Ferdinand Georg Frobenius - Gesammelte Abhandlungen I-III 9783662488881, 9783662489604, 9783662489628

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Ferdinand Georg Frobenius - Gesammelte Abhandlungen I-III
 9783662488881, 9783662489604, 9783662489628

Table of contents :
Ferdinand Georg Frobenius - Gesammelte Abhandlungen I (1870-1880)
FERDINAND GEORG FROBENIUS 1849-1917
Préface
Erinnerungen an Frobenius von Carl Ludwig Siegel
1.(1870) De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione
2.(1871) Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten
3.(1872) Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind
4.(1873) Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen
5.(1873) Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen
6.(1874) Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variabeln
7.(1874) Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen
der linearen Differentialgleichungen
8.(1875) Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes
9.(1875) Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen
10.(1875) Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen
11.(1875) Über das Pfaffsche Problem
12.(1877) Zur Theorie der elliptischen Functionen (mit L. Stickelberger)
13.(1877) Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables
14.(1878) Über lineare Substitutionen und bilineare Formen
15.(1878) Über adjungirte lineare Differentialausdrücke
16.(1879) Über homogene totale Differentialgleichungen
17.(1879) Über die schiefe Invariante einer bilinearen oder quadratischen Form
18.(1879) Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten
19.(1879) Über Gruppen von vertauschbaren Elementen (mit L. Stickelberger)
20.(1880) Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten (Forts.)
21.(1880) Über die Addition und Multiplication der elliptischen Functionen (mit L. Stickelberger)
Vollständige Liste aller Titel
Ferdinand Georg Frobenius - Gesammelte Abhandlungen II (1880-1896)
FERDINAND GEORG FROBENIUS 1849-1917
Préface
Erinnerungen an Frobenius von Carl Ludwig Siegel
22.(1880) Zur Theorie der Transformation der Thetafunctionen
23.(1880) Über die Leibnitzsche Reihe
24.(1880) Über das Additionstheorem der Thetafunctionen mehrerer Variabeln
25.(1881) Über Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen
26.(1882) Über die Differentiation der elliptischen Functionen nach den Perioden und Invarianten (mit L. Stickelberger)
27.(1882) Über die elliptischen Functionen zweiter Art
28.(1883) Über die principale Transformation der Thetafunctionen mehrerer Variabeln
29.(1884) Über Gruppen von Thetacharakteristiken
30.(1884) Über Thetafunctionen mehrerer Variabeln
31.(1884) Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen
32.(1884) Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen (Abh. II)
33.(1885) Über die constanten Factoren der Thetareihen
34.(1886) Über die Beziehungen zwischen den 28 Doppeltangenten einer ebenen Curve vierter Ordnung
35.(1887) Neuer Beweis des Sylowschen Satzes
36.(1887) Über die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul
37.(1888) Über die Jacobischen Covarianten der Systeme von Berührungskegelschnitten einer Curve vierter Ordnung
38.(1888) Über das Verschwinden der geraden Thetafunctionen
39.(1889) Über die Jacobischen Functionen dreier Variabeln
40.(1890) Theorie der biquadratischen Formen
41.(1891) Über Potentialfunctionen, deren Hessesche Determinante verschwindet
42.(1893) Über die in der Theorie der Flächen auftretenden Differentialparameter
43.(1893) Über auflösbare Gruppen
44.(1893) Antrittsrede (bei der Berliner Akademie)
45.(1894) Über die Elementarteiler der Determinanten
46.(1894) Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen
47.(1895) Über endliche Gruppen
48.(1895) Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes
49.(1895) Über auflösbare Gruppen II
50.(1896) Über die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen
51.(1896) Über vertauschbare Matrizen
52.(1896) Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe
Vollständige Liste aller Titel
Ferdinand Georg Frobenius - Gesammelte Abhandlungen III (1896-1917)
FERDINAND GEORG FROBENIUS 1849-1917
Préface
Erinnerungen an Frobenius von Carl Ludwig Siegel
53.(1896) Über Gruppencharaktere
54.(1896) Über die Primfactoren der Gruppendeterminante
55.(1896) Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen
56.(1897) Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen
57.(1898) Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen
58.(1899) Über die Composition der Charaktere einer Gruppe
59.(1899) Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen II
60.(1900) Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe
61.(1901) Über die Charaktere der alternirenden Gruppe
62.(1901) Über auflösbare Gruppen III
63.(1901) Über auflösbare Gruppen IV
64.(1901) Über auflösbare Gruppen V
65.(1902) Über Gruppen der Ordnung $p^\alpha q^\beta$
66.(1902) Über Gruppen des Grades $p$ oder $p + 1$
67.(1902) Über primitive Gruppen des Grades $n$ und der Classe $n - 1$
68.(1903) Über die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe
69.(1903) Über die Primfactoren der Gruppendeterminante II
70.(1903) Theorie der hyperkomplexen Größen
71.(1903) Theorie der hyperkomplexen Größen II
72.(1903) Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie
73.(1904) Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen
74.(1905) Zur Theorie der linearen Gleichungen
75.(1906) Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (mit I. Schur)
76.(1906) Über die Äquivalenz der Gruppen linearer Substitutionen (mit I. Schur)
77.(1906) Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen II
78.(1907) Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie II
79.(1908) Über Matrizen aus positiven Elementen
80.(1909) Über Matrizen aus positiven Elementen II
81.(1910) Über die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen
82.(1909) Über den Fermatschen Satz
83.(1910) Über den Fermatschen Satz II
84.(1910) Über die Bernoullischen Zahlen und die Eulerschen Polynome
85.(1911) Über den Rang einer Matrix
86.(1911) Gegenseitige Reduktion algebraischer Körper
87.(1911) Über den von L. Bieberbach gefundenen Beweis eines Satzes von C. Jordan
88.(1911) Über unitäre Matrizen
89.(1911) Über die unzerlegbaren diskreten Bewegungsgruppen
90.(1911) Gruppentheoretische Ableitung der 32 Kristallklassen
91.(1912) Ableitung eines Satzes von Carathéodory aus einer Formel von Kronecker
92.(1912) Über Matrizen aus nicht negativen Elementen
93.(1912) Über den Stridsbergschen Beweis des Waringschen Satzes
94.(1912) Über quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen
95.(1913) Über die Reduktion der indefiniten binären quadratischen Formen
96.(1913) Über die Markoffschen Zahlen
97.(1914) Über das quadratische Reziprozitätsgesetz
98.(1914) Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II
99.(1914) Über den Fermatschen Satz III
100.(1915) Über den gemischten Flächeninhalt zweier Ovale
101.(1916) Über die Kompositionsreihe einer Gruppe
102.(1917) Über zerlegbare Determinanten
103.(1893) Gedächtnisrede auf Leopold Kronecker
104.(1902) Adresse an Herrn Richard Dedekind zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 18. März 1902
105.(1913) Adresse an Herrn Heinrich Weber zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 19. Februar 1913
106.(1914) Adresse an Herrn Franz Mertens zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 7. November 1914
107.(1917) Rede auf L. Euler
Vollständige Liste aller Titel

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Ferdinand Georg Frobenius

Gesammelte Abhandlungen I Editor

Jean-Pierre Serre

Reprint of the 1968 Edition

~ Springer

Author

Editor

Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917) Universität Berlin Berlin Gerrnany

Jean-Pierre Serre Paris Chaire d' Algebre et Geometrie College de France Paris France

ISSN 2194-9875

Springer Collected Works in Mathematics (Softcover) 978-3-642-49212-9 (Hardcover)

ISBN 978-3-662-48888-1

Library of Congress Control Number: 2012954381 Springer Heidelberg New York Dordrecht London © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1968. Reprint 2015 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concemed, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, express or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. Printed on acid-free paper Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg is part of Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Springer Collected Works in Mathematics

More information about this series at http://www.springer.com/series/11104

FERDINAND GEORG FROBENIUS

1849-1917

FERDINAND GEORG FROBENIUS GESAMMELTE ABHANDLUNGEN

BAND!

Herausgegeben von J-P. Se"e

SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH

ISBN 978-3-642-49211-2 (eBook)

ISBN 978-3-642-49212-9 DOI 10.1007/978-3-642-49211-2

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne achriftliche Gcochmiguog des Springer-Verlages übersetzt oder in irgendeiner Form vervielfältigt werden.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelbeig 1968 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1968 Library of Congress C.atalog C.ard Number 68-55372

Titel-Nr. 1532

Prefaee Cette edition des OeNVres de Frobenius est divisee en trois tomes. Le premier comprend les memoires n 08 1 a 21, publies entre 1870 et 1880; le second, ceux publies entre 1880 et 1896 (n08 22 a 52); le demier, ceux publies entre 1896 et 1917 (n08 53 a107). Ainsi, les memoires sur les fonctions abeliennes figurent dans le tome II, ainsi que celui sur 1a «substitution de Frobenius»; ceux sur les caracteres sont dans le tome III. Les textes se suivent par ordre chronologique, a l'exception des articles sur KRONECKER et EULER, reportes a la fin du tome III; on trouvera egalement a cet endroit les adresses de l' Academie de Berlin a DEDEKIND, WEBER et MERTENS qui, bien que non signees, sont vraisemblablement dues a Frobenius. Le tome I contient aussi des souvenirs personnels de C-L. SIEGEL qui a eu Frobenius comme professeur a l'Universite de Berlin. Par contre, on ne trouvera aucune analyse des travaux de Frobenius, ni de leur influence sur les recherches ulterieures. Une telle analyse, en effet, eut etc fort difficile a faire, et peu utile; comme me l'~ ecrit R. BRAUER « .•. if the reader wants to get an idea about the importance of Frobenius work today, all he has to do is to look at books and papers on groups ...» . La publication de ces OeNVres a etc grandement facilitee par l'aide de diverses personnes, notamment W. BARNER, P. BELGODERE, R. BRAUER, B. EcKMANN, H. KNEsER, H. RE1cHARDT, Z. ScHuR, C-L. SIEGEL; je leur en suis tres reconnaissant, Je dois egalement de vifs remerciements a la maison Springer-Verlag qui a mene a bien cette publication et m'a procure le grand plaisir de la presenter au public. Paris, Septembre 1968

JEAN-PIERRE SERRE

Erinnerungen an Frobenius von CARL Luowm SIEGEL Über den Lebenslauf von FROBENIUS weiß ich nichts anderes auszusagen, als man vollständiger der biographischen Angabe im „Poggendorff" entnehmen würde. Jedoch hatte ich das Glück, in meinen ersten Studiensemestern bei FROBENIUS Kolleg zu hören, und möchte nun hier meine sehr persönlich und subjektiv gefärbten Erinnerungen an ihn wiedergeben, so gut das nach Ablauf von mehr als einem halben Jahrhundert noch möglich sein kann. Als ich Herbst 1915 an der Berliner Universität immatrikuliert wurde, war gerade ein Krieg in vollem Gange. Obwohl ich die Hintergründe der politischen Ereignisse nicht durchschaute, so faßte ich in instinktiver Abneigung gegen das gewalttätige Treiben der Menschen den Vorsatz, mein Studium einer den irdischen Angelegenheiten möglichst fernliegenden Wissenschaft zu widmen, als welche mir damals die Astronomie erschien. Daß ich trotulem zur Zahlentheorie kam, beruhte auf folgendem Zufall. Der Vertreter der Astronomie an der Universität hatte angekündigt, er würde sein Kolleg erst 14 Tage nach Semesterbeginn anfangen - was übrigens in der damaligen Zeit weniger als heutzutage üblich war. Zu den gleichen Wochenstunden, Mittwoch und Sonnabend von 9 bis 11 Uhr, war aber auch eine Vorlesung von FROBENms über Zahlentheorie angezeigt. Da ich nicht die geringste Ahnung davon hatte, was Zahlentheorie sein könnte, so besuchte ich aus purer Neugier zwei Wochen lang dieses Kolleg, und das entschied über meine wissenschaftliche Richtung, sogar für das ganze weitere Leben. Ich verzichtete dann auf Teilnahme an der astronomischen Vorlesung, als sie schließlich anfing, und blieb bei FROBENIUS in der Zahlentheorie. Es dürfte schwer zu erklären sein, weshalb diese Vorlesung über Zahlentheorie auf mich einen so großen und nachhaltigen Eindruck gemacht hat. Dem Stoff nach war es ungefähr die klassische Vorlesung von D1R1CHLET, wie sie uns in DEDEKINDs Ausarbeitung überliefert worden ist. FROBENIUS empfahl dann auch seinen Zuhörern den „Dirichlet-Dedekind" zur Benutzung neben dem Kolleg, und dieses war das erste wissenschaftliche Werk, das ich mir von meinem mühsam durch Privatunterricht ".'erdienten Taschengeld anschaffte - wie etwa in jetziger Zeit ein Student' sein Stipendium zur erstmaligen Erwerbung eines Motorfahrzeugs verwendet. FROBENIUS sprach völlig frei, ohne jemals eine Notiz zu benutzen, und dabei irrte oder verrechnete er sich kein einziges Mal während des ganzen Semesters. Als er zu Anfang die Kettenbrüche einführte, machte es ihm offensichtlich Freude, die dabei auftretenden verschiedenen algebraischen Identitäten und Rekursionsformeln mit größter Sicherheit und erstaunlicher Schnelligkeit der Reihe nach anzugeben, und dabei warf er zuweilen einen leicht ironischen Blick ins Auditorium, wo die eifrigen Hörer kaum noch bei der Menge des Vorgetragenen mit ihrer Niederschrift folgen konnten. Sonst schaute er die Studenten kaum an und war meist der Tafel zugewendet.

X Damals war es übrigens in Berlin nicht üblich, daß zwischen Student und Professor in Zusammenhang mit den Vorlesungen irgend ein wechselseitiger Kontakt zustande kam, außer wenn noch besondere Übungsstunden abgehalten wurden, wie etwa bei PLANCK in der theoretischen Physik. FROBENIUS hielt aber keine Übungen zur Zahlentheorie ab, sondern stellte nur hin und wieder im Kolleg eine an das Vorgetragene anschließende Aufgabe; es war dem Hörer freigestellt, eine Lösung vor einer der folgenden Vorlesungsstunden auf das Katheder im Hörsaal zu legen. FROBENIUS pflegte dann das Blatt mit sich zu nehmen und ließ es beim nächsten Kolleg ohne weitere Bemerkung wieder auf dem Katheder liegen, wobei er es vorher mit dem Zeichen „v" signiert hatte. Niemals wurde jedoch von ihm die richtige oder beste Lösung angegeben oder gar von einem Studenten vorgetragen. Die Aufgaben waren nicht besonders schwierig, soweit ich mich entsinnen kann, und betrafen immer spezielle Fragen, keine Verallgemeinerungen; so sollte z. B. einmal im Anschluß an die Theorie der Kettenbrüche gezeigt werden, daß die Anzahl der Divisionen beim euklidischen Algorithmus für zwei natürliche Zahlen höchstens fünfmal die Anzahl der Ziffern der kleineren Zahl ist. Verhältnismäßig wenige unter den Zuhörern gaben Lösungen von Aufgaben ab, aber mich interessierten sie sehr und ich versuchte, sie alle zu lösen, wodurch ich dann auch einiges aus Zahlentheorie und Algebra lernte, was nicht gerade im Kolleg behandelt worden war. Ich habe bereits erwähnt, daß ich nicht gut erklären kann, wodurch die starke Wirkung der Vorlesungen von FROBENIUS hervorgerufen wurde. Nach meiner Schilderung der Art seines Auftretens hätte die Wirkung eher abschreckend sein können. Ohne daß es mir klar wurde, beeinflußte mich wahrscheinlich die gesamte schöpferische Persönlichkeit des großen Gelehrten, die eben auch durch die Art seines Vortrages in gewisser Weise zur Geltung kam. Nach bedrückenden Schuljahren unter mittelmäßigen oder sogar bösartigen Lehrern war dies für mich ein neuartiges und befreiendes Erlebnis. In meinem zweiten Semester, ehe noch das Militär auch mich für seine Zwecke zu mißbrauchen versuchte, hörte ich eine weitere Vorlesung bei FROBENIUS, über die Theorie der Determinanten, die sich wohl in vielem an KRONECKER anschloß. Vorher hatte ich in den Ferien noch ein Erlebnis, das ebenfalls mit FRoBENIUS zusammenhing, wie sich allerdings erst viel später herausstellte. Ich erhielt nämlich mit der Post eine Vorladung zur Quästur der Universität, wodurch ich zunächst in Schrecken versetzt wurde. In der Zeit Kaiser Wilhelms des Zweiten pflegten vielfach die Mütter ihre Kinder dadurch zum Gehorsam zu ermahnen, daß sie ihnen mit dem Schutzmann drohten, und so kannte auch ich die Angst vor der Obrigkeit, die Gewalt über einen hat. Als ich nun voller Befürchtungen auf dem Sekretariat der Universität erschien, wurde mir dort zu meiner Verblüffung eröffnet, ich solle aus der Eisenstein-Stiftung einmalig den Betrag von 144 Mark und 50 Pfennigen bekommen. Dies war kein Stipendium, um das man sich bewerben konnte, und andererseits war ich jedoch zu scheu, bei der Universitätsbehörde nachzufragen, aus welchem Grunde mir das Geld geschenkt wurde, sondern nahm es eben gehorsam an. Damals wußte ich auch noch nicht, wer EISENSTEIN gewesen war; erst viele Jahre später erfuhr ich bei einem Gespräche mit J. SCHUR, daß EISENSTEIN& Eltern nach dem frühzeitigen Tode ihres Sohnes zur Erinnerung an ihn eine Stiftung gemacht hatten, aus deren Zinsen jährlich einem tüchtigen Studenten der Mathematik die genannte Summe ausgezahlt wurde. Als ich bei dieser Gelegenheit ScHUR erzählte, ich hätte die von FROBENIUS im Kolleg gestellten Aufgaben fleißig gelöst, da bezeichnete er

XI es als höchst wahrscheinlich, daß FaoBENIUS mich für jenen Eisenstein-Preis empfohlen hatte. Danach hat es also FaoBENIUS wohl doch nicht gänzlich abgelehnt, von der Existenz seiner Hörer Notiz zu nehmen, und er hat sogar gelegentlich ein menschliches Interesse für sie g~eigt. Aber für mich bot sich keine Gelegenheit, jemals mit ihm direkt zu sprechen. Ich wurde dann auch bald von der Militärbehörde als kriegsverwendungsfähig - so lautete wirklich das Wort 1 - zur Ausbildung nach Straßburg im Elsaß verschickt. Dort war ich, als FROBENIUS starb, in der psychiatrischen Klinik des Festungslazaretts zur Beobachtung auf meinen Geisteszustand interniert. Als ich mit dem Leben davon gekommen war und schließlich wieder anfing, mathematisch zu arbeiten, haben mich die Untersuchungen von FaoBENius zur Gruppentheorie längere Zeit stark beschäftigt und dann meine Geschmacksrichtung auf algebraischem Gebiete dauernd beeinflußt.

Inbaltsverzeiehnis Band I 1. De functionum analyticarum unius variabilis per series infin.itas repraesentatione . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Ober die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionenfortschreiten . • . . . . . . . . . . . . • . . 3. Ober die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind . . . . . . . . , . . . . . 4. Ober die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen . 5. Ober den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 6. Ober die Determinante mehrerer Functionen einer Variabeln . . . . . . 7. Ober die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . 8. Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes 9. Ober algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen . . 10. Ober die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen 11. Ober das Ffaffsche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Zur Theorie der elliptischen Functionen (mit L. Stickelberger) . 13. Note sur 1a theorie des formes quadratiques a un nombre quelconque de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Ober lineare Substitutionen und bilineare Formen 15. Ober adjungirte lineare Differentialausdrücke . . 16. Ober homogene totale Differentialgleichungen . . 17. Ober die schiefe Invariante einer bilinearen oder quadratischen Form. 18. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten . . . . . . 19. Ober Gruppen von vertauschbaren Elementen (mit L. Stickelberger) . 20. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten (Forts.) . . . . 21. Ober die Addition und Multiplication der elliptischen Functionen (mit L. Stickelberger) . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 35 65 84 106 141 154 158 221 232 249 335 340 343 406 435 454 482 545 591 612

1. De functionum analyticarum unius variahilis per series infinitas repraesentatione Dissertation, Berlin (1870)

§ 1.

Üogitanti mihi de evolvendis functionibus analyticis unius variabilis in series secundum propositas functiones progredientes tria potissimum problemata se obtulerunt, primum, omnes functiones, quae evolvi posaunt, investigandi, alterum, rationem, quae inter omnes eiusdem functionis evolutiones intercedit, indagandi, tertium, fines, quibus serierum convergentia continetur, assignandi. Quarum quaestionum tractationem duobus exemplis simplicibus illustrare in hac mihi commentatione proposui. Manifestum est secundum eas functiones, quibus fractiones rationales omnes repraesentari posaunt, ope integralis Cauchyani eas etiam functiones, quae rationalium cbaracterem habent, evolvi posse. Metbodos, quibus fractionum rationalium secundum functiones Lapla •.. (x - a-.+.-1)m) et pro omnibus indicis n valoribus

= (x -

b.)»

(1 - a.x-b. - b'I(,) ... (1 -

a•+.-1)111 :JJ- b'lf,

b•)

quoniam una cum serie ~Ö ,, (a1t+••· - b')!.) etiam productum

11: (1 ,,

~+·" -

b,.,)

x- b'lf,

absolute convergit, derivatur aequivalentia (a, - a'lf,) ••• [x - a1'+(>.-t)m] oo (x - b'lf,)>.. ltaque s1

5

ponitur, facile perspicitur esse P. {z) oo (,pz)• . P. z)• (z) m . punctis ' b, b uum quotiens {cp 0

1 • • •

b• - i m ' fi mtus, . .m

punctis a0 , a 1 • • • a._ 1 nihilo aequalis sit. Et quia dift'erentiarum b,., - a,.,, b,,,_ - a,.,+• • . . finitus tantum numerus quantitatem datam s quamvis parvam superat, perspicitur esse

s.•. ff

P.(b,.) oo



[(b,.,-b1). {b.. -b.. -1) (6,.-b,.,+1). (b,.,-b.)]•

denotante s. quantitatem ultra omnem limitem decrescentem. Quodsi radius convergentiae seriei ~: .., c,, z'' per e denotatur, series ~;' .., c,, P., (z) convergit intra, divergit extra curvam, in qua functionis

l! esset; haberetur igitur series :Si ,,, (cn+l' - c'•+•) Q.,, (x) = 0, certe convergens intra lineam C(e), intra quam aa+1, a.+a ... omnia essent sita; quod fieri non potest. ltaque nisi curva C (e) per unum ex punctis a0 , a 1 • • • transit, non existit series :S;'c~P.,,(x)=O intra C(e) convergens, extra diver-

"

gens. Si autem C (e) per a„ transgreditur, iaceat a; intra hanc lineam, sit e > e' >

), ~, a,-, a,., . .. (Ä. < µ, < 11 •• •) intra O (e) iaceant. Ex quantitatibus c,., c6, c'J' • • • quae manent arbitrariae, coefticientes • di sunt, ut G • ' • d·etermman c,.,, c,-, o,., •.• 1ta P.(a:) (a:) m punctis

a,., a,,. . . . valorem finitum servet;

quod una tantum ratione fieri posse, facile perspicitur, cum ponitur primum G(~)=O, unde c;.. invenitur, deinde, si non ~ == a,,., Q (a,,.) = O, sin a>., == a,,., Q' (a,,.) .. O, unde c,- reperitur etc. Quantitates c.+1, c.+2 • • • ex 00, Ci . • • c. computantur ponendo deinceps in aequatione P.Q ({ ) -= Zi c.+• Q,, (a:)

-+t

a,

I'

et in iis, quae per dift'erentiati.onem ex hac obtinentur, a: = a.+1, a.+2 . . . quod per harum serierum convergentiam licet. Duae igitur cifrae evolutiones, intra O (e) convergentes, in quibus Ce., op, c'J' • • • congruunt, diversae esse nullo modo possunt. Perspicitur autem, constantes ha, hp ••• ita posse determinari, ut P,. (a:), Pp (a:) •• •, in expressione ha Sa. + hp Sp • • • eosdem habeant coefficientes, atque in serie ~Ö ,, c, P,, (a:). ltaque S0 , S1 • • • systema completum evolutionum cifrae inter se independentium efticiunt. §

8.

Quantitatibus tlo, a 1 • • • una cum n ultra omnem limitem crescentibus, commoditatis eausa ponamus P. (a:) == ( 1 - ~) ( 1 - ~) .•. ( 1 -

a.:)

12

Converge11te serie ~Ö _!_ quia convergit etiam productum ,. a,, p (M)

ex aequatione

1 (l

m- y derivatur formula

= IJö !!_) ,. (t- a,,

P„ (IJ) ~·- 1 P,,, (x) - P. 11 = "::' 0 a,,, P,+1 (y)

_l_(tPx) =~Ö P,,(x) 11 P 11 „ a„ P,·+1 (11)

(lJ -

ltaque ne deficere nostra nos metbodus videatur, ostendamus, in seriem absolute convergentem et secundum 1- -y has functiones P,. (m) progredientem, expressionem (IJ omnino evolvi non posse. Quoniam P,. (x) pro finitis argumenti x et omnibus indicis n valoribus quantitas finita est, nec nisi in punctis a0 , a1 ••• evanescit, series ~Ö c„ P,, (m) 1•

una cum serie

:Sö c,, aut convergit aut divergit.

Quare

" evolutio ~Ö ,. c,, P,, (x) aut pro nullo aut pro omnibus finitis

ipsius x valoribus valet. Nisi igitur f (x) ubique in finito functionis integrae characterem praebet, aequatio f (m) == 1 .:Sö c„ P,. (x) non e:xistit, unde fractionem :JJ-y evolvi non posse patet. 1am formulae _1_ { P,,, (x) dm= 0 > n) _1_ {_ P. (m) J(IJ 1 2ni)P,.+1(m) < 2ni)a. P.+1(x) integrationis via puncta a 0 , a 1 • • • a._1 simpliciter sensu negativo circumplicante, facile confirmantur. Itaque si f (x) ~Ö c„ P,, (a,) V

(v

=

=

II

est, debet esse

r

1 rC11> "11 c,,= 2ni)a,,,P,,,+1 (y)

et ~·-1 -o ,.

C,·

pI' ((lJ)

1 =2---;

"'

fit (y)dy [-1- - - -1 -P.(a,)J p () a, -

'!/

(lJ -

11 • 11

13

ergo

ff (1/) d 1J ~- a: rnJ°ä:-y c. 1J

~: c„ P,, (a:) == 21 . 11

Functio igitur f (a:) ubique in 6nito charactere integrae ... ~°" P() 1· te .(_ f(y)dy prae dita m senem -;o c,. ,, a: evo VI po st, s1J(y-m)P.(y) integrationis linea puncta a0 • • • a.-1 circumplectente, crescente n ad nihilum tendit, si non, non potest. § 9. Resta.t casus valde memorabilis, quo cum a0 , a 1 ••• • • .IJ. • • . Quem saepem mumtum crescant, senes „,.'ll'°"0 -a,,1 d.1vergit. numero absolvere licet ope theorematis ex lectionibus, quas 111. W eierstrass de functionum ellipticarnm theoria habuit, sumpti: ,,Si numeri integri positivi n' existunt ita comparati, . ""O 'll'QI) 1 . . . t ut senes - , oonvergat et mter eos n mm1mus es , ,.

a,,•

posito a,

g (a,, a)

a,1

a,•-1

= -a + 2 a1 + • • • (n- 1) aII

1

prodnotum 9

pro omnibus 6nitis ipsius a: valoribus convergit." Quod ut probetur, demonstrandum est, posito 9 (:c, a,,) 1- q:,,, (a:) == (1- !!..) a„ e

seriem ~Ö 'P•· (a:) convergere. Potest q.,11 (a:) seoundum inte" gras positivas argumenti a: potestates in seriem ubique in flnito oonvergentem evolvi, quae, quia 'f,• (0) == O est membro constante caret. Est autem m'.,(z)=-z--1 T

11,,"

g(a:,a,) 6

14

ergo 1

q;.,(e)ro-. a„

-!_,

Convergente igitur ~Ö oonvergit etiam iö 'I'• (e) -. " a, " Quod ut exemplo illustremus, sit

P.(e)=

(1- 7)(1- ;) ... (1- :)

est

P.(e)==

[(1-Ta,) e!. 1

•••

(

a,) .!.] -• (1+t+ ... .!.) •

1--; e• e

vel

P. (e) ro .-•(i+t+ ... !) Posito cp (n) _, 1 +

1+ ... ..!_ _ n

Jg(n)

est

1n n-1 ( 1 -1) q,(n)-) oharaoterem functionis rationalis habet atque in ipsa linea C (p) tantummodo pro y primi ordinis infinita fit. Qua oonditione quia series

="

_l_ == ~Ö a,, Q,, (t,) B1111 toto plano exolusa linea C (1)

11-"

..

convergit, series functionem f (1/) repraesentans in curva C (p) convergere non desinit. Si de functione f (a:) idem statuitur, quod § 6, est

'(a:)

= ~~ Q,, (a:) +__!__ (().(a:)ll.+1(11)-Q9+1(a:)B.(1/) ((1/)tly 1·

2nt)-

11- a:

c,,= 2a„nif f(y) B,, (y) dy '(a:) = ~ö ,,, o„ Q,, (a:)

quae series intra ellipsin C (p) convergit, extra divergit. Haec omnia breviter enarravisse satis est, ad problemata § 6 proposita, quorum ad solutionem omnia nunc praeparata sunt, tractanda properamus.

§ 12.

Ad quamvis radicem v aequationis B0 (a:) C (1) sitam pertinet cifrae evolutio

= 00

extra

S === ~Ö a„ Q,, (v) Q,, (a:) == 0

"

quae convergit, si a; intra ellipsin, in qua" iacet, versatur, neque latius. 1am sit ~Ö ,, o„ Q,, (a:) ulla cifrae evolutio intra lineam C (p) convergens. Punctorum v extra ullam ellipsin C (e) (() > 1) iacentium finitus est numerus. Nam quia B0 (a:) circa punctum infinitum in seriem secundum descendentes argumenti potestates progredientem evolvi potest, omnes aequationis B0 (a:) == 00 radices in spatio :finito iacent. Omnem autem functionem in spatio finito, in quo ubique rationalis characterem habet, nisi in finito punctorum numero non evadere infinitam, Ill. W eierstrass demon-

23

stravit. *) Sint igitur "i, t, 11 • • • "• radices aequationis R0 (x) == 00 non intra curvam C.(p) sitae, Si, S2 • • • s. cifrae evolutiones ad eas pertinentes, "•+1, "•+2 ... reliquae radices, intra C (e) iacentes. Consideremus functionem R (x) = 2: C11 R,, (x) II

quae series ubique extra C (1) convergit. Quia

B. (x) (x-

t,): (x -

N

Yx' -1)• N-1

convergit ad functionem, quae pro x = " valorem finitum babet, R (x) infinita fieri non potest, nisi primi ordinis in punctis et "•+1, "-+2 ... 1am series 2; c„ Pv (x) et ipsa intra ellipsin C(e) con,,

"u "' ... "·

vergit atque ex relatione P. (x) + R. (x) = R0 (x) Q. (x) perspicitur esse R (x) = 2; c„ R,, (x) 2: c„ P,, (x)

=-

"

=

exceptis valoribus, in quibus R0 (x) 00 est. Sed quia R (x) =- ~: ,, c,, R,, (x) certe extra lineam C (1) rationalis cbaracterem habet, aequatio R (x)

=-

2: c„ P,, (x), si in l'

aliqua plani parte valet, pro omnibus ipsius x valoribus locum habere debet, pro quibus series 2; C: P,, (x) conver-

"

git. Primum igitur in punctis "•+t , "-+2 . . . finita esse B (x) debet; deinde intra ellipsin C (e) functionis rationalis characterem habet. Quamobrem toto plano functionis rationalis charactere est praedita: ltaque est R (x) functio rationalis, quae quia nisi in punctis "n t,11 • • • "• infinit& esse non potest et in infinito evanescit, necessario formam habet hl R (x) == - - +

"i

-h,- + ... -h.-

xX t,1 X "• Si autem x intra C (e) iacet et " non intra, est *) Diarium Crellianum, Tom. 52.

24

l

Z-t>

== ;Eö av Q., (") B,, (z) 11

Est igitur B (z) == ~Ö 011 B., (z)

= ;Eö a,, (h

1

p

I'

Q,. (t,1 )

+ .. h„ Q,, (t,,,)] B,, (z)

Pluribus autem modis aecundum functiones B11 (z) evolvi functio non potest. Est ergo c,, = a., (h1 Q,, (t,1) + · · · h. Q,, (t,,,)] Quare seriei ~Ö ,. c,, Q,, (z) coeffi.cientes cum coeffi.cientibus seriei h1 S1 + .. k,. S„ congruunt. Completum igitur systema Su S 2 • • • esse demonstravimus: lndependentes autem inter se nisi essent hae cifrae evolutiones, constantes Ai, h2 • • h„ ita determinari possent, ut omnes expressiouis h, S1 + .. h„ S„ coeffi.cientes evanescerent, sive ut esset h1 Q,, (t,1 ) + .. h,, Q,, (t,,,) == 0. ltaque quia 1 z-t,

-= ~Ö a„ Q,. (t,) R., (z) 11

est, functio __hi__ +... h,, identice evanesceret, quod z - "• z - "· nisi k1 ••• h„ omnea evanescunt, fieri non potest. Itaque S1, S2 • • • systema completum evolutionum cifrae inter se independentium constituunt, quod h.ac etiam ratione invenitur: Transeat ellipsis C (()) per punctum ", iaceat a, intra C (p), percurrat 11 circulum circa " descriptum, extra C (p') iacentem (q > p' > " + Yt, 2 -1) neque ullam aliam radicem aequationis B 0 (z)-= 00 continentem. 1am aequationem fundamentalem - 1- = 11- a,

~: a„ Q,, (a,) B,, {11) ,.

secundum y integrando, obtinetur ~Ö a,, [B11 (y)] C, - .,)-1 Q,, (a,) == 0 vel quia

[B,, (y)](y _ .,)-1 = Q,, (") [B0 (y)](y _ .,)-1

25

est

~: a" Ov (t>) Ov (x) = 0 11

Quodsi series ~:

c11 Q11

(a:)

=0

existit intra ellipsin

'II

C (p) convergens, extra divergens, in ipsa linea C (p) una ex quantitatibus t> iacere debet. Alias enim, si v1 , 1'2 •• Vn extra C ((!) iacerent et S1 • • • Sn ad ea pertinerent, series ~: ,, c11 Q11 (a:), ut modo docuimus, in formam h 1 S1 + ... hn Sn

redigi posset Jatiusque convergeret, quia series S1 • • • Sn extra C (!-') convergunt. Observo denique, propter relationem Q,, (- a:) = (- )}" Q,, (a:) ex formula ~({' c11 011 (.x) =Ü 11

manare aequationes ~({' c2.,,02v(a:)=O et~(;' C2v+102,,,+1(.x)==O. •

11

In theoria seriernm ~oo p ( ) ~oo Rv (.x) •o C11 11 .x et -o c.,, R-() 11 .,, o.:C quae porsus eodem modo absolvitur, ac serierum ~(;' C11 Q11 (.x) et ~(;' c,,, R,, (.x) 1'

11

hoc loco non commoramur. § 13. Functio f (a;) in anulari plani parte , curvis C (v 0) et C (p) ( (! > l!o) terminata nec latius cbaracterem integrae habeat, et punctum x intra hos fines iaceat. Quantitates (! 1 et (! 10 ita determinentur, ut 2 ---1 > (! 0 > f!o .(J > p' > x + Y,-xsit neque aut inter C (p) et C (()') aut inter C (p 0 ) et C(p' 0 ) aut in ipsis lineis C (v') et C (r/ 0) ulla radix v aequationis R0 (x) = ® iaceat. Iam punctis y et Yo curvas C (p') et C (p'0 ) sensu positivo percurrentibus, est 1

f(x)

= _1_.

unde colligitur f(x)

2,u

J[(y_}y-a: +--~ f dy

2ni

((Yot~1Lo a:-110

= ~; [c„ Q.,(x)+ c',. R,,(x)j "

26

si ponitur c,, =

e&,, , 211

J

f(y) B,, (y) dy

Quae series extra C (p) divergit neque intra C (p0 ) convergit excepto casu, quem sub finem §. 11 commemoravimus. Accedamus nunc ad rationem inter plures eiusdem functionis evolutiones considerandam, cuius rei causa banc totam quaestionem aggressi sumus. Sit

~;'[c„ Q,, (a:)- d. B, (a:)] = 0 11

ulla cifrae evolutio inter curvas C (eo) et C (p) (p > eo) convergans. Posito B(a:) = ~; c, Q,, (a:)

.,

est etiam

B(a:) == ~·; c'11 B. (a:)



Haec igitur functio, quoniam propter primam aequationem intra curvam C (e) propter alteram extra curvam C (() 0), atque ideo propter utramque toto plano characterem rationalis habet, esse debet functio rationalis, quae propter primam aequationem intra C(()) :6nita est propter alteram nisi in punctis "i, "" ... "•, non intra C(()) iaoentibus, infinit& esse non potest et in in:6nito evanescit. Ergo est i'i h'. B(a:)==--+ .• • - a: - "·

"' - "1

et.

~: o',, .R,,(z) == ~~"'

e&,,

['/a'1 Q,, (t,J +

11 quare c'.,, == e&, ['/a'i Q,, (t>1)

... h'. Q,.(t,.)] B. (a:)

~

+ ... h'. Q,, (t>.)].

_1_ = ~;' ( a,,. a:-o " 2,u

sive posito

Porro est:

JB„g-t> (y) dy) Q,, (a:),

27

-

"'-1 ,

r

B,. (t>) = fJ (r- a) -2- Q ,,(1')- P,, (v)

1 =~; a„ B, (1') Q,, (z) et Z-t> .., B(z)= ~; c„ Q.,(z) 1'

= :Z a,a•. [l•'a B~(v )+ ... k',. R.,(t>,.)]Q•. (z) 0

1

"

unde colligitur c,, =- a,, [k'i B., (t>1) + Posito igitur S =~:a„Q •. (t>) Q,,(z) O, ,,

... +A 1 Q,, (t>1 )+ ...].

=

S=~01ra.,[B•. (v) Q.,(z)- Q.,(t>)B.,(z)]-= 0

,,

completum esse systema S1 , ••• s., S'., ... S',. manifestum est. Si autem constantes k., .. . k., k'i, . .. h',. ita determinari possent, ut expressionis A1 S 1 + ... k. S,. + k'1 S' 1 + ... h'. S'. omnes coefficientes evanescerent, esset ipsius .R,,(z) ooe:fficiens A'i Q.,(v,,) + ... h'. Q,,(t>.) = O, unde h'i =- O, ..• h',, = O; omnes igitur seriei k1 S 1 + ... h. s. coe:fficientes evanescerent unde, k, == O, •.• k. 0. Constituunt igitur Su S,, ... , S' 1 , S', . •. systetna completum evolutionum cifrae inter se independentium facileque ut supra probatur, si existat series ~: [c„ Q,, (z) - c',. B,, (z)] = 0 inter C(q0) et C (f!)

=

.

convergens nec latius, et f!o = 1 esse, et in linea C (q) unum ex punctis " iacere.

§. 14. Ex functionibus, quas modo tractavimus, maxime memorabiles sunt eae, quae sphaericae vocantur. A quibus profectus cum ad omnia quae exposui, pervenerim, haud alienum esse existimo paullo diligentius in earum theoriam inquirere. Aequationem hie fundamentalem 1 ---=~:(2v+ 1) P.,(z) Q,,(y) y-z " al DI. Heine repertam et duabus demonstrationibus munitam esse constat. Quarum prior ab Ill. Th o m e rigorosa est facta. Alteram cognita vera integralium Laplaceano„

28

rum indole, aliquantum simplificare potui. ·, Qua explicata tertiam ex methodo §. 10 adhibita manantem adiungam. Ex identitatibus ,-J',•-1 - d v1-2yz+z'___;:;__~ dz=l / eh 1-2a,z+z' tl v1-2yz+z' (y-a,)(1-z') - dz 1-2a,z+z' ==(l -2yz+z')i (l-2a,z+•')i

1-z' 1 2 tl 1 -------=====+z(l-2a,z+z')i -v1-2a,z+z' dzJ't-2a,z+z'

manifestum est esse 1 11 a,

==f,-V,•- v1=~:;;+z~ (ri~2~z~~1 + 2z! Yi-l~+~,.) 1

0

Quodsi z < a, -

Y:,:1 -

1 est, series 1 ~·00 p ( ) ,, . ""'o „ a, • , 1-2a,z+•' • per quam funotiones P0 (a,), P, (a,) ... definimus, convergit. Perourrente a.utem • recta.m puncta O et y-Yy' - 1 iungentum, semper est • < a, - Ya,'-1, si y - Yy'-1 < a,- Ya,1 -1 est. · Bac igitur conditione est - 1 - == ~;' (2 v+ 1) P,, (:1:)j'-V,•-i •., d•

.,

g-m

=

v

0

-f1-V,•-1

sive posito

Q,.(y)-

Yl-2y•+•' .1''d.1

Yl-2g•+•'

0

l - - = ~o(X) (2v+l) P, (:1:) 011 (y). y-:,: " Quare si ((;11) intra. ellipsin C(()) chara.cterem functionis integrae habet, :.: intra. C (c>) iacet, y lineam C (') percurrit (() > p' > :1:+ Y:,:1 - 1), est 1 dy d• f(m) ==-.

f 2n, (

1•-l',•-1 0

1

Yl-2gz+•'

Yl-2:.rz+•'

+2•-" 1 ) "'•Yl-2:1:e1+•'

29

cuius formulae ope (($) secundum functiones sphaericas evolvi potest. In altera demonstratione, q uam nunc aggredimur, symmetriae gratia etiam P11 (m) per integrale repraesentemus. Si t; > :c + V,-1 - 1 est, series

= ~:

1 . Pti (a1) •-•·-1 J'1 - 2m1o +•~ ,. convergit. Percurrente autem t. ellipsin puncta m- V...,·!_ i et m+ Vm'-1 simpliciter circumeuntem, cuius omnibus in punctis t. > m + Va-2 -1 est, ex hac aequatione multiplicando per 1o11 d1o et integrando sequitur 1 t.11 dt. P.(..:) =2ni Yl -2m~+~'.

J

Quod integrale non mutatur curva integrationis ita deformanda, ut puncta 11J - Vl1J1 -1 et 1JJ + Yl1J2 -1 complecti non desinat neque ullo negotio reducitur ad 1

P11(11J)=-.

f •+V••-1

in

r,•dz . V1-211Jz+z 2

•-V••-1 percurrente z rectam puncta 11J - VllJ' - 1 et 11J + V11J01 -1 iungentem. ltaque si t est variabilis realis a - 1 ad + 1 tendens, integrationis linea aequatione r, = 11J + t V11J' -1 de.finitur. Unde concluditur 1 P.(11J) = -

J+

n:

1

-1

dt (a:+ t 1/ , 11J2,-1 )" y-·-· 1-t'

quod est notum integrale Laplaceanum ex fonte genuino deductum *). Eadem methodus ope aequationis

y .1 · 1-211Jz+z1 j Eodem modo, si Cl

1

= :Z;' P,, (11J) •v ,,

+ ')" == - 2 X!I !f

z: F (z)y'' ponitur designante I'

n quantitatem positivam, inveniuntur integralia fnnctiones F. (x) reprlM? sentantia, quae 111. Heine via multo minus directa derivavit.

30

formulam P,.(x)

= n1

J+

1(

yI x+I x - 1)

11 -

dt

1

Jll-t'

-1

exhibet. ltaque nunc functiones sphaericas utriusque generis ratione persymmetrica definimus per aequationes P,.(x)

= ~ {_

•+V••+1

•-V••-1

z•dz Q,.(x)- ( •"dz •n)V1-2xz+z' JJ'l-2xz+s' ~-l'•'-1 0

ex quibus primo aspectu perspicitur, functionem Q,.(x) circumeunte x unum ex punctis + 1 et - 1 quantitate in:P,.(x) augeri. Denotantibus z0 et z, duas ex quantitatibus

o,

x -- Vx' - 1, x + Va:1 - 1,

ra.dicibus aequationis z•J't -2xz+z1 =0, est

•t

J•o :z (z" J'I -

vel

f

2xz + z') dz = 0

••

-'-(n_+_l...;..)_z-+--:-1,=-=(2:::;:n=+==l)=x:::-z_"__+_n_z_•-_1 d z = 0

Y1-2xz+z 1

unde duae simul manant formulae (n + 1) P.+1(z) + n P,._ 1(x) == (2n + 1)xP.(x) (n + 1) Q,.+1(z) + n Q,._ 1 (x) = (2n + l)x Q.(x) ltaque posito S

= Zo (2 v +

1) P,.(x) Q,,(y)

V

est

= ro[(v + l)P,,+1(z) + vP,._1(z)] Ov(y) • yS = ro P,,(x) [(v + 1) Q,,+1(11) + -v Q,·-1 (y)]

xS

V

(y- x)S

vel

= 1 + (n +

1) [P,.(.x) 0-+i(y) - P,.+1(.x) Q.(y)]

31

~( 2v+l)P,,(x)Q,.(y)==-1-+(n+l)[P,.(x)Q,,+1


tl'>a:) durchläuft, und keiner der Punkte au, a., ... auf Cp' oder zwischen C(J und Ofl' liegt, so folgt aus dem Cauckyschen Satze

"a: - _t_j'fydy

1'

-

2ni

y-:z:

42

und aus der Formel (1.) in §. 3 die Gleichung

p x+-t-jfydy P„:x: f x = ~·-•c u "" 2n:i y-xPny' wenn

=

c,,

t f'fydy 2n;{J P,,+1Y

gesetzt wird, und daraus wie in §. 3

fx

=

I;: c„P,,:,;.

Diese Reihe convergirt innerhalb der Curve C(! und divergirt, was durch eine ähnliche Betrachtung wie in §. 3 gezeigt wird, ausserhalb derselben. Sei nicht nur (! 1 > x, sondern auch (' > e" > x, und seien, was bei hinreichend kleinen W erthen von x stets möglich ist, e' und (! 11 so gewählt, dass in dem ringförmigen, von den Kreisen C(!' und C(!" eingeschlossenen Theile der Ebene einige der Punkte au, a1, . . . liegen. Endlich habe das Integral 1 /'fydy 2niJ P,,+1Y

über Cf!' ausgedehnt den W erth c~, über Cf!" genommen den W erth c~. Dann sind c~ und c~ im allgemeiuen von einander verschieden, und es ergiebt sich aus den beiden Gleichungen fx = Ic;P„ x und fx = Ic~ P„x, wenn c~- c~

= c„

gesetzt wird,

Ic„P„x

=

0.

Da aus dieser Formel ersichtlich ist, dass sich jede Function auf mehreffl verschiedene Weisen entwickeln lässt, so entsteht die Aufgabe, die aätnmtlicken Darstellungen einer und derselben Funclion zu finden, welche oß.'enbar gelöwt ist, wenn alle Entwicklungen der Null angegeben sind. Wenn mehrere lVullentwicklungen gefunden sind, so ergiebt sich eine neue dadurch, dass jene mit willkürlichen Constanten multiplicirt und zu einander addirt werden. Die so erhaltene heisst abhängig von denen, aus welchen iie auf die angegebene Weise zusammengesetzt ist. Von einander unabhängig heissen dagegen die Nullentwicklungen S, S', ... , wenn die Constanten k, h', ... nicht so bestimmt werden können, dass in der Reihe hS+h'S'+ ... alle Coefficienten verschwinde11. Durch diese Bemerkung wird die vorgelegte Aufgabe in das elegantere Problem transformirt, ein 'l)Ollatändigea System 'l)On einander unabhängiger Nullentwicklungen auf~uatellen.

43 Ich werde zeigen, dass die Anzahl der von einander unabhängigen Nollentwicklongen, auf welche sich die sämmtlichen innerhalb eines bestimmten endlichen Kreises und darüber hinaus convergirenden zurückführen lassen, eine endliche ist. Unter dieser Voraussetzung lässt sich dass eben genannte Problem. noch genauer fassen. Sind überhaupt Si, S2 , ••• S„ mehrere innerhalb der Bereiche 0 1 , ~ , • • • 0„ unbedingt convergirende Reihen, sind keine zwei dieser Bezirke einander gleich, und sind sie so beschaffen, dass jeder vorhergehende den folgenden vollständig einschliesst, so convergirt die Reihe S = k1 S1 h:i S 2 + ·.. + k„ S,., falls k„ von Null verschieden ist, innerhalb 0„ und nicht weiter, weil sonst auch S-k 1 S 1- , .. -k,._1 S,._ 1 =k,.S,. über C„ hinaus convergiren würde. Decken sich aber die Convergenzbezirke der Reihen S1 und S2, so kann der Convergenzbereich von k1 S1 + h:i S 2 weiter sein. - Betrachtet man also die sämmtlichen Kreise 0(), welche als Convergenzgrenzen von Nullentwicklungen erscheinen, und ordnet man jedem dieser Kreise eine der Nullentwicklungen zu, welche bis zu ihm und nicht über ihn hinaus convergiren, so sind diese sämmtlich von einander unabhängig. Daher ist die Anzahl der Convergenzgrenzen aller Nullentwicklungen, welche innerhalb eines bestimmten Bereiches 0() und darüber hinaus convergiren, nicht grösser, als die Anzahl der von einander unabhängigen Nullentwicklungen, durch welche sich jene sämmtlich linear ausdrücken lassen ; mithin ist die Anzahl der Convergenzkreise von Nullentwicklungen, welche grösser sind als ein bestimmter Kreis Oc,, ebenfalls eine endliche. Seien 01, ~, . . . die Kreise, welche Oberhaupt als Convergenzgrenzen von Nullentwicklungen auftreten, und sei 0 1 > ~ > . . . . Betrachtet man zuerst nur die Nullentwicklungen, die innerhalb 0 1 convergiren, so lassen sie sich auf eine endliche Anzahl von einander unabhängiger S" S~, ... zurückführen. Fasst man dann alle Nullentwicklungen in's Auge, welche innerhalb ~ oder weiter convergiren, so lassen sie sich linear ausdrücken durch S 1 , s:, . . . und einige neue Si, s;, ... , von denen keine von den übrigen und S1 , s;, . . . abhängt. Fährt man so fort, so erhält man ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen, das ich ein Fundamentalayatem nennen will, und das sich durch folgende charakteristische Eigenschaften auszeichnet : 1. Jede aus den Reihen eines Fundamentalsystems zusammengesetzte Nullentwicklung convergirt innerhalb des Bereiches, innerhalb dessen die zu ihr~r Darstellung gebrauchten Reihen des Fundamentalsystems sämmtlich convergiren und nickt weiter.

+

44

2. Zur Darstellung einer gegebenen Nullentwicklung kommen nur die Reihen eines Fundamentalsystems zur Verwendung, welche innerhalb desselben Bereiches wie die gegebene oder weiter convergiren. 3. Die Anzahl der willkürlichen Coustanten, welche eine innerhalb eines gegebenen Bereiches convergirende Nullentwicklung enthalten kann, ist gleich der Anzahl der Reihen eines Fundamentalsystems, welche innerhalb dieses Bereiches oder darüber hinaus convergiren. Wenn umgekehrt ein System von einander unabhängiger Nullentwicklungen die in einem dieser drei Sätze ausgesprochene Eigenschaft besitzt, so ist es ein Fundamentalsystem. Nach diesen Erörterungen kehre ich noch einmal zum ursprünglichen Problem zurück, die sämmtlichen Entwicklungen einer gegebenen Funclion fa: zu finden , die den im Anfang dieses §. angegebenen Bedingungen genftgt. Keine dieser unendlich vielen Darstellungen kann ilber Cq hinaus convergiren, weil sonst fa; auch auf der Linie Cq stets den Charakter einer ganzen Function haben müsste. Ist S die ganz bestimmte oben angegebene Reihe for fa:, und sind S 0 die innerhalb C0 ~ , ••• convergirenden Nullentwicklungen eines Fundamentalsystems, so ist jede andere Darstellung der Function von der Form 8+k1S1+k~S~+···+ k„S,.+k~S~+··· = S'. Wenn die Constanten k, k', ... , deren Index gleich n ist, nicht alle gleich Null sind, die aber, deren Index grösser als n ist, sämmtlich verschwinden, so convergirt diese Reihe, falls C,. > C(! ist, innerhalb Oq und nicht weiter; ist aber C., so convergirt sie nur innerhalb C•. Denn wäre S' weiter convergent, so wäre es auch S'-k1S1-k~S.-·.. -k,._1S,._1-k:._.s~_ 1-···=k,.S,.+k~S:+ ... , was zwar bei einem beliebigen System von einander unabhängiger Nullentwicklungen möglich ist, nicht aber bei einem Fundamentalsystem. Daraus ergiebt sich der Satz : Die slimmtlicken Darstellungen einer gegebenen Function com,ergiren entweder innerhalb des Kreises, 1Jber den hinaus sie nickt mekr aberall den Charakter einer gmu,en Function kat oder innerhalb eine, Con"ergenr,bereickes einer Reihe eines Fundamentalsystems t,On einander unabhängiger Nullentwicklungen, der kleiner ist als jener Kreis. Ich gebe jetzt an die Lösung des entwickelten Problems.

s;, ... , s~, ~, ... , ...

§. 5. Wenn die Nullentwicklung ~c„P„a: zur Grenze ihres Convergenzbereiches den Kreis C(> hat, so können die Punkte 0 0 , a0 ••• nicht sämmtlich



innerhalb dieser Curve liegen; denn sonst finde man, indem man nach einander a: = a.,, au •. , setzte, Co= O, c, = O, . • . . Es kann auch nur eine endliche Anzahl derselben nicht innerhalb jener Linte liegen; denn sonst wAre die Reibe ~ av nicht convergent. Sei also a. unter den nicht im Innern liegenden der, dessen Index am gr6ssten ist. Setzt man ...,,. P„a: R a:=- ..... uc,,--, P.+aa: so gelten von dem Systeme der Functionen Q,a:, 02a:, ..• dieselben Sitze, wie von dem der Functionen P„a:, P1 a:, ..• , und es ist

Ra:

= ~-:c,.+.,Q,,a:,

welche Reihe nur convergirt, so lange sich a: innerhalb C~ bewegt. In denen der Punkte a.,, a" . . . a., welche etwa im Innern von ~ liegen, hat Ra: einen endlicheu Werth, weil sonst der Convergenzbereich der Reihe ~.""c.+,,0,,a: enger sein mi1sste. Wenn nun keiner der Punkte tJo, a 1 , ••• a. auf der Linie C~ IAge, und wenn dann 0 0 einer der ausserhalb befindlichen wAre, dessen absoluter Betrag ~, ein Minimum, so liesse sich eine Darstellung Ra:= ~';c~+,,0,, a: finden, die innerhalb C~' eonvergirte, und weil ~'>~ wAre, w'llrden die Differenzen c.+... -C:.+ .. nicht sAmmUich verschwinden. Mithin wflrde die Nullentwicklung ~:'(c,.+.. -C~+ .. )Q,,a: zur Grenze ihres Convergenzbereiches die Curve C~ haben, innerhalb deren a,.+1, a.+2, • . • slimmtlich liegen; was aus dem oben angefflhrten Grunde unmöglich ist. Daraus folgt : Nur ,olcAe

Kreise kiinnen ConfJergenabereicAe oon Nullentwicltlungen begren11en, welcAe durch einen der Punkte Oo, lundurckgeken. 1 Nach §. 4 kann - - in eine Reihe von der Form ~'; c. •+,,0,,a: a,.-a:

a,, ...

entwickelt werden, welche im Innern des durch den Punkt a. gehenden Kreises convergirt. Daraus ergiebt sich durch Multiplication mit P,.+1 a: die in demselben Bereiche convergirende Nullentwicklung S,.

= ~: c. ,,P,,a:,

in der c• • = 1 ist, und die ich 11u a. gehörig nennen will. Verschwinden alle Coefficienlen der Reibe AuS0 + k1 S, + .. ·, so ist k., als der von Pu a: gleich O, h1 in Folge dessen als der von P1 a: gleich O u. s. w., und daher sind die Nullentwicklungen 8 0 , Si, ... von einander unabhängig. Sei ferner Sa:= ~c„P.,,a: irgend eine Nullentwicklung, welche innerhalb eines gewissen Kreises C~ convergirt, seien a,., ap, ... die nicht im Innern dieser Curve gelegenen unter den Punkten deren Anzahl eine

°'" a,, ... ,

46

a,,, ...

endliche ist, und a 1 , (1 < µ, < ... ) die ilbrigen im Innern von Cr, liegenden. Es milssen dann die Gleichungen bestehen Sal = 0, aus der sich ein ganz bestimmter Ausdruck für c1 durch a,., ap, . . . ergiebt, sodann, wenn a„ von a 1 verschieden, Sa,.= 0, wenn aber a,. = a 1 , S'a,. = O, ans der c„ durch dieselben Grössen ausgedrOckt gefunden wird u. s. w. Daher mtlssen in zwei innerhalb Cq convergirenden Nullentwicklnnge11, in welchen die Coefficienten von P„:c, Pp:c, ... einander gleich sind, auch alle übrigen gleichstelligen Coefficienten Obereinstimmen. Nun können aber durch lineare Gleiehnngen, die eine snccessive Auflösung gestatten ( und deren Determinante gleich 1 ist) die Constanten k,., kp, ... so bestimmt werden, dass in der innerhalb Cq convergirenden Reihe k„S,.+kpSp+ ... die Coefficienten von P„:c, P,:c, .•. beliebig gegebene Wertbe c,., cp, ... annehmen. Dann stimmen aber alle gleichnamigen Coefficienten der Reiben S und k„S.. +kpSp+··· ilberein. Daher ist das System der von einander unabhängigen Nullentwicklungen Su, S1 , • • • vollständig, und weil zum Ausdruck von S nur diejenigen unter den Reiben S0 , S" . . . gebraucht werden, welche innerhalb Cq oder darilber hinaus convergiren, ein Fundamentalsystem. Auf die Behandlung der Reihen von der Form 1

~~c„P„:c+pc,

,+1:Z:

gehe ich hier nicht ein. Die in ihrer Theorie anzuwendenden Methoden werde ich später (§. 10 und 11) erörtern. §. 6. Den Fall, in welchem die Summe der Grössen au, a 1 , • • • convergirt, habe ich jetzt vollständig durchgefilhrt. Zwei andere Fälle will ich noch kurz berühren, wenngleich es mir nicht gelungen ist, sie eben so erschöpfend zu behandeln. Wenn die Reihe ~..!.. unbedingt convergent ist, so werde ich der a„ Bequemlichkeit wegen setzen

P.:c

= (1-:)(1- ;.) .. ·(1- a:)·

Weil unter der gemachten Annahme das Product

Px

=

II0" ' ( 1- :)

47 für endliche Werthe von a: couvergirt, so folgt aus der Formel

_1_c1_P„z) = I;-1 ~ a:-y

P„y

a.P,,+11/

die Gleichung

(t -

1 a:-y

Pa:)

Py

=

::E."' P„a: 0 a„P,,+1:c.

Es ist nicht ein Mangel dieser Methode, dass man nicht zu einer Entwicklung von - 1 -

y-:c

gelangt : dieser Ausdruck lässt sich gar nicht in eine nach solchen

Functionen fortschreitende Reibe entwickeln. Denn falls a: mit keinem der Punkte a11 , a1 , • • • zusammenfällt, so ist bei Anwendung der Bezeichnungen des §. 1 für alle Werthe von n

P„a:


und

11(1--=-)(t-1.), ai aµ

und mithin sind die beiden Reihen

.:Ec.P.,,a: und

.:Ec„

zugleich convergent und divergent. Daher convergirt die Reibe :Ec„P„a: entweder gar nicht oder überall im Endlichen. Da ferner in allen Punkten a: innerhalb eines mit dem Radius 'I um den Nullpunkt beschriebenen Kreises für alle Wertbe von n

ist, so überzeugt man sich leicht, dass, wenn :Xe„ convergirt, die Reihe I c„ P„a: innerhalb jedes endlichen Bereiches gleichmAssig convergirt. Daher muss die durch sie dargestellle Function im Endlichen überall den Charakter einer ganzen Function haben, und mithin kann - 1 - nicht in eine derartige y-a: Reibe entwickelt werden. Wenn a: eine die Punkte ai, ... a„ im positiven Sinne einfach umwindende geschlossene Curve durchläuft, so ist

°'"

t f'P„:cd:c

-2 .

,n

P.

•+1:c

=O(v~n).

Ist also

f.:c = :X:c„P„a: so muss, weil diese Reihe dadurch integrirt werden kann, dass die Integration an ihren einzelnen Gliedern ausgeführt wird, die Gleichung bestehen t /' fydy

c,,

= -2,jjJ a„P,,+111

48

und

~ic„P„a:

=

_21.ftgdy(-i_ _ _ i_P.P.,.a:) '" y-a: y-a: ,.y

=

_i_jfy dy P„a, , 2n:i y-a: P„y

und mithin ~"' C

p

X

" " "

Die Function fz, die im Endlieben ilberall den Charakter einer ganzen Function hat, kann also in eine Reibe von der For.m ~c„P„a: entwickelt werden oder nicht, je nachdem das Integral

f

fydg (y-a:)P„y '

in dem der Weg von y die Punkte ai„ a1 , dem n gegen Null convergirt oder nicht.

...

a.._1 einschlie sst, bei wachsen-

§. 7.

ac,,

In dem Falle, in welchem a1 , • • • ilber alle Grenzen hinaus wachsen, ohne dass ~ .!. convergirt., lässt sich oft folgendes Theorem mit Vortheil ana„ wenden, dass ich einer Vorlesung des He.rrn Weierstraas f1ber elliptische Functionen entnehme : „ Wenn positif,e Zahlen m existiren, für welche ~ a„~ cont,ergirt, und unter ihnen n die kleinste ist, und wenn

g(a:, a)

a,•

~-·

= a+ 2a' + .. ·+ (n-i)a"-1 (C

gesetzt fDird, so cont,ergirt daa Product

11(1- :)eg(x,n,,) für aUe endlichen Werthe t,On a:." Um dies zu beweisen, muss man zeigen, dass, wenn 1- ():, > 1

()u

ist, und zwischen C() und C()' keiner der Punkte t, liegt. Durchlaufen dann y und 1/u die Curven C()' und C();, im positiven Sinne, so ist fx

=

~jfydy +~jfy0 dy0 2n,

y-:r

2ni ·

:r-y0

'

mithin wenn gesetzt wird Cy

=

2a;i /t11 R, g dg

und

c~

=

2a;ijrguQ„gudg0 •

Diese Reihe divergirt ausserhalb C(J und convergirt nicht innerhalb C(Ju ausser in dem oben erwähnten Falle.

§. 10.

Ru x

=

Zu jeder ausserhalb der Strecke oo gekört eine Nullentwicklung

01

.Ia, Q„t, Q„x

liegenden Wurzel

t,

der Gleichung

= O,

welche innerhalb der Ellipse, auf welcher t, liegt, convergirt und nicht weiter. Die Anzahl der Punkte f', die ausserhalb einer bestimmten Ellipse C(J ((J > 1) liegen, ist eine endliche. Denn weil Rux in der Umgebung des Unendlichkeitspunktes in eine nach absteigenden Potenzen von x fortschreitende convergente Reihe entwickelt werden kann, so liegen alle Wurzeln der Gleichung Rux = oo, die der obigen Bedingung genügen, in einem endlichen Theile der Ebene, nämlich innerhalb des Convergenzkreises jener Reihe und ausserhalb C(J. Eine Function kann aber, wie Herr Weierstrass gezeigt hat*), in einem endlichen Bereiche, in dessen Innern und an dessen Grenze sie Oberall den Charakter einer rationalen hat, nur an einer endlichen Anzahl von Stellen unendlich werden. Sei nun

S=-Ic„Q„x irgend eine Nullentwicklung, die innerhalb der Ellipse C(J convergirt, seien t, 1 , t, 2 , • • • t,., die nicht innerhalb C(J liegenden Wurzeln der Gleichung R 0 x=oo, Si, S2 , ••• S„ die zu ihnen gehörigen Nullentwicklungen, t,n+i, t,.,+2, .•• *) Dieses Journal Band 62, pag. 334.

57 die übrigen Wurzeln, die im Innern von C(I liegen. Durch die Reihe .Ic„R,x, welche in der ganzen Ebene mit Aussnahme der Strecke Ct convergirt, wird eine Function Rx definirt, die ausserhalb Ct überall den Charakter einer rationalen hat und nur für die Werthe x = "i, "2, ... v„ und "•+', "•+ 2 , • • • von der ersten Ordnung unendlich werden Irnnn. Die Reihe .I c, P„ x convergirt innerhalb der Ellipse C(I, und wenn x auf einen ausserhalb C1 und innerhalb C(! gelegenen Th eil der Ebene, in dem keiner der Punkte "•+1' "•+i, ... liegt,. beschränkt wird, so folgt aus den Gleichungen P.x+R. x = RiixQ.x und ~c,Q„x = O, dass nicht nur sondern auch (2.)

Rx

=

-:Ec„P„x

ist. Weil aber .:Ec„ P„ x innerhalb C(J eine analytische Function darstellt, und Rx als eine analytische Function definirt ist, so muss die Gleichung (2.), die in einem Theile des Innern von C(I gtlltig ist, für alle Punkte dieses Bereiches bestehen. Daher muss die Function Rx erstens für x = ""+" "•+2 , • • • endlich sein und zweitens tlberall innerhalb C(I den Charakter einer rationalen haben. Sie hat also in der ganzen unendlichen Ebene den Charakter einer rationalen Function und muss mithin nach einem ·bekannten Satze der Functionentheorie eine rationale Function sein, die, weil sie nur in den Punkten ti1, "2, ... "• von der ersten Ordnung unendlich werden kann und im unendlichen verschwindet, nothwendig die Form hat Rx

=

_h•-+~+···+~· a:-v1 a:-v, a:-o„

Da aber ist, so ergiebt sich Rx = :Ec,R„x = .Ia, (k10,ti1 +· .. +k,. Q„ti.)R„x. Daher muss c,, = a,(k,Q„tii+···+k„Q„ti.) sein, und mithin stimmen die beiden Reihen S und k1S1+···+k„S„ in ihren Coeffi.cienten tlberein. Es ist also bewiesen, dass das System S1, 82 ..• vollständig ist. Wären nun diese Nullentwicklungen nicht von einander unabhängig,

58 könnten also die Constanten h1 , efficienten des Ausdrucks h 1 S1 Werthe von v

~,

so bestimmt werden, dass alle Coh„S" verschwänden, oder dass für alle

+·.. +

wäre, so milsste auch

:Ia (h,Q 11,+···+h Q 11 )R x

= _h_,_+···+~

" " " " " " :i:-c, :i:-c,. ide.ntisch verschwinden, was, wenn nicht 40 h2 , • • • h„ sämmtlich Null sind, unmöglich ist. Dass S1 , S2 , ••• S„ von einander unabhängig sind, folgt auch daraus, dass die Determinante

:I ± Qo1'101 "2 ··· Q,._1 "• von Null verschieden ist. Denn sie ist gleich dem Producte aus den Coefficienten der höchsten Potenzen der Functionen Q0 x, Q1 x, ... Q,._1 x und aus den Differenzen der Grössen 11 1 , 11 2 , • • • "•. Daher bilden S1 , S2 , • • • ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen, welches, da zur Darstellung einer beliebigen Nullentwicklung S nur die unter den Reiben S„ S 2 , ••• zur Verwendung kommen, die in demselben Bereiche wie S oder weiter convergiren, ein Fundamentalsystem ist. Sei S irgend eine Nullentwicklung, welche innerhalb der Ellipse Cf! convergirt, ausserhalb divergirt. Läge nun auf der Linie Cf! keiner der Punkte e, so wilrde, wenn "" ti 2 , • • • " " ausserhalb Cf! lägen, und S1, S2, •.. S„ zu ihnen gehörten, S auf die Form h1 S1+···+h„S_ gebracht werden können und mithin ilber CQ hinaus convergiren. Daraus folgt: Nur solche Ellipsen IJegrenzen Contiergenzbereiche tion Nullentwicklungen, welche durch einen der Punkte ti„ ti2 , ti. hindurchgehen. Sei S' :Ic„Q„x-c~R„x eine zwischen den Curven C(! und Cf!11 ( zwischen (11 und (>2 liegt, innerhalb C(> und (2.), falls (J-1 zwischen denselben Grenzen liegt, ausserhalb C('-1. Im Allgemeinen bilden die Linien C() ein System confocaler Ourven, das durch die Gleichung z = cpx in ein System um den Nullpunkt der s - Ebene beschriebener concentrischer Kreise abgebildet wird. 2) Für endliche Werthe des Index mögen die Functionen F0 x, F1a:, ... im endlichen überall den Charakter ganzer Functionen haben, während ihr Verhalten im unendlichen unbestimmt gelassen wird, und G0 x, G1 x, ... ausserbalb des Minimalbereichs C(> 1 den Charakter rationaler Functionen besitzen und für re= oo verschwinden, während iiber ihre Beschalfenheit in C(>1 nichts festgesetzt wird. Seien i, 1 , i,2 , • • • die Punkte, filr welche irgend eine der Functionen Gux, G1 x, .•. ausserhalb C(> 1 unendlich wird, so geordnet, dass (f!fJ2 > ... ist. Ich nehme an, dass ausserhalb jedes endlichen Bereiches C() nur eine endliche Anzahl der Punkte fJ liegt. Die Functionen Gu:», G1 ~, •.• können in einem bestimmten Punkte fJ von verschiedener Ordnung unendlich

61 werden und zwar fl1r endliche Werthe des Index nur von einer endlichen. Ich setze voraus, dass es für die Grössen dieser Ordnungen ein Maximum k gieht, das ich die Ordnungszahl des Punktes " nennen will. Aus den Annahmen über die Art der Convergenz der Reihen (1.) und (2.) und über die Beschaffenheit der Functionen F„x und G.x folgt auf dem in §. 2 eingeschlagenen Wege, dass diese Reihen for alle Punkte eines innerhalb ihres Convergenzbezirks liegenden Bereichs denselben Grad der Convergenz besitzen. 3) Ist x von " verschieden und convergirt, so erhält man durch Multiplication mit Gµx und Integration ilber C(>'

:Ec,,:E' F;- 1 ,,,1Gµx"i-Cµ = 0. Da die Reibe ~ F;- 1 ,,, G„ x in der ganzen Ebene ausserhalb des Minimalbereichs C(, 1 convergirt, so ist, wenn (> 1 < (>~ < (> 1 < (> gewählt wird, ~F;-1 .,(>~-v convergent und daher F:-1 " < g(>~"; und da C(I den Convergenzbereich der Reibe :Ec„F„x begrenzt, so ist :Ec,.(>'" convergent und daher c,,'-". Mithin ist die Reihe ~ c„ F;-1 " < gk :E fl~" . ,/-• und deshalb convergent. Setzt man also

:Ec,F;-1"•

=

kio

so hat h;.;t einen ganz bestimmten endlichen W erth, und es ist.

c,.

=

:E' h.,,G,,,,,"i·

Daher stimmen die Coefficienten der Reihe S mit denen des Ausdrucks

:E' kixSi.x überein, und das System der zu den Punkten v gehörenden Nullentwicklungen ist vollständig. Aus der in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Minimalbereichs convergirenden Reihe (4.) ergeben sich durch Coefficientenvergleichung oder ge-

63 schlossene Integration die Gleichungen ~ F:- 1 "' G,,,. •

= 1 ~F:- G„itJ = 0 ~F:-1 f) G,i"' = 0 1 "'

(l = 1, 2, ... k'.)

Werden also die Constanten k"' so bestimmt, dass alle Coefftcienten der Reihe ~'ki„S1,.

verschwinden, so muss for alle Werthe von µ ~, h1„ G,,,,to 1

=

sein. Multiplicirt man diese Gleichung mit so erhält man hi,. = 0.

0

F;-

1

tJ 1 und summirt man nach µ,

Mithin bilden die Reihen S1„ ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen und zwar ein Fundamentalsystem. Gebt C(J durch tJi, so ist oben gezeigt, dass S 1„ innerhalb dieser Linie sicher convergirt. Wenn nun die Reihe noch über C(J hinaus convergirte, so liesse sie sich linear durch die Nullentwicklungen ausdrücken, welche zu den nicht innerhalb C(J liegenden Punkten "' gehören. Da sich tJi unter diesen nicht befindet, so wäre die Reihe S1„ von einer Anzahl von ihr verschiedener Nullentwicklungen des aufgestellten Fundamentalsystems abhängig, was nicht der Fall ist. Daher muss S1„ ausserhalb Cf! divergiren. Da nun der Convergenzbezirk jeder beliebigen Nullentwicklung mit dem irgend einer Reihe eines Fundamentalsystems übereinstimmen muss, so gilt der Satz: Nur solche

Cur,,,en C(J begrenzen Conr,ergenzbereiche tJOn Nullentwicklungen, welche durch einen der Punkte "' hindurchgehen. Sei ferner ~c„F,x-c;, G„x irgend eine Nullentwicklung, welche zwischen den Curven C(J und C(Jo ((J > (Jo) convergirt, seien ,,, 11 1'2, ••• ,,,,. die nicht innerhalb Ce gelegenen Punkte "', und sei (J' (>o und so gewählt, dass zwischen C(J und C(J' kein Punkt v liegt. Mit F;"' und G;" mögen die Coefficienten von (x·-tJ/ in der Entwicklung von F„x und G.,,x, mit G.,,.tJ der Coefficient von (x-vr" in der von G„x nach Potenzen von X-1' bezeichnet werden. llultiplicirt man dann die Gleichung

~c„F„x-c~G.,,x

=

0

mit G,ux und integrirt iiber Cp', so erhält man

..., c, .... ...,,F"..., c.,.' ...,,G"..., ' ...,,G.,,,'liz G"cµ- ... ., 1 "• Gµ,,'lii- ... ' 1 "1 G,,.,,'li1-•c,... µ 1 tJ.1

-

0•

64

Setzt man also ~c„ F:- 1 so ist

„ +c~ G:- „ = k;.,, 1

1 1

und

Ic~ G,,• .,1 = h',..,

und

hi„ )" Ic„F„:rJ=I 1 k11.G••-1 .,1 F,,:rJ:::1:I 1 (a;-1'1 Da aber nach den Functionen G0 :rJ, G1 :rJ, ... eine Function nur auf eine einzige Weise entwickelt werden kann, so folgt aus lila - = .-"C'IZ.' "C'Fa-1 G Ic , G :rJ = I I - ~ 1t1,. ... ,, "i „:rJ "

"

(:i,- 1'A)-

die Gleichung Setzt man also

=

Si.= IG „tl1F„a: und s;,,. IG:-•.,iF,,a:-F:-'"1G,,:rJ, so bilden diese Reihen ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen und zwar ein Fundamentalsystem. Zugleich ergiebt sich, dass C(, durch einen der Punkte c hindurchgehen, und C(!u, wenn nicht C:i, c~, ... siimmtlich verschwinden, der Minimalbereich sein muss. Berlin, im October 1870. 11

3. Ober die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coe:fliclenten rationale Functionen einer Variahlen sind Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254-272 (1872)

Ein grosser Theil der Untersuchungen über die Auflösbarkeit der algebl'aischen Gleichungen durch W urzelgrössen beschäftigt sich nicht sowohl mit der Wertbbestimmung der einzelnen Wurzeln als mit der Ermittelung ihrer gegenseitigen Beziehungen. Dazu sind alle Betrachtungen zu rechnen, welche sich auf den Begriff der lrreductibilität und die Lehre von den Substitutionen stlltzen, während diejenigen davon auszuschliessen sind, welche von der Auflösungsmethode der Gleichungen mittelst der Lagrangeschen Resolvente Gebrauch machen. Die bezeichneten algebraischen Untersuchungen haben eine grosse Aehnlichkeit mit den analytischen Betrachtungen, bei denen die Grössen als nicht unabhängig von der Lage existirend angesehen werden, und diese Bemerkung legt den Gedanken nahe, jene abstracte Theorie mochte in dem besonderen Falle, wo die Ooe:fficienten der Gleichung rationale Functionen einer Variablen sind, an Fasslichkeit und Anschaulichkeit dadurch gewinnen, dass sie in das der Analysis so bequeme geometrische Gew&nd eingekleidet würde. Der Ausfohrung des eben genannten Gedankens, auf den ich durch Betrachtungen über die durch algebraische Functionen integrirbaren linearen Differentialgleichungen gef'llhrt wurde, sind die folgenden Zeilen gewidmet, die nicht neue Resultate bringen, sondern nur eine bekannte Lehre von einer neuen Seite beleuchten wollen. Je ausschliesslicher man bei diesen Untersuchungen auf die Ortsverhllltnisse der betrachteten Grossen sein Augenmerk richtet, um so geringer sind die Hülfsmittel, mit denen m&n zum Ziele gelangt. Eine Probe, wie weit man dabei von Massverhältnissen absehen, und mit wie wenigen Vorbereitungen man auskommen kann, ist in §. 1 gegeben, wo sofort zur Ermittelung der von Galoi, entdeckten Relation zwischen den Wun:eln der

66 auflösbaren Gleichungen von einem Primzahlgrade geschritten wird. Die folgenden Paragraphen enthalten fast nur die Zergliederung der im ersten angewandten Methode in ihre einzelnen Momente und die Uebersetzung der dort gebrauchten geometrischen Ausdrücke in die Sprache der Algebra und erfordern namentlich zur Erreichung des let.zteren Zwecks die Kenntniss der in §. 3 entwickelten Hülfssätze aus der Analysis.

§. 1. Unter einer durch W urzelgrössen ausdrückbaren algebraischen Function y der unbeschränkt Veränderlichen z, deren Werthe wir uns durch die Punkte einer unbegrenzten Ebene repräsentirt denken, verstehen wir eine Grösse, die aus der Variablen und mehreren Constanten durch die in endlicher Anzahl angewandten Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication, Division und Ausziehung von Wurzeln mit Primzahlexponenten gebildet ist. Die Stellen, an denen die Function unendlich gross wird, oder zwei im Allgemeinen verschiedene Werthe derselben einander gleich werden, sollen singuläre Stellen genannt und ein filr alle Mal von dem Bereiche der Variablen ausgeschlossen werden. Wird dann für einen bestimmten Werth a von :c über die Werthe der Wurzeln, welche zur Berechnung von y ausgezogen werden müssen, eine beliebige Festsetzung getroffen, und wird ferner eine stetige Aenderung der Function mit der Variablen postulirt, so erhält die Function sammt allen in ihrem Ausdrucke vorkommen• den Wurzeln in jedem Punkte der Ebene einen Werth, der eindeutig definirt ist, wenn der Weg gegeben ist, auf dem die Variable von dem Anfangspunkte a ausgehend zu jenem Punkte gelangt. Beschreibt also z von a aus eine geschlossene Strecke, so geht der Anfangswerth '!/o von y in einen ganz bestimmten anderen W erth dieser Function über, und die Anzahl der Werthe, welche y so für x=a annehmen kann, ist, da alle in den Ausdruck von y eingehenden Wurzeln nur eine endliche Anzahl von W erthen haben, ebenfalls eine endliche. Zwischen diesen verschiedenen W erthen bestehen aber gewisse Beziehungen, die sich in einem besonderen Falle folgendermassen zusammenfassen lassen:

Wenn die Anzahl der Werthe, welche eine durch Wurzelgrössen ausdrückbare algebraische Function einer Variablen an einer nicht singu-

67 lären Stelle dadurch annimmt, dass die Veränderli.che von diesem Punkte ausgehend alle mögli.chen durch keinen singulären Punkt hindurchführenden geschlossenen Linien beschreibt, eine Pri"mt:ahl ist, so bleiben auf allen Wegen, auf denen ~wei dieser Werthe keine Aenderung erfahren, auch die übrigen sämmtlich ungeändert. Die in dem Ausdruck von !/ vorkommenden Wurzeln, deren Exponenten wir als Primzahlen voraussetzen dürfen, ordnen wir so, dass auf die ersten Plätze in einer beliebigen Reihenfolge diejenigen zu stehen kommen, welche aus rationalen Functionen von :,; gezogen sind, auf die nächsten die, deren Radicanden rationale Functionen der Variablen und einer oder mehrerer aus rationalen Functionen von :,; gezogener Wurzeln sind, wied~r in einer willkürlichen Aufeinanderfolge u. s. w. Wll' beschränken dann die Veränderlichkeit des Punktes :,; in der Weise, dass wir ihn von a aus nur solche geschlossenen Linien beschreiben lassen, auf denen jene Wurzeln bis 1

zu einer bestimmten R= S"i hin keine Aenderung erleiden. In diesem Ausdrucke bedeutet p eine Primzahl und S eine rationale Function von :,; und einigen der vor R stehenden Wurzeln. Alsdann sind zwei Fälle möglich: Der Anfangswerth y0 kann sich entweder immer noch in alle Werthe verwandeln, die er bei freier Bewegung der Veränderlichen zu erlangen vermochte, oder nur noch in eine gewisse Anzahl derselben. Nimmt R in der oben beschriebenen Reihe die letzte Stelle ein, so kehrt die Function auf allen geschlossenen Wegen zu ihrem Anfangswerthe zurück. Daher muss, wenn man der Reihe nach bei der ersten, zweiten, dritten Wurzel u. s. w. stehen bleibt, endlich einmal der zweite Fall eintreten. Ist R diejenige Wurzel, bei welcher dies zuerst geschieht, so gestatten wir bis auf weiteres der Veränderlichen nur solche von a anfangenden geschlossenen Wege, auf denen sich die vor R stehenden Wurzeln nicht ändern. Trotz der Beschränkung, die der Variablen damit auferlegt ist, kann dann die Function von dem W erthe y 0 ausgehend immer noch in jeden andern der Werthe, die sie an der Stelle a hat, übergehen. Es giebt aber einen W erth !/u den y nicht mehr in dem Punkte a erreichen kann, ohne dass auf dem Wege, auf dem dies erfolgt, R eine Aenderung erfährt, also, da BP seinen Anfangswerth wieder annimmt, in (!R übergeht, wo (! eine primitive p'' Wurzel der Einheit ist. Wir bezeichnen mit A einen bestimmten Weg, auf dem !/o in y1 und R in (! R übergeht.

