Fonctions de plusieurs variables: rappels de cours, questions de réflexion, exercices d'entraînement 2100039598, 9782100039593

Table of contents :
Cet ouvrage fait partie d'une série de 4 TD de mathématiques destinée aux étudiants en Licence 1 et 2 de mathématiques pures ou appliquées et d'informatique (Fonctions d'une variable réelle, Fonctions de plusieurs variables, Algèbre générale, Algèbre linéaire). Il couvre le programme d'analyse de 2e année sous forme de rappels de cours, de questions de réflexion et d'exercices d'entraînement.

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Louis Niglio

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Fonctions

de plusieurs variables Rappels de cours Questions de réflexion Exercices d'entraînement

_ Apprendre, comprendre et appliquer pour réussir ses examens,

grâce aux conseils de l'auteur, … etàun travail assidu | DUNOD

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Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Rappels de cours Questions de réflexion Exercices d'entraînement

Louis Niglio Maître de conférences à l'université du Vaucluse (centre d'Avignon)

Conseiller éditorial Daniel Fredon

Université de Limoges

DUNOD

Dans la série « TD »

Chimie organique, Paul Arnaud Thermodynamique chimique, Alain Gruger Électrostatique et conduction, Jean-Marc Poitevin Magnétisme et ondes, Jean-Marc Poitevin

Électrocinétique, André Savary Électronique, Yves Granjon Mécanique du point, Franck Biet et al. Thermodynamique, Claude Coulon et al. Optique, Jean-Paul Parisot et al. Probabilités - Statistiques, François Dress

Maths pour la physique, tome 1, Daniel Fredon et al.

Illustration de couverture : Rachid Maraï

Ce pictogramme mérite une explica-

ments d'enseignement supérieur, provo-

tion. Son objet est d'alerter le lecteur quant une baisse brutale des achats de sur la menace que représente pour livres et de revues, au point que la possil'avenir de l'écrit, particulièrebilité même pour les auteurs de ment dans le domaine de l'édicréer des œuvres nouvelles et tion technique et universitaire, de les faire éditer correctement le développement massif du est aujourd'hui menacée. photocopillage. Nous rappelons donc que Le Code de la propriété intel: toute reproduction, partielle ou LE PHOTOCOPLLAGE lectuelle du 1er juillet 1992 totale, de la présente publicainterdit en effet expressément la TUE LE LIVRE tion est interdite sans autoriscphotocopie à usage collectif sans autorition du Centre français d'exploitation du sation des ayants droit. Or, cette pra-

tique s'est généralisée dans les établisse-

droit de copie {CFC, 20 rue des Grands-

Augustins, 75006 Paris].

© Dunod, Paris, 1998 ISBN 2 10 003959 8 Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement

de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite selon le Code de la propriété intellectuelle (Art L 122-4) et constitue une contrefaçon réprimée par le Code pénal. Seules sont autorisées (Art L 122-5) les copies ou reproductio ns strictement

réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, ainsi

que les analyses et courtes citations justifiées par le caractère critique, pédagogique

ou d’information de l’œuvre à laquelle elles sont incorporées, sous réserve, toutefois,

du respect des dispositions des articles L 122-10 à L 122-12 du même Code, relatives à la reproduction par reprographie. ,

Sommaire

Avant-propos

TD 1 * Topologie d'un R espace vectoriel

VII —

L'essentiel du cours

Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

SNRONOU

TD 2 « Continuité. Connexité L'essentiel du cours

Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

19 23 24 25 26

TD 3 « Calcul différentiel

34

L'essentiel du cours

Questions de réflexion Entraînement Solutions

34 AT 42 43 46

Extrema des fonctions

61

L'essentiel du cours Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

61 65 66 67 68

Pouvez-vous répondre ?

TD4e

TD 5 + Intégrales multiples L'essentiel du cours

Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement délit. autorisée photocopie La Dunod. ©un est non

Solutions

84 84 90 91 91 93

VI

TD Fonctions de plusieurs variables

TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes L'essentiel du cours Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

TD 7 + Séries numériques L'essentiel du cours

Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

TD 8 * Suites et séries de fonctions L'essentiel du cours

Pouvez-vous répondre ? Entraînement Solutions

TD 9 « Séries entières L'essentiel du cours

Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

TD 10 + intégrales dépendant d'un paramètre L'essentiel du cours Pouvez-vous répondre ? Entraînement Solutions

TD 11 « Séries de Fourier L'essentiel du cours Pouvez-vous répondre ? Questions de réflexion Entraînement Solutions

Sujets d'examen Énoncés

Solutions Index

105 105

109 | 110 LIT 113

121 121

126 127 128 129

143 143

148 149 151

158 158

161 162 163 164

175 .17% 179 179 180

190 190 193 194 195 196

206 206

210

215

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Avant-propos Félicitations, vous voici en deuxième année d'université. Vous avez donc acquis des

connaissances, des techniques, et une méthode de travail sur lesquelles vous pourrez vous appuyer.

Mais si vous pensez, comme un certain nombre d'étudiants, que des théorèmes existent pour traiter toutes les situations, ou qu’il suffira de remplacer des lettres par des chiffres dans des formules «mathématiques », il vous faudra revenir sur cette opinion. Beaucoup de points du programme, par nature, demandent une certaine compréhension du cours et un peu d'initiative, et résistent avec obstination à l’application mécanique de résultats. C’est un fait, et nul n’y peut rien.

Bien sûr cela peut paraître plus difficile, c’est aussi plus intéressant.

Le conseil majeur que j'ai envie de vous donner : si vous cherchez la solution d’un exercice, ne vous attendez pas à la trouver, chaque fois, en quelques minutes, et ne

zappez pas trop vite sur un autre programme en attendant d’avoir un corrigé. Il n’est pas anormal de rester longtemps sans rien trouver, surtout sur un sujet nouveau. Analysez bien votre énoncé, reprenez le cours et les exemples traités. Il faut parfois plusieurs heures et ce n’est pas du temps perdu.

Organisez votre travail de manière à consacrer au moins deux heures d’un seul tenant à une discipline, car la concentration sur un sujet est indispensable. Sinon vous vous limiterez à du superficiel et vous aurez bien vite tout oublié.

Une autre suggestion: expliquez à un autre étudiant, soit la solution d’un exercice, soit ce qui vous empêche de la trouver. Dans cette situation, il est fréquent que vos efforts d'explication vous permettent, vous-même, de mieux comprendre ce que vous faites, ou ce qui vous gêne.

Voilà. Alors bon courage.

* Topologie d'un

” R'espace vectoriel FE

ae

&

L'ESSENTIEL DU COURS

Introduction Qu'est-ce que la topologie ? En fait vous en avez déjà fait mais, comme monsieur Jourdain de la prose, sans le savoir. En effet l’ensemble de définition D d'une fonction f d’une variable réelle est en général une réunion d'intervalles, et l'étude de fse fait intervalle par intervalle, avec valeurs aux bornes à droite et à gauche. Seule intervient réellement l'expression de f(x) pour x donné, la configuration (la topologie) d’un intervalle étant suffisamment simple pour ne pas s'y attarder. Le fait nouveau essentiel pour un étudiant venant de première année d'université est le suivant: étant donné une fonction f : D — R de «plusieurs

variables », latopologie du domaine de définition D jouera un aussi grand rôle

def: ue l'expression

eus

|

Norme et distance

Définition 1

On appelle norme dans R? toute application de R? dans R, notée x vérifiant les propriétés suivantes.

1) Pour tout x e RP, x >0et xl =0=— x =0; 2) Pour tout x € RP et tout y e RW, [x+yll < IIxll + ||; 3) Pour tout x e Rettout A ER, [fAx| < Al: |x||. délit. photocopie autorisée Dunod. ©un La est non

||x||, et

2

|

TD Fonctions de plusieurs variables

Des trois propriétés précédentes on déduit :

GxER”)

VER)

[(xll 1x1) < IIxl + 1x]

On utilise généralement trois normes dites usuelles définies respectivement pour x= (008%) au moyen des formules |x| = ((x1)? +...+(x?}2): 1 (norme eucli-. dienne), |x|| = max (|x!|,.…,|x?|), [xl] = 1x1] +... + LA8

Dans la pratique on est amené à travailler avec la structure affine de R?. Disons, pour simplifier, à considérer les éléments de R? comme des points sur lesquels opèrent des vecteurs. On obtient alors la notion de distance: Définition 2

Soit x ++ ||x|| une norme dans RP, a et b deux points de RP. On appelle distance de

a à b déduite de la norme, et on note d(a, b), la norme du vecteur d'origine a et d’extrémité b, soit d(a,b) = ||b — al = ||a — b||.

La propriété de la fonction distance la plus intuitive, et la plus utilisée, est l’inégalité triangulaire:

VaeRP

2.1

VbER

VER

d(ac) 0, il existe une infinité de x, tels que ||x1 — a|| < €.

Etre

5. Soit X une P partie bornée de KP et (x; neN une suite de P points de X. Montrer q que

cette suite admet au moins une valeur d’adhérence 4 € R?. Peut-on dire que X est compact?

Le

QUESTIONS DE RÉFLEXION (Réponses à la fin du chapitre, page 10)

6. À propos de la définition d'un ouvert Que devient la définition 4 du cours si on remplace «boule ouverte de centre a» par «boule fermée de centre a»?

7. Norme en dimension infinie

La définition 1 ne fait pas intervenir le fait que RP est de dimens ion finie. On peut la mettre en pratique dans un espace vectoriel de dimens ion infinie et en déduire une notion de topologie (ouverts, fermés, limites) , mais certaines propriétés vraies en dimension finie ne le sont plus en dimens ion infinie. En particulier, il n’est pas vrai que deux normes quelconques sont équivalentes, et on peut se trouver avec différentes notions de limite. En voici un exemple. Le R-espace vectoriel R[X] des polynômes à une indéte rminée est de dimension infinie.

TD 1 + Topologie d’un R espace vectoriel

Pour p=40+aX+::.+4X"

7

on pose:

Ill = laol+lal+---+lanl

et pla = max (aol lai : +, lanl).

On définit ainsi deux normes sur R[X] car la vérification des axiomes de norme

se fait en mettant en œuvre au plus deux polynômes. On considère la suite de polynômes dans R[X] donnée par :

re nl

et fl

En étudiant la limite de ||p4 — (1+X)|1 et ||pn — (1+X)]2, montrer que p, | tend vers 1 + X au sens de la norme || ||) mais pas au sens de la norme |||l1.

8. Espace compact en dimension infinie Dans un espace de dimension infinie, un fermé borné est-il toujours compact?

6

ENTRAÎNEMENT (Réponses à la fin du chapitre, page 11)

Application immédiate du cours

9. Limite dansR? et limites successives Soit f:(xy)

f(x y) une

fonction de deux variables. Pour

fixe x et étudier la limite de f(x, y) lorsque (x, y) tend vers (a, b) je

Vrai

NE

Faux

ES

4. je fais tendre y vers b, puis j'étudie la limite lorsque x tend vers

de la fonction f définie par 10. Dessiner le domaine de définition D (dans R?) j LE Inx+In eu MXTNY. Préciser sa nature (ouvert, fermé ?). AY, e QN[0, 1]}.Préciser sa nature 471. Soit l'ensemble À = {@ yhe R?,xeQn[0,1],y

(ouvert, fermé ?). Déterminer sa frontière.

e S donnée en représentation 42. On considère dans le plan euclidien la courbe spiral ?). polaire par r = (1,2). Nature de $ (ouvert, fermé

U un ouvert de RŸ, montrer que 13. Dans R° on identifie R? x {0} avec R?. Soit U N R2 est un ouvert de R. délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

8

TD Fonctions de plusieurs variables

14, Soit X une partie de RP, À un point de X et B un point de R? n'appartenant pas à X. On appelle segment d’extrémités À et B l’ensemble [A, B] = {(1-f)A +#B, t € [0,1]}. On introduit le sous-ensemble £ € [0,1] défini par: E={tef0,1], (1—-u)A+uBEeX

Vue f[0,t]}

et on note «à sa borne supérieure.

a) On suppose que « = 1. Montrer que B est un point frontière de X. b) On suppose que x < 1. Montrer que C = (1 — x)A + xB est un point de la frontière de X. On pourra étudier les deux cas C&Xet Ce X. En déduire que tout segment joignant un point d’une partie X C KR? à un point de son complémentaire contient au moins un point frontière (théorème des

douaniers).

Analyse de l'énoncé et conseils. Pour la question a) on pourra montrer que toute boule de centre B contient des points de X: les points de [A, B] suffisamment proches de B. Pour la deuxième partie de b) on s’intéressera plutôt aux points de la droite (AC) situés entre C et B.

15. Montrer que la fonction définie par f(x, y) = ES

x2 + y2

tend vers l'origine.

16

Soit f la fonction définie par f(x, y) =

2

"y

x2 + 2

tend vers zéro quand (x, y)

- Étudier la limite quand (x, y) tend

vers l’origine de la restriction de f à la droite d’équation y = 4x, a donné. Montrer que f n’a pas de limite à l'origine.

Exercices et problèmes 17. Étudier la limite à l’origine de la fonction définie par f(x, y) = x — 3y? | — ÿ nn à Analyse de l'énoncé et conseils, valable pour les exercic es suivants. Pour

montrer l'existence d’une limite, l'application de la définit ion nécessite la connaissance, à priori, de cette limite. Si une limite existe, sa valeur sera la même quand on restreint

à un sous-ensemble D; du domaine de définition de f que l’on peut choisir avec beaucoup de liberté. On se ramène ainsi souvent à l'étude (plus familière) d’une fonction d’une variable. En général on commence par des droites et l’on en essaie plusieurs, ou alors des courbes simples en imposant à x et y de ne plus être indépendants. Si on trouve des limites différentes en faisant varier D, on peut affirmer que f n'a pas de limite. Sinon, une fois la valeur « possibl e» déterminée, on met en œuvre la définition, en choisissant une norme qui permet tra des calculs plus simples.

18. Soit f la fonction définie par f(x, y) = nu: a) Étudier la limite quand (x, y) tend vers l’origine de la restriction de f à la droite d’équation y = ax, a donné.

TD 1 + Topologie d’un R espace vectoriel

9

b) Calculer la limite à l’origine de la restriction de f à la parabole d’équation x + y = x? (dessiner le domaine de définition de f et positionner cette courbe). c) Montrer que f n’a pas de limite à l’origine. 19. Donner la bonne réponse :dans l'exercice précédent le choix de la parabole a été fait :

1) par hasard;

2) à la suite d’incantations particulières; 3) à la suite d’un raison-

nement.

20

Soit f : (x, y) + f(x, y) une fonction de deux variables définie sur un domaine admettant l’origine pour point adhérent. Si f a une limite sur chaque droite passant par l’origine contenue dans le

Vrai Faux RUE

domaine et si cette limite est la même sur toutes les droites, alors

fa une limite comme fonction de deux variables.

21

Soit || |1 et || | deux normes sur R?. Étant donné deux parties A et B de R? on inf [x—vyl1et d2(4,B)= inf _|x |. inf pose d(4,B)= xeA, yeB

xE A, yEeB

a) On suppose que d;(4, B) = 0. Montrer que pour chaque entier n > 0 il existe

il un x, dans À et un y, dans B tels que dj(xn, Yn) = |%n — Ynll1 < 24 déduire

b) En

que,

pour

tout

e>0,

il existe

un

entier

n>0

tel que

IXn — Ynll2 < € c) Montrer que d1(A, B) = 0 équivaut à d(A,B) = 0.

d) Montrer que si À est fermé et B compact, cette condition équivaut à ANB

+.

Donner un exemple où A et B, fermés, sont tels que d1(4,B) = 0 et

ANB=S. inféAnalyse de l'énoncé et conseils. On mettra en œuvre la définition de borne la Pour . minorants des grand plus le e c'est-à-dir minoré, rieure d’un ensemble de la suite des yx. dernière question on pourra étudier une suite extraite, convenable,

22

le Soit || || une norme sur RW, ae Ret BC R?. On appelle distance de a à B nombre

d(a,B) = inf la — y| qui sera noté simplement

ye

d par la suite. Pour

1 < d+ Fu chaque entier n > 0, on se donne un élément y# € B tel que ||a — yal| B) = d(a, b). a) On suppose B compact; montrer qu'il existe b € B tel que d(a, B) = d(a,b). b) On suppose B borné; montrer qu'il existe be KR? tel que d(a, d(a, B) = d(a, b). c) On suppose B fermé; montrer qu'il existe b € B tel que délit. photocopie autorisée Dunod. La est ©un non

10

,

TD Fonctions de plusieurs variables

d) On se place dans R? avec 4 = (0,1) et B= {1} x [-1, +1[. Pour chacune des trois normes usuelles déterminer le (ou les) point(s) b possible(s).

Analyse de l'énoncé et conseils. Au début on s’inspirera de l'exercice précédent pour utiliser la suite (/1)eN. Ensuite on modifiera convenablement la solution de la question précédente en fonction de la situation.

SOLUTI ONS ARR RÉ ou

a

a

RER

Pouvez-vous répondre ? 1» Vrai: c’est la définition même d’un ouvert.

2» Vrai, mais cela n’a rien à voir avec le fait que F soit fermé. Quels que soient À C RP et a € À, toute boule B(4, r) de centre a contient 4 lui-même et B(a,r)N A n’est donc pas vide et 4 est adhérent à A. 3> Faux: par exemple dans R? l’ensemble ([0, 1] x [0, 1]) U ([1, 2] x {0}), qui est fermé, a pour frontière la réunion du bord du carré ([0,1] x [0,1]) et du segment [1,2] x {0}. Voir aussi l'exercice 11 ci-après. Mais dans les cas que nous rencontrerons, par exemple pour un compact à bord à propos de la formule de GreenRiemann, ce sera vrai.

4

Faux: bien relire la définition. Par exemple dans R la suite définie par Xn = (—1)" ne prend que deux valeurs. En particulier 4 = 1 est valeur d’adhérence et il existe bien une infinité d'indices n tels que xy — 1 = 0, ce sont les n pairs, ce qui correspond à la seule valeur X2p = 1.

5” Dire que X est une partie bornée l'on peut supposer fermée, donc suite dans un compact, elle admet a € B (et non pas nécessairement

signifie que X est contenue dans une boule B que compacte. La suite donnée (Xn}nhen est alors une alors dans B au moins une valeur d’adhérence soit dans X).

Pour que X soit compacte il faut aussi que ce soit un fermé. Questions de réflexion 6” La définition reste la même. En effet, si U est un ouvert au sens de la définition 4, alors

pour tout point 4 de U on peut trouver r > 0 tel que la boule ouverte B(a, r) soit

contenue dans U. Dans ce cas, la boule fermée B! (a,r/2)

est aussi incluse dans

U. En résumé tout point de U est centre d’une boule fermée contenue dans U. Réciproquement, si on définit un ouvert LU comme une partie de RP telle que tout point de U est centre d’une boule fermée contenue dans U, alors la boule ouverte de même centre et de même rayon est aussi contenue dans U ; ainsi U est un ouvert au sens de la définition 4.

TD 1 à Topologie d'un R espace vectoriel

11

On peut faire la même remarque avec la définition de limite, écrite parfois avec une inégalité au sens large (< €), parfois avec une inégalité au sens strict (< €). 7»v

TL

1

Le calcul donne ||p1 — (1+ X)|1 = = Wien 1 qui ne tend pas vers zéro, et LR bn — (+ X)|2 = = qui tend vers zéro. Ainsi la suite de polynômes donnée converge vers 1 + X au sens de la norme || |2 mais pas au sens de la norme || ||1. Il est possible de montrer que la suite (p4)A n’a pas de limite pour la norme

Il (11

Dans un espace vectoriel de dimension infinie, on peut concevoir l'existence d'une suite bornée (x),en n'ayant pas de valeur d’adhérence. En voici un exemple.

Dans l’espace R[X] muni de la norme ||P|) = max |a;|, la suite (X”),en est dans la É

sphère de rayon 1 car ||X"|} = 1 quel que soit n. Et, pour m + n, la distance entre

_X'et X" est |[X" — X") = 1.

Si la suite avait une valeur d’adhérence, elle admettrait une sous-suite convergente,

qui serait une suite de Cauchy. Ceci ne peut se produire car |X7 — X77|}2 ne peut être rendu arbitrairement petit. Un fermé borné n’est donc pas nécessairement compact dans un espace de dimen-

sion infinie. Entraînement 9» Faux: d’une part, cela ne résulte en rien des définitions, d'autre part voir par exemple l'exercice 18.

est 10> La fonction est définie pour x > 0,y > 0,x + y. Le domaine de définition D de f Il . bissectrice la de exclus) (axes quadrant premier donc le complémentaire dans le un s considéron et e euclidienn s'agit d’un ouvert. En effet, prenons dans R? la norme

point (4, b) € D. La distance euclidienne de ce point à la bissectrice est un

3 4) a

25

;

1,5

©

733

(x,y) À &Y)

est un

P point

de la boule de

de centre (4, b) et de rayon r est contenue dans D. 05

15827;/505

:

On trouvera ci-contre cette boule pour la norme

dienne et pour la norme

(a,G]b)

||(x,y)|| = sup (Ix|, |y}).

;

eucli-

Fe

Pa nee On peut aussi utiliser la notion de continuité, en antici-

un pant sur le chapitre suivant pour montrer que D est

“-

ouvert. Voici comment :

0,5

La fonction p1 : (x, y) + x de R? dans R est continue et = / > 0} est p;—1 (J0,col), autre Uy _= {(x,y),x l'ensemble

1

délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

d a b

=, —, —: Si

(x, y) n’est pas sur la bissectrice. Autrement dit la boule

0,5

e2

nombres

d strictement positif. Soit r le plus petit des

centre (4, b) et de rayon r, alors x et y restent positifs et

1

3

nombre

05 1 1,5 2 25 3

12

Ê

TD Fonctions de plusieurs variables

ment dit image réciproque d’un ouvert de R par une fonction continue. C'est donc un

ouvert. De même U = {(x,y), y > 0} et Us = {(x, y),x # y}, ce dernier comme image réciproque de ] — 00, 0[ U ]0, + co par l'application continue (x, y) - x — y. Comme

D = Ui NU NU, D est un ouvert. Vous avez compris?

Même problème avec les fonctions définies par:

d RP

.

: DE

D)

x2

y

b) f(x y) = vi

Dfans EE,

DE

1

ee

efxy=VT

X +7

Réponses : 2 a) Le complémentaire dans KR? de la droite d’équation x +7 = 0 est un ouvert.

b)

X y

° La fonction est définie dans les angles déterminés par les bissectrices qui contiennent l’axe des x, deuxième bissectrice exclue. Son domaine de définition n’est ni ouvert, ni

fermé.

X

ÿ]

c) x 1

d)

L X

° La fonction est définie en tout point non situé sur les axes ou sur l’hyperbole d’équation 1+xy=0. Son domaine de définition est ouvert. :

* La fonction est définie dans la partie du plan située sous la parabole d’équation DÉS parabole non comprise. Son domaine de définition est ouvert.

e) e La fonction est définie dans le premier et troisième quadrant , axes inclus,

sauf l’origine. Son domaine de définition n’est ni ouvert, ni fermé.

11

Prenons pour norme la norme définie par {|(x, y)|| = max(|x|, |y|). Soit (4,b)€ A. Toute boule ouverte de centre (a,b) est de la forme Ja —r,a+r[x]b — r,b+7r[ et contient des points dont‘l’une au moins des coordonnées est irrationnelle. Une telle boule ne peut être contenue dans À.

TD 1 * Topologie d’un R espace vectoriel

13

Du ; : à à Ainsi À n'est pas un ouvert, ni un fermé car son complémentaire n’est pas ouvert pour la même raison. La frontière de À est le carré [0, 1] x [0, 1], car toute boule centrée en un point de ce carré contient des points de À et de son complémentaire.

S n'est pas yn ouvert car il ne peut contenir de boules de R°.

12>

Ce n’est pas un fermé non plus car l’origine du plan, qui n’est pas sur la courbe, est limite d’une suite de points de S (prendre 0 = —27n, avec

ñ

00).

F

P ? F Vous avez compris

,

;

0+1

Nature de la courbe donnée en coordonnées polaires par r = Der: Réponse :

Cette courbe est asymptote centre l’origine et de rayon vers 1 quand 6 tend vers Tout point de ce cercle est suite de points de la courbe cette courbe,

au cercle de 1 car r tend +oo ou —00. limite d'une sans être sur

13> Si UNR? est vide, c’est un ouvert. Sinon, soit (4, b,0) e UN R°. un réel r > 0 Utilisons la norme euclidienne, comme U est un ouvert de R°, il existe dans U. contenue soit r rayon de et 0) b, (4, centre de R° dans B boule la tel que dans B, La boule dans R? de centre (a, b,0) et de rayon rest trivialement contenue

le point (a, b) dans R° est bien centre d’une boule contenue dans UN R°.

14>

l'existence Remarquons d’abord que € est non vide car il contient À, ce qui justifie du nombre «. a) Donnons-nous une boule ouverte de centre B et de rayon r. +uB du Comme 1 est la borne supérieure de €, pour u 1, les y, sont dans la boule fermée de

est un fermé borné. rayon d +1, donc dans l’intersection de cette boule avec B qui On se trouve donc dans le cas traité en a) ci-dessus.

les points d) Pour la norme définie par ||(x,y)|| = sup(Ix}, |y|) on remarque que tous distance une à étant B de points autres de {1} x [0, 1[ sont à la distance 1 de 4. Les de {1} x [0,1[ supérieure, on peut donc prendre pour point b n'importe quel point ainsi que le point de coordonnées (1,1),

délit. photocopie autorisée Dunod. ©un La est non

18

TD Fonctions de plusieurs variables

Pour la norme définie par ||(x,y)|| = |x| +{y| le point de coordonnées

(1,1) est à une distance

égale à 1 du point 4. Les autres points de B étant à une

distance

supérieure,

on voit que le seul

point b possible est celui de coordonnées (1, 1). On remarque que ce point est adhérent à B mais qu'il n’est pas dans B.

Pour la norme définie par {|(x,y)|| = 4/x2 + y2 (norme euclidienne), on a les mêmes conclusions que ci-dessus.

\ Continuité

1P

Continuité

1.1

Fonction continue

L'intérêt de cette notion apparaît dans la définition suivante.

Définition 1

Soit f : D — IRA une fonction définie sur une partie D de RP. Soit a un point de D. On dit que f est continue au point a si f(x) tend vers f(a) lorsque x tend vers a. On dit que f est continue sur D si f est continue en chaque point de D.

En effet, si l’on sait qu’une fonction est continue, non seulement on pourra affir-

mer qu’elle a une limite, mais aussi déterminer cette limite simplement par le calcul de la valeur de f. La combinaison des deux résultats suivants permet de montrer que de nombreuses fonctions sont continues . Proposition 1

. Les fonctions s et p de R? définies par s(x, y) = x + y et p(x, y) = xy sont continues

Proposition 2

La composée de deux fonctions continues est continue. délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

20

À

TD Fonctions de plusieurs variables

En particulier toute fonction polynôme (de plusieurs variables réelles) est continue. Citons encore un résultat d'utilisation fréquente. Proposition 3

L'application (x, y) - d(x, y) = ||x — y|| de R? x RP dans R est continue. 1.2 Prolongement par continuité

Soit f : D — R7 une fonction définie sur une partie D de RP. Soit a un point

adhérent à D n’appartenant pas à D. Si fa une limite / lorsque x tend vers a on peut étendre le domaine de définition de f à DU {a} en posant f(a) = 1. On dit que l'on a prolongé f par continuité au point 4.

1.3 Un résultat important Théorème 1 Soit f : R? — A; les propriétés suivantes sont équivalentes: 1) fest continue.

EF

2) Pour tout ouvert U de R4, f (U) est ouvert de RP.

3) Pour tout fermé F de R1, FE est fermé de RP. 4) Pour toute suite (xy)yen de RP convergeant vers a, (F(xn)), en COnverge vers

f(a).

1.4 Homéomorphisme Définition 2 Soit DCI, phisme si:

ACR?, f: D — À une fonction. On dit que f est un homéomor-

a) f est bijective. b) f est continue. c) la fonction réciproque de f est continue. Il faut noter que a) et b) n’entraîne pas c) (voir exercice 18).

1.5 Fonction continue sur un compact Théorème 2

Soit f : D — RT une fonction continue sur une paitie D CR et A une partie compacte de RP contenue dans D. Alors f(A) est une partie compacte de RA.

TD 2 e Continuité. Connexité

21

Une conséquence immédiate de ce résultat (avec g = 1) est la suivante. Théorème 3

Étant donné une fonction continue d'une partie compacte A C IR? à valeurs réelles, cette fonction est bornée et atteint ses bornes. Cela signifie qu’il existe au moins un point x" € À et au moins un point xy € À tels que, pour tout x € À, on ait f(xm) < f(x) < f(xm).

1.6

Continuité uniforme

Définition 3

Soit f : D — R1 une fonction continue sur une partie D de RP, À une partie de D. On dit que f est uniformément continue sur À si:

(Ve > O) (ae, À) > 0) ((va € A) (vx € A) (x — al < «= [f(x — Fa) < €) Le nombre a(e, A) est appelé module d’uniforme continuité sur À. Cette définition paraît en général quelque peu indigeste quand on la rencontre pour la première fois et mérite un commentaire. On sait que pour tout point a € À, f(x) tend vers f(a) lorsque x tend vers 4. On s'intéresse à la façon dont f(x) tend vers f(a) pour tous les points de A, et la continuité est uniforme sur À si € > 0 étant donné, on peut avoir la même valeur de & pour tout 4 € À. Le point le plus important est de ne pas dissocier les groupes uniformément continue et sur À. Il est utile de savoir formuler le fait qu’une fonction n’est pas uniformément continue sur une partie donnée de son domaine:

SO

D

RA une fonction continue sur une partie D de RP, À une partie de D, si:

(Be > O) (Va > 0) ((a € À) (Rx € À) ([x — al] < œ et |f(x) — f(a)|l > )

alors f n'est pas uniformément continue sur À.

