Faisceaux pervers

Table of contents :
Résumé......Page 3
Table des matieres......Page 5
Préface à la deuxième édition......Page 7
0. Introduction I......Page 8
0. Introduction II......Page 14
1.1. Catégories triangulées......Page 25
1.2. Sous-catégories abéliennes......Page 34
1.3. t-catégories......Page 36
1.4. Recollement......Page 50
2.1. Espaces stratifiés......Page 63
2.2. Schémas......Page 73
3.1. Catégorie dérivée filtrée, filtrations canoniques et filtrations bêtes......Page 83
3.2. Localisation......Page 92
3.3. Cohomologie entière......Page 105
4. La perversité autoduale : propriétés géométriques......Page 108
4.1. Morphismes affines......Page 109
4.2. Exactitudes et adjonctions......Page 114
4.3. Objets simples .......Page 119
4.4. Cycles évanescents (estimations supérieures)......Page 121
4.5. Estimation de nombres de Betti......Page 124
5.1. Rappels de [1]......Page 129
5.2. Une réciproque......Page 136
5.3. La filtration par le poids......Page 141
5.4. Complexes purs......Page 147
6.1. Principes......Page 155
6.2. Exemples......Page 166
Bibliographie......Page 173
Index terminologique .......Page 175
Index des notations......Page 177
Appendix......Page 179
Errata et addenda......Page 185
Bibliographie additionnelle......Page 191

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ASTÉRISQUE 100

FAISCEAUX PERVERS

Alexander Beilinson Joseph Bernstein Pierre Deligne Ofer Gabber

Société Mathématique de France 2018 Publié avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique

A. Beilinson Department of Mathematics, University of Chicago, 5734 S. University Avenue, Chicago, IL, 60637 USA. E-mail : [email protected] J. Bernstein School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, Tel Aviv 69978 Israel. E-mail : [email protected] P. Deligne Institute for Advanced Study School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, New Jersey 08540 USA. E-mail : [email protected] O. Gabber IHÉS, Le Bois-Marie, 35 route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette France. E-mail : [email protected]

Classification mathématique par sujets (2010) 18E30 : Derived categories, triangulated categories ; 19F27 : Étale cohomology ; 32S60 : Stratifications ; constructible sheaves ; intersection cohomology ; 55N33 : Intersection homology and cohomology ; 32S30 : Deformations of singularities ; vanishing cycles. Mots clefs. — Catégorie triangulée, catégorie dérivée, t -structure, cœur d’une t structure, stratification, faisceau constructible, faisceau  -adique, faisceau pervers, foncteur de prolongement intermédiaire, perversité autoduale, cycles évanescents, théorème de pureté du prolongement intermédiaire, théorème de décomposition, théorème de Lefschetz difficile relatif, poids, complexe pur, complexe mixte.

La Société Mathématique de France remercie la cellule Mathdoc dans le cadre de son programme NUMDAM pour l’aide apportée à cette édition.

FAISCEAUX PERVERS Alexander Beilinson, Joseph Bernstein, Pierre Deligne, Ofer Gabber

Résumé. — Ce volume présente la théorie des faisceaux pervers. Les définitions et les propriétés de base des t -structures sur les catégories triangulées sont données dans le premier chapitre. Le second chapitre introduit les faisceaux pervers et le foncteur de prolongement intermédiaire (pour toute perversité), tant dans le cadre des espaces stratifiés que dans celui des schémas. Le troisième chapitre traite de divers sujets complémentaires (catégories dérivées filtrées et foncteur de réalisation, localisation dans la catégorie dérivée des faisceaux). Le quatrième chapitre rassemble des propriétés de base des faisceaux pervers pour la perversité autoduale. Le cinquième chapitre est le cœur de ce livre. Il est consacré à l’étude des faisceaux  -adiques pervers mixtes sur les variétés sur un corps fini ; il contient notamment le théorème de pureté du prolongement intermédiaire, le théorème de décomposition, et le théorème de Lefschetz difficile relatif. Le sixième chapitre explique comment utiliser les résultats du chapitre précédent en géométrie algébrique complexe. La présente édition comprend une liste d’errata et d’addenda, une bibliographie additionnelle et un appendice sur la t -exactitude de certains foncteurs utiles. Abstract. — This volume presents the theory of perverse sheaves. Definitions and basic properties of t -structures on triangulated categories are given in the first chapter. Perverse sheaves and the intermediate extension functor (for any perversity) are introduced, in the settings of stratified spaces and of schemes, in the second chapter. The third chapter treats some complementary material on filtered derived categories and the realization functor, and on localization in the derived category of sheaves. The fourth chapter collects basic facts about perverse sheaves for the middle perversity. The fifth chapter, which is the core of the book, considers mixed perverse  -adic sheaves on varieties over a finite field; it contains, in particular, the theorem about purity of the intermediate extension, the decomposition theorem, and the relative hard Lefschetz theorem. The sixth chapter explains how results of chapter five can be used in complex algebraic geometry. The present edition includes a list of errata and addenda, an additional bibliography, and an appendix on t -exactness of some useful functors.

k Astérisque 100, SMF 2018

TABLE DES MATIÈRES

FAISCEAUX PERVERS A.A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne & O. Gabber

Préface à la deuxième édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Sous-catégories abéliennes d’une catégorie triangulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1. Catégories triangulées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Sous-catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3. t-catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2. Faisceaux pervers sur les espaces stratifiés et sur les schémas . . . . . . . . . . . . 52 2.1. Espaces stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2. Schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3. Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Catégorie dérivée filtrée, filtrations canoniques et filtrations bêtes . . . . . . 3.2. Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Cohomologie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 72 81 94

4. La perversité autoduale : propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1. Morphismes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2. Exactitudes et adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3. Objets simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4. Cycles évanescents (estimations supérieures) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5. Estimation de nombres de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5. La perversité autoduale : poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.1. Rappels de [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2. Une réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3. La filtration par le poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.4. Complexes purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

vi

6. de F à C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1. Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Index terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Errata et addenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Bibliographie additionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

ASTÉRISQUE 100

PRÉFACE À LA DEUXIÈME ÉDITION

Ce volume est une réédition de l’ouvrage Faisceaux pervers, publié dans Astérisque 100 comme premier volume des actes de la conférence « Analyse et topologie sur les espaces singuliers », qui s’était tenue à Luminy du 6 au 10 juillet 1981. Le texte original, inchangé, est complété par un bref appendice, une liste d’errata et d’addenda ¹, et une bibliographie additionnelle. Comme expliqué au début de l’introduction, Ofer Gabber n’avait pas voulu figurer comme coauteur d’Astérisque 100. Les auteurs sont très heureux qu’il les ait rejoints pour la présente édition.

1. Chaque numéro dans la marge renvoie à un erratum ou un addendum dans la liste de la page 173.

INTRODUCTION

Ces trois volumes (n°100,101,102) réunissent les actes du colloque de Luminy (du 6 au 11 juillet 1981) intitulé Analyse et topologie sur les espaces singuliers. Plusieurs thèmes ont été abordés lors de ce colloque et nous allons les décrire brièvement : On sait que les complexes de faisceaux de solutions des complexes différentiels linéaires holonomes et réguliers ont une cohomologie analytiquement constructible. Cette correspondance dite de Riemann-Hilbert établit une équivalence entre complexes constructibles et complexes holonomes réguliers. Dans cette correspondance, à un module holonome régulier est associé un complexe constructible qui a en général plusieurs faisceaux de cohomologie non nuls. Ces complexes constructibles particuliers sont appelés des faisceaux pervers et peuvent être caractérisés en termes purement topologiques. Cette caractérisation à son tour, a un sens pour les complexes constructibles de faisceaux étales sur une variété non nécessairement lisse définie sur un corps quelconque, fini par exemple. On a donc une notion de faisceaux pervers étales et on démontre que cette catégorie de complexes bien qu'elle ne corresponde plus à des modules différentiels est en fait une nouvelle catégorie abélienne. Un des intérêts de ces faisceaux pervers étales est que les théorèmes généraux de passage de la caractéristique o à la caractéristique p pa r spécialisation, permettent d'obtenir des résultats sur les faisceaux pervers sur le corps des complexes, lorsqu'on sait- démontrer ces résultats sur les corps finis. Le complexe d'intersection dont 1'hypercohomologie est 1'homologie d'intersection est un faisceau pervers qui se spécialise sur les corps finis en le complexe d'intersection étale. Or, on a sur les corps finis une notion de pureté des complexes de faisceaux étales en considérant l'action du Froberius sur les tiges de la cohomologie. Le résultat fondamental de Gabber es t que le complexe d'intersection est pur. I l permet en utilisant les théorèmes de Deligne sur le comportement de la pureté par image directe (conjecture de Weil) d'obtenir un théorème de décomposition de l'image directe d'un complexe d'intersection en somme directe de complexes d'intersections à coefficients locaux. Ce thème de perversité, complexe d'intersection, pureté est exposé dans le gros article [ï ] . C'est le thème principal de ce colloque. Un thème dérivé est celui des différentes applications de 1'homologie d'intersection à l'étude des orbites nilpotentes [3] , à la théorie de Morse pour les espaces singuliers [6] , et à la cohomologie L de s quotients par les groupes arithmétiques [l5j . Il semble que 1'homologie d'intersection porte dans tous les cas une struc-

1

INTRODUCTION

ture de Hodge, fait qui serait le pendant du théorème de pureté de Gabber . On ne sait pas le démontrer en général, mais dans [VJ on propose une filtration qui devrait être celle de Hodge et dans [5 ] et Q5 ] o n montre que l'interpré2 tation en terme de cohomologie L perme t dans certains cas dobtenir une structure de Hodge. Ces structures de Hodge sur l'homologie dintersection devraient pouvoir se décrire directement sur le module holonome qui lui correspond. C'est ce qu'on tente de faire dans [V] . C'est ce qu'on fait dans DÛ e t [\$\ pour le module holonome correspondant aux cycles évanescents. A ce module correspondant aux cycles évanescents est associé un polynôme dit polynôme de Bernstein , ou b-fonction dans le cas d'un point singulier isolé. Dans \_9~^ on relie ce polynôme à l'action de la monodromie sur les espaces de cycles évanescents. Enfin les autres conférences se regroupent autour des thèmes : caractéristiques d'Euler Poincaré localesou globales[lQj , , , et cycles évanescents D? ] et p4] . f

T

Les Organisateurs,

B.TEISSIER Ecole Polytechnique Département de Mathématiques 91128 Palaiseau Cedex

2

J.L.VERDIER Ecole Normale Supérieure Département de Mathématiques 45 rue d'Ulm 75005 Paris

TABLE GÉNÉRALE

VOLUME 1 -

[1]

ASTÉRISQUE № 10 0 (1982)

A.A. BEILINSON, J.BERNSTEIN, P. DEL IGNE -Faisceaux pervers Introduction Sous-catégories abéliennes d'une catégorie triangulée. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Catégorie s triangulées. Sous-catégorie s abéliennes. t-catégories . Recollement .

Faisceaux pervers sur les espaces stratifiés et sur les schémas. 2.1. Espace s stratifiés. 2.2. Schémas . Compléments. 3.1. Catégories dérivée filtrée, filtrations canoniques et filtrations bêtes. 3.2. Localisation. 3.3. Cohomologie entière. La perversité autoduale : propriétés géométriques. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Morphismes affines. Exactitudes et adjonctions. Objets simples. Cycles évanescents (estimation s supérieures). Estimations de nombres de Betti.

La perversité autoduale : poids. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Rappels de [1 ] Une réciproque. La filtration par le poids. Complexes purs.

De F à (E 6.1. Principes. 6.2. Exemples . Index terminologique. Bibliographie. 3

TABLE GÉNÉRALE

VOLUME 2-3 - ASTÉRISQUE № 101-10 2 (1983)

"[2] J.P BRASSELET, Existence des classes de Chem en théorie bivariante. [3] W . BORHO et R. MAC PHERSON, Partial resolutions of nilpotent varieties. [4] J. P BRYLINSKI, Modules holonomes à singularités régulières et filtration de Hodge II. [5]

J. CHEEGER, Hodge Theory of complex cones.

[ô] M. GORESKI et R. MAC PHERSON, Morse theory and Intersection Homology theory. [7] G . LAUMON, Caractéristique d 'Euler-Poincaré des faisceaux constructibles sur une surface. 1

\j*>\ G . LUSZTIG, Singularities, character formulas, weight multiplicities. £9 ]B. MALGRANGE, Rapport sur les théorèmes d'indice de Boutet de Monvel et Kashiwara. [lOJ B. MALGRANGE, Polynômes de Bernstein-Sato et cohomologie évanescente. [11] F. PHAM, Structures de Hodge mixtes associées à un germe de fonction à point critique isolé. [12] c . SABBAH, Morphismes analytiques stratifiés sans éclatement et cycles évanescents. fl3] M. SAITO, Supplement to "Gauss-Manin system and mixed Hodge structure". [l4] J.L VERDIER, Spécialisation de faisceaux et monodromie modérée. [15] s. ZUCKER, Hodge theory and arithmetic groups.

4

TABLE DES MATIÈRES

Faisceaux pervers par A.A. Beilinson, J. Bernstein, et P. Deligne

0. Introduction

. p

. 7

1. Sous-catégorie s abéliennes d'une catégorie triangulée p.1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

8

Catégorie s triangulées. Sous-catégorie s abéliennes. t-catégories . Recollement .

2. Faisceau

x pervers sur les espaces stratifiés et sur les schémas.p.56

2.1. Espace s stratifiés. 2.2. Schémas . 3. Complément s »

,

p

. 76

3.1. Catégorie dérivé e filtrée, filtrations canoniques et filtrations bêtes. 3.2. Localisation. 3.3. Cohomologie entière. 4. L a perversité autoduale : propriétés géométriques p.10 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Morphismes affines. Exactitudes et adjonctions. Objets simples. Cycles évanescents (estimation s supérieures). Estimations de nombres de Betti.

5. L a perversité autoduale : poids. p.12 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 6. D

1

2

Rappels de [1] « Une réciproque. La filtration par le poids. Complexes purs.

e F à C

.ii. p.14

8

6.1. Principes. 6.2. Exemples. Bibliographie p.16 Index terminologique p

7 . 169

Index des notations p

. 171 5

THEMES a) Perversité, complexe d'intersection, pureté : [1 ] b) Intersection - Applications : [1 ] - [3 ] - K l " T 1 " C ] 8

c) Intersection et Structure de Hodge :[4] - [5 ] - [15 ] d) Structure de Hodge sur R ¥ : [II] - [\3] e) e

t : X

M-

[l4 ] - £2 ] - C?] - [12 ] - [10 ]

6

15

O. INTRODUCTION * Il avait été d'abord prév u que O. Gabber soi t coauteur d u présent article. I l a préféré s'e n abstenir , pour ne pas être coresponsabl e des erreurs ou imprécisions qui s' y trouvent . Il n'en est pas moins responsable d e bien des idées que nous exploitons et le lecteu r lu i est redevable de nombreuses critiques qui, nous l'espérons , ont permis d'améliorer l e manuscrit. Dans [4] , [5],[6] , M. Goresky e t R. MacPherson ont défini et étudié l a cohomologie d'intersectio n d'espace s convenable s X

. Dans [4],

[5], X

es t une pseudo-variété P L =orientée , i.e. pour X

d e dimen-

sion n

, un espace P L admettan t un sous-espace P L ferm é rare E

de dimension _ < n-2 don t le complément est une variété P L orienté e purement de dimension n

. L'espace X

es t muni d'une stratificatio n

S , i.e. d'une filtration par des sous-espaces P L fermé s X ^ (O _< k _< n) , avec X i => X^_^ , Xi~Xi_i un e variété purement de dimension i

, et (X,S ) équisingulier l e long de Xi~Xi_ i • suppos

Xn_-L = Xn_2 . Pour chaque perversité p tiers, telle que p 2 = 0 e t que

e que

(un e suite p2/...,P n d'en -

P-^+i ~ P^ o u P]ç+1 ) ' définissen

t

le ième groupe IH? (X ) d'homologi e d'intersectio n d e perversité p de X

comm e le groupe des cycles singulier s P L d e dimension i

X qu i intersectent selo

d e

n une partie de dimension i-(k-p^ ) a u

plus, modulo une relation d'homologie convenable . Ce groupe est indépendant de S

.

Pour X

norma l ( = à links connexes) e t p

= 0 (resp .

p maximal) , ils montrent qu'on obtient le s groupes de cohomologi e Hn~1(X) (resp . d'homologie Hi(X) ) . Dans [6] , les conditions su r X sont affaiblies, et ils prouvent l'invarianc e topologiqu e de s groupe s IHP(X) . Le cas qui nous intéresse l e plus est celui où la stratificatio n S peu

t être prise à strates toute s de dimension paire, et où p

es t

la perversité intermédiaire , donnée avec le s notations ci-dessu s par P2k = k-1 (e t P2k+ i = k"1/ o u k / indifféremment). Nous noteron s IHi(X) le s tensorisés avec Q de s groupes obtenus. Ils vérifient l a dualité de Poincaré ([4 ] [5]). Après extension des scalaires de Q à 2 IR , on peut le s interpréter comme des groupes de cohomologie L

(voi r

l'exposé deJ.Cheeger à cett e conférence) . Soit X(Œ ) l'espac e topologiqu e (topologi e usuelle) sous-jacen t à un e variété algébriqu e complex e normale connexe , de dimension com 7

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

plexe n

. On peut prendre 5

à strates algébriques, donc automatique-

ment de dimension réell e paire. Les groupes d'homologi e d'intersection , pour l a perversité intermédiaire , sont donc définis. Pour X

seulemen t

supposée irréductible , de normalisée X~ , nous définisson s IHi(X(Œ)):=IH±(X~(Œ)) . Tensorisés ave c Œ

, ces groupes admetten t une description e n terme

de modules holonomes . Pour l a donner, il nous sera commode d e travailler avec le s modules holonome s algébrique s (module s quasi-cohérents à connection intégrabl e satisfaisant à une condition d e finitud e conve nable) . Supposons X

plong é dan s une variété algébriqu e Z

purement d e dimension complex e d X° l e lie u liss e de X

e t j

. On suppose X

liss e

ferm é dans Z . Soit

l e morphisme d'inclusio n d e X ° dan s

Z . A isomorphism e uniqu e près, il existe alor s su r Z

u n unique mo-

dule holonome irréductibl e à support dans X , noté j,CL o , qui su r o d— n X coïncid e ave c l e module holonome H (0) . Pour X complète , on -xo a IHi(X((C)) 8 Œ = 3Hd+n"i(Z, 0xo)

) .

Au membre d e droite on prend a u choix 1'hypercohomologi e d e Z de l a topologie d e Zariski , à valeurs dan s

^i

*^x°^

'

, muni

OU llnyPerco ~

homologie d e Z(CC ) , muni d e s a topologie usuelle , à valeurs dans le complexe d e De Rham holomorphe à coefficients dan s

Jj

*^x°

" Pour

x

non nécessairement complète , on obtient ainsi l a variante de s groupe s d1homologie d'intersection , obtenu e en considérant de s chaînes locale ment finies . Les groupes d'homologi e d'intersectio n propremen t di t de X((C ) s'obtiennen t e n prenant 1 'hypercohomologie à supports com * pacts d e Z(Œ ) à valeurs dan s (j,*Ûxo ) . Les groupes IHj(X(Œ)) , non tensorisés ave c Œ

, admettent auss i

une description comm e groupes d'hypercohomologie . O n montre que pour X un e variété algébriqu e irréductibl e d e dimension n

, il existe u n

unique objet I C d e l a catégorie dérivé e D(X(Œ),Q ) , à faisceaux d e cohomologie H1(IC ) constructible s e t nuls pour i

£ [-2n,-rj , vérifiant

les troi s condition s suivantes . (a) I l existe u n ouvert de Zarisk i dense U

d e X

te l que su r U(C )

IC soi t isomorph e a u complexe rédui t au faisceau constan t Q

, placé

en degré -2 n . (b) Pou r i

> -2n , la codimension (complexe ) d u support du faiscea u

8

FAISCEAUX PERVERS

de cohomologie H

(IC ) es t _ > i-2n+l .

(c) Toute sous-variét é irréductibl e Z admet un ouvert dense V port 5y(£ ) soien

d e X

, de codimension c

> 0,

te l que les faisceaux de cohomologie à sup-

t nuls pour i -d , H N I C ) a

(cM pou r i

< -d , H £

1

Soit X

1

d e X

, de dimension d

,

te l que

une restriction à V(Œ ) null e ;

(IC ) = 0 . 1

( j c )

un e variété algébriqu e complexe . Nous définissons un fais-

ceau pervers sur X comm e un objet K

d e la catégorie dérivé e

D(X(Œ),Œ) , à faisceaux de cohomologie I^ K constructible s et nuls pour |i | asse z grand (i.e. , K € D (X(Œ),Q)) , vérifiant les condib

tions (b")(c" ) suivante s : toute sous-variété irréductibl e Z de dimension d

, admet un ouvert de Zariski dense V

(b") pou r i

>

(c") pou r i

< -d ,

d e X,

te l que

-d , H ^ C K ) | v ( Π) = o ;

Noter que, pour X

Hy

( Π)

(K) = 0

irréductible , on n'exclut pas Z

= X . Pour X

irréductible, IC / es t un faisceau pervers. La condition (b" ) équivaut à dim Supp E^K j> -i (d'où J^ K = 0 pou r i

> 0 ). Une condition de ce type avait été intro9

A.-A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

duite par M. Artin dan s sa preuve d u théorème d e dimension cohomologi que de s variétés affine s (SG A 4 XIV §2 à 4) . Des conditions d u type (c" ) sont familière s e n théorie de s fais ceaux algébriques cohérents , sous l e nom d e conditions d e profondeur. Les faisceaux pervers n'étan t n i des faisceaux , ni pervers, la terminologie requier t un e explication. Le mot "pervers " n'enchante pa s certains d e nous. I l vient de "perversité" ; dans I H sité" p

P

( X ) , l a "perver -

indiqu e d e combien on permet aux cycles d e dévier d e la

transversalité à une stratification . Pourquo i "faisceau " ? Si on travaille ave c de s coefficients complexe s (plutô t que rationnels : remplacer D (X((E),Œ) pa r D c

de dimension n

c

(X (Œ) , Œ) ) , et que X

, le foncteur

M i•

es t liss e puremen t

çi (M)[n] (complexe d e De Rham

analytique) es t une équivalence d e l a catégorie de s modules holonome s (algébriques) à singularités régulière s ( y compris à l'infini) su r X avec cell e des faisceau x perver s su r X

. Pour X

dans Z

( X ferm é dan s Z ) , il fau t

liss e purement d e dimension d

considérer le s modules holonomes su r foncteur M «

z à

quelconque , plongé

support dans X

y çi* (M)[d] |x(Œ) . Les modules holonome s su r X

e t le liss e

sont des faisceau x (d e P -modules), et leurs propriétés suggèren t x

certaines d e celles des faisceau x pervers. Par exemple le s suivante s (avec à nouveau ( D comm e corp s d e coefficients) . - Le s faisceau x perver s su r X

formen t un e catégorie abélienne .

- C e son t des objets d e nature local e : les catégories de s faisceau x pervers su r le s ouverts d e Zarisk i U

d e X

formen t un champ. Prendre

garde qu'il n'en v a pas de même pour le s catégories dérivée s D^(U( _ ) • Il s'agit de tester sur les H°(U,K ) , pour U affin e étale sur X . Il y a lieu de penser à ce H ° comm e à un groupe de cohomologie de dimension moitié. Pour U affine , il résulte de 4.1.1 que le foncteur K »—* H°(U,K) ( K pervers ) es t exact à droite. On peut rapprocher son rôle de celui des foncteurs "fibre en un point" pour les faisceaux usuels (cf. 4.1.6). Au n° 5.3, nous déduisons de 5.2.1 que tout sous-quotient d'un faisceau pervers mixte de poids < _ w es t encore de poids _ < w (5.3.1) , que le prolongement intermédiaire préserve les poids (5.3.2, 5.3.3) et que les faisceaux pervers mixtes simples sont purs (5.3.4). Si K Q e t LQ son t deux faisceaux pervers sur X Q , le groupe des classes d'extensions (dans la catégorie abélienne des faisceaux pervers) de K par L Q es t Horn(KQ,Lq[1]) , calculé dans la catégorie Dc(Xo ) . Utilisant qu'une valeur propre de Frobenius de poids / 0 ne peut être 15

A A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE égale à 1, on prouve des nullités d'Ext qu i assurent l'existence (et la fonctorialité) sur tout faisceau pervers mixte d'une filtration par

w

le poids W , croissante, avec Gr^ pu r de poids i (5.3.5). Soient KQ dan s Db(XQ,Q£ ) , H 1^ se s faisceaux de cohomologie (des Q -faisceaux) e t PH1K se s faisceaux de cohomologie au sens pervers (des faisceaux pervers). Supposons K mixte . Par définition, i KQ es t de poids _ ^ w s i et seulement si chaque H KQ es t de poids _< w+i . En 5.4.1, nous prouvons qu'il est de même nécessaire et suffisant que chaque ^H 1 (KQ) soi t de poids w+ i (5.4.1) . Par dualité, "poids _> w" peu t aussi se tester sur les ^H1(KQ ) , alors qu'il ne peut se tester sur les H1K Q . En 5.4.5 et 5.3.8, nous donnons deux résultats de semi-simplicité. Dans chaque cas, on part de K Q su r X Q , pur, et la conclusion porte sur l'image inverse K d e K Q su r X : l'hypothèse est arithmétique, la conclusion géométrique. En 5.4.5, on prouve que K es t isomorphe à la somme directe de ses ^H1(K)[-i ] . En 5.3.8, on prouve que chaque PH1K es t une somme directe de faisceaux pervers simples. Compte tenu de ce que la pureté est stable par image directe par un morphisme propre, on en déduit des généralisations des théorèmes locaux et globaux des cycles invariants (5.4.7, 5.4.8, amplifiés par 5.4.9). En 5.4.10, on prouve une version relative du théorème de Lefschetz difficile. Paragraphe 6 . Les résultats du § 5 ont des conséquences géométriques pour la cohomologie des schémas de type fini sur la clôture algébrique 3F d'u n corps fini. Au n° 6.1, nous expliquons des méthodes pour transférer ces résultats de 3 F à ( C . S'il s'agissait d'énoncés élémentaires de théorie des corps algébriquement clos, on pourrait simplement arguer que ( C est isomorphe à un ultraproduit de clôtures algébriques de corps finis. Les énoncés qui nous intéressent ne sont toutefois pas, du moins de prime abord, équivalents à des énoncés élémentaires, et il faut utiliser des résultats, de constructibilité notamment, auxquels on peut penser comme exprimant une certaine calculabilité de la cohomologie £-adique . Au n°6.2, nous appliquons ces principes. Les résultats essentiels sont 6.2.5 , 6.2.8, 6.2.9, 6.2.10. Signalons que sur les points suivants, qui eussent trouvé leu r place dans ces notes, nous avons failli à la tâche. 16

FAISCEAUX PERVERS

- La relation entr e faisceau x pervers et modules holonomes. Comme in diqué dan s cett e introduction, elle a joué un rôle heuristique impor tant. L'énoncé essentie l es t 4.1. 9 (no n démontré ici). - Le s foncteur s cycle s évanescents (sau f un résultat partiel a u n°4.4) Modulo de s définitions d e catégories dérivée s Jl-adique s utilisables, et des définitions d e morphismes "évidents " (i.e. , il reste bien du travail à faire) , on connaît des démonstrations pou r le s énoncés sui vants . a) Soit X RV :

d e type fin i su r un trait (S,n,s ) , et

D^(X,Œ ) • C

D^(X X S,ÇD ) l e foncteur "cycle s proches". I

X, C

S

S

l

Je

est t-exact , en particulier indui t un foncteu r exac t entre catégorie s de faisceau x pervers, et commute à la dualité d e Verdier. b) Si S

es t l'hensélisé e n un point ferm é d'une courbe S- ^ su r un

corps fini , que X/ S provien t par changement d e base d e X- ^ d e typ e fini su r S- ^ e t que es

t un faiscea u pervers mixte su r X- ^ , on

dispose d'une relation généralisan t [1 ] 1.8. 5 entr e le s filtration s par l e poids d e F ^ e t de

n

(F^|X ) , et la monodromie. n

Au n°6.1, nous n'avons pa s non plus exposé comment transfére r d e IF à I

de s conséquences géométrique s d e b ) .

Enfin, nous n'avons pa s traité de l a transformation d e Fourier.

0.0.

Notations e t terminologie . Le lecteu r trouver a à la fin de ce travail u n index terminologi -

que et un index des notations, contenant le s principaux terme s o u notations nouvelle s o u non standard utilisées . Prendre gard e qu'à partir de 1.4 , nous notons en général simple ment f

*

+

i

,f f , , f le f

s foncteurs entr e catégorie s dérivée s de caté-

gories d e faisceau x noté s d'habitude Rf

*

*

i

,Rf (o u L f ) , Rf, e t Rf* ,

3jc

les foncteur s d e même nom entre catégorie s d e faisceau x ordinaires étant notés avec un o

e n exposant gauch e (il s correspondent à la per-

versité 0 ) .