68

Wenn sich auf einem beliebigen Wege B, auf dem .f/o ungeändert bleibt, R in aR verwandelt, so muss, wofern nicht 1 ist, so würde sich nach dem eben Bewiesenen y1 -in .,.,_.1. verwandeln. Es gäbe dann eine Zahl ,u , welche der Oongruenz r,it+l==,u modp genügte, und wenn y„ auf der Linie B in !/• überginge, so würde y. auf der Strecke B-1 CAB=A" unverändert bleiben, während es sich doch in '!/•+" verwandelt. Auf der Linie C nimmt also 'J/1 seinen Anfangswerth wieder an und folglich auch !Ja, ... y,_1• Daraus schliesst man, wie oben, dass y 1 auf dem Wege B in '!/..J.+s übergeht. Indem man so fortfährt, findet man, dass das eben gewonnene Resultat auch richtig bleibt, wenn die Wahl der Linie B gar keiner Beschränkung unterliegt. Bleiben daher auf irgend einem Wege !/o und y 1 ungeAndert, ist also ß= 0 und a= 1, so erfahren auch !/1> y1 , ... !h-l auf ihm keine Aenderung.

y,,

70

§. 2. Na.ch„einem Fundamentalsatze der Algebra lAsst sich jede rationale symmetrische Function der Wurzeln einer algebraischen Gleichung als eine rationale Function der Ooefficienten der Gleichung darstellen. Damit aber eine rationale Function der Wurzeln einer Gleichung durch die bekannten Grössen rational ausgedrückt werden könne, ist es nicht immer erforderlich, dass sie symmetrisch sei, d. h. durch keine Substitution der Wurzeln eine Aenderung erfahre. Es genOgt schon, wie Galois bemerkt hat, wenn sie durch keine Substitution eines gewissen Systems conjugirter Substitutionen, das man daher auch das der Gleichung eigene conjugirte System genannt hat, geändert wird, und diese Bedingung ist nicht nur hinreichend, sondern auch nothwendig. Die Ordnung des so bestimmten conjugirten Systems kann dadurch erniedrigt werden, dass einige irrationale Grössen unter die bekannten aufgenommen, oder, wie Galois dies bezeichnet, der Gleichung adjungirt werden. Die Eigenschaften dieses conjugirten Systems, das in der Theorie der durch Wurzelgrössen auflösbaren Gleichnngen eine so grosse Rolle spielt, wollen wir für den Fall entwickeln, dass die Ooefficienten der Gleichung rationale Functionen einer Variablen sind. Dabei werden wir aber eine andere Definition als die eben erwähnte zu Grunde legen. Ist /(z, y) eine ganze Function von z und y, die als Function der letzteren Variablen betrachtet keinen quadratischen Divisor hat und vom ,it.ea Grade ist, so nennen wir die Werthe von z, fD.r welche zwei Wurzeln y der Gleichung /(z, y)=O einander gleich sind, oder eine unendlich gross ist, die singulären Stellen der durch diese Gleichung definirteh algebraischen Function y von a;. Unter der Umgebung eines bestimmten singulären oder nicht singulären Punktes verstehen wir die Fläche des Kreises, welcher durch den dem Punkte zunächst gelegenen singulären Punkt geht. Ist a eine beliebige nicht singuläre Stelle, so lassen sich die n Werthe von y, welche einem Punkte a; in der Umgebung von a entsprechen, durch n in dieser Umgebung convergente, nach ganzen Potenzen von a;-a fortschreitende Reihen darstellen. Eine solche Reihe nennen wir naeh dem Vorgange des Herrn Weierstrass ein Element der algebraischen Function y. Beschreibt jetzt a; von a aus eine geschlossene Linie, die durch keinen sin-

71 gulären Punkt hindurchführt, so kann eins jener n Functionenelement.e, da es nicht aufhören darf, der gegebenen Gleichung Genüge zu leisten, wenn ,es sich ändert, nur in ein anderes von ihnen übergehen. Es können sich aber nicht zwei verschiedene Wurzeln in dieselbe dritte verwandeln. Denn sonst wllrde diese auf dem umgekehrten Wege in jede der beiden ersteren übergehen. Eine solche Unbestimmtheit könnte aber nur in dem von uns ausgeschlossenen Falle eintreten, wo der von der Veränderlichen beschri~bene Weg durch einen singulären Punkt hindurchführt. Wenn also x von a aus eine geschlossene Strecke beschreibt, so erfahren die W urieln der betrachteten Gleichung eine bestimmte Substitution. Stellt man sich daher vor, dass x von a aus der Reihe nach alle möglichen geschlossenen Linien beschreibt, so ergeben sich für diese Wurzeln eine gewisse Anzahl von Substitutionen. Sind S und T zwei derselben, A und B die Wege, auf denen sie erhalten werden, so befindet sich auch TS unter ihnen, da sie auf dem Wege AB erhalten wird. Mithin bilden diese Substitutionen ein conjugirtes System, das, wie man sich leicht überzeugt, von der Wahl des Ausgangspunktes a ganz unabhängig ist, und das wir das conjugirte System der Gleichung f(x, y)=O nennen. Seien z, z, ... Elemente algebraischer Functionen von x, für die a kein singulärer Punkt ist, so dass wir sie uns durch Reihen, die nach ganzen Potenzen von x-a fortschreiten, dargestellt denken können. Lässt man x von a aus alle geschlossenen Linien beschreiben, auf denen diese Functionenelemente keine Aenderung erleiden, so erfahren die Wurzeln der gegebenen Gleichung eine gewisse Anzahl von Substitutionen, welche sämmtlich in ihrem conjugirten Systeme enthalten sind. Wenn S und T zwei dieser Substitutionen sind, die auf den Wegen A und B erhalten werden, so ist auch TS unter ihnen, da es auf dem Wege AB erhalten wird, auf dem sich jene Reihen nicht ändern. Mithin bilden diese Substitutionen ein conjugirtes System, welches wir das conjugirte System der Gleichung f(x, y)=O nennen, wenn ihr die Functionenelemente z, z', ... adjungi'rt sind. Ehe wir die Eigenschaften des conjugirten Systems einer Gleichung, der mehrere algebraische Functionen adjungirt sind, untersuchen können, müssen wir zwei Hülfssätze aus der Analysis entwickeln, welche für den Fall, dass sich die Anzahl der adjungirten Functionenelemente auf Null reducirt, bekannte Theoreme der Functionentheorie sind.

72

§. 3. I. Sind y, 11, s, ••• Elemente algebraischer ..liunctionen von :e, 'fl1elche in der Umgebung ei'nea für ket.'ne dieser ..liunctionen ai'ngulären Punktes a ei'ndeutig dejinirt sind, und bleibt y ungeändert, 'U1enn :e von a a'U8gehend alle möglichen geachlo,,enen durch keinen singulären Punkt hi'ndurchfii,hrendffl Wege durchläuft, auf denen 11, s, ... keine Aenderung erfahren, 10 lä88t ,ich y durch te, 11, s, ... rational au,drücken. II. &'nd 11, l, . . . Elemente algebraiacher ..liunctionen von z, die in der Umgebung eine, nicht ,'ingulären Punkte, a ei'ndeutig bestimmt n'nd, und i,t f(:i:, y) ei'ne umerlegb~re game ..liunction von y, deren Coe!ftcienten rationale ..liunctionen von z, z, s, ... sind, so giebt es von a ausgehende ge1chloa1ene Wege, auf dfflen z, s, ... ungeändert bleiben, und ei'ne i'n der Umgebung von a eindeutig dejinirte Wurzel der Gleichung f(:i:, y)=O in eine beliebige andere eben da ei'ndeutig defint.°'rte Wur11el derselben Gleichung übergeht. Wir nehmen zuerst an, dass nur ein Fundtionenelement II gegeben ist. Dies gennge einer irreductiblen Gleichung m• Grades, q,(:i:, •)=0, deren nbrige Wurzeln in der Umgebung von a durch die Functionenelemente

"" z., . . . .z,._1 dargestellt sein mögen. Da die Gleichung q,(:i:,11)=0 irreductibel ist, so giebt es nach einem zuerst von Puia6'Ull aufgestellten und bewiesenen Satze m-1 Wege Ai, A,, ... A..-u auf denen • in die anderen Wurzeln nbergeht. Auf ihnen möge sich !/ in !Ji, '!/u • • • Yrn-1 verwandeln, wo y„ nicht von Y• verschieden zu sein braucht. Beschreibt :i: von a ausgehend eine beliebige geschlossene Linie A, und gelangt 11. auf ihr zu dem Werthe .rs, so erfährt z und daher der Vorausset..ung nach auch y auf dem Wege A„AAs1=B keine Aenderung. Auf der Strecke A=A;1 BAs geht also y„ in !/s und demnach 11~y. in über. Wenn daher z den Weg A durchlAuft, so werden die Grossen ry, •bu •·· .e¼.-1Y-1 in derselben Weise unter einander vertauscht, wie z, .fi, ••• •rn-1•

•b•

73

Da mithin die algebraische Function .r1y+ .rfy1 +··· + •~-1Ym-1 =t'auf keinem der von a ausgehenden gesch]ossenen Wege eine Aenderung erleidet , so muss sie eine rationale Function von :i: sein. Wird in den m Gleichungen, welche aus der eben gefundenen erhalten werden, indem der Zahl l. die Werthe von O bis m-1 ertheilt werden, .r. mit .rs vertauscht, so vertauschen sich nur die Werthe, die sich aus ihnen für y„ und ys berechnen lassen, während der Werth, der sich aus ihnen für y ergiebt, unge&ndert bleibt, Daher ist y eine symmetrische Function von den Wu:1-:teln der Gleichung

?'(a:,,)=0

,-z

'

und lässt sich folglich durch :i: und .r rational ausdrücken. Um jetzt den zweiten Sam fnr den FaJI zu beweisen, dass nur ein Functionenelement adjungirt ist, nehmen wir an, es seien

yi, y,, . . . !/•-1 diejenigen Wurzeln der Gleichung /(:i:,y)=O, in welche ihre Wurzel y Qbergehen kann, ohne dass .r sich &ndert, und A1, A1, ••• A.-1 bestimmte Wege, auf denen sich y unter der genannten Bedingung in diese Wurzeln verwandelt. Ist dann A irgend ein Weg, auf dem sich .r nicht &ndert, so ist auch .A.A ein solcher Weg. Da mithin y auf ihm in eine der Wurzeln !/, yi, ... Y•-1 etwa in ys übergeht, so gelangt y„ auf der Strecke A zu dem Werthe !/s· Da ferner auf dieser Linie keine zwei Wurzeln in dieselbe dritte Obergehen können, so erfahren jene n Wurzeln auf ihr eine bestimmte Substitution. Daher bleibt eine symmetrische Function derselben auf jedem Wege, auf dem 11 keine Aenderung erleidet, ebenfalls unge&ndert und ist mithin eine rationale Function von :i: und .r. Daher genQgen sie einer Gleichung n• Grades, deren Ooef:ficienten rational durch :i: und .r ausdrftckbar sind. Da aber der Annahme nach /(:i:, y) keinen Divisor hat, dessen Ooef:ficienten rationale Functi.onen von :i: und II sind, so muss die Gleichung /(:i:, y)=O vom n• Grade sein, und mithin y, ohne dass .r eine Aenderung erflhrt, in jede andere Wurzel derselben Obergeben können.

74

Jetzt möge der Gleichung für y bereits ein, Functionenelement i adjungirt sein, und ihr ein neues, .z, adjungirt werden, eine Wurzel einer irreductiblen Gleichung m- Grades cp(z, i, .z)=O. Mit Benutzung des eben bewiesenen Satzes, dass es Wege giebt, auf denen .z, ohne dass 16' sich ändert, in jede andere Wurzel dieser Gleichung übergeht, ergiebt sich auf dieselbe Weise wie oben, dass y.z1+y1.z½ +· ··+y-1.z:.-1 =tJ. auf allen geschlossenen Wegen, auf denen i keine Aenderung erfährt, ungeändert bleibt und mithin eine rationale Function von z und i ist. Da.raus folgt wieder leicht, dass sich y durch z, .z und t rational ausdrücken lässt. Mit Hülfe dieses Satzes wird dann der zweite Satz für den Fall bewiesen, dass zwei Functionenelemente adjungirt sind, mit dessen Hülfe der erste für den Fall, dass drei adjungirt sind, u. s. w.

§. 4.

Wenn die Substitutionen eines conjugirten Systems es gestatten, ein Element an die Stelle jedes andern zu setzen, so nennen wir nach Cauchy das System transitiv, im entgegengesetzten Falle intransitiv. Wenn die Substitutionen es gestatten, !" bestimmte Elemente auf die Plätze von ,,. beliebigen andern zu bringen, so nennen wir das System ,u Mal tranaiti'1, Mit Benutzung dieser Ausdrücke lässt sich der zweite Satz des vorigen Paragraphen auch folgendermassen aussprechen: I. Daa conjugirte System einer irreductiblen Gleichung iat transitiv. Ist die Gleichung /(z, y)=O aber reductibel, und ist g(z, y) ein irreductibler Divisor ihrer linken Seite, so kann eine Wurzel der Gleichung g(z, y)=O auf Wegen, auf denen sich die adjungirten Irrationalen nicht Andern, dieser Gleichung zu genügen nicht aufhören und daher nur in eine andere W urzeJ derselben Gleichung übergehen. Denn nach einem Satze der Functionentheorie müssen mehrere in der Umgebung eines bestimmten Punktes dennirte Functionenelemente, zwischen denen eine algebraische Gleichung besteht, dieselbe auch noch befriedigen, wenn die VerAnderliche einen beliebigen Weg durchläuft, welcher durch keine Stelle hindurchffthrt, an der für eins jener Functionenelemente die Entwickelbarkeit nach ganzen positiven Potenzen der Aenderungen der Variablen aufhört. Wenn also /(z, y) keinen quadratischen Divisor hat, so kann sich eine Wurzel

75 der Gleichung f(x, y)=O nicht in eine Wurzel der Gleichung

f>a:, '!/)) = 0

g\u;, '!I

verwandeln, und mithin ist das conjugirte System einer reductiblen Gleichung, die nicht filr alle Werthe der Veränderlichen zwei gleiche Wurzeln hat, intransitiv. Daher lässt der vorige Satz folgende Umkehrung zu: II. Wenn das conjugirte System einer Gleichung, deren linke Seite keinen quadratischen Divisor hat, transitiv ist, so ist die Gleichung i'rreductibel. Nach einem Satze von Cauchy ist die Ordnung m eines ,u Mal transitiven Systems conjugirter Substitutionen von n Elementen ein Vielfaches von n(n-1) ... (n-1i+l) und die des conjugirten Systems, welches von den µ bestimmte Elemente nicht verrückenden Substitutionen jenes Systems gebildet wird, gleich n(n- l) ...( n-ii + l)' Daraus fliesst der Satz: m. Di'e Ordnung des conjugirten Systems einer i'rreducti'blen Gleichung ist ein Vielfaches ihres Grades, und wird, wenn ihr eine ihrer Wurzeln adjungi'rt wird, durch ihren Grad getheilt. Aus dem Satze von Cauchy über die Zahlen, welche die Ordnung eines intransitiven Systems darstellen können, ergiebt sich ferner: IV. Die Ordnung des conjugi'rten Systems einer reductiblen Gleichung ohne quadratischen Theiler ist durch di'e Ordnungen der conjugirten Systeme ihrer i'rreductiblen Divisoren theilbar und in dem Producte dieser Ordnungen enthalten. Eine Verallgemeinerung der drei ersten Theoreme dieses Paragraphen bildet der leicht zu beweisende Satz: V. Wenn zwischen den ersten l+ 1 (l=O, 1, ... tt-1) von ,u Wurzeln einer Gleichung n"" Grades keine Gleichung bestelit, die in Bezug auf die (l+l)" von einem geringeren als dem (n-l)"n Grade ist, so ist das conjugirte System der Gleichung µ Mal transitiv, und seine Ordnung ist ein Vielfaches von n(n-1) ... (n-µ+l) und wird, wenn der Gleichung jene µ Wurzeln adjungi'rt werden, durch n(n-1) ... (n-µ+l) getheilt. Wenn dann zwischen jenenµ Wurzeln und einer (µ+l)"" eine Gleichung besteht, die in Bezug auf diese von einem geringeren als dem (n-,u)"" Grade ist, so ist das System genau µ Mal transitiv. Den Schluss dieser Reihe von Sätzen bildet endlich das Theorem: VI. Damit das conjugirte System einer Gleichung n,_ Grades von

76

der Ordnung 1 . 2 .•. n sei, ist erforderlich und hi11,reichend, dass eine bestirr,,mte Wurzel nicht durch weniger als n-1 andere ,,.ational ausgedrückt werden könne.

§.

5.

Der Gleichung nt•D Grades /('lt, y)=O, die keinen quadratischen Divisor habe, mögen mehrere :memente a]gebraischer Functionen, t, t', ... , adjungirt sein, welche in der Umgebung eines Punktes a eindeutig de:finirt sind, den wir so wählen, dass er fllr keine der im Laufe der Untersuchung vorkommenden a1gebraischen Functionen eine Singularität besitzt. Dann darf die Veränderliche x im Fo]genden nur solche von a ausgehenden gesch]ossenen Linien durchlaufen, die durch keinen singulären Punkt gehen, und auf denen die der Gleichung bereits adjungirten Irrationalen keine Aenderung erfahren. Sei cp (x, z) = 0 eine irreductible Gleichung m"D Grades, deren Coefficienten rationale Functionen von x, t, t', ... sind, z0 ein dieser Gleichung genügendes, in der Umgebung von a eindeutig de:finirtes Funct.ionenelement. Wird jetzt der Gleichung j(:c, y)=O noch die Irrationale z0 adjungirt, so möge I' ihr conjugirtes System werden. Durchläuft der Punkt :c alle ihm gestatteten Wege, auf denen die Wurzeln der Gleichung /(:c,y)=O sämmtlich ungeändert bleiben, so geht z0 in eine bestimmte Anzahl anderer Wurzeln der GJeichung cp (:c, z)= 0 über, die wir mit Zo, Zoi, , , , Zo,-t (Zo)

bezeichnen wollen. Sei Ba ein bestimmter Weg, auf dem sich Zo in z0 ~ verwandelt, ohne dass die Wurzeln der Gleichung j(:c, y)=O eine Aenderung erfahren. Enthält die Gruppe Z 0 die Wurzeln nicht sämmtlich, so sei z1 eine der übrigen Wurzeln. Da die Gleichung cp(:c, z) =0 irreductibel ist, so giebt es einen Weg A1 , auf dem z0 in z, übergebt. Auf diesem mögen sich die Wurzeln der Gruppe Z0 in Zu Z11 , .. , Zi,-1

(Z1)

verwandeln. Indem man so fortfährt, bringt man die Wurzeln der Gleichung qi(:c,z)=O in p Gruppen:

77 Zo,

z1 ,

z01 , z11 ,

, , ,

, , ,

,_i,

z0 z1 ,_i,

(Z0) (Z1)

""-11 z,._11 , • • • z,._ 19 •. 1• (Z,_,) Dabei ist angenommen, dass die erste Wurzel z„ der Gruppe Z„ nicht in einer der vorhergehenden Gruppen enthalten ist, und dass sich die Gruppe Z„ aus Z 0 ergiebt, indem ::c einen bestimmten Weg A„ durchläuft. Besteht nun die Gleichung z„ 1;=Zyi, in der wir a als nicht kleiner als r voraussetzen dorfen, so bleibt z0 auf dem Wege Bs AuA:; 1 B-;; 1 ungeändert, und daher werden die Wurzeln der Gleichung f(::c,!!)=0 auf ihm einer Substitution T des conjugirten Systems /' unterworfen. Da sich diese Wurzeln aber auf den Wegen B, und Bli nicht ändern, so müssen sie die Substitution T auf dem Wege A„ A; 1 erfahren. Nun giebt es aber einen Weg B, auf dem die Substitution T erhalten wird, ohne dass z0 sich ändert. Da dann die Wurzeln der Gleichung f(::c, y)=O auf der Strecke B-1 A"A;1 keine Aenderung erleiden, so geht z0 auf ihr in eine Wurzel z0 1 der Gruppe Z0 über, mithin auf der Strecke B- 1 A„ in Zyl, und daher ist z,.=zo/1, Nun ist a nicht kleiner als r, und wenn a grösser ist· als r, so ist z„ nicht in der Gruppe Z„ enthalten. Daher ist a=y und z„fb=z.. ,. Da aber zwei verschiedene Wul'zeln, z0 s und Zoh auf dem Wege A„ nicht in dieselbe dritte z,.#=zd übergehen können, so muss /J=J sein. Mithin kommt in jenen p Gruppen von je q Functionenelementen keine Wurzel dl!r Gleichung m1en Grades + P1 (a:)a:2-1yc1-1>+ ···+p1(a:)y = 0 haben, wo y+ ut"-1>log a: +g~"-1>(log a:)2+ · · · +g., (log a:t) a:",

wo (> eine Wul'zel einer gewissen, aus den Coefficien.ten der Differentialgleichung leicht zu bildenden Gleichung ).ten Grades f ((>) 0 ist, und die Grössen • bl samm " tl'1c h versc h wm • den. Uo(x), Uo(x-l), • , , Uo mc Um zu zeigen, dass den l Wurzeln dieser Gleichung wirklich l von einander unabhängige Integrale entsprechen, vertheilt Herr Fucka (dieses Journal, Bd. 68, S. 362) dieselben in Gruppen, in der Weise, dass er alle diejenigen Wurzeln zu einer Gruppe zusammenfasst, die sich nur um reelle ganze Zahlen unterscheiden. Sind dann (>o, (>i, ••• (>f' die Wurzeln einer Gruppe, so geordnet, dass, wenn a ß ist, (>a-(>p eine positive ganze Zahl

=


) = I(v+t)f,,+1 ((J)X" ebenfalls für alle W erthe von :r., die dem absoluten Betrage nach nicht grösser als R sind, convergent. Wenn daher M((J) der grösste Werth ist, den der absolute Betrag von f'(x, (J) auf der Peripherie des mit dem Radius R um den.Nullpunkt beschriebenen Kreises annimmt, so ist nach einem bekannten Satze t F,,+1 ((>) < v+t M((>) R_,,


)R- 11) .

Bezeichnet man die rechte Seite dieser Ungleichheit mit a,,+i, so ist G„M(e+11)

a„+i

a,F(e+11)

= FCe+11+t) + RFCe+,,+1)

oder da G,, < a„ ist, 011 +1


e) mittelst der Recursionsformel tf(p+i,) t F(e+11) ) 611 +1 = b„ ( FCe+ "+t) +a FCe+11+1)

89

berechnet, so ist bei passender Verfügung über be G,,n Gliedern so absondern, dass die Summe aller übrigen ~: c„r" kleiner als eine beliebig gegebene Grösse Jr-a ist. Weil man ,e > ,u wählen kann , so ist so ist dann um so mehr [~g .. ((>)~+"] < J für sämmtliche Werthe von (> in den Umgehungen der Wurzeln der Gleichung /((>) = 0 und für die Punkte a: innerhalb des mit dem Radius r um den Nullpunkt beschriebenen Kreises. Mithin ist die Reihe (2.) für alle in Betracht kommenden Werthe von (' gleichmässig convergent und kann daher nach (> ditferentiirt werden, und zwar in der Weise, dass die Dift'erentialion an ihren einzelnen Gliedern ausgeführt wird. §. 3. Seien ('o, (>i, .•. (>,. die zu einer Gruppe gehörigen ,u+t Wurzeln der Gleichung /((>) = O, so geordnet, dass, wenn a < ß ist, (1.,-(>p eine positive ganze Zahl ist. Von diesen Grössen können einige unter einander gleich sein. Sind (lo, (1.,, "'" 'Ir, . . . die unter einander verschiedenen Wurzeln der Gruppe, so ist (>0 =(>1 = .. ·=f!a-i eine afache, (l.,=(J.,+ 1 = .. ·=f!p-t eine (ß-a)fache, (>p = (>p+1 = ... = flr-1 eine (r-ß)fache u. s. w. Wurzel der Gleichung /((>) = 0. Da wir (8.)

geselzt haben, und e >

g((>)

=

(>o-(>,.

/((1+1)/((1+2) ... /(f!+E)C((I)

ist, so ist g((I) für(>= (>0 = (1 1 = ... = (>.,_ 1 von

92 Null verschied.en und verschwindet for (' = c,. = c>.+t = ... = (J,-1 von der aten, fdr (J = (Jp = (Jp+a = ... c>,-1 von der [jten u. s. w., allgemein also ftlr (J = c,,, höchstens von der xten Ordnung. Dagegen verschwindet der Ausdruck f(c,)g(f!)afJ ffir (J=(Ju=(J1=...=c,,._, von der aten, ftlr (J=()..=(J,.+1="'=c>p-1 von der [jten u. s. w. und allgemein for () = (J„ wenigstens von der (x+t)ten Ordnung. Daher muss seine xte Ableitung nach () for () = c,,, verschwinden. Nun ist die Function g(:c, ()) so bestimmt worden, dass

=

= f(p)g(c,)a,e

P(g(:c, c,))

eine identische Gleichung ist. Wir ditl'erentiiren dieselbe x Mal nach (J und und setzen dann (J = c,,,. Da die Dilferentiationen nach den beiden Variablen a, und c, in willktlrlieher Ordnung ausgefohrt werden können, so ergiebt sieh auf diese Weise, wenn man (10.)

,l•gd~,e)

= gM(a,, (J)

setzt, die Gleichung aus der hervorgeht dass (11.)

11

= g"(:c, (),.)

ein Integral der Dilferenlialgleichung P(g) = 0 ist.

(2.)

g(:c, c,)

=

Aus der Gleichung

:,:e~g.. ((!):t:"

ergiebt sich in Folge der gleichmilssigen Convergenz dieser Reihe die Gleichung (12.) \u"(:t,(J,,) = :,:b~cu~·>(c,,.)+xg~·-l>(c,,,) (log:,:)+

l

xc;:;t) g~-2>(c,,,) (log:1:)2+ ...

,.. +g,,(c,,,)(log:c)"):c".

Da g(f,!) für r.t = (J„ höchstens von der ,eten Ordnung verschwinden kann, so können g (c,.), gCI) ((),.), . . . gc-> (c,,,) nicht alle gleich Null sein. Daraus folgt, dass dies Integral, um die von Herrn Fad, (dieses Journal Bd. 66, S. 155) gewählte Ausdrucksweise zu benutzen, zum Exponenten )

=

f(fl+1)f(fl+2) ••. f((>+B)C((I)

gesetzt und s gleich dem Maximum der Differenz zwischen zwei Wurzeln

*) Auafllhrlicher ist diese Schlussweise entwickelt in einer Abhandlung des Herrn

TAome, diesea Journal Bd. 74, p. 19ö.

94

irgend einer Gruppe gewählt. Wie leicht zu sehen, ist es aber auch gestattet, für s irgend eine noch grössere ganze Zahl zu setzen. Dies ist besonders dann vortheilhaft, wenn man die Berechnung der Fonction g(:11, (J) bis zu einer bestimmten Potenz von :11, etwa der ((J +x)ten wirklich ausführen will. Setzt man nämlich E = x, so werden die Coeffi.cienten Ur((J) sämmtlich ganze Functionen von (J, und mon entgeht .so der Unbequemlichkeit, gebrochene Functionen von (J ditrerentiiren zu milsscn. Die Function C((J) kann dann immer noch so gewählt werden, dass die willkürlichen Constanten die durch die Aufgabe vorgeschriebenen Werthe erhalten. Eine andere Erleichterung der Rechnung ergiebt sich, wenn p(:11) nicht mehr, wie bisher, gleich Eins angenommen wird. Sind nämlich die Coefficicnten der Dift'erentialgleicbung rationale Fonctionen, so kann man sie alle auf denselben Nenner bringen und mit diesem die ganze Gleichung multipliciren. Dann sind p(:11), p 1 (:11), ••• pi(:11) und folglich auch f(:11, (J) sämmtlich ganze Fonctionen von :r:. Wenn auch in diesem Falle die Functionen 9v ((J) mittelst der Recursionsformel (5.)

g,.f((J+v)+g,,_1(1((J+v-t)+ .. ·+gf,,((J)

=0

berechnet werden, so convergirt die Reibe g(:r:, Q) innerhalb eines um den Nullpunkt beschriebenen Kreises, in dessen Innern p(:r:) nirgends verschwindet. Der Beweis dieser Behauptung, auf den ich hier nicht näher eingehen will, lässt sich auf den in §. 2 gegebenen Convergenzbeweis zurflckfflhren. Die Berechnung der Coefficienten g,, ((J) wird bei der jetzigen Bedeutung von f(a:, (') darum einfacher, weil die Functionen {,,(('), sobald ,, den Grad der ganzen Fonction f(:r:, (J) überschreitet, sämmtlich verschwinden. §. 4.

Aus der Formel (12.) lassen sich mit Leichtigkeit die Bedingungen dafür her.leiten, dass in dem zu einer Wurzel (',. der Gleichung {((') = 0 geMrigen Integral der Dilferentialgleichung P(g) = 0 keine Logarithmen auftreten. (Vergl. die Herleitung dieser Bedingungen in der Abb. des Herrn Fucha, dieses Journal Bd. 68, S. 373-378.) Dozu ist zunächst erforderlich, dass die Gleichung {((!) = 0 keine mehrfachen Wurzeln hat, da, wie oben gezeigt, von den zu a unter einander gleichen Wurzeln gehörigen Integralen wenigstens a-1 Logarithmen enthalten. Die Wurzeln (Jo') ()1 , ••• C'µ der

95 Gruppe, zu welcher (J„ gehört, sind also in diesem Falle sämmtlich unter einander verschieden. Da der durch die Gleichung (12.) gegebene Ausdruck von (gC•l(:r:, (J,.)) das allgemeinste zur Wu.rzel (J„ gehörige Integral darstellt, so ist, damit dasselbe keine Logarithmen enthalte, nothwendig und hinreichend, dass die Functionen Uv((J) für (J = (J„ sämmtlich von de1· "ten Ordnung verschwinden. Nun ist aber

(6.)

Uv(f+P1 sich der Grenze oo nähert. Setzen wir () = oo, so lautet die Differentialgleichung, da der Coefficient von (i in ((x, e) gleich p(x) und in (('!) gleich a ist p(a:)

--z a

=

1,

und daraus ergiebt sich wieder

limf(e)anG(x, e)

=

a p(:,;)

Die Annahme, dass p(x) von Eins verschieden ist, ist nur dann vortheilhaft, wenn dadurch f(x, ()) zu einer ganzen Function von x wird. Ist dies nicht der Fall, so soll p (x) = 1 angenommen werden. Dann ist limG(x, (!)

=

Jim,:),

*) Diese Methode bat zuerst Herr Thome (dieses Journal Bd. 66 S. 329) angewendet, um die Grenze zu ermitteln, der sich die Näherungsnenner der Gawsischen Kettenbrllcbe nähern.

103

und daher convergirt die Reihe (16*.)

Zf,,((J)G(a:, ('+Y)

= :,:f

ebenso weit, wie If,.(c,):ce+,,

f annimmt,

kann demnach von F(a:) nicht

Alle diese Bedingungen erff1llt aber die Reihe

Ic„G(a.:, bildet~ nicht identisch verschwindet, so ergiebt sich auf demselben Wege eine Relation von der Form

c,11,+c2112+· .. +c1-11l1-1 = O, in welcher c1_ 1 von Null verschieden ist. Indem man so weiter scbliesst, beweist man, dass aus der Annahme D = 0 stets eine Gleichung von der Form (C.) folgt, in welcher die Constanten Ci, Ci, ••• c1 nicht sämmtlich verschwinden, wenn man bedenkt, dass auch die Gleichung 11 1 =0 unter dieser Form enthalten ist. Im Folgenden sollen mehrere Functionen von einander unabhängig ge-

110

nannt werden, wenn zwischen ihnen keine homogene lineare Gleichung mit conslanten Coefficienten besteht. Alsdann können wir den Satz aussprechen: Wenn mehrere Functionen tion einander unabhängig sind, so ist ihre Determinante tion Null tiersckieden; wenn sie aber nickt -,on einander unabhängig Bind, so ist ihre Determinante gleich Null. Derselbe ist zunächst nur für das Innere des mit dem Radius r um den Punkt :1;1 beschriebenen Kreises bewiesen. Nach einem bekannten Theorem der Functionentheorie ergiebt sich daraus seine Gültigkeit für alle Th eile der Ebene, nach denen hin man die l Functionen sämmtlich fortsetzen kann, vorausgesetzt, dass man unter y" Y2, . . . y i stets simultane W erthe dieser Functionen versteht, d. h. solche, welche sie annehmen, wenn sie alle auf demselben Wege fortgesetzt werden. Man leitet den bewiesenen Satz gewöhnlich aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen ab. Es kam mir hier darauf an, ihn unabhängig von dieser Lehre zu begründen.

§. 2. Seien wieder eine oder mehrere Functionen u, .,, w, • . . durch Reihen definirt, die nach ganzen positiven Potenzen von z- :ri1 fortschreiten und in der Umgebung des Punktes zu convergiren. Wir nehmen an, dass dieselben sich 'Ober die ganze Ebene mit Ausschluss einer endlichen Anzahl singulärer Stellen fortsetzen lassen und an jedem singulären Punkte, a, mit einer endlichen Potenz von x- a ( oder

! für a = CX)) multiplicirt, endlich bleiben.

Denkt man sich, dass die unabhängige Veränderliche z von x 0 aus alle möglichen durch keinen singulären Punkt hindurchführenden geschlossenen Wege durchläuft, so gehen die gegebenen Funclionenelemente in die sämmtlicben verschiedenen Zweige der Functionen u, ti, w, ... über. Von diesen setzen wir voraus, dass sie sich alle in der Form C1Y1+CiY2+"·+ CJ.Yi.

darstellen lassen, wo Ci, c2, . . . CJ. Constanten sind und yi , y2 , • • • yi von einander unabhängige Zweige der Functionen u, .,, w, ... bezeichnen, oder, um diese im Folgenden oft wiederkehrende Bedingung kürzer auszudrücken, wir nehmen an, dass unter den verschiedenen Zweigen der Functionen u, ti, w, ... nur l von einander unabhängige enthalten sind.

111 Setzt man nun

Z±yyi1>... yi1>

= DyCll+ D1y+ ···+D1y,

so ist D als Determinante von l. unter einander unabhängigen Functionen von Null verschieden, und die lineare Differentialgleichung

p = y+ ~ y+ P: y+ .. ·+~Y p

p

p

= O,

wo p, p,, ... Pi ganze Functionen sind, p keinen quadratischen Divisor bat, und p., wenn p vom µten Grade ist, den ,t{µ-t)ten Grad nicht Oberschreitet. Damit ist der Satz bewiesen : Wenn mehrere über die gan1e Ebene fortset1bare analytische Functionen nur eine endliche Anaakl singult.trer Stellen haben und an jeder derselben, mit einer endlichen Poten1 der Aenderung de, Arguments multiplicirt, endlich bleiben, und wenn unter ihren 1,ersckiedenen Zweigen nur l 1,on einander unabkangige enthalten sind, so geniJgen Bie einer linearen Diferentialgleickung l ter Ordnung. Functionen der angegebenen Art sind z. B. die Wurzeln einer algebraischen Gleichung, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind. Von diesen gilt also der Satz: Wenn Bick die Wur.seln einer algebraischen Gleichung durch l unter ihnen und nickt durch weniger als l linear mit con,tanten Coefficienten ausdrücken lassen, so gen1'gen Bie einer linearen Diferentialgleickung }ter Ordnung. Man kann umgekehrt die Frage aufwerfen, unter welchen Bedingungen eine lineare Differentialgleichung algebraische Integrale bat. Wenn eine Diff'erentialglcicbung durch eine Wurzel y einer irreductibeln algebraischen Gleichung zwischen re und g befriedigt wird, so mflssen ihr auch die sfimmtlicihen verschiedenen Zweige der Function g, d. h. aUe Wurzeln jener irreductiheln Gleichung gen'ilgen. Wenn diese sich durch µ von ihnen linear mit constanten Coefficienlen ausdrücken lassen, so genOgt g einer linearen Dift'erentialgleicbung ,uter Ordnung, die nur algebraische Integrale hat, während die gegebene Dill'erentialgleicbung ausserdem noch andere haben kann. Die Frage nach der IntegrabiliUit einer linearen Dift'erentialgleicbung durch algebraische Functionen zerlegt sich somit in die zwei Fragen, ob eine lineare Diff'erentialgleichung mit einer andern niedrigerer Ordnung Integrale gemeinsam hat, und ob sie nur algebraische Functionen zu Integralen hat*). Und das erstere Problem ist es, auf das ich in diesem Aufsatze die Aufmerksamkeit zu lenken wonsche. *) Vergl. Abel, oeuvres completes, Tom. II., pag. 189.

113

§. 3. Wir gehen nach diesen vorbereitenden Sätzen an die Exposition des in der Einleitung definirten Begriffs einer irreductibeln linearen Dill'erentialgleichung. Unter den siimmtlich.en Zweigen einer Function, die einer linearen Differentialgleichung l,ter Ordnung mit eindeutigen Coefficienten genügt, können nicht mehr als l von einander unabhängige enthalten sein. Befinden sich unter ihnen nurµ solche, wo µ((>-1) ... ((>-µ+1)+ (x-a)q 1 (>((-'-1) ... ((-'-,u+2)+···+(x-a)Pq,.., so sind (-11, (>2, ••• (>,, die Wurzeln der Gleichung µten Grades f(a, (-1) = O, welche Herr Fucka die zum singulären Punkte a gehörige determinirende Fundamentalgleickung nennt. Wenn eine ihrer Wurzeln grösser als J.-1 ist, so ist a auch fiir die Differentialgleichung }.ter Ordnung P = 0 ein ausserwesentlich singulärer Punkt. Daraus ergiebt sich der Satz : 1. Wenn eine lineare Differentialgleichung mit einer andern niedrigerer Ordnung alle Integrale gemein,am hat, so sind alle singulären Punkte der letzteren, welche e, nickt zugleich für die erstere sind, au,1erwe,entlick singulare Punkte, für welche die Wurzeln der zugehörigen determinirenden Fundamet.talgleickung kleiner als die Ordnung der ersten Differentialgleichung sind. Wenn eine DilTerentialgleichung reductibel ist, so giebt es eine Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, mit welcher sie alle Integrale gemeinsam hat. Nun hat die letztere in der Umgebung einer singulären Stelle a stets solche Integrale, die bei einem Umlauf der Variablen um den Punkt a in sich selbst, mit einer Constanten multiplicirt, übergehen. Daher muss eins

116

derjenigen Integrale der reductibeln Differentialgleichung, welchen dieselbe Eigenschaft zukommt, einer Differentialgleichung niedrigerer Ordnung genügen. Die Anzahl dieser Integrale ist im Allgemeinen eine endliche, wenn man zwei Integrale, deren Quotient constant ist, nicht als verschieden betrachtet. Wenn die reductible Differentialgleichung nicht gerade von dieser Regel eine Ausnahme macht, so kann man eine bestimmte Anzahl von ihren Integralen angeben, unter welchen sich die befinden müssen, die eine Differentialgleichung niedrigerer Ordnung befriedigen. Da dieser allgemeine Fall somit eine besondere Beachtung verdient, so stellen wir uns die Aufgabe, die Bedingungen zu ermitteln, unter denen er keine Ausnahme erleidet. Wenn ein Integral einer linearen Differentialgleichung l,ter Ordnung bei einem Umlauf von x um a in sich selbst, mit r mulliplicirt, übergeht, so ist r eine Wurzel einer bestimmten Gleichung lten Grades, welche Herr Fucka die zum singulären Punkte a gehörige Fundamentalgleichung nennt. Ist r eine einfache Wurzel derselben, so giebt es nur ein einziges Integral, welches • bei einem Umlauf der Variablen um a mit r multiplicirt wird (vergl. d. Abb. d. Herrn Fucka, dieses Journal, Bd. 66, S. 132, insbesondere das Gleichungssystem (5.)). Ist aber r eine (xti)fache Wurzel, so entsprechen ihr genau ,e 1 unter einander unabhängige Integrale. Diese haben in der Umgebung von a die Gestalt y = , ll(-{JJll(r-/J-1) "·

*) Die hiel' benutzten Eigenschaften der hypergeometrisohen Reihe findet man in der Abhandlung des Herrn Kummer, dieses Journal, Bd. 15, S. 52-GO und in Gauss' Werken, Bd. 3, S. 207-220.

122 Diese Gleichungen sind for alle Punkte der FliichenslOcke gültig, welche den Convergenzbereichen der auf ihrer rechten und auf ihrer linken Seite stehenden Reiben gemeinsam sind. Damit die gegebene Ditferentialgleichung zweiter Ordnung reductibel ist, also mit einer erster Ordnung ein Integral gemeinsam hat, muss entweder in jedem der beiden Ausdrücke for w einer der Coeflicienten verschwinden oder in jedem der beiden Ausdrücke fOr w'. Da Il(a;) fOr keinen endlichen Werth von a; verschwindet und für alle negativen ganzen Zahlen unendlich gross wird, so zeigt der blosse Anblick der obigen Gleichungen, dass diese Bedingung erfüllt ist, wenn entweder a (oder ß) oder r-a (oder r-ß) eine ganze Zahl ist. Bedeutet v eine positive ganze Zahl oder Null, so ist demnach die gegebene Differentialgleichung in folgenden acht Fiillen reductibel: 1) a = v + 1. In Folge der bekannten Relation

F(a, ß, r, a:) =

(1-x)>'-a-fl F(r- a, r-ß,

r, a;)

ist das Integral u' = x 1-r F(a-r+1, ß-r+1, 2-r, a;)

Da aber 1-a = -v ist, ab und stellt eine ganze Function

= x'-r(t-a;)l'-a-JI F(1-a, 1-f:J, 2-r, a;), so bricht die Reibe F(1-a, 1-ß, 2-r, x) i,ten

Grades dar.

Die Gleichung

F(1-a, 1-ß, 2-r, a;) = 0 hat, wie man aus der linearen Dilferentialgleiehung zweiter Ordnung ersehen kann, der ihre linke Seite genügt, keine mehrfachen Wurzeln. Daher ist u'

=

Cx 1-r(t-a;)r-•-~(a;-a,)(x-a1) ••• (a;-a.,),

wo die Grössen O, 1, a1 , "2, ..• a„ siimmtlich unter einander verschieden sind. Die Stellen a1 , a.1, • • • a, sind die ausserwesentlieb singuliiren Punkte der Dift'eretltialgleiehung erster Ordnung, welche von den Integralen a', .,, und w', die sich nur um eonstante Factoren unterscheiden, befriedigt wird. Die Exponenten, zu denen das Integral der linearen Diß'erentialgleicbung erster Ordnung in den Umgebungen dieser Punkte gehört, sind dem oben entwickelten Satze gemäss kleiner als die Ordnung der reductibeln Diff'erentialgleicbung, also siimmtlieh gleich 1. 2) a = -v. In diesem Falle ist

"=

F(a, ß, r, a;)

eine ganze Funelion vten Grades, und die lineare Dift'erentialgleichung erster Ordnung, der u, ., und w genügen, hat nur aosserwesentlicb singuliire Stellen.

123

3) r-a =v+1. In diesem Falle ist u' = a: 1-rF(a-r+1,ß-r+1,2-7,x) nebst " und w das Integral der Dill'erentialgleichung erster Ordnung. 4) r-a = -v. In diesem Falle genilgt w' = (1-x)Y-a-P F(r-a, r-ß, r-a-ß+1, 1-x) nebst u und o' der Dift'erentialgleichu11g erster Ordnung. Durch die Vertauschung von a mit ß, bei welcher die Differentialgleichung ungeändert bleibt, ergeben sich daraus die Obrigen vier FAile. Die ermittelten Bedingungen lassen sich folgendermassen zusammenfassen: I. Damit die Gaa111cke Diferentialgleickang reductibel aei, ilt notkwendig und hinreickend, da,1 eine der hgpergeometri,cken Reihen mit dem f!ierlen Elemente a:, 1-a:, f)Off

1 , ..!., -1-a; a;

.

a;-t, 2-.. , welche, mit einer Polens a; a;- 1

:c oder 1-a: multiplicirt, ihr genügen, nur au, einer endlicken AnHkl

i,on Gliedern buteht. Um die Bedeutung dieser Bedingung in ein helleres Licht zu setzen, wollen wir als ein zweites Beispiel die allgemeine Dill'erentialgleichung zweiter Ordnung mit drei singulären Punkten behandeln, dabei aber einen andern Weg einschlagen, der die Kenntniss der Relationen, die zwischen den Integralen der den verschiedenen Verzweigungspunkten entsprechenden Fundamentalsysteme bestehen, nicht voraussetzt. Diese Dift'erenlialgleichung, welche zuerst von Riemann (Beiträge zur Theorie der durch die Gaua,sche Reihe F(a, ß, ,', a:) darstellbaren Functionen) vollständig integrirt ist, besitzt die merkwilrdige Eigenschaft, dass ihre Constanten vollständig bestimmt sind, wenn die Exponenten gegeben sind , zu welchen die Integrale der den singulären Punkten entsprechenden Fundamentalsysteme gehören. (Vergl. die Abh. des Herrn FuchB, dieses Journal, Bd. 66, S. 160.) Durch eine lineare Transformation der unabhängigen Veränderlichen kann man die drei singulären Stellen stets nach den Punkten O, 00 und 1 verlegen. Sind dann a und a' die Wurzeln der zu O, ß und ß' die der zu 00, r und r' die der zu 1 gehörigen determinirenden Fundamentalgleichung, so hat die Diff'erentialgleichung die Gestalt x' (1-a:)1 g"-((a+ a.'-1)+ (ß +ß'+ 1)a:)a:(1- a:)g' +(aa.'+

µ und l - µ

= v,

so kann man P, wie

leicht zu sehen, auf die Form

=

QM+riQCr-l)+···+r.,,Q+roR bringen, wo QC•> die ;ete Ableitung von Q nach z, r„ eine rationale Funetion von z, die auch Null sein kann, und R einen Dift'erentialausdruck bedeutet, dessen Ordnung (.1 < µ ist, und in welchem der Coofficient der hö'chsten Ableitung von y gleich t ist. Aus dieser Gleichung folgt, dass alle gemeinsamen Integrale der beiden Dift'erentialgleicbungen P = 0 und Q = 0 auch R P

127 annulliren. Da wir Gleichungen von derselben Gestalt noch mehrfach benutzen werden, so schreiben wir sie in der abgekürzten Form P

=

R

(modQ).

In einer solchen Congruenz bedeuten P, Q und R Differentialausdrücke, in denen der Coefficient der höchsten Ableitung von y gleich 1 ist, und deren Ordnungen l, ft, Q den Ungleichheiten

i.>,u>Q genügen. Wenn alle Integrale der Differenlialgleichung Q = 0 auch P annulliren, so folgt aus der Congruenz P

=

R

(modQ),

dass sie auch sämmllicb die Differentialgleichung R = 0 befriedigen. Demnach bat die Differentialgleichung ('ter Ordnung R=O ,u von einander unabhängige Integrale. Eine lineare Differentialgleichung mit eindeutigen Coefficienten kann aber nicht mehr von einander unabhängige Integrale besitzen als ihre Ordnung angiebt, ohne identisch zu verschwinden. (Vergl. §. t.) Daraus folgt: l. Wenn die Differentialgleichung P = 0 mit der Differentialgleichung Q = 0 alle Integrale gemeinaam hat, so lässt sich P in der Form

p

=

QM+r1Q(v-1>+ .. ·+r.,Q

darstellen, oder es ist P

=

0

(modQ).

Wenn die Differentialgleichung P = 0 mit der irreductibeln Dift'erentialgleicbung Q = 0 ein Integral 1/ gemeinsam bat, so ist die Ordnung von Q nicht höher als die von P. Ist dann

P

=

R

(modQ),

so genügt y auch der Differentialgleichung R = 0. Da aber die irreductible Differentialgleichung Q = 0 mit der Differentialgleichung niedrigerer Ordnung R = 0 kein Integral gemeinsam haben kann, so muss R identisch verschwinden und daher P 0 (modQ) sein. Somit gilt der Satz: II. Wenn eine lineare Differentialgleichung mit einer irreductibeln ein Integral gemeinsam hat, so hat sie auch alle Integrale mit ihr gemeinsam. Sind P und P 1 zwei Dilferentialausdrilcke von den Ordnungen l und l 1 , so kann man die Dift'erentialgleichung, der die gemeinsamen Integrale der

=

128

beiden Differentialgleichungen P = 0 und P 1 = 0 genügen, nach der Methode des grössten gemeinsamen Divisors bestimmen. Dazu dienen, wenn }. > l 1 ist, die Congruenzen (modP1), (modP2),

=

P,,_1 P„+i(modP,..). Ist l„ die Ordnung von P,., so ist }. > J.1> i.2>···, und daher muss l„ spätestens fftr 1+ J.1 venichwinden. Ist J.,..+i = O, J.,.. aber von Null verschieden, so ist P,,+1 entweder gleich g oder gleich Null. Im ersten Falle werden die beiden Dift'erentialgleichungen gemeinsam nur durch y = 0 be-

"=

friedigt, d. h., sie haben kein Integral mit einander gemeinsam. Im andern Falle miissen alle gemeinsamen Integrale von P = 0 und P1 = 0 auch die Differentialgleichung P,, = 0 befriedigen und alle Integrale der letzteren auch den beiden ersteren geniigen. Daraus folgt der Satz: III. Wenn eine lineare Differentialgleickung reductibel ilt, so giebt es eine lineare Differentialgleickung niedrigerer Ordnung, mit der sie alle Integrale gemeinsam kat. Ist nun P = 0 eine reductible Differentialgleichung, und Q = 0 eine

Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, mit der sie alle Integrale gemeinsam hat, so ist P 0 (modQ). Die linke Seite jeder reductibeln Differentialgleichung hat daher die Form p = QM+r1QC"-•>+···+r„Q. Bisher haben wir mit dem Buchstaben P einen Differentialausdruck bezeichnet. Jetzt soll derselbe als Operationssrmbol benutzt werden. Wir schreiben nämlich y0>+p.yC1-1>+···+pzy = P(y), so dass P eine an der Function y auszuführende Operation bezeichnet, nämlich

=

P(y)

=

d1 dl-1 ( da;J. +p, c1a,l-1

+· .. +Pi) (g).

Die Bedingung dafür, dass die Differentialgleichung P (y) = 0 mit Q (y) = 0 alle Integrale gemeinsam hat, die bishM durch die Congruenz P ..= 0 (mod Q) ausgedrilckt wurde, kann jetzt auch in der Form P(y)

=

R(Q(g))

129 geschrieben werden, wo die Operation R(g)

d" = ( ... +r

1

d>'-1

da,r-i+· ..

+r.,) (y)

an dem Differentialausdruck µter Ordnung Q(y) zu vollziehen und 1 = .u+v ist. Ist to das allgemeine Integral der Dift'erentialgleichung R(y) = 0 und u ein Integral der Differentialgleichung Q(y) = to, so annullirt die Funcüon u auch P(g), hat also nur eine endliche Anzahl singuliirer Stellen und ist an jeder derselben, a, mit einer endlichen Potenz von a: - a ( oder

! für a = oo) =

multiplicirt, endlich. Dasselbe gilt demnach auch von der Function ro Q(u), und mithin hat auch R(y) = 0 die Form, welche hier stets für die linearen Differentialgleichungen vorausgesetzt wird. Die Dift'erentialgleichung Q(y) = w mit den v in ro enthaltenen willkürlichen Constanten ist also für die reductible Differentialgleichung als Integralgleichung zu betrachten, aus der man jene durch Differentiation und Elimination der willkürlichen Constanten herleiten kann. Wir können demnach das Resultat aussprechen: IV. W en,a eine li,aeare DilferentialgleicAung 1ur Ordnung mit einer µ,ur Ordnung Q (y) = 0 alle Integrale genaeinlam Aal, 10 genügt Jedu ihrer Integrale einer DiferentialgleicAung c,on der Form Q (g) = ro, in toelcAer w ein Integral einer beltimmten DifferentialgleicAung (1-µ)ter Ordnung ist. Umgekehrt ist jede lineare Differentialgleichung reductibel, wenn sie durch eine Dift'erentialgleichung von der Form Q (g) = 0 integrirt wird. Diese Gestalt der Integralgleichungen ist die charakteristische Eigenschaft der reductibeln linearen Differentialgleichungen. §. 7. Jeder lineare Dift'erentialausdruck P(g)

= y+P11l1z)("'1-1

=

i!, 1'1-2•" d! fJu11) - (1'1-1 i!, 1'1Z) ( "'1-2 ::z; "'1-.1 ··· !

+("'1-.2 d! 1'1-1! 1'1 Z )(-,l-3 d! 1'J-4..' !

1'o11) - .., +(-1)2- 1( 1'1

"'u11)

i!, 1'2'" ,!

1').Z)(1'oY)

und

P'(z ) = 1'c, dx d d d *'• da; 1'2"" d:z; 1'1Z, so gelangt man durch wiederholte Anwendung der partiellen Integration zu der Gleichung _jzP(y)dx

=

P(y, z)+(-1)1jyP'(z)dx

135 oder d

=

7xP(y, z)

zP(y)-(-1) 1gP'(z).

Daher ist P' (z'l = 0 die Differentialgleichung, der die Multiplicatoren von P(y) = 0 genügen müssen. Es gilt also der Satz: IV. Die Multiplicatoren der linearen Dilferentialgleicliung d

Vl

d

d

dz V l-1 dx V l-2" • dx

d

V1

dx V11 y = 0

genügen der linearen Ditferentialgleichung Vo

d d d d dx f.l1 dx f.l2'"cfi"f.l1-17xf.l1Y -

0.

Setzt man nun Q(y)

so ist P(y)

=

R(Q(y)).

In Folge des eben hergeleiteten Satzes ist dann aber Q'(z)

=

d

d

f.lu-a;;-f.l1

... d:,; f.lµ-1

d

cki""µz,

R'(z) -

und daher P'(t.)

=

Q'(R'(z)).

Umgekehrt kann man auch durch wiederholte Anwendung dieses Satzes das Theorem (IV.) ableiten. §. 8.

Wir wollen hier noch einen anderen Beweis filr das erste Theorem des vorigen Paragraphen mittheilen, welcher dasselbe mit der in §. 4 entwickelten Lösung unseres Problems in Zusammenhang bringt und über die Multiplicatoren einer linearen Dift'erenlialgleichung weitere Aufschlüsse giebt. Sind 1/i, 1/2, .•• y1 irgend l unter einander unabhängige Integrale der linearen Differentialgleichung l,ter Ordnung P(y) = O, so sind die l Functionen

136 .1 1 ,

.s

2,

• • •

.si,

welche durch die Gleichungen (1.) ('2.)

(l-1.) (l,)

+.. ·+•1.Yi = O, •1rP> +•2rll) +.. ·+•,ri'> = o,

•,y, +•2f2

•1rP-2>+.12rl1-2>+ .. ·+•1rP-2>= o, .,,p-1>+212y!l-l}+.,·+•1,1l-l) = 1

bestimmt sind, ebenfalls unter einander unabhingig. Denn bestinde zwischen ihnen eine Relation von der Form

.s,c,+.1i~+ .. ·+•1c1 ='

(0.)

O,

so wiirde sieh aus den Gleichungen (0,), (1.), •.. (1-1.) ergeben, dass die Determinante Z ± Ca f2 fil)' ••,1~1S) ,1J-,) = 0 wtire.

Daher mOsste auch ihre Ableitung

Z±c1 g2 g-Jl)••• y1~.:ä3>y11- 1> = 0 sein. Dann worden ober die Gleichungen (0.), (1.), ... (1-2.) zur Folge haben, dass auch der Ausdruck

•,,11-•>+•2,P-I)+··· + •1rP- 0 verschwinde, während er doch den Werth 1 hat. Die Functionen 0 tl•+" ... y1 genOgen der linearen Dift'erentialgleichung (1-1 )ter Ordnung

y,, ... ,_

(Z+ y2-•yf-2,,.y!=1r!:~r•... y1): (Z±yf-2... 11!=111!+1-', .. fz) deren linke Seite wir mit Q(y)

= O,

= y 00

= O, = O,

Z(o,,..1,+al,.•2+···+a.i...s1)11~1- 2> = O, Z(a.,. .11 +11:i,.•2+ "· +a1„.s1) 71~1-•> = 1.

Daher ist a1.•1+11:i„.12+· +a1.•1 = t•. Bezeichnet man also in der Determinante Z ±a 11 022 ••• au den Coef&cienten von a„/J, dividirt durch die Determinante, mit b„/1, so ist 00

(B.)

.1,,

= b111 t.+b.i~"·+b„.1.t'1.,

Daraus schliesst man mit B1llfe des in §. 2 bewiesenen Satzes, dass Si, die Integrale einer linearen Ditl'erentialgleichung lter Ordnung P'(.1) == 0 mit rationalen Coef&oienten sind. Wenn nun die Ditl'erentialgleichung 1ter Ordnung P(g) = 0 mit einer µ.ter Ordnung von derselben Form Q (g) = 0 alle Integrale gemeinsam hat, so kann mo in jedes Fundamentalsystem von Integralen der ersten Dift'erentialgleichung µ, von einander unabhlingige Integrale der zweiten aufnehmen. Sind aber 111, 112, ••• 11„ und 711 , 11i, .•• 11„ zwei Fundamentalsysteme von Integralen der Dift'erentialgleichung Q (g) = 0, so bestehen zwischen ihnen allein µ lineare Relationen, und daher muss a118 = 0 sein, wenn o: < µ +t und ß > µ ist. Mithin ist b„p = O, wenn o: > µ und ß < µ+1 ist. Denn eine Determinante (l-1 )ten Grades muss identisch verschwinden, wenn in ihr alle Elemente, welche µ Colonnen mit mehr als l-1- µ Zeilen gemeinsam haben, gleich Null sind. Zwisehen •µ+1' •.u+i, ... •.1. und t,.+u t,.+2, ... t'.1

•2, . . . •1

138 bestehen also l - ,, lineare Gleichungen. Da nun unter den sämmtlichen verschiedenen Zweigen der Functionen yi, y 2 , • • • y„ nur ,, von einander unabhängige enthalten sind, so lassen sich alle Zweige der Functionen .z,,+ 1, a,,+ 2 , • • • .zi durch die!!e l-µ Zweige linear ausdrücken. Dieselben genügen daher einer linearen Diß'erentialgleichung (l-µ)ter Ordnung, mit der die Dift'erentialgleichung P'(z.) = 0 alle Integrale gemeinsam hat.

§. 9. Bisher haben wir nur solche Dift'erentialgleichungen betrachtet, deren Integrale nur eine endliche Anzahl singulärer Stellen haben, und an jeder derselben, a, mit einer endlichen Potenz von x-a ( oder

!

für a = oo)

multiplicirt, endlich werden. Um den Satz, der hier noch bewiesen werden soll, nicht unnöthigen Beschränkungen unterwerfen zu müssen, wollen wir jetzt allgemein lineare Dift'erentia]gleichungen in Betracht ziehen, deren Coefficienten überall eindeutige Funclionen sind, und eine solche irreductibcl nennen, wenn sie mit keiner Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, deren Coefficienten ebenfalls überall eindeutige Functionen sind, ein Integral gemeinsam hat. Die in den Paragraphen 2, 3 und 6 entwickellen Sätze lassen sich genau nach denselben Methoden auch für solche Differentialgleichungen beweisen. Wenn eine Differentialgleichung P = 0 von der früher vorausgesetzten Form in dem früheren Sinne reductibel ist, so ist sie es auch in dem jetzigen Sinne. Wenn sie ferner nach der neuen Definition reductibel ist, so giebt es eine Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, mit der sie alle Integrale gemeinsam bat, und die folglich zu der besonderen Klasse von Differentialgleichungen gehört, von der wir bis jetzt gehandelt haben. Daher ist die Differentialgleichung P = 0 auch in dem früheren Sinne reductibel. Daraus folgt, dass eine Differentialgleichung von der bisher betrachteten Form nach der jetzigen Definition reductibel oder irreductibel ist, je nachdem sie es nach der früheren war. In der schon oben erwähnten Abhandlung beweist Herr Br,assinne den Satz, dass eine Dift'erentialgleichung reductibel ist, wenn sie zwei Integrale 1/u und y, besitzt, zwischen denen die Beziehung y 1 =xy„ besteht. Dieser Satz ist nur ein specieller Fall folgendes allgemeinen Theorems: Wenn 1'0n zwei tJersckiedenen Integralen einer homogenen linearen

139

Differentialgleichung mit eindeutigen Coef{icienten das eine ein homogener linearer Differentialausdruck mit eindeutigen Coefficienten ,von dem andern ist, so ist die Differentialgleicltung reductibel. Seien q11 , q1, . . . q„ eindeutige Functionen von x und sei

Q(y)

= 9o'!J(.u)+q1'!}(.u-1)+···+qµy

ein homogener linearer Dift'erentialallsdruck ,,ter Ordnung von y. Seien ferner '!Jo und y 1 zwei unter einander unabhängige Integrale der linearen DilTerentialgleichung P(y) = p„yo>+p1yO-i>+···+PiY = O, deren Coefficienten eindeutige Functionen von a: sind. Zwischen diesen be.stehe die Beziehung 1/1 = Q(yo)• Wenn dann, wider die Behaup\ung des obigen Satzes, P(y) = 0 irreductibel ist, so hat die lineare Ditrerentialgleichung P(Q(y)) = 0 mit P(y) = 0 alle Integrale gemeinsam, weil sie eins, Y11, mit ihr gemeinsam hat. Ist daher y irgend ein Integral der Differentialgleichung P(y) = O, so ist auch Q(y) ein solches. Mithin wird diese Differentialgleichung durch die Functionen 1/o,

Q(yo),

Q(Q(y.,))

= Q2('!/o),

Q(Q2(y.,)) = Q3(y.,),



• • .

befriedigt. Da sie aber nicht mehr als unter einander unabhängige Integrale haben kann, so muss es in der Reihe dieser Integrale eins, Q" (y0), geben, welches sich durch die vorhergehenden linear ausdrücken lässt, während diese noch unter einander unabhängig sind, oder es muss eine Gleichung von der Form llo'!Ju+a1Q(go)+···+a„Qv(yo) = 0 bestehen, in der ay von Null verschieden ist., während zwischen den Functionen Yo, Y1 = Q(y.,), · · · '!lv-1 = Qv- 1(yu) keine homogene lineare Relation mit constanten Coefficienten besteht. Die Zahl v muss, weil g1 der Annahme nach ein von g0 verschiedenes Integral ist, grösser als Eins sein. Ist v < ,. , so Jassen sich l - v Integrale, y,,, y,,+., ... '!Ji-, finden, welche zusammen mit '!/o, g 1, • • • U,-1 ein vollständiges System unter einander unabhängiger Integrale bilden. Wir setzen nun f(r)

und

=

a.,+a 1 r+···+a„r"

140

also

Ist ferner

R(11) so ist

R(Q(11))

(1 (r) (2 (r)

= a1+~r+, .. +a.,r"-1,

f.,(r)

=

= =

= a2+ a3r+ .. ·+a,.r..-2, a.,.

f, (r)11+(2 (r) Q (11) +· .. + f., (r) Q•-• (11), f, (r) Q(11)+(2 (r) Q2 (11)+· .. + f.,(r) Q" (11),

Da aber

f,,(r) Q" (110) = a„ Q" (gu) = -auyn-a1 Q(110)- .. ·-av-1 Q"-• (110) ist, so folgt aus der letzten Gleichung R(Q (110)) = -a..,110+((1 (r)-a1) Q (110) +· · · + (f,,-1(r)-a,,_1) Q..- i (1111) = r(f, (r) 110+ /;(r) Q (110) + .. ·+ f.,(r) Q"-1 (yn))-f(r)yo, Ist daher r eine Wurzel der Gleichung f(r) = O, so ist R(Q(yu)) = rR(11u), Mithin muss jedes Integral 11 der irreductibeln Dift'erentialgleichung P(y) = 0 der Dift'erentialgleichung R(Q(g)) = rR(11) genügen. Daher ist R(112) = R(Q(Q(110 ))) = rR(Q(y0)) = r 2 R(y) und allgemein, wenn x < v ist R (g,.) = r" R (110), Wenn nun die Variable :z: von einem bestimmten Punkte aus irgend einen geschlossenen Weg durchläuft, so muss sich 1/o in einen Ausdruck von der Form CoYo+ c, 1/1+ ... + c,,_1 Yv-1+ c„ 11 ,,+ ... + C1-11I1-1 verwandeln. Die Function R(y 0 ) geht auf diesem Wege in (eo+c1r+ .. ·+c._1r"-1) R(yo) + c„R(g.,)+ •+c1-1R(1/l-1) iiber, und folglich lassen sich alle Zweige dieser Function durch R (110), R (11.,), . . • R (111-1) linear mit constanten Coefficienten ausdrücken. Daher befriedigt R(110) eine lineare Dift'erentialgleichung höchstens (1-v+1)ter Ordnung mit eindeutigen Coefficienten. Die Differentialgleichung P(y) = 0 hat demnach mit einer Differentialgleichung niedrigerer Ordnung ein Integral R (yo) = (1 (r) Yo+ {2 (r}g1+ · +(,, (r)y,.,_. gemeinsam, kann also nicht irreductibel sein. 00

00

Berlin, den 24. April 1873.

6. Ober die Determinante mehrerer Functionen einer Variabeln Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245-257 (1874)

Zur Darstellung des allgemeinen Integrals einer completen linearen Dift'erentia1gleichung durch die Integrale der reducirten gebraucht man gewisse aus diesen Integralen und ihren Ableitungen rational gebildeten AusdrOcke, welche als Auflösungen eines Systems linearer Gleichungen die Form von Quotienten zweier Determinanten haben. Diese Ausdrücke sind, wie ich bemerkt habe, zugleich die Multiplicatoren der Dift'erentia1gleichung. Da durch diese Beobachtung die Beziehungen zwischen den Integralen und den Multiplicatoren einer linearen Differentia1gleichung, welche in der letzten Zeit von den verschiedensten Seiten her die Aufmerksamkeit auf sich gelenkt haben, ein erhöhtes Interesse gewinnen, so scheint es mir der Milbe werth, dieselben kurz zusammenzustellen. Weil sie aber rein formaler Natur sind, so will ich sie auch, ohne wesentliche Benutzung analytischer Sätze aus der 'fheorie der linearen Differentialgleichungen, auf rein rechnendem Wege beweisen. Alsdann bilden sie eine Theorie der Determinanten, welche aus A Functionen einer Veränderlichen und ihren Ableitungen bis zur (A.-l)ten Ordnung gebildet sind, und welche an merkwürdigen Eigenschaften nicht minder reich sind, als die von Jacobi ausfOhrlich behandelten Functionaldeterminant.en. §. 1. Sind y1, y., · .. '!h, Functionen einer Veränderlichen :r, und ist y die ßte Ableitung von y.,, so nenne ich den Ausdruck '!/1 (1) ~+Y1Y,(l)···yP- 1>= Yt

y,

· · Y1 '!J

y.C1> •

• •

(1)

l

142 die Determinante dieser l Functionen und bezeichne ihn mit D ()/1 , y,, · · · y 1). Ist y eine Function von z und multiplicirt man die Determinante y O O • .o y y O • •0 y"> 2yC1> y · · 0 = yl. yl(-1) (l-l)yCl--1) (A.-?!-2)'!/(l-2) .. Y

I

mit D('!/u '!/t, · .. '!/1), indem man ihre Zeilen mit den Oolonnen der letzteren zusammensetzt, so gelangt man zu der Gleichung (l.) D ('!/1 y, y, y, .. · y, y) = y1 D(yi, y., .. · Yi)• Setzt man insbesondere y

= .!.., Y1

so verschwinden in der auf der

linken Seite stehenden Determinante die Elemente der er$ten Oolonne bis auf das erste, welches gleich 1 wird, und daher reducirt sie sich auf die Determinante der l-1 Functionen d y, D(}/u Y,) d y1. D(y" yi.) ~ Y1

=

Y11

'

•••

dte Y,

=

Setzt man also D ('!/1, y,) = y,', · · · D(yu '!/1) = 80

Y11



y/,

ist D('!/u y,, ··· yi)=y/-~ D(y,', Ya', • • • Yi'). Aus dieser Formel ergiebt sich zunächst ein einfacher Beweis für

das Theorem:

Wenn mehrere Functionm unter einander unabhängig sind, 10 ist ihre Determinante von Null verschieden; wenn sie aber nicht unter einander unabhängig Bind, so ist ihre Determinante gleich Null. In diesem Satze sind, wie es in der Theorie der linearen Differentialgleichungen üblich ist, mehrere Functionen unter einander unabhängig genannt, wenn zwischen ihnen keine homogene lineare Gleichung mit constanten Ooefficienten besteht. Der zweite Theil desselben ist leicht zu beweisen. Um auch den ersten Theil zu begründen, nehmen wir an, es aei für l-1 Functionen bewiesen, dass, wenn ihre Determinante verschwindet, zwischen ihnen eine lineare Relation besteht, und zeigen, dass dann fQr

143

l Functionen dasselbe gilt.

Da die Richtigkeit der Behauptung fllr eine Function einleuchtet, so ist sie damit allgemein bewiesen. Wenn y1 nicht identisch verschwindet, was einer linearen Relation zwischen y 1 , y,, · · · y 1 gleichkommt, so folgt aus dem Verschwinden der Determinante D (y17 Y2, • · • Yz), dass auch D (y1', ys', · · · y/) = 0 ist. Mithin besteht eine Gleichung von der Form Ct Y21 + Ca Ys' + · · · :-1- c, yi' = O. Durch Division mit yi2 ergiebt sich daraus

+

i_ y,

Cs

d:e

'!/1

Ca

i_

'Ya

d:e Y 1

+ ···+

C.1

!:_ '!J/. d:e Y1

=0

und durch Integration C1

Y1

+

c, Yt

+ '''+

C).

Yi. =

o,

womit die Behauptung erwiesen ist. Aus der Formel

D 0/u Y2, • •· y,) =

yJ-a D(J/a', Ys', · · · y/)

folgt

D(J/1, y,, Ya) =

;

1

D (y,', Ya'), D(y1, Y2, y,) = y11 D(J/;, y:), · · ·

D(y17 y.., '!/i.)= 11~ D (y2', y.'), ferner

D (y,', Ya', • • • y ') = 11 )-a D (D (y,', Ya'), D (y.', y,'), · · · D (J/2', yi')). Indem man diese Formeln mit einander combinirt, gelangt man zu der Gleichung

=

1

D(J1i, y,)1-a D(D(y1, Y2, Ya), D(yu Y2, y,), ·· · D(J/1, y., '!/,)). Durch wiederholte Anwendung dieser Schlussweise findet man end-

D(yu Y2, · · • '!/i)

lich den Satz : Sind u,,, ~, · · · u,., v0 V2, • • • v. Functionen von ~ und ist W1 = D (u1, U.z, · · · u,., V1), W1 D(ui,Ua, · · · u,., v1), • • • w. = D(u,,, u2, ... u,., v.),

=

10

ist (2, )

D(Ui,

~, • • •

u,.,

Vi, V2, • • • V,)

=

D(wi, w" .•• w.) D(u u , • • • u,.)•-l• 17 1

144

§. 2. Ein specieller Fall der eben entwickelten Formel ist die Gleichung '"'!/ --1, y•+t, ... yi, '!I., y)=D Z1(S) + y/•> z,CS) + ••• + '!J;,(a) zi6> ist, wenn a + ß < l - 1 ist, gleich Null, und wenn a + /3 = l - 1 ist, gleich (- 1y1•

=

Unter den soeben entwickelten Relationen befinden sich die Gleichungen Z1

'!/1

zl> Y1 (10.)

+ +

Z1

zl>

+ Y• + y,

+ +

z, yi=O, z}I> Yi= O,

·,

z1Cl-l)'!/1 + z.,!A + z,O--t>y1 + + 8p-1>y, = (- l)1-1. Wäre D (z1, .Sa, • • • 11;) = 0, so würde aus den Gleichungen s0, 0 = 0, Bo; 1 O, , , , s0, 1_ 2 = 0 folgen, dass auch s0, ;,_1 verschwände, während dieser Ausdruck doch den W erth (- 1)a-1 hat. Daher sind die Functionen 111, 11., ·, • 111 unter einander unabhängig. Vergleicht man die Gleichungen (8.) mit den Gleichungen (10.), so erkennt man, dass die Beziehung zwischen den Functionen y1, y,, · · · y1 und !li, 1111 • • • z1 eine reciproke ist, abgesehen vom

=

146

Vorzeichen bei geradem '-· Aus jeder Relation zwischen diesen beiden Systemen von Functionen kann man daher eine neue herleiten, indem man

. Y1, · · · llllt(-1 )11 - Si, • • • (-

vertauscht.

Y1,

•1

•u •·· _.,.

1)21 Yu · · • Y2 Auf diese Weise ergiebt sich z.B. aus der Gleichung (4.)

(ll.)

.

In Folge dessen nennen wir •1, s,, · · · s 1 die den Fun~onen y1, y,, · · · y1 adjungirten Functionen *).

§. 3. Wenn man durch zeilenweise Zusammensetzung das Product der beiden Determinanten „o .. o l 0 Y1 .. y. Y•+t •• YA y,.("-1) yJ".;i,1) •• y,.sJt-•> •• •J'---1> bildet, deren eine gleich.D(yi,y„ •y1), und deren andere gleich D(.z....:i, s_,, · ••.r;i) 00

ist, so erhA.1.t man

.. y. Y1 • • y.c-1> '!/1(•)

" '

y.

Y1(1-1) · · '!J•(1-1)

80, O

' ' 80, l.-•-1

8.-1, o • • 8.-1, 1---1

8-, 0

" '

8„

1--1

81-1, o • • 81.-1,

1--1

Da in dieser Determinante alle Elemente verschwinden, welche die ersten x Zeilen mit den letzten 1-x Oolonnen gemeinsam haben, so reducirt sie sich auf das Product der beiden Determinanten

.. y. yt'•-l) '

"y.

a., o

• • ,., 1---1

'.i-1,0

'" '•-1,

l-11-l

") Ich hatte ursprllnglich den Ausdruck „reciproke Functionen" gebraucht, habe ilui aber mit dem Ausclruok „adjungirte Functionen" vertauscht, nachdem die Arbeit des Herrn Fucllß (dieses Joum. Bd. 76) zu meiner Kenntniss gekommen war.

147

Die erste ist gleich D 0/u y,, · · · y,.). In der andem verschwinden alle Elemente auf der linken Seite der Diagonale, die von rechts oben nach links unten führt. Da.her ist in ihrer Entwicklung das einzige nicht verschwindende Glied ( - l)l(

y y1 •• yp-1> y y/•l .. y; verschwindet identisch, wenn ,e P(y, Z2) + ... + y;.u

COSq>1s

COS(()s1

COS(Jlss

=

0.

210

Seien Bi, . . . R5 die Orthogonalkugeln der fttnf Kugeln des ersten Systems, Y1 , • • • f 5 die Volumina der von den Mittelpunkten der Orthogonalkugeln gebildeten Tetraeder, und sei R„1

=

R„R~cos(R„Ri),

Entwickelt man die Relation (60.) mit Hülfe der Formel (16.) nach den in der ersten Zeile und Colonne stehenden Elementen, so erhält man die Gleichung (62.) ~"•"~R..i = 0. Da die Kugeln r1, . • . r 5 die Orthogonalkugeln der Kugeln R1 , • • • ß 5 sind, so ist auch (63.) ~V„1V~r„i = 0. Dividirt man die Relation (61.) durch Z ± cos cp11 ... cos cp55 und entwickelt sie mit Hülfe der Formel (16.) nach den in der ersten Zeile und Colonne stehenden Elementen, so findet man cos(R„Rj)

(64.)

~ cos(r„R,.)cos(r2R'..)

(65.)

Z-~=-=--..,.-=-,--

1 r„r'l

=

O.

Ebenso ist cos(r„r1) _1_ _ O cos(r„R,.)cos(r2 R~J R„R 1 '

Fallen die Kugeln r~ mit den Kugeln R„ zusammen, so nehmen die Formeln (62.) und (64.) die Gestalt an

z.,,, V„r„R„cos(r„R,.) =

(66.)

0

und (D. p. 384) i

(67.)

~---,,,..----=-,--

r„R~ cos (r„R,.)

=

0.

Durch Multiplication der beiden Determinanten 0 0 0 0

1

0 0 0

1

erhält man die Relation (D. p. 366) (68.)

0 1 1 1'11

1 r1•

= _ 36.,.,,,

0

211

Wir dividiren die letzte Zeile (Colonne) durch r, (r~) und wählen für r~ (r4 } die Centralebene der drei ersten Kugeln des ersten (zweiten) Systems. Ist f(f') die Fläche des von den Mittelpunkten der Kugeln des ersten (zweiten) Systems gebildeten Dreiecks, so ist t>'

t)

lim-, r = !fcos(f/'), limr, = !f'cos(f/') 4

und daher (D. p. 861)

0 1 1 ru

(69.)

11

1 r13

r 31

=

-4ff'cos(ff').

r33

Wir dividiren die letzte Zeile (Colonne) durch r3 (r;). Sei l(l') die Centralaxe der Kugeln r1 und r2 (r~ und r;). Wir construiren die gerade Linie, welche l und t rechtwinklig schneidet, und beschreiben um einen Punkt derselben eine Kugel, ,;(r3 ), welche durch die Mittelpunkte von r, und , 2 (r~ und r;) geht. Dann ist cos(ff') = cos(lf), und wenn jener Punkt ins Unendliche rückt

+= !

lim r,

lim _f_ r

l,

1

= ½l'

und daher (70.)

10

1

1

1~

ru

f'12

r21

f'22

=

-lf cos(ll').

§. 8. Wenn vier Kugeln r1 , ••• r, von einer fttnften r unter den Winkeln -l) ... (f!-a+l)) enthält, durch a:t dividirt, nur positive Potenzen von a: und verschwindet ft1r a: = 0 nicht identisch. Ihr constantes Glied ist die determinirende Function. Umgekehrt ist leicht zu sehen, dass ein Differentialausdruck die Normalform hat, wenn seine charakteristische Function jene beiden Bedingungen erfüllt. Von diesem Kriterium werde ich in den nächsten Paragraphen Gebrauch machen.

=

§. 2. Ist

=

A(y) Poy+P1Dy+ .. ·+P.,D y ein homogener linearer Differentialausdruck, so heisst A(11) Po1J-D(P11J)+ .. ·+(-l)" D (P„1J) 0

=

11

*) Mit Hlllfe dieser Bemerkung kann man einige häufig gebrauchte Umformungen linearer Differentialgleichungen leicht ausführen. Geht z. B. der Dift'erentialausdruck P,.(y)=P0 y+P D„y+ .. ·+PaD!y durch die Substitution a:=t- 1 in Q1 (y) ttber, so ist P,.(a:-e) Ö,(111). Ist daher P.,(a:-e) = a;f ((rE, e) die charakteristische Function des Ausdnicka P, so ist Q,(te) = ,e f(r 1, -e) die des transformirten Ausdrucks. Bringt man diese auf die Form J.'Q„e(e-t) ... (e-11+t), so ist Q,(y)= Q0 y+Q1 ID,11+ .. ·+Q.,t«D~y. In ähnlicher Weise kann man die Substitutionen rE = log, und a: = e1 durebftihren. "'*) Wir bedienen uns des Zeichens um die Identität von zwei Dift'erentialausdrllc'ken zu bezeichnen.

=

=,

235 der adjungirte Differentialausdruck*).

Bekanntlich ist

==

DP(y, 'l'J), wo P(y, 17) sowohl in Bezug auf y, als auch in Bezug anf 'l'J ein homogener linearer Differentialausdruck ist. Die Coefficienten dieses bilinearen Differentialausdrucks sind ganze lineare Functionen von P, 1, P1 , ••• P„ und ihren Ableitungen. Setzt man in der obigen Identität y = :c·-e-.. - 1 und 'l'J = xt, wo v eine positive oder negative ganze Zahl ist, so erhält man xeA(x-e-"-1)-x-e-"-1 A(xe) = DP(x-e-"- 1, xe). 'l'JA(y)-yA('l'J)

Die linke Seite dieser Gleichung, in welcher nur ganze Potenzen von x vorkommen, ist also die Ableitung einer Potenzreihe, enthält folglich x-1 nicht. Ist aber A(xe) = ~(l(Q)x1+i. die charakteristische Function von A, so ist der Coefficient von x-1 in xeA(x-e-v- 1) gleich f,,(-Q-v-1); und ist A(xe)

= ~ bezieht.

