistema T. Con questa rotazione la circonferenza n ' I viene a toccare la circonferenza e in modo tale che il punto C in cui avviene la coincidenza è l'unico punto di contatto. Indichiamo con n la cir­ conferenza n ' I nella sua nuova posizione e i centri di n e e rispettiva­ mente con P e R. Vogliamo ora dimostrare che il punto di contatto C è necessaria­ mente il punto medio fra i centri P e R. Infatti, per la nostra scelta di ,,' il segmento PR è certamente minore del determinato segmento AB e ha quindi, per il paragrafo 26, certamente un punto medio ; si indichi questo con C*. Allora ognuna delle due circonferenze n e e va nell'altra per una semirotazione intorno a C* e cosi pure ogni punto di una circonferenza in un punto dell'altra. Poiché il punto C è comune alle circonferenze n, e, esso deve, per una tale semirota­ zione, andare ancora in un punto comune alle circonferenze n, e, conseguentemente deve restare inalterato per questa semirotazione e coincide quindi necessariamente con il punto C* intorno a cui è stata fatta la semirotazione. Dal teorema dimostrato otteniamo anche i seguenti fatti : Per una semirotazione intorno al punto C su n si ottiene dalla circon­ ferenza n la circonferenza e che tocca n in C dal! 'esterno ,. non c 'è oltre a e nessun 'altra circonferenza che sia congruente alla circonferenza n e che la tocchi dall'esterno in C e soltanto in questo punto. 28. Vale poi il teorema : n,

Se una qualsiasi circonferenza t è racchiusa e toccata dalla circonferenza questo contatto ha luogo in un sol punto.

Per la dimostrazione supponiamo che Q, Q' siano due punti di contatto delle circonferenze t e n, distinti fra loro. Facciamo allora una semirotazione intorno a Q' ; per questa n va in una circonferenza ' i n che tocca n nel punto Q' e t in una circonferenza t che è interna ' a n , e quindi certamente esterna a n, mentre le circonferenze n e n ' si toccano soltanto in Q'. Se ora facciamo quella rotazione intorno al centro della circonferenza n per la quale Q va in Q' da t nasce una 215

circonferenza t " che è certamente tutta interna a 'li: e quindi anche certamente tutta esterna a t ' e che tocca questa soltanto in Q'. Abbiamo quindi due circonferenze t, t " , che toccano tutte e due la circonferenza

congruente t' in Q' e solo in questo punto dall'esterno ; e questa cir­ costanza contraddice il teorema del paragrafo 27. I fatti trovati nel paragrafo 27 e nel paragrafo 28 rimangono va­ lidi quando invece di 'li: e e si prendano circonferenze piu piccole. 29. Sia P il centro della circonferenza 'li: costruita nel paragrafo 27 e Q un punto su 'li: e sia poi O un punto qualsiasi. Allora riferendoci all' osservazione alla fine del paragrafo 26 e, come nel paragrafo 27, sulla base del teorema del paragrafo 20, possiamo dare certamente un punto E in tale prossimità di O che all'interno della circonferenza t, tracciata attorno al punto medio M del segmento OE per O ed E, non esista alcun segmento congruente a PQ ; e vale anche la stessa cosa per ogni punto E' e per la corrispondente circonferenza i' se E' è posto ancora piu vicino di E al punto 0. 1 2 Vale poi il teorema :

La circonferenza t (t ' ) tracciata intorno al punto medio M(M') di OE(OE') per O sarà circondata dalla circonferenza intorno ad O per E(E') e sarà toccata solo in E(E'). Per la dimostrazione costruiamo in primo luogo q��ll;=circon-

· 12 Si scelga una circonferenza a intorno ad O in cui non ci sia alcun segmento con­ gruente a PQ e si indichi con E un punto di una tale circonferenza intorno ad O i cui punti interni e sulla circonferenza definiscono ciascuno con O un segmento il cui punto medio M' sta in a. La circonferenza intorno ad M' per O è congruente a quella intorno ad O per M' ; quindi non contiene alcun segmento congruente a PQ. 216

ferenza w intorno ad O che racchiude la circonferenza t e che la tocca. Questa circonferenza w è necessariamente minore della circonferenza n ; infatti altrimenti la circonferenza tracciata intorno ad O, congruen­ te a n, entrerebbe all'interno della circonferenza t e quindi dovrebbe esistere all'interno di t un segmento congruente a PQ, caso che non può presentarsi. Per il teorema dimostrato nel paragrafo 28, questa circonferenza w può avere un sol punto di contatto con t ; sia questo El' Se El fosse distinto da E si faccia quella rotazione intorno a M per la quale El va in O ; allora per questa rotazione O va in un punto E2 della circonferenza t che deve essere distinto da El' Poiché il w

\ segmento OEI sarà congruente al segmento E20 e quindi anche ad OE2, E2 dovrebbe essere sempre un punto della circonferenza w ; questo contraddice la circostanza che El, sia l'unico punto comune alle circonferenze w ed t ; cioè la circonferenza w passa per E e quindi resta dimostrata la nostra tesi. 30. Per gli svolgimenti successivi poniamo alla base il segmento OE costruito all'inizio del paragrafo 29 e diamo ai punti O, E ri­

spettivamente i valori numerici O ed 1 ; costruiamo poi il punto medio del segmento OE e diamo a questo punto medio il valore numerico t; poi diamo al punto medio del segmento (O, t) e al punto medio del segmento (l, 1 ) rispettivamente i valori ì e i e quindi ai punti medi dei segmenti (O, ì), (i, t), (t, i), (i, 1 ) rispettivamente i valori 1-, f, t i ; e cosi via. Facciamo poi con l'intero segmento (O, 1 ) una semirotazione intorno al punto O e diamo a quel punto che proviene da quello cui corrispondeva il numero a il valore a ; facciamo poi una semirotazione intorno al punto 1 e diamo a quel punto che pro­ viene dal punto cui corrispondeva il numero a, il valore numerico 2 a, e pensiamo poi di aver fatto alternativamente delle semirota­ zioni intorno ad O ed E e di avere corrispondentemente denominati -

