Física - Volume 1 - Mecânica [1] 85-262-1813-1

Table of contents :
Capa
......Page 1
Ficha Catalográfica
......Page 4
Apresentação
......Page 5
Sumário
......Page 7
Unidade 1 - Introdução à Física
......Page 9
Capítulo 1 - Introdução à Física
......Page 10
Unidade 2 - Cinemática escalar
......Page 27
Capítulo 2 - Introdução
......Page 28
Capítulo 3 - Movimento Uniforme
......Page 54
Capítulo 4 - Relações gráficas entre espaço e velocidade
......Page 62
Capítulo 5 - Movimento uniformemente variado
......Page 74
Capítulo 6 - Relações gráficas entre velocidade e aceleração
......Page 90
Capítulo 7 - Queda livre e lançamentos verticais
......Page 97
Unidade 3 - Cinemática vetorial
......Page 107
Capítulo 8 - Vetores
......Page 108
Capítulo 9 - Deslocamento, velocidade e aceleração vetoriais
......Page 127
Capítulo 10 - Composição de movimentos
......Page 143
Capítulo 11 - Lançamentos sob a ação da gravidade
......Page 148
Unidade 4 - Cinemática angular
......Page 161
Capítulo 12 - Introdução à cinemática angular
......Page 162
Capítulo 13 - Movimento circular uniforme
......Page 169
Unidade 5 - Princípios da Dinâmica
......Page 175
Capítulo 14 - Introdução à Dinâmica
......Page 176
Capítulo 15 - Conceitos de força e inércia
......Page 181
Capítulo 16 - Primeira e terceira leis de Newton - Condição de equilíbrio de um ponto material
......Page 192
Capítulo 17 - Segunda lei de Newton
......Page 215
Capítulo 18 - Análise dinâmica dos movimentos curvilíneos
......Page 237
Unidade 6 - Trabalho e Energia
......Page 249
Capítulo 19 - Trabalho e potência
......Page 250
Capítulo 20 - Energia
......Page 267
Unidade 7 - Quantidade de movimento
......Page 291
Capítulo 21 - Impulso e quantidade de movimento
......Page 292
Capítulo 22 - Conservação da quantidade de movimento
......Page 303
Unidade 8 - Gravitação
......Page 317
Capítulo 23 - Gravitação
......Page 318
Unidade 9 - Equilíbrio de um corpo extenso
......Page 337
Capítulo 24 - Equilíbrio de um corpo extenso
......Page 338
Unidade 10 - Hidrostática
......Page 349
Capítulo 25 - Hidrostática
......Page 350
Algarismos significativos
......Page 372
Sistema Internacional de Unidades (SI)
......Page 373
Alfabeto grego
......Page 377
Respostas dos Exercícios......Page 378
Contracapa
......Page 388
Capa Aberta
......Page 389

Citation preview

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editora scipione

RESPONSABILIDADE EDITORIAL Mizue Jyo Gerson Ferracini ASSESSORIA DIDÁTICA Sônia Salém REVISAO Denise de Almeida Oswaldo Cogo Filho Irene Hikichi COORDENAÇAO DE ARTE Sérgio Yutaka Suwaki Maria do Céu Pires Passuelo PROGRAMAÇAO VISUAL E CAPA Sylvio Ulhôa Cintra Filho FOTO DE CAPA

(Turbinas de vento) Tony Craddock/Stock Photos ILUSTRAÇOES Diarte Triart COMPOSIÇAO Diarte Ed . e Comercial de Livros Ltda .

todos os direitos reservados

editora scipíone Itda . Pra ça Carlos Gomes, 46 01501 - São Paulo - SP Caixa Postal 65 .1 31 Tels . (011) 37-4151 e 37 -3 033 Fax (011) 36-8431 1991 divulgação Rua Fagundes, 121 01508 - São Paulo - SP Caixa Postal 65 . 131 Tels . (011) 37-4151 e 37 -3033

ISBN 85-262- 1813-1

APRESENTACÃO • É com grande satisfação que entregamos aos cole gas professores esta edição reformulada de nossa coleção de Física. A reformulação seguiu duas linhas -mestras : • Consolidar o método proposto na edição anterior, em que, além do método axiomático, tão largamente difun dido em nosso país, buscam -se as bases do aprendiza do de Física também na evolução histórica das idéias , na observação do mundo real e na aplicação práti ca da ciência. • Adequar melhor a obra ao dia -a-dia da sala de aula , tornando -a mais " amigável" para o professor. Diver sos pontos que se revelaram excessivamente carrega dos na primeira edição foram totalmente refeitos , prin cipalmente no primeiro volume . Dessa forma, o livro transmite o mesmo conteúdo da edição anterior, de for ma mais leve . Além de atender a esses objetivos prin c ipais , a reformulação também permitiu atualizar os testes de vesti bulares que se espalham pelos três volumes . A estrutura da obra continua a mesma: os capítulos de teoria são divididos em pequenos módulos, que em ge rai podem ser abordados em uma aula . Cada módulo con tém exercícios resolvidos, onde são apresentadas técni cas de solução de problemas, seguidos de exercícios pro postos, que constituem aulas planejadas . Pa i'a uma abor dagem mais extensa ou mais profunda, há os exercícios complementares. Ao final de cada capítulo há um conjun to de testes de vestibulares . Algumas unidades contêm um capítulo introdutório, que apresenta a evolução histórica das idéias centrais . A utilização desses capítulos é opcional, isto é, a matéria curricular propriamente dita se inicia no capítulo seguinte . Sugerimos que esses textos sejam lidos pelos alunos e eventualmente discutidos em aula, como introdução aos assuntos correspondentes. Agradecemos a todos que auxiliaram neste trabalho, principalmente aos professores que nos orientaram com suas críticas e à equipe editorial da Scipione . Acreditamos estar oferecendo aos colegas de profis são uma ferramenta a mais em seu trabalho , que talvez permita tornar um pouco mais gratificante a difícil tarefa que é ensinar em nosso país. Quaisquer críticas e sugestões sobre a obra serão bem-vindas. Os autores

As fotografias estroboscópicas que constam deste volume foram produzidas por uma equipe coordenada pelo prof. Rodolpho Caniato, da qual o autor Antonio Augusto Parada era integrante, durante sua permanência na Universidade de São Paulo. Lembramos que a utilização de fotografias estroboscópicas na exploração dos conceitos da Física vem sendo objeto de estudo do prof. Caniato desde a época em que ele trabalhava na UNESP e na UNICAMp, onde também coordenou equipes com o mesmo objetivo.

SUMÁRIO Unidade 1 Capítulo

Unidade 2 Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo

Unidade 3 Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo

Unidade 4 Capítulo Capítulo

Unidade 5 Capítulo Capítulo Capítulo

Capítulo Capítulo

Unidade 6 Capítulo Capítulo

Unidade 7 Capítulo Capítulo

Unidade 8 Capítulo

Unidade 9 Capíiulo

Unidade 10 Capítulo

Introdução à Física 1 - Introdução à Física .... Cinemática escalar 2 - Introdução... .. .... ... ...... . 3 - Movimento uniforme 4 - Relações gráficas entre espaço e velocidade ... ........... .... .......... .... ..... ...... 5 - Movimento uniformemente variado . 6 - Relações gráficas entre velocidade e âceleração ..... .... ....... .. 7 - Queda livre e lançamentos 'Jerticais . Cinemática vetorial 8 - Vetores .......... .. ... 9 - Deslocamento, velocidade e aceieração vetoriais . 10 . Composição de movimentos 11 - Lançamentos sob a ação da gravidade ............... Cinemática angular 12 - Introdução à cinemática angular 13 - Movimento circular uniforme . Princípios da Dinâmica 14 - Introdução à Dinâmica ................. ...... 15 - Conceitos de força e inércia ..... .......... 16 - Primeira e terceira leis de Newtoncond ição de equ ilíbrio de um ponto material. .. ... ........ ... ....... ....... ............... 17 - Segunda lei de Newton. . ... .... . ... í 8 - Análise dinâmica dos movimentos curvilíneos .... .... Trabalho e energia 19 - Trabalho e potêr:cia 20 - Energia ........... ..... ... . .. ... ... .. ... . Quantidade de movimento 21 - Impulso e quantidade de movimento .. 22 - Conservação da quantidade de movimento .. ............. Gravitação 23 - Gravitação .... .. ...... .. ............... Equilíbrio de um corpo extenso 24 - Equilíbrio de um corpo extenso . Hidrostática 25 - Hidrostática ..... ... .............. ... ....... .

Apêndice lO Algari smos significativos • Notação científica lO Sistema Internacional de unidades (SI) • Noções básicas de trigonometria .. Alfabeto grego

Respostas dos Exercícios

8

26 52

60 72

88 95

106 125 141 146

160 167 174 ·179 190 213 235 248 265

290 301 316 336 348

Capítulo 1 Introdução à Física

"Por convenção doce é doce, por convenção amargo é amargo, por convenção quente é quente, por convenção frio é frio, por convenção cor é cor. Mas na realidade o que há é átomos e o vazio. Isto é, os objetos dos sentidos supõem-se reais, sendo costume considerá-los como tal, mas na verdade eles não o são. Apenas os átomos e o vazio são reais. " (Demócrito _. séc. IV a.C.)

1 Um breve histórico Ciência no mundo antigo Desde o início da civilização, o homem procurou encontrar explicações para o mundo à sua volta. Os gregos foram os primeiros a organizar sistematicamente as explicações, criando a Filosofia (em grego , signifi,ca 'amor à sabedoria'). A Física, um dos ramos da Filosofia grega, buscava explicar os fenômenos da natureza, englobando assuntos que hoje pertencem à Biologia, à Química e à Medicina. Muitos filósofos gregos se dedicaram à Física: Demócrito (400-360 a.C .), o primeiro a lançar o conceito de átomo; Aristarco (310-230 a.C.), o primeiro a lançar a idéia de que a Terra gira ao redor do Sol; Arquimedes (287-211 a.C.) etc. ...,........,..----."" Dentre os filósofos gregos, Aristóteles (384-322 a.C.) foi quem produziu o trabalho mais extenso e importante. Ele conseguiu sistematizar praticamente todo o conhecimento científico reunido pelos gregos até sua época. A obra de Aristóteles serviu de referência durante muitos séculos para muitas gerações de cientistas. Uma das idéias defendidas por Aristóteles foi o geocentrismo, ou seja, sistema em que a Terra ocupa o centro do universo, e os demais corpos celestes giram ao seu redor. O geocentrismo foi um estágio muito importante do pensamento humano. Ele refletia a visão do homem antigo acerca do mundo: a existência do universo em função do Homem , que era o Aristóteles, visto por um pintor renascentro de tudo. centista.

8

Grande parte do patrimônio cultural grego difundiu-se pelo mundo na época de Alexandre, o Grande (332 a.C.), que fez grandes conquistas militares. Alexandre fundou uma grande biblioteca em Alexandria, no Oriente, que foi um dos maiores centros de estudos da antiguidade . Após o declínio da civilização grega, a cultura do mundo ocidental centralizouse em Roma. Nesse período (séc. 11 a.C.-séc. V d.C.), a produção cultural se deu principalmente nas Ciências Humanas, corno a História e o Direito . As Ciências Naturais , com exceção da Medicina, não apresentaram evolução significativa.

Idade Média Na primeira fase da Idade Média (séc. V-VIII), a grande maioria da população européia vivia no meio rural , dedicando-se à agricultura. Essa vida restrita a pequenas comunidades dificultou a criação científica. Só na segunda 'fase (séc . VIII-XIII) , com a retomada do comércio na Europa, as cidades passaram a se desenvolver e a ciência voltou a florescer . Muitos textos gregos que haviam chegado ao Oriente no tempo de Alexandre, e que posteriormente haviam sido traduzidos para o árabe, chegaram à Europa com a retomada do comércio. Uma nova visão do mundo se impôs, valorizando a racionalidade como forma de o homem atingir a sua plena realização . Nessa época foram criadas na Europa. as primeiras universidades, importantes centros culturais que subsistem até os dias atuais.

Renascimento O Renascimento (séc. XIII-XVI) foi um período de fecunda atividade científica, centralizada principalmente nas universidades. Nesse período, muitos conceitos básicos foram alterados, em meio a discussões que não raro resultaram em violência. Entre muitos cientistas importantes do Renascimento, podemos destacar Leonardo da Vinci (1452-1519), Nicolau Copérnico (1473-1543) e Galileu Galilei (1564-1642) . Um dos exemplos mais importantes da renovação de idéias foi a su~stituição do geocentrismo pelo heliocentrismo. O heliocentrismo concebia a idéia do Sol como centro do universo, e os demais planetas e a Terra girando ao seu redor. Essa idéia já havia sido lançada por Aristarco no século 111 a.C., sem , no entanto, obter aceitação . No século XVI essa idéia foi retomada por Copérnico. Posteriormente, a teoria heliocêntrica foi aperfeiçoada por cientistas como Giordano Bruno, Johannes Kepler e Galileu . Galileu e Giordano Bruno foram mais além, sugerindo inclusive a idéia do universo infinito. Universo heliocêntrico de Copérnico. A Terra e os outros planetas giram em torno do Sol. A esfera mais externa é a esfera das os trelas fixas.

9

o heliocentrismo e a idéia do universo infinito encontraram forte resistência da comunidade científica, e particularmente da igreja católica, pois contrariava a doutrina cristã. Segundo ela, toda a criação existia em função do Homem, que era o centro do universo . A igreja católica tinha um grande poder político nessa época. Giordano Bruno foi processado e condenado à morte. Foi queimado vivo em 1600. Galileu, para escapar à morte, negou publicamente suas idéias, passando o resto de sua vida confinado em sua casa, sem participar de qualquer debate público. Apesar da repressão exercida pela igreja, as novas idéias acabaram prevalecendo . Hoje , sabemos que o Sol é apenas uma pequena estrela, e que há inúmeros sistemas planetários como o nosso . Dentre os pioneiros da ciência moderna, costuma-se atribuir grande importãncia à figura de Galileu . Ele procurou aprofundar-se no estudo dos elementos básicos dos fenômenos naturais , sendo o primeiro cientista a utilizar sistematicamente o método experimental. Pode-se considerar que a Física, como a entendemos hoje, nasceu com Galileu . Iluminismo A partir do século XVI , desenvolveu-se um movimento cultural conhecido por iluminismo , que elevou ao máximo a visão racional do mundo. René Descartes (15961650) e Isaac Newton (1643-1727) são citados como os nomes mais importantes desse período . Especialmente na Física, Newton teve um papel muito significativo. Considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos, Newton conseguiu sintetizar o trabalho dos físicos do Renascimento , como Galileu e Kepler, criando um conjunto de leis aplicáveis a todos os movimentos. A importância da teoria de Newton está na generalidade, já que suas leis podem ser aplicadas na Terra, na Lua, ou em qualquer outro lugar do universo. O trabalho de Newton acabou desfazendo definitivamente qualquer idéia de que a Terra pu desse ser o mais importante dos corpos celestes.

Ciência na era industrial A partir do século XVIII, com a Revolução Industrial, a ciência entrou em um estágio de rápida evolução , devido à necessidade de desenvolver novas tecnologias. Com a extensão do conhecimento acumulado e a impossibilidade de uma única pessoa dominar todos os conhecimentos da Física, a conseqüência natural foi a especialização. Surgiram então nomes ligados a assuntos mais específicos: James Joule (1818-1889) estudou as propriedades do calor, Thomas Young (1773-1829) estudou a óptica , Michael Faraday (1791 -1867) estabeleceu as bases do eletromagnetismo, James Maxwell (1831-1879) criou uma teoria eletromagnética unificada etc . Denominamos Física Clássica à Física no estágio em que ela se encontrava no final do século XIX. A Física Clássica divide-se em cinco unidades básicas: Mecânica , Óptica Geométrica, Eletromagnetismo, Teoria Ondulatória e Termodinâmica.

10

Física moderna No final do século XIX, houve a descoberta de fenômenos como a radioatividade, a invariância da velocidade da luz e a radiação dos corpos em alta temperatura que já não se enquadravam mais na teoria da Física Clássica. O desenvolvimento de novas hipóteses levou ao que consideramos hoje Física Moderna. O que vamos estudar é a Física Clássica, ensinada no curso secundário. A Física Moderna é abordada apenas nos cursos superiores de Ciências Exatas.

2 O que é Física? Podemos definir Física a partir de duas características: o objeto do seu estudo e o método que ela emprega. A Física estuda os fenômenos naturais a partir dos seus elementos básicos, formulando leis gerais que permitam prever os fenômenos que vão acontecer. O método empregado é o método experimental, que consta basicamente das seguintes etapas: • Observação: é o exame crítico e cuidadoso do fenômeno , em que se procura formular hipóteses sobre suas causas. • Simulação: é a reprodução do fenômeno, geralmente em laboratório, procurando isolar os fatores que o causam . Nessa etapa, as hipóteses formuladas são testadas sob diferentes circunstâncias . • Medição: é o registro , através de instrumentos, dos valores das grandezas envolvidas no fenômeno . • Estabelecimento de relações: os valores das grandezas , organizados em tabelas, são representados em gráficos, o que facilita estabelecer relações entre elas. Essas relações, que são as maneiras pelas quais uma grandeza influencia a outra, quando confirmadas em novas experiências, passam a constituir as leis do fenômeno analisado. O método experimental, também chamado método científico, não é aplicado só na Física, mas em todas as áreas das Ciências Naturais.

3 Medidas em Física

o processo de medição -

Conceito de unidade

Uma das maneiras de se estudar um fenômeno é estabelecer relações matemáticas entre as grandezas físicas nele envolvidas. Para isso, é necessário medir essas grandezas. Medir é associar valores numéricos às grandezas físicas, através de instrumentos.

11

Qualquer que seja o instrumento utiiizado ou a grandeza a ser medida, a medição se baseia fundamentalmente numa comparação: compara-se a grandeza a ser medida com outra, de mesma espécie , adotada como unidade . O valor numérico atribuído corresponde ao número de vezes que a grandeza é maior ou menor que a unidade . Exemplo Vamos medir o volume de água contida num jarro, uti lizando come unidade o volume de um copo:

o volume de água do jarro equivale a 3,5 copos.

Volum e de água do jarro (V).

V = 3,5 . volume de um copo A partir desse exemplo , vamos generalizar :

I

Medida = número . unidade

Observe que , se a unidade utilizada fosse uma xícara , o valor numérico da medida mudaria . Isso mostra que uma medida , em Física, só tem sentido quando acompanhada pela unidade . Devido à grande quantidade de unidades existentes para cada grandeza física , surgiu a necessidade de padronizá-Ias . Com esse fim , fo i criado o Sistema Internacional de Unidades (SI), apresentado no apêndice . Neste livro procuramos sempre utilizar unidades do SI.

Unidade de tempo A unidade de tempo do SI é o segundo (s). Costumamos também utilizar as unidades minuto (min) e hora (h): 1 min = 60 s 1 h = 60 m i n = 3 600 s

12

Unidade de comprimento A unidade de comprimento do Sl é o mefro (m). No dia-a-dia, util izamos também os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro: i quilômetro (km) = 1 000 m

1 centímetro (cm)

=

1~o m

1 milímetro (mm) = 1 600 m .

Exercícios Propostos 1. Abaixo representamos a unidade de medida de comp rimento denominada polegada . É dada também uma escala em centímetro s. 1 polegada I

o

2

3

4

5

6

7

8

9

10 tem i

~--~--~1----~1----11----~1----11----~----11----~1----~1

a) Quantos ce ntímetros equiva lem a 1 polegada? b) Quanto s milímetros tem de diâmetro um cano de 1/ 4 polegada? c) Qu al a medida do m etro padrão expressa em polegadas? 2 . Durante o t rein amento de um atleta, se u técnico c ronometrou os tempos m ostrados nesta f igura:

Quais são os instantes correspondentes às posições b e c ? 3 . Neste exercício vamos utilizar a unidade de comp rim ento "ma ria" (símbolo: Mr) dad a a segu ir: 1 Mr I

Com o auxílio de um obieto retilíneo qualquer (um lápis por exemplo). meça o co mprimento da linha abaixo utilizando essa unidade. Depois, escreva a medida obtida. I

4 . Transforme em segundos (5) os seguintes intervalos de tempo : a) 4 ,2 h b) 5h 40min

c) 0,2min d) 20min lO s

e) 2h 10min 15 5

13

5 . Transforme em horas (h) os seguintes interva los de tempo : a) 1800s b) 420min

c) 50min45s d) 0 , 5min

6. Transforme em metros (m) os seguintes comprimentos: c) 6,4 · 10 5 cm d) 4,6 . 10- 5 km

a) 72 km b) 10cm

e) 10mm f) 7, 5 . 10 5 mm

7. Nos países de língua inglesa ainda é bastante utiiizada a unidade " pé ", que equivale a 30,5cm . a) Numa casa, a altura inte rna do forro mede 9 pés . Qual o valor dessa medida em metros? b) Qual medida representa um comprimento maior: 20 pés ou 8 metros? 8 . Um caderno de 100 folhas tem 1,35 em de espessura sem as capas. Qual a espessura de cada folha?

Questões 9.

o que é unidade de medida?

10. Como se representa a medida de uma grandeza ? 11 . Quais as unidades SI para med ir comprimento e tempo ? 12. A hora é uma unidade do SI ? 13. Como você procederia se quisesse medir a massa de uma folha de papel e só dispusesse de uma balança cuja menor divisão fosse 100g?

4 Funções e gráficos Função do primeiro grau Um exemplo A figura mostra uma expenenc ia cujo objetivo é medir o vo lume de água em um recipiente em função do tempo . No instante em que o cron ômetro foi acionado, o volume era de 2 1. Depois, anotando-se os valores dos volumes em função do tempo, obtivemos a seguinte tabela: t(min)

V(l )

10-

O

2, 0 3,5 5,0 6,5 8,0

86-

1

2 3 4

14

4-=

Representação gráfica Para analisar a relação entre o volume V (l)

V UI

S -,

6

V (ll I

6

.. . -

-~

t

4

r

,.-.

, r _ .

S -----,.- !

-+-_..- .+

..

• -+

S

1. ........

!

6

+-- .... - --'

4 2

2

t-

t (m inl

O

e o tempo , podemos constru ir um gráfico.

--.

O

• ..

t (m inl

O

4

,

, i

t

t (m in l

4

3

2

Os valores de tempo foram representados no eixo horizontal e os de volume no eixo ve rtical. Note que as escalas adotadas nos dois eixos não precisam ser iguais. Neste caso, a representação gráfica é dada por uma reta . Esse gráfico nos permite calcu lar a V (l l vazão de água, isto é, a quantidade de litros que jorra por minuto. Para isso, vamos s ·--~ 7 isolar um determinado intervalo de tempo 6 e observar o volume de água que jorra /' nesse intervalo. V . ' 4 Vamos escolher dois instantes quais- '2 ~ fquer. Por exemplo: t ( m ini t , = 2 min = O 2 3 4 t 2 = 4 min

~1ffi'~ ~~ . . 1l-j

~

=

A diferença entre t 2 e t , representa o intervalo de tempo decorrido entre as duas medidas. Utilizaremos a letra grega f::::. (delta) para representar essa diferen ça: f::::.t = t 2

-

t , = 4 min - 2 min = f::::. t = 2 min

Analogamente, temos, para os volumes: f::::. V = V 2 - V , = 8 1 -5 1

=

f::::. V = 3 1

Verificamos, portanto , que jorraram 31 de água em 2 min oA vazão é obtida pelo quociente: vazão = f::::. V = f::::.t

~ 2 min

=

vazão = 1,5 1 min V (l)

,

--'TT ÓV = S _ 5{S ó V = 31 6

V

./

V

4

A f.igura representa sobre o gráfico os cálculos fei-

tos para se obter a vazão. Note que o gráfico nos forn,ece imediatamente uma outra informação: o ponto em que a ret a co rta o eixo vert ical nos dá o volume inicial de água.

_ 2 vo lu me inicial : 21

V t ( mini

2

3

4

~

ó t = 4 - 2 = 2 m in

15

Expressão matemática Para chegarmos à expressão matemática dessa função do 1? grau, vamos , por calcuiar o volume de água no rec ipiente no instante t = 2,5 min:

e~ emplo ,

8': ",6 .: ::.

P4-=

~

~.':

t= O

t =

2 ,5 min

Passados 2,5 min, houve um acréscimo de volume igual a 1, 5 11min . 2,5min ~ 3,75 1.

o volume de água no instante t = 2,5 min será: v = 1,5 . 2,5 + 2 V = 5,751 =O>

acrésci mo de vo lume

vo lu me inicial

Para um instante t qualquer, o volume será dado por:

I v-=~3 _, ( 21 = volume inic ial Essa expressa0 contem duas constantes: 1,51 min = vazão de água Toda função de 1? grau é caracterizada através de duas constantes . Generalização:

As grandezas y ex se relacionam por uma função do primeiro grau, se a expressão dessa relação for do tipo:

y

y=ax+b A representação gráfica dessa função é uma reta O valor da constante b é dado pelo ponto onde a reta corta o eixo vertical. O valor da constante a é dado por:

a=

D.y D. X

A constante a se ch ama declividade da reta.

16

6y

a = --6x y = ax

+b

Exercícios Resolvidos 14. Ess a tabela fornece os valores do comprimento de uma mola em função da massa pendurada em sua extremidade.

Fll

Massa (m) (gramas)

Comprimento (centfrnetros)

O

20 25 30 35 40 45

100 200 300 4 00 500

-r

-' ----T~

m

a) Cor~strua o gráfico do comprimento em função da massa . b) Obte nha a expressão matemática correspondente. c) Determine o valor de 1 para m = 350 g . Resolução : a) Gráfico 1 x m : l(cm) 50 40 1-- + - +30 20

OL-~_~

__

on 19) ~_L-~_-L-;.

100 200 300 400 500 600

b) Veja no gráfico que , para 6m = 300 g,

l(c m)

temos 61 = 15 cm. Vamos, então, calcular a declividade da reta: a=

61 6m =

15 em 300 g

= \ a = 0 ,05 cm/ g \

A constante b é dada pelo ponto onde a reta co rta o eixo vertical :

I

b = 20 cm]

Temos , então, a expressão 1 = a . m ou seja:

~05 .

l>m = 500 - 200 = 3009 l> 1 = 45 - 30 = 15cm

m + §]

c) Na expressão 1 = 0,05 . m m = 350 g , temos :

1 = 0,05 . 350 + 20

+ b,

+

20, para

11 = 37 , 5cm\

17

15. Para cada gráfico a seguir, determine a relação matemática entre x e y : a)

c)

b) y

y

1

O

3 4

2

5

6

y

x

, .~ :~

-1 2

4

6

l-J i

I

. 1++-1 ~.~ -~i _.-lj ~ __

-6

Resolução : Os três gráficos são retas ; portanto, são funções do 1.0 grau. A expressão matemática é do tipo x + b para os três , restando, em cada caso, determinarmos os valores de a e b .

y = a

O valor de a é obtido pela inclina cão da reta: ~ . . 6x O valor de b é obtido pelo ponto onde a reta cort a o eixo y .

ai 6y = 20 - 10 6 y = 10

\ LOgo: E~3 a=~=~=25 6x 4 ' b= 5

x

4 2 6 '----v-----' 6x = 6 - 2 = 4

6x = 4 - 2 = 2

b) y

r-"--,

123456x

a=

~~

=

~

= 1

x -

61

[ b =-6 - 4

Logo:

Iy =

-6

c)

6 y 6x

a= -

- 40

10

=-4

[ b = 60

Logo : 5

10

'--v------'

6x = 10 - 0= 10

18

15

Iy =

- 4 . x

+ 60

Exercícios Propostos 16. A temperatura de um recipiente com água em aquecimento foi lida em um termômetro a cada 15s . Os resultados constam desta tabela :

Tempo (t)

Temperatura (e)

(5)

(OC)

0 ,0

30,0

15,0

32,0

30,0

34,0

45,0

36,0

60,0

38 ,0

75,0

40,0

90,0

42,0

105,0

44,0

termômetro (8)

cronômetro (t)

a) Construa o gráfico da temperatura em função do tempo (e x t I . b) Obtenha a expressão matemática que relaciona com t . c) Que temperatura deve ter o corpo quando t = 200 s? Suponha que o comportamento não se altera.

e

17. A "bandeirada " de um táxi custa S 3,00 e cada quilômetro rodado custa S 1,00. Chamando de P o pre ço de uma "corrida " de táxi e de S o número de quilômetros: a) b) c) d)

Monte uma tabela de preços para "corridas" de O até 10km. Construa o gráfico P x S (preço em função dos quilômetros rod ados). Obtenha a rela ção matemática entre P e S. Com o auxílio da expressão matemática , calcule o preço de uma "corrida" de 25km.

Grandezas diretamente proporcionais Um importante caso particular da função do 1.° grau é o das grandezas diretamente proporcionais: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a relação entre elas é constante. Se x e y são diretamente proporcionais , temos:

Lx

=

a (constante)

Logo: I y = a . x

19

Essa expressão pode ser obtida a partir da expressão geral da função do 1? grau : y= a · x+ b b= O A representação gráfica da relação entre duas grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem , já que a constante b é nula.

Rela ção entre duas grandezas diretamente proporcionais.

Exercícios Propostos 18. Um co po leve contendo óleo é co loca do numa balança . O copo é graduado em ce ntíme tros cúbicos e a ba lança, em gramas. Alt erand o o volume de óleo, a massa também se altera . A tabela mostra a re lação entre essas grandezas:

V(cm 3 )

10 20 30 40

m(g)

IV)

8

16 24 32

0.,': :' ,

,

Im)

ai Faça um gráfico da massa de óleo em função do volume. bl Obtenha a relação matemática en tre a massa e o vo lume. cl Qual o signif icado físico da const ante des sa rela ção?

19. Cada um dos gráficos a seguir representa uma relação entre as grandezas y e x . Obtenha em cada caso a expressão matemática co rrespondente: ai

bl y

cl y

x

x

•

20. Se y e x são duas grandezas físicas e y = a tripli carmos o valor de x?

20

x, qual o efeito sobre y se dobrarmos o valor de x? E se

21 . Pegue três moedas diferent es e meça , com uma fi t a métrica , o diâmetro e b comprimento da circunferência de cada uma delas, como mostra a fig ura. a) Construa o gráfico do comprimento das circunferências em função dos diâme tros . b) Calc ule a decl ividade da reta construída . Vo c ê conhece o número obtido?

comprimento da ci, cunferência

rlllfi ;lfllinliiITilIJllllllllljliill'iillill'l'ililillllllllj'IIII O

[

1234567

Função do segundo grau Um exemplo Uma empresa especializada em forração faz o orçamento para aplicação de carpete a partir de três fatores: • Taxa fixa de $ 120,00 para cobrir a despesa de transporte. • Preco do cordão de acabamento, à razão 'de' $ 20,00 o metro. • Preço do carpete, à razão de $ 100,00 o metro quadrado .

cordão

. o

. ". ".

carpet~

.. . . _.'. .

:."

Vamos analisar o orçamento para uma sala quadrada, supondo que o lado do quadrado tenha 5 m de comprimento . 5m

• Comprimento do cordão: 4 . 5 m = 20 m • Área do carpete : (5 m?= 25 m 2

c ordão 5m

..;

....

",

o preço total será de : $ 100,00 . 25

+ $ 20,00

. 20

+ $ 120,00 =

~ ~ - -v- -"

preço do carpete

preço do cordão

$ 3 020,00

fixo

Para uma sala quadrada qualquer, de lado x , teremos um preço y dado pela expressão:

I

y = 1'00 . x 2 + 20 . 4 . x + 120

I

Neste caso , dizemos que o preço é função do segundo grau do lado x, composta pela soma de três parcelas: um valor fixo , um valor proporcional a x e um valor proporcional a x 2 .

21

Podemos construir uma tabela relacionando o preço (y) com a medida do lado do quadrado (x). y(SI

x(m)

y(S)

O 1 2 3 4

120 300 680 1260 2040 3020

5

x(ml

Orçamento para o carpete em uma sala quadrada de lado x.

Lançando esses valores em um gráfico, obtemos uma parábola. Note que não fizemos o gráfico para valores negativos de x, visto que não tem sentido físico uma sala cujo lado tenha medida negativa. Generalização: Duas grandezas ye x se relacionam por uma função do segundo grau se obedecerem a uma expressão do tipo: y = a . x2 + b . x + c onde a, b e c são constantes, com a =1= O. O gráfico dessa função é uma parábola. A parábola pode ter .sua concavidade voltada para cima ou para baixo em função do sinal da constante a: y

y

a>O concavidade para cima

a t,). Temos, então:

D.S = S2 - S, D.t = t 2 - t, A velocidade média (v m) entre t, e t 2 é dada por: _ D.S

vm -

Lit

A velocidade média pode ser positiva ou negativa. Como D.t sempre tem sinal positivo, pois t 2> t " o sinal da velocidade média sempre concordará com o sinal de D.S .

Exercícios Resolvidos 24. No instante t = O, um móvel se encontra na posição 5 encontra na posição 5 = 20m . Determin e:

= 70m. No instante t = 5 s, o mesmo móvel se

ai o intervalo de tempo entre esses instantes bl o deslocamento escalar nesse intervalo de tempo cl a velocidade média do móvel nesse intervalo de tempo Resolução :

= O e t 2 = 5s , temos : 6 t = t 2 - t, = 5s - O 6t = 5s

ai 5endo t,

bl 5endo 5, = 70m e 5 2 = 20m , temos : 6 5 = 52- 5, 6 5 = - 50m

= 20m

- 70m

Note que o deslocamento escalar é negativo, o que significa que o móvel se moveu no sentido decrescente das posições .

40

c) v m =

Ll.S Ll.t

-50m 5s

v m = - 10m/s A velocidade média é negativa, o que indica que o móvel se moveu no sentido contrário ao da orientação positiva adotada para a trajetória.

t,

=

O

5, = 70m

v m = - 10m/s (velocidade média negativa)

o

25 . Um automóvel faz uma viagem de 240 km. M etade do percurso é feita com velocidade média de 60 km/ h e a outra metade , com velocidade média de 40 km/ h . Qual foi sua velocidade média no percurso todo? Resolução : Podemos representar esta situação, esquematicamente, da seguinte maneira : .. 1.. _---

Ll.S = 240km - - --

A ~

____

~

______

_____________

~ A

~ J

Ll. S 2 = 120km

Ll. S, = 120km \.

.,

c

B

v m2 = 40km/ h

v m , = 60km / h

)

A velocidade média no percurso total será dada por: v

m

Ll.S Ll.t

=---

Sabemos que Ll. S = 240km. Precisamos , então, calcular Ll.t. Para isso, vamos calcular o intervalo de tempo decorrido em cada metade , e depois somar esses intervalos: Primeira metade:

Segunda metade:

f Ll.S,: 120km l 60km/ h

f Ll.S lv

Logo :

Logo:

2 = 120 km

m2 = 40 km/ h

Vm, -

120km 60 km h

120 km ~ 40

h

LI.t, = 2h O intervalo de tempo total é: Ll.t = Ll.t, Ll.t = 5h Portanto: vm =

Ll.S M

+ Ll.t 2 = 2h +

3h

240km

= --5-h -

v m = 48km/ h Observe que a velocidade média não é a média aritmética entre 60 km/ h e 40 km/ h .

41

Exercícios Propostos 26. Um automóvel percorre a distância entre duas cidades, que é de 200km, em 4 horas . Qual a sua v elocidade média na viagem? 27 . Um veiculo percorreu a distância de 180km com velocidade média de 50km/h. Quanto tempo gastou na viagem? 28. Um móvel se encontra na posição S = 50m no instante t = 5s e na posição S = 85m no instante t = 10s. Determin e: a) o intervalo de tempo decorrido entre essas posições b) o deslocamento esca lar nesse intervalo de tempo c) a velocidade média no percurso

29 . Nesta trajetória, um ponto material sai de A , vai até C e volta para B. A dotando t = O em sua partida de A , ele chega a C em t = 4s e retoma a B em t = 6s . A origem dos espaços é fixada em A e o sentido positivo é o indicado. Determine :

c

a) os espaços dos pontos A, B e C b) a velocidade média do ponto material entre t = O e t = 4s , entre t = 4s e t = 6s e entre t = O e t = 6 s 30. A figura mostra a estrada SP 330 e as distâncias entre São Paulo, Jundiai, Campinas e Americana . Um carro viaja de São Paulo a Americana , da seguinte forma: sai de São Paulo às 10h, passa por Jundiaí às 11 h, por Campina s às 11 h 30 min e chega a Americana às 13 h, tendo parado durante meia hora para almoço, logo depois de Campina s. a) Complete a tabela, adotando a origem dos espaços em Jundiaí, sentido positivo d'3 São Paulo para Ameri cana, e t = O no começo da viagem . bi Qual foi a velocidade média entre São Paulo e Campinas ? E entre Campinas e Americana ? c) Qual foi a velocidade média total ?

\'+-~

~

Campinas

Jundiai São Paulo

Cidade

Tempo

Espaço

São Paulo

t, =

S, =

Jundiai

t2=

S2 =

Campinas

t3=

S3 =

American a

t4 =

S4 =

31 . Num automóvel, faz-se um determinado percurso em 2 horas a uma velocidade média de 75 km/ h. Se o mesmo percurso fosse feito a uma veloc idade média de 100 km/h, quanto tempo se ganharia? 32. Uma linha urbana de ônib us tem um trajeto de 24km . Se um ônibus percorre essa trajetória em 35 min, qual a sua velocidade média, em quilômetros por hora? 33 . A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de 400km . Se o limite de velocidade máxima foi reduzido de 100km/ h para 80km /h, quanto tempo a mais gastaria um ônibus nesse trajeto , supondo que sua velocidade seja igual à máxima permitida ?

42

34. Um veíc ulo fa z metade do seu percurso com velocidade média de 80km/h e a outra m etaoo com v eloc idade média de 20km/h. Qual a sua velocidade média no perc urso todo ?

35. Prove que, se um veículo percorre metade de sua trajetória com velocidade v 1 e a outra m etad e co m veloc idade v 2' a sua v elocid ade m édia em t odo o percurso é dad a por :

o

A

B

I

11 Registro de movimentos por fotografia estroboscõpica

o estudo cinemático de um movimento exige o conhecimento das posições do ponto material e dos instantes correspondentes a essas posições. Uma das técnicas mais empregadas em laboratório para registrar esses dados é a fotografia estroboscópica, que será utilizada neste livro para introduzir conceitos cinemáticos e para apresentar movimentos em exercícios. A técnica da fotografia estroboscópica consiste no registro, sobre uma mesma chapa fotográfica, de diversas posições de um corpo tomadas em intervalos de tempo regulares . Podemos obter uma fotografia estroboscópi ca submetendo o objeto a uma iluminação contínua e fazendo o obturador da máquina fotográfica abrir e fechar em intervalos de tempo iguais, enquanto o corpo se move . Outra maneira é iluminar o objeto em movimento com luz interm itente , por meio de um flash múltiplo , enquanto o diafragma da máqu ina fotog ráfica permanece continuamente aberto . Para obter um bom resultado com a fotografia estroboscópica, é preciso regular a freqüência do flash múltiplo ou do obturador de acordo com a rap idez do movimento, de modo a obter espaçamentos convenientes entre as posições sucessivas do corpo.

Dispositivo de flash múltiplo, utilizado para obtenção de fotografias estroboscópicas. O botão de graduação destina-se a regular o intervalo de tempo entre duas fotos sucessivas.

Numa fotografia estroboscópica as distâncias não aparecem em verdadeira grandeza. Pode-se contornar esse problema fotografando junto com o corpo uma escala de unidades conhecidas. Pode-se também fotografar um relógio, para mostrar o intervalo de tempo entre as imagens sucessivas.

43

"

c. ·3

g

" B

....

·c u

o c.

.

v

= m

4 , 1 cm = 2 0,02s '

°.

10 2 m /s

Assim, a velocidade instantânea na posição 6 é: v

= 2,0

' 10 2 m /s

Exercícios Propostos 41. Esta fotografia estroboscópica mostra o movimento de uma esfera em intervalos de 0 ,025 s. Com base na fotografia, determine as velocidades instantâneas da esfera nas posiç ões 1 e 2 .

