Financiële rekenkunde voor het HEO [7 ed.] 9789001867294

Table of contents :
Front Cover
Woord vooraf bij de zevende druk
Inhoud
Inhoud
1 Inleiding
1.1 De plaats van de financiële rekenkunde in de economie
1.2 Wat is rente?
1.3 De ontwikkeling van rente
1.4 Interesttheorieën
1.5 Tijdvoorkeur
Definities
2 Enkelvoudige interest
2.1 Berekening van de interest
2.2 Huurkooptransacties
2.3 Enkele begrippen bij huurkoop
2.4 Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs
2.5 Berekening van de grootte van de termijnen
2.6 Financieringsinstellingen
2.7 Disconto
Definities
Opgaven
3 Samengestelde interest: de eindwaarde
3.1 Berekening van de eindwaarde
3.2 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel
3.3 Bepaling van de looptijd
3.4 Bepaling van het percentage
3.5 Gelijkwaardige procenten
3.6 Interest over delen van een periode
Definities en formules
Opgaven
4 Samengestelde interest: de contante waarde
4.1 Berekening van de contante waarde
4.2 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel
4.3 Voorbeeld uit de praktijk
Definities en formules
Opgaven
5 Renten
5.1 Indeling renten
5.2 Berekening van de eindwaarde
5.3 Berekening van de contante waarde
5.4 Uitgestelde renten
5.5 Eeuwigdurende renten
5.6 Bepaling van het percentage
5.7 Bepaling van de looptijd
5.8 Schuldomzetting
5.9 Investeringsbeoordeling
5.10 Voorbeelden uit de praktijk
Definities en formules
Opgaven
6 Annuïteiten
6.1 Begripsvorming
6.2 Berekening van de annuïteit
6.3 Het verband tussen de aflossingen
6.4 Berekening van de schuldrest
6.5 Afgeronde annuïteiten
6.6 Het onderlinge verband
6.7 Voorbeeld uit de praktijk
Definities en formules
Opgaven
7 Rentabiliteitswaarde
7.1 Begripsvorming
7.2 Berekening van de rentabiliteitswaarde
7.3 Rentabiliteitswaarde van renten
7.4 Rentabiliteitswaarde van annuïteiten
7.5 Rentabiliteitskoers
7.6 Halfjaarcoupons
7.7 Aflossingspremie
Definities en formules
Opgaven
8 Uitgewerkte casussen
8.1 Hypotheek
8.2 Obligaties
8.3 Aanbod leningen
9 Formules, functies en hun afleidingen
9.1 Inleiding
9.2 Eindwaarde van één kapitaal
9.3 Contante waarde van één kapitaal
9.4 Eindwaarde van een rente
9.5 Contante waarde van een rente
9.6 Annuïteit
9.7 Overzicht financieel-rekenkundige functies in Excel en grafische rekenmachine
Beknopte antwoorden van de opgaven
Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 3
Hoofdstuk 4
Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 6
Hoofdstuk 7

Citation preview

Financiële rekenkunde voor het HEO Met toepassingen voor Excel en grafische rekenmachine

Hans Gruijters 7e druk

Toegang tot online studiehulp Als koper van dit e-book kun je een unieke code aanmaken die toegang geeft tot de website bij het e-book. 1. Ga naar:

http://cbbt.noordhoff.nl/?isbn=9789001867294&ean=8717927080764

2. Voer de gegevens van je Bookshelf-account in (e-mailadres + wachtwoord). 3. Download je persoonlijke code. 4. Volg de instructies voor het aanmaken van een Noordhoff-account en het invoeren van je code.

Let op: de code kun je slechts één keer invoeren.

© Noordhoff Uitgevers bv

Financiële rekenkunde voor het HEO Met toepassingen voor Excel en grafische rekenmachine J.C.M. Gruijters Zevende druk Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten

© Noordhoff Uitgevers bv

Ontwerp omslag: G2K designers, Groningen/Amsterdam Omslagillustratie: Stocksy - Beatrix Boros

Eventuele op- en aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u richten aan: Noordhoff Uitgevers bv, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer 13, 9700 VB Groningen, e-mail: [email protected]

0 / 16 © 2016 Noordhoff Uitgevers bv Groningen/Houten, The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatieen Reproductierechten Organisatie, postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichtingpro.nl). All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN (ebook) 978-90-01-86729-4 ISBN 978-90-01-86728-7 NUR 782

© Noordhoff Uitgevers bv

Woord vooraf bij de zevende druk Financiële rekenkunde is gericht op het verwerken van rente. Berekeningen met rente of interest hebben grote invloed op allerlei bedrijfseconomische beslissingen. Dit geldt bijvoorbeeld voor ondernemingen bij besluiten inzake investeren, voor regeringen bij het aangaan of verstrekken leningen via het IMF en voor particulieren bij het afsluiten van hypotheken of consumptief krediet. Recente ontwikkelingen omtrent de schuldenpositie van een aantal EU-landen en de aftrekbaarheid van hypotheekrente voor de eigen woning betekenen dat het goed kunnen verwerken van interest belangrijker is dan ooit. Na bestudering van dit boek ben je in staat zelfstandig vrijwel alle interestberekeningen te maken. Na een introductie over het begrip rente volgt een korte behandeling van enkelvoudige interest. Daarna wordt overgegaan naar samengestelde interest inclusief investeringsselectie, annuïteiten en omzetting van schulden. Waardebepaling van leningen waarbij rekening wordt gehouden met de hoogte van de marktrente wordt in het hoofdstuk ‘Rentabiliteitswaarde’ behandeld. Rentestanden wisselen vrijwel permanent. Dit zou tot gevolg hebben dat voorbeelden, opgaven en uitwerkingen in dit boek voor wat betreft rentepercentages ook steeds aangepast zouden moeten worden. Hier is vanuit kostenoverwegingen niet voor gekozen omdat de hoogte van het rentepercentage voor de berekeningswijze niets uitmaakt. Dit boek kenmerkt zich door competentiegerichte voorbeelden, verschillende oplossingsstrategieën en een grote hoeveelheid oefenmateriaal. De gebruiker kan voor zijn oplossingsmethode kiezen uit de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel. Een aantal opgaven is vanuit de adviesrol opgesteld. De beknopte antwoorden van alle opgaven staan achter in het boek. Circa 120 *opgaven zijn volledig op de gratis toegankelijke website uitgewerkt. Dat maakt deze methode, samen met de heldere uitleg en de verschillende oplossingsstrategieën, uitstekend geschikt voor de actuele onderwijsvormen en zelfstudie. Bij het boek is een gratis website beschikbaar waarop aanvullend studiemateriaal staat zoals samenvattingen en extra opgaven per hoofdstuk maar ook geïntegreerde cases. Voor diverse onderwerpen worden op de website ten behoeve van daarin geïnteresseerden alternatieve oplossingen met behulp van Excel behandeld. De bij de uitwerking van de voorbeelden uit het boek gebruikte Excel-modellen zijn op de website te vinden evenals voor een aantal opgaven voorgeprogrammeerde Excel-modellen.

© Noordhoff Uitgevers bv

Kritiek die tot verbetering van de methode kan leiden, is altijd van harte welkom: [email protected] J.C.M. (Hans) Gruijters Eindhoven

© Noordhoff Uitgevers bv

Inhoud 1

Inleiding

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

De plaats van de financiële rekenkunde in de economie 10 Wat is rente? 10 De ontwikkeling van rente 10 Interesttheorieën 12 Tijdvoorkeur 13 Definities 15

2

Enkelvoudige interest

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Berekening van de interest 18 Huurkooptransacties 19 Enkele begrippen bij huurkoop 19 Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs 20 Berekening van de grootte van de termijnen 21 Financieringsinstellingen 21 Disconto 22 Definities 24 Opgaven 25

3

Samengestelde interest: de eindwaarde

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Berekening van de eindwaarde 30 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel 32 Bepaling van de looptijd 39 Bepaling van het percentage 41 Gelijkwaardige procenten 43 Interest over delen van een periode 46 Definities en formules 48 Opgaven 49

4

Samengestelde interest: de contante waarde

4.1 4.2 4.3

Berekening van de contante waarde 54 Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel 55 Voorbeeld uit de praktijk 59 Definities en formules 61 Opgaven 62

9

17

29

53

© Noordhoff Uitgevers bv

5

Renten

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

Indeling renten 66 Berekening van de eindwaarde 68 Berekening van de contante waarde 76 Uitgestelde renten 81 Eeuwigdurende renten 86 Bepaling van het percentage 88 Bepaling van de looptijd 90 Schuldomzetting 94 Investeringsbeoordeling 97 Voorbeelden uit de praktijk 99 Definities en formules 104 Opgaven 105

6

Annuïteiten

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Begripsvorming 112 Berekening van de annuïteit 113 Het verband tussen de aflossingen 118 Berekening van de schuldrest 121 Afgeronde annuïteiten 125 Het onderlinge verband 127 Voorbeeld uit de praktijk 128 Definities en formules 131 Opgaven 132

7

Rentabiliteitswaarde

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Begripsvorming 138 Berekening van de rentabiliteitswaarde 138 Rentabiliteitswaarde van renten 142 Rentabiliteitswaarde van annuïteiten 146 Rentabiliteitskoers 148 Halfjaarcoupons 149 Aflossingspremie 151 Definities en formules 153 Opgaven 154

8

Uitgewerkte casussen

8.1 8.2 8.3

Hypotheek 160 Obligaties 164 Aanbod leningen 170

65

111

137

159

© Noordhoff Uitgevers bv

9

Formules, functies en hun afleidingen

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Inleiding 180 Eindwaarde van één kapitaal 180 Contante waarde van één kapitaal 181 Eindwaarde van een rente 181 Contante waarde van een rente 182 Annuïteit 184 Overzicht financieel-rekenkundige functies in Excel en grafische rekenmachine 185 Beknopte antwoorden van de opgaven 186 Hoofdstuk 2 186 Hoofdstuk 3 186 Hoofdstuk 4 187 Hoofdstuk 5 187 Hoofdstuk 6 188 Hoofdstuk 7 189

179

8

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

9

1 Inleiding

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

De plaats van de financiële rekenkunde in de economie Wat is rente? De ontwikkeling van rente Interesttheorieën Tijdvoorkeur Definities

Elke dag wordt geld geleend, wordt geld gespaard en worden beslissingen genomen die financiële gevolgen voor meerdere jaren hebben, bijvoorbeeld door bedrijven die investeren. Dat wil zeggen dat een ondernemer nu geld in zijn zaak steekt. Als het goed gaat levert die investering de komende jaren winst op. Daar moet echter wel op gewacht worden en bovendien is er geen sprake van zekerheid. Het kan zijn dat de ondernemer over voldoende liquide middelen beschikt, maar vaak zal hij geheel of gedeeltelijk een beroep op vreemdvermogenverschaffers moeten doen. Dat betekent dat er rente en aflossing betaald moeten worden. Wat voor een ondernemer geldt, gaat ook op voor de consument. Zo zal bij de aankoop van een eigen woning vaak een lening worden gesloten waarover rente en aflossing betaald moeten worden. De investering in zijn huis krijgt de eigenaar pas terug als hij zijn huis verkoopt. Pas dan blijkt of hij winst of verlies heeft gemaakt. Investeren, lenen, sparen en aflossen leiden op verschillende momenten tot ontvangsten en uitgaven. Er is sprake van tijdvoorkeur omdat we liever nu € 100,– willen ontvangen dan over een paar jaar. Vanwege de tijdvoorkeur betalen we ook het liefst zo laat mogelijk. Om het verschil in tijd te overbruggen wordt rente, ofwel interest, in rekening gebracht. Dit hoofdstuk gaat in op de betekenis van rente en geeft een beeld van het denken over rente in de loop van de geschiedenis.

1

© Noordhoff Uitgevers bv

10

§ 1.1

De plaats van de financiële rekenkunde in de economie Economie is een wetenschap die zich bezighoudt met de voortbrenging en verdeling van schaarse goederen en diensten. In het streven naar welvaart moeten keuzes gemaakt worden. Omdat dit zo veelzijdig is, wordt de economische wetenschap opgesplitst in een aantal onderdelen. Zo kennen we de macro- en micro-economie maar ook de leer van de openbare financiën, zowel nationaal als internationaal. Een van de onderdelen van micro-economie is bedrijfseconomie. Binnen bedrijfseconomie wordt weer onderscheid gemaakt in cost en management accounting, externe verslaggeving en financiering. Bedrijfseconomie kent allerlei berekeningen die gemaakt worden om beslissingen te onderbouwen.

1

Dit boek gaat vooral over berekeningen waarbij tijdvoorkeur een rol speelt en die daarom te maken hebben met rente. De technieken die daarvoor gebruikt worden, vormen de financiële rekenkunde. Ze worden dagelijks wereldwijd ontelbare keren gebruikt. Bij elke lening, elke investering, elke spaarvorm, elk pensioen, enzovoort is tijdvoorkeur een element en vinden berekeningen met rente plaats.

§ 1.2

Wat is rente? Rente of interest is een vergoeding voor geleend of gespaard geld. Het is de vergoeding die een spaarder ontvangt van de bank omdat hij zijn geld tijdelijk op de bank zet. Het is ook de vergoeding die een geldlener betaalt aan de bank omdat hij voor een bepaalde tijd geld van de bank ter beschikking krijgt. De hoogte van de vergoeding is onder meer afhankelijk van het overeengekomen rentepercentage, de looptijd van de lening en de hoogte van het bedrag. Het rentepercentage bestaat uit drie delen. Het eerste element is compensatie voor inflatie. Daarnaast zit er een stuk risicopremie in. Het is namelijk niet 100% zeker dat de lener altijd volledig terugbetaalt. Een ondernemer kan failliet gaan, een bezitter van een eigen woning kan werkloos raken. Ten slotte wil de bank winst maken. Daarnaast is de hoogte van de rentestand ook afhankelijk van de economische omstandigheden en dus vaak onvoorspelbaar. De hoogte van de rente is ook een gevolg van monetair beleid van Europa en de Verenigde Staten en van beslissingen van de Europese Centrale Bank en de Federal Reserve. Het begrip interest is afkomstig van het Latijnse ‘inter est’, wat zoveel betekent als ‘dat wat er tussen ligt’. Bijvoorbeeld € 30,– als jaarrente op een 3% spaarrekening met een beginsaldo van € 1.000,–.

§ 1.3

De ontwikkeling van rente In het algemeen zal een geldgever alleen bereid zijn geld tijdelijk aan een ander uit te lenen als hij daar rente voor ontvangt. Wij vinden dat nu heel gewoon, maar vroeger was dat niet zo vanzelfsprekend. Met name vanuit de diversie religies werd daar kritisch tegenaan gekeken. In het Nieuwe

© Noordhoff Uitgevers bv

INLEIDING

Testament staat geen verbod op rente, maar staat in Lukas 6:35: ‘Heb je vijanden lief, doe wel en leen uit, en verwacht daarvoor niets terug’. Het Concilie van Nice uit 325 na Christus verbood geestelijken rente op leningen te vragen. Vanaf de vijfde eeuw gold dit verbod voor iedereen. In 806 maakte Karel de Grote het vragen van rente tot een misdaad. In 1311 deed paus Clemens V de rente in de ban. Ook de Koran verbiedt het vragen van rente. In Soera 2, vers 275 staat: ‘…. terwijl Allah de handel wettig en de rente onwettig heeft verklaard …’ . Achtergrond van dit verzet tegen rente was het feit dat veel armen en boeren geld leenden om in hun levensonderhoud te voorzien. Vanuit de gedachte van naastenliefde werd het door de grote godsdiensten immoreel beschouwd om aan arme en hulpbehoevende mensen te verdienen. Eerder nog verzette Aristoteles (384-322 v. Chr.) zich tegen het vragen van rente. Geld was vooral een ruilmiddel en een rekeneenheid. Geld met geld verdienen was een onnatuurlijke bezigheid. Leningen vonden in die tijd plaats in natura. Als er een koe werd geleend kreeg men een kalf als vergoeding. Of als een stuk grond werd geleend werd een deel van de oogst als vergoeding afgedragen. Maar geld kent volgens Aristoteles geen natuurlijke opbrengst. ‘Het werpt geen jongen’ zei hij letterlijk. In de loop van de middeleeuwen kwam er een kentering. Thomas van Aquino (1224–1274) vindt ook dat er met geld geen geld verdiend mag worden, maar hij maakt een uitzondering voor de beheerders van het geld van weduwen en wezen. Die mochten wel rente vragen omdat zonder deze inkomsten weduwen en wezen niet in hun levensonderhoud konden voorzien. In het begin van de 15e eeuw werd het toegestaan een vergoeding te vragen voor een lening die gelijk is aan het bedrag dat men anders met het geld had kunnen verdienen. De opportunity costs, zouden we tegenwoordig zeggen. Ondanks al deze bezwaren is er nooit een renteloos tijdperk geweest. Men zocht en vond altijd weer argumenten om het renteverbod te omzeilen. Ook de kerk, die over steeds meer geld en bezittingen ging beschikken, deed daaraan mee. Verder namen niet alle geleerden de aangevoerde argumenten serieus. Vrij vertaald merkte een middeleeuws schrijver laconiek op: ‘Als ik het goed begrijp, gaat iemand die rente vraagt naar de hel, maar als hij het niet doet komt hij in het armenhuis’. Tenslotte was het Calvijn (1509–1564) die veel twijfel wegnam door te stellen dat het nemen van interest nergens door de Bijbel werd verboden, de Bijbel keert zich alleen tegen woekerrente. Inmiddels is het vragen van rente zo goed als algemeen geaccepteerd. Toch zijn er nog landen zoals Iran en Pakistan die officieel vasthouden aan een renteverbod. Daarnaast wordt er ook nog wel eens getwijfeld aan de rechtvaardigheid van het vragen van rente door het Westen aan ontwikkelingslanden. Er is veel veranderd in de acceptatie van rente. Vond men vroeger dat de tijd van God was en niet door mensen met geld kon worden gekocht, tegenwoordig stelt men vaak ‘tijd is geld’. Soms komt men opmerkelijke zaken tegen. In 2003 haalde de Triodos Bank het nieuws met de introductie van een zogenaamde ‘kip-en-ei-spaarrekening’. De spaarder stort eenmalig een bedrag van € 1.000,–. Met die inleg wordt vijf jaar lang de biologische landbouw gesteund. Na vijf jaar wordt de inleg voor 100% uitgekeerd. Intussen krijgt de spaarder maandelijks zes biologische eieren als rente.

11

1

© Noordhoff Uitgevers bv

12

Jeroen van IJzerloo van de Rabo-bank heeft een interessant artikel gepubliceerd met de titel ‘Rente door de eeuwen heen’. Dit is op website die bij dit boek hoort te vinden. 1

§ 1.4

Interesttheorieën Nadat de vooroordelen tegen het nemen van interest waren weggenomen, ging men zich bezighouden met de vraag waarom er nu eigenlijk interest moest worden betaald en ontvangen. Dit doet in de huidige tijd wellicht enigszins merkwaardig aan, maar het is een feit dat nooit iemand zich afvraagt waarom er eigenlijk arbeidsloon moet worden betaald, terwijl iedere auteur over het verschijnsel ‘interest’ begint met het stellen van de bovengenoemde vraag. Hierdoor zijn er in de 19e en 20e eeuw vele zogenoemde interesttheorieën ontworpen. Hiervan zullen er twee kort worden besproken. Deze twee vertonen onderling op enkele punten overeenkomsten en hun actuele betekenis wordt nog steeds niet in twijfel getrokken. Beide theorieën haken in op de zogenaamde tijdvoorkeur. Tijdvoorkeur houdt in dat men het bezit van huidige (consumptie)goederen prefereert boven dat van toekomstige. Met geld kan men die goederen aanschaffen en dus prefereert men ook huidig geld boven toekomstig geld. Op dit thema zijn de theorieën gebaseerd van Eugen Von Böhm-Bawerk uit de 19e eeuw en die van Irving Fisher uit het begin van de 20e eeuw. De theorie van Von Böhm-Bawerk wordt aangeduid als de zogenoemde agiotheorie. Hij stelt dat tegenwoordige goederen (en dus ook geld) meer waard zijn dan toekomstige. Voor deze meerwaarde of agio noemt hij drie redenen: a Mensen verwachten in het algemeen in de toekomst een hoger inkomen te zullen hebben zodat zij gemakkelijker in hun behoeften kunnen voorzien dan nu. Dit maakt het onaantrekkelijk nu geld uit te lenen. b Veel mensen hebben de neiging hun toekomstige behoeften te onderschatten. Met andere woorden: zij zien hun toekomstige behoeften perspectivisch verkleind. c Men kan met tegenwoordige goederen en geld een productieomweg inslaan, met als gevolg een stijging van de hoeveelheid toekomstige goederen. Daarom kunnen ondernemers aan kapitaalverschaffers een interestvergoeding geven. In de 20e eeuw zijn er twee interesttheorieën bij gekomen die nogal de aandacht hebben getrokken. De eerste is van Fisher en de tweede van Keynes. Deze theorieën verklaren niet alleen het waarom van interest, maar ook de hoogte van de interestvoet. De theorie van Keynes geeft een algemeen economische visie op interest en valt buiten het bestek van dit boek. De theorie van Fisher komt op het volgende neer: Als men geld uitleent, kan men er een bepaalde periode niet over beschikken. Men kan het dus voorlopig niet gebruiken voor consumptie. Met andere woorden: men is gedwongen eventuele consumptie uit te stellen tot later. Fisher is echter van mening dat de meeste mensen liever nu consumeren dan later. Daarvoor noemt hij de volgende redenen:

© Noordhoff Uitgevers bv

INLEIDING

a Niemand weet hoelang hij zal leven; als huidige consumptie niet mogelijk is omdat men de geldmiddelen uitleent, bestaat de mogelijkheid dat men helemaal niet meer aan consumeren toekomt. b De meeste mensen nemen aan dat hun inkomenspositie in de toekomst zal verbeteren (door promotie, anciënniteit, enz.), waardoor hun toekomstige consumptie hoger kan zijn dan de huidige. (Zie het eerste motief bij Von Böhm-Bawerk.) c De waarde van geld is in de meeste tijden onderhevig aan daling of inflatie, zodat men bij aflossing van het nominale bedrag dat men heeft uitgeleend, in feite minder koopkracht terugontvangt dan men eertijds heeft afgestaan. Zowel Von Böhm-Bawerk als Fisher noemt dus redenen die het niet aantrekkelijk maken geld uit te lenen. Beide schrijvers benadrukken de voorkeur voor het hebben van huidige financiele middelen. Doet men er desondanks toch voor een bepaalde tijd afstand van, dan zal men daar een vergoeding voor verlangen. Deze vergoeding moet minimaal zo hoog zijn, dat de som van lening en interest aan het eind van de periode gelijkwaardig wordt geacht aan het bedrag van de lening aan het begin van de periode.

§ 1.5

Tijdvoorkeur Tijdvoorkeur is de voorkeur voor huidige beschikbaarheid van geld ten opzichte van toekomstige beschikbaarheid. Het verschil wordt door rente overbrugd. Voorbeeld 1.1

A heeft geld op de bank staan dat hij niet direct nodig heeft en eventueel kan uitlenen. Zijn buurman B is hiervan op de hoogte en heeft dringend behoefte aan € 1.000,– die hij wil gebruiken voor de aankoop van een machine voor zijn bedrijf. Tijdvoorkeur houdt in dat A die € 1.000,– liever zelf houdt. Hij is pas bereid dat aan zijn buurman uit te lenen als hij over een jaar meer dan € 1.000,– terugkrijgt. Hij mist immers de rente op de bank, hij loopt het risico van inflatie en het is bovendien niet 100% zeker dat de buurman over een jaar terug kan betalen. A vraagt daarom 6% interest. Tijdvoorkeur voor B houdt in dat hij liever nu € 1.000,– heeft om in zijn bedrijf te investeren dan over een jaar. Hij verwacht met zijn investering winst te maken en is bereid straks meer terug te betalen dan dat hij nu heeft geleend, stel € 1.060,–. B wil 6% interest betalen. A en B zijn het samen eens en de lening kan worden aangegaan. Het zal duidelijk zijn dat tijdvoorkeur een steeds grotere rol gaat spelen naarmate de periode langer wordt. Als de lening uit dit voorbeeld voor 10 jaar zou zijn aangegaan, krijgt tijdvoorkeur via een interestvergoeding een waarde van € 791,–1. Samenvattend: tijdvoorkeur wordt verrekend met een interestvergoeding.

1

Berekening wordt in hoofdstuk 3 uitgelegd

13

1

© Noordhoff Uitgevers bv

14

Rekening houden met tijdvoorkeur betekent ook dat bedragen die op verschillende tijdstippen betaald of ontvangen worden niet zonder meer bij elkaar mogen worden geteld. Voorbeeld 1.2

1

Als A op dit moment € 5.000,– aan liquide middelen bezit en daarnaast over 10 jaar € 1.791,– van zijn buurman tegoed heeft, is het onjuist te stellen dat nu A € 6.791,– bezit. Uitgaande van 6% interest bezit A op dit moment € 5.000,– contant en € 1.000,– aan vorderingen. Samen € 6.000,–. Hiermee is een begin gemaakt met de interestberekeningen die in de volgende hoofdstukken aan de orde worden gesteld, en wel als volgt. In hoofdstuk 2 worden berekeningen met enkelvoudige interest behandeld, alsmede het begrip ‘disconto’. In de volgende hoofdstukken gaat het steeds om berekeningen met samengestelde interest. De Spaanse theoloog en econoom Martín de Azpilcueta (1491-1586) ontwikkelde als eerste een wiskundig model om tijdvoorkeur met samengestelde interest te verwerken. • • • • • •

hoofdstuk 3: berekeningen van eindwaarden; hoofdstuk 4: berekeningen van contante waarden; hoofdstuk 5: berekeningen met renten; hoofdstuk 6: berekeningen met annuïteiten; hoofdstuk 7: berekeningen met de rentabiliteitswaarde; hoofdstuk 8: uitgewerkte casussen

In hoofdstuk 9 ten slotte wordt een aantal formules afgeleid die men voor het uitvoeren van berekeningen met de rekenmachine nodig heeft.

© Noordhoff Uitgevers bv

15

Definities 1

Rente of interest

Vergoeding voor geleend of gespaard geld.

Tijdvoorkeur

Voorkeur voor huidige beschikbaarheid van geld ten opzichte van toekomstige beschikbaarheid. Het verschil wordt door rente overbrugd.

16

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

17

2 Enkelvoudige interest

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Berekening van de interest Huurkooptransacties Enkele begrippen bij huurkoop Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs Berekening van de grootte van de termijnen Financieringsinstellingen Disconto Definities Opgaven

Veel koop- en verkooptransacties komen tot stand waarbij de klant de koopsom niet in één keer betaalt, maar in delen. Bij het vaststellen van de grootte van de betalingen speelt interest een belangrijke rol. Er bestaan twee fundamenteel verschillende wijzen van verrekening van interest, namelijk enkelvoudige interest en samengestelde interest. In dit hoofdstuk komen enkelvoudige interestberekeningen aan de orde die met name van toepassing zijn bij koop op afbetaling en huurkoop, waarbij de looptijd maximaal één jaar bedraagt.

2

© Noordhoff Uitgevers bv

18

§ 2.1

Berekening van de interest Als iemand op 1 januari een bedrag van € 10.000,– op een spaarrekening stort en dit het hele jaar ongewijzigd laat, kan hij op 31 december van dat jaar een groter bedrag bij de bank opnemen dan € 10.000,–. De bank zal rente vergoeden. Als de bank 3% rente geeft, is het saldo per 31 december:

2

€ 10.000,–  0,03  € 10.000,– = € 10.300,– De rentevergoeding is dus 0,03  € 10.000,– = € 300,–. Als het bedrag twee jaar ongewijzigd op de bank staat wordt de rentevergoeding: I = 2  0,03  € 10.000,– = € 600,– In dit voorbeeld wordt geen rente over de rente berekend. De interest wordt elke periode berekend over het oorspronkelijke beginkapitaal. Dit wordt enkelvoudige interest genoemd. Bij looptijden langer dan een jaar is dat niet gebruikelijk. Enkelvoudige interestberekeningen worden meestal gebruikt bij looptijden tot een jaar. De Engelse term voor enkelvoudige interest is simple interest. Als men het rentepercentage voorstelt met p, het beginkapitaal met K en de tijd met t, dan wordt de formule voor de enkelvoudige interestberekening: I=t

p 100

K

waarin I het interestbedrag voorstelt. De looptijd wordt veelal uitgedrukt in jaren, maar dit kan ook in maanden of dagen. Als het bovengenoemd bedrag niet één jaar, maar slechts acht maanden uitstaat tegen 3% interest per jaar, wordt het interestbedrag:

I=

8 3   € 10.000,– = € 200,– 12 100

De formule voor enkelvoudige interestberekening is:

I=

t  p  K c

waarin: I = het interestbedrag; t = de looptijd; p = het interestpercentage, of rentepercentage; K = het kapitaal; c = een constante, namelijk:

© Noordhoff Uitgevers bv

ENKELVOUDIGE INTEREST

19

100 als t is uitgedrukt in jaren; 1 200 als t is uitgedrukt in maanden; 36 000 als t is uitgedrukt in dagen.

§ 2.2

Huurkooptransacties Het komt vaak voor dat bedrijven of particulieren duurzame productiemiddelen of consumptiegoederen willen aanschaffen zonder dat ze daarvoor over voldoende financiële middelen beschikken. Het ontbrekende geld zal dan moeten worden geleend. Daarvoor bestaan allerlei mogelijkheden: huurkoop, koop op afbetaling, lease, persoonlijke lening, rekening-courantkrediet, enzovoort. Via internet bieden vooral veel autohandelaren hun occasions met huurkoopmogelijkheid aan. Zo meldt een autoverkoper op zijn site: ‘Bent u op zoek naar een manier om een auto te financieren? Via de huurkoop kunt meteen van uw auto genieten. Met een vast maandbedrag en een vaste looptijd komt u bovendien niet voor verrassingen te staan.’ Het verschil tussen huurkoop en koop op afbetaling is alleen van juridische aard. Bij koop op afbetaling gaat het eigendom van het gekochte goed direct over op de koper, bij huurkoop gebeurt dit pas nadat de koper aan alle financiële verplichtingen heeft voldaan. Voordeel van huurkoop is dat men direct over het product kan beschikken. Daar staat tegenover dat het vanwege de hoge interestkosten een dure vorm van lenen is. Bovendien heeft de verkoper het recht het product terug te vorderen in geval van betalingsachterstand. De lening zal in aantal meestal gelijke bedragen worden terugbetaald. Vaak zijn dat maandbedragen, maar er komen ook andere vormen voor. Zo’n te betalen maandbedrag wordt een termijn genoemd. Behalve aflossing bevatten deze termijnen ook een opslag voor rente en kosten. De rente en overige kosten, de kredietprijs, wordt uitgedrukt in een percentage per jaar, waardoor de kosten van huurkoop vergelijkbaar zijn met die van andere leningsvormen.

§ 2.3

Enkele begrippen bij huurkoop Bij huurkoop hebben we te maken met een aantal begrippen: • contante prijs: de verkoopprijs; • aanbetaling: het gedeelte van de contante prijs dat bij aflevering van het goed direct moet worden betaald; • krediet: de contante prijs min de aanbetaling, de feitelijke lening; • kredietkosten: het totaal van de termijnen plus aanbetaling min de contante prijs; ofwel het totaal van de termijnen min het krediet; • kredietduur: de gemiddelde looptijd van de termijnen; • kredietprijs: de kredietkosten (op jaarbasis) uitgedrukt als percentage van het krediet. De kredietprijs wordt meestal uitgedrukt in een percentage per jaar.

2

© Noordhoff Uitgevers bv

20

§ 2.4

Berekening van de gemiddelde looptijd en de kredietprijs Bij de bepaling van de door de kredietverstrekker in rekening gebrachte kredietprijs wordt uitgegaan van de gemiddelde looptijd. Voorbeeld 2.1 maakt duidelijk waarom dat zo is.

2

Voorbeeld 2.1

Iemand leent € 1.000,– en moet dit bedrag op basis van 20% rente per jaar aflossen in 5 maandelijkse termijnen van elk € 210,–. De eerste termijn vervalt na 1 maand. Er is geen aanbetaling. Elke termijn bevat dus €1.000,– = € 200,– aflossing. 5 Nadat de eerste termijn is betaald, is de schuld gereduceerd tot € 800,–, na de tweede tot € 600,–, enzovoort. Nadat de vierde termijn is vervallen, bedraagt de schuld nog slechts € 200,–. De gemiddelde schuld is dus: € 1.000, –  € 800, –  € 600, –  € 400, –  € 200,– = € 3.000,– = 5 € 600,– en niet: € 1.000,– Daarom gaat men dus uit van de gemiddelde looptijd. Deze is hier: 1  2  3  4  5 15 = 3 maanden = 5 5 of: 1  5 = 3 maanden. 2 De kosten bedragen hier:

5  € 210,–  € 1.000,– = € 50,–

Op jaarbasis is dit:

12  € 50,– = € 200,– 3

Kredietprijs:

200  1% = 20% 1% van 1.000

Een andere berekeningswijze kan dit nog duidelijker maken. Rentekosten in 5 maanden: € 50,–. Gemiddelde schuld in 5 maanden: € 600,–.

Kosten in 5 maanden:

50  1% = 8 13 %. 1% van 600

Kosten in 12 maanden:

12  8 13 % = 20% 5

© Noordhoff Uitgevers bv

ENKELVOUDIGE INTEREST

21

In voorbeeld 2.1 is te zien dat de gemiddelde looptijd bepaald is als het ongewogen rekenkundig gemiddelde. Hiertoe neemt men de som van alle waarnemingen en deelt deze door het aantal waarnemingen. In dit voorbeeld dus

15 = 3. 5

Als de tussenpozen gelijk zijn, kan men volstaan met het nemen van de som van de eerste en de laatste waarneming, en deze te delen door 2, dus

2

1  5 = 3. 2

Hiermee moet men overigens wel voorzichtig zijn. Dit geldt namelijk alleen bij gelijke termijnen en gelijke tussenpozen. Op de website is uitgewerkt hoe men te werk moet gaan als niet aan deze voorwaarden is voldaan.

§ 2.5

Berekening van de grootte van de termijnen Voorbeeld 2.2

Een motorhandelaar verkoopt met een contante prijs van € 12.000,– een bepaald type motor in huurkoop onder de volgende voorwaarden: • De aanbetaling is € 2.000,–. • Het krediet plus kosten wordt betaald in 9 gelijke maandelijkse termijnen waarvan de eerste na 1 maand vervalt. • De kredietprijs is 19,2% per jaar. Bereken de grootte van de termijnen plus de totale huurkoopprijs. Uitwerking Krediet = € 12.000,–  € 2.000,–  € 10.000,–. De gemiddelde looptijd is

1  9  5 maanden. 2

De kosten in 5 maanden bij 19,2% per jaar zijn 5  19,2%  € 10.000,– = € 800,–. 12 Krediet  kosten is € 10.000,–  € 800,– = € 10.800,–. Elke termijn is dan

: 10.800 = € 1.200,–. 9

De totale huurkoopprijs is € 2.000,–  9  € 1.200,– = € 12.800,–.

§ 2.6

Financieringsinstellingen In het voorafgaande is er steeds van uitgegaan dat de verkoper het huurkoopkrediet verstrekt. In de praktijk echter laten bijvoorbeeld autodealers relatief grote financieringen meestal over aan daarin gespecialiseerde banken. Deze gaan bij de kostenberekeningen veelal niet uit van de gemiddelde maar

© Noordhoff Uitgevers bv

22

van de volle looptijd. Men gaat dan wel uit van een lager kredietpercentage. Hierdoor kan een wat vertekend beeld ontstaan. Wat hiermee wordt bedoeld, wordt in onderstaande voorbeeld aangetoond. Voorbeeld 2.3

Iemand laat zijn nieuwe auto gedeeltelijk financieren door een bank. Gegevens: • De nieuwprijs is € 40.000,–. • De aanbetaling bedraagt € 7.500,–. • De kosten bedragen 8% per jaar en worden berekend over de gehele looptijd. • Er wordt terugbetaald in 12 gelijke maandelijkse termijnen. De eerste termijn vervalt na 1 maand.

