Estadística y muestreo (13a. ed.)
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Décima tercera edición
Estadística y muestreo
Ciro Martínez Bencardino
ECOE EDICIONES
Décima tercera edición
Estadística y muestreo ERRNVPHGLFRVRUJ Ciro Martínez Bencardino
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Martínez Bencardino, Ciro Estadística y muestreo / Ciro Martínez Bencardino. -- 13ª. ed. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012. 900 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas) ISBN 978-958-648-702-3 1. Estadística matemática 2. Muestreo (Estadística) I. Título II. Serie CDD: 519.52 ed. 20
Colección: Textos universitarios Área: Matemáticas Primera edición: Bogotá, D.E., noviembre de 1978 Segunda edición: Bogotá, D.E., enero de 1982 Tercera edición: Bogotá, D.E., enero de 1984 Cuarta edición: Bogotá, D.E., julio de 1987 Quinta edición: Bogotá, D.E., agosto de 1990 Sexta edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., julio de 1992 Séptima edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., enero de 1995 Octava edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., febrero de 1997 Novena edición: Santa Fe de Bogotá, D.C., febrero de 1998 Reimpresión: Santa Fe de Bogotá, D.C., abril de 1999 Décima edición: Bogotá, D.C., octubre de 2000 Onceava edición: Bogotá, D.C., enero de 2002 Reimpresión: Bogotá, D.C., septiembre de 2003 Décimo segunda edición: Bogotá, D.C., septiembre de 2005 Reimpresión: Bogotá, D.C., enero de 2007 Décima tercera edición: Bogotá, D.C., 2012 ISBN:978-958-648-702-3 © © ©
Ciro Martínez Bencardino e-mail: [email protected] Del contenido del SIL, Ciro Martínez Bencardino ECOE ediciones Ltda. E-mail: [email protected] www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Tel. 2481449
Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Diagramación: Raúl Enrique Rodríguez Portada: Edwin Nelson Penagos Impresión: Imagen Editorial Impresores [email protected] Impreso y hecho en Colombia
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A mis padres, hermanos, esposa, hijos y nietos, por ellos vivo, investigo y trabajo. Como un homenaje póstumo a la memoria del doctor Carlos Alzate Giraldo, fundador de ECOE.
TABLA DE CONTENIDO
ÍNDICE GENERAL PRESENTACIÓN
XIX
CAPÍTULO 1 CONCEPTOS GENERALES ........................................................................................................... 1 ASPECTOS GENERALES ....................................................................................................................................... 2 Reseña histórica ............................................................................................................................................... 2 Aplicación de la estadística ......................................................................................................................... 2 Finalidad de la estadística ............................................................................................................................ 4 Colectivos investigados por la estadística ............................................................................................. 5 Algunos términos y conceptos que se deben conocer y manejar ............................................7 LA PROYECCIÓN Y PREPARACIÓN DE INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS ...................................10 Planeamiento y preparación de una investigación de tipo estadístico ...................................10 El objeto de la investigación...............................................................................................................11 Las fuentes de información ..................................................................................................................15 Los procedimientos de investigación ................................................................................................17 El material estadístico............................................................................................................................23 El presupuesto de la investigación ....................................................................................................26 Recolección......................................................................................................................................................28 ....................................................................................................................................29 Tabulaciones o procesamiento ................................................................................................................30 Análisis e interpretación .............................................................................................................................30 Publicación ......................................................................................................................................................32 MONOGRAFÍAS Y ENCUESTAS ......................................................................................................................33 Ejercicios para resolver .................................................................................................................................35 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ...............................................................................................................................39 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ............................................................................................................. 43 GENERALIDADES .................................................................................................................................................44 ELABORACIÓN DE TABLA DE FRECUENCIAS ...........................................................................................45 Variables discretas, continuas y de atributos ....................................................................................45 Propiedades de las frecuencias ...............................................................................................................51 Ejercicios para resolver .................................................................................................................................54 Recomendaciones en la elaboración de cuadros y tablas ............................................................58 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS ........................................................................................................................59
VII
VIII
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
................................................................60 Ejercicios para resolver ................................................................................................................................63 APLICACIONES DE EXCEL.................................................................................................................................64 .........................................................................68 Ejercicios para resolver .................................................................................................................................85 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ...............................................................................................................................88 CAPÍTULO 3 MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA ............................................................................ 91 ASPECTOS GENERALES .....................................................................................................................................92 Características, uso, ventajas y desventajas de promedios ..........................................................92 Media aritmética ...............................................................................................................93 Ventajas y desventajas ..........................................................................................................................93 Simple y ponderada ...............................................................................................................................94 Desviaciones y propiedades .................................................................................................................97 Ejercicios para resolver ................................................................................................................................99 Mediana ......................................................................................................................................................... 103 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................103 Simple y ponderada .............................................................................................................................104 Propiedades.............................................................................................................................................104 Modo .............................................................................................................................................................. 107 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................107 Simple y ponderada .............................................................................................................................107 Datos sin agrupar u originales .........................................................................................................107 Relación entre la Media, Mediana y el Modo. .............................................................................109 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................110 Media Geométrica ..................................................................................................................................... 112 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................112 Simple y ponderada .............................................................................................................................112 Aplicaciones ............................................................................................................................................113 Media Armónica ....................................................................................................................................... 114 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................115 Simple y ponderada .............................................................................................................................115 Aplicaciones ............................................................................................................................................116 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................117 Media Cuadrática ....................................................................................................................................... 118 Ventajas y desventajas ........................................................................................................................119 Simple y ponderada .............................................................................................................................119 Media Cúbica ............................................................................................................................................... 119 Simple y ponderada .............................................................................................................................120 Relación entre promedios ....................................................................................................................... 121 Centro Recorrido ........................................................................................................................................ 121 Cuartiles, Deciles y Percentiles .............................................................................................................. 122 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................124 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 128
TABLA DE CONTENIDO