42. A figura a seguir mostra parte de uma fita obtida em um oscilador, puxada por um carrinho de labora tório. Sabendo que o martelete do oscilador oscila com intervalos de tempo de 0 ,002 s, determine : a) a velo cidade média do carrinho entre as posições 4 e 9 b) a velo c idade instantânea na posição 5 e na posição 12

I

I

I

2

3

4

I 5

I 6

I 7

I 8

I 9

I

I

I

I

10

11

12

13

Questões 43 . Quais as grandezas físicas básicas da Cinética? 44. Do que depende a trajetória de um corpo?

49

45. Como se mede o espaço de um ponto material? 46. O que é velocidade média ? 47 . Quais as unidades do SI para espaço e velocidade? 48. Um corpo pode apresentar simultaneamente as velocidades de 30km/h e de 50km/h? 49. Sabendo que a velocidade média de um automóvel, num certo percurso, foi de 50km/h, responda : a) Podemos afirmar que o velocimetro desse automóvel marcou 50km/ h durante todo o percurso? b) Podemos afirmar que o velocimetro marcou 50 km/h pelo menos em um instante durante o percurso? 50. O que significa "velocidade negativa " ? 51 . O que é movimento progressivo e movimento retrógrado? 52 . Um ponto material está na posição S = -10m . Seu movimento é progressivo ou retrógrado? 53. O que é velocidade instantânea?

Exercícios Complementares 54. Dentro de um trem em movimento, uma pessoa joga um objeto verticalmente para cima . Faça o esboço da trajetória desse objeto, em relação: a) ao próprio trem b) ao solo

55 . Um corpo se move numa trajetória retilfnea. No instante t" ele se encontra na posição SI num instante posterior t z ' ele se encontra na posição S2 = -5m.

;=

10m e,

a) Represente essa trajetória, utilizando a escala 1 cm : 5m . Escolha uma origem arbitrária. b) Assinale as posições do corpo nos instantes t, e tz . c) Determine o deslocamento escalar do corpo entre t, e tz . 56. Um trem viaja durante 2 h a 60km/h, passando depois a 80km/h durante 1 h. Determine : a) o deslocamento total do trem b) sua velocidade média 57 . Uma partícu la percorre uma trajetória retilinea PQ, no sentido indicado na figura . X é o ponto médio de PQ . A velocidade média da partícula no trecho PX é de 6,Om/ s e no trecho XQ é de 12,Om/ s. Qual a velocidade média entre os pontos P e Q?

p

x

Q

58. (MAPOFEI -SP) Um automóvel percorre a distância entre São Paulo e São José dos Campos (90km) com velocidade média de 90 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro ( 100 km) com velocidade média de 100km/h; e entre Cruzeiro e Rio de Janeiro (210km) com velocidade média de 60km/h . Calcule a velocidade média do automóvel entre São Paulo e Rio de Janeiro.

50

59 . Apresentamos a seguir uma fotografia estrobosc6pica de uma bola rolando num plano inclinado. Considerando que o intervalo de tempo entre as imagens sucessivas é de 0 ,030s e que os números da escala correspondem a decfmetros, determine : a) a velocidade média entre os pontos A e C b) a velocidade instantânea no ponto B

Questões de Vestibulares 60. (FUVEST-SP) Diante de uma agência do INPS há uma fila de aproximadamente 100m de comprimento, ao longo da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas . Aberta a porta, as pessoas entram , durante 30s, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie : a) o número de pessoas que entraram na agência b) o comprimento da fila que restou do lado de fora 61 . (UFRN) Numa avenida,longa , os sinais de tráfego são sincronizados de tal forma que os carros , trafegando a uma determinada velocidade, encontram sempre os sinais abertos (no verde) . Sabendo-se que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é de 175m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a abertura do sinal seguinte é de 9,Os, qual a velocidade em que devem trafegar os carros para encontrar os sinais sempre abertos? a) 40km/h

b) 50km/h

c) 70km/h

d) 80km/h

e) 100km/ h

°

62 . (UNIMEP-SP) Um ciclista deve percorrer 35km em 1 hora . cic lista observa que gastou 40 minutos para percorrer 20km. Qual deverá ser a sua velocidade média para percorrer a distância restante dentro do tempo previsto ? a) 45km/h

b) 70km/h

c) 60km/h

d) 30km/h

e) 25km/h

63 . (UNICAMP-SP) Uma caixa-d' água com volume de 1 50 litros coleta água de chuva à razão de 10 litros por hora : a) Por quanto tempo deverá chover para encher completamente esta caixa-d'água? b) Admitindo-se que a área da base da caixa é 0,5m 2, com que velocidade subirá o nivel de água na caixa enquanto durar a chuva? 64. (FUVEST-SP) Nos últimos jogos olimpicos o corredor Ben Johnson, desclassificado por ter ingerido drogas, fez 100m em 9,79s. Ao completar o primeiro terço da duração da prova ele tinha atingido a velocidade de 11,9m/s . Durante o 2 .° terço ele manteve sua velocidade constante, para no último terço diminui-Ia até completar a prova com a velocidade de 10m/s . a) Calcule sua velocidade média . b) Faça um esboço do gráfico que representa a velocidade do corredor em função do tempo .

51

· Capítulo 3

Movimento uniforme

1 Definição de movimento uniforme Vamos agora iniciar o estudo de alguns tipos de movimentos, começando pelo mais simples: o movimento uniforme. Partiremos de um exemplo concreto: o movimento de uma esfera de aço rolando sobre uma mesa horizontal. Esse movimento foi registrado por meio de uma fotografia estroboscópica, reproduzida a seguir juntamente com uma escala. A bola rola da esquerda para a direita, e as fotos foram batidas com intervalos de tempo de 0,50s.

em

Uma simples observação da foto, sem medidas rigorosas, basta para perceber uma característica importante desse movimento: os deslocamentos sucessivos são iguais. Lembre-se de que numa fotografia estroboscópica o intervalo de tempo entre fotos sucessivas é constante, portanto, a esfera tem deslocamentos iguais em intervalos de tempo iguais. Isso significa que, se tomarmos um intervalo de tempo duas vezes maior, o deslocamento também será duas vezes maior, e assim por diante. Em outras palavras, o deslocamento e o intervalo de tempo são diretamente proporcionais. Usaremos essa oropriedade para definir o movimento uniforme: Movimento uniforme é aquele em que o deslocamento e o intervalo de tempo são diretamente proporcionais. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, o quociente entre elas é constante. Sabemos que o quociente entre o deslocamento 1:,.S e o intervalo de tempo 1:,.t é a velocidade média v m : 1:,.S vm=~

Concluímos então que, num movimento uniforme, a velocidade média tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado. Isso significa que a velocidade Instantânea também tem valor constante durante todo o movimento. Num movimento uniforme, a velocidade é constante.

52

2 Gráfico do espaço em função do tempo Vamos fazer o gráfico do espaço em função do tempo para esse movimento . Adotaremos a segu inte convenção: • Origem dos espaços: o ponto zero da escala. • Sentido positivo: o sentido crescente da escala. • Instante inicial: como a primeira foto está fora da escala disponível , adotaremos t = no instante da segunda foto. A foto a seguir mostra as posições e os instantes correspondentes (lembre-se que entre duas fotos sucessivas o intervalo de tempo é de 0,5s) . Os valores de espaço podem ser lidos diretamente na escala.

°

t = 0,0 5

t = 0 ,5 5

t = 1 ,0 5

t = 1 , 55

t = 2 ,0 5 sentido do movimento

sentido positivo

origem dos espaços

Veja na tabela ao lado a relação entre o espaço e o tempo. Observe cuidadosamente a foto e os valores registrados na tabela.

A partir desses valores construiremos o gráfico do espaço em função do tempo . Note que o gráfico é re tilíneo. Essa é uma propriedade geral do movimento uniforme.

t(s) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

S(cm) 12 28

44 60

76

S (cm)

80 70 60

/

50

40 30

./

20 10

/

,/ t (5 )

o

0,5

1,0

1, 5 2,0

Num movimento uniforme, a relação entre o espaço e o tempo é representada graficamente por uma reta.

3 Função Horária No·item anterior, vimos que o gráfico do espaço em função do tempo num movimento uniforme é retilíneo, o que significa que o espaço é uma função do p rimeiro grau do tempo.

53

Vamos escrever a equação correspondente a essa função. Para isso, partiremos da definição de velocidade média: 6.S

vm=~

Num movimento uniforme, a velocidade média v m é igual à velocidade instantânea v. Por isso podemos simplificar a expressão anterior, escrevendo vem vez de v m: V=

6.8 6.t

Vamos supor que, no instante zero, o espaço tenha valor So. Teremos então: 6.t = t - O

=

6.S = S - So

v = 8 - 80

=

S- S

Daí: t - O

8

= So

+v

o

=

v.t

. t

Essa é a função horária do movimento uniforme. 50 é o espaço inicial e v é a velocidade dO movimento .

Exercícios Resolvidos 1. Numa estrada, um automóvel em movimento uniforme se encontra no espaço igual a 30km quando seu motorista ac iona um cronômetro . A velocidade do automóvel é 60km/h . a) Onde estará o automóvel quando o cronômetro indicar 15min? b) Em que instante o automóvel atingirá a posição 5 = 90km? Resolução: a) Vamos escrever a função horária desse movimento . O cronômetro foi acionado (t = O) quando o espaço era igual a 30km . Logo, esse é o valor do espaço inicial:

5 0 = 30km A velocidade é v = 60km/h .

5 = 50 + v . t

=

5 = 30 + 60 . t

Queremos saber qual será o espaço quando o cronômetro indicar 15 min (t = 15 minI . Vamos converter esse tempo em horas, pois a velocidade foi dada em quilômetros por hora . 60min 15mln -

1h t

5 = 30 + 69

j t = O, 25h

. 0,25

=

15=

45km

b) Queremos saber qual valor de t corresponde a 5 = 90km . Usando a função horária 5 = 50 + v . t, obtemos : 90 = 30

54

+

60 . t

=

60 = 60 . t

2. A partir dos diagramas de espaço em fun ção do tempo , determine as funções horárias dos movimentos. Para cada caso, diga se o movimento é progressivo ou retrógrado. a)

b)

SIm,

25

S( m )

V

80

/'

r'\.

10 . /

r'\.

tIs

O

l".

l".

tI s

8

O

5

S( m )

Hesolução: a) Espaço inicial : So = 10m

t.S t.t

Velocidade: v= - - =

15m 5s

Função horária: S = So + v . t

6 5 = 25m - l0m [

= v = 3m/s

=IS =

10+ 3t

o movimento é progressivo, pois a velocidade

l

65 = 15m

10

I

/'

25 ,/

'/

V tIs

é positiva .

5

O

6 t = 5s - O 6 t = 5s

b) Espaço inicial : So = 80m Velocidade : v = - 80m 8s

S Im )

=

v= - 10m/s

Função horária : S = So + v . t

= I S = 80 -

10t

6~5= _-8~~m f =0

l

O movimento é retrógrado , pois a velocidade é negativa .

80

"-

"-I'-..

~

t (s)

8

O 6t = 8s - O 6 t = 8s

3 . Duas cidades A e B distam 200km entre si. Simultaneamente, um automóvel parte da cidade A para a cidad e B com velocidade de 60km/h e outro parte da cidade B com destino a A com velocidade de 40km/h, seguindo pela mesma estrada . a) Depois de quanto tempo eles se encontrarão? b) A que distância da cidade A se dará o encontro ? Resolução: Antes de equacionar o problema, é interessante fazer um diagrama. Vamos orientar a trajetória de A para B e adotar como origem a cidade A. Feitas essas convenções, podemos escrever as funções horárias para os automóveis A e B:

Posição inicial (50) Automóvel A

O

Automóvel B

200km

VA A

Velocidade (v)

- 40km/h

e

B

S=O

60km/h

o

vB

200krn

S = 200km

Função horária: 5 = 50 + v . t SA = 60t SB = 200 - 40t

55

a) Os automóveis se encontrarão quando estiverem na mesma posição, ou seja, nesse instante teremos SA = S6' SA = 60t ] S6 = 200 _ 40t SA = S6 =

60t = 200 - 40t

= I t= 2h I

100t= 200

b) Para obter o espaço S no instante t = 2 h, é só substituir esse valor numa das funções horárias.

I S = 60 . 2 = 120km I Como S está medido em relação à cidade A, o encontro se deu a 120km de A.

Exercícios Propostos 4 . Um automóvel percorre uma pista com movimento uniforme . Seu espaço é medido em relação a uma marca feita na pista . No instante t = O o espaço é 50m . No instante t = 2s, o espaço é 120m. a) b) c) d)

Determine a velocidade do automóvel. Escreva a equação horária do movimento. Em que posição o carro se encontra no instante t = 3s? Em que instante o carro atinge o espaço igual a 1 km?

5 . Um ponto material se move de acordo com a seguinte função horária: S= 5

+

2t (unidades SI).

a) Determine a posição do móvel quando t = 7 s. b) Em que instante o móvel passa pela posição S = 25m? 6. Observe o esquema da estrada SP 330 . Um carro sai de Jundiai em t = O, dirigindo-se para Campinas com velocidade constante de 60km /h. Adotando a cidade de São Paulo como origem dos espaços, o sentido positivo de São Paulo para Campinas, determine a fun ção horária do movimento . Utilizando essa função, determine em que instante ele chega a Campinas .

Jundiaí

(km 60) São Paulo

(km O)

7. No mesmo imtante em que o carro do problema anterior sai de Jundiai, um outro carro sai de Campinas e se dirige para São Paulo, com velocidade de 30km/h. Determine a função horária do segundo carro, utilizando o mesmo sistema de referência. Em que instante e posiç ão se dará o encontro dos dois carros? 8. Os diagramas a seguir fornecem a relação entre o espaço e o tempo. Para cada um desses movimentos , escreva a função horária corresponde nte e classifique-os em progressivos ou retrógrados . a)

c)

b) S Im)

100

I

I I t (sT

4

O

56

SIm)

SIm )

16 12 8 2

3

O

- 60

50 I

I

O

10

d)

20

tIs)

- 120

2

SIm) 4

tIs)

30

9 . Dadas as funçõ es horárias dos movim entos , constru a o gráfico S x t . a) S = 50 + 80t (S em km, t em h) b) S = 10-4t (SI) c) S = 6t (SI) 10. A função horária S = 50 - 1Ot (SI) é válida para o movimento de um ponto material. a) Determine em que instante o ponto material passa pelÇl origem da trajetória. b) Determine a posição quando t = 10s. c) O movimento é progressivo ou retrógrado? 11 . Um trem de carga "de 130m de comprimento , com uma velocidade constante de 15m/ s, gasta 10s para atravessar um túnel. Qual é o comprimento do túnel?

Questões 12. Como podemos identificar um movimento uniforme? 13. Faça um esboço do gráfico S x t para um movimento uniforme. Assinale nesse gráfico como se determina a posição inicial (S o) e a velocidade do móvel (v) . 14. As retas I e II representam a posição (S) em função do tempo (t) para dois móveis . Qual deles apresenta maior velocidade?

s

15. Esses gráficos representam as posições em função do tempo dos móveis A e B. Qual deles apresenta velocidade negativa? Explique .

A

B t

16. A função horária de um ponto material em movimento é dada pela expressão S = 7 (SI ). Qua l o espaço inicial do ponto?

+ 2t - 4t 2 + 8t 3

Exercícios Complementares 17 . Dois trens andam sobre os mesmos trilhos, no mesmo senti do . O da frente anda com velocidade de 40km/h e o de trás com veloc idade de 70km/h . Num determinado instante , a distância que separa os dois trens é de 5km . Quanto tempo depois desse instante ocorrerá colisão? Suponha que nenhum dos trens terá sua velocidade alterada .

57

18. Duas esferas se movem em linha reta e com velocidades constantes ao longo de uma escala centimetrada . Na figura estão indicadas as velocidades das esferas e as posições que ocupavam no instante t = Os. v A =5cm/s

v B = 3cm/ s

()

(Ds

A

=

\

I

\

/

/

1\

\

1

2

t (5)

34567

v im /s I

20

A

6 8 10

v im /sI

10 O

4

80

/

I

\ \

1\

1/ 012

3

\

4567

tis

13. Construa o gráfico do espa ço em fun ção do tempo, para o ponto materia l cuja veloc idade obedece ao gráfico ao lado . (No instante t = O, o espaço é S = O.)

v Im/ si 40 20 t (5)

-20

Resolução : Nos trechos em que a velocidade é constante e não-nula , o movimento é uniforme. Portanto , o gráfico do espaç o em função do tempo será composto por tre chos de retas inc linada s. Nos trechos em que a velocidade é nula , o móv el está em repouso e o gráfico do espaço em função do t empo será uma reta horizontal.

v Im/si r - A , = 3 · 4 = 120

40

I

• t Is)

o

1

2

3

4 '5

~I

I

i,~

_/ -c--.. i r :. \ -: ,,

Como o móvel estava em S = O no instante inicial, temos : • Entre t = O e t = 3s, .6S = 120m -+ atinge S = 120m. • Entre t = 3s e t = 5s ,.6 S = O -+ permanece em S = 120m . • Entret = 5set=7s, .6S =- 40m -+ volta para S = SOm . • Após t = 7 s, .6S = O -+ permanece em repouso, em S = SOm .

I~

...

movimento uniforme progressivo é. S = 120m

repouso O

, é. S =

,

I

,

repouso é.S = O

A 2 = 2 · 20 = 40

,

,

- 20

7

6

movimento unif orme retróg rado é. S = - 40m

S Im) 120 100

/

80 60

/

40 20 O

:'\..

/

i\.

I

I

/

t (5

1

23

4

5678

Exercícios Propostos 14. Em cada um dos gráficos a seguir, determine o deslocamento escalar do móvel em todo o intervalo de tempo . a)

vIm /si

b)

vIm /si 12

4 t Is

O

10

15

t Is)

O

2

4

6

8

-4

67

15. A velocidade de uma partícula varia com o tempo de acordo com o gráfico ao lado. Determine o deslocamento escalar da partlcula no intervalo de O a 6s .

v lm/s)

ti s)

1_ _

16. Um ediflcio é composto de um pavimento térreo e seis andares . Cada andar tem 3 m de altura , inclusive o térreo . Um elevador sai do térreo no instante t = O e sobe . O gráfico mostra sua velocidade em função do tempo a partir desse instante . Descreva o movimento do elevador até t = 80 s. Em que an dares ele parou? Fa ça o gráfico da posi çã o do elevador em função do tempo, entre t = O e t = 30s .

v lm /s)

~

Ô

Ei

•DI

O O ~ li li El ~. ." anda r li 11= 1 11

0.6_ I

i--:-

I

t is) 0 +-~~1~ 0~~2L O~-3~0--L-4~0~~5L O-L~60--L-7~0~--8~'0--~

~

,, - 0 .6

- - - - - - --- -- - - - - - - ---'----------'-

17 . O gráfico representa a velocidade de um ca rrinho lançado num plano inclinado, como mostra a figura. Determin e: ai a distância atingida pelo car rinho , a partir do ponto de lançamento bl o deslocamento escalar entre t = O e t = 4s v l m , s)

5 4

18. IFUVEST -SP) Um automóvel faz uma vi agem em 6 horas e sua velocidade varia em função do te ;npo aproximadamente co mo mostra o gráfico ao lado . Qual foi a velocidade média do automóvel na viagem?

40

68

t is)

19. O gráfico ao lado representa a velocidade de um ponto mate rial em função do tempo . Qual foi o seu deslocamento entre t=Oet= lOs?

v {m tsl

20 --- -,.--

- - - - --,. I

\\

10

t 151

I

O L--+--+-~--~--~~

2

4

6

8

10

Questões 20 . Como se deve proceder para calcular a dec li vidade em um gráfico curvilíneo. em um ponto dado? 21. Explique como se pode obte r a velocidade de um ponto material a partir do gráfi co do espaç o em fun ção do tem.po .

22 . Explique como se deve proceder para calcular o deslocamento entre dois instantes num gráfico de velocidade em função do t empo .

23. Dois móveis A e B têm velocidades em fun ção do t empo re presentadas no gráfico ao lado. Qual deles apresenta o maior deslocamento no intervalo d e t empo representado ?

v

móvel B

24. Qu al dos móveis da questão anterior realiza movimento uniforme ]

Exercícios Complementares 25 . Faça os diagramas das velocidades em função do t empo para os seguintes movimentos : ai

cl

tS lml

:k71 "

el

S lml

S lml

40 ·0

t ISI

25

t Isl

I_--i~~

O

12

O

2

4

S im)

bl

di

Slml

20 O

- 40

2

3

4

5

1151

------------ -

69

26 . No gráfico, determin e a v elocidade nos in st antes 2 se 5 s.

S(km )

1 (5)

27 . O gráf ico ao lado representa a posição de um móvel , dada pelo espaço 5 , em f unção do tempo t . Determine a ve loc id ade do móvel nos instant es: a) t = 2 s b) t = 4 s

S (m)

40 30

c) t = 5, 5s d) t = 6 , 5s

o

/

V

Vr\

/

\

\ 1 (5)

5

3

6

7

v (m / s)

28 . A part ir do gráfico v x t ao lado, determ ine o grá f ico 5 x t para o moviment o de um

10

ponto material. Adm it a que a posição inicial da partícula seja 5 = O.

5 1 (5)

O

4

6

7

91

- 5

29 . A f igura most ra um di spositivo utilizado na obtenção de fotos estroboscópicas . Através desse disposit ivo , obteve-se a foto aba ixo . O intervalo de tempo entre duas posiç ões sucessivas do carrinho é de 0 ,05s . esca la

"o

ftj

.

'i':

u o .t::

Co

o"O

pe so

o

V - Vo

na equação

So + Vo . (

V

= at

=:>

= v - Vo

t

a

(D, temos:

~ vo) + ~

. ( V ~ vo) 2

Observe que a equação obtida relaciona diretamente as variáveis Se v. A variável t não aparece nessa equação. Simplificando a equação obtida, temos a relação abaixo, chamada equação de Torricelli, por ter sido estabelecida pelo físico Evangelista Torricelli, discípulo de Galileu.

Exercícios Propostos 33. Um carro se move a uma velocidade de 16m/s. Em um certo instante, o motorista aciona o freio, fazendo com que o carro adquira um movimento uniformemente retardado , com uma aceleração de 0 ,8 m/ s 2 . Qual é a velocidade desse automóvel após percorrer uma distância de 70m a partir do infcio da freada? 34. Um proiétil atinge um bloco de peroba com velocidade de 400m/ s e penetra 10cm até atingir 'o repouso. Determine a aceleração do projétil no interior do bloco. Suponha que o movimento foi uniformemente variado.

35. Essa tabela fornece os espaços percorridos por diversos automóveis quando freados a 80km/h, até parar. Qual deles apresenta maior aceleração na frenagem? E a menor? Calcule essas acelerações, supostas constantes.

36. No tubo de televisão, elétrons são acelerados uniformemente a partir do repouso para colidir com a tela, formando a imagem . O percurso em que eles são acelerados mede 1 ,Ocm e a velocidade adquirida é de 4,0 . 10 6 m/ s. a) Qual a aceleração sofrida? b) Determine a duração desse percurso .

Automóvel (marca)

Espaço de frenagem a 80km/h (m)

Alfa Romeo

32,29

Fiat

33,17

Corcel

33, 10

Voyage

33,30

Monza

32,30

Passat

34,85

r------- ---- , I

I

+

•

,

...--..--,

I

I

1 em

I

I I L __________ -l

tela

37. Um trem trafega com velocidade de 10 m/s quando o condutor vê uma vaca deitada na linha, a 50m de distância . Determine a mfnima desaceleração que ele deve impor ao trem para não atropelar a vaca .

85

38. Para decolar, um avião necessita atingir a velocidade de 360km/h. Qual a acelera ção necessária para decolar numa pista de 2000m? Quanto tempo ele gasta para atingir a velocidade de decolagem?

I

2000 m

i-

Questões 39 .

o que é movimento variado?

40. O que é aceleração média? 41 . Qual é a unidade de aceleração no SI? 42. Uma pessoa leu no jornal que um determinado foguete tem aceleração de 20m/ s 2 Como você explicaria esse dado para uma pessoa que nunca estudou Cinemática? )

43. O que é movimento acelerado e movimento retardado? 44. A seguir apresentamos uma afirmativa falsa. Refaça a afirmativa para que ela fique correta: " Se a aceleração de uru corpo é negativa , o seu movimento é retardado ". 45. Qual o formato do gráfico v x t para um movimento uniformemente variado? 46 . O gráfico ao lado representa dois movimentos, A e 8 , no mesmo plano cartesiano. Qual dos dois possui maior acelera ção? Qual dos dois possui velocidade nula quando t = O?

v

A 8

47 . Com relação ao movimento c ujo gráfico v x t está representado , qua~o sinal da sua aceleração? O movimento é acelera do ou retardado até o instante tp? E após o insta:1te tp?

Questões de Vestibulares 48. (UFC-CE) Dois corpos, ambos em repouso, partem simultaneamente de dois pontos, P e Q, distantes um do outro de 2 420m . O co rpo que parte de P tem aceleração constante de 4m/ s 2 e o que parte de Q, de 6 m / s 2 , também constante. Sabendo que suas velocidades têm sentidos opostos ao longo da reta que passa pelos pontos P e Q, determine o tempo gasto, em segundos, para que eles se encontrem . 49 . (ESAL-MG) Numa auto estrada, os veículos devem se manter a uma distância mínima , a fim de se evitarem colisões. Supondo que um veículo com velocidade de 108 km /h seja freado, produzindo uma desaceleração constante de 5 m/ s 2 , então, a distância percorrida pelo carro até parar é de: a) 50m

86

b) 70m

c) 90m

d) 110m

e) 53m

50. (FUVEST-S P) Considere o movim ento de um a bola abandonada em um plan o inclinado no instante

O.

t =

O par de gráficos que melhor representa, respectivamente, a velocidade (em m ódulo) e a distância percorrida é: a) li e IV

c) 111 e li

b) IV e 111

d) I e li

S

S

S

S

e) I e IV

IV

o

o

51 . (VUNESP) Um ciclista pedala , com velocidade constante

y

v o = 4 ,Om/ s, por uma estrada , ao longo do eixo x (figura). Ao passar pelo ponto 0 , ele avista em P um cão feroz , atrá s de uma cerca PQ, que faz um ângulo de 30 ° com a estrada . O cão também o vê e corre ao longo da cerca com velocidade v c = 3v o para interceptar o ciclista em Q. Este, percebendo a intenção do animal , acelera a bicicleta ao máximo, com aceleração constante , a partir de 0, mas é interceptado pelo cão em Q .

p

x

a) Calcule a aceleração desenvolvida pelo cicl ista . b) Qual sua velocidad e no ponto Q?

Q

52. (VUNESP) Numa via com neblina, dois automóveis avistam-se frente a frente quando estão a 200m um do outro , caminhando com velo cidades opostas de 72 km/h e 108 km/h. Nesse momento, começam a frear com desacelerações constante ~ de 4 ,Om/ s 2 e 5,Om/s 2 , respectivamente.

o

20

40

60

80

100

I

I

I

I

I

I

120 I

140

16 0

180

200

I

I

I

I

Im )

a) Os c arros conseguirão parar antes de haver colisã o? b) Construa as curvas que mostram a variação da velocidade dos automóveis co m o tempo . 53. (PUCC -SP) A figura ao lado representa o gráfico velocida de x tempo de um móvel que percorre uma reta partindo da origem no instante t = O.

v lm/s)

t is)

4

O gráfico posiçã o x t empo que melhor representa esse movimento é: a)

b)

c)

S im )

S im )

d)

e) S im )

Sim )

S im )

15 10

5

O

-

I

4

t is)

t is )

O

2

t is)

t is)

t i s)

4

87

Capítulo 6 Relações gráficas entre velocidade e aceleração

1 Obtenção da aceleração no diagrama da velocidade A aceleração instantânea pode ser definida como a variação da velocidade em um intervalo de tempo muito pequeno . · 6.v a= IIm-L>t _ o 6.t Para calcularmos a aceleração em um instante qualquer, marcamos o ponto da curva determinado por esse instante . Em seguida, construímos por esse ponto uma tangente à curva. A aceleração é a declividade da tangente. A aceleração instantânea será positiva ou negativa, em função da velocidade ser crescente ou decrescente.

v

v

v

a

o ,, =+ ~ a

b

a=--

a

2 Obtenção da variação de velocidade no diagrama da aceleração Dado o diagrama da aceleração em função do tempo, a variação de velocidade entre dois instantes quaisquer é numericamente igual à área delimitada entre a curva e o eixo dos tempos .

88

A variação de velocidade poderá ser positiva ou negativa, em função de a área estar acima ou abaixo do eixo dos tempos.

b. v i;i ÁREA

Exercícios Resolvidos 1. Esta é uma fotografia estroboscópica de um carrinho Que se move sobre um trilho, com movimento uniformemente variado, devido a um peso Que o acelera , como mostra o esQuema ao lado. As flechas indicam em cada instante a posição do carrinho em relação à escala da régua . O intervalo de tempo entre duas imagens sucessivas é de O,05s .

90

100

110

120

L

escala

8-

'5

~

""

il.. '" O)

(n

< O)

Se n = 0, o produto n . Ã é o vetor nulo.

117

Exercício Resolvido 16. Em cada caso a seguir, construa o vetor

O= A- B:

aI

bl

A

B

Resolução : Aplicaremos a regra prática da diferença vetorial:

aI

bl

A

B

D=A- B

D=A-B

Exercícios Propostos 17. Para os vetores

A e Bdados a seguir, desenhe em

aI

cada caso o vetor-diferença

O= A- B.

bl

A

Ã

Bl/ / ' k'

1'\ B

~

'"

18. Na figura estão representadas as veloc ida des li, e li 2 de um co rpo . Se li, = 10 m /s e li 2 = 10 m / s, determine o módulo de

6v= v2- v, .

19.

-v,

----------..

~

d, e d2 são vetores que determinam a posição de um satélite em dois instantes . Dese nhe o vetor -deslocamento 6d = d 2 - d,.

Terra

118

---- - -- - ~.~---------

v, 1

20. Uma bola bate em uma parede com veloc idade I = 50 m/ s e retoma na mesma direç ão, mas em sentido contrário, com veloc idade. I = 40 m/ s. Determine o módulo do vetor diferença = 2-

v21

v, desenhe os vetores

21 . Dado o vetor

ve

2,5 '

-4 ,

ó.v v v, .

V.

v/

V

8 Projeção ortogonal de um vetor _ A figura mostra um segmento orientado de extremos A e B, representando o vetor V, e um eixo Ox.

o

A partir das extremidades A e B, vamos traçar duas perpendiculares ao eixo Ox, determinando os pontos A' e B' . B

A/ i , I

I ,

,

Vx I

o

A'

,I B'

A medid~ algébrica do segmento A'B' , que chamaremos V x' denom ina-se projeção do vetor V sobre o eixo Ox. A projeção será positiva ou negativa, em função do sentido de A'S' em relação ao sentido de Ox . B

-

~

A

, I

B

i

~v ~:A

!I

'I

,,

, I ,,I

,

I

. Vx

o

I

A'

B'

o

,

I ..

A'

Vx < o

..

li

B'

119

9 Decomposição de um vetor Dado um vetor Ve um sistema cartesiano Oxy, as projeções V xe V y do vetor V sobre os eixos Ox e Oy denominam-se componentes do vetor em relação a esses eixos. Para calcular os valores das componentes, utilizaremos o ângulo de inclinação do vetor em relação ao eixo Ox: Para o triângulo assinalado, valem as relações:

y -------- - -~ -7

V y

-------/ , I

e

sen

e=

ca~eto oposto hipotenusa

sen

=>

e = '!t.

!' I

I

I

I I

I

I

x

I

o

Vx

Vx e Vy : componentes de lação ao sistema Oxy.

li em re-

V

y

componente horizontal cos

e=

cate,to adjacente hipotenusa

=>

cos

e=

Vx V

---------1 I I I I

Vx=v · cose

componente vertical

I I

x

o

Exercício Resolvido 22. Determine as componentes horizontal e vertical do vetor A, que tem módulo de 60 unidades e forma 30 · com a horizontal. Dados : sen 30 ·

1

= "2;

cos 30 ·

V3

= 2""

y

Resolução: • Componente horizontal :

Ax = A . cos 30 ·

V3 = 60 . "'2 = 30V3

Ax ~ 51 unidades • Componente vertical : A = A . sen 30 · = 60 .

.v

x

....!... 2 =

30

Av = 30 unidades

Exercícios Propostos 23. Uma força F de módulo 60 N age sobre um corpo, conforme a figura . Determine as componentes horizontal e vertical de F.

~"60·

---=:- ----- -- ----

120

24. Determine os módulos das componentes Ax e Ay nos seguintes casos : y

a)

y

b)

..

A

IA

x

x

I

o

IÃ I =

10unidades

x

I

o

IÃI =

y

c)

IÃ I =

50 unidades

30 unidades

Questões 25. Dada uma reta , quantas direções e quantos sentidos podemos caracterizar? 26. Observe as seguintes retas orientadas : v

u

x

..

.. a) Quantas direções estão indicadas ?

b) Quais retas têm mesmo sentido?

27. Se dois automóveis trafegam em ruas paralelas, podemos afirmar que seus movimentos apresentam a mesma direção? E o mesmo sentido ? 28. Por que o deslocamento é uma grandeza vetorial ? 29. O tempo é uma grandeza vetorial? 30. Que informações devem ser fornecidas para que um vetor fique perfeitamente caracterizado? 31. Como devem ser interpretados os seguintes srmbolos : a)

Ã

32. Se um deslocamento

b)

IAI

5 tem módulo igual a

10m, podemos escrever

33. Faça um esquema com dois vetores genéricos geométrica do vetor S = Ã + B.

A e B,

5=

10m? Por quê ?

mostrando o processo para a determinação

34. Se, ao somarmos n vetores, a extremidade do último vetor desenhado coincidir com a origem do primeiro, qual o resultado da soma? 35 . Em que condições a soma de dois vetores pode ser nula? 36. A soma de um vetor de 30 unidades de módulo com outro de 40 unidades de módulo pode ser um vetor de 10 unidades de módulo? Em que condições?

121

37. Qual a condição para que o módulo da soma vetorial seja igual à soma dos módulos dos vetores? 38. Se dois vetores têm módulos de 20 unidades e 30 unidades, entre que valores é possrvel situar o módulo de sua soma, em função do ângulo formado entre eles? 39. Sendo a o ângulo entre dois vetores , qual o valor de a para o.qual o módulo da soma é máximo? E mrnimo? 40. Faça um diagrama mostrando que o vetor S = à + B é a diagonal do pa ralelogramo formado a partir de à e B, e o vetor-diferença O = A - B é a outra diagonal do mesmo paralelogramo .

Exercícios Complementares

e.

41. São dados os vetores Ã, Be Obtenha graficamente a soma vetorial dulo do vetor-soma . A escala utilizada é 1 : 1.

S= Ã + B+ ee meça o mó-

42. Qual destes vetores representa a soma dos outros dois?

43. Qual o resultado da soma dos vetores Ã, C e O, sendo IAI = IBI = l e i = 10 1?

B, A B

o

44. Uma força de 50 N at ua horizontalmente para a direit a. Qual é o oposto dessa força ? (módulo , direção e sentido) 45. Dois vetores de mesmo módulo e mesma direção possuem sentidos contrários . Se o módulo de cada um vale 60 m, qual o módulo do vetor-diferença entre os dois? 46. Um corpo é lançado com velocidade de 500m/ s, fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. Determine as componentes vertical e horizontal da velocidade do corpo.

122

47. Um verculo se desloca 400 metros para o sul e, em seguida, 300 metros para o leste. Represente esses deslocamentos graficamente, por meio de vetores, e determine o módulo do deslocamento resul · tante. 48. Um automóvel se movimenta com uma velocidade de 80km/h, numa direção que faz um ângulo de 30° com o norte , e se dirige para o nordeste . Determine graficamente as componentes da velocidade do automóvel segundo as direções norte-sul e leste-oeste .

Questões de Vestibulares 49. (FUEL-PR) No esquema estão representa dos os vetores v"v2' v3ev4 ' A relação vetorial correta entre esses vetores é : a) b) c) d)

e)

v, + v 4 = v2 + v 3 v, + v2 +- v3+ v4= Õ v, + v3 + v4 =v2 v,+v4 =v2 v,+v3=v 4

v,

V

V

V

V

V

L

--v4

~ v3

V

r---

v2

50.

y

(UFPI) Com base nesta representação de vetores , podemos afirmar que é co rreto escrever : a) A b)

+ B+ ê = Õ

B= - ê y B = ê ouà = B + ê à + B= ê e C 2 = A 2 t 8 2

à = êx e

B

c) Ã d)

x

51. (UFRS-RS) Os lados destes quadrados são formado s por vetores de módulos iguais .

DDDDD (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

A resultante do sistema de vetores é nula na figura de número : a)

1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

123

52. (UFRN) Que alternativa relaciona corretamente os vetores Ã, B e C?

Ã

à + B- C = O b) à - B - C = O c) à - B + C = O d) - à - B+ C = O e) à + B + C = O a)

B

~ ê .......

"

'"

53. (UFRN) A figura ao lado representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas . Cada vetor tem módulo igual a 20m . A distância percorrida pelo móvel e o módulo do vetor-deslocamento são, respectivamente : a) 20V5m e 20 v'5m b) 40m e 40 V5m

A

c) 100m e 20V5m d) 20 V5m e 40m B

e) 100m e 40V5m

u

54. (FATEC -SP) Um ponto material movimentase a partir do ponto A sobre o diagrama anexo , da seguinte forma : 6 unidades (u) para o sul ; 4u para o leste e 3u para o norte . O módulo do deslocamento vetorial desse móvel foi de : I a) b)

13u 5u

c) 7u

e)

-~

A

O+L

-

5

1u

d) 3u

uI

55. (PUCC -SP) A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá mÓdulo igual a: a) 4 b) um valor compree ndido entre 12 e 16 c) 20

124

d) 28 e) um valor maior que 28

Capítulo 9 Deslocamento, velocidade e aceleração vetoriais

Neste capítulo, vamos ampliar nossas ferramentas de trabalho, para podermos analisar mais profundamente os fenômenos . Para isso, vamos redefinir as grandezas já vistas, introduzindo em todas elas o uso do vetor. A partir de agora, as grandezas cinemáticas, como foram defin idas na Unidade 2, serão chamadas grandezas escalares, para não serem confund idas com as novas definições. Assim , o deslocamento ll.S passará a ser chamado deslocamento escalar, a velocidade v será chamada velocidade escalar e a aceleração a será chamada aceleração escalar.

1 Vetor-posição Vamos partir do seguinte exemplo: Um astrônomo deseja estudar o movimento de um cometa recém-descoberto . Como descrever a posição desse cometa? Será possível utilizar a grandeza espaço, da mesma forma que se localiza um carro em uma estrada? Lembremos que o espaço de um ponto material é a distãncia entre o ponto e a origem , medida sobre a trajetória. Ora, se o cometa acaba de ser descoberto , não se conhece sua trajetória. Portanto, não se pode localizá-lo por esse processo. Um método mais abrangente para _ ,,,1l"f,:f!~"" . se localizar um ponto material é o vetorposição , que vai de um ponto de refe. \~ / . ' cometa rência até o ponto material. ....::: ......,.,/ . ::-... .:::, A figura mostra o vetor-posição . // .I \" . - -, do cometa, tomando-se como referên. . veto,-poSlçao Sol cia a posição do Sol.

r

Estas são as características do vetor-posição, num caso genérico: O vetor-posição de um ponto P em relação a um ponto O de referência é o vetor r. O módulo de r é o comprimento do segmento OP, sua direção é a da reta-suporte de OP e seu sentido é de O para P.

~.

~

p

o

125

2 Vetor-deslocamento Su ponhamos agora que o astrônomo quer obter o deslocamento do cometa entre duas posições sucessivas, P, e P 2 ' Para isso, ele determina os vetoresposição e 2 , correspondentes a essas posições.

r, r

o vetor-deslocamento entre P, e P 2 é o vetor 6.r, obtido pela diferença vetorial r2 - r, . Observe que 6.f tem origem em P, e extremidade em P 2 · O vetor-deslocamento entre duas posições sucessivas P, e P 2 é aquele cujo módulo é a distância em linha reta entre P, e P 2' a direção é a da reta-suporte de P,P 2 e o sentido é de P , para P 2 .