§. 3. Sind A und B zwei Differentialausdrttcke, so bezeichne ich mit AB= C den Differentialausdruck, den man erhält, indem man die durch das Zeichen .A ausgedrttckte Operation auf den Ausdruck B anwendet, und nenne C aus .A und B (in dieser Reihenfolge) atuammengeaetat. Wenn die Coefficienten von .A und B, wie wir hier voraussetzen, in der Umgebung des Nullpunktes den Charakter rationaler Functionen haben, so gilt dies auch von den Coefficienten von C. Sind A(;cf)

= :,:e f(:i:, (>) =

B(:i:t)

= :rtg(:i:, ) = ~g,,((>):x:e+1',

C(:i:t)

= :x:eh(:i:, ) = ~h,,((>)a:f!+"

~ /.((>):x:e+\

die charakteristischen Functionen dieser Differentialausdrttcke, so ist C(a:'1) = AB(a:'1) = .A(~gp((>)a:f+") = ~g,..((l).A(:i:t+.u) oder Daraus geht hervor, dass, wenn zwei der Differentialansdrttcke .A, B, C die Normalform haben, auch der dritte sie haben muss. Indem man dann auf beiden Seiten dieser Gleichung :i: = 0 setzt, erhält man zwischen den determinirenden Functionen der drei Differentialausdrttcke die Relation h((>)

=

f((>).g((>).

Wir sprechen diese f11r die Theorie der linearen Differentialgleichungen sehr wichtige Beziehung in Form eines Satzes so aus *): Ist ein Diferentialau,druck au, aweien oder mehreren Diferentialau,*) Vergl. Thome, dieses Journal Bd. 76, pag. 284 unten und 285 oben. Ein specieller Fall dieses Satzes ist bereit& von Herrn Fucha (dieses 1,Journal Bd. 68. pag. 20, Satz II.) gegeben worden.

237

drlJcken in der Normalform Jt111ammengeaet•t, so kot er ebenfalls die Normal,form, und seine determinirende Function ist das Product au den determinirenden Functionen seiner Bestandtkeile. Der Grad von k((I) ist demnach die Summe der Grade von f(f!) und g (") *). Beiläufig erwähne ich noch, dass sich die zwischen den charakteristischen Funetionen von .A, B und C ermittelte Beziehung auf die Form k(:r:, f!)

=

a:" ~ 1.2 ... 11 d"f(:r:, "). D"g(x, f!)

bringen lässt.

§. 4. Nach diesen formalen Betrachtungen wenden wir uns jetzt zu dem eigentlichen Gegenstande unserer Untersuchung. Herr Fuchs **) hat gezeigt, dass die Aufgabe der Integration der linearen Differentialgleichungen auf die Lösung von zwei Problemen zurückkommt, die, wie es bis jetzt den Anschein hat, völlig von einander unabhängig sind. Das erste besteht darin, den Charakter der Integrale der Differentialgleichung in der Umgebung der singulären Stellen zu ergründen, das andere darin, die linearen Beziehungen zu ermitteln, welche zwischen zwei, in den Umgebungen von zwei singulären Punkten defi.nirten, vollständigen Systemen von einander unabhängiger Integrale bestehen. Die Fragen, welche ich in meiner Abhandlung „Ueber den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleickungen" (dieses Journal Bd. 76, pag. 236) angeregt habe, stehen in engster Beziehung zu dem zweiten Probleme. An dieser Stelle dagegen handelt es sich ausschliesslich um das erste Problem, um die Untersuchung einer linearen Differentialgleichung von der in §. 4 angegebenen Gestalt in der Umgebung einer bestimmten Stelle, für welche ich der Einfachheit halber den Nullpunkt gewählt habe. Dies ist der durchgreifende Unterschied zwischen dem Begriff der lrreductibilität, den ich hier benutzen werde, und dem in der eben citirten Abhandlung definirten Begriffe. Eine lineare Differentialgleichung, deren Coeffi.cienten in der Umgebung des Nullpunktes den Charakter rationaler Functionen haben, nenne ich reductibel, wenn sie mit einer linearen Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, deren Coeffi.cienten in der Umgebung des Nullpunktes denselben *) Thome, dieses Journal, Bd. 76, pag. 282. **) Dieses Journal Bd. 661 pag. 19 und Bd. 75, pag. 206.

238

Charakter haben, ein Integral gemeinsam hat, im entgegengesetzten Falle srreductibel. Die meisten der Sätze und Beweise, welche ich in der oben erwähnten Abhandlung gegeben habe, gelten auch fttr diesen abweichenden Begritf der Irreductibilität. Die Eiliftthrung dieses Begritfs hat den Zweck, das oben angefttbrte erste Problem wieder in zwei Aufgaben zu zerspalten, nämlich erstens*), zu erkennen, ob eine gegebene Differentialgleichung reductibel ist oder nicht und zweitens, die Natur der Integrale der irreductibeln Ditferentialgleichungen zu ermitteln. In dieser Abhandlung wollen wir uns aber nur mit einem bemerkenswertben Falle der ersten Aufgabe beschäftigen, zu welchem man durch folgende Betrachtungen gelangt. Wenn eine Ditferentia.lgleicbung C = 0 ein reguläres Integral besitzt, so bat sie auch eins von der Form a;e.,, wo " eine nach ganzen positiven Potenzen von a: fortschreitende Reihe ist, die ft1r a: = 0 nicht verschwindet **). Dies genttgt a.be.r der Ditferentia.lgleichung erster Ordnung · B1

=("+a:.,')y-a:.,Dy = 0,

und da.her ist die gegebene Differentialgleichung reductibel. Als ein besonderer Fall der ersten Aufgabe bietet sieb demnach die zuerst von Herrn fiome aufgeworfene Frage dar, wie eine Ditferentia.lgleichung bescha.tfen sein muss, da.mit sich unter ihren Integralen auch reguläre befinden. §. 6. Wenn man einen Ausdruck von der Form 10

=

a:t'(10o(lai)"+10 1(la:)"-1+- .. +10,.),

wo 100, 101, ••• 10„ in der Umgebung des Nullpunktes den Charakter rationaler Functionen haben, in einen Ditferentia.lausdruck B einsetzt, so erhält man, wie leicht zu übersehen, B(10) = 11 = a:e(11o(lai)" +11t(lai)•-1+

.. ,+11.),

wo Uo, 111, •.. 11„ in der Umgebung des Nullpunktes ebenfalls den Charakter *) Ein specieller Fall dieser Aufgabe ist bereits von Herrn Thoml! behandelt worden (dieses Journal Bd. 76, pag. 292), nämlich die Frage, ob eine gegebene Differentialgleichung mit einer von der ersten Ordnung ein Integral gemeinsam hat. "'*) Fuch,, dieses Journal Bd. 68, pag. 4 und f>.

239 rationaler Functioneu haben *).

Wenn daher in dem Ausdrucke ti = x"(ti0(lx) 2 +ti 1(lx)l-1+.. ·+ti1.) die nach ganzen Potenzen von x fortschreitenden Reihen ti0 , ti 1 , ••• ti„ insgesammt oder zum Theil negative Potenzen in unendlicher Anzahl enthalten, so kann die Differentialgleichung B = ti kein reguläres Integral haben. Denn hätte sie eins, y = w, so wäre u = ., und daher**) x=l,

xet1i,=x"eo,

xeu1 =x"ti1,

... ,

was den Annahmen widerspricht. Die Integrale der Differentialgleichung AB= 0 genügen entweder der Differentialgleichung B = 0 oder, wenn man mit u irgend ein Integral der Differentialgleichung A = 0 bezeichnet, der Differentialgleichung B = u. Seien ti 11 ti2, ... "µ die von einander unabhängigen regulären Integrale der Differentialgleichung B = 0 und ti1, ti2, ... tiµ, w1, w2, ... w, die von AB= 0. Dann sind B(w 1 ) ~ u1 , ••• B(w.) = u, Integrale, und zwar nach der obigen Bemerkung reguläre Integrale der Differentialgleichung A = 0. ·Dieselben sind unter einanderunabhängig. Denn wäre c1u1+·+c,uy=O, so wäre B( c1w 1 +c,w,) = 0 und folglich c1w1+·+c,w, ein Integral, und zwar ein reguläres Integral der Differentialgleichung B = 0. Daher wäre

+ ..

C1W 1 +· .. + C,Wv = b1ti1 + .. ·+ bµtiµ, während doch diese Functionen unter einander unabhängig sein sollen. Die Differentialgleichung A = 0 hat also wenigstens v reguläre Integrale, und damit ist der Satz bewiesen: 1. Die Differentialgleicltung AB = 0 hat nicht weniger reguläre Integrale als B = 0 und nicht mehr al,s A = 0 und B = 0 zusammen. Die beiden Grenzen für die Zahl der regulären Integi:ale von AB= 0 fallen zusammen, wenn A = 0 gar keine regulären Integrale hat. Daraus folgt: 2. Wenn die Differentialgleichung A = 0 keine regulären Integrale hat, so genügen die regulären Integrale 1'0n AB = 0 sämmtlich der Differentialgleichung B = 0. Ferner ergeben sich die Folgerungen: *) Die wirkliche Ausrechnung gestaltet sich am einfachsten mit Hl1lfe der aus der Gleichung B(a;e) = a;eg(a:, e) durch xfache Differentiation nach (J abgeleiteten Gleichung B(a:e(la;)•) = D;(xeg(a:, e)). **) Fuchs, dieses Journal, Bd. 68, pag. 4. Thome, dieses Journal, Bd. 74, pag. 195.

240

3. Eine au mehreren DiferentialgleicAungen awammenguetste DiferentialgleicAung Aat nicht mehr reguläre Integrale als die einaelnen Diferentialgleickungen, au, denen ,ie be,tekt, suaammen. 4. Setst man mehrere Diferentialgleickungen .au,ammen, die keine regulären Integrals haben, ,o erkiJlt man wieder eine DiferentialgleicAung, die keine regulären Integrale kat. Wenn die Dift'erentialgleichung rt•r Ordnung C = 0 ein reguläres Integral bat, so hat sie, wie am Ende des vorigen Paragraphen bemerkt wurde, mit einer Dift'erentia.lgleicbung erster Ordnung B1 = 0 ein reguläres Integral gemeinsam. Daher läsßt sich C auf die Form *)

=

A'B, bringen, wo A' ein Dift'erentialausdruck (y-l)ter Ordnung ist. Wenn A'=O auch ein reguläres Integral bat, so ist wieder C

=

A' A"B2, wo B 2 = 0 eine Dift'erentialgleichung erster Ordnung mit einem regulären Integrale, und A" ein Dift'erentia.lausdruck (y-2Jter Ordnung ist. Indem man so fortfährt, bringt man C auf die Form C

wo

=

=

AB,

B B/JB,_1 ••• B2B1. ist und B1 = O, .•• Bfl = 0 Dift'erentialgleicbungen erster Ordnung mit einem regulären Integrale sind, A = 0 aber eine Dift'erentialgleichung (r-ß)ter Ordnung ohne reguläre Integrale ist. Nach Satz 2 genügen daher die regulären Integrale der Dift'erentia.lgleichung C = 0 sämmtlicb der Dift'erentialgleichung B = 0. Soll also C = 0 lauter reguläre Integrale haben, so muss C=B sein. 5. Eine Di/(erentialgleichwng, die nur regullJre Integrale kat, läa,t aick au, lauter Diferentialgleickungen erster Ordnung .aUBammenaet.aen, deren jede ein reguläre, Integral kat. Dieser Satz gilt auch umgekehrt. Denn der Differentialgleichung B = 0 genügt erstens das (reguläre) Integral y 1 von B1 = 0. Ferner genügt ihr, wenn .1 das (reguläre) Integral von B2 = 0 ist, das Integral der Dift'erentia.lgleichung B1 = .1. Dies ist aber, wenn w der Coefficient von Dy in *) Vgl. dieses Journal Bd. 76, p. 257.

241

B1 ist, nach der Formel flir die Integration completer linearer Differentialgleichungen erster Ordnung y

= 11/-...!..~, 1D 11,

also ebenfalls ein reguläres Integral *). Indem man so weiter schliesst, erhält man den Satz: 6. Setst · man Diferentialgleickungen erster Ordnung, deren jede ein regullirea Integral hat, 11t11ammen, 10 erhält man eine Diferentialgleichün9, die lauter regulare Integrale hat. Wir haben vorher gezeigt, dass jeder Differentialausdruck C, der überhaupt durch ein reguläres Integral annullirt wird, auf die Form AB gebracht werden kann, wo A = 0 keine regulären Integrale hat, und B = 0 aus lauter Differentialgleichungen erster Ordnung zusammengesetzt ist, deren jede ein reguläres Integral hat Nach Satz 6. hat daher B = 0 nur reguläre Integrale und nach 2. hat C = 0 ausser den Integralen von B = 0 weiter kein reguläres Integral. Wir gelangen so zu den wichtigen Sätzen: 7. Die regulliren Integrale einer linearen Diferentialgleickung, deren Coefficienten in der Umgebung de, Nullpunkte, den Charakter rationaler Functionen haben, genügen für sich wieder einer linearen Diferentialgleichung tion derselben Beackalfenkeit. · 8. I8t B = 0 die Dijferentialgleichung, der die regulären Integrale der Differentialgleichung C = 0 geni4gen, und bringt man C auf die Form AB, 80 hat die Dilferentialgleichung A = 0 keine regulären Integrale. Wenn A = 0 und B = 0 zwei Differentialgleichungen sind, die lauter reguläre Integrale haben, so lassen sie sich nach Satz 5. aus lauter Differentialgleichungen erster Ordnung zusammensetzen, deren jede ein reguläres Integral hat. Dasselbe gilt demnach auch von der Differentialgleichung AB= O, und daher hat dieselbe nach Satz 6. lauter reguläre Integrale. Als Verallgemeinerung von 6. erhalten wir daher den Satz: 9. Set11t man mehrere Diferentialgleickungen 11t11ammen, die lauter reguläre Integrale kaben, 80 erhält man wieder eine Diferentialgleichung, die nur regulare Integrale hat. Hat B = 0 lauter reguläre Integrale, A aber nicht, so kann man A nach Satz 7. auf die Form SR bringen, wo R = 0 lauter reguläre Integrale *) Fuch,, dieeee Journal Bd. 66, pag. 36,

242

hat, S = 0 aber keins. Dann ist C = AB= S (RB), und die regulären Integrale von C = 0 genttgen nach Satz 2. Bämmtlich der Differentialgleichung RB = O. Diese aber hat nach Satz 9. lauter regulire Integrale. Daraus ergiebt sich der Satz: 10. Wnn die DiferentialgleicAug B = 0 lauter regulare Integrale Aat, 10 Aat A B = 0 genau 10 "iel, toie A = 0 und B = 0 .suammenge,eom,ne,e, Zum Schluss will ich noch fl1r den Satz 7. einen zweiten Beweis mittheilen. Sei u = a:e (11u•· + u1 .1•-1 + + u.) eine ganze Function ,eten Grades von .s, und seien du, .d2u, ... ihre Differenzen. Bedeuten u1 , ••• "• Functionen von a:, die in der Umgebung des Nullpunktes den Charakter

"°'

00,

rationaler Functionen haben, und setzt man •

=

~=•,

so ist u die Form

eines regulären Integrals einer Differentialgleichung C = 0. Dasselbe geht, falls a: den Nullpunkt einmal umkreist, in r( u +du) ttber (r = e2nif), bei einem nochmaligen Umlaufe in r2(u+2.du+.d2 u) u. s. w. *). Daher sind auch .du, .d2u, ..• Integrale von C = 0 und zwar, wie aus ihrer Form hervorgeht, reguläre. Alle Werthe, in die u ttbergehen kann, ohne dass a: die Umgebung des Nullpunktes verlässt, lassen sich durch u, du, .d2u, ... linear mit constanten Coefficienten ausdrttcken, sind also wieder reguläre Integrale. Da ein beliebiges reguläres Integral die Gestalt au+h+cto+ ... hat, wo a, b, c, ... Constanten sind, und", to, ••• Functionen von derselben Beschaffenheit wie u, so kann ein reguläres Integral bei einem Umlaufe von a: um den Nullpunkt immer nur wieder in ein reguläres ttbergeben. Betrachtet man nun die Gesammtheit der regulären Integrale von C = 0, so mttssen sie sich alle durch eine gewisse Anzahl unter ihnen y1 , y2 , ••• , , , die unter einander unabhängig sind, linear ausdrttcken lassen. Jedes derselben, y., gebt bei einem Umlaufe des Argumentes a: um den Nullpunkt wieder in ein reguläres Integral, also in einen Ausdruck von der Form ttber. Daher sind**) die Coefficienten des Differentialausdrucks 1 y1

c. +· +c.,,, 00

B

= I!,

,,

1/1 D1J1

Dgp

111 Dy1

,D~y D11 yi

DP.gp

0,-,,1

*) Hamburger, dieses Journal, Bd. 76, pag. 122, **) Vgl. dieses Journal Bd. 76, pag. 241,

...

!/p

Dg, DP-1gp

243

in der Umgebung des Nullpunktes eindeutige Functionen und bleiben, wie ans ihrer Zusammensetzung hervorgeht, endlich, wenn sie mit einer gewissen Potenz von :,: multiplicirt werden, haben also den Charakter rationaler Functionen. Damit ist Satz 7. bewiesen. Ich will noch erwähnen, dass sich mehrere Sätze dieses Paragraphen auch als Eigenschaften der adjungirten Differentialgleichung ausdrücken lassen mit Hülfe des Reciprocitätssatzes der linearen Differentialgleichungen, den ich gleichzeitig mit Herrn Tlaome gefunden*) habe, und den ich auf die elegante Form gebracht habe: 11. Stnd A und B die adjangirten Diferentialau,driJcke c,on .A und B, ,o ilt BA der adjungirte DiferentialaU1druck cion .AB. Oder allgemeiner: J,t ein DiferentialaU1druck au, melareren 11wammenge,et11t, 10 ilt der adjungirte DiferentialaU1dnck au, den adjungirten in der umgekehrten Reikenfolge 11wammenge,et11t. ' Mit Hülfe desselben folgert man z. B. aus Satz &. und 6.: 12. Wenn eine Diferentialgleichung lauter regulare Integrale hat, ,o hat auch die adj11ngirte Diferentialgleichung lauter reguldre Integrale. Ein sehr einfacher Beweis des erwähnten Reciprocitätssatzes, bei dem die Integrale der Differentialgleichung gar nicht in Betracht kommen, beruht auf folgenden Ueberlegnngen: 1) Wenn die Differentialausdrücke

A

=.Au11+A,D11+· .. +.A.Dag

nnd adjungirt sind, so ist .A

= Ai,11-D(A,11)+·

A

= Au11-D(.A111) + ·+ (-1)'" Da(.Aag).

und Ist daher

00

+(-l)aDa(Aa11)

00

eine Function von x, so ist A(og) = i\i,cig-D(A,cig)+···+(-1)-Da(A,.tig). Der adjungirte Differentialausdruck von A (c, g) ist demnach Aotig+A,tiDg+· .. +A..tiD'"g = ciA(g). c,

*) Dieses Jo11rnal Bd. 76, pag. 263; T/&ome, dieses Jo11rnal Bd. 76, pag. 277.

244

2) Der adjungirte Differentialausdruck von

=

A(D"y)

AoD"y+A1D 1+"y+ .. +AaD"+"y

ist (-1)" D"(Aoy) +(-1)"+ 1 D·+• (A,y)+· .. +t-l)•+a D"+11 (Aoy)

=

(-1)" D" A(y).

Daher ist zu A (" D" y) der adjungirte Differentialausdruck (-1)" D" (tiA (y)).

3) Sind A und B adjungirt zu A und B, so ist unmittelbar klar, dass A+B adjungirt ist zu A+B*). Dasselbe gilt von einer grösseren Anzahl von Di:tferentialausdrttcken. Ist daher B so ist

= B y+B Dy+ .. ·+B/JDfly, 0

1

= A(B y)+A(B Dy)+ .. ·+A(B/JDfly) und daher der adjungirte Differentialausdruck B A(y)-D(B A(y))+···+ Dfl(BfJA(y)) = BA(g). AB

0

0

1

(-l)fl

1

Nachdem so der Satz ff1r zwei Ditferentialausdrttcke bewiesen ist, lässt er ~ich ohne weiteres auf mehrere ausdehnen. §. 6.

Wir schicken den folgenden Untersuchungen einige Bemerkungen tiber Differentialgleichungen erster Ordnung B

=uy+f>xDy = 0

voraus, deren linke Seite wir in der Normalform voraussetzen. Die Werthe ~,, tiu, welche u und " ftir :r: = 0 annehmen, sind daher endlich und nicht beide Null. Das Integral von B = 0 ist y

=

j e

'ud:r;

":r: .

Ist· daher "o von Null verschieden, so ist y von der Form af F(a:), wo F(:r:) eine nach ganzen positiven Potenzen von :r: fortschreitende Reihe ist, die ff1r x = 0 nicht verschwindet; y ist also ein reguläres Integral. Wenn aber " ff1r ;,; = 0 von der nten Ordnung verschwindet, so ist y von der Form *)

He11e, dieses Journal Bd. 54, pag. 232,

245

2-+···+~

ea!'

a,

a:" F(:c),

also kein reguläres Integral. Die charakteristische Function des Dift'erentialausdrncks B ist :,:e(u+o(J), seine determinirende Function u.,+tiu(J, Dieselbe ist im ersten Falle eine ganze Function ersten Grades von (J, im anderen Falle eine Constante. Wenn eine Differentialgleichung nur reguläre Integrale hat, so llsst sie sich nach Satz 5. des vorigen Paragraphen aus lauter Differentialgleichungen erster Ordnung zusammensetzen, deren jede ein reguläres Integral hat. Die determinirende Function einer jeden ist daher vom ersten Grade, und da nach §. 3. die determinirende Function der gegebenen Differentialgleichung das Product aller dieser determinirenden Functionen ersten Grades ist, so ist ihr Grad der Ordnung der Differentialgleichung gleich. 1. Wenn eine Diferenlialgleichung lauter regulare Integrale hat, so ilt der Grad ihrer determinirenden Funclion ihrer Ordnung gleich*). Bekanntlich ist die gefundene Bedingung nicht nur nothwendig, sondern auch hinreichend, und kommt die BegrUndung der Umkehrung des eben aufgestellten Satzes auf einen Convergenzbeweis hinaus**). Wenn die Differentialgleichung C =0 unter ihren Integralen ß reguläre hat, so lässt sich C nach §. 6, Satz 7. auf die Form A. B bringen, wo A. = 0 keine und B = 0 lauter reguläre Integrale bat. Die determinirende Function g(p) der Differentialgleichung [jt8r Ordnung B = 0 ist daher vom pten Grade. Ist / (p) die determinirende Function von .A, so ist die von C A.B nach dem in §. 3 bewiesenen Satze h((J) = /((J),g((J), und daher ist der Grad von h((J) wenigstens gleich ß. Daraus folgt***): 2. Die A.n.akl der reguliJren Integrale einer linearen Diferentialgleickung ist nickt griiuer al, der Grad ihrer determinirenden Function. Von einem Ausdruck a:' (llo ( la:)" + "• (la: ),,_• + ... + u,,), in dem die nach ganzen positiven Potenzen von a: fortschreitenden Reihen

=

*) Fucu, dieses Journal Bel. 66, pag. 26 und Bd. 68, pag. 8, TAoml!, dieses Journal Bd. 74, pag. 200. **) FucAa, dieses Journal Bd, 66 1 pag. 29, Vergl. auch dieses Journal Bd, 76, pag. 218, **"') Thomi!, dieses Journal Bd. 74, pag. 204, Bel. 76, pag. 268,

246 Vu, u1 , • • • u„ fUr a: = 0 nicht sämmtlich verschwinden, sagen wir, er gehöre sum E:i:ponenten et *). Da die Differentialgleichung B = 0 nur reguläre Integrale hat, so kann man ein vollständiges System von einander unabhängiger Integrale angeben, die der Reihe nach zu den Wurzeln der determinirenden Gleichung u(et) = 0 von B gehören. Weil aber h((>) = tr.et) g((>) ist, so sind die Wurzeln der Gleichung g(et) = 0 ß von den Wurzeln der Gleichung /() = 0. Es ergiebt sich also der Satz **): 3. Die regulliren Integrale einer linearen Diferentialgleiclu,ng gehören

.., eben ao t,ielen Wuraela ihrer determinirenden Gleichung.

Wenn die Anzahl ß der regulären Integrale von C = 0 gleich dem Grade von h((>) ist, so muss /(et) eine Constante sein. Diese Bedingung lässt sich umkehren: Die determinirende Function einer Differentialgleichung rter Ordnung C = O sei vom ßten Grade, und C lasse si) vom ßt80 Grade ist, so ist g(Q) vom ßt8° Grade. Nach der Umkehrung von Satz 1. hat daher B = 0 lauter reguläre Integrale. Die Differentialgleichung A = 0 aber, deren determinirende Function vom nullten Grade ist, kann nach Satz 2. reguläre Integrale nicht haben. Folglich hat nach §. ö, 2. die Differentialgleichung C =AB= 0 genau /j reguläre Integrale. Die eben gefundene nothwendige und hinreichende Bedingung lässt sich am bequemsten mit Hülfe der adjungirten Differentialgleichung ausdrücken. Sind nämlich A, B und I' die a.djnngirten Differentialausdrücke von A, B und C, so folgt aus der Gleichung C AB nach dem Reciprocitä.tssatze l' = BA. Ferner sind nach §. 2. die determinirenden Functionen von A und A von gleichem Grade, also beide Constanten. Es gilt also der Satz ***) : 4. Damit eine Diferentialgleichung r,.,. Ordnung, deren determinirende Function "om ßt6ft Grade ut, genau ß regullire Integrale habe, ut nothu,endig

=

*) Fuw, dieses Journal Bd. 66, pag. 35. **) Thome, dieses Journal Bd. 74, pag. 210.

"'**) Tl&ome, dieses Journal Bd. 76, pag. 28ö.

247

und hinreichend, dass die adj11ngirte Differentialgleichung mit einer Dsfferentialgleickung (r-ß)'er Ordnung, deren determinirende Function eine Constante utl alle Integrale gemeimam habe. Ist z. B. ß = r-1, soll also C = 0 genau r-1 reguläre Integrale haben, so kann h(()) nicht von einem niedrigeren als dem (y-1)ten Grade sein, aber auch nicht von einem Mheren. Denn sonst wäre h((I) vom rten Grade, und C = 0 hätte lauter reguläre Integrale. Nach den Bemerkungen, die ich am Anfang dieses Paragraphen ttber die Gestalt der Integrale der Differentialgleichungen erster Ordnung gemacht habe, kann man demnach den Zusatz aussprechen *): 6. Damit die Anzahl der regularen Integrale einer linearen Differentialgleichung yier Ordnung genau gleich r-1 sei, ist nothwendig und hinreichend, das, ihre determinirende Function "om (y-1 )1m Grade aei, und das, die adjungirte Differentialgleichung ein Integral 1'0n der Form

~+···+~

e X"

X

~,o

D-\-Y

•110,X• y

besitze. §. 7. Da sich uns im Laufe unserer Untersuchung keine irreductibeln Differentialgleichungen dargeboten haben, so dttrfte es nicht ttberfittssig sein, zu zeigen, dass es ttberhaupt solche giebt. Sei h (x, ()) eine ganze Function yten Grades von (1, deren Coefficienten in der Umgebung des Nullpunktes den Charakter ganzer Functionen haben und für x = 0 nicht sä.mmtlich verschwinden. Dann giebt es, wie in §. 1 gezeigt wurde, eine Differentialgleichung rter Ordnung C=O, deren charakteristische Function C( :rf )=xP h(x, (1) ist. Nun sei k(x, e) = .Ih,(())x• so gewählt, dass k(e) = 1 und k1 ((1) vom rteo Grade ist. C hat dann die Gestalt

Cuy+ C1x2 Dy+C2 x' D2 y+···+C1 xr+ 1 Dry, wo C0 und Cr für x = 0 nicht verschwinden. Wä.re diese Differentialgleichung reductibel, so gäbe es eine Differentialgleichung niedrigerer Ordnung B = O, mit der sie alle Integrale gemeinsam hätte **), und es wäre C == AB, wo die Ordnungen a und /J von A und B kleiner als r sind, und a+ß=r *) Thome, dieses Journal Bd. 76, pag. 278. **) Dieses Journal Bd. 76, pag. 244 und pag. 2ö8.

248 ist.

Unter Anwendung der Bezeichnungen des §. 8 wäre dann ~4.. (('):c..

=

.Zf1((')+µ,g,.((')ai+,,,

also

= =

f((')g(('), A1((') f((')+lg1((')+g((')f1((') u. s. w. Da A((') eine Constante ist, so wären nach der ersten Gleichung auch f((') und g((') Constanten, und daher wäre nach der zweiten eine ganze Function rten Grades 41 ((') gleich einer ganzen Function, deren Grad die grösste der beiden Zahlen a und ß nicht übersteigt, was nicht angeht. Damit ist die Existenz von irreductibeln Differentialgleichungen beliebiger Ordnung nachgewiesen. k((')

Berlin, den 22. April 1876.

n. Ober das Pfaft'sche Problem Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230-315 (1875)

E i n l e i t u n g.

Das

P/afsche Problem ist nach den Vorarbeiten Jacobis (dieses Journal Bd. 2, S. 347; Bd. 17, S. 128; Bd. 29, S. 236) hauptsächlich von Herrn Natam (dieses Journal Bd. 68, S. 301) und von Clebsck (dieses Journal Bd. 60, S. 193, Bd. 61, S. 146) zum Gegenstand eingehender Untersuchungen gemacht worden. In seiner ersten Arbeit führt Clebsck die Lösung der Aufgabe auf die Integration mehrerer Systeme homogener linearer partieller Differentialgleichungen zurück mittelst einer indirecten Methode, von der er später (Bd. 61, S. 146) selbst sagt, dass sie nicht vollständig geeignet sei, die Natur der betreffenden Gleichungen ins rechte Licht zu setzen. Desshalb hat er in der zweiten Arbeit die Aufgabe auf einem andern directen Wege angegriffen, aber nur solche Differentialgleichungen X,da:,+X2tk2+ .. ·+Xpd~p = 0 behandelt, für welche die Determinante der Grössen aa/J

=

ax„ ax, aa:/J - aa:,,

von Null verschieden ist. Es scheint mir wttnschenswerth, dass auch der allgemeinere Fall, in welchem diese Determinante nebst einer Anzahl ihrer partialen Determinanten verschwindet, durch eine ähnliche directe Methode erledigt werde, um so mehr, als ich für diesen Fall aus den citirten Arbeiten nicht die Ueberzeugung gewinnen kann, dass die für die Integration der P/a!fschen Differentialgleichung entwickelten Methoden wirklich zum Ziele führen müssen. (Vergl.§ 22, Anm. I, § 23, Anm. 1.). Unter der erwähnten Annahme kommt man gleich beim ersten Schritte zur Lösung des Problems nicht auf eine einzige, sondern auf ein System mehrerer homogener linearer partieller Differentialgleichungen. Ein solches muss aber gewissen Integrabilitlf.tsbedingungen genügen, wenn es ein von einer Constanten verschiedenes Integral haben soll (Vgl. z.B. Cleb,ck, dieses Journal Bd. 66, S. 267). Clebsck sagt (Bd. 60, S. 196), in der Natanischen Arbeit sei nicht gezeigt worden, wie

250

man von den auftretenden simultanen Systemen ein Integral finden k6nne, ein Vorwurf, den er später (Bd. 61, S. 146, Anm.) wieder zurück.nimmt. Ich vermisse aber bei beiden Autoren, falls die Determinante 100111 verschwindet, einen strengen Beweis ftlr die Verträglichkeit der zu integrirenden partiellen Differentialgleichungen. Cleb,ck unterscheidet bei dem Pfaffschen Problem zwei Fälle, welche er den determinirtea und den indeterminirten nennt. Die Bedingungen ftlr das Eintreten des ersteren sind von Jacobi (Bd. 29, S. 242) und von Herrn Natani (Bd. 68, S. 816) entwickelt worden. Die Kriterien aber, mit Httlfe deren man jene beiden Fälle von einander unterscheiden kann, hat Cleb,ck nicht richtig erkannt. Er scheint den Unterschied in Folgendem gesucht zu haben: Wenn in dem System 0 0 ; der Mchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten gleich 2m ist (Bd. 60, S. 208), so tritt der determinirte Fall ein; wenn dieser Grad aber 2m+l ist (1. c. S. 218), der indeterminirte. Ich werde aber zeigen, dass in einer Determinante, in welcher alle partialen D_eterminanten (2m+2)te0 Grades Null sind, auch diejenigen (2m+l)te0 Grades sämmtlich verschwinden müssen. Wäre also die von Cleb,ch angegebene Unterscheidung richtig, so würde der indeterminirte Fall überhaupt nicht eintreten k6nnen. Die linke Seite einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung wird von Cleb,ck zum Zwecke der Integration auf eine kanonische Form zurttckgefU.hrt, die sich durch grosse formale Einfachheit auszeichnet. Indem ich aber darauf ausging, die Berechtigung der aufgestellten kanonischen Formen aus inneren Gründen herzuleiten (Vgl. Kronecker, Berl. Monatsberichte 1874, Januar, tiber Schaaren von quadratischen Formen, S. 16), kam ich auf eine neue Weise, das Pfa/fsche Problem zu formuliren, die ich zunächst auseinandersetzen will.

§. 1. Neue Formulirung des Pfaffschen Problems.

In dem linearen Differentialausdruck erster Ordnung (1.)

seien a 1 ,

a:,, ...

•••

a1dic1 +···+a.da:.

= ~ada;

a,. gegebene (analytische) Functionen der unabhängigen Variablen

a:.. Da hier die Untersuchung in solcher Allgemeinheit geführt werden soll, dass kein specieller Fall von ihr ausgeschlossen bleibt, so k6nnen z.B. a., ... aH, Null sein, und a:., ••• a:» 1 in 0 1 , ••• a„ nicht vor-

251

kommen, so dass der betrachtete Ausdruck in Wirklichkeit nur k Variable enthllt. Wir transformiren den Differentialausdruck (1.) durch Gleichungen (2,) a,., == q,.,(a:~, ... a:~), (a == 1, ... n) welche die Veränderlichkeit von a:1, • , • a:,. nicht beschrKnken, in denen also q,1 , • • • q,,. n unabhängige (analytische) Functionen von a:;, ••• a:: sind. Dann sind auch umgekehrt (2*.) a:., == q,., a:1' ". a,,. n unabhlngige Functionen von a:1, • • • a:,.. Setzt man 1

'(

alD.,

,

)

a/D~

a:.,, = a/D; , a:,., == a/D11 so ist (3.)

da:,.==

f re..,tk',

und

(8*.)

'

da::= f

re~11 da:1,,

und durch die Substitutionen (2.) und (8,) geht der Differentialausdruck (1.) in einen andern von der Form (1*.) a~dre~+···+a~tk~ = :Ea'tk' ttber, in welchem a~, ... a~ Functionen der neuen Variablen a:~, . • • a:~ sind, während sich durch die inversen Substitutionen (2*,) und (3*.) der Differentialausdruck (1*.) in (1.) verwandelt. Zwei lineare Differentialausdrlicke erster Ordnung, welche auf diese Weise in einander transformirt werden können, sollen aquit,alent genannt werden. Es könnte allgemeiner scheinen, zwei Differentialausdrlicke (1.) und (1 *,), in denen die Anzahl der Grössen a, derjenigen der Grössen re' nicht nothwendig gleich zu sein braucht, äquivalent zu nennen, wenn es möglich ist, zwischen den unter sich unabhltngigen Variablen a: und den unter sich ebenfalls unabhltngigen Variablen a:' solche Relationen aufzustellen, dass identisch (4.) :Eath: = :Ea' da:' wird. Es llsst sieb aber leicht zeigen, dass zwei nach dieser Definition äquivalente Differentialausdrlicke auch stets durch Substitutionen von der Form (2.) und (8.) in einander ttbergefttbrt werden können. Denn ist etwa die Anzahl k der Variablen a: kleiner als die Anzahl n der Variablen a,', so fttge man zu den ersteren noch n -k neue unabhängige Variable hinzu, die in dem Differentialausdruck (1.) nicht vorkommen. Die Relationen

252

zwischen den Veränderlichen a: und al sollen die Veränderlichkeit der GrBssen a: (und ebenso die der GrBssen a:') nicht beschränken. Es darf sich also aus ihnen keine von den GrBssen a:' (oder a:) freie Gleichung allein zwischen den Variablen a: ( oder a:') herleiten lassen. Wenn durch diese Relationen, unter denen p unabhängige seien, die Gleichung (4.) eine identische wird, so bleibt sie es auch, wenn man zu ihnen noch n- p andere (etwa lineare) hinzufügt. Diese kann man stets so wählen (am einfachsten in der Form a:a = a:'p), dass sie zusammen mit den p gegebenen Relationen die Veränderlichkeit der n GrBssen a: (oder a:') nicht beschränken. LBst man die so gebildeten n Gleichungen nach einem der beiden Variablensysteme auf, so nehmen die Transformationsgleichungen die Gestalt (2.) oder (2*.) an. Umgekehrt wollen wir uns nun, wenn (1.) und (1*.) zwei gegebene Dift'erentialausdrticke bedeuten, die Aufgabe stellen, zu entscheiden, ob sie äquivalent sind oder nicht, und falls sie es sind, die weitere Aufgabe, alle Substitutionen zu finden, durch welche der eine in den anderen ttbergeht.

§. 2. Die bilineare Covariante. Wenn die Dift'erentialausdrtlcke (1.) und (1*.) äquivalent sind, und durch die Substitutionen (2.) oder (2*.) in einander ttbergehen, so muss die Gleichung (4.) richtig bleiben, wenn man unter a:1 , ••• a:" irgend welche Functionen einer oder mehrerer unabhängigen Variablen u, ", ... und unter a:;, ... die durch die Gleichungen (2*.) bestimmten Functionen derselben Variablen versteht. Es muss also ~ 811: 8111 aa: ..., a1 av ßz' = ....~ a, au, ....~aa,; sein und da.her auch

x:

.... aau

oder

= ....

~(Ia~)-_§__(::Ea ax) = _§__(::Ea' ßx')-_§__(::Ea' oz') ari au au ori av au au otJ ausgerechnet .E ( aa,. _ !Jap ) axa aa:/J _ .E ( aa~ _ ßa!p) aa:~ ft4. a,fl Ba:p az„ au af) a,/J axp az~ au av Setzt man

aa:a

~=u,,, a:x:;,

'

"-äu = Ua,

aa:.,

~ = t J..,

ax~ ÖtJ

, = tia,

253 so können 11,,, .,,,, .•• als ganz willkfirliche, von den ttbrigen vorkommenden Grössen völlig unabhängige Variable betrachtet werden, wie man am einfachsten einsieht, indem man für a:,, die lineare Function u„u+t>,,ti+ ... mit willkürlichen Constanten 11,,, ti,,, ••• setzt. Zufolge der Gleichungen (3.) und (3*.) sind sie mit 11~, .,~, ••• durch die Gleichungen (5.) ( uC:.*,)

verbunden.

u,, = ,

1111

f :c„p11p,

= 1 :C pUp, ~

1

11

= f a:,,p"p, ti,, = 1 :C pfJp, ti,, 1

~

1

11

.•

(a=l,2, ... n),

, ,

Setzt man ferner zur Ahkttrzung aa„ 8ap , aa~ 8a'p (6,) a„p = 8:cp - a:c,,' a„p = 8:c'p - az~

'

so zeigen die entwickelten Formeln, dass durch die Substitutionen (6.) oder (5*.) nicht nur (7,)

~a„11,,

=

~a~u~,

sondern gleichzeitig auch (8.)

~a„pu„tip

=

~a~p"~"P

wird. Diese Gleichungen werden vermöge der Substitutionen (5.) oder (5*.) zu identischen, wenn die Variablen a:1, . . • :v„ und a:~, . • . :v~ und ihre Functionen a,,, a~, a„p, a:p, a:,,p, :v:p sä.mmtlich durch u, "' ... ausgedrttckt werden, also auch, wenn ffir 11, ", ••• wieder Functionen von irgend welchen anderen Variablen gesetzt werden. Nimmt man nun die Anzahl der unabhängigen Variablen u, ", . . . gleich n und für :c1 , • • • a:,. unabhängige Functionen derselben, so können auch umgekehrt 11, ", .•• wieder als Functionen von a:1 , ••• :c„ dargestellt werden. Die Grössen a,,, a„p, x:p werden dann wieder die gegebenen Functionen von a:1 , • • • a:,.; die Grössen a~, a:p, x„p aber mfissen mittelst der Gleichungen (2*.) als Functionen von :v1 , ••• :c„ dargestellt werden, damit die Gleichungen (7.) und (8.) vermöge der Substitutionen (5.) oder (5*.) zu identischen werden. Damit die Differentialausdrücke (4.) äquivalent seien, ist demnach die algebraische Aequivalenz der Formen (7.) und (8.) eine nothwendige Bedingung. Es wird sich aber zeigen, dass sie auch die hinreichende Bedingung ist. Die Grössen u1 , • • • u„ und ti1, • • • ti„ bedeuten offenbar die Verhältnisse der nach zwei verschiedenen Richtungen genommenen Differentiale der Variablen a:1 , • • • a;,.. Da also, wenn d und u1+, .. +a~>u,. O, (µ = 1, ••. m) zwischen den n(>m) Unbekannten "•, ... u,.. Ist a1 u1 + ·+a„u,. 0 irgend eine lineare Verbindung derselben, so rechnen wir sie auch zum System (10.). Auch kann dies System durch m unabhängige lineare Verbindungen seiner Gleichungen ersetzt werden. Die Determinanten mten Grades, die sich aus den Coefficienten a bilden lassen, und die wegen der Unabhängigkeit der Gleichungen nicht sämmtlich verschwinden, werden bei einer solchen Umformung alle mit demselben von Null verschiedenen Factor multiplicirt. Sind A,, . . . A,. und B,, .. , B„ irgend zwei particuläre Lösungen der Gleichungen (10.), so ist auch aA 1 +bB1 , ••• aA,.+bB,. eine Lösung. Mehrere particuläre Lösungen Ai•>, . • . A~x>, (.ie = 1, ... k) sollen daher unabhängig oder oer,chieden heissen, wenn c1 A~1>+ ·. ·+ ck A~> nicht für a = 1, . . . n verschwinden kann, ohne dass c,, . • . ck sämmtlich gleich Null sind, mit andern Worten, wenn die k linearen Formen Afk> u1 +·.. + A~> u„ unabhängig sind. Da die Determinanten mten Grades der Grössen a nicht alle verschwinden, so kann man die Grössen U!"> so wählen, dass die Determinante a~1> aP>

=

00

a\"'>

D= up>

=

a .

Uf"-"'> U!"-"'> von Null verschieden ist. Bezeichnet man mit A~> den Coefficienten von U~"> in D, so ist aY,>Ai">+ .. ·+a~>A~"> = O, (µ = 1, ... m; v = 1, ... n-m), (11.) und daher sind (12.) A~·>, ... A~·>, (v = 1, ... n-m) n-m Lösungen der Gleichungen (10.).

256

Ist x, . . . l, ~, . . . t1 eine positive Permutation der Zahlen 1, . . . n, so sollen die Determinante mten Grades 2 + a~1>• • • a~m> und die Determinante (n-m)ten Grades 2+ A~1>••• A~n-m> complementare Determinanten der beiden Elementensysteme aff> und A~> genannt werden. Nach einem bekannten Satze ist die letztere Determinante das Product aus der ersteren in D,._,,.._1• Die Determinanten mten Grades des Systems a';f'> verhalten sich daher, wie die complementären Determinanten (n-m)teu Grades des Systems A~>. Da die Determinanten mten Grades des Systems a nicht sä.mmtlich verschwinden, und D von Null verschieden ist, so sind auch die Determinanten (n-m)ten Grades des Systems A~"> nicht alle Null, und daher sind die n-m Lösungen (12.) unabhängig. Mehr als n- m verschiedene Lösungen können aber die Gleichungen (10.) nicht haben. Denn sind Bf'\ ... H,t>(v= 1, ... n-m+l) n-m+l Lösungen, und ist c1B~1>+ .. ·+c,._,,.+1B~"-"'+1> = B,., so ist auch B1 , ••• B„ eine Lösung. Unter den Determinanten mten Grades des Systems a~> sei etwa M = 2±aP> ... a¼'') von Null verschieden. Ueber die Constanten C1, ... c,._m+l kann man so verfügen, dass irgend n-m der Grössen B1, ..• B„ gleich Null sind, weil n-m homogene lineare Gleichungen mit n-m+l Unbekannten c1 , ••• c,._,,.+ 1 stets eine Lösung zulassen. Macht man aber Bm+t = ··· = B,. = O, so folgt aus den m linearen Gleichungen a~> B1 + .. ·+a~> Bm = 0 mit nicht verschwindender Determinante M, dass auch B1 = .. · = Bm = 0 ist. Folglich sind die n - m +1 Lösungen Bi">, .. . B~"> nicht unabhängig. Mithin haben m unabhängige homogene lineare Gleichungen zwischen n Unbekannten genau n-m verschiedene Lösungen, und daher haben irgend m homogene lineare Gleichungen zwischen n Unbekannten wenigstens n - m verschiedene Lösungen. Sind c1 , • • • c,._m willkürliche Comtanten, so soll A 1 = 2c„A~">, . . . A,. = 2c„A~·> die a1lgemeimte Lösung der Gleichungen (10.) heissen. Aus ihr kann jede particuläre Lösung erhalten werden, indem man den willkürlichen Constanten bestimmte Werthe ertheilt. Sind daher B{'\ ... Bft>(v = 1, ... n-m) irgend n-m verschiedene Lösungen, so ist B~"> = c.,,1 A~1J +.. ·+ c,,,,._mAi"-m>, und die Determinanten (n-m)ten Grades des Systems B~> unterscheiden sich von den entsprechenden des Systems Ai"> nur durch den von Null verschiedenen Factor lceal• Daher verhalten sie sich, wie die complementä.ren Determinanten mten Grades des Systems a~l.

257 Bedeuten von nun an die Grössen (12.) irgend n-m verschiedene Ll:>sungen der Gleichungen (10.), so sind (18.) .A\•Ju1 + ·+.A~·>u,. = 0 n-m unabhängige homogene lineare Gleichungen zwischen den Unbekannten u,, ... u,., und zufolge der Relationen (11.) sind aiJ'>, ... aff> (µ = 1, ... m) (14.) m verschiedene Lösungen derselben. Die beiden Systeme linearer Gleichungen (10.) und (18.), und ebenso die Systeme ihrer Coefficienten a~J und .A~> sollen einander r,ugeordnet oder adjungirt genannt werden. Zwischen ihren allgemeinsten Ll:>sungen besteht die Relation (11*.) a,.A1+· .. +a,..A,. = 0. Die Coefficienten des einen Gleichungssystems sind die Lösungen des andern. Die Determinanten mten Grades des Systems a'f> verhalten sich, wie die complementären Determinanten (n-m)ten Grades des zugeordneten Systems A~>. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass, wenn k>n-m ist, jede aus n - k (< m) Colonnen des Systems a~u> gebildete partiale Determinante (n-k)ten Grades bis auf eine Potenz von D eine lineare homogene Function der aus den übrigen k Colonnen des zugeordneten Systems A~> gebildeten Determinanten (n-m)ten Grades ist*), Richtet man in dem System der n-m verschiedenen Lösungen (12.) der Gleichungen (10.) sein Augenmerk nicht auf die Werthe aller Unbekannten, sondern nur auf die einer gewissen Anzahl u 1 , • • • uk, so fragt es sich, ob auch die Lösungen 00

(a.)

.Af•>, . • •

Ai•>

(,, = 1, ... n-m)

unabhängig sind. Diese Frage hat nur dann eine Bedeutung, wenn k > n -m ist. Die Bedingungen, unter denen alsdann jene Lösungen nicht unabhängig sind, ergeben sich ohne weiteres aus dem letzten Satze, lassen sieb aber auch leicht direct ableiten. Ist .A,. = Z c, .Aft>, so ist .A1 , • • • .A,. eine Lösung

"

der Gleichungen (10.). Da die Lösungen (a.) nicht unabhängig sind, so kann man die Constanten c1 , • • • c,._ so bestimmen, dass .A1 , • • • A. Null sind. Folglich genügen die Grössen .AH11 ••• A„ den Gleichungen (ß.) aW1ut+1+"·+aft>u,. = 0 (µ, = 1, ... m)

*) Wenn man die m linearen Formen (10.) durch irgend eine lineare Substitution und die n-m linearen Formen (13.) durch die transponirte Substitution transformirt, so erhält man wieder zwei Systeme zugeordneter linearer Formen.

258 und sind, weil die Lösungen (12.) unabhängig sind, nicht sämmtlich Null. Daher müssen in dem Elementensystem (r,)

alle Determinanten (n-k)teo Grades verschwinden. Wenn umgekehrt in dem System (r,) alle Determinanten (n-k)teo Grades verschwinden, so sind in jedem System von n-m verschiedenen Lösw1gen die Werthe der ersten k Unbekannten nicht unabhängig. Denn unter jener Voraussetzung sind (Vgl. §. 4.) die Gleichungen (ß.) unter einander verträglich, und daher kann man eine particuläre Lösung der Gleichungen (10.) erhalten, indem man A, = ... =At= 0 setzt und AH,, ... A„ aus den Gleichungen (ß.) bestimmt. Da sich diese particulä.re Ltisung aus jedem System (12.) von 1n-m verschiedenen Ltisungen zusammensetzen lassen muss, so ktinnen die Constanten c1 , • • • c,._,,, so bestimmt werden, dass c, A~1l + .. · c,._,,,A~"-ml für a = 1, . . . k verschwindet.

+

§. 4. Ueber den Zusammenhang der partialen Determinanten eines Elementensystems.

In dem nach Zeilen und Colonnen geordneten Elementensystem a0 p, in welchem die Anzahl der Zeilen derjenigen der Colonnen nicht gleich zu sein braucht, sei eine partiale Determinante mteo Grades, etwa M = :E± a11 ... a,,,,,., von Null verschieden. Damit dann die partialen Determinanten (m+ l)teo Grades sä.mmtlich verschwinden, ist nach einem Satze des Herrn Kronecker (Baltzer, Det. §. 4, 7; dieses Journal Bd. 72, S. 152) nur erforderlich, dass alle diejenigen Null sind, deren Elemente man erhält, indem man zu den Elementen von M die irgend einer Zeile und Oolonne des Systems aap hinzufügt, also alle Determinanten a1r"

Oia

0ml

a,,.,,.

an,a

ae1

Oem

aeal

1~11

'

wo man für () und a nur alle Paare von Zahlen, die grtisser als m sind, zu setzen braucht.

259

Alsdann ist

.. Ou

Ou A1+···+0i• .A.

01111

. ... . ..

a„1 a..... a„1.A1 +···+a,..A. = O, a„ 1 a„ 111 a.,,.A1+· +a-A. als eine homogene lineare Function von A.1, ••• deren Coefficienten theils identisch, theils nach Voraussetzung verschwinden. (Kronecker, Baltzer, Det. §. 8, 8). Ist nun .A17 .. • .A. eine Lösung der Gleichungen (a.) a,..1u1+• +a,...u. = O, (µ, = 1, ... m) so reducirt sich die obige Gleichung auf M(a„1 ..4 1 +···+a-.A.)=0. DaM von Null verschieden ist, so mttssen folglich alle Lösungen der Gleichungen (a.) auch dfe Gleichungen (fl.) a„1 "1 + ·+a.,.u. = 0 (a = 1, ... m, m+l, m+2, .. ,) befriedigen. Weil aber die m unabhängigen Gleichungen (a.) n-m verschiedene LBsungen haben, so haben auch die Gleichungen (.ß.) n-m unabhängige Lösungen. Wenn umgekehrt mehr als mGleichungen zwischen n (> m) Variablen n-m verschiedene Lösungen haben, so mttssen in dem System der Coefficienten alle partialen Determinanten (m+l)ten Grades verschwinden. Denn nimmt man irgend m+ 1 dieser Gleichungen, so kBnnten dieselben, wenn nicht alle Determinanten (m+l)ten Grades ihrer Coefficienten verschwänden, wenn sie also unabhängig wären, nicht mehr als n-m-1 verschiedene Lösungen besitzen. · 1 Seien nun ...4{ ->, .• , ...4~"> (v = 1, ... n-m) irgend n-m verschiedene Lösungen der Gleichungen (a,), also auch der Gleichungen (.ß.). Greift man irgend m dieser Gleichungen heraus, so sind dieselben entweder unabhängig oder nicht. Im ersteren Falle verhalten sich die Determinanten mten Grades, die sich aus ihren Coefficienten bilden lassen, wie die complementären Determinanten (n-m)ten Grades der Lösungen .A~··>. Aber auch im andern Falle bleibt dieser Satz richtig, weil dann die partialen Determinanten mten Grades der Coefficienten alle verschwinden. Wir ziehen daraus den Schluss: (Vgl. Kronecker, Berl. Monatsberichte, 1874, April, Ueber die congruenten Transf. etc., letzte Seite.) I. In einem Elemenl8f1811Blem, in tDelckem alle partialen Determinanteta (m+l)te• Grades oer,cktoinden, oerkalten ,ich die au, irgend m Zeilen gebildete• 00

A..,

00

00

260

par,iale,a Determinanten mun Grades, toie die eat,precienden au irgend m andern Zeilen gebildeten partialen Determinanten m1111 Grade,. Entsprechend heissen hier solche Determinanten ,nten Grades, die aus den nämlichen m Colonnen (in derselben Reihenfolge) gebildet sind. Sind also P und Q zwei aus m bestimmten Zeilen gebildete Determinanten mten Grades, und P' und Q' die entsprechenden aus m beliebigen andern Zeilen gebildeten Determinanten, so ist PQ' = P'Q, Wenn daher P' und Q beide von Null verschieden sind, so kann auch P nicht verschwinden. Daraus ergiebt sich der Satz: II. Kann man au einem Elementenag1tem, in toelchem alle partialen Determinanten (m+l)1•n Grades tJer1chtoinden, m Zeilen und m Colonnen 10 OU11Ddluen, da,1 toeder in den m Zeilen noch in den m Colonnen alle partialen Determinanten mten Grades gleich Null lind, 10 mu1 auch die die,en Zeilen und Colonnen gemein,ckaf'licke partiale Determinante m1en Gradu tJOn NuU fJer1ckieden ,ein. Dieser Satz lässt sich auch in folgender Weise herleiten. In dem Elementensystem Oap seien alle partialen Determinanten (m+l)ten Grades Null. Femer sei M. = ~ ± 0 11 • • • a,_ = O. In den ersten m Zeilen möge sich aber auch eine von Null verschiedene Determinante mten Grades befinden. In Folge der letzten Annahme m1lssen alle W erthe von u1 , ••• u,., welche den Gleichungen (a.) genttgen, auch die Gleichungen (ß.) befriedigen. Nun kann man aber den Gleichungen (a.) gentigen, indem man Um+1 = ··· = u,. = 0 setzt, und u,, ... u,,. aus den Gleichungen aP1u1 +··, +a ,.,,. um = 0 (µ, = 1, ••• m) bestimmt, die nach der Voraussetzung M = 0 mit einander verträglich sind. Da die so erhaltenen Werthe auch den Gleichungen (ß.) genttgen, so muss Ou1U1+ .. •+a 11mUm = 0 (a = 1, ,., m, m+1, m+2, ,.,) sein. Folglich m1lssen in dem System a. 1 , • • • a_ (a = 1, ... m, m+l, m+2, ...) alle Determinanten mten Grades verschwinden. Sind also nicht alle Determinanten mten Grades in diesem System Null, so kann man daraus umgekehrt den Schluss ziehen, dass M von Null verschieden sein muss, womit Satz II. bewiesen ist. Nehmen wir jetzt an, dass das System aap aus gleich viel Zeilen und Colonnen besteht und symmetrisch (a.p = apa) oder alternirend (a„p = -a/1,., a,.,. = 0) ist. Dann sind die partialen Determinanten mton Grades, die aus irgend m

261

Zeilen gebildet sind, denen, die aus den gleichnamigen m Colonnen gebildet sind, der Reihe nach bis auf das Zeichen gleich. Nennt man also eine partiale Determinante, deren Diagonale nur Elemente aus der Diagonale der ganzen Determinante enthält, eine Hauptunterdeterminante, so ergiebt sich aus Satz II. die Folgerung: ITI. Wenn in der Determinante eine, agmmetri,cken oder eine, alternirenden Systems alle partialen Determinanten (m+ l)'en Grades „er,ckwinden, so muaa in jedem System t,On m Zeilen, in welchem irgend eine partiale Determinante mten Grade, nicht „er,ckwindet, auch die Hauptunterdeterminante 1'0n Null t,erackieden sein.

In jedem System von m Zeilen, in welchem die Hauptunterdeterminante Null ist, müssen also auch alle andern partialen Determinanten mten Grades verschwinden. Dies tritt stets ein, wenn das System aa/J alternirend und m ungerade ist. Denn alsdann sind die Hauptunterdeterminanten mten Grades schiefe Determinanten unpaaren Grades, und daher identisch Null. Daraus ergeben sich die Sätze:

IV. Ist in einer ackiefen Determinante m der höckate Grad nickt t,erachwindender Unterdeterminanten, so ist m notkwendig eine gerade Zahl und unter den nickt t,erackwindenden partialen Determinanten ,nten Grades befinden nck auch Hauptunterdeterminanten. V. Wenn in einer ackiefen Determinante die partialen Determinanten 2 rten Grade, alle t,erachwinden, so Bind auch die (2r-1 yen Grades aämmtlick Null. Da diese Eigenschaften der schiefen Determinanten für die folgenden Untersuchungen von grosser Wichtigkeit sind, so wollen wir sie noch auf einem andern Wege ableiten.

§. 5. Schiefe Determinanten.

Ist Aa/J der Coeffieient von a0 /J in der verschwindenden Determinante JI = ~ + a 11 ••• a_, so ist Aaa A/J/J = Aal A 1.,. Ist nun M eine schiefe Determinante und m eine gerade Zahl (= 2r), so ist Aa1 = -A1„ und A.,., = A11 = 0. Daher ist A„fJ = 0. Oder: Die Determinante M ist das Quadrat einer ganzen Function von a„1 • Wenn sie also Null ist, so verschwindet sie von der zweiten Ordnung, und

f

M daher ist auch ihre Ableitung ca.,,

= 2.AafJ = 0.

Wenn also eine schiefe

262 Determinante 2 rten Grades verschwindet, so sind auch ihre partialen Determinanten (2r-l)ten Grades sämmtlich Null. Den (Pfaffschen) Ausdruck, dessen Quadrat die Determinante Mist, und in welchem das Glied a12~, .. a,_1,m den Coefficienten +1 hat, bezeichnen wir nach Jacobi mit (1, 2, ... m). Fttr solche Ausdrücke gilt ein dem Determinantensatze des Herrn Kronecker ganz analoges Theorem: I. Wenn der Pfalfsche .Ausdruck rten Grades (1, 2, ... 2r) t,On Null r,ersckieden ist, aber alle .AusdriJcke (r +1yen Grades t,erschwinden, die man a11S (1, 2, ... 2r, (J, o) erhält, indem man für (J, o alle t,erschiedenen Paare ungleicher Zahlen setzt, die grösser als 2 r sind, so „er,chwinden alle .Ausdrücke (a, ß, r ...) vom (r+lyen Grade.

Dieser Satz ergiebt sich ans dem allgemeineren Satze: II. Wenn in einer schiefen Determinante eine Hauptunterdeterminante 2rten Grades r,on Null „erschieden ist, aber alle Hauptunterdeterminanten (2r+2y,n Grades t,erschwinden, welche man aus jener erhält, indem man irgend zwei Zeilen und die gleichnamigen Colonnen hinzufügt, so 1'erschwinden alle partialen Determinanten (2r+l)!'n Grades.

Seim= 2r, sei M = ~±a11 ... amm = (1, 2, ... m) 2 von Null verschieden und sei für alle verschiedenen Paare ungleicher Zahlen (J, o, die grösser als 2r sind, au

alm

a1e

amt

ae,

amm aem

aal

ame amo = (1, 2, ... m, (J, 0)2 = 0. aee aea'

aom

aae

a10

aaa

Da der Grad dieser verschwindenden schiefen Determinante 2r+2 eine gerade Zahl ist, so sind nach dem oben bewiesenen Satze auch ihre partialen Determinanten (2r+l)ten Grades alle Null, z. B. ist der Coefficient von aae

= o, ae, aem aea falls (J von o verschieden ist. Ist (J = a, so verschwindet diese Determinante identisch. Nach dem Satze des Herrn Kronecker folgt aber daraus, dass

263 alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades verschwinden. Daher verschwinden auch alle partialen Determinanten (2r+2)ten Grades, und folglich auch die Quadratwurzeln aus den Hauptunterdeterminanten (2r+2)ten Grades, die Pfaffschen AusdrUcke (r+l)ten Grades (a, ß, r ... ). Ferner ergiebt sieb, dass das Verschwinden aller Hauptunterdeterminanten (2r+2)ten Grades auch das aller partialen Determinanten (2r+l)ten Grades nach sich zieht, vorausgesetzt, dass eine Hauptunterdeterminante 2rten Grades von Null verschieden ist. Sollte keine Hauptunterdeterminante 2rten Grades von Null verschieden sein, dagegen irgend eine Hauptunterdeterminante (2r-2)ten Grades, so würde sich auf dieselbe Weise ergeben, dass alle partialen Determinanten (2r-l)ten Grades und folglich auch alle (2r+l)ten Grades verschwänden. Indem man diesen Schluss weiter fortsetzt, gelangt man zu dem Satze: III. Wenn in einer schiefen Determinante alle Hauptunterdeterminanten 2,-t•n Grades Null sind, so t,erschwinden auch alle partialen Determinanten (2r-l)'•n Grades. Wenn man in der schiefen Determinante

(a,)

die letzte Colonne weglässt, und wenn in dem übrig bleibenden Elementensysteme (ß.)

a„1

-a 1

a..,. -a,.

alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades verschwinden, so sind in der Determinante (a.) alle partialen Determinanten (2r+2)ten Grades Null, als lineare homogene Functionen von partialen Determinanten (2r+l)ten Grades des Systems (ß.). Nach Satz III. verschwinden daher auch alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades der Determinante (a.). Damit also in der Determinante (a.) alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades ver-

schwinden, ist nothwendig und hinreichend, dass dies in dem System (ß.) der Fall ist.

264

In der schiefen Determinante ~ ±0 11 ••• a,,. sei der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten m = 2r. Dann haben die linearen Gleichungen (r.) a0 1t11+ •+a... u,. = 0 (a = 1, ... n) n-m verschiedene Lösungen. Je nachdem fUr alle diese Lösungen auch ('1.) 0iu,+ ·+a„u,. = 0 ist, oder nicht, d. h. je nachdem die Gleichung ('1.) eine lineare Combination der Gleichungen (r.) ist, oder nicht, sind auch in dem System (ß,) und folglich auch in der Determinante (a,) alle partialen Determinanten (m+l)te0 Grades Null, oder nicht. 00

00

§. 6. Simultane Transformation einer bilinearen Form und mehrerer Paare linearer Formen.

Die bilineare Form gehe durch Substitutionen (a,)

u,.

= Za: ,u'p, 8 0

z,. ,.,~,

"" = p

deren Determinanten von Null verschieden seien, in

W,

~,

1,

= "a•fl"•"fl

ttber. Dann ist ( Weier,tras,, Berl. Monatsberichte, 1868, Mai, S. 811) jede partiale Determinante mteu Grades des einen der beiden Coefficientensysteme und eine homogene lineare Function der partialen Determinanten ,nteu Grades des an.dem. Daher sind alle partialen Determinanten ,nteu Grades des Systems 11 Null oder von Null verschieden, je nachdem es die des Systems a„p sind. Der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten ist folglich fUr beide Systeme derselbe. Ausser der bilinearen Form sei noch ein Paar linearer Formen Z• a.,,•+• 110 und ZII a.+1 ,,.•"•,. gegeben, welche durch die Substitutionen (a,) in ~, , d ~, ,

a.,,

a:,

a:

"a•,n+1•1.1

ttbergehen mögen.

Uil

-an+1.1",

Dann verwandelt sich die bilineare Form*):

*) Die Methode, welche ich hier zur Untersuchung der simultanen Transformation einer bilinearen Form und eines oder mehrerer Paare linearer Formen gebraucht habe, ist bereits von Herrn Stickelberger (De problemate quodam ad duarum formarum bilinearium vel quadratiearum transformationem pertinente. Dias. inaug. Berolini 1874. pag. 10) und von Herrn Darbou:z; (Lioutl, Journ. Ann. 1874, p. 361) angewendet.

265 z1a„fJU„fJ11 +"n+1z1a,,,..+1"11

~,8

II

+"•+1Z1a ..+1,11"p+ a ..+1,.. +1Un+1 "11+1, ,8

wo a..+i,..+1 eine willkürliche Grösse ist, oder kttrzer die Form

Z7:+ 1 a„pU

11

a,/J

fJp

durch jene Substitutionen, verbunden mit in

z 11+1 a„/Ju,,,,,/J, 1

I

/

1

11,,8

wo a~+1,11+1 = a11+1,n+1 ist. Daher muss nicht nur in der Determinante nten Grades ~ ± a 11 ••• a..,., sondern auch in der (n + 1)ten Grades ~ ± a 11 ••• a,... a ..+1,..+1 der Mchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten invariant sein. Sind ausser der bilinearen Form noch k Paare linearer Formen ~aa,n+"""

f a,.+..,fl"P

und

(,e

= 1, ... k)

gegeben, welche durch die Substitutionen (a.) in ~ a~,..,..,. u~

und ~ a~+ ..,P 'Dp ttbergehen, so verwandelt sich die bilineare Form 'C'n+k ....,1 a„p 11„'Dp,

a,/J

in welcher die Grössen a,.+..,n+i willkttrlich sind, durch jene Substitutionen verbunden mit = 1, ... k) in

sind also alle Determinanten (r+l)ten Grades Null, und daher sind die Formen U1 , • • • U,-1-i nicht unabhängig. Ich werde aber beweisen, dass sich stets r unabhängige Formen U1 , • • • U, so bestimmen -a~+1)

-a~r+l)

lassen, das, in der ~::rminant.e

""

1 anl (17.)

aCr)

ann

"

-a„

0

0

0

-a~I)

Ü

Ü

0 0

*) Herr Darbou11: (Liou". Joum. Ann. 1874 p. 350) hat Determinanten von der Form (a.) in die Untersuchung der Aequivalenz quadratischer Formen eingefllhrt. Er lässt aber die Formen Uq allgemein, d. h. verfttgt so ttber dieselben, dass in (a.) der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten möglichst gross ist.

271 alle partialen Determinanten (2r+l)teu Grades verschwinden. Daraus folgt aber auf die nämliche Weise wie oben, dass die Formen U, U1 ••• U,. nicht unabhängig sind, also, da UJ ... Ur unabhängig sind, dass zwischen ihnen eine Relation von der Form (18,) U = Ci U1 +"·+ Cr Ur besteht. Ich werde nun zweitens beweisen, dass in dieser Relation c,, ... c, beliebig gegebene Werthe haben können, mit zwei Einschränkungen, die da.durch bedingt sind, dass U eine gegebene Form ist, und dass U1 ... Ur unabhängig sein sollen. Wenn nämlich die Coefficienten von U nicht alle Null sind, so dürfen c1 , ••• Cr nicht alle gleich Null angenommen werden; wenn aber U identisch verschwindet, so müssen c,, .•. cr alle Null sein, und die Relation (18.) muss sich auf U = 0 reduciren. Da in der Determinante (16.) m der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten ist, so haben die Gleichungen (a = 1, ... n) ~aa,u,+···+aa„u.. +a.. u = 0, (ß.) fa, u,+ .. ·+a,. u,. =Ü n+l-m unabhängige Lösungen. In denselben sind auch die Werthe der ersten n Unbekannten unabhängig, es müssten denn a1, •.• a„ alle verschwinden (§. 8.). In diesem Falle ergeben sieb aus den Gleichungen (ß.) n -m verschiedene W erthe für u1 , • • • u,.. Damit nun auch in der schiefen Determinante a11 a,,. a1 aP>

u, + .. ·+a~1>u,. = 0 durch alle Lösungen der Gleichungen (ß,) befriedigt wird. Die Coefficienten ('.)

1>

aP>, . • . '41>

müssen also allen Gleichungen genügen, welche (,,) A1u,+···+A,.u,. = 0

272 darstellt, wenn ftir A 1 , • • • A„ der Reihe nach alle Wertbe gesetzt werden, die sieb aus den Gleichungen (ß.) ftir die n ersten Unbekannten ergeben. Die Anzahl dieser Gleichungen ist höchstens n+l-na., die Anzahl ihrer Lösungen also mindestens n-(n+l-na) = na-1. Unter denselben befindet sieb zufolge der letzten Gleichung (ß.) auch 01, ••• o,.. Hat nun die Relation (18.) die Gestalt U = O, so nehme man ftir (c>'.) eine beliebige Lösung der Gleichungen (s.). Hat dagegen jene Relation die Gestalt U = c1 U,, wo c1 von Null verschieden ist, so muss man (l)_~

01

-

c,

,

•••

a(l)

"

-

a.. Cl

setzen. Hat die Relation (18.) aber keine dieser beiden Gestalten, so nehme man ft1r (b.) eine von oi, ... o„ unabhängige Lösung. Dann ist in der Determinante (r.) na der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten. Es seien nun bereits k unabhängige Formen U,, ••• U1: so bestimmt, dass in der Determinante (a.) alle partialen Determinanten (na+l)ten Gradel!I verschwinden. Wenn ferner die Relation (18.) die Gestalt U = c1 U1 + .. ·+c1:Ut hat, wo c1 , ••• c1: auch alle oder zum Theil Null sein können, so sei ihr bereits Genf1ge geschehen. Hat sie aber nicht diese Gestalt, so seien U1 , ••• U1: auch von U unabhängig. Alsdann haben die Gleichungen (t.)

n

i--· •. ++··+•-.+•.•+ai.'' ...,+ ··· +a .... - o, .. = o,u, ·+o,.u,. O, oi">u1 +···+o~">u,. = 0

+1+ k-na verschiedene Lösungen.

(a

=

1, ... n)

(,e

=

1, ... k)

Damit dann auch in der Determinante

...

Ou

a,,.

01

oP>

a.1

o,..

a„

o

-a1

-a,.

-aP>

-af>

0 0

0 0

" 0 0

-af">

-a~1:>

0

0

-afHl)

-oiHl)

0 0

0

0

"

o\1:> a

.

o\k+i> o

(,e

=

1, ... k).

Wenn die Relation (18.) die Gestalt U = c, U1 +·.. +ck Uk hat, so sind von diesen k+l Lösungen nur die k letzten unabhängig. Die Gleichungen (8.) haben dann noch m-2k-1 von diesen verschiedene Lösungen, also mindestens eine, so lange k ,,,O~r> von Null verschieden. Dann ist auch die partiale Determinante 2rten Grades aP> of'> 01r Orr

Ort

1~(J~I)

-(J~l)

,_

l

-(J~r)

a„1

a,.,.

0(r)

(J(l) r

0 rcr)

0

0

- ß2

0 0 der Determinante (17.) von Null verschieden. Da.gegen verschwinden in der Determinante af'> 01„ 1

-a1

1>

-(J~I)

0 c1)

"

0

.

a 0 0 welche eine Unterdeterminante von (17.) ist, alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades. Unter den Gleichungen (a.) a„1u,+ .. ·+aa,.u.. +a~1>u,.+1+"·+ar>u•+•· = o, (a=l, ... n) (ß.) a~eJu1 +, .. +a~e>u,. = 0 ((> = 1, ... r) sind daher nur 2r, die r ersten und die r letzten, unter einander unabhängig. Um sie a.ufzufösen, kann man für u,, . . . u„ irgend eine Lösung der Gleichungen (ß.) nehmen. Denn da R von Null verschieden ist, kann man immer aus den r ersten Gleichungen (a,) dazu passende Werthe von u„+1, . , . u,.+r finden. Sind nun Ai, -a{'>

275 irgend zwei Lösungen der Gleichungen (a.) und (ß,), sind also .A1 ,







und

.A.

B1 ,

B„

• • •

irgend zwei Lösungen der Gleichungen (ß.), so ist

B1+ .. ·+ao,. B,.+a~1>B..+1+ aie> .A1 + .. ·+a~e> .A,. = 0 Oat

00 •

+a~,r> B,.+,

= o,

(a = 1, ... n) (() = 1, ... r).

Multiplicirt man daher die n ersten Gleichungen der Reibe nach mit .A1 , und addirt sie, so erhält man in Folge der r letzten Gleichungen .z~a„p.AaBfl

a,{J

=

•••

.A„

0.

Es verschwindet also die bilineare Form W, wenn man fttr die Variablen irgend zwei Lösungen der Gleichungen U1 = 0, . . . U,. = 0 setzt. Es lässt sich leicht zeigen, dass diese Gleichungen die kleinste Anzahl congruenter linearer Relationen bilden, die zwischen den Variablen der bilinearen Form W bestehen müssen, damit sie verschwindet. Denn sei W = :IaapUufltJ eine bilineare Form, die nicht altemirend zu sein braucht, und über deren Determinante vorläufig nichts vorausgesetzt wird. Seien ferner

= afe>u1+ .. ·+a~~>u,.

Ue

((>

= 1, ... r)

ist. Wir nehmen an, dass W = 0 ist, wenn flir die Variablen irgend zwei Lösungen der Gleichungen U1 = O, . . . U, = 0 gesetzt werden. Ist dann B1, . . . B„ irgend eine Lösung dieser Gleichungen, ist also r unabhängige lineare Formen, wo r zunächst eine unbestimmte Zahl

afe> B1 +···+a~e> B,.

(r,)

= O,

(() = 1, ... r)

so ist eine lineare Form, welche verschwindet, wenn die Formen U1 , • • • U, sämmtlich Null sind. Daher müssen sich r Multiplicatoren B,.+ 1 , • • • B,.+, so bestimmen lassen, dass Z(ZaapBp)Ua Cl

/l

=

-B.. +1U1-·"-Bn+r U,

ist.· lJie W erthe der Multiplicatoren bestimmen sich aus r der n Gleichungen (cl'.)

f aufJBp+a~1>B,.+ + 1

00

·+af:> B,.+, = O,

(a

= 1,

. , , n)

welche so auszuwählen sind, dass in ihnen die Determinante

rteo

Grades

276

der Coefficienten a~el nicht verschwindet. Die so bestimmten W erthe genügen dann auch den übrigen n-r Gleichungen (h.). Die Gleichungen (r,) und (cJ.) sind zusammen n+r Gleichungen zwischen den Grössen B1 , ••• B,., B,.+ 1 , ••• B,.+r, und alle Werthe der Unbekannten, welche 2r dieser Gleichungen (nämlich die r Gleichungen (r,) und passende r der Gleichungen (cJ.)) befriedigen, genügen auch den übrigen n-r. Daher müssen in der aus den Coefficientcn dieser Gleichungen gebildeten Determinante a~r)

Gu

G1n

aP)

a„1

a,.,.

aCI)

-aP)

-a~1)

0

" 0

-a~r)

-a~l

0

0

n

..

a a~+e>-a2"+e) a'fl), ('

tJ a -

~r C

~1

~

a ... -a{r)

tJi2r)

...

. ...

.

ar> . • . ar> ~+1) . . • a~2r) 0 , .. 0 Ca ... c, 0 ... 0 1 .•. 0

ar+l)

0 ... 0 -1 ... 0

... a.r>

C1

1

0 0

... 0

0 0

0 ... -1 0

... 0

0

... 1

-,J;.11

... -a!')

... c, ..• 0

0 0

0 0

...

1 ... 0

0 1

0 0

... 0

0

1

erhält man daher die Determinante

..

. (20.)

a„1

a,.,.

a„

-a,

-a,. -a~1>

0

-aP1

...

-ai'> - ar> -afr+l) ... -a~+l)

-ai2r>

...

. .

-a~2r>

0 0 -Ci

(J~I) • • •

a~> ~+11 ... a$?">

0 0

0 0

C1

c,

1

0

0 -1

0 0

0 0

1 0

0

0

...

-c, 0 ... -1

Da jedes der beiden Systeme, aus denen diese Determinante zusammengesetzt ist, nur 2r Colonnen enthält, so mttssen in derselben alle partialen Determinanten (2 r +1)teu Grades verschwinden. Dieser Satz lässt sieh leicht umkehren. Wenn in der Determinante (20.) alle partialen Determinanten (2r+1)ten Grades verschwinden, so gilt dies auch fttr das Elementensystem, das man ans (20.) durch Unterdrttekung der (n+l)ten Colonne erhält. Die ans den letzten 2r Zeilen und Colonnen gebildete Determinante ist gleich 1, also nicht O. Bestimmt man daher die Werthe der Unbekannten ti1,

• • • . .,,.,

- V..+ll

• • •

-

Y2,,

Yi, .. . . V,

aus 2 r linearen Gleichungen, deren Coeffieienten die Elemente der letzten 2r Zeilen jenes Elementensystems sind, so genttgen dieselben auch jeder Gleichung, deren Coeffieienten die Elemente irgend einer Zeile desselben

279 bilden.

Aus den 2 r Gleichungen

a{e> 0 1 + .. ·+ aie> "•

= V,

(() = 1,

... 2r)

folgen also die Gleichungen G101+ ..

·+a..o. = C1 Yi+ .. ·+c,.Y,.,

a..,01+ .. ·+aa•"•

= a~1>Yr+1+ .. ·+aY2r-a~+1>v,- ... -a~,.>Y,.

(a

= 1, ... n).

Multiplieirt man die letztere mit u„ und summirt nach a, so erhält man, wenn man noch zur Abkttrzung (() = 1, ... 2r) setzt, Z:a„ 11 u„o1 = Ei Ue Y,.+,-U..+e V,. (19.) •.ft e Da die Determinante (11.) eine Unterdeterminante von (20.) ist, so müssen auch in ihr alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades verschwinden. Daraus ergiebt sich leicht, dass auf dem oben angegebenen Wege alle Transformationen der Formen U und W in die Formen (18.) und (19.) gefunden werden.

§.10. Allgemeinste Transformation zweier Formenpaare von gleicher Invariante p = 2r in einander.

Unter den im vorigen Paragraphen gemachten Voraussetzungen mttssen in der Determinante (16.), die eine Unterdeterminante von (20.) ist, alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades verschwinden, weil sie durch Zusammensetzung der beiden Elementensysteme

a~1> , •. • a~> ar+1> • • , a~2r)

entsteht. Wenn in diesen Systemen die Determinanten 2 rten Grades slimmtlich Null wären, wenn also die 2r Formen U1 , ••• U2r nicht unabhängig wären, so wttrden auch in (16.) alle partialen Determinanten 2rten Grades verschwinden. Ist also 2r gleich dem höchsten Gradem der in (16.) nicht verschwindenden Unterdeterminanten, so müssen jene 2r Formen unabhingig sein. Folglich ist die rechte Seite der Gleichung (19.) eine alternirende bilineare Form der 2.2r una/JA;Jngigen Variablen U1, ••. U2r; Y1, ..• Y2r,

280

während die rechte Seite von (18.) eine lineare Form von U1 , ••• Ur ist. Diese Formen sollen die reducirten Formen von U und W genannt werden. Bei dieser Reduction ist weiter keine Annahme über das gegebene Formenpaar gemacht worden, als dass seine Invariante p den W erth m = 2r habe. Ist also ein zweites Formenpaar derselben Invariante gegeben, so lässt es sich auf die Gestalt """ , , I =OapUafJp = Z1r U'eV,'r+e- U.'r+.e V'e' e

Za~u~

= zrceU~ e

,

bringen, wo u;, ... u;, 2r unabhängige lineare Formen von u~, u,., und v:, . . . v;, die nämlichen Formen von .,~, ... .,~ sind, und wo man für c1 , ••• c, dieselben Grössen nehmen kann, wie in (18.) *). Setzt man daher ((>

= 1, ... 2r),

so wird das erste Formenpaar mit dem zweiten identisch. Da U1 , • • • U2, (und ebenso U~, ... u;r) unabhängig sind, so kann man zu diesen 2r linearen Formen noch n-2r andere U2,+i, .•. U,. (lr;,+1, ..• U~) hinzufügen, die mit ihnen zusammen n unabhängige Formen von u11 ••• u„ (u~, . . . u~) bilden. Löst man, dann die Gleichungen

U,.

= V:..

(a

= 1,

... n)

nach u1 , • • • u„ oder u~ , . . . u~ auf, so erhält man eine Substitution, welche mit der congruenten die beiden gegebenen Formenpaare in einander überführt. Folglich ist für zwei Formenpaare die Uebereinstimmung der Invariante p = 2r die hinreichende Aequivalenzbedingung **). Es ist leicht zu beweisen, dass auf diesem Wege alle (congruenten) Transformationen der beiden Formenpaare in einander gefunden werden. Denn sei (5.) irgend eine Substitution, vermöge deren ZaapUaf>fJ

= Za~/JU~fJ'p

und Za u,. = Za~u~ 0

*) Sollten a1 , • • • a„ alle Null sein, so wäre dies nur möglich, wenn auch a', , . • . a;. alle verschwinden. **) Dazu kommt noch selbstverständlich die Bedingung , dass zugleich mit a., . . . a,. auch a'1 , • • • a;. alle verschwinden.