ANEXOS DE LA UNIDAD 3............................................................................................................................ 130 Aplicaciones con calculadora ................................................................................................................ 130 APLICACIONES DE EXCEL.............................................................................................................................. 131 CAPÍTULO 4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN, DE DEFORMACIÓN Y APUNTAMIENTO ................................ 143 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 144 MEDIDAS DE DISPERSIÓN ............................................................................................................................ 144 .......................................................................................................................................................... 144 Simple y ponderada .............................................................................................................................145 Propiedades.............................................................................................................................................147 Aplicaciones ............................................................................................................................................147 Desviación Típica ........................................................................................................................................ 149 APLICACIONES DE EXCEL Y LA CALCULADORA .................................................................................. 150 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................152 Variación Absoluta .................................................................................................................................... 154 .......................................................................................................................... 154 ............................................................................................................ 155 Desviación Media ....................................................................................................................................... 157 Desviación Mediana ................................................................................................................................. 158 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................159 ! " #$ #$ ............ 163 Recorrido u Oscilación ............................................................................................................................. 166 MEDIDAS DE ASIMETRÍA O DE DEFORMACIÓN ................................................................................ 167 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 169 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO ................................................................................................................... 170 Ejercicios para resolver ..............................................................................................................................172 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 176 CAPÍTULO 5 NOCIONES ELEMENTALES DE PROBABILIDAD ................................................................... 177 GENERALIDADES .............................................................................................................................................. 178 # " % ............................................................................ 180 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 184 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES ................................................................................................... 188 Uso de la calculadora ............................................................................................................................... 192 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 193 ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD ................................................................................. 196 Regla de adición ......................................................................................................................................... 196 Sucesos mutuamente excluyentes ................................................................................................... 196 Regla de la multiplicación ....................................................................................................................... 201 Sucesos independientes y dependientes ....................................................................................... 201 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 204 Probabilidad condicional ........................................................................................................................ 207
IX
X
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
TEOREMA DE BAYES ...................................................................................................................................... 209 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 211 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 215 CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD .................................................................................. 217 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 218 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA................................................................................................................ 219 Distribución Binomial ............................................................................................................................... 219 ................................................................................................ 222 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA Y EXCEL ................................................................................... 225 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 230 Distribución de Poisson ........................................................................................................................... 235 ................................................................................................ 236 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA Y EXCEL ................................................................................... 237 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 241 Distribución Hipergeométrica ............................................................................................................... 243 ................................................................................................ 244 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 246 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ............................................................................................................. 247 Distribución normal................................................................................................................................... 247 ........................................................................................................................ 248 Condiciones que debe tener en cuenta ......................................................................................... 249 ......................................................................................................... 249 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 253 Ejercicios para resolver.................................................................................................................................... 257 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 271 CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES. MUESTREO ALEATORIO ................................................. 273 CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 274 DISTRIBUCIONES MUESTRALES ................................................................................................................. 277 ................................................................................................ 277 Distribución de medias muestrales ..................................................................................................... 278 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 284 Distribución de diferencia entre dos medias muestrales ........................................................... 293 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 297 Distribución de diferencias entre dos proporciones .................................................................... 299 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 302 TAMAÑO DE LA MUESTRA........................................................................................................................... 303 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 309 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ............................................................................................................................ 320
TABLA DE CONTENIDO
CAPÍTULO 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y LÍMITES DE CONFIANZA ......................................................
323
CONCEPTOS GENERALES .............................................................................................................................. 324 PRUEBA DE HIPÓTESIS ................................................................................................................................... 324 Tipo de error ........................................................................................................................................... 326 Hipótesis nula y alternativa .............................................................................................................. 327 Prueba unilateral y bilateral ............................................................................................................. 328 ......................................................................................... 328 Etapas de la realización de la prueba............................................................................................ 329 Distribución de medias muestrales ..................................................................................................... 332 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 336 Distribución en una proporción ........................................................................................................... 339 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 341 Distribución de diferencias entre dos medias ............................................................................... 343 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 345 Distribución de diferencias entre dos proporciones................................................................. 347 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 349 TEORÍA SOBRE MUESTRAS PEQUEÑAS .................................................................................................. 351 Distribución “t” de student ..................................................................................................................... 351 Distribución de medias muestrales ..................................................................................................... 352 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 357 Distribución en una proporción muestral ........................................................................................ 358 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 359 Distribución de diferencias entre dos medias ................................................................................ 360 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 365 Distribución de diferencias entre dos proporciones .................................................................... 368 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 369 APLICACIÓN CON EXCEL .............................................................................................................................. 369 LÍMITES DE CONFIANZA ............................................................................................................................... 380 Aplicación en las diferentes distribuciones .................................................................................... 381 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 392 APLICACIÓN CON EXCEL .............................................................................................................................. 395 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 401 CAPÍTULO 9 OTRAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS ............................................................................................ 403 ASPECTOS GENERALES ................................................................................................................................. 404 PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA VARIANZA .......................................................................................... 404 Teoría, aplicaciones y procedimientos ........................................................................................... 404 % $ ................................................... 408 Ejercicios para resolver ........................................................................................................................ 410 COMPARACIÓN ENTRE VARIANZAS DE DOS POBLACIONES ........................................................ 410 Distribución F ............................................................................................................................................. 410 ............................................................................................................................ 413
XI
XII