Note que o módulo do vetor-deslocamento não é igual à distância efetivamente percorrida pelo ponto material. Observe a figura : nela vemos um automóvel que percorre a distância de 1 km entre os dois marcos quilométricos de uma estrada. Veja que , neste caso, o vetor-deslocamento tem módulo menor que 1 km . Se o intervalo de tempo for pequ e·· no, o módulo do vetor-deslocamento é aproximadamente igual à distância percorr ida. No exemplo , o módulo do vetordeslocamento é praticamente igual à distância percorrida.

Exercício Resolvido 1. A figura mostra a trajetória de um cometa nas proxim idades do Sol. A traietória está orientada no sentido do movimento . Desenhe o vetor-deslocamento entre as posições A e B. Adotando a escala 1 cm: 100 milhões de qui lômetros, determine o módulo do vetor -deslocamento .

126

Terra ..

,

Resolução: O segmento representativo de 6 7tem comprimento de 2,8cm . Utilizando a escala fornecida , temos: 1671 = 280 milhões de quilõmetros

Exercícios Propostos 2. A figura seguinte representa a traj etória de um corpo, fotografado estroboscopic am ent e em intervalos de tempo de 0 , 1 s. Determine o módulo do deslocamento vetorial entre as po sições 2 e 5 e entre as po sições 2 e 8 . A escala da figura é 1 : 1 00 .

" "" "

Co

·S

*

·cOI

u o .c

Co

Õ

"O

o

lI:

3 . Este é o mapa de um tre cho do litoral brasileiro em esc ala 1 :4 000 000 . a) Um viajante partiu de Ilhéus , de automóvel , e se deslocou até Salvador . Construa no mapa o desloc amento vetorial e obtenha se u módulo, aplicando a escala . b) Um barco saiu de Salvador e se deslocou 120km para o sul. Em seguida, deslocouse 80km para leste . Construa os dois deslocamentos vetoriais e obtenha a soma v etorial. Aplicando a escala , determine o módulo da soma vetorial.

127

3 Velocidade vetorial Velocidade vetorial média Um astrônomo deseja medir a velocidade de um cometa, utilizando os vetoresposição medidos em vários instantes. Para isso, ele utilizará o vetor-deslocamento. '-', P2 Por exemplo , a figura mostra o vetor-deslocamento !J. r entre as posições P 1 e P 2' correspondentes aos instantes t1 e t2 •

Sendo !J.t = t 2 - t 1 , a velocidade vetorial média será dada por:

v

Observe que m é um vetor de mesma direção e sentido que !J. r.

Sol

Velocidade vetorial instantânea A velocidade vetorial instantânea é a velocidade vetorial média num intervalo de tempo muito pequeno:

v= limo !J.r !J.t LI.\ _

Para caracterizar a velocidade vetorial instantânea, é preciso definir sua direção, seu sentido e seu módulo. O sentido da velocidade vetorial instantânea é o próprio sentido do movimento do corpo. Vamos então considerar sua direção. Observe esta seqüência:

Vm é a velocidade vetorial média no intervalo de tempo l:> t = 12 - 11 ,

128

À medida que l:>t diminui, a direção da velocidade vetorial média fica cada vez mais próxima da reta tangente.

Fazendo l:>t tender a zero, obtemos a velocidade vetorial instanté1nea, cuja direção é a da reta

tangente à trajetória.

Vamos agora obter o módulo da velocidade vetorial instantânea. Observe nas figuras o deslocamento escalar .t.S, medido sobre a trajetória, e o deslocamento vetorial .t. r:

Ill.r l = Ill.SI

Num intervalo de tempo LJ.t grande, o módulo de LJ. 7 é menor que o módulo de LJ.S.

A medida

em que LJ. t diminui, o módulo de LJ.rse aproxima do módulo de LJ.S.

Isso significa que, quando.t.t tende a zero, a relàção dulo de

~~

Quando LJ. t tende a zero, o módulo de LJ. 7 se torna igual ao módulo de LJ.S.

I~~I

,se torna igual ao mó-

,que é a velocidade escalar instantânea.

Concluímos, então, que a velocidade vetorial instantânea é igual, em módulo, à velocidade escalar instantânea. Resumindo:

v

A velocidade vetorial instantânea de um ponto material é definida a partir das seguintes caracterrsticas: • direção: tangente à trajetória; • sentido: o próprio sentido do movimento; • módulo: igual ao módulo da velocidade escalar instantânea v.

Exercício Resolvido 4. Os pontos da figura representam as posições ocupadas por um corpo fotografado estroboscopicamente em intervalos de tempo de 0,01 s. Sendo a escala da figura 1 :20, determine o módulo, a direção e o sentido: a) da velocidade vetorial média entre as posições M, e Ma b) da velocidade vetorial instantânea na posição Ms, com a melhor aproximação posslvel

129

Resolução : a) Este é o vetor-deslocamento t:.r entre M 1 e M s. O intervalo de tempo correspondente é:

•

•

•

•

t:. t = 7 . 0,01 s = 0,07 s O comprimento do segmento que repre senta t:.r é de 5,2 em . Aplicando a escala (1 :20), cada centímetro da figura corresponderá a 20cm de deslocamento. Logo : I M I = 20 . 5,2cm = 104cm Daí, temos : I li I = It:.rl m t:.t

104cm 0 ,07s

Ivm l=1,5 . 10 3 cm/ s O sentido e a direção de dos na figura.

vm estão indica M5

b) Para obtermos o módulo da velocidade vetorial instantânea, vamos calcular a velocidade média para o menor intervalo de tempo que contenha M 5' Escolheremos o intervalo M 4 - M s.

M4

1:.;

•

•

•

20 = 40cm

O intervalo de tempo é t:.t = 0 ,02s . Temos, então :

• v

It:.TI 40cm v =--=--t:.t 0 ,02s v=2

•

•

Aplicando a escala na figura , temos : ISrl = 2cm

Ms

•

•

M5

reta tangente à traje tória

• •

•

10 3 cm/ s

O sentido e a direção de li estão indicados na figura ao lado.

•

•

•

•

Exercícios Propostos 5 . Um menino gira uma pedra na ponta de um barbante, com movimento circular de velocidade v = 6 m / s. Represente o vetor-velocidade da pedra nos pontos A e B da figura , adotando a escala 1cm :2 m / s. A

B

130

li

6 . A figura mostra uma pedra em queda livre . No ponto P , sua velocidade é de 1 m / s e no ponto P 2 é de 3 m/ s. Adotando uma esca la qualquer, represente o vetor-ve locidade da ped ra nos dois instantes.

I

7 . A figura representa uma f otograf ia estroboscópica do movimento de um c orpo, tomad a em int erv alos de tempo de 0 ,05s . A escala da figura é 1 : 20.

5,

58

•

•

5"

•

Determine: a) o módulo da velo d dade veto rial média entre as posi ç ões S 5 e S 12 b) a velocidade vetorial instantânea na posição S6

4 Vetor-aceleração Aceleração vetorial média Ad mitamos um corpo que se move numa trajetóri a como esta. Seja dade veto ri al no instante t , e v2 a velocidade veto ri al no instante t 2 •

v, a veloci-

Defin e-se aceleração vetorial méd ia como a relação entre a vari ação de ve locidade vetorial e o intervalo de tempo em que ocorre tal variação: -

l:l.v

a m = l:l.t

131

Aceleração vetorial instantânea A aceleração vetorial instantânea é a aceleração vetorial média num intervalo de tempo muito pequeno:

t:.V ã = lim t:.t 61-0

Aceleração centrípeta e aceleração tangencial Vamos analisar a aceleração vetorial de um carro de corridas em duas situações. Nos dois exemplos, o intervalo de tempo é suficientemente pequeno para que a aceleração obtida seja a aceleração instantânea . . Exemplo 1 O carro acelera em linha reta, aumentando, assim, o módulo da velocidade vetorial.

Os vetores VI e v 2 têm mesma direção. Veja que a diferença /:;. também tem essa direção.

v

Neste caso, a aceleração vetorial tem a mesma dlreçAo que a velocidade. Esta aceleração é chamada aceleraçAo tangenclal.

Exemplo 2 O carro faz uma curva, sem alterar o módulo da velocidade.

Neste caso, a diferença /:;. ventre v 2 e VI não tem a mesma direção que a trajetória.

132

O vetor-aceleração tem direção perpendicular li reta tangente, apontando para o centro da curva. Esta aceleração é chamada aceleraçAo centrfpeta.

Podemos então concluir: • Se a velocidade se altera somente em módulo, o vetor-aceleração tem a mesma direção que a velocidade . • Se a velocidade se altera somente em direção, o vetor-aceleração tem direção perpendicular à velocidade.

Observação: Denomina-se reta normal a uma curva em um ponto à reta perpendicular a tangente nesse ponto. Por esse motivo, a direção da aceleração centrípeta é também denominada direção normal.

--reta normal no ponto A

Decomposição da aceleração vetorial A velocidade de um corpo pode ser alterada em módulo e direção ao mesmo tempo. Por exemplo, na figura vemos um carro de corridas que está aumentando sua velocidade numa curva. No ponto P, sua velocidade é sua aceleração é ã.

p

ve

Nesse caso, a aceleração vetorial não é tangente nem normal, tendo uma direção intermediária. Podemos decompor o vetor-aceleração segundo duas direções: normal e tangencial. A componente normal está relacionada à variação da direção da velocidade e a componente tangencial , à variação do módulo da velocidade.

reta

tangent~ __ - - -~.~~F"~

-------

ret a normal

133

at (aceleração tangencial) : mede a variação do módulo v com o tempo; acp (aceleração centrípeta): mede a variação da direção de v com o tempo. Os módulos das acelerações tangencial e centrípeta se relacionam com o módulo da aceleração vetorial total segundo o teorema de Pitágoras:

Características das acelerações tangencial e centrípeta Aceleração tangencial Já vimos que essa aceleração é a componente da aceleração vetorial na direção da reta tangente à trajetória. O sentido dessa aceleração depende do tipo de movimento:

Movimento acelerado: a aceleração tangencial tem o mesmo sentido que a velocidade.

Movimento retardado: a aceleração tangencial tem sentido oposto ao da velocidade.

O módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da aceleração escalar a:

Aceleração centrípeta Já vimos que a aceleração centrípeta é a componente da aceleração vetorial na direção normal à trajetória. Seu sentido é sempre voltado para o centro da curvatura da trajetória. Pode-se demonstrar que , sendo r o raio de curvatura da trajetória e v a velocidade do ponto material, a aceleração centrípeta é dada pela expressão: 2

a cp =vr-

134

ta nge nte

Resumindo: Sendo ã a aceleração vetorial de um ponto material, podemos decompor ã, segundo as direções normal e tangencial, obtendo as acelerações centrípeta (ãcp ) e tangencial (ã t ): Vetor aI: • direção: da reta tangente. • sentido: o mesmo de V, para o movimento acelerado; contrário ao de V, para o movimento retardado. • módulo: igual ao da aceleração escalar a. Vetor

-- -- -'-

,

\

\ \

,(\

a

cp :

• direção: da reta normal. • sentido: para o centro da curva. 2

• módulo: acp = ~ ,onde r é o raio da curva. Os módulos de ã, ãcp e ã t obedecem à relação:

Exercícios Resolvidos a. Um automóvel faz uma curva com movimento acelerado. No intervalo de tempo de 5 s, sua velocidade passa de 1Om/s para 14m/s. Determine o módulo de sua aceleração tangencial, suposta constante . Resolução: O módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da aceleração escalar a :

a =

/:'v

t:t

Como a velocidade variou de 10m/s para 14m/s, temos: /:'v= 14m/s-10m/s=4m/s Dar:

a = 4m/s = O 8m/s 2 5s ' Portanto: at = O,am/s 2 9 . Um menino gira uma pedra na ponta de um barbante de 2 m de comprimento. A velocidade da pedra é de 5 m/s , constante . Determine o módulo da aceleração vetorial da pedra .

135

Resolução : A aceleração vetorial é a soma vetorial das acelerações tangencial e ce ntrípeta . Neste caso , como o movimento é uniforme (v cons··tantel. a aceleração tangencial é nula . Temos, então, de calcular a aceleração centrípeta :

Portanto, o módulo da aceleração total é : a = 12, 5in/ s 2

Exercícios Propostos 10. A f igura mostra um carro que acelera uniformemente em linha reta . A velo cidade do carro passou de 15 m / s para 20 m / s num intervalo de tempo de lOs . Desenhe o vetoraceleração na posiç ão A. Adote a escala 1 cm :O,2m/ s 2

A

v, = 15 m /s

-~

~~

$

11 . Esta engrenagem gira no sentido horário. O ponto A tem velocidade de 30m/ s . Desenhe o vetor-aceleração desse ponto na escala 1 c m: 3000m/ s 2

, 2 . Determine a aceleração centrípeta de um automóvel que faz uma curva de 100 m de raio com velocidade de 72km/h . , 3. O automóvel do problema anterior brecou violentamente , passando de 72 km/h para o repouso em 4s . Determine o módulo de sua aceleração tangencial durante a brecada . Suponha que o movimento tenha sido uniformemente variado . , 4 . Um corpo se move em trajetória circu lar de raio r = 5,0 m . No instante t 1 = O, a velocidade escalar do movimento é v 1 = 5,Om/ s e, no instante t 2 = 2s , ela é v 2 = 10m/ s. Sendo o movimento uniformemente variado , determine : a) a aceleração tangencial do movimento b ) a aceleração centrípeta no instante t = l,Os c) a aceleração total do movimento no instante t

=

l ,Os

, 5 . Determine as acelerações tangencial , centrípeta e total de um movimento circular uniforme que apresenta velocidade escalar v = 6 ,Om /s numa trajetória de raio r = 2,Om .

136

16 . Estas figuras representam o vetor-aceleração to . Classifique cada movimento como :

ã

e o vetor velocidade

v para vários tipos de movimen-

• retilíneo ou c urvilineo • uniforme ou variado • se for variado , acelerado ou retardado a)

ã

e)

c)

-;

..

V-

;=0

..

..

a

-;

•

iÇ f)

d)

b)

..

v

ãF

v

..

,;

v

..

a

Questões 17. Como se determina o vetor-posição de um ponto material? 18. O que é vetor-deslocamento? 19. O módulo do vetor-deslocamento é igual ao módulo do deslocamento escalar? 20. Qual o módulo, a direção e o sentido da velocidade vetorial instantânea? 21 . Se dois carros têm velocidade de 60km/h, podemos afirmar que eles têm a mesma velocidade vetorial? 22. Qual a expressão matemática que nos permite calcular o módulo da aceleração normal (ou centripeta)? Qual a direção e o sentido dessa aceleração? 23. Qual o módulo da aceleração tangencial? Qual a sua direção e sentido? 24. Como se obtém o módulo da aceleração vetorial (resultante) , a partir das acelerações tangencial e centrípeta? 25 . Que tipo de aceleração pode existir num movimento retilíneo? E num movimento uniforme? 26. Um corpo em movimento circular que apresenta aceleração tangencial pode apresentar aceleração centrípeta de módulo constante? 27. Preencha a tabela : Velocidade vetorial Tipo de movimento

Aceleração normal (nula/não-nulal

Aceleração tangencial (nula/não-nulal

Módulo (const./não-const .1

Direção (const./não-const.1

Retilíneo uniform e Circular uniforme Retilíneo uniformemente variado

137

28. Indique qual dos vetores da figura pode representar:

sentido do movimento

a) o vetor-velocidade b) o vetor-aceleração-t angencial c) o vetor-aceleração-centrípeta

~'I :f"I

29. Um astronauta, após se despedir de sua esposa no local de onde seria lançada sua espaçonave, foi até a Lua e retornou . Sua esposa foi esperá-lo no navio que o recolheu, onde os dois se encontraram . Considerando o intervalo de tempo entre a despedida e o reencontro , qual dos dois teve maior desloca mento vetorial?

Exercícios Complementares 30. Estes pontos representam as posições de um corpo fotografado estroboscopicarnente em intervalos de tempo de O,2s . Considerando a figura em verdadeira grandeza : Ps

•

Pg

•

a) escolha um ponto de referência arbitrário e trace os vetores-posição para os pontos P 3 e P lO . b) trace o vetor-deslocamento entre P 3 e P 10 ' c) calcule a velocidade vetorial média entre P 3 e P 10 ' Trace o vetor-velocidade -média nesse intervalo . 31 . A figura indica as posições sucessivas de um ponto material M . As setas indicam o sentido do movimento. O tempo decorrido entre duas posições sucessivas é de O,02s . Determine os vetores-velocide em A , B e C.

• A

/.

.~

•

/.

B

C

~

•

32. Um objeto se move sobre uma trajetória circular com uma velocidade constante de 20m /s . A direção de sua velocidade varia de 60 0 em 5,Os . a) Qual é a variação do módulo de sua velocidade vetorial? b) Qual é sua aceleração vetorial média durante os 5,0 segundos? 33 . Calcule o módulo da velocidade vetorial da Terra , sabendo que ela realiza uma volta completa em torno do Sol em 1 ano e que a distância Terra -Sol é de aproximadamente 1, 5 . 10skm. (Considere a Terra e o Sol pontos materiais e a órbita da Terra como circular.)

138

34. Determine a aceleração centrlpeta da Terra em seu movim ento de translação, com os Pm > Pm > Pm· > Pm =

P" P" P" P" P"

se o elevador subir em movimento retardado se o elevador descer em movimento retardado se o elevador subir em movimento uniforme se o elevador descer em movimento uniforme qualquer que seja o movimento do elevador

86. (FAAP-SP) Tem-se m A = 1 kg e mB = 4kg. O fio e a poli~ são ideais e o atrito é desprezível. Calcule a velocidade dos blocos 2s após terem sido abandonados .

A

234

Capítulo 18 Análise dinâmica dos movimentos curvilíneos

Análise dinâmica dos movimentos curvilíneos Ao apresentarmos a Cinemática vetorial, analisamos a aceleração vetorial de um ponto material decompondo o vetor-aceleração segundo as direções normal e tangencial à trajetória. As componentes obtidas dessa forma têm funções bastante distintas:

i cp (aceleração centrípeta): mede a variação da direção da velocidade ao longo do tempo; aI (aceleração tangencial): mede a variação do módulo da velocidade . ao longo do tempo. A aceleração vetorial a é a soma vetorial de a cp e a t: a = a cp + a t Pela segunda lei de Newton, podemos obter a força resultante R a partir da aceleração a: R=ma

ou

R=m(acp+ a t)

R= mãcp + mat

o produto ma cp é ch~mado resultante centrípeta (R cp ) e o produto mã t é chamado resultante tangencial (Rt). Temos, então: R = Rcp + Rt

....

Veja q!J.e Rcp e Rt são as componentes de R nas direções normal e tangencial à trajetória. Os efeitos dessas componentes são:

reta tangente

....

Rcp : provoca a variação de direção na velocidade;

R,:

provoca a variação do módulo da velocidade.

235

Os módulos de Rcp e RI são obtidos a partir dos módulos da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial: 2 mv Rcp = r-

=

(a = aceleração escalar)

Observação: A resultante centrípeta pode também ser escrita em função da velocidade angular w do ponto material: R

mv 2

cp = r

v = wr

1=

Exercícios Resolvidos Esta primeira seqüência de exercícios contém problemas de aplicação imediata do conceito de resultante tangencial e centrípeta . 1. Um carro de 1 000 kg de massa descreve uma curva de 100 m de raio com movimento uniformemente variado . No intervalo de tempo de 10 s, sua velocidade varia de 1 5 m/ s para 30 m/ s. Determine o módulo da força resultante tangencial nesse intervalo de tempo . Resolução:

O módulo da força resultante tangencial é função somente da aceleração escalar do carro. Sendo o movimento uniformemente variado , a aceleràção escalar a é constante : _ 6v _ 30m/ s - 15m/ s _ 1 5 / 2 a - 6t 10s - , m s Rt

= ma = 1 OOOkg

. 1, 5m/ s 2

=>

I Rt = 1 500N I

2 . Gira-se uma pedra na ponta de um barbante com velocidade constante de 4 m/ s. O comprimento do barbante é de 0 , 5 m e a massa da pedra é de 0 ,1 kg . Pedem-se: a) a força resultante tangencial b) a força resultante centrípeta c) a força resultante sobre a pedra Resolução: a) Como a velocidade é constante (em mÓdulo). a aceleração escalar a é nula :

Vemos , então, que num movimento uniforme a resultante tangeneial é nula. b) A resultante centrípeta é dada por: mv 2 Rcp = -r -

236

0,1 . 4 2 0, 5

c) R = Rcp + RI Como RI =

o, temos

R = Rcp

Então:

I

R = 3 ,2 N

I

A direção e o sentido da resultante R coincidem com a direção e o sentido da resultante centrfpeta .

3. Determine a força resultante total sobre um automóvel que faz uma curva de 10m de raio com aceleração escalar constante de 1,5m/s 2, num instante em que sua velocidade é de 6,Om/s. A massa do automóvel é de 1 200k~ .

a = 1,5 m / s 2 = 1200 kg

---

.........

m

10 m

Resolução : Nesse caso, temos um movimento circular variado. As resultantes tangencial e centrfpeta são diferentes de zero: 2 1,5m/s m = 1200kg v = 6m/s r = 10m

a =

1

RI = ma = 1 200kg . 1, 5m/s 2 RT = 1800 N mv 2

Rcp = - r-

1 200 . 6 2 10

Rcp = 4320 N A resultante total tem mÓdulo: R2

= Rt+

Rt p

= R2 = 1800 2 + 4320 2

I

R = 4 ,7 . 10 3 N

4 . Determine a força resultante centrfpeta sobre um corpo de 2,Okg de massa que descreve movimento circular e uniforme com freqüência f = 2,OHz . O ra io da trajetória é de 1,Om . Resolução : Vamos calcular a velocidade angular do corpo: w

= 2nf = 2n

. 2 Hz

=

Iw = 4n rad /s I

Utilizaremos a expressão que dá a resultante centrfpeta em função da velocidade angular: Rcp = mw 2 r

= 2,0

. (4n)2 . 1,0

= Rcp = 32n 2N

ou

I Rcp = 3,2 .

10 2N

237

Exercícios Propostos 4 . Um garoto gira uma pedra de 500g de massa em uma trajetória circular horizontal acima de sua cabeça. Ele utiliza um fio de 1 ,Om de comprimento . Admitindo que a pedra gira com velocidade constante e igual a 4,Om / s, calcule : a) a acelera ção c entríp eta da pedra b) a tra ção no fio 5. Uma pedra de 0 , 20kg de massa está sendo girada num plano horizontal, amarrada a um barbante de OAOm , preso pela outra extrem idade . O barbante se rompe a uma tra ç ão de 8,ON . Qual a máxima velocidad e que a pedra pode ter ? 6 . Um objeto de 1 ,Okg de ma ssa realiza um movimento circular uniforme com velocidade angular igual a 5 ,0 rad / s. Sendo de 3,0 m o raio da trajetória , determine a força necessária para mantê-lo em movi mento circ ular. Qual deve ser a direção e o sentido dessa força? 7. Tomando como referencial o Sol, calcule a força resultante sobre a Terra. Dados: massa da Terra: 6,0 . 10 24 kg ; distânc ia entre o Sol e a Terra: 1,6 . 10 8 km . Suponha que a Terra realiza movimento circular ao redor do Sol.

Exercícios Resolvidos Os problemas a seguir abordam o atrito nos movimentos curvilíneos . 8. Um automóvel de massa m = 1 200kg deve fazer uma curva de raio r = 100m numa estrada plana e horizontal, c om velocidade constante e igual a 72 km/h. Qual deve ser o coeficiente de atrito entre as rodas e a estra da para que o carro não derrape? Adote g = 10N/kg.

Resolução : Inicialmente , vamos converter a velocidade para o SI : v = 72 km = 72 h

100m 3600s = 20m/ s

Podemos considerar que há três forças: o peso P, a normal N e a força de atrito Fal' Sendo a estrada plana e horizontal, N = P; assim, seus efeitos se anulam . Logo, a resultante centrípeta é igual à força de atrito , responsável pela curvatura da tra jetória . Vamos supor .q ue o carro esteja na iminência de derrapar . Nesse caso , temos : F al = I'N R cp = FaI = I'N => R cp = I'N

238

--

Sendo N = P: Rcp = J.lP

=>

I Rcp = J.I . 12000 I CD

Por outro lado, temos : mv 2 Rcp = - - De

CD

e

@

1 200 . 20 2 100

=>

I

Rcp = 4800 N

obtém -se :

J.I . 1 2 000 = 4800

=>

4800 1 2 000

J.I =

9 . Um cilindro oco , disposto verticalmente conforme a figura, tem raio r = 2 ,Om . Sendo J.I = 0 ,2 o coef iciente de atrito en tre as roupas de uma pessoa e as paredes do cilindro, qual de ve ser a velocidade angular mínima com que ele deve girar em torno de seu eixo vertical para que a pessoa permaneça encostada em sua parede sem cair? Adote g = 10m/ s 2 Resolução: Podemos considerar que há três forças : o peso P, a força normal e a força de atrito a t . Para que a pessoa não caia, a força -peso deve ser equilibrada pela força de atrito. Supondo que a pessoa esteja no limiar do escorregamento, podemos escrever:

N

F

P = F=> P = J.lN => n

IN =

P J.I

I CD

A força normal N é a força resultante ce ntrípeta : Rcp = m w 2 r

I N = mw2r Substituindo CD em @

Rcp = N

@

=>

1

w= n , =

, temos :

1 0,2 °2,0

Iw =

5,0 rad / s

Se w for maior que 5 ,0 rao/ s, aumentará o mÓdulo da resultante centrípeta , que é a f orça normal N. O aumento da força normal acarretará um aum ento da força de atrito máxima , e a pessoa não estará mais no limiar do escorregamento .

Exercícios Propostos 10. Um carro faz uma curva de raio r = 100m com velocidade constante de 7 2km /h. Sen do de 1000 kg a massa do carro, qual é a intensidade da força de atrito entre os pneus e o pavimento ? Supor a estra da plana e horizontal.

239

1 1 . Um carro descreve uma curva de 24 m de raio num plano horizontal. O coeficiente de atrito entre os pneus e o solo é 0 ,6 . Qual a máxima velocidade possivel nessa curva sem derrapar ? (g = 10 m / s 2 )

12 . Os pneus de uma determinada marca apresentam coeficiente de atrito 0,60 com o asfalt o . Um carro de 800kg de massa está equipado com esses pneus. a) Qual a máxima força de atrito que os pneus do carro podem produzi r no plano horizonta l? (g = 10m/s 2 ) b) Calcule a força resultante no carro numa curva de 20m de raio, com veloci dade constante de 36km/h . Nessas condições , o carro derraparia no plano horizonta l? c l No meio da curva do item b, o motorista pisa o freio , produzindo um retardamento de 5 m /s 2 Determine a força resultante total no carro no momento da aplicação do f reio. O que acontecerá, então?

Exercício Resolvido Nesta série de exercicios, abordamos o movimento curvilíneo no plano vertical. A 13 . Uma esfera de massa m = 1,0 kg gira num plano vertical, em trajetória circular, ligada por um fio inextensivel de comprimento 1 = 20cm. Adote 9 = 10m/ s 2 a) Desenhe as forças que agem na esfera ao passar pelos pontos A, B, C e D. bl Mostre no desenho a resultante centripe ta em cada um dos pontos do item ante rior . c ) Determine a velocidade que a esfera de ve ter no ponto A , para que a tração do fio nesse ponto seja nula .

Resolução :

o

o

B

c

A

ai As forças que agem na esfera , em qualquer ponto da trajetó ria , são a tração T do fio e o peso P do corpo. A direção e o sentido de cada uma dessas forças estão representados na figura . b) A resultante centrípeta em cada ponto é: Ponto A : Rcp = P

+T

Ponto B: Rcp = T Ponto C: Rcp = T - P Ponto D: Rcp = T Nos pontos B e C, além da resultante centripeta, existe uma resultante tangencial (no caso , o pe so P) que faz com que a esfera apresente , além da aceleração centrípeta , uma aceleração tangen cial. O movimento não é circular uniforme . cl Considerando-se que a resultante centripeta no ponto A é dada pela expressão : Rcp = P + T e sendo T = O, a resultante centrípeta deve ser igual ao peso P da esfera . A ssim: Rcp = P =

240

[1''-rV-o-

2

= rng = o

v 2 = rg =

I

v = vrg = v' O,20 o 10 =v=V20m/ s

Exercícios Propostos 14. Um pessoa gira com a mão um balde cheio de água, num plano vertical em trajetória c ircular de raio = J ,Om . Determine a velocidade mínima que o conjunto deve ter no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia . 15. Um "globo da morte " de um circo é uma esfera com diâmetro interno de 3 ,6m . Um motociclista descreve movimento circular uniforme em seu interior, no plano vertical. Pede-se : a) a mínima velocidade que o motociclista deve ter para conseguir percorrer o globo b) a força trocada entre a moto e o globo no ponto mais bai xo, para a veloc idade calculada no item a Dado : massa do motociclista: 80kg; massa da moto: 320kg . 16. Um avião descreve um looping num plano vertical , com raio de 250m . Determine a velocidade no ponto mais alto para que a força trocada entre o piloto e o banco (peso aparente do piloto), nesse ponto, seja o triplo do peso do piloto. Para essa velocidade , qual seria a força trocada entre o piloto e o banco no ponto mais baixo do looping?

Exercício Resolvido Nesta seqüência , apresentamos problemas de movimento curvilíneo onde se faz necessária a decomposição de forças .

e

17 . Determine o ângulo de sobrelevação (margem externa mais elevada que a margem interna ) que uma estrada deve apresentar, numa curva de raio r = 200m, para que um automóvel possa exec utála a 72 km/h sem necessitar da força de atrito . (g = 10m/ s 2 ) Resolução : As forças que agem no automóvel são duas : a reação normal do apoio N e o peso P. Estamos supondo que a curva está sendo realizada sem força de atrito . A fQrça resultante sobre o carro é centrípeta ; portanto, está orientada para o centro da curva . Através da decomposição, vamos isolar o efeito das forças na direção da resultante . Escolheremos os eixos : x : passa pelo centro da curva ;

y: perpendicular a x , na dire ção vertical. Temos, então : • força

P: não tem componente em x .

• força

N[

~:: ~ : :::: 241

No eixo y há equilíbrio : N . cos 8 - P = O

No eixo x não há equilíbrio.

Rx =

A resultante é cent rípeta:

N

Dividindo a equação

0

pela equação

CD ' obtemos:

mv 2 N N

sen 8 cos 8

v = 72km/h

mg

tg8 = -

mv 2 rmg

tg8 = -

v = 20m/ s r = 200m g = 10m/s 2

J

=

tg 8 =

v2 rg

20 2 200 . 10

Consultando uma tabela trigonométrica , encontramos 8 = 11

tg8 = 0,2

0 .

Exercícios Propostos 18. Numa curva de 100m de raio , uma estrada apresenta ângulo de sobrelevação igual a 15 °. Determine a velocida de que um automóvel deve apresentar para que cons iga fazer a curva sem necessidade da força de atrito . Dados : sen 15 ° = 0 , 26; cos 15 ° = 0 ,97; tg 15 ° = 0,27 .

19. Um pêndulo de massa m efetua um MCU em torno do ponto O, conforme ilustra a figura ao lado. Esquematize as forças que agem na massa m . Escreva a expressão da velocidade angular w do movimento em funç ão do comprimento 1 do fio e do ângulo 8. É dada a aceleração da gravidade g .

I

B

I I 1- -

~

-

-

-

- - -

_

-1.;-lJ m

O

20 . Uma esfera de massa m = 1 ,Okg gira em MCU numa trajetória circ ular horizontal , presa por um fio de comprimento f = 4 ,Om , conforme a figura . O fio forma com a vertical o ângulo 8 = 60 ° . Determine : ai a resultante centrípeta que ag e na esfera bl a velocidade anyular w m

242

Questões 2 1. Se um corpo apresenta ace leração tangencia l, podemos afirmar que a força resultante apresenta uma componente na direção da ve loc idade do co rp o? Faça um esquema mostrando isso. 22 . O que se entende por resulta nte tangencial? Em que tipo de movimento ela é diferente de zero?

v

2 3 . Na figura ao lado, é a velocidade de uma partícula e Fi é a força resultante que age na partícula . Desenhe as componen tes de R responsáveis pela ac eleração ta ngencial e pela aceleração normal da partícula .

L v

.

-- --- -- ---

,~~.-~_.R

24. Qual o efeito da resultante centrípeta? 2 5 . Qual deve ser a forma da t rajetória de um corpo para que possamos afirm ar que exi ste uma resultante centrípeta? 26 . Esc reva a expressão matemática que permite calc ular a resultante centrípeta em fun ção da massa do corpo, do raio da trajetória e da ve locidade esca lar. 27 . Como varia a resultante centrípeta se , mantendo-se constante a veloc idad e escalar do corpo, dimi nuirmos o raio da t rajetória? 28. Um corpo pode fazer uma curva se a força resulta nte sobre ele é nul a? 2 9 . Todo movimento uniforme tem força res ultante nula? Explique . 30. Um corpo rea liza movimento circ ular unif orm e. Escreva a expressão da resultante centrípeta em função da massa do corpo , do raio da trajetória e da freqüência do movimento .

Exercícios Complementares 31 . Um elétron (m = 9 ,0 . 10- 3 1 kg) movime nta -se com velocidade constante de 6 ,28 . 1 04 m / s e é forçado a se mover ao longo de uma trajetória circula r, pela aplica ção de um c ampo magnético . Se o período de revolução é de 2 ,0 . 10 - 2 s, qual é: a) o raio da trajetória ao longo da qual ele se move? b) o valor da força magnética que o mant ém em movimento c ircular? Qual é a direção e o senti do desta força? 32 . (FEI -SP) Um veícu lo de 1 600 kg de massa percorre um trecho de estrada em lombada , com ve locidade constante de 72 km/h. (A fi gura mostra o perfil da estrada , num corte vertical.) Determine a intensidade da força que o leito da estrada exerce no veículo, quando este passa no ponto mais alto da lombada . A dote g = 10m/ s 2 .

":-"' 1',

.":.

,

I I

I

,

,

60 .

I

I 60 . I r

\, ~ I

'\ ,

I I

= 80 m

., I

'li \1/

243

33 . Um corpo de peso P está encostado à parede vertical interna de um compartimento cilírldrico de raio r e apoiado em seu piso . O compartimento passa a girar com velocidade angular cresc ente at é um valor w 1 = V 1 I r. tal que o corpo permanece encostado à parede . na mesma posição inicial. sem escorregar. ainda que o piso seja retirado.

3V

rr--r--_r

ai Nessa situação. represente por meio de um diagrama vetorial as forças que atuam no corpo. dando as suas ex press ões . bl Se o peso do corpo fosse P/ 2 e não P. e a velocidade ainda f o sse a mesma w l' haveria movimento segundo a verti cal? Justifique. cl Esc reva a expressão de w 1 em função de r e do coeficient e de atrito 1.1 existente entre o corpo e a parede . 34 . Uma pedra de 3N de peso. amarrada a um cordão de 0 .25m de comprimento. descreve uma c ircunferência horizontal de 0 . 2m de raio . Determine : ai a força de tra ç ão do fio . em newtons b l a freqüência de ro ta ç ão . em hertz

O. 2m

35 . Um autom óvel de 1 800kg de ma ssa percorre uma pista de provas circular . inclinada. mantendo-se à dis t ànc ia de 480m do eix o de revolu ção . Estando o carro em movimento uniforme . um cronometrista registra o t empo de 1 m inuto para uma volta comp leta . Pergunta -se : ai que velocidade . em km /h. indic a o velocímetro do carro? bl qual a ace leração do carro e em que sentido atua? c l qual deve ser o àngu lo de inclinação da pista para que não haja tendência de escorregamento lateral do ca rro na s condiç ões do problema? Dados : g = 10m/ s 2 ;

TI =

3. 14.

-

e tg

e

25 °

26 °

27 °

28 °

29°

30 °

0.466

0.488

0 . 510

0 .532

0.554

0 . 577

Questões de Vestibulares 36. IITA-SP-modificadol No MCU de uma partícula podemos afirmar que: ai a força (FI . a aceleração lãl e a velocidade angular Iw l são constantes bl cl

ã. v e

w são constantes

v e w são constantes

di w é constante el nenhuma dessas grandezas é constante 37 . ICICE-RJ I Uma partícula tem movimento circular uniforme em um referencíal inercíal. A força que age sobre a partícula tem módulo F. Se você quiser dobrar o raío da trajetória. mantendo constante a velocidade angular. deverá exercer uma força de módulo igual a: a) 2F

244

b)

~ 2

c)

i.4

d) 4F

e) F

38 . (FMUSP) Uma pessoa segura em sua mão uma corda , na ponta da qual existe um balde com água , e o faz girar num plano vertical. a) Existe alguma velocidad e acima da qual a água não caia do balde , mesmo quando se encontra no ponto mais alto da trajetória? Explique. b) A velocidade que impede a água de cair depende da massa de água no balde? Explique . c) No instante em que o balde passa pelo ponto mais alto da trajetória com velocidade mrnima para que a água não caia, qual a força exercida pelo fundo do balde sobre a água?

39 . (FEI -SP) Um automóvel de massa m = 1 OOOkg percorre, com movimento uniforme de velocidade escalar v = 72 ,Okm/h, uma curva de raio r = 10 0m em uma estrada plana e horizontal. Considere g = 10m/ s 2 . a) Determine o menor coeficiente de atrito entre os pneus e a pista , para não haver derrapagem . b) Determine o ângulo de superelevação da pista para que esta possa ser feita com a ausência de atrito . 4 0 . (UFPE) Um bloco é colocado a uma certa distância do eixo de rotação de uma mesa giratória horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a mesa é 0,50 . A mesa começa a girar, partindo do repouso, até atingir a velocidade angular de 5 rad / s, quando então o bloco começa a deslizar. Sendo a aceleração local da gravidade igual a 10m/ s 2 , determine a que distância , em centímetros, estava o bloco do eixo inicialmente .

C;~ ,

41 . (EEM -SP) Um ponto material de massa m = 0 ,25kg descreve uma trajetória ci rc ular de raio r = O, 50m, com veloc idade constante e freqüência f = 4,0 Hz. Calcule a intensidade da força centrípeta que age sobre o ponto material. 4 2 . (OSEC -SP) Um avião descreve um loop num plano vertical , com velocidade de 720km/h . Para que no ponto mais baixo da trajetória a intensidade da força que o piloto exerce no banco seja o triplo de seu peso, é necessário que o raio do loop seja de : (g= 10m/ s 2 ) a) 0 ,5 km

b)

1,0 km

c)

1,5 km

e) 2 , 5 km

d) 2,0 km

43 . (OSEC-SP) Um motociclista descreve uma circunferência vertical num " globo da morte " de 4 m de raio . Que força é exercida sobre o globo no ponto mais alto da trajetória , se a velocidade da moto aí é de 1 2 m / s? A massa total (motociclista + moto) é de 150kg. a) 1500N b) 2400N

c) 390 0N d) 5400N

e) 6900N

44. (PUCSP) A figura mostra um sistema de dois co rpos de ma ssas iguais, ligados por fios inex t ensíveis e de mas sas desprezíveis, gi rando num plano horizontal , sem atrito, com velocidade angular w, constante , em torno do ponto fixo O. A razão

~~

, entre as trações T 2 e T 1 que

atuam respectivamente nos f ios (2) e (1) , tem valor :

a) 2

b)~ 3

c)

1

d)

1.. 2

e)

, ,,,

i

I I

I I I

.,,,

,,'.