281

wird. Dann lassen sich, wenn c1, . . . Cr gegebene Constanten sind, 2r unabhlLngige lineare Formen u; von ~, . . . u: so bestimmen, dass

o; = .2' u; Y.'.+e - U;+e v; Und .2' = .2' Ue ist, wo v; dieselbe Function von o~, ... o: ist, wie u; von u~, ... u:. Wenn nun u; und v; durch die inverse Substitution (5•.) in U, und Ye .2'a',., U~

0~ U~

Ce

iibergeben, so verwandeln sieb diese Gleichungen durch dieselbe in

Ur+e fe und :Ea„u.. = :Ece ue. Nach §. 9 sind daher die Functionen Ue und Ve unter denen enthalten, welche durch das in §. 8 und §. 9 angegebene Verfahren gefunden werden. Zn den ans (5.) folgenden 2r Gleichungen Ue = u; kann man stets noch n-2r hinznfttgen, welche zusammen mit jenen 2r die Gleichungen (6.) vollständig ersetzen. Bringt man also von zwei gegebenen Formenpaaren das eine in einer bestimmten und das andere in der allgemeinsten Weise auf die redncirte Form, so enthalten die Gleichungen Ue = U~ (u1 +"·+a~O)u„ in eine Form der ersten Gruppe verwandeln. Man kann z. B. Uu = U nehmen. Die allgemeinste derartige Form erhält man aber, indem man U0 - U gleich einer homogenen linearen Fnnction der Ableitungen von W mit willkürlichen Coefficienten setzt. Da dann

282

die Invariante des Formenpaares U- U0 , W gleich 2r ist, so kann man die linearen Formen Ue -- au 1 , + .. ·+ale>u,., ~

((>

= 1,

... 2r)

Ye = afe> 1'1 + ... + a~e> .,"' so bestimmen, dass (18*.) U = Uo+ z,ce Ue, e (19*.) W = Ue V..+e -U,+e Ve e wird, wo c1 , • • • c, beliebig gegebene Constanten sind, die im Falle Uo = U alle gleich Null sein müssen, sonst aber nicht alle verschwinden dürfen. Wenn umgekehrt die Formen U und W in irgend einer Weise auf die Gestalt (18*.) und (19*.) gebracht sind, so ist die Invariante des Formenpaars U-U0 , W gleich 2r, und daher wird U0 in der oben angegebenen Weise gefunden, und dann liefert das in §. 8 und §. 9 angegebene Verfahren die Formen U1, • • • U2,• Der hier eingeschlagene Weg f'Uhrt also zu der allgemeinsten Reduction des gegebenen Formenpaars auf die Formen (18*.) und (19*.). Aus diesen Gleichungen folgt aber, dass a„p = ria~e>a~+e>-a~+e>at,

z,

e

a,.

= Co+ Ei ce a~e> e

ist. Daher entsteht die Determinante (16.) durch Zusammensetzung der beiden Elementensysteme a a "

L1a:, gleich Null gesetzt werden. Das Gleichungssystem (21.) oder (21 *.) soll das dem System par-

289 tieller Differentialgleichungen (28.) augeordnete oder adjungirte System totaler Differentialgleichungen genannt werden. Die Anzahl der Lösungen der partiellen Differentialgleichungen (28.) ist gleich der Anzahl der Integrale der zugeordneten totalen Differentialgleichungen (21.). Je nachdem die einen ein vollständiges System bilden oder nicht, bilden auch die anderen ein solches oder nicht. Die Bedingungen daftir, dass das System totaler Differentialgleichungen (21.) oder das adjungirte System partieller Differentialgleichungen (28.) ein vollständiges ist, sollen die lntegrabilitätabedingungen genannt werden. §. 14. Ableitung der Integrabilitätsbedingungen aus der Jacobi-Clebschschen Theorie der partiellen Differentialgleichungen.

Damit das System partieller Differentialgleichungen (28,) ein vollständiges sei, ist nach Jacobi und Clebsck (dieses Journal, Bd. 66, S. 268) die folgende Bedingung nothwendig und hinreichend. Sind A (f)

ar ar = A1 ~+···+A .. ~ v:Z: o:r„ = O, ar

1

ar

B(n= B1~+···+B,.~ =0 v:z: v:i:,. 1

irgend zwei der Differentialgleichungen (23.) (oder lineare Verbindungen derselben), so muss auch

!f

A(B(f))-B(A(f))=(A(B1)-B(A1)) o:i: +"·+(A(B,.)-B(A,.)) 1

dem Systeme angehören.

Es müssen also alle W erthe U1

= 01,

, , ,

U,.

= a.. ,

welche den Gleichungen (13.) genügen, auch die Gleichung ~(A(B,.)-B(A,.))p,,

=

0

befriedigen, welche ausgerechnet z(Ap aB,. -Bp aA,. )a,.

a,p

lautet.

Nun ist aber

o:i:p

o:i:p

=o

!f =0

o:Z:n

290

und daher

An Stelle der obigen Gleichung kann man also setzen

=

-.EApBa aaa,. +.EBpA„ aaa,. Zp

a,fl

XfJ

a,/J

O,

oder wenn man zur Abkürzung (6.)

aa„

aa{J

oXp

Xa

= -s----a

aa/J

setzt,

~a„11 A„B/J = 0. In dieser Gleichung braucht man für A1 , ••• A,.; B1 , ••• B„ nnr je zwei verschiedene Reihen der Grössen (12.) und für a1 , ••• a„ nur der Reihe nach die Grössen (14.) zu nehmen. Dann ist sie auch (Vgl. Cleb,ck, dieses Journal Bd. 65, S. 258) erfüllt, wenn man aa-- µ."Emf'"' aCI'>

setzt.

B, ,-- .."Es AC0 > , a a

A a-1! - ZrII ACe> a,

Denn ihre linke Seite geht, wenn man (6*.)

setzt, in ~(m aC/l) µ



reA 8 A(a) +(a .Z aCµ> A .Z a A a,f)

ufl

a

,, '

u

a

a '

fl

fl

fl

linear zusammengesetzt, von denen die erste nach der Annahme, die beiden anderen nach Gleichung (11.) verschwinden. Damit das System totaler Differentialgleichungen (21.) ein vollständiges sei, ist also nothwendig und hinreichend, dass die m alternirenden bilinearen Formen (Covarianten) Wµ

=

."Ea ... a~m>

von Null verschieden. Sind dann 0 1 , ••• am beliebig gegebene Grössen, so kann man stets eine lineare Verbindung der Differentialausdrflcke (21.) bilden, in welcher die Coefficienten von da:1 , • • • ckm die W erthe a,, . . . a,,, haben, da zu dem Ende nur m lineare Gleichungen von nicht verschwindender Determinante M aufzufösen sind. Man kann folglich eine lineare Verbindung der gegebenen Differentialgleichungen (22.)

tJ1 d11:1

+ ••• +am th;m + am+l d:t:m+l + ... + a,._, d:z:,._1

bilden, in welcher a1 , die bilineare Form

• • •

am die Variable

:c. nicht enthalten.

=

0

Dann muss

W = ~a„pu„fJp fl1r jedes Paar von Lösungen der Gleichungen (10.) verschwinden. In einer solchen Lösung ist aber der Werth von fJ• ganz willkürlich, weil fJ„ in allen Gleichungen (10.) den Coefficienten Null hat. Daher muss in W

294

der Factor von "~ -" ) (II,

aam+l

-.-Um+1

Ö$,.

+" ' + -!'I-U·-1 aa,._1 u$ ~

11

verschwinden, wenn u,, . , . u,._ 1 den Gleichungen atlu1+.. ·+a~_\un-1 = 0 (µ = 1, ... m) genügen. Bei der Auflösung dieser Gleichungen kann man aber, da M von Null verschieden ist, den Grössen um+i, . . • u,._ 1 völlig willkürliche Werthe ertheilen. Daher müssen in der linearen Form (d'.) die Coefficienten

0:"

u$,.

=0

sein.

In dem Ausdruck (22.) kommt also die Variable a:. über-

haupt nicht mehr vor. Sind nun ((1, o = 1, ... m) m1 solche Functionen von a:1 , ••• a:,._1, dass die Determinante I W> 1 von Null verschieden ist (z. B. b~") gleich O oder -1, je nachdem (1 und o verschieden oder gleich sind), so kann man m lineare Verbindungen der Differentialgleichungen (21.) bilden, in deren oter der Coefficient von da:, gleich b~a) ist. Dieselben sind unter einander unabhängig, weil Ibi0 l! nicht verschwindet, und enthalten die Variable a:.. nicht mehr, weil die Coefficienten der Differentiale da:,, • • . da:m von a:,. frei sind. Auf den somit erledigten speciellen Fall lässt sich der allgemeine durch Einführung neuer Variablen zurückführen. Dies ist klar für m = n-1. Denn führt man die n-1 Integrale an Stelle von n-1 Variablen ein, so kommt in den transformirten Differentialausdrücken das Differential der nten Variablen nicht mehr vor. Den Fall m < n-1 führt man auf den Fall m = n-1 zurück, indem man zu den gegebenen m Differentialgleichungen noch n-m-1 andere (z. B. da:m+ 2 = 0, ... da:,.= 0) hinzunimmt, mit anderen Worten: Sei A1 , ••• A„ irgend eine Lösung der Gleichungen (10.), in der etwa A„ von Null verschieden sei. Dann haben die Differentialgleichungen da:1: d:c.i : ••• : da:,. = A, : A2 : •.. : A„ n-1 Integralgleichungen, die n-1 willkürliche Constanten a:~, ••• a:~_ 1 enthalten, und die auf die Form (e.) a:,. = Gn a•• (24.)

a

-G~\)

0

• 0

-af"'>

-a~"'>

0

0

a••



alle partialen Determinanten (2m+l)ten Grades verschwinden. Zu dieser zweiten Form der Integrabilitätsbedingungen (in der tllr die Coeffi.cienten von W der Reihe nach die von W,, . • • W,,. zu setzen sind) kann man direct auf folgendem Wege gelangen. Sind dfi, • • • df,,. m verschiedene Verbindungen der m Differentialausdrttcke (21.), so sind auch umgekehrt letztere m unabhängige Combinationen von df,, ••• df,.., (ex.)

aY,>d:1:1+ .. ,+a~>fk.

= gfu1df,+ .. ·+u':1df,,..

Sollte das gegebene System von Differentialgleichungen ausser den m unabhängigen Gleichungen (21.) noch andere

a{1>da:1 + .. ·+a~1>da:. = 0

(1 = m+l, ... l)

enthalten, die lineare Verbindungen derselben sind, so sollen dieselben tJber1,iJ/tlige genannt werden. (Vgl. Chrvtofel, dieses Journal Bd. 68, p. 247.) Da sich ihre linken Seiten auch aus d/1 , • • • df,,. linear zusammensetzen lassen, so bestehen auch ftlr µ, = m+l, ... l Gleichungen von der Form (ex,) aus denen folgt, dass G..,,> Cl

= 9c..., az.. ar. +.. ·+u az„ ar.

,.. - 1 \fN -

l

'

- -+1'

• • • ..., •••

•••

'>

ist. Ist endlich (22.) irgend eine der Differentialgleichungen (21.) oder eine lineare Verbindung derselben, so ist auch a„ von der Form a..

und folglich ist (ß.)

a afl -

ar +... +g. az ar.... ' = g, az,. 1

aa.. - aap - z a,,,.

8zp

oz., -

.!!.2.e... _ .!!fL

,. 7f;;; cJa,p

ag,, •

azp 8:1:0

Durch Zusammensetzung der beiden Elementensysteme

297

ar, ·az,

of.,. agl az. azl

ßg"' a:c.

ßg11, agl oz, ... az.

ar, ofm au, az. •.. oz,. az.

ogm az„

ag, ar, au... ofm az„ . .. az. - a:e,. •.. - az,.

ar1

-

ozl

•••

ar„ - azl

0

0

gp>

g';,I) ffl

gp> ••• r,,:>

0

0

0

0

g\l)

gO> ,,.

g\1> ... g~?

0

0

entsteht daher die Determinante

(24*.)

au

ai„

ap>

ai >

a,., -aP>

a,.,.

a .

a(I> .

-tJ~I)

0

0

-aP>

-a!I)

0

0

1

Da jedes der beiden Elementensysteme nur 2m Colonnen enthält, so mttssen in dieser Determinante .alle partialen Determinanten (2m+ l)ten Grades verschwinden.

§.16. Dritte Form der Integrabilitätsbedingungen. Unter den Determinanten mten Grades des Systems a~r>, die nicht

alle verschwinden, sei, wie oben M

von Null verschieden. der Determinante (24.)



=

~

± ai'> ... a~:">

Dann ist die partiale Determinante 2mten Grades a1m

aP>

a{m> 1

am,,.

a

0

0

-a~;n>

0

0

~u ,

an11 -ap>

'"

=

M1

nicht Null. Damit also alle partialen Determinanten (2m+l)ten Grades derselben verschwinden, ist nach §. 5 nothwendig und hinreichend, dass die Hauptunterdeterminanten (2m +2)ten Grades Null sind, die man aus

298 au am1

(a.)

ae1 a„1 -ap>

. ..

a1,,,

a1e

a1a aP>

a,,,,,.

ame

a,,.a aCt) m ac1> aea e aaa a(I> a

aen• aee a.m a„e -a~I) -a~? -a(I) e

0

...

af"•> aC"•> m aC••> e a~"> 0

-

0

- af"'> . . . - a~;n> - a~"'l - a~ > 0 0 erhält, indem man für (' und a alle verschiedenen Paare ungleicher Zahlen von m+l bis n setzt. Daraus geht hervor, dass das System (21.) ein voll11

ständiges ist, wenn die (n-m)(;-m-f) Systeme (ß.) aP,> dx1 + ··•+ a~> dxm + at> dxe + a~u) dx 0 = 0 (µ = 1, . . . m), wo x,,.+ 1 , • • • x„ mit Ausschluss von x~, x als Constante zu betrachten sind, vollständige sind. Nun sind aber die Determinanten (a.) Quadrate. Anstatt die Ausdrücke, deren Quadrate sie sind, zu berechnen, wollen wir diese dritte Form der Integrabilitätsbedingungen auf einem anderen Wege ableiten. Wir betrachten zunächst den Fall m = n - 2, auf welchen sich nach der eben gemachten Bemerkung der allgemeine Fall zurttckfiihren lässt. n- 2 unabhängige lineare Formen von n Variablen 0

aP,>u1 +···+a~>u. (µ haben eine bilineare zugeMrige Form

a„cn-2>

= 1,

=

... n-2)

"""A a/1 ..,

Ua V/J *) ,

U,,.

v. *) Da diese Form das Zeichen wechselt, wenn man U, , ... U„ mit Y1 , ••• V„ vertausclit, so ist sie eine alternirende, ee ist also Aaa = 0 und ÄafJ = -Ap.,, Wählt man, was möglich ist, die 2n Grössen a~"- 1> und a~n) (a = 1, ... n) eo, dass die Determinante N = Z±aP> ... ~·> nicht verschwindet, so geht jene Form durch die Substitution U., = a~1>ll~+·+a~"> U~ (a = 1, ... n) (und die congruente) in eine andere ttber (N(U..-1 V~ V..-1)), welche nur zwei Variablenpaare enthält. Daher müssen (§.12) die partialen Determinanten dritten und höheren Grades des Systems A0 11 verschwinden. Die Quadratwurzeln aus den Hauptunterdeterminanten vierten Grades liefern die bekannte Relation

u:

299 wo U1 , • • • U,.; V1 , • • • V„ Variable sind, die den Veränderlichen u 1 , ••• u„ contragredient, d. h. durch die transponirte Substitution zu transformiren sind. Sind aber :EAapUa V„ und Zaafl"«"P eine Contravariante und eine Covariante eines Formensystems, so ist (Vgl. z. B. Aronkold, dieses J oumal, Bd. 62, S. 339) :EA paap eine Invariante desselben. Sind nun 0

n- 2 unabhängige Integrale der Differentialgleichungen (21.), so geht der Ausdruck (22.) durch die Substitution (i =x;, ... f,.-2 =x~-2 in a;dx~+ .. ·+a;._2dx~-2 a"-1- --d.-, aa;- = 0 1s. t. 11ber, wo a._ 1 = a,. = 0 und dah er auch a,.-1,.. = -.!:l-, 1

1

I

u:i:,.

:i:,._,

Folglich verschwindet für die n-2 Differentialausdrücke, in welche die Ausdrücke (21.) durch diese Substitution ttbergehen, die Invariante ZA:pa:p, da die Determinanten A:p mit Ausnahme von 1,,. verschwinden, diese aber mit Wenn aber diese Invariante für das trans1,.. multiplicirt ist. formirte Formensystem verschwindet, so muss auch ftlr das ursprüngliche System

A:_

a:_

sein*). Ist m < n-2, so ist das System (21.) ein vollständiges, wenn die sämmtlichen Systeme (ß.) es sind. Aus dieser Bemerkung ergeben sich (Vgl. Deakna, dieses Journal Bd. 20, S. 348) die Integrabilitätsbedingungen in folgender Form: Ist M von Null verschieden, und ist a,Ct) a{I) at1> aCI> ,,, a ~

a(a{P>d:1:1 + ... +a~>da:,.)

=

(Ä.

"

= 1, ••• m),

86 Setzt man den sich daraus ergebenden Werth 811:a

= Zp ~I'1>ac,,> "

in die

Gleichung (ß.) §. 15 ein, so erhält man a ,. a,..

= r,;. ~ (GB1 +···+a~>B,.

so ergiebt sich aus (26.) Za„pBp p

=

= O,



= 1, ...

m),

ZaC.:>(.2'bC,:>Bp), oder wenn man ,.. p

301

f b}j> Bp = - B,.+,.

setzt. Z a0 pBp+Z a B11+,-

(/i.)

fl

p

= 0.

(a

= 1,

... n)

Aus den Gleichungen (ß.) und (a.) lässt sich aber, wie in §. 9, schliessen, dass . in der Determinante (24.) alle partialen Determinanten (2m +l)ten Grades verschwinden. Der dritten Form der Integrabiliuttsbedingungen wollen wir eine mehr symmetrische Gestalt geben. Seien uc;> (a = 1, ... n; 11 = 1, ... n-m-2) willkürliche Grössen und sei ai1>

a~•>

a1"'>

up>

a

uc11-m-2) ,.

U1

u„

V1

V„

.1 =

~AaflU„Vfl.

Da diese Determinante verschwindet, wenn man U1 , • • • U„ gleich ay>, ••. a~> setzt, so ist identisch Z Aapa~> Vp = 0 und daher a,ß

Za Äapa

=

0

und ebenso

Zp A pa

fl 0

Wenn man daher die Gleichung (26.) mit A a und ß summirt, so erhält man ~ A„pa„p

(26*.)

=

0

p

=

0.

multiplicirt und nach

0.

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine ganze Function der willktirlichen Grössen u~~>. Da ihre Coefficienten einzeln verschwinden müssen, so fasst die Gleichung (26*.) die sä.mmtlichen Gleichungen (26.) in eine zusammen. Nach §. 8 kann man stets zwei Lösungen der Gleichungen (10.) so bestimmen, dass Aap

=

A„Bp-ApB„

ist, eine Bemerkung, mittelst deren sich die dritte Form der Integrabilitä.tsbedingnngen unmittelbar auf die erste zurückführen lässt.

302

§. 18. Eigenschaften vollständiger Systeme.

Die Gleichungen (a.)

(1

= a1,

• • •

fm

= a,,.

sind m verschiedene Integrale des vollst:ändigen Systems (21.), wenn df1 , • • • df„ m unabhängige lineare Verbindungen der Ditferentialausdrllcke (21.) oder die letzteren m unabhängige Verbindungen der ersteren sind. Folglich verhalten sich die Determinanten mten Grades der Coefficienten a, wie die entsprechenden Determinanten mten Grades der Ableitungen ~(,., , o:e.

und eine solche Determinante des einen Systems, z.B.

~± 88f. ··· 88'· {IJI

flJ,n

,

verschwindet oder nicht, je nachdem die entsprechende des andern ~±aP>... a~m> Null ist oder nicht. Ist ferner k < m, so ist eine aus den Elementen von irgend k Colonnen des einen der beiden Elementensysteme a'f> oder 88f„ 11:. gebildete partiale Determinante kten Grades eine homogene lineare Verbindung derjenigen partialen Determinanten kte 0 Grades, welche sich aus den entsprechenden lt Colonnen des andern Systems bilden lassen. Es müssen also alle Determinanten J,ten Grades, die sich aus k Colonnen des einen Systems, etwa (ß.)

ar„

ar,.,

011:• ... 811:1

(u

= 1,

... m)

bilden lassen, verschwinden oder nicht, je nachdem alle Determinanten kten Grades, die sich aus den entsprechenden k Colonnen des andern Systems (r.)

a\f.l> ... a~>

(1.1,

= 1, ...

m)

bilden lassen, Null sind oder nicht. Da die Functionen ( 1 , • • • f"' der Variablen x 1 , • • • :r:,. unabhängig sind, so müssen sie auch, als Functionen gewisser m dieser Veränderlichen betrachtet, unabhängig sein. Nach solchen m Vai.iablen lassen sich die Gleichungen (a.) auflösen. J1:s kann aber sein, dass es Gruppen von m Variablen giebt, in Bezug auf welche jene Functionen nicht unb.bhängig sind, es kann sogar der Fall eintreten, dass es Gruppen von k (da:,+···+b~~tdm„+k=O

(l.=l, ... m+k)

zwischen n +lt Variablen, die sich nach cla:.+1, • • • da:,.+k auflösen lassen. Aus ihnen kann man durch Elimination dieser Differentiale genau m unabhängige Differentialgleichungen herleiten, welche . d:i: +1 , • • • d:i:,.+k nicht enthalten. Wir wollen nun annehmen, dass sich aus (cf.) m verschiedene Differentialgleichungen zusammensetzen lassen, welche nicht nur von jenen Differentialen, sondern auch von den Variablen a:11+1, ••• :z:,.+k selbst frei sind. Die Gleichungen (et.) lassen sieb dann durch m+lt Verbindungen von der Form (e.) afµl tla:,+ .. ·+a~ 1 da:,.=0 (u= 11 . . , m), (~.) a\tn-t•>da:1+· .. +a~ +•lda:,. = da:n+• (x = 1, ... lt) 11

111

ersetzen, in denen die Coefficienten a die Variablen a:,.+i, ••• a:,.H nicht mehr enthalten. Ich behaupte nun, dass die m Differentialgleichungen (E.) fUr sich ein vollsf.ändiges System bilden. Ist a.da:1 + .. ·+a,.da:,.

=

0

irgend eine dieser Gleichungen oder eine von :z:,.+1, • • • a:,.H freie lineare Verbindung derselben, so verschwindet ihre bilineare Covariante W

= :Z.a„fJUa1'p

fUr jedes Paar von Lösungen der m+k linearen Gleichungen (1],)

(8.)

a(P> u1+ .. ·+a~u> u = 0 (u = 1, ... m), at•+•>u1+ .. ·+a~•+•>u,. = U..+• (,e = 1, ..• lt). 11

Nun kommen 'aber in W nur die ersten n Variablen jeder Heihe vor, und bei der Auflösung der m + lt Gleichungen kann man die Werthe der ersten n Unbekannten allein aus den m Gleichungen (ri,) entnehmen, da sich aus

304

(8.) stets passende zugehörige Werthe ftir u,.+ 1 , ••• un+1o ergeben. Da also W ft1r irgend zwei Lösungen der Gleichungen ('1/,) verschwindet, so bilden die m Differentialgleichungen (i,) ein vollständiges System. Weil sie von a:,.+ 1 , • • • a:,.+k frei sind, brauchen auch ihre Integrale (a,) diese Variablt;n nicht zu enthalten. Wen• sick au, einem -,oU,tändigen Sg,tem t,On m+ k unabk/Jngigen Diferentialgleickungen m unabkiingige Diferentialgleickungen ableiten la,aen, welcke lt Variable nickt enthalten, und tDentt ,ich die gegebenett Diferettt;algleickungen nach dett Diferentialen die,er k Yariablen aufliJaen la,aen ~ 10 kaben ,ie m -,er,chiedene Integrale, u,elche dieae lt Yarialilffl mckt entkallen.

Machen wir jetzt die weitere Annahme, dass die Coefficienten der Differentialgleichungen (~.) die Variablen a:,.+ 1 , ••• :r,.+1 auch nicht enthalten, so lassen sich nach Integration der Differentialgleichungen (i.) die .Gleichungen (t.) einzeln durch Ausftibrung von Quadraturen integriren. Denn sei a: irgend eine der Variablen a:,.+ 1 , ••• °'•+1 (oder eine lineare Verbindung derselben mit constanten Coefficienten) und sei (,.) a1dx1+ ·+a„tk,.-tk = 0 irgend eine der Differentialgleichungen (~.) (oder eine Verbindung). Da (i.) und (~.) zusammen ein vollständiges System bilden, so muss die bilineare Covariante von (,.) ~a„11 u,,-, 11 , 00

in welcher die Veränderlichen u,.+ 1 , ••• u„H; -,,.+1 , ••• -,,..,.1: nicht vorkommen, gleich Null sein, wenn fttr die Variablen irgend zwei Lösungen der Gleichungen ('1/,) und (8.), oder, was dasselbe sagt, nur der Gleichungen (7J,) gesetzt werden. Sind 11, ••• '•-m Functionen von a:1, ... x,., welche zusammen mit (1, •.• fm n unabhängige Functionen von a:1 , ... a:. bilden, so sind auch a:1, ... a:,. Functionen von 11 , ••• '•-m, {1 , ••• {,,,. Bezeichnet man mit a:~"> das, was aus ~:: wird, wenn man darin x 1,

•••

a:,. als Variable einführt, so sind nach§. 14". *)

a:i">, , • , a:~"> (:v = 11 ••• n-m) n-m Lösungen der Gleichungen (7J,), Daher ist ~ a„11 :z:~e>a:J,°>

11,{I

=

O,

*) pag. 273; in der Ueberschrift des Paragraphen pag. 272 steht fil.lscblich §. 1f> statt §. 14".

305

und folglich ist auch, wenn man a:1, •.• a:. durch t1, ••• t,._ .. , {11 ausdrtickt, 0

= :, a„p o:c„ a,e T'

8:cfJ

ota

•••

Im

o ( o:ca ) a ( o:c., ) = a,; ";' a„ ote -a,; ";' a„ a,., . T'

T'

Mithin ist

~(~a., :;: )dtv das vollständige Differential einer Function 11' (t1, ••. t,._m, /1, ••• f m) =

d/1 +·.. +99'> df,., und es ist klar, dass sie sich insgesammt nicht aus weniger vollständigen Differentialen zusammensetzen lassen. Die Aufgabe der Integration eines unvollständigen Systems besteht darin, die Integrale eines vollständigen Systems zu ermitteln, zu welchem jenes durch die möglich kleinste Anzahl von Gleichungen ergänzt ist *), Die Differentialgleichungen (21.) verbunden mit d/1 = O, ... df, = O bilden ein vollständiges System, welches unabhängige und m überzählige Gleichungen enthält. Ist daher (22.) irgend einer der Differentialausdrücke (21.) oder eine lineare Verbindung derselben, und ist



Oa/1

=

aaa d:&f1 -

aap ß:ea '

so müssen nach t24*.) in der Determinante "11

a,,.

a[1>

af"'>

ar, a1,,.

a„1

aCI) ,.

a

a. -ai1>

ar, a:e, ar,

0

0

0

0

-a{m>

-~m)

ar, - d:el

0

arl

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(28.)

..

.

- ofr 0/Ct

-

ß:,;,.

..

-

Ö:,;,.

ar,

1

alle partialen Determinanten (2r+ l)te0 Grades verschwinden **). Nimmt *) Nach §. 13 heisst f = a ein Integral des (vollständigen oder unvollständigen)

Systems (21.), wenn df eine lineare Combination der Dift'erentialausdrttcke (21.) ist. Die Integrale (in diesem Sinne) werden als simultane Lösungen der partiellen Differentialgleichungen (23.) gefunden. In einem andereIJ. Sinne von Integralen des unvollständigen Systems (21,) zu sprechen, also etwa jede der Gleichungen f1 = al' .. , f, = a, ein Integral zu nennen, halte ich nicht für zweckmässig. Dagegen werde icn sagen, die Differentialgleichungen (21.) werden durch die endlichen Gleichungen (1 = a 11 ... fr = a, integrirt. **) Die bilinearen Covarianten der Dift'erentialausdrttcke (21.) verschwinden in diesem Falle nur für je zwei von gewissen n-r unabhängigen Lösungen der linearen Gleichungen (10.).

308

man also für (22.) die allgemeinste Combination der Dift'erentialausdrlicke (21.), und ist dann in der Determinante (24.), die eine partiale Determinante von (28.) ist, 2, der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten, so kann r nicht kleiner als • sein. Für den Fall m = 1 wird im folgenden Abschnitte bewiesen werden, dass r wirklich gleich • ist. Wenn es umgekehrt möglich ist, r unabhängige Functionen (i, . . . Ir so zu bestimmen, dass in der Determinante (28.) alle partialen Determinanten (2r+l)ten Grades verschwinden, so sind auch die Hauptunterdeterminanten (2r+2)ten Grades Null, z. B. ist, wenn a., ß, ... e irgend r+l der Zahlen von 1 bis n bedeuten, a....

- o/;1')

-

arl

a~)

arl

- aa:.. ''' - Ba:e 0 ofr

ofr

- aa:,. • · • - aa:,

a

II

Bfi ofr ar> aa:. · • • aa:, 0 0 0 0 O

a~>

2

arl arl aa:,. • •· aa:, =0.

-

Bfr

0

8:,;,.

O

...

Bfr ·''

011:e

O

Es verschwinden also in dem Elementensysteme aP,> a

ar.

arl aa:.

az„

ar,

ar, az„

aa:,1

alle Determinanten (r+l)ten Grades, und daher sind die r+l Ausdrücke ZaC,:>tJx,., Z ofx dx,., a

a 011:a

Z of, d:c„ a O:Da

nicht unabhängig. Da aber die r letzten es sind, so lässt sich der erste aus ihnen linear zusammensetzen *) af"> da:,+•··+ a5f> da:,. = g'f> dfi + ·· ·+g~> df,. *) Aus der Annahme, die unabhängigen Functionen fx, • . . (r lassen sieb so bestimmen, dass in der Determinante (28.) alle partialen Determinanten (2r+l)1•n Grades verschwinden, wttrde sieb diese Folgerung auch dann ziehen lassen, wenn das Zeichen a„fJ nicht die oben vorausgesetzte Bedeutung hätte, sondern eine ganz willkttrliehe GröBBe bezeichnete. Vgl. §. 23, Anm. n.

309

Ueher die Transformation linearer Differentialausdrücke erster Ordnung. §. 21. Die Invariante p. Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns jetzt zu dem eigentlichen Gegenstande unserer Untersuchung, der Lösung des in §. 1 aufgestellten Problems. Dabei werde ich mich so wenig wie möglich auf die Entwickelungen in den§§. 6-11 stützen, und sie mehr als Parallele denn als Grundlage benutzen. In §. 2 ist gezeigt, dass zwei Differentialausdrücke (4.) nur dann aequivalent sein können, wenn die Formen (7.) und (8.) aequivalent sind. Dazu ist aber nach §. 7 erforderlich, dass in der Determinante (16.) der bilinearen Covariante W des Differentialausdrucks (1.) der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten m derselbe sei, wie in der Determinante der bilinearen Covariante W' des transformirten Differentialausdrucks (1*.) *). Wenn der Differentialausdruck (1.) durch die Substitution (2.) in (l.*) übergeht, so verwandelt sich der Differentialausdruck a:0 ~a0 da:0 durch die nämliche Substitution, verbunden mit a:u = a:;,, in a::i~a:ax:. Daher muss auch für die Determinante der bilinearen Covariante dieses Differentialausdrucks

a:o a„1

a;, a,.,.

a„

-a1

-a„

0

der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten invariant sein, welches auch der Werth von a:u sei. Da aber, wie leicht zu sehen, in jeder partialen Determinante eine Potenz von a:0 als Factor heraustritt, so genügt es, die unbestimmte Grösse Xo = 1 zu setzen. *) Zunächst kann man zwar nur schliessen: Unter der Voraussetzung, dass die Variablen a:1, •.. a:! mittelst der Gleichungen (2.*) durch a:1, •.• a:,. ausgedruckt werden, verschwinden in der Determinante Z± a;1, ... a~,. alle partialen Determinanten (m t)1• Grades. Eine Function von ,i unabhängigen Veränderlichen aber, welche verschwindet, wenn flir dieselben n neue unabhängige Veränderliche eingefl1hrt werden, muss identisch Null sein.

+

0

310

Die beiden gefundenen Invarianten, die Mchsten Grade der in (16.) und (16.) nicht verschwindenden Unterdeterminanten, lassen sich, wie in §. 7, durch eine, ihr arithmetisches Mittel p, ersetzen. Auch hier wird es sich zeigen, dass die Uebereinstimmung der Invariante p nicht nur eine nothwendige, sondern auch die hinreichende Bedingung fttr die Aequivalenz zweier Ditferentialausdrttcke ist. Nennt man also die Gesammtheit der Ditferentialausdrttcke, in die sich ein bestimmter transformiren llsst, eine Klasse von Ditferentialausdrttcken, so können wir alle Ausdrücke von der Invariante p zur pteu Klasse rechnen. Auch hier wird sich die Nothwendigkeit herausstellen, die Ditferentialausdrttcke von gerader und von ungerader Klasse getrennt zu behandeln. Die Kriterien, mittelst deren man diese beiden Fälle von einander unterscheiden kann, sind in §. 7 ausftlhrlich entwickelt *). Um aber Wiederholungen zu vermeiden, werde ich zunächst die Ditferentialausdrttcke gerader und ungerader Klasse zusammen betrachten, wenngleich die folgenden Untersuchungen nur fttr den Fall einer geraden Invariante zum Ziele führen. §. 22. Die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen.

Ich setze voraus, dass in der altemirenden Determinante (16.) m=2r der Mchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten ist. In der Determinante (16.) kann dann nach §. 7 dieser Grad nur einen der beiden Werthe 2r oder 2r-2 haben. Im ersten Fall ist die Invariante p gerade (2r), im anderen ungerade (2r-1). Wenn die Substitution (2.) gegeben ist, so kann man zu jeder Function f(x1, ... x,.) die transformirte Function f (x~, ••. x~) berechnen. Umgekehrt kann man aber auch, falls man eine hinreichende Anzahl von Functionen f aufzufinden vermag, zu denen man ohne Kenntniss der Substitution (2.) die transformirten Functionen /' anzugeben im Stande ist, die Gleichungen f= f' zur Ermittlung der Substitution (2.) benutzen. Zu solchen Functionen gelangt man durch folgende Ueberlegung. Sind .11, ••• .11: Functionen von x 1 , ••• x,., welche durch die Substitution (2.) in s~, ... s~ übergehen, so verwandelt sich der Ditferentialausdruck *) Es sind also diese Kriterien an die Stelle der von Clebach (Bd. 60, S. 218) angegebenen zu setzen, welche nach §, 4, Satz IV nicht richtig sein können.

311

:i:uZa„tla:,.+a:.+1 d11 +·"+:x:.Hd.11: durch jene Substitution, verbunden mit

a:u =

a::,,

:X:•+•= :X:~+.

= Zb7 d:x:7

(,e = 1, ... k)

in Setzt man also

b

_ 8b

0

_

Ö:ep

aß -

8bp Öre,. '

so muss in der Determinante Z + b00 b11 , , , b,.. b•+•,•+l , , , b•H,•+1: der Mcbste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten invariant sein. Nun ist aber, wenn a, ß Zahlen von 1 bis n, und ", 1 Zahlen von 1 bis k bedeuten, (a,)

und daher 8r,i

baa = a0 , b•,•+1 = a:ea , b,.+.,o = b,.+•,•+l = 0. Da folglich in Jeder partialen Determinante von (a,) eine Potenz von :x:0 als Factor heraustritt, so genttgt es, :i:u = 1 zu setzen. Es muss also in der Determinante (ß,)

bafl

= :X:oOa(l,

a...

Gu

az•

C/161:

.

az.

a,.,.

a„

-a,.

0

0

0

az.

-"&;;

0

0

0

ÖZ1:

-

O

Ü

Ü

-a1 -

c•1

a•• az.

a„1

Cr,)

a,

azl

- az.

a,.,.

Ö!Gk

i)z,.

8z1: az„

der Mchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten derselbe sein, wie in der ans dem transformirten System analog gebildeten Determinante. Sind • 1 , ••• •1: ganz beliebige Fnnctionen, so wird jener Grad im Allgemeinen eine gewisse Zahl l sein. Fttr specielle Functionen kann er aber auch kleiner als I sein, und dann ist er für die transformirten Functionen

312

ebenfalls kleiner als l. Genttgen also die Functionen .Si, • • • zk den partiellen Differentialgleichungen, welche ausdrücken, dass jener Grad kleiner als l ist, so genttgen z~, ... t1~ partiellen Differentialgleichungen, deren Coefficienten aus den Grössen a~ und ihren Ableitungen ebenso zusammengesetzt sind, wie die Coefficienten jener Differentialgleichungen aus den Grössen a11 und ihren Ableitungen. Die Anzahl dieser Gleichungen ist um so grösser, je kleiner in (r.) der höchste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten ist. Da er nicht kleiner als m sein kann, so wollen wir möglichst viele unabhängige Functionen .1 1 , • • • .11 so zu bestimmen suchen, dass jener Grad gleich m ist. Auf die nämliche Weise, wie in §. 8 ergiebt sich, dass die Anzahl solcher Functionen nicht grösser als r sein kann. Ich werde aber zeigen, dass sich stets r unabhängige Functionen den gestellten Bedingungen gemäss bestimmen lassen. Wir wollen annehmen, es seien bereits k unabhängige Functionen .11 1 , ••• zk (wo k . . . BC/', (ß = 1, ... n-lr-1, n-k, ... n), so erhält man n Gleichungen von der Form ufl:1

(9.)

(,.)

u:,:,.

Ce1tk1+ .. ·+c,.da:.=O

(~=1, ... n-/r-1),

+•••+ Co,-+,1da:a+I = 0 1Cot da:1 + •••+ Caa da:.+ Co da:o + Co,a+l da:•+l (a = n-lt, ... n),

welche verbunden mit (x.)

a1da:1+ .. ·+a..cla:.

=0

315 die ersten n+l Gleichungen (30.) vollständig ersetzen, da sich auch umgekehrt diese aus jenen linear zusammensetzen lassen. Unter den Gleichungen (l>,), (,.) und (.ie,) sind da.her ebenso viele unabhängig, wie unter den ersten n+l Gleichungen (30.), also m. Lässt man nun die k+l Gleichungen (,.) weg, so sind unter den übrigen Gleichungen (l>.) und (.ie.), die von a:o, z,.+ 1 , ••• :r„H frei sind, noch mindestens m-k-1 unabhängig. Wenn sich aber aus einem vollständigen Systeme von m unabhängigen Differentialgleichungen m - (k +1) unabhängige Differentialgleichungen ableiten lassen, welche k+ 1 Variable nicht enthalten, und wenn sich die gegebenen Differentialgleichungen nach den Differentialen dieser k+l Variablen auflösen lassen, so haben sie m-k-1 verschiedene Integrale, welche diese k +1 Varia.blen nicht enthalten (§. 18). Ist nun f = a irgend ein Integral der totalen Differentialgleichungen (30.), so ist f eine Lösung der partiellen Differentialgleichungen, die man aus

~~+ .. ·+~ aar +A aaf11)0 +A,.+1aar +· .. +A,.+k~ =o OllJI lllo llJn llJn+l OIZl11+l: 11)0

erhält, indem man für A,., A, A.+i, . . . An+k der Reihe nach alle verschiedenen Lösungen der Gleichungen A1,

"•+ :r0 a„1 ~

00

• • •

u,. +a„u+az, OZt ·+a:oa..,.= O (a = l , ... n), 0~ t1„+1+ ·+y-u„+k ~ V~ 00

a,.~+ .. ·+a.. ~ = O, 11)0 'a:, a... ~ +... + aaz,. ~ = 0 a '

a:, a:o

a:,. Zo

(X =1! ' " k) 1

d. h. der Gleichungen (e.), setzt (§. 13). Ist / von mo, z,.+11 hängig, ist also

ar -a a: 0

=

ar o, -aa:,.+1

=

o, . . .

ar =

-!>-

vX,.+i:

so genügt f den partiellen Differentialgleichungen (29. ). folglich m - k-1 verschiedene Lösungen *).

+

•••

x,.+i: unab-

o, Dieselben haben

*) Fttr den Fall, dass m = n 1 ist, also dass n ungerade und• die Determi0 die Determinante (cY,) nante (16.) von Null verschieden ist, verschwindet fl1r k identisch, und dah,1r bleibt r. 1 ganz willkttrlich, Dies ist aber auch der einzige Fall, in welchem eine der Functionea Ze völlig unbestimmt bleibt. DaBB dieser Fall insofern als ein singulärer zu betrachten ist, bat schon Clebsok (dieses Journal Bd. 60, S. 228) bemerkt.

=

316

Die Gleichungen (s,), unter denen m unabhängig sind, haben n+l+k-m verschiedene Lösungen. In denselben sind auch die W erthe von u1 , ••• u„ unabhängig, da sonst (§. 3.) in dem Elementensystem(~.) die Determinanten (k+ l)ten Grades verschwinden würden. Die Anzahl der Differentialgleichungen (29.) beträgt daher n+l+k-m. Da sie n-(n+l+Tr-m) = m-lr-1 Lösungen haben, eo bilden sie ein vollständiges System. Sie werden, wie schon oben bemerkt, durch die Functionen s., . . . befriedigt. Sie haben daher m-2 lr-1 von diesen und von einander unabhängige Lösungen, also mindestens eine, eo lange Ir< r ist. Bei diesem Beweise wnrde Uber die Fnnctionen • 17 • • • •• weiter nichts vorausgesetzt, als dass sie unabhängig sind, und da.es in der Determinante (r.) alle partialen Determinanten (m+l)ten Grades verschwinden. Daher kann man :ft1r •1c+i eine ganz beliebige jener m-2k-1 Lösungen nehmen. Dann sind •,, ... •1c+i unabhängig,, und in der Determinante (J.) verschwinden alle partialen Determinanten (m+l)ten Grades. Folglich bilden, falle Ir+ l

m 2 1)

unabhängige Functionen

.1 1 ,

•••

.Ir

so zu

bestimmen, dass in der Determinante C, die man aus (31.) durch Ersetzung von a„p durch c„p erhält, alle diejenigen partialen Determinanten (m+l)te0 Grades verschwinden, deren Elemente man erhä.lt, indem man zu denen von M die irgend einer Zeile und Colonne von C hinzusetzt. Nach dem in §. 4 citirten Satze des Herrn Kronecker verschwinden dann alle partialen Determinanten (m+l)tao Grades, also auch die (2r+2)tao Grades. Daraus folgt dann, wie oben, dass il). dem System (a.) alle Determinanten (r+l)tao Grades verschwinden. Die hier mit Cap bezeichneten Grössen sind für den Fall m = n nicht mit denen identisch, die Cleback 1. c. mit b„fl bezeichnet, sondern sind die Elemente des adjungirten Systems. (Baltzer, Det. §. 6.)

§. 24. Allgemeinste Transformation eines Differentialausdrucks in die reducirte Form.

Seien z 1 , • • • z,,. irgend m = 2r Functionen von z 1 , unabhängig zu sein brauchen, und sei

• • •

z~ .lr+e dze = z~ a„ dz.,, e

also

"

und daher a

a/J

- aa.. - oap oa;p

oa;,.

z( ~ OZr+g e

oa;a oa;p

OZrH ~ )

a:z;.,

Durch Zusammensetzung der beiden Elementensysteme

oa;p .

z,.,

die nicht

320

os,. asl oa;. . • • 011:1

os,.+1

aa:1

. . .

as. 011:n

0 0

os,. • • · aa:,. 0 0

012, aa:.

021,,+1

aa:1

aa:,. • · • oa;,. .Zr+l

.12,

1

0

0 0

1 0

0 -1 0 0 erhält man daher die Determinante

a,,.

au

a,.,

(33.)

a1

a,.,.

.

as, az, - i:)a;, ... - i:)a;,. 8s,.+1 -~ ...

0"2,as. aa:1 - aa:1

äs.+1

.

0 0

1 0

0 1

0

0

0

äs,

a;;

a„

-a,. -a1 i:)r,, a,, - az• ..• - az,.

.

• • •

• • •

-

os,. aa:1

as, ö12, os,.+1 as, oa;. • · • aa;,. - oa;,. • • • - oa;,. 0 0 .z,+1 ... .12, 0 1 0 0

OS2,

OSr+l

0 0

0 -1

• • •

0 0

.

äs, os.+1 äa:1 0/IJl

. .

os,. as. oz„ ··· ä;: 0 0

ÖS,.+1

äz,.

0 0

...

1

81112,

0/IJl . .. ar.2r ... &;;

.Zr+l

l2r

0

0

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

. . 0

- ~ -1,+1

0152, -.a O -1 0 0 oz„ 2, Da von jenen beiden Elementensystemen jedes nur m Colonnen enthält, so müssen in dieser Determinante alle partialen Determinanten (m+l)te0 Grades verschwinden. Daraus ergeben sich die partiellen Differentialgleichungen für 1,+ 1 , ... 12,, welche für den Fall m = n von Clebsck, dieses Journal Bd. 61, S. 150, angegeben sind. Ferner zeigt sich, dass, wenn in der Determinante (16.), einer Unterdeterminante von (33.), nicht alle partialen Determinanten (2r +1)ten Grades verschwinden, der Ausdruck (1.) nicht auf die Gestalt (32.) gebracht werden kann, ein Resultat, von dem bereits in §. 22 (Formel 1J,) Gebrauch gemacht wurde. Endlich folgt, dass, wie auch der Differentialausdruck (1.) auf die Gestalt (32.) gebracht se4 immer z1 , ••• .z, -

OG2,

oz1

• .. -

321 so bestimmt werden mttssen, dass in der Determinante (81.), einer Unterdeterminante von (88.), alle partialen Determinanten (m+l)ten Grades verschwinden. Durch das in §. 22 gelehrte Verfahren werden also alle Functionen .11, ••• .1, gefunden, mittelst deren der Diff'erentia.lausdruck (1.) auf die Gestalt (82.) reducirt werden kann.

§. 25. Die Aequivalenz der Dift'erentialausdrttcke von gerader Invariante p = 2r. Wir haben den bisherigen Untersuchungen die Annahme zu Grunde gelegt, dass in der Determinante (16.) der h6chste Grad nicht verschwindender Unterdeterminanten m == 2r ist. Unter dieser Voraussetzung ist die Invariante p des Dift'erentialausdrucks (1.) entweder 2r oder 2r-1. Diese beiden Fälle wollen wir jetzt genauer discutiren. Ist p == m == 2r, so sind in der Determinante (lö.) die partialen Determinanten 2 rten Grades nicht alle Null. Da dieselbe durch Zusammensetzung der beiden Systeme (a.)

(a

und 01,,+1 11 .. •

aa:

o~r

o•,

""'&i - aa:11

.. ,_ 011,, aa:11

= 1, .••

n)

"J == 1, · · · •) 111

entsteht (Vgl. Cleb,ck, Bd. 60, S. 208), so können in keinem derselben alle Determinanten 2rten Grades verschwinden, und folglich sind die 2r Functionen .11, • • • .Im unabhängig. Hat nun der Dift'erentialausdruck (1 •.) ebenfalls die Invariante p = 2r, so muss er sich in derselben Weise, in der sich (1.) auf die Form (32.)

~ada:

= Z~.lr+ed•e e

bringen lässt, auf die Gestalt (82•.)

~a'th:'_ = Z.1~+,d.1~ e reduciren lassen, wo .1~, ... .1~ ebenso wie .1 1 , ••• abhängig sind. Die Substitution

•m unter

einander un-

(34.) .1,. = .1~ (µ == 1, ... m), durch welche weder die Veränderlichkeit von a:1 , • • • a:. noch die von a:~, . . • a:~ beschränkt wird, flihrt also die beiden Dift'erentialausdrttcke (1.) und (l*.) in einander ttber. Die Uebereinstimmung der Invariante p == 2r

322

ist also die hinreichende Aequivalenzbedingung. Sind hängige Veränderliche, so ist demnach der Ausdruck .lr+l da,+ ..

(36.)

.11 ,

•••

.1.

unab-

·+ •2rd•r,

in welchen sich alle Ditferentialausdrttcke der Invariante 2 r transformiren lassen, eine reducirte Form (im Sinne der Zahlentheorie), insofern er die Aequivalenz aller Formen der Invariante 2r in Evidenz setzt, und darf daher mit Recht als RepräBemant der Ditferentialausdrttcke 2 rter Klasse hingestellt werden. Bringt man (1*.) in einer bestimmten und (1.) in der allgemeinsten Weise auf die reducirte Form, so stellen die Gleichungen (34.) die allgemeinste Transformation*) der beiden aequivalenten Ditferentialausdrttcke in einander dar, was sich auf die nämliche Weise, wie in §. 11 beweisen lKsst. Jede Substitution, welche (1.) in (1*.) Uberflihrt, kann daher auf eine solche Form gebracht werden, dass sie nur p nothwendige, dagegen n-p 11berß11ssige Gleichungen enthält. Nehmen wir aber an, dass die Invariante p des Differentialausdrucks (1.) gleich m-1 = 2r-1 ist, so sind in der Determinante (16.) alle partialen Determinanten 2rten (und (2r-1)ten) Grades Null. Daher milssen auch in dem Systeme (a.) alle Determinanten 2 rten Grades verschwinden, und folglich besteht zwischen .1,, • • • .1111 eine Relation**). Dieselbe enthält, weil .11, • • • •r unabhängig sind, eine der Gr6ssen .lr+1, • • • ••, etwa .1111 , lässt sieh also auf die Form *) Von den Transformationen der redueirten Form in sich selbst will ich hier wenigstens eine, der Legendreschen Substitntion analoge, erwll,hnen. Ist • eine bestimmte der Zahlen von 1 bis r und ,-. ; ,•elllr+e 1 - - -_

e

so ist

.l!r+•

dZ,. = Z•ed~ lllr+• Daraus ergiebt sich die Gleichung •



,.E Sr+e dse

deren rechte Seite, da d Sr+. Zr+•

z...

+z

lllr+e d•e· lllr+•

= Sr+• d Z,. - ,Z •e flr+• d Sr+a Zr+e 1 = 0 ist, nur aus r Gliedern besteht.

In Folge dessen

genttgen die Quotienten Sr+e den nll.mliohen partiellen Dift'erentialgleiehungen wie die lllr+• Functionen •, selber. **) Bestll.nde zwischen s 1 , • • • •,,. mehr als eine Relation, so wllrden in dem Systeme (•·) alle partialen Determinanten (2 r -1 )1•• Grades Null sein. Es ver-

323

(ß.)

.Im

= /(•,' ••• •-1)

bringen. Wird nun ein anderer Di:ft'erentialausdruck (1*.) von der Invariante 2r-1 auf die Form (82*.) gebracht, wo

-~ = r sungen dieser Differentialgleichungen ermitteln, welche a: wirklich enthalten. Setzt man eine solche einer Constanten gleich, so ist sie (§. 13) ein von :e,.+1, • • • a:,.+1: freies Integral des Systems totaler Differentialgleichungen, das von den Gleichungen (9-.), verbunden mit

a1d:e1+ ·+a„da:,.-da:

(l.)

00

=

0

gebildet wird. Man erhält also jede Li>sung der partiellen Differentialgleichungen (;e,), indem man ein Integral der totalen Differentialgleichungen (8-.) und (l.) 1 das die Variable a:, nicht aber a:,.+11 ••• a:,.+1: enthält, nach a: aufli>st. Die totalen Differentialgleichungen (S.) haben m unabhängige Integrale, von denen m- k (µ.)

f1+1

=

aHl 1

• • •

(m = am

von a:,.+1, ••• :z:,.+1: frei sind. Nachdem sie ermittelt sind, werden nach §. 18 fttr a:,.+i, • • • a:,.+1: durch Quadraturen Ausdrttcke von der Form (v.)

a:,.+1 = /1

+a1,

• • •

a;,.H:

= (1:+«1:

gefunden, in denen (1, • • • (1: Functionen von :z:1, • • • z„ sind.

Die m-k

329

Gleichungen (µ.) und die k Gleichungen (i,,) bilden m unabhängige Integrale der Differentialgleichungen (9.). Wegen der Unabhängigkeit von ft+i, ... fm ist es möglich n-(m-k) Functionen u, .,, ... der Variablen x1 , ••• x„ so zu wählen, dass IH1, ... f,., u, .,, ... n unabhängige Functionen dieser Veränderlichen sind. Dann sind auch umgekehrt a:1 , • • • x„ Functionen jener Grössen, oder wegen (µ.) allein von u, .,, ... , und mittelst der Gleichungen (i,.) lassen sich auch x.+1, ••• x,.+1 durch diese Variablen ausdrücken. Die so bestimmten Functionen der Veränderlichen u, .,, ... genttgen den Gleichungen

a Otel as, o'O +···+a.,,. az,. öo + öie„ as„ aie + ... + as„ aie,. = 0 öie, au Öte„ au •1

Ös1 oo +.. ·+ oie„

Öten+t

ou = 0

oa:,,H

1

(

= 1' ' ' ' n) (,e = 1, ... k). a

Multiplicirt man die ersten n Gleichungen der Reihe nach mit ~:· , . . . ~:und addirt sie, so erhält man in Folge der letzten k Gleichungen



az„ aa:tJ

Z1a„p~~= a.{J QU vlJ

oder

O

a ( -a. ~ aie. ) a (-a ~ aie,. ) au -Tu . ~ = 0.

Tv

Daher wird a, dm1 +,,, +a„ da:,. ein vollständiges Differential, wenn man für z 1 , • • • x„ ihre Ausdrücke in u, ., , • . . setzt. Durch Integration der Differentialgleichung (l.) ergiebt sich also eine Gleichung von der Form X

=

1/J(U, t,,

oder weil u, .,, ... Functionen von a:11 x

=

, ,

,)+a,

•••

x„ allein sind

{J ist. *) ElliptiacAe Funclion nennen wir nach Herrn Weier,trau Jede doppelt periodische Function, welche im Endlichen tlberall den Charakter einer rationalen hat, d. h. in der Umgebung jedes endlichen Werthes a in eine nach ganzen Potenzen von u-a geordnete convergente Reihe entwickelt werden kann, die negative Potenzen nur in endlicher Anzahl enthAlt. **) Fttr n l stimmt diese Formel im wesentlichen mit derjenigen ttberein, welche Jacobi im 16. Bande dieses Journals (S. 204, 13) angegeben bat.

=

338

Dass der constante Factor in der Gleichung (2.) richtig angegeben ist, sieht man ohne weiteres für n = O, und allgemein leicht durch den Schluss von n auf n+ 1. Mnltiplicirt man nämlich auf der linken Seite die Elemente der letzten Zeile mit u,. + o„ und setzt dann u,. = -o,., so verschwinden sie mit Ausnahme des letzten, welches gleich 1 wird. Daher geht R in die analog aus den n Argumentenpaaren Uu, -,0 , ••• u,._ 1 , .,,._1 gebildete Determinante über. In dem Ausdrucke auf der rechten Seite der Gleichung (1.) ist für u,. = -o„

"· ) = 1, . a (""+ 1Im ,1,,+11„ a(u.. -1111)0(11,.-1111) = 1 (ß = O 1 ... n-l).

a(11,.+up)a(u,.+v11)

' '

Derselbe geht also ebenfalls in die analog aus den n Argumentenpaaren t1u, 0 0 , • , • u,._ 1 , .,,._1 gebildete Function über. In der Gleichung (2.) setzen wir jetzt o11 =ßk (ß=0,1, ... n) und formen ihre linke Seite nach der schon oben angewendeten Methode in eine Determinante um, deren («+2)te Zeile die Elemente 1,

1J'(U

0 ),

d1J'(U 0 ) ,

d21J'(u,.),

, , ,

d"1J'(U,.)

enthält. Da bei dieser Transformation die Elemente der ersten Zeile o, 1, o, o, 0 werden, so reducirt sich die linke Seite auf eine Determinante (n+ l)ten Grades, die wir in leicht verständlicher Weise mit

-R = 11, d1J'(Ua), bezeichnen. Folglich ist 11,

Ä'IJ(ua) h

dl1J'(u,.),

, • ,

d"1J'(Ua)I

,. .

d',p(u,.) ,..

d•,µ(u,.)

a(",+"o +... + u,. + v,.)Ua(u,.- up)

n

1

a(v,,-o,,)

lla(u,,+v11)

h

'

also, wenn h sieb der Grenze Null nähert,

'( )

"( )

I 0 ' ' ' 1J' n (u,.) Setzt man nach Herrn Weierstrass

11'

1J' U,, '

1J' Ua '

-.,,,il(") = -

=

a(u0 +-.. +u..)1Ia(u.. -up)ß(a-{J) , (lla(u,,))"+1

d 1 loga(u) du'

= f1 (u')

339 so lautet diese Formel 1 f'(Uo) f' 1(Uo) , , , pC•-1>(t1o) 1 p(u1) p'(u1} •• , pC•-1>(111) _ (-t)"H(a-P)a(u0+ ·+u,.)lla(u,.-u,9) (S,) (lla(u.))"+ 1 00



1 p(u,.) p'(u,.) .. , p(11,.) Dies ist im wesentlichen die von Herrn Hermite in dem oben citirten Schreiben angegebene Gleichung. Auf dieselbe wenden wir jetzt noch einmal den im Eingang auseinandergesetzten Grenzübergang an, indem wir in der Formel (1.) {i,(u) = 1, (1 (u) = p(u), . • • f,.(u) = p(11) wählen. Dann verschwinden in der Determinante jfaP>(u}I die Elemente der ersten Oolonne mit Ausnahme des ersten, und sie reducirt sich auf eine Determinante ,aten Grades. Man gelangt daher zu der Formel des Herrn Kiepert (1. c. S. Sl, Formel (29".)) (4.)

fJ'(u)

p"(u)

p"(u)

f'"' (u)

pC•>(u)

p(u)

p(u) (-t)"(ll(a-P))"a((n+i)u)

a(u)C"+1)t•+1) f'(1..-1>(u)

Zürich, den 10. März 1877.



13. Note sur la theorie des formes quadratiques quelconque de variables

a un

nomhre

C. R. Acad. Sei. Paris 85, 131-133 (1877)

« Vous avez repondu, il y a queJque temps, a une objection qui a ete

faite par M. Bachmann a vos formules, pour la transformation des formes qnadratiques ternaires en elles-memes, eo montrant que la senle exception possible etait contenue dans Je type general, Jorsqu'on attribuait aux trois parametres des valenrs qui devenaient in6nies snivant nne loi determinee. J'ai reussi a etendre celte recherche au cas de n variables independantes, qui me semble offrir des difficnJtes d'un genre bien different. » Pour simplifier, je me sers d'une notation symboJique. Si A

= l: aatp :ratyp

et B = I batp :ratyp

sont deux formes bilineaires donnees, je nomme Ja forme .I ~A

~!I

f))"I u.Z:f

leur

produit, et je Je designe par AB. Vous voyez que cette operation n'est autre chose que Ja composilion des substitutions lineaires que vous avez si souvent employee. De plus, je pose C = I:rGtyGt et je designe par A- 1 la forme X satisfaisant a l'equation AX = C qni n'a point de solution ou n'en

341

a qu'une seule, snivant que le determinant de la forme A s'evanouit ou non. Enfin je nomme forme conjuguee de A, et je clesigne par A' celle que l'on obtient en echangeant les variables .'t'1J· 11 ... , XnTn• » En faisant usage de ces symholes, je puis enoncer Je probleme de Ja transformation d'nne forme qnadratique Is0tß.T0tXß en elle-meme, de la maniere suivante ; « Etant donnee une forme bilineaire symetriqne ,, S I s0tßx11 xß (S• S), clont le determinant est different de zero, tron» ver toutes les formes U = :I u 11ß x 11 Yß ( suhstitutions) dont Je determinant ,, ne s'evanouit pas et qui satisfont a l'equation

=

=

U'SU

= S.

»

Lorsque le determinant de C + U n'est pas nul, on a

U = (S + T)-'(S-T),

. ou

= (C + U'}- (U'S - SU)(C + U)represente une forme alternee (T' = -T) quelconque, a coefficients finis,

(3)

T = S(C + U)- 1 (C- U}

1

1

teile qne le determinant de S + T differe de zero. » En outre, chaqne forme U qui salisfait a J'equation ( r ), et dont le determinant est + 1 ( substitution propre) peut etre reduite a

(4)

U

= lim(S + T,,)- (S 1

T,,),

=

oii T,, l:l11ßX11 J) designe une forme alternee, dont les coefficients tat~ sont des fonctions rationnelles d'un parametre h et n'ont pas tous des valeurs finies pour /z o lorsque Je determinant de C + U est nul. » Considerons d'abord Je cas particulier 011 le determinant de C - U differe de zero. Le nomhre n etant necessairement pair, imaginons une forme alternee quelconque H, clont le determinant est different de zero; on satisfait a l'e.qnation (4) en posant

=

(5)

T,,

= S[C + U + h(C -

U)HS]- 1 (C- U).

» La forme cherchee T„ est encore plus compliquee Jorsque le determinant de C - U s'evanouit en meme temps que celui de C + U. Supposons que le determinant de rC - U soit divisible par(rC + 1)m et nommons A le coefficient de ( r+ 1)- 1 dans le developpement de la forme (rC - U)- 1 par rapport anx pnissancrs croissantes der+ 1. On demontre que tous les minenrs de degre m + r du determinant de A ( et de degre

342 A) sont egaux a zero, tandis qne ceux du degre m (resp, n - m) ne le sont pas tous. Il en resulte que l'on peut tl'ansformer ces formes en

n- m

+ 1 du determinant de C -

A=I(/p.1X1 + ... +hnxn)(g11 .y1 +, .. +g11nYn) (p.= 1,2, , .. ,m), C -A '1.(fi,x, + ... + fvnx,,) (g,,1J'1 + .. ' + gvnY11) (,; m + 1, ... , n),

=

11

=

Si l'on pose maintenant G

on trom•e

= 1.g"~x"y~,

equalions dans lesquelles les formes U„ S 1 ne contiennent que les variablf>s x 11 y 11 (p. = 1, ... , m) et U2 S2 , que les variables :,,·vrv(,; = m + 1 , ... n). Le nombre m etant necessairement pair, imaginons une forme alternee H 1 des variables Xp. y P. clont le determinant est different de zero. Posons e11fin C,=l'..x11 yll (p.=1, ... ,

m),

C 2=,l'.Xv)'v

(v=m+1, ... ,n).

La forme chercbee sera

~ Th= G'(S 1 [C 1 + U,

(6)

}

+

h(C 1 - U 1 )H11 S~J- 1 (C, :·· U,) +S2(C2 + U2)- (C2 - U2) j G.

,, II est presque inutile d'observer que dans cette formnle le signe (C 2 + U 2 )- 1 , par exemple, represente Ja forme X,, qui satisfait l'equation (C 2 + U 2 ) X 2 = C, (et non pas = C). » II vous sera facile de verifier les resultats indiques. Mes demonstralions, ainsi qn'un granOR der Ge,laU (u+t>)2-\\ oder (u-e,)2··~nd immer doppelt e,orAanden. Es ist möglich, eine Schaar r A-A' mit conjugirten Grundformen zu bilden, deren Determinante vorgeschriebene Elementartheiler hat, vorausgesetzt, dass dieaelben paarweise von gleichem Grade sind und ff1r reciproke Werthe verschwinden, mit Ausnahme derjenigen, die ff1r r = 1 von einer ungeraden oder ff1r r = -1 von einer geraden Ordnung Null sind. •) Beschrinkt man sich, wie in der Theorie der algebraischen Gleichungen, auf solche Substitutionen, die Versetzungen sind, ·oder allgemeiner auf orthogonale Substitutionen, so flllt die Oongruenz mit der Aehnlichkeit zusammen.

365

§. 7. Aehnliebkeit.

Durch wiederholte Anwendung der Identitäten

P-1 (.AB)P = (P-1.AP)(P- 1BP), P- 1(aA+bB)P = aP-1AP+ bP- 1 BP, gelangt man zu dem Satze : I. Um eine ganze Function mehrerer Formen durch contragrediente Subatitutionen zu tranaformiren, kann man jede einzelne Form für aich transformiren und dann die ganze Function bilden. Sind A und B vertauschbare Formen, so ist (P- 1AP)(P- 1 BP)= p-1(AB)P = P- 1(BA) P = (P- 1BP)(P-1AP).

II. Wenn man zwei oertauachbare Formen durch die nämlichen contragredienten Substitutionen tranaformirt, so erhält man wieder zwei oertauackbare Formen. Ist g(A) eine ganze Function von A, so ist nach Satz I. P-1g(A)P = g(P-1.AP).

Ist k ( A) eine ganze Function von A mit nicht verschwindender Determinante, g(A) , II und f(A) = k(A) , so 1st (§. 2, .) p-• f(A)P

= (P- g(A) P)(P-1 (k(A)r P) = (P- 1g(A)P)(P-1k(AJP)- 1 = gW-1APJ(k(P-1AP))-1 = f(P-1.AP), 1

1

also

=

f(P- 1.AP). Ist -ip(A) = 0 eine Gleichung, der A genügt, und ist B der Form A ähnliche Form, so ist -ip(B) = p-1 -iµ(A)P = 0. (1.)

P-1 f(A)P

= p-- AP eine 1

Da auch umgekehrt aus -ip(B) = 0 wieder 1/'(A) = 0 folgt, so ergiebt sich daraus, dass alle Formen derselben Klasse die nämlichen Gleichungen und speciell dieselbe Gleichung niedrigsten Grades befriedigen. Ist -ip(r) der Quotient der charakteristischen Determinante

12 > ... > lk-1 > 0, o.nd es sind (r-a)'_,• (r- a)1•-1• ••• (r- a)'k-i diejenigen Elementartheiler von cp(r), die für r = a verschwinden. Ferner ist l-l1>l1-'2

> ... >,k-1'

368

Sind daher (r-a)0 , (r-a)0 •, ••• die Elementartheiler von ertau,chbar, ,o köf'fnen die Wur1eln ihrer charakteriltuchen Gleichungen einander ,o 1ugeordnet toerden, da,1 jede Wur1el der charakteriltuchen Gleichung t>on AB da, Product t>On atoei enl,prechenden Wurzeln jener Gleichungen i,t, XID. Wenn die er,ten Unterdeterminanten der charakteriltilchen Determinante einer Form keinen Theiler gemein,arn haben, ,o Bind die ganzen Functionen der Form die ein1igen Formen, mit denen Bie 1iertamchbar ut. XIV. I,t 1Jl (A) = 0 die Gleichung niedrig,ten Grade,, der A genügt, lind die Wuraeln r 1 , ••• r, der Gleichung 1/'(r) = 0 alle t>on einander t,er,p(r) = 1P1 (r), und sind CJ. (Ä. = 1, ••• p) toiUltürliche Formen, r-rJ. ,teilt der Ausdruck

1chieden, i,t 10

Z1JlJ. (A) C1 1/'i (A) alle Formen dar, 1Delche mit A "ertauchbar ,ind.

371

XV. J,t in der ckarakteristwchen Determinante einer Form der griJute gemeinsame Tkeiler der Unterdeterminanten (n-.ie)'"' Grades eom Grade n.,, 10 i,t

n+2(n1 +"2+ .. ,) die Anaakl der linear unabkimgigen Formen, die mit der Form eertaruckbar Bind. Für die Form E ist z. B. n. = n - .ie, und daher ist die obige Anzahl gleich n+2((n-l)+(n-2)+···+1) = n2• §. 8. Transformation der bilinearen Formen in sv,h selbst.

Sei A eine beliebige Form, und seien P, O zwei Substitutionen, welche )t in sich selbst transformiren, d. h. zwei Formen von nicht verschwindender Determinante, die der Gleichung (1.) . PAO = A genügen. Transformiren auch P, und 01 die Form A in sich selbst, so ist (P,P)A(O 01) = P, (PAO) 01 = P1A01 = A, und mithin sind auch P 1 P, ·001 zwei Substitutionen derselben Art. Daher transformiren auch P", O" die Form A in sich selbst, auch wenn v eine negative Zahl ist, da

= p-1 (PAO) 0-1 = A ist. Aus der Gleichung P"AO" = A folgt p-1Ao-1

P" A

= AO-",

(:Ea„P")A

= A(:Ea„ 0-"),

also, wenn g(r) eine ganze Function von r ist, g(P)A

=

Ag(Q-1).

Ist k(r) eine andere ganze Function, so ist ebenso k(P)A

=

Ak(Q-1).

Aus diesen beiden Gleichungen folgt h(P)g(P)A g(P)k(P)A

= =

h(P)Ag(Q-1), g(P)Ah(Q- 1 ),

also, weil g(P) mit k(P) vertauschbar ist, g(P)Ak(0- 1)

=

h(P)Ag(0- 1),

und daher, wenn die Determinanten von k (P) und k (0- 1 ) von Null verschieden sind,

372 oder wenn man

:t] =

f(r) setzt,

f(P)A = Af(Q-1 ),

f(P)A(f(Q- 1))-1 = A.

Sind also die Determinanten von f(P) und f(Q- 1 ) von Null verschieden, so folgt aus dieser Gleichung der Satz: I. Wenn die Form A durch die Sub1Ulutionen P, Q in ,ich 1elb,t 1Jbergekt, 10 wird ,ie auch durch die Sub,titutionen f(P), (/(Q-1))-1 in ,ich ,elb,t tran,formirt. Ist also g(P- 1) irgend eine rationale Function von P, so ist



f(P)A

= Af(Q-

1 ),

Ag(Q) = g(P-1)A

und daher (2.)

f(P)Ag(Q)

= Af(Q- )g(Q) = f(P)g(P- )A. 1

1

(Vgl Ro1ane1, dieses Journal Bd. 80, S. 70.) Da f(P) mit P vertauschbar ist, so folgt aus (1.) P(/(P)Ag(Q))Q

= f(P)(PAQ)g(Q) = f(P)Ag(Q).

II. l1t A eine Form, welche durch die Sub,fflutionen P, Q in lieh 1elb,t trmufonnirt wird, 10 id auck f(P)Ag(Q) eine 1olcke Form. Sind U und V zwei Formen von nicht verschwindender Determinante, so folgt aus (1.) (UPU- 1)(UAV)(V-1 QV) = (UAY), oder wenn man setzt, P1A1Q1

= Ai,

m.

Wenn ei,ae Form durch awei Subltitutionen in ,ich 1elblt iibergeht, ,o wird Jede iilJui"alente Form durch awei almlicke Sub,titutionen in nch 1elb1t lran,formirt.

loh gehe nun dazu ttber, die gegenseitigen Beziehungen zweier Substitutionen zu ermitteln, welche geeignet sind eine Form A in sich selbst zu transformiren, und nehme dabei zun.Kcbst an, dass die Determinante von .A. nicht Null ist. Dann folgt aus (1.) p

= AQ-1A-1.

373

IV. Damit •we, Sub,ütutionen geeignet seien, eine Form t1on nickt „er,ckwindender Determinante in Bick selbst .su trar,aformiren, ist notkwendig und hinreichend, dass die eine der reciproken der anderen ähnlich ist. Ferner folgt ans (1.) (rE-P)AQ

= rAQ-PAQ =rAQ-A = A(rQ-E).

Die Formenschaaren r E -P und r Q-E sind also äquivalent. Sind umgekehrt diese Schaaren äquivalent, so lassen sich zwei Formen ..4 und B von nicht verschwindender Determinante so bestimmen, dass A(rQ-E)B = rE-P oder AB=P, AQB=E ist. Daraus folgt (PAQ)B = P(AQB) = P = (A) B, also weil die Determinante von B nicht Nnll ist, PAQ

=

A.

V. Damit die Substitutionen P, Q geeignet seien, eine Form "on nickt "er,chwindender Determinante in sich selbst zu tramformiren, ist notkwendig und hinreichend, das, die Formen,chaaren r E -P und r Q-E äqui„alent Bind. Ist also die charakteristische Fnnction von P, in Elementartheiler zerlegt, gleich jrE-PI

=

(r-a)"(r-b)P ... ,

so ist jrQ-EI

=

IQl(r-a)"(r-b)P ... ,

oder wenn man r durch .!. ersetzt und mit (- rl mnltiplicirt, r lrE-QI

=

(r- !)"(r- ~/ ....

VI. Damit zwei Substitutionen geeignet seien, eine Form t,On nickt "ersckw,ndender Determinante in sich selbst zu transformiren, ist notkwendig und hinreichend, das, die Elementartkeiler ihrer ckarakteristiacken Functionen einander 10 zugeordnet werden können, das, die entsprechenden t,On gleichem Grade Bind und fiJr reciproke W erthe „er,chwinden. Ich betrachte nnn Substitutionen P, Q, welche eine Form ..4 in sich selbst transformiren, in deren Determinante der höchste Grad nicht ver-

374

schwindender Unterdeterminanten gleich m ist.

Setzt man

(µ=1, ... m; v=m+l, ... n)

E1 = :Ea:,,g,,, E2 = :Ea:,,g,,, so ist

Ea+E2 = E, E; = E,, E1E2 = E2E1 = 0. Da A und E 1 äquivalent sind, so giebt es nach Satz III. zwei den Substitutionen P, Q ähnliche Substitutionen P0 , Qu, welche E 1 in sich selbst transformiren. Aus der Gleichung P0 E1 Q0 = E 1 und den eben erwähnten Relationen folgt aber falls

~

(E.PuE1) (E1QoE1) = E1, (EeP11E1)(E1QuEa) = O, und a nicht beide gleich Eins sind. Setzt man (Vgl. §. 7, X.) E 11 P0 E 0

so ist also

= Pea,

EeQoEa

= Qea,

Pu Ou = E1, Pe101a = 0. Da folglich das Product aus den Determinanten der Formen P 11 und Q11 der Variabeln 11,, (µ = 1, ..• m) gleich Eins ist, so verschwindet keine dieser beiden Determinanten. Daher folgt aus der Gleichung P11 Q,2 = O, dass 012 = 0 ist, und aus P2, On= O, dass Pn = 0 ist.*) Mithin ist

a:,,,

lrE-PI = jrE-Pol = lrE1-P11l·lrE2-P22I, jrE-QI = jrE-Qul = jrE1-0nl·lrE2-022I,

:e,.,

Da Pu und Q11 reciproke Formen der Variabeln g„ sind, so folgt daraus (§. 3, III.) : VII. Damit .zwei Substitutionen geeignet seien, eine Form in sich selbst .zu transformiren, in deren Determinante der kiJchste Grad nicht f'Brsckwindender Unterdeterminanten gleich m ist, milssen ihre charakteristischen Gleichungen m reciproke Wurzeln haben, Vill. Wird eine Form durch zwei Substitutionen in sich selbst transformirt, so kann in ihrer Determinante der hiJchste Grad nicht t,erschwindender Unterdeterminanten nicht griJ11er ,ein, al, die .Anaahl der reciproken Wurzeln, u,elche die charakteristischen Gleichungen der beiden Sub,titutionen haben. "') Denn die Gleichung P11 Q, 2

=

= O reprAsentirt das Gleichungssystem = 0.

Pµ1q1.+ .. ·+Pµmq~.,

Setzt man p, t, ... m, so folgt aus diesen m Gleichungen von nicht versehwindender Determinante, dass verschwinden (Vgl.§. 2, 1.).

qi,,, . '• qm„

375

IX. Wird eine Form durc„ awei Substitutionen in sie„ selbst transformirl, deren ckarakteristisc"6 Gleickungen keine reciproken Wuraeln kaben, so mas sie identisck 1,ersckwinden. Diese Sätze gelten auch ftir den Fall, dass in der Form .A die Anzahl der Variabeln :i: derjenigen der Variabeln 1/ß nicht gleich ist, und setzen ttberhanpt keinerlei Entsprechen zwischen den mit demselben Index bezeichneten Variabeln :i:,., g. voraus. 11

§. 9. Transformation der bilinearen Formen mit cogredienten Variabeln in sich selbst.

Sei .A eine Form mit cogredienten Variabeln, P eine Substitution von nicht verschwindender Determinante, welche sie in sich selbst transformirt, also (1.) P'A.P = .A. Nimmt man auf beiden Seiten die conjugirten Formen, so erhält man (2.) P'.A' P = A'. Aus den in §. 8 entwickelten Sätzen ergiebt sich ft1r diesen Fall: Ist .A eine Form, welche durch die Substitution P in sich selbst transformirt wird, so ist auch f(P').Ag(P)+ {1 (P').A' 91 (P) eine solche Form, wo f(r), g(r), ... rationale Functionen sind. Wenn mehrere Substitutionen eine Form in sieb selbst transformiren, so muss auch jede aus ihnen zusammengesetzte Substitution die Form in sich selbst transformiren. Da z. B. (- E) .A (-E) = .A ist, so muss, wenn P der Gleichung (1.) genttgt, auch -P dieselbe befriedigen. Ist ferner g(r) eine rationale Function, so ist (§. 8, I.) g (P') .A (g (P-1))-1 = .A. Ist nun

= r'

,[~?) ,

(g(P-1))- 1

= g (P).

g (r)

so ist

Da g(P') die conjugirte Form von g(P) ist, so folgt daraus: I. Ist P eine Substitution, welcke die Form .A in 8ick selbst transf ormirt, ao ist auck f(P)

P1' f(P-1) eine solche Substitution.

376

Ist G eine Form von nicht verschwindender Determinante, so folgt aus (1.) die Gleichung (G'P'G'- 1)(G'AG)(G-1 PG)

= G'AG.

Setzt man G'AG G-1 PG

=

Ao,

= Po,

so ist (§. 1, IV.)

G' P' G'-1

= Po,

und daher

P;,AoPo = Ao, II. Weu eine Su6'fftuffo11 eme Form ita ,icA ,elb,I tra,.,formirl,

10

tra,.,formirt jede iJAnlicAe Subltitutio11 ei,ae congrue,ate Form in rich ,elb,t. Ist die Determinante von A nicht Null, so verschwindet auch die von Au nicht. Ist A symmetrisch oder alternirend, so ist es auch Ac„ Ist die Determinante von A nicht Null, so folgt aus der Gleichung (1.) P' = AP-1A-1, (rE-P')AP = A(rP-E). Die Form P' ist also der Form P-1 ähnlich, oder die Formenschaaren rE-P' und rP-E sind äquivalent. Nun sind aber(§. 6) P' und P Khnlich, weil die Elementartheiler ihrer charakteristischen Functionen iibereinstimmen. Daraus ergiebt sich (Vgl. §. 8, Satz IV., V., VI.): III. Damit ei11e Sub,titution P geeignet ,ei, ei11e Form t,011 11icht t,erschwindender Determinatate i11 ,ich ,elb,t .111 trauformireta, ilt nothwetadig u11d hinreiche,ad, dan lie der reciproke,a Substitutio11 ähnlich ilt, oder das, die Forme,aschaareta rE-P und rP-E ctquioale,at 1i11d, oder dass die Eleme,atartheiler ihrer charakteriltilche,a Functio11 paarweile 9'011 gleichem Grade ,i11d u,ad /Br reciproke Werthe „er,chwi11deta, mit Autaahme derer, welche fiJr deta Werth 1 oder -1 NuU 1111d, oder dan ihre charakteriltuche Determitaante und die griJuleta gemei,.,ame11 Dioiloren der U11terdetermi11a11te,a gleicAe,a Grade, der,elben reciproke Functionen ,ind.

377 Ist die Determinante von A nicht Null, so folgt ans (1.), dass das Quadrat der Determinante von P gleich Eins ist. Je nachdem diese Determinante, die ich mit 8 bezeichne, den Werth +1 oder -1 bat, heisst die Transformation eine eigentliche oder eine uneigentliche. Das Product alle!: n Wurzeln der Gleichung jrE-Pj = 0 ist gleich 8, Jeder von ±1 verschiedenen W nrzel a entspricht eine Wurzel

! und das Product von zwei

solchen reciproken Wurzeln ist gleich +1. Sind also p Wurzeln dieser Gleichung gleich +1 und q gleich -1, so ist das Prodnct aller Wnrzeln (3.)

(-1)'

= 8,

und weil n-p-q gleich der Anzahl der Paare reciproker Wurzeln, also gerade ist, so ist auch (4.)