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 414 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON......................................................... 414 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 418 PRUEBAS CON OBSERVACIONES APAREADAS .................................................................................... 419 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 423 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS .................................................................................................................... 427 Prueba de chi-cuadrado .......................................................................................................................... 427 Tablas de contingencia............................................................................................................................. 431 Dócimas de homogeneidad y de independencia ........................................................................ 434 APLICACIONES CON EXCEL ......................................................................................................................... 436 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 441 Dócima o pruebas del signo ................................................................................................................ 450 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 455 Correlación por rangos ............................................................................................................................ 460 Prueba T de Wilcoxon ............................................................................................................................. 462 Muestras Pequeñas ..................................................................................................................... 462 Muestra Grande ................................................................................................................................... 464 Prueba U de Mann-Whitney .................................................................................................................. 466 Muestras Grandes ......................................................................................................................... 466 Muestras Pequeñas ...................................................................................................................... 468 Muestras Muy Pequeñas .................................................................................................................. 469 Prueba H de Kruskal y Wallis ................................................................................................................ 470 Teoría y aplicaciones.................................................................................................................... 471 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 472 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 477 CAPÍTULO 10 NÚMEROS ÍNDICES ................................................................................................................ 479 GENERALIDADES .............................................................................................................................................. 480 ÍNDICES SIMPLES ............................................................................................................................................. 480 Encadenamiento de índices ................................................................................................................... 482 ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES............................................................................................................... 483 ÍNDICES PONDERADOS DE PRECIOS Y CANTIDAD ........................................................................... 484 Índice de Laspeyres, Paasche, Fisher .................................................................................................. 484 Índice de Sidgwick-Drobisch, Marshall-Edgeworth ...................................................................... 485 Índice de Walsh, Keynes ......................................................................................................................... 486 ÍNDICES DE PROMEDIOS PONDERADOS ............................................................................................... 487 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 488 ÍNDICE DE VALOR ............................................................................................................................................ 493 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 493 EMPALME DE DOS O MÁS SERIES............................................................................................................. 494 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 495 ALGUNAS APLICACIONES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES.................................................................... 496 Índice de precios al consumidor (IPC) ............................................................................................... 496 Tasa de cambio (TC) ................................................................................................................................. 500
TABLA DE CONTENIDO
Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 500 Índices de comercio exterior ................................................................................................................. 504 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 505 Índices de precios implícitos.................................................................................................................. 505 Índice de productividad (IP) ................................................................................................................... 508 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 509 Índice precios del productor (IPP)..................................................................................................... 510 Índice bursátil mundial Dow Jones ..................................................................................................... 511 Indicadores de desempleo ..................................................................................................................... 511 Otros indicadores (OI) ............................................................................................................................. 512 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 513 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 517 CAPÍTULO 11 SERIES CRONOLÓGICAS ......................................................................................................... 519 GENERALIDADES .............................................................................................................................................. 520 COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL.......................................................................................... 520 TENDENCIA ........................................................................................................................................................ 521 Método analítico ........................................................................................................................................ 521 Método de mínimos cuadrados ........................................................................................................... 521 Cálculo, aplicaciones, estimativos. .................................................................................................. 521 ........................................................................ 524 ........................................................................................................................ 526 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 527 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 529 Estimaciones mensuales con base en datos anuales ............................................................... 533 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 536 Método de los semipromedios ............................................................................................................ 536 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 537 Método de los promedios móviles ..................................................................................................... 538 APLICACIÓN DE EXCEL ................................................................................................................................. 541 Tendencia parabólica ................................................................................................................................ 543 Cálculo, aplicaciones, estimativos. .................................................................................................. 543 ........................................................................ 546 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 547 Tendencia exponencial ............................................................................................................................. 549 Cálculo, aplicaciones, estimativos ................................................................................................... 549 ........................................................................ 551 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 553 OTROS MÉTODOS............................................................................................................................................ 555 Curva exponencial, curva logística y de ................................................................555 &' * ............................................................................................. 555 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 556 Variaciones estacionales .......................................................................................................................... 558 ÍNDICE ESTACIONAL ..................................................................................................................................... 559
XIII
XIV
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
MÉTODO DE RAZÓN ...................................................................................................................................... 559 MÉTODO DE LAS RAZONES AL PROMEDIO MÓVIL .......................................................................... 562 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 566 SÍNTESIS DE CAPÍTULO ............................................................................................................................ 567 CAPÍTULO 12 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ................................................................................................ 569 ASPECTOS GENERALES .................................................................................................................................. 570 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ..................................................................................................................... 570 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 573 Diagrama de dispersión .......................................................................................................................... 575 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LÍNEAL...................................................................................................... 578 Método de los mínimos cuadrados ................................................................................................. 580 Ecuación de la recta, cálculo de los parámetros, estimaciones ............................................ 580 !" # ......................................................... 581 " " # .................................................... 581 APLICACIÓN DE EXCEL .................................................................................................................................. 582 % * ........................................................................ 593 Estimativos de x en función de y viceversa ...................................................................................... 595 Uso de la calculadora ............................................................................................................................... 597 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 602 REGRESIÓN PARABÓLICA SIMPLE ............................................................................................................. 622 $%
" "............................................ 622 & !" ' " "
" # " .............................................................................................................................. 627 REGRESIÓN PARABÓLICA PONDERADA ................................................................................................. 630 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 633 REGRESIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA ....................................................................................... 634 $%
" "............................................ 634 & !" ' " "
" # ............................................................................................................................... 636 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE ................................................................................................ 637 Método de los mínimos cuadrados ................................................................................................. 640 Método de Jordan-Gauss ................................................................................................................... 643 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 645 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS .................................................................................. 647 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 649 SÍNTESIS DE CAPÍTULO .................................................................................................................................. 655 CAPÍTULO 13 ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO ................................................................................... 657 GENERALIDADES ............................................................................................................................................. 658 Población o universo ............................................................................................................................... 658
TABLA DE CONTENIDO