Cette proposition s'obtient par application des règles de logique formelle. Ces règles nous disent que la proposition contraire d’une proposition s'obtient en remplaçant le symbole Y par 3, le symbole 1 par V, et une propriété par sa négation. Le mot «formelles» signifie que l’on applique ce qui précède comme une pas formule sans chercher à comprendre, mais, pour une bonne maîtrise, il n’est écrivons nous que ce que e mauvais d'y réfléchir suffisamment pour se convaincr est conforme au «bon sens», lequel ne dispose pas de définition mathématique. C’est là l’origine de la logique. utile de faire Quand on a affaire à une fonction d’une variable, il est souvent

intervenir l'égalité des accroissements finis.

alors il existe c Ela, I tel Soit f : [a,b] — Rune fonction continue, dérivable sur ]a, bI, délit. photocopie autorisée Dunod. ©un La est non

que f(b) — f(a) = (b —aÿ(c).

22

TD Fonctions de plusieurs variables

Théorème 4

Soit f : D — R7 une fonction continue sur une partie D C R? et À une partie compacte de RP contenue dans D; alors f est uniformément continue sur À.

1.7 Continuité uniforme d'une application linéaire

Soit une application linéaire u : R7 — Ret x #0 € R?. Une telle application est continue car pour x € R? les coordonnées de y = u(x) sont des polynômes du premier degré par rapport aux coordonnées de x.

u(x Considérons le nombre r(x) = ral pour x #0, sa valeur ne change pas si on

remplace x par Ax (À € R). On peut donc se limiter à calculer r(x) pour ||x|| = 1, quitte à diviser un vecteur x quelconque par sa norme.

La fonction v + r(v) = elle est donc bornée.

Iæ(o)| Ill

= ||4(v)|| de la sphère unité dans R est continue,

La borne supérieure de cette fonction est appelée norme de u et se note Iu||. Sa

valeur dépend des normes que l’on utilise dans RP et R1. Si x € R? est un vecteur

quelconque on a |\u(x)|| < ||4|| |]x{].

Soit maintenant x € RP et a € R? quelconques. Comme

est linéaire, on a

u(X) — u(a) = u(x — a) de sorte que ||u(x) — u(a)| = u(x — a)|| < [ul] |Ix — al. sega:

e E 2 Ainsi pour tout € > 0 la relation |[u(x — a)| < & = -—— entraîne |u(x — a)|| < €, ce qui montre l'uniforme continuité de u. Ie]

Connexité

Ensemble connexe par arcs La notion de base est celle d’arc continu. On dit qu’une partie l de RP est un arc continu si on peut trouver une application continue y d’un intervalle [a, b] de R dans RP dont l’image soit T. Il faut bien noter que Fest un objet géométrique, la fonction y étant appelée un paramétrage (continu) de T. Un arc continu a une infinité de paramétrages possibles. Les points À = Y(a) et B = y(b) sont les extrémités de l’arc y. La notion de continuité conduit à une notion topologique intuitive d'ensemble «d’un seul tenant». Définition 4

Soit E un sous-ensemble de RP. On dit que E est connexe par arcs si, étant donnés

deux points À et B de E, on peut trouver un arc continu T, d’extrémi tés A et B, et contenu dans E.

TD 2 e Continuité. Connexité

2.2

23

Image d'un connexe par arcs par une application continue Théorème 5

Soit D CR? et f : D — R7 une fonction continue. Si D est connexe par arcs alors f(D) est connexe par arcs.

2.3 Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 6

Soit f : D — R une fonction continue sur une partie D C RP connexe par arcs. Soit A et B deux points de D. Pour tout nombre réel r compris entre f(A) et f(B) il existe un point C de D tel que f(C)=r.

POUVEZ-VOUS RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 26)

1.

Soit D C R?, feet g deux fonctions continues de D dans R, g ne s'annulant pas

sur D. Montrer que la fonction (x,y) + ue est continue sur D. Étudier la continuité de la fonction définie par f(x, y) = sup(x, y). Soit f : D — R une fonction définie sur une partie D de KR, a € RP un point de D. Si f admet une limite ! lorsque x tend vers 4, alors I = f(a). Vrai

[]

Faux

[]

que U Soit U € R° défini par U={(x 7,2), Ge +Wÿ — 1)(z — xy) > 0}. Montrer est un ouvert.

: x + |x|| est Soit x + |x|| une norme sur RP. Montrer que la fonction norme f

uniformément continue sur RP.

1 R n’est pas uniforMontrer que la fonction définie par f(x) = = de ]0, + co dans mément continue sur ]0, + oo.

délit. photocopie autorisée Dunod. est La ©un non

représentative de la Analyse de l'énoncé et conseils. Quand on examine la courbe est voisin de zéro. x fonction, on constate que la pente devient très forte quand en défaut l’unimettre à r cherche Intuitivement, c'est près de l’origine qu'il faudra forme continuité.

24

TD Fonctions de plusieurs variables

7. Soit f :10,1] — R une fonction continue, uniformément continue sur [a, + cl

pour tout 4 > 0 aussi petit que l’on veut. Alors f est uniformément continue sur Faux [] Vrai [] ]0, + ol. - Image d’un ouvert par une fonction continue On considère la fonction f : R — R définie par f(x) = x?. Donner un exemple d'intervalle ouvert 1 de R tel que f(1) ne soit pas un ouvert. Comparer avec le théorème 1.

9 Le

; QUESTIONS

DE RÉFLEXION

(Réponses à la fin du chapitre, page 28)

- Image réciproque d’un fermé par une fonction continue Soit dans R? l’ensemble

D = (1 — co, 0[U]0, + co[) x [0, +oo[. On considère la

fonction f : D — R définie par f(x, y) = de.

Montrer que f est continue mais que l’image réciproque par f du fermé {1} de R n’est pas un fermé de R?°. Comparer avec le théorème 1.

10.

Image réciproque d’un compact par une fonction continue

Soit f : R? — R? une fonction continue et K une partie compacte de R. eg L'ensemble f (K) est-il compact ?

11

Le concept d’homéomorphisme

Du point de vue intuitif, deux parties de IR? homéomorphes ont des formes « similaires ». On peut déformer continûment l’une pour obtenir l’autre. C’est le

cas des dessins ci-dessous

M

ane

Par contre, on ne voit pas, à priori, comment déformer continû ment la lettre O

pour obtenir la lettre I sans couper le O; c’est-à-dire que ces deux lettres ne paraissent pas homéomorphes. Nous allons le prouver par l'absurd e. Assimilons la lettre O à un cercle C, et la lettre I à un intervalle, par exemple

[0, 1], et supposons qu'il existe un difféomorphisme f : C — [0,1]. Soit À € C tel que f(A)=0et BeCtel que f(B) = 1. Ces points sont distincts car 0 + 1. Ils déterminent sur C deux arcs C1 et C. Montrer que la restriction de f à C1 est un homéomorphisme de C: sur [0, 1] et en déduire une contradiction.

TD 2 e Continuité. Connexité

@

25

ENTRAÎNEMENT ere mA

(Réponses à la fin du chapitre, page 29)

Application immédiate du cours 12. Étudier la limite à l’origine de la fonction définie par f(x, y) = É13. NET continuité à

fonction définie par f(x, y) = _.

peut se prolonger par

R°.

14. Étudier la continuité uniforme de la fonction définie par f(x, y) = x +y. Analyse de l'énoncé et conseils, valable pour les exercices suivants. Si le domaine de définition de la fonction est un compact, on sait que la fonction sera uniformément continue sur son domaine. Il convient donc de s'intéresser au comportement de la fonction en dehors d’un compact, soit vers l'infini si le domaine n’est pas borné, soit

vers une partie de la frontière qui n'appartient pas au domaine de définition, et de voir si f(X) peut varier beaucoup quand x varie peu. Ensuite on procédera à une mise en forme.

Exercices et problèmes 15. Étudier la continuité uniforme de la fonction définie par f(x) = —— .

16. Étudier la continuité uniforme de la fonction définie par f(x, y) = xy. 17. Étudier la continuité uniforme de la fonction définie par f(x, y) = sup(x, y).

18. Pour la topologie on identifie C à R?. On considère l'application élévation au carré f :zr ZdelC dans C. a) Montrer que cette application est continue. b) Quelle est l’image du disque unité fermé D; de C? c) Déterminer une partie À du disque unité telle que la restriction de f à À soit bijective.

d) Étudier la continuité de la fonction réciproque de la restriction de f à Di.

19. Soit E l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur à n et F l'espace vectoriel réel des polynômes dé degré inférieur à n +1.On prend dans Ë comme dans F la norme définie par : photocopie La ©Dunod. autorisée délit. est non un

+let + +: + lan a X"] = laol PI = leo + X ++

TD Fonctions de plusieurs variables

26

a) Soit u : E — F l'application linéaire définie par :

u(P) = u(ao +aX +.

+anX") = 0x +m

X2

+... +4n

xn+1

Le oi|

Calculer la norme de u.

b) Soit v : F — E l'application linéaire définie par : v(P)= P'=a+2aX+...+(n+1)4,:1X" Calculer la norme de v.

c) En déduire que ||v o u|| + [vi] - |[u{||.

SOLUTIONS —

| Pouvez-vous répondre ? 1>

y) est la composée des fonctions suivantes : La fonction (x, y) + f(x, LAN

g

(x, y) + (f(x, y), gx, y)) de D dans R?, (u,v) + (u, à de R x R* dans R x R* et de la fonction produit de R? dans R. Toutes ces fonctions étant continues, la fonction proposée est continue.

Il convient avant tout d'affiner l'expression de f(x, y). Six>yonobtient f(xy)=x etsi x y} ona

f(xy)=x,

qui est fonction continue de (x, ). De même sur l’ouvert :

V={@y), x y, soit y — 4. Prenons pour norme celle définie par ||(x, y)|| = sup(|x|, lyl).

Si on se donne un nombre € > 0, la relation ||(x, y) — (a,4)|| < x = € entraîne f(x, y) — f(a,a)| < €. :

En résumé la fonction proposée est continue en tout point de R2.

TD 2 , Continuité. Connexité

3>

27

Vrai : en effet, d’après la définition de limite, pour tout € > 0 on peut trouver un nombre x > O tel que x € D et ||x — al] < & entraîne |f(x) — Il < €.

Si on prend x = 4 la quantité ||x — a|| est nulle, donc inférieure à tout & > 0. En résumé on obtient que, pour tout € > 0, |f(a) —1| < €. Par conséquent ||f(a) — 1|| = 0 soit f(a) = 1. Ce que nous venons de voir peut paraître contraire à une vérité antérieure. Tout vient du fait que la définition de limite utilisée n’est pas « 4 exclu ».

La fonction f de RŸ dans R définie par f(x, y, 2) = (x? + y? — 1)(z — xy) est une fonction polynôme, elle est donc continue. Comme U est l’image réciproque par f de l’ouvert ]0, +] de R, U est bien un ouvert de RS. 5r

Soit x et 4 deux points de RP; alors f(x) — f(a) = ||x|| — |la||. On sait que, quels que soient les vecteurs x et x’ dans RP, on a l'inégalité

[all — Te < Mix + x En prenant x’ = —a on obtient :

[al — 1 — all} = [ll — Hall] < 1x — 2. Ainsi, pour tout € > 0 la relation |x — a|| < & = € entraîne |f(x) — f(a)| < €. En résumé la fonction f est uniformément continue sur R avec pour module d’uniforme continuité & = €. Donnons-nous deux nombres positifs x et 4 (0 < x < 4) et étudions la différence :

4-7 fo -f@= |LT -21— dans le but de la minorer en valeur absolue par un nombre fixe. Nous allons montrer que, pour tout nombre & > 0, on peut trouver a et x (D x— dont la dérivée est —=;: ee un nombre c Ex, al tel que existe il alors 4, < x < 0 Soit x et a des nombres tels que

photocopie délit. Dunod. © autorisée La est un non

d No An = er:

1. (NT 4): C

28

TD Fonctions de plusieurs variables

D'où l’on obtient

1) |— — -| > |x — a: œ

eee

:

Pour tout æ > 0, si on prend 4 = & et x = 2’ cette inégalité devient

1

a

.

2

Il reste, comme dans la démonstration précédente, une petite discussion technique sur & que le lecteur mettra au point à titre d'exercice. Montrons que la fonction proposée est uniformément continue sur tout intervalle de la forme [xo, + col. Pour x et a donnés dans [xp, + | on a:

PEL X

=

a

4 ; 2 Soit £:> 0si [x — a] < à = exf alors

F2

ax Xa

S

_x—al

S

XG2

.

sd ai: ACTA dE.

On voit que x ne dépend ni de 4 ni de x. Il y a bien continuité uniforme sur [xp, + cf. Vous avez compris?

Étudier la continuité uniforme des fonctions définies sur [0, + cf par:

a) fa) =»;

b) (x) = V4.

Réponses : a) et b) f ne sont pas uniformément continues sur

[0, + oo.

7» Faux: voir l'exercice précédent. 8» L'image par f de l'intervalle ] — 1, + 1[ par exemple est l'intervalle [0, 1[ qui n’est pas un ouvert de R. Le théorème 1 concerne l’image réciproque d’un ouvert et non l'image directe.

Questions de réflexion

9» fest continue sur D car composée de la fonction continue (x, y) dans R? et de la fonction produit de R? dans R. L'image réciproque par f de {1} est l’ensemble des points :

É 5) de R? Æ

fa= {eu E Le : 1) c'est-à-dire la parabole d’équation y = x? privée de l'origine. Ce n’est pas un fermé de R? car l'origine, point adhérent à f (1), n’est pas dans

f Q). À priori on pourrait penser que ce résultat est en contradiction avec le théorème 1. En fait, il n’en est rien, car le théorème 1 concerne une fonction dont le domaine de

définition est RP, et dans notre cas la fonction n’est définie que sur une partie de R‘. Le théorème ne s'applique donc pas.

En fait, on rencontre ici une notion un peu plus subtile que la topologie de R?, à savoir la topologie de D.

TD 2 « Continuité. Connexité

29

—1

En voici une approche. f (1) est un fermé de D (et non de R?) car son complémentaire U dans D est un ouvert de D, dans le sens suivant : pour tout (a, b) € U on peut

trouver un nombre r > 0 tel que la boule dans D, Bh{((a,b),r), ensemble des points de D dont la distance à (a, b) est inférieure à r, soit contenue dans U. Il est bon d’être conscient de ce genre de phénomène pour ne pas se trouver désem-

paré par une utilisation mal contrôlée du théorème 1. 10> On sait que K est un fermé borné de R?.

Tout ce que l’on peut dire de f (K), c’est qu’il s’agit d’un fermé de R?, mais qui n’a aucune raison d’être borné. ; Il est facile de donner un exemple où f (K) n’est pas compact en considérant la fonction constante égale à 1 de IR? dans R. Cette fonction est continue mais f (K), égal à IR, nest pas compact. C’est quand même un fermé. 11» L'arc de cercle C1 est connexe par arc. Son image par la fonction continue f est connexe par arc et contient 0 et 1. f(C1) est donc l'intervalle [0, 1] lui-même. Comme f est un homéomorphisme, f est injective, donc bijective de C sur [0,1] et sa fonction réciproque est continue. On peut faire le même raisonnement pour C2 et alors f(C1) = [0,1]. Un point de ]0, 1[ serait ainsi l’image par f de deux points distincts de C, l’un sur C1, l’autre sur C2. Ce n’est pas possible car f est un homéomorphisme.

Il n'existe donc pas d’homéomorphisme de C sur [0,1]. Vous avez compris?

Montrer que les lettres T et I ne sont pas homéomorphes.

Entraînement

12> Le domaine de définition de la fonction f proposée est D = R* x R*. Introduisons la fonction h : R*

x

siny

+

— R définie par H(u) = ra

La fonction f est la composée de la fonction (x, y) > xy de D dans R'etdeh. Comme ST tend vers 1, quand 4 tend vers 0, on peut prolonger h à R en une fonction À en posant h(0) = 1.

On constate alors que f est la restriction à D de la composée :

Fire xye y). sa Cette dernière fonction est continue car composée de deux fonctions continues, et

restriction f à D l’est aussi.

ésumé

En EE photocopie délit. autorisée La Dunod. ©est non un

li

,y)=.

(x, Dan 1 qu3)

di

= 1. f(x, y)= f(0,0)= h(0)

(x, 40, 0

dr

el

30

TD Fonctions de plusieurs variables

Vous avez compris?

NT

1 — cosxy

Étudier la limite à l’origine de la fonction définie par: f(x, y) = er

1 Réponse : f tend vers >.

13> Considérons la fonction continue h de R dans R donnée par :

hu) =

si

u#0

et

h(0)=1.

La fonction à étudier a pour domaine de définition D le complémentaire dans R? de la droite d’équation x + y = 0.

Cette fonction f est la restriction à D de la composée f de la fonction (x, Y)- x +y de R? dans R et de H. La fonction f est continue comme composée de fonctions continues, c’est donc le prolongement cherché. La fonction f se prolonge donc par continuité en lui donnant la valeur 1 en tout point de la droite d’équation x + y = 0. 14> Soit (4, b) un point de R? et étudions

d=l@+y)-(@a+b)= 1x -4)+(y-b)|. On a une majoration immédiate :

d 0 la relation {||(x, y) — (a,b)|| < x = 5 entraîne d'EvEx

k

Ainsi la fonction somme est uniformément continue sur R2.

On peut aussi choisir pour norme celle qui est définie par ||(x,y)|| = [xl + lyl, ce qui conduit à prendre & = €.

15> Commençons par prolonger par continuité la fonction à R en posant f(0) = 1. On sait que cette fonction est uniformément continue sur tout compact, donc en particulier sur l'intervalle [—2, +2] avec un module d’uniforme continuité que nous noterons x(E). Par ailleurs f est dérivable pour x + 0 de dérivée : XCOSX — sinx !

—

f(x) =

x2

Pour |x| >1,ona f'(x)| < Ds = ‘Lay CE % [x Montrons, à l’aide de l'égalité des accroissements finis, que fest uniformément continue sur | — co, — 1] et sur [1, + ol.

TD 2 e Continuité. Connexité

31

En effet pour x et x’ supérieurs à 1 par exemple, il existe un nombre c compris entre

x et x’ tel que:

Ge) — FR) = 1x — «AP (c) < 2x — x. Donc pour € > 0 donné la relation [x — x/| < œ2(€) = :entraîne |f(x) — f(x’) < €. La

fonction

]—

00,

T est

donc

uniformément

continue

sur

chacun

des

intervalles

—1], [—2,2], [1, + col. Cela entraîne que f est uniformément continue sur R

avec pour module d'uniforme continuité œ(e) = min (x(e), x(e), 5)

En effet si x et x’ sont tels'que |x — x/| < «x, alors l'intervalle d’extrémités x et x’ sera dans l’un des trois intervalles ] — oo, — 1], [—2,2], [1, +oof, la quantité

|x — x’|

étant dans chaque cas inférieure au module d’uniforme continuité de l'intervalle, (f(x) — f(x')| sera inférieur à €. 16> Soit (4, b) un point de R? et étudions :

d = |xy — ab| = |x(y — b) + b(x — a)|.

- Nous utiliserons la norme définie par ||(x, y)|| = max(|x|, (|). Il apparaît que, même si on peut contrôler au moyen de la norme la petitesse de

ly — b| et |x — al, les facteurs |x| ou |b| peuvent être arbitrairement grands. Pour cette raison nous nous proposons de montrer que la fonction produit n'est pas uniformément continue sur R?.

Formulons tout d’abord la continuité uniforme sur R?° :

e>0) Got)>0)

[&y-@bI 0)

(x, y) (a, b) (IG, y) — (ab) < x et d = lxy — ab| > €)

Pour l'exercice proposé, nous utiliserons la norme définie par ||(x,y)|| = max(|x|, |[y|). Nous allons choisir les points (x,y) et (a,b) judicieusement pour simplifier les calculs. Prenons par exemple y = b >0et x >a > 0, alors d = b(x — a). obtient : On voit que, pour tout & > 0, si on prend de plus x=4+4@, b > a on

Ge,y)— (@b)l= x

et

d>1.

On a bien vérifié la deuxième proposition avec € = 1

Commentaire. On aurait pu, sans difficulté, choisir pour € n'importe quelle valeur autre que 1. donner une 17> On pourrait reprendre les calculs de l'exercice 2, mais nous allons méthode plus rapide basée sur la formule suivante, souvent utile :

1

sup(x,y)= (x +y+lx — y). Cette formule se vérifie sans difficulté. En effet,

1 1 six> y alors r—y=x—y et LA +y+x-y)= 5 +Y+x y) = 2 photocopie délit. autorisée La ©Dunod. est un non

32

TD Fonctions de plusieurs variables

1 1 Etsix 0}. Sur un tel ensemble f est injective et tout point Z € Dj a bien un antécédent dans A.

On peut aussi choisir n'importe quel demi-disque ouvert de D: et l’un des deux rayons qui le borde.

d) Soit g : Di — À la fonction réciproque de la restriction de fà À. On peut considérer g comme fonction de D dans R?. Si g était continue, l’image par g du compact D: de R?, qui est À, serait un compact de R°. Ceci est faux car A n’est pas un fermé (tous les points du segment [—1, O[ de

l'axe réel sont des points adhérents à A et ne sont pas dans À). Commentaire. Cette démonstration prouve l'intérêt des notions topologiques que nous avons introduites. Toutes ces définitions n'ont pas qu'un rôle descriptif. Bien au contraire, elles permettent de donner des démonstrations simples et efficaces.

Autre démonstration

Nous allons expliciter la fonction g. Soit Z e Di, Z=[p, x] avec 0 < x < 27, alors g(Z) est le nombre complexe z = [,/p, 5 Considérons la suite définie par : Zn = Lan

L ; = COS (2x :)+isin (2r- s)n n n

Cette suite tend vers cos(27) + isin(27) = 1 et S(Zn) =, HTT — % k nl

TD 2 e Continuité. Connexité

EE)

Quand # tend vers l'infini g(Z1) tend vers —1 qui est différent de g(1) = 1. Ainsi g n’est pas continue au point Z = 1, ni d’ailleurs en aucun point du segment [0, 1] de l’axe réel. 19> a) Il s’agit de déterminer la borne supérieure de RE pour P + 0.

Cherchons d’abord un majorant. On a: X2

Iu(P)| =

aXrm+:.+4

xn+1

Un+1

ANA

nl

2)

n+1

On voit immédiatement que |u(P)|| < [ao] + |a1| + --:+ [an] = ||P||, c'est-à-dire que

up)

ie

< 1

pour tout P.

Le

La norme de u est donc inférieure ou égale à 1. Montrons qu’elle vaut exactement 1. En effet, si P = 1 (polynôme constant égal à 1), alors u(P) = X et

Le polynôme P = 1 réalise le maximum de

CP) (PI

WP) _1_, IP]

sur la sphère unité.

b) Soit PE F, alors:

IoCP)I = Ile + 222X +222 + (0 + Dana] = Vel + 2la2l +22 + (+ Dana | On voit immédiatement que, pour tout P:

Io(P) < Gr +1) (lait +

+ lane1l) = Gr + DPI

La norme de v est donc inférieure ou égale à n +1. Cette norme vaut exactement n + 1 car si on prend P = X'Hon ax

v(P) = (n+ 1)X7 et Io(P)| _n+1 |

Ii TS

D

+1.

c) L'application v o u est l'identité de E. Sa norme est donc égale à 1. Par contre le

produit |v|| - ||] vaut n

+1.

Vous avez compris?

Même exercice avec la norme définie par :

PI = llao+aX ++: +anX"|| = max (lol, lai, :::;lanl) Réponse : mêmes résultats.

délit. photocopie autorisée Dunod. ©est La un non

_ Calcul __différen tiel SAR D

é

D de na

L' ESSENTIEL DU COURS

1.

Dérivées partielles d'une fonction

1.1

Fonction de deux variables à valeurs réelles Définition 1

Soit f : U — R une fonction définie sur un On dit que f admet une dérivée partielle par f admet une dérivée partielle par rapport à fonction 4 : x + f(x, b) est dérivable pour

ouvert de R?, soit (a, b) un point de U. rapport à x au point (a, b), ou encore que la première variable au point (a, b), si la x = a. -

Quand cela est réalisé, on appelle dérivée partielle de f au point a le nombre @,(a). On note alors cette dérivée partielle FAC b) ou encore f}(a, b) et on a:

# a

b)== f;(a,b)=

pois ha:

On définit de même la notion de dérivée partielle par rapport à la deuxième

variable que l’on note srl Ÿ b), ou encore f,(a, b), quand elle existe. Si la fonction f admet ces dérivées partielles

of ax

des dérivées partielles en tout point (x,y) € U, on note

of

y) et EE. y).

On définit ainsi deux fonctions de U dans R, notées 2 et se: X y

35

TD 3 e Calcul différentiel

On dit que f est de classe C! sur U si elle est continue et si elle admet en tout Ô Ô : PIE . point (x, y) des dérivées partielles es y) et Le y) définissant des fonctions x

continues sur U.

om

1.2 Dérivées partielles d'ordre 2 Considérons une fonction f : U — R admettant en chaque point (x, y) de U une dérivée partielle of (x, y). On peut étudier l'existence de dérivées partielles pour

ôx

la fonction — : Ôx

à)

Si cette fonction admet sur

U deux dérivées partielles, on note

ne y) et x

0?f of duos (x, y) ces dérivées partielles au point (x,y). De même, si = admet sur U : Ô2 des dérivées partielles, on note 3 À (x,y) et Pate y) ces dérivées partielles au pe

T£

point (x, y).

.

Ô

es

0y?

On obtient ainsi quatre fonctions appelées dérivées partielles d'ordre 2 de f. Théorème 1 (Théorème de Schwarz!)

Soit f : U — R une fonction admettant des dérivées partielles d'ordre 2,

d?f Ox0y

2

cel et

OyOx

continues sur un ouvert U de IR?, alors ces dérivées partielles sont égales.

r à 2. On définit de la même manière des dérivées partielles d'ordre supérieu s partielle Une fonction de classe CX est une fonction dont toutes les dérivées fonction existent à l’ordre k et sont continues. Une fonction de classe C® est une à n'importe de classe C* quel que soit k. Le théorème précédent se généralise quel ordre de dérivation.

1.3

Fonction de p variables à valeurs réelles KR, a= (a, :::,4) un Soit f : U — R une fonction définie sur un ouvert U de de dérivées partielles ence point de U. On définit comme précédemment l'exist p dérivées partielles avoir au point a. Si f est suffisamment régulière, elle peut Ô Ô : ou encore fx, (4) :::, fx,(a). @ 41. 2 d'ordre 1 distinctes, que l’on note p 1

que 1, des foncOn définit de même des dérivées partielles d'ordre plus grand type de situace à ise général se 1 e tions de classe CF, de classe C®. Le théorèm tion.

(Allemagne) (1843-1921). 1 HERMANN ScHWARZ né à Hermsdorf unter Kynast de 1892, ses travaux sont partir à Professeur à l’université de Gôttingen, puis de Berlin les et les fonctions partiel s dérivée aux ons équati relatifs à l'analyse, en particulier les analytiques. délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

36

TD Fonctions de plusieurs variables

Si f : U — R? est une fonction définie sur un ouvert U de R? à valeurs vectorielles, on définit de même la notion de dérivée partielle, à valeurs vectorielles.

1.4 Dérivée suivant un vecteur Soit f : U — R7 une fonction définie sur un ouvert

U de RP, a = (1, -::,49) un

point de U et v un vecteur de R?. On dit que f a une dérivée au point 4 suivant 1 EAES le vecteur v si a Ua + hv) — f(a)] a une limite (finie) lorsque h tend vers 0 avec

h + 0. Quand elle existe, cette dérivée se note f}(a). C’est un vecteur de R?. En particu-

lier les dérivées partielles d’une fonction sont des dérivées dans la direction des

vecteurs de la base canonique de R?. 1.5 Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre Proposition 1 Soit I un intervalle ouvert et f : I x [a,b] — R une fonction continue admettant sur

I x [a, b] une dérivée partielle par rapport à x continue. b

Alors la fonction F définie sur I par F(x) = \ f(x, ?) dt est dérivable, de dérivée: a

b

F@=

2.

| (x, D dt.

Différentielles L'idée fondamentale est d'approcher « au mieux » une fonction par une fonction linéaire au voisinage d’un point.

2.1

Cas d’une fonction de deux variables à valeurs réelles

Définition 2

Soit f : U — R une fonction définie sur un ouvert U de R?, (a, b) € U. On dit que f est différentiable au point (a,b) si on peut trouver une fonction linéaire u:(h,k) + Ah+Bk de R° dans R, appelée différentielle de f en (a,b), satisfaisant à la propriété suivante : pour tout nombre € > O, il existe un nombre œ(e) > O tel que 0 < ||(h,k)|| < « et (@+h,b+k)EU

entraîne

[f(a+h,b+k) — f(a,b) — (Ah + Bk)| < e||(h, k)|].

37

TD 3 e Calcul différentiel

On montre que si f est différentiable au point (a,b), alors elle est continue en

(a,b). De plus f admet en ce point une dérivée partielle (a b) dont la valeur est À. De même ay b) existe et a pour valeur B.

Une fonction peut avoir des dérivées partielles sans être différentiable mais: Théorème 2

Soit f : U — R une fonction de classe C1 sur un ouvert de R?. Alors f est différentiable en tout point de U.

