Estatuto gnoseológico de las ciencias humanas (Tomo 2)

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PARTE

SECCIÓN

I

IV

GN0SE0L06IA SINTÉTICA

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INTRODUCCIÓN En esta sección abordamos la exposición de los temas de la Gnoseología sintética, desde un punto de vista general, más bien declarativo. La fundamentación adecuada í

de la teoría del cierre categorial (cuya parte central es la teoría de los contextos determinantes) no será ofrecida en este lugar. La naturaleza peculiar ("monográfica" es decir, gnoseológico-especial) de esta fundamentación, que nos remite a materiales muy específicos (como puedan serlo el teorema de los cinco poliedros, el teorema de la reflexión de la luz, o el teorema dé la gravitación universal) acense jan descargar esta exposición general de los materiales gno seológicos-especiales que son propiamente in-finitos, coextensivos con la totalidad misma de las ciencias. La Gnoseología analítica pretende suministrar unos criterios de "despiece" de este conjunto anómalo forma_ do por las ciencias, según partes coordinables, comparables. Pero la imagen analítica de una ciencia es abstracta, puramente provisional y por sí misma errónea, si es que él todo de cada ciencia és pensado como una acumulación de partes que se van agregando o acoplando unas a otras (en nuestro caso: "una ciencia es el conjunto de componentes fisicalistas, fenomenológicos y ontológicos; más los autologis'mos — dialogismos y normas; más los términos, relaciones y operaciones") . La unidad de una ciencia es la unidad de un proc£ so en el que todas estas partes y secciones están incorpora das en los "movimientos circulares sistemáticos" que se interfieren en más de un punto, y sólo después de esta unidad supuesta, cobran realidad, siquiera abstracta, las seccio-nes analíticas. Pero tampoco se trata meramente de recono— cer esta sección, porque las secciones determinadas por el análisis son algo mas que fragmentos desprendidos del todo; son precisamente partes desde las cuales el todo debe de po der ser reconstituido, aunque no por el procedimiento de la

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yuxtaposición mecánica. Pero ¿es que caben otros modos de recomposición, ño mecánica sino dialéctica? En nuestro ca_ so, llamaríamos reconstrucción dialéctica a aquella que en lugar de recorrer simplemente el camino del análisis en -sentido inverso (términos más operaciones, más relaciones etc, etc) procede cómo si la composición de las secciones de un eje dado tuviesen lugar solamente por la mediación de las secciones de los otros ejes. Pongamos por caso: la unidad (sintética) entre las secciones fenoménicas, fisica. listas y ontológicas del eje semántico, deberá ser compren dida por medio del influjo de las secciones del eje sintᣠtico y pragmático (por ejemplo, las relaciones fenomenológicas podrán figurar como principios - ordo cognoscendi de composición de términos ontológicos, que nos remiten a principios de operaciones ordo essendi, qué, a su vez, ños ponen éñ presencia tíe relaciones entre términos fisicalistas) * Es a¿3uí, en ésa perspectiva de circulación dialéctica, en donde lá distinción fundamental entre los princi- pios del conocer y los principios del ser, entre los principios de la investigación y los principios de la doctrina, aparece como necesaria, como despliegue del "argumento ontológico" recorrido por cada proceso científico. A título de mera ilustración: un trozo de construcción astronómica es la doctrina de las fases de la luna,que comporta el conocimiento de su "mecanismo"/ el establecimiento de sus rit_ mos, la predición (que es un caso particular de la cons trucción). Términos, en el plano fenoménico, son las imágenes cambiantes de la luna, como también el Sol, la t i e — rra, las nubes o las mareas. Relaciones fenomenológicas son, por ejemplo, las distancias aparentes, los intervalos temporales (medidos según diversos sistemas). La construcción de estos datos, la nomenclatura, la coherencia preposicional, supone el eje pragmático. Es evidente que los — principios de la construcción (como principia cognoscendi) han de tomarse, al menos en parte, del plano fenomenológico (salvo apelar a un conocimiento intuitivo, a la ciencia

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infusa). La composición de estos términos por operaciones fenomenológicas determina conflictos que requerirán un es_ quema ideal, esencial (geométrico, ontológico) dotado de unos principios y operaciones tales que den cuenta de los datos fisicalistas y fenomenológicos y que comportan por ejemplo, la crítica fenoménica (por ejemplo, las nubes de_ ben disociarse del proceso). De este modo, podríamos decir, en general, que la construcción sintáctica de las — ciencias está pragmáticamente orientada en la dirección del plano semántico. Pero todo esto son explicaciones puramente indeterminadas, cuyo sentido solamente se alcanza_ rá en cada caso particular.

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C A P I T U L O

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DEFINICIÓN COORDINATIVA DEL CIERRE CATEGORIAL

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CAPITULO

I

DEFINICIÓN COORDINATIVA DEL CIERRE CATEGORIAL §

I

Condiciones de adecuación gnoseológica exigibles a una definición de ciencia en el plano sintético. 1.- Nos disponemois a definir a las ciencias en el plano sin tético como formaciones dadas ("empíricas, en cierto mo do: Aritmética, Mecánica, Geometría proyectiva) que tie nen unidad en sí mismas y se diferencian mutuamente. Pe ro no fingimos qué no presuponemos nada de su estructura anteriormente a la definición. Por el contrario, — queremos subrayar ciertos rasgos gnoseólógicos que atr^ huimos a las ciencias, precisamente en cuanto formaciones dadas y recortadas mutuamente y por respecto a - otras formaciones culturales pertinentes, tales como el gaber religioso, el saber tecnológico etc., sin necesidad de interpretar estos saberes, como es tendencia del positivismo, como meramente precientífieos (en el sentido de irracionales). Estos rasgos han sido ya reco gidos sistemáticamente en la parte analítica. Si previa mente no reconociésemos en las ciencias determinados — rasgos mínimos (aquellos rasgos, analíticos o sintéti-cos, acaso confusos, no mediados por el análisis) que las constituyen como objetos gnoseólógicos, entonces la definición gnoseológica que buscamos caracerla, incluso, de sentido. Por el contrario, lo que, en realidad, buscamos son aquellas condiciones mínimas a las cuales deberá adecuarse la definición gnoseológica. Presuponemos, por tanto, una teoría material y dialéctica (ya no meramente formal o analítica) de la definición, es decir, una teoría que no límite la definición a la condición de un mero sustituto de lo definido. En ninguna definí-

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ci6n efectiva se verificaría esta concepción analítica de la definición. El definiendum no se refiere al definiens como si éste fuera meramente el contenido de -aquél. Ni siquiera en las definiciones nominales ocurre ésto. Al definir 2 =^^a (Jm) (jn) (a = {m,n}l]m) el definiens es simplemente el signo que sustituye al defi- — niendum, porque éste está realizado ya en la predefinición que subraya |m, nj como un par. En general, diremos que el definiendum no se refiere directamente y exclusivamente al definiens, sino a través y por la mediación de un material (predefinición) que es el que la definición realiza. Cuando defino "hombre" como animal racional, "hombre" no es, meramente, un sustituto de "animal racional", sino que es, también, un signo de un "material antropomófico". Otro tanto ocurre cuando definimos "circunferencia" por medio de la definición: "lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno llamado centro". Diremos que "circun^ ferencia" se refiere al Definiens a través de un m a t e — rial predefinido (que podría ser el "redondel" de que habla Poincaré) y que, en este caso, debe presuponerse dado (estéticamente). Utilizando la terminología de -Frege (aunque sin atenernos a su sentido literal) po- dría decirse que el signo (que es el definiendum) tiene un sentido (el definiens) pero que también hay una referencia (material) sin la cual no cabe entender el nexo entre el definiendum y el definiens. Y mientras en la teoría general de Frege la re_ ferencia (Bedeutung) es más bien exógena al sentido, ex trínseca a él, y dada expíricamente, conjuntamente con él ("además" del sentido, los conceptos tienen referencia) , en la teoría material dé la definición la referencia aparece como interna o endógena al concepto (definiendum) , porque es el nexo que lo vincula, con su defi-

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niens. De este modo, cuando hay definiciones diferentes del mismo objeto - por ejemplo la definición de la circunferencia como sección cónica y como lugar geométrico - es el material predefinido el lugar en el cual se producé la identidad sintética de las dos definiciones (lo que se expresaría muy imperfectamente diciendo que las dos definiciones coinciden en extensión, pero no iri tensionalmente). Las definiciones son, por: tanto, materiales. Se refieren a un material ya predefinido, y solamente por ello es posible hablar de condiciones de adecuación, y es necesario hablar de ellas (Tarski, como es sabido, antecede su definición de "verdad" de unas condiciones de adecuación. No sé trata de una mera petición de prin cipio, porque verdad tiene, ya, una predefinición). Es en las llamadas "definiciones genéricas" en donde padecemos la ilusión de que la referencia misma es consti— tuida por el sentido. Pero, diríamos, o que la referen cia ya preexiste, o bien que al constituirla se "emanc_i pa" del sentido (cuestiones de génesis y estructura), en tanto debe poder entrar en symploké con otros sentidos. 2.- En nuestro caso, la predefinición de las ciencias (en el plano sintético) puede considerarse dada, precisamente, por el análisis de las ciencias en sus partes formales (por ejemplo, cuando en el capítulo anterior, las ciencias se nos aparecían como conjuntos de proposiciones o esencias) aunque también en rasgos de carácter sintético, pero globales, oscuros y no analizados). 3.- Agrupamos en dos rúbricas las condiciones de adecuación de una definición gnoseológica de ciencia: a) Condiciones que se refieren a las ciencias en sí mis^ mas, en cuanto formaciones plurales, dadas, distin—

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tas unas de otras. b) Condiciones que se refieren a las ciencias en cuanto se distinguen de otras formaciones o saberes no cieii tíficos (aunque no por ello necesariamente "irracionales") . 4.- En cuanto al primer tipo de condiciones, nos atenemos al principio de multiplicidad que se expuso anteriormen te. Segün él, las ciencias se nos presentan como múltiples (unas respecto a otras) y plurales en su propia e£ tructura interna. No tienen un objeto, sino múltiples objetos; constan de diferentes figuras gnoseológicas. Por consiguiente, la definición de ciencia que buscamos deberá adecuarse a esta estructura "arracimada" o "granular" de las ciencias. En consecuencia, los criterios que expliquen la unidad entre los "granos" de estos "racimos" que lla^ mamos ciencias deben ser los mismos que, por su inte- rrupción, den cuenta de la diversidad de los racimos, de la ciencias - de suerte que si entre dos racimos se llega a establecer el nexo de unidad, entonces ambos se fundirán en una unidad, gnoseológica, en una ciencia. Por último presuponemos que las ciencias, en cuanto a sú unidad gnoseológica, contienen la articulación de la unidad lógica del sistema y de la unidad epistemológica de las verdades. Con esto queremos subra_ yar, desde el principio,que la articulación gnoseológica de la unidad sistemática, no tiene lugar en el plano meramente retórico (en el que pudiera configurarse la unidad de un poema, o incluso, la de una Teogonia organizada) sino a través del plano epistemológico, por el que se toma contacto con la materia como verdad. Una — teoría de la ciencia que se atenga sólo a la unidad sis

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mática (gramatical, e incluso lógico-formal) de las cieri cias, al margen de la materia, epistemológica, no será adecuada según esta condición (que llamaremos "materialismo gnoseológico"). 5.- En cuanto a las condiciones de adecuación relativas a la distinción (demarcación) entre ciencias y formaciones no científicas, señalaremos aqui, principalmente, esa naturaleza peculiar de las ciencias (dada en la predefini- ción, y, más particularmente, en la figura gnoseológica de la e.sencia) que las distingue de otros tipos de saber (acaso verdadero), particularmente del "saber común". Se trata de una característica que presuponemos patente en las ciencias, en cuanto formaciones qué se presentan yá dadas en frente de otras formaciones culturales, en ün sentido Similar a como presuponemos patentes los rasgos de la pintura (los colores) frente a los de la música — (sonidos) cuando nos disponemos a "definir" aquella por oposición a éuta. Estaría fuera de lugar tratar de construir, á paítír de una definición, los contenidos cromáticos mismos íjn düanto cualidades áadas - que a ningún ciego pueden serle presentadas. Ahora biéñj es evidente que el contenido de esta oposición no se reduce a la opo sición epistemológica entre verdades y errores. Muchos contenidos de los saberes no científicos son verdaderos, y, por el contrario, en las ciencias hay que advertir la presencia de muchos errores, o de verdades a medias. Por eso, mejor describe la naturaleza del saber científico, frente a otros saberes (el saber artesanal, o el saber vulgar), la oposición entre lo esencial (ideal) y lo "concreto". Esta oposición es muy dificil de analizar, pero, con todo, la preferimos a otras oposiciones que — suelen alejarse a ese efecto, como, por ejemplo, la oposición entre universal / particular ("las ciencias se r£ suelven en saberes universales; los saberes comunes son "saberes individuales") o la oposición causal / acausal -

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("la ciencia determina causas, a diferencia de los sabe res no científicos"). Porque una ciencia puede mantener ge en torno a objetos no universales, y, asimismo, también en el saber no científico hay conocimientos causales y verdaderos ("ésta herida de la mano me la hice -con esa navaja"). Suponemos que la percepción de las diferencias entre las formaciones científicas y otras formaciones culturales deben darse en términos "mundanos". Sin duda, pueden ensayarse muchos criterios en este plano: ~ El criterio de lo común / paradójico. La ciencia sería el reino de lo paradójico, en donde reiiióñ tamos, y aún contradecimos, el serttido común. Científico es el que dice que las paralelas se cortan; la ciencia dice que los vidfios de las ventanas no son cristales, que el Sol qué vemos allí no está allí, sino a 1.009 kms., que no es el Sol, sino la Tierra, la que se mueve, que el hombre viene del mono. Toda la teoría de la relatividad es una continua paradoja. Incluso se diría que los científicos encuentran en sus paradojas la justificación de su saber ante el "vulgo": una ciencia que reexpusiese puntualmente el mismo saber vulgar s e — ría superflua (1). - Pero preferimos otro criterio (que en cierto modo contiene al anterior) que también encontraríamos presente en el plano "mundano", a saber, el criterio de la "esencialidad" (que hemos recogido entre las figuras gnoseológicas de la Analítica), el criterio de la idealidad. Podríamos considerar a Aristófanes como represen tante de este nivel mundano que percibe finamente la d_i ferencia entre las ciencias y el saber común, aunque -sea para instituir una crítica, por completo reaccionaria, a aquéllas. Aristófanes rediculiza a los científi-

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eos porque tratan de entidades nebulosas, de círculos que no están en ninguna parte, de saltos hipotéticos ("ideales") de la pulga (2). El físico, en efecto, ve un tubo de corriente (ideal) en donde comunmente se percibe el simple chorro que transcurre; el científico reduce la nebulosa, que es un gas, a un conjunto de esférulas, perfectamente elásticas, que son ideales; el geólogo considera una montaña como suma de -prismas. En la "deducción" de Newton de la ley de la gravitación queda establecida la proporcionalidad ke2 2 pleriana cinemática (k = a, . r, = a . r ) de los — ^ k k q q planetas respecto del sol y la relación k.m. = k'. M.; "generalizando" introducimos G, como razón de K/M, donde M deja de figurar como masa del Sol para conve£ tirse en masa en general, dada en él Sol: lá "generalización" de Newton (del Sol a toda masa) se funda, en realidad, en la esencialización ó idealización del Sol, en cuanto que se le considera como "una masa" (3). Es "de sentido comün" que hace falta una diferencia de temperatura entre dos sistemas para que haya flujo de calor. La esencialización nos lleva ahora a hacer esa diferencia "tan pequeña como queramos": "en t e o — ría (dice Carnot) se la puede suponer nula sin que — por ello los razonamientos pierdan nada de su exactitud" (4). La "idealización" de este par de sistemas estriba en la identificación esencial de las temperaturas, dentro de la teoría del equilibrio termodinámi^ co (marco, a su vez, del concepto de reversibilidad). Claramente se advierte aquí que la función gnoseblógl ca de la esencialización no es la de un termins ad quem del conocimiento (la "intuición de las esencias", sino la de un "episodio" del proceso científico, que vincula dos fenómenos (las temperaturas) en una "esen cia" (el "equilibrio") a fin de lograr la inserción (o confluencia) de esta "linea fenoménica" con otras "lineas de fenómenos" (mecánicos, etc) en un "tejido

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cerrado", que formará el cuerpo mismo de esta ciencia. Pero, no por ello, el aspecto de la "esencialización" deja de ser lo más característico del proceso científi^ co (cuando se le considera comparativamente con los — procesos tecnológicos, con la "conducta cotidiana", etc. etc.). Así pues, cuándo sé señala la importancia de la imaginación o de la fantasía en la vida de las cien ciaS/interpretamos que se está señalando esta esencialidad ó idealidad (qué, muchas veces, cuando queda á medio camino, puede ser pura pedantería). La esencialización o idealización incluye un cierto distancia- miento por respecto del plano "estético"^ distáñciamien to que supone una suerte de trituración conseguida por medio dé las identidades lógicas, que conducen a verda^ des. El saber precientíficó, no logrará elevarse a este nivel y,la reconstrucción que pueda obtener de las propias ttituraciones de los contenidos estéticos se mantendrían en el plano de lo que Levi-Strauss llamaba "bricolage" (5). En cualquier caso, la idealización O esencialización, que tomamos como característica diferencial del saber científico, en cuanto dado, no significa una desconexión o corte en el saber concreto (aunque éste sea ideológico). No solamente porque presupone este s£ ber (el saber de los artesanos, por ejemplo) sino también porque pretende, constantemente, recuperarlo. La mayor parte de las ciencias particulares proceden de las especialidades (categorías) artesanales, precient_í ficas, y no para darles la espalda (con el objeto de dirigirse "a la contemplación de las esencias"), sino para recobrarlas desde una perspectiva, ciertamente, esencial, ideal. No alcanzamos el nivel científico po£ que rompemos o trituramos lo concreto, sino porque es-

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tos concretos han sido rotos, eventualmente, cuando nos hemos elevado a un concepto esencial. Desde el cual lo concreto sigue siendo considerado, pero desde otra per£ pectivá. Torn§mos como ilustración él discurso VIII de iá Di6p.trica de Descartes, én donde precisamente se ape la a un oficio artesano, el de jardinero, para definir ia elipse según un móáb distinto al de las secciones c6 nicas. Hasta cierto punto, la consideración de este ofi^ ció se diría que suprime la idealidad del concepto dado por el procedimiento de las secciones del cono o del ci^ lindro (al menos lá idealidad o eséncialidad en un sentido trascendente). Lejos, pbr tanto, dé dar Descartes un "corte epistemológico" a los isaberes vulgares, toma contacto con ,J11OS, porque "los jardineros trazan la —• elipse de un modo qué, aunque es harto gifoserd y poco ekacto, perrtii te éi mi páretíer comprender mejor su natura^ léza qué lá (lección del cilindro o cono"* Evidentemente, él Góñocimienko geométrico (científico) de la elijsáe se constituye en laDioptrlca én el momento én que Descar"eséñcíaliza" la Situación pojf medio detí&n&eptosidea-^ les tales coiinj distancias, diámetros, süpéífposlcibnes ideales dé líneas. Pero después, a través de sus cons-trucciones, lejos de mantenerse "alejado de lo real", es decir, del jardinero del que había partido, inventa un nuevo jardinero, introduce un jardinero capaz de tr£ zar no ya elipse,sino hipérbolas. Concluí reírlos diciendo que las ciencias que qu£ reirtós definir: se nos manifiestan como formadas (entre otirós ingrediüntes) por una "sustáñcíia ideal"^ qué las opone á la suataneia concreta de la que está fabricado el saber artesano. También éste contiene una eséncialidad ejercida, aunque no representada. Podemos, por ello, hablar de la "sustancia que es extraída del pro— prio saber artesano acumulado" pero - para decirlo con la célebre imagen del canciller Bacon - como "licor sin

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fermentar y parecido al agua, que fluye naturalmente de las inteligencias humanas", y no "como un licor exprimí^ do de uvas bien maduras y cogidas en sazón, elegidas — con cuidado, suficientemente pisadas, clasificado y purificado en adecuado recipiente" (6) . En resolución, una definición de la ciencia de berá adecuarse (o reconocer) la esencialidad o ideali-dad que hemos atribuido a su "sustancia".

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§ 2 Definiciones autocontextuales; él concepto de paradigma heteromorfo. 1.- Puesto que el material definido (las ciencias) lo supo neraos dado, no trataremos, domo hemos, dicho de fingir que la definición sitética lo construye, o que se dedu ce, como klug deducía su pluma a partir de la defini— ción (7). Supuesto dado el material definido - dado, no solamente en la "realidad", sino en la predefinición la definición (en el plano sintético en el que estamos) puede pretender establecer de un modo inmediato rasgos comunes, que se extiendan aunque sea distributivamente, a la totalidad del material *- lo que será plausible, si él material as perfectamente homogéneo o, al menos, la predefinición lo presenta como tal. Pero también la ^pretensión puede ser diferente, aunque sin duda ha de tender a recubrir "todo y solo" el material definido; pero podríamos pensar que este recubrimiento tuviese -* lugar de un modo no inmediato, sino mediato. Éri el primer caso están las definiciones por género y diferencia específica. Él material predefinido es recübierto iiíedíata y totalmente por la defini- ^ ción, que se refiere a la totalidad del material inmediatamente * Así,cuando defino el material "hombre", -previamente predefinido, por medio de la definición —• "animal racional". Esta definición pretende recubrir inmediatamente todo el material,aunque sea de un modo distributivo (aplicándose a cada uno de los hombres). Por respecto a las partes del materiail definido, estas definiciones son heterocontextuales, precisamente porque el género sitúa al material en un contexto más am-

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plio (definiciones por clasificación o por coordinación) . iPero podemos pensar en la posibilidad de reconstruir el todo partiendo de alguna de sus partes, que figura ya como una parte del material que va a ser definido en el propio contexto de la definición (8). Se trata de una definición autocontextual y en ella se pide el principio mucho más de lo que se pide cuando presuponemos el material de la predefini— ción. En situaciones no estrictamente definicionalés, sino explicativas, esta petición de principió puede ser considerada como viciosa, cómo cuando explicamos la tridimensionálidad del espacio óptico a partir 3e la naturaleza tridimensióhal del ojo que lo percibe, o cuando analizamos una fotografía obtenida á través del ojo de Uña luciérnaga ccai la pretensión de introducirnos en la propia percepción del animal (á) , sin tener en cuen'ta la itiédiadlón del p,topio cet&htú del etólogo o del fisiólogo. Sin embargó, estas peticiones de princi-plo pueden no ser estériles, en cuanto que pueden — arrojar determinaciones diferenciales desde nuestro propio punto de vista (aun cuando estas diferencias no sean absolutas) y mucho menos estas peticiones dé principios son estériles cuando tratamos de la definición. La parte autocontextual de la cual partimos puede guardar relaciones internas de semejanza o de cualquier otro tipo con el resto de las partes del material tales que é^ste puede ser "reconstruido" con mayor o menor rigor. El concepto de reconstrucción autocontextual nos permite percibir la afinidad en—' tre las construcciones "métricas" y las definiciones por recurrencia. Porque la parte desempeña de algún modo el papel de una unidad o de un paradigma. Supori gamos que quiero definir el cuadrado As y que en vez de partir de las rectas que se cortan dos k dos en Sngu-

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lo recto (las rectas son aqiií componentes genéricos, de los que por cierto no pueden brotar las áreas) pa£ timos de cuadrados I I unidad cuyo lado sea la mitad del lado de A. Entonces el cuadrado a vendrá definido de este modo: A' =|. E n este caso, lo que defini mos es la clase métrica de cuadrados A, no el cuadrado en general (para que lo definido no entre en la de finición). Sin embargo, debe advertirse que cuándo definimos un cuadrado A de 5 metros de lado por medio dé la definición B = 52 estamos partiendo, en rigor, de unidades que ya son cuadrados, es decir, cuadrados de 1 metro de lado. "5" significa en esta expresión "5 cuadrados", por ejemplo, los cinco de la fila de abajó; la operación 5x5 significa: "hay cinco filas iguales a la primera"i Gracias a que hay operaciones implícitas (adosamientos, colineacionés de cuadrados) la définicien no es estéril: la definición es efectiva. Si partimos de un tiriSngüló isósceles cuyos la-— dos eeañ__áe. la misma longitud que los de A, la definí ción A'

es también autoxontextual (puesto que

las partes están dadas en el contexto del definiendum) y no hay petición de principio. Las definiciones poír recurrencia son las más típicas definiciones autocontextuales. Ahora, al defi^ nir "hombre" no comenzamos por un principio que se di rige inmediatamente "al todo", sino por una parte - (paradigma, por ejemplo Adán) que supone/ ya^ el contexto del tildo, y con la ayuda de la ifélaeióh-oÉJéra-^ciéh (una "relaeión hereditaria") procedemos a jfecons^ truir el todo. "Hombre" vendrá definido por el conjuii to formado por Adán, el hijo de Adán, el hijo del hijo de Adán, e t c . . En la práctica jurídica, las defi^ niciones del "Hombre" están, muchas veces, más próximas a las definiciones por recurrencia que a las defi_ niciones por clasificación (aunque ert algunos Códigos

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suele, también, exigirse la figura humana). Parece innegable la afinidad entre este modo de definir un todo por refcurrencia (es decir, de reconstruirlo) y el modo de reconstruir un todo a partir de una unidad (en el sentido de las definiciones métricas de las ígue hemos hablado) . En las definiciones autocontextuales el paradigma ó metro figura como una referencia con respecto a la cual sé tallan los propios conceptos. Así ocurre cuando definimos las simetrías por medio de una referencia al espejo. Én realidad, estos procedimientos guardan estrecha conexión con él empleo dé los modelos. Un mode lo es, muchas veces, ün paradigma géñéradoií de un pro céBú recurrente - es decir, un modelo puede funcionar aütocontextualmente. Pero las teorías de los modelos suelen mantenerse en la perspectiva de la recurrencia uniforme (teorema de dedUGCi6ri), en la perspectiva de lá repetición monótona (isomorfismo), lo qué convierte al concepto de modo en una especie dé versión auto contextual de la distributividad "heterocontextual" de los universales. Sin embargo, el procedimiento de la reconstrucción autocontextual permite concebir la posibilidad de una recurrencia heteromórfica, no monótona, capaz incluso de producir un término que ni siquiera és ya isómorfo Gon el modelo (paradigma), del que puede decirse que ha sido rectificado. Tal se ría el caso de la elipse en cuanto modelo o paradigma de la definición de circunferencia: la distancia fo-cal ha ido disminuyendo hasta anularse, y sólo "desd£ blando" el centro, para hacerlo corresponder a los — dos focos del paradigma, permanece como analizada por un modelo que es claramente dialéctico.

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2.- Tal como hemos predefinido la ciencia - el material científico, como material plural, "arracimado", no ho mogéneo - es evidente que las definiciones autocontex tuales parecen las más adecuadas al caso. Tratemos de establecer los rasgos generales de las ciencias, en el sentido de la "generalidad sintética" (10). Tomamos una ciencia dada, cuya unidad y diferenciación con las demás se entiende presupuesta, y la erigimos en paradigma de la unidad y diferenciación de las - otras ciencias, entre sí y con la dada. La dificultad primera estriba en acertar con una ciencia capaz de desempeñar el papel de paradigma. El papel paradigmático, en cualquier caso, no debe entenderse de un modo unívoco, según hemos di- cho. Lo contrario equivaldría a erigir la ciencia pa radigma eh un modelo unívoco, y, por tanto, a privile ^iar como prototipo de toda ciencia a aquella ciencia de la que hubiéramos extraído el paradigma. Según e£ to deberíamos concluir que aquellas ciencias que se ajustasen al modelo elegido serían ciertamente ciencias - y lo serían menos aquéllas otras que no se le ajustasen. En realidad, este procedimiento es el que sigue, prácticamente, por ejemplo, todo quien estima como científico (por cierto, quizá más bien en paradigmas analíticos que sintéticos) aquello que contiene elaboraciones numéricas, o cuantificaciones gráficas - "la ciencia es ciencia en lo que tiene de matemáticas" - de suerte que, o bien se logra cuantificar la materia, o bien se la declara no científica. Pero un paradigma, como hemos dicho, no tiene por qué ser un modelo unívoco o isomorfo. Las funciones de modelos podrían mantenerse al margen de la re-

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gla del isotnorfismo rígido, propio de los modelos distributivos. En los . modelos heteromorfos o atributivos, se contienen un conjunto de términos y relaciones que no es necesario esperar reencontrar, punto a punto, en él ejemplar o material "mensurado" por él. Este puede carecer de algunos de esos términos o relaciones, no simplemente por defecto o privación externa, sino porque el desarrollo de las otras partes del paradigma es de tal naturaleza qué exige la desaparición interna de componentes diversos del paradigma. En el ejemplo ant£ rior, cuando tomamos a la elipse como paradigma de la circunferencia, no esperamos encontrar en ésta los dos focos de aquélla^ puesto que estos dos focos se éncuen ^^^^ superpuestos,de Suerte que, precisamente, ha desa parecido su distinción (concepto de "distancia cero"). Cuando tomamos él desarrollo polinómico dé una función analítica, iio es porque pensamos encontrar en una función dada Icis diferentes mónomiOvé de que se compone el polinomio, puesto que éste contiene coeficientes que pueden tomar valotes nulos. En el campo de la Biología, las analogías (misma función, distinta estructura) sue len estar ptinsadas a partir de modelos isomorfos, pero las homologías (que incluyen diferencias en forma y aún en función) suelen estar obtenidas en modelos hete romorfos, que contemplan, en la teoría de la evolución, la posibilidad de involución de Órganos, de fusión o desdoblamiento de partes dadas del prototipo (sin perjuicio de que también existan analogías en el plano — sintético de los organismos, es decir, por ejemplo, mo dos análogos de conseguir los mismos resultados globales para el organismo, mediante órganos y procedimientos muy diferentes). La teoría de los modelos heteromorfos, muy poco desarrollada, no puede confundirse — con la justificación de un uso arbitrario de paradig— mas, que, como retículas exteriores, pueden eventual— mente ser útiles para la descripción de un material he

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terogéneo a ellos. Estas retículas son tan sólo un extremo límite de la gama de los modelos heteromorfos. En el otro extremo figuran aquellos paradigmas cuyos componentes permitan internas variaciones conducentes a componentes que no constan en el modelo. Pero siempre un paradigma podrá ser utilizado, no ya como un mo^ délo, distributivo o atributivo, sino como un metro o término de comparación. Un metro que debe ser interno al material que mensura, en cuanto a las razones generales mensuradas, pero que no incluye la identidad o isomorfismo en los resultados de la medida. Simplemente sirve de intermediario, de término de comparación, entre diferentes sistemas. El paradigma que nos interesa es, evidentemente, un paradigma heteromorfo, aunque lo fuera en su — sentido más radical _^ uh término de comparación. Porque no pretendemos erigirlo en prototipo de la "cien— ciá rigurosa" para eliminar de la "República de las -Ciencias" a todo habitante que no se ajuste al paradi£ ma. Ni siquiera pretendemos discutir el título de - "científicos" al que aspiran, con obscura tenacidad, algunos cultivadores de disciplians relativamente nuevas o bien algunos cultivadores de disciplinas muy antiguas que no pretendían este título, porque creían po der mantener su propia estimación con otros ("arte" , "humanidades", "filosofía", etc.). Pero lo que sí pre tendemos es determinar, con la mayor precisión posible, y sin que ello implique discutir los "derechos académi^ eos" de tales disciplinas, las diferencias entre las diversas disciplinas que se llaman ciencias, y sobre las cuales este título común arroja una luz lechosa, que borra todos los detalles (borra incluso las d i f e — rencias entre las "ciencias estrictas" y las "ciencias heterodoxas", las que antaño enseñaba el sacristán de San Ciprian en Salamanca - astiología judiciaria, geo-

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mencia... - y hoy enseñan parapsicológos y psicoanalis^ tas. Si se prefiere, lo que nos interesa precisamente és determinar la heterogeneidad al nivel gnoseológico de la propia cierttificidad, de láS diferentes discipli^ ñas científicas - no sólo lá heterogeneidad entre las ciencias naturales y culturales, sino también la heterogeneidad de las ciencias naturales entre isí y de las culturales entre sí. Queremos saber qué podemos significar cuando decimos que la Química del carbono es una ciencia, y cuando decimos que la Gramática estructural es una ciencia. Y queremos establecer la diferencias precisamente en él plano gneseólógico, es decir, desde la perspectiva de una Idea general, no precisamente — unívoca, de "ciencia". Para ello necesitaremos un para^ digma, cómo término dé comparación adecuado, y, para ello, debemos poder presentar este paradigma de forma que, sin perderse su estructura específica, sea posi—• ble determinar en él las dimensiones genéricas gnoseológicas, es decir, aquellas determinaciones en virtud dé las cuales esta paradigma es un instrumento o inter mediarlo gnoseológico. Aquí reside la dificultad principal de nuestro método. Pero si no existen estas d e — terminaciones, siino fuese posible presentar al paradi£ ma gnoseológico, (si no fuese posible "hacer una l e e — tura gnoseoológica del paradigma"), es decir, si no existieran ciertas determinaciones genérico-gnoseoló— gicas (en nuestro caso, de genericidad sintética) en el paradigma, no podría éste ser utilizado como metro - como tampoco podríamos utilizar como metro a una barra cuyas determinaciones de longitud no aparecieran aplicables a otros cuerpos. Evidentemente, podría obje^ társenos que, al "dotar" al paradigma concreto de cier tas determinaciones genéricas, estamos ya otra vez pri vilegiando y erigiendo en prototipo,al menos estas determinaciones genéricas que él soporta: habríamos, con ello, simplemente ampliado el prototipo unívoco, pero

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no lo habríamos eliminado. Sin embargo, esta objeción, que puede sin duda tener aplicación en ejecuciones con cretas del método de los paradigmas, nó tienen un a l — canee general, puesto que está pensada desde ambas - perspectivas a la vez. Pero, en nuestro caso, los ras^ gos gnoseólógicos del paradigma, aparte de que este pai radigmá se toma en una perspectiva heteromórfica, son de índole sintética - es decir, se refieren a la misma unidad qué la ciencia paradigmática tiene en sí, en — cuanto esta unidad la opone a las demás ciencias (por tanto, en cierto modo, nos encontramos ante rasgos gno seológico. -formales, no específicos de las ciencias — concretas, de su contenido tomado como paradigma). Si las determinaciones genéricas fuesen siempre de índole isomórfica, evidentemente nuestro análisis gnoseológico-genérico del paradigma permanecería siempre en los límites del análisis de un prototipo. Pero cuando las determinaciones genéricc-gnoseológicas de que hablamos - y que, evidentemente, han de presuponerse, si verdaderamente es viable algo así como un análisis gnoseoló gico - no áon pensadas en téritiinóS genéricos prófirianos, sino ccnno determinaciones de géneros combinato-^ rios, entonces la lectura gnoseológica del paradigma no lo transforma, necesariamente, en un prototipo isomórfico. Sencillamente, determinaremios en él componeii tes gnoseólógicos, organizados sintéticamente de un mo do peculiar - y de tal manera que en esta misma organi_ zación podamos advertir un componente gnoseológico, él mismo peculiar, de generidad sintética. El paradigma nos suministrará entonces, en realidad, un modelo concreto de entretenimiento de determinaciones gnoseoló— gicas comunes (parcialmente, abstractamente, analítica^ mente) a otras disciplinas, de suerte que sea por la mediación de estas como se reanuda la comparación. Pre^ cisamente porque no suponemos que estos componentes de ban siempre verse vinculados en la misma proporción, -

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sino porque comprobamos que estos componentes aparecen de diferente modo en las disciplinas más diversas, ha£ ta el punto de que, mediante estas diferentes composiciones, podamos dar cuenta de las mismas diferencias gnoseológicas, Nuestro proyecto tiene alguna semejanza con los procedimientos del análisis factorial, como si fuera una forma no estadística de esta análisis. Por lo demás, la adecuación de nuestto ariáli-sis gnoseológico al material no puede nunca mostrarse a priori; Es la ejecución misma del desarrollo, la ca pacidad de las determinaciones gñóseológicas recogidas para dar cuenta del mayor número posible de semejanzas y diferencias entre las diferentes disciplinas, a q u e — lio que puede confirmarnos en la idea de que la escala del análisis gnoseológico que llevamos a cabo es a d e — cuada, ó, al menos, más adecuada que otros análisis. En i.ésoluciÓn, los resupuestos del método auto contextual «on, en rigor los de la misma posibilidad de una teoría general de la ciencia, al nivel de una Gnoseología general sintética. Solo es ésta posible si las diferentes ciencias tiene algo en común (y no ya sólo en el plano analítico, sino en el sintético). De la misma manera que sólo cabe hablar de una Biolo— gía general si existen rasgos generales (analíticos o sintéticos) entre los diferentes organismos. Esto s u — puesto, podemos tomar un organismo dado como modelo o metro, no ya en el sentido de que, isomórficamente, va yamos a reconstruir todos los demás desde él- Y, en e£ ta perspectiva, las analogías son mucho más probables en el plano sintético que en el plano analítico (en — el que encontraremos abundantes homologías) puesto que podría ocurrir que diferentes ciencias tuvieran en común precisamente aquello en lo que se diferencian (según el plano analítico).

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§

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Lectura gnoseológica del paradigma topológico 1.- Teniendo en cuenta el planteamiento precedente, podría mos en principio escoger diversos paradigmas para instituir, en torno a ellos, el análisis gnoseológico capaz de transformarlos en mentros. Podríamos buscar el paradigma, ya en el campo de las ciencias naturales, ya en el campo de las ciencias culturales, ya en el — campo de las ciencias reales o en el campo de las cieii cias formales. Pero, como quiera que nos interesa - principalmente establecer el análisis gnoseológico cora parado entre los campos de las ciencias naturales y -culturales, preferimos orientar nuestra elección en el ámbito de un territorio científico en cierto modo neutral, el de las ciencias formales, al cual pertenece la Topología, tal como aquí va a ser considerada. 2.- El Cálculo vectorial podría ser tomado con ventaja, en algún aspecto (respecto de la Topología) como metro de un cierre categoirial, dado que, en él, sin perjuicio de su riguroso proceder categorialmente cerrado, apar£ cen, de un modo quizá mucho más claro que en las Topologías, I'"'/ las diferencias entre las clases A, B de los términos del campo 2°/ la naturaleza del cierre en cuanto prQceso que afecta no a una sola operación, sino al sistenia (confluencia, entrelazamiento material o simploké) de las operaciones (alguna de las cuales, por sí misma, no es ni siquiera cerrada). El cierre categorial ha de entenderse originariamente, en efecto, co mo el cierre de un "sistema operatorio": es una propie dad del sistema de operaciones, y no de cada operación En el Cálculo vectorial, la diversidad entre las clases A y B se ve reforzada por la circunstancia

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de que esta diversidad se determina por la oposición entre unas clases formales (distributivas) y unas clases estéticas (en sentido kantiano, atributivo). He aquí comO: podríamos considerar como término de la clase A a las magnitudes escalares (sin las cua-les no hay cálculo vectorial); términos de la clase B serán las magnitudes vectoriales. La clase A es ge nérica (no es específica del Cálculo) sin dejar de ser formal, respecto de él. La clase B es específica. La diferencia entre éstas dos clases de magnitudes apareció históricamente (y didácticamente suele s e — guirse este curso) como oposición entre "cantidades aritméticas" (números naturales, reales, etc) y magnitudes geométricas (dotadas de dirección y de s e n — tido, representada por flechas etc) . Pero este c o n — cepto es tan sólo un ejercicio del concepto de la — magnitud vectorial (en la representación de fuerzas en Física, por ejemplo) no una representación analítica conceptual. La diferencia lógica entre las magnitudes escalares y las vectoriales es de otra indole y podría exponerse así, para nuestros efectos:

a) Una magnitud escalar es una clase combinatoria cij yo desarrollo extensional tiene lugar a partir de la repetición acumulativa de una unidad (en múlti^ píos y submúltiplos) según diferentes "ritmos"; podríamos decir que es "unidimensional". b) Una magnitud vectorial (tensorial) es una clase combinatoria cuyo desarrollo tiene lugar a partir, no de ^lna sola dimensión, sino de varias dimensio nes que están siempre vinculadas sinectivamente (como las tres dimensiones del espacio), sin perjuicio de que puedan varxar independiente o semiindependiente ("matricialmente"), Los vectores son un caso particular de ciertas magnitudes (muí

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tidimensionales) que aparecen cuando se reúnen esas condiciones de symploké; Primera, una de las magnitudes es real (el módulo) y metamérica; segunda, otra de las magnitudes es real, pero diamérica (po£ que ella establece la relación de cada vector a - otros, según que esa relación haga las magnitudes iguales o las haga desiguales: Es la dirección); tercera, una tercera magnitud es booleana (de dos valores) y está subordinada a la magnitud citada en el punto anterior. Aritméticamente, esta magnitud se coordina a los signos "+" y "-", en tanto que ellos pueden afectar a las otras dimensiones. Esta magnitud booleana es lo que llamamos el sentido. Ahora bien: ocurre que estas tres dimensiones pueden (estéricamente) ponerse en correspondencia con la longitud, dirección y sentido de un vector geómetra^ co o físico (estéticamente, porque, en la estructura booleana, no se contiene el concepto material del "seri tido"). Adviértase que también la dirección y la - orientación (concepto estético: en las figuras en-an-— tiomorfas puede haber igualdad, salvo en la orienta- ción) pueden, en parte, traducirse analítica y diaméricamente, mediante autologismos oportunos (así, la condición cosa (o sena ) del producto de vectores, recoge la dimensión direccional: si los vectores son paralelos, cosa = 1 y si son perpendiculares, si tienen distinta dirección, cosa = O. Las relaciones entre los vectores (relaciones entre vectores, no relaciones escalares) son de igualdad y de desgualdad. Estáticamente, la igualdad es él paralelismo, la equipolencia. La desigualdad no sólo afecta al módulo (mayor o menor) sino al sentido (vectores opuestos) o a la dirección (vectores diversos). Las operaciones son las que presentan el máxi-

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mo interés, como metro

del

concepto del cierre cate-

gorial: 1°) La adición y la substracción son operación^es inme diatamente cerradas (la adición de dos vectores es un vector, etc). La suma de A + B es un vector C cuyo módulo es | A | + | B | . Pero su dirección viene determinada por la dirección de A y B según una re^ gla de construcción (que estima el ángulo il que forman) pero que puede representarse por la ley -del paralelógrama (esta ley ejercita la adición, I

— — — — — — — ^ ^ ^

más que definirla). 2°) El producto de escalarse por vectores es externo, aunque es cerrado por respecto del vector:

A . A=

- > •

= B (B tiene la dirección y sentido de A ) . Consecuencia: el cociente B/A = X sólo tiene significa^ do cuando los vectores tengan el mismo sentido; -puesto que si no lo tuvieran, a partir de A/B = A, obtendríamos: B = A A , y B ya no tendría el mxsmo sentido que A, contra el supuesto. Es ésta una — restricción "material" (incluso estética) al c o n — cepto de operación conexa. Resulta que la operación cociente no es aplicable al campo de vectores cualesquiera, sino a los de igual sentido (podría recordarse que para sumar escalares - para sumar 300 cerdos y 52 arados - hay que introducir catego rías materiales adecuadas). 3°) El producto escalar o interno de dos vectores A ->-

B

y

es un escalar. Diríamos que aquí el cierre in-

terno de la operación se ha roto: A.B =

|A|.|B|.

-

eos í'. Pero este producto (P ) vuelve de nuevo a en trar en el curso del cierre mediante la operación citada en el lugar segundo: M. A = C. Por c o n s i — guíente, el cierre operatorio se restablece median

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te el éntretejimiento de las diversas operaciones.