2

Bereken de werkelijke kredietprijs. Uitwerking Het krediet bedraagt € 40.000,–  € 7.500,– = € 32.500,–. De kosten van het krediet zijn:

8  12  € 32.500,– = € 2.600,–. 1.200

Hier dus 12 maanden, want dat is de volle looptijd. De gemiddelde looptijd is

1  12 = 6,5 maanden. 2

Dit brengt de kosten op jaarbasis op

De werkelijke kredietprijs is

12  € 2.600,– = € 4.800,–. 6,5

€ 4.800,–  1% = 14,77%. 1% van € 32.500,–

Dit is wel wat anders dan de 8% waar men van is uitgegaan! In paragraaf 2.4 is uiteengezet waarom van de gemiddelde looptijd moet worden uitgegaan om de juiste kredietprijs te bepalen.

§ 2.7

Disconto Interest is de vergoeding die men ontvangt voor het uitlenen van geld. De verrekening van deze interest kan op verschillende tijdstippen plaatsvinden. Het gebruikelijkst is dat dit gebeurt aan het eind van een periode. In dat geval spreekt men van interest. Deze interest wordt uitgedrukt in een percentage van het beginkapitaal. Soms vindt verrekening plaats aan het begin van een periode. In dat geval is er sprake van disconto. Dit disconto wordt uitgedrukt in een percentage van het eindkapitaal.

© Noordhoff Uitgevers bv

ENKELVOUDIGE INTEREST

23

Samengevat Interest: vergoeding voor kapitaal, achteraf verschuldigd en berekend over het beginkapitaal. Disconto: vergoeding voor kapitaal, vooraf verschuldigd en berekend over het eindkapitaal. Disconto is een Italiaans woord, afgeleid van het Latijnse ‘discomputare’, hetgeen verminderen betekent. 2 Voorbeeld 2.4 Een bedrag van € 10.000,– wordt gedurende 1 jaar uitgeleend tegen 5% interest. De kredietnemer ontvangt van de bank een bedrag van € 10.000,–. Hij moet over 1 jaar inclusief rente € 10.000,–  0,05  € 10.000,– = € 10.500,– terugbetalen.

Als de lening op basis van 5% disconto zou zijn afgesloten, ontvangt de kredietnemer € 10.000,–  0,05  € 10.000,– = € 9.500,–, terwijl hij inclusief rente € 10.000,– terug moet betalen. Als de financieringsbehoefte exact € 10.000,– bedraagt, zal bij een lening op basis van disconto een hoger bedrag moeten worden geleend. In dit voorbeeld bedraagt de lening dan: 100  € 10.000,– = € 10.526,32 95 Discontoberekeningen worden in dit boek buiten beschouwing gelaten.

© Noordhoff Uitgevers bv

24

Definities 2

Enkelvoudige interest (Eng. Simple interest)

Interestberekening waarbij de interest elke periode opnieuw berekend wordt over het oorspronkelijke beginkapitaal.

Kredietprijs

De kredietkosten van huurkoop (op jaarbasis) uitgedrukt in een jaarpercentage van het krediet.

Disconto

Vergoeding voor geleend of gespaard kapitaal, vooraf verschuldigd en berekend over het eindkapitaal.

© Noordhoff Uitgevers bv

25

Opgaven 2

Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven staan de volledige uitwerkingen op de website. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met volledige uitwerking. *

*

2.1

Bereken de interest die wordt vergoed over een bedrag van € 11.225,– dat uitstaat tegen 5% per jaar gedurende: a 3,5 jaar; b 5 maanden; c 4 jaar en 7 maanden.

2.2

Bereken de gegevens die in de onderstaande tabel ontbreken. Kapitaal Procent Maanden Interest a €… 6 17 € 658,75 b € 4.780,– 4 26 € … c € 9.600,– … 72 € 3.168,– d € 6.500,– 7,25 … € 294,53

2.3

Een kapitaal van € 7.500,– heeft gedurende 5 jaar uitgestaan tegen 4% interest per jaar. Met ingang van het 6de jaar heeft de bank het rentepercentage verhoogd tot 6% per jaar. Daarna is het percentage niet meer gewijzigd. Er wordt alleen interest vergoed over de hoofdsom, terwijl de interest per 31 december wordt bijgeschreven. a Bereken tot welk bedrag dit kapitaal is aangegroeid na 8 jaar. b Bereken de genoten interest van het 3de tot en met het 7de jaar. c Bereken het gemiddeld ontvangen interestpercentage.

2.4

Iemand leent op 1 april € 15.000,– tegen 7,25% per jaar. Per 1 augustus leent hij nog eens € 9.000,– bij tegen een ander interestpercentage. Op 31 oktober betaalt hij in totaal, inclusief de verschuldigde interest, € 24.808,76 terug. Bereken het interestpercentage (per jaar) dat voor de tweede lening werd overeengekomen.

2.5

Iemand stort gedurende 6 jaar telkens op 1 januari € 300,– op een spaarrekening. De bank vergoedt 4,5% interest per jaar over de ingelegde som exclusief interest. Aan het eind van het 6de jaar geeft de bank een spaarpremie van 10% over de gekweekte interest. a Bereken het saldo op deze spaarrekening per het einde van het 6de jaar. b Hoeveel bedraagt de totaal genoten interest?

© Noordhoff Uitgevers bv

26

*

2.6

Een rijwielhandelaar verkoopt een luxe sportfiets contant voor € 1.700,– of in huurkoop met de volgende condities: • een aanbetaling groot € 200,–; • 5 kwartaaltermijnen van elk € 345,–, waarvan de eerste na 3 maanden vervalt. Bereken de kredietprijs voor de koper.

*

2.7

Een winkelier levert saxofoons in huurkoop onder de volgende condities: een aanbetaling van € 300,– gevolgd door 8 gelijke maandelijkse termijnen groot € 331,25. De eerste termijn vervalt na 1 maand. Voor interest, kosten en risico gaat men uit van 16% per jaar. a Bereken het verleende krediet. b Bereken de contante prijs.

*

2.8

Een financieringsmaatschappij verleent onder de volgende voorwaarden krediet aan iemand voor de aanschaf van een duurzaam consumptiegoed dat contant € 12.500,– kost. Er wordt ingehouden: € 2.500,– voor de aanbetaling plus 4,5% interest, berekend over de volle duur van de overeenkomst. Verder wordt overeengekomen dat moet worden terugbetaald in 19 gelijke maandelijkse termijnen waarvan de eerste na 1 maand vervalt. a Bereken de werkelijke kredietprijs op jaarbasis (op 1 decimaal nauwkeurig). b Bereken de grootte van de maandelijkse termijnen. c Bereken het bedrag dat de koper uiteindelijk in totaal kwijt is.

2.9

Voor de nieuwe inrichting van zijn keuken heeft iemand € 18.000,– nodig. Daarvan heeft hij zelf al € 6.000,– gespaard. Voor de financiering van het ontbrekende heeft hij twee mogelijkheden: • Huurkoop. Hij doet in dat geval een aanbetaling van € 6.000,– en betaalt vervolgens 12 tweemaandelijkse termijnen van elk € 1.120,–, waarvan de eerste vervalt na 1 maand. • Persoonlijke lening. In dit geval moet worden afgelost in 12 tweemaandelijkse termijnen, waarvan de eerste vervalt na 1 maand. De interest bedraagt 5,74% per jaar berekend over de volle looptijd en over het gehele bedrag van de lening en wordt bij het afsluiten van de lening in mindering gebracht.

2

a Bereken de kredietprijs per jaar in geval van huurkoop. b Bereken het bedrag van de persoonlijke lening. Bedenk daarbij dat de koper netto € 12.000,– in handen moet krijgen. c Bereken de grootte van de termijnen in geval van de persoonlijke lening. NB: nu blijkt dat door afronding het berekende leningbedrag onder b met € 0,05 omhoog moet; ga daar verder van uit. d Bereken in geval van de persoonlijke lening de kredietprijs per jaar en bepaal welke financieringswijze deze koper zal kiezen. e Becijfer het verschil tussen de totale kosten bij huurkoop en de persoonlijke lening met behulp van het verschil in de kredietprijzen.

28

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

29

3 Samengestelde interest: de eindwaarde 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Berekening van de eindwaarde Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel Bepaling van de looptijd Bepaling van het percentage Gelijkwaardige procenten Interest over delen van een periode Definities en formules Opgaven

Als bedragen langer dan één jaar op de bank staan, of betalingen langer dan één jaar worden uitgesteld, zal in de praktijk altijd rente over rente worden verrekend. Uitgaande van op de bank gestorte bedragen betekent dit dat er ook interest wordt vergoed over de interest die inmiddels al is ontstaan. We noemen dit samengestelde interest. Het banksaldo wordt steeds groter naarmate het bedrag langer op de bank staat. De eindwaarde is altijd hoger dan de beginwaarde als gevolg van interest. In dit hoofdstuk komen diverse technieken aan de orde om de interest te berekenen. Met behulp van die technieken is het ook mogelijk om van een transactie het rendement of de looptijd te bepalen. Als de rente over delen van een jaar wordt berekend, ontstaat een specifieke problematiek die in de paragrafen 3.5 en 3.6 aan de orde komt.

3

© Noordhoff Uitgevers bv

30

§ 3.1

3

Berekening van de eindwaarde Eindwaardeberekeningen kan men bijvoorbeeld aantreffen bij het vergelijken van diverse spaarvormen. Ze geven antwoord op de vraag: ‘Als ik nu een kapitaal K op een bank uitzet tegen een percentage p per jaar, wat bezit ik dan na een aantal jaren n?’ Als men geld voor verschillende perioden, meestal jaren, bij een bank uitzet, kan de interestverrekening op verschillende wijzen geschieden. 1 Aan het eind van elke periode wordt de interest berekend over het beginkapitaal, de zogenoemde hoofdsom. De interest wordt dan vervolgens: • opgenomen, of • overgeheveld naar een andere rekening, of • bijgeschreven, terwijl in het vervolg geen interest wordt vergoed over de eerder bijgeschreven interest. Met andere woorden: alleen de hoofdsom is rentedragend. Deze vorm van interestberekening wordt enkelvoudig genoemd. 2 Aan het eind van elke periode wordt de interest toegevoegd aan de hoofdsom en in de volgende perioden wordt interest berekend over de hoofdsom plus de toegevoegde interest. Deze vorm van interestberekening wordt samengesteld genoemd. Bij dit systeem ontstaat dus wat ‘rente op rente’ wordt genoemd. De Engelse term voor samengestelde interest is compound interest. Voorbeeld 3.1

Marianne stort € 1.000,– op een spaarrekening bij een bank die 3% rente vergoedt. Op verzoek van Marianne bereken je als klantadviseur van de bank: a het saldo op deze spaarrekening aan het einde van het 5de jaar als de bank de interest berekent volgens de methode van enkelvoudige interest; b het saldo op deze spaarrekening aan het einde van het 5de jaar als de bank de interest berekent volgens de methode van samengestelde interest. Uitwerking a Het saldo van de spaarrekening is in 5 jaar toegenomen tot: na 1 jaar: na 2 jaar: na 3 jaar: na 4 jaar: na 5 jaar:

€ 1.000,–  0,03  € 1.000,–  € 1.030,– € 1.030,–  0,03  € 1.000,–  € 1.060,– € 1.060,–  0,03  € 1.000,–  € 1.090,– € 1.090,–  0,03  € 1.000,–  € 1.120,– € 1.120,–  0,03  € 1.000,–  € 1.150,–

Elk jaar wordt de rente opnieuw berekend over het oorspronkelijke bedrag van € 1.000,–. In het algemeen geldt de volgende formule voor de berekening van de eindwaarde bij enkelvoudige interest: EWn  K  (1  n  i)

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

31

waarin: EWn  de eindwaarde na een aantal perioden n; K  het beginkapitaal; i  het interestperunage (p/100); n  het aantal perioden. p is het symbool voor het interestpercentage (3%) en i voor het zogenoemde interestperunage (0,03). In voorbeeld 3.1a valt de eindwaarde na 5 jaar bij enkelvoudige interest via deze formule als volgt te bepalen: 3

EW5  € 1.000,–  (1  5  0,03)  € 1.150,– Voorbeeld 3.1 (vervolg)

b Gevraagd wordt de eindwaarde na 5 jaar van een beginbedrag van € 1.000,– onder verrekening van 3% samengestelde interest per jaar. Een tijdlijn geeft dat als volgt weer: 1.000 3% 1

2

3

4

5 EW5

Het saldo van de spaarrekening is in 5 jaar toegenomen tot: na 1 jaar: € 1.000,00  0,03  € 1.000,00  € 1.030,00 na 2 jaar: € 1.030,00  0,03  € 1.030,00  € 1.060,90 na 3 jaar: € 1.060,90  0,03  € 1.060,90  € 1.092,73 na 4 jaar: € 1.092,73  0,03  € 1.092,73  € 1.125,51 na 5 jaar: € 1.125,51  0,03  € 1.125,51  € 1.159,27 Deze manier van berekenen kost erg veel tijd. De volgende redenering leidt sneller tot het resultaat. Als men 3% bij een getal optelt, is dat gelijk aan vermenigvuldiging van dat getal met 1,03. Voor ieder jaar dat een kapitaal uitstaat wordt de grootte van dat kapitaal vermenigvuldigd met 1,03. Gedurende 5 jaar derhalve met: 1,03  1,03  1,03  1,03  1,03  (1,03)5  1,159274074 De eindwaarde van € 1.000,– na 5 jaar te hebben uitgestaan tegen 3% samengestelde interest per jaar is dan: € 1.000  (1,03)5  € 1.000  1,159274074  € 1.159,27

© Noordhoff Uitgevers bv

32

Voor de berekening van de eindwaarde bij samengestelde interest geldt de volgende formule: EWn  K  (1  i)n waarin: EWn  de eindwaarde na een aantal perioden n; K  het beginkapitaal; i  het interestperunage (p/100); n  het aantal perioden. Het ranggetal van de EW is steeds gelijk aan de exponent van de factor (1  i). De factor (1  i)n wordt in de financiële rekenkunde genoteerd als S  n円p (lees: grote S en pee).

3

n S n円p  (1  i)

Het symbool S is afgeleid van slotwaarde, terwijl de index  n円p betrekking heeft op het aantal perioden en het gehanteerde interestpercentage. In voorbeeld 3.1b valt de eindwaarde na 5 jaar bij samengestelde interest via deze formule als volgt te bepalen: 5 S 5円3  1,03  1,159274074

EW5  € 1.000,–  S  5円3 € 1.000,–  1,159274074  € 1.159,27 In dit boek zal telkens de schrijfwijze met symbolen uit de financiële rekenkunde worden gebruikt om aan te geven wat berekend moet worden, bijvoorbeeld EWn  K S  n円p. Het hoe kent verschillende mogelijkheden die in de volgende paragrafen worden uitgewerkt.

§ 3.2

Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel Bij de berekening van eindwaarden bepaalt men eerst de waarde van (1  i)n en vervolgens vermenigvuldigt men deze met het beginkapitaal K. De bepaling van de eindwaarde kan op de volgende manieren geschieden: 1 met behulp van de rekenmachine; 2 met behulp van de grafische rekenmachine; 3 met behulp van Excel. Ad 1 Bepaling van de eindwaarde met behulp van de rekenmachine Hiervoor is een rekenmachine nodig waarbij machtsverheffen tot de mogelijkheden behoort. Afhankelijk van het gebruikte merk kan de toets voor machtsverheffen zijn [^] of [x y] of [y x]. In het vervolg wordt voor de notatie uitgegaan van de Casio fx-82MS. Er zijn overigens vaak meerdere oplossingsmethoden mogelijk waardoor eventueel kleine onderlinge afrondingsverschillen kunnen optreden.

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

33

In voorbeeld 3.1 werd de eindwaarde na 5 jaar gevraagd van € 1.000,– als de bank 3% interest per jaar biedt. EW5  € 1.000,–  (1,03)5  € 1.000,–  S  5円3 (1  i)n, toets in: [1  i][^][n][] (1,03)5, toets in: [1,03][^][5][] uitkomst: 1,159274074 EW5  € 1.000,–  1,159274074  € 1.159,27 Ad 2 Bepaling van de eindwaarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking wordt gebruikgemaakt van de TVM-Solver (Time, Value, Money) uit het FINANCE-menu van de Texas TI-83/84 plus. Deze solver (oplosser) kent vijf variabelen. Als er vier bekend zijn, kan de vijfde worden berekend. De vijf variabelen zijn: 1 looptijd 2 interestpercentage 3 contante waarde 4 eindwaarde 5 betalingen

De TVM-Solver wordt geactiveerd door middel van de APPS-toets (APPS is de afkorting van applications) gevolgd door tweemaal enter. Invulmogelijkheden: N Het aantal perioden, looptijd I% Het interestpercentage PV Present value, contante waarde, huidige waarde, beginkapitaal PMT Payment, periodieke betaling, termijn, annuïteit FV Future value, eindwaarde, toekomstige waarde P/Y Payment periods per year, aantal betalingen per jaar (1  jaarbetaling) C/Y Compounding periods per year, aantal samengestelde interesttermijnen per jaar. De invoer bij P/Y wordt automatisch overgenomen voor C/Y. Deze kan daarna wel aangepast worden. PMT: END/BEGIN De betalingswijze, post of prenumerando (zie hoofdstuk 5). Bij de uitwerking van voorbeeld 3.1 gelden de volgende invoergegevens: • APPS, enter, enter • N 5 • I% 3 • PV 1000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 1159.274074 Opmerking Als de PV positief is, wordt dit als een ontvangst beschouwd. Daar staat tegenover dat de FV dan als een verplichting wordt gezien en daarom negatief wordt weergegeven. Storting en opname zijn tegenpolen.

3

© Noordhoff Uitgevers bv

34

Ad 3 Bepaling van de eindwaarde met behulp van Excel Stel hiervoor het volgende werkblad op. Geef cel C4 het percentageformaat.

3

In feite verschilt deze wijze van berekenen niet veel van de wijze waarbij gebruikgemaakt wordt van een rekenmachine. Met behulp van Excel is het mogelijk snel de eindwaarden te berekenen indien een of meer variabelen (beginkapitaal, rente en/of looptijd) veranderen. Excel kent echter ook een aantal voorgeprogrammeerde financiële functies, waarbij standaard gebruikgemaakt wordt van onderliggende formules. Dat levert een groot gebruikersgemak op. Typ in cel C7:  Zoek in de formulebalk via ‘meer functies’ naar de financiële functies. Kies: TW (toekomstige waarde) Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in:  Rente: C4  Aantal termijnen: C5  Bet (betalingen): blanco (er is in dit voorbeeld geen sprake van periodieke betalingen)  HW (huidige waarde): C3  Type_getal: blanco • Na invulling verschijnt het resultaat. • Klik op OK en de eindwaarde van € 1.159,27 verschijnt in cel C7.

• • • •

De functie TW is hier gebruikt voor de berekening van de eindwaarde van één kapitaal. Deze functie is ook te gebruiken om de eindwaarde te berekenen in geval er meerdere stortingen plaatsvinden (zie hoofdstuk 5). In dat geval moeten de hier blanco gelaten onderdelen wel ingevuld worden. Als bij HW C3 ingevuld wordt in plaats van C3, zal het resultaat van de berekening  € 1.159,27 worden. Dit komt doordat Excel de storting (de huidige waarde) aan het begin positief waardeert en de eindwaarde als een soort schuld beschouwt die aan het eind van de looptijd betaald moet worden. Wenst men echter een positieve uitkomst, dat moet in de formule de huidige waarde negatief worden ingevoerd. Dit is in dit voorbeeld gebeurd door het invullen van C3.

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

35

3

© Noordhoff Uitgevers bv

36

3

Tot een aantal jaren geleden werd bij het maken van interestberekeningen vrijwel uitsluitend gebruikgemaakt van zogenoemde interesttafels. Volledigheidshalve laten we hier de werking van deze interesttafels zien. De interesttafels staan op de website. De interesttafel geeft de uitkomst van (1  i)n bij verschillende waarden van n en i of p. Hier volgt een stuk van de S  n円p -tafel voor de waarden 1, 2, 3, 4 en 5 van n en 3%, 4% en 5% van p.

p n 1 2 3 4 5

3%

4%

5%

1,030000 1,060900 1,092727 1,125509 1,159274

1,040000 1,081600 1,124864 1,169859 1,216653

1,050000 1,102500 1,157625 1,215506 1,276282

In feite zijn de bovenstaande waarden eindwaarden van een kapitaal van € 1,– dat gedurende een aantal perioden n tegen een percentage p op samengestelde interest heeft uitgestaan. Dus een beginkapitaal van € 1,– dat gedurende 5 jaar heeft uitgestaan tegen 3% per jaar, groeit aan tot € 1,159274. Het beginkapitaal uit voorbeeld 3.1 was € 1.000,–. De eindwaarde is dan ook 1000 maal zo groot, dus: EW5  € 1.000,–  1,159274  € 1.159,27 Let erop dat n in de tafels perioden voorstelt. In het algemeen zal dit een aantal jaren zijn, maar dat is niet noodzakelijk. Als men bijvoorbeeld 2% interest per maand moet betalen, stelt n in de tafel maanden voor.

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

37

Voorbeeld 3.2

J. Smit gaat over 7 jaar met pensioen. Hij heeft € 12.500,– beschikbaar die hij wil sparen. De rente is 2,5% per jaar. De bank verwacht de komende 3 jaar geen verandering. Daarna verwacht men dat de rente zal stijgen naar 3% per jaar. In verband met een geplande wereldreis wenst Smit van de bank een opgave van het bedrag dat hij over 7 jaar naar verwachting op zijn bankrekening heeft staan. Uitwerking De onderstaande tijdlijn geeft het gevraagde weer: 3 2,5%

3%

12.500 1

2

3

4

5

6

7

EW3

EW7

Allereerst wordt de eindwaarde na 3 jaar berekend. EW3  € 12.500,–  (1,025)3  € 12.500,–  S  3円2,5  € 12.500,–  1,076890652  € 13.461,13 Dit wordt vervolgens weer 4 jaar uitgezet tegen 3% per jaar, dus: EW7  € 13.461,13  (1,03)4  € 13.461,13  S  4円3  € 13.461,13  1,12550881  € 15.150,62 Het bovenstaande kan ook in één keer worden berekend: EW7  € 12.500,–  (1,025)3  (1,03)4  € 12.500,–  S  3円2,5  S  4円3   € 12.500,–  1,076890652  1,12550881  € 15.150,62 Bij de uitwerking van voorbeeld 3.2 met de grafische rekenmachine gelden de volgende invoergegevens: • APPS, enter, enter • N 3 • I% 2,5 • PV 12500 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 13461.13281 • APPS, enter, enter • N 4 • I% 3 • PV 13461,13281 • PMT 0

© Noordhoff Uitgevers bv

38

• • • • •

FV 0 P/Y 1 C/Y 1 PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 15150,62357

Ook bij de uitwerking met Excel wordt eerst de waarde na 3 jaar bepaald, daarna de waarde na 7 jaar. Gebruikmakende van de functie TW ziet de uitwerking er als volgt uit:

3

Voorbeeld 3.3

Rob heeft een bedrag van € 5.000,– 5 jaar vaststaan op een 3% spaarrekening. Hij wil graag weten hoeveel interest hij heeft ontvangen over: a het 5de jaar; b het 2de tot en met het 4de jaar. Uitwerking Uiteraard kan van elk jaar apart de interest worden bepaald. Bij een looptijd van 5 jaar is de hoeveelheid werk van deze methode nog te overzien maar dat verandert bij langere looptijden. De onderstaande tijdlijn geeft schematisch de stappen aan die nodig zijn bij de uitwerking.

Interest 2de t.e.m. 4de jaar

Interest 5de jaar

5.000 3% 1

2

EW1

3

4

5

EW4

EW5

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

39

a EW5  € 5.000,–  (1,03)5  € 5.000,–  S  5円3  € 5.796,37 EW4  € 5.000,–  (1,03)4  € 5.000,–  S  4円3  - 5.627,54 Interest 5de jaar: € 168,83 b EW4  € 5.000,–  (1,03)4  € 5.000,–  S  4円3  € 5.627,54 EW1  € 5.000,–  (1,03)  € 5.000,–  S  1円3  - 5.150,00 Interest 2de tot en met 4de jaar: € 477,54 Dit had ook als volgt berekend kunnen worden: Interest 2de tot en met 4de jaar: € 5.000,–  {(1,03)4  (1,03)}  € 477,54 Controle: Beginkapitaal Interest 1ste jaar: 0,03  € 5.000,– Interest 2de t/m 4de jaar Interest 5de jaar Eindwaarde na 5 jaar

§ 3.3

€ 5.000,– 150,– 477,54 - 168,83 € 5.796,37

Bepaling van de looptijd Men kan zich afvragen hoelang men een bepaald bedrag tegen een gegeven interestpercentage moet uitzetten om een bepaalde eindwaarde te realiseren. Voorbeeld 3.4

Marieke Peters stort via online bankieren € 2.500,– op een 5% spaarrekening. Via de mail vraagt zij de bank hoelang het duurt voordat het saldo inclusief interest € 4.000,– zal bedragen. Uitwerking EWn  € 4.000,–  € 2.500,–  (1,05)n (1,05)n  1,600 Voor de bepaling van de looptijd (n) staan drie mogelijkheden open: 1 bepaling van n met behulp van de rekenmachine; 2 bepaling van n met behulp van de grafische rekenmachine; 3 bepaling van n met behulp van Excel. Ad 1 Bepaling van de looptijd met behulp van de rekenmachine Hiervoor moet worden gebruikgemaakt van logaritmen.

(1,05)n  1,600 n log 1,05  log 1,600 n

log 1,600 log 1,05

3

© Noordhoff Uitgevers bv

40

Op de rekenmachine worden de volgende toetsen ingedrukt: [log][1,6][][log][1,05][] uitkomst: 9,633 0,633 jaar  0,633  365  231 dagen n is dus exact 9,633 jaar, ofwel 9 jaar plus 231 dagen.

3

Ad 2 Bepaling van de looptijd met behulp van de grafische rekenmachine De oplossingsmethode is vrijwel identiek aan die van paragraaf 3.2. • APPS, enter, enter • N 0 • I% 5 • PV 2500 • PMT 0 • FV ()4000 Opmerking: denk aan het minteken () • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar N, ALPHA, enter → resultaat 9.633163512

Opgemerkt moet worden dat het bij dit soort probleemstellingen in het algemeen voldoende is om een benadering te geven. Ad 3 Bepaling van de looptijd met behulp van Excel Om de looptijd met behulp van Excel te bepalen kan gebruikgemaakt worden van de financiële functie NPER; dit staat voor n perioden. Stel hiervoor het volgende werkblad op:

In de formulebalk is via ‘meer functies’ (zie paragraaf 3.2) bij financiële functies gekozen voor NPER. Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in. Daarna verschijnt het resultaat.

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

41

3

Ook nu beschouwt Excel de toekomstige waarde als een schuld. Daarom is deze negatief. Omdat er sprake is van slechts één storting kan bij ‘Bet’ niets ingevuld worden. Excel kent nog een andere mogelijkheid, namelijk door gebruik te maken van de optie ‘doelzoeken’. Deze methode is op de website uitgewerkt.

§ 3.4

Bepaling van het percentage Wat is het gemiddeld rendement geweest voor beleggers of spaarders die na een aantal jaren hun belegging verkopen of het spaarsaldo opnemen? Welk percentage hebben zij gemiddeld per jaar gerealiseerd? Diezelfde vraag kan worden gesteld door een huiseigenaar die zijn huis na een aantal jaren verkoopt. Voorbeeld 3.5

Een belegger heeft 5 jaar geleden € 5.000,– geïnvesteerd in een beleggingsfonds. Hij verkoopt zijn belegging nu voor € 7.053,82 en vraagt zich af welk rendement hij heeft gerealiseerd. Omdat rekening gehouden moet worden met tijdvoorkeur is het 2.053,82 fout om te stellen dat hij  100%  41,08% rendement heeft 5.000 behaald. De belegging heeft een looptijd van 5 jaar gehad. Ook het simpel delen van 41,08% door 5 jaren is niet goed, omdat rekening moet worden gehouden met samengestelde interest, ofwel rente op rente, de groei is immers in de loop van die 5 jaar ontstaan.

© Noordhoff Uitgevers bv

42

Ook nu staan in principe drie methoden open om het percentage (p) te bepalen, namelijk: 1 bepaling van p met behulp van de rekenmachine; 2 bepaling van p met behulp van de grafische rekenmachine; 3 bepaling van p met behulp van Excel. Ad 1 Bepaling van het percentage met behulp van de rekenmachine EW5  € 7.053,82  € 5.000,–  (1  i)5 (1  i)5  1,410764 1 1i  (1,410764)5 3

Op een rekenmachine worden de volgende toetsen ingedrukt: [1,410764][^][0,2][] Of [1,410764][^][(][1][][5][)][] uitkomst: 1,07125 Het gevraagde rendement is dus 7,125% per jaar. Ad 2 Bepaling van het percentage met behulp van de grafische rekenmachine • APPS, enter, enter • N 5 • I% 0 • PV 5000 • PMT 0 • FV ()7053,82 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar I%, ALPHA, enter → resultaat 7.125009576

Oplossing met een rekenmachine leidt tot het exacte percentage, maar ook hier geldt dat in het algemeen kan worden volstaan met een benadering. Ad 3 Bepaling van het percentage met behulp van Excel Om de looptijd met behulp van Excel te bepalen, kan gebruikgemaakt worden van de financiële functie RENTE. Stel hiervoor het volgende werkblad op:

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

43

3

Let op: de instelling van het aantal decimalen in cel C7 beïnvloedt de weergave van het resultaat. In het bovenstaande is het aantal decimalen in C7 op 3 ingesteld. Excel kent nog andere mogelijkheden, bijvoorbeeld door gebruik te maken van worteltrekken of van de optie ‘doelzoeken’. Deze methoden zijn op de website uitgewerkt.

§ 3.5

Gelijkwaardige procenten In het voorafgaande is er steeds van uitgegaan dat interest betrekking had op een vol jaar, terwijl het interestpercentage ook steeds een percentage per jaar was. Interestberekeningen vinden echter ook plaats bij percentages per maand, kwartaal of welke andere tijdsindeling dan ook. Met andere woorden: n staat niet exclusief voor het aantal jaren, maar voor het aantal perioden. Als bijvoorbeeld wordt gevraagd wat de eindwaarde is van € 1.000,– die gedurende twee jaar tegen 3% per kwartaal op samengestelde interest uitstaat, berekent men dat als volgt: EW8  € 1.000,–  (1,03)8  € 1.000,–  S  8円3  € 1.266,77 (2 jaren  8 kwartalen) en dus niet: EW2  € 1.000,–  (1,12)2  € 1.000,–  S  2円12  € 1.254,40 (3% per kwartaal ≠ 12% per jaar)

© Noordhoff Uitgevers bv

44

Met nadruk wordt erop gewezen dat men een bepaald percentage per jaar niet mag herleiden tot een percentage per kwartaal of per maand door het eenvoudig door 4 of 12 te delen. Met andere woorden: 5% per halfjaar is niet gelijk aan 10% per jaar. Dit blijkt uit het volgende: Als € 1.000,– op samengestelde interest tegen 5% per halfjaar uitstaat, dan is de eindwaarde na één jaar:

3

Beginkapitaal Interest eerste halfjaar 0,05  € 1.000,–  Eindwaarde na een halfjaar Interest tweede halfjaar 0,05  € 1.050,–  Eindwaarde na 1 jaar

€ 1.000,– 50,– € 1.050,– 52,50 € 1.102,50

Zou men de € 1.000,– hebben uitgezet tegen 10% per jaar, dan zou de eindwaarde na één jaar € 1.100,– zijn geweest. Het verschil ontstaat doordat men in het eerste geval 5% interest over € 50,– ( € 2,50) extra ontvangt. Welk percentage per jaar is dan wel gelijkwaardig met 5% per halfjaar? Schematisch kan men dat met behulp van een tijdlijn verduidelijken. 5% per halfjaar: 5% eerste halfjaar

5% tweede halfjaar

p% per jaar: p% 1 jaar

Wil de eindwaarde in het eerste geval gelijk zijn aan de eindwaarde in het tweede geval, dan geldt: S 2円5 = S  1円p (1,05)2  1  i 1,1025  1  i, dus i  0,1025 en p  10,25% Met behulp van de grafische rekenmachine kan de oplossing worden gevonden door uit te gaan van een beginkapitaal (PV) van € 1,– . Dit wordt 2 perioden à 5% uitgezet. In de eindwaarde (FV) zit de interest besloten. Dit is eenvoudig te herleiden tot een percentage. • APPS, enter, enter • N 2 • I% 5 • PV 1 • PMT 0 • FV 0

© Noordhoff Uitgevers bv

• • • •

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

45

P/Y 1 C/Y 1 PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 1.1025 dus i  0,1025 en p  10,25%

Men kan zich natuurlijk ook afvragen welk percentage per halfjaar gelijkwaardig is aan 10% per jaar. Schematisch kan dat met behulp van de volgende tijdlijnen worden weergegeven. 10% per jaar: 10%

3

1 jaar

p% per halfjaar: p% eerste halfjaar

p% tweede halfjaar

Om het percentage per halfjaar te bepalen stelt men het volgende aan elkaar gelijk: (1  i)2  S  1円10  1,10 1

1  i  1,102 1  i  1,048809, dus p is 4,881% 4,881% per halfjaar is dus gelijkwaardig met 10% per jaar. Controle: Beginkapitaal Interest eerste halfjaar 0,04881  € 1.000,– 

€ 1.000,– 48,81

Eindwaarde na een halfjaar

€ 1.048,81

Interest tweede halfjaar 0,04881  € 1.048,81  Eindwaarde na 1 jaar

51,19

€ 1.100,00

Met behulp van de grafische rekenmachine kan de oplossing worden gevonden door uit te gaan van een beginkapitaal (PV) van € 1,–. Na 2 perioden wordt een eindwaarde van € 1,10 bereikt. Vervolgens is het interestpercentage per halfjaar te vinden onder I%. • APPS, enter, enter • N 2 • I% 0 • PV 1 • PMT 0 • FV ()1.10 • P/Y 1

© Noordhoff Uitgevers bv

46

• C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar I%, ALPHA, enter → resultaat 4.880884817

§ 3.6

3

Interest over delen van een periode In de praktijk staat een kapitaal niet altijd een geheel aantal perioden uit, maar vaak een geheel aantal perioden plus een deel van een periode, bijvoorbeeld zes jaar en vijf maanden. Voor de interestberekening zijn er dan twee gangbare methoden: 1 Over delen van een periode wordt enkelvoudige interest vergoed, terwijl over de hele perioden zoals gebruikelijk samengestelde interest wordt vergoed. 2 Over delen van een periode wordt ook samengestelde interest vergoed. Voorbeeld 3.6

Piet van der Kruis heeft 3,5 jaar geleden € 10.000,– op een 3% bankrekening gestort. De bank schrijft elk jaar per 31 december de rente bij. Bereken volgens de twee hierboven beschreven varianten het bedrag dat Piet na 3,5 jaar van zijn rekening kan opnemen. Schematisch kan dit met behulp van de volgende tijdlijn worden weergegeven: 10.000 3%

1/2 j

1

2

3

1/2 j

4

EW3.5

Over delen van een periode enkelvoudige interest De eerste 3 jaar staan uit tegen samengestelde interest. De eindwaarde na 3 volle jaren is:

EW3  € 10.000,–  (1,03)3  € 10.000,–  S  3円3  € 10.927,27 Het laatste halfjaar levert enkelvoudige interest op. Bij een jaarpercentage van 3% is dat 1,5% voor een halfjaar. EW3,5  € 10.927,27  1,015  € 11.091,18 Het maakt voor de berekening overigens niet uit als eerst begonnen wordt met een halfjaar enkelvoudige interest over € 1.000,– en daarna pas 3 jaren samengestelde interest. EW3,5  € 10.000,–  1,015  (1,03)3  € 10.150,–  S  3円3  € 11.091,18 Over delen van een periode samengestelde interest

EW3,5  € 10.000,–  (1,03)3,5  € 10.000,–  S    € 11.089,97 3,5円3

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE EINDWAARDE

47

Excel en het financemenu van de grafische rekenmachine gaan uit van samengestelde interest en kennen geen standaardfuncties voor enkelvoudige interest. De oplossing met enkelvoudige interest over delen van een periode levert € 1,21 meer rente op. Dat is logisch als bedacht wordt dat 3% per jaar gelijkwaardig is aan 1,4889% per halfjaar en dat is dus lager dan 1,5% bij enkelvoudige interest. Vergelijk hiertoe ook onderstaande tabel voor bijvoorbeeld 8% per jaar:

Samengestelde interest

Enkelvoudige interest

na 1 maand

1,006434




4,200000

Over delen van een periode biedt enkelvoudige interest meer rente dan samengestelde, maar over hele perioden levert samengestelde interest meer op. In verband met de tijdvoorkeur zal men een zo hoog mogelijke vergoeding verlangen om huidig geld te vervangen door toekomstig geld. Dit is dan ook de reden waarom men in de praktijk meestal calculeert op basis van enkelvoudige interest wat delen van perioden betreft, en met samengestelde interest voor zover het hele perioden betreft. Dit wordt geïllustreerd door figuur 3.1. FIGUUR 3.1—Periode

versus interest

Interest

S.I.