-

217

i nuovi punti che nascono finchè ogni numero a appaia associato ad un determinato punto, se a indica un numero razionale il cui deno­ minatore sia una potenza di 2. 31 . Mediante questo coordinamento riconosciamo facilmente le seguenti leggi : Per una semirotazione intorno al punto corrispondente al nu­ mero a ogni punto x va nel punto 2a x. Se quindi facciamo prima una semirotazione intorno al punto O = O e quindi una intorno al punto a, ogni punto x si trasforma nel punto x + 2a. -

32. Per ordinare fra loro i punti a cui corrispondono numeri e per confrontare fra loro i segmenti da essi determinati usiamo il teorema esposto al paragrafo 29, sulle circonferenze che si toccano, nel seguente modo : La circonferenza intorno al punto O per il punto t circonda com­ pletamente la circonferenza intorno al punto i per ì e poiché questa circonda le circonferenze intorno ad ì per i = ! ed intorno a i per t = t, e l'ultima ancora circonda la circonferenza intorno ad 2 l 1 · S 4 1 · 6 6 3 · ii per ii = 11"> mtorno a ii per ii = 4 , 1ntorno a ii per ii "il"> 1ntorno a ts per le = ì eccetera, riconosciamo che il segmento (O, ì) è mag­ giore del segmento (O, a) se a indica un numero razionale positivo il cui denominatore è una potenza del 2 ed il cui valore è minore di ì. Infine la circonferenza intorno a O per i circonda la circonferenza intorno ad i per i = t. La seconda circonferenza racchiusa, rinchiude =

218

'a sua volta le circonferenze intorno ad fe per fa ed intorno ad � per le, e queste a loro volta le circonferenze minori intorno ad -12, 12 ; -12, � e cosi via ; da cui riconosciamo che il segmento (O, 1 ) è mag­ giore di tutti i segmenti (O, a) se a è un numero positivo razionale il cui denominatore è una potenza di 2 ed il cui valore è minore di t. Consideriamo poi la circonferenza intorno a O per i ; questa rinchiude la circonferenza intorno ad fe per fa l e questa ancora racchiude a sua volta le circonferenze minori intorno ad -12 per � e cosi via ; di qui riconosciamo che il segmento (O, i) è maggiore di tutti i segmenti (O, a), dove a è un numero razionale positivo il cui denominatore sia una potenza di 2 ed il cui valore sia minore di l. Procedendo in questo ragionamento troviamo il risultato generale :

=

Se a è un numero razionale positivo il cui denominatore è una potenza di 2 1 -ed il cui valore è minore di -, allora il segmento (O, a) è sempre minore ,del segmento

( �) O,

2

.

2m

33. Siamo ora nella possibilità di dimostrare successivamente i -seguenti lemmi :

..

Ipunti che corrispondono ai numeri t, t, i, -fs, . , convergono al punto O. Infatti, in caso contrario, poiché i segmenti (O, l), (O, t), (O, i), (O, fe), . diventano continuamente piu piccoli, i punti t t, -l, le., . . . dovrebbero avere i loro punti di accumulazione su una deter­ minata vera circonferenza " intorno al punto O. Sia per esempio 1 1 1 , . . . una successione di punti che converga al --, --,

..

2n1

2n.

-2n 3

punto K su ,, : allora i punti 1 2n1 +1 '

1

1 2n 3 +1 '

:abbiano un punto di accumulazione nel punto K*. Dal teorema del paragrafo 25, segue che K* deve essere il punto medio del segmento OK; questo contraddice, ricordando il fatto trovato alla fine del pa­ ragrafo 27, la circostanza che K* giace sempre sulla circonferenza ". 34. al ' a2, a3, indichino numeri razionali positivi i cui denomina­ tori siano potenze di 2. Se allora la successione infinita al> a2, a3, con•

•

•

•

•

•

219

verge a O, allora anche la successione di punti che corrispondono a questi punti converge al punto O. Per la dimostrazione scegliamo gli esponenti interi nl, n2, na, in modo tale che sia .

1 2m '

al
O au

e si può quindi definire un numero positivo a tale che per O -< u -< 3a sia : arp - (u, 1 ) > O. au 230

Indichi m il minimo positivo di

:: (u, 1 )

per

0

:: (f}a, v) . a

}

arp (f}a, 1 ) . a ;> ma au

(O




111

•

a

e rp(2a, v) O ; au

dunque rp(u, v) cresce monotonamente con u. Vale quindi per a P2 (v. p. 71 ) si deve, per un procedimento esatto, trarre la definizione ricorsiva per la scomposi­ zione in piti poligoni. Le conseguenze, che nel paragrafo 1 8 vengono dedotte immediata­ mente dalle definizioni di equiscomponibilità ed equiampliabilità, val­ gono in generale soltanto sotto la condizione che i concetti di " uni­ re " e di " togliere " vengano intesi in senso ristretto. Se non ci si vuoI limitare nella formulazione, si raccomanda di introdurre, ac­ canto al concetto di poligono un concetto generale di " poligonale ". Come punto di partenza ci serve qui il teorema : ogni poligono sem­ plice è scomponibile in triangoli. Per dimostrare questo teorema per induzione sul numero dei lati del poligono, basta mostrare che ogni poligono P con un numero di lati n > 3 si può scomporre in due poligoni con un numero di lati minore. Siano Al, A 2 , , An i vertici successivi di un poligono P percorso in un certo ordine. Si consideri una semiretta uscente da Al verso l'interno del poligono ; questa intersechi ancora il poligono per la prima volta in un punto B. (La semiretta può venir scelta sem­ pre in modo che B non stia su una delle rette AIA 2 AIAn .) Se B ' •