4°) El producto vectorial o externo podría pareder inmediatamente cerrado, en tanto determina otro vector (A A §) cuyo módulo es ( | A | . | B | sení.) y cuya dirección y sentido se fija por la regla del triedroSin embargo, se trata de un pseudo vector, puesto que su sentido cambia con la orientación 'del es^ pació. Ahora bien, como a su vez el producto de un pseudo vector por un vector, determina un vefctor, el cierre sistemático vuelve a ser restablecido. El cierre operatorio, en el campo de los vecto fes, está, pues, asegurado porque de los vectores pas£ mos a los escalares y a los pseudo vectores, y de e s — tos podemos de nuevo pasar a los vectores. El cierre del Cálculd vectorial tiene lugar, pot tanto, por me—diaíSión dé Ün estrato gengrico, los esGálares ^ no ün estrato Oblicuo i La situación 13odIá conrpararse a la que tiéné lugar en Biología, por reapéoto de la Bioquí^ mica. 3.- Las ventajas de las ciencias formales ofrecen como cam po para extraer el paradigma que buscamos son, además, obvias y se reducen a la sencillez, a la trasparencia de sus objetos. Como contrapartida podría ser objetada esta elección en el sentido de que el paradigma de ellas resultante impondría desde el principio una orientación formalista de la Teoría de la Ciencia ("to da ciencia es ciencia en lo que tiene de Matemática o de Lógica formal") que desagradaría a quienes quieren subrayar los componentes empíricos de las ciencias, a quiene^ entienden la ciencia como reflejo de una reali^ dad absorbida por la experiencia. Sin embargo, esta prevención, que se funda en la dualidad entre el plano formal y el emírico - muy justa sin duda - es más bien

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de índole epistemológica que gnoseológica. Porque aquí buscamos el paradigma de una ciencia en tanto que e s — tructura gnoseológica y no en tanto conocimiento de -realidad (que es un contexto más bien epistemológico). Precisamente la "estrategia" que venimos desarrollando consiste en seleccionar un paradigma gnoseológico que no por ello deje dé incorporar la dimensión epistemol^ó gica, es decir, el trato con la materia real. Desde lá concepción del materialismo formalista, las propias — ciencias formales deben ser entendidas como una pécu-liar manipulación con un material - y un material físi. co, á saber, los propios símbolos tipográficos. Así, cuando seleccionamos un paradigma extraído de las cien cias formales lo hacemos teniendo en cuenta, no s o l a — menté la racionalidad formal del modelo, sino también los componentes materiales que esta míísma racionalidad comporta. Y, entonces, al menos en principio, quedará sin objeto la objección qué Sé derivaría del hecho dé acogernos a un paradigma formalista^ siempre que lo--giremos mostrar que con éste paradigma podeiflüs dar - -^ cuenta de la naturaleza científica de las propias - ciencias naturales, empíricas, cuando se considera el plano gnoseológico sintético. Esta demostración debe contener, evidentemente, la presentación del propio paradigma formal en cuanto modelo él mismo material y afin empírico. 4.- Ensayamos como paradigma una Topología sobre X (una Topología concreta), No ya meramente el concepto gene ral de Topología, sino una topología algebraica c o n — creta. Una topología es así una unidad gnoseológica que se encuentra a mitad del camino entre las estructuras (clases dotadas de una relación y de una operación o ley de composición interna), los monoides (una estructura con un elemento neutro) y los grupos (mo-noides que además tienen elementos inversos). Una Topología es un álgebra, es decir, una estructura con al me-

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nos dos leyes de composición, pero sin tener necesaria mente elementos inversos (el álgebra de Boole, que tie ne elementos neutros, no tiene elemento inverso (11)). En rigor,el concepto general de Topología se "expone" formalmente por medio de variables, {x, y, z ....} y de constantes o parámetros {0, U} En estas exposiciones suele sobreentenderse que estos símbolos funcionan como emblemas de objetos reales, dé estructu ras constituidas por objetos reales (personas vinculadas por relaciones dé clases o de parentesco, puntos del espacio euclidiano, conjuntos de ñúclé'os reales o moléculas del espacio físico) que serán las "topólo- gías efectivas", "concretas". Pero cuando hablamos — aquí de una Topología concreta (frente al concepto — general de la Topología) nos referimos, desde la perspertiva del materialismo formalista, precisamente a :— aquellas variables o constantes (o indeterminadas) én tanto que acontecimientos tipográficos (físicos): es a este nivel en donde está pensado nuestro paradigma. Sin duda, podría intentarse la exposición del concepto dé una Topología prescindiendo de estos símbolos - pero está exposición sería una simple elipsis de los mx£ mos, un metalenguaje de estos mismos símbolos - quo, además, volvería a reproducirlos de algún modo (al hablar por ejemplo de "producto del primero por el seguri do") . Ahora bien, en la propia presentación de las Topólo- gías concretas, en el sentido precedente, constatamos una duplicidad de caminos que sólo superficialmente -puede entenderse como una mera duplicidad didáctica o expositiva accidental. Porque realmente (como trataremos de demostrar) tiene que ver con una duplicidad lógico-gnoseológica, de directa significación para la gnoseología de la ciencia. En efecto, esta duplicidad

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de procedimientos en la exposición de las Topologías concretas la ponemos en conexión con la misma dialé£ tica circular (progressus-regressus) de todo curso científico - categorial (ver más adelante el párrafo 7 ) , con los planos gnoseológicos C(I) y C(II) o "perspectivas del cierre". Nos referimos a esos caminos o procedimien— tos (que los tratados de Topología suelen ofrecer a]^ ternativamente) por medio de las cifras romanas I y II. Procedimiento I Comienza introduciendo un conjunto X (llamado espacio de la Topología, como contradistinto del "espacio topológico") cuyos términos han de ser exnu merados (hablamos de Topologías finitas). Por ejem— pío X = {a, b, c, d, f} . Conviene constatar ya esta circunstancia: el "ejemplo" (en realidad, la m — teria, desde el punto de vista gnoseológico) debe — ser efectivamente dado. Es decir, en la exposición formalista de una Topología (tanto en I como en II) debe darse un "hecho" de naturaleza estético-tipográ_ fica, pero no por ello menos empírico, físico: la su cesión de las manchas de tinta "a", "b", "c" ... "f" Llamemos a este conjunto (con una denominación que quiere ser ya gnoseológico-general aunque se nos rea_ liza en el espacio de la topología) base material o campo material, en tanto que este campo satisface el principio de multiplicidad. A partir de X formamos pares: {a, b} , {a, c} etc; tripletes {a, b, c} , {a, c, d} ... es decir, subconjuntos de X, así como la propia clase X y la clase vacía 0i A estas clases (a cada una de las clases) de estos subconjuntos de X (incluyendo el subconjunto impropió) juntamente —

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con la 0 las llamaremos T. Por ejemplo: T^ = ix, 0, ía), íc, d) T = {0, {a, b) , {a, b, c}} . Al conjun to de estos T. los llamaremos campo formal [X ] , cada una de cuyas partes (tanto las T. como los conjuntos de que consta cada una) será llamada una "configuración" . Suponemos que las T. contienen, por lo menos, vina vez cada uno de los términos X. el par {X, T} es llamado "espacio topólógico". El espacio topológico es ya, desde el punto de vista gnoseológiéó, un campo formal. Adviértase, por tanto, que en el procedimiento I tomamos a X como punto de referencia o de partida y por ello hablamos de Topología sobre X - y d i s — tinguimbs X del espacio topológico,puesto que además de los elementos de X hay que introducir la clase vacía. Podría decirse que 0 puede figurar desde él - principio en X. Pero entonces 0 sería puramente £ s — téticó; por cuanto, aunque hagamos figurar a 0 desdé el principio, sin embargfo, en sentido topológico 0 só lo puede venir pensado en función de ñ , como una cla^ se que es la no interisecclón de otras clases, dadas en X; como una clase que no está en mismo plano que las restantes, como una clase de "segundo grado". Introducimos la relación {Gp : péA} = A (de donde para A = 0 resulta [ 1] , podríamos, por dualidad, suponer que r~\ {Gp : peA} = pi de donde r^

{GéT : Gt0

}= X

Si en la opción (I) partíamos de un conjunto empírico, pero formal, X - para, sobre él, construir otro conjunto "empírico" de subconjuntos T, de los cua. les unos son Topologías y otros no-en la opción (II) partimos de un conjunto dado (fenoménico) de subconjun

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tos que nos remiten al conjunto de base X, sobre el cual aquellos giran. En la opción (II) se diría que el conjunto X es el resultado del análisis, el resi-duo del análisis que arroja una multiplicidad compleja de subconjuntos dados, cuando estos aparecen combinados por medio de la intersección. Tanto en la opción (I) como eri la opción (II) el nivel preciso en el cual se configura la Topología es el nivel de la composición dfe la multiplicidad dada de los subconjuntos dados (digamos: del plano feno menoiógico y del ontólógico). Y laquí reside el interés de las Topologías como paradigmas gnoseológicos: en qué en ellas se realiza ya lá articulación entre un plano empírico (material, dado) y un plano operato rio (formal) . El plano empíricó-topológico se consti^ tüye como tal porque se dá empíricamente como cerrado y puede ser cerrado (material) porque su contenido es empírico (concreto tipográfico dado). Es esencial tener presente que el cierre de la Topología es posible gracias a la consideración de 0 y X, como componentes esencialmente lógicos. Sólo por que consideramos 0 (no como concepto de una clase vacía cuasimetafísica, un concepto "formalmente sucio") cabe el cierre respecto de H - porque, de este modo, la intersección de los elementos exteriores es posi-ble e identificable. Es decir, la exterioridad - o no intersectividad - de los elementos de base, o sencillamente de los elementos heterogéneos, es reducida a la forma de una intersección que se resuelve en 0. Y el conjunto X es el que permite que la reunión de todos los subconjuntos con elementos comunes permanez^ ca en el interior de ese conjunto X, como condición de cierre. No es pues el hecho bruto o empírico la figura X, sino X en cuento recuperada tras la opera—

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ci6n de reunión. Estamos aquí ante la transformación de una realidad empírica, en tanto se nos aparece bajo la forma de una esencia lógica. Por tanto, la - identidad de una Topología - su "interioridad" con -respecto a la cual se da el cierre, una interioridad múltiple - requiere 0 y X. Pero 0 y X son módulos o elementos neutros respectivamente de W y /^ , porque 0u ^Gi = Gi; XOG. = G.. Por consiguiente, diremos que los módulos o elementos neutros son aquellos que nos determinan los diferentes subconjuntos de que se compone una Topología, son las unidades que permiten - identificar lógicamente todas las composiciones. Por último, la Topología concreta no es "el germen" de — los cierres, porque ella misma supone un cierre reali^ zado con operaciones y relaciones dadas.

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§ 4 Análisis gnoseológico del cierre topológico 1.- Este párrafo es, en cierto modo, el eje sobre el cual gira la Gnoseología General sintética que estamos exponiendo, puesto que ahora se trata de demostrar el -significado gnoseológico, tan complejo, de la Topología, tan sencilla, recién presentada. Se trata de -mostrar a este sencillo cierre topológico precisamente en su papel de paradigma o metro de cualquier otro cierre categorial; se trata de poner de manifiesto en qué sentido los sencillos procesos tipográficos que hemos desarrollado al realizar algebraicamente una to pología concreta pueden considerarse como una ciencia (una "célula" gnoseológica) capaz de erigirse en mod£ lo de cualquier otra; se trata de desplegar los aspe£ tos según los cuales esta Topología concreta puede -llegar a ser un modelo de cualquier otra ciencia, mediante la presentación de sus determinaciones gnoseológicas.

2.- La dificultad inherente a esta tarea se nos muestra y a la siguiente pregunta: ¿Cómo algo tan simple o mera_ mente formal (en apariencia) puede erigirse en para-digma de algo tan complejo y empírico como la Biolo-gía o la Química?. La Topología concreta de referencia nos ofrece ciertamente un prototipo de cierre. P£ ro este cierre ¿puede tener algo que ver con aquello que constituye la unidad de una ciencia específica, la Biología, la Química en su unidad?. Una ciencia efectiva, y de acuerdo con el análisis gnoseológico, comporta hechos, problemas, autologismos, fenómenos... ¿Dónde están los fenómenos, o algo similar, en la - "transparencia" de la Topología presentada?; ¿Dónde está la complejidad de esos hechos?; ¿Dónde las esen-

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cías?, etc, etc. Lo que necesitamos en resolución, es mostrar las figuras gnoseológicas presentes en esta Topología concreta, pese a que su sencillez parezca excluir esta presencia (3). 3.- Pero la sencillez gnoseológica de la Topología c o n — creta es ciertamente una apariencia, motivada por la falta de análisis - algo así como la "sencillez" quí^ mica de una trasparente gota de agua. En cuanto a p M camos los conceptos gnoseológicos, la sencillez se complica y la transparencia se enturbia. Las cien-cias reales - la Física, la Biología - resultarán -ser, sin duda, mucho más complejas que la Topología presentada, pero su complejidad no consistirá en que posean figuras que esta Topología no posea, sino en que las poseen combinadas consigo mismas, en un grado mucho mayor (la molécula de Hidrógeno es mucho -más sencilla que la de Uranio, pero no por ello deja de poseer los momentos característicos de todas las sustancias químicas: numero atómico, peso atómico, orbitales, nucleones, etc.). 4.- Consideremos, ante todo, las figuras gnoseológicas, clasificables como configuraciones, en tanto están realizadas en la Topología de referencia. Los hechos fisicalistas son aquí las propias letras a, b, c..., que no figuran a título de ejemplos, sino a título de material (o contenidos). Prueba: No es posible definir una Topología, sea por el procedimiento (I) o sea por el (II), sin citar estos mal llamados - "ejemplos". Nada más erróneo, por otra parte, que el peii Sarniento de que los términos de esa Topología fueran de naturaleza "lineal" (no matricial), a saber, las letras a, b, c,.*. del conjunto X, tal como los pre-

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senta una exposición algebraica ordinaria (exposición que, como mostraremos en el momento oportuno, se mueve por dialogismos, de estructura contradictoria). Las letras a, b, c, en cuento términos de la Topólo— gía, no son, ni mucho menos, entidades sencillas, pri^ mitivas. Y no sólo en virtud de que en ellas podamos distinguir componentes típicos, complejísimos, a n i — vel de partes materiales (tanto en su forma tipográ£i_ ca, como en su forma oral: las bandas de alta y baja frecuencia que arroja el ociloscopio analizador de vp cales y consonantes), sino que debemos distinguir estratos internos y externos a lá propia Topología, que exigen atribuir a estos sencillos términos la estructura matricial que hemos atribuido a las configura- clones. Precisamente la posibilidad de desarrollar la Topología según las dos modalidades I y II está en relación con est^ complejidad matricial de sus términos - y al margen de esto es imposible compirender - eféctivamerite aquellas dos modalidades - y así tam- bien (proyectada al plano semántico) con la dialéctica circular gnoséológica, a la que nos referimos más adelante. Diremos sencillamente que los términos de la Topología no son los átomos simples (o átomos A, b, c . ) más que en la medida en que ellos se dan en parejas, ternas, etc. Y recíprocamente, sólo son parejas, ternas de la Topología, cuando en ellos se dan términos simples; como si fuera por la mediación de IXj , por donde cada término empírico recupera su forma lógica de "subconjunto de X". En general, X no de be considerarse como dado o perfectamente determinado en sus partes elementales: incluso cabe la posibilidad de pensar que éstas no existieran, cuando X es infinito. Entonces, partiríamos necesariamente de — las configuraciones [X ] . Así, en la Geometría Plana, partimos de segmentos (que son configuraciones), compuestas de otros segmentos y todos ellos de puntos, -

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pero indeterminables en cada segmento aislado. Como, según este planteamiento, los términos de X son, en principio, términos dados a partir de X, pero podrían incluso darse otros, introducimos el concepto de "campo material" X , del cual [X ] sea una cierta organización a una escala dada - un "campo formal". La distinción escolástica entre el objeto material y el objeto formal de las ciencias queda así de algún modo recuperada. El campo formal de la Química clásica estaría constituido por ese mismo material químico,en tanto es susceptible de ser reconfiguíado por la Físí^ ca Atómica. En cualquier caso, tanto podemos definir a — las parejas {a, b} y {a, c } , {c, b ) , {a, c} como pa. rejas formadas a partir de los términos simples a, b y c cuanto definir a estos Simples como aquello que aparece distribuido, según la identidad esencial, en las parejas mencionadas. Tanto podemos decir que el Carbono, Nitrógeno, Hidrógeno, Oxígeno son los componentes de los 20 tipos de proteínas, como decir que los 20 tipos de Proteínas son formadas de configura-ción en las qué aparecen C, N, H, O. Precisamente -por eso es posible comenzar el desarrollo de la Topología por los simples, en cuanto a partir de ellos po demos introducir en los complejos (I), o bien comen-zar por los complejos, en cuanto compuestos por sim-ples (II), que a su vez aparecen como lo que tienen de común diversos complejos, o como el límite infe- rior de la complejidad. Todo esto es lo que expresamos diciendo que los términos de la Topología concreta son configuraciones de estructura matricial. Sólo a partir de esta perspectiva podemos distinguir las configuraciones básicas o materiales: a, b, c y las configuraciones formales: {a, b } , {a, b, c} ... Cuari do se comienza presentando ál conjunto base igual a -

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X = {a, b, c, . . . } , en rigor se está situado en una perspectiva metatopológica, didáctica (pragmática), porque lo que se presentan son signos tipográficos — previos a su entidad como términos topológicos. La conexión recíproca entre X y [X lo T [X J se muestra claramente en esta suerte de círculo vicioso dé la exposición de ambos procedimientos: en I hemos definido T como una clase de subconjuntos de X. Pero al exigirse que X pertenezca a T estamos propiamente exigiendo que todos lo términos de X estén representa^ dos en T. (Aquí, porque están formando conjunto, petambién porque están distribuidos en otros subconjuntos). Porque ambas presencias son una suma lógica, que está contenida en xeí". En II, al establecer que cualquier intersección de los conjuntos de T pertenez^ ca a T., decimos que nos remite a X en tanto que se presupone que X es precisamente el conjunto de todos los términos átomos de T, (sea porque T debería cont£ ñer todos los términos átomos de X^ agrupados de diverso modo, sea porque X es definido precisamente como los diversos átomos contenidos en T ) . 5.- Postulado gnoseológico de symploké. A partir del paradigma topológico podemos levantar un postulado de validez general, que llamamos ^® Qyitiploké en recuerdo de la tesis platónica funda — mental. Un campo gnoseológico no puede reducirse a la forma lógica de una clase de términos. Porque una -clase de términos -o bien una multiplicidad de térmi — nos pertenecientes a una sólo clase - no permite la construcción: las relaciones serían sólo de semejanza o de igualdad. Un campo gnoseológico contiene múlti-

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pies clases de términos entrelazados en symploké, cuya forma canónica puede ser una matriz n-dimensional. No todos los términos pueden pertenecer a todas las c í a — ses - porque entonces tampodo habrá construcción - ni todos no pertenecer a ninguna. Por lo menos existirán dos clases de términos heterogéneos: puntos y rectas en Geometría plana, variables booleanas y valores en Algebra de proposiciones; electrones, nucleones en Física atómica. En la Topología ésta estructura puede estar enmascarada por el concepto del campo X, en cuan to definido por el conjunto {a, b, c, d, ... n}; pero, en él, sin embargo, hemos visto la necesaria distin- ción entre la clase que contiene los términos 0, X y la clase que contiene los restantes términos. El postulado de symploké es una rexposición del principio de multiplicidad. 6.- Dialéctica implícita en los procedimientos I y II de -ila definición de una Topología. Podría pensarse que la diferencia entre los — procedimientos I y II carece de significado más allá del que puede atribuirse a la doble dirección (progressus y regressus) según la cual es posible considerar el campo topológico: o bien como determinado a partir de una base X que se desarrolla (progressus) en [X ] , o bien como determinado a partir de una familia [X ] en la que determinamos (regressus) X. La distinción e n — tre los procedimientos I y II sólo queda agotada por esta oposición entre un progressus y un regressus mer£ mente formales cuando nos atenemos a los ejemplos tipo gráficos que figuran en los tratados de Topología. Y que encubren los problemas ontológicos, precisamente porque trabajan campos concretos previamente diseñados como iguales, sin considerar los procesos mismos de -identificación. Cuando, en la exposición, se parte

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del concreto X = {a, b, c, d} - en I-y-en II - de la familia T = {{a}, {b}, {a, b } , {a, b, c } , {d}}, enton ees evidentemente el X determinado a partir de T es el mismo que el de I. Ahora bien, el X determinado en II evidentemente no tiene por qué ser el mismo - ("ejemplo") sobre el que se expuso I, como ya hemos observado, porque,en II, X se nos dá como una selec- ci6n de los subconjuntos de T. Esta observación p o — dría parecer superflua si olvidásemos que la exposi— ci6n de una Topología no puede jamás prescindir de — los "ejemplos", o del material estético (fenomenológico). Los problemas ontológicos que están en el fon do de la duplicidad de los procedimientos I y II pueden aclararse si ponemos esta duplicidad en correspon dencia con otra duplicidad, característica de la Teoría de los grupos (correspondencia no es identidad). Esta duplicidad de los "grupos de transformación" se corresponde con los aspectos o conceptos de "grupo" que suelen llamarse respectivamente: "grupos abstractos" (que también incluyen transformaciones") y "grupos de transformación" (en sentido estricto). Conviene hacer una referencia a esta distinción y a su dialéctica, por las conexiones que tiene con la — distinción que inmediatamente nos ocupa, a saber, la distinción entre procedimientos I y II del "cierre to pológico". 7.- El término "grupo" aparece en matemáticas (o en lógica), en efecto, en dos contextos diferentes: uno r e — lacional (diríamos preposicional) y otro conjuntual (digamos objetual), que más adelante se analizarán en detalle. Estos dos contextos nos remiten a dos c o n — textos o versiones del concepto de "grupo": grupo de

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trasformaciones y grupo abstracto (terminología de Bikhoff-McLane (14) Ahora bien: la cuestión se plan tea en el momento de establecer el concepto genérico de "grupo". Podemos plantearla como un caso particu lar de la dialéctica de la especie al género. ¿Es el concepto genérico de "grupo" un género del cual sean especies las dos versiones o aspectos citados?. Este esquema es el que, de hecho, se presupone (se ejercita) en muchas exposiciones. Se establecen las condiciones genéricas del grupo (cierre, elemento -neutro, elemento inverso), y se ejemplifican, tanto con grupos de transformaciones (por ejemplo, el "gru po del triángulo", en el conocido manual de Alexan— drov (15) o el "grupo del rectángulo" en Birkhoff- MacLane) como con grupos abstractos. En efecto: se dice, por ejemplo, que en la composición de aplica— cienes se dan reglas de composición interna (del tipo T ./T. = T, ) ; se establecen; el isomorfismo entre J

1

K

ambos conceptos de grupo (teorema de Cayley: todo — grupo es isomorfo a un grupo de sustituciones). Y las "tablas de Cayley", en las que se representan tan to "grupos de trasformaciones" como "grupos abstractos", consuman esta nivelación: Las fronteras entre los dos contextos del grupo se borran, se confunden "objetivamente" en el diagrama (no se trata de una confusión subjetiva o mental). De este modo, habría mos regresado a un concepto genérico del grupo que cubre sus dos versiones o contextos y cuya más es- tricta representación se nos daría en las tablas de Cayley. Así, en particular, el llamado "grupo de — Klein" tiene como términos tanto un grupo de trans-formaciones del cuadrado, como un grupo de adición, o el "grupo de Piaget". Pero las cuestiones filosóficas comienzan en el momento de pasar de este concepto genérico dé gru

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po (las tablas) a sus especies, en el momento del progressus. Descubrimos entonces que, la genericidad ti£ ne lugar por la mediación de una especie, a saber: el grupo conjuntual, constituido por los propios signos tipográficos de una tabla de Cayley, por respecto a la operación "cruce" (o intersección) de filas y columnas. Resulta que es una especie (grupo conjuntual) aquello que está ejerciendo las funciones genéricas - a la manera como es una especie de cultura la que ejerce las funciones de "civilización universal" (16). En n ú e s — tro caso, esta relación debería ser explicada considerando a la especie como situada en un plano oblicuo (simbólico) respecto de los otros contextos.

—

Pero al desarrollar, en el progessus, esta especie genérica (tipográfica) , al desarrollarla semánti_ camente (semántica; al aplicar la forma tipográfica po niéndola en correspondencia con una materia) la sintaxis misma cambia. Porque el operador de tabla "*" (el que hemos llamado operador "cruce") unas veces hay que interpretarlo como término y otras veces como operador. La forma es, pues, la forma de los signos tipo gráficos más *, y esto es la condición de su generic_i dad. "Formalmente" (suppositio materialls) T./T. = T, J

2.

K

corresponde punto a punto a la fórmula a*b = c (T. corresponde a "a", "*" corresponde a "/"; T. corresponde a "b"; T, corresponde a " c " ) . Esta correspondencia, de momento, sólo se da en la operación tabular "cruce", que puede considerarse como sintáctica en su plano. Ahora bien, la interpretación semántica respecto de es. ta formalidad sintáctico-tabular puede ser: a) Tanto una interpretación externa (a la tabla de a, b, *, c en un campo material (tal como: a = sólido poliédrico).

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b) Tanto una interpretación interna de "/" en donde iri ternamente, en T./T. = T, es preciso suponer una ex tensión x, y, z... "arrastrada" por T., T.: xT.y/yT.w = xT,w Es en el momento de introducir las interpretaciones semánticas (por respecto de la sintaxis tabular; semántica de "/" como producto relativo) cuando cambia la sintaxis de las propias tablas de Cayley. Desde la perspectiva conjuntual, en efecto, el grupo aparece co mo una estructura dotada de una operación (que se apl_i ca a un conjunto de elementos o términos, entre los — cuales debe figurar uno neutro y otro inverso); desde la perspectiva relacional el grupo aparece como una e£ tructura dotada de múltiples operaciones (transforma— cienes) aplicadas a un cierto material (constituido — por un conjunto de términds) y estas operaciones son las que figuran como términos del grupo. Es decir, e£ tas operaciones entre sí - con su operación idéntica o inversa, y su cierre - son las que desempeñan el papel q¡ue a los términos entre sx corresponden en el grupo conjuntual. Podría intentarse estrechar las distan- cias entre ambas perspectivas del grupo considerando las múltiples operaciones de un grupo determinado,-el grupo del rectángulo,por ejemplo7 como una misma oper£ ción aplicada a situaciones diferentes - a la manera como también la adición se aplica a términos cada vez diferentes, salvo que cada aplicación se estimase como una transformación diferente. Pero esta aproximación se basaría en una utilización de un concepto dé operación puramente genérico. En rigor, aunque se asimilen las operaciones "rotaciones" o "giros" del rectángulo, admitiendo este paralelismo (girar 90° o 180° es la — misma operación, como sumar 90 o 180 a una cantidad da. da k y restar es la operación inversa) en cambio, la -

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operación "reflexionar sobre un "eje" es ya evidentemente otro tipo de operación, sin perjuicio de que — pueda "engranar" con las primeras. Siendo, pues, tan diversa la estructura s i n — táctica de ambas perspectivas del grupo ¿en qué estri^ ba la unidad genérica del concepto del grupo?. ¿En la representabilidad de ambas en tablas de Cayley?. ¿Re£ lizarían estas tipográficamente una especie del género "grupo", a saber, el conjuntuál. Según esto, pare ce que podía decirse que el concepto genérico de grupo logra una genericidad puramente confusiva (compara^ ble a la genericidad del concepto de cantidad respecto de sus especies "discreta y continua"; o a la del concepto de magnitud microfísica, respecto de sus especies "corpúsculo y onda"; o la genericidad del concepto de Lenguaje respecto de sus especies, los l e n — guajes nacionales; o la genericidad del concepto de sistema numérico, en tanto solamente puede ser expue£ to desde sus especies: octal, decimal, etc). O, acaso, que estamos simplemente ante una representación tabular, que debiera ser descompuesta al ser desarrollada semánticamente. ¿Qué quiere decir entonces el isomorfismo que establece el teorema de Cayley?.

Las dos perspectivas, relacional y conjuntuál, en las que se nos presenta el "concepto de grupo" podían ser interpretadas en los términos siguientes - (llamaremos G. al concepto relaciondl de grupo; llam£ remos G» al concepto de grupo tal como se nos da en la notación conjuntuál). Supuestas las implicaciones consabidas entre relaciones (que implican clases de términos)y conjuntos (que implican relaciones), entre los dos conceptos G^ y G mediaría tan sólo una dive£ sidad de perspectiva. La notación relacional formula ría la estructura del grupo desde la perspectiva de -

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sus términos (en cuanto están dados siempre en una red de relaciones). La situación, al parecer, no tendría más alcance que el de la posibilidad de describir una cuadrícula de dos modos: o como un conjunto de rectas que se cortan (perspectiva relacional) o como un conjunto de puntos que están unidos por rectas (perspecti^ va conjuntual). Se trataría de una situación de d u a — lidad, como l^s de la Geometría proyectiva. He aquí las dos formulaciones:

Concepto G- (relacional) (dados T., T., T y operación "/" sobre un campo de términos S) (1) T^/T^ = T^ (2) Tj^/I = l/\ = \ (3) Tj^/T-l = T - V T , ^ = I

Concepto G» (conjuntual) (Dado S, y, en él, a, b, c... y operación * ) .

(1) (Va) (Vb) (Ja*b)a*JD

é

(2) (Vx) (ie) x*e = e*x = x (3) (Va) Qa")

a*a' = a'*a = e

Si comparamos las fórmulas de ambas columnas (abstrayendo cuantificadores en G2) recibimos la impre sión de que estamos ante una misma estructura. Esta impresión se refuerza por el isomorfismo ordinariamente establecido entre los grupos de transformaciones y los grupos de sustituciones (Alexandrov remite el isomorfismo a las tablas de adición; en realidad, esta — "adición" es la operación que nosotros llamamos " c r u — ce").. Cada una de estas perspectivas (podría pensarse) interpretadas desde el esquema de la dualidad, se aplicaría preferencialmente a situaciones que difieren por la materia, a la manera como la dualidad entre re£ tas y puntos se aplica mejor en forma relacional a una tela de araña y en forma corijuntual a las constelaciones atronómicas; o, más simplemente: respectivamente a un dibujo que tenga las líneas con trazo continuo, —

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respecto de otro que las tenga con trazo cortado,

La perspectiva G se apli^ caria preferentemente en el caso de grupos como el del rectángulo: ^1= i , s , t , r

A

t trsr

B S

•

C

La perspectiva G^ se aplicaría preferente— mente en el caso de — grupos tipográficos ta les como el grupo [P (E), (/\] para E= a,b : P(E) =

=\[0\ ¡a¡, [b}, EJ.

D

Aquí, i, s, t, r, aparecen como transformado— nes, no como elementos. No obstante lo cual, al exponer el concepto de —' "grupo abstracto" Birr- — khooff-McLane (op. cit. pág. 143) utilizan las — transformaciones del cuadrado.

Aquí, 0 a , b, E son términos o conjuntos y /\ es la operación.

Se confirmaría esta substancial identidad de G, y G„ por su proyección en las tablas de Cayley, que resultan, en este caso, ser isomorfas, representando un grupo de Klein. En estas talbas se nos sugiere que procedamos con una ley de composición interna binaria: la operación "cruce":

*

1

r

s

t

á

0

a

b

E

i

i

r

s

t

0

0

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b

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0

"—••—• — — ' -

s • • • *

• • - . — •

r i

.

i 1

• I

—

—

I II

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Ambas tablas tienen la misma disposición, en cuanto a la colocación relativa de sus respectivos sím bolos. Varían como dos juegos de ajedrez de madera o de marfil, o incluso con figuras distintas, pero regidas posicionalmente por las mismas relaciones. Incluso podíamos tomar una misma tabla de Cayley, alternati^ vamente, en sus dos interpretaciones: una relacional, interpretando como transformaciones todas las cabece— ras, y la operación del ángulo como composición de ope raciones: los cuadros incluso podrían interpretarse co^ mo operaciones con términos, si bien habría de tenerse en cuenta que, cuando se interpretan los cuadros como operaciones, no se las puede en rigor representar formalmente, puesto que ellas son letras. Para que las ca. beceras representen operaciones internamente (es decir, en el funcionamiento mismo de la tabla, sin interpreta^ clones semánticas extrínsecas) debe suponerse que hay una materia (término) en el ángulo, un parámetro. Eri la cilternativa conjuntual, interpretaríamos las cabeceras como términos, y las casillas o cuadros también como términos.

Ahora bien: la uniformidad "dual" de G^ y G_ no es tan profunda y literal como parecen sugerir esas correspondencias e isomorfismos. En realidad, se trata de una uniformidad supuesta (sugerida por la analogía con la dualidad geométrica), no probada. Una uniformidad que operatoriamente se reduce, en la tabla de Cayley, a la uniformidad (oblicua) de la operación "cruce" entre grupos de Klein a nivel de tablas de Cay ley. Pero el isomorfismo entre dos grupos de trans- formaciones entre sí, o entre dos grupos abstractos — entre sí, no es de la misma naturaleza que el isomor— fismo entre un grupo de transformaciones y entre u n o — abstracto. Ocurre que el isomorfismo entre los tipos de grupos se define según uno de tales modos y se e x —

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tiende después a los demás: 1) Si la dualidad fuese tan puntual como se presume, deberían darse correspondencias que no se dan. En G w que comienza por introducir T., T., T ... deb£ ría. darse explícito el campo S, el cual no necesita estar presente para que la tabla funcione (aun— que sí hay que introducirlo en la interpretación s£ mántica, aplicada al grupo del rectángulo de n ú e s — tro ejemplo). Además, los T., son operaciones más que relaciones.- En G„, que introduce S y a, b, - c ..., deberían presentarse las relaciones, mien- tras que sólo se presenta la operación. 2) El funcionamiento de la tabla de Cayley, incluso — ateniéndonos a los mismos grupos de Klein, es total^ mente distinto según los casos. El operador * en Gfunciona distinto del operador A en G^ (en el ejemplo de referencia). Sólo funcionan igual cuando se utilizan como símbolos y operadores de tabla (de — "cruce"). Ahora bien, en G- ocurre que cada letra de una fila (por ejemplo, "x") para poder cruzarse con una "t" de la columna, debe pasar por el ángulo^ debe apoyarse en el ángulo, es decir, en la materia o parámetro (por ejemplo, un rectángulo ordenado, un vector) que ocupa el lugar del ángulo, puesto — que ésta es la materia transformada y sin referen— ciaa' ella no tiene sentido la operación, en cuanto discrimina G. de G-. En cambio, en G„, un término cualquiera - "b" por ejemplo - se compone con E por medio de A. El * de la tabla G^ simboliza, por tan to, al margen de la operación tabular de cruce, un rectángulo (un término), si se quiere que G^ sea — distinto de G„; en cambio, A simboliza al operador * directamente, o a otro operador cualquiera que se le ponga en correspondencia. De otro modo: el * -

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de G es operador de tabla y símbolo de campo, término; pero el A de G_ es operador de campo y operador de tabla. Por ello, G supone que "s", por - ejemplo, una vez aplicado a la materia del ángulo, que a su vez recibe la transformación E, nos remite a un término que puedo inscribir directamente en el cruce, en la figura de un rectángulo. Por esto pu£ do escribir un grupo G. don figuras o "materiales" (distintos de los símbolos de las cabeceras) rellenando sus cuadros. En el grupo de Piaget, la materia es el conjunto (P Q R), como fórmula de la "fo£ ma canónica adyuntiva" (en la cual, en las tablas de verdad, en lugar de escribir en el sector de opciones O, 1, se inscriben las propias variables pro posicionales y sus negaciones, considerando las filas de opciones como vinculadas por el conjuntor y las columnas por el alternador). En lugar de (P Q R) podemos, naturalmente, inscribir una función determinada, por ejemplo "p y q". Como transformacio nes, el grupo de Piaget utiliza las cuatro conocí— das: I (identidad), N (negación), R (reciprocidad y C (contrareciprocidad) . He aquí dos ejemplos de ta^ blas de Cayley en las cuales se ha inscrito "mate— ría" (parámetros) en el ángulo y en los cuadros (en tre los dos ejemplos insertamos una tabla de Cayley que, en realidad, desempeña las funciones de una — "metatabla" por respecto de las tablas que la flanquean) : A G

B D i

i

r PQC

C'—D

B'—A

s

i^

t B^A D'—^^c

r s '

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*

I

N

R

C

pvq

I

N

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C

I

I

N

R

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I

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N

I

C

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N

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R

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I

N

R

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C

C

R

N

I

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p4q

pvq

Podría pensarse que la diferencia entre G. y G^ estriba en la Ontología de los respectivos supues— tos camposi semánticos. Podría estimarse como signifi^ cativa la circunstancia de que el grupo del rectángulo implica aquello que, en términos escolásticos, se llamaría el ubi (en cuanto contradistinto del situs). Las transformaciones-términos, corresponderían al s i tus. Y como estas transformaciones son sucesivas, cabría suponer que los grupos G. corresponden a campos de términos incompatibles en la simultaneidad, mien- tras que los G^ se aplicarían a campos de términos que pueden darse simultáneamente. Sin embargo, esta cond_i ción no parece verificarse en el caso de la tabla de Piaget, en la cual la.; incompatibilidad entre sus cuadros no es mayor que la que puede tener lugar en ejemplos de G^. En realidad, la diferencia entre G.. y G„ es — más bien sintáctica (y la sintaxis no es sino una reía ción entre contenidos semánticos) aún cuando esta dife rencia sintáctica se manifiesta en las propias inter— pretaciones semánticas de las tablas de Cayley. Se — nos ofrece aquí un interesante lugar de exploración de las relaciones entre "sintaxis" y "semántica" - y, al parecer, lo que habría que concluir es que "sintaxis" no nos remite a ningún orden formal obtenido por "desconexión de toda semántica". El orden sintáctico, diríamos, se alcanza mediante una desconexión semántica.

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pero no total o indeterminada, sino por la desconexión semántica respecto de una materia determinada (17). Se gún esto, lo que llamamos orden sintáctico, en cuanto orden común a diferentes materias, no es tanto un o r — den formal o absoluto, cuanto una materia respecto de otras materias (a las cuales se vincula oblicuamente, por "contigüidad", a través de autologismos específi— eos). Y cuando la materia sintáctica es la propia tipografía (como ocurre con las tablas de Gayley), tipografía que mantiene relaciones oblicuas con terceros campos materiales, entonces las interpretaciones semán ticas diversas de la misma forma tipográfica pueden — llevar a mudar las relaciones sintácticas. Una mudanza interna, relativa, es decir, referente a las r e í a — clones sintácticas entre los símbolos del ángulo de la tabla y los símbolos de sus cabeceras. Unas veces, el símbolo del ángulo es operador, frente al de las cabeceras, que funciona como téirmino, y otras veces ocurre al revés; parece que esta mudanza debe llamarse sintᣠtica. Se trata de un proceso dialéctico. Una tabla de Cayley general (donde A, B, C, D simbolizan obs) po dría pasar por la tabla genérica (sintáctica) cuyas e£ pecies (semánticas; interpretaciones, como las reglas de ajedrez en piezas de madera y de metal) fueran G. y G„. Pero no es así, porque la tabla es de tipo G^. La verdadera diferencia entre los conceptos G. y G„ de grupo la trazaríamos de la siguiente manera: El concepto G. del grupo de transformaciones se configura a partir de una operación monaria (disimulada o enmascarada en las tablas de Cayley por la naturaleza binaria de la operación "cruce tabular") mientras que el concepto G^ de grupo se configura a partir de o p e — raciones binarias. En G^ hay múltiples operaciones m£ narias (por lo menos dos, desdoblada una en su autoinversa: I, F, F-1) que, en las tablas de Cayley, se co-

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rresponden a los términos del conjunto (un conjunto que se dS a otro nivel). En G_, encontramos una sola opera ción binaria (y, en cambio, deben figurar diversos elementos: por lo menos el neutro y el inverso). Las t a — blas de Cayley que utilizan operaciones binarias representan al concepto G^ del grupo desde su propia "espe— cié". La interpretación de estas tablas en términos de G. no se reduce meramente a la aplicación de la tabla a una materia semántica cualquiera, sino tal que en - ella se den operaciones monarias. Esta circunstancia nos remite a un problema que suele darse por resuelto, acaso porque ni siquiera se plantea: ¿Por queé, o en — qué términos se establecen los isomorfismos entre gru-pos tan diferentes? ¿Tiene siquiera mentido este isomo£ fismo cuando no pasa por el intermedio de la tabla de Cayley?. Y si debe pasar por ella ¿qué alcance puede atribuirsele al mismo concepto de grupo como concepto genérico?. La tabla de Cayley tiene (sugerimos) diferente estructura sintáctica cuando se interpreta como tabla desde la perspectiva G. del grupo y como tabla desde la perspectiva G». En las tablas G-, aparece un término en el ángulo y dos transforihaciones combinadas en las cabeceras (una en una fila y la otra en una columna); la operación tabular ("crucé") se coordina aquí con la operación "producto de transformaciones" (como producto relativo). En las tablas G„, aparecen dos términos en las cabeceras (uno en filas, otro en columnas) y una — operación en el ángulo de lá tabla. Pero lo que no debe confundirse es la composición de dos transformado— nes uniádicas (G.) con una operación diádica (G ) . La tabla de Cayley enmascara esa diferencia. En las biádi^ cas (tipo G_) las cabeceras figuran como términos: es el conjunto a, b, c, d, sobire el cual el grupo se constituye al introducir una operación con elemento neutro

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e inverso. ¡(Este elemento inverso, suele llamarse operación inversa). Pero esto sería un contagio del concepto G.. En rigor, estaríamos ante una sola opera- ción binaria (*) Se ve bien esto en el grupo de a d i — ción en Z. La operación es "+" no es "+" y "-". Por ejemplo: [3+(-4)]. Por ello, el tipo G» define al gru po como conjunto dotado de una operación binaria (no de dos, una directa y otra inversa, que es la confu- sión en que cae Piaget). De aquí, tan distinta noción de grupo a aquella G en la que figuran varias t r a n s — formaciones (P Q R S ) , que se componen entre sí por — productos relativos. Cierto que podíamos tomar (P, Q, R, S) como elementos de una clase; pero entonces estaríamos justamente en un plano puramente algebraico, el de las tablas de Cayley. En G., en tanto es monario, se precisan varias transformaciones, para que se compongan y cierren e n — tre sí; en G„, basta una transformación, con múltiples elementos. Se comprueba el criterio recién expuesto con ejemplos antes analizados. Los grupos que se acogen al tipo G- proceden con transformaciones uniádicas: las transformaciones del rectángulo, que, como los grupos de sustituciones, incluyen una transformación uniádica (o varias); las transformaciones del grupo de Piaget que están determinadas por el negador preposicional, que es monádico como funtor, aunque se reitera de d i — versas maneras (dando lugar a las transformaciones N, R, C ) . Los grupos que se acogen a la perspectiva G„ trabajan con operaciones diádicas. Un caso particular es aquel en el que los elementos del grupo de Cayley son ellos mismos transforma_ clones. La tabla de Cayley aparece como "metatabla" -

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de tablas G-. Tal sería el caso de la tabla del grupo de Piaget escrito en forma de letras únicas I, N, R, C. Cada cuadro contiene una de estas letras, y para que la tabla represente un grupo de Piaget (y no sólo una iconografía del grupo de Klein) deben entenderse los cuadros como transformaciones. Pero esto significa — que las casillas figuran como "incompletas", como indi^ cación del camino a seguir los términos. Por consi- guíente el * significará ahora, no una sola materia — del ángulo, sino todos los elementos de una determinada clase (p vq), (p q ) , (p v q v r) etc., es decir, cada uno de ellos. Por consiguiente, esta tabla operacional es una metatabla de todas las tablas de tipo G. como las que aparecían en el ejemplo anterior (n° 2). Este es el caso también de los grupos de permutaciones. Las tablas de Cayley y estos grupos serían en rigor me tatablas de tablas de grupos de tipo 1. Sea un grupo (subgrupo de un grupo de 4i = 24 permutaciones) de cua^ tro permutaciones de rango n = 4:(M^, M j , M^, M . ) , en el cual están definidas las siguientes transformacio— nes: T = (M-, M»/ M^, M,) - tomamos a T como un vector "parámetro", que inscribiremos en el ángulo de la t a — bla; F = (M3, M^, M^, M2); G = (M^, M3, M^, M^); Q = (FxG = GxP = (M2/ M^, M., M^). Este grupo es autoin— verso (FxF = I etc). Podemos escribir su tabla de Cay ley de este modo *

I

F

G

Q

I

I

F

G

Q

F

F

I

Q

G

G

G

Q

I

F

Q

Q

G

F

I

Esta tabla, en tanto I, F, G, Q no se interpre

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ten como transformaciones (permutaciones) de una materia dada en el ángulo, es sólo una tabla de Cayley indeterminada. Pero si estas letras son símbolos de per mutaciones (para lo cual hay que poner una materia en el ángulo) la tabla de este subgrupo tendrá esta formu la (que define las leyes del parentesco Kariera (18)). ¿Qué puede significar, en resolución, el i s o — morfismo entre grupos de diferentes especies sintácticas? Isomorfismo, no sólo en el plano global del c o n — cepto de grupo, sino en el plano determinado de cier-tos tipos de grupos, (por ejemplo, los de Klein) CU.ÍIO los tres siguientes: Grupo del rectángulo B

Tabla de Cayley del Gr. del R.

¥r

i

r

s

t

i

r s t

Grupo del simplejo

Tabla del grupo del siitplejo A

P(E), para E={a,b}

0

a

b

E

0 a b E

Grupo de los Racionales Q e:x *-^x; f:x *-*-x

Tabla del grupo Q ^ e f g h _ _

g:x H^a/x; h:x

t-^-l/x

_

h

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Estos tres grupos son isomorfos. La tabla representa este isomorfismo. Algebraicamente podemos e£ tablecer las siguientes biyecciones: iv* eH> 0; s»-^ gt-» {b} rl-> fH> {a}; ti-» h r*> E

r*s=t; f*g=h; {a}A{b}=E tr-»^ h.-»- E, etc.