, ,

,

,

I I

I

,I

I I

e

~f-----------i (1)

(2)

( lo w

J.2

245

45. (FMRJ) Um corpo, dando duas vo ltas por segundo em moviment o circ ula r, está submetido a uma força centrrpeta de módulo F. Quando este corpo passar a dar seis voltas por segundo, o módulo da nova força centrrpeta será : a) F

b) 3F

c) 5F

d) 7F

e) 9F

46. (USP) A esfera de massa M da figura, presa ao ponto P por um fio de massa desprezrvel e comprimento L, executa MCU em torno do eixo E. A ace leração da gravidade é g . A velocidade angular da esfera será : a) w b) w

= =

c) w =

Mg L . sen

d) w

e

~e j g

Mg L . cos

e) w = 2rr '

tg

L . cos

=

p,

,, ,

,e I

,I ,,

e

I

vf'

-------~------

,

/

I

I

"

e

- - - - __ J _ _ __ -- . . . 'E

Estes dados se referem às questões 47 e 48. Um móvel executa movimento uniforme sobre uma circunferência de raio igual a 1 m , sobre um plano horizontal liso, no sentido indicado na figura, com velocidade angular w = 2 rad . S- 1 e velocidade escalar v. Num determinado instante (no ponto P), o fio que mantém o móvel em trajetória circular se rompe , e o móvel passa a se mover livremente sobre o plano.

o

~--...j.; --------

47. (FUVEST-SP) A velocidade escalar v , antes do rompimento, é de: a) 2m ' ç1 b) rr m . S- 1 c) V2 m . S- 1 d) 4 m . s- 1 48. (FUVEST-SP) A trajetória do móvel, após o rompimento do fio , será : a) A

b) 8

c) C

d) D

e) E

49. (FEI -SP) Duas polias, A e B, rigidamente unidas por um eixo, giram com freqüência f constante, como mostra a figura .

A

Sendo R = 2RB ' a razão

:AB

entre as acelerações dos pon -

tos das periferias das respectivas polias é: a) 4

b) 0,25

c) 1

d) 0,5

e) 2

50. (UFPB) Um carro de fórmula 1 percorre uma curva circular de 50m de ra io a uma veloc idade constante de 180km/h. Determine quantas vezes a aceleração do carro é maior do que a aceleração da gravidade . (Considere g = 10 m/s2.)

246

· Capítulo 19 Trabalho e potência

1 Trabalho Para introduzir o conceito de trabalho, vamos partir do seguinte exemplo : uma pessoa quer levantar um armário para apanhar um objeto. Uma forma de se conseguir esse objetivo é utilizando uma alavanca. Para levantar o armário , foi preciso aplicar F, = 100 N na alavanca. O deslocamento da força teve módulo d , = 0,40m .

F, d,

= 100N =

0.40m

100N · 0.40m = 40N . m .-T - r'.J

Se quiséssemos fazer menos força, poderíamos utilizar uma alavanca maior. Com uma alavanca duas vezes maior, a força necessária diminui para F 2 = 50 N. No entanto , se queremos produzir o mesmo deslocamento no armário, essa força tem que se deslocar mais. Neste caso, o deslocamento é d 2 = 0,80m .

F 2 = 50 N d 2 = 0 ,80m 50N· 0 ,80m = 40N . m

Veja que a força de 100 N com deslocamento de 0,40 m executou a mesma tarefa quê a força de 50 N com deslocamento de 0,80m . Nos dois casos , o produto F . d foi 40 N . m. Esse produto , em Física, chama-se trabalho.

O produto entre a força e o deslocamento mede o trabalho realizado.

248

Trabalho de uma força constante B

Observe a figura. Um corpo se desloca de A até S, submetido a uma força constante F. O vetor-deslocamento tem origem em A e extremidade em S . As direções de F e d determinam o ângulo B. Logo, a componente de F na direção de é F . cos B. _ O trabalho da força F no deslocamento é dado por:

a

A

a

B

a

W=

F . cos B . d ou

w= Fd . cos B

d A

_ _O trabalho é uma grandeza escalar. Veja que utilizamos os módulos dos veto res F e d. O sinal algébrico do trabalho é dado pelos sentidos de F e d:

F/ I

L- i '.

Fa

favor de

d

w>O F

Neste caso, realiza trabalho motor.

N ~~

[

F contrário a d

Fperpendicular a d

w

o

90 °< 8 ';; 180 ° cos 8
S = SB- SA. Então:

19= Fd

. cos

e=> 19 = FI .

Ftr-_______________

s

O L-~~--------~------~

SB

1:> S

o produto FI . 1:> S é numericamente igual à área delimitada entre a reta e o eixo horizontal.

Ft

~~ área S

O

SA

óS

S8

Generalização : Um corpo se desloca de A para B segundo uma tra~tória qualquer, submetido à força F, variável.

re ta ta ngente à trajetória

A partir de uma origem qualquer, mede-se o espaço S, sobr6-a trajetória . Em cada ponto d2 trajetória, temos g força tangencial FI' componente de F na direção da reta tangente. O gráfico de FI em função de S está construído ao lado. Para um .deslocamento 1:>S pequeno, o valor de FI é praticamente constante. Portanto, o trabalho realizado é aproximadamente igual à área do retângulo de base 1:>S e altura FI.

254

s

OL-----~ ó~S----------~

Para 6S pequeno, o trabalho é aproximadamente igual à área do retângulo.

Para um deslocamento ~ S maior, o valor de FI varia. Então , para ter o valor aproximado do trabalho, podemos dividir o deslocamento em trechos menores e aplicar em cada trecho o processo descrito. Fazendo as larguras dos retãngulos tenderem a zero, seus topos passam a coincidir com os próprios pontos da curva. O valor exato do trabalho é a área delimitada entre a curva e o eixo horizontal.

S

fazendo as larguras dos retângu los tender a zero

o~~~~~~~~~~~

5 o~~~------------~-.

58

i!::! área

58

Conclusão: É dado o gráfico da força tangencial FI que age em um corpo em função de sua posição sobre a trajetória. Ó trabalho realizado entre duas posições é numericamente igual à área delimitada entre a curva e o eixo horizontal.

Observação: Quando o sentido de FI é oposto ao do deslocamento, representamos seu valor negativamente no gráfico. Nesse caso , o trabalho é negativo.

~

I N e-----+- i = área

I

I I I

I I

I

S

I

S

o

I I

•

: lí !::! - área I I

~ Exercícios Resolvidos 15. Uma força F age sobre um ponto material na mesma direção e sentido em que ocorre o deslocamento. O gráfico ao lado fornece os valo res assumidos por F em função do desloca mento d . Determine o trabalho da força F: a) entre as posições O e 2,Om b) entre as posições 2,Om e 5,Om c) em todo o deslocamento representado no gráfico

F (N)

50

- -- -- - - --

20

'-----'--__--L-_.d (m) o 2,0 5,0

255

Resoluç ão :

F(N)

O trabalho, em cada deslocamento , é obtido a partir da área localiza da entre a curva e o eixo d , entre as posições consideradas . a) O trab alho entre as posiçõ es O e 2,Om é numericamente igual à área A , . i , = A , = i , = 20 . 2 ,0

=

20 1.-_..../

I

i , = 40J

A,

b) O trabalho entre as posi ções 2 ,Om e 5,Om é numerica mente igual à área A 2 .

o

d(m)

2,0

5,0

c) O trabalho total é a so ma dos trabalhos em c ada desloca mento . l i = 145J

I

16. Esse gráfico representa a intensidade da força aplicada a um co rpo que se desloca sobre o eixo x , no sentido positivo. A forç a age paralelamente ao eixo x , no mesmo sentido quando seu va lo r é positivo e em se ntido contrário quando seu valor é negativo . Determin e o trabalho realizado por essa força du rante todo o des lo came nto .

F(N) 10

x (m)

O

- 5,0

, 4 ,0

2,O~

-- __

I

~I

Resolução : O traba lho rea lizado durante todo o deslocamento é igual à so ma dos trabalhos c orres pondentes a cada deslocamento leva nd o -se em co nta que a área localizada abaixo do eixo x co rr espo nde a traba lh o resist ent e (negativo) .

F(N) 10 I

I

A , = 2,0 . 10 = 20 = i , = 20J

A,

ií = ií, + ií 2 = i = 20 + (- lO) =

Ii

I I

A 2 = 2,0 ' 5,0 = 10 = i 2 = - 10J

x (m )

I

O

= 10J

- 5,0

2,0 :

A2

: 4 ,0

_ __ . . . l . - -I

Exercícios Propostos 17 . Ao se com primir uma mol a, é ne cess ária uma fo rça variável com a posição , de acordo com o gráfico dad o . Det ermin e o tr abalho realizado pela força F entre as po siç ões x = O, lm ex = O, 2m .

(N)

·4

lZG

2

O

256

- - ---- : - -

,

:

:

0,1

0 ,2

x lm)

I

I

!

I

I

:-!. ~1l\11rtiXI1~ I

-

, I I

I

~..J

I

18. Uma composição do metrô sai de uma estação A, atingindo a estação B, distante 600m de A . A força resultante tangen cia l obedece ao gráfico ao lado . a) Em algum trecho o metrô teve movimen to uniforme ? Qual? b) Det ermine o trabalho total realizado pela força resultante de uma estação até a outra.

19. O gráfico representa a intensidade da força F que age sobre um ponto material, paralela mente à direção do deslocamento d. Determine o trabalho realizado pela força F:

F(N I

2 ,0 .

,,1' , , "

,

__ _ __ _ ____ '11.....1

- 4 ,0 ' 10 6

F (NI

10 "

d (ml

a) entre as posiçôes O e 4 ,Om b) em todo o deslocamento representado

20. Sobre um corpo, inicialmente em repouso sobre um plano horizontal , age uma força horizontal cuja intensidade em função do deslocamento do corpo é fornecida pelo grá fico ao lado. Determine o trabalho realizado pela força nos seguintes deslocamentos :

ai de O até 2,Om b) de 2,Om até 3,Om c) de 3,Om até 5,Om d) de O até 5,Om 21 . O gráfico ao lado representa a força resul tante sobre um automóvel que parte do re pouso na posição x = O e se move sobre uma pista retilinea demarcada em metros . a) Interprete cada trecho do gráfico dizendo se o movimento é acelerado, retardado ou uniforme. b) Calcule o trabalho da força F entre x = O e x = 50m. c) Calcule o trabalho da força F entre x = 50m e x = 70m . d) Calcule o trabalho total realizado.

..

x (ml

F(NI

4 ,0

..

d (ml O

- 8 ,0

r

2

W~_",:_I____

O

1 O 20 30 40 50 60 70 80

- 2 - 4

x(ml

, - - ' - - -'

22. (EEM-SP) Um corpo, apoiado sobre um plano horizontal sem atrito, está preso à extremidade de uma mola helico idal, de eixo horizontal e constan te elástica k = 1 000 N/m . A mola tem sua outra extremidade presa a um ponto fixo . a) Trace o gráfico da força elástica que atua no corpo, quando se estica a mola de um comprime nto x, em função desse x . b) Utilizando o gráfico , calcule o trabalho realizado pela força elástica quandu a mola se distende até x = 0 , 1 m. 2 3 . Um dinamômetro de mola é distendido de 15cm e nessa posição sua escala acusa a leitura 30N. Determine : a) a constante elástica da mola de que é feito o dinamômetro b) o trabalho realizado pela força elástica , quando o dinamômetro for distendido da posição em que sua leitura é O até a posição onde sua leitura é 20 N

257

Trabalho da força resultante Um corpo se desloca de A até 8 , sob a ação de várias forças :

A resu ltante das forças é R.

B

B

A

É possíve l demo nstrar que o trabalho da resultante lhos realizados isoladamente pelas forças .

Ré igual à soma dos traba-

Exercícios Propostos 24 . Um c o rpo de massa m = 2.0kg sobe um pl ano inc linad o de 5.0m de c omprimento e 4 ,Om de alt ura , sob a açã o de uma fo rça F de intensidade F = 30 N , paralela ao plano . A in c lin ação desse plano é de um âng ul o em relação ao sol o hori zon t al. O coefi c iente de atr it o entre as su perfíc ies do pl ano e do co rpo é JÁ = 0 , 5 . Con side re g = 10 m / s 2

e

ai Ca lc ul e a fo rç a de at rito entre o co rpo e o plano de apo io . bl Det ermin e o t rabalh o realiza do por ca da um a das f orças qu e agem no c orpo , durante a subida do pla no in c linad o . cl Det ermin e a f orç a resul t ant e sob re o co rpo e c alc ul e o trabalho da res u lt ante dur ant e o m es m o des lo ca m ent o .

25 . Um c o rpo de 10 kg de mass a é des loca do de um a dis t ância de 20m pela forç a F = 50 N ap lic ada na dir eç ão do des loca m ento . Sendo o c oe f ic ien t e de atrito entre o c orpo e a superfíc ie JÁ = 0 , 3 , c alc ul e o trabalh o rea lizado pela forç a res ultant e.

m

F

•

2 6 . Um pára-q uedi st a de peso P = 700N c ai com v elo c idade con stante. O perc urso da qu eda é de 1 OOOm . Det erm ine : ai o trabalh o do peso do pára-quedi st a bl o trabalho da f orç a de res ist ência d o ar cl o t rabalho d a res ultante

258

2

Potência de uma força

o

trabalho de uma força é realizado em um certo intervalo de tempo. A relação entre essas grandezas define a rapidez com que o trabalho é realizado , e recebe o nome de potência média da força .

Nessa expressão, 19 é o trabalho realizado e /::,. t é o intervalo de tempo necessário para a realização do trabalho.

Potência instantânea é a potência média calculada num intervalo de tempo mu ito pequeno. Pot = lim

~

61_ 0/::,. t

Unidade de potência Quando o trabalho é medido em joules (J) e o intervalo de tempo em segundo(s), a potência é obtida em joules por segundo (J/s ). Essa unidade recebe o nome de watt(W)

1 W = 1 J/s Costuma-se usar também o quilowatt (kW).

Relação entre potência e velocidade A potência também pode ser obtida em função da força que realiza o trabalho e da velocidade do corpo. Considerando-se uma força constante e paralela ao deslocamento, temos :

Pot m=

19

M

Fd = /::,.t

A potência instantânea, nesse caso , é o produto da força pela velocidade instantânea. Pot = Fv

259

Exercícios Resolvidos 27 . Calcule a potência média de uma força que produz um trabalho de 300J em 10s. Resolução :

~

Pot m = 6 t

1

Pot m =

'i = 300J

300J

----,-os

Pot m = 300W

6 t = 10s

28 . Um automóvel apresenta velocidade constante de 72 km/h. A força resistente total que age no automóvel é de 600N. Determine : a) a forç a exercida pelo motor b) a potência dessa força Resolu ção : a) Se a velocidade do automóvel é constante, a força exercida pelo motor deve ter mesma intensida de que a força resistente total , a fim de compensá -Ia .

b) A potência da força do motor (Pot M) vale : Pot M = FM . V

V

PO~M=

Pot M = 600 . 20

= 72km/h = 20m/ s

12000W= 12kW

29. Um motor de 2000 W é utilizado para erguer um corpo de 100kg de massa a uma altura de 5,Om, num local onde g = 10m/s 2 . Determine o tempo necessário para erguer o corpo .

Resolução : Para erguer o corpo, o motor precisa aplicar uma força (F M) oposta ao peso do corpo e de mesma intensidade (admitindo que o corpo suba com velocidade constante) . FM = P = mg

=

F M = 100'10

=

IF M =1000N

o trabalho realizado pelo motor é:

Sendo a potência do motor de 2000W, temos :

'i

Pot = 6t

260

-

'i 6t = Pot

-

5000J 6t = 2000W

. ..

,

6t = 2,5s

,

Exercícios Propostos Nos problemas seguintes, use g = 10m/s 2 . 30. Uma pessoa de 80kg de massa sobe uma escada de 50 degraus em 50s . Sendo 20cm a altura de cada degrau , determine : a) o trabalho realizado ao subir a escada b) a potência média durante a subida 31 . Um corpo de 2,Okg de massa parte do repouso e, sob a ação de uma força resultante constante, atinge a velocidade de 1Om/s depois de percorrer 20m . Determine: a) a força resultante aplicada ao corpo b) o trabalho realizado por essa força c) a potência média dessa força no percurso considerado 32. O motor de um bomba hidráulica tem potência igual a 500W . Em quanto tempo , aproximadamente , esta bomba enche um reservatório de 1 000 1 colocada a 10,0 m de altura ? 33. Qual a potência máxima que se poderá obter, aproveitando-se uma queda-d ' água de 10m de altura com uma vazão de 10 1 /s? 34. (CESCEM -SP) Um motor de 50kW de potência aciona um veículo durante uma hora . O trabalho desenvolvido pelo motor é de : a) 5kW

b) 50kW

c)

5 · 10 4 j

d) 1,8 · 10 5 j

e) 1,8 · 108 j

35. Um pára-quedas desce com velocidade constante de 6,0 m/s. O conjunto pára-quedas e pára-quedista pesa 1 000 N. Qual a força de resistência do ar? Qual a potência dissipada pela resistência do ar? 36. (FCMSCSP) Um automóvel, num trecho horizontal, tem velocidade constante de 20m/s, apesar de atuar sobre ele uma força resistente total de 800 N que se opõe ao movimento. Nestas condições , a potência necessária para mantê-lo em movimento é de (expressa em watts) : a) zero

b) 8000

c) 16000

d) 32000

e) 160000

Questões 37. Em Física , quando podemos dizer que um trabalho foi realizado? 38. Qual a expressão matemática do trabalho de uma força constante? 39. Uma força perpendicular à direção do deslocamento realiza trabalho? 40. Qual a unidade de trabalho, no Sistema Internacional de Unidades? 41 . O que é trabalho motor? E trabalho resistente? 42. Como devemos proceder para calcular o trabalho de uma força variável? 43. Quando o trabalho do peso é positivo? E negativo? 44. Defina potência de uma força. Qual a expressão matemática da potência média de uma força? 45. Defina ·a unidade watt .

261

Exercícios Complementares 46 . Um corpo gira em MCU sobre uma mesa horizontal sem atrito . Sendo o ra io da trajetória igual a 20cm, qual o trabalho realizado pela força de tra ção do fio durante uma volta complet a?

A s informações e os gráficos se referem às questões 47, 48 e 49 .

F

~i

Um co rpo se desloca em linha reta , do ponto A ao ponto E. F é a resultante das forças que atuam sobre ele e é o ângulo que faz com a trajetória retilínea do co rpo .

e

Os gráficos seguintes indicam o valor do ângulo corpo entre A e E. FIN)

4 3

TT-t

A

c

B

6

i

E

e e o do módulo de F, em função da po sição (x ) do 91°)

-

90 l---t---t--t--

->-_ ..

60 t--+---,. 30 -

xlm)

xlm )

o

o

1

2

A

A

B

C

47 . (C ESCEM -SP) O trabalho executado pela força a) zero

b)

1,25 J

c)

F para

2 , 50J

48 . (CESCE M -SP) No trecho CD , o trabalh o rea lizado por a) zero

b ) 2J

c)

3J

49 . (CESCEM -SP) No trecho DE , o trabalho reali zado por a) zero

b)

2J

c)

3J

3 D

4 E

levar o corpo de A até C é de : d)

5,OOJ

e)

7, 50J

F é de : d) 4J

e) indeterminado

F é de: d) 4J

e) indeterm inado

Questões de Vestibulares 50. (CES CEM ·SP) O fato de o trabalho de uma força ser nulo sugere necess ariamente que: a) a f orça é nula b) o trabalho é um vetor; logo a força deve ser paralela ao deslocamento c) o deslocamento é nulo d) ou a força é nula ou o desloca mento é nulo e) o produto do deslocamento pela componente da força na direção do deslocamento é nulo 51 . (F AUUSP ) Na queda livre de um corpo abandonado em repouso , a força da gravidade: a) b) c) d)

262

não reali za trabalh o reaiiza trabalho negativo realiza trabalho que depende da altura da queda nenhuma das alternativas anteri ore s

F(NI

52. (PUC-RS) O gráfico ao lado corresponde à ação de unia força sobre um corpo de 10kg de massa. O trabalho realizado pela mesma entre d = O e d = 2,5m é, em J , de : a) 20 b) 43,25

c) zero d) 40

21

e) n .d .a. d (ml

2 2 ,5 3

°

4

53. (FCMSCSP) Um corpo é abandonado do ponto A e desliza sem atrito sobre as superfícies indicadas, atingindo o ponto B. O corpo atingirá o ponto B com maior velo cidade no caso : a) I

b) 11

c) 111

d) IV

e)

Avelocidade escalar é a mesma no ponto B em todos os casos .

B

(11

(1111

(11)

54. (FEI -SP) É dado o gráfico da força F que age sobre um corpo de 1 ,Okg de massa , em função do deslocamento, a partir do re pouso. A força F tem direção constante, paralela à trajetória . O trabalho de F de O a 0 , 6 m é, em joules, de : a) 20

b) 2

c) 6,3

d) 8

B

e) 15

(lVI

F (NI

15

10 r-.---....' 1

1

1

0.2

0,4

---1---+---

3

° 55. (PUCC-SP) Um corpo de peso P = 1 OON é puxado sobre um plano horizontal por uma força F = 80N. A força de atrito é FOI = 60N e a reação normal do plano sobre o corpo é R = 100N . Num percurso /::"x = 2 ,Om, o trabalho :

d (ml

0 ,6

R F

a) resultante é nulo

b) c) d) e)

P

do peso é igual a 200 joules da força F é de 680 joules resultante é de 160 joules resultante é de 40 joules

56. (UFRGS-RS) Um corpo é transportado de A até B seguindo a . trajetória no plano xV, sempre sujeito a uma força F de 10N, paralela ao eixo x. Afirma -se : a) b) c) d) e)

O trabalho total realizado por F foi de 50J . O trabalho realizado por F entre A e C foi de 10 V2 joules . O trabalho realizado por F entre E e B foi negativo . O trabalho realizado por F entre D e E foi de 20 joules . O trabalho realizado por F entre C e D foi de 20 joules .

As afirmações corretas são: a) a, c b)

y(ml

a, e

c) c, d d)

°

x(ml 2

3

4

5

6

e) a, b

c, e

263

57 . (UMC -SP) Quando uma pessoa levanta uma criança de 10 kg a uma altura de 120 cm, exerce uma força que realiza um trabalho de aproximadamente (g = 10m/ s 2 ): a) 1,2

10 2J

b) 1 ,2

10 3 / ergs

c) l,2J

d) 12J

e) umvalordiferente

58 . (UF-RJ) A potência máxima que se poderá obter, aproveitando uma queda-d'água de 10m de altura com uma vazão de 1,0 l / s, é de : a) 1,0 ' 10 2kW b) 1,0 ' 1O- 2kW d) l ,O ' 1O- 1 kW c) 10kW e) l,OkW 59 . (EPUSP) Dois elevadores de mesmo peso P transportam a mesma carga de peso Q. Um deles atinge o décimo andar do edifício de altura h, a partir do rés-do-chão, em 20s e o outro em 30s, ambos com velocidades constantes . a) Qual o trabalho realizado em cada caso? b) Qual a relação entre as potências mecãnicas desenvolvidas pelos motores dos elevadores? 60 . (UECE) Um corpo de 1OON de peso é abandonado sobre um plano inclinado de 30 °, sem atrito, deslocando-se de 10m segundo a linha de maior declive do plano. O trabalho realizado pelo peso do corpo é de : a) 1 OOOJ

b) 500J

c) 100J

d) 10J

61 . (IT A -SP) Uma escada rolante transporta passageiros do andar térreo A ao andar superior B, com velocidade constante . A escada tem comprimento total igual a 15 m , degraus em número de 75 e a inclinação igual a 30 °. Determine : a) o trabalho da força motora , necessário para elevar um passageiro de 80kg de A até B b) a potência correspondente ao item anterior, empregada pelo motor que aciona o mecanismo efetuando o transporte em 30s c) o rendimento..do motor, sabendo que a potência total do motor é de 400W, sen 30 ° = 0 , 5 e g= 10m/s 2 62. (CESCEM -SP) Um motor de potência igual a 50 watts aciona um veículo durante 1 hora . O trabalho desenvolvido pelo motor é igual a: a) 5kWh

b) 50kWh

c) 5 · 104J

d) 1,8' 10 5 J

e) 1,8' 106 J

63. A potência do motor de um veículo, movendo-se em trajetÓria retilínea horizontal , é dada por P = 2 OOOv, onde v é a velocidade. A equação horária do movimento é S = 20 - 1Ot . As grandezas envolvidas são medidas em watts, metros e segundos . Nessas condições a potência do motor é: a) 4 . 10 4 W b) 2 . 10 3 W c) 103 W d) 4 · 10 5 W e) 2 . 104 W

264

Capítulo 20 Energia

1 Energia Cinética Nessa seqüência de desenhos , aparece um menino que pretende quebrar a vidraça de uma casa, cujo dono acaba de furar sua bola nova. A cerca impede o men ino de se aproximar da vidraça. Aplicando uma força, ele atira uma pedra contra a vidraça. A pedra se desloca sob a ação da força , ocorrendo assim a realização de trabalho no processo.

.

~~.., ..,

\

~

.~

,~

~.

.

Vamos analisar o que aconteceu . O trabalho realizado conferiu à pedra uma velocidade v. Ao chocar-se contra a janela, a pedra transferiu para esse obstáculo parte do trabalho que havia recebido do menino , provocando , então , a quebra da vidraça. Concluímos assim que o trabalho realizado pela força do menino foi armazenado no movimento da pedra, conferindo a esse corpo a capacidade de realizar trabalho .

I

c~nética é-: trabalho~ue se pode obter de um ~or;o~deVido ao seu

Energia movimento.

------

.------------------------------------------~

265

Cálculo da energia cinética Um corpo, inicialmente em repouso, é submetido à acão de um sistema de forças suja resultante é R. Vamos supor que R seja constante . Devido à ação das forças, o corpo sai do repouso e atinge a velocidade V, de mesma direção e sentido que R.

.. -- -~ s .•

"

1'> 5

~

V

;.

5 - 50

Nesse caso , o módulo do vetor-deslocamento d coincide com o deslocamento escalar 6 S. Vamos calcular o trabalho da resultante :

15=

R . 6S

Pela segunda lei de Newton, temos:

R= ma Como o movimento é retilíneo, a aceleração tem módulo igual à aceleração escalar a:

R = ma

o trabalho da resultante é, portanto: G)

15=ma ' 6S

Para relac ionar esse trabalho com a velocidade v , vamos usar a equação de Torricelli :

Como Vo = O, temos :

v2 = 2a . 6S = Substituindo

®

a '

v2 6S=2

®

em G) , obtemos:

15= Concluímos, então, que o trabalho empregado para conferir velocidade v a um mv 2 corpo de massa m é 2

Esse trabalho representa a energia cinética do corpo: 2 Ec = -mv 2

Unidade de energia A unidade de medida de energia é a mesma que a do trabalho: joule (J).

266

Teorema da energia cinética Um corpo em trajetória ret ilínea vai da posição SAaté SB' Nesse intervalo , o módulo da sua velocidade variou de v Apara v B. Sendo R a força resultante sobre o corpo, suposta constante , o trabalho da resultante é:

19R =

R . ~S

Pela segunda lei de Newton , temos:

19 R =

ma . ~ S

CD

Utilizand o a equação de Torricelli : v§ = vÃ+ 2 0' . ~ S Substit uindo ~ em

19R =

CD

=

a . ~S =

v§ - và 2

®

, obtemos:

m . ( v§ ; và )

=

2 2 mv_ mv_ _ B __ A

2

2

} Essa é a expressão do teor~ma da energia cinética. Embora tenhamos demonstrado para o caso particular de R constante e trajetória retil ínea, o teorema tem val idade absolutamente geral. Pode ser enunciado da seguinte forma :

o trabalho da força resu ltante sobre um corpo é igual à var iação da energ ia cinética do corpo.

Exercícios Resolvidos 1. Um corpo de massa m = 2,Okg apresenta velocidade inicial v 1 = 10m/ s. Sob a ação de uma única força co nstant e F, sua velocid ade passa a ser v 2 = 3 0 m / s. Determine o t rabalh o rea lizado por essa força durante a sua apli cação. Resolução: Sendo F a única força atuando no co rpo , ela é igual à res ultante . O trabalho realizado pela força responde à va riação da energia cinét ica do co rpo:

iíF = iíF =

EC2

-

mv~ EC1 = -2- -

2,0' 90 0

2

2,0

Fcor-

mv ~ 2

~ 100

= 900 -

100

= I iíF =

800J

267

2 . Calcule a força do impacto de um projétil de 20g de massa e velocidade de 500m/ s contra uma parede , sabendo que esse projétil penetrou 40 cm na parede . Admita a força de impacto constan t e.

v1

=

500m /s

v2 = O

--- ---:::.:: -------c:::>-- --

Resolução 40cm

São dados : v 1 = 500m / s e v 2 = O d = 40cm = 0.40m m = 20g = O,020kg

A força tem sentido oposto ao deslocamento, portanto ~ = - F . d. Supondo que a força do impacto do projétil co m a parede seja const ante durante a penetração, e que ela seja a única forç a atuando, podemos estabelecer a igualdade entre o trabalho e a variação da energia cinética . ~ = EC2 - EC1

v2 = O

Da i:

=

F=

=

- F

mv ~ 2d

- F d =-

d=

mv ~

mv ~

2

2

mv ~ 2

0 ,020 500 2 2 0.40

ou

F = 6250N

Exercícios Propostos Adote g = 10 m/ s 2, quando necessário . 3 . Uma ba la de fuzil de 10g de massa tem velocidade de 400m /s . Qual sua energia cinética? 4 . Um corpo de 20 kg de massa se desloca com uma veloc idade de 10m/ s. Sobre este corpo atua um conjunto de forças de t al maneira que , depois de algum t empo , a velocidade do co rpo passa a ser de 20m / s. Qual foi o trabalho realizado pela força resultante neste intervalo de t empo? 5. Considerando que este gráfico da velocidade em fun ção do t empo se refere a um corpo de 2 kg de massa, determine a varia ção de sua energi a cinética no intervalo de t empo de O a 15s.

v (m /s)

12 8

tis) OL-----------------1L5--~~

6 . Um móvel se desloca horizontalmente sobre um plano com velocidade 5 ,0 m / s, quando sofre a apli cação de uma força em sentido co ntrário ao do seu movimento , até que sua velocidade se reduza a 3 ,0 m / s. Dete rmin e a relação entre as energias cinét icas do móvel, antes e depois da ação da força. 7 . Qual a energia cinéti ca de um automóvel de 1,2 t de massa, a uma velocidade de 72 km /h ? Qual o tra balho que precisa ser realizado pela f orça motora para que o autom óve l atinja essa velocidade a partir do repouso ? Admit a nulas as resistências sobre o automóvel. 8 . Um projétil de 50g , com velocidade de 3OOm / s, dirigida horizontalmente , atinge uma placa de madeira e penetra 40 cm na me sma . Determine o módulo da força média de resistênc ia oposta pela madeira ao movimento da bala.

268

9 . Um projétil , de 20g de massa e velocidade de 500m/ s, penetra em um bloco fixo e o atravessa numa extensão de 30cm , saindo com veloc idade de 200m/ s. a) Qual o trabalho realizado na perfuração? b) Qual o módulo da força , suposta constante, que se opõe ao movimento do projétil dentro do bloco? 10. Sobre um corpo inicialmente em repouso num plano horizontal sem atrito atua uma força horizontal de direção e sentido constantes, cuja intensidade varia com a distância percorri da, de acordo com o gráfico ao lado . Determine a energia ci nética do corpo nas posições 5m, 10m e 15m . Esse enunciado se refere às questões 11 e 12. O gráfico representa a força aplicada a um móvel de massa m = 3 kg, em função da posição, ao longo do eixo x. A força age na di reção do eixo x , e é positiva quando seu sen tido é o mesmo de x crescente. Abandona se o móvel em x = O, com velocidade nula.

F (N)

150 100 50

d (m)

o

5

10

15

F(N)

12 r-..--...,.....~..., 9 6

11 . (FUVEST-SP) Determine o trabalho realizado pela força F quando o móvel se desloca do ponto x = O ao ponto x = 2 m , e de x = O a x = 6m .

3 ,, (m)

O

3

12. (FUVEST-SP) Determine a velocidade do móvel quando passa pelos pontos x = 2 m e

x

=

6m. E (J)

13. (UnB-DF) A energia cinética E de um corpo de massa m que se desloca sobre uma reta é mostrada na figura em função do deslocamento x: O gráfico da força resultante que atua sobre o corpo em função do deslocamento x é:

3

2 x (m)

O

2

- 1

a)

b) F (N )

F (J)

3

1

x (m)

O - 1

- 2

c)

3

4

5

3

2

2 1

1 - 1

5

-2 F (N)

3

O

3 4

2

5

d) nenhuma das anteriores x (m)

O - 1

3

4

5

- 2

14. (UM -SP) Submete-se um corpo, de massa igual a 500kg, à açâo de uma força constante , que a partir do repouso lhe imprime a velocidade de 72 km/h ao cabo de 40 segundos . Determine: a) a intensidade da força aplicada

b) a distância percorrida

15. (FEI -SP) A potência útil desenvolvida por um automóvel de massa m = 10 3 kg varia com o tempo conforme o diagrama ao lado. Se a velocidade do automóvel é V o = 20m/ s para t = O, qual será sua velocidade v para t = lOs?

c) o trabalho efetuado sobre o móvel P (W )

1o4+-----------~---

tis) 0~--------~10----,.

269

16. A f orça de tr aç ão num automóv el varia com sua posição co nform e G diagram a ao lado . O automóve l partiu do repouso em x = O. Em que posi ção sua v eloc idade é má x im a?

F

x

o

2 Forças conservativas Um corpo desliza sem atrito num pl ano horizontal , com energia ci nética inicial de 10 J . No pon to A, ele tem a sua velocidade retardada por uma mola. Sob a ação somen te da força elástica, o corpo avança até a posição S, onde tem sua veloci dade invertida, e vo lta, passando por A com a mesma energIa cinética .

A:

,

v =

o

i~

.--------------+:~~ I

.-____________

~E,~

Ap licando o teorema da energia cinética ao percurso A -+ S -+ A, verifica-se que o trabalho da força elástica foi nulo nesse percurso, pois a energia cinética final é igual à inicial. Vamos agora analisar outro fenômeno do mesmo tipo. Uma pessoa ati ra uma pedra para cima, com energia cinét ica de 10 J . Desprezando a resistênc ia do ar , o movimento da pedra se dará sob a ação exclusiva da força-peso . Nesse caso , a pedra retornará ao ponto de partida com a mesma energia cinétic a, evidenci ando que o trabalho total do peso fo i nulo .

Ec

10J

Chamando de percurso fechado um percurso em que o ponto de partida coincide com o ponto de chegada, podemos afirmar que a força elástica e a força-peso sempre real izam trabalho nulo em percursos fechados. Toda força que tem essa propriedade é chamada conservativa.

270

Forças conservativas são aquelas que realizam trabalho nulo para percursos fechados.

/

Além da força elástica e da força-peso , também é conservativa a fo rça eletrostática (atração e repulsão de cargas elétricas) . A seguir mostramos uma importante propriedade das forças conservat ivas . Considere um corpo submetido à força conservativa F. O corpo sai do B ponto A, vai até B e volta para A pela ií BA / trajetória 1. Em seguida, vai novamente (1) /~ / até B e volta pela trajetória 2. Em cada trecho , está ind icado o trabalho realizado por F. / F , / Já que F é conservativa, podemos / .;'/ií 'BA escrever:

-;;-::=-

/ - /J

19AB + 19BA = O 19AB + 19~A = O

A

~

(2)

Concluímos, portanto , que 19BA = 19 ~A' Qualquer trajetória que o corpo utilize para ir de B até A, sempre resultará no mesmo trabalho. Podemos, então , enunciar a seguinte propriedade:

O trabalho de uma força conservativa depende exclusivamente do ponto de partida e do ponto de chegada; não depende da trajetória percorrida entre esses dois pontos .

3 Energia potencial A figura a seguir mostra a queda de uma maçã. Durante a queda, o peso da maçã realiza trabalho. Enquanto a maçã está no ponto A, seu peso possu i capacidade de realizar trabalho. Mas, o trabalho só é efetivamente realizado quando ela se desloca de sua posição até o chão.

271

A quantidade de trabalho que o peso da maçã realiza enquanto se desloca até o chão não depende da trajetória percorrida, pois o peso é uma força conservativa. Depende somente da posição inicial. Concluímos , então, que o peso da maçã tem capacidade de realizar trabalho devido à posição inicial em que ela se encontra. Energia potencial é o trabalho que se pode obter de um corpo devido à posição em que ele se encontra. Um corpo só possu i energia potencial se estiver submetido a uma força conservativa.

Energia potencial gravitacional Vamos calcular a energ ia potencial da maçã, su pondo que ela se encontra a uma altura h do chão . Como a energ ia potencial está associada à posição , el a deve ser medida em relação a um referencial. Adotaremos o chão como referencial. O trabalho do peso , do ponto A até o chão , é dado por:

w= Ph

Ic hão (referencial)

Sendo P = mg , podemos escrever:

W=

mgh

Esse trabalho é a energia potencial da maçã no ponto A, em relação ao chão.

Con cl uindo: Um corpo de massa m, a uma altura h, tem energia potencial gravitacional dada por:

-------~~­ i

h

I!

9

I

Exercício Resolvido 17 . De quanto varia a energia potencial de uma pequena esfera de 10 N de peso , suspensa na extremidade de um fio de peso desprezí· vel (pêndulo simples) , quando a deslocamos da posição de equilíbrio até uma nova posi· ção que form a com a vertica l um ângu lo de 60 ° ? O fio tem 50 cm de comprimento .

272

nlvel zero

Resolução : Quando a esfera é deslocada de modo a for mar com a vertical um ângulo de 6 0 °, ela se eleva de h em rel ação à posição de equilíbrio (tomada como referência) . x = 50 . cos 60 ° = 50 . _1_

2

x

+h=

50cm

=

h = 25 cm

=

x = 25cm

=

h = 0,25m

.1 ~,o,m

,-------.-4---h

.. .

.

;,,:'~

- ----- -

nível de referência

A energia potencial inicial é nula: Ep; = O A energia potencial na nova posição é: Ep! = mgh

=

Ep! = 10 · 0,25

=

Ep! = 2, 5J

A variação da energia potencial é: L'. Ep = Ep!- Ep;= 2, 5 - 0 = 2,5

= I L'. Ep =

2,5J

Exercícios Propostos Considere g = 10m/ s 2 , quando necessário. 18 . Um corpo de 8kg de massa se encontra a uma altura de 10 metros do solo . Determ ine: a) sua energia potencial b) o trabalho necessário para elevar o corpo do so lo até essa altura 19. De quanto varia a energia pot encial gravitacional de uma pessoa de massa m = 80kg ao subir até uma altura h = 20m? 20 . Um poço está localiz ado ao lado de um mu ro . Um tijolo de 0 , 50kg se desprendeu do muro, e caiu no poço. Determine : a) a energia potencial do tijolo no muro e no fundo do poço (adote nível ze ro no chão) b) a variação da energia potencial do tijolo

Energia potencial elástica A fi gu ra mostra uma mola, inicialmente com seu comprimento natural ~, em segu ida, comprimida pela força F, sofrendo deformação x. De acordo com a lei de Hooke, a força F é proporcional à deformação x: F = kx

-, I I

,

~

,

I

I

-

, I

F

-

1 \ I

, \lII~IWo!IW

:/ I I

273

_ o gráfico mostra a intensidade de F em função de x. O trabalho empregado para deformar a mola é dado pela área assinalada. Veja que a figura é um tr iângulo de base x e altura kx . Temos, então : 19=

kx 2

F kx

x o ~-----r-----L----~·

2

x . kx

A = - 2-

kx 2

= 2

Esse trabalho representa a energia potencial armazenada na mola, tomando como referência a mola em sua posição natural. Conclusão : Uma mola de constante elástica k, ao sofrer deformação x, armazena energia potencial dada por:

E

=

kx

2

2

P

Exercício Resolvido 2 1. Qual a energ ia potencial elásti ca armazenada numa mola de constante elást ica k = 100 N/ m , q uando ela é dis t endida de 20cm 7 Qual deve ria ser a distensão para que a mola armazenasse uma ene rgia igual a 8J? Resolução

2 . en d I'd a d e x , é Ep = -kx a) A ene rgi. a pot. enc ial arm aze nada numa mola, dlst 2k = 100N /m x = 20cm = O,20m

b) Ep = 8J

=

8 =

10~x 2 =

E =

100 · 10, 20)2

p

2

x 2 = O, 16

=

I X = O,4 ; ]

Para que a energ ia armazenada se ja de 8J , a distensão deve ser de 40cm .