Unidad y elemento ................................................................................................................................... 658 % ....................................................................................................................... 660 Características ............................................................................................................................................ 661 Investigación total y parcial .................................................................................................................. 661 MUESTREO NO ALEATORIO ........................................................................................................................ 663 Muestreo opinático, circunstancial, por cuotas, a juicio.......................................................... 663 MUESTREO ALEATORIO ................................................................................................................................ 663 Marco .............................................................................................................................................................. 666 Falseamiento del esquema de selección ......................................................................................... 666 Sustitución de unidades ......................................................................................................................... 667 Dominio de estudio ................................................................................................................................. 668 Métodos de selección ............................................................................................................................. 668 APLICACIÓN DE EXCEL Y CALCULADORA EN NÚMEROS................................................................ 670 Objeto del muestreo aleatorio .............................................................................................................. 677 Ejercicios para resolver ............................................................................................................................ 680 APLICACIÓN DE MÉTODOS Y TÉCNICAS DE MUESTREO ......................................................... 687 Muestreo aleatorio simple (M.A.S) ..................................................................................................... 687 Tamaño de la muestra ....................................................................................................................... 687 Cálculo de algunos estimativos ...................................................................................................... 691 Estimación de promedios y totales .................................................................................................... 693 Estimación de proporciones y totales ............................................................................................... 696 Estimación de proporciones y totales en conglomerados ....................................................... 697 $ ' ...... 698 Estimación de promedios y totales mediante la regresión ..................................................... 699 Estimación de promedios, proporciones y totales en dominio de estudio ....................... 703 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 708 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO MAE ..................................................................................... 718 Asignación igual ......................................................................................................................................... 721 Cálculo de los tamaños muestrales .............................................................................................. 722 ( ............................................................................... 725 Muestra asignación igual ........................................................................................................................ 726 Estimación de promedios y totales ................................................................................................ 727 Estimación de una proporción y total .......................................................................................... 730 Estimación para la razón, promedio y el total .......................................................................... 731 Estimación de promedios y totales mediante la regresión lineal simple ............................ 735 Estimación de una proporción y el total en conglomerados .................................................... 738 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 740 Asignación proporcional ........................................................................................................................ 744 Tamaño de la muestra ....................................................................................................................... 745 Encuesta preliminar – Asignación proporcional ....................................................................... 746 Muestra de asignación proporcional.............................................................................................. 748 Estimación de promedios y totales ................................................................................................ 749 Estimación de proporciones y totales ........................................................................................... 750 Estimación de proporciones y totales en conglomerados ..................................................... 750 Estimación indirecta del promedio y el total a través del método de la razón ............. 751 Estimación indirecta del promedio y total mediante la regresión lineal ......................... 753
XV
XVI
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
Asignación óptima ................................................................................................................................... 757 Tamaño de la Muestra ....................................................................................................................... 757 MÉTODO DE NEYMAN ................................................................................................................................. 763 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 764 MUESTREO SISTEMÁTICO ........................................................................................................................... 773 MUESTREO POR CONGLOMERADOS ..................................................................................................... 777 MUESTREO BIETÁPICO .................................................................................................................................. 783 MUESTREO POR CONGLOMERADOS DE DOS ETAPAS .................................................................... 784 Ejercicios para resolver .............................................................................................................................. 789 MUESTREO POR FASES MÚLTIPLES ......................................................................................................... 791 MÉTODOS MIXTOS ........................................................................................................................................ 792 APÉNDICE................................................................................................................................ 793 GLOSARIO ........................................................................................................................................................... 794 TABLAS ................................................................................................................................................................. 817 RESUMEN DE FÓRMULAS ............................................................................................................................ 865
BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................... 873
TABLA DE CONTENIDO
ÍNDICE DE TABLAS TABLAS I. Áreas bajo la curva normal de probabilidad ...................................................................................... 817 II. Distribución “t” de student ................................................................................................................................ 820 III. Distribución binomial .......................................................................................................................................... 822 IV. Distribución de ji cuadrado. Áreas bajo la curva normal de probabilidad ...................................... 828 V. ....................................................................................................................................... 830 VI. +/ ..................................................................................................................................................... 831 VII. Distribución de poisson ...................................................................................................................................... 837 VIII. !$ :;< => *?.................................................................................................... 838 IX. @* :;< => *? ............................................................................................................................ 839 X. @* ::"[< =\ *? ........................................................................................................................ 840 XI. % =? % ..................... * ]
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MONOGRAFÍAS Y ENCUESTAS W
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37
38
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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CAPÍTULO UNO
CONCEPTOS GENERALES
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Ejemplo 4. > A J } X V J X% Solución: %' %' %' % %' % %' %
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Ejemplo 5. *>C D %
CAPÍTULO DOS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
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Ejemplo 6. ~ $
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110
Precios (miles $)
84
100
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%
90
80
2005
2006
2007
2008
2009
Años
2010
2011
CAPÍTULO DOS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
EJERCICIOS PARA RESOLVER ~ # Sistema de Información en Línea SIL. U% # %*
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Seguros
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Mantenimiento
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Gasolina
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Parqueadero
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Impuestos
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2006
2007
2008
2009
2010
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2007
2008
2009
2010
2011
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85
86
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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2007
2008
2009
2010
2011
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CAPÍTULO DOS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
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2009
2010
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CAPÍTULO DOS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
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Resultado bastante aproximado al obtenido en el punto (b) d) Podríamos plantear y aún resolver el mismo problema aplicando la distribución binomial. Q = 200
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S = 0,04
3 = 1 − &0200 0,04
T = 0, 6 0, 6
200
3(
≥ 6)
=
+ &0200 0,04
5
0, 6
1 5
]
Ejemplo 2. Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción de las mayores de 40 DxRV VDELHQGRTXHODSURSRUFLyQHQODSREODFLyQHV¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODSURSRUFLyQ HQODPXHVWUDVHDPHQRUGH"
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3 = 0,4
3(
< 0,5 )
= 0,5000
S−3 0,5 − 0,4 = = (0,4)(0,6) 34 4 Q
0,4236
S
0,10 0,10 0,10 = = = 1,43 0 ,07 0,004 0,24 4 = = 1,43 → $ 0,4236 3 = 0,5000 + 0,4236 = 0, 236
==
3
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
X s = 1.750 + 2,201 780,64 1– 0,079 i 12
2.226,00 = $2.226.000
X s = 1.750 + 476,00 i
1.274,00 = $ 1.274.000
b) Ingreso total de las familias propietarias
Xs = N1 x + t N1 s
N 1 = 173
1– f
n1
i
[
Xs = 173(1.750) + 2,201 173(780,64) i
12
[[
n1 = 12
1
_ 12 173
f=
n1 N1
[
385.528,24
X = 302.750 + 82.778,24
(miles de $) 219.971,76
c) Total de ingresos de las familias propietarias, cuando no se conocen las familias propietarias en /
, N C >'' $
$ *
X= N
= 266.250 (miles de $) ( Σxn ( = 355(21.000 28 ( i
GAi C n C 1" / 7 ,
,
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Σ xi
2
_
2
nx = n–1
43.453.400 _ 28 28 _ 1
( 21.000 28 (
2
= 1.026.051,85
= 1.026.051,85 = 1.012,94 Los límites de confianza del 95% para estimado del total serán:
( (
Σx Xs = N n i + t i
N
(n( _
Σxi2 _ n Σxi n
2
1
n
1– n N
_ _ υ = n 1 = 28 1 α = 0,05
} t = 2,048
Xs = 355 I
+ 2,048 355(1.012,94) (21.000 [ 28 [ 28 (
1
_
28 355
705
706
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
399.824,24
Xs = 266.250 + 133.574,24
(miles de $)
I
132.675,76
7 7 * C 1"E"# C )%"#&H B N C )%"#&>'' C 1'" 4
s Xs = N x + tN
1– n N
n
780,64 12
X = 152(1.750) + 2,201(152)
1
_
12 152
338.354,58
X = 266.000 + 72.354,58
(miles de $)
193.645,42 d) Promedio de personas de familias propietarias de vivienda. 8 media aritmética
x = Σx i n
x = 39 = 3,25 12
8 desviación típica 7 _ 143 12(3,25)2 Σxi2 _ n x 2 = 1,22 s= = _ n _1 12 1
_ _ υ = n 1 = 12 1 = 11 α = 0,05
Los límites de confianza del 95%
Xs = x + t s I
n
t = 2,201
1– f
Xs = 3,25 + 2,201 1,22 I 12
1
_
28 355
3,99 = 3,25 + 0,74 2,51
(Personas por familia)
* total de personas, en las familias propietarias de vivienda, se presentan dos situaciones; en primer lugar, cuando se conoce el número de familias propietarias (N1 C 12>
Xs = N1x + tN1 s i
n1
1– f
Xs = 173(3,25) + 2,201(173) 1,22 i 12
_ 12 = 562,25 + 129,36 1 173
691,61 = 692 432,89 = 433
Número de personas en las familias propietarias de vivienda.
