Excursions arithmétiques à l’infini

Citation preview

Generated on 2012-03-20 11:39 GMT / http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015080092243 Public Domain in the United States, Google-digitized / http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google

Generated on 2012-03-20 11:40 GMT / http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015080092243 Public Domain in the United States, Google-digitized / http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google

yiatVicmatlc*

(SA

Generated on 2012-03-20 11:40 GMT / http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015080092243 Public Domain in the United States, Google-digitized / http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google

Ci

CO

o

CO

o

%

«

Q

«

O

I

Generated on 2012-03-20 11:40 GMT / http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015080092243 Public Domain in the United States, Google-digitized / http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google

CeCl T9} Err',: '-"-
Se rapportant respectivement aux valeurs [«, v], qui appar-

tiennent à la première ou à la seconde des séries ci-dessus. La combinaison

des formules

Y" -L V' ,

~* Stm

V' °tm

donne

Par exemple:

2 Stm 2 Stm SÃŽ

V" 1 . V 1 _ 1 17 _g

[m , t>]' 600 n ' M \u, v\* 600 * '

Ainsi: « la somme des inverses des carrés des plus petits communs multiples

133

de tous les couples de nombres possibles est 4,11233 Les de cette

somme, c'est-à-dire 2,18776..., se rapportent aux plus petits multiples, com-

posés d'un nombre pair de facteurs premiers, égaux ou inégaux. Il reste

Generated on 2012-03-20 11:45 GMT / http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015080092243 Public Domain in the United States, Google-digitized / http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google

1,92457... pour les plus petits multiples, composés d'un nombre impair de

facteurs premiers, égaux ou inégaux. »

15. Le développement de £F[u, v] n'est pas absolument nécessaire

pour le calcul des expressions moyennes, relatives au plus petit multiple commun

de deux nombres quelconques. Bien souvent, les formules (4) et (5), ou des for-

mules analogues, suffisent, pourvu que l'on ait égard à la relation (15). Ainsi,

13

par exemple, par un procédé analogue à celui qui nous a servi pour établir

la relation (4), nous trouvons

4i

_ r.(x), r)=iif,»3%{9p)f(p)- (17)

Supposons que la fonction f soit telle que l'on ait toujours

A«)+ /*(&) +/•( = Z?™,U v\ -(w + 1),£ p9 '

" f(p) "

parceque les ordres de Y > i/IP)> etc— sont respectivement inférieurs

iP\

à ceux de n, etc

Cela est évidemment vrai pour m - 0, comme pour m - l, et, à plus

forte raison, pour toute valeur positive de m. D'après les principes exposés

dans le Premier Mémoire, l'identité (18) donne lieu à la formule

Par conséquent

Or, si l'on pose

on trouve

Sr , -Srn+r .

T Pr

TC* (m -f 1)*

[m> î,]'i = iT(mv)"',

v[«, v]™ = K*l(n) = K-

(m + l)*

Donc, moyennement,

Par exemple:

c'est-à-dire que: « carre/ du plus petit commun multiple de deux nombres

est moyennement égal au carré du produit des deux nombres, multiplié par

la constante 0,65797... «

17. Il y a plusieurs autres manières de développer 2Î-^[m> u]i Parmi

Generated on 2012-03-20 11:53 GMT / http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015080092243 Public Domain in the United States, Google-digitized / http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google

lesquelles nous signalerons la suivante: — Il est clair que les quotients, par n,

des nombres

[1, n], [2, n], [3, n],... [n, n],

sont égaux, dans un certain ordre, aux nombres premiers avec les diviseurs

de deux nombres.

15

de n, et respectivement inférieurs ou égaux à ces diviseurs. Il en résulte que,

si l'on pose

gn{x) = F(na) + F{np) + F(n7) + • • •,

où «, /3, 7,... sont les nombres non supérieurs et premiers à ce, on a

J>F[p, n] = gn(a) + gnfb) +