1,08

1 jaar

E.I.

3

© Noordhoff Uitgevers bv

48

Definities en formules 3

Samengestelde interest (S.I.) (Eng. Compound interest)

Interestberekening waarbij de interest aan de hoofdsom wordt toegevoegd en rente op rente wordt vergoed.

Eindwaarde

De waarde van een kapitaal na een aantal perioden inclusief interest.

S n円p

Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de eindwaarde (slotwaarde) van één kapitaal over n perioden tegen p procent.

Eindwaarde bij S.I.

n EWn  K  S  n円p  EWn  K  (1  i)

Enkelvoudige interest (E.I.) (Eng. Simple interest)

Interestberekening waarbij de interest elke periode opnieuw berekend wordt over het oorspronkelijke beginkapitaal.

Eindwaarde bij E.I.

EWn  K  (1  n  i)

TW

Excel-functie voor het berekenen van de eindwaarde (toekomstige waarde).

NPER

Excel-functie voor het berekenen van de looptijd (n perioden).

RENTE

Excel-functie voor het berekenen van het rentepercentage (het rendement).

Gelijkwaardige procenten

Herberekening van rentepercentages op basis van samengestelde interest waarbij percentages over een langere periode (een jaar) gelijkwaardig worden aan percentages over een kortere periode (maand, kwartaal of halfjaar).

© Noordhoff Uitgevers bv

49

Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven staan de volledige uitwerkingen op de website. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. *

3.1

Bereken de eindwaarde van: a € 7.000,– na 7 jaar tegen 7% samengestelde interest per jaar; b € 12.000,– na 12 jaar tegen 4% samengestelde interest per halfjaar.

3.2

Bereken de totaal ontvangen interest van: a € 8.000,– na 5 jaar tegen 8% samengestelde interest per jaar; b € 4.500,– na 7 jaar tegen 5% enkelvoudige interest per jaar.

*

3.3

Iemand huurt een huis van een woningbouwvereniging voor € 600,– per maand. De algemene verwachting is dat in de volgende jaren de huur steeds 3% hoger zal zijn dan in het voorafgaande jaar. Bereken hoe hoog de verwachte huur per maand over 10 jaar zal bedragen.

*

3.4

Bereken tot welk bedrag € 6.950,– aangroeit, als het van 1 juli 2014 tot en met 31 maart 2018 tegen 1,5% per kwartaal op samengestelde interest wordt uitgezet.

*

3.5

Bereken de eindwaarden van: a € 6.000,– na 15 jaar tegen 3,4% samengestelde interest per jaar; b € 3.000,– na 10 jaar tegen 1% samengestelde interest per maand; c € 7.211,48 na 7 jaar tegen 1,25% samengestelde interest per maand.

*

3.6

Een kapitaal van € 10.000,– wordt gedurende 8 jaar uitgezet tegen 7% samengestelde interest per jaar. Gevraagd: a de eindwaarde; b de totaal ontvangen interest; c de interest in het laatste jaar; d de interest in het 2de tot en met het 5de jaar.

3.7

Een kapitaal van € 7.500,– heeft 15 jaar op een spaarbankrekening gestaan tegen samengestelde interest. De eerste 5 jaar vergoedde de bank 3% per jaar, daarna 5 jaar lang 2% per jaar en vervolgens gedurende de laatste 5 jaar 4% per jaar. Tot welk bedrag is dat kapitaal van € 7.500,– in 15 jaar aangegroeid?

3

© Noordhoff Uitgevers bv

50

*

3.8

Een kapitaal staat gedurende 12 jaar op basis van samengestelde interest uit tegen 7% per jaar. In die tijd wordt er in totaal € 5.008,77 interest aan de hoofdsom toegevoegd. Bereken het beginkapitaal.

3.9

Bepaal aan de hand van de onderstaande tabel de looptijden.

3 *

3.10

Beginkapitaal

Eindwaarde

Interestpercentage

a

€ 400.000,–

€ 3.044.902,–

7% per jaar

b

€ 1.700,–

€ 2.883,–

c

€ 1.800.000,–

€ 4.313.804,–

4,5% per jaar 6% per jaar

Bepaal aan de hand van de onderstaande tabel de gehanteerde interestpercentages. Beginkapitaal

Eindwaarde

Looptijd

a

€ 7.500,–

€ 34.957,18

20 jaar

b

€ 3.750,–

€ 7.984,11

12 jaar

c

€ 30.000,–

€ 66.241,20

40 jaar

3.11

Een projectontwikkelaar heeft 10 jaar geleden een kantoorpand gekocht voor € 4.500.000,–. Hij heeft het zojuist verkocht voor € 8.300.000,–. Bereken het rendement dat de projectontwikkelaar heeft gerealiseerd op dit pand.

3.12

Een bank biedt klanten een vorm van sparen aan, waarbij de klant eenmalig een bedrag inlegt en waarbij de interestvergoeding ieder jaar hoger wordt. De looptijd is 6 jaar. Een klant legt € 1.000,– in. Over het eerste jaar is de interestvergoeding 1%, over het tweede jaar 2% en zo vervolgens ieder jaar 1% hoger. a Bepaal het saldo aan het eind van de looptijd van 6 jaar. b Bepaal het gemiddeld gerealiseerde rendement.

*

3.13

Een aandeelhouder heeft een halfjaar geleden voor € 3.750,– een pakketje aandelen gekocht van een aantal AEX-genoteerde bedrijven. De huidige waarde bedraagt € 4.042,50. Bereken het rendement op basis van samengestelde interest op jaarbasis op deze belegging.

*

3.14

Bereken in 4 decimalen nauwkeurig de gelijkwaardige percentages per jaar voor een interestpercentage van: a 2% per kwartaal; b 5,5% per halfjaar; c 1,5% per maand.

© Noordhoff Uitgevers bv

*

*

OPGAVEN

51

3.15

Een bank biedt hypotheken aan met een maandpercentage van 0,5%. Bereken het percentage op jaarbasis waarmee klanten dit aanbod kunnen vergelijken met andere offertes (bereken op 1 decimaal nauwkeurig).

3.16

Bereken de eindwaarde van € 4.000,–, als dat kapitaal gedurende 8,5 jaar tegen 5% interest per jaar heeft uitgestaan en de bank: a over delen van kalenderjaren enkelvoudige interest vergoedt; b over delen van kalenderjaren samengestelde interest vergoedt.

3.17

Iemand stort per 1 september 2016 € 8.000,– op een spaarrekening. De interestvergoeding bedraagt 6% per jaar. De bank gaat uit van samengestelde interest, maar vergoedt over delen van een kalenderjaar enkelvoudige interest. Bereken over welk bedrag deze persoon per 31 maart 2023 kan beschikken.

3.18

Een studente is na haar studie vertrokken naar Nepal. Tijdens haar verblijf in Nepal overlijdt een oudtante. De notaris kon de studente niet bereiken. Pas na 10 jaar hoort ze dat de erfenis van € 3.000,– bij de notaris is op te vragen. a Bereken het bedrag dat de notaris moet uitkeren als hij die € 3.000,– op een spaarrekening heeft gezet die 1% samengestelde interest per maand vergoedt.

Na deze meevaller besluit ze terug te gaan naar Nepal, waar het haar uitstekend bevalt. Het door de notaris uitgekeerde bedrag stort zij op een spaarrekening tegen 7% per jaar. b Bereken het saldo op die spaarrekening als ze na 5 jaar terugkomt naar Nederland. c Bereken de interest over het laatste (5de) jaar. Veronderstel dat de notaris € 9.950,– heeft uitgekeerd en dat, op het moment dat ze terug in Nederland komt, het saldo op de 7%-spaarrekening € 18.000,– bedraagt. d Bereken hoelang ze in Nepal heeft gezeten (aantal jaren plus maanden). 3.19

Marco is er na zijn studie aan toe om zelfstandig te gaan wonen. Hij kan een appartement huren voor € 550,- per maand. Hij heeft ook een aanbod om een appartement te kopen waarbij zijn netto maandlasten € 600,- per maand bedragen. Marco weet niet goed wat te doen. Hij heeft wat extra informatie ingewonnen waaruit blijkt dat er voor de komende 10 jaar een jaarlijkse huurverhoging van 4% wordt verwacht. De lening die hij voor de aankoop kan afsluiten heeft een rentevaste periode van 10 jaar. Marco vraagt jou als onafhankelijk financieel adviseur om een advies wat hij het beste kan doen. Indien mogelijk onderbouw je het advies met een berekening.

3

52

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

4 Samengestelde interest: de contante waarde

4.1 4.2 4.3

Berekening van de contante waarde Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel Voorbeeld uit de praktijk Definities en formules Opgaven

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat bedragen op basis van samengestelde interest in de loop van de tijd groeien. Dit hoofdstuk volgt de omgekeerde redenering, namelijk dat bedragen nu lager zullen zijn dan toekomstige bedragen. Deze contantewaardebepalingen worden bedrijfseconomisch veel toegepast, met name bij het beoordelen van investeringen. Deze leveren immers in de toekomst een bijdrage waarvoor nu moet worden geïnvesteerd. Men zal zich dan afvragen wat die toekomstige bedragen nu waard zijn om ze te kunnen vergelijken met het op dit moment te investeren bedrag. Ook in de particuliere sfeer treft men contantewaardebepalingen aan. Zo kan men zich afvragen wat er nu op een bankrekening moet worden gestort om te zijner tijd (bijvoorbeeld bij pensionering) over een bepaald bedrag te beschikken.

53

4

© Noordhoff Uitgevers bv

54

§ 4.1

Berekening van de contante waarde In het vorige hoofdstuk is besproken hoe men van een bepaald beginkapitaal de eindwaarde na een aantal perioden kan bepalen. Men kan zich natuurlijk ook afvragen hoeveel een bepaald bedrag dat pas over een aantal perioden vervalt, nu waard is. Voorbeeld 4.1

Van Raak bv heeft een schuld van € 15.000,– aan Boelens bv die zij over 3 jaar in één keer terug moet betalen. Boelens heeft momenteel geldzorgen en vraagt Van Raak of ze bereid is nu al te betalen. De kaspositie van Van Raak laat dat wel toe, maar de controller is niet van plan om nu al de volle € 15.000,– te betalen. Hij realiseert zich dat ze nog 3 jaar rente zullen ontvangen als ze het geld tot aan de afgesproken aflossingsdatum op de bank laten staan. Rekening houdend met interest van 5% komen de beide ondernemingen overeen nu een bedrag af te rekenen van € 12.957,56. Dit bedrag is 3 jaar uitgezet tegen 5% per jaar precies aangegroeid tot € 15.000,–.

4

3 EW3  € 12.957,56  S  3 円5  € 12. 957,56  (1,05)  € 15.000,– Een tijdlijn geeft dit als volgt weer:

12.957,56 5% 1

15.000 2

3

CW

EW3

Bij de berekening van de eindwaarde wordt een bepaald bedrag vooruitgebracht in de tijd. In voorbeeld 4.1 is het tegengestelde gedaan: er wordt een bedrag teruggebracht in de tijd. Vooruitbrengen en terugbrengen kan men illustreren met behulp van een tijdlijn:

p% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 EW10

In de tijd vooruitbrengen, eindwaarde bepalen (slotwaarde)

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE CONTANTE WAARDE

55

p% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CW

In de tijd terugbrengen, contante waarde bepalen (aanvangswaarde)

Dit terugbrengen in de tijd noemt men contant maken. De teruggebrachte waarde is dan ook de contante waarde. De berekening van de contante waarde is een eenvoudige zaak. In de formule voor de berekening van de eindwaarde EWn = K × (1 + i)n komen vier variabele grootheden voor, namelijk EWn, K, i en n. Zijn er daar drie van bekend, dan kan de vierde worden berekend. Als EWn, i en n bekend zijn, kan K (dit is de contante waarde) als volgt uit de formule voor de eindwaarde worden herleid: EWn  K  (1  i)n EWn

K



K

 EWn 

(1  i)n 1 (1  i)n

In voorbeeld 4.1 geldt: CW 

€ 15.000,– € 15.000,–   € 12.957,56 (1,05)3 1,157625

of CW € 15.000,– 

§ 4.2

1  € 15.000,–  0,863837598  € 12.957,56 (1,05)3

Werken met de rekenmachine, de grafische rekenmachine en Excel 1 wordt in de financiële rekenkunde weergegeven door (1  i)n het symbool A  n円p (lees: grote A en pee).

De waarde

4

© Noordhoff Uitgevers bv

56

Het symbool A is afgeleid van de aanvangswaarde. Bij contantewaardeberekeningen zal men dus eerst de waarde bepalen van A n円p, en deze vervolgens vermenigvuldigen met de gegeven eindwaarde. Bepaling van de contante waarde kan op de volgende manieren geschieden: 1 met behulp van de rekenmachine; 2 met behulp van de grafische rekenmachine; 3 met behulp van Excel. Ad 1 Bepaling van de contante waarde met behulp van de rekenmachine Bij bepaling van A  n円p met behulp van een rekenmachine wordt gebruikgemaakt van het feit dat:

4

1 de reciproke waarde is van (1  i)n. (1  i)n Deze laatste factor is eenvoudig met de rekenmachine te bepalen (zie hiervoor paragraaf 3.2). A 3円5 =

1 (1,05)3

Toets in: [1,05][^][3][=] Uitkomst: 0,863837598  € 15.000,–  € 12.957,56 In voorbeeld 4.1 is sprake van € 15.000,– die over 3 jaar zou vervallen. Dit bedrag heeft een contante waarde van: CW  € 15.000,–  A  3円5  € 15.000,– 

1  € 12.957,56 (1,05)3

Dit betekent dat, rekening houdende met 5% interest per jaar, € 12.957,56 nu gelijkwaardig is aan € 15.000,– over 3 jaar. De contante waarde van voorbeeld 4.1 was eerder al berekend met deling door S  3円5. De symbolen S  n円p en A  n円p vormen elkaars reciproke waarde, met andere woorden: n

S n円p  A  n円p = (1  i)  3 S 3円5  A  3円5 = (1,05) 

1 = 1 (1  i)n

1 = 1,157625  0,863837598 = 1 (1,05)3

Ad 2 Bepaling van de contante waarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking van voorbeeld 4.1 gelden de volgende invoergegevens:

© Noordhoff Uitgevers bv

• • • • • • • • •

SAMENGESTELDE INTEREST: DE CONTANTE WAARDE

57

N 3 I% 5 PV 0 PMT 0 FV 15000 P/Y 1 C/Y 1 PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 12957.56398

Opmerking Als de FV positief is, wordt dit als een ontvangst beschouwd. Daar staat tegenover dat de PV dan als een verplichting wordt gezien en daarom negatief wordt weergegeven. Ad 3 Bepaling van de contante waarde met behulp van Excel Om de contante waarde met behulp v an Excel te bepalen, wordt gebruikgemaakt van de financiële functie HW, huidige waarde. Stel hiervoor het volgende werkblad op. Geef cel C4 het percentageformaat.

In de formulebalk is via ‘meer functies’ (zie paragraaf 3.2) bij financiële functies gekozen voor HW (huidige waarde). Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in. Daarna verschijnt het resultaat.

4

© Noordhoff Uitgevers bv

58

4

Tot een aantal jaren geleden werd bij het maken van interestberekeningen vrijwel uitsluitend gebruikgemaakt van zogenoemde interesttafels. Volledigheidshalve laten we deze oplossingsmethode zien. De interesttafels staan op de website. 1 De A-tafel geeft de uitkomst van bij verschillende waarden van n (1  i)n en p of i. In de tabel volgt een stuk van de A  n円p- tafel voor de waarden 1, 2, 3, 4 en 5 van n, bij 3%, 4% en 5% van p.

p n 1 2 3 4 5

3%

4%

0,970874 0,942596 0,915142 0,888487 0,862609

0,961538 0,924556 0,888996 0,854804 0,821927

5% 0,952381 0,907029 0,863838 0,822702 0,783526

In feite zijn de waarden in de tabel de contante waarden van een kapitaal van € 1,– dat over een aantal perioden n vervalt, verrekend met een percentage p samengestelde interest per periode. Een bedrag van € 1,– dat over 3 jaar vervalt is, verrekend met 5% interest per jaar, nu € 0,863838 waard.

© Noordhoff Uitgevers bv

SAMENGESTELDE INTEREST: DE CONTANTE WAARDE

59

Voorbeeld 4.2

Op een 4% spaarrekening is 10 jaar geleden een bedrag gestort. Inmiddels staat er een saldo op van € 37.006,–. De spaarder is zijn oude bankafschriftjes kwijtgeraakt en vraagt zich af hoeveel hij 10 jaar geleden op deze spaarrekening heeft gestort. De onderstaande tijdlijn geeft het gevraagde schematisch weer: ??

37.006

4% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

CW

10 EW10

4

De berekening kan op twee manieren: 1ste manier: CW  € 37.006,–  A  10円4 = € 37.006,– 

1  € 25.000,– (afgerond) (1,04)10

2de manier: EW10  € 37.006,–  CW  S  10円4 → CW  € 37.006,– : S  10円4  € 37.006,– : (1,04)10 € 25.000,– Berekening van een contante waarde kan, zoals is aangetoond, op diverse wijzen geschieden. In het algemeen zal men echter kiezen voor oplossing met behulp van A  n円p. Alle waarden van S  n円p zijn groter dan 1 en dus zijn alle waarden van A  n円p kleiner dan 1. Het effect van het contant maken is sterker naarmate het interestpercentage hoger is en naarmate de tijd waarover contant wordt gemaakt, langer is.

§ 4.3

Voorbeeld uit de praktijk ‘Betaal de helft nu en de rest over twee jaar’ Een Koreaans automerk adverteert met een actie waarbij de koper nu € 6.995,– moet betalen voor een nieuwe auto en over twee jaar ook nog eens € 6.995,–. Ten tijde van deze actie is de rente die een particulier bij de bank op een spaarrekening kon krijgen 2,5%. Wat betekent deze actie nu?

© Noordhoff Uitgevers bv

60

Uitwerking De koper heeft de keuze om nu ineens € 13.990,– te betalen of gebruik te maken van de betalingsregeling. Op een tijdlijn ziet die regeling er als volgt uit: 6.995 2,5%

6.995 1

2

CW

CW  € 6.995,–  € 6.995,– 

1 = € 6.995,–  € 6.657,94 (1,025)2

 € 13.652,94 4

Dit betekent een korting van € 13.990,–  € 13.652,94  € 337,06 ofwel 2,4% van € 13.990,–.

© Noordhoff Uitgevers bv

61

Definities en formules Contante waarde A n 円p

De huidige waarde van een kapitaal dat over een aantal perioden inclusief interest vervalt. Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de contante waarde (aanvangswaarde) van één kapitaal over n perioden tegen p procent. 1 (1  i)n

Contante waarde bij S.I.

CW  EW  A  n円p  EW 

HW

Excel-functie voor het berekenen van de contante waarde (huidige waarde).

4

© Noordhoff Uitgevers bv

62

Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. 4 *

4.1

Bereken de contante waarde van de hieronder gegeven kapitalen als zij gedurende de onderscheiden looptijden tegen de bijbehorende percentages op samengestelde interest hebben uitgestaan.

Kapitaal

Looptijd

Percentage

a

€ 20.245,14

12 jaar

7,5% per jaar

b

€ 2.597,88

4 jaar

2,5% per kwartaal

c

€ 5.000,–

8 jaar

8% per jaar

4.2

Stel dat de afgelopen 4 jaar de inflatie gemiddeld 1,5% per jaar is geweest. Voor een bepaald pakket levensmiddelen betaalt men nu € 637,–. Wat betaalde men voor dat pakket 4 jaar geleden?

*

4.3

Iemand heeft op 31 december 2023 recht op een betaling van € 35.000,–. Hij verzoekt zijn debiteur hem het bedrag op 1 januari 2017 te betalen. Bereken welk bedrag hij ontvangt op 1 januari 2017 als men rekening houdt met: a 8% samengestelde interest per jaar; b 4% samengestelde interest per halfjaar.

*

4.4

Iemand heeft op 1 januari 2009 een kapitaal uitgezet tegen samengestelde interest. De intereststand in de jaren 2009 tot en met 2015 was 5,5% per jaar; daarna werd de interest verlaagd tot 4% per jaar. Het kapitaal is per 31 december 2018 aangegroeid tot een bedrag van € 20.453,95. Bereken welk kapitaal er op 1 januari 2009 werd gestort.

4.5

Iemand moet over 5 jaar een bepaalde schuld aflossen. Hij kan deze schuld nu al voldoen onder aftrek van € 10.109,68. Bij de berekening van deze aftrek gaat men uit van 6% samengestelde interest per jaar. Bereken het bedrag van de aanvankelijke schuld.

© Noordhoff Uitgevers bv

*

*

OPGAVEN

63

4.6

Iemand moet over 7 jaar en 8 maanden een bedrag betalen van € 20.000,–. Bereken met welk bedrag hij deze schuld contant kan voldoen, als men rekening houdt met 7% interest per jaar, waarbij over delen van een jaar enkelvoudige interest wordt toegepast.

4.7

Een kapitaal wordt gedurende 7 jaar op basis van samengestelde interest uitgezet. Bereken de contante waarde als: a in het laatste jaar € 2.298,– interest wordt bijgeschreven en de interestvoet gedurende de gehele looptijd 6% per jaar is; b in het laatste jaar € 1.914,49 interest wordt bijgeschreven en de interestvoet in de eerste 3 jaar 7% per jaar is en gedurende de laatste 4 jaar 5% per jaar.

4.8

Bij de bouw van bepaalde installaties ontstaat uit hoofde van milieuvoorschriften reeds bij de investering de verplichting om aan het eind van de gebruiksduur over te gaan tot ontmanteling. Hiervoor dient een voorziening te worden getroffen. De voorziening kan ineens op het moment van investeren worden gevormd. Het chemieconcern PBchem investeert per 1 januari 2016 in een nieuwe installatie. De verwachte gebruiksduur is 25 jaar. Deze installatie moet daarna worden ontmanteld. De geschatte kosten van ontmanteling bedragen € 250 miljoen per 1 januari 2041. PBchem hanteert bij de contantewaardebepaling 4% samengestelde interest op jaarbasis. De gehele voorziening voor ontmanteling wordt direct op basis van contante waardering gevormd per 1 januari 2016. Bereken: a de hoogte van de voorziening die per 1 januari 2016 wordt gevormd; b het bedrag dat eind 2016 aan de voorziening moet worden toegevoegd.

4.9

Henk heeft een schuld die hij in 3 termijnen moet terugbetalen aan zijn vriend Frits. Afgesproken is dat de eerste betaling van € 6.000,– aan het begin van het eerste jaar vervalt. Henk betaalt 3 jaar later € 5.000,– en weer 3 jaar later € 4.000,–. De overeengekomen interest is 7% per jaar. a Bereken de contante waarde van deze schuld. Frits zet de ontvangen bedragen op een spaarrekening die jaarlijks 3,4% interest vergoedt. b Bereken het saldo van die spaarrekening aan het eind van het 9de jaar.

4.10

Eric heeft een schuld van € 2.500,- die hij in één keer over 2 jaar moet aflossen. Als hij nu meteen betaalt mag hij 3% op het bedrag in mindering brengen. Eric beschikt over voldoende banksaldo om nu al te betalen, maar krijgt bij zijn bank 2% rente. Hij belt met de bank en vraagt advies wat hij het beste kan doen: nu betalen en de korting pakken of het geld op de bank laten staan en over 2 jaar betalen. Formuleer een advies dat voor Eric financieel het beste uitpakt.

4

64

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

65

5 Renten 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

Indeling renten Berekening van de eindwaarde Berekening van de contante waarde Uitgestelde renten Eeuwigdurende renten Bepaling van het percentage Bepaling van de looptijd Schuldomzetting Investeringsbeoordeling Voorbeelden uit de praktijk Definities en formules Opgaven

In de praktijk komt het vaak voor dat niet één bedrag wordt gestort, of dat er maar één bedrag hoeft te worden betaald, maar dat een hele reeks van stortingen of betalingen moet plaatsvinden. In dat geval spreken we van een rente. Met behulp van de technieken uit de vorige hoofdstukken zouden eindwaarde- en contantewaardebepalingen erg omslachtig worden. Dit hoofdstuk behandelt eerst de verschillende soorten renten, waarna wordt ingegaan op de berekening van de eindwaarde en de contante waarde. Daarna komen berekeningen ter bepaling van het behaalde rendement en de looptijd aan de orde. Vervolgens wordt aandacht besteed aan het omzetten van een schuld, waarbij de overeengekomen vorm van aflossen wordt vervangen door een andere. Dit doet zich met name voor wanneer er betalingsproblemen zijn ontstaan, waardoor de schuld alleen maar oploopt als er geen regeling wordt getroffen. De in dit hoofdstuk behandelde

© Noordhoff Uitgevers bv

66

interestberekeningen worden binnen het vakgebied van de bedrijfseconomie veelvuldig gebruikt bij het beoordelen van investeringen. Tot slot van dit hoofdstuk maken we hier kort kennis mee.

§ 5.1

5

Indeling renten In de vorige hoofdstukken is het begrip ‘interest’ in de zin van een vergoeding voor het (uit)lenen van geld, ter sprake gebracht. In het dagelijks gebruik wordt dit begrip ‘interest’ vaak met ‘rente’ aangeduid, maar in de financiële rekenkunde heeft het begrip ‘rente’ ook nog een geheel andere betekenis, namelijk een aantal periodiek, met gelijke tussenpozen vervallende bedragen. Ieder periodiek vervallend bedrag wordt een termijn genoemd. Berekeningen met renten hebben een grote praktische betekenis: • Een ondernemer die investeert, zal uit zo’n investering in het algemeen gedurende meerdere jaren opbrengsten genieten. De reeks van opbrengsten vormt een rente. • Een lening zal in het algemeen in delen worden terugbetaald. De reeks van betalingen vormt een rente. • Als een particulier elke maand een bepaald bedrag spaart, vormt de reeks van spaargelden een rente. • Bij een huurkooptransactie zal de koper gedurende een aantal maanden het overeengekomen maandbedrag moeten voldoen. De reeks van huurkoopbetalingen vormt een rente. • Een gepensioneerde zal maandelijks een bepaald bedrag aan pensioen ontvangen. De reeks van pensioenbedragen vormt een rente. • Een student zal na afloop van zijn studie het geleende gedeelte van zijn studiebeurs in termijnen moeten aflossen. De reeks van aflossingen vormt een rente. Een voorbeeld van een rente vindt men ook in het volgende geval. Een onderneming schaft een transportmiddel aan en komt met haar leverancier overeen de koopsom in vijf termijnen van € 50.000,– te voldoen. De eerste termijn wordt onmiddellijk bij levering voldaan, de tweede termijn na één maand, enzovoort. Schematisch kan men dit als volgt met een tijdlijn voorstellen:

50.000

50.000 1

50.000 2

50.000 3

50.000 4

5

Deze rente bestaat uit vijf termijnen, elk groot € 50.000,–, die met tussenpozen van één maand betaalbaar worden gesteld. Renten kunnen op verschillende manieren worden onderscheiden: A naar vervaldatum B naar looptijd C naar ingangsdatum D naar bedrag

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

67

Ad A Verdeling naar vervaldatum De verdeling vindt plaats naar het moment waarop elk van de termijnen vervalt. Er zijn twee mogelijkheden:

1 Prenumerando renten. Hiervan is sprake als de opeenvolgende betalingen steeds aan het begin van een periode plaatsvinden. Schematisch kan men dat als volgt illustreren: T1

T2 1

T3 2

T4 3

T5 4

T6

Tn n

5

perioden

2 Postnumerando renten. Hiervan is sprake als de opeenvolgende betalingen steeds aan het einde van een periode plaatsvinden. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: T1 1

T2 2

T3 3

T4 4

T5

Tn — 1

Tn n

5

perioden

Ad B Verdeling naar looptijd De verdeling vindt hier plaats naar het aantal termijnen waaruit de rente bestaat. Er bestaan drie mogelijkheden: 1 Tijdelijke renten. Bij een tijdelijke rente is het aantal termijnen beperkt. Bijvoorbeeld een schuld die in tien termijnen wordt terugbetaald. 2 Renten met onzekere looptijd. Dit is een bijzonder soort tijdelijke rente, zoals een lijfrente, waarbij het aantal termijnen wel beperkt is, maar ook onbekend. Bij een lijfrente betaalt iemand bijvoorbeeld tot zijn 67e jaar jaarlijks een premie aan een verzekeringsmaatschappij en ontvangt daarna tot zijn overlijden een bepaald bedrag per maand of jaar. Omdat een dergelijke periodieke uitkering verband houdt met het leven van de verzekerde, noemt men dit een lijfrente. 3 Eeuwigdurende renten. Eeuwigdurende renten komen minder vaak voor. Eeuwigdurend zijn bijvoorbeeld de interestbetalingen op bepaalde staatsobligaties die de overheid in de vorige eeuw heeft geplaatst. Ad C Verdeling naar ingangsdatum Verdeling vindt hier plaats naar het moment waarop de eerste termijn vervalt. Er zijn twee mogelijkheden: 1 Dadelijk ingaande renten. Hier vervalt de eerste termijn onmiddellijk, of aan het begin van de periode (prenumerando), of aan het eind van de periode (postnumerando). 2 Uitgestelde renten. Hier vindt de eerste betaling pas plaats nadat er een aantal perioden is verstreken. Een twee jaar uitgestelde postnumerando rente met vier termijnen kan men schematisch als volgt voorstellen: T1 1

2

3

T2 4

T3 5

T4 6

perioden

5

© Noordhoff Uitgevers bv

68

Opmerking Een drie jaar uitgestelde prenumerando rente met vier termijnen levert dezelfde tijdlijn op. Ad D Verdeling naar bedrag Verdeling vindt hier plaats op basis van het te betalen bedrag. Er zijn twee mogelijkheden: 1 Renten met constante termijnen. Hierbij is elke betaling even hoog. Bijvoorbeeld, als een obligatielening in vijf jaar met gelijke bedragen wordt afgelost, of als een particulier elke maand € 150,– spaart. 2 Renten met wisselende termijnen. Hierbij zijn de betalingen niet aan elkaar gelijk. Voorbeelden hiervan zijn de premiebetalingen die een koper van een premiewoning gedurende een reeks jaren ontvangt, en de groeiannuïteit waarbij de periodieke betalingen geleidelijk stijgen. Deze vorm van het betalen van de koopsom van een huis was in het begin van de jaren tachtig van de vorige eeuw zeer populair.

In de praktijk zullen renten zoals ze hierboven zijn onderverdeeld, door elkaar heen lopen. Zo is een veelvoorkomende aflossingsvorm van een lening, een dadelijk ingaande postnumerando rente met gelijkblijvende termijnen. In het kader van dit boek wordt niet ingegaan op renten met onzekere looptijd.

5

§ 5.2

Berekening van de eindwaarde De eindwaarde van een rente bestaat uit de eindwaarden van alle afzonderlijke bedragen per dezelfde einddatum op basis van een bepaald interestpercentage.

Voorbeeld 5.1

Piet Cardol stort gedurende 4 jaar elk jaar op 1 januari € 1.500,– op een 3% spaarbankrekening. Welk bedrag kan Piet op 31 december van het vierde jaar van zijn spaarbankrekening opnemen? Uitwerking Allereerst kan worden vastgesteld dat het hier een dadelijk ingaande prenumerando rente betreft. De tijdlijn vertoont het volgende beeld:

1.500 1.500 1.500 1.500 3% 1

2

3

4 EW4

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

69

In feite gaat het om 4 beginkapitalen van elk € 1.500,– die respectievelijk 4, 3, 2 en 1 jaar tegen 3% per jaar uitstaan. Men krijgt dan: 4 € 1.500,–  S  4円3  € 1.500,–  (1,03)  € 1.500,–  1,1255088  € 1.688,26 3  € 1.500,–  1,0927270  - 1.639,09 € 1.500,–  S   € 1.500,–  (1,03) 3円3 2  € 1.500,–  1,0609000  - 1.591,35 € 1.500, –  S   € 1.500,–  (1,03) 2 円3 1 € 1.500,–  S  1円3  € 1.500,–  (1,03)  € 1.500,–  1,0300000  - 1.545,00

€ 6.463,70

Totaal na 4 jaar

De berekening had ook als volgt uitgeschreven kunnen worden: EW4  € 1.500,–  (S  1円3  S  2 円3 S  3円3 S  4円3)  € 6.463,70 of EW4  € 1.500,–  {(1,03)1 (1,03)2 (1,03)3 (1,03)4}   € 1.500,–  (1,0300000  1,0609000  1,0927270  1,1255088)   € 1.500,–  4,3091358  € 6.463,70 In feite is er sprake van een meetkundige reeks, waarbij elke volgende term 1,03 keer zo hoog is. De somformule van een meetkundige reeks luidt: Som  a 

rn  1 r  1

Hierbij is a de eerste term, r de reden en n het aantal termijnen. In voorbeeld 5.1 geldt dat a is (1,03), r is eveneens (1,03) en n is 4. EW4  € 1.500,–  a1,03   € 1.500,–  a1,03 

1,034  1 b 1,03  1 1,1255088  1 b 0,03

 € 1.500,–  4,3091358  € 6.463,70 Algemeen geldt dat de eindwaarde van een rente van € 1,– de optelling is van afzonderlijke waarden van S  n円p. In de financiële rekenkunde noteert men dat als s  n円p (lees kleine s en pee). Ook hier geldt de somformule van een meetkundige reeks waarbij (1i) de eerste term is, de reden is (1i) en n het aantal termijnen, ofwel: s n 円p  (1i) 

(1  i)n  1 (1  i)n  1  (1  i)  (1  i)  1 i

EW4  € 1.500,–  s  4円3  € 1.500,–  4,3091358  € 6.463,70

5

© Noordhoff Uitgevers bv

70

De interesttafels met daarin de diverse waarden van s  n円p vindt u op de website. Bepaling van de eindwaarde met behulp van de rekenmachine De bepaling van de eindwaarde met behulp van de rekenmachine ziet er in eerste instantie wat ingewikkeld uit. Als men echter inmiddels enige vaardigheid heeft opgedaan met het bepalen van S  n円p en A  n円p, zal dit ook lukken. Men kan de uitkomsten, voor zover gewerkt wordt met percentages die ook in de tafels staan, in die tafels controleren. 2 3 n s n円p  (1  i)  (1  i)  (1  i)  …  (1  i)

(1  i)n  1 of anders geschreven: i n (1  i)  1  (1  i) = i

s = (1  i)  n円p s n円p

s n円p  Toets in: [1  i][^][n][1][][][i][][1  i][] 5

s 4 円3  Toets in: [1,03][^][4][1][][][0,03][][1,03][] uitkomst: 4,30913581. Bepaling van de eindwaarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking van voorbeeld 5.1 gelden de volgende invoergegevens: • N 4 • I% 3 • PV 0 • PMT 1500 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN (het betreft namelijk een prenumerando rente) • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 6463.703715 Bepaling van de eindwaarde met behulp van Excel Het eindsaldo van de bankrekening uit voorbeeld 5.1 kan eenvoudig met behulp van Excel worden bepaald. Hiervoor maken we gebruik van de financiële functie TW (toekomstige waarde). Stel hiervoor het volgende werkblad op. Geef cel C3 het percentageformaat.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

Bij Type_getal wordt een 1 ingevuld. Dit betekent dat de stortingen prenumerando plaatsvinden, ofwel zoals in dit voorbeeld aan het begin van het jaar. Bij postnumerando termijnen kan gekozen worden om niets in te vullen dan wel een 0 in te voeren. Als de stortingen jaarlijkse willekeurige bedragen zijn, moet van elke storting de eindwaarde worden bepaald. De som van alle op deze wijze berekende waarden is het eindsaldo. Op de website staat een uitgewerkt voorbeeld. Voorbeeld 5.2

Bereken het saldo van een spaarrekening per 31 december van het 10de jaar, als men jaarlijks per 1 januari € 1.250,– op deze rekening heeft gestort. De bank vergoedt 5% interest per jaar. Uitwerking Het betreft hier een dadelijk ingaande prenumerando rente met termijnen van € 1.250,– per jaar. Met behulp van een tijdlijn kan men dat als volgt voorstellen:

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

5% 1

2

3

4

10 EW10

Alle termijnen staan dus op interest uit.