Pera estos grupos pertenecen unos al contexto G. y otros al G». ¿Qué alcance hay que atribuir al iso morfismo [híx.AX^)] = [h(x^)*'h(X2)]• ¿Habrá que pen— sar en unas estructuras ontólógicas - desde el rectángulo hasta la sociedad kariera - organizadas según los grupos de Klein?. ¿Cómo pueden ser pensadas estas e s — tructuras que cubren tanto a grupos monarios G^ como binarios G„? Acaso remitiéndonos a una estructura dada en un proceso temporal "sintagmático" - y este o r — den es el que se reflejaría en las tablas de Cayley, pese a su apariencia estática. ES ésta su apariencia estática/ las tablas de Cayley representarían sólo gru pos binarios. Sólo entendiéndolos como símbolos proce suales podrían ser cubiertos ambos tipos de grupos, — aunque unos a través de otros. Los diagramas de Euler sugieren que el isomorfismo aparece por la semejanza en la disposición relativa entre T./T.=T, respecto de T /T =T y la disposición de y^ * yj = Yo respecto de Ye *' y^ = y^. La correspondencia del isomorfismo se establecería entre transformaciones del rentángulo, — por ejemplo (T., T., ...) y términos de P(E). No aparecería el isomorfismo a nivel elemental de cada opera, ción, sino en la complejidad (por reflexión) de las — operaciones de cada región respecto de las de otra (19). 8.- El interés de la correspondencia entire la acepciones del grupo (su sentido conjuntal y su sentido relacio-nal) y la distinción entre procedimientos I y II, resi_ de adicionalmente en que ambas distinciones están reía

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Clonadas con el concepto de cierre categorial. En — cuanto a la distinción gnoseológica, parece que la di^ ferencia de procedimientos es meramente una diferen— cia de perspectiva, como ocurre con los grupos. Ahora bien siempre podemos plantear la siguiente; cues-tión: ¿ ¿Es cerrado el grupo de transformaciones (en su perspectiva conjuntual) porque sus resultados se mantienen dentro de S, o se mantienen dentro de S po£ que el grupo es cerrado (desde la perspectiva relacio nal)?. La perspectiva G parece favorecer la primera alternativa. La perspectiva G-, la segunda. En la - perspectiva G- parece que comenzamos por definir S, de un modo enumerativo. En G- parece que comenzamos por definir T-, T^, T^, .... T . En G- parece que el cierre se apoya en la unidad de S; en G- parece que el cierre se apoya en la unidad del conjunto T. En un caso, parece que S precede a *; en otro, T precede a S. La adición aritmética es una operación cerrada en el conjunto N = O, 1, 2, 3,...n. Pero como el conjun^ to N es recurrente, la presgunta queda planteada así: ¿Es cerrada la adición porque sus resultados pertenecen a N, o estos resultados pertenecen a N porque - precisamente brotan de la adición?. (Adviértase que la adición es una regla o algoritmo, dada, por ejem— pío, en el sistema decimal. Consideramos aquí la adición en su redución sintáctica, en cuanto algoritmo consistente en una cierta composición de dígitos). En el grupo de transformaciones del cuadrado, entendido desde G-, la cuestión se plantea de este modo: ¿Hay cierre porque las transformaciones se mantienen en S (por ejemplo, el lugar, en el sentido aristotélico, ocupado por el cuadrado), o se mantienen en S en virtud de las transformaciones cerradas)i.Evidentemente, hemos eliminado aquellas transformaciones que obligan a disponer al cuadrado "fuera del lugar" paramétrico. En el caso del cuadrado existen, en efecto, puntos in

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variantes sustancialmente, no ya sólo esencialmente (el centro, en las rotaciones; los ejes, en las refle xiones). Pero cuando hablamos de transformación idéntica, la identidad parece fundarse, en todo caso, en la materia estética, en que es "el mismo cuadrado en su posición de partida". Nos limitaremos aquí a suponer que un cierre tiene lugar en un proceso tal que ni es sólo relacional, ni es sólo objetual. La transformación de a*b en c, genera "c", pero no ex nihilo, sino de un campo global presupuesto. Un campo o totalidad material en la que hay que suponer un tejido de relaciones abiertas. Según esto, que un término "c" haya sido generado por a, b, cuando mantiene con -iellos ciertas relaciones, nos indicará que es interno al proceso. Pero como la relación está vinculada a la operación, diremos, por ejemplo, que el termino "c" mantiene relación con el "a" y el "b" en el sentido en el que a y b las mantienen entre sí. Naturalmente estas relaciones son múltiples y las que interesan — son aquéllas que resulten ser pertinentes por respecto de las operaciones. Por ello, la propiedad más importante del cierre es la "recombinabilidad" de "c" con "a" o (con "b") para generar un "d"; y, por tanto, la "segregabilidad" de c respecto de a y b. Ni siquie ra la aplicación de a € S y b 6 S a u n c 6 . S s e move-ría en un campo presupuesto tan "perfecto" o terminado como sugieren los símbolos algebraicos. En un grupo de sustituciones, cada sustitución pertenece ciertamente al campo porque consta de sus mismas letras o símbolos; pero esta identidad se está estableciendo en cada sustitución, en la medida en que un símbolo, al cambiar de lugar, sigue considerándose como el mi£ mo símbolo, segregándose, por tanto, de su lugar anterior. Adviértase que la fuerza de este argumento es muy grande. Un grupo finito de sustituciones mantiene la identidad de sus términos, y esta identidad parece obvia úiiicamente porque se dan ya -

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por supuestas las condiciones en las que se realiza. Pero estas condiciones incluyen la física, química y sociología de los términos. Cuando los términos son sólidos de madera, su colocación relativa es compati-ble con su identidad (dentro de los márgenes diacríticos) . Pero si son electroimanes o personas, ya no serán indiferentes a los términos cada una de las permutaciones del grupo (no es igual, en el grupo de sustituciones de los 12 Apóstoles, que Juan se sienta a la derecha o la izquierda de Jesús). Cuando no cambian los términos en el grupo de sustituciones, el mantenimiento, cada vez, de la identidad de estos términos ha_ brá que verlo, no como algo que esté dado, sino como algo que está haciéndose, no un érgon sino una energía. En el caso del grupo del rectángulo: cada situs del — rectángulo nos parece que está ya determinado, porque suponemos al rectángulo dado de antemano. Pero el re£ tángulo no está nunca dado al margen de algún situs. Objetivamente, es el conjunto alternativo de sus situs - aunque subjetivamente tomemos una posición como la normal o paramétrica (eliminando, de paso, la diferencia entre el amverso y el reverso). Según esto, cada situs no reproduce un estado preexistente, sino que d£ sarrolla el propio rentángulo; y cuando un situs se — asimila a otro anterior, es en virtud de autologismos que ordinariamente pasan desapercibidos (se trata de una disposición similar a la del "reloj mental" de - Wittgestein). En conclusión, la alternativa "concep— ción operatoria del cierre" (operación interna) o "cori cepcion conjuntual", sería artificiosa, porque los tér minos de la alternativa son utópicos: la concepción — operativa incluya ya términos del campo material, que "remodela" (pero que están ya envolviendo a los primitivos) ; la concepción conjuntual incluye ya las operaciones en el supuesto "conjunto S previo". La inter— nidad de un campo categorial podría hacerse consistir.

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según esto, en la dialéctica de un proceso en virtud del cual a partir de unos términos "primitivos" (dados, en rigor, ihinedias res) y mediante unas operaciones, somos remitidos a otros términos que, manteniendo reía cienes dadas, resultan ser recombinables con los primi^ tivos. De este modo, el campo categorial no brota a partir de un término originario (la unidad pitagórica) que va generando a los posteriores. Estos están ya da_ dos de algún modo, materialmente. Las operaciones los moldean o reconstruyen a partir de algunos considera— dos como factores. La dialéctica del proceso aparece aquí en el momento en que los propios términos primiti^ vos resultan ser reconstruibles a partir de los que — ellos generaron - y esta circularidad no debe confun— dirse con la reversibilidad de la operación, puesto — que a veces la reaparición o reconstrucción de los té£ minos primitivos no tiene lugar por medio de operaciones inversas, sino por vía involutiva, o por cualquier otra vía. Una función periódica, de período n se define Ef (x) = f(x)- Por ejemplo: E senoc = sen x para n = 2ir - supuesto que Ef(x) sea igual a f(x+n). Nos limitaremos aquí a suponer, por tanto, que el cierre del grupo de transformaciones no puede hacer se consistir ni en S solamente ni en T solamente - sino en S^ en tanto que operando por T (especialmente - cuando S es recurrente en razón de T) o por T en cuanto supone un material estético (o unos parámetros). Lo primero es evidente: es preciso dar S y una regla de transformación (por ejemplo, el algoritmo de la numeración decimal, en la suma). Una tabla de Cayley r£ presentará a un grupo porque ella misma es un grupo -conjuntual: los símbolos T., 1! , T, , son ahora sus el£ mentos y la operación es propiamente el cruce o intersección. Por consiguiente, la propia tabla de Cayley, que parecía haberse desprendido de todo residuo conjun

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tual, eni'.rigor lo reintroduce en su propia iconografía. Por este motivo, es una apariencia pensar que la unidad de S és extrínseca al cierre operatorio. E£ te supone una regla de composición que debe poder ser soportada por los términos de S» Así, en el grupo de la adición, la regla sería, en el sistema decimal, lá composición de dígitos según un orden. Evidentemente, si suponemos que la adición es cerrada, es porque sus resultados siempre pertenecen a N, pero N no preexiste a la adición aunque, eso sí, cabe dar una definición intensional: "N es toda variación de dígitos con repetición" . Y a N pertenecen tanto esos dígitos (que vie nen a corresponder al conjunto base X de las Topólo- gías) cuanto sus variaciones. N está definido como — "cualquiera de las variaciones de dígitos con repetí— ción" y esta definición parece anterior a la adición; sin embargo, la adición es generadora de eada una de esas variaciones - salvo él cero y el uñO| que no pueden ser generados por la adición. (El cero no es gene rado, ni por sf sólo es generador; el 1 no es generado^ pero es generador). Según esto, la adición es cerrada, porque se resuelve siempre en N, pero N no es el resul^ tado de la adición (O y 1 deben ser dados). En realidad, h^y que considerar varias reglas combinadas: la regla del orden de los dígitos, la regla de la v a r i a — ción con repetición, la regla del algoritmo de la adición.

En estos ejemplos (de algoritmos con términos discretos, finitos) poseemos una definición previa de X o de S y, sobre ellas, establecemos las reglas de la composición. Pero también puede ocurrir que in medias res nos encontremos en un conjunto de configuraciones, con una regla de composición: desconocemos, en principio, los términos elementales. En este caso, el c i é —

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rre está determinado por las propias operaciones, que en unos momentos dados dejan de ser aplicables. La operación "dividir por 2" se considera infinitamente reiterable en Geometría^pero no en Química: la dicotomía reiterada en una sutancia homogénea tiene como un límite las moléculas y por debajo de este límite ya no cabe ulterior división (ya no cabe hablar de -grupo cerrado). El cierre de la que Química clásica podría asimilarse a este modelo. En ella se parte de una cierta escala de configuraciones (aire, azufre, — agua...) y de unas operaciones más o menos definidas (aproximación de estas sustancias, calentamiento^etc). El resultado de estas operaciones son otras sustan- cias que, a su vez, vuelven a componerse con unas te£ ceras: en este proceso de combinación y descomposi- ción aparece la tabla de los elementos. Y estos lími^ tes del cierre químico clásico se traspasan cuando, aplicando otros operadores (por ejemplo los c a m p o s — eléctricos), los elementos químicamente simples manifiestan ser complejos (descubrimiento de los isótopos). Es el propio desarrollo del cierre interno aquel que generará el "corte epistemológico" con la Eísica. No es correcto preguntarse por la unidad de T^, T-, T, (aproximaciones de sustancias, calentamientos) al mar gen de la materia de las configuraciones, ni tampoco por la homogeneidad de esas configuraciones al margen de las operaciones. Simplemente ocurre que éstas no son exteriores a aquéllas,puesto que son reglas para construir configuraciones^ y éstas deben de ser com- puestas. í'or tanto, la presencia de una operación ya es indicio de una unidad interna entre ciertas configuraciones y éstas deben de ser compuestas. Por tanto, la presencia de una operación ya es indicio de — una unidad interna entre ciertas configuraciones - aunque lá fórmula de esta unidad no esté explíci- ta - y su recurrencia pueden ser capaz de generar esa unidad.

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Diríamos, pues, que nos encontramos en la situación de un cierre categorial cuando, in medias res, operamos entre pluralidades de términos y configuracio ñes (células, aminoácidos, tejidos en Biología; elemen tos químicos diversos, moléculas en Química) tales que, entre ellos, hay relaciones y operaciones (por ejemplo la reproducción en Biología, la reducción en Química) tales que nos permitan circular entre los términos del campo, de suerte que unos no remitan a otros. En principio, el único criterio de unidad interna ha de ser precisamente esa referencia mutua, que no puede confun dirse con la reversibilidad de las operaciones (que es sólo un caso particular) porque, a veces, se logra con operaciones irreversibles, por ejemplo, con una operación cíclica no reversible. Los términos se definen en contextos operató— riosyrelácionales y, por si, nada significan. ¿Qué significa y - a fuera del contexto operatorio en el que aparece?. Decir que un número complejo es "un par ordenado de números" no es nada, salvo un aspecto abs- tracto; porque es preciso referirse a las operaciones y relaciones de suma e igualdad que definen una magnitud. La idea de elemento, que es un caso particular de término, supone, por ejemplo, primero que los térmi^ nos son finitos: A, B, C ... N ; segundo que se compo nen entre sí: A*B, A*C; tercero que se componen consigo mismos; A*A = 2A (caso particular, la idempotencia (20)). 9.- Lo verdaderamente esencial en el concepto de cierre — categorial es esto: que sobre un campio material X presupuesto las configuraciones [X ] a una escala de — términos del campo formal sean tales que, por respecto de las operaciones, los términos "arrojados" por ellas sean susceptibles de ser reanalizados en términos de X:

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sea porque el término se considera él mismo uno de los términos de X, sea porque el análisis nos remite a los factores (operaciones reversibles) sea porque sencilla, mente se deja analizar en términos del campo formal. (Si la operación 4+3=7 pertenece al cierre aritmético, no es sólo porque 7 se deje analizar en 4 y 3 sino — también en 6 y l^etc) . 10.- Las configuraciones de la Topología- tienen un momento semántico fisicalista, por cuanto sus referencias son los signos concretos (signos mención), las mancas de tinta sin las cuales no hay Topología. Además, tienen un momento fenoménico, en cuanto constan de rasgos pe£ tinentes y diacríticos ofrecidos como estímulo a otros sujetos, y tienen un aspecto esencial en cuanto incluyen un signo patrón (signo paradigma o esencia). En este contexto, conviene recordar hasta qué punto la si^ tuación platónica de las "esencias ante los indivi- —'• dúos" se reproduce en los términos del Algebra: cada mención de una letra (por ejemplo la "b") participa de un signo patrón; entre una b y otra b media una tercera común (b) que, a su vez, tiene común con cada una otra "b" (problemas del "tercer hombre"). Pero la determinación fenoménica puede naturalmente afectar de distintas maneras a las configuraciones. Por de pronto, como configuraciones aún no analizadas. La más im presionante y peculiar, en nuestro caso, es la que se refiere a los signos simples 0, 1. Estos signos, en cuanto acumulados a los restantes a, b, c, d, son (como fenómenos) unos símbolos más, y así se les suele — presentar. Son simplemente elementos del conjunto X, definido precisamente así: x= {a, b, c... 1}. En e s — tas definiciones axiomáticas, 0 y 1 son presentados co mo anterioridad a la introducción de las operaciones () Y V Y relación O • Pero, en realidad, 0 y X sólo f £ — noménicamente son signos del mismo orden de los a n t e —

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riores (manchas identificables y discriminables por su figura gestáltica). Deben aparecer, cierto, a ese nivel fenoménico pero esencialmente son algo muy distinto, como se demuestra por la circunstancia que, en rigor ni 0 ni X pueden cobrar su significado topológico previamente a la definición de las operaciones H V U • Esencialmente, estos símbolos simples presuponen ya — otros a, b,,,,,,; porquero bien designan a su conjunto X^o bien designan a su exterioridad en el contexto de la intersección, 0 = af\h. kn efecto^ interpretar a 0 como la "clase vacía", al margen de X, es pura metafísica (0 sería la "nada"). Topológicamente, 0 es la no intersección, la diversidad de términos como intersección es decir, el no ser relativo de cada término respecto a los demás, y no la "nada": por este motivo, 0, como X, presupone estos términos y es esencialmente un término de "segundo orden", aunque fenoménicamente, -aparezca como una mancha al lado de las demás. En - -. cualquier cascólas esencias "0" y "X", ya las entendamos como términos esenciales o como operaciones, si- túan a la Topología concreta en ese plano de ideali-dad que atribuíamos a toda ciencia. Con las características anteriores se relaciona una interesante figura gnoseológica, que consideramos incluida entre las pragmáticas, un dialogismo que envuelve una contradición dialéctica realizada en el ejercicio mismo de la exposición de la Topología con— creta. Este dialogismo, y su estructura dialéctica, pasarán desapercibidos cuando no se posean los conceptos gnoseológicos adecuados. Lo formulamos de este mo do: La Topología concreta, o bien es construida se gún el modo I o según el modo II. (No conocemos ningu na otra forma de explicarla de unos sujetos a otros: -

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tanto I como II se configuran en la situación de un dialogismo). Ahora bien: cuando comenzamos por I comenzamos por introducir los símbolos 0 y X, que todavía no pueden haber sido definidos, porque no se han presentado las operaciones (en realidad habían sido ejercitados al dar el concepto de campo formal: "todo conjunto de conjuntos formados a partir de los términos de "X"; porque X está entre estos conjuntos. Más difícil resulta justificar a 0, aunque suele, sin embargo, ser presentado como "el conjunto nulo"). Y si comenzamos por II, evitando además definir 0 y X a n — tes de introducir las operaciones (), U, entonces no po dremos definir el cierre con respectó a la totalidad dad. En suma: en I logramos definir el cierre ("que las intersecciones y reuniones se den en el seno de la base") a costa de usar 0 antes de f) y f . En II definimos 0 y X a costa de no definir el cierre. Con la figura gnoseológica de la proposición nos encontramos en el momento en que interponemos una relación entre las configuraciones: 1

{a} o í a , b} o bien {a, b, c, d}. Estas operaciones tienen también fisicalista obvio, un aspecto fenoménico un aspecto esencial (0 es a rl b cuando ^ ble.

c} cr {a, b, un aspecto (0 = aflb) y no es posi—

Por otra parte, y desde sus determinaciones pragmáticas, hay en la Topología autologismos proposi^ cionales evidentes (por ejemplo los recuentos de l e — tras, las normas (las leyes de L ) . 11.- En cuanto a las "operaciones "gnoseológicas", es o b — Vio que se dan todas las figuras esenciales a nivel lógico, por ejemplo:

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{a, b} d

{a, b, c} A {a} d í a , b}

En general, conviene advertir que sin los com ponentes pragmáticos la Topología no podría ser desa— rrollada. 12.- La cuestión central, sin embargo, reside en la naturaleza del mismo cierre topológico en cuanto paradigma del cierre gnoseológico en general. En efecto: en vi£ tud de este cierre se configura la unidad de las ciencias, la mutua conexión entre múltiples términos que se componen y recomponen dentro de un mismo círculo. ^ El núcleo de la Idea gnoseológica de cierre categorial es precisamente éste: un procedimiento operatorio de "conocimiento" mediante el cual una multiplicidad de términos entré loacuales media un cierto tipo de relaciones materiales, se componen y recomponen según l í — neas que, por cerrarse desde dentro, llegan a confor— mar un círculo de materialidad, una categoría, que va apareciendo paulatinamente separada de las restantes. Se trata de analizar la Topología concreta presentada en tanto que realización de un cierre categorial que, como tal, se mantenga en el plano gnoseológico, un cié rre categorial que nos ofrezca ya que por sí la imagen de una ciencia. 13.- Estructura dual del concepto del cierre categorial. El cierre categorial alude a una unidad entre múltiples términos (configuraciones) vinculados entre sí por relaciones materiales. Las configuraciones, — por tanto, solo cobran su significado en cuanto términos de otras relaciones y recíprocamente. Por ello, en cierto modo, es posible 'y necesario situarse en la perspectiva de los términos o en la perspectiva de -las relaciones (de orden primario o secundario). La ,1

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idea de cierre categorial alude simplemente a la circusntancia en virtud de la cual un núcleo o campo de términos (configuraciones) que mantienen entre sí determinadas relaciones, constituyen un círculo opera— cional, en tanto que las operaciones entre configuraciones nos conducen a configuraciones que mantienen las relaciones materiales con las configuraciones dadas ({a,b} ^ {b,c} = {b} ) o bien, dualmente,en tanto que las operaciones entre relaciones materiales — nos conducen a otras relaciones entre configuraciones pertenecientes al círculo {a, b} c: {a, b, c} —»-{á, b} U {d} C {a, b, c} U {d}. La idea del cierre catego— rial viene aísí dada dualmente, en virtud de la misma dualidad entre configuraciones y relaciones. Por este motivó, hay que decir que, desde un punto de vista formal-siritáctico, tan primaria es la realización del cierre en el plano de las configuraciones como su — configuración en el plano de las relaciones, aún cuan do normalmente los desarrollos proposicionales del — cierre categorial son de orden n+1 respecto a los desarrollos configuracionales de orden n. Sin embargo la relación {a} = {a}-*- {a} c: {a} es un desarrollo — preposicional del cierre topológico, aunque versa so^re configuraciones de primer orden. La importancia del concepto de cierre propo— sicional reside en que, al contener estos cierres conexiones entre proposiciones (conectivas), nos permite articular inmediatamente los procesos del cierre categorial con los procesos lógico-proposicionales, que dejan de este modo de correr el peligro de ser — considerados hipostasiadamente como un orden ulterior mente acoplado a los procesos categoriales (21). Solo la apariencia del símbolo formalizado nos presenta, como esferas separadas, los símbolos del lenguaje lógico L. y los del lenguaje categorial K. El verdadero

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nexo entre el plano categorial y el lógico formal se nos revela aquí con toda precisión: la relación categorial "{a}C {a,b}" es ya, al mismo tiempo, una proposición. El concepto de "función característica" - ilustra muy bien, en el caso de las operaciones con clases, este nexo entre el plano en que se desenvuelve el plano objetual y el preposicional. Supongamos dado S= {s} y X C S . La función boolena x(X)=l^x6X es la función característica de X. Estamos distinn — guiendo así dos tipos de planos: el plano (x6X) - la pertenecía de x a X, la estructura objetual de la cía se X - y el plano (x6X)=l, en él cual "1" referido a la relacione, expresa su verdadr . preposicional cierto que mediante otra expresión con "=" cuya ver— dad, a su vez, vendría dada así: (xex) = 1 = 1 . — (Los nexos preposicionales se vinculan inmediatamente entre sí, en un orden lógico preposicional, sin el — cual la construcción científica sería imposible). Los entrelazamientos entre estos dos planos, la posibilidad de entender uno desde el otro, en el proceso, es clara. Se nos aparece muy patente esa posibilidad en la situación sencilla del grupo de Galois booleáno so bre E(0, 1) con ^. El si^no^S" es un relator booleáno (equivalencia: x S y ) ; por tanto, proposlciSnal. P£ ro en el contexto del grupo booleáno, eS un operador: Lxay = l ^ x ® y ] (operador cerrado, en cuanto nos remite a los términos 1 ó Ói Pero para considerar a "=" como operador es preciso introducir él relator "a" — que ya es proporcional y que, a su vez, se vincula — con otros, formando capas o estratos que llegaran a encubrir la construcción científica de tal modo, que nos explicamos fácilmente la probabilidad de la perspectiva proposicionalista. En esta misma línea: yo — puede definir la existencia de una aplicación I de X C S en Y e s (suponiendo que S sea igual a {S^ , S-, S-:,}, s€X; S.6Y) por la ecuación booleana:

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TV, -0 el seno del ángulo será igual al arco, y, por tanto, la razón en-tre ellos será 1. En realidad, esta demostración intuitiva es ya operatoria, por cuando incluye construcciones de S©^ ries de aireos simultáneas o sucesivas. Pero esta operatividad, aunque ya es en sí misma ge'óñiétrica, es, comparativamente, exógéna al campo geométrico, por cuánto se mantiie ne: en el plano de la manipulación del sujeto qué establece, mediante autologísmos^series de arcos y relaciones entre arcos y senos (por tanto; relaciones binarias, 'compara_ das entre áí solamente á través del s\iep)to operatorio qué las percibe, cada vez, como graduándose en una serie. Más cerrada e interna al campo geométrico (aunque desde otro punto de vista, el de Schopénhaueir^ éh el lugai: antes citado, esta prueba ser! considerada como más externa, oriehta da á la cóhvíctió) será la construcción dé esta relación apelando á la mediación de otros términos del cáñípb contéx tüál qué mantengan relációtiéá definidas cófi la ¡cónfigura-Giéh dé partida; ptír ejemplo, éh hüfestro cá's&i apelando á la tañfente del arco x. IntróaüclSndo estefíuevótérmiho, establecemos como premisa la siguiente desigualdad: {_sen x os sociales y culturales íhüy heterogéneos " él íftuslcai, ©1 arquitectónico, ei literario, el económl. eo político - a partir del cual se intentará construir -tanto la disposición de las figuras del cuadro de las JMeíiinas, como la disposición de los personajes del Quijote). El concepto de cultura de Spengler es también un concepto que reclama un similar estatuto ghoseólógico - y de ese modo explicaríamos las semejanzas que mantiene con el con. cepto de episteme de Foucault, dentro de las ciencias hi£ tóricas. Otro tanto diríamos, por último, del concepto mismo de modo de producción, característico del materia— lismo histórico, y que tantas dificultades presenta a la hora de la determinación de su estatuto epistemológico. Generalmente, el concepto de "modo de producción" suele ser entendido como un "modelo" - pero la noción de modelo se clasifica entre los modus sciendi. La cuestión gnoseológica es si efectivamente, y no sólo intencionalmente, las epistemes, las culturas o los modos de producción fun cionan, respecto de los campos históricos culturales, a -

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la manera de contextos determinantes

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§ 7 Los principios de las ciencias como métodos internos del Cierre Categorial Los principios de las ciencias se nos aparecen, por tanto, a través de los contextos determinantes. En este sentido, no hay principios exteriores a las ciencias. Los principios de una ciencia no son otra cosa sino su pro pió campo ontológico^en tanto que, por asi decir, se norma así mismo> en virtud de la propia capacidad moldeadora o constructura de sus objetos. Los principios de las cien- cias son, segfln esto, los métodos internos, objetivos de las mismas. La noción de "principio" se nos aparece, de e£ te modo, en uña perspectiva eminentemente objetiva y material. Con ésto no cjueremos ignorar la importancia gnoseoló gica de los principios auxiliares, oblicuos, de las h i p ó — tesis exteriores. Pero los principios de las ciencias s e — rían esencialmente materiales, arraigados en la materia — misma de los mismos campos gnoseológicos (por ejemplo, las constantes universales de la Física). Según esto, si hay principios es porque supone mos ya dada la ciencia en movimiento; por tanto, la c o n s — trucción cerrada, "regulándose a sí misma" según la propia estrategia (pragmática) de su movimiento. Por eso,según ya hemos dicho, el concepto gnoseológico de principio no debe confundirse con el concepto lógico formal. Las premisas — pueden ser principios, pero hay muchos principios que no son premisas. Una ciencia sin principios específicos no es propiamente una ciencia (las pruebas estadísticas de la — Psicología, por ejemplo, son pruebas epistemológicas, y, en este sentido, la Psicología estadística, se nos aparece como "Matemática aplicada"). Distinguimos los principios según que esa capacidad automodeladora, que los constituye como tales en el proceso del cierre categorial, sea ejercí

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da formalmente a partir de los términos,de las relaciones o de las operaciones. Los principios de los términos son los propios términos o configuraciones del campo catego-rial,en cuanto constitutivos de clases dentro del campo. Los principios de las relaciones son principios en cuanto presiden o modelan a otras relaciones del campo (sean relaciones del mismo orden, sean relaciones entre tipos heterogéneos dentro del propio campo). Distinguiríamos -así principios de "orden primero" (cuando las relaciones ligan a términos de una misma clase del campo) y princi— pios de "orden segundo", "tercero", etc. Seguramente, las diferencias entre "postulado" y "axioma", que son, desde luego, genuinámente gnoseológicas, pueden ponerse en c o — rrespondencia con la diferencias entre estos tipos de - principios. Sin duda es posible citar usos del concepto de "postulado" en otros contextos (como "principio de ope raciones"). Pero el "grueso" de los usos del concepto de postulado, o de axioma,vendría & corresponder con estos diversos tipos de principios. De este modo, podríamos ensayar el entender principalmente a los axiomas como los principios de relaciones que ligan los términos de un cam po en su conexión corl los términos de otra clase del mismo campo. En la axiomática géométrida de Hilbert, los llama-dos "axiomas de enlace" satisfacen precisamente éstas con dlciones, en tatito regulanj Como normas positivas, a cada término de una clase (puntos, rectas o planoa) con las de las restantes (ascioma I.l: "dóS puntos divéfsos A, B de-tí6rwinaii siérópre una ifécta ai Este ajcióitia sé esifresponde, por lo damas, por el postulado 1 de Euclideg), En la axio mátlca de Newton (si presuponemos el campo de la Física newtoniana como un conjunto de términos clasificados en tres ordenes: cuerpos, movimientos y fuerzas) acaso po- dría darse una "estricta explicación gnoseológica" del nú mero ternario de sus principios (que Newton llamó leyes) si se admitiera que cada uno de sus tres célebres p o s t u — lados establece una norma positiva que regula los térmi—

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nos de los tres órdenes, dos a dos, según representamos en el siguiente diograma: Cuerpos (L) III Postulado

I Postulado Movimientos (T) II Postulado .

Fuerzas (F) -_

Parecería mucho más obvio interpretar el postia lado I (principio de la inercia) como presidiendo a los — cuerpos; el postulado II (principio de la Dinámica) como manteniéndose en el ámbito de los movimientos, de las v a — riaciones de los movimientos; y el postulado III (princi-pio de la acción y reacción) como estableciendo la reía- cion que guardan las fuerzas entre sí. En esta interpretación, los axiomas de Newton pertenecerían al primer orden de principios. Pero, sin duda, él postulado I no se refiere sólo a los cuerpos, sino a los cuerpos en cuanto a móvi^ les (el reposo mismo es üná forma dé movimiento, en cuanto relacionado con otros movimientos equivalentes: principio de relatividad de Galileo). Y, en cambio, abstrae las fuer zas, no porque las ignore, sino porque considera nula su composición (se trata de una abátración gnoseológica, operatoria, no psicológica). El postulado II, evidentemente regula los movimientos en cuanto sometidos a fuerzas (es decir,las aceleraciones); el postulado III considera las fuerzas/no ya en cuanto se componen con otras fuerzas (incluso en Su variación relativas)^ sino en cuanto se aplican a cuerpos, componiéndose con ellos y "provocando en ellos una reación". (Podría pensarse que el Postulado II es simplemente una definición de "masa"; en realidad se trata de una relación, y una relación constante, pues este postulado no define sólo el concepto de "masa" sino de masa constante - respecto de fuerza y aceleración; de masa constante, incluso en el marco de su variación relativista. En es^ te sentido habría que considerarlo más bien como un. axio-

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ma). Saliendonos del campo de la Mecánica newtoniana, digamos que la "hipótesis de Abogadro" es un principio^ en el sentido gnoseológico, en cuanto establece la relación de coordinabilidad numérica entre los conjuntos de molécu las de los gases a igual presión y temperatura. Este prin cipio, más que fundarse en una "abstración previa" de la naturaleza química de cada gas (oxigeno, metano, etc.) — funda él mismo esta abstración, de modo operatorio. En cuanto a los principios de las operaciones diremos que ellos son las mismas operaciones^en tanto que constituyen un sistema en el proceso del cierre catego- rial, y en su perspectiva normativa, para regularlo bien las mismas operaciones (para reproducirlas de diverso modo: la asociatividad, la commutatividad o no conmutatividad) o para regular su confluencia con otras operaciones diferentes (la distributividad de una respecto de otra da. da, por ejemplo). Lo que los editores de Euclides llaman "postulados" (AiTnyoiTa ) corresponden, en gran medida, a unos principios de operación, de construcciones de figu-ras "no dadas intuitivamente".

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§ 10

Los principios de "identidad de las ciencias" como "postulados de cierre". Estatuto de las ciencias humanas en r e — lación con los diferentes,órdenes dé principios. 1.- Una de las tesis más importantes dé la "Fisiología dé las ciencias" podría formularse de este modo: "todas las ciencias tienen principios de 'identidad". Esta té^ sis no la damos cbriio ühá tesis meramente empírica (émpíricá> en el sentido de la empiria gnoseológica). Sin duda, existe la pósibilidá-", "c" no es sólo lógico-formal, sin perjuicio de la posibilidad de definir correspondencias entre ambos

—

funtores en marcos muy determinados, que tampoco a g o — tan la conexión). Un teorema significará aquí, por tanto, tam-bién, por ejemplo, una "clasificación cerrada" científica ("teorema de los tres géneros de palanca") incluso una definición científica ("teorema de la definí- ción de la circunferencia en el Cálculo diferencial"). De este modo, recuperamos el sentido gnoseológico, - -^ (lógico-inmaterial) que el vocablo "teorema", como parte formal de una teoría científica, arrastra. Al mismo — tiempo, la teoría científica misma podría ser redefini^ da como un conjunto, entramado o consecutio de teore— mas (el "sistema periódico" de los elementos es un - teorema complejo, una parte de la teoría química). La dificultad del capítulo gnoseológico de los módi sciendi estriba en la necesidad de encontrar criterios de distinción de estos módi dotados de uñ valor gnoseológico, lógico material (que no sean, por éjém-plo, criterios extrínsecos, meramente psicológicos, — lingüísticos, ó incluso lógico-formales). Pero los criterios lógicos rhateriales, en tanto deben incluii: lá esttuctuifa de los propios campos categorialés (cjue sobrean tendernos internamente SstratifÍGadoS én divéfsas Sapas; semánticaá) impedirán diferentíiar los teoreitiaa dé úh tñódó absoluto, como si cada tipo de teorema pü''diera oponerse a los restantes por su organización exclusiva según un modo abstracto diferente - en cuyo ca_ so no sería posible explicar gnoseológicamente el entrelazamiento de los teoremas entre sí en el conjunto de la ciencia. Esto nos impone prestar una atención es^ pecial a la misma "forma lógica" de la distinción de -

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los modos gnoseológicos. Los teoremas se distinguirían, desde el punto de vista de la Gnoseología General (es decir: con abstración de los criterios gnoseológico-especiales según los cuales distinguiremos un teorema físico de un teorema económico, un teorema histórico de un teorema geo métrico) según los modos gnoseológicos (modi sciendi) que, en esta exposición van a quedar reducidos a cua— tro. (modo primero, modo segundo, modo tercero, y modo cuarto). Ahora bien: un "teorema" no es, por sí mismo un proceso simple, sino un procesó complejo, cuyas partes también pueden ser distinguidas entre sí según los criterios por los que distinguiremos unos teoremas de otros, desde la perspectiva de los modi sciendi. Se-gún esto,podría decirse que cada teorema efectivo, no está constituido según un modo puro, sino «jué consta de varios modos, (inélusó de todos ellos), pero según "diversas proporciones" y, sobré todo, estratificados en diversos niveles o escaiaá materiales. La distinción d© los modos gnoseológicos que vamos a presentar puede analizarse desde dos perspectivas que se cruzan, con •*las dificultades inherentes a toda organización matricial autológica, (en la que muchas veces parece imposi^ ble diferenciar las "columnas" de las "filas": cada co lümna aparece dada como el conjunto de cuadros-filas, cada una de las cuales, a su vez, aparece como el con-' junto de los cuadros-columnas que parecen ser los mismas que los anteriores). Podríamos también referirnos a las diagonales como al lugar en el que se redefinen los "conceptos puros"; pero esta solución desplazaría la cuestión de las mismas cabeceras de fila o de colum na (¿Qué pueden significar ébtas,antes de ser definí— das en su intersección autológica ?) . Este proceso dia_ léctico exige precisar los criterios según los cuales atribuimos una^uncíón diferente a las filas y a las co

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lumnas, por más que sea posible permutar convencionalmente estas atribuciones. Podríamos ensayar diferentes criterios. Por ejemplo, atribuyendo a las filas la fuii ción representativa de una perspectiva lógico-formal (tipología de funtores) y reservando para las columnas la perspectiva lógico-material (o recíprocamente). No adoptaremos este criterio, en primer lugar, porque tam bien la perspectiva lógico formal (en nuestro caso: la tipología de funtores) es aplicable a las columnas; en segundo lugar, porque no sólo vamos a oponer las filas entre sí (o las columnas entre si) según rasgos l ó g i — co-formales (tipología de funtores), sino también ras — gos holóticos coordinados con aquéllos. El criterio — que adoptaremos para diferenciar la "perspectiva de fi^ la" y la "perspectiva de columna" será el siguiente: Las filas representarán la aplicación parcial (dentro de cada teorema) de los modos gnoseológicos abstractos (4ue pueden considerarse representados en los cuadros de la diagonal principal) entendidos como la mera al-ternativa o suma lógica de las cabeceras de fila o columna correspondiente; las columnas representarán la aplicación total o global de esos modos abstractos al conjunto del teorema, de suerte que una columna represente la escala global del teorema en tanto puede estar organizado sobre otros estratos o escalas materiales dadas en otros modos, representado en filas. El "teore ma del sistema periódico", por ejemplo, acaso podría ponerse globalmente en la columna segunda (una clasifi^ cación), sin perjuicio de que esta clasificación esté organizada sobre otras múltiples formas de construc- ción, dadas en los restantes modos, simbolizados por las filas. Los cuadros de la diagonal principal se con sideran definidos a su vez abstractamente - abstractamente desde el punto de vista gnoseológico, que corres ponde a la matriz, por tanto, a las cabeceras de fila y de columna (y esta abstración tiene como contenido -

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el que nos deparan las mismas nociones tomadas de una tipología de funtores y de una tipología holótica, en tanto son "hilos conductores"). Modo 1 i Modo 1

Modo 2

Modo 2

Modo 3

Modo 4

modo 1 abstr. jyiodo 2 ábstr.

Modo 3

Modo 3 Ábstr.

Modo 4

Modo 4 Abstr.

Lá matriz es solamente una pauta. No han de interpretarse los teoremas (columna) como compuestos siempre, a su vez, de todos los demás modos o sólo por uno de ellos, sino más bien coifho püdiendo estar com- puestos de ellos y además reiteradamente, según diversas escalas ó estratos semánticos. La matriz es ade~más una pauta,porque la intarprétáción de un teorema dado, adscrito a un modo, más bien que otro, depende del tipo de análisis que se instituya sobre el sentido de sú construcción. Un teorema, desarrollado segün el modo K, significará, por tanto, algo así como lo si- guíente: que lá construcción dada en el teorema es interpretada como oirganizándose, en su nivel global, de suerte que las partes globales del proceso se relacionan en el marco del contexto abstracto que figura en el cuadro diagonal K - sin perjuicio de que, a nivel parcial, otras partes suyas puedan relacionarse según otros modos abstractos, incluido el propio cuadro K, pero realizado a nivel parcial. 2.- Los criterios abstractos (correspondientes a los cua--

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dros diagonales) nos conducirán al establecimiento de correspondencias entre los modos gnoseológicos (correspondencia nó es identidad) y los que tradicionalmente (salvo el modo 1) se llaman modi sciendi, a saber, con la definición, la clasificación y la demostración. El modo 1 lo ponemos en correspondencia con el método de los modelos; el modo 2 lo háiremos corresponder con las clasificaciones; él modo 3, con las definiciones y el modo 4 con las demostraciones. Encontramos también estos conceptos redefini'— dos (dentro de su cierre categofiál) por la Lógica-forrmal^ incluso "bloqueados" por ella, respectivamente, en el concepto de modelo (sobre el cual descansa toda la fértil doctrina formal dé la "teoría de modelos"), en el concéjito formal de clasificación (por ejemplo, en la forma de la "teoría de los desarrollos booleanos"), en el concepto lógico formal de la definición (teoría sintáctica de la definición) y en el concepto lógico for— mal de la demostración (teoría lógico formal de la dé-rívacióri, teoría lógico formal dé la inducción). Estas concepciones lógico formales (modelos, derivaciones ••— etc.) desempeñan, póir btra parte» una importante fun- ción gnoseológica, en tanto constituyen formas típicas de utilización de la lógica formal en su servicio de — "teoría de la ciencia". La razón principal por la cual distinguimos el nivel gnoseológlco (lógico material) — del tratamiento de los modi sciendi, de su tratamiento lógico formal es ésta: que este tratamiento no es lógico-general (como muchas veces se ha pretendido) sino — lógico-especial; más aún es un tratamiento que corres— ponda a una ciencia en su papel de tecnología de cien— cias particulares o de grupos de ciencias particulares; es el tratamiento de la Lógica formal, utilizada como pauta o metro. La teoría lógico-formal de los modelos, por ejemplo, al nivel del tratado clásico de A. Robin-

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son (1) sería ella misma, en cuanto a su uso gnoseológi^ co, un moedlo isomorfo lingüístico de los modelos lin-güísticos formalizados, de los lenguajes formalizados de las ciencias, en tanto éstas pueden, por abstración, desprenderse de sus campos (a los cuales se les "reanudará" mediante los conceptos tarskianos de "interpretación" o "satisfacían"). Según esto, la teoría lógico- formal de los modelos vendría a ser, más bien, el desarrollo de un modelo, que no es, por cierto, universal por respecto de todos los modelos utilizados por las — ciencias (salvo que se reduzda arbitrariamente el sent_i do del modelo a la aceptación lógico formal). Por ello la teoría formal de los modelos no es gnoséológico-gerie ral, sin perjuicio de su enorme iifhportancia respecto de los lenguajes de las ciencias afectadas. Desde el puntó de vista de la teoría del cierre categorial, un modelo es un modus de la organización científica en la medida en que es una manera de construcción cerrada de un campo; su función de modelo se realiza precisamente en el momento del engranaje material del modelo formal (modelo I) con el campo fenoménico (modelo II) y recíproca-mente. La teoría lógico-formal de los modelos se orientaría, más bien, hacia el análisis lógico de la construcción de modelos de todo tipo (ísomorfisitio, etc.) y hacia las cóndiclo-nes lógicas generales (identidad por semejanza) que deba mantener el modelo y el campo modelado. Pero la teoría gnoseológica (lógico-material) de los modelos se — orienta a un nivel distinto de aquél en el que se m a n — tiene el nivel lógico formal. Por ejemplo, si la teoría lógico formal del isomorfisno se mantiene en el plano de lo que llamamos identidades esenciales y de sus condiciones generales (clases, operaciones internas, c o — rrespondencias) la teoría gnoseológica se interesa s o — bre todo por las identidades substanciales y por sus — condiciones materiales. Lo que para la teoría formal es un supuesto (la correspondencia aplicativa + entre el conjunto A y el conjunto B - una aplicación que se su pone ya dada, ateniéndose a su representación gráfica)

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en la teoría gnoseológica es algo que ha de analizarse (¿cómo se establecen esas correspondencias?, ¿son rela_ clones de contigüidad?), y la identidad sintética en la que cierre el isomorfisitto será vista ahora como una confluencia "substancial" que es, a su vez, fundamento de la propia correspondencia f. Si la lógica formal analiza las conexiones (gráficas, dentro de las conven clones simbólicas) del isomorfismo,supuesta la igual-dad ("=") entre: f [g(x^ X )J = h [f (x^) , f (Xj)J , la p e r s pectiva gnoseológica se interesa por la naturaleza material de esa igualdad en tanto ella es el resultado de una confluencia sintética, por ejemplo, del cierre categorial aritmético, entre (2^1 x 2 2 ) y 2 1 2 ' _ para el isomorfismo entre los grupos aditivos de N y los grupos multiplicativos dados en la aplicación P(X) = 2^. Esta confluencia cerrada, o "identidad sintética" es la que simbolizamos por la relación entre los dos triángulos rectángulos (que contienen las fórmulas procedentes de fuentes operatorias diversas (vertica-les y horizontales) de un mismo cuadrilátero (trazo do^ ble), que simboliza el recinto del isomorfismo en el que A es el modelo de B:

s

A

j >'

?