17

A.-A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

1. SOUS-CATEGORIES ABELIENNES D'UNE CATEGORIE TRIANGULEE. 1.1. Catégories triangulées. Pour la définition et les propriétés fondamentales des catégories triangulées, nous renvoyons à J.L. Verdier [10]. Notre but dans ce numéro est d'expliquer les axiomes de Verdier - spécialement celui de l'octaèdre - et de donner quelques compléments. 1.1.1. Une catégorie triangulée est une catégorie additive V, munie d'un foncteur de translation X | • X[l] et d'un ensemble de "triangles" X + Y->Z->X[1], les triangles distingués. On exige que le foncteur de translation soit une auto-équivalence de catégories et que l'ensemble des triangles distingués vérifie les axiomes TR 1 à TR 4 de [10]p:-4. Nous noterons X »—• X[n] le nieme itéré du foncteur de translation (neZ). Dans les diagrammes, une flèche de degré n sera affectée de (n). Les triangles distingués seront souvent notés linéairement : X • Y• Z-ti-i (ou simplement (X,Y,Z) ) pour Z

(1)/ N . y\L >Y et on omettra de marquer (1) la flèche de degré 1, si cela ne crée pas d'ambiguïté. On pose Homn(X,Y) := Hom(X,Y[n]). La catégorie opposée £>°PP de V sera munie du foncteur de translation déduit de l'inverse de X \—• X[l]. Une flèche de degré n :X •> Y fournit donc dans Popp une flèche du même degré de Y dans X. Les triangles distingués de £)opP sont les triangles (Z,Y,X) , pour (X,Y,Z) distingué dans V. Munie de ces triangles, £>opp est triangulée. Ceci permettra des raisonnements par dualité. Dans une catégorie triangulée, tout morphisme f : X-> Y est la base d'un triangle distingué (X,Y,Z) , unique à isomorphisme (en général non unique) près (voir 1.1.10 pour un cas d'unicité). On appellera le 3®me sommet Z le (ou, plus correctement, un) cône de f. Un triangle distingué (X,Y,Z ) donne lieu pour tout T à des suites exactes Hom(T,X) + Hom (T, Y) -> Hom(T,Z) et Hom(Z,T) -> Hom ( Y, T ) + Hom(X,T) ; les triangles distingués pouvant tourner (TR 2 : X S Y X Z + es t distingué si et seulement si Y ¥ Z § x[l] 1 1 l'est) , elles se 18

FAISCEAUX PERVERS

prolongent en suites exactes longues. Les axiomes imposé s aux catégories triangulée s son t motivés pa r les exemples 1.1. 2 à 1.1.5 suivants . 1.1.2. Soient A une catégorie additive, et KA l a catégorie suivant e : ses objets son t les complexes d'objets d e A, et Hom ^(K,L) es t l'en K

semble des classes d'homotopie d e morphismes d e complexes d e K dans L. Le translaté K[l] de K est donné par (K[l])

n

= K

n + 1

,

la différen-

tielle étan t changée de signe. Si Z[l] est le complexe d e X-modules réduit à Z e n degré -1,c'est, avec le s conventions d e signes usuelles, Z[l] ® ^ » Chaqu e suit e exacte court e scindabl e degr é par K

degré de complexes 0 - > K - > L - > M — » 0 défini t un triangle : on choisi t un scindage s : M + L (pa s un morphisme d e complexes), et on défini t le morphisme d e degré 1 de M dans K comme étant ds-sd. Les triangle s distingués son t ceux isomorphes à ceux ainsi obtenus. Le choix de signes fai t coïncide ave c celu i de [10] , et diffère de celui de [7 ] Chi §2 et [8]. Pour tout morphisme d e complexes f : K •> L, il existe f : K ' -> L' , isomorphe à f dans KA, tel que chaque f' : 1

K' - * L ' soi t un mono1

1

morphisme direc t : ajouter à L le complexe homotope à zéro "cône" sur K et à f le morphisme éviden t de K dans son cône. Ceci expliqu e TR 1 : toute flèch e es t l a base d'un triangl e distingué. 1.1.3. Dans [10]p.13-19 , J.L. Verdier expliqu e commen t d 'une catégorie triangulée e n déduire d'autres pa r calcul de fractions»Pou r A une catégorie abélienne , la catégorie dérivée DA est l a catégorie trian gulée déduite d e KA e n inversant le s quasi-isomorphismes. Une suit e exacte court e de complexes 0-> K +

L + M - >0 défini t un triangle dis -

tingué dans DA([10] p.31) . 1.1.4. Plus généralement, soit A une catégorie exact e au sens de (D. Quillen,Higheralgebraic K-theor y I(p.15-16) , dans Algebraic K-theory I , p.77-139, Lecture Notes i n Math. 341 (1973)) . C'est une catégorie additive, munie d'une classe E de "suite s exactes courtes " vérifiant des axiomes convenables . Soit (A,E)~l a catégorie des foncteur s contravariants exact s à gauche (i.e . transforman t suite s dans E en suites exactes 0 -* F(C) •> F (B) -> F (A) ) de A dans l a catégorie (Ab) des groupes abéliens. D'après loc. cit., les axiomes imposé s à E équivalent à chacune de s conditions suivante s :

19

A.-A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

(a) il existe u n foncteu r pleinement fidèl e F de A dans un e catégori e abélienne, avec FA stabl e pa r extensions, tel qu'une suit e soi t dans E si et seulement s i son imag e par F est exacte court e ; (b) le foncteu r A • —• h d e A dans (A,E) ~ est pleinement fidèle , et A

une suit e es t dan s E si et seulement s i son imag e est exacte courte . Supposons qu e tou t morphisme d e A admette u n noyau. Un complexe K d'objets d e A sera dit acyclique s i le s suite s 0 - > Ker(d) - > K - > KerCd " " ) - > 0 son n

n

11

1

1

t exactes courtes , i.e. s i

l'image h_ _ de K dans (A,E) ~ est acyclique. La sous-catégorie plein e (acycl.) de K A formé e des complexes acycliques est épaisse a u sens de [10] p.13 . La catégorie dérivé e DA est l a catégorie KA/(acycl. ) déduit e de KA e n inversan t le s morphismes don t l e cône est acyclique. Exemple 1 . Soient A une catégorie abélienn e e t FA l a catégorie de s objets filtré s d e filtratio n fini e de A . Disons qu'une suit e 0 + x S y 5 z + 0 d'objet

s d e FA est exacte s i gf = 0 et que le s

suites 0 -> G r X • > G r Y - * G rZ - > 0 son t exactes dan s A . La catégori e N

N

n

DFA es t l a catégorie dérivé e filtrée , déduite d e KFA e n inversant le s quasi-isomorphismes filtrés . Exemple 2 . Soit A la catégorie de s espaces d e Banach. Les condition s de 1.1.4 . son t vérifiées s i on prend pou r suite s exactes courte s le s suites

0 - > X Î Y 2 Z + 0 qu

i deviennent exacte s quand on oublie l a

topologie. Elles l e sont auss i s i on se limit e à celles telle s que l a projection d e Y sur Z ait une sectio n continu e (no n nécessairemen t linéaire).

20

FAISCEAUX PERVERS

1.1.5. La catégorie homotopiqu e stabl e (h . stable) est aussi une catégorie triangulée . Comme objets, on prend le s paires (X,n),o ù X est un CW complexe fin i pointé e t n €2?. Le groupe Horn((X,n),(Y,m)) es t la limite inductive sur i des groupes de classes d'homotopi e d'appli cations respectan t l e point-base :

S

X S

n + 1

m+1

Y . L e foncteu r de trans-

lation est (X,n ) i • (X,n+1) - (SX,n ) et les triangles distingué s sont définis à partir de s plongements d e sous-complexes X *-> Y (triangles X ^ Y ~+ Y/X S

X . . .) .

Le foncteu r H : (X,n ) »—• H_ (X) (homologi e réduite) est un Q

n

foncteur cohomologiqu e ([10 ] p.10) : (h. stable) -* (groupes abéliens) . La construction "complex e de s chaînes réduit " permet de l e relever e n un foncteur exact ([10 ] p.4) : (h. stable) •> D(groupes abéliens) . 1.1.6. Le diagramme d e l'octaèdre es t l e suivant :

X + (î)

z

X'

z 1«

Z

d Y, d

d

+ (D

d

+

il) X

Z

X

1

+ Y'

1

(D

(D

(calotte inférieure )

(calotte supérieure )

les pourtours d e ces deux carrés coïncident ; les triangles marqués + sont supposés commutatifs , ceux marqués d distingués. De plus, on exige que coïncident le s deux flèche s composées d e Y à Y , vi a Z ou 1

Z', et les deux flèche s composées de Y à Y, via X ou X*. Si on né1

glige l e degré des flèches , on voit que ce diagramme adme t une symétrie d'ordre 4 : faire un quart de tour, et échanger le s calotte s supérieures e t inférieures (cf . 1.1.14). L'axiome T R 4 des catégories triangulée s affirm e que tout diagramme du type "calott e supérieure " peut se compléter en un diagramm e de l'octaèdre . L e diagramme "calott e supérieure " consiste pour l'es sentiel en deux triangles distingué s ayan t un sommet en commun (o n complète e n ajoutant des flèche s composées) . La position des flèche s de degré 1 est imposée, mais o n peut l a changer en remplaçant de s sommets par un translaté, et en utilisant l'axiom e T R 2 pour fair e tourner le s triangles distingué s (attentio n aux signes) . Par exemple, un axiome équivalen t à TR 4 (modul o TR 1 à TR 3 ) est : TR 4'.Tou t diagramme "calott e inférieure" peut se compléter en un

21

A A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE octaèdre. A isomorphisme près, se donner un diagramme "calotte supérieure" revient à se donner X -* Y -> Z (bâti r des triangles distingués sur u et v ; ils sont uniques à isomorphisme près). Cela revient aussi à se donner la calotte supérieure, complétée par le triangle distingué (X,Z,Y'). Que la calotte supérieure, complétée par (X,Z,Y') , puisse se compléter en un octaèdre est la formulation de TR 4 donnée dans [10]. 1.1.7. Illustrons l'axiome TR 4. Dans le cas de la catégorie triangulée KA de l'exemple 1.1.2., tout complexe filtré K à trois crans 0 = W_1 e Wq e WX c: W2 = K, de filtration scindable degré par degré définit un octaèdre, de sommets les sous-quotients de K pour la filtration W : pour X,Y,Z,X',Y',Z', prendre WQ ,WX,W2,W2/WX,W2/WQ WJ/T^ (le pourtour X,Z,X',Z' étant donc Gr^K,K,Gr2K,Gr^K) . L'axiom e résulte de ce que toute chaîne K L -> M de morphismes de complexes est isomorphe dans KA à une chaîne K' -> L' -> M' pour laquelle les K'1 •> L'1 et les L'1 + M'1 sont des monomorphismes directs. Il est parfois commode de récrire comme suit le diagramme de l'octaèdre : Z ' Y

Y 1 Z

(1.1.7.1)

x1

X

Cette écriture met en évidence les morphismes de triangles distingués (X,Y,Z') + (X,Z,Y') + (Y,Z,X') (Z',Y',X' ) - à cela près que pour chacun de ces morphismes, un des carrés commutatifs correspondants n'est pas en évidence. Une symétrie est par ailleurs rompue, de sorte que le morphisme de triangles distingués (Z',Y',X') •> (Z',X[1],Y[1]) qui complète les précédents n'est pas, lui, en évidence. 1.1.8. On rapprochera (1.1.7.1) du fait que dans une catégorie abélienne, deux monomorphismes composables X -> Y -> Z donnen t lieu à un diagramme de suites exactes courtes :

22

FAISCEAUX PERVERS

O

o

Z' o

(1.1.8.1)

Z'

z*

X

o

X

p X

o

o

o

exprimant que (Z/X)/(Y/X ) = Z/Y. Les diagrammes (1.1.7.1 ) et (1.1.8.1 ) ont entre eux l e rapport suivant. Soit un diagramme (1.1.8.1)dans l a catégorie abélienn e C (A) des complexes d'objet s d e A. Chaque suit e exacte court e dan s C(A) défini t un triangle distingué dan s D(A) ([10] p.31) e t les triangles distingué s déduit s des suites exacte s courtes d u diagramme (1.1.8.1 ) formen t un octaèdre (1.1.7.1) . Voici un cas particulier. Identifions l a catégorie abélienn e A à une sous catégorie plein e de DA, par A i • (le complexe rédui t à A en degré 0) . Pour toute suit e exacte court e

0 + A + B + C +O d

e A, il existe

alors une et une seule flèch e d de degré 1 de C dans A telle que l e triangle A •> B -> C + soi t distingué : l'existence es t cas particulie r du fait que tout e suit e exacte courte de complexes détermine u n tri angle distingué ([10 ] p.31) et l'unicité résult e d e 1.1.10 ci-dessous, n et du fait que pour A et B dans A , Hom (A,B ) est nul pour n < 0 (pou r i ème n > 0, c'est le n Ex t de Yoneda de A par B ) . S i on part d'un diagramme (1.1.8.1 ) dans A , et qu'on complète dan s DA chacun e d e ses suites exacte s courte s en un triangle distingué, on obtient un diagramme (1.1.7.1) . C'est une conséquence d e TR 4. Proposition 1.1.9 . Soient (X,Y,Z ) et(X',Y',Z') deux triangle s distin gués, et g : Y •> Y' :

X f

u

Y

Z

d

)

(2) h

(î) g

x'

v

Y

1

V'

z*

D'

Les conditions suivante s son t équivalentes : (a) v'gu = 0, (b ) il existe f rendant commutatif l e carré (1) , (b ) il existe h rendant 1

commutâtif l e carré (2) , (c) il existe u n morphisme d e triangle s (f,g,h). Si ces conditions son t vérifiées, et que Hom~ (X,Z') = 0, le 1

morphisme f(resp.h ) de . (b) (resp,(b ' ) ) est unique. L'exactitude d e l a suite Hom~ (X,Z') - > Hom(X,X') + Hom(X,Y') + Hom(X,Z') , appliquée à gu dans 1

Horn(X,Y ) , montre que (a ) (b 1

) , avec unicité d e f si Hom" (X,Z ) = 0. 1

l

Que (b ) => (c) résulte d e TR 2 : si f vérifie (b ) , il existe h tel que 23

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

(f,g,h) soi t un morphisme d e triangle. La réciproque es t triviale. Enfin, un argument dual fourni t (a ) (b') -l

Horn

, et l'unicité d e h si

(X,Z') = 0 .

Corollaire 1.1.10. Soit X S Y X Z +

un triangle distingué. Si

Hom (X,Z) = 0 , alors -1

(î)

le cone de u est unique a isomorphisme uniqu e près

;

(ii) d est l'uniqu e morphism e x : Z -> X[lj te l que l e triangl e x S y Y z

5

soit distingué.

Si dans 1.1.9 , X = X' ,

Y = Y' et que f, g son t identiques, Z est

isomorphe à Z' - d'où Horn (X,Z') = 0 - et (i ) résulte de l'unicit é 1

de h. Pour (ii) , on applique 1.1.9 . à X

u

Y

v

Z

X

u

Y

v

3

d

)

x

On a nécessairement h = Id_ , d'où d = x . Dualement, dans 1.1.10 , le cône de v est unique à isomorphisme unique près. La proposition suivante nous a été signalée par J.L. Verdier. Proposition 1.1.11. Tout carré commutatif (X'Y'XY) peut se compléter en un diagramme de s 9 : X' [1}—>Y' [1]--~>Z' [1]--+X' [2] X"- »

Y" •Z

X >

Y

X'

" •X >Z

y Y' ^ Z

• ' •X'tl

" [1] X [1] ]

dans ce diagramme, les flèches pointillées s e déduisent d e flèche s pleines e n appliquant l e foncteur de translation, les carrés son t commutatifs, sauf celu i marqué - anticommutatif, et le s ligne s e t colonnes en traits pleins son t des triangle s distingués . Choisissons de s triangles distingué s (X',Y',Z') , (X,Y,Z) , (X',X,X"), (Y',Y,Y") , (X',Y,A ) de base le s côtés du carré commutati f donné, et sa diagonale X ' -> Y. L'axiome T R 4 permet de compléter le s octaèdres suivant s :

24

FAISCEAUX PERVERS

z' (D

X"

.Y'

rA

rY

X

(2)

Y'

1

X

X'

(basé sur X - * Y '•> Y)

Y

A Z

(basé sur X '-> X-> Y) ,

1

puis l'octaèdr e Z

v

(3)

A^

Y"

Z

X"

Z i l l ]

(basé sur X" A

+ Y")

dans leque l l e triangle distingu é (A,Y",Z'[1] ) s e déduit par rotatio n de (Z

1

,A,Y") dans (1 ) : on change l e signe de la flèche : Z • > A. 1

Les triangles distingué s requi s apparaissent dan s ce s octaèdre s (sauf que (Z',Z,Z" ) apparaît sou s l'avatar (Z , Z",Z'[1]) ; on déduit (Z',Z,Z") d e (Z,Z",Z'[1] ) e n changeant l e signe de la flèche Z ' -> Z ) . Pour prouver le s (anti-)commutâtivité s requises , on observe que les flèches de X',Y',Z' dans X,Y,Z constituen t l e composé de s morphismes de triangles (X',Y',Z' ) ^ X (x ',Y,A) ^ X (X,Y,Z ) figuran t dan s (1) et (2) , que celles d e X,Y,Z dan s X",Y",Z" constituent l e compos é des morphismes d e triangles (X,Y,Z ) ^ X (x ",A,Z)

^ X ( X " , Y " , Z " ) , et

que celle s de X ,Y",Z" dans X'[l] , Y'[l] , Z'[l ] constituen t l e comM

posé de s morphismes d e triangle s (X",Y",Z") £ X (A,Y",Z'[1] ) H X (X ' [1] ,Y' [1] ,Z' [1]) o ù la dernière flèche est déduite par rotation du morphisme d e triangles d e (1 ) : (Z',A,Y") • > (Z' X'[1],Y'[1]). Dans l e triangle distingu é /

(X'[l], Y'[l] , Z'[l]) , l a flèche d e degré 1 diffère par un signe de la translatée d e l a flèch e de degré 1 du triangle (X',Y',Z') , c e qui explique 1

1

anticommutativité d u 9 ^

me

carré .

Remarque 1.1.12 . Un carré de suites exacte s de complexes défini t un diagramme de s 9 dans l a catégorie dérivée . L'anti-commutativité d u ème 9 carr é précise 1'anticommutativit é de s cobords correspondants . Remarque 1.1.13 . Dans le s catégories triangulée s usuelle s (K A pour A additive, DA pour A exacte, la catégorie homotopiqu e stable,... ) tou t diagramme d u type "calott e supérieur e d'u n octaèdre " peut s e complé-

25

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE ter en un octaèdre pour lequel les triangles suivants sont distingués Y • Y •

Y1 > Z©Z' •

X' © X[l]-(D. Y

et

Y1 (D ,

Y (les flèches sont celles de l'octaèdre, sauf respectivement Y1 -> X[l], et Z1 Y 1 , qui sont opposées à celles de l'octaèdre). Nous ignorons ce qu'il en est en général. Si ces triangles devenaient utiles, il y aurait peut-être lieu de renforcer l'axiome TR 4 des catégories triangulées en redéfinissant "octaèdre" pour que ces triangles soient distingués par définition des octaèdres. Remarque 1.1.14. Les diagrammes du triangle et de l'octaèdre admettent la généralisation suivante, dont ils sont les cas particuliers obtenus pour N = 3 et N = 4 . Pour N>_ 2 , le diagramme consiste en (a) Pour chaque intervalle I de 7L , avec 0 < # I < N , la donnée de K(I) . (b) Pour I =[a,b[ , et J = [c,d[ , définissons I Hom(Z,Y) e 1

O - > Hom(Z,N) • > Horn" (Z,S) 0

t

.

1

Elles montrent qu e (N ,a[-1]) est un noyau de f . Un argument dual montre qu e (C ,8) es t un conoyau. Exemple. Pour A c : D(A) (exempl e 1.2.1) , l e cône S de f : X •* Y est le complexe X î Y ( X en degré - 1 , Y en degré 0 ). Il admet comme sous complexe Ker(f)[l ] = H~ (S)[1] e t l e quotient X/Ker(f) - * Y s'envoie 1

quasi-isomorphiquement su r Coker(f) = H°(S) placé en degré 0. On a un diagramme (1.2.2.1) . 1.2.3. Un morphisme f : X + Y de C sera dit C- admissible, ou simplement admissible, s'il n' y a pas d'ambiguïté su r C, s'il es t l a base d'un diagramm e (1.2.2.1) . Sif est un monomorphisme, on a d'après 1.2.2 . N = 0 ,

d'où S ^ C , et (1.2.2.1 ) s e réduit à un triangle distingu é

(X,Y,C) . Si f es t un épimorphisme, on a C =0 , d'où N [ 1 ] ^ S, et (1.2.2.1) se réduit à un triangle distingué (N,X,Y) . Réciproquement , pour tou t triangle distingué X

Y

-2+ Z

27

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

avec X,Y,Z dan s C , f et g sont admissibles, f est un noyau de g, et g un conoyau de f . D'après 1.2.0 . et 1.1.10 , d est déterminé pa r f et g . Une suit e X -* Y•+ Z dans C est une suite exact e court e admissibl e si elle s e déduit d'un triangl e distingu é e n suppriman t l a flèche d e degré 1 . Proposition 1.2.4 . Supposons C stable par sommes directe s finies . Les conditions suivante s son t équivalentes : (i) C est abélienne, et ses suites exactes courte s son t admissibles. (ii) Tout morphisme d e C est C -admissible. Prouvons qu e (ii ) => (i). D'après 1.2.2. , tout morphisme d e C a un noyau et un conoyau et, pour prouver C abélienne, il reste à vérifier que Coim(f) 3 Im(f) . Regardon s (1.2.2.1 ) comm e l a calotte inférieur e d'un octaèdr e e t appliquons T R 4 ' (cf.1.1.7. ) pour l a compléter e n un octaèdre :

C

3

C

Y

d

+

d (1) Nl'l]

Y

- S

d

+

(1)

f

+ (D

\x

(D

N

[1

(171* d

f

+

a

Tî:

X

D'après 1.2.2. ,8 es t un épimorphisme, comme conoyau d e f . D'aprè s (1.2.3), l e triangle (I,Y,C ) étan t distingué, I est dans C et est l'image de f . Dualement, le triangle distingu é (N,X,I) , dédui t par rotation d e l'autre triangle distingu é d e l a calotte supérieure , montre que I est coimage d e f . Enfin, d'après 1.2.3. , le s suite s exacte s courtes d e C sont admissibles. Prouvons que (i ) =» (ii). Les noyau N , conoyau C et image I de f : X •> Y fournissen t deux suite s exactes courte s 0 +

0 + N + X + I + O e t

I - > Y + C - > 0, soi t deux triangle s forman t l e diagramme calott e

supérieure ci-dessus . Appliquant T R 4 , on en déduit l a calotte infé rieure : f est admissible. Définition 1.2.5 . Une sous-catégorie plein e C de D est abélienne ad missible si elle vérifie 1.2. 0 et le s conditions équivalente s d e 1.2.4 . 1.2.6. Dans une catégorie triangulé e V, on dira parfois qu'un objet Y est extension d e Z par X s'il exist e un triangle distingu é (X,Y,Z) . Une sous-catégorie V' de V est stable par extensions s i pour tou t tri angle distingué (X,Y,Z ) avec X et Z dans V ' , Y est dans P' . 28

FAISCEAUX PERVERS 1.3. t-catégories. Définition 1.3.1. Une t-catégorie est une catégorie triangulée P, munie de deux sous-catégories strictement pleines P—0 et P—0 , telles que, posant P-n : = P-°[-n] et P-n : = P-°[-n], on ait (i) Pour X dans P-° et Y dans P-1 , on a Hom(X,Y) = 0 . (il) On_a P±° c P^1 et P±° P* 1 . (iii) Quel que soit X dans P, il existe un triangle distingué (A,X,B) avec A dans P—0 et B dans P—1 . On dira aussi que (P—°,P— ) est une t-structure sur P. Son coeur est la sous-catégorie pleine C:=P— 0 n P—0 . Exemples 1.3.2. (i) Soit A une catégorie abélienne. La t-structure naturelle sur DA est celle pour laquelle (DA)—n (resp. (DA)—n) est la sous-catégorie des complexes K tels que H1K = 0 pour i > n (resp. i < n), i.e. quasi-isomorphes à un complexe K1 nul en degrés > n (resp. < n). Vérifions 1.3.1.(iii). Pour tout complexe K, le tronqué x 0 .. . de K. Prendre garde que dans [7] ce tronqué est noté aXK K/T:LK

.

On a T X

e n X ) , tel que pour tou t T dans V— o n ait

Horn(T,A) — • > Hom(T,X) . Soit (A,X,B ) un triangle 1.3. 1 (iii ) . La suite exacte longu e des Horn et le s conditions 1.3. 1 (i) (ii) montrent que Hom(T,A)-^-> Hom(T,X ) : on a A = T

< Q

X . Cec i prouve (i ) , l'exis -

tence d'u n triangl e distingu é ( T Q X , X , T ^ X ) , et le fait que tou t tri


angle distingu é 1.3. 1 (iii) (A,X,B ) est uniquement isomorph e à

ce

triangle, après oubl i de l a flèche de degré 1 . L'unicité d e cette der nière résult e d e 1.3. 1 (i)(ii ) et de 1 . 1 . 1 0 (ii). 1 . 3 . 4 . L e triangle distingu é ( T X , X, T ^^X) montre que le s condition s < Q

>

suivantes son t équivalentes : (a) T

< Q

X

= 0 , i.e. (a') Hom(T,X) = O

pour tou t T dans P— ; 0

(b) X T

X , i.e. (b') X est dans P— . L'équivalence (a' ) « (b' ) 1

> ; L

s'énonce : P—

1

est l'orthogonal e à

droit e d e P—

0

. Elle montre qu e

P— es t stabl e par extensions (1.2.6 ) . Dualement, ^ 1

dans P—° , P—

0

est l'orthogonal e à

gauch e d e P—

extensions. En particulier, P— ^ et P—

1

1

= 0 X

X > 1

est

, et est stable pa r

son t stable s pa r sommes direc-

tes finies. Pour a _< b , on a P— c p— a

phisme d e T

< A

X dan s T

< F C

b

et il existe don c un et un seul mor-

X rendan t commutati f l e diagramm e T

1

X

x

X àx

x X. Dualement, on dispose d e T X _a

Il identifie T

Pour tou t entier a , on écrira x

pou r > T

> a

e a + 1

t

T
a > b — ona x T , X = T X = 0 et donc T , envoie V— dan s elle-même . >a >b a

T

Proposition 1 . 3 . 5 . Soit a _< b. Quel que soit X dans V, il existe u n et un seul morphism e x x >a

X

T X _a

T »

30

rendant commutati f l e dia-

FAISCEAUX PERVERS gramme r

X >

X

y T>aX

T X T >_a aX

X x >b a .X) et DT H°Y - » H °Z + 0 est exacte. Pour U dans V-° et V dans V - ° , on a H °U = T Hom(H°U,H°V) -=- > Hom(U,H°V) Hom(U,V

> Q

U ,

H °V = T

< Q

V ,

et

) . Pour ~T dans C (et~~don c

dans P—°) , la suite exacte longu e des Hom fourni t 0 •

Hom(Z,T) •

0 •

Hom(H°Z,T) - > Hom(H°Y, T) • > Hom(H°X,T)

Hom (Y, T) •

Hom(X,T) ,

soi t

Ceci valant pour tou t T, l'exactitude voulu e e n résulte. Cas 2 . Si X est dans V - ° , la suite H°X - * H°Y + H °Z -> 0 est exacte. Pour T dans V— ,

la suite exacte longu e de s Hom fourni t

1

Hom(Z,T) Ho On a donc T Y >}

—

T

m (Y, T)

- Appliquan t T R 4 ' (cf . 1 . 1 . 7 ) à Y -> Z -> T Z

z >

> ; L

1

(ou, s i l'o n préfère , TR 4 à X -> T Y -> Y) : T T

H°z

est exacte. Cas général. TR 4 fournit un octaèdr e T

X T

X l Y

U

•

Le cas 2 , appliqué à ( T X , Y , U ) fournit une suite exact e H °U -> 0 , et l e cas 2* , appliqué à (U , Z ( T ^X) [ 1 ] ) fournit >

0 - > H °U •> H °Z . On en déduit l'exactitud e d e H °X + H °Y -> H °Z . Nous dirons qu'une t-structur e es t non dégénérée s i l'intersec tion des V— , n

et celle des V— , n

sont réduites au x objets zéros . Po-

sons H^-X := H° (X[i]) . Proposition 1 . 3 . 7 . Si l a t-structure d e V est non-dégénérée, le sys tème des foncteur s H* est conservatif, et pour que X dans V appar-

32

FAISCEAUX PERVERS tienne à P—0 (resp. P—°), il faut et il suffit que les H^X soient nuls pour i > 0 (resp. pour i < 0 ). Soit X dans P. Montrons que si les H1X sont tous nuls, alors X = 0 . Si X est dans P—0 , l'hypothèse H°X = 0 assure que X est dans P— ; continuant, on trouve que X est dans l'intersection des P—N , donc est nul. Dualement, si X € P— , alors X = 0. Dans le cas général /T H1 (Y) , la suite exacte longue de cohomologie montre que les H1(Z) sont nuls : Z = 0 , et f est un isomorphisme. Enfin, si les H1(X) sont nuls pour i > 0 , tous les H1(T>QX) sont nuls, T>QX = 0 et (1.3.4 ) X est dans P—0 . Dualement pour P— 0 . 1.3.8. Le théorème 1.3.6 , qui a une t-structure su r P associe une souscatégorie abélienne admissible C de P adme t une réciproque, énoncée ci-dessous (1.3.9) . La démonstration nous occupera jusqu'en 1.3.14. Le résultat ne sera pas utilisé dans la suite de ces notes. 1.3.9. Soit P une catégorie triangulée. Soit Isom(P) l'ensemble des classes d'isomorphie d'objets de P et, pour X dans P, soit [X] sa classe d'isomorphie. Nous noterons * l'opération suivante, qui à deux parties de Isom(P) en associe une troisième : A * B = {[X] | il existe un triangle distingué (U,X,V ) avec [U] € A et [V] € B } .

Lemme 1.3.10. L'opération * est associative. Preuve . Il suffit de montrer que pour X,Y,Z dans V ,on a ({[X]} * {[Y]} ) * {[Z] } = {[X] } * ({[Y] } * {[Z] } ) .

Pour que [T] appartienne au membre de gauche (resp. de droite), il faut et il suffit que T figure dans un diagramme calotte supérieure (resp. inférieure) E T z> d •T (1) U (resp.(D d d 22) . (U d x Y X d (T) L'inclusion c résulte donc de TR 4, et l'inclusion inverse de TR 4' . Le lemme 1.3.10 permet de définir le *-produit A1* ... *A^ d'une 33

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE suite de parties de Iso m (2? ) , sans devoir préciser comment sont mises les parenthèses. Il nous sera commode de définir le *-produit de la suite vide comme étant {[0]} . 1.3.11. Exemples . (i) Soient A une sous-catégorie strictement pleine de P, et EA la plus petite sous-catégorie strictement pleine de V contenant A, les obiets zéros, et stable par extensions. On a (1.3.11.1) [EA ] = U

q>0 [A] * ... *[A] (

q facteurs). (ii) Que tout morphisme de A soit A-admissible (1.2.3) peut se reformuler (1.3.11.2) [A

] *[A[1]] c [A[l]] *[A]

1.3.12. Soit C une sous-catégorie abelienne admissible, stable par extensions, de la catégorie triangulée V. ib,0 pb,I , pour I un intervalle de (resp. V Soient "2) la plus petite sous-catégorie strictement pleine de V contenant les C[n] pour n € Z (resp . -n _ 0 ; -n € I) et stable par extensions (1.2.6) . -nune t-structure non Proposition 1.3.13. Sur -n _ 0 ;est dégénérée. Pour a < b , on a pb'[a'b] = pb'la n Vh'-h . En particulier, C - Pb'^° n flb'±°. L'axiome 1.3.1 (i) de s t-structures résulte de la suite exacte longue des Hom et de 1.2.0. L'axiome 1.3.1. (ii) es t trivial. Parce que C est stable par extensions et vérifie 1.3.11(ii), on a, pour tout intervalle I = [a,b] de IL (a Ke r (Horn(L,K) -> Horn(rf (L) ,B) . Pour 3

qu'un couple (K',a ) coreprésente c e foncteur , il faut et il suffi t que (* ) K ' 6

(a)

P- ° ,

T

< Q

K' T

< Q

K e t H°K '

— ^ A

c

lPK .

Dualement, on obtient b : K + K" avec K" € P ~° et, pour L dans

P-° une suit e exacte 0 + Horn(K",L) + Horn(K,L) + Hom(A,H°L) .

35

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Le couple (K",b ) est caractérisé pa r K" € P — , > Q K H°K" = B . 0

T

—^

T

K > 0

" et

(iii) Il existe d : K" ^ X K' , unique d'après 1.1.1 0 , tel que ( K ' , K , K " ) soit distingué. Soient l e morphisme compos é T ^ K -> H °K -> B et K' complétant l e H o m ( L , T K ) - > Hom ( L, B ) . Hom(L,K') - * Hom (L, K) - > Hom (H°L,B) , et K ' coreprésente l e foncteur (i) . Pour L dans P que

T

K < 0

' ~^ * < 0 T

K

"

L

a

s

u

i

t

e

< 0

, la propriété universell e d e K' montre

exact e longu e d e cohomologie d e

(K' ,

T K , B ) montr e qu e H°K' —^ A . Réciproquement, si vérifi

e

(*) ,

la propriété universell e d e K' fournit u n morphisme a : •

> K'

< Q

induisant pa r hypothèse de s isomorphisme s

T

K < 0

{ + V^ un

foncteur exac t ([10 ] p.4) d e l a catégorie triangulé e P dan s l a catégorie triangulé e •

Nous diron s que T est t-exact à droite s i

T(P*°) e V * ° , t-exact à gauche s i T(P*°) c ,

et t-exact s'i l es t

t-exact à droite e t à gauche. Proposition 1.3.17 . (i ) Si T est t-exact à gauche ( resp. à droite ), le foncteur additi f T : = P

H°oToe

:

C C 1

à droite ).