2.2 Notation en dx, dy Soit f : U — R une fonction de classe C1 sur un ouvert de R?. Sa différentielle en un point (x, y) € U se note df(x, y). C'est l'application linéaire de R? dans R de matrice Jf(x, y) = Ce y)

Et y) |. Si on prend pour f la « fonction x », soit

(x, y) — x, sa différentielle se note dx. La matrice de dx est (1 0), elle ne dépend pas du point (x, y). On définit de même dy, ce qui conduit à la notation

af= ax + 2 dy. Fonction de plusieurs variables à valeurs vectorielles Soit f:U—R7

une

fonction

définie

sur un

X — (x1, SE Xp) e U, on note (f(x), Sr fax)

ouvert

U de

ma (AG, 1 ,Xph FE fai

I. Pour ii Xp)

dans R, appele vecteur f(x) € R1. On définit ainsi q fonctions fi, -..,f4 de U lées fonctions composantes de f.

3.1

Fonction différentiable

Définition 3 et une fonction définie sur un ouvert U de RP Soit f:U—HR7 une trouver peut on si a a= (a, :::,4p) € U. On dit que f est différentiable au point possédant la propriété a, en f de différentielle appelée R, — R? : u fonction linéaire suivante : > 0 tel que : Pour tout nombre € > 0, il existe un nombre a(e)

O =);

Réponse : y’ (3) = (0.

photocopie délit. autorisée La ©Dunod. est un non

TD Fonctions de plusieurs variables

50

Questions de réflexion 10> Les fonctions f et g étant réciproques l’une de l’autre, on a les relations :

gof =idu etfog=idy. En différentiant ces deux relations, l’une au point 4, l’autre au point b on trouve :

dg(b)o df(a)=idm

et df(a) o dg(b) = idms

ce qui signifie que dg(b) et df(a) sont des applications linéaires réciproques l’une de l’autre. L’algèbre linéaire nous enseigne que les espaces vectoriels correspondants sont alors de même dimension, donc p = q.

Application. Dans l’espace, on pose souvent r = 1/x2 + y? +22. O0

Or

On peut calculer EE —

Or

0x

mais le calcul de termes tels que arte

Oy Oz

nue

Fr

al vu

quelquefois entreprendre, n’a pas de sens car r définit une fonction de R° dans R qui ne peut avoir une fonction réciproque différentiable. 11> Les, formules de changement de repère pt +YT =xi +yÿ qui devient :

s’obtiennent

à partir

de l'égalité

X(cos8 à +sin0 j )+Y(-sin0à +cos0)j )=x 1 +yj ou encore :

(Xcos8 — Ysin8)

à +(Xsin0 + Ycos0)

j =x 5 +yj

d’où les relations demandées :

x = Xcos0 — Ysin® Par définition:

et y =Xsin0 + Ycos6.

f2(X, Y) = fi(x, y).

Comme les formules de changement de repère sont différentiables, f>, composée de l'application (X, Y) + (x, y) et de f est différentiable. En utilisant les formules de différentiation des fonctions composées on obtient :

_. ,Y)= cure y) cos 8 + À, y}sin 0 et

2x 9 = À (x,yy(-sin 0) + DE y) cos0. On a donc: 1e y) cos 0 + Spsine| T + [JA y—sin 0) +Ts y)cos0) TJ = Tr, y{coseT — sin6 J ]+ “

y){sin0T +cos8 7°]

soit: Lens VE + se NT = ee y)É + À yi,

TD 3 e Calcul différentiel

51

ce qui prouve que le vecteur gradient est conservé dans le changement de repère. En général, en physique ou en mécanique, on rend ces formules plus lisibles en négligeant l'indication (X, Ÿ) ou (x, y) dans .

Y) ou be y). x

Entraînement 12> La fonction proposée est définie sur R?. Étudions la continuité à l’origine de f. Montrons que f tend bien vers zéro.

Remarquons que f(—x, y) = f(x, y) et que f(x, — y) = —f(x, y). Il suffit donc d'étudier f dans le premier quadrant. Dans ce cas pour x # 0: 2 NE muet

ee Ds

Comme f(0, y) = 0 on a dans tout le premier quadrant f(x, y) < y qui tend vers zéro quand (x, y) tend vers zéro. Ainsi f est continue à l'origine. à Ôf Étudions l'existence de ax 0 0). En posant y = 0 on trouve f(x,0) =0, c'est une fonction constante de x donc dérivable de dérivée nulle.

Ô De même on obtient l'existence de Er 0) qui est nulle. Si f est différentiable à l’origine, sa différentielle ne peut être que l'application nulle. Il convient donc maintenant d'étudier

FR) —0h—0k| _ \f@ | CH, R)|]

IG, R)1]

On peut se limiter au premier quadrant par raison de symétrie. Choisissons d’utiliser la norme définie par ||(4,k)|| = sup(|lh|, |kl). 1) Pour les points tels que k > h > O, situés au-dessus de la bissectrice, on a

I1(, k)|| = k et:

CRAN MER Un IG D Kh2+k W+k Ok k qui tend vers zéro quand (h, k) tend vers l'origine.

us de la bissectrice, on a points tels : que h >Kk2> O, situés au-desso 2) Pour les On nt obtie (, k)]| = h.

HULL

IG

H2+Kk

k

qui tend vers zéro quand (h,k) tend vers l’origine. En résumé la fonction est bien différentiable à l'origine. pratique dans les Commentaire. On remarquera que la norme utilisée est finalement plus calculs que la norme euclidienne. ée de fonctions conti13» Remarquons que la fonction est continue en (a, 0) car compos à la première variable. rapport par e partiell dérivée nues. Étudions l'existence d’une 1 vers 0. On constate que, pour h # 0, af (a+ h,0) — f(a,0)) = 0 tend délit. photocopie autorisée La Dunod. ©un est non

TD Fonctions de plusieurs variables

52

Par conséquent of — (a, 0) existe et vaut zéro.

Ôx Étudions l’existence d’une dérivée partielle par rapport à la seconde variable. 2

Pour k+ 0, (fa k) — f(a, 0)) = ape tend vers 1. Par conséquent

() AU 0) existe et vaut 1.

Si f est différentiable au point (4,0), sa différentielle ne peut être que l'application (h,k) + k. Il convient donc maintenant d'étudier :

f@a+hR-H 1 (a + h}2k @+AP+ H IC, k)] IG, k)|

1

|

Ikf2

I&DI@+A2+k

Choisissons d'utiliser la norme définie par ||(h,k)|| = sup(|hl, |kl).

1) Pour les points tels que |k| > |h| on a ||(h,k)|] = [k| et: Ga +h,R) = k| |

IG, R)|]

Ik|

(a +h}+ |k

qui tend bien vers zéro quand (4, K) tend vers l’origine.

2) Pour les points tels que |h| > |k| alors ||(h,k)|| = |h| et:

CN

mi

2

IC, )|

LeSn

el Ga+h}+lk

OL

;

hlG@+hP+lk

\k|

(a+h) +1k

qui tend bien vers zéro quand (h, k) tend vers l’origine. En résumé la fonction est bien différentiable au point (a, 0) a + 0.

14»

La fonction proposée est définie sur R?.

+ Étudions la continuité à l’origine de f. Pour y # 0 on a la majoration :

(x y)| = EE

l*yl —— =

xl*lyl = |x]*

je< hi

ei

Si à > 0 cette quantité tend vers zéro quand (x, y) tend vers zéro. Comme f(x, 0) = 0

la fonction f est continue à l’origine.

Si œ=0, f(x, y) = Fu

n'a pas de limite à l’origine.

En effet, la restriction de f à la droite d’équation y = 0 est nulle. Par contre sur la d rates DE: = %S ; ja parabole d'équation y = x° on a f(x, y) = Dr 9 dd tend vers 2

NS Si x < 0 sur la parabole d’équation y = x? on a f(x, y) = 237. 5 = .X quine tend pas vers une limite finie. Fa ce MP

TD 3 e Calcul différentiel

53

En résumé f est continue si et seulement si & > 0, ce que nous supposerons désormais. ; : Ô + Étudions l’existence de ax 0). En posant y = 0 on trouve f(x, 0) = 0; c'est une fonction constante de x donc dérivable de dérivée nulle.

of

De même on obtient l'existence de ai

0) qui est nulle.

y

° Si f est différentiable à l’origine, sa différentielle ne peut être que l'application nulle. Il convient donc maintenant d'étudier :

FC €) — Oh — Ok _ FR) IG, k)|]

IG, R)|

Choisissons d'utiliser la norme définie par ||(4,k)|| = sup(lh|, |k|). Comme

et f(x, — y) = -f(x,y) on peut se limiter au premier

f(—x,y)=f(x,y)

quadrant. 1) Pour

FOR 1 HR

HE

CH

h EL

< kA2+Kk = h2+k eek GR

LFC, K)| tend IG, R)|]

Si «> 1, ———— Si «x=1,ona

en

de la bissectrice,

k 2 h > 0, situés au-dessus

les points tels que

IG, R)| = k et:

on a

ÀNS

k

;

vers zéro. = _. à Nous

avons vu que cette expresssion n’a pas de

limite à l’origine.

eh \FG, K)| Si x 0, situés au-dessous

IG, k)|| = h. On obtient :

FU R _ FOR LRUK h+E IGD. - Ho

Pa K

pen

|

. Si & > 1 cette expression tend vers zéro quand (h, k) tend vers l’origine : Si à < 1 calculons Le sur la droite d’équation k = th, on obtient f(@, k) _ h*-1

h délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

th

hR2+th

= 1

FL

LE:

:

on a

TD Fonctions de plusieurs variables

54

,

Le rapport Fe tend vers 1 et H%-1 ne tend pas vers zéro. En résumé, la fonction est différentiable à l’origine si et seulement si & > 1.

15> Il s'agit d’une simple application du théorème de différentiation des fonctions composées. La fonction w est somme de deux fonctions w1 et w) définies paï : wi(x,t)=f(x-at)

et

wi(x,t) = f(x +at).

DE = —af'(x — at) puis, en dérivant encore par rapport à f,

On a a te

du

_ fi

ni a2f"(x — at)— |

ET

Demême,

= fl F Dee = f(x — at) 2.

= f(x — at).

On constate que w1 vérifie la relation. On montre la même chose avec w.

Commentaire. L'équation des cordes vibrantes possède de nombreuses solutions puisque l'on peut choisir arbitrairement les fonctions f et g. Il faut savoir que x est l’abscisse d’un point de la corde, t le temps, à la vitesse de propagation d'un signal le long de la corde et w l'écartement de la corde par rapport à sa position d'origine.

Le présent exercice s'interprète de la manière suivante : la déformation de la corde à l'instant t résulte des déformations à l'instant t = 0 aux points d'abscisse x — at et x+at.

16> + Première version. Soit g la fonction définie par g(r, 8) = f(r cos 0, r sin 8). Le théorème de différentiation des fonctions composées permet d'écrire :

(So) #8(,0)) = (Atrcos0rsin 0 an(rcos0,rsin0) )EC _. sin® rcose d’où l’on obtient :

Ô ce 6) = cos 0 T(rcose, sin 8) + sin0

(r 0080, r sin 0)

que l’on préfère écrire - = COS où +sin ee Et de même : 08 = D 00

Ôx

+7rcos AU Ù 0y

On obtient ainsi un système de deux relations qui nous permet, en dehors de l’ori-

gine (r + 0), d'obtenir : Of

4 se

0eiy

Le 00 Le sinéss D. cos GS AUS.

et

Of 0g 1 0g ee ee dv PE sin 0 hé: + Pt7 COSET

Un simple calcul donne le résultat suivant :

(+0) -(620)

TD 3 e Calcul différentiel

55

* Deuxième version. Appliquons les règles de dérivation :

oo @_ofor ox Orox 000x

,#0 or 0y Oroyx 00 oy

‘

Ôr — et autres termes analogues, en utili:

Nous avons vu plus haut comment calculer sant les formules obtenues. On trouve : of = of Of a ar © Dr)

— Remarquons tout d’abord que F est la composée des fonctions suivantes :

E :Ja,b[— R°

définie par œ(x) = (u(x), v(x), x) et

G:R°—R

définie par G{X, Y,Z)= fef(Z, t) dt

14 X

Avec les hypothèses faites, @ et G sont différentiables, ont pour matrices jacobiennes :

Jeu

;

u'(x)

(v)

: JGY2-

(220 2,0

L co

et en appliquant la formule de différentiation de la composée de f et de @, on obtient

F'(x) en effectuant le produit JG(@(x)) x J@(x) :

Pa) = fu) 0) + f(x 069) (+

v(x)

: D x,» dt.

u(x

Vous avez compris?

Avec les mêmes notations, on se donne de plus une fonction différentiable w :]a, b[—Ja, b[. v(x) Montrer que la fonction F définie par F(x) = fl f(w(x), t) dt est dérivable et calculer sa dérivée. u(x) v(x)

Réponse : F'(x) = —f(x, u(x))u'(x) + f(x, v(x)) v'(x) + w/(x) [l À À (x) t) dt.

19

Y

a) La matrice jacobienne de

est J(@) = (

)de déterminant

x — y. LUE Le théorème des fonctions inverses s'applique si x — y + 0, c'est-à-dire en tout point non situé sur la bissectrice.

Le calcul demandé nécessite la connaissance de la matrice réciproque de J(@). Cette matrice peut s'obtenir en différentiant s et p: ds = dx+dy

et dp = ydx + xdy

d’où l’on tire par combinaison linéaire : dx=

1 se —

1

(xds — dp) etdy p) et dy = ——(-yds es y + p) dp).

On a ainsi :

JO) = ee

(7, ft) ; x4y

TD 3 + Calcul différentiel

57

On obtient donc, pour x + y: CNRC RE

AN CE SEC RC ® x-y"’ [HS TES

d@

1 x-y

b) En utilisant le théorème de différentiation des fonctions composées on a :

Drf _ OSÔg Asse "Os 0 opin og

0x

0s0x

Opox

ds

0g

op

; of _ôgos, 0gôp _ 08, 08

dy Os0y

Opoy

ds

op

soit :

Of tÔf 2e

a

Us

ôg

Ve

c) Nous devons déterminer les fonctions f telles que la fonction g obtenue par chan-

0g gement de variable vérifie (x — y) 2e= x? ÿ soit nn s s 1 à Ces fonctions sont de la forme g(s,p) = A + g1(p) où g1 est une fonction différen-

tiable arbitraire. En revenant aux variables x, y on trouve les fonctions f de la forme :

fn = 30+ y + fi) où f1 est une fonction différentiable arbitraire.

d) Un point (s,p) est dans l’image de @ si on peut trouver x, y tels que x+y=set xy =p. C'est un problème bien connu, trouver deux nombres dont on donne la somme et le produit. On sait que ces deux nombres sont solutions de l'équation du second degré :

XX

+p=0.

Cette équation admet des racines réelles si, et seulement si, son discriminant À = 5" — 4p est positif ou nul.

p

Autrement dit, le point de coordonnées (s,p) devra, dans le plan des variables

s

appartenir à la parabole d'équation soit être situé au-dessous. Par ailleurs, on remarque

y

que

5,p, oo

p = z'

s et p étant

donnés, tels que 8? — 4p >0, l'équation du second degré ci-dessus a deux racines distinctes X1 et X2 et on a exactement deux points, (X1, X2) et (X2, X1) dont l’image par

e est(s,p).

Ces deux points sont symétriques par rapport à la bissectrice dans le plan x, y. Si on prend pour U l’un quelconque des deux demi-plans ouverts

déterminés

par

la bissectrice,

la

restriction de @ à U est une bijection de U sur l’ouvert V du plan 5s,p défini par 87 — 4p > 0. Nous avons établi que, en tout

délit. photocopie autorisée est La Dunod. ©un non

TD Fonctions de plusieurs variables

58

point de U, le théorème des fonctions inverses s'applique. Par conséquent la fonction réciproque de w, qui existe globalement sur V, est différentiable.

Ainsi lu est un difféomorphisme. e) Nous savons déjà que, en un point tel que x = y = a, le théorème des fonctions inverses ne s'applique pas. Nous pouvons montrer qu'il n’est pas possible d’inverser @ en un tel point.

En effet, sur toute boule centrée au point (4, a) deux points symétriques par rapport à la diagonale ont même image par .

Cela signifie que @ n’est pas injective sur une telle boule, elle ne peut donc avoir de fonction réciproque. 20» Soit f la fonction définie par f(x, y) = e*Ÿ + y? — xy — 3y+2x +1.

Cette fonction est de classe C® et sa dérivée partielle par rapport à y est:

LA) = xeŸ + 2y — x —3.

of On constate que f(0, 1) = 0 et que ay

1)=-—1+#0.

Le théorème des fonctions implicites s'applique et il existe un intervalle ouvert 1 contenant 0, un intervalle ] contenant 1, une fonction g : I — ] de classe C® telle que, pour (x, y) € 1 x ], on ait:

EŸ + y? — xy — y +2x =

1

> y= (x).

La fonction g étant de classe C”, elle admet un développement limité au voisinage de x = 0 à n'importe quel ordre. La partie principale de son développement limité à l'ordre 2 est :

1 +xy/(0) + JO. Il nous faut calculer y’(0) et y//(0). On obtient y/(x) au voisinage de x = 0 en dérivant par rapport à x la relation f = O, y étant fonction implicite de x:

ye”Ÿ + xe y + 2yy — y — xy — 3y +2 =0. On obtient y/(0) en remplaçant x par 0 et y par 1:

1+2y/(0) — 1 — 3y/(0) +2 = 0 soit y/(0) = 2. Dérivons une fois de plus la relation ci-dessus, y étant fonction implicite de x:

y'e" + 12e% + xyeVy + eV + x te)

+2? + 2yy" y — y — xy" — 3y" = 0

On obtient y”(0) en remplaçant x par 0, y par 1 et y/ par 2:

2+1+2+8+27(0) —2 — 2 — 3/(0) =0 soit y”/(0) = 9.

TD 3 + Calcul différentiel

59

Ainsi la partie principale de développement limité l’ordre 2 de y est:

1+2x X + Remarquons que le terme

d

Re

9 5%

2x2.

)n’a pas été développé. C'était inutile car, en

facteur de x dans la relation, il disparaît pour x = 0. Par contre, si on avait besoin du développement limité à l’ordre 3, il faudrait le calculer.

21> Soit f la fonction définie par f(x, y,z) = x +1y+2+sinxyz. Cette fonction est de classe C® et sa dérivée partielle par rapport à z est:

() “es y,Z) = 1 + xy cos xyz. Ô . (0,0, 5) = 140, le théorème des fonctions implicites s'applique et il À T : existe un U contenant (0,0), un intervalle ] contenant —, une fonction g : U — ] de

Comme ;

classe C® telle que, pour (x, y,z) € U X J on ait:

x+y+z+sinxyz = 0 0et T'si x < 0. Commentaire. Montrer que seules les deux premières fonctions obtenues sont de classe C2.

L Extrema

_des fonctions

é

L'ESSENTIEL DU COURS

1.

Résultats fondamentaux

1.1

Extrema d'une fonction

Définition 1

Soit f : D — R une fonction définie sur une partie D C R”. tout On dit que f admet un maximum (resp. un minimum) au point a € D si pour x € D on a f(x) < f(a) (resp. f(x) > f(a)).

a € D si On dit que f admet un maximum local (resp. un minimum local) au point

fx) < f(a) on peut trouver un nombre r > 0 tel que x E D et |x — al] < r entraîne

(resp. f(x) > f(a)).

1.2 Fonction continue sur un compact Théorème 1

de R”. Alors f admet un Soit f : D — R une fonction continue sur un compact D maximum et un minimum sur D. délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

62

.

TD Fonctions de plusieurs variables

1.3 La formule de Taylor! Théorème 2

Soit f : U —R une fonction de classe CK*1, (k > 1) sur un ouvert U de R'. Soit a = (4, :::,4n) et

b=a+h={(ai+h,:..,an+h1)

deux points de U tels que le

segment d'extrémités a et b soit contenu dans U.

Alors il existe un nombre @ compris entre 0 et 1 tel que:

FO — F0) = GO) + He

(0)+

+

0) (D 71 D SL 1

Recherche des points critiques

0

0

On cherche tous les points vérifiant Den Ôx1 he” délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

64

-

>

TD Fonctions de plusieurs variables

Étude des points critiques Pour chaque point critique on détermine s’il s’agit d’un extremum, soit par l’utilisation de la forme quadratique associée à f quand c’est possible, soit par des observations sur l’origine du problème (existence à priori d’extrema), par l'étude des symétries éventuelles de la fonction... Il n’est pas possible de donner une méthode conduisant infailliblement au résultat.

3.

Extrema liés Dans cette section on s'intéresse toujours à une fonction de plusieurs variables qui ne sont plus indépendantes, mais assujetties à vérifier une relation de la forme g =0. La fonction g est appelée contrainte.

3.1. Fonction de deux variables : condition nécessaire d'extremum

Définition 2 Soit f:U—R et g:U — R deux fonctions de classe C1 sur un ouvert U de R?. Soit (a,b) un point de U tel que :

1) f soumise à la contrainte g(x, y) = 0 admet un extrémum au point (a, b),

2) grad e(a, b) + 0. Alors il existe un nombre réel À tel que

grad f(a, b) = À grad g(a, b).

Les nombres a, b, À sont solutions du système :

of D)—X ax 08 b) xt

of

Re

Sal ee)

g(a,b)

ds=

0

= (0

=0

En résumé, partant d’un problème à deux inconnues, coordonnées

(a,b)

d’un

point réalisant l’extrémum, on rajoute une inconnue auxiliaire et on est amené à résoudre un système de trois équations à trois inconnues 4, b, À. L'inconnue À est appelée multiplicateur de Lagrange! et la méthode mise en œuvre, méthode des multiplicateurs de Lagrange.

1. JosEPH LAGRANGE né à Turin (Italie) (1736-1813). Il fut professeur à Turin, à Berlin en

1766, puis à Paris en 1787. Il a donné au calcul des variations sa formulation générale et

appliqué ses méthodes en mécanique dont il a fourni un exposé systémat ique basé sur les équations différentielles. On lui doit d'importants théorèmes de théorie des nombres et un mémoire sur la théorie des équations qui prépare l'algèbre du siècle suivant. Il contribua aussi à la création du système métrique.

TD 4 e Extrema des fonctions

65

Comme pour la recherche d’extrema libres, il convient d'étudier la fonction f au voisinage de chacune des solutions issues du système précité; les mêmes conseils sont valables. On peut aussi utiliser la forme quadratique associée à f au point considéré, mais en tenant compte de la contrainte ; c’est-à-dire en considérant un accroissement dans une direction tangente à la courbe g(x, y) = 0 (voir exercice 14).

3.2 Fonction de trois variables : condition nécessaire d’'extremum

Définition 2 Soit f: U —R

et g: U — R deux fonctions de classe CT sur un ouvert U de R$.

Soit (a, b, c) un point de U tel que :

1) f soumise à la contrainte g(x, y, z) = 0 admet un extremum au point (a, b, c), 2) grad g(a,b,c) +0.

Alors il existe un nombre réel À tel que

—

+

—

gradf(a,b,c) = \gradg(a, b, c).

Les nombres a, b, c, À sont solutions du système :

of b,c) = ax 08 ax

= b,c)=0

ve b,c)—À dar b, c) =

0y

0y

of az

08 b,c) — À A

b, c) =L

g(a, b, c) =

?

POUVEZ-VOUS RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 68)

1. On considère la fonction définie par f(x, y) =

XY

(y+1P

+ Montrer que f admet un

maximum et un minimum sur le domaine D = {(x,y); x?

a) Les points critiques sont solutions du système :

of CE à

X

Li =2y=0

0y

Le

—

=

3

=

Pare

Seule l’origine est un point critique. Calculons les dérivées secondes de la fonction :

free

ste»

Te

Op

‘

Pan a are Or

072

’

Ox0y

Oyoz

Ozx

La forme quadratique associée à fen (0,0) est Q(h, k, 1) = 2(h? +k2). On obtient directement une écriture canonique sur laquelle on constate que la forme

quadratique n’est pas définie (nous sommes en dimension 3), mais qu’elle est positive ou nulle. La condition suffisante d’extremum rappelée en cours ne s'applique pas. Par contre il est facile de voir que l’origine n’est ni un minimum local, ni un maximum local car f(0,0,z) = z° est fonction impaire de z et peut prendre des valeurs positives (c'est-à-dire supérieures à f(0,0,0) = 0) ou négatives (c’est-à-dire inférieures à f(0, 0,0) = 0) dans toute boule centrée à l’origine.

b) Les points critiques sont solutions du système : xri0

of

TA

an

ÔfLA hs

D Tape Seule l’origine est un point critique. Calculons les dérivées secondes de la fonction :

DT us RE Re

PR

0x2

5

en

dy?

gp

:

Eh

ET

0z2

T

2

22

:

Ox0y

Oyoz

TD 4 e Extrema des fonctions

71

La forme quadratique associée à f en (0,0) est Q(h,k, 1) = 2(h? +K2). On obtient la même forme quadratique que dans l'exercice précédent.

La condition suffisante d’extremum rappelée en cours ne s'applique pas. Par contre il est facile de voir que l’origine est un minimum global car f(x, y, z) > 0 = f(0, 0, 0) pour (x,y,,2) # (0,0, 0). Commentaire. Cet exercice, et le précédent, montrent les limites de l'utilisation de la forme

quadratique associée à la fonction, et l'importance de la notion de forme quadratique définie. 6»

Faux: en effet se déplacer le long d’une droite revient à appliquer la formule de Taylor, et on sait qu’elle ne donne qu'une condition suffisante d'extremum. Voici un exemple pour illustrer ce fait. Soit la fonction définie par f(x, y) = y(y — x) 0 Ses dérivées partielles sont of = —2xy et 4e D X + y =2y — x? et l'origine est un point critique. 0x dy Comme f(0,0) = 0, l'étude d’un extremum revient à chercher le signe de 15 Il convient de raisonner graphiquement. Traçons la parabole d’équation y=x" et la droite d’équation y = 0.

y

On trouve que f(x,y) est positif quand le point (x, y) est au-dessus de la parabole ou bien au-dessous de l'axe des x, et négatif entre la

parabole et l'axe des x. On remarque que toute boule de centre l’origine contient des points où f(x,y)>0 et des points où HET

fr y) CD}

++++

|

L'origine ne

peut être

ni un maximum, ni un minimum.

Étudions maintenant f sur la droite d’équation y = 4x. Ona£

f(x, y) = ax(ax — x2) = ax2(a — X).

m Si a 4 O on constate que f(x, ax) est positif pour —4 < x < 4, il y a bien minimu local pourx = 0. Si a = 0 alors f(x, ax) = 0; on a encore un minimum. Pour la droite x = 0, f(x, y) = f(0, y) = y?; on a encore un minimum. issue de l'oriL’explication de ce paradoxe apparent est le fait suivant : toute droite région où une dans donc , parabole la de gine, de pente positive, est située au-dessus fait. ce voir peut ne on , parabole la mal f est positive. Si on dessine 7>v

Calculons f(t, u):

fu) = (@u+1—(É—1))2+(2u — (+ L)}2(u = (u— +2) + (Qu —t— 1) +(u 1). délit. photocopie autorisée est La Dunod. ©un non

6)?

72

TD Fonctions de plusieurs variables

Recherchons les points critiques. Le système

Dm Qu u

=

H+2)-22u 1-1)

Au —#=0

2(u—-1t+2)+4Q2u-t-1)+2(u-t)=0

s'écrit:

Au —3t+1=0 Eu —4t=0

qui a pour unique solution { = 3 et u = 2. On peut envisager à ce niveau trois façons de terminer l'exercice.

° Première version

Calculons la forme quadratique associée à f au point critique ; on obtient : 2 LR

or

2 ;

LS:

du?

2 ;

a

tou

=

—8

d’où la forme quadratique Q(h, k) = 6h? — 16hk + 12K2

16 p 2 QU, k) = 6[h? — ©HE + 2] = 6[(h — SH? e se +26] = 6[(h — 34) + St] Cette forme quadratique est définie positive, par suite la fonction admet un minimum en ce point. On ne sait pas si ce minimum est local ou global. + Deuxième version Il est immédiat que f(£, u) > 0 ; ainsi la fonction est minorée mais on ne sait pas si inf f(f, u) est une valeur prise par f, c’est-à-dire s’il s’agit d’un minimum. (t, u)eR? Par contre f n’est pas majorée car, si on fixe # par exemple et si on fait tendre # vers l'infini, f(£ u) tend vers l'infini. Plus précisément, montrons que pour tout réel À > 0 il existe un réel B > 0 tel que:

[tl>B et [> B=— f(t,u)>A. Considérons les minorations:

fEu)>(u-t#}

et

f(hu)>(2u—++2ÿ.

Il suffit de montrer que |u — t| ou |2u — t+2| est supérieur à VA. Si t et u sont tels que |u — #| < VA, alors pour [u| > 3VA :

PQu—f+2|=lu-f+ut2] > N#2l- 1121231420

4204:

Il n’est pas restrictif de supposer À > 1 de sorte que, en prenant B = 3VA la relation [| > B et |u| > B entraîne, ou bien ft —u] > VA, ou bien [2u — +2] > VA.

Commentaire. Le point essentiel dans ce qui précède est l'indépendance des formes linéaires définies par u — t et 2u — t, qui peuvent prendre des valeurs arbitraires.

TD 4 e Extrema des fonctions

73

Ce que nous venons d'établir prouve que, pour la recherche de la borne inférieure de f, on peut se limiter à un compact de la forme [—B, B] x [—B, B]. Comme f est continue, elle admet sur ce compact un maximum qui ne nous intéresse pas, et un minimum. Autrement dit la borne inférieure de f est un minimum.