Exercícios Propostos 22 . Tracionada por uma f orça de intensidade 400 N, um a mola heli co ida l sof re de f o rm ação elástica de 5,Oc m . Qu al a energia pot encia l elás t ica arm aze nad a na m o la quand o de f o rm ada de 2, Oc m ? 23 . Um co rp o é preso à ex tremidade livre de uma mola helicoida l de cons tante elásti ca k = 400 N/ m , co mo mo st ra o esq uem a . Dete rmine a energia potencial armazenada pe lo sist ema ao se distende r a mola de 10 c m . 24 . Uma mola t em co nstant e elástica k . A mola é de f ormada de x , como mo stra a f igura . Fa ç a um g ráfico rep rese nt ando a energi a potencial armazenada em fun ção de x . Co nside re valo res positivos e negativos de x .

274

Ji

.~

x

o

•

Teorema da energia potencial

o

esquema mostra um corpo que se desloca de A até B sob a ação do peso . Para simplificar, vamos tomar os pontos A e B situados na mesma vertical. A

· ·~· 1- - --"' hB

................... h = O

o trabalho do peso é: 19AB =

P . .6. h = mg . (h A - h B )

19AB = mgh A -

mgh B

= 19

AB

= E pA -

E pB

Esse resultado mostra que o trabalho do peso entre duas posições do corpo é igual à diferença entre as energias potenciais inicial e final. Embora tenhamos feito a demonstração para um caso particular, o resultado pode ser generalizado para qualquer força conservativa. Esse resultado é conhec ido como teorema da energia potencial e pode ser enunciado assim:

o trabalho de uma força conservativa no deslocamento de um corpo é igual à diferença entre a energia potencial inicial e a energia potencial final do corpo.

4 Sistemas conservativos Conservação da energia mecãnica Um sistema onde só agem forças B conservativas é chamado sistema conservativo . Vamos analisar um corpo que se desloca de A para B num sistema conA servativo~ A resultante das forças nesse corpo é R. C01T!9 o sistema é conservativo , podemos escrever o teorema da energia potencial para R:

19R = E pA - E pB Sendo

R a resultante,

vale também o teorema da energia cinética:

19R = De G) e

®

G)

E CB -

E CA

®

, obtemos:

275

Reagrupando as parcelas, chegamos a:

I EpA+ ECA= EpB + ECB Concluímos que, num sistema conservativo, a soma das energias cinética e potencial de um corpo é constante . Essa soma é chamada energia mecânica:

A energia mecânica, sendo constante para todos os corpos do sistema, é também constante para o sistema como um todo. Num sistema conservativo, a energia mecânica é constante.

Transformações de energia Vimos que, num sistema conservativo, a energia mecânica, isto é, a soma das energias potencial e cinética se mantém constante. Para que isso aconteça, a cada aumento de energia potencial tem que corresponder uma diminuição de energia cinética, e a cada diminuição de energia potencial tem que corresponder um aumento de energia cinética. Podemos descrever esse comportamento de outra forma: Num sistema conservativo ocorrem transformações de energia. A energia potencial, quando diminui , está se transformando em cinética ; e a cinética, quando diminu i, está se transformando em potencial. Veja esta fotografia estroboscópica de um carrinho que se move num trilho sob a ação da gravidade. O atrito é praticamente desprezível. Note que o carrinho, ao perder altura, ganha velocidade (a energia potencial se transforma em cinética); e que, ao ganhar altura, perde velocidade (a energia cinética se transforma em potencial).

"

Q.

'5

C'

"

" B

. . u

'c

o .c Q. Õ

'5

a:

Transformação de energia potencial em cinética.

276

Transformação : Transformação de : energia potencial ' ,energia cinética : em cinética. ' 'em potencial,

'de

Nesta outra foto estroboscópica, uma bola rola sobre um plano horizontal , sobe uma rampa e atinge outro plano horizontal, mais elevado:

"c.

'5

~

""

. o

.~

u o .c c.

o

."

o

lI:

Neste trecho, a energia potencial é constante e a cinética também.

, Aqui ocorre a transforma, ção de energia cinética em potencial.

Novamente, as energias cinéticas e potencial são constantes, porém com vaIares diferentes do primeiro trecho.

Exercícios Resolvidos A

25. Numa montanha-russa, um carro parte do repouso em A e move-se até C, sem atrito . Determine a velocidade do carro em B e C. Adoteg = 10m/ s 2 .

--r

hc

=

.,... "'----~....I __ ______

15m

1

Resolução

O sistema é conservativo ; logo, a energia mecânica é a mesma em todo os pontos da trajetória . EMA

=

E pA

= m . 10 · 20

=>

I EMA =

200m

(m é a massa do corpo)

/

200p{ =

/

EMA

=

E MC =>

vt = 100

=>

"

T = ~Õ R

_ Esse resultado foi demonstrado para Rconstante; porém , é válido também para R variável, e constitui o teorema do impulso .

295

Teorema do impulso:

A variação da quantidade de movimento de um corpo, num certo intervalo de tempo , é igual ao impulso da força resultante nesse mesmo intervalo de tempo .

IR =

~ã

A igualdade entre essas grandezas é vetorial , o que significa que a variação da quantidade de movimento ocorre sempre na mesma direção e no mesmo sentido do im pulso . Podemos também concluir que as unidades kg . m/s e N . S são iguais. ~Q =

I

-+

1 kg . m/s = 1 N . s

4 Tratamento escalar para o impulso e quantidade de movimento Nos movimentos retilíneos , as quantidades de movimento , os impulsos e as forças resultantes têm a mesma direção . Podemos , então, tratar essas grandezas como escalares . Esse procedimento simplifica bastante a resolução de problemas, o que pode ser feito da seguinte forma: • Sobre a reta onde se dão os movimentos, adota-se um sentido positivo. • Atribui-se sinal algébrico a todas as grandezas vetoriais , de acordo com o sentido positivo adotado . • Aplicam-se as definições e leis na forma escalar, isto é, levando em conta só o módulo das grandezas acompanhadas dos seus sinais em relação à orientação adotada.

Exercícios Resolvidos 16. Uma bola de borracha de massa m = 0 , 2 kg incide sobre uma parede com velocidade cujo módulo é 8 ,0 m/ s, retornando na mesma direção co m velocidade de módulo 6 ,0 m /s . Sabendo que a int eração entre a bol a e a parede durou 0 ,01 s, qual a in tensidade da força aplicada pela pa rede, supost a constante? Resolução : A quan t idade de movimento antes do c hoq ue com a parede é : 01 O~

mV 1 = 8 ,0 . 0 ,2 = 1,6kg . m / s

A quantidade de movim ento após o c hoque é : 0 2 = mV 2 = 6 ,0 . 0 ,2 = 1 ,2kg . m / s

296

Como O, e O 2 têm mesma direção, podemos tratar essas grandezas como escalares, desde que adotemos um sentido positivo. Esse procedim ento será adotado daqui para frente em todos os problemas deste capítulo. A dota remos o sentido de O , como positivo. Temos, então:

O,

12 ~

•

O , = 1,6kg' m / s

o teorema IR =

~

..

e

0 2=- 1,2kg· m / s

do impulso na forma escala r é:

O 2 - O,

I R =- 1,2 - 1,6 =

I R =- 2,8N ' s

O sinal negativo indica que o sentido do vetor Té oposto ao sentido adotado como positi v o. Conhecendo o impulso da resultante, podemos agora calcu lá-Ia :

= R=~ = .0, t

.0, t

R = - 2,8 0 ,0 1

=

R =-280N

A única força re levante que atuou na bolinha durante o choque foi a força trocada com a parede . Portanto , a resultante é essa força . O problema pede a in tensidade da força . Logo, responde remos sem o sinal algébric o:

li 17 . Um corpo de massa m = 5,Okg parte do repouso e fica sob a ação de uma força de direção constante, cuja intensidade varia com o tempo de acordo com o gráfico ao lado. Determine o mÓdulo da velocidade do corpo no instante t = 6 ,Os.

= 280N

F (N )

30 20 10

t is)

Resolução : A área A é numericamente igual ao impu lso entre t = e t = 6 ,05 :

°

A = 30 · 6 ,0 = 90 2

=

O

I = 90 N . s

6,0

F(N )

30

Pelo teorema do impulso, temos : 1= mv 6 - mv o Vo =

°=

tis)

1= mV 6

90 = 5,0 . v 6

=

O

v 6 = 18m/S]

Exercícios Propostos 18 . Uma bola de futebol de massa m = 0 ,6kg move-se com velocidade de 1 m/ s. Um jogador chuta a bola , fazendo-a retornar na mesma direção com a velocidade de 20 m / s. Determine o impulso da fo rça que o pé do jogador aplicou na bola.

°

297

19. Um automóvel move-se numa estrada retilínea , com velocidade de 36km/ h. Para ultrapassar um caminhão, ele aumen ta a velocidade, atingindo 54km/ h. O intervalo de tempo decorrido para aumentar a velocidade foi de 5,Os . Sendo a massa do carro de 1 OOOkg, determine: a) o impulso da força resultante b) a intensidade da força resultante (suponha a força constante) 20 . Sobre uma partícula de 5,Okg de massa , movendo-se a 10m/ s, passa a atuar uma única força constante de intensidade 200 N durante 5 ,0 s, em sentido oposto ao do movimento da partícula. Determine o módulo da quantidade de movimento da partícula após os 5,Os .

21. Uma partícula que descreve uma trajetória retilínea está sob a ação de uma força constante , que faz variar sua velocidade, como indica o diagrama ao lado. A partícula tem massa igual a 3 kg . Determine a intensidade do impulso da força no intervalo de 5 s a 8 s.

v (m/sl 15 10

5

o

t (sl

5

10

22. (EEM -SP) Um avião a jato voa a 900km/ h. Um pássaro de 2kg é apanhado por ele, chocando-se perpendicularmente cont ra o vidro dianteiro inquebrável da cab ina. Que força é aplicada no vidro, se o c hoque dura um milésimo de segundo? 23. Um corpo de massa m = 0,5kg apresenta ve locida de li, de módulo 20m /s. Sob a ação de uma força que age durante 5 s, o co rpo passa a apresentar a velocidade li 2 de módulo 16 m / s, numa direção perpendicular à anterior. Pede -se: a) b) c) d)

a variação da quantidade de movimento do corpo durante os 5 s o impulso da força que age no corpo a intensidade da força um diagrama mostrando os vetores 5" O2 e T (O = quantidade de movimento; T= impulso)

24 . Um co rpo de massa m = 2 ,Okg parte do repouso e sofre a ação de uma f orça de direção constante , cujo módulo varia co m o t empo de acordo com o gráfico ao lado . Determine :

F (N)

50+-- - -.....

a) a velocidade do corpo no instante t = 6 ,0 s b) a ve locidade do corpo no instante t = 10,Os

t (sl

o

6 ,0

10,0

Questões 25 . Defina quantidade de movimento . Qual a unidade SI de medida dessa grandeza? 26 . Pode um co rpo ter energia sem apresentar quantidade de movimento ? 27 . Um corpo de massa M e outro de massa m têm a mesma energia cinética. Qual deles tem maior quantidade de movimento , sabendo que M > m? 28. Defina impulso de uma força constante F num interval,o de tempo 6t. Qual a unidade SI de medida dessa grandeza 7 29 . Como podemos calcular o impulso de uma força de intensidade variável e direção constante? 30. Demonstr e o teorema do impulso . 31 . Mostre que 1 kg

298

m / s é igual a 1 N . s.

Exercícios Complementares 32. A velocidade de uma partícula de ma ssa m = 5,Okg que se move em linha reta obedece à seguinte função horária: v = 16 - 4t (SI). Determine: a) a quantidade de movimento no instante t = 3 s b) a quantidade de movimento no instante t = 4s c) a variação da quantidade de movimento entre t = 3s e t = 4s 33. Determine o módulo da força constante que deve agir sobre um co rpo de massa m = 0 , 5kg, durante lOs, para que sua velocidade varie de 8m /s para 20m /s sem que se altere sua direção e sentido. 34. Um cor po de massa m = 2,Okg tem energ ia ci nética de 25 J . Qual o módulo da sua quantidade de movimento? 35 . Um corpo de massa m = 15kg tem movimento retilíneo com velocidade v, = 10m/ s. Durante um intervalo de tempo de 2,Os atuou sobre o co rpo uma força resu lta nte F que mudou a velocidade do corpo para v 2 = 15m/ s, na mesma direção e no mesmo sent ido do movimento original. Determine: a) b) c) d) e)

a a a o o

quantidade de movimento inicial do corpo quantidade de movimento depois da aplicação da força variação da quantidade de movimento do corpo impu lso da força F módulo da força F F (N)

36. Uma força de direção constante e módulo que varia com o tem po de acordo com o gráfico ao lado é aplicada sobre um corpo de massa m = 1 ,Okg, que parte do repouso. Determine: a) o impulso da força nos 2 primeiros segu ndos e nos 4 primeiros segundos b) a velocidade do corpo nos instantes t = 2,Os e t = 4,Os

25

t Is)

0"----'""-----,.-'-::---_ 4 ,0

37 . Um projétil de massa m = 1Og e velocidade v = 500 m/ s incide sobre um bloco de madeira , imobilizando-se depois de se mover durante 0 ,01 s dentro do bloco . Admit indo que a f orça de resistência à penetração tenha sido co nstante, determ in e: a) a va riação da quantidade de movimento do projétil b) o impulso da força de res istência à penetração e o módulo dessa força 9 38. A razão entre as energias ci néticas de dois co rp os de mesma massa é 1 6 . Determine a razão entre as quantidades de movimento desses corpos .

Questões de Vestibulares

v

39 . (CIC E) Uma partícu la com velocidade no laboratório é submetida a uma força perpendicular à direção de li, durante um intervalo de tempo muito pequeno.

F.

-" z rr'", r~ "' ~

Qual das seguintes figuras pode razoavelmente representar a velocidade da partícula depois da ação da força F? (A velocidade antes da aplicação da força é representada pelo símbolo e a v elocidade depois da aplicação da força é representada pelo símbolo vf . )

vi

"

o,

b,

~

-di

Vf

V,

299

40 . IPUC-RSI Sobre um corpo de 2,Okg de massa , inicialmente em repouso, atua uma força resultante que varia conforme o gráfico de F = fltl , ao lado. A velocidade do corpo, ao fim dos 10 primero s segundos , em m /s, vale aproximadamente: ai 1,6n

bl 2, 5n

cl 3 ,9n

di 6 , 2n

F(N)

t is)

el 8,1 n

OL---~5~--~10~---'

41 . IUFRGS-RSI Uma bola, de massa igual a 0 , 5 kg , inicialmente parada, passa a ter uma velocidade de 50m(s, logo após ser c hutada . Qual seria o módulo de uma torça constante que provocasse essa va ria ção de velocidade em um intervalo de tempo de 0 ,2 5s ? a) 25N

bl 50N

cl 100N

di 200N

Este enunc iado se refere às questões 42 e 43 . Umamassam= 5,Okgsed eslocaaolongodoeixoxemfunção do t empo, conforme o gráfico 111. Em ce rto in stant e, du ra nte um curto intervalo de t empo t = 1 ,0 ai 7,5N

bl 26,3N

10 -

m

2S,

di 10N

s

el 12 , 5kg

m/s

qual foi o valor médio da força?

cl 125N

di 1000N

el 12 , 5N

44. IOSEC-SPI Um canhão lança um projétil de 20kg com ângulo de 30 ° em relação à horizontal e com velocidade de 720km/ h. O impulso da força-peso, desde o instante de lançame nto até o instante de altura máxima tem intensidade : ai 2000 V3 N

s

bl 4000 V3 N

s

cl 2000N di 4000N

s s

45 . IF UVEST-SPI Dois ca rrinhos iguais , com 1 kg de massa cada um, estão unidos por um barbante e caminham com velocida de de 3 m/ s. Entre os carrinhos há uma mola comprimida, cu ja massa pode ser desprezada. Num determinado instante , o barbante se rompe , a mola se desprende e um dos carrinhos pára imediatamente .

el 200N

s

v

ai Qual a quantidade de movimento inicial do conjunto] bl Qual a velocidade do ca rrinho que continua em movimento? 46 . IU FES I Uma bomba tem velocidade li no instante em que explode e se divide em dois fragmentos , um de massa M e outro de massa 2M . A velocidade do fragmento menor, logo após a explosão, é igual a 51i. Desprezando-se a ação da gravidade e a resistência do ar, qual a velocidade do fragmento maior?

al~1i 2

300

2 _ bl

li

cl -

5

v

di - v

Capítulo 22 Conservação da quantidade de movimento

1 Quantidade de movimento de um sistema

ell~ ..

,r

Chamaremos de sistema um determinado conjunto de corpos que estivermos estudando. Ao lado representa3 ~ mos um sistema de n corpos, cada cor11111 111 11 po com uma determinada quantidade de movimento. Quantidade de movimento do sistema é a soma vetorial das quantidades de movimento dos corpos:

Õsist = ã 1 + Õ2 + .. . + Õn Se todas as quantidades de movimento tiverem mesma direção, podemos adotar um sentido positivo e tratá-Ias escalarmente . Nesse caso, teremos:

Exercício Resolvido 1. Um sistema é constituído por duas partículas de massas m 1 = 1,Okg e m 2 = 3 ,Okg , e velocidades v 1 = 8 ,Om/ s e v 2 = 2 ,Om/ s. As partículas se movem em direções perpendiculares entre si. Determine o mÓdulo da quantidade de movimento do sistema . Resolução: Os mÓdulos das quantidades de movimento são : 01 = m 1v 1 = 1,0' 8,0 = 8,O kg ' m / s'

Õ1

0 2 = m 2v 2 = 3 ,0 . 2,0 = 6 ,Okg . m / s Como as velocidades apresentam direções perpendiculares, as quantidades de movimento também apresentam direções perpendiculares . A quantidade de movimento total é a soma veto.rial de 1 e 2:

0 6 OT= 0 1 + O2

Pelo teorema de Pitágoras , temos :

O~ = O ~ + O ~

=

0 T=

J 8 ,0 2 +

6,0 2

=I0 T=

10 kg . m/ s

I 301

Exercícios Propostos 2 . Três partíc ulas de ma ssas m , = 2 ,0 kg , m 2 = 3 ,0 kg e m 3 = 5 ,0 kg apresentam movimentos retilineos de mesm a direç ão, com v eloci dade de módulos v , = 1 m/ s, v 2 = 8 ,0 m/ s e v 3 = 6 ,0 m/ s. Sabendo que m3 se move em sentido opost o ao de m , e de m2' det erm ine a quantidade de movimento t ot al do sistema constituído pelas três pa rtículas .

°

3 . Calcule a quantidade de movim ent o de um si stema de duas partíc ula s, de massas m , = 0 , 5 kg e m 2 = 0, 8I(g, que se m ove m co m v eloc idades de módulos v , = 6m/ s e v 2 = 5m/ s, em direções perpendicula res entre si .

2 Forças infernos e externas a um sistema Imagine um astronauta em sua cápsula, em órbita ao redor da Terra. Para sair da cápsula, o astronauta aplica uma força sobre ela. Pelo princípio da ação e reação, a cápsula também apl ica uma força sobre ele. ' Admitindo que o astronauta e a cápsula formem o sistema em estudo, as forças trocadas entre eles são chaSistema homem + cápsula próximo à Terra . madas forças internas ao sistema, pois f e - f são forças internas ao sistema. fo ram trocadas entre dois corpos do 15 1 e 15 2 são forças externas. sistema . Além dessas forças , existem também a força-peso do astronauta e da cápsula, que mantêm esses corpos em órbita. Essas forças são trocadas com a Terra, que não faz parte do sistema; por isso são chamadas forças externas.

3 Sistema isolado Imagine agora o astronauta e sua cápsula num local muito distante de qualquer planeta, de tal forma que a interação com outros corpos seja praticamente nula. Nesse caso , no sistema formado pelos dois corpos só agem forças internas . Esse tipo de sistema é chamado sistema isolado .

Sistema homem + cápsula longe de qualquer planeta. Nesse sistema não existem forças externas. Por isso o sistema é isolado.

302

Em nossa vida cotidiana não nos podemos livrar da força-peso; assim, é impossível obter um sistema sem forças externas. No entanto, é muito fácil equilibrar a força-peso. Tomemos como exemplo uma experiência de laboratório onde dois corpos interagem entre si num plano horizontal com atrito desprezível. Veja que as forças externas aos dois corpos (peso e normal) se equilibram . Nesse caso , a resultante das forças externas é nula. Esse sistema é considerado um sistema isolado.

No sistema corpo A + corpo B, a resultante das forças externas é nula; portanto, o sistema é isolado.

Também podemos considerar isolado um sistema onde as forças externas são desprezíveis, quando comparadas com as forças internas. Os casos mais comuns são os choques e as explosões. Considere, por exemplo, um choque entre duas esferas no ar. Veja que o sistema não é rigorosamente isolado , pois os pesos das duas esferas não são equilibrados. No entanto, durante o choque as forças trocadas entre as duas esferas são muito maiores que os pesos. Nesse caso, podemos desprezar a ação do peso durante o choque e admitir que o sistema é isolado.

-F

o sistema formado pelas duas esferas não é isolado devido aos pesos Pl e P2 .

F

No entanto, durante o choque, as forças internas são muito grandes, de forma que o sistema pode ser considerado Isolado.

Resumindo: Um sistema onde não existem forças externas, ou onde a resultante das forças externas é nula, é um sistema isolado.

4 Princípio da conservação da quantidade de movimento Considere um sistema formado por um número qualquer de corpos. Cada corpo recebe a ação de forças externas e internas. O impulso que cada corpo recebe num certo intervalo de tempo é igual à variação da sua quantidade de movimento. Somando vetorial mente os impulsos e as variações da quantidade de movimento de todos os corpos do sistema, temos:

~otal =

.6. Qsistema

G) 303

Vamos analisar mais detidamente as forças internas. Ao lado representamos dois corpos de um sistema interagindo. A força de interação entre eles é interna ao sistema. O impulso de cada força num intervalo de tempo .6t é :

..........

F,

.

,

........

'.

..........

"

~ = F,· .6t ~= F2 · .6t A soma vetorial dos impulsos é dada por:

I, + 12= F, . .6t + F2 . .6t =

(F, + F2) . .6t Como F, e F2 são forças de ação e reação , obedecem à terceira lei de Newton , ou seja, são vetores opostos: Portanto, temos :

f, + 12 =

O

Conclu ímos, então , que a soma vetorial dos impulsos das forças internas a um sistema é sempre nula. Podemos, então , reescrever a equação G) , substituindo ' total por 'Faxt (impulso das forças externas):

Esse resultado é o teorema do impulso aplicado a um sistema: O impulso das forças externas é igual à variação da quantidade de movimento do sistema. Se o sistema for isolado, o impulso das forças externas será sempre nulo. Portanto : Sistema isolado

=>

ú5 = O

ou

ã constante

Esse resultado é conhecido como princípio de conservação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento de um sistema isolado é constante. Resum indo:

o, =

quantidade de movimento do sistema no instante t , ã 2= quantidade de movimento do sistema no instante t 2 Se o sistema é isolado, então O, = O 2,

304

Exercício Resolvido 4. Um revólver de massa m, = 1, 5 kg dispara um projétil de massa mp = 10 g, que deixa a boca do cano com velocidade v p = 600m/ s. Qual a velocidade de recuo do revólver logo após o disparo? Resolução: A quantidade de movimento do sistema revólver + projétil, antes da explosão, é nula , pois ambos estavam em repouso . Q, =

nr v=o

O

A quantidade de movimento total do sistema , depois da explosão, é dada por: Q 2= m,v,+ mpv p

=

r;;>

Q 2= 1,5v, + 0,010 · 600

Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento: Q, = Q 2

Vp

-

= 600 m /s

Logo : 0 = 1 , 5v , + 0010 · 600 '

=

- 60 v , = -1,5 -'- = - 4 'O

v, = - 4,Om/ s

o sinal negativo indica que o movimento do revólver foi oposto ao do projétil. É o conhecido " coice " do revólver.

Exercícios Propostos 5. Um canhão disposto horizontalmente, de massa m e = 1, 5 t , dispara um projétil de massa mp = 1,0 kg . A velocidade do projétil ao deixar a boca do canhão é v p = 400m/ s. Determine a velocidade de recuo do canhão após o disparo. 6 . Dois garotos estão em repouso sobre patins em uma pista de gelo. As massas dos garotos são mA = 50kg e m B = 40kg . Um dos garotos empurra o outro. O garoto de massa mA passa a se mover com velocidade v A = 4,Om/ s. Qual a velocidade do garoto de massa m B 7

7 . Um avião a jato ejeta 200kg de gases à velocidade de 100 m/ s. Se a massa do avião é de 100t, qual o acréscimo de velocidade que o avião sofre 7 8 . Dois blocos, de 1,Okg e 2,Okg de massa, respectivamente, estão em repouso sobre um plano horizontal com atrito desprezível. Há uma mola comprimida entre os blocos, e o fio AB os impede de se afastarem um do outro. Queima -se o fio AB . No instante em que o bloco (1) já percorreu 1Ocm a partir da posição inicial, qual a distância percorrida pelo bloco (2)7

6. v

2,Okg

A

I"~ 305

9. Um indivíduo de 80 kg de massa está no centro de uma pista de gelo circular, de 5 m de raio , segurando um pacote de 20kg de massa . O pacote é arremessado horizontalmente pelo indivíduo com velocidade de 10m/s. Depois de quanto tempo o indivíduo atingirá a borda da pista? 10 . Um homem de 80 kg de massa está parado na extremidade de um barco de 160 kg de massa e 3 m de com primento. Considere desprezível o atrito do barco com a água. Se o homem caminhar até a outra extremidade do barco, qual o deslocamento que o barco sofrerá em relação à água? Considere o sistema inicialmente em repouso .

5 Choques Um menino abandona uma bola de borracha a partir do repouso, a uma certa altura do chão. Verifica-se que, após o choque com o chão, a bola atinge uma altura menor do que a inicial, evidenciando que sua energia mecânica diminuiu .

Choque ine/ástico.

Choque elástico.

Considerando-se que o percurso de queda é pequeno e que a bola tem pequeno volume, podemos desprezar as perdas de energia durante o movimento. Concluímos, assim, que a bola perdeu energia mecânica durante o choque. Esse tipo de choque é chamado ine/ástico. Um choque ideal, onde não há perda de energia mecânica, é chamado choque elástico. Resumindo: Choque elástico: não há perda de energia mecânica durante o choque . Choque ine/ástico: há perda de energia mecânica durante o choque.

Coeficiente de restituição Representamos a bola imediatamente antes e depois do choque. As velocidades nesses dois instantes serão denominadas velocidade de aproximação e velocidade de afastamento. vaproximação

o quociente entre essas velocidades, tomado em módulo, chama-se coeficiente de restituição (e) : e=

V afastamento V aproximação

306

Os valores de e variam entre os limites e = O e e = 1, dependendo do tipo de choque:

Choque elástico: e = 1 Choque ine/ástico: 1 < e

~

O

O caso-limite em que e = O é chamado choque perfeitamente ine/ástico . Por exemplo, é o caso do choque de uma bola de massa de vidraceiro com a parede.

Conservação da quantidade de movimento nos choques Para aplicar o princípio de conservação da quantidade de movimento a um choque, é preciso que os dois corpos que se chocam pertençam a um mesmo sistema isolado. Veja alguns exemplos.

Sistema isolado corpo A + corpo B.

Sistema isolado raquete + bola (no momento do choque, a força aplicada pelo jogador é desprezível).

Este sistema não é isolado, pois a parede troca forças externas com os carrinhos no momento do choque.

Desde que no instante do choque não exista alguma força externa comparável às forças internas, o sistema será isolado. Para um choque entre dois corpos A e B num sistema isolado, podemos escrever:

OA + as = '-

/

quantidade de movimento antes do choque

Estudaremos principalmente os choques frontais, que são aqueles que se dão em uma só direção. A conservação da quantidade de movimento para um choque frontal pode ser escrita escalarmente, desde que se adote um sentido positivo. Nesse caso, teremos:

OA + as =

O~

O~ + Ó~ '-"

~

quantidade de movimento depois do choque

'; ;L~

+ O~ (escalar)

ou: Choque frontal.

307

o coeficiente de restituição para o choque frontal deve ser escrito a partir das velocidades relativas de aproximação e de afastamento, isto é, das velocidades de um corpo em relação ao outro. antes do choque

após o c hoque

v~ v aproximação

=

VA -

VB

> v~

V afastamento

=

V~ - V~

Temos, então :

e=

V afastamento

=

V aproximação

Observação: Nessa expressão, as velocidades que discordarem do sentido adotado como positivo serão representadas com sinal negativo. Para os choques elásticos , além de termos e = 1, vale também a conservação da energia cinética: Choques elásticos

-+

m v2 2

m v2 2

m v '2 2

m v' 2 2

A A --+~=~+~

Choque frontal perfeitamente inelástico Este é um caso particular do choque frontal. É o choque em que os corpos se movem juntos depois de se tocarem, como mostra o esquema ao lado. Neste caso, podemos escrever o princípio de conservação da quantidade de movimento da seguinte forma:

Análise de um choque não frontal Considere como exemplo o choque entre duas bolas de bilhar. Esse choque foi registrado na fotografia estroboscópica a seguir. A escala é 1:5 e o tempo entre duas imagens sucessivas é de 0,2 s. Cada bola tem 200 g de massa.

308

A partir da foto foram calculadas a velocidade da bola A antes do choque e as velocidades das bolas A e B após o choque (a bola B estava em repouso antes do choque) . Multiplicando as velocidades pelas massas, foram obtidas as quantidades de movimento das bolas antes e depois do choque. Para verificar se houve ou não conservação da quantidade de movimento no choque, devemos comparar as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque . • Antes do choque: a quantidade de movimento do sistema é igual a OA' já que a bola B estava em repouso . • Após o choque : a quantidade de movimento do sistema é igual à soma vetorial de ã~ e ã~ .

.

,

..

Verifica-se que a direção da quantidad~ de '!10vimento do sistema ficou praticamente inalterada. No entanto, o módulo de Q~ + Q~ é um pouco menor que o módulo de ã~ . A quantidade de movimento sofreu uma pequena diminuição devido às forças externas ao sistema que não foram totalmente eliminadas (atrito das bolas com a mesa, resistência do ar etc.).

309

Exercícios Resolvidos i 1. Uma esfera de massa m = 2,Okg e velocidade v = 5,Om/s choca-se com outra esfera de mesma massa , inicialmente em repouso . Admitindo-se que o choque seja central e elástico, determine a velocidade das esferas depois do choque·.

Resolução: Queremos determinar as velocidades v Í>. e v s ' após o c hoque . Aplicaremos , então, o princípio de co nservação da quantidade de movimento:

,'Wl (,,''''-_.~ VA= 5,Om/s antes do choque

mAv A + mBv B = mAv Í>. 2 ,0 10,0

+ m Bv S 5 ,0 + O = 2 ,OvÍ>. + 2 ,Ovs = 2 ,OvÍ>. + 2,Ovs = vÍ>. +

mB = 2 ,Okg

mA = 2 ,Okg

Vs

= 5 ,0

CD

Como o c hoque é elástico, temos e = 1 : Vs - vÍ>. e=

Vs - vÍ>. 5 ,0 = 1

vA - v B

Somando as equações mos : vÍ>.

+ Vs

(2)

=

Vs - vÍ>. = 5 ,0

0 '

e

@

obte-

= 5,0

G) vs - v Í>. = 5,0 2v s = 10,0 Substituindo em vÍ>.

+ Vs

Vs

=

Vs = 5,Om/ s

(2) o valor obtido, obtemos:

= 5,0

5,0 =

vÍ>.

+ 5,0

= 5,0 =

vÍ>.

=

O

Depois do c hoque , as esferas trocam suas velocidades.

Este re sultado. pode se r assim generalizado:

Num c hoque perfeitamente inelástico entre dois corpos de massas iguais, os corpos trocam suas velocidades .

12. Um c orpo A , de massa m A = 3,Okg e velo cidade v A = 15 m / s, choca -se com outro corpo B, de massa m B = 2,Okg e ve locidade v B = 20m/ s, que se movia na me sma direção e sentido. Sabendo que o cho qu e foi perfeitamente ine lá stico, determine a velocidade dos corpos após o c hoque , e a quantida de de energia ci nética do sistema transformada em energia térmica.

Resolução : Se o c hoque é perfeitamente inelástico, o coefic iente de restituição vale zero. Portanto, os corpos pa ssa m a se mover solidariamen te , isto é, com a mesma velocidade . VB

=

20m/s

VA

=

antes do choque

310

15m/s

depois do choque

A velocidade dos corpos pode ser determinada aplicando-se o princípio de conservação da quantidade de movimento :

A energia cinética antes do choque é: mA vi msv~ 3 O 15 2 2,0 20 2 EC = - 2 - + - 2 - = ' 2 + 2 = 7 37 , 5 J A energia cinética depois do choque é: 5,0 · 17

2

2

= 722 5J

'

Houve uma perda de energia cinética de : "" Ec = Ec - E ~ = 737 , 5 - 722,5 = 15J 15 J transformaram -se em energia térmica .

Exercícios Propostos 13. Duas esferas, A e B, iguais e de mesma massa (5kg), estão num plano horizontal perfeitamente liso. A esfera A, com velocidade de 12 m/ s, choca-se com B em repouso , num choque perfeitamente elástico e frontal. Determine as velocidades de A e B após o choque . 14 . (MAPOFEI-SP) Uma bola é la nçada com ve locidade v 1 sobre outra parada , idêntica e que está próxima a uma parede. Os choques são perfeitamente elásticos e frontais e ocorrem num plano horizontal sem atrito .

(1)

(2)

a) Quantos choques ocorrem no fenômeno? Descreva-os . b) Quais são, após os choq ues, as velocidades das bolas? Justifique fisicamente . 15. Um corpo , de massa mA = 30kg e velocidade v A = 60 m/ s, choca -se de modo perfeitamente inelásti co contra outro corpo , de massa ms = 20kg e velocidade V s = 10m/ s. Sabendo-se que os corpos A e B se movem na mesma direção e em sentidos opostos, pergunta -se : a) qual a ve locidade do sistema após o choque? b) qual a energia cinética do sistema , dissipada na forma de calor? 16 . Duas esferas iguais, de 5,Okg de massa, têm ve locidades de 20m/ s e 6 ,0 m/ s e se movimentam num plano horizonta l sem atrito, em sentidos opostos . Sendo o coeficiente de restituiçã o 0 ,20, determine as velocidades das esferas após o choque . 17 . Duas esfe ras, de 4,Okg e 6 ,Okg de massa , movem -se na mesma direção e sentido com velocidades de módulos respectivamente iguais a 3,Om/ s e 2,Om/ s. Sendo o choque perfeitamente elástico, determine as velocidades das esferas imediatamente após o choque. 18 . No exercício anterior, se o choq ue fosse perfeitamente inelástico, qual seria o módulo da velocidade dos corpos após o choque? 19 . Duas esferas, A e B, têm massas iguais a 2 ,Okg . A esfera A tem velocidade de 4 ,Om/ s e a esfera B está em repouso . As esferas co lidem fronta lmente e o coeficiente de rest ituição é igual a 0 , 50. Determine as velocidades das esferas após o choq ue e a perda de energia cinética durante o choque .

311

20. Dois vagões têm massas de 50t e 30t. Os dois se movem na mesma direção e em sentidos opostos sobre os trilhos . O vagão mais leve tem velocidade de 0,50m/ s e o outro, de 1 ,0 m / s. Quando se chocam os dois ficam engatados . Determine a perda de energia cinética durante o choque. 21 . Uma esfera cai da altura de 20m e, após bater no solo, retoma, atingindo a altura de 5,Om. A esfera tem 2,Okg de massa e g = 10m/ s 2 . Determine : b) a perda de energia cinética durante o choque

a) o coeficiente de restituição

Questões 22 . O que é um sistema isolado? 23 . A quantidade de movimento de um sistema constituído por dois corpos pode ser nula, se esses corpos estão em movimento? Justifique . 24. Enuncie o princípio de conservação da quantidade de movimento . 25 . É possível mover um barco a vela, utilizando um ventilador dentro do próprio barco? Justifique . 26. O que acontecerá com a velocidade de um carrinho , que se move com velocidade constante numa superfície horizontal sem atrito, se num determinado ponto de sua trajetória deixarmos cair verticalmente sobre ele um saco de areia com massa igual à do próprio carrinho? 27 . O que é c hoque elástico? E choque inelá stico? 28 . Como se determina o coeficiente de restituição em um choq ue? Qual a unidade de medida desse coeficiente? 29 . O que acontece com a energia cinética dos corpos durante um choque elástico? 30 . É possível que num choque entre dois co rpos toda a energia cinética seja dissipada? Justifique .

Exercícios Complementares 31 . Um projétil de 40g de massa atinge um bloco de 10kg suspenso por dois fios de massas desprezíveis , e nele se encrava. O bloco, recebendo o projétil, eleva-se de 20cm em re la ção à posição inicial. Qual a ve locidade do projétil ao atingir o bloco? Admita g = 10m/ s 2 . A

32 . (EESC -SP) No esquema, mA = 1 kg e ma = 2kg. Não há atrito entre os corpos e o plano de apoio. A mola tem massa desprezível. Estando a mola comprimida entre os blocos, o siste ma é abandonado em repouso . A mola se distende e cai por não estar presa a nenhum deles . O corpo B adquire velocida de de 0,5m/s. Determine a energia potencial da mola no instante em que o sistema é aba ndonad o livremente .

312

33. (UM -SP) A figura mostra dois blocos, A e B, de mesma massa igual a 5 kg e com velocidades iniciais de 20 m/ s e 6 m/ s, respectivamente. O bloco A se movimenta durante 4 segundos para atingir o plano perfeitamente liso. Uma vez no plano liso, A colide centralmente com B. Supondo que o coeficiente de restituição é 0,2, pede-se determinar: a) as velocidades dos blocos A e B após a colisão b) a quantidade de calor que corresponde à variação de energia cinética sofrida pelo bloco A na colisão Adote g = 10m/ s 2 e o coeficiente de atrito entre A e o plano rugoso IJ = 0,2. 34 . Três vagões idênticos estão em repouso sobre trilhos horizontais sem atrito, separados por 10m. Um quarto vagão idêntico choca-se com um deles com uma velocidade de 2 m/ s. Os vagões engatam uns nos outros. Determine:

v=

20m/s

6m/ s

rug oso

liso

2 m/s

10m

10m

a) a velocidade após cada choque b) o intervalo de tempo entre o primeiro e o último choque

35. Uma porção de dinamite explode em 3 pedaços, de massas de 1 ,Okg, 0 , 5kg e 2 ,Okg . Os dois primeiros movem-se em traj etórias perpendiculares entre si, com velocidades respectivas de 6 m/ s e , 6 m/ s. Faça um esquema e determine : a) a direção da velocidade do terceiro pedaço

b) a velocidade do terceiro pedaço

Questões de Vestibulares 36. (PUCSP) Um foguete de massa de 30 tonelada s, em movimento no espaço interplanetário, com ve locidade constante de 5 ,0 km /s, libera em dado instante um estágio de massa de 1 toneladas, que fica em repouso .

5,0 km/s

°

a) Qual a nova velocidade do fogu ete? b) Houve conse rvação da energia cinética? Se não, determine sua variação .

37 . (PUCC -SP) Uma mola de massa desprezível é comprimida por dois carrinhos, de massas MA = 2 kg e M s = 4 kg , inicialmente em repouso . Quando abandonados, B adquire v elocidade de 0 , 5 m/ s. A velocidade de A , em m/s, será: a) 0,5

b) 1,0

c) 1 , 5

d) 2 ,0

e) 2,5

38 . (F.Objetivo-SP) O carro de ma ssa M anda com velocidade V no laboratório (não há atrito entre o carro e o plano horizontal) . O fio que mantém a massa m suspensa ao suporte é co rtado de tal maneira que a massa m cai dentro do alojamento existente no carro em movimento. Qual é a razão entre a energia ci nétic a do carro antes de receber a massa m e depois da queda da massa m? a)

1 - .!!!..