36

2

es t exact à gauche (resp .

FAISCEAUX PERVERS

(ii) Pour T t-exact à gauche ( resp. à droite) et K dans V*° ( resp. V ^ ° ) , on a TH°K H°T

K ( resp. H°TK — T H ° K ) .

P

P

* *

(iii) Soit ( T yT^june pair e de foncteur s exact s adjoints : T : • et T : V +

, adjoint à droite de T . Pour que T

•> V

1

+

2

droite, il faut et il suffit que soi

t t-exact à gauche, et dans ce

cas ( T , T ) forment une paire d e foncteur s adjoint s -—> P

P

+

(iv) Si Tj^ : V

1

-> V e t :

-

2

droite) , T ° T l'es t aussi et 2

+

soit t-exact à

>

- C 2

sont t-exacts à gauche ( resp. à

(T T ) = T 1 ^ .

P

P

1

2

1

2

Si T est t-exact à gauche, pour toute suit e exact e court e 0->X +

Y +

Z+ 0 dans C

1

, la suite exacte longu e de cohomologie d u

triangle distingu é (T(X),T(Y),T(Z))fourni t 0 • > H°T(X) • > H° T ( Y ) + H°T(Z), puisqu e T(Z ) est dans V*° . Ceci (resp . l'énoncé dual) prouve (i). Pour K dans V\° , le triangle (H°K,K, x K ) fourni t u n triangl e o > 0 (TH K , T K , T T K ) ave c T T K dan s V , dont l a suite exact e longu e d e 1

> Q

> Q

2

cohomologie fourni t K°T H°K — H ° TK .

Ceci (resp . l'énoncé dual)

prouve (ii). Si T es t t-exac t à gauche, pour U dans e

t V dans ,

+

on a

Horn(T V,U) = Hom(V,T*U) = 0 . Ceci valant pour tout U , on a T J T V = O , i. e. T*V es t dans : >0 1

T es t t-exact à droite. Pour A

dans C e t B dans C , on a alors H°T B = T

< Q

T B et H T^A = T T ^ A ,

) = Horn(A,T B) Ho

m (A,H°TB) . Ceci,

2

1

< Q

d'où u n isomorphisme fonctorie l Hom (H°T*B, A) Hom(T*B,A

+

+

complété pa r dualité, prouve (iii) . Si e

t T son t t-exacts à gauche e t cue A € C^ , on a 2

1 L ( ° i ° té par dualité, prouve (iv).

T

A

6

e

t

P

T

T

) A =

H

2

T

T

2

Remarque 1.3.1 8 (i ) Soient V* (iii) vaut encore pour T :

A 1

=

H T K T A par (ii) . Ceci, complé0

0

2

=U V j

V^ e

U

] L

et P~ = (J V^ . n

t T : -

> ,

+

Le résulta t adjoints e n ce

sens que f onctoriellemen t Horn (T V,U) = Hom(V,T U) , pour V dans V J|c

et U dans .

La preuve es t l a même.

(ii) Pour A dans C e t B dans C , les flèche s d'adjonctio n pou r 1

2

(T*,T ) et ( T , T ) son t liée s par le s diagrammes commutati f s P

3|C

P

+

37

2

A A. BEILINSON, 7 . BERNSTEIN, P. DELIGNE

T* T A P

+

P *P A T

i

et

Jk

I

A

Т T^A

T T*B

B

T

P P*B T

1.3.19. Soit T : P ' P

I

T* T B .

T

un foncteu r exact pleinement fidèl e entr e

catégories triangulées . Pour au'un triangl e t r de P' soit distingué, il suffit que so n image Ttr par T le soit : si t r es t un triangl e 1

distingué d e même base que tr, Ttr et Ttr^ sont distingués d e même base, don c isomorphes , et tr et tr^ sont isomorphes. Supposons P et P' munies d e t-structures. e t que T est t-exact . Pour que X dans P' soi t dans P ' — (resp.P'—°) , il suffit que TX soi t 0

dans P-° (resp . P-°) : on a X e P'-°

T

>

X = 0

0

, et T commute à

T

> Q

(resp. argument dual) . Réciproquement, si P es t une sous-catégorie triangulé e plein e 1

d'une catégorie triangulé e P , et que (P—°,P—°)es t une t-structure su r P , pour que ( P ' ~ ° ,

P ' - ° ) : = (P ' Q P-° , P' n

P-° ) soi t une t-struc -

ture su r P', i l faut et il suffit que P ' soi t stable sou s l e foncteu r T ^ . Ker(d) soien t des isomorphisme s pou r i > 0 (resp . i ( A , E )~ (1.1.4 ) . cela signifi e qu e l'image h (V—^

K

d e K dans ( ( A , E ) ~

) est dans

(resp . P — ° ). Montrons qu e

0

, V—°) est une t-structure su r V.

(a) Pour K,L dan s V Honip(K,L ) = li m ind Horn^K' ,L' ) , la limit e :

étant prise su r le s classes d'homotopie d e quasi-isomorphismes K ' -> K et L L

' . Pour K dans V~° ( r e s D . L dans V — ) , un système cofina l d e 1

K ' (resp . L') es t obtenu en se limitan t à ceux tel s que K ' = 0 pour 1

1 > O (resp . L ' = O pour i < 0 ): utiliser l e quasi-isomorphism e 1

qK ' + K' (resp . L' -> T L ' ) ;

T

> 1

t
1

son t comme e n 1.3.2 , (i) .

Pour de tels K' et L', tout morphisme d e complexes f : K '->• L ' est nul : il est défini par f ° : K '° -> L'° , vérifiant df ° = 0 , et donc nul car d : L'° - > L' es t un monomorphisme. Ceci vérifie 1.3. 1 (i) . L'axiome 1.3. 1 (ii ) est trivial. (b) Pour K dans KA , on dispose d'un e suit e exacte court e de complexes O •> T K - > K -> T ^ K 0 < Q

>

. Elle définit u n triangle distingu é dan s

D A : le cône su r T ^ K -> K s'envoie quasi-isomorphiquemen t su r T ^ K .

Ceci vérifie 1. 3 .1~"(iii) . On trouve e n particulier qu e l e coeur C de V est une catégori e abélienne. Les objets de C peuvent s e représenter comm e descomplexe s K d e longueu r 1 : K -

> K° , avec d un monomorphisme. Pour K et L de

ce type, un morphisme d e complexes f : K L

est uniquement détermin é

par s a composante f ° : K° •+ L° . S i on identifie K

1

et L à

des

sous-objets d e K° et L° , f° : K° + L° provient d'un morphisme d e complexes f si et seulement s i f ^ " ) c L 0

1

zéro s i et seulemen t s i f°(K° ) c l"" . 1

- 1

,

et f est homotope à

Que f soit un quasi-isomorphis-

me signifi e l'exactitud e d e 0 - > K" +

^ © L " - > L° -> 0

1

i i.e. crue K°©L objet K

- 1

1

1

L

f

° est un épimorphisme admissible , et que l e sous -

d e K° est l e pull-back de L~ pa r f°.

On vérifie facilemen t qu e s i K' K 40

est un quasi-isomorphism e

FAISCEAUX PERVERS

(avec K concentr é e n degrés 0 et -1) , et que ft p est homotope à zéro 1

(fcp(K'°) c L )

, f l'est aussi. Le groupe Hom^(K,L) es t l a limite

inductive, pour tp : K' ^ K un quasi-isomorphisme d e ce type» de s Hom (K',L) = { f : K'° + L ^ f í R ' " ) c L" }/{f|f(K'°) c L " } 1

1

1

KÂ

et, dan s cette limit e inductive , les morphismes d e transition son t injectifs. 1.3.23. Exercices . (i)Pou r K un complexe d'objet s d e A, H°K dans C est l e complexe Coim(d ) - * Ker(d°) . 1

(ii) Un foncteu r F de A dans une catégorie abélienn e W qui transforme suite s dans E en suites exactes à droite F A F

B -> FC -> 0 se

prolonge uniquemen t ( à isomorphisme uniqu e près) en F' : C -> W, exact à droite. Si F est pleinement fidèle , et transforme suite s dans E en suites exactes courte s e t monomorphismes e n monomorphismes, F' es t exact et pleinement fidèle . En particulier, le foncteur compos é H° C -> DA •> D((A,E)~) (A,E) ~ es t pleinement fidèle . Il identifie C à la catégorie des quotients dans (A,E ) d'unobjet d e A par un sous-objet dans A. (iii) Le foncteur D A -* D C (l'exposan t indiqu

e qu'on s e limite au x

complexes bornés suoérieurement ) es t une équivalence [utilise r que tout objet de C est quotient d'u n obje t de A ]. (iv) Soit A une catégorie abélienne . Les hypothèses d e 1.3.22sont vérifiées par FA (1.1. 3 ex.2) . Soien t C la catégorie abélienn e correspondante d e quotients formel s d'objets filtré s et C l a catégorie de s suites .. . •> A A 1

1 1

- > ... avec A = 0 pour i >> O et A 1

1

A

1 1

pour i < < 0 . Montrer que l e foncteur ((V ,F) - * (V ,F)) » > (coker _1

(F V 1

1

F

1

o

V°)) de C dans C es t une équivalence [applique r (ii) ] .

1.3.24. Exemple . Les hypothèses d e 1.3.2 2 son

t vérifiées pour A

la catégorie de s espaces d e Banach, si on prend pour suite s exacte s courtes celle s qui l e deviennent aprè s oubli de la topologie,i.e., d'après l e théorème d u graphe fermé , les suites isomorphe s au x 0

y

A

y

B >

C

y

0 ,

où A est un sous-espace ferm é de B et où C = B/A. La catégorie C obtenue est une catégorie d e "quotient s formels " B/A ( pour A •> B une application linéair e continu e injectiv e entre espaces de Banach). Le théorème d u graphe ferm é assure que si les complexes K

- 1

- > K° et

L - > L° définissent de s objets de C , un morphisme d e complexe s 1

f : K -> L s'identifie à une application linéair e continu e f ° : K°->L°, telle que ensemblistement f( K c

L

1

,

et que f est homotope à zéro

(i.e., nul dans C ) si et seulement si , ensemblistement, f(K°) c L

41

- 1

.

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Des quotients formel s similaire s ont été considérés par L. Walbroeck (Le s quotients d e b-espaces, preprint, Bruxelles, 1962) ,

42

FAISCEAUX PERVERS

1.4. Recollement. 1.4.1. Pour X un espace topoloqiqu e (voir e un topos), muni d'un fais ceau d'anneaux 0. nous noterons D(X ,0) l a catégorie dérivé e d e l a catéaorie abélienn e M (X,0) de s faisceau x d e 0 -modules à gauche su r X. Comme d'habitude , D (X,0) est l a sous-catégorie plein e imag e essen+

tielle d e celle de s complexe s bornés inférieurement . Soient U une partie ouverte d e X, F le fermé complémentaire, j l'inclusion d e U dans X, i celle de F dans X et notons encore 0 l'image invers e d e 0 sur U ou sur F. Nous nous proposons d e décrire un e construction qui , à une t-structure su r D (U,0) et une su r D (F,0) , +

+

en attache un e su r D ( X , 0 ) . +

Les catégorie s M (X,0) , M(U ,0) et M (F,0) son t reliée s pa r le s foncteurs : j

!

:

: M(U,G>) —* M(X,Ö) : prolongement pa r 0 (exact

*

: M(X,Ö) - * M(U,Ö) : restrictio n j : M(x,ö) : imag e direct e j* : M(U,G>) :

*

: M(X,Ö) i : i :: M(F,G>) +

i * : M(X.Ö)

— ->

i

(exact), noté aussi j * ; (exact à gauche) ; (exact) ;

M(F,Ö) : restrictio n M(X,Ö) : imag e direct e

(exact), noté auss i i , ;

M(F,Ö) : section s à support dan s F (exac t à gauche).

Ils formen t deu x suite s de 3 foncteurs adjoint s = (i , i = i . +

t

) ;

On a j i

+

=0 ,

j e

t

d'où pa r adjonction i j, = 0 et

i * j = 0 . Pour tout faiscea u F sur X, les flèches d'adjonction four +

nissent de s suite s exacte s 0 j

t

j F -> F + i^ i F 0

(1.4.1.1) e t i

*

0 - > i^i * F + F + j j F +

(qu'on peut compléte r pa r un 0 à droite pou r F injectif): Pour F sur F (resp . U) , elles fournissen t de s isomorphisme s (1.4.1.2) i*i (1.4.1.3) J * J *

+

F F F

F

— i^ F , j*j,

F .

Pour toute paire de foncteur s adjoint s ( T ,T ) , le morphisme d'adjonc t

tion T

Id

. (resp . Id. -> T T ) est un isomorphisme s i et seule+

ment s i T (resp . T ) est pleinement fidèle . Les assertions (1.4.1.2 ) +

(1.4.1.3) équivalen t don c à : i , e +

t j , sont pleinement fidèles .

1.4.2.0. Quand u n foncteur T entre catégorie s abélienne s es t exact, il passe trivialemen t au x catégories dérivées . Nous noterons souven t 43

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

par l e même symbol e l e foncteur, et so n extension au x catégories dérivées. Cette extension es t à la fois l e dérivé gauche L T et l e dérivé droit RT de T. 1.4.2.1. Les foncteur s 1.4. 1 fournissen t pa r dérivation ( à droite) des foncteur s relian t D (X,0) ,

D (U,0) et D { F , 0 ) +

+

+

*

, formant deux sui-

*

i

tes de 3 foncteurs adjoint s (j,, j /Rj* ) et ( i ,i+,Ri'). O *

•

i

*

n a j i = 0 +

+

d'où pa r adjonction i j, = 0 et Ri'Rj^ = 0 . Pour tout K dans K (X,0) les suites (1.4.1.1 ) s e dérivent en triangles distingué s (j! j*

K,K,

i i K) et (i Ri K,K,Rj j*K) . !

3|t

+

J|t

Pour K dans D (F,0) (resp . D (U,C))), (1.4.1.2 ) (resp . 1.4.1.3)) four+

+

nit des isomorphisme s *

i

i i^ K K

—^* Ri*i K : +

* *

(resp j Rj*K —-> K —^ j j,K :

i^ est pleinement fidèl e j, et Rj^ sont pleinement fidèles ) .

En effet, j e t i^ transforment injectif s e n injectifs. +

1.4.2.3 Les propriétés énumérée s ci-dessu s son t tout ce qui nous ser a nécessaire pou r recolle r des t-structures. On le s rencontre dan s d'a u très contextes - par exemple pour des catégories dérivée s 1-adiques , qui ne rentrent pas strict o sens u dans l e cadre 1.4.1 . Pour pouvoi r couvrir ce s cas, nous nous placerons dans un cadre plus général 1.4. 3 Dans c e cadre, les catégories d e faisceau x n'apparaissent plu s (seul e apparaissent le s catégories triangulées ) e t nous en profitons pou r alléger l a notation e n écrivant simplemen t j ^ et i* pour ce qui cii

dessus eu t été Rj* et Ri* . 1.4.3. Soient donc trois catégories triangulée s V, V . et P_ e t des r

U r

foncteurs exact i* vs -li* Il est parfois commod e d e poser i , : = i e t j * : = j . O n suppos e vé+

rifiés (1.4.3.1 ) à (1.4.3.5 ) ci-dessous. (1.4.3.1) i * admet des adjoints à gauche et à droite exacts . On le s *

note i e t i

i

".

*

(1.4.3.2) j adme t des adjoints à gauche et à droite exacts . On le s note j , et j (1.4.3.3) On a j i = 0 . Par adjonction, on a donc aussi i j, = 0 +

et i"j* = 0 et, pour A dans P e t B dans , p

Hom( j ,B,i A) = 0 et H o m d ^ A, j^B) = 0 3)c

44

FAISCEAUX PERVERS

(1.4..3.4K Que

l que soi t K dans V, il existe d : i*i K -> j,j K[l ]

*

i

(resp. d : j*j K -> i^i'Ktl]) , unique d'après (1.4.3.3 ) et 1.1.10 , tel que l e triangl e j,j*K - K + i*i*K (resp. i*i

!

K - > K + j*j*K )

soit distingué. (1.4.3.5) i , j , et j * sont pleinement fidèle s : les morphismes d'ad +

*

•

i

*

*

jonction i i I d -> i'i* et j j - > Id -* j j, sont des isomorphismes. Ce formalisme es t autodual, la dualité échangean t j , et j ^, ainsi +

*

+

i

que i e t i *. 1.4.4. Soit T une catégorie triangulée , munie de deux sous-catégorie s strictement pleine s stable s par les translations X i — • X[n] ( n Effi) , Ci et 1/ . On suppose que pour U dans 0 et V dans 1 / on a Hom(U,V) = 0 , et que tout X dans T figure dans un triangle distingu é (U,X,V ) avec U dans U et V dans 1 / ; (l/,l/ ) est alors une t-structure su r T. D'aprè s 1.3.4, 1 / est l'orthogona l à droite de U et U l'orthogonal à gauche de 1/ . En particulier, U et 1 / sont des sous-catégories épaisse s ([10 ] 6.2 p.24). Le s hypothèses (i ) (ii ) de [10 ] 6.4. p.25 son t vérifiées e t d'après [10]p . 23-26, la projection d e T sur T/ii a un adjoint à droite pleinement fidèle , d'image 1/ , et celle de T sur T/l/ a gauche pleinement fidèle , d'image u(resp. v) de U (resp. 1/) dans T

a un adjoint à droite (resp . à gauche

u. (resp . v*) et les suite s 0 » 0 •

1/ —^> T

—U

un adjoint à

U . En d'autres termes , l'inclusio n - U — -+ T

v

* > 1/ * • O et

y 0 sont "exactes " en ce que v" (resp . u )

identifie 1 / (resp. il) a u quotient de T par l a sous-catégorie épaiss e U (resp . I/) . Faisons T = V , et prenons pour (U,l/ ) les paires de sous-catégories (i*P ,j+Vy ) p

et ( j ^ ^ f i + V p ) .

On obtient l a

Proposition 1.4.5 . Les suite s o «-— p_ p «--il— A r u o — • p_ -^M? —i^U p

«-— o —• o

I

0 «- — v v

«—i*— ^Up «-— 0

sont "exactes " au sens ci-dessus. 1.4.6. a) Le foncteu r étan

t pleinement fidèle , le composé des mor-

i

phismes d'adjonction i*i * I de foncteur s

*

d i

+

45

i es t le i d'u n uniqu e morphism e +

A.A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

1 i'---i

(1.4.6.1)

*

1 Quand on l'applique à i*X , et qu'on identifie i'i*X et i * i*X à X ,

on obtient l'automorphisme identique de X • b) Le foncteur J. * étant un foncteur de passage au quotient (il iden-

Vu

tifie

V par calcul de fractions), le

à une catégorie déduite de

composé des morphismes d'adjonction j!j *

Id

+

+

j*j * provient d'un

unique morphisme de foncteurs (1.4.6.2) * .* . * Si on identifie j j! et J J* en foncteur identique, le j de (1.4.6.2) est l'automorphisme identique du foncteur identique. c) Pour X dans

Vu' le cône sur j!X

+

j*X est donc annulé par j

est dans i*V F . D'après (1.4.3.3) et de base j!X

+

*

: il

1.1.10, le triangle distingué

j*X est unique à isomorphisme unique près - d'où un

foncteur j*/j! :

Vu

+

VF ' donnant lieu

à un triangle distingué fonc-

toriel (1.4.6.3)

Vu + VF ' caracté(i*T,j!,j*). Un triangle de

La construction duale fournirait un foncteur T : risé par un triangle distingué fonctoriel

ce type est déduit de (1.4.6.3) par rotation, d'où un isomorphisme T

=

(j*/j!) [-1] , tel que le morphisme i*T

phisme de degré 1 de (1.4.6.3)

j! soit le [-1] du mor-

+

: les foncteurs (j*/j!) et (j*/j!) [-1]

se déduisent l'un de l'autre par dualité.

i

* j!

Appliquant à (1.4.6.3) les foncteurs i 1 = i'j*

*

et i '1 , et utilisant que

0 , on obtient des isomorphismes

(1.4.6.4) 1.4.7. Soit X dans j!j *X

+

X

+

j*j *X

V, et appliquons TR 4 aux morphismes d'adjonction . Montrons que l'octaèdre obtenu A

/"

/' ~ -~ * -'lB-

X ---.,

.. * ~j*j X~

J1JX

C_---.,

.

~

est unique à isomorphisme unique près, et fonctoriel en X. (a) D'après U.4.3.3), U.4.3.4) et morphisme A

=

1.1.10, il existe un unique iso-

i*i *X, qui identifie X

46

+

A à la flèche d'adjonction. Il

FAISCEAUX PERVERS

identifie (j,j*X,X,A ) au triangle distingu é (j,j*X,X,i^i*X ) d e a. 4. 3.4).

* *

(b) Le même argument , appliqué à j j X , qui a le même j qu e X, identifie B à i^i j^ j X = i (j^/j , ) j X (1.4.6.4 ) , j^j X + B étant l a +

+

*

flèche d'adjonctio n d e ( i , i ) . D'après 1.1. 9 , un unique morphism e +

A -y B rend commutati f l e losange supérieu r de l'octaèdre. L e morphisme A •> B, i.e. i^i X -> i i j j X , est donc celu i déduit de +

x

j*

j

P

x

+

fonctorialité .

a r

i .

_

(c) Dualement, il existe u n unique isomorphism e d e C avec i^i'XLlJ, *

identifiant l a flèche d e degré 1 de (X,j j X,C ) a u morphisme d'adjonc +

i

*

tion i*i*X •> X : le triangle (X,j j X,C) s e déduit du triangle (1.4. +

i

*

3.4) ( i i*X,X,j j X) par rotation (T R 2) , en changeant l e signe de +

j*j

* (1

)

*

x

J|c

1

i*i

•

x

L

morphism e B -> C est l'uniqu e qui rende commuta-

e

*

tif l e carré (B,C,j, j X,X) . Via 1 'isomorphisme (1.4.6.4 ) d e j*/j , i

•

*

i

*

• i

avec i"j,[l] , c'est le morphisme i^(j /j,)j X = i^i'j.j X[l]-> i ^ i ^ X L l ] déduit de j,j X -> X par fonctorialité . (d) Ceci détermine tou s le s sommets , et toutes le s flèche s de l'octa +

èdre (C- ^ A est l e composé C X-

* A ), et prouve s a fonctorialité. S

on remplace A,B,C par leur s valeurs, il s'écrit i^i X (1.4.7.1)

*X i^i X

li*(j*/j ) J*X f

j.j x

I i-X[lX t

Le foncteur i étan t pleinement fidèle , le triangle distingu é +

*

*

i

(i^i X , ( j ^ / j , )j X,i^i*X[ 1]) est l e i^ d'u n triangle , automatiquement distingué ( 1.3.19),(i*X,(jj )j*X,i X[1]). Le i^ de l a flèche d de degré 1 de ce triangle es t l e composé i i " X [ l ] — X + i i X , de sorte que d est (1.4.6.1 ) pou r X[l] ( = le transformé pa r [1 ] de !

+

+

(1.4.6.1) pou r X ). Faisant tourne r l e triangle (T R 2 ) , avec changement de signe de l a nouvelle flèch e de degré 1 et effaçant i (1.3.19) , +

on obtient u n triangle distingu é fonctorie l (1.4.7.2) ( i

!

, i \ (j*/j,)j* )

de base (1.4.6.1) . Dan s l e cadre 1.4.1 , 1.4. 2 c e triangle provien t de ce que pour tout faiscea u flasqu e F , la suit e 0 - > i'F • > i F + i j j F + +

est exacte.

47

0

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Remarque 1.4.8 . D'après [10 ] §2, spécialement p.23-27 , les axiome s (1.4.3.1) à (1.4.3.5 ) équivalen t à : " i identifi e P „ à une sous-ca +

tégorie épaiss e d e P, j identifi e P à V/V^ , et j adme t de s y

adjoints à gauche e t à droite" 1.4.9. Supposon s vérifiée s le s hypothèses d e 1.4.3 . et soien t / 0

^ > 0.

une t-structur e su r P , et (vf,v>f)

une t-structure su r P„. F

Définissons

v-° : = {к e v v-°

:= {к e

v

I j*K

e

v-°

j*K e v-°

I

Théorème 1.4.10 . Avec le s hypothèses e t notations précédentes, ( P — ,P— °) est une t-structure su r P. 0

On dira qu'elle es t déduite d e celles de P e t P pa r recollement. y

p

Vérifions le s axiomes 1.3. 1 (i ) (ii ) (iii ) . . Le premier triangl e

etY dan s

Axiome (i) . Soient X dans

(1.4.3.4) pour X fournit une suit e exact e Hom(i i*X,Y) - > Hom(X,Y) + Hom( j , j*X,Y) 3)c

$

•

i

*

On a H o m d ^i X,Y ) = Hom(i X,i*Y) = 0 , par 1.3. 1 (i ) pour P , Hom(j,j X,Y) = Hom(j X,j Y ) = O , par 1.3. 1 (i ) pour P .

et

L'assertion

y

en résulte. Axiome (ii) . Résulte trivialemen t d e 1.3. 1 (ii

) pour P e t P . y

p

Axiome (iii) . Soit X dans P . Choisissons Y , puis A, donnant lie u à des triangles distingué s ( Y , X , j T j X) et ( A , Y , i T i Y) , et appliquons T R 4 : +

A

Y •

>Q

>0

* >0 • B

X

A

+

k

3*T J x > 0

Appliquons les foncteurs j / i /i ' à des triangles distingué s d e ce t octaèdre, selon l e schéma suivant , en tenant compte d e (1.4.3.3 ) à (1.4.3.5) : j * ( i * T i * Y , B , j T J * X ) = (0,j*B,T J*X) d'o ù j* B T >0

+

>0

>0

j*(A,X,B) = (j*A,j*X,T j*X) d'o >Q

i*(A,Y,i*T i*Y) = (i*A,i*Y, T i*Y) d'o n

n

48

> Q

j*X ,

ù j* A - T j * X < Q

ù i* A - T i * Y n

FAISCEAUX PERVERS

i ' U ^ T „ i Y,B,j*T ,0 X) = ( T „i Y,i*B,0) d'o On a donc A dans V— e t B dans P— ,

ù T „i Y i*

B .

et (A,X,B ) vérifie (1.3.1 ) (iii) .

Remarque 1.4.11 . Pour que l a t-structure obtenu e su r P soit non dégénérée, il faut et il suffit que celles données su r P

TT

e t P_ l e

U r

soient. Nous n'aurons pa s à utiliser, dans l a suite de ces notes, la réciproque suivant e à 1.4.10 . Proposition 1.4.12 . Sous le s hypothèses e t avec le s notations d e 1.4.3., soit(P— , P— ) une t- structure su r P. Les conditions suivante s sont équivalente s (i) j,j

est t-exact à droite ;

( i') j * j est t-exact à gauche ; (ii) la t-structure d e P s'obtient pa r recollement . L'équivalence (i ) «=> (i') résulte de 1.3.17{iii) , et (i) (i') équivalent à l'axiom e 1.3.l(i ) pou r ( j V— , j V— ). Les triangles distingué s ,Id,i i ) et (i i',Id,j j ) montrent respectivemen t qu e (i ) et +

+

+

(i') impliquent que i^ i es t t-exact à droite et i*i* t-exac t à gauche - conditions d'ailleur s équivalente s pa r 1.3.1 7 (iii) , et signi* 0 fiant que ( i V— ,±'V— ) vérifie l'axiom e 1.3. 1 (i ) . Il est clair que (ii ) =» (i),(i') et que le s t-structures su r P 1

TT

et P don t celle de P est l e recollement son t ( j P~ ) p

et celle induit e pa r celle de V, sur p

: (P

, sur P , n

n V- ,V„ fl P— ) =

= ( i P— ,i*P — ) . Réciproquement, s i (i)(i' ) son t vérifiées, on vérifie successivement qu e (a) ( j P— , j V— ) est une t-structur e su r V„ : 1.3.1 (i ) a déjà ét é vérifié, 1.3. 1 (ii ) est clair, et 1.3. 1 (iii ) résulte d e ce que j es t essentiellement suriectif . (b) ( i P- ,i*P - ) est une t-structure su r P„ : 1.3.1 (i) a déjà ét é vér

rifié. Seul 1.3. 1 (iii ) est non trivial : pour X dans P_ , la t-exactitude de j montr e qu e j T i * X = T j i^ X = 0 , et que de même n

j T

>C)

n

i X = 0 . Les tronqués T i 3|t

? e t i'X dans V'* . C'est T*L -,J*Y , et T* j Y= £ r — — — < p —l • < p~ 1 1

T

=

> P

+

1 V

sle

•

Soit X un prolongement de Y. Le triangle distingu é *

i

(i X, (j /j,)Y, i"X[1]) dont (1.4.7.2 ) est déduit par rotation montre +

*

que les conditions suivante s son t équivalentes : (a) i X est dans V^ ' e t i X dans P * 9

!

1

*

, (b) iX[l] est le x

p + 1

de (j /j.)Y = i*j Y ,

!

> p

#

+

~~

(b')i X est le p _ de (j*/j,)Y . Le triangle distingu é (X,j*Y,i i"X[1])~*de (1.4.7.1 ) montre que (b) équivaut à ce que X soit F T j Y F 0

montre qu e x ^ , j , B es t dans V angle distingué ( T j dans v > . [0

1]

+

' .

|

> 1

Il

Un argument dual fournit un tri -

B , x j^B,!*! ! i B) qui montre que T .j^ B est

Appliquant 1.4.14 , on trouve qu e T.-.j.B = T i^ B es t

dans C ,et les triangles ci-dessu s deviennen t de s suites exactes cour tes

54

FAISCEAUX PERVERS

O • O

i^HPi'jjB •

P

- T^.jj^B

Elles montrent que

F J,

T

B =

> 1

P

— . x^j. B >

j.B •

F P „ J* T


/ q ( S )

" (S,Z) c n

D

> q ( S )

"

p ( S )

(S, ^) ,

et la t-exactitude à gauche

(pour toute perversité) d e j montre enfin que RHom(j.A[-n],L) es t +

dans D > " . q

p

Faisant p = q , on trouve : Corollaire 2.1.21 . Pour K dans D (X,0) et L dans D* (X,0), on a 0 pairs dans X . On pose p (n ) : -n-p(n) . C'est la fonction d e perversité duale. Nous supposeron s qu e p et p son t décroissantes pour n < m, 0 _< p(n) - p(m) < _ m-n Stratifications : Rappelons que tout e stratificatio n (algébrique ) d e X adme t un raffinement qui est de Whitney (voi r J.L. Verdier, stratifications d e Whitney e t théorème d e Bertini-Sard - Inv . Math. ¿6 (1976) 295-312 ) . Les stratification s utilisée s seron t le s stratifica tions de Whitney (algébriques ) à strates équidimensionnelle s d e X . Elles vérifient le s conditions (a)(b)(c ) de 2.1.13 , qui seule s nou s importent. Dans l a discussion, su r Œ , qui suit, nous le s appeleron s simplement stratifications . Pour chaque stratificatio n S , la perversité p(X(Œ) ,R) ,D£'- (X(Œ) ,R)) sur D£(X(Œ) ,R).A l'imitation de 2.1. 4, on en déduit P

une t-structur e su r D (X(Œ),R) : si pour 0 < _ i < dim X,a b (resp . i < a) etque 1

c

x , ,K soit dans D ^ ( X ( Œ ) ,R) (resp . D ' - (X (Œ) , R)). L a ,JD j c c b,

p

b

P

r

Pour S

ex , posons p(S ) = p(2 dim S) .