(-1)"-J>

=

8,

Ist e = -1, so ist daher q ungerade, also wenigstens Eins. Ist e = -1 und n gerade, so ist p ungerade. IV. Ist P eine Substitution, welche eine Form t>On nickt t>erschwindender Determinante uneigentlich in sich selbst transformirt, so ist die Determinante t>On E +P, und falls n gerade ist, auch die t>On E-P gleich Null. Ist n ungerade, so ist, falls e = 1 ist, p ungerade, und falls e = -1 ist, q ungerade. Daher ist e eine Wurzel der charakteristischen Gleichung von P, oder die Determinante von E-EP ist gleich Null. Ans §. 8, Satz VII. ergiebt sich ferner (Vgl. Rosanea, dieses Journal Bd.80, S.64): V. Damit eine Substitution geeignet sei, eine Form in sich selbst .zu transformiren, in deren Determinante der höchste Grad nickt t>erschwindender Unterdeterminanten gleich m ist, muBB ihre charakteristische Function durch eine reciproke Function mten Grades theilbar seifl. Daran knttpfe ich noch die folgende Bemerkung, von der ich später Gebrauch machen werde. Sei A irgend eine Form, und P eine Substitution, welche sie in sich selbst transformirt, und welche in die beiden Theile P, und P 2 zerlegbar ist, deren erster nur die Variabeln a:µ, g,, (µ, = 1, ... m) und deren anderer nur a:,,, y,, (v = m+l, ... n) enthält. Setzt man E,

so ist dann

= :Ea:µg,,,

E2 = :Ea:,,g,,,

378

Aus der Gleichung (1.) folgt daher EeAEo

oder wenn man

= Ee(P' AP)Eo = (EeP')A(PE = (P~E,)A(EoP EeAE = A, setzt, P~Ae P = A,.,. 0)

0

0 ),

0

0

0

leb mache nun die weitere Annahme, dass keine Wurzel der charakteristischen Gleichung von P 1 einer Wurzel derjenigen von P2 reciprok ist. Da P 1 und P;, P2 und P; die nämliche charakteristische Function haben, so folgt aus P~A12 P2 = 0 nach §. 8, Satz IX., dass A12 = 0 ist, und aus P'.iA21 P 1 = O, dass A21 = 0 ist. Mithin ist die Form A in A 11 +An zerlegbar. VI. Wird eine Form durch eine serlegbare Substitution in sich selbst transformirt, und haben die charakteristischen Functionen der beiden Tkeile dieser Substitution keine reciproken Wurzeln, so ist die Form in der niJmlicken Weise zerlegbar, wie die Sub,tüution. Wenn die Determinante von A nicht verschwindet, und man auf beiden Seiten der Gleichung (1.) die reciproken Formen nimmt, so erhält man P-1A-1 p•-1 = A-1, also nach Gleichung (2.) (P-1A-1 P'-1)(P'A1 P) = A-1A', oder wenn man (6.) U = A-1A 1 setzt,*) p-1 UP= U, UP=PU.

VII. Damit eine Substitution geeignet sei, eine Form A oon nickt oersckwindender Determinante in sich selbst zu transformiren, muss sie mit A- 1A' oertausckbar sein. U selbst ist eine Substitution, welche A in sich selbst transformirt.**) Denn es ist U = A-1A', U' = AA'-1, U'AU= A(A'-1 (AA- 1)A') = A.

Vill Eine Form A oon nickt oersckwindender Determinante wird durch die Substitution A-1A' eigentlich in sich selbst transformirt. *) Eine Substitution von der Gestalt ±A-1.41 nennt Herr Rosanes (dieses Journal Bd. 80,t S. 61) antisymmetrisch. Da - U aus U und - E zusammengesetzt ist, eo ist diese i:::;ubetitution im folgenden nicht besonders betrachtet worden. **) Allgemeiner sind, wenn die Determinanten der Formen A und B nicht veraehwinden, P=AB-1, Q=A- 1 B, zwei Substitutionen, welche die Formensehaar A - r B in sieh selbst transformiren.

379 §. 10, Transformation der symmetrischen nnd der alternirenden Formen in sich selbst.

Sei .A. eine Form von nicht verschwindender Determinante, und sei A+A' = 2S, .A.-.A.' = 2 T, S+T=A, S-T=A'.

Setzt man ferner so ist A(E+U) = 2S,

.A.(E-U) = 2T.

oder

(2.) (S+T)(E+U)=2S, (S+T)(E-U)=2T. Nach §. 9, Satz VIIl. ist nun U'.A. U = A, U'.A.' U = .A.'. Daraus ergiebt sich durch Addition und Subtraction: (8.) U'SU=S, U'TU:: T.

I. l1t S eine gegebene ,ymmelriacke Form und T eine beliebige alter-

nirende Form, für welche die Determinante tion S + T nickt Null ist, 10 ü,t U

=

(S+T)- 1 (8-T)

eine Sub1titution, welche die Form S eigentlich in Bick aelbat tranaformirt, und wenn die Determinante tion S nicht t>erachwindet, 10 ü,t auch die tion E + U nickt Null. II. I,t T eine gegebene alternirende Form und S eine beliebige symmetmche Form, für welche die Determinante t>On S + T nickt Null ü,t, so iat

eiae Subatitution, welche die Form T eigentlich in lieh aelb,t tranaformirt, und t0enn die Determinante eon T nickt t>ersckwindet, 10 ü,t auch die tion E- U nickt Null. Diese beiden Sätze lassen sich umkehren. *) III. Jede Subatitution U, welche eine agmmelriacke Form S tion nicht "er,ckwindender Determinante in lieh selbst tranaformirt, und für welche die *) Die Blitze L und lli. sind von Herrn Hermite entdeckt, dieses Journal, Bd. 47, S. ao~. Vgl. auch Cayley_, dieses Joumal, Bd. oO, S. 288 und Roaanea, dieses Journal, Bd. 80, S. 66. Betreffs des Satzes II. vgl. Kronecker, dieses Journal, Bd. 68, S. 282.

380

Determinante tion E +U nickt Null ill, üt,,t llick, und atDar nur in eüter Weile, auf die Gutau bringen, tDO (4.)

T

=S

E-U E+U

eine (endliche) altemirende Form ilt. IV. Jede Suhatitution U, tDelcke eine altemirende Form T tion nickt tierscktDindender Determinante in rick ,elbat transformirt, und fiJr tDelcke die Determinante tion E - U nickt Null ilt, liia,t aick, und atDar nur in einer Weile, auf die Gutau bringen, tDO (6.)

S _ TE+U E-U

eine (endliche) ,gmmetrilcke Form iat. *) Seien vorläufig S und T beliebige Formen, die nicht symmetrisch oder alternirend zu sein brauchen, sei die Determinante von S +T nicht Null, und sei U durch die Gleichung (1.) definirt. Daraus ergeben sich die Gleichungen (2.), und folglich kann, wenn die Determinante von S [T] nicht verschwindet, auch die von E+ U [E-U] nicht Null sein. Ferner folgt aus (1.) (S+T)U=S-T, SU+TU=S-T, T+TU=S-SU, (6.) T(E+U) = S(E-U).

Daraus ergiebt sich, wenn die Determinante von S [T], also auch die von E+ U [E- U] nicht verschwindet, die Gleichung (4.) [(5.)]. Ich behaupte nun, dass der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (4.) stets eine altemirende Form ist, wenn S eine symmetrische Form und U eine Substitution ist, welche S in sich selbst transformirt, wenn also U'SU = S *) Das Wort eigentlich, das in den Sitzen I. und II. vorkommt, fehlt in III. und IV. Vgl. §. 91 Satz IV. Eine alternirende Form von nicht verschwindender Determinante lässt nur eigentliche Substitutionen in eich selbst .zu, weil die Quadratwurzel aus der Determinante der Form eine rationale schiefe Invariante derselben ist.

381

ist. Denn jener Ausdruck hat nur eine Bedeutung, wenn die Determinante von E + U nicht verschwindet. Dann sind aber die Formen T und T0 = (E+U')T(E+U) congruent. Nun ergiebt sich aber aus (4.) die Gleichung (6.) und daraus Tu= (E+U')S(E-U) = S+ U' S-SU-U' SU = U' s·-su.

Die conjugirte Form des letzten Ausdrucks ist S U- U' S. Folglich ist Tu alternirend, und mithin ist es auch die congruente Form T. In derselben Weise ergiebt sich der Beweis des Satzes IV. aus den Gleichungen

S0 =(E-U')S(E-U) = (E-U')T(E+U) = TU-U'T. Bevor ich die Gleichungen (1.), (4.) und (6.) genauer discutire, will ich sie dazu benutzen, den Charakter der Substitutionen zu ermitteln, welche geeignet sind, symmetrische [alternirende] Formen von nicht verschwindender Determinante in sich selbst zu transformiren. Wenn die Substitution P den Bedingungen des Satzes m., §. 9 genttgt, so giebt es eine Form A von nicht verschwindender Determinante, welche die Gleichung P'AP befriedigt, also auch die Gleichungen

=

A

P'A'P=A', P'(A+A')P=A+A', P'(A-A')P=A-A'. Unter de~ gemachten Voraussetzung giebt es also auch eine symmetrische und eine alternirende Form, welche durch die Substitution P in sich selbst übergehen. Es kann aber die Determinante derselben verschwinden, es kann sogar eine der beiden Formen Null sein. Es fragt sich also, welches der Charakter einer Substitution ist, die eine symmetrische oder alternirende Form von nicht verschwindender Determinante in sich selbst transformirt. (Vgl. Rosanea, dieses Journal, Bd. 80, S. 62.) Ich mache zunächst die specielle Annahme, dass die charakteristische Function von P nur für einen Werth r = e verschwindet, dessen Quadrat gleich Eins ist. Die Determinante der Form eE+P ist demnach von Null verschieden. Ist nun S [T] eine symmetrische [alternirende] Form von nicht verschwindender Determinante, welche durch die Substitution P in sich selbst transformirt wird, so ist U= eP [-eP] eine Substitution, welche S [T] in sich selbst verwandelt, und für welche die Determinante von E + U [E- U]

382 nicht verschwindet.

Folglich ist *) U

oder wenn man S

=

(S+T)-1 (8-T),

+T = .A setzt,

aP=A-1A', [-aP=A-1...4.1, Ä(rE-P) =rÄ-eA', [Ä(rE-P)=rA+aA1. In der Determinante der Schaar rA-eA', [rA+aA'] mit conjugirten Grundformen sind aber nach§. 6, L die Elementartheiler von der Gestalt (r-a)2•, [(r-a)2•+1] stets paarweise vorhanden. Dies ist daher auch bei der äquivalenten Schaar r E-P der Fall. Nunmehr betrachte ich irgend eine Substitution P, welche eine symmetrische Form in sich selbst transformirt. [Fttr altemirende Formen ist der Beweis derselbe.] Die charakteristische Functio.n von P sei q,(r) =q,i(r).q,2(r), wo '1'1 (r) das Product aller Elementartheiler ist, die fl1r r e verschwinden. 'l'2 (r) verschwindet also nicht fl1r r = a, kann aber fttr r = - a Null sein. Seim der Grad von q,1 (r) 1 sei P1 eine Form der Variabeln a:,,, g,,(µ=1, ... m), deren charakteristische Function gleich q,1 (r) ist (und zwar in den Elementartheilern gleich), und sei P2 eine Form der Variabeln a:.,, g.,(v=m+l, ... n), deren charakteristische Function gleich 'l'2 (r) ist. Dann ist die charakteristische Function von P0 = P1 + P 2 nach §. ö gleich q, (r), und folglich sind die Formen P und P 0 U.hnlich. Existirt also eine symmetrische Form S von nicht verschwindender Determmante, welche durch P in sich selbst transformirt wird, so giebt es nach §. 9, II. auch eine congruente Form S.,, welche durch die Substitution P 0 in sich selbst übergeht. Nun ist aber P 0 zerlegbar, und die charakteristische Function des einen Theils verschwindet

=

nur fl1r r

= e,

die des anderen aber nicht ftlr r

= _!_E (= e).

Nach §. 9, VI.

ist daher Su in derselben Weise wie P„ in S 1 +S2 zerlegbar. Die Deter*) Will man diesen Satz nicht benutzen, ao kann man den Beweis auch so flihren: Sind (r-Et(r- if ... die Elementartheiler der charakteristischen Function von P, ao sind (r-1 )"(r-,'J ... (r-f)"(r-f)i' ... die Elementartheiler derjenigen von P' (§. 7, Satz \7.). Nun ist aber P'SP S, [P'TP T], und daher P'S(rE-P') = rl"S-SP. [P'T(rE-P') = rP'T-TP]. Die conjugirte Form von B = P'S rP'T] ist B' = SP [-TPI. Folglich ist die Scbaar E- P' der Schaar r B- B' [r B + B'l mit conjugirten Grunaformen llguivalent. Unter den Exponenten a, {J, ••• mllsaen daher nach §. 6, I. die geraden [ungeraden] stets paarweise vorhanden sein.

=

=



=

383

minante von 80 ist mithin das Product der Determinanten von S1 und S2• Da die erstere nicht Null ist, so können also auch die letzteren nicht verschwinden. Weil ferner 80 symmetrisch ist, so sind es auch 8 1 und S2• Endlich zerlegt sich die Gleichung P'uSuPu = 80 in zwe4 deren eine P~81P1 = 8 1 ist. Die symmetrische Form 8, von nicht verschwindender Determinante wird also durch die Substitution P, in sich selbst transformirt, deren charakteristische Function nur ft1r r = 6 verschwindet. Daher müssen unter den Exponenten der Elementartheiler dieser Function die geraden stets paarweise vorhanden sein. Ich behaupte nun, dass die gefundenen Bedingungen, zusammen mit denen des Satzes III., §. 9, auch hinreichend sind, dass also der Satz gilt: V. Damit eine 8ub,titution geeignet ,ei, eine ,ymmetrilcke [altemirende] Form 1'0n nickt „er,ckwindender Determinante in Bick ,elb,t .su tramfon,iren, ilt notkwendig und hinreichend, da,, die Elementartkeiler ihrer charakteriltiachen Function paarwei,e t,On gleichem Grade Bind und für reciproke W ertke t,erackwinden, mit Au,nahme derer, welche für den W ertk + 1 oder -1 1'er1chwinden und einen ungeraden [geraden] Ea:ponenten haben. Beim Beweise beschränke ich mich wieder auf die symmetrischen Formen. Die charakteristische Function von P sei p(r) = q,1 (r)cp2 (r), wo cp1 (r) das Product aller Elementartheiler ist, die fttr r = -1 verschwinden. Unter den gemachten Voraussetzungen giebt es dann nach §. 6, 3 eine Formenschaar r A1+A~ der Variabeln a:µ, y,.(µ= 1, ... m), deren Determinante gleich der Function mten Grades

sse von T (die Variabeln als reell betrachtet) -T und die von R E+ T _ R' E-T "

393 Mithin haben die conjugirten Coefficienten in B, r.p und rp., conjugirte complexe W erthe, und umgekehrt. Ist B eine orthogonale Form, und ist die Determinante von B+iE nicht gleich Null, so ist nach §. 9, L auch E+iR 11 _ (4.) ,HIJ B+iE eine solche, und es ist T. E-B, (E-B.)(R+iE) B+iE-E-iB (i-t)(E-B) ·~ u== E+B, (E+B,)(B+iE) B+tE+E+iB == (t+t)(E+B)

=

=

=• '

Ist also T reell, so ist To rein imaginär. Jeder orthogonalen Form mit reellen Coefficienten B entspricht also vermöge der Formel (4.) eine orthogonale Form Ru, deren conjugirte Coefficienten coajugirte complexe GrUssen sind. Ich wende mich nun zur Untersuchung des Charakters einer orthogonalen Form mit reellen Coefficienten. Sei a eine Wurzel der charakteristischen Gleichung von B. Die Form (r E-Br 1 ist dann eine gebrochene rationale Function von r, deren Nenner die charakteristische Function ist, und f11r r == a von einem höheren Grade verschwindet, als der Zlhler. Beginnt ihre Entwickelung nach aufsteigenden Potenzen von r- a mit (6.)

(rE-Br 1

= A(r-a)-+, .. ,

so hat unter den Elementartheilem der charakteristischen Function von B, die ft1r r = a verschwinden, derjenige vom höchsten Grade den Exponenten a. Setzt man auf beiden Seiten mit rE-B == (r-a)E-(B-aE) zusammen, so erhält man

E

= -A(B-aE)(r-a)-+"·

und daraus durch Coefficientenvergleichung

A(B-aE) = 0. Sei b die conjugirte complexe GrUsse zu a (also gleich a, wenn a reell iat) und B die conjugirte complexe Form zu A. Dann geht die Gleichung AB= aA durch Vertauschung von i mit - i in

BB

= bB,

und diese durch Uebergang zu den conjugirten Formen in

B'lf

==

bB'

394

über.

Daher ist

=

(AR)(R' B')

ab AB',

oder weil RR' = E ist, AB'(l-ab) = 0. Nun kann aber AB' nicht identisch verschwinden (§. 1., 2.).

Daher ist

ab= 1.

Daraus ergiebt sich der Satz *):

VI. Die Wur.1eln der charakteristischen Gleichung einer reellen orthogonalen Form liegen auf dem mit dem Radius Eins um den Nullpunkt beschriebenen Kreise. Sie sind daher complexe Grössen, falls sie nicht gleich ± 1 sind. Bezüglich der Wurzeln + 1 und -1 gelten die Sätze, welche in §. 9 für irgend welche cogrediente Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst entwickelt sind. Die Reihe (5.) convergirt für die Punkte r innerhalb eines gewissen um a beschriebenen Kreises (Con„ergenzkrei8). a selbst ist ein Punkt auf dem mit dem Radius Eins um den Nullpunkt beschriebenen Kreise (Einheitskreis). Ich beschränke nun die Veränderlichkeit von r auf das Stück der Peripherie des Einheitskreises, welches innerhalb des Convergenzkreises liegt. Aus Gleichung (5.) ergiebt sich, wenn man beide Seiten mit (r-1 n-1) -1

=

rR

zusammensetzt, (R' -r- 1 E)- 1

=

r RA (r-ara + .. ·,

daraus durch Uebergang zu den conjugirten Formen (R-r-1 Er1

=

rA'R'(r-ar"+ .. ,,

Vertauscht man nun i mit -i, so erhält man, weil die conjugirte complexe Grösse von r gleich ,.-1 und die von a gleich a-1 ist, (R-rE)- 1

= B' R'r- (r-

(rE-Rr 1

=

1

1

-a-1ra+ ... ,

B'R'(-l)"-1 a"r"- 1(r-a)-

0

+· .. ,

*) Brioscki, Liouv. Journal 19, p. 253. Der Beweis des Herrn Brio,cki sttttzt sich auf Satz V., ist also nicht anwendbar, wenn die Determinante von E + R verschwindet. Einen andern Beweis deutet Herr Sckläfti, dieses Journal, Bd. 65, S. 186 an. Die obige Beweismethode ist diejenige, mit Httlfe deren CaurJ&y den analogen Satz ttber symmetrische Formen bewiesen hat.

395

oder wenn man ,.~-1 nach Potenzen von r - a entwickelt und die Constante (-1)«- 1 a' -i mit c bezeichnet, 0

(rE-Rr 1

=

cB' R'(r-a)-"+ ....

Vergleicht man diese Entwickelung mit (6.), so findet man A AA

= =

cB'R', c(AB')R'.

Da die Form AB' von Null verschieden ist, und die Determinante von R' nicht verschwindet, so kann folglich A2 nicht gleich Null sein. Nun erhält man aber aus der Gleichung (6.), indem man sie nach r diff'erentiirt (§. 4, (3.)) -(rE-Rr2

=

-aA(r-a)-«-1 +···,

indem man sie aber mit sich selbst zusammensetzt, (rE-R)-2 = A 2 (r-ar2"+···· Da A2 nicht verschwindet, so zeigt die Vergleichung der Exponenten der Anfangsglieder, dass

-2a =-a-1,

a

=1

ist (Vgl. Weieratrasa, B. M. 1868, S. 216). VII. Die ckarakteriatiache Function einer reellen orthogonalen Form hat lauter einfache Elementartheiler. Alle Sätze, die hier ttber die charakteristische Function einer orthogonalen Form entwickelt sind, gelten auch von der Determinante der Schaar r Q - P, wo P und Q irgend zwei orthogonale Formen bedeuten. Ist in der Formel (9.), §. 11 die symmetrische Form 8 = E und die Substitution U eine eigentliche reelle orthogonale Substitution, so kann man, wie ich im nächsten Paragraphen zeigen werde, für G eine reelle orthogonale ]form nehmen. Dann sind auch U1 und 1h reelle Formen, und mithin ist auch T2 reell. Da ferner die charakteristische Function der Form U1 der Variabeln a:_,,,, 1/µ (µ = 1, ... m) gleich (r+ 1)"' ist, und in m einfache Elementartheiler zerfällt, so ist U1 der Form -Ei ähnlich, es giebt also eine Substitution P1 , welche der Gleichung P11 ( - E1) P1 = U, genügt, und daher ist U1 = -Ei und folglich nach Formel (8,), §. 11. T1 = 0. Demnach ist

396

wo man fUr H, eine reelle Form wählen kann.

r G=H,

G'(2H1

Setzt man also

G'T,G=T,

1

so sind H und T reelle alternirende Formen, und es ist

=

R

(6,)

lim :~:~

;s+! ,

§. 13. Aebnlicbe orthogonale Formen.

Sei .A eine Form, deren charakteristische Function q, (r) fUr mehr als einen Werth verschwindet, sei a eine m-fache Wurzel der Gleichung q,(r)=O, sei (r-a)"'=q,1 (r) und

= 0 und ~-Äo = 0.

lt), so ist .A_1

(6.)

= Au(.Ao-E).

daher*)

In der Reibe (1.) sind die Coefficienten der negativen Potenzen A-H•, .•• Au sämmtlich von Null verschieden. Denn wäre einer derselben Null, so *) Die folgende Untersuchung der Form A0 llsst sich auch mit Htllfe der i'ormel (4.) §. 3 sehr einfach durclifllbren.

397

müssten nach (2.) auch die vorhergehenden sämmtlich verschwinden. Ist nun 1/'o(Än) = 0 die Gleichung niedrigsten Grades, der /4, genügt, so ist 1/'o(r) nach Gleichung (6.) ein Divisor von r(r-1). Da nicht /4, = 0 ist, so ist auch nicht 1/'o(r) = r. Nach (4.) ist ferner 0 = .A_i = Ai, (.A - aE)k. Wäre also 1/'o(r)=r-1, also /4,-E=O, so wäre (A-aE)k=O und folglich wäre nach §. 8, VI. die charakteristische Function von A-aE gleich r" und die von A gleich (r-a)", während vorausgesetzt ist, dass q,(r) flir mehr als einen Werth verschwindet. Mithin ist (6.) die Gleichung niedrigsten Grades, der .Au genügt. Da die Coefficienten der Reihe (1.) ganze Functionen von A. sind, so sei .Äo = f(A). Dann ist .A_.t = f(.A)(A-aE) 1 = O, während flir "< k die Form A._,. = f(A) (A- aE)" nicht verschwindet. Es ist also f(r) (r -aY,. durch 1/'(r) = (r-aY'1/'2 (r) theilbar, und folglich f(r) durch 1/'2 (r). Dagegen ist f(a) nicht Null, weil sonst auch flir "< k die Function f(r)(r -a)" durch 1/'(r) theilbar wäre. Da , (i876, Oet.) S. 218.

407

welchen ich aus A und B (in dieser Reihenfolge) au,at'lffl'teragesetat nenne und mit AB(u) oder auch kurz mit AB bezeichne (Vgl. dieses Journal, Bd. 80, S. 321). Seine Ordnung ist die Summe der Ordnungen von A und B. I. Der Coefficierat der kiickaten Ableilug eines !6U1Jammengesetaten Dilferentialau,dn,cltt ut da, Product au, den Coefficienten der kiicklten Ableitugen ,einer Tkeile.

Aus dieser einfachen Bemerkung ergeben sich eine Reihe von Folgerungen. Ein Differentialausdruck heisst (identisch) Null, wenn alle seine Coef:fi.cienten Null sind. Setzt man mehrere Differentialausdrücke zusammen, deren keiner Null ist, so erhält man wieder einen Differentialausdruck, der nicht verschwindet. Denn nach dem obigen Satze ist der Coef:fi.cient der Mchsten Ableitung von Null. verschieden. Wenn daher ein zusammengesetzter Differentialausdruck verschwindet, so muss einer seiner Theile Null sein. Ist AB = 0 und A nicht Null, so ist B = 0. Ist ABC= O, und sind A und C nicht Null, so ist B = 0. Ist AC= BC (oder CA = OB) und ist C nicht Null, so ist A = B. Ist z. B. DA = DB (wo D das Ableitungszeichen ist), so ist A = B. Ein linearer Differentialausdruck der unbestimmten Function u, dessen Coeffi.cienten lineare Differentialausdrücke einer andern unbestimmten Function t, sind, heisst ein bilinearer Dilferentialau,druck und wird mit A(u, e,) bezeichnet. Er heisst ,ymmetn,ck, wenn A(u, t>) = .4(t>, u), altemirend, wenn A(u, t>) = -A(t>, ~) ist. Die Summe der Ordnungen der Ableitungen von u und ", die in einem bestimmten Gliede von A (u, 1') mit einander multiplicirt sind, wird die Dimenrion dieses Gliedes genannt. §. 2.

Definition adjungirter linearer Ditl'erentialausdrUcke.

Bezeichnet A(u) den Differentialausdruck (1.), so heisst (2.)

(A 0 u)-D(A 1 u)+ D2 (A 2 u)- , .. +(-1)" D"(A„u)

der adjungirte Dilferentialaudruclt von A und wird im Folgenden stets mit A' (u) oder A' bezeichnet werden. Wir werden indessen von dieser Definition wenig Gebrauch machen, sondern den adjungirten Differentialausdruck durch eine charakteristische Eigenschaft desselben definiren, die wir, da sie die Grundlage der folgenden Untersuchungen bildet, kurz ableiten wollen. Zum Ausgangspunkte nehmen wir die bekannte leicht zu verificirende Formel:

408

(a,)

Dzri-1(-ly-i-i. D1 u. D"-Ho i.

= oD" u-u(-1)" D"o,

auf welcher die Methode der partiellen Integration beruht. Der Differentialausdruck „D" u- u (-1Y D"., ist also das vollständige Differential eines bilinearen Differentialausdrucks 1 (-1y-1- 2 D 1 u.D"-i-t.,, (('J.) P,,(u, o) =

f~-

dessen Glieder alle von der (v-l)ten Dimension sind und abwechselnd die Coefficienten +1 und -1 haben. Ersetzt man in (a.) durch das Product A„o, so erhält man



(r,)

o(A„D"u)-u((-1)" D"(A„o))

=

DP,,(u, A„o).

Wird der bilineare Differentialausdruck P,.(u, A„o), der sowohl in Bezug von der (v-l)ten Ordnung ist, nach den auf u, als auch in Bezug auf Ableitungen von u und o geordnet, so ist die höchste vorkommende Dimension die (v-l)te und die Glieder dieser Dimension haben abwechselnd die Coefficienten + .A„ und -.A,.. Der Differentialausdruck



(3.) Z!P,,(u,.A,,o) =Z1Zr.-1(-lt· 1• 1·D 1 u.D"· 1- 2(.A„o) =Z(-1}" D1·u.D·"(.A1.+µ+i") ..

"

l

l,µ

soll der den Ausdruck .A (u) begleitende bilineare Di!ferentialamdruck genannt*) und mit A (u, ., ) bezeichnet werden. Er ist in Bezug auf u und von der (n-l)teu Ordnung und die höchste vorkommende Dimension ist ebenfalls nur die (n-l)te. Die Glieder der (n-l)ten Dimension haben abwechselnd die Coefficienten +.A.. und -A,.. Die Coefficienten sowohl von .A'{u) als auch von A (u, ") sind lineare Differentialausdrttcke der Coefficienten von A (u).



*) Sind die Ooeffieienten von A in einem gewissen Bereiche eindeutige Funetionen der eomplexen Variabeln a:, so erfahren n unabhängige Integrale u0 , u., ... u._, der Differentialgleichung A = O, wenn a; eine innerhalb dieses Bereiches liegende geschlossene Curve durchläuft, eine lineare Substitution mit eonstanten Coeffioienten. Es lassen sieh dann n unabhängige Integrale "•• "• • .•• "•- 1 der Differentialgleichung A' = 0 so bestimmen, dass sie auf diesem Wege die transponirte Substitution erfahren, also den Grössen u0 , u,, . . . "•-• eontragredient sind ( dieses Journal Bd. 76 S. 194 und 8. 267). Aus diesem Grunde wird A' der zugehörige oder adjungirte Ausdruck von A genannt. (Aus dieser Bemerkung ergeben sieh z. B. ohne weiteres die Sätze, welche Herr Jürgen,, dieses Journal Bd. 80, S. töO ttber die Fundamentalsysteme adjungirter Differentialgleichungen abgeleitet hat.) Der Ausdruck A(u, o) iet demnach denjenigen algebraischen Gebilden zu vergleichen, welche Herr Aronhold Zwisohenformen, Herr Syltlelter Coneomitanten genannt hat. Daher nenne iob ihn den begleitenden bilinearen Differentialansdruek.

409

Summirt man die Gleichung (r,) nach v, so erhält man zwischen den Ditferentialausdrttcken (1.), (2.) und (3.) die Relation*) (4.) t>Ä(u)-uA'(t>) = DA(u,t>), Wenn umgekehrt A(u) und B(u) zwei solche Ditferentialausdrttcke sind, dass " A (u) - uB (") die Ableitung eines bilinearen Ditferentialausdruc~s C(u, t>) ist, so ist B(u) = A'(u) und C(u, t>) = A'(u, t>), Denn subtrahirt man die Gleichung (4,) von der Gleichung t>Ä(u)-uB(t>) = DC(u,t>), so erhält man (h.) u(A'(t>)-B(t>)) = D(C(u, t>)-A(u, t>)), Denkt man sich fttr " irgend eine bestimmte Function gesetzt, so ist C(u, t>)-A(a, t>) ein homogener linearer Ditferentialausdruck von u. Wäre er nicht identisoh Null, sondern wltre die höchste Ableitung von u, welche in ihm wirklich vorkommt, die mta, so wltre die höchste Ableitung von u, welche in seiner Ableitung wirklich vorkommt, die (m+t)te, also nach Gleichung (h.) m +1 = O, während doch m nicht negativ sein kann. §. 3. Die Reciprocitlt adjungirter Diff'erentialausdrttcke.

Aus der charakteristischen Eigenschaft (4.); durch welche wir von nun an den adjungirten Ditferentialausdruck definiren können, lassen eich alle seine Eigenschaften mit Leichtigkeit ablesen. Unmittelbar folgt aus derselben der Lagrangesche Satz, dass der adjungirte Ausdruck von A1 gleich A ist. Geht ferner durch Einführung einer neuen unabhKngigen V ariabeln a:' an Stelle von a, der Ausdruck A in (den linearen Ditferentialauedruck) P, A' in Q und A(u, t>) in R(u, t>) ttber, eo ist t>P(u)-uQ(t>)

oder wenn man mit

;!:,

=

tlR (u, r,) da:'

da:'

da:,

multiplicirt und " durch " :; ersetzt: tlrd ) tla: tlrd

t>P(u)-uQ ( " da:

=

tl tlrd

(

da:' )

R u, "-;;;;- ·

Der adjungirte Ditferentialansdruck von P (u) ist daher Q ( u : ) : , , der begleitende bilineare Ditferentialansdruck R ( u, " : ) , •) Jacol>i, dieses Journal Bd. 32, S. 189.

410

Ist B ein linearer Ditferentialausdruck, B' der adjungirte, B (u, ") der begleitende bilineare Ausdruck, so ist t1B(u)-uB'(t1) = DB(u, .,), Ersetzt man " durch .A' (") , so erhllt man .A'(t1).B(u)-uB' .A'(t1) = DB(u, .A'(.,)). Ersetzt man in der Gleichung (4.) u durch B(u), so findet man t1.AB(u)-B(u).A'(t1) = DA(B(u), t1). Durch Addition dieser Gleichungen ergiebt sich t1.AB(u)-uB' .A' (") = D[A(B(u), ") + B(u, .A' ("))]. Daraus folgt: I. 18t P = AB, 80 iat P' = B'A' und P(u, t1) = .A.(B(u), t1)+B(u, A'(t1)). Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes findet man das allgemeinere Ergebniss, dass der adjungirte Ausdruck von .ABC... gleich ... C' B' .A' ist. II. I,t ein Diferentialau,druck au, mehreren au,ammengeaetst, 80 iat der adju,agirte .Au,druck au, den adjungirten in der umgekehrten Reihenfolge au,ammengeaetst.

Weil ich mich vielfach auf diesen Satz beziehen werde, will ich ihn den R.eciprocitäh8ata nennen. (Vgl. dieses Journal, Bd. 76, S. 268 und S. 277; Bd. 77, S. 25 7; Bd. 80, S. 828.) Sowohl aus der charakteristischen Gleichung (4.) als auch aus der formalen Darstellung (2.) und (8.) ist unmittelbar ersichtlich der Satz von Hea8e (dieses Journal, Bd. 64, S. 282):

III. Der adjungirte lineare (und der begleitende bilineare) Diferentialauadruck einer Summe iat gleich der Summe der adjungirten linearen (und der begleitenden bilinearen) DiferentialaudriJcke der ein.einen Summanden. Mit Hülfe des Reciprocitä.tssatzes und des Hea,eschen Satzes ist es leicht, zu einem Ditferentialausdruck, in welcher Form er auch gegeben sein mag, den adjungirten zu bestimmen. Der adjungirte Ausdruck von au, wo a eine bestimmte Function von a: bedeutet, ist au, der von Du ist -Du. Daher ist der adjungirte Ausdruck von a . .A(u) gleich .A(au) uni der von D.A.(u) gleich -AD(u). Zu einem bilinearen Differentialausdruck .A.(u, t1) kann man auf zwei verschiedene Weisen den adjungirten bilden, entweder indem man " als

411

unbestimmte Fnnction betrachtet, und flir u einen bestimmten Werth gesetzt denkt, oder indem man u als unbestimmt ansieht. In dem ersteren Sinne sei A.' (u, 4') der adjungirte A.usdrnck von A. (u, ti). Denkt man sich dann in der Gleichung (4,) ftir u eine bestimmte Function gesetzt, und berechnet zu beiden Seiten die adjungirten Ausdrücke, so erhält man die Formel (6.) 4'.Ä(u)-A.(uo) = -.A'(u,De), Nimmt man darin tlir u ein Integral..!.. der Differentialgleichung A(u) = O, Co

und ersetzt man " durch euo, so findet man A(.;)

= A.'(..!.., Deo.,), Co

oder wenn man die Bezeichnung A.'(..!_, .,) Co

einführt,

=

A1(t,)

=

A.(t,) A.,D(euo). Auf dieselbe Weise kann man den Differentialausdruck (n-l)ter Ordnung A. 1 (t,) auf die Gestalt A1(ti)

bringen, wo

..!.. c,

= A.2D(C1fJ)

ein Integral der Differentialgleichung .A1 (t,)

=0

und A.2 (0)

ein Differentialausdruck (n-2)ter Ordnung ist. Indem man so fortfährt, bringt man den Ausdruck A schliesslich auf die Form (6.) A(u) = c„Dc,._ 1 Dc._2 ... c.iDc1DCc1t1, in welcher er ans lauter Differentialausdrücken erster Ordnung zusammengesetzt ist. Nach dem Reciprocitätssatze ist der adjnngirte Ausdruck dazu (7,) A'(u) = (-l)80oDc1Dc2 ... c._2Dc,._1 Dc.u. §. 4,

Differentialausdrttcke, die ihren adjungirten gleich sind.

Nach dem Reciprocitätssatze ist der adjungirte Differentialausdruck von A'A.(u) gleich A'A(u), und wenn a eine bestimmte Function von a: ist, der von A'a.A(u) gleich A'aA(u) *). Sei umgekehrt P(u) ein beliebiger Differentialausdruck mter Ordnung, der seinem adjnngirten gleich ist. Ist der Coefficient der höchsten Ab*) Der adjungirte Differentialausdruck von A'DA(u) ist -A'DA(u).

412

leitnng in P gleich p, so ist er in P' gleich (-l)"'p. Soll also P = P' sein, so muss m gerade sein (=2n). Seien Po(u), P 1 (u), ... P,.(u) n+l beliebig gewKhlte Differentialauedrttcke, P,, (u) von der ,-ten Ordnung. Sei q der Coeffi.cient von D"u in P,. (u) und p. durch die Gleichung p = (-l)"q2p„ bestimmt. Dann ist in dem Ausdruck P~p.P,.(u) der Coeffi.cient von D29 u gleich p, und daher ist der Ausdruck P(u)-P',.p„P,.(u)

höchstens von der (2n-l)t•a Ordnung. Da er aber seinem adjungirten gleich und folglich von gerader Ordnung ist, so kann er höchstens von der (2n-2)ten Ordnung sein (Vgl. Heue, dieses Journal, Bd. 64, S. 284). Sei p' .der Coeffi.cient von D 2• -2 • in demselben, q' der von D-1 in P,._1 und p' == (-tt-•,·2,,._,, so ist



P(g)-P~p.P,.(u)-P~-1P11-1P,._, (u)

ein Dift'erentialausdruck der seinem adjungirten gleich und höchstens von der (2n-4)ten Ordnung ist. Indem man so weiter rechnet, bringt man zuletzt P auf die Form *) (8.) P(a) = P~p.P,.(u)+P~-1P.. -1P._,(u)+ .. ·+P:,puP11(u). Ist z.B. P,,(u) = D"u, also P~(u) = (-1)" D"a, so erkennt man daraus, dass jeder Dift'erentialausdruck, der seinem adjungirten gleich ist, auf die Form (9.)

P(u)

=

puu-Dp1Du+D2p2D2u- •+(-l)"D"p„D"u 00

gebracht werden kann (Jacobi, dieses Journal, Bd. 17, S. 71). Seit Jacobs hat man nun umgekehrt jeden Ausdruck, von dem man beweisen wollte, dass er seinem adjungirten gleich ist, in dieser Form darzustellen gesucht. Da dies aber meistens nicht ohne weitlKuftige Rechnungen möglich ist, und da U.berdies diese Form, wie schon ihre Verallgemeinerung (8.) zeigt, nur ein unwesentliches Merkmal solcher Dift'erentialauedrttcke ist, so werde ich von derselben im folgenden keinen Gebrauch machen. *) In lhnlicber Weise kann man jeden Ausdruck, der seinem adjungirten entgegengesetzt gleich iat, auf die Form + P~p.Dp„P,.(u)+ P-1P11-1 Dp,._1P,._, (•)+ ... + P~p0 Dp0 P0 (u) bringen (Jacobi, dieses Journal, Bd. 82, S. 196).

413

In der Form (8.) oder (9.) lässt sich ein Differentialausdruck, der seinem adjungirten gleich ist, durch rationale Operationen und durch Differentiation darstellen. Wichtiger dagegen ist die Entdeckung Jacobis, dass man jeden solchen Differentialausdruck mit Hülfe von Integrationen auf die Gestalt .A'.A(u), oder wenn es in reeller Form geschehen soll, auf die Gestalt .A'a.A(u) bringen kann. Der Jacobische Beweis dieses Theorems lässt sich mit Hiilfe des Reciprocitätssaties in folgender einfachen Weise darstellen: Sei P(u) ein Ausdruck 2nter Ordnung, der seinem adjungirten gleich ist, P(u, ti) der begleitende bilineare Ausdruck. Dann ist (10.) fJP(u)-uP(t,) = DP(u, t,), Die linke Seite ändert ihr Vorzeichen, wenn man u mit fJ vertauscht. Daher ist DP(u, fJ) = D(-P(fJ, u)), und folglich nach §. 1

=

P(u, fJ)

-P(fJ, u).

I. Ist ein Dilferentialawdruck seinem adjungirten gleich, so ist der begleitende bilineare Differentialausdruck alternirend *). Demnach verschwindet P(u, fJ), wenn u = fJ ist Nimmt man in der Gleichung (10.) für so erhält man

fJ

ein Integral P(u)

=

..! c.

der Differentialgleichung P(1,) = O,

c0 DP(u, J_).

c.

Da der Differentialausdruck (2n--l)ter Ordnung

P(u, J-.) c0

für u = J__ verc0

schwindet, so lässt er sich (§. 3.) auf die Form P 1 D(c0 u) bringen, wo P 1 (u) ein Differentialausdruck (2n- 2)ter Ordnung ist, und folglich ist P(u)

=

euDP1Deuu.

Nimmt man auf beiden Seiten den adjungirten Ausdruck, so erhält man nach dem Reciprocitätssatze P(u) = ei,DP;Dc0 u, und daher *J Ist ein Dift'erentialausdruek seinem adjungirten entgegengesetzt gleich, so ist der begleitende bilineare. Dift'erentialauadruek ayn1metriaeb.

414

also nach §. 1 P~

Ist nun

..!. c,

=

Pi,

ein Integral der Differentialgleichung P, P1(u)

= O,

so ist

= c1DP2Dc1u,

wo P2 ein Differentialausdruck (2n -4)ten Grades ist, der seinem adjungirten gleich ist. Indem man so weiter schliesst, bringt man den gegebenen Ausdruck auf die Form

P(u)

=

euDc1Dc.i ••. Dc,._1 DcDc,._1

•••

c.iDc,Dc.,u.

Da der Coefficient p der höchsten Ableitung eines zusammengesetzten Differentialausdrucks P gleich dem Producte aus den Coefficienten der höchsten Ableitungen seiner Theile ist, so ist p=CoC1 ••• c,._,cC,._1 ••• C1C.1=C(CuC1 .. ,C,._1) 2•

Wenn daher die Coefficienten von P alle reell sind, und bei der Umformung nur reelle Integrale verwendet sind, so bat c dasselbe Vorzeichen, wie p. Sei a eine beliebige Function, die mit (-l)"p dasselbe Vorzeichen bat, und c

=

(-l)"ac;.

Setzt man dann so ist

(7.)

A'(u)

=

(-l)·c.,Dc1

•••

c,,_ 1 Dc,.(u),

und daher (11.)

P(u)

=

A'aA(u).

Am einfachsten ist es a = ±1 zu setzen, oder wenn es sich nicht um reelle Ausdriicke handelt, a = 1. Soll aber der Coefficient der höchsten Ableitung in A gleich Eins sein, so muss man (12.)

a

=

(-l)"p

wählen. §. ö. Neuer Beweis des Jacobisehen Satzes.

Aus der Gleichung (11.) folgt, dass die n Integrale der Differentialgleichung A = 0 sä.mmtlich auch der Differentialgleichung P = 0 Genttge leisten. Es wird sich aber zeigen, dass sie nicht n beliebige Integrale von P = 0 sind, sondern gewisse Bedingungen erfüllen mttssen. Es ist jedoch

415

schwierig, diese Bedingungen in ihrer einfachsten Form auf dem soeben durchgeftthrten Wege zu finden •). Ich will deshalb den Jacobtschen Satz noch auf eine andere Weise ableiten, wobei sich jene Relationen ohne weiteres ergeben. Ersetzt man in der Gleichung (4.) o durch aA(o), so erhält man, wenn man sich der Bezeichnung (11.) bedient, aA(o)A(u)-uP(t1)

=

DA(u, aA(o)).

Vertauscht man • mit o und zieht die neue Gleichung von der ursprttnglichen ab, so ergiebt sich oP(u)-•P(o) = D(A(u, aA(o))-A (o, a.A(u))). Daraus folgt nicht nur, dass der Ditferentialausdruck P seinem adjungirten gleich ist, sondern auch, dass der begleitende bilineare Differentialausdruck P(u, o)

= A(•,

aA(o))-A(o, aA(u))

ist. Die rechte Seite dieser Gleichung verschwindet aber, wenn u und " irgend zwei Integrale der Differentialgleichung A = 0 sind. Folglich muss P (u, o) = 0 sein, wenn u und o beide der Differentialgleichung A = 0 genttgen. Sei jetzt umgekehrt P irgend ein Differentialausdruck 2nter Ordnung, der seinem adjungirten gleich ist. Dann ist, wie oben gezeigt, der begleitende bilineare Differentialausdruck P(u, o) altemirend. Ich behaupte nun, dass sich n unabhängige Integrale der Differentialgleichung P = 0 finden lassen, von denen je zwei den Ausdruck P(u, o) annulliren. Seien nämlich au, a 1 , ••• '17.. -, irgend 2n unabhängige Integrale von P=O und sei P(a.., a/1) = Oa/1• Da P(u, o) altemirend ist, so ist aa/1 = -apa und a.,.,

= 0. Da ferner nach

Gleichung (10.) DP(aa, ap)

= apP(a,.)-a,.P(afJ) = 0 a:u, a:,, ••. 11:2,.-1 und

ist, so ist a /l eine Constalite. Seien nun willktirliche Constante und 0

Yu, g,, ... g,.,_,

"C'7"-1 a„a:,., u = """'11 u

"'"-1a/JYJJ, "= ...,u /1 irgend zwei Integrale der Differentialgleichung P = 0. Dann ist P(•, o) = Za ..,a:.,gp = Z ofl

eine altemirende bilineare Form. Ich werde im nächsten Paragraphen ver*) Ein Mittel dazu ist in der Anmerkung I. zu §. 6 angedeutet.

416

scbiedene Wege angeben, n unabhängige Werthereihen

a:{">, • • • ml:~1 (J' = O, 1, . , . n-1) zu finden, von denen je zwei die Form Z annulliren. Dann sind 1 a:!:')a" u,, = (v = o, 1, ... n-1)

~:>,

(18.)

r.r"

= O, welche paarweise der Gleichung P(u, t>) = 0 genttgen..•) Sind aber irgend n unabhängige Functionen Uo, u1 , ... "•-t gegeben, so kann man eine Differentialgleichung nter Ordnung A = 0 bilden, der sie genttgen. Soll der Coefficient der höchsten Ableitung von A gleich Eins sein, so ist (14.) A(u) = ~±u.,u~ ... u~:i1>u:.2"±t1t,u~ ... ~~11>. Wenn ferner alle Integrale einer Differentialgleichung nter Ordnung A = 0 eine Differentialgleichung 2nter Ordnung P = 0 befriedigen, so kann man P auf die Form

n unabhängige Integrale der Düferentialgleichung P

P=BA

biingen, wo Bein Differentialausdmck nter Ordnung ist (Vgl. dieses Journal, Bd. 76, S. 267). Ist B' der adjungirte Ausdruck von B und B(u, ti) der begleitende bilineare Differentialausdruck, so ist tiB(u) -uB' (ti)

=

DB(u, ti).

Ersetzt man " durch A (u), so erhält man tiP(u)-A(u)B'(")



=

DB(A(u), ti).

Vertauscht man u mit und zieht die neue Gleichung von der nrsprttnglichen ab, so ergiebt sich tiP(u)- uP(ti)-A(u)B'(ti)+ A(ti)B'(u)

=

D[B(A(u), ti)-B(.A(ti), u)],

oder wegen (10.) .A(ti)B'(u)-A(u)B'(ti)

= D[B(A(u),

ti)-B(.A(ti), u)-P(u, ti)]

= DC(u,

1'),

Der Ausdruck C(u, o) verschwindet seiner Zusammensetzung nach, wenn ftlr u und irgend zwei der Fnnctionen ,,.,, u., ... U.-i gesetzt werden, welche einzeln A (u) und paarweise P (u, ") annulliren. Seine Ableitung



*) Um die n unabhängigen Functionen 110 , 11 11 ••• "•-1 zu definiren, braucht man auaser den n(n;-f) Gleichungen P(u.,,, u,,) 0 (I', 11 0, f, ... n-f) nicht noch die n Gleichungen P(u,,) =0 (v =0, f, ... n-1), sondern nur eine derselben, etwa P(110) = 0.

=

=

417

ist A(o)B'(u)-A(u)B'(o), also in Bezug auf u und o höchstens von der „t,n Ordnung. Daher kann C(u, o) in Bezug auf u und o höchstens von der (n- l)ten Ordnung sein (§. 1). Wenn aber der Differentialausdruck (n-l)ter Ordnung C(u.,, o) fttr n unabhängige Functionen o = 11u, 111 , ... "•-l verschwindet, so muss er identisch verschwinden. Folglich muss, welche bestimmte Function auch fttr o gesetzt wird, der Ausdruck C(u, o), der in Bezug auf u von der (n-l)ten Ordnung ist, für u = 111 , ••• u,,_1 und daher identisch verschwinden. Somit ist A(o)B'(u)-:.A(u)B'(o) = O, oder es ist B'(u) B'(")

u.,,

=

A(u)

A(")

ein von der Wahl der unbestimmten Function " unabhängiger Ausdruck, d. h. eine bestimmte Function a. Ist aber B' (u) = aA (u), so ist nach dem Reciprocitätssatze B(u)

= A'(au),

und daher (11.)

P(u)

= A'aA(u).

Nimmt man für A den Ausdruck (14.), in dem der Coefficient der höchsten Ableitung Eins ist, so muss man fttr a die Function (12.) wählen. §. 6, Hlllt'ssatz llber alternirende bilineare Formen.

Zur Vervollständigung des eben geführten Beweises ist noch zu zeigen, wie man n unabhängige Werthereihen (13.) findet, welche paarweise die alternirende bilineare Form _,,_, Z = ~o Oap:I:aY{J a,{J

annulliren. Am einfachsten ist es, sie successive zu ermitteln. Man nehme die Grössen willkürlich an (aber nicht alle Null). sie die lineare Gleichung

Da Z alternirend ist, so befriedigen

Z„ (Z OafJ :,;~))) :I:0 {J

=

0,

Für a;\1>, :i:P>, •. • :,;~_1 nehme man irgend eine zweite, von der vorigen unabhängige Lösung dieser Gleichung u. s. w. Hat man bereits m unab-

418

hängige W erthereihen a:C.ui a:Y,>, • • • a:~ 1



= 0,

l, ... m-1)

bestimmt, welche den m linearen Gleiehungen Z(Za„ .,.(p>)a:,. = 0 8 -p a /J genttgen, so muss a:im\ a:i"'>, ••• :ti!'!.1 eine neue, von jenen m unabhängige Lösung dieser Gleichungen sein. Nun haben m homogene lineare Gleichungen zwischen 2n Unbekannten mindestens 2n-m unabhängige Lösungen, also ausser den m bereits bekannten noch 2n - 2m, demnach wenigsten15 2, so lange m < n ist. Der Auseinandersetzung einer •"'eilen Methode, zur Ermittlung der Grössen (13.) schiQke ich den Beweis des Satzes voran, dass die Determinante I a,., 1 von Null verschieden ist. Der bilineare Differentialausdruck P(u, ti) = ~p.1 D•uD1ti ist in Bezug auf u und ti von der (2n-t)te0 Ordnung. Da er kein Glied von einer Mheren als der (2n-l)ten Dimension enthält, so ist P.i = O, wenn ae+1>2n-1 ist. Daher reducirt sich die Determinante lp.11auf ein Glied

lp.11 =

(-l)"P211-1,0P211--2,1•••Po,2.-11

oder weil die Glieder der (2n-1)ten Dimension abwechselnd gleich und -p sind, auf

+p

IP.il = P2"· Ferner ist und daher

1a„JI 1= IPa/J 1•1a~•>1 2 = (p". 1a~•>j)2. Die Determinante der bilinearen Form Z ist also von Null verschieden.*) Durch lineare Substitutionen kann man folglich Z auf die Form 1 x ,, Y',, -X',, Y,, z = z•,. 0 reduciren; wo X.,, x; (v = O, 1, ... n-1) 2n unabhängige homogene lineare Functionen von a:i_., :i:,, ... ii:2.-1 und Y,,, Y; die nlmlichen Functionen von y0 , g,, ... 1/2.-i bedeuten. Die Grössen (13.) genttgen daher den gestellten Bedingungen, wenn s.ie die n linearen Gleichungen X,, = 0 befriedigen, *) Daraus folgt, dass es nicht mehr als n unabhin:r.·ge Werthereihen (18.) giebt, welche paarweise Z annulliren (Vgl. dieses Journal, B • 82; S. 266).

419

welche wirklich 2n-n unabhängige Lösungen besitzen, oder allgemeiner (Cleback, dieses Journal, Bd. 55, S. 344), wenn sie aus den n Gleichungen _X,.I = "''E'tt-l "'" c,.., X., (µ = 0, 1, ... n- 1) " bestimmt werden, wo c,.,, = c.,,. n(n willkürliche Constanten sind.

it)

Endlich kann man dritten, auch auf folgende Weise n Integrale tlu, u1 , ... u..-1 ermitteln, welche paarweise die Gleichung P (u, ti) = 0 tefriedigen. Sei a:' ein fi1r die Differentialgleichung P = 0 nicht singulärer Punkt und e„ das Integral derselben, dessen Entwicklung in der Umgebung von a:' mit

e,. =

c~-al)" t. 2 .. ,,.

ca = o, 1, . . . 2,,_ 1) (a, ,e = O, 1, ... 2n-1) für a: = a:' gleich O oder 1, je

+e,.,,,. ca:-a:') +·.. 2"

beginnt. Dann ist e nachdem a von ,e verschieden, oder gleich

P(e,., e/J)

,e

ist.

Da der Ausdruck

= Zpx1eC.:>e~i> ..,2

constant ist, so bleibt er ungeändert, wenn der Variabeln x der Werth x' beigelegt wird. Folglich ist er gleich dem Werthe, den Pa/J für a: = a:' hat, also Null, wenn a +ß > 2n-1 ist. Daher genügen e,., e,.+i, ... e2,._1 paarweise der Gleichung P(u,1i) •= O, und ebenso je zwei lineare Verbindungen derselben. Man kann also fi1r uo, u1 , . . . u,_1 irgend n unabhängige Integrale wählen, deren Entwicklungen nach Potenzen von x- a:' nicht mit einer niedrigeren als der nten Potenz anfangen. Anmerkung I. Die Relationen zwischen den Constanten (13.) sind von Cleback gefunden worden, während ihre einfachste Gestalt Hea,e entgangen war. Bei der Bedeutung, welche die Arbeit von Bea,e hat, ist es vielleicht von Interesse, genau den Punkt zu kennen, welchen er übersehen hatte. Sei t1u = -1 ein Integral, also auch ein Multiplicator der Differentiale. gleichung P = 0. Dann ist P (u) = coD 01 (u), wo der Differentialausdruck t2n-l)ter Ordnung Q1 (u) ftlr u = _!_ verschwindet, also auf die ]form c.

= P D0c,u

gebracht werden kann. Zur weiteren Reduction darf man nicht ein beliebiges zweites Integral u1 von P = 0 benutzen, sondern ein Q1 (u)

1

420

solches, ftlr welches zugleich Q1 = 0 ist. Dann ist _!_ = D c11 u1 ein Intec, gral von P 1 = O, also auch (§. 4) ein Multiplicator von P 1 und folglich auch von Q.. Mithin ist Q1 = c1DQ2 , und Q2 (u) = P2 Dc 1 D~1u. Ist dann U:i ein solches von 11ti und 1.11 unabhängiges Integral von P = O, für welches zugleich Q2 = 0 ist, so ist _!_ = Dc1DeoU:i ein Integral von P2 = O, also c, auch ein Multiplicator von P 2 und folglich auch von Q2• Mithin ist 02 = CtDQ3 U, s. w. Die Gleichung Q1 ( a 1) = 0 ist eine Relation zwischen uo und "•, die Gleichung Q2 ( u,) = 0 zerfällt in zwei Relationen zwischen u.,, 111, ul, Q,("3) = 0 in drei zwischen ""' a 1 , "2, a,, u. s. w. (Heaae, Bd. 64, S. 263). Der Grund, wesshalb die Bemühungen Hea,es, diese wenig durchsichtige Form jener Relationen zu vervollkommnen, scheiterten, lag darin, dass ihm die eigenthttmliche Zusammensetzung der Differentialausdrücke Q1, Q2, Q3, ••• entging. Der Ausdruck (2n-m)ter Ordnung Qm kann nämlich auf die Form Om(a)

=

cuP(u, u,,)

+ f'1 P(u, U1) + +"m-1 P(u, Um-1) 00 •

gebracht werden, wo die Verhältnisse der Functionen t,111 t, 11 ••• c.._1 schon dadurch bestimmt sind, dass Q,,. nur von der (2n-m)teo Ordnung ist, dass also auf der rechten Seite die Coefftcienten von D2• -1 u, D2"-2 u, .. . D211-m+1 u verschwinden mttssen. Bis auf einen Factor ist daher Q,,. gleich P(u, u.,) P(u, u,) P(u, "m-1)

"'u,\1)'

"•

"»•-1

ap>

u m-1

u,~m-2}

a4m-2)

ugc;> = 0 (.u, v = 0, 1, ... n-1) a

ist.

Durch Aufösung der Gleichungen (a.) ergiebt sich aber (r.) yc;> = Zaapxt, p

l\fultiplicirt man diese Gleichung mit x'f> und summirt nach a, so erhält man wegen (ß.) (r,) Z aapx~> xi> = 0. ,,,p Da die durch die Gleichungen (a.) definirten n Werthereihen xc;> unabhängig sind, und da dien unabhängigen linearen Gleichungen(().) zwischen 2n Unbekannten nicht mehr als 2n-n unabhängige Lösungen haben, so ist jede Lösung derselben eine lineare Verbindung der n Lösungen (a. ). Weil aber, wie die Formeln (r,) zeigen, die n Werthereihen (a.) paarweise die Form Z annulliren, so müssen auch, da Z alternirend ist, je zwei lineare Verbindungen derselben die nämliche Eigenschaft besitzen. Die n Werthereihen (13.) annulliren also auch dann paarweise die Form Z, wenn sie nicht durch die Formeln (a.) gegeben, sondern als irgend n unabhängige Lösungen der Gleichungen (().) definirt werden, d. h. die Gleichungen (a.) und (ß.) ziehen stets die Gleichungen (r.) nach sich (auch ohne Vermittlung der Gleichungen (a.) oder (r.,)). Ebenso folgen aus den Gleichungen (r,) und (ß,) die Gleichungen (a.) (aber nicht etwa aus (a.) und (r.) die Gleichungen (ß.)). Zwei Grössensysteme (13.) und (15.), welche durch die Gleichungen (ß.) mit einander verknüpft sind, habe ich adjungirte genannt (dieses Journal, Bd. 82, S. 238) und von denselben gezeigt, dass die Determinanten nten Grades des einen (x~>) bis auf einen gemeinschaftlichen von Null verschiedenen Factor den complementä.ren Determinanten nten Grades des andern (yC:>) gleich sind. I. Wenn n unabhiingige Wertkereiken paarweise eine alternirende bilineare Form t,On 2n Variabelnpaaren mit nickt t,erschwindender Determinante annulliren, so annulliren die n Reihen der iknen adjungirten Grössen paarweise die adjungirte Form.

Die Determinante r,,ten Grades der Grössen (cY.) u~> = .ofu"-1 x'f>ac;> (µ, v = O, 1, ... n-1) lässt sich nach dem erweiterten Multiplicationstheorem in eine Summe von Producten je einer Determinante nten Grades des Systems ac;> und der entsprechenden des Systems xr> zerlegen. Die Determinante

424 1

,s'>

11\ > 0

1~!-' ~__,, au

01

, (n-1)

2..-1

~-1

aiS"-•> ai•- 1> a~:P lässt sich nach dem Laplaceschen DeternUnantensatze in eine Summe von Producten je einer Determinante ,aten Grades des Systems a~"> und der complementä.ren des Systems zerlegen. Da sich aber die Determinanten ,aten Grades des Systems a:~">, wie die complementä.ren des Systems verhalten, so ist die Determinante ,aten Grades I u~> 1 bis auf einen constanten Factor gleich der Determinante 2nten Grades (16.). Zu demselben Resultate gelangt man, indem man (16.) mit einer Determinante 2nte0 Grades multiplicirt, deren n erste Zeilen von den Grössen a:~">, und deren n letzte Zeilen von willkttrlichen Constanten c~"> gebildet werden. Besonders bemerkenswerth ist bei dieser Umformung, dass die in (16.) eingehenden Constanten (15.) nicht durch die Gleichungen (f:J.) auf die Constanten (13.) zurttckgeftthrt zu werden brauchen, sondern selbständig dadurch definirt werden können, dass sie paarweise die alternirende bilineare Form Y annulliren. In besonders einfacher Weise erhält man ein System von Grössen (16.), wenn man fttr "1,, u1, ••• u,._1 das am Ende des §. 6 erwähnte specielle System von n unabhängigen Integralen wählt, deren keines in der Entwicklung nach Potenzen von m- a:' eine niedrigere als die ,ate Potenz enthält. Setzt man nämlich in (c>'.) a: = :,:', so verschwindet die linke Seite dieser Gleichung, und folglich genügt man den Gleichungen (ß.) 1 indem man fttr g~"> den Werth nimmt, den a~"> fttr m= a:' annimmt (Mayer, dieses Journal, Bd. 79, S. 267). Die so erhaltenen n Werthereihen sind unabhängig. Denn wenn alle Determinanten ,aten Grades dieser Grössen y~> verschwänden, so würde die Determinante 2nten Grades I a';!> 1 fttr a: = a:' verschwinden, mithin m' ein (weseutlich 9der ausserwesentlich) singulärer Werth fttr die Differentialgleichung P = 0 sein.

,~·>

§. 8.

,~·>

Ueher die zweite Variation der einfachen Integrale.

Sei F

= j'"''t(a:, ...

11, y(I>, ••• y) (11 = 1, 2, ... n) n bilineare Differentialausdrücke von u und" sind. Die Bedeutung dieser Gleichung bernht darauf, dass aus ihr umgekehrt geschlossen werden kann, A'(u) sei der adjungirte Ausdruck von A(u).

429

Dies ist um so merkwttl'diger, weil die bilinearen Ausdrücke A,,(u, ti) durchaus nicht bestimmt sind, sondern mannichfache Formen annehmen k!Jnnen. Der Beweis jener Behauptung beruht auf dem Httlfssatze: L Sind .A1, .A2, • . • .A,. lineare Diß"erenlialauadrtcke tion u, 10 ut in dem adjungirlen .Auadruck tion

a..t„ aa:, +···+ aa:,.

a..t + a..t,

aa:

1

1

der Coefficient tion u gleicA Null. Ist a eine bestimmte Function von

:1:1 ,

• • •

:a:,., so ist

Der adjungirte Dift'erentialausdruck davon ist

verschwindet also ft1r u = 1. Ordnet man ihn daher nach den Ableitungen von u, so ist der Coefficient von u gleich Null. Daraus ergiebt sich die obige Behauptung mittelst der Bemerkung, dass der adjnngirte Ausdruck einer Summe gleich der Summe der adjungirten Ausdrücke der Summanden ist. Seien nun .A(u) und B(u) zwei lineare Dift'erentialausdrttcke, und seien irgend wie n bilineare Dift'erentialausdrttcke C., (u, ti) (v = 1, 2, ... n) so bestimmt, dass ti.A(u)-uB(ti)

= ~ ~C„ aa:.,

ist. Zieht man davon die Gleichung (21.) ab, so erhält man

u(.A' (ti)-B(ti))



=

~ o(C.,-A.,).

aa:.,

Denkt man sich fttr eine bestimmte Function gesetzt, so sind beide Seiten dieser Gleichung lineare Dift'erentialausdrttcke von u. Der adjungirte Ausdruck der linken Seite ist u(A' (ci)-B(r,)). Im adjungirten Ausdruck der rechten Seite ist der Coefficient von u gleich Null. Folglich ist B(ti) = .A' (ti). Wir kiJnnen daher den adjungirten Ausdruck eines andern von nun an durch die charakteristische Gleichung (21.) de:fi.niren. Unmittelbar folgt aus derselben, dass der adjungirte Ausdruck von A' (u) gleich A (u) ist.

430

§. 1O.

Der Reciproeitätssatz.

Setzt man in der Gleichung (21.)

~ aA.,(t1, ")

=

-,A(u)-uA'(-,)

811:,,

B(u) an Stelle von u, so erhält man

= ~

cAB(u)-B(u)A'(t,)

oA,.~!~u),v) ·

Setzt man ferner in der Gleichung '( ) " B(u) -u.B "

~ 8B,.(u, 11)

=-

aa:,.

A' (c) an Stelle von «i, so erhält man A'(t>) B(u)-uB'A'(ti)

= ~

öB,,(u, A'(")) •

öa:,,

Durch Addition beider Gleichungen findet man "AB(u)-uB'A'(t,)

=

~ 8[A,.(B(u),"1+B,,(u,A'(v))]

a:,.

Folglich ist B'A' der adjungirte Ausdruck von AB. I. Ist ein Differentialausdruck aus mehreren zusammengesetzt, so ist der adjungirte Ausdruck aus den adjungirten in der umgekehrten Reihenfolge zusammengesetzt. Der adjungirte Ausdruck von 8:;:) ist daher -A' ( woraus

;;a ),

ersichtlich ist, dass in demselben der Ooefficient von u verschwindet. In der Gleichung (21.) denke man sich für u eine bestimmte Function gesetzt, und nehme auf beiden Seiten den adjungirten Ausdruck. Bezeichnet man mit A~(u, «i) den adjungirten Ausdruck von A,,(u, tl), wenn darin c als unbestimmte Function betrachtet wird, so erhält man (22.)

-,A(u)-A(ui,)

=

-~A~(u,

;;,, ).

Aus dieser Gleichung lassen sich ähnliche Folgerungen ziehen, wie aus (5.). Hier wollen wir sie nur dazu benutzen, die allgemeinste Form der bilinearen Ausdrücke A,. (u, ") zu ermitteln. Ordnet man den bilinearen Differentialausdruck A (u1')-cA(u), der für -, = 1 verschwindet, nach den Ableitungen von ", so möge sich ergeben A(m,)-t>A(u)

=

av

Z P,.(u)P„a(u) 011:v +z • "•"

aa:.,a•va + Z 11:0

a•v

P„ap(u) a a " v,a,/J a:,. ZaOZfJ

+, ...,

431

wo die Coef:ficienten lineare DjfferentialausdrUcke von u sind. Und zwar bedeute P,,,.+P0 ,,, wenn v und a verschieden sind, den auf irgend eine Weise in zwei Summanden zerlegten Coefficienten von ,::,II),, ~ iJ'a"II),. , Pa,,,+P,,a,+P..a den beliebig in drei Theile zerlegten Coefficienten von OII)., ~·; , u. s. w. :Da Auch braucht man die obige Entwicklung nicht mit den Gliedern der höchsten Ordnung, die wirklich vorkommen, zu schliessen, sondem kann noch beliebig viele Glieder Mherer Ordnung hinzufügen, in denen die verschiedenen Coefficienten der nämlichen Ableitung Null zur Summe haben. Dann wird die Gleichung (22.) identisch erfttllt, wenn man (23.) setzt. Nimmt man aber in ~22.) auf beiden Seiten die adjungirten AusdrUcke in Bezug auf-,, so erhält man wieder die Gleichung (21.). Da ferner jeder beliebige bilineare Differentialausdruck in der Form (23.) geschrieben werden kann, so braucht man nur den angegebenen Weg rUckwärts zu durchlaufen, um sich zu überzeugen, dass (23.) die allgemeinste Form der n bilinearen DifferentialausdrUcke ist, die in die Gleichung (21.) eingehen. §. 11.

Princip des letzten Multiplicators.

Ich wende mich jetzt zur Beantwortung der Frage, wie sich die Beziehungen zwischen adjungirten DifferentialausdrUcken gestalten, wenn an Stelle der unabhängigen Veränderlichen nene eingeführt werden. Zu dem Zwecke branche ich die Jacobische Formel, welche dem Princip des letzten Multiplicators zu Grunde liegt. Ich will daher in einer kurzen Digression eine neue Herleitung jener Formel mittheilen. Wenn der (totale) lineare Differentialausdruck a 1 tk1 + .. ·+a,.dx.

=

.:?:adx,

dessen Coeffi.cienten Functionen von m1, • • • x„ sind, durch Einführung von n neuen unabhängigen Variabeln in .:?:a'dx' übergeht, so verwandelt sich gleichzeitig der bilineare Differentialausdruck (a.)

, .:?: ( -öa~, - -aa'p, ) dx„ uxp, und he1sst daher die bilineare Co-,ariante des m 8Xfi 8Xa linearen Differentialausdrucks (dieses Journal, Bd. 70, S. 73; Bd. 82, S. 235). 1 -"

1



432

Die Differentiale der ursprünglichen Variabeln sind mit denen der neuen durch die linearen Gleichungeu d

x,.

=

z/1

aa,,. d · 8a,'p :J:11

(a = 1, 2, ... n)

verbunden, deren Determinante l

aa,~ 8a,p

1

=

D

sei. Dur-eh jene Substitution mögen (Vgl. Bd. 82, S. 279) die n-2 unabhängigen Differentialausdrücke 0µ1 d Xa

+•" + a,un d:Cn

übergehen. und sei

• ln

Seien u und

< 0µ1

dX1'+ "• + Oµn < d:Cn

„ zwei

= 1, 2, . . .

n - 2)

unbestimmte Functionen von x,, . . . a:,.

au aa,I av

W=



I

au. aa:. ao aa:..

Öa,I

au

a••

a,._2,1

a..-2,..

-

~A ~~. aß a:e„ aa:p

Da A 0 p = -Apa und Aa,. = 0 ist, so ist W ein alternirender bilinearec partieller Differentialausdruck. Bezeiclmet W' die aus den transformirten Functionen u, ., und aus den Coefficienten der transformirten Formen analog g.ebildete Determinante, so ist W'

=

WD.

Daher ist W eine Conlraoariante der (n- 2) betrachteten Differentialausdrücke (Chriatoß'el, dieses Journal Bd. 70, S. 64). Ist aber (a,) eine Covariante und W eine Contravariante eines Formensystems, so ist (Aronhold, dieses Journal Bd. 62 S. 339) (ß,)

eine Invariante desselben; und wenn J' aus füm Coefficienten der transformirten Formen ebenso zusammengesetzt ist, wie J aus denen der gegebenen, so ist J' = JD.

433

Betrachten wir jetzt ein System von n-1 unabhängigen Ditferentialausdrttcken !f + · · · + At> uZn , ,8f = uZ

0 (r = O, 1, ... n-2)

1

ein vollständiges System bilden, so ist (A. §. 13) die ihnen adjungirte totale Differentialgleichung

l

dz1 Äj_O)

=0

(19.)

.A}n-ll)

• • •

..4~n- B) 1

durch eine einzige endliche Gleichung zu integriren. Das Integral dieser Differentialgleichung, einer Verallgemeinerung der Jacobischen, findet man auf folgendem Wege. Ist

10

s, F(A) = -

Z1

,

••

au-A , , ,

Zn

a,n

450

die adjungirte Form von .4. - l E, so ist die aus diesen beiden zusammengesetzte Form ((.4 - lE) F(l)) = cp (l) E, oder es ist ( .4 F (l))

= l F (l) +

cp (l) E

und folglich (AF(l,.))

= l„ F(l,.).

Setzt man beide Seiten dieser Gleichung mit .A zusammen, so erhält man

(A1 F (l,.)) = l,. ( A F (l,.)) = l! F (l,.), und durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens :findet man ( .4(r)

F (l,.))

= 1: F (l,.),

oder 19F(l,.) 19.rl
l ist. Da jede Determinante 1ten Grades eine homogene lineare Function von Determinanten (1-l)ten Grades ist, so ist d1 durch d1_ 1 tbeilbar. Der Quo-

a.,

tient

61,

= dd1.1.-1

(e, = d1 ,

61+µ

= O)

heisst der 1te Elementartheiler des Sys-

tems .A. Ich werde zeigen, dass 61, durch 61_ 1 tbeilbar ist. Wenn daher die Wertbe der l Elementartheiler von .A in beliebiger Reihenfolge gegeben sind, so braucht man sie nur der Grösse nach zu ordnen, um zu wissen, welcher der 1 te ist. Um eine bequeme und übersichtliche Verei.Iiigung der Zahlen des Systems, zu welchen man noch beliebig viele Zeilen und Colonnen verschwindender Elemente hinzufügen kann, zu erhalten, will ich die Elemente der aten Zeile mit einer Variabeln :c. und die der pten Colonne mit y /J multipliciren und addiren und so das System .A unter dem Bilde einer bilinearen Form .A = :% a,., :c„ Y/J zusammenfassen, welche mit demselben Buchstaben bezeichnet werden wird, wie das System der Elemente a,., und als Repräsentant des Systems ihrer Coefficienten zu betrachten ist. Wenn die Form .A durch die Substitutionen (P.)

.r,.=:pr,..rr,

(Q.)

y/J=7'1/J,1r/,1,

deren Coefficienten ganze Zahlen sind, in die Form B

= :.S 6r1 .r'r ll,1

übergeht, so heisst B unter A enthalten. Dabei kann die Anzahl der neuen Variabeln derjenigen der ursprünglichen gleich oder grösser oder kleiner

485

sein. Werden mit P und Q die Systeme der Substitutionscoefficienten p«I und 'l«I oder auch die bilinearen Formen p

= ~ P«I Za 1lp,

(}

= ~ 'lal Za 111

bezeichnet, so sage ich, die Form Ä geht durch die Substitutionen .P, Q in B über. Dann besteht die identische Gleichung 8 P 8 (} ~"«1.,- ..u1Ja u.r1

= ~bal Za 1/p

oder in der von mir eingeführten*) symbolischen Bezeichnung PA(}= B. Jede Determinante lten Grades des Systems B der Coefficienten der Form B ist eine homogene lineare Function der Determinanten l ten Grades von A, also durch d1 theilbar. Folglich ist auch der grösste gemeinsame Divisor dA der Determinanten l ten Grades von B durch d1 theilbar, und mithin der Rang von B nicht grösser als der Rang von .A.. Zwei Formen, die sich gegenseitig enthalten, heissen äquivalent. Sind .A. und B äquivalent, so ist also nicht nur di durch d1 , sondern auch d1 durch d{ theilbar, mithin d1 = d{ , daher auch dd,.

1-1

= !,i , und demnach i:i1-1

der Rang von A gleich dem von B. foh werde beweisen, dass diese Bedingungen nicht nur erforderlich, sondern auch genügend sind, also der Satz gilt: I. Damit zwei büineare Formen äquivalent seien., ist nothwendig und hinreichend, dass die Elementartheiler der einen dener, der andern der Reihe nach gleich sind. Ich werde aber im folgenden zunächst den Begriff der Aequivalenz etwas enger fassen. Ist die Anzahl der Variabeln x~ derjenigen der Variabeln za gleich, so ist P = :z p al za !/1 eine Form von m1 Variabeln, deren Determinante ich mit IPI = IP«il bezeichne und die Substitutionsdeterminante oder den Transformationsmodul nenne. Zwei Formen .A. nnd B sollen nun äquivalent heissen, wenn .A. durch Substitutionen in B übergeht, deren Determinanten gleich ± 1 (unimodular) sind. Da dann die •) ,, Ueber lineare Subatitvtionen und bilineare Formen" d. J, Bd. 84. werde diese Abhandlung im folgenden mit Fr. citiren.

Ich

486

inversen Substitutionen, welche B in ....4. verwandeln, auch ganze Ooefficienten haben, so müssen zwei Formen, welche in diesem Sinne äquivalent sind, es auch in dem früheren sein. Ich werde aber zeigen, dass zwei Formen, die sich gegenseitig enthalten, auch stets durch unim.odulare Substitutionen in einander transformirt werden können*), so dass sich die zweite engere Definition vollständig mit der ersten weiteren deckt.

§. 2. Unimodulare Determinanten. Da im folgenden vielfach von unim.odularen Determinanten Gebrauch gemacht wird, so will ich hier kurz diejenige Construction derselben angeben, welche GaU88 (D. A., §. 279) gelehrt hat. Vier andere sind von Jacobi (d. J. Bd. 69) auseinandergesetzt worden.

l. Ist m < n, btJ'IDegen sich a und fJ t,on 1 bis n, " und 1 "on 1 bil m, üt e01 gleicl,, 0 odlN' 1, J'e nacMem o und fJ gleicl,, odlN' oerscl,,ieden Bind, Bind axa m Zeüm und ba m Colonnen t,on J'e n Zahlen, tWJiscl,,en denen dis Relationen

bestehen, so kann man eine uni'modulare Determinante nten Grades construiren, in welcher d8f' Coefficient t,on "•• gleich 1,a üt.

la.,1 = 1

Da m < n ist, so giebt es n ganze Zahlen "• ohne gemeinsamen Theiler, welche den m homogenen linearen Gleichungen :Z a8 ba.t a

=0

genügen (vgl. d. J. Bd. 82, S. 286). stimmt, dass

(4

= 1, 2, • .. m) Werden dann n Zahlen b. so be-

ist, so sei

*) Dabei muss man sich vorstellen, dass beide Fonnen von gleich vielen Variabeln abhängen, also wenn die eine weniger enthilt, zu ihr noch Glieder mit verschwindenden Coeflicienten hinzudenken.

487

Setzt man nun

= a,,,

Om+1,a

ba,m+l

= b,, - t /,1 b,i1,

so ist a,l' "m+1,a

.l' a.,, b„ m+l

a'

= ~a

Dxa

=

bd

b,, - .l' A1 (.l' Oxa b,i1)

a :; am+1,a ba,m+l = :S a„ b,, 1

0

= Bm+l).' ,

= Ax -

~ A1 Bx1 1

= kx -

f .61 (,: a„ b„1} = 1 =

Ax

=0 =

Bx m+l•



em+l,m+l •

Es ist also zu den m Zeilen axa eine (m +l)te Zeile und zu den m Colonnen /J„x eine (m + l)te Colonne hinzugefiigt, so dass die Gleichungen (1.) :fti.r •, l. = 1, 2, ... m,m + 1 gelten. Ist m + 1 < n, so kann man in derselben Weise eine (m+ 2)te Zeile und Colonne hinzufiigen, u. s. w., bis man zwei Systeme von n1 Grössen hat, zwischen denen :fti.r •, l. = 1, 2 ... n die Gleichungen (1.) bestehen. Aus denselben folgt aber laapl lbapl

und folglich entweder laapl

oder laapl

= leapl = 1,

= 1,

= -1,

lbapl

= -1.

Da die Relationen (1.) ungeändert bleiben, wenn man die Vorzeichen von a,.,, und ban in die entgegengesetzten verwandelt, so kann man nach Belieben die einen oder die andern Gleichungen herstellen. Sind also z. B. a,,, IJ„ 2 n Zahlen, zwischen denen die Gleichung :s a„ IJ,, = 1 besteht, so kann man eine unimodulare Determinante angeben, deren erste Zeile die Zahlen a„ bilden, und in welcher der Coefficient von a„ gleich IJ„ ist. §. 3. Auflösung der Gleichung :S a,,, z„ !lp

= f,

I. ht f der grli88te gemeimame Divisor der Coefjicienten der bilinearen Form Ä=:Sa,,, :c„!Jp, so ist die Gleichung A=f in ganzen Zahlen l Ac,,+i> werden. Spätestens muss, wenn i i dz_ 1 > · • · > d,.+1 > d,. = d,._ 1 ez ~ 8z-1 ~ •• , ~ e,.+1 >

1

Zwei äquivalente Formen haben denselben Rang und dieselben Elementartheiler. Der Rang l ist durch die Elementartheiler in so fern mitbestimmt, als ez+i = 0 und e1 von Null verschieden ist. Da nun die Coefficienten von F die Elementartheiler von F sind, so können zwei Reducirte, falls sie nicht identisch sind, nicht äquivalent sein. Zwei Formen ferner, welche dieselben Elementartheiler besitzen, können durch unimodulare Substitutionen in die nämliche Reducirte, und folglich auch in einander transformirt werden. Mithin ist die Uebereinstimmung der Elementartheiler die nothwendige und hinreichende Bedingung flir die Aequivalenz zweier Formen, oder die Zahlen e1 , e1 , • • • e1 bilden ein vollständiges System von Invarianten der Form A..

496

Wenn z. B. zwei Formen denselben Rang l haben, und der grösste gemeinsame Divisor der Determinanten l ten Grades fiir beide das nämliche Product verschiedener Primzahlen ist, so sind sie äquivalent. Nennt man die Form A.' = ..l aatdla xfl der Variabeln x 1 , • • • xn; !/,, . .. !Im die corffugirte Form von A., so besitzen A. und A.' die nämlichen Elementartheiler. Folglich ist jede Form ihrer conjugirten äquivalent. Wenn zwei Formen sich gegenseitig enthalten, so haben sie nach §. 1 dieselben Elementartheiler, und können mithin durch unimodulare Substitutionen in einander transformirt werden. Ist der Rang l der Form A. kleiner als m oder n, so ist A. einer Form von l Variabelnpaaren, deren Determinante von Null verschieden ist, äquivalent (vgl. §. 3, Anm. 2). Ist aber l = m = n, enthält also die Form A. von jeder Reihe n Variabeln, und ist ihre Determinante ± d von Null verschieden, so lässt sich A. auf die Form F

= /;. .r, 'U1 + /;. f, .r, Y1 + • • • + fi h · · • fn Zn 'Un

reduciren, und es ist d

= f1n r:-1 • • • fn•

Die Zahl, welche angiebt, auf wie viele Arten d in dieser Weise dargestellt werden kann, ist daher die Anzahl k (,l) der Klassen nicht äquivalenter Formen, in welche die bilinearen Formen der nicht verschwindenden Determinante n ten Grades ± d zerfallen. Zerlegt man d in zwei theilerfremde Factoren d' d", so ist, wie leicht zu sehen, 1,, (,l) = A(d') ·A(d"). Ist a eine Primzahl und d = a", so kann d auf so viele Arten in der obigen Weise dargestellt werden, wie der Exponent auf die Form a

= na + (n-1) a + • • · + "n

gebracht werden kann. Reihenentwicklung

1

1

Diese Anzahl ist der Coeffi.cient von zi in der 1

(1-.r) (1-z') ••• (1-.r")

= Ao + k, .r + k. .r9 + . • •.