•

•

247

è un vertice di P, il segmento AIB fornisce già una scomposizione di P in due poligoni con un numero di lati minore. Altrimenti B giaccia su uno dei lati del poligono AiAi+l' dove 2 < i < n - l ed il se­ gno di uguaglianza valga al massimo una volta. Se è 2 < i < n - l , il segmento AIB fornisce ancora una scomposizione di P del tipo richiesto. Rimangono i casi i = n - l e i = 2 che sono da trattare nello stesso modo. Sia per esempio i = 2 ; allora il poligono P viene scomposto dal segmento AIB nel triangolo AIAzB e nell'n-agono AIBAs . . . An> che indicheremo con P'. Ora il poligono P' o viene scomposto dal segmento AIA 2 in un triangolo e in un (n - 1 )­ agono, ovvero all'interno del triangolo AIBAs (che contiene sempre punti interni di P') ovvero sul suo lato AIA a sta (almeno) un ver­ tice Aj con} > 3. Nel primo caso si è avuta la scomposizione richie­ sta. Altrimenti si prenda tra le semirette che da Al vanno ad un vertice Ai quella la cui intersezione con la retta BA a venga per prima dopo B e su questa semiretta il primo vertice di P' che viene dopo Al. Sia Ak questo vertice ; se allora è k =f=. n, il segmento AIAk fornisce una scomposizione di P' in due poligoni con un numero di lati minore ; se fosse k = n sarebbe il segmento BAk a dare una scompo­ sizione di tale tipO. 1 Per la scomposizione di un poligono in triangoli la condizione d i l i b e r t à d a r i c o p r i m e n t o è soddisfatta : nessuna cop­ pia di triangoli ha un punto interno in comune. Con l'introduzione all'occorrenza di altre suddivisioni può venire soddisfatta anche la c o n d i z i o n e p i ti f o r t e d e l l a t r i a n g o l a z i o n e : ogni due triangoli o sono completamente disgiunti o hanno in comune soltanto un vertice ovvero hanno in comune un lato e nessun altro punto. Non occorre che una totalità di un numero finito di triangoli nel piano che soddisfino alla condizione di triangolazione2 formino la triangolazione di un poligono. Le figure triangolabili con una tale totalità di triangoli sono di tipo piti generale ; possono venir chiamate p o l i g o n a l i. Per ottenere la figura di un poligonale dalla totalità dei triangoli che ne danno la triangolazione, in primo luogo si devono trascurare

1

Un'altra dimostrazione del teorema della scomponibilità di ogni poligono semplice in triangoli si trova nell'articolo di Van der Waerden citato sul supplemento I l, para­ grafo 5, teorema 24. 2 In topologia una tale totalità si chiama un complesso finito piano di triangoli. 248

quei lati di triangoli che sono comuni a due di essi. Il tratto di linea che rimane può dare un poligono semplice, in cui due o piu lati di triangoli contigui che appartengono ad una stessa retta, vengano riuniti in un unico lato del poligono. Ovvero il tratto di linea si spez­ za (sulla base delle riunioni del tipo detto) in piu poligoni semplici. I lati di questi poligoni possono venir chiamati lati del poligonale. Si ottiene la suddivisione dei punti del piano che non appartengono a questi poligoni in punti " interni " ed " esterni " al poligonale nel seguente modo. Il numero finito dei triangoli della totalità può venir rinchiuso da un poligono, persino da un triangolo. I punti esterni a questo poligono che racchiude il poligonale sono punti esterni al poligonale ; per il rimanente si definisce la distinzione fra punti interni ed esterni in modo che ogni volta che si oltrepassa un lato del poligonale si vada da punti esterni a punti interni, ovvero da punti interni a punti esterni. Si rifletta che sono quindi punti esterni quelli che sono esterni a tutti i triangoli della totalità di triangoli e che sono punti interni quelli che o sono interni ad uno di questi triangoli ovvero su uno dei lati dei triangoli, ma non su un lato del poligonale. Una totalità finita di triangoli, privi d a r i c o p e r t u r e, definisce già un poligonale ; infatti da essa si ottiene per opportuna suddivisione una totalità di triangoli che soddisfa alla condizione di triangolazione, e il poligonale che risulta è indipendente dalle diverse possibili scelte delle suddivisione. Infatti, per ogni due suddivisioni se ne può sempre definire una terza che sia suddivisione di ciascuna delle due ; ed una totalità di triangoli che proviene da una triango­ lazione di un poligonale mediante suddivisione fornisce ancora lo stesso poligonale, poiché i lati dei triangoli introdotti per la suddi­ visione nella triangolazione piu fitta compaiono tutti due volte. Da due poligonali P, Q, tra cui non ci siano sovrapposizioni, si ottiene un nuovo poligonale riunendo la totalità dei triangoli di una triangolazione di P con quelli di una triangolazione di Q ; con ciò si ottiene una totalità di triangoli senza sovrapposizioni che defi­ nisce un poligonale. Il poligonale che risulta cosi non dipende dal particolare modo di triangolazione di P e di Q come si deduce dalla precedente osservazione sulle suddivisioni ; è dunque univocamente definita da P e Q. Diciamo che è stato ottenuto da P e da Q per r i u n i o n e ovvero anche per a g g i u n t a di Q a P e lo indi­ chiamo con " P + Q ". 249

Questo processo di riunione può venire esteso a piti poligonali che, a coppie, non abbiano sovrapposizioni ; e questa riunione è com­ mutativa ed associativa poiché già la riunione di totalità di triangoli, che non abbiano sovrapposizioni a coppie, ha queste proprietà. Siano ora P e Q due qualsiasi poligonali dati mediante le totalità di triangoli da triangolazione Ll I , , Ll k e LI)., . . . , Ll z . Possiamo allora per ogni triangolo Ll i definire una suddivisione in triangoli Lli , 1 . • . , Llir tale che nessuno dei triangoli LI ii venga attraversato da un lato ; di un triangolo Llk e per di piti ogni triangolo Ll ij o appartenga per intero ad un triangolo LI� ovvero non abbia alcun punto interno in co­ mune con quello. Otteniamo cosi una triangolazione di P nella quale ogni triangolo o appartiene per intero ad uno dei triangoli LI �, . . . , LI , ovvero non ha alcun punto interno in comune con uno di questi. I triangoli del primo tipo danno fra loro una triangolazione di un poligonale TI > quelli del secondo tipo una triangolazione di un poli­ gonale T2, ed è P = TI + T2• Se ora da un triangolo LI� vengono tolti quei triangoli della triangolazione di TI > che gli appartengono, la figura che rimane può venire triangolata e verrà chiamato poligo­ naIe Rh' La riunione dei poligonali Rh . . . , Rz, a coppie senza sovrap­ posizioni, dà un poligonale T3 ed è Q = TI + Ts ' I poligonali TI , T2, T3 sono a coppie senza sovrapposizioni, Chiameremo la loro composizione TI + T2 + T3 u n i o n e di P e Q. TI si chiama l'i n t e r s e z i o n e di P e Q. Per fare con piti precisione queste riflessioni dobbiamo, in par­ ticolare, usare della seguente circostanza : se un vertice o un punto di un lato di un triangolo è interno ad un poligonale, allora anche un punto interno del triangolo è all'interno del poligonale. E di qui segue : se per due poligonali triangolati P, Q nessun triangolo della triango­ lazione di P ha un punto interno in comune con un triangolo della triangolazione di Q, allora P e Q sono privi di sovrapposizioni. Come risultato delle ultime riflessioni osserviamo : per due poli­ gonali qualsiasi P e Q esiste sempre una riunione V ed un'interse­ zione D con le seguenti proprietà : V e D sono poligonali ; si possono definire poligonali P' e Q' tali che P', Q', D siano a coppie prive di sovrapposizioni e •