Comme il n’y a qu'un point critique, ce point critique est le minimum. Il n’est alors pas nécessaire de recourir à l'étude de la forme quadratique. e

‘Troisième version

On sait par l'étude de la géométrie que deux droites dans l’espace ont une perpendiculaire commune qui réalise le minimum de distance M(f)N{(u). Par conséquent le point critique réalise ce minimum.

Commentaire. On peut penser que la deuxième version est un peu compliquée pour cet exercice. Mais elle a le mérite de s'appliquer à de nombreuses situations et peut éviter des calculs parfois difficiles de formes quadratiques. Il s’agit d'étudier le carré de la distance de l’origine à un point de la droite d’équation x +27 = 2. On sait que f va avoir une valeur minimum qui est la distance de l'origine à la droite. Appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. gx, y) = x + 2y — 2 et le gradient de g n’est jamais nul.

La contrainte

est

Si (x, y) réalise un extrémum de f, il existe un nombre À € R tel que (x, y, À) soit solution du système : à :

ÉTONAE ER Ôx

DEL

ox

Of

0g

NSP 0y dE

y

NIET

ax, y)= x +2y —2=0Û

Ce système est équivalent au système suivant : y = 2X

y=À x+2y =2 La première et la troisième équations donnent pour unique solution 2 & X=DYTE =

—

5

=

—

=

Ne

Ce point ne peut être que le minimum de f. Sa valeur est

16 20 eus 4 1 Men EM ETS

Questions de réflexion 9 >

La fonction f est de classe C® des variables a et b.

Ses points critiques vérifient : i=n

Ÿ - 2) ai = (ex+D=0 à

i=n

À - 2 lu(ex +0 photocopie Dunod. autorisée délit. ©est La non un

74

TD Fonctions de plusieurs variables

système équivalent à :

ANR PES RENE DD

+ bn= SN y

En statistique, on enseigne que ce système a une seule solution qui correspond àà un

minimum pour la fonction f (cf. exercice 15 ci-après).

10> Le carré de la distance du point À à un point M € C de paramètre t a pour valeur ce

———>

——

0

— AM)

AMI? = AM - AM. Sa dérivée par rapport à f est : dd # 5 (AMI)

— (||AMIS)

= 2AM : — (AM). ——

Puisque Mo réalise le minimum des distances ||AM||, son carré d? est aussi minimum pour f = to, sa dérivée en t9 est donc nulle. Ce qui s'écrit: a

Cl

AM : a; AM)Go) =(. d ——

Le vecteur a (AM) a pour composantes :

d d (LGD-D=x 0 LUO-D=yO:

LEO -0=70).

——

On sait que c’est le vecteur tangent T(f) en M à la courbe C. En appliquant ceci pour t=tp

on trouve: ———

—

AM : (to) = 0. +

Ainsi AM

est normal à C en Mb.

Entraînement 11> Commençons par déterminer les points critiques de f. On les obtient en résolvant le

système:

D mx +y+2

= 0

=D +x+z2=0

D 2r+y—4

=0

équivalent au système :

Diese 4MON CR DR. À

TD 4 e Extrema des fonctions

75

: | 3 qui admet pour unique solution x = ETS

l, z= -Il n'y a qu'un point critique.

Déterminons la forme quadratique associée à f en ce point :

LE ou RE 0x2 ‘ y

pe A010 NE à.

PORT

\Dide,

entà)eRL

La forme quadratique associée est Qf(h,k, 1) = 2(h2 +k2 +

OR .

OVDE à

+ hk+k).

On retrouve bien entendu, au coefficient 2 près, la partie homogène de second degré de f, que nous mettons sous forme canonique : k\) Eh

2 Ke [rock Poe R FA_2

k2

k

J=2çu+ RP +++

2.

€).

Cette forme quadratique est définie positive. Par suite le point critique réalise un minimum pour la fonction f. 12» La fonction est définie sur IR? et de classe C®. Cherchons les points critiques. Ils sont solutions du système :

. = 2x" Ÿ + (x2+2)2x)e"Ÿ = 0 à = 2ye* Ÿ + (2 + ÿ2X—2y}e%

Ce système est équivalent au système:

Ÿ = 0

x(1+22 + y) =0

y

—y)=0

La première équation a pour unique solution x = 0. En reportant cette valeur dans la deuxième équation on obtient y = 0 ou y = 1 ou y = —1; ce qui donne trois points critiques : (0,0); (0,1); (0, — 1). e Étudions le point (0,0). On observe que f(x, y) > 0 et que f(x, y) = 0 si, et seule-

ment si, x = 0 et y = 0. L'origine est donc un minimum absolu pour f. ° Étudions le point (0,1). Le calcul des dérivées secondes de f donne :

9?f

QD

4

=

e

vf (0, 1) 04% d°f (071

—4 4 e

4 est défiLa forme quadratique asssociée à f en ce point est Q(h,k) = AU — 2). Elle en ce nie, mais ni positive, ni négative. La fonction n'admet pas d’extremum local point.

n. ° Les calculs sont les mêmes au point (0, — 1) avec la même conclusio

et que, quand 13> a) On constate que quand x tend vers +00, y =5s — x tend vers —0o xy tend vers = y) fx, cas chaque Dans +00. vers x tend vers —0, y =s — x tend +y=s. x on d'équati D droite la sur minorée pas n’est f —00 ; ainsi

que |x| < B Plus précisément, pour tout nombre À > 0 il existe un nombre B > 0 tel entraîne f(x, y) < —A.

par exemple Si on prend À tel que —A soit inférieur à une valeur prise par f sur D, délit. photocopie autorisée La Dunod. ©un est non

76

.

TD Fonctions de plusieurs variables

s—1=/(1,(s — 1)), alors pour la recherche d’un maximum de f sur D on peut se limiter aux points de D tels que -B 0 et x +17 < 0, étudier les extrema de f(x, y) = [x +1|. Réponse : f a un maximum quand les nombres sont égaux.

14» Appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Le gradient de la fonction

contrainte est le vecteur (1,2) qui ne s’annule pas. On sait que si (x, y) réalise un

extremum de f, il existe un nombre À € R tel que (x, y, À) soit solution du système :

Le

HR y 0 Ga

Ô

()

AN

Dx

= —2x

ma U

Es

En

y

Po)

x +2y =2

gs, y)=x+2y=2 La première et la troisième équations donnent

x = — =y = := —À, Si f a un maximum ou un minimum, même local, ce ne peut être qu'en ce point.

Étudions f autour de ce point. Posons y = 3 Htalors

1-2

8 3 —2t= 7)

2 4 pe f(x, y)

f(

3

3) 7

(

3

re — 2t. On en déduit: 2 21)

4 me he

»

24 MEdre

On constate que cette différence est positive quel que soit +. Le point est un minimum global.

TD 4 e Extrema des fonctions

77

15» L'existence d’une seule solution pour ce système repose sur le fait que son déterminantD, =n + # = (ÿ> 2) soit non nul. Comme les données sont expérimentales, la nullité éventuelle du déterminant n’a pas grande signification car sa valeur peut varier, par exemple en modifiant l’un des x; dans la limite des erreurs de mesure. De mémoire de stastistitien on n’a jamais vu un tel déterminant nul. Ce qui peut se comprendre car la corrélation linéaire est mise en œuvre quand les points expérimentaux paraissent alignés.

Du point de vue d’un mathématicien, ce n’est pas un argument suffisant. En fait on peut montrer par récurrence que ce déterminant D,, est strictement positif si au moins deux points ont des abscisses différentes. Si ce n’est pas le cas, alors, de toute façon, les points sont parfaitement alignés. Le problème n’a d'intérêt que si n > 2. Prenons le cas ñn = 2, alors:

D += 2x7 + 22) — (1 + 22) D = (x1 — x2Ÿ. On voit que D) > 0 si x1 # X2, ce que nous supposerons désormais.

Supposons la propriété D,_1 > 0 vraie pour n — 1 et considérons D, = nf

+

+xé

+2)

Gate

+1

= n(ai+... +14 1)+nx re 90

= (n—1)2+... +22) ++.

Han) he

tn 1)

(+

+25 1)

+2 1) +nxé

— 92 = Drnfrs +

+1) — Gi +

+40

Par hypothèse de récurrence (n — 1h10 Her Ki — (x +... + x1_1) >0 Dy >

2

++

2

+(n-2k5 +

2

1).

donc:

1 1) + +Xh — 2xn(x

= (pe

Han 1— %n) + (n — 2}.

En résumé D, > (0.

Ainsi on a un seul point critique. On voit tout de suite que f n'est pas majorée car f(a, b) tend vers l'infini si b étant fixé, on fait tendre a vers l'infini. Pourquoi s’agit-

il d’un minimum ?

sur Supposons encore que deux des x; sont différents (sinon les points seraient tous une droite verticale et l’expérimentateur n’a pas besoin d'entreprendre le moindre calcul de corrélation). Par exemple x1 # x2. Alors on a les minorations :

fab) > Ba — Ga +)

et f(a,b) > [ya — (exo + D.

de la En procédant comme dans l'exercice 7 on peut affirmer que pour la recherche [—B,B]. x B] [—B, forme la de borne inférieure de f, on peut se limiter à un compact nous intéresse Comme fest continue, elle admet sur ce compact un maximum qui ne un minimum. pas, et un minimum. Autrement dit la borne inférieure de f est

délit. photocopie autorisée La Dunod. ©un est non

. Il n'est alors Comme il n’y a qu’un point critique, ce point critique est le minimum justification une a ni que, quadrati forme la de l'étude à pas nécessaire de recourir statistique de véracité.

TD Fonctions de plusieurs variables

78

16»

a) Soit { un paramètre sur

C et u un paramètre sur C’. Le carré de la distance du

point M au un point M' a pour valeur |MM|f1112 = MM

/

: MM. /

——

Puisque le couple (Mo, M1) réalise le minimum des distances ||MM||, d? aussi est minimum. C’est une fonction différentiable

des variables f, u; on a donc:

0d2 — 0 — “ x (Couo) = 2MoM, : 3: MoMo)(to, u0) = 0 dd?

a

RO

au Vo uo) = 2MoM : 33 (MoMo)(to, u0) = 0

i

——

c'est-à-dire que le vecteur MoM,, est normal à la fois au vecteur tangent en Mo à C

et au vecteur tangent en MY à C’. b) Soit M un point de la surface. Ses coordonnées sont de la forme ——

———>

——

(x, y,f(x, y)).

,

Comme ci-dessus, ||AM|? = AM : AM est une fonction différentiable du couple (x, y), qui admet un minimum en un point Mo € S de coordonnées (xo, yo). Ses dérivées partielles en ce point sont donc nulles :

| AM|2 ER RNER a —@0:0) = 2AMo - DE= (AM)(x0, yo) = 0 à AM

2

—

Ô

TEL (60Yo) = 2AM : Er Les composantes

du vecteur

—

yo) = 0

0 —— Of 3x AMo)(xo, Yo) sont (1,0, 3x C0 yo)) et celles du

0 — Of vecteur ay(AMo)0. Yo) sont (0,1, ax F0 yo)). On sait que ces deux vecteurs définissent le plan tangent à la surface en Mo. ee —

Nous venons de prouver que le vecteur AMQ est normal aux deux vecteurs cidessus. Il est donc normal au plan tangent c’est-à-dire à la surface.

of = 2xy et —EE = x" + 17 » a) Calculons x “ 0y DE

Ces deux fonctions sont bien nulles à

l'origine. On peut ajouter que l’origine est le seul point critique de f.

b)

La

fonction

ga

est

définie

par ga(x, y) = ga(x, ax) = ax° + In(1 + a2x2). On voit que g4(x, y) s'exprime au moyen de la fonction @ : x ++ ax° + In(1 + a2x2). Comme f(0,0) = g4(0, 0) = 0 il s’agit de montrer que g4(x, ax) = (x) est positive au voisinage de zéro. Nous allons chercher un développement limité de @ et étudier le signe du terme de plus bas degré non nul de son développement limité. Le développement limité à l’ordre 1, In(1 +) = u + e(u)u donne un développement

limité à l’ordre 2, In(1 + ax?) = 2x2 + e1(x)x2, qui est, en fait, un développement

limité à l’ordre 3 car la fonction considérée est paire.

On en déduit le développement limité à l’ordre 3: (x) = a2x2 2 + ax + ep(x)x.

TD 4 e Extrema des fonctions

79

On voit ainsi que g4 est positive sur un voisinage de l’origine.

Pour l’axe des y, f(x, y) = f(0, y) = In(1 + y?) est bien positif sauf pour y = 0. c) L'étude du signe de f va impliquer la détermination de l’ensemble des points où f = 0, que nous avons déjà rencontré à propos de l'exercice 15. Il s'agit de la réunion de l’axe des x et de la courbe F, symétrique par rapport à Oy, et donnée pour x > 0 À.

par la représentation paramétrique

MEL LIL

LE Do

ee

| y = —t) ; t E]0, o.

L'axe Oy et la courbe T déterminent trois zones dans le plan.

* TET

Pour y > 0 on voit immédiatement

que f(x,y)=x2y+In(1+y2)

est

positif.

Soit un point (x, y) avec y < 0 et x > 0 non situé sur Let soit x, > Ü tel que (xc, y) € T.. Alors:

f(x, y) = 22y + In(1 + y?) = x2y + In(1 + y) — 0

fu) = y + In(1 + y?) — Déy +In(1 +) = (x

-

les On voit que f est négative à droite de T° et positive entre T et l'axe des y. On a mêmes

région conclusions pour x et Xo négatifs. En résumé f est négative dans la

comprise entre l’axe de x et la courbe T et positive ailleurs. où Toute boule centrée à l’origine contient des points où f est négative et des points local. extremum un pas n’est L'origine f est positive. nt pério18> Remarquons que la fonction est de classe C® sur R° et qu'elle est doubleme R°. € y) (x, tout pour y) f(x, = 2In) dique, c’est-à-dire que f(x + 2kr, y + Sur un tel Il suffit donc d'étudier f sur n'importe quel carré fermé de R? de côté 27. au moins un carré, qui est compact, on peut affimer que f, continue, admet

maxi-

mum et un minimum qui seront des extrema absolus pour f.

Remarquons aussi que f(—x, — y) = f(x, y). UETE TER Il nous suffira donc d'étudier f sur le rectangle R = HOUA [-R FA. FAX En, carré au pour reconstituer l'étude par symétrie

Tr}

: Cherchons les points critiques. Ces points sont solutions du système Of =Cos x + _. cos(x + y) = 0 —

+ y) = 0 Ÿ =cos y + COS(x

0y

cos X = —COs(x +1)

DT

ions : La deuxième équation possède deux types de solut on, donne : a) D'une part y = x +2kn, reporté dans la première équati cosx =-cos2x, délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

2mn soit cosx = cos(2x +7); d’où les solutions x=2x+7m+

et

80

TD Fonctions de plusieurs variables

=—2x-n+mTm.

En ne gardant que celles pour lesquelles 0 < x < 7, on trouve

TT

x=7metx = —etencore X = nr. Les valeurs de y correspondantes sont y =

TT

et y = 3

b) D'autre part y =—x+2k7,

qui

reporté dans la première équation donne cosx =—1 soit, däns le rectangle R, x=7 et ensuite

y = —T. En résumé,

on trouve trois points T T

dans R qui sont (4 (A, — n). En

prenant

3)

(r, TT) et

les symétriques

par

rapport à l’axe des y, cela nous donne six points. Nous savons que parmi ces points l’un au moins réalise un maximum et un autre un minimum pour f. Calculons les valeurs de f en ces points:

far +m=0; f(55)-

V3. D

We

V4

HER

LT

3V3

er

Ce ne peut être que Œ 2)qui réalise le maximum de fet + #5 7)le minimum. Reste à étudier si les autres points critiques peuvent correspondre à des extrema locaux.

Le calcul des dérivées secondes est inopérant, car ces dérivées sont nulles, ce qui peut se comprendre car, à partir du point (7, x) il y a deux directions dans lesquelles fne varie pas. Posons x = y, alors: f(x, y) — f(n, n) = 2sinx + sin 2x = 2sinx + 2sin xcosx = 2sin x(1 + cos x). f(x, y) — f(x, n) s'annule pour x = nr etest du signe de sin x, c’est-à-dire positif pour x < 7 et négatif pour x > x. Le point (x, x) n’est donc pas un extremum local. On ferait la même étude pour les autres sommets du carré.

19 > Il s’agit d'étudier le carré de la distance de l’origine à un point du plan d’équation X +7 +2 = 1. On sait que f va avoir une valeur minimum qui est la distance de l’origine à ce plan. Appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Remarquons tout d’abord que le gradient de g, qui a pour valeur (1,1, 1), ne s’annule jamais.

TD 4 e Extrema des fonctions

81

On sait que si (x, y,z) réalise un extremum de f, il existe un nombre À € R tel que

(x, y, z, À) soit solution du système:

dfutreGa Gr La Ôx Ôx

EE 0y

Ôy

of

dg

men

rs

0

0

“niet M

2x

\

—

= —À

FA Z=X

x+y+z=1

ren

gx Y,z)=x+y+z=1 On obtient immédiatement pour seule solution x = Yy=2=

:= à:

Ce point ne peut être que celui réalisant le minimum de f qui vaut a" 20> a) La fonction f s’annule sur les axes de coordonnées et sur la droite D d’équation 1+x+y=0.

Comme x?y° est toujours positif ou nul, f(x, y) sera positif pour les points situés audessus de D, et non situés sur l’un des axes, et négatif dessous de D, et non situés sur l’un des axes.

pour les points situés au-

b) Déterminons d’abord les points critiques de f. Les coordonnées de ces points sont

solutions du système :

Ô . = 2xy?(1 +x+y) +22 = xy?(2 + 3x + 2y) = 0

. = 2x2y(1 + x + y) + x2y2 = x2y(2 + 2x + 3y) = 0 dont les solutions sont, d’une part les points des axes de la forme (0,v)ou (u,0), et

d'autre

part

le point

dont

les

CORP QTRSS 2 2 + 2x + 3y = 0, c'est-à-dire le point À = C3 —

vérifient

2+3x+2y=0

et

5)

Pour un point de la forme (0,v) on remarque que f(0, v) = 0, l'existence

d’un extremum dépend du signe de f(x, y) au voisinage de (0, v).

L'étude faite à la question précédente montre que si v>—1, f(x, y) > 0 =f(0,v) au voisinage de (0,v); f admet

donc un minimum

local en chacun de ces points. De même,

si v 0;y > 0}.

|; Sd

5x.

On considère dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormal l’ensemble A délimité par les courbes d'équations : XEY=2

;

XFY=3

;

xÿ=

NI

a) Montrer sans calcul que | Je — y) dxdy = 0. b) Soit D l’ensemble des points de A tels que y > x. Utiliser le changement de variables défini par x+y=5s,xy =p pour calculer : I = Î] (x — y) dxdy.

D

c) En déduire Î/,s — y| dxdy.

d) Que se serait-il passé si on avait voulu faire le changement de variable directement sur À ? Analyse de l'énoncé et conseils. Pensez à mettre en œuvre la symétrie du domaine d'intégration. Pour le changement de variable, on observera qu'il n’est pas donné comme dans le cours car on ne dispose que de l'expression des nouvelles variables en fonction de x et y. Il arrive parfois que le changement de variable se présente naturellement sous cette forme. Souvenez-vous que le théorème des fonctions in-

verses permet de calculer tion de s et p.

D

Gy) sans qu'il soit nécessaire de calculer x et y en fonc-

D(s,p)

TD 5 e intégrales multiples

93

SOLUTIONS

Pouvez-vous répondre ? 1» La fonction proposée est continue en tout point (x,y) du carré tel que x + y. L'ensemble des points de discontinuité de cette fonction est le segment y = x,0< x < 1, arc de courbe de classe C®, donc un ensemble

d’aire nulle. En

conséquence la fonction est intégrable.

2> Le domaine

D est quarrable car sa frontière est de classe C1 par morceaux. On

remarque que D peut être défini par D = {(x,y);

0x+e. L'image par @ de D est: 2 €2 S 1

Di(e)= {sp}; 2 0 tel le complémentaire dans À de AN D soit constitué de deux composantes connexes par arcs, l’une formée de points intérieurs à D, l’autre de points extérieurs à D.

M

D

Théorème 4

Soit w = P(x, y) dx + Q(x, y) dy une forme différentielle de degré 1 de classe C1 sur

un ouvert U du plan euclidien orienté. Soit D un compact à bord contenu dans U,

dont la frontière est orientée comme bord de D. On a alors la relation :

AU [rene

()

+annay

AUS IA

Ur

dy” ox)

9

POUVEZ-VOUS RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 113)

À. Dans chacun des cas suivants, dire si la forme domaine de définition :

a)w=xdx+ydy

;

b) w=xdy+ydx

;

w est fermée, exacte sur son

c) —w = x dy — ydx.

Boulanger de profession, 1. GEORGE GREEN né à Nottingham (Angleterre) (1793-1841). connu en 1846 lors de (surtout ouvrage un 1828, il s'initie seul aux mathématiques. En trouve aussi

nom. On y sa réédition) contient le théorème et la fonction qui portent son tion en électricité l'utilisa per dévelop va il pour la première fois le mot potentiel, dont sme. statique et en magnéti

délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

TD Fonctions de plusieurs variables

110

. On considère la forme différentielle : 3

w = (1+y)2 dx + Ésvi Fy+2) dy. Étudier l'existence de primitives de w. - Résoudre l’équation différentielle :

3 (1+7y)2 + avi +y+ V = 0. . On considère la forme différentielle :

w = 2xydx + (x? + y?) dy. Calculer l'intégrale de w le long des arcs orientés qui suivent. a) Segment d’origine O = (0,0) et d'extrémité À = (1,1).

b) Arc de parabole d’équation y = x? du point O = (0,0) au point À = (1,1). c) Appliquer la formule de Green-Riemann au domaine plan D délimité par les arcs ci-dessus. Que peut-on en conclure ? «. Le raisonnement suivant est-il juste ? Considérons la forme différentielle

w =

x dy — y dx

en coordonnées polaires.

Ona

x=rcos@

et

dx = drcos6 —rsin6d8 On obtient

y=rsin0, et

x2 + 2

et passons

Vrai

Faux

O

O

donc:

dy=drsin0 +rcos6d@.

w = d@. Par suite w est exacte.

Le

QUESTIONS DE RÉFLEXION

. Que signifie la terminologie «de degré 1» ? La terminologie laisse entendre qu'il existe des formes différentielles de degré autre que 1. En effet, soit w = P dx + Q dy est une forme différentielle de degré 1. C'est un objet mathématique défini dans le plan, et à l’aide duquel on calcule des intégrales curvilignes, qui sont des intégrales simples le long d’une courbe, et une courbe est un objet de dimension 1. à

111

TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes

Intégrer directement une fonction f le long d’une courbe C n’a pas de signification. En général, on fait appel à son élément de longueur ds qui est une forme f ds, intégrale de la forme f ds. différentielle particulière et on calcule de @ Il est naturel de calculer des intégrales sur une surface de l’espace, par exemple le calcul du flux d’un champ de vecteurs à travers cette surface. On introduit

l'élément d’aire dans les cours de physique. On sait construire des objets mathé-

matiques qui permettent de définir correctement l'élément d’aire (c’est-à-dire de manière à pouvoir calculer effectivement l'aire d’une surface), mais qui ne se limitent pas à cela. Comme les surfaces sont de dimension 2, les objets en question sont des formes différentielles de degré 2. Ainsi de suite en toute dimension.

Singularité d'une équation différentielle w = Pdx + Qdy = 0 Nous savons que si la forme différentielle w admet une primitive f, et si elle ne s’annule en aucun point, les courbes intégrales de l'équation différentielle sont les courbes d’équation f(x, y) =cte.

Si en un point (4, b) la forme s’annule, peut-on négliger ce point comme cas particulier ? ce La réponse est non. Plusieurs courbes intégrales peuvent se prolonger en x nombreu de point qui, dans de nombreux cas, joue un rôle majeur dans l'étude

phénomènes. Un tel point peut être le siège d'un changement de morphologie.

ENTRAÎNEMENT

é

po

SE

(Réponses à la fin du chapitre, page 116)

8. On considère la forme différentielle w = 2xy dx + (x? +2 . #2) dy. a) Montrer que w a des primitives sur R?. Les calculer.

me du cours sur la forme des b) Comme la forme s’annule à l’origine, le théorè

aire de l'origine. Étudier courbes intégrales ne s'applique que sur le complément qui se prolongent à l'orine l'origi celles des courbes intégrales au voisinage de gine.

d:

D. Montrer que les coorSoit D un compact à bord du plan. On note À l'aire de es par la formule : donné sont D de de gravité G données (xc, ya) du centre

1

2 G

délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

2A

0D

y

2A

2) Pa

y

112

5

TD Fonctions de plusieurs variables

la frontière 0D de D étant orientée comme bord de D. Utiliser cette propriété pour calculer : a) le centre de gravité d’un demi-disque de rayon R,

b) le centre de gravité d’un quart de disque de rayon R. Analyse de l'énoncé et conseils. Soit 1 la masse de l’unité d’aire. On sait que le centre de gravité de D est donné par la formule vectorielle :

u À 06 |] om u dxdy D où O est un point quelconque, par exemple choisi pour origine, et M le point de coordonnées (x, y) parcourant D. En projetant sur l’axe des x on obtient : Axc = ]] xaxdy

D

et

re = x ffxéxav

AJJD

de même pour yG. Le reste est affaire de formule de Green-Riemann.

Pour les questions a) et b) on choisira un système d’axes le plus commode possible et on pourra penser à paramétrer un demi-cercle à l’aide de fonctions trigonométriques.

10

Soit fet g deux fonctions de classe C1 de [0,[ dans R. On considère la forme différentielle :

w = x f(x? + y?) dx+ yg(x? +2) dy.

a) Peut-on choisir f et g de sorte que w soit fermée ? Si oui, déterminer des primitives de la forme w en précisant leur domaine de définition.

b) Montrer que la forme différentielle w admet le facteur intégrant À = Lie c) Déterminer alors les primitives de la forme w en précisant leur domaine de définition. Analyse de l'énoncé et conseils. La fonction f est fonction d’une variable, par exemple u + f{u), et f(x? + y?) signifie que l’on calcule f(u) pour u=x?+12. Il faudra appliquer soigneusement les règles de dérivation des fonctions composées en écrivant la condition traduisant le fait que la forme est fermée. On demande de déterminer les primitives de w. Ces primitives devront être décrites à partir de f et g. Il faut s'attendre à ce que les solutions ne soient pas entièrem ent explicites.

TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes

113

OLUTIONS SAR

di

en

pa ap emo

AR SSI

Pouvez-vous répondre ? 1;

0P Ce) a) Posons P = x et Q = y. On calcule dv =0et _ = 0. Ces quantités sont égales, donc la forme est fermée. ’

On peut observer que & = ;[d(x?) + d(p)] :

Ainsi la forme w a pour primitive sur R? la fonction définie par f(x, y) = 0 + W). Comme R? est connexe par arc, toute autre primitive est de la forme f +k où k est une constante.

OP dQ b) Posons P = y et Q = x. On calcule nu =let ne

1. Ces quantités sont égales

donc la forme est fermée. On peut observer que w = d(xy). Ainsi la forme w a pour primitive sur R? la fonction définie par f(x, y) = xy. Comme R? est connexe par arcs, toute autre primitive est de la forme f + k où k est une constante.

OP

0Q

c) Posons P = —y et Q = x. On calcule Sy = —]et +

ee

= 1. Ces quantités ne sont

pas égales, donc la forme n'est pas fermée. Elle n’a pas de primitive quel que soit l’ouvert sur lequel on se place.

La forme du

différentielle

3 3 1 w = (1+7)2 dx + Gxv1 +U+ " dy est définie pour

0 +4 0 et différentiable sur l’ouvert U réunion du demi-plan

ouvert y > 0

et de la bande —1 < y < 0 qui sont tous deux des produits d'intervalles.

3 3 Posons P = (1+4)2 et Q = 5*V1 FU

0P _3 FTP

1

et calculons : 0Q «73 ver

Ps

a des primiCes quantités sont égales, donc la forme est fermée. Nous savons qu’elle méthode une avons nous et n, définitio de ouvert son de tives sur chaque composante pour les obtenir.

8 ÊRe x. La fonction fest Si fune primitive, elle vérifie ne (1 + y)2 qui ne dépend pas de À donc de la forme : 3

fc y) = x(1 + y)2 + KUY) où k est une fonction différentiable de y qu'il s’agit de déterminer. | /1+y+k(y). sn En calculant . dans l'expression ci-dessus, on trouve e y délit. autorisée photocopie Dunod. est La ©un non

TD Fonctions de plusieurs variables

114

Ô 3 à: Par ailleurs, on sait que si = (= 5 1 +y+ : :

On obtient l'égalité :

dy

VIE

:

+ KG = x Try + à

(++)

D'où K'(y) = 5 La fonction k est donc de la forme k(y) = In|y| +C où C est une constante sur chacun des intervalles ] — 1,0[ et ]0, + oo.