/
7
B ?
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
Xs = 355 I
(
39 28
( + 2,048(355)
X s = 494,46 + 238,68 I
1,81 28
1
_ 28 355
733,14 ⇒ (733) Personas 225,78 ⇒ (256)
_
s=
143 28(39/28)2 = 1,81 _ 28 1
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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715
716
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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Cant. Revisada : 1.750 :6N4 3/M@6K6
2.950
680
740
Cant. Registrada : 2.100 :6N4 3/[@436K6
3.050
910
820
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1.280
2.410 3.620
720
590
1.120
1.180
2.100
2.400
2.100
1.400
2.500 3.840
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2.600
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Σyi2 = 156.749,88
n = 10
X = 105
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717
718
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO MAE / 0XHVWUHR$OHDWRULR(VWUDWL¿FDGR, denominado también muestreo aleatorio restringido, es un método
7 + muestreo aleatorio simple, en
? PXHVWUHRDOHDWRULRHVWUDWL¿FDGR
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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NÚMERO DE PERSONAS Total
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
Estrato III
(Ingresos superiores a 2.550 miles $)
NÚMERO DE ORDEN
NÚMERO ALEATORIO
INGRESO MENSUAL (miles $)
PROPIEDAD VIVIENDA
CONSUMO DIARIO DE Total Hombres " CARNE EN Grs.
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NÚMERO DE PERSONAS
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son mujeres
66,5 2,035 0,00508
Porcentaje de mujeres 37,5
739
740
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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EJERCICIOS PARA RESOLVER 8 $
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ESTRATO II No. de orden y2 1 " 3 %
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ESTRATO III No. de orden y3 1 " 3 % '
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@ GXi C ")' GXi2 C ""#1
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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Estrato II No. DE ORDEN
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Estrato III No. DE ORDEN
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NÚMERO DE PERSONAS
Estrato III
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NÚMERO DE PERSONAS
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A 5 estimación puntual y de intervalos
747
748
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
Muestra de asignación proporcional Estrato I No. de No. ORDEN ALEATORIO 1 " 3 % ' & 2 # - 10 11 1" 13 1% 1' 1& 12
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Fem. 0 0 3 " % 3 1 " " 1 3 1 1 1 " " "
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Estrato II No. de No. ORDEN ALEATORIO 1 " 3 % ' & 2 # - 10 11 1" 13
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NÚMERO DE PERSONAS
Estrato III No. de No. ORDEN ALEATORIO 1 " 3 % ' &
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
Estimación de promedios y totales * 5 B
7 estimador del promedio y del total de ingresos por familia, ''
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749
750
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
Estimación de proporciones y totales : * * $ 4 + +, -'. 7 1
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~ = 0,46(0,41) + 0,37(0,77) + 0,17(0,33) = 0,5296 = 52,96
Se estima que el 52,96 s i
3
de las amilias son propietarias de vivienda. s
s
= 12
Σ
(
n) n
1 162(162 17) 0,41(0,59) +132(132 13) 0,77(0,23) + 61(61 6) 0,33(0,67) = 0,006 3552 17 13 6 68,72 s s= 0,5296
2,035 0,006
i
37,20
/ >2"). $ ". 7 * * 4
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ai = Total mujeres en la muestra
Σ mh i
mi = Total de personas (hombres y mujeres) en la muestra
Σa1 = 30
Σa2 = 26
Σa3 = 14
Σm1 = 51
Σm2 = 43
Σm3 = 23
Σa12 = 72
Σa22 = 58
Σa23 = 34
Σm12 = 173 Σm22 = 157 Σm32 = 89
Σa1m1=107
Σa2m2=92
Σa3m3=54
m ¯1 = 3
m ¯ 2 = 3,31 m¯3 = 3,83
n1 = 17
n2 = 13
n3 = 6
p1 = 0,59
p2 = 0,60
p3 = 0,61
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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17 162 17(9)
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s
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2 Σa i
i
n
i
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Σ
2
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1 13 58 2(0,60)(92) + 0,62(157) 72 2(0,59)(107) + 0,592(173) 132 + + 13(10,96) 17 1 13 1 34 2(0,61)(54)+0,612(89) = 6 1
= (0,00585)(0,3726)+(0,0063)(0,3433)+0,0102(0,2474) = 0,0069 = 0,46(0,59)+0,37(0,6)+0,17(0,61) = 0,597 ≅ 0,60
=Σ
0,77 = 77 ss i
= 0,60 2,035 0,0069 0,43 = 43
'-2. A &). $ 7 %>. $ 22. : >''
7 , 1)-> M=355(308)=1.093
3,08 = 3romedio de personas por
840,56 = 841 2,035(1.093) 0,0069 sts= 1.093(0,6) i
355 = 7otal de
amilia
amilias
3ersonas
471,04 = 471
6A &'' 7 %21 $ #%)
-'.