B

X . 1

f

f (x^)

X .

f

f (x^)

3

0

• X

•

f

f(x^)

f

^"^•^-^^if(x^),fXj)

n g(x^,Xj)

f g(x^,x.)^"-"->v....,^^^^

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h \

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Por último, los diversos modi sciendi represeii tados en la tabla no están ordenados, en general: En este punto, los modi scíéndi que aquí consideramos difieren de los escolásticos. Como los modi sciéndi escolásticos pretendían haber sido derivados de la doctrina de los "tres actos de la mente", que se ordenan los unos a los otros — (el concepto -al que correspondía la definición - se ordeñaba el juicio - al qué Correspondía lá división; - y el juicio se ordenaba ál raciocinio - ál que se Rácía corresponder la demostracién) también la definición sé ordena a la división y esta a la demostración. Esta ordenación es, por lo demás, enteramente artificiosa, puesto que en la — construcción científica las definíeionés están muchas ve-ces facilitadas por las clasificaciones, y éstas por las demostiraciones, étc, etc. Estas diferencias, y otiras muchas, serían s u — ficlentes para aconsejar el no designar a los modi sciendi de la tabla con nombres clásicos,orespécializados lógicoformalmente (como puedan serlo "demostración", o "modelo"). Pero otra vez volveríamoá al bloqueo de los oonceptos, del que hemos hablado, por doctrinas de muy limpia tradición y qué,sin embargo,no ha sido bástante para impedir que la -"realidad de las cosas" haya continuado reclamando la uti^ lizaciÓn de esos nombres para situaciones no recogidas en las teorías especializadas. "Modelo"> tal como se usa de hecho en las ciencias físicas, económicas o sociales no di^ ce, 6h absoluto> referencia ünica a los modelos lógico-fOr males. Otro tanto ocurre con el término "demostraeión": la demostración "por recurrencia", o una "demostración bio química" como la que analizaremos más tarde, no tiene la forma de una "derivación" o de un "silogismo" (aunque i n — cluye derivaciones y ;silogismos). Por estas razones hemos preferido mantener las denominaciones clásicas, aunque muchas veces haya que entender nuestras ..^acepciones como me tonímias o como sinécdoques por respecto de las acepciones

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especializadas, o recíprocamente. 3.- Él hilo conductor para distinguir los modos abstrae— tos de los que hemos hablado lo tomamos de una d i v i — si6n combinatoria de los funtores (coordinada con una división de las relaciones holóticas, que aproxima — aquella división al terreno gnoseológico) basada en la consideración de su papel sintáctico respecto de los términos y relaciones (cfue venimos considerando cómo constitutivos objetivó^ dé los campos científicos, en el eje semántico). Suponemos también la coordinación entré términos y partes, respecto de relaciones y todo (una relación "a < b" es un todo respecto de -los términos "a" y "b", a los qué atribuimos el papel de partes, respecto de aquél). Se trata pues de un — "hilo conductor": Én modo alguno proponemos una división estricta (científica) sino únicamente un crite— fio tal que, aplicado a un campo tan indeterminado co mo él de las formas según las cuales procede la construcción científica, permite introducir una cierta or ganización de las mismas, algo similar a una sistematización completa (aún con el riesgo de que no siem— pre permita trazar los límites de las diversas regiones, salvo en algunos casos prototítipos).

Dada la significación qUe hemos asignado al cierre objetual y al cierre proposicional y, sin perjuicio de que el cieifre objetual "arroje" proposiciones (sin que ello excluya el que^ en el easo del dssa tTQllQ científico, sea el n i ve 1 jp ropos 1 e 1 ona 1 algo c£ paz de eliminar y absorber al nivel objetual) , la cla_ sificación de los funtores más adecuada para nuestro propósito será aquella que tenga en cuenta la virtud de estos funtores para desarrollar el cierre objetual el cierre proposicional, o para pasar del uno al otro, y, por supuesto, los diferentes géneros de funtores -

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que aquí distinguimos no son, por si, modos gnoseol6-gicos, puesto que pueden aparecer en contextos que no son teoremas. Son "hilos conductores" abstractos, que combinados con los géneros de relaciones holóticas, — nos suministran una forma muy general para distinguir las funciones sintáctico-semánticas de los diferentes modos gnoseológícos. I 4.- El nivel de distinción de los funtores que nos interesa alcanzar es, según lo dicho^ muy similar al que H.B, Curry introdujo en su conocida clasificación ternaria, si bien aquí haya de agregarse al sistema (incompleto) de Curry un cuarto tipo de funtores, que denominaremos "determinativos" (2). (I)

Funtores que a partir de términos sacan relacio— nes. Son los funtores predicativos de Curry ("fuii tores formados de frases a partir de nombres") es decir, los relatores en su función de predicados. Ejemplos de Curry, tomados de las disciplinas for males: "R" " ^ " , "^", " = " "h". Podemos coordinar estos funtores con las relaciones holóticas del tipo [(parte, parte) / (todo)J , referidas a la escala propia de cada campo gnoseológico pertinente, dada la correspondencia general establecida entre términos y partes y relaciones y todo (lo qu¿ supone no considerar, sal^ vo como en un caso límite, las relaciones de un sólo término, los todos con una sola parte). Por respecto a esta coordinación conviene tener pre-sente también que, cuando nos referimos a los modos gnoseológicos "de columna" (los que constituyen el marco de un teorema) , las partes considera, das son partes de un campo o totalidad hetereológica (no isc|ógica). De esta manera, nos encon—

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tramos con otro rasgo distintivo para separar los modos perfectamente realizarse en "totalidades — isológicas" (por ejemplo a=b, siendo a y b las ca ras de un poliedro regular). (II) Funtores que de relaciones sacan términos. Los — llamaremos "funtores determinativos" o nominati— vos. Ejemplo de estos funtores, tomados del simbo lismo formal habitual, podrían serlo las letras encapuchadas X F(x). Las letras encapuchadas, en efecto, son foímadoras de clases; son clasificado ras del campo de variabilidad de x, del cual s e — leccionañ los valores que hacen verdadera la función F(x). Otro ejemplo nos lo suministran los — descriptores ¿x F(x), que nos determinan un o b — jeto a partir de una frase ("el autor de El Quijo te") . Coordinaremos estos funtores determinativos — con las relaciones holóticas del tipo [(todo) / (parte, parte)! , en condiciones similares a las que hemos aludido en el apartado anterior. (III) Funtores que , de términos, sacan términos. Son los operadores (en sentido restringido), que forman nombres a partir de otros nombres; "designan las operaciones (dice Curry) que forman obs a par tir dé otros obs". Ejemplos: monarios: ""|"; "7"; binarios: "=>", "+", "-". Coordinaremos estos funtores - operadores con las relaciones holóticas del tipo T(parte, parte) / parte)] o [Parte/ (parte, parte)J . La coordinación se justifica, en el caso de funtores bina- rios, por la necesidad de interpretar el resultado de una operación como una parte y no como un -

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todo, si no queremos confundir la operación y la relación. Podríamos situarnos en esta perspectiva para comprender los motivos por los cuales — Descartes consideró a la adición (como al s i l o — gismo) como "operadores tautológicos" (3). "2+2= 4" (o "5+7=12") es una construcción vista por De£ cartes como tautológica, precisamente porque - (atendiendo más a su contenido semántico absoluto que a sil función seínántica relativa: "cuatro" es una parte de N) "4" es interpretado como una totalidad que ya estará dada en "2+2"; mientras que si interpretamos "=" como predicado relator, la tautología desaparece. Diríamos que si el — producto aritmético ("2x3 = 6 " ) ya no fué considerado tautológico por Descartes, ello podría de berse, desde nuestra perspectiva, a que la ope-ración producto ya no permite considerar al primer miembro de la igualdad ("2x3") como una t o — talización de un sólo nivel, puesto que la conmu tatividad es ahora puramente cardinal o genérica y cubre, en rigor, dos estratos diferentes: un par de ternas y una terna de pares:

(1+1+1) +(1+1+1) y (1+1) + (1+1)+(1+1) . La coordinación, en el caso de funtores monarios, se justifica en tanto que el operador "-" transforma una parte a en la parte complementa— ria a del universo lógico. (IV) Funtores que de relaciones sacan relaciones (furi tores conectivos, que sacan frases a partir de frases). Ejemplos de Curry: "->", "J" Coordinaremos estos funtores con relaciones holóticas (dadas en cada campo gnoseológico) del

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tipo [(todo, todo) / (todo)/ o bien todo)] o bien j(todo)/(todo)] .

|todo) /(todo,

Una expresión que contenga "•»-" tal como: (afrente. La función del modelo sigue siendo, por tanto, la de conformar una materia; pero, en lugar de tratar el prin-cipio conformador (modeladojr) como un todo indiviso, se le resuelve en estructuras relativamente indepen- dientes y recombinables - estas estructuras son los — modelos. Pero, evidentemente, el concepto de modelo seguirá así inmerso en la distinción central constitutiva de la epistemología clásica: a) El modelo será unas veces el objeto, cuando a este se le atribuya la función de forma-conformadora precisamente en el conocimiento del sujeto, de su re-presentación (Vorstellung) en el sentido objetivista. Los animales prehistóricos (los bisontes, los ciervos, los renos) serán considerados modelos de los pintores trogloditas, de su "conciencia óptica"; las constela-ciones objetivas (o supuestas tales) serán los modelos de las ideas religiosas estudiadas por la doctrina - "pambabilonista". Desde el empirismo realista, la -conciencia es un reflejo de las cosas concretas, inclia so de sus esencias, que también se suponen concretas (Cayetano). b) El modelo será otras veces algo subjetivo -

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(individual o social), mental o cerebral, abstracto; una representación que se "proyecta" sobre una materia objetiva (amorfa, "substancia del contenido" como dirá Hjemslev) y determina de ese modo el acto del conoci— miento. Modelos serán ahora tanto las formas percep— tuales de los gestaltistas (por medio de las cuales -tendría lugar la percepción) como las hipótesis o sistemas de hipótesis de la epistemología ficcionista de Vahinger (10) o las estructuras sociales, por respecto a las superestructuras que las reflejan (la sociedad de libre mercado es el modelo de la ideología calvini£ ta, según el conocido ejemplo de Éngels). Queremos también constatar que las determina— cibnés epistemológicas del Concepto de modelo tampoco son específicamente ghoseológicas (sin perjuicio de su gran importancia para la filosofía y para la práctica de la ciencia) . Su carácter genérico desborda la esfé^ ra Científica. Eñ sentido episteinológico, son modelos tanto los paisajes geológicos conformadores de la percepción no científica de animales o de hombres, como las estructuras ideológicas o míticas conformadoras — del propio paisaje geográfico, según líneas precisameii te précientíficas. Pero, evidentemente, la perspectiva epistemológica cubre todo el campo de los modelos científicos e incluso constituye una de las principa-les metodologías desde las cuales puede abordarse la teoría de la ciencia (crítica de Bachelard al "modelo de Bohr"). insistimos en que la intersección de la — perspectiva genérica epistemológicas con un material constituido en exclusiva por modelos científicos, no debe confundirse con la perspectiva gnoseológica, aún cuando esa intersección sea del mayor interés para la filosofía de las ciencias. 4,- La tercera determinación del concepto de modelo que --

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consideramos es ya específicamente gnoseológica. Estamos hablando del concepto de modelo en el sentido más estricto, el concepto de modelo formal, en torno al cual se ha constituido toda una disciplina lógico matemática, la "teoría del modelo" (11). Modelo significa ahora "modelo (como sistema formal) por respec to de un sistema". Precisamente por ello, consideramos esta acepción de modelo como específicamente gnoseológica, por cuanto ahora el modelo aparece en el contexto internó (diamérico) del propio proceso científico, de las construcciones formales ante otras - construcciones formales. Vinculamos la teoría lógica de los modelos con lo que podríamos llamar la tecno— logia gnoseológica de los modelos (construcción de — conceptos como el del "grupo de transformaciones", mo délos topológicos. . .) que suele iir acompañada, en los tecnólogos, por ideologías inadecuadas. (En la obra de Thom, habría que distinguir su teoría de los modelos, cuasimétáfísica a nuestro juicio, y los modelos topológicos positivos que ofrece> y cuya utilidad depende de su aplicabilidad á la Biología, a la E c o n o — mía I^olítica etc) . Un sistema formal (una teoría desarrollada segün las reglas sintácticas de la Axiomática) es ahora puesto en conexión con otro sistema -formal (por ejemplo, la teoría de los conjuntos) que constituye una interpretación semántica (o un modelo) del primero. La teoría de los modelos muestra la necesidad que un sistema formal A tiene de un modelo a que sea una interpretación del primero. El teorema de deducción, el teorema de completud (la coherencia de una teoría solo puede tener lugar cuando es posible dar un modelo de la misma) el teorema de Lowenhein — etc, etc. establecen todos ello^,la relación interna entre dos o más teorías (o sistemas fo,rmales) y la nece saria conexión de isomorfismo que entre ellas ha de mediar para que pueda hablarse de verdad y de cohe- -

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rencia sintáctica (que la teoría de modelos precisameri te muestra como intrínsecamente vinculadas). Los problemas filosóficos que están envueltos en estos resultados de la teoría formal de modelos - en tanto exigen una crítica de los propios conceptos de "sistema for— mal"> "convenciones de las reglas de juego" "estructuras sintácticas puras", "variables" etc, etc, no serán tratados aquí. La presentación que hemos dado del concepto -categorial de ttiodeló (cómo entidad mantenida en la éonexibn diamérica entre teor'ías o sistemas formales - - más que entre "cosas", o eñtifé "conciencias y cosas" O recíprocamente, en el sentido dé las perspectivas on^ tdlógicaa y epistémblógieas) parece enfrentarse con al^ gunas situaciones contempladas por la teoría de mode— loa, en las cuales elfiiodeloño páifecé ser propiamente unafefeQfíáfofiftal siñó una "eátructurá real o ideal". Él Sin tema forma1 llamado "Geometría de Riemann" puede recibir una interpretación en la esfera configurada éh el espacio eüclldianó (los puntos de Riemann serán Interpretados en los pares de puntos opuestos diametralmente de la esfera; los círculos máximos de la esfeirá constituirán una interpretación de las rectas de Rie-mann que "sólo pueden tener un punto común"). Ahora -bien: la esfera eúclidiana parece que tiene más de "ob jeto", de "sistema objetivo", que de teoría (o de sistema formal). Y la interpretación del sis tema de Rieniann en la e&ieta eúclidiana, parece que puede reducir se al caso de la "verificación epistemológica" de una teoría ("mental", "abstracta") en una estructura objetiva concreta, la esfera eúclidiana. Ciertamente que ahora es esta "estructura concreta" (y no la teoría) la que será llamada modelo; pero ello no desbordaría las coordenadas epistemológicas clásicas, en las cua-les hemos visto como los objetos (y no sólo los térmi-

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nos) desempeñaban el papel de modelos. Nuestra r e s — puesta a esta dificultad marcharía por el siguiente camino: Comenzaría por sugerir cómo la dificultad apa rece por la aplicación, a la situación, del marco - epistemológico clásico (sujeto, teoría abstracta / objetó, estructura concreta). Como quiera que la - coordinación del "sistema abstracto" (no intuitivo) de Riemann con "teoría abstracta mental"... parece ob via, habría de coordinarse automáticamente la esfera euclidiana con él objeto (5 estructura objetiva). Ahó ra bien, en cuánto pongamos entre paréntesis el "marco epistemológico", la necesidad de semejante coordinación desaparece. Sobre todo si éste poner "entre pa_ réntesis" no es el resultado de uña decisión arbitraria, sino una exigencia de iá propia situación gnoseo lógica de referencia (diríamoá: del factum de lá cien cia geométrica), porqué cuando ñbs instalamos en el campo interno de la ciencia geométrica, las oposiciones epistemológicas pierden sil sentido absoluto. No cabe coordinar sin más el "sistema formal", con el — "pola subjetivo" (o ñiehtal, ó abstracto) porque el -sistema de Rlemanñ incluye una objetividad terciogenS rica; ni tampoco Cabe coordinar la esfera eucJidea — con una realidad empírica (o concreta, o intuitiva) porque esta esfera, como estructura terciogenérica, incluye todo úh sistema operat.orio, y es, por tanto^ un Sistema él mismo formal. Supuestas las anteriores reservas, cabría main tener la tesis sobre la especificidad gnoseológica — del concepto de modelo de la "teoría de los modelos". El concepto de modelo es ahora gnoseológico porque se mantiene en el "interior mismo" de las construcciones científicas, en las relaciones entre ellas, por así decir. Y sin que, por ello, haya que concluir (aplicando ahora el marco epistemológico) que la teoría de

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los modelos se mantenga en un plano abstracto - m e n — tal - subjetivo (salvo que se pretanda negar todo si£ nificado objetivo a la Lógica o a las Metemáticas, re duciendolas, por ejemplo, a la condición de "lengua-jes convencionales"), Desde nuestra perspectiva gnoseológica recono^ cemos, pues, el interés gnoseológico del concepto de modelo de la toería de modelo, si bien lo entendemos, más que como el concepto gnoseológico de modelo a secas, como una especial determinación del concepto gno seológico que, por tanto, no debiera ser erigida en el único concepto gnoseológico. Aun cuando, eso sí, las demás acepciones gnoseológicas deberán poder r e — construir la específica situación del concepto de modelo de la teoría de los modelos. Cuando hablamos de carácter parcial o especial del concepto de modelo — formal queremos significar, 1°) Que no todos los mod£ los gnoseológicos desempeñan el tipo de relaciones — (de identidad esencial, suponemos) soportadas por los modelos formales, y, en especial, ias relaciones de isomorfismo, ni sé agotan en ellas. 2°) Que tampoco las relaciones dé isomorfismo son exclusivas de los modelos formales, salvo que áé interpretan de otro mo do (ségün hemos sugerido al comienzo de este capítulo. 3°) Que los módélog formales vienen caracterizados — esencialmente por su réferenóla a las conexiones en-*tr@ g^iátéfnáia formales qué han llegado a formarse ordo áodt^lnaé-. t en una categoría especial; eñ páE'tieülat, las ciencias formales (Matemáticas, Lógica). Pero no por su referencia a las ciencias empíricas, respecto de las cuales el concepto formal de modelo resulta te^ ner un uso metafórico.

En todo caso, la especificidad gnoseológica que atribuimos a los modelos formales no excluye la -

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posibilidad de que ellos desempeñan funciones ontológicas y epistemológicas en el sentido dicho; incluso podría afirmarse que las determinaciones ontológicas están siempre presentes, así como también las episte mológicas, aunque estas sean mucho mas confusas en el momento de su aplicación (cómo hemos visto en el ejem pío dé la esfera euclidianaj. El problema que tenemos así planteado podría formular; se dé éste modo: Puesto que el concepto dé modeló for mal cubre uña parte del territorio constituido por -los modelos científicos (ghoséóiógicos) ¿Habrá que de sarrollar un concepto gnoseológico capaz de cubrir el resto del territorio científico ó bien esto es imposa^ ble y, por tanto, habrá que atenerse a las acepciones genéricas (ontológicas o epistemológicas) cuando quie re qué hablemos de los modelos no formales?. En cual^ qüief^ áaso* ló que no parece aceptable es pretender dubrir la totalidad del territorio gnoseológico con el concepto de modelo formal, tratando de beneficiarse del rigor de la teoría de modelos como si con ella tuviéramos ya la base de un concepto unitario que pudiera aplicarse con seguridad en todos los campos. En el campo de las ciencias humanas, como es sabido, se ha distinguido Levi Strauss en la utilización de este Concepto de modelo formal en campos no formales, sino empíricos, que quieren ser "estructurales" (lo que le lleva a practicar la inversión ordinaria - por respe£ to de los ejes epistemológicos, y sólo por respecto de estos ejes-del concepto de modelo formal, porque ahora el modelo será la teoría formal, más que el objeto (12)). Alain Badiou há mostrado con gran claridad (13) el sentido ideológico que esta utilización del concepto de modelo (concepto corresponde a lo que aquí llamamos Idea) puede tener en manos de Levi - — Strauss (o del empirismo lógico). Si bien las coorde

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nadas político-sociológicas que utiliza Badiou ("mode los burgueses", reaccionarios y en modelos proleta- rios", progresistas) nos hagan sonreir hoy, y esto — sin necesidad de negar toda relación, sobre todo después de las discusiones a propósito de la dictadura del proletariado (14) Badiou ha sugerido la posible conexión (posible porque no es nada envidente) entre la actitud "especulativa" (pasiva que no busca transformar la realidad, sino registrarla, dejándola inta£ ta) atribuible al empirismo lógico o a Levi Strauss y la categoría (filosófica-reaccionaria) de modelo obtenida al extender el concepto formal a las ciencias empíricas, mediante la asignación al material empírico de la misma función de modelo, respecto de los modelos teóricos (o teorías hipotéticas), que los modelos formales desempeñan respecto de los sistemas formales matemáticos; y, en particular, Badiou señala — certeramente la ambigüedad del teorema de completitud (que sólo tiene sentido en el "espacio de trabajo" de los matemáticos) utilizando en contextos de las ciencias empíricas (como hace Levi Strauss, al exigir que ^^ "'odelo de razón de todos los hechos, lo que carece de sentido en las ciencias empíricas). Ahora bien, Badiou concluye de su crítica que no existe una teo-ría (diremos: una Idea) filosófica de modelo que cu-bra, a la vez, el concepto formal y los demás modelos, puesto que el concepto formal de modelo habría que -mantenerlo dentro del ámbito de las ciencias formales, y la única extensión filosófica (2-filosófica, no reaccionaria) tendría más el significado de una categoría histórica (en realidad: sería el mismo concepto aplicado a la consideración de su propia historia) -que gnoseológica. Badiou había comenzado (en su te-sis I) por distinguir dos sentidos ("instancias") en la expresión "modelo": Sentido I, una noción descriptiva de la actividad científica; Sentido 2, un concep

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to to de lógica matemática. Evidentemente, la a c e p — ción 2 se refiere claramente a los modelos formales. Pero ¿qué se quiere decir con la acepción 1, con la noción descriptiva?. Un nombre borroso ("descripti-vo") designa aquí también un concepto borroso: no se precisa qué es lo que sé describe (¿La determinación ontológica de los modelos? ¿La epistemológica? o bien ¿Un conepto gnoseológico que sea distinto del concepto lógico matemático ó que, aun cubriendo a este, siga siendo estrictamente gnoseológico?). Bádiou sósti£ ne, en efecto, que este sentido descriptivo es una — "noción" (en la acepción qué el da a ese término, con traponiéndolo a concepto riguroso) y, por tanto, un concepto confuso, ideológico precisamente, sobre todo, cuando se le pretende iluminar con las luces del concepto lógico formal i Pero creemos que la conclusión dé Badiou es gratuita. El tiene razón (nos parece) al impugnar la extensión del concepto de modelo for-mal al resto dé los modelos no formales. Pero ¿Quiere ello decir qué, por tanto, ño será riguroso el coin cepto óntológico y el epistemológico de modelo (aún limitado este último al marco clásico del que hemos hablado)?. Sobre todo: ¿Quiere ello decir que no sea posible delimitar un concepto rigurosamente gnoseológico dé modelo qué nó se presente como una extensión del concepto de modelo formal pero que, sin embargo, contenga a este concepto de modelo formal como a una éá^ecie suya eminente y enteraniénte característica?. Üñ concepto de modelo que cubra, no sólo á esos modelos poco rigurosamente descritos por etnólogos y so elológos (cultivadores de "estas pseudo ciencias que son las supuestas ciencias humanas", dice Badiou) sino también a los modelos de los biólogos o de los físicos - que tampoco pueden utilizar el concepto de -modelo propio de la teoría lógico matemática de modelo, según hemos dicho.

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6.- El presupuesto para la posibilidad de erigir un concep to gnoseológico de modelo unitario (y que internamente pueda desarrollarse en sus especies de modelos forma— les y modelos materiales) creemos que reside en el dis^ tanciamiento respecto de lo que hemos llamado "marco epistemológico clásico" (al que luego podrá reencon- trarsele, en la línea pragmática), en la evitación de la construcción del concepto de modelo dentro de la po laridad "sujeto" (o mente, o teoría o lenguaje - en su sentido no cósico - o hipótesis) y "objeto" (o r e a l i — dad o hecho, o experiencia). Porque entonce,s necesariamente, habríamos de optar entre una concepción - idealista de los modelos o una concepción empirista- realista. Esta alternativa ejerce una influencia tan despótica entre los cultivadores de las ciencias humanas, que les lleva a distinguir muchas veces escuelas u opciones a nuestro juicio artificiosas y confusas. Por ejemplo en , Etnología, la. opción empirista, des — criptiva (que estaría representada por Radcliffe Brown) y la opción formalista (representada por Levi Strauss) (15). Porque si la ciencia no es ni descripción ni — construcción formal, sino donstrucción material cerrada, esas opciones desaparecen y quedan más bien reduci^ das a la condición de opciones en la autoconcepción de la ciencia no de opciones de la ciencia misma. La teoría de cierre categorial está basada en el presupuesto de que los campos de las ciencias no son campos equipa rabies a "una realidad virgen" sino campos procedentes de una realidad previamente organizada por la activi-dad tecnológica, como nos lo ilustra admirablemente la primera intervención de Salviati en la Jornada Primera de las Consideraciones de Galileo (16). La tesis acer ca del origen tecnológico - no filosófico - de las - ciencias, no es sólo una tesis negativa, enfrentada a la tesis que pone en el "corte epistemológico" (respe£ to de la filosofía o ideología) la condición para que

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se constituya un nuevo campo científico; ni tampoco es una mera tesis hist6rico-genética. Es, sobre todo, — una tesis que ve en las tecnologías el origen mismo -del "despiece" de las unidades (términos, relaciones) de los campos científicos. Y la multiplicidad de las tecnologías, actuando sobre un mismo campo, sería la razón suficiente para dar cuenta de la necesidad de un nuevo nivel abstracto,, el científ:ico, desde el cual — pueda "coordinarse" esa multiplic:idad tecnológica, :3U propia dialéctica (dialéctica de la que no suelen ser conscientes los mismos comentaristas del pasaje de Galileo que.acabamos de citar). Esta tesis se aplica no solamente a las ciencias físicas, ó biológicas etc. s_i no también a las ciencias humanas y a las propias cien cias formales. Esta común referencia a unas tecnolo— gías operatorias previas, aproxima, desde el principio unas ciencias a otras y, en consecuencia, abre la posi^ bilidad de que los modelos de unas y otras ciencias -puedan darse dentro de una "estrategia similar", aún cuando sus realizaciones puedan ser (precisamente por esa misma similaridad, la similaridad de un "concepto modulante") diametralmente opuestas. 7.- Los modelos como formas del primer modus sciendi se — nos han mostrado como métodos de construcción (de cierre) que se mueven en la dirección (parte/parte) (dentro deí todo construido por su mediación) . El modelo guardará respecto del modelado, una exterioridad que puede medirse precisamente por esta relación de parte a parte. Pero como estamos en un modus sciendi alguna de estas partes (o las dos), han áe ser contextos determinados. Diríamos así que el modelo es el modus sciendi consistente en la determinación de un cierto contexto determinado a partir de otro contexto que le queda exterior según la relación parte a parte, definí da en cada campo específico. El "todo" al que referimos el primer modus sciendi no será, por tanto, algo -

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diferente de la misma relación entre las dos partes. Esta "eifiterioridad" entre las partes que intervienen en el proceso del modelo puede compararse a la exterio ridad de las partes constitutivas del proceso de la m£ táfora - y mejor aún, de la parábola o de la alegoría, en el sentido de Aristóteles (17) y, por tanto, del — mito platónico (18). El primer modus sciendi désarro^ lal, en cierto modo> la metodología del mito platónico. Según esto, podría afirmarse que los modelos funcionan como mitos platónicos, tanto como que los mitos platónicos funcionan como modelqs, ta dialéctica de este modus sciendi podríamos hacerla consistir en el proceso según el cual ia parte determinada debe quedar exterior (en óuanto a los fundamentos de su construcción) ai contexto determinante - y, á la vez, esta debe estar presenté en aquélla para determinarla; Esta dialéctica se desarrolla por medio de la distinción entre el ordo ihyentionis y el -otáp doctrlnae, que deja de ser de éstefflsdouna dis-« tinción psicológica o histórica (extra-gno§eol6t|ida) y se convierte en una distinción gnoseológica intrínse^ ca. La exterioridad de modelo y modelado ordo inven-tionis (en donde el concepto de modelo recibe plenamen te las determinaciones genéricas que hemos llamado - epistemológicas y ontológicas) se resuelve ordo doc- trinae en el proceso de óiérre, por identificación de ambos términos exteriores (identificación: "interpre— tación", "transformación"). Por cuya virtud, la exterioridad desaparece y, con ello también, el modelo en cuanto exterior. Por tanto; en cuanto modelo, (en su momento genérico ontológico) en virtud e un proceso de "emancipación" del sistema ensamblante. Esta dialéct_i ca cubre también la circunstancia de que los modelos gnoseológicos, a la par que han de remitirnos a una -identificación interna al campo (ordo doctrinae), deben

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reconocer la independencia de las partes enfrentadas (en el ordo inventionis), eliminar el modelo como "se elimina la escalera después de haber subido": dejándola a mano, para poder volver a bajar. Bachelard tiene en gran parte razón al afirmar que el "modelo planetario" de Bohr sólo cuándo es abandonado por los físicos comienza a rendir sus resultados científicos - deja de bloquear el desarrollo de la teoría atómica con sus — "imágenes mitológicas". Pero, al mismo tiempo, la teo ría atómica regresa constantemente a este modelo, aun rectificándolo, hasta tanto no encuentra otiro mejor. La función de modeló la ponemos así en el proceso por el cual un contexto determinado suministre a otro contexto (indeterminado o, ya a su vez, determina do) un sistema de organización operatoria (un "ensamblaje") tal que, por el hecho de suministrárselo, aparezca el campo organizado al nivel fisicalista (al ma£ gen del cual no cabe hablar de ciencia categorial). El nivel esencial, en este modus aciendi, estaría reali— zándose en el proceso mismo de identificación. La m o — delación es, por tanto, un proceso "orientado" (no simétrico, aunque tampoco asimétrico) en tanto toma la forma de una relación (correspondencia, transformación) que procede de un contexto que suministra "el ensambla, je" - sea este el que suministra el campo fisicalista o no y se dirige al contexto que lo recibe. Llamare--" mo§ "A" al contexto que suítiínistra el ensamblaje (no el componente fisicalista) y "a" al que suministra el componente fisicalista (aunque no suministre el ensamblaje) . (A), será el "contexto formal"; (a), el "contexto material". La clave del concepto gnoseológico de modelo que estamos exponiendo reside ahora precisamente en disociar el aspecto "suministro de un ensamblaje" del aspecto "suministró del componente fisicalista" (algunas veces designado cdmo el componente "intuiti--

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vo", "concreto", etc.). Ambos aspectos pueden estar cruzados y este cruce daría razón de la inversión ca-racterística que tantas veces se observa entre los modelos formales y los no formales. En efecto, supuesta la transformación (t (A, a)) será preciso distinguir dos opciones - o, si se quiere, dos sentidos de la modelación, dentro de una misma dirección metodológica o modus sciendi: (I) Aquella en la cual el "componente fisica-lista" procede del mismo contexto (a) que recibe el ¿n samblaje suministrado por (A) . Ahora (A) será el mo-ídelo, aunque el componente fisicalista proceda del modelado. (II) Aquella en la cual el componente fisica— lista" procede del mismo contexto que suministra el en samblaje (a). Ahora (a) será él modeló, según lo d i — cho, y, a, la vez, suministrará un ensamblaje que se su perpondrá al ensamblaje suministrado por (A). El caso (I) es el de los modelos materiales -(físicoí, sociológicos, etc) . El modelo (A) (un conjura to de hipótesis, de ecuaciones, etc.) suministrará un ensamblaje, por si no fisicalista, a un material fisicalista, que, por decirlo así, no tiene forma, con anterioridad a la recepción del modelo. "No tener forma" designa uha situación relativa; ser "materia sin forma" es sólo üñ casó límite (mate r i a _pr ima), precisamente porque suponemos que todo material esti informado por las operaciones tecnológicas que preceden a la cons- trucción científica (incluso cuando el material es "na^ turaleza. pura", como pueda serlo el material astron6m_i co, cuyas representaciones las supondremos informadas o conformadas a través de las medidas tecnológicas relativas a los desplazamientos del propio sujeto corpo-

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reo) . Cuando hablamos de materia sin forma nos refero^ mos a la forma gnoseológica (procedente de un contexto del campo dado). Sobre-entendemos: "sin forma similar a la del contexto determinante" (aunque pueda tener -formas tecnológicas, etc). En todo caso, la atribu- ción de formas tecnológicas a los campos físicos no de be confundirse con un antropomorfismo, que atribuye -operaciones a las propias entidades materiales del cam po. El caso (11) es el de los modelos formales (ló gico-matemático) El modelo (a) (que es ya un sistema formal, pero realizado fisicalisticamente, como la teo ría de los conjuntos, en tanto incluye, por lo menos, la corporeidad de los propios símbolos, de las distintas menciones de un mismo signo patrón) suministra ensamblaje fisicalista a un contexto (A), que ló conside ramos cómo contexto inicial precisamente porque tam- bien posee ya un ensamblaje (es ya un sistema formal) pero sin un contenido fisicalista pertinente. Si en el caso (I) la situación límite era la de la "materia sin forma" (á I) ahora será la de la "forma sin mate--ría" (Á I ) . ¿Como es posible un sistema (A) operatorio sin contenido?. "íampoco poáemos pensat sste con-cepto como algo absoluto. El sistema (A) que suministra un ensamblaje posee siempre un contenido mínimo -(el puro Soporte simbólico de las operaciones aütológn_ eas), o bien lo ha perdido en parte, como ocurre con un sistema originariamente fisicalista, un sistema - coordinable con operaciones fisicalistas (por ejemplo, el "cubo", será desarrollado en situaciones no fisicalistas - "hipercubo"). El sistema (A) que ha perdido su componente fisicalista y que se sostiene como un pu ro sistema lógico, deberá poder recuperar un contenido fisicalista (un modelo) en el que se realice su propia estructura lógica, que se supone subsistente ("Un sis-

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tema debe tener al menos un modelo"). La exigencia de dotar de un modelo semántico a un sistema sintáctico puro la vinculamos a la misma naturaleza lógica de toda estructura sintáctica, a saber, a su capacidad de aplicarse a otros contenidos de la categoría. En el ordo cougnoscendi tener un modelo es condición para -« que un sistema sintáctico sea coherente; en el ordo -sc'endi el tener un modelo nb és condición, sino la - esencia misma de la coherencia - porque las relaciones de los términos del modelo con los del sistema serán del mismo orden que las relaciones lógicas de los términos del sistema entre sí. Las distinciones precedentes dan cuenta de la gran distancia gnoseológica que debe mediar entre los modelos I y los modelos II. En los modelos I la disociación entre el contexto (A) y el (a) explica que su identificación en el cierre, sea precaria; la exterió— rldad de (A) y (a) es tal, que, al no ser (a) un c o n — texto determinado en el mismo sentido en que lo es (A) no será posible pretender que la identificación (en — los modelos) sea perfecta: el modelo aquí permanece -más el ordo inventionis que en el ordo doctrínae; sólo cuando (a) incorpora internamente (A), la identifica— ción será más perfecta - y ello supondrá siempre elimi^ nar las operaciones de (A) en cuanto exteriores a (a) (a) y (A) son "incommensurables"). En el caso II, como suponemos que (A) ya es un sistema operatorio, un ensamblaje al igual que (a), la identificación tiene lugar de un modo total (a la escala de que se trate) o no tiene lugar en absoluto. El modelo, en el sentido I admite grados; no los admite en el sentido II. La razón es que, ahora, los dos sistemas operatorios ((A) (a)), por serlo, pueden identificarse a través del mai

terial fisicalista (que interpreta o satisface al sistema (A)). El caso I es el caso de una identificación

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de algún modo simetrizada, porque (A) suministra a (a) un ensamblaje que, a través del material, resulte - confluir con el que (a) suminsitra, con el material, a (A). Se trata ahora de un cierre por modelos, en el que (A) nó es un "conjunto de hipótesis", sino un sistema que confluye con el (a). Ésta confluencia no tie ne por qué darse en la situación II. De esté modo, pó dríamos tomar como criterio diferehciador entre los modos í y II la simetría o asimetría de la relación de identificación, del "suministró del sistema" o ensam— blaje. Modelo I (materiales) serían aquellos en los — que lá identificación ño es simétrica o recíproca; modelos II (formales) serán aquellos en los cuales la -identificación és simétrica o recíproca (entendemos la identificación cómo la conjunción de dos relaciones no simétricas). Se comprende también con esto que los mo délos II lleven adelante la identificación o cierre — pot medio áe isómórfismo, mientras que los modelos I Utilicen loa heteromorf i sitios (dé los que luerjo hablare fflos) y sin qué esto impliqué, ireciprocaínénté, que todo isomorfismo envuelta, por si, un modeló formal. El principio de distinción entre estos dos seri tidos, en el mismo proceso de la modelación, en tanto que el sentido I admite grados, nos permite también -suavizar la oposición entre ciencias que utilizan mode los formales (ciencias formales) y ciencias que utilizan modelos materiales (ciencias empíricas) . En parti^ cular, nos permite dibujar un estatuto peculiar, d e n — tro de esta oposición clásica (ciencias formales / ciencias empíricas) para las ciencias humanas. La razón es interna a las mismas coordenadas en que venimos moviéndonos: mientras las ciencias formales (en lo que el primer modus sciendi respecta) son ciencias que - construyen sus campos mediante las correspondencias (A) y (a) campos cada uno de los cuales son ya gnoseológi-

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camente operatorios, y de ahí el cierre perfecto que puede conseguirse (sin que ello signifique tautología), las ciencias empíricas son ciencias cuyos contextos de terminados ya no son, en su límite, gnoseológicamente operatorios. Pero las ciencias humanas (por su plano 3-operatorio) son ciencias cuyos campos están ya dete£ minados operatoriamente, y, en consecuencia, se a p r o — ximan a las ciencias formales por este lado - los modelos económicos, políticos o sociológicos están tan próximos a los modelos lógicos que puede hablarse con sentido de una lógica de las ciencias humanas (19). 8.- La circuláridad entre el contexto formal (A) y el contexto material (a) de todo modelo lejos de ser solo in^ dicio de construcción viciosa (BadioU), envuelve la -forma del cierre que corresponde al primer modus - - sciendi. Este cierre es diferente en campos de tipo I y en campos de tipo II. En cualquier caso, las cien- cias que sólo pudieran construir cierres según el primer' modo (cierres fenortiénicoa) en la situación I, se-rlan ciencias gnoseológicamiente diferentes de otras — ciencias que pudieran construir cierres en campos II o también ciencias que puedieran constuir cierres según otros modo sciendi. A. G. Papandreu sostiene, por - ejemplo, la tesis de que la Economía Política, mas que una ciencia teórica (una teoría) es un "conjunto de mo délos" y que debería abandonar su errónea autoconciencia de "teoría científica" (20). 9.- Según el nivel de especificidad del modelo (respecto |del material) habrá que distinguir los modelos genéricos, que ofrecen un marco al material, pero no lo de-terminan (modelos - marco, como pueda serlo una retícu la plana o una retícula elíptica con respecto a un material biológico o físico) y modelos específicos, que ofrecen un contexto determinado específico. Por otro

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lado, cabe hablar de modelos rectos y oblicuos, según que la estructura o ensamblaje del modelo represente una parte interna o una parte externa (accidental) al modelo. En aglún sentido, todo lo genérico, en cuanto exterior, es oblicuo: suelen ser otras especies generó^ cas mas que el género, lo que se toma como modelo (según la.linea de las relaciones parte / parte). 10.- Los modelos, atendiendo a la tipología de los contex— tos (A) o (a), considerados por separado, o incluso -por sus relaciones extragnoseológicas, pueden ser clasificados, según esto, de muchas maneras (modelos biológicos, matemáticos, etc). Lá distinción entre modelos cuantitativos o no cuantitativos puede considerarse como una distinción gnoseológica formal (dada en — otro plano que la distinción ente "modelos biológicos" y "no biológicos") y ello debido á que la cuantifica— ción es, por si misma, un prócediiniento de cierre, de construcción recurrente de un campó de clases atributó^ ,vas (como expondiremos en el párrafo siguiente) . La — distinción frecuente entre modelos concretos y ájb£->-^ trae tos =• que no debe confundirse con la distinción ein tre modelo I y li-es ambigua, puesto que muchas veces se toma como absoluta (modelo concreto, como "maqueta"; abstracto como "sistema lingüístico") aunque, en rigor, es una distinción relacional (un sistema lingüístico es abstracto respecto de un campo biológico - pero es concreto respecto de otros campos lihguísticos). 11.- Un clasificación gnoseológica más adecuada podría fundarse en la misma tabla holótica, por cuanto los c a m — pos gnoseológicos son ellos mismos totalidades. Si (A) y (a) se vinculan como parte a parte, parece pertineii te distinguir los tipos de modelos según los tipos de partes en el todo. Esta clasificación de los modelos sería ya gnoseológica y recuperaría a otros conceptos

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730 casi empírico (por ejemplo el concepto de los modelos cuantitativos, en cuanto que la cantidad es un tipo de totalidad). Si nos atenemos a la distinción de las totalidades según dos criterios distintos, pero suscepti^ bles de cruzarse, a saber, un criterio A, que distin-gue las totalidades atributivas

(nematológicas) de las

distributivas (diairológicas) y un criterio B que

dis-

tingue las totalidades isológicas de las heterológicas, podemos distinguir cuatro tipos de modelos, absoluta-mente generales y dotados de propiedades características. Dada la extensión de una exposición circunstancia da de estos modelos típicos, la omitiremos aquí. Tan sólo mencionaremos los conceptos generales que se derá^ van del criterio de clasificación propuesto.

Modelos 1 (Metros), es decir, modelos isológicos-nematológicos. El sistema solar (leyes de Kepler) funciona como un modelo figurativo autocontextual nema tológico, la familia romana es un modelo de la familia cristiana tradicional. La máquina de Átwood es un mod£ lo autocontextual de las leyes de caída. Modelos 2 (Paradigmas)

(isológicos-diairólogi-

e o s ) . Las superficies jabonosas, son modelos de la -cristalización; el roble es un modelo de faros (Smeaton) y de torres (Eiffel); las "superficies termodiná micas" son modelos de sistemas termodinámicos ; la tari gente a una curva es un modelo de la velocidad de un móvil. Modelos 3 (Prototipos), heterológicos-nemato-lógicos. El cráneo, es modelo de las vértebras del mis^ mo animal o de la especie (la "vértebra tipo" de Ocken)' el tablero de Galton es un prototipo de una "curva de distribución normal". Modelos 4 (Cánones) heterológicos -diairológicos.

La fórmula de Mac Laurin es ex "canon" del desa-

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rrollo en series de polinomios; la distribución de Poó^ ssón es canon de las. distribuciones empíricas; el "esta_ do de naturaleza'' es un modelo de las sociedades históricas; el plano inclinado es modelo canónico de la caó^ da libre; la relación: y/y = ae /kae =K es canon de desarrollos empíricos en ciertas condiciones; el modelo del gas perfecto (o el concepto de gas perfecto) es un cañón de los gases empíricos: un gas perfecto es un gas que cumple la ley de Bofle; un gas perfecto es heterológico (respecto del gas empírico) en tanto se ha suprimido una variable (para ver como evoluciona sin ella y qué ocurre al volverla a introducir etc, etc) 12.- Tomando como criterio subordinante el criterio B(isológico/heterológico) y ateniéndonos, no ya a la natu-r I

raleza isológica o heterológicá de (A) y (a) en si — mismos> sino a la de su relación, podemos dividir a los modelos en dos grandes grupos (según una división de verdadera importancia gnóseológica, desde el punto de vista de la teoría del cierre categorial), a saber: múdelos isomorfos y modelos hetQróitiorfos. Sobre esta distinciónj tíabe réintroducir (superponer) las dife-rencias derivadas de la naturaleza isológica o hetero lógica de (A) y (a) en si mismos consideradas. (En — cualquier caso, tanto (A) como (a) han de ser totalidades nematológlcas). Obtenemos de este modo una rica tipología de modelos, tanto isomorfos como heteromorfos, que aquí no vamos a desarrollar. Citaremos tíf)'é sólo algunos t_i pos. Una totalidad heterológicá puede ser modelo isomorfo de otra totalidad heterológicá (una ciudad, modelo de otra ciudad gemela) . También podríamos cori siderar el isomorfismo entre dos totalidades isológicas (al menos, reduciendo la isología a su límite, de

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por lo menos dos relaciones): el gas homogéneo de un recinto, es modelo de otro gas. Una totalidad heterológica puede ser modelo heteromorfo de otra totalidad heterológica. La d i s — tinción esencial aquí (desde el punto de vista g n o — seológico) es esta: Que (A) sea "envolivente" de (a) - relación de todo a parte nematológica (ya sea la parte interna o externa)- o que ello no ocurra. Los modelos "envolventes" podrían llamarse "marcos" (La elipse es "marco" dé la circunferencia; la fórmula de Taylor - Me Laurin es "marco" de un polinomio incompleto) . El análisis de las funciones gnoseológi— cas de los "marcos", en la construcción categorial, es del mayor interés. Una totalidad heterológica, utilizada como modelo de una totalidad isológica, nos remite a una situación paradógica, pero no vacia, al menos ordo inventionis. Una totalidad isológica, como modelo de tota lidades heterológicas, nos aproxima a los "modelos estadístic^'j" - en cuanto contrapuestos a los "modelos mecánicos" (marcos, etc.). La distinción esen- -• cial sería aquí la siguiente: Modelos isológicos que "respetan" las partes (la morfología) del todo hete-rrológico (intersectando con sus "momentos genéricos) como el número de Avogadro, o como el circulo esfera (que envuelve la pirámide) y Modelos isológicos que "destruyen" las partes de (a) al aplicarse y, sin em bargo, obtienen una construcción eficaz: Es el caso de los modelos estadísticos (homogeinización de partes heterológicas en los promedios, etc. etc.).