En résumé, la forme différentielle & possède, sur chaque composante connexe par arcs de son domaine, une primitive de la forme : 3

fx, y) = x(1 + y)2 +In/y| +C La même formule donne une primitive sur U avec éventuellement des constantes C

différentes sur chaque composante connexe de U. Commentaire. C'est dans la relation (xx)qu'intervient le fait que la forme est fermée, et c'est aussi à cet endroit que l'on peut se rendre compte d'une erreur éventuelle. En effet on constate que la variable x disparaît, ce qui est cohérent car k ne dépend que de y. Quand la forme n'est pas fermée, la variable x subsiste et rien ne marche. 3»>

Cette équation s'écrit sous forme différentielle : 3

(1+y)2 dx+ Gxvi Fy+2) dy = 0. Dans l'exercice précédent, nous avons établi que la forme différentielle figurant au premier membre de cette équation admet des primitives de la forme : 3

f(x, y) = x(1 + y)2 +In|y| +C. On sait que les courbes intégrales sont les courbes d’équation : 3

f(x,y) = x(1 +y)2 +Inly| = C= cte. Voici un aspect de ces courbes dans le rectangle [—10, 10] x [0,9, 5]:

—0,2 —0,4 —0,6 —0,8

TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes

4»r

115

a) Paramétrons le segment en posant y = x, x variant de 0 à 1. Alors dy = dx et:

!l 2xy dx + (x? + y?) dy 1+y

[OA] A

1

1

- | Dax + (2 +2) dx = 4

0

0,8

3

b) Paramétrons la parabole avec y = PE variant de 0 à 1. Alors dy = 2xdx et:

0,6

2xy feMai

| 0,4

(x? + y)d dx + @+y)dy

:

0,2 O

0

4

x2dx = =:

= | 22 dx + (x2 + x4)2xdx +

4

06

Gad

L 1

x

=9 F.(2x° 0

1

QU

PF

Posons P = 2xy et Q = x2 + ta et calculons à

x°) dx Æ 4 o

“ = 2x — 2x = 0. La forme diffé-

rentielle est fermée. La formule de Green-Riemann appliquée au domaine plan D devient :

soit :

| 2xy dx+ (2 + y)du+ | OA

2xy d + (x? + y?) dy = 0.

[AO]

On retrouve l'égalité des intégrales calculées en a) et b) ci-dessus.

qui est étoilé. En fait la forme différentielle est même exacte car elle est fermée sur R? pour l'intégrale de w. Pour toute courbe joignant O à À, on trouve la même valeur

CES

Non. En effet la forme w =

x dy.=y dx

x2 + 2

n’est pas exacte. Par exemple, si on calcule

son intégrale le long de l'arc supérieur du cercle trigonométrique TT

(—1,0), on trouve TT h=-

| d@

=

= jlde=n,

et le long

de (1,0) à

de l'arc inférieur on trouve

0

—7.

0

valeur. Le calcul en lui-même n’est Si la forme était exacte, on aurait trouvé la même local mais non global. Il ne faut pas oublier que la fonc-

pas en cause, c’est un calcul tion (r,8)- (x = rcos8, y = rsinô) n'est pas inversible. n continue (x, 7) + 8 est Le plus grand ouvert sur lequel on peut obtenir une fonctio de l’origine, mais pas le issue roite demi-d le complémentaire dans le plan xOy d’une ne. l’origi de privé plan entier ni le plan délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

116

2

TD Fonctions de plusieurs variables

Entraînement

:

,

=D 2x 8» La forme est fermées sur R°P cat: car 22 3 (2xy) =

x (x(+25) es FA

Elle admet une primitive sur R? car R? est un produit d’intervalles. 0 : Soit f une primitive, cette fonction vérifie : =2xy, donc f est de la ‘forme

Ô f = x?y + k(y), où k est une fonction à déterminer par la condition La. x 2,9

dy

soit:

y

1 +2

A,= x2 RÉUs. x° ? + k'(y)

D'où K{y)=2-—7— puis (y) =In(1+y2)+C et: 1+y2 fxy) = x2y+In(1 +y)+C. a) On sait que les courbes intégrales, dans un ouvert où w ne s’annule pas sont les courbes d’équation :

fx, y) = x2y + In(1 + y?) = C = cte.

Étant donné un point (Xc, y.) on détermine la courbe intégrale passant par ce point

par la valeur de C, soit C= f(x, yo). Si une de ces courbes intégrales se prolonge jusqu'à l'origine, comme f est constante, la valeur de C ne peut être que f(0,0) = 0 son équation est donc :

xy+In(1+y)=0.

Cette étude à été faite pour l’exercice 22 du chapitre consacré au Calcul différentiel. On obtient quatre fonctions de classe C! telles que f(x, y(x)) = 0 :

y

a) La fonction y = 0. x

b) La fonction ayant pour graphe

au

voisinage

de

l’origine

la

courbe Î..

c) La fonction dont le graphe est l'axe des x six 0. d) La fonction dont le graphe est l'axe des x six >0etT

six< 0.

On constate que, par l’origine, il passe quatre courbes intégrales de classe C1 distinctes. C'est là un exemple prouvant qu’une équation différentielle d'ordre 1 peut avoir plusieurs solutions avec la même condition initiale (0) = 0. On trouvera ci-dessous l'aspect de l’ensemble des courbes intégrales dans le rectangle [—3, +3] x ty SI:

TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes

117

Commentaire. On peut dire ici un mot de l'intérêt de la notion de courbe intégrale. Si l'équation différentielle a pour origine de déterminer le mouvement d'un point dans le plan sous l’action d'un champ de forces, la connaissance globale de l’ensemble des trajectoires donne plus de renseignements que la connaisance explicite d'une solution. D'autant plus qu'il n'y a pas toujours unicité de cette solution comme nous l'avons vu. Par exemple, partant d'un point situé à droite au-dessus de l'axe des x, on ne peut s'échapper du demi-plan y > 0 le long des trajectoires. Si on veut parvenir dans le demi-plan y < 0 il vaut mieux : e soit franchir tout de suite l'axe réel, les trajectoires étant proches, cela demandera moins £ d'énergie ; «soit rejoindre l'axe réel, le suivre jusqu'à l'origine, puis continuer sur l'axe ou bien bifurquer à l'origine le long de T. Ainsi la singularité joue un rôle d'aiguillage.

Ce genre de considérations ne peut se lire sur la simple connaissance explicite des formules donnant les solutions. Bien entendu, pour un problème de mécanique, ilfaudra revenir à l'expression de la solution choisie pour prendre en compte la loi horaire.

9» Appliquons la formule de Green-Riemann à l'intégrale | 2 dy, on trouve : D

| vdy= ]] 2x dxdy dD D ce qui démontre la formule. On procède de même pour yG. a) Considérons le demi-disque de rayon R défini par x > 0. Le bord de ce disque est constitué de son diamètre et du demi-cercle F de rayon R. L'orientation de ce demi-cercle comme bord est le sens trigonométrique direct. y L'orientation du diamètre est du point (0,R) vers le point (0, — R), c'est-à-dire le sens opposé à celui de l’axe des y. Nous devons calculer l'intégrale de x? dy le long du bord du disque. L'intégrale le long du diamètre est nulle car

y est constant (y = 0) doncdy = 0.

Paramétrons le demi-cercle en posant : T TT : FRS x=Rcost; y=Rsint,

Alors dy = Rcost dt et

dt =R° ÎAie sin?#) d(sint). 1e dy = fé R$cos°t Es T

7

2

2

on trouve : En effectuant le changement de variable défini par u = sin{ 1

2dy=R | A-w)du=Rlu-—| délit. photocopie autorisée est La Dunod. ©un non

3

L

4

=2R

È

118

TD Fonctions de plusieurs variables

+ nR? 4 Par ailleurs, l’aire du demi-disque a pour valeur À = Ty* cœ qui donne xG = an Pour des raisons de symétrie yG = 0 et tout calcul est inutile. b) Procédons comme ci-dessus sur le quart de disque supérieur. L'intégrale de x? dy le long des rayons bordant le domaine est nulle. La seule intégrale à calculer pour xG est :

z

\

Fe 1

*

r | (1 — sin?f) d(sint) = r | (L=u)du = R°lu=— | = 7R°. 0

0

:

TR?

D'autre part, l'aire du quart de disque a pour valeur À = pr

0

3

4

ce qui donne xG = ane

On trouve le même résultat que dans la question précédente, ce qui peut s'expliquer en considérant que le centre de gravité du demi-disque est le barycentre des deux quarts de disque qui le constituent, avec des poids égaux. Pour des raisons de symétrie yG = XG. 10>

a) Considérons la forme différentielle w = x f(x? + y?) dx + y g(x? +1y?)dy. Posons :

Calculons :

P = xf(x? +2)

et

Q=7yg(x? +1).

e = x(2yf'(x2 +)

et

a = y(2x)g/ (x? + y).

La forme différentielle sera fermée si :

2xyf" (2? + y?) = 2xyg/(x2 + 2). La relation est réalisée quelles que soient fet $ en un point de l’un des axes (x = 0 ou y = 0). En un autre point la relation devient :

FR? +2) = 8 (2 +). Par continuité, on peut dire que f(x? + y?) = g/(x2? + y?) en tout point de R?. Ainsi,

en posant u = x? +, on obtient f'(u) = g'(u) pour u > 0, soit : f{u)=g(u)+C,

C=Cte.

Cherchons les primitives de w. Soit ® une primitive, on doit avoir :

0®D . = xf(x? + y) donc ®(x,y) = free +

ra

- THOSE

Si Fest une primitive de la fonction f, alors (x, y) = SF + y) + K(y).

On détermine la fonction K par la condition : IE)

Se

(FE? + )] + K'GD = vs + 2)

TD 6 + Formes différentielles. Intégrales curvilignes

qui s'écrit :

119

QD + y) + RQ) = yet +17)

ou encore en tenant compte de F’=f et

f=g+C:

y + y?) + K'U) = y + y?) — O). On trouve K’(y) = —Cy soit K(y) = er C7 En résumé, les Ferre sur R?, sont de la forme :

(x, y) = SFC +ÿ)

— SV +C1,

C=g-f=cte,

C=cte.

b) On considère cette fois la forme différentielle :

&

= ÀW =

FER

NOR

F2 + 7) =82 +?)

80? +y°) TF2 + 2) — One

Le domaine de définition de w est le complémentaire dans R? de l’ensemble E des points (x, y) tels que f (x2 + y?) = re + y?) (E est une réunion de cercles).

FEU) Posons P == de on

g@? =+?) see YF +2) g02 + p)

Posons u = x? + ÿ et calculons :

(FU = 0) _FO) + F0 0) PL pp C0 UD = 80) —— Fu) F(u)—gs) gt) [f(u)

Ôy

2Q

de D

8") (fu) — gtu)) — 800) (Fu) — 3/0) _,,,

(Fu) — GP

ft)0) = FSC).

“ (Fu) = gU)P

e

ne en tout point (x, y) # E. Ainsi la forme est bien fermée. domaine de définiPlaçons-nous sur un produit d'intervalles I x J contenu dans le tion de 1. Si ® est une primitive de wj on doit avoir: >

P

_0Q

On vérifie que ay rs

PU ox

Donc ®(x, y) =

ti)

FO +) = 862 +)

pe

F2 +2) — gx? +?)

Soit H une primitive de É

0 f{u) — ie

alors ® est de la forme :

Q(x,y) = SHC +17) + KG) délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

TD Fonctions de plusieurs variables

120

où K se détermine par l'égalité :

Le SH" Pan” + y2)(2y ) + K'(1e y)7= TFe GZO+s 2) =e gG2 + ÿ) ou encore :

Prin

TFGL +) = ge +)

+ K'(y)

gx? +1?)

TFC +) 82 +) 2

Cette équation se réduit à

K’(y)=—y

d’où

K(y) = + +C1

où C1 est une

constante (sur I x ]). On trouve, toujours sur I x ] : dy

=

HE +)

-

2 +0

,

Ci=cte.

Le domaine de définition de w n’est en général pas étoilé. Par exemple la région comprise entre deux cercles est une couronne. Rien ne permet de dire que l’on vient de calculer une primitive de w1 même sur une telle couronne.

Séries numériques

1.

Introduction Ce chapitre est déroutant quand on le rencontre pour la première fois. Il faut savoir qu'il s’agit de limites dans un cadre assez particulier ; que l’on s'intéresse surtout à la convergence (existence de limite) sans faire intervenir, sans même connaître, la limite ; qu'il existe un certain nombre de règles, dont beaucoup ne

s'appliquent pas toujours ; que l’on ne dispose d'aucune méthode pour savoir par quelle règle commencer. Sombres perspectives! Comment s’en tirer? Tout d'abord en se persuadant que l’on ne peut se limiter à l'application mécanique de résultats, pourtant indispensables à connaître. Il faut absolument s’habituer à « estimer » l’ordre de grandeur d’un nombre qui tend vers zéro. Au bout d’un certain nombre d'exercices les choses se mettent en place. Alors patience !

L'étude des séries est un bon moyen de se rendre compte si l’on a bien compris, pas en première année d'université, la notion de limite. Il arrive que l’on n’ait fondaaspects quelques perçu mal ait l’on que re bien tout assimilé, c’est-à-di mentaux.

Généralités Convergence somme Étant donné une suite (41)}eN de nombres complexes, on appelle OO

+: partielle d'ordre n de la série Di Un le nombre 5n = Up +U1 photocopie délit. autorisée Dunod. ©est La un non

|

n=0

nl

+Un = SA Up. p=0

122

;

TD Fonctions de plusieurs variables

Définition 1 CO

On dit que la série D un converge si la suite des sommes partielles (s1}1eN tend n=0 n. vers une limite finie quand n tend vers l'infini. Si sA ne tend pas vers une limite finie on dit que la série diverse. Quand la série converge, si on note s la limite de s,, on dit que s est la somme de la CO

série et on écrit s = ) Un: n=0

2.2 Une condition nécessaire de convergence Théorème 1 CO

Soit ) un une série convergente, alors u, tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini. 0 Dont, si le terme général d’une série ne tend pas vers zéro, la série diverge.

2.3 Condition de Cauchy! Définition 2 Soit Ju

une série de nombres complexes. On dit que cette série satisfait à la

0

condition de Cauchy si, pour tout e > 0, on peut trouver un entier N(e) tels que : m

m>n>N

=

LD w| = [Up +2: + Uml < € n+1

Étant donné une série numérique, il est équivalent de dire que la série converge ou qu'elle satisfait à la condition de Cauchy.

2.4 Convergence absolue Définition 3 OO

OO

On dit que la série ne un est absolument convergente si la série de [Un| est conver-

gente.

0

0

1. AUGUSTIN-LouIS CAUCHY né à Paris (France) (1789-1857). La partie la plus impor-

tante de son œuvre, particulièrement volumineuse, est la théorie des fonctions holomorphes d'une variable complexe. Il a joué un rôle prépondérant dans le retour de l'analyse à la rigueur dans la première moitié du x siècle : définition d’une fonction continue, intégrale d’une fonction continue, première, démonstration correcte de la formule de Taylor... Il est aussi le fondateur de l’élasticité.

TD 7 e Séries numériques

123

Théorème 2

Toute série numérique absolument convergente est convergente.

Séries de nombres positifs

3.

Théorème 3 OO

Soit ) un une série de nombres positifs. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

0% 1) La série converge. 2) Les sommes partielles sont majorées.

3.1

Comparaison avec une intégrale Théorème 4 Soit f : [a, co[— R une fonction positive décroissante. Alors la série de terme général OO

Un = f(n) et l'intégrale généralisée | f(x)dx sont de même nature. a

3.2 Comparaison des séries >

Théorème fondamental Théorème 5 OO

OO

+

Soit Dre Un et + Un deux séries de nombres réels positifs, telles que, à partir d'un 0

0

certain rang no; On ait Un Un converge;

1) si ) Un converge, 0

0

2) si ja Un diverge, dE Un diverge. 0

0

Deux conséquences de ce théorème sont souvent utilisées. co, les D'une part la comparaison avec un équivalent :si #n v, quand n — dévelopdes à recours Le nature. séries de terme général #, et v, sont de même pements limités est parfois nécessaire pour le calcul d’un équivalent.

délit. photocopie autorisée La Dunod. © est un non

« n°un ». D'autre part, quand il n’y a pas d’équivalent simple pour u», la règle de terme Par exemple (ce n’est pas le seul), si n°”un est majoré et si « > 1 la série général 4 converge.

TD Fonctions de plusieurs variables

124

3.3 Règle de d'Alembert! OO

HAE

2

Un+1

2. Soit Sun une série de nombres réels positifs telle que per tende vers une

n

0

limite / lorsque n tend vers +oo. Si 1 < 1 la série converge ; si ! > 1 la série diverge.

3.4 Règle de Cauchy OO

il

Soit Jun une série de nombres réels positifs telle que (#7) tende vers une 0

limite / lorsque n tend vers +co. Si 1 1 la série diverge.

La transformation d'’Abel2 + On considère une série où u, est un produit de deux nombres €, et v, tels que : 1) les €; sont des réels positifs et forment une suite décroissante ; 2) les v, sont réels ou complexes, et il existe un nombre M > 0 tel que :

Vne N

[Do + D +---+0y] < M.

Alors, on a la majoration : ln+1 + Un42 +

+ Um] < 2 E541M.

Si de plus A tend vers zéro, la quantité ci-dessus peut être rendue arbitrairement petite et la série de terme général u, converge.

Cette transformation permet de déterminer la convergence de nombreuses séries : OO

les séries trigonométriques

#

OO

> An COS nxet

> an Sin nx et les séries alternées.

0

0

* Séries alternées : une série de nombres réels est alternée si, pour tout n,

Unln+1 est négatif. Pour une telle série, si |[u,| tend vers zéro en décroissant, la

série converge.

1. JEAN D'ALEMBERT né à Paris (France) (1717-1783). Philosophe marquant du siècle des Lumières, en particulier codirecteur avec Diderot de l'Encyclopédie, il est aussi mathématicien et physicien. En 1747, la résolution du problème des cordes vibrantes en fait le fondateur des équations aux dérivées partielles. En algèbre, il donne en 1746 la première preuve (presque correcte) du théorème « une équation algébrique de degré n admet n racines complexes ».

2. NIELS ABEL né à Finnôy résoudre par radicaux les fondateurs de la théorie liennes ». Il est mort dans titre posthume.

(Norvège) (1802-1829). En algèbre, il établit l'impossibilité de équations algébriques de degré > 5. En analyse, il est l’un des des fonctions elliptiques et on lui doit les « fonctions abéla misère et l'importance de ses travaux n’a été reconnue qu'à à

TD 7 e Séries numériques

125

De telles séries sont parfois semi-convergentes, c’est-à-dire convergentes sans être absolument convergentes. OO

La série (convergente) Bt

1

est appelée série harmonique alternée.

nl

1

Produit de deux séries OO

CO

Soit ) Un et ) v deux séries de nombres complexes. 0

0

On appelle série produit de ces séries la série de terme général: Un

=

à

Up Vq =

UO

Un

+ U1

Un

+

+ UpOn-p

+:

+ Un

V0.

p+q=n

Théorème 6

La série produit de deux séries absolument convergentes est absolument convergente

et on a De = (D) Dm)

6. Séries d'utilisation courante Série géométrique

Le terme général est de la forme ag” où a et q sont complexes. Elle diverge si gl > 1, et converge si |g| < 1. Quand elle converge sa somme a pour valeur : a S

=

Est

Série de Riemann

, 2 eg Le terme général est de la forme aoû est réel. Elle diverge si à < 1, et converge si x > 1. OO : ADS 1 La série (divergente) ) — est appelée série harmonique. ;

1

LL)

Série exponentielle

Bears fl Pour tout z € C, la série de terme général =] est absolument convergente. z non réel, Quand z = x est un nombre réel, sa somme a pour valeur e*. Pour se

SE Z a

on pose aussi € = ) ‘ délit. photocopie autorisée La Dunod. ©un est non

0

126

k

TD Fonctions de plusieurs variables

)

POUVEZ- Vous RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 129)

1. Étudier la convergence de la série de terme général:

à) Un == ((HN Diner

;=

bjr

LBba boue (

2. Calculer la somme partielle de rang n de la série de terme général : Un = In” =

nt

En déduire la nature de cette série et sa somme si elle converge. 3. Étudier la convergence de la série de terme général : 37 — 27

j

RG

2

Re

OO

4. Étudier la convergence de la série

:

ARTE

2 n2+1 OO

5. Étudier la convergence de la série Ds ne

V#,

0 OO

n

6. Étudier la convergence de la série 2 ( ssu2.

18. Étudier la convergence de la série de terme général : Un

set

M

Vn+i

Analyse de l'énoncé et conseils. Attention, ce n’est pas une série alternée.

TD 7 e Séries numériques

129

19. Étudier la convergence de la série de terme général : 1 U

=

7

RER

—

ninli+x|

rT+ 0:

Xe

—1{

Analyse de l'énoncé et conseils. Chercher un équivalent de uy.

Étudier la convergence de la série de terme général : uw

=|In

x

1

xeR.

COS ñ

Analyse de l'énoncé et conseils. Chercher un équivalent de y, en utilisant les développements limités.

21

Soit fune fonction de classe C® sur un intervalle ouvert I de R, à valeurs réelles. Soit a € I. On suppose qu’une au moins des dérivées d'ordre impair de fn'est pas nulle au point 4. Étudier suivant les valeurs du paramètre réel x > 0 la nature de la série de terme général :

in = fa+2)

fe)

Analyse de l'énoncé et conseils. Chercher un équivalent de us f. Cet exercice démonte le mécanisme de nombreux autres, suivant le choix de

22

Suivant la position du point de coordonnées (x, y) dans le plan, étudier la nature de la série de terme général : x!

HS

nc

(4) yi+n

Il a le Analyse de l'énoncé et conseils. C’est un exercice classique très répandu. discuter à veillera On es. techniqu de nombre grand un mérite de passer en revue x ou pour y, suivant une position dans le plan. Si on raisonne en intervalles pour avec cas et sous-cas, la discussion est inextricable.

SOLUTIONS €

+

nn

ee mmemens

Pouvez-vous répondre ? La série diverge. 1> Dans chaque cas le terme général ne tend pas vers zéro. l'infini, on peut donc s'inté2» On constate que un tend vers zéro quand n tend vers resser à la convergence de la série. On remarque que 47 =In(n+2)—Inn.

délit. photocopie autorisée est La Dunod. ©un non

130

;

TD Fonctions de plusieurs variables

Écrivons successivement tous les termes du rang 1 au rang n: u =In3 -0

us =In4 - In2 u3 =In5 -In3

Un_-2 =Inn—-In(n—2) Un_1=n(n+1)-In(n-1) Un =m(n+2)-Inn On constate que l’on retrouve les mêmes termes avec des signes opposés à deux lignes de distance. En faisant la somme de tous ces termes, on obtient :

Sn =U+---+un=In(n+1)+In(n+2)-In2 qui tend vers l'infini quand n tend vers l'infini. La série proposée diverge. Vous avez compris?

2

Même exercice avec Un = er 5 n

(décomposer la fraction rationnelle en élé-

ments simples).

Réponse : La série converge et a pour somme

3

3> a) u est la différence de deux termes v, = 2)" et Wy = ee OO

Les séries 37

OO

et Su

0

donc elles convergent.

sont des séries géométriques de raison inférieure à 1,

0

OO

La série différence > un est donc convergente. 0

DE 1 lin b) u, est la différence de deux termes v, = à et Wy = G) c OO

OO

La série D vn est une série de Riemann divergente. La série # Wn PES

convergente.

est une série

;

OO

La série différence >» Un est donc divergente. 0

4» Le terme général de la série tend vers zéro, la série peut converger. Il faut poursuivre l'étude. Utilisation d’un équivalent de y. FRRPFOE Quand n tend vers l'infini,

n

n2+1

diverge, la série proposée diverge.

n

n2

L = mn Comme la série harmonique

OO

) — n

0

131

TD 7 + Séries numériques

Comparaison avec une intégrale. La fonction x

?

;

x

est une fonction décroissante. Par conséquent la série pro-

D

——

posée est de même nature que l'intégrale

0

AS ——

x2+1

Soit X un réel positif et considérons l'intégrale X

5&

Î ds

NL

dx.

:

2

X

1

”)

[ne +1] =;h{i+X)

qui tend vers l'infini quandX tend vers l'infini. Cette intégrale diverge, donc la série proposée diverge. Commentaire. Nous avons commencé par le plus simple, à savoir la recherche d'un équivalent qui complète naturellement la vérification du fait que un tend vers zéro. Il n’est pas alors utile de mettre en œuvre d'autres critères. On observera que la règle de d'Alembert et la règle de Cauchy ne permettent pas de conclure. 5 >

Il s’agit d’une série de nombres positifs, et le terme général tend vers zéro.

Il n'existe pas d’équivalent de u, sous forme d'une puissance de n. On peut même dire que un tend vers zéro plus vite que n'importe quelle puissance de n. Pour cette raison, appliquons la « règle n°un». On constate que nu = ne”V" tend vers zéro quand n tend vers l'infini.

donc : Il en résulte que run < 1, par exemple, à partir d’un certain rang ñ0 ;

F out

HEps)

n>np

d’une série Ainsi le terme général de la série proposée est majoré par le terme général nte. converge me elle-mê est elle nte, converge de Riemann Vous avez compris ?

j: Nature de la série de terme général un = La

Réponse : La série diverge.

6> 7 >

La série diverge. Le terme général, plus grand que 1, ne tend pas vers zéro. du terme général un. Il s’agit d’une série de nombres positifs. Cherchons la limite er

ire Un=e nine ri=e 1 Quand n tend vers l'infini, In (1 + =) nl Cette quantité tend vers

e délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

= e-1n(i+À)

1 al a —1. — et par suite —#in 1+> "

—1 et, par continuité

de l’exponentielle,

Un tend vers

tendant pas vers zéro, la série 1= à quand n tend vers l'infini. Le terme général ne e

diverge.

132


0 par f(x) = ES

Sa dérivée est f’(x) =

NE CR D (x +1}

EE

er 2/x(x +1} :

conséquent Cette dérivée est négative dès que x > 1, par

Vñ

lan| = RES

est fonction

décroissante de n pour n > 1.

. De plus |4,| tend vers zéro quand n tend vers l'infini OO

On peut donc conclure que la série alternée

) a converge, ce qui établit la conver0

délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

gence de la série proposée.

138

é

TD Fonctions de plusieurs variables

Vous avez compris? 1

Nature de la série de terme général uw; =

VA +i)

Réponse : La série converge.

19> Le premier problème est le comportement du terme x".

1) Supposons |x| < 1. Alors x” tend vers zéro et [1 + x"| = 1 + x". On a donc les équivalents :

:

A

pe MATE

2 ES ge

tr nx

Lorsque n tend vers l'infini, 1x" tend vers 0 et || tend vers l'infini. Le terme général de la série ne tendant pas vers zéro, la série diverge. 2) Supposons x = 1. Alors uy = c'est-à-dire qu’elle diverge.

1 est de même nature que la série harmonique, nin2

3) Supposons |x| > 1. Alors : 1

il

1

In|1+2x"|=1n/|x7(1 + . = In x" +1n|1+ si = nln|x|+1n/1+ | soit, en mettant nn |x| en évidence :

Inf1+x"|=n1 n|1+x"|=nln/|x]

1

+ hr

et comme wT tend vers zéro quand n tend vers l'infini

Inf1+x"| = nin|x|

quand

n —

par suite

Un © —— : 7 n2nx| not

68

4

27 : La série étudiée est de même nature que la série de Riemann

convergente.

OO

1

> EL elle est donc

1.

En résumé la série converge si, et seulement si, |x| > 1. Commentaire. Dans la situation 3) ci-dessus, où |x| > 1, le lecteur pourrait être tenté d'écrire directement :

quand n—00,1+x" x" = In|1+x"|

In {x/" = nn /xl

mais cela ne serait pas justifié car il n'est pas vrai que les équivalents soient compatibles avec la composition des fonctions. Il faut bien prendre les précautions que nous avons observées

pour arriver, il est vrai, au même point.

20 > Il s’agit bien d’une série de nombres positifs. Cherchons un équivalent de u, et écriVONS : Ne el ñ Un= | In

=e cos à

FOUT

TD 7 e Séries numériques

139

On a le développement limité à l’ordre 2 par rapport à x au voisinage de 0: x2

cost=Î

+

d’où: cos — = 1 — n

il

2m

;

e — 0

€

F0

On

Le développement limité à l’ordre 1, In (1 + w) = u + e’u donne, par composition des développements limités : In

1 L cos;

1

=

==

— 1 = In (cos=)

On? )

eu

+

D

—

n2

: ENPE 1 * NE

1

1

LL

On en tire :

1 1 1 a ( D —-(1+26"))«"))=x{Iin— (xl ain( nl(nr) = on sin

c’)) n( +In(1+2e”

et enfin :

ain(-1(1+22") 9

ae

E anle 1 exin (1+2€

” Je al tt

n 110 Ve

On constate que si x est négatif, un tend vers l'infini et la série diverge. Si æ est nul alors un = 1 et la série diverge car son terme général ne tend pas vers zéro.

Supposons & > 0, alors (1 +2e”) tend vers 1 et : Lot

Un ae

=

1

Ÿ 2x On voit que la série proposée est de même nature que la série de Riemann 1

1 1 La < x si diverge qui converge si X > 2 et

le déve21» Supposons d’abord f’(a) # 0. La fonction f étant de classe C?, elle admet loppement limité à l’ordre 1 suivant, au voisinage de x = 0:

— 0 si x —0. E(x)

;

f(a + x) = f(a) + xf/{a) + Ex?

1

En appliquant successivement ceci avec X = PCI CT fa+

1

x) =fU)+

1e

1

af (a)+e(n)5x

1 js 1 fa — a = f(a) — si (a) + en) 7x

r

on a:

*

:

) 0 si x —0 es(n—

;

: eo(n) — 0 si x —0

D'où par soustraction: Un = EF (a) + ED) délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

;

e(n) — 0 si x — 0.