Estimación indirecta del promedio y el total a través del método de la razón / $¿MDFLyQLJXDO 3,
& se tendrá;
¯1 = 1,76
¯2 = 2,0
¯3 = 2,33
x¯1 = 1,24
x¯2 = 1,31
x¯3 = 1,5
751
752
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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ADMINISTRATIVOS 1 #
765
766
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
K ? + +, -'. $ #. -2
-# : Estrato I NÚMERO DE ORDEN
NÚMERO ALEATORIO
Hombres
Luz
Agua
INGRESOS MENSUALES (Miles $)
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PERSONAS
SERVICIOS
Estrato II PERSONAS
SERVICIOS
NÚMERO DE ORDEN
NÚMERO ALEATORIO
Hombres
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Estrato III PERSONAS
SERVICIOS
NÚMERO DE ORDEN
NÚMERO ALEATORIO
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INGRESOS MENSUALES (Miles $) %&)) '")) &))) 2))) &#)) '-)) 2))) &"))
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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Z=2
(P = 95%)
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767
768
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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No. DE ORDEN:
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
93
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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771
772
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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773
774
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
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12-
1-1
/ 7 ,
B tero o si presenta decimales, en este último caso, se aproxima al número inmediatamente superior, luego
, B +
A Z
B No. aleatorio
004
Ingresos (miles $) Propiedad-vivienda
016
028
1.060 2.060 1.140
040
052
064
076
088
100
112
950 3.860 1.860 1.840 2.850 2.020 2.620
si
si
si
si
no
no
no
no
si
si
No. aleatorio
124
136
148
160
172
184
196
208
220
232
Ingresos (miles $)
840 1.020 1.860
Propiedad vivienda No. aleatorio Ingresos (miles $) Propiedad vivienda
880 1.950 2.870
950 3.890 2.620 1.020
no
si
si
si
si
si
no
no
no
si
244
256
268
280
292
304
316
328
340
352
2.260 2.140 1.050 1.280 si
no
no
no
790 2.790 1.110 2.860 1.320 1.240 no
si
no
si
no
no
:
5 +, -'. 123.868.200 – 30 (1.833,33)2 = 794.305,75 s2 = 30 – 1 A
x =
55.000 = 1.833,33 30
(
A
X¯S = x ± t
(
s
n
1-f
891,24 1– 30 =1.833,33 ± 318,39 X ¯Is = 1.833,33 ± 2,045 30 355
0QVC UGVTCDCLÎGPNCECNEWNCFQTCEQPGNRTQITCOC FGGUVCFÈUVKECRQTNQVCPVQRCTCUUGVQOCT¶PVQFQU NQUFGEKOCNGUGPGNE¶NEWNQFGNCOGFKC
2.151,72 = 2.151.716,06 1.514,94 = 1.514.943,94
15 En la SURSRUFLyQ se tendrá: p = 30 = 0,50 PsI = p ± t
pq n- 1
1 –f
30 0,5(0,5) PsI = 0,5 ± 2,045 30-1 1 – 355
0,68 = 68% 0,32 = 32%
6') 1'&) 1>)) 1"&) ##) 1&") 1&>) 1)1) 1%&) -#) 1"%)
no si si si no no no no no no no si si no
No. DE No. xi ORDEN ALEATORIO 1 12" ")&) " 1#% 1#2) 3 1-& ")") % ")# ">") ' "") ")&) & ">" ">&) 2 "%% 1#&) # "'& 1--) "&# ")#) 10 "#) 1&&) 11 "-" 1&')
ESTRATO III ai no no si no si no si no no si no
No. DE No. xi ORDEN ALEATORIO 1 >)% "#&) " >1& >>") 3 >"# >&") % >%) "->) ' >'" "#&) N1 = 162
W1 = 0,46
N2 = 132
W2 = 0,37
N3 = 61
W3 = 0,17
ai si si si si si
775
776
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
6 = 0,43 14
x1 = 1.205
x2 = 1.993,64
x3 = 3.118
p1 =
s21 = 87.857,69
s 22 = 52.025,45
s 32 = 115.320
p2 = 0,36
s1 = 269,41
s2 = 228,04
s3 = 339,59
p3 = 1,0
8
obtenida mediante la Asignación proporcional /
7 +, A , 5 x¯st = ΣWh x¯h
x¯st = 0,46 (1.205) + 0,37 (1.993,64 + 0,17 (3.118) = ~ 1.822,01 = ($1.822.006,8)
pst = ΣWh ph
pst = 0,46(0,43) + 0,37(0,36) + 0,17(1) = 0,50 ~= 50% 1 sh2 2 ΣNh (Nh –nh ) N nh
Xst = ¯xst ± t
115.320 52.025,45 1 87.857,69 X¯st = 1.822,01 ± 2,052 3552 162(162–14) 14 + 132(132−11) 11 + 61(61−5) 5
[
[=
1.922,91 = $1.922.910 X¯st s= 1.822,01 ± 2,052 241,85 = 1.822,01 ± 100,91 1
1.721,09 = $1.721.090
1 1 0,43(0,57) 0,36(0,64) + 61(61-5) 5 Pst = 0,50 ± 2,052 3552 162(162–14) + 132(132−11) 14 14
[
Pst = 0,50 ± 2,052 0,005985 = 0,50 ± 0,16
[
=
0,66 = 66% 0,34 = 34%
/ + PXHVWUHRDOHDWRULRHVWUDWL¿FDGR método sistemático, en
? $ ? 5 6 & )'> )2) )#2 1)% 1"1 1># 1'' $ N1 1&" * segundo estrato, también se seleccionan números H ))' )1- )>> )%2 )&1 )2' )#- 1)> 112 1>1 ? N" 1>"H tercer estrato, los números
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A A B ')
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
Conglomerado No. 03
Conglomerado No. 04
No. ORDEN
No. ALEATORIO
xi
ai
No. ORDEN
No. ALEATORIO
xi
ai
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Z
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B Cada conglomerado
7 ? 5 Y , , 4 B +
B )1 $ 1" )>
$ >) /
$
,
N = Número de conglomerados en la población Q = Número de conglomerados en la muestra Mi = Tamaño de cada conglomerado (total de elementos en el grupo) M = ΣMi = 7otal de elementos en la población de N conglomerados P = ΣPi = 7otal de elementos en la muestra de Q conglomerados M M= = (tamaño medio de los conglomerados) N yij =9alor de la variable yi =7otal del conglomerado en la muestra m1
yi = Σyij m 1
n n mi Σ y ij y i yi = m = m = (0edia del conglomerado) y = Σyi = ΣΣyij (7otal general de la muestra) i i
A
779
780
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
= y = 0HGLDJHQHUDOGHODPXHVWUD
y y Siendo = y = Σm = m i