P = D + P',

•

Q = D + Q',

•

V = D + P' + Q',

e quindi anche V = P + Q', 250

V = Q + P'.

Definiamo ora la equiscomponibilità e la equiampliabilità in ,generale per poligonali. Spiegazione. Due poligoni P, Q si dicono equiscomponibili -quando si possono definire una triangolazione Ll I, . . . , Ll n per P e una LI �, . . . , LI� per Q tali che Ll i e Ll i siano triangoli congruenti. Due poligoni P, Q si dicono equiampliabili se si può aggiungere a P un poligonale P' ed a Q un poligonale Q' tali che P' sia equi­ scomponibile con Q' e P + P' lo sia con Q + Q'. Per giustificare queste definizioni dobbiamo mostrare che esse sono in accordo con le definizioni precedenti di equiscomponibilità ·ed equiampliabilità per i poligoni (par. 1 8, v. p. 72). Per quel che riguarda la equiscomponibilità si riconosce subito 'che la nuova definizione, nel caso dei poligoni, coincide con la pre­ cedente. Ora si può anche dimostrare la t r a n s i t i v i t à d e I l a e q u i s c o m p o n i b i l i t à, cioè il teorema che due poligonali, che sono equiscomponibili con un terzo, sono equiscomponibili fra loro, nello stesso identico modo di quello seguito . per i poligoni (v. la dimostrazione a p. 73). Si ottiene senz'altro anche il teorema ,della a d d i t i v i t à d e I l a e q u i s c o m p o n i b i l i t à : se un poligonale P è composto dai poligonali PI e P 2 ed un poligonale Q dai poligonali QI e Q 2 e se PI è equiscomponibile con QI e P2 con ' Q 2 anche P e Q sono equiscomponibili. ' Per dimostrare ora, anche per la definizione di equiampliabilità ·dei poligonali, che, nel caso di poligoni P, Q, è identica alla prece­ dente, stabiliamo in primo luogo il seguente lemma : se P è un poli­ gono e K un poligonale si può allora aggiungere a P un poligono H, equiscomponibile con K, tale che P + H sia un poligono ; bre­ vemente : P può venir ampliato in un altro poligono, aggiungendogli un altro poligono H equiscomponibile con K. Per la dimostrazione consideriamo in primo luogo il caso in cui un lato a del poligono P stia su una retta g tale che tutti i vertici del poligono, fatta eccezione degli estremi di a, stiano tutti da una me­ desima parte di g. Si triangoli il poligonale K mediante i triangoli Ll I, , LI k. Ora ogni triangolo è equiscomponibile con un rettangolo, fatto che si vede cosi : Sia ABC il triangolo e siano A e B angoli acuti ; allora se p è la retta congiungente dei punti medi di CA e CB e F e G i piedi delle perpendicolari da A e B su p, il rettangolo ABG F è equiscomponibile con il triangolo ABC come si riconosce, -

•

•

•

251

abbassando da C la perpendicolare su PC (v. la figura per la dimo­ strazione del teorema 39 a p. 44). Dunque con ognuno dei triangoli L1 i (i = 1, . . . , k) è equiscom­ ponibile un rettangolo Ri e si possono accostare al poligono P suc­ cessivamente i rettangoli R�, R�, . . . , R" in modo che Ri. sia con-

a

R; R� Rj . . . .

gruente ad Ri e che Rf + . . . + R" come pure P + RI + . . . + Rr. sia un poligono. Con questo il poligono Rf + . . . + R" è equi­ scomponibile con il poligonale K e quindi in questo caso la nostra affermazione risulta dimostrata. Il caso generale può venire ricondotto a questo caso particolare nel seguente modo : si tracci per un vertice del poligono una retta q, sulla quale non stia alcun altro vertice di P e che non sia parallela a nessuna retta congiungente due vertici di P. Si traccino le parallele a q per tutti i vertici di P e si intersechino tutte queste rette ql> . . . , qr parallele fra di loro, con una retta c. Fra i punti di intersezione ce ne sono due estremi. Sia q, una delle rette ql' . . . , qr che passi per uno dei punti estremi di intersezione ; allora su qi sta un sol vertice Ei di P e tutti gli altri vertici di P stanno da una medesima parte di qi' Si può ora accostare al poligono un triangolo /::,. con un vertice in Ei in modo che P + /::,. sia ancora un poligono ed un lato di L1 stia sulla

retta qi' mentre il vertice del triangolo /::,. , opposto a questo lato� stia su uno dei lati di P terminanti in Ei. Allo stesso tempo /::,. può venire scelto cosi piccolo che sia possibile una scomposizione di K nella forma K = /::,. ' + K' dove /::,. e /::,. ' siano fra loro congruenti. Ora le condizioni del precedente caso speciale sono soddisfatte per il poligono P + /::,. e per il poligonale K' ; per quanto dimostrato in 252