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§ 13 Modo Segundo. Clasificaciones 1.- El modo de la clasificación es considerada muchas ve-ces como de rango inferior: se habla, con cierto d e s — precio, de las ciencias "puramente taxonómicas" o del .estadio clasificatorio" de una ciencia. Dice John - Searle: "antes de Chomsky la Lingüística era una ciencia clasificatoria y,así lo proclamaba Hockett, una e£ pecie de botánica verbal". Condenemos que esta opi- nión sobre el modo de la clasificación tiene fundamento, pero> a la vez, es completamente errónea tomada en general (la misma comparación con la Botánica puede eri tenderse en otro sentido, según una tradición proceden te precisamente de Schleicher (21). ¿Como discriminar las situaciones en las cuales la clasificación es un procedimiento semicientlfico (o seudo científico) y -las situaciones en las cuales la clasificación es un auténtico modus sciendi?. Evidentemente, hó cabe apelar a la "realidad": "una clasificación será científica cuando discrimine aquello que en la realidad está separado por sus junturas naturales - en expresión pla_ tónica - y será pseudo científica, cuando sea externa, artificial". Porque esta distinción aunque fuera legítima, én sí no sería grioséológica. Además, no toda -clasificación "real" es científica o tiene relevancia científicas y muchas clasificaciones tíiehtlflcas son "aiftifieiósts" o estañ dadas éñ üñ plano ©blícuo (las clasificaeiohés de las estrellas según sus magnitudes aparentes).

La

perspectiva gnoseológica no ofrece para el

caso un criterio, en principio, eficaz: será científica (en el sentido de un modus sciendi) una clasifica— ción o bien cuando ella resulte construida rigurosamen

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te, por medio incluso de la demostración (por ejemplo, el teorema de la clasificación de los poliedros en ciin co tipos) o bien cuando ella "produzca" clases o conf_i guraciones tales que tengan virtualdad para insertarse en el curso ulterior de la contrucción (virtualidad pa ra recombinarsé entre sí, para dar lugar a ulteriores configuraciones etc, etc.)- Uña clasificiaciSh será éx tracientífica cuando ésto no ocurra, cuando lá clasifi^ cación divide o tipifica el campó en tales partes que quedan "exteriores" al ulterior proceso operatorio del propio campo (sin qué por ello las clasificaciones - pierdan su utilidad para otroS servibios no estricta— mente científicos -^ hacendísticos, políticos tecnol6g_i eos). Tanto cuando la propia clasificación produce — configuraciones en el campo X (la clasificación gnoseo lógica no es sólo una preparación del campo para ulteriores operaciones: puede ser éilá misma una operación cerirada, cóirtó pueda serlo la tabla de Meftdeléiv o los siátémaá fonológicos) como cuándo las clasificaciones peffrtiten éátáblédér doi'féspondeñSias» funciones, córtipa_ tibilidadéS (cuando áé habla de 1.a "evOÍUfei6n á& las so.rdaá latinas en sonaras" éa está operandoflobi?®la base de una clasificación previa). Una clasificación es científica - es un modus sciendi - en resolución, cuando está intercalada en el curso global de la construcción científica, de una - construcción cerrada. 2.- La clasificación, como modo segundo gnoseológico, ha de entenderse en un sentido muy amplio. Cubre todo -procedimiento conducente a la "formación de clases", de figuras o partes de un todo, es decir, lo que llama_ mos estrictamente división, procedimiento por el cual, establecemos la totalidad como el sistema de sus p a r — tes. Pero hay que distinguir también otras formas de

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clasificación, que llamaremos tipificaciones y en las cuales se dá un camino inverso: aquí pasamos de las partes al todo. No por ello las tipificaciones nos remiten al primer modo (al de los modelos, dados en el contexto ((parte, parte)/(todo)), porque mientras en este las partes se supone que determinan efectiva mente al todo, compuesto de estas partes, en las ti-pificaciones, las partes no determinan el todo. No son, por si, un modo gnoseológico (un contexto determinante) sino una vía regresiva (empírica, inductivacorrelativa" a la vía inductiva correspondiente dada en el modo cuarto de la demostración) hacia un todo del cual deberá partir la determinación sistemática, si esta es posible, de las partes tipificadas. Pero en la m«ídida en que las tipificaciones son también procedimientos "empíricos" por los cuales regresamos . (cuando ello ocurra) a las divisiones, parece obligado considerar a las tipificaciones como reducidas al modo segundo y no al primero. Al modo segundo de las clasificaciones corres^ ponderan, por tanto, no sólo los desarrollos boolea— nos, sino también las particiones de los conjuntos -(el cociente de una clase A por una relación R de - equivalencia: A / R ) . Tanto los desarrollos, como las particiones son conceptos lógico-formales, dados en el modo de la clasificación y ellos contienen ya la forma de la construcción gnoseológica. El concepto booleano de desarrollo, es por si mismo, una forma -constructiva de clasificación. A partir del término a, obtenemos, por desarrollo, los términos {(a, b ) , (a, b)} o bien {(a, b, c ) , (a, b, c) (a, b, c ) , - - (a, b, c)}. Es oportuno ciitar, aquí, las "tablas de desarrollo" utilizadas en muchas ciencias y que cuando son internas, constituyen un modus sciendi genuino, es decir, algo más que un mero procedimiento didácti-

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GO. Las cabeceras de fila, en cuanto opuestas a las de columna, se aprovecharán para simbolizar la o p o s i — ci6n entre un género de un sistema de opuestos; lo mi£ mo en las columnas. Una disposición de esta índole — (en las que las relaciones de izquierda/derecha, arriba/abajo se coordinan con los opuestos) puede conduci£ nos a una tabla de clasificación que es más que una — "representación didáctica" (es un "modelo de clasific¿ ción). No confundimos por esto figuras del primer modo (modelos) con figuras del segundo (clasificaciones) porque, en todo caso, estaríamos ante una situación en la cual el modo de clasificación estaría dado material^ mente, como contenido de los modelos ((a)^(A)) de un mo do formalmente primero. Por lo demás, caben diversas disposiciones de las tablas de desarrollo: b

b'

ab

ab'

a a a ' ab"

a ' a ' b a'b'

b ba' bb'

a

a'

b'

a

b

a'

a

aa

ab

aa-

ab'

b

ba

bb

ba'

bb'

a^ a'b a-'b a'a b'

b'a b'b b'a'

b'

a^b' b'b-

Hay campos cuyos términos se oponen booleanamen te y, por consiguiente, la clasificación sistemática de essos campos es el modus sciendi adecuado a sus ^. teoremas. Así ocurrió en el Electromagnetismo, cuando Dufay estableció la oposición elemental entre la electricidad vitrea y la resi^nósa (luego: positiva y n £ — gativa) según un criterio booleano (aproximación/separación) coyo efecto es el análisis de los diversos - cuerpos sometidos a prueba (seda, cuero...) según esa oposición estructurada. Como ejemplo típico de ciencia que procede esencialmente por clasificación "booleana" podemos citar la Fonología. He aquí un típica tabla — (que es mucho mas que una disposición didáctica) de — clasificación, es decir, el sistema mi• partes) : la división es una separación un análi— sis. En la tipificación procedemos, recíprocamente, de las partes a otras partes y finalmente el todo (partes

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-> partes ->• todo) : la tipificación es una aproximación de objetos dispersos, una síntesis. Lo importante es constatar que, tanto en la división como en la tipi-ficación, el resultado es una clasificación. Esto no significa, en modo alguno, que estas formas de clasificación sean, en cada caso concreto, simplemente recíprocas entre sí. La reciprocidad es abstracta y s6 lo podrán considerarse como recíprocas en concreto -cuando los resultados (la clasificación de referencia) sean materialmente los mismos. Sólo si a partir de . 1 2 3 T, obtengo por división: iZ-itZ y'^ 3^ ^ ^^i' ^1 ' ^1 ' 1 2 3 1 2 3 ^2' ^ 2 ' ^ 2 ' ^3' ^ó' ^3 ^ ' ^ partir de {^^t, ^t, ^t, ^t, i-t, ,t, _t, „t, rtt, ,} obtengo por tipificación 3 ^ (t. ,

2 3 1 2 3 t^, t j ^ ) , ' ^ 2 ( t 2 , t^, t^)

1 2 3 y ^ 3 ( t 2 , t^, t^) como p a r t e s

de T^ puedo decir rigurosamente que la división k y la tipificación k son mutaumente reciprocas. Lo ordinario será que sobre un T, de referencia las divi-síones y las tipificaciones se llevan a cabo con conocimientos mutuo, y que el ajuste se produzca por mu tua adaptación. Divisiones y tipificaciones encuentran su un_i dad solamente por referencia a las materialidades ndimensionales (n> 2) "f, - al margen de ellas serían simplemente operaciones distintas - a saber, en cuanto que operan sobre una materia T, resultados similares y eventualmente idénticos. 3.- El segundo criterio que introducimos para clasificar las clasificac-ones se funda en la diversidad lógica de las relaciones entre las partes del nivel clasifi catorio o nivel "tau". Distinguiremos dos situaciones distintas: O bien las relaciones son simétricas o son asimétricas. Cuando son simétricas (por ejemplo, la semejanza) y, eminentemente, cuando además -

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son transitivas y, por tanto, reflexivas, es decir, cuando son relaciones de equivalencia, entonces las clasificaciones de un todo T, conduce a clases de - equivalencia de nivel "tau". Cuando las relaciones "son asimétricas, sean o no transitivas, hablaremos dé clasificaciones atributivas¿ La distinción entre totalidades atributivas y distributivas es abstracta, porque, en concreto (por referencia a una mátériali-dad dada en un conjunto de conceptos) una totalidad puede simultáneamente desempeñar funciones atributi-vas o distributivas, aunque, por respecto a diferen— tes términos de referencia, óómplicados entre sí. Un Estado nacional es una totalidad nematológica (atri— butivá) por respecto á sus partes integrantes; pero, a la vez, es un elemento de la "clase de los Estados nátíldhales". Y como las relaciones internacionales — puédéñ interpretarse dbíno parte integrante de cada Es^ tádó nacional, se coiriprenderá que esta totalidad atf¿ butiva sólo tenga sentido a través (o pót medio) de •^ una totalidad diaírológica (distributiva), así como " íéolprocamente. En este cafeo, como en otros muchos, las totalidades atributivas y distributivas se compbr; tan como conceptos conjugados. Los aspectos atributivo y distributivo de un concepto dado aparecen superpuestos en muchos contextos. Pero deben ser disociados cuidadosamente en abstracto, si no se quiere incurrir en error. Si el silogismo no es meramente tautológico, es porque no se mantiene solo en el plano diaírológieo. 11 término •medio "M" funciona como término distributivo. Pero, de tal suerte, que si el término menor hubiera de ser enteramente absorbido él, entonces, propiamente la — conclusión, de por si, sería errónea. Pero si no qu£ da absorbido, no puede hablarse de distribución pura. Sea el silogismo "Del viviente (M) es propia la r e —

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producción (B); el ojo (A) es viviente (M); del ojo (A) es propio el reproducirse (B)". Aquí viviente (M) es un todo distributivo, en parte sobre el propio ojo (A) (conjunto de células etc); en parte, nematológico (ojo es parte integrante de los vivientes oculades). Ahora bien: la conclusión no es correcta si es interpretada en el sentido* que "del ojo, en cuanto absorbido en el viviente (en cuanto parte atributiva, in sensu compo— sito) es propio reproducirse"; O bien absorbemos el ojo en el viviente (en el sentido: "el ojo, en cuanto forma parte del viviente, se reproduce, es decir lo — consideramos in sensu composito) o bien no hay propiamente silogismo (23). La oposición entre clasificaciones distributivas y atributivas puede ponerse en correspondencia — con oposición estoica entre divisio y partitió (24) . ^^ división se refería al "todo lógico" respecto de — su9 géneros y especies (que son clases de equivalencia o de semejanza) mientras que la partitió sé refiere al "todo integral" despedazado en sus miembros naturales. En la doctrina escolástica se recoge ésta oposición e"ñ la subdivisión de las divisiones "per se" en actuales (esenciales y no esenciales - integrales y postestativas) y potenciales (unívocas y análogas) (25). La opo sición, procedente de Saussure, entre paradigma y sintagma tiene también aquí su fundamento: cuando clasifi^ carnes las pattes de las materialidades lingüísticas se gün el modelo de la clasifltíáción distributiva, obtene mos sintagmas (26) . La oposición de Jakobson entre — semejanza y contigüidad también guarda estrecha rela-ciÓn con la oposición entre la clasificación distributiva y la atributiva, porque la "contiguedad", en el contexto, funciona como relación asimétrica (27). 4.- Los dos criterios que hemos expuesto se cruzan, dando

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lugar a cuatro tipos fundamentales de clasificación Tipos de

clasificación

Diairológicas (Distributivas)

Divisiones

Clasificanes t i p o a (Taxonomías)

Tipificaciones clasificaiones t i p o 3• (Tipologías),

Nematológicas (Atributivas)

Clasificaciones t i po Y (Desmembramientos)

Clasificaciones t i p o 6. (Agrupamientos)

Ilustraciones al cuadro anterior. Clasificaciones tipo a. La taxonomía de Linneo o la de Heysmann (de los caracteres o tipos caractereo lógicos). Clasificaciones tipo 3. La tipología de - - ^ Kirétsehmer (én la que los individuos qué se asiémejan -^ entre sí se aproximan en "círculoí de semejanza"). Las "especies mendelianas", las clases de colores obteni— das por aproximación de cualidades cromáticas semejantes (la semejanza no es relación transitiva) (28). Clasificaciones tipo y. La clasificación de las áreas terrestres en dos hemisferios, la clasificación del plano en cuatro cuadrantes, la clasificación periódica de los elementos, las cortaduras de Dedekind en el campo de los números racionales. Clasificaciones tipo 6. La agrupación de las zonas de la Tierra en cinco continentes (por las reía-

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clones asimétricas que las partes guardan con sus contiguas) , las constelaciones, como agrupaciones de e s — trellas, las agrupaciones de las sociedades actuales en ciento cincuenta Estados (en virtud de las relaciones de cada pueblo con diferentes poderes centrales). Supongamos que vamos a clasificar el conjuntó (empírico) de los cinco poliedros regulares. Si forma los conjuntos aproximando loS que tienen caras poligonales de la misma clase, obtendremos una tipificación, incluso seriada (tipo 1: cdn caras de tres lados - tetraedro, octaedro, icosaedro; "tipo 2: de cuatro lados - cubo; tipo 3: de cinco lados - dodecaedro - ) . Tam-bién será una tipificación (aunque ella organizará el campo dé otro modo) la que resulté de atenerse al nflnié ro de aristas (tipo 1: con 6 aristas - tetraedro; tipo 1: oon 12 aristas '^ octaedro y cubo; tipo 3: con 30 -^ atristasí ieosaedró y dodecaedro. Esta tlplficacióri •^nos aproxima al ¿ohcépto dé "poliedros Conjugados'*) . Otro criterio de tipificación (que eri cawbio confluye por áus resultados cóñ él anterior) é§ él siguiente: -* tipo 1: con vértices y Gafas dé guma ofího (4+4=8, te-ta©dro); tipo 2Í vértices y caras de suma 14 (8+6, - 6+8): cubo y octaedro; tipo 3: vértices y caras de suma 32 (12+20, 20=12): Icosaedro y dodecaedro. Adviértase que todas estas clasificaciones no son propiamente divisiones, sino tipificaciones, áin perjuicio de su importancia; y, sobre todo, que la división (sistemática) de los poliedros simples en cinco especies (di^ visión que ni siquiera supone un agrupamiento, pues c£ da especie no se agrupa con otra - aunque todos los -agrupamlentos están parcialmente dados en esta divi- sión) es ella misma un proceso científico, es un teo— rema: un teorema que incluye una cuantificación (Euler, Scháfli, Poincaré), pero orientada precisamente esta división sistemática.

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5.- Las operaciones de clasificación son muy diversas en cada caso. En el tipo a las operaciones serían más — bien combinaciones de marcas abstractas de clase. En el tipo 3 las operaciones incluyen comparaciones. En el tipo Y las operaciones pueden ser permutaciones entre rasgos abstractos o acumulaciones de estos rasgos. En el tipo 6 las operaciones pueden ser composiciones de relaciones por correspondencia con un paradigma dado. 6.- No está generalmente claro el tipo (a, 3^ Y/ S) de una clasificación dada. Una clasificación puede atenerse a dos o más tipos y cambiar de sentido según sea inter pretada como perteneciente a úh tipo más bien que a -otro. Podría ejemplificarse ésta situación con la cl£ sificáción de los cuerpos químicos en metales y no me-tales. 1.-

Tipificaciones y divisiones pueden realizarse sucesiva mente (las tipificaciones, retipificarse; las divisiones, re-dividirse). La división de un campo suscepti— ble de redividirse puede conducir a un desarrollo ca-paz de aproximarse a la forma de un teorema (por ejemplo, si las re-divisiónes se llevan a cabo aplicando criterios homogéneos matricialmente representabies).

8.- Una división puede recubrir a una tipificación previa (o recíprocamente) sin que ello quiera decir que los resultados dé ambos itibdois de la clasificación conflu— yfeñ siempre materialmente, tjue sean "GóftiflQíisurables" * Lo mas probable séran las situaciones én las cvíales la tipificación agrupa términos segün "circuios de seme-janza" (o, mejor aún, según alguna "relación hereditaria" interna al material) y la división ulterior reorganiza (en un segundo o tercer grado) al material tipi

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ficado, pero sin alcanzar por igual a todas las par-tes tipificadas (a muchas de 1 s c ales solo llega — acaso de modo oblicuo o negativo, como en las divisio nes dicotómicas ordinarias). Tal es el caso de muchas clasificaciones zoológicas o botánicas, en las cuales las especies (o los géneros) pueden interpretarse como tipificaciones (agrupaciones de términos por relaciones diaméricas, "especies mendelianas"); sobre - ellas se extiende una reclasificación (según el modo de la división) en ordenes, clases o tipos. En g e n e — ral, faltaría la conciencia de ésta distinción de modos de clasificación, o bien esta conciencia se haría presente según formulas inadecuadas, extralógicas o metafísicas. "Classis et Ordo est sapientiae, Genus et Species opera Naturae", decia Linneo. ¿Ño podría'— mos pensar si entré "especies" y "géneros" * por un la^ do, y "ordenes" y "clases", pbr otro, más que una dis^ tancia epistemológica y ontólógica (la que media en-"» tre lo que es natural y objetivó y lo qm' .ÍS artifi— cial y subjetivo) no habría una distar ^a lógico-mate rial (la que media entre las tipifi cienes y las divisiones)? Habría que ensayar tam' jn otros criterios intralógicos (atributivo/distr' .tivo) ai tenemos en cuenta que las clases linnea* ^ parecen muchas veces tipificaciones ("peces", "aves", et..) - La enumera—" ción de las categorías de los ^'Sf;ritos aristotélicos se aproxima a la forma de una tipificación; las "fundamentaciones" que los éscciiásticos ófrédian de tal enumeración, eran d visiones ad hoG (puesto que los " criterios de desarrollo eran heterogéneos en cada rama y calculados en cada caso para ajustarse a la tipi^ ficación). La lista de "tropos" de Enesidemo qu nos transmite Laercio es una tipificación, pero es sus-ceptible de una reclasificación por división que Pone de manifiesto relaciones escondidas (y confluyentes -

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con otros campos) y sugiere que lo que pasaba por tipi^ ticación acaso era el resultado de una división cons— tructiva implicita ("ejercida", no "representada").Solo en situaciones muy particulares, los resultados de las tipificaciones de un campo material se adecúa (ajustan) plenamente con los resultados de la reclasificación por división y én estos casos la división (o desarrollo) que logra reconstruir las partes tipificadas previamente, puede alcanzar la estructura gnoseoló gica de un teorema, cuyo campo fenomenológico sería -precisamente la tipificación. Así, la clasificación — del campo de los poliedros regulares en cinco especies ¡es una tipificación — los "cinco cuerpos platónicos" hasta tanto no se alcanzó la demos trac ion - Princaré, Sdh&fli - dé que solo son posibles é^os Cinco tipos po liédrícos, y esta demostración tiene precisamente la forma gnoseológica de una división.

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§ 14 Sobre el significado gnoseológico de la cuantificación y de la matematización. 1.- La importancia de la cuantificación én la constitución de los organismos científicos es algo indiscutible. §fe trata, no de discutir esa iifiportancia, ni de éhcarecer^ la, sino de analizarla gnoseólógicamente. Y no es nada sencillo encontrar la "escala gnoseológica" adecuada para emprender éste análisis, porque, con gran fac_i lidad, al intentar penetrar eii las claves del significado gnoseológico dé la cuantificación, nos deslizamos hacia el plano de las fundamentacibnes ontológico-epis^ temológicas. "La realidad (al ínénos la realidad cog— noscible) ea cuantitativa". Tanto dá qUé ésa premisa se entienda en una peííspéctivá realista-iflaterialista (atomismo clásico, caftésianisitió) o úe entiende en una peiespéctiva idealista ^matematiclsta (tradición pitagó rica, doctrina kantiana de la Estética trasóéndental)* Porque, en todo caso, la respuesta sería de esta índole: "la importancia de la cuantificacíón científica deriva de la naturaleza cuantitativa de los campos que las ciencias tratan de conocer". De donde habría que extraer consecuencias como las siguientes: Primera; — "luego toda ciencia es ciencia en lo que tiene de mat£ máticas". Segunda: "luego sería suficiente determinar una" magnitud, y cuantificaria, para poder hablar de — una ciencia de esa magnitud, de ese campo cuantitativo. Ahora bien, primero la conclusión no concuerda con la realidad efectiva de la situación de las cien-cias: la Fonología no es una ciencia cuantitativa (aun que eventualmente contenga "episodios" matemáticos) ni no es la Lógica formal (aunque se ayuda de la combinatoria, por ejemplo, cuando expone las tablas de funció

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nes de verdad). Pero aunque concordase, no por ello la premisa que le daba origen, sería satisfactoria. En efecto, teniendo en cuenta que la naturaleza cuantitativa de la realidad es algo que no puede ponerse independientemente de la propias actividades cuantificadas de las ciencias, esa premisa se aproxima demasiado a la explicación de la capacidad somnífera del opio por la virtus dormitiva. - Segundo: conocer la distancia de la Tierra a la Luna no es de por si un conocimiento científico; si este conocimiento tiene algo que ver — con la ciencia es en tanto se compara la distancia conocida con otras distancias (cuando la cuantificacióh, como diremos, se compone con otras cuantificaciones, lo que ya está implícito en el concepto de medida). Pe ro entonces la ciencia no consiste en cuántificar, ¡sino en los procesos por los cuales se llega a esa cuantif icación o medida y. Sobre todo, por la composición dé cuantif icaciones diversas. Esta comg»osición y sus desarrollos incluyen ya un contíépto lógico-material -gnoseológico ("medir" es un procedimiento científico sólo en el contexto de estas composiciones etc). D e — terminar el número de los emperadores romanos es, sin duda, "cuántificar" un material histórico (un conjunto de nombres). Pero, evidentemenete, esta cuantifica- ción ni siquiera es un conocimiento histórico por si mismo. El historiador de Roma puede incluso exponer la serie entera "sin haberse parado a contar sus elemen-tos" y sólo puede comenzar a ser una determinación pe£ tinente (históricamente) cuando, por ejemplo, ese cardinal se pone en conexión con otras cuantificaciones, la de los Faraones de la XVIII dinastía o la de los Em peradores germánicos. Ni siquiera cuando la relación cuantitativa es verdadera (por ejemplo la relación (6, 12, 8 ) , (8, 12, 6 ) , de vértices, aristas y caras de cu bos y tetraedros) podemos decir que estamos ante un co nocimiento científico, que sólo lo será en el contexto

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general de la teoría de los poliedros regulares, que a su vez forma parte de contextos topológicos más am- -•^ plios (29). 2.- Vamos a mantener el punto de vista según el cual ia im portañola y significado de la cuantificacióh deriva de los componentes lógicos materiales de la propia cuan-— tificáción, tales como nos es dado analizarlos desde la teoría del cierre cátegoirial. Por decirlo así (dé un modo no del todo adecuado, por cierto) si la cuanti^ ficación revista tal importancia en el proceso científico, ello es debido ño ya a los "momentos ontológicos" de las entidades Cuantificadas, sino a sus "momentos lógicos". Se tratábante todOj de poner de manifiesto estoa componentes ghoseológicos de la cuantificación. Desde ellos intentaremos evaluar loa límites de la mi|^ mñi decidir si está o no está justificada la tesis: — "ttída ciehdla es ciencia en lo cjue tiene dé matemáti'-ca"; intentaremos dar cuenta de la posibilidad de cidii cias rio matemáticas^ y con ello, áproximarnoÉ a laá -claves de la cientificldad de las propias elenóias matemáticas. Por otro lado, alcanzar la perspectiva gno seológica no equivale a haber logrado un análisis adecuado: Un verdadero análisis gnoseológico de la cuant_i ficación, no es, por si mismo> un análisis gnoseológico verdadero. 3i- Esta diferencia se nos hatá patente mediante la crítica dé un "modeló" de análisis de la cuantifieación que> iin embargo, se haya llevado a cabo por medio de con-ceptos gnoseológicos. Conceptos que no hay que confun^ dir tampoco con los conceptos de la Lógica formal, indispensable para el análisié tecnológico de la cuantificación (30). La medida es uno de los procedimientos de mayor importancia gnoseológica ("la ciencia física no es otra cosa sino la medida" - se dice, aludiendo a

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una evidencia denotativa, gnoseológicamente empírica). Pero la medida, en su significación gnoseológica (porque puede no tenerla, en el caso de medidas precientíficas, o puramente artesanales, o incluso pseudo-científicás, aritmológicas o cabalísticas) no queda analizada porque nos atengamos a conceptos lógico-formales que, con todo, pueden seguir refiriéndose a la medida en su aspecto tecnológico. Sobre todo, acaso, porqué estas definiciones se refieren a la "medida de una sola magnitud": "se llama medida definida en S - un álge bra de conjuntos definida en el conjunto finito E - á toda aplicación m definida en S y con valores en el — conjunto R de los números reales, tal que cualquiera que sea A y B pertenecientes a S y disyuntos, se verifiques m (A V^ B) = (A) + (B)". El concepto de medida, ghoseológicainente, debe ser ánaliíaado en otra escalaj supuesto que la condición m (AU B) - tA) + (B) puede ÍJi terpretarse como la realización misma de clases de tipo atributivo de un campo ghoSeolÓgicó. Por ejemplo la escala que nos muestre el momento en ©1 cual las me dilas de una magnitud se coordinan con otras medidas -(en clases heterológicas) dentro del sistema de rela-ciones dadas en un contexto determinante; ha de darse el significado material de las figuras de R en cone- xión con este contexto, o como intermedio del nexo entre figuras de las magnitudes del campo. 4.- Consideremos la Situación, ante todo, desde el eje siii táctico. Supohgamos ün campo cuya materia sea cuanti~ tativa: ¿desde que punto de vista este campo puede apa^ írseeifsenos como un campo gnoseológico?. Si tenemos en cuenta, por un lado, que las cantidades pueden conside rarse como determinaciones de magnitudes (que desempeñan el papel de clases nematológicas) y, por otro, que un campo gnoseológico ha de constar de más de una clase, concluiríamos, por de pronto, que un campo cuanti-

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tativo debe contener por lo menos dos magnitudes (de las cuales una podía ser acaso la misma magnitud organizada según unidades distintas, las que se toman como unidad formal de medida). La cuantificación de estos campos es, por ejemplo, una forma de clasificación, de enclasamiento, en el sentido gnoseológico. Llamemos matematización a todo lo qué se refiere a todas estas cuantificaciones, más los procesos ulteriores. Ahora bien; si las cantidades figuran como términos del campo, sería tentador pensar, para bosquejar el modelo -más sencillo de campo cuantificadó con sentido gnoseológico, en una sola operación (la adición) y éh una so la relación (la igualdad). De este modo, obtendríamos por lo menos ün esquema de análisis de las magnitudes como entidades privilegiadas en la constitución de los dampos científicos. Porque las magnitudes (en su forma más sumaria) suelen definirse por medio de la adición y la igualdad. Cuando hemos definido la adición y la igualdad en un dominio podemos tener la seguridad de qué estamos ante üná magnitud. Ahora bien: ¿No podríá^ móS atribülif a la igualdad el papel de una re las ion, en ©1 Sentido gnoséolÓgleo?. Y, eon ellüi ya tendría'-'^ moa una respuesta gnoseológica, desde la teoría del -cierre categoirial, a la cuestión del por qué las magni^ tudes son entidades gnóseológicamente privilegiadas: ellas incluyen (además de los términos cuantitativos) relaciones y operaciones, es decir, los componentes — sintácticos de un proceso de construcción científica. De donde la cuestión: "¿Por qué las magnitudes parecen especialmente adecuadas para constituiírsé en temas de la construcción científica?", tendría una respuesta — bien sencilla: "porque ellas son ya campos gnoseológicos, porque ellas son ya el resultado de una actividad gnoseológica" - sin necesidad de apelar a supuestas -Virtudes óntológicas o epistemológicas de la cantidad.

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Sin embargo, aun cuando este análisis fuera ya gnoseológico, sería un análisis muy grosero. ¿Acaso la igualdad, por la que definimos cada una de las magnitu des (clases) puede desempeñar el papel gnoseológico de una relación?. Las relaciones gnoseológicas han de r£ ferirse á las clases diversas del campo y estas rela-clones no serán ya las misiiias que aquellas por las que se define cada clase - magnitud (relaciones dé orden primero). Igualdad y adición, en cuanto que definen las magnitudes, habría que verlas, ante todo, desde el punto de vista del "sector de términos" dé las clases cuantitativas. Para aproximarnos a esta perspectiva global sintáctica que venimos suponiendo, habría que toiftar en cuenta los procesos de matematización consecu tivos á la cuantificación. Ante todo, distinguiendo el miBrto signo "=i" interpuesto entre dos voltimenés V-V- y el signo interpuesto en lá ecuación dé los gases, como igualdad funcional: PV == nRT. La primera igual-dad V-=V2 (incluso V,==V^+V.) es homogénea, ísológica y tiene un sentido diferente a la igualdad VP-nRT (diferencia qué Sé mantiene dentro del plahó objetual, sin inteírvención del plano preposicional) . La diferencia no la ponemos en la distinción entre adición o piroducto (siguiendo la sugerencia antes citada de Descartes, cuanto estimaba como tautológicas a la adición, al - igual que el silogismo) sino, teniendo en cuenta la •^teoría del cierre categorial, entre los campos isológí^ eos y los heterológicos, entre los cuales también po'"dfá darse la Operación adición (C+A=V-2, en él principio dé Euler). Lo que habría ocurrido es que el pro^ductó es una operación que puede componer magnitudes hetereológicas, mientras que los sumandos han de ser de algún modo homogéneos, isológicos (en el caso del principio de Euler, la adición nos remite a un nivel de pura coordinación numérica que habrá que resolver, en la prueba, geométricamente (31),

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Los procesos de iriatematización pueden ser ya gnoseológicos, Comportan operaciones que nos remiten a otros términos del campo, que se recombinan con los da dos - y es en este proceso de construcción compleja, ya en marcha, en donde habrá que ir a buscar el significado científico de los campos cuantificados. Sabe— mos que determinados "números", por ejemplo el número e, desempeñan importantes papeles en la estructuración de los campos materiales mas diversos (biológicos, eco nómicos, físicos). "Cuantificar" dichos campos por me dio de esos "números privilegiados" no es un tarea qué puede llamarse científica, por el hecho de someterla a esta cuantificación. Más aún: diríamos que, científicamente, esa Cuantificación carece de sehtido absoluto. Por ejemplo, fracasaríamos si tratáseinos de dar un sí£ nificado a la expresión decimal de los campos cuanti— ficados por medio de e = 2, 7182....; ni siquiera saca ramos algo cuando nos atenemos á su significado operatorio conceptual: e = l^m. (1+1/n) . Es la inserción de "e" en un curso de operaciones tales como la dérivaCión e integración de funciones (y = ae r3y'=kae ) aquello que puede conferir sentido científico a esta -^ cuantificación, porque es en esté curso o proceso en donde "e" y su marco funcional alcanza el privilegio -• (dado en el curso operatorio) de reproducirse, según una suerte de idempotencia, que marca el ritmo de una variación. Én vano intentaríamos, según esto, dar algún sentido al priviletífio del número e sobre i a base ^ de penetrar en su definición absoluta, tratando de relacionar el valor 2> 7182.».. con supuestas estructu—• ras cuantitativas del campo. Serla tan vano intento como el de querer penetrar en el significado de a = 1 a partir de la definición absoluta de "potenciación" y de "O". Pero desde la perspectiva de estos cursos ope ratorios, el papel de estas matematizaciones se nos re vela en su verdadero alcance. Desde el punto de vista

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de la teoría del cierre categorial: es en los cierres - cuando ellos se logran - en donde estos cursos alean zarSn significado científico. Porque el cierre es material, incluye quelos deserrollos de un campo por medio de la función y=e séan realizados por la materia misma constitutiva dé las clases del c!ij)§po (la clase (y) la clase (x), es decir, y, x como clases materia— les). En este caso, el cierre es funcional: los valores de X se corresponden a los valores de y en virtud de relaciones materiales que definen cada contexto determinantes; las variaciones dé x e y se componen de un modo cerrado con los valores de y y de x. (advierta^ se que no estamos reduciendo el concepto de construc-ción matemática ál concepto de función - sino reinterprétando ciertas funciones cómo procedimientos de cié-^ rre) . La cuantificación, por tanto, sólo a través de la matematizáción, y esta sólo en tanto que nos remite a componentes genéricos, compuestos a su vez con las clases específicas dé los contextos determinantes, (de finidos dentro de los principios de cada ciencia) a l — canza su significado gnoseológico, y no por si misma> ni siquiera por el hecho "tecnológico'' de la mátemati'^^ zación genérica (formal)* La preséntíiá dé, por ló menos, dos magnitudes éñ el proceso de la cüantificáción científica (como -procedimiento a través del cual se construyen las propias figuras del campó ghoseológico) sé fiSS muestra -e©ñ toda evidencia en los procedimientos ©§tád,ísticoB (no funcionales) orientados a establecer correlaciones, en tanto ellos incluyen la "composición" de diversas series de valores de diferentes magnitudes. La "figuras científicas" que, en Psicología, se conocen como "factores" (de la inteligencia, de la personalidad etc)

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no son otra cosa al margen de estas composiciones y de sus confluencias (32). Y, sin embargo, aún aquí se — pierde de vista la perspectiva constructivista del cxe_ rré categorial - o se la toma a medio camino - cuando se pone el acento en los invariantes de la correlación misma (en la repetibilidad de la correlación) como con tenido mismo de la nueva figura (eri lugar de ponerla en las conexiones entre estas correlaciones - en el — plano en el qué se dibuja el concepto de "ecuación tetrada" de Spearmann). Porque entonces, aún cuando a esa figura sé la haga consistir en la misnia córrela- ción construida, sé recae en el ésquiema "porfiriano" del universal distrilDÜtivo que sé repite en sus ejém— piares. Por tanto, este se mantiene siempre en un pla^ no ertipírico y externo^ mientras el "universal" (la correlación) áe reduce á su aspecto formal^-númerico qüe^ en principio, podría también aplicarse a figuras com--* pletamente distiritas. Pero cuando introducimos el esquema de. la "confluencia" -^ de las composiciones cuantitativas constitutivas de la figura con otras terce-ras; por tanto, cuando reihtélrpretairtos a la propia co rrelación en el éenó de éstas "confluencias"^ entonces ya sería posible incorporar los contenidos materiales de la propia figura, antes abstrahidos. J. Üllmo, por ejemplo insiste - dentro de la perspectiva constrücti~ vista bachelardiana - en la significación central para la ciencia del momento de ,lá correlación (de la composición de magnitudes, digamos). La correlación sería él episodio central del proceso de cuantificáción: - *cuando sé define una especie de flores por inédio de -=• una corirelacióri constante de dos magnitudes, es la - * constancia lo que define científicamente la especie, y no alguna entidad "metafícia" (33). Esto es cierto solo que Ullmo pone el acento en la repetibilidad (diriamos: porfiriana, formal) en lugar de ponerlo en la confluencia de las magnitudes correlacionadas entre sí

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y con otras terceras, con las cuales han de ajustar tam bien, en el proceso de cierre categorial, para que la figura científica (la especie de su ejemplo, como con— texto determinante) quede perfilada. 5.- Desde el punto de vista del eje semántico, la cuestión principal que se nos plantea es esta': la cuantificación ¿Se mantiene en el nivel esencial o bien se mantiene en el nivel fenoménico? La oposición ontológica tradicio— nal entré cantidad y cualidad se analiza gnoseólógicá— mente de un modo muy adecuado por medio de la oposición esencia / fenómeno. Se diría que hay una tendencia a suponer que la cuantificación nos remite desde luego ál nviel esencial: Es la tradicción pitagórica, y, en cier^ to modo, cartesiana (34) Los campos "cualitativamente organizados" (fenoménicamente) serían reorganizados - esencialmente precisamente por la mediación de la ley matemática (las leyes de Balmér respecto de las rayas coloreadas del espeCtiro) . Pero gnoseQlÓgicamente, esté esquema pitagórico rió se ajusta, en geriéJíál a la efecti^ Vidád del ptocéSo científico. La cuáñtíficáción sUpóíie un paso hacia la esencia (el paso de lee ''céleres" - -^^ - cualldadeg » a las longitudes de onda) pesío ella misma no puede confundirse con la esencia (35), Como fórmula general, acaso valdría la siguiente: La cuantifica. ción nos ofrece la "refracción de la esencia" (de lo — que ulteriormente determinamos como esencia a partir de la misma Cuantif icación: "arguiriento ontológico") en el plaño fenoménico de las Matemáticas; estas son por tanto j si se interpiíetán como un gérieró que debe conectar'Bú con especies determinadas, un episodio del ordo .cognoscendi: el plano, por ejemplo, de loa sitemas artificiosos de unidades, de las transformaciones algebraicas, de los ejes coordenados, de las "pautas" sin usoidales etc. La construcción científica ha de continuar regresando, a partir de este plano del or(?!)do cognoscendi al

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ordo essendi y éste régressus tendría lugar en eil eje semántico, por medio del establecimiento de los facto tores esenciales del respectivo contexto determinante. La forma aritmética: "28 = 256", utilizada evehtualitlén te en Genética, pertenecerá al ordQ congnoscendi (es genérica) y s61ó se determina como modelo específico al coordinarse con la materia biológica ("célula dividida en dos") (36). Una curva (por ejemplo, la curva de variación de temperatura dé fusión de una sustan-cia en relación con la presión) puede representar una función y habrá de ser interpretadas como modelos geñ^ rico, oblicuo (fenómenos, én él ordo cognbscendi) del caitipo categorial construido por las clases de las presiones y de lá temperaturas, de los sólidos y de los líquidos representados efi distintas ífegióftes del plaño La euestión no se reduce a hacer Cortespender a cada " punto del plano un estado (líquido, sólido) de la sub£ tañciás, sino én dar cüéfitá de la regularidad (fuhcióftal) de la curva. Esta regularidad - cuyo canon es la identidad lineal, establecida sea en la propia función, sea en sus derivadas - ha de interpretarse como un fenómeno de la esencia, a saber, de la composición a nivel de las clases atributivas vinculadas sinectivamente. "Los cambios de cantidad suponen un cambió cualitativo": se trata de una fórmula grosera y abstracta, pues no contiene la referencia al material específico cambiante (37). He aqui una ilustración muy elemental de lo que queremos deoir al referirnos al proceso de desarrollo del nivel genérico - matemático en el nivel de desarrollo específico, cuantitativo del campo. Estamos ante una situación cotidiana (prefigurada tecnológicamente), a saber, que el aire, sin perjuicio de su "espirituali— dad" es pesado. Podríamos deducir esta propiedad del aire a partir del conocimiento previo de que aire es -

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corpóreo (experiencia de la clepsidra en Empedocles) y de la premisariewtaniana:"todos los cuerpos son pesados" (y no sólo la tierra y el agua). Estos conoci- mientos (verdaderos, sin duda) todavía no podrían llamarse cuantitativos en el isentido grioseológico. Se — les llamará "cualitativos" (con notable impropiedad, como si la cualidad sé opusiera globalmente a la canti^ dad). Nos remitimos a la experiencia clásica: un globo, lleno de aire, pesg máá qué el globo vacío, dése— quilibria la balanza (cambia el ángulo del brazo res-pecto de la horizontal); necesitamos más pesas para — que el equilibiMb se mantenga. Estos conocimientos se dicen cualitativos, pero en el óentido negativo (no — cuantitativos -gnoseológicámérite) porque las "Cualidades" de que no^ informan son yk, por su contenido Oñto lógico. Cuantitativas (ángulos, pesos) . La cuantifica^ cióh gnoseológica comienza acjuí con la medida; comienza cuando, en vez de notar indeterminadamente cómo el globo vaciado desequilibria la balanza» determinamos " que un globo de un litro al vaciarse desequilibria la balanza en dos grados (medidos en un limbo) o bien, né^ cesita pesas que totalicen un grarho y tires decigramos para reponer el equilibrio. La pregunta gnoseológica comienza ahora: "¿Por qué estas medidas o en que condi clones, pertenece ya a un curso científico?. Evident^ mente no por sus resultados, aunque sean verdaderos, contratados, verificados (estos resultados, recogidos como "ínera Curiosidad", sort delrtiísmolinaje que el re sultadó arirojado por el recuento numétlco de los emperadores romanos de nuestro ejemplo anterior). Estas medidas comfenísarán a poder ser científicas en el curso dé construcciones más complejas que incluyen, por * -cierto, otras medidas y, a su vez, sólo desde ellas el mismo acto de medir elemental recupera su sentido gnoseológico. Si nos atuviésemos a la medida elemental ("un gramo y tres decigramos") se nos desvanecería sus significado gnoseológico. Pero contemplada esta medi-

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da GOmo un momento de la construcción global, podemos establecer: a) Que, en realidad, estamos trabajando en un campo cuyas clases son A= volúmenes (con litros por unidades) y B= pesos (con gramos coiho unidades) ; o — bien: ángulos (con grados como unidades). Además, por supuesto, están las clases "químicas": C= "aire" o -bien:"hidrógeno"> "metano", etc. b) Al medir, no sólo hemos cuantificado A(un litro) y B (un gramo y tres decigramos) sino que h é — mos establecido una relación dé igualdad entré ellos. Esta relación no es meramente numérica: es una rela-ciÓh material entre un gas> a un volumen dado y otras masas (las pesas) ; relación eátabíeCida á través de -^ Una balanza (relator) áégúh leyes dé Xa Estática - -(contexto deterniinante) . La relación de igualdad es ün momento (formal, fenoménico, pese a ser cüantitati^ vos SUS términos) de relaciones sinectivas entre ma-sas y volúmenes. La medida, desde el puntó de vista gnoseólógico, supone la construcción de totalidades isológico, supone la construcción de totalidade isoló gicas de una clase atributiva á partir de unidades y elementos cuya composición debe estar establecida según las relaciones materiales específicas de cada cam po (la medida del calor de un cuerpo implica la conexión entre los diferentes cuerpos a través de uno tomado por unidad, el agua). La relación de igualdad, es, por tanto, reit^ rabie: esta reiteración es ya una construcción, la -construcción de una región del campo cuantitativo. c) Pero, sobre todo, esta relación está dada en otro curso de relaciones y operaciones: si pongo -

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en la balanza 10 litros tendré que poner también 13 — gramos, para mantener el equilibrio. Ahora estoy construyendo cerradamente un campo homogéneo, cuantitativo, en relación con otro campo: se representará esta relación en una función. dj Se medirán gases de diversa naturaleza, se compondrán con los anteriores en un sistema de operá^^— cionés cerradas y eventualmente se establecerá un ni-vel genérico si se demuestra que el número de moléculas está en relación cbn la iftása (número de Lodschmiüt) e) Cuando predigo lo que va a pesar un volumen dado de aire, esta predición (ál margen de su utilidad práctica, dentro á isu vez de terceros coftteíctos: acaso él volumen en cuestión ya no es siquiéira maftipulablé pQW §üs dimensiones; la verificaeión de egue la predi-tíión es correcta la obtendré porque ajusta en la c o n — fluencia de terceras relaciones) óigué siendo una forma de construcción. El criterio de la cientificidad por la predictibilidád, por importante que sea, no re basa los límites gnoseológicós de la idea dé construcción. Si la ciencia cuantitativa predice, su cientifi^ cidad no consiste en predecir, sino en cohtruir. (La predición es unaforma de construcción y su verifica- ción es también constructiva, a través del ejercicio de ulteriores operaciones: No hay ciencia porque "predecimos ejL futuro" sino porque lo construimos dentro de los contextos determinantes establecidos y por la mediación de terceros términos y operaciones). f) Todo lo anterior suscita constantemente las cuestiones acerca de las relaciones entre los números genéricos^ "formales" y los "contenidos materiales específicos" (volúmenes, masas). Es preciso regresar a las leyes operatorias de los números o bien a los con-

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textos operatorios en los cuales las propias medidas están funcionando y este análisis exige, en cada caso, penetrar en la naturaleza ontológica del campo, porque sólo así el análisis gnoseológico puede llevarse ade-lante. La importancia gnoseológica dé la matematiza-ción (en las ciencias físicas o sociales) reside, só-bre todo, en su naturaleza operatoria, eri el hecho de que suministra procedimientos operatorios muy variados de construcción que permiten la edificación de los cam pos organizados sobre clases atributivas, que abren -perspectivas especialmente fértiles dentro de un cie-rre categorial. 7.- De las premisas que nos harí conducido a considerar la cuantificación como un prociedimiento interno y aún - éSéñdial dé la construOciÓii científica> ñO cabe infe-ílr que este proeedimiénto haya de considerarse como el Único caminó seguro de toda ciencia - aunque si dé algunas, o de algunas partes de otras. Desde nuestras coordenadas, podemos establecer un criterio general — (aún cuando su aplicación a cada caso particular pré-senta grandes dificultades): la cuantificación y la -matematizaclón son indispensables en aquellos campos constituidos por clases nematológicas que sean totalidades isológicas, organizadas cada una de ellas en for ma de magnitud¿ Por lo demás, el terreno obligado para contrastar el criterio, es el análisis de la transformación dé la Física de Aristóteles (que sú ocupa ya de magnitudes, pero sin cuantificarias) en la Física científica, mediante la cuantificación (38) . iPero esto no implica que todo el campo de una ciencia cuantificada sea cuantificable; ni tampoco que los campos to dos de las ciencias hayan de ser cuantificados para -que sus disciplinas respectivas se transformen en dis-

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ciplinas científicas. La Física ilustra el significado de la cuantificación precisamente pbrque en su campo figuran dife=rentes clases cuántificables y porqué sus principios establecer la relación entre esas clases; como principios de relaciones heterológicas. El tercer principié de Newton postula una igualdad entre magnitudes, no só lo distintas sino opuestas (la acción y la reacción) que, además, dicen referencia a otra magnitud, a la ma sa; el segundo principió vincula magnitudes diferentes (no porque sean disociables sino porque pueden variar independieritemen) como lo son las fuerzas, las masas, y las aceleraciones; y el primer principió también vin cvilattiágnitüdesdiferentes, a saber, además de la m a — Bñt el movimiento, cuántificado Isologitíamente (el - tiémfjo) y la longitud (lá línea recta) . Mientras que el tiempo es una magnitud isológica, el Concepto de -"velocidad uniforme" es ya un concepto hetérológicó —• que tiene, además, lá forma de un cohepto científico " abstracto. En general, las fórmulas de la física es-— tan compuestas de términos que simbolizan magnitudes (o dimensiones) heterológicas, aquellas qué se explici^ tan precisamente en las llamadas fórmulas o "ecuacio'— nes dimensionales". Se comprende que una ecuación fí2 sica (del tipo F - G(m. .m„/r )) reducida a su forma d-L mensional, nos de una identidad. En el ejemplo citado, -2 si sustituimos F por su definición M. L. T , escribiremos M.L.T."^ = G(M.M/L^); como M = L'^.T"^, para G-1, tendremos: M . L . T " ^ = (M.L^.T~^)/L^ = M . L . T " ^ (39). 8.- La función gnoseológica de la cuantificación, en cuanto proceso mismo (constructivo) del ;"cuaitificar concr£ to" (no en cuanto "indicio" epistemológico, en cuanto fenómeno, de otras esencias que hubieran de ser rein-terpretadas cabalísticamente) es decir, en cuanto al -

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cuantificar concreto es la misma construcción de un -sistema de totalidades atributivas a partir de sus pa£ tes y recíprocamente (y no de una totalidad aislada) puede ser analizado en una situación muy sencilla, pero de especial importancia, en la historia de la Física: las experiencias de Benjamín Thomson, conde de Rüinford, relativas a las mediciones del calor desprendido en las perforaciones de cañones de bronce, que condUj£ ron ai derrumbamiento de la teoría de calórico y al e£ tablecimiento de las bases del campo de la TérmódináíTii^ ca (en cuanto constituido sobre dos "variables" o clases, Q, W, a saber, el calor y éi trabajo). Tratamos de analizar las "cüañtificaciones" (o mediciones) dé B. Thomson desde un punto de vista en el que se nos manifiesta, con toda claridad, su estructura gnoseológica de CoñstifUGCión operatoria de un campo dategorial en-tendido como un sisteifta de totalidades o clases atribij tívas (40). Trataremos de establecer de qué modo las mediciones del Conde Rumford no se mantienen en el terreno de los fenómenos ni ofrecían meramente "indicios" (aunque sin duda, podrían ser entendidas como "indi- cíos", cuya función, que no negamos, es oblicua, epistemológica, mas que gnoseológica). Ni, menos aún, podrían reducirse a las operaciones aritméticas (abstrae^ to-formales) de sumar o dividir - porque precisamente estas operaciohes aritméticas solo alcanzan significado gnoseológiCo en Cuánto a operaciones materiales (ho lóticas) dé composición de totalidades, a partir de — SüS partesj y descortposición én estás mismas partes; áSÍ cómo pQt la coordinación de estas totalidades atr^ butlvas (cuantitativas) en un sistema (sinectivo) que, si cierra, cierra en virtud de la misma cuantificación holótica circular (de todos en partes a través de - — otros todos y de partes en totalidades etc).