.

b) 1

M

+ .!!!.. M

c)

1

d) 1

+~ m

-a)

'----~

m

..!!1.... M

M

m

313

39 . IVUNESP) Uma partícula de massa m , movendo-se com velocidade horizontal 'lo' colide com um corpo prismático Ivisto em corte na figura) de massa M , inicialmente em repouso . Após a colisão a partícula se move verticalmente para cima com velocidade conforme mostra a figura. Supondo o atrito entre o corpo de massa M e o seu plano de apoio desprezível e a colisão perfeitamente elástica , determ in e:

v"

a) a velocidade .v 2 do corpo de massa M b) a velocidade v, da partícula m 40 . IUNICAMP) Uma esferazinha A de massa m, presa a um pi no O por um f io leve e inextensível, tangencia um plano horizontal liso .•Uma segunda esferazinha 8 , de mesma massa m , desloca -se com velocidade V o = 1 ,Om/ s e vai chocar-se fron talmente com a primeira , que está em repouso . Admita que todas as possíveis colisões neste evento são perfeitamente elásticas .

o

a) Quanta s c olisões haverá entre as duas esferazinhas? b) Qua is serão as velocidades das esferazinhas ao final desse evento ?

A

Este enunciado se refere às questões 41 e 42 . Uma bomba, logo antes de explodir em três pedaços A , 8 e C de igual massa , tem velocidade V o = 200m/ s. Logo após a explosão, os fragmentos A e 8 têm velocidades v A = vB ' conforme a f igura IVA e B estão no plano da figura e

v

IVA I 41.

=

I vB I

= 200 V2 m / sI.

IFUVEST-SP) A velocidade Vc do fragmento C terá, logo após a explosão, módulo igual a : a) Om/ s

b) 400m/ s

c) 200V2m/ s

d) 20013 - 2v'2)m/ s

e) 200m/ s

42 . IFUVEST-SP) A velocidade Vc forma c om a direção de Vo um ãngulo : a) de 0 ° b) de 180 ° c) de 90 °

d) de 90 °, normal no plano da figura e) indefinido, pois o vetor nulo não tem direção

43 . IUFES) A figura mostra um corpo de massa M se desloc ando no plano do papel, com uma velocidade de 3 m/ s. Se num determina do instante o corpo se parte em 3 pedaços iguais , o pedaço 1 sairá c om uma velocidade igual a : a) 9m/ s 6m/ s

b)

c) 3m/ s d) 1 m / s

- 0-----0--

e) 1/ 3m/ s

2

44 . IUFRGS-RS) Dois carrinhos, A e 8 , conforme a figura , possuem massas iguais a M e estão em repouso sobre uma superfície. livre de atritos. O carro A desliza e co lide com o carro 8, ao qual permanece unido. Qual será a velocidade do conjunto formado pelos dois carros imediatamente após a co lisão, sendo g a aceleração da gravidade? a)

314

4

v'9h

b) 2

v'2gh

3

M

CAl

c)

v'9h

d)

v' 2gh 2

v'29h

e) - 4 - -

Capítulo 23 Gravitação

1 Introdução A necessidade de um referencial constante de espaço e tempo, aliada à curiosidade natural que o céu sempre inspirou, fez com que o homem durante toda a história procurasse entender o movimento dos astros. Daí a Astronomia ser a mais antiga das ciências. A própria palavra orientação, que significa originariamente 'voltar-se para o oriente ', isto é, para onde o Sol nasce, mostra a utilização dos astros como referencial básico . Olhando constantemente para o céu, o homem percebeu um movimento geraldo Sol , da Lua e das estrelas, que diariamente despontam de um lado do horizonte , percorrem o céu e desaparecem no lado oposto. A partir dessa observação , o homem chegou a uma conclusão simples: todos esses astros giram ao redor da Terra. Essa forma de interpretar o universo ficou conhecida como geocentrismo (geo = Terra) . A partir de observações detalhadas, anotando diariamente as posições dos astros , os astrônomos da antiguidade observaram que , além do movimento diário, o Sol e as estrelas mudam de posição no céu dia após dia, voltando à mesma posição em intervalos de tempo sempre iguais. Surgiu , então, a idéia de dividir o tempo em anos. Observou-se também que as estrelas mantêm entre si sempre as mesmas posições relativas , com exceção de alguns astros que se movem em trajetórias particulares. Esses astros foram chamados planetas, que em grego significa 'errantes' . Os gregos conheciam cinco planetas , visíveis a olho nu . A esses astros misteriosos deram nomes de deuses: Mercúrio , o mensageiro ; Vênus, deusa do amor; Marte , deus da guerra; Júpiter, rei dos deuses; e Saturno, deus do tempo. Os planetas sempre foram um desafio aos astrônomos: vistas da Terra, suas trajetórias são muito estranhas. Por exemplo, veja na figura a trajetória de Marte em relação às estrelas entre setembro e abril. Veja que, de setembro a novembro , o movi8 jan mento se dá em um sentido ; entre novembro e feve7 fev reiro , o sentido se inverte ; e de fevereiro em diante , o 28 abr 9 mar sentido anterior é retomado. Esse movimento de laçada nunca foi satisfatoriamente explicado na an10 OU ! tiguidade . Trajetória de Marte em relação às estrelas (vista da Terra).

316

o desenvolvimento do geocentrismo o primeiro modelo geocêntrico do mundo é atribuído aos pitagóricos (discípulos de Pitágoras), no século VI a.C . Nesse modelo, a Terra é esférica e ocupa o centro de um sistema de outras 9 esferas de cristal, onde estão incrustados os astros que vemos no céu. O universo é finito. Não há nada além da esfera externa. {t

______ ----*-------*

0 ____-

Aristóteles O modelo das 10 esferas era uma idéia sem muito compromisso com a realidade, já que ignorava as laçadas dos planetas. Aristóteles (séc. IV a.C.) criou um modelo geocêntrico mais elaborado, no qual os planetas encontravam-se fixados em esferas menores, cujos eixos estavam presos às esferas maiores, que giravam ao redor da Terra. No total, o sistema tinha 54 esferas. O universo era dividido em duas regiões, separadas pela esfera da Lua.

o universo geocêntrico dos gregos. De fora para dentro havia: 1) Esfera motriz - invisível, imóvel. 2) E.sfera das estrelas - ciclo: 1 dia - arrasta todas as outras. 3) Esfera de Saturno - ciclo: 29 anos. 4) Esfera de Júpiter - ciclo: 12 anos. 5) Esfera de Marte - ciclo: 2 anos. 6) Esfera do Sol- cicio: 1 ano. 7) Esfera de Vênus - ciclo: 6 meses. 8) Esfera de Mercúrio - ciclo: 3 meses. 9) Esfera da Lua - ciclo: 1 mês. 10) Esfera da Terra - imóvel.

r(

,,,-'

-.--- ...... "",

~

Lua

,

,

I

região divina \

I

região sub lunar \

I

t \

\

\

O ,

}

Tena .

"" '

,

/

...... _ _ ... 4111'''

I

,. /

Segundo Aristóteles, a Lua separava o mundo dos homens do mundo divino.

Na região sublunar, isto é, no interior da esfera da Lua, havia a mudança, a vida e a morte. Ali, tudo era formado a partir de quatro elementos: o fogo, o ar, a água e a terra. Além da esfera da Lua estavam os astros, todos formados por um quinto elemento (o éter), absolutamente imutável. Nessa região, que era divina, não existia a mudança. Tudo se repetia perfeitamente ao longo dos séculos. Na região sublunar, os corpos apresentavam um movimento natural em linha reta (como uma pedra que cai), enquanto os astros apresentavam movimento natural circular. Essa idéia constituiu um dos maiores empecilhos para o desenvolvimento posterior da Astronomia, pois todos os astrônomos tentavam explicar os movimentos dos planetas através de círculos. Ptolomeu No século 11 d.C., Ptolomeu, cientista egípcio, aperfeiçoou o modelo geocêntrico. Estabeleceu que os planetas giravam em movimentos circulares (epiciclos) ao redor de pontos imaginários. Esses pontos, por sua vez, giravam ao redor da Terra. O modelo era extremamente complexo, contendo cerca de 80 círculos.

317

o rei Alfonso X, de Castela, ao conhecer o sistema de Ptomoleu, declarou: "Se o Todo-Poderoso me tivesse consultado antes de iniciar a criação, eu lhe teria recomendado algo bem mais simples". No entanto, apesar da complexidade do seu sistema, as tábuas astronômicas construídas por Ptolomeu eram bastante precisas, e serviram como guia para as grandes navegações, como a viagem de Colombo. Isso contribu iu para que seu sistema fosse aceito por um longo tempo.

Esquema simplificado do sistema de Ptolomeu.

Astrolábio. Utili· zando as tábuas de Ptolomeu e um instrumento como esse, os navega· dores se localizavam através das estrela s.

o fim do geocentrismo o hel iocentrismo , isto é, a idéia de que o Sol é o centro do nosso sistema planetário já surgira na Grécia antiga, defendida por Aristarco, da escola pitagórica, no século 111 a.C. Rejeitado pelos gregos, o heliocentrismo foi retomado no Renasc imento. Copérnico Polonês, filho de um negociante, Copérnico (1473-1543) era cônego em sua cidade natal. Dispunha de instrumentos rudimentares, construídos a partir de instruções de Ptolomeu (1300 anos antes); por isso, não fez muitas observações. Utilizou basicamente o farto material acumulado pelos gregos, caldeus e árabes. O sistema de Copérnico baseava-se nas seguintes idéias: • O universo é finito , limitado pela esfera das estrelas (como nos modelos gregos) . . • O Sol está no centro do universo. • A Terra e os planetas giram em órbitas circulares, ao redor do Sol , presos às esferas de cristal. Admitindo-se que a Terra e os planetas giram ao redor do Sol , as trajetórias aparentemente estranhas dos planetas se tornam compreensíveis.

318

o quadrante utilizado para determinar a posição das estrelas.

Veja que o efeito da laçada se deve ao fato de o planeta Marte estar sendo observado a partir da Terra, que também se move . Apesar de inovador, o sistema de Copérnico ainda preservava muitas características dos antigos. Por exemplo, ele é totalmente concebido a partir de circunferências. Já era sabido na época que a distância entre o Sol e a Terra é ligeiramente variável. Para Copérnico, o que explicava tal fato era que o Sol não estava exatamente no centro da trajetória circular da Terra, e sim num ponto muito próximo a ele . Além disso, as oscilações observadas nas trajetórias dos planetas não ficaram totalmente esclarecidas pelo movimento relativo, e Copérnico lançou mão de epicic/os, como os de Ptolomeu. Na verdade, o modelo de Copérnico era mais complicado que o de Ptolomeu, e por isso nunca chegou a ser utilizado na prática. Seu grande mérito foi ter relançado a idéia do heliocentrismo, que a partir daí foi retomado por outros cientistas. Ticho Brahe Filho de uma família de nobres dinamarqueses, Ticho Brahe (1546-1601) foi considerado o maior astrônomo de sua época. Construiu os observatórios de Uranimburgo e Astroburgo, na ilha de Hveen, durante muito tempo os mais bem equipados do mundo. Mandou construir um caríssimo globo celestial, com um metro e meio de diâmetro, onde marcava com grande precisão as posições das estrelas. Para seu uso exclusivo, dispunha de uma tipografia e uma fábrica de papei, numa época em que imprimir um livro era tarefa muito difícil. Ticho alcançou a celebridade por ocasião do surgimento de uma nova estrela, em 1572, sobre a qual publicou um trabalho. Essa estrela surgiu repen-

o modelo heliocêntrico tornou simples a explicação das laf(adas dos planetas.

,1/

$01 - . /

1'

·c

Segundo Copérnico, o Sol não estava exatamente no centro da órbita circular da Terra .

Observatório de Uranimburgo, numa gravura da época.

319

tinamente com grande brilho (podia ser vista durante o dia) e durou 18 meses, desaparecendo em seguida. A grande repercussão desse trabalho deve-se à afirmação de que esse astro era efetivamente uma estrela que nasceu e morreu, contrariando a teoria de Aristóteles sobre a eternidade das estrelas*. Ao longo de 35 anos de trabalho, Ticho produziu um fantástico conjunto de dados, que serviram como base para a moderna Astronomia. Catalogou com precisão 777 estrelas e descreveu minuciosamente os movimentos dos planetas. Apesar disso , não esteve à frente da sua época: nunca admitiu a hipótese de a Terra se mover. Ticho Brahe é considerado o último dos grandes astrônomos que observaram o céu a olho nu. Kepler De origem humilde , o alemão Johannes Kepler (1571-1630) empregou sua vida na busca de uma interpretação matemática para o universo. Sempre defendeu o heliocentrismo lançado por Copérnico. Não possuindo meios para adquirir instrumentos astronômicos, ofereceu-se como assistente de Ticho Brahe. Aceito, permaneceu nessa condição até a morte do grande astrônomo . Kepler fo i incumbido por Ticho de estudar o planeta Marte, cuja órbita excessivamente excêntrica desorientava os astrônomos. Durante esse trabalho, Kepler fo i derrubando um por um os dogmas da Astronomia antiga, e criando as ferramentas da Astronom ia moderna.

Um dos primeiros trabalhos de Kepler, este modelo heliocêntrico baseado em poliedros mostra sua fixação pela interpretação geométrica do universo.

In icialmente estabeleceu que as aparentes oscilações de. Marte, que Copérnico não havia explicado satisfatoriamente , deviam-se ao fato de as órbitas da Terra e de Marte não estarem no mesmo plano. Com isso, eliminou a necessidade dos epiciclos. Logo percebeu também que a velocidade de Marte era variável , sendo maior nas proximidades do Sol. Estabeleceu, então, a lei das áreas, segundo a qual o segmento que une o Sol a um planeta (raio vetor) percorre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Posteriormente, essa lei foi chamada primeira lei de Kepler. Seu maior problema foi encontrar uma trajetória circular para Marte que concordasse com os dados levantados por .Ticho. Durante 5 anos preencheu 900 páginas com cálculos, mas não conseguiu um resultado suficientemente preciso. Deu .então seu maior passo : abandonou a circunferência e passou a experimentar outras trajetórias . Inicialmente tentou a forma de um ovo , na qual consumiu também um grande es-

ovo de Marte

elipse de Ma rte

A proporcionalidade entre as áreas varridas pelo raio vetor e os tempos é válida para a elipse e não para a oval, uma das tentativas de Kepler.

• Hoje sabemos Que a estrela de 1572 foi uma supe rnOVB , resultan te da explosão de uma grande es trela. Também em 125 a.C.. o grego Hiparco regis trou um fenômeno que teve toda s as ca racte rísticas de uma supernova .

320

forço. Finalmente, concluiu que Marte descreve uma elipse e que o Sol ocupa um dos focos dessa elipse. Essa conclusão foi depois generalizada para todos os planêtas, constituindo a segunda lei de Kepler. As conclusões sobre Marte foram publicadas, em 1609, no livro Nova Astronomia, que é considerado seu trabalho mais brilhante . Em 1618, publicou o trabalho Harmonia do mundo, onde apresenta sua terceira lei, que relaciona o período do movimento de cada planeta com sua distância ao Sol. Kepler pode ser considerado o primeiro cientista moderno, para quem as leis físicas só têm validade quando correspondem rigorosamente às medidas feitas sobre fatos reais. Esteve muito à frente do seu tempq, a tal ponto que seu trabalho revolucionário não teve muita repercussão na época da publicação. Apesar disso, não fugiu completamente ao seu meio: seu trabalho é carregado de misticismo (foi astrólogo) e apresenta muitas contradições científicas. Ele mesmo não percebeu a importância das três leis, em meio à sua volumosa produção. Quem teve a genialidade de destacar esse conjunto de leis foi Isaac Newton , 70 anos depois. .

Galileu Contemporâneo de Kepler, Galileu (1564-1642) foi o primeiro homem a apontar um telescópio para o céu . Para ele o céu não tinha nenhuma significação mística. A partir de suas observações com telescópio, publicou, em 1610, o livro Mensageiro das estrelas, onde relata a descoberta de 4 novos planetas, que na realidade eram satélites de JÚpiter*. Revela também a existência de milhares e milhares de estrelas, invisíveis a olho nu, evidenciando a idéia do universo infinito. A partir dessas descobertas de Galileu, Kepler mostrou que suas leis eram válidas também para os satélites de Júpiter, terminando por generalizá-Ias para todos os planetas. Galileu apresenta sua luneta à comunidade científica.

Durante sua vida, Galileu defendeu o modelo de Copérnico. tendo publicado a esse respeito o livro Diálogos sobre os dois grandes sistemas do mundo, em 1630. Galileu nunca reconheceu as leis de Kepler. A maior contribuição de Galileu para a Física está em seu livro Discursos e demonstrações matemáticas sobre duas novas ciências, publicado já no fim de sua vida, no qual estabelece as bases da Dinâmica e fornece um método geral para a Física.

Newton Isaac Newton (1642-1727) fez a síntese do trabalho de seus contemporâneos. A partir das leis de Kepler, dos trabalhos de Galileu e de muitos outros trabalhos desenvolvidos em sua época, concluiu que as mesmas leis governam os astros e os corpos terrestres: a força que faz um corpo cair quando abandonado próximo à superfície da

• Hoje sabemos que os satélites de Júpiter são 16: lo, Europa , Ganimedes, Cal isto, Amaltéia , Himália , Elara , Pusifaé , Sfnope, lisitéia, Carme. Ananque. Leda . Adrc!lstea , Tabas e Metis .

321

Terra é da mesma natureza que a força que mantém a Lua em órbita ao redor da Terra, assim como as forças que mantêm os planetas em órbita ao redor do Sol etc. Generalizando esse raciocínio, postulou que dois corpos quaisquer no universo se atraem com força proporcional às suas massas. Para avaliar a variação dessa força com a distâ"ncia entre os corpos, comparou a aceleração da queda de um corpo próxi-. mo à superfície da Terra com a aceleração da Lua em seu movimento ao redor da Terra: concluiu que a força da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância , estabelecendo, assim, a lei da gravitação universal. A partir de Newton , a Mecânica do universo ficou resumida a quatro leis: as três leis da Dinâmica e a lei da Gravitação. Esse desenho, publicado no livro philosophiae naturalis principia mathematica, de Isaac Newton, mostra as possíveis trajetórias de um projétil lança· do do topo de uma montanha. O projétil poderá entrar em órbita se o valor da velocidade for suficientemente grande no instante de lançamento. As trajetórias que começam em v e terminam em D, E, F e G correspondem a velocidades iniciais cada vez maiores, porém insuficientes para colocar o projétil em órbita. Segundo o próprio Newton: " ... quanto maior a velocidade com que é lançado, mais longe ele irá antes que caia na superfície da Terra . Assim, podemos supor que se a velocidade (de lançamento) for aumentando, ele descreverá arcos de 1, 2, S, 10, 100, 1 000 milhas antes de cair, até que, excedendo os limites da Terra, passe ao espaço, sem tocá-Ia ".

Complemento matemático Elipse Elipse é uma curva plana definida a partir da seguinte propriedade: é o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a dois pontos fixos (focos) têm soma constante. Pode-se traçar uma elipse por um processo prático: fixam-se duas tachinhas sobre o papel e amarra-se uma linha entre elas.

í

t achinhas

~

:JLun linha

A forma da elipse é dada pela sua excentricidade:

@ elipse com grande excentricidade

322

elipse com pequena excentricidade

2 As leis de Kepler Primeira lei de Kepler (lei das órbitas) Em seu movimento em torno do Sol, os planetas descrevem órbitas elípticas, um dos focos sendo ocupado pelo Sol. De acordo com essa lei, a distância dos planetas até o Sol é variável. O ponto da trajetória mais próximo do Sol chama-se perié/lo e o ponto mais afastado chama-se afélio.

afélio

periélio

Trajetória de um planeta em torno do Sol.

As elipses descritas pelos planetas não são tão excêntricas quanto as figuras podem dar a entender. Na realidade , elas são aproximadamente circulares. No caso da Terra, a maior distância até o Sol difere da menor em aproximadamente 3,3% . Segunda lei de Kepler (lei das áreas) O raio vetor - linha imaginária que une o Sol ao planeta em tempos iguais.

varre áreas iguais

Para o raio vetor varrer a mesma área no meslTlo intervalo de tempo, nos pontos mais próximos do Sol, o planeta precisa se mover mais rapidamente; e nos pontos mais afastados, precisa se mover mais lentamente. Da segunda lei de Kepler concluise que a velocidade dos planetas é máxima no periélio e m(n/ma no afélio. No caso da Terra, a sua velocidade no periélio é de 30,2 km/s e no afélio é de 29 ,3km/s.

323

Terceira lei de Kepler (lei dos períodos) Período de um planeta (T) é o intervalo de tempo necessário para que execute uma volta completa em torno do Sol. Chama-se ano a esse período . Kepler descobriu que existe uma relação entre o período de um planeta e a sua distância média até o Sol. Essa relação é estabelecida pela terceira lei :

o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Matematicamente:

ou

onde: T é o período do planeta [ R é a distância média ao Sol k é uma constante válida para todos os planetas que giram em torno do Sol A tabela a seguir mostra os valores das distâncias médias ao Sol de cada um dos planetas do sistema solar e os seus respectivos períodos. A unidade de medida das distâncias é a distância média da Terra ao Sol (1,49 . 1Q 8 km), chamada unidade astronômica (u.a.) . A unidade de medida dos períodos é o ano terrestre. Planeta

Distância média ao Sol (u.a.)

Período (ano terrestre)

Mercúrio

0,387

0,241

Vênus

0,713

0,615

Terra

1,000

1,000

Marte

1,524

1,881

Júpiter

5,203

11,86

Saturno

9,540

29,46

Urano

19,18

84,01

Netuno

30,07

Plutão

39,44

164,8 248,4

Pode-se perceber, através da tabela, que quanto maior a distância do planeta ao Sol, maior é o seu período .

Extensão das leis de Kepler para qualquer sistema Hoje, com o auxílio de telescópios, sabemos que as leis de Kepler são válidas para qualquer sistema onde existam corpos que giram ao redor de um astro central. Por exemplo, a Lua, no seu movimento ao redor da Terra, obedece à primeira e à segunda leis de Kepler , assim como os satélites de Júpiter etc. A Lua, ao girar ao redor da Terra, obedece às leis de Kepler.

324

Exercício Resolvido 1. Dois satélites de um planeta têm respectivamente pbríodos de revolução de 32 dias e de 256 dias . Se o ra io da órbita do primeiro vale uma unidade, quantas unidades vale o raio da órbita do segundo? Resolução: A relação

~~

= constante (terceira lei de Kepler) vale não só para os planetas que giram em torno do

Sol, mas também para todos os satélites em órbita em torno de um planeta . Aplicando essa relação aos dois satélites, temos :

R~ =

256 2 32 2

=

= 64

R2

3

=

= V64

R2

= 4 unidades

Exercícios Propostos 2. Um planeta, em torno do Sol, tem uma trajetória elíptica . Indique os pontos em que a velocidade de translação do planeta é máxima e mínima . Dê o nome desses pontos.

-- -I -C'. ,c

/'

"'"

...---

;/

I

I

planeta

~-......

!

.

. . . . "-

~ I /

~\ \

_ . _._ . _ . _ . +- .~.=.. . _ . --- . AI . ~___ 18

\

I

"

/

I ~

/

Sol

"

I.

........

.....

----

/ "",/

/

--,I - - - -O

3 . Suponha que a Terra e Plutão executem movimentos circulares em torno do Sol, com raios expressos em unidades astronômicas iguais a 1 e 40, res pectivamente. Calcule o perfodo de Plutão, expresso em anos terrestres. 4 . A distância entre a Terra e o Sol é de 1 u.a. (unidade astronômica) . O período de revolução de Saturno em torno do Sol é de aproximadamente 27 anos terrestres . Sabendo que as órbitas dos dois planetas são coplanares, calcule a máxima distância possível entre eles, em u.a. Admita órbitas circulares . 5 . Marte tem dois satélites : Fobos , que se move em órbita circular de 9 700km de raio e período de 7 ,6h, e Deimos, que tem órbita circular de 24300 km de raio. Calcule o período de Deimos, em se gundos. Converta os dois períodos para horas . 6 . Determine o período, em anos terrestres, de um planeta hipotético que gire em torno do Sol a uma distâ ncia 8 vezes maior que a da Terra . 7 . Utili zando os dados da t abela de distâncias e períodos do item 2, determine o valor da constante k da terce ira lei de Ke pler, no SI.

325

Lei da gravitação universal A lei da gravitação , estabelecida por Newton, tem o seguinte enunciado: Entre dois pontos materiais de massas m , e m 2 , separados pela distância r, existe uma força de atração F, proporcional às massas m, e m 2 e inversamente proporcionai ao quadrado da distância r. Matematicamente, a lei da gravitação universal pode ser escrita da seguinte forma :

F = G . m , m2 r2

A constante G é denominada constante universal da gravitação, e vale , em unidades SI :

A constante universal de gravitação foi obtida pela primeira vez em 1798, por Henry Cavendish , utilizando uma balança de torção , instrumento destinado a medir pequenas forças . Observação: A lei da gravitação universal é definida para pontos materiais. É comum analisarmos a atração entre esferas próximas como as da figura , que não são pontos materiais. Nesse caso , a lei continua valendo , desde que consideremos toda a massa da esfera concentrada em seu centro .

Balança de torção de Cavendish. A atração entre as massas M e m provoca uma torção no (io . O desvio pode ser lido na escala.

Exercícios Resolvidos 8 . Faça um gráfico representando a intensidade da força de atração entre duas esferas de 1 ,Okg cada uma , em função da distância ent re seus ce ntros . mm A força é dada por : F = G . - 2 r

= 6, 7

' 10

_ 11

, -

-

F I10- 1 ' N)

r2

A tabela a seguir mostra o valor de F calculado para alguns valores de r ,

rim)

326

FIN)

1,0

6, 7 ' 10- 11

2,0

1, 7 ' 10- 11

3,0

0 ,7 , 10-

4 ,0

0,4 , 10- 1 1

11

2

3

4

5

Note Qu e a intensidade da força cai muito rapida mente com o aumento da distância , Quando a distânc ia aumenta, a força tende B zero ,

9 . Um satélite artificial descreve trajetória ci rcular ao redor da T erra , com raio r = 20000km. Calcul e a N m2 velocidade do satélite . Dados: massa da T erra = 6 ,0 . 10 2 4 kg; G = 6 ,7 10- 1 1 kg 2 Resolução ' Chamaremos de M a massa da Terra, de m a massa do satélite e de r o raio de sua órbita. A força resu ltante sobre o satéli t e é centrípeta , pois sua órbita é circula r: mv 2 R = -r

A forç a de atração entre a Terra e o satélite obede ce à lei de Newton :

F= G

Como a únic a força agente no saté lite é a gravitaciona l, podemos es crever :

r)fv 2

R = F = -r

= G

~r =

v =

ftf-

=

v =

fi:.!·,-,-7_...:.1.::~-=-~_1._1-:-1~06","6_1:. .0::...2_4 = 1v = 4 , 5 '

10 3 m / s

Exercícios Propostos 10. Calcule a força de atração gravitacional en tre duas pessoas de 70kg e 80kg de massa , separadas pe la distância de 2 m. Considere G = 6 , 7 . 10 -

11

~ kg 2

a constante de gravitação universal.

11. O que acontece à força de atração gravitacional entre dois corpos quando a distância entre eles é dobrada?

12. Ess e gráfico representa a força de atração entre duas massas igua is, em função da dist ância entre elas . Determ ine o va lor de cada massa .

2

3

4

327

Observação : Os exe rcíc ios 13, 14 e 15 devem ser re so lvidos em seqüênc ia. 13 . Fazendo experiência com duas massas em laborat ório, Cave nd ish det erminou a co nstante universal da gravitação : G = 6 , 7 . 10 -

11

N

~g~ 2

. Os gregos já con hecia m o raio da Terra co m uma prec isão

razoável. Considere o ra io da Te rra r = 6 .4 . 10 3 km . Saber do que um co rpo de 1 ,Okg pes a 9,8 N na superfície da Terra , calcu le a m assa do nosso planet a. 14 . A distância entre o Sol e a Te rra é de 1, 5 . 10 8 km . Calc ule a m assa do Sol, lembrando que o período de revolução da Te rra ao redo r do Sol é de 1 ano . 15. Sabendo que Júpiter tem satélites, como você ac ha que um astrônomo calcula ria a massa de J úpiter, dispondo de um telescópio? 16. Um satélite de massa m descreve uma trajet ória ci rcu lar ao redor de um planet a de massa M. Sendo r o raio da trajetória e G a constante unive rsa l da gravitação, de t ermine : ai a velocidade escalar do saté lite

bl a ve locidade ang ular

cl o período

17 . A partir do problema anterior, demonstre a va lida de da terceira lei de Kepler para órbitas ci rcu lares.

Aceleração da gravidade A partir da lei da gravitação de Newton, podemos escrever a expressão da aceieração da gravidade 9 a uma distância r do centro da Terra. Antes , porém , vamos escreve r a expressão do peso de um corpo de massa m. A massa da Terra é M r : Mr m P = G · _2r

m

Como P = mg, temos :

o valor de 9 obtido pela lei de Newton é chamado intensidade do campo gravitacional, e pode ser calculado para qualquer planeta, bastando substituir a massa da Terra pela massa do planeta . Observação: Devido ao movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo, a aceleração da gravidade sofre um pequeno desvio em relação ao valor calculado pela lei de Newton . Esse desvio não existe nos pólos e cresce à medida que nos aproximamos do Equador . No Equador, onde o desvio é máximo, a diferença entre o valor dado pela lei de Newton e o valor real é da.ordem de 0,5% .

Exercício Resolvido 18 . Considerando a m ass a da Terra 8 1 vezes ma ior que a mas sa da Lua e a distânc ia entre elas igua l a 4 . 10 8 m, ca lcu le o ponto em que a ace lera ção de um corpo é nula , na reta que as une.

328

Resolução :

gT =

4 · 10 8 m

I-

No ponto P, a Terra produz a aceleração 9 T' cujo valor é:

,I y

x

I,

' I'

GM T

--;;r

Nesse mesmo ponto P, a Lua produz a aceleração qL' cujo valor é :

Terra&-

.. gT

,i I I

i

I jP

~

9L

é

Lua

x = distância da Terra ao ponto P y = distância da Lua ao ponto P y = 4 . 10 8 - x

GM L gL = 7

A aceleração resultante no ponto P é nula, quando gL = gf ' uma vez que seus sentidos são opostos . Assim:

Sabemos que MT = 81 M L e que y = 4 . 10 8 - x . Substituindo esses valores na equação anterior, t emos : 8;:L =

(4 .

1~~- x) 2

=>

81 = [(4 '

1~L x)

r

Portanto:

9=

4

x 10 8

=> -

X

Ix

= 3,6 . 10 8 m

I

A aceleração é nula a 3,6 . 10 8 m da Terra .

Exercícios Propostos N · m2 Use G = 6,7 . 10- 11 - - 2 - , quando necessário. kg 19. Calcule a aceleração da gravidade na superfície da Lua e compare-a com o valor que você conhece da Terra . Dados : massa da Lua = 7,4 ' 10 22 kg; raio da Lua = 1,7 . 106 m . 20. Determine a aceleração da gravidade na superfície do Sol. Dados: massa do Sol = 2 ,0 . 10 30 kg ; raio do Sol = 7,0 . 10 8 m. 21. Qual a aceleração da gravidade num ponto 1 OOOkm acima da superfície da Terra? Dados: raio da Terra = 6,4 . 10 6 m; aceleração normal da gravidade = 9 ,8m/s 2 . 22. Uma estrela de nêutrons apresenta o dobro da massa do Sol, concentrada num volume de aproxima damente 10km de raio. Calcule a aceleração da gravidade em sua superfície . Qual seria o peso de uma massa m = 1 g na superfície dessa estrela? 23. Em relação à superfície da Terra, a que altitude ci peso de um corpo se reduz à metade de seu valor medido na superfície?

24. (FCMSCSP) A razão entre os diâmetros dos planetas Marte e Terra é -} e entre as respectivas massas é 110 . Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra , pode-se concluir que seu peso em Marte será de : (Despreze a aceleração centrípeta que age sobre o garoto .) a) 160N

b) 80N

c) 60N

d) 32N

e) 64N

329

Energia potencial gravitacional Ao tratarmos de trabalho e energia, apresentamos uma expressão que fornece a energia potencial para corpos nas proximidades da superfície terrestre . Para deduzi r essa expressão , consideramos 9 constante , o que só acontece para pequenas variações de altitude.

Agora, vamos obter uma expressão mais geral para a energia potenc ial gravitacional , que nos permita aplicar o princípio de conservação da energia aos movimentos dos satélites , planetas etc.

l-'- '~

m

h

1 Ep = mgh Ipara co rp os próximos à superflcie)

o sistema que vamos anal i'sar é composto por dois corpos , A e S, de massas m, e m 2 , separados por uma distância r. Como exemplo, imagine que o corpo A é a Terra e o corpo S, um satélite da Terra. Para calcular a energia potencial do sistema, temos que definir um nível zero . Adotaremos a energia potencial igual a zero na situação em que os corpos estejam mu ito distantes entre si , de tal forma que a força trocada seja desprezível. Podemos dizer isso de outra forma : vamos calcular a energia potencial adotando nível zero no infinito .

Para efeito de rac ioc ínio , vamos supor o corpo A fixo e o corpo S móvel. Na situação inicial , o corpo S está mu ito distante (no infinito). A energia potencial inicial (E p) é nula. B Imuit o dista nt e)

Vamos trazer S até a distância r de A. Durante o percurso , a força gravitacional realizou trabalho positivo ~F ' Queremos obter a energia potencial final (E pJ Vamos escrever o teorema da energia potencial : ~F=

Epi - Ep,

Como Ep, = O, temos :

Assim , concluímos que , adotando o nível zero no infinito, a energia potencial gravitacional de um sistema de dois corpos é sempre negativa. Isso pode ser entendido da seguinte forma : a energia potencial é máxima quando os corpos estão muito afastados entre si. Já que essa situação corresponde ao nível zero, as outras energias se tornam automaticamente negativas.

330

Para calcular o trabalho i F não podemos multiplicar a força pêlo deslocamento, uma vez que ela não é constante . O gráfico ao lado mostra a variação de F com a distância x. O trabalho procurado é igual à área assinalada.

F

1- '

r--\

x

pode-se demonstrar, pelo cálculo integrai, que a área delimitada pela curva, de x = r até o infinito , é dada pela expressão:

=

+~ I

I

\.

""

LA

o

r

F

! ---1 -: --T--l'~

'\

A = G . m,m 2 Concluímos, então , que o trabalho é dado pela expressão:

±1 : ;' i

A partir da expressão F = G . m, ~ 2 ,

i

1

""'-

x

Ir

o trabalho da força F, do infinito até a distância dado por esta área.

r. é

G. m , m 2 r

Como Ep = - i

F,

temos:

Exercícios Resolvidos 25. Determine a energia mecânica do planeta Marte. em sua órbita ao redor do Sol. 30

Dados : [ massa do Sol = 2.0 . 10 kg massa de Marte = 6.6 . 10 23 kg raio médio da órbita de Marte = 2.3 . 10 8 km velocidade de translação = 24km/s

G= 67 · •

1O- "~ kg 2

Resolução Temos:

r = 2.3 . 10 ' 1m v = 24 ' 10 3 m/s

M = 2.0 . 10 30 kg (Sol) m = 6.6 ' 10 23 kg (Marte)

A energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial : EM = Ec + Ep

=

mv 2 Mm EM = -2- - G . - r-

E = 6.6 ' 10 23 . (24 , 10 3 )2 _ M 2 EM = 1.9' 10 32 j energia cinética

-

3.8 ' 10 32 j

6. 7 ' 10- " , 2.0 ' 10 30 , 6.6 ' 10 23 2.3 ' lO"

= I EM =- 1.9 '

10 32 j

I

energ ia potencial

Veja que a energia mec ânica resultou negativa , Essa é a condição para que o corpo se mantenha em órbita , Se a energia mecânica for positiva. o corpo não ficará em órbita . escapando do campo de gra-' vidade do Sol.

331

26. Determine a mínima velocidade que se deve imprimir a um corpo na su perfície terrestre, para que ele escape do campo de gravidade da Terra. Despreze a resi stênc ia do ar. Dados: raio da Terra = 6.4 . 10 6 m ; massa da Terra = 6 ,0 . 10 24 kg . Resolução :

B

Chamaremos M e m às massas da Terra e do corpo lançado, respectivamente . Vamos supor que o corpo seja lançado do ponto A e atinja o ponto B, muito distante da Terra , já fora de sua influência. Se a velocidade inicial for a mínima necessária para o corpo se deslig ar do campo de gravidade, ele atingirá o ponto B com energia cinética nula . As energias mecânicas nos pontos A e B são : ( . mvà em A tEMA = - 2- - G em B

Mm R (R

E = O c [ Ep = O (r muito grande)

=

r (m uito grandel m

= raio da Terra) Terra

EM = O

a

Aplicando o principio de conservação da energia mecânica, temos:

EMA = EMa

mv Ã

2

GMRm = O

=

vA =

j

2G M R

Portanto :

6.4

10 6

11 . 10 3

=

A velocidade calculada, de 11 km / s, é c hamada velocidade de escape. Qualquer corpo lançado da Terra com velocidade menor do que essa entrará em órbita ou até ca irá sobre a Terra. Qualquer corpo lançado da Terra com velocidade mai or do que essa se afastará indefinidamente . Veja que , no cálculo da velocidade de escape, desprezamos a resistência do ar. Como na práti ca isso é impossível, ess a velocidade é válida somente se o co rp o for lança do de fora da atm osfera. Assim , uma sonda espacial que deva escapa r do campo gravitacional da Terra deve ser transportada por um foguete até sair da atmosfera , e só então se r lançada co m velocidade maior que 11 km/ s.

Exercícios Propostos 27 . Calcule a energia potencia l gravitacional de um satélite de massa m = 200kg que gira em torno da Terra a uma altura de 600km da superfície . N . m2 Dados: raio da Terra = 6.4 . 10 6 m ; mas sa da Terra = 6,0 . 10 24 kg; G = 6 , 7 10- 11 kg 2 28. Sabe -se que a Lu a gira em torno da Terra co m um período de aproximadamente 30 dias. Sendo a distância da Terra à Lua de 3,8 10 am, a massa da Terra de 6 ,0 . 10 24 k g e a massa da Lua de 7.4 10 22 kg, calc ule a energia mecânica 'do sistema Lua + Terra . 29. Calcule a ve locidade de esca pe na superfície do Sol (em km/ s) . Dados : massa do Sol = 2,0 . 10 30 kg ; raio do Sol = 7,0 . 10 5 k m ; G = 6 , 7 . 10- 11 N m 2 /kg 2 . 30. Uma estrela de nêutrons tem massa igual à massa do Sol e raio de 10km . Qual a ve locidade de escape nessa estre la ? Você acha que é fá ci l um co rpo se livrar do campo de gravidade dessa estrela estando em sua superfície?

332

Questões 31. Por que os planetas chamavam a atenção dos astrônomos ? 32. Quais eram os planetas conh ecidos na Grécia de Pitágoras ?

33. O que é geocentrismo? 34. Explique o modelo pitagórico para o universo . 35 . Qual foi a grande alteração introduzida por Copérnico na Astronomi a? 36. Enuncie as três leis de Kepler . 37. Se a Lua é atraída pela Terra , por que ela não cai sobre a Terra ?

38. Qual a expressão que nos permite calcular a aceleração da gravidade devida a um planeta a uma distância r do seu centro? Identifique cada elemento dessa expressão .

39. Qual a expressão que fornece o valor da energia potencial gravitacional de um corpo de massa m a uma distância r de um planeta de massa M? Qual o valor da energia potencial de um corpo a uma distância muito grande de um planeta?

40. Qual o valor da energia cinética que deve ser fornecida a uma sonda espacial para que ela escape à atração gravitacional da Terra?

4 1. Uma conseqüência importante da segunda lei de Kepler é que a velocidade de um planeta é máxima no periél io e mínima no afélio . Você vê alguma relação entre esse fato e o princípio de conservação da energia mecânica?

Exercícios Complementares 4 2 . Um satélite A se move em Órbita circular em torno da Terra . Outro satélite B se move em Órbita ci rcular de raio 4 vezes maior que o de A . O período de A é de 16 dias . Qual o período de B? 43 . Um satélite artificial de massa m = 1,0 . 10 3 kg gira em torno da Terra numa órbita circular de 1,0 . 104km de raio . a) Calcule a intensidade da força gravitacional que a Terra exerce no satélite. b) Calcule a energia mecânica total do satélite . c) Calcule o período do satélite .