questo caso, nei riguardi di P + 6 può venir definito un poligono H equiscomponibile con K' tale che P + 6 + H sia un poligono. Qui, per il procedimento della precedente dimostrazione, anche 6 + H è un poligono. Inoltre 6 + H è equiscomponibile con 6 + K' quindi con K' ; resta dimostrata cosi la nostra affermazione. Siano ora P e Q poligoni equiampliabili nel senso della nostra definizione della equiampliabilità per poligonali ; allora ci sono poligo­ nali P', Q', equiscomponibili, tali che P + p' e Q + Q' sono an­ cora equiscomponibili. Per il lemma si può definire un poligono P" equiscomponibile con P' ed un poligono Q" equiscomponibile con Q' tali che P + P" e Q + Q" siano poligoni. Allora P + P' è equiscomponibile con P + P" e cosi pure Q + Q' con Q + Q". Sulla base della transitività della equiscomponibilità segue, dalle ci­ tate relazioni di equiscomponibilità, che, da una parte, P" è equiscom­ ponibile con Q" e, d'altra parte, che P + P" lo è con Q + Q". Ma con questo rimane soddisfatta la condizione di equiampliabilità nel senso della definizione del paragrafo 1 8. È evidente poi senz'altro che, viceversa, due poligoni equiampliabili secondo questa defini­ zione sono anche equiampliabili nel senso della nostra definizione di equiampliabilità di poligonali. Dunque la nostra definizione di equiam­ pliabilità di poligonali, applicata a poligoni, è equivalente alla defi­ nizione precedente. Allo stesso tempo la nostra definizione fornisce il teorema : se P, Q sono poligoni equiampliabili, si può aggiungere a P un poli­ gono P' ed a Q un poligono Q', equiscomponibile con Q', in modo tale che P + P' e Q + Q' siano poligoni equiscomponibili.3 Con l'aiuto della estensione del concetto di equiampliabilità ai poligoni mostriamo ora che due poligoni che sono equiampliabili con un terzo, sono fra loro equiampliabili. I poligoni P e Q siano entrambi equiampliabili con il poligono R. Allora esistono poligonali P', Q', S, T, con la proprietà che P' è equiscomponibile con S, Q' con T e che P + P' ed R + S sono poligonali equiscomponibili, come pure lo sono Q + Q' ed R + T. Questo dice nello stesso tempo che tra P e P' come pure tra Q e Q' non c'è alcuna sovrapposizione e cosi pure non ce ne sono fra R ed S, nemmeno fra R e T e quindi neppure tra R e la unione di S e T. 3 In precedenti edizioni questa condizione per P e Q era stata presa come condizione definente la equiampliabilità.

253

Questa unione si esprime, come è stato mostrato, da un lato, nella forma 5 + T' e, d'altro lato, nella forma T + S', dove T' ed S' sono certi poligonali. Possiamo ora, in relazione al poligonale P + P', che può venir racchiuso in un triangolo, definire un poligonale p", equiscomponi­ bile con T' e completamente esterno a P + P', e parimenti in relazione a Q + Q' un poligonale Q", equiscomponibile con S' ed esterno a Q + Q'. Sulla base della addizionabilità della equiscomponibilità, sussiste allora la equiscomponibilità fra p' + p" ed 5 + T', tra Q' + Q" e T + S', tra P + p' + p" ed R + 5 + T', tra Q + Q' + + Q" ed R + T + S' ; inoltre è 5 + T' = T + S'. Si ottiene quindi che p' + p" è equiscomponibile con Q' + Q" e P + p' + p" con Q + Q' + Q", cosicché P e Q sono equiampliabili. Si osservi che per questa dimostrazione non è richiesto il nostro lemma mentre, al suo posto, occorrono solamente i fatti che per ogni poligonale se ne può definire uno equiscomponibile con esso che stia tutto all'esterno di un dato poligono e che ogni poligonale può ve­ nire rinchiuso da un poligono (triangolo). Viene inoltre applicata la transitività e la addittività della equiscomponibilità di poligonali. Con questi mezzi si può anche riconoscere l'additività della equiampliabilità : siano P, Q, S, T poligonali tali che P e Q non ab­ biano sovrapposizioni e cosi pure 5 e T; sia poi P equiampliabile con S e Q con T. Vogliamo mostrare che allora che P + Q e 5 + T sono equiampliabili. Per ipotesi ci sono poligonali P', Q', S', T' tali che non ci sono sovrapposizioni fra P e P', fra Q e Q', fra 5 ed S', fra T e T' e tali che P' è equiscomponibile con S', Q' con T', P + p' con 5 + S' e infine Q + Q' con T + T' . Ora si può definire un poligonale P*, equiscomponibile con P', esterno al poligonale P + Q, ed un poligonale Q*, equi scomponibile con Q' ed esterno al poligonale P + Q + P*. Si possono pure de­ finire poligonali 5* e T* tali che S' sia equiscomponibile con 5* T' con T* ed 5* sia esterno a 5 + T, T* sia esterno a 5 + T + 5*. Sulla base delle supposte equiscomponibilità e della transitività ed addizionabilità della equiscomponibilità, p* risulta ora equiscom­ ponibile con 5*, Q* con T*, P + p* con 5 + 5*, Q + Q* con T + T* e sono quindi anche equiscomponibili p* + Q* con 5* + T*, P + Q + p* + Q* con 5 + T + 5* + T*. Ma allora si ha che p + Q ed 5 + T sono equiampliabiIi. 254