71

5

© Noordhoff Uitgevers bv

72

EW10  € 1.250,–  {(1,05)1  (1,05)2  …  (1,05)9  (1,05)10}   € 1.250,–  s  1 0円5  € 1.250,–  (1,05) 

(1,05)10  1  0,05

 € 1.250,–  13,206787  € 16.508,48 Voorbeeld 5.3

Veronderstel dat men niet op 1 januari van elk jaar, maar op 31 december van elk jaar € 1.250,– stort. Bereken ook nu EW10. Uitwerking Het betreft nu een dadelijk ingaande postnumerando rente met termijnen van € 1.250,– per jaar. Met behulp van een tijdlijn kan men dat als volgt voorstellen:

1.250

5

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

5% 1

2

3

4

10 EW10

Hier vindt de eerste storting pas aan het eind van het eerste jaar plaats en deze termijn staat dus een jaar korter uit tegen interest dan de eerste termijn bij een prenumerando rente. Dit geldt ook voor alle volgende termijnen. De laatste termijn bijvoorbeeld levert hier (postnumerando) geen interest meer op, terwijl de laatste termijn van een prenumerando rente nog een vol jaar interest oplevert. Er zijn dus 9 termijnen die interest opleveren. EW10  € 1.250,–  {1  (1,05)1  (1,05)2  …  (1,05)9}   € 1.250,–  (s  9円5  1)  € 1.250,–  a(1,05) 

(1,05)9  1 1b  0,05

 € 1.250,–  (11,577893  1)  € 15.722,37 Opmerkingen 1 Er hebben 10 stortingen van € 1.250,– plaatsgevonden. De eerste 9 zijn door interest aangegroeid, de 10de niet. Deze moet echter wel worden meegenomen in de berekening van de eindwaarde. Het cijfer 1 tussen de haakjes is nodig om de waarde van de laatste termijn mee te nemen. Samen zijn er dus 9  1  10 termijnen in de eindwaarde verwerkt. De eindwaarde is immers: € 1.250,–  s  9 円5  € 1.250,–  € 1.250,–  (s  9円5  1)

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

73

2 Er bestaat verband tussen de uitkomsten van de voorbeelden 5.2 en 5.3, immers: € 15.722,37  1,05  € 16.508,49 Ofwel: EW postnumerando  (1  i)  EW prenumerando Uitwerking met behulp van de grafische rekenmachine • N 10 • I% 5 • PV 0 • PMT 1250 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END (postnumerando rente) • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 15722.36567 Voorbeeld 5.4

Bert van de Berg heeft op 1 januari 2010 een 3% spaarrekening geopend bij de bank waarop hij meteen € 10.000,– heeft gestort. Jaarlijks ontvangt Bert in december een zogenaamde dertiende maand. Hiervan stort Bert aan het eind van elk jaar, voor het eerst op 31 december 2010 en voor het laatst op 31 december 2018, € 600,– bij op zijn spaarrekening. Er wordt nooit iets opgenomen. Wat is het saldo op deze rekening per 31 december 2018, nadat op die datum de laatste € 600,– is gestort? Uitwerking Het gaat hier in feite om de berekening van de eindwaarde van een kapitaal ter grootte van € 10.000,– plus de eindwaarde van een postnumerando rente bestaande uit 9 termijnen, elk groot € 600,–, waarvan de laatste geen interest oplevert. Een tijdlijn geeft een en ander schematisch weer.

10.000 600 600 600 600 600 600 600 600 600 3% 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 EW = ?

EW2018  € 10.000,–  (1,03)9  € 600,–  {1 (1,03)1 (1,03)2 … (1,03)8}  € 10.000,–  S  9 円3  € 600,–  (s  8円3  1)   € 10.000,–  (1,03)9  € 600,–  a(1,03 ) 

(1,03)8  1  1b 0,03

 € 10.000,–  1,304773184  € 600,–  10,15910613  € 19.143,20

5

© Noordhoff Uitgevers bv

74

Uitwerking met behulp van de grafische rekenmachine • APPS, enter, enter • N 9 • I% 3 • PV 10000 • PMT 600 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END (postnumerando rente) • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 19143.19551 Uitwerking met behulp van Excel

5

Voorbeeld 5.5

Iemand stort op 1 januari 2012 € 10.000,– op een bankrekening waarop de bank 4% interest per jaar vergoedt. Ingaande 1 januari 2013 wordt daarvan steeds € 500,– per jaar opgenomen.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

75

Over welk bedrag kan de eigenaar van die bankrekening per 31 december 2020 beschikken, nadat de laatste opname op 1 januari 2020 heeft plaatsgevonden? Uitwerking Men kan de jaarlijkse interestbijschrijving en de jaarlijkse opname beschouwen als twee los van elkaar staande zaken, bijvoorbeeld door zich voor te stellen dat er niet één maar twee rekeningen zijn. Op de eerste staat het beginbedrag van € 10.000,– en daar wordt jaarlijks interest op bijgeschreven, en op de andere rekening worden de jaarlijkse opnamen als schuld geboekt plus de daarover verschuldigde interest. De onderstaande tijdlijn geeft een en ander schematisch weer. 2de rekening (jaarlijkse opname van € 500,-) –500

–500

–500

–500

–500

–500

–500

–500

4% 2012

2013

10.000

2014

2015

2016

2017

2018

2019

1ste rekening (storting van € 10.000)

1ste rekening: EW9  € 10.000,–  (1,04)9 2de rekening: EW9   € 500,–  {(1,04)1  (1,04)2  (1,04)3  …  (1,04)8} Op de gebruikelijke manier uitgeschreven krijgt men dan: EW2020  € 10.000,–  S  9円4  € 500,–  s  8円4   € 10.000,–  (1,04)9  € 500,–  (1,04) 

(1,04)8  1  0,04

 € 10.000,–  1,423312  € 500,–  9,582795   € 14.233,12  € 4.791,40  € 9.441,72 Uitwerking met behulp van de grafische rekenmachine Om dit vraagstuk met de grafische rekenmachine op te lossen, moet de uitwerking in twee delen worden gesplitst. Dit geldt overigens ook voor de uitwerking met behulp van Excel. Het beginkapitaal van € 10.000,– staat immers 9 jaar, terwijl het aantal opnames 8 bedraagt. Zowel Excel als de grafische rekenmachine kan niet in één handeling twee verschillende looptijden verwerken. 1ste rekening: • N 9 • I% 4

2020 EW = ?

5

© Noordhoff Uitgevers bv

76

• • • • • • •

PV 10000 PMT 0 FV 0 P/Y 1 C/Y 1 PMT: BEGIN Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 14233.11812

2de rekening: • N 8 • I% 4 • PV 0 • PMT 500 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN (prenumerando rente) • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 4791.397655 5

EW2020  € 14.233,11812  € 4.791,397655  € 9.441,72

§ 5.3

Berekening van de contante waarde De contante waarde van een rente bestaat uit de contante waarden van alle afzonderlijke bedragen op basis van een bepaald interestpercentage. Dit komt in de praktijk vaak voor, bijvoorbeeld als men voor de balanswaardering de huidige waarde van een reeks toekomstige betalingen wil bepalen, of als men de afkoopwaarde van reeks verplichtingen wil vaststellen. Voorbeeld 5.6

Handelsonderneming Oslo bv heeft nog recht op 4 jaarlijkse betalingen van € 900,– van een van haar oud–directeuren. De eerstvolgende termijn van € 900,– vervalt over een jaar. Oslo bv verzoekt de oud-directeur alle 4 de betalingen nu in één keer te voldoen. De oud-directeur is hiertoe wel bereid maar hij is niet van plan om 4  € 900,–  € 3.600,– te betalen. Hij realiseert zich dat als hij zich aan de oorspronkelijke afspraak houdt nog een aantal jaren interest kan ontvangen. De controller van Oslo bv krijgt de opdracht een contantewaardeberekening te maken op basis van 4% interest per jaar. Uitwerking Allereerst kan worden vastgesteld dat het een dadelijk ingaande postnumerando rente betreft. Schematisch:

© Noordhoff Uitgevers bv

900

CW 1

RENTEN

900 2

900 3

77

900 4

In feite gaat het om 4 kapitalen die respectievelijk 1, 2, 3 en 4 jaar moeten worden teruggebracht onder verrekening van 4% interest per jaar. Men krijgt dan: € 900,–  A  1 円4  € 900,– 

1  € 900,–  0,961538  (1,04)1

€ 865,39

€ 900,–  A  2 円4  € 900,– 

1  € 900,–  0,924556  (1,04)2

- 832,10

€ 900,–  A  3円4  € 900,– 

1  € 900,–  0,888996  - 800,10 (1,04)3

€ 900,–  A  4円4  € 900,– 

1  € 900,–  0,854804  (1,04)4

Totale contante waarde

- 769,32 € 3.266,91

De berekening had ook als volgt uitgeschreven kunnen worden: CW  € 900,  (A  1 円4  A  2円4  A  3円4  A  4円4 )  € 3.266,91 of CW  € 900,–  b

1 1 1 1    r (1,04)1 (1,04)2 (1,04)3 (1,04)4

 € 900,–  (0,961538  0,924556  0,888996  0,854804)   € 900,–  3,629894  € 3.266,91

In feite is er sprake van een meetkundige reeks, waarbij elke volgende term 1 keer lager is. De somformule van een meetkundige reeks luidt: (1,04)

Som  a 

1  rn 1  r

5

© Noordhoff Uitgevers bv

78

Hierbij is a de eerste term, r de reden en n het aantal termijnen. In voorbeeld 5.6 geldt dat a is

1 1 , r is eveneens en n is 4. (1,04) (1,04)

1  CW  € 900,–  1,04

1 1,044 = 1 1 1,04

1

1 1,044 CW  €900,–  = 1,04 1,04  1,04 1

1 1,044  0,04

1 CW  € 900,–  5

CW  € 900,–  3,629895224  € 3.266,91 Algemeen geldt dat de contante waarde van een rente van € 1,– de optelling is van afzonderlijke waarden van A  n 円p. In de financiële rekenkunde noteert men dat als a  n円p (lees kleine a en pee). CW  € 900,–  a  4円4  € 900,–  3,629895224  € 3.266,91. De interesttafels met daarin de diverse waarden van a  n円p staan op de website. Bepaling van de contante waarde met behulp van de rekenmachine

a n 円p =

1 1 1 1   + c+ 1 2 3 (1  i) (1  i) (1  i) (1  i)n

Dit is in voorbeeld 5.6 herleid tot: 1 1  (1  i)n a n円p = i a n円p  Toets in:[()][1  i][^][n][][1][][][i][] a 4円4  Toets in:[()][1,04][^][4][][1][][][0,04][] uitkomst: 3,629895224  € 900,–  € 3.266.91 Bepaling van de contante waarde met behulp van de grafische rekenmachine • N 4 • I% 4 • PV 0 • PMT 900 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END (1ste termijn vervalt over een jaar) • Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 3266.905702

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

79

Bepaling van de contante waarde met behulp van Excel De contante waarde van de 4 betalingen in voorbeeld 5.6 kan met behulp van de financiële Excel-functie HW (huidige waarde) worden berekend.

5

Voorbeeld 5.7

Een belegger heeft geïnvesteerd in een project waarvan hij verwacht dat het hem 10 jaarlijkse bedragen van € 1.250,– zal opleveren. De 1ste termijn van € 1.250,– ontvangt hij meteen per het begin van het 1ste jaar. De andere bedragen ontvangt hij jaarlijks aan het begin van elk jaar. Hij vraagt zijn administrateur de contante waarde van deze 10 termijnen te berekenen op basis van een rente/risicopercentage van 6% per jaar. Uitwerking Er is sprake van een dadelijk ingaande prenumerando rente. De tijdlijn wordt:

© Noordhoff Uitgevers bv

80

1.250 6%

1.250

1.250

1

1.250

2

1.250

3

1.250

4

1.250

5

1.250

6

1.250

7

1.250

8

9

10

CW = ?

De 1ste termijn hoeft niet contant te worden gemaakt. De contante waarde daarvan is uiteraard € 1.250,–. De overige 9 termijnen worden teruggebracht naar het begin van het 1ste jaar. CW  € 1.250,–  a 1 

1 1 1 1   + c+ b 1,061 1,062 1,063 1,069 1 

 € 1.250,–  (1  a 9円6)  € 1.250,–  (1 

1 (1,06)9 ) 0,06

 € 1.250,–  (1  6,801692274)  € 9.752,12 5

Bij de berekening van de contante waarde van een prenumerando rente met behulp van Excel moet in het dialoogscherm bij Type_getal een 1 worden ingevuld. Dit betekent dat de betalingen aan het begin van de periode plaatsvinden. Bij berekening met behulp van de grafische rekenmachine moet bij PMT: gekozen worden voor BEGIN. Voorbeeld 5.8 Als de belegger uit voorbeeld 5.7 de 10 bedragen van € 1.250,– niet aan het begin van een jaar zou ontvangen, maar aan het einde van elk jaar, wat is dan de contante waarde?

Uitwerking Er is nu sprake van een dadelijk ingaande postnumerando rente. Nu moeten wel alle termijnen teruggebracht worden naar het begin van het 1ste jaar. De tijdlijn wordt: 1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

1.250

6% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CW = ?

CW  € 1.250,–  a

1 1 1 1   + c+ b 1,061 1,062 1,063 1,0610 1 

 € 1.250,–  a  10円6  € 1.250,– 

1 (1,06)10  0,06

 € 1.250,–  7.360087051  € 9.200,11

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

81

De contante waarde van de prenumerando rente is hoger dan die van de postnumerando rente. Dit is logisch, omdat bij een prenumerando rente alle bedragen één periode eerder worden ontvangen. De eerste termijn wordt onmiddellijk ontvangen en de laatste over negen jaar, terwijl bij een postnumerando rente de eerste termijn pas over een jaar wordt ontvangen en de laatste over tien jaar. Opmerking Merk op dat ook hier verband bestaat tussen de uitkomsten van de twee bovenstaande voorbeelden: € 9.200,11  1,06  € 9.752,12 Ofwel: CW postnumerando  (1  i)  CW prenumerando

§ 5.4

Uitgestelde renten Bij uitgestelde renten vindt de eerste betaling pas plaats nadat een aantal perioden is verstreken. 5

Voorbeeld 5.9

Johan de Wit heeft recht op 6 jaarlijkse uitkeringen van zijn voormalige werkgever HRC bv ter waarde van € 5.000,– per jaar. De eerste uitkering vervalt per 1 januari 2020. Johan vraagt HRC bv per 1 januari 2017 alles in één keer uit te keren. HRC bv is hiertoe, onder verrekening van 5% interest, wel bereid en geeft de financiële administratie opdracht een en ander voor te bereiden en de uitkoopsom vast te stellen. Uitwerking Omdat er in de reeks van termijnen nu een aantal ontbreekt, moet de berekening van de contante waarde in twee stappen worden gesplitst. Als eerste wordt de contante waarde per 1 januari 2019 van de 6 termijnen van € 5.000,– berekend. Vervolgens berekenen we van dit bedrag de contante waarde per 1 januari 2017. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: CW = ? 5% 2017

5.000 2018

stap 2 A2 5

2019

5.000 2020

5.000 2021

5.000 2022

5.000 2023

5.000 2024

stap 1 a6 5

CW  € 5.000,–  a  6 円5  A  2円5   € 5.000,–  a

1 1 1 1 1    c+  6b  1 2 3 1,05 1,05 1,05 1,05 1,052

1   € 5.000,– 

1 (1,05)6 1   € 23.019,– 0,05 1,052

Er zijn ook nog andere oplossingsmethoden.

2025

© Noordhoff Uitgevers bv

82

Alternatieve uitwerking 1 Zo kan men ook beginnen met het berekenen van de contante waarde per 1 januari 2020 om vervolgens dit bedrag 3 jaar terug te brengen naar 1 januari 2017. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: 5.000

CW = ? 5% 2017

2018

2019

stap 2 A3 5

5.000

2020

5.000

2021

5.000

2022

5.000

2023

5.000

2024

2025

stap 1 (a5 5 + 1)

CW  € 5.000,–  (a  5 円5  1)  A  3円5   € 5.000,–  a1 

1 1 1 1 1    c b 1,051 1,052 1,053 1,055 1,053

 € 23.019,– Alternatieve uitwerking 2 Men kan ook de contante waarde van 8 termijnen berekenen en daar vervolgens de contante waarde van de 2 niet–bestaande termijnen van aftrekken. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit:

5

a8 5 5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

5% 2017

2018

–5.000

2019

2020

2021

2022

2023

2024

2025

–5.000

–a2 5

CW  € 5.000,–  (a  8円5  a  2円5 )   € 5.000,–  e a

1 1 1 1 1  + c+ b  a  bf (1,05)1 (1,05)2 (1,05)8 (1,05)1 (1,05)2

 € 23.019,– Bepaling van de contante waarde bij uitgestelde renten met behulp van de grafische rekenmachine Het vraagstuk van voorbeeld 5.9 zal ook met de grafische rekenmachine in twee stappen moeten worden opgelost. Allereerst worden de 6 betalingen van € 5.000, contant gemaakt per 1 januari 2020. • N 6 • I% 5 • PV 0 • PMT 5000 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN (prenumerando) • Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 26647.38335

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

83

Vervolgens wordt dit bedrag over een periode van 3 jaar contant gemaakt per 1 januari 2017. • N 3 • I% 5 • PV 0 • PMT 0 • FV 26647.38335 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 23019.01164 Bepaling van de contante waarde bij uitgestelde renten met behulp van Excel Excel heeft geen standaardfunctie om de in voorbeeld 5.9 gevraagde berekening uit te voeren. De functie HW kan niet zonder meer worden gebruikt omdat die geen onderbrekingen in de betalingen accepteert. Daarnaast kan de functie NHW ook niet gebruikt worden omdat deze uitgaat van postnumerando betalingen. Een mogelijke oplossing is het opstellen van een werkblad zoals hieronder is weergegeven.

E6 A 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ƒx

=D6/(1+$D$3)^(B6-1)

E B C D Berekening contante waarden bij uitgestelde renten Rentepercentage:

jaren 1 2 3 4 5 6 7 8 9

jaartal 1-1-2017 1-1-2018 1-1-2019 1-1-2020 1-1-2021 1-1-2022 1-1-2023 1-1-2024 1-1-2025

5%

betaling per 1 januari Û Û Û Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00 Û 5.000,00

contante waarde per 1 januari 2017 Û Û Û Û 4.319,19 Û 4.113,51 Û 3.917,63 Û 3.731,08 Û 3,553,41 Û 3.384,20 Û 23.019,01

• Voer in cel E6 de volgende formule in: D6/(1$D$3)^(B61).  Door (B61) in te voeren is de rente prenumerando. De ‘min één’ betekent dat telkens een jaar minder interest verrekend wordt dan bij een postnumerando rente. • Kopieer de formule uit E6 naar de cellen E7 tot en met E14. • Sommeer in E15 de uitkomsten.

5

© Noordhoff Uitgevers bv

84

Ook kan als alternatief eerst de contante waarde per 1 januari 2019 worden bepaald, om vervolgens dit bedrag in één keer terug te brengen naar 1 januari 2017. Voer daarvoor in cel E8 de volgende functie in: HW(D3;6;D9;;0). Vervolgens in cel E6 de functie: HW(D3;2;;E8). Op een soortgelijke wijze kan ook de eindwaarde worden berekend. Op de website staat een uitwerking op basis van voorbeeld 5.10. Voorbeeld 5.10

Marjolein van Hees is op 1 januari 2010 begonnen om jaarlijks € 750,– op een 2,5% spaarrekening te storten. Als gevolg van financiële problemen is zij hier in 2015 mee gestopt. De laatste storting was op 1 januari 2015. Marjolein heeft nog geen geld van deze rekening opgenomen. Over welk bedrag kan zijn per 31 december 2018 beschikken? Uitwerking Omdat er in de reeks van stortingen een aantal ontbreekt, moet de berekening van de eindwaarde in twee delen worden gesplitst. Als eerste wordt de eindwaarde per 31 december 2015 van de 6 stortingen van € 750,– berekend. Vervolgens berekenen we van dit bedrag de eindwaarde per 31 december 2018. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit:

5

750

750

750

750

750

750

EW = ?

2.5% 2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

stap 1 s6 2.5

stap 2 S3 2.5

EW2018  € 750,–  s  6 円2,5  S  3 円2,5  1

2

3

6

3

 € 750,–  (1,025  1,025  1,025  …  1,025 )  1,025   € 750,–  a1,025 

1,0256 1 3 b  1,025  € 5.288,15 0,025

Er zijn ook nog alternatieve oplossingsmogelijkheden. Alternatieve uitwerking 1 Zo kan men ook starten met het berekenen van de eindwaarde per 1 januari 2015. Dit bedrag staat dan vervolgens nog 4 jaar uit tegen 2,5% tot 31 december 2018. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: 750

750

750

750

750

750

EW = ?

2.5% 2010

2011

2012

2013

2014

2015

stap 1 (s5 2.5 + 1)

2016

2017

2018 stap 2 S4 2.5

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

85

EW2018  € 750,–  (s  5 円2,5 1)  S  4円2,5  € 750,–  (1  1,0251  1,0252 …  1,0255)  1,0254  € 5.288,15 Alternatieve uitwerking 2 Men kan ook de eindwaarde van 9 stortingen berekenen en daar vervolgens de eindwaarde van de 3 niet-bestaande stortingen van aftrekken. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: s9 2.5 750

750

750

750

750

750

750

750

750

EW = ?

2.5% 2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016 –750

2017 –750

2018 –750

–s3 2.5

EW2018  € 750,–  (s  9円2,5 s  3 円2,5 )   € 750,–  {(1,0251  1,0252  …  1,0259)  (1,0251  1,0252  1,0253)}  € 5.288,15 Bepaling van de eindwaarde bij uitgestelde renten met behulp van de grafische rekenmachine Evenals het contant maken van uitgestelde betalingen moet ook het bepalen van de eindwaarde in dergelijke gevallen met behulp van de grafische rekenmachine in twee stappen worden gesplitst. Uitgaande van de gegevens van voorbeeld 5.10 wordt allereerst de eindwaarde van de 6 stortingen van € 750,– berekend per 31 december 2015. • N 6 • I% 2,5 • PV 0 • PMT 750 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN (prenumerando) • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 4910.57261

Vervolgens wordt van dit bedrag de eindwaarde over 3 jaar bepaald per 31 december 2018. • N 3 • I% 2,5 • PV 4910.57261 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 5288.149607

5

© Noordhoff Uitgevers bv

86

§ 5.5

Eeuwigdurende renten Het is eenvoudig voorbeelden te geven van tijdelijke renten; eeuwigdurende renten doen zich minder vaak voor. Toch zijn ook daar wel voorbeelden van. • Er zijn gemeenten waar de koper van een huis de grond niet in eigendom, maar in erfpacht krijgt. Dit houdt in dat die koper, en daarna de volgende eigenaren, periodiek aan de gemeente een bepaalde erfpachtcanon moeten voldoen. • In de vorige eeuw heeft de Nederlandse overheid diverse grootboekobligaties uitgegeven die nooit zullen worden afgelost, maar waarop jaarlijks interest wordt uitbetaald. • In 1930 werd door het Duitse Siemens-concern een converteerbare obligatielening uitgegeven, die, als er tijdens de conversieperiode niet zou worden geconverteerd, pas over duizend jaar ineens zou worden afgelost. Hoewel dit natuurlijk een tijdelijke rente (van duizend jaar) betreft, is het qua intentie een eeuwigdurende rente.

5

Eeuwigdurende renten eindigen nooit. Het is daarom niet mogelijk de eindwaarde van een dergelijke rente te berekenen. Op het eerste gezicht zou men zeggen dat het ook niet mogelijk is de contante waarde van zo’n rente te berekenen, het gaat hier immers ook om een oneindig aantal termijnen. Toch is het wel mogelijk. Men moet bedenken dat de contante waarde van verder in de toekomst vervallende termijnen snel afneemt. Als zo’n rente bestaat uit termijnen van € 1.000,– die contant worden gemaakt onder verrekening van 10% interest per jaar, dan is de contante waarde van de termijn die over één jaar vervalt, € 909,09. De contante waarde van de termijn die over vijftig jaar vervalt, is dan € 8,52 en van de termijn die over honderd jaar vervalt, slechts € 0,07! Voorbeeld 5.11

Iemand krijgt een 4 % onaflosbare grootboekobligatie van nominaal € 1.000,– aangeboden. De eerstkomende interestbetaling vindt over een jaar plaats. Wat zal hij bereid zijn te betalen voor deze obligatie als hij minimaal 5% interest per jaar over zijn geïnvesteerd vermogen wenst te behalen? Uitwerking In feite gaat het hier om een eeuwigdurende rente met postnumerando jaartermijnen van € 40,–. Als deze persoon de nominale waarde van € 1.000,– voor die obligatie zou betalen, ontvangt hij slechts 4% rendement over zijn geïnvesteerd vermogen. Dit houdt dus in dat hij minder dan € 1.000,– voor die obligatie zal betalen. Aangezien hij weet dat hij nooit meer dan € 40,– per jaar zal ontvangen, stelt hij die opbrengst gelijk aan 5% van zijn investering. Ofwel: 0,05  CW  € 40,– CW 

€ 40,–  € 800,– 0,05

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

87

Immers, als hij € 800,- op een spaarbank uitzet tegen 5% interest per jaar, kan hij in het vervolg ook € 40, per jaar aan rente ontvangen. Hij bereikt daarmee hetzelfde rendement als met de aankoop van die obligatie. Zou de eerste interestbetaling al direct bij de aankoop van de obligatie worden ontvangen, met andere woorden zou het een prenumerando rente zijn, dan zal de belegger voor die grootboekobligatie € 840,– willen betalen. Immers: CW  € 800,–  € 40,–  € 840,– Ook hier geldt het al eerder aangetoonde verband tussen de contante waarde van een postnumerando en een prenumerando rente: CW postnumerando  (1  i)  CW prenumerando € 800,–  1,05  € 840,– Uit dit voorbeeld kan worden afgeleid dat de algemene formule voor de contante waarde van een eeuwigdurende postnumerando rente is: CW 

T i

waarin: CW  de contante waarde; T  de jaarlijkse termijn; i  het interestperunage. Voorbeeld 5.12

Een huiseigenaar heeft de grond waarop zijn huis is gebouwd in erfpacht van de gemeente. Jaarlijks moet hij hiervoor per 31 december € 1.000,– betalen. De eigenaar wil nu een bedrag op een spaarrekening zetten dat voldoende groot is om jaarlijks € 1.000,– interest op te leveren, waarmee hij dan zijn erfpachtcanon kan voldoen. De bank vergoedt hem 5% interest per jaar. Bereken de grootte van het te storten bedrag. Uitwerking CW 

: 1.000,– T =  € 20.000,– i 0,05

Dit kan men ook vinden door de contante waarde uit te schrijven als: CW 

€1.000,– € 1.000,– € 1.000,– € 1.000,–    c 1,05 (1.05)2 (1,05)3 (1,05)苲

5

© Noordhoff Uitgevers bv

88

Dit is een oneindig afdalende meetkundige rij. De somformule van zo’n reeks is: Som 

a 1r

waarin: a  de eerste termijn, hier: r  de reden, hier:

€ 1.000,– 1,05

1 1,05

Ingevuld in de formule geeft dit: € 1.000,– € 1.000,– € 1.000,– 1,05 = =  € 20.000,– CW  1 1,05  1 0,05 1 1,05

5

De contante waarde wordt lager naarmate de betalingen verder in de toekomst liggen. Zo is bijvoorbeeld de contante waarde van de 500ste betaling van € 1.000,– verrekend tegen 5% € 0,00000002543024035986340, en de som van de contante waarden van de 500ste tot en met de 1.000ste betaling slechts € 0,0000005340350475435520 en dus verwaarloosbaar. Dit betekent dat, ondanks het feit dat betalingen eeuwigdurend doorgaan, een contante waarde met behulp van de grafische rekenmachine of Excel valt te berekenen door uit te gaan van een looptijd van bijvoorbeeld 1.000. Een uitwerking hiervan staat op de website.

§ 5.6

Bepaling van het percentage Als van een bepaald aantal termijnen de eindwaarde of contante waarde bekend is, kan men het (gemiddeld) gehanteerde interestpercentage berekenen. Voorbeeld 5.13

Een belegger heeft op 1 januari 2010 en verder steeds op 1 januari van de volgende jaren een pakketje aandelen gekocht voor € 1.500,–. Op 31 december 2017 is de waarde van zijn belegging gegroeid tot € 16.274,29. De belegger vraagt zijn beleggingsadviseur bij de bank te bepalen wat zijn gemiddeld rendement over de afgelopen jaren is geweest.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

89

Als we de beleggingen op een tijdlijn plaatsen krijgen we het volgende beeld: 1.500 ?%

1.500 2010

1.500 2011

1.500 2012

1.500 2013

1.500 2014

1.500 2015

1.500 2016

2017 EW = 16.274,29

EW2017  € 1.500,–  s  8 円p  € 16.274,29  € 1.500,–  {(1  i)1  (1  i)2  (1  i)3  …  (1  i)8}  € 16.274,29 Met een ‘gewone’ rekenmachine is dit alleen via de zogenaamde ‘trial and error’–methode op te lossen. De grafische rekenmachine biedt hier hulp. • N 8 • I% 0 • PV 0 • PMT 1500 • FV 16.274,29 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN • Cursor naar I%, ALPHA, enter → resultaat 6.74047842 ofwel 6,74% rendement Bepaling van het percentage met behulp van Excel In paragraaf 3.4 hebben we kennisgemaakt met de RENTE-functie van Excel. Met deze functie is, ook bij renten, het bepalen van het gemiddeld gerealiseerde percentage eenvoudig. Houd bij het invullen van de functieargumenten rekening met het feit dat in Excel de jaarlijkse stortingen negatief moeten worden weergegeven omdat ze als betalingen op een schuld worden beschouwd. Men kan er ook voor kiezen de stortingen positief weer te geven en het eindsaldo negatief.

Op basis van voorbeeld 5.13 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

5

© Noordhoff Uitgevers bv

90

§ 5.7 5

Bepaling van de looptijd Bepaling van de (resterende) looptijd komt voor bij het aangaan van een lening waarbij voor interest en aflossing samen een ‘mooi’ afgerond bedrag wordt afgesproken. Ook kan men dit soort berekeningen aantreffen als een schuldenaar een gedeelte van zijn schuld vervroegd heeft afgelost. Voorbeeld 5.14

Harrie van Eck begint een zaak in natuurvoeding. Hij huurt een mooie locatie in het buitengebied en heeft bij de bank een 8% lening afgesloten van € 25.000,–. Met de bank is afgesproken dat hij jaarlijks aan aflossing en interest samen € 5.000,– betaalt. De eerste maal over een jaar. Harrie vraagt zich hoelang het duurt voordat de hele lening van € 25.000,– zal zijn terugbetaald. Uitwerking In feite gaat het om een postnumerando rente met n jaartermijnen van € 5.000,– die tegen 8% interest per jaar nu contant € 25.000,– waard is. De volgende tijdlijn geeft dit schematisch weer: 5.000

5.000

5.000

5.000

8% 1

2

3

n=?

CW = 25.000

€ 25.000,–  € 5.000,–  a  n 円8  : 25.000,9  € 5.000,–  a

1 1 1 1   c b = 1,081 1,082 1,083 1,08n

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

91

1 1,08n  0,08

1  : 25.000,9  € 5.000,–  1 1,08n 5 0,08

1 

1 

1  0,4 1,08n

1  0,6 1,08n 1,08n 

1 0,6

1,08n  1,666667 Door gebruik te maken van logaritmen is de looptijd met behulp van een rekenmachine te bepalen. n log 1,08  log 1,666667 Toets in: [log][1,666667][][log][1,08][]: uitkomst 6,63746 0,63746 jaar  0,63746  365 dagen  233 dagen De exacte looptijd is derhalve 6 jaar plus 233 dagen. Bepaling van de looptijd met behulp van de grafische machine • N 0 • I% 8 • PV 25000 • PMT 5000 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar N, ALPHA, enter → resultaat 6.637457293 Bepaling van het percentage met behulp van Excel In paragraaf 3.3 hebben we kennisgemaakt met de NPER-functie van Excel. Met deze functie is, ook bij renten, het bepalen van de looptijd (aantal termijnen) eenvoudig.