Proposition 2.2.2.Soi t K dans D (X((C) ,R) . Les conditions suivante s c

sont équivalentes. ) ,R) ) .

(i) K est dans D^ (X((C),R) ( resp. (X(ΠP

(ii) Toute sous-variét é irréductibl e S d e X a un ouvert de Zarisk i 1

dense S tel que, notant i l'inclusion d e S(Œ) dans X(Œ), on ait i * i H i K = 0 pour i > p(S) ( resp. H i*K = 0 pour i < p(S)). 1

Si T est une famill e fini e de parties localemen t fermée s ( pour Zariski) lisses équidimensionnelles , de réunion X, et que, pour S i * i 1

dans T , notant i l'inclusio n d e S dans X, les H i K et le s H igK g

g

soient localemen t constants, elles équivalent encore à (iii) Pour tout S dans T , ^ i ^ K = 0 pour i > p(S) ( resp. I^igK = 0 pour i < p(S)). Supposons d'abor d K dans D . b ^ fine, K est alors dans .

Pour toute stratificatio n S assez

En particulier, il existe T ayant le s pro-

priétés imposées , et il suffit de voir que (i ) => (ii) => (iii) (i

) .

L'implication (ii ) => (iii) est triviale. Pour vérifier que (i ) *> (ii) , il suffit de prendre 5 assez fi n pour que K soit dans D (don c dans b

D

s ' ~ (resp . D ' — ) ) et que S' soit une adhérence de strate. Prouvons P

b

p

(iii) =» (i). Soit S plus fi n que T tel que K soit dans D . L'hypothès e b

sur p et l a preuve de 2.1.4 . montrent que K est dans D ' ~ (resp . b

P

D ' - ) , d'o ù (i). Dans l e cas général, soient a et b tels que a < p (2i) < b pour 0 < i< dim X Si dans (i) , (ii)ou (iii) on remplace K par T K (resp . T ,K) , on obtient ^a b

P

une condition équivalent e e t il reste à montrer que chacune impliqu e que H^K = 0 pour i > b (resp . i < a ). Pour (i) , c'est dans l a définition. Pour (ii ) et (iii) , on reprend l a preuve de (2.1.2.1 ) qui sui t 2.1.2. Pour (iii) , on commence par remplacer T par une stratificatio n plus fine . Pour (ii) , on prouve par récurrence descendant e su r dim S' que pour chaque sous-variét é irréductibl e S ' et chaque i > b (resp . i < a ), il existe u n ouvert dense S de S' tel que H K soi t nul sur S. 1

2.2.3. Si U est une partie localemen t fermé e de X, pour toute stratification assez fin e , U est réunion de strates. Ceci permet d'appli-

67

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

i

*

quer 2.1. 6 (propriété s d'exactitud e d e j,,j",j e t j* ) à l'inclusio n j de U dans X . On utilisera le s notations T , H , j ,.. . de 2.1.7/ p

p

•^LP •

dont le s résultats resten t valables. Pour U un ouvert (d e Zariski) d e X, de ferm é complémentaire F , l a t-structure d e perversité p de D (X(Œ),R ) s'obtien t par recollement à partir d e celles d e D (U(Œ),R ) c c et D (F(Œ),R). Le formalism e 1. 4 es t donc appliquable , comme e n 2.1.8 . c

En particulier, pour A p-pervers su r U, on (1.4.23 ) (2.2.3.1) J

A = T^_ J A . P

lJ|t

1

+

*

Supposons F de dimension < _ d et posons t = p(2d) .Puisque T i j^A est p 0 p * — * T . i j*A est dans ^D— , on a *T _i j A —^ T ,_i j*A et donc >t c < 0 * < t * A

J* ~ ^ T = {F} ) T

A

T

3* « A

< 0

< t

E

particulie r (pa r 2.2.2 (iii ) appliqué à F et à

n

Proposition 2.2. 4 . Si_ F est liss e de dimension d et que le s H j A 1

+

sont localemen t constant s su r F pour i _> t : = p(2d) , on a (2.2.4.1) j ,

+

A = x ^ j ^A .

Ceci, join t à la transitivité d e j

Ij|c

, est analogue à 2.1.11. De

même, sou s l a même hypothèse su r F et si l a locale constanc e d e i * H i j^A vaut pour i >_ t-1, (resp . t+1), on a respectivement, par 1.4.23, (2.2.4.2)

P

(2.2.4.3)

P

j,A ^ ^

T

_ J*

A

2

j A = x*\j A +

+

Proposition 2.2. 5 . _Si f : X Y est un morphisme quasi-fini , les * foncteurs f , et f sont t-exacts à droite, et leurs adjoints à droite i

•

f" e t f ^ sont t-exacts à gauche. Pour K dans D , l a condition K G D^- équivau t aux bornes 0

c

p(2 dim Supp E^K) > _ i sur l a dimension de s support s de s H K . L e foncteu r °f . étant exact, 1

on a H f,K = ° f H K , d'où Sup p H ^K = 1

1

i

f

(Supp H ^ ) " e t 3

dim Supp H^-f ,K = dim Supp E^K . De même, H f*K =°f*H K , Supp H f*K =? 1

= f

1

1

1

Sup p H'^ K et dim Supp H f K < _ dim Supp H"^. Ceci prouve l a t1

exactitude à droite d e f , et f . La t-exactitude à gauche d e f " e t f^ peut s'e n déduir e par adjonction (1.3.1 7 (iii)) .

68

FAISCEAUX PERVERS

Remarque . Il est essentiel ic i que le s conditions de perversit é soient définies e n terme de la dimension - et non de l a codimensiondes strates (s i X et Y ne sont pas de l a même dimension) . Corollaire 2.2.

6 (i ) Si. f est fini,f, = f^ est t- exact. i

(ii) Si. f est étale, f" = f

*

est t- exact.

2.2.7. Pour f quasi-fini e t F p-pervers su r X, f, F est dans D-^° et p

f F dan s D * ° . Le morphisme nature l de f, F dans f^ F admet donc une P

+

factorisation (2.2.7.1) f

F + f , F -> Pf^F -> f F . P

+

On pose f,.F = Im( f,F - Pf^F ) . p

2.2.8. Comme en 2.1.20, si les perversités p,q vérifient pour n < m, (p+q) (n) - (p+q ) (m) V c X loca3 * i lement fermé s et réunions de strates, les foncteurs j , j ,, j , j" enc

+

voient l'u n dan s l'autr e ^(U

, ^/£) e t

(V,7L/l) .

L

Il résulte du théorème d e constructibilité pou r R j^ ([3]1.1.) que pour tou t système (S',/.' ) vérifiant (a ) (b) , il existe (S, L) raffinan t (S',L') qui vérifie (a)(b)(c ) : si (a)(b)(c ) sont vrais pour X remplacé par l a réunion des strates d e dimension > _ n, le théorème de cons tructibilité permet de raffiner (S,L) en (S',!') , san s toucher aux strates de dimension > _ n, et de rendre (a)(b)(c ) vrais pour X remplacé par l a réunion des strates de dimension > _ n-1 . On itère cett e construction. 2.2.11. Soit p comme dans 2.2.1 , définissant le s fonctions de perversité p : ç

S •> IL : S \ — y p( 2 dim S ) . Procédant comme précédemment, on

déduit de p une t-structur e su r ^(X

, 'Z/i).Pour (S,L)de plus en plus

fin, ces t-structures s'induisen t le s unes les autres : le théorème d e pureté SG A 4 XVI 3. 7 fourni t l'analogu e d e 2.1.14 . Par passage à la limite on obtient une t-structur e ( D ^ - (X, "Z/£) , D^'- (X,I/£)) su r ,

la réunion filtrant e D^(X,"ZA) des ^(X

p

p

, Z A) . On en déduit une

t-structure su r D (X,"ZA) comme en 2.2.1 , et 2.2. 2 à 2.2.8 resten t c

valables, avec essentiellement l a même démonstration. Le formalism e de dualité en cohomologie étal e (SG A 4 XVIII) remplace celu i de la dualité d e Verdier. 2.2.12. Pour x un point (ferm é ou non) de X, si i es t l'inclusio n d e x

x dans X, factorisé e en x

i

*

i

— { x} — 3 — y X , on définit i * : = j i" . Avec j i x 70

FAISCEAUX PERVERS

cette notation, la caractérisation 2.2. 2 (ii) de D^P (resp . D~^) adme t la formulation plus élégante suivante. (ii) Pou r tou t point (ferm é ou non) x de X, notant dim x la dimen- i * i sion de {x } , on a H i K = 0 pour i < p(2dim x) (resp . H i K = O pour 1

x

x

i > p(2dim x ) ). 2.2.13. Pour le s faisceaux de Z/£ -modules (o u plus généralement de n

R-modules, avec R fini sur Z/£ ) , on procède de même. Il est commod e n

de continuer à prendre pour L la donnée, pour chaque strate, d'une famille fini e de faisceau x localemen t constants irréductible s d e Z/£-modules, e t de dire que K dans D^(X,R) est (S,L)-constructible i * i+ 1 * si le s £ H K/£ H K sont (S, L)-constructibles, en tant que faisceau x de Z/ £-modules . 2.2.14. Pour le s Z -faisceaux , (resp . Q -faisceaux,...) o n procède b de même, une foi s définies de s catégories triangulée s D (X , Z )(resp. b D ( X , Q ),... ) obéissant au formalisme de variance habituel, et une fois définie leu r t-structure "naturelle" , dont on veut qu'elle four 0

c

nisse l a catégorie abélienn e de s Z ^-faisceaux (resp . ©^-faisceaux,..) constructibles su r X (SG A 5 VII 1.1.). Dans l e cas des corps de base finis ou algébriquement clo s (o u plus généralement lorsqu e pour tout e extension fini e k' d e k les groupes H (Gai(k/k'), Z/£) son t finis) , 1

une solution est proposée dan s [1 ] 1.1.2 : pose r (2.2.14.1) D^(X , 1Z.) : = 2-lim proj D£ (X , Z/£ ) n

(ctf pour "constructibl e d e Tor-dimension finie") . On prend pou r foncteursde transitio n le s foncteurs d'extension d e scalaire s L 0

Z/£

m

;

la restriction au x objets de Tor-dimension fànnie est nécessaire pou r b s D qu'ils envoient D bdan La proposition suivante , jointe aux théorèmes d e finitude de [3 ] assure que l'o n obtien t bien une catégorie triangulée . Proposition 2.2.15 . Soit ( P ^ j ^ un système projectif de catégorie s triangulées. Les foncteur s d e transition T : V -* V son t supposés . m, n n m exacts. Si, pour tout n € IN et K, L dans V , Hom(K,L) est fini , £

£

n

alors l a 2-limite projective V de ,

munie de la famille des tri -

angles T d'images distinguée s dan s le s V , est triangulée. n

Soit u : X -> Y dans V , et u : mn

X - > Y so n image dans V . in

71

r

i

Pour

A A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

vérifier que u est la base d'un triangl e distingué T (TRI ) on choisi t pour chaque n un triangle distingué T d e base

U . Appliquant TR 3

n

dans le s

r

V , on construit des morphismes T , . (T , . ) -> T d e base n n,n+ l n+ l n 1'automorphisme identiqu e d e u . Ce sont des isomorphismes. Ils perc

n

mettent de définir l e T requis comme limit e projective des T Soit dans V deux triangle s distingué s T , T ' et f:base(T) -> base(T') X - i* Y —* Z

F* F

+

-ÎU

(i

)

X' • Y' > Z'-^i • Pour chaque n , soient T^, T ^ et f le s images de T, T', f dans V R

,

n

et H l'ensembl e de s morphismes d e triangles T - > T^ qui induisen t f n

n

n

Le foncteu r T . _ envoie H , . dans H , et la limite projective H n,n+l n+ l n des H nes t l'ensembl e de s k : T -> T' induisant f . Chaque H es t fin i n par hypothèse, et non vide d'après TR 3 dans V . n

On a donc H ^ 0 , et

ceci vérifie TR 3 dans V. La vérification d e TR4 dans V est semblable. Celle de TR2 est triviale. 2.2.16. La définition (2.2.14. ]) a ceci de bon que l e formalisme d e variance des D^(X, H_^) s'obtient pa r simple passage à la limite. La définition d e l a t-structure naturell e es t plus délicate, car le s

T^

dans D^(x, X / & ) n e respectent pas l a Tor-dimension fini e et ne comn

mutent pas aux extensions d e scalaires. On définit l e foncteu r H d e D^(X, X ) dans l a catégorie abélienn e de s X -faisceaux constructible s C

x,

Y\

r\

en attachant à K, défini par un système de K € D (X , IL/1 ) , le i n e n faisceau limit e projective de s H ( K ). Nous écrirons K ® X / £ pou n

^

0

K . On dispose de s suites exacte s usuelle s * (2.2.16.1) 0 -> H (K) H (K ® S / £ ) + Tor, ( H 1

n

1

Xr

n

1 + 1

( K ) , Z / J l Vo .

Pour n variable, elles formen t un système projectif, et le systèm e projectif de s Tor. est essentiellement nul . On définit D (X , Z ) — 0

(RESP. D (X , Z J ~ °) PA R LE S CONDITION S H K = 0 POU R I > 0 (RESP .

i < 0 ). Pour s'assure r qu'o n obtient bien une t-structure, l'essen tiel est l a construction de s opérateurs T . . Elle est fait e dans [1 ] 1.1.2. Le foncteu r H indui t une équivalence d e catégorie s (D ( X . I J - f l D (X , Z J- ) + ( 7„-faisceaux constructibles). Les suites exactes (2.2.16.1 ) montrent que pour que K soit dans D (X , Z J -° ,

IL FAU T E T I L SUFFI T QUE POU R U N (TOUT ) N , K ® "Z/$,

72

N

FAISCEAUX PERVERS

soit dans D ^ ( X , 2 / J l ) - . n

0

Une bonne définition, inconditionnelle, de D (X , ~2_ ) a été proposée par 0. Gabber. Notons D (X , X„ ) la catégorie triangulé e qu'ell e fournit. On dispose d'u n foncteu r conservati f D (X, "2^)

D

c

x

c

( ,

Z^) /

bijectif su r l'ensembl e de s classes d'isomorphie. Pour K, L dans D (X,

i de réduction mod i

n

c

K

n

e t L , o n a une suite exacte court e n

0 + lim Hom(K , L ) + Horn(K,L) -* lim Horn(K , L ) + 0 1

Pour X le spectre d'un corp s k, de clôture séparabl e k, V un "Z^-mo dule de type fin i sur lequel Gal(k/k) agi t continûment, et K (resp . L) i b réduit à x (resp . V) en degré 0, les Hom ( & £ / ) , dan s D , sont A

v

c

A

les H (Gai(k/k),V), tels que calculés par l e complexe de s cochaîne s 1

continues. Comme i l n'a pa s rédigé s a définition, nous somme s obligé s de nous limite r au cadre un peu étriqué où 2.2.15 s'applique . b b 2.2.17. Soit D .(X , "Z ) la sous-catégorie plein e d e D (X , 2 ) formé e c

0

des K vérifiant le s conditions suivantes , dont l'équivalence résult e de (2.2.16.1 ) : (a) pour tout (resp . un) n, K De

, (X, Z A ) ; n

(S,L) variable, D

(b ) les

Z

®

Z / £ es t dans n

sont (S,L)-constructibles. Pour

TL/% 0

,et on définit L par passage à la limite su r

BSt l a réunio n filtrant e de s

B

C

la t-structure d e perversité p sur

C

(S,L) , comme en 2.2.10 , à partir de t-structures sur le s par recollement .

•5. L

obtenues

Comme en 2.2.16, pour que K soit dans D — (X , Z ) / il faut et il P

p

suffit que s a réduction mod £ soit dans D^°(X,2Z/&). F

2.2.18. Rappelons que, par définition. 0 (Х,Ш )

:= D N X ,

Ь

А

TLA ®

Ш. ,

et que l a catégorie abélienn e de s Q^-faisceaux constructible s es t le Œ

H

d e celle des Z

-faisceau x constructibles . La sous-catégori e

pleine Da . (X,Q ) image de Dç . (X, IL ) ® ÇD es t formée des K tels que chaque H±K est le d'u

n

Z -faiscea u (S , L) -constructible, i.e.

de réduction mod£ (S, L)-constructible. On définit l a t-structure d e perversité p su r D (X,( D ) par passage à la limite su r (S,L) et recollement, comme précédemment. Pour tout intervalle [a,b ] , le foncteu r naturel P fa,b] P fa,b] (X, IL) 0 Œ - > (x,BJ c D

D

est une équivalence. En particulier ( a = b = 0 ) , la catégorie abélien -

73

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P . DELIGNE

ne des Q^-faisceaux perver s s e déduit de celle des X^-faisceau x per vers par ®

Q) . .

Soient E

une extension fini e de Q e t 0 so n anneau de valuation.

On peut traite r de s 0 -faisceaux comm e on a traité des X et passer d e l à aux E -faisceaux par ® E

-faisceaux ,

. O n peu t aussi passer de s

Q^-faisceaux au x E^-faisceaux e n observant que l e foncteur d'oubli u induit une équivalenc e D (X,E^) >

(catégorie des objets K de D (X,Q}^), munis d'u n

b

b

morphisme d e Q -algèbres E

• End(K)) À

La pleine fidélit é résult e d e la suite spectral e (2.2.18.1) E

P q

= Ext

^

P

É

(E

,Hom (o)K,( oL) ) Ho q

À

J

m (K, L) ,

où E = 0 si p ^ 0 (l e produit tensorie l E^ ® E^ est pris su r Q}^ , et le Hom dan s D (X,Q^)). La surjectivité essentiell e résult e de ce que K, muni d'une action de E , est facteur direct de K ® E . p q

b

q

La suite spectral e (2.2.18.1 ) s e déduit d'une suite spectral e analogue pour D (X,C? ^), obtenue pa r passage à la limite. Si 0^ est étale b

sur "2^

, on a encore E

p q

= 0 pour p ^ 0 , mais non en général. La

suite spectral e montre toutefoi s que l e foncteur d'oubli indui t un foncteur pleinement fidèl e (0^-faisceaux pervers )

>( "Z^-faisceaux pervers, munis d'une action de 0^) .

Nous n'avons pa s vérifié que c'est, comme i l se doit, une équivalence. On passe enfin à D (X,Q^) par passage à la limite (inductive ) su r b

E

x

c

* *•

2.2.19. Les résultats 2.2. 2 à 2.2.8 e t 2.2.12 continuent à s'applique r dans tou s ces contextes, avec essentiellemen t l a même démonstration . La preuve 2.1.2 3 de ce que le s faisceau x pervers formen t un champ ne s'applique toutefoi s plus tell e quelle, car 3.2 , sur laquelle elle repos e a été rédigé en supposant que l'o n travaillai t à l'in térieur d'un

e catégorie dérivée d'une catégorie d e faisceaux .

Voici une autre preuve. On sait déjà, comme en 2.1.23 , que le s morphismes s e recollent, et il s'agit de prouver que si (LL ) est un recouvrement étal e fin i de X, toute famill e A^ de faisceau x

74

FAISCEAUX PERVERS

pervers su r le s ü\ munie d'une donnée de recollement provien t de A pervers su r X. La donnée de recollement permet, pour chaque j : V -> X étale, et se factorisant par un ,

de définir A faiscea u perver s v

sur V, et ce de faço n compatible au x images inverse s V - * V . Pour tou t morphisme f : Y X

et toute sous-variét é irréductibl e

localement fermé e i : S' — • X de X, donnant lie u à un diagramme carc

tésien T'cJj^j)I Y f f S' j à des 1

carrés commutatif s F-ZF

F-/ 3 P

Pour i

U) F

1

LJ

>

1

j F

> j > k , le triangle ( F V F , F / F , F / F ^ ) es t distingu é 1

k

1

k

(flèche de degré 1 : F /F^ — * F~°°/F^ F

^ —* FV F ) . Un tel systèm e

k

1

de triangles distingués est ce que Verdier, inspiré par l a construction des suite s spectrale s dan s Cartan-Eilenberg, a appelé un objet spectral de D A . En sens inverse, on dispose de (3.1.2.4) filtration triviale : DA •

DFA : K \ •

Gr£ K = K e t G r ^ K = O pou r

De DF A dan

r i

(K,Tr) ave c

^ 0 .

s DFA , on dispose de

(3.1.2.5) F° : DFA DF

A : (K,F) (F°K

généralement, pour chaque c

p : 2Z •

, filtration induite), et plus 7L (o ù S

= S u {-«,«>}) , crois-

sant et continu, de (3.1.2.6) [cp] :

D F A— DF A : (K,F) l - — ( (P* " (

Pour cp(n ) = n+p , c'est (K,F ) | •

œ )

/F*

( œ )

) (K) ,F*

( n )

K/F* % . {

(K,F[p]) .

Généralisant l'existenc e d'u n triangl e de base donnée e t TR4, on a (3.1.2.7) Quelle que soi t la suite de morphismes ...— • + i K

n

(n 6 S) d e D A , avec =

O pou r i » 0 e t K^ ^ ~ > pou +

K n

•

•

r i « 0 , il

existe (K,F ) dan s DF A tell e que l a suite donnée soit isomorphe à celle des F K . 1

2 On a les mêmes relations entre D F A e 77

t DF A (d

e deux façons

AA. BEILINSON, 7 . BERNSTEIN, P. DELIGNE

différentes : par exemple, on a

F^/F^ ,

et

G^/G^ :

DF A •

DFA) .

2

On dispose e n outre de (3.1.2.8) filtration diagonale : DF A •

DFA :

2

avec (Gr^

+1

1

Le mor-

1

,F /F i

i+2

,Gr^)

montre que l e morphisme d e degré 1 : Gr*K ifi> G r p K s e factorise pa r +1

F

1 + 1

/F

,

i + 3

de sorte que d

G : pF • b

h

C (V)

d

F

Que G

1

= O . Ceci nous fourni t un foncteu r

e s

Le foncteur G

induit une équivalence d e l a caté-

complexe s filtré s bêtes avec C

b

(C) .

soi t pleinement fidèl e résult e aussitôt de 3.1. 4 (ii ) et

de ce que Hom dans

°d

.

Proposition 3.1.8 . gorie ^^ bête

1 + 1

V F*~, , Dete

n

(A B) = 0 pou r n

< O e t A, B dan s C

f

: pour K, L

on a Hom^p (K, L) = Ker (TTHom(K ,L ) -iJTHom (K, L ) ) ; 1

1

1

1 + 1

on a d^(f ) = df-fd (formul e dont nous n'avons besoi n qu'au sign e près, et dont l a vérification es t laissé e au lecteur) , et Hom^p(K,L

)

s'identifie don c a u groupe de s morphismes d e complexes d e K * dan s L* .

Prouvons l a surjectivité essentielle . Soit donc O —* K

a

K

b

—• 0 (

a < b) u n complexe borné d'objet s d e C ,

et cherchons u n complexe filtr é bête (K,F ) don t il soit l'image par G . 1ère solution . Ecrivons chaqu e K plexe (K

1

comm e l'imag e dans D

1

A d'u

'- ,d") born é inférieuremen t d'objet s injectif s d e A 3

réalisons le s morphismes d" ^ : K"*" • plexes d'

+

1

n com , et

K ^" pa r des morphismes d e com i+

.

Tout complexe filtr é X x

n

d u type suivan t répon d a u problème :

e K '* 1 1

=

i+j=n F X P

n

=

Q K i+j=n, i>p

i , j

d = (-i) d"+d'+r , avec r

d e filtration • > 2 ,

1

i.e. te l que ave c r F

80

p

c F

^

P+

FAISCEAUX PERVERS

Posons H

=

(-l)^ " , H T = d e t cherchons inductivemen t H

homogène dO e± degré (p,-p+l )w te l que d (*)d ° d es

D

±

=

H

-

vérifie

n

n=o

t de filtration > p+1 .

Pour p

= 1 , cette condition est vérifiée : elle exprime que cha-

que d | es t un morphisme d e complexes. Pour p que à ° d

bi

1

r i.e. que d

= 0

Par hypothès e

d

, 1 + 1

od

, : L

> b-a , elle impliqu e

: = d répon

d a u problème posé.

: K '* •

K ^ ' * es t nul dans l a caté-

1

1+

gorie dérivée, donc homotope à zéro. Posons d ° d * " = d"HÌ+HÌd" . p >_ 2XIIII On peut prendre pour H ~ l a somme (vérification lais ,i+1

,:

Z

sée au lecteur) .

i

Supposons que p > _ 2 , et construisons te de premier degr é p+ 1 d e d

°d .

^ •

H D +

Soit ( p la composan-

Calculant l a composante de premier

degré p+ 1 de s deux membres de l'identit é d o (d °d ) = ( d °d )od , n r > n morphismes n T Vd e n ' on ^ obtient d"cp+(-1 ) tpd" = 0 : cp es t un système de comp

c

plexes de degré 1- p : (p : n < 0 e t A, B dan s C cp = d"]* , + (-1) ^ H 1

1

1

,

K — • K

p

.

il existe H

Puisque ,

Horn (A,B) = 0 pour

de degré - p , tel que

,d " . On peut prendre pour H

,

l a somme

¿-(-1)^1. 2ème solution (esquisse) . C'est essentiellemen t l a même, écrite dan s un langag e où le fait qu'on soit parti de la catégorie dérivé e d'un e catégorie abélienn e n'apparaîtra pa s explicitement. Il apparaîtrai t dans l a vérification de s compatibilités que nous admettons. On procède par récurrence su r b-a . Si b tration triviale . Si a

= a , on prend un e fil-

< b , choisissons p

te l que a _< p < b e t

considérons l e morphisme d e complexes (ave c K O •

K

a

y

. . .•

e

n degré b )

K •

0

p

f : O — K

P + 1

•

.

. K

b

— 0

.

L'hypothèse d e récurrence s'appliqu e à sa source et à son but, et la pleine fidélit é d e G f : (A,F )

nou s fourni t y (B,F)

81

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

tel que f

= Gr(? ) .

Notons F[n ] l a filtration translatée cône (dan s

2

F[n]

1

= F

(3.1.2.6)

n + 1

. Le

VF) su r le morphisme compos é ? A (A,F[1]) i d

* (A, F) -

•

(B, F)

répond a u problème posé. 3.1.9. Nou s appellerons " réalisation" l e foncteu r -1 b b * real : = wG : C (C ) y V qu i à chaque complex e borné K de C

associ e l'obje t de P

b

complexe bête (K,F ) don t K * es t l'image par G Gr^ K[l G bete ^

(3.1.9.1)

d'objet s

dédui t par oubli d e l a filtration d u

U]

y

c

b

:

( C

, real

0)

G Si (K,F ) es t bête, (K[1],F[1] ) l'es t aussi, avec (3.1.9.2) ( G r ^

K [ l l ) [i]= (Gr* K)[i+1] . +1

U]

Les isomorphisme s (3.1.9.2 ) renden t anticommutatif s le s diagramme s ( G r p K [ l ] ) [i] —^d •,

„ i+l (Gr^l^tl]) [i+1] T

U]

(Grj; K) [i+1] ^

v (Grj. K ) [i+2]

+1

+ 2

i.e. définissen t u n isomorphism e G(K[1],F[1]) = (GK ) [1] , d'où u n isomorphism e (3.1.9.3) real(K*[l]

) = (rea l K*)[1 ]

Proposition 3.1.1 0 . Le foncteur gradué (3.1.9.3 ) rea l : C (C) * b

se factorise par un foncteu r exac t encore noté rea l : D (C)—y- P . b

Lemme 3.1.1 1 . rea l : C (C) — * V s b

Soient K

* * e t L

b dan

h

s C

e factorise par K (C) .

(C ) , images par G

82

b

b

d e (K,F ) e t

FAISCEAUX PERVERS

(L,F) dan s ^ Vjgte * ^ résult e d u diagramme commutati f suivant , extrait du morphisme d e suites spectrale s (3.1.3.5 ) • (3.1.3.4) : F

L

e

e i n i n e

Horn, (K*,L*)= E°° de (3.1.3.5 ) — y Hoiru ( (K,F) , (L,F) ) (3.1.4 (ii) ) C°C

Нопц-ЬЛК ,L )= E , Lemme 3.1.12 .

de (3.1.3.4 ) •

Hoitu(K,L)

Le foncteu r rea l : K (C ) •

V

transforme triangle s

distingués e n triangles distingués . Soit f VF ,

: (K,F)

et soit ?

Î^Cff)

= F L

111

i

(K,F[1])

y (L,F) u n morphisme d e complexes filtré s dan s

l a filtration su r le cône C(f ) d e f n

Q F

i + 1

K

n + 1

y (K,F) (L,F

:

pou r laquell e

(C(f),F) es t l e cône de

) . L'isomorphisme nature l Gr~C(F ) =

z(Gr*, K ) [1] 0 , et f c

— y B '

€ Hom(A,B[n]) , il existe dan s C

qui efface f

.

fixe , considérons l e morphisme d e 0 : la condi-

tion d'effaçabilité d e 3.1.1 6 équivaut à ce que pour A, B dan s C e t

84

FAISCEAUX

PERVERS

n es , Hom

DC

Tout objet de D

(A,B[n] ) ~ •+ Homp (A B[n] ) f

C s

e dévissant en objets de C

, elle impliqu e que

real es t pleinement fidèle . Il reste à montrer que si rea l es t pleinement fidèle , il est essentiellement surjectif . Prouvons par récurrence sur t = b-a que p[a,b]

e

g

t

3

a n s

i « i g e essentielle . Pour

dans l'image essentielle. Si Un objet K

1=0, C[a

ma

d e fl

' donn

[a

b]

l >_ 1 , soit c

te l que a £ c < b .

e lie u à un triangle

l'hypothèse de récurrence assure que

T

K


( t


C

K

y ( T K ) [ 1 ] es t de l a forme real (6) ,

et K[l ] est isomor-

E x t ( K , L ) P

q

P+q

fournit un isomorphism e Hom

D(s)

( K , L ) = H°(S,Hom(K,L) )

La même formul e vaut avec S

remplac é par U

quelconqu e dan s S

,

d'où l a proposition 3.2.3. L e but du paragraphe es t de compléter c e résultat en montrant que, sou s des hypothèses convenable s d e nullité d ' E x t négatifs , 1

il suffit de se donner localemen t u n objet de D (S) pou r s e l e donb

ner en fait. Soit C

u n crible couvran t l'obje t final S

objet de D(S ) de K

dan s D(U ) e

y

de C

d e 5

Appelon

donné C- localement l a donnée pour tou t U t pout tout morphisme v . : v —+ U

d'u n v-morphism e cp

v

: —

s

dan s C

entr e objet s

• K défin i par un isomorphism e v

cp^ : v*Ky ^> K . On exige que pour u n morphisme compos é v w o n ait (D = cp o(p vw w v v

Pour K dans C

dan s D(S) , le système de ses restrictions K| U pou

r U

es t un objet de D(S ) donné C-localement . Réciproquement , on

a : Théorème 3.2.4 . avec ^

1

K

U

= 0

Soit (K pour i

y

)

un objet de D(S )

Supposons que, quel que soi t U E2çt (K ,K ) = 0 i

u

u

pour i

donné C- localement,

en dehors d'un intervall e indépendan t de U dans C

, on ait, sur U

< 0 . Alors, il existe un objet K

(unique d'après 3.2.2 ) donnant naissance à

(K^)

d e D

b

(S)

.