Ahora bien: si las "cuantificaciones" de B.

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Thomson, en cuanto trabajaban ellas mismas en el senti^ do dé la construcción categorial» pudieron, por si mis^ mas, destruir lá "teoría del calórico" es porque esta misma teoría dgl calórico teñía yá una "estructura - cuantitativa" - es decir, no era simplemente una dod-trina metafísica (sin perjuicio de que fuese errónea). Las cuantificaciones de Thomson se desarrollaban en ®1 mismo "formato" categorial de la teoría del calórico, o si se prefiere: hacían posible atribuir a esta teo— ría un formato similar a aquel en el que la nueva doctrina debía desenvolverse. ; La teoría del calórico - domo la ulterior doctrina de Thomsoh - podría preséhtarse> en efecto, sé-güíl éxi esqueleto lógico» én forma pirópdslcional (de hi^ pót§s.íá y tesis) . La téójííá del cálórióOj efectivamente, incluye una hipótéáís ("el calórico sé mezcla o sé combina homogéneamente con lá ínása del cuerpo homogé-néo Galiertt^" y úná téiia ("iüe¿)i3 las partea obtenidas del Quetpo aáíiehte contendrán pattes própóireionalés -^ del calórico total"). Por consiguiente - podría decicse, - la crítica de Rumford habría avanzado por el camino lógico-proposicional, y sus cuantificaciones habrían incidido sobre la tesis, que, al resultar desmentida (falsada) habrían conducido (modus tóllens) a negar la hipótesis, la "teoría del calórico". Sin embargo, estos "canales lógico - preposicionales" - que, sin duda, es^ tan pjfesehtes en él proceso y poseen elloé mismos la fófina dé un cierre Gircüiar preposicional - no dan - tíüehta de su verdadera háturale2a gnoséólógica, y la éiñpóbiréceh (éoñ ábátractóá) . En efecto, el nexo mismo entre la tesis y la hipótesis y recírpoeamente en estü caso, tiene lugar precisamente en el plano objetual. La teoría del calórico no es simplemente una hipótesis de la que deriva una tesis y esta conexión se establece en el plano objetual - en el plano de la construc— ción circular de totalidades y partes cuantitati- -

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vas. De tal suerte, que los "canales proposicionales" presuponen aquellas construcciones objetuales, en cuari to "nombradas" y ajustadas a través de las formulaciones del S. G. Además, la crítiva de Rumford sólo abs-=tractamente (parcialmente) puede hacerse consistir en la "negación de la tesis", porfeuantoesa negación es una resultante de la alternativa óbjetual (de otra - construcción óbjetual ó totalidad atributiva) por él ~ desarrollada (a saber: la totalidad del trabajo, W ) . De suerte que ésa "negación de la tesis" sé diría que es casi un resultado oblicuo (indirecto) de la nueva Construcción propuesta. La teoría del calórico, puesta én forma gnoseo lógica/ como teoría cuantitativa, sé dejaría acaso aíi^ llizar (en la línea óbjetual) éégün el siguiente esgue^ma dé campo (nos atenemos soló a lo¿ aspectos más ge'^ nerales): - Ante todo,en él campo figurarán términos de — una clase atributiva, constituida por la "masa" de diferentes cuerpos homogilneos (cuantificablea por sus pe sos) Inmediatamente dividida (diarológicamente) según las especies químicas ("su naturaleza"). Llamemos a esta clase K. Páírá una totalidad definida K., tenemos a que K, = {K^, K_... K }. Las clases K son de diferen-d 1 2 n tes especies (agua, bronce.,) que designaremos por K^, b ' k etc. Por Sér clases atributivas, podremos escribir: Í (a = c) es mucho menos informativa que una demostración que supone la asociación de términos muy alejados, cuya composi^ ción "fertiliza" inesperadamente el proceso de cons-trucción demostrativa (como cuando las relaciones geo métricas dadas en el plaño se insertan en un contexto de sólidos). b) Cuando no hacemos distinción entre una démostración en general y la demostración interna al -campo de referencia - es decir, cuando confundimos la i prueba epistemológica, oblicua al campo de referencia (por ejemplo la demostración de existencia de un suce so histórico, a partir de documentos) y la prueba gno teológica (la inserción dé ese suceso histórico en él propio eürso dé la historia). Porque la prueba -epistemológica no ¡se constituye propiamente en el interior del campo considerado cómo referencia. 3.- En cualquier casO; la demoátración es una'¡construc- ción dentro dé un contexto determinante, constituido por un ensamblaje de partes distintas (sintéticas) y, sin éitibargo, necesariamente vinculadas, en el dentido de que el "acoplamiento" de partes exteriores produce el mismo Oonsecuencias internas en el sistema y exclu ye otras; la demostración aparece así como una determinación, dada en el marco de ün sisténta operatorio, de otras alternativas "^posibles" (posibles solo opera^ teriaííiehte) i De sueít© que sólo por r©gpec3to á eáte espacio de posibles composiciones operatorias tien© sentido concebir a la demostración como una determina ción de esas posibilidades operatorias, por especto a una característica dada (una relación) - y acaso m u — cho de lo que se contiene en el criterio de la falsabilidad de Popper tenga que ver con esta disposición gnoseológica encubierta por la perspectiva epistemoló

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gica. Podríamos ilustrar este concepto de demostración con la elemental demostración atribuida a Heron de Ale jandría sobre "el camino más corto" (demostración que antecedió a las de Fermat o Euler) . Se parte de múlti^ pies relaciones (de longitud) acopladas, para determinar una relación, la longitud "más corta". Como c o n — texto determinado consideramos una recta que contiene los puntos X) y dos puntos P y Q situados en el s e m i — plano superior.

P

a

El contexto determinado contiene todas las posibbles quebradas ((P X Q ) . Se trata de determinar — cual es, entre todas estas quebradas, la que tiene menor longitud. La multiplicidad de posibilidades opera torias está aquí dada en la multiplicidad infinita de quebradas. La determinación que buscamos es aquí: qué quebrada"(si ekiste - cuestión de los isoperímetros, respecto;de las áreas) está determinada por ser "la más corta" (ésta determinación es una reládión á laf ótifás^ no tiene sentido absoluto lo que manifiesta tjue iáS quebradas "elíminad&s" son, sin embargo, necesa- rias en el proceso). La demostración busca aquí construir una serie de relaciones entre estas quebradas, orientada a determinar un elemento tánico de esta clase seriada. Herón no se mantuvo en el semiplano superior

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(en el cual se dibujan las quebradas "posibles") para establecer un contexto determinante, sino que acopló figuras dadas en el semiplano inferior: al punto P le corresponderá un punto P' y una quebrada P X P'. Pero es esencial tener en cuenta que este acoplamiento, — aunque "estético" (en el sentido Kantiano) y externo, es, a su vez, lógico, pues realiza esquemas de identi^ dad, dados como simetrías (identidad esencial) y como identidades sustanciales (del punto X en PX, XPi). La demostración de Herón se basa én estas identidades y en la posibilidad de substituir (autológicamente) - siempre la quebrada (su longitud) PXQ por otra línea P'X Q. Por consiguiente, son los esquemas de identidad, que presiden esté contexto determinado por los dos sémiplanos> los que nos permiten igualar siempre toda quebrada PXQ a la línea P'XQ y recíprocamente. Pür consiguiente/ la determinación qué buscamos puede trañáferirse a la determinación de las líneas P^XQ. Pero la recta es aquí la línea mas corta: (P'XmQ). A la recta PXm Q corresponde la ^ quebrada PXm Q '^ que será la determinación buscada. Queremos insistir en la naturaleza material (mal llamada a veces "intu_i tiva" - cuando intuición se opone a razonamiento cons^ tructivo), no formal, de esta demostración que supone acoplamientos> esquemas de identidad, operaciones, au tologismos, que desembocan en otros campos materiales; querernos subrayar cómo si formalizamos esta demostra^cíóñi perdiendo sü contenido material, su fuerza desa^ parees. (La formalizaeión preposicional, es, por su parte, necesaria, para exhibir otros nexoa lógicos lin plícitos en la demostración: tan solo queremos decir que esta formalización no contiene la clave gnoseológica de la demostración geométrica). 4.- La demostración, en sentido gnoseológico, tiene una -

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tradición aristotélica, por cuanto la concepción aristotélica es constructivista, en tanto la demostración silogística correcta, a partir de premisas que se supo nen ciertas y verdaderas, constituye el núcleo de la ciencia en esta tradición. El constructivismo de cuño aristotélico, es, sin embargo, formal, desde el punto de vista gnoseÓlógico, puesto que en la materia queda separada de la forma científica (scientia est conclu— sionik) y se supone a la materia como dada previamente al conocimiento científico (a la intuición, sea inte-rlectual - Intellectus principiorum - sea empírica). La tradiéión aristotélica suboordina la demostración al silogismo, a la derivación, a la deducción natural¿ P£ ro la derivación es un componente oblicuo (en el plaño prtáposíGiofial) de procesos materiales. Eñ núcleos cjno ssoló^íco de la demostración no ha dé hacerse estribar tanto en la verdad de láá piremisás y en la corirecióñ dé la iláGÍén, cuanto én la dotnpcisición d^ las mismas^ qué sería urt casó particular de lo que llaftiaftios con^^ fluenciacia. "Confluencia" qué incluye la identidad — sintética; y la verdad demostrada la haríajfios coinci — dír con esta identidad que brota de una confluencia de líneas diferentes. La teoría de la demostración gnóseo lógica descansaría, según esto, no en la noción de derivación lineal, sino en la noción de confluencia, en la qué el cierre demostrativo culmina. Es en esta com posición de premisas y línea de derivación en donde -aparece la materia gnoséológidá como móitiento específióo y es en la materia así entendida donde culmina el eoncepto de verdad científica. Si nos mantuviéramos en las coordenadas clásicas, diríamos que la demostración es necesariamente dialéctica y que la verdad cieri tífica de las premisas no es dada sino que, a su vez, es resultado de la verdad de las conclusiones, en tanto el silogismo "regresivo" confluye con el silogismo "progresivo". La circulación entre el orde cognoscen-

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di y el ordo essendi, entre los principios quad nos y los principios quad se tiene también que ver con este mismo proceso. 5.- Podría esperarse que el proceso de la confluencia gno seológica fuera más visible en los campos físico-natia rales que en los campos matemáticos, porque las teo-rías sobre la naturaleza analítica de la demostración matemática parecen sugerir más bien la idea de d e r i — vación que la idea de confluencia. Asi, pues, diríamos que la naturaleza sintética de las confluencias en los campos naturales (Biología, Física, Astronomía) ño presenta grandes dificultades - lo que en ellos se rS más problemático tendrá que ver con la naturaleza interna de la confluencia. Peto en las ciencias mat£ mátlcas, las confluencias resultan paradójicas, por*-que podría pensarse que ahora las confluencias son -aparentes. Interesan las confluencias matemáticas a nivel gnoseológico, al margen de las confluencias ana^ lizadas a nivel epistemológico (que pueden hacerse gi^ rar en torno al concepto kantiano de los "juicios — sintéticos a priori") analizaremos una situación mate mática elemental - la ecuación del área del círculo: 2 S = irr - pero capaz de mostrar el mecanismo de lo -que llamamos confluencia en la demostración matemática, su naturaleza sintética, en un plaño mucho más -próximo al plano gnoseológico operatorio^ que aquel en él cual Kant pretendía mostrar su cejft^ra sospecha sobre la naturaleza sóntetica dé las verdades matemáfeieag. knté todo, ésta fÓt-mUla/ qué liiigüísticamehtíÉ; podí'ía reducirse a una definición (s ^ df'"'^ ' ddsde el punto de vista de la teoría del cierre categorial es una construcción mas compleja. El proceso cons- tructivo corresponde al proceso de génesis de la fórmula. Esta génesis incluye una operación de metába-sis (o paso al límite), una transformación desde figu

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ras de la geometría rectilínea (triángulos o rectángulos) a la figura circular. Hay pues, una construcción y el signo "=", deja de ser analítico o retórico; es sintético, porque, ¿ñ esté caso, es una ad-igualdad -(una identidad sintética). No es la letra S (en cuánto sustituible algebraicamente en las ecuaciones por •nr ) lo que consideramos, sino S én cuanto designando una región circular del plano (el "redondel" de Poihca ré) reconstruida a partir de figuras rectilíneas y dé la circunferencia (2TTr) . Enfocada la cuestión de este modo, la construcción tiene la siguiente estructura: S es una totalidad límite, construida a partir de un coii junto de pattes (representadas por irr2) . La igualdad g = irr 2 éS lá identidad sintética entre un conjunto '2 de partes (nr ) y el todo (S). Ahora bien: Al "todo" S podemos llegar a par-^tir de sistefflaá de pactes muy diferentes entre sí» Con slderaremos los siguientes: (í) El sistema según el -cual el círculo aparece descompuesto "radialitiente", co mo un "conjunto de gajos". Estos gajos se aproximan a la figura de un triángulo isósceles; su conjunto es un polígono regular y él circuló es el límite del área de ese polígono. (II) Él sistema según el cual el círculo aparece descompuesto (circularmente), en "bandas". Estas bandas, en su límite, tienen la figura del rec-tángulo y el círculo se nos da ahora cómo el límite dé una figura compuesta del rectángulo. Gdfistrucción según él -^ Sistema á& paírtes (I)

Construcción Según él sistema de Partes (lí)

(l) "dada parte es un -triángulo cuya área es (bxa)/2

(1) (¿ada parte es un rec-tángulo cuya fórmula es -(bxa),

(2) el conjunto de trian gulos forma un polígono cuya área es (Pxr)/2

(2) en nuestro caso, 271 r. dr

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(3) P , en e l l í m i t e ,

es

(3) en e l

=vr'

(4) lueqoj

l í m i t e Jo

rdr

2TTr

(4) Luego

(2i\r .r) /2

2iT r d r = (2-n

R ) / 2 = vR'^.

En ambos casos, las operaciones y pasos de la demostración son muy similares: (1) descomposición del círculo en partes (rectilíneas) (triángulos, rectángulos) (2) Metábasis á partes "infinitesimales" (3) algo ritmo de suma - límite de esas partes. (4) Ahora bien, 2 el resultado ur es el mismo en abmos sistemas y ello es sorprendente. No parece que debiéramos admirarnos si planteásemos el asunto mirando sólo el objeto: - "puesto que el círculo es el mismo, es natural que el resultado sea el mismo, si es verdadero". Porque este iplantéamiento parte de una verdad dada cOitio previa al proesgo dé su obtención. Y lo admirable es que a lü misma verdad podamos llegar a partir de caminos muy di ferentés de los que podría esperarse a lo sumo, arro-jasen resultados muy similares. Incluso, si tenia lugar uha aproximación de los resultados, que estos tu-viesén otra estructura: por ejemplo, que en un caso se nos diera el área en función del radio, y en otro en función de"alguna cuerda". Los caminos son totalmente diversos^ aún cuando sean ambos "algoritmos". Las diferencias son tan girandes, en los métodos, que la identidad de sus resultados tiene algo dé "azar"í es esto lo qué explica la admiración. Que la identidad matemá^ fciea se produzca por azar, a la manera como la identidad natural se produce según algunos por el flnalismo escondido de alguna fórmula común. El camino I parte de triángulos, muy diversos'¡de los rectángulos II. En principio no tendría porque ajustar plenamente, como tampoco ajustan los resultados de medidas realizadas a

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partir de unidades diversas. El camino I utiliza un algoritmo de sumar tomado de la propiedad distributiva de suma y producto (suma que corresponde a la yuxtaposición de los triángulos; producto a su repetición). Y la metábasis tiene lugar en la aproximación de P a 2Trr. El camino II utiliza el algotimo de la integra— ción. Parte ya de la evaluación 2-nr y el paso al límó^ te tiene lugar por medio del signo de integración. La diversidad algóritmica de caminos es mucho mas profunda de lo que podría aparecer a simple vista, y se evidencia analizando la procedencia heterogénea (en el — 2 plano algorítmico) del exponente de "r ". En el camino, I el cuadrado de r procede de la circunstancia par ticulár dé que lá apotema es igual al radio (en el lí2 2 mita); por ello, obtenemos 2Tir.r/2 igual a 2irr /2 =r . En el camino II, el cuadrado de r procede dle "automatismo" del algoritmo de la integración de funciones po tenciáles (J x^ dx=x"^ ) , para el caso 2Tf/rdr = r / 2 . Así ifiismo, él divisor 2 de 1 pfócedé de la fórmula del áifea del triángulo (seitiiguma de base poif altura) y can cela ál factor 2 de lá fóímulá 2'nt. Pero ert 11, el d£ visor 2 que cancfelá á este factor (eh 2-ñt) ptocede del autoitiatismo de irttegifáción de las funciones potencia-les (que ya no tienen nada qué ver con la estructura ~ del triángulo). Por consiguiente, puede decirse que la coincidencia en la cancelación del factor 2 de 2iTr, es debida al azar, no a un "algoritmo holístico". La confluencia de estos algoritmos es una verdadera sin-tesis, no un análisis; una síntesis que tiene lugar en el mismo reino de la construcción algorítmica. Tam- bien esté es un reino de pluralidad, de heterogenedi— dad y no de simplicidad. Ahora bien: ¿Qué tiene que ver la confluencia de estos caminos con la demostración de la fórmula S= 2o

irr ¿ ¿Acaso la demostración no queda integramente rea-

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lizada en el camino I y en el camino II, tomados por separado?. Se trataría dé una confluencia de demostra_ cionés y no de una demostración por la confluencia. Mi respuesta es de esta índole: precisamente la existen-cia de estas dos demostraciones es la prueba misma de que cada una de ellas es insuficiente, porque cada camino muestra que el otro contiene una metSbasis, sin ulterior justificación. Al confluir con la otra, en un cierre perfecto, ambas demostraciones se realimen-tan, Én cierto modo (históricamente) es el camino I el que sirve de garantía al II (a la manera como los silo gismós sirvieron para probar la lógica de Boole). Las demostraciones por recurrenciá - el método de de-móátráción para próposítííohes Con variable discretas dé Valorea naturales - son consideradas ünuchas veces eofflo las demostraciones génuinámente aritíhéticas. Pües^ tos eft lá alternativa que ofrecía la doctrina clásica en la demostración - deducción ó inducdjón '- y dado que lá démestración por recutrencia no se ajustaba al ©aquéma de la deducción clásica, se prefirió interpretar esta demostración en el sentido de una inducción ("inducción matemática"). Ello arrastraba el peligro de tener que encajar la demostración por recurrenciá en la forma lógica atribuida a la inducción baconiana. "Tras haber observado que una propiedad P es realizada por diferente^ elementos de una clase - P (x, ) , P(x ) . . - extenderemos inductivamente esta propiedad a todos los elementos de la clase, es decir, concluiremos (x) P (x)", (siendo x una variable cuyo campo de variabil_i dad sea la clase N ) . Pero este análisis de la demos-tración por recurrenciá es muy tosco, precisamente po£ que, en él, la noción de extender "inductivamente" encubre el carácter constructivo y necesario de la "gen£ ralización". Y si bien recoge esta noción el componen^ te inductivo del procedimiento, lo fórmula desde el es

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quema de las proporciones predicativas distributivas, de tipo P (x). Pero la "propiedad" que la demostra— ción por fécurréncia va a extender a todos los números naturales, después de haberle constatado en algunos, no es una propiedad distributiva (del tipo: "todos los triángulos tienen tres ángulos cuya suma equi^ vale a dos rectos"): sino una propiedad atributiva, la propiedad de una clase nematológica (no diairológi^ ca); puesto que esta propiedad pertenece a cada valor (x) én tanto está vinculado a otros valores de su cía se. Él análisis qué hacemos aquí de la demostración por recurrenciá marcha por un camino distinto del que se sigue en el análisis de las funciones recursivas, realizado desde la lógica formal (45). La apariencia dé qué P éé verifica distributivamente sé debe que a qüm Vamos SuBtltüyeñdo eadsi valoír poáí at.eos valores •* pero en cada caso x. suple por números en relación -~ con otros números (o por cifras de un sistema en reía ción con otras cifras). Por ello, no es accidental el "campo experimental" de números (cifras) de los — que parte la inducción matemática, que no tiene, ya por ello, la estructura de la inducción empírica. La propiedad P que en ella se demuestra es, en rigor, — una relación de igualdad entre el resultado de operaciones con un término general (que designa unacomposi^ ción de un número con otros, por ejemplo p.(p+l)/2 ) y el resultado de opeíar con términos particulares - (2+4+6+, . .+|)) . La demostfaeión por récurréncia no es ni deductiva; en el sentido clásico, ni induütiva - (Ídem) aunque constituye un modo peculiar de constru£ ción demostrativa, en el cual podemos ver el proceso de la confluencia de construcciones en una identidad sintética. El proceso constructivo se apoya ciertasmente sobre casos particulares, que podrían ser cons_i derados gnoseológicamente como fenómenos precisamente en la medida en que esos casos particulares f (1+2+3+

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...+p = p.(p+l)/2 ; f„(1+2+3+...+n = n.(n+l)/2 configuran una fórmula general que tiene "la apariencia de una esencia". A partir de estas formulas (de la formu la fr), "empíricamente" fundada, arranca la demostra-ción. La demostración progresarla (recurrencia) hacia ^^ esencia de este modo: - Por un desarrollo horizontal (digamos, por contigüidad de la fórmula (f^), un desarrollo de p a p+1. A partir de la fórmula fenoménica, construiremos otra fórmula que tiene que ser dada en virtud de las leyes generales de la construcción algebraica. Por — ejemplo, si agregamos al mismo valor (p+1) a los dos miembros de la fórmula empírica, obtendremos otra fórmula válida (aún cuando no conozcamos su campo de apli^ cación): 1+2+3+. . .+p+(pi-l) = [p. (p+l)/2j + (p+l)= [(p+1) (p+l+l)J/2 - Por un desarrollo "vertical" (diríamos por semejanza o por sustitución) tal que, a partir de la fórmula (f^) sustituyendo n por p+1) rios remata a una fórmula que confluya por identidad (algebraica, tipo-^ gráfica) con la fórmula obtenida por construcción "horizontal". Y en esta confluenaia consiste el cierre de esté modo gnóseológlco. El desarrollo "vertical" es, sógún esto, indispensable no tanto paira probar la verdad de la fórmula fenoménica "para el ntímero siguion te" (funciones recursívas) cuanto para probar la construibilidad de la fórmula para el número siguiente. Es esta confluencia precisamente la que demue^ tra el teorema para todo número n, desde la esencia -misma de la clase atributiva (acumulativa) según la -cual cada elemento, a partir del primero, brota del an

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terior (de ahí la consideración del "O" como primero) por la adición de (+1). 7.- Si el análisis gnoseológico de las demostraciones matemáticas resulta instructivo en la medida en que -muestra que, pese a la necesidad analítica de sus coii clusiones, hay en ellas confluencias de líneas operatoriaá (algorítmicas) independientes, el análisis gno seológico de las demostraciones empíricas de las cieii cías naturales resulta instructivo sobre todo en la medida en que constate, no ya las confluencias obvias (tan obvias que son muchas veces el contenido mismo significado por la palabra "empírico") sino la natura leza constructiva de estas conclusiones empíricas. Lá fuerza de una. demostración sé medirá precisamente, Según ñuéstróá presupuestos, por el grado de indentidad_ gintétiSa o de Verdad álcáriziado en el "cierre por confluencia''( Damos uññ análisis ghósaelégico de uha á©moetraci6n empírica standard, en el cawpó de las — ciencias naturales, de la Biología molecular: una demostración que gira en torno a la "determinación de 3'-5'AmP" (46) . Análisis que, aunque debiera ser mas prolijo, será suficiente, creemos, para ilustrar el alcance que damos al cuarto modo gnoseológico en el campo de las ciencias empíricas. Una de las principa_ les críticas que dirigimos a caSl todos los análisis de orientación ínductivista es precisamente el estar basados sobré demostraciones convencionales, a las '— cjué se les ha atribuido previamente la fotma de un ra^ zoanrfiiénto inductivo (elminartdo precisamente los pro»cesos internos de desarrollo y la confluencia de es-tos desarrollos en la forma en que venimos estable--— ciendola). Ante todo, conviene hacer constar que el - -"trozo" de construcción científica que vamos a anali-

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¿ár podría también ser considerado en términos proposá^ cionales - pues efectivamente el se compone de frases o enunciados, que mantiene entre sí relaciones determa^ nadas. Él análisis preposicional siempre está abierto y irecoje, sin duda, importantes componentes del proceso demostrativo; en su "cierre preposicional". Pero el análisis de la construcción demostrativa, en su aspecto preposicional, sería o b l i g ó a la propia construcción (casi gramatical); principalmente porque las proposiciones deberían contener germines y las relaciones más significativas entre las proposiciones habrá que establecerlas a través de las relaciones entre térmi-nos y de las operaciones con ellos (Solamente cuando estuvieran yá supuestos estos componentes objetuales Cabría foífmuiair un esquema interno del énsamblamiento de las proposiciones). Por lo demás, el número de éstas proposiciones es tan elevado y los niveles a los qué pertenecen son tan diversos que puede desafiarse a cualquier lógico-formal a que formalice el proceso de construcción a que nos vamos a referir de un modo e s — trictamente preposicional. ¿Como ordenaría y éstratif¿ daría las proposiciones?* Su análisis &e reduciría •^•^ probablemente a una paráfrasis o notación de la misma construcción demostrativa. En cambio, tras el a n á l i — sis gnoseológico objetual, el análisis preposicional gnoseológico queda posibilitado, no sólo facilitado -(las hipótesis, por ejemplo, se nos mostrarán como la forma preposicional de las relaciones hipotéticas: Pe^ ro no es lo mismo tratar las hipótesis como proposicio nés - coordinadas con otras, en un curso de proposicio nes - que tratar a las relaciones como tales - respecto de términos y operadores - aún a titulo de hipóte— ticas). Comenzamos, por tanto, atribuyendo al trabajo (construcción, teorema) que analizamos una estructura

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de campo, constituida por diferentes clases de térmi=— nos, como conviene a todos los campos gnoseológicos. Las clases son ahora clases atributivas horaoméficas, ciases cuantitativas: {A , B, C, D...} La demostración es cuantitativa y sólo por medio de operaciones matémá_ ticas podría ser desarrollada; Las clases del campo bioquímico que intervienen en él "teorema" se nos dan de entrada organizadas en un contexto determinado, en virtud de múltipleá presupuestos tomados de otros contextos (bioquímicos, estadísticos). El contexto dete£ minado K, que puede considerarse proposicionalmente co mo constituido por un conjunto dé relaciones hipotéticas tjüe sólo pueden alcanzar el valor de verdad en el mismo proceso de la demostración en él que objetivamos tiras opéfátíibnés precisas. liñas relaciones que coñflu yen en identidades (verdades; aunque son verdades i:&~-nómenicas/ por respecto a lo que considerremos como -esencias o estifucturas bioquímicas) que repercuten en el Contexto deténtiihado, convirtiendolo en un contexto ..--„.,i.,--.,i.,.„ —

-

•

— i i r t

.iTrii.rii..—.1——II

I...

—

'

•

determinante, que habrá dé manifestar su condición de tal pirecisameiite en ulteriores éjíperienelas. De ahí, =• la demostración que analizamos, en tanto resuelve el establecimiento de unas relaciones entre términos e n — clasados por medio de operaciones repetíbles, sea al propio tiempo ün método (por su reitabilidad) para determinar relaciones similares én otros contextos ido— neos. Pótmulaíemosj ©n resumen, el teorema que anali_ sames, de este modos se trata de demostrar que en uh campo o contexto determinado K (para la caracteriza- ción de ^ste contexto remitimos a la publicación cita^ da)j del qué forman parte términos de diferentes cía—• ses cuantitativas (que designaremos a efectos del primer anális lógico por A°, A^B, C) - los términos de e£ tas clases son moléculas; los símbolos que utilizamos

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no son slrnbolói químicos sino lógico materiales, gnoseológicos - A cada cantidad (absoluta) de la clase A y a unas proporciones dadas (variables por lo demás, entre las clases A° y B, a través de C, corresponde — una cantidad A°, determinada funciorialmente. Estable — cer esta relación es, pues, el objetivo propio de la demostración. Como la relación se "representa" en - ciertas curvas (de las que sólo consideraremos dos) po demos decir que la demostración sé termina precis-amente en la construcción de estas curvas standard a las que, én consecuencia, habrá qué atribuir un papel gnoséológico superior al que les Corresponderían si se — las interprétase como meras "abreviaturas", o como sim plé§ írecürsós didáctidóS o ekpósitivSsi Las curvas — tíóñtiénén ©lias niiSmás, en tántlt) sori iíifeerpretadas én al eampo semántieo correspondiente, las relaclonea ^ ~ construidas. Estas relaciones por tanto, no pueden — considerarse como construidas antes de la representa— ción (como si estuviesen "relatadas" meramente por - ella). Una vez establecidas las curvas standard se -utilizarán como metros para determinar cantidades A dadas en muestras ulteriores, conociendo cantidades da das en A ^ Prescindiendo en nuestro análisis como hemos dicho/ de otros constitutivos del contexto determinado indispensables, en todo caso, para que este se organi'ce (entre estos constitutivos habría q¡üé citar ciertas enz.itnas y ciertos inhibidores de los propios terminas dé las clases que intervienen en el primer plaño de la demestracián) y prescindiendo también^ por lo tanto, de la propia construcción del tal contento (la obten-»ción de la proteina quinasa, la obtención del inhibi-dor de proteina quinasa etc, corresponden a esta fase de preparación del contexto determinado), reducimos el contexto determinado del teorema que consideramos a la

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forma de una clase distributiva K=fK^\^ ^2^ ^"í^ ^4J cada uno de cuyos términos K. sea un conjunto constituido a su vez por términos enclasados en las siguien tes clases atributivas: - Una clase A de nucleotídos (podrían ser, en otros contextos, moléculas de insulina) formados por 3' - 5' adenosín monofosfato cíclico (c-AM P ) . La clase A, está partida en rigor (a efectos de la demostración en dos subclases (clases) A y A (la clase A es la clase de moléculas de c-AMP no radioactivo; la clase A es la clase de moléculas c-AMP [ H J, con radioact_i vidad 3 detectada en un contador (que forma también — parte del contexto determinado):

na

- Una clase B de proteínas enlazantes (prote_i quinasa).

- Una clase C de moléculas complejas, constituidas por el entrelazamiento de los términos de las clases A y B. Por tanto la clase C es en rigor la — reunión de dos subclases: C=jrc°*-» C J. En cambio, escribiremos (connotación no distributiva, sino atributiva, acumulativa): C° = [ B + A°j; C^ = fB + A ^ ] . Desde el punto de vista gnoseológico, la cía- : se C puede considerarse como el resultado de operar con las clases A y B. Como (C = C ° V C^) y (C° = B + A°), (C^ = B + A ^ ) , podríamos escribir: C = [(B + A°) 1 (puesto que nunca I puede arrojar más cuentas que I ) . La curva resultante es una recta (un esquema de identidad): A

2500 2000 1500 1000 500

18 16 14 12 10 8 6 4 2

10 O'

10 Curva I

20 p moles de C-AMP

*/

10 Curva II

20 p moles de C-AMP

Ahora bien:¿Como interpretar la relación entre estas dos curvas? ¿Por qué representan un mismo proceso y en qué condiciones esta representación es precisamente la demostración por confluencia (de I y II) de que el — procedo está presidido por las relaciones hipotéticas que confiiguran el contexto determinante?. Sugerimos la siguiente interpretación: La curva II representa en ordenadas la razón I /I , pero esta razón es una reíación más compleja que la representada en la curva I. La curva I contiene la representación de las variacio-

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o

R

nes de K con A fijo y A variable. Pero la curva II P podría interpretarse como representando los puntos de intersección de las distintas parábolas (correspondien tes a distintos conjuntos K , K.... Con concentraciop' t nes distintas en cada caso de A ) , con una dirección contante (correspondiente a la tangente del ángulo for; mado en cada punto por la ordenada y la abscisa en un punto). Según esto, la función lineal representará — aquí precisamente la identidad de los conjuntos K-, K^, K^.... en cuanto miembros de la clase distributiva K, es decir, del contecto determinante (salvado del conta_ dor, que ahora no desempeña papel especial):

Curva II' (interpretación de la curva II) Si esto fuera así, podríamos decir que la demostración del teorema fenoménico ("fenoménico", por cuanto en el se establecen unas relaciones de identidad entre fenómenos cuantitativos, con abstracción de la estructura o esencia bioquímica que opera en ellos, y que es una "caja negra" o, por lo menos, una "caja gris" para utilizar la expresión que M. Bunge aplica a cierto tipo de modelos) estiriba precisamente en la - confluencia de dos desarrollos diferentes, aunque en la experiencia vayan juntos. El primero de los cuales (representado en la curva I ) , resuelve en una relación determinada interna a cada clase K. (para diferentes rpeticiones de una misma clase K de K - con las varia ir

ciones internas a K )•

Y el segundo (representado en

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la curva II) resuelve en una relación entre las dife— rentes clases K. cuya reunión constituye K. Si el desarrollo I conduce a una identidad que se distribuye en cada K., el desarrollo II conduce a una identidad que liga los diferentes K. de K. Y es precisamente la confluencia de estas dos identidades (en la curva 11") la que constituye el contexto determinado T K , E J en un contexto determinante, por respecto a ulteriores desarrollos, én el sentido de que es la realización exper_i mental de I y II aquella que demuestra a las "relaciones hipotéticas" como relaciones objetivas, aún a ni-vel fenoménico (mientras que no se haya aclarado si -hay un significado bioquímico de la "competitividad" o si se trata de un proceso estadístico a nivel molecu— lar). Es la confluencia, y solamente la confluencia de estas identidades - que implica las confluencias d£ das en los mismos acoplamientos del montaje del contador etc (cuya complejidad hace mas inverosímiles las regularidades, si estas no fueran objetivas) - aquello que constituye el contexto determinante como tal, aque lio que permite establecer la realidad objetiva de todos los conjuntos constitutivos de K cuanto a las rela_ clones presupuestas. La confluencia, en tanto que es mutua (I remite a II y II a I), es el mismo cierre demostrativo, un cierre según el modo cuarto. Un cierre mediante el cual se vinculan, como partes de un mismo campo, tanto las diferentes váriacioens de K., como — las diferentes K. y K.. La confluencia de las curvas no habría funcionado en esta experiencia como un móáe-lo previo, puesto que ellas fueron representación de las experiencias: en la confluencia de las curvas es donde las experiencias (y sus relaciones hipotéticas) cobran la figura de fenómenos objetivos (las relacio— nes hipotéticas era, más que fenómenos, hipótesis de fenómenos cuantitativos). Las conexiones entre I y II no son tampoco meramente lógico formales (pruebas, con

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trapruebas) sino que se fundan en las relaciones materiales (categoriales) dadas entre los términos del -campo, en sus "relaciones hipotéticas".

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C A P I T U L O

IX

LAS UNIDADES CIENTÍFICAS Y SU PROCESO

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CAPITULO IV LAS UNIDADES CIENTÍFICAS Y SU PROCESO §

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Aspecto general de las unidades gnoseológicas resultante de su reconstrucción a partir de la teoría del Cierre Ca-tegorial 1.- Se trata de ensayar globalmente los resultados que arro ja la aplicación de la teoría del cierre categorial, a partir del paradigma topológico, en el material gnoseológico de nuestra predefinición. Si en el modelo topoló^ gico de -ciencia considerábamos ilaiadecuación del paradi£ ma topológico en sí mismo, ahora se trata de ensayar la adecuación de este paradigma ante las diversas ciencias. Este ensayo sólo puede ser global, porque la realización de una definición por recurrencia (en este caso a las diferentes ciencias, en términos del cierre categorial) sólo puede llevarse a cabo mediante estudios especiales y minuciosos que constituyen el contenido de la Gnoseología especial. 2.- Es evidente que el paradigma topológico induce a tratar cada ciencia especial, de acuerdo con el postulado de multiplicidad, como constituyéndose, no en torno a un objeto formal, sino en torno a múltiples objetos, perte necientes a su vez a diferentes clases, que se cierran en círculos parciales (contextos determinantes) que, a su vezase interfieren o se entretejen con otros círcu— los del mismo cuerpo. Si ilustrásemos mediante diagrama esta situación diríamos que la unidad de cada c i e n — cia, propiciada por el esquema del cierre categorial, se acoge más a la forma II que a las formas I o I' de los diagramas siguientes:

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1 1 1 ^

Diagrama I Concepción l i — neal abierta — ("hipotético-d£ ductiva") de la unidad entre las partes de una ciencia.

Diagrama I' Concepción lineal circular de la un_i dad entre las partes de una ciencia,

Diagrama II Concepción multi^ circular, glomerular, dé la uni^ dad entre las -partes de una — ciencia.

-El diagrama II se adecúa muy bien a la reali-^ dad efectiva de las ciencias en su estado actual de de^ sarrollo. "Física" no es el nombre de una ciencia unitaria, en el sentido hipotético-deductivo, sino más — bien el nombre de diferentes sistemas, relativamente autónomos (Mecánica, Termodinámica, Óptica) que, eso sí, interfieren por muchos puntos (tanto por relacio— nes, como por operaciones y por términos). Pero los propios proyectos de "sistema unitario" ("teoría dei campo unitario") no borran estos círculos, sino que -precisamente los presuponen. Lo i mismo habría que de cir del nombre "Matemática": ni siquiera este nombre nos remite a un esquema lineal hipotético-deductivo ó circular, sino, más bien, a un conjunto dé sistemas --^ subcategoriales, con principios característieos, tales como la Aritmética y la Geometría en la Matemática antigua (tema aristotélico de la "separación de los géñ^ ros") o bien a la Geometría proyectiva, al Análisis o a la Topología, sin perjuicio de las mültiples interfe rencias sobre las que se fundamenta la unidad catego— rial matemática y sobre las que se basan los proyectos de organización unitaria al nivel del "Programa de Erlangen". El "cuerpo" de los números racionales (pósito^

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vos y negativos) es, por ejemplo, uno de esos sistemas o entidades que puede ser considerado como un sub-circulo gnoseológico (el cuerpo es una subcategoría gnoseológica, una región de una categoría). Supone un — campo de números (m/n), pares de enteros, enteros que como los fonemas en la Lingüística fonológica - sólo se configuran por su mutuo enfrentamiento y entre los cuales el grupo de la adición no sólo está aumentado con la operación multiplicación (para formar el anillo) sino que está intercalado con él grupo de la multiplicación. El cuerpo de los racionales es así una entidad de índole gnoseológica (queremos decir: no es una enti^ dad subjetiva, ni "platónica") porque ella comporta, no solamente términos relaciones > y operaciones, clasificaci-ones ("cortaduras" por ejemplo). El cuerpo de los racionales fue la región de la matemática explorada por los pitagóricos. Como es sabido, ellos d e s c u — brieron sus límites, y ulteriormente, esta región pudo ser insertada en el campo de los números reales, (que a su vez, se subsumirá en el campo de los números complejos) . Ahora bien, el cuerpo de los racionales es acaso uno de los modelos más genuinos del cierre categorial, régionalmente realizado, cuyo desarrollo inter no conduce a sus límites (los irracionales) y a su - reinserción interna de la categoría matemática.

3.- Como unidad mínima de estas regiones cerradas de los campos categoriales podríamos tomar el "teorema" y en este caso una ciencia podría ser definida como un conjunto o sistema de teoremas. Pero, evidentemente, en i

este contexto, "teorema" está tomado en un sentido muy particular, un sentido gnoseológico. El concepto de "teorema" se utiliza principalmente contraído a los lí^ mites de la Lógica formal: "teorema" es el resultado de un proceso de derivación, de acuerdo con un conjunto de reglas (reglas de deducción). Esta acepción es

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un refinamiento del concepto aristotélico de "conclusión a partir de premisas" (según las reglas de silo gismo)- "Teorema" es así, en su sentido lógico, un concepto dibujado en la línea preposicional. Esta — concepción de "teorema" no tendría mayor importancia si se mantuviese en los límites de la Lógica formal, como una definición nominal. La cuestión cambia de sentido cuando, dentro de la perspectiva proposicio— nalista de la ciencia ("hipotético-deductiva") se pre tende que toda ciencia es algo así como un conjunto de teoremas (en el sentido lógico-proposicional) deri^ vados de unos postulados (axiomas, hipótesis) - una versión del Scientia est conclusionis. Y entonces, el concepto restringido de "teorema" se convierte en una camisa de fuerza. Porque lo que se designa como "teoremas", denotativamente (por ejemplo: el teorema de Pitágoras, el teorema de Snell etc, etc,) no p u e — den ser reducidos a la condición de "derivaciones fo£ males", salvo perder su estructura científica. Las derivaciones proposicionales están, sin duda presen— tes en lo^teoremas, pero como componentes abstractos, y a veces, incluso oblicuos o auxiliares (una línea pragmática de ajuste o coherencia entre posiciones — del S.G.). Dé esta suerte, el proceso gnoseológico -" dado en el teorema quedará marginado, en beneficio dé una abstración: el nervio de la construcción cientlfí^ ca y de las propias evidencias materiales, quedará má tado. (La situación es similar a la que se produce — cuando la noción de "im|}lícación" intenta ser reduc_i da siempre al plano de las funciones booleanas - pues^ to que el concepto de "implicación" designa también relaciones entre clases, relaciones intensionales, re laciones sinectivas; y estos usos del concepto de - "implantación" tienen una tradición todavía más antigua que el uso lógico-proposicional).