Op basis van voorbeeld 5.14 kan in Excel het volgende werkblad worden opgesteld:

5

© Noordhoff Uitgevers bv

92

5

Voor de praktijk is deze exacte looptijd niet zo relevant. Nadat zes maal € 5.000,– is betaald, is er een restant. Dit kan op twee manieren worden verrekend: 1 Men spreekt af dat de laatste betaling van de volle € 5.000,– wordt verhoogd met het restant. 2 Men spreekt af dat het restant een jaar na betaling van de laatste volle € 5.000,– wordt voldaan. Ad 1 Betaling restant tegelijk met de laatste termijn Bereken het bedrag waarmee de laatste betaling van € 5.000,– moet worden verhoogd. Het restant wordt op X gesteld en wordt eind van het 6de jaar samen met de afgesproken termijn van € 5.000,– betaald. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: 5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

5.000 + X

8% 1

2

3

4

CW = 25.000

Per het begin van het eerste jaar geldt: € 25.000,–  € 5.000,–  a  6 円8  X  A  6 円8

5

6

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

93

1 1 1 1 1   + c+ b  X  1,081 1,082 1,083 1,086 1,086 1 1  1,086 1 € 25.000,–  € 5.000,–   X  0,08 1,086 € 25.000,–  € 5.000,–  a

€ 25.000,–  € 5.000,–  4,622880  0,630170  X € 25.000,–  € 23.114,40  0,630170  X X  € 2.992,21 De laatste betaling wordt in totaal € 5.000,–  € 2.992,21  € 7.992,21 Met de grafische rekenmachine kan X als volgt worden bepaald: • N 6 • I% 8 • PV 25000 • PMT 5000 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 2992.21289

5

Ad 2 Betaling restant een jaar na de laatste termijn Bereken het bedrag dat een jaar na betaling van de laatste termijn van € 5.000,– moet worden voldaan. Het restant X wordt hier dus aan het eind van het 7de jaar betaald. Op een tijdlijn ziet dat er als volgt uit: 5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

X

8% 1

2

3

4

5

6

7

CW = 25.000

Per het begin van het eerste jaar geldt: € 25.000,–  € 5.000,–  a  6円8  X  A  7 円8 € 25.000,–  € 5.000,–  a

1 1 1 1 1   + c b +X  1,081 1,082 1,083 1,086 1,087

© Noordhoff Uitgevers bv

94

1 1,086 1  X  0,08 1,087

1 € 25.000,–  € 5.000,– 

: 25.000,– = €5.000,–  a  6円8  X  A  7円8 € 25.000,–  € 5.000,–  4,622880  0,583490  X € 25.000,–  € 23.114,40  0,583490  X X  € 3.231,59 Dit laatste bedrag had ook anders bepaald kunnen worden. Het restant wordt namelijk exact 1 jaar later betaald dan bij het eerste alternatief, ofwel € 2.992,21  1,08  € 3.231,59. Dat is ook de wijze waarop X met de grafische rekenmachine wordt bepaald: • N 1 • I% 8 • PV 2992.21289 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 3231.589921

5

§ 5.8

Schuldomzetting Particulieren en bedrijven kunnen in betalingsproblemen komen. De oorzaak hiervan kan divers zijn, zoals tegenvallende omzetten, kredietcrisis, onverwacht noodzakelijke uitgaven, verlies van werk, en echtscheiding. Dit treft niet alleen bedrijven en particulieren maar ook landen. Zuid-Europese landen en met name Griekenland zijn hiermee uitvoerig in het nieuws geweest. Om een faillissement te voorkomen kan men met de schuldeiser proberen tot overeenstemming te komen en de schuld om te zetten. De kern van de oplossing is vaak een verlenging van de looptijd waardoor de acute betalingsproblemen worden verkleind. Het is ook mogelijk dat een contante schuld wordt omgezet in een schuld met aflossing in termijnen. Voorbeeld 5.15

Investeringsmaatschappij PréInvest heeft op 1 januari 2012 geld uitgeleend aan Van Diepen bv. De lening zal op basis van 9% rente in 15 jaarlijkse betalingen van € 10.000,– worden terugbetaald, voor de eerste maal op 31 december 2012. In december 2016 raakt Van Diepen bv in liquiditeitsproblemen. Nadat met de grootste moeite de termijn van 31 december 2016 is voldaan, verzoekt Van Diepen bv PréInvest de resterende (nog 10 jaar durende) schuld om te zetten in een 20-jarige schuld met gelijke jaartermijnen, waarvan de eerste vervalt op

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

95

31 december 2017. PréInvest is hiertoe op basis van 9% interest per jaar bereid. De afdeling Financiën van PréInvest krijgt de opdracht de nieuwe jaarlijkse termijnen vast te stellen. Voer deze berekening uit. Uitwerking Essentieel bij de oplossing van dit soort vraagstukken is de gelijkstelling van beide betalingsmethoden. De contante waarde van de resterende 10 termijnen van € 10.000,– moet gelijk zijn aan de contante waarde van de 20 nieuwe termijnen. Zouden die twee contante waarden niet aan elkaar gelijk zijn, dan zou bijvoorbeeld de debiteur vergeleken met de oorspronkelijke afspraak te veel betalen, of zou de crediteur te weinig ontvangen. In beide gevallen zou de omzetting door een van de partijen worden afgewezen. Stelt men de nieuwe jaartermijn op X, dan zijn met behulp van een tijdlijn beide betalingsmethoden als volgt voor te stellen: De oorspronkelijke situatie per 1 januari 2017 10.000

10.000

10.000

10.000

10.000

10.000

9% 2017

2018

2019

2024

2025

2026

De situatie na schuldomzeting per 1 januari 2017 X

9% 2017

X 2018

X 2019

X 2034

X 2035

X 2036

€ 10.000,–  a  1 0円9  X  a  2 0円9 € 10.000,–  a

1 1 1 1 1 1 + + c+ b X a + + c+ b 1,091 1,092 1,0910 1,091 1,092 1,0920 1 1 1  1,0910 1,0920 X 0,09 0,09

1 € 10.000,– 

€ 64.176,58  9,128546 X X  € 7.030,32

5

© Noordhoff Uitgevers bv

96

Voorbeeld 5.16

A heeft een schuld aan B van € 12.500,– die nu zou moeten worden betaald. Door omstandigheden beschikt A niet over dit bedrag en hij verzoekt B zijn schuld te mogen aflossen in 6 jaarlijkse bedragen, waarvan de eerste over 1 jaar. B stemt toe, maar berekent wel 5% interest per jaar. Bereken de jaarlijkse termijn. Uitwerking Hier wordt dus een contante schuld omgezet in een postnumerando rente met 6 jaartermijnen. Stelt men de jaartermijn op X, dan wordt de tijdlijn: X

12.500 5% 1

X 2

X 3

X 4

X 5

X 6

5

€ 12.500,–  X  a  6円5 1 1 1  + c+ b 1,051 1,052 1,056 1 1  1,056 X 0,05

€ 12.500,–  X  a

X  € 2.462,72 A betaalt dus 6 maal € 2.462,72 om zijn schuld van € 12.500,– te voldoen. Dit is overigens een annuïteitenberekening waarop in het volgende hoofdstuk verder wordt ingegaan. Ook bij het omzetten van een schuld kan Excel gebruikt worden. Ten eerste wordt met behulp van de functie HW de contante waarde van de restantschuld bepaald, op de wijze die in paragraaf 5.3 is behandeld. Vervolgens wordt voor het bepalen van de nieuwe reeks betalingen gebruikgemaakt van de financiële functie BET. Deze bepaalt de periodieke betalingen. Voorbeeld 5.17

Op grond van voorbeeld 5.15 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

97

5

Uitgaande van de gegevens van voorbeeld 5.15 kan met de grafische rekenmachine X als volgt worden bepaald: • N 10 • I% 9 • PV 0 • PMT 10000 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 64176.57701 Pas nu de waarden van N, PV en PMT aan naar de nieuwe situatie. • N 20 • I% 9 • PV 64176.57701 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 7030.31779

§ 5.9

Investeringsbeoordeling Bij investeren wordt geld uitgegeven aan een machine die, of project dat in de toekomst ontvangsten oplevert. Er is sprake van onzekerheid en tijdvoorkeur. Er wordt immers nú geld uitgegeven terwijl de ontvangsten op zich laten wachten. Financiële rekenkunde wordt veelvuldig toegepast bij de beoordeling of een investering zinvol is. Bij het beoordelen van investering gaat het om

© Noordhoff Uitgevers bv

98

vergelijking van uitgaven en ontvangsten, de zogenaamde cashflows. Behalve de investeringsuitgave en eventuele restwaarde bestaan cashflows uit de nettowinst plus de afschrijvingen. Methoden waarbij tijdvoorkeur bij een investeringsbeoordeling wordt verwerkt, worden ook wel discounted cashflow methoden genoemd. Voorbeeld 5.18

Van Lier bv wil investeren in een nieuwe machine. Deze kost € 600.000,- en heeft naar verwachting over 5 jaar een restwaarde van € 20.000,-. De controller van Van Lier verwacht 5 jaar een jaarlijkse cashflow van € 155.000,-. Bij het beoordelen of deze investering economisch verantwoord is, vereist de directie minimaal 8% rendement en veronderstelt ze dat de investeringsuitgave aan het begin van het 1e jaar wordt gedaan en dat de jaarlijkse cashflows en de restwaarde aan het einde van een jaar ontvangen worden. De directie weet niet of ze in deze machine moet investeren en vraagt de controller om advies. 5

Uitwerking In feite gaat het hier om de vergelijking van een aantal ontvangsten en uitgaven in de tijd. De volgende tijdlijn geeft dit schematisch weer: −600.000 8% 1

2 155.000

NCW = ?

3 155.000

4 155.000

5 155.000

155.000 20.000

In plaats van de contante waarde wordt hier de netto contante waarde (NCW) berekend, waarbij uitgaven en ontvangsten worden gesaldeerd. NCW  – € 600.000,-  € 155.000,-  a  5円8  € 20.000,-  A  5円8  € 32.481,72 Dit betekent dat de contante waarde van de ontvangsten € 32.481,72 groter is dan de contante waarde van de uitgave. Conclusie: de investering is economisch verantwoord. Ze voldoet aan het minimale rendement van 8% dat de directie van Van Lier wenst. In plaats van de netto contante waarde te bepalen had ook het gerealiseerd rendement berekend kunnen worden. Als dit 8% of meer is, mag de investering als economisch verantwoord worden bestempeld. € 600.000,-  € 155.000,-  a  5円p  € 20.000,-  A  5円p Om dit te berekenen maken we gebruik van de Excel-functie IR. Dit staat voor Interne Rentevoet. Op basis van voorbeeld 5.18 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

© Noordhoff Uitgevers bv

C12

RENTEN

ƒx

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

=IR(C5:C10) B

C

Bepaling rendement investering

Investeringsuitgave Cashflow 1 Cashflow 2 Cashflow 3 Cashflow 4 Cashflow 5 (inclusief restwaarde)

Û Û Û Û Û Û

Gerealiseerd rendement:

-600.000 155.000 155.000 155.000 155.000 175.000 10,00%

5

IR Waarden C5:C10

= {-600000;155000;155000;155000;155...

Schatting

= getal = 0,099993821

Berekent de interne rentabiliteit voor een reeks cashflows. Waarden is een matrix of verwijzing naar cellen die getallen bevatten waarvoor u de interne rentabiliteit wilt berekenen. Resultaat formule = 10,00% Help-informatie over deze functie

OK

Ook op basis van bepaling van het gerealiseerd rendement, de zogenaamde interne rentabiliteit, kan de controller van Van Lier een positief advies uitbrengen.

§ 5.10

99

Voorbeelden uit de praktijk Interestberekeningen kom je in de praktijk in allerlei vormen tegen. We behandelen aan de hand van voorbeelden: • de (bank)spaarhypotheek; • het rood staan bij de bank; • het behalen van een rijbewijs op afbetaling; • de bepaling van het rendement van een belegging.

Annuleren

© Noordhoff Uitgevers bv

100

Voor het bepalen van de spaarpremie kan ook de grafische rekenmachine worden gebruikt. (Bank)Spaarhypotheek Tijdens de looptijd van een bankspaarhypotheek wordt niets afgelost. De geldnemer betaalt de volle looptijd rente over de hoofdsom. Daarnaast betaalt hij maandelijks een spaarpremie. Dit bedrag wordt door de geldgever belegd, en wel tegen hetzelfde percentage als de overeengekomen hypotheekrente. Voordeel van deze hypotheekvorm is dat de geldnemer over de volle looptijd kan profiteren van belastingvoordeel over de betaalde rente en tegelijkertijd op een aantrekkelijke wijze vermogen opbouwt. Spaarhypotheken waren erg populair. Met ingang van 2013 is het door de ‘Wet herziening fiscale behandeling eigen woning’ niet meer toegestaan om nieuwe leningen op deze voorwaarden af te sluiten. Er zijn echter nog veel huishoudens met dit soort hypotheken. Voorbeeld 5.19 5

Voor de aankoop van een nieuwe woning sluit de eigenaar een 6,6%spaarhypotheek af van € 300.000,–. De looptijd is 30 jaar. Zowel de interest als de spaarpremie moet maandelijks aan het begin van de maand worden betaald. Bereken de maandelijks te betalen bedragen aan interest en spaarpremie. Uitwerking De interest per maand bedraagt:

0,066  € 300.000,–  € 1.650,– 12

Voor de berekening van de spaarpremie wordt uitgegaan van 6,6%  0,55% per maand: 12 € 300.000,–  X  (1,0055) 

(1,0055)360  1 0,0055

€ 300.000,–  1134,122947X X  € 264,52 Met de grafische rekenmachine kan de spaarpremie als volgt worden bepaald: • APPS, enter, enter • N 360 • I% .55 • PV 0 • PMT 0 • FV 300000 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN • Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 264.52158

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

101

Totaal bedraagt de maandelijkse (bruto)hypotheeklast: € 1.650,–  € 264,52  € 1.914,52 De effectieve interest bedraagt: (1  i)  (1,0055)12 i  (1,0055)12  1  1,068033  1  0,068033 ofwel 6,8% Na een rentevaste periode van 5 jaar wordt de interest opnieuw voor 5 jaar vastgesteld, en wel op 9%. Bereken de nieuwe maandelijks te betalen bedragen aan interest en spaarpremie. Uitwerking De interest per maand bedraagt:

0,09  € 300.000,–  € 2.250,– 12

Voor de berekening van de spaarpremie wordt uitgegaan van 9,0%  0,75% per maand: 12

(1,0055)60  1 (1,0075)300  1  (1,09)25 + X  (1,0075)  € 300.000,–  264,52  (1,0055)  0,0055 0,0075 € 300.000,–  162.511,09  1.129,530352X X  € 121,72 Totaal bedraagt de maandelijkse (bruto)hypotheeklast: € 2.250,–  € 121,72  € 2.371,72 Hier wordt een van de voordelen van de spaarhypotheek zichtbaar. Ondanks een rentestijging van 36,4% zijn de maandelijkse (bruto)lasten maar met 23,9% gestegen. Rood staan bij de bank Als iemand meer uitgeeft dan zijn banksaldo, komt hij ‘in de min’ te staan. Hij heeft dan een schuld op zijn betaalrekening aan de bank. Officieel noemt men dit een rekening-courantkrediet, maar het is ook bekend onder de term ‘rood staan’. Banken staan dit toe en dat biedt klanten de mogelijkheid om op een eenvoudige wijze geld te lenen. Er wordt wel afgesproken hoeveel je rood mag staan (kredietlimiet) en hoe aflossing plaatsvindt. Voorbeeld 5.20

Een bank geeft op haar website de volgende informatie: ‘De ene maand pakt soms wat duurder uit dan de andere. U kunt rood staan wanneer het u uitkomt.’ De bank heeft daarvoor het ‘Privélimiet Plus’ in het leven geroepen.

5

© Noordhoff Uitgevers bv

102

Privélimiet Plus Rentepercentages Privélimiet Plus De verschillende mogelijkheden met de bijbehorende rentepercentages Limiet in EUR

Maandlast (o.b.v. 2,5% van de kredietlimiet)

Effectieve rente op jaarbasis

Theor. looptijd in maanden

Totale prijs van het krediet in EUR

EUR 1.000,EUR 2.500,EUR 4.500,EUR 7.500,-

25 63 113 188

14,9% 13,5% 12,3% 11,8%

55 52 51 50

1.375,3.276,5.763,9.400,-

Controleer de door de bank aangegeven theoretische looptijd bij een limiet van € 1.000,–.

5

Uitwerking Het interesttarief per maand bedraagt: (1 i)12  1,149 1/12 (1 i)  1,149 i  1,1491/12  1  1,01164  1  0,01164 ofwel 1,164% per maand 1 1  (1,01164)n € 1.000,–  € 25,–  0,01164 1 1  (1,01164)n  40 0,01164 1   0,4656 (1,01164)n 1  0,5344 (1,01164)n 1,01164n n log 1,01164 n

 1,871257  log 1,871257  54,14 maanden

De looptijd bedraagt dus inderdaad 55 maanden, waarin 54 maal € 25,– betaald moet worden en een restant in de 55ste maand. Rijbewijs op afbetaling Aanbiedingen waarbij auto’s, meubels, audio- en videoapparatuur te koop worden aangeboden, waarbij de klant de aankoopprijs in termijnen kan betalen, zijn algemeen bekend. Soms wordt ook de mogelijkheid gecreëerd om een dienst op afbetaling aan te schaffen. In het volgende voorbeeld wordt het aanbod van een rijschool behandeld. Voorbeeld 5.21

Een autorijschool biedt studenten de volgende regeling aan: een pakket van 36 lessen inclusief theorie en examen, voor € 1.800,–. Het is mogelijk om niet in één keer maar in termijnen van € 40,– per maand

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTEN

103

te betalen. In de kleine lettertjes staat dat er dan een rente van 1,5% per maand in rekening wordt gebracht. Wat is de interest op jaarbasis, en wat is de looptijd? Uitwerking Per jaar wordt in rekening gebracht: (1  i)  (1,015)12 i  (1,015)12  1  1,195618  1  0,1956 ofwel 19,56% € 1.800,– € 40,–  a  n円1,5 1  € 1.800,–  € 40,–  1 

1 (1,015)n 0,015

1 (1,015)n  45 0,015 5

1  0,675 1  (1,015)n 1 (1,015)n

 0,325

1,015n n log 1,015 n

 3,076923  log 3,076923  75,48 ofwel ruim 75 maanden (meer dan 6 jaar!)

Beleggingsrendement Als geld op een spaarrekening wordt gestort is het interestpercentage dat de spaarder kan verdienen in vrijwel alle gevallen vooraf bekend. Als geld echter in aandelen of beleggingsfondsen wordt omgezet is vooraf nooit bekend wat verdiend zal worden. Achteraf kan op eenvoudige wijze berekend worden wat het behaalde rendement is geweest. Voorbeeld 5.22

Een belegger ontvangt van een grote landelijke beleggingsinstelling onderstaand bericht: ‘Binnenkort vallen uw participaties vrij. Met deze belegging hebt u in vijf jaar tijd een totaalrendement van 17,5% behaald. Dit is relatief hoog gezien de slechte beursjaren.’ Wat is het gemiddeld per jaar gerealiseerde rendement? Uitwerking (1  i)5  1,175 (1  i)  1,1751/5 i  1,1751/5  1  1,032779  1  0,0328 ofwel 3,3% Dit is wellicht ook een mooi rendement, maar het komt anders over dan het in het bericht gestelde.

© Noordhoff Uitgevers bv

104

Definities en formules

5

Renten

Een aantal periodiek, met gelijke tussenpozen vervallende bedragen.

Termijn

De hoogte van het periodiek vervallend bedrag van de rente.

Prenumerando

De termijnen vervallen aan het begin van een periode.

Postnumerando

De termijnen vervallen aan het eind van een periode.

s n円p

Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de eindwaarde (slotwaarde) van een rente over n perioden tegen p procent.

TW

Excel-functie voor het berekenen van de eindwaarde (toekomstige waarde).

a n円p

Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor de berekening van de contante waarde (aanvangswaarde) van een rente over n perioden tegen p procent.

HW

Excel-functie voor het berekenen van de contante waarde (huidige waarde).

Uitgestelde renten

Een vorm van aflossen van een lening waarbij de eerste betaling pas na een aantal perioden plaatsvindt.

Eeuwigdurende renten

Periodieke betalingen die blijven voortduren door het ontbreken van aflossingen.

Schuldomzetting

Aanpassing van de voorwaarden van interest-en aflossingsverplichtingen van een bestaande lening, veelal als gevolg van liquiditeitsproblemen bij de schuldenaar.

© Noordhoff Uitgevers bv

105

Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. *

5.1

Bereken de eindwaarde na 15 jaar van een rente met 15 jaartermijnen van € 1.200,– op basis van 6% samengestelde interest per jaar als: a de termijnen prenumerando vervallen; b de termijnen postnumerando vervallen. c Toon aan dat de uitkomsten van a en b van elkaar kunnen worden afgeleid.

5.2

Bereken de eindwaarde aan het eind van het 7de jaar van een halfjaarlijkse rente groot € 375,– als de eerste termijn per het begin van het 1ste jaar wordt voldaan en men zich baseert op 3% samengestelde interest per halfjaar.

*

5.3

Iemand stort jaarlijks met ingang van 1 januari 2012 € 1.500,– op een bankrekening. De laatste storting vindt plaats op 1 januari 2022. De bank schrijft jaarlijks 4% interest op de rekening bij. Bereken het saldo op deze spaarrekening per: a 1 januari 2023; b 1 januari 2022; c 31 december 2022.

*

5.4

Iemand stort op 31 december 2005 € 25.000,– op een bankrekening. Met ingang van 31 december 2010 voegt hij daar jaarlijks € 5.000,– aan toe. Bereken het saldo op deze bankrekening per 1 januari 2024 als men zich baseert op 5% interest per jaar.

5.5

Iemand stort op 31 december 2013 € 100.000,– op een depositorekening. Met ingang van 31 december 2014 neemt hij jaarlijks € 2.500,– op. Bereken het saldo op deze depositorekening per 1 januari 2026, als de bank 6% interest per jaar vergoedt.

5.6

Om de zilveren bruiloft groots te kunnen vieren wil een echtpaar op 31 december 2025 beschikken over € 10.000,–. Daartoe wordt jaarlijks, te beginnen op 1 januari 2019, een bedrag op een rekening bij een bank gestort. De bank schrijft op 31 december van elk jaar 6% interest bij. Bereken het bedrag dat elk jaar op de rekening moet worden gestort om het gewenste doel te bereiken.

5.7

Een vader opent op 1 september 2017 een spaarrekening ten gunste van zijn dochter die volgens de planning op 1 september 2019 gaat studeren. Hij is goed op de hoogte van het bestedingspatroon van zijn dochter.

*

5

© Noordhoff Uitgevers bv

106

Hij stort daarom jaarlijks, te beginnen op 1 september 2017 en voor het laatst op 1 september 2021, een bedrag van € 2.196,34 op een rekening waarop 6% interest per jaar wordt vergoed. De dochter, die geen rekening met studievertraging houdt, neemt jaarlijks, voor de eerste maal op 1 september 2019, € 3.000,– van de rekening op. De laatste maal neemt zij dit bedrag per 1 september 2022 op. Bereken op basis van samengestelde interest het saldo op deze rekening: a per 1 september 2019, na de storting op die datum maar vóór de opname op die dag; b per 1 september 2022 na de opname van die dag. *

5.8

5

Een spaarder besluit met ingang van 1 januari 2009 ieder halfjaar een bedrag van € 250,– te sparen. Hij is van plan dit voor de laatste maal op 1 juli 2020 te doen en het hele tegoed op 1 januari 2021 op te nemen. De bank garandeert hem de volgende interest: • gedurende de jaren 2009 t/m 2011: 1,25% per halfjaar; • gedurende de jaren 2012 t/m 2015: 1,50% per halfjaar; • gedurende de jaren 2016 t/m 2021: 3,53% per jaar. a Bereken het tegoed waarover de spaarder kan beschikken op 1 januari 2021.

In afwijking van de plannen besluit de spaarder met ingang van 1 januari 2016 te stoppen met de periodieke stortingen. In plaats daarvan neemt hij elk halfjaar € 100,– op, voor de eerste maal op 1 januari 2016 en voor de laatste maal op 1 juli 2020. b Bereken het tegoed waarover de spaarder nu kan beschikken op 1 januari 2021. *

5.9

Een bedrijf moet jaarlijks per 31 december een bedrag van € 24.000,– betalen. Het besluit hiervoor maandelijks op de laatste dag van de maand een gelijk bedrag op een spaarrekening te zetten, zodat het saldo van deze rekening per 31 december precies gelijk is aan de betalingsverplichting. De rente op de spaarrekening bedraagt 0,5% samengestelde interest per maand. Bereken welk bedrag maandelijks gestort moet worden.

*

5.10

Bereken de contante waarde van 15 termijnen groot € 1.000,– per jaar op basis van 6% interest per jaar als: a de termijnen prenumerando vervallen; b de termijnen postnumerando vervallen. Toon aan dat de uitkomsten van a en b van elkaar kunnen worden afgeleid.

*

5.11

Bereken de contante waarde per 1 juli 2020 van een rente groot € 3.000,– per halfjaar, waarvan de eerste termijn vervalt op 1 januari 2021 en de laatste op 1 juli 2020, bij een interestvergoeding van 4% per halfjaar.

*

5.12

Bereken de contante waarde van 20 termijnen groot € 700,– per halfjaar op basis van 8% interest per jaar als de termijnen postnumerando vervallen.

5.13

Iemand heeft op 1 januari 2019 een schuld van € 40.000,–. Met de schuldeiser maakt hij de afspraak dat deze schuld als volgt zal worden verrekend: • Hij betaalt met ingang van 1 januari 2020 en vervolgens op 1 januari van de volgende 4 jaren € 8.000,–. • De schuldeiser berekent 5% interest per jaar en de totale interest wordt afgerekend op 1 januari 2019. Bereken het bedrag dat de schuldenaar op 1 januari 2019 moet voldoen.

© Noordhoff Uitgevers bv

OPGAVEN

107

*

5.14

Een student heeft door zijn studie een flinke studieschuld opgebouwd, die hij in een aantal jaren gespreid moet aflossen. Omstandigheden maken het hem mogelijk de gehele schuld nu ineens af te lossen. De schuldeiser in Groningen is bereid hierover te onderhandelen. Is het in het belang van de student om het hierbij toe te passen interestpercentage zo hoog of zo laag mogelijk overeen te komen? Antwoord motiveren.

*

5.15

Bereken de eindwaarde per 31 december 2019 van een rente groot € 850,– per jaar, waarvan de eerste termijn wordt betaald op 1 januari 2000 en de laatste op 1 januari 2014. De berekening moet plaatsvinden op basis van 5% interest per jaar.

*

5.16

Bereken de contante waarde van een 4 jaar uitgestelde prenumerando rente, bestaande uit 7 jaarlijkse termijnen die elk € 2.350,– groot zijn, bij een interestvoet van 6% per jaar.

5.17

Een vader stort ten behoeve van zijn pasgeboren zoon jaarlijks € 500,– op een spaarrekening, voor het eerst op 1 januari 2004. In augustus 2016 wordt hij werkloos en stopt hij met de jaarlijkse stortingen. De bank vergoedt 5% interest per jaar. Over welk bedrag kan de zoon per 1 januari 2022 beschikken?

*

5.18

De ouders van een studente sparen jarenlang de kinderbijslag die zij ontvangen. We gaan ervan uit dat de kinderbijslag telkens op de verjaardag van de studente wordt ontvangen. De eerste 11 jaar ontvangen haar ouders € 750,– kinderbijslag per jaar. Van haar 12de t/m haar 17de verjaardag ontvangen zij € 1.000,– per jaar. De bank vergoedt 2,5% rente per jaar. a Bereken het saldo op de spaarrekening direct na de ontvangst van de 17de kinderbijslag. Veronderstel dat het saldo in vraag a exact € 17.000,– is. Dit bedrag heeft de studente meteen op haar 17de verjaardag op een internetspaarrekening weggezet. Zij gaat pas studeren als ze 20 jaar wordt. Op haar 20ste verjaardag bedraagt het saldo € 18.793,62. b Welk rentepercentage heeft de studente gemiddeld per jaar ontvangen? De studente is van plan 5 jaar te gaan studeren. Ze wil ieder jaar op haar verjaardag een bedrag opnemen. Het eerste bedrag neemt zij direct op haar 20ste verjaardag op. Ze ontvangt 3% interest per jaar. c Welk bedrag kan de studente jaarlijks op haar verjaardag van de spaarrekening opnemen?

*

5.19

Bereken de contante waarde van een dadelijk ingaande eeuwigdurende rente van € 4.000,– per jaar op basis van 8% interest als: a de termijnen postnumerando vervallen; b de termijnen prenumerando vervallen.

5.20

Iemand wil een 4%-grootboekobligatie kopen met een nominale waarde van € 1.000,–. Deze obligaties zijn onaflosbaar en de interest wordt eenmaal per jaar uitgekeerd. Bereken wat hij voor deze obligatie zal willen betalen als de eerste interestuitkering over een jaar plaatsvindt en hij 8% over geïnvesteerd vermogen wil maken.

5

© Noordhoff Uitgevers bv

108

*

5.21

Iemand heeft per 1 januari 2008 en verder telkens aan het begin van elk jaar € 2.000,– op een spaarrekening gestort. Het saldo van deze rekening blijkt op 31 december 2019 € 40.990,59 te zijn. Bereken het percentage per jaar dat de bank op deze rekening heeft vergoed, met behulp van Excel of de grafische rekenmachine.

*

5.22

Gelezen in een advertentie: ‘Een lening van € 3.500,– kan in 50 maandelijkse termijnen van € 100,– worden terugbetaald. De eerste termijn vervalt één maand na de ontvangst van het leningsbedrag.’ Bereken hoeveel procent samengestelde interest per jaar in rekening wordt gebracht.

*

5.23

De contante waarde van een dadelijk ingaande prenumerando rente, waarvan elke termijn € 1.730,25 groot is, blijkt onder verrekening van 7% interest per jaar € 13.003,23 te zijn. Bereken het aantal termijnen van deze rente.

*

5.24

Een schuld met een contante waarde van € 50.000,– zal onder verrekening van 6% interest per jaar worden betaald in termijnen van € 5.000,– per jaar. De eerste betaling zal over een jaar plaatsvinden. Elke termijn bestaat uit aflossing en interest.

5

Bereken: a hoeveel keer het volle bedrag van € 5.000,– moet worden betaald; b hoe hoog de laatste betaling wordt als het restant samen met de laatste betaling van € 5.000,– wordt voldaan; c wat er een jaar na de laatste betaling van € 5.000,– moet worden voldaan, als het restant op dat moment wordt verrekend.

*

5.25

Een gemeente ging op 1 januari 2014 een lening aan van € 15.000,–. De schuld zal worden afgelost in jaarlijkse termijnen van € 1.000,–, te beginnen op 1 januari 2015. Elke termijn bestaat uit aflossing en interest. Op de datum waarop voor de laatste maal de volle termijn moet worden betaald, zal tevens de rest van de schuld worden verrekend. Men baseert zich op 4% interest per jaar. a Bereken die datum. b Bereken het bedrag van het restant.

5.26

Iemand zet op 1 januari 2014 € 10.000,– op een bankrekening tegen 4% interest per jaar, en voegt daar op 31 december 2014, 2015 en 2016 € 5.000,– aan toe. Vanaf 31 december 2017 onttrekt hij jaarlijks € 3.500,– aan deze belegging. a Hoeveel keren zal hij dat bedrag kunnen opnemen? b Wat is het saldo van deze belegging onmiddellijk na de laatste opname van € 3.500,–?

5.27

Een contante schuld groot € 20.000,– zal onder verrekening van 7% interest per jaar worden omgezet in een dadelijk ingaande jaarlijkse rente, bestaande uit 8 termijnen waarvan de eerste over een jaar vervalt. Bereken de grootte van die termijnen.

© Noordhoff Uitgevers bv

*

5.28

OPGAVEN

109

Een instelling krijgt van het ministerie een boete opgelegd van € 23 miljoen. Zij moet deze boete in 3 jaarlijkse, gelijke postnumerando bedragen terugbetalen onder verrekening van 7% interest. a Bepaal de hoogte van de jaarlijkse betalingen. Direct na de eerste betaling komt de instelling in financiële problemen. Zij dient een verzoek in om de tweede betaling over te slaan en de verschuldigde rente bij de schuld bij te schrijven. Vervolgens is zij bereid het restant van de schuld in 6 jaar terug te betalen. b Bepaal de hoogte van de nieuwe jaarlijkse betalingen.

5.29

*

A moet op 1 januari 2019, 2020 en 2021 telkens € 2.000,– aan B betalen. A wil deze verplichting omzetten en ziet kans om eind 2016 al € 500,– te betalen en vervolgens telkens per 31 december € 900,–, voor de eerste maal op 31 december 2017. A en B komen overeen om voor deze nieuwe betalingsregeling 8% interest per jaar te hanteren. a Hoe vaak zal A het volle bedrag van € 900,– moeten betalen? b Hoe groot is het restbedrag dat A precies een jaar na de laatste betaling van € 900,– nog zal moeten voldoen?

5.30

De onderneming Contacta bv heeft de keuze uit 2 investeringsprojecten, A en B. De investering voor project A bedraagt € 3.000.000,- en zal 5 jaar lang een netto-ontvangst van € 900.000,- per jaar opleveren. Project B vergt een investeringsuitgave van € 2.400.000,-. De eerste twee jaar levert project B jaarlijks een netto-ontvangst op van € 1.000.000,-. Daarna volgen nog drie jaar met een jaarlijkse netto-ontvangst van € 500.000,-. De investeringsuitgaven voor beide projecten vinden plaats aan het begin van het eerste jaar. De netto-ontvangsten worden aan het einde van een jaar ontvangen. Er zijn voor beide projecten geen restwaarden. a Bereken voor beide projecten de netto contante waarde als de directie van Contacta bv een minimum rendement van 8% vereist. b Geef een advies waarin je gemotiveerd aangeeft of de projecten acceptabel zijn.

5.31

Forward bv is van plan € 2.500.000,- te investeren in een project dat een looptijd van 5 jaar kent. Na afloop is de restwaarde nihil. De jaarlijkse netto-ontvangsten zijn naar verwachting € 800.000,-. a Bereken de netto contante waarde als de directie een minimumrendement van 10% vereist. Bij de begroting van de netto-ontvangsten was uitgegaan van een jaarlijks gelijkblijvende afschrijving. b Geef aan wat het effect op de netto contante waarde van dit project zou zijn als er degressief zou worden afgeschreven.

5.32

Een ondernemer verwacht € 30.000,- te moeten investeren voor een nieuwe machine. Na uiterlijk 5 jaar zal die weer aan vervanging toe zijn. De inruilwaarde wordt op 10% van de aanschafwaarde geschat. De cashflows zijn jaarlijks € 7.500,- exclusief restwaarde. a Bereken de netto contante waarde van deze investering op basis van 10%, ervan uitgaande dat alle cashflows met uitzondering van de investering aan het eind van het jaar plaatsvinden. b Geef een gemotiveerd advies aan de ondernemer op de vraag of het bedrijfseconomisch verantwoord is te investeren in deze machine.

5

110

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

111

6 Annuïteiten

6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Begripsvorming Berekening van de annuïteit Het verband tussen de aflossingen Berekening van de schuldrest Afgeronde annuïteiten Het onderlinge verband Voorbeeld uit de praktijk Definities en formules Opgaven

De meeste leningen worden niet in één keer afgelost maar door middel van een reeks betalingen gedurende de looptijd van de lening. Tot de jaren tachtig van de vorige eeuw was de annuïteitenlening dé vorm van lenen. Een annuïteitenlening bood de zekerheid dat aan het einde van de looptijd de schuld was afgelost. Eind vorige eeuw werden door banken steeds meer producten ontwikkeld die fiscaal aantrekkelijker waren en gezien het toen gunstige beursklimaat de kans boden op extra rendement. Hierdoor raakte de annuïteitenlening wat minder in trek. Vanaf 1 januari 2013 kan bij een nieuw af te sluiten hypotheek alleen nog gekozen worden voor een annuïteitenhypotheek of een lineaire hypotheek, als men in aanmerking wil komen voor hypotheekrenteaftrek. Voor alle andere vormen is de hypotheekrenteaftrek vervallen. Bij een annuïteitenlening worden het aflossingsdeel en het interestdeel op een zodanige manier berekend, dat de som van beide (de annuïteit) telkens gelijk is. Deze annuïteit is eigenlijk een bijzondere rente. De annuïteit bestaat uit een aflossingsdeel en een interestdeel, waarbij de samenstelling

© Noordhoff Uitgevers bv

112

verandert, maar het totaal gelijkblijft. Het voordeel van dit systeem is dat men altijd eenzelfde bedrag betaalt, hetgeen gunstig is voor bijvoorbeeld een liquiditeitsplanning. Veel onroerend goed wordt op deze wijze gefinancierd. In dit hoofdstuk komt uiteraard de bepaling van de annuïteit en de schuldrest aan de orde. Omdat de annuïteit vrijwel nooit een mooi afgerond bedrag vormt, wordt nader ingegaan op de problematiek van afgeronde annuiteiten. Bij die systematiek zal de schuldenaar niet te veel willen betalen, maar zal de schuldeiser ook niet te weinig willen ontvangen. De verschillende wijzen waarop men aan beide wensen tegemoet kan komen, worden in paragraaf 6.5 behandeld.

§ 6.1

Begripsvorming Wanneer men een lening aangaat, moet hierover niet alleen rente worden betaald, maar zal deze ook moeten worden afgelost. Dit aflossen kan op veel verschillende manieren plaatsvinden, zoals • in één keer aan het einde van de looptijd; • met jaarlijks gelijke bedragen (lineaire aflossing); • met behulp van annuïteiten.

6

Als we uitgaan van een 6%-lening van € 10.000,– die na vier jaar in één keer wordt afgelost zijn de jaarlijkse betalingen aan het einde van jaar 1 tot en met 3 telkens € 600,– en aan het einde van vierde jaar € 10.600,–, namelijk rente en aflossing. Dit type leningen komt vanwege de hoge druk op de liquiditeitspositie aan het einde van de looptijd niet erg vaak voor. De bovenstaande lening kan ook in vier jaar worden afgelost door aan het einde van elk jaar € 2.500,– af te lossen. De betalingen worden dan:

Jaar

Aflossing

Rente

Totaal

1

€ 2.500,–

€ 600,–

€ 3.100,–

2

€ 2.500,–

€ 450,–

€ 2.950,–

3

€ 2.500,–

€ 300,–

€ 2.800,–

4

€ 2.500,–

€ 150,–

€ 2.650,–

De daling van het in de achtereenvolgende jaren te betalen bedrag wordt veroorzaakt doordat men over de afgeloste bedragen geen interest meer verschuldigd is, terwijl de aflossingsbedragen gelijk blijven. Men kan ook kiezen voor een methode waarbij op een zodanige wijze wordt afgelost, dat elk jaar aan interest plus aflossing tezamen een gelijk bedrag wordt betaald. Dit wordt de annuïteitenmethode genoemd. De periodieke betalingen blijven dan, anders dan in het bovenstaande, ongewijzigd. Een annuïteit is een periodiek vervallend gelijkblijvend bedrag waarmee aflossing van een schuld en verrekening van interest plaatsvinden.