L'assertion d'unicit é résult e de 3.2.2 . Pour prouver l'existenc e nous nous inspirerons d e l a preuve d e 3.1. 8 e t de l a théorie de la descente cohomologique (SGA 4 VI B, résumé dans [2 ] § 5 ). 3.2.5.

Version simplicial e d u problème . Quitte à changer d e site

86

.

FAISCEAUX PERVERS

sans change r de topos, on peut supposer que l e crible C par un objet U

d e S

,

es t engendr é

couvrant l'obje t final . Il revient alor s a u

même d e se donner C-localemen t u n objet de D(S ) , ou de se donner un objet de D(U ) , et un isomorphisme entr e ses deux images récipro ques su r U

* U (produi

cocycle usuell e su r U Soit

A

t fibr e su r S U

x

) vérifiant l a condition d e

x U .

( n >_ -1) l'intervall e [0,n ] d e 3 N , et considérons l e

r

système simplicia l de s puissances U

d

A n

, ( n ^_ 0) . Seul nous

e U

servira l e système simplicia l stric t sous-jacen t (o n oublie le s dégénérescences) . Un système simplicia l stric t d'objets K

n

dan s le s

D(U ) (

n ^ 0) es t la donnée, pour chaqu e n > _ 0 , de K

D(U ) ,

et pour chaqu e injectio n croissant e a

An

An

sant une projection p(a ) : de

K

dan s

n

K

U

A m

•

exige que -1 ) e t des injection s croissantes entr e eux, ( A ) l +

catégorie de s A (A) ,

et A

(

+

n ^ 0) , A

+

n image invers e su r ( A ) . Pour a : A —- • A_ un e n m ) , nous poserons s( a ) = n e t b (a ) = m . Notons A (n)

la fibre de A

au-dessu s d e A

. E u égar d a u cas qui nous intéress e

où A(n ) es t l a catégorie de s faisceau x d e quel que soit a J ( £

),

a sous -

un e catégorie fibré e et cofibrée su r

so

flèche de ( A

(a*,a

~ [0,n]

:

A —* ,

0-modules su r U

on note (p (a) / P( a ) ) /

N

+

o

u

simplemen t

l a paire de foncteurs adjoint s tel s que Hom (F,G) = Hom A

A

( m)

(p (a)*F ,G) = Hom

87

A

( N)

n

( F ,p(a)*G) .

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

On suppos e que le s catégories A(n ) son t additives, et que le s foncteurs p ( a ) e

t P^

01

) * son

De l a catégorie A (A) ,

(o u sur

(A)

t additifs.

su r

( A ) s e déduit une séri e de catégories su r

pa r restriction) d e fibre s le s catégorie s

+

C(A(n)) , K(A(n)),... . Pour toute catégori e B une section de B

su r

su r

(A)

, ir : B + ( A ) ,

+

+

(A) , ou système simplicia l stric t d'objet s

des catégories fibre s B(n ) , est un foncteu r s

: (A)

+

—• B te l que

€ Ob B(n ) e t de flèche s n ip(a) o ù , pour a : A —• A , c p ( a ) es t une a-flèche de B dan s % . Il est exigé que cp(Id ) = Id_ e t que c p ( a $ ) = cp(a)cp(6) . Si m ° n iï B es t cofibrée su r (A) / l a donné e de s tp (a) équivau t à celle d'u n TTOS

= Id ; c'est une famill e d'objet s B R

n

m

A

morphisme cp (a) ' : p( a ) B tion B ^ es

n

—- * B dan s B

(m) e t on dit que l a sec-

m

t cartésienne s i les

tp(a)'

son

t des isomorphismes. Cer-

tains préféreraient dir e cocartésien . 3.2.7. Soi t tot(A ) l a catégorie additive suivante : +

objets : familles ( A ) ,

A dan

s A(n

Hom ( A

flèches : Horn((A ),(B ) ) =TT

S U

) .

>,B

D U

')

a

composition : ((f)©(g))

T

=

3 Y 6y une sous-catégori e d e tôt( A ) pa r a =

On identifie A (A dan s A(n) ) i

à

> (famille A

1

, ave c A

n

= A e t A

m

= 0 pou r

m ^ n) . 3.2.8. Décrivon s le s complexes (K,d ) d'objet s d e tot(A ) . Par +

définition, chaque composante K

d

e K

es t une famill e ( K ) d ' J

objets des A(j ) . Renumérotons-les, en posant K

Pour

a : A

un système de rons, une Soit L

• A

n,m

=

( K

n+m n }

, nou s noterons d ( a ) l a a-composante de d , n D m p+n—ro+1 • K ' - ~ ou , comme nous di-

a-morphismes K

, p

K '* dan s K '* .

a-application de degré n-m+ 1 d e l a filtration décroissant e d e K (L K) ' p

n

m

=fo s

i n

-.n.m K s

88

i p

n

donné e par

< p < n

m

FAISCEAUX PERVERS

et poson s (K '*,d") = (Gr£K)[n ] . n

C'est u n complexe dan s A

(n) , de composantes le s K

férentielle (-l)

. Pour chaque morphisme d e fac e

d(Id )

n

A

N

*

A

â. : A „ — ny - A -i-± , posons 1 n morphismes d e complexes K les ( 8.8.)-morphismes pie étan t donnée par A

a :

'

,

m

et de dif-

*

3.1 = (-1 ) d ( 8 1. ) . Les 3.1 son t des a 1 ' K ' et , pour 0 _< i < j n , l'identité (3.2.8.1 ) s e récri t

(8)d( ) = (-l)

m+1

Y

(d"d(a) + (-D " d(a)d") m

n

et exprime qu e l a somme a u membre d e gauche est un a -morphisme de complexes d e degré n-m+1 , homotope à zéro par l'homotopi e (-1 Réciproquement, un systèm e de complexes K et d'applications d (a) ( a flèch

e de (A)

a-application d e degré s (a)-b(a)+l d e

n

+

s ( o t ) K

' * dan s

b ( o t ) K

n

d (a) .

t une

' * , où

près , et où

n

An

e (3.2.8.2) , provient d e (K,d ) dan s

CCtot A ) . Dan s ce langage, un morphisme d e complexes f

: K —> L es t

+

un système d'application s f (a) , une a

m + 1

'* £ObC(A(n)) ( n _> 0)

) , où d ( a ) es

d ( I d ) es t l a différentielle d e K '* , au signe (-l) le système de s d (a) vérifi

)

( a flèch e d e ( A )

-application de degré s (a)-b(a) d e

s ( o t ) K

+

où f (a) es

) ,

' * dan s

b( L

'*

t

t

et où pour tou t a Z d(3)f( Ld(3)f( ) = 1) sont nuls. On gradue c e foncteu r par 1'isomorphism e +

n

(-l) : (e*(K[l])) ' = p ( e ) * K n

n

m

n

m + 1

- (( *K) [ 1 ] ) ' = n

m

e

, x * m+ 1 = P(e ) K n

Ppur c e choix, le foncteur encor e noté e * : K(A(-1) ) — K ( t ot A ) , +

déduit de e * par passage a u quotient, transforme triangle s distingué s en triangles distingués . 90

FAISCEAUX PERVERS

3.2.11.Appelons C(to t A+)+ (resp . K(to t A+)+) l a sous-catégori e pleine d e C(to t A+) (resp . K(to t A+)) formé e des K pour M

asse z petit, on ait Kn' m = 0 pou r m

C(tot A ) ,

on note e

tel s que,

< M . Pour K

^K l e complexe (dan s C

dan s

(A(-l) ) défin i pa r

(e*K)p = p( e K K n ' m (l a somme est finie) et d = d(a ) (o n ^ n+m= p n * a abusivement noté d(a) l e morphisme dédui t de d (a) pa r image directe) . On dispose d'un isomorphism e éviden t e^CKt'l] ) = (e*K)[l ] , et le foncteur d e K(to t A+)+ dan s K + (A (-1 )) déduit de er# pa r passage au quotient transform e triangle s distingué s en triangles distingués. Pour K dan s C+(A(-l)),l e système des morphismes d'adjonctio n Kn —• p(eQ)#p(eQ)*Kn es t un morphisme (3.2.11.1) a

: K •

e e*K

Proposition 3.2.1 2 . Les foncteur s e* : K+A(-l) : K(to t A + )+ • avec a

> K(tot A + )+ e t

K+A (-1) forment un couple de foncteur s adjoints ,

(3.2.11.1 ) pour morphisme d'adjonction .

Pour toute catégorie additive K danans s L

B , le groupe des homomorphismes d e

, dans K(B ) , est le H ° d u complexe Hom(K,L ) * d e corn-

posantes Hom(K,L)d =

T T Hom(Kn,Lm m-n=d

)

et de différentielle donné e sur Hom(K,L) d pa r d(f ) = d o f - ( - 1 ) d f o d . Nous préciserons 3.2.1 2 en montrant que pour K dans K(to t A+)+ , le morphisme indui t par a

(A(-l))e t L

:

(3.2.12.1) Ho m ( e*K, L) — + Ho m ( e ^ K, e#L) * * est un quasi-isomorphisme. Filtrons L

dan s K

Hom(K,e L )'

pa r une filtratio n décroissant e

de quotients successif s le s complexes réduit s à un Ln' m (pa r exemple, filtrer L pa r le s n|m> A Ln' m , et les quotients successif s n|^=A Ln'm par le s Ln,An cett e deuxième filtratio n es t n>_B finie). Su r le s complexes Hom * , on récupère un e filtratio n sépa rée et complète, et il suffit de montrer que (3.2.12.1) devient un quasiisomorphisme aprè s passage au gradué : on peut supposer, et on suppose, L concentr é en un seul bidegré. Filtrons K a>n>

pa r l a filtration par les

Cette fois, la filtration obtenue sur Hom " es t finie degré par degré,, et

on se ramène à supposer K

concentr é e n un seul degré. Par translation,

on s e ramène enfin à supposer K

rédui t à un objet A

91

e

n degré 0

,

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

et L

rédui t à un objet B

d e A(n ) , en bidegré (n,0)

Hom(e*K,L) =

TT Ho

d

. On a alors

m (A , B) n e

ot :îA A

nn-d - d ^n n-d>o

le complexe Hom (e*K,L)" es t l e produit tensorie l de

H

o

( ,B) pa r

m

A

e

le complexe de s chaînes non dégénérées d u simplexe typ e

A

n n

' décal é

de -n . Le cône de (3.2.12.1) , translaté pa r [-1] , est donné pa r l a même formule , sans l a restriction n- d > 0 , et il reste à utiliser que l e complexe augment é de s chaînes non dégénérées d u simplexe typ e A

R

es t homotope à zéro.

3.2.13. Bie n que cela soi t inutile pour l a suite, nous allon s exhibe r un morphisme d e complexes représentan t l e morphisme d'adjonctio n d e e*e L dan s L

(3.2.1 3 et 3.2.14) . Un morphisme d e complexes b

e e ^L dan s L

es t (3.2.& ) un systèm e d e a

s(a)-b(a) , b( a ) :

d e

-applications de degr é

p(e , J* ( e L ) • (a),* vérifian t (3.2.8.3) . * b (a) * Une a -application de p (e , .) (e .L) dan s L ' s'identifi e à b () * une ^-application , b' (a) d e e L dan s L . Nous écri rons formellement b = 2 - b' (a) @ a , identifiant ains i b _ à un éléb

#

L

f

+

—

a

ment du produit su r n

de s groupe s

{e -application d e e ^L dan s L n

n

' ) ® {chaîne s non dégé-

nérées de A > n

A so n tour, une e -application b ' d e degré s n

d e e

+

L dan s

L ' * s'identifi e à une famill e de ^-application s n

b' : p(e )„L '* • L '*, d e degrés s+ p . Nous ne considérons qu e de s p p * applications b ' somm e d'applications de s types suivants , indexés par P P * $ : A — • A : le composé de la e -application naturell e d e e If' p n p p * dans L * e t d'une 3- application' b " ( 3 ) : L ' * • L ' * . Nous écri P

n

c

p ,

p

r

rons formellemen t b ' =^ b " ( 3 ) . Au total, ceci nous amèn e à chercher b b = Z b a,3

"(a,3) ®

sou s l a form e

a S ( 8)*

avec a dans L

et3 b ( 3 )

d e même but, b " ( a , 3 ) étan

'* ,

t un 3

-morphisme d e L

p /

de degré s (a)-b(a)+s(8) = ( s (8)-b (8 ) )+s (a) . Pour

chaque factorisatio n 8

=

3-.... 8 J- s

, . , \

a)

92

on a à sa disposition un e 3

-

'

FAISCEAUX PERVERS

application de ce degré : le composé des d ( 3 ) . i

Nous allons montrer que le système suivan t convien t :

51 5 1

(3.2.13.1) b_ =

d ( e ) . . . d( 3 ) ® ( o , 3 ( o ) x

k, m 3 • • , 3

k

La somm e porte sur k, m e t sur les suites de k bles dont le composé a pour but mise : pour chaqu e m

A

1

2

1

k

application s composa -

. La suite vide ( k = 0) es t per-

m

M

y—* d

n

+1

par 0

3 $ (o),^., 6 ...e (o) ) .

, on a un terme I d , * O ( 0 ) . On a noté

( n , . . . / ^ ) l'applicatio n i Q

r

1

k

e

A ^ dan s

A

m

; remplacer

(o u omettre le terme) si cette applicatio n n'es t pas stricte-

ment croissante . Il s'agit de montrer que b es t un morphisme de complexes, et que b

correspon d par l'adjonction (3.2.12 ) : H o m ( e * L , L ) = Hom(e L, L) e+

+

ej(t

à l'applicatio n identiqu e de e L , i.e. que le morphisme de complexes +

composé

r

a *

e + L

h

_ e + e

e

+

£

*

b

y e*L j

L

est homotope à l'identité. On vérifie facilemen t que ce morphisme est même éga l à l'identité : il ne dépend que des composantes b'(a) ® a d e b , pour

a

3.2.14. b

:

A

A

Q

m

,

et ces composantes son t du type

làjjn,

* 0 (CORRESPONDAN T À K

(*) , IL SUFFIT D E MONTRER QU E POUR CHAQU E K

DANS LE S DEUX PREMIER S TERMES E T À K -1 POU R L E TROISIÈME), O N A n ,^7,

- (-D

o

k

0

o

k

Y. D( 3 .D(3j»(0,3 (0 ...D (3 ) ®(0,3(0) ,... 3 ...3 _ (0))-

K

Q

3

B

( e ) ...d(3 ) © ( 3 ( 0 ) , 3 ^ ( 0) , . . . , 3 . . . e ( c » )

D

B

n

k

/

o

k

1

3

H Y (-D o ' ** 'k " - ,

o

O' - ' K

3

1

i

D ( 3 ) .,.D (3j»(0,3 (0.D(3j»(0,3 (0(0)\.. «...a

I + 1

n

n

n

f

k

Les somme s portent su r le s chaînes d e k+ 1 morphisme s composables,e t (n ,..,n ) désign e un e application d e dan Q

s ^

k

(e t 0

s i

cette applicatio n n'es t pa s injective) . Les terme s a u membre d e gauch e correspondent à i

= -1 e t i

= k a u membre d e droite. Pour con-

clure, il suffit d e vérifier que pour chaqu e k _> O, chaque i (-1 < i < k) e t chaque choi x d e 3 et de

m

c

$±+2'' ''^k

lo

x

' ^ ^-

(

Q

/...,3 _- / du composé 3 i

L

= B 3 ^f i

i+

3 ^ suffit à fixer l a chaîne U

(0, 8 ( 0) , . . ., 3 - • • 3 ( o P , . . . , 3 . . . 3 (0) ) , on a Q

±

Q

k

e

EJL=

o ---

d ( 6

)

d ( 6

k

)

=

•

0

Cela résult e d e (3.2.8.1) . 3.2.15. Supposon s maintenant qu e le s catégories A(n ) son t abéliennés, on t assez d'injectifs , et que le s foncteurs p(a ) son Les foncteur s p ( a ) morphisme f

t exacts.

transformen t don c injectif s e n injectifs. Un

#

: K —• L dan s C(to t A ) ser a appelé u n quasi-isomor+

phisme s i les f ( I d

An

) :

K '* n

— y L' * son t des quasi-isomorphismes. n

Cette conditio n es t invariante pa r homotopie. Elle s'énonce encor e : les Gr (f) son t des quasi-isomorphismes. La catégorie dérivé e n

D(tot A

) es t l a catégorie déduit e d e K(to t +

A ) +

+

e n inversant le s

quasi-isomorphismes. Le foncteu r e * pass e trivialement au x catégories dérivées , et définit u n foncteur exac t e* :

D (A(-1)) • +

D(tot

94

A ) +

+

(0))

.

FAISCEAUX PERVERS

Le foncteu r ,

lui, se dérive e n Re^ :

D(tot A ) +

Pour calcule r s a valeur en L

dan

un complex e quasi-isomorphe L injectives, et on prend quasi-isomorphe L

1

e

dan

condition suivant e :

e

:

1

•

+

D (A(-1)) +

s C(to t A ) ., on remplace L +

pa r

+

L ^ L ' , à composantes bihomogène s

* ' • H suffi t en fai t que l e complex e L

s C(to t A ) +

vérifié , pour tou t n

+

, la

L ' * — - — • Re L' '* dan s D (A(-1)) . n* n * fn

n

+

On déduit aussitôt d e 3.2.1 2 que ce s foncteur s e * et R e forment ' +

encore un e paire de foncteurs adjoints. 3.2.16. Le s catégories D(A(n) ) formen t de faço n naturelle un e catégorie cofibré e su r ( A )

+

. Pour chaqu e K

dan s D (tot A ) , les +

Gr!?K formen t une section d e cette catégori e cofibré e su r (A ) .

Si

+

L

*

K es t de l a forme

e K_^ , avec K_

1

€ Ob DA(-l) , cette sectio n es t

cocartésienne : c'est le système des p ( e ) * K ^ . Vu l e contexte o ù n

nous sommes, nous dirons cartésien plutôt que cocartésien , et on appellera cartésien u n objet K

d e D (tot A ) te l que le s +

Gr } K[n ] , 1

munis des 9^-application s définie s e n 3.2. 8 formen t une sectio n cartésienne d u système de s D(A (n)) , i.e. tels que pour tou t i H (Gr^K[n]) soien t une sectio n cartésienn e d e A 1

+

su r ( A )

+

le s .

Théorème 3.2.1 7 . Outre le s hypothèses d e 3.2. 6 e t 3.2.15 , supposons que a) Le foncteu r A i y ^ n ^n>0 est une équivalence d e catégories de A(-l) avec l a catégorie de s sections cartésienne s d e A su r ( A ) . e

A

+

+

b)

Pour tout A

dans A(-l) , identifié à l'objet A[0 ] de D

+

(A(-1))

le morphisme d'adjonctio n *

A

y Re* e A

est un isomorphisme. Alors, les foncteurs

e

* et R

ej|c

son

t des équivalences d e caté-

gories inverses l'un e de l'autre de D (A(-1)) +

objets cartésien s d e D (tot A ) . +

+

95

avec l a catégorie de s

/

AA.

BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Nous allons vérifier que pour K objet cartésie n d e D(to t A ) , (3.2.17.1) a

: K •

(3.2.17.2) b

: e*Re L

dan s D

(A(-l) ) (resp . L

u n

les morphismes d adjonction respectif s 1

R e e* K +

y L

+

sont des isomorphismes. Les objets K

(resp . L) tels que (3.2.17.1

)

(resp.(3.2.17.2)) soit un isomorphisme formen t une sous-catégori e trian gulée de D

+

(A(-1)) (resp . D(to t A ) ) . Pa r hypothèse, (3.2.17.1 ) +

est un isomorphism e pou r K

+

d e l a forme A[0] . Par dévissage, c'est

donc u n isomorphisme pou r tou t K

dan s D

(A(-l) ) . Enfin, pour tou t

i , T . Re*e*K n e dépend qu e de < i K e t (3.2.17.1 ) es t donc u n iso— 4 - ~~ morphisme pou r tou t K dan s D (A(-l) ) . T

1

Ceci suffi t à assurer que e

es t une équivalenc e d e D

avec so n imag e dan s D(to t A ) , e t que pour L +

+

(A(-l) )

dan s l'imag e l e mor-

phisme d'adjonctio n (3.2.17.2 ) es t un isomorphisme . En effet, pour L = e K , 1'isomorphisme e isomorphisme K Si L N

de h

+

y L correspon d pa r adjonctio n à un

y R e ^^

dan s D(to t

H L '* d e A I

K

su r ( A

A ) +

) es +

+

est cartésien, pour chaqu e i

, la sectio n

t cartésienne, donc provient par hypothès e

dan s A ( - l ) . Définisson s l a filtration canoniqu e d e L

1

(T^L) '* = 1 1

pa r

x ^fL '*) . On dispose alors , dans D(to t A ) , d e trian11

+

+

gles distingué s — Si h

1

T ^ ^ L

= 0 pou r |i

T
1, et H

1

* =

,

, définisson s un e t-structur e

su r D(X,ffi ) pa r n

n

D^ ° = { K | H K = 0 pou r i

> 1, et H

+ D^ ° = { K | H K = 0 pou r i

< 0, et H° K es t sans torsion}

1

1

Le foncteu r T

d

K 0 Q = 0}

e cette t-structur e s e déduit du foncteur de la

catégorie de s complexes de faisceaux dans elle-même qui à un complexe K attache l e sous-complexe K ' suivan t de K K ' = K pou r i 1

1

1P( )) d

1 1

s

e s

strates . Le formalis-

me 2.1.3-2.1.1 1 s'appliqu e (dan s 2.1.11, prendre l e

T^ a u sens n ) . +

Si ( X , S ) vérifie le s hypothèses d e 2.1.13 , cette t-structur e e n induit une su r

D

*( / ) r x

s

2.1.1 4 (passag e à une stratification plu s

e t

fine) reste valable. Les t-structure s d e perversité p

e t p

+

su r

D (X,E) s e déterminent l'un e l'autre. Omettant (X,S ) de l a notation, +

+

c

on a en effet, pour K

€ D ,

les équivalences :

(i)

К € D ^ ° «~ »

К € D^

(ii)

К € D^°

-°

P +

P +

P

P

e t d

1

P

р

Кб

P +

P +

E 4 ° et

D^" et 1

P

e torsion

H°K

P +

Р +

sans torsio n

H ° K divisibl e Н ^ К de torsion. Х

Dans (i)-(iv) , de torsion signifi e : il existe n

^ 0 te l que l'endo -

morphisme "multiplicatio n pa r n " est zér o ; sans torsion (resp . divisible) signifi e que pour tou t n

/ 0 c'est u n monomorphisme (resp .

épimorphisme). De ces équivalences résult e que pour qu'un foncteu r exact T

: D*(X,Z) —-> D*(X',E) soi t t-exac t à droite pour le s t -

structures d e perversité p celles de perversité p

+

Les inclusions P

D

, il faut et il suffit qu'il l e soit pour

. «

n

P + c

D«

n

c

P

D«

n + 1

e t P d» " e 11

1

P

V

n

e

№

sont claires. Pour prouver (i) , on vérifie d'abor d qu e P D ^ ° es t la +

sous-catégorie d e ^ P

D ( X , Π) es t dans c

> D

P

^ formé e des objets dont l'image dan s 1

D^°(X,Q) . On vérifie que (i ) -» (ii ) en utilisan t

que D^ ° es t l'orthogonal e à droite de D ^ ^ . On procède d e faço n analogue pour (iv ) et (iii) .

99

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Pour (X,S ) d e plus triangulable, par exemple algébrique rée l muni d'une stratification d e Whitney, l a dualité de Verdier échang e le s t-structures d e perversité p e t (p*) su r D (X , ZZ) . C'est une conséquence formell e de 3.3. 3 e t de ce que D échang e i * e t i , pour i l'inclusio n d'un e strate. +

Tout ce qui précède reste valable pour S de Dedekind R . 3.33.Pour X

u n schéma de type fin i sur Œ

remplac

é par un anneau

, on peut passer à la limi -

te sur les stratification algébriques , comme en 2.2.1 . Pour X schéma de type fin i sur un corps k tique de k

u n

, et z premie r à 1a caractéris-

, on peut en fair e de même en 2Z^-cohomologie , pour autan t

qu'on dispose d'une catégorie dérivé e convenable (cf . 2.2.14-2.2.16).

100

FAISCEAUX PERVERS

4. LA PERVERSITE AUTQDUALE : PROPRIETES GEOMETRIQUE S 4.0. Dan s ce paragraphe e t le suivant, sauf au n°4.4, consacré au x cycles évanescents, on ne considère que des schémas séparé s de typ e fini sur un corps k , et que l a perversité autodual e p , . Nous trab — ' vaillerons dans D (X,Q^) (2.2.12 ) . Pour que cette catégori e soi t definie et obéisse a u formalisme usuel , il nous fau t nous limite r à des corps k tel s que, pour toute extension fini e k d e k ,le s H (Gai (k/k ) , 2Z/£ ) soient fini s (cf . 2.2.12)- par exemple k fin i ou algébriquement clos . / 9

c

1

1

1

La plupart des résultats vaudraient auss i en ,

ffi^ ou en S/£ , n

en particulier e n 2Z/ & -cohomologie. On peut aussi remplacer Q) ^ pa r une extension fini e E ^ , ZZ^ par l'annea u d e valuation V ^ correspondant, et Z/£

n

pa r un quotient fin i R

d e V

.

Enoncer toute s ce s

À

variantes eut abouti à rendre l e texte illisible . Nous avons préféré nous limite r à l'une d'entre elle s : coefficients .

Les preuves

procèdent souven t par réduction a u cas des faisceau x de Z/£Z5-modules , et la réduction es t souvent laissé e au lecteur. Pour le s effectuer, il se rappellera que le s foncteurs T V à

7L ) e t d'extension de s scalaires d e V n

exemple de P

d e restriction de s scalaire s (d e

7L ^ à

7L /i ,

à

un quotient fini , par

sont conservatif s, et que K

D * ° s i et seulement s i T K es t dans

P

es t dans

D * ° . Voir auss i 2.2.17 ,

2.2.18. Le lecteu r qui voudrait utiliser le s résultats donnés ici pour d'autres coefficient s qu e devr

a prendre gard e aux difficultés sui -

vantes . (a) E n 2Z ^ -cohomologie, la perversité autodual e donn deux t-structure s tPi/2- '

e

t

e lie u à

^ l / 2 ^ (3.3) , échangées par dualité. p

+

(b) L e théorème 4.3. 1 es t faux en 2Z ^ -cohomologie, déjà pour X point : la catégorie de s faisceaux [p ^ ]-pervers (resp 1

2

u n

. tP^/2 -' +

pervers) est seulement noethérienne (resp . artinienne). (c) 4. 5 n' a d e sens que pour un corps de coefficients. (d) Le s produits tensoriel s ont de meilleures propriétés d'exactitud e pour un corps de coefficients ; par exemple, 4.2.8 requier t un corps de coefficients.

101

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Rappelons (cf . 2.2.11) que/ pour l a perversité autodualeD^(X,Â5^' un faisceau pervers su r X

es t un objet K

pour tout point (ferm é ou non) x — deg tr(k(x)/k) , et notant i (4.0.1)

R^i K

(4.0.2) H

x

d e X

d e D^(X ,Â5^) te l que

, posant dim(x ) = dim{x} =

l'inclusio n d e x

x

dan s X

= 0 pou

r i

> -dim(x) e t

i*K = 0 pou

r i

< -dim(x)

, on ait

La condition (4.0.1 ) c a r a c t é r i s e, e t (4.0.2 ) caractériseD^(X ,Â5^. La condition (4.0.1 ) équivau t à ce que pour tou t i (4.0.1')

o n ait

dim Supp H K _ < -i 1

(d'où en particulier H Exemples : C^d] ( ° degré -d ) su r X

K = O pou r i

> 0 ).

plus généralement u n faisceau lisse , placé en

u

liss e purement de dimension d

ponctuel placé e n degré cohomologiqu e 0

, ou un faiscea u

, sont des faisceau x perver s

(cf. 2.2.2) . La perversité p ,

étan t autoduale, la dualité de Verdier échang e

/ 0

P

D^° e t

P

D ^ ° . Elle indui t une anti-autoéquivalence d e l a catégori e

des faisceau x pervers. (4.0.3). Notation . Pour K dessus de X

dan s D

t_

(X,Q ) ) e t tout schém a Z

: u : Z —• X , nous écrirons H

d'hypercohomologie 1H

1

au -

(Z,K ) pou r l e groupe

(Z,u*K) .

4.1. Morphismes affine s Le théorème suivan t reformul e l e théorème SGA4 XIV 3. 1 d e M. Artin. Théorème 4.1.1 . S i f Rf :

: X —• Y es t un morphisme affine , le foncteu r

D"(X,Q ) —• D"(Y,Q ) es t t-exac t à droite. On se ramène à prouver l'énonc é analogu e e n

TL/ % -cohomologie (cf .

4.0). Si l e faisceau F attache à F

es t constructible, l'entier d(F ) qu e M. Artin

es t l e plus petit entier d

jet de l a catégorie dérivée , soit dans

P

te l que F Df

d

.

Pour K

, v u comme obconstructibl e

dans l a catégorie dérivée , d(K ) ; = sup(i+d( H K)) es t de même l e plu petit d

te l que K

soi t dan s

P

D^

102

d

. Pour que K

soi t dans

P

D^°,

FAISCEAUX PERVERS

il fau t et il suffit que le s H K[-i] l e soient. Pour vérifier qu e 1

Rf envoi

e

P

D^°(X) dan s

* C

P

D^°(Y) , il suffit donc d e vérifier qu e

C

ave c d(F)^ : d , on a d(R f F) dim X .

Plus généralement, on a Corollaire 4.1. 5 . Supposons k P

I>^ (X) 0

et que u

: Z —• X

affine, on a H (Z,K) = 0 1

algébriquement clos . Si K

pour i

En effet, u* K es t dans

est dans

est un morphisme quasi-fin i d e sourc e >0 .

D^-°(Z) (analogu e de 2.2.5) et on appli-

P

que 4.1. 1 à l a projection d e Z

su r Spec(k) .

Ce corollaire adme t l a réciproque suivante . Réciproque 4.1.6 .

Supposons k

algébriquement clos , et soit K

103

A A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

dans D^(X ) . H (V,K) = O

Si, pour tou t ouvert de Zarisk i affine V pour i

1

> O , alors K

est dans

d e X

, on a

D^°(X) .

P

Nous vérifierons d abord l e 1

Lemme 4.1. 7 . Soient X sur k

affine liss e irréductibl e ôj e dimension d

algébriquement clos , et F

il existe u n ouvert affin e U que H

d

un faisceau liss e su r X

d e X

_> 1

. Si_ F £ 0,

, de l a forme X[l/f ] ( f ^ 0 ) tel ;

(U,F) ? O .