Sind folglich a, b, c, . . . verschiedene Primzahlen, so zerfallen die Formen der Determinante ± d = a" 1,fl er ••• in /,,« l,,fl l,,r ••• Klassen (vgl. Ca'!ll81J, d. J. Bd. 50, S. 315). Diese Zahl ist von den Primzahlen, welche in d aufgehen, unabhängig und nur durch die. Grade bestimmt, in welchen diese Primzahlen jn d enthalten sind.

497

Ist die Determinante der Form A von n Variabelnpaaren nicht gleich Null, so heisst A-1

= laa(J :r{J

t"I :1°«/JI

die reciproke Form von A (Fr. S.. 7). Sind P und Q die Substitutionen, welche A in die reducirte Form F = 81 3'1 l/1 + e, .x, U, + ' ' ' + Bn .Xn Yn transformiren, so folgt aus der Gleichung PAQ=F durch Uebergang zu den reciproken Formen und Multiplication mit der ConstantAn k (Fr. §. 2, II) Q-1 (kA-1) p-1

= k p-1 = -k

81

,i\1/i

k k + -:r21h + ''' +-Zn!Jn• e, en

Ist k durch en theilbar*), so sind die Coefficienten der Formen kA- 1 und kF- 1 ganze Zahlen. Ebenso sind die Coefficienten der unimodularen Substitutionen Q-1 und

p-

1

ganze Zahlen.

Da ferner

.!. 8J.

durch _k_ theilbar 8J.+1

ist, so ist kF- 1 die Reducirte von kA- 1•

II. Ist

eJ.

der l te Elementartheiler einer Form von n Variabelnpaaren

mit nicht verschwindender Determinante imd k durch e11 theilbarJ so ist _k_ 8 11-}.+1

der l te Elementartheiler der mit k multiplicirten reciproken Form.

§. 6. Einfache Elementartheiler und Systeme zusammengesetzter Elementartheiler. Aus dem Satze I, §. 5 ergiebt sich die Folgerung (vgl. Cayley, d. J. Bd. 50, S. 314): I. Ist eine Primzahl in dem grössten gemeinsamen Divisor aller Determinanten l ten Grades eines Elementensystems im Grade

&1-1

> •.. > dll+l > 41l

= öll-1 = ... = 41 = 0'

Jede Primzahl, welche in d1 aufgeht, muss daher auch in e1 enthalten sein, nur möglicherweise in einer niedrigeren Potenz. Ist, in Primfactoren zerlegt, e1 = a"J. bfJJ. cYJ. , • ·, so heissen a"J., bfJ1, ••• (A. = 1, 2, ... T) die einfachen Elementartheiler*) des Systems A, und es wird a die Grundzahl, a der Grad des einfachen Elementartheilers a" genannt. Wenn die einfachen Elementartheiler a", a"', ... bfJ, ••• in irgend einer Reihenfolge sämmtlich bekannt sind, so kann man aus ihnen zufolge der Ungleichheit a 1 ~ a 1_ 1 leicht die Elementartheiler e1 zusammensetzen. Die höchsten Potenzen von a, b, ... sind die Factoren von e1, die nächsthöchsten die von e1_ 1 , u. s. w. Diese Bemerkung will ich benutzen, um die Elementartheiler der Form H

= k1 .r1 Y1 +

k, .r1 1/, + • · · + k1 .rz Yl

vom Range l zu bestimmen , deren Coefficienten A„ sämmtlich von Null verschieden sind. Eine in /,1 l,1 • • • 1, 1 = d1 aufgehende Primzahl a sei in k1 in der Potenz e1 enthalten, die grösste der Zahlen e„ sei a1, die nächstgrösste a1_ 1 u. s. w. Dann enthält d1 die Primzahl a in der Potenz a, + a, + · · · + az. Die Determinanten (l-l)ten Grades von H, welche nicht verschwinden, l,9 n8 , • • • kz, k1 l, 3 • • • l,1, • • • k1 /, 9 • • • l,1_ 1 enthalten die Primzahl a alle in der Potenz a 1 + a 1 + · · · + a1_ 1 und eine enthält sie in keiner höheren. Daher enthält sie der grösste gemeinsame Divisor d1_ 1 der Determinanten (l-l)ten Grades von H in der nämlichen Potenz. Folglich ist ddz

l-1

= e1 durch

die a 1te Potenz von a theilbar, ebenso

*) Herr Kronecker (Monatsber. d. Berl. Ak. 1874, März) braucht diesen Namen in einem ganz andern Sinne, nämlich für einen Elementartheiler a", dessen Exponent a 1 ist. Dafür kann man aber eben so bequem nElementartheiler ersten Grades" sagen, also einen besonderen Namen leicht entbehren.

=

499 ddi-i l-1

= e1_

1

durch die « 1_ 1 te u. s. w. Mithin sind die Zahlen a"J. (l = l, l-1, ... 1)

oder in anderer Reihenfolge die Zahlen ar!J. die einfachen Elementartheiler von H mit der Grundzahl a. Man findet also die einfachen Elementartheiler von H, indem man jeden Coefficienten 1,1 in Factoren zerlegt, die Potenzen verschiedener Primzahlen sind. Dann ist e1 das Product der höchsten Potenzen, in denen die verschiedenen Primzahlen in den Zahlen l,J. enthalten sind, e,_1 das Product der nächsthöchsten u. s. w., e1 das Product der niedrigsten Potenzen. Daher ist e1 das kleinste gemeinschaftliche Vielfache und e1 der grösste gemeinsame Divisor der Coefficienten /,J., und man erkennt so, dass der Begriff der Elementartheiler die Verallgemeinerung der Begriffe des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen und des grössten gemeinsamen Divisors zweier Zahlen auf Systeme von mehr als zwei Zahlen bildet. Nennt man nun l Zahlen /,J. ein System zusammengesetzter Elementartkeiler der Form A vom Range l, wenn die Potenzen verschiedener Primzahlen, deren Producte sie sind, die sämmtlichen einfachen Elementartheiler von A sind, so erhält man die Sätze: II. Wird eine Form A = ~ °'ap xa !Jp irgendwie durch unimodulare Substitutionen in H = ~ l,J. xJ. !h. transformirt, so ist die Anzahl der Variabelnpaare von H gleich dem Range von A„ und die Coefficienten von H bilden ein System zusammengesetzter Elementartheiler von A. III. Bilden die Zahlen l,J. irgend ein System zusammengesetzter Elementartheiler einer Form„ so ist ihr die Form ~ 1,1 xJ. g 1 äquivalent. Eine Form heisst zerlegbar, wenn sie die Summe von zwei oder mehreren Formen ist, die keine Variable gemeinsam haben. Hängt z. B. A' nur von den Variabeln Xn ••• xr; g 1 , • • • y, und A" nur von den Variabeln x„H, ... zm; !J8+ 1 , • • • y,,, ab, so ist A = A' + A" in die beiden Theile A' und A" zerlegbar. Jede von Null verschiedene Determinante .tten Grades von .A. ist das Product einer Determinante ieten Grades von A' und einer (.t-ie)ten Grades von A". Der Rang einer zerlegbaren Form ist gleich der Summe der Rangzahlen der einzelnen Theile. Sind dJ., d~, d~ die grössten gemeinsamen Divisoren der Determinanten l ten Grades in den Formen A, A', A", so ist dJ. der grösste gemeinsame Divisor der Zahlen dl, dl-1 d;', dl_, d;', · • • dt dJ.'_ 1 , df.

500

Nach §. 3 kann man, wenn k den Rang von .A.' und l-k den von .A." bezeichne\ .A.' durch unimodulare Substitutionen in B'

= k1 ,2'i 1/1 + "'Z2 1/2 + ' ' ' + "k .rk 1/k

und .A." in B"

= kk+1 Zk+l llk+1 + ... + k1 .rl 'Ul

transformiren, also .A. = .A.' + .A." in H

= H' +

H"

= k1 Z1 l/1 +

"• Zs l/1 + ' ' ' +

k1 Zt l/1,

Da äquivalente Formen die nämlichen einfachen Elementartheiler besitzen, so ergiebt sich daraus nach Satz II: IV. Die einfachen Elementartheiler einer zerlegbaren Form sind diejenigen ihrer einzelnen Theile zusammengenommen. Sind z. B. qfl n beliebige Zahlen ohne gemeinsamen Th eiler, für welche die m Ausdrücke 1 aafl qfl = l,, Pa nicht sämmtlich verschwinden, ist 1,, ihr grösster gemeinsamer Divisor und :2 Pa Pa= 1, so ist der grösste gemeinsame Divisor /,' der n Zahlen ~ aafl p" = /,,' Qfl entweder gleich h oder ein Divisor von l,, (§. 3). Ist lt'= k, so ist .A. einer zerlegbaren Form C =1, x 1 g 1 + G äquivalent, wo G die Variabeln x 1 , g 1 nicht enthält. Die einfachen Elementartheiler von C sind daher die von G und die Potenzen verschiedener Primzahlen, welche in lt aufgehen. Daraus folgt: V. Ist lt= ~ aafl Pa qfl ein gemeinsamer Divisor der Zahlen ~ aafl qfl ~

fl

und : aa~ Pa, so sind die Potenzen verschiedener PrimzahlenJ deren Product I, istJ einfache Elementartheiler des Systems aafl' Genügt also lt dieser Bedingung nicht, so muss nothwendig l,,' < 1, sein. Sei, um für den Satz II. ein Beispiel zu geben, cp (m) eine aus der Zahl m nach irgend einer Regel berechnete ganze Zahl, und, wenn d alle Divisoren von m durchläuft, ~

'P (d)

= f(m).

Seien aJ. (l = 1, 2, ... n) n verschiedene ganze Zahlen, unter denen alle Divisoren von m sind, falls m unter ihnen ist. Ist 'Pa{I = 1, wenn a" in afl aufgeht, sonst aber O, so ist p aa = 1, und falls a 1 < a 2 < , , , < a„ ist, Pafl = 0 für a > {J. Daher ist die Determinante nten Grades IPafl l = 1, auch dann, wenn die Zahlen aJ. nicht der Grösse nach geordnet sind. Geht nun die quadratische Form ~ cp(a.J~ durch die unimodulare Substitution

501

!h=fp1l,:r in .l'b«p:ra:rfl über, so ist b«p=rrp(aJPJ.«Plp· Das Product P1a p"'P ist nur dann von Null verschieden und gleich 1, wenn aJ. sowohl in a« als auch in a 11 , also auch in den grössten gemeinsamen Divisor aafl der Zahlen und a11 aufgeht. Daher ist b«p=.l'rp(d), wo d alle Divisoren von a«fl durchläuft, oder b«fl = f (a„p). Die quadratische Form ~f(a«p):caxfl ist also der Form .l'rp(aJYA äquivalent (Smith„ Proceedings of the London mathematical society„ vol. vz:i p. 208). Ist a1 = l und rp (m) die Anzahl der Zahlen eines vollständigen Restsystems (mod. m), die relativ prim zu m sind, so ist f(m) =m. Ist also a„11 der grösste gemeinsame Divisor von a und /J, so sind rp (1), rp (2), ... 'fl (n) n zusammengesetzte Elementartheiler des Systems "«fl und die quadratische Form .l' a«11 x„x11 ist der Form .l' rp (l) ,'1 äquivalent*).



§. 7. Alternirende bilineare Formen.

!/1 ,

• •

Ist Ä = .l' aafl xa !Jp eine bilineare Form der Variabeln x1 , • !In, so stellt die Determinante 8.A

•••

xm;

~A

llyl • • • 3yk

8.A -

8.rk

akl

• • • akk

eine von x1 , g 1 , • • • :ck, !lk unabhängige bilioeare Form dar. Diese Bemerkung will ich benutzen, um für den Fall, dass Ä eine alternirende Form, also aafl = - afl«' a,.,. = 0, m = n ist, die Normalform F (§. 5) durch eine andere zu ersetzen. *) Ist a„,r .. ,x der grösste gemeinsame Divisor der lt(~ n) Zahlen a,., a11, ar, , , , a,., so ist ebenso die Form kten Grades .l' f (aa(ly ... x) :c„ :rp Zr ... :r„ der Form .l'rp (a1) äquivalent, Wenn man daher in einer algebraischen Invariante der ersteren Form diejenigen Coefticienten f (aa(ly .. ,,.), deren Indices nicht alle einander gleich sind, durch Null, und diejenigen, deren Indices alle gleich l sind, durch rp (a1) ersetzt, so bleibt sie ungeändert.

Y1

502

Sei f,, der grösste gemeinsame Divisor der Coeffi.eient.en von ...4 , und seien :c.=p1. , !J,=p,1 Werthe, ftlr welche .%

a., P1a P11 = fi

wird. Schreibt man diese Gleichung in der Gestalt a,.,

.%Ti (P1a 1'11 -

P11 Pa,J

= 1,

(a > fl)

so sieht man, dass die Determinant.en p1• p,1- p11 p1• nicht simmtlieh einen Divisor gemeinsam haben. Daher kann man (vgl. §. 8, VI.) n (n-2) Zahlen p,., ... 'Pna so bestimmen, dass die Determinant.e nt.en Grades 1,.,1 = 1 wird. Dann ist .% "•I n = l. Angenommen, die Werthe der m Formen A.11 sind ganze Zahlen, während die Variabeln gebrochene Werthe haben

:c/l = ~, wo a, a 1 ,

•••

a„ keinen Theiler gemeinsam haben.

Dann sind

auch die Werthe der n Formen ..A',=A/l:c', (ß= 1, 2, ... n) ganze Zahlen, während

:cfl = ~

ist, wo

a, a;, ... a~

keinen Theiler gemeinsam haben.

Da (§. 6) der nte Elementartheiler e. von A. das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der n Zahlen A/l ist, so sind folglich auch die n Zahlen e11 ganz, und da.her ist a ein Divisor von e..

~

Ist i 1 = c1 , so sind die Werthe 1

der Formen A.', ganze Zahlen, wenn man :c~ = e" und sonst x', =O setzt. Es giebt also wirklich Briiche mit dem Generalnenner en, ftir welche die Formen A.11 ganzzahlige Werthe annehmen. Da, falls l < n ist, e11 = 0 ist, so gilt allgemein der Satz :

II. Werden mehrere homogene lineare Functionen von n Variabeln ganzen Zahlen gleich, wenn man für die Variabeln Brüche setzt, so ist der n ts Elementartheiler ihres Coe/ficienf.ensystsms durch den Gtmeralnenner dieser Briich8 theilhar.

506

Sei zweitens n > m = l, seien also Aa

= aa

1

z1

+

ald z 9

+ ••• +

acm Zn=

= I, 2, ... m)

0 (a

m unabhängige lineare Gleichungen. Dieselben kann man durch m unabhängige lineare Verbindungen ersetzen, also auf die Form

+

l,a (c,r1 z 1

oder Ca

+ •· • +

c«1 z,

= C,r1 Z 1 +

C,rt X9

c«n Zn)

+ ••• +

C,rn

=0

Zn



bringen, wo die Determinanten mten Grades der Coefficienten ca/J keinen Divisor gemeinsam haben. Diese Gleichungen haben n - m unabhängige Lösungen z1

= b /J,

z2

1

= b1/J, • • •

Xn

= bn{J,

({l

die man als ganze Zahlen voraussetzen kann. Lösung ist dann (l.)

Z1

= ~ b1{J z{J,

:r,

= 1, 2, ••• n-m) Die allgemeinste rationale

= ~ b,11 :fJ, ••• Zn=~ bnfl zfJ,

wo die Grössen ~/J beliebige rationale Zahlen sind. Die n-m linearen Gleichungen B{J = bt{J Z1 + bt/J z, + • • • + bnfl Zn = 0 habe ich (d. J. Bd. 82, S. 236) den m Gleichungen .Ä.«=0 ailjungirt genannt. In zwei adjungirten Gleichungssystemen bilden die Coefficienten des einen ein vollständiges System unabhängiger Lösungen des andern. Ohne diese Beziehung zu ändern, kann man die Gleichungen B/J 0 durch n - m beliebige unabhängige lineare Verbindungen

=

D{J

= d {J z 1

1

+

d 2{J

Z9

+ ••• +

dn{J

Zn=O

ersetzen, z. B. durch solche, dass die Determinanten (n-m)ten Grades der Coefficienten da/J keinen Divisor gemeinsam haben. Alle rationalen Lösungen der gegebenen Gleichungen werden dann auch durch die Formeln (2.)

z1

= ~ d /J zfJ, 1

z1

= ~ d,/J z/J, ••• z = ~ d.n{J z/J 11

dargestellt. Sind die Grössen ~/J ganze Zahlen, so sind auch die Lösungen (1.) oder (2.) ganze Zahlen. Stellen die Formeln (1.) auch ganzzahlige Lösungen dar, wenn man den Grössen ~/J gebrochene Werthe ertheilt, so ist der Generalnenner dieser Brüche ein Divisor des (n-m)ten Elementartheilers des Coefficientensystems l,a/J' Da der (n-m)te Elementar-

507

d.,

/

theiler des Coefflcientensystems gleich eins ist, so müssen die Formeln (2.) sämmtliche ganzzahligen Lösungen flir ganzzahlige Werthe der Grössen ~, darstellen. Mehrere ganzzahlige Lösungen bilden ein Fundamentalsysmn„ wenn man jede ganzzahlige Lösung aus ihnen zusammensetzen kann, indem man sie mit ganzen Zahlen multiplieirt und addirt. Demnach ergiebt sieh der Satz: III. Damit mehrere Lösungen von m unabhängigen homogenen linearen Gleichungen zwischen n Unbekannten ein Fundamentalsystem bilden„ ist nothwendig und hinreichend., daJJs die Determinanten (n-m)ten Grades„ die sich a'U8 ihnen bilden lassen, keinen Divisor gemeinsam haben. Dabei kann die Anzahl der Lösungen gleich n - m oder äuch grösser als n - m sein. Endlich will ich ein Bild von der Gesammtheit der Werthe entwerfen, welche m lineare Formen fllr ganzzahlige Werthe der Variabeln annehmen können, also die Bedingungen suchen, unter denen die m nicht homogenen linearen Gleichungen (3,)

0 ao

+

a111

Z1

+

"111 .1.'1

+ · •' +

"cm .1.'n =0

durch ganzzahlige Werthe der Unbekannten befriedigt werden. Sei A. das System der Coefflcienten 11111 , • • • "an und C das der Coefflcienten a.,, a111 , • • • a..,. (a = 1, 2, ... m). Ich nehme irgend p der m Gleichungen (3.) und bilde aus ihren Coefflcienten alle Determinanten ~ ten Grades. Eine solche Determinante kann dann, wenn sie dem System C und nicht dem System A. angehört, wenn sie also Elemente a„ enthält, vermöge der Gleichungen (3.) als eine lineare Verbindung von Determinanten von A. dargestellt werden. In den betrachteten ~ Gleichungen ist also der grösste gemeinsame Divisor der Determinanten I' ten Grades von C ebenso gross (d. h. nicht kleiner) wie derjenige der Determinanten ~ ten Grades von A.. Daher ist auch der grösste gemeinsame Divisor aller Determinanten ~ ten Grades von C gleich dem aller Determinanten ~ ten Grades von A., und der Rang von C gleich dem Range Z von A.. Diese Bedingungen sind aber nicht von einander unabhängig, sondern es gilt der Satz: (F1ir den Fall l=m vgl. Sm. p. 310.) IV. Damit mehrere nicht homogene lineare Gleichungen durch ganzzahlige Wertha der Unbekannten befriedigt werden können„ i8t notm.oendig

508

und hinreichend, dass der Rang l und der gr.) "i{l : 1 + a1/l : 1 + • · · + Om{l Zm = 0 (mod. k) ({J = 1, 2, ... n)

533

zufolge der Gleichungen (1.) anch den Congroenzen (6.)

. h11 .i1

+

b1,

.:1

+ ·· · +

bmfl .im= 0 (mod. k)

genllgen, und jede Lösung der letzteren den Gleichungen (2.) zufolge auch den ersteren. Man kann nun auf verschiedene Weisen solche Systeme von Congruenzen aufstellen, dass, wenn tllr sie die obige Bedingung erfllllt ist, auch stets die Formensysteme A.« und B„ äquivalent sein müssen. Ich will hier drei solche Systeme von Congruenzen angeben, das eine aus homogenen, die beiden andern aus nicht homogenen Congruenzen bestehend, welche in dem zweiten direct, in dem dritten nur die einen nach den andern aufgestellt werden können. Ill. Damit die FormeM'/Jsf.eme A.,. und B „ äq:uivalent seien, ist nothwendig und hinreichend, dass ihre Coefficientensysteme den nämlichen m ten Elementartheiler k haben, und dass die Gesammtheit der (incor,,gruenten) L -

Ebenso hat

(.r,+11/1+1 +

••• + .ra+l-1 Y,+,')

nur den einen Elementartheiler (r-a')', u. s. w., wo a, a', ... nicht alle verschieden zu sein brauchen. Da die einfachen Elementartheiler der zerlegbaren Form B + B' + · · · die ihrer einzelnen Theile zusammen sind, so kann man folglich eine Form mit vorgeschriebenen einfachen Elementartheilern bilden*). Sind allgemeiner q, (r), q,1 (r), • • • ganze Functionen von r, deren Coefficienten algebraische Zahlen eines gewissen Körpers sind, und welche in diesem Körper irreductibel sind, so fragt es sich, ob es eine Form ersten Grades giebt, deren Coefficienten demselben Körper angehören, und welche die einfachen Elementartheiler ( q, (r))', (q,1 (r))", . . . besitzt. Ist q, (r) = r" + t1i .,.a-i + • • • + a4 , 80 ist r 'P (r)

+

=

a1

-1

0

a•

r

-1

0 0

a.

f'

-1

a,

0 0

0

r

0 0 0 0 '

tla

0

0

0

rl

. . ...

also gleich der Determinante der Form r (.r, 1/1 + • • ·

+

.r„ y,,)

+

1/i (a, .r,

Mithin hat die Form von S

+ • • • + a„ .r,,) -

"a = ,,

(.r, 1h

+ ·· •+

.r,,_1

yJ.

Variabelnpaaren **)

= r (.r, 111 + • • • + .r„ 1/a + Za+11la+1 + ••• + .r„ y.,) + 111 (a, .r, + ••• + a„ .r,,)

+ 11«+1 (a,,+1 .r,,+1 + · •· + Z1« Y1a) + •· · + 1/.,-a+1 (a,,_a+l .r,,_a+l + •· • + - (.r, Y1 + •• • + Za-1 1/a + .r„ 1/a+l + ,ra+l 1/a+I + • •• + .r_l 1J,,)

.r„ y.,)

*) Die alternirende Form (r-a) (.r1 y1, - .r1 y11_1 + · • • - .r1,y1)-(.r1111,-1 - .r1 11a,-s + • • · - .r.,_ 1 y1) hat die Determinante 2aten Grades (r - a) 11 und von ihren Determinanten (2e- 2)ten Grades ist eine gleich 1. Nach Formel (4.), §. 7 ist daher der grösste gemeinsame Divisor ihrer Determinanten (2a-1Jten Gmdes gleich (r-a)'. Man kann daher auch eine alternirende Form ersten Grades mit vorgeschriebenen Paaren von Elementartheilern bilden. ••) Die Glieder .r„ 1/«+1, .r1„ Yia+i, ••• , welche besonders zu beachten sind, haben nur der Symmetrie halber die Coefticienten - 1 erhalten. Man könnte ihnen auch irgend welche andere, von Null verschiedene, Coefficienten geben.

543

die Determinante „ten Grades (,p (r))•. Da ferner von ihren Determinanten (.. -l)ten Grades eine gleich 1 ist, so besitzt 8 nur den einen Elementartheiler (rp (r))•. Ganz wie oben kann man nun eine (zerlegbare) Form 8 + 8' + , , , bilden, deren einfache Elementartheiler beliebig gegebene Potenzen irreductibler Functionen sind. Die entwickelten Principien bleiben auch in dem Falle anwendbar, wo die Elemente a,., des Systems .A ganze Functionen von r mit ganzzahligen Coefficienten sind, und zwei solche Functionen nicht als verschieden betrachtet werden, wenn ihre Coefficienten der Reihe nach in Bezug auf den Primzahlmodul p congruent sind. Haben die Determinanten l ten Grades (mod. p) den (primären) grössten gemeinsamen Divisor d1 , so heisst die durch die Congruenz d1_ 1 6 1 d1 (mod. p) bestimmte ganze Function 6 1 der l te Elementartheiler von A. Die Potenzen der verschiedenen primären Primfunctionen, deren Producte die Zahlen e1 sind, heissen die einfachen Elementartheiler von .A. Zwei bilineare Formen werden äquivalent genannt, wenn die eine in eine der andern congruente Form durch Substitutionen übergeflihrt werden kann, deren Coefficienten ganze, ganzzahlige Functionen von r sind, und deren Determinanten (mod. p) nicht verschwindenden Zahlen congruent sind. Sind die äquivalenten Formen A. = Äo r + .Ä.1 und B = B~ ,. + B 1 vom ersten Grade in r, ist m = n, und ist die Determinante n ten Grades von .A. nicht fiir alle Werthe von r durch p theilbar, so kann .A in B durch Substitutionen transformirt werden, deren Coefficienten von r unabhängig sind, und welche daher gleichzeitig .A.0 in B 0 und .A.1 in B 1 verwandeln. Sind (q, (r))', (q,1 (r))•', • • • die einfachen Elementartheiler von .A., also q,(r), q,1 (r), ••• Primfunctionen (mod.p), so kann .A. auf eine Normalform von der Gestalt 8 + 8' + , , , reducirt werden, wo S die oben angegebene Bedeutung hat. Bedient man sich der von Galois eingeflihrten complexen Zahlen, so kann man auch die Potenzen der verschiedenen Linearfactoren (r-a)', (r-a)", . .. , in die sich die Functionen e1 zerlegen lassen, die complexen einfachen Elementartheiler von .A. nennen und die bilineare Form .A, falls die Determinante von A.0 nicht durch ,, theilbar ist, in

=

:2 ((r - a) (z1 1/1

+ •· · +

:r, y,) -

(z, 1/a

+ •· • +

3',-1 1/,))

544

transformiren. Mit einer geringen Modification (welche ermöglicht, dass die Determinante von A 1 durch p theilbar sein kann) ist dies die Normalform, auf welche Herr GamülB Jordan (traite des substitutions~ p. 114-126) die Form Ao r + A 1 reducirt hat. Zftrich, April 1878.

19. Ober Gruppen von vertauschbaren Elementen (mit L. Stickel• berger) Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 217-262 (1879)

Die Theorie der endlichen Gruppen von vertauschbaren Elementen haben einerseits Euler und Gauss, andererseits Lagrange und Abel begründet, jene in ihren zahlentheoretischen Untersuchungen über Potenzreste, diese in ihren algebraischen Arbeiten über die Aufl.ösung der Gleichungen. Nach diesen grundlegenden Untersuchungen haben Gauss und Herr Schering die Theorie weiter entwickelt. Gauss (Demonstration de quelques theoremes concernant les periodes des classes des formes binaires du second degre„ Wfirke, Bd. II, S. 266) lehrt die Zerlegung einer Gruppe in

primäre Gruppen, deren Ordnungen relative Primzahlen sind (§. 4), Herr Schering (Die Fundamentalklassen der zu..,ammensetzbaren arithmetischen Formen„ Göttinger Abhandlungen„ Bd. 14.) ihre Zerlegung in elementare

Gruppen, von deren Ordnungen jede durch die folgende theilbar ist (§. 6). Jene Zerlegung ist eine völlig bestimmte, diese aber kann auf verschiedene Weisen ausgeführt werden. Diese Bemerkung bildete den Ausgangspunkt unserer Untersuchung, indem sie uns zu der Frage führte, ob es gewisse allen diesen Zerlegungen gemeinsame Eigenschaften gäbe. Wir erkannten zunächst, dass die Ordnungen der elementaren Gruppen, in die Herr Schering die ganze Gruppe zerlegt, constante von der Wahl der partialen Gruppen unabhängige Zahlen sind. Indem wir dann durch Combination der Gaussschen Zerlegung mit der Scheringscben zu den unzerlegbaren Bestandtheilen der Gruppe vordrangen, gelang es uns weiter, mit Hülfe einer schärferen Fassung des Begriffs der primitiven Wurzeln (§. 3) festzustellen, wie weit die irreductibeln Factoren einer Gruppe von einander unabhängig und wie weit sie abhängig sind.

546

Die Hauptschwierigkeit bei dieser Untersuchung bestand, ähnlich wie bei der Lehre von den complexen ganzen Zahlen, i.n der Umformung der Begriffe, welche· die elementare Zahlentheorie darbietet. Während man z. B. dort eine Zahl eine Primzahl nennt, wenn sie nur durch 1 und sich selbst theilbar ist, mussten wir hier eine Gruppe irreductibel nennen, wenn sie nicht in zwei Factoren zerfällt werden kann, ohne dass einer derselben gleich der ganzen Gruppe ist (§. 8). Während man dort unter einer primitiven Wurzel der Congruenz .x"= 1 eine Zahl versteht, von der keine niedrigere Potenz, als die n te, congruent 1 ist, wurden wir hier darauf gefiihrt, nur dann eine Wurzel jener Congruenz primitiv zu nennen, wenn keine niedrigere Potenz derselben, als die nte, ein nter Potenzrest ist. Nachdem wir das in §.1 entwickelte Problem in den §§. 2-9 erledigt haben, ohne von der Zahlentheorie mehr als ihre ersten Elemente zu benutzen, fiihren wir in §. 10 die ganze Lehre von den Gruppen auf die Theorie der linearen Formen mit ganzen Cofficienten (Moduln im Sinne des Herrn Dedelcinä) zurück. Um die abstraete Entwicklung möglichst bequem und fasslich darstellen zu können, knüpfen wir sie an die Untersuchung der Klassen von Zahlen an, die in Bezug auf einen gegebenen Modul ineongruent und relativ prim zu demselben sind, ohne dabei von den speciellen Eigenschaften dieser Elemente Gebrauch zu machen. Die Theorie dieser Zahlenklassen haben wir dann in den §§. 11 und 12 als Anwendung der allgemeinen Untersuchung kurz abgehandelt. §.1. Definitionen.

Die Elemente unserer Untersuchung sind die rp(M) Klassen von (reellen) ganzen Zahlen, welche in Bezug auf einen Modul M incongruent und relativ prim zu demselben sind. Zwei Elemente heissen gleich, Ä=B, wenn sie durch (mod. M) congruente Zahlen repräsentirt werden. Eine Anzahl dieser Elemente bildet eine (endliche)*) Gruppe, wenn das Product von je zweien derselben wieder unter ihnen enthalten ist. Z. B. bildet *) Es giebt auch Gruppen von unzählig vielen Elementen, z. B. bilden die Einheiten eines algebraischen Körpers, falls sie nicht sämmtlich Wnrzeln aus 1 sind, eine unendliche Gruppe von endlichem Range.

547

die Gesammtheit der

1 giebt„ für welche I k, .p 1= kr ist., ,,nd keine Zahl k „ fur welche lk, ,e 1 > kr ist. Daraus ergiebt sich die Folgerung (Gauss, D. A., 84):

e,.,

= /{,

I•. Damit eine Gru1ppe elementar sei, ist nothwendig uml hinreichend, Xk = E for keinen Werth von k mehr als k Wurzeln in

dass die Gleichung der Gruppe habe.

Ist li = a" eine Potenz einer Primzahl a, so ist auch e„ eine Potenz von a, also durch a theilbar. P. Der Rang r einer primären Gruppe„ deren Ordnung eine Potenz der Primzahl a ist., wird durch die Gleichung I a, .p 1 = ar bestimmt. Nach Satz I ist die Zahl r von der Wahl der normalen Basis unabhängig. Dasselbe gilt von der Zahl e,.; denn sie ist die grösste Zahl k, fü.r welche Ik, .p 1 kr ist, und nur wenn k ein Divisor von e„ ist, kann diese Gleichung stattfinden. Ist k durch e„ theilbar und ein Divisor von e,._p so ist s,. =er,

=

*) Dass r der Rang von .f> ist, giebt Herr Kroneclcer (Berl. Mon. Ber. 1877, S. 847) ohne nähere Begründung an.

566

se=k Ce= 1,2, ... r-1) und daher lk,~!=e„k"- 1• Ist k nicht durch e„ theilbar, so ist s,. < e,., s/~. k und folglich lk, ~ 1< e„k"- 1• Ist k kein Divisor von e,._i, so ist s,. ~ e,., s,._ 1 < k, s/~ k Ce= 1, 2 ... r-2) und daher lk, ~I < e„k"- 1 • Daher ist e,._ 1 die grösste Zahl k, für welche 1k, .ß 1= e„ 11-1 ist, und nur wenn k ein Divisor von e,._ 1 und durch e„ tbeilbar ist, kann diese Gleichung stattfinden. Allgemein ergiebt sich, nachdem e,., e,._ 1 • • • ee+i unabhängig von der Wahl der normalen Basis definirt sind, ee durch die folgende Regel: ee ist die grösste Zahl k, für welche (2.) 1k, .p 1= e„ e,._ 1 ••• ee+i 1te ist, und nur wenn k ein Divisor von ee und durch ee+i theilbar ist, kann diese Gleichung stattfinden. Daher kann man ee auch als die grösste durch ee+1 theilbare Zahl k definiren, welche der Gleichung C2.) genügt. Die Zahlen ei, e, ... e,., deren Product gleich /, ist, sind folglich von der Wahl der normalen Basis unabhängig; sie werden die Elementartheiler der Ordnung /, oder die Invarianten der Gruppe ~ *) genannt, und zwar ee die ete Invariante. Es ist zweckmässig, falls e;... rist, ee=l zu setzen. Wir haben oben zuerst e,., dann e,._1 u. s. w., zuletzt e1 unabhängig von der Wahl der normalen Basis definirt. Man kann diese Zahlen aber auch in der umgekehrten Reihenfolge charakterisiren: e1 ist die kleinste Zahl k, für welche Ck, ~) = 1 ist, und nur wenn k ein Vielfaches von e1 ist, kann diese Gleichung bestehen. e1 ist die kleinste Zahl k, für welche Ck,.ß) = ist, und nur wenn k ein Vielfaches von 81 und ein Divisor von 81 ist, kann diese Gleichung bestehen. Allgemein ist 8e+i die kleinste Zahl k, für welche

1

*) Was wir eine elementare Groppe nennen, bezeichnet GauBB als eine reguläre Gruppe, und er nennt die Zahl e1 e8

•••

e,. = ~ den Irregularitätsexponenten. Da indessen e.

nicht nur die Ordnung 1,, und ihr erster Elementartheiler e,, sondern auch alle übrigen Elementartheiler Invarianten sind, so schien es uns passend, von diesem Namen abzugehen. Das Problem, den Irregularitätsexponenten einer Determinante D zu bestimmen, über welches Gawa (D. A. 306) einige Andeutungen giebt, wäre demnach genauer dahin zu präcisiren, die Klassenanzahl der Formen von der Determinante D in ihre Elementartheiler zu zerlegen. Vgl. Stephen Smitk, Report o/ the 32. memng o/ the Brit. ABB. /or tke adv. o/ acience 1862. p. 524.

567 (3.)

(k, -6)

= et e, ke... ee

ist, und nur wenn k ein Vielfaches von ee+1 und ein Divisor von ee ist, kann diese Gleichung stattfinden; ee+i ist also der kleinste Divisor von ee, welcher der Gleichung (3.) genügt. Ist .lt die Gruppe der kten Potenzen in~ und rk der Rang von .lt, also r 1 = r, so kann man den Beweis für die Invarianz der Zahlen e e, anstatt auf die Betrachtung der Ordnung (k, ~) der Gruppe .lt, auch auf die Betrachtung ihres Ranges rk stützen. Ist qe das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von k und ee, so gehört zum Exponenten qe : k. Ist k durch es+1 , aber nicht durch e8 theilbar, so stellt der Ausdruck

n;

n:· ... u:r'f _·(u':"t· (1/.t· ... (n:'fs alle Elemente von .lt dar, und folglich bilden "1, n:, ... n: eine Basis (n:·

von .lt, und zwar eine normale, weil sie von einander unabhängig sind, q11 : k durch 9a+i: k theilbar und q8 : k > 1 ist. Nach der obigen Entwicklung ist daher s der Rang von .lt. II. Ist ee die ete Invariante einer Gruppe ~, und ist k durch es+1 , aber nicht durch e8 theilbar, so ist s der Rang der Gruppe der k ten Potenzen in ~II". Ist der Rang der Gruppe der kten Potenzen in einer Gruppe ~ kleiner als e, so ist k durch die ete Invariante der Gruppe theilbar. Ist e 1 > e1+1 = e1+ 1 = · .. = e 1+µ > eA.+µ+1' so ist daher, falls k=e1+ 1 ist, rk=l, falls aber kI

= 81 8, • •• 811

ist, wo s„ den grössten gemeinsamen Divisor von k und 9„ bezeichnet. Ist a eine Primzahl, g„ genau durch a"" theilbar, und ist a 1 ~ a, a,., < a, so ist, falls k=o" gesetzt wird, s1 =a" und s,.,=a""', und falls k=a"- 1 genommen wird, s1 = a"-1 und s,., = a"'I-', Setzt man also 1a",

{ß.)

.P 1

_

la"- .P 1 1,

a'P (a) '

so giebt die Function 1/1 (a) an, wie viele der Zahlen 91 , 91 • • • 911 durch a" theilbar sind, und die Differenz f/1 (a) -tp (a + 1) giebt an, wie viele jener Zahlen genau durch a" theilbar sind. Daraus folgt aber leicht, dass die Potenzen verschiedener Primzahlen (2.), deren Producte die Zahlen

573

9 1 , 92 • . • 911 sind, nur von der Constitution der Gruppe der Wahl der reducirten Basis G1 , G1 • • • G11 abhängen.

IX. Ist a eine Primzahl und I a", .ß 1 stiindigen Invarianten,system von .ß

= f (a),



und nicht von

so sind in jedem voll-

log f (a) - log f (a - 1) loga

Zahlen durch a" tkeilbar „ und die Anzahl der primären Invarianten„ welche gleich a" sind., ist 2logf(a)-logf(a + 1)- logf'(a-1) - log a

Nebenbei ergiebt sieh die Folgerung, dass die Differenz t/J(a)-t/J(a+l) niemals negativ ist: X. J.st a eine Primzahl., und setzt man (a", .ß) = f (a), so ist nicht f (a)

nur f (a _ l)

( )

.1.

g(a)

9 a , sondern auc,. g (a + l) eine ganze Zahl.

Die Function 1/J (a) kann auch als die Anzahl derjenigen Wurzeln der Gleichung xa = E erklärt werden, welche a"- 1 te Potenzen in der Gruppe .ß sind, oder als die Anzahl der verschiedenen Elemente, welche man erhält, indem man alle Wurzeln der Gleichung xa" =Ein der Gruppe .ß auf die a"- 1 te Potenz erhebt. Wir knüpfen hieran noch die beiden folgenden leicht zu beweisenden Sätze:

XI. Die Anzahl der Elemente einer Gruppe nenten k = a" II c1' • • • gehören„ ist gleich

11t,.p1-~J¾, .pi+~

= 11 l la",.p l-

.ß„

welche zw,n, Expo-

1 ,.PI- ~la!c,.PI + · · · = a~

la"-1, .PI 1= lk, .PI n (1 - a-v,(a)).

XII. J.st k = a" II c1' .•• ., so ist die Anzahl der primitiven Wurzeln der Gleichung Xk = E gleich

11 la",.PI la",.pl-laa+1,.Pl la"-1,.PI = lk,.PI ll(l-al/J(a+1}-V,(a)). la", -PI

574

§. 9. Primitive Elemente einer Gruppe. Indem wir zur Charakterisirung der Elemente einer Gruppe übergehen, welche geeignet sind, eine reducirte Basis derselben zu bilden, beschränken wir uns zunächst auf die Betrachtung einer primären Gruppe ~. Ist ihre Ordnung eine Potenz der Primzahl a, so ist nach Satz II\ §. 2 auch die Ordnung jedes Elementes von ~ eine Potenz von a. Ist a«, die grösste dieser Ordnungen, so lege man der Zahl a der Reihe nkch die Werthe von a 1 bis 1 bei und untersuche für jeden derselben, ob die Gleichung (1.) xa" = E primitive Wurzeln hat oder nicht (§. 3, 3). Im ersteren Falle ermittle man irgend ein vollständiges System unabhängiger primitiver Wurzeln derselben. Die Gesammtheit der so erhaltenen Elemente A.1 , A. 2 • • • A.r nennen wir ein vollständiges System primitiver Elemente von ~- Ordnet man dieselben so, dass ihre Ordnungen a"', a"•, ... a"r eine abnehmende Reihe bilden, und ist etwa (2.)

a1

= a, = ·· · = a, > a~ = •••= a., > 1

a.,+1

= •·· = a, > ac+i ..• ,

so bilden demnach A. 1, A.2, • • • A.E ein vollständiges System unabhängiger primitiver Wurzeln der Gleichung (1.) für a = a,; A.e+i' ••. A.., ein solches für a = a.,; A..,+ 1 , • • • A., für a a, u. s. w., und wenn a keiner der Zahlen (2.) gleich ist, so hat die Gleichung (1.) keine primitive Wurzel. Wir behaupten nun, dass die Gleichung

=

(3.)

A~ A~" ... A~

= ua"

nicht durch ein Element U der Gruppe ~ befriedigt werden kann, ohne dass die Exponenten der von E verschiedenen Factoren der linken Seite sämmtlich durch a" theilbar sind. Denn sei, nach Unterdrückung der dem Hauptelemente E gleichen Factoren, afl die höchste in allen Exponenten ue aufgehende Potenz von a, sei }. die kleinste Zahl, für welche uJ.+i genau durch ,l theilbar ist (so dass also u 1 , • • • uJ. die Primzahl a mindestens in der (tJ + l)ten Potenz enthalten), und sei aJ.+i = .. · = aµ > aµ+i· Da A.;~i 1 von E verschieden vorausgesetzt ist, so ist uJ.+1 nicht durch a"J.+1

575 theilbar, also ".1.+1 (= aµ) > (l. Erhebt man dann die Gleichung (3.) auf die Potenz aaµ-1-1, so erhält man eine Gleichung von der Form Av,1 A"• 1

A"r - uc.aµ+a-1-1 • ••

r -



In derselben sind die Exponenten "e der von E verschiedenen Factoren der linken Seite alle durch aa1r 1 theilbar, und folglich sind A"µ+1, • • • Ä:" µ+1 gleich E. Ferner enthalten v11 • • • "A die Primzahl a in der "µ ten Potenz, V1 = - aa/J 1111, , , , "A = - aaµ 1llJ., Endlich sind "A+l, , • • V f' durch aaµ-l theilbar und ".i.+1 durch keine höhere Potenz von a. Wäre nun {l < a und setzte man AWJ. uaa-,-1 - w Aw, 1 • • • 1 ' so wäre VJ.+1 A1+1

und

A;ii

1

von E verschieden.

•••

Avµ -

µ -

TJmJ.aµ

,.,.-

Folglich wären die primitiven Wurzeln

A.1.+" .•. Aµ der Gleichung xa"f' =E nicht von einander unabhängig. Mithin muss a ~ {l sein. Da die « 1 te Potenz jedes Elementes von !lt gleich E ist, so ergiebt sich aus dem erhaltenen Resultate für a = a 1 die Folgerung, dass die Gleichung

A:· A.u, ... Äru,. = E

nur bestehen kann, wenn jeder Factor der linken Seite für sich gleich E ist. Die Gruppe ~, deren Basis die unabhängigen Elemente Ä 11 ...4 1 ••• Ar bilden, ist ein Divisor von !lt. In Bezug auf ~ gehört jedes Element von !lt zu einem gewissen Exponenten, der eine Potenz von a ist. Wenn aa der grösste dieser Exponenten ist, so ist die aate Potenz jedes Elementes von ~l in ~ enthalten. Gehört das Element U von ~ in Bezug auf !> zum Exponenten a", und ist ua" = n (A~e), so sind, nach Unterdrückung der dem Hauptelemente gleichen Factoren des Productes, die Exponenten ue alle durch a" theilbar, ue = - aa "e· Setzt man daher U n (A;e) = V, so ist va" = E, und V gehört ebenso wie U in Bezug auf ~ zum Exponenten aa (Vgl. §. 6). Wäre nun a > 0, so wäre J1v für O < v < a" nicht in ~ enthalten, also, weil jede a" te Potenz der

576

Gruppe ~ angehört, keine a«te Potenz. Mithin wäre V eine primitive Wurzel der Gleichung (1.), also a gleich einer der Zahlen (2.). Sei a

= "i+1 = ··· = "µ

und

".l

> a > ".u+l'

Ist dann W irgend ein Element

von ~, so sind A.1+ 1 , • • • Aµ und waa in ~ enthalten, und folglich kann, da V in Bezug auf ~ zum Exponenten aa gehört, die Gleichung V"=

A~~:

A';: wa«

nur bestehen, wenn v durch aa theilbar ist. Mithin wäre V eine von A.1+ 1 , • • • Aµ unabhängige primitive Wurzel der Gleichung (1.). Da aber nach der Annahme A 1+P ••. Aµ ein vollständiges System primitiver Wurzeln derselben bilden, so muss a = 0 sein, also jedes Element von 91 der Gruppe ~ angehören und folglich ~ = ~ sein. Daher bilden die Elemente A 1 , A. 1 ••• A„ eine Basis von A, und weil sie von einander unabhängig sind, eine reducirte Basis. Da die Zahlen (2.) für jede reducirte Basis die nämlichen Werthe haben, so besteht jedes vollständige System unabhängiger primitiver Wurzeln aus gleich vielen Elementen. Seien jetzt umgekehrt A.1 , A.2 • • • A„ die Elemente irgend einer reducirten Basis der primären Gruppe ~, so geordnet, dass ihre Ordnungen aa•, aa, ... a"" eine abnehmende Reihe bilden. Damit dann X=A:• A;• ... A;r der Gleichung (1.) genüge, ist nothwendig und hinreichend, dass, falls a 1 > a ~ "1+1 ist, X1 durch a«• -a, , , , X1 durch a"1 -a theilbar ist. Ist zu1• ••

nächst a keiner der Zahlen (2.) gleich, ist also wenn man x, 2 :! (4.) A1 a A, a, , • A.l a 0

".l

> a > « 1+ 1

,

so ist,

=

setzt, r"- 1 = U 0 a, und mithin hat die Gleichung (1.) keine primitive Wurzel. Ist dagegen a = «1+ 1 = · · · = "µ und a.l > a > ".u+1 , so bilden A1+ 1 , ••• Aµ ein vollständiges System unabhängiger primitiver Wurzeln der Gleichung (1.). SO

•t lS

ua« _

,1u,a" - .n.1

Denn ist , , ,

,4u1a« .n.1 ,

A~,!.:

1• • •

al SO

A;'

,4-u,a"

.t11

= ua"

und U = A~' ... A;,

,4-11,.la" ,.:i:1+1

• , , .n.J.

.t1.1,+1

, , ,

„xµ _

.n.µ -

E,

Daher müssen wegen der Unabhängigkeit der Elemente einer red'ucirten ' A"'.l+t · ln gle1c ' h E sem. ' Jst endli ch X = Ax' Ax,,. Bas1s .l+l , • • • Azf' µ emze ,,. 1 ••• irgend eine Wurzel der Gleichung (1.), so ist unter Anwendung der Be-

577 zeichnung (4.) xarc-1 A~"-1$A+1•

••

A;:0 " - 1$µ = rra", und folglich ist X von

AJ.+i, •.. A„ nicht unabhängig. -

Man erhält also jede reducirte Basis einer primären Gruppe ~. indem man auf jede mögliche Art ein vollständiges System primitiver Elemente ermittelt. Eine Gruppe ~ der Ordnung a11 f, wo f nicht durch die Primzahl a theilbar ist, kann, und zwar nur auf eine Weise, in zwei Gruppen ~ und 8 der Ordnungen 11,11 und f zerlegt werden. Eine primitive Wurzel oder ein vollständiges System unabhängiger primitiver Wurzeln der Gleichung (1.) in der Gruppe ~ ist es auch in der Gruppe ~. Demnach ergeben sich aus den obigen Entwicklungen zusammen mit den Erörterungen des §. 3, 3 die folgenden Sätze, in denen a eine Primzahl bedeutet: I. Jedris vollständige System unabhängiger primitiver Wurzeln der Gleichung _xk E in einer Gruppe besteht aus gleich vielen Elmnenten.

=

II. Ist k keine Invariante der Gruppe ~., so hat die Gleichung Xk = E in derselben keine primitive Wurzel. III. Wenn in einem vollständigen Invariantensystem einer Gruppe • Invarianten gleich k und in keinem solchen Systeme mehr als • gleich k sind„

=

so hat die Gleichung Xk E genau • unabhängige primitive Wurzeln in der Gruppe. IV. Die zum Ea;ponenten k gehörenden Elemente einer reducirten Basis einer Gruppe sind unabhängige primitive Wurzeln der Gleichung in dP.r- Gruppe.

Xk = E

V. Eine Gruppe„ in ,oelcher die Gleichung Xk = E eine oder mehrere unabhängige primitive Wurzeln hat, kann in zwei zerlegt werden, für deren eine jene Wurzeln eine reducirte Basis bilden. VI. Die Anzahl der unabhängigen primitiven Wurzeln df"r Gleichung

xa" = E

ist gleich der Anzahl ihrer primären Invarianten„ welche gleich

a" sind.

VIl. Die zum E:cponenten a" geMJrenden Elemente einer reducirten Basis f,iner primären Gruppe bilden ein vollständigP,a System unabhängiger primitiver Wurzeln der Gleichung

= ···

X 0 " = E in der Gruppe.

=

= ···

VIII. Sind er1 = er1 = er, ;>- er,+1 = · · · er., > er.,+1 erc > erc+1 • • • die Exponenten der Invarianten a"•, ... a«r einer primärm Gruppe„ und sind

578

Äv A.1 ,

r

~

• • •

A., irgend

~

'U/IW,bhängige primitive Wurzeln der Gleichung

= ß,

u. 8, to„

A.c+i" .•. .A„ irgend 'I - f solche Wurzeln dsr Gleichung so bilden Äv A.., ... A.,. eine normale Basis dsr Gruppe.

r

~

= .&

§. 10. Die zugehörigen bilinearen Formen einer Gruppe.

Bilden die Elemente A.1 , A.1 ••• Än eine Basis der Gruppe ,ß, sind s1/J (4, {l = 1, 2 ... n) irgend n1 ganze Zahlen, deren Determinante gleich

± 1 ist, und ist qfld' der Coefficient von

in der Determinante so ist jedes der beiden Systeme von n Gleichungen s d'fl

± lscl'/J 1= 1,

A'd'2 A 'd'n A/J -- B'lfll B"fl2 B"fln - A'd'l B cl'1 t • • •...,. • 1 ll • •• n

(1.)

eine Folge des andern, und daher bilden B 1 , B 1 Basis von ,ß. Sind 111

= aal, "• = aa1 .. , ,

Vn

= acm

{a

•••

Bn ebenfalls eine

= 1, 2 , .. m)

mehrere Lösungen der Gleichung (2.)

A;

A!' ... A!n = E,

so genügen ihr auch alle Zahlen, welche durch die linearen Formen (3,)

111

= ~ aal Za,

"•

=

~ allll Za, • , Vn

=

~ acm z"

dargestellt werden, indem :c1 , :c1 • • • :cn unabhängig von einander alle positiven und negativen ganzen Zahlen durchlaufen; und man kann auf unzählig viele Weisen die Zahlen aafl so wählen, dass die linearen Formen (3.) alle Lösungen der Gleichung (2.) darstellen (eine specielle Weise, wo aafl für a = {l von Null verschieden und für a < {l gleich Null ist, haben wir in §. 5 auseinandergesetzt). Alsdann sagen wir, die n linearen Formen (3.) gehören zur Basis A.., A.1 • • • A.,.. I. n lineare Formen, welche zu einer Bam von n Elementen gehtiren, sind von einan~ unabhängig.

=

Denn eine Gleichung k 1 v1 + k1 v1 + · · · + kn vn 0 mit constanten Coefficienten kann nicht bestehen, wenn dieselben nicht sämmtlich verschwinden. Gehört nämlich A./J zum Exponenten lfl, so genügt man der

579

Gleichung (2.), indem man v11 =l11 und, falls ö von {J verschieden ist, v1 =0 setzt. Mithin muss k 11 l11 = 0, und weil l11 von Null verschieden ist, k11 = O sein. Aus der Unabhängigkeit der linearen Formen (3.) folgt, dass m ~ n ist, und dass die Determinanten nten Grades, die sich aus den Coefficienten der Formen bilden lassen, nicht sämmtlich verschwinden. Sind Pr« (r,a = 1, 2 ... m) irgend m1 ganze Zahlen, deren Determinante gleich ± 1 ist, und ist rar der Coefficient von Pr« in der Determinante ± IPr«I = 1, so ist jedes der beiden Systeme von je m Gleichungen (4.)

Za

= P1a .r; + Psa .r; + ''' + Pma .r'm,

eine Folge des andern. Substitutionen (4.) in (5.)

m1

=

.r'r

= r1r Z1 + r•r Za + ''' + rmr Zm

Wenn daher die linearen Formen (3.) durch die ~

c'fl z;,,

n,1

=

~

c,,. .r;, ... m,. = ~ c,,,. z;,

übergehen, so kann jedes Werthsystem, welches durch das eine der beiden Systeme von linearen Formen (3.) und (5.) dargestellt wird, auch durch das andere dargestellt werden. Es lässt sich zeigen, dass auch umgekehrt zwei Systeme von linearen Formen, welche genau die nämlichen Werthsysteme darstellen, stets durch unimodulare Substitutionen in einander transformirt werden können*). Nennt man daher alle Formensysteme, in welche ein gegebenes System durch unimodulare Substitutionen transformirt werden kann, eine Klasse äquivalenter Formensysteme, so ergiebt sich der Satz: II. Die Systeme von n linearen Formen„ welche zu einer Basis von rt Elementen gehören„ sind die sämmtlichen Individuen einer Klasse äqui1;alenter Formensysteme.

Bilden A 1 , A 1 • • • A.11 irgend eine Basis der Gruppe ,6, und sind (3.) irgend n lineare Formen, welche zu dieser Basis gehören, so beisst die bilineare Form A

der m Variabeln x 1 , x 1

•••

= ~aaflZa!lfl

xm und der n Variabeln !/u !/s ... !J„ eine zur

*) Dabei muss man beide Systeme als von gleich vielen Variabeln abhängig ansehen, also wenn ·das eine in Wirklichkeit deren weniger enthält, sich vorstellen, dass die Coefficienten der fehlenden Variabeln gleich Null sind.

580

Gruppe ~ gehörende (ihr zugehörige oder aqjungirte) bilineare Form. Ableitungen einer solchen Form 8A

(6.)

V1

= 8y1'

8A

Vs

= 8g, • • • Vn =

Die

8A 8gn

bilden ein System von linearen Formen, das zu einer gewissen aus n Elementen bestehenden Basis der Gruppe ~ gehört. Der Rang der Form Ä ist nach Satz I gleich n. III. Enthli,lt eine zugehörige bilineare Form einer Gruppe m Variabeln der rinen Reihe und n der andern Reihe„ so ist der Rang der Form gleich der kleineren der beiden Zahlen m und 11. Sind die Variabeln xm+1 , xm+, •.• [yn+1' !ln+s • ••] von x 1 , x 1 ••• xm [g1 , !h ... yJ unabhängig, so ist auch Ä+xm+1 !/n+1 +xm+s!ln+s+ •• • eine zur Gruppe ~ gehörende Form; denn ihre Ableitungen nach den Variabeln !J gehören zu der Basis ..41 , Ä 1 • • • ..411 , E, E ... der Gruppe ,e. Die bilineare Form Ä möge durch die unimodularen Substitutionen*) (7.)

:Ccc

in die bilineare Form

= .l'p„cczt, ,, B

f1bergehen.

Y{J

= .l''J{Jt!Yd' "

= .l' brtl z 1y;,

Dann hängen die Ableitungen (8.)

,

8B

"1 = 811: '

,

v,

8B

,

88

= 8!/4 ••• "" = 8y~

der Form .B mit den Ableitungen (6.) der Form Ä durch die Gleichungen 'l{Jl v,,

V~

v1 = .l' 8t11 v:,,

111

V~=~

= .l' 'l{JI ,,,., •••

V~=

.l' 'lfln v{J

= .l' 8,h v:, . .. v = .l' Bffn v:, 11

zusammen; mithin stellen die linearen Formen (8.) alle Lösungen der Gleichung dar, wo die Elemente B" durch die Gleichungen (1.) definirt sind, also ebenfalls eine Basis der Gruppe~ bilden. Nennt man also alle bilinearen *) Dabei ist es gleichgültig, ob die Variabeln Zcc der Substitution (7.) sä.mmtlich in A vorkommen oder nicht; dagegen dürfen in derselben nicht mehr als n Variabeln g fl vorkommen.

581 Formen, in welche eine bestimmte Form durch unimodulare Substitutionen transformirt werden kann, eine Klasse äquivalenter Formen, und gehört die (von n Variabeln !/ abhängende) Form Ä zur Gruppe .ß, so gehört auch jede (von nicht mehr als 11 Variabeln !/ abhängende) mit A äquivalente Form B zur Gruppe .ß, Ist nun der dte Elementartheiler*) der Form A, so kann dieselbe durch unimodulare Substitutionen in

e„

übergefiihrt werden. Ist B 1 , H1 so kann die Gleichung (9.)

•••

H„ die correspondirende Basis von ~'

H.111 0 1111 _ E H v, l 1 ... II -

nur dann und muss stets dann bestehen, wenn v1 = e1 x 1 , "• = e1 z 1 • • • v,.=e,.x,,,, also v1 durch e1 , v1 durch e1 • • • , v,,, durch e,,, theilbar ist. Daher gehört H„ zum Exponenten e,,, und die Gleichung (9.) erfordert, dass jeder Factor der linken Seite ftir sich gleich E ist. Ist e,. > 1 und e,.+1 = 1 , und ist r < n, so ist auch e,.+1 = · · · = e,. = 1 und B,.+ 1 , H,.+1 ... 8 71 gehören zum Exponenten 1 , sind also gleich E. Mithin bilden die Elemente H1 , H, ... H„ schon für sich eine Basis der Gruppe .ß und zwar, da sie von einander unabhängig sind, und da ee durch ee+1 theilbar und e,. > 1 ist, eine normale Basis. Damit ist der in §. 6 abgeleitete Fundamentalsatz des Herrn &hering von Neuem bewiesen. Da ferner in §. 7 gezeigt worden ist, dass die Zahlen e1 , e 1 ••• e„ für jede normale Basis dieselben Werthe haben, so ergiebt sich der Satz: IV. Die Elementartheiler jeder bilinearen Form„ die zu einer Gruppe gflliiJrt„ sind., soweit sie von 1 verschieden sind, die normalen 'Invarianten der

Gruppe. Da zwei bilineare Formen, welche denselben Rang und dieselben Elementartheiler haben, stets äquivalent sind, so folgt daraus (Frobenius„ dieses Journal Bd. 86, S. 159): *) Ist d 71_ 1+ 1 der grösste gemeinsame Divisor der Determinanten l ten Grades Yon A, so heisst d1 : d1+ 1 e1 der lte Elementartheiler der Form A.

=

582

V. Alls bilinearen Formen deuelben Banges, die zu einer Gruppe geMren„ sind 11,qui?Jalent. Die zu einer Gruppe gehörenden bilinearen Formen nten Ranges bilden also die sämm.tliehen von n Variabeln !/ abhängenden Individuen einer Klasse äquivalenter bilinearer Formen. Aus den auf Seite 177-17 9 dieses Bandes entwiekelten Sätzen ergiebt sieh, dass (k, (>)

= (k, .A)

ist, wenn .A irgend eine bilineare Form ist, die zur Gruppe

.p gehört.

§. 11. Die Reste der Potenzen rationaler ganzer Zahlen in Bezug auf einen zasammengesetzten Modul.

Die Theorie der Gruppen wollen wir auf die Lehre von den Potenzresten für einen zusammengesetzten Modul M

= 211 PP' P" . ..

anwenden, wo P, P, P" . .. gewisse Potenzen versehiedener ungerader Primzahlen sind. Ist die Anzahl derselben gleieh 1r, so sei n = :rr, falls p = o oder 1 ist, n ='Ir+ 1, falls p = 2 ist, und n = :rr+ 2, falls p > 2 ist. Seien ferner (1,)

Uu 91 • • ·9n

die Zahlen rp(P), r,(P), r,(P') ... und ausserdem, falls p = 2 ist, die Zahl r, ( 4) = 2 ( = gi), und falls p > 2 ist, die beiden Zahlen 2 ( = 91) und 211- 1 (=gJ.

Ist Ue = rp(P), so kann man, da P und

1; relative

Prim-

zahlen sind, eine Zahl Ge :finden, welehe (mod. P) einer primitiven Wurzel

1!) der Zahl 1 eongruent ist. Ist = 2 , so sei G = 3 (mod. 4) und G = 1 ( mod. f ). Ist 2, so sei G = 3 oder 5 (mod. 8) von P und (mod.

p

p >

1

und G1

= 1 ( mod. :);

dann ist

Gr-• = G

1

1

eine der vier verschiedenen

Wurzeln ± 1, 211- 1 ± 1 der Congruenz x•= 1 (mod. 211). (Ist p = 3, so ist G = G1 , ist p > 3, so ist G = 211-1 + 1). Ist G' eine der beiden

583 von 1 und G verschiedenen Wurzeln, so sei G1 = G' (mod. 2.«') und G1 = 1 (mod.

!)·

(Vgl. Gauss, D. A. 90).

Da 2 ist, G1 zum Exponenten 2µ-•. Wir behaupten ferner, dass die Elemente G1 , G1 , ••• Gn von einander unabhängig sind. Denn ist ,..,v, • • • Gvn - 1 ( mo d, M) , (2 ,) Gi,,1 '"'• n = so besteht die nämliche Congruenz (mod. P). Weil aber G11 G1 • • • Gn mit Ausnahme von Ge congruent 1 (mod. P) sind, so ist = 1 (mod. P), und weil Ge= 1 (mod.

!) ist, G;e = 1 (mod. M).

O:f!

Mithin reducirt sich

die Congruenz (2.), falls µ, = 2 ist, auf Gr• = 1 (mod. M), und falls µ, > 2 ist, auf ~· ~ = 1 (mod. M). Im letzteren Falle ist auch ~· ~· = 1 (mod. 2.«'). Erhebt man beide Seiten ins Quadrat, so erhält man, da ~= 1 (mod. 2µ) ist, r;:1'• = 1 (mod. 2~. Daher ist 2 Vs durch 2"H theilbar, also Vs= - 2µ-s v. Mithin ist G~· = C' (mod. 2"'). Wäre nun v1 ungerade, so wäre ~· = G1 = C' (mod. 2"'). Da aber C' zufolge der Congruenz G 9 = 1 (mod. 2"') nur einer der beiden Zahlen 1 oder G congruent sein kann, und G1 von diesen beiden verschieden vorausgesetzt ist, so kann v1 nicht ungerade sein. Ist aber v1 gerade, so ist ~· = 1 (mod. 2"'), also auch (mod. M), und mithin reducirt sich die Congruenz (2.) auf~·= 1 (mod. M). Da folglich G1 , Ga ... Gn unabhängig sind, und da Ge zum Exponenten ge gehört, so stellt der Ausdruck X= G:• G;o ... G;n, falls xu x 8 •.. :cn alle ganzen Zahlen durchlaufen, 91 g, ... 9n =

theilbar. Durch wiederholte Anwendung dieses Schlusses ergiebt sich der Satz: I. Ist A.-B nicht durch .\) theilbar„ so ist auch A.plA- BP"' nicht durch .\) theilbar.

Ist A.-B=P, so ist Am=B'l+mB111-1p+

mi~;t)

gn-sp•+···+fJ111.

Ist P genau durch ,1>1 theilbar (d. h. durch .))1 und nicht durch ,1>1+1) , wo l > o, und sind A. und B nicht durch ,l> theilbar, so ist, falls m nicht durch ,, theilbar ist, Am= B111 (mod. .p.l) und A"1 = Bm + m B111- 1 P (mod. ,1>.l+ 1) ; daher ist A.111-J/II durch l)4, aber nicht durch ,1>1+ 1 theilbar. Ist dagegen m=p, so ist -tf? BP (mod. ,1>1+ 1) und .AP = BP + p BP- 1P (mod. ,1>1+9); daher ist A.P-JJP durch .p1+1, aber nicht durch ,1>1+1 theilbar (dieses würde nicht richtig sein, wenn p = 2 oder durch ,1>1 theilbar wäre). Indem man diesen Schluss wiederholt an wendet und mit dem vorigen combinirt, erhält man den Satz: II. Ist A.-B genau durch .l)1 (l>O) theilbar,. während A. und B nicht durch .)> theilhar sind„ und ist m genau durch -,1' theilbar „ so ist A.111-Bm genau durch .)>A+µ theilbar.

=

*) Ueber die Begrift'e und Sätze, ,·on denen wir hier Gebrauch machen, vergleiche man die Arbeiten des Herrn Dedelr:ind: Vorle,ungen über Zaklentl,,eo,'ie von LeJeune-Diriclilet, 2. Aufl., Supplem. 10; Sur la theorie de, nombre, entier, algebrique, (DarboU111, bulletin 1re ser. t. XI et 2• t. I); Ueber die Anzahl der IdealklaB,en in den ve,·,chiedenen Ordnungen eines endlichen Körper,, Braunschweig 1877.

ser.

586 Jede Zahl A. der Ordnung o, welche nicht durch l> theilbar ist, genügt der Congruenz A.P1- 1 ::l (mod.p). Nach Satz II istdaher A.c-p/-i)pf'- 1 = 1 (mod. .p"'). Es giebt ferner Zahlen B der.Ordnung o, welche (mod. .p) zum Exponenten pi- 1 gehören, primitive Wurzeln des Primideals .p. Unter den Zahlen A., welche der Congruenz A=B (mod. .p) genügen, giebt es auch solche, für welche A.p/-i -1 nicht durch t,1 theilbar ist. Denn erfüllt B selber diese Bedingung nicht, und ist P durch .p, aber nicht durch t,2 theilbar, so wird dieselbe durch A. = B + P befriedigt. Denn es ist (B + P)Pl-i_ 1 =Bpl-i - 1 + (pf-1) BPl-s P + (P 1 1) Bp/-s P'+ ...

= (pi- 1) BP1-• P

2

(mod . .p1), und mithin fst diese Zahl nicht durch t, 2 theilbar. Ist nun A eine primitive Wurzel von .p, für welche AP1- 1 - l genau durch .p theilbar ist, so ist A(pl-l)pi.. -1 genau durch pJ.+1 theilbar, also nur und stets dann durch .pf', wenn l ~ " - 1 ist. Daher ist 1) rf'- 1 durch den Exponenten e, zu welchem A in Bezug auf den Modul .b"' gehört, theilbar. Ferner ist dieser Exponent e, da Ae = 1 (mod . .p"'), also auch (mod. .µ), und da A. eine primitive Wurzel von .i, ist, durch p1 --1 theilbar. Mithin ist e=(p1-l)d, wo d, ein Divisor von pf'- 1 , also eine Potenz von p und folglich gleich pf'- 1 ist. Demnach gehört A nach dem Modul l>"' zum Exponenten (/-l)pf'-1 • Umgekehrt muss das Element A, wie leicht zu beweisen, wenn es nach dem Modul l)P zum Exponenten (pf-l)pf'-1 gehört, eine solche primitive Wurzel von p sein, für welche A.p/- 1 - 1 nicht durch l)1 theilbar ist.

(pi -

Die Anzahl der Klassen von Zahlen, welche (mod. t,P) incongruent und relativ prim zu .v"' sind, ist gleich h = (pi- 1) p l), so ist P-1 genau durch .p.u-1+ 1 theilbar; damit daher XP-1 durch .i,'" (µ, > 1) theilbar sei, ist nothwendig und hinreichend, dass X- 1 durch .v"'- 1 theilbar ist. Die Anzahl der Zahlen 1·, welche durch .p.u-i theilbar und (mod. .v"') incongruent sind, ist gleich

(4>"'-1' Vµ)

=

N (V"') N (V"'- 1 )

= N (V) = pi.

=

Die Anzahl der (mod. .p"') incongruenten Zahlen, welche 1 (mod. .p.u-i) sind, ist daher ebenfalls gleich pi, und folglich hat die Congruenz xP - 1 0 (mod . .p"') genau pi incongruente Wurzeln. Da aber er durch p theilbar ist, so muss diese Congruenz nach §. 7 pr verschiedene Wurzeln haben, und folglich ist r = f. Demnach ist

=

69 69 ' ' • Br= (p.U-1) r-1, Be~ p,u-1 (e > 1),

Wäre daher auch nur für einen einzigen Werth von e die Invariante ee < pl"-1, so könnte jene Gleichung nicht stattfinden. Die Gruppe ~ ist also vom Range f und ihre Invarianten sind (1.)

e1

= (pi- 1) p,u-

1,

e,

= p.u-

1 • ••

e1

=p,u-

1,

Ohne die allgemeine Theorie der Gruppen zu benutzen, kann man dieses Resultat auch folgendermassen ableiten (vgl. Lrjeune-Dirichlet~ Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen, §. 2 ; Abb. der Berl. Akad. 1841). Die Anzahl der Zahlen, welche durch .p theilbar und (mod. .p9) incongruent sind, ist gleich (.P, .p') = pi. Sei P 1 eine solche durch ,1.) 2 nicht theilbare Zahl und x eine rationale ganze Zahl; damit dann x P 1 durch .p' theilbar sei, ist nothwendig und hinreichend, dass x durch .p, also auch durch 11 theilbar ist, weil p die kleinste rationale Zahl ist, in der .p aufgeht. Die Congruenz xP1 yP1 (mod . .p9) :findet folglich nur und stets dann Statt, wenn x =u (mod. p) ist. Durchläuft also x alle rationalen ganzen Zahlen, so stellt xP1 genau p Zahlen dar, welche (mod . .p') incongruent sind, und man erhält dieselben, indem man x ein

=

588

·vollständiges Restsystem (mod. p) durchlaufen lässt. Ist f = 1, so sind dies alle Klassen von Zahlen, welche durch .p theilbar und (mod. .p1) incongruent sind. Ist aber f > 1 , so sei P1 eine weitere Zahl von dieser Beschaffenheit. Dann kann die Congruenz xi.Pi+ x 1 P1 = 0 (mod. .p8) nur bestehen, wenn Xi und x 9 beide durch p theilbar sind. Denn wäre x 1 nicht dur.9h p theilbar und x 1 a + 1 = 0 (mod. p), so wäre auch O= axi Pi + ax1 P1 = axiPi.-P1 (mod. .i,1) , während doch Ps nicht von der Form xP,. ist. Mithin ist x 1 durch p theilbar, also x 1 P,. x 1 .Ps 0 (mod . .p8), und daher auch x 1 durch p theilbar. Wenn also jede der Zahlen .x1 , x 1 ein vollständiges Restsystem (mod. p) durchläuft, so stellt der Ausdruck x 1 P,. + x 1 P1 genau p 1 Zahlen dar, welche durch .p theilbar und (mod. ,1>8) incongruent sind. Ist f > 2, so sei P8 eine weitere solche Zahl, welche nicht in dieser Form enthalten ist, u. s. w. Auf diesem Wege gelangt man zu einem System von f durch .p, aber nicht durch .i,' theilbaren Zahlen Pi, P, ... Pi, zwischen denen die Relation .r1 P1 + .r. P, + ... + .r1 P1 o (mod. .p8) nur bestehen kann, wenn Xi, x 1 ••• x 1 sämmtlich durch p theilbar sind. Durchläuft also jede der Zahlen Xi, x 1 • • • x I ein vollständiges Restsystem nach dem Modul p, so stellt der Ausdruck :ci P,. + :c1 P 1 + ... + x1 P1 alle pi durch p theilbaren Zahlen dar, welche (mod . .p1) incongruent sind*). Nun ist oben gezeigt worden, dass es eine Zahl H giebt, welche (mod. .pi") zum Exponenten (p 1-l)y1-1 gehört. Setzt man Hpl-i = H11

=-

=

=

*) Bilden Ai, As .•. An eine Basis des Moduls V und B1 , B, ... Bn eine Basis des Moduls p1 , so kann man, weil p1 durch p theilbar ist, n 1 (völlig bestimmte) rationale ganze Zahlen aafl finden, welche den Gleichungen Ba a111 Ai + aa1 As + • •• + aan An (a 1, 2 .•• n) genügen. Die Determinante dieser Zahlen ist

=

=

1aa{l l

/ = N(p•) N(p) =p '

=

Nach den obigen Erörternngen sind die Elementartheiler dieser Determinante e1 p, . , . e1 p, "f+i 1 ... en 1. Man kann daher (Frobeniw l. c. S. 158,) durch unimodulare Substitntionen die Basis Ai, As , .. An in eine Basis Pi, P1 ••• Pn von V und die Basis Bi' n• ... Bn in eine Basis 01' Q, ... On von p1 so umformsn, dass

=

=

01 ist.

=

= pPi, ••. a, = pPI;

01+1

= P1+1•

...

On= Pn

589

so ist H1 -1 durch ,l>, aber nicht durch .\)1 theilbar, kann also in der • obigen Entwicklung für die Zahl Pi genommen werden. Zu dieser bestimme man die Zahlen .Ps, P8 • • • P1 so, dass die Congruenz z1.Pi + z,P, + , , , + :c1P1 = 0 (mod . .\)9) nur stattfinden kann, wenn :Ci, :c1 ••• :c1 sämm.tlich durch 'P theilbar sind, und setze H11 = 1 + Pe' Da B 11-1 genau durch µ theilbar ist, ist 1 genau durch .\).l+i, also nur und stets dann durch .\)µ theilbar, wenn 1?: p,- 1 ist. Daher ist der Exponent, zu welchem H 11 (mod.-'>") gehört, ein Divisor von pl'- 1 , also eine Potenz von p, und folglich gleich pl'- 1 • Wir behaupten ferner, dass die Congruenz (2.) H" H:" ... Hjl = 1 (mod. µµ)

Hf -

nur bestehen kann, wenn jeder Factor der linken Seite für sich = 1 ist. Denn wenn diese Congruenz (mod. µI') besteht, so muss sie auch (mod. .\>) gelten, und weil B 1 = ... = H1 1 (mod. µ) ist, so ist folglich H" 1 (mod. .\>), also, da H(mod.µ) zum Exponenten p1- t gehört, v=(p 1-I)v11 und mithin (3.) n;• B'; ... Hjl = 1 (mod. ~).

=

=

Diese Congruenz kann aber nur bestehen, wenn Vu v1 • • • v1 sämmtlich durch pl'- 1 theilbar sind. Denn sei p14-1 die höchste Potenz von p, welche in allen diesen Zahlen aufgeht, und sei v11 gleich pl'-1 :ce, wo :c1 , :c1 • • • :c1 nicht sämmtlich durch p theilbar sind. Dann muss nach Satz I und II (4.) ojl= 1 (mod,.\>1 ) sein. Nun ist aber nach dem binomischen Satze (1 + Pe){l;e 1 + :re Pe (mod.µ9) und daher

a:· n:, ...

n;e =

=

o:• a:• ... Hjl =

(1

+

:r, PJ (1

+ :r2 P2)

•••

(1

= 1 + z, P, + .r, P, + ... +

Wäre nun 1 > 1, so wäre zufolge der Congruenz (4.)

n:• o:• ... njl = 1 (mod. µ8), und mithin wäre

+

z1Pr)

ZJ P1 (mod. ,1>8).

590

das ist aber nicht möglich, wenn :C1, :c1 •• : :c1 nicht simmtlich durch p theilbar sind. Da H zum Exponenten (pl-1)p14- 1 und He zum Exponenten pl'-1 gehört, und da die Congruenz (2.) nur bestehen kann, wenn " durch (pi - l)pl'- 1 und "e durch pl'- 1 theilbar ist, so stellt der Ausdruck ar..a:H:&' • ... B:&I I,

:c., ... :c1 alle rationalen ganzen Zahlen durchlaufen, genau (pf- t) pf, also sämmtliche Klassen von Zahlen dar, welche (mod. t,"') incongruent und durch .i, nicht theilbar sind. Mithin bilden H, H 1 ••• Br eine normale Basis der Gruppe ~' und die Zahlen (1.) sind die Invarianten dieser Gruppe. Zürich, Juli 1878.

falls

:Ci,

20. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten (Forts.) Journal für die reine und angewandte Mathematik 88, 96-116 (1880)

Nachdem ich im ersten Theile dieser Arbeit die Theorie der Aequit,alen• von bilinearen Formen behandelt habe, gehe ich zur Beantwortung der Frage über, welche Bedingungen nothwendig und hinreichend sind, damit eine Form unter einer andern enthalten sei. Als Ausgangspunkt nehme ich die Theorie des relativen Enthaltenseins in· Bezug auf einen Modul (§. 14-17), von der ich in §. 18 Anwendungen auf die Lehre von den linearen Congruenzen mache, und auf die ich in §. 21 die Theorie des absoluten Enthaltenseins zurückführe. Ist lt eine (positive) ganze Zahl und geht die bilineare Form A = ~aap:Ca1//J der m+n Variabeln *) :i:1 , ... :cm; y1 , . . . y. durch die linearen Substitutionen (mod.k) (1.) :c.=fP1aa:~, 1/p=f9tta1/J in B = ~b18 :c~y'J über (die Definition dieser kurzen Redewendung findet man im ersten Theile §. 11), so heisst die Form B (mod.k) unter A entkaUen. Die Anzahl der neuen Variabeln kann der Anzahl der ursprünglichen gleich, sie kann aber auch kleiner oder grösser sein. Ist (mod. k) B unter A und C unter B enthalten, so ist auch C unter A enthalten. Ist B (mod.k) unter A enthalten, und ist h ein Divisor von k, so ist Bauch (mod.h) unter A enthalten. Zwei Formen, die sieb gegenseitig (mod. k) enthalten, werden (mod. k) aqumalent genannt. Sind zwei Formen einer dritten äquivalent, so sind sie es auch unter einander. Die Gesammtheit der Formen, die einer bestimmten äquivalent sind, heisst eine Klasae von Formen. Ist B unter A *) Enthält Ä genau µ Variabeln «i11 flJ , ••• flJµ 1 so kann man fttr m irgend eine Zahl wählen, die ~µ ist; die Zahlen m unJ n können also oberhalb gewisser Grenzen willkttrlich angenommen werden. Bei jeder Form, mit der im Folgenden operirt wird, ist vorausJesetzt, dass in derselben ttber die Zahlen m und n eine bestimmte Festsetzung getroffen 1st.

592

enthalten, so ist auch jede mit B äquivalente Form unter jeder mit A äquivalenten enthalten, oder es ist die durch B reprä.sentirte Formenklasse unter der durch A reprä.sentirten enthalten. Sind A und B äquivalent, und geht A durch die Substitutionen (1.) in B, und B durch die Substitutionen (2.)

a;~

= Zr„ „ 1 a:.,,

YJ

= Z BJfJY/J {J

(mod. k)

in A über, so brauchen die Congruenzen (2.) nicht die Aufl.ßsungen der Congrnenzen (1.) zu sein. Ich habe oben (§. 11) zwei Formen A und B nur dann (mod. k) äquivalent genannt, wenn die Anzahl der Variabeln a:~ [y 6] ebenfalls gleich m [n] ist, d. h. wenn beide Formen als von gleich vielen Variabeln abhängig betrachtet werden, wenn ferner die Determinanten mtea und nten Grades !Pral und lq/JJ! relativ prim zu lt sind, und die Congruenzen (2.) die Aufl.ßsungen der Congruenzen (1.) sind. Ich werde zeigen, dass sich diese engere Definition vollständig mit der hier gegebenen weiteren deckt. §. 14. Die Reduction der bilinearen Formen.

I.

/,t eine Form in Be.aug auf mehrere Reihen tion Variabeln linear, 10 kann man den Variaheln ,olche Werthe ertheilen, das, die Form dem grö88ten gemeimamen Di1>ilor ihrer Coefficienten und de, Modul, congruent wird, und da,s die Variabeln jeder Reihe mit einer beliebig gegebenen Zahl keinen DitJilor gemeimam haben. Gegeben sei z.B. eine trilineare Form A = ~a„/J1 a:.. y,'11,r, welche in Bezug auf die r Variabeln a:.. , die , Variabeln Y/J und die t Variabeln .ay homogen und linear ist. Der Modul sei k = p"p'"'... , wo p, p', ... verschiedene Primzahlen sind, der grßsste gemeinsame Divisor cles Moduls k und der sämmtlichen Coefficienten a„/Jr sei /. Damit dann A f (mod. k)

=

sei, ist nothwendig und hinreichend, dass diese Congruenz in Bezug auf jeden der Moduln p''', p'"', ... erfüllt wird. Sei p11 die Mchste Potenz von p, welche in den Coefficienten a„/Jr sä.mmtlich aufgeht. Ist Q < n, so ist / genau durch p~ tbeilbar. Ist also a,r1.µ einer derjenigen Coefficienten, die genau durch pe theilbar sind, und setzt man ,.. - 1 ....,= ' und falls a, ß,

y -

i=

r von ", x,,

1

'

a„i,. ,._ f ~,.µ=pe

(mod prr-e)

.