© Noordhoff Uitgevers bv

§ 6.2

ANNUÏTEITEN

113

Berekening van de annuïteit Een annuïteit bestaat dus uit een interestbestanddeel en een aflossingsbestanddeel. Door het contant maken van alle annuïteiten wordt in feite het interestdeel afgesplitst, zodat de waarde van de aflossingen overblijft. Nu zijn de gezamenlijke aflossingsbestanddelen uiteraard gelijk aan de schuld bij het aangaan van de lening. Met andere woorden: de contante waarde van de annuïteiten is gelijk aan het bedrag van de lening. Voorbeeld 6.1

Een lening van € 10.000,– wordt afgelost door middel van 4 gelijkblijvende jaarlijkse annuïteiten. De eerste annuïteit vervalt over 1 jaar. Men baseert zich op 6% interest per jaar. Bereken de annuïteit. Uitwerking Als de jaarlijks te betalen annuïteit Ann wordt genoemd, kan men met behulp van een tijdlijn het verloop van de betalingen als volgt weergeven: Ann

10.000 6%

Ann

Ann

Ann

6 1

2

3

4

€ 10.000,–  Ann  a  4円6 1 1,064 0,06

1  € 10.000,–  Ann 

€ 10.000,–  3,465105613  Ann Ann



€ 10.000,– 1  € 10.000,–   € 2.885,91 3,465105613 3,465105613

In symbolen van financiële rekenkunde: Ann  € 10.000,– 

1 a 4円6

In het algemeen geldt: Ann  K 

1 a n円p

waarin: Ann  de annuïteit; K  het kapitaal (bedrag van de lening); n  de looptijd; p  het interestpercentage.

© Noordhoff Uitgevers bv

114

Bepaling van de annuïteit met behulp van de rekenmachine Aangezien de annuïteitenfactor de reciproke is van a  n円p, is de berekening met behulp van de rekenmachine niet ingewikkelder dan de bepaling van a n円p zelf (zie paragraaf 5.3).

1  toets in: [()][1  i][^][n][][1][][][i][][^][1][] a n円p 1 a 4円6

 toets in: [()][1,06][4][][1][][][0,06][][^][1][]

uitkomst: 0,288591492 De annuïteit is derhalve: € 10.000,–  0,288591492  € 2.885,91.

6

Bepaling van de annuïteit met behulp van de grafische rekenmachine Met de grafische rekenmachine kan de annuïteit als volgt worden bepaald: • N 4 • I% 6 • PV 10000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 2885.9149 Bepaling van de annuïteit met behulp van Excel Van voorbeeld 6.1 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld. Met behulp van de financiële functie BET (betaling) kan de annuïteit worden bepaald.

© Noordhoff Uitgevers bv

ANNUÏTEITEN

115

6

Bepaling van het aflossingsplan Ieder jaar wordt in voorbeeld 6.1 de annuïteit van € 2.885,91 betaald. Deze annuïteit bestaat uit een aflossings- en een interestbestanddeel. Het interestbestanddeel wordt steeds berekend over de schuld die men aan het begin van het betreffende jaar heeft. Het aflossingsbestanddeel is het verschil tussen de annuïteit en het interestbestanddeel. Het aflossingsplan van voorbeeld 6.1 komt er als volgt uit te zien:

Jaar

Schuld 1-1

Interest

Aflossing

Schuld 31-12

1

€ 10.000,–

€ 600,00

€ 2.285,91

€ 7.714,09

2

€ 7.714,09

€ 462,85

€ 2.423,07

€ 5.291,02

3

€ 5.291,02

€ 317,46

€ 2.568,45

€ 2.722,56

4

€ 2.722,56

€ 163,35

€ 2.722,56

€

0,00

€ 10.000,–

Het interestbestanddeel wordt steeds lager, doordat over de afgeloste bedragen geen interestvergoeding meer plaatsvindt. Hierdoor resteert er steeds meer voor aflossing. Het verloop van aflossings- en interestbestanddelen is als volgt weer te geven (figuur 6.1).

© Noordhoff Uitgevers bv

116

FIGUUR 6.1

Verloop van interest- en aflossingsbestanddelen van een annuïteit

Annuïteit Aflossing Interest

Tijd

De methode met gelijkblijvende annuïteiten wordt (weer) vaak gebruikt bij woninghypotheken. Soms realiseert men zich daarbij te weinig dat vooral bij langlopende leningen aanvankelijk zeer weinig wordt afgelost. Dit kan aanleiding geven tot teleurstellingen. Zo is van een dertigjarige 8% annuïteitenlening na vijftien jaar slechts 24% afgelost en resteert derhalve nog 76%, terwijl men al wel halverwege de looptijd is!

6

Excel kent twee financiële functies die het opstellen van een aflossingplan vereenvoudigen: de functie PBET berekent de aflossingen, terwijl IBET de interestbetalingen bepaalt. Het Excel-werkblad kan als volgt worden opgesteld:

• Verwijs in cel B10 naar C3. • Selecteer in cel D10 de financiële functie PBET. • Vul vervolgens de celverwijzingen op het dialoogscherm in. − Maak de verwijzingen naar Rente, Aantal-termijnen en HW absoluut met behulp van functietoets F4, of door toevoeging van de $-tekens. Hierdoor kan de formule uit D10 gekopieerd worden voor de rest van de looptijd.

© Noordhoff Uitgevers bv

ANNUÏTEITEN

• Selecteer vervolgens in cel C10 de financiële functie IBET. • Vul vervolgens op gelijke wijze de celverwijzingen op het dialoogscherm in. − Maak ook nu de verwijzingen naar Rente, Aantal-termijnen en HW absoluut met behulp van functietoets F4, of door toevoeging van de $-tekens. Hierdoor kan de formule uit D10 gekopieerd worden naar D11 tot en met D13. • Geef in cel E10 de volgende formule in:  B10D10 (let op: het resultaat van de PBET-functie is negatief ). • Cel B11 is:  E10 • Nadat alle formules voor de volledige vier jaar zijn gekopieerd ziet het aflossingsplan er als volgt uit:

117

6

© Noordhoff Uitgevers bv

118

§ 6.3

Het verband tussen de aflossingen Uit voorbeeld 6.1 blijkt dat de som van de interest en aflossing telkens € 2.885,91, ofwel de annuïteit is. De interestbestanddelen worden steeds kleiner, terwijl de aflossingen groeien. Zo is elke volgende aflossing 6% groter dan de voorgaande; € 2.423,07  1,06  € 2.285,91. Dit verband kan worden aangetoond. Noemt men de opeenvolgende aflossingsbestanddelen a1, a2, a3, … en de opeenvolgende rentebestanddelen r1, r2, r3, …., dan geldt: Ann  a1  r1  a2  r2  a3  r3  …. Is het interestperunage i, dan is r1  iK en r2  i(K  a1) Dus: r1  r2  iK  i(K  a1)  ia1 Uit a1  r1  a2  r2 volgt: a2  a1  r1  r2 Dus:

6

a2  a1  ia1 en a2  a1  ia1  a1 (1  i) Met andere woorden: het tweede aflossingsbestanddeel kan men uit het eerste berekenen door dit laatste met (1  i) te vermenigvuldigen. Op dezelfde wijze geldt: r3  i(K  a1  a2) en r2  r3  i(K  a1)  i(K  a1  a2 )  ia2 Uit a2  r2  a3  r3 volgt: a3  a2  r2  r3  ia2 En dus: a3  a2  ia2  a2 (1  i) Met andere woorden: het derde aflossingsbestanddeel kan men uit het tweede berekenen door dit laatste met (1  i) te vermenigvuldigen. In het algemeen: Het aflossingsbestanddeel in enig jaar kan men vinden door het aflossingsbestanddeel: • uit het voorgaande jaar met (1  i) te vermenigvuldigen, of • uit het volgende jaar door (1  i) te delen. Uit het verband (1  i) tussen opeenvolgende aflossingsbestanddelen volgt verder: a3  a2(1  i)  a1(1  i)(1  i)  a1(1  i)2 a4  a3(1  i)  a2(1  i)2  a1 (1  i)3

© Noordhoff Uitgevers bv

ANNUÏTEITEN

119

De exponent van (1  i) is steeds gelijk aan het verschil tussen de ranggetallen van de aflossingsbestanddelen. Bijvoorbeeld: a12  a9(1  i)3 en a9 

a12 (1  i)3

Voorbeeld 6.2

Van een 8%-annuïteitenlening, groot € 10.000,–, is het derde aflossingsbestanddeel € 2.588,49. Bereken de annuïteit en de looptijd. Uitwerking De annuïteit is nu alleen te bepalen met het verband tussen de aflossingen. a3  a1  (1,08)2 € 2.588,49  a1  1,1664 a1  € 2.219,21 Het rentebestanddeel in het eerste jaar r1 is: r1  0,08  € 10.000,–  € 800,– Ann  a1  r1  € 2.219,21  € 800,–  € 3.019,21 Nu moet n nog worden berekend. 1 a n円p

Ann

K

K

 Ann  a  n円p

€ 10.000,–  € 3.019,21  a  n円8 1 1,08n 0,08

1  € 10.000,–  € 3.019,21  1 1,08n  3,3121247 0,08

1 

1 

1  0,264970 1,08n

1 1,08n

 0,735030

1,08n



1,08n

 1,360489

1 0,735030

Door gebruik te maken van logaritmen kan men de looptijd met behulp van een rekenmachine bepalen. n log 1,08  log 1,360489 n 4

6

© Noordhoff Uitgevers bv

120

Met de grafische rekenmachine kan de looptijd als volgt worden bepaald: • N 0 • I% 8 • PV 10000 • PMT 3019,21 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar N, ALPHA, enter → resultaat 3.999996966 → 4 Bijzondere aandacht verdient in dit kader de laatste annuïteit. Het laatste rentebestanddeel wordt berekend over de schuldrest aan het begin van het laatste jaar. Na betaling van de laatste aflossing is deze schuldrest tot nul teruggebracht. Met andere woorden: het laatste aflossingsbestanddeel is gelijk aan de interest over het laatste aflossingsbestanddeel ( schuldrest aan het begin van het laatste jaar).

6

Voor de laatste annuïteit geldt in het algemeen: Ann  an  rn rn  ian Ann  an  ian  an(1  i)  an  1 De annuïteit is dus te beschouwen als de, niet-bestaande, (n  1)de aflossing. Voorbeeld 6.3

Van een 5-jarige 10%-annuïteitenlening is het tweede aflossingsbestanddeel € 18.017,69. Bereken de grootte van de lening. Uitwerking De annuïteit is als volgt te bepalen: Ann  a(51) Ann  a2  (1,10)4 Ann  € 18.017,69  1,464100  € 26.379,70 r1  Ann  a1 a2

r1

 € 26.379,70 

r1 r1 K

 € 26.379,70  € 16.379,70  € 10.000,–  0,10  K  € 100.000,–

(1  i)

© Noordhoff Uitgevers bv

§ 6.4

ANNUÏTEITEN

121

Berekening van de schuldrest Na iedere aflossing resteert een lagere schuld. De resterende schuld kan desgewenst worden afgelezen uit het aflossingsplan. De schuldrest kan op ieder willekeurig moment belangrijk zijn, bijvoorbeeld: • Iemand verkoopt zijn woning waarop nog een hypotheek rust met een resterende looptijd van 12 jaar. Uit de verkoopopbrengst zal hij de schuldrest moeten aflossen. • Het is gebruikelijk dat bij de verstrekking van een hypotheek een rentevaste periode wordt afgesproken van bijvoorbeeld 5 jaar. Na afloop van die 5 jaar wordt opnieuw aan de hand van de dan geldende rente en op basis van de schuldrest op dat moment de nieuwe periodiek te betalen annuïteit vastgesteld. • Aangezien interest een kostenpost is die bovendien fiscaal in mindering op de winst of het inkomen mag worden gebracht, zal men jaarlijks het interestbestanddeel dat ten laste van het betreffende jaar komt, moeten bepalen. Dit wordt berekend over de schuldrest aan het begin van dat jaar. De schuldrest, weergegeven door het symbool R, kan, behalve via het aflossingsplan, op verscheidene andere manieren worden bepaald: 1 De schuldrest is het oorspronkelijk geleende kapitaal verminderd met de reeds gedane aflossingen. 2 De schuldrest is de contante waarde van de nog komende annuïteiten. 3 De schuldrest is de som van de nog te betalen aflossingsbestanddelen. Voorbeeld 6.4

Rob Vermeulen heeft 8 jaar geleden voor de financiering van zijn appartement een 9% hypothecaire annuïteitenlening gesloten van € 100.000,– met een looptijd van 30 jaar. Rob wil gaan verhuizen en vraagt zijn financieel adviseur hoe hoog zijn schuld nog is. Deze berekent de schuldrest R8 op drie manieren. Uitwerking 1ste manier: R8  K  (a1  a2  …  a8) Allereerst moet de annuïteit worden bepaald. Ann  € 100.000,– 

1  € 9.733,60 a 3 0円9 1

Ann  € 100.000,–  1 

1 (1,09)30 0,09

 € 9.733,60

Het eerste aflossingsbestanddeel bedraagt dan: a1  € 9.733,60  0,09  € 100.000,–  € 733,60 a2  a1(1,09)  € 733,60  1,09 a3  a1(1,09)2  € 733,60  (1,09)2

6

© Noordhoff Uitgevers bv

122

enzovoort a8  a1(1,09)7  € 733,60  (1,09)7 De som van de reeds verrichte aflossingen is derhalve: € 733,60  € 733,60  1,09  € 733,60  (1,09)2  …  € 733,60  (1,09)7  € 733,60  (1  s  7円 9 )  € 733,60  ¢1  (1,09)   € 8.090,49 R8  € 100.000,–  € 8.090,49  € 91.909,51

(1,09)7  1 ≤ 0,09

Ook met de grafische rekenmachine kan de schuldrest worden bepaald door gebruik te maken van de 1ste manier. Als eerste wordt de annuïteit bepaald. • N 30 • I% 9 • PV 100000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 9733.6351 6

Inclusief annuïteit ziet het scherm er als volgt uit: • N 30 • I% 9 • PV 100000 • PMT 9733.6351 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Verplaats de cursor nu naar N, APPS enter 0 Nu verschijnt: ∑ Prn( Vul in 1,8) enter → resultaat 8090.875908 (dit is de som van de 1ste tot en met de 8ste aflossing). Let op dat bij het invullen de komma (boven de 7) wordt gebruikt en niet de punt (onder de 2). De schuldrest is nu € 100.000,–  € 8.090,88  € 91.909,12. 2de manier: Het kapitaal, ofwel de schuldrest aan het begin van het 1ste jaar, is gelijk aan de contante waarde van alle nog komende annuïteiten. Voor de schuldrest op enig ander moment geldt dat die gelijk is aan de contante waarde van de resterende annuïteiten. In het voorbeeld resteren nog 22 annuïteiten. Derhalve is de schuldrest aan het einde van het 8ste jaar:

© Noordhoff Uitgevers bv

ANNUÏTEITEN

1  R8  € 9.733,60  a    € 9.733,60  22円9

123

1 (1,09)22  € 91.908,79 0,09

Deze methode is in het algemeen het eenvoudigst. Als gevolg van afrondingsverschillen kunnen er tussen de uitkomsten van de diverse wijzen van berekening kleine afwijkingen ontstaan. Ook de 2de manier is mogelijk met de grafische rekenmachine. In dat geval moet na de bepaling van de annuïteit, N op 22 worden gezet en PV op 0. Vervolgens kan met ALPHA, enter de contante waarde van de nog komende 22 annuïteiten worden bepaald. • N 22 • I% 9 • PV 0 • PMT 9733.6351 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 91909.12409 3de manier: De schuldrest na 8 aflossingen is gelijk aan de som van de nog resterende 22 aflossingen. R8  a9  a10  a11  … a30 a9  a1(1,09)8  € 733,60  1,992563  € 1.461,74 R8  € 1.461,74  (1  s   ) 21円9 R8  € 1.461,74  ¢1  (1,09) 

(1,09)21  1 ≤  € 91.904,47 0,09

De wijze van berekenen met behulp van de grafische rekenmachine lijkt op de 1ste manier. Na bepaling van de annuïteit verplaatsen we de cursor naar N. Toets APPS, enter, 0. Dan verschijnt: ∑ Prn( Vul in 9,30) Let op de komma in plaats van de punt. • N ∑ Prn(9,30) enter → resultaat 91909.12409 • I% 9 • PV 100000 • PMT 9733.6351 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END

6

124

© Noordhoff Uitgevers bv

Met behulp van Excel is de berekening van de schuldrest via de eerste en derde methode eenvoudig af te leiden uit het aflossingsplan dat in paragraaf 6.2 is behandeld. Voor berekening via de contante waarde maken we gebruik van de eerder behandelde HW-functie. Op basis van voorbeeld 6.4 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld: • Bereken in Cel C7 met behulp van de functie BET ten eerste de hoogte van de annuïteit. • Selecteer vervolgens in cel C9 de financiële functie HW. • Vul vervolgens de celverwijzingen op het invulscherm in. − Geef bij Aantal-termijnen het aantal resterende annuïteiten in (hier dus 30822). • Na invulling verschijnt het resultaat. − Het resultaat wordt negatief weergegeven, omdat Excel dit als een schuld beschouwt. − Het is mogelijk de formule te beginnen met het minteken zodat de schuldrest positief wordt weergegeven.

6

© Noordhoff Uitgevers bv

§ 6.5

ANNUÏTEITEN

125

Afgeronde annuïteiten Het komt nogal eens voor dat de exact op twee cijfers achter de komma berekende annuïteit wordt afgerond op een ‘mooi rond bedrag’. Met andere woorden, de annuïteit wordt naar boven of naar beneden afgerond. Uiteraard komt men dan aan het eind van de gehele looptijd ‘niet precies uit’. Gewoonlijk wordt dan het verschil dat door de afronding ontstaat, verrekend met de laatste annuïteit. Voorbeeld 6.5

Bij een lening van € 10.000,– tegen 8% per jaar, die met 4 jaarlijkse annuïteiten wordt afgelost, is de exacte annuïteit bepaald op € 3.019,21. Besloten wordt dit bedrag af te ronden op € 3.000,– per jaar, en dat het restant verrekend zal worden met de laatste annuïteit. Bereken het restant dat aan het eind van het 4de jaar moet worden verrekend. Uitwerking Berekening van het restant kan op verschillende manieren geschieden. 1ste manier: Het aflossingsplan bij afgeronde annuïteiten wordt:

Jaar

Interest

Aflossing

Schuld 31-12

1

€ 800,–

€ 2.200,–

€ 7.800,–

2

€ 624,–

€ 2.376,–

€ 5.424,–

3

€ 433,92

€ 2.566,08

€ 2.857,92

4

€ 228,63

€ 2.771,37

€

86,55

€ 9.913,45

Aan het eind van het 4de jaar betaalt men € 3.000,–  € 86,55  € 3.086,55. 2de manier: Het verschil tussen de exacte en de afgeronde annuïteit bedraagt € 3.019,21  € 3.000,–  € 19,21. Dit kan als volgt worden weergegeven: 19,21

19,21

19,21

19,21

8% 1

2

3

4 EW4

6

© Noordhoff Uitgevers bv

126

De eindwaarde hiervan is: EW4  € 19,21  (1  s  3円8 ) € 19,21  ¢1  (1,08)   € 86,56 3de manier: Het restant na 4 jaar is: K  (a1  a2  a3  a4) 

(1,08)3  1 ≤ 0,08

 € 10.000,–  a1{1  1,08  (1,08)2  (1,08)3}   € 10.000,–  € 2.200,–  (1  s  3円8 )   € 10.000,–  € 2.200,–  ¢1  (1,08) 

(1,08)3  1 ≤ 0,08

 € 10.000,–  € 9.913,45  € 86,55 4de manier: De contante waarde van alle betalingen moet gelijk zijn aan het bedrag van de oorspronkelijke lening. De contante waarde van de 4 betalingen van € 3.000,– bedraagt: CW  € 3.000,–  a  4円8 6

1   € 3.000,– 

1 (1,08)4  € 9.936,38 0,08

Het verschil met de lening is dus contant € 10.000,–  € 9.936,38  € 63,62. De eindwaarde daarvan is: EW4  € 63,62  (1,08)4  € 86,55 5de manier: Men kan ook uitgaan van de eindwaarden van de lening en van de 4 betalingen van € 3.000,–. EW4 lening  € 10.000,–  (1,08)4  EW4 betalingen  € 3.000,–  (1  s  3円8 ) 

€ 13.604,89 € 13.518,34

Restant:

€

86,55

Soms verrekent men het restant niet met de laatste afgeronde annuiteit, maar een jaar later. In dat geval wordt aan het eind van het 5de jaar betaald: Restant € 86,55  1,08  € 93,47. Zoals gezegd, worden annuïteiten niet alleen naar beneden afgerond, maar ook naar boven. Uiteraard wordt het te veel betaalde dan in mindering gebracht op de laatste annuïteit.

© Noordhoff Uitgevers bv

§ 6.6

ANNUÏTEITEN

127

Het onderlinge verband In het voorafgaande zijn de diverse grootheden die samenhangen met de annuïteiten, zoals K, p, n, R, a en r, met elkaar in relatie gebracht. In het onderstaande voorbeeld wordt dat nog eens nader uitgewerkt. Voorbeeld 6.6

Van een annuïteitenlening is het volgende gegeven: a8  € 4.011,16 R15  € 186.850,27 r16  € 14.013,93 Bereken: • het interestpercentage; • de annuïteit; • het kapitaal (veelvoud van € 1.000,–); • de looptijd. Uitwerking Het 16de rentebestanddeel wordt berekend over de schuld aan het begin van het 16de jaar. Deze schuld is gelijk aan de schuldrest die overblijft na betaling van de 15de annuïteit, ofwel R15. r16  i  R15 i

r16 R15

=

€14.013,93  0,075 €186.850,27

Het interestpercentage is dus 7,5. De annuïteit bestaat uit een rente- en een aflossingsbestanddeel. De 16de annuïteit bijvoorbeeld bestaat uit: Ann  a16  r16 Ann  a8  1,0758 € 14.013,93 Ann  € 7.153,82  € 14.013,93  € 21.167,75 De annuïteit is ook gelijk aan het eerste rente- plus aflossingsbestanddeel. Het eerste rentebestanddeel is iK. Ann  a1  r1 a1 

a8 1,0757

 € 2.417,75

r1  € 21.167,75 − € 2.417,75  € 18.750,– r1  0,075 × K K  € 250.000,–

6

© Noordhoff Uitgevers bv

128

De looptijd wordt nu als volgt bepaald: Ann  K ×

1 a n円p

K  Ann × a  n円p € 250.000,– = € 21.167,75  a  n円7,5 1 1,075n 0,075

1  € 250.000,– = € 21.167,75  1 1,075n = 11,81041915 0,075

1 

1 

6

1 = 0,885781436 1,075n

1 1,075n

= 0,1142186563

1,075n

= 8,755144246

Met behulp van logaritmen is de looptijd nu te berekenen. n log 1,075 = log 8,755144246 n = 30

§ 6.7

Voorbeeld uit de praktijk Vergelijking van een lineaire hypotheek met een annuïteitenhypotheek Voorbeeld 6.7

Een particulier wil voor de aankoop van een huis een hypotheek van € 250.000,– bij de bank afsluiten. Ter vergelijking krijgt hij twee offertes aangeboden, namelijk een 30-jarige annuïteitenlening tegen 5% of een lineaire hypotheek eveneens tegen 5%. De klantadviseur maakt de volgende vergelijking van beide hypotheekvormen, waarbij hij uitgaat van een belastingvoordeel van 42% en afziet van het eigenwoningforfait.

© Noordhoff Uitgevers bv

ANNUÏTEITEN

129

Uitwerking De annuïteit bedraagt: € 250.000,– Ann  a   30円5 Ann  € 16.262,86 Totaal te betalen in 30 jaar: 30  € 16.262,86  € 487.885,80. Hiervan is € 250.000,– aflossing en € 237.885,80 rente. De rente is aftrekbaar en levert in totaal een fiscaal voordeel op van 42% ofwel € 99.912,04. Totale nettolasten: € 487.885,80  € 99.912,04  € 387.973,76. Bij de lineaire hypotheek wordt elk jaar een gelijk bedrag afgelost. In dit voorbeeld

€ 250.000,–  € 8.333,33 30

De rente over het eerste jaar bedraagt: 5% over € 250.000,–  € 12.500.–. Door de jaarlijkse aflossing daalt de rentebetaling elk jaar met 5% over € 8.333,33  € 416,66. De rentebetalingen vormen een rekenkundige reeks met als somformule: ½ n  (a + l). n  aantal betalingen (hier 30) a  de eerste termijn (hier de eerste rentebetaling van € 12.500,–) l  de laatste termijn (hier 5% over de laatste aflossing van € 8.333,33  € 416,66) Totaal rentebetalingen: ½  30 (€ 12.500,– + € 416,66) = € 193.750,–. De rente is aftrekbaar en levert in totaal een fiscaal voordeel op van 42% ofwel € 81.375,– Totale nettolasten: € 250.000,– + (€ 193.570 – € 81.375,–) = € 362.375. De lineaire hypotheek is dus netto € 25.598,76 goedkoper dan de annuïteitenhypotheek. Alhoewel de rente van nieuwe bankspaarhypotheken fiscaal niet meer aftrekbaar is, hebben veel huizenbezitters nog zo’n hypotheek. Toegepast binnen dit voorbeeld zou het volgende gelden. Bij de bankspaarhypotheek wordt elke maand een bedrag gespaard. Uitgezet tegen hetzelfde rentepercentage als dat voor de hypotheek geldt, groeit de spaarinleg aan tot € 250.000,– over 30 jaar. Maandelijks is de rente in dit voorbeeld

5  1%  0,41666%. 12

Het maandelijks te sparen bedrag, uitgaande van betaling aan het einde van een maand is: € 250.000,–  X  ¢1  s X  € 300,39

359 0 0,41666

≤

6

© Noordhoff Uitgevers bv

130

Gedurende de volledige looptijd wordt er niets afgelost en wordt jaarlijks € 12.500,– rente betaald. Jaarlijkse uitgaven: 12  € 300,39  € 12.500,–  € 16.104,68. Totaal te betalen in 30 jaar: 30  € 16.104,68  € 483.140,40. Hiervan is € 108.140,40 spaarpremie en € 375.000,– rente. De rente is aftrekbaar en levert in totaal een fiscaal voordeel op van 42% ofwel € 157.500,–. Totale nettolasten: € 483.140,40  € 157.500,–  € 325.640,40. Bruto ontlopen beide hypotheekvormen elkaar niet zoveel. Netto biedt de bankspaarhypotheek echter een voordeel van € 62.333,36. Onderstaand overzicht laat duidelijk zien dat het belastingvoordeel bij de bankspaarhypotheek het grootst was en de nettolasten het laagst.

Lineair

Annuïteiten

€ 193.570

€ 237.886

€ 375.000

Aflossingen

€ 250.000

€ 250.000

Uit de premie € 108.140

Spaarpremie

6

Bankspaar

Totale rente

Totaal bruto

€ 443.750

€ 487.886

€ 483.140

Belastingvoordeel

€ 81.375

€ 99.912

€ 157.500

Totaal netto

€ 362.375

€ 387.974

€ 325.640

© Noordhoff Uitgevers bv

131

Definities en formules Annuïteit

Een periodiek vervallend gelijkblijvend bedrag waarmee aflossing van een schuld en verrekening van interest plaatsvinden.

Schuldrest

De hoogte van de schuld na betaling van een bepaald aantal annuïteiten.

Afgeronde annuïteiten

Annuïteiten die op hele euro’s zijn afgerond. Het verschil wordt in het algemeen aan het einde van de looptijd verrekend.

Postnumerando

De termijnen vervallen aan het eind van een periode.

Rn

Symbool uit de financiële rekenkunde dat staat voor schuldrest na betaling van n annuïteiten.

BET

Excel-functie voor het berekenen van de annuïteit.

IBET

Excel-functie voor het berekenen van de interestbestanddelen van een annuïteitenlening.

PBET

Excel-functie voor het berekenen van de aflossingsbestanddelen van een annuïteitenlening.

6

© Noordhoff Uitgevers bv

132

Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Van de opgaven die met zijn gemarkeerd, zijn op de website speciale Excel-sheets beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. 6.1

Een 9%-lening van € 800.000,– wordt in 5 jaar met gelijke jaarlijkse annuïteiten terugbetaald. a Bereken de annuïteit. b Stel het aflossingsplan samen.

6.2

Een lening van € 150.000,– zal in 12 jaar worden afgelost door middel van jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Daarbij wordt 8% interest per jaar berekend. Bereken de grootte van de jaarlijkse annuïteit.

*

6.3

De contante waarde van een dadelijk ingaande postnumerando-rente van 12 gelijke jaarlijkse termijnen, bedraagt onder berekening van 8% interest per jaar € 150.000,–. a Bereken de grootte van de termijnen. b Geef aan welke conclusie kan worden getrokken uit de antwoorden sub a en van opgave 6.2.

*

6.4

Voor de aankoop van een woning wordt een hypothecaire lening van € 175.000,– afgesloten. Deze lening zal, onder berekening van 7% interest per jaar, worden afgelost in 15 gelijke jaarlijkse annuïteiten. a Stel het aflossingsplan voor de eerste 5 jaar op. b Bereken de grootte van het aflossingsbestanddeel van de 10de annuïteit. c Bereken de grootte van het interestbestanddeel begrepen in de 12de annuïteit.

*

6.5

Een 8,5%-lening van € 120.000,– wordt afgelost met 25 jaarlijkse annuïteiten. Bereken a7 , r15 en a25.

*

6.6

Op 1 juli 2016 wordt, onder berekening van 6% interest per jaar, een annuïteitenlening aangegaan ten bedrage van € 200.000,–. Overeengekomen wordt dat tot en met 1 juli 2021 jaarlijks alleen interest zal worden betaald. Daarna zal, te beginnen op 1 juli 2022 en voor het laatst op 1 juli 2036, via annuïteiten worden afgelost. Bereken de grootte van de jaarlijkse betalingen.

*

6

© Noordhoff Uitgevers bv

*

OPGAVEN

133

6.7

Een schuld van € 200.000,– wordt aangegaan per 1 april 2017. Overeengekomen wordt dat deze schuld onder verrekening van 6% per jaar zal worden terugbetaald via 20 jaarlijkse annuïteiten, waarvan de eerste vervalt per 1 april 2023. De eerste 5 jaar hoeft echter alleen 3% interest te worden betaald en wordt de resterende verschuldigde interest toegevoegd aan de schuld. Bereken de grootte van de jaarlijkse annuïteit.

6.8

Een schuld, groot € 100.000,–, wordt aangegaan per 1 april 2014. Overeengekomen wordt dat deze schuld, onder berekening van 8% interest per jaar, zal worden terugbetaald via 10 jaarlijkse annuïteiten, waarvan de eerste vervalt per 1 april 2019. Voor 1 april 2019 behoeft niet te worden afgelost en wordt de verschuldigde interest toegevoegd aan de schuld van 1 april 2014. Bereken de grootte van de jaarlijkse annuïteit.

6.9

Voor de financiering van een huis heeft een echtpaar op 1 januari 2014 een 7%-lening gesloten van € 1.000.000,–. De looptijd bedraagt 25 jaar. In het contract is opgenomen dat de eerste 5 jaar niets hoeft te worden afgelost en dat de eerste 5 jaar slechts 3% interest in rekening wordt gebracht. De resterende 4% wordt aan de schuld toegevoegd. In de daaropvolgende 20 jaar wordt de schuldrest afgelost met 20 jaarlijkse annuïteiten. Bereken: a de schuldrest van deze lening op 1 januari 2019 (afronden op hele euro’s); b de jaarlijkse annuïteit; c de schuldrest op 1 januari 2029.

*

6.10

Een schuld, groot € 65.000,–, wordt onder berekening van 10% interest per jaar, terugbetaald met 7 jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Bereken de schuldrest direct na de betaling van de 4de annuïteit; a door de oorspronkelijke schuld te verminderen met de aflossingsbestanddelen van de reeds betaalde annuïteiten; b door de contante waarde te bepalen van de nog resterende annuïteiten; c op een andere manier dan die van a of b.

*

6.11

Iemand heeft ter financiering van de aankoop van een eigen huis een 30-jarige annuïteitenlening gesloten van € 155.000,–. De interest is bepaald op 8,5% per jaar. De rentevaste periode bedraagt 5 jaar. Na 5 jaar is de rentestand gedaald tot 7%. Bereken: a de oorspronkelijke annuïteit; b de schuldrest na betaling van de 5de annuïteit; c de nieuwe annuïteit.

6.12

Per 1 augustus 2016 wordt € 120.000,– geleend tegen 9% interest per jaar. Deze lening zal worden afgelost met jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten, waarvan de eerste vervalt op 31 juli 2017 en de laatste op 31 juli 2025. In verband met ontwikkelingen op de kapitaalmarkt wordt de interestvoet per 1 augustus 2020 verlaagd tot 6% per jaar. a Bereken de schuldrest op 1 augustus 2020. b Bereken de nieuwe annuïteit die geldt na 1 augustus 2020. c Bereken de schuldrest op 1 augustus 2022.

6

© Noordhoff Uitgevers bv

134

*

6.13

Een 30-jarige 8%-lening, groot € 150.000,–, wordt afgelost door middel van jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Bereken na hoeveel jaar de schuldrest voor het eerst minder dan € 75.000,– bedraagt.

*

6.14

Een lening van € 75.000,– wordt onder berekening van 7% interest per jaar afgelost met 10 gelijke jaarlijkse annuïteiten die naar beneden worden afgerond op een veelvoud van € 500,–. a Bereken de grootte van de afgeronde annuïteit. b Bereken de schuldrest die overblijft na betaling van de 10de annuïteit. c Veronderstel dat deze schuldrest wordt afgewikkeld aan het eind van het 11de jaar. Bereken welk bedrag dan moet worden betaald. d Veronderstel dat het door afronding ontstane verschil verrekend wordt bij het aangaan van de lening. Bereken het bedrag dat op de lening wordt ingehouden.

6.15

Een 8%-lening, groot € 400.000,–, wordt terugbetaald met 15 jaarlijkse gelijkblijvende annuïteiten. Bereken: a de grootte van de annuïteit; b het interestbestanddeel in jaar 10; c de schuldrest direct na betaling van de 12de annuïteit.

6 De dan nog resterende schuld wordt afgelost met 2 nieuwe afgeronde annuïteiten van € 60.000,– op het einde van het 13de en 14de jaar. d Bereken de schuldrest aan het eind van de gehele looptijd van 15 jaar.

*

6.16

Op 1 januari 2015 sluit een ondernemer een hypothecaire lening af op zijn bedrijfsgebouw ten bedrage van € 450.000,–. Deze lening zal worden terugbetaald door middel van jaarlijkse annuïteiten, waarvan de eerste vervalt op 31 december 2015 en de laatste op 31 december 2029. De interest bedraagt 8% per jaar. Door tegenvallers in 2020 kan de ondernemer de annuïteit van 31 december 2020 niet betalen. Dit wordt verrekend met de volgende annuïteiten. De betaling wordt hervat op 31 december 2021. De laatste betaling blijft bepaald op 31 december 2029. Bereken de grootte van de nieuwe annuïteit per 31 december 2021.

6.17

Een ondernemer financiert op 1 november 2014 een uitbreiding van zijn bedrijf met een hypothecaire lening van € 200.000,–. De rente bedraagt 3% per halfjaar en is voor een periode van 5 jaar vast. De lening wordt afgelost op basis van 50 halfjaarlijkse annuïteiten, die vervallen op 30 april en 31 oktober van elk jaar, voor het eerst op 30 april 2015. Begin 2017 krijgt de ondernemer een aanbod van een andere bank om per 1 mei 2017, nadat betaling van de oorspronkelijke annuïteit per 30 april heeft plaatsgevonden, een lening af te sluiten voor 5% per jaar. Deze is 25 jaar vast. De nieuwe lening zal worden afgelost met 25 jaarlijkse annuïteiten die op 30 april van elk jaar vervallen, voor het eerst op 30 april 2018. De kosten van de nieuwe hypotheekakte bedragen € 3.000,– plus 1,5% afsluitprovisie van het te lenen bedrag. Volgens de leningsvoorwaarden van de op 1 november 2014 afgesloten lening luidt de boeteclausule bij vervroegde aflossing als volgt: • Van de oorspronkelijke hoofdsom mag 10% boetevrij worden afgelost. • Over het resterende vervroegd af te lossen bedrag moet 3% boeterente worden betaald.