Soient f^

/

... f^ € T(X,0^)

tels qu

/

e l e sous-schéma S

d e X

défini par le s équations f ^ = 0 soi t fin i non vide. Si F

^ 0, on a

H ( X , F ) « ( F | S)(-d) ? 0 (pureté) , et l a suite exact e 2 d

H

2 d _ 1

montre que H

^

2

( X - S , F ) — • Hg (X,F) •

H (X,F)

d

1

(X-S, F) ? ,0 .

2 d

En eff et, d ' après 4.1.4 , H

puisque 2 d > d . Recouvrons X- S pa r le s ouverts pour

I c[l,d] , posons U j = D

U

i •

L

e

s

u

2 d

(X,F) = 0

UL : = X[l/f^]

et,

j son t affines, et dans

la suite spectral e d e tfech E

= © il|=P+

H^(U_,F) l

p q 1

* H

p+(

ï(X-S,F)

1

on a donc E = O pou r q > d . On a aussi E d 1 d 2d— Le terme E- ^ ' es t l e seul qui contribu e a u H p q

p q

= O pou r p > d-1 . 1 ; il est donc no n

nul : on a H (X[ (TTf )"" ],F) ? O 1

d

I

4.1.8.

Preuve d e 4.1.6 . Soi t (

0 < i _< dim X ) une suit e croissant e

de fermé s d e X , de dernier term e X . Posons la suite F choisi e d e telle sort e que W . = * ^ 1 1 ture réduite ) soi t liss e purement d e dimension

= 0 . On suppos e F.-F. - , (ave c l a strucîl • i e t que le s H K

soient lisse s su r le s W . . Prouvons pa r récurrence descendant e su r i que, su r =

X-F^_^ , K

es t dans D-^"

1

(pou

r l a t-structur e na -

turelle) . L'hypothèse d e récurrence : "K|Uj es t dans D- ^ ^ pou r j vide pour i P

= dim X . Elle assur e que, sur I L ,

D ^ ° , et que pour j

T
-i, H- K|u es t un faiscea u liss e su r W )

i

prolongé pa r zéro . Pour tout ouvert affine V i

>

i

104

i

,

d e I L , le triangl e

( T _ K , K , T _ K ) fourni t un e suit e exact e longu e d e cohomologi e
i" est

FAISCEAUX PERVERS

H^VfT^K) • D'après 4.1.5 , H

3

pour j

H (V,K) •

= 0 pou r j

^ K) ±

> 0 fourni t cfonc que pour j H (V, _ K) =

E est nul pour p

P q

=

> O . L'hypothèse (V,K

) = 0

> 0 i

T >

i

d e l a suite spectral e

2

P

q

i

> i .Si

h

i

I

3

Í

w ,H ( q

i

> -i) . Posons

P + q

T >

" ( T _ K ) = 0 pou r j >

i

W

i

H (V n W , H ( _ K ) ) => H ( V n W , T _ K )

H (v n (nul si q

T >

j

i

D'après 4.1.4 , l e terme E

j

H (V n W , _ K ) = 0

j

T >

H(V, _ K) .

j

i =

T > - i

K)) =

H

^ ( T ^ ^ K) .

i + q

>

i

> q , on a donc

(v n

w , _ K) i

T >

i

C'est un faiscea u liss e su r

e t il s'agit, de l'hypothès e H * (V fl W,L) = 0 pou r tou t V

i

c: ü\

±

affine, de déduire que donc

i > 1 . Si

tel que

1 = 0 . C'es t clair pour i

L étai t non nul, il existerait c

M ^ i H soi

pour V

1

,

il existerait f

( V n W [l/f ],L) ^ 0 . Ce f 1

i

1

= V [l/f ] , on a H ^ V n 1

Remarque 4.1. 9 . Pour k

: ü\ , affine,

t non nul. D'après 4.1. 7 appliqu é a u compo-

santes irréductible s d e D que H

= 0 . Supposons

1

^€ r (V^ fl W^,0)

s e relève en f

tel

€ r ( V 0 ) et , ir

W.,L) / 0 : contradiction.

= Π, l'analogue d e 4.1. 1 e n cohomologie com -

plexe est vrai, et peut s e déduire d e 4.1. 1 grâc e aux théorèmes de comparaison. En voici un e interprétation partielle , en termes de modules holonomes. Prenons X

liss e purement de dimension d

. Sur X

, il y a iden-

tité entre le s notions de faisceau (algébriqu e ) quasi-cohérent à connexion integrable et de P-modul (ou comme P-modul

e ,quasi-cohéren t comm e 0-modul

(V, v) es t associe so n complexe d e De Rham fi (V) , et, sur X((E complexe d e De Rham analytique fi* ( V )

a n

a n

fi (V)[d] es

) , le

d e composantes le s

fi (V) 00 0 . On sait que, si le P-modul e V ^ a n ^ 1

e

e ,cel a revient a u même). A chaque te l faiscea u

es t holonome, a

n

t un faisceau pervers, et que l e foncteur V i+fi (V)[d]

induit une équivalence d e l a catégorie des

V-modules holonome s à

singularités régulière s ( y compris à l'infini) ave c cell e des fais ceaux pervers. Si f : X — y Y c

es

t un plongement ouvert dans Y

105

liss e purement

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

de dimension d

, via cette équivalence ,

f

F

correspon d au foncteur

+

image direct e de faisceaux quasi-cohérents (l a connexion suit) . Si f est en outre affine , il est exact, comme prévu par 4 . 1 . 3 . Corollaire 4 . 1 . 1 0 . Soit j i : D x

: U X

un plongement ouver t affine , et

l'inclusion d u fermé complémentair e ( par exemple : D un

diviseur ( de Cartier), U = X-D). Rappelons qu'on écri t j

i

e

t i"

pour R j e

t R i *.

(i)

est un faisceau pervers sur U

, j,G e t j^ G

est un faisceau pervers sur X

, i*F est dans DHi*F^

Si G

(ii) Si F

sont pervers. P

1

et i* F dans PD'- ' ^ . On dispose de suites exactes de faisceaux per0

vers (4.1.10.1) 0

—y i ^ H i * F - + J,J*F

(4.1.10.2) 0

-+ i H ° i F

p

—> F —+ i H°i*F

_1

P

y F

!

y O

p

#

y

j j*F

-+ i H V F O P

L'assertion (i ) es t un cas particulier de 4 . 1 . 3. Le s suites exactes longue s de cohomologie pervers e des triangles (j, j F/F,i^ i F) et ( i iF,F,j j*F) fournissen t ( 4 . 1 . 1 0 . 1 ) , ( 4 . 1 . 1 0 . 2 ) e t la nullité !

des

p

H i 1

jie

i*F =

i H i * F (resp p

.

1

+

Vi i F = i ¥ i F ) pou r !

!

i ^ - 1 ,0 (resp. 0 , 1) donc (ii). 4.LU. Prenons dan s ( 4 . 1 . 1 0 . 1 ) F d e la forme j les faisceau x de cohomologie pervers e de i (4.1.11.1) O

—• i H" i*j^G -y p

1

Si on applique ( 4 . 1 . 1 0 . 2 ) à F 0

j.

G

= jG ,

j G un •

y jG

!

+

e suite exact e

+

i H°i*i P

G +0 .

on obtient une suite exact e

F

— y i H ° i j , G — y j,G p

jG

—y

G . O n obtient pour

+

qui, vi a l'isomorphisme ( 1 . 4 . 6 . 4 ) d e i*J

-y i^H-Vj.G-* O ,

G ave

3|C

c i"j,G[l] / coin-

cide avec ( 4 . 1 . 1 1 . 1 ) , sauf que la flèche j^ G —y i H°i*j G es t chanP

j|c

J|E

gée de signe. Corollaire 4 . 1 . 1 2 : Sous les hypothèses de 4 . 1 . 1 0, i"j i'j

LJ)T

G[l]

sont pervers. On a

(4.1.12.1) i*J (4.1.12.2) i

G [ - l ] = H" i*j G = p

U

!

1

J G [ l ] = H°i*j G = P

U

P

J(£

J){

P

H°i j,G !

H i j G 1

I

J

106

|J|T

G[-l] et

FAISCEAUX PERVERS

La suite exacte (4.1.11.1 ) fourni t deux suite s exactes courte s (4.1.12.3) O

•

i H " i * j G — • j,G -+ J

(4.1.12.4) 0

K

j G -

p

1

+

#

Appliquant i * e t et utilisant que

G •

0

> j*G+ i H°i*j G-^ 0 P

j|t

i' à

j(t

(4.1.12.3 ) e t (4.1.12.4 ) respectivement ,

i'j ^

=

!J|C

= 0

i

o

n

obtien t (4.1.12.1 ) et (4.1.12.2) ,

donc l a perversité voulue . Remarque 4.1.1 3 : Le triangle fonctorie l K s > (j,j*K,K,i i*K ) peu t b * b * se préciser e n un foncteu r T d e D (X, Q ) dan s D F (X,Q ) ) te l que, C

X» C

x,

avec l a notation 3.1.7 , GTK soi t l e complexe j, j K aux degrés - 1 e t 0 que K

. On a u)T K i

= G°TK —> œTK

pervers, T F es

y

i

*

i +

K

y K , réduit

* i* K , pour un isomorphisme tel *

soi t l a flèche d'adjonction . Pou r F

t un complexe filtr é bête, et on obtient u n isomor-

phisme d e i*i* F ave

c l'obje t d e D^(X ,Q^) défin

i par l e complexe

de faisceau x pervers suivan t : i^i F =

[j, j F

y F] (degrés -1 et 0) .

La suite exacte à quatre terme s déduit e par 3.1.1 4 de ce t isomorphism e coincide ave c (4.1.10.1 ) o ù l a flèche de connexion serai t changé e d e signe. De même, K

i

y (i iK,K,j^j*K) s

GTK = le complexe K i CÛTK = * • ' P i

i

K

D

e

e précise en K

i

+

l a

+

i —y TK , avec

—y j j*K , réduits au x degrés O o u r

F

i i F = !

e t 1

, avec

pervers , un isomorphism e [ F -^j J*F] (degré

s O

J(T

e t 1)

qui fourni t (4.1.10.2 ) au x signes près .

4.2.

Exactitudes e t adjonctions.

4.2.1. S i T

: "^^

2 es t un foncteur exact entre catégorie s tri-

angulées munies de t-structures , o n dit que T mologique [a,b ] (.- « _< arHRHom(f*K[d3,f*L[d]) Q

Aux deux membres,

RHom es t dans D^ ° , d où l

r H°RHom = H°RrRHom = H°RHom = Hom , et l'assertion . La preuve de (4.2.5.3 ) s e ramène au cas des faisceau x d'ensembles. Le morphisme f que f

a

a

localement une sectio n ; ceci permet de suppose r

une section e

. Elle fourni t une rétraction à H •XXXXX

'

et il reste à véfifier que deux section s locale s de f^f* ^ qui , en tant que section s de f* H ,

coïncident su r e

, sont égales. Ceci se

vérifie fibr e par fibre, : on est ramené au cas, laissé au lecteur, où Y es t un point. 109

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

4.2.6. S i u es t un foncteu r exact pleinement fidèl e d'une catégorie abélienne A dan s une catégori e abélienn e B , ayan t des adjoint s . e t u i *

à gauche e t à droite valentes : (a) u

identifi

e

,

les conditions suivante s son t équi -

à une sous-catégorie épaiss e ( = stable pa r

sous-quotient) d e B , le morphisme d'adjonction u, u B (b) pou r B dan s B es t un monomorphisme ; (b ) pou r B dan s , le morphisme d'adjonctio n B — • u^u B est un épimorphisme. Elles ne son t pas toujours vérifiées. Exemple B = catégorie de s 1

morphismes X

- > Y dan s une catégorie abélienn e C ,

A = sous-catégorie (équivalent e à C ) des isomorphismes X = foncteu r d'inclusion, u.( X —• Y) = ( X •X) , u ( X = u (Y Y

:

) . S i elle s son t remplies, et qu'on identifi e A

catégorie plein e d e B

pa r u * , chaque objet B

d e 8

—• Y

à

une sous -

a

un plus

grand sous-obje t qui soi t dans A - à savoir u, u B - et un plus gran d Nous laisson s a u lecteu r quotient qui soi t dans a savoi r u u* B le soin de vérifier l e Lemme 4.2.6. 1 ; Si tout objet de A tout objet simpl e S

d e A

,

est de longueur finie , et que pour

u S

est simple, les conditions 4.2. 6

(a),(b),(b') son t vérifiées. Le d'une thèse * f [d ]

critère 4.2.6. 1 s'applique dan s la situation 4.2. 5 : on dispos e suite d e foncteur s adjoint s ( H f,(d), H f*, H~ f ) , l'hypo"tou t objet de longueu r finie " est 4.3. 1 (i) , et l'image par p

d'un obje t simpl e S

d

p

d

p

d

J L [ d i m vl

=

u

f- (V) •

x

1

j f f V

est j.J

y Y j f Ltdi m f -V ]) , encore simpl e : la commutation d e j , ^ au -J

changement d e base par f

résult e du théorème de changement d e base

par un morphisme liss e et de la description du type 2.1.1 1 de j déduite d e 2.2. 4 ; par ailleurs, parce que f connexes, l'image inverse su r f sur V

- 1

es t lisse à fibre s

V d'u n systèm e loca l irréductibl e

es t encore irréductible . 110

FAISCEAUX PERVERS

Corollaire 4.2.6. 2 . Sous le s hypothèses d e 4.2.5, le foncteur f*[d ] des faisceau x pervers su r Y

dans le s pervers su r X

vérifie le s

conditions équivalente s (a ) (b) (b) de 4.2.6 . 1

Pour F

u n faiscea u pervers su r X

, le corollaire permet de par-

ler du plus grand sous-faiscea u (resp . faisceau quotient) d e F provient d e Y est l e f*[d

qu i

pa r imag e inverse . Ce sous-faisceau (resp . quotient)

] d e

P

. de H f , (d)) .

H " f F (resp

p

d

+

d

La démonstration donné e de 4.2.6. 2 a l'avantage d'êtr e courte . Elle a l e tort de ne pas s'applique r tell e quelle à que '

o

u

a

u

c

a

s

d

e

s

£~f i

S

4.2.7. Pou r X ^ e t X

a

2

r

SA ;

d'autre s perversité s

x.

d e type fin i sur un corps k

produit tensorie l extern e D(X (K,L) »—• pr*K X« =

с

Xn

a s

5

i

Ia a

i ;

-

> s«- =

>

n

i D

Le foncteur ^ — d e la théorie des cycles évanescents es t l e fonc* teur i j* : D(X—) • D(X_) . Nous nous proposons de montrer que, pour l a perversité P w o d e x T f ^ et Xs" ^ S' ^ envoi e p -dimlyj. On a y

D ( Y , Z A ) f l D ^ ° ( Y Z S A ) =D^ (Y,2i/£) e t si on écrit un faisceau F p

p

comme

D

f

C

limite inductiv e de ses sous-faisceaux constructible s F , F[i ] es t N-dim{x}

0 pou r i

>N .

n

Soit x

u n point géométriqu e de X — . Il suffirait de prendre

x € X(k(s)) . Ecrivons l'hensélis é stric t ^ ( )

d

X . en x

e

x

limite projective des voisinages étale s affine s U

a

d e x

comm e

dan s X

.

On a (H ^ F ) = 1

TT

Sous le signe H

1

x

s

lim H ^U _ ,F) -

an

, on peut remplace r U

Uyj- d u support de F

a

— pa r l'image inverse dan s

, et on conclut par le théorème de dimension

a

cohomologique des schémas affines SGA 4 XIV 3.2. 4.4.4. I l sera commode de prouver un énoncé un peu plus général que 4.4.2. Soien t S l'hensélis é stric t de S , de corps des fractions h h

k ( n ) , résulte d e 4.4. 3 et(4.4.4.l) .

e t s- ^ u n point géométrique génériqu e d e A—

d'image s , dan s A . Soit S l'hensélis é d e A e n s- , . C'est un h — h trait. Soit S. . so n hensélisé stric t (rel . s , ). Il s'envoie su r S n

s

et l'image inverse d'une uniformisante d e S

es

de S , . Le produit fibr e S déré plus haut pour S .

t pour S

=

S' x S . es s

t une uniformisant e d u type consi-

n

4.4.5. Prouvon s 4.4. 2 (te l qu'amplifié e n 4.4.4) . L e problème étan t local sur X

, on peut supposer , et on suppose, X

l'espace affin e relatif d e dimension d

su r S

affine . Soit A

d

. Nous prouverons l'é -

pour tou t d , et nonce suivant , dont 4.4. 2 résult e formellemen t pour tou t morphisme f : X —• A , si le point géométriqu e x de X 3 d i ^ / ^) a pour imag e dans A^ . l e point générique, alors (H0 pou r d

1

n

j > N-d

x

comme sou s 4.4.2) .

(F

Appliquons 4.4. 4 à A / S g

А? +- S

, «- S

SX

. +-

"s «• s

S'

n

| i soit X l e "localisé " changement d e base d e S ^ à î x

X

s

d

X

e

A

1

s

X' «- *

, et

dédui t de X^ ^ pa r

l

X

±

:

X

'

f S' Le morphisme e

. -^ A- , S

-

étant pro-étale, le foncteur ,

localise en l e foncteur analogu e relati f à | i

X

s

A

Pour F

de

x

relati f à X'/S ' s e

{/ î s

:

XXXX

ferm é dan s X' , , de dimension < n—

N , son imag e inverse dan s

(X') , es t de dimension < N-d . De même, si un point x d e X — es t l ~ d tel que f(x ) soi t l e point générique d e A^ . , i.e. s'il es t l'image 1

n

s

116

FAISCEAUX PERVERS

d'un point x de d

1

d e (

]_)"i ' on a di m {x^ = dim{x}"~ - d. Ce décalag e

X

-

, et l a relation ci-clessu s entre cycles proche

et pour

x

s pou

r X'/S '

î / | » o u s ramènen t alors à 4.4.3 (amplifi é par 4.4.4) pour s

n

.

X[/S[

Remarque 4.4. 5 : nous avon s déduit 4.4. 2 d u théorème d e dimension cohomologique de s schéma s affines. Cette présentation es t artificielle e n ce que, dans SGA4 XIV, ce théorème et une form e de 4,4. 2 (caché e dans la preuve de SGA4 XIV 4.5 ) son t démontrés par un récurrence simultané e sur N 4.5

. Estimations d e nombres d e Betti .

Le but de ce numéro est 4.5.5 , utilisé dan s l a preuve du théorèm e de pureté 5.3.4 . des courbes projectives e t lis Proposition 4.5. 1 . Soient ( X ). , ses connexes su r k algébriquemen t clos , X leur produit, et K dans P

D^, (X,( D ) . Il existe C

étales connexe s X X ,

on ait

(i)

Pour tou t i

des X

te l que, quels que soien t le s revêtement s ,

de degré d

,

notant X

le produit de s

, dim H (X,K ) _< C•TT d a

(ii) Pour i

> O , di m H (X,K ) _< C-sup TT

sup est éga l à zéro pour i

aeA

> n ).

d ||A | = n-i} (

a

Qû l e

Pour que l'énonc é soi t vrai pour K , il suffit qu'il l e soit pour les H-^Kt-j ] : on peut supposer K d e la forme F[N ] , pour F u n (D -faisceau dont l a dimension d u support est
_ 1 , et soit p r l a projection de X sur X .11 existe un ouvert non vide j

: U

X^ d e X

1

1

au-dessu s duquel K

soi t loca-

lement acyclique , relativement à pr (SGA4 1/2, finitude.2.13). On le prend ^ X^ . Soient encore j

l'inclusio n dan s X

d e U

celle du fermé complémentaire . Dévissant K

= pr~ (U ) e t i 1

1

pa r le triangle

(jjj ' ' i i ) t on se ramène aux deux cas suivants: K

K

K

+

(a) K es t de la forme (j ,F)[N] , avec F que, relativement à pr ; (b) K

localemen t acycli-

es t à support dans X- U .

Le cas (b) se ramène à celui où K pour t et Y

su r U

es t à support dans p r "'"(t) ,

e X^ u n point ferm é convenable . Soient Y = TT a*l

X .

= p r ~ ( t ) ~ TT x . , 1

On a

a

dim H (X,K) = d ^ d im H (Y,K) 1

1

et 4.5.1 résulte de l'hypothèse d e récurrence appliqué e à Y Supposons K

d e la forme (a ) . Notons j

les images inverse s de U projection de treint à U

e t dan

s

X su r X ^ , ou de U

.

: tf — • X e t j

: U-^c—•X-^

c

X e t X- ^ , et soit

pi l a

su r ÏÏ-^ .Le faisceau F

res -

es t encore localemen t acycliqu e rel . à pr, et les R^pr ^F

sont donc localemen t constant s sur U- ^ . Soit la suite spectral e de Leray EN =

HP(X ,R pr.K) - H Ï(X,K) q

p+C

1

Puisque R^pr^ K = j . R

q+N

p r F es

t un faisceau localemen t constant sur

U-^ , prolongé par zéro, et qu'on a pris ^ a E

p q

= 0 pou r p

4.5.1 pou r les E ^

q

(ave c i

q

(e t i

| (X ,R p'r K) | = |di m E ^ - d im E ^ l (e q

1

Soit t

f X , on 1

= p+q) ou, ce qui revient au même et

nous ser a plus commode , pour E ^ x

X^ , donc

^ 1,2 . Il suffit de vérifier les estimations

3(t

ferm é dans ,

t

= q+2) et pour

t i

= q+1) .

6 £f^ au-dessu s de t

comme précédemment et K , l a restriction de K

à

, Y e t Y

p r ( t ) ~ > Y . Pour 1

t asse z général, on a dim(Sup p Fn pr t ) < dim Supp F -1 e t K^[-l ]

118

FAISCEAUX PERVERS D^°(Y,2Z/jl) est donc .dans Le E ^ p

q

= r( U , , R p r K) es t donné par q

les coinvariants d e l a monodromie su r (R Er* = d'où di m E

H 0

(4.5.1.1) r

4

pr..K)~ = H^(Y,K,) :

H ^ Y ^ J^ , ~ ~ . (-1)

< r g R ^ p r K . Puisque g R pr*K = dim H (Y,K,) = dim H (Y,K q

q

q

, [-1] ) ,

l'estimation voulue pour E~ résult e de l'hypothès e d e récurrence. Parce que x es t un revêtement étale de X , , qui est propre, ou par l a formule d'Euler-Poincaré rappelé e plus bas, le x (X..,R pr K) X — • X . Ceci nous est d , foi s l e x analogu e pour X , > ramène à montrer que si d , = 1 , i.e. s i X, = X-, - ce que nous supn

q

+

Pi

n

poserons désormais - on a O (TT |x(X,,R pr K ) |
O})

On a (formul e d'Euler-Poincaré, voir [9] ) : x ( X R p r . K ) = (U,) •rg(R pr K)-

E

Sw (RS 'r+K) . l" l L'estimation (4.5.1.1 ) du rang de R^pr^ K - jointe à l'hypothèse d e récurrence - suffit pour l e premier terme. Pour majorer chacu n des conducteurs de Swan S w (R p'r.K) , nous appliquerons l a théorie des cycles évanescents a u trait (X, , ,n,x) hensélis é d e X , e n x e t à X , — • X, , * e t X , — * X, , déduit s de X ^ X , e t X X , par changement de base. Soit K- . l'imag e invers e de K su r (X , .) . A nouveau, K- , [-1] es t dans D^°(X, . ,7L/l) . Le complexe M

vl

ir

X

jk

x G X

U

q

x

%

%

%

P

XXXsur X, = pr" (x)- -*Y es t donc dans D^°(Y,Z/M (4.4.2 ) Le complexe analogue su r X , . = pr~ ( x ) — • Y s'e n dédui t par image inverse. Ces complexes son t munis d'une action du groupe d'inerti e i

2L

P

w

I = Gal(ïï/n) , et en particulier d u grouped'inertie sauvag e P nant lieu à un isomorphisme équivarian t

, don-

(R^pr K)- = H (Y,^-K ) = H^'^fY^-K, [-1J) V1

+

L'action d e P

1

n

su r s

ri 1 f|l e factorise par un quotient fin i Q

. Il 119

A A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

nous suffirait de savoir que son action su r le s H

H (¥, admet une q+1

telle factorisation , mais l a preuve s'écri t de faço n plus clair e en regardant

ty-K^ comm e étant dans D {Y ,7L/i [ Q] ) . Soit S w i

présentation d e Swan de Q

. C'est un

a

re -

TL/i [ Q] -module projectif, et le

conducteur d e Swan est Sw R p r K : = dim Hom.(Sw,(R pr K)- ) , x * U * n q

et

q

Hom (Sw, (Rpr. K)-) = H (¥,Hom (Sw,i|/-K [-l])) . q

q+1

n

n

L'hypothèse d e récurrence s'appliqu e à Y

1

e t Hom ^ (Sw i j » — - 1] ) , et f

son application termin e l a démonstration. dans (

Corollaire 4.5. 2 . Pour K quels que soien t le s X

X, )

, il existe C

tel que

on ait pour tout i

a dim H (1f,K) < — aC-TTd 1

On se ramène par décalage à 4.4.1 (i ) Corollaire 4.5.3 . Pour K quels que soient le s X

&

dans e t i

D^°(X,Q ) , il existe C

P

_< 0 ,

dim H (X,K) < C s u p{ n d aeA C'est l'énoncé dua l de 4.5.1(ii) .

j|A| =n-|i|}

1

Corollaire 4.5.4 . Soient f P

D^°(U,(B^) . Il existe C

U = U x 1


w) , il faut et il suffit que pour chaque point D

x

m

fermé x

,

notant i

0

£

son inclusio n dans X

,

on ait i* K ( resp.i'K)

de poids _ < w ( resp» >_ ) • w

La première assertio n est triviale; la seconde en est duale. Remarque 5.1.10 . S

i X^ ^ s e déduit de X

q

pa r extension de s

scalaires d e I F à I F „ , et que K . es t l'image inverse de K q a 1 o sur , es t mixte (resp . et de poids < _ w, _> w) s i et seulemen t si K l'est . Pour parler de poids, il suffit donc de disposer de n

Q

(X,K) , et d'une façon d'abaisser l e corps de définition à I F , cr pour n asse z divisible. n

Remarque 5.1.11 . L

a fibr e en I F d'un e (B ^-faisceau constructible

sur Spec(IFg ) es t munie d'une action par transport de structure s de Gai(IF/I F ) . Cette construction fourni t une équivalence d e catéH. gories : (QJ^- f aisceaux constructibles su r Spec(IF ) ) —• (ffl^-espace s vectoriels d e dimension fini e munis d'une action continue de Gai (IF/IF )) . Le Frobenius F * es t l'action d e l'élément d e Frobenius

127

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

géométrique F

= cp ,

où c p es t le Frobenius arithmétiqu e

1

cp : IF — * IF : x

* —. Nou s utiliserons c e dictionnaire pou r étendr e

la terminologie de s poids aux vectoriels munis d'une action de Gai (IF/IF ) . 5.1.12. O

n peu t cumuler 5 . 1 . 1 0 e t 5 . 1 . 1 1 . Pa r exemple , pour

(X ,K ) su r I F e t u : Y —• X d e type fini , i l a un sens de o o q parler des poids de H (Y,K) (notatio n 4 . 0 . 3 ) : u e t Y son t définis su r I F , pour n asse z divisible, d'où un e action de q i Gai (IF/IF ) su r H (Y,u*K ) . Deux façon s de définir u e t Y su r q IF coïnciden t su r I F _ , m multipl e asse z divisible de n , et qn q m les deux actions de Galois obtenues coïncident donc su r le sous-group e d'indice fin i Gai(IF / IF ) d e Gai(IF/I F ) . Les poids ne dépenden t q q que de cette restriction . 1

n

n

m

5.1.13. L

n

e théorèm e principal d e [ 1 ] ( [ 1 ] 3 . 3 . 1, 6 . 2 . 3 ) es t que ,

si f

: X — • Y es t un morphisme sépar é de schémas de type fin i su r o o , _ , _ I F , l e foncteur Rf , envoi e < ( ' Œ £ ) dan s < ( ' ® ^ ) • D

X

g

W

clair que f * respect e D D


^ w . Si

U,GrpF)

prenons U Le

est à support ponctuel, de support un point ferm é X

te l que |u ~ (x) | > r , pour x

H°(U,Gr F) p

quotient d e

.

contient alor s l a somme de l u ^(x)I copies de

|u (x)|> r , une de ces copies s'inject e dan s l e U,Gr F) lui-même est donc H°(U,GrPF) de poids > _ w , et

(GrPF) . Puisque x

£ X au-dessu s d e x

Q

_1

p

130

.

FAISCEAUX PERVERS

de poids > _ w . Soit X

l a courbe projective liss e connexe dont X es t un o _ o ouvert dense, et soit de même U l a complétion projective d e u : U —• X affin e étal e connexe su r X

. Pour étudier le s G r F d p

u

r O

type (a ) , nous prendrons U

su r Y

cz X . Soit k

l'inclusio n d e U

dans ÏÏ . On a H (U, k 0

1

et H

1

u * L ) ^ H (U,u*L) , 1

3(t

(Û,°k u*L) = H°(ÏÏ,k,u*i-[l]) adme t donc un quotient, par un î|c

•*

sous-espace d e dimension _< r , qui soi t de poids 2 1 • w

] 3.2.3). Pou r U

ce H ° es t purement du poids de ([1 nable (pa r exemple avec 0

Par ailleurs,

" d e genre g

conve -

te l que 2g- 2 > r) , il est

de dimension > r (applique r l a formule d'Euler-Poincaré cité e e n 4.5.1), d'o ù o n conclut que

L [1] est de poids _> w . Ceci termin e l a

démonstration d u théorème pour X

liss e connex e d e dimension 1 .

Remarque 5.2.3 . L'argumen t qu i nous a permis de passer de F G r F peu t se formaliser comme suit . Soit S

au x

l a catégorie de s

p

r

u : U —+ X , avec U pervers su r X

affin e connex e e t u

Soit par ailleurs W vectoriels h

étale . Pour chaque F

, soit / F l e préfaisceau U

H°(U

,F) su r S

l a catégorie de s préfaisceaux d e W ^-espaces

su r S

tel s que di m h(U) soi t borné. C'est un e

sous-catégorie épaiss e d e la catégorie pf(S ) de s préfaisceaux d e Q^-espaces vectoriel s sur S

. Avec ce s notations, pour X

dimension < _ 1, le foncteur F

liss e de

F (mo d W) es t un foncteu r exact

J

(faisceaux pervers su r X )

—•

pf (S)/N

Remarque 5.2.4 . L a méthode de démonstration utilisé e dan s 5.2. 2 permet de prouver l e résultat suivant . Soit F mixte su r X

Q

,

et supposons X

Supposons que pour u

: U —* X étale , avec U

dimension du sous-espace W soit o

W

à

prendre d'abord U

u n faiscea u perver s affin e connexe , la

~ H°(U,F) d e poids < w d e H°(U ,F) 1

(degré de U(X) ) . Alors, F

on prend l e U

Q

liss e connexe d e dimension 1 .

Q

es t de poids > _ w . Pour l e voir,

la fin de la preuve de 5.2. 2 d e la forme suivant e : 1

te

l que soi

t de genre > 1 , puis pour U

un revêtement d e I L qu i s e prolonge e n un revêtement étal e de ÏÏ.. .