140

È

TD Fonctions de plusieurs variables

On déduit l’équivalence :

1

un (x:

Si f’(a) est positif, la série étudiée est une série de nombre positifs de même nature OO

que la série NS ba Elle converge si «x > 1 et diverge sinon. 1

Si f'(a) est négatif, la série opposée est une série de termes positifs et on arrive aux mêmes conclusions. Dans le cas où f’(a) = 0, on applique la même méthode à partir d’un développement limité comme ci-dessus. Mais dans la différence f(a + x) — f(a — x) il ne reste que les puissances impaires de x.

Pour cette raison on introduit le plus petit entier k tel que la dérivée d'ordre 2k+1 de f, fk1)(a), soit différente de zéro. Les mêmes calculs donnent l’équivalence : ,

M

2 Gr

En

ben)

1 KT (EXa)

2 +

1 A au (ons

EX

1)

1 La série étudiée converge si (2k+ 1)x > 1 soit x > Di

ES

et diverge sinon.

Vous avez compris?

Nature de la série de terme général :

1

1

TT

Un = ATCCOS(—= + —) — de

v2 n*

Réponse : La série converge si, et seulement si, x > 1. 22» Nous commencerons par chercher un équivalent de 4, quand n tend vers l'infini, ce

qui implique la recherche d’un équivalent du dénominateur. Dans ce but il faut apprécier les grandeurs respectives de y' et de n. 1) Supposons d'abord |y| > 1, c'est-à-dire dans le plan, soit au-dessus de la droite d'équation y = 1, soit au-dessous de la droite d’équation y = —1.

Dans cette région du plan, que nous appellerons Région 1,

Vino

et

car

0.

Alors:

va

“M7 =

x

GX

Be

1% 2 On remarque immédiatement que, si. |=| > 1, uh ne tend pas vers zéro et la série

diverge.

y

Géométriquement cela se produit, dans la région où nous nous somme placés, si le point (x, y) est au-dessus des bissectrices quand y > 1 et au-dessous des bissectrices si y < —1, bissectrices comprises, bords du carré non compris.

TD 7 e Séries numériques

141

jee X Si on se place, toujours dans la Région 1, dans la zone correspondant à |=| < 1, alors: ñn

[un]

La série de terme général |#,| est de même nature que la série géométrique de raison A

ae

à

|=| inférieure à 1. Elle est donc convergente.

La série étudiée est alors absolument convergente, ce qui termine l'étude dans la Région I. Étudions maintenant ce qui se passe quand |y| 0 tel que la suite des fonctions dérivées

ia EN cOnverge uniformément sur [a —r,a+r|Nl;

— il existe un point x € I tel que la suite (numérique) fn(xo) converge.

|

|

Alors :

a) la suite (fn), ne converge simplement sur I vers une fonction f; b) la convergence est uniforme sur tout intervalle [a — r,a+ #HOL

c) la fonction f est dérivable et on a:

Vrel

délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

f= lim fix).

Ainsi, la convergence des fonctions dérivées joue le rôle important. pas besoin de On peut noter une différence avec le théorème précédent. On n’a nt sur un seuleme la convergence uniforme des dérivées sur 1 en entier, mais lité dérivabi la car compact autour de chaque point. Cela peut se comprendre Au . fonction cette d’une fonction ne nécessite que la connaissance locale de contraire, l’intégration est un phénomène global. pour la dérivée à Si l'intervalle I est fermé d’un côté, le théorème s'applique |Nl). —r,a+r [a ation formul droite ou à gauche (c’est la raison de la

146

3.

1

TD Fonctions de plusieurs variables

Convergence des séries de fonctions Étant donné une suite de fonctions (Un)nen, définies sur une partie E de IRP à valeurs réelles ou complexes, on considère les sommes partielles définies par :

Sn(X) = U9(X) + u1(x) +: -: + un(x)

et on s'intéresse à la convergence simple ou uniforme de la suite des sy. Définition 4 OO

On dit que la série de fonctions E un converge simplement (resp. uniformément) 0

sur DC E si la suite des s, converge simplement (resp. uniformément) sur D. Tout ce qui précède sur la convergence des suites de fonctions s'applique pour les séries de fonctions avec les adaptations nécessaires. 3.1

Limite uniforme d'une série de fonctions continues

Théorème4 Soit (Un}nen une série de fonctions continues convergeant uniformément sur CO

D € IF. Soit s = ) Un Sa somme. 0

Si chacune des fonctions u, est continue, alors s est continue.

3.2 Critère de Cauchy pour la convergence uniforme Définition 5 Soit (Un)nen une série de fonctions sur D C RP. On dit que cette série satisfait au critère de Cauchy pour la convergence uniforme sur D si, pour tout € > 0, il existe un entier N(e) tel que: m>n>N(E)=

[uy41(x) + Uy42(x)+ + + um(x)| < €

Vx € D.

Si une série de fonctions converge uniformément sur D, alors elle satisfait au critère de Cauchy pour la convergence uniforme sur D, et réciproquement.

147

TD 8e Suites et séries de fonctions

4.

Intégration et dérivation d'une série de fonctions

Théorème 5

Soit (Un),en une série de fonctions continues d'un intervalle compact [a,b] dans R

ou C, convergeant uniformément sur [a, b]. Soit s = D. Un : [a,b] — R sa somme. 0 X

’

U(x)= | un(t) dt converge

Alors la série des primitives des un, définie par

a

| uniformément sur [a, b] vers la primitive S de s nulle pour x = a. En particulier : OO

b

b

OO

Un(t) dt = > ]

M) dt. ]

2

On dit que l’on a intégré terme à terme la série.

Théorème 6

ou Soit (Un),en une série de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs réelles complexes. On suppose que : — chaque u,, est dérivable sur I de dérivée me: fonctions dérivées — pour tout a ET il existe un nombre r > 0 tel que la série des COQ

DA y, converge uniformément sur[a—r,4+ arbre 00

0

converge. _ il existe un point xo € I tel que la série (numérique) 5 Un(Xo) 0

Alors :

a) la série (un),eN converge simplement sur Le; —r,a+r]Nnl; b) la convergence est uniforme sur tout intervalle [a OO

on a: c) la fonction somme $ = 5 un de la série est dérivable et .

0

RENE

d

OO

Bal

On dit que l’on a dérivé terme à terme la série.

délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©non un

OO

,

= 25 nt

148

:

TD Fonctions de plusieurs variables

> Convergence normale

Définition 6 OO ñ

Soit Ÿ un une série de fonctions d'un ensemble E CR? à valeurs réelles ou 0

OO

complexes. On dit que la série de fonctions 2 un converge normalement sur D C E 0

co

co

si on peut trouver une série de nombres réels positifs se an telle que la série 5? An converge et, pour tout xE D,

0

0

lun(x)| < ay.

La convergence normale sur D entraîne la convergence uniforme sur D. La réciproque n'est pas vraie ; par exemple il existe des séries convergeant uniformément sur un domaine D sans converger absolument, alors qu’une série normalement convergente sur un domaine est aussi absolument convergente.

(}

POUVEZ-VOUS RÉPONDRE ? NME

SRE

(Réponses à la fin du chapitre, page 151)

1. Étudier la convergence de la suite de fonctions définie par :

sur

fn)= (xA-x)"+x

[0,1].

2. Étudier la convergence de la suite de fonctions définie par : Ja) = (LEUR

Er

ai0 11

3. Soit (n), en une suite de fonctions qui converge simplement

Vrai

Faux

bp

dE

sur ]0,1]. Si la suite converge uniformément sur [a, 1] pour

a > 0 aussi petit que l’on veut, alors la suite converge unifor-

mément sur ]0,1].

À. Étudier la convergence de la suite de fonctions définie par :

fax) = sinnxe"*

pour

xe [0,1]

TD 8 . Suites et séries de fonctions

149

Analyse de l'énoncé et conseils. La convergence simple ne devrait pas poser de problème. Pour la convergence uniforme, l'étude au voisinage de l’origine devra être soignée. En effet, dans l'expression de fs, sinnx peut prendre la valeur 1 assez près de l’origine quand n est grand.

Soit (fn), en une suite de fonctions qui converge simplement

Vrai

Faux

sur ]0, 1] vers une fonction f. Si fest continue, alors la convergence est uniforme sur ]0,1].

6

C]

C]

ENTRAÎNEMENT (Réponses à la fin du chapitre, page 153)

“a

Soit f : R — R une fonction continue. On considère la suite de fonctions définie par :

h@=f(s+s)1 a) Étudier la convergence simple, uniforme de la suite des fn. ;

b

:

b) Pour 4 et b donnés, quelle est la limite de | f (x+ :)dx quand n tend vers

:

infinie

ù

du Analyse de l'énoncé et conseils. Le graphe de la fonction fn est le translaté de s'attendre graphe de f dans la translation de vecteur Fe 0), il est donc naturel à ce que f tende vers f. Mais qu'en est-il de la convergence uniforme ?

par : a) Étudier sur [0, 1] la convergence simple de la suite de fonctions définie 1 1 et fn(x)=0 pour HA /\ le fn(x)=nsinnnx pour ere 1

uniforme b) Calculer | f(x) dx. Que peut-on en conclure sur la convergence 0

sur [0, 1] de la suite des fn ? courbes représentatives Analyse de l'énoncé et conseils. On étudiera l'allure des tement. compor leur de idée une faire des f\ quand n augmente pour se délit. photocopie autorisée est La Dunod. ©un non

TD Fonctions de plusieurs variables

150

8.

On considère la série de fonctions définie par : Un(x) = (x — 1)[xC2 — x)]”

xeR.

a) Déterminer le domaine de convergence de cette série de fonctions et calculer sa somme x + s(x) quand elle converge. b) Étudier la continuité de s. Montrer que la série ne converge pas uniformément sur son domaine de convergence. c) Donner des intervalles du domaine de convergence sur lesquels la série converge normalement.

d) Étudier l'existence de primitives de s. Peut-on intégrer la série terme à terme ? e) La fonction s est-elle dérivable ? Peut-on dériver la série terme à terme ?

Analyse de l'énoncé et conseils. Cet exercice reprend un grand nombre de points du cours. Il ne comporte pas de grandes difficultés de calcul. On pourra en profiter pour travailler avec soin et précision.

Soit g:[0, +oo[— R une fonction continue bornée telle que g(0) = 0. On considère la suite de fonctions définie sur [0, + [ par la formule :

fnQ) = Re. a) Étudier la convergence simple de la suite. b) Montrer que la suite converge uniformément sur tout intervalle [a, + | avec a > 0.

c) On se donne un nombre € > 0. Montrer que l’on peut choisir a > 0 tel que n(x)| < e pour tout x € [0,4] et pour tout n. Utiliser ce qui précède pour établir que la suite converge uniformément sur [0/01

d) On considère la série de fonctions ai eme. 0

Montrer qu'elle converge simplement sur [0, +oo[ et normalement sur tout intervalle [a, + œ[ où a > 0.

e) Montrer l’équivalence entre I) et IT) :

1) la courbe représentative de la fonction g est tangente à l’axe des x à l'origine ; OO

II) la série de fonctions SP g(x)e 0

”” converge uniformément sur [0, + ol.

Analyse de l'énoncé et conseils. Pour x = 0 l’exponentielle e—"* ne tend plus vers zéro et l'existence d’une limite est liée au fait que g(0) = 0.

TD 8 . Suites et séries de fonctions

151

SOLUTIONS

€ Pouvez-vous répondre ? Fixons une valeur de x € [0, 1] et étudions la limite de (x(1 — x)) T+x quand ñn tend

1»

vers l'infini.

,

Comme 0 < x(1 — x) < 1, alors (x(1 — x))” tend vers zéro

et: fn(x) = (x(1 — x))” + x tend vers x quand n — co. La suite (f,) converge simplement sur [0,1] vers la fonction f définie par f(x) = x.

Étudions maintenant la convergence uniforme. Considérons la fonction définie par :

dn = fat) — F9 = GA 2) = x)" et intéressons-nous à sa borne supérieure sur [0,1].

Comme la fonction u + 4" est croissante sur [0, 1] il suffit de déterminer la borne supérieure de x — x2, trinôme du second degré qui a un maximum pour x = 5 dont

la valeur est T 1

Ainsi

nl

sup |fn(x) — f(x)| = Gi) . Ce nombre tend vers zéro quand n tend vers l'inO 0, alors 0 < (1 — x) < 1, et (1 — x)” tend vers zéro. n tend vers l'infini. Si x = 0, fn(0) = 1 est indépendant de n. Il tend vers 1 quand [0,1] vers la fonction En résumé, la suite de fonctions converge simplement sur f : [0,1] — R définie par f(x) =x six > 0 et f(0) = 1. ue que la fonction limite f Étudions maintenant la convergence uniforme. On remarq il n'y a pas convergence uent conséq Par n’est pas continue mais que chaque f, l’est. [0,1]. uniforme de la suite sur f| sur l'intervalle a pour On peut aussi observer que la borne supérieure de |f, — valeur 1. Elle ne tend pas vers zéro.

152

TD Fonctions de plusieurs variables

Le graphique ci-contre montre l'allure des courbes représentatives de quelques fonctions fn. On voit se dessiner la fonction limite f(x) = x mais les graphes passent tous par le point (0,1) et les pentes sont de plus en plus fortes au voisinage de l’origine. On a l’impres-

1 0,8 0,6

sion que, « à la limite », la courbe s’étire trop et

se coupe. ne:

Si on se place sur un intervalle de la forme

02

uniformément sur [4,1]. En effet :

[a,1], où

A

0

ba

a >0

est fixé, La suite

RS (x) —FR) «+:

=

ip

à

converge

x) = (1 — 4) n —

sn

n

car la fonction x + (1 — x)” est décroissante. Cette borne supérieure tend vers 0.

3» Faux:

voir l'exemple précédent.

4% On a la majoration |f,(x)| = |sinnxe "*| 0, la suite converge uniformément sur [4,1]. En effet, si 30 ANUS

n(x)| = |sinnxe-"X| < e-nx < e-n4

donc sup [fn(x) — f(x)| < e"* tend vers zéro quand n tend vers l'infini. a Ne

ff(x+e) -fOI a) La série est une série géométrique de raison q = x(2 — x). On sait que cette série converge si |g| < 1 et diverge sinon. Le domaine de convergence de la série est donc l'ensemble de x € R tels que: Lean)
0, il existe un entier N(e) tel que : n > N(E)= hf) < €

Vx € [a, + oo

ce qui prouve la convergence uniforme sur [a, +! de la suite des f,, vers la fonc1 tion nulle. c) Utilisons la continuité de & à l'origine. Le nombre € > 0 étant donné, il existe un nombre a > 0 tel que : O0 et alors la série converge. Pour x = 0, comme £(0) = 0, on a une série nulle donc convergente. En résumé la série converge simplement sur [0, + oo[. Soit maintenant 4 > 0. Comme ci-dessus on a la majoration :

a [g(x)le" < Meme, La série géométrique de terme général e7"® est convergente, Il y a bien convergenc e normale de la série De ge "* sur [a, + ol. 0

e) Considérons le reste de rang #1 de la série :

= rn(x)

ee )

p=n+l

ET Up

£@)

oQ )

p=n+l

Me. è

(+1

&(@) 1-e-X

=

8) :) 1-6

-(mrix ”

;

Si la courbe représentative de la fonction $ est tangente à l'axe des x à l'origine, alors X 2 e ; : 30)tend vers zéro . quand x tend vers zéro. On sait que 1 —-e”* x et alors la fonc$ à x tion g1 définie pour x # 0 par gy(x) = 9. tend aussi vers zéro,

On peut donc la prolonger par continuité en posant @1(0) = 0.

TD 8 e Suites et séries de fonctions

157

On se retrouve dans la situation de la question c) avec g1 à la place de g. Le reste de rang ñn de la série converge uniformément sur [0, + co[ vers la fonction nulle. ; X Supposons maintenant que #2 ne tende pas vers 0. Alors g1 non plus ne tend pas

vers zéro. Cela signifie qu’il existe un nombre n > 0 tel que :

Ve n. Alors el}

+1

dl

> en et Hh(Xn)| > 7 e +.

n+1 1 e7 # tend vers - quand n tend vers l'infini, |r1(x1)| ne peut tendre vers e zéro; ce qui prouve que la série ne converge pas uniformément sur [0, + col.

Comme

Commentaire. Nous avons là un exemple de série de fonctions dont le terme général tend uniformément vers zéro sur un intervalle I, et qui ne converge pas uniformément sur Jk

Vous avez compris?

Montrer que la série de fonctions définie par fn(x) = (1 — x)x" converge uniformément sur [0,1].

Séries entières

ENTIEL DU COURS ho A

1.

AI

Convergence des séries entières On appelle série entière une série de nombres complexes dont le terme général est de la forme

complexe.

uw, = 412" où a, est une constante complexe et z une variable

C'est une série de fonctions d’un type particulier. De ce fait, la nature du domaine de convergence est bien connue. Proposition 1 (lemme d'Abel) OO

Soit 5 anz” une série entière et zo € C tel que la suite (lan||zol"}nen soit majorée. 0

Alors, pour tout z € C tel que |z| < |z0| la série converge absolument. 1.1

Rayon de convergence Théorème 1 OO

Soit > anz” une série entière. Alors l’une des deux éventualités suivantes est réalisée :

0

1) la série converge absolument quel que soit z € C ; 2) il existe un nombre réel R > 0 tel que la série converge absolument pour tout z € C tel que |z| . Dans l'éventualité 2) le nombre R est appelé rayon de convergence de la série.

Dans l'éventualité 1) on dit que le rayon de convergence de la série est infini.

TD 9 e Séries entières

D

159

Détermination du rayon de convergence

On ne dispose pas de formule calculatoire, pratique et universelle, pour calculer le rayon de convergence d’une série entière.

On détermine le rayon de convergence d’une série entière en étudiant la converOO

gence de la série de réels positifs >: lanlr" où r est un paramètre réel positif. 0 :

.

[4

Loin Dans certains cas, par exemple si |pe a une limite finie À + 0, alors la règle de % 1 d'Alembert permet de montrer que le rayon de convergence est R = s Mais

pour de nombreuses séries il se peut que

lAn+1 |

n'ait pas de limite, et même qu'il

lan!

n'ait pas de signification quand une infinité de 4, sont nuls.

1.2 Convergence normale des séries entières Soit une série entière de rayon de convergence R > 0. Alors la série converge normalement sur tout disque compact centré à l’origine et contenu dans le disque ouvert de centre l’origine et de rayon R. En particulier, une série entière converge normalement sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre l’origine et de rayon R. Si le rayon de convergence est infini, la série entière converge normalement sur tout compact du plan complexe.

Propriétés de la somme d'une série entière Continuité CO

s(z) sa Soit ) anz" une série entière de rayon de convergence non nul. Soit à De RE à 0 somme pour |z| < R. La fonction s ainsi définie est continue. propos de la C’est une conséquence directe de ce que nous venons de voir à convergence normale.

2.2 Série dérivée OO

La série entière

> anz" a pour série dérivée, la série entière 0

.

mn

x) nanz" = > nanz" 1. n=0

n=1

n’est pas de nature Il est important de bien comprendre ici que cette définition de limites. Cette ents, oissem d’accr nir topologique. En effet on n'a pas fait interve les coefficients. sur ment unique porte définition est purement algébrique car elle délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

160

TD Fonctions de plusieurs variables

La série entière étant connue par la donnée de 49,41,4, -:-,4n, ::+

la série déri-

vée est connue par la donnée de 41 au rang 0, 24 au rang 1, ---,ña, au rang HE

lo

Théorème 2

Une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence.

2.3

Dérivation terme à terme d'une série entière Théorème 3 OO

Soit Ÿ_anx" une série entière de rayon de convergence

R + 0, avec

a, ER

et

0

xER.

Soit s(x) sa somme pour —R < x < R. Alors la fonction s est dérivable et

On 4 : CO

LS

OO

De nanx "T1 = Da. fast n=0

poux

DORE TER!

n=1

Il résulte de ce théorème que la somme d’une série entière est indéfiniment dérivable.

2.4 Intégration terme à terme d'une série entière OO

Soit Sax” une série entière de rayon de convergence R + 0, avec a, ER et 0

:

2e À x € R. Soit s sa somme. La série entière

co

> An 0

X

n+1

n

:

à AUSSI R pour rayon de

convergence et sa somme est une primitive de s.

3.

Développement d'une fonction en série entière Définition 1

Soit f : U — C une fonction définie sur un ouvert de C contenant l'origine. On dit OO

que f est développable en série de Taylor s’il existe une série entière De Anz”, de rayon de convergence R + 0, telle que : 0

NAS

RS

FO) Ÿ anz'. 0

Théorème 4

Le développement d'une fonction en série de Taylor est unique.

TD 9 e Séries entières

161

Dans le cas où tous les 4, et x sont réels on a | 4, = eef0(0) n!

.

Une telle relation est vraie dans le domaine complexe avec la notion de dérivée par rapport à une variable complexe ; en général cette notion n’est pas étudiée en deuxième année d'université.

Recherche des solutions d'une équation différentielle qui sont somme d'une série entière Soit, par exemple, une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux. OO

Si elle admet une solution développable en série entière y = DE ax", cette solu0

tion sera connue quand on aura déterminé tous les a. La recherche de telles solutions se fait en deux étapes. e Recherche des solutions formelles

différentielle dans l'équation On remplace q P oo

oO

nanx" "1

anx", y y P par

y Pa

1

0

(c'est aussi De nanx" 1), y" par y n(n — 1anx""?, et ainsi de suite. 2)

0

L'équation différentielle prend la forme d'une égalité entre séries entières. Par unicité du développement en série d’une fonction, les coefficients de même degré sont égaux. Dans de nombreux cas cela permet de déterminer les 4, possibles. On dit que l’on a une solution formelle car on ne.s’est pas préoccupé de la convergence des séries.

° Détermination des solutions Pour chaque solution formelle on détermine le rayon de convergence. de cette Si une solution formelle a un rayon de convergence R + 0, la somme R,R[. — ] lle l'interva dans solution une série sera effectivement

POUVEZ-VOUS RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 164) OO

À. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

/tme 0, 4

) 12 0 CO

n

2 ——— " 2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière g vV2n+ 1 délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

Ù,

162

TD Fonctions de plusieurs variables

ve

3:

ge entière derpe rares (HAS Déterminer le rayon de convergence de la série "

4.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière ZE

CO

0

(n +5)! 7 V2n+1

2.

Développer en série entière la fonction définie par f(z) = 2

6.

Développer en série entière la fonction définie par f(z) = B+2ÿ : n

7.

Développer en série entière la fonction définie par f(z) =

1

vV1+22

Analyse de l'énoncé et conseils. On pourra utiliser le développement de =

8.

Déterminer les sommes d’une série entière, solutions de l'équation différentielle:

Xÿ" — y = —1. Analyse de l'énoncé et conseils. Il s’agit de mettre en œuvre la méthode du cours. La principale difficulté est de ranger convenablement les termes d’un série par degrés.

4) le

QUESTIONS DE RÉFLEXION (Réponses à la fin du chapitre, page 168)

SE

Des propriétés remarquables de la somme d’une série entière OO

a) Soit f la somme d’une série entière + az” de rayon de convergence R > 0. 0

Pour z = x+iy tel que |z| < R, on note P(x, y) et Q(x, y) les parties réelle et imaginaire de f(z) = P(x,y) +iQ(x, y).

Par dérivation terme à terme de f(z) montrer que :

db =

OX

00 =

—

‘0

00

0P et

0y

=

0x

.

b) Montrer que P et Q sont des fonctions harmoniques, c’est-à-dire vérifient :

AP=AQ=0.

TD 9 e Séries entières

163

©) Soit F un arc de classe C1 par morceaux, orienté, contenu dans le disque de

convergence de la série. On note |f(z) dz le nombre complexe : F

Je +

+iay = ([pas— oày) +i ([Pay+ ax) Fe

F

appelé intégrale de f le long de T.

Montrer en utilisant la formule de Green-Riemann que, si l'est le bord d’un compact

à bord K

contenu

dans

de convergence,

le disque

alors

fred -0.

é

ENTRAÎNEMENT (Réponses à la fin du chapitre, page 169)

/

2.

:

OO

Es

10.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

11.

Soit R le rayon de convergence de la série entière

Z

n

) on

CO

OO

convergence de la série entière

) an 2 ?

) an 2”. Quel est le rayon de 0

0

2nT sv — : £ Déterminer le rayon de convergence de la série entière D cos ue () OO

Déterminer le rayon de convergence de la série entière Da cos ñn z”. 0

n de l'exercice Analyse de l'énoncé et conseils. On peut s'inspirer de la solutio précédent, en s'’adaptant à la situation.

OO

14.

Soit R le rayon de convergence de la série entière

> AAA 0

(45)neN: On considère une suite extraite (4p(n)}neN de la suite OO

Ao(n) 290) ? Que peut-on dire du rayon de convergence de la série D 0

d’une sous-série entière, Analyse de l'énoncé et conseils. Il s'agit en quelque sorte initiale. Pensez à utiliser obtenue en retenant uniquement certains termes de la série délit. autorisée photocopie est Dunod. La ©un non

le lemme d’Abel.

164

;

TD Fonctions de plusieurs variables

15. Déterminer le développement en série de Taylor des fonctions de la fonction définie

f(s)=e T2 parpar f(z)

Analyse de l'énoncé et conseils. Pensez à utiliser le développement de He 16.

a) Déterminer les sommes d’une série entière, solutions de l'équation différen-

tielle :

xy — y =0.

Comparer avec la méthode classique de résolution.

b) Même exercice avec l'équation différentielle : _xy — y = —1. 17. On considère l'équation différentielle:

4(x—x)y" 2 -y=0. a) Déterminer les solutions de cette équation différentielle qui sont somme d’une série entière. On précisera le nombre de solutions et le domaine de validité. On ne demande pas d'identifier les solutionsà l’aide de fonctions usuelles.

b) Même problème avec l'équation différentielle: de

)y" —2y —y=x.

SOLUTIONS

Pouvez-vous répondre ? 1>

j

Il s'agit de la série géométrique de raison 4z. Cette série converge si |a||z| < 1 et 1 diverge sinon. Son rayon de convergence est R = ui a n

2» Étudions la convergence de la série de terme général y = is V2n valeurs de r = |z|. Utilisons la règle de d’Alembert : Unx1

Un

_

V 2n ar 1

—=——=" V2n +3

tend vers r 4

suivant les

quand n tend vers l'infini.

Ainsi la série de terme général u, converge si r < 1 et diverge si r > 1. Le rayon de convergence de la série entière est donc R = 1. G+3) (n + , À 3> Étudions la convergence de la série de terme général y,= =" + suivant les valeurs de r = |z|.

TD 9 e Séries entières

165

Première solution Utilisons la règle de d’Alembert : SRE

+4 a A tend vers r quand n tend vers l'infini.

+3} (LP

Ainsi la série de terme général u, converge si r < 1 et diverge si r > 1. Le rayon de convergence de la série entière est donc R = 1.

Deuxième solution Sir

|

lle terme général un = (n +1)(n +2)(n +3)" de la série tend vers l'infini,

* donc la série

) Un diverge. 0

00

Si r < 1 alors n?uy tend vers 0 et la série D Un converge. 0

_ Le rayon de convergence ne peut qu'être égal à 1.

Troisième solution Utilisons la règle de Cauchy : (n)n =

[Cm fe 1)(n si 2)(n

1

3) hp

ue

ernl(r+#1)(n+2)n+3), > Le

ne

:

tend vers r.

Ainsi la série converge si r < 1 et diverge si r > 1. Vous avez compris? :

_

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

œ

£

)

n

= Van +

Réponse : R =3.

(n +5)! Cl suivant les 4» Étudions la convergence de la série de terme général un = re n : | _ valeurs de r = |z|. Utilisons la règle de d’Alembert :

Uns1 _(n+6) V2n+1I ne

V2n +3

273

Un)

r —

+o

quand n — +00.

La série diverge quelle que soit r # 0. Son rayon de convergence est nul. 5» Il suffit d'écrire :

fG)

_

1 TA =. 3 Le 3+Z 1

1 = 3

FAN tte ) 4

P

our

ze fl

= 3. Comme le dévef(x) est somme d’une série entière de rayon de convergence R ppement cherdévelo le c’est unique, est entière série en fonction loppement d’une ché. délit. photocopie autorisée Dunod. ©un La est non

166

,

TD Fonctions de plusieurs variables

6> La fonction à développer est la dérivée de la fonction z + — sea On sait que l’on peut dériver terme à terme une série entière, et que les deux séries ont même rayon de convergence. On a donc :

1

12

nt [avt

1€

nn+l,

AOercre io) QUE En DD er 7% Partons du développement :

;

Il

ei)

pan

:

:

Re

Cet

u" +...

R=1

et remplaçons 4 par z?. On obtient :

1

z) = = HE

1 1 -z 2 I

ee

R=1.

(2) est somme d’une série entière de rayon de convergence R = 1. Comme le développement d'une fonction en série entière est unique, c’est le dévelopement cherché. OO

8” Cherchons d’abord les solutions formelles y = ù Anx”. OO

OO

1

2

0

On a y = Sa nanx""} et y” = XE n(n — 1)anx"2. L'équation devient : xD nn lux

2 Sert = —1. 0

P

On remarque que seule la deuxième série possède un terme constant. Il est naturel de l'isoler :

J_n(n = Das

9 — D anx" = —1.

2

1

Il faut regrouper les termes degré par degré. Dans la série d nn — 1)ayx" "1 faisons le changement d'indice n — 1=m. On a 2

alors :

Dé n(n—1)anx""l = dm +1)ms

4170

m=1

=2 OO

Cette dernière

somme

s'écrit aussi

l'équation différentielle devient : »

.