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Quisiéramos aquí recuperar el sentido del con cepto de "teorema" más próximo a su efectivo valor denotativo. Teorema es una unidad gnoseológica - la unidad gnoseológica por antonomasia, el contenido de una Teoría científica. La ciencia, la teoría, es un conjun to de teoremas. Desde las coordenadas del cierre categorial nos aproximaríamos de este modo al concepto de teorema; ün teorema es una unidad de cierre, es la un¿ dad mínima del cierre categoriál, un "sistema mínimo" gnoseológico., Por tanto, ün teorema es una construcción que no se reduce al plano preposicional, sino que incluye el plano objetual. En su sentido lógico-for— mal, "teorema" incluye siempre la verdad (aunque una verdad "formal"). En su sentido lógico-material (gno— seológico) los "teoremas" pueden incluso no ser verdaderos, o no serlo totalmente, aunque siempre conservan su pretensión de verdad. El conjunto de teoremas en que haríamos consistir a una ciencia, no lo representa^ mos, Según 16 que llevamos dicho, como una cadena de deducciones en cascada, (como un dise_ürso) , s\_^o, más bien, como una confluencia de remolinos que se inter— fieren, pero que mantienen su relativa autonomía formal Los teoremas nos ponen ya en presencia de una ciencia organizada, aunque/sea a nivel elemental: la Geometría elemental aparece ya en él "teorema de Tales"; la Optí^ ca, en el'"teorema de Snell", Un teorema supone un - contexto determinante. Por lo demás y én cuanto unidad de cierre o "célula gnoseológica", un teorema será todo lo más opuesto a una entidad simple. Como las célu las biológicas, un teorema es una estructura o sistema muy complejo. Desde el punto de vista gnoseológico, analizaremos esta complejidad (al margen de los análisis derivados de la aplicación de los ejes gnoseológicos) por medio de los conceptos de los modi sciendi. Un teorema costará de clasificaciones, demostraciones, modelaciones, definiciones, y no necesariamente en - -

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"proporciones fijas". Esto nos permitirá distinguir varios tipos de teoremas, según que en ellos prevalezca un modus sciendi (teoremas definicionales, teoremas clasificatorios, teoremas demostrativos que serían los más próximos al sentido formal de teoremas), un par de ellos, etc. Por ejemplo, el "teorema de la gravita- ción" de Newton sería de tipo modelante, mas que clasificatorio; el "teorema de los poliedros regulares" acaso fuese un teorema más bien clasificatorio que modelante (un modelo no es un teorema, cuando es puramen te empírico; cuando es un modejo teórico, que ha sido construido y se desarrolla constructivamente, es una teoría). -El uso de. "teorema" que aquí propongamos, aun que a veces pueda dar lugar a expresiones desacostum— bradas - pero en modo alguno artificiosas ("teorema de las cinco^ vocales castellanas", "teorema del complejo de Edipo de Pfeud", "teorema de la renta diferencial" de Ricardo, "teorema de la baja en la tasa de ganancia" de Marx) - se extiende cómodamente a lugares que, in-cluso de vez en cuando, se llaman teoremas ("teorema de la caída de los graves" de Galileó, "teorema de la gravitación" de Newton). A la Gnoseológía especial lé corresponde la tarea de exponer la estructura y tipólo gía más general de los teoremas materiales,gnoseológícos. La Gnoseológía especial la haríátttos coñéístir, en gran medida, en el análisis gnosejol^t^ •" ciencias a nivel de teoremas, ha pregunta por lá eieri tificidád de una institución dada, adoptaría una forma mucho más precisa si se la transformase en pregunta — por sus teoremas. (En lugar de preguntar: "¿Es la Historia una disciplina científica?" preguntaríamos: - — "¿Hay teoremas en las ciencias históricas?"). El análisis de una ciencia gnoseológicamente más positivo es el análisis que comienza por ser un análisis de teore-

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mas (nosotros tendremos ocasión de afrontar, desde este punto de vista, algunas "ciencias particulares", — por ejemplo, la Ciencia histórica a propósito del "teo rema de las Comunidades de Castilla" (1)). Por otra parte, la composición de la multiplicidad de teoremas en el círculo de una ciencia, la entendemos, más bien como un "énsamblamiente" de teoremas que como un encade^ namiento - de acuerdo también con la propia historia efectiva de las ciencias. 4.- La teoría del cierre categorial ofrece de cada ciencia una imagen abierta - en cuanto, en principio, nuevos teoremas pueden construirse, nuevos círculos pueden di^ bujarse - y, a la vez cerrada, en cuanto estos círcu— los no se conciben como simplemente yuxtapuestos, sino entrelazados constructivamente según términos o r e í a — ciones sinectivas (de las cuales, son la mejor muestra clásica las que están a la base de la Geometría Analítica) . Esta imagen de la unidad de las ciencias se — adecúa más bien con el efectivo aspecto que nosiofrece el desarrollo histórico de una ciencia, que no procede linealmente, ni tampoco por construcción global de su objeto. Nos imclinaríamos a tomar, como modelo para enfocar la historia de cada ciencia, el proceso de - cristalización, en un medio termodinámicamente inestable, por nucleación discontinua de nuevos cristales, qué pueden crecer y entrechocarse mutüalmente (2). Éh üh campo tedñológicámenté roturado (ño Uh cSírtpS viírgeft) ápatéceíríáíi puntos discontinuos de cf'igtáliáaGiÓh^ "úñ lulas gnoseológicas"(supondríamos que &l nivel dé sierre se alcanza no con una "célula" sino con dos c e l u — las por lo menos). Por ejemplo, en Geometría elemen— tal, estas células podrían ser los teoremas de Tales que refiere Diógenes Laercio (3). Cada uno de ellos, en tanto está entre los otros, ofrece ya en miniatura los mecanismos de un cierre categorial, de una cons- -

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trucción (una demostración, no meramente proposicional) "que se apoya sobre sus propios términos, que saca su evidencia del mismo proceso racional (que incluye la materia)". Estos teoremas confluyen unos con otros y lo que en principio se nos muestra como agotado aparecerá, sin dejar de ser cerrado, en un momento dado, co mo formando parte de estructuras más generales y no m£ nos rigurosas. La relación de Euler, originariamente referida a poliedros regulares ( N Q - N ^ + N 2 = 2 ) aparecerá como una relación válida para poliedros irregulares, pero simples; así mismo, de otro lado, se nos mostrará después como un par o sección de una relación más compleja que se refiere a los politopos - y de los cuales los poliedros de Euler son un caso particular, para el caso de los sólidos. La relación de Euler quedará en—iglobada en la relación más compleja de Schafli: N Q - N - + N„ ¿

(-1)""^.N

.=l-(-l)"

(4).

n—1

Este procedimiento, llamado "generalización" por los matemáticos, es completamente habitual - sólo que el nombre de "generalización" encubre su verdadera estructura gnoseológica (a la manera como el nombre de "inducción aritmética" encubre la estructura gnoseológica de la recurrencia), y remite a los procesos de — cierre construidos por identidades sintéticas resultaii tes de la confluencia matricial de algoritmos diferentes. 5.- Particularmente, el esquema multicircular, recoge t o — das aquellas situaciones hitóricas en las que una cien cia aparece como "bloqueada", clausurada en la perfección de alguno de sus círculos (que funciona como una especie de "subconjunto estable"); de suerte que, sien do la "clausura" en gran parte efectiva, se da el caso de que "inesperadamente" experimenta alguna de sus regiones una sorprendente proliferación, que no -

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rompe ciertamente la clausura anterior (que incluso -permanece o, al menos, es siempre reconstruible). Pero cambia su sentido y alcance,al cambiar su contexto. — "La lógica no ha dado un paso adelante desde Aristóteles", decía Kant; tampoco,-podría haber añadidor- la — Geometría de Euclides. Y, sin embargo, en el tiempo mismo de Kánt, se estaba incubando el "deshielo" de e£ tos círculos cerrados gnoseológlcos: Lógica de propos¿ clones o de relaciones de Leibniz o de Lambert, Geometrías n - dimensionales o no - éuclidianas, etc. 6.- Pero, lo que es tan importante, la teoría del cierre categorial, aipartir del pardigma topológico, nos permite recoger los componentes epistemológicos materia-les que, .en todo casó, se consideran internos a la pro pia actividad científica. La teoría del cierre catego rial es, evidentemente, una teoría operacional dé la uni^ dad de las ciencias, en el sentido de que el concepto de esta unidad viene referido a la efectividad de operaciones cerradas a cada campo. Este cierre, desde el paradigíñá topológico, incluye la existencia de módulos más que de operaciones reversibles, en el sentido delconcepto de racionalidaddei Po'incaré o de Piaget. Así, por ejemplo, la Óptica puede cerrarse como círculo gho seológico constitutivo de la Física en cuanto posee el concepto modulaj: de una "lente plana", que corresponde a Lia posibilidad aritmética de la ecuación Rj^i:^^^^'^ ®*^ la fórmula (^ = n-l (n-l) / (1/ti^^l/ít^) , Quiere este decir que sí en el material de la Óptlea no se dieran lentes plañas (que no son meramente "O" aritmético, si^ no una realización suya, que funciona como módulo) entonces el•sistema de operaciones matemáticas - pero matemáticas materiales, por medio de las cuales la Óptica se desarrolla - no podría : dar._ lugar ,:§ Óptica física.

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Pero, en la medida en que las operaciones gnoseológicas son interpretadas desde el paradigma topológico, es preciso considerar, en los propios cierres operatorios parciales de cada ciencia, los mismos mat£ riales dados (ópticos, acústicos, químicos, etc) según se ha dicho anteriormente. Es decir, las operaciones no son meramente formales, sirtb que, puesto que las -^ operaciones topólógicas son sólo un. paradigma, debéh arraigar en las propias partes de cada materialidad e£ pecífica, inmersa a su vez en una categoría ontológica. En este sentido, la Idea dé ciencia que alcanzamos es esencialmente materialista - no formalista - porque so lo manipulando ü operando con los objetos mismos de c£ da campo será t)Osible establecer las proposiciones - ciéntífi-eas, las Verdaderas materiales (identidades — sintéticas)"i Dé este modo, podemos con facilidad dar cuenta, aquí, dé lá significación gnbseológica áé los — "aparatos" en las ciencias experimentales. Los aparatos no serán meramente instrumentos, escalas, que pueden tirarse "una vez que estamos arriba", ó fuentes de conocimiento (concepto epistemológico más que gnoseoló gico), sino "contenidos formales" de una ciencia res— pectiva. Un telescopio, o un contador multicaftal, nb son meramente instrumentos o fuentes de conbcimiento de la Astronomía b de la Física nuclear, sino contenidos fórmales cuyas estructuras deben estar intercala-das en la prbpia ciencia o en la ciencia subalternante O auxiliar* Porque sólo én esté casó dejan dé Séí: "ca jas negras" y lo que de ellos resulta puede ser un con tenido científico, en cuanto término construido. Lo que está de acuerdo con la interpretación de los apara tos como operadores (según se expuso en el capítulo -III) . 7.- En particular, el concepto de construcción de nuevos términos o relaciones del campo, dentro del cierre categorial, permite dar una interpretación a la catego—

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ría de "predicción" que por muchos es considerada como el verdadero criterio distintivo de una ciencia ("el conocimiento científico se caracteriza por su capaci— dad de predecir los acontecimientos"). Porque prede-cir un acontecimiento, como, por ejemplo, un eclipse de Sol, resulta ser sólo un caso particular (y muchas veces una determinación oblicua, dada en el "Espíritu subjetivo") de la construcción de un término o cone- xión de términos a partir de otros, dados. Según esto, cuando la Astronomía predice un eclipse de Sol no hace algo esencialmente distinto (según la forma gnoseológi^ cá, y no ya según la materia) a lo que hace la matemá2 tica cuando a partir de los términos y = 3x + k, concluye y'= 6x. 8.- Por la misma razón diremos que cuando no hay construcción categorialmente cerrada, no habrá ciencia. Este criterio debería servirnos para determi-nar la razón por la cual las construcciones mitológi— cas no son ciencias, aunque tengan proposiciones y - abundantes sectores de deduciones formales. El p a r a — • digma del cierre exige que la construcción científica se dé a nivel material, y no meramente al nivel formal general, en el sentido oblicuo que damos a esta expresión. Otra vez se nos aparece internalmente vinculado el materialismo a la posibilidad de la ciencia (un materialismo que, en uno de los fundadores de la ciencia moderna. Descartes, aparece determinado como intui- ción, en cuanto opuesta al Álgebra y a la Silogística). ¿Por qué motivo la Química de Empédocles, la Química de los cuatro elementos no es una ciencia?. No porque en ella no haya sitematizaciones, deducciones, hipótesis, incluso operaciones muy próximas a la Quími^ ca como análisis y síntesis. La teoría del cierre ca-

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tegorial facilita la respuesta sencilla: porque, a pe sar de todo esto, no logra construcciones cerradas de términos y relaciones, a partir de otras dadas - como tampoco l;as lograrán los alquimistas. Y esto es debi do, no'que no dispusiera de nociones generales de - parte, todo, análisis, elementos y un riquísimo material empírico (5), sino debido a la escala de sus términos (los términos químicos no se mueven en la escala del agua o de la tierra, sino a la escala del carbono, del oxígeno o del azufre: el campo formal de la Química no se habría determinado todavía. En cuanto a otras contrucciones que, como la Música, no son, -sin embargo, científicas diremos que la razón por la que hay que establecer una diferencia con las cien- I

cias puede también trazarse a partir del concepto de cierre categorial. La Música es una construcción con múltiples afinidades con las constriicciones científicas (no solamente figuraba en el Quadrivium,junto con la Aritmética, la Geometría y la Astronomía, sino que, todavía Descartes hizo un intento de presentarla como una ciencia cuasimatemática (6) . Incírluso en sus con£ trucciones hay algo similar a los módulos (idempotencia en la fusión de sonidos interferidos en las sucesiones ascendentes y descendentes, simultaneidad en los acordes). Pero la razón esencial, según el crite rio del cierre, por la cual la unidad de una sinfonía no es asimilable a la unidad de una ciencia, es ésta: que no se construye según identidades sintéticas, que no establece cierres fundados en módulos esenciales, sino que sus composiciones se vinculan sólo por la — unidad sonora (por ejemplo, por la unidad de la tónica) .

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§ 18 Las clasificaciones de las ciencias.

La distinción entre

cierres flotantes y cierres fijos. 1.- Presentamos estas distinciones como distinciones dadas en el plano de la Gnoseología general, lo que tiene — gran importancia teniendo en cuenta el uso que de ella vamos a hacer para tratar de alcanzar la formulación de ciertas diferencias entre los métodos de las c i e n — cias naturales y los de las ciencias culturales (cuya distinción, aparentemente, se mantendría en el plano de la Gnoseología especial). -Las distinciones en cuestión se nos presentan, en efecto, como opciones formales del propio concepto de cierre categorial, como determinaciones absolutamen te generales de la Idea de cierre. 2.- Tomamos como referencia los conceptos de base = X y de campo formal = [_x] . La base y el campo formal de las ciencias están constituidos por múltiples términos, co mo hemos dicho, entre los cuales subsisten relaciones materiales y están definidas operaciones. Nos referimos, como para fijar el discurso, al caso más sencillo: a * b = m. El resultado de la operación m = a * b está ne cesariamente insertado simultáneamente en dos contex— tos que, sin embargo, pueden ser disociados por el ana lisis gnoseológico: A) El contexto inmediato de una configuración está constituido por los propios términos o factores y en la dirección "factores -> resultados". El contexto inmediato' de m estará constituido por a y b. Cabrá dis tinguir el contexto parcial (alguno de los factores) y el total (todos los factores). Gustavo Bueno & col., Estatuto Gnoseológico de las Ciencias Humanas, Oviedo 1976

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B) El contexto mediato constituido por los res^ tantes términos de X o de [xj y en la dirección "resul^ tados -> campo X". El contexto de m, como contexto me diato, será o bien parcial (un entorno de configurado nes) o bien total (la totalidad del campo). En cierto modo, los contextos inmediatos deben considerarse i n — cluidos en los mediatos, en tanto que forman una parte suya. La distinción entre cierres libres y ligados está establecida en el plano del contexto inmediato; la distinción entre cierres flotantes y fijos, en el contexto mediato (parcial o global) - Por tanto, e v i — dentemente, estas distinciones se cruzan en parte, en la medida en que se cruzan sus contextos respectivos 3.- Cierres libres / cierres ligados. Por respecto al contexto inmediato a, b de una configuración m (y de - acuerdo con la naturaleza de las operaciones y las relaciones utilizadas): (I) O bien los términos o configuraciones factores a y b no quedan vinculados al resultado m, sino que permanecen "libres". Y esto según dos eventualida des. a) O bien de suerte que, recíprocamente, m tam poco queda ligado necesariamente a los factores (por ejemplo, porque puede ser obtenido o determinado a pa£ tir de factores distintos). Hablaremos de cierres libres absolutos. b) O bien de suerte que m queda vinculado a — los factores (a la manera como la conclusión del silogismo queda vinculada a las premisas). Hablaremos de cierres libres lineales.

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(II) O bien los términos o configuraciones a, b quedan vinculados (ligados) el resultado m. Y esto según dos eventualidades. a) O bien de suerte que m queda ligado a los factores (cierres ligados lineales). i b) O bien de suerte que m no quede ligado a los factores (cierres ligados absolutos). 4.- Cierres flotantes / cierres fijos. Por respecto al contexto mediato de una configuración m: (I) O bien la nueva configuración del contexto X queda disponible para componerse por sí misma con — cualquier otro término o configuración (incluido facto r e s ) , queda como "flotando" en el campo (X) . Caben dos eventualidades: a) O bien M queda disponible para componerse con cualquier configuración de /xj. (cierre flotante total). b) O bien, sin perjuicio de que [xjquede afe£ tado por m, sin embargo m permanece flotante en algún sentido (cierre flotante parcial). (II) O bien la nueva configuración del contexto (X) "modifica", "afecta" o "polariza" de tal manera su contexto (total o parcial), que queda bloqueada, en cuanto a áu composibilidad, por sí misma con otros tér minos. Por así decir, el cierre fijo "arrastra" a su entorno y modifica el campo (X) . 5.-

Sobre los cierres libres. Distinguimos las operaciones constitutivas y las determinativas (o coordinativas). - Con operaciones constitutivas un cierre l i — bre puede tener lugar:

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1) Cuando la operación es reversible (en térmi^ nos sustanciales).

En este caso podemos regresar otra

vez a sus componentes, por así decir "desbloqueándolos" de la operación. 2) Cuando a, b sean términos esenciales, que pueden reproducirse en otros ejemplares tales como a., a„, ... b , b„

(lo que llamaríamos reversibilidad-- -

esencial). Una situación de gran interés, que se acoge a esta rúbrica, nos la proporciona la Biología molecular (verbigracia, cadenas de polímeros ADN) o la morfold—• gica

(ejemplares de una misma especie mendeliana), en

cuanto -que ellas incluyen multiplicación de unidades que son efectos de un proceso de reproducción

(que pue

de ponerse en correspondencia con las operaciones geno seológicas).

Un proceso que es irreversible, pero que,

sin embargo, en virtud de su estructura repetitiva

(el

significado de la cristalización, como método gnoseoló gico de determinación de sustancias biológicas, podría ponerse en la circunstancia de que "cristalizar una -sustancia" equivale a demostrar físicamente la repetibilidad esencial de sus unidades moleculares) nos permite operar

(experimentar) en condiciones muy próximas

a la reversibilidad.

- Con operaciones coordinativas. Cuando la determinación no es causal

(más bien estructural) y no -

incluye orden.

En los campos con términos esenciales, los pro cedimientos y recursos operatorios son internamente

—

muy diferentes de los que pueden asignarse a los cam-pos con términos sustanciales.

Las principales dife—:

rencias derivan de la recombinabilidad de los términos consigo mismos

(en cuanto a su esencia) a la manera co

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mo ocurre en el Algebra. En ella una operación (x+y=z) no agota a (x) o a (y) en (z), sino que queda disponible y reiterable: (z+x), es decir, (x+y+z)• Esta operatividad algebraica es tan peculiar que podía pensarse que únicamente en su esfera puede haber operaciones. En cualquier caso, no deja de ser interesante consta—tar que las condiciones de las operaciones algebraicas se dan en los cierres libres mediante los términos - esenciales. Es así como podemos cuantificar (asumir 1, 2 o n-elementos, en lugar de tomar uno solo cada vez: concepto de macromolécula, de cadenas carbonadas). Las ^operaciones con los mismos elementos son, así,, mucho más fértiles y los procesos constructivos gnoseológicos mu cho más ricos. La composición del término a con el b acaso no se hace sino por mediación de c (pero no por mediación de a,., a.^, a^ salvo en la construcción por inducción) y lo mismo se diga de la composición de a^, con b. . Este argumento podría servir para asimilar entera^ mente y, por princpio, las composiciones entre térmi— nos singulares y las construcciones entre términos - •^. universales. Sin embargo, los esquemas de identidad * esencial desempeñan un papel decisivo en muchas cons-trucciones o argumentaciones - sin necesidad de ajus— tarlas al mecanismo silogístico, en el cual ciertamente es indispensable la presencia de términos universales (aut semel aut iterum medius géneraliter esto). La construcción científica que procede por la mediación de la repetición de un esquema de identidad esencial, combinado, ciertamente, con procedimientos de composición estéticos - por tanto, según una estructura no m£ ramente silogística (ni siquiera hipotético -deductiva, analítica) - es especialmente clara en las ciencias ma

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temáticas y físicas, y la mejor prueba es la presentación del análisis de algún ejemplo sencillo de un contenido formal de estas ciencias en el que quede de manifiesto este éntretejimiento de los esquemas esencia les, en la construcción científica de configuraciones estructurales. Tomamos un ejemplo de la Geometría clásica (ya utilizado en el Capítulo III): el llamado teorema de Herón, acerca de la trayectoria mínima que pa£ te del punto P, toca en un punto R la recta L y termina en otro punto Q, situado en el mismo lado que P:

El punto R de L, para el cual (RP + RQ) es mÍT y no la comprensión (cognitio) y, por tanto, sería mejor llamarla elénchus que demo^tratio" - No se trata de negar todo sentido a esta di£ tinción ,(ratio essendi / rátio cognoscendi), sino de disociarla de la distinción entre el campo recto y el campo oblicuo de una ciencia. Aquella es una di£ tinción más epistemológica que gnoseológica. Es una distinción que tiene su juego en el contexto "episte mológico clásico" de la oposición entre un sujeto — cognoscente y un objeto conocido, más que en el contexto de los campos gnoseológicos (que, de algún modo, son objetos conocidos y, por tanto, simultánea— mente, constan de componentes subjetivos y objetivos) El componente cognoscitivo (o subjetivo) no se nos aparece aquí a título de un "receptor" (un ejemplo) que refleja los objetos que estuviesen en otra esfera, o incluso que "entran" en la esfera cognoscitiva^ porque en cierto modo ocurre lo contrario. En el - "analizador multicanal" (considerando como parte for mal de la ciencia física de la radioactividad) los procesos naturales (radiaciones y, etc) son transfo£ mados por el aparato (que desempeñaría el papel de un operador) en cifras que se inscriben en una cinta: diríamos que el ordo cognoscendi es aquí generado --

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(como ocurre con los síntomas en las ciencias médicas y psicológicas) por el propio ordo essendi/ e incluso debe decirse que queda absorbido por él

(sin,por ello,

dejar de iser oblicuo al campo constituido por los pro cesos nucleares).

Por otra parte, no se niega, en

—

principio, que aquellos momentos separados denotativa mente por la distinción

(ratio essendi / ratio cog- -

noscéndi) no puedan separarse efectivamente: se p r e — tende que (por ejemplo, en situaciones como la descr_i ta por Schopenhauer) la línea divisoria de interés

—

gnoseológicó pasa por la distinción entre campos rectos y oblicuos.

En líneas generales, no i n c l i n a r í a —

raos a ver,en el concepto de ratio cognoscendi^un concepto confuso desdé el punto de vista gnoseológicó. Ante todo, porque la cuestión no se pone como cues- tión de distribución de aquellos mohientos de las cieri cias que perteneceh al sujeto cognoscente o al objeto conocido, dado que todos ellos son ya conocidos y - constan como partes formales dé una ciencia objetiva. La cuestión hay que ponerla como cuestión de la expl_i cación de ios motivos por los cuales esas demostracio nes (o elencos) que producen "convicción" son, sin era bargo, partes formales de una ciencia, es decir, con£ tituyen nexos entre términos ó relaciones de un campo catégorial - aunque sea un campo oblicuo.

Una contr£

prueba de la necesidad de elaborar en términos objeti^ vos gnoseológicos las propias rationes cognoscendi

'•—

nos la suministra la correspondencia que cabe siempre establecer entre los términos de esta distinción (OT'^ do cógñóscendí / ordo essendi) y los términos de otra distinción Clásica, de Central significación gnoseoló §iCá: la distinción entife las cuestiones Añ sit? y '— Quid ait?.

Porgue lá cuestión An sit? sé refiere, --

más bien, al ordo cognoscendi

(desde el punto de vis-

ta gnoseológicó), sin perjuicio de que la existencia sea un contenido "objetivo".

Pero la cuestión An sit?

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ante los objetos de una ciencia (se decía) es exterior a las propias ciencias (salvo en Teología Natural, que es la ciencia que tiene qiíe comenzar por demostrar su propio objeto. Dios (32)). Nosotros diríamos que la cuestión An sit? pertenece al plano oblicuo (y por - ello, es vista como exterior por una metafísica que — opera con la distinción rdal de esencia y existencia). Pero no es exterior a la ciencia misma, en tanto debe establecer o reconstruir sus propios hechos. Porque nuestra ignorancia - para decirlo con Fontenelle - no consiste tanto en desconocer las causas de las cosas que existen, cuanto en "conocer" las causas de las cosas que no existen (33). 11.- Consideremos ahora la distinción clásica entre lo abstracto y lo concreto y, en í>articular, estableceremos una rápida confrontación entre la dialéctica constitutiva del campo categorial y la llamada "dialéctica del ascenso de lo abstracto o lo concreto". La dialéctica de este ascenso procede de Hégél y ha sido reiteradas veces estudiadas por el Diamat a propósito dé la "Lógi^ ca de El Capital" - dado que Marx ha hablado de ese — "método que se eleva de lo abstracto a lo concretó, el método en virtud del cual las determinaciones abstractas conducen á la reproducción dé lo conéteto por la ^ vía del pensamiento" (34) . La confirontación de estas dietincionea está jüetifitíada porque, auñcgüe la distiheiSn hegelianó^maífitista es mád amplia y ñú éspecífieamentó gnoseolÓgica (sino que se aplica también a aitua oiones de razonamiento no científico), dado que esta — distinción también se aplica al método científico (al "método" de el Capital; y en este método habría que in cluir "la reproducción de lo concreto por la vía del pensamiento", pero entendiendo que lo que se reproduce no es sólo "sustancia mental", sino realidad efectiva, aquella realidad económico, política, o tecnológica --

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que solo puede existir como resultado "de un pensamieri to") debe pensarse que ha dé interferir con la o p o s i — ci6n entre los planos rectos y los planos oblicuos (presentada también como posición dialéctica).

La distinción hegeliano-marxista es una distiii ción clásica en la tradición filosófica, y es entendida según una dirección peculiar - diríamos: "platóni— ca" más que "aristotélica". La clave nos la da el nexo que se interpone entre sus términos: "ascenso". Es esencial advertir que "ascenso" se opone aquí a "dés^ censo" y al no haberlo advertido, o al proceder co mo si no se hubiese advertido, las discusiones de — los marxólogos suelen ser inconscientes del contexto histórico-sistemático en el que se desenvuelven, "por encima de su voluntad", las discusiones. Pero en la tradición "aristotélica" es el "descenso" (del todo a la parte) aquello que liga lo abstracto y lo concreto. Porque, en resolución, se está en rigor manejando los dos sentidos clásicos de la abstracción: la "abstra£ ción total" y la "abstracción formal" (35). Ló abs- tracto-total es, en la tradición aristotélico-porfiria^ na, él concepto universal abstractq, el Género o la Especie, que después se determinan "descendiendo" a — sus inferiores (que son lo concreto, lo "individual" concreto", la sustancia aristotélica). Lo abstracto — tiene, respecto de lo concreto, la relación del todo potencial a la parte lógica (incluyendo acaso la relái

cióñ de la parte a la parte lógica). Pero, en la abstjTacióñ fúrmal, ló abstracto no éS neúésariaménté lo -univeirsal-genéricó, sino la part^ formal, él aspéct© o momento que se vincula a otras partes (no por semejanza o indentidad esencial, sino por composición o sinexión). En la abstración formal, lo abstracto, tiene por respecto a lo concreto, la relación de la parte — al todo integral, o de la parte a la parte integral.

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(Desde una perspectiva aristotélica, solamente lo concreto es real, existente, porque lo abstracto es •*•. — ideal; desde una perspectiva platónica, lo abstracto puede ser real y el concepto de "totalidad concreta" podría considerarse como el emblema mismo de la confusión Sferítica: una totalidad concreta, en la que "to— das las partes estuviesen conectadas con todas las pa£ tes" sería una totalidad ininteligible). La clave de la teoría platónica del concepto (y de la Idea) reside, en gran medida, en la mezcla qué ha entendido siempre entre el abstracto formal y el total (mezcla que, en la Lógica tradicional, viene reflejada a propósito de la doble interpretación, intensional y extensional - del juicio)4 Ahora bien: cuando Hegel y Marx se refie ren a lo abstracto, están subrayando casi siempre lo abstracto-formal. Por ello, el "paso a lo concreto" es el paso de la parte al todo (es un "ascenso"). Ale xeiev lo expresa claramente (aún cori otras referencias) "... entendemos como abstracto lo unilateral, incomple to, pobre; como concreto, por el contrario, lo muítila teral, completo, rico" (36). Aunque en las exposiciones de Diamat este punto aparece más bien en estado in consciente, lo verdaderamente significativo, én la pro blemática hegeliana marxista del "ascenso de lo abs- tracto a lo concreto",no reside, creemos, en este plano propiamente lógico-funcional (las categorí'as de los todos y de las partes, aisladamente consideradas) sino en la utilización de esas Categorías en la formulación dé la naturaleza de los fenóftiénós. Para la Úntología árietístélicá^el fenómeno (qué apaíreGé a la sensación)ñ5§ remite, en rigor, a lo conGretoInáiviáual (hía et nunc) y, por ello, el concepto es lo abstracto total (scientia est universalium). El Entendimiento (y la Razón) es abstracto - total, porque debe comenzar por prescindir de lo conreto, de la sensación. La riqueza inagotable de la sensación tiene que ser empobrecí-

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da por el Entendimiento que quiere conocer racionalmen te. Pero, para Hegel (y luego para Marx) es el fenó— me no (lo concreto individual, de Aristóteles) aquello que es abstracto - abstracto formal (y es ésta paradoja aquello que es arrastrado a todo lo largo del desarrollo de esta distinción). Es abstracto formal, no so lo porque lo sensible ofrece sólo aspectos de lo real - individual, sino porque lo real individual mismo está vinculado a otros sistemas de individuos concretos (que resultan ser partes abstractas,precisamente cuando se las trata como concretos: así, el individuo, fue ra de su grupo b clase social). Es la Razón la que va acumulando los aspectos fenoménicos (abstractos) y los "asciende" hacia lo concreto. Lo individual y concreto apar-ece ahora "por el lado" de la Razón - no "por él lado"I de los sentidos (no sé trata dé ningún empi-tistno de lo dohcteto) . l?ero porque, ahoira, lo individual concretó es él todo. Según esto, el fenómeno - sénéiblé se corresponde más bien a lo abstracto individual de Aristóteles! Marx estaría, al dar explica- -^ ción del asunto, en una posición más afín a la estoica (incluso a lá "inteligencia sentlente" de Schópenhauer) según la cual los sentidos no son algo previo al En-* tendimiento, sino el propio entendimiento determinado (sensorialmente). La mercancía es el fenómeno más inmediato, cotidiano "sensible" (lo que no implica noínteléctual) en la Economía capitalista - pero por - ello mismo abstracto. El "ascenso" a lo eoncreto es ^^ tanto,ahora,como la inserción de la "mercancía cofcldi£ na" en el contexto de relaciones que la hacen posible: mercancía, trabajo, valor, dinero, capital, plusvalía, salario.... (cada categoría es menos concreta que la que sigue) (37). El núcleo de la dialéctica del ascenso de lo abstracto a lo concreto, consistiría,precisamente, en esta dirección muy genérica señalada como alternativa a la dialéctica descendiente de Aristóteles

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y de muchos escolásticos. La pregunta que nos concierne es, por tanto, la siguiente: Como quiera que la oposicidn de estas dos dialécticas (de lo abstracto y lo concreto) cons^ tituye una alternativa muy genérica, y prácticamente exhaustiva, necesariamente la dialéctica gnoseológica habría de participar de alguna de sus opciones. Las figuras dadas en el plano oblicuo, en cuanto fenoménicas , ¿No serán abstractas (dentro de la tradición platónico-hegeliana-nlarxista), frente a las figu ras del plano recto que, en tanto procede de la composición de los fenómenos, se aproxima en lo concreto (concreto - relativo, puesto, que, como hemos dicho, la categoricidad científica sigue siendo abs- tracta respecto de la "totalidad")?. Según esto, la dialéctica gnoseológica de los planos rectos y oblicuos podría considerarse dentro de la dialé£ tica del "ascenso" de tradición hegeliana, y no dentro de la dialéctica del "ascenso" de tradición esco lastica. Pero tampoco es así, en términos absolutos. Porqué la "dialéctica del ascenso de lo abstracto a lo concreto" es la dialéctica de la parte formal - (unilateral) al todo (multilateral) - con la tesis acoplada de la "sensación" como parte formal, abs- tracta - mientras que en lá dialéctica gnoseológica, las figuras del plano fenoménico no son meramente — "partes" por respecto de las figüraa del glano rédto, que precisamente no es una "totalidad" qué las cóft-tenga siempre. Ocurre que el concepto hegeliano de la dialéctica del ascenso está inmerso en una conce£ ción monista, heredada en parte por el Diamat. Ella nos orienta a pensar la dialéctica del ascenso en el sentido de la "concatenación universal" de las par— tes en el todo. Y en la dialéctica gnoseológica, no es tanto una conexión (concatenación) de las figuras

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del plano oblicuo al recto lo que tiene lugar, sino, '/ a la vez, eventualmente una desconexión intencional — de ellas. 12.- Es un hecho que la Lógica forfflal está presente virtual^ menté en todas las ciencias particulares. Para decirlo en términos de la Gnoseología "lingüísticamente reducida" (la de los tiempos de Carnap): cada campo cate gorial dispondría de un lenguaje ^i^^xi'^^Xi ^^Xi ^ ° " los funtores de grado O, 1, 2 etc; RXi son los relatores); pero, además, debe disponer de lenguaje lógico L (que contiene las "constantes lógicas "-'", "A" > "3x". etc). Si añadimos la clase de las variables V, tendré mos qué el lenguaje (o alfabeto) de la ciencia Cj^, podría expresarse de este modo: Gj^=L t/X O V) . Evidente— mientej el lenguaje de cualquier ciencia utiliza L; —' sea de un modo informal, sea de un ifnodo formalizado. Muchas veces, es conveniente hacer explícito el lengua^ je L - y esta tarea fue el objetivo del "logicismo for malista". Ahora bien aquí nú discutimos de ninguna man£ ra la conveniencia de formalizar los lenguajes de las ciencias particulares - aún cuando dudamos de que no por no estar formalizadas, las ciencias carezcan de ló gica. Dé lo que sé trata es, más bien, de interpre— tar el significado de ésta presencia ünlveírsal de la Lógica.formalizáble en las ciencias partiCülaréS. La interpretación mSs fuerte logicista es la siguiente; ^^ lógica formalizáble es la lógica general; de suerte que las demás ciencias quedarían automáticamente reducidas, en lo que tienen de ciencia, a una suerte de determinación o aplicación dé la lógica formal (que s e — ría así la verdadera "teoría de la Ciencia"). Tal fue el programa del "logicismo". Se trataría de reexponer las Matemáticas por medio de un lenguaje lógico forma-

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lizado tal que permitiese suprimir todas sus impurezas (por ejemplo, los lenguaje^ nacionales) elevándolas a la pura condición de ciencias i Los Principios Mateínáticos de Russell - VMtéheád" fueron concébidos en está perspectiva (38). Pero si negamos la ecuación entre lógica for-mal y lógica general ¿cómo explicar la presencia (virtualemnte) universal del lenguaje L en todas las ciencias?. ' Una respuesta nos la ofrece el concepto mismo de los campos oblicuos, que nos permiten a la vez fécu petat el concepto aristotélico del órganon; la Lógica formal sería un or^anon. oblicuó, susceptible de ser él tnlSftio eleminado como tal en los cumplimientos "mate riales"-dé cada ciencia» En cuánto oblícuáá. -, lais figutáá lógij3ó-^formales pódiríán ser interpretadas cottib "ffefiómenús"» Esta consecuencia puede resultar sótpteri denté desde la teoría de la Lógica Jorma 1 cómo lógica general., Pero cuándo la lógica formal es entendida úo "^o lógica especial (materialismo formaliata) , su cara£ ter fenoménico no nos remite a otra cosa sino a su pro pia entidad tipográfico-formal (o psicológico-formal), la entidad de las fórmulas en tanto ellas nos remiten a contenidos "más alia" de ellas mismas (las fórmulas no tendrían un uso tautogórico, sino alegórico), pero que, sin embargo, solamente a través de ellas se nos dá. De este modo, reinterpretaríamos, dentro de la -teoría general de la conexión dialéctica de los planos oblicuos y rectos, la experiencia de que las demostraciones geométricas no nos ofrecen muchas veces la ra.-— tío essendi (geométrica); pero, sencillamente, porque ésta es justamente aquello que trasciende dialéctica— mente la forma lógica por medio de la cual ha sido establecida. En cuanto al componente pragmático de las fórmulas lógicas, como figuras de los campos oblicuos, baste recordar la circunstancia de que las propias fór

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muías lógicas se reducen al sector normativo del eje pragmático. Examinemos más de cerca algunas situaciones en las cuales la forma lógica está objetivamente presente en la construcción geométrica, para mostrar su condición de oblicuidad. En las argumentaciones apagógicas la situación se manifiesta con comparativa claridad, porque, en - ellas, el motivo formal por el cual establecemos una construcción en un campo material (recto) de referen— cia, es de índole oblicua a eSte campo, en tanto es — precisamente de naturaleza lógica. Pero por ser oblicua, la argumentación,por no depararnos una cognitio (material) de la conexión - y el que no nos lo depare está ya- reconocido en su propia condición apagógica ¿ha de concluirse que su función ísea subjetiva, de mero determinante de nuestra conVictio?. Evidentemente, toda conexión, cuando se reduce psicológicamente a su condición de motivó, es un motivo de convictio - tani-bién la congnitio; por consiguiente, que una conexión lógico-formal actúa como motivó de convictio no se hie ga - simplemente se afirma que, no por ello, la cone— xión es subjetiva. Pero, como tampoco la conexión es objetivo-material (recta), diremos que es objetiva, pe ro oblicua , lógico formal; es decir, una conexión que tiene lugar entre objetos (téírtiinos) que están, óin em bargo* "aCópladOá" al campo recto, porque sin ese accplatíiientó al campo recto no podíía darse la Cónstrüc--' dión. La objetividad lógico-formal seffiaterlalizaen el propio formalismo, en su tipografía, (aunque tam- bien puede materializarse de otras maneras). Lo que estamos intentando exponer es, simplemente, una aplica^ ción de la doctrina general del "materialismo formalÍ£ ta" según la cual la lógica formal no es una lógica g£ neral que "sobrevuele" sobre las materialidades concre tas (como si éstas fueran subsumidas en aquélla por —

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identidad, según el esquema porfiriano de la subsun— ción de las especies en el género), sino una lógica es_ pecial material que se acopla, sin embargo, (sinectivamente) a las materialidades de referencia. La d e — mostración de la incomensurabilidad entre el lado del cuadrado y su diagonal, según el argumento trasmitido por Aristóteles (39), se resuelve, en último término, en el reconocimiento de una contradición que podría "materializarse" (formalizarse) en una expresión como la siguiente (en la cual el formlismo es tan oblicuo al asunto como pueda serlo el diagrama de las curvas de oferta y demanda a la realidad de la oferta y la demanda de un mercado): [(-n é wN) / (m t 2N)J A

(n d 2N) (m é 2N)

¡Los miembros (entrte corchetes) de esta expresión proceden de argumentaciones (construcciones) matemáticas. El primer miembro (entre corchetes) simbo liza que, supuesta la fracción irreducible (m/n) uno de sus términos ha de ser impar - es decir, que al me nos uno de los dos enunciados (x € 2N) ha de ser falso pueden serlo los dos). El segundo miembro, construido a partir del teorema de Pitágoras, indica que tanto "n" como "m" han de ser pares. Como los dos miembros ~han procedido con construcciones legítimas, entre - ellos podemos introducir el conjuntor"A " (según la regla E.K. de Gentzen). Pero, entonces, la expresión global es inconsistente, proque la incompatibilidad es la negación de la conjunción, y no pueden vincular se (P/Q) y (PAQ) por conjunción, con valor 1. En con secuencia, hay que eliminar o retirar la hipótesis l(m / n) J= 2. El motivo de esta eliminación es objetivo - la conjunción que habría de ser derivada entre los dos miembros - pero, sin embargo, oblicuo al material geométrico.

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En las argumentaciones directas, la situación de oblicuidad de las formas lógicas se nos manifiesta tan pronto como los nexos discurren por la mediación de la "forma lógica". Si he establecido una deriva— Ción geométrica entre una fórmula a y una fórmula 3 -" (es decir: a |— 3) - y , pór tanto, en virtud del teorema de deducción, ha establecido que »— a ->• 3) - puedo, en virtud dé "la forma lógica", establecer: - — •"•3 -+-"'a. Ahora bien, esta fórmula lógica es ya un -— procesó de construcción que trabaja en un plano oblicuo - por respecto del plano recto de los términos xaa_ temáticos - pero no por ello deja de ser objetiva: su objetividad es lógico formal. Es cierto que, por ser formal - oblicuo no contiene propiamente una eviden—* eia matemática material ("úognitio") - y acaso por — ello Descartes desconfiaba del Algebra y propugnaba volver continuamente, tras los "recuentos", a las cosas mismas (Hüsserl) es decir: a lo cjue nosotros llamamos, en términos gnoseológieós, parteaformales del plano recto. No porque el piano oblÍGuo deba ser dia lócticamente eliminado (siguiendo la apelación cartesiana a la intuición) es prescindible: la eliminación podría ser comparada a la eliminación del término medio en la conclusión silogística. Y, en cualquier c^ so, las conexiones oblicuas formales no habría que -pensarlas como dadas "en bloque" en una "superficie plana", sino como dadas en una superficie que se é n — treteje por diversas líneas de intersección con el — plano recto. (Por ejemplo, como ocurre en vina de - esas demostraciones geométricas^que Schopenhaüer comparaba con las operaciones de los prestigitadorés, -que se meten y sacan del bolsillo un objeto, en las que trazamos "líneas auxiliares", relaciones con la dada y conexiones lógicas que luego deben ser retiradas) .