© Noordhoff Uitgevers bv

OPGAVEN

135

Bereken: a de annuïteit die per 30 april 2015 moet worden betaald; b de boeterente die per 30 april 2017 moet worden betaald; c het bedrag van de nieuwe lening per 1 mei 2017, indien alle kosten inclusief boeterente worden meegefinancierd; d de nieuwe annuïteit die per 30 april 2018 moet worden betaald.

*

6.18

Een lening, groot € 225.000,–, wordt onder berekening van 6% interest per jaar, afgelost met jaarlijks gelijkblijvende annuïteiten. Bekend is dat het aflossingsbestanddeel van de 6de annuïteit € 14.327,85 bedraagt. a Bereken de annuïteit. b Bepaal het aantal annuïteiten.

6.19

Van een annuïteitenlening zijn de volgende aflossingsbestanddelen bekend: a7  € 4.540,70 a10  € 5.640,90 an  € 16.690,73 Bereken: a de interestvoet; b de looptijd; c de annuïteit; d het bedrag van de lening (afronden op een veelvoud van € 1.000,–).

*

6.20

Aan het aflossingsplan van een annuïteitenlening zijn de volgende gegevens ontleend: R10 € 251.384,16 R11 € 243.472,13 R12 € 234.768,90 Bereken voor deze lening: a de interestvoet; b het bedrag van de lening; c de annuïteit; d de looptijd.

6.21

De balans van Entifer bv per 1 januari vermeldt een 7,5% hypothecaire lening van € 186.850,27. Deze is afgesloten op het moment van oprichting van de onderneming in 2001 als een lening met aflossing door middel van jaarlijkse gelijke annuïteiten. Uit de boekhouding blijkt dat de aflossing op deze lening in 2015 € 6.654,71 bedroeg. Jij komt als administrateur bij Entifer werken en moet de exploitatiebegroting voor 2016 opstellen. a Bereken het bedrag dat moet worden opgenomen op de exploitatiebegroting voor 2016 voor de interestkosten over deze hypothecaire lening. b Bereken de annuïteit van deze hypothecaire lening. De directie van Entifer heeft destijds gekozen voor een annuïteitenlening in plaats van een lineaire lening vanwege het grotere belastingvoordeel bij deze lening. c Welke andere reden kan men hebben gehad om voor een annuïteitenlening te kiezen?

6

136

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

137

7 Rentabiliteitswaarde

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Begripsvorming Berekening van de rentabiliteitswaarde Rentabiliteitswaarde van renten Rentabiliteitswaarde van annuïteiten Rentabiliteitskoers Halfjaarcoupons Aflossingspremie Definities en formules Opgaven

De rentestand is vrijwel permanent aan schommelingen onderhevig. Dat betekent dat als een lening is gesloten tegen een bepaald interestpercentage, achteraf kan blijken dat het overeengekomen percentage te hoog of te laag is. Als gevolg hiervan zijn, gezien de veranderde rentestand, de interestbetalingen dus ook hoger of lager dan voor een nieuwe lening zou gelden. Deze discrepantie tussen de marktrente en de overeengekomen contractrente leidt tot berekeningen die de waarde van de oorspronkelijke contracten weergeeft. Deze berekeningen zijn ook nodig voor de waardering van vorderingen onder de rubriek ‘Financiële vaste activa’ in de jaarrekening van een onderneming. Deze zogenoemde rentabiliteitswaarde is mede een verklaring voor de koers van obligaties. Obligaties kennen immers een lange looptijd en een vooraf vastgestelde interestvergoeding. Gedurende de looptijd van de lening zal deze als gevolg van wijzigingen in de marktrente koersstijgingen of koersdalingen van de obligaties veroorzaken.

7

© Noordhoff Uitgevers bv

138

§ 7.1

Begripsvorming Verhandelbare schuldbewijzen zoals obligaties zijn vaak in handen van beleggers. De waarde van zo’n schuldbewijs of obligatie is afhankelijk van een aantal factoren, zoals: • de interest die wordt vergoed; • de wijze van aflossing; • het door de belegger gewenste rendement. Uitgaande van een obligatie van € 1.000,– nominaal is het logisch dat een belegger die 8% rendement eist, de aanschaf van een 5%-obligatie alleen zal overwegen voor een prijs lager dan € 1.000,–, terwijl diezelfde belegger voor een 10%-obligatie bereid zal zijn meer dan € 1.000,– te betalen. De interest die wordt betaald (in dit voorbeeld 5% respectievelijk 10%), is de nominale interest, terwijl de interest die de belegger wenst (hier 8%), de effectieve interest wordt genoemd. Andere benamingen hiervoor zijn reële interest, gewenst rendement of marktrente. Als van een lening alle betalingen contant worden gemaakt tegen de effectieve interestvoet, spreekt men van de rentabiliteitswaarde van een lening.

§ 7.2 7

Berekening van de rentabiliteitswaarde Bij het bepalen van de rentabiliteitswaarde van een lening spelen dus twee interestpercentages een rol, te weten het nominale percentage en het effectieve percentage. Het nominale percentage gebruikt men om de jaarlijkse interestbetalingen te berekenen. Het effectieve percentage gebruikt men om zowel de aflossingen als de interestbetalingen contant te maken. Bij het uitwerken van vraagstukken wordt gebruikgemaakt van de volgende symbolen: p = nominaal interestpercentage; p’ = effectief interestpercentage, de marktrente; i = nominaal interestperunage; r = effectief interestperunage; Ca = contante waarde aflossingen; Ci = contante waarde nominale interestbetalingen; Cr = contante waarde interestbetalingen op basis marktrente; RW = rentabiliteitswaarde; K = kapitaal. Voorbeeld 7.1

Vista bv heeft een aantal jaren geleden een 5%-lening van € 40.000,– afgesloten. De resterende looptijd is 5 jaar waarna het bedrag in één keer moet worden afgelost. Inmiddels is de marktrente gestegen tot 6%. De aandeelhouders van Vista realiseren zich dat zij nog een relatief goedkope lening hebben en vragen de financiële afdeling de rentabiliteitswaarde van de lening te berekenen.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTABILITEITSWAARDE

139

Uitwerking De aflossing en de jaarlijkse rentebetalingen ter hoogte van 5% over € 40.000,– zijn op onderstaande tijdlijn weergegeven. 2.000

2.000

2.000

40.000 2.000

2.000

6% 1

2

3

4

5

RW = ?

In jaar 1 tot en met 5 moet jaarlijks worden betaald: jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5

rente 0,05  € 40.000,– = € 2.000,– rente 0,05  € 40.000,– = € 2.000,– rente 0,05  € 40.000,– = € 2.000,– rente 0,05  € 40.000,– = € 2.000,– rente 0,05  € 40.000,– = € 2.000,–  aflossing € 40.000,–

De rentabiliteitswaarde bestaat uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de effectieve interest. RW = Ca  Ci 7

Ca Ci

€ 40.000,– = = € 29.890,33 (1,06)5 = € 2.000,–  a  5円6 = € 2.000,– 

1 

1 (1,06)5 = € 8.424,73 0,06

RW = € 29.890,33  € 8.424,73 = € 38.315,06 Omdat de rentabiliteitswaarde lager is dan de nominale waarde van € 40.000,–, is er sprake van een disagio. Dit geeft aan dat deze lening voor de bank minder waard is omdat het rendement lager ligt dan dat zij nu zou kunnen ontvangen. Voor Vista is het daarentegen voordelig. Zij heeft contant gemaakt een voordeel van € 40.000,–  € 38.315,06 = € 1.684,94. Een disagio wordt veroorzaakt door het verschil tussen de nominale en effectieve rente. In het voorbeeld is het verschil tussen de nominale en de effectieve rente jaarlijks: € 2.400,–  € 2.000,– = € 400,– Disagio = € 400,–  a  5円6 = € 400,– 

1 

1 (1,06)5 = € 1.684,94 0,06

Als de effectieve interest lager zou zijn dan de nominale, ontstaat er een agio. Bepaling van de rentabiliteitswaarde met behulp van de grafische rekenmachine Bij de uitwerking van voorbeeld 7.1 gelden de volgende invoergegevens:

© Noordhoff Uitgevers bv

140

• • • • • • • • •

N 5 I% 6 PV 0 PMT 2000 FV 40000 P/Y 1 C/Y 1 PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 38315.05449

Bepaling van de rentabiliteitswaarde met behulp van Excel De rentabiliteitswaarde van een lening kan met behulp van de financiële Excel-functie HW (huidige waarde) worden berekend. Hiertoe moeten eerst zowel de aflossingen als de interestbetalingen berekend worden.

Op basis van voorbeeld 7.1 kan in Excel onderstaand werkblad worden opgesteld:

7

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTABILITEITSWAARDE

141

Opmerking In C8 is de jaarlijkse rentebetaling berekend als C3*C5. Voorbeeld 7.2

Een belegger heeft tien 8%-obligaties van elk € 1.000,– groot in zijn bezit. Aflossing vindt plaats over 10 jaar. Bereken de rentabiliteitswaarde als de huidige marktrente 5% bedraagt. Uitwerking 800

800

800

800

800

800

800

800

10.000 800

800

5% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

RW = ?

Ca

=

€10.000,– = € 6.139,13 (1,05)10 1 

Ci

 € 800,–  a  10円5 = € 800,– 

1 (1,05)10  € 6.177,39 0,05

RW  € 6.139,13  € 6.177,39  € 12.316,52 Het jaarlijkse renteverschil bedraagt: € 800,–  € 500,–  € 300,– 1 1  (1,05)10  € 2.316,52 Agio  € 300,–  a  10円5  € 300,–  0,05 In het algemeen geldt dat: als p < p’, dan is RW < K en is er een disagio; als p > p’, dan is RW > K en is er een agio; als p = p’, dan is RW = K. Een andere berekeningswijze van de rentabiliteitswaarde Meestal wordt de rentabiliteitswaarde op een andere wijze berekend. Deze kan als volgt worden afgeleid:

RW = Ca  Ci ≠ K Indien de rentebetalingen ook gebaseerd zouden zijn op de marktrente geldt: K = Ca  Cr Hieruit volgt dat: Cr = K  C a

7

© Noordhoff Uitgevers bv

142

Uitgewerkt voor voorbeeld 7.1: RW =

€ 40.000,–  (0,05  € 40.000,–)  a  5円6 = (1,06)5 € 29.890,33  € 8.424,73 = € 38.315,06

K=

€ 40.000,–  (0,06  € 40.000,–)  a  5円6 = (1,06)5 € 29.890,33  € 10.109,67 = € 40.000,–

Hieruit kan worden afgeleid dat: Ci : Cr = 0,05 : 0,06, ofwel p : p' Ci kan dus ook als volgt worden bepaald: Ci =

5 5 5  Cr =  (K  Ca) =  (€ 40.000,–  € 29.890,33) = € 8.424,73 6 6 6

RW = Ca  Ci kan dus ook geschreven worden als: RW = Ca 

p p'

 (K  Ca)

Deze wijze van berekenen is met name makkelijk als de jaarlijkse rentebetalingen niet aan elkaar gelijk zijn. 7

§ 7.3

Rentabiliteitswaarde van renten De rentabiliteitswaarde bestaat ook in geval de aflossing niet in één keer, maar in termijnen plaatsvindt uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de effectieve interest. Er kan dus gebruikgemaakt worden van de algemene formule voor het berekenen van de rentabiliteitswaarde: RW = Ca 

p p'

 (K  Ca)

In hoofdstuk 5 zijn de volgende renten onderscheiden: A renten met gelijke bedragen B uitgestelde renten C eeuwigdurende renten Ad A Renten met gelijke bedragen Voorbeeld 7.3

Freriks bv heeft op 1 januari 2016 een 4%-lening afgesloten van € 10.000,–. Aflossing vindt plaats in 10 jaarlijkse termijnen van € 1.000,–. De eerste termijn vervalt op 31 december 2016. Bereken op basis van een marktrente van 5% de rentabiliteitswaarde per 1 januari 2016.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTABILITEITSWAARDE

143

Uitwerking Op basis van de gegevens kan onderstaande tijdlijn worden samengesteld: 400 1.000

360 1.000

320 1.000

280 1.000

240 1.000

200 1.000

160 1.000

120 1.000

40 rentebetalingen 1.000 aflossingen

80 1.000

5% 2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

2025

RW = ?

Omdat de jaarlijkse rentebetalingen wisselende bedragen zijn, wordt gebruikgemaakt van de rentabiliteitswaardeformule: Rw = Ca 

p p'

 (K  Ca)

De rentabiliteitswaarde per 1 januari 2016 bedraagt: Ca = € 1.000,–  a  10円5 = € 1.000,–  Rw = € 7.721,73 

1 

1 (1,05)10 = € 7.721,73 0,05

4  (€ 10.000,–  € 7.721,73) 5

= € 7.721,73  € 1.822,62 = € 9.544,35 De rentabiliteitswaarde direct na het sluiten van de lening zal in de praktijk gewoonlijk slechts een klein agio of disagio opleveren omdat de afwijking in rente niet groot zal zijn. Gedurende de looptijd van de lening is de kans op verandering van de marktrente ten opzichte van de nominale rente groter. Voorbeeld 7.4

Bereken de rentabiliteitswaarde van de lening in voorbeeld 7.3 per 1 januari 2020 als de marktrente op dat moment 6% bedraagt. Uitwerking Nu geldt de volgende tijdlijn: 240 1.000

200 1.000

160 1.000

120 1.000

80 1.000

40 rentebetalingen 1.000 aflossingen

6% 2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

RW=?

De rentabiliteitswaarde per 1 januari 2020 bedraagt: Ca = € 1.000,–  a  6円6 = € 1.000,– 

1

1 (1,06)6 = € 4.917,32 0,06

2024

2025

7

© Noordhoff Uitgevers bv

144

RW = € 4.917,32 

4  (€ 6.000,–  € 4.917,32) 6

= € 4.917,32  € 721,79 = € 5.639,11 Let op: het kapitaal (K) is nu uiteraard geen € 10.000,– meer, maar de schuldrest van € 6.000,–. Berekening van de rentabiliteitswaarde met behulp van Excel is ook bij renten mogelijk. Hierbij maken we gebruik van de mogelijkheden die in hoofdstuk 5 zijn behandeld. Een uitwerking van voorbeeld 7.3 staat op de website. Ad B Uitgestelde renten Voorbeeld 7.5

Een 7%-lening van € 25.000,– wordt in 5 jaarlijkse termijnen van € 5.000,– afgelost. De 1ste termijn vervalt op 31 december 2021. Tot het moment van de 1ste aflossing wordt er jaarlijks alleen interest betaald. Bereken de rentabiliteitswaarde per 1 januari 2017 op basis van 6% effectieve interest. Uitwerking 7

Ca = € 5.000,–  c

1 1 1 1   c ¶  = (1,06)1 (1,06)2 (1,06)5 (1,06)4

Op basis van de gegevens kan onderstaande tijdlijn worden samengesteld: 1.750

1.750

1.750

1.750

1.750 5.000

1.400 5.000

1.050 5.000

350 rentebetalingen 5.000 aflossingen

700 5.000

6% 2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

2025

RW = ?

Omdat de jaarlijkse rentebetalingen wisselende bedragen zijn, wordt gebruikp gemaakt van de rentabiliteitswaardeformule: Rw = Ca   (K  Ca) p' In paragraaf 5.4 is een aantal methoden behandeld waarmee de contante waarde van uitgestelde renten kan worden bepaald. Het is het eenvoudigst om allereerst de waarde van de aflossingen per 1 januari 2021 te bepalen en vervolgens dat bedrag contant te maken per 1 januari 2017.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTABILITEITSWAARDE

1  Ca = € 5.000,–  a  4円6 = € 5.000,–  5円6  A 

145

1 (1,06)5 1  1,064 0,06

= € 16.682,93 RW = € 16.682,93 

7  (€ 25.000,–  € 16.682,93) = € 26.386,18 6

Ook kan Ca ook als volgt worden berekend: Alternatieve uitwerking 1 Ca = € 5.000,–  a  5円6 = € 16.682,93 4円6  1)  A  Alternatieve uitwerking 2 Ca = € 5.000,–  (a  9円6  a  4円6) = € 16.682,93 Ad C Eeuwigdurende renten Eeuwigdurende renten kennen geen aflossingen. Er wordt alleen periodiek een vergoeding betaald. Zo wordt bij een aflossingsvrije lening jaarlijks alleen rente betaald en leveren aandelen jaarlijks alleen dividend op, terwijl ze nooit worden afgelost. Ook bij eeuwigdurende renten geldt:

RW = Ca 

p p'

 (K  Ca)

Echter Ca is nihil, waaruit volgt dat: RW =

p p'

K

Voorbeeld 7.6

Iemand krijgt een 4% aflossingsvrije obligatie van nominaal € 1.000,– aangeboden. De eerstkomende interestbetaling vindt over 1 jaar plaats. Bereken de rentabiliteitswaarde als hij minimaal 5% interest per jaar over zijn geïnvesteerd vermogen wil behalen. Uitwerking RW =

4  € 1.000,– = € 800,– 5

De rentabiliteitswaarde kon ook worden berekend op basis van de algemene formule voor het bepalen van de contante waarde van een eeuwigdurende rente, zoals die in paragraaf 5.5 is behandeld. De algemene formule voor de contante waarde van een eeuwigdurende postnumerando rente is:

CW =

T i

Hiervan kan worden afgeleid:

7

© Noordhoff Uitgevers bv

146

RW =

T r

waarin: T = de jaarlijkse termijn In voorbeeld 7.6 bedraagt de jaarlijkse termijn: T = 0,04  € 1.000,– = € 40,–

RW =

€ 40,– = € 800,– 0,05

Voorbeeld 7.7

Een belegger bezit een aantal aandelen waarvan hij verwacht dat die jaarlijks € 18,– dividend per stuk op zullen leveren. Bereken de rentabiliteitswaarde van zo’n aandeel als de belegger een effectieve interest hanteert van 15%. Uitwerking RW =

7

§ 7.4

€18,– = € 120,– 0,15

Rentabiliteitswaarde van annuïteiten De rentabiliteitswaarde bestaat uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de effectieve interest. Een annuïteit bestaat zowel uit een aflossingsbestanddeel als uit een interestbestanddeel, waardoor de rentabiliteitswaarde eenvoudig kan worden berekend als de contante waarde van de annuïteiten op basis van de effectieve interest. RW= Ann  e

1 1 1  + c f = Ann  a  n円p ' (1  r)1 (1  r)2 (1  r)n

waarin: Ann = de annuïteit; n = de looptijd. Voorbeeld 7.8

Een 6,5%-lening van € 80.000,– wordt afgelost in 15 jaar met annuïteiten. Bereken de rentabiliteitswaarde op basis van 8% effectieve interest.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTABILITEITSWAARDE

147

Uitwerking De jaarlijkse annuïteit is: Ann = € 80.000,– 

8.508,22

1 = € 80.000,–  a 15円6,5

8.508,22

8.508,22

1 1

1 (1,065)15 0,065

8.508,22

= € 8.508,22

8.508,22

8.508,22

8.508,22

8% 1

2

3

4

14

15

RW = ?

RW = € 8.508,22  a  15円8 = € 72.825,93 Met behulp van de grafische rekenmachine wordt de rentabiliteitswaarde als volgt berekend: Als eerste wordt de annuïteit (PMT) bepaald. • N 15 • I% 6,5 • PV 80000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 8508.2226 Verander vervolgens I% in 8 en stel de PV op 0. • N 15 • I% 8 • PV 0 • PMT 8508.2226 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END • Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 72825.95034 Met behulp van de algemene rentabiliteitswaardeformule zijn Ca en Ci te herleiden. RW = Ca 

p p'

 (K  Ca)

€ 72.825,93 = Ca  € 72.825,93 =

6,5  (€ 80.000,–  Ca) 8

1,5  Ca  € 65.000,– 8

Ca = € 41.738,28 Ci = RW  Ca = € 72.825,93  € 41.738,28 = € 31.087,65

7

© Noordhoff Uitgevers bv

148

§ 7.5

Rentabiliteitskoers De rentabiliteitskoers (RK) is de rentabiliteitswaarde uitgedrukt in een percentage van de schuld(rest). Voorbeeld 7.9

Een 5%-obligatielening groot € 10.000.000,– wordt in 20 jaar met gelijke bedragen per jaar afgelost. De 1ste aflossing vindt plaats per 31 december 2016. Bereken op basis van 6% effectieve interest de rentabiliteitswaarde en de rentabiliteitskoers per: a 1 januari 2016; b 1 januari 2026; c 31 december 2035. Uitwerking De jaarlijkse aflossing is

€10.000.000,– = € 500.000,– 20

a 1 januari 2016 i1 a1

7

i2 a2

i3 a3

i4 a4

i5 a5

i6 a6

i7 a7

i8 a8

i10 i11 i12 i13 i14 i15 i16 i17 i18 i19 i20 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

i9 a9

6% ′16

′17

′18

′19

′20

′21

′22

′23

′24

′25

′26

′27

′28

′29

′30

′31

′32

′33

′34

′35

RK = ?

Ca = € 500.000,–  a  20円8 = = € 500.000,–  e

1 1 1   c f (1,06)1 (1,06)2 (1,06)20

1  = € 500.000,–  RW = € 5.734.960,61 

1 (1,06)20 = € 5.734.960,61 0,06

5 (€ 10.000.000,–  € 5.734.960,61) = 6

€ 9.289.160,10

RK =

€9.289.160,10  100% = 92,9% €10.000.000,–

b 1 januari 2026 Er zijn inmiddels 10 aflossingen gedaan. De schuldrest bedraagt nog € 5.000.000,–.

© Noordhoff Uitgevers bv

RENTABILITEITSWAARDE

149

i11 i12 i13 i14 i15 i16 i17 i18 i19 i20 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 6% ′16

′17

′18

′19

′20

′21

′22

′23

′24

′25

′26

′27

′28

′29

′30

′31

′32

′33

′34

′35

RK=?

Ca = € 500.000,–  a  10円6 = € 3.680.043,53 RW = € 3.680.043,53 

5 (€ 5.000.000,–  € 3.680.043,53) = 6

€ 4.780.007,26 €4.780.007,26  100% = 95,6% €5.000.000,–

RK =

c 31 december 2035 Er hoeft nog maar 1 aflossing van € 500.000,- betaald te worden en wel per direct. De contante waarde van die aflossing is daarom eveneens € 500.000,-. De schuldrest bedraagt € 500.000,–. i20 a20 6% ′16

′17

′18

′19

′20

′21

′22

′23

′24

′25

′26

′27

′28

′29

′30

′31

′32

′33

′34

′35 RK=?

Ca = € 500.000,– RW = € 500.000,– 

5  (€ 500.000,–  € 500.000,–) 6

= € 500.000,–  € 0,0 = € 500.000,–

RK =

€500.000,–  100% = 100% €500.000,–

Naarmate het aflossingsmoment nadert, zal de rentabiliteitskoers dus naar de 100% tenderen.

§ 7.6

Halfjaarcoupons Veel obligaties kennen een halfjaarlijkse interestbetaling in combinatie met een jaarlijkse aflossing. Uit paragraaf 3.5 is bekend dat bijvoorbeeld 8% per jaar niet gelijkwaardig is aan 4% per halfjaar.

7

© Noordhoff Uitgevers bv

150

Voorbeeld 7.10

Bereken de rentabiliteitswaarde van een 8%-obligatie met halfjaarcoupons als de effectieve interest 6% per jaar bedraagt. De obligatie is nominaal € 1.000,– en wordt over 5 jaar afgelost. Uitwerking Elk halfjaar levert deze obligatie € 40,– interest op. Op basis van 6% effectieve interest per jaar is € 40,– per halfjaar gelijkwaardig aan: € 40.–

€ 40.–

6% halfjaar

halfjaar EW 1 2

EW = € 40,–  (1,06)  € 40,– = € 40,–  1,029563  € 40,– = € 81,18 per jaar Bij 6% effectieve interest per jaar is 4% per halfjaar gelijkwaardig aan: 1

1  8  {(1,06) 2  1} = 8,118252% 2 7

Bij rentabiliteitsberekeningen geldt dat p% per halfjaar gelijkwaardig is aan: 1

1  p  {(1 + r) 2  1} per jaar 2

In de rentabiliteitsformule: RW = Ca 

p p'

 (K  Ca) geldt nu:

p = 8,118252% Ca = € 1.000,–  RW = € 747,26 

1 = € 747,26 (1,06)5

8,118252  (€ 1.000,–  € 747,26) 6

= € 747,26  € 341,97 = € 1.089,23 In geval van jaarcoupons zou de rentabiliteitswaarde lager zijn, omdat een deel van de interest later wordt ontvangen dan bij halfjaarcoupons. De rentabiliteitswaarde is dan:

© Noordhoff Uitgevers bv

RW = € 747,26 

RENTABILITEITSWAARDE

151

8  (€ 1.000,–  € 747,26) = 6

= € 747,26  € 336,99 = € 1.084,25 De formule: 1

1  p {(1  r) 2  1} 2  (K  Ca) RW = Ca  P' kan ook worden geschreven als: RW = Ca 

1

p

 (K  Ca) 

p'

RW = € 747,26 

1 {(1  r) 2  1} 2

1

8 1  (€ 1.000,–  € 747,26)   {(1,06) 2  1} = 6 2

= € 747,26  € 336,99  1,0147815 = = € 747,26  € 341,97 = € 1.089,23

§ 7.7

Aflossingspremie Als bij het sluiten van een lening de nominale interest lager ligt dan de marktrente, is de opbrengst van zo’n lening voor de geldgever niet in overeenstemming met zijn gewenste rendement. De rentabiliteitswaarde zal kleiner zijn dan het geleende bedrag. In zo’n geval kan de geldnemer de lening aantrekkelijker maken door meer dan het nominale schuldbedrag af te lossen. Hij betaalt dan een aflossingspremie ter (gedeeltelijke) compensatie van de lagere interest.

7

Voorbeeld 7.11

Een 7%-lening van € 100.000,– wordt over 10 jaar afgelost met een premie van 3%. De marktrente bedraagt 8%. Bereken de rentabiliteitswaarde. Uitwerking Op een tijdlijn kunnen alle betalingen als volgt worden weergegeven:

7.000

7.000

7.000

7.000

7.000

7.000

7.000

7.000

3.000 premie 100.000 aflossing 7.000 rente

7.000

8% 1 RW = ?

2

3

4

5

6

7

8

9

10

© Noordhoff Uitgevers bv

152

De rentabiliteitswaarde bestaat nu uit de contante waarde van de aflossing, de contante waarde van de premie en de contante waarde van de interestbetalingen. RW = Ca  Ci  Cp waarin: Cp = contante waarde van de premie Ca = € 100.000,– 

1 = € 100.000,–  A  10円8 (1,08)10

= € 46.319,35

1 1  (1,08)10 = € 46.970,57 Ci = 0,07  € 100.000,–  a  10円8 = € 7.000,  0,08 1 Cp = 0,03  € 100.000,–  = € 3.000,–  A  = € 1.389,58 10円8 (1,08)10 RW = € 46.319,30  € 46.970,57  € 1.389,45

= € 94.679,50

De contante waarde van de aflossingspremie kon ook als volgt worden berekend: Cp = 0,03  Ca = 0,03  € 46.319,35 = € 1.389,58

7

Deze laatste methode wordt gehanteerd als de rentabiliteitswaarde wordt berekend met behulp van de algemene rentabiliteitswaardeformule. Bedacht moet worden dat de aflossingspremie geen invloed heeft op de interestbetalingen; daarom heeft de premie ook geen invloed op de hoogte van Ci. De contante waarde van de aflossingen betreft dus de nominale aflossingen. RW = Ca 

p p'

 (K  Ca)  Cp

RW = € 46.319,35 

7  (€ 100.000,–  € 46.319,35)  0,03  € 46.319,35 8

RW = € 46.319,35  € 46.970,57  € 1.389,58 = € 94.679,50

© Noordhoff Uitgevers bv

153

Definities en formules Rentabiliteitswaarde

De rentabiliteitswaarde is de waarde die een belegger op een bepaald moment aan een lening of vordering toekent op basis van het rendement die hij op dat moment wenst.

Nominale rente

De rente die bij de leningvoorwaarde is vastgelegd en tot betalingen leidt.

Effectieve of marktrente

De rente die geldt op het moment van bepalen van de rentabiliteitswaarde, ofwel de marktrente van dat moment.

Rentabiliteitskoers

De rentabiliteitswaarde uitgedrukt in een percentage van de schuld(rest).

Agio

Positief verschil ten opzichte van de nominale waarde van een lening of vordering, veroorzaakt door een lagere marktrente ten opzichte van de nominale rente.

Disagio

Negatief verschil ten opzichte van de nominale waarde van een lening of vordering, veroorzaakt door een hogere marktrente ten opzichte van de nominale rente.

Ca

De contante waarde van de aflossingen op basis van de effectieve rente.

Ci

De contante waarde van de interestbetalingen, contant gemaakt tegen de effectieve rente.

RW = Ca 

p p'

 (K  Ca)

Formule voor het bepalen van de rentabiliteitswaarde.

7

© Noordhoff Uitgevers bv

154

Opgaven Van alle opgaven staan de beknopte antwoorden achter in het boek. Van de met een * gemarkeerde opgaven zijn de volledige uitwerkingen via de website beschikbaar. Bovendien staan op de website extra oefenopgaven met de volledige uitwerking. * 7.1

Een 6%-lening van € 250.000,– wordt over 15 jaar in zijn geheel afgelost. De effectieve interest is 6,5%. a Bereken de rentabiliteitswaarde bij het sluiten van de lening. b Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 12de jaar.

7.2

Van een 8%-lening groot € 360.000,– is onder meer gegeven dat er in één bedrag over 10 jaar zal worden afgelost. De effectieve interest is 10%. a Bereken Ca. b Bereken Ci op twee manieren. c Bereken de rentabiliteitswaarde. d Bereken het disagio op twee manieren.

7.3

Martijn koopt een eigen woning. Bij de bank sluit hij daarvoor een hypotheek af. Omdat er bij de aankoop van het huis bijkomende kosten zijn, krijgt hij van zijn ouders een onderhandse lening van € 25.000,– tegen een kleine rentevergoeding. Zij komen overeen dat Martijn over 10 jaar in één keer € 33.600,– aan aflossing en interest zal betalen. a Bereken het rentepercentage dat over het bedrag moet worden betaald.

7

Na 5 jaar wint Martijn een behoorlijke prijs in de loterij. Hij wil nu de lening direct aan zijn ouders aflossen. b Bereken het bedrag dat hij eind jaar 5 aan zijn ouders moet betalen, rekening houdend met het onder a berekende percentage. c Bepaal de rentabiliteitswaarde aan het eind van het 5de jaar indien de marktrente op dat moment 2% bedraagt. d Geef gemotiveerd aan of de ouders van Martijn een voor- of een nadeel hebben bij deze vervroegde aflossing. 7.4

De rentabiliteitswaarde van een 3%-lening groot € 80.000,– bedraagt € 72.709,55. Aflossing vindt plaats in jaarlijkse gelijke termijnen. De contante waarde van de aflossingen op basis van effectieve interest bedraagt € 61.773,88. Bereken het effectieve interestpercentage.

* 7.5

Een 6%-lening van € 40.000,– zal in 5 jaarlijkse gelijke termijnen worden afgelost. De eerste aflossing vindt plaats aan het einde van het 6de jaar na het sluiten van de lening. Bereken de rentabiliteitswaarde op basis van een effectieve interest van 8% op het moment van het sluiten van de lening.

© Noordhoff Uitgevers bv

* 7.6

7.7

OPGAVEN

155

Een 8%-lening van € 100.000,– wordt afgelost in 10 jaarlijkse gelijke termijnen. De eerste aflossing vindt plaats aan het einde van het 4de jaar na het sluiten van de lening. De effectieve interest bedraagt 7%. a Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 1ste jaar. b Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 4de jaar. c Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 10de jaar. Beantwoord de vragen van opgave 7.6 opnieuw bij een marktrente van 8%.

* 7.8

Bereken de rentabiliteitswaarde van een 7% onaflosbare lening van € 75.000,– op basis van 8% marktrente.

* 7.9

Een belegger kan een pakket aandelen kopen dat hem jaarlijks naar verwachting € 18.000,– dividend zal opleveren. Wat zal deze belegger in dit pakket aandelen willen investeren als hij 12% rendement vereist?

7.10

Ter financiering van een woning werd 5 jaar geleden een hypothecaire lening gesloten van € 155.000,– met een interestvoet van 9% met een looptijd van 30 jaar. Aflossing vindt plaats met gelijkblijvende annuïteiten. De eerste vervalt aan het eind van het 1ste jaar. a Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 1ste jaar op basis van 9,5% marktrente. b Bereken de rentabiliteitswaarde aan het begin van het 6de jaar op basis van een marktrente van 9,5%. c Bereken de schuldrest per het begin van het 6de jaar. d Hoe wordt het verschil tussen de antwoorden van vraag b en c genoemd, en verklaar waarom het positief of negatief is.

* 7.11

Een 7%-lening van € 275.000,– wordt afgelost met behulp van 20 jaarlijkse annuïteiten. De eerste vervalt aan het eind van het 1ste jaar. De effectieve interest is 8%. a Bereken de rentabiliteitswaarde per het begin van het 1ste jaar. b Bereken Ca per het begin van het 1ste jaar. c Bereken Ci per het begin van het 1ste jaar.

* 7.12

Bereken de rentabiliteitskoers (in 1 decimaal) van een 8%-lening van € 300.000,– die in 30 gelijke jaarlijkse termijnen wordt afgelost bij een marktrente van 6%: a per het begin van het 1ste jaar van de lening; b direct na de 10de aflossing; c direct na de 29ste aflossing.

* 7.13

Bereken met behulp van de gegevens van opgave 7.10 de rentabiliteitskoers per het begin van het 6de jaar.

* 7.14

De rentabiliteitskoers van een onaflosbare lening bedraagt 80% bij een effectief rendement van 5%. Bereken het nominale interestpercentage.

7.15

Een 6,5%-lening groot € 200.000,– wordt over 10 jaar ineens afgelost. De lening kent halfjaarcoupons. De effectieve interest bedraagt 7% per jaar. Bereken de rentabiliteitswaarde per het begin van het 1ste jaar.

7

© Noordhoff Uitgevers bv

156

* 7.16

Een 7%-lening van € 75.000,– met halfjaarcoupons zal in 15 jaarlijkse gelijke termijnen worden afgelost. De eerste aflossing vindt plaats aan het einde van het 6de jaar na sluiten van de lening. Bereken de rentabiliteitswaarde op basis van een effectieve interest van 8% per jaar op het moment van sluiten van de lening.

* 7.17

Van een 9%-lening groot € 360.000,– is gegeven dat er in één bedrag over 10 jaar zal worden afgelost. De effectieve interest is 10%. Hoe groot moet de aflossingspremie zijn opdat de rentabiliteitskoers op het moment van aangaan van de lening 100% bedraagt?

7.18

7

Een 6%-lening van € 315.000,– wordt afgelost met behulp van 30 jaarlijkse annuïteiten. De eerste vervalt aan het eind van het 1ste jaar. De effectieve interest is 8%. Er wordt een aflossingspremie uitbetaald van 1,5%. Bereken de rentabiliteitswaarde per het begin van het 1ste jaar.

158

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

159

8 Uitgewerkte casussen

8.1 8.2 8.3

Hypotheek Obligaties Aanbod leningen 8

In dit hoofdstuk worden drie SPD-opgaven volledig uitgewerkt met behulp van de grafische rekenmachine en Excel. Per casus is aangegeven op welke hoofdstukken van het boek de opgave betrekking heeft.