131

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

5 . 2 . 5 . L'hypothès e "H°(U,F ) d e poids _> w pou r tou t U

Q

étale su r X

Pour F ' u n

" s'hérit e d e X à V o quotient d e F , elle s'hérit e d e F Q

étal q

à

e su r X

.

affin e

F ^ : les foncteurs H°(U , )

sont en effet exacts à droite ( 4 . 1 . 1 ) . Si c p : X — • Y es ° p ° ( Y , cp^F )

t un mor-

(où

,

phisme affine, elle s'hérite d e ( X , F ) à U U

D O

cp.F =

p

Q

=

X

Q

—

V

x

q

Q

P

V

Y

O

H cp. F ) . Pour tout V

O O

affine

*

| O

, étale su r Y

posant

, on a en effet (cf . la remarque sou s 4.1. 2 pour

q

- 2 point ) H ° ( V , c p F ) = H°(U,F ) P

+

Q

O

Quant à la conclusion " F

d e poids _> w" , il suffit de l a vérifier

q

localement (pou r la topologie étal e - Zariski nous suffit ) e t si cp : X •

Y es t un morphisme fin i (u n plongement ferm é nous suf-

Q

q

fit) , elle est vraie pour ( X pour (Y

q

Q

, F ) s i et seulement s i elle es t vraie q

, cp F ) . Q

+

On laiss e au lecteur l e soin de déduire de ceci qu'il suffi t de prouver 5 . 2 . 1 pour X récurrence su r n

Q

l'espac e affin e A ^ . Nous procéderons pa r

. Le cas n

= 0 es t trivial, et le cas n

= 1 a

déjà ét é traité ( 5 . 2 . 2 ) . 5 . 2 . 6 . Prouvon s que s i G de F

Q

Q

es t un sous-faisceau à support ponctue l

i il est de poids _> w . Quitte à étendre l e corps des sca-

laires, on se ramène à supposer que l e support de G { 0 } . Soit u

: U —* A u

lisse connexe d e complétion projective e t lisse Û Soit Û

un

d tendan

_

U

a

.

es

n morphisme étale , couvrant 0

t réduit à , avec U

d e genre > 1 .

e famill e d e revêtements étale s connexe s de U t vers l'infini , et soit U

On dispose de U

a

— •A ,

l'imag

, de degr é

e invers e d e U

et on a vu ( 4 . 5 . 4 ) qu

dan s

e

dim îî" (U ,F/G) < ©(d " ) . 1

N

Puisque H°(U

N

de G

, la suite exact e

e n O

11

1

,G) es t somme de (l u "^(0) I-d

H ( U ^ , F / G ) H°(U _1

montre que pour d

a

N

,G) H°(U

N

) copie s d e l a fibr e n

,F)

asse z grand, une au moins de ces copies s'inject e 132

FAISCEAUX PERVERS

dans H°(U^,F ) . L'assertion e n résulte. 5.2.7. Prouvon s que, si F

n' a pas de sous-faisceau pervers à sup-

port ponctuel non trivial, F (un point fermé ) et i

es

t de poids _> w . Soit x

l'inclusio

il faut montrer que i^ passant par x . Pour H

n de x

fini de classes d'isomorphie) et , si u A ,

.

D'après 5.1.9 ,

F es t de poids _> w . Soit H u n hyperplan asse z général, H n e contient l e suppor t

d'aucun sous-faiscea u perver s simpl e de F p

dan s A

dan s A

u*F es t donc nul. Puisque H

(i l n'y e n a qu'un nombr e es t l'inclusion d e H

es t un diviseur,

pour i ? 0,1 (4.1.1 1 (ii)) . Ici, on trouve que ± ? 1 , i.e . que u*F[l ] es t pervers.

P

P

H u' F = 0

H u' F = 0 pou r

Changeant de variables (a u prix de remplacer I F pa sion finie) , on peut supposer H

es t A x

dan s

{0} cA .

r une exten-

Soit p r l a

projection su r l e dernier facteu r : u*F [l]u*F [l]u*F [l] Q

Q

Q

u*F

P

{0} c et i

„

>

A

l'inclusio n d e x

; dan s H

. On a i " = i" „ u* . Pour X ti poids ^ w . suffit donc de démontrer que u F Xes t wde Appliquons l'hypothès e d e récurrence à u' F [1 ] et à H ~ A Il s'agit de vérifier que tout V affine , étale sur ^ T , i i o o H (V,u " F) es t de poids _> w+1 . X « n. •il conclure,

Q

1

Posons U

= V x A . ^ o o

Soit l e carré cartésie n

n

V< =

2

„

u

O O

p p {0} £ i

r •

A . 1

O

Si on note encore F

l'imag e inverse de F su r U , v'F es t o. . : v'r oL U es ot pervers, ' oet il faut l'image inverse de u" r ^su r V 1 \ ° o o montrer que H (V,v"F ) es t de poids ^ w+1 .

133

AA.

On a i"pr

BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

= p*v" . Récrivons-le i'Ll ] o p r = p* ov'Ll.J .

+

+

foncteurs considéré s son t alors tou s t-exact s à et 4 . 1 . 1 ) , e t passant a u H ° ( 1 . 3 . 1 ( 5 . 2 . 7 . 1 ) H°(V,v Puisque

P

pr F +

q

!

su r A

Les

droite ( 4 . 1 . 1 1 (ii)

7 (iii ) o n obtien t

F[l]) = H°(i*(^pr^F)[1]) .

1

vérifi e encore l'hypothès e d u théorèm e

( 5 . 2 . 5 ) , o n sai t par 5.2. 2 que

P

p r * F es t de poids > w . Le membre 1

de droite d e ( 5 . 2 . 7 . 1 ) es t donc d e poids _> w +1 , et H

i

(V,v*F )

aussi. 5 . 2 . 8 . Fin de l a preuve d e 5 . 2 . 1 . Soi t G faisceau pervers d e F

l e plus grand sous -

don t l e support est de dimension 0

stable par F * , donc provient d'un sous-faiscea u perver s G F .

. Il est q

d e

D'après 5.2. 7 et 5 . 2 . 5 , F / G es t de poids _> w .

Q

Q

D'après 5 . 2 . 6 , G faisceau pervers F F / G pa

r G

Q

es t de poids _ > - L w

Q

e

es t donc de poids _> w

q

f

comm e extension d e

.

5 . 3 . La filtratio n par l e poids. Proposition 5 . 3 . 1 .

Si un faiscea u pervers F

q

su r X

de poids > _ w ( resp < ^ w) , tout sous-quotien t d e F

q

Q

es t mixte

es t encore

mixte d e poids _> w ( resp _< w) . On se ramène pa r torsion a u cas où w >_ 0 . Si G g es t un quotient de F sur X

q

Q

, pour tou t U

Q

Q

d e poids

affine , étale

, H (U ,G) es t un quotient d e H°(U,F ) , donc est de poids

>^ 0 , et on applique 5 . 2 . 1 . S i G F ,

Q

= O . Soit F

es t un sous-faisceau perver s d e

la suite exact e H" (U,F/G) — H°(U ,G) — H°(U,F ) 1

montre d e même que G

q

es t de poids j> -1 . On amélior e cett e estima-

tion du poids en passant à X

x X : G B G es t un sous-faiscea u o o o o de F a F . 1 1 est donc de poids > -1 , et par (5.1.14.1* ) G o o — o est de poids > _ - 1 /2 . Les poids étan t entiers, il est même de poids > 0 .

134

FAISCEAUX PERVERS

Les assertions respée s s'obtiennen t pa r dualité. Corollaire 5.3.2 .

Soit j

: U

w) faisceau pervers 3|*^ En particulier, s i F

t pur, J ,

Première preuve. Supposon s F affine, j

,

Q

le

es t encore mixte d e poids < _ w (resp . >_ w) .

Q

es

Q

sur U

Q

#

F

est pur du même poids.

d e poids _< w . Puisque j

es t

F es t pervers (4.1.3) . I l est de poids < _ w (5.1.14(i)) . Q

D'après 5.3.1 , le faisceau pervers j , F es

t de poids < w comm e

! *O —

quotient de j , F

q

. Ceci, complété par dualité, prouve 5.3.2 .

Deuxième preuve. Voic i une autre preuve de 5.3.2, généralisé a u cas d'un plongemen t no n nécessairement affine . Il suffit de montrer qu e si F es t de poids > w , j. F l'es t aussi. Il suffit par ailleur s I *o o — de traiter l e cas d'un plongemen t ouvert. (a) Preuv e pou r X *• o

-U fini o o

v " (U ) 1

—

c

. Soi t v •

1

: V — • X étal o

e :

V

О

о

V V

Ü

:

С

•

О

On a v * j ^ F

O

X о

J =

H (V,v*j

J

0

]J|C

I

J

|

E

V * F

Q

=

°T _
1 . Notons encore E

so n image invers e su r X

n

.

Q

Proposition 5.3.9. (i ) Les faisceau x pervers purs indécomposable s sont ceux de la forme S (ii) S i S

Q

: =

X

d

o

simple £

es t simple, il existe d

l ® ^ d ' restant simple ^ su r X

X

® E , avec S o n o

n

t

.

—

e t S ^

sur

sQJ- t 1 image directe par ir : — • X , , et non isomorphe à ses conjugués sou s

s

1

Q

0

Q

Aut(IF ,/I F ) . Soit F

u n faisceau pervers te l que F

q

le cas pour F

q

pu r (5.3.8) , et pour F

soi t semi-simple. C'est

simple . Soit A

q

des classes d'isomorphi e d e constituants simple s de F

,

l'ensembl e et écrivon s

F comm e somm e de ses constituants isotypique s : F = 9 F ( a € A ). a La décomposition d e A e n orbites fourni t une décomposition stabl e par F * d e F - donc une décomposition d e F (5.1.2 ) : F = ® F _ q o o o C (C orbit e de Fr * dan s A ) . Pour C un e orbite à d élément s et a € C , F c F c F es t stable par F * = (F* ) , donc défini t a u a q un sous-faisceau perver s F ^ d u faisceau pervers F ^ dédui t de F pa r image invers e su r X ^ = X ® I F ^ . Pour ir la projection a

A

C

q C

de X

q

su r X

1

q

, on a F

~

Q C

% F

L

• Soit G

A

simpl e de classe a

&

,

et choisissons u n isomorphisme d ) : F* . G ^ G . On en déduit une a =aHom(G ,F ) , e t l'isomor action F * -, de Frobenius sur V :=Hom(G^,qc F ) qu a a a a phisme F ^ ^ G V es t F * .-équivariant. a a a qu . Si F ^ es t indécomposable, il n'y a qu'une orbite e t ( V ,F*-,) o a qC i est indécomposable : F*, agissan t su r V n' a qu'u n seu l bloc de qu a Jordan. Changeant 1 ' isomorphism e (| ) : * ^ G G , on peut suppose r F r

a

&

F* su r V unipotent ; dans ce cas, ( G ,(p) es t isomorphe à un q a sous-otget ae ^"a'^d ' ' correspon d a un faisceau pervers G ^ d

sur x

1

,

et F

n

c

G^ ® dim(V ) " E

L A

sur Spec(I F ) d e E d

o

0

n

u

t

l

l

i

s

O

~

^ ( G

i

c

i

^I

ue 1

imag e invers e

es t isomorphe a u faisceau analogu e su r

n

Spec(IF . ) . O n obtien t q F

e

1

®

E) ~ ^G ) ® n

1

139

E , n

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

et

es

ÏÏ^(Gj)

Pour F sur V

es a a

t simple. Ceci prouve (i). simple , il n'y a qu'une orbite, et l'action de F* ^

q

t irréductible : V es

Remarque 5.3.10 . Jusqu'

t de dimension 1 , et on obtient (ii).

à 5.3. 8 inclus , les résultats obtenus , et

leur démonstration, valent aussi bien en Q

- (o u E -) cohomologie. XJ

À

L'assertion 5.3. 9 (i ) reste vraie en (o u E^-) cohomologie , mais l'algèbre linéair e requis e pour l e déduire d e 5.3. 8 e t 5.1.2 es t plus compliquée. L'assertion 5.3. 9 (ii ) n'es t plus vraie tell e quelle. —Corollaire — o 5.3.11 . Soien t F perver - - so pur su r X ,o j : U —o• X un ouvert et i : F — • X l e fermé complémentaire. Le faiscea u c

Ç

Q

pervers F

q

q

adme t une unique décompositio n

i P i — F i* i*F p

±

(i)

F

Le morphisme d'adjonctio n

quotient j,

+

j*F d e j

objet j,*J*F

Q

0

d e

P

j , j*F — • F s e factoris e pa r le

p

Q

, J*F , et F Q

Q

—* - j * j * F pa r le sous P

Q

Q

j*j*F . Q

(ii) Le composé des morphismes d'adjonctio n i P i * o ±

F

—

o

F

— i* i*F * o p

est un isomorphisme . L'unicité résult e de ce que Hom ( j . ^F', i F")=Hom(i F" , j F' ) =0 . ! *le o *fait o *que le s oflèche I * os d e D'après 5.1.2, pour vérifier (i) , (ii) et jk

3k

(i) et (ii ) sont le s injections e t projections pour une décompositio n du type voulu, il suffit de le vérifier su r X de le vérifier pour le s constituants simple s

. Par 5:3.8 , i l suffi t G d e F

. Chacun d'eux

est de l'une des forme s j,*G ' o u i*G " , ce qui trivialis e le s assertions. 5.4. Complexe s purs . Soient X

/HF o q

o

comme e n 5.1 , et K

140

dan m

s D

( X ,ÇQp) . o * -

FAISCEAUX PERVERS

Théorème 5.4.1 .

Pour que K

et il suffit que chaque

soit de poids < _ w ( resp. _> w) , il fau t

H K soi t de poids _< w+i ( resp. > w+i) .

P

q

L'assertion respé e es t duale de l'assertio n no n respée, à laquell e nous nous limiterons . Si l e triangle ( A

, B , C ) es

O

O

sont de poids < w , B l'es

t distingué, et que A

Q

Supposons don c K le P

P

H K

d

qu e

Q

t aussi. Que la condition soi t suffisant e

en résulte : utiliser le s triangles (

descendante su r i

e t C

q

P

T . , K ,T .

K , H K [-i] ) . P

P

e poids < _ w . Nous prouverons pa r récurrenc e ^ H

1

k

e

d e poids < _ w+i . Pour i

s t

0

grand .

es t nul, et l'assertion triviale . Supposons don c que

Q

H K es

t de poids _< w+i pou r i

(PH°K ) K es >n o ^ O

> n , d e sorte que l e tronqu é

t de poids < w . Prouvons K — o

d e poids < w+n . ^ —

Pour simplifie r le s notations, nous supposeron s que w

= n = 0 ;

on pourrait s e ramener à ce cas par torsion et décalage. Le triangle distingu é (

T^-K ,K , T _K ) montr e que T^JK < 0 o o > 0 o < 0 o est de poids < 0 . Le triangle ( T ^ K K , H K ) fourni t des — < 0 O < 0 o o suites exacte s P

P

p

P

(5.4.1.1)

H

(

P

P

< O V - * H - ( P H ° K ) - * H-

T

Û

a +

O

^x

< 0

K ) . O

Pour Y

un e sous-variété irréductibl e d e dimension d d e X , il o o existe un ouvert dense U d e Y te l que l a restriction d e j .-. o o H ( ) à U soi t nulle. D'après (5.4.1.1) , les poids ponctuels de H (^ H K ) son t _ 1 ). Appliquon s 5.4.1 2 à u

e t à

uv . On a d e f*K[-2i ] (-i) e t i=0 d-1 u h*(uv>)*K = f (uv) (uv) *K = © f K[-2i](-i) i=0

UJF^U+K = f*u*u*K =

+

+

#

+

Les deux ne diffèrent que par l e facteur direct f K[-2d](-d) . +

Les fibre s de f

son t de dimension < d . On a donc

f*K € Dr|~ (Y,I ) (4.2.4 ) et P

d

P

H u f u*K ^ u ^ h

* (uv) *K pou r

1

+

i < _ d-1 , en particulier pou r i

+

d-

)*

K

1

•

+

Comparant le s

suites exactes longue s d e cohomologie pervers e d e deux triangles cidessus, on obtien t P

H" u* T _ f ,u*K ^ 1

P

>d

1

3

P

H" u* 1

P T >d

. h..(uv)*K . 1

Puisque u * es t d'amplitude cohomologiqu e _ > -d , on a P

H" u 1

P 5 | C

T _ = H" u P

> D

1

d

p 5|e

H " " , d'où (5.4.11.1) . d

1

146

FAISCEAUX PERVERS

5.4.14. Preuve de 5.4.10 (i=l) . Dualement au morphisme d e restrictio n ( u * H " f F ) [d] = H " f ( u * F [ d ] ) > P

i

P

i

+

P

+

H~

i+1

h ((uv)*F[d-l]), +

on dispose d'u n morphisme d e Gysin : p

H hj[(uv)*F[d-l]) — > u * ( H j

P

et leur composé (pou r j Pour i

f F ) [d] (D , +

=-i+l) es t le u*[d ] d e l'application

i

.

= 1 , d'après 5.4.11 , ( u * H " f F ) [ d ] es t l e plus gran d P

1

+

sous-objet de

P

H°h

J|c

(u* H f F) [d] (1) es P

j + 1

1

J)C

qui provient de Y

( (uv) *F [d-1 ] ) qu i provient de Y t l e plus grand quotient

. Puisque F

h*((uv)*F ) e t donc (5.4.1 )

p

Q

P

. Dualement,

H h ^ (uv)* F[d-1]) 0

e t donc (5.1.14 ) (uv) * F ,

Q

Q

H ^ h ( ( u v ) * F ) son t purs , #

Q

^ H ! ^ ((uv)*F[d-l]) es t semi-simpl e (5.3.7 ) et son plu s grand sous 0

objet qui provient de Y

s'envoie isomorphiquemen t su r so n plus gran d

quotient qui provient de Y isomorphisme, et donc A

: le u*td l d e

a (pour i = 1) es t un

lui-mêm e est un isomorphisme .

5.4.15. Preuve d e 5.4.10 (fin ). O n procède pa r récurrence su r i Le cas i Pour i

.

= 0 es t trivial, et le cas i = l vien t d'être traité .

_> 1 , on écri t l e u*[d ] d e £

(u* H" " f P

i

1

comm e l e composé

F) [d]-* H~ h ((uv)*F[d-l]) p

S|E

1 + 1

i

+

p

H h ((uv)*F[d-l])(i)^ i

Jtc

§*a±a* ( u * V f , F ) [ d ] (i +D . +1

La première flèch e est un isomorphisme d'aprè s 5.4.1 1 (i) (ii ) . La dernière e n est duale, et celle du milieu est un isomorphisme, d'aprè s l'hypothèse d e récurrence appliqué e à h

147

e t à (uv)*F^[d-1] .

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

6.

DE 3 F A ( C . Notre but dans ce paragraphe es t d'expliquer e t de justifie r des

recettes pour déduire d'énoncé s vrai s su r l a clôture algébriqu e d'u n corps fin i (tel s ceux de 5. 3 e t 5.4 ) de s énoncés sur | Œ . 6.1.

Principes,

6.1.1. Pou r déduire u n énoncé géométrique, relatif au x variétés algé briques complexes , d'un énonc é su r I F , on procède en deux étapes, avec pour intermédiair e u n énoncé su r ( C , mais où l a topologie du corps de base Œ

n'apparaiss e pas . S'il s'agi t d'énoncés cohomologi -

ques ou homotopiques, on obtient ceténoncé en remplaçant l a topologie classique de s variétés algébrique s complexe s par l a topologie étale, et le s coefficients

7L/% , IL , Q , Πpa r 7L/ i , 7L ^ , ,

(Q^ . L a

traduction n'es t pa s toujour s possible: -La topologie étale ne détecte pas le TT , mais(du moins pour une variété 1

normale) seulement son complété pro-fLni î ^i ^i ® =

Z

]

. Si ^ est fini, elle détecte le s

d**-) 'mai s si ^ est infini, les supérieur

s (qu i ne

sont pas nécessairement d e type fini) , risquent d'êtr e perdu s (cf . Artin-Mazur, Etale homotopy, Springer Lectur e Notes i n Math. 100). - L a topologie étale n'est raisonnabl e qu e pour des coefficients di adiques. On ne peut prendre pour coefficient s n i

7Z , ni C D , ni I R :

réseaux entiers, et signatures d e forme s quadratiques son t perdus. - L a structure d e Hodge (o u de Hodge mixte) d e l a cohomologie es t perdue en cohomologie £-adique . Noter toutefoi s que l a définition d e la filtration par l e poids de H*(X,g> ) es t géométrique. Cette filtratio n admet donc u n analogue ji-adique . Pour une application, voir 6.2.3 . Par ailleurs, il faut qu'il s'agisse de variétés e t d'applications algébriques (e t non seulemen t analytiques) complexes . Par exemple, les résultats d e 5.3. , 5. 4 nou s fourniron s de s théorèmes su r le s variétés projectives don t l'analogu e pou r le s variétés .kahlériennes n'es t pas connu. 6.1.2. Soi t X

u n schém a de type fin i su r Œ

logique X(Œ ) , et l a topologie étale de X de comparaison (u n morphisme d e topos )

148

. Reliant l'espac e topo -

, on dispose d u morphisme

FAISCEAUX PERVERS

e

: X(Œ) •

X

e t

Les résultats essentiel s son t le s suivants. (A) L e foncteu r e * induit une équivalenc e d e l a catégorie de s fais ceaux d'ensembles constructible s su r X

g t

ave c l a catégorie de s fais -

ceaux d'ensembles constructible s su r X(Œ ) (o ù "constructible " signifie "localemen t constan t et à fibres finie s su r chaque strat e d'un e stratification algébrique"). Variantes : (A') Pou r R

u n anneau fini , on a une équivalence d e catégorie s

e : (faisceau x constructible s d e R-module s su r X constructibles d e R-module s su r X ( Π) ) .

, ) (faisceau et

x

(A") Pou r tou t nombre premier l, on a une équivalence 3e catégories e

:

(Z -faisceaux constructibles sur X ) ~ (faisceaux constructibles de Z^modules Q t

sur X«C)) .

Pour le s -faisceaux

, e es t seulement pleinement fidèle . Sur

une varieté normale connex e X faisceau localemen t constan t F

, munie d un point base x

€ X((C) , un

de Q^-espace s vectoriel s d e rang fin i

est dans l'imag e essentiell e s i et seulement s i l'actio n d e TT^(X((C),X sur F

stabilis

)

e u n réseau ( = un Z Z -sous-modul e d e type fin i de

F qu i l'engendre) . Pour F localemen t constan t su r chaque strat e x

d'une stratificatio n (a u sens 2.1 ) à strates normale s connexe s S , il faut l a même conditio n su r chaque F E -

| S ( S € 5) . D e mêm e pour le s

et ( Q -faisceaux. Noter toutefoi s que, les groupes TT- , étan t de

génération finie , si F toriels su r ©

es t un faiscea u constructibl e d'espace s vec -

/ pour presque tou t

essentielle d e e

.

i , F @ Q ^ es t dans l'imag e

Plutôt que d'utilise r cett e remarque pour ramene r

l'étude d e faisceau x constructible s a u cas Ji -adique, il est souven t plus commode d e ramener l'énonc é à démontrer a u cas ( A ' ) . Pour un exemple, voi r 6 . 2 . 1 .

Des énoncés analogue s valent pour le s catégories dérivée s : (B') Pou r R e

: D (X,R) c

u n anneau fini , on a une équivalenc e d e catégorie s y D (X((C),R) . L'indice c c

es t pour: " à faisceaux d e

cohomologie constructibles" . (B") On a e : D^(X, E ) —^ D"(X((C), 7L ) . A gauche, il s'agit d'une catégorie triangulée définie comme 2-lim proj D (X,E/& ) (t.f. : = tor-dimension finie) . A droite, d'une sous-catégori e d e la tf

149

AA. BEILINSON, /. BERNSTEIN, P. DELIGNE

catégorie dérivé e usuelle. En ® c o h o m o l o g i e , à nouveau, on dispose seulemen t d'u n résulta t soi t dans l'imag e essentielle, il faut

de pleine fidélité . Pour que K

et suffit que se s faisceaux d e cohomologie l e soient. De même pour l a E^- e t l a Q

^-cohomologie.

Le foncteu r e * commut e au x opérations cohomologique s usuelles , du moins tan t qu'on s e limite au x faisceau x constructibles . Le résultat essentiel es t SGA4 XVI 4. 1 : (C) S i f

: X —• Y es t un morphisme d e schéma s de type fin i sur Œ

pour tout faiscea u constructible d e torsion F e*R f„F •

sur X

, on a

R f (e*F)

q

q

+

Il est essentiel ic i de supposer F

constructible , comme l e mon-

tre l'exempl e suivan t : X = droite affine , Y = Point, F = © (Z/£2Z n€ZZ De ce résultat, on déduit formellemen t qu e ( C ) E n ffi/£ , 7L , Q o

u Q

n

l

,

£

) .

cohomologie , i.e. quand o n travaill e

dans le s catégories dérivée s constructible s bornée s correspondantes , e* commut e au x foncteur s

R-F , Rf, , f* , Rf " , ainsi qu'aux S^e t

RHom. Preuves . Le résultat-clef es t SGA4 XVI 4. 1 : théorème de comparaiso n pour R

q

f .

Il vaut aussi pour de s faisceau x constructible s d'ensem -

bles (resp . de groupes) s i q

= 0 (resp . q = 0 ou 1 ). Pour le s fais -

ceaux d'ensembles localemen t constants , (A' ) résulte du théorème d e comparaison pou r fait S

ir

et TT ^ (dédui t de SGA 4 XVI 4.1 , q = 0,1 o ù on

= Spec(Œ)) . Pour passer de l à au cas général, on procède par

récurrence noethérienn e ; si U

es t un ouvert dense, assez petit pour

que le s faisceau x considéré s soien t localemen t constant s su r U F l e fermé complémentair e : née d'un faiscea u F

su r X

U , d'un faiscea u F

su

r F

, et

U — r — > X < ^ F , on utilise que l a donc

1

équivau t à celle d'un faiscea u F

y

su r

, et d'un morphisme d e recollemen t

• i j ^Fy - ceci tan t pour l a topologie classiqu e qu e pour l a topologie étale . Puisque l'hypothès e d e récurrence s'appliqu e à F les faisceau x considéré s son t localement constants su r U dispose du théorème d e comparaison pou r j clure.

150

^,

, que

, et qu'on

cela suffi t pour con-

FAISCEAUX PERVERS

De (A ) on déduit facilemen t (A ) e t (A" ) . 1

*

i

Les opérations cohomologique s usuelle s ( f ,Rf * ,Rf,Rf , ) , se ra+

mènent à f, pour f un plongement, et f*, Rf^ pour tout f : Rf, : on écri t f

= gh , avec g

propr e et h

u n plongement ouvert.

On a R f , = Rg^h, . i

Rf* : on écrit f I

I

I

= gh , avec g

liss e et h

u n plongement fermé . On i

a Rf * = Rh'Rg* . Le théorème d e dualité d e Poincaré calcul e Rg * e n fonction d e g : Rg'K = g K[2d](d) , pour g puremen t de dimensio n relative d

. Enfin, si j

es t l'inclusio n d e l'ouver t complément d e

L'image de h, on contrôle Rh * à l'aide d e

+

, grâce au triangle (h^Rh*,Id,Rj^j*)

IL n'existe peut-être pas de factorisation f=gh du type voulu, mais il en existe localement, et cela suffit, une fois définie la flèche de comparaison (par exemple en termes de 1 'isomorphisme de comparaison pour Rf, , et des adjonctions (Rf,,Rf*)). Le cas de

RHom(K,L) s e ramène par dévissage à celui de Rf^_

de f j pour f un plongement, et à celui où K

r

es t un faiscea u

localement constant , grâce à la formul e Rf (RHom(K, Rf'L)) = RHom(f,K, L) t

6.1.3. O n dispose auss i d'un théorèm e d e comparaison e n théorie de s cycles évanescents . Pour l'énoncé , j e renvoie à SGA7 XIV 2.8. 6.1.4. Dan s cette première étap e : oubli de la topologie d e ( C , il importe d e tenir compte des twists à la Tate : - Pou r X

d e dimension d

, la classe fondamental e es t un morphisme

H ? (X,SA (d)) . d

n

c

- Pou r X liss e dans Y

lisse , purement de codimension d

, le mor-

phisme d e Gysin est H (X,ZZA ) 1

n

y H

i+2d

(Y,ffiA (d)) , n

Pour aider à les reconnaître : - Il s apparaissent déj à classiquement, du moins modulo 2 , si on prend pour Œ

une clôture algébriqu e d e I R , sans préciser qui est i

e t

qui est - i . Posons e n effet 5 Z (1) = Ker(exp : Œ —* Œ*) = 2*1 S. U n choix de i

identifi e

7L à S (1) , par 1

< —• 2-rri , et changer i

en - i remplac e ce t isomorphisme pa r so n opposé. De même, un choix de

151

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

i défini t une orientation d e Œ changer i

, puis de toute variété lisse , et

e n - i renvers e l'orientatio n de s variétés d e dimensio n

impaire. Dès lors , indépendemment d u choix de i tation d'une variété liss e X

au faisceau constan t de valeur ffi (d) := S(1) , mentale envoie H

c

, le faisceau d'orien -

puremen t de dimension d

s'identifi e

et la classe fonda -

(X , S(d)) dan s S . L a classe fondamental e

i-

adique s e déduit d e cette classe fondamental e entière , et des îsomorphismes déduit s de l'exponentiell e : S (1 ) £: ffi/n — - —• S/ n (1) : z i

y exp(z/n) .

- En cohomologie d e De Rham, ils correspondent à des

(2TTi)

d

.

- Mnémotechnique : dans l a catégorie dérivée , un twist (d ) apparaî t souvent accompagné d'u n décalag e [2d ] (exempl e : Rf'K = f K[2d](d) , pour f

liss e de dimension relativ e d ) . Noter que l'opératio n

K « y K[2d](d) préserv e le s poids. 6.1.5. L'applicatio n d e l'arsena l qu i précède n'es t pas toujour s aut o matique. Soi t par exemple l a définition d e l a (co)homologie d'inter section en termes de chaînes singulière s don t l'intersection , e t celle de leu r bord, avec le s strates d'une stratification convenabl e n' a pa s une dimension tro p grande. Elle ne s e prête pas, telle quelle, à une traduction e n cohomologie étale , mais, une foi s qu'on a identifié l a cohomologie d'intersectio n à 1'hypercohomologi e

IH*(X,j (Q[d]) ) ( j

l'inclusion d'u n ouver t liss e dens e de dimension d ) , avec pour j , la description 2.1.11 , la traduction est immédiate. 6.1.6. Avan t d'aborder l a deuxième étap e : de Œ énoncés où l a topologie de Œ

â

I F , pour de s

n'apparaî t pas , et bien que ce ne soi t

pas logiquemen t nécessaire , nous allons montrer su r un exemple l a méthode suivi e pour passer d'une variété su r Œ

à

une qui es t défini e

sur un corps de nombres. Soit X

un e variété proiective complexe . Elle est définie, dans

IP (Œ ) , par une famill e fini e d'équations homogène s P ^ = 0 . Soient a le s coefficients d e P . S i o n traite le s a comm e des indén

rv terminées, le s ft P

définissenrit

fi S t un e famill e de variétés projectives,

a

paramétrées pa r un espace affine S jectif f

: Y —y S don t X

: on a obtenu un morphisme pro-

es t la fibre a u point s

d e S

d e coor-

données le s valeurs originales de s a . Ce morphisme f : Y —y S provient par extensio n de s scalaire s d e Q â ( E d'u n morphism e d e

152

FAISCEAUX PERVERS

schémas su r C D • Comme nous dirons, il est défini su r Q Soit f

: Y —y S u n morphisme sépar é de schémas de type fin i sur

ÇQ . Il existe alors une stratification T telle que , pour chaqu e strat e T de f

.

pa r restriction à T

d e S

(défini e sur Q} ) ,

, le morphisme f

T

:

Y — • T dédui t T

, soit à fibres "topologiquemen t locale -

ment constantes " - par exemple a u sens que Y ((C)

y T (Œ) es t une

T

fibration topologiquemen t localemen t triviale . Ceci résulte d u théorème d'isotopie d e Thom, et de ce que le s conditions d e Whitney admetten t une formulatio n algébriqu e (voi r J.L. Verdier, Inventiones 3 ^ (1976 ) p. 295-312 , cor. 5.1). Chaque composant e connex e de chaque strat e adme t un point défin i sur un corps de nombres. Si s

€ S(Œ) , et que t

posante connex e d e l a même strate que s nombre, Y

g

e t Y

fc

, dans la même com -

, est défini su r un corps de

son t donc homéomorphes. Soit à prouver, par exem-

ple, l e théorème d e Lefschetz difficile e n cohomologie d'intersectio n pour une variété projective complex e X Y

t

.