.

dm +l)ma,1x7

OO

= DC +l)na,:1x"

m=1

0 + D [nr + Lans — an]xt à 1. 1

n=1

et

167

TD 9 e Séries entières

On en déduit que :

ap=1

et pour

n>1;

4-n(n+1)as1=0|.

Écrivons la relation de récurrence ci-dessus pour n = 1,2,3, ::: ARS 12 a) 4 = pie a3 fa. = 3.4 A4

4-2 =(n—2)(n -1)a 1

An_1 =(n—-1)nan

En multipliant membre à membre toutes ces égalités on obtient pour n > 2: An =

RER

(n—1)!n!

l’on peut donc choisir arbitraiAucune condition n’est imposée au coefficient 41 que (o,e] DE G= Din x! rement. On obtient donc la solution formelle : 1 + 41 : !

À Calculons son rayon de convergence. Posons un = DEEE nt)

0

sr

Compte tenu de la relation de récurrence, on a :

Vr >0

mn

no

mr =0 EL = Jil) n—onn+

Un

une solution de Le rayon de convergence est infini et la somme de cette série est R. sur ielle l'équation différent , non développables Commentaire. Bien entendu, l'équation différentielle a d'autres solutions en série entière. Vous avez compris?

Même question avec les équations différentielles : b) x —y= x a)xy/—-y=0; es

.

:

DL Fe DA Réponses : a) Une infinité de solutions y = 41 : In!

x

$)

OO

1

b) Une infinité de solutions y = 41 Éh ÿ)+ (a1 +2) > NE

délit. autorisée photocopie est La Dunod. ©un non

de

168

.

TD Fonctions de plusieurs variables

Questions de réflexion

: Pen J 9» a) Comme 45 2" = an (x +iy)" admet une dérivée partielle #4 2/71SA par rapport à: x CO

et que la série dérivée Le Ha

converge normalement sur tout compact contenu

0

dans le disque ouvert de centre O et de rayon R, le calcul suivant, de dérivation terme à terme, est justifié : Ô

Ô

OO

OO

.

3/6) = a Dm" pie

L

De même, pour la dérivée partielle par rapport à y: a/ 0

_

3

2m

5

: F2

Se

R=R

:

noce

n=

:

Ô On obtient alors la relation | f(z) = Em f(2), qui donne pour les fonctions P et Q les relations suivantes dites « conditions de Cauchy DE

DR 0m

de

D a

oo

Un ou

—— — En particulier ces relations entraînent que les vecteurs grad (P) et grad(Q) sont orthogonaux. Ce fait permet de représenter certains phénomènes physique s plans (lignes de courant, équipotentielles) par la seule donnée de la fonction f

b) On peut recommencer le même raisonnement pour établir l'existence de 0?f 32 et de 2 2 2 X 0 _ ainsi que la relation SE = 2 qui entraîne :

AP}

o

dP 0x2

o?P

Em

Oy2

0

Net AO)

M

=

0Q

dQ

0x2

Oy2

Ainsi la partie réelle et la partie imaginaire de la somme d’une série entière sont des fonctions de laplacien nul. On dit que ce sont des fonctions harmoni ques. Ceci laisse entendre que les fonctions somme d’une série entière sont très particul ières.

c) Appliquons la formule de Green-Riemann à la partie réelle et imaginaire de fre:

fras- af (-3-29)so fratoa-/]

(-5+5) dxdy = 0

Commentaire. Cette propriété est particulièrement remarquable car la série et le compact à bord sont quelconques. Elle est utilisée notamment pour le calcul de certaines intégrales par la méthode « des résidus ».

TD 9 e Séries entières

169

Entrainement 10> Posons

rl

r1 un = D qe AVEC > 0. Quand

n tend vers l'infini, Un © a

c'est-à-dire

que la série de terme général w, est de même nature que la série géométrique de

à r raison —. 3

Cette série converge pour r < 3 et diverge pour r >3. Le rayon de convergence de la série proposée est donc R = 35. OO

OO

11> Posons Z = 22. La série Ÿ_anz” s'écrit Ÿ_anZ". 0

0

On sait que cette dernière série converge absolument pour |Z| < R et diverge pour

ZI ER: On a donc convergence absolue pour |z| < VR et divergence pour |z| > VR. Le rayon de convergence de la série est donc VR.

1 12» Le coefficient de z” ne peut prendre que deux valeurs 1 et ER Le terme général de la série est majoré en module par Iz|", terme général de la série

géométrique de raison |z| qui converge pour |z| < 1. La série à étudier converge donc pour |z| < 1 et son rayon de convergence est au moins égal à 1. La série ne peut converger pour |z| > 1 car le terme général ne tend pas vers zéro.

Le rayon de convergence est donc égal à 1.

13> Le terme général de la série est majoré en module par z|", terme général de la série

géométrique de raison |z| qui converge pour Iz| < 1. La série à étudier converge donc pour |z| < 1 et son rayon de convergence est au moins égal à 1.

D'autre part, il existe une infinité d'indices n tels que, par exemple,

cos n > NI

1

Pour tous ces-indices, [cosn z°|2> SET

Comes : 1 donc pas Si |z] > 1, alors LR ne tend pas vers zéro et la série entière ne peut converger. Le rayon de convergence est donc égal à 1. OO

et donc le terme 14» Soit zp € C tel que |zo| < R. On sait que la série De an zQ converge 0

:

général, qui tend vers zéro, est borné ; c'est-à-dire qu’il existe un nombre que :

M > 0 tel

laz|l0

An — (+ 2)@me2 = 0|.

La relation de récurrence ci-dessus permet de calculer successivement les 43. On notera que le coefficient 4 étant nul, alors tous les 4, d'indice impair seront nuls. On peut choisir arbitrairement le coefficient 40, les 4, peuvent se calculer en écrivant la relation de récurrence successivement pour n = 0,2, --:,2p —2: 40 = 24 U9= 4a4

44 = 646

42p-4 = (2p — 2)42p-2 2p-2 = 2P 42p

En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient :

1 = 246..(Cp) ©

1 Ppi 0

forme : En résumé, les séries solutions formelles de l'équation différentielle sont de la

Sr ÿ #

0

à

2p _

nl

Gr

NE DA

Dr . a ne)

0

ent quel que soit x. On reconnaît une série exponentielle, qui converge absolum 2

:

_

;

re ce est solution de l'équation La somme de cette série y(x) = ape 2, où 49 est arbitraire, différentielle. délit. photocopie autorisée Dunod. ©est La un non

172

TD Fonctions de plusieurs variables

L'équation différentielle proposée est linéaire du premier ordre. Elle s'écrit, sur tout intervalle ne contenant pas zéro : ;

DE ÿ

#)

2

Elle s'intègre, ce qui donne In|y| = D +k d'où y = Ce? où C est une constante. X

\

x

\

Ces solutions se prolongent à R. On retrouve bien le même résultat. b) Procédons comme ci-dessus. En termes de séries, l'équation différentielle s'écrit : CO

9 +

(an — (+ 2)as2)attl = 21. 0

On en déduit que :

=1

et pour

n>0

ay -(n+2)a,,2 =0

Rien n’est changé les 42,41 2p Par contre, 8e P pour le calcul des 4,. 2p+1 ne sont P pas nuls. Ils peuvent se calculer au moyen de la relation de récurrence comme pour les Ap : 1 = HS

343

43 = 545

Mp-1=

(2P+1)4ÿ4

En multipliant membre à membre ces égalités on obtient : 1

CESSE

Cr D.

Multiplions le numérateur et le dénominateur par 2.4... (2p) = Pp!

2p! 417 23457.. (pl2p+l)

Pp! Gp+1)

ce qui met en évidence la série entière :

D

D Gp

M

2m

En

me

2

qui est une solution formelle particulière de l'équation différentielle. 2 En résumé, les séries solutions formelles de l'équatio n différentielle sont somme de :

: S 1 Cr 0 NL Sr! \2

+

etdeu

x

pl Cp+1)

ap

—_—

(2x5),

On sait que la première série converge absolument quel que soit x. Calculons le rayon de convergence de la deuxième. Posons Up = Ap+1 rP+L et utilisons la règle de d’Alembert : u a

A Drm ie me p—> Up Pc

Ap+1

de

2p+3

ainsi la deuxième série converge absolument quel que soit x.

TD 9 ° Séries entières

173

Il en résulte que les solutions sommes de séries entières sont de la forme :

ae +x

= qpe2 a:

D

2

2 ————— Cp+ 1 (2x )

;

“A

R=oo.

On remarquera que le calcul précis de 42,41 n'est pas nécessaire pour déterminer le

rayon de convergence de la série. On n’a réellement besoin que du rapport donné par la relation de récurrence. +

.

2

A2p+3 4

Ca

Résolvons cette équation différentielle par la méthode classique. dont on connaît la Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre 2

solution générale de l’équation sans second membre y = Ce?2. On procède par « variation de la constante », c'est-à-dire que l’on cherche une foncde

tion x — C(x) telle que y = C(x}e 2 soit solution de l'équation complète : x

x

x

xCe7 —C'e7 —Cxe2 = -1 soit :

Soit F une primitive particulière de e On obtient ainsi toutes les solutions : x2

x?

x?

y(x) = (F(x)+k)eZ = F(xje7 +ke2.

Pour comparer avec l'expression déja obtenue pour (x), il faudrait pouvoir calculer tout de même explicitement la fonction F, ce que l’on ne sait pas faire. On retrouve

s. la solution générale de l'équation sans second membre dans les deux expression n différentielle Commentaire. Pour la question a) il est bien plus simple de résoudre l'équatio sous forme de solution d'une recherche par la méthode classique puisqu'on sait le faire. La priori. à sant d'intéres série entière n'apporte rien F ne Pour la question b) on discerne les limites de la méthode classique. En effet la fonction si on doit utilifaire à travail du bien reste il et usuelles fonctions des moyen au pas s'exprime ser les solutions pour des calculs numériques. des calculs numéPar contre le point de vue série entière est ici plus pratique car il permet riques aussi précis que l'on veu. OO

17>

a) Soit

solution

une

y = + fx”

formelle

de l'équation

différentielle,

alors

n=0 OO

CO

s'écrit : y = DE nanxt Let y’= >» n(n — 1)as x"72. L'équation différentielle n=2

n=1 OO

OO

OO

n=1

n=0

4(x — x?) De n{n — Lan x? — 2 #3 nanx"1 — ne An x” = 0 n=2 délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

TD Fonctions de plusieurs variables

174

soit :

4Y n(n élarters AN n(n — 1)anx" — 29 nanx"” - Ÿ_anx" =0 n=2

eten

n=2

n=1

n=0

regroupant :

S_ [ann — jan — 2nan]x 1= an(n N — Dan + anJx" — 241 — 49 — a1x = 0 n=2

n=2 OO

OO

D 2n(2n —3)an x" 1— NV (an? — 4n + 1)anx"— 241 — ag — mx = 0. n=2

n=2

Considérons

Ÿ_2n(2n — 3)anx" |

et effectuons

le changement

de variable

n=2

n—1=m

soit n = m +1, cette somme devient :

D_2(m+1)(2m —1)ayx1 x" ou encore 2(n+1)(2n Ÿ — 1)ay41 x" m=1

n=1

d’où la relation : (ee)

CO

Ÿ_2(n+1)(2n — 1)ayui x" — d Cr —1)anx" — 2m — a0 — mx = 0 n=1

n=2

1

soit : CO

Ÿ [26 +1) (2n — Lass — (27 — 1Pan]x" + 4nx — 241 — ap — ax = 0 n=2

On obtient alors :

—241 — 40 = 0; 4a — a =0; 2(n +1)4y41 — (2n — 1)a, = 0 pour n > 2 La donnée de 40, arbitraire, permet de calculer 41, puis 42 et tous les 4» par récurrence.

Calculons le rayon de convergence de la série entière obtenue, au moyen de la règle de d’Alembert : An +1 Ce A nd‘ 2(n +1) pe — 1x. An

La série converge absolument si |x| < 1 et diverge si |x| > 1. Le rayon de convergence vaut donc 1.

On obtient ainsi une infinité de solutions sur l'intervalle ] — 1, 1[ suivant le choix fait pour 40. L'espace des solutions obtenues est de dimension 1.

b) On peut reprendre le calcul déjà effectué, on aboutit à : |24 —a9=0;

4m -a=1;

2(n + 1)4y41 — (2n —1)a, = 0 pourn > 2

#

On peut alors calculer tous les coefficients, on obtient encore une infinité de solutions sur | — 1, 1[ formant un espace affine de dimension 1.

Intégrales

dépendant

1 10

d'un paramètre

@

1.

L'ESSENTIEL DU COURS

intégrales du type 1! u f(x, t)dt Soit D C F? et f:D xf[a +o[— R une fonction; souvent

D est une partie du

plan complexe.

On suppose que pour tout x € D, la fonction t+- f(x, t) est intégrable sur tout compact [a,T]; T > a. Ceci se produit par exemple si f est continue ou si, pour tout x, la fonction {+ f(x, t) est monotone.

On va s'intéresser à la convergence de l'intégrale, c'est-à-dire à l'existence d’une 1» limite finie de {lf(x, t) dt lorsque T tend vers +co. a

Ici x est un paramètre et, de ce fait, on rencontre deux notions de convergence pour une telle intégrale.

1.1

Convergence simple Définition 1

+oo

On dit que l'intégrale 10

f(x, t) dt converge simplement sur D si, pour tout

a

x ED, | f(x, t) dt tend vers une limite finie lorsque T tend vers +co. 4

+oo

Quand l'intégrale converge simplement, on note J

f(x, t) dt cette limite.

a

+00

Comme pour les séries, on utilise le symbole | a

photocopie Dunod. © La autorisée délit. est non un

f(x, t) dt dans deux sens diffé-

rents ; d’une part pour poser le problème de convergence de l'intégrale ; d'autre part pour désigner l'intégrale quand il ÿy a convergence.

176

TD Fonctions de plusieurs variables

1.2 Convergence uniforme Définition 2 +oo

On dit que l'intégrale |

f(x, t) dt converge uniformément sur D si :

a

1) elle converge simplement sur D; 2) pour tout nombre e > 0, on peut trouver un nombre A(e) > a tel que :

TA)

— [renar- ['renat=| Pre oarlA=

tel

12

|] fe 1} di]< e

Vx ED.

T

Il est équivalent de dire qu’une intégrale converge uniformément sur D ou qu'elle satisfait au critère de Cauchy pour la convergence uniforme sur D.

Comme pour les suites de fonctions, l'intérêt de ce critère est qu'il ne nécessite

pas le calcul de l'intégrale limite.

On en déduit le résultat suivant, comparable à la convergence normale des séries de fonctions.

TD 10 + Intégrales dépendant d'un paramètre

177

Théorème 1

S'il existe une fonction g : [a, + oo[— R telle que: 1) pour tout x € D et tout t > a |f(t,x)|< g(t); +00

2) l'intégrale il g(t) dt converge ; a

alors l'intégrale |

re

f(x, ?) dt converge uniformément sur D.

a

Citons aussi une formule parfois utile.

Deuxième formule de la moyenne pour un intégrale Soit f et g deux fonctions continues d'un intervalle [a, b] dans R (a O vérifiant [a — r,a+r] C I et tel que l'in+oo

tégrale sh Les t) dt converge uniformément sur [a —r,a+r]; a

+oo

— il existe un x, EItel que l'intégrale |

To o0dr converge ;

4

alors : +oo

1) la fonction x + |

+0

f(x, t) dt est dérivable sur I, de dérivée jl x

a

t)dt ;

a

+oo

2) l'intégrale [a —7,a+r].

il f@t)df

converge

uniformément

sur

chaque

intervalle

a

b

Intégrales du type | f(x, t)dt Soit D C KR et f : Dx]Ja,b] — R une fonction.

On suppose que pour tout x € D, la fonction ++ f(x, f) est intégrable sur tout

intervalle [T,b] ; T > a, mais non bornée quand ft tend vers a. On va s'intéress er

à la convergence de l'intégrale, c’est-à-dire à l’existence d’une limite finie de b | f(x, t) dt lorsque T tend vers 4. ie

TD 10 + Intégrales dépendant d’un paramètre

179

Avec ces précisions on va rencontrer, moyennant certains aménagements mineurs, tout ce que nous avons dans la première section. Les résultats essentiels sont les mêmes.

POUVEZ-VOUS RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 180) ie 1. On considère l’intégrale impropre | 0

Fi:

F+1

Montrer que cette intégrale converge simplement sur ]1, + co[, uniformément sur tout intervalle [a, +oo[ (4 > 1), mais qu’elle ne converge pas uniformément sur ]1, + co.

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie par :

Hd

se

| F+1

3. Soit [x, B] un intervalle et f : [x, 8] x [a, + œ[— R une fonc24, F(x, ft) une primitive par

tion continue. Soit, pour tout

rapport à x de f(x, t). +co

f(x t)dt converge

Si l'intégrale +00

[x, B] alors |

uniformément

a

Fo

F(x, t) dt est une primitive de Î

Vrai

Faux

Tone

sur

ft) db

a

a

ENTRAÎNEMENT

€

(Réponses à la fin du chapitre, page 184) OO

2

t

,

| eu dt diverge pour x < 0.

À. à) Montrer que l'intégrale

il

parties dans b) Soit T un nombre supérieur à 1. En effectuant une intégration par Ti

| sin t dt

177 % sint x > 0. montrer que l'intégrale 1 er dt converge pour tout délit. photocopie autorisée La Dunod. est ©un non

1

TD Fonctions de plusieurs variables

180

c) Montrer le même résultat au moyen de la condition de Cauchy et en utilisant

la deuxième formule de la moyenne.

|

d) En utilisant chacun des procédés précédents, établir que cette intégrale converge uniformément sur tout intervalle [a, + oo[ (a > 0). CO

C}

t

)

e) Soit f la fonction définie par | = dt. Montrer que f est continue sur

10, + col.

; A

t

PT

«+ On considère, pour x > 1, f(x) = fi Te] et la fonction D définie par : 0

D() = (ef)

_

12 (51) | an &-D

Montrer que D(x) tend vers zéro quand x tend vers 1. En déduire un équivalent de f(x) quand x tend vers 1, x > 1. Analyse de l'énoncé et conseils. Montrer d’abord que (x — 1) | Fra 1 ; puis 1 1 1 = =) dt et étudier la contifaire apparaître dans D(x) l'intégrale 1 (x 1)( nuité de cette intégrale pour x = 1.

1

Soit f la fonction de deux variables réelles définie par :

% e-Xsinty

,ÿ) = ———+ di. JG y) fl 1+1+12 a) Déterminer le domaine de définition de f. b) Étudier la continuité et la différentiabilité de fi

Analyse de l'énoncé et conseils. On peut se proposer d'étudier l'existence et la continuité des dérivées partielles (comme fonctions de deux variables).

SOLUTIONS

€ Pouvez-vous répondre ? Le tel 1> Fixons x. Lorsque f tend vers l'infini, = 1 est équivalent à F OO

L'intégrale étudiée est donc de même nature que l'intégrale 1 il

.Ê

TD 10 + Intégrales dépendant d’un paramètre

181

OO

OO

Commentaire. On a écrit | F et non | car cela ferait intervenir une singularité 1

0

pour t = 0 qui n'a rien à voir avec le problème dont nous nous occupons.

Cette intégrale converge pour x > 1 et diverge sinon. OO

Par

conséquent

l'intégrale

à Fa

NOIRE

simplement

sur

l'intervalle

0

IErtosf. Soit maintenant un nombre

Pour

a > 1, alors :

1 ur

mt

Vi

>1,

1

D

CO

CO

Comme l'intégrale | — st convergente, alors nl — converge uniformément

sur [a, + col.

1

1

À

Pour montrer que l'intégrale ne converge pas uniformément sur ]1, +oo[ nous _ allons montrer que le critère de Cauchy pour la convergence uniforme sur ]1, + co[ n’est pas satisfait. Soit T et T’ avec T’ > T ; considérons le nombre D défini par :

de =

D = sup x>1l

ii

Fe A 1

Il s’agit de montrer que D ne peut être rendu arbitrairement petit, même si T est grand. Très précisément nous allons prouver que : dt ‘ EDR A- DCE ANT T) FE 1) UE que / Ne. #1 10 “1

Sur le plan pratique on peut se limiter à des valeurs de À supérieures à 1 (ou à n’im-

porte quel nombre fixé).

On peut donc supposer que T > 1; alors, pour x > 1 (et même pour x > 0) la fonction {+ FE est décroissante, on a donc, pour T 1 tels que fl

+1

ÿA

4

Il n’y a donc pas convergence uniforme sur ]1, co!. 2»

Comme pour l'exercice précédent, on montre que la fonction f est définie sur l’intervalle ]1, + œ[ (c'est-à-dire pour x > 1, à ne pas confondre avec l'intervalle d’intéOO

gration), et que l'intégrale | FT

[a, +o0[ (a > 1).

Snverge uniformément sur tout intervalle

à

Remarquons d’abord que, pour t > 1 fixé, la fonction x +

x +1

est continue.

À priori, la continuité de f sur ]1, + oo[ nécessiterait la convergence uniforme de

l'intégrale sur cet intervalle, mais cela n’est pas nécessaire. En effet, soit xo > 1 et choisissons un nombre 4 tel que 1 < a < xp. La convergence uniforme de l'intégrale sur [a, + œ[ entraîne la continuité de f sur cet intervalle ; donc en particulier pour x = xo. L Pour t fixé la fonction x + FEI est dérivable. Sa dérivée est :

(

1

) HR

Ts

exint +1

( +1}

On voit que c’est une fonction continue de x, (et même de (x, t)).

Étudions la convergence de l'intégrale :

An 1

La valeur de x

à

Int

RU étant fixée,

Les intégrales

de (+1)

A ——— quand on fait tendre f vers l'infini

© Int # ÿ +1

dt et

© Int | pra dt

sont de

est équivalent

22 même nature.

Étudions la convergence de cette dernière intégrale.

Comme on suppose x > 1, posons x = 1 +

SE un

où u > 0. Alors:

u

t

loue

+2

tend vers zéro quand t tend vers l'infini. Cela entraîne que, à partir d’une certaine valeur de f:

. Int

1+

2.

TD 10 + Intégrales dépendant d’un paramètre

183

OO

On sait que l'intégrale | +3 converge : par conséquent l'intégrale |: . dt

converge. En résumé l'intégrale 1È HÉLASS dt converge simplement sur ]1, + oo

dt)

;

Montrons qu'il y a convergence uniforme de cette intégrale sur tout intervalle de la forme [a, + co] où 4 > 1.

ITA

Posons g(x, t) = +17

DVr- a

Il suffit d'établir que, pour t assez grand :

"Dex 1) < ait, rt):

2) | g(a, t) dt converge. 1

Le point 2) étant déja acquis, montrons le point 1). Fixons + et étudions la variation de la fonction x + g(x, f). Il suffit de montrer qu’elle est décroissante, donc que sa dérivée est négative pour t assez grand. Cette dérivée a pour valeur :

ere Int#(# +1 -2F(#+1)nt# dx

(Int)

(HX +14

(# +1Y

P(1-P).

Son signe est négatif pour t > 1. C'est ce que nous voulions obtenir. Nous pouvons maintenant montrer que f est dérivable sur ]1, + oo. En effet, soit xo > 1 et choisissons un nombre 4 tel que 1 < 4 < xp. Toutes les conditions sont

remplies pour affirmer que f est dérivable sur [a, + œ[, donc en particulier en xç.

Faux : cela ressemble à un théorème du cours, mais ce n’est pas le théorème du cours.

F

De plus la propriété est fausse.

Par exemple soit a = 0, f(x, t) = e

*let F(x,t)=

+oo

Si B>ax>0O

L

l'intégrale

e* dt converge

uniformément

sur l'intervalle

0

[x, B], et même sur [x, + oo car: +oo

I

Vx > @

Me:

|

e-% dt

converge.

0 +00

Cependant l'intégrale | 0

+o0

F(x, t) dt est ici |

e —Xt

dt. Elle n’est même pas défi-

0

nie car elle diverge en zéro.

Le théorème du cours concerne des intégrales définies pour la variable x, et dit simplement que :

je(FT era)a- [([letas) dt photocopie délit. autorisée La Dunod. © est un non

184

L

TD Fonctions de plusieurs variables

soit B

+oo

+oo r xt

| (/ e-* dt) a= | x

0

X=B

Ho

an tee Dr

L | a= | DL

0

Flers

0

ee et:

t

On remarquera que la dernière intégrale ci-dessus est bien convergente à la borne 0. On peut écrire ceci sous forme de primitives ; pour x > &: x

+00

jf (/ œ

+oo

put]

e-"! dt)du = 1k

0

È

0

4x

|

—t

OO

di |

u=x

ENT

SET

re

0

t

Une telle égalité est encore valable pour 0 < x < «x. Il suffit de faire le même raisonnement sur un intervalle compact convenable de ]0, + oo.

Vous avez compris?

Déduire de l'exemple utilisé la formule :

Ice| TE à 0 t ED

Indication : Intégrer le membre de gauche de la dernière égalité. Entraînement

4» a) Soit x < 0. Il suffit de montrer que la condition de Cauchy pour la convergence de l'intégrale n'est pas réalisée. Posons x = —u où u > 0 alors, pour k entier: T+2k7Tt sin?

‘. 2kn

Tr+2kn

—dt= | ui 2kn

Tr+2kn

f'sint dt > ! 2kn

(2kn)

(2kn)“sin t dt

T+2kT

cost); "702 (2m)

Quel que soit À > 0 on peut trouver T et T’, avec T' >T > À, tels que : DRM

sin f

j

be

dre 2

La condition de Cauchy n’est pas réalisée et l'intégrale diverge.

b) Fixons la valeur de x. L'intégration par parties donne légalité : T int dt = VUE soit

RE

sin f

:) me dt = — Supposons x > 0. Alors

cos T TX

Par ailleurs, on a la majoration

cost

|—

7

GED

cos T

Tr

+.

T cost

1

+ To

+cos1—x

dt

cos

ri dt.

tend vers zéro quand T tend vers +00.

[cos t| tas

1 Ne #x+l ;

TD 10 + Intégrales dépendant d’un paramètre

’

nr

Il en résulte hi l'intégrale î

ACOS

df converge absolument. Elle est donc conver-

fx+1

1

OS £ gente et je M as

185

tend vers une limite finie quand T tend vers l'infini.

Je

AGE sin f ROUE Ainsi î Ta dt tend vers une limite finie quand T tend vers l'infini, c’est-à-dire 1

THSinE

que l'intégrale | rer dt converge. il

©) Soit T et T’ deux nombres tels que 1 < T < T’. Considérons l'intégrale : Ti t

ae,

‘Hl 1 Si x > 0 la fonction {++ — est décroissante. Appliquons la deuxième formule de la moyenne. Il existe un nombre T” compris entre T et T’ tel que : T4

À

sin f il re d=

1

On en déduit :

HI

:

: sintdt=

"sinLg

1 F —(cosT— cosT d 2

bs

de

2 On sait que T tend vers zéro quand T tend vers l'infini. Si on se donne un nombre e > O, il existe un nombre AE, x) tel que : 2 1 2A0T>1.

T et T’ tels que

Donnons-nous deux nombres parties donne l'égalité: t*

=

cos f Ü tX

T

t tend vers +co.

+

T

T cos ï dt xt

Et, en faisant tendre T” vers l'infini: SE sint 4, _ cos T 2 photocopie Dunod. © La délit. autorisée est non un

PUMLAN

S

Ne

as a SN

Une intégration par

TD Fonctions de plusieurs variables

186

d’où:

7 f me dl < a

1 étant donné, la majoration suivante :

VHELE Ven Comme

|f sde TA

Te

= tend vers zéro quand

T tend vers l'infini, si on se donne un nombre )

e > O, il existe un nombre A(£) tel que T>2A=0 —— est continue sur [4, + oo[ pour tout t, la convergence uniforme de l'intégrale sur

[4, + o[ entraîne la continuité de f sur cet intervalle ;

donc en particulier pour x = xp. Vous avez compris?

, sit

Mêmes questions avec l'intégrale : f) 0

tX

Réponse:Il y a un problème de convergence à l’origineà traiter en plus. L'intégrale converge simplement sur ]0,2[ et uniformément sur tout compact de ]0, 21.

TD 10 + Intégrales dépendant d’un paramètre

187

5 > Justifions d'abord l'exactitude de la formule donnée pour D(x). OO

L'intégrale | 7x converge pour x > 1 et on peut calculer : il

PA

nb

— = lim

1

Donc

f*

— = lim

T—c

1

t

Too

T

#-xtl | —X

1

= ——.

+ 1

1

X

1

dé (x — D | ; dt est; bien égal à 1.

Écrivons :

pente “en Ce)

[+

fe-n(L ut

# f ee

;. RG

©

x—1

D

+]

1

L'intégrale | Res dt converge pour 2x > 1 soit x > 5

Cela signifie que

1 D(x), défini primitivement pour x > 1, est prolongé à l'intervalle l;; co[.

ee Face nf"

De plus on a, pour x > 1: 1

FA + D

ce qui entraîne que | RE

TE

dt tend vers zéro quand x tend vers 1.

Par ailleurs pour x > 1, # +1 > 2 et la double inégalité : 1

ik

dt

D< (1) | EE

a NME a

UT

1

tend vers zéro quand x tend vers 1.

montre que (x — 1) | x 0

En résumé D(x) tend vers zéro et donc (x — 1)f(x) tend vers 1.

f(x) est donc équivalent à ns

quand x tend vers 1.

6> a) On remarque tout d’abord que pour y = 0 la fonction intégrée est nulle. Donc f est définie sur tout l’axe réel.