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13.- La distinción entre campos rectos y campos oblicuos es una distinción genoseológica general. La Gnoseología especial de cada ciencia se ocupará de analizar los planos rectos y oblicuos y sus conexiones, en detalle. Aquí daremos algunas indicaciones de las principales cuestiones que esta distinción sugiere. Ya nos hemos referido a la aplicación de esta distinción al caso de la Gramática de los lenguajes naturales (respecto del lenguaje escrito). También nos hemos encontrado con esta distinción a propósito de las ciencias matemáticas. El "paradigma topológico" incluye un trámite especial, en tanto su papel de paradigma exige la posibilidad de distinguir, también en él, ..planos rectos y oblicuos. Esta posibilidad está implicada en las itiiamas distinciones entre los a£ pectos fonoméniéos y los oritológicos, en Sus momentos pragmáticos. Cabría, en concreto, establecer la distinción en un sentido más profundo, en cuanto opusiera, mos la topología formalizada a una topología material, entendida como el significado de aquélla (interpretada como un significante). La topología formalizada " constituiría el plano oblicuo que nos remite el con— junto de los "universos topológicos" (como interpreta cienes posibles de estas topologías), en la medida en que estos universos topológicos (o multiplicidades de entes isomorfos con las topologías formalizadas) se Consideren cóiño una ontologia qué está a la base de la ptópia tojíología formalizada * Por lo que se refiere a las ciencias físicas. A partir, sobre todo, de la crítica de Mach, se ha — profundizado en la oposición entre una Física de o b — servables y una Física de realidades, no ya como dos Físicas, o como dos teorías de la Física incompati- bles - sino como las formulaciones parciales de una -

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Física unitaria que se desarrolla en dos planos dialé£ ticamente vinculados: el plano oblicuo (de los observa bles) y el plano recto de las realidades configuradas a partir de aquellas observablesj pero que se emanci— pan de estos intencionalmente?. Es una metodología de la Gnoseológica especial de la Física. Nois limitaremos aquí a proponer, a título dé ilustración, la situación de Ik teoría atómica; En - gran medida, esta teoría ha partido de la "ciencia de las ¿ayas espectroscópicas", és decir, de las constrü£ clones cerradas (según, además, una muy precisa forma de cierre, el cierre según el girupo de transformado— ñés) entre láS rayáá espectroscópicas (sefies de B a l — tñei:, de..PfUhd> dé Lymañ) » ÉétáB consttucclohés nos re htíteh (en Vit-tüá de razonamientos causales» análógiCoé, matémáticóa» qué no tienen meftbi sutileza gue el aifgu^ mentó ontolfigieo ahselmiano) á los modelas dé Stomo, "más allá dé las rayas espectroscópicas", es decir, a íealláades en las que también hay construcciones (en rigor, toda la teoría atómica, én la cuál el índice de construcción matemática puede ser Dirac). Evidentemen té, la construcción con realidades "más allá" del e s — pectroscopio, nos reconvierte a las construcciones espectroscópicas en procesos que tienen lugar en un plano oblicuo. La "intersección" entre el plano oblicuo (los planos oblicuos) y los planos rectos, que a la -CSnoáeólogía especial de la Física atómica cottipete áhali^ar^ párafeé ténéif un fftdice dé profundidad muy eléva_ ño, a\ juagas? ^or la unidad de la propia Física nuclear (a la misma distancia que guarda la Espectroscopia de la Física atómica se encuentra la "Historia arqueólogo^ ca" respecto de la "Historia real"). En cuanto a las ciencias biológicas. Una de las polémicas "metodológicas" tradicionales de mayor -

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profundidad filosófica es la polémica entre los finalistas y los causalistas. Las perspectivas teleológi^ cas han desaparecido prácticamente de las ciencias fí^ sicas (solo quedan algunas reliquias terminológicas: "la tendencia al mínimo", la "tendencia del agua h a — cia los lugares mas bajos")» Pero en las cien- cias biológicas, la teleología se resiste tenazmente a desaparecer, y desde supuestos, en principio, nada metafísicós, sino estírictamentemente gnoseológicos — (40). ¿No sería fecundo - en lugar de aceptar como una disyuntiva la oposición entre metodología teleoló gicá y la causal (eficiente)- enfocar esta oposición según la dialéctica de la unidad entre los campos - oblicuos y los campos rectos?. Por supuesto, haríamos corresponder las perspectivas teleológicas al plano oblicuo y las perspectivas dausales al plano recto -(aunque un metafísico de la naturaleza propondría la corirespóndeñcia inveísa) . Según esto, el plaño té- leplégiúQ eeiríá un plano fenoméhico y nórrnativo (en ^ ©1 qua caben laí-goa procesos de conitrucción) . NQymátivo, porqué (por ejemplo) las propias fi'guras de los conceptos biológicos estarían, de hecho, construidas teleológicamehte, en las fuentes arcaicas (digamos: paleolíticas) de nuestra conciencia o lenguaje. Y, sobre todo, por la proximidad operatoria de ciertos términos y operaciones biológicas con las propias ope í-aeionés del concimiento. Ahora bien: sería el desartollo del pfopio cierre de las ciencias biológicas aquello que internamente conduciría a un plano ateleo lógico, y sería en este terreno en donde la construcción de la Biología científica alcanzarla su cierre más efectivo. La mariposa biston betularia se ha - "adaptado" a la forma carbonaria en virtud de un proceso de "mimetismo", el melanismo industrial. Eviden temente,; estas frases nos remiten a hechos reales, em píricos, establecidos gracias a nexos teleológicos —

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(tales como "adaptación" y "mimetismo"). Pero la verdadera comprensión científica no tiene lugar en este plano fenómenológico (mitológico, podríamos decir). — La comprensión científica del asunto nos lleva a pasar al campo "causal", tal como ha sido preparado por la doctrina darvinista de la selección natural; es preciso introducir el péti-rojo, como nuevo término del - campo recto pertienente. A través de él, se produce una selección natural, en virtud de la cual las variedades carbonarias van prevaleciendo sobre la betularia, en virtud de mecanismos estrictamente causales (en este caso cuantificables) , en los que toda "intencional_i dad mimética" atribuida a estas mariposas ha de quedar eliminada. Pero la cuestión gnóseológica que planteafnoa ea jésta: No que, efectivamente, la teleología deba terminar siendo eliminada por la ciencia, sino pot qué es necesario partir de ella, comenzar por ella. El ti^ po de respuesta "trascendental" iría por el siguiente camino: será necesario partir de la perspectiva teleológica (no como un punto de partida eventual, casual, incluso "conveniente" en una determinada época histÓr_i ca; todavía menos, será necesario partir de esta perspectiva y mantenerse en ella al modo como Kant enten— día la "idea regulativa" del fin) cuando podamos demo£ trar que está perspectiva éétá vinculada al mismo concepto morfológico ("mariposa", por ejemplo); en la medida en que podaiftos demostrad que es en esta pérspecti^ va gnóseológica en donde tiene lugar el propio dünceptó operatorio ("petirojo que percibe a la mariposa sobre Urt fondo"). Es decir, cuando pudieraift&s dar por seguro que Si ísrescindieseitios de estos coiiceptós mórfo lóglcos'-teleólógieós, los propios términos del campo ("mariposa'% "patirrojo") se "disolverían" (por ejemplo, en estructuras tales como "complejos de aminoácidos", confundiéndose con otros complejos de aminoácidos constitutivos del árbol). Si esto fuera así - si

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la perspectiva teleológica fuese imprescindible como punto de partida de un cierre categorial que resulta terminar eliminando aquella perspectiva - la naturaleza dialéctica de la conexión entre los planos oblicuos y los planos rectos de las ciencias biológicas, queda ria manifiesta. (Es el caso de las relaciones entre la llamada "Biología morfológica" y la "Biología molecular") . En la primavera, las laderas de ciertas montañas se cubren de retamas y de hiniestas que dan un tono de" intenso amarillo al paisaje. Este color amar_i lio es el estímulo para ígue ciertos insectos acudan a ellas y, por su mediación, se lleve a efecto el transporte de polen que hace posible la recurrencia de e s — tos arbustos. Diremos que su color amarillo tiene como finalidad "atraer" a los insectos pára^de este modo, -conseguir su reproducción. Evidentemente, los nexos teleológlcos han permitido establecer los nexos esen-cíales: arbustos, color, insectos, reproducción . Pe ro también és evidente que ésta descripción teleológica tiene un sabor mítico (incluye una mente planeadora, un démiulryo/ etc) . Por ello, la comprensión científica dé la situación la aicañzaremOs Cuando péfcibattios ^ las manchas amarillas come una irésültanté no prévüta por nadie, pero tal que, al tener lugar en uñ valle en el que, además, vuelan insectos, que, a su vez perciben mejor el amarillo (y lo perciben, no necesaria-mente de un modo casual para ellos - como sostiene la teoría del azar, - sino porque allí encuentran su ali— mehtO: el nexo es Sinectivo) las probabilidades de que él transporte dé polen sé produzca son máximas; por — tanto, la reproducción está asegurada, a la vez que -©lia asegura la recurrencia de los insectos. Diremos que estos arbustos no son amarillos para reproducirse, sino que se reproducen porque son amarillos - pero sin que con esto debamos recaer en la hipótesis del azar, en el acausalismo (como alternativa del teleologismo),

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dado que no es "por azar" por lo que los insectos los visitan. Por consiguiente, la alternativa del teleologismo és propiamente la concepción de la unidad — sinectiva (determinista) de elementos muy heterogé- neos (vinculados aquí en campos apotéticos); en tanto la realidad de unos se apoya én la de los otros/ en tanto la recurrencia de esas realidades (el ciclo, co mo contenido del cierre) ha sido posible precisamente por esas sinexiones y se reduce a su mismo ejercicio. Realidad dialéctica, por-que pone la condición de cada término en términos que le son exteriores, y, sin embargo, necesarios para su tecurréncia, dentro de la clase. Ahora bien: la cuestión gnoseológica aparece al preguntar si al concepto ecológico de esta unidad dialéctica (cóñiSepto que es, a la vez, una regla de análisis práfíti&aménte inagotable, porque el cíientíf^ co iría determinando, cada vez con mayor precisión, las lineas de este circuito) podríamos llegar al margen de los conceptos teleológicos que justamente van siendo eliminados más y más (al ser eliminados incluso los propios conceptos morfológicos: "insectos", --' "hojas", etc) justamente con las relaciones entre - ellos (relaciones apotéticas: "percepción del amari— lio"); es decir, si estas unidades-términos y sus relaciones, en torno a las cuales tiene lugar la cons— trucción racional, podrían haber aparecido (sobre tcdo,seguir apareciendo) al margen de las categorías -^ teleológieas, dé las categorías én Virtud dé las cuales / por ©jerhplo, se nos déterrflina eoitio ufíá irélaCiéh la percepción del amarillo por el Insecto (una rela-*ción que "anuda" estos dos términos y que acaso qued£ se "disuelta" en los mil procesos físicos y químicos en los cuales consiste). Por último, de los conceptos anteriores, ca-bría sacar una respuesta gnoseológica a la pregunta -

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por la razón de la eliminación de los nexos finales en las ciencias físicas (Mecánica, Química, Astronomía, etc). Es evidente que la moderna ciencia natural se caracteriza por este proceso de eliminación de los nexos finales (Eliminación que muchas veces se considera sinónima del mécanicisnio o del atomismo. Erróneamente, porque también caben otras alternativas, de índole "ho lística", como lo manifiesta eí concepto de campo físi^ co). Se interpreta ésta elmihación como condición necesaria de la constitución de la ciencia moderna, bien sea, unas veceó, a partir de supuestos ontológicos - ("en la realidad no existen Éines; luego la ciencia, que busca refléjaí: la realidad debe comenzar por prescindir de ellos") , bien Sea p)bi: medio de explicaciones epiáteinológicaá ("los ftéxos fihales^ aunque existan, ge ñ&s dan eomo üná piróyección antrepomórfiea que la ciencia debetíoiñiénzarpor suprimir") . Petó los süpU6£ toa ofitológicpá o epistemológicos, auntjué sean aceptables en sí mismos/ no nos deparan uha compresión gno— sgolójica - y itiüchaÉí vecés, partiendo dé ellos» puede llegarse.a coneeeüehelas gnóseológicas erróneas o d i s — torslonadas (por ejemplo, a la jíroscrlpclón absoluta de las causas finales en Biología, en Psicología o en Lingüística). La razón gnoseológica que podríamos dar de la necesidad de eliminar los nexos teleológicos en Física, ha de proceder del mismo campo de sus objetos gnoséológicos. Es éste un campo construido en virtud dé una dletancíación o abstración tal del '*rftündo sensi^ ble cotidiano" que los contornos o siluetas de esté — mundo se desvanecen. No sólo se desvanecen los coló— res o los sabores (cualidades secundarias); también -las formas: un mamífero y una roca no se distinguen — desde el|punto de vista físico, en tanto son conjuntos de átomos, de electrones, o simplemente de masas gravi_ tatorias o inerciales. Como quiera, por otro lado, — que sólo podemos alcanzar el campo físico (las relacio

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nes entre sus términos) a este nivel (paratético); Como quiera que los nexos teleológicos se mantienen a la escala de las figuras cotidianas (apotéticas), se comprenderá de inmediato que las ciencias físicas hayan debido prescindir de los nexos finales para constituir se. Pero no es porque los fines sean proyeccitijnes nues^ tras en el mundo, y porque la ciencia se interese únicamente por la realidad objetiva, por lo que hay que retirar las proyecciones subjetivas del mundo. Propiamente, lo que retiramos es el mismo mundo (fenoménico), el mundo en el que existen las mesas de Eddingtong — (41) .

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§ 20 Dialéctica del cierre categorial 1.- Uña ciencia no es una doctrina acabada (perfecta) - auní que sea cerrada (en el sentido del cierre catégórial). Sigue, en virtud de su propio cierre, abierta a ulterio res desarrollos.Y ño en virtud sólo, ab strinseco, de — formar parte de un campo no explorado aún/cuyos desarro líos jjüedan confluir con el dado, para incorporarlo a nuevos procesos^ fertilizándolo. Sino porque cada contexto ¿errado, eñ tanto está intersectado (o puede e s — tarlo) con otros contextos, ha de dar lugar, á partir de Su propia "sustancia", a desarrollos cada vez más — complejos., que amplían, "desdé dentro", el propio espa-^ dio ^gne>.seol6gl£;a y aún pueden llegar a desbordarlo y a destruirlo. La investigáGÍ6ñ, en cuanto dé^átrollo ó déi@;«v©lvimlént5 dé éste espacia^ está» Ségüft ésto^ en continuidad con la doctrina. La Geometría de hoy tiene más temas y problemas que la de Euclides - y no po3?-'que ellas estuvieran ya presentes antes de Euclides (como si éste solo hubiera recogido una parte de un yacimiento mucho más abundante), sino porque fueron los propios desarrollos euclidianos aquellos que abrieron el nuevo espacio interior. És muy estrecha la representación del ordo inventiüñls. como una fase rneraniente antecedente al ordo -^ dúGttlnae, y corno si ésta fuese simplemente la dieftciá útÍÉtáÍÍzáá& (Ciohgeládá, Riüeyta) , destinada á réprodu-eis'ae meñétonameñte según su paradigma propio, en la en señanza (3,a "ciencia normal" de Kuhn) , hasta tanto que la invención de un nuevo paradigma (la investigación — verdaderamente creadora) determinase una nueva "revolución científica". El concepto de "revolución científica" se mantiene en el plano de las apariencias (en un -

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plano cuasi psicológico) y, en este sentido, es un concepto acrítico. La enseñanza, el ordo doctrinae - cuan do no es meramente "escolástica" (mera repetición de — una doctrina destinada a su vez a ser repetida en un — examen) es decir, cuando no se desarrolla según una dia. léctica también interna de la ciencia - es ella misma él suelo de donde puede brotar la invención creadora¿ Invención que, por otro lado, ño es sino la culminación de un proceso dé "ciencia normal", en la cual, por s u — puesto, está incluida la propia investigación y la eñse ñánza de la investigación (¿óló caben descubrimientois en el suelo dé un campo ya trabajado y por relación a esté campo). La enseñanza de una investigación y logra da desde lué^o (rutinaria, si sé quieté), pero que, ade máís ée itiáfttener él contaets con él material ^ revaliáá 'láé Éióñstruceiohési ya hechas^ las reeonstruyé y hadé po slble, por la confluencia dé pequeñas diferencias (ó de grandes), no solamente que se desarrollen líneas que r£ sultán ser acaso E>uramente repetitivas (aunque no por ello pierden su autonomía: como no la pierde la respira ción de un organismo por el hecho de que repita patro— nes que no sé apartan de los ya establecidos), sino l í — neas que resultan apartarse de la ya establecida. El descubrimiento del Mediterráneo, por parte de los nue—^ vos sujetos que se incorporan al proceso científico, es la única vía, no sólo de asegurar qué el Mediterráneo Sigua Vinculado a los caminos ya establecidos (ó> a Vedéáí a otiroa nuevos)/ sino también para aprender a.abtir ñüévas vías hacia mares todavía descónotíidas. En este ésontexto, parece pertinente recordar la propuesta de — Marc Belth de una "ciencia de la educación", como d i s — ciplina científica, entendiendo por "educación" precis£ mente algo así como una "ciencia de la ciencia", como la ciencia de la enseñanza O entrenamiento en la investigación - la ciencia es sobre todo un método, antes -que un conjunto de conocimientos aislados: desde Platón,

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en el Menón, hasta Dewey en su Lógica de la Investiga— ci6n - en tanto esa educación tiene lugar en el marco de las instituciones escolares (42). 2.- Entendemos por "Dialéctica del cierre categorial" el — proceso mismo en virtud del cual el interno desarrollo categorial (construcción categorial) de una ciencia con duce al desbordamiento de la propia subcategoría (en el límite, al desbordamiento de la categoría) y al "corte" con otras categorías y, eventualmente, a la destrucción de la categoría (43). Estos procesos dialécticos no — tienen lugar "globalmente" (como si una vez recorrido el campo categorial o subcategorial nos encontrásemos — con sus límites), sino parcialmente y según planos di-versos én profundidad y en amplitud, que van configuran dose, en el contexto del desarrollo de cada ciencia, en sí misma, y en su conexión con las restantes formacio— nes culturales (incluidas las otras ciencias). En el propio proceso de construcción catego- rial aparecerán, tras amplios procesos constructivos o aplicativos, incommensurabilidades, desajustes entre di^ versas configuraciones del campo material (sin embargo, interferidas con terceras configuraciones) que exigirán reestructuraciones o reconfiguraciones del campo. E s — tas reconfiguraciones pueden no ser arbitrarias o ex- trínsecas, sino determinadas por la "dialéctica" interna de la multiplicidad de las partes que se contienen en una unidad gnoseológica y que pueden dar lugar a lo que suelQ-i llamarse "situaciones de crisis" de una ciencia - "Crisis de fundamentos", pero también "crisis de desarrollo" (crisis de consecuencias, es decir, esterii

lidad, a partir de un momento dado, de la construcción científica) o simplemente "crisis de construcción", incapacidad de una ciencia, en un estado determinado de su desarrollo, para asimilar parte del material que pa-

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rece pertenecer a su campo, insolubilia (encuentro con i2onas sobre las cuales "resbalan" las operaciones etc., etc.). 3.- La forma más general de la dialéctica gnoseológica es la que llamaremos "dialéctica circular" (progressus / regressus), que ya fué mencionada al exponer el paradi£ ma topológico, y que ahora solamente es preciso generalizar. Los dos procedimientos (I) y (II) de la cons— trucción topológica, son, en realidad, dos procedimientos que, cuando sé introducen los "parámetros" - cuando se refieren a lá materia concreta de cada ciencia - no tienen por qué conmensurarse o recubrirse plenamente, "sin residuo" el uñó en el otro. Sólo "formalmente" — - según su concepto general, desconectado de toda materia ^ son,mutuamente recíprocos. Los procedimientos (I) y (II) son posibles, según dijimos, en virtud de la "e£ tructura matricial" de los campos gnoseológicos. Y esta estructura ¡está descompuesta en diversos planos (v. gy. el físicalista y el fenomenológico), en los cuales se dibujan las diferentes configuraciones. La glicerina percibida, se nos reconstituirá tíomo CH„-0H-0H-OH- CH2-OH (propariotriol), y el agua destilada como "oxigeno de hidrógeno", H^O. Se podrá hablar aquí simplemente del análisis y de síntesis, domo operaciones quími— cas mutualmente inversas, de reversibilidad. Pero Con esto eliminamos la clave de la dialéctica gnoseológica: el agua o la glicerina empíricas (fenomenológicas) no pueden considerarse como el término de operaciones de síntesis de carbones, hidrógenos, oxígenos, etc.,es d e — cir, como simple operación inversa del análisis, porque estos "elementos" solamente funcionan como tales dentro de un marco que es abstraído, sin duda pero que, sin em bargo, actúa realmente. Ni siquiera puede decirse que en las ciencias formales la situación sea diferente, — porque el propio "material fenoménico" se nos da con.^ -

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independencia de su "reconstrucción" científica. Según esto, la construcción gnoseológica se -^ nos desdobla originalmente en las perspectivas dialécti^ camente vinculadas, que llamaremos perspectivas gnoseológicas del cierre categorial y que designaremos - en recuerdo del paradigma topológico - C(I) y C(II). - C(I) simboliza la perspectiva del progressus, la perspectiva de la síntesis que, partiendo del sistema de los "términos primitivos", desarrolla la construcción introduciendo nuevas configuraciones, que permanecen "cerradas" regionalmente, aún dentro del propio cam po. . - C(II) simboliza la perspectiva del análisis, del "regressus", que parte de términos que figuran como si fueran primitivos y que resuelve teóricamente en los anteriores, en (I). También en el regressus hablaremos de términos, relaciones, operaciones. Pero sería un error pensar — que las operaciones son ahora simplemente inversas de las anteriores (muchas veces estas relaciones aparecen en términos lógicos de inducción - deducción) La u n i — dad de amlaas perspectivas es de circularidad "formal" pero la reversibilidad es sólo un caso particular. El "cierre categorial" se desdobla en estas dos perspectivas, inextricablemente confundidas por la circulación recurrente de una en la otra. Circulación que no es, de ordinario, fluida y uniforme: los resultados del pro- gressus no se superponen siempre con los del regressus, y las turbulencias son un episodio n o m a l en el cierre categorial. Será una anomalía, que deberá ser explicada, la ausencia de turbulencias en un curso suficientemente largo del proceso.

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La distinción entre C(I) y C(II) es muy útil como retícula para analizar distinciones gnoseológicas empíricas, tales como la distinción clásica entre el — ordo doctrinae y el ordo inventionis; o bien la reciente distinción de Kuhn entre ciencia normal y revolución científica. En cierto modo> esta última distinción pue de considerarse como una proyección histórica de la pri^ mera, que se mantiene quizá mejor en el plano psicolÓgi^ co. El concepto de ordo dóctrinaé (la ciencia con£ tituida) puede ser pensado desde la perspectiva C(I) si por doctrina entendemos principalmente la "construcción sintética" - mientras que el concepto de ordo i n — yentibnig (la ciencia "constituyente"), se corresponde con la perspectiva C(II). En consecuencia, y en virtud de la circular!— dad entre C(l) y C(II), reconoceremos también la circularidad entre el ordo doctrinae y el ordo inventionis. Ambas perspectivas son perspectivas gnoseológicas y el concepto de "investigación'! (Lógica de la investigación) pertenece|a la Teoría de la Ciencia (no es mecamente — una perspectiva oblicua - psicológica o histórica - a la Gnoseología) . En la medida en qué esta ciiículairidad in cluye turbulencias - crisis, incomensurabilidades - con_ cluiremoS también que las ctisis no son estados "anorraa^ les" - por respecto á un estado de "ciencia normal" sino éfísodios ordinarios, iritétnos al Cursó mismo áe éadl eiéñcla, (Lá "anormalidad" es sólo uña ápairieñCiá psleológiea y está ligada acaso a la imageri ñ&l eurso de una ciencia según la cual, por sí mismo, en estado de equilibrio, "debiera" ser uniforme, continuo y tranquilo) . Tan normal como el desarrollo de la Geometría

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dentro de los postulados euclidianos, es el desarrollo de la Geometría no euclidiána; es "normal" que el concepto de número racional, desarrollado por los pitagóricos, condujese ante las magnitudes inconmensura'-bles, frente a los "ñfimeiros irracionales". La anormalidad, la crisis de la aritmética pitagórica es un con cepto muy claró en la apariencia - pero es sólo una — dramatización, una metáfora, que recoge ciertamente as^ pectos extragñóseológicos rdales (del orden aiyque pertenece el asesinato de Hipases de Metaponto) pero que es, él mismo, extragñoseológico. (Aristóteles ya o b — servó que los matemáticos se asombran del asombro de quienes se encuentran con la inconmensurabilidad deiladiagonal del óuadirado respecto de su lado) . Es un pro óéUQ interhOj "normal" al Cierte cate^orial de la Fis_i caí ^üé §e guiaba peí: el sisteitiá de tiranáfurinaciones de Gaiiléó, el que, precisamente al componer los esque mas mecánicos con los materiales electromagnéticos, a£ tronómicos, encontrarse residuos inasimilables en este material, tropezase con las resistencias de los fenóm£ nos lumínicos (experiencia de Michelson). La dialéctica de lá ciencia, entendida como dialéctica del cierre categorial, se nos manifiesta — así como una dialéctica interna al mismo proceso científico; las oposiciones brotan desde dentro y, por tan to, considerarlas "anormales" es tanto como presuponer que las Contradicciones son ¡exógénas, "cifiSis" dé normalidad, "revolücióíi" científica (y estos conceptos, pese al dramatismo de su figura, sonden, el fondo, "' ~ adialécticos - pseudodialécticos). Sólo cabe hablar de dialéctica de un proceso cuando la contradicción — conlleva la "destrucción" de alguna de las partes en conflicto. (Por lo demás, aquello que se "destruye" tras una turbulencia gnoseológica, puede ser precisa— mente la interrupción del curso de un desarrollo, el -

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desbloqueo de un impasse como el de la incommensurabili^ dad de los segmentos de los pitagóricos; o quizá, el e£ tado de aislamiento de una región gnoseológica, que resulta incorporada - como el subgrupo al grupo que lo — contiene - a un campo más potente, desde el cual se - reexponen. los términos y relaciones constitutivas de la región que apareció primero). La dialéctica interna del cierre, es la "autoconfiguración" de un campo por sus propias "normas" o principios. Principios que, evidentemente, nada significan al margen de su mismo ejercicio (La segunda ley de Newton sólo adquiere su áéntido en sus determinaciones, en sus "especificaciones". Pero si esto es así, (como reconoce Kuhn) lo normal es que sean estas determinacioneá de la norma general la fuente misma de las "turbulencias", del enfrentamiento de unas regiones del campo con otras. 4.- El propio desarrollo de las ciencias genera construccio nes erróneas - que, sin embargo retrospectivamente, habrán debido de ser ensayadas para que puedan aparecer como tales; es un proceso comparable al desarrollo de ia Medicina, en tanto genera las llamadas enfermedades '•yatrógenas". Las estructuras gnoseológicas, asi produ ¿idas, podrían identificarse con los idola theatri de Bacon. El "calórico" en Física, el "totemismo" en Etno logia o el "complejo de Edipo" en Psicología podrían — servir de ejemplos de estos idola theatri generados en el propio proceso del desarrollo de las ciencias. 5.- No se trata de que los fenómenos que considera cada - ciencia en un estado de su desarrollo sean distintos de aquéllos que esta ciencia considera en otro estadio, — desde otra teoría (44) ; cada teoría tiene que reexponer los fenómenos de la anterior (al margen de otros nuevos

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que ella pueda determinar). Pero cada estado histórico de una ciencia es más potente que el anterior: desde la Astronomía de Ptolomeo puede reexponerse la Astronomía de Anaximandro. El desarrollo histórico de las cien- cias, desde la perspectiva del cierre categorial, debe ser enfocado de un modo muy preciso: a) El desarrollo de las ciencias, no es, en ge neral similar al de las artes, por ejemplo, al desarrollo de la música. Porque la música no tiene principios, y si los tiene durante ün periodo ("música normal", diríamos) puede perderlos o cambiarnos totalmente (esca-las, ritmos, totalidades - incluso la propia "orquesta convencional" (45)). ¿Quá queda de los principios de Mo zart en Stockhausen?. Ahora bien: el enfoque kühniano de la historia de la ciencia - precisamente por su teoría de la ciencia normal - es similar o genérico al de la Historia de la música. Pero en la Física relativista permanecen los principios newtonianos, de un modo en teramente distinto a como ocurre con los principios de Mozart en la música serial - pese a la opinión, por - otra parte tan autorizada, de teóricos de la música como Ansermet. Los principios de Euclídes, permanecen en la Geometría de Riemman. Si los paradigmas son principios - entonces los principios no cambian, en su total_i dad, en el sentido que sugiere Kuhn. b) Pero no por ello deja de haber Historia de la ciencia. Partimos de la tesis de que los principios permanecen (lo que cambian son algunos principios, en condiciones muy particulares). Si los principios de — una ciencia cambiasen enteramente, aquella supuesta - ciencia no lo sería propiamente, y sus contenidos perte necerían a la prehistoria de la ciencia, más que a la historia interna de la misma. Sin embargo, los principios de una ciencia, en su estado A' son regionales, —

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por ejemplo; en el estado B' se incluyen o interfieren con, otras esferas: pasan, pongamos por caso, a ser teoremas (conclusiones). Hay transformaciones del senti— do de los principios, absorción en otros más amplios, refundiciones - pero no cambios en el sentido en que é£ tos se producen en la historia de las artes.

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CAPITULO V ALGUNAS MUESTRAS DE ANÁLISIS GNOSEOLOGICO EN TÉRMINOS DEL CIERRE CATEGORIAL. § 21 El teorema de Torricelli li- El "teorema de Torricelli" es un episodio fundamental en el desarrollo de la Mecánica (de la Estática de - fluidos) - y es unaregión (o subsistema) imprescindi-ble del sistema de la Mecánica clásica. Es por tanto un material muy adecuado - ni es muy amplio ni es exce sivamen.te reducido - para el análisis gnoseológico y como ha sido recientemente considerado, desde el punto de vista de la teoría de ia Ciencia, por C.G. Hempel (Filosofía de la Ciencia Natural, Pássim) y por M. Bun ge (La Investigación Científica, cap. 15.5: "Una histo ria ejemplar: Torricelli"), nos ofrece la mejor o c a — sión para comparar el análisis que de este teoría (o sistema)•instituye la Gnoséología del cierre catego- rial y él análisis standard (dentro de escuelas gnoseo lógicas muy influyentes, las de Hempel o Bunge). 2.- ¿Cómo formular el rasgo más característico de esta Gno seología que hemos llamado standard (por referencia a las publitíacioñés anglosajonas de los años 60)?. Di"-E-íamóS que, eft líneas genérales, esta Gnosiología se aproxima al teoriciamo de Popper y afln a la metaclen— cia (que hemos considerado en capítulos anteriores) y que sus características con las siguientes: (A) Reacción a la Gnoséología empirista - posi^ tiva (induccionista) que Hempel, en su libro, ejemplifica con el análisis de un texto de A. B. Wolfe (Fun—

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cional económlcs, 1924). Según este análisis la investigación científica pasaría por cuatro estadios: 1. Observación y registro de todos los hechos. 2. Análisis y clasificación de éstos. 3. Derivación inductiva de generalizaciones a partir de ellos^ 4. Contrastación ulterior de las generalizado nes. El Induccionismo es considerado, con razón, co mo un esquema de todo punto insuficiente. Los "hechos' no son algo originario y el "registro de todos los hechos" carece de sentido, puesto que es preciso tomar en cuanta los "rasgos pertinentes"; las hipótesis no brotan de los hechos por el exclusivo mecanismo de la generalización inductiva (ni siquiera cuando se dispone de algún procedimiento mecánico para generalizar —por ejemplo la extrapolación o interpolación de una -curva empírica, o su ajuste). Es necesario apelar a otros mecanismos para dar cuenta de la construcción •*•("investigación") científica. (B) Ahora bien: la alternativa que se propone ál i n d uc c i o n i g irio viene a consistir efi una apelación a las hipótesis. Y por tanto, la "contestaeíón" al i n — ductivisffio se lleva a cabo desde el nivel proposicío-nal de las ciencias particulares: a) Se diría que las ciencias son ahora consid£ radas, ante todo, como "conjuntos de proposiciones", entre las cuales median relaciones lógicas (implica- ción, modus tollens - Hempel, 2a, 2b - Teorema de Hau-

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ber-Hampel 2c, etc). Las proposiciones, asimismo, se caracterizan por sus valores de verdad. b) Se produce un desinterés por el proceso de derivación de estas hipótesis y proposiciones a partir de los hechos, por el regressus. Mientras que el i n — ductivismo ofrecía un mecanismo de este regressus, aun que inadecuado (la inducción baconiana, la generalización) ahora este mecanismo es desatendido, ó es simple mente fortolado en términos^ no ya adecuados 6 ihadecua. dos gnosepiógicameñte, sirio sencillamente extragnoséológicos, generalmente psicológicos, Hempel insiste en que las "hipótesis y teorías científicas no se derivan de los hechos observados, sino que se inventan para — dar cuanta de ellos". "Inventar" es aquí un concepto psicológico, en la línea del concepto de "ocurrencia feliz". La apelación a mecanismos de la imaginación Kekulé (recuerda Hempel) vio en el fuego de una chimenea un culebrón imaginario que se enroscaba y tomaba forma de polígono bencénico - o de la intuición, está también en la misma línea. GnóseolÓgicamente, estas explicaciones equivalen a situarse en el formalismo de Popper - colindante con el Idealismo - es decir, a comenzar (gnoseológicamente) por las proposiciones (iri— ventadas o procedentes históricamente de mitos) que no se derivan (regressus) de los hechos, del material.

c) Las proposiciones, consideradas como dadas, aparecen sobre todo reducidas al plano epistemológico: interesa en ellas, sobre todo, su valor de verdad y co mo este valor (V o F) no suele estar decidido, las pro posiciones aparecerán como conjeturas, como hipótesis. De aquí un deslizamiento hacia el plano de la prueba epistemológica o hacia pruebas en un sentido más epistemológico que gnoseológico.

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d) En consecuencia, el centro de gravedad del análisis gnoseológico se desplaza en la dirección de progressus, de la constrastacion de esas hipótesis o conjeturas. El grueso del análisis se hará consistir en esa contrastación (concepto de I - enunciado que -describe hechos observables, que se espera se produz-can; implicación constrastadora de la hipótesis de H. Hempel). Hempel analiza, desde esta gnoseología, el tra^ bajo de Semmelweis (1844-1848) en torno a la determina^ ción de las causas de la alta mortalidad producida por las fiebres puerperales en la División primera de M a — ternidad del Hospital General de Viena. Hempel enfoca su análisis gnoseológico como un análisis de los proce dimientos de contrastación él émbolo Succiona •* a la manera como Succiona un hombre ó un animal, sé trataría dé una ahalogía, no de una fuerza ahtropomórfica s si ante la succión o aspiración sube él líquido a los labios, también es en \ virtud del vacío y ;^órqué los labios actúan precisamen té Como una bomba aspirante* De hecho. Descartes, que fué pleñiata, está en las antípodas del antropomorfismo mecánico. Tampoco es ninguna razón ©1 que el horror vacul no sea medible s Galileo trataba de medir algo similar (y continuando su proyecto, Torricelli) y, por otra parte, la medida no es el único criterio de raci£ nalidad, aunque sea muy importante como procedimiento de clasificación. En cualquier caso, no se trata aquí de defen der la cientifidad de la doctrina del horror vacui.sino de precisar los motivos por los cuáles podía encu brir operaciones racionales y, así mismo, encubría pro cedimientos anticientíficos (al margen de que luego r£ sultasen erróneos). La naturaleza no científica del horror vacui no reside en que sea errónea (en que se -

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haya irevelaáo errónea) - pues las ciencias contienen errores dialécticamente necesarios - sino en que - de£ de la teoría del cierre categorial - no es compositiva, operatoria ni puede serlo» pretendiendo serlo. El vacío (corpuscularj no es un téritiino - tal como lo conci_ ben los plenistas - que pueda componerse con lois otróS términos del campo, jporque áu realidad es precisamente negativa. Si el vacío no puede existir (en él plenismo) tampoco puede ser invocado como causa positiva dé la ascensión del líquido por el tubo de la bomba aspirante. La raíz de lá estructura anticientífica. cubié£ ta por el concepto dé horror vácüí reside, no en su •— "antropomorfismo", eh su "inmensurabilidad", sino en Ser ia hipostizaciórt dé una negación4 Por tanttí, cuan^ de se utiliza el eoncepto én úontéxtos explieativoSí ^ eóiaméftté se puede lograr la rééxpoaieión del problema (ni siquiera una explicación falsa) t "el líquido sube hasta el nivel donde está otrÓ cuerpo - el émbolo, por debajo de los 10 metros - porque sube (ya gué el vacío no existe)", Y entonces resulta problemático y pintoresco,el "desafío" al vacío de Torricelli o Pascal, tal como Bunge noís lo describe (ibid., pag. 905) y que recuerda al "desafío" a Dios del ateo blasfemo. "Si efectiva mente es él vacío el que succiona el líquido^ entonces, cuanto mayOi: sea él vacío situado én él éxtréiho sujsé fisr del tübs^ tanto más alta tiéfie ^né ser lá Oolilmna á§i líquláe Éüctíianadó". fóSfgui ya ñS eabé invocar és ta situación contra los plenistas, que niegan el vacío; mientras ¿¡ue ahora se parte de él y, por tanto, se ope ra con él como si fuera una entidad positiva y mensura_ ble (por el volumen, etc.). - Lo cuál no quiere decir que sea causa positiva de la ascensión del líquido - (operación *2) : es precisamente esté vacío positivo aquél que los experimentos de Torricelli y de Pascal demuestran no ser la causa de la ascensión del líquido.

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La principal diferencia entre los análisis Itígicos-epistemólogicos tipo Bungé y el análisis gnoseológico según el cierre Cáté§oriál, reside también (cO"^ mo ocurría Con Hempel) en lá orientación proposicionálista de aquel análisis (muy apta para los efectos dé una importante, por lo demás, consideración lógico-fó£ mal). Pero para nosotros, la "atmósfera", por ejemplo, no comienza póir ser él sujeto de una proposición, sirio, sobre todo, el conjunto de términos de una clase del-campo (lo que nos permitirá introducir el vacío, aJ tíC tulo de elemento nulo (j), a sabeir, como resultado de una operación que no tiene resultados;v. gr., la aseen gión del águá más dé 10 metros) . Gori esto, no nos pro^ hibimos la consideración dé la atmósfera como totali dad >• Bino qué llegamos a ella operatoriamente, y á& esté modo reproducimos más fielmente el proplb camino de TorriCélii, Viviani* etc., quiénes trabajaban con^ pagtéa dé está totalidad relativamente autónomas (in •^ tésfeámbiáble§> sustitüíbleg^ ,»*) : las coliünftaa de ai^ fé gue gravitan sobre la cubeta - ó la columna de aite que gí'avita alrededor del tubo - son paftee de la at mósfeírá y es a través de ellas cuando, pou sustituciones reiteradas o reiterables, se reconstruye la imagen del "mar de aire". Se reorganizan de otro modo, como no podía ser por menos, muchos de los conteñidos de la Teoría y se confiere un estatuto interno,-en la Teoría, a componen tes dé la misma que son de todo punto inasimilables en la Gnoseología "proposicionalista" (por ejemplo : las bombas aspirantes, los tubos en ü.). Así t ("el aire . ejerce una presión sobre todos los cuerpos en contacto con él") no es una consecuencia deducida de A 1 ("el aire es un fluido que obedece a las leyes de la mecáni^ ca de los líquidos"), junto con los principios de la Hidrostática, puesto que puede figurar como anterior -

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incluso a A 1 (a la manera como la conclusión del silo^ gismo es anterior a las premisas). La definición : Df. "Dos fluidos sé encuentran en equilibrio en un tubo en U si, y solo si las presiones que ejercen recíprocamé|i te sobre ia superficie de contacto son igUáles" y qUé figura como una proposición más^ párá conponersé con otras (por ejemplo, con la T.) en la cadena deductiva pag. 901) quedará mas bien reihtérpretada como la défl^ nición de una operación. (No deja de ser extraño qué Una teoría tan abstracta y general como la qué se mue£ tra én la axiomática de Bunge contenga algo tan artifi cial y empírico como un tubo en U ) . 8.- El análisis de la Teoría de Toriricelli desde la pers jíéctivá -del eierré ¿ategórial habría dé pirocedér poi: -^ camihois muy diferentes dé los ^ue nos bfrecéh Hempel 6 Éun^é. Lá táiréa é3 cié uña pífólijidád acaso fatigosa;áqüí S6Í6 É&rán expuéétáá las ihdicaeiorles tñás genérales. Ante todo, habría que determinar" el campo de términos x. Sin duda los llamados "elementos de los fluidos" podrían servirnos para establecer la "escala". Se trata de un campó que consta de múltiples clases — (Principio de multiplicidad : cap, I. § 4). En efecto, como términos, consideramos los volúmenes específicos (v., V.> ..., V.) de líquidos o gases (y esta multipli X

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cidad no puede ser borrada en el concepto "abstracto" de fluido, por cuanto . ella debe séí a su vez rein troducida, si se quiere que la teoría sea operatoria). volúmenes específicos, es decir, no volúmenes geométr_i eos, sino, por ejemplo, volúmenes de agua, de nitrógeno, etc. Por tanto, estos volúmenes específicos comportan una masa gravitatoria, una "gravedad específica". Además, hay que introducir las presiones que se transmiten en todas las direcciones del fluido. Y ésto es

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(la presión no es magnitud vectorial) lo que permite aproximar el campo X en que nos movemos al campo X del paradigma topológico : estamos ante partes "homogéneas", en cuanto a sus comportamientos mutuos, sustituíbles etc., etc. Adviértase que el cierre comporta aquí la finitud, ñó por motivos "globales" (que la atmósfera circunde la Tierra; esta circundación tiene un sentido internó operatorio - la conexividad de las partes) sino característicos. Si el aire tiene un peso limitado és porque la atmósfera tiene una altura limitada. Podríamos estrechar la correspondencia con él paradigma topológico' considerando en nuestro campo, como térmi nos límites (módulos de operaciones) al volumen vacío (correspondiente a (j)) y al fluido total (correspóndien te a X). Éri cuanto a iás relaciones : la específica sería la del equilibrio hidrostático. Por supuesto, relaciones de icjfüaldad o desigualdad de volúmenes, pesos, etc. Los principios dé las relaciones (ver. cap. IV,§ 5) ó axiomas, parecen determinaciones del Principio de Identidad : "los puntos (superficies de volumen) del mismo plano horizontal de un fluido, tienen la misma presión ("¡atmosférica"). Por lo demás, la necesidad de distinguir el nivel fenomenológico, el fisicalista, y el ontológico es aquí evidente : el plano horizontal es un concepto fenomenológico (dada la redondez de la Tierra). Relaciones sinectivas : Vj | | v„; relación éfttre las presiones y empujes divfersoái Las operaciones son principalmente las dos que hemos mencionado más arriba : - Una operación *-^ (y que escribiremos así : ) , inter pretable como composición de dos o mas volúmenes, pa ra dar lugar a otros volúmenes del campo. Es, por -

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e l l o , i n t e r n a , o cerrada : v. < v. = v, 1

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- Una operación *^ (y que escribiremos simplemente : / ) , interpretable como "desconexión" o aislamiento de un V. de la presión dé otros. (Nó discutimos aquí si é£ tas operaciones son conmutativas,etc., etc.). El tubo en U es una operación del tipo v , espié cificáda porque la composición tiene lugar entre volúmé ñes de especies distintas (la cbrisideracióh del tubo co mo operador sé confirma por la pibsibilidad de compararlo con una balanza). Como mSduló o elemento neutro de esta operación cabría interpretar el Volumen vacío; o el vacío en general i Vj. = v, * Cómo principio de esta operación,podríamos considerar el "Principio de -Páaeal", que és un Irinclpio de cierre (recürrencia dé la presión en todas las direcciones). La operación de tipo / , cfüeda concretada éh lá bofflba aspirante. El giíañ descubrimiento dé forricelli ÉSgflft él cuál, la función del pistón ño éS *'éüeoioflár" él agiiáf sino "aislar la presión de una Columna de ai i?e" (y no, formalmente, desalojar la columna de aire aunque materialmente sea lo mismo - como incorrectamente dice Bunge, pag. 900, en un último residuo del esqu£ ma del vacío) quedarla expuesto gnoseológicamente de e£ te modo : "Torricelli ha introducido él concepto de una nueva operación capaz de eliminar la presión que la columna ideal de el airé ejerce sobre un cierto voliamen dé líquido". Esta operación corresponde a la bomba y ella será el modelo de barómetro de vlviani (también un operador, puesto que él "desconexiona" la columna de ai^ re "virtual" que gravitaría, si no existiera el tubo, sobre la columna de mercurio) : porque la cubeta corres_ ponde al pozo; el tubo de vidrio, corresponde al de la bomba aspirante y al pistón corresponde la vuelta hacia

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abajo del tubo barométrico. (Por ello, en el pozo la columna de agua subirá hasta 10 metros, mientras que en el tubo, la columna de mercurio bajará hasta 760 milímetros) . Como módulo de esta operación podría consid£ rarsé a la totalidad del fluido X (porque si aislamos ün volumen del conjunto, quedará efectivamente el mismo) . Para mostrar la naturaleza operatoria de la — Teoría de' Torricelli, sería precisó poder representad esta teoría algebraicamente (hb ya al nivel sólo de -las consecuencias preposicionales - fundamental, por •otro lado - sino también al niVél del "cietre configuraclóhal") . Lo qué sigue es i3Ólo un esbozó muy grosé^ ro (poífc^ue ééría nétíesarió intróducif nuevas operaciot\i^§, afinarftiuchomás al juego operatorio, etc., etc.) pero Suficiente, creéhios, para nuestro intento ilustra_ tiv^t Está algebrizaciórt del cierre„del §istema dé To riíi§@lli §lgüé muy puntualmente al mecanismo de la bom ba aspirante, tal como fué interpretado por Torricelli. Tomamos, como situación ideal de referencia — (una situación de "identidad") la proyección plana del contacto de dos fluidos (aire y agua, o aire y mercu rio) en los cuáles distinguimos idealmente columnas — (líneas punteadas) : t

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Los volúmenes V. y V' son homogéneos (filas) y no lo son por columnas. (VT es aire; V. es agua).

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La operación \l es recurrente (hasta unos lími^ tes propios) : F = F^