y = y = 0HGLDGHWRWDOHVRWRWDOPHGLRSRUFRQJORPHUDGR, en la muestra: = y= m
/ PXHVWUHRHVWUDWL¿FDGR
pst =
Σ M hp h Σm h
Siendo
ph =
Σ ah
i
Σmh
i
$
7 1–f h VPst[ = Σ A [ n h m 2h
[
[[
Σ a2hi–2p h Σ m hia hi+p2hΣ m2hi nh – 1
[
M + $ conglomerados iguales y desiguales, , H $
7
$ ''
ª ' ª " ª 1= % > ª> ª 1 ª " ª > % ª & ª > ª ' ª 1 % ª % ª > ª " ª " ' ª " ª & ª 1 ª > > ª > ª % ª " ª " > ª " ª > ª ' ª " " ª " ª % ª ' ª > 1 ª > ª & ª 1 ª " " ª 1 ª ' ª " ª 1 > ª " ª > ª > ª 1 & ª 1 ª % ª % ª "
TOTAL 1' 1" 1- 1' 12 1% 1' 1& 13 11 1" 12
N C 21 n C1" Con los datos de la anterior muestra, calcularemos el promedio
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
I 1 " 3 % ' & 2 # - 10 11 1" G
x¯ i 1' 1" 1- 1' 12 1% 1' 1& 13 11 1" 12 12&
x¯ i2 -)) '2& 1%%% -)) 11'& 2#% -)) 1)"% &2& %#% '2& 11'& 1)'2&
x¯ i 3,0 "% ># 3,0 >% "# 3,0 >" "& "" "% >% >'"
Σ –x i 35,2 ~ = [= = = 2,93 = 3 12 n
[ [[
Σ x– i –nx= 2
[
[[
2 V = N–n Nn
2
V=[ =
71–12 71(12)
2
n–1
[ [
105,76 –12(2,93)2 12 – 1
V=[2 = (0,0692) (0,2492) = 0,017
/ x– / conglomerados desiguales con probabilidades iguales, supongamos >'' 7 "' , $
$ B K N C "'
A 1) , n C 1)
i CONGLOMERADO
mi VIVIENDA
yi PERSONAS
yi2
1
'
1#
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"
1"
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3
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G
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1'&>1
Σm2i = 1.189 Σyi2 = 15.631 Σmi = 105 Σyi = 379 Σmi yi = 4.182
/ +
,
N C NB N C "' n = Número total de conglomerados en la muestra (n C 1)
! C NB ! C >>)
781
782
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
M i = Número de elementos en cada conglomerado poblacional. M = ΣMi = 330 viviendas – M = Tamaño medio de los conglomerados M = ΣMi =
Σ yi
30 = 13,2 25
(Promedio de viviendas por conglomerado)
n = 3romedio de personas por conglomerado de la muestra Ny– 379 14 y= = – Σyi = y– = 10 = 3,79 M Mn y =
= y = (stimador de la media por elemento
1 (379) = 2,87 13,2(10)
= y=
(ODQWHULRUHVWLPDGRUWambién se puede calcularGHODVLJXLHQWHIRUPD: 947,5 = 25(37,9) y= = = 2,87 Promedio de personas por vivienda 330 330
[
1–f V y== – [ ] nM 2
[[
Σyi2 – ny– 2 n-1
[
1 – 0,4 15.631–10(37,9)2 V =y = 2 10(3,2) [ ] 10 – 1
[[
[
10 n f = N = 25 = 0,4
[
V y== (0,00034) (140,7667) = 0,048 [ ]
También se puede calcular:
[
N–n V =y = [ ] Nn(Q–1)
[[
1 –2 – 2 Σyi2 – ny M
25-10 1 (15.631-10(37,9)2 = 0,048 V =y = [ ] 25(10)(9) (13,2)2
[[
[
[
[
De otra manera se podrá hacer:
[( ) ( )] [ ( ) [( ) ( )][
V = = (1–f ) [ y ]
N 1 M n(n–1)
10 V =y = 1– [ ] 25
25 330
Σyi – 2
(Σy i) 2
n
]
2
1 10(9)
15.631–
3
,
7
]
(379)2 ~ = 0,048 10
s =y = 0,048 = 0,22 (Error estándar de 0,22 personas) [ ]
/ error de estimación 5
,
[ ][
1–f V =y = nM –2 [ ]
2 =Σ M y + = Σ y 2i – 2y y 2Σ M i i i
n–1
]
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
[ ][
1– 10 25 V =y = [ ] 10(13,2)2
]
15.631–2(2,87)(4,182)+2,872(1.189) = 0,054; 10 - 1
s=y2 = 0,23
MUESTREO BIETÁPICO Se le denomina muestreo por etapas : bietápico y si son más de dos etapas se le considera polietápico *
sub-muestreo y se trata de una + 5 $ 7 ,
5
B
$ 8
primarias, los de la segunda, secundarias $ 8
? B 7 , K
proceso de selección TXHVHKDFHSRUHWDSDVVXFHVLYDV $ + B , $ H teriores son consideradas unidades de selección. %>
FÁBRICA
Mi
mi
TIEMPO SIN FUNCIONAR (HORAS)
1
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3
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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1,30
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Cálculo del estimador de la media
NΣM x– 1.216,09(110) – Xc = Mni i = = 2,03 5.500(12) Mi–xi = 46(2,44) + 38(3,13) + 52(2,50) + ... = 1.216,09 ΣMi = 46 + 38 + 53 + 60 + ... = 581 Los límites de confianza del 95% para el estimador de la media es:
¯ c = x¯c ± t X
s 2b =
[ [[ [ s [ N–n N
1 nM ¯2
2
b
+
1 nNM ¯2
[ [[
[[
ΣMi (Mi – i)
1 Σ(Mix¯i)2 – 2Mx¯c ΣMix¯i + n (Mx ¯ ¯c )2 -1
s2i
i
[
[
Reemplazando se tendrá que: Σ(Mi x¯i)2 = (46 x 2,44)2 + (38x3,13) 2 + (52 x 2,5) 2 + ... = 132.247,64
sb2 =
[ [[ 1 12–1
ΣMi(Mi–mi)
[
132.247,64–2(55)(2,03)(1.216,09)+12[55(2,03)]2 = 934,
s2
i
mi
= 46(46–9)
10,03 14,13 +38(38–8) + ... = 18.571,91 9 6
Ahora se tendrá que:
¯ c = 2,03 ± 2,201 X
[
[[
2,40
¯ c = 2,03 ± 0,37 X
[
[
[
1 110–12 1 934,86 + 12(110)(55)2 (18.571,91) 110 12(55)2
+oras
1,66
* 4 -'. +, ! C ''))
7
785
786
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
[ [[ [
[
[
110–12 1 1 110 12(55)2 934,86+ 12(110)(55)2 (18.571,91)
Xc = 5.500(2,03)± 5.500(2,201)
13.200 Total de horas
Xc = 11.165 ± 2.035
9.130
Cuando no se conoce el valor de M +
x¯c =
ΣM i x¯i 1.216,09 = 581 = 2,09 ΣM i
s2r =
[ [[
1 2 2 2 Σ(M i ¯x i ) 2 – 2x¯c ΣM i x¯i + x¯c ΣM i n –1
[
ΣMi x¯i = 462(2,44) + 382(3,13) + 522(2,50) +... = 60.207,47 2
2
ΣMi = 462 + 382 + 522 + 602 + 552 + ... = 29.781
s 2r =
[ [[
[
1 132.247,64 – 2(2,09)(60.207,47) + 2,092(29.781) = 969,71 12 –1
8 OtPLWHVGHFRQ¿DQ]D -'. estimador del promedio
7
[
[[ [
X¯c = 2,09 ± 2,201 110–12 M=
110
[
[
1 1 969,71+ 12(110)(49)2 (18.571,91) 12(49)2
ΣM i 581 n = 12 = 49
2,51 X¯c = 2,09 ± 0,42
Horas 1,67
-) 7 N /
B estudiante calcule cada uno de ¯xi y si; también pueden suministrarse solamente las dos últimas 7
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
Estimación de una proporción y total a) Se conoce el valor de M :
!