44. Se a aceleração da gravidade na superfície da Terra é g, determine a aceleração da gravidade a uma distância R da superffcie da Terra , onde R é o raio da Terra .

45. Demonstre que a energia mecânica de um satélite de massa m , que descreve Órbita circular em torno da Terra com veloc idade v, é dada por:

mv 2 E =- -2-

46. A 1,0 bilhão de quilômetros do Sol , um determinado cometa tem velocidade de 3,Okm/ s . Calcule sua velocidade no periélio, a 100 milhões de quilômetros do Sol.

333

Questões de Vestibulares 47. (UFRN) A figura apresenta a órbita de um planeta em torno do Sol. O planeta varre a área A num tempo tA ' com velocida de média v A; e a área a num tempo ts, com velocidade média v s . Sendo a área A igual à área a, podemos afirmar que : a) v A > Vs e tA

= ts

b) v A < Vs e tA

< ts

d) v A < Vs e tA = t s e) v A = Vs e tA > t s

c) v A> Vs e tA > t s 48. (F .C. Chagas-SP) Um satélite artificial terrestre, cuja massa é de 200kg, d~screve uma trajetória perfeitamente circular com velocidade constante, em módulo .. A aceleração centrlpeta sobre o satélite é de 8m/s 2 . Qual é, em N, o módulo da força de atração gravitacional da Terra sobre o satélite? a) 12800

b) 1 960

c) 1 600

d) 0,04

e) zero

49. (UFRGS-RS) O módulo da força de atração gravitacional entre duas pequenas esferas de massas m, iguais, cujos centros estão separados por uma distância d, é F. Substituindo-se uma das esferas por outra de massa 2m e reduzindo-se a separação entre os centros das esferas para d/ 2, resulta uma força gravitacional de módulo: a) F

b) 2F

c) 4F

d) 8F

e) 16F

50. (CESESP-PE) Indique a afirmativa correta: a) O campo gravitacional terrestre é uniforme em toda a região situada entre a Terra e a Lua. b) A constante gravitacional G tem o mesmo valor para todos os pares de pontos materiais .

c) As forças gravitacionais, assim como as eletrostáticas, podem ser tanto de atração como de repulsão. d) A resultante das forças gravitacionais exercidas pelo sistema Terra-Lua sobre um, corpo situado à meia distância entre os dois planetas é nula. e) A força gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional à distância que os separa.

51. (OSEC-SP) Seja g a intensidade da aceleração da gravidade na superflcie terrestre. A que altura, acima da superflcie, a aceleração tem intensidad, g/2? Considere a Terra uma esfera de raio R. a)

R

b) 2R

c)

v'2R

d) (1/2 - 1) . R

e)

(V2 +

1) . R

52. (UFPA) Na superflcie da Terre, um astronauta completamente equipado consegue saltar, ver:ticalmente, a uma altura h, fazendo um esforço máximo . Nas mesmas condiçOes, e num outro planeta cujo diâmetro é a metade do da Terra e cuja densidade é um sexto da da Terra, conseguiria saltar: aI h

b) 2 h

c) 3 h

dI 6 h

e) 12 h

53. (FUVEST-SP) Um satélite artificial se move em 6rbita circular ao redor da Terra, ficando permanentemente sobre a cidade de Macapá. a) Qual o perlodo do satélite?

b) Por que o satélite não cal sobre a cidade?

54. (FATEC-SP) Pretende-se colocar um satélite em 6rbita circular ao redor da Terra, a uma altura de 270km acima da superflcie terrestre. São dados: [constante gravitacional G = 6,67 . 10- 11 Nm 2 /kg 2 massa da Terra M = 6,0 . 1.0 24 kg raio terrestre R = 6.4 . 10 6 m Determine: a) a velocidade que o satélite manterá na 6rbita b) o perlodo de revolução do satélite

334

Capítulo 24 Equilíbrio de um corpo extenso

1 Equilíbrio de um corpo extenso Quando falamos em equilíbrio de um ponto material , levamoS em conta o fato de ele só poder apresentar movimento de translação . Nesse caso, a condição de equilíbrio é dada pela primeira,lei de Newton (princípio da inércia).

I I

Um po-nto material está em equilíbrio se a soma bre ele for nula.

l __ _

~etorial das forças que agem so- l

- - -

- n = O = equilíbrio LF = F, + F 2 + .. . + F ------

---

-

---

Essa condição nos garante que o movimento de translação, caso exista, não é acelerado . Mas, no caso do equilíbrio de um corpo extenso, surge um novo aspecto do problema: a possibilidade da existência de um movimento de rotação. Nesse caso , a condição anterior nos garante apenas que o corpo não terá movimento de translação acelerado , nada garantindo quanto ao seu movimento de rotação. - p-ar-a-qu; um corpo extenso esteja em equilíbrio~ n-ec- e-ss-á-ri-o-q-ue- e- I-e -a-p-res-e-n-te- l

--------',

l

aceleração nula, tanto no movimento de translação quanto no de rotação. -

As situações seguintes esclarecem essas afirmações:

• 1.· situação _Um Fonto material está sob a ação de duas forças F, e F2' de mesmo módulo , mesma direção e sentidos opostos . Como se trata de um ponto material , as forças necessariamente têm o mesmo ponto de aplicação . Sendo nula a soma vetorial das forças , o corpo não apresentará aceleração , podendo estar em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.

336

------F;

F2 ....... - - -

--

• 2.· situação U!)1 copo extenso está sob a ação das mesmas forças F 1 e F 2 . Como o corpo é extenso, as forças podem estar aplicadas em pontos diferentes do corpo , em linhas de ação paralelas.

- - ----

~

=®

----------

·0

- - -- -- -

_ e-

-F

2______ _

A soma vetorial de F 1 e F2' como no caso anterior, continua sendo nula, o que implica que o corpo não irá apresentar aceleração em seu movimento de translação. Porém, nesse caso, o corpo irá girar com movimento acelerado em torno de um ponto O, o que mostra que ele não está em equilíbrfo. Pelas situações apresentadas, fica claro que, para o equilíbrio de um corpo extenso, o fato de a soma vetorial das forças ser nula é uma condição necessária, mas não suficiente, pois ela garante apenas o equilíbrio em relação ao movimento de translação. É necessário que alguma outra condição seja estabelecida de modo a garantir o equilíbrio em relação ao movimento de rotação. Essa condição está ligada a uma grandeza que será definida a seguir: o momento de uma força.

2 Momento de uma força Define-se momento de uma força Fem relação a um ponto O (M b) como sendo o produto do módulo de

:0

F por d (distância de O até a reta-suporte de F).

P~

~.

Mb= ±Fd

O momento de uma força será positivo ou negativo, conforme o sentido no qual a força tende a fazer girar o ponto P (de aplicação da força) em relação a O. Essa convenção é arbitrária, mas costuma-se atribuir o sinal positivo se a tendência é girar no sentido anti-horário, e o sinal negativo se a tendência é girar no sentido horário.

°

d

)

p

Mb= +Fd

'T ) Mb= -Fd

Observações: • O ponto O é chamado pólo, e a distância d, braço da força. • A distância d, por ser medida de um ponto a umaJeta, deve sempre ser obtida na perpendicular baixada de O até a reta-suporte de F. • O momento de uma força também recebe o nome de torque.

337

3 Momento resultante Considere um sistema de forças F1' F2' F3' ... , Fn coplanares, agindo sobre um corpo extenso. Denomina-se momento resultante desse sistema em relação a um ponto O a soma dos momentos devidos a cada uma das forças, em relação ao mesmo ponto O.

t 1 1

I

I I I I I I

l~ I1_ •

1

I

•

fi

·0

•

~dn ~

- - -d 2- - _

Fn

I

d1

Quando o momento resultante das forças que agem sobre um corpo extenso é não nulo, o corpo tende a adquirir movimento de rotação se estiver em repouso , ou tende a alterar o seu movimento de rotação , se já estiver em movimento. Por outro lado, quando o momento resultante é nulo, o corpo se manterá em equilíbrio em relação ao movimento de rotação, ou seja, permanecerá em repouso ou continuará com o seu movimento de rotação uniforme. MR = O

= equilíbrio em relação à rotação Binário

Dá-se o nome binário a um sistema de duas forças de mesmo módulo , mesma direção e sentidos opostos, cujas retas-suporte mantêm entre si uma distância d não nula. O momento de um binário (M b ) pode ser calculado pela soma algébrica dos momentos das forças que o constituem, em relação ao ponto O, arbitrariamente escolhido. Consideremos um ponto O a meia distância de cada uma das forças.

O momento de um binário não depende do ponto O escolhido.

-F

F

---~~~~T----

-F

O momento de um binário é igual ao produto de uma das forças que o constituem pela distância entre as retas-suporte dessas forças.

338

Exemplos de binários Ao girarmos a chave numa fechadura, ou ao abrirmos uma torneira, estamos aplicando um binário onde os nossos dedos exercem as forças que o compõem. Ao girarmos uma manivela ou usarmos um abridor de garrafas, estamos aplicando uma das forças que compõem o binário. A outra força é exercida pelo corpo onde o abridor de garrafas ou a manivela estão aplicados.

Exercrclo Resolvido 1. Uma barra rlgida está sob a ação de quatro forças , F " F2 '

F3 e F 4 . Determine :

a) o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O b) o momento resultante dessas forças , em ~elação a O

F,

5cm - 1 0 c m - I -I- l 0 c m _

. ::

:

(

..

:~30.

I I

:

F, = 100N F2 = 200N

j

F3 = 50 N F4 =200N

il-------~--iZ- ~-~ I

sentido antl·horérlo

F2

I

I

~

.)

a) O momento de

M~' - - F, d,

F, em relação a O é dado por: (sentido horário)

onde F," 100N e d, = 10 + 5 + 10 = 25cm = O,25m Portanto:

I M~'=-100 '

O, 25=-25N · m

I

F

O momento de 2 em relação a O é dado por : F . Mo2 = + F2d 2 (sentido anti-horário) onde F2 =200N e d 2 = 5+10=O, 15m Portanto:

I M~2 = + 200 . 0 , 15 .. + 30 N . m I 339

Para ca lcular o mom ent o de F 3 em rel aç ão a O , pre c isam o s c on siderar que sua direç ão forma 30 ° com a direção da ba rr a. Deve m os, prim eiram ent e, o bt er o braço da for ç a F 3 em relação a O.

d = 10

sen 3 0 °

10

2

=

F; (\

d = 5 c m = 0 ,05m

\

30 °

---10 ---

d

~ O

Portanto :

M ~3= - 50N

O momento de

f 4 ~m

0 ,05m =- 2 , 5N

m

relação ao ponto O é nu lo , pois :

b) O moment o res ult ant e em rela ç ão a O é a soma alg ébri c a dos momentos devidos a cada uma da s f orças. M ~ = - 25

I M~

+

30 - 2 , 5

= 2 , 5N

+

O

m

Exercícios Propostos 2 . Três po lias solidá ria s es t ão d ispos tas num m es mo eixo, e nelas são enro lados fi os de m ass a de sprezív el, que sustentam co rpos de pesos P , , P 2 e P 3' De t ermine o módulo do momento de cada fo rça qu e a tu a no sist ema , em relaç ão ao eixo , e o momento resu ltan t e dessas f o rças. Dad os: r , = 3cm, P , = 10N [

r 2 = 6cm, P 2 = 8N r 3 = 10 cm, P 3 = 5N

3 . A bar ra rep resentada na f ig ura es tá subm etid a ti aç ão de um biná rio cujas fo rças t êm m ód ul o igual a 20 N . De termine : a) o m om ent o res ult ant e em rela ç ão ao ponto A b) o m ome nt o res ultant e em relação ao ponto B c) o momen t o res ult an t e em relaçã o ao pont o C

•

1

,

C

- , - - -- . --+--i---' ,

, 1

F

10cm : I .

340

B

A

••

1

1 5c m

,

'

. ,5' .cm., '

4 Condições de equilíbrio de um corpo extenso Uma vez conhecidas todas as forças que agem num corpo extenso e os seus respect ivos momentos, podemos estabelecer as cond ições de equilíbrio para esse corpo: • 1.a condição A soma vetorial das forças que agem no corpo deve ser nula.

IF = O = F,+F 2+F 3 + ... +F n = O Esta condição nos fornecerá duas equações algébricas se utilizarmos as projeções das forças sobre dois eixos ortogonais, x e y.

( IF x= O = F,x + F 2x + F3x + ... + F nx= O IF= O = IF y= O = F ,y + F 2y + F 3y + ... + F ny = O

• 2.a condição A soma dos momentos de todas as forças que agem sobre o corpo em relação a qualquer ponto deve ser nula.

MR = O = MF, + MF2+ MF3+ ... + MFn= O Observação: Para efeito de cálculo do momento devido à força-peso deve-se considerar que , para um sólido cilíndrico e homogêneo , a força-peso age como se estivesse aplicada em seu centro geométrico.

Exercícios Resolvidos 4 . Uma barra rígida, de peso desprezível , está apoiada no ponto C, em torno do qual pode girar livremente. Determine a força F que devemos aplica r à extrem idade A pa ra equi librar um peso de 500 N, ap licado em B. Resolução: Representa mos ao lado as f orças que agem sobre a barra . N é a rea ção norm al do ponto de apoio C sobre a barra . Todas as forças agem na direção vertical; portanto, a re sul tante nessa direção deve ser nula . P+ F- N= O

=>

IN -

F = 500

I

(1." co ndição)

Calculando os momentos em relação ao ponto C e aplicando a 2." condição de equilíbrio, t emos:

M t= + 500 · 0 , 10 Mt = - F . 2

=>

=>

I M t= 50N · ml

IM~ = -

2F

I

LM = O => M t + M t = O =>- 2F + 50 = O Repare que a primeira condição f oi desnecessária para a resolu ção deste problema .

341

5. Uma escada está apoiada contra a parede. Sabe-se que não há força de atrito entre a escada e a pa rede no ponto A . No ponto B, a força aplicada pelo chão à escada pode ser decomposta em uma componente normal e outra tangenc ial. Adm itindo que o peso P da escada esteja aplicado em seu ponto médio , determine as forças F OI e 2 aplicadas à escada .

N"

R

Vamos admitir um sistema ortogonal de eixos x e y . Projetando as forças em x e y . e aplicando a 1." co ndição de equilíbrio, temos : =

O

IF y = O

F OI -

N2

N, - P

=

=

O

O

=

4m

N, B

FOI

CD N,

3m

P = 120 N

=

P

=

IN,

=

1 20 N

Os momentos de cada força em relação ao ponto B va lem:

A

N2

Y

M ~'

=

O

M ~ol

=

O

M~ 2 = + N 2

4m

4

M~ = - P . 1, 5

(sentido anti-horário)

p

jij,

x

(sentido horário) B

Apli ca ndo a 2 ." condição de equilíbrio, temos :

Substituindo esse valo r na equação

Fat

CD ' obtemo s:

Exercícios Propostos 6 . Um jardineiro t ransporta 60kg de te rra em um carrinho de mão. Determine a força que ele deve fazer para equilibrar o peso da terra . Despreze o peso do carrinho (g = 10m/ s 2 ).

7 . Em uma balança romana, representada na fi gura , um pe so P está sendo equilibrado por um co rpo de 200 N de peso , a 35 cm do ponto fixo O. De sprezando o pe so da barra, de termine o peso P e a rea ção do apoio em O.

342

A

N

~ olucão·

IF .

N2

5 cm

35cm

3m

8 . Que comprimento 1 deve ter a barra de uma manivela, usada numa roldana, para que um homem cuja força máxima é de 500 N possa erguer um peso de 5000 N? A roldana tem 10 cm de raio.

9 . Uma prancha de madeira , indeformável, está apoiada em dois bancos . O peso da prancha é de 100 N, e admite -se agindo em seu ponto médio . Determine as forças que os bancos aplicam à prancha para mantê-Ia em equilfbrio . 10. A figura ao lado representa uma barra rfgida e homogênea de peso P = 20 N, apoiada nos extremos A e B. A 50cm da extremidade A foi colocado um corpo Q, cujo peso tem intensidade 40 N. Determine as intensidades das forças normais aplicadas pelos apoios nos pontos A e B da barra .

11 . Um homem de peso igual a 400 N caminha sobre uma prancha homogênea de madeira, simplesmente apoiada em A (não presa) e articulada no apoio B (onde pode girar) . O comprimento da prancha é de 6m, e o seu peso é de 500 N. Qual é a máxima distância, medida a partir de B, que o homem pode ca minhar sem que a prancha gire?

I

I

I

I

I

I

J-o j oo--- - - -4m

. 1

I

I

I

A

B 4m

- .. -----

12. Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um corpo extenso, segundo os lados de um hexágono regular de lado a. Prove que esse sistema de forças é equivalente a um binário cujo momento tem módulo 3 v'3 Fa .

Questões 13. Podemos sempre afirmar que um corpo está em equilíbrio, quando a soma vetorial das forças é nula ? 14. Defina momento de uma força . 15. Qual o significado físico do sinal algébrico do momento de uma força? 16. Qual a condição para um corpo estar em equilíbrio em relação à rotação ? 17. Quais as condições para que um corpo extenso esteja em equilíbrio?

343

Exercícios Complementares 18. (PUCSP) Uma barra homogênea de secção reta uniforme, comprimento de 2 ,Om e peso de 100N pode girar livremente (sem atrito) em torno de um eixo horizontal, no plano vertical, pelo extremo A . No extremo C está suspensa uma massa m = 1,Okg . O ponto B da barra, a 1, 5m do extremo A , está vinculado a um cabo flexível que passa por uma polia ideal, tendo no outro extremo uma massa mo . Qual o valor de mo para que a barra permaneça em equilfbrio horizontal? (g= 10m/s2)

A

1.):============1

19. (OSEC-SP) O esquema mostra uma barra rígida e homogênea de 80 N de peso e comprimento L = 1,20 m, suspensa por um fio. Um bloco de 20 N de peso está pendurado na extremidade da barra . Se o sistema se encontra em equilíbrio, qual é o valor de x ?

o 20. (ACAFE-SC) A barra OP, uniforme, cujo peso é de 1,0 ' 10 2 N, pode girar livremente em torno de O. Ela sustenta, na extremi· dade P, um corpo de 2,0 . 10 2 N de peso . A barra é mantida em equilíbrio, em posição horizontal, pelo fio de sustentação PQ. Qual é o valor da tensão do fio?

1- - - -l ,O m 21 . (lT A -SP) A barra AB é uniforme, pesa 50,0 N e tem 10,0 m de comprimento. O bloco O pesa 30,0 N e dista 8,Om de A . A distância entre os pontos de apoio da barra é AC = 7,Om . Calcule a reação na extremidade A .

D

Ac:;:======::::::;;:==:SB

22. (FUVEST-SPi Uma barra rígida e homogênea de 2kg está ligada numa das extremidades a um suporte , através de uma mola de constante elástica k = 200 N/m . Na outra extremidade , articula -se a um rolete que pode girar livremente . Nesta situação, a mola está deformada de 5cm . a) Indique as força~ externas que atuam sobre a barra . b) Qual é a força que a superfície exerce sobre o rolete?

23. (FAAP-SP) Uma viga de peso desprezível está apoiada por suas extremidades A e B e um homem de peso P anda sobre ela . Sabendo que a reação RA do apoio A é dada pelo gráfico, onde x é a distância de A ao homem, calcule : a) o peso P do homem b) o comprimento L da viga

B

db I

I

x(m}

Questões de Vestibulares 24. (FUVEST-SP) Duas pessoas carregam um bloco de concret o que pesa 900 N, suspenso a uma barra AS de peso desprezível, de 1,5 m de comprimento, cujas ext remidades apóiam-se nos respectivos ombros. O bloco está a 0,5m da extremidade A. A força aplicada pela extremidade S, ao ombro do carregador, será de: e) 300N c) 600N a) 1800N d) 450N b) 900N

a) 10N

b) 20N

c) 30N

d) 40N

26. (CESGRANRIO-RJ) A figura representa esquematicamente um braço de toca-discos cujo comprimento total é de 30cm, apoiado a 25cm da extremidade onde se encontra a agulha. A massa do braço é de 25g e a do contrapeso é de 50g , sendo ambos os sólidos homogêneos. A calibração do contrapeso (3 na escala da figura) significa que a agulha exerce sobre o disco uma força vertical equivalente ao peso de 3,Og. A massa da agulha é desprezível. O valor da distância x assinalada na figura é : a) 2, 5cm b) 3,Ocm

c) 3,5cm d) 4,5cm

. :

: 1,Om !

1

"===;';':::======::::i: A.r 60 1=/

B

(;jM

e) 50N

r--.___

2_5_c_m_ _ _......

,

,,

contrapeso braço

~

agulha

......

t

disco

I I I

I I X

,

- -,

e) 5,Ocm

27 . (UnS-DF) Uma barra rígida, homogênea, de comprimento 2L e massa m = 6,Okg, está apoiada em dois pontos, como demonstra a figura. Calcule a menor força F (em newtons) para que a força exercida pela barra sobre o apoio 1 seja nula. (Dado : g

4 ,Om

1.

25. (UNIFOR-CE) AS é uma barra rígida , homogênea e cilíndrica em equilíbrio, apoiada em um ponto fixo O. A esfera M, pendurada na extremidade A da barra por um fio de massa desprezível, pesa 20 N. A experiência nos leva a concluir que o peso da barra é de:

I

L

2

1- "I

c===~========~==~F

= 10m/5 2.)

28. (FUVEST-SP) Os três corpos suspensos estão em equilíbrio. Desprezam-se os atritos nas roldanas e as massas da barra AS e dos fios . m, = 20kg, m2 = 40kg, OS = 60cm. Pede-se:

E

F

D

a) a tração no fio F b) a distância A O

345

29 . (UFES) Uma barra homogênea , de massa m e comprimento 1, tem uma de suas extremidades apoiada sobre um bloco fixo, conforme a figura . A outra extremidade está suspensa por uma mola de constante elástica k . Na situação de equilíbrio, a mola deve ficar distendida de um comprimento x igual a: a) mg/ 2k

b) 2mg/k

c) mg/k

d)

Vmg/k

e)

V mg/ 2k

30. (CESGRANRIO-RJ) Para arrancar uma estaca do solo, deve-se puxá-Ia com uma força de 1,5' 103N, verticalmente para cima. No entanto, para arrancar a estaca usando o arranjo ilustrado na figura , o homem deve fa zer uma força mínima de, aproximadamente: a) 1,0 ' 102N

d) 5,0 ' 102N

b) 2,0' 102N

e) 7, 5 ' 102N

k

estr:l ca

I•

2,0 m

I 1 ,Om .. ...

c) 3,0' 102N

31. (F. Objetivo-SP) A figura representa uma escada apoiada contra uma parede com duas forças que atuam sobre ela: o peso P e a força F exercida pela parede . Entre os ci nco vetores propostos na figura 11 , qual representa a fo rça exercida pelo c hão sobre a escada , para que ela permaneça em equilíbrio? a) A

b) B

c)

C

d) D

e) E

E

32. (UNICAMP) Um cigarro sem filtro, de 80mm , foi aceso e apoiado num cinzeiro como indica a figura . Durante quanto tempo o cigarro ficará sobre o cinzeiro? Considere que a queima se dá à razão de 5 milímetros por minuto e que a cinza sempre se desprende do cigarro .

33 . (VUNESP) Um corpo de forma irregular foi apoiado pela sua extremidade A sobre um suporte fixo, enquanto que a extremidade B foi apoiada sobre uma balança , mantendo-se A e B numa linha horizontal. Nessa posição a balança indicou 65kg . Invertendo-se as extremidades do corpo , a balança indicou 45 kg . Sabendo-se que a distância AB era 1 ,50m, pOde-se afirmar que o centro de gravidade do corpo : a) se encontra exatamente no centro entre A e B b) está a 0,89m da extremidade A c) está a 0,79m da extremidade B

346

d) está a 0,71 m da extremidade B e) está a 0,61 m da extremidade A

Capítulo 25 Hidrostática

1 Introdução Quanto ao estado físico, os corpos podem ser divididos em sólidos, líquidos e gasosos. Os dois últimos são normalmente chamados fluidos . Os sólidos têm forma própria, ao passo que os fluidos assumem a forma do recipiente que os contém . As partículas que constituem os corpos sólidos encontram-se rigidamente ligadas por forças de coesão, enquanto que nos líquidos essa forças são mais fracas, e nos ga· ses praticamente inexistem.

Para se deformar um sólido, normalmente se exigem forças intensas, enquanto os fluidos, principalmente os gases, se deformam sob a ação de uma força qualquer. Entre os líquidos e os gases existem algumas diferenças: os líquidos são praticamente incompressíveis, ao passo que os gases se comprimem facilmente. Os líquidos têm volume determinado, os gases não. Os gases ocupam todo o volume do recipiente que os contém.

'!Ii t--

~ ---- - - - T'======:::::::r1

--------~~ ------- ; (VI

I'

(VI

- ______ 111

i~

Uquido Incompresslvel é aquele cujo volume não varia sob a ação de forças.

A Hidrostática é a parte da Física em que se estudam os líquidos em equilíbrio. Por simplicidade, admitiremos que todos os líquidos são incompressíveis.

348

2 Densidade Densidade de um corpo é a relação entre a sua massa m e o volume V que ocupa. d = I!l. V

Unidade de densidade No SI, a massa é medida em quilogramas (kg) e o volume em metros cúbicos (m 3 ). Logo, a densidade é medida em quilogramas por metro cúbico (kg/m 3 ) . É muito comum a densidade dos corpos ser apresentada em gramas por centímetro cúbico (g/cm 3 ). Para materiais homogêneos, define-se densidade do material, também chamada massa específica. Densidade ou massa específica de um material uma porção qualquer desse material.

hO~OgêneO é a densidade~eJ

L--

._ _ _

Observação: Densidade é uma característica do corpo. Por exemplo , a densidade de uma esfera oca de massa m e volume V será ~ , mas a massa específica do material de que é feita a esfera independe do corpo.

Exercícios Resolvidos 1. A densidade da água lIquida é de 1,Og/cm 3. Converta essa medida para o SI. Resolução: Para converter uma unidade composta, devemos inicialmente converter cada uma das unidades básicas que a compõem .

1O- 3 kg 3 1 cm = (10- 2 m)3 19

=

=

lO- 6 m 3

Portanto, temos: 3 1O- kg = 10· 10 3 ~ lO-6 m 3 ' m3

1 ,Og/ cm 3 = 1.0'

2 . A densidade da água no SI é de 1.0 . 10 3 kg/m 3. Determine no SI a densidade de um corpo de massa m

= 200g que ocupa

um volume V

= 100cm 3.

Resolução: A densidade de um corpo é a relação entre sua massa e o volume que ele ocupa. ] m = 200g V = 100cm 3

d

_ m _ 200 _ 3 100 - 2g/cm

--V -

Utilizaremos o fator de conversão deduzido no problema anterior: 11 g/cm 3 = 10 3 kg/m 3 1 A densidade do corpo é de :

349

3. Num recipiente mistura-se um volume V, de um liquido de densidade d, com um volume V 2 de outro liquido de densidade d 2 . Determine a densidade da mistura, admitindo que não haja diminuição de volume devido à mistura . A derosidade da mistura é dada por:

d = ~ V Como m = m, m = d,V ,

T

m 2' temos :

+ d 2V 2

O volume total é V = V, Então, a densidade é:

+ V 2'

Exercícios Propostos 4 . Qual o volume ocupado por 300g de mercúrio, sé sua densidade vale 13,6 . 10 3 kg/m 3 ? 5 . Um cubo de alumlnio tem 2,Ocm de aresta . A densidade do alumlnio é de 2,7 . 1 03kg/m 3. Calcule a massa do cubo. 6 . Qual a massa de 1 litro (1 000 cm 3 ) de óleo cuja densidade é de 925 kg/ m 3 ? 7. A massa de 1 litro de leite é de 1,032 kg. A nata que ele contém apresenta densidade de 865 kg/ m 3 quando pura, e constitui 4 % do volume do leite . Qual a densidade do leite desnatado? 8. Um bloco de madeira de 1 kg de massa foi colado a uma peça de ferro, também de 1 kg de massa . A madeira utilizada tem densidade de 0,8g /cm 3 e a densidade do ferro é 8g/cm 3. Qual a densidade do corpo formado? 9 . Escreva a expressão do peso de um corpo em função de sua densidade d, seu volume Veda aceleração da gravidade g .

Pressão Uma força F que age perpendicularmente a uma superfície de área A produz uma pressão dada pelo quociente entre o módulo da força F e a área A.

Pela própria definição, percebemos que a pressão é uma grande~a escalar.

350

-----

.....

o

líquido contido num tubo de spray exerce uma grande pressão nas paredes internas do tubo.

A água de uma piscina exerce pressão na parede da piscina.

Unidade de pressão Se a força for medida em newtons (N) e a área em metros quadrados (m~, a pressão será obtida em N/m 2 , que recebe o nome pascal (Pa). 1 Pa = 1 N/m 2

A pressão é medida com um instrumento chamado manômetro.

Man6metro utilizado para calibrar pneus. Observe as escalas calibradas em quilograma-força por centfmetro quadrado (kgf/cm 2) e libra-força por polegada quadrada (lib/poI2) (unidade técnica inglesa). Nesse instrumento não foi utilizada a unidade N/m 2 (SI).

Pressão atmosférica Nosso planeta está envolto em uma camada de fluido gasoso (o ar), chamada atmosfera (do grego, esfera de gás). Como ocorre com todos os corpos próximos à Terra, o ar também é atraído devido à gravidade. Isso significa que o ar tem peso. O ar exerce, sobre a superfície da Terra e de todos os corpos aí existentes, uma pressão, chamada pressão atmosférica. r I I

- - - -1- - '- - - - - ,

I I

1

1

I I I

1 1 :

I I I I

:~

:-

'P

I _ _____ _ L

Atmosfera.

I

_ _ _ ..JI

O peso do ar produz a pressão atmosférica.

Todos os corpos na superffcie da Terra recebem a pressão atmosférica .

351

Para calcular a pressão atmosférica, poderíamos considerar uma pequena superfície de área A e o peso P da coluna de ar existente sobre essa superfície. A pressão atmosférica seria dada pela relação :

I

p~ = I

Mas, este não é um método prático, uma vez que seria difícil obter o peso da coluna de ar. Na prática, mede-se a pressão atmosférica através de instrumentos chamados barômetros. Ao nível do mar, a pressão atmosférica é de 1,0 . 10 5 Pa. Esse valor, chamado pressão atmosférica normal, define a unidade atmosfera (atm): Pressão atmosférica normal = 1 ,O . 10 5 Pa = 1 atm

Efeitos da pressão atmosférica A pressão atmosférica está aplicada o tempo todo em nosso corpo, porém não a percebemos, pois a pressão interna do corpo a equilibra. Apesar de não a sentirmos, essa pressão é bastante alta: em cada cm 2 de área a atmosfera aplica uma força igual ao peso de um corpo de .1 kg .

A segu ir, mostramos alguns fenômenos cotidianos, onde a pressão atmosférica se faz sentir:

Em cada cm 2 do nosso corpo, recebemos da atmosfera uma força equivalente ao peso de um corpo de 1 kg.

• É difícil retirar óleo de uma lata que tenha um único orifício, devido à pressão atmosférica que age de fora para dentro e equilibra o peso do óleo. Fazendo outro orifício, a pressão passa a agir também de dentro para fora. Dessa forma, o peso do óleo não é mais equilibrado e este pode escoar.

~ --=- ~

-

'--. -

-

A força aplicada pelo ar impede o 61eo de escoar.

Abrindo outro oriffcio, o 61eo escoa.

• Tapando o orifício de uma seringa de injeção, é difíc il retirar o êmbolo, devido à pressão atmosférica. O êmbolo só sai se aplicarmos uma força maior do que a força exercida pelo ar.

352

• o canudinho de refresco tem seu funcionamento baseado na pressão atmosférica. Para sorver o refresco, diminuímos a pressão no interior da boca (normalmente, essa pressão é igual à atmosférica). Com essa diminuição, a pressão atmosférica consegue empurrar o líquido e este sobe pelo canudo.

Se P , < PaIm' líquido sobe .

O

IZl ~

bo,"

Observação: Na verdade, não basta a pressão interna ser menor que a atmosférica. Como veremos depois, o próprio líquido do canudo exerce pressão, de forma que a soma da pressão da boca com a do líquido tem que ser menor que a atmosférica.

Exercício Resolvido 10. Uma força de 20 N é exercida por um martelo sobre um prego, cuja área de contato com uma superffcie de madeira é de 0 ,25 mm 2. Calcule a pressão exercida pela ponta do prego sobre a superffcie da madeira , em Pa . Resolução: Inicialmente, vamos converter a área para o SI : 0 ,25mm 2 = 0 ,25 ' (10- 3 m)2

= 0 ,25

' lO- 6m 2

A força exercida pelo martelo é transmitida à ponta do prego . A pressão exercida na madeira é dada por: F P =A

=

20N 025 . 106m 2

= 80

6 . 10 N/m

A pressão é igual a 80 . 10 6 Pa.

Exercícios Propostos 11 . Determine a pressão exercida por um tijolo de massa m = 1 ,Okg, apoiado sobre uma mesa por uma de suas faces de 0 ,010 m 2 de área . 12. Uma mulher de 50kg está de pé sobre uma caixa cúbica de peso desprezfvel, que tem 5,Ocm de aresta . A caixa está apoiada sobre o chão. Qual a pressão que a caixa exerce sobre o chão ? 13. Um corpo de 3,Okg de massa está apoiado sobre um cilindro de madeira de 1 ,Ocm 2 de área . Determine a pressão exercida pelo corpo sobre o cilindro de madeira. Converta essa pressão para atm (g = 10m/ s 2).

M

= 3.0

kg

cilindro

14. Uma seringa ae injeção tem êmbolo de diâmetro de 2 ,Ocm. Tapou-se a extremidade da seringa, como mostra a figura. Calcule a força necessária para retirar o êmbolo . (Pressão atmosférica : 1,0 ' 10 5 N/m 2.)

353

15. O crrculo que você está vendo ao lado tem 1,0 cm 2 . Colocando esta folha em posição horizontal, imagine o cilindro (infinito) que tem como base este crrculo. Qual o peso do ar contido nesse cilindro, até o fim da camada atmosférica?

1 ,0 cm 2

4 Teorema de 5tevin Sabemos que um mergulhador, à medida que aumenta sua profundidade no mar, fica submetido a pressões cada vez maiores. O teorema de Stevin permite calcular o acréscimo de pressão devido ao aumento de profundidade.

~ oo

o

o.

A

o••

v •

•

•

•

•

o

:; o

0 0

o·

. /

B

A pressão em B é maior que em A.

Considere um líquido de densidade d. Queremos obter a diferença entre as pressões dos pontos 1 e 2, que determinam o desnível h. Vamos mentalmente destacar um cilindro no líquido, cujas bases, de área A, contenham os pontos 1 e 2. Esse cilindro está em equilíbrio, pois o líquido está em repouso.

- fd ~ t f p~

------

~-----,

ttt

-

~

pz

Vamos analisar esse equilíbrio : • Na horizontal, a forças recebidas do restante do líquido se equilibram . • Na vertical, agem as forças F 1e F 2' devido às pressões Pl e P2 ' e também a forçapeso do líquido contido no cilindro. O equilíbrio do líquido no cilindro nos permite escrever:

F 1 +P=F 2 Como F 1= P1A e F 2= p2A, temos: P1 A .+ P = P2 A

CD

Vamos escrever o peso P em função das dimensões do cilindro. O volume do cilindro é o produto da área da base pela altura:

v= Ah Sendo d a densidade do líquido, a massa do líquido contido no cilindro é: m = dV

354

'-">

m = dAh

Então, o peso do líquido será: P = mg A equação

CD

=>

P = dAhg

poderá então ser escrita da seguinte forma:

p,A + dAhg

,

=

P2A

=> ,~ .

(p , + dhg)

= p ~A

/

=>

P2 - p, = dgh

Esse resultado é conhecido como teorema de Stevin. O teorema foi demonstrado para pontos na mesma vertical , mas pode ser generalizado. A diferença de pressão entre dois pontos de uma mesma massa fluida homogênea, em equilíbrio sob ação da gravidade, é igual ao produto da densidade do fluido pela aceleração da gravidade e pela diferença de profundidade entre os pontos. P2 - p, = dgh

Vejamos algumas conseqüências do teorema de Stevin : • Em um líquido em equilíbrio, a pressão é igual para pontos situados na mesma horizontal , já que entre eles não há desnível. • No caso de líquidos em equilíbrio expostos à pressão atmosférica, todos os pontos da superfície estão submetidos a essa pressão. Aplicando o teorema de Stevin , conclui-se que todos esses pontos estão na mesma altura.

4

lIquido em equillbrio: p , = P2 = P3 = P4

Se um líquido está em equilíbrio, sua superfície livre é horizontal.

Pressão em um ponto de um líquido em equilíbrio Uma das aplicações do teorema de Stevin é a determinação da pressão em um ponto qualquer de um líquido em equilíbrio. Desde que o líquido não esteja em recipiente fechado , a pressão na sua superfície livre é igual à pressão atmosférica Po . Queremos determinar a pressão p na profundidade h. Aplicando o teorema de Stevin, temos: p - Po = dgh

=>

P = Po + dgh

Po (pressão atmosférica )

-=-

-_ .-~ - . -

.._- - - -

-._- ---

-:~ __~

h -

_

_

_

o

---------- o p

355

Concluímos , então , que a pressão p é a soma da pressão ;Jtmosférica Pocom a pressão exercida pelo líquido devido à coluna de água, dada por dgh. Costuma-se adotar a nomenclatura: pressão total = p pressão hidrostática = dgh Temos, então: Pressão total = pressão atmosférica + pressão hidrostática

Exercícios Resolvidos , 6 . Num mesmo recipiente , co loca m-se dois líquidos imiscívei s cujas densidades são d, = 800kg/m 3 e d 2 = 1200kg/m 3 . Considerando a oressão atmosférica no local igual a 1,0 10 5 Pa , determine:

A

d1

a l a pressão no ponto A

B

b l a pressão no ponto B c l a pressão no ponto C

d2

Resolu ção :

lC

ai A pressão no ponto A é a pressão atmosférica: PA = 1,0 ' 10 5 Pa

I

bl A pressão no ponto B é a pressão atmosférica ac rescida da pressão devida à coluna do líquido 1.

cl A pressão do ponto C é a pressão no ponto B acrescida da pressão devida ao líquido 2. Pc = PB

+ d 2 gh 2

=

Pc = 1.4 . 10 5

+ 1 200 . 10 . 2 = 1.4 . 10 5 + 0,2 . 10 5

I

5

Pc= 1,6 ' 10 Pi J

, 7 . Sobre as superf ície s livres da água contida em um tubo em f orma de U, co locam -se dois êmbolos , A e B, cujas massas são de 2 ,Okg e de 5,Okg, respectivamente. Sendo as áreas dos êmbolos A A = 20 c m 2 e A B = 40cm 2 , calcule o desnível da água (xl entre os dois ramos do tubo . Considere g = 10m/ s 2 e densidade da água = 1 000 kg/m 3 . Resolução : A A = 20 cm 2 = 0 ,0020m 2 A B = 40 cm 2 = 0 ,0040m 2 As pressões exercidas pelos êmbolos nos ramos A e B são : PA 2 ,0 . 10 p =- = A AA 0,0020

PB =

356

PB AB

5,0 . 10 0 ,0040

=1 1

PA = 1,0 '

10 4 pa-- I

PB = 1,25' 10 4 Pa

I

A

B

A diferença de pressão deve ser equilibrada pela coluna de água de altura x, representada na figura .