La variété X

= Y , le connaissant pou r g

, munie d e l a première class e d e Cher n £

sera homéomorphe à (Y

de 0(1) ,

,£) , d'où l'assertion . Ce t argument utilis e

fc

l'invariance topologiqu e d e l a cohomologie d'intersectio n ([6]) . On pourrait s'e n dispense r e n travaillant su r Y

, muni d'une stratifica-

tion convenable. Souvent, on s'intéresse no n pas à une variété X phisme u sur Q :

: X^

, mais à un mor-

y X . Ici encore, on peut trouver u n diagramme défin i 2

Y, •

Y.

S dont u

s e déduit par passage au x fibre s en s

€ S(Œ). On prendra

qarde a u il n'existe e n aénéral aucun e stratificatio n T de S, telle crue G-12(t) le type topologiqu e d e soit constant pour u : f^(t ) t dan s une composante connex e d'une strate : le type topologique peu t 1

t

varier continûment . Il existe toutefoi s des stratifications T définies su r Q

, telles que, après changement de base de S

le morphisme

153

d e S à

T

,

,

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

UT :

Y1T

f2T

T ait l a propriét é suivant e :

quel qu e soi t T 1 — * T , donnant lie u à un

diagramme cartésie n

Y .(«) 1T

u

u Y2T, (Œ) et le système loca l

ï

•

Y2T(Œ)

L su r Y2T,(Π) , on a v*Rqu i ------ v*Rqu i *

*

Ce résultat, convenablement amplifi é (cf . les réductions en 6.1.2)f suffit en pratique. 6.1.7. O n trouve dans EGA I V §§ 8, 9 de s liste s de résultats d u type suivant. Soient A

u n anneau (commutatif ) limit e inductiv e d'anneau x

A^ e t supposons pour simplifie r A objet X

e t les A ^ noethériens . Tout

"d e présentation finie " sur Spec(A ) (pa r exemple : schéma de

type fini , morphisme entr e tels , faiscea u cohérent su r un tel,...) provient d'u n obje t analogue X i su r l'un de s SpecfA ^ ;

deux choix de

X. fournissen t l e même X . : = X. x Spe c A. pou r j asse z i j i bpe c "i j grand. Pour que X/Spe c A ai t une propriété "relative " P , stable par changement d e base, il faut et il suffit que X_./Spe c A_. l'ai t pour j grand. Le cas qui nous intéresse es t celui où A

= Œ es t écrit comm e

limite inductiv e d e ses sous-anneaux d e type fin i sur Z Z . Variante . Pour tou t anneau A f f 0 dan s A

c Πd e type fin i su r Z Z i l existe

te l que Spe c (A[l/f] ) soi t lisse su r Spe c S .

plaçant l'ensembl e ordonn é filran t des sous-anneaux d e Œ sur S

Rem-

d e type fin i

pa r une partie cofinal e I , on a encore Œ = lim ind A. , pour un système inducti f A ^ dan s leque l le s S i : = Spec(A^) son t lisse s sur

Spec 7L .

154

FAISCEAUX PERVERS

On trouve que tout schéma X

d e type fin i su r ( E provien t d'u n

X./S. , que s i X, Y proviennen t d e X.,Y./S. , un morphisme (resp . isomorphisme) f : X —* Y provien t de f . : X. —y Y. , j >_ i (o n a posé X . = X. x S

., et de même pour Y ) , et que deux choix de f .

• 0. D deviennent égau x suir jun ( 1

k >_ j) . En ce sens, X. ^ es t "essentiel grand" .

lement unique pour i

De même, une stratification T

de X

, un faisceau constructibl e

de ZZ/& -modules, un morphisme entr e tels faisceaux,.. . proviennen t n

d'objets analogue s su r un X

, i asse z grand, et deux choix sur X. ^

i

deviennent égau x su r X_ . , j >_ i convenable . Notation . Pour H u n "objet " sur Œ S = Spec(A), A

, on notera H

T

u n "objet " sur

e Πd e type fin i sur 2 Z asse z grand, dont H

duise par extension de s scalaires de A on notera 5

G

l e pull-back d e £

à ( C , et, pour T

su r T

g

s e dé-

su r S

,

. Cette notation est ambigue

( H n'es t e n général pas unique) mais c e qui précède assurer a que s

cette ambiguité n'es t pas gênante. Si T

es t une stratification d e X

nexes) , quitte à aggrandir

à

strates lisse s (resp . con-

S , les strates de T

g

son t lisse s su r S

(resp. à fibres géométriques connexes) . Si le faisceau F

su r X

localement constan t su r chaque strate , quitte à aggrandir va de même pour F Soient f

su r X

g

: X

g

> Y u n morphisme d e schémas de type fin i su r ( C

u n faisceau constructible d e ZZ/J I "-modules su r X

f :

X —y Y e t F g

S , il en

.

et F g

es t

su r X

g

g

g

, sur S

. Soient

= Spec(A), comme plus haut.

D'après SGA 4 1/2 (Th . finitude 1.9) , il existe un ouvert non vide U c S te l que pour tout morphisme d e schémas q

: U' —y U , donnant

lieu à un diagramme cartésie n x

g

n»'

X

f

f

V

on ait bles .

g

Vo Vo Vo Vo

R
d , et prenons M d e la forre A/m , pour m un idéal maximal de A , et soit F A/ m = ^A ®A A'm * Puisque A/ m est fini, F a/m es t le e dIu n faisceau ^A /m su r Ye t * 0n a H-(X,F.) ©A A/m = H-(X,FA/) H-(Xe.,FA/m)=0 , (6.1.2)(C) puisque N > d . Ceci valant pour tout m , et HN(X,FA) étant de type fini, on a H (X, F ) = 0 : contradiction. Les H1(X,FA ) son t donc nuls pour i > d , et on conclut en utilisant que H (X,F) H^(X,FA) ®A «C . Variantes . Plutôt que de dévisser F pour se ramener au cas F = j i L t on aurait pu directement écrire F = FA Y

f .(D

g

e

Ce morphisme

g

étant un isomorphisme su r ( C , l'est au-dessus d'un ouver t non vide de S , aaquel il suffit de rétrécir S

.

Combinant ce s arguments, on trouve une stratificatio n T d e Y telle que, après descente à S convenable , chaque f : X —> Y pour Y g dan s T vérifi e : g

g

g

g

a) R fg^Œ^ commut e a u passage au x fibre s ; n

b) R fi Q es n

poids W

t un faisceau lisse , et admet une filtratio n par l e

, par des sous-faisceau x lisses , qui induis e su r chaqu e

H (X ,CD ) 0 Q ( n

y 6 Y' (Œ) ) l a filtration par l e poids, et qui induis e

au-dessus d e chaque point ferm é de S

l a filtration par l e poids

£-adique. Il reste à observer que, pour S

convenable , l'équivalence 6 . 1 . 1 0

est telle que si un faisceau liss e F strate T

d'un e stratification T

su r Y

es t muni su r chaqu e

d'un e filtratio n

W

T

,

et que F ,

pour que le s se recollen t e n une W, corresponden t à F , , filtration d e F pa r des sous-faisceau x lisses , il faut et il suffi t 1

T

(les W

qu'il en aille de même pour F ' e t les les flèches d e recollement respecten t W

m

s e recollent »

; pour l a lissité, voir 6 . 1 . 1 0 ) .

Remarque . Nou s ne connaissons pas de démonstration d e 6.2.3 autre que cett e démonstration pa r voie arithmétique . 6 . 2 . 4 . Soi t F

u n faiscea u pervers simpl e de Œ-espace s vectoriels su r

X(Œ) , X u n schéma de type fin i sur Œ

. Nous dirons que F

es t

d'origine géométriqu e s'i l appartien t a u plus petit ensemble qui (a) contient l e faisceau constan t Œ

su r X

= un point,

et qui est stable par le s opérations suivantes .

162

FAISCEAUX PERVERS

(b) Pou r f u n morphisme d e schémas, prendre le s constituants de s P ^ T , pour T = Rf*, Rf . , Rf*, R f . !

(c) Prendr e le s constituants de s P H ^ C A Q B ) ,

ou des %

R Hom(A,B).

Les sous-catégorie s de s catégorie s D (X,(C) formée s de s K

tel s

c

que le s sous-quotient s simple s des H (K ) soien t d'origine géométri que sont stables par le s opérateurs f^ , f , , f , f* , 0 e t R Hom. Pour P

des stabilité s qu i e n résultent, voir .

On peut montrer qu'on a

aussi stabilit é pa r l a construction "cycle s évanescents" . Un faiscea u pervers F

sur X(Π) ser a dit semi-simple d'origin e

géométrique s'i l es t somm e directe d e faisceau x pervers simple s d'ori gine géométrique . Un complexe K

dan s D

(X(Œ) , Œ) ser a dit semi-

simple d'origin e géométriqu e s'i l es t isomorphe à la somme directe d e ses (PH

1

(K))[-i] , et que se s P H

1

K son t semi-simple s d'origin e géo -

métrique . Par exemple, si j

: U — • X es t un ouvert de Zarisk i d e X

,

c

lisse et connexe d e dimension d

, et que l e système loca l L su r U

a un e monodromie finie , j,^/.ld ] est semi-simple d'origin e géométrique , car

L es t facteu r direc t d e TT^ Π, pour T

T : X —+ X u n revêtemen t

fini, et que l e faisceau constan t Œ sur X est image invers e d e Œ sur (Point) . Théorème 6.2. 5 (théorèm

e d e décomposition). Soit f

: X •

Y

un

morphisme propre . Si K

sur X(Œ ) . est semi-simple d'origin e géomé -

trique , f^ K

l'est aussi.

sur Y((C )

Le théorème 6.2. 5 équivau t à sa variante, où l e corps de coefficients ( C es t remplacé par l e corps isomorph e ,

pui s à celle où

la topologie classique es t remplacée pa r l a topologie étale. Lemme 6.2. 6 , Soit F métrique. Pour S

u n Q^,- faisceau pervers simpl e d'origine géo -

= Spec(A)

assez grand, chaque équivalenc e

(PH (K))[-i](PH (K))[-i](PH (K))[-i] 1

(6.1.10) X vérifian s — — —

transforme F

1

1

en un ([^- faisceau pervers simpl e F

G

su r

t l a condition suivante -

(P) X ^ t par extension de s scalaire s d e X s ±provien - o F , avec F _ pur . o o — —

163

/IF q , — et sF

d— e

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Que F

G

soi t pervers simpl e résulte de 6.1.10 . L a définition d e

"d'origine géométrique " étant inductive , il suffit de montrer que l a condition (P ) est stable par le s opérations considérée s dan s cette définition. Ces opérations commuten t aux équivalences considérées . Il reste à savoir que : (a) Œ su

r (Point ) vérifie (P ) .

£

(b) Les opérations

P

H T d e 6.2.4 transformen t F

vérifian

:L

t (P ) en

G dédui t de G mixt e ; les constituants simple s de a son t Dur s s o ~ (5.3.4 ) e t par 6.1. 9 6.1.1 0 ceu x de G vérifien t (P ) . ;

g

(c) De même pour 0 e t RHom . 6.2.7.

Preuve d e 6.2. 5 . Il suffit de traiter l e cas où K

faisceau pervers F

. Appliquons 6.2.6 . On trouve que F

G

es t un

vérifi e (P).

Appliquons 5.4. 5 ,5.3.8 . On trouv e que Rf. F es t somm e directe d e ses

P

H [-i ] ,

et que ceux-ci son t semi-simples. D'après 6.1.10 , le s

mêmes propriétés valen t pour Rf* F ,

et ceci prouve 6.2.5 .

Corollaire 6.2 . 8 (théorèine global des cycles invariants ). Soient f : X —• Y

un morphisme propre ( de schémas de type fin i su r (C ) et K

dans D^(X,Π) . Soit V Hf K 1

j(c

un ouvert ( de Zariski) de Y

est localemen t constant . Si K

sur leque l

est semi-simpl e d'origin e géo -

métrique, on a (6.2.8.1) H

i

(X,K) —^>H°(V,H f K) . i

3(£

En particulier, pour V ir ±(V,y * )

agit sur (H

(6.2.8.2) H

connexe e t y

f K) y Hy i (X,K) ^ H 1

1

1

= f (y) , 1

y

( X ,K ) , et(6.2.8.1) se récrit

Vv,y

± x

€ Y , posant X

(X ,K)

) x

y

Corollaire 6.2.9 . (théorème loca l des cycles invariants) . Soient f : X • V

Y

un morphisme propre, K

un ouvert (d e Zariski) d e Y

dan s D (X,£C) e t y b

, sur leq uel H

f K +

constant. Pour B

une boule asse z petite de centre y

clusion d e B

dans B

n V

, cm a

H°(B D V , Hf K ) = ( j j*H fK)* *y 1

1

+

et H°(B,H f 1

K ) — •(H * *

1

f K ) = H ( X ,K ) y y i

164

€ Y . Soit

est localemen t , et j

1'in-

FAISCEAUX PERVERS

Si K

est semi-simpl e d'origin e géométrique , pour un tel B

(6.2.9.1) H ^ Pour B fl V

X ,K ) -H-H°( connexe e t z

B P I V,H f K) 1

jfe

€ B f! V , cela s'écrit encor e Tr (BflV,z)

. (6.2.9.2) H

1

, on a

(X ,K) (X y

1

z

Dans 6.2.9 , l'existenc e d e boules B

,K) d u type indiqu é es t connue.

Ces boules ne son t ici qu'une commodit é d'expositio n : on pourrai t prendre d'autre s voisinage s forman t un système fondamenta l d e voisinages (défini s par exempl e e n terme d'un e triangulation) . Ceci dit, et compte ten u de 6.2.5 , l a preuve es t l a même qu'en 5.4.7-5.4.9 . Théorème 6.2.1 0 ( Lefschetz difficil e relatif ) . Soient f morphisme projectif , i

: X Y

un

la première class e de Chern d'u n

faisceau inversibl e relativemen t ample , et F simple d'origin e géométriqu e su r X i}

:

PH"

1

. Pour i

un faiscea u pervers semi _> 0 , on a

f F —— — • >V- f F (i) * *

Cet énoncé s e déduit d e 6.2.6 e t de 5.4.10 . Un cas particulie r utile est celu i o ù Y

es t rédui t à un point. Il fournit l e théorèm e

de Lefschetz difficil e e n cohomologie d'intersection . Remarque 6.2.11 . O n aimerait pouvoir, dans le s énoncés qui précèden t remplacer "d'origin e géométrique " par "d e la forme j l'inclusion d e Y

liss e connexe d e dimension d

l +

e t

l [ d ] , pour j

i l e systèm e

local sous-jacen t à une variation d e structures d e Hodge polarisable" . On aimerait auss i pouvoir remplace r le s variétés algébrique s pa r de s variétés kahlérienne s compactes . Si f

es t un morphisme d e variétés kahlériennes compactes , nous

ne savons démontrer n i que Rf^ Œ es t somm e des les faisceaux pervers

p

p

H Rf Œ[-i ] , ni que 1

+

H Rf Πson t semi-simples , ni l'analogu e d e +

6.2.10 pour Rf ^ (CCfdimX]) .

165

FAISCEAUX PERVERS

BIBLIOGRAPHIE

[1] P

. Deligne : La conjecture d e Weil II. Publ. Math. IHES 52 (1980), p. 137-252.

[2] P

. Deligne : Théorie de Hodge III. Publ. Math. IHES 4 4 (1974) , p. 5-78 .

[3] P

. Deligne : Théorèmes de finitude en cohomologie l-adique . Dan s SGA 4 1/2, p. 233-251.

[4] M

. Goresky e t R. MacPherson : La dualité de Poincaré pour le s espaces singuliers . CR Acad. Sci. Paris 284 (2 7 juin 1977) , p. 1549-1551.

[5] M

. Goresky and R. MacPherson : Intersection homology theory . Topology 19 (1980) , p. 135-162.

[6] M

. Goresky an d R. MacPherson : Intersection Homology II. Inv. Math. 72 , 1 (1983) , p. 77-79.

[7] R

. Hartshorne : Residues and duality. Lecture Notes i n Math. 20 (1966).

[8] L

. Illusie : Complexe cotangent et déformations. Lecture Notes in Math. 239 (1971 ) and 28 3 (1972) .

[9] M

. Raynaud : Caractéristique d'Euler-Poincar é d'u n faiscea u e t cohomologie de s variétés abélienne s [d'aprè s Safarevic , Ogg et Grothendieck] . Séminaire Bourbaki 28 6 (1964/65) . New York : Benjamin,1966.

[10] J.L . Verdier : Catégories abéliennes , état O. Dans SGA4 1/2, p. 262-308. Prendre garde que certaines convention s d e signe diffèrent d e celles des notes miméographiées originelles .

167

AA. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

SIGLES. SGA :

Séminaire d e géométrie algébriqu e du Bois-Marie, paru, sauf SGA2, aux Lecture Notes i n Mathematics.

SGA 4 : LN 269 (I-IV), LN 270(V-VIII) , LN 30 5 (IX-XIX) . SGA 4 1/2 : L N 569. SGA 5 : LN 589. SGA 7 : LN 288 (I-IX), LN 34 0 (X-XXII) . EGA : Eléments de géométrie algébrique , par A. Grothendieck e t J. Dieudonné . EGA 4,3 è parti e = Publ. Math. IHES 2 8 (1966) .

168

FAISCEAUX PERVERS

INDEX TERMINOLOGIQU E

Admissible (morphisme

1.2.3

) :

(sous-catégorie abélienne )

1.2.5

(suite exacte courte) :

1.2.3

Amplitude cohomologiqu e

4.2.1

Cartésien

3.2.5, 3.2. 6

Catégorie : (dérivée) :

1.1.3

(dérivée filtrée , bifiltrée)

1.1.4 ex . 1 3.1.1

(exacte) :

1.1.4

(triangulée) :

1.1.1

Coeur (d'un e t-catégorie) :

1.3.1

Cône :

1.1.1

Constructible (S- ) :

2.1.13 2.2.10

((S,L)-) :

Diagramme des 9 : Distingué (triangle )

1.1.11 1.1.1

Extension (stabl e par)

1.2.6

Filtration (bête ) :

3.1.7

(canonique) :

3.1.5

(par le poids)

5.3.5

Localement (C- )

3.2.3

Mixte :

5.1.5

Octaèdre :

1.1.6

Origine géométriqu e :

6.2.4

169

A. A. BEILINSON, J. BERNSTEIN, P. DELIGNE

Pervers (faisceau ) : 2.1.5

, 2.1.13

amplifié par 2.2.1

, 2.2.17; 4.0.1, 4.0. 2

Perversité (duale ) : 2.1.1

6

(fonction de) : 2.1.1

, 2.2. 1

Poids (ponctuels ) : 5.1.

5

(_a < b ,V :

r

1.3.1 ^ p

,

-, '

L a

D J :

y_a

=p

< fi V

b , , - V : 1.3.12 - VF,V°F :

3.1.5

D(...) es t une catégorie triangulée , dépendant de .. . . D(X,0) : 1.4.1 - D :

2.1.13 - D : (2.1.13) , 2.2.1 - D^ ^ : 2.1.10 c

$

DF,DF : 3.1.1 - D^(X,Z^) : (2.2.14.1)- D ^ X , ^ ) , D £ ( X , E ^ ) , 2

D£(X,1 ) : 2.2.17. £

p es t une perversité (2.1.1,2.2.1 ) , p* sa duale - p^ : 2.2.1 . En exposant gauche, p indiqu e un foncteur entre coeurs de t-catégories - T : 1.3.17(1) - ou relatif à une t-structur e P

(Px^H ) . 1

T es t un foncteur de troncation. T

>a ' 32. p. 71, l. 5 : > should be
0 (X , O) (add a left superscipt p ) 42. p. 99, l. 6 : RHom should be RHom 43. p. 99, l. −13 : the definition of “de torsion” is not accurate. It should be that locally ∃ n  0 s.t. the multiplication by n endomorphism is zero. If one adds the assumption that there are finitely many connected components in every stratum one does not need to say “locally”. 44. p. 100, l. 12 : for an exposition of the  -adic formalism, see [Eke90] and [BS15], and for a recent exposition using ∞-categories, see [GL17, chap. II]. 45. p. 101, l. 5 : (2.2.12) should be (2.2.18) 46. p. 101, l. 8 : 2.2.12 should be 2.2.14 47. p. 101, l. 15 : it is said that we limit ourselves to coefficients Q , but in many places (4.1.13, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, line above (4.2.5.1)) one has coefficients Q SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2018

176

ERRATA AND ADDENDA

48. p. 101, l. −8 : [p1/2 +] should be [p1+/2 ]

49. p. 101, l. −6 : [p1/2 +] should be [p1+/2 ]50. p. 102, l. 1 : cf. 2.2.11 should be cf. 2.2.11 et 2.2.12 51. p. 103, l. −13 : replace (4.1.7) by (4.1.1) 52. p. 114, l. −15 : p D c≤0 instead of p D c< 0

 should be pr ∗ 53. p. 119, l. 4 : pr 54. p. 120, proof of Corollaire 4.5.2 : missing period at the end of the sentence. 55. p. 120, Corollaire 4.5.4, l. 2 : it should be Q instead of Q 56. p. 120, Corollaire 4.5.5 : one should suppose that x is a closed point, otherwise f as in p. 121 first two lines cannot be found. 57. p. 122, l. 3 : Nous ne considérons que des schémas séparés de type fini . . . – but in 5.4.8 we consider strict henselizations. 58. p. 123, formula (5.1.2.2) : RΓ .Ra ∗ should be RΓ Ra ∗

 is more usually Z  (the profinite completion of Z) 59. p. 123, l. −6 : the notation Z 60. p. 125, Lemme 5.1.3 (c) : the condition that F is in P(Y0 ) is missing. 61. p. 125, Lemme 5.1.3 and Remarque 5.1.4 : it is better to suppose that P(Y0 ) is a strictly full subcategory. 62. p. 128, 5.1.13, l. 4 : replace D b≤w , D b≤w  , by D b≤w × D b≤w  63. p. 128, l −5 : should be d’après (i) et (ii) 64. p. 131, l. −5 : W w −1 should be Ww −1 65. p. 131, l. −4 : U (X ) should be U → X 66. p. 132, l. 5 : p φ ∗ | F 0 should be p φ ∗ F 0 67. p. 133, first diagram : pr should be pr 1 1 68. p. 133, 3 lines below the first diagram : H 0 ∼ An− should be H 0 = An− 0 0

69. p. 134, l. 3 : (1.3.17 (iii) should be (1.3.17 (iii)) 70. p. 136, l. 4 below diagram : V0 should be v 0 71. p. 136, l. −10 : (5.1.8) should be (5.1.8)) 72. p. 141, l. 12 : Pτ >n should be p τ >n 73. p. 142 l. −12 : 5.3.7 should be 5.3.8 74. p. 143, l. 11 : insert comma after ) 75. p. 143, l. 16 : K = j !∗ L[d][n] should be K = (j !∗ L[d])[n] 76. p. 146, l. −11 : τ ≤d −1 should be τ ≥d −1 77. p. 148, l. 5 : instead of going from F to C in the consideration of 6.1, one can go to any algebraically closed field k of characteristic   and obtain analogs of 6.2.5, 6.2.8 and 6.2.10 for semi-simple Q -perverse sheaves of geometric origin on varieties over k . ASTÉRISQUE 100

ERRATA AND ADDENDA

177

78. p. 149, l. 11 : Brian Conrad observed in 2003 that in the limit argument to deduce (A ) from (A ), one needs to use that the strata are locally contractible. But Gabber observed that one also needs that i ∗ j ∗ F = lim i ∗ j ∗ (F /n F ) in the j ←−− i − X (C) ← − U (C), F a constructible Z -sheaf on U (C), where U situation Z (C) → is an open union of strata and Z is its complement. OK for stratified spaces with nice conditions, e.g. coming from a locally finite triangulation. 79. p. 153, l. 14 : nombre should be nombres. 80. p. 156 l. −14 : it is also meant that for each T ∈ TS , LS (T ) is a finite family of isomorphism classes of lisse Z/Z-sheaves on T which are irreducible on geometric fibers. i∗

i∗

81. p. 157, l. 7 : ←− should be −→ 82. p. 157, l. 8 : the use of discrete valuation rings is not essential and one has such equivalences for any strictly henselian local ring V between A and C. 83. p. 157, l. 11 : by the assumptions, we have comparison isomorphisms for the Hp (−, Extq (F , G)) with Ext sheaves over the coefficient ring Z/Z. We cannot deduce such comparison isomorphisms with Ext sheaves over Z/n Z, but we can do this after shrinking S , or use standard spectral sequences to deduce comparison isomorphisms for the global Extp (F , G) over Z/n Z. 84. p. 159, l. 8 : sur H1 (−, Z/) should be sur H1 (−, Z/) et H2 (−, Z/) 85. p. 160, l. −14 : see [Ham95]. 86. p. 160, l. −4 : peut être descendu à S should be peut être descendu à un S convenable. 87. p. 161, l. 1 : persiste donc sur S should be persiste donc sur S privé du lieu où  est nul. 88. p. 161, l. 7 : the spectral sequence in question is associated with the truncated simplicial object as explained in [MO15] Section 4.1.2. 89. p. 161, l. 15 : Y should be Y (C) 90. p. 162, l. −4 : schéma de type fini should be schéma séparé de type fini. 91. p. 162, l. −3 : s’il appartient au plus petit ensemble qui should be replaced by si (X , F ) appartient à la plus petite classe stable par isomorphisme de couples comme ci-dessus qui. 92. p. 163, l. 7 : Pour des stabilités qui en résultent voir should be En particulier, on a la stabilité par prolongement intermédiaire et dualité. 93. p. 163, l. 18 : π ∗ C should be π ∗ C 94. p. 163, l. −13 : note that the decomposition theorem has a more precise version f

over finite fields : X 0 → Y0 proper, K ∈ D cb (X 0 , Q ) pure perverse ⇒ R f ∗K is a finite direct sum of shifts of pure perverse objects, while the decomposition of 5.4.5 does not hold in general over Y0 . This was known for some time, using SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2018

178

ERRATA AND ADDENDA

reduction to the projective case, Hard Lefschetz (5.4.10) and related decompositions in the derived category, but appeared only recently (also in more general forms) in Proposition 2.1.1 of [dC15] and Corollary 3.2.5 of [SZ16]. 95. p. 164, l. 10 : RHom should be RHom 96. p. 164, l. −11 : y ∈ Y should be y ∈ V (C) 97. p. 164, l. −7 : y ∈ Y should be y ∈ Y (C) 98. p. 165, Remarque 6.2.11 : for progress on this question see for example the work of M. Saito [Sai88], [Sai90], T. Mochizuki [Moc15] and the Bourbaki lecture of C. Sabbah [Sab13]. 99. p. 167, l. 14 [6] : p. 77–79 should be p. 77–130. 100. p. 167, l. −4 [10] : Catégories abéliennes should be Catégories dérivées.

ASTÉRISQUE 100

BIBLIOGRAPHIE ADDITIONNELLE

[BS15]

B. Bhatt, P. Scholze, The pro-étale topology for schemes, De la Géométrie algébrique aux formes automorphes (I) (Une collection d’articles en l’honneur du soixantième anniversaire de Gérard Laumon), Astérisque 369 (2015), pp. 99–201.

[dC15]

M. de Cataldo, Proper toric maps over finite fields. Int. Math. Res. Not. IMRN 2015, no. 24, pp. 13106–13121.

[Eke90] T. Ekedahl, On the adic formalism, The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math., 87 (1990), Birkhäuser, pp. 197–218. [Gab04] O. Gabber, Notes on some t -structures, Geometric aspects of Dwork theory. Vol. II (2004), Walter de Gruyter, pp. 711–734. [GL17]

D. Gaitsgory, J. Lurie, Weil’s Conjecture for Function Fields I, preprint 2017.

[Ham95] H. Hamm, Affine varieties and Lefschetz theorems. Singularity theory (Trieste, 1991), pp. 248–262, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1995. [Ill94]

L. Illusie, Autour du théorème de monodromie locale, Périodes p -adiques (Bures-sur-Yvette, 1988), Astérisque 223 (1994), pp. 9–57.

[Ill03]

L. Illusie, Perversité et variation, Manuscripta Math. 112 (2003), pp. 271–295.

[Kas75]

M. Kashiwara, On the maximally overdetermined system of linear differential equations. I. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 10 (1974/75), pp. 563–579.

[KS90]

M. Kashiwara, P. Schapira, Sheaves on manifolds, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 292 (1990) Springer-Verlag.

[KL85]

N. Katz, G. Laumon, Transformation de Fourier et majoration de sommes exponentielles, Publ. Math. IHÉS 62 (1985), pp. 361–418.

180

BIBLIOGRAPHIE ADDITIONNELLE

[Lau83] G. Laumon, Sur la catégorie dérivée des D-modules filtrés, Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982), Lecture Notes in Math. 1016 (1983), pp. 151–237. [Lau87]

G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. IHÉS 65 (1987), pp. 131–210.

[MO15]

D. Madore, F. Orgogozo, Calculabilité de la cohomologie étale modulo  , Algebra Number Theory 9 (2015), no. 7, pp. 1647–1739.

[Moc15] T. Mochizuki, Mixed twistor D -modules, Lecture Notes in Mathematics 2125 (2015) Springer. [PS14]

V. Pilloni, B. Stroh, Théorème de Lefschetz affine, Travaux de Gabber sur l’uniformisation locale et la cohomologie étale des schémas quasiexcellents, L. Illusie, Y. Laszlo, F. Orgogozo, éditeurs, Astérisque 363-364 (2014), pp. 293–300.

[Sab13]

C. Sabbah, Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages (d’après T. Mochizuki), Séminaire Bourbaki 1050, Astérisque 352 (2013), pp. 205–241.

[Sai88]

M. Saito, Modules de Hodge polarisables. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 24 (1988), pp. 849–995.

[Sai90]

M. Saito, Mixed Hodge modules. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 26 (1990), pp. 221–333.

[SZ16]

S. Sun, W. Zheng, Parity and symmetry in intersection and ordinary cohomology. Algebra Number Theory 10 (2016), No. 2, pp. 235–307.

[Wae72] L. Waelbroeck, Les quotients de b -espaces. Actes du Colloque d’Analyse Fonctionnelle (Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1971). Mém. Soc. Math. France, No. 31–32 (1972), pp. 389–394.

ASTÉRISQUE 100