© Noordhoff Uitgevers bv

160

§ 8.1

Hypotheek SPD-examen financiële rekenkunde 30 juni 2010 (deze opgave heeft betrekking op de hoofdstukken 3, 5 en 6) Gegeven De financiële markten vertonen een voorzichtig herstel. Daarom overweegt Jan Oscar een nieuw appartement te kopen. Om zich te oriënteren, bezoekt Jan Oscar een financieel adviseur. De adviseur legt enige alternatieven aan hem voor. Uitgangspunt is dat Jan Oscar een hypotheek van € 200.000,– krijgt met een looptijd van 30 jaar. Hypotheekverstrekker A hanteert een percentage samengestelde interest van 6,4 per jaar en gaat uit van 30 jaarlijks gelijkblijvende betalingen voor aflossing en interest die aan het eind van het jaar moeten worden voldaan. Vraag 1 Bereken de hoogte van de jaarlijkse betaling aan hypotheekverstrekker A. Uitwerking € 200.000,– = Ann  a  3 0円6,4

8

Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 30 • I% 6.4 • PV 200000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 15157.031 Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel B3 Annuïteit = BET(B2;B3;B1) = 15.157,03 Gegeven Omdat Jan Oscar de voorkeur heeft voor een meer gespreide betaling over het jaar, is het aanbod van hypotheekverstrekker B misschien aantrekkelijker. Deze instelling vraagt na afloop van elk halfjaar een bedrag voor aflossing en interest van € 7.226,59. Vraag 2 Bereken het percentage samengestelde interest op jaarbasis dat hypotheekaanbieder B hanteert (drie decimalen). Uitwerking Jaarpercentage = {(1+i)2 1}  100%

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

161

Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 60 • I% 0 • PV 200000 • PMT 7226.59 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar I%, ALPHA, enter → resultaat 2.999998871 2.999998871% per halfjaar is gelijkwaardig aan: ((1,0299999871)2  1)  100% = 6,0899973% In 3 decimalen: 6,090% Excel maakt gebruik van de financiële functie RENTE. Lening in cel B1 Looptijd (60) B2 Betaling B3 Interestpercentage per halfjaar (in cel B4): =RENTE(B2;B3;B1) = 2.999998871 Interestpercentage per jaar: =(1+B4)^21) = 6,090 (geef cel percentageformat) Gegeven Hypotheekverstrekker C hanteert zelfs maandbetalingen en berekent de annuïteit die aan het eind van elke maand betaald moet worden op basis van 0,5% samengestelde interest per maand. 8

Vraag 3 Bereken het gelijkwaardige percentage samengestelde interest op jaarbasis dat hypotheekaanbieder C hanteert (drie decimalen). Uitwerking Jaarpercentage = {(1,005)12 1}  100% = 6,167781186% In 3 decimalen: 6,168% Vraag 4 Bereken de hoogte van de maandelijkse betaling aan hypotheekverstrekker C. Uitwerking Stel het maandbedrag op X. € 200.000,– = X  a  円0,5 360 Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 360 • I% 0.5 • PV 200000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 1199.10105

© Noordhoff Uitgevers bv

162

Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel (360) B3 Annuïteit = BET(B2;B3;B1) = 1.199,10 Vraag 5 Bereken het maandbedrag indien hypotheekverstrekker C, die 0,5% per maand hanteert, de betaling van het maandbedrag niet aan het eind maar aan het begin van de maand wil ontvangen. Uitwerking Stel het maandbedrag op X. € 200.000,– = X  (1 + a  円0,5) 359 Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 360 • I% 0.5 • PV 200000 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 1193.1353

8

Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel (360) B3 Annuïteit = =BET(B2;B3;B1;;1)= 1.193,14 Hier is ‘Type_getal’ uit het dialoogscherm op 1 gezet omdat de betaling aan het begin van de periode plaatsvindt. Gegeven Omdat Jan Oscar extra kosten voor het nieuwe appartement gaat maken, sluit hij bij bank BAMFORT een doorlopend krediet af van maximaal € 15.000,–. Zodra er geld wordt opgenomen, zal er een maandbetaling voor aflossing en interest aan het eind van de maand betaald moeten worden ter hoogte van 2% per maand van het maximale krediet. De interestvergoeding die BAMFORT in rekening brengt, is 0,8% per maand (samengestelde interest). Op 1 juli 2010 neemt Jan Oscar € 10.000,– op uit het krediet. Daarna vinden steeds de gelijke betalingen per maand plaats. Vraag 6 Bereken het bedrag dat Jan Oscar in 2010 aan aflossing en het bedrag dat hij aan interest betaalt.

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

163

Uitwerking Maandelijks wordt 2% van € 15.000,– = € 300,– betaald. Dit bedrag bestaat uit aflossing en rente. Na 6 betalingen is met behulp van de grafische rekenmachine de schuldrest te bepalen. Het verschil met het opgenomen bedrag van € 10.000,– vormt het bedrag van de aflossing. • N 6 • I% 0.8 • PV 10000 • PMT 300 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 8653.316705 Som betalingen: 6  € 300,– = € 1.800,– Som aflossingen: € 10.000,–  € 8.653,32 = € 1.346,68 Som interestbetalingen: € 1.800,–  € 1.346,68 = € 453,32 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld.

8

Vraag 7 Bereken de resterende schuld op 31 december 2010. Zie uitwerking vraag 6. Vraag 8 Bereken hoeveel betalingen van het volledige bedrag van 2% moeten plaatsvinden om het doorlopend krediet af te lossen. Er kan van worden uitgegaan dat het interestpercentage dat BAMFORT in rekening brengt, ongewijzigd blijft.

© Noordhoff Uitgevers bv

164

Uitwerking € 10.000,– = € 300,–  a  n 円0,8 Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 0 • I% 0.8 • PV 10000 • PMT 300 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter → resultaat 38.92423756 ofwel 38 keer Excel maakt gebruik van de financiële functie NPER (n perioden). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 Betaling in cel B3 N=NPER(B2;B3;B1)= 38.92423 ofwel 38 maal

§ 8.2

Obligaties SPD-examen financiële rekenkunde 30 juni 2010 (deze opgave heeft betrekking op de hoofdstukken 3, 4, 5 en 7)

8

Gegeven De Staat der Nederlanden schrijft een obligatielening uit ter grootte van € 1.000.000.000,–. De storting zal 1 juli 2010 plaatsvinden. De lening zal na 10 jaar ineens afgelost worden. De couponrente bedraagt 4%. Vraag 1 Bereken de theoretische koers van uitgifte die de geldgever een rendement van 4,5% op jaarbasis oplevert (drie decimalen). Uitwerking Ca =

€ 1.000.000.000,– (1,045)10 1 

Ci = € 40.000.000,–  a  10円4,5 = € 40.000.000,– 

1 (1,045)10 0,045

Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 10 • I% 4.5 • PV 0 • PMT 40000000 • FV 1000000000 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 960436409.1

© Noordhoff Uitgevers bv

Theoretische koers:

UITGEWERKTE CASUSSEN

165

960.436.409,1  100% = 96,044% 1.000.000.000

Excel maakt gebruik van de financiële functie HW (huidige waarde). Lening in cel B1 Looptijd in cel B2 Nominaal interestpercentage in cel B3 Gewenst rendement in cel B4 Jaarlijkse couponbetaling (40.000.000) in cel B5 Rentabiliteitswaarde in cel B7

= HW(B4;B2;B5;B1) = € 960.436.409 Theoretische koers in cel B9 = B7/B1 = 96,044% Vraag 2 Bereken de theoretische koers van uitgifte die de geldgever een rendement van 3,5% op jaarbasis oplevert (drie decimalen). Uitwerking Identieke oplossing met een ander gewenst rendement. Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 10 • I% 3.5 • PV 0 • PMT 40000000 • FV 1000000000 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 1041583027

Theoretische koers:

1.041.583.027  100% = 104,158% 1.000.000.000

In Excel: Rentabiliteitswaarde in cel B7

=HW(B4;B2;B5;B1) = € 1.041.583.027 Theoretische koers in cel B9 =B7/B1 = 104,158% Gegeven Veronderstel dat de lening in twee gelijke bedragen wordt afgelost op 30 juni 2019 en 30 juni 2020. Vraag 3 Bereken dan de theoretische koers van uitgifte die een rendement van 3,5% op jaarbasis oplevert (drie decimalen).

8

© Noordhoff Uitgevers bv

166

Uitwerking Er is nu geen sprake meer van jaarlijks gelijke couponbetalingen. Bij de oplossing wordt gebruik gemaakt van de algemene formule van de rentabiliteit: Rw = Ca  Ca =

p p'

 (K  Ca)

€ 500.000.000,– € 500.000.000,–  (1,035)10 (1,035)9

Oplossing met de grafische rekenmachine: De eerste aflossing: • N 9 • I% 3.5 • PV 0 • PMT 0 • FV 500000000 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 366865486.1

8

Oplossing met de grafische rekenmachine: De tweede aflossing: • N 10 • I% 3.5 • PV 0 • PMT 0 • FV 500000000 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 354459406.9 Ca = 366.865.486,10 + 354.459.406,90 = 721.324.893 Ci =

4  (1.000.000.000  721.324.893) = 318.485.837 3,5

Rw = 721.324.893 + 318.485.837 = 1.039.810.730 Theoretische koers:

1.039.810.730  100% = 103,981% 1.000.000.000

Excel maakt gebruik van de financiële functie NHW. Bepaal de jaarlijkse betalingen aan aflossing en couponrente. De eerste 8 jaar wordt er alleen 4% rente betaald ofwel € 40.000.000,–. In 2019 wordt er tevens € 500.000.000,– afgelost. In 2020 bedraagt de aflossing € 500.000.000,–. De in 2010 verschuldigde rente is: 0,04  (€ 1.000.000.000,–  € 500.000.000,–) = € 20.000.000,–. In Excel kan het volgende model worden opgesteld:

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

167

Rentabiliteitswaarde in cel D18 =NHW(B4;D7:D16) = € 1.039.810.730 Theoretische koers in cel D20 =D18/B1 = 103,981% Vraag 4 Bereken de theoretische koers van uitgifte die de geldgever een rendement van 3,5% op jaarbasis oplevert, aannemende dat de lening in plaats van jaarcoupons halfjaarcoupons heeft (drie decimalen) en twee gelijke aflossingen in 2019 en 2020. Uitwerking Grafische rekenmachine Bij een gewenst rendement van 3,5% per jaar is 2% per halfjaar gelijkwaardig aan: 1

2  {(1,035)2  1} = 4,034698995% (afgerond 4,035%) De berekening van Ca met behulp van de grafische rekenmachine is identiek aan die van vraag 3. Ca = 366.865.486,10  354.459.406,90 = 721.324.893 Ci =

4,035  (1.000.000.000  721.324.893) = 321.272.588 3,5

Rw = 721.324.893  321.272.588 = 1.042.597.481 Theoretische koers:

1.042.597.481  100% = 104,260% 1.000.000.000

8

© Noordhoff Uitgevers bv

168

In Excel kan van de halfjaarcoupons de eindwaarde per jaar worden bepaald op basis van een gewenst rendement van 3,5% per jaar. De opstelling van het werkblad kan er dan als volgt uitzien:

De formule in cel E7 luidt: =(C7*(1+$B$4)^0,5)+D7 De formule in cel F18 luidt: =NHW(B4;F7:F16) De formule in cel F20 luidt: =F18/B1

8

Er is sprake van een afrondingsverschil ten opzichte van de berekening met de grafische rekenmachine doordat daar niet met 4,034698995% maar met 4,035% is doorgerekend. Gegeven Veronderstel dat de lening (met jaarcoupons en twee gelijke aflossingen in 2019 en 2020) wordt uitgegeven tegen een uitgiftekoers van 97. Vraag 5 Bereken het rendement dat een geldgever behaalt (drie decimalen). Uitwerking Het TVM-Solver menu van de grafische rekenmachine kan de diverse betalingen niet verwerken. In dat geval resteert de ‘trial and error’-methode. Omdat de koers lager is dan 100% moet het gewenste rendement hoger dan 4% zijn. Bij een rendement van 4,3% komt de koers op 97,701% en bij een rendement van 4,4% is de koers 96,943%. Het gevraagde rendement ligt derhalve tussen de 4,3% en de 4,4%. Specifieker: Gewenst rendement: 4,3% 

97,701  97  0,1% = 4,392% 97,701  96,943

In Excel maken we gebruik van de functie ‘doelzoeken’ en stellen we onderstaand werkblad op waarbij de formule in cel D18 als volgt luidt: =NHW(B4;D7:D16)

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

169

De variabele die gezocht wordt is het gewenst rendement in cel B4 Verplaats de cursor naar B4 en klik op het tabblad ‘Gegevens’. Kies nu de ‘Wat-als analyse’ en selecteer ‘Doelzoeken’ en vul het dialoogscherm als volgt in:

8

Het gewenst rendement in cel B4 wordt dan 4,393%.

Gegeven In Griekenland is het vertrouwen in de staatsfinanciën minder. Een niet-aflosbare obligatielening heeft jaarcoupons van 4%.

© Noordhoff Uitgevers bv

170

Vraag 6 Bereken in procenten het agio of het disagio dat gerelateerd is aan een rendement van 7% op jaarbasis (drie decimalen). Uitwerking Hier is sprake van een ‘eeuwigdurende’ verplichting van € 40.000.000,–. De rentabiliteitswaarde bedraagt:

Theoretische koers:

€ 40.000.000,– = € 571.428.571,– 0,07

571.428.571  100% = 57,143% 1.000.000.000

Disagio: 42,857%.

§ 8.3

Aanbod leningen SPD-examen financiële rekenkunde 21 december 2009 (deze opgave heeft betrekking op de hoofdstukken 3, 4, 5 en 6) Gegeven Pauline gaat op kamers wonen. Ter financiering van de inrichting heeft zij extra liquide middelen nodig. Zij denkt ongeveer € 7.500,– nodig te hebben. Zij wil de lening in vier jaar terugbetalen met maandelijks gelijkblijvende bedragen, die steeds bestaan uit een aflossingsdeel en een interestdeel. Zij informeert bij verschillende aanbieders. De eerste aanbieder hanteert een interestpercentage van 0,65% (samengestelde interest) op maandbasis. De gelijkblijvende maandbedragen vervallen aan het begin van de maand.

8

Vraag 1 Bereken het maandelijks te betalen bedrag. Uitwerking € 7.500,– = X  (1 + a  4 7円0,65) Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 48 • I% 0,65 • PV 7500 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: BEGIN Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 181.21572 → € 181,22 Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel B3 Let op: omdat het een prenumerando-lening is, moet bij Type_getal het cijfer 1 worden ingevuld.

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

171

Maandbedrag = BET(B2;B3;B1;;1)= € 181,22 Gegeven Voor het vervolg van deze opgave geldt dat de betalingen steeds aan het eind van een periode plaatsvinden. Het maandelijks gelijkblijvende bedrag wordt nu € 182,39 op 0,65% samengestelde interest op maandbasis. Vraag 2 Bereken het gelijkwaardige jaarpercentage dat bij deze aanbieding wordt gehanteerd (drie decimalen nauwkeurig). Uitwerking Jaarpercentage= {(1,0065)12  1}  100% Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 12 • I% 0,65 • PV 1 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 1.08084981 → p = 8,085% Excel: Maandpercentage in cel Jaarpercentage in cel (% format)

B1 B2 =(1+B1)^121 = 8,085%

Vraag 3 Bereken het bedrag dat in het derde jaar in totaliteit aan interest moet worden betaald. Uitwerking In totaal wordt betaald: 12  € 182,39 = € 2.188,68 De aflossing in het derde jaar is het verschil tussen de schuld aan het begin en aan het einde van het jaar. Schuld begin derde jaar = € 182,39  a  2 4円0,65 Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 24 • I% 0,65 • PV 0 • PMT 182.39 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 4040.887002 Schuld einde derde jaar = € 182,39  a  2 4円0,65

8

© Noordhoff Uitgevers bv

172

Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 12 • I% 0,65 • PV 0 • PMT 182.39 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 2098.946271 Totaal betaald in derde jaar: Aflossing: € 4.040,89  € 2.098,95 =

€ 2.188,68 € 1.941,94 

Betaalde interest derde jaar:

€ 246,74

In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld.

8

Gegeven De lening wordt op 1 januari 2008 afgesloten. Daarbij wordt in overleg het maandelijks te betalen bedrag afgerond op € 175,– en als gevolg daarvan wordt de looptijd aangepast. Vraag 4 Bereken de schuldrest aan het einde van het vierde jaar. Uitwerking De schuldrest is € 7.500,–  de som van de 48 aflossingen De eerste aflossing is: a1 = € 175,–  0,065  € 7.500,– = € 126,25 De som van a1 t/m a48 = a1  (s  4 7円0,65  1)

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

173

Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 48 • I% 0,65 • PV 7500 • PMT 175 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 414.9260996 → € 414,93 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld, waarbij het maandbedrag op € 175,– wordt gesteld.

Vraag 5 Bereken de grootte van de laatste betaling en geef aan op welke datum deze betaling vervalt. 8

Uitwerking Als eerste wordt de nieuwe looptijd bepaald. Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 0 • I% 0,65 • PV 7500 • PMT 175 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar N, ALPHA, enter → resultaat 50.397722401 Dit betekent dat er 50  € 175,– wordt betaald en de 51e maand het restant. De eerste betaling is op 31 januari 2008 → de 51e betaling is per 31 maart 2012.

© Noordhoff Uitgevers bv

174

Per 1 januari 2008 is de contante waarde van de 50 betalingen van € 175,–: • N 50 • I% 0,65 • PV 0 • PMT 175 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PV, ALPHA, enter → resultaat 7449.948373 → 50,051627 minder dan € 7.500,–. Deze € 50,051627 wordt over 51 maanden betaald. Per 31 maart 2012 moet worden betaald: • N 51 • I% 0,65 • PV 50,051627 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 69.64997099 → € 69,65 In Excel kan eenvoudig een aflossingsplan worden samengesteld, waarbij het maandbedrag op € 175,– wordt gesteld en tot en met de 51e termijn wordt doorgerekend.

8

Rente + aflossing = € 0,45 + € 69,20 = € 69,65 Gegeven Een tweede aanbieder hanteert een ander maandpercentage. Dit leidt bij een looptijd van 4 jaar tot betalingen van € 185,– per maand die aan het eind van de maand vervallen.

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

175

Vraag 6 Bereken het percentage samengestelde interest op jaarbasis (drie decimalen) met over delen van een jaar samengestelde interest. Uitwerking € 7.500,– = € 185,–  a 4 8円p Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 48 • I% 0 • PV 7500 • PMT 185 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar I%, ALPHA, enter → resultaat 0.7115738875 ( per maand) Op jaarbasis is dat {(1,007115738875)12 1}  100% Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 12 • I% 0, 7115738875 • PV 1 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar FV, ALPHA, enter → resultaat 1.088811242 → 8,881% Excel maakt gebruik van de financiële functie RENTE. Lening in cel B1 Interestpercentage per maand in cel B2 Maandbetaling in cel B3 Looptijd in cel B4 Maandpercentage cel B2 =RENTE(B4;B3;B1) = 0,7116% Jaarpercentage in cel B6 =((1+B2)^12)1 = 8,881% (percentage format) Gegeven Een derde aanbieder gaat uit van 7,9% op jaarbasis. Hij berekent eerst de gelijkblijvende jaarannuïteit en deelt deze annuïteit door 12. Vraag 7 Bereken het maandelijks te betalen bedrag. Uitwerking Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 4 • I% 7,9 • PV 7500 • PMT 0 • FV 0

8

© Noordhoff Uitgevers bv

176

• P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 2259.3677 (per jaar) Het maandbedrag is € 2.259,37 : 12 = € 188,28 Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 Looptijd in cel B3 Jaarbedrag =BET(B2;B3;B1) = € 2.259,37 → maandbedrag is € 188,28 Gegeven Neem nu aan dat deze aanbieder een gelijkwaardig maandpercentage hanteert, gebaseerd op 7,9% (over delen van een jaar samengestelde interest). Ook hier geldt een looptijd van vier jaar. Vraag 8 Bereken het maandelijks te betalen bedrag.

8

Uitwerking Het gehanteerde maandpercentage = {(1,079)1/12  1}  100% = 0,636% Oplossing met de grafische rekenmachine: • N 48 • I% 0,636 • PV 7500 • PMT 0 • FV 0 • P/Y 1 • C/Y 1 • PMT: END Cursor naar PMT, ALPHA, enter → resultaat 181.80413 Excel maakt gebruik van de financiële functie BET (betaling). Lening in cel B1 Interestpercentage in cel B2 (0,636) Looptijd in cel B3 Jaarbedrag =BET(B2;B3;B1) = € 181,80 Gegeven Een vierde aanbieder verstrekt leningen waarbij jaarlijkse gelijkblijvende betalingen voor aflossing en interest worden gevraagd. In het aflossingsschema staan de volgende bedragen vermeld: Resterende schuld na het eerste jaar € 5.830,67 Resterende schuld na het tweede jaar € 4.031,12 Resterende schuld na het derde jaar € 2.091,22 Vraag 9 Bereken het interestpercentage op jaarbasis (twee decimalen) en de omvang van het te lenen bedrag.

© Noordhoff Uitgevers bv

UITGEWERKTE CASUSSEN

177

Uitwerking Voor de uitwerking van deze vraag bieden de grafische rekenmachine en Excel geen bijzondere functies. Tweede aflossing: € 5.830,67  € 4.031,12 = € 1.799,55 Derde aflossing: € 4.031,12  € 2.091,22 = € 1.939,90 a3 = a2  (1 + i) → (1 + i) = 1,07799172 → p = 7,80% a1 =

a2 1  i

= € 1.669,34

De lening is a1 plus de schuldrest aan het begin van het tweede jaar ofwel K = € 1.669,34 + € 5.830,67 = € 7.500,–

8

178

© Noordhoff Uitgevers bv

© Noordhoff Uitgevers bv

179

9 Formules, functies en hun afleidingen

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Inleiding Eindwaarde van één kapitaal Contante waarde van één kapitaal Eindwaarde van een rente Contante waarde van een rente Annuïteit Overzicht financieel-rekenkundige functies in Excel en grafische rekenmachine

9

© Noordhoff Uitgevers bv

180

§ 9.1

Inleiding In het voorgaande is bij de uitwerking van de diverse onderwerpen gebruikgemaakt van zowel de (grafische) rekenmachine als Excel. Bij gebruik van de rekenmachine is het noodzakelijk dat de diverse formules bekend zijn. In de voorgaande hoofdstukken zijn de formules steeds gegeven, zonder dat werd aangegeven hoe men eraan was gekomen. Het is raadzaam daar alsnog enige aandacht aan te schenken. Bij het gebruik van de grafische rekenmachine en Excel is enige basisvaardigheid vereist. De voor financiële rekenkunde specifieke functies worden in dit hoofdstuk op een rijtje gezet.

§ 9.2

Eindwaarde van één kapitaal De eindwaarde van een kapitaal na 1 periode is: EW1 K(1  i) waarin: EW1  de eindwaarde na 1 periode; K  het beginkapitaal of de contante waarde; i  het interestperunage. De eindwaarde na 2 perioden is: EW2  K(1  i)(1  i)  K(1  i)2 Het ranggetal van EW correspondeert dus met de exponent van de factor (1  i). Zo is de eindwaarde na een aantal perioden n te bepalen als: EWn  K(1  i)n

9

De vorm (1  i)n schrijft men als S  n円p, waarbij p het interestpercentage voorstelt: n S n円p  (1  i)

Bij gebruik van de rekenmachine: toets in: [1  i][^][n][] Bij gebruik van de grafische rekenmachine kiezen we voor de functie FV (future value). Bij gebruik van Excel kiezen we voor de functie TW (toekomstige waarde).

© Noordhoff Uitgevers bv

§ 9.3

FORMULES, FUNCTIES EN HUN AFLEIDINGEN

181

Contante waarde van één kapitaal De contante waarde van een kapitaal dat over 1 periode vervalt, is: CW  EW1 

EW1 1 = 1  i 1  i

De contante waarde van een kapitaal dat over 2 perioden vervalt, is: CW  EW2 

EW2 1 1 1  = EW2  = 2 1  i 1  i (1  i) (1  i)2

Ook hier ziet men de gelijkheid tussen het ranggetal en de exponent. De contante waarde van een kapitaal dat over een aantal perioden n vervalt, is: CW  EWn  De vorm A n円p

1 (1  i)n

1 schrijft men als A  n円p: (1  i)n

1 (1  i)n

Bij gebruik van de rekenmachine: toets in: [1  i][^][n][] Bij gebruik van de grafische rekenmachine kiezen we voor de functie PV (present value). Bij gebruik van Excel kiezen we voor de functie HW (huidige waarde).

§ 9.4

Eindwaarde van een rente De eindwaarde van een rente met 2 termijnen na 2 perioden is: EW2  T  {(1 i)  (1  i)2} waarin T de termijn voorstelt. De eindwaarde van een rente met een aantal termijnen n na een aantal perioden n is: EWn  T  {(1  i)  (1  i)2  ….  (1  i)n  1  (1  i)n}: De vorm tussen de accolades duidt men aan met s  n円p: n

2 n1  (1  i)n = n (1  i)n s n円p = (1  i)  (1 + i)  ….  (1  i) =1

De formule voor s  n円p kan als volgt worden herleid:

9

© Noordhoff Uitgevers bv

182

2 n1 s  (1  i)n n円p = (1  i)  (1  i)  ... (1  i) 2 n1 (1  i)s  (1  i)  ... (1  i)  (1  i)n  (1  i)n  1 n円p =

 is  n円p = (1  i) 

(1  i)n  1

Links en rechts delen door –i geeft vervolgens: s n円p =

(1  i)n  1  (1  i) i

Dit kan men herschrijven tot: s n円p =

(1  i)n  1  (1  i) i

Afleiding had ook kunnen gebeuren door middel van de somformule van een opklimmende meetkundige rij. Deze formule luidt: som  a 

rn  1 r  1

Hier is a de eerste term, r de reden en n het aantal termen. In de formule voor S  n円p is a (1  i) en r eveneens (1  i). Aldus krijgt men: s n円p  (1  i) 

(1  i)n  1 i

Bij gebruik van de rekenmachine berekent men s  n円p als volgt: toets in: [1  i][^][n][1][][][i][][1  i][] Bij gebruik van de grafische rekenmachine kiezen we voor de functie FV (future value) in combinatie met het invullen van PMT (payment of periodieke betaling). Bij gebruik van Excel kiezen we voor de functie TW (toekomstige waarde) in combinatie met het invullen van Bet (de betaling die elke termijn wordt verricht).

9

§ 9.5

Contante waarde van een rente De contante waarde van een rente met 2 termijnen die over 1 respectievelijk 2 perioden vervallen, is: CW = T  e

1 1  f 1  i (1  i)2

waarin T de termijn voorstelt.



© Noordhoff Uitgevers bv

FORMULES, FUNCTIES EN HUN AFLEIDINGEN

183

De contante waarde van een rente met aantal termijnen n die over 1, 2 tot en met een aantal perioden n vervallen, is dan: CW = T  e

1 1 1 1   ...  f 1  i (1  i)2 (1  i)n  1 (1  i)n

De vorm tussen de accolades duidt men aan met a  n円p. a n円p

n

1 1 1 1 =  ...  = a (1  i)n  1  i (1  i)2 (1  i)n  1 (1  i)n n=1

De formule kan als volgt worden herleid: 1 1 1 1   2  c n  1 1  i (1  i) (1  i) (1  i)n

a n円p = (1  i)a  n円p =

1 +

1 1   1  i (1  i)2

N

i a n円 p =  1

 

1 (1  i)n  1 1 (1  i)n



Links en rechts delen door i geeft vervolgens: 1 1 n (1  i) a n円p = i Deze afleiding kan ook met behulp van de somformule van een afdalende meetkundige rij. Deze formule luidt: som = a 

1  rn 1  r

Hierin is: a =

1 (1  i)

9

(is de eerste term) r =

1 (1  i)

(is de reden) Aldus krijgt men: a n円p

1 =  1  i

1 1 1 1 1 n (1  i)n (1  i)n (1  i) = = 1 1  i i 1 (1  i)  1  i 1  i

1

© Noordhoff Uitgevers bv

184

Bij gebruik van een rekenmachine berekent men a  n円p aldus: toets in: [()][1  i][^][n][][1][][][i][] Bij gebruik van de grafische rekenmachine kiezen we voor de functie PV (present value) in combinatie met het invullen van PMT (payment of periodieke betaling). Bij gebruik van Excel kiezen we voor de functie HW (huidige waarde) in combinatie met het invullen van Bet (de betaling die elke termijn wordt verricht).

§ 9.6

Annuïteit Bij een annuïteitenlening is het geleende kapitaal in feite de contante waarde van de gezamenlijke annuïteiten. Als men de lening voorstelt met K en de annuïteit met Ann, dan kan men bij een aantal perioden n een en ander als volgt weergeven: K = Ann  e

1 1 1 1   c  f 1  i (1  i)2 (1  i)n  1 (1  i)n

De vorm tussen accolades kwam in de vorige paragraaf al voor als a  n円p. Er geldt dus blijkbaar: K = Ann × a  n円p → Ann = K ×

1 a n円p

De afleiding van de formule voor a  n円p is al in de vorige paragraaf gegeven. De formule wordt: a n円p = 9

1 1

1 (1  i)n i

Bij gebruik van een rekenmachine berekent men

1 aldus: a n円p

toets in: [()][1  i][^][n][][1][][][i][][^][1][] Bij gebruik van de grafische rekenmachine kiezen we voor de functie PMT (payment of periodieke betaling; hier dus de te berekenen annuïteit) in combinatie met PV (present value; hier de lening). Bij gebruik van Excel kiezen we voor de functie BET (de te berekenen annuïteit), waarbij bij Hw de lening wordt ingevuld.

© Noordhoff Uitgevers bv

§ 9.7

FORMULES, FUNCTIES EN HUN AFLEIDINGEN

185

Overzicht financieel-rekenkundige functies in Excel en grafische rekenmachine Berekening

Excel

Grafische rekenmachine

Eindwaarde van één kapitaal

TW

FV

Eindwaarde van renten

TW

FV

Contante waarde van één kapitaal

HW

PV

Contante waarde van renten

HW

PV

Contante waarde veranderlijke renten

NHW

Annuïteit

BET

PMT

Looptijd

NPER

N

Rentepercentage (rendement)

RENTE

I%

Aflossingsplan annuïteitenlening

PBET

Interestbestanddelen annuïteitenlening

IBET

9

© Noordhoff Uitgevers bv

186

Beknopte antwoorden van de opgaven* Hoofdstuk 2 2.1

2.2

2.3

3.5

€7.750,– €414,27 5,5% 7,5 maand

a €9.907,39 b €9.901,16 c €20.474,21

3.6

a b c d

a €10.350,– b €1.800,– c 4,75%

3.7

€11.679,25

3.8

€4.000,–

a b c d

2.4

7,75%

2.5

a €2.111,85 b €311,85

2.6

20%

2.7

a €2.500,– b €2.800,–

2.8

a 9,2% b €526,32 c €13.212,50

2.9

3.1

3.2

3.3

€8.689,11

3.4

a €1.964,38 b €233,85 c €2.572,40

a b c d e

€17.181,86 €7.181,86 €1.124,05 €3.325,52

3.9

a 30 jaar b 12 jaar c 15 jaar

3.10

a 8% b 6,5% c 2%

3.11

6,313 %

3.12

a €1.228,25 b 3,5%

12% €13.483,15 €13.483,20 12,36% Keuze: huurkoop €43,20

3.13

16,21%

3.14

a 8,2432% b 11,3025% c 19,5618%

Hoofdstuk 3

3.15

6,2%

a €11.240,47 b €30.759,65

3.16

a €3.754,62 b €1.575,–

a €6.057,57 b €6.055,77

3.17

€11.748,74

€806,35

© Noordhoff Uitgevers bv

3.18

3.19

a b c d

BEKNOPTE ANTWOORDEN VAN DE OPGAVEN*

€9.901,16 €13.886,89 €908,49 8 jaar plus 9 maanden

5.8

a €7.398,42 b €3.543,23

5.9

€1.945,59

Geen standaard antwoord

5.10

a €10.294,98 b €9.712,25 c €10.294,98

5.11

€24.332,69

5.12

€9.578,42

5.13

€5.364,19

5.14

Hoe hoger de interest, hoe lager de contante waarde.

5.15

€14.327,24

5.16

€10.391,16

5.17

€11.868,55

5.18

a €17.245,49 b 3,4% c €3.984,15

5.19

a €50.000,– b €54.000,–

5.20

€500,–

5.21

8%

5.22

19,56%

5.23

10 termijnen

Hoofdstuk 4 4.1

a €8.500,– b €1.750,– c €2.701,34

4.2

€600,17

4.3

a €20.422,16 b €20.211,63

4.4

€12.500,–

4.5

€40.000,–

4.6

€11.899,68

4.7

a €27.000,– b €27.000,–

4.8

a €93.779.200 b €3.751.168

4.9

a €12.746,86 b €18.639,31

4.10

Geen standaard antwoord

Hoofdstuk 5 5.1

5.2 5.3

187

a €29.607,03 b €27.931,16 c €27.931,16 × 1,06 = €29.607,03

5.24

a 15 maal b €8.448,06 c €3.654,94

5.25

a 1 januari 2037 b €352,84

5.26

a 9 maal b €1.185,59

5.27

€3.349,36

5.28

a €8.764.188,31 b €3.557.091,67

€6.599,59 a €21.038,71 b €20.229,53 c €21.038,71

5.4

€115.298,30

5.5

€159.044,80

5.6

€1.123,92

5.7

a €6.992,27 b 0

© Noordhoff Uitgevers bv

188

5.29

a 6 maal b €191,62

5.30

a NCWA = 593.439,04 NCWB = 487.987,38 b Beide positief advies

5.31

a 532.629,42 b NCW stijgt

5.32

a 293,66 b NCW>0 dus positief advies

6.1

a €205.673,97 b

Hoofdstuk 6

6.2

Jaar

Schuld 1-1

Aflossing

Interest

Schuld 31-12

1

€800.000,00

€133.673,97

€72.000,00

€666.326,03

2

€666.326,03

€145.704,62

€59.969,34

€520.621,41

3

€520.621,41

€158.818,04

€46.855,93

€361.803,37

4

€361.803,37

€173.111,66

€32.562,30

€188.691,71

5

€188.691,71

€188.691,71

€16.982,25

€

0,00

€19.904,25

6.3

a €19.904,25 b De annuïteiten vormen gezamenlijk een (postnumerando) rente met het bedrag van de oorspronkelijke lening als contante waarde

6.4

a €205.673,97 b Jaar

Schuld 1-1

Aflossing

Interest

Schuld 31-12

1

€175.000,00

€6.964,06

€12.250,00

€168.035,94

2

€168.035,94

€7.451,54

€11.762,52

€160.584,40

3

€160.584,40

€7.973,15

€11.240,91

€152.611,25

4

€152.611,25

€8.531,27

€10.682,79

€144.079,97

5

€144.079,97

€9.128,46

€10.085,60

€134.951,51

b €12.803,14 c €4.555,75 6.5

a7 = 2.488,64 r15 = 6.945,71 a25 = 10.806,81

6.6

€20.592,55

6.7

€20.214,16

© Noordhoff Uitgevers bv

€20.275,30

6.8 6.9

a €1.216.653,– b €114.843,– c €806.609,–

6.10

a €33.202,84 b €33.202,86 c €33.202,87

6.11

a €14.422,84 b €147.606,10 c €12.666,16

6.12

a €77.854,72 b €18.482,43 c €49.403,76

6.13 6.14

6.15

189

Hoofdstuk 7 7.1

a €238.246,66 b €245.717,75

7.2

a b c d

€138.795,58 €176.963,53 €315.759,12 €44.240,88

7.3

a b c d

3% €28.983,66 €26.178,37 Nadeel, ze ontvangen nu nog maar 2% interest i.p.v. 3%.

7.4

5%

7.5

€35.434,74

Na 23 jaar. a €10.500,– b €2.463,61 c €2.463,61  1,07 = €2.636,06 d €1.252,39 a b c d

€46.731,82 €17.282,84 €120.432,43 €16.926,18 €60.989,22

6.16

7.6

a €106.095,24 b €104.252,03 c €40.875,41

7.7

a €100.000,– b €100.000,– c €40.000,–

7.8

€65.625,–

7.9

€150.000,–

a b c d

6.18

a €24.206,60 b 14 jaar

6.19

a b c d

7,5% 25 jaar €17.942,53 €200.000,–

a b c d

10% €300.000,– €33.050,43 25 jaar

€148.377,69 €142.385,96 €148.194,54 Het verschil is een disagio. Het verschil is negatief omdat de marktrente hoger is dan het nominale interestpercentage.

7.10

a b c d

7.11

a €254.859,96 b €113.879,68 c €140.980,28

7.12

a 118,0% b 114,2% c 101,9%

7.13

96%

€7.773,10 €5.117,59 €201.729,94 €14.313,23

6.17

6.20

BEKNOPTE ANTWOORDEN VAN DE OPGAVEN*

© Noordhoff Uitgevers bv

190

7.14

4%

7.17

€57.374,72 of 15,9%

7.15

€194.547,26

7.18

€258.910,39

7.16

€70.053,23