7
, $
$E Información sobre una muestra por conglomerados doble etapa FÁBRICA 1 " 3 % ' & 2 # 10 11 1"
Mi mi %& ># '" &) '' %) %) >& 30 &% 2) ')
# 10 1" 11 # # 2 & 13 1% 10
NÚMERO PARALIZADOS % % ' 2 % % ' % 3 ' 2 '
Pi
qi
)%% )') )') )'# )>& )') )&> )'2 )') )># )') )')
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[
[
N
pc = nM ΣMi pi
110
Se cuenta el número de máquinas que fueron reparadas o se les hizo mantenimiento. Información adicional.
ΣMi = 581 N = 110 M = 5.500 – M 5.500 M= = = 55 110 N
ΣMi = 29.781 581 – ΣMi 2
M= n
=
12
= 49
(cuando se estima)
pc= 12(5.500) [284,44] = 0,4748 = 47,48% ≅ 47%
8 OtPLWHVGHFRQ¿DQ]D
[ [[ N–n N
Pc= pc ± t
Siendo:
s 2b =
1 ¯2 nM
[ [[ 1 –1
[ s [ [ [ΣM (M – m ) [ 2 b
1 + nNM ¯2
i
i
i
p iq i mi
– – Σ(Mi pi )2 – 2p MΣ Mi pi + n (Mpc )2 c
[
Reemplazando en la fórmula anterior se tiene que:
sb =
[ [[ 1 12 – 1
[
7.172,31−2(0,47)(49)(284,88) + 12 [55(0,47)]2 = 188,12
Σ(Mi pi )2 = [46(0,44)]2 + [38(0,5)]2 + [52(0,5)]2 + ... = 7.172,31 ΣMi pi = 46(0,44) + 38(0,5) + 52(0,5) + ... = 284,88 ΣMi(Mi–mi )
p iq i = 46(46–9) 0,44 x 0,56 + 38(38 – 8) 0,5x0,5 + ... = 580,24 mi 9 8
787
788
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
ESTADÍSTICA Y MUESTREO
: +, -'.
7
Pc= 0,47 ± 2,201
[
110–12 110
[[
0,62 = 62%
Pc = 0,47 ± 0,15
[
[
[
1 1 188,12+ 12(110)(55)2 (580,24) 12(55)2 Nota: El error obtenido es muy grande, es posible que esto se deba al trabajar con una muestra muy pequeña.
Horas
0,32 = 32% Porcentaje de máquinas paralizadas.
* +, 4
7
Ac= 0,47(5.500)±5.500(2,201)
[ [[
[
[
[
1 110–12 1 188,12+ 12(110)(55)2 (580,24) 110 12(55)2
3.119
Ac = 2.285 ± 834
Total de máquinas 1.451
b) Cuando no se conoce M
:
!
s2r= s2r=
[ [[ [ [[
2
[
1 Q–1
Σ(Μi pi ) 2 − 2pc(ΣΜi pi ) + pcΣM i
1 12 – 1
7.172,31−2(0,49)(14.435,24)+0,492(29.781) =16,02
2
2
[
ΣMi2pi = 462(0,44) + 0,382(0,5) + 522(0,5) + ... = 14.435,24 pc =
ΣM i p i 284,88 = = 0,49 = 49% 581 ΣM i
8 OtPLWHVGHFRQ¿DQ]D -'. *
7
Pc = 0,49 ± 2,201
[ [[
Pc = 0,49 ± 0,20
[
[
[
1 110–12 1 16,02 + 12(110)(49)2 (580,24) 110 12(49)2 0,69 = 69% 0,29 = 29%
* estimador del total, +, -'.
7
Ac= 0,49(5.390) ± 2,201(5.390)
Ac = 2.641 ± 1.068
3.709 1.573
[ [[
[
[
[
1 110–12 1 2 16,02 + 12(110)(49)2 (580,24) 110 12(49)
Total de máquinas
CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
EJERCICIOS PARA RESOLVER 8 $
Sistema de Información en Línea SIL. 1>" Y
9 7 7+ 8 7 $ 8 5 B " &) 2& %" '1
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CAPÍTULO TRECE
ALGUNOS MÉTODOS DE MUESTREO
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ESTABLECIMIENTOS
No. DE EMPLEADOS
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PROPIETARIOS DE LA VIVIENDA
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MUESTREO POR FASES MÚLTIPLES / 7
+ 5 Muestreo por etapas y por Fases múltiples / primero
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