1, ,u verschieden sind,

=O, =O, =0 Y/J

-'r

(mod.p"-e),

'

593

so ist .A = f (mod.p"), und keine der drei Zahlen a:,., 1/A, •,, ist durch p theilbar. Ist aber (} > n, so ist f durch p" theilbar, und folglich ist fttr alle Werthe der Unbekannten .A f (mod.p'''). Man kann daher die Unbekannten a:,. (mod.p) r Zahlen congruent setzen, die nicht sä.mmtlich durch p theilbar sind, und ebenso die Unbekannten 1/p und die Unbekannten •rAuf dieselbe Weise verfahre man mit den Factoren p'"', p"n", .• , des Moduls k. Sind ferner q, q', ... beliebig gegebene von p, p', ..• verschiedene Primzahlen, so setze man in jeder Reihe von Variabeln eine congrnent 1 (mod. q), eine congrnent 1 (mod. q') u. s. w. So erhält man zur Bestimmung jeder einzelnen Variabeln ein System von Congrnenzen, deren Moduln relative Primzahlen sind, und denen man daher allen gleichzeitig genügen kann. Die so gefundenen W erthe haben die Eigenschaft, dass die Variabeln jeder Reihe mit pp' ... qq' ... keinen Divisor gemeinsam haben. z. B. ist eine Determinante nte0 Grades, in welcher die Elemente der ersten m (< n) Zeilen gegebene Zahlen, die der letzten n-m Zeilen Variabeln sind, in Bezug auf die Elemente jeder dieser letzten Zeilen eine homogene lineare Function, und die Coefficienten dieser (n-m) fach linearen Function sind die Determinanten mteo Grades, die sich aus den Elementen der ersten m Zeilen bilden lassen. Ist daher / der grösste gemeinsame Divisor dieser Determinanten und des Moduls k, so kann man den Elementen der n-m letzten Zeilen solche Werthe ertheilen, dass die ganze Determinante congrnent f (mod. k) wird. Ist speciell m = 1, sind also n Zahlen P1, P2, ... p„ gegeben, die mit dem Modul den gr6ssten gemeinsamen Divisor f haben, so kann man eine Determinante ,ateo Grades !Papi= f (mod.k) bilden, in welcher p1p = Pp ist. Dieser Satz gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass n > 1 ist. Sei jetzt .A. = Za„fJa:,.gp eine bilineare Form der m Variabeln a:11 ... a:m und der n Variabeln g1 , ••• g,., sei f1 der gr6sste gemeinsame Divisor des Moduls k und der sä.mmtlichen Coefficienten a p, und seien a:,. = p,,. und 11/J qfJ• Werthe, die der Congrnenz .A f1 (mod.k) genügen, und zwar solche Werthe, dass weder die m+l Zahlen p10 und k, noch die n+l Zahlen qp1 und k einen Divisor gemeinsam haben. Dann kann man, falls die Zahlen m und n beide grösser als 1 sind, eine Determinante mteo Grades IPra 1 = 1 und eine Determinante ,aten Grades I qfJJ 1 1 (mod. lt) bilden. Durch die Substitutionen

=

=

=

0

=

:i:,.

= f p,,.a:~,

11/J

= ,f qpJ1/J

594 geht die Form A in über, wo

(1C11 also

Cu

C

=· 1 ( mod. ~ )

=.Zp1aaapqp1 =f1 a,{J

ist.

(mod.k),

Mithin ist

= (x~+c21 x;+, .. +cm1x;,.)(y;+c12g;+, .. +c1,.1J~)+A1

(mod.

~ ),

wo A1

die Variabeln

x;, y;

= ~(crrcr1C13)x~yJ

nicht enthält.

Setzt man daher

a:;+~1 x;+ ... + Cm1X~, = a:;',

y;+c12y;+ · .. +ci .. 1/~ = y;',

so geht C in x~' y;'+A 1 über, und folglich lässt sich (wenn man die Striche bei den neuen Variabeln unterdrückt) A durch Substitutionen, deren Determinanten congrnent 1 (mod. k) sind, in (1 a:1t1,+(1A1 (mod. k) transformiren, wo A1 nur die Variabeln x 2, ••• x.,.; 1/2, ••• y„ enthält. Ist aber z. B. m = 1, also

A = a:1(a1i11i+a121/2+ .. ·+a.,.yn), so kann man nach Satz I. die Congruenz

=

au111+a12112+"·+a1ny.. (1 (mod.k) durch n Zahlen Y/J qp1 befriedigen, die mit k keinen Divisor gemeinsam haben, und dann, falls n > 1 ist, ganz wie oben verfahren, also, da p 11 = 1 ist, A durch Substitutionen, deren Determinanten congruent 1 sind, in f 1 a: 1 y 1 transformiren. Ist aber auch n = 1, also q11 relativ prim zu k, so geht A durch die Substitutionen a:1 = x;, y1 q11 y;, deren Determinanten relativ prim zu k sind, in f 1 x;y'1 über. Sind die Coefficienten von f 1 A 1 nicht sämmtlich durch k theilbar, uud ist (i/2 der grösste gemeinsame Divisor dieser Coefficienten und des Moduls k, so kann man f 1 A 1 auf die nämliche Weise in

=

=

(1(2X2Y2+(d2A2 (mod.k) transformiren, wo A 2 nur die Variabeln :z:3 , ••• x,..; y3 , ••• y„ enthält, und dies Verfahren kann man so lange fortsetzen, bis man zu einer Form fi/2 .. ,(,A,+ 1 gelangt, deren Coefficienten alle congrnent Null (mod.k) sind. Die Zahl r kann nicht grösser sein, als die kleinere der beiden Zahlen ,n und n. Die Form A lässt sich also durch Substitutionen, deren Determi-

ö9ö

nanten relativ prim zu k sind, in

G = /i:t:,g,+fi12~!/2+f1'2'3a:,g,+···+!,.f2 .. ,f..aw1r (mod.k) transformiren, oder wenn man

li'2•••fe =

g,

setzt, in G = g,:J:iJ1+g2~J2+•••+grll:rfr1 wo g1 durch le-i und lt durch gr theilbar und k>gr ist. Nennt man also eine Form ~g, 0 a:eJa der r+r Variabeln a:1 , ••• a:r; t/t, ••• Jr, in welcher lea = 0 ist, falls ~ von a verschieden ist, lee k ein Divisor von k und durch g,_1,,._1 theilbar ist, eine reduclrte Form (mod. k), so ist damit der Satz bewiesen: II. Jede bilineare Form ut (mod. k) einer reducirten Form aquit,alent. Die Untersuchung, ·ob zwei reducirte Formen äquivalent sein können, stutzt sich auf den Begriff des Rangu einer Form (mod. lt),


1, also __!_ = k und _k_ < k, g, 91+1 so ist der Rang von B gleich n-a. Mit Hülfe des Satzes II, §. 19 ergiebt sich daraus: III. Wenn in einem System homogener linearer Congruenzen (mod. k) swiachen n Unbekannten die Determinanten (s+l)ten Grades und der Modul einen Dfoisor gemeimam haben, die Determinanten aten Grades aber nicht, so beaitsen die Congruenzen ein Fundamentalsystem t,On n -a LiJaungen, aber kein Fundamentalsystem t7on weniger als n- a LiJaungen. §. 19.

Die Beziehungen zwischen den Invarianten (mod.k) und den Elementartheilern.

Ist d„ der grösste gemeinsame Divisor der Determinanten iten Grades der Form A vom Range l (§. 1), und ist a"1 = e1 der ite Elementartheiler l-1 von A. (also e,. = O, falls l > l ist), so kann A durch unimodulare Substitutionen in die Normalform F = e,a:1g,+e2a:2g2+"·+e,a:,g, transformirt werden. Ist Br+i durch k theilbar, er aber nicht, und ist Ue der grösste gemeinsame Divisor von k und ee, so ergiebt sich auf demselben Wege, auf dem in §. 17 die Aequivalenz der Formen G und P bewiesen ist, dass F der Form

äquivalent ist.

=

g1a:1Y1+g,a:,g2+"·+gra:r11r (mod.k) Diese aber ist, weil g, durch 9e-i und lt durch Ur theilbar G

605

und k > g, ist, die Reducirte von F, also auch von A (mod. k), und mithin ist r der Rang und g, die (Jte Invariante von A (mod. k). Daraus folgt: I. Ist der (r+1)'6 Elementartheiler einer Form durch k theilbar, der

rte aber nicht, so ist r der Rang der Form (mod. k). II. Die ('' 6 Im,ariante einer Form (mod. k) ist der griJsste gemeinsame Dit,isor tion k und dem (J1en El.ementartheiler der Form. Ist A' = A+kU eine der Fonn A congruente Form und ist e~ der Elementartheiler von A', so ist folglich ge auch der grösste gemeinsame und daher geht g11 in die ()ten Elementartheiler aller Divisor von k und mit A congrnenten Formen auf. Da ~ und ..!!_ relative Primzahlen sind,

(Jte

e;,

91

91

so kann man eine Zahl ti1 so bestimmen, dass ei+k"z relativ prim zu e1 g;

ist. Geht durch die unimodularen Substitutionen, welche F in A transformiren, die Form V = ti1 a:1 Y1+ti2 a:2 U2+ · · • + ti,a:,y, in U über, so ist die Form A+kU = A' der Form F+kV äquivalent, und daher bilden die l Zahlen e2+ kti 2 ein System zusammengesetzter Elementartheiler von A' (§. 6). Zufolge der Regel, wie man aus einem solchen System die normalen Elementartheiler berechnet, ergiebt sich daraus, dass der }.te Elementartheiler ei von A' das Product aus g2 in eine Zahl ist, die relatlv prim zu e1, also auch zu e. ist. Daher ist g. der grösste gemeinsame Divisor von e. und e1.

III. Die

lntiariante einer Form A (mod. k) ist der griJsste gemeinElementartheiler aller mit A (mod. lt) congruenten Formen. Desshalb habe ich die Zahl ge auch den (>ten Elementartheiler (mod. k) von A genannt. In §. 11 bin ich von der folgenden Definition ausgegangen: IV. Der griJsste gemeinsame Dfoisor (mod. k) der Determinanten }.ten Grades einer Form A ist der griJsste gemeinsame Ditiisor der Determinanten }.ten Grades aller mit A (mod. k) congruettten Formen.

same Dit,isor der

(J 16

(Jten

Daraus habe ich den Satz abgeleitet:

V. Der griJsste gemeinsame Dfoisor h2 der Determinanten tion A (mod. k) ist der griJsste gemeinsame Dir,isor der Zahlen (1.)

di,

d~-1 k,

d1.-2 k2,

• • •

}.ten

Grades

ki.,

Mithin ist h2 auch der grösste gemeiusame Divisor der Zahlen (2.) (3.)

kd1_., e„ d1.-1,

kd1.-2k, e2 dJ.-2 k,

kdz_3k2, e1. d1._3 k2,

kd1k·-2, • • • ei d1 k2-2,

kk2- 1, e1 k1·-1•

606

Denn die Zahlen (2.) und die erste der Zahlen (8.) sind zusammen die Zahlen (1.), und jede der übrigen Zahlen (S.), e1 d1 _.'fte- 1 ist ein Vielfaches einer der Zahlen (2.), di-,+1 ltf-1 = ei-e+i d1_,1te-1, weil e1 durch e1-e+• theilbar ist. Der grösste gemeinsame Divisor von den Zahlen (2.) ist kh1_ 1 , der von den Zahlen (8.) e1 k1_., der von k und e1 ist gi, also ist der von den Zahlen (2.) und (8.) k1 = g1 k1_1. Daraus folgt: VI. IBI (mod. k) g1 der 1" ElementartheUer tmd k1 der grlJnte gemeinsame Dioilor der Determinanten Aten Gradea einer Form, 80 ilt 91

=

1&1 -L-,

111-1

1.

111

= 9192• .. Ul•

§. 20. Transformation durch unimodulare Substitutionen.

L

Wenn die n Zahlen a11 ~, ••• a. and der Modul k keinen Dioilor gemeinsam haben, und wenn n 1 ilt, 80 kann man n ihnen (mod.k) congraente Zahlen finden, die anter aich keinen Dioi,or gemeinsam haben. In §. 4 habe ich bewiesen, dass man, wenn die 2n Zahlen aa, ba

>

keinen Divisor gemeinsam haben und die Determinanten a„bp-apb„ nicht sämmtJich verschwinden, eine Zahl a: so bestimmen kann, dass die n Zahlen a..+b,.:c keinen 'rheiler gemeinsam haben. Sind also die n Zahlen a„ nicht alle einander gleich, so kann man a: so wählen, dass die n Za.hlen a,.+ka: keinen Divisor gemeinsam haben. Sind sie aber alle gleich, so ersetze man sie zunächst durch n ihnen (mod. k) congruente Zahlen, die nicht alle gleich sind. Beiläufig bemerke ich, dass sich der eben benutzte Satz folgendermassen verallgemeinern lässt: II. Wenn in einem System nicht homogener linearer Fanctionen die Determinanten sweiten Gradea nickt aämmtlich oer,r.hwinden, so kann man den Variabeln aolcke Wertke ertkeilen, dass die Wertke der Fanctionen keinen griJBBeren Dioilor gemeinaam haben, au ikre Coefficienten. Die in §. 14 ausgeftthrte Umformung beruht darauf, dass man m Zahlen p,., die mit k keinen Divisor gemeinsam haben, und n Zahlen q/J, die mit k keinen Divisor gemeinsam haben, so bestimmen kann, dass ia„pp„qp=f (mod.k) wird, wo f der gr6sste gemeinsame Divisor von k und den Coefficienten a„/J ist. Dabei kann man, falls m = 1 ist, p 1 = 1 setzen. Ist nun m > 1 und n > 1, so kann man nach Satz I die m Zahlen p„ fl1r sich ohne gemeinsamen Theiler voraussetzen und ebenso die n Zahlen '1/J· Ist

607

aber m = n = 1, so kann man Pi = 1 und q1 relativ prim zu lt wählen. Die Zahl q1 wird aus der Congruenz aF y l(mod. : ) gefunden, ist also

=

nur ( mod. : ) bestimmt. Wenn aber die in §. 14 benutzten m Zahlen p 1„ keinen Divisor gemeinsam haben, so kann man die clort construirte Determinante mten Grades 1Pra I nicht nur 1, sondern nach Satz I, §. 2 sogar = ± 1 wählen und folglich die ganze Umformung in §. 14 mittelst unimodularer Substitutionen ausführen, ausgenommen, wenn man einmal auf eine Form Ae von 1+1 Variabeln kommt. Dies kann aber, da Ae als von (m-(')+(n-(') Variabeln abhängig zu betrachten ist, nur bei dem letzten Schritte eintreten und auch dann nur, wenn m = n = r ist, also der ,ate Elementartheiler von A nicht durch k theiluar ist. Dann kann man nur die eine der beiden Substitutionen unimodular machen. Wendet man auch in diesem Falle nur unimodulare Substitutionen an, so geht A in eine der Form

=

H

=

(mod.k)

u1m1Y1+"·+u"-1a:,._i1,"-1+g.ga:,.y,.

congruente Form H+ltV über, wo gy die vte Invariante von A (mod.k) ist. Die Zahl g ist nicht (mod. lt), sondern nur ( mod. ..!!._) bestimmt. Ist die g.

Determinante (,aten Grades) von A gleich a, so ist auch die von H+ltV gleich a, weil diese Form durch unimodulare Substitutionen aus A hervorgeht. Entwickelt man die Determinante von H + k V nach aufsteigenden Potenzen von k, so ist das Anfangsglied g1g2 .. ,g,.g, und alle folgenden Glieder sind, weil k durch g. und g, durch g,-1 theilbar ist, durch g1g2 .. ,g"_1k theilbar. Mithin ist a=g.g2 .. ,g.g (mod.g1g2 .. ,g,._1k) oder g

= -g.... _a__ g.-19..

(mod. .!:} g„

Es ergeben sich also die Sätze: III. Sind zwei bilineare Formen (mod. lt) äqufoalent, so kann die eine durch unimodulare Substitutionen in eine der andern congruente transformirt werden, ausser wer,n in ihnen die Anzahl der Variabeln jeder Reihe dem Range gleich ist. IV. Ist in zwei (mod. lt) äqufoalenten bilinearen Formen die Anzahl der Variabeln jeder Reihe gleich dem Range n, und ist k der grösste gemeinsame Di„iaor ihrer Determinanten (n-l)tm Grades (mod. lt), so ist, damit die eine durch tmimodulare Substitutionen in eine der andern congruente trana-

608

f ormirt fDerden könne, nothfDendig und hinreichend, daBs ihre Determinanten nten Grades (mod. kk) congruent Bind. Ferner ergiebt sich, dass, wenn A und B (mod.k) äquivalent sind, stets A in eine der Form B congrnente Form durch zwei Substitutionen transformirt werden kann, deren eine unimodular ist. Dieser Satz lässt sich (vgl. §. 17 (1.)) so verallgemeinern: V. Ist B (mod. lt) unter A enthalten, so kann A in eine der Form B congruente Form durch ZfDei Substitutionen trans/ormirt tDerden, deren eine unimodular ist. Der Satz IV hat auch in der Theorie der absoluten Aequivalenz ein Analogon. Während man nämlich zwei äquivalente Formen im Allgemeinen durch zwei Substitutionen in einander transformiren kann, deren Determinanten beliebig gleich +1 oder -1 sind, muss in dem Falle, wo in beiden Formen die Anzahl der Variabeln jeder Reihe dem Range gleich ist, das Product der beiden Substitutionsdeterminanten gleich dem Quotienten aus den Determinanten beider Formen sein. Ist A=Iaapa:aY/J eine Form von n+n Variabeln, deren Determinante 1 aap 1 1 (mod. k) ist, so sind ihre Invarianten (mod. k) Ur sämmtlich 1, und ebenso ist die Zahl g = 1. Daher lässt sich A durch unimodulare Substitutionen in H+kY transformiren, wo H=a:1Y1+ .. ·+a:,.y,. ist. Wenn durch die inversen Substitutionen, die ebenfalls unimodular sind, -V in U übergeht, so wird durch dieselbe H in A +kU transformirt, und folglich ist die Determinante I aaß+ ku011 1 = 1, weil sie aus drei unimodularen Determinanten zusammengesetzt ist. VI. Ist eine Determinante congruent 1 (mod. k), so kann man eine unimodulare Determinante construiren, deren Elemente denen der gegebenen Determinante der Reihe nach (mod. lt) congruent sind.

=

§. 21. Entbaltensein einer Form unter einer andern.

= Ia„ 11 a:,.gp a:a = :Ep „a:~, r 1

Wenn die Form A

durch die Substitutionen

Yp

= :E qpJYJ 6

in A' = Ia~Ja:~yJ übergeht, so heisst A' (absolut) unter A enthalten. Zwei Formen, die sich gegenseitig enthalten, heissen äquivalent. In einer Klasse äquivalenter Formen enthalten diejenigen, welche die wenigsten Variabeln enthalten, von jeder Reihe gleich viele. Ist die Anzahl derselben gleich

609 l+ l, so heisst l der Rang der Klasse und auch der Rang jeder Form der Klasse. Der Rang l einer Form A ist dadurch bestimmt, dass ihre Determinanten (1+1) 100 Grades sämmtlich verschwinden, die [ten Grades aber nicht sä.mmtlich. Ist A' unter A enthalten, so ist (§. 1) der Ra.ug t von A' nicht grtlsser als der Rang l von A, und da. dann A' auch in Bezug auf jeden Modul k unter A enthalten ist, nach Satz II, §. 15, auch der Rang von A' (mod. k) nicht grtlsser als der von A. Sind e1 und ei die ).teo Elementartheiler, also F = ~e1re1y1 und F' = ~e'.tre2y'l die Normalformen von A und A', so ist nach Satz I, §. 19 der Rang von A (mod. e.) kleiner als l, mithin auch der von A', und folglich ist nach demselben Satze e„ durch e1 theilbar. Ist umgekehrt t < l und e~ durch e1 theilbar, so geht F durch die Substitutionen (1.) :Z:). = :Z:1 (l = 1, 2, ... l), yµ = !Ly~ (µ, = 1, 2, ... t), y,, = O.y~ (v = t+l, ... l) e„

in F' Uber. Daraus ergiebt sich der Satz (Einen speciellen Fall desselben giebt Herr Stephen Smith, Phil. Trans. vol. 151, p. 320; Proc. of the Lond. math. soc., 1873 vol. IV, p. 244.): I. Damit eine bilineare Form B unter einer andern A enthalten sei, ist nothwendig und hinreichend, dass der Rang "on B nicht gröBBer ist als der Rang t,On A, und dass der }.te Elementartheiler t,On B durch den ).tm Elementartheiler t"On A theilbar ist. Da man A in F und F' in A' durch unimodulare Substitutionen transformiren kann(§. ö), so ergiebt sich aus den Gleichungen (1.) der Satz: II. Ist B unter A enthalten, so kann A durch •wei Substitutionen in B transformirt werden, deren eine unimodular ist.

Ans den Sätzen II, §. 17 und II, §. 19 folgt ferner: III. Ist der Rang l der Form B nickt grösser als der "on A, ist der 18 1 Elementartkeiler k t,On B durch den pen Elementartkeiler t,On A theilbar, und ist B (mod. k) unter A enthalten, so ist B auch absolut unter A enthalten. Sind A und B zwei bilineare Formen, so habe ich die Form

p

=

~ aA

~B

ay„ aa:,,

aus A und B zusammengesetzt genannt (dieses Journal Bd. 84 S. 2). Dieselbe wird aus A [B] erhalten, indem man die Variabeln re„ [y 11] ungeändert

610

lässt und die Variabeln yp [xa] durch 888 [ 88 A ] ersetzt, ist also sowohl a:p Ya unter A als auch unter B enthalten. Sind daher e2 , e1, e„ die lten Elementartheiler von P, A, B, so ist e;. sowohl durch e1, als auch durch e„ theilbar. Ferner ist jede Determinante iten Grades von P eine Summe von Producten je einer Determinante lten Grades von A und einer von B. Sind daher d2 , d'i,, d'i,' die grössten gemeinsamen Divisoren der Determinanten lten Grades von P, A, B, so ist d1 durch d',.d„ theilbar. Daraus folgt: IV. Der grösste gemeinsame Dfoisor der Determinanten lten Grades einer Form, die aus mehreren :ousammengesetzt ist, ist durch das Product aus den grössten gemeinsamen Dfoisoren der Determinanten lten Grades dieser Formen theilbar; und der lte Elementartkeiler jener Form ist durch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der lten Elementartheiler dieser Formen theilbar. Ist f eine bestimmte Unterdeterminante ).ten Grades von A, so wird die Form B von l + l Variabeln, deren Determinante f ist, aus A erhalten, indem man l Variabeln jeder Reihe ungeändert lässt, die übrigen gleich 0 setzt, und mithin ist B unter A enthalten. Ist also g der grösste gemeinsame Divisor der Determinanten (l-l)ten Grades von B, so ist nach Satz I

der ).te Elementartheiler L von B durch den lten Elementartheiler e1 von g A theilbar. Sind die Unterdeterminanten ).ten Grades von A in irgend einer Reihenfolge (dem absoluten Werthe nach) gleich f1 , f 2 , f 3 , • • • , ist ga der grösste gemeinsame Divisor der Unterdeterminanten (l-l)ten Grades von la und ~ = ka, so sind demnach die Zahlen h1 , ~ , h3 , ••• , alle, und mitga hin auch ihr grösster gemeinsamer Divisor k, durch e. theilbar. Sind d1 und d,._ 1 die grössten gemeinsamen Divisoren der Determinanten lten und (l-l)ten Grades von A, so ist Ua durch d1_, und folglich df„ durch b_ = ka, also auch durch k theilbar. Mithin geht k auch in l-1

g„

dem grössten gemeinsamen Divisor aller Zahlen df,. , in dd,. = e1 auf. Da l-1 1-1 demnach e2 durch k und k durch e1 theilbar ist, so ist k = e1• (Stepken Smitk, Phil. Trans. vol. 151, p. 318; Proc. of the Lond. math. soc. 1873, vol. IV, p. 237.) V. Dfoidirt man jede Determinante i 1en Grades einer Form durch den grössten gemeinsamen Di'Disor ihrer ersten Unterdeterminanten, so ist der grösste gemeinsame Di'Disor aller dieser Quotier1ten gleich dem ).ten Elementartheiler der Form.

611

Ist eine Primzahl p in d2 , di-1, f,., g„ in den Graden J, J', J+.ic, J'+,e' enthalten, so ist sie in e2 und h„ in den Graden J-J' und J-ct'+;e-.ie' enthalten. Da h„ durch e2 theilbar ist, so ist folglich ,e > .ie'. Da ;c und nicht negativ sind, so muss daher, falls ,e = 0 ist, auch ,e' = 0 sein. Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes ergiebt sieb (Stephen Smith 1. c.) IL Ist f eine U"terdeterminante j,,ten Grades einer Form A, welche die Primzahl p in keiner höheren Potenz enthält, als sämmtliche Unterdeterminanten l,ten Grades t,On A, so giebt es auch unter den Unterdeterminanten µten Grades von f solche, die p in keiner höheren Potenz enthalten, als sämmtliche Unterdeterminanten µten Grades t,On A. Die hier entwickelten Sätze lassen sich mit geringen Abänderungen (die namentlich den Ausdruck (A, k) betreffen), auf den Fall übertragen, wo die Coeffi.cienten aap von A anstatt ganze Zahlen ganze Functionen eines Parameters s sind. Alsdann ergeben sich aus dem letzten Satze leicht die Resultate, welche Herr Stickelberger in seiner Abhandlung Ueber Schaaren t,On bilinearen und quadratischen Formen, dieses Journal Bd. 86, S. 20 gefunden hat.

,e'

Zürich, Januar 1879.

21. Ober die Addition und Multiplication der elliptischen Func• tionen ( mit L. Stickelherger) Journal für die reine und angewandte Mathematik 88, 146-184(1880)

Die Entwickelung der Quadratwurzel aus einer ganzen Function vierten Grades in einen Kettenbruch ist von Jacobi (dieses Journal Bd. 7, S. 41) mit Httlfe der Multiplication der elliptischen Functionen ausgeführt worden, nachdem schon vorher Abel (dieses Journal Bd. 1, S. 18ö) auf den Zusammenhang dieser Kettenbruchentwickelung mit den elliptischen Integralen aufmerksam gemacbf hatte. Die von Jacobi ohne Beweis mitgetheilten Formeln sind von Herrn Borckardt ans dem Abelschen Theorem abgeleitet und auf die Kettenbruchentwickelung der Quadratwurzel ans einer beliebigen ganzen Function ausgedehnt worden (dieses J oumal Bd. 48, S. 69). Nun sind aber andererseits von Jacobi allgemeine Formeln ftir die Umwandlung einer Potenzreihe in einen Kettenbruch aufgestellt worden (dieses Journal Bd: 15, S. 119-124; Bd. 30, S. 148-156; vgl. auch Joackimstkal, dieses Journal Bd. 48, S. 397). Um daher die lformeln fttr die Multiplication der elliptischen Functionen zu erhalten, haben wir einfach diese algebraischen und jene transcendenten Ausdrücke für die Elemente der Kettenbruchentwickelung der Quadratwurzel aus einer Function vierten Grades zusammengestellt. Auf diese Weise finden wir die Multiplicationsformeln sowohl in der Gestalt, wie sie Herr Brioscki (Compt. Rend. t. 59, p. 770) angegeben hat, als auch in der wesentlich davon verschiedenen Form, in der sie Herr Kiepert (dieses Journal Bd. 76, S. 21) entwickelt hat. Die genaue Untersuchung des Falles, wo der Kettenbruch periodisch ist, bat uns auf eine merkwürdige Beziehung seiner Näherungsbrüche zur umgekehrten Transformation der elliptischen Functionen geführt. Bekanntlich lässt sich die Function *) f'(U) = f'(u; w, w') durch die Function p(u) = f}(u; w, nw') *) Ueber die im Folgenden benutzten Bezeichnungen des Herrn Weierstrass vgl. Kiepert, dieses Journal Bd. 76, S. 22.

613

rational ausdrücken, und es ist umgekehrt p(u) eine durch Wurzelgrössen ausdrückbare algebraische Function von p (u). Die von Herrn Kiepert (dieses Journal Bd. 76, S. 40) gegebene Darstellung dieser Function leidet an dem Uebelstande, welchen Gau,, (Werke II, S. 249) an der Lagrangeschen Darstellung seiner Methode fttr die Auflösung der Kreistheilungsgleichungen gerügt hat. Herr Kiepert findet den Ausdruck von f (u) durch p(u) durch Differentiation einer Gleichung von der Gestalt n~(u; w, nw') a

= ..!.. a (u; w, w')+cu+R +~+ .. ·+R,._

1,

1

R:

wo c eine Constante und eine ganze Function von p(u) und p'(u) ist, fttr welche er einen sehr eleganten Ausdruck in Determinantenform ableitet. Nun lassen sich aber jene nten Wurzeln alle rational durch eine unter ihnen, etwa R,._1 = R ausdrücken, wie schon Jacobi (dieses Journal Bd. 4, S. 191) angedeutet und Herr Sglou, (Forhandlingar i Vid. Selsk. i Christiania, 1864, S. 80) näher ausgeführt hat. Setzt man

R„R" =V,,= T,,-!p'(u) U,,,

R:_1 = Vn-1,

so sind T„ und U„ ganze Functionen von p(u), und zwar ist ~ der vte Näherungsbruch des Kettenbruches, in welchen sich die Reihe umwandeln lässt, die man durch Entwickelung von !p'(u) nach Potenzen von p(u)-p( 2: ) erhält. Für den Zweck, welchem der hier betrachtete Kettenbruch dient, ist es gleichgültig, ob er convergent ist oder nicht; derselbe hat nur die Bedeutung einer symbolischen Zusammenfassung seiner sämmtlichen Näherungswerthe (vgl. Abel, 1. c. S. 198). Der ,ate Näherungsbruch des Kettenbruches, den Abel und Jacobi fttr die Quadratwurzel aus einer ganzen Function vierten Grades von x entwickelt haben, kann a priori dadurch definirt werden, dass seine Entwickelung nach absteigenden Potenzen von x in den ersten 2n+l Gliedern mit der entsprechenden Entwickelung der Wurzel übereinkommt. Man erhält also aus demselben keinen Näherungsbruch, dessen Entwickelung auf genau 2n Glieder mit der Entwickelung der Wurzel übereinstimmt. Indem wir den Kettenbruch so umwandelten, dass er beide Arten von Näherungsbrüchen liefert, erreichten wir zugleich eine bedeutende formale Vereinfachung. Um von einem vollständigen Quotienten 1 q zum folgenden q' zu gelangen, setzt Abel q = "+ wo q' ftir x = r.io

,r,

614

unendlich gross wird, ti also das Aggregat derjenigen Glieder in der Entwickelung von q nach absteigenden Potenzen von x ist, welche positive Potenzen von x enthalten, das constante Glied inbegriffen. Wir aber wählen für nur das Glied der Entwickelung von q, welches die höchste nicht negative Potenz von x enthält (also Null, wenn q für x = oo verschwindet). Im Allgemeinen ist bei .Abel von der Form ax+b, bei uns abwechselnd von der Form ax oder b. Nach einer ähnlichen Methode wie die Multiplicationsformeln lassen sich auch die Additionsformeln für die elliptischen Functionen ableiten, indem man statt des Kettenbruches für 11 = ½p' (u), d. h. statt der rationalen Functionen, deren Entwickelungen sich so enge als möglich an die Entwickelung von y anschliessen, solche rationale Functionen betrachtet, welche für möglichst viele verschiedene gegebene W erthe mit 11 ttbereinstimmen.





§. 1. Umwandlung einer Potenzreihe in einen Kettenbruch.

+ +

Ist 11 = a0 a1 x ~ z 2 +... eine nach steigenden Potenzen von re geordnete Reihe, so kann man im Allgemeinen eine rationale Function ~ bestimmen, deren Zähler vom mten und deren Nenner vom (n -l)teo Grade ist, und deren Entwickelung nach steigenden Potenzen von x bis zur (m+n-l)teo Potenz mit 11 übereinstimmt, so dass also die Reihenentwickelung von

~ -11 = ~ mit

x"'+" beginnt; und es ist leicht zu sehen, dass

es nie mehr als einen diesen Bedingungen genügenden Bruch geben kann. Ist (1.)

T=to+t

1

z+ .. ·+t... x"',

U=11u+u,x+ .. ·+un_1 x"-1,

so ergeben sich aus der Voraussetzung

=

lt,+ t1 X+• " + t„ X,n (Oti +01 X+••'+ tllm+n-1 a,m+n-t + 0~+ .. z•n+•+ •••) (flu +U1 X+'•• + U,._1 x"-1)

die Gleichungen

(2.) t,. = auu,..+a1u,,_1+· +a,.11u (µ=0, 1, ... m), (3.) 0 = auu,,+a1 u,._,+· +a,,11u (v=m+l, ... m+n-1), in denen u1 = 0 zu setzen ist, falls l > n -1 ist. Diesen m + n homogenen linearen Gleichungen zwischen den m+n+l zu bestimmenden Coefficienten kann man stets durch Werthe der Unbekannten genügen, die nicht sämmt00

00

615

lieh Null sind. Fitr besondere W erthe der Ooefficienten a" kann der so gefundene Bruch ~ reductibel sein, oder es können die Ooefficienten t,n oder u,._1 Null sein. Indessen können die Grössen u„ nicht alle Null sein, weil sonst den Gleichungen (2.) zufolge auch die Grössen tµ sä.mmtlich verschwinden würden. Die Functionen T und U bezeichnen wir für den Fall m = n mit T2 „ und U2,., für den Fall m = n+ 1 mit T2,.+1 und l'2..+1• Aus den Gleichungen (1.), (2.) und (3.) ergiebt sich (-1)"~,. U2,.

=

x"- 1 a2

a„

x"-2 aJ

a,.+•

1

~n-1

a,.+ 1

1a.,x..- +a x.. 1

1

0t,x"-2 +a10x"-1+~x"

lau+a,a:+ .. ·+ a„ x"

(4.)

~n+l

~

-'2n+l

=

a..+1 •••

x"- 1 a3

a,.+1

1

a2„

a,.+2 ••• 0t,x"- 1+a1x"+a2x"+ 1 0t,x"-2+···+a3 x"+ 1

02n-l

03

, • ,

a,.+1

04

, , ,

a,.+2

•••

02„

a.,+ a, x + .. ·+ a,.+1 x"+ 1 a,.+2

wo ~.. und c2.+i unbestimmte Oonstanten sind. Ueber dieselben verfügen wir so, dass der Ooefficient von x"-1 in U2„ und der Coefficient von x"+i in T2,.+ 1 gleich 1 wird, wir setzen also (5.)

(-l)"c2,. =

a3

a,.+1

·

a2

:::

~"+11,

a,.+1 · • · ~..

1

und damit jene Verfügung statthaft sei, nehmen wir an, dass die Determinanten (5.), soweit sie in die Rechnung eingehen, sä.mmtlich von Null verschieden sind. Da den Formeln (4.) zufolge (6.)

ist, so kann alsdann U„ für x (7,)

U,.(O)

=0

= -

c~:

1

nicht verschwinden. T,.- y U,. = Vn,

Setzt man ferner

616

so ergeben sich aus den Formeln (4.) die Gleichungen a,a:•+t+ t.l)a:•+2+ .. , a, ... a„ a3a:"+ 1+

a.a:•+ 2+

a +1a:"+1+a,.+2a:"+2+ a,.+1 .. , a,,._1 a,.+1 a:2" +a.. +2 a:211+•+ .. , a, ... a„ a,.+2 a:2" + a,.+3 a:211+1+ "· tJ3 .. , a.+1 00 •

11

_

a, ... a .. +1

00 •

a,,.a:2" +0t..+1:i:2•+1+ a.,+1 ... 0211-1 a,a:"+ 2+ a4 a:"+3+ .. , a, ... a.+i aia:"+2 as:i:"+3+,.. a. . .. a ..+2 00 •

(8.)

+

+...

-

a.+2:i:"+2+a,.+3a:"+3 a ..+2 , .. a1„ a,.+2 a:211+1 + a,.+3 :i:2,.+2+ •.. 1.1) ... a.+1 a,.+s a:211+1+ a,.+• :a,211+2+ ,.. a. •.. a,.+2

Mithin fängt die Entwickelung von Y„ mit (-1)" C..+1 :a:" an. Ist endlich c„ a1 a„ 1a. a,.+2 (9.) (-l)"b,.. = . .. . . ' 6211+1 = 1· .. . . ' a,. • • • t1t-1 a,.+2 • • • a,,. so ist der Coefficient von :a:" in T,,. gleich ~ und der Coefficient von C>in

::i:•- 1

in U,,.+i gleich b,•+• , Speciell ist C,11+1

U-i = 1,

C1=l, c,=-1, c,=a,, c,.=a,, b1 = O, b, = b3 = 1, bs = tJ4, Aus den beiden Gleichungen T,.-g U,. = V,., T,.+1-g U,.+1 = V„+i folgt T„U11+1-T.+1U,. = V„U..+1-V11 +1U,.. Die Entwickelung der linken Seite nach steigenden Potenzen von a: hört mit dem Gliede (-1)"+ 1 :z:" anf, während die der rechten Seite mit (-l)"+1 a:" anfängt. Folglich ist

-a.,

(10.)

T„U,.+1-T..+1 U,.

=

(-1)11+1 :r:".

617 Daher kann der grösste gemeinsame Divisor von T„ und U„ nur eine Potenz von :c sein, also ist, da U„ flir a: = 0 nicht verschwindet, der Bruch ~: irreductibel. Aus der Gleichung (10.) und der analogen Gleichung T,._1 U,.-T,.U,._ 1 = (-1) :z:•-1 ergiebt sich T,.(U,.+1-:z:U,._1) = U,.(T..+ 1-:z:T,._1). Folglich ist die linke Seite durch U„ theilbar, und mithin ist, weil T. und u. theilerfremd sind, U,.+ 1- a: U,._, durch U„ theilbar, und weil jene Function nicht von höherem Grade ist als diese, so ist ihr Quotient eine Constante, die wir mit k„ bezeichnen werden. Demnach ist (11.) T,.+ 1 = k„ T,.+ a: T,._ 1 , (12.) U,.+ 1 = k~U..+a:U,._1 , (13.) v.+1 = k„ v..+a: v,._ •. Setzt man in der Formel (12.) a: = O, so erhält man zufolge der Gleichung (6.) • t (14.) kR -- Ca-10"C.+1 , k, = a., lt,. = -a, · 11

Vergleicht man, falls n ungerade ist, in der Formel (11.), und falls n gerade ist, in der Formel (12.) die Coefficienten der höchsten Potenzen von a:, so findet man k -

(16.)

n -

b„+I -

b,._.

Cn+l

c,._,

k !

b,

1

= Cs'

k 2

b,

= C,'

und mithin (16.)

b„+t C..+1

= k,.+k,._2+k,._.+ ... ,

wo die Reihe mit k2 oder k1 schliesst, je nachdem n gerade oder ungerade ist. Durch Vergleichung der beiden Werthe von k„ ergiebt sich die bekannte Determinantenrelation

(17.) Setzt man (18.)

611+1 c,._.-b.-1c,.+1

w. __ 11 -

W

V..+1

V„

l

1

=

= c!, y-a0 -a 1 a: a;

!

so ergiebt sich aus Formel (13.) (19.)

w,._\

= ~.. + w.. ,

und mithin die Kettenbruchentwickelung

(20.)

-y-ao a ; - --

kl

+--a: a; kl+ft

a

+--···+_a:__ k,.+w..

618

Der ,ate Nä.herungswerth des für y abgeleiteten Kettenbruchs ist den Recursionsformeln (11.) und (12.) zufolge x•

T„

-u„ = tiii+a.x+ k X +k:-a-+-.-..-+-X _,

(21.)

9

kn-1

Für die Anwendung, die wir von dieser Untersuchung machen wollen, ist es von Wichtigkeit, einen speciellen Fall zu betrachten, in welchem die Grössen c„ nicht sämmtlich von Null verschieden sind. Die Coefficienten a„ seien Functionen einer Variabeln, und diese möge sich einem Werthe nähern, für welchen cm verschwindet, cm-1 und cm+i aber nicht, und für welchen die Grössen a,., so weit sie in Betracht kommen, alle endlich bleiben. Zufolge der Relationen (17.) also, da c,. = 0 ist, (22.) -b ,Cm+2 = c!.+1 1 bmcm-2 = c;._1, sind unter dieser Annahme auch cm+ 2 und c,._2 von Null verschieden. Da die Functionen T,., Um, V„ Brüche mit dem Nenner cm sind, so betrachten wir statt derselben ihre Zähler (c.,.T.,.), (c,.. Um), (cm V,,.). Aus den Formeln (13.) und (14.) ergiebt sich 11

(c„Vm)

= c:,_, Vm-1+ c„xV,._2,

Ym+l

Cm-2

=

Cm Cm-1 Cm+t

(cmV...)+xV.,_1,

also für c., = 0 nach (22.)

= X V,._,, U.n+t = X U,._,, T,.+1 = xT,._1

(c„ V..)= b„ V,._1,

(23.)

Vm+l

= b„ U,._1, (cm T,.) = bm T.,._1, (c„ U.,.)

und mithin (24.)

Tm-1

U,._,

=

(cm Tm)

Tm+l

= U,.+1 ' U,,.- = (-lrx"',

(c„ U,.)

(25.) T,._ 1 U,.+ 2 -T,.+ 2 1 (26.) V„+3 = k,.+2 V..+2 +x2 V,._ 1• Die Formel (23.) zeigt, dass (c„ V,.) nicht identisch Null ist. Formel (26.) schliesst man mit Hülfe der Relationen c..-2 Um-1(·o) =---, Cm-1

U

m+ 2

(Ü)

=_

Cm+I

Cm+2

Aus der

619

in derselben Weise wie oben, dass die Brüche T.u"' - 1 und UTm+2 .,_, m+2 irreductibel sind. Setzt man in Formel (13.) für n der Reihe nach m-1, m und m+l und eliminirt aus diesen drei Gleichungen Vm und Vm+i, so erhält man Vm+2

=

(km-1kmkm+1+ (km-1+k,,.+1)x) Vm-1+(k„k.,+1+x)xVm-2,

oder nach (14.) und (15.) Vm+2

= ( Cm-1Cm+1

Cm-2Cm+2

+(bm+2 _ bm-2)x)v.,_,+(~Cm+I +x)xV.,_2, Cm;,2

Cm-2

Cm-1Cm+2

Setzt man (27.)

so ergiebt sich für c., = 0 (28.)

V..+2

=

(k~-1+ k~+i x) Vm-1+x2 V,.._2

und mithin (29.)

x•

Wm-a =

k~-1+k~+1z+~Wm+1 -

Aus den Formeln (23.) und (28.) ergiebt sich die Gleichung

Bezeichnet man den gemeinsamen W erth dieser beiden Ausdrücke mit (30.)

v:R = T:-y u:,.,

so ist, da k., = 0 ist, V~= k~-1 Vm-1+x2Vm-2, Vm+1 = km v:+xV,,._., Vm+2 = k~+1 Vm+1+ v:,,, (32.) Tm-1 U~-T~U,,._1 = (-lrx"', T;, U.. +1-T,.+1 u:, = (-1r+ 1x"'+1.

(31.)

Setzt man also (33.)

v~. ' =--y:-, W m-1 m-1

so ist (34.)

W~= (35.)

X

k;._1 + ---1k..

+

k!..+1+ W

f,

"m+l

+-w m+t '

620

§. 2. Httlfssitze aus der Theorie der elliptischen Functionen.

Unter einer elliptischen Function verstehen wir jede doppelt periodische Function, die im Endlichen überall den Charakter einer rationalen bat (vgl. dieses Journal Bd. 88, S. 177). Die wichtigsten Formen, unter denen sich jede elliptische Function cp(u) darstellen Utsst, sind die folgenden: 1. Wird cp(u) für u = e1 , ••• e„ und die congruenten Werthe Null und für u = u1 , • • • uni unendlich (jeder Werth so oft gezählt, wie seine Ordnungszahl angiebt), so ist m=n> 1 und :Eu~-:Ee0 gleich einer Periode. Man kann daher die 2n Grössen u0 und e 0 durch congruente ersetzen, so dass (1.)

= e,+ti2+· .. +fl.

u,+"2+ .. ·+u,.

ist. Dann ist (2.)

cp(u)

= C aat-vit~u-v,~ ... at-""S, u-u a u-u, ... a 11-11 11

1

wo C eine Constante ist (Hermite, dieses Journal Bd. 32, S. 289). Z. B. ist ( 3.)

p(u)-p(t,)

=

u(v+u)a(v-u) a(u)'a(v)' ·

Die Zahl n heisst der Grad der elliptischen Function cp (u). 2. Sind a der Grössen u1, ••• u„ congruent a, ß derselben congruent b, u. s. w., und sind in den Entwickelungen von cp(u) nach Potenzen von u-a, u-b, ... ..4_1_ -/4,D-1__ .,,_..4 u-a

u-a

2

D 0 _ 1 _1_

u-a '

a-

B -1--B,,D-1--···-BR_2DP- 1 - 1u-b



u-b

u-b '

die Aggregate der negativen Potenzen, so ist (4.)

A+B+c+ ...

=0

und

= H+A aa' (5.)

(u-a)+A11p(u-a) + .. · +A0 _ 2 p(u- a)

+B : (u-b) +B11 p (u -b) + .. · +B,_2 pCfl-2>(u-6) + .. ,,

wo H eine Constante ist. Sind die n Werthe u1 , • • • "• alle incongruent, so ist der Coefficient von - 1in der Entwickelung von cp(u) gleich u-u.

a(u 1 -v 1 ) ... a(u 1 -v,.) d C--,,-( ~ - , o er wenn man a 11...,__~)--;-( -11 ••• a 11 -u.) 1

2

1

f(u)

= o(u-u1) ... a(u-u..),

g(u)

= o(u-1'1) ... o(u-1',.)

821

i~: s ,

setzt, gleich Aus der Formel (4.) ergiebt sich daher, dass unter der Voraussetzung (1.) die Relation

besteht.

z. B.

j (?.)

(6) '

9(111) + g(u,) + .. ·+ g(u,.) ('(111) f(u,) f (u.)

=0

ist fltr ,. = 3 o(u+o)o(u-o)o(o'+.,")o(o'-.,")

l+o(u+o')o(u-t,')o(.,"+o)o(o"-t,)+o(u+.,'')o(u-t,")o(t,tt')o(t,-o') = 0.

Sind 1111 . . . u,. Bimmtlich Null, wird also cp(u) nur fltr u = 0 unendlich gross von der nteo Ordnung, so ist den Gleichungen (4.) und (5.) zufolge +w)-~(u),

und mithin P(u, ", w) =J'"(&J(U +" +w)-p(u))du =ju(p(u+t,+w)-p(u))du. -,

-w

Subtrahirt man von der Formel (12.) die Gleichung 0

=

a' a' -(u+t>)+-(w+s), (1 (1

so erhält man vermöge der in (9.) enthaltenen Formel a'

(14.)

q(u-j-t,)

=

a'

a'

p'(u)- p'(v)

o(u)+a(")+! p(u)-p(v) '

= p'(u)-p'(v) + p'(w)-p'(s) ' ' p(u)-p(v) p(w)-p(s) P'(u)-p'(w) + p'(v)-p'(s) = p'(u)-p'(s) + p'(v)-p'(w) . p(u)-p(w) p(v)-p(s) p(u)-p(s) p(v)-p(w) -2P(u " w)

(15.)

=

Der Ausdruck

!

wird, als Fnnction von u betrachtet, für u = _., und

623

u = -w unendlich gross von der ersten Ordnung, und der Coefficient von 1 in der Entwickelung nach Potenzen von u+v ist nach Formel (3.) -+ u



und (13.)' gleich

f)

1 ( ) · Daher ist (w) -f),,

1

1

u'

( a'

)

P = p(w)-p(v) 0 (u+v)- 0 (u+w) +H, wo H von u unabhängig ist. -H

Da

! für u = 0 verschwindet, so ist

1

=

p(w)-fJ(")

cu'0 (v)-uu' (w) ) ,

und man erhält folglich mit Hülfe der Formel (14.)

(17.)

l

+

p -

( p'(u)-p'(v)

t

2

(16.)

p'(u)- p'(w)) p(u)-p(t,) p(u)-p(w) ' p'(u) (p(u)-p(v))(p(u)-p(w))

p(t,)-p(w) 2

-p

=

p'(v) (p(v)-p(w))(p(v)- p(u))

+

p'(w) (p(w)-p(11))(p(w)-p(t,))

Aus dieser Darstellung ergeben sieb noch drei andere, indem man die Variabeln u, v, w durch irgend drei der vier Grössen u, v, w, s ersetzt. Nachdem wir so die Fnnction P auf verschiedene Arten dargestellt haben, gehen wir zur Untersuchung der Relationen über, welche zwischen mehreren Functionen P mit verschiedenen Argumenten bestehen. Aus der Formel (12.) ergiebt sich, wenn u+u' = v+v' = w+w' ist, die Gleichung (18.) P(v, v', -w, -w')+P(w, w', -u, -u')+P(u, u', -v, -v')

=

0.

Allgemeiner besteht, wenn t+t' = u+u' = v+v' = w+w' ist, die Relation j P(t, t', -u, -u')P(v, v', -w, -w') +P(t, t', -v, -v') P(w, w', -u, -u') 19 ( .) f +P(t, t', ·-w, -w')P(u, u', -v, -v') = 0.

Denn betrachten wir in dem Ausdrucke links allein t und t' = a - t als variabel, dagegen alle andern Grössen, mithin auch a, als constant, so stellt derselbe eine elliptische Function von t dar, welche nur für t = 0 und t = a, d. h. t' = 0, unendlich gross von der ersten Ordnung werden kann. Da aber nach Formel (18.) der Coefficient von (resp. :, ) in der Ent-

+

624

wickelung nach Potenzen von t (resp. t') gleich Null ist, und da eine elliptische Function, welche nicht unendlich gross wird, sieb auf eine Consta.nte redncirt, so ist der betrachtete Ausdruck von t unabhängig. Da derselbe überdies, wie leicht zu sehen, flir t = a verschwindet, so ist er identisch gleich Null. Dasselbe Resultat lässt sieb auch aus der Relation (7.) ableiten. Aus den Formeln (3.) und (13.) findet man ferner die Relationen P(a, o, tD)P(a, -o, o+tD) = p(a)-p(o), (20.) (2 1.)

P(u, "+w, tl-tD) P(u, "• tl)

=

p(u+tl)-p(w) p(tl)-p(w) ·

Durch Combination der Gleichungen (18.) und (20.) erhält man endlich (22.)

P(a, a, b)-P(o, a, b)

=

p(u)-p(tl) P(u, "• a+b) •

§. 3. Die Multiplication der elliptischen Functionen.

Ist y die Reihe, welche sich durch die Entwickelung der Function !1'4r-g2 s-g3 nach Potenzen von ,-,0 = a: ergiebt, so lässt sieb der in §. 1 definirte Ausdruck V„ mit Httlfe der Theorie der elliptischen Functionen a priori angeben. Bu bedeutet hier einen constanten W erth, flir welchen die Quadratwurzel nicht gleich Null ist, und die Reibe y ist durch eine bestimmte Verfügung tiber ihr Anfangsglied au, d. b. über das Zeichen der Quadratwurzel flir , = so, eindeutig definirt. Setzt man

'V4s -gis-gs = p'(a), Bo = f1 (t,), l14Tu-g2Bu-g3 = p' (oJ, a: = p(a)-p(t,) 1 y = ½p'(a), s = p(a),

3

also (1.)

-

a,. -

1

1 a"f/('D)

Y'nf

dp(v)" '

so liegt für kleine Werthe von a: die Grösse a nahe bei " (und nicht bei -o ). Wir werden unten zeigen, dass ffir diesen Fall die Determinanten (5.) §. 1 nicht identisch verschwinden, und beschränken daher vorläufig , 0 auf Wertbe, flir die keine der in Betracht kommenden Grössen c„ Null ist. Unter diesen Voraussetzungen ist V.= T,.-!p'(a)U,. eine ganze Function von p (a) und p' (a), deren Entwickelung nach aufsteigenden

625 Potenzen von u den Festsetzungen zufolge, die wir über die Coefficienten der höchsten Potenzen von x in T„ und U„ getroffen haben, mit + beginnt. Da also V„ nur fttr u = 0 (und die congruenten W erthe) unendlich gross von der (n+l)ten Ordnung wird, so verschwindet es auch fttr genau n+l incongruente Werthe, deren Summe Null ist. Falls u hinreichend nahe bei " liegt, fängt die Entwickelung von V„ nach Potenzen von p (u)-p(t,) mit der nten Potenz an. Daher sind n jener Werthe gleich ", und mithin ist der (n+l)te gleich -nt,. Nach §. 2, 1 ist folglich

)+i

=

V,.(u)

(2.)

und demnach (3.) (4.)

V,.(-u)

V,.(u) V,.(-u)

= =

:t)"+~~;~~t:0

(-lt :~:;::;;~~~(:~ , (p(t,)-p (u))"(p (no)-p (u)).

Da p (u) gerade und p' (u) ungerade ist, so ist (5.)

V,.(u)

= T,.-ip'(u) U,.,

T,. = !(V,.(u)+ V,.(-u)),

(6.)

= T,.+ IP' (u) U,.,

V,.(-u)

= p'~u)

U,.

( V,.(-u)-V,.(u)).

Ferner ist nach Gleichung (18.) 1 §. 1 W. = a(u-t>)a(u+(n+1)t>)a(nt>) (7.) "

a(u)a(u+nt>)a(c)a(n+ i)t> '

also nach §. 2

W = -P(u -t, (n+l)t,) = "

\

(8.)

l

p(u)-p(1') P(u,v,n1')

''

= .!!_ (u+nt,)-.!!_(u)-.!!_ (n+l)t, + .!!_ (t>) a a 11 11 = {(p(u)-p(u+no))du _

p'(u)-p'(ntl) _ p'(1')-p'(nt>) p(u)-p(nv) p(t,)-p(nv) ' W - ' p'(u)-p'(v) i p"(1') l 2 p(u)-p(tl) I p'(1') '

t

- !

Nach Formel (19.), §. 1 ist (9) '

wo k„ eine Constante ist. (10.)

k +W. (u) "

"

-

p(u)-p(v) Wn-i(u) '

Daraus ergiebt sich für u = p'(t,)

k,.=-W,.(-1')= W'n-1 ()' 1'

±"

626

also )

kn = -P(o, o, (n-l)o

a(no)"a(2o) a(n-f)o a(n+1)1' a(1')"

=-

a' a' a' p(o) = -(n+l)o--(n-l)o-2-(o) = p () ( ), o o a " -p ""

(11.)

o' o' k1 = -(2o)-2-(o) {J ist. Setzt man in dieser Formel t.(a:>

wo

( a:) = m

ist, so erhält man

=

Cm:.)=C:),

a:(a:-1) ... (a:-m+t) 1.2 .. ,m

a:.,-a:, . 1( m+x )1 = n(a:i).II m m+a-P a:1

Ist speciell

a:1

80

wird

=

a:+1,

a:+A)I = n(a:+1).II a-P . 1( m+• m m+a-P

Die linke Seite dieser Gleichung lässt sich durch Einftthrung der Bezeichnung .tlf(a:) = f(a:+1)-f(a:) in bekannter Weise auf die Gestalt \.t11( 4 (:)

ist, so ist folglich

.~.) \

bringen; und weil

= ( m~1 )

a: )1 -- II(a:+A)II a-P . \( m+x-i. m m+a-p

628

Ersetzt man endlich m durch m+n-1, und vertauscht dann die Colonnen der Determinante so, dass die letzte zur ersten, die vorletzte zur zweiten u. s. w. wird, so erhält man :z: )1 -1( m+x+A.

( 2 1.)

-1 •c•;t) n( :z:+A. ) II a-{J . ( ) m+n-f • m+a-{J'

diese Determinante verschwindet also für die ganzzahligen W erthe von a: von -(n-1) an bis +(m+n-2), und ist fl1r alle andern Werthe von a: von Null verschieden. Setzt man nun fJ (1') = ,, so fängt die Entwickelung de1:1 Ausdruckes Hl (") = l1a3- ¾U2 s- ¾g3 nach fallenden Potenzen von , mit ,i an, also die von 1 d/'P'(v)

µT 2dp(v)"

mit (

!,.. ),f-,u,

und mithin z. B. diejenige der Determinante C2n+t

t

= la,.+2+21 = 1 (x+A.+2)!

d"+i.+2y(") 2dp(")"+1+2

1

.

m1t

IC x+A.+2 1 )\ ~-.. ,-

(•-1)

2



Der Coefficient dieses Gliedes ist daher gleich der Determinante (21.) für x = ! , m = 2, und ist folglich von Null verschieden.

§. 4. Ueber die Näherungswertbe des Kettenbruches fttr die Function p'(u).

Die Determinanten, welche wir in §. 1 für die Functionen V„ T,., U„ entwickelt haben, lassen sich nach Jacobi (dieses Journal Bd. 30, S. 160) in der folgenden eleganten Weise umformen. Setzt man

1 (

D

,)

(2.)

-0

u

=t

p'(u)-p'(") p(u)-P(") ,

R,. = _!_! n dd"(R)o po" '

P, o-

!

pi(")

p(u)-p(o) ,

Q

o

( )) = tf.1'(" )(fJ (u) -p" ,

P,. = _!_! J~(P)o ' n ..,,o"

so ergeben sieb durcl1 n-malige Differentiation der Gleichungen !p'(t,)= !p'(u)-(p(u)-p(1'))Ru, jp'(t,) = (p(u)-f}(o))Po, tp'(o)(f)(U)-p(o))= Qu

nach p (") die Relationen (3.)

1 == a.

R.-1-(p(u)-f("))R.,

a,.

(p(u)-p(o)) Pn-Pn-t,

a,.(p(u)-p(o))-a,._ 1 = Qn,

a.i = !fi'(u)-(fJ(u)-p(o))Ru, au= (p(u)-p(t,))Pu, au(p(u)-p(1')) = Qo,

629 Daraus folgt, wenn man wieder p (u) -p (ti)

= a:

setzt,

au+a1x+ .. ·+a,.a:"-!p'(u) = -at+iR0 (6.) au+a1a:+ .. ·+a,.x" = x"+ 1 P,.. Indem man daher die Ausdrücke R,., P,., Q„ in die Determinanten (4.) und (8.), §. 1 einführt, erhält man die Formeln: (4.)

V:

(S,)

(-. l )•-I C::+:"

R1 a2

...

a.

V:

1

= • • • , , ,, _

1 R2

C2,.:~+!n+I

=1

R. a,.+1 ••• "2n-1 (7')

v:

c,,. 211 ~ =

,,.

11 __ (-l)n C,,.i2 3:"+l

(8 •)

71 (-1)" ~2::"

(9.)

R1 ••• R„ •

,





R,. ... R,,._1

Pi "2 '

'

... a,. 1 1 ' ' ! ... "211-1

'

P. a,.+1 1 P1 ... P„

=1 P·....... ,, P2,.-1

2..

31211+1

+1

71

C2n+I 2n+l

3:"+2

= 1·

1

~.+1U2..+1

.

.

,

.

I

P2

"3

,

R2„ ...

,

l

.

"2„

1

a,.+1

= 1• ' • ' • '

7

P ..+1 a,.+2 ... "2„ P2 ... P ..+1 .••. P„+i •.. P2„ Q4 ... Q„+2

= · · · · ·

Q.+2 ••. Q2„ Dass die Determinanten (7.) für u = -2nti, respective u = -(2n+l)ti verschwinden, bat bereits Herr Brioacki (Comptes Rendns t. 69, S. 771) angegeben. Zn einer anderen Darstellung der Function V„ in Determinantenform gelangt man durch die folgenden Betrachtungen. Da V„ eine elliptische Fnnction ist, welche nur ft1r u = 0 und die congruenten W ertbe unendlich gross von der (n+l)ten Ordnung wird, so lässt sie sich nach §. 2, 2 auf die Form V,. = H+Aup(u)+A1p' (u)+ .. ·+A,._1 p(ti)+ , .. +A,._1fJ(ti)

(v

= 1, 2, ... n-1).

630

End.lieh ist, weil die Entwickelung von V. nach aufsteigenden Potenzen . von a llllt

t

11"+1

blanuw.gt,

(-t)'•-• nl

'

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich 1 a(1'-u)•a(u+nti) n • a(u)•+ia(v)"a(n1') v.i

(11.)

rr

=

(a)

v.i

- rr

(o)

v.1 1

ir11

p'(a)-p'(o)

v.1( .. )

(o)

rr (n)

• • •

p (o) ... p

p' (0 )

v

(o)

: .

~c..:•>(~)~p~•-l;(o) ~(a) ... p)R11 Rp, +P(ati, a ", -ßti, -ß't>)R„R.,. = O, (21.) R 0 Ra,-R11Rp, = P(at>, a't>, -ßt>, -ß'ti)R,,.

}

§. 7. Transformation der Kettenbruchentwickelung durch Einführung neuer Variabeln.

Zwischen den Variabeln s = fJ (u) und t = fJ' (u) besteht die Gleichung t2= 4.s3-92s-93• Damit sich nun zwei durch eine algebraische Gleichung f(a:,y) = 0 mit einander verbundene Grössen a:, y (bei passender Wahl der Invarianten 92 und 93) rational durch s, t und umgekehrt s, t rational durch :r., g ausdrücken lassen, ist bekanntlich nothwendig und hinreichend , dass das Geschlecht der Gleichung /(x, g) = 0 gleich Eins ist. Ist diese Bedingung erfüllt, so kann man eine rationale Function H(x, g; ,1)1, g') von a:, y bilden, welche nur für zwei Werthepaare x', y' und 1/o unendlich gross von der ersten Ordnung wird (von diesen Werthepaaren werden wir x0 , 1/o als constant, x', y' aber als variabel betrachten)*). Fügt man noch hinzu, dass diese Function für das Werthepaar a, b verschwindet, und dass 1ihre Entwickelung nach aufsteigenden Potenzen von x-x' mit -, an/lJ -a: fangen soll, so ist sie durch diese Bedingungen vollständig bestimmt, also

x.,,

*) Die im Folgenden benutzten Sitze sind den Vorleaungen des Herrn W eierstras1 11ber Abelsche Functionen entnommen.

639 auch in Bezug auf a/, g' rational. Ist t eine rationale Function von a:, g, welche in der Umgebung des Werthepaares a:11, Yo unendlich klein von der ersten Ordnung wird, so lassen sich :i: und g, also auch jede rationale Function von :i:, g, nach aufsteigenden Potenzen von t in Reiben entwickeln, welche nur ganze Potenzen enthalten. Beginnt die Entwickelung von H(a:,g; a:',y') mit H(x',y')r', so lässt sich zeigen, dass (1.)

u =/

(:o,y)

H(a:, g)dx

C:o,,v,J

das Integral erster Gattung ist, und dass die Entwickelung desselben nach Potenzen von t mit t selbst anfängt. Wählt man diese Grösse u als Argument der elliptischen Fnnction ptu, g2 , g3), so kann man deren Invarianten g2 und g3, und zwar nur auf eine Weise, so bestimmen, dass sich x, g rational durch s, t und diese rational durch :c, g ausdrucken lassen. Vermöge dieser wechselseitigen Beziehung mögen den W erthen: u' o, -nti u, ' die Werthepaare x, 1/, ro', g', a, b, a:11, Yo, Xn, y„ entsprechen; dann sind x,., y„ rational durch p(nti), p'(nti), diese rational durch fJ ("), p' (o), und diese wiederum rational durch a, b ausdrückbar, und folglich sind :x:,., g„ rationale Functionen von a, b (und a10 , y0). Ferner wird H(z, g; x', y') eine elliptische Function, für welche man mit Httlfe ihrer charakteristischen Eigenschaften den Ausdruck (2.)

H(z,y; al,y') a' a' , a' o' , ----'~-~,_ = -(u)--(u-u )- -ti+-(ti-u) = P(u H(z', y') a a o a '

erhält.

,

-ti ti-u)

'

Aus der .l!~ormel (8.), §. 3 ergiebt sieb demnach (3.)

W,.

=-

H(:(~,;:t) '

und folglich nach Gleichung (11.), §. 3 (4,)

k,.

= H(zB.t; z) y,.) ' ~.~

k1

= [ H(:Zt z, t)] ~.~

.

~

In der Entwickelung der rechten Seite der Gleichung (2.) nach Potenzen von u' ist der Coefficient von u' gleich -(p(u)-p(ti)) = -V,; indem man mit Benutzung der Gleichung (1,) auch die linke Seite nach Potenzen von u' entwickelt, erhält man also V, rational durch :x:, y ausgedrückt. Ist z. B. das Werthepaar a:u, Yo nicht singulär, und bedeutet

640

H'(a:, ,,; a:', ,') die Ableitung von H(a:, ,,; a:', ,') nach a:', so wird Y1 = p(u)-p(t>)

(6.)

H'";j/; lllo),.~.) • Yo

=

lllo •

Nachdem f 1 bestimmt ist, findet man nach Formel (3.) fttr V„ den Ausdruck V. - .,,"n-• H(a:, y; :e.,, y.,) (6.) -



r1

1

"



H(m,,, y,,)



Wir wenden jetzt die vorigen Entwickelungen auf den Fall an, wo die Gleichung zwischen a: und die Form ,,2 = .Aa:4+4Ba:'+6Ca:'+4Da:+E = F(a:) hat. Dann ist (7.) H(a: ,, . a:' ,') _ _ 1 ( 11+11' _ Y+Yo _ b+g' '

'

'

:e-a:'

2g'

Fttr t = 2 C7m.) wird H(a:', ,') = Y Yo

.~

"=

0 )·

a-a:0

und mithin

11

(8.)

+ b+y

a-a!

m-:i,0

(a,,u)

da;

-· y

/ {a,;,11,)

Die Invarianten dieses Integrales sind (9.) 92 = .AE-4BD+3C1, g3 = .ACE+2BCD-.AD2-C°-EB2• Ans den obigen allgemeinen Formeln ergiebt sich also fttr diesen Fall, wenn zunächst a:11 nicht eine Wurzel der Gleichung F(a:) = 0 ist,

W,.= (10.)

lti

= -!(

_ a:.Y1+Yo -a:

0

p(u)-p(t>)

Y+Yo

= ! '" (

(a;-a;0 ) 1

_ b+y. a-a;1

b+y. )

(a-a:0 ) 1

+ b+y a-:i,

0

) '

0

(

f ) a-m0

1

+¾F'(a;,) m-a:0

-

'

Ist aber a;, eine Wurzel der Gleichung F(a:) = O, so ist a: eine gerade und g eine ungerade Function von u; folglich ist a:1 = a, Y1 = -b und daher

' \

w = •( •

'll"

w. _ 1 -

(11.)

1

lt

"

p(u)-p(t>)

=

=

y+y. _ _ y __ b+y.. +-b-)

a;-a:,.

m-a:0

a-m„

->

a-:e0

'

l_cy-b _ _ y __ ~+-b "1"

a:-a

b

a-a;,.

a:-a:0

_b_

da

lt

=

a--a: 0

'

*~ __a-a;b_

1 a-a-0 ' da 1 1 - - --)· ¼F'(a:u)(a:-a:o a-a:o

0

'

641

Entwickelt man in diesen Formeln b nach absteigenden Potenzen von a:

=

b

l'Aa2 +

~! a+ ...

und lässt hierauf a unendlich gross werden, so erhält man

W. = ! ( •

11+11• - _11 - (D-(DO

(D-fDa

l"A (x -:r:u)) J II

.

= !(YA(a:+:z:u)+ ~! - "' 11 a,• ), k,. = YA(a:.-:i:o), k1 = -:.. -YA:i:u, p(u)-p(t,) = ¾ F'(a,o). Ist speciell YA = 1, D = 1, E = O, :i:o = O, so ergiebt sieb die KettenW1

(12.)

(D-(D.

bruchentwickelung (18.) in welcher k,, = :i:. durch die Gleichung (14.)

bestimmt ist. Ist V. der

nte

Rest dieses Kettenbruches, so ist

:i:Y„+i

=

k„:i:V.+ V,,_,.

Setzt man in dieser Relation fttr n der Reihe nach n+l, n, n-1, und eliminirt aus den drei so erhaltenen Gleichungen Y..+1 und Y,._1 , so erhält man (vgl. MiJbiu,, dieses Journal Bd. 6, S. 228) k,._1 a:2 V.+2

=

(k.-1 lt. k..+i:e+ lt,._1 + k.+1):i: V.-k.+1 V,._2

oder

Ferner ist :i: Y, =k2 :i: yl

1 +l=k2(½11-tx2 -Ba:+J...) Y VI Ir,

und, wie sich aus der Reihenentwickelung von g leicht ergiebt,

i- = 8 -jC. 2

1

642

Daher ist

(15.)

wo V2n+I k2nXH'2,.+ TJIT l X-.,-=•2n-t

y2„X ) = 1-1"1 k2n ( -Xk2nY - k - - k2nX+--k- 2n W- 2n

ist. Dies ist der Kettenbruch, welchen Jacobi in diesem Journal, Bd. 7, S. 41 angegeben hat.

§. 8. Ueber Interpolation durch rationale Functionen.

Ist y eine Function der Variabeln x, und ist 1h ihr W erth für x = x 1., so kann man im Allgemeinen eine, aber nie mehr als eine rationale Function T

(1.)

_

U -

t.+ t,x+ ··· +t„x"'

u0 +u,x+···+u,._ 1:x•- 1

bestimmen, deren Zähler vom mten und deren Nenner vom (n-l)ten Grade ist, und welche für a; = x 1, x2, ... x +,. der Reibe nach die Werthe 1/t, 1/2, ••• 1/m+• annimmt. Zur Bestimmung der m +n + 1 Coefficienten von T und U dienen die m+n homogenen linearen Gleichungen 111

(2.)

~,+t1a;1_+ ..

,+ tmxi = 1/i(t1o+U1Xi + .. ·+11._ 1 x;.- 1)

(l

= 1, 2, , , , m+ n).

Wenn g keine rationale Function von x ist, so sind in diesem Gleichungssystem für unbestimmte W erthe der Grössen xi alle Determinanten aller Grade von Null verschieden. Denn wäre D eine verschwindende Determinante niedrigsten Grades, so erhielte man, indem man D nach den Elementen einer Zeile entwickelte, eine Gleichung von der Form (3.) A„ivi+· .. + Apxf = 0 oder von der Form A„xi+· .. +Apa;{ = Yi(B 1 xi+ .. ·+BJxjJ. In derselben sind A., ... A11 , Br ... B,, Determinanten niedrigeren Grades als D, also von Null verschieden. Da sie ferner von xi unabhängig sind, so (4.)

643

kann man, ohne die Verlnderlichkeit von a:2 zu beschränken, den in ihnen vorkommenden Variabeln bestimmte Werthe ertheilen, für welche keiner jener Coefticienten verschwindet. Die Gleichung (S.) kUnnte dann nur für specielle Werthe von a:1 bestehen, die Gleichung (4.) nur dann ft1r alle Werthe von a:2 , wenn 11 eine rationale Function von a: wäre. Femer kann U für a: = a:1 nicht verschwinden. Denn sonst wttrde zufolge der Gleichungen (2.) auch T f'Ur denselben Werth Null sein, also eine dieser m+n Gleichungen in zwei zerfallen. Man erhielte daher m+n+ 1 Gleichungen zwischen ebenso vielen Unbekannten, und folglich mttsste die Determinante dieser Gleichungen verschwinden. In derselben Weise wie vorhin zeigt man aber, dass dies nur dann ft1r beliebige Wertbe der GrUssen a:2 eintreten kann, wenn 11 eine rationale Function von a: ist. Wir bezeichnen die Functionen T, U, falls m = n ist, mit T2. , U2 falls m = n+l ist, mit T2.+i, U2.+i· Die ganzen Functionen T, U sind bis auf einen constanten Factor genau bestimmt; wir verfttgen ttber denselben so, dass der Coefticient von a:•- 1 in U2• und der Coefficient von a:"+1 in T2.+1 gleich 1 ist. Den Coefticienten von a:" in T2. bezeichnen wir mit



~. , den von a:•-1 in U2-+• mit ~•+ 1 , Speciell setzen wir 0z.+1 FT _ o FT _ 1 ,,. - "'-,.. T1 -- (a:-a:.)y,-(a:-a:,)y. (6, ) V1 7 V2 ! .11 .., ""J !

c,..

a:,-a:.

'

Nach den getroffenen Festsetzungen verschwindet T,.-11U,.

(6,)

= V.

für a: = a:1, a:2, . • . a:., und mithin verschwindet auch T. u..+, -T.+• u.

= v„ u.+1- v.+lu.

ft1r dieselben Werthe. Da aber dieser Ausdruck eine ganze Function Grades von a: ist, in welcher a,• den Coefticienten (-lt+1 hat, so ist (7,)

T. U.+1 -T,.+ 1U,.

=

nteo

(-1)•+ 1 (a:-a:,)(a:-~) ... (a:-a:,.),

und folglich haben, da U„ ft1r a: = a:2 nieht verschwindet, T„ und U„ keinen Factor gemeinsam, Aus der letzten Formel und der analogen Gleichung T,._1 U. -T. U._,

= (-l)"(a:-a:1)(a:-~) ... (a:-a:,._1)

folgt T,.(U,.+1-(a:-a:,.) U,._1)

=

U,.(T,.+1 -(a:-a:,.) T,._1),

644

Daraus ergeben sich, wie in §. 1, die Recursionsformeln: T,.+1 - k„T,.+(a:-a:,.)T,._ 17 (8.) U.+i = k„U,.+(x-a:.,) (n = 2, 3, ... )

l

u._,,

Y..+1 = k„ V,.+(a:-a:,.) V,._,. Setzt man in der zweiten Formel (8.) a: = a:,., so erhält man

uc't(i:;) , a:.,

k. =

(9.)

k. = y,-Y1 . a:,-a:,

ß

Vergleicht man, falls n gerade ist, in der zweiten, und falls n ungerade ist, in der ersten Formel (8.) die Coefficienten der höchsten Potenzen von m, so erhält man (10.)

und daher (11.)

Setzt man

w.. = -

(12.)

v;.t,

so ist nach der dritten Formel (8.) a:-a:,. w,._, = k,.+w .. ,

(13.) (14.)

y-y,

-

k,+

a:-a:,

a:-a:, a:-a:a ka

+

k t

+ ••·+-,--,--=,-• a:-a:n k,.+w..

Die im Eingange dieses Paragraphen defi.nirte rationale Function ist nach Cauchy gleich

Z T

(15.)

7T =

z

(a:-a:,.+1) ... (a:-a:,.+m) Y, ... y,. [a: 11 ••• Zn, -a:,.+1, ••• Zn+mJ (a:,-a:) ... (a:,.-1-a:) 1/1 ... y,._1 [:t , • , • Zn-t, -Zn, ••, Zn+•] 1

wo wir zur Abkürzung mit [a 0 ... ar, -b1 , ... b,] das Product aller Differenzen ae-ba bezeichnet haben. Nach den oben getroffenen Festsetzungen ist daher: n(n-1)

(16.)

2 -C2„ U2.. (-1)-

(17.)

2 - ~.. (-l)-

(18.)

2 -~.-1-,U2„+1 c-1)-

(19.)

2 -"2.+1 T2,.+1 (-1) -

11{n-l)

T2 ..

n(11+l)

n(11+1)

645 (n-l)(n-2)

(20.)

(-1)

2

_ ::E

C2,.

-

Y1···Yn-1

(x1, ... x,._.,

-x,., ... a:2...I'

n(•+l)

(21.)

(-1)_2_

(22.)

(-1)_2_

n(n-1)

Y1 .. •Y•

_ :E

b2,.

lx11 ••• a:,., -a:,.+1, ... al2n]'

-

Demnach ist (24.)

U,.(x,.)=(-1)"

c;:

1

1 ,

U,.(x,._1)=(-1)" c;~1

,

wo c~_1 ans c,._ 1 hervorgeht, indem man das W erthepaar m,._1, y,._1 durch x .. , y„ ersetzt. Zufolge der Formel (9.) ist daher

=

k,.

(25.)

Durch Vergleichung dieses Ausdruckes mit (10.) ergiebt sich die Relation (26.) b,._, c,.+1 - b,.+1 c,._1 = c„ c~. §. 9. Die allgemeinen Additionstheoreme der elliptischen Funetionen.

Wir wenden jetzt die entwickelten Formeln auf den Fall an, wo (1.)

m=p(u),

g=!p'(u),

Xa=f(Ui.),

Ya=!p'(ua)

ist. Dann ist (vgl. §. 3) V„ eine elliptische Function von u, welche nur für u = 0 ( und die congruenten W erthe) unendlich gross wird von der (n +1)ten Ordnung, und deren Entwickelung nach aufsteigenden Potenzen von u mit

,)+,

Folglich muss V„ auch genau für n+l incon-

anfängt.

gruente Werthe verschwinden, deren Summe gleich Null ist; n derselben sind u1, "2, ... u.. , der (n+l)te ist daher gleich -(u1+u2+ .. ·+u.. ); folglich ist V,.(u)

=

a(u 1-u)o(u2-u) ... o(u,.-u)o(u+u, + ··· +u,.) o(u)"+ 1o(ti1)o(u2) ... o(u,.)o(u1+u1 ·+u,.) '

(3.) V,.(-u)

=

(-l)" o(u(1t::11t•)+~\·o(u(~u)t:--"+"~-11)),

(2,)

(4.)

(5.)

+ ..

V,.(u)V.(-u)

T,.

0 U "

0 "• 0 "• ... 0

u„

0

u,

"•

• .. - U,.

= (p(u )-p(u))(g,("2)-p(u)) ... (p(u +, .. +u,.)-p(u)), 1

= t(V,.(u)+ V,.(-u)),

1

U,.

t

= -.-( ) (V,.(-u)-V,.(u)). u ~

646

Ferner ist

vj( =

W,. = _ (6.)

-P(u, -u..+1, u1+"2+· .. +u.+1)

=-

p(u)-p(u,.+1) P(u, Un+h "1 + u,+

-=-:;--~~--~~--:----.-

···+ u,.)

Aus der Formel

Setzt man a(u, +u,+···+u.)lla(ua)"-2 ( 9,)

(u) von §J(u) mit -;, anfängt ; und f>'(u) ist eine ganze Function nten

n;

Grades von a:, in welcher a:" den Coefficienten (2 2)t hat. Ersetzt man in den Determinanten (1.) und (2.) die Ableitungen von §J(u) durch diese Ansdritcke, so ergeben sich die folgenden Formeln, welche sich auch leicht unmittelbar aus dem Abelschen Theorem ableiten lassen: 11, s:,(u,,), ,,, §J(u,,)", p'(u,,), s:,(u0 )p'(u,,), ,,, §J(U0 ) " -2p'(u0 )I (3.)

1

=

2> (-1)(n+l)(n+ 2 2•-l na(ua - uß)a(u J + ' " +··-) -,n na(ua?" '

(4.)

(6.)

(6.)

Wir multipliciren die Determinante (3.) mit der Determinante 2nten Grades

ze-l

1

1

1

(a:,.-a:i) ... (11:,.-11:2..)

=

(-1)•

II(a:,.-zp)

=

ll(aua)in-2 lla(u,.+up)a(u,.-up)

und verfahren ähnlich mit den folgenden Determinanten. Mit Hülfe der Eulerschen Formeln ergeben sich so die Gleichungen:

+···+ p(u,..)•+•p'(u, ..) (p(u,,.)-p(u1)) ... (p(u,,.)-p(u2.. -i)) (x, 1 = 0, 1, ... n-2) ._ 2 1 Il11(u11)2•-2a(u 1+· .. +u2..)

p(u,)•+'-p'(u,)

1 (p(u )-p(u )) .•. (p(u )-p(u2,.)) 1 1 1

(7.) _ 1

lla(u,.+up)

p(u 1)•+•p'(u,) (p(uJ-p(u 2)) •. , (p(u1)-f1("2n+1))

+ + •· ·

j 1

'

p(u2.+1)•+/.p'(ri1,.+1) (p(u2,.+1)-p(u 1)) ... (p(u2„+1)-p(u,,.))

!

(x, 1 = O, 11 ••• n-1) _ (-l \• 2„ II(au,.)2• -1 a(u 1+···+u2,.+ 1) 1 lla(u.,+up) '

(8.)

·1

p(u1)•+l.p•(u1) (p(u 1)-p(u,)) ..• (p(u1)-p(u2.))

+ ... +

p(u,,.)•+'-p'(u,,.) (p(u,.)-p(u1)) •.. (p(u,.)-p(u,,._1))

(x, 1=0, 1, ... n-1)

= 2„ Ila(u,.)2"-2a(tt,+···+u2,.)

(9.)

lla(u,.+up)

a'

X ( (1 (U1+ • '' + u,.) -

a' ) aa' (u,)- "' - (7 (u,.)

!