6 p = PB- PA

=>

16P= 2 , 5 ' 10 3 Pa

Como 6p = d água gx, temos : 2 , 5 . 10 3 = 1 000 . 10 . x Portanto : x =

2, 5' 10 3 1000 . 10

= 0,25

=>

x = O,25m

I

Exercícios Propostos 18. Sabendo que a pressão no fundo de uma piscina é de 1.4 . 10 5 Pa, num local onde a pres são atmosférica é de 1,0 . 10 5 Pa, determine a profundidade da piscina. Dados: densidade da água da piscina = 1,Og/cm 3 ; 9 = 10m/ s 2 19. Um prédio tem 40m de altura . A caixa-d'água é co locada sobre o último andar. Qual a pressão da água no andar térreo? Dados : d água = 1,Og/ cm 3 ; 9 = 10m/ s 2; PaIm local = 1,0 . 10 5 Pa. 20. Faça um gráfico representando a pressão total em funçã o da profundidade , numa piscina de 3,Om de profundidade . Faça também o gráfico da pressão hidrostática em função da profundidade . Dados: d água = 1,0 . 10 3 kg/m 3 ; 9 = 10m/ s 2 ; PaIm = 1,0 . 10 5 Pa . 21 . Um tubo em forma de U contém água cuja densidade é d água = 1,Og/cm 3 . Em um dos ramos do tubo coloca -se uma coluna de óleo de 5cm, com densidade do = 0 ,8 g/cm a No outro ramo coloca -se um líquido não miscível em água, cuja densidade é di = 0 ,9 g/ cm 3 . Determine a altura x da coluna do liquido para que as duas superfícies livres estejam no mesmo nível.

5cm

J

óleo líquido

água

22 . O tubo em U, ligado a um reservatório, como mostra a figura, chama-se manômetro (apa relho que mede pressões) . Qual a pressão no reservatório , se a pressão atm osférica local é de 1,0 ' 10 5 Pa? Dados: densidade do mercúrio = 13600kg/m 3 ; 9 = 9,8m/ s 2 . mercúrio _ _'?'~

23 . Um tubo é ligado a um tanque cuja base tem 100cm 2 . Calcu le a força no fundo do tanque quand o sistema (tubo e tanque) está cheio de óleo até a altura de 30 em. Dados : d óleo = 0 ,8 g/ cm 3 ; 9 = 10 m / s 2

óleo

357

5 Experiência de Torricelli No início do século XVII, um problema foi apresentado a Galileu Galilei : por que as bombas aspirantes não conseg~em elevar água acima de 18 braças (10 ,3 metros)? Galileu não chegou à solução do problema, porém supôs que essa altura máxima dependia do líquido : quanto mais denso fosse , menor seria a altura alcançada. Um discípulo de Galileu, Evangelista Torricelli , resolveu fazer a experiência com um líquido muito denso: o mercúrio . Tomou um tubo de vidro de 1,30 m de comprimento , fechado em uma extremidade , encheu-o completamente com mercúrio e, tampando a extremidade aberta, emborcou-o num recipiente contendo mercúrio . Ao destampar o tubo , Torricelli verificou que a coluna de mercúrio no tubo descia até o nível de aproximadamente 76cm acima do nível do mercúrio do recipiente, formando-se vácuo na parte superior do tubo . Podemos explicar a experiência de Torricelli da seguinte forma : Considerando-se um ponto A na superfície livre do mercúrio, a pressão nesse ponto é igual à pressão atmosférica . O ponto S, no mesmo nível do ponto A, está sujeito apenas à pressão devida ao peso da coluna de mercúrio, já que não há pressão sobre a coluna, pois no vácuo a pressão é zero . De acordo com o teorema de Stevin :

No tempo de Galileu, já se sabia que as bombas aspirantes só conseguem elevar água até 10,3 m.

vácuo

Na verdade, a parte superior do tubo fica preenchida por vapor de mercúrio, mas esse fato não é relevante para a experiência.

vácuo

7 6cm pressão atmosfé ri ca

!

B

~~~~. ~~~+ -- ----

Concluímos, então, que a pressão atmosférica é equivalente à pressão existente na base de uma coluna de mercúrio de 76cm. Se em vez de mercúrio o líquido utilizado na experiência fosse a água, a altura da coluna seria maior , já que a densidade da água é menor. Essa altura, já conhecida no tempo de Galileu, é de 10,3 m. A pressão atmosférica é igual à pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 76cm, ou por uma coluna de água de 10,3m.

358

A partir da experiência de Torricelli, podemos calcular a pressão atmosférica em unidades SI. Basta aplicar o teorema de Stevin: dgh

P vácuo =

Po-

" / " Pvàcuo = o i--' -- - -------

Como a pressão no vácuo é zero, temos: h

Po=

dgh

A densidade do mercúrio é d = 13,6 . 10 3 kg/m 3 e a aceleração da gravidade é 9 = 9,8 m/s 2 .

/ " Po I---

-i -

Portanto , para h = 0,76m, temos:

Como já havíamos dito, esse é o valor da pressão atmosférica normal, também chamado 1 atm.

É comum fornecer a pressão atmosférica em centímetros de mercúrio (cmHg) ou milímetros de mercúrio (mmHg). 76 cmHg

=

760 mmHg

=

1,0 atm

=

1,0 . 10 5 Pa

o equipamento utilizado na experiência de Torricelli é utilizado até hoje para medir a pressão atmosférica, e é conhecido como barômetro de mercúrio.

Exercício Resolvido 24. La Paz , capital da Bolívia, está localizada a 3 800m de altitude . Um barômetro de mercú rio em La Paz marca 53cmHg . Determine o valor dessa pressão no SI. (Densidade do mercúrio = 13,6g/cm 3 ; 9 = 9 ,8m/ s 2 . ) Resolução : Inicialmente, vamos converter os dados para o SI : d

= 13,6g/cm 3 = 13,6

f-

. 10 3 kg/m 3

- - - - - - - --

h = 53cm = 0,53m Temos, então : p = dgh

=,

53 cm

p = 13,6' 10 3 . 9,8 ' 0,53

I

p = 0 ,70 . 10 5 Pa

I

Também, poderíamos ter feito a seguinte regra de três : 76cmHg 53cmHg -

5

1,0 ' 10 Pa x

1

x = 0,70' 10 5 Pa

359

Exercícios Propostos 25 . Esse gráfico representa aproximadamente a variação da pressão atmosférica com a altitude, em relaç ão ao nível do mar. Com base no gráfico, responda : pressão l atm )

altitude Ikm)

o a) b) c) d) e)

2

4

6

8

10 12 14 16 18

20 22 24 26 28 30 32

Qual a pressão atmosférica em São Paulo ? (Altitude : 800m .) Qual a pressão atmosférica em Quito, ca pital do Equador? (Altitude : 2800m.) Converta os valores obtidos nos itens a e b para cm Hg . Qual é a espessura da camada atmosférica? Um avião pode voar a 30km de altitude? O Monte Everest . no Himalaia , tem aproximadamente 1Okm de altitude . Você acha que uma pessoa consegue respirar normalmente no alto desse monte? Por quê?

26 . Quanto vale , em Pa , a pressão atmosf érica num loca l onde ela equilibra uma coluna de água de 9,8m de altura ? 27 . Em 1660, o físico Thomas Boyle realizou a seg uinte experiência : • Montou o barômetro de Torricelli dentro de uma redoma de vidro (veja a figura). • Por meio de uma bomba de vácuo, extraiu praticamente todo o ar de dentro da redoma. Descreva o que deve ter sido observado por Boyle .

para uma

bomba de

vácuo

6 Princípio de Pascal Observe a experiência ilustrada a seguir. Um êmbolo móvel permite que se aplique pressão na água contida no balão esférico, provido de pequenos orifícios. Quando se produz um aumento de pressão através do êmbolo, verifica-se que a pressão aumenta em todos os pontos do líquido, e não só onde está o êmbolo.

360

Esse fenômeno foi percebido por Blaise Pascal (1623-1662), que enunciou o princípio que leva seu nome. Princípio de Pascal

Qualquer variação de pressão provocada em um ponto de um líqu ido em equ ilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido. Uma das aplicações cotidianas do princípio de Pascal é a prensa hidráulica, que consiste em um recipiente cilíndrico em forma de U, de diferentes diâmetros nos dois ramos, preenchido por um líquido homogêneo. Aplicando-se ao êmbolo do cilindro de área A, uma força de intensidade F" é produzido nesse ponto um acréscimo de pressão dado por: b. p,=

F2

r - (l> p, ) .-'

r

(

"-f-

F,

A,

No cilindro de área A 2 ocorre o acréscimo de pressão b. P2 que produz uma força F 2:

Pelo princípio de Pascal , temos:

[8]'

F , = TF 2 Ou : F = fi: A, b. p,= b.P2 = A , 2 2 2 A utilidade desse dispositivo é multiplicar o valor de uma força pequena, aplicada ao êmbolo de menor área, por um número de vezes igual à razão entre as áreas dos êmbolos. Normalmente, esse princípio é aplicado nos elevadores hidráulicos, como os utilizados em postos de gasolina.

compresso r hidráulico

I

elevador hidráulico

361

Exercício Resolvido '28. Em um elevador hidráulico, um automóvel de 1 200kg de massa está apoiado num pist ão cuja área é de 800cm 2 . Qual é a força que deve ser aplicada no pistão de 20cm 2 de área para erguer o automóvel? (g = 10m/s 2 ) Resolução' As pressões em ambos os pistões são iguais:

P 800

F 20

-- =-

Sendo P = 1200 · 10 = 12000N , temos : 12000 ---soa

=

F 20

=I F=

300N

Exercícios Propostos 29 . Em uma prensa hidráulica , o pistão maior t em área A, = 200cm 2 e o menor, área A 2 = 5cm 2 .

r----

a) Se uma força de 250 N é aplicada ao pistão menor, calcule a .força F, no pistão A, maior. b) Supondo que o pistão menor sofreu um deslocament o de 10cm sob a ação da força de 250 N, calcule o trabalho realiza do por essa força e o trabal ho realizado pela forç a no outro pistão . 30. Na prensa hidráulica representada na figura , o c ilindro da esquerda tem 600kg de massa e área da secção transversal de 800cm 2 . O pistão da direita tem 25cm 2 de áre a e peso desprezível. Se o sistema está cheio de óleo (d o = O,8 g/cm 3 1. calcule a força F necessária para manter o sistema em equilíbrio . Considereg = 10m/ s 2 .

=

200c

~

V

A 2 = 5 cm 2/

~

I-'f--'-

./

V

_____:J_ -

r- óleo

M = 600 k 9

31 . Num freio hidráulico de automóvel , o pistão em contato com o pedal tem área de l,Ocm 2 . Os pistões que acionam as lonas do freio têm área de 1Ocm 2 cad a um. Se o mot orista pisa o f reio com uma força de 20N , que força cada lona exerce na roda do aut om óvel ?

lona do fr eio

fluido do freio -

362

~===~

7 Empuxo Quando mergulhamos um corpo em um líquido, aparentemente o seu peso diminui. Às vezes, o seu peso chega a ser totalmente anulado. É o que acontece quando o corpo flutua. Esse fato se deve à existência de uma força vertical de baixo para cima, exercida pelo líquido sobre o corpo, chamada empuxo. À resultante dessas duas forças (força-peso e empuxo) devemos o fato de o corpo flutuar ou afundar. A origem do empuxo se deve à diferença de pressão exercida pelo fluido nas superfícies inferior e superior do corpo. Quando as forças exercidas pelo fluido na parte inferior forem maiores que as forças exercidas na parte superior, a resultante dessas forças fornece uma força vertical de baixo para cima, que é o empuxo.

!!!

---0t t f --

Princípio de Arquimedes Temos um cilindro graduado, contendo água. Uma pedra é mergulhada na água. Observe que a presença da pedra deslocou uma certa quantidade de água. Arquimedes estabeleceu experimentalmente, na antiga Grécia, que o empuxo que age sobre um corpo mergulhado num líquido é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo. Esse princípio é válido não somente para líquidos, mas para qualquer fluido em equilíbrio sob a ação da gravidade.

água deslocada pela pedra

~-

- - ---i-+

-

Um corpo mergulhado num fluido em equilíbrio recebe um empuxo vertical, de baixo para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Vamos obter uma expressão matemática do empuxo, válida apenas para fluidos de densidade constante. E = Pf

(P f = peso do fluido deslocado)

Sendo Vfo volume do fluido deslocado, e dfa densidade do fluido, podemos escrever: P f = dfVfg Portanto:

E= dfVfg

363

Quando o corpo está totalmente imerso, o volume do fluido deslocado é o volume do próprio corpo.

Quando o corpo está flutuando, o volume do fluido deslocado é igual à parcela do volume do corpo que se acha imersa.

Exercícios Resolvidos 32 . Um bloco de metal é mergulhado em um recipiente contendo mercúrio. Sabendo que a densidade do metal é de 10, 2 g/ cm 3 e a do mercúrio é de 13,6 g/ cm 3 , determine que porção do volume do bloco ficará submersa no mercúrio . Resolução : O peso do bloco é dado por: P = V bdb g = 1 P = V b · 10, 2 ' 9

E

P = peso do bloco

O empu xo exe rc ido pelo mercúrio é dado por: VHg

V b = volume do bloco V Hg = volume do mercúrio deslocado

E = VHgdHgg =1 E = V Hg ' 13,6 ' 9 Estando o blo co em equilíbrio, podemos es c rever: E= P =

, , V Hg _ V H9 ' 13,6 ' ,r/ = V b '10,2 ' ,rf=

Vb

102 - ' =0, 75 13,6

I V Hg =0,75V b I Como o volume do merc úrio deslocado é igual ao volume do bloco que fica submerso, podemos afirmar que a porç ão do volume do bloco que ficará submersa é 0 ,75 V b' ou seja , 75 % do seu volume. 33 . Um bloco de massa m = 200g e volume V = 100cm 3 é mergulhado num líquido de densidade d, = 0 ,8g/ cm 3 . Qual o peso aparente do bloco dentro do líquido? (g = 10m/ s 2 ) Resolução : O peso aparente do blo co é a forç a resultant e entre o seu peso e o empuxo exercido pe lo líquido .

Sabemo s que E = V I d I g, onde V I é o volume do líquid o deslocado que, nesse caso; é igual ao volume do corpo .

f V , = 100 c m = 100 . 10- m l d, = 0 ,80g/c m 3 = 800kg/m 3 3

Pap = P - E = 2,0 - 0 ,8

364

I

I

Pap = P - E

6

3

Pap

p

E = 100· 10- 6 . 800 · 10 =

= 1,2 N

P=mg=0,200 ' 10=2,ON E=V1dlg

E = 0,8N

Exercícios Propostos 34. Um parafuso cilfndrico de 2,0 cm de diâmetro e 20 cm de comprimento caiu dentro do 61eo, de 0 ,6 g/c m 3 de densidade . Calcule o empuxo sobre o parafuso. 35. Um recipiente contém 61eo de densidade do = O,80g/ cm 3 . Um bloco de alumfnio (dAI = 2 .70g/cm 3 ) é imerso no 61eo, suspenso por um fio . Calcule a tração no fio . O volume do bloco é de 1,0' 1O- 3 m 3 (g= 10m/s 2 ) .

36. Um balão de festa junina tem volume V = l,Om 3 . Depois de aquecido, foi necessário amarrá -lo em um tijolo de O,50kg para impedi-lo de subir. Calcule a massa do ar expelida do balão devido ao seu aquecimento . Despreze o peso do balão vazio . (Densidade do ar = 1,3 kg/m 3 . ) 37. Um navio de carga está flutuando com seus compartimentos de carga vazios . Ap6s ser carregado com 500t de carga, verifica-se que o navio aumentou sua fração submersa. Calcule o volume de água deslocado a mais, devido ao carregamento. (Densidade da água = 1 ,0 ' 10 3 kg/m 3 . )

38 . Um bloco de madeira flutua na água com metade de seu volume submerso . Qual a densidade da ma deira de que é feito o bloco? (d âgua = l,Og/cm 3 ) 39 . Um cilindro s61ido de alumfnio de volume V = 300 cm 3 pesa 6.7 N no ar e 4 ,5 N quando imerso em gasolina . Determine a densidade da gasolina (g = 10m/s 2 ) 40. A densidade do gelo é de 920kg/m 3 . Que fração do volume de um pedaço de gelo ficará imersa na água quando ele estiver flutuando? (d âgua = 1 OOOkg/cm 3 ) 41 . Se uma esfera de ferro de 646g de massa flutua no mercúrio, que volume de ferro está submerso ? Dados : d ferro = 7,60g/cm 3; dmercúrio = 13,6g/cm 3 . 42 . Uma barcaça de 1 OOOt opera em água doce (d = 1 000kg/cm 3 ) . Que carga deve ser adicionada à barcaça para manter o mesmo nfvel de flutuação ao operar em água salgada (d = 1 030kg/m 3 )? 43. A figura representa um bloco cúbico de madeira, mantido dentro da água por um fio preso ao fundo do recipiente . A densidade da madeira é de 0,4g/cm 3 e a da água é de l ,Og/cm 3 . Sendo a = 10cm a aresta do cubo , determine a tração no fio (g = 10 m/ s 2 ) .

365

Questões 44. Um indivíduo precisa atravessar um lago coberto com uma fina camada de gelo. Em que situação ele tem maiores probabilidades de atravessar o lago sem que o gelo se quebre: andando normalmente ou arrastando-se deitado no gelo? Explique . 45. O que é pressão atmosférica ? A pressão atmosférica aumenta ou diminui com a altitude? Por quê? 46. Na Lua não há atmosfera . Descreva como seria , na Lua , o resultado da experiência de Torricelli. O que você acha que aconteceria lá com um ser humano sem roupas especiais? 47 . Um astronauta, em pleno espaço sideral. tenta puxar o êmbolo de uma seringa de injeção cuja agulha está entupida . O que acontece? 48. Tomand.o uma lata vazia de leite em pó, foi feita a seguinte experiência : • A lata aberta foi aquecida no fogão . • Ainda quente , a lata foi tampada . • Após ser tampada , fo i colocada debaixo da torneira aberta , esfriando-se rapidamente . Observou-se que a lata se amassa durante o resfriamento . Por quê? 49. Se não existisse pressão atmosférica , seria impossível tomar refresco por um canudinho . Explique a afirmação . \ 50. Duas mangueiras de diâmetros diferentes foram emendadas, conforme mostra a figura , e preenchidas com água . Em qual dos ramos da mangueira a água ficará num nível mais eleva do? Explique . 51 . Enuncie o princípio de Arquimedes . 52. Explique o que determina se um corpo sólido vai flutuar ou afundar num líquido . 53 . Escreva a expressão matemática que determina o valor do empuxo que age num corpo imerso num f luido . Especifique cada termo dessa expressão. 54. Um navio flutua na água do mar. É feita uma marca no casco do navio, indicando o nível da água . Levando-se o navio para um lago de água doce, o nível da água ficará abaixo ou acima da marca do casco ? Explique. 55. Um cubo de gelo flutua num copo com água . Depois que o gelo se fundir, como estará o nível da água? Mais alto, mais baixo ou igual? Explique. 56 . René Descartes, famoso matemático, fazia uma brincadeira com seus amigos: numa garrafa completamente cheia de água, havia um diabinho feito de material mole . Essa garrafa era ligada por um tubo a uma "pêra " de borracha . Estando o conjunto todo cheio de água (sem bolhas de ar) , o matemático pressionava a " pêra " e o diabinho descia dentro da garrafa . Soltando a " pêra" , o diabinho subia . Pressionando convenientemente, era possível equilibrar o diabinho. Através do princípio de Arquimedes, explique esse fenômeno .

366

_ ~'i

~~~I----------------------~

Exercícios Complementares 57. A área de contato de cada pneu de um automóvel com o solo é de 20cm 2 • Admitindo que a massa do automóvel seja de 1, 5t e que seu peso esteja igualmente distribufdo sobre os quatro pneus, dete rm ine a pressão que o automóvel exerce na área de contat o com o solo (g = 10 m/s 2 ). 58. Um bloco de madeira em forma de paralelepfpedo tem dim ensões c = 20cm, h = 4cm e 1 = 10cm. Se a massa do bloco é de 400g , qual a densidade da madeira, em g/cm 3 ? E em kg/m 3 ? Qual seria a massa de um bloco com as mesmas dimensões, se ele fosse feito de alumfnio? (dalumlnio = 2,-7 g/cm 3 ) Determine a pressão exercida pelo bloco sobre a mesa quando apoiado sobre a face maior e quando apoiado sobre a face menor (g = 10m/s 2 ).

59. Qual é a densidade do material do núcleo de um átomo de hidrogênio? O núcleo pode ser considerado uma esfera de 1,20 · 10- 15 m de raio e de 1,67 . 10- 2 7 kg de massa . 60. O que acontece com a pressão exercida por um tijolo apoiado sobre uma mesa, se mudarmos sua posição de modo a apoiá-lo por uma das faces cuja área é um terço da anterior? 61 . O ar tem densidade de 1 ,29kg/m 3 em condições normais. Qual é a massa de ar em uma sala de dimensões 10m x 8m x 3m? 62. A pressão atmosférica vale aproximadamente 10 5 Pa . Que força o ar exerce em uma sala , no lado interno de uma vidraça de 400cm x 80cm? 63 . Quando um submarino desce a uma profundidade de 120m, qual a presS'ão total a que está sujeita sua superffcie externa? Dados : densidade da água do mar = 1 030kg/m 3 ; pressão atmosférica = 1 05Pa ; 9 = 10m/s 2 . 64. Um bloco de metal flutua num recipiente de mercúrio, de modo que

t

do seu volume f icam submer-

sos . Sendo a densidade do mercúrio de 13,6g/cm 3, qual a densidade do metal? 65. Um recipiente contendo água é colocado sobre uma balança que acusa 10N . Um bloco de aço de 100cm 3 de volume é imerso na água e mantido suspenso por um f io. Detemine a leitura da balança . Dados : d ãgua = 1,Og/cm 3; 9 = 10m/s 2 .

Questões de Vestibulares 66. (FUVEST-SP) Uma esfera de alumfnio ocupa um volume de 300cm 3 e possui massa de 200g . a) Qual a densidade da esfera? b) Colocada numa piscina cheia de água, ela flutuará ou não? Explique .

367

67 . (ACAFE-SC) Um prego é colocado entre dois dedos que produzem a mesma força , de modo que a cabeça do prego é pressionada por uni dedo e a ponta do prego por outro . O dedo que pressiona o la do da ponta sente dor em função de : a) b) c) d) e)

a a a a o

pressão ser inversamente proporcional à área e independer da força força ser diretamente proporcional à aceleração e inversamente proporcional à pressão pressão se r inversamente proporcional à área e diretamente proporcional à força sua área de contato ser menor e, em conseqüência , a pressão também prego sofrer pressão igual em ambos os lados, mas em sentidos opostos

68. (CESGRANRIO-RJ) Um regador está em equilíbrio, suspenso por uma corda presa às suas alças. A figura que melhor representa a distribuição do líquido em seu interior é: a)

c)

b)

d)

e)

69. (UFMG ) A figura mostra um recipiente conten do mercúrio e vários copos invertidos, mergulhados a profundidades diferentes. Sabe-se que a massa de ar é a mesma em todos os copos e que no copo 1 o nível do mercú rio está representado corretamente. Podese afirmar que o nível do mercúrio está também representado corretamente nos copos : a) m e q b)

nep

c) o e r d)

e) m e p

neq

70 . (FUVEST-SP) A densidade do óleo é de O,80g/ cm 3 . a) Quanto pesa o óleo contido em uma lata de 900ml? b) Quantas latas de 900ml podem ser preenchidas com 180kg de óleo ? 71. (UFPA) Em 1644, Galileu foi consultado pelos engenheiros do Grão-Duque de Toscana sobre o estra nho fato de não conseguirem extrair água dos poços de 15m de profundidade, construIdos nos jardins do palácio . O problema , embora estudado pelo sábio italiano, foi resolvido por Torricelli, que atribuiu o fenômeno: a) ao " horror do vácuo " b) à temperatura da água

c) à densidade da água d) à pressão atmosférica

e) à imponderabilidade do ar

72. (FUVEST-SP) Um cubo maciço de metal de 1 ,Ocm de aresta e de densidade de 8 ,Og/ cm 3 está a 1 ,Om de profundidade no interior de um recipiente contendo água . Suspendendo lentamente o cubo com o auxílio de um fio muito fino até uma profundidade de 20cm, pede-se : a) o empuxo da água sobre o cubo b) o gráfico da pressão exercida pela água em função da profundidade, entre 20cm e 1,Om Dado: densidade da água = 1,Og/ cm 3 .

368

73. (UFSC) Assinale as afirmativàs corretas : a) O funcionamento dos macacos hidráulicos baseia -se no princípio de Pascal. b) Um transatlântico mantém-se sobre as ondas devido ao princípio de Arquimedes . c) Um cubo maciço de ferro afunda na água e flutua no mercúrio porque a densidade do mercúrio é maior que a da água. d) Um manômetro é um instrumento para medir empuxo. e) Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao volume do líquido deslocado . f) Pelo princípio de Pascal, a pressão no interior de um líquido transmite-se integralmente em todas as direções. 74. (FUVEST-SP) Um tubo em forma de U, de seção circular constante e igual a 1O- 4m 2 (= 1 cm 2 1. contém dois líquidos diferentes, A e B, separados por um objeto leve , inicialmente preso por um pino, e que impede a mistura dos líquidos, como mostra a figura . As densidades dos líquidos são : dA = 1 200kg/ m 3 e d s = 400kg/m 3. a) Qual a intensidade da resultante das forças que os líquidos exercem sobre o objeto? b) Retirando-se o pino, o objeto poderá se deslocar livremente e sem atrito, até estabelecer-se o equilíbrio . Determine as alturas dos líquidos quando o sistema atingir o equilíbrio .

___r_w~'~_

A

O, 10m

!

B

l J

'- - --10, 50 m- - --

75 . (UFPA) Duas esferas metálicas, A e B, de mesmo volume e massas diferentes, estão totalmente imersas na água. Analisando a situação acima, é possível afirmar que o empuxo que a água exerce nas esferas : a) b) c) d) e)

é o mesmo nas duas esferas é maior na esfera A é maior na esfera B depende das massas das esferas depende da quantidade de água no recipiente

A B

76. (FAAP-SP) Um cubo de madeira (densidade = O,6g/ cm 3 ) flutua em água (densidade = 1,Og/ cm 3 ). Sendo a altura da parte imersa igual a 6cm, ca lcule a aresta do c ubo . 77 . (FATEC-SP) I) Quando um corpo flutua com metade de seu volume imerso na água , ele recebe um empuxo de módulo igual a metade de seu peso. 11) Se a densidade de um corpo for menor que a de um líquido, o corpo flutua no líquido . 111 ) Uma esfera está apoiada no fundo de um recipiente que contém um líquido. Nesta situação de equilibrio, o empuxo é igual ao peso da esfera . Considerando as afirmações acima, pode-se dizer que é correto o que consta na alternativa : b) 11

a) I

c) 111

d) I e II

78. (FUVEST-SP) A figura representa uma garrafa emborcada , parcialmente cheia de água, com a boca inicialmente vedada por uma placa S. Removida a placa , observa-se que a altura h da coluna de água aumenta . Sendo P, e P, as pressões na parte superior da garrafa com e sem vedação, e P a pressão atmosférica, podemos afirmar que : d) P,

e) P > P,

P=

P,

h

< P,

a) P = P, - P, b) P, > P c)

e) I e 111

+ P,

2

369

apêndice Algarismos significativos Ao medir o comprimento de um lápis com uma régua dividida em milrmetros, podemos escrever a medida da seguinte forma:

J

14.--------~f~------~.,

I

F==========:i-C~

I

= 4,85cm

111111111 111111111111111111111111111111111111111111

o

Essa medida apresenta três algarismos significativos, sendo que o último é chamado algarismo duvidoso . Utilizando essa mesma régua para medir outros lápis, obteríamos: I

I

:

I

I

2

3

4

5

4,85

t

duvidoso I I

~~~\~ ~

[>,

I

1

I

I

111111111111111111111111111111111111111111111111111

111111111111111111111111111111111111111111111111111

o

o

1

2

3

4

5

1 = 4 , 40cm

1

2

3

4

5

1 = 4,OOcm

t

t duvidoso

duvidoso

Exemplos de medidas: 1,27: três algarismos significativos 0,002 : um algarismo significativo (zeros à esquerda não são significativos) 2000: quatro algarismos significativos (zeros à direita são significativos) Exemplos de operações: Qualquer operação que envolva um algarismo duvidoso tem resultado duvidoso. Os algarismos duvidosos estão assinalados em cor: • 2, 23 + 1, 5

+

2,2 3 1, 5 3 , 73

Observe que o algarismo 7 já é duvidoso; portanto, o algarismo 3 não é significativo . A resposta correta é 3.7 .

• 1,57' 10 3 + 371,4 Vamos escrever os dois com a mesma potência de 10: 1, 57 ' 10 3 + 0 ,3714 ' 10 3 Temos então: 1,5 7 +0,371 4 1,9 4 14

A resposta correta é 1 ,94 . 10 3 •

'iT

nâo·signlflcatlvos

duvidoso

• 2.7 . 5,40 5,4 0 x 2,7 3 780 10 8 0 1 4 , 580

r nãolgnificattvos duvidoso

370

A resposta correta é 14.

Notação científica Para fa cilitar a escrita de número s muito grandes ou muito pequenos, é utilizad o o recurso das potências de 10. 10° = 1 10 3 = 1 000 10-' = 0 ,00001

Exemplos :

A ssim , o número 1 650000 pod e ser escrito da seguinte form a: 1650000

= 16,5

. 100000

= 16, 5

. lO '

Se o número que multiplica a potência de 10 for maior ou igu al a 1 e menor que 10, estaremos ut iliz ando a notação cientifica . 1650000 = 1,65 . 10 6 0 ,000498 = 4 ,98 . 10- 4

Exemplos:

Sistema Internacional de Unidades (SI) Tabela 1 -

Principais unidades SI para grandezas geométricas, mecânicas, elétricas, térmicas e ópticas UNIDADE

GRANDEtA Nome

Símbolo

Definição

comprimento

metro

m

Comprimento igual a 1 650763,73 comprimentos de onda , no vácuo, da rad iação correspondente à transi ção entre os níveis 2P lO e 5d. do átomo de criptônio 86.

área

metro quadrado

m2

Área de um l, ..Jadrado cujo lado tem 1 metro de comprimento .

volume

metro cúbico

m3

Volume de um cubo cuja aresta tem 1 met ro de comprimento.

ângulo plano

radiano

rad

Ângulo central que subtende um arco de cí rcuio de comprimento igual ao do respectivo raio .

tempo

segundo

s

Duração de 9 192631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

freqüência

hertz

Hz

Freqü ência de um f enômeno periódico cujo período é de 1 se,jundo.

velocidade

metro por segundo

m/s

Velocidade de um móvel que, em movimento uniforme, percorre a distância de 1 metro em 1 segundo.

velocidade angular

radiano por segundo

rad/s

Velocidade angular de um móvel que, em movimento de rotação uniforme, descreve 1 radiano em 1 segundo.

aceleração

metro por segundo, por segundo

m/s 2

Aceleração de um móvel em movimento retil fneo uniformemente variado , cuja velocidade varia de 1 metro por segundo em 1 segundo.

aceleração angular

radiano por segundo , por segundo

rad/s 2

Aceleração angular de um móvel em movimento de rotação uniformemente variado , cuja velocidade angular varia de 1 radiano por segundo em 1 segundo.

massa

quilograma

kg

Massa do prot ótipo internacional do quilograma .

massa especifica

quilograma por metro cúbico

kg/m 3

Massa especifica de um corpo homogêneo no qual um volume igual a 1 metro cúbico contém massa igual a 1 quilograma .

-----

371

UNIDADE

GRANDEZA

Símbolo

Nome

Defínição

metro cúbico por segundo

m 3 /s

Vazão de um f luido que, em regime permanente através de uma superfície determinada , escoa o volume de 1 metro cúbico do fluido em 1 segundo.

quantidade de matéri a

moi

moi

Quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos são os átomos contidos em 0 ,012 quilograma de carborfo 12.

força

newton

N

Força que comunica à massa de 1 quilograma a aceleração de 1 metro por segundo , por segundo.

momento de uma força; torque

newton-m etro

N

pa sca l

Pa

Pressão exercida por uma força de 1 newton, uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendic ular à direção da força.

traba lh o; energia; quantid ade de ca lor

joule

J

Traba lho rea lizado por uma força constante de 1 newt on, que desloca seu ponto de aplicação de 1 metro em sua direção.

potência; fluxo de energi a

watt

W

Potência desenvolvida quando se realiza , de maneira co ntínua e uniforme , o trabalho de 1 joule em 1 segundo .

densidade de flux o de ene rg ia

watt por metro quadrado

W /m '

Densidade de um fl uxo de energia uniforme de 1 watt , através de uma superfície plana de 1 metro quadrado de área , perpendicular à direção de propagação da energia.

vazão

-

Ipressão

r. I

I

Momento de uma força de 1 newton, em relação a um ponto distante 1 metro de sua linha de ação.

- --

- -- - - - - - -

372

_.

-

Corrente elétrica invariável que, mantida em dois co ndutores retilíneos , paralelos, de comprimento infinito e de área de secção transversal desprezível e sit uados no vácuo a 1 metro de distância um do outro, produz entre esses condutores uma força igual a 2 . 10- 7 newton, por metro de comprimento desses condutores .

co rrente elétri ca

ampé re

A

ca rg a elétri ca Iquan t ida de de eletricidade)

coulo mb

C

Carga elétrica que atravessa em 1 segundo uma secção transversal de um condutor percorrido pÇlr uma corrente invariável de 1 ampére.

tensão elétrica; diferença de potencial ; força elet romo t riz

volt

V

Tensão elétric a entre os terminais de um elemento passivo de circuito , que dissipa a potência de 1 watt quando percorrido por uma corrente invariável de 1 ampére.

gradiente de potencial ; intensidade de cam po elétrico

vo lt por metro

Vim

Gradiente de potencia l uniforme que se verifica em um meio homogêneo e isótropo, quando é de 1 volt a diferença de potencia l entre dois pianos eqüipotenciais situados a 1 metro de distância um do outro .

resistência elétrica

ohm

Q

Resistência elétrica de um elemento passivo de circuito que é percorrido por uma corrente invariável de 1 ampére, quando uma tensão elétrica co nstante de 1 vo lt é aplicada a seus terminais .

resistividade

ohm-metro

Q

m

Resistividade de um material homogêneo e isótropo , que, na forma de um cubo com 1 metro de aresta, apresenta uma resistência elétrica de 1 ohm entre faces oposta s.

UNIDADE

GRANDEZA Nome condutânc ia

siemens

condutividade

si~mens

capacitância

Símbolo

Definição

S

Condutância de um elemento passivo de circuito cuja resistência elétrica é de 1 ohm .

Sim

Condutividade de um material homogêneo e isótropo cuja resistividade é de 1 ohm-metro.

farad

F

Capacitância de um elemento passivo de circuito em que a tensão elétrica varia uniformemente à razão de 1 volt por segundo entre seus terminais, quando percorrido por uma corrente invariável de 1 ampêre.

indutância

henry

H

Indutância de um elemento passivo de circuito, em que se induz uma tensão constante de 1 volt entre seus terminais, quando percorrido por uma corrente que varia uniformemente à raz ão de 1 ampêre por segundo.

indução magnética

tesla

T

Indução magnética uniforme que produz uma força constante de 1 newton por metro de condutor retilíneo situado no vácuo e percorrido por uma corrente invariável de 1 ampêre, sendo perpendiculares entre si as direções da indução magnética , da força e da corrente .

fluxo magnético

weber

Wb

Fluxo magnético uniforme através de uma superfície plana de área igual a 1 metro quadrado, perpendicular à direção de uma indução magnética uniforme de 1 tesla .

intensidade de campo magnético

ampêre por metro

Alm

Intensidade de um campo magnético uniforme, criado por uma corrente invariável de 1 ampêre, que percorre um condutor retilíneo , de comprimento infinito e de área de secção transversal desprezível, em qualquer ponto de uma superfície ci líndrica de diret riz circular com 1 metro de ci rcunferência e que tem como eixo o referido condutor.

temperatura termodinâmica

kelvin

K

Fração 1/ 273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água .

temperatura Celsius

grau Celsius

'C

Intervalo de temperatura unitário igual a 1 kelvin, numa escala de temperaturas em que o ponto O coincide com 273,15 kelvins .

capacidade térmica

joule por kelvin

J/K

Capacidade té rmica de um sistema homogêneo e isótropo, cuja temperatura aumenta 1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule de quantidade de calor.

calor específico

joule por quilograma e por-kelvin

J/(kg . K)

Calor específico de uma substância cuja temperatura aumenta 1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule de quantidade de calor por quilograma de sua massa .

condutividade térmica

watt por metro e por kelvin

W ll m' K)

Condutividade térmica de um material homogêneo e isótropo, no qual se verifica um gra, diente de temperatura uniforme de 1 kelvin por metro, quando existe um fluxo de calor constante com densidade de 1 watt por metro quadrado .

convergência

dioptria

di

Convergência de um sistema óptico com distância focal de 1 metro, no meio considerado .

por metro

373

Tabela 2 - Out ras unidades aceitas para uso com o SI. sem restrição de prazo . Estão implicitamente incluídas nesta tabela outras uni dades de co mprimento e de t empo estabelecida s pe la A st ronomia para seu próprio campo de aplicação, além de outras unidades de tempo usuais do calendário civ il.

UNIDADE

GRANDEZA Nome

Slnibõlo

Definição

unidade astronômica

UA

Distância média da Terra ao Sol.

149600 · 10 4 m

volume

litro

1

Volume igual a 1 decímetro cúbico .

0,001 m 3

grau

o

Ângulo plano igual à fração 1/ 360 do ângulo centraí de um círculo complet o.

rr / 180 rad

Ângulo plano igual à fração 1/6 0 de 1 grau.

rr / 1 O 800 rad

ângulo plano

minuto segundo

"

Ângulo plano igual à fração 1/60 de 1 minuto .

rr / 648 000 rad

velocidade angular

rotação por minuto

rpm

V elocidade angular de um móvel que, em movimento de rotação uniforme a partir de uma posição inicial , retoma à mesma posição após 1 minuto.

rr / 30 radl s

energia

elétron-volt

eV

Energia adquirida por um elétron ao atra vessar, no vácuo, uma diferença de potencial igual a 1 volt .

1, 60219 10- 19 J (ap roximadamente)

nível de potência

decibel

dB

Divisão de uma escala logarítmica cujos valores são 10 vezes o logaritmo decimal da relação entre o valor de potência cons iderado e um valor de potência especificado, tomado como refe rência e expresso na mesma unidade.

Tabela 3 -

Outras unidades que não constam no SI. temporariamente admitidas.

Nome da unidade angstrom atmosfera ' bar caloria' cavalo-va por ' gauss' hectare quilograma -força' milímetro de mercú rio ' milha marítima nÓ

Símbolo

 atm bar cal cv Gs ha kgf mmH g

Valor em unidades SI 10- 1O m 101325 Pa 10 5 Pa 4,1868 J 735 ;5W 1Q- 4 T 10 4 m ' 9,80665 N 133,322 Pa (ap roximadamente) 1852m (1 852 / 3600) m l s (velocidade igual a 1 milha marít ima por hora)

Devem· se evitar estas unidades , substituindo-as pelas unidades SI correspondentes.

374

Valor em unidades SI

comprimento

Tabela 4 - Prefixos SI Prefixo

51mbolo

exa peta tera giga mega quilo hecto deca

E P T

Fator pelo qual a unidade é multiplicada

Nome

51mbolo

10 '8 10 " 10 " 10 9 lO· 10 3 lO ' 10

deci centi mili micro nano pico femto attO'

d

G M k h da

Fator pelo qual a unidade é multiplicada

10-' 10 ' 10 3 10-· 10- 9 10 " 10-' 5 10-' 8

c m 1.1 n P f a

Noções básicas de trigonometria Razões t rigonométricas no t riângulo ret ângulo sen a = -

b

a

cos a = ~

a

tg a =

J:.. C

Relações trigonomét ricas t

sen a g a = cos a

sen ' a + cos ' a = 1 Observação : a+(J= 90 o

a + (3 =

=> sen a=cos(J 1 80 o=>( cos a = - cos (3 sen a = sen (3

Lei dos cossenos a'= b '+ c ' - 2bc · cosa

Lei dos senos

~ b

a

a

'

c

b sen (3 -

sen a

seiíY

\"fi c

Alfabeto grego alfa beta gama delta epsflon dzeta

eta teta

A

8

r

D. E Z H 8

a (3 y Ó (

ç '1

e

iota ca pa lam.E