Supplemento quarto

1 . Osservazione sulla introduzione di un calcolo con i segmenti sulla base del teorema di Desargues Nella presentazione di un calcolo con i segmenti indipendente dagli assiomi di congruenza e di continuità, come ha luogo ai paragrafi 24-27 del quinto capitolo, non è fatto alcun uso degli assiomi di ordi­ namento II ; inoltre le dimostrazioni sono condotte soltanto con l'aiuto degli assiomi di incidenza 1 1-3, dell'assioma delle parallele IV* (che in effetti è un assioma di incidenza) e del teorema di Desargues nell'enunciato del teorema 53 (v. p. 86). Gli assiomi di ordinamento vengono introdotti per la prima volta nel paragrafo 28, per mostrare che subito dopo il calcolo con i segmenti prima esposto si può definire anche una relazione di grandezza fra segmenti per la quale siano sod­ disfatte le leggi di ordinamento 1 3-1 6 del paragrafo 13. Se si prescinde da queste leggi, si presenta, al posto del concetto di un sistema nu­ merico desarguesiano, come viene esposto alla fine del paragrafo 28, il concetto di un corpo sghembo, cioè di un sistema numerico che pos­ siede tutte le proprietà di un corpo numerico (campo di razionalità) tranne la commutatività della moltiplicazione (1-1 1 nel paragrafo 13). Partendo da un corpo sghembo si può ora, come è stato descritto brevemente all'inizio del paragrafo 29 (v. p. 101-102), ottenere una geometria analitica dello spazio tridimensionale. Per questa geome­ tria sono allora soddisfatti tutti gli assiomi I e l'assioma delle parallele IV*. D'altra parte si può, a partire da questi assiomi, come esposto nel paragrafo 22, dimostrare il teorema di Desargues. Si ottiene quindi in corrispondenza del teorema 56 (v. p. 1 05) il seguente teorema : Teorema 56*.

-

In una geometria piana siano soddisfatti gli assiomi 255

I 1-3 e IV* : allora la validità del teorema di Desargues è condizione neces­ saria e sujjiciente ajjinchè questa geometria piana possa venire considerata una parte di una geometria dello spazio in cui siano soddisfatti tutti gli assiomi I e IV*. 2. Sul paragrafo 37 Nel settimo capitolo, paragrafo 37, l'enunciato del teorema 65 Cv. p. 122) ha bisogno della rettifica : il numero delle soluzioni di un problema di costruzione, nel caso in cui si possano eseguire con trac­ ciamento di rette e trasporto di segmenti, può anche essere 2n +1, sotto le citate condizioni per il numero n. Un semplice esempio è dato dal problema di definire un punto C, dati due punti A, B in modo che il triangolo ABC abbia un angolo retto in A ed i segmenti AB ed AC siano uguali fra loro. Qui è n = O ed il numero delle soluzioni 2. L'osservazione proviene da Dono Kijne, che ha trattato in modo generale la questione nella sua dissertazione PIane Construction Field Theory, Utrecht, 1 958.

256

Supplemento quinto

1 . Equiscomponibilità nel modello della Appendice seconda

Nell'appendice seconda è stato mostrato tra l'altro che la fonda­ zione della teoria della estensione superficiale, secondo il metodo espo­ sto nel capitolo IV (parr. 1 8-21 ) senza uso dell'assioma archimedeo, non è piu possibile quando l'assioma di congruenza dei triangoli III 5 venga sostituito dall'assioma di congruenza piu forte III 5*, che è limitato al caso di triangoli percorsi nello stesso verso - e nemmeno quando vengano introdotti come assiomi gli enunciati III 6 e III 7 per la congruenza degli angoli (dimostrabili con l'aiuto di 111 5) (v. p. 1 38) come pure il postulato dell'esistenza dell'angolo retto. Gli svolgimenti relativi devono venir qui ampliati ; in questo modo il risultato subirà anche una precisazione. Le riflessioni dell'appendice seconda si collegano a due modelli della geometria del piano costruiti secondo un principio comune, ciascuno consistente in una geometria analitica per la quale il sistema dei numeri possiede tutte le proprietà di un corpo numerico ordinato, senza essere il sistema dei numeri reali : in un caso è un sistema non­ archimedeo con un parametro di partenza t, che ha il compito di " numero infinitamente piccolo ", l'altra volta è un sottoinsieme nu­ merabile della totalità dei numeri reali. Le convenzioni sull'incidenza e sull'ordinamento ed anche sul parallelismo sono sempre le usuali ; soltanto la definizione di rotazione contiene un'anomalia in quanto per la rotazione di un vettore dell'angolo a si aggiunge un fattore po­ sitivo dipendente da a. Vengono dette " congruenti " figure (seg­ menti, angoli, poligoni) quando possono venir portate a coincidere con spostamenti paralleli e rotazioni. È stato mostrato che in questi modelli sono soddisfatti gli as257

siorni I 1 -3, II, III 1 -4, 5*, 6-7, IV, insieme all'esistenza dell'angolo retto. Valgono quindi conseguentemente qui i teoremi della teoria della congruenza, i n q u a n t o c o n c e r n i n o f i g u r e o r d i n a t e c o n u g u a l v e r s o (cioè con conservazione di " destra " e " sinistra ") ; sussiste il confronto degli angoli, l ' uguaglianza degli angoli retti ed il teorema sulla somma degli angoli in un triangolo. Valgono anche parecchi teoremi che usualmente vengono di­ mostrati con l'applicazione di congruenze con verso contrario, come il teorema che in un triangolo gli assi e le bisettrici si interse­ cano in un punto. Questi si ottengono dal seguente teorema sulle riflessioni che si ottiene direttamente sulla scorta della rappresenta­ zione analitica di una riflessione : la composizione di tre riflessioni ri­ spetto a tre rette passanti per uno stesso punto S formanti gli angoli al a2, aa, dà una riflessione rispetto ad una retta per S con inclinazione ' al - a2 + aa· Con l'aiuto dei citati teoremi, si può ottenere anche la teoria della circonferenza, definendo come " circonferenza sul segmento AB " il luogo geometrico del punto C tale che l'angolo ACB sia un angolo retto. Si può dimostrare allora anche il teorema sulla ugua­ glianza di tutti gli angoli alla circonferenza inscritti nel medesimo arco e si ottengono cosi tutti i mezzi per poter fondare la teoria delle proporzioni secondo il metodo del terzo capitolo, o rispettivamente, del supplemento secondo. Questi procedimenti usati nelle precedenti edizioni di Hilbert per mostrare la validità della teoria delle proporzioni per entrambi i modelli considerati possono venir veramente sostituiti a questo scopo da un procedimento piu diretto,l rimandando al fatto che per i due modelli rimane valido il seguente teorema di geometria analitica : se il punto Pb di coordinate Xb Yl ed il punto P2, di coordinate X2, Y2' stanno su una semiretta che ha origine in Po, con coordinate xo, Yo, il rapporto dei segmenti POPl e POP2 è uguale al rapporto delle differenze delle ascisse Xl - Xo e X2 - Xo, fintanto che queste siano i= O ed uguale al rapporto delle differenze delle ordinate Yl -Yo e Y2 - Yo, fintanto che queste siano i= O. La differenza delle due geometrie dalla normale geometria eucli­ dea si mostra in particolare nella figura (v. p. 1 52) costituita da due triangoli rettangoli OQP e OQR, uno immagine speculare dell'altro,