Supposons désormais y # 0. Pour x

>0ona:

= Héin ty =

in

ie

re

OO

et comme l'intégrale photocopie ©Dunod. La délit. autorisée est non un

SN

—

> ES:

1 a

—

_ 1+t+f

converge, l'intégrale à étudier converge.

TD Fonctions de plusieurs variables

183

Pour x < 0, montrons que l'intégrale diverge en prouvant que le critère de Cauchy n’est pas vérifié. En effet, soit n un entier positif, alors, sur l'intervalle vd 2nn 2nn a TT or —ix 1+1+12 . par € F +” d [en minorant e TC obtient : 1

.

PO

is

otAUS ER rs

fe

2m

ju

soit

TE

pi

eHsinty crie ANS

THÉ

A

HE AID

A +9 + (UE +D 2 Mg

FC

#9)

;

Zu

DE sin ty dt Ÿ

> 27h

T+t+P

y 1+2 T4 (24 np

Cette dernière quantité tend vers l’infini quand n tend vers l'infini. Elle ne peut être rendue arbitairement petite. En résumé l'intégrale converge simplement sur la réunion du demi-plan x > 0 et de l'axe réel. Étudions la convergence uniforme de l'intégrale. Posons : e ES

AE)

=;5

ae

”siniy

À rues rer 18

1+1+82

Pour x > 0 on a la majoration:

e —1Xe;”sinty X,

ja4

gtx y.)

< |

1+t+821

4
0 la fonction |9| est majorée par une fonction de: { dont l'intégrale converge. On peut donc conclure que l'intégrale converge uniformément sur ce demi-plan. Par ailleurs, pour t fixé, la fonction (x, y) -- g{x, y, t) est continue.

Donc f est fonction continue de (x, y) sur ce demi-plan.

On a aussi f(x, 0) = 0 pour tout y. La fonction f est donc constante sur l’axe réel, elle y est donc continue. En particulier il n’y a pas de discontinuité à l’origine. En résumé f est continue sur son domaine de définition. Étudions

l'existence

Ô

de Le yo) pour

xo > 0. Choisissons

un réel 4 tel que

0 < a < x, et plaçons-nous sur l’ensemble 1, = [a, + oo[x{yo}. On vérifie les trois points suivants :

() 1) 8 existe et est continue par rapport à x.

ox

En effet la fonction g est bien dérivable par rapport à x et 2 = bien une fonction continue de x.

:

__ta—Xe:

+t+

définit

TD 10 e Intégrales dépendant d’un paramètre

189

ne 30 2) L'intégrale | _ dt converge uniformément sur 1,. En effet pour x > 4: 0

28 _ te”sin {yo 3 te # x 1+t+82 1+1+82 La fonction dont nous étudions l'intégrale généralisée est majorée par une fonction ne dépendant que de + dont l'intégrale converge. L'intégrale converge uniformément sur ly.

3) L'intégrale définissant f(x, y) converge pour x = Xp, ce que nous savons déjà. : En conséquence f admet une dérivée partielle par rapport à x au point (xo, Yo);

of existe sur tout le demi-plan x > O. c'est-à-dire que x Maïs les considérations développées ci-dessus sont plus profondes. En effet y0 joue un rôle tout à fait accessoire. En fait :

0g est fonction continue du couple (x, y) et non uniquement — d’une part, la fonction x de x;

0 — d'autre part, la convergence de l'intégrale de . est uniforme sur le demi-plan x x > a et non seulement sur 1,.

Ô En conséquence l'application dérivée partielle _ est continue sur le demi-plan

%> 0: Ô

Ô

0y

0y

L'étude de l'existence de si commence par le calcul de

Êj=

te Xcos

PRÉ

ty

- :

Toutes les considérations précédentes peuvent être reproduites, presque à l'identique, en permutant les rôles de x et y.

of

On aboutit à l'existence et à la continuité de an Sur le demi-plan x > 0. Ce qui suffit pour assurer que f est différentiable sur le demi-plan x > 0.

Vous avez compris?

Montrer que la fonction f est de classe C” sur le demi-plan x > 0.

Séries de Fourier

é

L'ESSENTIEL DU COURS hr

1.

Nc

Fonction périodique Soit f : R — C une fonction. On dit qu’elle admet un nombre T > 0 pour période si, pour tout x € R, f(x + T) = f(x). Cette notion est à ne pas confondre avec celle de plus petite période. Par exemple pour f(x) = sin3x, le nombre T = 27 est une es

ë

De

TT

période et sa plus petite période est Fr.

L'idée centrale est d'exprimer une fonction périodique quelconque comme combinaison linéaire de fonctions périodiques standard bien connues. Comme il y a une infinité de telles fonctions standard, on est amené à envisager ses sommes infinies, c’est-à-dire des séries.

Série de Fourier! complexe Les fonctions standard Soit T > 0. On considère les fonctions e; définies par en(x)=e

27ni T jipour n € Z.

Un simple calcul permet d'établir ce qui suit :

1. JosEPH FOURIER né à Auxerre (France) (1768-1830). Son œuvre majeure est la théorie

de la chaleur. Elle l’a conduit à imaginer les séries et les intégrales qui portent son nom. b

On lui doit aussi la notation | , une amélioration des méthodes de calcul approché [rl

des racines d’une équation polynomiale, des travaux en physique expérimentale et même en égyptologie.

TD 11 « Séries de Fourier

191

te

sin£m

WE

0

sin=Mm

2nni,

_27nmi x

| En(X) Em(x) dx = U eT e

T

dx-0

0 T

—_—

ï En(xX) Em(x)dx = T 0

On dit que les e, forment une famille orthogonale de fonctions.

2.2

Les coefficients de Fourier d'une fonction périodique Étant donné une fonction f : R — C de période T, si les intégrales :

D

Li)

= à[ fe

Ttni

1

sont définies pour tout n € Z, les nombres c;(f) sont les coefficients de Fourier (complexes) de f. Il en est ainsi quand la fonction f est continue, mais cette condition n’est pas réalisée en général dans les exemples que l’on rencontre, et d’ailleurs n’assure pas certain mode de convergence de la série de Fourier de la fonction. On préfère demander à f de satisfaire aux points suivants.

2.3 Conditions de Dirichlet! On suppose que sur tout intervalle de longueur égale à la période, il existe un nombre fini de points 41, :--,4, de sorte que :

1) la fonction f est de classe C1 sur chacun des intervalles ouverts délimités par les points 4;, à dérivée bornée ;

2) en chaque point 4;, f admet une limite à droite et une limite à gauche notées respectivement f(4; +0) et f(a; — 0) ;

3) en chaque point 4;, f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche.

2.4 La série de Fourier complexe de f

RS

ir

ne Elle se note JE CnEn OÙ aussi LE Cne T —00

ai

pion , qu'il faut se garder d'identifier à f(x).

— 00

1. GUSTAV DIRICHLET (LEJEUNE -) né à Düren (Allemagne) (1805-1859). Il est le créateur

de la théorie analytique des nombres. Ses travaux sur les séries trigonométriques et les applications à la mécanique et à la physique sont aussi trèsimportants. On lui doit le principe des tiroirs : « sin + 1 objets sont répartis dans n tiroirs, il y a toujours au moins un tiroir qui contient au moins deux objets », qui semble élémentaire mais dont les

conséquences sont très riches.

photocopie ©Dunod. délit. La autorisée est non un

TD Fonctions de plusieurs variables

192

2.5 Convergence de la série de Fourier de f Théorème 1 Jordan!-Dirichlet) Si la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet, alors pour tout x € R la série de +0) +00) au sens suivant : Fourier de f converge vers 2 L

=

de

N

2pni

lim Ÿ cn PS ne ñ—00

=N

et la convergence est uniforme sur tout intervalle compact où f est continue.

2.6 L'égalité de Parseval? Théorème 2

Si la fonction T-périodique f est bornée et a un nombre fini de discontinuités sur +00

[0, T], alors la série de réels positifs SE lcnl? est convergente et a pour somme 1h

L | fx) dx au sens suivant :

T Jo

—

OO

1 fT ps

à 2 5 [ eraPCTdim, Xi N—+00

On dit que la fonction cne, est une harmonique de f. La relation de Parseval, liée

à la convergence en moyenne quadratique, s’interprète en termes d'énergie: l'énergie de f est la somme des énergies de ses harmoniques. ù On remarquera que l'égalité de Parseval subsiste même si les conditions de Dirichlet ne sont pas remplies; en particulier même si il n’y a pas convergence simple de la série de Fourier.

Série de Fourier réelle Étant donné une fonction T-périodique à valeurs réelles, la théorie précédente s'applique, mais on préfère traduire les résultats sous forme entièrement réelle. 1. CAMILLE JORDAN né à Lyon (France) (1838-1922). Il est le plus grand spécialiste de la

théorie des groupes de la fin du xre siècle. Ses contributions en algèbre linéaire et en théorie de l'intégration sont aussi très importantes. Son Cours d'analyse de l'École polytechnique (1880) a formé des générations de mathématiciens. 2. MarC PARSEVAL né à Rosières-aux-Salines (France) (1755-1836). Il est connu pour

avoir démontré en 1799 l'égalité qui porte son nom, dans le cadre des fonctions trigonométriques.

TD 11 e Séries de Fourier

193

On introduit les coefficients de Fourier réels de la fonction, définis (si f est assez régulière) pour n entier positif ou nul par :

me

=? f eos

[ftcos?

Bien sûr, par périodicité on peut intégrer sur n'importe quel intervalle de longueur T. L'avantage de la théorie complexe est que la formule de Moivre contient toutes les formules de trigonométrie, sous une forme particulièrement agréable. Même dans le calcul des coefficients réels il peut être 1}

rentable de remarquer que | f(x)cos 2e dx par exemple est la partie réelle de 0 :

| Je

27rnix

nn

dx

0

La série de Fourier de la fonction est alors :

SU > (ancos 2 + bhsi ne).

Les résultats sur la convergence de la série sont évidemment les mêmes. La traduction de l'égalité de Parseval est : a

2 | rePar-#+ D +12) OO

Si la fonction f est paire, la série de Fourier ne comporte que des cosinus, et si elle est impaire, la série de Fourier ne comporte que des sinus.

4.

Le cas d'une fonction définie sur un intervalle borné Si f : [a,b] — R est une fonction, on peut envisager son prolongement à R par (b — a)-périodicité et considérer son développement en série de Fourier si nécessaire.

ÉRUESS M OUSS RÉPONDRE ? (Réponses à la fin du chapitre, page 196)

1. Soit f la fonction 2r-périodique définie par : fœ)=0

si

—-7r Dore .

Analyse de l'énoncé et conseils. Les deux premières questions concernent des problèmes de convergence de série, de dérivation terme à terme d’une série de fonc-

tions. On aura donc à étudier notamment la convergence uniforme de la série dérivée terme à terme de f. Pour la suite on se laissera guider par l'énoncé en appliquant avec soin les résultats du cours sur les séries de Fourier.

SOLUTIONS

€ Pouvez-vous répondre ? 1» Le graphe de f est:

* Série de Fourier complexe

alculons cy(f) = cn

si n#0

L'f7 De 2 |2 f(x)e "dx Fe

trs

=

ï

dut si 5x : es INT

7e | |nf; —in 27 in 0

Tux

sn-0

à NI

TD 11 e Séries de Fourier

197


2p+1 $

Qp+Lix

|

+ Série de Fourier réelle

Calculons pour n > 0: Nr à | Fey cosnxdx

(fear

—T

il

et

=

=

. 1 sin jp 1 = | cos nx dx = — |

TT

=)

n

‘

T

| dx =1.

0

Ensuite :

|

hais

ep

1 +

T

TT

TT

bn = — | f@) sin nx dx = — L cos x dx = — J_7r

JO

La série de Fourier de f est alors :

Sur l'intervalle

=

=

Fan

nx

| = —-(1 — cos nn). Tin 0

11

L:

[—x, + x] la fonction a deux points de discontinuité qui sont x = 0

ETAIENT.

Pour x=0

la fonction a une limite à gauche f(0 — 0) = Him 0 = 0 et une limite à >

x0

gauche car : pour x < O0,

f(x) — f(0 — 0) =0—0

et pour x>0,

f@-f0+0) _ 9

X

BE

Pour x = 7 la fonction a une limite à gauche f(r — 0) = lim = 1 et une limite à Xp>N() = !

€ on peut trouver un entier

1

ÿ pi É

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz : q

q

il

1

1 (=) 2 0 lg)?Le< lo@i< >P> NO = D n=p n=p Ainsi la série na lCn(f)| = e : lch(g)| satisfait à la condition de Cauchy, donc elle : n 1 sl converge. On procède de même pour la borne —0co. Par ailleurs on a la majoration :

VXER

{nf)e]
0

DT

ay(f) = — [l f(x) cos nx dx = = T

x cos nx dx.

0

TT

J_r

On procède par intégration par parties en posant y = x et v' = cos nx :

an(f) = =(fsST - [ SE à) 3 =: | n Jo nl TT n2

fe-1y — 1].

TL

9

Et =

- 2

= 7. | xdx 0

m4 N? cos (2p + 1)x x

La série de Fourier de f est donc

Li Gp+ir

La fonction f est continue et admet en chaque point une dérivée à droite et à gauche.

Elle converge donc uniformément sur tout intervalle, et même sur KR par périodicité

vers la fonction f. En particulier pour x = 7 on a:

“nt (Enr d’où

Sn nr

Le@p+D

2

ESDE ESOpE Dr = 7,ie 4 es

(2p +1}?

2

1

0 (2p +12

2

_ .ù

L'égalité de Parseval s'écrit :

2 [rer 27

res )

D'où la somme demandée

dei

TER

27 Jo

MAT

>

FD

1

Qp+1}

T2

9%

6

AT 2 (2p +1)

TD 11 e Séries de Fourier

6»

201

a) Écrivons : 1

1

1

EPA

1

bé

ee

NUE

MAÉ

‘Aube

pe:

b) Pour z = eï° la série converge et on a : 1

ee

2—(cos6+isine)

eir®

2m

Les coefficients de Fourier complexes de cette fonction sont : Ci

1 27

1

27

î

Jo

id2)

—

2—(cos0 +isine) eip®

Pour tout 86 on a | pi

e7i70 dg = —

27

Jo

2

COR

(

: 2p+1 DE

)e "qe.

1

= pa

ce qui entraîne la convergence normale sur R, donc

uniforme sur R, et à fortiori sur [0, 2x], de la série.

On peut donc en déduire :

ee> jin PS ct e Dr

Cn

el |ne e =1 2 PS

de

=

7

de.

DE

Dans cette dernière série un seul terme est non nul, celui qui correspond à p=n, 1 d’où

Cn =

on+1

Du fait de la convergence uniforme de la série, on peut dire que f était déja décomposée en série de Fourier, ce que l’on peut écrire :

1

Re

2 — (cos0 +isin®)

2n+1

et en prenant les parties réelles et imaginaires de chaque membre :

2-—cos9 = cosn8 ET TE 2e

sin 0 Re CO

7 >

a) Étudions la convergence de la série (1)

Comme

|(—1)"

COS nX

n2+al

1

|
Développer en série entière la fonction f définie par f(x) = ATEN

Quel est le rayon de convergence de la série obtenue ?

. 2> Calculer le rayon de convergence de la série entière ;

à

PUS

x”

> Are Ne 7): n>3

Déterminer la somme de cette série.

3» a) Déterminer les solutions de l'équation différentielle Axy" +2y —y=0 qui sont développables en séries entières, en précisant le rayon de convergence de ces séries. b) Exprimer ces solutions à l’aide de fonctions usuelles.

4» Soit g la fonction de R x R — R définie par g(f, x) = el cos (229). +00

a) Montrer que les intégrales généralisées

+oo

g(t,x)dt et il re x) dt sont 0

0

uniformément convergentes pour x ER.

b)

Que

peut-on

en

déduire

pour

la

fonction

+oo

h(x) = | 0

h

définie

par

e_* cos(2xf) dt pour tout x ER?

c) Montrer que h est solution de l'équation différentielle y! +2xy = 0. d) En déduire que, pour tout x € R: +oo

| el cos(2xt) dt = h(0)e-*. 0

e) Calculer | j. e" (49) dxdy où De = {(x, Y ER

;x>0, y>0, x2+y2 < R?}.

DR

f) Montrer que : fl

Dr

awty)

dxdy


a) Déterminer, soit sous la forme exponentielle complex e, soit sous la forme

trigonométrique, la série de Fourier associée à la fonction 27-périodique définie par f(x) = e* pour tout x e [-x,r. .

TD + Sujets d'examen

209

b) En déduire la somme de la série numérique

L n=1

GLS a ON

+00

c) Calculer 271

(on donnera deux méthodes).

6» Soit I =]0, + cf. On considère l’équation :

®

#Hen-FRn-0

Yayperxl

92

où f est une fonction inconnue de classe C? sur 1 x I.

a) Que devient l'équation (E) si on effectue le changement de variables U=xXy

U= ;Pour tout (XV) STE?

b) En déduire les solutions de (E).

Sujet 4 (2n 45) |

Pour n € N, on considère la fonction uy

:

S

: R — R définie

par un(x)

PROS

x

= —————.,

Ce

et la série de fonctions De Un(x). n=1

1» Déterminer le domaine de convergence simple de la série. On notera S la somme de la série. 2> a) Montrer que la série n’est pas normalement convergente dans ]0, + cl. b) Montrer qu’on a convergence normale sur [a, + co[ pour tout a > 0. 3> Montrer que la fonction S(x) est de classe C1 dans ]0, +ool.

4» a) Montrer que pour tout x > 0, l'intégrale généralisée

AE

0 V'E(1 + 1x2)

converge. On notera I(x) sa valeur.

b) Montrer qu’on a S(x) > I(x) pour tout x > 0. 5> a) Effectuer dans l'intégrale généralisée

7.

x dt

VH(1 + tx2)

le changement

de

variable u = {x2. En déduire la valeur de la limite, quand x — 0, de I(x), cette

limite étant exprimée sous forme d’une intégrale généralisée. OO

b) Déduire de ce qui précède que Dh un(x) n’est pas uniformément convergente dans [0, + col.

photocopie délit. autorisée La Dunod: © est non un :

n=1

210

TD Fonctions de plusieurs variables

SO LUTIONS

Sujet 1 Exercices

1>

a) L'ensemble C est ee SRE du fermé {0} de R par l'application continue (x, y) + (x — 1) — y de R°? dans R ; c’est donc un fermé. b) Sur Cona Golf

are> 0, donc x > 1.

c) L'ensemble C n’est pas borné. En effet, si x tend vers l'infini, y? tend vers l'infini.

a) Sur Con a f(x, y) = x? +? = x? +(x — 1) > 1 pour x >1 et f(1, 0) = b) Le théorème des extrema liés fait intervenir deux fonctions f et la contrainte g de classe C1 sur un ouvert U de R°. L'ensemble défini par x > 1 n’est Re

ouvert mais on peut prendre U = R?. Il faut

ensuite considérer un point où grad (g) # 0. Dans notre exemple le gradient de g est nul au point (1,0) et le théorème ne s'applique donc pas. Problèmes

a) x2+y2=1. —

b) T =(-sint, cost) = (-4, x).

a) La fonction f admet en tout point des dérivées partielles continues, elle est donc de classe C1 et même C®. Sa jacobienne au point M est:

sue

seb

1x2

:

(i+x2}

ji

1+2x2

142

A+"

b) Si J est inversible, c’est-à-dire si det (J) = Tia Tien # 0, on peut appliquer à fle théorème

d’inversion

locale. Soit M= (x, y), avec

y #0;

il existe un

ouvert

U € R?contenant M, un ouvert V € R? contenant M, une application @ : V — U de classe C1 telle que of= Idy et fo p = Idy. Comme fest C®, @ est C®. 2

3»

a) Dre rues OM” = +

2

X

/ an 1-x2ÿ D'autre part, x? — y? = Her et, si ME C, x? — y? = Eee re = (74e. b) Un vecteur tangent en M' à f,(C) est S — (OM) = …ue (M).

TD + Sujets d'examen

211

La différentielle ent € [0, 2x] de l'application composée t + M(t) + f(M(t)) est la

composée

des différentielles dfwyy © dM(t). La dérivée de cette application en dM

t E [0,27] est donc

dfm() (=

14

——

®) = dfm(s) T

:

c) Le enEur grad (£) est normal à la courbe d’équation $ = 0 qui contient C, donc à

dfmM(T ). —

d) On a grad (g) = 2(x/[2(x°2 + y?) — 1], y[2(x°? + y?) +1]). Le vecteur de composantes (y! [2x2 +y2)+1], — x/[2(x2 + y?) — 1]), normal au précédent, est tangent à f.(C).

Sujet 2 1>

Il s’agit d’une série de nombres positifs de terme général un

1

n2-X(Inn)-

Cette série converge si et seulement si & < 1 ou bien «x = 1 et Bi < —1. 2»

a) D =] — ©, — 1[N]1, + oo.

b)

sup

un(x) = 5 ne tend pas vers zéro, sup/|#A(x)| non plus. Donc uw, ne

xe]1, +ool

D

converge pas uniformément sur D vers zéro et la série ne peut converger uniformément sur D. c) Convergence normale sur [a, b] € D. d) En particulier la série dérivée converge normalement sur tout compact [a, b] C D. Le théorème de dérivation terme à terme s'applique. a) Pour n >1, 0 < an < 1 et 4,41 < an. La suite des 4» décroissante minorée a une

limite 1 € [0, 1] telle que / = sinl soit 1 = 0. b) Comme

Ant1

sinAn

An

An

+ 1, le rayon de convergence est 1. A

Pour z = —1 la série alternée Ÿ (1)

converge.

0

Pour z = 1 on étudie D an. Soit ç la fonction définie par g(x) = CE Elle est telle 0

De plus il existe un xo > 0 tel que, pour 0 < x < x, sinx > g(x). FONT 1 Soit N tel que ax < xo et M tel que a < an. Alors pour p > Ü entier 4N+p > En

que ve 'mE

OO

donc la série >: An diverge. 0 4>r

a) b) cf. chapitre 1, exercice 22. sur K, elle c) Dans F l’ensemble k est borné. En effet comme x — d(x, F) est continue

de a un maximum M et pour x9 € K fixé et y € k quelconque, réalisant la distance M. + diam(K) < y) d(x, xe Kà EF, d(xo, y) < d(xo, x) + photocopie délit. autorisée Dunod. ©est La un non -

212

|

TD Fonctions de plusieurs variables

Dans F l’ensemble k est fermé. Si (y1}1eN est une suite dans k, convergente vers ye F, les x, correspondant aux y, ont une suite extraite convergente...

Sujet 3 1» f(x) = -Su Deer

R= NI

0

2> On trouve R = 1 et si f(x)= ) ANUS ve alors n(n — 1)(n — 2)

RE Et sat =

n>3

Done

2e 5xx 2x

JG)

0en)

7

ni

n>3

Less, 1—x

x)

S xn LS 3» Les solutions sont de la forme y = 4 ne em! de rayon de convergence infini. = !

Pour x > 0, y(x) = 40 ch x et pour x < 0, y(x) = apcos/(—x). Ô

4% a) Pour tout x, |g(t, x)| < el et ETC x) = 2tef. b) La fonction h est de classe C1. OO

c) Procéder à une intégration par parties dans f. tel sin 2xt dt. 0

d) Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme y = e* et À = h(0). €) En passant en coordonnées polaires on trouve 2

ne (+) dxdy MS 2 (1—-e 2 ). f) On a l'inclusion DR € [0,R] x [0,R] C D V5R:

g) Ho)= | er dev. 0

2

5 > a) Série de Fourier complexe ea hi s\Æ 13% Len ee . To lin

. RL shx [1 +2 2 nnréelle : Fi 2h: de Fourier Série es (cos nx + nsin nx)].

sh y b)\ P Pour+=0,—[1 == 1=e0e=1 Fr +2Y Û +re 21

d'où CD d'où ÿ

lt:e?

CITE Ban sitehr À 1).

+oo

Lens de chr ) c) L'égalité Parseval donne : > (—1) == si|7T——-—1). Dre 2 2 Chr On obtient le même résultat avec la somme de la série de Fourier pour x = 7 qui vaut It TT e-

+e

”

TD + Sujets d'examen

213

of | LOF

L'équation(E) (E)devient devient 6» a)) L'équation

Liiasrs0

2u oo.

Ô b) Pour v fixé on pose g(u) = D, v). L'équation (E) peut s’écrire 2ug’(u) = g(u), et comme u > 0 on déduit g(u) = A /u, la constante À dépendant de v; soit encore

of ——(u, v) = Ov

A(v)Vu où À est une fonction arbitraire de classe C1.

On obtient ensuite f(u, v) =(v)/u où A est une fonction arbitraire de classe C2.

Par rapport aux variables x, y on obtient f(x, y) = À () VX.

Sujet 4 1> Le domaine de convergence simple est R.

1 : a) On trouve sup un(x) = = terme général d’une série divergente.

2

b) Ont n trouve .

I

a Va

Un(x) = ——————.— :

TEST AE

pour L —: Ona ln n u/(x) = ————

RE

et,et, pour x > a > 0:

nN

(=

2

VnA+n2)|

1 + nx?

:

1

/nA+ne2}

2

Vn(A+nx2)

1

,

Vn(+ne2ÿ

Ainsi la série dérivée converge normalement sur [a, + col. De plus, la série converge pour au moins une valeur de x. n+1

x dt

4v b)b)P Pour n #1,

De dre

5

Mer

>

On

DD

obtient

b) Comme

0

=

Be or Ji Vi(+h2) au) | —
0,S (x) ne peu ttendre vers 0 = Ÿ

La fonction S n’est pas continue pour x= 0, et la convergence n'est donc pas uniforme sur [0, + co.

photocopie ©Dunod. La autorisée délit. est non un

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Index

A

différentielles, 36

ABEL — lemme d’, 158, 163 — transformation d’, 124 accroissements finis, 21, 38

distance — déduite d’une norme, 2

— de la composée de fonctions, 38 d’ALEMBERT (règle de), 124 DIRICHLET, 191 — conditions de, 191

— théorème de LEJEUNE-DIRICHLET, 191

BOLZANO-WEIERSTRASS (théorème de), 5

C

E

CAUCHY

exponentielle

— conditions de, 122

— critère de, 144, 146, 176 — règle de, 124 CAUCHY-SCHWARZ (inégalité de), 195 compact à bord, 109 connexe par arcs, 22, 23 continuité — en un point, 19 — prolongement par, 20 — uniforme, 21, 22

convergence, 121 — absolue, 122

— d’une intégrale impropre, 175 — — — —

d’une série de fonctions, 146 d’une série de Fourier, 192 d’une suite de fonctions, 143 normale, 148, 159

— rayon de, 158 corrélation linéaire, 66

courbe intégrale (d’une équation différentielle), 107

D

— d’une matrice, 134 — série, 125

étoilé (ensemble), 108 extrema

— libres, 62 — liés, 64 F

facteur intégrant, 107, 112

forme différentielle — exacte, 106 — fermée, 106 FOURIER, 190 — coefficients de, 191 — série de, 191, 192

frontière (point), 3 FUBINI (formule de), 86, 88

G gradient, 41 GREEN-RIEMANN (formule de), 109, 163, 168

dérivée suivant un vecteur, 36

dérivées partielles, 34 déterminant jacobien, 39

intérieur (point), 3

216

TD Fonctions de plusieurs variables

L

— normes équivalentes, 2

limite — d'une fonction, 4 — d’une suite, 3

— notation en dx, dy, 37

P

M

parties compactes, 5

maximum, 79 minimum, 79

PARSEVAL (égalité de), 192

multiplicateur de Lagrange, 64

POINCARÉ (théorème de), 108 produit de deux séries, 125

N

Fr

norme, 1

TAYLOR, 62

- dans RP ,2 — de u, 22

— d’une application linéaire, 22

— formule de, 62, 122 — série de, 160, 170

043959 (1) (2.5) OSB 100° LAS Imprimerie Arts Graphiques du Perche 28240 Meaucé Dépôt légal : novembre 1998 — N° d’Imprimeur 99133 Imprimé en France

+

SCIENCES SUP

Louis Niglio

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

Les ouvrages de la série «TD» répondent à trois objectifs : 1. «APPRENDRE» : un résumé du cours met en lumière l’essentiel de ce qu’il faut savoir. Il est suivi de tests de connaissances. 2. «COMPRENDRE» : des questions de réflexion structurent les connaissances et leur donnent du sens en les mettant en relation avec d’autres domaines. Elles éveillent la curiosité pour favoriser l’activité scientifique. 3. «APPLIQUER» : des exercices d'entraînement permettent de se préparer à l'examen. Leur énoncé est suivi de conseils pour les aborder et leurs solutions détaillées mettent l’accent sur le raisonnement et la méthode à mettre en œuvre. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants du premier cycle (DEUG MIAS/MASS). Il couvre en 11 chapitres et 169 questions et exercices le programme d’analyse de 2° année : — topologie ; — calcul différentiel ;

TD de mathématiques pour le DEUG MIAS/MASS : e Fonctions d’une variable (à paraître)

+ Fonctions de plusieurs variables + Algèbre générale (à paraître) + Algèbre linéaire (à paraître)

MATHÉMATIQUES

— intégrales simples et multiples ; — suites et séries de fonctions ;

— séries de Fourier. Un dernier chapitre regroupe quelques sujets de synthèse pour se pré; parer à l'examen.

Louis Niglio est maître de conférences à l’université du Vaucluse.

PHYSIQUE

PHYSIQUE APPLIQUÉE

INFORMATIQUE

WII

SCIENCES DE LA NATURE ET DE LA VIE

9178210010 ISBN

2 10 003959 8

Code

043959

be\eR