1

650 1

p(u,)"+lp(u,) (p( u.)-p(u,)) .. •(p(u1)-p(u211+1))

+ + · •·

("-, }. = O,

(10.)

=

p(u211+1)•+ 1p'(u2„+1) 1 (p(u2..+1)-p(u1)) .. , (PC"2n+1)-p(u2..))

1, ... n-2)

'-l)n 2n-1 lla(ua)2n-la(t11 +·••+U2n+1) l

Ila(ua+up)

a' a' a' ) X ( a(u1+ .. ·+t12,.+1)-a(u1)-, .. -a("2..+1) ·

Aus diesen Additionsformeln kann man auch wieder die Multiplicationsformeln (17.)-(20.), §. 3 ableiten. Zu dem Zwecke muss man, ehe man die Variabeln u„ alle gleich u werden lässt, entweder die Determinanten (7.)- (10.) in der Weise umformen, wie es Jacobi (dieses Journal Bd. 30, S. 133) ausgeführt hat, oder (Cagleg, Phil. Trans., vol. 161, p. 230) in (3.)- (6.) die Elemente der aten Zeile nach Potenzen von p(ua)-p(u) entwickeln und die Determinanten dann durch das Di:fferenzenproduct der Grössen p (ua) dividiren. Zürich, März 1879.

Vollständige Liste aller Titel Band! 1. De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •

1

Dissertation, Berlin ( 1870)

2. Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten. . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Journal für di, reine und angewandte Mathematik 73, 1-30 (1871)

3. Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind . . . . . . . . . . . . .

65

Journalfiir die reine und angewandte Mathematik 74, 254-272 (1872)

4. Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen

84

Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214-235 (1873)

5. Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differential106 gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Journal für die reine und ang,wandte Mathematik 76, 236-270 (1873)

6. Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variabeln. .

141

Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245-257 (1874)

7. Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Journal für die rein, 11nd angewandte Mathematik 78, 93-96 (1874)

8. Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes

158

Journal für die reine und angewandte Math,matik 79, 185-247 (1815)

9. Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen . . .

221

Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183-193 (1815)

10. Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen .

232

Journal für die r,ine und angewandte Mathematik 80, 317-333 (1815)

11. Über das Pfaffsche Problem . . . . . . . . . . . . . . . .

249

Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230-315 (1815)

12. Zur Theorie der elliptischen Functionen (mit L. Stickelberger) .

335

Journal für die reine 11nd angewandte Mathematik 83, 175-179 (1877)

13. Note sur 1a theorie des formes quadratiques a un nombre quelconque de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 C. R. A,ad. Sei. Paris 85, 131-133 (1811)

14. Über lineare Substitutionen und bilineare Formen . .

343

Journal für di, reine 11nd angewandte Mathematik 84, 1-63 (1878)

15. Über adjungirte lineare Differentialausdrücke

. . . . . . .

406

Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185-213 (1878)

16. Über homogene totale Differentialgleichungen . . . . . . . .

435

Journal für di, reine und angewandte Mathematik 86, 1-19 (1879)

17. Über die schiefe Invariante einer bilinearen oder quadratischen Form. Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 44-71 (1879)

454

652 18. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten

. . . . . .

482

Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 146-208 (1879)

19. Über Gruppen von vertauschbaren Elementen (mit L. Stickelberger)

545

Journal.für die reine und angewandte Mathematik 86, 217'-262 ( 18 79)

20. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten (Forts.) . . .

591

Journal für die reine und angewandte Mathematik 88, 96-116 (1880)

21. Über die Addition und Multiplication der elliptischen Functionen (mit L. Stickelberger) . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . 612 Journal für die reine und angewandte Mathematik 88, 146-184 (1880) Band II

22. Zur Theorie der Transformation der Thetafunctionen . . . .

1

Journal für die reine und angewandte Mathematik 89, 40-46 (1880)

23. Über die Leibnitzsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . .

8

Journal für die reine und angewandte Mathematik 89, 262-264 ( 1880)

24. Über das Additionstheorem der Thetafunctionen mehrerer Variabeln

11

Journal für die reine und angewandte Mathematik 89, 185-220 (1880)

25. Über Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen

47

Journal für die reine und angewandte Mathematik 90, 1-17 (1881)

26. Über die Differentiation der elliptischen Functionen nach den Perioden und Invarianten (mit L. Stickelberger). . . . . . . . . . . .

64

Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, 311-327 (1882)

27. Über die elliptischen Functionen zweiter Art . . . . . . . . .

81

Journal für die reine und angewandte Mathematik 93, 53-68 (1882)

28. Über die principale Transformation der Thetafunctionen mehrerer Variabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Journal für die reine und angewandte Mathematik 95, 264-296 (1883)

29. Über Gruppen von Thetacharakteristiken . . . . . . . . . .

130

Journal für die reine und angewandte Mathematik 96, 81-99 (1884)

30. Über Thetafunctionen mehrerer Variabeln . . . . . . . . . .

149

Journal für die reine und angewandte Mathematik 96, 100-122 (1884)

31. Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen .

172

Journal für die reine und angewandte Mathematik 97, 16-48 (1884)

32. Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen (Abh. II) . 205 Journal für die reine und angewandte Mathematik 97, 188-223 (1884)

33. Über die constanten Factoren der Thetareihen . . . . . . . . . . . . 241 Journal für die reine und angewandte Mathematik 98, 244-263 (1885)

34. Über die Beziehungen zwischen den 28 Doppeltangenten einer ebenen 261 Curve vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Journal für die reine und angewandte Mathematik 99, 275-314 (1886)

35. Neuer Beweis des Sylowschen Satzes . . . . . . . . . . . . .

301

Journal für die reine und angewandte Mathematik 100, 179-181 (1887)

36. Über die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Journal für die reine und angewandte Mathematik 101, 273-299 (1887)

37. Über die Jacobischen Covarianten der Systeme von Berührungskegelschnitten einer Curve vierter Ordnung . . . . . . . . . . . 331 Journal für die reine und angewandte Mathematik 103, 139-183 (1888)

38. Über das Verschwinden der geraden Thetafunctionen . . . . .

376

Na,hrichten von der Kiinigli.hen Gesellschaft der Wissens.haften und der GeorgAugusts-Universität zu Göttingen 5, 67-74 (1888)

39. Über die Jacob~schen Functionen dreier Variabeln . . . . . . Journal für die reine und angewandte Mathematik 105, 35-100 (1889)

383

653 40. Theorie der biquadratischen Formen . . . . . . . . . . . . . . .

449

Journal für die reine und angewandte Mathematik 106, 125-188 (1890)

41. Über Potentialfunctionen, deren Hessesche Determinante verschwindet

513

Nachrichten von der Ko'niglichen Gesellschaft der Wissenschaften und der GeorgAugusts-Universität zu GiJ"ttingen 10, 323-338 (1891)

42. Über die in der Theorie der Flächen auftretenden Differentialparameter .

529

Journal für die reine und angewandte Mathematik 110, 1-36 (1893)

43. Über auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

565

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

337-345 (1893)

44. Antrittsrede (bei der Berliner Akademie)

. . . . . . . . . . . . . . 574

Sitzungsberichte der Ko'niglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

368-370 (1893)

45. Über die Elementarteiler der Determinanten . . . . . . . . . . . . . 577 Sitzungsberichte der KiJ'niglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

7-20 (1894)

46. Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen

. . . . . . . . . 591

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 241-256 und 407-431 (1894) Journal für die reine und angewandte Mathematik 114, 187-230 (1895)

47. Über endliche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

81-112 (1895)

48. Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . 664 Sitzung,berichte der Königlich Preußischen Akademie der WissenIChaften zu Berlin

981-993 (1895)

49. Über auflösbare Gruppen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677 Sitzung,berichte der Ko'niglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

1027-1044 (1895)

50. Über die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen . . . . 695 Sitzung,berichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

7-16 (1896)

51. Über vertauschbare Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 Sitzung,berichte der Ko'niglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

601-614 (1896)

52. Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . 719 Sitzung,berichte der KiJ'niglich Preußischen Akademie der Wimnschaften zu Berlin

689-703 (1896)

Band III 53. Über Gruppencharaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

985-1021 (1896)

54. Über die Primfactoren der Gruppendeterminante . . . . . . . . . . .

38

Sitzungiberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

1343-1382 (1896)

55. Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen . . . . . . . . . . . . .

78

Vierteljahmchrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich. Jahrgang 41, 20-23

(1896)

56. Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen

82

Sitzungsberichte der Ko"nig/ich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

944-1015 (1897)

57. Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Sitzungsberichte der Ko'niglich Preußischen Akademie der Wissenschaftten ZJI Berlin

501-515 (1898)

654 58. Über die Composition der Charaktere einer Gruppe . . . . . . . . . . 119 Sitz.ung1beri&hte der Königlich Preußischen Akademie der Wim111chaften z.u Berlin 330-339 (1899)

59. Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wim111chaften z.u Berlin 482-500 (1899)

60. Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . . 148 Sitz.ung1berichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 516-534 (1900)

61. Über die Charaktere -der alternirenden Gruppe . . . . . . . .

167

Sitz.ungsberichte der Königlich Preußi1chen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 303-315 (1901)

62. Über auflösbare Gruppen III. . . . . . . . . . . . . . . .

180

Sitz.ungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 849-875 (1901)

63. Über auflösbare Gruppen IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Sitz.1111gsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 1216-1230 (1901)

64. Über auflösbare Gruppen V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Sitz.ungsberichte der Kiiniglich Preußischen Akademie der Wisse111chaften z.u Berlin 1324-1329 (1901)

65. Über Gruppen der Ordnung p« qf1 • • • • • . . • • • •

210

Acta mathematica 26, 189-198 (1902)

66. Über Gruppen des Grades p oder p + 1 . . . . . . . . . . . . . . . 220 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissens,haften z.u Berlin 351-369 (1902)

67. Über primitive Gruppen des Grades n und der Classe n - 1 . . . . . . 239 Sitz.ungsberi&hte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 455-459 (1902)

68. Über die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe . . . . 244 Sitz.ungsberi&hte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 328-358 (1903)

69. Über die Primfactoren der Gruppendeterminante II. . . . . . . . . . 275 Sitz.ungsberi&hte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 401-409 (1903)

70. Theorie der hyperkomplexen Größen . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wisse111chaften z.u Berlin 504-537 (1903)

71. Theorie der hyperkomplexen Größen II. . . . . . . . . . . . . . . 318 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 634-645 (1903)

72. Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie . . . . . . . . . . . 330 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußis,hen Akademie der Wisse111,haften z.u Berlin 987-991 (1903)

73. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen . . . . . . . . 335 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften z.u Berlin 558-571 (1904)

74. Zur Theorie der linearen Gleichungen

. . . . . . . . . . .

349

Journal für die reine und angewandte Mathematik 129, 175-180 (1905)

75. Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (mit I. Schur) . . 355 Sitz.ungsberichte der Königlich Preußi1'hen Akademie der Wimns,haften z.u Berlin 186-208 (1906)

655 76. Über die Äquivalenz der Gruppen linearer Substitutionen (mit I. Schur)

378

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wimnschaften zu Berlin 209-217 (1906)

77. Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen II . . . . . . . . 387 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 657-663 (1906)

78. Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie II

. . . . .

394

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 428-437 (1907)

79. Über Matrizen aus positiven Elementen . . . . . . . . . . .

404

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 471-476'(1908)

80. Über Matrizen aus positiven Elementen II . . . . . . . . . . . . . . 410 Sitzungsberichte der Kiinigli&h Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 514-518 (1909)

81. Über die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen . . . . . . . . . . 415 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 3-15 (1910)

82. Über den Fermatschen Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1222-1224 (1909) Journal für die reine und angewandte Mathematik 137, 314-316 (1910)

83. Über den Fermatschen Satz II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Sitzungsberichte der Kiiniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 200-208 (1910)

84. Über die Bernoullischen Zahlen und die Eulerschen Polynome . . . . . 440 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 809-847 (1910)

85. Über den Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 20-29 und 128-129 (1911)

86. Gegenseitige Reduktion algebraischer Körper . . . . . . . . . . . . 491 Mathematische Annalen 70, 457-458 (1911)

87. Über den von L. Bieberbach gefundenen Beweis eines Satzes von C. Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 241-248 (1911)

88. Über unitäre Matrizen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 373-378 (1911)

89. Über die unzerlegbaren diskreten Bewegungsgruppen . . . . . . . . . 507 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 654-665 (1911)

90. Gruppentheoretische Ableitung der 32 Kristallklassen . . . . . . . . . 519 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 681-691 (1911)

91. Ableitung eines Satzes von Caratheodory aus einer Formel von Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 16-31 (1912)

92. Über Matrizen aus nicht negativen Elementen . . . . . . . . . . . . 546 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 456-477 (1912)

93. Über den Stridsbergschen Beweis des Waringschen Satzes . . . . . . . 568 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 666-670 (1912)

656 94. Über quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen

. . . . . . 573

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 966-980 (1912)

95. Über die Reduktion der indefiniten binären quadratischen Formen . . . 588 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wiuenschaften zu Berlin 202-211 (1913)

96. Über die Markoffschen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 458-487 (1913)

97. Über das quadratische Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . 628 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 335-349 (1914)

98. Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II . . . . . . . . . . . . . 643 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 484-488 (1914)

99. Über den Fermatschen Satz III

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wiuenschaften zu Berlin 653-681 (1914)

100. Über den gemischten Flächeninhalt zweier Ovale . . . . . . . . . . . 677 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wiuenschaften zu Berlin 387-404 (1915)

101. Über die Kompositionsreihe einer Gruppe

. . . . . . . . . . . . . 695

Sitzungsberichte der Königlich Preußüchen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 542-547 (1916)

102. Über zerlegbare Determinanten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 274-277 (1917)

103. Gedächtnisrede auf Leopold Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 705 Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 3-22 (1893)

104. Adresse an Herrn Richard Dedekind zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 18. März 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 329-331 (1902)

105. Adresse an Herrn Heinrich Weber zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 19. Februar 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 248-249 (1913)

106. Adresse an Herrn Franz Mertens zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 7. November 1914. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 Sitzungsberichte der Königlich Preußilchen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1028-1029 (1914)

107. Rede auf L. Euler

732

Vierteljahrsschrift der Zlircher Naturforschenden Gesellschaft, 720-722 (1917)

Offsetdruck: Julius Beltz, Weinheim/Bergstr.

Jahrgang

62,

Springer Collected Works in Mathematics

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FERDINAND GEORG FROBENIUS

1849-1917

Ferdinand Georg Frobenius

Gesammelte Abhandlungen II Editor Jean-Pierre Serre

Reprint of the 1968 Edition

~ Springer

Author

Editor

Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917) Universität Berlin Berlin Gerrnany

Jean-Pierre Serre Paris Chaire d 'Algebre et Geometrie College de France Paris France

ISSN 2194-9875 Springer Collected Works in Mathematics ISBN 978-3-662-48960-4 (Softcover) 978-3-540-04120-7 (Hardcover) Library of Congress Control Number: 2012954381 Springer Heidelberg New York Dordrecht London © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1968. Reprint 2015 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concemed, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. Tue use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, express or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made.

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FERDINAND GEORG FROBENIUS GESAMMELTE ABHANDLUNGEN

BAND II

Herausgegeben von ]-P. Serre

SPRINGER-VERLAG BERLIN · HEIDELBERG · NEW YORK 1968

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages übersetzt oder in irgendeiner Form vervielfältigt werden.

© by Springer- Verlag Berlin· Heidelberg 1968 Library of Congress Catalog Card Number 68-55372 Printed in Germany Titel-Nr. 1532

Preface Cette edition des Oeuvres de Frobenius est divisee en trois tornes. Le prernier cornprend les rnernoires n 08 1 a 21, publies entre 1870 et 1880; le second, ceux publies entre 1880 et 1896 (n°8 22 a 52); le dernier, ceux publies entre 1896 et 1917 (n08 53 a 107). Ainsi, les rnernoires sur les fonctions abeliennes figurent dans le tarne II, ainsi que celui sur la «substitution de Frobenius»; ceux sur les caracteres sont dans le tarne III. Les textes se suivent par ordre chronologique, a l'exception des articles sur KRONECKER et EULER, reportes a 1a fin du torne III; on trouvera egalernent a cet endroit les adresses de l'Acadernie de Berlin a DEDEKIND, WEBER et MERTENS qui, bien que non signees, sont vraisernblablernent dues a Frobenius. Le tome I contient aussi des souvenirs personnels de C-L. SIEGEL qui a eu Frobenius comme professeur a l'Universite de Berlin. Par contre, on ne trouvera aucune analyse des travaux de Frobenius, ni de leur influence sur les recherches ultcrieures. Une telle analyse, en etfet, eut etc fort difficile a faire, et peu utile; comme me l'a ecrit R. BRAUER « ... if the reader wants to get an idea about the importance of Frobenius work today, all he has to do is to look at books and papers on groups ... ». La publication de ces Oeuvres a etc grandement facilitee par l'aide de diverses personnes, notamment W. BARNER, P. BELGODERE, R. BRAUER, B. EcKMANN, H. KNEsER, H. REICHARDT, Z. SCHUR, C-L. SIEGEL; je leur en suis tres reconnaissant. Je dois egalement de vifs remerciernents a la rnaison Springer-Verlag qui a rnenc a bien cette publication et rn'a procurc le grand plaisir de la presenter au public. Paris, Septernbre 1968

JEAN- PIERRE SERRE

Erinnerungen an Frobenius von CARL Luow1G SIEGEL Über den Lebenslauf von FROBENIUS weiß ich nichts anderes auszusagen, als man vollständiger der biographischen Angabe im „Poggendorff" entnehmen würde. Jedoch hatte ich das Glück, in meinen ersten Studiensemestern bei FaoBENIUS Kolleg zu hören, und möchte nun hier meine sehr persönlich und subjektiv gefärbten Erinnerungen an ihn wiedergeben, so gut das nach Ablauf von mehr als einem halben Jahrhundert noch möglich sein kann. Als ich Herbst 1915 an der Berliner Universität immatrikuliert wurde, war gerade ein Krieg in vollem Gange. Obwohl ich die Hintergründe der politischen Ereignisse nicht durchschaute, so faßte ich in instinktiver Abneigung gegen das gewalttätige Treiben der Menschen den Vorsatz, mein Studium einer den irdischen Angelegenheiten möglichst fernliegenden Wissenschaft zu widmen, als welche mir damals die Astronomie erschien. Daß ich trotzdem zur Zahlentheorie kam, beruhte auf folgendem Zufall. Der Vertreter der Astronomie an der Universität hatte angekündigt, er würde sein Kolleg erst 14 Tage nach Semesterbeginn anfangen - was übrigens in der damaligen Zeit weniger als heutzutage üblich war. Zu den gleichen Wochenstunden, Mittwoch und Sonnabend von 9 bis 11 Uhr, war aber auch eine Vorlesung von FROBENIUS über Zahlentheorie angezeigt. Da ich nicht die geringste Ahnung davon hatte, was Zahlentheorie sein könnte, so besuchte ich aus purer Neugier zwei Wochen lang dieses Kolleg, und das entschied über meine wissenschaftliche Richtung, sogar für das ganze weitere Leben. Ich verzichtete dann auf Teilnahme an der astronomischen Vorlesung, als sie schließlich anfing, und blieb bei FaoBENIUS in der Zahlentheorie. Es dürfte schwer zu erklären sein, weshalb diese Vorlesung über Zahlentheorie auf mich einen so großen und nachhaltigen Eindruck gemacht hat. Dem Stoff nach war es ungefähr die klassische Vorlesung von DIRICHLET, wie sie uns in DEDEKIND• Ausarbeitung überliefert worden ist. FROBENIUS empfahl dann auch seinen Zuhörern den „Dirichlet-Dedekind" zur Benutzung neben dem Kolleg, und dieses war das erste wissenschaftliche Werk, das ich mir von meinem mühsam durch Privatunterricht "."erdienten Taschengeld anschaffte - wie etwa in jetziger Zeit ein Student' sein Stipendium zur erstmaligen Erwerbung eines Motorfahrzeugs verwendet. FROBENIUS sprach völlig frei, ohne jemals eine Notiz zu benutzen, und dabei irrte oder verrechnete er sich kein einziges Mal während des ganzen Semesters. Als er zu Anfang die Kettenbrüche einführte, machte es ihm offensichtlich Freude, die dabei auftretenden verschiedenen algebraischen Identitäten und Rekursionsformeln mit größter Sicherheit und erstaunlicher Schnelligkeit der Reihe nach anzugeben, und dabei warf er zuweilen einen leicht ironischen Blick ins Auditorium, wo die eifrigen Hörer kaum noch bei der Menge des Vorgetragenen mit ihrer Niederschrift folgen konnten. Sonst schaute er die Studenten kaum an und war meist der Tafel zugewendet.

X Damals war es übrigens in Berlin nicht üblich, daß zwischen Student und Professor in Zusammenhang mit den Vorlesungen irgend ein wechselseitiger Kontakt zustande kam, außer wenn noch besondere Übungsstunden abgehalten wurden, wie etwa bei PLANCK in der theoretischen Physik. FROBENIUS hielt aber keine Übungen zur Zahlentheorie ab, sondern stellte nur hin und wieder im Kolleg eine an das Vorgetragene anschließende Aufgabe; es war dem Hörer freigestellt, eine Lösung vor einer der folgenden V orlesungsstunden auf das Katheder im Hörsaal zu legen. FROBENIUS pflegte dann das Blatt mit sich zu nehmen und ließ es beim nächsten Kolleg ohne weitere Bemerkung wieder auf dem Katheder liegen, wobei er es vorher mit dem Zeichen „v" signiert hatte. Niemals wurde jedoch von ihm die richtige oder beste Lösung angegeben oder gar von einem Studenten vorgetragen. Die Aufgaben waren nicht besonders schwierig, soweit ich mich entsinnen kann, und betrafen immer spezielle Fragen, keine Verallgemeinerungen; so sollte z. B. einmal im Anschluß an die Theorie der Kettenbrüche gezeigt werden, daß die Anzahl der Divisionen beim euklidischen Algorithmus für zwei natürliche Zahlen höchstens fünfmal die Anzahl der Ziffern der kleineren Zahl ist. Verhältnismäßig wenige unter den Zuhörern gaben Lösungen von Aufgaben ab, aber mich interessierten sie sehr und ich versuchte, sie alle zu lösen, wodurch ich dann auch einiges aus Zahlentheorie und Algebra lernte, was nicht gerade im Kolleg behandelt worden war. Ich habe bereits erwähnt, daß ich nicht gut erklären kann, wodurch die starke Wirkung der Vorlesungen von FROBENIUS hervorgerufen wurde. Nach meiner Schilderung der Art seines Auftretens hätte die Wirkung eher abschreckend sein können. Ohne daß es mir klar wurde, beeinflußte mich wahrscheinlich die gesamte schöpferische Persönlichkeit des großen Gelehrten, die eben auch durch die Art seines Vortrages in gewisser Weise zur Geltung kam. Nach bedrückenden Schuljahren unter mittelmäßigen oder sogar bösartigen Lehrern war dies für mich ein neuartiges und befreiendes Erlebnis.

In meinem zweiten Semester, ehe noch das Militär auch mich für seine Zwecke zu mißbrauchen versuchte, hörte ich eine weitere Vorlesung bei FROBENIUS, über die Theorie der Determinanten, die sich wohl in vielem an KRONECKER anschloß. Vorher hatte ich in den Ferien noch ein Erlebnis, das ebenfalls mit FROBENIUS zusammenhing, wie sich allerdings erst viel später herausstellte. Ich erhielt nämlich mit der Post eine Vorladung zur Quästur der Universität, wodurch ich zunächst in Schrecken versetzt wurde. In der Zeit Kaiser Wilhelms des Zweiten pflegten vielfach die Mütter ihre Kinder dadurch zum Gehorsam zu ermahnen, daß sie ihnen mit dem Schutzmann drohten, und so kannte auch ich die Angst vor der Obrigkeit, die Gewalt über einen hat. Als ich nun voller Befürchtungen auf dem Sekretariat der Universität erschien, wurde mir dort zu meiner Verblüffung eröffnet, ich solle aus der Eisenstein-Stiftung einmalig den Betrag von 144 Mark und 50 Pfennigen bekommen. Dies war kein Stipendium, um das man sich bewerben konnte, und andererseits war ich jedoch zu scheu, bei der Universitätsbehörde nachzufragen, aus welchem Grunde mir das Geld geschenkt wurde, sondern nahm es eben gehorsam an. Damals wußte ich auch noch nicht, wer EISENSTEIN gewesen war; erst viele Jahre später erfuhr ich bei einem Gespräche mit J. SCHUR, daß EISENSTEIN& Eltern nach dem frühzeitigen Tode ihres Sohnes zur Erinnerung an ihn eine Stiftung gemacht hatten, aus deren Zinsen jährlich einem tüchtigen Studenten der Mathematik die genannte Summe ausgezahlt wurde. Als ich bei dieser Gelegenheit SCHUR erzählte, ich hätte die von FROBENIUS im Kolleg gestellten Aufgaben fleißig gelöst, da bezeichnete er

XI es als höchst wahrscheinlich, daß FROBENIUS mich für jenen Eisenstein-Preis empfohlen hatte. Danach hat es also FROBENIUS wohl doch nicht gänzlich abgelehnt, von der Existenz seiner Hörer Notiz zu nehmen, und er hat sogar gelegentlich ein menschliches Interesse für sie gezeigt. Aber für mich bot sich keine Gelegenheit, jemals mit ihm direkt zu sprechen. Ich wurde dann auch bald von der Militärbehörde als kriegsverwendungsfähig - so lautete wirklich das Wort! - zur Ausbildung nach Straßburg im Elsaß verschickt. Dort war ich, als FROBENIUS starb, in der psychiatrischen Klinik des Festungslazaretts zur Beobachtung auf meinen Geisteszustand interniert. Als ich mit dem Leben davon gekommen war und schließlich wieder anfing, mathematisch zu arbeiten, haben mich die Untersuchungen von FROBENIUS zur Gruppentheorie längere Zeit stark beschäftigt und dann meine Geschmacksrichtung auf algebraischem Gebiete dauernd beeinflußt.

Inhaltsverzeichnis Band II 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52.

Zur Theorie der Transformation der Thetafunctionen . Über die Leibnitzsche Reihe . . . . . . . . . . . . Über das Additionstheorem der Thetafunctionen mehrerer Variabeln Über Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen Über die Differentiation der elliptischen Functionen nach den Perioden und Invarianten (mit L. Stickelberger). . . . . . . . . . . . . . . . Über die elliptischen Functionen zweiter Art. . . . . . . . . . . . . Über die principale Transformation der Thetafunctionen mehrerer Variabeln . . . . . . . . . . . . . . . Über Gruppen von Thetacharakteristiken . . . . . . . . . . Über Thetafunctionen mehrerer Variabeln . . . . . . . . . . Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen . Über die Grundlagen der Theorie der Jacobischen Functionen (Abb. II) . Über die constanten Factoren der Thetareihen . . . . . . . . . . . . Über die Beziehungen zwischen den 28 Doppeltangenten einer ebenen Curve vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Neuer Beweis des Sylowschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . Über die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Über die Jacobischen Covarianten der Systeme von Berührungskegelschnitten einer Curve vierter Ordnung . . . . . . . Über das Verschwinden der geraden Thetafunctionen . Über die Jacobischen Functionen dreier Variabeln . . Theorie der biquadratischen Formen . . . . . . . . Über Potentialfunctionen, deren Hessesche Determinante verschwindet Über die in der Theorie der Flächen auftretenden Differentialparameter . Über auflösbare Gruppen . . . . . . . . Antrittsrede (bei der Berliner Akademie) Über die Elementarteiler der Determinanten Über das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen Über endliche Gruppen . . . . . . . . Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes . . . . . Über auflösbare Gruppen II . . . . . . . . . . . Über die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen Über vertauschbare Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe . . . . . . . . . . . . . . .

1 8

11 47 64 81 97 130 149 172 205 241 261 301 304 331 376 383 449 513 529 565 574 577 591 632 664 677 695 705 719

22. Zur Theorie der Transformation der Thetafunctionen Journal für die reine und angewandte Mathematik 89, 40-46 (1880)

Die Theorie der Transformation der Thetafunctionen von (.1 Variabeln führt auf lineare Substitutionen mit ganzen Coefficienten (1.)

Xa

= aa1x;+a 2~+ .. ·+aa,2eX;e 0

(a

= 1, 2, .. , 2(.1) 1

durch welche die alternirende bilineare Form von der Determinante 1 (2.)

J

= ..E! ,, (X11Ye+•-Xe+11Y,) = :EiapXaY/J

in sich selbst, mit einer ganzen Zahl n multiplicirt, übergeführt wird. (Kronecker, dieses Journal Bd. 68, S. 273; Weber, Annali di Mat. Ser. II tom. IX p. 126, im folgenden mit W. citirt.) Von einer solchen Substitution (1.) oder von dem System ihrer Coefficienten aa/J oder von der bilinearen Form A = :EaapXaY/J will ich der Kürze l1alber sagen, sie gehöre dem Typus [n, ()] an. Bedient man sich der symbolischen Bezeichnung für die Zusammensetzung der Systeme, die ich in meiner Arbeit Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen (dieses Journal Bd. 84, S. 1; vgl. auch Laguerre, Journ. de l'ecole polyt. tome 25, cah. 42, p. 215) angewendet habe, so wird die Form A durch die Gleichung 0,

(3.).

A'JA = nJ

definirt, wo A' die conjugirte Form von A ist. Dieselbe umfasst das System der (J (2()-1) Gleichungen (3.)

wo i

ist, und (3-a nicht durch (J theilbar ist. Ist B eine Form vom Typus[m,(.I], ist also B'JB=mJ, soistB'(A'JA)B=B'nJB=mnJ, oder weil B'A' = (AB)' ist, (AB)' J(AB) = mnJ, und mithin gehört AB dem Typus [mn,(J] an. (W. §.2.) Sind daher P und Q vom Typus [1,(.1], so iap

0

/J

gleich

f; (a,u a~+.,ß-ae+•,a a,{I) = nia{I (a, f~ = 1, 2, ... 2(.1), +1 oder -1 ist, falls ß - a gleich +(.1 oder - (.1

= 0 ist, falls

2

ist P AQ ebenso wie A vom Typus [n, (J ]. Ist E (4.)

J2=-·E,

= .z~e xa Ya, a

so ist

J4=E, Jl=J-1=-J=J'.

Nimmt man daher in der Gleichung (3.) auf beiden Seiten die reciproken :1

Formen, so erhält man A-1JA'- 1 = -J, also nA(A- 1JA'- 1 )A' = AJA' oder n (5.)

AJA'

= nJ.

Diese Gleichung umfasst das System der (J(2e-1) Gleichungen (W. §. 1, (8.)) (5*.)

~t (a,..ap,e+•-aa,e+•ap.) =

niap•

Eine alternirende Form J mit nicht verschwindender Determinante besitzt eine schiefe Jn„aria,ite, die P/affsche Function, welche bei einer Transformation der Form mit der Substitutionsdeterminante multiplicirt wird, und eine homogene Function (Jten Grades der Coefficienten von J ist. (Vgl. dieses Journal Bd. 86, S. 50). Ist daher die schiefe Invariante von J gleich E ( = ±1), so ist die von nJ gleich n' E, und mithin*) ist die Determinante von .A gleich ne. ( W. p. 128.) Für die Construction ganzzahliger Systeme A, deren Coefficienten den Gleichungen (4.) genügen, ist mir bisher keine andere Methode bekannt, als die des Herrn Kronecker, deren Princip die Reduction beliebiger Systeme auf gewisse elementare bildet. Diese Methode ist auch in der Arbeit des Herrn Weber durchgängig· benutzt worden. In meiner Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienlen (dieses Journal Bd. 86, S. 146) habe ich zur Ermittelung von unimodularen Determinanten die von Gauss (D. A. §. 279) angegebene Methode gebraucht, deren Princip die successive simultane Bestimmung zweier reciproken Determinanten bildet. Es ist der Zweck dieser Arbeit zu zeigen, dass sich diese Methode ohne die geringste Abänderung auf die Construction der oben definirten speciellen Determinanten übertragen lässt. §. 1. Construction der Substitutionen vom Typus [1, e],

Ist a < (J, bewegen sich a, (i 1'0n 1 bis 2(.1, und x, l von 1 bis J angeben, deren erste Zeile von den Elementen aa, und deren (Q+l)te Zeile von den Elementen ba gebildet wird.

4

Nennt man die yte und ((l+v)t0 Zeile des Systems aap ein Paar von Zeilen, so ist es für die Anwendung der obigen Methode gleichgültig, in welcher Reihenfolge die einzelnen Paare oder die beiden Zeilen eines Paares bestimmt werden, aber nothwendig, dass die beiden Zeilen eines Paares unmittelbar nach einander ermittelt werden. Dem obigen Beweise zufolge ergeben sich aus den Gleichungen (6.) für x, l = 1, 2, ... 2(' durch Elimination der letzten (l - unabhängige und 2(> +1 wesentlich unabhängige. Zwischen 2(>+x Charakteristiken bestehen mindestens x Relationen. Zwischen mehreren wesentlich unabhängigen Charakteristiken kann höchstens eine Relation bestehen. Denn wären zwei Summen einer ungeraden Anzahl congruent O, so wäre auch die Summe einer geraden Anzahl congruent 0. Sind für ein System von Charakteristiken A, A 1 , A2 , • • • die W erthe

16

der Ausdrücke IAal und IAAaAßl gegeben, so ist dadurch auch für jede wesentliche Combination P der Werth von IPI und für je drei wesentliche Combinationen P, Q, R der W erth von IP, Q, R I bestimmt. Denn zunächst ist

=

IA, Aa, Aßl IAl+IAal+IAßl+IAAaAßl• Daraus ergiebt sich IP I mittelst der Formel (9.), und ebenso IQ 1, 1R I und IPQRI, weil auch PQR eine wesentliche Combination von A, A,, A2, ... ist. Alsdann ist IP,Q,RI - IPl+IQl+IRl+IPQRI. Die Fragen, welche sich auf die Anzal1l der Charakteristiken beziehen, die gegebenen Bedingungen genügen, werde ich im Folgenden gleichmässig nach einer allgemeinen Methode behandeln, zu deren Erläuterung ich hiel' einige bekannte Sätze ableiten will. I. Sind Ua

=

aa1X1+aa2X2+··•+aaeXe

(, so sei dann VPaPßPr ...

also z.B.

= VPa VPp l1Pr". ( ;ßa )( ;a )( ~) .. ·, r

r

,;-,;-cP) ;-.;-(Pß) YP Pp = r Par Pp P; = l Par Pp p~ , 0

1 = {ji = VPa Pa = Vp aVp a( ;: ) l ! ; - ; - 1-cPa)(Pa)(pß) YPa=lPaPpPp=lPalPplPp Pp Pp Pp.

Daraus folgt, dass allgemein, wenn a, ß irgend zwei der Zahlen von 0 bis r -1 bedeuten, ist, also der zwischen den Vorzeichen der Wurzeln lif'a festgesetzte Zusammenhang von der Wahl der Basis unabhängig ist. Denn ist Pa=PxPi ... , Pp P~Pq ... , wo x, l, ... , §, TJ, ••• Zahlen von 1 bis (> sind, so ist

=

25

vPa P = (,! P. rP, ···( ;: ) ··] [vP~ ilP~ ·· · ( ;; ) · ··] ( ;~ ) ( ;; ) ( ;: ) ( ;; ) ··· ß

= Für

VP

O

werde ich auch

YAAa

y~ ifPl;:} schreiben.

§. 3. Das Additionstheorem.

Zwisch,:m je 2e+ 1 Thetafunctionen zweiter Ordnung der Variabeln u 1 , u2 , • • • ue, welche bei Vermehrung der Argumente um simultane halbe Perioden mit den nämlichen Exponentialfactoren multiplicirt werden, besteht eine homogene lineare Gleichung. Ist also A, A1 , ••• Ar-i ein Göpelsches System und ist AAa = Pa, so müssen sich Constanten c, Ca, die nicht sämmtlich Null sind, so bestimmen lassen, dass (a.)

c&[A](n+v)(u-v)

= ~ca&[AP,,](u+b)(u-b)

ist. Setzt man u = a+Pp, so erhält man zur Bestimmung der Constanten die Relation (ß.)

c&[AP11](a+v)(a-v)

=

f c/~)&[AP Pp](a+b)(a-b).

l\foltiplicirt man mit YP ß und summirt nach c,2' ß

VPp&[APp](a+v)(a-v)

0

ß von

O bis r -1, so findet man

= ..!'c.( Ppß)y Pp(J [AP.Pp] (a+ b) (a-b). a,/3 a

In der Doppelsumme auf der rechten Seite führe ich für ß einen neuen Summationsbuchstaben rein, indem ich PfJ = Pa Pr setze. Durchläuft dann für einen bestimmten W erth von a der Buchstabe ß die Zahlen von O bis 1·-l, so durchläuft r dieselben Zahlen, nur in einer anderen Reihenfolge. Durch diese Substitution geht daher jene Doppelsumme nach (17.), §. 2 über in .!'ca( Pfr) VPa Pr &[APr] (a+b)(a-b) a,y

a

=

..!'ca(Pa)YPa YPyH[APy](a+b)(a-b)

=

(.± /a )(..!'fPy&[APy](a+ b)(a-b)).

a,y

" rPa

r

Der Ausdruck 2."fP/t[APy](a+b)(a-b) ist für unbestimmte Werthe der Argumente a, b von Null verschieden. Denn setzt man a+b = x, a-b = y, und giebt den Variabeln y solche W erthe, dass die r Functionen &[A Pr ](y)

26

nicht sämmtlich verschwinden, so ist 2-'l1Pr .9-[APy] (x) (y) nicht für beliebige W erthe der Veränderlichen x gleich Null, weil zwischen den Thetafnnctionen keine linearen Relationen bestehen*). Man kann daher durch jenen Ausdruck dividiren und erhält so 2,'.!!__

(y.)

VPß

=

c 2I_l_'!i_t![APp](a+v)(a-v) . 2yPr .9-[AP1 ](a+b)(a-b)

Daraus ergiebt sich, da die Verhältnisse der Grössen cß von a unabhängig sind, die Relation **) (2-'VAAa .9-[Aa] (u+v) (u-v)) (2-'V AA" 8-[A.] (a+ b) (a- b)) (1.) = (2-'VAAa [} [Aa](u+ b) (u- b)) (2 VA.1( S[A.] (a+ v) (a- v)). Multiplicirt man die Gleichung (y.) mit VP., so hat auf der linken Seite c. den Coefficienten 1. Die so erhaltene Gleichung stellt, weil man den Wurzeln VP 1 , ••• ~ beliebige Vorzeichen geben kann, r verschiedene Gleichungen dar. Zählt man dieselben zusammen, so erl1ält auf der linken ;Seite c. den Coefficienten r, dagegen cp den Uoefficienten j!~, wo sich

l

S yPp

S

der Summationsbuchstabe auf die verschiedenen Vorzeichen bezieht, die man den Wurzeln beilegen kann. Dieser Ausdruck ist aber gleich weil jede Wurzel (ausser {P= l) ebenso oft das positive wie das negative Vorzeichen erhält. Man erllält demnach

(P~:ß)Sv'P.Pß=O,

rc"

=

c

SVI\ _!VPp°'_[.,4.Pp](a+v)(a-v)

.

.SyP1 .9-[ AP1 ] (a+b)(a-b)

Daher ist c von Null verschieden, weil sonst die Coefficienten c" sämmtlich Null wären. Setzt man den für c„ gefundenen Ausdruck in (a.) ein, so findet man ***) (2.)

l

_

2eS[AJ(u+v)(u-v)

S .S{AAa VAAß.9-~](u+b)(u-b).9-[Aß](a+v)(a_-::--v). 211 AA1 .9-[A 1 ](a+b)(a-b)

= O, so ergiebt sich durch Vermehrung von u um 2S .SkR(R, S).9-[R](u) = 0 oder 2kR(AR,S).9-[R](u) = 0; durch Summation über alle Charakteristiken S folgt daraus kA2'et't[A](u)= O, also kA = 0. **) Durch Transformation zweiter Ordnung geht dieselbe in eine Identität von der Form (g(u)'I/J(v))(rp(a)l/J(b)) = (g(u),p(b))(rp(a)l/J(v)) über. *) Ist nämlich .SkR.9-[Rl(u)

***) Da jedes Glied der Summe

S von a und b unabhängig ist,

so kann man

diesen Argumeuten auch in den verschiedenen Gliedern jener Summe verschiedene W crthe beilegen.

27

Vermehrt man u um P x, so erhält man r&[A.](u+v)(u-v)

=

2l1Pa VPß ( ;, )&[ APaP,.](u+b)(u-b).J[Aß](a+v)(a-v)

8---

a

_

. --·-.

2y Pr 0-[ Ay] (a+ b)(a- b)

___

.

Ersetzt man rechts Pa durch PaP., so ergiebt sich

ls =

(3.)

2~&[A.J(u+v)(u-v)

_1_~

..S{AAa {4Aßt'r[.'!a~u+b)(u-b)&[Aß](a+v)(a-v). yAA, 2yAAy&[Ay](a+b)(a-b)

In der Relation (l.) ~YPa YPß&[Aa] (u+v) (u-v).9-[Aß](a +b) (a-b)

=

~YPa YP~ & [Aa] (u+ b) (u- b)&[Aß](a + ,v)(a-v)

gebe man den Wurzeln alle möglichen Werthe und zähle die r so er-

S

haltenen Gleichungen zusammen. Da YPa {pß = r (Pa) oder O ist, je nachdem a und ß gleich oder verschieden sind, so findet man so \

(4.)

~(A A,,)&[A.,](u+c!(u -v) (a+ b) (a- b)

l = ~(A A) .9- [Aa] (u +b) (u -b) (a+v)(a-,v),

Die Charakteristiken B, B,, ... Br_, mögen dieselbe Bedeutung haben, wie in §. 2 (11.), so dass AaBß, also auch AAaBß PaBß alle r 2 Charakteristiken darstellt. Vermehrt man u und b um Bß, so erhält man

=

~ (P„Bß) 0-[Aa Bß] (u+v) (u-i,) (a+ b) (a - b)

=

~(Py)(Pr, Bp).'t[Ay](ii+b)(u-b)(a+c)(a-v). r

Da (Pa, Pp) = 1 ist, so ist ~(Py, Pa)= r und mithin a r~(Py, Bß) = ~(Py, Pa) (Py, Bß) ~

ß

=~ (Py, Pa Bß) = ~

~(Py, R),

wo R alle Charakteristiken durchläuft. Diese Summe aber ist r 2 oder 0, je nachdem r = 0 oder von O verschieden ist. Summirt man daher in der obigen Gleichung nach ß von O bis r-1, so findet man r .9-[A] (u+b) (u- b) (a+c) (a-v)

=

~(PaBß) .9-[A P. Bß] (u u,ß

+ c) (u-v) (a+b) (a-b)

oder (5.)

2e&[A](u+b)(u-b)(a+c)(a-v)

= ~(AR).9-[R](u+v)(u-v)(a+b)(a-b),

28

wo R alle Charakteristiken durchläuft. ergiebt sich daraus 2e&[A](u+ a)(u- a)(b+v)(b-v)

=

Durch Vertauschung· von a mit b

~(AR) (R) .9- [R](u+v)(u-v)(a+b)(a-b).

Je nachdem man diese beiden Gleichungen addirt oder subtrahirt, heben sich auf der rechten Seite alle Glieder, in denen R ungerade oder gerade ist. Man erhält also

!

2e- 1 [.9- [AJ (u+ a) (u-a) 1v+ b) (v-b) + t.9-[A] (u-+ b) (u- b) (v + a) (v-a)]

(6.)

= ~(A, RJ.9-[R,] (u+ v) (u-v) (a+b) (a- b),

wo R, alle Charakteristiken vom Charakter E ( = ± 1) durchläuft*). Die Relationen (1.) bis (6.) lassen sich durch Einführung neuer Variabeln und durch Specialisirung auf andere Formen bringen. Die wichtigsten Substitutionen sind in der folgenden 'l'abelle zusammengestellt: 1 u+v

I u-v I

I I u+t,+w I u-t, II 1

III IV

U,

1

X

a+b

I a-b I

1 a+b+w 1

i

u+v I u+w j I u+t,+W u i

J

-z

v+w v

w

O

a+v

u+b+w I u- b w+x+y+z w+x-y-z

a-b

y

u-b

u+b

I --2I

u+v+w u+v

I

a+t,+W I w-x+y-z I

2

u u+w

2

I

v v+w

a-v a-v w-x-y+z

2

w

0

Die so erhaltenen Formeln kann man weiter verallgemeinern, indem man jede der darin vorkommenden Variabeln um eine halbe Periode vermehrt. Macht man z. B. in der Formel (2.) die Substitution III. und vermehrt dann v um Px und w um Pi., so ergiebt sich 2e .9-[A,] (u +v) .9-[ A,] (u + w)

(7.)

=

s~VPa VI'ßi-/::~

l&[Aal(u)&[A.P,P;](u+v+w)&[AßPx J(t,)&[AßP1.](w)

.Sif Py

i-1 P;;l'i[Ar],?,[ArPxPi.](v+w)

Setzt man in den Formeln (1.), (3.), (4.) und (5.) a = b = 0, so erhält man (8.)

l

(~VA A S' [Aa]) (~VA A • .9-[Aa] (u +v) (u -v))

=

0

(~V AA. ,'}' [Aa] (u)) (~VA Aa(Aa).9-'[Au] (v)),

*) Für (! = I ist die Formel (4.) mit der identisch, welche Jacobi (dieses Journal Bd. 32, S. 177) der Herleitung der Additionstheoreme zu Grunde gelegt hat. Herr Weierstrass (in seinen Vorlesungen) und die Herren Briot und Bouquet gehen für (! = 1 von der Formel (ß.) aus.

29 (9.)

( 10.)

I(A, Aa) .9-2 [ Aa] .'t [ Aa](u+v) (u-v) 2~8-[A ](u

v)(u-v)

" + ·

(11.)

S

=

1 _ .E{AAaVAAß(Aß)t't'[Au](u)t't'[Aß](v)

yAAx

=

2e.'f2 [A](u).'t2 [A](v)

A 0 ) .'t2[A 0 ] (u).'t2 [A 0 ] (v ),

= I(A,

.E1IAArt't'[Ay]

'

I(A, S)S2 [SJ&[S](u+v)(u-v),

wo S alle geraden Charakteristiken durchläuft. Setzt man in (3.), (5.) und (6.) a = v = 0 (und b = v), so findet man (12.)

2e&2[A.J(u)

=

S ~-

~J1AAa{AA,e,'J,[A.,](u+v)(u-v)t't'[Aß] •

yAA,

(13.) (14.)

..l'j/AAy(Ay),'J,'[Ar](v)

2e & A] ,9, [ A] (u +v )(u-v)

l

2[

= I(A R) 8-2 [R](u) .'t2 [R] (v),

2e- 1 (.'t2 [A] 9-[A] (u+v)(u-v)-H(A) S2 [A] (u)&.'2 [A] (v)) , , = I(A, R,) & [R,](u) 9 [R,] (v). 0

Alle diese Formen kann man weiter specialisiren, indem man u = v setzt*).

§. 4. Folgerungen aus dem Additionstheorem.

Ist B eine beliebige Charakteristik, und vermehrt man in der Formel (10.), §. 3 (für x = 0) v um AB, so erhält man (l.)

2e&[B](u+v)(u-v)

=

f Pa yPP(

S

i )( :: ) ß

.'t'[ A P0 ](u)ß-'[BPp](v) ß . .S1 Pr lt'[ APrJ I

Für v = 0 folgt daraus, dass sich die Quadrate aller 22 e Thetafunctionen durch die Quadrate der 2e Functionen ,9, [ Aa] (u) linear ausdrücken lassen. Ferner zeigt die Auflösung der Gleichungen (ß. ), §. 3, dass zwischen den r Functionen H [ A.J (u) (u + w) keine lineare Relation existirt, deren Coefficienten von u unabhängig sind, und daraus ergiebt sich leicht, dass zwischen den r Functionen L't [ Aa]( u), falls ihre Periodicitätsmoduln nicht besonderen Bedingungen genügen, quadratische Gleichungen nicht existiren. Dagegen bestehen zwischen denselben, falls (> > 1 ist, biquadratische Relationen. Bei der Herleitung derselben setze ich der Einfachheit halber voraus, dass die Charakteristiken A, A 1 , ••• Ar-t sämmtlich gerade sind, und will daher den Buchstaben A überall durch G ersetzen. Seien G, G', G" drei beliebige der r Charakteristiken G, G1, • • • Gr-i *) Durch die Formel (1 I.) wird dann z. B. für Herr Rohn, Math. Ann. Bd. 15, S. 336 gegeben hat.

(!

=

2 die Tabelle ersetzt, welche

30

und sei G'" --- G G' G", also

GG'G''G"'

(2.)

=

2/l.

GGC-3 Charakteristiken gemeinsam haben, haben stets noch eine (2(J-2)t0 Charakteristik gemeinsam. 2(>+2-! durch die Relationen (1.) verbundene Charakteristiken, deren Summe, falls Ä gerade ist, nicht verschwindet, können auf 1.2.(2'-1)2'(2 4 -1) ... (2A-I_iJ) 1.2.3.4.5 ... Ä

(5.)

Arten zu einem Fundamentalsystem ergänzt werden, wo rJ = 0 oder 1 ist, je nachdem Ä gerade oder ungerade ist. Ist z. B. A = 0, so können B 1, B2 , . • . B2e+1 auf (Z2e -1)(22e-2 -1) ... (2"-1)2e~ 1.2.3 ... 2e+1

Arten so gewählt werden, dass zwischen je zweien die Relation (3.) besteht. Wie man aus einem Fundamentalsysteme alle übrigen ableiten kann, erkennt man durch folgende Betrachtung: Bilden A, A 1 , ••• A2e+1 ein Fundamentalsystem, und bezeichnet man mit .;EA eine Summe von ,u verµ

schiedenen dieser 2(> + 2 Charakteristiken, so kann jede Charakteristik und zwar auf vier Arten in der Form .:E A dargestellt werden, wo µ = O, 1, ... 2(>+2 µ

ist. Ist AAa = Ba (a = 1, 2, ... 2(>+1), so kann jede Charakteristik auf zwei Arten auf die Form .:E B gebracht werden, wo ,u = O, 1, ... 2(>+1 ist. In µ

einer der beiden Darstellungen kommt B 1 vor, in der anderen nicht. Mithin kann jede Lösung der Congruenzen I B1, Xi= 1, 1B2, XI= 1, ... 1Bi, XI= 1 in der Form X.= .:E B = Ba Bp Br ... vorausgesetzt werden, wo keiner der Indices a,

"

ß, r, ... gleich 1 ist. Da

IB1,BaBßBr.l

= IR1,B) +IB1,B11l+IB,,Brl+· .. =µ

ist, so mussµ ungerade sein. Da IB2, BaB11 ... I= IB2, Bai+ IB,, Bpl+··· =µ-1 oder ,u ist, je nachdem einer der Indices a, ß, r, . . . gleich 2 ist oder

37 nicht, so ergiebt sich weiter, dass keiner der Indices a, ß, r, ... gleich 2 oder 3, u. s. w. oder J. sein darf. Mithin sind die wesentlichen Combinationen der Charakteristiken B1.+1 , BH,, . . . B2e+i die sämmtlichen Lösungen jener Congruenzen. Für Ai.+, kann man also jede wesentliche Combination von A1+ i , Ai+2 , ••• A 2e+i wählen, ausser der Summe aller, wenn J. gerade ist. Daraus leitet man leicht den folgenden Satz ab. VI. Sind A, B, C, D 1'ier Charakteristiken eines Fundamentalsystems, ist S ihre Summe, und ersetzt man diese 1'ier durch SA, SB, SC, SD, während man die übrigen unt,erändert lässt, so erhält man wieder ein Fundamentalsystem. Durch wiederholte An11Jendung dieser Operation erhält man aus einem Fundamentalsystem alle anderen.

Will man auf diesem Wege ein gegebenes Fundamentalsystem in ein bestimmtes anderes überführen, so braucht man nur mit den Charakteristiken zu operiren, welche nicht gleichzeitig in beiden Systemen vorkommen. Sind allgemeiner A 1, A 2 , • • • A 21_ irgend 2J. Charakteristiken eines Fundamentalsystems, ist S ihre Summe, und ersetzt man diese 2J. durch SA 1 , SA,, . . . SA,,, während man die übrigen unverändert lässt, so erhält man wieder ein Fundamentalsystem. ( Ist in dem alten System K und in dem neuen K' die Summe aller ungeraden Charakteristiken, so ist K'=K+(J.-l)S.) Befinden sich unter den 2J. +1 Charakteristiken A, A 1, • • • A„ eines Fundamentalsystems x ungerade und x' gerade, so ist nach Formel (9.), §. 1 J

_ _ . 2J.(2J.-1) A A 1 .,.A11.J=2JAr1+2JA,Aa,Aßl=X+ , 2

also weil x+x' = 2J.+l ist, (a.)

-. JAA 1 ... A21, 1 = x-J.

_ =

x-x'+1 2



Befinden sich unter den 2(1+2 Charakteristiken A, A,, ... A2e+i 11 ungerade, und ist K ihre Summe ( oder die Summe der 2(1 + 2 - v geraden), so ist K A A 1 ••• A, eine Summe von 11 +J.+ 1 Charakteristiken, also falls J. 11 ist, die Summe einer ungeraden Anzahl verschiedener Charakteristiken. Befinden sich unter A, A1 , • • • A 1. x ungerade und x' gerade Charakteristiken, so ist K A A 1 • •• A 1. einer Summe von 11-x ungeraden und x' geraden Charakteristiken Aa congruent, und folglich ist

=

(11-x)-x'+t 11-J. IKAA 1 " ' A 1. 1 = 2 =-2-

(J. -

11).

38 Um diese Formel benutzen zu können, muss man den Rest von 11 (mod. 4) kennen. Die Anzahl aller Charakteristiken ist 22e, die Anzahl der wesentlichen Combinationen der gegebenen 2() + 2 Charakteristiken 2. 22e. Da sich unter ihnen keine Charakteristik öfter als zwei Mal findet, so lässt sich jede Charakteristik auf zwei Arten als wesentliche Combination der Charakteristiken Aa darstellen. Durchläuft also V alle diese Combinationen, so ist 2(V)=2e+1, Ist V=AA1 .. ,A2i, so ist, wie oben gezeigt, (V)= (A)(A 1) ... (A 2 i)(-1)' und mithin ist

2i2( V) = (l+i(A)) (l+i(A 1)) ... (l+i(A2e+1))-(l-i(A)) (l-i(A 1 ) ... (l-i(A2e+il) = (1-i)" (l+i)2e+2- • - (l+i)" (l-i)2e+2- • = 2e+ 1 ie-•+ 1 (l+ (-l;e-•), also 2

= ie-• (1+ (-l)e-•) und folglich (6.)

'II

=

(mod.4).

(l

Demnach ist (7.)

Durchläuft ,u nur diejenigen der Zahlen O, 1, . . . 2Q + 2, welche congruent sind, so stellt ..!' A und ebenso K +..!' A jede Charakteristik zwei Mal µ µ

() +1

dar. Behält man von diesen Formen nur die Hälfte bei, so stellen die Ausdrücke K+..!'A, K+ZA, K+..!'A, e-1

e-s

e-9

die

( 2e+2 )+(2e+2 )+(2e+2 )+ ... e-1 e-5 e-9 ungeraden, und die Ausdrücke K+ZA, q+I

K+ZA, q-3

= 2e-1 c2e-l)

K+..!'A, q-7

... ,

(falls man von der ersten Art die Hälfte weglässt) die 1

T

c2e+2 )+(2e+2)+(2p+2 )+ ... = e+1 e-3 e-7

2e-1c2e+l)

geraden Charakteristiken dar. Die Charakteristik K lässt sich durch ein System von 2Q unabhängigen Congruenzen definiren. Ist () gerade, so haben die Charakteristiken K A„ alle denselben Charakter, also ist I K Aa 1 _ K A ! oder 1

(8.)

!K,

AAal

= IAl+IA„j,

((l

= 0),

(a

= 1,

2, .. , 2(>),

39

Ist aber (! ungerade, so haben die Charakteristiken K A2e+i A" (a < 2()+ 1) alle denselben Charakter, also ist (9.)

IK, AA.J- IAAal+1,

((!-1),

(a

= 1,

2, , , , 2(!),

Da die 2() Charakteristiken A A. unabhäng·ig sind, so giebt es nicht mehr als eine diesen Bedingungen genügende Charakteristik K, und diese muss daher der Summe aller ungeraden Charakteristiken des gegebenen Fundamentalsystems congruent sein. Ist C eine beliebige Charakteristik, so bilden nach Formel (7.), §. 1 CA, CA 1 , ••• CA 2e+i ebenfalls ein Fundamentalsystem, und zwar ein von A, A 1 , • • • A 2e+i verschiedenes, falls C von O verschieden und (! > 1 ist. A3, so wäre AA 1 A 2A 3 == 0. Denn wäre CA== A 1 (also CA 1 == A), CA, 2 Die 2 e Fundamentalsysteme, welche man aus einem erhält, indem man zu seinen Elementen der Reihe nach alle 22 e Charakteristiken C addirt, nenne ich einen Complex von Fundamentalsystemen. Nach (4.) ist die Anzahl dieser Complexe gleich (2 2e-1)(2 2e- 2 -1) ... (2'-1 )2re

(10.)

1.2.3 ... 2()+2

Aus den Congruenzen (8.) folgt jCK, CACA„I ~

jCAl+ICA.i

und aus den Congruenzen (9.)

IK,

CACAal -

jCACA„I

+1.

Die Summe aller ungeraden Charakteristiken des Fundamentalsystems CA, CA 1 , ••• CA2e+i ist daher, falls (.l gerade ist, gleich CK, und falls (.l ungerade ist, gleich /{. Durchläuft v nur diejenigen der Zahlen O, 1, . . . 2(.l + 2, welche der Congruenz v - (.l (mod. 4) genügen, so stellt der Ausdruck K + ~ A, wie sich mittelst der Gleichung y

)+(2p+2)+( 2()+2 )+ .. · +(2()+2 )+( 2()+2)+· .. = ( 2(1+2 p p+4 ()+8 (J-4 (l-8 leicht erg·iebt, jede Charakteristik und jede nur einmal dar. C

und

v

= (.l

=

=

2 2e

Ist

KAA •... AY-1

(mod.4), so ist nach Formel (7.)

!CA.I 1, (a = O, 1, ... v-1), i CAßl 0, (ß = 11, v+1, ... 2Q+l). Unter den 2Q+2 Charakteristiken CAr sind also genau v ungerade ent-

40

halten.

Ist also

11

irgend eine Zahl, die

(u)-¾SJ,(u)+¾g2u,

Durch nochmalige Integration findet man daraus 18g3 aloga(u) a 9,

oder (30.)

Setzt man

+g2 alogu(u) a -_ 2

9,

3

~

(

)2

r u -

3

~

fJ ( u ) +81 g2u2

811(u) +g,-a--~a 2 au(u) 3 "( J+ 1 ' ) 18g3-aU sU2U2 a\u. 9,

9,

ar = l'i ( u, w, w ') ' -a ar, = r, (u, w, w ,), -..,ow w

so ist den Formeln (13.J, (29.) zufolge

= ½f>'( u)-T'l" g2u, f>'(w) = O, r(w) = 17 ist,

1Jr, (u) + 1/r2 ( u) +r (u) r'( u) Für u = w erhält man daraus, weil

17 (r1 (w) +r'(w)) +1/r2(w)

=

- r1~ g2w

oder

*) Die Art, wie Herr W eierstrass in seinen Vorlesungen diese Differentialgleichungen ableitet, findet man von Herrn Simon, dieses Journal Bd. 81, S. 311 auseinandergesetzt. Vgl. Weierstrass, dieses Journal Bd. 52, S. 352.

71

Aus dieser Gleichung und der analogen für r/ ergiebt sich die zweite der Formeln (31.) Mithin ist

oder nach (7.) a(1J, 1J1) (32 .)

1

"°a(w,w')=-n,g 2 '

a(w, CtJ') 12 8(11,n')=-g,,

8(11, 11') _ in g, o(g„g,)- 32 g,-·

In Verbindung mit den Gleichungen (21.) folgt daraus (vgl. Klein, Math. Ann. Bd. XV S. 86.) a'Iogg.

(33.)

aw•

Ist

=

e

4( t/W~~>J' Variabeln, und setzt man für n,, . . . ne alle Systeme ganzer Zahlen von -· bis + x, so ist '.X)

fJ• ( u 1 ,

•••

u~ )

= ...."'eG(u

1, ••• u 11

, n,, ... n~)

die allgemeinste Thetafunction von {> Variabeln. (Vgl. Schottky, Abriss einer 'l'heorie der Abelschen Functionen von drei V ariabeln.) Damit die Reihe convergent sei, ist nothwendig und hinreichend, dass, falls G

=

in.Ir 0 ßnanß+in.Ia0 ßnauß+ ... u,/J

a,ß

102

und Taß = 'Paß+il/luß ist, die Form iF = 21fJ.ßnanß eine positive Form ist*). Ist ferner die Determinante (>ten Grades I a p 1 = O, so wird die Function, abgesehen von einem Exponentialfactor e9 cu,. ...•e) aus einer allg·emeineren Thetafunction erhalten, indem man für deren Variabeln lineare Funetionen von (> anderen Varia beln mit verschwindender Determinante setzt. Ich nehme daher an, dass diese Determinante von Null verschieden ist. Die den Variabeln u1 , • • • ue entsprechenden 2(1 Systeme simultaner halber Perioden w,ß, ... wµß ((3 = 1, ... 2(1) der Function fJ sind aus den linearen Gleichungen (a, ß=l, ... e) (1.) 0

f wa, r.,f/

(2.)

=

wa,e+fl

zu berechnen, wo E•ß = 1 oder O ist, je nachdem a und schieden sind. Aus den Gleichungen Ta/i = Tßa (3.) ergeben sieh zwischen diesen Perioden die Relationen (4.) f(w ,Wp,~+ -wa,Hlwß,) = Ü.

ß

gleich oder ver-

0

Da I a.til von Null verschieden ist, so ist es nach (1.) auch Jwap[· Um die Convergenzbedingung der 'l'hetareihe durch die Perioden auszudrücken, setze ich

-) (:J.

also c~'t =

Sind

Cpa·

I, (wa,wß,e+i. coi . -wa,e+iWß/. eo)) = - 2zc.ß, .

X1, . . •

xe complexe Variabeln und ist W;_

= Ix.w. 1, a

so ist nach (2.) und mithin - 2i3 C

0

px. x~')

=f

(w,wfZ 1-we+ 1.wf'l) =

3' (w w~')T~j)-w).°l wx 1

T,.;.)

= Lx,l (7,C"l_ T ) w wC"l x). xl • l , also (6.)

LcapX 0 u,ß

x~') = Iy;,;w„wf'\ ,,l

und mithm ist die Form C = 2 c.pxa Yß, in der plexe Grössen sind, eine positive Form.

caß

und



c1

conjugirt com-

:) Nach_ einem S~tze des Herrn Weierstrass (Berliner Monatsberichte 1858) verschwmdet die Determmante [q;.p+rv,.,~[ nur für reelle Werthe von r, ist also für r = i von Null verschieden.

103

Ist umgekehrt ein System von 2Q Grössen w.ß gegeben, das den Gleichungen (4.) genügt, und für das C eine positive Form ist, so lässt sich eine eonvergente Thetareihe bilden, welche diese Grössen zu halben Perioden hat. Zunächst ist die Determinante Qten Grades Iw.ß l von Null verschieden. Denn sonst könnte man den Variabeln x. W erthe beilegen, die nicht sämmtlieh verschwinden, für die aber die Q linearen Functionen (l = 1, ... Q) alle Null wären. Dann wäre auch wi"l = O, und folglich würde

w,

C

=

0 l,-w. ,wC"l) _!_z(w,wC 2 l • ~+· ~+!. ,l

verschwinden, wider die Voraussetzung. Daher kann man aus den Gleichungen (1.) und (2.) die Grössen von einander unabhängige Variabeln sind, so ist nach (6.) die bilineare Form :Ev 1• 1.w,wrl mit conjugirt complexen Variabeln eine positive Form, also auch die quadratische Form 2::,p",in, n; mit reellen Variabelu. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Couvergenz der Thetareihe besteht daher darin, dass C eine positive Form ist. In dieser für die Transformationstheorie besonders bequemen Gestalt ist sie schon von Riemann ( Abelsche Functioneu § 21) angegeben worden. (Vgl. auch Scliläfti, dieses Journal Bd. 76, S. 155, sowie den dieses Journal Bd. 94, S. 9 citirten Satz des Herrn Weierstrass) Durch conjugirt complexe Substitutionen kann die Form C in E = :Ex. y. transformirt werden, in cler c.p = E p ist. Eine lineare Transformation der Variabeln x. kann aber durch die contragrediente Transformation der Variabeln u ersetzt werden. Da durch eine solche die Thetafunction wieder in eine Thetafunction übergeführt wird, so gilt der Satz: UI. Die Variabeln einer Theta{unction kann man so wählen, dass zwischen ihren Perioden nicht nur die Gleichungen (4.), sondern auch die Relationen

w,, ...

0

0

bestehen. § 3.

Die Relationen zwischen den Parametern 1: p und -;;aß zweier Thetafunctionen, deren zweite durch eine 'l'ransformation nter Ordnung aus der ersten entsteht, ergeben sich durch Elimination der () 2 Grössen ,u.p aus den 0

104

Gleichungen (1.)

a.ß+f rai.ae+A,ß

= fluß,

aa,e+ß+f ra,ae+A,e+ß

=

f,ua,'Tlß•

Zwischen den in diese Relationen eingehenden ganzen Zahlen aaß bestehen die Bezielrnngen (2.)

.f(a1.aae+i,ß-ae+\a a1.ß)

= ni.ß,

f(aai.a/J,e+J.-aa,e+Aaß!_)

=

ni„p,

wo (p = + 1 oder -1 ist, je nachdem ß-a = +(> oder -Q ist, und in jedem andern Falle i„ß = 0 ist. Ist J das System der 4(> 2 Grös8en iaß, so ist (vgl. d. J. Bd. 89, S. 40.)

J-1 = J' = -J.

J2 = -E,

(3.)

Ist A das System der 4Q 2 Zahlen a

0

ß,

so nenne ich die Transformation,

durch welche die Parameter r.ß in T„ß übergehen, der Kürze halber die Transformation A. Die Formeln (2.) können dann in (4.)

A'JA

= nJ,

AJA'

= nJ

zusammengefasst werden. Sei nun in leicht verständlicher Bezeichnung (vgl. Laguerre l. c.)

A=

c; !),

E =

ci· 1),

J

=

c~ !),

wo die grossen griechischen Buchstaben Systeme von (> 2 Grössen bezeichnen, nämlich E die Grössen faß, die gleich 1 oder O sind, je nachdem a = ß ist oder nicht, A die Grössen aaß (a,ß = 1, 2, ... Q), B die Grössen aa,e+/J u. s. w., und wo O ein System von (> 2 verschwindenden Elementen ist. Die Systeme A, B, 1~ d nenne ich der Reihe nach den 1., 2., 3., 4. Quadranten des Systems A. Da A

,

=

(A'

B'

I''

,1')

ist, so folgen aus (4.) die Relationen A' I'-l''A

(5.)

= 0,

!

AB'-BA' =0,

= o, A'd-l"B = nE, Ad' -ßl'' = n E, d'A-B'l'= nE, dA'-l'B' = nE. B'd-d'B=O,

l'd'-.dl''

Sind M, T und 1' die Systeme der Grössen ,llap, r.p und r.ß, so ist den Gleichungen (1.) zufolge (6.)

A+Tl'=M,

B+Td=MT.

105

Durch Vertauschung von i mit

-i

ergiebt sich daraus

B+ T,,d = JYl„T.,,

A+1;J'= M,,, und mithin ist

oder wenn mau

p=

CEE 1') T 0

p = (E !_)

E 1~ '

'

M

= (M O ) 0 M0

setzt, PA

(7.)

= MP.

Ist M ein (zerlegbares) System, in welchem der zweite und dritte Quadrant verschwinden, so ersetzt diese Gleichung die Beziehungen (1.) zwischen den Parametern r so ist

0

ß

und

r- r, 0

T ) (-1' (E E T E

0

,,

vollständig. Ist T = o

127

sein muss.

Ist f(x, J..)

=

axl+b(x+i)+c,

so ist der Ausdruck in der Klammer gleich knf(l.,)(x-Ä.)2-f(l)f(x, l„)2. Mithin ist die Determinante (B 2 -AC) dieser quadratischen Function von x gleich f(J.., J...,)2f(J..)f(J..11)kn, also negativ, wenn k negativ ist.

Derselbe Ausdruck ist aber auch gleich

f(l, l.,)[2nk(x-J..)(x-J..o)-f(x)f(J.., J..o)]. Da k negativ ist, so sind die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 reell. Für eine solche ist aber der Klammerausdruck negativ. Also ist er eine negative Form von x, und die Ungleichheit (12.) ist für alle W erthe von x erfüllt, wenn (13.) ist.

qf(J.., J...,)


aß4foa[i5X45

(450a f 450/3{45a{i

Multiplicirt man mit xo,

Xoa

__ Xo[i _

fcia45

+

fci{it5

Xaß

,

f a{i45

und addirt die drei so erhaltenen Gleichungen,

fc>rt5

so findet man Xo1X23

+

fom(m5 X45

X(riX31

+

Xu3X12

fu245f3145

(c,345{ms

[ {umfo23sX111 +·f.>314/j1315X1ri +

f4su1 {45(flf4503

fm5

fu124fu125X1JJ]

(3145

fi245



Nach Formel (8.) § 3 ist die letztere Summe gleich f.

f.fxof, , und

lieh ist (8.) -{X45Xo7

/u145{0167/.rm{0267X03Xn•

4523 4531 4512

= f.m5/.J267/.i345/.J367Xo1X23+ /0345f.,301f.,145f.1rn,X02X31 +

folg-

Allgemeiner gilt die Gleichung (9.)

l

X111X. 23.yo1y23 +-X_o2_X~3_1Y~o~2Y_3_1 +

ll{,ri41.f3141

llfo14if234l

=

X45_Xr.7~Y67 +

X46X1sy41;y1s

ll(45UK(6i0K

llf4floJK(750x

X03X12YmY12

flfu341(ml

+ X47XsoY•7Y56 ll(470K(5fl.)Y.

l

wo sich x von 1 bis 3 und }. von 5 bis 7 bewegt. (In den Nennern sind die Indices O und 4 nur scheinbar bevorzugt.) Demnach gehören die sechs Linienpaare, welche man erhält, indem man je eine der sechs quadratischen Fnnctionen (10.)

Xu1X23,

X(riX31,

X03X12,

X45Xo1,

X40X75

gleich Null setzt, alle demselben Kegelschnittnetze an. zeigen, berührt ein Kegelschnitt dieses Netzes PXo1X23+qxo2X31+rxmX12

die Curve F = 0 in vier Punkten, falls

_!_ + _!_ +..! p

q

r

=

0

=

0

X47X56

Wie leicht zu

343

ist, und jeder andere Kegelschnitt desselben geht durch die acht Berlihrungspunkte von zwei Berührungskegelschnitten hindurch. Die Jacobische Covariante eines solchen Netzes definire ich durch die Gleichung ( ) _ 8(XapX7 ,l, Xa 7 X,lp, Xa,)Xp 7 ) 2 1.z G ( l 1.) m aßy/J aßy,l X 8(x', x", x"') ' so dass GaßrJ das Zeichen wechselt, wenn man zwei Indices mit einander vertauscht, und dass sich G„ 123 von G45 ,; 7 nur durcl1 einen constanten Factor unterscheiden kann (§ 8, (2.) ). Sind die Indices nicht alle unter einander verschieden, so bedeutet das Zeichen G„p,,i die Null. Durch Ausrechnung der Functionaldeterminante findet man in derselben Weise wie oben

mf;p,,1Ga,3rJ = [a/3, ar, av]x,JXJ,,Xßy+[a/3, v(3, f3r]x,JXu.yXa,l +[rJ, ar, /3y]x„pX,)pX J+[rJ, vß, ao'Jxa;1X ,X,3y = [rJ, J/3, /3y]xa,,Xa,XaJ+[)'V, ay, aä]xapXJpX,, 7 +[a(:l, J/3, aV]X,,\X,qX11 ;.+[a/3, ar, /3y]xy,)X,JpXa,\, 0

0

und folglich (vg·l. Aronhold, l. c. S. 517)

(12.) und, wenn

(13.)

Ä

la(iroGaßyö = XpyX,,jX,J;1+x,,5X,10.Xay+xJo.Xa,gXpö+x,,.,,x,3,X,o. ß, r, J verschiedenen Indices durchläuft,

die vier von a,

f-l!a,3yÖ Gaßy,1 = (IIfßr,l;)xaßXa,x„J+( fl {a;-Si)XpaXß,Xp,J

l

+ (n laß,l/)xro. Xyl)x,s+C [lla,,,,)X,J„XJpX,J,'

Die seel1s Paare von Doppeltangenten (4.) bilden eine Steinersche Gruppe, von der ich sagen will, sie gehöre zur Charakteristik [01]. Ebenso bilden die sechs Paare von Doppeltangenten (10.) eine Steinersche Gruppe, die zur Charakteristik [O 12 3] gehört, so dass die beiden Charakteristiken [O 12 3] und [45 6 7] als gleichbedeutend zu betrachten sind. Ich habe D. § 6 die drei Doppeltangenten aaß, aßn a,s, deren Berührungspunkte auf einem Kegelschnitt liegen, syzygetisch genannt, und ebenso die drei DoppelDagegen habe ich die drei Doppeltangenten tangenten ax 1 , aµ,, a~a· aaß, aa,, aa,1, deren Berührungspunkte nicht auf einem Kegelschnitt liegen, azygetisch genannt, ebenso aß;-, a,a, aaß und aaß, axi., axµ· Jetzt will ich zwei verschiedene Steinersche Gruppen syzygetisch oder azygetisch nennen, je nachdem ihre Charakteristiken eine gerade oder ungerade Anzahl von Indices gemeinsam haben. Azygetisch sind also [aß] und [ar], [aß] und [adµ]= [ßrJv], [aßp] und [a/1rl]. Syzygetisch sind aber [aß] und

344

[rc>'J, [aß]

und [aßrc>'], [aßrc>'] und [1Yßid.J. Unter den 63.31 Paaren, die sich aus den 63 Steinerschen Gruppen bilden lassen, giebt es 63.15 Paare syzygetischer Gruppen und 63.16 Paare azygetischer Gruppen (Steiner l. c. V.) Eine Steinersche Gruppe enthält zwölf Doppeltangenten, welche in sechs Paare conjugirter Geraden zerfallen. Zwei syzygetische Gruppen haben vier Gerade gemeinsam, z.B. die durch [0123] und [0145] charakterisirten Gruppen die vier Doppeltangenten

(14.)

ao1,

a23,

a4s,

ali7,

von denen je drei syzygetisch sind, und von denen je zwei in einer der beiden Gruppen oder in der Gruppe [2 345] conjugirt sind. Zwei azygetische Gruppen aber haben sechs Gerade gemeinsam, z. B. die durch [O 12 6] und [O 12 7] charakterisirten Gruppen die Doppeltangenten (lG.)

au,

aw,

,1Ji = N(v-r-(omXr,;+ /1m Vf,JS23f,)53lt:,s1eX0,+ /ms Vt:14l3f,mi[omXos),

Ich habe D. § 10, wo ich den Index O bevorzugt habe, S 06, 07 kurz mit Sti, und Gu6 , u7 mit Rr;, bezeichnet. Dass diese Function mit G,,6 - Go 7 identisch ist, lässt sich auf dem dort eingeschlagenen Wege am einfachsten aus der Gleichung (10.) § 8 erkennen. Wendet man jene Formeln aber auf die 67 · · h ung· D etermmante x ' \1 5 1 2 3 ) au, so er ha"lt man d'ie Gl e1c f (f.,m Goi+ Gom?

(12.)

f/m

363 Hier ist (13.)

{.;235 X15

f;135X15

/i13i X1i

{.;315X25

/'/urnX25

~!17X21

{.;125X35

/u2i.26XJ6

{u2i27 X37

=

(2

-fi-(/om Gu,+ G"m) 0567

und (14.) /S,14,0123 = N(l1/u235f.12J6{.J237Xo1 + Vf.,J1s{mw{omXu2+ V/0125f.J126/1J12,X1JJ)• Die Anzahl der Systeme von sechs Doppeltangenten, wie sie in den Gleichungen (8.), (3.) und (12.) auftreten, ist 168+280+560 = 1008. § 11. Relationen zwischen den Covarianten Ga und den Wurzelfunctionen.

Ist F = O, so folgt ans der Gleichung (4.) § 10 die Relation

± 2/IYxx!. = Ga,b = Ga-Gb. Die hier auftretenden Vorzeichen findet man auf folgendem Wege. Nach Formel (10.) § 5 und ( 4.) § 8 ist (1.)

f {a'ß'/1. G„p,!,

= 2V X,,yX,aXa 1,Xß'/X/v.'Xa'ß',

und folglich

(2.)

lafJ,a Gaßre-faßre Ga,9,a

= 2d xß,x:x:pX1,uXµ,x:;,

wo 15 = + 1 oder -1 ist, je nachdem cxfJyxlp(! symmetrische Functionen jener 2p --3 \V urzeln von 'f = 0 sind, so erfordert die Bestimmung von K, falls die Wurzelfunctionen erster Ordnung bekannt sind, nur noch rationale Operationen (vgl. C 1 e b s c h und Gor da n, 1. c. S. 266). Man kann aber die Nullpunkte der gegebenen Thetafunction auch leicht direct bestimmen, indem man sich der merkwürdigen Formel bedient, welche für den Fall p = 3 Herr Web e r (Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht 3; § 24) und allgemein Herr N ö t her (Math. Ann. Bd. 28) entwickelt hat. Sei x 0 , x 11 • • • x 2p-s irgend ein vollständiges Punktsystem erster Gattung und seien y0 , .1fu .•. y 2 P- 3 2p- 2 ganz beliebige Punkte. Seien V'r,{,, .. ,f/y{xaf/'rfxaflr', (8.) wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem xx' aa' ßß' rr' eine eigentliche oder uneigentliche Vertauschung der Indices O, 1, . . . 7 ist. Nach (15.) § 4 ist (9.) und mithin c15 g1"l/-](c11121{.,12i)

c3 g2caflr/lfaf/rd

=

±E.;_,,,go.figargaiJgflrgfl,)gr,l

= -(012)(1, 2)(2, 0)(0, l)E(g,2g20goi)3(llg111)(llgu)(llg21.),

wo l. z. B. in dem Producte llg11 , alle von O verschiedenen fodices durchläuft. Nach (11.) § 4 ist also

(10.)

C4

f/If.,m = (012)(1, 2)(2, 0)(0,

l)Efg,~,,.,.

Ferner ist C18g12 C01 34 Cu142 Cu121 C0167 Co1 ;s Cms6{0114/u142{0123{uw; /.n;s/.11sü = -E(01)(0234, 1234)g~1 (g34g42g21)(gmg1sg,r,)( llgu,f(llgu)' und mithin nach (1.) und (11.) § 4

(11.) c4 f.,mf.,mf.1123f.11u1f.1m/01sü = -(0234, 1234)/gi1C~234 c; 234 • Nach Formel (4.) § 6 ist (567 7 2) 90,_1_,_2_ COU,!_0013_4_(134 + ·. • 934.

fo134

···+(567, 234) tf•-9••_,,_!4_ CUl1111· Nun ist aber nach (18.) § 4 und (11.)

01

(567, 234)c2 gg11,1,2nfumfom{omf.n67fom/111w Ferner ist (567, 2)cco114gg11,1,z/11m{msfmH/234; = E111(k567)cumCm.fg34g~,.

422 Denn multiplicirt man diese Gleichung mit / 2340 / 2341 , so geht sie nach (10.) § 4 und (10.) iiber in

gmg12g34g~3g~i f2567 Cum/,,m) = -c3 g2 g„1 (f1s67 Cum{om)(fo561C1m{1m), welche mit Hülfe der Gleichung (9.) leicht zu verificiren ist. Demnach ist (12.) Nach Formel (7.) § 6 ist

' Eo1(k4)(23, 567)c0234 C1234 9c°' 567)c flo,,__,.__ ~~a 9 l/-'01 = (9.34 w ' 0123 Yn fo123 23 2:7( A) iro1H a 234 + ; s 1 Cm4J, go,1,23, g4 , foi 4 ; 41 • Nun ist aber, wie aus der zweiten oben benutzten Formel durch Vertauschung der Indices 2 und 4 hervorgeht, (4, 567)cco123ggo,1,4/,Jl23/234,f2341/2m und nach (22.) und (23.) § 4

=

Eo1(k4)c„mC1m/g23g~1

(234, 5)cc„mggo,1,m/,1m/2m

und folglich (13.)

=

/,n2J 1/-101

Die Glieder der ersten Dimension in der Entwicklung von a.fi(u) seien, wenn man ,, durch x ersetzt, Da die Entwicklungen der Functionen 1/1.iu) und 1paßrJ(u) mit den Gliedern der dritten Dimension anfangen, so folgt aus den Gleichungen (1.) § 7, (12.) und (13.) (15.) (16.)

_x,. fo1a