1

Su questa base la trattazione concernente il citato teorema sulle riflessioni e le sue conseguenze è stata tolta dall'appendice nella settima edizione. 258

dove l'angolo QOP può venir scelto in modo che OR sia piu corto di OP ed anche di OQ. (Nel caso del primo modello non archimedeo la distanza è un'" infinitamente piccolo " mentre nel secondo modello può essere arbitrariamente grande.) La legge fondamentale della misura delle lunghezze, con la quale si definisce la lunghezza di un segmento dalle sue proiezioni sull'asse x e sull'asse y, cioè il teorema pitagorico come teorema sulle lunghezze dei segmenti in un triangolo rettangolo, non è qui soddisfatta. Resta cosi motivato il fatto che Hilbert chiami questa geometria " non­ pitagorica ". Ma d'altra parte Hilbert dimostra che il teorema pita­ gorico rimane valido nella geometria costruita come t e o r e m a s u 1 1 a e q u i a m p l i a b i l i t à ; cioè vale anche qui che il qua­ drato costruito sulla ipotenusa di un triangolo rettangolo è equiam­ pliabile con i quadrati costruiti sui cateti. Infatti la dimostrazione euclidea di questa equiampliabilità utilizza soltanto congruenze di figure ordinate nello stesso verso. Se definia­ mo, allora, come sià detto, per le geometrie considerate, congruenze di poligoni con l'aiuto di rappresentazioni congruenti (v. p. 142-143), cioè se definiamo congruenti due poligoni quando possono venir portati uno nell'altro mediante una rappresentazione congruente, e definiamo nel modo usuale la equiscomponibilità e la equiampliabilità come prima, il metodo dimostrativo di Euclide rimane applicabile. (Si osservi in particolare che anche la dimostrazione della transitività della equiampliabilità, che deve venir applicata, per il metodo dato nel supplemento terzo, rimane valida per la definizione piu forte di congruenza. ) Per la descritta figura OPQR si ottiene in particolare che il qua­ drato costruito su OP è equiampliabile al quadrato costruito su OR, mentre il segmento OR è piu corto di OP, cosicché dunque il quadrato costruito su O P è equiampliabile con un quadrato ad esso interno. Questa conseguenza può ora venire ulteriormente precisata. Infatti, come si sa, si può dimostrare per il quadrato sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo non solo la equiampliabilità con i quadrati sui cateti ma anche la equiscomponibilità, quando i corrispondenti triangoli e quadrangoli siano fatti corrispondere nello s t e s s o v e r s o e quindi con uno spostamento parallelo. 2 Di qui si ottiene, 2 Per la corrispondente figura è stato tramandato dagli indiani del IX secolo il nome

di " sedia della sposa ". Anche il commentatore arabo di Euclide, Alnairizi, stabilisce

questa equiscomponibilità.

259

sulla base della transitività della equiscomponibilità, per la figura OPQR da noi considerata, che il quadrato sul segmento OP è e q u i­ s c o m p o n i b i l e con iI quadrato su OR. D

Infine possiamo vedere questa equiscomponibiIità anche diretta­ mente sulla scorta della precedente figura, nella quale per ognuno dei quadrati OABP ed OCDR è data una scomposizione in 9 poligoni consistenti in 7 triangoli, un quadrangolo ed un pentagono, dove i poligoni parziali corrispondenti con uno stesso numero di lati, for­ manti i due quadrati, si ottengono uno dall'altro con un movimento parallelo. Se si trasporta su OP iI segmento piu corto OR da O fino ad un estremo P', ne segue che il quadrato OP'B'A' costruito su OP', che è contenuto nel quadrato costruito su OP, è equiscomponibiIe con questo. o

A' A A'

P' P

B'

c'

fz2ZZ____ �t _ B==:=JC -------

B'

Be-A'B'

Si collega a questo anche la seguente riflessione. L'esagono AA'B'P'PB, in cui i lati AB e BP hanno le lunghezze di OP, A'B' e B' p' la lunghezza di OR, è equiscomponibile con iI rettangolo A CC' A' dove C è il punto sul prolungamento di AB oltre B che ha da B la distanza A 'B', e C' è il piede della perpendicolare da C alla retta A'B'. Questo rettangolo è a sua volta equiscomponibile con un 260

triangolo rettangolo AA" B, dove A " è un punto sul prolungamento del segmento OA oltre A. Si dimostra questo mediante gli usuali metodi elementari utilizzando la circostanza che la lunghezza del seg­ mento AC è minore del doppio della lunghezza di AB. Se indichiamo il quadrato OABP con T, il quadrato OA'B'P' con T', l'esagono AA'B'P'PB con W ed il triangolo AA"B con 6, la equiscomponibilità di T con T', di 6 con W sussiste anche tra T + 6 con T' + W, cioè con T. Se ora prolunghiamo il segmento PB oltre B di un segmento fino a B", congruente con AA", il triangolo A" B" B, che viene indicato con 6', è congruente (nello stesso senso) al triangolo 6. Quindi T + 6 + 6' è equiscomponibile con T + 6. Ma T + + 6 + 6' è il rettangolo OA"B"P, e si ottiene T + 6 da questo rettangolo, tralasciando da esso il triangolo 6'. Abbiamo quindi trovato nella geometria considerata un controesempio al teorema 52. Possiamo infine pervenire, partendo ancora dalla figura OPQR in maniera piu semplice che considerando i quadrati su OP ed OR, ad una configurazione di due rettangoli uno interno all'altro e fra loro equiscomponibili. Se si fa ruotare il rettangolo OQRS, dove 5 è il punto sulla perpendicolare ad OQ per O a distanza QR da O, dall'angolo QOP in verso negativo, si ottiene un rettangolo OUQ' V per il quale U sta sul segmento OP e Q' su OQ. Questo rettangolo è ancora, come si vede

semplicemente, equiscomponibile con il rettangolo OQ' R'S' dove R' ed S' stanno sulla parallela per V ad OQ ed S' sta su 05. Questo ret­ tangolo è dunque equiscomponibile con il rettangolo OQRS che lo racchiude.

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2. Assioma di Hilbert di inclusione Nelle precedenti edizioni l'appendice seconda conteneva, in relazione alla teoria dell'estensione superficiale, la dimostrazione che l'introduzione di un assioma di inclusione, equivalente al teorema 52, rende possibile ottenere dall'assioma di congruenza forte III 5* l'assioma di congruenza originario III 5 piu debole. Questa rifles­ sione viene qui esposta, con un'irrilevante alterazione, per adattarsi alla nuova edizione : " Abbiamo detto sopra (v. p. 1 38) che dall'assioma di congruenza nell'enunciato forte III 5* e dagli assiomi precedenti unitamente al III 6 e III 7 segue necessariamente l'assioma di congruenza III 5 e quindi in generale la congruenza delle figure nell'enunciato debole, non appena si assuma come valido l'enunciato sull'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele.3 Mi sembra che valga la pena di osservare che questo completamento degli assiomi di con­ gruenza nell'enunciato f o r t e III 5* può esser fatto in tutt'altro modo cioè mediante un postulato molto evidente il cui contenuto coincide essenzialmente con il teorema 52 da me dimostrato nei Fon­ damenti (v. p. 8 1 ) e che, d'altra parte, come abbiamo mostrato nel­ l'Appendice seconda (v. p. 1 56) non è una conseguenza dei teoremi di congruenza nel senso f o r t e. Vengano definiti i concetti " equiscomponibile " ed " equiam­ pliabile " per poligoni come nel paragrafo 1 8, inoltre " unione " ed " equiscomponibilità " per " poligonali " come nel Supplemento terzo, - dove tuttavia il concetto di congruenza è da intendersi nel senso f o r t e. Conseguentemente verranno applicati nel seguito sempre e soltanto l'assioma di congruenza dei triangoli nell'enun­ ciato f o r t e III 5* e gli assiomi precedenti I 1-3, II, III 1-4 e l'as­ sioma delle parallele . " Il postulato in questione che serve allora di completamento, suona nel seguente modo : Assioma di inclusione. Un poligono non è mai equiscomponibile con un 3 Per una piu esatta trattazione si veda il lavoro di P. Bernays Bemerkungen zu den Grund/agen der Geometrie, Courant Anniversary Volume, 1948, pp. 29-44. Come si possa sostiruire il teorema degli angoli alla base - inclusi gli assiomi archimedeo e delle paral­ lele - in vari modi con postulati che non abbiano il carattere di assiomi di simmetria, per esempio il posrulato del terzo teorema di congruenza per triangoli percorsi nello stesso senso, viene mostrato nella dissertazione di A. Schmidt Die Herleitung der Spiege/ug aus der ebenen Bewegung, " Math. Ann. 109, 538-571 , 1934. "

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poligono il cui contorno contiene punti interni ma non punti esterni al primo poligono, che cioè è incluso dal primo. Da questo assioma segue in primo luogo il teorema : Un poligono non è mai e q u i a m p l i a b i l e con un poligono che è racchiuso dal primo. " Infatti, se un poligono P fosse equiampliabile con un poligono Q posto all'interno di P, dovrebbero esistere due poligonali equiscom­ ponibili P' e Q' tali che P + p' e Q + Q' sarebbero poligoni equi­ scomponibili. p' e Q non avrebbero sovrapposizioni e, per l'additi­ vità della equiscomponibilità, Q + p' sarebbe equiscomponibile con Q + Q' e, per la transitività della equiscomponibilità, anche P + p' con Q + P'. Poiché d'altra parte Q sta all'interno di P, sussiste una unione P Q + R, dove R è un poligonale. Per il lemma del Sup­ plemento terzo (v. p. 251 ) si deve poter aggiungere un poligono P", equiscomponibile con R, a P + P' in modo che P + P' + P" sia un poligono. E, per la equiscomponibilità di P + P' con Q + P' e di P" con R, come pure per l'additività della equiscomponibilità ne seguirebbe che P + P' + P" sarebbe equiscomponibile con Q + P' + R, cioè con P + P'. Ma questo contraddice l'assioma del­ l'inclusione. Dimostriamo ora successivamente i seguenti teoremi : =

S e i n u n t r i a n g o l o ABC i d u e a n g o l i i n A e i n B s o n o u g u a l i f r a l o r o, i l a t i o P P o s t i a q u e s t i a n g o l i s o n o s e m p r e u g u a l i f r a l o r o. Per la dimostrazione definiamo su AB i punti E e D tali che AD BC e BE AC. Per il primo teorema sulla congruenza nel­ l'enunciato forte, segue la congruenza dei triangoli DAC e CBE; =

=

c

questi due triangoli sono anche quindi equiampliabili. Ne deduciamo che anche le basi AD e BE concidono fra loro. Se infatti questo non fosse il caso e fosse per esempio AD' BE, per il noto ragiona=

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mento euclideo (v. p. 73) ne seguirebbe che i due triangoli AD'C e BEC sarebbero equiampliabili fra loro. Ma allora dovrebbero es­ sere equiampliabili fra loro anche i triangoli ADC e AD' C il che contraddice al teorema precedentemente ottenuto dal nostro assioma di inclusione. La uguaglianza dei segmenti AD e BE porta immediata­ mente all' affermazione fatta. S e i n u n t r i a n g o l o ABC i d u e l a t i AC e BC s o n o u g u a l i f r a l o r o, a n c h e g l i a n g o l i o P P o s t i a d e s s i s o n o u g u a l i f r a l o r o. c

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Per la dimostrazione supponiamo al contrario che l'angolo